/
Текст
Рихард Курант
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие к русскому изданию 9
Предисловие 11
Глава I. Вводные замечания 15
§ 1. Общие сведения о совокупности решений 16
1. Примеры 16
2. Дифференциальные уравнения заданных семейств функций 21
§ 2. Системы дифференциальных уравнений 24
1. Вопрос об эквивалентности системы дифференциальных уравнений 24
2. Исключение неизвестных из линейной системы с постоянными 27
коэффициентами
3. Определенные, переопределенные, недоопределенные системы 28
§ 3. Методы интегрирования некоторых специальных дифференциальных 30
уравнений
1. Разделение переменных 30
2. Построение других решений посредством суперпозиции, 32
фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Интеграл
Пуассона
§ 4. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого 34
порядка с двумя независимыми переменными. Полный интеграл
1. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого 34
порядка
2. Полный интеграл 36
3. Особые интегралы 37
4. Примеры 38
§ 5. Теория линейных и квазилинейных уравнений первого порядка 40
1. Линейные дифференциальные уравнения 40
2. Квазилинейные дифференциальные уравнения 42
§ 6. Преобразование Лежандра 43
1. Преобразование Лежандра для функций двух переменных 43
2. Преобразование Лежандра для функций п переменных 46
3. Применение преобразования Лежандра к дифференциальным 46
уравнениям в частных производных
§ 7. Теорема существования Коши — Ковалевской 50
1. Введение и примеры 50
2. Сведение к системе квазилинейных дифференциальных уравнений 54
3. Определение производных вдоль начального многообразия 57
4. Доказательство существования решений аналитических 58
дифференциальных уравнений
4а. Замечание о линейных дифференциальных уравнениях 63
46. Замечание о неаналитических дифференциальных уравнениях 64
5. Замечания о критических начальных данных. Характеристики 64
Приложение 1 к главе I. Дифференциальное уравнение Лапласа для опорной 66
функции минимальной поверхности
Приложение 2 к главе I. Системы дифференциальных уравнений первого 67
порядка и дифференциальные уравнения высших порядков
1. Эвристические соображения 67
2. Условия эквивалентности системы двух уравнений в частных 68
производных первого порядка и дифференциального уравнения второго
порядка
Глава П. Общая теория дифференциальных уравнений с частными 71
производными первого порядка
§ 1. Геометрическая теория квазилинейных дифференциальных уравнений с 71
двумя независимыми переменными
1. Характеристические кривые 71
2. Задача Коши 73
3. Примеры 75
§ 2. Квазилинейные дифференциальные уравнения с п независимыми 78
переменными
§ 3. Общие дифференциальные уравнения с двумя независимыми 84
переменными
1. Характеристические кривые и фокальные кривые. Конус Монжа 84
2. Решение задачи Коши 88
3. Характеристические кривые как элементы ветвления. Дополнительные 91
замечания. Интегральный коноид. Каустики
§ 4. Полный интеграл 93
§ 5. Фокальные кривые и уравнение Монжа 95
§ 6. Примеры 97
1. Дифференциальное уравнение световых лучей (gradwJ =1 97
2. Уравнение F(ux,uy) = 0 100
3. Дифференциальное уравнение Клеро 101
4. Дифференциальное уравнение трубчатых поверхностей 103
5. Соотношение однородности 104
§ 7. Общее дифференциальное уравнение с п независимыми переменными 105
§ 8. Полный интеграл и теория Гамильтона—Якоби 111
1. Построение огибающих и характеристические кривые 111
2. Канонический вид характеристических дифференциальных уравнений 113
3. Теория Гамильтона — Якоби 115
4. Пример. Задача двух тел 117
5. Пример. Геодезические на эллипсоиде 118
§ 9. Теория Гамильтона — Якоби и вариационное исчисление 120
1. Дифференциальное уравнение Эйлера в каноническом виде 121
2. Геодезическое расстояние, или эйконал, и его производные. 123
Дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби
3. Однородные подинтегральные функции 126
4. Поле экстремалей. Дифференциальное уравнение Гамильтона — 128
Якоби
5. Конус лучей. Конструкция Гюйгенса 132
6. Инвариантный интеграл Гильберта для представления эйконала 132
7. Теорема Гамильтона и Якоби 134
§ 10. Канонические преобразования и их приложения 135
1. Каноническое преобразование 135
2. Новое доказательство теоремы Гамильтона — Якоби 136
3. Вариация постоянных. (Теория канонических возмущений) 137
Приложение 1 к главе II 138
§ 1. Дальнейшее изучение характеристических многообразий 138
1. Замечания о дифференцировании в пространстве п измерений 138
2. Задача Коши. Характеристические многообразия 141
§ 2. Системы квазилинейных дифференциальных уравнений с одинаковой 146
главной частью. Новое построение теории
§ 3. Доказательство теоремы единственности Хаара 151
Приложение 2 к главе П. Теория законов сохранения 153
Глава Ш. Дифференциальные уравнения высших порядков 159
§ 1. Канонический вид линейных и квазилинейных дифференциальных 159
операторов второго порядка с двумя независимыми переменными
1. Эллиптический, гиперболический и параболический канонические 160
виды. Смешанные типы
2. Примеры 165
3. Канонический вид квазилинейных дифференциальных уравнений 168
второго порядка с двумя независимыми переменными
4. Пример. Минимальные поверхности 171
5. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка 173
§ 2. Общая классификация и характеристики 174
1. Обозначения 174
2. Системы первого порядка с двумя независимыми переменными. 175
Характеристики
3. Системы первого порядка с п независимыми переменными 177
4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Гиперболичность 178
5. Дополнительные замечания 180
6. Примеры. Уравнения Максвелла и Дирака 180
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными 184
коэффициентами
1. Канонический вид и классификация уравнений второго порядка 184
2. Фундаментальные решения уравнений второго порядка 187
3. Плоские волны 190
4. Плоские волны (продолжение). Бегущие волны. Дисперсия 192
5. Примеры. Телеграфное уравнение. Неискажающиеся волны в кабелях 196
6. Цилиндрические и сферические волны 197
§ 4. Задача Коши. Задача излучения для волнового уравнения 200
1. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Преобразование тета- 201
функции
2. Задача Коши для волнового уравнения 204
3. Принцип Дюамеля. Неоднородные уравнения. Запаздывающие 205
потенциалы
За. Принцип Дюамеля для систем первого порядка 208
4. Задача Коши для волнового уравнения в двумерном пространстве. 208
Метод спуска
5. Задача излучения 210
6. Явления распространения и принцип Гюйгенса 211
§ 5. Решение задачи Коши с помощью интеграла Фурье 213
1. Метод Коши применения интеграла Фурье 213
2. Пример 215
3. Обоснование метода Коши 218
§ 6. Типичные задачи для уравнений математической физики 224
1. Вводные замечания 224
2. Основные принципы 228
3. Замечания о «некорректно поставленных» задачах 232
4. Общие замечания о линейных задачах 233
Приложение 1 к главе Ш 234
§ 1. Лемма Соболева 234
§ 2. Сопряженные операторы 236
1. Матричные операторы 236
2. Сопряженные дифференциальные операторы 238
Приложение 2 к главе Ш. Теорема единственности Гольмгрена 239
Глава IV. Теория потенциала и эллиптические дифференциальные уравнения 242
§ 1. Основные понятия 242
1. Уравнения Лапласа и Пуассона и связанные с ними уравнения 242
2. Потенциалы распределения масс 247
3. Формула Грина и ее применения 253
4. Производные потенциалов распределения масс 259
§ 2. Интеграл Пуассона и его приложения 262
1. Краевая задача и функция Грина 262
2. Функция Грина для круга и шара. Интеграл Пуассона для шара и 265
полупространства
3. Следствия формулы Пуассона 269
§ 3. Теорема о среднем значении и ее приложения 276
1. Теорема о среднем значении для однородного и неоднородного 276
уравнения
2. Обращение теорем о среднем значении 277
3. Уравнение Пуассона для потенциалов пространственных 284
распределений
4. Теоремы о среднем значении для других эллиптических уравнений 286
§ 4. Краевая задача 290
1. Предварительные замечания. Непрерывная зависимость от граничных 290
значений и от области
2. Решение краевой задачи с помощью альтернирующего метода Шварца 293
3. Метод интегральных уравнений для плоских областей с достаточно 298
гладкой границей
4. Замечания о граничных значениях 302
4а. Емкость и выполнение граничных условий 304
5. Метод субгармонических функций Перрона 306
§ 5. Приведенное волновое уравнение. Рассеяние 312
1. Предмет изложения 312
2. Условие излучения Зоммерфельда 313
3. Рассеяние 317
§ 6. Краевые задачи для более общих эллиптических уравнений. 319
Единственность решения
1. Линейные дифференциальные уравнения 319
2. Нелинейные уравнения 321
3. Теорема Реллиха для дифференциального уравнения Монжа—Ампера 322
4. Принцип максимума и его применения 324
§ 7. Априорные оценки Шаудера и их приложения 329
1. Оценки Шаудера 330
2. Решение краевой задачи 334
3. Сильные барьеры и их приложения 339
4. Некоторые свойства решений уравнения Ци\ = f 342
6. Дальнейшие результаты, касающиеся эллиптических уравнений; 345
поведение вблизи границы
§ 8. Решение уравнений Бельтрами 348
§ 9. Краевая задача для некоторого специального квазилинейного уравнения. 355
Метод неподвижной точки Лере — Шаудера
§ 10. Решение эллиптических дифференциальных уравнений с помощью 360
интегральных уравнений
1. Построение частных решений. Фундаментальные решения. 361
Параметрике
2. Дальнейшие замечания 365
Приложение к главе IV. Нелинейные уравнения 365
1. Теория возмущений 366
2. Уравнение Au = f(x,u) 367
Дополнение к главе IV. Теоретико-функциональная точка зрения на 372
эллиптические дифференциальные уравнения с частными
производными
§ 1. Определение псевдоаналитнческих функций 373
§ 2. Одно интегральное уравнение 375
§ 3. Принцип подобия 376
§ 4. Приложения принципа подобия 380
§ 5. Формальные степени 383
§ 6. Дифференцирование и интегрирование псевдоаналитических функций 384
§ 7. Пример. Уравнения смешанного типа 387
§ 8. Общее определение псевдоаналитических функций 389
§ 9. Квазиконформные отображения и общая теорема о представлении 390
§ 10. Одна нелинейная краевая задача 393
§11. Обобщение теоремы Римана об отображениях 397
§ 12. Две теоремы о минимальных поверхностях 398
§ 13. Уравнения с аналитическими коэффициентами 399
§ 14. Доказательство теоремы Привалова 400
§ 15. Доказательство теоремы Шаудера о неподвижной точке 401
Глава V. Гиперболические дифференциальные уравнения с двумя 405
независимыми переменными
Введение 405
§ 1. Характеристики дифференциальных уравнений (в основном второго 406
порядка)
1. Основные понятия. Квазилинейные уравнения 406
2. Характеристики на интегральных поверхностях 412
3. Характеристики как линии разрыва. Фронт волны. Распространение 414
разрывов
4. Общие дифференциальные уравнения второго порядка 417
5. Дифференциальные уравнения высших порядков 419
6. Инвариантность характеристик при преобразовании координат 421
7. Сведение к квазилинейным системам первого порядка 421
§ 2. Характеристическая нормальная форма для гиперболических систем 422
первого порядка
1. Линейные, почти линейные и квазилинейные системы 422
2. Случай к=2. Линеаризация с помощью преобразования годографа 425
§ 3. Приложение к динамике сжимаемой жидкости 426
1. Одномерное изэнтропическое течение 427
2. Сферически симметричное течение 429
3. Стационарное безвихревое течение 430
4. Системы трех уравнений для неизэнтропического течения 431
5. Линеаризованные уравнения 433
§ 4. Единственность. Область зависимости 435
1. Области зависимости, влияния и определенности 435
2. Доказательство единственности для линейных дифференциальных 437
уравнений второго порядка
3. Общая теорема единственности для линейных систем первого порядка 442
4. Единственность для квазилинейных систем 445
5. Энергетические неравенства 446
§ 5. Представление решений в форме Римана 446
1. Задача Коши 447
2. Функция Римана 447
3. Симметрия функции Римана 451
4. Функция Римана и излучение из точки. Обобщение на задачи более 452
высокого порядка
5. Примеры 453
§ 6. Решение задачи Коши для линейных и почти линейных гиперболических 458
уравнений с помощью итераций'
1. Построение решения уравнения второго порядка 458
2. Обозначения и результаты для линейных и почти линейных систем 460
первого порядка
3. Построение решения 462
4. Замечания. Зависимость решений от параметров 467
5. Смешанные начальные и граничные задачи 467
§ 7. Задача Коши для квазилинейных систем 472
§ 8. Задача Коши для одного гиперболического дифференциального 474
уравнения высшего порядка
1. Сведение к характеристической системе первого порядка 476
2. Представление оператора Ци\ через характеристики 477
3. Решение задачи Коши 479
4. Другие варианты решения. Теорема П. Унгара 480
5. Замечания 482
§ 9. Разрывы решений. Ударные волны 482
1. Обобщенные решения. Слабые решения 482
2. Разрывы в квазилинейных системах, выражающих законы сохранения. 484
Ударные волны
Приложение 1 к главе V. Применение характеристик в качестве координат 487
§ 1. Дополнительные замечания относительно общих нелинейных уравне- 487
1. Квазилинейное дифференциальное уравнение 487
2. Общее нелинейное уравнение 491
§ 2. Исключительный характер уравнения Монжа-Ампера 492
§ 3. Переход в комплексной области от эллиптического оператора к 495
гиперболическому
§ 4. Аналитичность решений в эллиптическом случае 497
1. Замечание из теории функций 497
2. Аналитичность решения уравнения Аи = f(x, у, и, р, q) 497
3. Замечание об общем дифференциальном уравнении 511
F(x,y,u,p,q,r,s,t) = O
§ 5. Применение комплексных переменных для продолжения ре- 501
Приложение 2 к главе V. Нестационарные задачи и операционное 503
исчисление Хевисайда
§ 1. Решение нестационарных задач с помощью интегральных представлений 504
1. Пример явного решения. Волновое уравнение 504
2. Общая формулировка задачи 507
3. Интеграл Дюамеля 507
4. Метод суперпозиции экспоненциальных решении 510
§ 2. Операторный метод Хевисайда 513
1. Простейшие операторы 513
2. Примеры операторов и приложения 516
3. Приложение к уравнению теплопроводности 520
4. Волновое уравнение 522
5. Обоснование операторного исчисления 523
§ 3. Общая теория нестационарных задач 530
1. Преобразование Лапласа 530
2. Решение нестационарных задач с помощью преобразования Лапласа 533
3. Пример. Волновое и телеграфное уравнения 539
Глава VI. Гиперболические уравнения со многими независимыми 544
переменными
Введение 544
Часть I. Единственность, построение и геометрические свойства решений 545
§ 1. Дифференциальные уравнения второго порядка. Геометрия 545
характеристик
1. Квазилинейные дифференциальные уравнения второго порядка 545
2. Линейные дифференциальные уравнения 550
3. Лучи или бихарактеристики 551
4. Характеристика как фронт волны 553
5. Инвариантность характеристик 555
6. Конус лучей, конус нормалей, коноид лучей 556
7. Связь с римановой метрикой 558
8. Двойственные преобразования 559
9. Построение фронта волны по Гюйгенсу 562
10. Поверхности пространственного типа. Направления временного типа 563
§ 2. Уравнения второго порядка. Значение характеристик 563
1. Разрывы второго порядка 564
2. Дифференциальное уравнение на характеристической поверхности 566
3. Распространение разрывов по лучам 567
4. Пример. Решение задачи Коши для волнового уравнения с тремя 569
пространственными переменными
§ 3. Геометрия характеристик для операторов высших порядков 571
1. Обозначения 571
2. Характеристические поверхности, формы и матрицы 573
3. Интерпретация характеристического уравнения во времени и 575
пространстве. Конус нормалей и поверхность нормалей.
Характеристические нуль-векторы и собственные значения
4. Построение характеристических поверхностей или фронтов. Лучи, 577
конус лучей, коноид лучей
5. Фронты волны и построение Гюйгенса. Поверхность лучей и 579
поверхность нормалей
5а. Пример 582
6. Свойства инвариантности 583
7. Гиперболичность. Многообразия пространственного типа, 583
направления временного типа
8. Симметрические гиперболические операторы 587
9. Симметрические гиперболические уравнения высших порядков 588
10. Кратные характеристические поверхности и приводимость 590
11. Лемма о бихарактеристических направлениях 591
§ За. Примеры. Гидродинамика, кристаллооптика, магнитная гидродинамика 593
1. Введение 593
2. Система дифференциальных уравнений гидродинамики 594
3. Кристаллооптика 597
4. Форма поверхности нормалей и поверхности лучей 599
5. Задача Коши для уравнений кристаллооптики 603
6. Магнитная гидродинамика 606
§ 4. Распространение разрывов и задача Коши 611
1. Введение 611
2. Разрывы первых производных для систем первого порядка. Уравнение 612
переноса
3. Разрывы начальных значений. Введение обобщенных функций. 614
Бегущие волны
4. Распространение разрывов для систем первого порядка 618
5. Характеристики постоянной кратности 620
5а. Примеры распространения разрывов вдоль многообразий более чем 621
одного измерения. Коническая рефракция
6. Устранение начальных разрывов и решение задачи Коши 622
6а. Характеристические поверхности как фронты волны 626
7. Решение задачи Коши с помощью сходящегося разложения на волны 626
8. Системы второго и высших порядков 626
9. Дополнительные замечания. Слабые решения. Ударные волны 628
§ 5. Колеблющиеся начальные значения. Асимптотическое разложение 629
решения. Переход к геометрической оптике
1. Предварительные замечания. Бегущие волны высшего порядка 629
2. Построение асимптотических решений 630
3. Геометрическая оптика 634
§ 6. Примеры теорем единственности и области зависимости для задачи 636
Коши
1. Волновое уравнение 636
2. Дифференциальное уравнение ип-Аи ut = 0 (уравнение Дарбу)
3. Уравнения Максвелла в вакууме 640
§ 7. Области зависимости для гиперболических задач 642
1. Введение 642,
2. Описание области зависимости 643
§ 8. Интегралы энергии и теоремы единственности для линейных 646
симметрических гиперболических систем первого порядка
1. Интегралы энергии и единственность решения задачи Коши 645
2. Интегралы энергии первого и высших порядков 647
3. Энергетические неравенства для смешанных задач 650
4. Интегралы энергии для одного уравнения второго порядка 654
§ 9. Энергетические оценки для уравнений высших порядков 656
1. Введение 656
2. Энергетические тождества и неравенства для решений 656
гиперболических уравнений высших порядков. Метод Лере и Гординга
3. Другие методы 660
§ 10. Теорема существования 663
1. Введение 663
2. Теорема существования 665
3. Замечания о сохранении свойств начальных значений и о 667
соответствующих полугруппах. Малый принцип Гюйгенса
4. Фокусирование. Пример несохранения дифференцируемое™ 669
5. Замечания о квазилинейных системах 670
6. Замечания о задачах высших порядков и о несимметрических системах 671
Часть П. Представление решений 672
§11. Введение 672
1. Общие понятия. Обозначения 672
2. Некоторые интегральные формулы. Разложение функций на плоские 673
волны
§ 12. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 677
1. Задача Коши 677
2. Построение решения для волнового уравнения 679
3. Метод спуска 682
4. Дальнейшее изучение решения. Принцип Гюйгенса 684
5. Неоднородное уравнение. Интеграл Дюамеля 687
6. Задача Коши для общего линейного уравнения второго порядка 688
7. Задача излучения 631
§ 13. Метод сферических средних. Волновое уравнение и уравнение Дарбу 694
1. Дифференциальное уравнение Дарбу для средних значений 691
2. Связь с волновым уравнением 696
3. Задача излучения для волнового уравнения 698
4. Обобщенные бегущие сферические волны 699
§ 13а. Решение задачи Коши для уравнения упругих волн с помощью 701
сферических средних:
§ 14. Метод плоских средних значений. Применение к общим 705
гиперболическим уравнениям с постоянными коэффициентами
1. Общий метод 706
2. Применение к решению волнового уравнения 710
§ 14а. Применение к уравнениям кристаллооптики и к другим уравнениям 719
четвертого порядка
1. Решение задачи Коши 719
2. Дальнейшее исследование решения. Область зависимости. Лакуны 717
§ 15. Решение задачи Коши как линейный функционал от начальных данных. 721
Фундаментальные решения
1. Описание. Обозначения 721
2. Построение функции излучения с помощью разложения 8-функции 724
3. Регулярность матрицы излучения 727
За. Обобщенный принцип Гюйгенса 729
4. Пример. Системы с постоянными коэффициентами частного вида. 730
Теорема о лакунах
5. Пример. Волновое уравнение 731
6. Пример. Теория Адамара для одного уравнения второго порядка 734
7. Дальнейшие примеры. Случай двух независимых переменных. 738
Замечания
§ 16. Ультрагиперболические дифференциальные уравнения и общие 738
дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
1. Общая теорема Асгейрссона о среднем значении 738
2. Другое доказательство теоремы о среднем значении 742
3. Применение к волновому уравнению 742
4. Решение характеристической задачи Коши для волнового уравнения 743
5. Другие приложения. Теорема о среднем значении для софокусных 745
эллипсоидов
§ 17. Задача Коши для многообразий непространственного типа 747
1. Функции, определенные с помощью средних значений по сферам с 747
центрами на некоторой плоскости
2. Приложения к задаче Коши 749
§ 18. Замечания о бегущих волнах, передаче сигналов и принципе Гюйгенса 753
1. Неискажающиеся бегущие волны 753
2. Сферические волны 755
3. Излучение и принцип Гюйгенса 757
Приложение к главе VI. Обобщенные функции или распределения 758
§ 1. Основные определения и понятия 758
1. Введение 758
2. Идеальные элементы 759
3. Обозначения и определения 761
4. Повторное интегрирование 761
5. Линейные функционалы и операторы. Билинейная форма 762
6. Непрерывность функционалов. Носители основных функций 763
7. Лемма об г-непрерывности 765
8. Некоторые вспомогательные функции 765
9. Примеры 766
§ 2. Обобщенные функции 767
1. Введение 767
2. Определение с помощью линейных дифференциальных операторов 768
3. Определение с помощью слабых пределов 770
4. Определение с помощью линейных функционалов 771
5. Эквивалентность. Представление функционалов 772
6. Некоторые выводы 774
7. Пример. Дельта-функция 775
8. Отождествление обобщенных и обыкновенных функций 776
9. Определенные интегралы. Конечные части 779
§ 3. Операции над обобщенными функциями 782
1. Линейные процессы 789
2. Замена независимых переменных 783
3. Примеры. Преобразование дельта-функции 783
4. Умножение и свертка обобщенных функций 7У5
§ 4. Дополнительные замечания. Модификации теории 786
1. Введение 786
2. Различные пространства основных функций. Пространство о. 786
Преобразования Фурье
3. Периодические функции 788
4. Обобщенные функции и гильбертовы пространства. Негативные 790
нормы. Сильные определения
5. Замечание о других классах обобщенных функций 791
Библиография 743
Предметный указатель
814
ПРЕДМЕТНЫЙ
Альтернирующий метод Шварца 293
Аналитичность гармонических
функций 270
Анизотропия 593
Асимптотические решения 630
Барьер 310
Бегущая волна 617, 753
относительно неискажающаяся
617
плоская 192
полная 617
порядка N617
сферическая 200, 699
Билинейная форма 763
Бихарактеристики (лучи) 551, 577
Бихарактеристические направления
591
— полосы 552, 577
Вектор нормальной скорости 554
— скорости в направлении луча 554
Ветвление интегральной
поверхности 413
Внутренний дифференциальный
оператор 410, 548, 563, 573, 575
Внутренняя полость конуса нормалей
(сердцевина) 585, 643
— производная 140, 174
Волновая оптика 634
Волновое уравнение 549, 636,
670,678, 710, 742
Волны Альфвена 607
— плоские 190, 662, 673, 706
— стоячие 197
— сферические 197, 775
— цилиндрические 197
Выводящая производная 140
Выпуклая оболочка конуса лучей 585
Гармонические функции 242
Геодезическая сфера 132
УКАЗАТЕЛЬ
Геодезическое расстояние 124, 128
Геометрическая оптика 634
Гиперболические квазилинейные
системы 670
Гипотеза Адамара 757
Главная часть дифференциального
оператора 185, 572
Двойственная порождающая пара 385
Двойственное преобразование 557,
559
Дисперсия 194
Дифференциальное уравнение
Бельтрами 164
Гамильтона — Якоби 125, 128
Дирака 182
квазилинейное 16, 42
линейное 16, 40
Максвелла 182
Эйлера 121
Дифференциальный оператор
гиперболический 193, 412, 418,
420, 549, 583
параболический 185
ультрагиперболический 185,
549, 673, 738
эллиптический 161, 168, 191,
420
Емкость 304
Задача Коши 73, 80, 83, 88
— Плато 226, 227
— Римана об отображении 227
Законы сохранения 485
Запаздывающий потенциал 207
Затухающие волны 195
Инвариантность характеристик 555,
583
Инвариантность характеристических
лучей 583
матриц 583
Инварианты Римана 455
Индекс инерции 549
Интеграл Дирихле 255
— Дюамеля 507, 545, 687
— Фурье 678
Интегральная поверхность
дифференциального уравнения
16
— полоса 88, 408, 409, 546
— теорема для функций Бесселя 529
— формула Пуассона для
полупространства 269
сферы 266
Интегральный коноид 92, 132
Интегралы энергии 437, 611, 636,
647, 654,660
Интенсивность излучения 691
Каноническая система
дифференциальных уравнений
114,117,122
— форма вариационной задачи 122
Канонически сопряженные
переменные 122
Канонический вид квадратичной
формы 185
уравнения второго порядка 162
Каноническое преобразование 135
Каустическая поверхность 130
Каустические кривые 92, 98
Квазиконформное отображение 390
Коллинеация 557
Конечная часть расходящегося
интеграла 734, 778, 780
Коническая рефракция 621
Коноид лучей 556, 559
Консервативный гиперболический
оператор 647
Конус лучей 132, 556, 577
направленный вперед 557, 563,
584
назад 558, 563, 584
— Монжа (локальный конус лучей)
35, 84, 556, 578
— нормалей 556, 563, 575, 577
Корректно поставленная задача 218,
230, 482
Кратные характеристические
поверхности 590
Кривая временного типа 756
Лакуны 643, 717, 721, 730
Линза пространственного типа 644
Линии Маха 433
— тока 433
Линия ветвления 74
Лучи (бихарактеристики) 551, 577
Луч трансверсальный к фронту
волны 554
Максимальное неотрицательное
граничное пространство 652
Максимум-норма 463, 466, 761
Метод Бельтрами 570
— выметания Пуанкаре 296
— мажорант 60
— разделения переменных 31
— спуска 208, 682
— сферических средних 694
Многообразие полос 106, 141
Направление временного типа 559,
563, 583
Негативные нормы 790
Неискажающаяся волна 192
Неравенство Харнака 270
Нерегулярный рациональный
оператор 515
Нижние (верхние) функции 308
Нормальная скорость 575, 576
— форма системы 424
Носитель функции 763
Нуль-векторы 574, 576, 588, 590, 612,
620, 730
Нуль-непрерывность функционала
764
r-непрерывность функционала 764
Область влияния 230, 436, 642
— зависимости 212, 230, 436, 636,
642, 717
в точном смысле 643, 721
— определенности 436, 636
Обобщенные решения 425, 665
— функции (распределения) 614, 676,
721, 758, 767
Обратный коноид зависимости 643
Однородные функции 24
Операторный метод Хевисайда 504
Опорные плоскости 561, 579, 580
Основные функции 762
Особое решение 37, 94
Ось Монжа 35, 72
Плоские средние значения 705
Поверхности Френеля 599
Поверхность вращения 23
— лучей 580, 581
Поверхность нормалей 575, 576
— нормальных скоростей (взаимная
поверхность нормалей) 577, 581
— пространственного типа 549,563,
583
Подобные комплексные функции 376
Поле эстремалей 129
Полный интеграл 36, 93, 115
Полоса 85
Полугруппа 668
Порождающая пара
псевдоаналитических функций
384
Порядок дифференциального
уравнения 15
Последующая пара 386
Построение Гюйгенса 579
Потенциал двойного слоя 253
— распределения масс 247
Почти линейная система 175
— линейное уравнение 550
Преобразование годографа 425, 427
— Лапласа 530
— Лежандра 43, 46, 49, 121
— Лоренца 744
— Фурье обобщенных функций 787
Приводимость 590
Принцип Гюйгенса 212, 684, 693,
712, 737, 753, 757
малый 667
обобщенный 729, 738
— Дюамеля 663, 723
— отражения 272
— смещения Хевисайда 520, 526
— Ферма 124
Проблема излучения 691, 698
Продолжимые начальные значения
467
— свойства гладкости 466
Проекция характеристической
кривой 79, 409
Производная по направлению
нормали 139
Прямой коноид зависимости 643
Псевдоаналитическая функция
второго рода 374
первого рода 374
Пучок Монжа 72
Развертывающаяся поверхность 24
Разделяющий оператор 658
Распространение разрывов 567, 618
вдоль лучей 568
Рассеяние 312, 317
Рассеянная волна 317
Ребро возврата интегральной
поверхности 75, 92, 104
Регулярная точка 310
Решение уравнения с частными
производными 15
Самосопряженный оператор 237
Свертка обобщенных функций 785
Свободная линия 65, 175
— поверхность 177, 547, 573
— полоса 408
Семейство характеристических
кривых 79
Сильное определение обобщенных
функций 790
Симметричная система 424
гиперболических уравнений
544, 587, 588, 644, 663
Система дифференциальных
уравнений вполне
гиперболическая 178
квазилинейная 423
линейная 422
недоопределенная 28, 85
определенная 28
переопределенная 28
почти линейная 423
эллиптическая 176
— законов сохранения 629
— уравнений гидродинамики 594,
603
магнитной гидродинамики 606
Скорость Альфвена 607
— звука 595, 608
Слабая непрерывность функционала
764
оо -непрерывность 765
©-непрерывность 765
Слабо сходящаяся
последовательность 770
Слабое определение обобщенных
функций 767
— решение 484, 485, 628
Смешанные задачи 650
Сопряженный оператор 238
Сохранение свойств начальных
значений 667
Субгармоническая функция 306
Супергармоническая функция 306
Сферический фронт волны 557, 558,
580
Тангенциальная производная 140
Телеграфное уравнение 454, 539, 690
Теорема компактности
гармонических функций 275
Теорема о вихре 434
среднем значении Асгейрссона
738
для шаров 741
сходимости Вейерштрасса 273
Харнака 274
— умножения 524
Теория канонических возмущений
137
Трансверсаль 129
Трубчатая поверхность 39, 103
Угол Маха 434
Ударные волны 629
Уравнение Дарбу 639, 694, 740
— Клеро39,48, 101
— Лапласа 242
— Монжа 95, 595
— Монжа — Ампера 322
— переноса 612, 628, 632
— Пуассона 243, 247
— эйконала 125
Уравнения кристаллооптики 597, 712
— Максвелла 640
Условие Гёльдера 250
— излучения Зоммерфельда 313
— на ударной волне 629
— полосы 85, 106
— трансверсальности 129
Условия согласования 469
Фаза 192
Фазовая функция 753
Финитные функции 483, 762
Фокальная полоса 85, 91
Фокальные кривые 85, 95, 98
Форма волны 192, 193, 753
Формула Парсеваля 787, 789
— преобразования тета-функции 204
Формулы Вейерштрасса 172
Фронт волны 97, 553, 562, 579, 625
плоский 580
типа плоского 581
Фундаментальное решение 188, 246,
721
Функция Грина 262, 263
— излучения 724
— Лежандра 121
Функция Хевисайда 615, 676,733,737
Характеристики 64, 405, 547
— постоянной кратности 620
Характеристическая задача Коши 65,
447, 638, 744
— матрица 177, 573
— поверхность 177, 545, 547, 550,
553, 563, 573
— полоса 86, 88, 105, 417, 420
интегральная 417
— производная 142
— система дифференциальных
уравнений 87, 105
— форма 179, 185, 547, 573
Характеристические кривые 40, 65,
72,84,88,111,409
для уравнения второго порядка
163, 176
— поверхности «типа плоскостей»
644
Характеристический вектор 81
полосы 107
— канонический вид системы 176
— конус нормалей 576
— линейный элемент 72, 409
— определитель системы 175
Характеристическое многообразие
81, 107, 142
полос 108
— направление 85, 142
— соотношение 410, 547, 144, 142,
420
— уравнение 191
Циклиды Дюпена 755
Эйконал 123, 124
Экспоненциальный оператор 519
Элемент ветвления интегральной
поверхности 91
— поверхности пространственного
типа 559, 563, 589
Энергетическое неравенство 446, 662
для задачи Коши 648
смешанных задач 650
уравнений высших порядков
656
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Книги Р. Куранта и Д. Гильберта „Методы математической фи-
физики" хорошо известны советским физикам и математикам. Том I
был издан на русском языке в 1933 году, том II—в 1945 году,
и затем оба тома были переизданы у нас в 1951 году1).
Эти книги оказали большое влияние на развитие теории диффе-
дифференциальных уравнений с частными производными, математической
физики, математического анализа, а также на развитие всей матема-
математической культуры.
„Методы математической физики" написаны Р, Курантом. Однако
влияние идей Д. Гильберта на эти книги было столь значительным,
что Р. Курант поставил на них также и имя своего учителя.
В 1962 году, т. е. через 25 лет после выхода в свет первого
издания тома II „Методов математической физики", появилось новое
издание этого тома. Настоящая книга представляет собой перевод
этого нового издания. Новое издание настолько сильно отличается
от старого, что по существу является новой книгой.
Как и первое издание, она посвящена теории дифференциальных
уравнений с частными производными. В ней в известной мере нашло
свое отражение все развитие этой теории за последние 25 лет, Бо-
Более того, в книге затронуты также такие проблемы, которые начали
интенсивно разрабатываться лишь в последние годы и еще весьма
далеки от полного их решения. Большое внимание автор уделяет
приложениям общих идей и методов к изучению важных конкрет-
конкретных уравнений, таких, как уравнения гидродинамики, кристаллооп-
кристаллооптики, магнитной гидродинамики, уравнения газовой динамики, теле-
телеграфные уравнения и другие.
Первая глава книги носит в основном вводный характер и лишь
немногим отличается от первой главы старого издания.
Вторая глава содержит исчерпывающее изложение теории диффе-
дифференциальных уравнений первого порядка. В этой главе имеется но-
новый параграф, где приведено доказательство важной теоремы Хаара
о единственности решения задачи Коши. Второе дополнение к этой
') Всюду в дальнейшем в ссылках на том I указаны страницы по рус-
русскому изданию 1951 года.
Предисловие редактора перевода
главе посвящено теории разрывных решений квазилинейных уравне-
уравнений, записанных в виде законов сохранения. Эти вопросы изучались
в последние годы в работах многих советских и зарубежных мате-
математиков. Большое влияние на развитие этой теории, которая в на-
настоящее время еще очень далека от завершения, оказали задачи га-
газовой динамики и, в частности, теория ударных волн.
Глава III посвящена уравнениям высшего порядка и системам
уравнений первого порядка. Здесь с большей полнотой, чем это
было в первом издании, изложены вопросы классификации таких
уравнений и систем, приведение их к каноническому виду; большое
внимание уделено уравнениям с постоянными коэффициентами и ме-
методам их исследования. В этой же главе вводится и обсуждается
такое фундаментальное понятие теории уравнений с частным!! про-
производными, как „корректно поставленная задача". К этой главе на-
написано два новых дополнения. Первое из них содержит доказатель-
доказательство одной из теорем вложения С. Л. Соболева, которая в зарубежной
литературе носит название леммы Соболева. Теоремы вложения
С. Л. Соболева и их обобщения играют важную роль во многих
современных исследованиях по дифференциальным уравнениям с част-
частными производными.
В главе IV, посвященной уравнениям эллиптического типа, оста-
осталась без больших изменений лишь та часть, которая относится
к классической теории потенциала. Большая часть этой главы яв-
является новой. Здесь имеется параграф, посвященный теории рассея-
рассеяния и условиям Зоммерфельда, изложены основные свойства общих
эллиптических уравнений второго порядка, даны приложения апри-
априорных оценок Шаудера к решению краевых задач для линейных,
а также некоторых классов нелинейных эллиптических уравнений.
В дополнении к этой главе, написанном Л. Берсом, дано изложение
теории обобщенных аналитических функций или, как их еще назы-
называют, псевдоаналитических функций. Эта теория другим путем по-
построена в известной книге И. Н. Векуа „Обобщенные аналитические
функции".
Главы V и VI книги посвящены гиперболическим уравнениям
и системам и составляют по своему объему половину всей книги.
Хотя эти главы содержат все то, что было в V и VI главах
старого издания, и, кроме того, в них включено с некоторыми из-
изменениями дополнение к гл. III старого издания, посвященное опе-
операционному исчислению Хевисайда, большинство параграфов этих
глав являются совершенно новыми. Здесь дано не только исчерпы-
исчерпывающее изложение основ теории гиперболических уравнений, по также
имеется много важных результатов, полученных в последние годы.
Значительная часть этих результатов принадлежит Р. Куранту и его
школе. Сюда относятся результаты Р. Куранта и П. Лакса о реше-
решении задачи Коши с разрывными начальными данными и об асимпто-
Предисловие редактора перевода
тическом разложении решения с осциллирующими начальными функ-
функциями, результаты Ф. Джона о применении плоских волн к решению
задачи Коши, результаты К. О. Фридрихса для симметрических си-
систем и другие. Здесь нужно отметить, что фундаментальные резуль-
результаты И. Г. Петровского для общих гиперболических уравнений
и систем оказали очень сильное влияние на развитие всей теории
гиперболических уравнений.
Вторая часть главы VI посвящена главным образом выводу яв-
явных формул для решения задачи Коши для гиперболических урав-
уравнений и систем с постоянными коэффициентами. Здесь же доказаны
некоторые теоремы о лакунах. При исследовании вопроса о распро-
распространении разрывов вдоль характеристических поверхностей в гл. V
и далее систематически в главе VI используются обобщенные функ-
функции, которые за последние десятилетия, после выхода в свет работ
Л. Шварца и предшествовавших им работ С. Л. Соболева, стали
мощным орудием исследования уравнений с частными производными.
Изложению основ теории обобщенных функций посвящено приложе-
приложение к главе VI.
Глава VII старого издания, посвященная вариационным методам
решения краевых задач и задач о собственных значениях, не вошла в
новое издание. Автор предполагает в скором времени издать Ш-й том,
где, в частности, будут изложены и эти вопросы.
К сожалению, в книге не рассматриваются параболические урав-
уравнения, которые в последние десятилетия были подвергнуты тщатель-
тщательному изучению и нашли применения во многих задачах физики. Чи-
Читатель может найти первоначальные сведения об этих уравнениях
в книге И. Г. Петровского „Лекции об уравнениях с частными про-
производными" и в статье А. М. Ильина, А. С. Калашникова и
О. А. Олейник „Линейные уравнения второго порядка параболического
типа'1 в „Успехах математических наук" за 1962 год, где имеется
обзор дальнейших результатов и ссылки на соответствующую ли-
литературу.
Настоящая книга рассчитана на очень широкий круг читателей.
Отдельные ее параграфы могут составить тот материал, который
обычно включается в курс уравнений с частными производными
или курс математической физики для студентов университетов,
и в этом смысле книга может служить учебником для студентов.
С другой стороны, различные части этой книги могут быть исполь-
использованы аспирантами математиками, механиками и физиками для под-
подготовки экзаменов. Эта книга знакомит начинающих научных работ-
работников с современными идеями и методами, вооружившись кото-
которыми, можно вести исследования по актуальным проблемам теории
дифференциальных уравнений и математической физики. Отдельные
части книги представляют большой интерес и для специалистов,
работающих в области теории дифференциальных уравнений и в
Предисловие редактора перевода
смежных областях, так как они написаны на уровне специальной
монографии, где излагаются многие тонкие результаты.
Нужно особо отметить выдающееся педагогическое мастерство
Р. Куранта, его умение неформально излагать сложные результаты,
предварительно указывая их основы на ряде простейших примеров.
Богатство идей и методов, доступность изложения, разнообразие
рассматриваемых задач, связь с современными исследованиями и
множество важных приложений к задачам физики сделают настоящую
книгу Р. Куранта одной из наиболее популярных среди наших
читателей, интересующихся теорией уравнений с частными произ-
производными. Несомненно, что русское издание этой ценной книги будет
способствовать дальнейшему прогрессу многих разделов матема-
математики и физики.
О. А. О Л Е Й Н И К
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Я счастлив, что по инициативе моих друзей из Московского
университета, в особенности моего глубокоуважаемого коллеги про-
профессора Ольги Олейник, русское издание этой книги удалось под-
подготовить так скоро после ее выхода в свет. Надо отдать должное
переводчику — доценту Татьяне Вентцель, чьи незаурядные лингви-
лингвистические способности сочетаются с глубокими познаниями в обла-
области математики, в которой она сама успешно работает.
Из-за недостатка времени я не смог в этот короткий срок внести
все желательные изменения в первоначальный текст. Но я надеюсь,
что мне все же удалось, опираясь на конструктивные критические
замечания профессора Олейник и других, устранить некоторые недо-
недочеты. Надеюсь также, что в русское издание включены более пол-
полные ссылки, отражающие весьма плодотворную и активную работу
советских математиков в области уравнений с частными производными.
Пользуюсь случаем выразить искреннюю благодарность всем, кто
принимал участие в подготовке этого издания моей книги.
РИХАРД КУРАНТ
Нью-Йорк
3 февраля 1964 г.
Посвящается Курту Отто Фрадрахсу
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий том посвящен теории дифференциальных уравнений
с частными производными, в особенности тем разделам этой широ-
широкой области науки, которые связаны с физическими и механическими
понятиями. Но даже при таком ограничении на отбор материала
достичь полноты изложения просто невозможно, поэтому содержание
тома в известной степени определяется моими личными вкусами
и моим опытом.
Чтобы сделать этот важный раздел математического анализа бо-
более доступным для читателя, я постоянно подчеркивал основные по-
понятия и методы, стараясь не превратить книгу в собрание теорем
и фактов. Я всюду стремился вести читателя от элементарных фак-
фактов к ключевым вопросам, находящимся на переднем крае современ-
современных научных исследований.
Почти сорок лет назад я обсуждал план монографии по матема-
математической физике с Давидом Гильбертом. Он не смог принять уча-
участие в осуществлении задуманного плана, но я надеюсь, что этот
труд и, в частности, предлагаемый вниманию читателя том отра-
отражают научное кредо Гильберта, который всегда предпочитал
чисто формальной общности глубокое проникновение в самую суть
математической задачи. Изложение любого вопроса мы будем начи-
начинать с рассмотрения типичных частных случаев, которые именно
в силу своей конкретности многое могут подсказать и в которых
тем не менее проявляется существо соответствующей абстрактной
ситуации. Индивидуальные явления играют роль не только частных
примеров; скорее общие теории вырастают из этих явлений по мере
того, как мы шаг за шагом поднимаемся до более общей точки зре-
зрения. С этой общей точки зрения легче обозревать н объединять от-
отдельные детали и преодолевать частные трудности. Таким образом,
в соответствии с естественным процессом изучения и обучения,
мы предпочитаем индуктивный подход, иногда даже принося
в жертву краткость, которой можно было бы добиться, пользуясь
дедуктивным методом изложения.
Этот том по существу является независимой книгой; он соответ-
соответствует тому II немецкого издания Methoden der mathematischen
Physik, который вышел в 1937 г. Это издание было затем запре-
12 Предисловие
щено министерством культуры фашистской Германии, и мой верный
друг Фердинанд Шпрингер был смещен с поста главы своего знаме-
знаменитого издательства. Книга сохранилась благодаря перепечатке в из-
издательстве Interscience Publishers с разрешения правительства Со-
Соединенных Штатов A943). С того самого времени готовился
совершенно новый вариант книги на английском языке. За этот дли-
длительный период исследования в области уравнений с частными про-
производными сильно продвинулись вперед и я также во многих обла-
областях добился более глубокого понимания. Естественно, что настоящая
книга отражает это развитие в той мере, в какой я принимал в нем
участие, активно разрабатывая одни вопросы и изучая другие.
Понятие о содержании книги дает ее оглавление. Почти во всех
существенных пунктах она отличается от немецкого оригинала. На-
Например, теория характеристик и их роль в теории распространения
волн изложены здесь гораздо полнее, чем это можно было сделать 25 лет
тому назад. Далее, понятие слабых решений дифференциальных
уравнений, введенное Соболевым и Фридрихсом и уже содержавшееся
в немецком издании, рассматривается здесь в связи с теорией обоб-
обобщенных функций, которые были введены Лораном Шварцем и на-
названы им „распределениями"; они стали теперь необходимым ору-
орудием при изучении высших разделов анализа. Приложение к главе VI
содержит краткое изложение теории обобщенных функций. С дру-
другой стороны, для материала последней главы немецкого издания,
в частности для доказательства существования решения эллиптиче-
эллиптических уравнений, не нашлось места в этом томе. Эти вопросы будут
изложены в коротком третьем томе, который предполагается посвя-
посвятить построению решений и обзору последних результатов.
Предлагаемая книга, безусловно, является неровной по стилю,
полноте и степени трудности. Однако я надеюсь, что она будет по-
полезна для всех изучающих математику, независимо от того, являются
ли они начинающими, студентами, математиками, специалистами
в области других точных наук или инженерами. Возможно, что
наличие в книге частей, написанных на разных уровнях, сде-
сделает ее более доступной, так как начальное ее чтение не требует
больших математических знаний.
Я с сожалением сознаю, что некоторые выдающиеся результаты,
лежащие вне сферы моих собственных интересов, быть может, не-
недостаточно полно изложены в этой книге или вообще опущены.
Отчасти этот пробел в недалеком будущем восполнится другими
публикациями, такими, как книга Лере и Гординга, посвященная
их замечательным работам, которая должна скоро выйти.
Выход в свет этой книги был бы невозможен без постоянной
самоотверженной помощи моих друзей. В течение всей моей науч-
научной деятельности я имел редкое счастье работать с молодыми людьми,
которые были последовательно моими учениками, научными сотруд-
Предисловие 13
никамп ii учителями. Многие из них за это время стали выдающи-
выдающимися учеными, но продолжают мне помогать. Курт О. Фридрихе
и Фриц Джон, которые начали сотрудничать со мной более три-
тридцати лет назад, до сих пор сохранили активный интерес к работе
над этой монографией по математической физике. Посвящение на-
стояшего тома К. О. Фридрихсу является естественной данью нашей
многолетней научной и личной дружбе.
Сотрудничество Питера Д. Лакса и Луиса Ниренберга столь
велико и ценно, что я не могу описать его посредством простого
перечисления деталей. Питер Унгар сильно помог мне своими по-
полезными замечаниями и критикой. Очень ценную помощь оказал
также Липман Берс; кроме того, он написал важное дополнение
к гл. IV.
Среди более молодых сотрудников я должен отметить Дональда
Людвига, чье активное участие привело во многих случаях к значи-
значительным улучшениям.
На различных этапах работы отдельные части рукописи подверг-
подверглись критическому разбору со стороны Конрада Иоргенса, Герберта
Кранцера, Аннели Лаке, Ханана Рубина. Корректуры прочли На-
Наташа Брунсвик, Сьюзен Хан, Рейбен Герш, Алан Джефри, Питер
Рейто, Бриджит Реллих, Леонард Сарасон, Алан Соломон и др.
Джейн Рихгмайер помогала при составлении библиографии и ока-
оказывала другую помощь для выхода книги в свет. Значительную часть
издательской работы выполнила Лори Берковиц.
Большая часть технической работы по подготовке книги была
проделана Рут Меррей, которая печатала и перепечатывала тысячи
страниц рукописи, подготовила чертежи и проделала невероятный
труд, превратив наброски, которые едва можно было прочитать,
в эту книгу.
Я глубоко благодарен всем этим помощникам, а также тем, чьи
имена здесь пропущены.
Благодарю также моего терпеливого друга Эрика Проскауэра
из издательства lnterscienee.
Наконец, я хочу поблагодарить Office of Naval Research и Na-
tionai Science Foundation, в частности Ф. Иоахима Вейля и Артура
Града, :-sa ту эффективную поддержку, которую они оказали при
публикации этой книги,
р. к у р ант
Нью-Рошель, Нью-Йорк
ноябрь 1961
Глава I
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Мы начинаем с вводной главы, где описываются основные поня-
понятия, задачи и подходы к их решению.
Дифференциальное уравнение с частными производными есть
соотношение вида
/•(х, у, ..., и, их, иу и,х, иху, ...) = 0, A)
где F— функция переменных х, у, . . ., и, uv, иу, . . ., игк, иху
Отыскивается функция и(х, у, . . .) независимых переменных х, у
такая, что уравнение A) удовлетворяется тождественно по этим пе-
переменным, если и (х, у, . . .) и ее частные производные
ux —
uxx =
ди
~дТ'
dhi
~дх^'
U
Ux
ди
:У - ду ' • • ¦'
д2и
У ~~~ дхду ' ' ' ''
подставляются в F.
. Такая функция и (х, у, . . .) называется решением уравнения
с частными производными A). Мы будем искать не только отдель-
отдельные „частные" решения, но будем исследовать всю совокупность
решений и, в частности, выделять отдельные решения с помощью
дополнительных условий, которые будут добавляться к A).
Уравнение с частными производными A) превращается в обыкно-
обыкновенное дифференциальное уравнение, если независимая переменная
одна.
Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное
уравнение, называется порядком этого дифференциального уравнения.
Часто мы будем ограничивать изменение независимых переменных
х, у, ... определенной областью пространства х, у, ...; анало-
аналогично, мы будем рассматривать F только в определенной области
пространства х, у, ..., и, их, и , .... Это ограничение означает,
что мы будем допускать только такие функции и(х, у, . . .) в основ-
основной области пространства х, у, .... которые удовлетворяют усло-
условиям, наложенным на соответствующие аргументы функции F.
16 Гл. I. Вводные замечания
Раз и навсегда условимся, что все наши рассмотрения
относятся к достаточно малым областям. Аналогично, мы
будем предполагать, что если специально не оговорено про-
противное, то все встречающиеся нам функции F, и, ... непре-
непрерывны и имеют непрерывные производные нужных порядков1).
Дифференциальное уравнение называется линейным, если функ-
функция F линейна по переменным и, их, му, . . ., ихх, иху, ... и коэффи-
коэффициенты зависят только от независимых переменных х, у Если F
ллнейна по производным наивысшего порядка (например, л-го)
с коэффициентами, зависящими от х, у, ..., а также, может быть,
от и и ее производных до (п—1)-го порядка, то дифференциаль-
дифференциальное уравнение называется квазилинейным.
Мы будем большей частью иметь дело с линейными или квази-
квазилинейными уравнениями; уравнения более общего вида обычно будут
сводиться к таким уравнениям.
В случае двух независимых переменных решение дифферен-
дифференциального уравнения A) а(х, у) можно геометрически рассматри-
рассматривать как поверхность, ^интегральную поверхность" в простран-
пространстве х-, у, и.
§ L Общие сведения о совокупности решений
1. Примеры. Для обыкновенного дифференциального уравнения
/z-ro порядка вся совокупность решений (за исключением возможных
„особых" решений) представляется функцией от независимой пере-
переменной х, а также от п произвольных постоянных интегрирования
Cj, с, сп. Наоборот, для любого семейства функций
и = ср(лг; с,, с2 сп),
зависящего от п параметров, существует дифференциальное уравне-
уравнение га-го порядка, решение которого и — cf получается исключением
параметров сг с2, .. ., сп из уравнения и—.у(х; с1, с2 сп)
и п уравнений
и' = о'{х; cv с2 ся),
Для дифференциальных уравнений с частными производными дело
обстоит сложнее. Здесь тоже можно искать всю совокупность реше-
решений, или „общее решение", т. е. такое решение, которое дает лю-
любое частное решение после того, как фиксированы некоторые „про-
') Точно так же в случае, когда решаются системы уравнений, мы
всегда будем рассматривать окрестность точки, где соответствующий яко-
якобиан не обращается в нуль.
§ 1, Общие сведения о совокупности решений 17
извольные" элементы (опять за возможным исключением некоторых
„особых" решений). В случае дифференциальных уравнений с част-
частными производными эти произвольные элементы уже не могут быть
постоянными интегрирования, а должны содержать произвольные
функции; вообще говоря, число этих произвольных функций равно
порядку дифференциального уравнения. Число аргументов этих про-
произвольных функций на единицу меньше числа аргументов решения и.
Более точная формулировка этого утверждения содержится в тео-
теореме существования из § 7. В этом пункте мы только получим не-
некоторые сведения, разобрав несколько примеров,
1) Дифференциальное уравнение
для функции и(х, у) означает, что а не зависит от у; следовательно,
где да (лг) — произвольная функция х.
2) Для уравнения
и = О
можно сразу получить общее решение
вида
3) Аналогично, решением неоднородного дифференциального урав-
уравнения
«*у =/(¦*. У)
является
х у
и(х, у) = j J / (I, г|) dtdf) 4- да (лг) -f~ v (у)
-i') Уо
с произвольными функциями да и v и фиксированными х0 и у0.
Можно заменить этот интеграл более общим двойным интегра»
лом, если взять в качестве области интегрирования „треугольник" D,
такой, как на рис. 1, криволинейная часть границы которого—дуга
С"- У = S(х) (или x~h(y)) пересекается прямыми х = const или
у = const не более чем в одной точке. Тогда
х,д(х)
и(х, y) = JJ/( l)i\()+(y)
D
B)
А (у)
18 Г л, 1. Вводные замечания
Частное решение дифференциального уравнения, соответствующее
w(x) = 0, г/(у) = 0, удовлетворяет условиям и = и^. = яу = 0 для
всех точек (х, у) дуги С.
4) Дифференциальное уравнение в частных производных
можно преобразовать в уравнение
с помощью замены переменных
* + У = ;, х — у = У], и(дг, у) = (оE, 7j).
„Общее решение" этого уравнения есть ш = «>(!¦)•, следовательно,
и — w (х -(- у).
Аналогично, если а и C — постоянные, то общее решение диффе-
дифференциального уравнения
aHjr + pHy = 0
есть
a = w фх — ay).
5) Согласно элементарным теоремам анализа, дифференциальное
уравнение
uxSy — aygx = 0,
где g(x, у) — любая заданная функция х, у, означает, что якобиан
Л y обращается в нуль. Это значит, что функции и и g зави-
зависимы, т. е.
u = w[?(x. у)], C)
где w — произвольная функция g.
Наоборот, так как любая функция вида C) удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению uxgy—uygv~0, то мы получили всю
совокупность решений этого уравнения с помощью произвольной
функции w.
Следует отметить, что тот же результат имеет место для более
общего — квазилинейного — дифференциального уравнения
uxgy(x, У> u) — uygx(x, у, и) = 0,
где теперь g явно зависит не только от х, у, но также и от неиз-
неизвестной функции и(х, у). Действительно, легко видеть, что якобиан
любого решения и(х, у) и функции f(x, y) — g[x, у, и(х, у)]
обращается в нуль, так как
«Лу - аУТх = a*gy — UygX "f U*g«"y ~ uygullx = 0-
§ 1. Общие сведения о совокупности решений 19
Таким образом, и в этом случае решение дается соотношением
а(х, y) = W[g(x. у, и)], D)
которое неявным образом определяет функцию и через произволь-
произвольную функцию W.
Например, решение а(х, у) дифференциального уравнения
а (и) ах — р (и) ау = О
неявно задается соотношением
а «= W [а (и) у + Р (и) х] E)
(или «>(«) = а (и) у + Р(М) х), так что и зависит от произвольной
функции W довольно сложным образом. (Одно приложение будет
дано в § 7, п. 1.)
Частным случаем дифференциального уравнения а(и)их —
— J3 (и) иу = 0 является уравнение
иу-\-иах = 0;
его решение неявно задается формулой
u = W(— x~\-uy),
где W—^произвольная функция. Если истолковать а = а(х(у), у)
как скорость частицы в точке х = х(у), а у — как время, то диф-
дифференциальное уравнение утверждает, что ускорение всех частиц
равно нулю.
6) Дифференциальное уравнение с частными производными вто-
второго порядка
ихх— «уу^0
можно преобразовать в уравнение
4ш^ == О
с помощью замены переменных
Х-\-у — \, X — У = Щ> Ч{Х, у) = СО (|, 7j).
Поэтому в соответствии с примером 2) его решение есть
и(х, у) = w (х -\- у) -\- v (х — у).
7) Аналогично, общее решение дифференциального уравнения
11XX J2 Муу == ^
для любого значения параметра t есть
и = w (х -\~ ty) -f- v (х — ty).
20 Гл. I. Вводные замечания
В частности, функции
я = {х + ty)n
и
и = (х — ty)n
являются решениями, т. е.
^ ахх "уУ
обращается в нуль для всех х, у и для всех действительных ?.
8) Согласно элементарной алгебре, если многочлен по t обра-
обращается в нуль для всех действительных значений t, то он обра-
обращается в нуль также и для всех комплексных значений t. Таким
образом, если мы подставим t = i=y—1, то дифференциальное
уравнение примера 7 перейдет в уравнение Лапласа
для этого уравнения мы получим решения вида
(x-\-ly)a = Pa(x, y) + iQn(x. у),
(x — ty)a = Pa(x, y) — tQa(x, у),
где Рп и Qn — многочлены с действительными коэффициентами, ко-
которые сами тоже должны удовлетворять уравнению Лапласа1). За-
Заставляя п пробегать значения 0, 1, 2 ..., мы находим бесконечно
много решений уравнения Лапласа, но, в отличие от предыдущих
примеров, это только счетное множество решений.
В полярных координатах г, G, определенных формулами х =
= rcos0, y = rsin9, имеем
Рп(х, y) = rncosnd, Qn(x, y) = r"sinгеб. F)
Для любого действительного а функции
Ра(х, y) = r" cos aO, Qa(x, y) =
также удовлетворяют уравнению Лапласа в любой области плоскостих,
у, не содержащей начала координат х = у = 0. Это сразу прове-
проверяется, если записать Ди в полярных координатах (см. т. 1, стр. 200):
Ди « + ^ + %
') Эти решения служат примерами, поясняющими тот общий факт, что
действительная и мнимая части аналитической функции комплексного пере-
переменного x-\-iy удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е. являются .гармо-
.гармоническими" функциями.
§ 1. Общие сведения о совокупности решений 21
Если мы возьмем такие две функции да (а) и г/(а), что первые и вто-
вторые производные интегралов
ь ь
Г w (a) r" cos аб da и ( v (а) г" sin aG da
а а
могут быть получены с помощью дифференцирования под знаком
интеграла, то мы сможем построить семейство решений, зависящее
от двух произвольных функций w и v, в виде
I ra (w (a) cos аб -}- и (а) sin аб) rfa.
9) В качестве примера дифференциального уравнения более вы-
высокого порядка рассмотрим уравнение
и найдем, что
есть его общее решение.
10) Если число независимых переменных больше двух, то в общее
решение входят произвольные функции двух или большего числа
аргументов. Например, дифференциальное уравнение
для функции и (х, у, z) имеет общее решение
a = w(x, у).
2. Дифференциальные уравнения заданных семейств функ-
функций. В п. 1 мы упомянули, что можно строить обыкновенные диф-
дифференциальные уравнения, решениями которых являются заданные
семейства функций, зависящие от нескольких произвольных пара-
параметров. Теперь мы ставим вопрос: можно ли построить дифферен-
дифференциальное уравнение в частных производных с п независимыми пере-
переменными, решением которого является заданное семейство функций,
зависящее от произвольной функции (п—1) переменных?
Рассмотрим, например, множество функций вида
и=/[х, у, w(g(x, у))], G)
где / — заданная функция х, у, w, а g—заданная функция х, у,
например, g — ху. Чтобы получить дифференциальное уравнение
22 Гл. I. Вводные замечания
этого семейства функций, продифференцируем уравнение G) по х
и по у:
Исключение w' дает искомое дифференциальное уравнение
(ax — fx)gv — (uy—fy)gx = 0, (8)
где произвольная функция w, входящая в fx и /у, должна быть
выражена через х, у, а из уравнения G).
Полученное таким образом дифференциальное уравнение с ча-
частными производными является уравнением специального вида, а именно
квазилинейным, так как оно линейно относительно производных.
Следовательно, семейство функций G) не является достаточно общим
для того, чтобы привести к произвольному уравнению первого по-
порядка.
Однако, если мы будем исходить из двухпараметрического се-
семейства функций
и=/(лг, у; а, р),
а не из семейства, зависящего от произвольной функции, и составим
производные
иу = /у(х, у; а, р),
то мы получим три уравнения, из которых мы, вообще говоря, мо-
можем исключить аир (конечно, если /*а/уэ — /х?/у*ФО)- Мы полу-
получим дифференциальное уравнение с частными производными
F(x, у, и, их, и) = 0, которое уже не обязательно линейно
по ах и иу.
Тот парадоксальный факт, что более ограниченный класс семейств
решений приводит к уравнению более общего типа, будет объяснен
в § 4.
Примеры. 1) Для семейства функций
a = w (xy)
мы получаем, исключая w' из уравнений ut = yw', и = xw', диф-
дифференциальное уравнение
Если интерпретировать л', у, и как прямоугольные координаты точки,
то каждая функция этого семейства представляет собой поверхность,
пересекающуюся с горизонтальными плоскостями по равносторонним
гиперболам.
§ 1. Общие сведения а совокупности решений 23
2) Совокупность всех поверхностей вращения, полученных
вращением плоской кривой вокруг оси а, задается формулой
u = w(x2-\- у2).
Соответствующее дифференциальное уравнение есть
уих—хиу = 0.
3) Аналогично,
есть дифференциальное уравнение линейчатых поверхностей, образован-
образованных горизонтальными прямыми, проходящими через ось и, т. е. по-
поверхностей, заданных уравнением
у)
4) Дифференциальное уравнение развертывающихся поверх-
поверхностей выводится из определения такой поверхности как огибаю-
огибающей однопараметрического семейства плоскостей. За исключе-
исключением цилиндров с осью, перпендикулярной к плоскости х, у, все
такие поверхности задаются уравнением
и — ax-f-w (a) y-\-v(a), (9)
где а неявно определяется как функция хну уравнением
'(a). A0)
Таким образом, функция и весьма сложным образом зависит от двух
произвольных функций. Первые производные их, и сразу опре-
определяются из (9):
откуда
Чтобы исключить
цируем:
и получаем
их
"у
"у
произвольную
«yy=W4
иххау>
— а,
= w (а),
= «>(«,)•
функцию w.
у' jcy
— и1 = 0
(И)
мы еще раз дифферен-
A2)
— искомое дифференциальное уравнение для всех развертывающихся
поверхностей, за исключением цилиндров с осью, перпендикулярной
плоскости х, у.
Во всех этих примерах легко можно показать, что обратное тоже
верно, т. е. что все решения соответствующих дифференциальных
уравнений принадлежат заданным семействам функций.
24 Гл. I. Вводные замечания
5) Все однородные функции а(хг, х2, ..., хп) степени а от пе-
переменных ATj, х2, .... хп характеризуются соотношением
u(txv tx2 txn) — tau(xv х2 хп), A3)
которое выполняется тождественно по t. Если мы положим / = \/хп, то
\ Хо Хп_ |
и(хг, х2 хп) = хп
следовательно, и дается формулой
^) A4)
с некоторой функцией w. Поскольку обратно, любая функция и, так
построенная с помощью произвольной функции w, зависящей от (и— 1)
аргументов, удовлетворяет сформулированному выше условию одно-
однородности, то выражение A4) дает все однородные функции сте-
степени а.
Чтобы получить дифференциальное уравнение с частными произ-
производными для этого семейства функций, мы возьмем производные
уравнения A4) по переменным хх, х2 хп и исключим функцию w.
Это дает формулу Эйлера для однородных функций:
X\Ux +X2Ux + ••• +XnUx =аи-
1 2 Я
Заметим, что мы могли получить соотношение A5) непосредственно
из уравнения A3), продифференцировав его по t и положив t=\.
Наоборот, из соотношения A5) для функции u(xv x2, ..., хп)
следует равенство
— l—u(txv tx2 *¦*„)) =
xiuxxtxv tx2 txn) — o.u(txv tx2 txn)\
l J
так что выражение u(txv tx2 txn)/t" есть функция, не завися-
зависящая от t; следовательно, она совпадает со своим значением при
/ = 1, которое равно а(х1 х2, .... хп). Но, согласно A3), это
значит, что функция н однородная.
§ 2. Системы дифференциальных уравнений
1. Вопрос об эквивалентности системы дифференциальных
уравнений и одного дифференциального уравнения. Для обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений теория одного дифференциаль-
дифференциального уравнения эквивалентна теории систем; для дифференциальных
уравнений с частными производными дело обстоит иначе.
§ 2. Системы дифференциальных уравнений 25
Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
F(x. у, /, у") = 0 A)
заменой / = z может быть сведено к системе двух уравнений пер-
первого порядка с двумя неизвестными функциями у (х), z (x):
F(x, у, г, 20 = 0,
/-*=,(>. B>
Любое решение дифференциального уравнения A) дает решение
системы B), и наоборот.
Вообще, система двух обыкновенных уравнений первого порядка
f(x, у, z, yr. z') = 0, g(x, у, z. у', z') = 0 C)
для двух функций у (х) и z (х) может быть сведена к одному диф-
дифференциальному уравнению второго порядка для одной функции у(х),
если только в рассматриваемой области fzgz<—fz'gz4=Q- В таком
случае можно разрешить уравнения C) относительно z и z':
z' = <?(x, у, /), z = i}(x, у, /). (За)
Дифференцируя второе уравнение и исключая z', сразу получаем
<Р (х. у, у') - фх - фу/ - ф//' = 0 C6)
— дифференциальное уравнение второго порядка для одной функ-
функции у(х). Если мы подставим решение дифференциального уравне-
уравнения C6) в уравнение z = ty(x, у, у'), то мы получим соответствую-
соответствующую функцию z, которая вместе с у дает решение исходной
системы C) или (За).
Поэтому, если мы предполагаем, что fzgz- — fz'gz ф 0, то си-
система C) эквивалентна одному дифференциальному уравнению.
Теперь мы рассмотрим дифференциальное уравнение с частными
производными второго порядка
F(x, у, и, их, иу, ихх, ихг иуу) = 0 D)
с неизвестной функцией и(х, у). Подстановка ах = р, uy = q при-
приводит к системе трех дифференциальных уравнений в частных произ-
производных первого порядка с тремя неизвестными функциями а, р, q:
F{x, у, а, р, q, px, ру, <?у) = 0,
их-р = 0, E)
В любом решении и, р, q такой системы и является решением диф-
дифференциального уравнения D) и, наоборот, любое решение и уравне-
уравнения D) дает решение и, их, иу системы E).
?6 Гл. I. Вводные замечания
Таким образом, дифференциальное уравнение с частными
производными второго порядка эквивалентно системе трех
дифференциальных уравнении первого порядка (но эта система
имеет очень специальный вид).
Обратное, однако, совершенно неверно. Не всякая система
двух дифференциальных уравнений с частными производными первого
порядка — не говоря уже о системах трех дифференциальных урав-
уравнений первого порядка — эквивалентна одному дифференциальному
уравнению второго порядка'). Вообще говоря, невозможно с помощью
дифференцирования и исключения функций получить из системы двух
Дифференциальных уравнений в частных производных
/ (х, у, и, v, йд., vx, iiy. vy)={),
g(x, у, и, v, их, vx, иу, ?'>,)-= О
с двумя неизвестными функциями и(х, у), v(x, у) эквивалентное ей
дифференциальное уравнение второго порядка с одной только функ-
функцией и. Дифференцирование по х и у дает четыре дополнительных
уравнения. Чтобы заменить систему F) одним эквивалентным ей
уравнением второго порядка с неизвестной функцией и, надо было бы
исключить шесть величин v, vx, vy, i)xx, vxy, vyy из шести урав-
уравнений. Однако, исключение шести величин из шести уравнений,
вообще говоря, невозможно, как можно показать с помощью при-
примеров2).
Производя дальнейшие дифференцирования и сравнивая число
уравнений с числом величин, подлежащих исключению, мы видим,
что нет оснований рассчитывать, что мы получим одно уравнение,
заменяющее систему F), даже если не ограничивать его порядок.
Например, продифференцировав каждое из шести уравнений, мы
получим двенадцать соотношений; чтобы найти дифференциальное
уравнение, содержащее только и, мы должны были бы исключить
десять величин v, vx, vy, vxx, vxy, vyy, vxxx, vxxy, vxyy, vyyy. Так
как исключение десяти величин из двенадцати уравнений приводит,
') Однако, как мы увидим в § 7, такой эквивалентности часто можно
добиться, добавляя к системе дифференциальных уравнений некоторые
«начальные условия", которые ограничивают множество решений. Относи-
Относительно проблемы эквивалентности см. далее приложение 2.
2) Примером системы уравнений, для которой дифференцирование и
исключение не приводит к одному уравнению второго порядка, может слу-
служить система ux-\-vy =— уи, иу -j- vx — yv. Здесь мы получаем два урав-
уравнения третьего порядка для од loii функции и (переопределенная система):
-j- (у2м -f uyy ~ uxx) -f uK -f уи ^ 0.
§ 2. Системы дифференциальных уравнений 27
вообще говоря, к двум независимым соотношениям, следует ожидать,
что в результате этого исключения получатся два различных уравне-
нения 3-го порядка для и, кроме специальных случаев1).
2. Исключение неизвестных из линейной системы с постоян-
постоянными коэффициентами. Стоит заметить, что в отличие от общего
случая, для важного частного случая справедлива следующая теорема:
Любую систему2) п линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами для п неизвестных функций
можно свести к одному дифференциальному уравнению с по-
постоянными коэффициентами для любой из неизвестных функций.
Пусть и, v, w, ... —неизвестные функции независимых пере-
переменных х, у, z а Р/, Q;, ... —формальные полиномы от сим-
символов дифференцирования д/дх, д/ду, d/dz, ..., например,
Р (± ± ±
' \дх ' ду ' дг ' '
с постоянными коэффициентами ajv ; тогда мы формально запишем
систему в виде
) ( ?)+ ¦¦¦ =?.<*¦)¦¦ ¦¦•).
с известными правыми частями glt g2 Формальное алгебраи-
алгебраическое исключение (по правилу Крамера) дает дифференциальные
уравнения для отдельных функций
Du = 01, Dv=02, ....
где D — определитель из символов Pt, Qt а G! — соответствую-
соответствующая символическая линейная комбинация функций gr Ясно, что
D — линейный дифференциальный оператор; его порядок равен сте-
степени символического полинома ?)(а степень D зависит от степеней
Р[, Q(-, ...). Символы G1 также обозначают дифференциальные опе-
операторы, соответствующие минорам определителя D. Если, в частности,
исходная система состоит из п уравнений первого порядка, т. е.
если полиномы Pt, Qt, ... —линейные, то соответствующие уравне-
уравнения, вообще говоря, имеют порядок п.
Предположим, что и есть решение одного из уравнений, полу-
полученных в результате исключения; тогда, подставив и в данную
') См. предыдущую сноску.
2) Точные определения см. в п. 3.
28 Гл. I. Вводные замечания
систему, мы можем опустить одно из первоначальных уравнений,
так как система теперь зависима. Таким образом, получается система
меньшего числа уравнений для v, w, .... С этой системой можно
поступить так же, как с исходной, и с помощью исключения прийти
к уравнению D*v = О2*, где D* — минор определителя D. Продолжая
этот процесс, исходную систему можно заменить последовательностью
независимых уравнений убывающего порядка Du = G1, D*v = G2*, ...,
соответствующей исходной системе.
3. Определенные, переопределенные, недоопределенные си-
системы. Рассмотрим общий вид системы дифференциальных уравне-
уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными:
Ft{x, >', и'1'. «<2> «("», «(?>, «<,» и<™\ uf\ и<4. ...) = 0 G)
(г = 1, 2 К),
т. е. систему h уравнений с т функциями мA>, аB), .... и'т) неза-
независимых переменных х и у.
f Предположим, что эти h уравнений независимы, т. е. что ни одно
]из них не может быть получено из других с помощью дифференци-
Крования и исключения неизвестных.
Если h — tn, мы говорим, что система определенная; если
h > т, система называется переопределенной, если h < т, — недо-
определенной.
Система Коши — Римана двух уравнений с двумя неизвестными
функциями и(х, у), v(x, у)
является примером определенной системы. Из этой системы с по-
помощью дифференцирования и исключения легко получить, что и и v
в отдельности удовлетворяют дифференциальным уравнениям Да = О,
Дг> = 0 (см. п. 1), т. е. что и и v „гармонические".
Простейшим примером переопределенной системы для функции
и (х, у) является система
ux = f(x> У)- 4y=g(x, у),
которая, как хорошо известно, разрешима тогда и только тогда,
когда
Более интересный пример дает теория аналитических функций
f(zl, г2) двух комплексных переменных
§ 2. Системы дифференциальных уравнений 29
Дифференциальные уравнения Коши — Римана, которые выражают
аналитичность функции f (zv z2) = u~\-iv, таковы:
(8)
«у, — — VXr Uy2 — — V4. '
С помощью дифференцирования их можно привести к следующей
переопределенной системе для одной функции и:
«*,*¦ + ">',)¦, = 0. ЧхЛ + Му,у3 = 0,
ахл _|_ иули = о, Uxyi _ и^у1 = о. ( }
[Тот факт, что эта система сильно переопределенная, показывает, что
,(|теория функций многих комплексных переменных гораздо сложнее,
ием классическая теория функций одного комплексного переменного.
Мы получим третий пример переопределенной системы, если вве-
введем п-\-\ „однородных переменных" хг, х2, ..., хп+Л вместо п
переменных х, у, ... посредством соотношений
X ^^ , V = » ....
хх ' х,
Функция и(х, у, . . .) тогда переходит в функцию и>(хг, х2, ...)•
которая является однородной функцией нулевой степени относительно
новых переменных, и, следовательно, удовлетворяет соотношению
Эйлера
= 0.
Первые частные производные функции и(х, у, . . .) по х, у,
можно выразить через производные функции w(xv х2, . • •)¦
Таким образом, если задано дифференциальное уравнение с частными
производными первого порядка для и
f(x, у, .... и, их, иу, ...)==0,
то оно преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка
вида
Кроме того, дополнительным уравнением является соотношение одно-
однородности
+ . . = 0.
Вместо одного дифференциального уравнения мы получаем переопре-
переопределенную систему двух уравнений. Если мы преобразуем систему
30 Гл. I. Вводные замечания
уравнений, вводя однородные переменные, то мы, конечно, получим
такую же ситуацию.
Уравнение
которое, как легко видеть, выражает тождественное обращение
в нуль якобиана двух функций и(х, у) и v(x, у), является приме-
примером недоопределенной системы. Из этого уравнения следует!), что и
и v связаны соотношением
w {и, v) = 0.
Это соотношение явно не содержит независимых переменных хну;
оно является „общим решением" недоопределенной системы диффе-
дифференциальных уравнений2). Для системы, содержащей п функций нA\
мB\ ..., «(л) переменных хх, х2, ..., хп, равенство нулю якобиана
и(п))
хп)
= 0, (9)
вообще говоря, означает зависимость между п функциями и''\ и'2\ ...
.... к<">:
Поэтому соотношение A0) можно рассматривать как общее решение
недоопределенной системы дифференциальных уравнений (9). Ниже,
в гл. II и III, мы вернемся к проблеме решения различных типов
недоопределенных систем дифференциальных уравнений.
§ 3. Методы интегрирования некоторых специальных
дифференциальных уравнений
1. Разделение переменных. Для многих задач математической
физики, связанных с дифференциальными уравнениями, семейства
решений, зависящие от произвольных параметров, можно получить
') См. § 1, п. 1, пример 5.
2) Аналогично, недоопределенное уравнение
uxvy — uyvx=l,
которое характеризует преобразования плоскости х, у на плоскость и, v
сохраняющие площадь, имеет решение
X = <*¦-{-<>> р и = а — Шр,
У = Р — «а. V = р + <°а.
где ш — произвольная функция, для которой
§ 3. Методы интегрирования некоторых уравнений 31
с помощью специальных методов, хотя эти методы непосредственно
не дают всю совокупность решений.
Самый важный из этих методов — метод разделения перемен-
переменных; он будет продемонстрирован на нескольких примерах.
1) Рассмотрим уравнение
«2 + «2 = 1;
предположив, что
и(х, у) =
мы получим
или
(<р'(*)J=1—(f (у)J-
Так как правая часть не зависит от х, а левая часть не зависит от у,
то обе они не зависят ни от х, ни от у; следовательно, они равны
одной и той же константе а2. Таким образом, мы сразу получаем
семейство решений
и(х. y) = a*+y7=rfy + p. A)
содержащее два произвольных параметра аир.
2) Аналогично, дифференциальное уравнение
лля функции и трех переменных х, у, z приводит к семейству ре-
решений
и=о.х-+$у+У\ — а2 — р г + Т B)
с тремя параметрами a, J3, f, если предположить, что
3) Предположение о том, что м = <р(*) + <Му), в применении
к дифференциальному уравнению
дает, так же как в предыдущих примерах,
Хц Уо
где аир — произвольные постоянные.
4) Часто разделение переменных успешно проходит после неко-
некоторого преобразования переменных. Например, уравнение с неизвест-
неизвестной функцией и(х, у)
k
и~х-\-и- = h {r2 — x2-\-y2, k, h — постоянные),
32 Гл. I. Вводные замечания
встречающееся в проблеме двух тел в небесной механике, пере-
переходит в уравнение
uf-\—2 а\ = * или г2 игт-\- d\ = kr — hr2
для и (г, 0) в полярных координатах г, 6. Следовательно, формула C)
дает семейство решений
D)
зависящее от двух произвольных параметров а, р.
5) В случае линейных дифференциальных уравнений, в частности
уравнений второго порядка, часто бывает полезно положить
и(х, у) = ср (х) ф (У)
(примеры даны в т. 1, гл. V, §§ 3—9).
Для уравнения теплопроводности
пхх — МУ = ° E)
мы имеем
а следовательно, и левая и правая части должны быть постоянными.
Можно предположить, что эта постоянная положительна или отри-
отрицательна и соответственно обозначить ее через v2 или — v2; таким
образом получаются два семейства решений
и = a sh ч/ (х — а) е'у ,
и = a sin v (x —а) e~v y.
Последнее семейство играет особую роль в математической физике;
если и — температура, у — время, х — пространственная координата,
то оно описывает распределение температуры, стремящееся к нулю
с течением времени.
2. Построение других решений посредством суперпозиции.
Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Интеграл
Пуассона. Из решений линейных дифференциальных уравнений, со-
содержащих параметры, могут быть получены другие решения с по-
помощью сложения, интегрирования и дифференцирования. Так как
в т. I, гл. V, дано много таких примеров, здесь будет рассмотрено
только несколько дополнительных.
Чтобы получить еще одно решение уравнения теплопроводности,
мы интегрируем решение e"vycosvx по параметру v от —со дооо
§ 3. Методы интегрирования некоторых уравнений 33
и получаем новое решение
со
/-¦2v
е cosvxdv (у > 0).
- со
Интеграл в правой части легко вычисляется') и дает
— „фундаментальное решение" уравнения теплопроводности.
В качестве второго примера на принцип суперпозиции мы даем
решение краевой задачи для уравнения Лапласа Ан = 0 в круге
г2 = х2 -\- у2 < 1; при г—1 задаются граничные значения и как (не-
(непрерывно дифференцируемая) функция g @) полярного угла 9. Пусть
оя = - / ? (?) cos лср uty, Ь„ = - J g (ср) sin я<р dtp
— ¦к —тс
— коэффициенты ряда Фурье для функции ? F); тогда ряд
и (х, у) = -?--\- 2/av cos v 0 -f- ?v sin vO) r
v= 1
') Чтобы вычислить этот интеграл, мы делаем подстановку ч2у = Л2
и получаем интеграл
со
-— /(а), где а = —^— и J(a)— [ e'^cos (al) d\.
Vy vy J
-co
Чтобы найти /(а), мы находим У (а), дифференцируя под знаком интеграла:
со
У (а) = — Г г"'1" X sin (flX) йГХ;
— со
интегрируя по частям, мы сразу получаем
J'(a) = ~aJ (a)/2;
непосредственный подсчет дает
со
У@)= Г е'12 d\ = ]/"я.
— со
Отсюда следует, что
У(а) = )^е°!'1;
таким образом, формула F) установлена.
34 Гл. I. Вводные замечания
равномерно сходится при r^.q<.\. Этот ряд можно дважды по-
почленно дифференцировать при г ^q; он является суперпозицией гар-
гармонических функций Рп и Qn, рассмотренных в примере 8 из § 1, п. 1.
Следовательно, это гармоническая функция, которая, кроме того,
решает граничную задачу. Внутри круга мы можем изменить поря-
порядок суммирования и интегрирования и получить
Используя формулу 2coscc = e"-f-e '" и суммируя полученную та-
таким образом геометрическую прогрессию, мы приходим, после оче-
очевидных выкладок, к выражению
которое представляет решение краевой задачи в виде интеграла Пу-
Пуассона (см. гл. IV, а также т. I, стр. 433).
§ 4. Геометрическая интерпретация дифференциального
уравнения первого порядка с двумя независимыми
переменными. Полный интеграл
1. Геометрическая интерпретация дифференциального урав-
уравнения первого порядка. Геометрическая интуиция очень помогает
в теории интегрирования дифференциальных уравнений первого
порядка для функции и(х, у) двух независимых переменных.
Пусть дано дифференциальное уравнение
F(x, у, и, р, <7) = 0, A)
9 2
Fp-\- РдфО, где применяются сокращенные обозначения р = их,
q = uy. Тогда для любой интегральной поверхности, проходящей
через точку Р с координатами л:, у, и, величины р и q, которые
определяют положение касательной плоскости в этой точке, должны
удовлетворять условию A). Касательная плоскость к интегральной
поверхности в точке Р ') имеет наклон, обязательно принадлежащий
многообразию наклонов, характеризуемому уравнением (IJ). Для
') Чтобы подчеркнуть тот факт, что для рассматриваемых касательных
плоскостей играет роль лишь непосредственная окрестность точки каса-
касания Р, удобно рассматривать точку Р вместе с ее бесконечно малой окре-
окрестностью на касательной плоскости как „элемент поверхности" и опериро-
оперировать с такими элементами поверхности (в случае обыкновенного дифферен-
дифференциального уравнения аналогично используются элементы кривой).
2) Более подробно см. гл. II, § 3, п. 1.
§ 4. Геометрическая интерпретация 35
данной точки Р : (х, у, и) это множество, вообще говоря, является
однопараметрическим семейством (например, для /?2-)-^2=1 это
семейство есть p — cost, q = sint с параметром t). Если F линейно
по р и q, то семейство возможных касательных плоскостей обра-
образует пучок плоскостей, проходящих через прямую, которая назы-
называется „осью Монжа". Мы пока оставляем без внимания этот спе-
специальный случай „квазилинейных" уравнений первого порядка, который
будет рассмотрен в § 5; вместо этого мы предположим, что в любой
точке Р наше семейство плоскостей имеет в качестве огибающей
невырожденный конус, „конус Монжа11 1). Таким образом, в не-
некоторой области пространства х, у, и дифференциальное уравнение
геометрически интерпретируется как „поле конусов" точно так же,
как обыкновенное дифференциальное уравнение может быть истол-
истолковано как поле направлений. Найти решение — значит найти такую
поверхность, которая в каждой своей точке касается соответствую-
соответствующего конуса Монжа (или входит в поле конусов).
Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, гео-
геометрическая интерпретация делает очевидной следующую теорему:
Если семейство решений
u = f(x, у, а) B)
дифференциального уравнения F(x, у, и, р, q) = 0, зависящее
от параметра а, имеет огибающую, то эта огибающая тоже
является решением.
Действительно, огибающая семейства интегральных поверхностей
в каждой точке Р имеет касательную плоскость, касающуюся соответ-
соответствующего конуса Монжа; эта касательная плоскость совпадает
с касательной плоскостью к той интегральной поверхности из семей-
семейства, которая касается огибающей в точке Р.
Аналитически можно прийти к этому утверждению следующим
путем: огибающая получается, если выразить а как функцию х и у
из уравнения
/а(х,у,а) = 0 C)
и подставить затем а(х, у) в /; таким образом, уравнение огибаю-
огибающей имеет вид
« = /(*, у, а(х, у)) — ^(х, у).
Тогда с помощью C) мы получаем
Следовательно, значения ф(х0, у0), tyx(x0, у0), tyy(x0, y0) в фиксиро-
фиксированной точке х0, у0 совпадают со значениями f(x, у, в0), /х(х, у, а0),
') В честь Гаспара Монжа, 1746—1818.
36 Гл. 1. Вводные замечания
fy(x< У< ао) соответственно, где ао = а(х0, у0). Так как функция
u = f(x, у, а0) удовлетворяет уравнению в точке х0, у0, то ему
удовлетворяет и функция u — f(x, у, а(х, y)) = (J»(jc, у).
2. Полный интеграл. Примеры из § 3 показывают, что для
дифференциальных уравнении первого порядка мы часто можем найти
семейства решений, зависящие от произвольных параметров.
Пусть, например, дифференциальное уравнение A)
F (х, у, и, р, q) = 0
имеет решение
« = '-?(*. У> а, Ь), D)
зависящее от двух параметров а, Ь. (Если и не входит явно в функ-
функцию F, то однопараметрическое семейство решений « = ср(л% у, а)
сразу дает семейство и = у{х, у, а)-\-Ь, зависящее от двух пара-
параметров.)
Двухпараметрическое семейство решений называется пол-
полным интегралом уравнения A), если в рассматриваемой
области ранг матрицы
м = (
\?b fxb fyb .
равен 2 '); в частности, это так, если определитель
D = WPyi - ?xtfya E)
не обращается в нуль.
Значение понятия „полный интеграл" определяется следующим
основным фактом.
При помощи образования огибающих, т. е. при помощи
только дифференцирования и исключения, из полного инте-
интеграла D) можно получить множество решений дифферен-
дифференциального уравнения A), зависящее от произвольной функции 2).
') Это условие гарантирует, что функция у существенно зависит от двух
независимых параметров. В самом деле, если бы, вводя подходящую ком-
комбинацию f = g (a, b), функцию tf можно было бы привести к виду
tf (х, у, а, Ь) = ф (х, у, т). гДе Ф зависит только от одного параметра f, то
из соотношений
Ч уа = ФутТа- ? у* = ФутТ*> ?а = ФтКа> Ъ
сразу следовало бы, что ранг матрицы М не может равняться двум.
*) Здесь не будет обсуждаться вопрос, дает ли этот метод все решения
или нет. Сделать здесь какие-нибудь общие утверждения трудно; это ясно
из следующего примера. Пусть F (х, у, и, p,q)— G (х, у, а, р, q) Н (х, у, и, р, q),
и пусть ч> — полный интеграл уравнения О = 0, который не является одно-
одновременно решением уравнения //=0. Тогда, согласно нашему определению,
tp является также полным интегралом уравнения F = 0; однако существуют
семейства решений уравнения F — 0 — а именно, решения уравнения // = 0, —
которые не могут быть построены как огибающие семейства 9-
§ 4, Геометрическая интерпретация 37
Чтобы построить такое решение, мы выбираем однопараметриче-
ское семейство из двухпараметрического, связывая параметры а и Ь,
которые до сих пор были независимыми, при помощи произвольной
функции, например b=*w(a). Затем мы образуем огибающую этого
однопараметрического семейства. Мы рассматриваем а как функ-
функцию х и у, полученную из уравнения
?« + %«;'(«) = О (b = w(a)), F)
и подставляем ее в равенство
и(х, у) = ?(*. у. a, w(a)) = ^(x, у).
Здесь мы дополнительно предполагаем, что уравнение F) можно
разрешить относительно а. Таким образом мы получаем множество
решений (|>(л:, у), зависящее от произвольной функции w. Между
прочим, описанная ситуация объясняет кажущийся парадокс, упомя-
упомянутый в § 1, п. 2. Если для дифференциального уравнения с част-
частными производными дано двухпараметрическое семейство решений,
то тем самым дано множество решений, зависящее от произвольной
функции; но произвольная функция входит таким сложным образом,
что это множество решений, вообще говоря, не может быть запи-
записано, как в § 1, п. 2.
Систематическое изложение теории дифференциальных уравнений
первого порядка, данное в следующей главе, показывает, что теорию
полных интегралов можно обобщить на дифференциальные уравнения
для функций п независимых переменных, и что эта теория тесно
связана с общей теорией интегрирования уравнений первого порядка.
3. Особые интегралы. Кроме „общего" решения, полученного
в п. 2 путем образования огибающих однопараметрических подсемейств
двухпараметрического семейства решений и —<р(х, у, а, Ь), мы можем,
образуя огибающие, иногда найти еще одно, особое, решение, так
как двухпарамегрическое семейство и может иметь огибающую '),
не содержащуюся среди огибающих однопараметрических подсемейств.
Эта огибающая получается исключением а и b из трех уравнений
и = <р(х, у, а, Ь),
0 = <Р„. G)
и тоже должна быть решением; она называется „особым" реше-
решением уравнения A). Заметим, что так же, как в теории обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений, не надо знать полного решения,
чтобы найти особые решения; их находят непосредственно из
') Этого, правда, не может быть, если и не входит явно в F.
38 Гл. 1. Вводные замечания
дифференциального уравнения с помощью дифференцирования и исклю-
исключения. Особое решение получается исключением р и q из урав-
уравнений
F(x,y.u,p.q) = 0, Fp = 0, Fq = 0. (8)
Уравнение
F{x, у, ср, ч?х, сру) = О,
которое является тождеством относительно а и Ь, можно продиф-
продифференцировать по а и Ь, что приводит к равенствам
Fu9a + Fpyxa -f- Fqyya = О,
Fiih + Fpixb + Fq<?yb = 0.
На особой интегральной поверхности имеем <pa = cpfc = O, и, следова-
следовательно, для всех ее точек справедливы соотношения
Если мы предположим, что на этой поверхности не обращается
в нуль определитель
то имеют место равенства
^ = 0, ^, = 0.
Следовательно, уравнение особого интеграла может быть получено
из уравнений (8) исключением р и q.
В соответствии с этим особое решение может быть определено
без использования полного интеграла, как решение, для которого
F = Fp = Fq = 0
(см. гл. 11, § 4).
4. Примеры. Рассмотрим двухпараметрическое семейство функций
{х~аУ + (у-ЬУ+и->=\, (9)
т. е. множество всех сфер радиуса 1 в пространстве х, у, и с цен-
центрами на плоскости х, у. Эти функции образуют полный интеграл
для дифференциального уравнения
«2A + Р24-73)=1. (Ю)
Если мы положим b = w(a), выделяя из всех таких сфер однопара-
метрическое семейство, центры которого лежат на кривой y = w(x)
в плоскости х, у, то огибающая этого семейства, т. е. поверхность,
полученная исключением а из уравнений
+.
х — a-f-да'(а) (у — w(a)) = 0 ^ ^
§ 4. Геометрическая интерпретация 39
дает еще одно решение. Любая такая огибающая есть трубчатая
поверхность с осью y = w(x).
Все двухпараметрическое семейство (9) имеет еще одну огибаю-
огибающую, состоящую из плоскостей и—\ и « = —1; это ясно непо-
непосредственно и может быть проверено аналитически исключением а
и b из уравнений
а~0, A2)
Так как эти поверхности удовлетворяют дифференциальному уравне-
уравнению A0), они являются особыми решениями уравнения A0). Мы
также придем к этим поверхностям, если исключим р и q из
уравнений
/7 = «2A+Р2 + <72)=1.
0, A3)
Другой пример — дифференциальное уравнение Нхеро
u=zxux-\~yuy~>rf(ux, иу), A4)
которое часто встречается в приложениях. Мы исходим из двух-
двухпараметрического семейства плоскостей
f(a, b), A5)
где f(a, b) — заданная функция параметров а и Ь. Так как их = а,
и —Ь, это семейство удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению A4). Здесь D=l (см. формулу E)); следовательно, функ-
функция и, заданная формулой A5), является полным интегралом диф-
дифференциального уравнения Клеро.
Мы опять образуем огибающие, чтобы получить общее решение
этого уравнения; выбирая произвольную функцию b = w(a), мы
исключаем а из уравнений
u = ax-\-yw(a)-\-f(a, w(a)),
0 = * + yw»+ /« + ./>'(я)-
Особое решение уравнения Клеро имеет важное значение; мы полу-
получаем его как огибающую двухпараметрического семейства A5), т. е.
исключая а и b из уравнений
u = ax-\-by-\-f (a, b),
* = -/„. A7)
40 Гл. I. Вводные замечания
Если мы продифференцируем дифференциальное уравнение A4)
по их — р, uy — q, то правило, изложенное в п. 3, приведет к тем же
формулам. (Ср. § 6, п. 3, где представлена другая точка зрения.)
§ б. Теория линейных и квазилинейных уравнений
первого порядка
1. Линейные дифференциальные уравнения. Рассмотрим диф-
дифференциальное уравнение с частными производными для функции
u(xv х2 хп) вида
п
%aiUx.=a, A)
Если a-i и а — непрерывно дифференцируемые функции только не-
независимых переменных xv x2 хп, то уравнение A) называется
линейным дифференциальным уравнением; в более общем случае,
если а,- и а зависят также от неизвестной функции и, это уравнение
называется квазилинейным. В этом параграфе мы покажем, что тео-
теория таких квазилинейных дифференциальных уравнений с частными
производными эквивалентна теории систем обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений (ср. гл. II, § 2).
Сначала мы рассмотрим частный случай линейного однородного
уравнения
п
2№. = о. (Г)
В л-мерном пространстве переменных xv х2, .... х„ мы опре-
определим кривые xi = x[(s), выраженные через параметр s, при помощи
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
^L = at(xv х2, .... *„) (/=1,2 п). B)
Эти кривые называются характеристическими кривыми. (Мы
будем говорить об их общем значении в связи с рассмотрением
квазилинейных дифференциальных уравнений, проведенном в гл. II,
§ 2.) В случае п — 2 эти кривые касаются осей Монжа, упомянутых
в § 4, п. 1 в качестве вырождающихся конусов Монжа.
Напомним некоторые факты, касающиеся обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений. Считая в уравнениях B) независимым пере-
переменным одну из величин xL вместо s, мы можем представить общее
решение полученной в результате этого системы, зависящее от (п—1)
параметров с,, в виде
cL = ъ (xv х2 хп) (/=1,2 » - 1).
$ 5. Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка 41
Здесь ct—произвольные постоянные интегрирования, а ср; — неза-
независимые первые интегралы системы. Под первым интегралом
ср(Х), х2, .... хп) здесь подразумевается функция независимых пере-
переменных xt, которая имеет постоянное значение вдоль каждой кривой
xt(s), удовлетворяющей системе B).
Уравнение A') очевидно показывает, что для значений u(s) =
= u[x1(s), x2(s) xn(s)] решения и дифференциального уравне-
уравнения с частными производными вдоль интегральной кривой системы
обыкновенных дифференциальных уравнений справедливо соотношение
?-<>• <3>
Таким образом, на каждой интегральной кривой системы B)
обыкновенных дифференциальных уравнений любое решение
дифференциального уравнения с частными производными (Г)
имеет постоянное значение, т. е. значение, не зависящее от s.
Любое решение этого дифференциального уравнения с частными
производными есть интеграл системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений,
С другой стороны, любой интеграл
?(¦*!¦ Х2 Хп)
системы обыкновенных дифференциальных уравнений B) есть реше-
решение дифференциального уравнения с частными производными A');
подставляя в этот интеграл вместо xi любое решение xL (s) системы B)
и дифференцируя ср по s, можно проверить, что A') выполняется на
любой интегральной кривой xt (s). Через любую точку соответствую-
соответствующим образом ограниченной области пространства х проходит инте-
интегральная кривая; следовательно, ср удовлетворяет уравнению A')
тождественно по хх, х2 хп в этой области.
Для любого множества п интегралов
?/(*,. х2 хп) (/= 1, 2, . . ., п)
системы дифференциальных уравнений B) справедливо соотноше-
соотношение вида
ш(ср,, ср2, ..., <ря) = 0. D)
так как уравнения
п
где некоторые коэффициенты av отличны от нуля, могут удовлетво-
удовлетворяться, только если определитель
о (Xi, х2, ..., хп)
42 Гл. I. Вводные замечания
обращается в нуль. Но это есть достаточное условие того, чтобы
выполнялось соотношение вида D). С другой стороны, согласно
элементарным теоремам существования в теории обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений, существует (п—1) независимых интегра-
интегралов cpj, cp2, ..., сря_г системы B), так что каждый интеграл ср должен
иметь вид
9(^1- Х2> ¦¦¦' Xn) = W(^, ср2 <pn_j). F)
Обратно, так как каждая функция w(f1, ср, ?n-i) постоянна на
любой интегральной кривой системы B) и, следовательно, является
интегралом системы B), то все решения дифференциального уравне-
уравнения с частными производным!! A') записываются в виде F), где
w—произвольная функция п — 1 аргументов.
Наоборот, система обыкновенных дифференциальных уравнений B)
может быть решена с помощью п — 1 независимых решений
Рл-1
дифференциального уравнения с частными производными; уравнения B)
можно, например, разрешить, если из уравнений cpv = cv определить
п—1 величии xv x2, .... хп_1 как функции независимой перемен-
переменной хп и параметров сх, с2, ..., cn_v
2. Квазилинейные дифференциальные уравнения. Общий слу-
случая, когда дифференциальное уравнение A) квазилинейно и может
иметь отличную от нуля правую часть a(xv х2 хп, и), не
является по существу более трудным; он может быть сведен к слу-
случаю линейного однородного дифференциального уравнения с одной
дополнительной независимой переменной хп+: и полностью исследо-
исследован. (Способ, которым выполняется это сведение, будет использован
и далее в этой книге.) Мы введем и = хп+1 в качестве новой неза-
независимой переменной; если мы будем допускать представление иско-
искомого решения уравнения A) в неявном виде cp(xr x2, .... хп+1) = 0,
или в более общем виде, включающем константу с:
<p(*i. *2 хп11) = с, G)
то задача сведется к определению ср. Так как ср^. + ср^ их. = 0,
функция ср должна удовлетворять дифференциальному уравнению
«4 1
2 avcp.r =0, (8)
где мы положим а{хх, х2, .... хп, м) = ал+1.
Это уравнение как раз имеет вид линейного однородного урав-
уравнения для функции п -)- 1 переменных cp(Xj, х2 xn + i)- Однако
здесь есть некоторое затруднение, касающееся самого понятия диф-
§ 6. Преобразование Лежандра 43
ференциального уравнения: уравнение (8) не должно выполняться
тождественно по xv х2 xn+v так как онО ввеДено только для
тех множеств значений л:„, на которых выполняются соотношения
ср = 0 или ср = с. Таким образом, с этой точки зрения (8) еще не
является линейным однородным дифференциальным уравнением. Но
если вместо того, чтобы рассматривать одно решение исходного
дифференциального уравнения, мы рассматриваем однопараметриче-
ское семейство, зависящее от параметра с и заданное уравнением ср = с,
то уравнение (8) должно выполняться для всех значений хх, х2, ...
..., хп + 1, т. е. оно действительно является линейным дифферен-
дифференциальным уравнением рассматриваемого типа. Если мы произвольно
выберем
х\> Х2' ¦ ¦ •' Хп + \
и возьмем значение с, такое, что »(Xj, x2, ..., хп + 1)~с, то,
так как уравнение (8) должно выполняться для этого значения с, оно
выполняется тождественно по xv х2, • ¦•, хп + 1.
Обратно, если мы найдем решение ср уравнения (8) и положим
ср = с, то мы получим однопараметрическое семейство решений урав-
уравнения A).
Таким образом, мы доказали, что существует взаимно однознач-
однозначное соответствие между решениями уравнения (8) и однопараметри-
ческими семействами решений исходного, уравнения A). Это показы-
показывает, что интегрирование общего квазилинейного дифференциального
уравнения A) эквивалентно интегрированию системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
dxi du ,„.
? 6. Преобразование Лежандра
1. Преобразование Лежандра для функций двух переменных.
Интегрирование некоторых классов дифференциальных уравнений
можно существенно упростить, применив „преобразование Ле-
Лежандра". Это преобразование подсказывается геометрической интер-
интерпретацией дифференциального уравнения, если представлять инте-
интегральную поверхность не через координаты точки, а через коорди-
координаты ее касательной плоскости v).
Для описания некоторой поверхности в пространстве х, у, и имеются
две двойственные возможности. Можно или задавать поверхность как
множество точек, определенное функцией и(х, у), или рассматри-
рассматривать эту поверхность как огибающую семейства ее касательных
плоскостей, т. е. написать уравнение, которому должна удовлетво-
') См. т. I, стр. 207—208.
44 Гл. I. Вводные замечания
рять плоскость, чтобы быть касательной плоскостью к этой поверх-
поверхности. Если х, у, и— текущие координаты на плоскости, уравнение
которой имеет вид
и — \х — У]у -)- ш = О,
то мы будем называть ?, т], ш координатами этой плоскости. Так как
уравнение плоскости, касающейся поверхности и(х, у) в точке
(х, у, и), имеет вид
и — и — (х — х) их — (у — у) иу = О,
то ее координаты равны
i=ttt, т; = му, ш = хих-\- уиу — и.
Рассматриваемая поверхность будет определена также, если ш задана
как функция ? и т], чем уже задается двухпараметрическое семейство
касательных плоскостей. Мы можем найти зависимость ш(^, tj) от
и(х, у), определяя х и у как функции ? и -ц из уравнений
& = «*. ^^^«y
и подставляя их в уравнение
ш = хих -\- уиу — и = х\ -\- ут) — и.
Обратно, чтобы определить координаты точки по координатам каса-
касательной плоскости, мы найдем частные производные функции ш (;, г[).
Так как 1—их и г} = иу, мы имеем
их
. , дх |^ ду дх ду
и, аналогично,
Таким образом, мы получаем систему формул
yvj,
A)
которая указывает на двойственный характер соотношения между
координатами точки и координатами касательной плоскости.
Такое преобразование поверхности от координат точки к коорди-
координатам плоскости называется преобразованием Лежандра для функ-
функций двух переменных. Оно существенно отличается по своему харак-
характеру от простого преобразования координат, ибо оно ставит в соот-
соответствие не точке точку, а элементу поверхности (х, у, и, их, и )
элемент поверхности E, т), ш, со-, ш).
§ 6. Преобразование Лежандра 45
Преобразование Лежандра всегда возможно, если уравнения их = \,
иу = 1\ могут быть разрешены относительно х и у; это так, если
якобиан
не обращается в нуль в точках рассматриваемой поверхности. Пре-
Преобразование Лежандра, очевидно, невозможно для поверхностей
удовлетворяющих дифференциальному уравнению
т. е. для развертывающихся поверхностей. Этот результат можно
сделать геометрически наглядным. Развертывающаяся поверхность по
определению обладает однопараметрпческнм семейством касательных
плоскостей, каждая из которых касается поверхности по прямой,
а не только в точке; таким образом, невозможно установить взаимно
однозначное соответствие между точками и касательными плоскостями
к поверхности.
Наконец, чтобы применить преобразование Лежандра к дифферен-
дифференциальным уравнениям второго порядка, мы найдем, как преобра-
преобразуются вторые производные функций и(х, у) и w(?, rj). Для этого
мы будем считать, что переменные л; и у в уравнениях \=.их,
ri=uy выражены через \ и ч\ при помощи соотношений х — ш^,
у = ш . Дифференцируя уравнения \= их, т]= и по \ и i\, мы найдем
0 = "ххшЬ, + "ху^щ-
1 = ихуШЬ, + Муу%.
или, в матричных обозначениях,
О
«ху «ууЛ<% %J VO 1
Если мы введем сокращенные обозначения
о)„о) — ш? = — ,
то мы получим
"ху = " Р%. D)
46 Гл. I. Вводные замечания
2. Преобразование Лежандра для функций п переменных. Для
полноты мы упомянем также преобразование Лежандра для функ-
функций п независимых переменных. Оно задается следующей системой
формул:
u(xv x2, ..., *„) + "> ($i. h U = *i?i-f-*^2+ ¦•• -+-*,&,. E)
Чтобы дать формулы преобразования для вторых производных, мы
обозначим алгебраические дополнения элементов их.х , шЕ.? в матрицах
Ux у . . . U у г \ /о):
О); s
-tf\
через Ulk и 2/ft, а определители этих матриц—через (/ и 2, Тогда
формулы преобразования имеют вид
и ?/2=1.
Применимость преобразования Лежандра, как легко проверить,
зависит от выполнения неравенства U ф 0 (или 2 Ф 0).
3. Применение преобразования Лежандра к дифференциаль-
дифференциальным уравнениям в частных производных. Рассмотрим дифферен-
дифференциальное уравнение в частных производных не более чем второго
порядка
F(x, у, и. их, иг ахх, ихг иуу)^0. G)
С помощью преобразования Лежандра мы ставим в соответствие
интегральной поверхности и(х, у) этого уравнения функцию ш($, г[).
Тогда уравнение F = 0 переходит в дифференциальное уравнение
для функции ш тоже не более чем второго порядка, а именно,
в уравнение
O = /7(o)S, шу 5@5 + ^ — 0), |, 7], рш^, — ршц, ршй) = 0, (8)
где
Однако это дифференциальное уравнение, как правило, дает только
не развертывающиеся интегральные поверхности исходного уравнения,
так как преобразование Лежандра неприменимо к развертывающимся
поверхностям.
§ 6. Преобразование Лежандра 47
В частности, в случае дифференциального уравнения первого
порядка преобразование Лежандра может быть полезным, если пере-
переменные х, у и и входят в уравнение простым образом, а производ-
производные их, му — более сложным образом.
В качестве примера мы рассмотрим уравнение
ихиу — х, (9)
которое после преобразования Лежандра переходит в уравнение
fc) = (o5; (Ю)
его решение сразу дается формулой
\
Из формул преобразования следует, что
у = ^2-\-wf (г[), A1)
U = S2Tj -j- TJO/ (Т)) W (Т)).
Если мы исключим Ч и т) из этих трех уравнений, то получим искомое
решение заданного дифференциального уравнения').
С другой стороны, дифференциальное уравнение
ихиу=1 A2)
переводится преобразованием Лежандра в уравнение
Это уравнение уже не является дифференциальным, и преобразование
здесь ничего не дает; все решения уравнения ихиу — 1 представляют
J) Однако здесь потеряны решения, для которых выражение иххиуу —иху
обращается в нуль. Дифференцируя уравнение ихиу = х по х и у, мы
получим
ихуиу -j- иууих = О,
т. е. неоднородную систему уравнений, определитель которой иххиуу — иху
обращается в нуль, только если иху = иуу = 0. Отсюда следует, что потерян-
потерянные решения должны иметь вид
и = ау + -^х2 + Ь,
где а и b—произвольные постоянные. Действительно, это выражение является
полным интегралом уравнения (9), и из него можно получить систему A1)
методом, изложенным в § 4, п. 2, с помощью введения соответствующих
параметров.
48 Гл. I. Вводные замечания
собой развертывающиеся поверхности. Это сразу подтверждается
дифференцированием уравнения по х и по у.
иххиу ихуих— •
ихуиу Т UyyUx = 0.
Так как возможность их = иу = 0 исключена в силу того, что
ихиу=\, для каждой интегральной поверхности и(х, у) должно
выполняться условие и и — и2 = 0 ').
хх у у ху
Точно так же преобразование Лежандра не проходит ни для какого
уравнения вида
F(ux, V = °- A4>
Третий пример дает уравнение Клеро
u = xux + yuy + f{ux, uy), A5)
уже рассмотренное в § 4, п. 4. Преобразование Лежандра пере-
переводит A5) в простое уравнение
о)=-/E. г)). A6)
Отсюда мы заключаем, что единственная не развертывающаяся инте-
интегральная поверхность дифференциального уравнения Клеро задается
уравнением A6), или, в точечных координатах, уравнениями
У=-/„«. 1).
Это заключение подтверждается следующими вычислениями. Мы диф-
дифференцируем уравнение A5) и получаем формулы
(здесь р — их, q = uy); отсюда следует, что для интегральной по-
поверхности имеем или
или
Но вторая возможность дает именно ту исключительную поверхность,
которая получается с помощью преобразования Лежандра.
') Между прочим, уравнение A2) заменой х=-?2/'2 может быть сведено
к виду (9) и таким образом решено; это можно сделать также с помощью
полного интеграла
§ 6. Преобразование Лежандра 49
В качестве следующего примера мы рассмотрим дифференциаль-
дифференциальное уравнение второго порядка — уравнение минимальных поверх-
поверхностей (см. также т. I):
нелинейное относительно производных функции и(х, у). Эту кажу-
кажущуюся трудность можно обойти, приводя уравнение A8) с помощью
преобразования Лежандра к виду
A + f) % + 2;7)Ш^ + A + ?2) Шц = 0, A9)
т. е. к линейному дифференциальному уравнению. Ниже (см. прило-
приложение 1 к этой главе, гл. III, § 1, п. 4 и т. III) мы рассмотрим дру-
другие способы линеаризации уравнения A8), которые дают простой
подход к теории минимальных поверхностей.
Аналогичное важное применение преобразования Лежандра встре-
встречается в гидродинамике1). Двумерное стационарное течение сжимаемой
жидкости описывается двумя компонентами скорости и, v, заданными
как функции декартовых координат х, у. Пусть скорость звука с
есть заданная функция от u2-\-v2. Движение подчиняется системе
уравнений первого порядка
«, — •», = 0,
(с2 ~ и2) их — uv (иу - vx) + (с2 — v'2) vy = Q.
В соответствии с этим существует потенциал скоростей <?(х, у), та-
такой, что
« = ?*• <у = ?у
(с2 - «Й) <р« - 2 w,, + (с2 - ?>-) «Ру, = о.
Решающий шаг в рассмотрении этого нелинейного дифференциаль-
дифференциального уравнения заключается в применении преобразования Лежандра
Ф-|-ср = я
Для Ф (и, v) получается линейное дифференциальное уравнение вто-
второго порядка
(с2 - и2) %v + 2от>Фв„ + (с2 - г-2) Фцц = 0,
которое применяется при решении многих задач гидродинамики2),
') См. также гл. V и Курант и Фридрихе [1], стр. 239—243.
2) Это преобразование может быть непосредственно получено обраще-
обращением системы функций и(х, у), v(x, у), т. е. введением х, у как функций
независимых переменных и, v. Этот метод часто называют методом „годо-
„годографа", так как плоскость вектора скорости и, v, называемая „плоскостью
годографа", становится основной плоскостью (см. гл. V, § 2).
50 Гл. I. Вводные замечания
§ 7. Теорема существования Коши — Ковалевской
1, Введение и примеры. Мы закончим эту главу фундаменталь-
фундаментальной теоремой, которая обеспечивает существование дифференциаль-
дифференциальных уравнений в частных производных и одновременно выясняет,
каким именно образом произвольные функции входят в „общее" ре-
решение. Эта теорема принадлежит Коши, который положил начало
современной теории дифференциальных уравнений в частных произ-
производных. Софья Ковалевская в своей диссертации, написанной под
влиянием Вейерштрасса, провела доказательство в весьма общем
виде *).
Теорема относится к задаче с начальными значениями, которую
мы часто будем называть „задачей Коши". В теореме предполагается,
что дифференциальное уравнение и начальные условия, так же как
и решение, аналитичны; она относится к системе т дифференциаль-
дифференциальных уравнений в частных производных, каждое порядка к, с т не-
неизвестными функциями и1, и2 ит (иногда их записывают как
uv и2, ..., ит) от п~\-\ независимых переменных х, yv .... уп.
Предполагается, что эта система имеет „нормальную форму", где пере-
переменная х выделена:
дк ../ , / .. ди1 дкит\ ({)
дхк Jl\ ' '»¦¦••¦"»• дх"" ' ду\
а функции ft аналитичны по х, yv y2, ..., дкит1дукп в некоторой
области многомерного пространства этих переменных. (Это значит,
что они могут быть разложены в степенные ряды по всем этим пере-
переменным, сходящиеся в достаточно малой области, относительно ко-
которой можно предположить, что она содержит начало координат
x — Q, yt = Q, М; = 0.) В „плоскости начальных значений" х = 0 мы
задаем km произвольных аналитических функций 9у(У1> •¦•• Уп)
(/ = 1 т; j = 0 k— 1) переменных уЛ уп в достаточно
малой окрестности начала коордийат у^ = 0. Задача Коши состоит
в том, чтобы построить решение системы A), которое при х = 0
принимает начальные значения
и1 @, yv ..., уя) = <р*,о(У1> •••• Уп)
Надо всегда помнить, что эта задача поставлена только в малом,
т. е. для достаточно малой окрестности точки х = 0, уь — 0.
') См. Адамар [2], сноска на стр. 11. Адамар ссылается на Коши, Ко-
Ковалевскую, Дарбу и Гурса. [См. также диссертацию С. В. Ковалевской: Zur
Theorie der partiellen Differentialgleichungen, /. reine, angewiMath., 80 A875),
и книгу: Ковалевская СВ., Научные работы, М., 1948. — Прим. ред.]
§ 7. Теорема существования Коми — Ковалевской 51
Основная теорема утверждает, что задача Коши имеет одно
и только одно аналитическое решение и1 ит.
Достаточно предположить, что k=\, т. е. рассматривать си-
системы уравнений первого порядка. Далее, мы проведем все рассуж-
рассуждения только для случая п = 1, т. е. для дифференциальных уравне-
уравнений с двумя независимыми переменными х, у, так как для большего
числа независимых переменных не требуется никаких модификаций.
Вообще говоря, систему можно привести к нормальной форме A).
Однако, как мы увидим в п. 5, есть важные исключительные случаи,
когда это невозможно *).
Для доказательства этой теоремы сначала формально строят сте-
степенные ряды для решения, а затем показывают, что они равномерно
сходятся.
Прежде чем переходить к общему рассмотрению, мы разберем
несколько примеров.
Для дифференциального уравнения
с постоянными аир все решения задаются формулой
u==w (ay — рлс)
с произвольной функцией w.
Предположим теперь, что нам произвольным образом заданы на-
начальные значения и @, у) = ср(у). Тогда функция w определится,
если положить х = 0; мы получим решение и = ср(у — рх/а).
Вообще, рассмотрим (ср. § 1, п. 1, пример 5) нелинейное диф-
дифференциальное уравнение
предполагая, что коэффициенты аир зависят от неизвестной функ-
функции и.
Задача Коши состоит в том, чтобы найти решение, для которого
«(О, у) = ср(у), где 9(У) — заданная функция.
Как мы видели раньше, все решения нашего дифференциального
уравнения задаются формулой а (и) у — $(и)х = w(u), где w — про-
произвольная функция; функция w снова определяется из начальных
') То, что задача Коши является самой естественной задачей (так же,
как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, где она сразу
объясняет присутствие в решении произвольных констант интегрирования),
видно из самого смысла дифференциальных уравнений A); они выражают
через начальные данные и их неявно известные производные по перемен-
переменным у единственную производную, которая этими данными не определяется;
как мы увидим, это открывает путь к определению всех производных неиз-
неизвестных функций в начале координат.
52 Гл. I. Вводные замечания
условий. Подставив в формулу л; = 0 и и = ср (у), мы получим
¦а;(ср) = <х(ср) у; если обратная функция для м—ср(у) есть у =)((«), то мы
определим произвольную функцию w соотношением
Таким образом, искомое решение удовлетворяет соотношению
а(и)у — Р(м)д;=
или эквивалентному ему соотношению
/ Р (и
Если функция и(х, у) определена из этого неявного уравнения, то
задача Коши решена. (В конце этого параграфа, на стр. 62, мы
рассмотрим частный случай, важный для дальнейших приложений.)
Для дифференциального уравнения второго порядка иху = /(х, у)
интеграл по треугольнику в формуле B) из § 1, п. 1 дает решение
задачи Коши.
Простейшее дифференциальное уравнение колебаний
приводит к следующей задаче Коши: найти и, если при х = 0 про-
произвольным образом задано начальное состояние и @, у) = ср(у) и
му @, у) = ф(у) (ср. т. I, гл. V, § 3). Из общего решения этого
дифференциального уравнения u = f(y-\-x)-\-g(y— х) можно найти
вид функций fug, приспособив их к начальным условиям. Функ-
Функции /Kg находятся из соотношений f(y)-\-g(y) = f(y), f'(y) —
— ё' (у) ==Ф C*)> которые непосредственно дают
У+Х
2и(х, у)-:ср(у+х) + сР(у — *)+ J 4i(k)dk.
у-х
При формулировке общей задачи Коши мы предположим, что
дифференциальное уравнение можно разрешить относительно старших
производных неизвестной функции (или функций) по х.
В соответствии с этим мы будем, например, рассматривать диф-
дифференциальное уравнение первого порядка
F(x, у, и, р, q) = 0. B0
где
р = их, q = uy,
и предполагать, что уравнение B') может быть разрешено относи-
относительно р и приведено к виду
p=*f(x, у, и, q). B)
Задача Коши состоит теперь в том, чтобы найти решение
и(х, у) уравнения B), которое обращается в заданную функцию
§ 7. Теорема существования Коши — Ковалевской 53
и @, у) = ср(у) при х — О; геометрически это означает, что надо
найти интегральную поверхность, пересекающуюся с плоскостью
х = 0 по заданной начальной кривой и = ср(у).
Можно было бы поставить более общую задачу; найти интеграль-
интегральную поверхность уравнения F(x, у, и, р, q) = 0, проходящую через
заданную пространственную кривую и —<р(у). x = ty(y). Если мы
вместо х и у введем новые независимые переменные \ = х — ф (у),
7J =з= у И ПОЛОЖИМ
U(X, у)=И($ + ф(г)), 7)) = U)(;, 7)),
то рассматриваемое дифференциальное уравнение перейдет в урав-
уравнение
с начальным условием ш@, т)) = ср(т)). Более общая задача сводится
таким образом к ранее рассмотренной задаче специального вида, ко-
которой мы теперь и ограничимся.
Рассмотрим также дифференциальное уравнение второго порядка
F(x, у, и, р, q, r, s, 0 = 0, C')
где введены сокращенные обозначения
которые будут часто применяться в дальнейшем. Предположим, что
это уравнение может быть разрешено относительно г в рассматри-
рассматриваемой области изменения аргументов, т. е. что оно может быть
приведено к виду
г —f{x, у, и, р, q, s, t). C)
Задача Коши для этого дифференциального уравнения состоит в том,
чтобы найти решение и(х, у), для которого при х = 0 заданы на-
начальные значения и и их:
и@, у) = <р(у), МО. У) = <КЗО- D)
Вместо одной произвольной начальной функции tp(y), как в случае
дифференциальных уравнений первого порядка, мы имеем две произ-
произвольным образом заданные функции <р> (у) и ф (у).
Аналогичные задачи можно ставить для дифференциальных урав-
уравнений более высокого порядка или для систем дифференциальных
уравнений. В частности, мы рассмотрим систему первого порядка
для неизвестных функций ut(x, у) (иногда они будут обозначаться
через ul(x, у)) следующего вида:
ди, дит \ ,. , п , ,-.
y- "i ««• V ~#) (г==1'2 т) E)
54 Гл. I. Вводные замечания
с заданными произвольными начальными значениями
«ДО, у) = ер,.(у).
Доказав, что эти задачи Коши имеют единственные решения, мы вы-
выясним, каким образом произвольные функции входят в общее ре-
решение.
2. Сведение к системе квазилинейных дифференциальных
уравнений. Все задачи Коши, сформулированные выше, могут быть
сведены к эквивалентным задачам для систем квазилинейных диффе-
дифференциальных уравнений первого порядка. Мы подчеркивали, что
многообразие решений системы дифференциальных уравнений, вообще
говоря, не эквивалентно множеству решений одного уравнения.
Однако, как мы увидим, они эквивалентны, если рассматривать диф-
дифференциальные уравнения не в отдельности, а вместе с соответ-
соответствующими дополнительными начальными условиями. Система квазили-
квазилинейных дифференциальных уравнений имеет более широкое множество
решений, чем исходные уравнения, однако мы так ограничим началь-
начальные значения, что множества решений обеих начальных задач будут
совпадать.
Прежде всего мы выполним это сведение для дифференциального
уравнения первого порядка B). Заметим, что если задано и @, у) —
— ср(у), то тем самым автоматически заданы и начальные условия
<7@, у) —ер'(у). Более того, дифференциальное уравнение B) дает
начальные значения для р, а именно
/7@, у) = /@. у, срОО, ср'(у)).
Дифференцируя уравнение B) по х, мы получим для трех функ-
функций и, р, q систему квазилинейных дифференциальных уравнений
в частных производных первого порядка
F)
и начальные условия
U@, у) = ер(у),
/7@, у) = /@, у, ер (у), ер'(у)).
Мы утверждаем, что эта задача Коши эквивалентна исходной. Чтобы
оправдать это утверждение, достаточно показать, что для решения и,
р, q системы уравнений F), G) выполняются уравнения
у, и, q), и^==р, uy = q.
§ 7. Теорема существования Коши — Ковалевской 55
Так как согласно F) py = qK> мы имеем
иху ~ Ях>
отсюда, интегрируя по х, получим
иу(х, y) = q-\-v(y).
Подставляя х = 0 и принимая во внимание начальные условия G),
имеем
для всех х и у, так как из ср'(у) — иу @, у) следует, что v(y) = 0.
Далее, согласно F)
ихл = Рх = -57/(х' У> «- Я):
следовательно, интегрирование дает
их = /(х, у, и, q)-\-a(y).
Но так как для х = 0 выполняется равенство ux — f, то #(у) = 0,
и отсюда их = /(х, у, и, иу), т.е. и(х, у) является решением исход-
исходной задачи.
Аналогично, задача Коши для дифференциального уравнения вто-
второго порядка C) с двумя начальными условиями D) может быть
заменена эквивалентной задачей Коши для следующей системы диф-
дифференциальных уравнений с шестью функциями и, р, q, r, s, t не-
независимых переменных х, у:
Гх = fx + fuP + /рГ + fqPy + /,Г, + ftSy
при начальных условиях
и @, у) = «р (у), р @, у) = ф (у), <7 @. У) = ?' (У),
/(О, у) = ср"(у), s@, y) = f(y),
г @, у) =/@, у, <р(у), if {у). <р'(у). ф'(з>),
Из заданных начальных значений исходной задачи ер, ф и из диффе-
дифференциального уравнения мы немедленно получаем дополнительные
правильно согласованные начальные данные для q, t, s, г. Как и выше,
мы можем показать, что р, q, г, s, t совпадают с производными их,
иху, и
чения D) и что выполняется дифференциальное уравнение C),
г — f {х, у, и, р, q, r, s, t).
Аналогично мы можем заменить дифференциальное уравнение выс-
высшего порядка или систему уравнений квазилинейной системой первого
порядка.
56 Гл. I. Вводные замечания
Полученные выше квазилинейные системы дифференциальных урав-
уравнений содержат независимые переменные а; и у в коэффициентах
правой части. Часто бывает удобно перейти с помощью одного искус-
искусственного приема к другой эквивалентной квазилинейной системе диф-
дифференциальных уравнений, в которую уже явно не входят независимые
переменные х и у и которая, кроме того, однородна относительно
производных. С этой целью мы формально вводим две функции \{х, у)
и т\(х, у) вместо х и у с помощью уравнений
• E, = V 1, = 0 (8)
и начальных условий
|@, у) = 0, i)@. у) = у, (9)
решениями системы (8), (9) являются \=х, ч\ — у- Так как т]у —1,
мы можем теперь заменить нашу задачу Коши F), G) очевидно экви-
эквивалентной ей системой для пяти функций и, р, q, \, tj:
«* = />V Чх — Рг
k = V ъ = о. (Ю)
Рх — fqPy + (Jx + Pfu) V
При этом мы должны подставить \, t\ вместо х, у в fq, fx, fu и
потребовать, чтобы выполнялись начальные условия
и@. у) = (р (у). q@, y) = <p'(y).
5@, у) = 0, т)@, у) = у. A1)
y) = /@. у, <р(у). <
Таким образом, сформулирована задача Коши указанного выше вида,
эквивалентная исходной задаче Коши для уравнения B).
Аналогичный результат получается в случае задачи Коши для
уравнения второго порядка. Как и в задаче для уравнения первого
порядка, мы искусственно заменяем х и у функциями ? и т),
удовлетворяющими дифференциальным уравнениям (8) и начальным
условиям (9); опять вместо C), D) мы можем поставить эквивалент-
эквивалентную задачу Коши для системы квазилинейных однородных уравнений
первого порядка относительно функций а, р, q, r, s, t, &, ~q.
Все задачи, получаемые таким способом, имеют вид квазилинейной
системы первого порядка
'у(«Р «2 «J-J- (<=1. 2 т) A2)
с заданными начальными условиями вида
«ДО. У) = Ъ(У)- A3>
§ 7. Теорема существования Коши — Ковалевской 57
В такой квазилинейной системе коэффициенты Qik{uv и2 ит)
явно зависят только от самих неизвестных функций ut, но не от
независимых переменных х и у. Соответствующий общий результат
формулируется так: задача Коши любого порядка для систем диффе-
дифференциальных уравнений может быть легко сведена к задаче Коши
этого типа. Конечно, в случае п переменных у1 Уп систему A2)
надо заменить системой вида
ОХ ш,
v=l j=\
3. Определение производных вдоль начального многообразия.
Решающим фактом является то, что дифференциальные уравнения
вместе с начальными условиями дают метод вычисления всех произ-
производных искомого решения вдоль начальной кривой, например х = О,
если только это решение существует и если как решение, так и диф-
дифференциальное уравнение и начальные функции аналитичны. Сначала
заметим, что вдоль начальной кривой х = 0 все величины, которые
нам уже известны (например, и и некоторые производные от и), дают
при дифференцировании по у новые известные величины, т. е. допол-
дополнительные производные. Недостающие производные, содержащие диф-
дифференцирования по х, должны затем определяться с помощью диф-
дифференциальных уравнений.
Таким образом, в случае дифференциального уравнения B),
pz=f(x, у, и, q), мы можем определить q=:tp'(y) и t = и — qy =
= (р"(у) и т. д. вдоль х = 0 с помощью начальных данных. Само
дифференциальное уравнение дает величину р@, у)=/@, у, <р(у), <р'(У))-
Аналогично, при х — 0 известно
[Чтобы определить вдоль начальной кривой недостающую вторую
производную г — рх = ихх, мы продифференцируем уравнение B)
по а; и получим r = px = fx-\-fup-\-fqqx. В правой части содер-
содержатся величины, уже известные при х — 0 из изложенных выше
соображений; следовательно, левая часть тоже определена для х = 0.
Дальнейшее дифференцирование по х определенных таким образом
величин и дифференциального уравнения дает все старшие производ-
производные вдоль х — 0 до тех пор, пока справедливы предположения
о непрерывной дифференцируемое™ функции / и решения и.
Аналогично мы можем определить производные функции а вдоль
начальной кривой в случае задачи Коши для уравнения второго по-
порядка C). Но не менее просто рассмотреть общую задачу Коши A2),
A3), которая содержит все рассматриваемые частные задачи. Для
Гл. I. Вводные замечания
системы такого вида ясно, как последовательно получаются произ-
производные функций ut вдоль начального многообразия, т. е. вдоль x~Q.
Сначала посредством дифференцирования функций срг(у) находятся
производные dujdy, d2ut/dy2, ... вдоль линии х — О, а затем первые
производные по х определяются из дифференциальных уравнений;
дифференцируя определенные таким образом величины по у, мы по-
получаем смешанные производные d2ujdxdy для х — 0. Затем, диффе-
дифференцируя систему дифференциальных уравнений A2) по х, в правых
частях получают выражения, содержащие только первые и смешанную
вторую производные функций ut no x и у; следовательно, эти выра-
выражения известны и определяют выражения, стоящие слева, т. е. вторые
производные д^и^дх2, и т. д. Подчеркнем, что в этом процессе по-
последовательного определения производных применяются только диф-
дифференцирование и подстановки.
Согласно нашим предположениям об аналитичности, можно произ-
произвести неограниченное количество дифференцирований; тогда из началь-
начальных данных определятся все производные функций ut при х = 0 и,
в частности, при х = 0, у ~0.
Теперь естественно рассмотреть обратный процесс. Если описанное
выше последовательное определение начальных значений производных
можно применять неограниченное число раз — а это так в случае,
когда сами уравнения и начальные значения аналитичны, —то можно
построить формальный степенной ряд, используя полученные таким
образом производные в качестве коэффициентов. Тогда остается по-
показать, что так построенный степенной ряд сходится и является ре-
решением первоначальной задачи Коши.
4. Доказательство существования решений аналитических
дифференциальных уравнений. При доказательстве фундаментальной
теоремы существования для системы A2) можно пытаться строить
разложение в окрестности начала х=0, у = 0 в предположении, что
начальные значения удовлетворяют условию срг(О) = О. Если бы это
было не так, мы могли бы ввести разности «(- — <рДО) в качестве новых
неизвестных функций!). Аналитичность наших данных означает, что
функции G!k, cf; заданы степенными рядами
<Ы*1 ««>= 2 Kk v и,1 ... а™, A5)
сходящимися соответственно в областях |у|<^р и |
') Мы могли бы добиться еще большего упрощения, введя в" качестве
новых неизвестных функций и. — <рг (У) = «., для которых все начальные
значения vt @, у) тождественно равны нулю, в то время как общий вид си-
системы дифференциальных уравнений остается неизменным.
§ 7. Теорема существования Коши — Ковалевской 59
Мы утверждаем, что задача Коши для такой системы дифферен-
дифференциальных уравнений имеет решение, которое может быть выражено
степенным рядом
GO
«/(*. 30 = 21 е»**У- A6)
10
Согласно п. 3, коэффициенты степенного ряда A6) однозначно
определяются с помощью дифференциальных уравнений и начальных
данных, так как значения производных предполагаемых решений и{
в точке х = 0, у = 0 могут быть получены простой подстановкой
частного значения у — 0 в производные на начальной линии х = 0.
Таким образом, коэффициенты c\k разложения A6) определены одно-
однозначно.
Если мы предположим, что построенный таким образом ряд схо-
сходится в некоторой окрестности начала х = 0, у = 0, то, согласно
хорошо известным теоремам, этот ряд можно почленно дифференци-
дифференцировать внутри его области сходимости; полученные производные можно
подставить в дифференциальные уравнения. Выражения, полученные
в результате, снова можно представить как ряды по х и у. Вспо-
Вспоминая, как- определялись последовательные производные функций ui
в начале координат, мы видим, что в левой и правой части каждого
уравнения, а также уравнений, полученных их дифференцированием,
в точке х = 0, у = 0 получается одно и то же. В силу аналитичности
рассматриваемые дифференциальные уравнения удовлетворяются тожде-
тождественно, т. е. функции щ являются системой решений. Эта система
решений принимает заданные начальные значения и является поэтому
решением нашей задачи Коши, что непосредственно следует из по-
построения степенных рядов A6) и из предположения об их сходимости.
Следовательно, доказательство теоремы существования
будет завершено, как только будет показано, что ряды A6)
сходятся в некоторой области.
Чтобы доказать их сходимость, мы исследуем зависимость коэф-
коэффициентов c\k от коэффициентов at, b,^ ..., ,т- Заметим сначала, что
почленное дифференцирование любого степенного ряда дает новый
степенной ряд, коэффициенты которого строятся как линейные ком-
комбинации коэффициентов исходного ряда с неотрицательными целыми
коэффициентами. При подстановке степенных рядов в дифференциаль-
дифференциальные уравнения A2) используются только действия сложения и умно-
умножения. Таким образом, выражения, полученные в правых частях, тоже
являются степенными рядами по х и у, коэффициенты cl[k которых
представляют собой полиномы от величин а{, Ы{,.,._ v :
60 Гл. I. Вводные замечания.
Коэффициенты этих полиномов — неотрицательные целые числа,
не зависящие от вида функций Gik и срг.
После этих подготовительных рассуждений мы установим сходи-
сходимость, пользуясь классическим методом мажорант. Вместе с нашей
исходной задачей Коши, относящейся к функциям Gik и срг, мы рас-
рассмотрим новую задачу Коши, в которой функции Gik и ср,- заменены
другими функциями — „мажорантами" Kik и ф(.. В некоторой окрест-
окрестности начала координат мы положим
v=l
Kik{uv.... ип)= 2 К" , «!'¦•• С- A9>
1 m
где
Другими словами, коэффициенты степенных рядов новых функций K[k
и ф; неотрицательны и не меньше, чем абсолютные величины соот-
соответствующих коэффициентов заданных функций Gik и срг.
Мы поставим следующую задачу Коши:
S^*(^. .... «J-^- (/=1 /»). B0)
/6=1
^¦@. у) = ф,(у). B1)
„мажорантную" для исходной задачи.
Если в соответствии с описанным выше методом мы построим
коэффициенты C\k степенных рядов для предполагаемых решений
со
«,<*.у) = 2е&*У B2)
1 = 0,
*=1
мажорантной задачи, то мы получим новые выражения C\k через а{ и
B{s,..,,w таким же способом, каким первоначальные коэффициенты с\и
получались из а{ и b{s , (т. е. C\k — P\k{Al, B{s , )).
Но так как коэффициенты этих полиномов неотрицательны, мы сразу
получаем
Таким образом, формальный степенной ряд B2) является мажорантой
для степенного ряда A6). Следовательно, если мы докажем сходи-
§ 7. Теорема существования Коши — Ковалевской 61
мость этого мажорантного ряда B2), то мы обеспечим и сходимость
исходного ряда A6).
Мы используем это замечание следующим образом: построим
мажорантную задачу особенно простого вида, решение которой можно
получить в явном виде и доказать тем самым сходимость мажорант-
мажорантного ряда. С этой целью мы выберем (как и выше) два положитель-
положительных числа г и р, таких, что степенные ряды для O(-ft(«p м2 и,п)
и ФгО0 сходятся соответственно при |и,-|^> и |у|-<^р. Тогда, со-
согласно хорошо известной теореме о степенных рядах, существует
постоянная М, такая, что
1 > ' • • ¦ m
тогда'a fortiori мы имеем
s I - M
M
Теперь мы положим (ср. A8), A9))
DO
S(f)V B3;
v=l
V4 Iu, \vi / и \ т (ч, -i- _J- ч М
> -!! I "* 4 ¦ '' ' i^ *т/- B4)
v , . .., v = О Ч
Ряд B4) сходится, если аргументы
«Р «2 U,n
изменяются в области, где
его сумма выражается формулой
К^ и^у Ии,+ -+5Г- Bб)
Ряд B3) для \у\ < р даег
*z(y) = 7^r- B6)
62 Гл. I. Вводные замечания
Таким образом, задача
dvi M '
B7)
~J B8)
является мажорантной задачей Коши для задачи A2).
Единственное, что осталось сделать — это явно построить реше-
решения Vj(x, у) этой системы и показать, что в точке х = 0, у — О они
могут быть разложены в степенные ряды.
Так как все функции Kik, а также функции ^ тождественны, то
естественно предположить, что
vt(x, y) = v(x, у)
независимо от /.
Это приводит к одному дифференциальному уравнению в частных
производных
dv тМ ду
B9)
^y C0)
Следовательно, мы должны только показать, что эта задача Коши
имеет решение v(x, у), которое может быть разложено в степенной
ряд в достаточно малой окрестности начала координат.
Наша задача Коши совпадает с задачей, уже рассмотренной в ка-
качестве примера в п. 1, стр. 51. Данный там метод приводит к квад-
квадратному уравнению
OJ C1)
или
с начальными
условиями
v@, )
1-
rfi oy '
, — mMv ¦
My
относительно функции v. Из двух корней этого уравнения мы должны
выбрать тот, который принимает нулевое значение при л; = 0, у = 0.
Существование такого решения сразу следует из уравнения C1),
которое при х = 0, у = 0 переходит в уравнение г>A—mv/r) = 0.
Так как по предположению г > 0, корни различны при х — 0, у — 0.
Поэтому дискриминант квадратного уравнения C1) отличен от нуля
в начале координат, а следовательно, и в некоторой окрестности
§ 7. Теорема существования Коши — Ковалевской 63
начала, так что в этой окрестности корень несомненно может быть
разложен в степенной ряд по х и у.
Действительно, это решение явно дается формулой
М г ( у
__ 1 ~f{y~rX)Jf"m\~l
2 1 —У/Р
V
м
m{ ?I^- К—, C2)
_____
2 1-у/р
что легко проверить.
Таким образом, в некоторой окрестности начала координат дока-
доказана сходимость мажорантного ряда B2) и, следовательно, сходи-
сходимость исходного ряда A6), а тем самым полностью доказано суще-
существование аналитического решения нашей задачи Коши.
В то же время непосредственно ясно, что для всех дифферен-
дифференциальных уравнений и начальных функций, допускающих общие
мажоранты, степенные ряды сходятся равномерно и решения
существуют в одной и той же области.
Данное выше доказательство, очевидно, показывает, что может
быть только одно аналитическое решение задачи Коши для анали-
аналитической системы A2), если только начальные данные аналитичны.
Во многих случаях предположение об аналитичности начальных дан-
данных является слишком сильным; часто оно даже противоречит при-
природе рассматриваемых физических задач. Йоэтому представляет интерес
установленный Хольмгреном [1] факт, что единственность решения
задачи Коши для аналитического уравнения или системы имеет место
независимо от того, являются ли начальные данные или решение ана-
аналитическими. В частности, аналитическое решение, соответствующее
аналитическим данным Коши, является единственным решением, соот-
соответствующим этим данным Коши; таким образом, любое решение
автоматически является аналитическим. (См. гл. III, приложение 2.)
Точную формулировку и доказательство теоремы Хольмгрена см.
в приложении 2 к гл. III.
4а. Замечание о линейных дифференциальных уравнениях.
Если коэффициенты О фиксированы, то предыдущее рассуждение
показывает, что степенной ряд для решения и сходится в круге
радиуса г, который является функцией г{М, р), зависящей только
от М и р.
Если заданное дифференциальное уравнение линейно и однородно,
то аи с произвольной константой а является решением с тем же
радиусом сходимости г, соответствующим начальным данным окр,
которые, согласно предыдущему пункту, сохраняют радиус сходи-
сходимости р. Следовательно, г = г (а.М, р) не зависит от Ж и является
64 Гл. I. Вводные замечания
функцией одного р. Аналогично мы можем рассуждать в случае не-
неоднородных дифференциальных уравнений. Отсюда вытекает следую-
следующий важный факт. Если для фиксированных линейных диффе-
дифференциальных уравнений начальные данные сходятся при всех
значениях их аргумента, например, если они являются поли-
полиномами, то ряды для решений имеют фиксированный радиус
сходимости, не зависящий от начальных данных.
46. Замечание о неаналитических дифференциальных урав-
уравнениях. Для нужд математической физики предположение об анали-
аналитичности дифференциальных уравнений является слишком узким.
В следующих главах мы будем строить решения для широких клас-
классов дифференциальных уравнений (необязательно аналитических),
к которым доказательство существования из этого параграфа не
применимо без дополнительных или совершенно иных соображений.
Тем более важно, что недавно Ганс Леви [1] построил пример,
а Хёрмандер [1] провел дальнейшее исследование классов линейных
дифференциальных уравнений в частных производных с бесконечно
дифференцируемыми, но не аналитическими коэффициентами, у ко-
которых совсем нет решений. Такое неожиданное поведение некоторых
дифференциальных уравнений, которые, казалось бы, не слишком
отличаются от аналитических уравнений, ставит следующую проблему:
найти простое различие между разрешимыми и „неправильными" не
разрешимыми дифференциальными уравнениями. Работа Хёрмандера
в большой мере проливает свет на этот вопрос.
5. Замечания о критических начальных данных. Характери-
Характеристики. Результаты п. 2 и 3 основаны на предположении, что си-
систему дифференциальных уравнений можно записать в виде A2).
Если мы рассмотрим условия, при которых можно написать такую
„нормальную" форму, то мы придем к понятию исключительных, или
„критических", начальных многообразий, или „характеристик". Мы
определим понятие характеристики, которое играет фундаментальную
роль в теории дифференциальных уравнений в частных производных
и встречается в разных местах этой книги.
Предположим сначала, что заданная система уравнений линейна
и что независимых переменных две:
('=1> 2 пу'
здесь atj, Ьц, с-ц, dl — заданные функции х и у. Эту систему можно
разрешить относительно производных по х в некоторой точке (х0, у0)
тогда и только тогда, когда матрица коэффициентов а^ неособая
§ 7. Теорема существования Коши — Ковалевской 65
в (х0, у0). Если матрица aVl особая в (х0, у0), то линия х = х0 на-
называется характеристической в точке (х0, у0); в противном случае
она называется нехарактеристической, или свободной.
В более общем случае мы можем рассматривать аналитическую
кривую С, заданную в виде \{х, у) —0 и входящую в семейство
%{х, у) — const. Нам часто приходится решать задачу Коши с на-
начальными данными для и1, и2 ит, заданными на С. Эту задачу
можно просто свести к случаю, когда начальное многообразие
является координатной линией, если ввести новые независимые пере-
переменные ? и т) вместо х и у, где г\ — любая подходящая вторая пе-
переменная. Запишем систему для переменных ? и vj:
7
(/= 1, 2 п).
Кривая С называется характеристической в точке (х0, у0), если пря-
прямая ? = ?0—характеристическая для преобразованной системы в со-
соответствующей точке (?0> тH).
Но C3) есть система линейных уравнений относительно произ-
производных duj/dz на С; она имеет одно и только одно решение, если
матрица йгй^-(-6гй5у неособая в рассматриваемой точке Р, т. е.
если определитель Q = \\alk4x-\- bik4y\\ отличен от нуля в Р. Если
это так, то кривая С называется нехарактеристической, или свобод-
свободной, в Р; в противном случае она называется критической, или
характеристической, в Р.
В гл. III мы основательно исследуем этот вопрос. Здесь мы
только упомянем, что для начальных кривых, которые не являются
характеристическими ни в одной точке, теорема Коши — Ковалев-
Ковалевской и ее доказательство остаются без изменений.
Приведенные определения и формулировки легко обобщаются на
любое число переменных, на квазилинейные и другие нелинейные
системы и на системы высших порядков.
Следует добавить краткое замечание, относящееся к характе-
характеристическим задачам Коши.
Теорема Коши — Ковалевской для линейных уравнений обобщена
на случай, когда начальное многообразие является характеристиче-
характеристическим в каждой точке :). В этом случае начальные данные не могут
быть заданы произвольным образом; они должны удовлетворять не-
некоторым условиям, которые диктуются дифференциальным уравне-
уравнением (см. гл. VI, § 3). Соответственно решение определяется не
единственным образом, если только не наложены некоторые допол-
') См. Адамар [2], стр. 77, Дафф [1] и Людвиг [1].
66 Приложение 1 к гл. I
нительные условия вдоль многообразия, не касательного к начальному
многообразию; эта ситуация аналогична той, которая возникает
в случае системы линейных алгебраических уравнений с определите-
определителем, равным нулю.
Лере [1] рассмотрел случай, когда начальное многообразие
является характеристическим вдоль некоторых кривых. Вообще
говоря, решение многозначно в окрестности начальной поверхности;
степень ветвления решения определяется геометрической природой
соответствующих характеристических поверхностей.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 К ГЛАВЕ I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ ОПОРНОЙ
ФУНКЦИИ МИНИМАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Нелинейное дифференциальное уравнение минимальной поверх-
поверхности и(х, у) в § 6, п. 3 было преобразовано в линейное уравнение
с помощью преобразования Лежандра. Несколько другая однородная
форма преобразования Лежандра переводит уравнение минимальных
поверхностей в уравнение Лапласа для некоторой (так называемой
опорной) функции трех переменных. А именно, сначала мы напишем
уравнение минимальной поверхности М (ср. т. I, стр. 170):
д их д uv
в виде
где а, р и f = |/'l — а2— р2— направляющие косинусы нормали
к М. Мы ограничимся рассмотрением такой части поверхности М,
в которой две нормали в различных точках не могут иметь одина-
одинаковых направляющих косинусов а, р. Приняв а, р за независимые
переменные и считая х, у, и функциями от них, мы можем пере-
переписать уравнение в эквивалентной форме
= 0. A)
Теперь вместо направляющих косинусов рассмотрим любой набор
трех „однородных" переменных а, р, f на поверхности, пропорцио-
пропорциональных направляющим косинусам нормали. Тогда касательная пло-
плоскость, ортогональная к вектору с компонентами а, р, f, задается
уравнением
! = ?(«. Р, -Г), B)
где „опорная функция" ср(а, р, у) — однородная функция степени 1
относительно а, р, "[, которая при а2-\-р2-J-f2 = 1 определяет рас-
Системы дифференциальных уравнений 67
стояние от плоскости до начала координат. Поверхность надо рас-
рассматривать как огибающую ее касательных плоскостей, заданных
уравнением B). Координаты точки касания, соответствующей нор-
нормальному направлению с компонентами, пропорциональными а, р, f,
даются формулами
*=?«¦ y=v и=ъ'>
это „обратное преобразование Лежандра" по отношению к
где f(x, у, и) = 0 — уравнение поверхности.
Применяя записанные выше соотношения и условие однородности,
легко проверить, что уравнение минимальной поверхности ха-\- у^ = 0
преобразуется в уравнение Лапласа
для опорной функции этой минимальной поверхности. (Другое изло-
изложение см. в гл. V, § 2.)
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 К ГЛАВЕ I
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1. Эвристические соображения. В § 2 и 7 мы показали, что
решение одного дифференциального уравнения высшего порядка
может быть сведено к решению системы уравнений первого порядка,
если на решения наложить дополнительные начальные условия. По-
Поэтому целесообразно обратить особое внимание на теорию систем
первого порядка.
Однако, вообще говоря, мы не можем рассчитывать, что суще-
существует полная эквивалентность между одним дифференциальным
уравнением и системой. Из сказанного в § 2 видно, что система
дифференциальных уравнений в частных производных с двумя неза-
независимыми переменными в общем случае не может быть сведена
к одному дифференциальному уравнению высшего порядка для одной
функции с помощью дифференцирования и исключения переменных.
Рассуждения из § 2 можно применить и к уравнениям с п незави-
независимыми переменными.
Конечно, эти соображения не дают окончательного доказательства
невозможности исключения в общем случае. Действительно, система,
полученная из данной системы с помощью дифференцирования, имеет
очень специальный вид, так что, может быть, исключение и воз-
возможно в некоторых случаях. Поэтому в следующем пункте мы уста-
B8 Приложение 2 к гл. I
новим (по крайней мере, для одного частного случая) необходимые
и достаточные условия, при которых система может быть сведена
к одному дифференциальному уравнению высшего порядка (см.
также §_ 2).
2. Условия эквивалентности системы двух уравнений в част-
частных производных первого порядка :< дифференциального урав-
уравнения второго порядка. Пример системы Коши — Римана
«у =
A)
показывает, что в частных случаях система дифференциальных урав-
уравнений может быть эквивалентна дифференциальному уравнению вто-
второго порядка для одной функции. Любое решение и системы A)
удовлетворяет уравнению Лапласа Ди = 0; для любой гармонической
функции и можно найти сопряженную функцию v, такую, что кип
удовлетворяют системе A).
Поставим далее общий вопрос: при каких условиях система
Ф(х, у, и, v, ux, иу, vv vy)^Q,
Ч7(х, у, и, v, их, и , vx, vy) = Q
эквивалентна дифференциальному уравнению второго порядка L[u] = 0
для одной только функции и в том смысле, что любое решение и
системы B) удовлетворяет уравнению Z.[a] = 0 и, наоборот,
для любого решения и уравнения L[u] = 0 можно найти „со-
„сопряженную" функцию v, такую, что и и v удовлетворяют
системе B).
Сначала мы рассмотрим линейные дифференциальные уравнения,
записанные в виде
vx=a(x, y)v+A{x, у, и, их, иу),
vy = b(x, y)v-\-B(x, у, и, их, иу).
Здесь А и В — линейные функции от и, ик, и , коэффициенты ко-
которых, так же как и функции а(х, у), Ь(х, у), аналитичны по
своим аргументам в окрестности начала координат. Кроме того, мы
предположим, что коэффициент при их в В отличен от нуля.
Из § 7 следует, что если заданы аналитические начальные дан-
данные и @, у) и v@, у), то система C) имеет единственное анали-
аналитическое решение и(х, у), v(x, у) в окрестности начала коорди-
координат. С другой стороны, мы могли бы произвольным образом задать
и@, y) = 'f(y) и их@, y) = ty(y) вместо и@, у) и г»@, у); однако
эти начальные условия не определяют решение системы и, v
единственным образом. Действительно, второе уравнение системы
Системы дифференциальных уравнений 69
C) дает обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка
для функции f@, у):
V0' У) = »@, У)*@. У) + 5 @, у, 9 (У). Ф
т. е. дает однопараметрическое семейство начальных значений v@, у),
а следовательно, однопараметрическое семейство решений v(x, у)
системы C).
Имея это в виду, мы докажем следующую теорему.
Система C) эквивалентна дифференциальному уравнению
второго порядка для одной функции и тогда и только тогда,
когда выполнено условие 1)
ау = Ьх.
Чтобы доказать эту теорему, мы продифференцируем уравнения C)
по х и у и получим
(ay—bx)v = L[u], D)
где L[u] = — [аВ—ЬА-\- Ау— Вх]— дифференциальный оператор
второго порядка относительно одной функции и. (Здесь символы А ,
Вх означают полные производные от Л и В по у и х.)
Сначала предположим, что ау — Ьх — 0; тогда L[u] = 0, т. е. и
удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка
L [и] ==аВ — ЬА-\-Ау — Вх = 0.
Чтобы найти функцию v(x, у), сопряженную к и, мы подставим
решение и уравнения L[u] = 0 в А и В в системе C). Эта система
имеет решение v, если выполнено условие совместности
dvy dv.,
ду ~ дх
Производя необходимые дифференцирования и применяя условие
ау~Ьх, мы получим неоднородное линейное уравнение первого по-
порядка для v(x, у), которое можно решить, если а (х, у) и Ь(х, у)
не обращаются в нуль одновременно (см. § 5, п. 2). Таким образом,
первая часть нашей теоремы доказана.
Предположим теперь, что ау — Ьхф0 при х = 0 (а следова-
следовательно, и в окрестности оси у). Тогда из равенства D) мы получаем
выражение
Щ
ау —Ьх
которое однозначно определяет v для любого и.
') Если система C) эллиптическая и эквивалентность понимается в не-
несколько более широком смысле, то можно показать, что всегда существует
„эквивалентное" уравнение второго порядка для одной только функции,
и наоборот.
70 Приложение 2 к гл. I
Но если бы все и, удовлетворяющие системе C), удовлетворяли
одному и тому же дифференциальному уравнению второго порядка,
то функции и, а в силу равенства E) также и v, однозначно опре-
определялись бы начальными данными и@, у) и их@, у); однако это
противоречит результату, ранее полученному в этом пункте :).
Наконец, мы рассмотрим случай, когда система B) может быть
записана в виде
vx = F(x, у, и, v, p, q),
vy = 0(x, у, и, v, p, q),
где F и О — аналитические функции своих аргументов и где, кроме
того, dG/dp Ф 0. Вычисляя vxy из обоих уравнений, мы получим
~ Fq) Uxy — fyy» + ОиР - Fu4 +
Это равенство является уравнением второго порядка относительно
функции и, если выражения
^, SSZ^L. Oap-Fuq+Gx-Fy+GVF-FVG (?)
не зависят от V. Обратно, можно показать, что дифференциальное
уравнение второго порядка для и, эквивалентное системе F), суще-
существует тогда и только тогда, когда выражения G) не зависят от v.
') Заметим, что эта теорема справедлива также, если А и В не являются
линейными функциями и, их, иу. Если, кроме того, коэффициенты а и b
также зависят от и, ах = р, иу — q, то вместо ау = Ьх мы имеем следующие
условия, при которых сведение к одному уравнению возможно:
ач = Ьр = 0, ар = Ьф ау -f auq =bx+ bup.
Глава II
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Чтобы строить решения дифференциальных уравнений в частных
производных с помощью степенных рядов, требуется очень сильное
ограничение: данные задачи должны быть аналитическими (см. гл. I,
§ 7, п. 4). Это исключает многие задачи, заслуживающие рассмо-
рассмотрения.
Однако для дифференциальных уравнений с частными производными
первого порядка можно построить более прямую и полную теорию
интегрирования при очень слабых предположениях относительно
непрерывности и дифференцируемости.
Главным результатом этой главы является установление эквива-
эквивалентности между дифференциальным уравнением с частными
производными первого порядка и некоторой системой обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений1). Ключом к этой теории
является понятие характеристики, которое будет играть решаю-
решающую роль также для уравнений более высокого порядка.
Заметим, что здесь опять все встречающиеся производные будут
предполагаться непрерывными, если специально не оговорено про-
противное.
Следует снова подчеркнуть,, что все утверждения и выводы надо
понимать „в малом", т. е. они касаются только некоторых окрестно-
окрестностей точек, причем, каких именно окрестностей — не всегда точно ого-
оговаривается2).
§ /. Геометрическая теория квазилинейных
дифференциальных уравнений с двумя
независимыми переменными
1. Характеристические кривые. Мы вкратце напомним то, что
было сказано о квазилинейных дифференциальных уравнениях в гл. I, § 5.
Сначала мы рассмотрим уравнение с двумя независимыми перемен-
переменными х, у:
= с, A)
') См. также Каратеодори [1].
2) Одно исключение будет указано в приложении 2, касающемся теории
законов сохранения-
72 Гл. II. Общая теория уравнений первого порядка
где а, Ь, с — заданные функции от х, у, и, которые в рассматри-
рассматриваемой области непрерывны вместе со своими производными первого
порядка и удовлетворяют условию а2-\-Ь2 ф 0.
Это дифференциальное уравнение в частных производных можно
геометрически истолковать следующим образом. Интегральная по-
поверхность а(х, у) этого уравнения в точке Р:(х, у, и) должна
иметь касательную плоскость, компоненты нормали к которой их — р,
и =q, —1 связаны линейным уравнением ap-\-bq = с. В силу этого
уравнения касательные плоскости ко всем интегральным поверхностям,
проходящим через точку (х, у, и), принадлежат пучку плоскостей,
ось которого задается соотношениями
dx : dy : du — a : Ь : с B)
в точке Р; эти пучки и их оси называются пучками Монжа и
осями Монжа').
Точка Р вместе с направлением оси Монжа, проходящей через Р,
называется характеристическим линейным элементом.
Направления осей Монжа образуют поле направлений в про-
пространстве х, у, и; интегральные кривые, соответствующие этому
полю направлений, определяются системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений B) и называются характеристическими кри-
кривыми нашего уравнения в частных производных. Если мы введем
параметр s, изменяющийся вдоль характеристической кривой, то
дифференциальные уравнения примут вид
ds ds ds
B0
Проекции характеристических кривых на плоскость х, у называются
„Проекциями характеристик".
Проинтегрировать дифференциальное уравнение в частных про-
производных A) — это значит найти такие поверхности, касательные
плоскости к которым в каждой точке входят в соответствующий пучок
Монжа, или, другими словами, поверхности, которые в каждой точке
касаются оси Монжа. Таким образом, мы видим, что любая по-
поверхность и(х, у), составленная из однопараметрического се-
семейства характеристических кривых, есть интегральная по-
поверхность уравнения в частных производных. Обратно, любая
интегральная поверхность и (х, у) порождается некоторым од-
нопараметрическим семейством характеристических кривых.
Последнее утверждение легко проверить. На любой интегральной по-
поверхности и(х, у) дифференциального уравнения A) можно задать одно-
') Ср. стр. 35.
§ I Квазилинейные уравнения с двумя переменными 73
параметрическое семейство кривых x=^x{s), y=y(s), u=u(x(s), y(s))
с помощью дифференциальных уравнений
ds ds '
где вместо и в а и Ь надо поставить функцию и(х, у).
Вдоль такой кривой дифференциальное уравнение A) равносильно
утверждению, что du/ds — c. Таким образом, наше однопараметри-
ческое семейство удовлетворяет соотношениям B') и, следовательно,
состоит из характеристических кривых. Заметим, что параметр 5 явно
не входит в дифференциальные уравнения, так что если заменить 5 на
s-f-const, то мы получим те же самые интегральные кривые. В этом
смысле можно считать, что произвольная аддитивная постоянная, вхо-
входящая в параметр, не является существенной.
Так как решения системы дифференциальных уравнений B') одно-
однозначно определяются начальными значениями х, у, и при s = 0, мы
получаем следующую теорему.
Любая характеристическая кривая, имеющая общую точку
с интегральной поверхностью, целиком лежит на этой инте-
интегральной поверхности. Кроме того, любая интегральная поверх-
поверхность порождается однопараметрическим семейством харак-
характеристических кривых.
2. Задача Коши. Мы получаем все многообразие решений диф-
дифференциального уравнения в частных производных, исходя из задачи
Коши. Определим пространственную кривую С, задав х, у, и как
функции параметра t, такие, что х2{-\-у2(Ф0 и С имеет простую1)
проекцию Со на плоскость х, у. В окрестности проекции Со мы
теперь будем искать интегральную поверхность и{х, у), проходящую
через кривую С, т. е. решение уравнения A), для которого
u(t) = u{x{t), y{t)) тождественно по t. Данные задачи, т. е. коэф-
коэффициенты дифференциального уравнения и начальные функции x(t),
y(t), u(t) должны быть только непрерывно дифференцируемы в рас-
рассматриваемой области; они не обязательно должны быть аналити-
аналитическими.
Чтобы решить задачу Коши, мы через каждую точку кривой С
проведем характеристику, т. е. интегральную кривую системы диф-
дифференциальных уравнений B'); это можно сделать, причем единст-
единственным образом, в некоторой окрестности. Мы получим семейство
характеристических кривых
x = x(s, t), y = y(s, t), u = u(s, t),
зависящее от параметра t.
') Если бы проекция Со кривой С на плоскость х, у, или сама кривая С
имели двойные точки, то мы пришли бы к интегральным поверхностям
с самопересечениями.
74 Гл. If. Общая теория уравнений первого порядка
Если из первых двух уравнений мы можем выразить s и t
через х и у, то эти кривые порождают поверхность и(х, у). Для
этого достаточно, чтобы на кривой С не обращался в нуль якобиан
Л = xsyt — УЛ = aVt — bxt- C)
(Здесь мы пользуемся хорошо известной теоремой из теории
обыкновенных дифференциальных уравнений, согласно которой х, у, и
являются непрерывно дифференцируемыми функциями 5 и t.)l)
Если на С выполняется условие Д Ф 0, то и является функцией
х и у; третье дифференциальное уравнение —— = с тогда эквива-
эквивалентно заданному дифференциальному уравнению в частных произ-
производных, так как —т- = аих~\-Ьи . Таким образом, задача Коши
для начальной кривой С решена. Единственность решения сразу
следует из теоремы п. 1, которая утверждает, что характеристическая
кривая, имеющая одну общую точку с интегральной поверхностью, цели-
целиком лежит на этой поверхности. Это значит, что любое решение, про-
проходящее через С, целиком содержит однопараметрическое семейство
характеристик, проходящих через С, и, следовательно, совпадает с и.
Условие, что Д Ф 0 на С, допускает следующую геометрическую
интерпретацию. В любой точке кривой С касательное и характери-
характеристическое направления должны иметь различные проекции на пло-
плоскость х, у.
Если задача Коши имеет решение и всюду на кривой С выпол-
выполняется исключительное равенство Д = 0, то сама кривая С является
характеристической2), так как в этом случае параметр t на кривой
можно выбрать так, что вдоль этой кривой a = dxjdt, b = dyjdt.
Далее, из дифференциального уравнения вытекает, что c = du/dt;
следовательно, С действительно является характеристической кривой.
Но если С — характеристическая кривая, то через нее проходит
не только одна, а бесконечно много интегральных поверхностей.
Рассмотрим другую кривую С, которая проходит через произволь-
произвольную точку кривой С и для которой якобиан Д не обращается в нуль;
тогда интегральная поверхность, проходящая через С, обязательно
содержит характеристику С. Таким образом, множество решений
задачи Коши для кривой С определяется множеством кривых С. Все
интегральные поверхности, проходящие через кривые этого множества,
содержат кривую С. Следовательно, характеристические кривые
являются линиями пересечения интегральных поверхностей — линиями
') Аналогичные теоремы с доказательствами см. в гл. V, § 6.
2) Случай, когда Д обращается в нуль в изолированных точках и на
других собственных подмножествах С, здесь не рассматривается. См. Лере [1].
§ 1. Квазилинейные уравнения с двумя переменными 75
ветвления, —тогда как через нехарактеристическую кривую не может
проходить более одной интегральной поверхности.
Следующая теорема резюмирует предыдущие результаты.
Если Д Ф 0 всюду на начальной кривой С, то задача Коши
имеет одно и только одно решение1).
Если же Д = 0 всюду на С, то задача Коши неразрешима,
когда С не является характеристической; в противном слу-
случае задача имеет бесконечно много решений.
Заметим, что решениями задачи Коши являются только те реше-
решения уравнения A), которые проходят через С и которые в некоторой
окрестности С, а следовательно, и на кривой С, непрерывно диф-
дифференцируемы. Без предположения о непрерывной дифференцируе-
мости функции и вдоль С мы не можем из равенства Д = 0 сделать
вывод, что С — характеристическая кривая. Действительно, могут
быть решения дифференциального уравнения, которые проходят через
нехарактеристическую кривую С и для которых Д = 0. Однако про-
производные функции и на С тогда уже не могут быть непрерывными.
В таких случаях С может быть ребром возврата (огибающей харак-
характеристических кривых) интегральной поверхности и (х, у); во всяком
случае, проекция Со кривой С есть огибающая проекций характери-
характеристических кривых. В окрестности кривой С функция и уже не может
быть задана как однозначная функция х и у.
3. Примеры.
1) Чтобы проиллюстрировать наши результаты, рассмотрим диф-
дифференциальное уравнение
««*+«,= ! D)
(частный случай примера 5 в гл. I, § 1). Соответствующие диф-
дифференциальные уравнения характеристик имеют вид
~di~u' ds ~1> ds ~1' W
¦) Несколько громоздкая формулировка теоремы существования, где
перечислены все предположения, такова: пусть О0 — область плоскости х,
у, G — область пространства х, у, и, полученная из О0 добавлением коор-
координаты и, причем \u\<U. Пусть а, Ь, с — непрерывно дифференцируемые
функции от х, у, и в G, a x(t), у (t), u(f) — непрерывно дифференцируемые
функции t для \t| < Т, определяющие кривую С в G с простой проекцией
Со в Go, и такие, что х\-\-у\ф 0. Предположим, что Д = ау< — bxt Ф 0 на С.
Тогда существует подобласть G'o области О0, содержащая Со, в которой
определена непрерывно дифференцируемая функция и (х, у), удовлетворяю-
удовлетворяющая дифференциальному уравнению аих-\-Ьиу — с в Go и начальным усло-
условиям u(x(t), y(t)) = u(t) на Са. Эта функция определяется единственным
образом.
76 Гл. П. Общая теория уравнений первого порядка
их решение
где лс0, у0, и0— произвольные постоянные интегрирования. В част-
частности, семейство характеристических кривых, пересекающих заданную
начальную кривую С:
задается формулами
x(s, 0 =
Определитель
Д (<?, t) = xsyt — xtys = s(#,
на кривой С принимает значение
Д = Д@, t) = xb~b- G)
Если этот определитель Д не обращается в нуль на С, то из
уравнений F) можно исключить параметры 5 и t и выразить и как
функцию х и у. Действительно, из уравнений F) следует, что
из второго уравнения можно получить / как функцию л; и у, если
выражение
отлично от нуля. Когда мы приближаемся к кривой С, мы имеем
у — ф (?)->¦ О; так как yt — y$t ф 0, существует такая окрестность
кривой С, что в ней D Ф 0 и, следовательно, t = t(x, у) и и = и (х, у).
Если в качестве С мы возьмем характеристику
г
Y 4-2 \t / 11 — f (f{\
то уравнения F) перейдут в уравнения
§ 1. Квазилинейные уравнения с двумя переменными 77
(т. е. снова получится выражение для той же самой дуги С); это
не дает выражения для решения уравнения D). Чтобы решить задачу
Коши для такой кривой С, мы заметим, что решение уравнения D)
неявно задается уравнением
1
—у)
с произвольной функцией w. Если мы выберем w так, что w(Q) — 0,
и так, что функцию и можно однозначно определить из уравнения (9),
то все соответствующие интегральные поверхности и = и(х, у) будут
проходить через кривую С.
Наконец, пусть С — нехарактеристическая кривая
*о = '2. Уо = ^' «<> = '• (Ю)
Система F) переходит в систему
x = ~-{-st-{-t2, y = s-\-2t, u = s-{-t. A1)
Определитель A(s, t) = s обращается в нуль при s = 0, хотя С
не характеристика. Исключая s и t, мы получим
и(х, У) = х± V'
т. е. две поверхности, проходящие через С и удовлетворяющие
уравнению D) при х > у2/4. Формулы A2) не дают решения задачи
Коши, так как производные их и иу неограничены при приближе-
приближении к С.
Кривая С не является ребром возврата поверхности и = и(х,у);
однако, она является особой кривой на поверхности в том смысле,
что в окрестности проекции С на плоскость х, у функция и не-
неоднозначна.
2) В случае линейного дифференциального уравнения A),
когда функции а, Ь, с не зависят явно от и, обращение Д в нуль
вдоль нехарактеристической кривой означает, как мы увидим, что
многообразие, определяемое системой уравнений
x — x(s, t), y = y(s, t), u = u(s, t),
есть цилиндрическая поверхность, перпендикулярная плоскости х, у.
Если мы предположим, что
y*at — ад + о
на С, то х можно выразить как функцию у и и. Мы покажем,
что x = f(y, и) не зависит от и.
Сначала мы замечаем, что для линейных дифференциальных урав-
уравнений соотношение
78 Гл. II. Общая теория уравнений первого порядка
для определителя Д следует из B')> так что Д обращается в нуль
всюду, если он равен нулю на С. Далее, из соотношений
непосредственно вытекает, что
следовательно,
/„==0, т. е. * = /(у).
§ 2. Квазилинейные дифференциальные уравнения
с п независимыми переменными
Для п независимых переменных хг> х2, . ¦., хп при га > 2 в тео-
теории нет никаких существенных изменений; однако здесь мы должны
рассматривать не только одномерные характеристические кривые и
«-мерные интегральные поверхности, но также и (га—1)-мерные
характеристические многообразия С. Интегральную поверхность можно
построить либо из (га—1)-параметрического семейства характерис-
характеристических кривых, либо из однопараметрического семейства (п— 1)-
мерных характеристических многообразий, каждое из которых в свою
очередь порождается (п — 2)-параметрическим семейством характе-
характеристических кривых1).
Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение
л
^aiUx—a, A)
где коэффициенты at и а — заданные функции переменных xv x2, ...
..., хп, и, имеющие непрерывные производные и такие, что
п
2 а2, Ф 0. Геометрически уравнение A) означает, что в каждой точке
пространства х, и на поверхности и==а(х1, х2, ..., хп) „характери-
„характеристическое направление" dx} : dx2: . .. : dxn : du = a1: a2: ... : an: a
является -касательным к поверхности. Так же, как в случае двух
независимых переменных, мы пользуемся следующим определением
характеристических кривых: «-параметрическое семейство кривых
в пространстве х, и, заданное системой обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений
§ *L (/ = 1.2.....»). B)
L
') Можно также определить промежуточные (я — 2)-мерные характерис-
характеристические многообразия и т. д.; однако они не будут играть никакой роли
в дальнейших рассуждениях.
§ 2. Квазилинейные уравнения с п переменными 79
называется семейством характеристических кривых, соответ-
соответствующим дифференциальному уравнению; проекция характеристики
в пространство х называется проекцией характеристической
кривой.
Характеристические кривые в пространстве х, и определяются
уравнениями B) независимо от решения уравнения в частных произ-
производных A)').
Связь между характеристическими кривыми и интегральными поверх-
поверхностями устанавливается следующей теоремой.
На любой интегральной поверхности а—и(хх, х2 хп)
дифференциального уравнения в частных производных суще-
существует^— \)-параметрическое семейство характеристических
кривых, порождающее эту интегральную поверхность. Обратно,
любая поверхность и = и(х:, х2, ..., хп), порожденная таким
семейством, есть интегральная поверхность. Более того, если
характеристическая кривая имеет общую точку с интеграль-
интегральной поверхностью, то она целиком лежит на этой поверхности.
Чтобы доказать первое утверждение, рассмотрим систему обыкно-
ненных дифференциальных уравнений dx-Jds — ai (/=1, 2, ..., п),
где в правые части вместо и подставлено решение u(xv х2, . . ., хп).
Эта система па интегральной поверхности определяет (п—^-пара-
(п—^-параметрическое семейство кривых, порождающее эту поверхность. Вдоль
каждой кривой этого семейства и является функцией параметра s на
кривой, и мы получаем
я п
du v dxi V1
i = 1 1 = 1
Следовательно, так как и удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению, мы имеем du/ds— а. Поэтому такая кривая является характе-
характеристической. Так же как в § 1, второе утверждение непосредственно
следует из определения характеристических кривых, а третье — из
единственности характеристической кривой, проходящей через дан-
данную точку.
') То, что система я —|— 1 характеристических уравнений B) определяет
только n-параметрическое семейство кривых, объясняется присутствием
несущественной аддитивной постоянной интегрирования параметра s (s не
входит явно в B)).
Особо отметим, что в частном случае линейного уравнения, т. е. в слу-
случае, когда а/ не зависят явно от и, уже дифференциальные уравнения
—~- = ai (/ = 1, 2, ..., п) составляют определенную систему, задающую
в пространстве .*,, х2, ..., хп (п — 1)-параметрическое семейство „проек-
„проекций характеристик", тогда как в общем случае они образуют л-параметри-
ческое семейство.
80
Гл. II. Общая теория уравнений первого порядка
Теперь мы можем построить интегральную поверхность из характе-
характеристических кривых, определенных характеристической системой
уравнений, решая следующую задачу Коми. Пусть в (я-f-1)-мерном
пространстве х, и с помощью {п—1) независимых параметров
tv tv .... tn_1 задано (п—1)-мерное многообразие С:
t2
=u(tv t2,
tn_x)
(i — 1, 2, .... л);
предположим, что ранг матрицы (dxjdtj равен п—1. Пусть проек-
проекция Со этого многообразия в пространство х не имеет двойных точек,
т. е. различным наборам tv t2, ..., tn_x соответствуют различные
точки на Со. В окрестности Со мы ищем решение дифференциального
уравнения и(хг, х2 хп), проходящее через С, т. е. такое, кото-
которое обращается в u(tv t2, ..., ^,,_i), когда вместо xt подставлены
V 11 t t \
Мы решаем эту задачу Коши следующим образом: для данного
набора значений tv t2, ..., tn_1 мы находим решение характеристи-
характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений B)
которое при s = 0 совпадает с заданными функциями от tv t2, ...
..., tn-\< Эти решения являются непрерывно дифференцируемыми
функциями не только s, но и tv t2, .... tn~\- Будем теперь считать,
что величины s, tv t2, ..., tn_i выражены через хЛ, х2, ..., хп
(с помощью уравнений xl = xl(js, tx ^n-i)'). и подставим их
в и(s, tv ..., tn_l), так что и станет функцией переменных xv
х2, .... хп. Введение xv x2, ..., хп в качестве новых независимых
переменных несомненно возможно, если якобиан
d(xb
d(s,
х2, ...,
Хп)
ds
дх{
dt\
dxi
1 " ds
дх„
dtx
dxn
дхп
C)
не обращается в нуль на С, т. е. при 5 = 0. В силу уравнений B),
элементы первой строки можно выразить на С с помощью соотно-
соотношений <?X;/<?s==: ai(xi, x2
хп, и); здесь вместо х( и
; 2п (
подставить заданные начальные функции переменных tv t2
и надо
tn_v
§ 2. Квазилинейные уравнения с п переменными
81
Таким образом, якобиан C) тождественно равен определителю
дхп
дх,
дхп
В предположении, что Д ф 0, из u's, tv ..., tn_x) мы получаем
функцию u(xv х2, ..., хп). Уравнение dujds = a для
u(s, tv ..., tn_})
переходит в уравнение
п п
Следовательно, функция u{xv x2, ..., хп) есть решение дифферен-
дифференциального уравнения A). Таким образом, в предположении, что
Д Ф 0, наша задача Коши имеет единственное решение.
Такой способ решения задачи Коши не проходит в исключитель-
исключительном случае, когда Д = 0 всюду на С.
Возникает вопрос: какие нужны дополнительные условия, чтобы
гарантировать существование решения задачи Коши в этом случае?
Заметим сначала, что предположение Д—0 эквивалентно суще-
существованию п — 1 однозначно определенных непрерывных функций
\ (tv t2, .... ^„_i)> таких, что на С выполняются линейные соотношения
я-1
D)
v=l
Действительно, это сразу следует из обращения в нуль определи-
определителя Д и наличия ненулевого алгебраического дополнения хотя бы
у одного элемента первой строки.
Чтобы сформулировать искомые необходимые условия, мы введем
понятие (п — \)-мерного характеристического многообразия.
Говоря геометрическим языком, каждой точке (xv x2 хп, и)
пространства х, и мы поставим в соответствие характеристиче-
характеристический вектор av a2, ..., ап, а. Многообразие С размерности
п—1 называется характеристическим, если в каждой точке
соответствующий характеристический вектор касается этого
многообразия.
Аналитически мы можем сформулировать это определение, пред*
ставив многообразие С с помощью п—\ параметров tv t2, ¦ ¦ ¦, tn_x:
С называется характеристическим многообразием дифференциального
82 Гл. II, Общая теория уравнений первого порядка
уравнения в частных производных ^aiuXl=a, если существует
п— 1 функций АгG), B tn_x) A=1, 2, .... «— 1), таких, что
на С выполняются соотношения
я-1
\ж; С=ь 2 «)< E)
Л-1
2^ E
т. е. таких, что характеристический вектор линейно выражается через
п — 1 линейно независимых касательных векторов с компонентами
dxjdt4, duldt4.
Для характеристического многообразия квазилинейного дифферен-
дифференциального уравнения справедливы следующие теоремы.
Любое характеристическое многообразие порождается
(п — 2)-параметрическим семейством характеристических кри~
вих; обратно, любое такое семейство порождает характе-
характеристическое многообразие.
Если характеристическая кривая Г имеет хотя бы одну
общую точку с характеристическим многообразием С, то она
целиком лежит в нем.
Чтобы доказать первую теорему, рассмотрим в пространстве пара-
параметров tt (п — 2)-параметрическое семейство кривых tl = ti(s), опре-
определенное системой (и—1) обыкновенных дифференциальных уравнений
¦^•=M'i. h '„-О. . F)
Функции xt(tv t2 fn_j) и u{tv t2, ..., tn_1) перейдут тогда
в функции переменной s, задающие кривые на С, для которых спра-
справедливы соотношения
л-1 л-1
л1
i dxt, du yi да
7 И 2
ds ~
v=l ' v=l
В силу уравнений, определяющих характеристическое многообразие,
мы получим dxjds = at, du/ds = а, откуда следует, что наши кри-
кривые — характеристические; они образуют (п — 2)-параметрическое
семейство и, следовательно, порождают С. Обратное очевидно, так как
многообразие, порожденное семейством характеристических кривых,
в каждой точке касается характеристического вектора.
Вторая теорема непосредственно следует из того, что решения
характеристических дифференциальных уравнений однозначно опре»
§ 2. Квазилинейные уравнения с п переменными 83
деляются начальными условиями, требующими, чтобы каждая характе-
характеристическая кривая содержала некоторую точку многообразия С.
Как мы видели выше, существует характеристическая кривая, целиком
лежащая в С, проходящая через эту точку С.
Теперь мы резюмируем основные результаты в следующей теореме.
Если Д Ф 0 на начальном многообразии С, то существует
одно и только одно решение задачи Коши. Если же Д = 0 всюду
на С, то задача Коши разрешима тогда и только тогда,
когда С — характеристическое многообразие. В этом случае
существует бесконечно много решений задачи Коши и С является
многообразием ветвления, через которое различные решения
можно гладко продолжать друг в друга.
Осталось доказать только ту часть теоремы, которая касается
случая Д = 0. Из условия Д = 0 мы сделали заключение о существо-
существовании п — 1 непрерывно дифференцируемых функций X от параметров
t-y, t2 tn-v таких. чт0 выполняются соотношения E). Мы должны
также установить недостающее соотношение E'), которое следует из
предположения,что интегральная поверхность и=:и(хЛ, х2 хп)
проходит через С. Действительно, для решения и на С мы имеем
л —1 л—1
=Ik
ж;=Ikk" L ж; sir
4=1 v=l l=\ 1=1
и, следовательно, так как и удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению A),
л-1
v=l
это как раз то соотношение, которое мы хотели доказать!).
Обратно, если С — характеристическое многообразие, то мы можем
построить бесконечное множество решений и дифференциального
уравнения в частных производных, содержащих многообразие С. Мы
выбираем произвольное (п—1)-мерное многообразие С, пересекаю-
пересекающееся с С по (п — 2)-мерному многообразию 5, такое, что для него
всюду Д Ф 0. Тогда через С проходит единственная интегральная
поверхность J'. Но, согласно проведенному выше построению, У
содержит все характеристические кривые, проходящие через 5,
а следовательно, и многообразие С, порожденное ими. Этим завер-
завершается доказательство нашей основной теоремы.
') Этот результат становится геометрически очевидным, если вспомнить,
что характеристический вектор касается интегральной поверхности; так как,
согласно E), его проекция в пространство х\, хг, ..., хп касается проек-
проекции С в пространство хх, хг, ..., хп, то он сам касается С.
84 Гл. II. Общая теория уравнений первого порядка
§ 3. Общие дифференциальные уравнения
с двумя независимыми переменными
1. Характеристические кривые и фокальные кривые. Конус
Монжа. Рассмотрим общее дифференциальное уравнение
F(x, у, и, р. 7) = 0, A)
где использованы сокращенные обозначения их = р, uy — q.
Как обычно, мы предполагаем, что F—непрерывная функция,
обладающая непрерывными первыми частными производными по всем
пяти аргументам в рассматриваемой области. Кроме того, мы тре-
требуем, чтобы было
Дифференциальное уравнение в частных производных A) можно
следующим образом истолковать геометрически (ср. гл. I, § 4):
величины р, q, определяющие направление касательной плоскости
к интегральной поверхности в пространстве х, у, и, удовлетворяют
уравнению F==0 в каждой точке Р: (х, у, и). Это уравнение уже
не является линейным относительно р и q\ следовательно, вообще
говоря, возможные касательные плоскости образуют уже не пучок
плоскостей, проходящих через прямую, а однопараметрическое семей-
семейство, огибающей которого является коническая поверхность с вер-
вершиной Р, так называемый „конус Монжа". (Не следует забывать,,
что наши рассуждения относятся к конической поверхности в малом,
т. е. к достаточно малой части полости конуса. В целом конус
Монжа может состоять из отдельных полостей !).) Такой конус Монжа
задается дифференциальным уравнением в каждой точке (х, у, и)
рассматриваемой области пространства. Задача интегрирования этого
уравнения состоит в отыскании поверхностей, которые в каждой
точке касаются соответствующего конуса.
Мы можем представлять конусы Монжа также с помощью соотно-
соотношения, задающего их образующие, а не с помощью соотношения
F — Q, задающего их касательные плоскости. Чтобы сделать это
аналитическим путем, мы сначала задаем конус Монжа F — Q пара-
параметрически, считая р и q функциями параметра X. Образующая конуса
является тогда пределом линий пересечения касательных плоскостей,
соответствующих значениям параметра X и X—J— А, при h->0. Если
мы будем рассматривать координаты х, у, и вдоль фиксированной
') В гл. V и VI мы проведем более подробное исследование конуса
Монжа „в целом". Рассуждения этого параграфа относятся только к доста-
достаточно малой области изменения р, q, т. е. к такой части полости конуса
в пределах которой q может быть выражено как однозначная дифферен-
дифференцируемая функция от р.
§ 3. Общие дифференциальные уравнения с двумя переменными 85
образующей как функции расстояния а от вершины конуса, то мы
легко получим уравнения
du .... dx , .•., dy
-3— =z= n (A) -3 \- a (A) —f-
dc y v ' da ' v v ' da
и
0 = /»'<*) ?+*'<*)¦?"
Дифференцируя соотношение F = 0 по Х, мы находим
отсюда следует соотношение
dx : dy : du = Fp : />, : (pFp + ?^), B)
которое выполняется на образующих конуса.
Мы можем считать, что это соотношение является представле-
представлением конуса Монжа, двойственным по отношению к представлению
с помощью дифференциального уравнения A).
Направления образующих конуса Монжа называются характе-
характеристическими направлениями. В то время как в случае квази-
квазилинейного уравнения каждой точке в пространстве соответствует
только одно характеристическое направление, здесь мы в каждой
точке имеем однопараметрическое семейство характеристических на-
направлений. Пространственные кривые, имеющие в каждой точке
характеристическое направление, называются фокальными кривыми,
или кривыми Монжа. Условия B) для фокальных кривых мы можем
записать в виде
dx „ dy r, du с i с /о\
введя вдоль этих кривых соответствующий параметр 5. Третье из этих
дифференциальных уравнений называется условием полосы. Оно
означает, что функции x(s), y(s), u(s), p(s), q(s) определяют
не только пространственную кривую, но и плоскость, касающуюся
ее в каждой точке. Конфигурация, состоящая из "кривой и семейства
касающихся ее плоскостей, называется полосой. Эта система трех
обыкновенных, дифференциальных уравнений C) и соотношение
F(x, у, и, р, q) = 0 для пяти функций х, у, и, р, q аргумента 5
составляют недоопределенную систему. Каждое решение такой си-
системы дает так называемую фокальную полосуй).
') Четыре условия, которым удовлетворает фокальная полоса, превра-
превращаются в определенную систему, если мы-зададим, дополнительное произ-
произвольное соотношение между х, у, и, т. е. если мы потребуем, чтобы фокаль-
фокальная кривая лежала на заранее заданной поверхности. (Однако полосгне обя-
обязательно должна быть касательной к поверхности.) Таким образом, становится
ясно, что, вообще говоря, существует однопараметрическое семейство фокаль-
фокальных кривых на заданной поверхности.
86 Гл. П. Общая теория уравнений первого порядка
В основе нашей теории лежит следующее рассуждение, которое
позволяет выделить фокальные полосы, входящие в интегральные
поверхности и называемые характеристическими полосами.
На любой интегральной поверхности и(х, у) должны лежать фэкаль-
ные кривые, так как в каждой своей точке интегральная поверхность
касается конуса Монжа и, следовательно, содержит характеристи-
характеристическое направление. Поле, образованное этими характеристическими
направлениями, позволяет найти соответствующие фокальные кривые
как интегральные кривые этого поля на интегральной поверхности.
Требование, чтобы фокальная кривая включалась1) в интегральную
поверхность и(х, у), приводит к двум дополнительным обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнениям для величин р и q как функ-
функций s\ это мы теперь и покажем.
Чтобы найти указанные дифференциальные уравнения для задан-
заданной интегральной поверхности и — и(х, у), на которой величины р
и q тоже можно рассматривать как заданные функции х и у, мы
заметим, что дифференциальные уравнения
^L—F iL—F
ds р' ds «
определяют на поверхности однопараметрическое семейство кривых,
вдоль которых выполняется соотношение
du dx , fify
ds ~~ x ds ^ у ds
и, следовательно,
du
Таким образом, наши кривые образуют семейство кривых Монжа и
порождают интегральную поверхность. Диффгренцируя уравнение
в частных производных сначала по х, а затем по у, мы получаем
соотношения
РРРХ + РЧЯХ + FuP 4- Fx = О,
которые являются тождествами на нашей поверхности. Так как
Fp = dxjds, Fq — dy/ds, py = qx, то мы видим, что для кривых
Монжа, заданных функциями параметра s, эти два уравнения пере-
переходят в соотношения
') Здесь включение означает, что и есть однозначная дважды непрерывно
дифференцируемая функция х я у в окрестности проекции фокальной кри-
кривой на плоскость х, у.
§ 3. Общие дифференциальные уравнения с двумя переменными 87
Таким образом, если кривая Монжа включена в интегральную поверх-
поверхность, то координаты х, у, и ее точек и величины р и q вдоль
этой кривой удовлетворяют системе пяти обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
~—F ^L—F du_—nF+nF
D)
Эта система называется характеристической системой дифферен-
дифференциальных уравнений, соответствующей уравнению A).
Теперь мы будем проводить рассуждения в обратном порядке,
оставляя без внимания тот факт, что эта система обыкновенных
дифференциальных уравнений была получена при рассмотрении неко-
некоторой заданной интегральной поверхности; вместо этого мы восполь-
воспользуемся этой системой как исходной, не обращаясь к решениям урав-
уравнения A). Так как имеется несущественная аддитивная постоянная,
входящая в параметр 5, эта система определяет четырехпараме-
трическое семейство кривых x{s), y(s), u(s) вместе с соответ-
соответствующими касательными плоскостями p(s), q(s), т. е. семейство
полос.
Заметим, что функция F является интегралом1) нашей
характеристической системы дифференциальных уравнений.
Другими слонами, вдоль любого решения этой системы F принимает
постоянное значение. Действительно, для этого решения выполняется
соотношение
dF__F ^P_\F l±\p iii_j_P ^i^-F ^L
ds ~~ Р ds~r 1 ds^~ u ds~r x ds~T У ds
и, в силу характеристической системы дифференциальных уравнений,
выражение, стоящее в правой части, тождественно по 5 равно нулю.
Теперь мы выделим из нашего четырехпараметрического семей-
семейства решений характеристической системы дифференциальных урав-
уравнений трехпараметрическое семейство, пользуясь тем условием, что
вдоль этих решений функция F должна принимать значение нуль,
как того требует исходное дифференциальное уравнение2). Любое
') Термин „интеграл" здесь не надо путать с „интегралом* в смысле
решения. Под интегралом <р(*,, хг, ..., хп) мы понимаем функцию незави-
независимых переменных xh которая принимает постоянное значение вдоль каждой
кривой xi (s), удовлетворяющей системе
I. хг хп) (.1=1, 2 п).
ds '
2) Без этого ограничения мы вынуждены были бы одновременно рас-
рассматривать целое семейство дифференциальных уравнений /^ const.
Гл. П. Общая теория уравнений первого порядка
решение характеристической системы дифференциальных урав-
уравнений, удовлетворяющее также уравнению F = 0, мы будем
называть „характеристической полосой"; пространственная
кривая x(s), у (s), u(s), несущая эту полосу, называется харак-
характеристической кривой.
Как и для квазилинейных уравнений, из самого вывода характе-
характеристической системы уравнений можно получить следующие теоремы.
На любой интегральной поверхности существует однопа-
раметрическое семейство характеристических кривых и соот-
соответствующих характеристических полос. Кроме того, если
характеристическая полоса имеет общий элемент (т. е. зна-
значения х, у, и, р, q) с интегральной поверхностью, то эта
полоса целиком принадлежит интегральной поверхности1).
2. Решение задачи Коши. Самым важным фактом теории диф-
дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка
является эквивалентность задач интегрирования дифференциального
уравнения с частными производными A) и характеристической системы
обыкновенных дифференциальных уравнений D). Другими словами,
интегрирование дифференциального уравнения с частными производ-
производными первого порядка можно свести к интегрированию соответ-
соответствующей характеристической системы обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
Чтобы доказать эту эквивалентность, мы построим интегральные
Поверхности с помощью характеристических полос (аналогичный метод
применялся в § 1 и 2). Мы снова поставим задачу Коши для
данного дифференциального уравнения с частными производными.
Для нашей цели удобно поставить эту задачу в следующей форме.
Пусть начальная полоса Сх задана функциями x{t), y{t), u(t),
P(t), <](t) параметра t, причем проекция Со кривой С : x(t), y(t),
U(t) не имеет двойных точек. Кроме того, предположим, что
1.) соотношение полосы
da dx . dy
-W^p-a7+q-dt
и
2) соотношение F = 0
выполняются тождественно по t.
Такая полоса Сх называется интегральной полосой.
Задача Коши состоит в том, чтобы в окрестности Со найти функ-
функцию и(х, у), удовлетворяющую там рассматриваемому дифферен-
дифференциальному уравнению и принимающую вместе с функциями р = их
1) Снова подчеркнем, что не всякая фокальная кривая является харак-
характеристической и что множество фокальных кривых существенно шире, чем
впгожество характеристик. См. § 3, п. 3.
§ 3. Общие дифференциальные уравнения с двумя переменными 89
и q — иу заданные начальные значения на Со, т. е. содержащую
начальную полосу С,:).
Чтобы решить поставленную задачу Коши, мы через каждый эле-
элемент заданной начальной полосы проводим характеристическую полосу
(заданную с помощью параметра s). Эта полоса получается как ре-
решение характеристических дифференциальных уравнений D), которое
при 5 = 0 обращается в заданные элементы полосы x(t), y(t), u(t),
pit), q(t). Мы обозначим эту систему решений через
x(s, t), y(s, t), u(s, t), p(s, t), q(s, t).
Снова единственность таких решений и их непрерывная диффе-
ренцируемость по 5 и по параметру t гарантируются хорошо извест-
известными теоремами из теории обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений.
Если выражение
Д = Fpyt — Fq*t = xsyt — x,ys E)
отлично от нуля на начальной полосе, а следовательно, и в некото-
некоторой ее s, /-окрестности, то мы можем считать х и у независимыми
переменными в этой окрестности вместо параметров 5, t. Это значит,
что мы можем выразить величины и, р, q как функции от х и у;
в частности, мы получаем поверхность и(х, у). Мы утверждаем, что
на этой поверхности р = их, q = иу, что она является интегральной
поверхностью и, таким образом, решает нашу задачу Коши.
Последнее очевидно, если только установлены соотношения р = их,
q = u . Действительно, так как F является интегралом системы урав-
уравнений D), выражение F(x, у, и, р, q), несомненно, обращается
в нуль тождественно по s и t на нашей поверхности (в силу вто-
второго из начальных условий); следовательно, оно также обращается
в нуль тождественно по х и у.
Чтобы проверить соотношения р — их, q = uy, нам достаточно
показать, что два выражения
U — ut — pxt — qyt,
F)
V = «, — pxs — qys
тождественно обращаются в нуль на нашей поверхности; тогда
из соотношений
0 = ut — uxxt — uyyt,
0 == Us — uxxs — uyys
') При постановке такой задачи можно было бы еначала считать задан-
заданной только начальную кривую С, а величины р и q определить из соотно-
соотношения полосы и из уравнения F = 0; однако выбранная здесь форма поста-
постановки задачи Коши лучше, так как в ней отсутствуют несущественные
ссылки на возможную многозначность решений уравнений, определяющих р
и q вдоль С.
90 Гл. //. Общая теория уравнений первого порядка
следует, что р = их, q = иу, так как определитель Д = xtys — xsyt
этой системы линейных уравнений относительно их, иу по предпо-
предположению отличен от нуля.
Обращение в нуль величины V непосредственно следует из харак-
характеристических дифференциальных уравнений. Чтобы доказать, что U
обращается в нуль, мы будем рассматривать U и V как функции
от 5 и t. Рассмотрим тождество
dU dV .
и воспользуемся характеристическими дифференциальными уравне-
уравнениями D), а также тем, что из тождественного обращения в нуль
функции V следует равенство dV/dt = 0. Мы получим
^Г = PtFp + qf, + (P*t+ ЯУ,) Ри + РхХ.+ РуУг
С другой стороны, дифференцируя по t соотношение F = 0, кото-
которое выполняется тождественно по s и t, имеем
отсюда
При фиксированном t это уравнение является линейным обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнением относительно U как функции s.
Так как по предположению U обращается в нуль при s = 0,
из единственности решения обыкновенного дифференциального урав-
уравнения при заданном начальном условии U@I) следует, что вели-
величина U обращается в нуль при всех значениях s. Это как раз то,
что мы хотели доказать. Построенная интегральная поверхность
единственна, так как решения обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений (в данном случае характеристических уравнений) однозначно
спределяются начальными условиями.
Мы следующим образом резюмируем полученный результат.
Пусть дана пространственная кривая С: x = x(t), y = y(t),
u = u(t), которую можно дополнить функциями p(t), q(t)
') То есть из соотношения
U (s) = U @) в й
§ 3. Общие дифференциальные уравнения с двумя переменными 91
до начальной полосы Сх: х, у, и, р, q, где.С1 удовлетворяет
соотношению полосы и уравнению F = 0; если вдоль этой
полосы k = Fpyt— Fqx^0, то в окрестности полосы СХ су-
существует одна и только одна интегральная поверхность и (х, у),
проходящая через эту полосу.
3. Характеристические кривые как элементы ветвлечия.
Дополнительные замечания. Интегральный коноид. Каустики.
Теперь мы должны разъяснить значение исключительного случая Д = 0.
Если Fpyt — FqXt — 0 всюду вдоль полосы С, на некоторой инте-
интегральной поверхности, то, согласно рассуждению на стр. 87,
полоса С, должна быть характеристической полосой на этой поверх-
поверхности. Следовательно, в исключительном случае, когда Д = 0, инте-
интегральная поверхность может проходить через С, только если С
является характеристикой, т. е. если функции р и q. определенные
условиями 1) и 2), дополняют эту кривую до характеристической
полосы. Но если это условие выполнено, то существует не одна,
а бесконечно много интегральных поверхностей, касающихся друг
друга на начальной полосе. Рассмотрим кривую С, которая пере-
пересекает С и которую можно дополнить до начальной полосы так,
что эта начальная полоса будет касаться полосы, соответствующей С,
в общей точке. Тогда задача Коши с начальной кривой С даст
интегральную поверхность, содержащую всю характеристическую
полосу, соответствующую кривой С, так как эта интегральная поверх-
поверхность имеет общий элемент с этой характеристической полосой.
Таким образом, характеристики на интегральной поверхности —
это такие кривые, вдоль которых различные интегральные поверх-
поверхности пересекаются, касаясь друг друга. Поэтому эти кривые (или
полосы) можно рассматривать как элементы ветвления интеграль-
интегральных поверхностей. Пересекая одну из этих кривых, можно без
нарушения непрерывности первых производных функции и перейти
на другую поверхность из семейства интегральных поверхностей,
вместо того чтобы продолжить движение по первоначальной поверх-
поверхности.
Итак, при решении задачи Коши могут встретиться два случая:
Если Д чЬ 0 на начальной полосе Cj, то задача Коши имеет
единственное решение. Если же Д = 0 вдоль Cv то задача
Коши имеет решение только тогда, когда полоса С, является
характеристической; в этом случае существует бесконечно
много решений.
Последнее замечание, касающееся случая, когда Д = 0: если на-
начальная полоса С, не является характеристической, то она просто
является фокальной полосой, и не существует решения задачи Коши,
проходящего через Cv т. е. не существует интегральной поверх.
92 Гл. tl. Общая теория уравнений первого порядка
поста, содержащей эту начальную полосу и обладающей в ее
окрестности непрерывными производными вплоть до второго
порядка. Однако возможно, что существует интегральная поверхность,
для которой фокальная кривая Сх является сингулярной кривой.
Действительно, если мы построим характеристические полосы, про-
проходящие через каждый элемент (х, у, и, р, q) полосы Cv взятый
в качестве начального условия, и если не все они совпадают (как
это было бы в случае, когда полоса Сх — характеристическая), то
эти полосы могут образовывать интегральную поверхность.
На таких интегральных поверхностях кривая С обязательно
должна быть сингулярной и, как правило, оказывается огибающей
характеристических кривых, порождающих поверхность. Мы можем
рассчитывать, что она будет ребром возврата интегральной по-
поверхности или, по крайней мере, что в окрестности проекции С
на плоскость х, у переменная и не может быть определена как одно-
однозначная функция хну. Мы проиллюстрируем эти возможности при-
примерами (см. § 6 и пример, рассмотренный в связи с квазилинейными
дифференциальными уравнениями в § 1). В теории распространения
света характеристические кривые соответствуют световым лучам;
поэтому каустические кривые этих лучей являются фокальными
кривыми (что определяет терминологию).
Особый интерес представляет частный предельный случай задачи
Коши, когда начальная кривая вырождается в точку. Те же рассу-
рассуждения, что и выше, приводят к следующему результату. Все харак-
характеристические кривые, проходящие через фиксированную
точку Р пространства х, у, и, образуют интегральную по-
поверхность. Эта интегральная поверхность (которая может состоять
из нескольких полостей) имеет коническую особенность в точке Р
(причем конус Монжа является касательным конусом) и называется
интегральным коноидом дифференциального уравнения с част-
частными производными в точке Р. Как мы увидим дальше, он играет
роль светового конуса в теории распространения света.
Следующее замечание, применимое также в случае п независимых
переменных, указывает на существенное различие между квазилиней-
квазилинейными уравнениями и общими нелинейными уравнениями. Чтобы по-
построить решение в случае линейного и квазилинейного уравнения,
достаточно рассматривать характеристические кривые, образующие
двухпараметрическое (или, может быть, «-параметрическое) семейство.
В общем случае мы вынуждены рассматривать целую характеристи-
характеристическую полосу, чтобы включить величины р и q, определяющие на-
направление касательной плоскости. Кривая в пространстве х, у, и,
несущая эту полосу, есть характеристическая кривая. Но эти полосы
образуют трехпараметрическое (или Bя—1)-параметрическое) семей-
семейство; то же самое, вообще говоря, справедливо относительно соот-
соответствующих характеристических кривых.
§ 4. Полный интеграл 93
4. Полный интеграл
В гл. I, § 4 полный интеграл и дифференциального уравнения
= Q, зависящий от двух параметров а и Ь,
, у, а, Ь),
использовался для построения решения, содержащего произвольную
функцию w(a). Построение состояло в том, что рассматривалась
огибающая; мы полагали b = w (а) и исключали а из двух уравнений
и=:<р(х, у, a, w (#))>
О = 9а + 9bw' (а)-
Для фиксированного значения а эти уравнения дают линию касания
интегральной поверхности й = ср(лг, у, a, w(a)) с огибающей. Так
как функцию w (а) можно выбрать так, чтобы для некоторого а
она принимала произвольное значение Ь, а ее производная w' (a)
имела произвольное значение с, то два уравнения
и = <р(х, у, а, Ь), A)
(Г)
дают семейство кривых (зависящих от трех параметров а, Ъ, с),
которые являются линиями касания при образовании огибающих ').
Теперь мы покажем, что кривые, заданные уравнениями A),
A'). являются характеристическими кривыми нашего диффе-
дифференциального уравнения. Соответствующие полосы, получаемые
с помощью формул р = ух(х, у, а, Ь), ^ = сру(лг, у, а, Ь), тогда
автоматически будут характеристическими.
Доказательство интуитивно ясно из того, что вдоль наших кривых
две различные интегральные поверхности касаются друг друга, а это,
как мы видели в § 3, возможно только вдоль характеристической
полосы.
Мы легко можем проверить это утверждение прямыми вычисле-
вычислениями. Рассмотрим х вместо 5 в качестве независимой переменной
на нашей кривой; из уравнения (I7) с помощью дифференцирования
по х получим
Эта величина не может обращаться в нуль, так как по определению
9ах9ьу ~ 9ау9ьх Ф °- Дифференцируя дифференциальное уравнение
') Конечно, все эти утверждения относятся к достаточно малым обла-
областям изменения параметров.
94 Гл. П. Общая теория уравнений первого порядка
F = 0 с и = у(х, у, а, Ь) сначала по а, а потом по Ь, мы получим
уравнения
Ри9а + Fp4ax + Fgfay = °- 3
РиЪ+РрЪх-\-Р&ьу=О-
Умножая второе уравнение на с, складывая с первым и учитывая A')
и B), мы получаем Fpyx— Fg = 0. Согласно § 3, п. 1, C), если
F Ф 0, то это выражает тот факт, что наши кривые являются
характеристическими. Для наших выводов очень существенным
является предположение, что
F
в рассматриваемой области.
Отсюда следует, что всякий полный интеграл дифференциального
уравнения с частными производными дает трехпараметрическое се-
семейство характеристических кривых и полос. (Выбор х в качестве
независимого переменного вместо симметричного представления через
параметр s не приводит ни к каким существенным трудностям.)
Таким образом, мы обратили рассуждения из § 3, т. е. мы по-
получили решения характеристических дифференциальных ура-
уравнений из полного интеграла дифференциального уравнения
с частными производными. Тот же путь будет снова использован
ниже в § 7.
Таким образом мы, вообще говоря, получаем все характеристики
и соответственно решения дифференциального уравнения с частными
производными. Это становится очевидным, если мы предположим,
что в каждой точке любой интегральной поверхности, на которой
Г) Г)
Fp-\-Fq ф 0, мы можем задать решение из семейства и = ср(л;, у, а,Ь),
касающееся нашей поверхности в этой точке.
Целесообразно сделать последнее замечание, касающееся роли
особого решения. Согласно гл. I, § 4, п. 3, это решение получается
как огибающая двухпараметрического семейства и = ср(лг, у, а, Ь),
или, если не обращаться к полному интегралу, с помощью исключе-
исключения р и q из уравнений
Для особого решения не справедливы никакие рассуждения этого
параграфа, так как мы все время предполагали, что на наших инте-
интегральных поверхностях выполняется условие Fp-{-F2q Ф 0.
Исключительная природа особого решения становится ясной также
из того, что характеристическое начальное условие
§ 5. Фокальные кривые и уравнение Монжа 95
выполняется тождественно, независимо от того, как выбрана началь-
начальная кривая. Любая полоса на особом решении является в этом смысле
характеристической.
ф 5. фокальные кривые и уравнение Монжа
В § 3, п. 1 фокальные кривые задавались системой дифферен-
дифференциальных уравнений C), где величины р и q подчинялись дополни-
дополнительному условию F(x, у, и, р, q)=zO. Если мы предположим, что
F р Ф О, и введем х вместо 5 в качестве независимой переменной
вдоль кривых, то будут иметь место следующие три уравнения
dx ~~ Fp ' dx ~~ Fp
Исключая р и q из этих уравнений, приходим к одному обыкновен-
обыкновенному дифференциальному уравнению
с двумя неизвестными функциями у и и. Это уравнение называется
дифференциальным уравнением Монжа. Это простой пример
недоопределснной системы обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений; это уравнение представляет собой условие на направление обра-
образующих конуса Монжа, в то время как исходное дифференциальное
уравнение в частных производных F — 0 является соотношением,
которому удовлетворяют касательные плоскости конуса Монжа.
В терминах параметра 5 (а не х) уравнение этого конуса имеет вид
.. ( dx rfy du \ n ....
М\х, у, и, -г-, ~, -j— = 0, B')
\ •* ds ds ds ) к '
где функция М однородна относительно последних трех аргументов.
Обратно, если дано уравнение Монжа М(х, у, и, у', и') — 0,
то мы можем построить соответствующее дифференциальное уравне-
уравнение в частных производных, исключив величины у' и и' из уравне-
уравнения М = 0 и из двух уравнений, определяющих касательную плоскость,
содержащую линейный элемент dx, dy, du:
Му, _ y'Mr +u'Mtt,
В результате мы получаем уравнение F(x, у, и, р, q) = 0 (переход
к представлению конуса Монжа через касательные плоскости). Таким
образом, уравнение Монжа (т. е. обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка с двумя неизвестными функциями) и диф-
дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка
для функции двух независимых переменных описывают одну и ту же
96 Гл. II. Общая теория уравнений первого порядка
геометрическую конфигурацию, а именно конус с вершиной в точке
(х, у, и). Уравнения F = 0 и /И = 0 двойственны друг другу
в смысле проективной геометрии.
Решения уравнения Монжа — фокальные кривые — это кривые,
которые в каждой точке касаются некоторой характеристической
кривой. Из рассмотрений, проведенных в § 3, п. 3, мы можем вы-
вывести, что эти фокальные кривые (за исключением самих характери-
характеристических кривых) получаются как огибающие характеристических
кривых на интегральной поверхности дифференциального уравнения
F = О (если такие огибающие существуют).
Это приводит к замечательной теории решения произвольных
уравнений Монжа. На первый взгляд нахождение функций и и у из
уравнения Монжа требует наложения некоторого произвольного усло-
условия W(x, у, и) = 0 и последующего интегрирования обыкновенного
дифференциального уравнения, полученного исключением и или у;
отсюда следовало бы, что таких процессов интегрирования суще-
существует бесконечно много.
С помощью такого метода не получается никакого общего пред-
представления для всех решений уравнения Монжа B) через произвольную
функцию. Однако с помощью полного интеграла можно дать явное
решение уравнения Монжа, зависящее от произвольной функции и не
требующее дальнейшего интегрирования. Мы получим это „явное"
решение, предполагая, что известен полный интеграл и = ср (х, у, а,Ь)
дифференциального уравнения с частными производными, эквивалент-
эквивалентного уравнению Монжа.
К двум уравнениям
и = <р(х, v, a, w{a)),
C)
О = сра(л;, у, a, w (a))-\-<?b (х, у, a, w(a))w'(a),
определяющим семейство характеристических кривых, зависящих от
параметра а на интегральной поверхности (ср. стр. 93), мы должны
добавить третье уравнение
?аа + ЦаЪ™' («) + Ъъ™"* («) + ?Х («) = 0, D)
полученное дифференцированием по а. Эти три уравнения задают
пространственную кривую, зависящую от параметра а, а именно,
огибающую характеристических кривых. Они дадут искомое решение
уравнения Монжа, если и и у выразить как функции х с помощью
процесса исключения. Чтобы представить все решения данного не-
доопределенного „диофантова" обыкновенного дифференциального
уравнения B) в виде C), D), надо сначала заменить его эквивалент-
эквивалентным дифференциальным уравнением с частными производными F = О,
а затем найти полный интеграл.
§ 6. Примеры 97
§ 6. Примеры
Мы проиллюстрируем только что разработанную теорию несколь-
несколькими примерами; некоторые из них важны сами по себе.
1. Дифференциальное уравнение световых лучей (grad uJ= 1.
Рассмотрим дифференциальные уравнения
4+«2у=1 A)
для функции и(х, у) и
И|+И2 + И2=1 B)
для функции и(х, у, z). Эти уравнения встречаются, например,
в геометрической оптике. Поверхности и = const представляют собой
фронт волны, а характеристики — световые лучи; более общее
дифференциальное уравнение
ul+ul + ul = n(x, у, z) C)
описывает фронт волны при распространении света в неоднородной
среде с переменным коэффициентом преломления п (х, у, z).
Мы сначала рассмотрим случай двух независимых переменных,
для которого мы получили (см. гл. I, § 3) полный интеграл
u = ax-\-Y\— а2у-\-Ь D)
и для которого уравнения
и — ах -\- ]/l — a1 y~\-w (a),
<д = Х п \1-\-1»'(а) }
/1—я* У^ V '
дают решение, содержащее произвольную функцию. Два уравнения
и — ах-{- ]/"l — а2 у -j- b,
0 ха
VI— а2
и соответствующие им соотношения
р = a, q= |
у-\-с
— a2
определяют семейство характеристических полос, зависящее от трех
параметров а, Ь, с; вдоль этих полос мы можем считать х незави-
независимой переменной. Характеристические кривые, „световые лучи",
являются прямыми, и вдоль каждой из этих линий касательная пло-
плоскость остается постоянной. И характеристические линии, и соот-
соответствующие плоскости образуют угол 45J с плоскостью х, у; они
98 Гл. //. Общая теория уравнений первого порядка
определяются этим свойством. Конус Монжа в точке (х0, у0, и0)
очевидно имеет вид
(х - х0)* + (у - у0J = (и — «0J.
Характеристические дифференциальные уравнения, решения кото-
которых определяются из написанных выше соотношений, можно пред-
представить в виде
dx : dy : du : dp : dq — p : q : 1 : 0 : 0; E)
их можно проинтегрировать; мы сразу получаем
где начальные условия, соответствующие значению 5 = 0, обозначены
через х0, у0, и0, р0, qQ.
Исключая р и q из уравнений p2-\-q2=l, y' — q/p, u'—\/p,
мы получим для функций и (х) и у (х) уравнение Монжа, соответ-
соответствующее нашему дифференциальному уравнению с частными произ-
производными:
Его решения — это такие кривые, касательные к которым в любой
точке образуют угол 45° с плоскостью х, у. Эти фокальные или
„каустические" кривые (которые являются эвольвентами кривых
и — const) можно следующим образом выразить без использования
интегралов через произвольную функцию w(a):
— a2 y-\-w (a),
Этими фокальными кривыми можно воспользоваться для того,
чтобы охарактеризовать решения 2) дифференциального уравнения A)
как развертывающиеся касательные поверхности с ребром возврата,
которое является фокальной кривой, т. е. кривой, касательные к ко-
которой образуют угол 45° с плоскостью х, у.
') Проверка этого представления с помощью прямых вычислений пред-
предлагается как упражнение.
2) За исключением плоскостей D) и интегральных коноидов, т. е. пря-
прямых круговых конусов, образующие которых наклонены к плоскости х,
у под углом 45°.
§ 6. Примеры 99
Решения уравнения A) имеют еще одно важное геометрическое
истолкование. Рассмотрим семейство кривых и(х, y) = c = const на
плоскости х, у. Мы утверждаем, что значение функции и(х, у)
в ли бой точке плоскости равно расстоянию от этой точки
до кривой и(х, у) = 0.
Кривые и(х, у) —с параллельны кривой и(х, у) = 0 и отстоят
от нее на расстояние с; ортогональными траекториями к этому се-
семейству кривых являются прямые (а именно проекции наших харак-
характеристических кривых), а огибающая этих прямых, общая эволюта
кривых и — const, является проекцией ребра возврата, т. е. фокаль-
фокальной кривой.
Этот факт можно доказать, например, разрешая задачу Коши,
поставленную для начальной кривой О(х0, уо) — О, на которой за-
задано начальное условие и = 0. Чтобы построить решение, мы рас-
рассмотрим характеристики, проходящие через каждую точку (х0, у0)
начальной кривой, а именно прямые x = pos-\-xo, y~qos-\-yo,
u — s. Так как
s представляет собой расстояние от точки (х, у) до точки (х0, у0)
на проекции этой прямой.
Чтобы определить р0 и gQ, мы заметим, что если считать х0 не-
независимой переменной вдоль начальной кривой, то мы получим
dug/dx0 — po-\-godyo/dxo. Следовательно, это уравнение и начальное
условие GXa-f- 0Уо dyo/dxo = 0 дают р00Уо — д00Хо = 0. Таким обра-
образом, проекция упомянутой выше характеристической линии ортого-
ортогональна к начальной кривой. Действительно, тогда и является — по
крайней мере, в достаточно малой окрестности начальной кривой —
расстоянием от точки (х, у) до кривой G(x0, y0). Из этих замечаний
сразу следует, что любая кривая и = const снова ортогональна нашей
прямой.
Доказательство будет иметь несколько другой вид, если мы нач-
начнем со следующей задачи: найти ортогональные траектории к данным
кривым и — const. Эти траектории задаются системой обыкновенных
дифференциальных уравнений
Возводя в квадрат и складывая, получаем
таким образом, мы видим, что 5 представляет длину дуги на траек-
траектории. Дифференцируя первое из дифференциальных уравнений (8)
по s и снова используя эти уравнения, получим d2xjds2=- uxxtix-\- ux uy.
100 Гл. //. Общая теория уравнений первого порядка
Правая часть тождественно равна нулю, в чем можно убедиться,
дифференцируя уравнение в частных производных A) по х. Анало-
Аналогично мы получаем d2y/ds2 = 0, откуда видно, что траектории
являются прямыми.
В случае трех независимых переменных тот же самый метод
показывает, что решения дифференциального уравнения B) за-
задаются семейством равноотстоящих друг от друга поверхностей
и(х, у, z) —const, параллельных произвольной начальной поверх-
поверхности О(х, у, z) — 0. Эти поверхности имеют прямолинейные орто-
ортогональные траектории, и часть этих прямых, находящаяся между
поверхностями и = сх и и — с2, имеет постоянную длину сх — с2;
сама величина и есть расстояние от точки (х, у, z) до начальной
поверхности.
2. Уравнение F(UX, Uy)=0. Теперь мы рассмотрим дифферен-
дифференциальное уравнение ')
/>? (р " ч и)
Эквивалентное уравнение Монжа для у (х) и и (х) имеет вид
и'2 = 2/. A1)
Полный интеграл, содержащий все поверхностные элементы для
нашего дифференциального уравнения, определяется формулой
и = ах + ±у + Ъ. A2)
которая дает семейство решений
и = ах —)—jj— у —(— то (о),
ja A3)
зависящее от произвольной функции w(a). Наконец, если мы доба-
добавим уравнение
о = -^-у + да"(«). A30
то мы получим не содержащее интегралов представление фокальных
кривых через произвольную функцию w.
') С помощью преобразования координат (вращения) со = а, ч] =
= (х—y)IY~2, ? = (х -f- y)/V 2 это уравнение можно свести к уравнению
<л? — «л!? = 1 для функции @E,7)); это уравнение можно изучать способом,
аналогичным использованному выше.
§ 6. Примеры 101
Множество всех характеристик задается уравнениями
u ax\
с тремя параметрами а, Ъ, с и независимой переменной х.
Характеристические уравнения имеют вид
dx : dy : du : dp : dq = q : p ; 1 : 0 ; 0. A4)
Таким образом, характеристики снова являются прямыми и соот-
соответствующие касательные плоскости постоянны вдоль всей линии.
Поэтому уравнения характеристик таковы:
" У = ^х + Уо> u — -fiX + u0. A5)
Наконец, мы решим задачу Коши для начальных значений
а (О, уо) = uo = v(yo), которые мы считаем заданными произвольным
образом. Мы сразу получаем
q @, у0) = v' (у0), р @, yQ) = 2г;/(уо) .
Таким образом, уравнения
и = —г?—г x-\-v(yn),
дают решение задачи Коши, если выразить у0 через д; и у из вто-
второго уравнения и подставить в первое. Сравнение с решением
и = 2ах + aw'(a) + w (а),
полученным из формул A3), показывает, что эти решения можно
следующим образом преобразовать одно в другое. Мы введем новый
параметр у0 вместо а при помощи уравнения yo — 2a2w' (а), а затем
получим новую функцию v (у0), определенную уравнением
v (у0) = (aw (a))' = aw' (a) -\-w(a).
В силу соотношений
¦&L = 2a[2w' (а) + aw" (а)] = 2а (aw (a))",
,, . dv (у0) . . . .,, da 1
v'(v0) = —,ууа> — (aw(a)) -т— = тг-.
v-^u/ dy0 v к '' dy0 2a
два эти представления решения переходят одно в другое.
102 Гл. II. Общая теория уравнений первого порядка
Оба предыдущих примера являются частными случаями общего
дифференциального уравнения в частных производных
F(ux,uy) = 0, A7)
для которого справедливы аналогичные соотношения. Из характери-
характеристических уравнений
dx:dy:du:dp:dq = Fp:Fq: (pFp -\-qFg): 0 : 0 A8)
мы, как и выше, видим, что характеристические полосы состоят из
прямых линий с одной только соответствующей касательной пло-
плоскостью, и в результате решения оказываются развертывающимися
поверхностями. Это становится еще более ясным, если мы заметим,
что можно построить полный интеграл, состоящий целиком из пло-
плоскостей. Для этого мы предположим, что уравнению F(p, <7) = 0
удовлетворяют две функции параметра а: р (а) и q (а). Мы получаем
полный интеграл
и — р (а) х -J- q (а) у -f- b,
состоящий целиком из плоскостей.
3. Дифференциальное уравнение Клеро 1). Мы снова рассмот-
рассмотрим дифференциальное уравнение Клеро
и = хих-\-уиу-\-/(иЛ, иу). A9)
В гл. I, § 4 мы нашли семейство плоскостей
и = ах + by + /(а, д), B0)
которое является полным интегралом. Решения, полученные из пол-
полного интеграла с помощью образования огибающих, даются форму-
формулами
u = ax-\-w{a)y-\-f (a, w(a)),
эти решения представляют развертывающиеся поверхности. Таким же
способом мы устанавливаем, что все интегральные поверхности, по-
порождаемые семействами характеристик, являются развертывающимися;
из характеристических уравнений
dx :dy \du: dp :dq —
¦ 0 : 0 B2)
мы, как и выше, заключаем (см. п. 1, 2), что характеристические
полосы состоят из прямых линий с одной только соответствующей
касательной плоскостью.
') См. гл. 1, § 4 и 6.
§ 6. Примеры ЮЗ
Мы рассматривали особое решение дифференциального уравне-
уравнения A9) (см. гл. I, § 4, п. 6). Предполагая, что faafbb — f2ab + 0, мы
получаем это решение, разрешая уравнения
x = — fa, y = — fb
относительно а и b и подставляя их в уравнение
и = ax-\-by-\- f (a, b);
через координаты касательной плоскости ?, -q, ш это решение пред-
представляется просто как опорная функция
"> = — /(?. 1)- B3)
Теперь все решения можно легко связать с особым решением.
Заметим, что плоскости, составляющие полный интеграл, совпадают
с касательными к особому решению и что характеристики являются
линиями касания. Поэтому вся совокупность решений уравнения Клеро
состоит из развертывающихся поверхностей, касающихся особого
реше 1ия. Таким образом, задачу Коши легко можно решить, выбрав
плоскости, касающееся как начальной кривой, так и особого реше-
решения, и построив их огибающую.
Можно было бы непосредственно из самого дифференциального
уравнения получить, что конус Монжа в точке Р есть конус с вер-
вершиной в точке Я, касающлйся особого решения. Кроме того, конус
Монжа является также интегральным коноидом.
4. Дифференциальное уравнение трубчатых поверхностей.
Поучительный пример дает дифференциальное уравнение трубчатых
поверхностей, упомянутое в гл. I, § 4:
«2(Р2 + 92+1)=1- B4)
Семейство сфер
(ж —аJ + (у_&J + «а = 1 B5)
есть полный интеграл уравнения B4). Геометрически очевидно, что
характеристики являются большими кругами этих сфер, параллель-
параллельными оси и.
Аналитически это следует из характеристических дифференциаль-
дифференциальных уравнений
dx : dy : du : dp:dq — и*р : Фч : A — и2) :(—•?-): (— j). B6)
из которых мы находим, что
Мы сразу получаем уравнения
X — « = — up, y-~b = —uq, p = cq,
104 Га. И. Общая теория уравнений первого порядка
где а, Ь, с — постоянные интегрирования. Из этих уравнений и из
соотношения B4) мы получаем уравнения
и (х — а)/(у — Ь) = с; таким образом, характеристическими кривыми
являются описанные выше круги. Более того, из соотношений
(х — а): (у — Ь) : и = р : q : (— 1)
следует, что нормаль к касательной плоскости в любой точке круга
направлена всегда к центру этого круга.
Остальные интегральные поверхности являются огибающими одно-
параметрических семейств сфер радиуса 1, центр которых передви-
передвигается вдоль некоторой кривой на плоскости х, у. Если кривизна
этой кривой, называемой осью трубчатой поверхности, меньше, чем
кривизна единичной окружности, то трубчатая поверхность будет
действительно иметь форму трубки. Ее характеристические круги
тогда не имеют огибающей. Однако они ее имеют, если радиус кри-
кривизны оси меньше единицы; тогда они порождают ребро возврата
интегральной поверхности. Эти ребра возврата являются фокальными
кривыми нашего дифференциального уравнения. Проекция такой фо-
фокальной кривой на плоскость х, у является эволютой осевой линии
нашей „трубки". Эти соотношения легко сделать наглядными с по-
помощью конкретных примеров или моделей.
б. Соотношение однородности. В качестве последнего примера
мы рассмотрим соотношение однородности (ср. гл. I, § 1)
px-\-qy = hu, B7)
где h — постоянная. Интегрируя характеристические дифференциаль-
дифференциальные уравнения
dx : dy ¦ du = x : у : ha, B8)
мы получаем уравнения
" х ~h C2Q4
хп у
Следовательно, общее решение рассматриваемого дифференциального
уравнения дается формулой и = xhV (у/х), где V — произвольная
функция, или формулой u = yhv(yjx), где v — произвольная функ-
функция; это значит, что и — однородная функция х и у степени h.
Другое представление общего решения получается из полного
интеграла
С помощью уравнений
и = axh ~\- w (a) yh,
0 = xh-\-w'(a)ylt,
§ 7. Общее уравнение с п переменными 105
Так как из второго уравнения можно выразить а как функцию от-
отношения х/у, мы снова получаем, что и есть общая однородная
функция степени h.
§ 7. Общее дифференциальное уравнение
с п независимыми переменными
Теория общего дифференциального уравнения в частных произ-
производных первого порядка
F(xvx2 х„, и, pv р2 рп) = 0 (^pi = ~]j A)
в случае п независимых переменных аналогична соответствующей
теории для п = 2. Поэтому мы не будем повторять ее геометриче-
геометрического обоснования, а выясним в основном роль характеристических
полос.
По аналогии с § 3 мы поставим в соответствие дифференциаль-
дифференциальному уравнению F — 0 систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
для 2п-\- 1 функций х{, и, рь параметра 5. Система B) называется
характеристической системой дифференциальных уравнений,
соответствующей дифференциальному уравнению A).
Функция F(xL, и, pj является интегралом этой системы, так как
ds — jUtxi ds ^ ZdrPi ds ^r" ds ~~U
t=i i=i
для любого решения системы B).
Все решения системы B), одновременно удовлетворяющие урав-
уравнению /^ = 0, называются характеристическими полосами. Эти
полосы образуют Bя — 1)-параметрическое семейство. Кроме того,
точно так же, как в случае двух переменных, на каждой инте-
интегральной поверхности
u(xv х2 хп)
дифференциального уравнения F — 0 лежит бесконечно много
характеристических полос. Всякая характеристическая по-
полоса, имеющая общий элемент {т. е. систему значений xt, и, pj)
с интегральной поверхностью, целиком лежит на этой ин-
интегральной поверхности.
Как и в § 3, мы имеем следующую задачу Коши. Пусть (п—1)-
мерное начальное многообразие С задано с помощью непре-
106
Гл. П. Общая теория уравнений первого порядка
рывно дифференцируемых функций хг, х2, .... х„, и параметров
tv t2, .. ., tn_v причем матрица производных дх /dtk имеет ранг п— 1.
Пусть это многообразие дополнено ло многообразия полос С, за-
заданием п функций рх, p2 рп параметров tt, удовлетворяющих
тождественно по t^ условиям полосы
=1- 2
C)
Кроме того, пусть величины, определяющие полосу, удовлетворяют
уравнению F (хх, х2, ..., хп, и, рх, р2 рп) = 0 тождественно
по tt. Наша цель состоит в том, чтобы найти интегральное
многообразие
u — u{xv х2, .... *„),
т. е. решение уравнения /7 = 0, содержащее заданное началь-
начальное многообразие Сх.
Чтобы решить эту задачу, рассмотрим семейство характеристи-
характеристических полос с параметром s, начальный элемент которого, соот-
соответствующий значению s = 0, лежит в заданном начальном многооб-
многообразии полос С{, иными словами, мы рассмотрим те решения
и(s, tv t2> .... tn_x),
pt(s, tv t2, .... ^n_j)
характеристической системы дифференциальных уравнений, которые
при s = 0 переходят в заданные функции параметров tv. Если яко-
якобиан
<?(-*!. *2 Хп) ...
d(s, tlt t* ...,<„_,)' w
в силу B) совпадающий с определителем
р, • • • FPn
dtt
дх,
дх„
tn_, ••• dtn.l
нг обращается в нуль на начальном многообразии С, Ст. е. при s = 0)
и, следовательно, не обращается в нуль в некоторой окрестности Сх,
то величины s, tx tn_x в этой окрестности могут быть выра-
выражены через xv x2 хп\ подставляя эти выражения в
u{s, tv t% tn.x).
§ 7. Общее уравнение с п переменными 107
получаем однозначно определенную поверхность и = и {хх, х2 х„),
содержащую начальное многообразие С1. Теперь мы должны пока-
показать, что эта функция и является решением нашей задачи Коши.
Если подставить решения характеристической системы дифферен-
дифференциальных уравнений вместо xt, и, pt в функцию F {xt, и, pt), то она
тождественно обратится в нуль на поверхности u — u(xv х2, ..., хп).
Поэтому осталось только показать, что всюду на этой поверхности
ди
P
Этот факт проверяется так же, как в случае двух независимых пере-
переменных (ср. § 3, п. 2), и здесь мы можем этого не делать.
Остается рассмотреть исключительный случай, когда Д = 0 тож-
тождественно на Сх. Как и в § 2, из соотношения Д = 0 мы можем
сделать заключение, что существует (и— 1) функций Xv Х2 ^л-г
для которых на С1 выполняется равенство
я-1
Наша цель состоит в том, чтобы найти, при каких дополнитель-
дополнительных условиях в этом случае можно решить задачу Коши. Здесь
опять положение проясняется с помощью понятия характеристи-
характеристического многообразия, которое мы сейчас введем и будем иссле-
исследовать. В отличие от квазилинейного случая (см. § 2), когда харак-
характеристическое многообразие С было (га— 1)-мерным многообразием
в (я-f- 1)-мерном пространстве х, и, мы теперь должны рассматри-
рассматривать (п — 1)-мерные многообразия полос Cv задаваемые 2я+1 ве-
величинами xt, и, pt, которые можно рассматривать в B« —)- 1)-мерном
пространстве х, и, р.
Каждой точке Bп-{- 1)-мерного пространства х, и, р (или лю-
любому элементу поверхности в (л+1)-мерном пространстве х, и) мы
теперь поставим в соответствие систему 2я-)-1 величин
ai = Fp., (/=1,2 п)
-FXv
— компонент характеристического вектора полосы. Кроме того,
мы примем следующее определение: (и—\)-мерное многообразие
полос Cv для которого выполняется соотношение F (xit и, />г)=0,
называется характеристическим, если характеристический
вектор полосы, касается его в каждой точке. Это геометри-
108 Гл. //. Общая теория уравнений первого порядка
ческое определение, основанное на рассмотрении уравнения в Bл+ 1)-
мерном пространстве, может быть сформулировано аналитически сле-
следующим образом: вектор (а(, a, bt) должен линейно зависеть от п—\
независимых векторов dxtjdt4, ди/dt^, dpjdt^ 0=1, 2, ..., л— 1),
которые по определению касаются Сх. Пусть для (п—1)-мерного
многообразия Cj, заданного функциями xt, и, pt параметров
tv tv ..., tn_v выполняются тождественно по tv соотношение
F{xl.tt.pl) = 0 G)
и соотношение полосы
Тогда многообразие полос называется характеристическим, если су-
существует (п—1) функций \(tx, t2 ^/i-i)- таких, что удовлет-
удовлетворяются линейные соотношения !)
п-\
^=0. (9)
^о. (П)
') Эти Bл+1) соотношений между величинами х„ a, pi не являются
независимыми, так как легко проверить, что
и, кроме того,
dF VI / dU4 dU9 \ VI / dpi dxi
ж = - L к\~ы; ~ ~дтг!+FaU?+2и \Xi ж - Pi -щ
<р = 1, 2 и —1),
где
п
,т да
Отсюда следует, что, кроме условия F = 0, полученного из него соот-
соотношения dF/dt? ~ 0, условий полосы (8) и условий (9), надо предположить
выполнение только одного из условий A1), чтобы обеспечить выполнение
условий A0) и остальных (п — 1) условий A1). Однако, как это часто бы-
бывает в геометрии и анализе, из соображений симметрии целесообразно со-
сохранить написанную рыше систему зависимых соотношений*
§ 7. Общее уравнение с п переменными 109
Справедливы следующие две теоремы.
Всякое характеристическое многообразие полос Сг порож-
порождается (п — 2)-мерным семейством характеристических полос,
целиком лежащих в С,.
Всякая характеристическая полоса, имеющая общий на-
начальный элемент с характеристическим многообразием полос,
целиком лежит в этом многообразии.
Чтобы доказать эти теоремы, мы снова, как в § 2, определим
кривые tt(s) на (п — 1)-мерном многообразии tt с помощью системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
¦~f^K(tvt2 tn_x) (v = 1, 2 л —1). A2)
Эти кривые образуют (п •— 2)-мерное семейство, порождающее мно-
многообразие tt. Вдоль этих кривых можно определить одномерные по-
полосы Xi(tJ, w(/v), Pi(t^), лежащие на С\; после подстановки ty = t.l(s)
они принимают вид x^s), u(s), Pi(s); теперь мы должны доказать,
что эта полоса есть характеристическая полоса нашего исходного
дифференциального уравнения. Действительно, применяя (9), A0), A1),
мы получаем
п-\ п—\ п
i = L~3i:^ a==F ~s~
v=l v-1 (=1
n-\
Таким образом, наши функции являются решениями характеристи-
характеристической системы дифференциальных уравнений B) и, следовательно,
в силу F = 0, определяют характеристическую полосу; (п — 2)-па-
раметрическое семейство таких полос покрывает С\.
С помощью рассуждений, совершенно аналогичных примененным
в случае квазилинейных уравнений (см. § 2), вторая теорема полу-
получается как следствие того факта, что решение характеристической
системы дифференциальных уравнений однозначно определяется на-
начальными значениями.
После такого анализа характеристических мшгообразий мы мо-
можем сформулировать и доказать такие же полные результаты, как
и в квазилинейном случае.
Задача Коми для данного начального многообразия С, имеет
одно и только одно решение, если Д=?0 всюду на Cv Если же
на Сх выполняется соотношение Д = 0, то для разрешимости
задачи Коши необходимо и достаточно, чтобы С, было харак-
характеристическим многообразием. В этом случае существует
бесконечно много решений.
НО Гл. II. Общая теория уравнений первого порядка
Мы должны доказать это утверждение только для случая Д = 0.
В этом случае мы сразу можем сделать заключение о существова-
существовании п — 1 функций
таких, что выполняются соотношения (9). Если мы теперь предпо-
предположим, что функция и = и(хх,х2, ..., хп) задает некоторую ин-
интегральную поверхность J, проходящую через Сх, и положим
pi = dujdxl, то соотношения A0), A1), из которых следует, что
Сх — характеристическое многообразие, получаются сразу. Так как
pi = их. и так как справедливы формулы (9), мы имеем
п л л-1 л-1
следовательно, установлено соотношение A0). Теперь мы восполь-
воспользуемся тем фактом, что и должно тождественно по xt удовлетво-
удовлетворять соотношению
учитывая, что dpkldxi = dpi[dxk, мы видим, что это дифференци-
дифференциальное уравнение A), продифференцированное по xk. Применяя A2),
мы получим
т. е. требуемое уравнение A1).
Таким образом, мы доказали, что если задача Коши для С, раз-
разрешима, то С] — характеристическое многообразие полос.
Достаточность этого условия получается так же, как в квазили-
квазилинейном случае. Построим многообразие C'v не касательное к Cv
имеющее с С1 общее (я — 2)-мерное многообразие S, и такое, что
всюду на нем Д=?0; тогда задача Коши для С'х однозначно разре-
разрешима; решением является интегральная поверхность J'. Все характе-
характеристические полосы, проходящие через 5, и многообразие Сх, по-
порожденное этими полосами, лежат на f. Так как С'х выбрано про-
произвольно, существует бесконечно много решений задачи Коши для
многообразия Сх.
В заключение этого параграфа мы еще раз подчеркнем, что он
касается изучения вопроса только в малом. Ниже, в гл. VI, мы должны
§ 8. Полный интеграл и теория Гамильтона — Якоби 111
будем рассматривать решения на всем их протяжении, допуская осо-
особенности и многозначность; это рассмотрение в целом требует го-
гораздо больше усилий, чем локальные исследования.
? 8. Полный интеграл и теория Гамильтона — Якоба
1. Построение огибающих и характеристические кривые.
Рассмотрим дифференциальное уравнение с частными производными
F (*1. Х2 Хп' U< Pv Pi Рп) = °- О)
где р1 = ди/дх1 и 2jFp^0. Пусть имеется частное решение
u = <f(xv х2 хп, ах, а2 ап), B)
зависящее от п параметров ai (полный интеграл). Предположим, что
условие 1)
D=lvJ^° C)
выполнено в рассматриваемой области пространства х, и. Тогда оги-
огибающая произвольного (п. — 1)-параметрического семейства этих ре-
решений также есть решение. Чтобы доказать это, мы положим
ai = u>i(tv t2, .... tn_x) (/=1. 2 n),
где u)(- — произвольные функции п—1 параметров tk. Чтобы найти
огибающую, надо определить tv t2, ..., tn_1 из уравнений
как функции от xv х2, ..., хп и подставить эти ?„ в выражение
Линии касания поверхностей, заданных полным интегралом, и
огибающей оказываются характеристическими кривыми. Такая
линия касания соответствует фиксированной системе величин ?v,
du>;/d?s и af, кроме того, вдоль такой кривой выполняются соотно-
соотношения D), в силу которых функции ср„ принимают, с точностью
') Мы могли бы, как раньше (ср. гл. I, § 4, п. 2), наложить более об-
общее требование, чтобы матрица с п строками
имела ранг п.
112 Гл. II. Общая теория уравнений первого порядка
до общего коэффициента пропорциональности X, некоторые постоян-
постоянные значения b :
<?ас = Щ- E)
С помощью этих уравнений мы мож"ем задать значения \bt, соот-
соответствующие заданным значениям величин xt и а{, затем, в силу
условия C), мы можем однозначно разрешить уравнения E) относи-
относительно xt в окрестности рассматриваемой системы значений и полу-
получить функции
*Д«1. а2 ап> bv b2, •.., bn, X).
Если мы подставим эти функции в выражение
то мы получим кривую, заданную при помощи параметра X. Так как
в рассматриваемой окрестности величинам at и Ь{ можно придать
любые значения за счет соответствующего выбора функций и>{, то мы
получаем таким образом 2д-параметрическое семейство линий касания
огибающей и нашего полного интеграла. Эти кривые являются харак-
характеристическими кривыми дифференциального уравнения A) и вместе
с функциями
дают характеристические полосы. Это следует из геометрического
смысла наших полос — как полос касания.
Чтобы доказать это утверждение аналитически, мы продифферен-
продифференцируем уравнение E) по параметру X:
Здесь дифференцирование по X обозначено штрихом. С другой сто-
стороны, функция <f(xv x2, ..., хп, av a2, ¦¦-, ап) тождественно
по at и xt удовлетворяет уравнению A); если мы продифференци-
продифференцируем его по at и применим E), то получим
Таким образом, величины — (Fpk№u) удовлетворяют той же самой
системе неоднородных уравнений, что и величины x'k; так как опре-
определитель этой системы не обращается в нуль, мы можем сделать
вывод, что
§ 8. Полный интеграл и теория Гамильтона — Якоби
113
Если мы обозначим отличное от нуля выражение—1A^"« через р,
то получим
Далее, дифференцируя A) по xk, мы находим, что
или, так как в силу (8) мы имеем
V F ^PL — I V J>?L r'_IV
±A pi dxk ~~ p lu dxk xi ~
i
dpk
_Лц_ у' - l V dpk
dXi dxk xi ~~ p Li dxt
1
то
Наконец, из (8) следует, что
Так как параметр X на кривой можно выбрать так, что р—1, рас-
рассматриваемые кривые удовлетворяют характеристическим уравнениям
B) из § 71)-
2. Канонический вид характеристических дифференциальных
уравнений. Теории дифференциальных уравнений с частными произ-
производными первого порядка можно придать более ясную форму, упро-
упростив при этом вычисления, проведенные в п. 1, если неизвестная
функция и не входит явно в дифференциальное уравнение. Произ-
Произвольное дифференциальное уравнение всегда можно привести к та-
такому специальному виду, искусственно увеличив на единицу число
независимых переменных.
Для этой цели нам достаточно ввести, например (ср. гл. I, § 5),
и = хп+1 в качестве независимой переменной и выразить семейство
решений
«•= <];(.*!, х2
хп
с)
') Заметим, что можно и другими способами с помощью построения
огибающих получать решения из решения (р (.*"¦, х2, ..., хп, аи а2, ..., ап),
зависящего от произвольных параметров. Например, можно построить
огибающую я-параметрического семейства B) и прийти таким образом к
особому решению, которое, как и в случае п = 2, можно получить также
посредством дифференцирования и исключения переменных из соотноше-
соотношений F = F =0. Или можно из я-параметрического семейства с помо-
помощью произвольных функций выбрать любое m-параметрическое семейство
с m < n и построить его огибающую. Многообразиями касания в этом слу-
случае будут характеристические многообразия размерности п — пг.
114 Гл. II. Общая теория уравнений первого порядка
в неявном виде
Если мы заменим их на —?->¦/<?•*„ , A'==Ь 2, ...,«), то мы полу-
получим для новой неизвестной функции ср дифференциальное уравнение,
не зависящее явно от ср.
Для такого дифференциального уравнения мы выделяем одну пе-
переменную, например, хп+1 = х, и считаем, что оно разрешено отно-
относительно производной ср по этой переменной. Таким образом, если
вместо ср мы снова напишем и, то без ограничения общности мы
можем рассматривать дифференциальные уравнения вида
p-\-H(xv х2, ..., хп, х, pv р2 Рп) = 0,
р=их, Pi=ux. (f=l, 2, ..., п) ( }
для функции и от (п-\-\) переменных х, хх, х2, ..., хп.
Тогда характеристическая система дифференциальных уравнений,
одним из которых является уравнение dx/ds = 1 (или х — s), пере-
переходит в систему
более того, выполняются соотношения
я
dx~ A
i = i
dU Ж ' Г F 7_? "/^ ТГ /1 1 \
Одни только уравнения A0) составляют систему 2л дифференциаль-
дифференциальных уравнении для 2л величин .fy, pL. Если функции *;(;е) и pt(x)
являются решениями системы A0), то р{х) и и(х) получаются из A1)
простым интегрированием.
В механике и в вариационном исчислении (см. т. I, гл. IV, § 9
и § 9 этой главы) мы часто приходим к дифференциальным уравне-
уравнениям вида A0). Система обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений A0)
dx. dp,
dx ~ Pi' dx"~ xi'
связанная с функцией H{xv x2, ..., xn, x, pv p,2 .... pn) 2n-\-\
переменных, называется канонической системой дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
Из результатов этого пункта следует, что интегрирование диффе-
дифференциального уравнения с частными производными (9) можно свести
к интегрированию канонической системы с той же функцией Н.
§ 8. Полный интеграл и теория Гамильтона — Я'коби 115
3. Теория Гамильтона—Якоби. Гамильтон и Якоби получили
более сильный результат, показав, что это соответствие можно обра-
обратить. Конечно, интегрирование дифференциального уравнения в част-
частных производных обычно считается более трудной задачей, чем инте-
интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Однако в математической физике мы часто приходим к системам
обыкновенных дифференциальных уравнений в канонической форме.
Может оказаться, что эти системы трудно интегрировать элементар-
элементарными методами, в то время как к соответствующему дифференциаль-
дифференциальному уравнению с частными производными можно найти подход;
в частности, иногда можно легко найти полный интеграл, например,
с помощью разделения переменных (см. гл. 1, § 3). Зная полный
интеграл, можно решить соответствующую характеристическую си-
систему обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью диф-
дифференцирования и исключения. Этот факт, который уже содержится
в ранее приведенных результатах в § 4 и § 8, п. 1, формулируется
особенно просто для случая канонических дифференциальных урав-
уравнений и проверяется аналитически, независимо от приведенных выше
наводящих соображений, с помощью построения огибающих.
Прежде всего мы заново сформулируем понятие „полного инте-
интеграла" для дифференциального уравнения (9). Заметим, что для лю-
любого решения и этого дифференциального уравнения функция, и -j- a
(с произвольной постоянной а) также является решением. Если
и = ср(л;1, х2, ¦¦•, хп, х, av а2, .... ап)— решение, зависящее от п
параметров а{, такое, что определитель
отличен от нуля, то выражение
зависящее от n —f-1 параметров, называется полным интегралом.
Основное содержание рассматриваемой здесь теории заключается
в следующей теореме, аналогичной результатам, доказанным в п. 1.
Если для дифференциального уравнения (9)
полный интеграл ы —cp(Xj, х2, ••., хп, х, av a2 ап)-\-а
известен, то из уравнений
?e, = *f <?x, = Pi «=1. 2 п) A3)
116 Гл. //. Общая теория уравнений первого порядка
с 2л произвольными параметрами at и bt получается {неявно)
2п-параметрическое семейство решений канонической системы
дифференциальных уравнений A0)
dx pi' dx i'
Предположим, что из первых л уравнений A3) величины х1 вы-
выражены как функции от х и 2л параметров at, bt (это возможно,
так как по предположению ср ф 0), и будем считать, кроме того,
что эти значения х; подставлены во вторую серию уравнений A3);
таким образом, мы получим функции xt(x) и pt{x), тоже зависящие
от 2л параметров. Мы увидим, что эти функции дают общее реше-
решение системы канонических дифференциальных уравнений. Тем самым
решение этой системы сводится к задаче отыскания полного инте-
интеграла соответствующего дифференциального уравнения в частных
производных.
Самым коротким доказательством этого утверждения является
простая проверка, аналогичная той, которая проведена в п. 1 !).
Чтобы показать, что так определенные функции xt(x) и pL{x) удо-
удовлетворяют уравнениям A0), мы продифференцируем уравнения
<ya. = bl по х и уравнение
1' х' гЬ(-) =
по а(, мы получим 2л уравнений
дх da.i
vi d2(f дхь „
Jm4 дхь dai дх '
п
V н d2f п
/ j ПРи д.. л ' = U>
н
дх dai TiJ 'i dxh dat
k— l
из которых следует первая серия уравнений A0), так как определи-
определитель 4akx.\ не обращается в нуль. Чтобы проверить вторую серию
соотношений A0), мы продифференцируем уравнения © =р, по х
xi l
и уравнение <fx-{-H(xl, x, cp^ = O no xt и получим уравнения
д\ dxk
dx dxbx~i ?d dxt дХ/f дх '
A4)
dx dxt ^ Zd nPk dxk dXi
') Разница между этим доказательством и доказательством из п. 1 со-
состоит в том, что здесь оставлены несимметричные обозначения.
§ 8. Полный интеграл и теория Гамильтона — Якоби 117
Так как мы уже доказали, что dx-Jdx — Нр., отсюда сразу полу-
получается вторая серия соотношений A0).
4. Пример. Задача двух тел. Движение двух притягивающих
друг друга частиц Рх и Р2, согласно закону тяготения Ньютона,
описывается дифференциальными уравнениями
пцхг = их ,
1112X2 = Uх . Ш2У2 = Uу . rtllZi = Uг ,
где мы полагаем
U =
Х-'2)*
Легко видеть, что такое движение всегда будет происходить
в некоторой плоскости; поэтому мы можем выбрать плоскость, в ко-
которой происходит движение, за плоскость х, у нашей координатной
системы и считать, что точка Р2 расположена в начале координат.
Тогда для положения (х, у) частицы Рх мы получаем уравнения
r y?^ A6)
где k2 = y.2mlm2-
Если мы введем функцию Гамильтона
2 У
то система A6) окончательно перейдет в каноническую систему
дифференциальных уравнений
для величин х, у, р — х, q~y; интегрирование этих уравнений
эквивалентно задаче нахождения полного интеграла дифференциаль-
дифференциального уравнения с частными производными ')
Если мы введем полярные координаты г, 6, то мы получим из A9)
уравнение
*?
') См. также гл. I, § •% п !¦ ппимер 4
118 Гл. II. Общая теория уравнений первого порядка
ясно, что это уравнение имеет семейство решений
«p=_orf-pe-J у 2*+-±--^-d9, B1)
зависящее от параметров аир.
Согласно основной теореме из п. 3, мы получаем тогда общее
решение системы A8) в виде
д<р д<р о
~да ~ °' ~df== 0>
или в явной форме
B2)
Второе уравнение дает нам траекторию (или путь частицы),
первое определяет движение по этому пути как функцию времени t.
Если* ввести переменную интегрирования р' = 1/р. то траектория
вычисляется в явном виде и дается формулой
Р2 1 .
I — 6n= — arc sin
/
или, если мы положим
формулой
О **~~" Ол — '— ~~-~- ЭГС о1П 2
т. е.
г
1 — ?2 sin F — 60)
Траектория является эллипсом, параболой или гиперболой, если
е<1, ?=1 или ?>1 соответственно1).
б. Пример. Геодезические на эллипсоиде. Дифференциальные
уравнения геодезических и=и($), v — v(s) на поверхности
х — х{и, v), y = y(u, v), z = z(u, v),
') Общее рассмотрение уравнений B2) см. в книге Курант [1J.
§ 8, Полный интеграл и теория Гамильтона — Якоби 119
согласно изложенному в т. I, гл. VI, § 9, могут быть записаны
в следующей канонической форме
ч3 = Нр, ps=-Hu,
vs — nq, qs— nv,
где мы полагаем
P = Eus-\-Fvs,
q = Fus + Gvs
и
H = 1 -EG-
причем
Следуя п. 3, мы рассмотрим дифференциальное уравнение в частных
производных
\ ^ + Ч) = °. B4)
соответствующее системе B3); наша цель состоит в том, чтобы найти
полный интеграл этого уравнения. Если положить
то функция ф будет удовлетворять уравнению')
fv + Efv = EO- F>. B5)
Нас интересуют интегральные кривые системы, а не специальное
параметрическое представление этих кривых; следовательно, доста-
достаточно найти однопараметрическое семейство решений ф(«, V, а) урав-
уравнения B5), из которого, согласно основной теореме (п. 3), можно
получить двухпараметрическое семейство геодезических в виде
В частном случае эллипсоида
х2 V2 г2
') См. также § 9, п. 3.
120 Гл. //. Общая теория уравнений первого порядка
как легко проверить, имеет место следующее параметрическое пред-
представление (см. т. 1, стр. 200):
х =
/~ а (и — а) (у — а)
V (Ь — а)(с — а) '
(c-b)(a-b) '
7 _ 1 /ГТ<КЕ1СШЕЛ
*~ V (а — с)(Ь-с) ¦
Отсюда следует, что
Е — {и— v)A(u),
F = Q, B8)
G = (v- и) А (у),
где использовано сокращенное обозначение
А( \ и
А( \
А\п) — % ja_u)(b_И) (с — и) '
Таким образом, для функции й>(и, v) мы получаем дифференциальное
уравнение с частными производными
A (v) fu - А (и) ф2 = (и -V)A (и) А (V), B9)
и, полагая ^(и, v) ==f(u)-\-g (v), мы сразу находим семейство
решений
и v
ф(«, v, а)= \ У A(u'){u' -f~a)du' -\- f У A {v')(v' -f-a) riv', C0)
зависящее от параметра а.
По формуле B6) мы находим уравнение геодезических на
эллипсоиде:
C1)
^ 9. Теория Гамильтона — Якоби
и вариационное исчисление
Теория Гамильтона — Якоби дифференциальных уравнений с част-
частными производными первого порядка тесно связана с классическим
вариационным исчислением1). Нахождение решений уравнений
') См. обширный труд Каратеодори [1].
§ 9. Теория Гамильтона — Якоби и вариационное исчисление 121
с частными производными первого порядка, в которые явно не входит
неизвестная функция, эквивалентно отысканию таких функций m;(s),
что вариация интеграла
t
J=~JF(uv «2 «„, uv и2, ип, s)ds A)
обращается в нуль. Здесь u1(s), u2(s), ..., un(s) — функции пара-
параметра s, точка обозначает дифференцирование по s, a F (ut, uL, s) —
дважды непрерывно дифференцируемая функция своих 2п-\-\ аргу-
аргументов в рассматриваемой области!). Теперь мы коротко объясним
эту связь и тем самым снова получим результаты, изложенные в § 8,
и достигнем более глубокого их понимания.
1. Дифференциальное уравнение Эйлера в каноническом виде.
Экстремали вариационной задачи A) (см. т. I, гл. IV) задаются си-
системой п дифференциальных уравнений Эйлера. Это уравнения
второго порядка для функций av(s):
Теперь мы можем (см. т. I, гл. IV, § 9) заменить вариационную
задачу эквивалентной канонической вариационной задачей, которая
приводит к системе 2я канонических дифференциальных уравнений
первого порядка для экстремалей. С этой целью мы вводим „моменты"
р-и =V, (v=1- 2 «) С3)
с помощью преобразования Лежандра.
Мы предполагаем, что величины ui можно определить из уравне-
уравнений C) в некоторой области изменения переменных ut, ut, s как
функции переменных vt, ut, s. Пусть
где F ¦ ¦ обозначает определитель порядка п с элементами
d2F/du4du . Система уравнений
(б)
1
!) Определения и обозначения см. в т. I, гл. IV, § 3.
122 Гл. II. Общая теория уравнений первого порядка
задает тогда преобразование Лежандра и обратное ему пре-
преобразование, где н,- и s остаются непреобразованными парамет-
параметрами (см. гл. I, § 6); мы сразу получаем дальнейшее соотношение
=0. F)
Дифференциальные уравнения Эйлера переходят в каноническую
систему
v = — Lu ,
(Г)
Ui = Lv
с функцией Лежандра L(uv . . ., ип, vv . . ., vlV s), соответствую-
соответствующей рассматриваемой вариационной задаче. Эти канонические диф-
дифференциальные уравнения являются системой уравнений Эйлера для
некоторой вариационной задачи — канонической формы данной
вариационной задачи (см. т. I, гл. IV, § 9). Эта задача эквива-
эквивалентна исходной и имеет вид
1 г п \
s Г ( 2 «Л, — L (Pi' «<¦ s))ds — 0,
J \v=l /
t
или
i /л . \
8 I I 2 "v^ 4"~ ^ (^j- M/' s) ) ds = 0,
f \v=l /
где 2/г аргументов «;, vt являются функциями параметра s. Пере-
Переменные ut и W; называются канонически сопряженными.
Заметим, что канонического преобразования не существует, если
функция F — однородная') степени единица относительно перемен-
ных uv например, если F = I/ 2j ut (см-' однако, п. 3). Следует
заметить, что если выполнено условие D), то формула E) дает воз-
возможность обратить построения, которые привели от представления
экстремалей в форме Эйлера к каноническому представлению; иными
словами, в вариационной задаче любой подинтегральной функ-
функции F(ut, ut, s) соответствует функция Лежандра L{vt, ut, s),
и наоборот.
Каноническая система дифференциальных уравнений Эйлера G)
совпадает с характеристической системой дифференциальных уравне-
уравнений для дифференциального уравнения с частными производными
первого порядка
Js + L(Jur ui, s)=^0 (8)
') Определитель в формуле D) тогда тождественно равен нулю.
§ 9. Теория Гамильтона — Якоби и вариационное исчисление 123
с неизвестной функцией J(uv и2, ..., мя, s). В п. 2 и 4 мы увидим,
что уравнение (8) имеет непосредственное значение для вариационной
задачи.
2. Геодезическое расстояние, или эйконал, и его производ-
производные. Дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби. Теперь
мы сделаем дополнительное предположение о том, что в некоторой
области (п-{- 1)-мерного пространства переменных ut, s каждую пару
Рис. 2.
точек A(*v х2, ..., х„, г) и B(qv q2, .... qiv t) можно единствен-
единственным образом соединить экстремалью (см. рис. 2). Такую экстремаль
и соответствующие моменты можно представить через параметры хA
т, qt, t в виде
«, = /,(*. V. ?,.*). (9)
«, = *,(*. *t. '. ?/• О- (9')
В частности, мы имеем для точек Л и 5 соотношения
?» = /,('• *4. '. ^. О-
Направление экстремали в этих точках дается формулами
*,-«,(Л)=/,(т, «,, х, ?;, О,
jv = и, (В) = /',(/. v т, ?/1 0;
здесь точка обозначает дифференцирование по первому аргументу s
(дифференцирование по экстремали). Величины A1), а также так
называемые функции поля (т. е. моменты z>v в конечных точках)
*v = ?"v(T> V т> ?г 0 —Fi (*'• ч'' т)'
" • A2)
являются функциями 2ft -f- 2 величин х(, т, qt, t.
124 Гл. [[. Общая теория уравнений первого порядка
Если мы введем функции (9) и (9') в интеграл вариационной
задачи
J=JF(ui, ut, s)ds-
то этот интеграл станет функцией 2я —j— 2 переменных %t, t, qt, t:
Эта функция называется геодезическим расстоянием между
точками А и В; это название связано с тем, что вариационную за-
задачу можно рассматривать как обобщение задачи об отыскании
кратчайшего пути между двумя точками в пространстве. Функция
7(хг, т, qt, t) допускает также оптическую интерпретацию. Будем
рассматривать s как время и положим
F — ¦
V(ut, иь s)
где функция V — скорость распространения света в пространстве uv
зависящая от положения, направления и времени. Если мы предпо-
предположим, в соответствии с принципом Ферма о наименьшем вре-
времени распространения света (см. т. I, гл. IV, § 1), что лучи
света являются экстремалями нашей вариационной задачи, то функ-
функция J даст время, необходимое для того, чтобы свет прошел рас-
расстояние от А до В. В оптических задачах функцию J называют
эйконалом.
Основная задача данной теории состоит в том, чтобы выразить
производные эйконала J по его 2л -f- 2 аргументам через функцию F.
Частные производные эйконала определяются формулами
Jt= -L (Pi, qt. t) = F (qt, qt, /) - S qfj ,
v-l v A0)
J,=P^Fi (v=l. 2 n)
JT = L («„ *„ т) = - F (i,, у,., т) -f 2 if K.
\ — — w, = — Fi4 (v=l. 2 n),
которые вместе дают соотношение
qt, 08/+2лЧ+М"(. */. x)8t— J] и,8ч ; A5)
v=l v=l v
здесь qL, v.t, pt, n; определяются формулами A1) и A2).
§ 9. Теория Гамильтона — Якоби и вариационное исчисление 125
Эти формулы проще всего получить непосредственно из канони-
канонического представления вариационной задачи. Рассмотрим 2п-\-2
координат начальной точки А и конечной точки В как непрерывно
дифференцируемые, но в остальном произвольные функции параметра е;
дифференцирование по этому параметру будем обозначать симво-
символом Ь. Учитывая, что для экстремалей выполняются канонические
дифференциальные уравнения G), мы получим
= [ 2 <7v/>, - L (Л. 4i. 01 bt - [ J] *>, -?(«,, *„ x)J
V=l 1
= [ S ?vPv - i (Pf Qi- О J « - [ S ^v^v - i («/• */¦ t) I
V=l 1
Из формул A0) непосредственно следует, что
Так как
[я П Г л
v=l J b=l
4-
мы имеем
»
v=l
т. е. как раз требуемое соотношение A5).
Мы можем сразу исключить моменты pt из уравнений A3). Та-
Таким образом мы получим дифференциальное уравнение Гамиль-
Гамильтона — Якоб и
Jt + L(J4., qh <) = 0 A6)
для геодезического расстояния J как функции конечной
точки В; это уравнение называется также уравнением эйконала.
Оно совпадает с уравнением (8) из п. 1. Как было отмечено в п. 1,
характеристические уравнения для уравнения A6) совпадают с на-
126 Гл. II. Общая теория уравнений первого порядка
шими каноническими дифференциальными уравнениями, т. е. ха-
характеристики уравнения Гамильтона — Якоби A6) являются
экстремалями канонической вариационной задачи.
3. Однородные подинтегральные функции. В том исключи-
исключительном случае, когда F есть однородная функция степени единица
относительно величин mv, можно также провести соответствующие
рассуждения. В этом случае мы имеем
п
F ^ ^ =0, а также L = — f+2"/; =0>
и переход к канонической форме с помощью преобразования Ле-
жандра не может быть осуществлен. Однако, в этом случае, как
и в п. 2, уравнения У ==—Z. = 0, J =F- сохраняют силу, и,
кроме того, выражения F • однородны степени нуль относительно <7V.
Следовательно, отношения чисел дч могут быть выражены через про-
производные Jq , а соотношение однородности
заменяет дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби.
В качестве примера рассмотрим случай геодезических линий,
соответствующий равенствам
где коэффициенты ащ квадратичной формы Q являются функциями
от uv и2, .... ип. Мы получим
п
J = 0, J = F • = 7 ^
или
где числа /4v[JL составляют матрицу, обратную по отношению к мат-
матрице at . В силу соотношения однородности, умножение на F • =J
и суммирование дают уравнение
§ 9. Теория Гамильтона — Якоби и вариационное исчисление 127
в качестве дифференциального уравнения Гамильтона — Якоби для
геодезического расстояния J; отсюда получается дифференциальное
уравнение
для величины Г==У2. Например, в случае евклидова расстояния, когда
I/ 2 "v.
w v — 1
F = I/ 2 "v. мы получаем дифференциальное уравнение
1
л.
Так как s не входит явно в F, тот же общий результат, т. е. урав-
уравнение A7), можно получить для задачи о геодезических кривых, вы-
выбирая параметр s таким образом, чтобы было Q = F2=\. Из диф-
дифференциальных уравнений Эйлера
или A8)
d Q I
-i о —n
q VqWu'~
ds Vq
мы тогда получаем
Эта система линейных дифференциальных уравнений всегда имеет Q
в качестве интеграла1); таким образом, мы можем, не вызывая про-
противоречий, наложить дополнительное ограничение Q=l. Теперь мы
можем привести новые дифференциальные уравнения A8') к канони-
каноническому виду, так как они относятся к квадратичной подинтеграль-
ной функции Q, а не к функции YQ • которая является однородной
') Доказательство. На некоторой акстремали Q становится функ-
функцией s с производной
ds v-tl \u" ?\ ",""'
В силу соотношения однородности, правая часть равна
v ds
Из A8') тогда вытекает, что dQ/ds = 2dQ/ds, и, следовательно, что dQ/ds = 0.
128 Гл. //. Общая теория уравнений первого порядка
степени единица. В силу однородности Q, каноническое преобразо-
преобразование с функцией Н вместо L дает
u\ = HPi, (v = l, 2, .... и)
п == — Н
Из дополнительного условия Q = I мы немедленно получаем
H(Jur Ul)=l.
что эквивалентно нашему уравнению A7).
4. Поле экстремалей. Дифференциальное уравнение Гамиль-
Гамильтона— Якоби. Вернемся к функции расстояния J, рассмотренной
в п. 2. Если мы зафиксируем начальную точку А, то J станет функ-
функцией я-f-l координат q^, t одной лишь конечной точки В и будет
удовлетворять дифференциальному уравнению Гамильтона — Якоби
A6); мы предположим, как было подчеркнуто раньше, что конечная
точка В может находиться только в области, для которой экстре-
экстремали АВ, а следовательно, и функции поля, заданные формулами
A1) и A2), определены однозначно. Такая область вместе с соот-
соответствующим семейством экстремалей называется полем.
Понятие поля и связанной с ним функции расстояния от п-\- 1
переменных, удовлетворяющей уравнению Гамильтона — Якоби, можно
теперь расширить. Мы определим геодезическое расстояние не
только от фиксированной точки, но и от фиксированной началь-
начальной поверхности
T(%v ч2, .... ч„, т) = 0.
Это понятие геодезического расстояния возникает следующим обра-
образом. Мы временно считаем фиксированной конечную точку экстре-
экстремали В и ищем такую начальную точку А на заданной поверхности
7>„ xj, .... -/.„, т) = 0, B3)
что геодезическое расстояние J(A, В) остается стационарным, когда
варьируется точка А. Таким образом, в формуле A5) мы должны
положить равными нулю вариации 5^v, 8^ координат конечной точки В,
и, так как 87 = 0, мы получаем условие
( н 2,,
для начальной точки А. Это условие должно выполняться всегда,
независимо от того, каким именно образом варьируется начальная
§ 9. Теория Гамильтона — Якоби и вариационное исчисление 129
точка на заданной поверхности 7" = 0, т. е. формула B1) должна
быть следствием уравнения B0) или его же в продифференцирован-
продифференцированном виде
v=l
Это требование эквивалентно следующему условию (так называемому
условию трансверсальности, см. т. I, гл. IV, § 5):
(—Z.): те, = 7\ : У% (v=l. 2 п), B2)
где L = L{Tzt, v.t, т), или условию
\F ~ jb'x F- \:F- =Т :Т ,
B2')
где F = F fa, ¦/;, х). Условие трансверсальности является соотноше-
соотношением между координатами точки на поверхности Г —0 и произ-
производными y.v, или канонически сопряженными величинами и,, экстре-
экстремали. Экстремаль, удовлетворяющая условиям B2) в точке А, на-
называется трансверсалью к поверхности Г = 0. Если построить
трансверсаль в каждой точке такой поверхности, то эти кривые
дадут «-параметрическое семейство.
Предположим, кроме того, что для каждой точки некоторой
области на поверхности Т мы можем построить такую трансверсаль
и что семейство этих трансверсалей покрывает некоторую область
в пространстве, примыкающую к области на поверхности, или, дру-
другими словами, образует поле экстремалей, так что через каждую
точку области проходит в точности одна экстремаль. Тогда каждой
точке В этого поля соответствует единственная точка А на по-
поверхности. В этом поле величины qt и, в частности, величины ql для
экстремалей являются однозначно определенными функциями поло-
положения. Величину эйконала между А и В можно, таким образом,
рассматривать как функцию координат qt, t конечной точки В. Этот
эйконал измеряет стационарное геодезическое расстояние от точки В
до точек поверхности Г = 0, короче — геодезическое расстояние от
точки В до этой поверхности.
Случай фиксированной начальной точки А, который мы рас-
рассматривали раньше, есть предельный случай, возникающий тогда,
когда начальная поверхность (например, сфера) вырождается в точку.
Как легко видеть, в частном случае подинтегральной функции
/
т
1 -|- ^ q2) геодезическое расстояние совпадает с евклидо-
v=i
«им расстоянием по прямой. Здесь поле экстремалей состоит из
семейства прямых, ортогональных поверхности Т — 0, — специального
130 Гл. II. Общая теория уравнений первого порядка
вида я-параметрического семейства прямых. Таким образом, общее
понятие поля экстремалей есть лишь обобщение этого элементарного
понятия, когда евклидово расстояние заменяется геодезическим рас-
расстоянием, определенным нашей вариационной задачей, а прямая ли-
линия между двумя точками — соответствующей экстремалью.
Семейство поверхностей J= const называется семейством па-
параллельных поверхностей нашей вариационной задачи. Сог-
Согласно условиям трансверсальности B2), B2'), для нашего геодези-
геодезического расстояния выполняется соотношение B1); следовательно, из
формулы A5) мы немедленно получаем для геодезического расстояния
от поверхности то же самое соотношение, которое мы получили для
фиксированной начальной точки А:
п
^tp,bq4. B3)
l
Таким образом, мы приходим к следующему общему результату.
Если функции
я, = яЛя1> я2' ¦¦¦' Яп> 0 (или р, = РЛяи ч-2 яп> 0)
принадлежат полю экстремалей, трансверсальному по отно-
отношению к непрерывно дифференцируемой поверхности Т = 0,
то в этом поле частные производные геодезического расстоя-
расстояния J—J{qv q2, ..., qn, t) от поверхности Т = 0 задаются
формулами A3)
п
Jt = F(if 4l> 0—S^v =~L{Pr Яг О'
Само геодезическое расстояние удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению в частных производных Гамильтона—Якоби
(уравнению эйконала) A6)
Jt + L(J9l, qit *) = 0.
Это утверждение основано на предположении, что возможна
построение соответствующего поля экстремалей. Исключительный слу-
случай возникает, если сама начальная поверхность порождена транс-
версальными к ней экстремалями (если она „характеристическая"),
т. е. если экстремали целиком 'лежат на начальной поверхности.
Однако вполне возможно, что трансверсальные кривые касаются
начальной поверхности, но не лежат на ней; тогда они могут слу-
служить для построения поля, примыкающего к начальной поверхности
с одной стороны. Начальная поверхность называется тогда каусти-
каустической поверхностью, и вышеизложенный результат справедлив
также и в этом случае.
§ 9. Теория Гамильтона — Якоби и вариационное исчисление 131
Теперь мы сформулируем теорему, обратную предыдущей.
Если J{qv q2, •••- qn, t) есть решение уравнения A6), то
существует поле экстремалей, такое, что входящие в него
экстремали трансверсалъны по отношению ко всем поверх-
поверхностям семейства У= const, и, в частности, к начальной
поверхности J—Q. В этом случае J является геодезическим
расстоянием от начальной поверхности в рассматриваемом
поле экстремалей.
Чтобы доказать эту обратную теорему, мы будем исходить
из заданного решения J дифференциального уравнения A6). Введем
и величин pv, определяющих поле в соответствующей области, с по-
помощью уравнений
P,~Jg.,Dv Я-2 Я,г' О-
В силу A6), мы имеем
Jt=-L(pt. qit t).
Теперь мы определим «-параметрическое семейство кривых посред-
посредством системы обыкновенных дифференциальных уравнений
q, = Lpi (v=l, 2 n).
где величины
Pi — JgMv Яч. Яп> *)
подставлены в правую часть вместо переменных рг Величины pv
являются функциями параметра t на интегральных кривых этой системы
дифференциальных уравнений; дифференцирование по этому пара-
параметру дает
С другой стороны, продифференцировав дифференциальное уравне-
уравнение A6) по q^, мы получаем тождество
и, таким образом,
р\= — V
Эти уравнения вместе с уравнениями q4 = Z, показывают, что наше
семейство кривых является /г-параметрическим семейством экстрема-
экстремалей. Если в условии трансверсальности B2) мы заменим uv на Jq ,
v.j, т на qt, t и, наконец, Т на J(qx, q2, .... qn< t), то мы сразу
увидим, что это семейство экстремалей трансверсально по отношению
ко всем поверхностям семейства J — const.
132 Гл. II. Общая теория уравнений первого порядка
5. Конус лучей. Конструкция Гюйгенса. В предыдущем пункте
мы решили вариационную задачу и таким образом построили решения
дифференциального уравнения с частными производными Гамильтона —
Якоби, все еще зависящие от одной произвольной функции, а именно,
решения, обращающиеся в нуль на заданной поверхности Г = 0.
Кроме того, было показано, что тем самым мы исчерпали все воз-
возможные решения этого дифференциального уравнения с частными
производными. Частный случай, когда начальная поверхность выро-
вырождается в точку, т. е. функция J становится геодезическим расстоя-
расстоянием от фиксированной точки, приводит к решениям дифференциаль-
дифференциального уравнения с частными производными, которые раньше были
названы интегральными коноидами, или конусами лучей. Соот-
Соответствующие поверхности y=const = c естественно назвать геодези-
геодезическими сферами.
Необходимо отметить, что построение поверхностей У—с, парал-
параллельных произвольной заданной поверхности Т =О, по существу
эквивалентно построению всех решений уравнения A6) с помощью
огибающих, исходя из решения, содержащего п параметров. Дей-
Действительно, поверхности 7= с являются огибающими параллельных
поверхностей радиуса с вокруг точек А на начальной поверхности.
Это построение восходит к идее Гюйгенса рассматривать в момент
t — c „фронт волны" света, исходящего из поверхности Г —О
в момент ^ — О, как огибающую фронтов сферических волн, исходя-
исходящих из отдельных точек поверхности Т=0.
Надо снова подчеркнуть, что все проведенные выше построения
делаются „в малом", т. е. относятся к достаточно малым окрестно-
окрестностям, например, некоторого луча. Рассмотрения „в целом" требуют
дополнительных рассуждений, как мы увидим ниже.
6. Инвариантный интеграл Гильберта для представления
эйконала. Данные выше выражения для производных функции J
позволяют нам рассматривать сам эйконал как криволинейный инте-
интеграл от полного дифференциала, не зависящий от пути интегрирова-
интегрирования. В поле в пространстве ut, s мы соединяем точку А с перемен-
переменной конечной точкой В произвольной кусочно-гладкой кривой С,
заданной функциями ut (s), с параметром s и производными u't (s).
Производные и моменты, относящиеся к точкам поля и соответствую-
соответствующие экстремалям этого поля, являются функциями ut, s; мы обозна-
обозначим их через u-t, vt, как в п. 1.
Для любой функции J координат точки В справедливо уравнение
J {В) ~ J(Л) = J ( 2 ./„/и, + J,
B4)
§ 9. Теория Гамильтона — Якоби и вариационное исчисление 133
причем путь интегрирования С между точками А и В произволен.
Мы рассмотрим геодезическое расстояние J от точки В до началь-
начальной поверхности Г = 0 в нашем поле (если-Л лежит на поверхности
Т = 0, то У(Л) = 0). Подставляя частные производные функции J
из формул A3), мы получим следующее интегральное представление
для эйконала между точками А : (*;, т) и В : (git t):
/ p A1 ft o\ .J ^Ll ( // ft ) P . \ /f a /Q F^4
, 0 —•/(**• ')= J (s«X —^-(f/. ursj\ds.
или
Символы м' снова обозначают производные по кривой С, а сим-
символы и^ и x»v обозначают определенные ранее величины, относящиеся
к полю, т. е. производные и моменты, которые в точках поля соот-
соответствуют проходящим через них экстремалям поля. Эти величины
рассматриваются здесь как заданные функции координат в поле.
Обратно, „инвариантный интеграл Гильберта" B5) обладает сле-
следующим свойством. Если в заданной области (п-\- 1)-мерного про-
пространства и, s заданы функции ?>,(«], и2 ип, s), ч=\, 2 п,
такие, что интеграл
в
/
¦))"»•
взятый между парой точек А и В в пространстве, не зависит от пути
интегрирования, то функции v^(ux, и2, .... ип, s) являются величи-
величинами некоторого поля экстремалей; значением интеграла как функции
конечной точки В является функция расстояния J(qx, q2, •.., qn, t),
соответствующая этому полю экстремалей.
Это можно сразу доказать, если вспомнить, что для интеграла
такого типа, не зависящего от пути интегрирования, в конечной
точке В выполняются соотношения
Следовательно, такой интеграл как функция своего верхнего предела
удовлетворяет дифференциальному уравнению Гамильтона — Якоби
A6) и наше утверждение следует из теоремы п. 4, согласно кото-
которой любое решение дифференциального уравнения Гамильтона — Якоби
есть функция расстояния некоторого поля экстремалей.
Таким образом ясно, что дифференциальное уравнение с частными
производными Гамильтона — Якоби, построение поля экстремалей
134 Гл. II. Общая теория уравнений первого порядка
¦л соответствующих функций расстояния, а также независимость инте-
интеграла вида B5) от пути интегрирования, являются эквивалентными
описаниями одной и той же ситуации.
7. Теорема Гамильтона и Якоби. Из интеграла Гильберта мы
получаем новое понимание теоремы Якоби (см. § 8). Если
J(qv <72' •••• ЯП' t. av a2 ип) — решение дифференциального
уравнения с частными производными Гамильтона — Якоби, для кото-
которого определитель Ja q I не обращается в нуль, то уравнения
Ja = bv и Jq — Pv (ч=1, 2 п) дают 2ге-параметрическое
семейство решений канонической системы уравнений.
Наш прежний результат показывает, что функция J определяет
поле экстремалей, зависящее от параметров av а2 ап, a J
в этом поле экстремалей представляется интегралом Гильберта B5).
Кроме того, дифференцируя под знаком интеграла, мы получаем
интегральное представление
A v= 1
которое, конечно, также не зависит от пути интегрирования С. Если
точка В сдвигается из начального положения Во по экстремали поля,
соответствующей системе значений a-v т. е. если рассматриваемая
дуга С является экстремалью и, следовательно, г/= mv, то подинте-
гральная функция в B6) обращается в нуль и мы имеем
Здесь bv — постоянная, равная величине интеграла между А и Во.
Обратно, если семейство кривых q^{t, av, 6V) определяется уравне-
уравнением Ja = 6V, что возможно только единственным образом в неко-
некоторой окрестности рассматриваемой системы значений at, bt в силу
условия I Ja q I Ф 0, то эти кривые должны быть экстремалями.
Действительно, подинтегральная функция в B6) должна обращаться
в нуль на дуге С из этого семейства, и мы получаем линейную одно-
однородную систему уравнений относительно разностей и'^—и, с определи-
определиF • I. С другой стороны, согласно п. 4, величины, харак-
I
телем
V (J.
теризующие поле, задаются формулами v^-=F-u —Ju . Таким образом,
наш определитель совпадает с Ju a и, следовательно, по предпо-
предположению не обращается в нуль. Тогда мы имеем и[ — #v = 0, откуда
видно, что кривые С являются экстремалями.
В следующем параграфе мы дадим другое доказательство теоремы
Гамильтона — Якоби.
§ 10. Канонические преобразования 135
§ 10. Канонические преобразования и их приложения
1. Каноническое преобразование. Каноническое представление
характеристических дифференциальных уравнений вариационной задачи
или дифференциального уравнения с частными производными первого
порядка является отправным пунктом теории канонических пре-
преобразований, имеющей важные приложения.
Пусть заданы функция L(v,., «v, s) и соответствующая канони-
каноническая система дифференциальных уравнений
«V = LV w, = -Au/ A)
Мы ставим вопрос, можно ли и каким способом преобразовать кано-
канонически сопряженные переменные nv, mv в новые переменные
^ = ^(«1- «2 V VV V2 vn)'
iov = №„(«!, «2, . . ., U,v Vv V2, . . ., Vn)
и получить таким образом из функции L(v^, av, s) новую функцию
A(tjv, u)v, /), такую, чтобы решения новой канонической системы
дифференциальных уравнений
соответствовали решениям исходных канонических дифференциальных
уравнений A). Такое преобразование переменных, или преобразова-
преобразование канонической системы дифференциальных уравнений, называется
каноническим преобразованием.
Канонические преобразования легко получить, переходя к вариа-
вариационной задаче. Действительно, наши требования выполняются, если
при преобразовании B) подинтегральная функция одной канонической
вариационной задачи переходит в подинтегральную функцию другой
такой задачи с точностью до слагаемого вида дивергенции (см. т. I,
гл. IV, § 3, п. 5), которое не влияет на дифференциальные уравне-
уравнения Эйлера. Этого можно добиться, если, например, выбрать пре-
преобразование B) так, чтобы тождественно по переменным ut, со., ut, mt
выполнялось соотношение
ut, s)e= 2 «V7, —AGfc, wr S) + ^T; D)
v=l. v_i
здесь
Г = Г(СО;, Щ, S)
— произвольная дифференцируемая функция и
v=l v=l
136 Гл. //. Общая теория уравнений первого порядка
Наше уравнение D) перейдет в уравнение
ч) = I
и так цак оно должно выполняться тождественно по uw, u>v, mv, cov,
мы сразу получаем следующую теорему: уравнения A) переводятся
в уравнения C) посредством канонического преобразования, которое
зависит от произвольной функции W (<ov, mv, s) и получается из соот-
соотношений
k=L-{-Ws.
Функция Л должна быть затем выражена через переменные cov и tjv
вместо «v и v,r
Совершенно аналогичным способом можно получить другие выра-
выражения, определяющие канонические преобразования, выбирая другие
переменные и в соответствии с этим, исходя из второй формы кано-
канонической вариационной задачи, данной в § 9, п. 1, стр. 122. Напри-
Например, пусть W—произвольная функция vw, cov, s. Тогда уравнения
A=L-WS
дают каноническое преобразование, если мы затем введем в Л в ка-
качестве переменных величины mv, tjv. Точно так же получаются еще
два вида канонических преобразований с помощью произвольных
функций
W(av, 7|v, s) и W (v^, u\, s).
Эти произвольные функции всегда характеризуются тем, что они зави-
зависят от одной серии старых и одной серии новых переменных.
2. Новое доказательство теоремы Гамильтона—Якоби. Наши
результаты приводят к простому новому доказательству теоремы Га-
Гамильтона— Якоби. Мы попытаемся решить заданные канонические
дифференциальные уравнения A), построив каноническое преобразо-
преобразование с функцией Л таким образом, чтобы эта функция обратилась
в тождественный нуль, так что две новые канонически сопряженные
переменные будут постоянны вдоль каждой траектории.
Мы находим эту функцию Л, предполагая, что нам известно реше-
решение J(uv и2 ип, t, av a2, ..., ап) дифференциального уравне-
уравнения Гамильтона — Якоби Jt-\-L(JU4,uv< s) = 0, зависящее не только
от независимых переменных, но и от п параметров а1% а2, ..., ап,
для которого определитель \Ju^a I отличен от нуля в рассматриваемой
области. При построении канонического преобразования мы выбираем
§ 10. Канонические преобразования 137
функцию У(м„, u>v, s) за №(wv, <uv, s) и сразу из формул E) полу-
получаем каноническое преобразование.
dJ dJ . , , ,. , dJ
Так как наше дифференциальное уравнение выполняется тождественно
по г\ = dJjdu^, u.t и s, то мы действительно имеем AssO. Новые
канонические дифференциальные уравнения имеют вид
а их решениями являются
«\= а, = const,
^v = -/flv = ^v = const;
это и есть утверждение теоремы Гамильтона — Якоби.
3. Вариация постоянных. (Теория канонических возмущений.)
Другим приложением теории канонических преобразований является
теория канонических возмущений, применяемая в физике и астро-
астрономии.
Предположим, что функция L имеет вид суммы
Z. = L,(©,, hv, s) + L2(*v и,, s) G)
и что уже проинтегрированы канонические дифференциальные уравне-
уравнения с функцией /.], т. е. мы уже имеем полный интеграл У(ич, av, s)
дифференциального уравнения с частными производными
Тогда мы преобразуем канонические дифференциальные уравнения,
соответствующие функции L, взяв J(uv, u>v, s) в качестве функции W,
порождающей каноническое преобразование. Другими словами, мы
вводим канонически сопряженные переменные с помощью формул
— Ju, 7) = — Jm
Ч V
и новую функцию Лежандра
Л = L + Js = L — Z.j = L2.
Если бы не было „возмущающего члена" ?2. т. е. если бы он
равнялся нулю, то, согласно п. 2, новые канонически сопряженные
неременные для каждой траектории системы дифференциальных ура-
уравнений были бы постоянными. Из-за возмущающего члена L2 они
138 Приложение 1 к гл. II
переходят в новые переменные, удовлетворяющие каноническим
„уравнениям возмущений"
• _ dLt ¦ дЦ_
В некоторых случаях удается существенно упростить задачу путем
такого разложения задачи интегрирования.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 К ГЛАВЕ II
§ 1, Дальнейшее изучение характеристических
многообразий
В этом параграфе будет применен несколько другой подход;
характеристики будут введены таким способом, который можно обоб-
обобщить на дифференциальные уравнения высших порядков.
1. Замечания о дифференцировании в пространстве я изме-
измерений. В некоторой области изменения независимых переменных xv
х2 хп рассмотрим функцию и (xv х2, . . ., хп) с непрерывными
производными. В точке Р с координатами xv x2 хп числа ах,
а2, ..., ап, составляющие вектор а, можно задать так, что
Через точку Р проведем прямую, точки которой выражаются через
параметр 5 следующим образом:
jfj-f- axs, x2-\~ a2s, ..., хп-\- ans.
Тогда
, п
аи ул
называется производной функции и по s или производной и „в напра-
направлении", заданном вектором а. Следовательно, в каждой точке символ
обозначает дифференцирование в направлении вектора а г).
') Если величины а,- являются непрерывно дифференцируемыми функ-
функциями положения
я/0*1. хг хп),
то направления, заданные функциями щ в каждой точке пространства, обра-
образуют поле направлений, траектории которого однозначно определяются систе-
§ 1. Характеристические многообразия 139
Рассмотрим в «-мерном пространстве (л—1)-мерную поверхность В:
cp(X[, х2, ..., хп) = 0 и функцию и(х1, х2, .... хя), производные
которой непрерывны в некоторой окрестности поверхности В. Далее,
пусть Р есть точка поверхности В, в которой
и пусть афО — произвольный вектор.
Мы будем рассматривать производную и на В в направлении,
заданном вектором а:
ди ?, ,,ч
-3F=2a^' A)
Если выполняются равенства
a, = hfXi A=1, 2, ..., /i),*
то выражение A) называется производной „по направлению нор-
п
мали"; в частности, если 2 я?=1. так что
/i
ds
то мы будем говорить о „нормальной" производной функции и
в точке Р.
Если вектор а касается В в точке Р и, следовательно, перпен-
перпендикулярен нормали в Р, т. е. если
2<?Р*, =0,
мой обыкновенных дифференциальных уравнений
{_ —. п A —. 1 О ц\
Таким образом, d/ds обозначает дифференцирование по этому параметру s.
Здесь s не обязательно должно быть длиной дуги траектории; однако, если
п
длину дуги обозначить через о, то з связано с s уравнением (da/dsJ — ^ а\.
Производная функции и вдоль кривой по длине дуги а в соответствии с этим
определяется формулой
п
ди \ ул ди
dxt •
„2 ( = 1
i
(-1
140 Приложение 1 к гл. II
то du/ds=2jalux называется „тангенциальной" производной,
i = l 1
или „внутренней" производной на поверхности В; при этом гово-
говорят, что она „лежит на поверхности В"; с другой стороны, если
п
2 atyx. Ф О, то du/ds называется „выводящей" производной, вы-
выводящей из поверхности В.
Например, выражения
для любой пары индексов i Ф k представляют собой внутренние
производные на поверхности; мы можем считать, что формула B)
дает производную в направлении, полученном при пересечении поверх-
поверхности ср = 0 двумерной плоскостью, проходящей через Р в направле-
направлении осей xt и xk.
Внутренние производные функции и на поверхности зави-
зависят только от значений и на самой поверхности; следова-
следовательно, они известны, если известны значения и на поверхно-
поверхности В. В самом деле, если в некоторой окрестности В мы введем
вместо Хр х2 хп новые независимые переменные q, ?2> •••> ^
такие, что »2, Ч3 \п являются п—1 независимыми параметрами
на В, а ?] = ср, то их = и ср*. -f- . . ., где точки заменяют выраже-
выражения, содержащие только производные и по внутренним параметрам
12> &з- • • • > ?п- Поэтому выражение
(=1 1=1 ft=2 i=l
при условии, что 2 atfx. =0. известно, если заданы значения
i = i (
и @, 12 Ъп) функции и на В.
Очевидно, что из п — 1 взаимно независимых внутренних произ-
производных функции и, лежащих на В (например, <рх.ди/дхп—ср* ди/дх{,
если срл. Ф0, /=1, 2, ..., п—1), и одной выводящей производной
(например, и ), образуя их линейные комбинации, мы можем получить
все производные функции и. Таким образом, все производные их.
известны, если на В заданы функция и и одна ее выводящая произ-
производная.
В частности, если п — 2 и хх^=х, х2 = у, то В—кривая на
плоскости х, у, которую можно задать с помощью двух функций x(z),
у 00 параметра х. В этом случае условие внутреннего лифференциро-
§ 1. Характеристические многообразия 141
вания по В имеет простой вид a^y/di — a2dx/dz = 0, или, если
выбрать соответствующий параметр t вместо т,
dx dy
2. Задача Коши. Характеристические многообразия. Теперь
мы изменим данную выше (см. § 7) формулировку задачи Коши,
отнеся все наши утверждения к /г-мерному пространству х. Пусть
в этом пространстве основное (п— 1)-мерное многообразие В задано
соотношением
у(хх, х2< ..., хп) — 0; C)
ранее (см. § 7) такое многообразие определялось п координатами xt
как функциями п—1 независимых параметров tv t2 ^л-i- Зада-
Задавая значения функции u===u(tx, t2, ..., (п_{) в точках этого много-
многообразия В, мы расширим В до многообразия С в пространстве х, и.
Точно так же, добавляя еще п функций рг, р2, ..., рп переменных
tv t2 tn-\< удовлетворяющих на В условию полосы
п
йи = 2 Pi dxt, C')
или, в параметрическом представлении,
п
да
VI dxt
мы можем расширить В до многообразия полос С{.
Опять, не решая фактически задачу Коши, мы поставим следую-
следующий вопрос. Рассмотрим начальное многообразие В с заданными зна-
значениями к или соответственно и и pt. Предположим, что функция
и(х1, х2 хп) с заданными начальными значениями в некоторой
произвольно малой окрестности многообразия В удовлетворяет ура-
уравнению F(xt, и, ихА = 0. Что следует из дифференциального урав-
уравнения для функции и и ее производных на начальном многообразии В?
Сначала мы рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравне-
уравнение
2 atuXi = a. D)
В точке многообразия В, где задана начальная функция «, соотноше-
соотношениями dXj/ds = at определяется некоторое особое направление диф-
п
ференцирования d/ds = 2 at djdxt в я-мерном пространстве х. Такое
шфференцирорание и направление дифференцирования в этой точке
142 Приложение 1 к гл. II
называются характеристическим дифференцированием и харак-
характеристическим направлением. Теперь дифференциальное уравне-
уравнение принимает вид
¦?¦-•¦ <5>
т. е. оно определяет величину характеристической производной
функции и на В, так как правая часть известна на В.
Имеет место следующая альтернатива. В рассматриваемой
точке В выполняется либо соотношение
п
т = 2 а^=?0. F)
либо соотношение
T==i«/?,, = 0. G)
Если выполняется соотношение F), то характеристическое на-
направление в этой точке выводит из многообразия В. Уравнение E),
а следовательно, и дифференциальное уравнение D), дает выводящую
производную и; таким образом, все первые производные функции и
на В или в рассматриваемой точке В определены значением и на
одном только многообразии В и дифференциальным уравнением.
Если мы применим этот результат к дифференциальному уравнению,
предварительно продифференцировав его по независимым переменным,
например, по xk, то мы увидим, что старшие производные и на В
также однозначно определены.
Если выполняется уравнение G), называемое характеристиче-
характеристическим соотношением, то du/ds есть внутренняя производная на В
и, следовательно, уже известна, так как на В задана функция и.
Таким образом, соотношение E) является ограничением на способ
задания функции и на В; это условие должно выполняться, если мы
хотим, чтобы решение и нашего дифференциального уравнения суще-
существовало в окрестности В и принимало заданные начальные значения
на В. Если оба соотношения E) и G) удовлетворяются в каждой
точке Р многообразия В, то В вместе с заданной функцией и назы-
называется характеристическим многообразием !).
Другими словами, в точке Р заданного многообразия <р = 0,
на котором произвольным образом заданы значения и, диффе-
дифференциальное уравнение либо однозначным образом определяет
') Легко видеть, что величина f совпадает с определителем, рассмотрен-
рассмотренным в § 7, с точностью до множителя, отличного от нуля; следовательно,
данное только что определение характеристического многообразия экви-
эквивалентно прежнему определению.
§ 1. Характеристические многообразия 143
производные и, либо налагает ограничения на заданные на-
начальные значения и1).
Аналогичные рассуждения справедливы для общего дифферен-
дифференциального уравнения A) из § 7:
F(xv х2 хп, и, pv р2 Р„) = 0.
Дифференцируя по независимым переменным и применяя соотно-
соотношение dpjdxl ~ dpi/dx^, мы заменяем это уравнение системой (квази-
(квазилинейных) дифференциальных уравнений, линейных2) относительно
производных dpJdXji
v=l
В качестве начального многообразия мы снова берем многообра-
многообразие В: ср = О. Мы предполагаем, что функции u(xv x2 хп),
pl(x1, х2, ..., хп) Рп(х1' Х2< ¦¦¦,хп), заданные на В, удо-
удовлетворяют соотношению F = 0 и соотношению полосы C')
п
du = 2 Рч dx^.
v= 1
В точках многообразия В мы снова определяем характеристическое
дифференцирование формулой
ds
Соотношения (8) на многообразии В переходят в равенства
В некоторой точке В они приводят к следующей альтернативе
выполняется либо соотношение
п
Т= lj?x.Fp. ^0> (П>
либо соотношение
|т,/р=0. A2)
') Эта альтернатива напоминает соответствующую альтернативу для
систем линейных уравнений (см. т. I, гл. I).
2) Такие процессы линеаризации часто будут играть важную роль.
144 Приложение 1 к гл. II
Если выполняется соотношение A1), то дифференцирование d/ds
выводит из В и формулы A0) дают производные функций pt, вы-
выводящие из В, так как правые части известны в силу начальных
условий. Таким образом, все вторые производные функции и одно-
однозначно определены на В начальными условиями и дифференциальным
уравнением.
Если в точках многообразия В выполняется характеристическое
соотношение A2), то d/ds есть внутреннее дифференцирование.
Так как в этом случае левые части соотношений A0) также известны
из начальных условий, то из формул A0) следует, что начальные
данные на В, кроме уравнения C'). удовлетворяют еще дополни-
дополнительным условиям
др.
ds ~ Х1 ¦Р'Г"'
Если у = 0 всюду на В и если выполнены дополнительные
характеристические условия A0) и условие полосы C'). то
многообразие В называется характеристическим много-
многообразием для многообразия полос, возникающего, когда на В
заданы величины и, pv p2 рп. Легко видеть, что это новое
определение эквивалентно определению, данному в § 7.
Заметим, что характеристическое соотношение можно было бы
формально получить и другим способом. Например, мы можем исхо-
исходить из того, что выражения
Pifxa - Pnfxi =Ai У = 1 • 2 n — 1) A3)
xa nfxi
дают внутренние производные функции и, если ср ±0 всюду на В,
'хп
и поэтому они известны, если только известны значения и. Таким
образом, можно попытаться вычислить значения pt на В из п—1
выражений A3) и уравнения
F(xt, и, Л) = О.
Условием, при котором это возможно не единственным способом,
является обращение в нуль якобиана этих п уравнений по перемен-
переменным
FP)
fx
0
0
Pi
, p2, ....
Fp2 ••• f
0 ...
Ф
0 ...
0
0
4
—?*
я— 1
§ 1. Характеристические многообразия 145
Таким образом, требование, чтобы величины pt не определялись
однозначно, эквивалентно характеристическому соотношению A2).
Сделаем последнее замечание, касающееся характеристического
соотношения. В нелинейном случае это уравнение приобретает смысл
только после того, как мы подставим соответствующие функции
вместо а и рг например, если мы рассматриваем характеристические
многообразия на заданной интегральной поверхности J: и —
— и(хх, х2, ..., хп). Если мы выразим и и величины р1 = ди\дх1
как функции независимых переменных xt, то соотношение A2)
если оно выполняется (не обязательно тождественно по xv х2 хп,
а только при условии <р=0), показывает, что заданное на J много-
многообразие является характеристическим. Если это соотношение вы-
выполняется не только для ср = О, а тождественно по xv x2 хп,
то оно является линейным однородным дифференциальным уравне-
уравнением относительно функции <f(xlt x2 хп). Тогда оно определяет
однопараметрическое семейство характеристических многообразий
cp = c = const, порождающее У (см. гл. I, § 5). Если мы хотим за-
записать соотношение A2) как дифференциальное уравнение в частных
производных, считая, что оно выполняется только на одном много-
многообразии <р = 0, то мы будем рассматривать следующее выражение
для этого многообразия:
где хх, х2, . . ., хп_х — независимые переменные. Вели в формулу A2)
мы подставим ф
dxt~ ^,' дх2 тлг, дхп_{ ^„_,' дх„
то мы получим дифференциальное уравнение
для функции ф только п — 1 независимых переменных. Заметим, на-
наконец, что характеристические кривые дифференциальных уравне-
уравнений A2), A5) и G) совпадают с характеристическими кривыми исход-
исходного уравнения.
146 Приложение 1 к гл. II
$ 2. Системы квазилинейных дифференциальных уравнений
с одинаковой главной частью. Новое построение теории
Исследование системы квазилинейных дифференциальных урав-
уравнений
и
S а* "^Г = *V (^=1. 2, ..., m) A)
x=l
подсказывает новый подход к теории характеристик, несколько
отличающийся от использованного в гл. II, § 7. Коэффициенты
flj, а2 ап, которые так же, как и b , могут зависеть от пере-
переменных xv х2 xtV uv u2, ..., ит, одинаковы во всех уравне-
уравнениях A). Мы будем говорить, что дифференциальные уравнения
такой системы имеют одинаковые главные части.
Сначала мы докажем следующую теорему (см. гл. I, § 5, п. 2).
Система (вида A)) т квазилинейных дифференциальных
уравнений с п независимыми переменными и с одинаковыми
главными частями эквивалентна однородному линейному диф-
дифференциальному уравнению для функции т-\-п переменных.
Пусть некоторая система решений иР и2, ..., ит уравнений A),
зависящая от параметров cv c2 ст, неявно задана в виде
(pi(Xj, Х2, ..,, X,,, Wi, U.-у, ..., Wffl) ^=^ С л,
" B)
,, хп, «j, и2, ..., ит) = ст.
Чтобы обеспечить возможность определения функций uv u2, ..., ит,
предположим, что якобиан
д(?ь ъ> •••¦ ?т)
всюду отличен от нуля. Дифференцируя уравнения B), мы получаем
dfv yr\ <Э<Р|л дщ, /|х = 1, 2 т\
~дх^ ' Zi JI^ dx7 ~~ \х = 1, 2 п)'
Умножая на а% и суммируя по ¦/., получаем
п . т. /л .\
о©.. «--1 оса.. / «-^ OU-, \
= 0.
Следовательно, в силу A)
т
уср %гл оФ
X Л v f / -J Л rift-. » *
А=1
#' 2. Системы квазилинейных уравнений 147
Мы видим, что функции ср =г ер^ системы B) удовлетворяют уравне-
уравнению C) тождественно по xv х2 хп, сг, с2 ст, т. е. все
они тождественно по xv х2 хп, uv и2, ..., ит удовлетворяют
одному линейному дифференциальному уравнению
Если мы введем обозначения
b\ = an+v u\ = x/!+\' r = m-\-n,
то уравнение C') перейдет, наконец, в дифференциальное уравнение
для функции ер C-^i* Х2 хгУ< таким образом, первая часть нашей
теоремы доказана.
Обратно, пусть даны т решений cpj, ср2, .••> <?т дифференциаль-
дифференциального уравнения C"). и пусть якобиан
d(<Pi. ъ> ¦¦¦> 9т)
V (хп + \< хп + 2> •••> хг)
нигде не обращается в нуль. Сейчас мы покажем, что функции
uv u2, ..., ит, найденные из уравнений
%(*!• Х2 Хп, «!, И2. ..., «J=V
удовлетворяют системе A). Сначала с помощью дифференцирования
мы получим уравнения
i!t 4- V ^ — = 0
дЛГ„ ' «ij ЙУ; (?Ху
Х=1
Снова умножаем на а% и суммируем по х; применяя C), получаем
или
>- дих ~ Lk ?* и дих дх,. '
х=1>.= 1
x=l
148 Приложение 1 к гл. II
Так как определитель, состоящий из величин dy^Jdu^, не обращается
в нуль, справедливы уравнения
т. е. их удовлетворяют системе A).
Согласно гл. II, § 2, интегрирование линейного дифференциаль-
дифференциального уравнения C") эквивалентно интегрированию характеристической
системы дифференциальных уравнений
Таким образом, мы видим, что система A) дифференциальных
уравнений с частными производными с одинаковыми главными
частями эквивалентна системе т-\~п обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, а именно системе
itpL—a, (x=l, 2 n)
ds * v '
D)
=l> 2 «)•
Мы воспользуемся этими результатами, чтобы снова построить
теорию характеристик для общих дифференциальных уравне-
уравнений первого порядка. Рассмотрим дифференциальное уравнение
F(xv х2 хп, и, иХ{, иХг ахп)=0 E)
и заменим его следующей системой п-±-1 квазилинейных уравнений
с одинаковыми главными частями относительно и, р1 рп, полу-
полученных с помощью функции F(xv x2 хп, и, pv p2 рп):
^,йГ / + ^==0 (/=1. 2 л),
v=l
F)
Первые п из этих уравнений формально следуют из уравнения E),
если его продифференцировать по xt и заменить их на pt, a
d2u/dxtdx^ на dptjdxs. Если сделать такую замену, то последнее
уравнение становится тривиальным.
Исходя из системы квазилинейных дифференциальных уравнений
с одинаковыми главными частями F), мы можем теперь построить
теорию дифференциального уравнения E) с n-j- 1 неизвестными
§ 2. Системы квазилинейных уравнений 149
функциями и, pt. Сначала из сделанных ранее замечаний мы выводим,
что интегрирование системы F) эквивалентно интегрированию системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
dx. dp, da n
т. е. интегрированию характеристических дифференциальных уравне-
уравнений, другим путем выведенных для F в гл. II, § 7. Далее, мы по-
покажем, что некоторая специальная задача Коши для системы F)
эквивалентна задаче Коши для дифференциального уравнения E);
это даст новую основу для решения задачи Коши, которая в гл. II, § 7
была решена с помощью характеристических дифференциальных урав-
уравнений G).
Прежде всего, ясно, что для любого решения дифференциального
уравнения E) функции и и р1 = ди/дх1 являются решением системы F).
Обратно, рассмотрим теперь систему и, pt решений дифферен-
дифференциальных уравнений F), удовлетворяющую следующим начальным
условиям. Пусть С представляет собой (га—1)-мерное начальное
многообразие в пространстве х, и, которое нигде не является харак-
характеристическим. Пусть на С заданы такие начальные значения pt, что
F = 0 всюду на С и, кроме того, на С выполняется равенство
л
<*« — 2 Л rf*v = 0. Gа)
v = l
Далее, пусть решения системы дифференциальных уравнений G),
проходящие через каждую точку С, с соответствующими начальными
значениями для pt, образуют «-мерную поверхность 5, заданную
уравнением
и = и(х1, х2 хп)
и содержащую С. Эта функция и вместе с соответствующими функ-
функциями pt является тогда решением соответствующей задачи Коши для
системы F).
Теперь мы должны показать, что она является также решением
задачи Коши для уравнения F = 0. Для этого нам нужно только
доказать, что соотношения
х2 хп) = 0,
Pi(xv х2 xn) — uxi(xv х2 xll) = Pi(xv х2, ..., хп)~0
выполняются всюду на поверхности 5. Мы принимаем во внимание,
что для функций Pi(xl, x2 хп) выполняются соотношения
_dpi__dPk. (8)
дхк dxi ' ^
150 Приложение 1 к гл. II
Кроме того, мы имеем
п
г, Vp &рч | р
v=l
и, следовательно, на основании первых п уравнений системы F)
и уравнения (8) получаем
С другой стороны, последнее уравнение системы F) можно записать
в виде
2
v=l
Таким образом, мы получаем
или, применяя сокращенные обозначения
где функции а[{х1, х2, ..., хп) надо рассматривать как известные
коэффициенты,
л
;s«^=o. (юо
На интегральной поверхности 5 мы теперь рассмотрим кривые,
определенные уравнениями G), порождающие эту поверхность.
Уравнение A00 показывает, что на каждой из этих кривых
4^ = 0;
так как R обращается в нуль в начальной точке на С, мы имеем
Я = 0 A1)
на S. Кроме того, из уравнения (9) получаем
i^iXTGr .-O; A2)
v=l ОХч v=l "Xl
§ 3. Теорема единственности Хаара 151
в то же время уравнение A0) ^ачР^ = 0 после дифференцирования
v=l
по xt дает соотношение
п п
X^ + 5X^ = 0. A3)
V=l ' V-1
Здесь bh = dajdxi — снова известная функция переменных
Х1> Х2 Хп-
Сложив равенства A2) и A3), получим уравнения вида
где величины ch — также известные функции xv х2 хп. На
каждой характеристической кривой dxjds = al эти уравнения пере-
переходят в уравнения
т. е. в систему обыкновенных линейных однородных уравнений отно-
относительно функций Pt. Однако, из формулы A0) и из начальных
условий для системы G) мы получаем следующий результат. Так
как многообразие С не характеристическое, то определитель Д,
введенный на стр. 106, не обращается в нуль. Начальные значения
для Pt равны нулю на С, и, следовательно, эти функции обращаются
в нуль тождественно. Таким образом, доказательство эквивалентности
поставленной задачи Коши для системы F) и уравнения E) закон-
закончено.
§ 3. Доказательство теоремы единственности Хаара
Решение одного нелинейного уравнения первого порядка, рас-
рассмотренное в § 7 этой главы, основано на понятии характеристи-
характеристических полос; при этом необходимо было предполагать, что первые
производные решения р и q дифференцируемы. Однако определение
решения дифференциального уравнения предполагает только непре-
непрерывность первых производных. Данное ранее доказательство суще-
существования решения не проходит при этих более слабых, но естествен-
естественных предположениях. Поэтому представляет интерес результат
Хаара [1], установившего, что для двух независимых переменных
имеет место по крайней мере единственность: задача Коши имеет
152 Приложение 1 к гл. II
не более одного решения, если предполагается только непре-
непрерывность его первых производных.
В частности, рассмотрим уравнение иу = О(х, у, и, их) и пред-
предположим, что функция О удовлетворяет условию Липшица по и и р.
Пусть и и v — два решения, принимающие одинаковые значения на
отрезке у = 0, х{ <J x <С х2; тогда они совпадают во всем треуголь-
треугольнике Т:у^>0, у^С{х — *])/&. у^(х2— x)/k, где k — постоянная
Липшица функции О по переменной р.
Доказательство. Обозначим разность между и и v через w;
и и v — решения заданного дифференциального уравнения. Вычитая
друг из друга уравнения, записанные для и и v, и учитывая, что G
удовлетворяет условию Липшица, мы получаем следующее дифферен-
дифференциальное неравенство для w:
где а и k — постоянные Липшица функции О. Заметим, что в тех
точках, где функция w положительна, это неравенство можно
записать в виде
\w
Если мы заменим постоянную а несколько большей постоянной C,
то получим строгое неравенство
\wx\. A)
Положим W = е-РУнг, мы утверждаем, что W, а следовательно, и w
тождественно обращаются в нуль в Т. Действительно, если бы функ-
функция W не была тождественно равна нулю, то она принимала бы
положительные или отрицательные значения. Предположим, что она
принимает положительные значения. Пусть она достигает максимума
в точке Р треугольника Т. Эта точка не может находиться на осно-
основании Т, так как там W равно нулю. Следовательно, направления
(—k, —1) и (k, —1) в точке Р ведут внутрь Т, и производные
по этим направлениям неположительны:
— kWx ~ Wy < 0, kWx — Wy.< 0;
отсюда
Wy>
в точке Р.
Если мы перепишем неравенство для исходной переменной w,
мы получим
что противоречит неравенству A).
Предполагая, что функция W принимает в Т отрицательные
значения, мы аналогичным образом приходим к противоречию. Сле-
Следовательно, доказано, что u = v в Т.
Теория законов сохранения 153
Кроме того, Плись показал, что для двух независимых перемен-
переменных любое решение, имеющее только непрерывные первые производ-
производные, порождается характеристическими полосами1).
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 К ГЛАВЕ II
ТЕОРИЯ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ 2)
В гл. II мы решали нехарактеристическую задачу Коши для
одного квазилинейного уравнения первого порядка. Полученная
теорема существования является локальной; было показано только,
что решение существует в некоторой окрестности начальной кривой.
Далее, в § 1, мы строили интегральные поверхности с ребром воз-
возврата; это показывает, что гладкие решения не обязательно суще-
существуют в целом.
В этом приложении мы проведем дальнейшее исследование встре-
встречающихся разрывов, ограничивающих области существования. Затем
мы покажем, каким образом решения можно все-таки продолжить за
эти особенности, интерпретируя дифференциальное уравнение как
„закон сохранения".
Рассмотрим квазилинейные уравнения вида
ut = aux, A)
где а = а (и) есть функция и. Особенности решений таких уравне-
уравнений могут возникать из начальных данных, заданных на прямой t — О,
следующим образом.
Согласно теории характеристик, всякое решение и постоянно на
каждой характеристической кривой. Наклон характеристической кри-
кривой равен—1/а(и), и так как и постоянно на характеристической
кривой, то этот наклон также постоянен, и все характеристические
кривые являются прямыми линиями.
Из каждой точки х1 на начальной прямой t = 0 выходит харак-
характеристическая кривая, наклон которой определяется значением и
в точке xv Предположим, что на начальной прямой имеется пара
точек х1 и х2, скажем хг < х2, где заданные значения их и и2 функ-
функции и удовлетворяют неравенству
а (их) < а (и2).
Тогда характеристические кривые, выходящие из точек хх и х2,
пересекутся в момент времени
/ = (*! — х2)/[а («О — а (и2)].
") См. Плись [2].
') Более общие рассмотрения по этому важному вопросу см. в гл. V,
§ 9 и гл. VI, § 4, п. 9.
154 Приложение 2 к гл. II
Так как а имеет различные значения на этих характеристических
кривых, то это показывает, что решение и не может быть непре-
непрерывно продолжено для ббльших значений времени.
Наличие особенностей можно также увидеть из следующей неявной
формулы для решения уравнения A) с начальным значением и{х, 0)—
= ?(*):
и — tp О + ta (и)) = 0.
Согласно теореме о неявной функции, и является гладкой функцией
х и t до тех пор, пока производная выражения
и — ер (jc -\-ta(u))
по и не обращается в нуль, т. е.
ta'y' ф 1.
Это условие выполняется для достаточно малых t, но нарушается,
если t становится больше (если а' и tp' имеют одинаковый знак,
такое значение t положительно, в противном случае t отрицательно).
Можно ожидать, что в той точке, где нарушается это условие, а имеет
особенности.
Приведенные выше примеры показывают, что решения квазили-
квазилинейных уравнений, вообще говоря, не существуют в целом. Но
существует теория решений в целом для законов сохранения.
Закон сохранения для одной функции и есть уравнение вида
Хг
~fudx = f(u(x2), xvt) — f(u(Xl), xvt). B)
х,
где / — заданная функция и, х и t. Это уравнение выражает тот
факт, что величина, описываемая функцией и и содержащаяся
в^отрезке {xv x2), изменяется со скоростью, равной „потоку" функ-
функции f от и через концы этого интервала. Такую форму имеют те
законы физики, которые не принимают во внимание диссипативных
процессов и таким образом выражают „свойство сохранения".
Если и есть дифференцируемое решение закона сохранения B),
то этот закон сохранения выражается квазилинейным дифференциаль-
дифференциальным уравнением
= -^:/(и. *• 0. B')
которое получается из B) дифференцированием по xv если поло-
положить затем xl = х2 — х. Однако, как мы увидим, уравнение B)
имеет также и разрывные решения. Допустив разрывные решения,
мы покажем, что в классе разрывных решений закон сохранения B)
имеет решение в целом, тогда как мы видели, что дифференциаль-
дифференциальное уравнение B') его не имеет.
Теория законов сохранения 155
Далее, в гл. V и VI, мы будем изучать „ударные" разрывы для
систем законов сохранения в пространстве любого числа измерений.
Мы увидим, что качественные свойства разрывных решений одного
закона сохранения такие же, как свойства решений систем, физически
более интересных.
Предположим, что функция / не зависит явно от х и t, и обозна-
обозначим сокращенно /„ через а = а{и). Пусть и(х, t)—кусочно-диф-
t)—кусочно-дифференцируемая функция, которая удовлетворяет интегральному урав-
уравнению B). Тогда функция и должна быть решением дифференциаль-
дифференциального уравнения
исюду, где она дифференцируема. Заставляя точки хг и х2 стре-
стремиться к точке разрыва с противоположных сторон, мы выводим
(см. подробности в гл. V, § 9) «условие скачка»
[/] = -*/[«], C)
где U — скорость распространения разрыва, а символ [g] обозначает
скачок на разрыве функции g. В случае малых разрывов мы имеем
[и] du
Так как—а есть скорость, соответствующая наклону характери-
характеристической кривой, то мы заключаем, что малые разрывы распростра-
распространяются почти с характеристической скоростью.
Рассмотрим пример
(*„)--уи2^). D)
Выполняя дифференцирование, получаем
ut = uux.
Разделив на и, находим
—i- = (log u)t = ux. E)
Обозначив log и через v, мы можем переписать E) как закон
сохранения
-?• Г v dx = exp v (х2) — ехрг»(х,). EГ)
Условием скачка C) для закона сохранения D) является соотношение
= - U. F)
156 Приложение 2 к гл. И
где «j и и2— значения и с разных сторон линии разрыва. Для E')
условие скачка имеет вид
Из этих условий мы заключаем, что если и есть разрывное ре-
решение уравнения D), то v = \ogu не является решением уравне-
уравнения E'). Можно сказать, что условия скачка не инвариантны отно-
относительно замены зависимой переменной; два закона сохранения, такие,
как D) и E), могут соответствовать одному и тому же дифферен-
дифференциальному уравнению для гладких решений, но как законы сохране-
сохранения для разрывных решений они не обязательно эквивалентны.
Далее мы покажем на примере, что решения законов сохра-
сохранения не определяются однозначно своими начальными значе-
значениями. Мы снова возьмем закон сохранения D). Функция
_| 1 для 2х <—t, ¦
| 0 для — t <2х
есть разрывное решение уравнения D), так как по обг стороны пря-
прямой 2х = — t функция и постоянна и, следовательно, является глад-
гладким решением уравнения D), а на линии разрыва 2x = t выполняется
условие скачка F). С другой стороны, функция
и'(х, t) =
1 для х < — t.
х
— у ДЛЯ — t < X < О,
О для 0 < х
непрерывна при положительных t и удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению всюду, за исключением линий jc = О и х = — t.
Отсюда с помощью интегрирования легко заключить, что и' есть
непрерывное решение уравнения D). Решения и и а' принимают
одинаковые значения при t = 0. Можно доказать более общий факт,
а именно, что для произвольных начальных значений существует
несчетное множество разрывных решений, принимающих эти началь-
начальные значения.
Среди всех этих разрывных решений существует только одно
решение, имеющее физический смысл. Это решение мы будем назы-
называть допустимым решением.
Нам необходим математический признак, характеризующий до-
допустимые решения. Рассуждение, которое мы применяли раньше для
выяснения возникновения разрывов при пересечении характеристик,
подсказывает такой признак. Разрыв является допустимым, если он
лишает характеристики возможности пересекаться. Таким образом,
мы получаем следующий критерий. Разрывное решение допустимо,
Теория законов сохранения \b"t
если любая линия разрыва пересекается с каждой стороны характе-
характеристиками, идущими вперед. Аналитически это условие означает,
что для допустимого разрыва выполняется соотношение
— a (uL) > U > — a (uR),
где uL и aR — значения а соответственно слева и справа от линии
разрыва, a U — скорость распространения разрыва.
Жермен и Бадер [1] показали, что два допустимых разрывных
решения, принимающих при /==0 одинаковые значения, совпадают
тождественно. Более общее определение допустимого решения и более
общая теорема единственности даны Олейник [2,3].
Можно сформулировать аналогичное условие допустимости для
разрывов решений систем законов сохранения. Если такое условие
применить к уравнениям течения сжимаемой жидкости, то оно ока-
окажется аналитически эквивалентным утверждению, что при переходе
через разрыв элропия потока возрастает.
Теперь мы докажем явную формулу для допустимых решений
закона сохранения с произвольными начальными условиями. Эта фор-
формула выведена Хопфом [3], Олейник [1] и Лаксом [3]. Мы предпо-
предположим, что а (и) — монотонная функция и; отсюда следует, что функ-
функция / (и) выпукла или вогнута.
Пусть g (s) — сопряженная функция для выпуклой (вогнутой)
функции / (и), заданная формулой
g-(s) = max(min) {us + / (и)};
и
мы обозначим через b(s) производную g по 5. Пусть у(х) — задан-
заданные начальные значения
и(х, О) = ср(х).
Пусть Ф (у) есть интеграл от tp, т. е.
Рассмотрим функцию
при фиксированных х и t это непрерывная функция у. Легко пока-
показать, что при фиксированном t и за исключением счетного множества
значений х эта функция имеет единственный максимум (или минимум)
по у; положение этого максимума мы обозначим через уо(х, f).
Положим
[^^) G)
158 Приложение 2 к гл. II
Мы утверждаем, что функция и, определенная формулой G),
есть допустимое решение уравнения A), соответствующее
начальному значению <р.
Доказательство этого утверждения и дальнейшие свойства реше-
решений, заданных этой формулой, см., например, в работе Лакса [2]]).
Теорема существования для законов сохранения с меньшими ограни-
ограничениями на функцию / была доказана Калашниковым [I]2).
') См. также Олейник [1, 4]. — Прим. ред.
2) Возможен другой подход к определению допустимых решений, свя-
связанный с рассмотрением „малой вязкости". Так, например, допустимое ре-
решение уравнения A) может быть определено как предел при е->0 решений
параболического уравнения «< = а (и) их-\- шхх, где $>0 (см. Олейник [4]
и Гельфанд [1]). — Прим. ред.
Глава III
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями в частных
производных порядка выше первого, настолько разнообразны, что
построение единой общей теории (как в гл. II) не представляется
возможным. Существенное различие имеется между несколькими ти-
типами дифференциальных уравнений, называемых „эллиптическими",
„гиперболическими" и .параболическими"; уравнения каждого из на-
названных типов обладают совершенно разными чертами в вопросах,
касающихся построения решений и их свойств 1).
В этой главе мы введем классификацию уравнений, руководствуясь
примерами, представляющими физический интерес. Кроме того, мы
предварительно обсудим методы решения важнейших задач. Сле-
Следующие главы будут в основном посвящены систематической теории
эллиптических и гиперболических задач2).
Некоторые классические уравнения второго порядка для функции
и(х, у, z) могут служить представителями различных типов:
уравнение Лапласа (эллиптический тип): ихх-\- иуу-\- игг = §,
волновое уравнение (гиперболический тип): ихх-\-иуу— «г2^=0,
уравнение теплопроводности (параболический тип): иг = ихх-\- иуу.
§ 1. Канонический вид линейных и квазилинейных
дифференциальных операторов второго порядка
с двумя независимыми переменными
Для линейных, а также квазилинейных дифференциальных урав-
уравнений второго порядка (или для соответствующих систем двух урав-
уравнений первого порядка) с двумя независимыми переменными клас-
классификацию можно произвести с помощью явных элементарных
') Более общий и абстрактный подход см. в работах Хёрмандера [4],
Мальгранжа [1] и Эренпрейса [1]. Обзор современных проблем см. в статье
Петровского [2]. [См. книгу Hormander L., Linear partial differential
operators, Springer — Verlag, Berlin, 1963. Готовится русский перевод. См.
также книгу: Гельфанд И. М.. Шилов Г. Е., Некоторые вопросы
теории дифференциальных уравнений, Физматгиз, М., 1958. — Прим. ред.]
2) См. также изложение Хельвига [1].
160 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
операций, не обращаясь к общей теории. Такая классификация воз-
возникает из попытки найти простые канонические формы.
1. Эллиптический, гиперболический и параболический кано-
канонические виды. Смешанные типы. Линейный дифференциальный
оператор второго порядка для функции и(х, у) задается формулой
L[u\ = auxx+2buxy-\-cayy; A)
предполагается, что коэффициенты а, Ь, с — непрерывно дифферен-
дифференцируемые функции хну, не обращающиеся одновременно в нуль
в некоторой области О.
Рассмотрим оператор
uy) = L[u]+.... B)
где дифференциальное выражение g(x, у, и, их, иу), не обязательно
линейное, не содержит вторых производных.
Наша цель — привести дифференциальный оператор B) или соот-
соответствующее дифференциальное уравнение
М«]+ ... =0 C)
к простому каноническому виду, вводя новые независимые перемен-
переменные
у), ri = <!?(x, у). D)
Обозначив через м(?, tj) функцию, в которую перейдет при этом
и(х, у), мы получим соотношения
их = и&х ¦+¦ ич«|»ж. иу = и6«ру + ич<|»у.
+ 2%9Ь + «Ф + • • •'
W 4- «,,М, + • • ¦ .
(Здесь опять точки заменяют члены, не содержащие вторых произ-
производных функции и.) Таким образом, дифференциальный оператор A)
принимает вид
где
а=а<р2+2*<рд.<ру + с<ру,
Р = «Т А + ъ (fAy + Ту W + ссруфу. F)
7 = аф?Ч-2^фу+с^.
Кроме того, а, Ь, с и а, р, ^ связаны соотношением
у-ъ№ G)
§ 1. Канонический вид дифференциальных операторов 161
и тождеством для „характеристической квадратичной формы"
Q (/, m) = al2 + 2Ww + cm2 =
где переменные /, т и /,, ]а в фиксированной точке jc, у получаются
друг из друга с помощью линейного преобразования
Функции ср, <j), определяющие преобразование D), находятся в нашем
распоряжении, так что мы можем наложить два условия на преоб-
преобразованные коэффициенты а, C, f, стремясь к тому, чтобы преобра-
преобразованное уравнение E) имело простой канонический вид.
Мы рассмотрим следующие системы условий:
(I) а = Т, р = 0,
(II) а = —•(• Р = ° (или а = Т ==°).
(III) р = т==0.
Какие из этих условий могут выполняться (конечно, всегда предпо-
предполагается, что преобразования действительны), зависит от алгебраи-
алгебраического характера формы Q(l, m), или, говоря геометрически, от
характера кривой второго порядка Q(l, m)=l на плоскости /, т
при фиксированных х, у. Эта кривая может быть эллипсом, гипер-
гиперболой или параболой. Соответственно этому в точке х, у мы назы-
называем оператор L
(I) эллиптическим, если ас — Ь2 > О,
(II) гиперболическим, если ас — Ь2 < О,
(III) параболическим, если ас — Ь2 = 0.
Соответствующие канонические формы для дифференциального опе-
оператора имеют вид
(I) А[«]»=а
или
(Ill)
а канонические формы
(I)
(И)
(III)
Л [i
«] = a% + •••
дифференциальных
и$. — ищ-\- ..
или
%,-г- ...
и« -4- ...
уравнений таковы
. =0,
. =0
= 0,
= 0.
162 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
При фиксированных х, у такой канонический вид всегда может
быть получен просто с помощью линейного преобразования, которое
приводит Q к соответствующей канонической форме. Однако, пред-
предполагая, что оператор L имеет один и тот же тип во всех точках
некоторой области О, мы хотим найти функции f и ф, которые
приводили бы L[u] к каноническому виду в каждой точке О.
Возможность такого припедения зависит от того, разрешимы ли
некоторые системы линейных дифференциальных уравнений с част-
частными производными первого порядка.
Без ограничения общности мы можем предполагать, что а Ф О
всюду в области') О; в противном случае либо выполняется экви-
эквивалентное предположение, что с Ф О, либо этого можно добиться
заменой переменных х = х'-\~у', у — х'— у'.
Чтобы определить функции (риф, задающие преобразование, во
всей области О, мы предположим сначала, что L[u] — оператор
гиперболического типа в О, и будем считать, что новые коэффи-
коэффициенты должны удовлетворять условию а = f = 0. Тогда уравне-
уравнения F) приводят к квадратному уравнению
Q = аХ2 + 2дХц + ф2 = 0 (8)
для отношения Х/|х производных 9л-АРу и у
Если оператор L[u] — гиперболический в О, то ас — Ь2 < О,
и тогда уравнение (8) имеет два различных действительных корня
jlj и X2/(j,2. Так как а Ф 0, мы можем предположить, что
тогда уравнение (8) определяет величины \х и Х2 в области О как
непрерывно дифференцируемые функции х и у. Таким образом,
в гиперболическом случае мы получаем канонический вид
Рвц+...=О. (9)
причем функции <ь и Ф определяются из дифференциальных уравнений
<Р* —*1<РУ = О. ф, —М.у = 0. A0)
Действительно, эти два линейных однородных дифференциальных
уравнения с частными производными первого порядка дают два
семейства кривых <р = const и <}i = const, которые можно также
') Здесь предполагается, что G — достаточно малая окрестность некото-
некоторой фиксированной точки. —¦ Прим. ред.
§ 1. Канонический вид дифференциальных операторов 163
определить как семейства решений обыкновенных дифференциальных
уравнений
или
a/2 — 2ft/-f с = 0,
где у рассматривается как функция х на кривой этого семейства.
Соотношение
показывает, что кривые этих двух семейств не могут касаться друг
друга ни в какой точке области О и что (рхфу — <Руфх Ф 0. Если
а = 7 = 0, то из уравнения G) следует, что {3 4= 0.
Кривые ? = <p(Jf. у) = const и rt — ty(x, у) = const называются
характеристическими кривыми линейного гиперболического
дифференциального оператора L[u].
Так как можно разделить уравнение (9) на {3, справедливо сле-
следующее утверждение. Если оператор L[u] гиперболический, т. е.
ас — ft2 < 0, то дифференциальное уравнение второго по-
порядка C) можно привести к каноническому виду
иц + ... =0, A1)
вводя в качестве координатных кривых два семейства харак-
характеристических кривых ? = const и т] = const.
Если ас — ft2 > 0, то оператор B) — эллиптический в О. В этом
случае квадратное уравнение (8) не имеет действительных корней,
по оно имеет два комплексно сопряженных корня \1 и Х2, кото-
которые являются непрерывными комплекснозначными функциями дей-
действительных переменных х и у. Никакое семейство действительных
кривых не удовлетворяет уравнениям a = f =0, т. е. не сущест-
существует характеристических кривых. Однако, если a, ft, с — аналити-
аналитические функции х, у и если мы предположим, что ср и ф — анали-
аналитические функции, то мы можем рассмотреть дифференциальные
уравнения A0) для комплексных х и у и, так же как и раньше,
привести их к новым переменным ? и tj, которые становятся тогда
комплексно сопряженными. Вводя действительные независимые пере-
переменные р и о с помощью уравнений
1+^=Р, i=p. = e. A2)
мы получим
4«e4 = B« + V
Таким образом, в эллиптическом случае уравнение приводится
к каноническому виду
•• =«ао-г-«РР+ •¦• =0. A3)
164 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
Чтобы произвести описанные выше преобразования, включающие
комплексные величины, мы должны были наложить условие анали-
аналитичности коэффициентов — очень сильное условие, по существу
чуждое задаче. Чтобы избавиться от этого ограничения, мы можем
воспользоваться следующим методом приведения эллиптического
уравнения к каноническому виду (при котором не используются
комплексные величины). Написав р и о вместо % и т] в уравнениях C)
и D), мы потребуем выполнения условий
или, в явном виде,
у + Ру3*) 4" сРу°у = О-
Эти дифференциальные уравнения с помощью элементарных алгеб-
алгебраических преобразований можно свести к следующей системе ли-
линейных дифференциальных уравнений с частными производными
первого порядка:
где
W2 = ас — ft2,
причем W можно взять с любым знаком. Из этих так называемых
дифференциальных уравнений Бельтрами мы сразу получаем
с помощью исключения одной из неизвестных функций (например, о)
следующее дифференциальное уравнение второго порядка для вто-
второй неизвестной функции:
д a?x+bb i д Ь?* + С?У __._п
lie W ¦+" ду W ~U>
Приведение этого дифференциального уравнения к каноническому
виду A3) в окрестности некоторой точки осуществляется парой
функций р, а, удовлетворяющих системе A4) и имеющих отличный
от нуля якобиан
« 4 2?у 4- ^у)-
Такие функции можно найти, если только нам известно решение
уравнения A5) с отличным от нуля градиентом. Мы увидим в гл. IV,
§ 7, что при некоторых предположениях относительно гладкости
коэффициентов (например, когда а, Ь, с имеют непрерывные произ-
производные до второго порядка) такое решение всегда существует—по
крайней мере в малом — и, следовательно, в окрестности любой
§ 1. Канонический вид дифференциальных операторов 165
точки можно ввести параметры р, а, приводящие к каноническому
ВИДу !).
Третий случай — параболический: ас— ?2 = 0. Квадратное
уравнение (8) имеет тогда один действительный корень, и мы можем
соответственно ввести одно семейство кривых ^ = ср(лг, у) так, чтобы
выполнялось равенство а —0; тогда, в силу соотношения G), мы
получим также f3 = 0, тогда как, например, для ф —jc в О имеем
"К = а ф 0. В параболическом случае мы получаем канониче-
канонический вид
«„+...=<).
Таким образом, теорема, сформулированная в начале, доказана.
Заметим, что преобразование к каноническому виду никоим обра-
образом не определено однозначно. Например, в эллиптическом случае
канонический вид не меняется при любом конформном преобразова-
преобразовании параметров р, о.
2. Примеры. Несколько примеров различных типов дифферен-
дифференциальных уравнений мы уже рассматривали в гл. I, § 1. Простейшее
гиперболическое уравнение (уравнение колебаний струны) ихх — ujt = 0
было решено полностью. Представителем эллиптических дифферен-
дифференциальных уравнений является уравнение Лапласа Дм = ихх-\- иуу = 0
(см., например, гл. I, § 1). Параболическое уравнение теплопровод-
теплопроводности ut — uxx = Q было рассмотрено в гл. I, § 3.
') Как следствие свойств р, а мы можем теперь вывести существование
единой системы параметров р (х, у), а (х, у), приводящей к каноническому
виду в целом, т. е. во всей области G. Мы будем пользоваться следующим
свойством. Если два решения системы A4) р, ли р,, а, определены в до-
достаточно малой окрестности и если W < 0, то Pi+'°i является комплексной
аналитической функцией р —|- /а; действительно, простые выкладки показы-
показывают, что удовлетворяются условия Коши — Римана. Поэтому преобразо-
преобразование, определяемое локальными параметрами, приводящими к канониче-
каноническому виду в любых двух окрестностях, конформно в пересечении этих
окрестностей. Следовательно, область G вместе с параметрами, приводя-
приводящими к каноническому виду в системе окрестностей, покрывающих G,
образует риманову поверхность (понятие римановои поверхности дано в ра-
работе Вейля [2], см. также Курант [2]), на которой аналитические функции
определяются как функции, аналитические по параметрам, приводящим
к каноническому виду. Задача нахождения единой системы параметров р, а,
приводящей к каноническому виду во всей области G, таким образом,
эквивалентна задаче отыскания комплексной функции р -f- га, однозначно
отображающей G в некоторую область плоскости р, з и аналитической
в только что описанном смысле. Это как раз та задача, которую решает
общая теорема об униформизации для плоских областей (см. данные выше
ссылки), и, следовательно, существование такого отображения обеспечено.
[Глобальное приведение к каноническому виду уравнения второго порядка
эллиптического типа с двумя независимыми переменными имеется в книге
Векуа [1], гл. II, § 7. — Прим. ред.]
166
Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
Из принадлежности уравнения к определенному типу мы выведем
важные свойства, которые не только подсказывают методы решения,
но и дают критерии, позволяющие судить, разумно ли поставлены
те или иные задачи.
1У
Рис. 3.
Иногда заданное дифференциальное уравнение может быть раз-
различного типа в различных областях (смешанный тип); например,
уравнение
у = 0 A6)
является эллиптическим при у > 0 и гиперболическим при у < 0, так
как ас — Ь2 = у.
В области у < 0 уравнение (8), т. е. уравнение
имеет два действительных корня Д/ц = + У—у; таким образом,
функции сриф удовлетворяют дифференциальным уравнениям
A7)
Они имеют решения
ср = х + 2 У-~У' $ = х — 2 У~-У-
С помощью преобразования
+ 2У— у,
A8)
уравнение A6) приводится к гиперболическому каноническому виду
для у < 0. Характеристическими кривыми являются параболы
§ 1. Канонический вид дифференциальных операторов
167
в частности, кривые ср = const — это ветви парабол, имеющие поло-
положительный наклон, кривые ф = const — ветви, имеющие отрицатель-
отрицательный наклон (см. рис. 3). Для у > 0 мы берем
?=*,
B0)
с помощью этого преобразования уравне-
уравнение A6) приводится к эллиптическому кано-
каноническому виду
1111-^И, = 0. B1)
Аналогично, дифференциальное уравнение
ихх + хиуу = 0, B2)
Рис. 4.
известное как „уравнение Трикоми"!), является
эллиптическим при х > 0 и гиперболическим при х < 0, так как
ас — Ь2 = х.
В полуплоскости х < 0 преобразование
B3)
приводит уравнение B2) к каноническому виду
Характеристическими кривыми являются полукубические параболы
ветви, направленные вниз, дают кривые tp = const, ветви, направлен-
направленные вверх, — кривые ф = const (см. рис. 4). Для х > 0 мы берем
') Это уравнение представляет особый интерес для газовой динамики.
Важная работа Трикоми [1] в настоящее время привела к обширной лите-
литературе. См., например, Берс [5] и Жермен [1]. [См. также книгу Б и-
ц а д з е А. В., Уравнения смешанного типа, Изд. АН СССР, М., 1959, где
имеется подробная библиография. — Прим. ред.]
168 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
и полагаем
с помощью этого преобразования мы получаем канонический вид
B6)
Функции B5) удовлетворяют дифференциальным уравнениям Бельтрами
°у
3. Канонический вид квазилинейных дифференциальных ура-
уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.
Обобщим приведение к каноническому виду таким образом, чтобы
охватить нелинейные, в частности, квазилинейные, дифференциаль-
дифференциальные уравнения'. Если ввести сокращенные обозначения
р=их, q = uy, r = uxx, s = uxy, t = uyy,
то квазилинейные дифференциальные операторы будут иметь вид
B8)
где а, Ь, с, d — заданные функции величин х, у, и, р, q. Такой опе-
оператор снова называется эллиптическим, если ас — Ь2 > 0, гипер-
гиперболическим, если ас — Ь2 < 0, и параболическим, если ас — Ь2 = 0.
Однако, так как а, Ь, с зависят от функции и(х, у), то тип опера-
оператора L в некоторой точке (д:, у) также зависит от и и ее производ-
производных р и q как функций х я у. Например, дифференциальный опе-
оператор иихх-\-иуу является эллиптическим в области, где и(х, у) > 0,
и гиперболическим там, где и(х, у) < 0. Аналогично, дифференциаль-
дифференциальные уравнения для двух семейств характеристик также зависят от и,
и, следовательно, невозможно a priori ввести два семейства характе-
характеристик в качестве координатных кривых для всех функций и одно-
одновременно. После подстановки в L конкретной функции и (х, у) и ее
производных р и q мы можем обращаться с L как с линейным опе-
оператором второго порядка. Если оператор L гиперболический для этой
функции и, то можно ввести характеристические переменные
?=ср(д:, у), т]=г<|)(л-, у), удовлетворяющие уравнениям A0);
§ 1. Канонический вид дифференциальных операторов 169
Аналогично, в эллиптическом случае условие, заключающееся в том,
что переменные р и о — характеристические параметры, выражается
уравнениями
< + 2»РЛ + с?1 = а*х + 2*у>у + со). B9)
«РЛ + * (Рхау + Ру°х) + СРу°у = 0.
Важнейшим шагом, позволяющим исключить зависимость от кон-
конкретной функции и в уравнениях A0) и B9), является одновремен-
одновременное рассмотрение и, х, у как функций ? и tj, вместо и как функ-
функции х и j, Если мы введем в качестве новых независимых пере-
переменных \ и у\, то уравнение L[«]=0 и уравнения A0) или B9)
перейдут в дифференциальные уравнения относительно и, х, у как
функций 5 к 1]. Чтобы получить эти уравнения, мы применим фор-
формулы дифференцирования обратных функций, выражая производные
по х, у через производные по S, i\-
чуе).
где
есть якобиан нашего преобразования. Уравнения A0) и B9) тогда
преобразуются в уравнения
0 A00
су2 — 2by x -J- ex2 = су2 — 2by x -J- ex?,
?? ->p p p ', ->a a i ^Г)
ау^Уа _ ^ (jcpyo _j_ ^px0) + cXpX, = 0.
В гиперболическом случае, когда надо рассматривать уравне-
уравнения A0'), функции Xj и Х2 зависят от и, р, q и от х и у. Если
с помощью формул C0) заменить р и q их выражениями через про-
производные по % и ч], то уравнения A0') дадут два соотношения между
величинами х, у, и и их частными производными первого порядка
по \ и t\. Как было сказано раньше, в отличие от линейного случая,
этих двух уравнений недостаточно, чтобы независимо от и(х, у) опре-
определить кривые ? = const, ¦*] = const. Они образуют теперь систему
двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно трех
функций и(Ь, г[), х(\, t\), y(?, у\), т. е. недоопределенную систему.
Это соображение подсказывает, что мы должны присоединить
исходное дифференциальное уравнение второго порядка L[u} = 0
к нашим двум „характеристическим" уравнениям и получить таким
образом систему трех дифференциальных уравнений для трех функ-
функций и, х, у переменных 5, ч\. Геометрически это означает, что мы
170
Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
ищем интегральную поверхность не в асимметрической форме и(х, у),
а в параметрическом виде, через характеристические параметры \, т;.
С помощью преобразования дифференциального выражения B8)
в гиперболическом случае легко получить из уравнения L [и]=0
следующие уравнения, в которых присутствуют только смешанные
вторые производные по ? и rt:
«=„
d
или
xi
хп Уп ип
C1)
C2)
или, если мы будем считать числа х, у, и компонентами радиус-
вектора х,
X х„) = Uey, - х^У» -^=ТТс ¦ C3)
В частности, если d = 0, то мы получаем следующий замечатель-
замечательный результат.
Канонический вид C1) гиперболического уравнения второго
порядка не зависит от а, Ь, с.
Мы должны снова заметить, что всюду в наше дифференциальное
уравнение надо вместо р и q подставить выражения C0). Си-
Система A0'), C1) трех дифференциальных уравнений с частными про-
производными для компонент радиус-вектора х и дает искомый общий
канонический вид для гиперболического случая.
Если на поверхности и (а следовательно, и в некоторой ее окрест-
окрестности) уравнение является эллиптическим, т. е. Ь2 — ас < 0, то полу-
получается другой канонический вид. Мы находим соответствующее пре-
преобразование или непосредственно из уравнений B9'), или применяя
формально только что полученный результат и вводя переменные
2 — р, 21 —о.
Мы делаем следующий вывод.
В эллиптическом случае дифференциальное уравнение B8)
= 0 эквивалентно следующей системе трех дифференциаль-
дифференциальных уравнений для величин х, у, и (или для радиус-вектора х
как функции параметров р и о):
~~ Ь О'
схех° — Ol
3
§ 1. Канонический вид дифференциальных операторов 171
которая в векторных обозначениях может быть записана в виде
Дл; Ду Дм
C4а)
Дх(хрХх3) =
У ас — Ь2 '
У, «о
где вектор Дх обозначает оператор Лапласа от вектора х.
В частности, если d — О, то дифференциальное уравнение
второго порядка не зависит от а, Ь, с\ оно имеет вид
Дх(хрХхо) = 0,
где знак X обозначает векторное произведение.
4. Пример. Минимальные поверхности '). Рассмотрим дифферен-
дифференциальное уравнение минимальных поверхностей
V p2)t = 0; C5)
так как ас —№ = 1 -f- p2jrq2 > 0, это дифференциальное уравнение
всюду эллиптическое и его можно привести к каноническому виду C4).
Действительно, гГростой подсчет дает следующие уравнения:
*2-fy2 + «2 = *2+ v2 + «2. или х2 = х2,
^с + УрУс + ИрИ' — 0' или хрх'==0'
Дх(хрХхо) = 0, где Дх = хрр + х„. C7)
Эту систему можно упростить: дифференцируя уравнения C6), мы
получаем
хррхр == хр:,ха и х^Хр == Хр^Х;,;
следовательно,
хрДх —0 и хс,Дх = 0.
С другой стороны, из уравнения C7) следует, что Дх есть линейная
комбинация векторов хр и ха, Дх = <ххр -j- ?х0. Поэтому <х = р = О
и, следовательно, Дх = 0. Таким образом, минимальная поверх-
поверхность в параметрическом представлении с соответствующими
параметрами р и о характеризуется следующими условиями:
каждая из трех координат х, у, и удовлетворяет уравнению
Лапласа, т. е.
Дх = 0, Ду = 0, Ди = О. C8)
Кроме того, они удовлетворяют условиям
Л = х2—х2 = 0,
р C9)
B 2 Q
') Ср. Курант [2].
172 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
В обычных обозначениях дифференциальной геометрии
формулы C9) дают условия на первую квадратичную форму мини-
минимальной поверхности:
?• — 0 = 0, F — 0.
Казалось бы эти дополнительные условия добавляют еще два диф-
дифференциальных уравнения к трем уравнениям C8); однако они пред-
представляют собой просто граничное условие. Нам нет необходимости
налагать дополнительные условия C9) во всей двумерной области р, о,
достаточно наложить их на некоторой замкнутой кривой в пло-
плоскости р, о. Из уравнений C8) немедленно следуют соотношения
Из этих соотношений видно, что функция А-\-1В является аналити-
аналитической функцией комплексной переменной p + io; следовательно,
А-\-Ш тождественно обращается в нуль, если действительная часть А
обращается в нуль на некоторой замкнутой кривой (например, на
границе) и если В равно нулю в некоторой точке.
Для теории минимальных поверхностей важны следующие два
вывода.
A) Отображение плоскости р, о на минимальную поверхность
конформно.
B) Представление минимальной поверхности с помощью гармони-
гармонических функций эквивалентно классическому представлению Вейер-
штрасса с помощью аналитических функций комплексного переменного
p-f- to = со.
Чтобы получить формулы Вейерштрасса, рассмотрим гармони-
гармонические функции х, у, и аргументов р, а как действительные части
аналитических функций //со), /2((о), /3(со). Если х, у, и — сопря-
сопряженные гармонические функции, то мы имеем
Так как, согласно дифференциальным уравнениям Коши—Римана,
х„ = — х9, уа = — у9, и, = — и9,
то мы имеем
так что условия C9) принимают вид
3
9(со) = Е - О - 21F = 2 [/; (ш)]2 = 0.
v=l L J
§ 1. Канонический вид дифференциальных операторов 173
Таким образом, все минимальные поверхности могут быть предста-
представлены формулами
где аналитические функции /v(co), в остальном произвольные, должны
удовлетворять условию
Вместо со мы можем взять в качестве независимого переменного одну
из функций /v, например, /3. Поэтому совокупность минимальных
поверхностей существенно зависит только от одной произвольной
аналитической функции комплексного переменного.
б. Системы двух дифференциальных уравнений первого по-
порядка. Здесь будет сделано несколько дополнительных замечаний
относительно систем двух дифференциальных уравнений первого по-
порядка с двумя неизвестными функциями и и v, так как они встре-
встречаются в важных приложениях, в частности, в гидродинамике. (В гл. V
будет развита полная теория.)
В линейном случае, по аналогии с изложенным в § 1, п. 2, гипер-
гиперболическую систему1) можно привести к каноническому виду с харак-
характеристическими координатами !•, г\ в качестве независимых переменных:
-\- ... =0,
где а, Ь, а', Ь' — заданные функции \, i\. Вводя новые неизвестные
функции
U = au-{-bv,
V = а'и + b'v,
мы получаем, наконец, канонический вид
?/е+ ... =0,
vn+ ... =о,
где точки заменяют известные функции от U, V, ?, tj.
В случае, когда два семейства характеристик совпадают, т. е.
? = т], приведение к виду
t/,+ ... =о,
Ve+ ... =0
") Определение гиперболической системы см. в § 2, т. 2 настоящей
главы. — Прим. ред.
174 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
может оказаться возможным со второй независимой переменной С,
отличной от ?. Тогда рассматриваемая система эквивалентна системе
двух обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром С.
С помощью метода, аналогичного данному в п. 1, в эллипти-
эллиптическом случае получается канонический вид
Qp-Pa+ ... =-0,
где Р, Q — неизвестные функции, р, о — независимые переменные.
§ 2. Общая классификация и характеристики
Теперь мы перейдем к более общему и глубокому изучению за-
затронутых вопросов.
1. Обозначения. Понятие характеристик наиболее ясно для систем
уравнений первого порядка. Для краткости мы в основном ограни-
ограничимся линейными уравнениями, хотя включение квазилинейных или
общих систем не влечет за собой существенных трудностей (см. гл. V
и гл. VI, § 3).
Иногда, как ниже в уравнении A), мы будем применять хорошо
известное и удобное обозначение p^q^ для 2 Р-,Я^ чтобы не писать
знак суммы там, где это не приводит к двусмысленности. Кроме того,
удобно будет применять векторные и матричные обозначения.
Мы напомним также понятие внутренней производной функции
f(x, у) на кривой <?(х, у') = 0, такой, что ср^-|-ср2=?0 (можно, на-
например, считать, что <рх Ф 0). Производная o-fx-\-$fy внутренняя,
если асрд. —|— Р<ру = 0; в частности,
fyfx ~ fxfy
является внутренней производной функции /. Аналогично, производ-
производная функции f{хх хп) от п переменных xv ..., хп (или век-
вектора х), внутренняя на многообразии ср(хг, ..., хп) — 0, таком, что
TfcO, определяется как линейная комбинация
удовлетворяющая условию
<W*v = «„?„ = °-
Здесь и ниже мы пользуемся сокращенными обозначениями /v, cpv, mv
вместо / , ср , и (иногда также пишется DJ, Офит. д.). Такие
Хч Хч Хч
внутренние производные известны на поверхности ср = 0, если
известны значения самой функции / (см. гл. II, приложение 1).
§ 2. Общая классификация и характеристики 175
2. Системы первого порядка с двумя независимыми перемен-
переменными. Характеристики. В случае двух независимых переменных х
п у мы записываем систему k уравнений для вектор-функции и с ком-
компонентами и1, и2 uk в виде
Lj [и] = аи их + Ьи и\ + d>' = 0 (у = 1, 2 k), A)
где а1;, ?1; — элементы матриц А и В соответственно.
Предположим, что по крайней мере одна из этих матриц, напри-
например В, неособая, т. е. что \\Ь1'\\ф§. Коэффициенты системы пред-
предполагаются непрерывно дифференцируемыми. Члены d' могут зависеть
от неизвестных функций линейным или нелинейным образом; в этом
последнем случае мы назовем нашу систему почта линейной.
В матричных обозначениях мы можем написать
L\u\ = Aux+Buy-\-ut (la)
где L, d и и — векторы.
Теперь рассмотрим уравнение L[u] — 0 и поставим вопрос, имею-
имеющий отношение к задаче Коши: по начальным значениям вектора и
на некоторой кривой С : <?(х, у) = 0, cp^-j-Ty Ф 0, определить первые
производные их. на С так, чтобы для полученной полосы удовлетво-
удовлетворялось уравнение L[u] = 0.
Прежде всего мы замечаем, что на С известна внутренняя про-
производная иуух—и/ру. Как следствие этого, мы получаем на С
соотношение между их и и вида
где т = — tpyAp* ')> а точки здесь и ниже заменяют известные на С
величины. Подставляя и в дифференциальное уравнение, получаем
на С
Lj[u}={au-^u)ux-i- ... =0 (У=1, .... k),
т. е. систему линейных уравнений относительно k производных и1.
Отсюда получается необходимое и достаточное условие для того,
чтобы можно было однозначно определить все первые производные
на С:
Q = \\aiJ — чЬи\\=\А — чВ\Ф0; B)
Q называется характеристическим определителем системы A).
Если С}фО на кривых ер = const, то эти кривые называются
свободными. Любую такую кривую можно дополнить до „полосы",
') Без ограничения общности мы можем считать, что fx Ф 0 па рас-
рассматриваемой части С.
176 Гл. ///. Дифференциальные уравнения высших порядков
удовлетворяющей системе A). Начальные данные выбираются про-
произвольно.
Если г(х, у) — действительное решение алгебраического уравне-
уравнения Q = 0 степени k относительно т, то кривые С, определенные
обыкновенным дифференциальным уравнением
dx:dy = - или Q(x, у, 4^) = 0, C)
называются характеристическими кривыми. Как мы сейчас увидим,
для характеристических кривых, вообще говоря, невозможно про-
продолжить начальные данные так, чтобы получилась интегральная полоса.
Если уравнение Q — 0 не имеет действительных корней т, то все
кривые — свободные; продолжение начальных данных до полосы всегда
возможно, причем единственным способом. Система тогда называется
эллиптической. В случае, когда уравнение Q = 0 имеет k дейст-
действительных корней, причем все эти корни различны, система назы-
называется вполне гиперболической. Такие системы будут подробно
изучены в гл. V.
Если т — действительный корень уравнения B) (может быть,
единственный), то мы можем на С решить следующую систему ли-
линейных однородных уравнений относительно вектора / с компо-
компонентами /', .. ., /*:
l>{ai} ~ibiJ) — 0, или l(A — tS) = 0.
Тогда „характеристическая" линейная комбинация liLj[u] = lL[u]
дифференциальных уравнений системы A) может быть записана в ха-
характеристическом каноническом виде
или
где все неизвестные функции дифференцируются по одному и тому же
направлению, а именно, по направлению характеристической кривой,
соответствующей корню т.
Таким образом, в гиперболическом случае, т. е. когда сущест-
существует k таких семейств характеристических кривых, мы можем за-
заменить систему A) эквивалентной* системой, в которой каждое
уравнение содержит дифференцирование только по одному характе-
характеристическому направлению. Мы можем воспользоваться этим свойст-
свойством гиперболических систем для несколько более общего определе-
определения гиперболичности (которое не исключает кратных корней т).
В главе V мы будем пользоваться этими определениями как
основой для полного решения задач гиперболического типа в случае
двух независимых переменных.
§ 2. Общая классификация и характеристики 177
„Характеристическая комбинация" дифференциальных операторов Lj
дает внутреннее дифференцирование по С. Отсюда следует, что между
компонентами и на характеристике С существует некоторое соотно-
соотношение, а именно, они удовлетворяют некоторому дифференциальному
уравнению. Поэтому ясно, что нельзя задавать произвольные начальные
значения для и на характеристике С. Это оправдывает различие,
которое мы делаем между характеристиками и „свободными" кривыми.
3. Системы первого порядка с я независимыми переменными1).
В случае систем с произвольным числом п независимых переменных х
можно действовать аналогично, как мы сейчас покажем; подробное
изложение имеется в гл. VI. Такую систему можно записать в виде
Lj [и] = a4' "ulXi + b1 = 0 (J = 1 к), D)
где a1''v зависят от дг, а b—от х и, может быть, также от и.
Индекс v меняется от 1 до п. Применяя матричные обозначения и
сокращение их = «v, мы можем записать систему D) в виде
?.[и] = Л\ + 6 = 0, Dа)
где А1 — матрицы k\k с элементами а';> \ а оператор и свободный
член b — векторы.
Снова рассмотрим поверхность С : ср(х) = О, где grad <p =/= 0; пусть,
например, ср„ Ф 0. На С мы рассмотрим характеристическую ма-
матрицу
А = А"^ E)
и характеристический определитель, или характеристическую форму,
QOPi ?Я)=1И1- Eа)
Пусть на С заданы начальные значения для вектора и. Тогда мы
утверждаем следующее.
Если Q Ф 0 на С, то дифференциальное уравнение D) однозначно
определяет на С все производные и^ через произвольно заданные
начальные данные; в этом случае поверхность С называется сво-
свободной.
Если Q — 0 на С то С называется характеристической по-
поверхностью. Тогда существует характеристическая линейная ком-
комбинация
/Z.[«] = /;L;[«] = A[«] F)
дифференциальных операторов Lj, такая, что Л дает внутреннее
дифференцирование вектора и на С; равенство Л[«]=0 устанавли-
') Подробности см. в гл. VI, § 3.
178 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
вает некоторое соотношение между начальными данными, и поэтому
их нельзя выбирать произвольно.
Чтобы доказать эти утверждения, мы сначала заметим, что
и,срл — «ncpv есть внутренняя производная вектора и на С. Поэтому
величины uv известны на С, если заданы начальные значения и и изве-
известна только одна (выводящая) производная ип (предполагалось, что
срп ф 0). Умножая уравнения D) на срл, находим
Ъ,Ь [и] = А\ип +g= Аип + в = 0, D6)
где g—внутренний дифференциальный оператор относительно и на С.
Следовательно, в предположении, что ||Л|| =Q-? 0, из системы
линейных уравнений D6) относительно вектора ип можно однозначно
определить этот вектор.
Если же Q= || Л ||= 0, то существует собственный вектор I,
такой, что 1А = 0. Умножение системы D6) на / дает уравнение
/срл? [«] = /#= 0 Dв)
для внутреннего дифференциального оператора относительно вектора
и на С; этот оператор 10 не содержит ип. Тогда дифференциальное
соотношение 10 =0 является ограничением на начальные значения
и на С.
Характеристическое уравнение <5 = 0 есть дифференциальное
уравнение с частными производными первого порядка относи-
относительно функции ср(лг). Если оно удовлетворяется тождественно по х,
а не только при условии ср = 0, то все семейство поверхностей <р = const
состоит из характеристических поверхностей. В случае п > 2 много-
многообразие характеристик значительно шире, чем k семейств'кривых
в случае и = 2. Поэтому естественно, что теория систем для л>2
значительно сложнее, чем при д = 2.
Введем классификацию. Если однородное алгебраическое урав-
уравнение Q — 0 относительно величин cpj, ..., ср„ не имеет никаких
действительных решений (кроме tpv = O), то характеристик нет, и
система называется эллиптической.
Если, в противоположность эллиптическому случаю, уравнение
Q=0 имеет k действительных различных корней <р„ при произволь-
произвольных значениях срг, ..., cpn_j (или если такое утверждение справед-
справедливо после некоторого преобразования координат), то система на-
называется вполне гиперболической. Мы будем изучать понятие гипер-
гиперболичности и его смысл в § 6 и более полно в гл. VI. Главной целью
этого изучения будет получение следующей теоремы: для гипербо-
гиперболических систем задача Коши всегда разрешима.
4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Гипер-
Гиперболичность. Для одного уравнения высшего порядка и для систем
таких уравнений имеет место аналогичная ситуация.
§ 2. Общая классификация и характеристики 179
Подробное изложение имеется в гл. VI, § 3; мы ограничимся
здесь краткими замечаниями, относящимися к одном}' дифференци-
дифференциальному уравнению порядка т. Применяя обозначение Dv для опе-
оператора дифференцирования d/dxv, мы можем записать дифференциаль-
дифференциальное уравнение в следующем символическом виде:
?[«] = //(?>, Dn)u + K{Dl 0Я) « + /(*) = 0, G)
где Н—однородный многочлен степени т относительно D, а К —
многочлен степени меньшей, чем т; все коэффициенты — непрерыв-
непрерывные функции х.
Данные Коши, т. е. заданные начальные значения, включают
значения функции и и ее первых т — 1 производных на поверх-
поверхности С: <f(x: хп) = 0, причем мы снова предполагаем, что
<р„ Ф 0. Как и раньше, основной вопрос состоит в следующем: при
каких условиях произвольные начальные данные на С однозначно
определяют производные порядка т от и на С? Ответ таков: не-
необходимо и достаточно, чтобы характеристическая форма
не обращалась в нуль на С. Если поверхность С характеристическая,
т. е. удовлетворяет уравнению <5 = 0, то Ни-\-К.и есть внутренний
дифференциальный оператор порядка т. на С. Это значит, что он
содержит производные порядка т только таким образом, что они
выражаются через внутренние первые производные от операторов
порядка т—1 и, следовательно, могут быть определены на С через
начальные данные.
Чтобы доказать это, можно ввести новые независимые переменные.
В качестве таких переменных выбираются ср и \х, ..., Хл_1 — внут-
внутренние координаты на поверхностях ср = const. Тогда все производ-
производные функции и порядка т легко выражаются как комбинации m-ft
„выводящей" производной (дт/дут)и и членов, содержащих не более
/я—1 дифференцирований по ср, которые поэтому могут быть опре-
определены из начальных данных. Легко видеть, что тогда уравнение
принимает вид
где точками заменены члены, которые на С выражаются через на-
начальные данные. Это уравнение относительно и^т имеет единствен-
единственное решение тогда и только тогда, когда Q не обращается в нуль.
Если Q = 0 на С, то уравнение дает некоторое условие на начальные
данные. Что же касается определения гиперболичности, то оно
использует характеристическую форму Q и остается таким же, как
в п. 3.
180 Гл. Ill, Дифференциальные уравнения высших порядков
б. Дополнительные замечания. Чтобы получить правильное
обобщение на случай многих независимых переменных, мы не можем
просто повторить определение гиперболичности из п. 2. Однако до-
достаточно потребовать, чтобы существовало k линейно независимых
комбинаций уравнений системы, таких, что каждая из этих комби-
комбинаций содержит только внутренние производные неизвестных функ-
функций и на (п—1)-мерной поверхности С. Эта важная форма опре-
определения будет подробно рассмотрена позже, в гл. VI, § 3.
Второе замечание касается квазилинейных систем уравнений.
Все основные утверждения настоящего параграфа остаются справедли-
справедливыми для квазилинейных уравнений. Условие на характеристики
зависит тогда от значений самого вектора и на С, и поэтому нельзя
определить характеристики независимо от значений рассматриваемого
вектора и. Возникающее отсюда усложнение не существенно для
определения характеристик, но оно становится существенным дальше,
в гл. V и VI, где строится решение задачи Коши.
Наконец, надо подчеркнуть, что между указанными выше эллип-
эллиптическим и гиперболическим типами возможны промежуточные типы.
Например, для двух независимых переменных мы можем иметь q
действительных характеристик и р пар сопряженных комплексных
характеристик, так что q -\~2p — k. До сих пор не много сделано
для исследования этих промежуточных типов; по-видимому, они не
встречаются в задачах математической физики. Для многих независи-
независимых переменных примером такого промежуточного типа является
„ультрагиперболическое" уравнение
относительно функции 2л переменных хну (см. гл. VI, § 16).
6. Примеры. Уравнения Максвелла и Дирака. Читатель легко
может убедиться, что волновое уравнение — гиперболическое, урав-
уравнение Лапласа — эллиптическое, уравнения Коши — Римана ux—vy — О,
ti -{-vx — 0 составляют эллиптическую систему, уравнения ах—v==0,
иу — г>,. = 0 дают гиперболическую систему, а система ux — v,
uy = vx — параболическая.
Мы приведем следующие дополнительные примеры эллиптических
уравнений. Во-первых, уравнение
п
ДДи:=0, или V —^Ц_ — 0,
имеющее характеристическую форму
§ 2. Общая классификация и характеристики 181
и, во-вторых, дифференциальное уравнение
имеющее характеристическую форму
Примером параболического уравнения может служить уравнение
ut = Д Ди
для функции л-f-l независимых переменных с выделенной временной
переменной xo = t. Здесь характеристическая форма B??
\t=i у
рожденная, так как она не содержит переменной ср0.
Оператор
является гиперболическим, так как его характеристическая форма,
содержащая переменные ср1( .... ип, ср0 = х:
очевидно, удовлетворяет соответствующим требованиям.
С другой стороны, оператор
. . д4и
ААм
представляет собой оператор промежуточного типа; он не эллипти-
эллиптический, не параболический и не гиперболический, так как форма
\i=l
имеет два, а не четыре действительных корня х при фиксированных
значениях срх, ..., ср„.
Следующий пример системы первого порядка дает система диф-
дифференциальных уравнений Бельтрами:
Wur — bvr — cvv = Q.
где матрица
'а
Ъ с
182 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
предполагается положительно определенной. Здесь соответствующая
характеристическая форма имеет вид
— W<pi ^Фт ~г~ ?^?>
W<s2 аух -f- b<?2
В частном случае, когда W=l, а = с=1, 6 = 0 (система Коши —
Римана), мы имеем Q (?) = — (у\ -f- cp^)-
Система дифференциальных уравнений Максвелла гиперболическая.
В простейшем случае (для вакуума) эти уравнения имеют вид
(^ _ rot % = 0, ф( + rot (? = О,
если скорость света принята за единицу; здесь (S = («г, и2, и3) —
вектор электрического поля, а ф = (и4, «5, и6) — вектор магнитного
поля; вместо четвертой независимой переменной (временной перемен-
переменной) мы пишем t.
Записанные в координатной форме, уравнения имеют вид
(8)
Читатель может легко убедиться в том, что характеристическая
форма имеет вид
Уравнение Q —0 представляет собой, по существу, характеристиче-
характеристическое соотношение для волнового уравнения. Это отражает тот факт,
что если выделить любую компоненту и, то она будет удовлетворять
волновому уравнению, и что справедлива следующая теорема.
Предположим, что из данной системы дифференциальных
уравнений с характеристической формой Q с помощью исклю-
исключения неизвестных получено одно уравнение; тогда характе-
характеристическая форма этого одного уравнения есть множитель
формы Q'1).
Доказательство предоставляется читателю. Строго говоря, урав-
уравнения Максвелла, имеющие кратные характеристики, не удовлетво-
удовлетворяют данному выще узкому определению гиперболичности. Даль-
Дальнейшее обобщение понятия гиперболичности устранит этот недо-
недостаток.
dt
du2
dt
du3
dt ~
диъ
dz
dx
du4
~ dv
du6
dy •
dut
dz '
dur,
dx '
duA
dt
dus
dt ~
du6
dt
du2
dz
du%
~ dx
du{
dv
du3
dy
du,!
dz
du2
dx
') Эта теорема имеет аналог для характеристических форм систем выс-
высших порядков.
§ 2. Общая классификация и характеристики
183
Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциаль-
дифференциальным уравнениям Дирака, аналогично характеристическому урав-
уравнению для уравнений Максвелла. Уравнения Дирака относятся
к системе четырех комплекснозначных функций
u~(uv и2, и3, иА)
четырех переменных хх, х2, х3, лг4 (где xA = t). Чтобы просто за-
записать их, мы введем следующие матрицы
а, —
Уравнения тогда примут вид
4
k=l
здесь вектор (av a2, а3) пропорционален магнитному потенциалу,
— а4 — электрическому потенциалу, a b— массе покоя. Очевидно, ха-
характеристический определитель имеет вид
т. е. представляет собой форму четвертой степени относительно пе-
переменных fx, cp2, ср3> ср4. Таким образом, снова характеристические
многообразия те же, что и у волнового уравнения.
Наконец, с помощью простых вычислений мы установим эквива-
эквивалентность определений характеристик для одного уравнения высшего
порядка и для системы первого порядка, полученной из этого урав-
184
Гл. 111. Дифференциальные уравнения высших порядков
нения. Если мы заменим дифференциальное уравнение второго по-
порядка
системой дифференциальных уравнений первого порядка
др1 _ дрп
дхп дх[
A=1,
я—1),
то для этой системы мы получим характеристическое уравнение
О
о
0
<р„
= 0,
т. е.
(—1)
И-1 л —2
л
1
. 2j
i, k— 1
которое совпадает с характеристическим уравнением для одного
уравнения.
Дальнейшие примеры см. в следующих параграфах и в гл. V
и VI.
ф 3. Линейные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффи-
коэффициентами (и другие, которые сводятся к этому классу) допускают
более полное исследование, чем в общем случае. Кроме того, так как
классификация уравнений в некоторой точке Р определяется только
локальными значениями коэффициентов, то для того, чтобы выделять
различные типы уравнений, достаточно рассмотреть случай постоян-
постоянных коэффициентов. Действительно, в окрестности точки Р линейную
или квазилинейную систему можно локально аппроксимировать ли-
линейной системой с постоянными коэффициентами, если заменить
значения коэффициентов в окрестности точки Р их значениями
в точке Р.
1. Канонический вид и классификация уравнений второго
порядка. Рассмотрим оператор второго порядка
L[u\—
2
i, k=i
-
A)
§ 3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 185
или дифференциальное уравнение ?.[«]== О, где коэффициенты
alk~aki — непрерывно дифференцируемые функции независимых
переменных xv х2, ..., хп в некоторой области G, а точками за-
заменены операторы ниже второго порядка относительно и. Оператор
второго порядка снова называется главной частью дифференциаль-
ного оператора.
Классификация дифференциальных операторов вида A) опреде-
определяется тем, как действует преобразование переменных
ki = ti(xv xv ..., *„) (/ = 1, 2 и) B)
на форму дифференциального оператора в некоторой точке Р°: (х°) =
= (х°, х° х°пу Обозначая dtijdxk через tlk, получаем
Uxi jS №k fs ^ 4k +
где точки снова заменяют члены, содержащие производные функ-
функции и не выше первого порядка. Преобразование B) приводит опе-
оператор A) к виду
п
А[и]= 2 а,*яЕЕ + ••¦• C)
I, k=\ ' R
где коэффициенты aik определяются формулами
а
<*;*= 1i hiUsO-u- D)
I, s=l
Таким образом, коэффициенты главной части L[u] в точке (л:0)
преобразуются так же, как коэффициенты квадратичной формы
п
Q— ^ «;*У(У* (характеристической формы), если перемен-
ные уг подвергаются аффинному линейному преобразованию
п
У1 = 2 hi<\v E)
Квадратичную форму такого типа всегда можно с помощью аффин-
аффинного преобразования привести к каноническому виду
где коэффициенты ч; принимают только значения -f-1, —1 или 0.
Число отрицательных коэффициентов, называемое индексом, инерции,
а также число коэффициентов, обращающихся в нуль, являются
аффинными инвариантами формы. Поэтому эти числа характеризуют
дифференциальный оператор в точке Р°,
186 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальный оператор называется эллиптическим
в точке Р°, если все значения ч; равны либо только ~\-\, либо
только —1. Он называется „собственно гиперболическим", или просто
гиперболическим, если все значения v.t имеют один знак, например,
положительны, за исключением одного, например х„, которое отри-
отрицательно. Если несколько значений %t положительны и несколько
отрицательны, то оператор называется ультрагиперболическим.
Если форма Q сингулярная, т. е. один или несколько коэффициен-
коэффициентов X; обращаются в нуль, то дифференциальное уравнение назы-
называется параболическим.
Если дифференциальный оператор в точке Р° эллиптический, то
с помощью соответствующего линейного преобразования дифферен-
дифференциальное уравнение в этой точке может быть приведено к виду
ихххх + ихгх2 + ••• -\-ихх -f- ... =0. Аналогично, если уравнение
гиперболическое, то его можно преобразовать к виду
Mr г ~\~ Чх х + ... 4- Ux х — Ux у ¦+...= 0.
Х\Х\ ' Х2Х2 ' ' Хп~ Гп-1 ХПХп '
В общем случае, однако, невозможно найти преобразование, приво-
приводящее уравнение к одному из этих канонических видов во всей об-
области ').
Однако, если коэффициенты aik уравнения A) постоянны, то
канонический вид для всей области можно получить с помощью
одного аффинного преобразования, переводящего переменные xt в 4t:
п
2
j
Это преобразование, в соответствии с формулой E), приводит ха-
характеристическую форму к каноническому виду. Если мы опять обо-
') Если, как в § 1, мы хотим, чтобы в преобразованном операторе
А [«] = 2 aik%tk + • • •
отсутствовали внедиагональные элементы матрицы (агй), то на п функций ^
мы должны наложить -^п{п—1) условий (см. формулу D))
п
1, s=l
Если -=- п (п — 1) > п, т. е. п > 3, то эта система уравнений — переопреде-
переопределенная, и поэтому, вообще говоря, не разрешима. В случае п = 3 все еще
можно исключить внедиагональные члены, но на элементы главной диаго-
иали нельзя уже наложить условие равенства их между собой.
§ 3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 187
значим новые независимые переменные через xlt х2, ..., хп и если
уравнение A) однородное, то оно примет вид
п п
где ъс равны 1, —1 или 0.
В случае постоянных коэффициентов bt и с также постоянны и
уравнение можно привести к еще более простому виду посредством
преобразования функции и; при этом исключаются первые производ-
производные и по тем переменным xt, для которых х,- ^t 0. Мы исключим
параболический случай и введем функцию v, отличающуюся от и
экспоненциальным множителем:
и = г> ехр
G)
Тогда дифференциальный оператор примет вид
(8)
1=1
г ?,-- V
Следовательно, непараболические линейные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами можно свести
к дифференциальным уравнениям вида
п
S *'«*Л + PV = /(*,. *2 *Я). (9)
где / — заданная функция независимых переменных, а р — некоторая
постоянная. Таким образом, все эллиптические линейные диффе-
дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными ко-
коэффициентами могут быть приведены к виду
kv -f- pv = / (хг, х2 хп),
а все гиперболические линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами могут быть
приведены к виду
х2, .... х„, f).
¦(Мы здесь рассматриваем я-j- 1 независимых переменных х0, хг,..., хп
и полагаем xo—t, а оператор Лапласа Д строится только по пере-
переменным х : (х1 хп).)
2. Фундаментальные решения уравнений второго порядка.
Для всех линейных дифференциальных уравнений, эллиптических
188 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
или гиперболических, независимо от их порядка и от того, по-
постоянны ли их коэффициенты, важную роль играют „фундаменталь-
„фундаментальные решения", имеющие определенные особенности; это будет видно
в следующих главах !). Здесь мы только коротко остановимся на
случае эллиптического уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами. Рассмотрим уравнение
и будем искать фундаментальные решения, зависящие только от рас-
расстояния /¦ = V2(Jf/ — У2 от точки х до точки-параметра !-.
Приводя оператор Лапласа к полярным координатам, получаем (см.
т. I, стр. 200)
«„4-^-«л + р« = 0. (Ю)
Как легко проверить, функция
удовлетворяет такому же уравнению, где п—1 заменено на «-J-1-
wrr -j- -^ti Wf _|_ ?w = o. A1)
Таким образом, обозначая неизвестную функцию снова через и, мы
получаем фундаментальные решения и для любого п с помощью
рекуррентной формулы, если только известны фундаментальные ре-
решения и для п = 2 и п — 3; они определяются из обыкновенных
дифференциальных уравнений
соответственно.
Для р = 0, т. е. для уравнения Лапласа, решения с точностью до
произвольного постоянного множителя равны M = logl/r и u—1/r.
Таким образом, мы получаем для всех п^-Ъ фундаментальные ре-
решения
и = const • г2~".
При р Ф 0, например при р = со2, мы получаем для п = 1 в ком-
комплексных обозначениях
и = еш.
') См., в частности, гл. VI, § 15.
§ 3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 189
Отсюда для л — 3
и = /ш ,
для л = 5
¦=—'(^-sr^)--
ii т. д. Таким образом, все решения для нечетных п выражаются
через тригонометрические функции (или гиперболические, если
ш? < 0).
Для четных л мы имеем при п = 2
и = аУ0 (ш/-) -f- ВЛ/0 (шг) + регулярная функция,
где Уо и Л'о = B/тс)У0(шг) logr-f- .. . —соответственно функции Бес-
Бесселя и Неймана порядка нуль, а а, В — постоянные. Если в качестве а
выбран нуль, то для п = 4 мы находим сингулярное решение
й = " .Г • + -г ^о («>/
(функция Уо(ш/-)//- регулярна при /- = 0.) Это решение мы называем
фундаментальным решением. Легко получить следующее общее утвер-
утверждение: для нечетных п > 1 мы имеем сингулярное („фундаменталь-
(„фундаментальное") решение
а для четных
где точками заменены регулярные члены, а ?/ и — регулярные
решения уравнений L [U] ~L [W] = 0. Соответствующие соотношения
справедливы также для р < 0, т. е. для мнимых ш.
В случае гиперболического дифференциального уравнения
/.[«]= «(/ — Д« — р« = 0 (* = *! дг„) A2)
совершенно аналогичные рассуждения приводят к следующему ре-
результату.
Мы отыскиваем „фундаментальные решения" уравнения A2), зави-
зависящие только от „гиперболического расстояния"
от точки ^, х до точки-параметра t, p в пространстве m = n-\-l
измерений. Для функции и {г) мы получаем обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение
и" + .1-=! И' __ рм _ о.
190 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
Как и прежде, фундаментальные решения, обладающие особенностью
на конусе /- = 0, имеют вид, описанный выше при изучении эллипти-
эллиптического случая. Главное отличие состоит в том, что особенность
теперь сосредоточена на целом конусе и что вне конуса функция и
не определена, или может быть доопределена тождественным нулем,
тогда как в эллиптическом случае особенность имеется только в точке
х = Ч. Значение таких фундаментальных решений (которые можно
изменять с помощью умножения на константу и добавления любого
"регулярного решения уравнения L[u] = 0) станет понятно в гл. VI.
В т. I мы уже встречались с такими решениями, а именно, с функ-
функцией Грина (см. т. I, гл. V, § 14).
Здесь мы отметим, что эти фундаментальные решения и(х; с) как
функции точки х и точки-параметра \ обладают следующим основ-
основным свойством.
В эллиптическом случае интеграл
взятый по области G, содержащей точку х, удовлетворяет с неко-
некоторой константой с уравнению Пуассона
L[v]==cf(x).
В частности, для п = Ъ интеграл
удовлетворяет неоднородному „приведенному волновому уравнению"
В гиперболическом случае можно доказать, что функция v(x) также
удовлетворяет дифференциальному уравнению, если область интегри-
интегрирования G заполняет характеристический конус, исходящий из точки х
в пространстве \ (см. гл. VI, § 15).
3. Плоские волны. Возвращаясь к уравнениям произвольного
порядка k, мы снова запишем дифференциальное уравнение с п не-
независимыми переменными xv ..., хп в символическом виде
(P,D,. + P,_,D,+ ... +P0)« + / = 0, A3)
где Pj — однородный полином с постоянными коэффициентами сте-
степени j относительно символов Dl==d/dxi (i=l, ..., /г), а / — за-
заданная функция этих независимых переменных. Нам достаточно
§ S. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 191
рассмотреть однородное уравнение [), т. е. считать, что / = 0. Неод-
Неоднородное уравнение тогда уже исследуется просто (см., например,
§ 4).
Имеет место следующее основное свойство. При любом числе не-
независимых переменных однородное уравнение A3) обладает решениями
в виде показательных функций е(ах), где
(ах)=а1х1-\-а2х2-+- ...
с постоянными av. (Иногда мы будем также писать (а, х) или а • х.)
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы и было реше-
решением, состоит в том, чтобы a — {av ...) удовлетворяло алгебраиче-
алгебраическому уравнению степени k
= 0; A4)
оно определяет алгебраическую поверхность степени k в простран-
пространстве Я), а2, .... Классификация по типам, однако, относится к более
простому однородному уравнению
это „характеристическое уравнение" зависит только от главной части
дифференциального уравнения; оно определяет нормали к характери-
характеристическим элементам поверхности2), в соответствии с определениями
из § 2.
Например, в случае трех измерений для уравнения Лапласа
их х -f- uyy -f- azz = Аи = 0 мы получаем соотношение aj -f- a\ -f- а|=0.
Поэтому хотя бы один из показателей av мнимый; соответствующее
решение можно записать, например, в виде
Волновое уравнение имеет решения вида е1 (ад+ад+ад-в@1 где
fl2-f-a2_j_a2—a2__o, а для „приведенного" волнового уравнения
Ди-|-A>2и = 0 должно выполняться соотношение а\-\-а\-{-а\ — — ш2.
Для уравнения теплопроводности uf = Ди получается соотношение
a2+fl2+a|_fl4==0.
Если уравнение Q(a) = 0 не удовлетворяется ни при каких дей-
действительных значениях av ..., ап, то дифференциальное уравнение
называется эллиптическим.
') Из того, что коэффициенты постоянны, следует такое утверждение:
если и(Xi, х2, ..., хп) есть решение некоторого однородного уравнения, то
а(х\ — ?,, х2 — S2. ¦••> хп — %п) с произвольными параметрами ?,- и произ-
производные dujdxi также являются решениями.
2) Относительно смысла полного уравнения см. Гординг [2].
192 Гл. Ш. Дифференциальные уравнения высших порядков
4. Плоские волны (продолжение). Бегущие волны. Дисперсия-
В следующих параграфах мы прежде всего будем заниматься реше-
решениями, описывающими явления распространения, в частности, пло-
плоскими волнами, возникающими в гиперболическом случае. Вместе
с п пространственными переменными х мы будем рассматривать еще
одну переменную xQ = t; мы составим скалярное произведение
(ах) = а1х1-{- ... -\-апхп — А с помощью я-мерного вектора
а : (av .... ап) и определим фазу
В = (ах) — bt = A — bt
с помощью постоянной д0 = — Ъ.
Предположим сначала, что дифференциальное уравнение содержит
только главную часть, т. е. члены порядка k; другими словами,
предположим, что Pj = 0 для j < k. Тогда имеет место следующий
важный факт: решениями уравнения являются не только описанные
выше показательные функции, но и вообще все функции вида
» = /(В). A5)
причем форма волны f (В) — произвольная функция фазы В=А—bt,
а коэффициенты av, b должны удовлетворять характеристическому
уравнению Q(—b, a) = 0. (Ср. § 2, п. 4.)
Если это уравнение имеет действительные решения а,, . . ., ап, Ъ,
то функция f (В) представляет собой бегущую неискажающуюся
волну.
Под термином бегущая плоская волна для однородного линей-
линейного дифференциального уравнения ?[и] = 0 мы понимаем решение
вида A5).
Плоские волны такого вида имеют постоянное значение на каждой
плоскости постоянной фазы из семейства
В = (ах) — bt = const
в (п-\- 1)-мерном пространстве х, t.
Чтобы оправдать термин „бегущая волна", мы рассмотрим л-мер-
ное пространство оЯл пространственных переменных xv .... хп,
в котором „поле" и меняется с течением времени t. Решение и
вида A5) постоянно на всей плоскости постоянной фазы В, при-
принадлежащей семейству параллельных плоскостей. Плоскость, на кото-
которой значение фазы постоянно, передвигается в пространстве оЯл
параллельно самой себе с постоянной скоростью.
Если мы положим
/= 1
В = А - bt = р ( 2 4,xt - ТЛ = р ((а*) - Т0 = р?
§ 3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 193
и напишем
то мы получим представление решения, в котором величины а1
являются „направляющими косинусами" нормалей к плоским волнам,
a f обозначает скорость распространения волн. Величина Е снова
называется фазой волны, а функция <р, или /, называется формой
волны.
Например, обычное волновое уравнение в пространстве п пере-
переменных Ди — ан = О допускает плоские волны вида
здесь коэффициенты а, могут быть компонентами произвольного век-
вектора а, такого, что а2—1, а форма волны ср может быть произволь-
произвольной функцией.
Другими словами, волновое уравнение Ди— utt — 0 имеет ре-
решения в виде плоских волн произвольного направления и произ-
произвольной формы; все эти волны, распространяются со ско-
скоростью у — 1.
Волны f (В) называются неискажающимися, или волнами без
дисперсии, так как волна или сигнал произвольной формы f (В)
без искажения распространяется со скоростью f (по направлению
нормали а к плоскостям постоянной фазы).
Если для произвольного направления а характеристическое урав-
уравнение Q = О имеет k действительных различных корней, т. е. суще-
существует k различных возможных скоростей распространения неиска-
жающихся волн в любом направлении, причем эти скорости,
вообще говоря, зависят от направления а, то дифференциальное урав-
уравнение A3) называется гиперболическим. (Позже мы обобщим это
определение, допустив в некоторых случаях кратные корни.) Это
определение гиперболичности, связанное с характеристическим урав-
уравнением Q = 0, сохраняется также тогда, когда дифференциальное
уравнение содержит младшие члены.
Для дифференциального уравнения A3), содержащего младшие
члены, для которого не все полиномы Pj при j < k равны нулю,
дело обстоит иначе, чем в случае неискажающихся волн. Если это
бегущие волны, то они уже не могут иметь произвольную форму,
а их скорость уже не определяется направлением нормали. В этом
случае форма волны может описываться только показательной функ-
функцией; она зависит от заданного направления и от заданной скорости.
Рассмотрим сначала пример дифференциального уравнения
Ди —им-}-си__0,
где с Ф 0. Если u — f(B)— плоская волна для уравнения A6), причем
194 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
то мы сразу получаем для заданных а и b уравнение
E)с = 0. A7)
Это значит, что функция f (В) должна удовлетворять линейному
обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными коэф-
коэффициентами, а это ограничивает возможность выбора f (В) классом
показательных функций. Ясно, что для скорости -у = 1, т. е для
а2 — Ь2, уже не существует бегущей волны. Однако для любой дру-
другой скорости и для произвольного направления возможные формы
волны определяются из уравнения A7) и являются показательными
функциями. Поэтому направление и скорость волны, соответ-
соответствующей дифференциальному уравнению A6), могут быть за-
заранее произвольно заданы, (за исключением скорости, равной 1);
но при этом возможны только специальные формы бегущих
волн.
Конечно, вид показательной функции / (В) зависит от знаков
коэффициентов обыкновенного дифференциального уравнения A7).
Из физических соображений мы исключаем решения, которые не
являются равномерно ограниченными функциями в пространстве; дру-
другими словами, мы рассматриваем только волны вида
где р — „частота". Тогда в нашем случае, если с > 0, такие волны
существуют для произвольного направления а2 > Ь2, т. е. для любой
скорости 1, не превышающей предельной скорости -[=1. Для ско-
скоростей, превышающих предельную, решения f (В) уже не будут допу-
допустимыми волнами, так как они не ограничены в пространстве.
Во всяком случае, уравнение A7) описывает явление дисперсии
в следующем смысле: если решение и является суперпозицией волн,
распространяющихся в одном и том же направлении, причем все эти
волны имеют форму, удовлетворяющую уравнению A7), то разные
компоненты распространяются с различными скоростями; таким обра-
образом, форма составной волны будет изменяться со временем.
В случае общего дифференциального уравнения A3) форма рас-
распространяющейся волны / (В)
снова должна удовлетворять обыкновенному дифференциальному урав-
уравнению
k k\ = 0. A8)
§ 3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 195
Коэффициенты этого уравнения постоянны для любого набора пара-
параметров ао = — b, av ..., ап. Как и раньше, мы ограничим допу-
допустимые волны требованием
где av = pav и ао = — й = —- p*f, так что р является частотой,
a — направлением нормали, а f — скоростью распространения волны;
р и а действительны, а ^ = p-\~lq может быть и комплексным.
Для произвольных р и а уравнение A8) определяет скорости f
как непрерывные функции а и частоты р, за исключением особых
случаев, например, когда все коэффициенты уравнения A8) обра-
обращаются в нуль, кроме, может быть, Pq1)-
Если для заданных р и а скорость ¦/ имеет мнимую часть q, то
волну можно записать в виде
е«? ((ax)-pt) . g-fqt _
Тогда мы говорим о затухающих волнах, амплитуда которых
в фиксированной точке пространства экспоненциально убывает со
временем. (Решение с множителем e?qt для q > 0 обычно отбрасы-
отбрасывается, так как оно неограничено при возрастании t.)
Снова мы встречаемся с явлением искажения, или дисперсии.
Начальная гармоническая компонента el^ax) распространяется со ско-
скоростью, зависящей от частоты; таким образом, начальная форма
волны и, заданная суперпозицией членов е'?<-ахК искажается с тече-
течением времени (независимо от уменьшения амплитуды, или затухания),
так как различные компоненты распространяются с различной ско-
скоростью или „рассеиваются" в соответствии с их различными частотами.
Итак, наличие дисперсии или бегущих неискажающихся волн
связано с тем, входят ли члены младшего порядка в дифференциаль-
дифференциальное уравнение. В первом случае бегущие плоские волны имеют
экспоненциальную форму, а скорость может непрерывно изменяться
') Например, уравнение A6) не имеет решения в виде бегущей волны,
если заданная скорость равна 1, а направление произвольно.
В й
р р р р
В другом примере дисперсии, заданной уравнением
п
— utt + 2 их> — ut =
i
исключительные значения для скорости и направления получаются из
условий
J
если эти условия выполняются, то существуют бегущие волны произвольной
формы. Они распространяются со скоростью, равной 1, а их направления
принадлежат конусу ^ aiak == ®-
196 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
в зависимости от частоты. Во втором случае форма волны произ-
произвольная, а скорость может иметь только дискретные значения, равные
корням характеристического уравнения1).
5. Примеры. Телеграфное уравнение. Неискажающиеся волны
в кабелях. Для волнового уравнения —j-ult = ku возможны рас-
распространяющиеся в произвольном направлении со скоростью с плоские
бегущие неискажающиеся волны
г=1
Более общий пример дает телеграфное уравнение
этому уравнению удовлетворяет напряжение или сила тока и, если
их рассматривать как функции времени t и координаты х вдоль
провода; х есть длина провода от некоторой начальной точки2).
За исключением случая, когда а = C = 0, это уравнение описы-
вает явление дисперсии. Если ввести функцию v — e2 и, то мы
получим для нее более простое уравнение
( — В \2
Это уравнение описывает случай отсутствия дисперсии тогда и
только тогда, когда
<х = р. B0)
') Поучительное упражнение — проследить, как первый случай пере-
переходит во второй, когда коэффициенты Pj для ] < k стремятся к нулю
в зависимости от некоторого параметра.
2) Это дифференциальное уравнение получается с помощью исключения
одной из неизвестных функций из следующей системы двух дифференциаль-
дифференциальных уравнений первого порядка для силы тока / и напряжения и как функ-
функций х и t:
Cut -f- Gu -f- ix = 0,
Lit + Ri + "x = 0.
Здесь L — самоиндукция кабеля, R — его сопротивление, С—емкость, и,
наконец, G — утечка (потеря тока, деленная на напряжение). Константы
в уравнении A9), возникающие в процессе исключения, имеют следующий
смысл:
1 ir- G а Я
-Г = ?С, «-¦?-. 13 = 77'
где с — скорость света, а — емкостный, ар — индуктивный коэффициенты
затухания.
§ 3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 197
В этом случае исходное телеграфное уравнение, конечно, не имеет
совершенно неискажающихся волн произвольно заданной формы.
Однако наш результат можно сформулировать следующим образом.
Если выполняется условие B0), то телеграфное уравнение
имеет решения в виде затухающих, однако „относительно"
неискажающихся бегущих волн вида
u = e'l{a+?)tf(x±ct) B1)
с произвольной функцией /; волны могут распространяться
по кабелю в обе стороны.
Этот результат важен для телеграфного дела; он показывает, что
если подобраны подходящие значения емкости и самоиндукции
кабеля, то сигналы могут передаваться хотя и с затуханием по вре-
времени, но в относительно неискаженном виде (см. гл. V, приложе-
приложение 2).
6. Цилиндрические и сферические волны. Принцип суперпо-
суперпозиции позволяет найти другие важные формы решений наших диф-
дифференциальных уравнений, в частности, цилиндрические и сфери-
сферические волны.
(а) Цилиндрические волны. Волновое уравнение в случае двух
измерений
»хх + и„ —и„ = 0 B2)
при любом 8 имеет решение
ехр {ip(x cos 8-j- у sin 9} ехр {tpt},
где р — число, которое можно выбирать произвольным образом.
Интегрирование этой „плоской волны" по углу 8 дает новое решение
и (х, у, *) = e'"e<J ехр {iprcos(8 —tp)}d9=:
где полярная координата г вводится равенствами х = г cos <p, у =
= г sincp. Это решение представляет стоячую волну.
Таким образом, инвариантное относительно вращения ре-
решение волнового уравнения B2), так называемая цилиндрическая
волна, задается функцией Бесселя Jo. Это решение регулярно
в начале координат г = 0.
С помощью суперпозиции плоских волн мы можем также по-
построить решение, имеющее особенность в начале координат и соот-
соответствующее процессу излучения (см. § 4) с источником в на-
начале координат. Для этого построения мы используем несобственные
волны. Рассмотрим комплексный контур интегрирования L на пло-
198
Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
скости 6, изображенный на рис. 5 (см. т. I, гл. VII), и составим
комплексный интеграл
и = eW J е'*гcos e db = ъе?'н1 (рг),
где Но — функция Ганкеля. Тогда и является решением рассматри-
рассматриваемого волнового уравнения.
Обе цилиндрические волны, конечно, периодичны по t и являются
колеблющимися, но не перио-
периодическими функциями простран-
пространственной переменной г.
ж
2
Ж
'г
Рис. 5.
Рис. 6.
(б) Сферические волны. В трехмерном пространстве положение
несколько иное. Из решения
ехр [Ipt] ехр {lp (ax-f- $y -\~уz)} =exp [Ipt] w,
интегрируя w по единичной сфере пространства а,
новую функцию
мы получим
= Г Г
где dQ — элемент поверхности единичной сферы. Так как эта функ-
функция, очевидно, инвариантна относительно вращения осей координат,
мы можем для простоты вычислений положить х —у = 0, z = r.
Вводя в пространстве a, {J, f сферические координаты 6, ср, мы по-
получим
2л л
ИЛИ
V— Г tf<p Г ^грг cose sin I
О О
4л sin pr
sin
V—
P
§ 3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 199
Таким образом, функция exp [ipt] (sin pr)//- является стоячей сфе-
сферической волной, инвариантной относительно вращения и регулярной
в начале координат; она получается с помощью суперпозиции регу-
регулярных бегущих плоских волн.
Волны с особенностью в начале координат, соответствующие
явлениям излучения, снова могут быть получены с помощью несоб-
несобственных плоских волн. Контур интегрирования L (рис. 6) приводит
к функции
С e'fr
г> = 2тс I e'P'-cosesine rf6 __2тс-1—. B3)
у ipf v '
В действительной области мы одновременно построили две сфери-
сферические волны вида (cosp/0/г и (sinpr)/r; вторая из них и есть только
что построенная выше регулярная волна.
Заметим, что сферическая волна вида B3) может быть получена
с помощью суперпозиции плоских волн exp {ip(ax-j- $y -f- ~(z)) для
произвольной точки (х, у, z), где z > 0. Независимо от положения
этой точки справедливо соотношение
2ц
2тс4— = f d<p (Vx^+ey+r^sin QdB. B4)
0 L
где x2 -\-у2~\- z2 = r2. Простой вывод формулы B4) можно опустить1).
Так как волновое уравнение не содержит дисперсионных членов,
мы можем построить волну, инвариантную относительно вращения,
и — J J f (t — ах ~ Ру — Tz) sin 6 rfe d<p
о о
с произвольной функцией /(X). Это выражение инвариантно относи-
относительно вращения; поэтому мы можем вычислить этот интеграл в пред-
предположении, что х = у = 0.
В полярных координатах мы получаем
тс
u = 2iz J f(t — r cos 6) sin 6 db — Ц- [F (t -f- r) — F (t — r)],
') Установление равенства двух интегралов B3) и B4) связано с инте-
интегральной теоремой Коши для двух комплексных переменных, так как пере-
переход отр=/=Окр = 0 означает только перемещение контура интегрирования
на комплексной плоскости в (см. Вейль [1], где дается важное применение
формулы B4) к задаче распростраяения радиоволн).
200 Гл. 111. Дифференциальные уравнения высших порядков
где F — неопределенный интеграл функции / — является произволь-
произвольной функцией. Таким образом, для любой (дважды дифференцируемой)
функции F функция
F(t + r)-F(t-r)
г
является решением1). Аналогично, каждая из функций
и F(t-r)
г г
также является решением. Это легко показать с помощью соответ-
соответствующих замен в функции / или F или с помощью непосредственной
проверки. Эти решения, которые, очевидно, имеют особенность
в начале координат, представляют собой „бегущие сферические
волны, затухающие в пространстве".
Кроме того, эти функции — единственные решения волнового
уравнения в трехмерном пространстве, которые как функции про-
пространственных переменных зависят только от г, так как для функ-
функции u(r, t) выражение Ди = ихх-\-иуу + мгг превращается в выра-
выражение
(см. т. I, стр. 200). Поэтому волновое уравнение Да— ин = § пе-
переходит в уравнение
общее решение этого уравнения, согласно гл. I, § 6, равно
с произвольными функциями F и G.
§ 4. Задача Коши. Задача излучения
для волнового уравнения
Линейные задачи теории распространения волн часто могут быть
решены с помощью суперпозиции известных частных решений диф-
дифференциального уравнения. Задача всегда состоит в том, чтобы найти
') В двумерном случае аналогичное упрощение интеграла
и = J / (t — г cos 6) М
о
невозможно. Это одно из проявлений существенного различия между за-
задачами в четно- и нечетномерном пространствах, на которое мы уже
указывали; это различие станет яснее в § 4 и в гл. VI.
§ 4. Задача Коши 201
решения и, зависящие от пространственных переменных х и от вре-
времени для t^-О в некоторой области G пространства, удовлетво-
удовлетворяющие заданным начальным условиям при t = 0 и некоторым крае-
краевым условиям на границе области О (смешанные задачи). Если
область G совпадает со всем пространством х и не задается ника-
никаких краевых условий, то мы имеем более простой случай задачи
с одними начальными условиями, или „задачи Коши". Если и не за-
зависит от t, и, соответственно, не задается никаких начальных усло-
условий, а область G ограничена, то мы имеем краевую задачу.
В этом параграфе мы рассмотрим несколько отдельных приме-
примеров; более общая теория будет систематически изложена позднее
(см. также § 6).
1. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Преобра-
Преобразование тета-функции. Для уравнения теплопроводности
«« — «/ = 0 A)
мы рассмотрим следующую задачу Коши: для всех значений пере-
переменной х и для ?>0 найти ограниченное решение и(х, t), обладаю-
обладающее непрерывными производными до второго порядка включительно
и принимающее заданные значения
и(х, О) = ф(лг)
при ^ = 0; предполагается, что функция ty(x) всюду непрерывна
и ограничена,
|
Решение этой задачи Коши определяется формулой
со
и (х, t) = —jL=- f <|>(?) e-e-ywrft, B)
-сю
которая получается с помощью суперпозиции из найденного ранее
(гл. I, § 3) „фундаментального решения". Эта формула описывает
распространение тепла как суперпозицию отдельных процессов,
в каждом из которых начальная температура равна нулю всюду,
за исключением точки х = \, где в начальный момент имеется ло-
локальная концентрация тепла, пропорциональная значению <]>(?).
Мы докажем этот результат с помощью непосредственной про-
проверки. Дифференцирование под знаком интеграла сразу показывает,
что при t > 0 функция B) удовлетворяет уравнению теплопровод-
теплопроводности. Чтобы проверить выполнение начального условия (при t = 0),
202 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
мы вводим вместо ? новую переменную интегрирования а = (? — х)/2 У1
и получаем
оо
1 /» ,
и = -?— ф(д; + 2а1Л)<;-0^0- C)
Мы разделяем этот интеграл на три части
-Г Г со
/^/_l/-_L f _i L_ f _j_ T Г
^iH-^-h-Zs— у- J -г у- J +y^J
и выбираем Г=|^|~1''4. Если t достаточно мало, то для произвольно
малого заданного е на отрезке — Т ^ а ^ Т выполняется неравен-
неравенство | ф\х-\~ 2а уТ) — ty(x) < е, так как очевидно, что |o|]/V -^|/|''*,
а функция ф непрерывна по предположению. Из сходимости инте-
оо
грала I e~a do=y к мы сразу заключаем, что для достаточно ма-
— оо
лых t разность между интегралом У2 и функцией §(х) сколь угодно
мала. Интегралы Уа и J3 можно оценить так:
-т
Так как несобственный интеграл I e~0%da сходится, то эти инте-
— со
тралы можно сделать сколь угодно малыми, если t выбрать доста-
достаточно малым. Таким образом, заданная функция действительно
является решением нашей задачи Коши.
Аналогичная явная формула дает решение задачи Коши для урав-
уравнения теплопроводности в случае двух или более измерений. На-
Например, рассмотрим такую задачу: для t > 0 найти ограниченное
решение и{х, у, z; t) уравнения
««+«,>+"« — "< = 0'
которое при t = 0 совпадает с заданной непрерывной функцией
<|>(*. У, г).
§ 4. Задача Коши 203
Решение, как легко видеть, определяется формулой
со
1 с г с
а{Х> У' *' П~ 8(/<K J J J П5> ^' Ч
— oo
D)
Другая задача с начальными условиями для уравнения теплопро-
теплопроводности относится к замкнутому одномерному теплопроводящему
телу (например, проволочному кольцу) длины I. В этом случае за-
задача с начальными условиями для уравнения ихх — ut = 0 ставится
так же, как и раньше, но вводится дополнительное требование,
чтобы и функция ф(лг), и решение u(x,t) были периодическими
функциями х с периодом I. С помощью суперпозиции решений
ехр {— 4tcV^} (av cos 2tcvx -f- b4 sin '.
мы находим решение вида
со
, t) = Ц- + 2 («vcos 2uvx + ?v sin
v l
в предположении, что начальная функция ty(x) разлагается в равно-
равномерно сходящийся ряд Фурье
ф (x) = -— -)- ^ (av cos 2tcvx -j- ^v s'n
v=l
Выражая коэффициенты Фурье через интегралы и меняя порядок
суммирования и интегрирования (что безусловно допустимо при t > 0),
мы получаем
Г \ I
u(x,t)=\ <]>@]l +2 2 е-4гЛ!'со8 2тс^(лг — ?)}^. E)
С другой стороны, мы можем получить явное решение нашей за-
задачи совсем другим способом, если вспомним, что функция
является периодическим решением уравнения теплопроводности с пе-
периодом I. Рассуждение, аналогичное приведенному выше, показы-
показывает, что решение рассматриваемой задачи с начальными условиями
определяется формулой
1
и(х, t)= \^{\)W{x — \, t)dl G)
о
204 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
Сравнивая эти два решения и применяя „основную лемму" *) ва-
вариационного исчисления, мы в силу произвольности функции ф(?)
получаем тождество
2 е-™2'cos 2™* = -^ 2 e-Ttt-VlK (8)
v=— оэ V * v——оо
Это тождество было получено раньше (т. I, стр. 70) для частного
случая х = 0 и называлось формулой преобразования эллипти-
эллиптической тета-функции; здесь оно снова получено в связи с урав-
уравнением теплопроводности.
Вывод формулы (8) опирается на тот факт, что два решения E)
и G) тождественно совпадают. Чтобы доказать единственность ре-
решения задачи с начальными условиями, мы покажем, что решение,
соответствующее начальной функции, равной нулю, т. е. разность
между двумя решениями, соответствующими одинаковым начальным
значениям, тождественно равно нулю. Действительно, умножая урав-
уравнение ихх—«( = 0 на и, интегрируя по нашему интервалу и учи-
учитывая периодичность, мы получаем
и, следовательно,
Так как при ^ = 0 тождественно выполняется равенство и = 0,
то функция и тождественно равна нулю и при t > 02).
2. Задача Коши для волнового уравнения. Мы уже получили
решение задачи Коши для волнового уравнения в одномерном слу-
случае (см. гл. I, § 7, п. 1). Теперь мы найдем имеющее важное зна-
значение решение задачи Коши для волнового уравнения
"ххЛ-Uyy + игг=и„ (9)
в трехмерном пространстве, исходя из ранее найденных решений
вида F (г — t)/r (с произвольной функцией F). Здесь г определяется
равенством
/-2 = (х — О2 + (У — rf +(z— С)»;
S, ""I, С — координаты точки-параметра.
') См. т. I, стр. 164.
2) Этот метод доказательства единственности в значительно более общем
виде будет играть важную роль в дальнейшем (гл. V, § 4 и гл. VI, § 8).
§ 4. Задача Коши 205
Пусть /%(л) — неотрицательная функция параметра X, обращаю-
обращающаяся в нуль вне интервала —е<Х<е и такая, что
Ясно, что полученная суперпозицией сферических волн функция
где tp(S, т), С) — произвольная функция, является решением этого вол-
волнового уравнения.
Переходя к пределу под знаком интеграла при е—>0, мы полу-
получим выражение
и(х, у, z; 0 = -^-//?(* + **, >' + 'Р. z + ti)dio = tMt{<?}, A0)
2
где dw — элемент поверхности сферы Q : а2 -\- р2 -\- -B = 1, а Ж^ {ср} —
среднее значение функции ср на поверхности сферы радиуса t с цент-
центром в точке (х, у, z).
Однако легче непосредственно проверить, что функция и, задан-
заданная формулой A0), является решением волнового уравнения, чем
обосновать этот предельный переход. Здесь мы опускаем эту про-
проверку, так как она будет подробно проделана в более общем случае
в гл. VI, § 12.
Очевидно, что функция и удовлетворяет начальным условиям
и(х, у, z; 0) = 0, at(x, у, z; 0) —ср(х, у, г).
Учитывая, что at так же, как и и, есть решение волнового уравне-
уравнения, мы легко получаем, что функция
« = ш,{<р} + 4-м*ЛФ} (И)
является решением задачи Коши с заданными начальными зна-
значениями
и(х, у, z; 0) = Ф(х, у, z), ut(x, у, z\ О) = ср(лг, у, z).
3. Принцип Дюамеля. Неоднородные уравнения. Запаздываю-
Запаздывающие потенциалы. Если решена задача Коши для однородного ли-
линейного дифференциального уравнения, такого, как волновое уравне-
уравнение, то все решения соответствующего неоднородного дифферен-
дифференциального уравнения можно найти с помощью простого и общего
„принципа Дюамеля", который является аналогом хорошо известного
метода вариации постоянных или метода импульсов для обыкновенных
206 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
дифференциальных уравнений. Мы сначала сформулируем этот прин-
принцип (который будет встречаться и дальше в этом томе) и затем при-
применим его к волновому уравнению.
Рассмотрим дифференциальное уравнение для некоторой функции
u{xvx2 хп\ t), или, короче, и(х, t):
it *-* I ** J " ' о \ * /" \ )
Здесь L — произвольный линейный дифференциальный оператор, ко-
который может содержать производную ut, но не содержит производ-
производных no t более высокого порядка. В приложениях правая часть g(x, t)
представляет внешние силы, действующие на систему. Нужно решить
следующую задачу Коши: найти решение и дифференциального
уравнения A2), которое при ^ = 0 удовлетворяет начальным условиям
и(х, 0) = 0, ut(x, 0) = 0. A2')
К решению этой задачи приводит следующее рассуждение. Мы
предполагаем, что для некоторого фиксированного т правая часть
уравнения A2) есть функция g"s, обращающаяся в нуль всюду, кроме
малого интервала т — е^/^т, для которого
т
j* ge(x, t)dt — g(x, t).
Мы формально перейдем к пределу при е—>0, предварительно про-
проинтегрировав дифференциальное уравнение по t в пределах от т—е
до т. Таким образом мы придем к следующей задаче Коши для со-
соответствующего однородного дифференциального уравнения: для за-
заданного значения параметра т найти при t~^i решение и(х, t)
уравнения
uu-L[u} = 0. A3)
такое, что для t = x
и(х, т) = 0, ut{x, x) = g(x, т). A3')
Это решение мы продолжаем тождественным нулем при t ^ г; оно
соответствует действию на покоящуюся при t ^ т систему мгновен-
мгновенного импульса силы g(x, т). Мы обозначим это решение задачи A3),
A3'), зависящее от параметра т, через <р(х, t; т); его можно опре-
определить независимо от эвристических соображений. Мы утверждаем
теперь, что функция
t
и(х, t) = f<t(x, t\ x)dz, A4)
о
полученная с помощью суперпозиции импульсов ср, является
решением задачи Коши для неоднородного дифференциального
уравнения A2) с начальными условиями A2').
§ 4. Задача Коши 207
Это утверждение можно легко проверить. Так как
t
?t(x, t; z)dz,
utt = <?t(x, t;
t
L[u]= f L[<f)d*
о
и так как yt(x, t; t) — g(x, t), функция и удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению A2) и начальным условиям A2').
Теперь мы применим этот общий результат к волновому уравне-
уравнению в трехмерном пространстве. Согласно п. 2, мы имеем
<р(*. у, z, t; т) = (* — t)Mt_x[g(x, у, z; -.)}.
Очевидно, что решением задачи Коши для волнового уравнения
utl—bu = g(x, у, z; t)
с начальными условиями
и(х, у, z; 0) = 0, ut(x, у, z; 0) = 0
является функция
t
и(х, у, z; t) = j(t — z)Mt_^{g(x, y,z;z)\dz =
t
f tMz {g(x, y, z\ t — z)}dz=s
О 2
где а, р, f — компоненты вектора единичной длины. Вводя снова
вместо полярных координат прямоугольные координаты ? = л;-)-та,
], С —z-4-tt, мы имеем
и{х, у, г; O = jr
r<t
где г = i/"(Jf — SJH~ (У — 7iJ~\~(.z — О2 • Это выражение и называется
запаздывающим потенциалом; действительно, оно образовано
так же, как потенциал масс, распределенных в пространстве с плот-
208 Гл. HI. Дифференциальные уравнения высших порядков
ностью g, изменяющейся со временем (см. гл. IV, § 1). Однако эту
плотность надо брать не в момент t, а в более ранний момент
t — г; разность г — это интервал времени, за который сигнал, рас-
распространяющийся со скоростью 1, проходит расстояние от центра
сферы х, у, z до точки (?, т), С).
За. Принцип Дюамеля для систем первого порядка. Переход
от решения задачи Коши для однородного уравнения к решению не-
неоднородного уравнения является особенно простым и полезным, когда
он применяется к системам первого порядка, записанным в матричном
виде (см. § 2, п. 3, уравнение Dа)).
Предположим, что система записана в векторной форме
?[«] = «,+ 2 A\ + Bu=g(x. t), A3a)
v= 1
где и — вектор с k компонентами, А', В — заданные матрицы kX.k,
a g— заданный вектор.
Предположим, что функция и = у(х, t\ x), зависящая от пара-
параметра т, является при t > т решением однородного уравнения
L[u} = 0, удовлетворяющим начальным условиям u(x, t)~g(x, т)
при ^ = т; тогда
t
и(х, t) = f<?(x, t; x)rfx
о
есть решение уравнения L[u]~g(x, t) с начальным условием
и(х, 0) = 0.
Доказательство очевидно и может быть опущено.
4. Задача Коши для волнового уравнения в двумерном про-
пространстве. Метод спуска. Решение задачи Коши для волнового
уравнения в случае двух измерений
«О-+ "уу ==«« A6)
можно сразу получить из решения соответствующей задачи в трех-
трехмерном пространстве с помощью следующего общего метода, кото-
который Адамар назвал методом спуска. (См. также гл. VI, § 12.)
Мы будем рассматривать уравнение A6) как частный случай волно-
волнового уравнения в трехмерном пространстве, когда ни начальные дан-
данные, ни само решение не зависят от третьей пространственной пере-
переменной z. Таким образом мы „спускаемся" от трех к двум перемен-
переменным. Это рассуждение сразу дает искомое решение, если мы в фор-
формуле A0) из п. 2 предположим, что функция
ср(*. у, г) = ср(л;, у)
§ 4. Задача Коми 209
не зависит от г. Подставляя в A0) ? —fa, ri = t$, (, = t-[, мы по-
получаем
и{х. у, t)==-L // ?(* + $. y+Yi)rfa»,
«> + Ра + Т==1
где !-, т) — независимые переменные. Этот интеграл можно записать
как интеграл по кругу i,2-\-rf^t2 радиуса t:
Здесь элемент поверхности сферы I2-\- rf-f- С2 = t2 выражен как
t2 rfd) = -=- d? й?71 = —
Следовательно, формула A7) дает решение задачи Коши для волно-
волнового уравнения в случае двух измерений, если заданы начальные
условия и(х, у; 0) = 0, ut(x, у, О) = ср(*, у).
Существенное различие между двумерным и трехмерным про-
пространствами выясняется при сравнении формул A7) и A0). В трех-
трехмерном пространстве решение в некоторой точке зависит только от
начальных значений на поверхности трехмерной сферы радиуса t
с центром в этой точке; для двумерного же случая область зависи-
зависимости включает и границу, и внутренность круга радиуса t. Позднее
мы выясним более глубокий смысл этого факта (см. § 4, п. 6 и гл. VI,
§ 18).
Кроме того, метод, изложенный в п. 3, позволяет получить ре-
решение неоднородного уравнения
««-««-«»> = /<*• У' 0. A8)
удовлетворяющее начальным условиям
и(х, у; 0) = 0, ut(x, у; 0) = 0; A8')
оно определяется формулой
о '
Его можно также записать в виде
где К — область пространства 5, ч], х, определенная неравенствами
210 Гл. 111. Дифференциальные уравнения высших порядков
б. Задача излучения. Проблемы излучения так же важны для
физики, как и задача Кошг; в действительности они могут рассма-
рассматриваться как предельные случаи задачи Коши. Формулировка задач
излучения, не зависящая от таких предельных переходов, будет дана
ниже, в гл. VI, § 18. В задаче излучения искомая функция и и ее
производные по t равны нулю в начальный момент времени (т. е. при
t — 0 мы имеем состояние покоя). Однако, в некоторой точке про-
пространства, например, в начале координат г = 0, задается особенность
решения и в зависимости от времени.
В трехмерном пространстве мы уже знаем решения волнового
уравнения с особенностью в фиксированной точке пространства; та-
такими решениями являются функции
F(t-r)
— выходящая и входящая волна (мы пока не учитываем те начальные
условия, которые должны выполняться). Решение задачи излучения
получается следующим предельным переходом. Мы рассматриваем
неоднородное дифференциальное уравнение
ин — Ди = /(х, у, г; t), B0)
где /—„плотность внешней силы".
Решение соответствующей задачи Коши для t > 0 с состоянием
покоя в качестве начального условия (см. уравнение A5)) задается
формулой
Пусть задан малый параметр е; мы предположим, что / = 0 для
и введем обозначение
Если мы положим g-(f) —0 для ^<0 и перейдем к пределу при
?—>0, то наше решение перейдет в функцию
и= gV~r) , где r2=x2-\-y2-{-z2. B1)
Следовательно, в этом решении задачи излучения функция 4ug- (t)
представляет действующую силу, сконцентрированную в начале ко-
координат в момент t. Заметим, что в некоторой точке (х, у, z)
пространства в момент времени t решение зависит только от
§ 4. Задача Коши 211
отдельного импульса, возникшего в начале координат в момент t — г
и пришедшего в точку (х, у, z) со скоростью 1.
Для. задач излучения в двумерном случае положение совсем иное.
Здесь мы имеем дифференциальное уравнение
"tt-Uxx — «„ = /(*. У. О- B2)
Мы предполагаем, что / = 0 для г2 = х2-J- у2 ^> е2, и вводим обо-
обозначение
Применяя результат из п. 4 и переходя к пределу при е—>0, по-
получаем
для /•<;/,
и (х, у; t) —
О для г > t.
В отличие от трехмерного случая решение в точке (х, у) в момент
времени t зависит не от отдельного импульса, возникшего в пред-
предшествующий момент, а от всего течения процесса излучения до мо-
момента t — г.
Интересно также изучить характер особенности нашего решения
при /¦=() а случае двух измерений. С этой целью мы сначала инте-
интегрируем по частям, принимая во внимание, что
• ' ' •*'" т\2 гч
а затем разлагаем в ряд по г, что приводит к следующему предста-
представлению решения в окрестности особой точки:
и(х, у; t) = — g(t — r)log
t
-bJV0Olog2(f —т)</т + е(*. г),
о
где
z(t, r)->0 при г—>0.
Таким образом, в двумерном случае особенность решения задачи из-
излучения сложнее, чем в трехмерном.
6. Явления распространения и принцип Гюйгенса. Сейчас мы
несколько подробнее рассмотрим природу явлений распространения
(однако изучение основных принципов будет предпринято только
в гл. VI). Сначала мы рассмотрим однородное волновое уравнение
212 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
в трехмерном пространстве. Предположим, что при ? = 0 начальное
состояние отлично от нуля только в некоторой окрестности О одной
точки, например, начала координат. Чтобы найти и в точке (х, у, z)
в момент времени t> мы окружаем точку (х, у, z) сферой радиуса t
и вычисляем некоторые интегралы от начальных функций по этой
сфере. Поэтому величина и(х, у, z\ t) отлична от нуля только
тогда, когда поверхность этой сферы пересекает начальную область О,
т. е. только в пределах некоторого интервала времени t1 < t < t^\
длина этого интервала есть разность между наибольшим и наимень-
наименьшим расстоянием от точки (л;, у, z) до области G. Этот факт харак-
характеризует наше дифференциальное уравнение как уравнение, для ко-
которого явление распространения происходит со скоростью 1.
Начальное состояние в области G не влияет на точку (х, у, z) до
момента времени tv равного кратчайшему расстоянию от точки
(х, у, г) до области G. После момента t2, соответствующего наи-
наибольшему расстоянию, начальное состояние перестает оказывать
какое-либо влияние. Это явление называется принципом Гюйгенса
для волнового уравнения. Этот принцип утверждает, что резко
локализованное начальное состояние наблюдается позднее из другой
точки как явление, столь же резко ограниченное. В предельном слу-
случае, когда окрестность G, в которой начальное состояние отлично
от нуля, стягивается в точку, например, если начальное возмущение
при ? = 0 сосредоточено в начале координат, его влияние на точку
(х, у, z) будет чувствоваться только в определенный момент вре-
времени t, причем t зависит от расстояния между началом координат и
точкой (х, у, z).
В двумерном случае положение дел совершенно иное. Мы снова
рассмотрим область G, содержащую начало координат, и предпо-
предположим, что начальные значения и и ut отличны от нуля только
в этой области. В точке Р с координатами х, у, отстоящей от О
на-расстояние tv без сомнения, выполняется равенство и = 0 для
t < tv Согласно формуле A7) из п. 4, величина и для t > tx уже
не равна тождественно нулю. Действительно, если, например, началь-
начальная функция ср неотрицательна, то решение и в точке Р при t > ^всегда
остается отличным от нуля. Другими словами, в двумерном случае
мы также имеем явление распространения в том смысле, что лока-
локализованное начальное возмущение достигает другой точки простран-
пространства только через некоторое время. Однако принцип Гюйгенса уже
не имеет места, так как влияние начального возмущения
уже не будет строго ограничено во времени. Если возму-
возмущение достигло некоторой точки в пространстве, то оно остается
в ней неограниченно долго (реверберация).
При изучении явлений распространения мы замечаем, что состоя-
состояние в точке (дг, у, z) в момент t зависит от начальных значений и
в некоторой области пространства, так называемой области зави-
§ 5. Решение задачи Коши с помощью интеграла Фурье 213
симости, соответствующей точке (х, у, z; t). Следовательно, для
волнового уравнения в трехмерном пространстве эта область зави-
зависимости является поверхностью сферы радиуса t с центром в точке
(х, у, z). Возмущение в этой точке в момент t не зависит от на-
начальных данных внутри и вне поверхности этой сферы.
С другой стороны, в двумерном пространстве область зависи-
зависимости включает и внутренность, и границу круга радиуса t с центром
в точке (х, у).
Физически разница становится еще более понятной для решений
проблемы излучения из п. 5. Предположим, что из начала координат
в трехмерном пространстве распространяется возмущение. Тогда
в момент t в точке Р(х, у, г) мы наблюдаем только то, что вышло
из начала координат в момент t — г. В двумерном же пространстве
результат наблюдения в точке в момент t зависит от всего процесса
излучения, который происходит до момента t — г.
Таким образом, в трехмерном мире, в котором волны распрост-
распространяются в соответствии с волновым уравнением, резкие сигналы
передаются и могут приниматься как резкие. В двумерном мире при-
принятый сигнал будет размытым.
В гл. VI мы увидим, что такого рода явления свойственны не
только волновому уравнению и не только двумерному или трехмер-
трехмерному пространству. Мы увидим, что принцип Гюйгенса справедлив
для волнового уравнения при любом нечетном числе п пространст-
пространственных измерений, кроме п = 1, и что он несправедлив при четном
числе измерений.
? 5. Решение задачи Коши с помощью
интеграла Фурье
1. Метод Коши применения интеграла Фурье. Мы сейчас
опишем общий метод решения задачи Коши с помощью суперпозиций
плоских волн. Чтобы избежать проверки законности перестановки
предельных переходов, мы будем пользоваться эвристическими сооб-
соображениями при получении решений; после этого необходимо непосред-
непосредственно проверить, что полученные так формулы действительно дают
решение рассматриваемой задачи*).
Пусть снова
?[и]-»0 A)
— линейное однородное дифференциальное уравнение порядка k
с постоянными коэффициентами для функции u(xv x2, ..., хп; t),
или и(х, t). Пусть
4V+V+V*0, B)
') Однако в п. 3 мы не будем разделять формальную конструкцию и
проверку.
214 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
или, короче, и = е' {ax)e'lbt — решение уравнения A). Мы предпо-
предположим, что уравнение A) — гиперболическое, т. е. для любой си-
системы действительных чисел av a2, ..., ап (или для любого век-
вектора а) существует ровно k различных действительных значений
(см. § 3, п. 4)
b=*bj(av а.2 ап) (у=1, 2, .... ft),
которые являются алгебраическими функциями параметров а{ и для
которых функция B) является решением уравнения A). Если Wv
W2, ..., Wk обозначают k произвольных функций от а, а„,
то мы можем формально построить выражение
k со
и= 21 f •¦•fWj(a)ei{ax)e-itbi(a>'a2' -««) da C)
У = 1 — со
— суперпозицию плоских волн; здесь da обозначает dax da2 . . . dan.
Ясно, что это формальное выражение также является решением
уравнения A), если все интегралы сходятся и если можно применять
дифференциальный оператор L[u] под знаком интеграла.
Мы воспользуемся этим замечанием, чтобы построить решение и
уравнения A), удовлетворяющее при ? = 0 начальным условиям
и(х, O) = <po(jc),
ut(x, 0) = ?!(*).
D)
dt*
0)) = ?*_,
с произвольными функциями cpv, v < k.
Дифференцируя формулу C) по t под знаком интеграла, мы по-
получаем, согласно этим начальным условиям, при t = 0 для функций
Wv W2, ,.,,Wk систему уравнений
= С ... Г 2
-со I'1
» k
i = f • • • f S (-
J -со У
со j
§ 5. Решение задачи Коши с помощью интеграла Фурье 215
Согласно теореме об обращении преобразования Фурье, решения
этих уравнений определяются формулами
2 (^//(a)
A = 0, 1 k— 1); F)
здесь \ — вектор \v Е2, ....?„, di = d\xd\2 ¦ ¦ ¦ d\n, а выражения,
стоящие в правых частях, известны. Таким образом, для k неизвест-
неизвестных функций Wv W,2 Wk мы получаем систему k линейных
уравнений; ее определитель (— Ibf) \ не обращается в нуль, так как,
по предположению, все bt различны. Функции Wj определяются од-
однозначно и, следовательно, наша задача Коши формально решена.
Обоснование будет дано в п. 3.
2. Пример. В качестве примера мы снова рассмотрим волновое
уравнение в трехмерном пространстве
ии — Да = О
с начальными условиями
и(х, у, z\ 0) = 0, ut(x, у, z; 0) = у(х, у, z).
Здесь для b мы получаем два значения
b=±Va\+a\ + a\=±?. G)
Применяя преобразование Фурье и учитывая начальное условие
и(х, у, z; 0) = 0, мы получаем представление
и(х, у, z; t) = j j j W(av av a3)el ^x+a^+a^sinptda. (8)
— CO
После дифференцирования под знаком интеграла при / = 0 мы
имеем
ut(x, у, z; О) = ср(л, у, z) = j j j pW(av a2, аъ)е1 ^х+ъу+ъ* da\
согласно теореме об обратном преобразовании, W определяется фор-
формулой
W{av аг, а3) = ^ / / /<F(«. ^ Ов-'^'^^+^'^^Л. (9)
216 Гл. 111. Дифференциальные уравнения высших порядков
Подставляя это значение функции W в формулу (8) и меняя порядок
интегрирования по переменным av a2, а3 и по \, т), С в шестикрат-
шестикратном интеграле
X el la, (x-i)+a2 (у-
мы могли бы попытаться получить решение в более простом виде.
Однако это изменение порядка интегрирования нельзя произвести
сразу, так как тогда не будет сходиться внутренний инте-
интеграл. Эта трудность обходится с помощью простого часто применяе-
применяемого искусственного приема (см., например, гл. VI, § 12). Мы будем
рассматривать не сам интеграл (8), а интеграл
v(x, у, z, t) = -f ( fW(av a2, aje'^-^da; A0)
—оо
дважды продифференцированный по t, он дает и:
Если мы в формулу A0) подставим вместо W выражение (9), изменим
порядок интегрированияJ) и воспользуемся обычными обозначениями2),
то мы получим
причем теперь внутренний интеграл J сходится. Простые вычисления
дают
—оо
Так как
sin ?r sin Pt = sin2 ^tL p — sin2 *-^- p,
') Эта перемена производится без доказательства, так как мы имеем
дело с эвристическим методом получения решения, который будет обосно-
обоснован в гл. VI, § 13.
2) То есть р2 = а\ + а\ + а\, р2 dp rfw = da.
§ 5, Решение задачи Kouiu с помощью интеграла Фурье 217
то мы сразу получаем
оо
sin prsin ?t , (t-\-r
7 sin prsi
J p
t — r
J
о
sin2P
1
~ 2 \ 2
для г <; t,
-г~- ДЛЯ Г>Л
t — r
I)
т. e.
A1)
A2)
A3)
Дифференцируя по / интеграл вида
взятый по шару радиуса ? с центром в точке (х, у, г), мы получаем
интеграл по поверхности Q этого шара:
Соответственно интеграл
взятый по внешности сферы, имеет производную
Поэтому из формулы A3) мы получаем
а следовательно,
r>t
Дальнейшее дифференцирование дает
218 Гл. Ш. Дифференциальные уравнения высших порядков
или, с применением введенного ранее обозначения Mt [у],
что согласуется с результатом § 4, п. 2 х).
3. Обоснование метода Коши. Вместо того чтобы применять
метод Коши как чисто формальную конструкцию, нуждающуюся
в дальнейшем обосновании, можно получить решение вместе с полным
доказательством и анализом границ его применимости. Сейчас будет
вкратце проведен этот анализ с некоторыми изменениями в прежних
рассуждениях.
Наиболее общее линейное дифференциальное уравнение порядка k
с постоянными коэффлциентами может быть записано в виде
•? те)"-0 <17>
(см. § 3), где
k
У2 Уо)=2^(У1. У2 Уо)
0
— полином порядка k с постоянными коэффициентами, представлен-
представленный в виде суммы однородных полиномов Pj степени j <^ k 2).
Задача Коши для уравнения A7) с плоскостью хо = О в каче-
качестве начальной поверхности состоит в отыскании решения уравне-
уравнения A7), удовлетворяющего начальным условиям
~7 = ^(х1, х2 хп) A9)
ох0
при xo = O и У = 0, 1 /г -— 1,
причем функции ср^ заданы. Эта задача называется корректно по-
поставленной, если 3) существует такое число N, что для функций <р-,
принадлежащих классу4) CN, уравнение A7) и условия A9) выпол-
выполняются только для одной функции и (которая непрерывно зависит
от функций fj и их производных порядка, не превосходящего N).
Очевидно, что условие
p = Pk@, 0 О, 1)=?ьО, B0)
') По поводу обобщения этой формулы на пространство п измерений
см. гл. VI, § 12.
2) Мы здесь пишем j в качестве индекса, что несколько отличается
от обозначений § 3.
3) Критерии корректности постановки задачи рассматриваются в § 6, п. 2.
Слово „корректно" употребляется здесь именно в этом смысле.
4) СN — класс функций, для которых существуют и непрерывны все
частные производные порядка, не превосходящего N.
§ 5. Решение задачи Коши с помощью интеграла Фурье 219
является необходимым, так как в противном случае уравнение A7)
при л;0 = 0 дает соотношение между начальными функциями ср^ и их
производными, которое не выполняется тождественно. (Условие B0)
утверждает, что начальное многообразие д;0 = 0 не является характе-
характеристическим; см. § 2, п. 4.)
Менее очевидно другое необходимое условие: уравнение
Pk(yv Уг Уп- 1) = 0 B1)
должно иметь только действительные корни ч\ для любых действи-
действительных значений ух, у2, ..., уп.
Мы докажем здесь необходимость этого условия для случая диф-
дифференциального уравнения
содержащего только производные порядка k. Предположим, что для
некоторых действительных значений yv у2, ..., уп уравнение B1)
имеет комплексный корень -ц. Так как коэффициенты алгебраического
уравнения B1) действительны, то комплексно сопряженное к г; число
также должно быть корнем, и мы можем без ограничения общности
считать, что
Im г)== -г <0.
Тогда мы для любого положительного X имеем решение диф-
дифференциального уравнения A7')
a = X-"-y*(*«>i+-"+VfnHVi)f B2)
соответствующее начальным условиям
При \—> -(-со функции <fj и их производные порядка, не превосхо-
превосходящего N, равномерно по xv .... хп стремятся к нулю, в то время как
|й@. 0 0, xo)\ = l-N-kekzx°
стремится к бесконечности. Это несовместимо с непрерывной зави-
зависимостью решения и от функций ср^ и их производных порядка, не
превосходящего N. Аналогичные рассуждения применимы к более
общему уравнению A7); они показывают, что задача Коши может
быть поставлена корректно только тогда, когда все корни уравне-
уравнения B1) действительны для действительных уг уп. в частности,
если уравнение A7) гиперболическое в смысле § 2, п. 3 ').
') См. также Джон [4], гл. 11,
220 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядное
Однако это условие не является достаточным х). В качестве при-
примера мы рассмотрим параболическое уравнение
"зд-и^О, B3)
соответствующее k = 2, п=\. Уравнение B1) сводится к уравне-
уравнению т]2 = 0, и, следовательно, имеет только действительные корни.
Одно из решений уравнения B3) определяется формулой
и — y-W
если
^ + /у, = 0.
Решение и, соответствующее корню ^ = A —¦ 0(Vi/2) , стремится
к бесконечности вместе с yv хотя его начальные значения и их
производные порядка, не превосходящего Л/, стремятся к нулю.
В соответствии с этим задача Коши для уравнения B3) поставлена
некорректно, хотя корни уравнения B1) действительны.
Теперь мы дадим достаточное условие: задача Коши поставлена
корректно, если все корни уравнения B1) действительны и раз-
различны при любых действительных не равных нулю одновременно
значениях ylt ..., уп. Для доказательства мы построим решение
методом, по существу не отличающимся от метода Коши [1]. Сна-
Сначала мы заметим, что задачу Коши для уравнения A7) с начальными
значениями A9) можно свести к задаче для того же уравнения
с начальными значениями частного вида cpo = cpj= ... =cpft_2 = 0
и с произвольной функцией <pft — i- Искомое решение и общей задачи
Коши A9) можно тогда записать в виде
дгиг
длг0 •
r=0 °
где функции иг— решения уравнения A7) с начальными условиями
специального вида
dJ'ur _( О для У = 0, 1 Дг — 2,
\ 0
\ gr(xv хч хп)
Функции gr надо подобрать так, чтобы функция и удовлетворяла
условиям A9); поэтому мы должны потребовать, чтобы выполнялись
соотношения
*¦
') Для уравнений с постоянными коэффициентами Гординг [2] дал усло-
условия, необходимые и достаточные для корректности постановки задачи Коши.
§ ,5. Решение задачи Коши с помощью интеграла Фурье 221
Для 7 = 0, 1 k—1 мы последовательно получаем соотношения,
из которых определяются сначала gk~\ и, следовательно, uk_v
затем Sk-2 и> следовательно, ик_2 и т. д. Таким образом, доста-
достаточно решить уравнение A7) с начальными значениями
0 для 7 = 0, 1, ..., k — 2,
, ..., хп) для 7 = А—1 B4)
на поверхности хо = О. Чтобы завершить построение решения, мы
рассмотрим сначала решение, соответствующее функции ср вида
ехр {г(Xj^i —|— ... ~\-хпуп)}; согласно теории обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений, это решение определяется формулой
ехр {/(*!}>!+ ... -{-xnyn))Z{yl уп, х0), B5)
где
P{iy}
B6)
Величина р здесь задается формулой B0), а контур интегрирования
на комплексной плоскости ч\ должен охватывать все корни знамена-
знаменателя. Если у изменяется в ограниченной области пространства, то
корни знаменателя также ограничены, так что можно выбрать контур
интегрирования, не зависящий от у. Отсюда следует, что Z есть
целая аналитическая функция своих аргументов. Положим yv = rz,,
где z\-{-z\-{- ... -\-z2n=\. Мы покажем, что величины
dxQ
B7)
равномерно ограничены для действительных значений ylt y2, .... уп, х0,
таких, что г > 1, | х01 < М.
С этой целью мы сначала запишем уравнение
РAУ1 hn- ^) = 0 B8)
в виде
^Рь-\^ .... *„.})+ ¦•• =0. B9)
Так как корни С уравнения
Рк{гх ¦*„. С) = 0 C0)
по предположению простые и так как простые корни многочлена
с фиксированным старшим коэффициентом являются непрерывными
и дифференцируемыми функциями остальных коэффициентов, то для
любого корня т) уравнения B8) существует такой корень С уравне-
уравнения C0), что для больших г величина | у/г — С| имеет порядок 1/г.
Корни С действительны и различны; следовательно, корни yj различны
222 Гл. 111. Дифференциальные уравнения высших порядков
и имеют ограниченную мнимую часть при больших г. Применяя тео-
теорию вычетов, мы можем для больших г написать Z в виде
где Tjj, тJ, ..., t)j — корни уравнения B8), а Р' — производная
функции Р по последнему аргументу. Так как
Р'AУг, .... lyn, iflj) =
и так как величины exp {lr\jXu) и т);-/г ограничены, отсюда следует,
что выражения B7) ограничены для г> 1 и |*0|<М.
Теперь мы в состоянии решить задачу Коши с начальными усло-
условиями B4). Как и раньше, мы пользуемся сокращенными обозначе-
обозначениями х, у, % для векторов хх хп и т. д., a dx = dx1 .. . dxn
и т. д. Предположим, что функция о обращается в нуль вне некото-
некоторой ограниченной области и принадлежит классу Сп+2. Тогда функ-
функция ср допускает представление в виде интеграла Фурье (см, т. I,
стр. 75):
где
со
| /©*-'№^- C1)
Функция ср принадлежит классу С„+2; следовательно, интегриро-
интегрированием по частям можно установить, что величина /¦/м2ф(у) ограни-
ограничена и поэтому интеграл
f ...
— со
сходится. Тогда функция
со
и (х, xQ) = / ... / <|« (у) el w z (у. хп) dy C2)
— со
принадлежит классу Ck и, очевидно, удовлетворяет уравнению A7)
и условиям B4). Следовательно, задача Коши решена. Предположе-
§ 5. Решение задачи Коши с помощью интеграла Фурье 223
ние о том, что ср обращается в нуль вне некоторой ограниченной
области, не является ограничением, так как можно показать, что
решение и зависит только от значений начальной функции ср в не-
некоторой ограниченной области. (Это следует, например, из теоремы
единственности; см. стр. 239.)
Выражение C2) для функции и не включает непосредственно
значений начальной функции ср, в него входит только ее преобра-
преобразование Фурье ф. Поэтому подставим выражение C1) для ф в фор-
формулу C2); мы получим
оо
и (х, х0) = J .. . J ср (?) *(* — ?. x0) dl C3)
— СО
где
со
ч Г С ¦
у /. и I г \ \ л , Л q / I ... I с ^ ' ?- ^у, aqj w \f. ^04:^
— со
Перемена порядка интегрирования, которая приводит к фор-
формуле C3), без сомнения, законна, если интеграл, определяющий
функцию К. абсолютно сходится. Так как величина rk~xZ ограни-
ограничена, этот интеграл сходится абсолютно, если порядок уравнения k
и число независимых переменных п -\~ 1 удовлетворяют неравенству
*>я + 2. C5)
Представление C3) показывает, что в этом случае решение и
непрерывно зависит от начальной функции ср. Это уже не следует
из предыдущих рассуждений, если неравенство C5) нарушается (как
в случае волнового уравнения при большом числе измерений). Однако
и в таких случаях мо кно вывести несколько измененную формулу C3).
Мы предположим, что существует целое число х, такое, что
re—I >2x>«4-2 — k. C6)
Такое число всегда можно найти, если порядок дифференциального
уравнения k не менее четырех. Обозначив оператор Лапласа
'дг\дх\-\- ... -\-д2/дх2п через Д, мы можем записать решение и,
заданное формулой C2), в виде
со
и = Д" J . .. J ф (у) r-^el toOZ (у, х0)
причем этот интеграл абсолютно сходится в начале координат, так
как 2% < п.
224 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
Если мы теперь положим
оо
Bit)"*"(*. *0) = J ... J r-2*e'w>Z(y. xo)tfy.
— С»
то интеграл, определяющий К*, абсолютно сходится и мы получаем
представление
со
и = ^ J ... JсрE)/С*(х — I xo)dl
Так как это выражение можно записать также в виде
то мы видим, что решение и непрерывно зависит от функции <р и ее
производных до порядка, не превосходящего 2/. (Пропущенное здесь
решение для случая k — 2 можно получить другими способами;
см., например, гл. VI, § 12.)
Аналогичную теорию можно построить для систем с постоянными
коэффициентами; однако здесь мы ее не приводим.
В § 3, п. 6 мы строили решения для таких дифференциальных
уравнений, для которых Рх = 0 при всех х, кроме х = & (т. е. для
случая без дисперсии), с помощью суперпозиции плоских волн произ-
произвольной формы, не обязательно показательных функций. Таким обра-
образом, применения интеграла Фурье можно было бы избежать (см. гл. VI,
§ 14, 15).
§ 6. Типичные задачи для уравнений
математической физики ')
1. Вводные замечания. Задача отыскания „общего решения",
т. е. всех решений некоторого дифференциального уравнения
с частными производными, почти никогда не встречается. Обычно
цель состоит в том, чтобы выделить отдельные специальные реше-
решения, добавляя к дифференциальному уравнению некоторые дополни-
дополнительные условия. Для п-\-\ независимых переменных эти дополни-
дополнительные ограничения обычно относятся к й-мерным многообразиям,
которые иногда являются границами, иногда — „начальными много-
многообразиями", а иногда — поверхностями разрыва внутри областей,
в которых отыскиваются решения („граничные", „начальные" условия
и „условия на разрывах"). В частности, в § 4 рассматривалась задача
с начальными условиями, или „задача Коши". На плоскости х0 — t — О
задавались значения функции и и в некоторых случаях значения ее
') Ср. Адамар [2], в особенности гл. I, а также исчерпывающую работу
Адамара [1], в которой рассмотрены также другие типы задач.
§ 6. Типичные задачи 225
производных по t как функции координат xv x2 хп. Мы ищем
при f^-О решение и, такое, которое при / = 0 соответствует задан-
заданному „начальному состоянию". Такие решения задачи Коши в неко-
некоторых случаях можно продолжать для t < О так, чтобы многообра-
многообразие t = 0 лежало внутри области определения решения. Другими
словами, состояние при ? — 0 можно рассматривать как результат
предыдущего состояния, продолжение которого для последующих
значений времени управляется теми же законами. В случае дифферен-
дифференциальных уравнений первого порядка, для которых решение задачи
Коши построено в гл. II, такое продолжение делается автоматически.
Для задач более высокого порядка аналогичный результат содер-
содержится в гл. I, § 7, где рассматриваются аналитические дифферен-
дифференциальные уравнения и аналитические начальные условия. Однако
предполагать, что либо дифференциальное уравнение, либо началь-
начальные условия аналитичны, — это значит вводить искусственное огра-
ограничение; кроме того, даже для аналитических дифференциальных
уравнений аналитический характер решений не является a priori оче-
очевидным. Поэтому разумно рассматривать задачу Коши или краевые
задачи, не занимаясь продолжением решений за эти границы.
Типичной краевой задачей—одной из центральных задач ана-
анализа— является задача отыскания решения уравнения Лапласа Ди = 0,
регулярного внутри заданной области, т, е. непрерывного там вместе
со своими первыми и вторыми производными, которое принимает
заданные непрерывные, но не обязательно аналитические граничные
значения на границе этой области. В случаях га = 2 и га —3 эта
задача была явно решена для круга и шара с помощью интеграла
Пуассона (см. гл. I, § 3, п. 2 и т. I, гл. VII, стр. 433). В гл. IV
этого тома и в томе III мы построим и изучим решения для произ-
произвольных областей.
В других краевых задачах для уравнения Лапласа на границе
задаются значения некоторой линейной комбинации функции и ее
нормальной производной. Задачи такого типа обсуждались в т. I,
гл. VI с точки зрения вариационного исчисления. Они будут решены
в т. III.
Теория потенциала дает хороший пример того, что „общее" реше-
решение может быть бесполезным при решении краевых задач. Например,
хорошо известное общее решение уравнения Лапласа для га = 2
имеет вид и = / (х -f- су) -f- g (x — су), где / и g—произвольные
аналитические функции комплексного переменного. Однако этот вид
решения не имеет большой ценности при решении общей краевой
задачи1).
') Отметим, что в ряде работ решение весьма общих краевых задач
для эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными получено,
исходя из общего представления решений. См., например, Векуа [2,1]. —
Прим. ред.
226 Гл. 111. Дифференциальные уравнения высших пооядков
Затем мы упомянем нелинейную краевую задачу, возникающую
в теории минимальных поверхностей. Предположим, что в простран-
пространстве х, у, и задана замкнутая пространственная кривая Г, проек-
проекция С которой ограничивает некоторую область О на плоскости х, у.
Чтобы найти минимальную поверхность и(х, у), ограниченную кон-
контуром Г, мы ставим следующую краевую задачу для уравнения
минимальных поверхностей
О +«,) ",,-2VAy + P +UD и,у = °- <!>
Найти решение и(х, у) дифференциального уравнения A), дважды
непрерывно дифференцируемое в О и принимающее заданные значе-
значения на С (задача Плато в несимметричной форме).
Далее, следует указать на важный класс „смешанных задач".
Мы рассматриваем в пространстве переменных xv x2 хп фикси-
рэванную область О с границей Г, которая предполагается достаточно
гладкой. В области О для ?^>0 мы ищем функцию и(х1, х2 хп, t),
или и(х, t), удовлетворяющую заданному дифференциальному урав-
уравнению /.[«]== О, принимающую на Г заданные граничные значения,
которые могут зависеть также и от t, и удовлетворяющую при t — О
в О заданным начальным условиям. Такая задача ставится для струны,
нагнутой между точками х = 0 и х—1, с граничными условиями
«(О, t) — u(\, t) = 0
и начальными условиями
U(X, 0) = <f(x), Ut(X, 0) = :\>(х).
Во многих смешанных задачах граничные условия для дифферен-
дифференциальных уравнений неоднородны. Если оператор L [и] линейный и
однородный, то различают два типа краевых задач.
1. Граничные условия однородны; например, функция обращается
в нуль на границе. Такие условия возникают в задачах о колеба-
колебаниях ограниченных тел; предполагается, что движение начинается
при ^ — 0 с заданного начального состояния. В т. I эти задачи
о колебаниях были подробно исследованы, в частности, на основе
теор ш собственных функций.
2. Начальные условия однородны; например, функция и и, может
быть, некоторые ее производные обращаются в нуль при ^ = 0.
Однако краевые условия неоднородны. Задачи такого рода, как,
например, задачи о переходном режиме, играют важную роль ио
многих приложениях.
В принципе задачи с неоднородными краевыми условиями можно
свести к задачам первого типа. Надо только вычесть из функции,
которая является неизвестной в дифференциальном уравнении, функ-
функцию, которая удовлетворяет заданным начальным и граничным усло-
условиям, а в остальном выбирается произвольно. Тогда для разности
мы получаем задачу типа задачи о колебаниях, но с неоднородным
§ 6. Типичные задачи 227
уравнением; поэтому к ней можно непосредственно применить метод
собственных функций в соответствии с т. I, гл. V. Несмотря на воз-
возможность такого сведения, желательно и с теоретической и с практи-
практической точки зрения провести независимое исследование задач с не-
неоднородными краевыми условиями, которые мы в дальнейшем будем
называть нестационарными. Методы, специально приспособленные
для приложений, будут рассмотрены в приложении 2 к гл. V.
Проблемы излучения, которые в § 4, п. 5 рассматривались как
предельные случаи задачи Коши для неоднородных уравнений, можно
рассматривать также как предельные случаи нестационарных задач;
поэтому их также можно причислять к классу смешанных задач.
Наконец, упомянем несколько типичных примеров, которые не
входят в описанные выше классы. Задача Римана об отображе-
отображении состоит в том, чтобы конформно отобразить заданную область О
плоскости х, у на круг и2-}-г>2<1. Аналитически это приводит
к следующей краевой задаче; найти для системы Коши — Римана
ux = vy, uy = — vx
решение — пару функций и(х, у), v(x, у), определенных в области G
с границей Г, непрерывных в О вместе с первыми производными;
кроме того, функции и и v должны иметь непрерывные граничные
значения, удовлетворяющие граничному условию и2 ~|-г>2 = 1, и ото-
отображение Г на единичную окружность должно быть взаимно одно-
однозначным.
В этом случае, очевидно, перед нами уже не простая граничная
задача теории потенциала, хотя ее решение можно свести к решению
такой задачи (как было показано в т. I, стр. 319 и будет показано
с другой точки зрения в следующей главе).
Более общей является задача Плато в параметрической форме:
построить минимальную поверхность, ограниченную заданной про-
пространственной кривой Г. В соответствии с § 1, п. 4, эту задачу
можно сформулировать как следующую задачу для дифференциаль-
дифференциальных уравнений: в единичном круге w2-f-f2< 1 найти три функ-
функции х, у, z переменных и, v, удовлетворяющие уравнениям
Дх = Ду = Д2 = 0 B)
и дополнительным условиям
причем их граничные значения х (s), у (s), z (s) должны быть непре-
непрерывными функциями длины дуги s на единичной окружности и должны
задавать параметрическое представление пространственной кривой Г.
Хотя задача Плато в несимметричной форме [см. уравнение A)] не
всегда имеет решение, в такой форме она всегда разрешима ').
') См. Курант [2].
228 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
Другой типичный пример, относящийся к уравнению Лапласа, —это
„задача о струе" в плоской гидродинамике. Она существенно отличается
от классических краевых задач, так как значения задаются на „свобод-
„свободных" (т. е. не заданных a prior) границах. Мы рассмотрим задачу
о двумерном безвихревом истечении несжимаемой жидкости из сим-
симметричного сопла. Предполагается, что течение симметричное; ось
симметрии, например ось х, является линией тока, и ее можно заме-
заменить твердой стенкой. Предположим, что О — бесконечная область
на плоскости х, у, ограниченная снизу осью х, а сверху некоторой
кривой, состоящей из двух частей: границы сопла D и границы
струи 5 (см. рис. 7). Заданная граница сопла D простирается от
точки А назад, асимптотически
приближаясь к горизонтальной пря-
прямой у = Ь. Неизвестная граница
струи S продолжается вперед от
точки А, асимптотически прибли-
жаясь к горизонтальной линии у = 1.
1
рИС- 7. Мы хотим найти „функцию тока"
ф (х, у), описывающую искомое
течение, удовлетворяющую дифференциальному уравнению Дф = 0.
Так как границы области О являются линиями тока, функция ф на
них постоянна; мы можем потребовать, чтобы было ф = 0 на оси х
и ф=1 на D-f-S. На границе S давление постоянно; поэтому,
согласно теореме Бернулли, на ней дф/сЬ = const (v обозначает внеш-
внешнюю нормаль). Кроме того, мы требуем, чтобы величина д<\>/ду стре-
стремилась к 1 при д:->оо и к \\Ь при х~> — со. Эта задача является
задачей со „свободной" границей. Граница S и величина Ь, фигури-
фигурирующие в условиях, наложенных на функцию а, не заданы заранее,
а должны быть найдены в процессе решения задачи. В соответствии
с этим задается дополнительное граничное условие, кроме обыч-
обычного условия краевой задачи, а именно требуется, чтобы на S нор-
нормальная производная была постоянной *). Наконец, следует упомянуть
задачу еще одного типа, задачу рассеяния; нужно изменить „входя-
„входящую" волну, заданную a priori, например плоскую волну; требуется
найти еще одно решение волнового уравнения, „рассеянную волну",
так чтобы сумма удовлетворяла некоторым условиям, определяемым
препятствиями. Мы будем рассматривать такие задачи в гл. IV, § 5.
2. Основные принципы. Типы дифференциальных уравнений,
перечисленные в п. 1, возникают из задач физики, механики или
') Задачу о свободной струе рассматривал Гельмгольц в 1868 г. Он и
его последователи получили решения для ряда специальных форм сопла.
Существование решения для сопла произвольной формы было установлено
Вайнштейном в 1929 г. Исторический очерк и библиографию по теории сле-
следов и струй в случае двух измерений см. в работе Вайнштейна [1].
§ 6. Типичные задачи 229
геометрии. Характер дополнительных условий, таких, как краевые
или начальные условия, также подсказывается физической реаль-
реальностью. Тем не менее необходимо дать обоснование с чисто мате-
математической точки зрения. Однако мы не хотим предпринимать попытку
полной систематизации; вместо этого мы установим в связи с неко-
некоторыми типичными примерами важные руководящие принципы, кото-
которые будут подтверждены дальнейшим ходом наших исследований.
Основной принцип состоит в следующем.
Краевые задачи естественным образом связаны с эллипти-
эллиптическими уравнениями, а задача Коши, смешанные задачи и
задачи излучения возникают в связи с гиперболическими и пара-
параболическими дифференциальными уравнениями.
Математическая задача, соответствующая физическому явлению,
должна удовлетворять следующим основным требованиям.
A) Решение должно существовать.
B) Решение должно определяться однозначно.
C) Решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (тре-
(требование устойчивостиI).
Первое требование выражает естественное условие, чтобы на реше-
решение не накладывалось слишком много ограничений, т. е. чтобы среди
этих ограничений не было противоречащих друг другу.
Второе требование соответствует полноте задачи: неопределен-
неопределенность или неоднозначность должны быть исключены, если они не
присущи самой физической ситуации 2).
Третье требование, особенно тонкое, необходимо, если мы хотим,
чтобы математическая задача описывала действительно наблюдаемые
физические явления. В действительности данные задачи нельзя счи-
считать строго фиксированными; сам процесс измерения вводит малые
ошибки. Например, пространственные или временные координаты
всегда заданы в некоторых пределах точности. Поэтому считать, что
математическая задача правильно описывает физическое явление, можно
только в случае, когда изменение данных задачи в достаточно малых
пределах приводит к произвольно малому изменению решения. Это
требование „устойчивости" имеет существенное значение не только
') При этом предполагается, что для всякой конкретной задачи должно
быть указано, в каком смысле нужно понимать эту непрерывность. Для
этого должны быть введены нормы в пространстве функций, составляющих
данные задачи, и в пространстве решений. Условие C) сведется к требова-
требованию, чтобы малым по норме изменениям функций, составляющих данные
задачи, соответствовали малые по норме изменения решения. Чаще всего
в линейных задачах требование C) выражается так, что функциям, составляю-
составляющим данные задачи, которые малы по модулю вместе с производными до
некоторого порядка г, соответствует малое по модулю решение. — Прим. ред.
2) Бывают случаи, когда требование единственности не является есте-
естественным. Например, для кратных собственных значений существуют целые
семейства решений задачи о собственных значениях.
230 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
для того, чтобы задача математической, физики имела смысл, но и
для приближенных методов.
Задача, удовлетворяющая всем трем требованиям, называется кор-
корректно поставленной задачей.
Другое важное обстоятельство подсказывается примером задачи
Коши и задачи излучения. Во многих случаях ясно, что решения
не зависят от всей совокупности данных задачи; возникают вопросы
об области влияния данных задачи или об области зависи-
зависимости решения.
В подтверждение этих общих высказываний будет дано несколько
примеров, которые помогут разобраться особенно в нашем третьем
требовании.
Сначала мы рассмотрим эллиптическое уравнение Ди = 0 в области G
с границей Г. Существование решения уже было доказано, по край-
крайней мере, для таких частных областей, как круг, шар или прямо-
прямоугольник (см. т. I, гл. V, § 15; общее доказательство будет дано
позднее в гл. IV).
Во всяком случае краевая задача для любой кусочно-гладкой
границы удовлетворяет нашему требованию единственности. Это сразу
следует из того, что любая гармоническая в О и непрерывная в G-fF
функция принимает свое минимальное и максимальное значение на Г
(см. гл. IV, § 1); следовательно, эта функция тождественно обра-
обращается в нуль, если ее граничные значения равны нулю. Если мы
имеем два решения, соответствующие одинаковым граничным значе-
значениям, то их разность является гармонической функцией, принимаю-
принимающей нулевые значения на границе; следовательно, эта разность тож-
тождественно обращается в нуль. Поэтому два таких решения совпа-
совпадают.
Требование, чтобы решения непрерывно зависели от граничных
значений, также выполняется. Разность двух решений, граничные
значения которых всюду отличаются на величину, по модулю мень-
меньшую г, является гармонической функцией и не может быть по абсо-
абсолютной величине больше е внутри G, так как она принимает макси-
максимальное и минимальное значение на Г. Поэтому краевая задача для
уравнения Лапласа корректно поставлена в соответствии с нашим
определением.
Кроме того, мы видим, что областью зависимости для реше-
решения в каждой точке области G является вся граница, т. е. значе-
значение решения и в любой замкнутой подобласти Gx зависит от гра-
граничных значений на любой части границы Г. Если бы некоторая
часть С границы Г не влияла на значение и в подобласти Gx, то мы
в этой подобласти получили бы то же самое решение и, изменив
граничные значения на С и не меняя их на остальной части гра-
границы С. Составив разность этих двух граничных значений, мы полу-
получили бы в О решение и, тождественно равное нулю в Gv соответ»
§ б. Типичные задачи 231
ствующее граничным значениям, не равным тождественно нулю и,
например, неотрицательным. Очевидно, что это невозможно, так как
гармоническая функция и принимает минимальное значение внутри
области только в том случае, когда и — const (см. гл. IV, § 1, п. 3)!).
В отличие от краевой задачи задача Кошн для уравнения Лапласа
поставлена некорректно. Мы покажем, что первое требование (суще-
(существование решения) и третье требование (непрерывная зависимость
от данных задачи) нарушаются.
Зададим, например, для уравнения Ди = 0 начальные условия
и{х, 0) = 0, иу(х, 0) = g(x). Согласно одному из принципов тео-
теории потенциала (см. гл. IV), любое решение может быть с помощью
отражения продолжено из верхней полуплоскости у > 0 в нижнюю
полуплоскость и автоматически оказывается аналитическим на оси х.
Таким образом, функция g (x) должна быть аналитической функ-
функцией х и не может задаваться произвольно; например, она не может
быть всюду дважды непрерывно дифференцируемой, но не аналити-
аналитической функцией. (В случае аналитических начальных данных реше-
решение было построено в гл. I, § 7.)
Следующий пример, приведенный Адамаром, показывает, что ре-
решение такой задачи Коши с аналитическими начальными данными
не зависит непрерывно от начальных данных. Рассмотрим последова-
последовательность задач Коши для уравнения Дм = 0; для га-й задачи (п —
= 1, 2, . ..) мы задаем аналитические начальные условия
эти функции при п->эо равномерно стремятся к функции g(x) — 0.
Решение задачи Коши с данными gn имеет вид
, , sh ny sin nx
При возрастании га это решение не стремится к решению й = 0,
соответствующему начальным значениям с g(x) = 0. Другими словами,
хотя мы изменяем начальные данные произвольно мало, изменение
решения уже не будет малым2). Таким образом, задача Коши для
уравнения Лапласа некорректно поставлена. Более общая теорема
такого рода была дана на стр. 219.
С другой стороны, задача Коши для простейшего гиперболиче-
гиперболического уравнения, уравнения струны ихх — utt = Q, удовлетворяет всем
') Это утверждение также легко следует из аналитичности гармониче-
гармонических функций. — Прим. ред.
„ч sinnx . shnysinnx
2) Легко видеть, что если gn = ———, то решение и (л:, у) = —т
я я
не стремится к нулю при я->со, хотя ,§¦„-> 0 при /г->со вместе с произ-
производными до порядка г. —Прим. ред.
232 Гл. III. Дифференциальные уравнения высших порядков
трем требованиям. Начальным условиям и(х, O) = tp(•*•)¦ ut(x>
при t > О соответствует решение
x+t
2и(*. *) = <р(*-
Решение этой задачи для гиперболического уравнения существует,
определено однозначно и, очевидно, непрерывно зависит от задан-
заданных начальных функций срС*) и IK*)- Что же касается области за-
зависимости для решения, то и(х, t) зависит только от значений tp(;)
и ф(?) там, где х — t *C^*C x-\-t.
Однако для этого гиперболического уравнения краевая задача
была бы лишена смысла. Если, например, мы заменим волновое урав-
уравнение эквивалентным уравнением иху — 0 для функции и(х, у), то мы
уже не сможем произвольно задавать граничные значения, например
в случае прямоугольника со сторонами, параллельными осям коорди-
координат. Так как производная иу должна принимать одинаковые значения
в противоположных точках сторон х = const и так как аналогичное
утверждение справедливо для их, то функцию и можно задавать про-
произвольно только на двух примыкающих друг к другу сторонах, и сле-
следовательно, вообще говоря, краевая задача не имеет решения1).
Соображения, аналогичные использованным для гиперболического
уравнения, можно применить и в параболическом случае, например
к уравнению теплопроводности.
Высказанные здесь общие положения по вопросу о том, когда
задачи для дифференциальных уравнений поставлены корректно, бу-
будут уточнены и расширены в последующих частях этой книги.
3. Замечания о „некорректно поставленных" задачах. Тре-
Требования, сформулированные в п. 2, относительно существования,
единственности и устойчивости решений преобладают в классической
математической физике. Они глубоко и неотъемлемо связаны с пред-
представлением об идеальном физическом явлении, которое полностью,
единственным и устойчивым образом определяется подходящими усло-
условиями на границе, на бесконечности, при / = 0 или в прошлом.
Крайним выражением этой позиции является утверждение Лапласа
о возможности определить все будущее физического мира, если
имеются полные данные о состоянии в настоящий момент. Однако
этот разумный идеал причинно-математической определенности по-
постепенно разрушался при сопоставлении с физической реальностью.
Нелинейные явления, квантовая теория и возникновение мощных чис-
численных методов показали, что „корректно поставленные" задачи — это
') О краевой задаче для уравнения струны см. Арнольд В. И., ИАН
СССР, матем., 25 A961), 21—86; там же имеется библиография. — Прим ред.
§ б. Типичные задачи 233
далеко не единственные задачи, правильно отражающие физические
явления. Однако, к сожалению, до сих пор мало сделано с матема-
математической точки зрения в таком важном вопросе, как решение или
даже выделение и формулировка тех задач, которые „некорректно
поставлены", но все же имеют важное значение и описывают реальные
явления. В этой книге в основном (но не исключительно) рассмат-
рассматриваются классические корректно поставленные задачи.
Тем не менее мы можем привести несколько примеров таких
задач, имеющих смысл, но некорректно поставленных. Прежде всего
мы напомним, что задача Коши для уравнения Лапласа, согласно
предыдущему пункту, некорректно поставлена. Однако она имеет
физический смысл. Например, Тэйлор показал, что один важный
вопрос об устойчивости сводится к такой некорректно поставленнной
задаче. Рассмотрим систему двух несжимаемых жидкостей, отделен-
отделенных друг от друга поверхностью раздела, которая двигается по на-
направлению к более легкой жидкости. Это явление можно описать
с помощью потенциала скоростей. Оказывается, что этот потенциал
является решением некорректно поставленной задачи Коши для урав-
уравнения Лапласа.
Переопределенные задачи составляют другой класс имеющих смысл
„некорректных" задач. Например, мы можем искать функцию, гармо-
гармоническую внутри единичного круга, принимающую заданные значения
на концентрической окружности радиуса 1/2.
Некорректно поставленные задачи, которые могут иметь боль-
большое значение в приближенных вычислениях, до сих пор еще не
попали в основной поток активных математических исследований. Так,
задачи Коши, в которых начальные данные известны из наблюдений
только приближенно, решаются приближенными методами, например
методом конечных разностей. Возникает вопрос: как можно исполь-
использовать дальнейшие наблюдения для уточнения и продолжения вычи-
вычисленного решения? Продвижение в этих задачах было бы чрезвы-
чрезвычайно ценным, например, для математического предсказания погоды1).
4. Общие замечания о линейных задачах. Аналогия между
задачами для линейных дифференциальных уравнений и системами
конечного числа алгебраических уравнений была уже указана раньше
') Относительно некорректно поставленных задач см. Джон [2] и
Пуччи [2]; см. также гл. VI, § 17, [Кроме того, см. Л а в р е н т ь е в М. М.,
О задаче Коши для уравнения Лапласа, ИАН СССР, сер. матем., 20 A956),
819—842; Ландис Е. М., Некоторые вопросы качественной теории эллип-
эллиптических и параболических уравнений, УМН, 14, 1 A959), 21—85. Тихо-
Тихонов А. Н., О регуляризации некорректно поставленных задач, ДАН СССР.
153, 1 A963), 49—52; О решении некорректно поставленных задач и методе
регуляризации, ДАН СССР, 151, 3 A963), 501—504. — Прим. ред.]
234 Приложение I к гл. III
(т. I, гл. V, § 1). Например, диффзренцчальные уравнения можно
заменить разностными. Дальше, в т. Ill, эта идея будет развита
подробно1) (конечно, при этом необходим предельный переход). На-
Напомним следующую альтернативу для системы /V линейных урав-
уравнений с N неизвестными. Либо соответствующая однородная
задача имеет нетривиальное решение, либо общая неоднород-
неоднородная задача имеет единственное решение при произвольных дан-
данных задачи. Неоднозначность решения общей неоднородной задачи
влечет за собой существование нетривиального решения однородной
задачи. Кроме того, эту альтернативу можно сформулировать также
следующим образом: для N линейных уравнений с N неизвестными
существование и единственность решения общей неоднородной задачи
эквивалентны.
Можно ожидать, что корректно поставленные линейные задачи
математической ф 1зики будут вести себя так же, как системы N ли-
линейных алгебраических уравнений с N неизвестными. Таким образом,
мы приходим к следующему эвристическому принципу: если имеется
корректно поставленная задача для линейного дифференциального
уравнения и соответствующая однородная задача имеет только „три-
„тривиальное" нулевое решение, то существует единственное решение
общей неоднородной задачи. Если же однородная задача имеет не-
нетривиальное решение, то для разрешимости неоднородной задачи
требуется выполнение некоторых дополнительных условий2).
В первом томе мы убедились, что этот принцип подтверждается;
мы дадим его более глубокое обоснование в последующих главах.
ПРИЛОЖЕНИЕ I К ГЛАВЕ III
§ 1. Лемма Соболева
Раньше мы несколько раз пользовались тем важным фактом, что
ограниченность положительно определенных квадратичных интегра-
интегралов, содержащих производные некоторой функции, иногда влечет
за собой ограниченность этой функции. Общим утверждением такого
типа является лемма Соболева3). Эта лемма дает оценку функ-
') См., например, Курант, Фридрихе, Г. Леви [1].
г) Существует широкий класс задач, которые не обладают этими свой-
свойствами, так называемые задачи с ненулевым индексом. См., например,
И. Н. Век у а [1], [2], а также Вольперт А. И.. Об индексе и нормаль-
нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем дифферен-
дифференциальных урав шний на плоскости, Тр. Моск. машем, общества, 10 A961),
стр. 41—87. — Прим. ргд.
3) В нашей литературе утверждения такого типа называются теоремами
вложения С. Л. Соболева. См. Соболев С. Л., Некоторые применения
функционального анализа в математической физике, Л., 1950. — Прим. ред.
§ 1. Лемма Соболева 235
ции через „нормы в L2" ее производных (т. е. через интегралы
от квадратов производных).
A) Если функция и(х) определена в ограниченной п-мерной
области G, то для любого у из G имеем
у-п f\DJu(x)\*dx, если v >-? , A)
j<i a
где R — расстояние от у до границы области О, С — постоян-
постоянная, зависящая только от v и п. Здесь D'u обозначает произ-
производную у'-ю порядка, а суммирование распространяется на все произ-
производные указанного порядка.
Ниже в утверждении A') мы сформулируем аналогичный резуль-
результат для точек у, принадлежащих замыканию области О, при неко-
некоторых предположениях относительно гладкости границы О.
Доказательство леммы A). Пусть h (t) — функция
класса1) С°°, зависящая от одной переменной ?^>0, тождественно
равная 1 для 0 ^ t ^ 1/2 и равная нулю при t'^>\. Будем считать,
что у — начало координат, положим |лг|=л и определим2) функцию
Заметим, что
где Ck — постоянная, зависящая только от функции h (t). Так как
h@)=] и /гA) —0, мы имеем
R
и @) = —]^ (Си) dr.
о
Обозначив через du> элемент единичной сферы с центром в точке
у = 0, а через ш — поверхность (п—1)-мерной единичной сферы,
мы получим с помощью интегрирования по со соотношение
<ов@) = —JJ-gp (Си) drdco.
Интегрируя (v—1) раз по частям по переменной г, получаем
Полагая rv~I = rv~"rn~1, получаем, согласно неравенству Шварца,
|и@)|< const • \/ff ^(C«JtfV|/ f fr*^-»dV,
1) Класс CN содержит функции, обладающие производными до порядка N,
класс С°^ — функции, имеющие производные всех порядков.
2) Мы можем положить h(t) = e *e~yl~h \l — е~к'~'1г) ) для
236 Приложение 1 к гл. Ill
где dV — rn~~ldr dcu — элемент объема; константа зависит только от v.
Так как 2v > n, последний интеграл сходится и мы имеем
|и@)|2 < const ¦ R2w~n f f
д"
дг'
Вместе с оценкой B) неравенство
2
dV.
U
где С) зависит только от J и от п, дает формулу A).
Определение. Говорят, что область О удовлетворяет „условию
конуса", если каждая точка у из G (замыкания G) является верши-
вершиной некоторого ограниченного конуса Су (т. е. пересечения конуса
со сферой радиуса R, описанной вокруг его вершины), лежащего
в G, причем объем этого конуса превышает некоторую константу V.
(Г) Если область G удовлетворяет „условию конуса", то
j и (у)J < const ¦]? f\D'u(x)\Ux (v>|), (I')
где константа зависит только от v, n и значений R и V.
Доказательство более тонкой леммы A0 совпадает с доказатель-
доказательством леммы A), за исключением того, что интегрирование по dw
распространяется только на внутренний телесный угол конуса С ,
исходящего из точки у.
Такие интегральные неравенства, как A), играют важную роль
при построении решений вариационными методами!).
§ 2. Сопряженные операторы
1. Матричные операторы. В теории линейных операторов боль-
большое значение имеет понятие оператора Z,*, сопряженного к опера-
оператору L.
Для конечномерных пространств это понятие возникает в фор-
формальной линейной алгебре. Рассмотрим линейный оператор
i
да'=2й/У (/=1, ...,*), A)
w = L[u]
или, в матричных обозначениях,
w= Аи;
') См. т. III, а также Ниренберг [2], лекция II. [См. также книгу
С. Л. Соболева, указанную в примечании на стр. 234. — Прим. ред.\
§ 2. Сопряженные операторы 237
этот оператор переводит вектор и с I компонентами и1, . . ., и1
в ft-мерный вектор1) w с компонентами w1, ..., wk; если I Ф k, то
матрица этого преобразования не является квадратной.
Вместе с оператором L мы рассмотрим билинейную форму (или
скалярное произведение)
* k i
(v, w)=2iviwi = (v, Au) = (v, Z.[a])=2 2«;/"V, B)
(=1 i=l j=l
образованную с помощью й-мерного вектора v. Тогда сопряженный
оператор L* переводит А-мерный вектор v в /-мерный вектор z и
определяет преобразование, соответствующее транспонированной ма-
матрице А*:
k
г^Ъ^р1 (У=1 /), (И)
или
z = A*v, или z = L*[v].
Сопряженный оператор связан с билинейной формой B):
(г/, «;) = («, L[tt]) = (L*[v]. и). C)
Независимо от того, равны ли k и /, соотношение между опера-
операторами L и L* выражается равенством
vL[u] — uL*[v] = 0, D)
или равенством
(v, Аи) —(и, A*v) — 0.
Из формулы D) мы сразу находим, что (Л*)* = А; далее, для
произведения двух матриц АВ имеем
(АВ)* = В* А*;
это можно увидеть, если заменить в D) А на АВ и написать
(v, ABu) = (A*v, Bu)=^(B*A*v, и). Если матрица А симметричная,
то соответствующий оператор называется самосопряженным; это
означает, что он совпадает со своим сопряженным оператором.
Попутно мы напомним основную теорему линейной алгебры. Если
k < /, то система / линейных уравнений Z* \v) = z для компонент
вектора v при заданных значениях компонент z является переопре-
переопределенной. Она разрешима тогда и только тогда, когда выполняется
несколько, скажем г, линейных однородных условий совместности
вида Rz~0. Сопряженная матрица S = R* дает преобразование
it — Sh вектора her компонентами в вектор и с k компонентами;
') Векторы можно рассматривать как векторы-строки или векторы-
столбцы; на это указывают соответствующие матричные обозначения.
238 Приложение 1 к гл. III
оно выражает все решения недоопределенной системы уравнений
L[u] = 0 через г независимых произвольных величин hx hr
2. Сопряженные дифференциальные операторы. Мы теперь
будем рассматривать дифференциальные операторы L произвольного
порядка. Снова число k компонент вектора v и число / компонент
вектора и не обязательно должны быть одинаковыми. Как и в п. 1,
мы можем составить скалярное произведение L[u] и произвольного
^-мерного вектора v и проинтегрировать его по области G с ку-
кусочно-гладкой границей Г. Затем мы интегрируем выражение vL [u]
по частям, чтобы перенести производные с функции и. Тогда мы
получаем соотношение вида
E)
i = i l
или, после интегрирования,
J j (vL[u)~uL*[v\)dx = jP'adS, F)
а
где Р — вектор с компонентами Р', dS — элемент границы Г, а % —
единичный вектор внешней нормали к Г. Компоненты Р' билинейно
зависят от функций и, v и их производных и имеют коэффициенты,
которые могут зависеть от х. Оператор L* однозначно определяется
равенством E), в то время как вектор Р определяется лишь с точ-
точностью до произвольного аддитивного вектора R, дивергенция кото-
которого тождественно равна нулю.
Однозначно определенный таким образом оператор L* называется
сопряженным к L. Он преобразует fe-мерный вектор в /-мерный.
Очевидно, что интеграл от (v, L\u]) соответствует билинейной
форме, рассмотренной в п. 1. Если функция г» и ее производные,
или а и ее производные, обращаются в нуль на границе, то инте-
интеграл по границе в формуле F) равен нулю и наше определение без
изменений соответствует определению из п. 1.
Приведем несколько примеров. Оператор L нулевого порядка
L\u) = аи,
очевидно, является самосопряженным, т. е. L* = L. Затем мы рассмо-
рассмотрим оператор первого порядка
где Dj = djdXj, ясно, что
L*{u] = — DjU.
Сопряженным оператором к оператору первого порядка
§ 2. Сопряженные операторы 239
как в § 2, является оператор
(\-+ Bv.
а вектор Р имеет компоненты
Pv = (vA'u).
Для скалярного оператора второго порядка
L [и] = 2 aliuu + 2 «Ч + Ьи
сопряженный оператор имеет вид
2(va4) д ,
а компоненты Р задаются формулами
// ди d(
Коэффициенты а1* могут быть матричными, т. е. оператор может
быть системой отдельных операторов. Для самосопряженного опера-
оператора матрицы а1' должны быть симметричными и должны выполняться
соотношения
Если L — оператор порядка т, записанный в виде1)
\р[ < т р
aDPu,
р
ТО
Иногда, чтобы образовать сопряженные операторы и векторы Р,
можно пользоваться следующим соотношением для произведения двух
операторов:
(LMf = M*L*.
которое легко установить.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 К ГЛАВЕ III
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ГОЛЬМГРЕНА
Решение задачи Коши в малом существует и единственно для
любого аналитического дифференциального уравнения, если началь-
начальные данные аналитические, начальная поверхность аналитическая
') Относительно обозначений см. гл. VI, § 3, п. 1,
240 Приложение 2 к гл. III
и нехарактеристическая и если само решение предполагается аналити-
аналитическим (см. гл. I, § 7). Для неаналитических начальных данных или
уравнений нельзя, вообще говоря, ожидать, что решение существует,
не вводя дальнейших ограничений, таких, как гиперболический тип
уравнения и пространственный характер начального многообразия и
данных задачи. Замечательно, однако, что единственность решения
все же можно доказать даже в тех случаях, когда теоремы суще-
существования для произвольных начальных данных уже неверны. Важ-
Важнейшая теорема такого рода была доказана Гольмгреном [1]. Она
касается линейных аналитических') дифференциальных уравнений
с произвольным числом независимых переменных и относится как
к отдельным уравнениям, так и к системам.
Если L[u\—линейный дифференциальный оператор с анали-
аналитическими коэффициентами и если начальные данные Коши
обращаются в нуль на гладкой нехарактеристической поверх-
поверхности Sq, то любое решение и уравнения L[u] = 0 с этими
начальными данными тождественно обращается в нуль в доста-
достаточно малой окрестности любой замкнутой подобласти So.
Заметим, что в этой теореме предполагается, но не утверждается,
что решение и существует. Ясно, что эта теорема утверждает един-
единственность решения для произвольных, не обязательно аналитических
начальных данных на So, так как разность двух решений с такими
данными соответствует нулевым начальным данным, и, следовательно,
согласно сформулированной выше теореме, тождественно обращается
в нуль.
Доказательство по существу очень простое. Рассмотрим линзо-
линзообразную область G, ограниченную достаточно малой частью Sa и
близкой аналитической поверхностью S. В окрестности S мы решим
задачу Коши в обратном направлении для неоднородного дифферен-
дифференциального уравнения
L*v = р (х)
с нулевыми начальными данными, где L* — оператор, сопряженный
к L, а р — произвольный полином от переменных xv .. ., хп. Функ-
') Рассуждения Коши и Ковалевской показывают только, что не может
существовать более одного аналитического решения задачи Коши; при этом
остается открытым вопрос о том, существуют ли другие неаналитические
решения. Теорема Гольмгрена отвергает эту возможность. Теорема един-
единственности решения задачи Коши для неаналитических дифференциальных
уравнений остается пока нерешенной проблемой. Она была доказана в общем
случае для двух независимых переменных Карлеманом [2]. Для большего
числа переменных она была доказана для многих гиперболических уравне-
уравнений и начальных многообразий пространственного типа методами, аналогич-
аналогичными описанным в этой главе. Сравните с теоремами единственности для
многих переменных Мюллера [1], Кальдерона [1] и Хёрмандера [5]. [См. книгу
Хёрмандера, указанную в сноске на стр. 159. — Прим. ред.]
Теорема единственности Гольмгрена
241
цию v можно построить, на основании изложенного в гл. I, § 7,
в некоторой окрестности So. Предположим, что поверхность S выбрана
так близко к So, что функция v существует в одной и той же
области О для всех полиномов р(х). Тогда формула Грина, полу-
полученная интегрированием равенства uL*[v]—vL[и]~ир(х) по области О,
дает
J ... j up (х) dx — 0,
так как данные Коши для v на S и для и на So обращаются в нуль.
Поскольку множество полиномов р(х) плотно в С, отсюда сразу
следует, что и тождественно равно нулю в О.
Рис. 8.
Остается только доказать возможность выбора поверхности S
с указанными свойствами. Это легко сделать, пользуясь примечанием
к гл. I, § 7, п. 4; подробности этого рассуждения мы здесь не
приводим.
В качестве дополнительного замечания укажем'), что теорема
Гольмгрена может быть обобщена и из утверждения в малом может
быть сделана утверждением в целом для линзообразного тела О,
заполненного некоторым семейством аналитических поверхностей Sx,
соответствующим положительным значениям параметра X, причем для
X > О характеристический определитель на Sx должен быть строго
отграничен от нуля равномерно по X. Например, рассмотрим вол-
волновое уравнение ихх -\- иуу -\- uzz — uit = 0 и возьмем в качестве
гиперповерхности So „сферический диск" х2 ~\- у2 -f- z2 < 1, t = 0.
Интуитивно ясно и легко проверить, что So можно включить в семей-
семейство поверхностей Sx с той же самой границей, причем это семейство
будет заполнять весь характеристический конус с основанием So.
Этот конус действительно является точной областью, в которой функ-
функция и однозначно определяется данными Коши на So (см. рис. 8).
!) См. Джон [3].
Глава IV
ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ1)
Исчерпывающее изложение теории эллиптических дифференциаль-
дифференциальных уравнений выходит за пределы этой книги. Мы будем в основ-
основном (но не исключительно) заниматься линейными дифференциаль-
дифференциальными уравнениями второго порядка, обращая особое внимание на
теорию потенциала, которая типична для теории более общих элли-
эллиптических дифференциальных уравнений и которая сама по себе
является важной частью анализа.
В томе I it в предыдущих главах рассматривались многочислен-
многочисленные вопросы теории потенциала. В первой части этой главы будет
дано ее более систематическое изложение. Вторая, менее элементар-
элементарная часть должна подвести читателя к более далеко идущим теориям,
связанным с более общими типами эллиптических задач.
Дополнение, написанное Л. Берсом, вкратце излагает теорию
псевдоаналитических функций, которая является важным недавно раз-
разработанным аппаратом, применимым к дифференциальным уравнениям
второго порядка с двумя независимыми переменными.
§ /. Основные понятия
1. Уравнения Лапласа и Пуассона й связанные с ними урав-
уравнения. Мы рассматриваем функции u(xv х2, ..., хп) = и(х) от п
переменных xv ..., хп, или вектора х, в области О с границей Г
в пространстве х. Дифференциальное уравнение
л
Дм=\т~г=° A)
называется уравнением Лапласа. Его решения называются гармо-
гармоническими функциями. Соответствующее неоднородное уравнение
') Мы отсылаем читателя к следующим книгам: Келлог [1], Петров-
Петровский [1], Миранда [1], Лихтенштейн [1], Джон [4] и Берс [2]. Относительно
более поздних исследований можно смотреть библиографию симпозиумов и
коллоквиумов [1, 2, 3], а также Мадженес и Стампаккья [1], Ниренберг [2],
Вишик и Ладыженская [1] и Гординг [1].
§ 1. Основные понятия 243
называется уравнением Пуассона. Мы введем величину шл — площадь
поверхности единичной сферы в л-мерном пространстве:
где Г(п/2) обозначает Г-функцию, и запишем уравнение Пуассона
в виде
Дм= -%!*(*! хп), C)
где [«.(JCp x2, .... хп)— заданная функция точки х.
Решения уравнения Лапласа, обладающие в О непрерывными
вторыми производными, называются регулярными в О. (Далее мы
увидим, что следствием регулярности решений и является их анали-
аналитичность.) Здесь, как и в дальнейшем, О обозначает открытую
связную и, если не оговорено противное, ограниченную область
пространства. Через О -f- Г мы обозначаем замкнутую область,
которая получается из О добавлением границы Г. Аналогично, если
функция A непрерывна в О, то решения уравнения Пуассона с непре-
непрерывными вторыми производными называются регулярными. Мы сначала
рассмотрим случаи п = 2 и п = 2>, причем координаты xv х2 и xv
xv хъ будем обозначать х, у и х, у, z соответственно.
Для п = 2 „общее решение" уравнения Лапласа является действи-
действительной частью произвольной аналитической функции комплексного
переменного x~\-iy. Для « —3 также легко можно получить реше-
решения, зависящие от произвольных функций. Например, пусть функ-
функция f(w, t) аналитична по комплексному переменному w при фикси-
фиксированных действительных t. Тогда при произвольном значении t и
действительная, и мнимая части функции
и — f (z -f- ix cos t -\- iy sin t, t)
действительных переменных х, у, z являются решениями уравнения
Агг = О. Другие решения можно теперь получить с помощью супер-
суперпозиции
и = f f(z-{-ix cost-\-ly sin t, t)dt. D)
a
Например, если мы положим
f(w, t) = wneiht,
где п и h—целые числа, и проинтегрируем от —тс до -\-ъ, то
получим однородные полиномы
IT
м= I* (z -f ix cos / -)- iy sin tf eiht dt.
244 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
зависящие от х, у, z. Вводя сферические координаты z — r cos 6,
х = г sin 6 cos ср, у = г sin 9 sin cp, получаем
и = 2r"eIhf j (cos 8 + / sin 9 cos tf cos ht dt,
о
т. е., с точностью до постоянного множителя, функции
где Рп h{x) — сопряженные функции Лежандра (см. т. I, стр. 426).
При переходе к полярным координатам г, ср для п='2 или
сферическим координатам г, Ь, у для л = 3, т. е. при замене
х = г p )
} на плоскости
у — г sincp j
или
x = r sin 6coscp,
у = г sin 9 sincp,
2 = г cos 6
оператор Лапласа принимает вид
в пространстве,
C2«r sin 6) + -А (а, sin 6) + ^ (^)] (й = 3)
(см. т. I, стр. 200). Из этих формул можно вывести следующую
часто применяемую теорему.
Если и(х, у)— регулярная гармоническая функция в плоской
области G, то функция
также удовлетворяет уравнению Лапласа и регулярна
в области G', полученной из G с помощью инверсии относи-
относительно единичного круга.
Соответствующая теорема справедлива и в пространстве, но там
мы должны положить
у > уг~' Т2 ) V* ~ х -\- у- -f- z ). G)
Для того чтобы доказать теорему, мы вводим полярные коорди-
координаты и показываем, что если функции и(г, ср) и и (г, 9, ср) гармони-
гармонические, то функции v(r, ср) = «A/г, ср) и v(r, 9, ср) = мA/г, 6, ср)/г
§ 1. Основные понятия 245
также гармонические. Это сразу следует из формул E), если заме-
заметить, что
^^(^Л^^-К) для я = 2,
где р = 1/г.
Читатель может проверить, что в «-мерном пространстве спра-
справедлива аналогичная теорема для функции
Таким образом, с точностью до множителя г2~п гармоничность
функции сохраняется при инверсии относительно сфер. Кроме
того, гармоничность полностью сохраняется при преобразо-
преобразованиях подобия, переносах и простых отражениях относи-
относительно плоскостей.
Пусть функция и регулярна и гармонична в ограниченной обла-
области О. При инверсии относительно единичной сферы с центром
в некоторой точке О, например в начале координат, внутренность
области О переходит во внешность G' образа Г' границы. Гармони-
Гармоническая функция
1 (xj_ j^i хп\
г2' г2 гЧ
называется тогда регулярной в этой внешней области G'. Итак, мы
определяем регулярность в области О, простирающейся до бес-
бесконечности, следующим образом: при помощи инверсии относительно
единичной сферы с центром в некоторой точке вне G мы переводим О
в ограниченную область О'. Гармоническая функция и называется
регулярной в G, если указанная выше функция v регулярна в G'.
В частности, функция и называется регулярной в бесконечности,
если О содержит некоторую окрестность бесконечно удаленной точки,
а значение и в бесконечности задается так, что функция v регу-
регулярна в G'. Согласно этому определению, например, функция и = const
регулярна в бесконечности на плоскости, но не регулярна в про-
пространстве трех или большего числа измерений. В трехмерном про-
пространстве функции
1 i a
и=\ — а + у
при произвольном а гармоничны вне единичной сферы и принимают
значение 1 на этой сфере. Но и=\/г — единственная функция этого
семейства, регулярная во внешности единичной сферы.
246 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
В пространствах любого числа измерений единственными решениями
уравнения Лапласа A), зависящими только от расстояния г между х
и фиксированной точкой ?, например, началом координат, являются
(с точностью до произвольных мультипликативной и аддитивной
констант) функции
которые при г = О имеют так называемую характеристическую
особенность.
Любое решение уравнения Лапласа, имеющее в области О вид
*„; «,. Ъ и = Ф(*. 5) = т(О + «'
п
¦ ^J \"S -v
V— 1
где точка \ находится внутри О, а функция w регулярна, называется
фундаментальным решением с особенностью в точке \ (см., напри-
например, гл. III, § 2).
Соответствующие фундаментальные решения легко получить также
и для более общего дифференциального уравнения
где с — некоторая постоянная. Вводя полярные координаты, мы ищем
п
решения вида и = ф (г), где г2 — 2 (xv — У2- Для функции <Ь мы
v=l '
получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
f -f—^y'H- сф = О. A0)
Если положить ф(г) = г/2<л-2)ср(улс г), то это уравнение перейдет
в уравнение Бесселя
Искомое фундаментальное решение ф является тогда просто решением
уравнения A1), не ограниченным в начале координат. Таким образом,
для нечетных п мы имеем
ф = г-'/."«-2>У_1/1(„_2)(у7г), A2)
а для четных п
ф = г-1/.(я-2)М/1(я_2)(угсг). A3)
где <Vv есть v-я функция Неймана (см. гл. III, § 2).
§ I. Основные понятия 247
ное
2. Потенциалы распределения масс. Для л == 3 фундаменталь-
решенне уравнения Лапласа имеет вид
~r ~~ V(x - ?)» + "G=4)' + (г - СJ"
и физически соответствует гравитационному потенциалу, который
создается в точке Р(х, у, z) единичной массой, сосредоточенной
в точке D, т), С) ')•
Пусть 'ri.(",, т], С) — плотность распределения масс в пространстве
;, т), ^. Интеграл
«(х, у, ¦*)=/"/ [
(Г2 _ (х _ г;J + (у _ Г|J _|_ (г _ Г J)i ( ! 4)
распространенный на соответствующую область О пространства,
называется потенциалом пространственного распределения масс
с плотностью (i в области О. Если точка Р с координатами х, у,
z лежит вне области О, то с помощью дифференцирования под зна-
знаком интеграла мы сразу получаем, что и—гармоническая функция.
Если точка Р лежит в области О и если функция }>¦ кусочно-непре-
кусочно-непрерывно дифференцируема 2), то, как мы видели раньше (см. т. I, гл. V),
потенциал и удовлетворяет уравнению Пуассона
Ди = — 4irjv A5)
В общем случае п измерений интеграл, образованный с помощью
фундаментального решения f (r):
u(xv х2 хп) = и(х) =
/ f dE2 ... dlu, A4a)
') Здесь и далее слово потенциал употребляется в физическом смысле.
Оно обозначает величину, градиент которой дает поле сил. Понятие потен-
потенциала обычно связывают с уравнением Лапласа.
2) Необходимо напомнить следующее определение: поверхность назы-
называется кусочно-гладкой, если она составлена из конечного числа частей,
каждая из которых конгруэнтна поверхности, заданной функцией
где функция / непрерывна и имеет непрерывные первые производные
в соответствующей области, включая границу. Если, кроме того, каждая функ-
функция / имеет непрерывные производные второго порядка, то говорят, что
поверхность имеет кусочно-непрерывную кривизну. Очевидно, что аналогич-
аналогичные определения можно применять и к кривым.
Функция называется кусочно-непрерывной в G, если она непрерывна в G,
за исключением разрывов первого рода в изолированных точках или на
кусочно-гладких кривых или поверхностях, и если имеется только конечное
число таких разрывов в любой замкнутой подобласти G. Если первые
производные непрерывной функции кусочно-непрерывны в G, то эта функция
называется кусочно-непрерывно дифференцируемой в G.
248 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
где область интегрирования G пространства Е содержит точку х, удо-
удовлетворяет уравнению Пуассона
Дм = —(!.(*), A5а)
если функция [л имеет непрерывные производные. Этот интеграл
также называется потенциалом распределения масс в области О с плот-
плотностью [1. Сейчас мы дадим доказательство при несколько более
слабых предположениях относительно [i и рассмотрим решение и
с другой точки зрения.
Однако сначала мы докажем следующую теорему.
Пусть [л(л\ у, z)—ограниченная (по абсолютной величине)
и интегрируемая функция в области О. Тогда потенциал A4)
и его первые производные всюду равномерно непрерывны; эти
производные можно вычислить с помощью дифференцирования
под знаком интеграла. Если, кроме того, функция \>- кусочно-
непрерывно дифференцируема в G, то вторые производные и
также непрерывны внутри G и удовлетворяется уравнение
Пуассона Дм = — 4тг[)..
Для того чтобы доказать первую часть этой теоремы, рассмотрим
функцию
щ{х, у, z) = fffn(b т], Q/6(r)tfU^C, A6)
о
где /§(/¦) — вспомогательная функция, которая отличается от фунда-
фундаментального решения 1/г только в малом шаре г ^8 радиуса 8; внутри
этого шара ft(r), в отличие от 1/г, ограничена. На поверхности шара
она переходит в 1/г непрерывно и с непрерывной производной.
Например, можно положить
A7)
A8)
где Ж обозначает максимум |р|, сразу следует, что последователь-
последовательность м6 при 8->0 равномерно сходится к потенциалу и для всех х,
у, z и что функция и равномерно непрерывна.
Из дифференцируемости функций fi(r) — g(x — \, у — т), z — С)
сразу следует дифференцируемость функций ы5. Действительно, мы
имеем
Mr)
r>
Из неравенства
6
18я
§ 1. Основные понятия 249
Пусть теперь функция Х(х, у, z) определяется как сходящийся
интеграл
Х= [ f f (* -> d'Zd-qd'C., A9)
о
который получается из A4) формальным дифференцированием под
знаком интеграла. Тогда
и, следовательно,
8
-з-^ — У- <^ 4тгуИ if —~ I 4—;-) г2 dr = 5тгуИ8; B0)
дх ^ J { дг [ ' г2) ' у '
о
это значит, что последовательность dus/dx равномерно по х, у, z
сходится к функции х(х' У' z)- Из известных теорем анализа сле-
следует, что функция 1 равномерно непрерывна и что -^~их. Точно
так же получаются аналогичные результаты для производных ау и иг.
Не делая дополнительных предположений относительно функции ц,
нельзя доказать, что и имеет непрерывные вторые производные.
Однако, если jj. имеет непрерывные первые производные, то в инте-
интеграле
можно произвести интегрирование по частям; тогда этот интеграл
записывается как
г о
где dS обозначает элемент площади на поверхности Г, а п1 — коси-
косинус угла между внешней нормалью к Г и осью %. В силу приведен-
приведенного выше рассуждения, мы можем продифференцировать это выра-
выражение и получить выражения для вторых производных функции и
через непрерывные функции. Например, в точке Р:(х, у, z) мы
получаем
5 jj j
г о
Второй интеграл можно также записать в виде
250 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
который интегрированием по частям приводится к виду
(интегрирование по частям законно, так как функция \>. — р(Р) имеет
в Р нуль первого порядка). Если теперь мы подставим это выраже-
выражение в формулу для ихх{Р) и приведем подобные члены, то получим
J J
И {^-
Из этой формулы и аналогичных ей формул мы получаем послед-
последнюю часть нашей теоремы, а именно: для кусочно-непрерывно диф-
дифференцируемой плотности ix вторые производные функции и
непрерывны и Дм = — 4тг[1.
Тот факт, что представление B1') для производной ихк не со-
содержит производных функции [1, наводит на мысль о том, чтобы
искать более широкий класс функций [i, для которых интегралы,
входящие в это представление, сходятся и остается справедливым
утверждение теоремы. С этой целью мы вводим важный класс функ-
функций, которые удовлетворяют условию Гёльдера (или непрерывны по
Гёльдеру).
Непрерывность по Гёльдеру. Говорят, что функция [i непре-
непрерывна по Гёльдеру в области G, или удовлетворяет условию Гёль-
Гёльдера в области G с показателем а, 0 < а < 1, и с коэффициентом К.
если для любой пары точек Р, Q из G справедливо неравенство
Здесь PQ обозначает расстояние от Р до Q; а и К называются
константами неравенства Гёльдера.
Заметим, что последний интеграл в формуле B1') абсолютно схо-
сходится, если функция [i непрерывна по Гёльдеру в области G; при
этом правая часть формулы BГ) является вполне определенной функ-
функцией v(P); действительно, в этом случае подинтегральное выражение
в интеграле по объему ограничено по абсолютной величине интегри-
интегрируемым выражением
§ 1. Основные понятия 251
где а и К — константы неравенства Гёльдера, а С — некоторая по-
постоянная.
Мы установим сейчас следующую теорему (которая является уточ-
уточнением теоремы, высказанной ранее).
Если jj. (лг, у, г) удовлетворяет условию Гёльдера в G,
то потенциал A4) имеет, равномерно непрерывные первые про-
производные, которые можно получить с помощью дифференци-
дифференцирования под знаком интеграла. Кроме того, и имеет непре-
непрерывные вторые производные, которые даются формулой B1')
и аналогичными ей выражениями, и функция и удовлетворяет
уравнению Пуассона Ды = — 4ttjj..
Чтобы доказать существование, например, производной икх(Р),
предполагаем сначала, что функция [i может быть равномерно при-
приближена дифференцируемыми функциями (лл, удовлетворяющими рав-
равномерно no n условию Гёльдера с константами а и К'- Для этих
функций [хл мы определяем функции ип по формуле A4); согласно
сказанному выше, функции ип имеют непрерывные вторые производ-
производные. Достаточно показать, что производные (ип)хх равномерно схо-
сходятся к v в любой замкнутой подобласти G. Из формулы B Г) мы
имеем
Если точка Р принадлежит некоторой замкнутой подобласти G, то
первое слагаемое может быть сделано равномерно малым за счет
выбора достаточно большого п. При оценке интеграла по объему
мы разделим G на две части: О = Gx-\-G2, где Gx — сфера радиуса R
вокруг точки Р. В силу оценки B2) и равномерной непрерывности
по Гёльдеру1) подинтегральная функция ограничена по абсолютной
величине выражением 2СК'/г'Л~а, так что интеграл по G} не пре-
превосходит C^'R^/a, а эта величина может быть сделана сколь угодно
малой за счет выбора достаточно малого R (Сг здесь абсолютная
постоянная). В области G.2 подинтегральная функция ограничена вели-
величиной [ | (л — fin j-f- j ;x (P) — [ая(/>)|]С2//?3; таким образом, при фикси-
фиксированном R второй интеграл можно сделать малым, если п доста-
достаточно велико, так как функции [а„ равномерно сходятся к [i.
Чтобы завершить доказательство, мы должны показать, что функ-
функцию [1 можно равномерно приблизить с помощью функций jj.,,, равно-
') Предел равномерно сходящейся последовательности функций, непре-
непрерывных по Гёльдеру с константами а, К, удовлетворяет тому же самому
условию Гёльдера.
252 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
мерно непрерывных по Гёльдеру. Мы знаем, что функцию \>. можно
равномерно приблизить полиномами вида
(А« = 'р«(^. У. *) =
1
— 1
где
:= /A — t2fdt
(см. т. 1, гл. II, § 4, п. 2, стр. 63). Кроме того, можно проверить,
что если [J. удовлетворяет условию Гёльдера с показателем <х и коэф-
коэффициентом А", то функции [1Л удовлетворяют равномерно условию
Гёльдера с показателем а и некоторым коэффициентом К'.
Мы показали, что решение и уравнения Ды = — 4тгц, заданное
формулой A4), имеет непрерывные вторые производные, если функ-
функция jj- непрерывна по Гёльдеру. Более того, можно показать, что
вторые производные функции и непрерывны по Гёльдеру (с тем же
показателем, что и функция jj.) в любой замкнутой подобласти G.
Мы более подробно исследуем это замечание и его важные след-
следствия в § 7.
Совершенно аналогичным методом устанавливается, что в случае
двух измерений уравнению Пуассона A5а) удовлетворяет функция
и(х, >') = -g^- J I n(t f\) \ogyd\di\ (r2 = (x — 02 + (У — f\) ).
о
а в случае произвольного числа измерений уравнению Пуассона удо-
удовлетворяет функция A4а).
В случае п — 3 встречаются потенциалы распределения масс на
поверхностях и так называемые потенциалы „двойного слоя", а также
потенциалы распределения масс на кривых. Для п. = 2 мы имеем
потенциалы простого и двойного слоя на кривых. Соответствующие
понятия для п > 3 не будут здесь рассматриваться.
Потенциал распределения масс на поверхности F с поверхностной
плотностью р определяется как интеграч вида
9-dS, B3)
F
где dS — элемент площади поверхности. На кривой С с длиной дуги s
потенциал распределения масс с плотностью х определяется как
и= f~ds B4)
§ 1. Основные понятия 253
для п — 3 или как
u=fz\og±ds B4')
с
для п — 2.
Потенциалы двойного слоя получаются в результате суперпозиции
потенциалов диполей (см. т. I, гл. VII, § 5, п. 5, стр. 443). Потенциал
отдельного диполя определяется как
д 1 —__ ^Jl'Zi (« — ч^
дч г~ ' ' г2 ( >'
или
д , 1 cos (v, г) . „.
--- ое-= ———— (п. = 2),
где d/dv обозначает дифференцирование по некоторому направлению
в пространстве %, t\, С (или на плоскости I, yj); (у, г) — угол между
этим направлением и радиусом-вектором, проведенным из точки
Р(х, у, г) в точку Q(i, t\, С) (или соответствующий угол для и = 2).
Потенциал двойного слоя с плотностью о на поверхности F
(в случае п = 3) или на кривой С (в случае /г =2) задается выра-
выражениями вида
«(*. у, *)
ИЛИ
«(х, у)= f а ± log ~ds B5')
с
соответственно, причем д[дч обозначает дифференцирование по напра-
направлению положительной нормали к поверхности или кривой.
3. Формула Грина и ее применения. Чрезвычайно важную роль
в теории потенциала играет формула Грана. В трехмерной огра-
ограниченной области G с элементом объема dg = dx dy dz и с гра-
границей Г, которая предполагается кусочно-гладкой1), для двух функ-
функций и и v справедливы формулы Грина
о а
v-^r-dS, B6)
') См. примечание 2 к стр. 247.
254
Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
(Здесь д/дч означает дифференцирование по направлению внешней
нормали.) В первой формуле мы предполагаем, что функции и и v
непрерывны в О + Г, первые производные и и v непрерывны в G,
первые производные функции и непрерывны в G ~\- Г, а вторые ее
производные непрерывны в G. Во второй формуле мы предполагаем,
что первые производные и и v непрерывны в G-f-Г, а вторые их
производные непрерывны в G. Кроме того, в обоих случаях тре-
требуется, чтобы существовали интегралы по области G. Совершенно
аналогичные формулы справедливы для плоскости.
Если Дм —О и v~\, то мы получаем интегральную теорему
Гаусса:
J7?*S = O. B7)
Другими словами, если гармоническая функция регулярна
в ограниченной области О и непрерывно дифференцируема
в G-\~Y, то интеграл по поверхности Г от ее нормальной про-
производной равен нулю.
Как следствие равенства B7), мы получаем следующую теорему
о потенциалах двойного слоя с постоянной плотностью.
Если задан кусок поверхности F, ограниченный кривой С,
и точка Р, не принадлежащая F, то в случае постоянной
плотности о=1 потенциал двойного' слоя поверхности F
в точке Р по абсолютной величине равен телесному углу, под
которым кривая С видна из точки Р. В частности, потен-
потенциал двойного слоя для поверхности, ограничивающей неко-
некоторую область G, имеет для точек G постоянное значе-
значение — 4и, а для точек вне G равен нулю.
Чтобы доказать эту теорему, мы построим конус Q, образован-
образованный прямыми, соединяющими точку Р с точками границы С куска по-
поверхности F1). Для простоты мы предположим, что область, ограниченная
поверхностью F и частью поверхности конуса, лежащей между точкой Р
и контуром С, односвязна. Мы отрежем вершину конуса с помощью
достаточно малой сферы Кг радиуса е и обозначим через Ge область,
') Знак этого телесного угла однозначно определяется, если на поверх-
поверхности указаны положительная и отрицательная сторона. Кусок поверх-
поверхности F и конус Q, определенный точкой Р и кривой С, ограничивают
замкнутую область; сначала мы предположим, что она односвязна. Знак
телесного угла отрицательный, если положительная нормаль к F выродит
из этой области, и положительный в противном случае. В общем случае мы
предполагаем, что кусок F составлен из конечного числа частей, для каж-
каждой из которых выполняется вышеуказанное предположение. Тогда мы
видим, что потенциал двойного слоя равен сумме соответствующих телесных
углов, причем каждый из них берется со своим знаком.
§ 1. Основные понятия
255
ограниченную поверхностями F, Q, Ks; функция u=\jr в этой
области регулярна. Из фэрмулы B7) мы заключаем, что
и, так как дA/г)/дч обращается в нуль на B и принимает на Л'
постоянное значение—A/г2). наше утверждение доказано (см. рис. 9)
Для й —2 мы имеем аналогичную теорему.
Потенциал двойного слоя дуги С с постоянной плотностью
<з = 1 в точке Р, не лежащей на С, равен углу, под которым
эта дуга видна из точки Р. В частности,
и — — 2г. внутри любой замкнутой кри-
кривой С и и = 0 вне этой кривой.
Если мы положим v=u в первой из фор-
формул B6), то мы получим тождество F|
Яди
B8)
Рис. 9.
справедливое для любой гармонической функции,
регулярной в ограниченной области G, с пер-
первыми производными, непрерывными в G-j-Г. Эта
формула остается верной, если область G со-
содержит окрестность бесконечно удаленной точки, при условии, что
гармоническая функция регулярна в этой окрестности, т. е. что
функция
\ ( х у
регулярна в начале координат. Интеграл D[u], который называется
интегралом Дирихле, играет особенно важную роль в теории
потенциала. Как мы уже видели в т. I, гл. IV, § 3, п. 4, этот интеграл
устанавливает связь между теорией потенциала и вариационным
исчислением. В связи с этим он будет иметь важное значение при
доказательстве теорем существования (см. т. III).
Сейчас мы уже можем сделать следующий вывод из тождества B8):
Пусть и — регулярная гармоническая функция в области G,
непрерывная и непрерывно дифференцируемая в G-j-Г. Тогда
а) если функция и обращается в нуль на Г, то она обра-
обращается в нуль тождественно в О;
б) если нормальная производная ди/д'ч обращается в нуль
на границе, то функция и постоянна в G.
256 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
В обоих случаях из формулы B8) следует, что D[mj = 0, и,
следовательно, и = const. В первом случае константа должна совпа-
совпадать с граничным значением нуль.
Пусть О — шар радиуса R с центром в Я и с границей Г.
Пусть О0—концентрический шар радиуса Ro </? с границей Го.
Положим г>=1/г (где г — расстояние до центра шара) и применим
вторую формулу B6) к области, лежащей между Г и Го. Тогда,
с учетом равенства B7), мы получим для гармонической функции и
равенство
ъщПааз=ъ*Ниа8- B9)
0 г0 г
Устремив Ro к нулю, получим формулу средних значений
dS- C0)
Другими словами, значение гармонической функции в точке Р
равно среднему значению этой функции на любой сфере с цен-
центром в Р, если эта функция регулярна внутри сферы и
непрерывна в замкнутой области, ограниченной этой сфе-
сферой 1).
Из этой теоремы о среднем значении можно вывести важные
следствия. Прежде всего мы сформулируем
Принцип максимума. Пусть функция и регулярна и гармо-
гармонична в связной области G и непрерывна вплоть до границы
области Г. Тогда она принимает свое максимальное и мини-
минимальное значение на границе; максимум и минимум дости-
достигаются внутри области тогда и только тогда, когда и по-
постоянна.
Чтобы доказать эту теорему, мы рассмотрим такое подмножество F
замкнутой области G-f-Г, на котором и принимает свое наиболь-
наибольшее в G-f-Г значение М. Так как функция и непрерывна в О-)-Г,
F есть замкнутое множество. Если бы множество F содержало внут-
внутреннюю точку Ро области О, то существовало бы семейство сфер
с центром в Ро, целиком лежащих в G, и среднее значение функ-
функции и на каждой из этих сфер равнялось бы и (Ро) = М. Но так
как и <С М, это возможно только в том случае, когда и = М на
всякой сфере с центром в Ро, целиком содержащейся в G. Таким
образом, множество F содержит по крайней мере все точки, лвжа-
') Очевидно, что для того, чтобы эта теорема была справедлива, функ-
функция не обязана быть непрерывно дифференцируемой в замкнутой области,
ограниченной сферой, хотя это требование необходимо для того, чтобы были
применимы формулы B6) и B7), которые используются при доказательстве.
§ 1. Основные понятия 257
щие внутри наибольшей сферы с центром в Ро, содержащейся
в O-f-Г. То же самое рассуждение можно провести для любой дру-
другой внутренней точки Ро; поэтому множество F должно совпа-
совпадать с O-f-Г. Но это и значит, что и константа (а именно кон-
константа, равная М). Следовательно, для любой функции и, отличной
от константы, множество F может состоять только из граничных
точек. Аналогичное рассуждение показывает, что минимум и прини-
принимается на границе, и только для постоянной и минимальное значе-
значение m приш мается внутри области О.
Следующее утверждение является непосредственным следствием
принципа максимума:
Если регулярная гармоническая функция, непрерывная
в G-f-Г, постоянна на границе, то она постоянна и во всей
области,
В частности, из этого следует
Теорема единственности. Две гармонические в О и непрерыв-
непрерывные в G-f-Г функции, совпадающие на границе, тождественно
равны в G.
Это утверждение верно в силу того, что разность двух таких
функций сама является регулярной гармонической функцией, непре-
непрерывной в G-f-Г; она обращается в нуль на границе и, следовательно,
тождественно равна нулю в О.
Формулы Грина B6) существенно изменяются, если мы подстав-
подставляем вместо v функцию, обладающую характеристической для урав-
уравнения Лапласа особенностью в точке Р. Пусть Р — некоторая точка
области О с координатами (х, у, z). Положим
v{l т], C) = --f-wE. т], С),
где г2 — (х — 5J+(У — 702 + ('г—Q2' a w — произвольная дважды
непрерывно дифференцируемая функция в О, непрерывная и непре-
непрерывно дифференцируемая в O-f-Г, Мы применим формулу Грина B6)
к подобласти О — К,, полученной из G исключением малой сферы К.с
радиуса г с центром в Р. Применяя формулу Грина к этой подоб-
подобласти и производя простой предельный переход при s—>0, мы
получаем
f f f (им+u^+ui
a a
= pu+f fu^dS. C1)
Г
J J J (и Дда - v Ди) dg = pu + J J (и 4v - v t;) dS> C1')
¦=- + «', p =
258 Га. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
здесь dg — элемент объема в пространстве с, rjt ", и
4тг для Р в G,
2тг для Р на Г,
О для Р вне G;
в случае, когда точка Р лежит на Г, предполагается, что Г имеет
непрерывно изменяющуюся касательную плоскость в окрестности
точки Pv). Относительно и и w мы предполагаем так же, как и в
формулах B6), существование интегралов по О, непрерывность и
и w в О -\~ Г, непрерывность первых и вторых производных и и w в О;
в формуле C1) мы предполагаем непрерывность первых производ-
производных от и в Q-\~Y, а в формуле (ЗГ) — непрерывность первых про-
производных от а и w в G -j- Г.
При таких же предположениях мы имеем аналогичную систему
формул на плоскости:
/ / («^5 + urVr) dg 4- J J « Aw dg = pu-\- j ы ™ rfs, C2)
s. C20
о г
где dg — элемент площади, v—\ogl/r-\-w и
I 2и для Р в G,
p r=i тс для Я на Г,
( 0 для Р вне G.
В частности, если в формуле C1') мы положим w — О, то получим
для функции и в области G следующее представление:
о г г '
C3)
Таким образом, любая функция и, непрерывно дифференцируе-
дифференцируемая в G-f-Г ы имеющая непрерывные вторые производные в G.
может рассматриваться как потенциал некоторого распре-
распределения, состоящего из пространственного распределения
в области G с плотностью —Ды/4тг, из поверхностного рас-
распределения (простой слой) с плотностьк (\/4т:)ди/дч и из рас-
') Например, если Р — вершина конуса, принадлежащего границе, то
в этой точке вместо 2л мы должны взять р равным телесному углу, соот-
соответствующему этому конусу.
§ 1. Основные понятия 259
пределения диполей (двойной слой) с плотностью — #/4тг на
границе Г.
В частности, для гармонической функции и справедливо соот-
соотношение
4n J J г дч 4к J J дч \ r J v '
г г
Другими словами, любая функция и, регулярная и гармониче-
гармоническая в G и непрерывно дифференцируемая в О + Г, может
быть представлена как потенциал некоторого распределения
на граничной поверхности, состоящего из распределения типа
простого слоя с плотностью (\/4п)ди/дч и из распределения
типа двойного слоя (распределения диполей) с плотностью
— u/4iz.
Теорему о среднем значении в теории потенциала можно вы-
вывести также из формулы C1')- Действительно, применим C1') к сфере
радиуса R и положим w = —l/R — const. Тогда v обращается
в нуль на границе сферы и немедленно получается соотношение C0).
Задача о перенесении всех этих результатов на случай п — 2,
а также па произвольное число п измерений предоставляется чита-
читателю. Для произвольного п при тех же предположениях относи-
относительно и и v и области G выполняются формулы Грина
Я....
о г
а также следующие формулы, аналогичные формулам C1) и C1'
C6)
о г
Здесь для п > 2 мы полагаем
ш„ для Р в О,
у(оя для Р на Г,
(О для Я вне О 4- Г.
4. Производные потенциалов распределения масс. В п. 2 мы
видели, что потенциал A4) объемного распределения масс непрерывен
260 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
и имеет непрерывные первые производные, если плотность рас-
распределения ограничена и интегрируема. Теперь мы будем исследо-
исследовать с точки зрения непрерывности поведение поверхностных по-
потенциалов (простого и двойного слоя) и их производных при
переходе точки Р{х, у, z) через поверхность F. Мы будем поль-
пользоваться следующим методом1): как указано на рис. 10, мы рассмот-
рассмотрим точку Ро, лежащую на куске поверхности F;
при этом F рассматривается как часть границы Г
пространственной области G. Мы предполагаем,
что функция р (или о), которая является плот-
плотностью распределения на F, достаточно гладким
образом продолжена в эту область G. Применим
к области G формулы Грина C1) и C1') с соот-
соответствующим образом подобранными функциями и
и v. Так как имеют значение только разрывы изу-
Рис. 10. чаемой функции, то мы можем в наших формулах
опускать те выражения, которые непрерывны
при переходе точки Р через поверхность F. Мы будем применять
для таких выражений символическое обозначение =0 („конгруэнтно
нулю"); кроме того, область О выбирается так, чтобы положительное
направление нормали к F было направлением внешней нормали.
Заметим сначала, что потенциал простого слоя непрерывен при
переходе точки Р через поверхность F. Поэтому мы должны изу-
изучить только поведение потенциала двойного слоя и его производных,
а также поведение производных потенциала простого слоя.
Мы предположим, что в окрестности точки Ро поверхность F
имеет непрерывную кривизну (см. примечание 2 к стр. 247) и что
плотность распределения на поверхности является дважды непрерывно
дифференцируемой функцией2). Тогда справедливы следующие утвер-
утверждения:
а) При переходе через поверхность F значение потенциала
двойного слоя в точке Ро имеет скачок, описываемый фор-
формулами
llm и(Р) — и(Р0)
о
llm u(P)—u(P0) = — 2™(PJ C7)
Здесь запись P->Pq обозначает, что Р приближается к Ро с по-
положительной стороны поверхности, а Р-+Ро обозначает приближе-
приближение с отрицательной стороны.
') Наш метод связан с методом Шмидта; см. Шмидт [1].
2) Эти предположения можно ослабить, даже применяя тот же метод,
что и здесь.
§ 1. Основные понятия 261
б) Производная потенциала двойного слоя и(Р) по направ-
направлению нормали к поверхности изменяется непрерывно, если
точка Р переходит поверхность, двигаясь по нормали к ней
в точке Рп. Однако тангенциальные производные du/dt (дру-
(другими словами, производные по направлениям, перпендикуляр-
перпендикулярным к нормали) имеют скачок, удовлетворяющий соотноше-
соотношениям
ди(Р) ди(Р0)
11111 d F
, dt Ft —/1Z dt
ди(Р0) = о <MP,) C8)
dt dt — "' dt ¦
p-*po
в) Потенциал простого слоя и его тангенциальные произ-
производные непрерывны при переходе через точку Ро. Однако нор-
нормальная производная имеет следующий скачок:
|it 1 = *L + х^ = - 4Кр (Ро). C9)
Здесь д/дч+ обозначает дифференцирование по направлению поло-
положительной нормали к поверхности в точке Ро, а д/дч_ —дифферен-
—дифференцирование по направлению отрицательной нормали.
Мы сначала рассмотрим потенциал двойного слоя с плотностью а
и предположим, что эта плотность продолжена на область G-j-Г
так, что она является там непрерывно дифференцируемой функцией
а(х, у, z); затем, полагая и = а, w = 0 и опуская все члены, не-
непрерывные при переходе через границу, мы записываем формулу
Грина C1) в виде
применяя введенный выше символ =5. Очевидно, что все граничные
интегралы, не зависящие от F, непрерывны как функции точки Р
и имеют непрерывные производные всех порядков. Так как правая
часть этого выражения, согласно п. 2, непрерывна, то
Это и есть нужное утверждение относительно поведения потенциала
Двойного слоя.
Чтобы доказать утверждение, относящееся к производной потен-
потенциала двойного слоя, мы предположим, что продолжение плотно-
плотности а в область G есть дважды непрерывно дифференцируемая функция,
262 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
такая, что нормальная производная дс/dv равна 0. Применим теперь
вторую формулу Грина (ЗГ). которую можно записать в виде
Так как правая часть непрерывна, то мы снова получаем результат,
касающийся разрыва самого потенциала двойного слоя. Кроме того,
так как правая часть имеет непрерывные производные по х, у, z,
то из формулы следует, что производные потенциала двойного слоя
имеют такие же разрывы, как производные выражения —рв; именно
это мы и хотели доказать.
Наше утверждение относительно производных потенциала про-
простого слоя получается точно таким же способом, если применить
формулу Грина C1')- Однако функцию и в (ЗГ) надо выбрать так,
чтобы на поверхности F она тождественно равнялась нулю и чтобы
нормальная производная ди/дч равнялась плотности поверхностного
распределения р, То, что такая функция ы существует, непосред-
непосредственно следует из предположений относительно гладкости поверх-
поверхности F и плотности р.
Аналогичные теоремы и соотношения на разрывах можно полу-
получить для потенциала на плоскости, с той разницей, что в соотно-
соотношениях C7) и C8) множитель 2тг надо заменить на тс, а в соотно-
соотношении C9) множитель 4тс— на 2тс.
? 2. Интеграл Пуассона и его приложения
1. Краевая задача и функция Грина. В т. I, гл. V, § 14, мы
уже рассматривали представление решения краевой задачи с помощью
функции Грина, не зависящей от заданных на границе значений и
от правой части дифференциального уравнения.
Теперь мы поставим первую краевую задачу, которая называется
также задачей Дирихле, для уравнения Лапласа в ограниченной об-
области G пространства х с кусочно-гладкой') границей Г.
Пусть на Г заданы непрерывные граничные значения. В част-
частности, пусть граничные значения являются значениями трижды непре-
непрерывно дифференцируемой в G-j-Г функции f(xv ..., хп), или f (х).
Надо найти решение дифференциального уравнения Дм = 0, непре-
непрерывное в G —j— Г и регулярное в G, совпадающее с функцией /
на Г. В § 4 мы увидим, что предположения относительно гладкости
граничных значений легко можно ослабить с помощью простого пре-
предельного перехода.
Краевой задаче можно придать несколько иной вид, если ввести
вместо и функцию и — / = v. Для функции v мы имеем нулевые
') См, примечание 2 к стр. 247.
§ 2. Интеграл Пуассона и его приложения 263
граничные значения на Г, но неоднородное дифференциальное урав-
уравнение Дг, = _ дд
Пусть теперь Q = (;1, ?2, ..., ?л), или Q = l,—фиксированная
гочка, Р = х -- переменная точка области G, f—функция, заданная
формулой (9) из § 1. УИы определим функцию Грина К(Р, Q) диф-
п
ференциального оператора Да = У, д2и/дх* для области G как
некоторое специальное фундаментальное решение уравнения
Ди = 0, зависящее от параметра Q, имеющее вид
К(Р, Q) = K(xl, х2 х„; ?!. 12, ..., =„)=---
, A)
« равное нулю, когда точка Р лежит на Г. Яри этом сла-
слагаемое w непрерывно в G —(— Г и регулярно в G (так что функ-
функция /С регулярна в G, за исключением точки Р = Q). Эта функ-
функция симметрична относительно аргументов Р и Q: K(P, Q) =
==K(Q, Р) (см. т. [, гл. V, § 14, п. 5, стр. 308).
Функция Грина обращается в нуль на Г и положительна hi
малой сфере вокруг точки Q; поэтому, согласно принципу максимума,
она положительна внутри О.
Если v — непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция,
удовлетворяющая уравнению Дг» = — Д/ в O-j-F, то формула C6)
из § 1 сразу дает представление
= f f
К(х, у Д/ rf=, B)
и решение исходной краевой задачи представляется в виде
« = /+ f f ...JK(x, ОД/d?. C)
а
В формулах B) и C) решение и в действительности не зависит
от значений функции / внутри области G. В самом деле, применив
формулу Грина, мы легко получим
о
и, следовательно,
. = -/.../*/«. D)
г
В эту формулу входят только граничные значения функции /.
264 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Однако часто бывает нужно сохранить представление решения
краевой задачи в виде(З). В частности, мы будем применять формулу C)
при доказательстве следующей теоремы, которая является обратной
по отношению к результатам, изложенным выше, но не содержит
таких сильных ограничений на К и v.
Если К(Р, Q) —функция Грина для ограниченной области О,
то для кусочно-дифференцируемой функции g(xlt x2, .... хп) =
— g (x) выражение
v=*f f ...Jk{x. QgQOdt
о
дает решение уравнения Пуассона
Дг> = — g,
непрерывное в G —|— Г и равное нулю на границе Г.
То, что v удовлетворяет дифференциальному уравнению, следует
из интегрального представления и из того, что функция g кусочно-
непрерывно дифференцируема (см. § 1, п. 2, стр. 247). Чтобы по-
показать, что v обращается в нуль на границе Г, не достаточно
воспользоваться тем, что там равна нулю функция Грина, так как К
не стремится к нулю равномерно по Q, когда точка Р приближается
к границе Г. Чтобы обойти эту трудность, мы воспользуемся сле-
следующей леммой, доказательство которой будет дано в п. 2.
Если В есть подобласть области О с диаметром меньше
п, то
J J ...fK(x, S)d?<e(A),
в
где s (Л) зависит только от h, а не от вида области В, и
стремится к нулю вместе с h.
Пусть точка Р из G приближается к точке Р на границе Г.
Пусть Bh — подобласть G, лежащая в шаре с диаметром Лис цент-
центром в точке Р, a G' — оставшаяся часть G. Тогда
Интеграл по области G', очевидно, стремится к нулю при Р
Член vh= I I ... I Kg d\ допускает оценку
где М — максимум | g |. Итак, если точка Р достаточно близка к Р,
то \v\<CMt(h). Так как h произвольно, наше утверждение до-
доказано,
§ 2. Интеграл Пуассона и его приложения 265
Эта теорема показывает, что решение краевой задачи дается фор-
формулами B) и C), если известна функция К- Другими словами: ре-
решение краевой задачи с произвольными данными на границе
эквивалентно отысканию функции Грина, что соответствует ре-
решению краевой задачи со специальными данными на границе, за-
зависящими от точки Q как от параметра.
2. Функция Грина для круга и шара. Интеграл Пуассона для
шара и полупространства. В т. I, § 15, п. 2 мы построили функ-
функцию Грина для круга и шара. Использованные там соображения можно
без труда применить также и к оператору Лапласа в случае п из-
измерений. Пусть -f = Ф (г) — фундаментальное решение дифферен-
дифференциального уравнения Дм —0 в «-мерном пространстве
ф (/¦) = g— log — (для п — 2).
Тогда функция Грина для шара радиуса R сразу получается в виде
К(х, |)==<|)(г)— ^(-^гХ F)
где
гх есть расстояние от точки х до отражения точки \ относительно
сферы, т. е. до точки
или —j-5-
Ясно, что эта функция удовлетворяет всем требованиям, в частности,
она обращается в нуль на сфере, так как г = (v./R) rv если точка
(xv х2, .. ¦, хп) лежит на сфере.
Функцию Грина для круга (или шара) можно следующим обра-
образом использовать как мажоранту функции Грина для произ-
произвольной ограниченной области G. Пусть Q—некоторая точка
области G, a R — столь большое число, что круг (или шар) ради-
радиуса R с центром в любой из точек О целиком содержит область
О -|- Г. Если через г обозначено расстояние от точки (лг,, х2, ..., хп)
до Q, то легко видеть, что выражение
ф (г) — ф (R) = ~ log ~r {п = 2),
266 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
2)
представляет собой функцию Грина соответственно для круга или
шара радиуса R с центром в точке Q; она имеет особенность в точке Q
(т. е. точка-параметр Q находится в центре круга или шара). Если
К(Р, Q) — функция Грина для области G с особенностью в точке Q,
то разность К — (ф (г) — ф (/?)) регулярна в О и не положительна
на Г; поэтому всю ту в О
О ; К C'b(r)- <b{R).
Отсюда легко получить оценку функции Грина для подобластей В
области G с диаметром, меньшим чем /г, использованную в п. 1.
С помощью формулы F) мы теперь найдем величину дК/дч, вхо-
входящую в интеграл
г
взятый по поверхности сферы, и получим решение краевой задачи
Ли := 0, и — / на Г
для шара. При помощи простых вычислений мы находим
что после подстановки в интегральную формулу дает
Если мы предположим, что / — заданная функция координат ?р
>2 1п на единичной сфере и подставим вместо ф (г) функцию E),
то получим интегральную формулу Пуассона
с с
В этом выражении интеграл берется по поверхности «-мерной еди-
единичной сферы р2 — х\-\- х?2-\~ . . . -\- х2п — х2, а 8—угол между
вектором р и радиусом, направленным в переменную точку интегри-
интегрирования ?.
Эта формула была уже выведена для я = 2 и п = 3 на стр. 34
и и т, I, гл. VII, § 5, п. 4, стр. 433.
§ 2. Интеграл Пуассона и его приложения 267
Из сделанных выше замечаний следует, что формула (9) дает
решение краевой задачи для шара в случае, когда граничные значе-
значения /(Г) являются значениями на Г некоторой непрерывной функ-
функции f(x), имеющей в О непрерывные первые и вторые и кусочно-
непрерывные третьи производные. Например, все эти предположения
выполняются, если /=1. В этом случае из интегральной формулы
Пуассона и из теоремы единственности § 1 следует, что интеграл
от положительного всюду внутри шара радиуса R ядра
Н(Р, Q) =**-=?, г2 = (*-5J, ? = Х> A0)
по сфере радиуса R с элементом поверхности do = Rn dm равен 1:
f [н(Р. Q)do=«^^A Г Г iK. т = и
JJ <О„ J J (?2_1_ /?2_2О/? COS 6)'i2
(И)
Кроме того, для фиксированной точки Q = ; это ядро как функция
точки Р = х удовлетворяет уравнению Лапласа внутри шара, что
легко видеть, если мы запишем ядро в виде
где
На самой сфере функция Н обращается в нуль всюду, кроме точки
P = Q, где она стремится к бесконечности, когда Р стремится к Q
изнутри.
Теперь мы легко можем освободиться от сильных требований,
наложенных на граничные значения /. Мы покажем, что интеграль-
интегральная формула Пуассона дает решение краевой задачи для шара,
даже если мы требуем от граничных значений только непре-
непрерывности на поверхности сферы. Действительно, при этом пред-
предположении мы можем дифференцировать формулу (9) сколько угодно
раз под знаком интеграла в любой внутренней точке Р шара. Сле-
Следовательно, функция и в этом случае также удовлетворяет уравне-
уравнению Лапласа, и нам надо только показать, что при приближении
к границе и стремится к заданным граничным значениям.
268
Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Пусть Р1 — произвольная точка границы, а Р— близко к ней
лежащая внутренняя точка (см. рис. 11). Мы предположим, что
Ро— точка поверхности сферы, лежащая на том же радиусе, что и Р.
Так как справедливо неравенство
и так как граничная функция непрерывна, достаточно показать, что
функция и стремится к заданным граничным значениям, если Р при-
приближается к границе по радиусу, т. е.
показать, что величина
(Q, pp Pi'.
u(P) — f(P0) =
= ( (H(P,Q)[f(Q)~f(P0)]dSQ. A2)
где cISq — элемент поверхности, стано-
становится сколь угодно малой, когда точка Р
приближается к Ро по радиусу, проходя-
проходящему через Ро.
Для доказательства мы разделим по-
поверхность сферы на две части Qx и 22
с помощью сферы произвольно малого
Рис. 11. радиуса 5 с центром в точке Ро. Мы пред-
предположим, что точка Р уже находится
внутри этой малой сферы и, следовательно, расстояние h между Р
и Ро меньше, чем 5. Далее, если |/|.<уИ на сфере и \ f (Q) —
— / (Яо) | <! с (8) на 2j, причем функция с (8) стремится к нулю вместе
с 8, то формула A2) дает оценку
/(Л,) |< 2Л1 f f HdSQ+a{b)J f HdSQ
22 2,
<
22
последнее неравенство следует здесь из равенства A1). Но в Q2
ядро Н не превышает величины
1 R2 — f
2Л
R <о„(8/2)» ^ ««„(8/2)» '
Таким образом получается, что
\u(P)-f{Pa)\<
§ 2. Интеграл Пуассона и его приложения 269
Если мы возьмем 8 настолько малым, что в(8)<е/2, и выберем h
таким, что
4MR
в-1
E
(8/2)" ^ 2 '
то получим \u{P)— /(Я0)|<е. Это завершает доказательство.
Соответствующее интегральное представление и аналогичные ре-
результаты можно получить, если G представляет собой не шар,
а полупространство. Если граница Г есть плоскость х, у, a G — по-
полупространство z > О, то интеграл Пуассона для полупрост-
полупространства
и(х v Z) — J- С С /(S, т,)^ g,
дает решение краевой задачи для области G с произвольными гра-
граничными значениями f(x, у); при этом предполагается, что соответ-
соответствующая задача для "ограниченной области G', полученной из О
с помощью инверсии относительно некоторого круга, лежащего
вне G (см. § 1, стр. 245), оказывается краевой задачей с непрерыв-
непрерывными граничными значениями, заданными на границе Г' ограниченной
области G''.
При соответствующих предположениях для л-мерной области
G: хп > 0 с границей Г : хп = 0 мы получаем интегральную формулу
U( V У" V "^ — — // ( у\
Wfl j \(x 5 \ I 4— (х ~ \ .„1 у I
3. Следствия формулы Пуассона. Теорема о среднем значении,
а также принцип максимума являются непосредственными следствиями
представления Пуассона. Кроме того, из принципа максимума, приме-
примененного к разности двух решений (см. § 1, п. 3), следует единствен-
единственность решения краевой задачи. Таким образом, две гармонические
функции, принимающие одинаковые значения на границе, тожде-
тождественно совпадают во всей области.
Формула Пуассона позволяет доказать следующее важное нера-
неравенство: для р </? ядро Н (см. A0)) всегда положительно и огра
ничено снизу и сверху величинами
"-2Я-р 1A \n-2
1 \"-2Я-р „ 1A \n-2R+?
/?«,„ U + P/ R + ?
270
Га. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Пусть и — неотрицательная регулярная гармоническая функция
в области О (см. рис. 12); пусть 2—сфера с центром Р радиуса R,
целиком лежащая в О, a Q — ее произвольная внутренняя точка.
Тогда из интеграла Пуассона и из теоремы о среднем значении сле-
следует неравенство Xарнака ')
Если и регулярна в любой ограниченной области пространства,
а Я и Q — любые две точки, то мы всегда можем выбрать доста-
достаточно большую сферу с центром в Р, со-
содержащую Q. Рассматривая неравенство Хар-
нака и устремляя радиус сферы R к беско-
бесконечности, мы сразу получаем и(Р) = u(Q).
Следовательно, гармоническая функция,
регулярная и положительная в любой
ограниченной области пространства,
постоянна.
Другим важным следствием формулы Пуас-
Пуассона является аналитичность гармони-
гармонических функций.
Любую функции* и, гармоническую и
регулярную в области О, можно разло-
разложить в степенной ряд в окрестности каж-
каждой внутренней точки Р области О; это
значит, что функция и аналитическая.
Для доказательства мы представим функцию и с помощью инте-
интегральной формулы Пуассона для сферы настолько малого радиуса R,
чтобы эта сфера целиком лежала в О. Взяв точку Р в качестве
начала координат, мы разложим ядро Пуассона в степенной ряд
по хг, х2, . . ., хп\ ;,, ?2, . . ., %п и почленным интегрированием затем
получим степенной ряд для u(xv ..., хп) = и(х).
Мы определим функцию w(x, \) формулой
Р2 — 2хр cos G
Рис. 12.
w ¦¦
R2
где
1=1
хр COS О
1=1
мы не требуем, чтобы точка ? лежала на сфере х = /?. Кроме того,
мы определим К (w) как
\пП
') Неравенство Харнака было обобщено на общие линейные эллипти-
эллиптические уравнения второго порядка; см. Серрин [1] и Мозер [2]. См. также
§ 7 и 8 и приложение в работе Берса и Ниренберга [2].
§ 2. Интеграл Пуассона и его приложения 271
и заметим, что функция
совпадает с ядром интеграла Пуассона
\ZL~Bl
A-^- cosO-f- ь-2)
если точка (Ej, ?2, ..., \п) лежит на сфере у. = R. Мы разложим
функцию К (w) по степеням xv х2 хп\ с,, ?„ ,_._ ^_ чтобы
получить представление ядра Пуассона в виде степенного ряда, спра-
справедливое для г — R 1).
Заметим, что функция w представляет собой многочлен относи-
относительно х и \, причем каждый его член неотрицателен, если все
произведения х^л (/=1, 2 п) неположительны. Для произволь-
произвольного е>0 мы будем рассматривать точки ; —(?р \2 ?п) и
х = (х1, х2, .... хп), находящиеся в шарах
у. <A -{-?)/? A3)
и
R
соответственно. Из этого следует, что
>К-^УГ1<-9- + ^(е)- A5)
где т] стремится к нулю вместе с е; следовательно, | w | < 1 при
достаточно малых е.
Ясно, что функцию К (te») можно разложить в ряд по w, абсолютно
сходящийся при | w J < 1. Поэтому, разлагая степени w на отдельные
члены, мы можем получить ряд по степеням х:, хч, ..., хп; %х,
L, \п; при достаточно малых е он сходится к А" (да), если точка
¦v ;2, . . ., сп находится в шаре A3), a xv х2, . . ., хп — в шаре A4);
если этот степенной ряд на сфере х = R умножить на 1—р2//?2,
то он совпадет с ядром интеграла Пуассона2).
') Ядро Пуассона, определенное формулой A0) для х<;/?, нельзя пред-
представить в виде степенного ряда для ¦/. ^ R, так как это ядро имеет особен-
особенность при ; — х.
2) Часто бывает полезно разложить ядро Пуассона по степеням p/R;
при этом получается ряд
со
2 (*)'¦¦«- >¦
v = 0
В случае п = 2
'¦X (cos 0) = 2V rv (cos 8).
272 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Наконец, для гармонической функции и интегральная формула
Пуассона дает ряд по xlt ..., хп, сходящийся в шаре A4).
Другим следствием формулы Пуассона является следующий
Принцип отражения. Если гармоническая в области и непре-
непрерывная вплоть до границы функция обращается в нуль на
сферической или плоской части границы, то ее можно {анали-
{аналитически) продолжить при помощи отражения через эту часть
границы с сохранением гармоничности.
Доказательство достаточно провести для куска плоскости (или
прямой) 5, который является частью границы полушара (или полу-
полукруга) Н1).
Пусть функция и гармонична в Н и непрерывна в Н-\-Т, при-
причем ее значения на 5 равны нулю. Отразим область Н относи-
относительно 5 и получим таким образом шар (или круг) К-
Зададим теперь граничные значения на границе К. Каждой точке Р
на Г — 5 мы ставим в соответствие значение и(Р), а в каждой
точке Р на той части границы К, которая является отражением
где 7"» обозначает v-ft полином Чебышева (см. т. I, гл. II, § 9, п. 2, стр. 82).
Поэтому
^v (cos 6) = 2 cos v8, ф0 (cos 6) = 1
и
1 — z ~n ("оь u T 2" »= 1
В случае п = 3
ф, (cos 6) = Bv + 1) P, (cos 6),
где Pv (x) обозначает v-й полином Лежандра (см. т. I, гл. II, § 8, стр. 77).
Здесь
Щ Pv(cos6).
Применяя сопряженные функции Лежандра PVi й (л:) для м > 0, мы можем
записать выражения Pv (cos 6) в виде
Bv + 1) Л (cos 6) = Pv (cos P) Pv (cos p') -f
V
+2 .S 'brwcos h (tp -?/) p^h (cos ^p^ (cos p')-
h— 1
где cos 0 = cos C cos C' -\- sin C • sin C' cos (cp — 9').
') Если область О имеет плоскую часть границы, то мы будем пользо-
пользоваться полушарами, лежащими в G, с центрами на этой плоскости.
Отражение относительно поверхности сферы так же просто, как отра-
отражение относительно плоскости.
§ 2. Интеграл Пуассона и его приложения 273
(зеркальным изображением) точки Р' на Г — S, мы зададим значе-
значение — и (Р'). Тогда интеграл Пуассона дает гармоническую функ-
функцию U, регулярную в К и принимающую заданные граничные зна-
значения.
Если зеркальное отражение каждой точки Р из К мы обозначим
через Р', то ясно, что не только U (Р), но также и —U(Р') (как
функция Р) является решением краевой задачи для К- Из этого
вследствие единственности решения краевой задачи мы заключаем,
что U(P) — — U {Р') для всех точек Р из К и, следовательно,
функция U обращается в нуль на S. Наконец, так как и(Р) и U (Р)
совпадают на (всей) границе Г области Н, мы в силу единственности
можем сделать вывод, что u^U в Н.
Аналогичный принцип отражения можно доказать для таких
гармонических функций, у которых нормальная производная обра-
обращается в нуль на 5. В этом случае и надо продолжать через S
четным образом.
Из интеграла Пуассона можно также вывести следующую важную
теорему.
Теорема Вейерштрасса о сходимости. Последовательность гар-
гармонических функций ип, регулярных в О и непрерывных
в G-f-Г и таких, что их граничные значения /„ сходятся
равномерно на Г, равномерно сходится в О к гармонической
функции, принимающей граничные значения / = lim/n.
Мы здесь ограничимся случаем двух или трех измерений, не
теряя при этом общности наших выводов.
Утверждение теоремы Вейерштрасса о равномерной сходимости
непосредственно следует из принципа максимума. Действительно,
если каждая из гармонических функций ип регулярна в О и непре-
непрерывна в G-J-Г, то те же утверждения справедливы для разности
ип — ит при произвольных п и т; поэтому эта разность принимает
свое максимальное (и минимальное) значение на границе. Следова-
Следовательно, для всех точек замкнутой области G-j-Г мы имеем нера-
неравенство
1«я — Mml<maxl//,— /ml-
из которого сразу следует равномерная сходимость в О и тот факт,
что функция и —Нти„ принимает граничные значения / —lim/n> Из
интеграла Пуассона видно, что предельная функция и удовлетворяет
в G уравнению Лапласа. Действительно, пусть К — произвольная
сфера радиуса R, целиком содержащаяся в G; обозначим через ип
и и соответственно граничные значения ип и и на К. Тогда
внутри К для любой функции ип, а следовательно, и для функции и
274 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
с граничными значениями и. справедлива интегральная формула
R(R2 — ?2)
и = ^
к
из которой сразу следует, что и — гармоническая функция внутри К.
Другим следствием является теорема Харнака — также теорема
о сходимости.
Теорема Харнака. Если неубывающая или невозрастающая
последовательность регулярных гармонических функций
в области О сходится в некоторой точке О, то она схо-
сходится во всех точках G и сходимость равномерна в любой
замкнутой внутренней подобласти.
Достаточно доказать эту теорему для неубывающей последова-
последовательности. Для произвольного т и п > т рассмотрим неотрица-
неотрицательную разность ср = ип—ит и построим шар Ка радиуса а, ле-
лежащий в О, с центром в точке сходимости Р. Если. Q — любая
другая точка этого шара, а р<а — ее расстояние до центра Р, то
неравенство Харнака дает
Это показывает, что последовательность ип равномерно сходится
в любом шаре радиуса г ^а — 8. Так как любую замкнутую внут-
внутреннюю подобласть О можно покрыть конечным числом шаров соот-
соответствующим образом подобранного радиуса г < с, лежащих цели-
целиком в О, то утверждение теоремы доказывается многократным
применением только 'что проведенного рассуждения; гармоничность
предельной функции в О следует сразу из интегральной формулы
Пуассона или из теоремы Вейерштрасса.
Теперь мы сформулируем теорему, имеющую фундаментальное
значение.
Если множество регулярных гармонических функций [и(Р)\
равномерно ограничено в G, т. е. если для всех функций и
этого множества и для всех точек Р области О
\и{Р)]4.М.
то в любой замкнутой внутренней подобласти из О множества
их производных {их}, {иу} и [иг\ также равномерно ограничены.
Рассмотрим шар К радиуса а с центром в Р, лежащий внутри G;
поверхность его обозначим через S. Так как их — гармоническая
§ 2. Интеграл Пуассона и его приложения 275
функция, то справедлива теорема о среднем значении
S
Отсюда легко получается теорема о среднем значении по К:
1
(см. § 3).
Интегрируя по частям, получаем
s
Так как )<?л;/дч|<;1 и |и|^Ж, то отсюда получается оценка
\их(Р)\<~- A7)
Аналогично мы получаем
Пусть теперь Оа — замкнутая подобласть О, причем расстояние точек
этой подобласти до границы Г больше, чем а; тогда для всех точек Р
подобласти Ga и всех функций и(Р) нашего множества справедливы
написанные выше неравенства, что дает доказательство теоремы.
Прямым следствием этого результата является следующая теорема
о выборе (теорема о „компактности").
Из любого равномерно ограниченного множества регуляр-
регулярных гармонических функций в области G можно выбрать
последовательность ип(Р), равномерно сходящуюся к некото-
некоторой гармонической функции в любой замкнутой внутренней
подобласти G' области G.
Так как производные функции и также равномерно ограничены
в любой фиксированной внутренней замкнутой подобласти, то мно-
множество {и(Р)\ в этой подобласти равностепенно непрерывно, а это
обеспечивает возможность выбора равномерно сходящейся последова-
последовательности (см. т. I, гл. II, § 2, п. 1). Снова из теоремы Вейерштрасса мы
заключаем, что предельная функция и гармонична в О. В частности,
наши рассуждения позволяют утверждать, что любая сходящаяся
последовательность равномерно ограниченных гармонических
функций обязана сходиться равномерно в любой замкнутой
подобласти, а следовательно, имеет в качестве предела гар~
моническую функцию.
276 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
§ 3. Теорема о среднем значении и ее приложения
1. Теорема о среднем значении для однородного и неодно-
неоднородного уравнения. Мы уже рассматривали теорему о среднем зна-
значении для гармонических функций.
Для любой регулярной и гармонической в области G функ-
функции и среднее значение по поверхности QR сферы радиуса R,
целиком содержащейся в О, равно значению и0 этой функции
в центре сферы,
Отсюда сразу получается теорема о среднем значении по шару.
Так как формула A) справедлива для всех R, для которых соот-
соответствующие сферы содержатся в О, мы можем умножить ее на R2
и проинтегрировать в пределах от 0 до а; мы получим
где Ка — шар радиуса а. Другими словами, среднее значение функ-
функции и по шару, целиком лежащему в G, равно значению
функции ий в центре шара.
Соответствующая теорема о среднем значении по сфере справе-
справедлива также для решений неоднородного уравнения Пуассона
Дм — — 4тс|х; она получается просто как частный случай формулы
Грина C1'), выведенной в § 1, п. 3. Применяя эту формулу
к шару КR радиуса R с центром в Я и полагая
1 1 1
мы получаем тождество
справедливое для любой непрерывной функции и{х, у, z), обла-
обладающей непрерывными первыми и кусочно-непрерывными вторыми
производными. Для решений уравнения Пуассона мы, таким образом,
получаем следующую теорему о среднем значении.
Для произвольного шара KR, целиком содержащегося в обла-
области О, любое решение уравнения Дм = — 4n(x, регулярное в О,
удовлетворяет соотношению
fff(i) D)
§ 3. Теорема о среднем значении 277
Как и в частном случае |х = 0, мы получаем уравнение, содер-
содержащее среднее значение по шару, умножая это соотношение на R2
и интегрируя по R. После соответствующих вычислений мы получаем
KR KR
Аналогичные теоремы справедливы на плоскости.
Для произвольного круга KR, целиком содержащегося в обла-
области О, любое решение уравнения ихх-\- иуу =— 2-|х, регуляр-
регулярное в G, удовлетворяет соотношениям
F)
dg. G)
Вообще, в п-мерном пространстве, для произвольного шара Kg,
целиком содержащегося в области G, любое решение уравне-
уравнения Ди = — и)„|х, регулярное в G, удовлетворяет соотношениям
где
w(r r\— l
Надо заметить, что уравнения E), G) и G') можно получить также
и из формул Грина C1'). C2') и C6), § 1, если вместо v подста-
подставить функцию
где
эта функция V вместе со своей нормальной производной обращается
в нуль на поверхности сферы QR и удовлетворяет внутри Kr
уравнению
. п
2. Обращение теорем о среднем значении. Замечательно, что
свойства средних значений полностью характеризуют решения соот-
278 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
ветствующих дифференциальных уравнений. Сначала мы докажем
следующую об ратную теорему о среднем значении для гармо-
гармонических функций.
Предположим, что функция и(х, у, z) непрерывна в обла-
области G и для любого шара KR, содержащегося в О, удовлетво-
удовлетворяет соотношению средних значений
Тогда функция и гармонична в G.
Мы дадим два доказательства этой теоремы.
Доказательство 1. (В нем применяется интегральная фор-
формула Пуассона.) Пусть G'—шар, целиком содержащийся в G,
а Г' — его граница. Пусть v — гармоническая функция, заданная
с помощью формулы Пуассона (9) из § 2, причем она является реше-
решением следующей краевой задачи: Дг> = 0 в О', v — u на Г'. Так как
функция v гармоническая, она должна удовлетворять теореме о сред-
среднем значении; следовательно, разность и — v также должна обладать
этим свойством. Тогда она должна удовлетворять принципу максимума
(и минимума) (см. § 1, п. 3). Но и — г>.—О на Г', следовательно,
м = г> в G'. Ясно, что и удовлетворяет уравнению Дм = 0 внутри
любой сферы в G; поэтому она гармонична всюду в О.
Доказательство 2. Легко дать прямое доказательство обрат-
обратной теоремы о среднем значении, не применяя интегральную формулу
Пуассона. Если бы мы знали, что функция и обладает непрерывными
вторыми производными в области О, то утверждение теоремы
немедленно следовало бы из тождества C)
надо было бы разделить обе части равенства на R2 п устремить R
к нулю. В силу непрерывности Дм правая часть при этом сходи-
сходилась бы к значению
а левая часть по предположению обращалась бы в нуль для всех R;
следовательно, мы имели бы Дио = О. Таким образом, теорема была бы
доказана, если бы мы могли показать, что функция м дважды непре-
непрерывно дифференцируема в G.
Пусть Ga — подобласть области О, точки которой отстоят от гра-
границы больше, чем на с. Тсгда соотношение A) несомненно выпол-
§ 3. Теорема о среднем значении 279
ияется для всех сфер К радиуса /?^вс центрами в Оа. Считая центр
фиксированным, умножим равенство A) на R2f (R), где /(/?)—произ-
/(/?)—произвольная непрерывная функция, и проинтегрируем по R от 0 до а;
мы получим
/• л /•
(8)
а
' = 4r.f r*/(r)dr.
где
о
Для удобства мы продолжим функцию / так, чтобы f (R) тожде-
тождественно равнялось нулю для R > а. Если мы поместим центр сферы
в точке (х, у, z) и положим
L(x. у, z) =
го сможем записать формулу (8) в виде
со
Си(х, у, г) = f f § L(x — ?. у — т), z — С) и E, tj, С)</&Л)Л. (9)
Поскольку / можно выбрать так, чтобы функция Z. имела производ-
производные сколь угодно высокого порядка, из формулы (9) следует, что
непрерывная функция и, удовлетворяющая соотношению средних
значений A), имеет непрерывные производные всех порядков внутри О.
Это завершает второе доказательство теоремы.
До сих пор мы предполагали, что свойство средних значений A)
выполняется для любого шара, целиком содержащегося в О, где О
может быть произвольной конечной или бесконечной областью. Однако
оказывается, что если О — конечная область, то нет необходимости
предполагать, что выполняется свойство средних значений для любого
шара; а именно, мы имеем следующую теорему.
Пусть G — такая ограниченная область в пространстве,
что в ней разрешима краевая задача для уравнения Дта = 0
при произвольных непрерывных граничных значениях. Пред-
Предположим, что функция и непрерывна в G + Г и обладает
свойством средних значений
в любой внутренней точке Р области О по крайней мере для
одной сферы с центром в Р и таким радиусом А(Р)>0, что
сфера содержится в G-f-Г. Тогда и — гармоническая функ-
функция в G.
280 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Мы особенно подчеркиваем, что h может быть совершенно произ-
произвольной функцией х, у, z и может, например, иметь произвольные
разрывы.
Доказательство получается с помощью рассуждений, слегка отли-
отличающихся от примененных в первом доказательстве предыдущей тео-
теоремы. Предположим, что v — гармоническая функция, совпадающая
с и на Г; как гармоническая функция она обязана удовлетворять
соотношению средних значений A0) при любом h, когда Qn лежит
в О. Следовательно, разность и — v также удовлетворяет соотноше-
соотношению A0) для h(P). Мы рассмотрим теперь замкнутое множество F
таких точек области О, в которых разность и — v принимает свое
максимальное значение М. Пусть Ро — точка F, самая близкая к гра-
границе Г. Если бы точка Ро была внутренней точкой О, то суще-
существовала бы сфера радиуса h (Ро) > 0 с центром в Ро, целиком
лежащая в О, для которой выполнялось бы соотношение средних
значений и на которой, следовательно, и — v = M. Тогда, вопреки
сделанному предположению, существовали бы точки F, более близкие
к Г, чем Ро. Таким образом, точка Ро лежит на Г. Аналогично
можно показать, что минимум функции и — v также достигается на гра-
границе. Но и — v обращается в нуль на границе. Поэтому мы заклю-
заключаем, что и = г> в О.
При доказательстве обратных теорем о среднем значении мы пред-
предполагали, что функция и непрерывна; это требование не является
лишним. Вообще говоря, нельзя ожидать, что непрерывность сле-
следует из свойства средних значений, даже если это свойство справед-
справедливо для любой сферы. Действительно, для «—1, т. е. для одно-
одномерного соотношения средних значений
и (*-*)).
можно построить нелинейные разрывные функции и, которые удо-
удовлетворяют этому уравнению для произвольных х и h ')•
Если предполагать, что соотношение средних значений выпол-
выполняется в каждой точке только для одного радиуса h (P), то надо
считать О ограниченной областью. Для неограниченной области, на-
например, в частном случае /z = const = /, можно построить непре-
непрерывные негармонические функции, удовлетворяющие уравнению
ио = Ш^{ fudQi
в любой точке области О. Если предположить, что и зависит только
от х, то легко видеть, что формула A1) переходит в интегральное
') См. Гамель [1].
§ 3, Теорема о среднем значении
281
уравнение
М(Х)==
х+1
2/ J
X-I
A2)
Мы можем получить частные решения этого уравнения, полагая
и (х) = е''(х, где f является корнем трансцендентного уравнения
¦^=1. 03)
Кроме решения 7 = 0, это уравнение имеет бесконечно много ком-
комплексных корней f == а —j— /p; а и |3 получаются как точки пересечения
кривых
Sillai 1 , 3Z
а/
sh3/
на плоскости а, [3. Тогда действительные функции и = е ~?х cos ax
и и = е~'$х sinax также удовлетворяют уравнению A2); гармоническая
функция получается только при a = 3 = 0.
1 1 JL ± 2. L 1 L О. 1 Л
' 8 16 4 8 2 8 4 16 8 16
\Л 1 Т -7
L 11 1 X
7 14 '
Рис. 13.
Если свойство средних значений выполняется только для одного
радиуса h (P) в каждой точке Р, то существенно, что функция и
непрерывна не только в ограниченной открытой области G, но и
в замкнутой области G-f-Г.
Рисунок 13 показывает простой пример1) функции и(х), непре-
непрерывной только в открытом интервале, которая в каждой точке интер-
интервала удовлетворяет одномерному уравнению средних значений
u(x)*=~(u(x + h)-u(x — h)) A4)
Этот пример был предложен Шифманом.
282 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
с соответствующим h (х) > 0 и которая тем не менее не является
линейной.
Эта функция непрерывна и кусочно-линейна в интервале 0 < х < 1
и колеблется между прямыми у — О и у = 1. Ясно, что она не является
непрерывной на концах отрезка у — 0 и у— 1. Пусть угловые точки,
лежащие на верхней прямой, имеют абсциссы av, а точки, лежащие
на нижней прямой — абсциссы br В окрестности каждой точки интер-
интервала, не совпадающей ни с одной из точек av, Ьч, функция и(х)
линейна и, следовательно, для некоторого определенного h{x) обла-
обладает свойством средних значений A4) (в действительности она обла-
обладает этим свойством для бесконечно многих К). Если мы теперь
выберем последовательность av так, чтобы для каждого av существо-
существовали две точки йя < av и а^ > av, такие, что av = '/г (аа~\~ йч)> т0
и(х) удовлетворяет соотношению A4) также и в верхних угловых
точках и h (av) = a^ — av — av — aa. Если, кроме того, мы выберем b^
таким же образом, но так, чтобы ?v не совпадали с а,х при любых v
и |х и чтобы в каждом интервале между двумя соседними точками ач
находилась ровно одна точка Ь^, то мы получим функцию и (х), ко-
которая непрерывна при 0<jc<1, удовлетворяет соотношению A4)
и тем не менее не линейна, как показано на рис. 13.
Построить две последовательности av и ?v указанного типа можно
многими способами. Например, как на рис. 13, мы можем выбрать
точки с абсциссами
( 4т,
1 2* ' 2*+2 '
\ (k=l, 2,
на прямой у = 1 и точки с абсциссами
1 1 3
7 2* ' 7-2* '
= 0. 1. 2.
!__ j _
7 2*-1 ' 7-2*
на прямой у = 0; эти точки симметричны относительно х —'/2.
Общая теорема о средних значениях для неоднородного уравне-
уравнения Пуассона также имеет обратную.
Пусть и — непрерывная, а ;х — кусочно-непрерывно диффе-
дифференцируемая функция в области О. Пусть для любого шара К,
лежащего в О, эти функции удовлетворяют уравнению D)
§ 3. Теорема о среднем значении 283
или эквивалентному проинтегрированному уравнению E). Тогда
функция и в области О удовлетворяет уравнению Пуассона
Д« = — 4тф,.
Заметим сначала, что даже в случае, когда функция jj, только
непрерывна в О, тройной интеграл в формуле D), деленный на R2,
при R —>0 стремится к значению
я
4п г I 1
J
.. 4п г I 1 1 \ , 4я
^iTo^J 17-^)г dr = X^: A5)
следовательно, предел
A6)
также существует всюду в О и мы имеем
A7)
Если функция и имеет непрерывные вторые производные, то, как
мы отмечали на стр. 278.
в(и) = Ди. A8)
Таким образом, наша теорема будет доказана, если мы сумеем пока-
показать, что функция и имеет непрерывные вторые производные. Мы
докажем даже более общее утверждение.
Если функция и непрерывна в О, а [л — кусочно-непрерывно
дифференцируема в О, и если для любого шара К, лежащего
в О, функция и удовлетворяет соотношению средних значе-
значений D) или E), то функция и имеет непрерывные вторые
производные в О.
Если функция и удовлетворяет соотношению D), то мы действуем
так же, как в частном случае jj.^= 0. Мы снова выбираем функ-
функцию f(R), тождественно равную нулю для R > а и имеющую произ-
производные достаточно высоких порядков, умножаем уравнение D), спра-
справедливое для фиксированной точки Р в подобласти Оа, на 4nR2f(R)
и интегрируем в пределах от 0 до а. Это приводит к равенству
Cuo=fffuf(R)dg+fffpF(R)dg, A9)
к к
где а
С = 4т: f R2f(R)dR,
Jt) R)dR
г
7 ~ Т- J Я2ЛЯ) dR-4*f R/ (R) dR.
284 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Если мы теперь положим
L(x, у, z) = /(p), где р=/?77
и
Р
Я(х, у, г) = у- J Я2/(Я)d/? + 4я J Я/(Я)</Я.
О р
то при соответствующем выборе /(Я) функции ?нЯ будут всюду
иметь непрерывные производные до порядка Л/. Если центр шара К
находится в точке (х, у, z), то мы получаем представление
оо
Си(х, у, г) = j J jL(x — l у — т], z — С) а($, r
" B0)
так как функция /(г) и, следовательно, /^(г) тождественно обра-
обращаются в нуль для г > с.
Первые два интеграла в правой части имеют производные до по-
порядка N. Третий интеграл есть потенциал пространственного рас-
распределения с плотностью |х и, согласно результатам § 1, п. 2,
дважды непрерывно дифференцируем в О. Следовательно, сама функ-
функция и дважды непрерывно дифференцируема в Оа и поэтому удовле-
удовлетворяет в Оа дифференциальному уравнению Дм = — 4и;х. Так как а
можно выбрать сколь угодно малым, результат остается справедливым
всюду внутри О.
Соответствующие теоремы справедливы в «-мерном пространстве
и непосредственно вытекают из следующей теоремы, доказательство
которой аналогично только что проведенному доказательству.
Если функция и непрерывна в О, а \х кусочно-непрерывно
дифференцируема в О, и если для любого шара К, лежащего
в G, функция и удовлетворяет соотношению F') или (Т) (соот-
(соответственно F) или G) для я = 2), то функция и дважды не-
непрерывно дифференцируема в О.
3. Уравнение Пуассона для потенциалов пространственных
распределений. В § 1, п. 2 мы доказали, что для числа измерений
/t = 3 потенциал и распределения масс в области О с плотностью jx
удовлетворяет уравнению Пуассона Ди = — 4т:|х. Теперь будет дано
другое доказательство, в котором применяется обратная теорема
о среднем значении, сформулированная и доказанная на стр. 282, 283
предыдущего пункта.
§ 3. Теорема о среднем значении 285
Сначала мы предположим, что функция |х(х, у, z) кусочно-непре-
кусочно-непрерывна в О, и рассмотрим потенциал
^^-dg B1)
с плотностью |х, где dg = d^dt]d^. Временно мы предположим, что
плотность |х продолжена на внешность области О и там |х = 0.
Кроме того, пусть Ро— произвольная точка пространства, а К —
произвольный шар радиуса R с центром в Ро.
Так как функция и(х, у, z) всюду непрерывна, мы можем про-
проинтегрировать по этому шару обе части равенства B1); в правой
части при этом можно переменить порядок интегрирования. Мы
получим
J J J«(*, у, z)dxdydz = f J J|i(S, т], С)^E. -п. С; P0)dg,
к о
где F (I, 7], С; Ро)— \ \ \ * —потенциал шара К с равно-
к
мерным распределением единичной массы, взятый в точке E, tj, С).
Поэтому
B2)
г обозначает здесь расстояние от точки E, tj, С) до Ро.
Подстановка в интеграл функции F из формулы B2) дает
/ ()
/<¦ о* «¦
B3)
где G* — подобласть О, не лежащая в шаре К- Так как
а* к
то мы получаем уравнение
к
или
3
к к
т. е. мы получили как раз уравнение средних значений E).
286
Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Потенциал кусочно-непрерывного распределения масс для
любого шара удовлетворяет соотношению средних значений E),
а следовательно, и эквивалентному соотношению D).
Принимая во внимание результат, полученный на стр. 282, 283,
мы можем сделать следующий вывод:
Если функция |х непрерывна в G, то для потенциала B1)
всюду в б существует предел
И udQ«~a<
О (и) = —
B4)
Если функция |х кусочно-непрерывно дифференцируема в О,
то в (и) = Ли и, следовательно, Дм = —
4. Теоремы о среднем значении для других эллиптических
уравнений. Теоремы о среднем значении для уравнений Лапласа и
Пуассона могут сразу быть получены из тождества
M^; B5)
это тождество справедливо для непрерывных функций и, обладающих
непрерывными первыми и кусочно-непрерывными вторыми производ-
производными. Вместо этого тождества мы легко можем получить другое,
более общее, приводящее к разложению среднего значения
1 f fudQR
в ряд Тейлора, причем М (R) рассматривается как функция R,
а центр Ро считается фиксированным.
Мы начнем с того, что рассмотрим формулу Грина
~ v Лм)dg'
где К — произвольный шар радиуса R с центром в Ро, а функция v
имеет вид
«(/¦)= 4^+«»(О;
функция w(r) дважды непрерывно дифференцируема при
а на поверхности 2Л шара имеем
B6')
B6")
§ 3. Теорема о среднем значении 287
В качестве и мы можем взять любую функцию с непрерывными
вторыми производными.
Если мы предположим, что в K~\-^R функция и имеет непре-
непрерывные производные до порядка 2/ге —{— 2, то для всех ч^.т будет
справедливо тождество
С Уи0 = / / J (Д'и До - v Av и и) dg. B7)
к
Пол Д" и мы подразумеваем v-ю степень оператора Лапласа; напри-
например, Д'и —Ди, Д2м = ДДм и т. д.
Кроме того, пусть vlt v.2, ... —последовательность функций
типа B6'). удовлетворяющих дифференциальным уравнениям
B8)
B9)
Легко проверить, что решениями этой рекуррентной системы являются
функции
и граничным условиям B6"), с начальной функцией
1 ( ! 1 1 \ R — r
R2'
все они имеют вид B6') с 6\ = - .
Заменяя в формуле B7) v на i»v, получаем
^^u-vX'lu)dg; C1)
А"
если мы просуммируем эти уравнения для м= 1,2, ..., т, то будем
иметь
| Cv ДХ - / / / («оДй - ^тД + 1 и) rfff.
V = 1 A"
Учитывая B5) и C0), мы легко получаем, что
288
Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
где Д°и0 надо понимать как и0. Это тождество справедливо для
любой Bт -\- 2) раз непрерывно дифференцируемой функции и и лю-
любого шара К, содержащегося в О').
Если функция и бесконечно дифференцируема в О и если остаточ-
остаточный член стремится к нулю при возрастании т, то формула C2)
дает разложение в бесконечный ряд
00
д v=0
Это имеет место, например, в случае, когда Дт« тождественно обра-
обращается в нуль в О, начиная с некоторого т. Тогда разложение C3)
обрывается при ч~т—1 и мы можем сделать следующее утвер-
утверждение.
Любое решение дифференциального уравнения Дтм = 0, ре-
регулярное в G, т. е. имеющее в О непрерывные производные до
порядка 2т, удовлетворяет соотношению средних значений
т — 1 _
WTm^u0 C4)
для произвольной сферы, содержащейся в О.
Например, решения уравнения ДДи = 0 удовлетворяют соотно-
соотношению средних значений
a
Другой пример дают решения уравнения Ди-|-сй = 0. Здесь
л'я + 1,. / «чпг + 1 т + 1
Д и = (—\) с и,
и так как остаточный член стремится к нулю при возрастании т,
мы имеем
со
.. V1 (—1)'С п,„ .. slnRVc
Для любого решения уравнения ки-\-си = §, регулярного в О,
и произвольной сферы, лежащей в О, справедливо соотноше-
соотношение средних значений
sinRYc .„„.
ф C6)
') В связи с этим см. Пицетти [1].
§ 3. Теорема о среднем значении 289
Аналогичные рассуждения можно провести на плоскости и, вообще,
в «-мерном пространстве.
Так, на плоскости мы получаем тождество
. C7)
где функции vm определяются рекуррентными формулами
C7')
1 , R
В га-мерном пространстве мы имеем
а
где функции vm(r) задаются рекуррентными формулами
C80
Как и раньше, эти формулы приводят к следующей теореме.
Любое решение дифференциального уравнения ки-\-си = 0,
регулярное в О, для произвольной сферы, лежащей в О, удо-
удовлетворяет соотношению средних значений
RV
Ш
TT
C9)
Здесь 7v (x) есть v-я функция Бесселя.
290 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
В частности, на плоскости мы имеем
(Y). D0)
Для нечетных п множитель p(R) при и0 в формуле C9) может быть
выражен через производные функции sinR Yc/R Ус . Действительно
(см. т. I, гл. VII, § 2, п. 7, стр. 413),
. /m \±J d["'ihZ sin/?) с
§ 4. Краевая задача
1. Предварительные замечания. Непрерывная зависимость от
граничных значений и от области. Мы возвращаемся к главной
задаче нашей теории — к краевой задаче. Мы доказали уже един-
единственность решения этой задачи, т. е. следующую теорему.
Существует не более одной гармонической функции в О,
принимающей на Г заданные непрерывные значения.
Аналогично мы показали, что решение краевой задачи непрерывно
зависит от граничных значений.
Если /v — последовательность непрерывных функций, равно-
равномерно сходящаяся к f на Г, то последовательность гармо-
гармонических функций «v> принимающих на границе значения /,,
сходится внутри G к гармонической функции и, принимающей
граничные значения /.
Доказательство немедленно получается из теорем сходимости
§ 2, п. 3. Поэтому достаточно доказать разрешимость краевой за-
задачи для специальных граничных значений на Г, например, для по-
полиномов относительно xv x2 хп; затем решения этой задачи
для произвольных непрерывных граничных значений можно получить
с помощью предельного перехода. В соответствии с соображениями,
развитыми в § 2, п. 1, достаточно построить функцию Грина К-
При построении функции Грина мы ограничимся случаями п = 2
и п =¦= 3 и получим следующий результат.
В случае п = 2 функцию Грина можно построить для
любой области О, граница Г которой состоит из конечного
числа непрерывных кривых, таких, что каждая точка Г
является концом прямолинейного отрезка, остальные точки
которого лежат вне О.
В случае я —3 функцию Грина можно построить для лю-
любой области G, граница Г которой состоит из конечного
§ 4. Краевая задача 291
числа непрерывных поверхностей, таких, что любая точка Р
является вершиной некоторого тетраэдра, остальные точки
которого лежат вне О.
В томе III мы снова рассмотрим краевую задачу, но при суще-
существенно более общих предположениях и с другой точки зрения.
Следующее ниже рассуждение применимо к ограниченной об- .
ласти О. Для неограниченной области О, не совпадающей со всем
пространством, мы получим функцию Грина, преобразовав область G
в ограниченную область О' с помощью инверсии относительно не-
некоторого круга или сферы. На основании теоремы из § 1, стр. 244,
функция Грина для О сразу получается тогда из функции Грина
для G'.
Чтобы упростить построение функции Грина для более общих
областей, мы сначала докажем некоторые утверждения о непрерыв-
непрерывной зависимости функции Грина от области. Мы рассмотрим моно-
монотонную последовательность подобластей Ov, сходящуюся к О и такую,
что Ov содержит Ov-1 в качестве подобласти и, кроме того, любая
фиксированная внутренняя точка области О содержится во всех Ov,
начиная с некоторого v. Тогда справедлива следующая теорема:
а) Если существует функция Грина /fv для каждой об-
области Ov и существует функция Грина К для предельной об-
области О, то последовательность К^ равномерно сходится к К
в О + Г1).
Однако большее значение имеет более общая теорема о сходи-
сходимости для случая, когда заранее не известно, что существует функ-
функция Грина для предельной области О. Тогда функцию Грина К
можно построить с помощью соответствующего предельного пере-
перехода. Обоснование этого дает следующее уточнение теоремы а).
б) Если монотонная последовательность областей Ov схо-
сходится к О и для каждой области Ov существует функция
Грина /Cv, то последовательность функций К^ сходится в G
к некоторой функции
/С= Пт К\
эта предельная функция является функцией Грина для об-
области О, если выполняются некоторые условия.
Эти условия таковы: в случаг двух измерений для каждой гранич-
граничной точки Р области О должен существовать конечный прямо-
прямолинейный отрезок, лежащий вне О и имеющий один из концов
') В части области G, не принадлежащей Ov, функция /(, продолжается,
например, тождеством ACV = O.
292 Гл. IV, Теория потенциала и эллиптические уравнения
в точке Р '); в случае трех измерений для каждой граничной
точки Р должен существовать тетраэдр, лежащий вне G и
имеющий вершину в точке Р.
Чтобы доказать теоремы а) и б), мы сделаем сначала следующее
замечание. Функции /Cv, а также функции /Cv — *f> которые полу-
получаются из них вычитанием фундаментального решения f и являются
в О регулярными гармоническими функциями, образуют монотонную
последовательность. Действительно, если v так велико, что особая
точка Q лежит в Ov, то для \>. > v граничные значения гармонической
функции К р. — Кч, регулярной в Ov, неотрицательны на Fv. Следо-
Следовательно, эти функции неотрицательны всюду в Ov.
Кроме того, по той же причине в случае а) мы имеем КЧ^СК,
а следовательно, и /Cv — ~i^.K — "f. В случае б) существует по
крайней мере один шар, лежащий целиком вне О. Если К — функ-
функция Грина для области, внешней по отношению к этому шару, то
К^^СК и /fv — f <^ К — т• Итак, в обоих случаях монотонно воз-
возрастающая последовательность /Cv—f ограничена и, следовательно,
сходится в О. Предельная функция Н = lim /Cv, конечно, неотрица-
v-».oo
тельна в О и, согласно теоремам сходимости из § 2, п. 3, функция
Н — т гармонична в G.
Для теоремы а) мы из неравенства /Cs<!/C заключаем, что
Н ^.К. Но так как функция К принимает на границе нулевые зна-
значения, то же справедливо и для предельной функции Н. Другими
словами, Н = К есть функция Грина для предельной области О.
Чтобы доказать теорему б), мы заранее воспользуемся фактом,
который будет доказан в п. 2, а именно тем, что можно построить
функцию Грина для внешности прямолинейного отрезка на плоскости
и для внешности тетраэдра в пространстве. Пусть теперь К* — функ-
функция Грина для такого отрезка (или для такого тетраэдра), который
соответствует некоторой граничной точке Ро области О, как это
описано в условиях теоремы б). Для любой точки G наши рассу-
рассуждения сразу дают
так как К*(Р0) = 0, то отсюда так же, как и раньше, следует, что
граничное значение функции Н в точке Ро равно нулю. Таким обра-
образом, согласно нашим предположениям, функция Н имеет всюду
') Заметим, что для п — 2 наши рассуждения без труда можно распро-
распространить на тот более общий случай, когда точки можно достичь не с по-
помощью отрезка, а с помощью ломаной, состоящей из конечного или счет-
счетного числа отрезков. В этом случае граница может быть произвольной
жордановой кривой. Однако мы опускаем здесь это обобщение, так как
краевая задача для такой общей границы будет решена прямым способом
в т. III.
§ 4. Краевая задача
293
нулевые граничные значения и, следовательно, является функцией
Грина для предельной области О.
Мы подчеркиваем тот факт, что эти рассуждения относятся не
только к односвязным областям, но без всякого изменения могут
быть применены к многосвязным областям.
В следующем пункте мы покажем с помощью альтернирующего
метода Шварца, как можно, умея строить функцию Грина К для
довольно специальных областей О, = О, распространить это построе-
построение на более общие области О, монотонно приближая их обла-
областями Ov.
2. Решение краевой задачи с помощью альтернирующего
метода Шварца. Простой сходящийся процесс позволяет нам решить
краевую задачу для области В, если она является объединением двух
пересекающихся областей О и О' (или любого конечного числа
Рис. 14.
Рис. 15.
таких областей), для которых краевая задача предполагается разре-
разрешимой при любых непрерывных граничных значениях. Предположим,
что границы Г и Г' областей О и О' состоят из конечного числа
частей, обладающих непрерывно изменяющимися касательными или
касательными плоскостями. Далее мы предположим, что границы
областей О и Q' пересекаются под углом, отличным от нулевого,
и в таких точках Г и Г', которые не являются угловыми или кони-
коническими точками и не лежат на ребрах. Например, так как краевая
задача для круга и полуплоскости или для шара и полупространства
может быть решена с помощью интеграла Пуассона, то альтерни-
альтернирующий метод сразу позволяет решить задачу для областей, которые
являются объединением конечного числа пересекающихся кругов и
полуплоскостей на плоскости, или шаров и полупространств в про-
пространстве. Построение такого объединения В показано на рис. 14
и 15.
294 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Рисунок 15 показывает, как из односвязных областей могут по-
получаться многосвязные и как в соответствии с этим может быть
решена краевая задача для многосвязных областей.
Так как для этого метода не существенно, состоит ли пересе-
пересечение из одной или из нескольких отдельных областей, мы рас-
рассмотрим случай, изображенный на рис. 14, где области О и О'
имеют только одну общую область D. Пусть граница Г области О
состоит из частей а и Ь, причем b принадлежит области О'. Пусть
а' и Ь' аналогичным образом определены для О'. Мы предположим,
что на границе a -f- а' = Л области В заданы непрерывные гранич-
граничные значения, по абсолютной величине меньшие некоторой кон-
константы М.
1) Альтернирующий метод состоит в следующем. Мы непрерывным
образом дополняем граничные значения, заданные на а, задавая на Ъ
произвольные значения, меньшие М по абсолютной величине, и решаем
краевую задачу для области О с таким образом определенными не-
непрерывными значениями на Г. Решение этой задачи «, принимает
на Ъ' некоторые значения, которые вместе со значениями, заданными
на а', дают непрерывные значения на Г'. С этими значениями мы
решаем краевую задачу в области О' и получаем функцию u'v Эта
функция принимает на b значения, которые вместе со значениями
на а снова дают непрерывные значения на границе О. Обозначим
решение соответствующей краевой задачи через «2. Продолжая этот
альтернирующий процесс, мы получим последовательность гармони-
гармонических функций «[, и2, .. . в О и соответствующую последователь-
последовательность и'у и!2, ... в О'. При этом
на Ь' : и' — и , следовательно, а ,. — и = и',. — и';
на b:u\=u^+v следовательно, mv+1 — «v — u[ — и[_у
Теперь мы утверждаем, что функции mv в О и и[ в G' равномерно
сходятся к гармоническим функциям «и и', которые совпадают
в пересечении D областей О и О'. Эти предельные функции во всей
области В определяют некоторую регулярную гармоническую функ-
функцию, которая является решением краевой задачи для В.
Доказательство опирается на следующую лемму.
Пусть при указанных выше предположениях относительно
О и О' функция v, регулярная и гармоническая в О, обра-
обращается в нуль на а и удовлетворяет неравенству
на Ъ. Тогда существует такая положительная постоянная
q <C U зависящая только от формы областей О и О', что v
§ 4. Краевая задача 295
удовлетворяет неравенству
I ¦" К ч
всюду на V.
Конечно, соответствующее утверждение справедливо и для G'.
Ясно, что в качестве q мы можем взять постоянную, которая годится
для обеих областей.
Мы докажем эту лемму в конце пункта; но сначала мы восполь-
воспользуемся ею для завершения доказательства сходимости альтернирую-
альтернирующего процесса. Через Mw мы обозначим максимум модуля
V |- 1 V
и' —и'} на Ь',
и
V + 1
а через М, — максимум модуля
I и . — и ! -
I v 11 v |
и' — и' А на Ь.
V V — 1 I
Если в качестве функции v, о которой говорится в лемме, мы возьмем
(r/v4 — «V)/Mv в области О, то сразу получим
Аналогично мы находим, что
и, следовательно,
Поэтому величины УИЧ и М, стремятся к нулю, так как их моиао
мажорировать членами геометрической прогрессии со знаменателем
Я2<1.
Это сразу влечет за собой равномерную сходимость ряда
со
«1+2 (Mv + l — av) = !im ип = и
»=1 п-?со
в О-)-Г и соответствующего ряда
в G'--)-Г'. В соответствии с этим функции и и и' являются гармо-
гармоническими в областях О и О' и принимают на а и а' соответственно
заданные граничные значения. Для пересечения D областей О и О',
ограниченного кривыми Ь и Ь', мы имеем и'^ — и^ = 0 на Ь', в то
время как на b разность «^ — и^ = и'^ — и'^_1 равномерно стремится
к нулю. Поэтому предельные функции и и и' совпадают в D и
в совокупности определяют в В регулярную гармоническую функцию,
которая является решением краевой задачи.
296 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Если мы конечное число раз применим этот метод, то мы по-
получим следующую теорему.
Пусть О — объединение конечного числа пересекающихся
областей Gv G2 Gn, кусочно-гладкие границы которых
пересекаются под углами, отличными от нулевых, и не
пересекаются в угловых точках или по ребрам; тогда краевая
задача разрешима для G, если она разрешима для каждой
отдельной области Ov.
В частности, краевая задача разрешима для любой области,
которая может быть покрыта конечным числом кругов и полупло-
полуплоскостей или шаров и полупространств. Например, если область G
состоит из всей плоскости, за исключением отрезка O^Jt^l, то
мы можем рассматривать ее как объединение четырех полуплоскостей
х <0, х> 1, у <0, у > О
и решить краевую задачу отдельно для каждой из этих полупло-
полуплоскостей с помощью интеграла Пуассона. Альтернирующий метод
тогда немедленно дает решение для G. В трехмерном пространстве
то же самое справедливо для внешности тетраэдра, которую можно
рассматривать как объединение четырех полупространств.
Если мы заметим, что произвольную область можно рассматри-
рассматривать как предел монотонной последовательности областей Ov, каждая
из которых состоит из конечного числа кругов или шаров, то мы
можем воспользоваться теоремой б) п. 1 и получить следующую
общую теорему.
На плоскости функция Грина, а, следовательно, и решение
краевой задача, существует для любой области G, каждой
точки границы которой можно достичь с помощью прямоли-
прямолинейного отрезка, лежащего вне G. В пространстве то же
самое справедливо для любой области G, такой, что каждая
точка ее границы является вершиной тетраэдра, все осталь-
остальные точки которого лежат вне О1).
2) Доказательство леммы. Чтобы доказать лемму, мы
сначала рассмотрим двумерный случай (см. рис. 16). Составим
') Заметим попутно, что описанный нами альтернирующий метод, про-
проведенный для нескольких областей, которые при повторении процесса ци-
циклически чередуются, по существу совпадает со знаменитым методом вы-
выметания Пуанкаре (см. многочисленные описания в литературе). Разница
состоит в том, что Пуанкаре сразу предполагал наличие счетного количества
кругов или шаров, которые чередуются в определенном порядке при по-
повторении процесса. Но данное здесь доказательство отличается от обычного
обоснования метода выметания.
§ 4. Краевая задача
297
потенциал двойного слоя по дуге b с плотностью 1, т. е. выражение
1
г
w (Р) = w(x, у)=
ds,
которое представляет собой угол, заметаемый радиусом-вектором,
направленным из точки Р области О в точку границы, которая
пробегает дугу Ь. Эта функция, регулярная и гармоническая внутри G,
имеет непрерывные граничные значения на граничных дугах а » Ь.
Когда точка границы приближается к конечной точке А вдоль дуги а,
соответствующие граничные значения функции w
стремятся к пределу RA , равному углу между секу-
секущей АА1 и касательной в точке А, направленной
к дуге Ь. С другой стороны, соответствующий пре-
предел RA граничных значений вдоль b равен углу
между секущей ААХ и касательной в точке Л, но
теперь касательная направлена к дуге а. Это приводит
к соотношению
D D —. /ч-
Если к граничной точке А подходить изнутри области Рис. 16.
вдоль любого луча, образующего угол а с каса-
касательной в точке А, направленной к дуге Ь, то получится граничное
значение, равное линейной комбинации
м ¦
Из этой формулы мы, наконец, видим, что для произвольной
последовательности точек Pv области О, сходящейся к точке А,
соответствующие значения функции w(P4) могут иметь только такие
предельные значения, которые лежат между RA и RA . Аналогич-
Аналогичные утверждения, конечно, можно сделать и относительно другого
конца дуги Ау
Теперь мы рассмотрим функцию р, определенную на границе
Г— а-\-Ь и принимающую постоянные значения и на b и 0 на а,
Пусть w — граничные значения функции w, тогда разность w — р
является непрерывной функцией на Г. Согласно предположению,
в области О существует регулярная гармоническая функция Q, при-
принимающая эти граничные значения.
Мы определим функцию
298 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
она ограничена в O-f-Г, регулярна и гармонична в О. На а она
принимает граничное значение 0, а на b — граничное значение 1.
Но из предыдущих замечаний, касающихся функции w, видно, что
если мы приближаемся к точке А или А1 изнутри, то функция S
может иметь только предельные значения, лежащие между 0 и 1,
а если мы приближаемся к этим точкам вдоль луча, образующего
угол а с касательной, то мы получаем граничное значение, равное а/тс,
т. е. значение, меньшее 1.
В частности, если мы приближаемся к точкам А и Л, по части Ь'
границы области G', то предельное значение угла а равно одному
из углов р или рр под которыми дуга Ь' пересекает границу Г. Всюду
на Ь' функция S удовлетворяет неравенству
Действительно, в противном случае существовала бы последовательность
точек Р, на Ь', такая, что 5 (Pv) —> 1. Так же, как при доказатель-
доказательстве теоремы о максимуме и минимуме, можно показать, что эта
последовательность не может иметь предельной точки на внутренней
части дуги Ь'. Но А или А1 также не могут быть предельными
точками, ибо, как мы видели, предельные значения в этих точках
соответственно равны [3/it < 1 и pj/ти <; 1.
С помощью функции v из нашей леммы мы теперь построим
разность S — v = A и покажем, что Л^О; граничные значения этой
функции равны нулю на а и безусловно неотрицательны на Ь. Эта
функция регулярна и гармонична в О, следовательно, она не может
принимать отрицательные значения в области О, равные infA в О;
она не имеет отрицательных предельных значений во внутренних
точках дуг а и Ь. При приближении к концам А и Ах разность
Л имеет те же предельные значения, что и S, и, следовательно, они
должны быть между нулем и единицей. Поэтому S — v ^ 0 всюду
в замкнутой области О и, в частности,
v < S < q
на дуге Ь'. То же рассуждение, примененное к сумме S-f-г», дает
неравенство S-\-v%0 в О; объединяя эти результаты, мы полу-
получаем на Ь'
М<5<?<1.
Это доказывает нашу лемму.
Достоинством этого доказательства является то, что оно может
быть непосредственно перенесено на случай трех и большего числа
измерений. Чтобы сделать это, мы берем в качестве w потенциал
двойного слоя с плотностью, равной на границе 0 или 1.
3. Метод интегральных уравнений для плоских областей
с достаточно гладкой границей. Другой метод решения краевой
§ 4. Краевая задача
299
задачи в случае двух измерений для некоторых специальных областей,
который существенно отличается от альтернирующего метода и от
метода выметания Пуанкаре,—это метод интегральных уравнений
Фредгольма. Он является обобщением ранее известного метода Неймана,
применимого для выпуклых областей. Краевая задача сводится к урав-
уравнению Фредгольма второго рода. Мы не будем излагать этот
метод в самых общих предположениях и будем считать, что граница Г
может быть параметрически представлена с помощью функций х it)
и у (/), обладающих непрерывными производными до четвертого по-
порядка включительно. Мы будем предполагать, что параметр t есть
длина дуги на кривой Г.
Искомая гармоническая функция и(х, у) будет отыскиваться
в виде
и(х, у)=
A)
т. е. в виде потенциала двойного слоя с плотностью a(s) на гра-
границе Г. Этот интеграл имеет смысл даже тогда, когда точка Р(х, у)
лежит на границе Г; пусть этой точке соответствует значение s
длины дуги, т. е. P = (x(s), y(s')). Тогда для
любой точки x(s), y(s) на границе Г написанный
выше интеграл принимает вид
причем выражение
д f (s, t) cos a
т. Г
т. ~dt
B)
C)
Рис. 17.
(углы а и ср показаны на рис. 17) имеет предел
при t —> 5, равный A/2 ic)/& (s), где k (s) — кривизна
граничной кривой в точке s, в силу наших пред-
предположений, дважды непрерывно дифференцируемая. Тогда можно
видеть, что само ядро K(s, () имеет непрерывные производные до
второго порядка.
Мы предположим, что о (Л — непрерывно дифференцируемая функ-
функция длины дуги t. Если точка Р приближается к граничной точке Ро
изнутри области, то, согласно теореме о скачке1), полученной в § 1,
') В § 1, п. 4 предполагалось, что функция з дважды непрерывно диф-
дифференцируема, но подробное исследование данного там доказательства по-
показывает, что для получения применяемого здесь частного результата было бы
достаточно предположить, что a (t) только один раз непрерывно дифферен-
дифференцируема (этого достаточно для установления характера разрыва самого
потенциала двойного слоя, но не его нормальной производной).
300 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
п. 4, потенциал и(Р) стремится к граничному значению иДР0) =
= и(Р0) — чсо(Я0), или, в силу B), к значению
'i:a(s). D)
Представлягтся разумным провести эти рассуждения в обратном
порядке и определить плотность a(s) из интегрального уравнения
e(s) = — JK (s,t)a(t)dt—~f(s), E)
г
где функция f (s) = u^Pq) — это заданные граничные значения.
В силу п. 1 мы можем без ограничения общности предположить,
что граничная функция / (s) непрерывно дифференцируема. Если
a(s) — решение этого интегрального уравнения, то потенциал
внутри О удовлетворяет уравнению Лапласа. Вследствие дифферен-
цируемости функций f(s) и К (s, t) решение e(s) также будет не-
непрерывно дифференцируемым. Другими словами, выполняются усло-
условия теоремы о скачке (в случае плоскости) из § 1, п. 4. Поэтому
при приближении к Г потенциал и стремится к граничным значениям
— iz J
Таким образом, мы можем решить поставленную краевую задачу,
если мы можем решить интегральное уравнение E).
Теперь к интегральному уравнению E) можно применить теоремы
Фредгольма, доказанные в т. I, гл. III. В терминах, применяемых
в нашей задаче, эти теоремы утверждают, что для всякой непре-
непрерывно дифференцируемой функции f (s) существует единственная не-
непрерывно дифференцируемая функция o(s), удовлетворяющая интег-
интегральному уравнению E), если соответствующее однородное интеграль-
интегральное уравнение
o(s) = —fK(s,t)o{t)dt F)
г
имеет лишь тривиальное решение а = 0. Другими словами, дока-
доказательство существования для нашей специальной области будет за-
завершено, если мы сможем показать, что Х = —1 не являгтся соб-
собственным значением однородного уравнения
\v(s)= { К (s,t)v(jt)dt. G)
§ 4. Краевая задача 301
В случае выпуклой границы с непрерывной кривизной, имеющей
длину L, этот факт является непосредственным следствием соот-
соотношения
i
и неравенства
которое следует из выпуклости границы. Действительно, если М
есть максимум \v\ на Г, то мы имеем
|Х| \v |<УИ fK{s.t)dt = M
г
и, следовательно, в точке, где |v|=M, получаем
Равенство имеет место только тогда, когда v — константа. Если
v ~к 0, то М ф 0 и, следовательно,
причем |Х| = 1 только для постоянных V. Но собственное значение,
соответствующее собственной функции v = const, есть X == —{— 1,
так что мы получаем неравенство —1 <Х<^1, исключающее значе-
значение X = — 1.
В случае невыпуклой границы мы воспользуемся тем, что как
мы уже замечали, ядро K(s, t) в силу наших предположений дважды
непрерывно дифференцируемо. Из этого следует, что тем же свой-
свойством обладают все собственные функции уравнения
X
v(s)= f K(s, t)v(t)dt.
Но если a(s) есть решение уравнения F), то вследствие соотноше-
соотношений на скачке из § 1, п. 4 потенциал
и{х, у)= fo(tJLdt (8)
принимает изнутри граничные значения
ut (s)= jo (t) — к ' dt — те о (s) = О
302 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
на кривой Г и, в силу теоремы единственности, тождественно обра-
обращается в нуль внутри О. Таким образом, производная функции и{х, у)
по внутренней нормали к Г также тождественно обращается в нуль.
Теперь мы рассмотрим потенциал (8) вне области О. Так как
в нашем случае выполняются условия теоремы о скачке для случая
плоскости (см. § 1, п. 4), то на Г мы получаем внешние граничные
значения
ue(s)=
г
и, так как функция a(s) дважды непрерывно дифференцируема, про-
производная по внешней нормали дие1дч равна 0. Но на бесконечности
функция г и, как легко видеть из формулы A), ограничена; поэтому и
тождественно обращается в нуль также и вне О (это устанавливается
с помощью леммы на стр. 325) и, в частности, принимает внешние
граничные значения
ие (s) = 2ic о 0?) = 0
на Г. Таким образом, всякое решение уравнения F) тождественно
равно нулю: Х = —1 не является собственным значением однородного
интегрального уравнения
\v(s)= JK(s, t)v(t)dt.
Теперь мы довели до конца доказательство существования решения
краевой задачи для нашей специальной области О.
Аналогичные рассуждения применимы в пространственном случае,
хотя там мы должны заменить ядро d(l/r)/dv, не интегрируемое
с квадратом, на интегрируемое с квадратом итерированное ядро.
Надо, однако, заметить, что, несмотря на изящество метода ин-
интегральных уравнений, он дает худшие результаты, чем метод, рас-
рассмотренный ранее, так как даже наличие на границе обыкновенного
угла приводит к особенностям в ядре К, что делает невозможным
непосредственное применение теории Фредгольма.
4. Замечания о граничных значениях. Разработанные в п. 1
и 2 методы дают решение краевой задачи для любой плоской области,
ограниченной произвольной жордановой кривой. Однако в случае
трех или большего числа измерений дело обстоит сложнее, так как
существуют области, для которых краевая задача неразрешима в силь-
сильном смысле; другими словами, нельзя ожидать, что при заданных
непрерывных граничных значениях эти граничные значения всегда
будут приниматься во всех точках границы. Иллюстрацией этого
факта служит пример, построенный Лебегом.
§ 4. Краевая задача 303
Сначала мы вычислим потенциал массы, сосредоточенной на от-
отрезке оси х между точками 0 и 1 с линейной плотностью х(х)~х:
и(х, у, г) = I ^Ц== = А(х, р)— 2xlogp,
Где р2 = у2 _|_ ^2 и
= V (Т=^
-f a- log | A - x -f- у A — xJ-f- p2) U + у x2-f p2) I.
Если к началу координат подходить со стороны положительных зна-
значений х, то функция А(х, р) стремится к 1; однако предел выра-
выражения — 2xlogp существенно зависит от пути, по которому мы при-
приближаемся. Например, если мы приближаемся к началу координат по
поверхности р=|х|", то —2xlogp стремится к нулю для всех п
и и стремится к значению 1. С другой стороны, если мы возьмем
поверхность р=^е~с^х (с > 0, х > 0), имеющую „бесконечно тонкое"
острие в начале координат, то —2xlogp стремится к с и, следова-
следовательно, потенциал и стремится к 1 —|— с Это значит, что все экви-
эквипотенциальные поверхности и = 1 -f- с (с > 0) пересекаются в начале
координат; кроме того, все производные функции р = /(х), враще-
вращением графика которой вокруг оси х образуются эти поверхности,
обращаются в нуль в начале координат. Такая поверхность и — 1 -\-с
изображена на рис. 18.
Если мы теперь возьмем в качестве основной области О область,
ограниченную эквипотенциальной поверхностью и=\-\-с (с > 0) и
будем решать внешнюю краевую задачу для О с граничными значе-
значениями и= 1 -\-с, то решение будет задаваться указанной выше функ-
функцией и(х, у, zI). Но из наших рассуждений следует, что если мы
будем соответствующим способом приближаться к началу координат,
то решение может стремиться к любому значению между 1 и 1-f-c
С помощью инверсии относительно сферы
1 \2 2 2 1
и некоторого параллельного переноса мы можем из этого примера
получить соответствующий пример для внутренней задачи. Область О
отображается в область G' пространства \, г\, С. имеющую в точке
Е = — -jp Yj = 0, С = 0 бесконечно тонкое острие, направленное внутрь
') Здесь применяется принцип максимума для гармонических в G функ-
функций, ограниченных в G и непрерывных в G -\- Г всюду, за исключением ко-
конечного числа точек на границе; см. Петровский [1]> изд. 3, стр.261.—
Прим. ред.
304
Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
(см. рис. 19). Граничные значения l-f-с переходят в граничные зна-
значения
непрерывные на Г'; решением внутренней краевой задачи для области О'
с этими граничными значениями является регулярная в О' гармониче-
гармоническая функция
4r2
4r2)'
1
Приближаясь к точке ? = ^> г; == 0, С = 0 по соответствующему
пути, мы можем снова получить в пределе для v любое значение
между 1 и 1-j-c.
В томе III для случая трех
или большего числа измерений мы
заменим требование, чтобы функ-
функция точно принимала заданные гра-
О
Рис. 18.
Рис. 19.
ничные значения в каждой точке границы, более слабым требованием,
чтобы граничные значения принимались в среднем; это требова-
требование также достаточно для того, чтобы решение определялось одно-
однозначно. Только в частном случае двух измерений из этого требова-
требования следует, что граничные значения принимаются в каждой точке
границы. Но граничные значения принимаются в точном смысле и
производные непрерывны вплоть до границы, если граница и гранич-
граничные значения достаточно гладки (см. замечание о более общих эллип-
эллиптических уравнениях на стр. 345).
4а. Емкость г) и выполнение граничных условий. Винер в ра-
работе [2] заметил, что вопрос о том, принимаются ли граничные зна-
') Современное изложение этого вопроса можно найти в книге Брело [1].
[См. также Келдыш М. В., Успехи машем, наук, вып. VIII A941),
171—232. —Прим. ред.]
§ 4. Краевая задача 305
чения, связан с понятием емкости, имеющим также самостоятель-
самостоятельное значение.
Чтобы определить емкость замкнутой поверхности Г в «-мерном
пространстве (мы можем при этом подразумевать случай п = 3), мы
будем рассматривать Г как внутреннюю границу оболочки S с внеш-
внешней границей Г* и предположим, что для S решена краевая задача
с граничными значениями и = 1 на Г и и = 0 на I". Независимо от-
оттого, существуют ли производные функции и на границе, интеграл
по любой гладкой поверхности Г', лежащей внутри S и гомологич-
гомологичной Г и Г*, вида
Г да ,
-г- ds — v.
J дп
Г'
существует; он не зависит от выбора Г', в чем легко убедиться,
применив формулу Грина к внутренней оболочке, ограниченной двумя
поверхностями Г'. Величина и определяет „емкость" S относи-
относительно Г, Г*; если Г* есть бесконечно удаленная точка, то х назы-
называется просто емкостью Г. Это понятие сохраняет смысл даже для
обобщенных решений в указанном выше смысле; Г может быть,
в частности, конечным куском поверхности, который превращается
в замкнутое многообразие, если отдельно считать каждую его сторону.
Физически х означает полный электрический заряд, который надо
распределить на проводнике Г, чтобы на Г образовался постоянный
потенциал 1, а потенциал на Г* оставался бы равным нулю.
Теорема Винера характеризует те точки Р границы области О,
в которых решение не всегда принимает граничные значения, если
краевая задача решается в обобщенном смысле 1).
Такие „исключительные точки" в примере п. 4 соответствуют кон-
концам острия или, проще, точкам отрезка, который направлен внутрь
области и искусственно считается частью границы.
На малой сфере радиуса \ вокруг точки Р мы рассмотрим
часть Нх, лежащую в О и ограничивающую вместе с Г малую под-
подобласть О, содержащую Р в качестве граничной точки. Емкость
множества /Д в описанном выше смысле обозначим через /х.
Теорема Винера утверждает, что граничная точка Р является
исключительной тогда а только тогда, когда емкость хх
') Такую обобщенную постановку задачи можно дать, если рассматри-
рассматривать G как монотонный предел областей О„ с гладкой границей, состоящей
из регулярных точек, таких, что область О„+, содержит область Gn и что
любая замкнутая подобласть области О содержится во всех областях Gп,
кроме, может быть, конечного их числа. Тогда можно показать, что реше-
решения и" соответствующих областям Gn краевых задач сходятся к гармониче-
гармонической функции и в G и что к не зависит от способа приближения О обла-
областями Gn. Таким образом определенную функцию и естественно считать
решением краевой задачи для G (см. Винер [1]). (См. также статью
М. В. Келдыша, указанную в примечании на стр. 304. — Прим. ред.)
306 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
достаточно быстро стремится к нулю вместе с )., а именно
когда сходится ряд
СО . ч
У хх для ^ = 1-^
Напомним, что в § 4, п. 1 были приведены достаточные условия
регулярности граничной точки.
5. Метод субгармонических функций Перрона. В этом пункте
мы рассмотрим изящный метод, принадлежащий Перрону [1]. Метод
не содержит конструктивных элементов и является чистым доказа-
доказательством существования решения. Он связан с существенными общими
понятиями и в той форме, в которой он рассматривается здесь, имеет
то преимущество, что его можно обобщать на другие эллиптические
уравнения второго порядка (см. замечания в § 7).
Чтобы найти функцию, гармоническую в заданной ограниченной
области G, непрерывную в ее замыкании G-f-Г и принимающую за-
заданные непрерывные граничные значения ср на границе Г, Перрон
применяет понятие субгармонических и супергармонических функций,
которые являются для пространств высших размерностей обобщением
вогнутых и выпуклых функций одного переменного, так же как гармо-
гармонические функции являются обобщением линейных функций одного пе-
переменного (т. е. решений одномерного уравнения Лапласа). Сейчас мы
определим эти функции, а также некоторые другие основные понятия.
Пусть v — непрерывная функция в области D, а С — шар в D.
(С на протяжении всего этого пункта будет обозначать шар в D.)
Через Мс [v] мы будем обозначать однозначно определенную непре-
непрерывную функцию, гармоническую внутри С и равную v в остальной
части области D. Мы говорим, что функция v субгармоническая
{супергармоническая) в D, если для любого шара С в D функ-
функция v удовлетворяет неравенству
V--CMc[v] (у > Мс [v]).
Например, любая функция w, удовлетворяющая соотношению
Дта ^> 0 — субгармоническая, что следует из принципа максимума
в § 6, п. 4.
Субгармонические (супергармонические) функции обладают сле-
следующими очевидными свойствами. Во-первых, из того, что v^Q, сле-
следует Мс [V] ;> 0 (так как минимум функции Мс [v\ в С достигается
на границе С); следовательно, если v^-w, то Жс [v] — Mc\w] =
= Мс [v — wl^-O. Во-вторых, если функция v субгармоническая
(супергармоническая), то — v супергармоническая (субгармоническая);
и, наконец, любая линейная комбинация субгармонических (супергар-
(супергармонических) функций с неотрицательными коэффициентами также
является субгармонической (супергармонической) функцией.
§ 4. Краевая задача 307
Нам понадобятся также некоторые дополнительные свойства, ко-
которые будут сформулированы только для субгармонических функций;
аналогичными свойствами обладают и супергармонические функции,
поскольку изменение знака превращает супергармоническую функцию
в субгармоническую.
1. Принцип максимума для субгармонических функций: Если
v — субгармоническая функция в замкнутой области D и имеет
точку максимума внутри D, то v = const; отсюда следует, что
если функция v субгармонична в некоторой замкнутой области и
непрерывна в ее замыкании, то v принимает свое максимальное зна-
значение на границе области.
Чтобы доказать это, мы рассмотрим функцию w = Mc[v], где
С — шар в области D с центром в точке максимума Р. Обозначим
через V максимум функции v на границе С; мы имеем V ^.v(P)^,w(P).
Таким образом, оказывается, что гармоническая в С функция w
имеет внутреннюю точку максимума; из этого следует (как мы пока-
показали в § 1, п. 3, стр. 25), что w = const в С, так что v = w = v(P)
на границе С. Так как это рассуждение можно провести для любого
шара меньшего радиуса с центром в Р, то мы имеем vz=v(P)
[кюду в С. Это показывает, что множество точек максимума в об-
области D открыто. Но в силу непрерывности v это множество также
и замкнуто в D и, так как область D связна, оно совпадает со всей D.
Из этих рассуждений следует свойство
1'. Если функция v непрерывна и субгармонична в окрест-
окрестности любой точки области, то она субгармонична во всей
области, т. е. субгармоничность является локальным свойством.
Чтобы убедиться в этом, мы сначала заметим, что, выбирая доста-
достаточно малые шары С, мы можем распространить доказательство
принципа максимума, данное выше, на функции, которые субгармо-
субгармоничны только локально. Пусть теперь С — любой шар в области;
положим w—Mc[v]. Тогда функция v — w локально субгармонична
в С и, согласно нашему замечанию, удовлетворяет принципу макси-
максимума. Так как v — •а> = 0 на границе С, то v^.w в С, из чего
следует субгармоничность функции v.
2. Если vv v2 vn — субгармонические функции в об-
области D, то функция v=max(vl, v2 vn) также субгар-
субгармонична. Заметим, что для любого шара С из D, согласно предыду-
предыдущему замечанию,
vt < Мс [vt] < Мс [v], 1=1 да,
так что v 4^. Мс [v].
3. Если функция v субгармонична в D, то функция
w = Mc[v] также субгармонична в D. Пусть С —произвольный
шар в D. Нам надо показать, что
". Me [w].
308
Г л IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Несомненно, это справедливо, если шар С лежит либо целиком в С,
либо целиком вне С. Таким образом, достаточно рассмотреть случай,
когда С находится частично внутри, а частично вне С. Если
Р — точка области С — С (заштрихованная область на рис. 20), то
в точке Р
w = Мс [v] = v <; МС' [v] < Me [w\,
так как v-^w. Предположим теперь, что Р принадлежит пересече-
пересечению С и С. В этой области функции w и Me [w] гармоничны,
а на границе w — Мс- [w] <0в силу
только что полученных результатов
для заштрихованной области. Со-
Согласно принципу максимума, это не-
неравенство справедливо для гармони-
гармонических функций во всей области.
Краевая задача будет решена
с помощью специальных субгармони-
субгармонических и супергармонических функ-
функций.
Рис. 20. Функция у, непрерывная в G-j-Г,
называется нижней (верхней) функ-
функцией, если она субгармонична (супергармонична) в G и если на
границе Г области G имеем о^ср (v^y), где ср—заданные гра-
граничные значения. Ясно, что постоянные min ср и max ср являются
соответственно нижней и верхней функциями.
Свойства субгармонических функций можно распространить на
нижние функции. Мы сформулируем следующую лемму.
Лемма. Пусть F — класс всех нижних функций. Тогда
а) все функции класса F равномерно ограничены, сверху
(величиной max ср);
б) если v,, v2 vn принадлежат F, то функция
max(г^, v2, .... vn) также принадлежит F;
в) если v принадлежит F и С — любой шар в G, то функ-
функция М.с [v] также принадлежит F.
Заметим далее, что, в силу принципа максимума, ни одна нижняя
функция ни в одной точке G не может быть больше никакой верх-
верхней функции.
Метод решения краевой задачи опирается на следующие сообра-
соображения. Предположим, что w есть решение. Тогда, если v — произ-
произвольная нижняя функция, то v^.w всюду в G-j-Г. Это следует
из того, что функция v — w субгармонична в О и неположительна
на Г, так как для субгармонических функций справедлив принцип
максимума. Кроме того, сама функция w является нижней функцией.
Поэтому, если мы введем функцию й, в каждой точке G + Г равную
верхней грани значений всех нижних функций в этой точке, то
§ 4. Краевая задача 309
¦w=u. Метод Перрона состоит в доказательстве того, что таким
образом определенная функция и (которая всегда существует) гармо-
гармонична в О, непрерывна и совпадает с ср в „регулярных" точках гра-
границы (они будут определены ниже).
Теорема. Функция и, определенная в G-f-Г формулой
гармонична в G.
Доказательство1). Пусть К — шар в области О, а К1 — кон-
концентрический шар половинного радиуса. Мы докажем, что функция и
гармонична в Кх.
Выберем подмножество F* множества F, состоящее из функций,
равномерно ограниченных снизу и обладающих свойствами бив.
(Любое подмножество множества F обладает свойством а.) Например,
мы можем построить подмножество F*. выбрав в качестве нижней
грани некоторую функцию г>, из F и составляя тах(г>, vx) для всех
функций v из F. Ясно, что
н(Р)= supv(P).
v?F*
Далее, пусть Qf—плотная в К последовательность точек, и пусть
Vjt k — функции из F*, такие, что
0 < и (Qj) - vh k (Qj) < 1 (у, k = 1, 2, . . .).
Кроме того, для всех точек О-|-Г мы положим
«ft = ^ft[max(obft, vzk, .... vktk)\.
Функции vk принадлежат F* и vk-+u во всех точках Qj. Чтобы
показать, что функция и гармонична в Кг, согласно теореме Хар-
нака (см. § 2, п. 3), достаточно показать, что функции vk сходятся к и
равномерно в Kv Заметим сначала, что равномерная ограниченность
абсолютных величин функций vk, гармоничных внутри К, влечет
за собой, в силу теоремы на стр. 274, равномерную ограниченность
их первых производных в Кх и, следовательно, равностепенную
непрерывность функций vh в Kv Согласно сформулированной ниже
лемме vk—>u равномерно в Кх.
Лемма. Если последовательность равностепенно непрерывных
функций, определенных на ограниченном множестве А, схо-
сходится на некотором плотном подмножестве из Л, то она
равномерно сходится на всем множестве А.
') Этот вариант доказательства был предложен В. Литтманом.
310 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Чтобы доказать это, действуют так же, как в последней части
доказательства теоремы Арцела (см. т. I, гл. II, § 2, п. 1, стр. 56).
Таким образом, мы установили, что функция и гармонична в G.
Теперь мы хотим найти условия на границу Г области G, достаточ-
достаточные для того, чтобы функция и была непрерывна в G-f-Г и при-
принимала заданные граничные значения. С этой целью мы введем
определение барьера Wq для точки Q границы области G: барьером
называется функция, супергармоническая в G, непрерывная в G-\-F
и положительная всюду в О-)-Г, за исключением точки Q, где она
обращается в нуль. Граничная точка области G, для которой суще-
существует такой барьер, называется регулярной.
Заметим, что граничная точка Q регулярна, если для нее суще-
существует „локальный барьер", т. е. функция Wq, непрерывная в пере-
пересечении (О + Г)П5 области G-f-Г и некоторого шара 5 с центром
в точке Q, супергармоническая внутри О П 5 и положительная
в (О-|-Г)П5, за исключением точки Q, где она обращается в нуль.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим концентрический с S шар Sx
половинного радиуса; функция WQ достигает в (О-|~Г)ПE— 5Х)
положительный минимум т. Положим
( min \m,W0) в Sn (G-f-Г),
w = \
Q \ m в (G + Г) — S.
Ясно, что функция Wq имеет все свойства барьера, кроме, может
быть, супергармоничности. Однако легко видеть, что Wq супер-
гармонична в двух перекрывающихся областях, так как она равна
постоянной т в G — Sx (где Sx — замыкание 5j) и является мини-
минимумом двух супергармонических функций в 5 П О. Таким образом,
функция Wq локально супергармоническая; из 1' следует, что она
супергармоническая.
Мы докажем, что в каждой регулярной точке Q функция и
непрерывна и M(Q) = cp(Q). Так как функция ср непрерывна, то для
любого е > 0 можно найти настолько большую положительную
константу k, что функции
являются нижней и верхней функцией соответственно. Так как ни-
никакая нижняя функция не может быть больше верхней функции, мы
имеем
<Р (Q) — е — kwQ (Р) < и (Р) < ср (Q) -f е + kwQ (Р)
§ 4. Краевая задача 311
тля всех точек Р области О -\- Г, т. е.
Когда точка Р стремится к Q, тогда wQ(P)->0; таким образом,
мы имеем
<2е,
если точка Р достаточно близка к Q.
Чтобы завершить построение решения краевой задачи, мы выве-
выведем некоторые условия, достаточные для существования барьеров.
Сначала мы рассмотрим случай, когда число измерений п больше 2.
Во всякой граничной точке Q, для которой существует шар 5,
имеющий с областью G-f-Г единственную общую точку Q, мы можем
взять в качестве барьера гармоническую функцию
где R — радиус шара 5, а г — расстояние от точки Р до центра S.
Ясно, что эта функция удовлетворяет всем условиям.
Для п — 2 мы можем построить барьер во всякой граничной
точке Q, которая является концом дуги кривой А, целиком, за
исключением точки Q, лежащей вне G-f-Г. и не имеющей точек
самопересечения.
Пусть С—круг радиуса меньшего, чем 1, с центром в Q, на-
настолько малый, что его граница пересекает А. Предположим, что
точки кривой А упорядочены, начиная с Q, с помощью некоторой
параметризации; пусть z0 — первая точка А, лежащая на границе С,
а А' — часть А, состоящая из точек, „предшествующих" z0. Тогда
область С — А' односвязна и функция
(о, 0 — полярные координаты точки Р относительно Q) однозначна
в (О + Г)ПС и является там локальным барьером.
Таким образом, задача Дирихле при п = 2 разрешима, если
область G обладает тем свойством, что каждая ее граничная
точка Q является концом дуги кривой, не имеющей самопере-
самопересечений и, за исключением точки Q, лежащей вне G+Г (в част-
частности, внутренность любой замкнутой жордановой кривой является
такой областью G *)); для п > 2 задача безусловно разрешима,
если для каждой граничной точки Q области G существует
шар, имеющий с G-\-T только одну общую точку Q.
!) См. Ньюмен [1], гл. VI, § 4.
312 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
§ 5. Приведенное волновое уравнение. Рассеяние.
1. Предмет изложения. Мы рассмотрим „приведенное волновое
уравнение" (см. также гл. III, § 3, п. 2)
W = 0 A)
с неизвестной функцией U (xv x2, х3) (мы ограничимся случаем трех
пространственных переменных х). Уравнение A) является уравнением
эллиптического типа и его можно изучать так же, как и уравнение
Лапласа. Оно получается из волнового
уравнения
Дм— «„ — О, B)
если мы предполагаем, что волна а(х, t)
есть простое гармоническое колебание по t
с частотой со, т. е.
Тогда и имеет вид
и = Vx (x) cos Ы -\- V2 (x) sin (at,
где L[Vj] = L[V2] — 0. Вводя функцию
Рис'21'
мы получаем следующее представление для действительной волны и
через комплексное решение типа „стоячей волны":
а ~ Re [U (х) е-'»><] = -i A1е~ш + пеш).
Здесь U — общее комплексное решение уравнения A). Мы будем
также рассматривать более общие уравнения
W-\-^U-{-gU = 0, (la)
Да —в„ + ?я = 0, Bа)
причем будем предполагать, что коэффициент g не зависит от t и
обращается в нуль вне области R с гладкой границей В, так что
вне R выполняются уравнения A) и B) (см. рис. 21).
Уравнение A) встречалось в томе I как уравнение колебаний.
В этом параграфе рассматривается совершенно другое физическое
явление, подчиняющееся тому же уравнению, а именно рассеяние
бегущих волн. Математическая задача рассеяния будет рассматри-
рассматриваться в п. 3 после некоторых подготовительных замечаний в п. 1
и 2. При исследовании бегущих волн применение комплексных обо-
обозначений является существенным, так как эти волны нельзя пред-
представить с помощью отдельных членов вида U cos Ы или U sin a>t
с действительной функцией U.
§ 5. Приведенное волновое уравнение. Рассеяние 313
Мы введем расстояние г — | х — х' | между точкой х и точкой-
параметром х' и вспомним введенные в гл. III „фундаментальные
решения" (в несколько иных обозначениях)
К соответствует расходящейся сферической волне, а К — сходящейся:
0-lw(t-T) g-ia>(t + T
и — з , и = —
4лг 'iTzr
причем поверхности постоянной фазы — сферы с центром в х' — пере-
передвигаются с единичной скоростью или вовне, к бесконечности, или
внутрь, по направлению к центру.
Основное свойство фундаментальных решений таково: для любой
дифференцируемой функции f (xf) интегралы
У(*) = f f f f(x')K(r)dx' или J J f f(x')K{r)dx'
(dx' = dx\ dx'2 dx'^,
взятые по области переменных х', содержащей точку х, удовлетво-
удовлетворяют дифференциальному уравнению
А [У] =/(*).
Доказательство такое же, как в случае и> = 0, т. е. в случае
уравнения Лапласа, и может быть опущено.
При больших г фундаментальные решения К и К удовлетворяют
соотношениям
дК , „ л / 1 \ дК , . т? ,-. / 1 \ / л /-,
1де, как обычно, символ ОA/г2) обозначает функцию, убывающую
не медленнее 1/г2.
Согласно А. Зоммерфельду, условия такого типа характеризуют
излучение, соответствующее расходящейся или сходящейся волне.
2. Условие излучения Зоммерфельда. Любое комплекснознач-
ное решение U уравнения A), регулярное вне некоторой поверх
ности В, может быть единственным образом разложено в сумму
U = Ul-\-Uv
314 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
где Gj — регулярное решение уравнения A) во всем пространстве,
а G2 удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда, соответ-
соответствующему расходящейся волне, вида')
lim (f ^—tw(J22 dS—0; D)
т-\х-х' 1 = ?
dS обозначает элемент поверхности большой сферы S радиуса р
с центром в фиксированной точке х'. Формула D) будет обоснована
ниже. Соответственно, если в формуле D) / заменить на—I, то мы
получим условие, характеризующее излучение, соответствующее
сходящейся волне.
Для доказательства мы рассмотрим большую сферу 5. радиуса р
с центром в точке х', содержащую поверхность В. Для точек х,
принадлежащих кольцу D между В и 5р, решение U может быть
представлено так же, как гармоническая функция (см. § 1). Мы имеем
где в
д — — 1^- е , /< — \х х \,
причем точка х" пробегает соответственно поверхности So и В,
а д/дп обозначает дифференцирование по внешней нормали в про-
пространстве х". Вне поверхности В обе подинтегральные функции
являются решениями уравнения A) как функции х, так как К и дК/дп
удовлетворяют этому уравнению. Очевидно, что так же, как и в слу-
случае гармонических функций, функция U} регулярна всюду внутри 5р.
Кроме того, U1 не зависит от радиуса р, так как рассматриваемое
решение U и слагаемое U2 не зависят от р. Поэтому функция U1
регулярна во всем пространстве.
Чтобы показать, что функция (J2 удовлетворяет условию излуче-
излучения Зоммерфельда D), мы заметим, что если точка х' фиксирована,
точка х" лежит на В и х — х' — rrt, х" — х' = оС, |т]| = [С| = 1, то
R =. | х — х" | = у г2 — 2гот]С + а2 = г — or,C -f О - ,
\ r j
дп
') Этот вид условия, предложенный Магнусом, более слабый, чем пред-
предшествующая формулировка D'); однако он оказывается достаточным для
характеристики излучения, соответствующего расходящейся волне.
§ 5. Приведенное волновое уравнение. Рассеяние 315
Как и ранее, символ O(f(k)) обозначает величину, порядок которой
не выше /(X) для больших положительных X, т. е. величину, модуль
которой не превышает с/ (X) с некоторой константой с. Следова-
Следовательно,
^ () E)
где „множитель формы"
в
— регулярная аналитическая функция единичного вектора t\. Для
dU2/dr получается аналогичное выражение, совпадающее с тем, которое
возникает при формальном дифференцировании формулы E) по г.
Поэтому для U2 выполняется условие Зоммерфельда даже в более
сильной форме, а именно
I
равномерно по г\.
Чтобы обосновать тот факт, что условие Зоммерфельда D) харак-
характеризует излучение, направленное вовне, мы покажем, что если
выполняется условие D), то через поверхность большой сферы 50 про-
проходит положительный поток энергии во внешнем направлении.
Энергия Е, содержащаяся в области S с границей 5 в момент t,
определяется выражением
Е=ъ
Применяя формулу Грина и учитывая уравнение B), мы легко полу-
получаем
ди
дп
±Е-= Г Г и-
dt j j "'
Мы берем в качестве Е кольцо между большой сферой 50 и еще
большей сферой S ; тогда интеграл
s,
представляет поток энергии через поверхность 5р во внешнем
направлении, а Г F (t)dt = Г — полный поток через 5р за период.
316 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Учитывая, что и = -к (Ue~la>t -f- Ueiwt), мы легко получаем, что
Этот поток не зависит от р; это можно сразу установить, применив
формулу Грина для кольца между Sp и 5Р- к двум решениям*!/ и U
приведенного волнового уравнения.
Предположим теперь, что условие Зоммерфельда D) для функ-
функции О записано в виде
J J (UnUn + ШЮи + m (UUn - UUn) )dS->0
или
>0 при р—>со;
здесь Uп обозначает dU/dn. Так как величина Г не зависит от р,
то мы можем сделать вывод, что Г<;0, т. е. за период энергия
теряется, или, во всяком случае, не увеличивается, за счет потока
через 5р, направленного вовне. Таким образом, условие D) характе-
характеризует явление излучения, направленного вовне.
Наконец, мы докажем, что разложение функции U на всюду
регулярное решение и решение, удовлетворяющее условию Зом-
Зоммерфельда, единственно. Достаточно доказать, что всюду регуляр-
регулярное решение U, удовлетворяющее условию D), тождественно равно
нулю. Пусть U такое решение. Тогда Г —0, так как U и U — регу-
регулярные решения внутри 5 . Следовательно,
J J(|?/J2+to2|{/|2)rfS->O при р->оо.
Тогда для любой точки х, лежащей внутри сферы S с центром
в х', мы имеем
\U(x)\= f f(UKn-KUn)dS
ff(\Un\i+\Ui\)dsy(ff(\Kn\2+\K\2)ds\'2-~
при p—>-oo,
так как К и Кп имеют порядок 1/р. Следовательно, (У(х) = 0.
§ 5. Приведенное волновое уравнение. Рассеяние 317
3. Рассеяние. Явление рассеяния может быть описано следую-
следующим образом. Дана „входящая" волна, т. е. всюду регулярное ре-
решение Ui(x) = i(x) уравнения A). (Например, входящая волна мо-
может быть просто плоской волной еш(ах> или пучком волн, полученным
из плоской волны с помощью интегрирования по координатам еди-
единичного вектора а в пределах некоторого телесного угла.) Входящая
волна G) подвергается изменению из-за наличия некоторого препят-
препятствия, порождающего рассеянную волну U2, и в результате полу-
получается волна U — U1 -\- U' 2. Препятствие можно задать с помощью
одного из двух условий: а) на границе В задается условие, такое,
как G = 0 или 6U/дп = 0, а решение рассматривается только на и
вне В; б) препятствие задается с помощью члена g в уравнении Bа)
или Aа), который обращается в нуль вне В. В случае б) решение
рассматривается во всем пространстве х.
В обоих случаях решение U = L/j —(— f72 отличается от заданной
первоначально входящей волны Ul=y-(x), которая считается извест-
известной; дополнительный член U2 учитывает действие препятствия. Кроме
того, мы требуем, чтобы компенсирующая волна U2 была расходя-
расходящейся рассеянной волной, т. е. удовлетворяла условию Зоммер-
фельда D). Нахождение U2 для заданной входящей волны Ux=y^
есть математическая задача рассеяния.
Мы вкратце остановимся на ее решении, основанном на пред-
представлении решений уравнений A) и Aа), описанном в п. 1.
В случае а) мы должны определить функцию U2 вне В с по-
помощью граничных условий, если на В известна функция U1=y.
В случае б) мы должны найти функцию U2 из уравнения Aа).
Задача сразу сводится к интегральному уравнению Фред-
гольма. В случае а) это уравнение связывает значения U = U2 на
границе В и значения нормальной производной Uп = dU/dn на гра-
границе В. Интегральное уравнение получается из формулы, справедли-
справедливой для точек х, лежащих на В,
2)n)dS,
в
причем либо величина
либо нормальная производная
задается на В, а вторая величина подлежит определению.
В случае б) интегральное уравнение для функции U7 получается
непосредственно:
U2{x) — i(x) — Г Г g {х') К (х' — х) U (x')dx',
R
318 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
ИЛИ
U2(х) = О (*) + // К*(х, x')U2(x')dx\
где ядро К* равно
К*(х, x') = g(x')K(x — x'),
а свободный член равен
О (х) = х (х) + / / У. (*') g (*') К (х — х') dx'.
R
В соответствии с теорией, изложенной в т. I, гл. IV, § 3, п. 8, это
интегральное уравнение для рассеянной волны С/2 можно свести к
следующей вариационной задаче: найти экстремум функционала
относительно функции 9
— 2 J f g(x)g(x')r?(x)dx,
или к эквивалентным ей задачам. Такое сведение оказывается
очень полезным при численном решении задач рассеяния').
Наконец, легко видеть, что мы могли бы также рассмотреть за-
задачу, в каком-то смысле дополнительную к задаче рассеяния вхо-
входящей волны за счет излучения: предположим, что задана сходя-
сходящаяся волна Ui, удовлетворяющая условию Зоммерфельда. Тогда
задача состоит в том, чтобы найти регулярную расходящуюся
волну UI, возникающую на препятствии R или в результате нали-
наличия члена g. Математически это означает, что надо разложить за-
заданное решение U в сумму U = L^-j- U\, где отдельные слагаемые
удовлетворяют указанным условиям.
Так как заданное решение U уравнения A) может быть разложено
каждым из этих способов, то мы приходим к задаче об определении
получающейся в результате рассеяния расходящейся волны LJ\, если
известна сходящаяся волна U2.
') Множитель формы ф (г,) (см. п. 2) можно было бы легко охаракте-
охарактеризовать при помощи аналогичного интегрального уравнения или вариацион-
вариационной задачи.
Подробности об этих вариационных задачах и многочисленные прак-
практические приложения см. в работах Швингера [1, 2], а также Липпмана
и Швингера [1].
§ 6. Краевые задачи для общих уравнений. Единственность решения 319
§ 6. Краевые задачи для более общих эллиптических
уравнений. Единственность решения
Хотя уравнение Лапласа Д« = 0 типично для эллиптических урав-
уравнений, построение более общей теории даже для уравнений второго
порядка потребовало бы большой дополнительной работы и вышло
бы за пределы этой книги; кроме того, эта теория еще не развита
полностью. Поэтому мы отсылаем читателя к соответствующей ли-
литературе !), а здесь ограничимся кратким изложением некоторых
основных фактов, относящихся к краевой задаче и построению ча-
частных решений. В третьем томе мы снова рассмотрим теорию линей-
линейных эллиптических задач с более общей точки зрения, в связи с ва-
вариационным исчислением. Теперь мы рассмотрим задачу о единствен-
единственности: при каких условиях решение краевой задачи определяется
однозначно?
1. Линейные дифференциальные уравнения. Пусть L[u} = 0 —
эллиптическое дифференциальное уравнение
L[u}= 2 alkulk + 2ibiul + cuz=Mlu] + cu = 0. A)
где uik = d2u/dxidxk, Ui^dujdx-,. Пусть коэффициенты aik = at,l,
bt, с — непрерывные функции переменных xv x2, .... хп в огра-
ограниченной области G я-мерного пространства Rn. Квадратичная
форма
п
предполагается положительно определенной относительно параметров *
во всех точках х области G. Тогда мы можем сформулировать сле-
следующую теорему.
Теорема единственности. Если с <; 0, то для уравнения
п п
1,к-\ 1=1 ^
существует не более одного решения, имеющего в G непре-
непрерывные производные до второго порядка включительно, непре-
непрерывного в G-j-Y и принимающего заданные граничные значения
') См. ссылки в примечании к стр. 242. В частности, книга Миранды [1]
содержит подробную и обширную библиографию.
320 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
на границе области G1). Другими словами, решение уравнения A'),
равное пулю на Г, тождественно обращается в нуль в О.
Сначала мы докажем, что если дважды непрерывно диффе-
дифференцируемая функция и имеет максимум во внутренней
точке Р, то в этой точке М[и] <^ 0. Отсюда следует, что
если к тому же с (Р) < 0 и и (Р) > 0, то Z.[m].<0 в точке Р.
(Более сильную формулировку принципа максимума см. в п. 4.)
Действительно, если функция и имеет максимум в точке Р, то
все первые производные и,- в этой точке обращаются в нуль,
а матрица вторых производных
является матрицей неположительной квадратичной формы. Таким обра-
га
зом, в точке Р сумма М [и] равна 5 = 2 anfiik' T- е- слеДУ про-
/, * = i
изведения двух матриц (alh) и (bih). Этот след не может быть по-
положительным. Действительно, если мы ортогональным преобразова-
преобразованием приведем матрицу (alk) к диагональному виду (/>,-), р{ > 0, а ма-
матрицу (bik) тем же самым преобразованием приведем к виду (р^), то
значение величины 5 не изменится и мы будем иметь
Так как матрица (C^) так же, как {bik), является матрицей неполо-
неположительной квадратичной формы, то (Зк ^ 0 и, следовательно, S <^ 0.
Это доказывает наше утверждение.
Предположим теперь, что и есть решение уравнения L[«] = 0,
равное нулю на Г, и что с < 0. Применяя наш результат к функ-
функциям ии — и, мы убедимся, что функция и не может достигать
в G ни положительного максимума, ни отрицательного минимума;
вместе с условием и — 0 на Г это приводит к выводу, что и тожде-
тождественно обращается в нуль в G.
Случай с <^ 0 можно свести к случаю с < 0 с помощью следую-
следующего приема, предложенного Пикаром. Положим
и = z (x)v(x)
и получим для функции v дифференциальное уравнение вида
2( S *«*/*+iW) = о, B)
г=1 \ *1 1Х J
') Если условие с<0 не выполняется, то мы не можем, вообще говоря,
рассчитывать на единственность, что сразу видно, если рассмотреть уравне-
уравнение Аи -\-си =0 в случае, когда с есть одно из положительных собствен-
собственных значений, соответствующих граничному условию и = Q.
§ 6. Краевые задачи для общих уравнений. Единственность решения 321
где ${ — некоторые функции точки, непрерывные в области G. Если
в качестве z мы выберем функцию
то получим
2 зд*+2Рл+л = о. C)
i,k=i [ = i
где
Поскольку аи > 0, мы можем подобрать постоянные С и |х таким
образом, чтобы всюду в G было с* < 0 и z> 1. Из ранее полу-
полученных результатов вытекает, что функция v, а следовательно, и
а = zv, тождественно обращается в нуль в О. Это завершает дока-
доказательство нашей теоремы единственности.
2. Нелинейные уравнения. Теорему единственности для решений
уравнения (Г) можно применить при доказательстве единственности
для некоторых нелинейных уравнений второго порядка
F(xv х2, ..., хп, и, и, и„„)~0,
если выполняются следующие условия: для всех точек xv x2, ¦ . ., хп
из G и для всех значений остальных аргументов функции F
уравнение является эллиптическим, т. е. квадратичная форма
п
6F
du.ik Ч(Ч*
i,k=i
положительно определена и dF/du ^ 0. (Эти условия можно слегка
ослабить.) Если и и v — решения, соответствующие одинаковым гра-
граничным значениям, то разность w~u — v удовлетворяет уравнению
п п
21 FUljWi) -f 2j FuWi + Fuw = 0,
где ср обозначает среднее значение
<f = /<P(*1. •••¦ Xn' tU-\-(\—t)v, tU}-\-(\—t)vv ...
...,tunn + (\—t)vaa)dt.
Это уравнение для w получается, если выражение
F(xv ..., хп. и unn) — F(xv ..., *„, v, .... vnn)
представить в виде интеграла. Уравнение для w имеет вид (Г),
причем с = Fu ^C 0; поэтому мы можем сделать вывод, что w = Q.
322 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Рассмотрим теперь квазилинейное уравнение
п
2 aikuik+d = °
i, k=l
и предположим, что коэффициенты aik и d являются функциями
только от xv х2, ..., хп, «р и2 ип (т. е. не зависят от и).
Тогда мы можем доказать единственность решения краевой задачи
при более слабых предположениях.
Если и— такое решение этого уравнения, что соответ-
соответствующая матрица (aik) является положительно определенной
всюду в G, то любое решение v этого уравнения, совпадающее
с и на границе, совпадает с и всюду в G. Заметим, что нет
необходимости заранее предполагать, что уравнение является эллип-
эллиптическим для функции v.
Чтобы доказать это, мы снова положим и — v = w и рассмотрим
тождество
п п
2 alk[u]ulk~ 2 alk[v\vik-\-d{u\ — d[v] = 0,
i, *=i i, k=i
где мы применяем сокращенные обозначения
aik[u] = aik(xv x2, .... хп, uv u2 и„),
и т. д. Это тождество можно записать в виде
2 «<*[«]«'„+ 2 vlk(alk[tt] — atk[v]) + d[u]~d[v] = 0.
l,k=-\ i, *=1
Применяя теорему о конечных приращениях ко второй сумме и сле-
следующему за ней члену, получаем
п п
2 alk[u]wik-\- 2 «,«';== О,
где al = ai[u, v] — некоторые функции от хх хп, их, . . ., ип,
vv .... vn. Теперь, если мы подставим те частные значения и
и v, которые мы рассматриваем, в функции aik [и] и йг[«, v], то
получим линейное уравнение относительно w; это уравнение будет
эллиптическим уравнением вида ({'). Таким образом, то = 0.
3. Теорема Реллиха для дифференциального уравнения
Монжа — Ампера. Наконец, в качестве примера нелинейного урав-
уравнения, не удовлетворяющего условиям теорем предыдущего пункта,
мы рассмотрим краевую задачу для (нелинейного) уравнения Монжа—
Ампера
l y + D^b. D)
§ б. Краевые задачи для общих уравнений. Единственность решения 323
Пусть коэффициенты А, В, С, D, Е—непрерывные функции х
и у в области О, удовлетворяющие неравенству
АС — В1 — DE>0. E)
Тогда мы можем сформулировать теорему единственности !):
Существует не более двух решений уравнения D), прини-
принимающих одинаковые граничные значения на Г.
Доказательство. Если и — решение уравнения D), то,
согласно D) и E), мы имеем неравенство
(Еихх -f С) (Еиуу + А) — (Еиху — Bf > 0. F)
Из него следует, что произведение (Еихх-\-С)(Еи -\- А) должно
быть больше нуля; поэтому ни один из этих двух множителей
не должен обращаться в нуль в О. Следовательно, оба они либо
всюду положительны, либо всюду отрицательны. Поэтому наша
теорема будет доказана, если мы сумеем показать, что существует
не более одного решения краевой задачи, для которого всюду в G
Еих к -J- С > 0 (следовательно, и Еиуу -f- A > 0), G)
и не более одного решения, для которого
Еихх-\-С <0 (следовательно, и Еиуу-\- А <0). (8)
Достаточно рассмотреть случай G).
Если мы предположим, что существуют два решения и и v крае-
краевой задачи, для каждого из которых выполняется неравенство G),
то разность w = а — v должна удовлетворять двум уравнениям
0 = L [w -f v] ~ L \v] == E (wxxwyy — wxy) + (Evxx + С) wyy +
+ (Evyy + A) wxx ~ 2 (Evxy - B) wxy,
0 = L [a] — L [u — w\ = — E(wxxwyy — w2xy)+ {Euxx+ C) wyy +
+ (Eayy 4- A) wxx — 2 (Euxy — B) wxy,
в результате сложения которых получается уравнение
Pwxx-2Qwxy-\-Rwyy^0. (9)
Здесь коэффициенты
') См. Реллих [1].
324 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
являются непрерывными функциями точки в области О. Квадратич-
Квадратичная форма
является положительно определенной, так как, в силу формул F)
и G), она состоит из двух положительно определенных слагаемых.
Так же, как в п. 1 и 2, из равенства (9) и граничного условия w —О
мы делаем вывод, что w тождественно обращается в нуль в О, дока-
доказывая тем самым теорему единственности.
Из простых примеров видно, что в общем случае мы должны
ожидать существования двух различных решений. Так, напри-
например, краевая задача для уравнения
и и — и2 = 4
хх у у ху
с граничным условием
и = 0 A0)
в единичном круге имеет решения
a = x2-f/—1 и v=l— x — у2;
для первого решения Еихх-\-С = 2, для второго Evxx-{-C =— 2.
С другой стороны, если функция Е обращается в нуль в не-
некоторой точке Р области О, то граничная задача не может
иметь более одного решения.
Действительно, если в точке Р мы имеем Еихх-\-С — С(Р), то
всюду sign(Euxx-{-C) = signC(P), так как Еихх-\-С не меняет
знака в области О. Это значит, что знак выражения Еихх~\~С один
и тот же для всех решений и1).
4. Принцип максимума и его применения. Возвращаясь к ли-
линейному уравнению A) с с^О, мы сформулируем теперь усиленную
форму принципа максимума
Принцип максимума2). Если функция и удовлетворяет усло-
условию М[и]^0 и принимает максимальное значение во вну-
внутренней точке, то и = const.
') Надо отметить, что дифференциальное уравнение Монжа —Ампера
может быть получено из простой вариационной задачи. При этом мы пре-
пренебрегаем дополнительным членом Аихх-\-2Виху-\- Сиуу и рассматриваем
уравнение
иххиуу — 4у = р с*, у)-
Как легко проверить, оно является уравнением Эйлера для функционала
J [«] = J J [<4«уу — 2"лг«у«лгу + иуихх + бри] dx dy.
а
2) В этой формулировке теорема принадлежит Хопфу [2]. Здесь дано
слегка измененное доказательство Хопфа.
§ 6. Краевые задачи для общих уравнений. Единственность решения 325
Следовательно, максимум любой функции и, непрерывной в О-)-Г
и удовлетворяющей условию М[и]^0 в G, достигается на гра-
границе Г. (Это утверждение называется слабой формой принципа мак-
максимума.) Ясно, что можно сформулировать аналогичный принцип
минимума.
Теорема единственности п. 1 вытекает также из указанного ниже
следствия принципа максимума.
Следствие. Пусть функция и удовлетворяет в G уравнению A');
если и достигает внутри области положительного максимума, то
и = const. Следовательно, если функция и непрерывна в О-)-Г,
неположительна на Г и удовлетворяет условию 1[и]^0 в G,
то а ~^. О в G.
Для доказательства этого следствия предположим, что и имеет
положительный максимум во внутренней точке Р. Поскольку функ-
функция а непрерывна, то она положительна в некоторой окрестности
точки Р; но в этой окрестности М [«] — L \и\—си^-0, так как
с^О и, поэтому, в силу принципа максимума, и == const. Таким
образом, множество точек, где принимается максимум, открыто в G.
С другой стороны, в силу непрерывности и, оно одновременно
замкнуто в G и, следовательно, совпадает с G. Отсюда следует, что
функция и всюду в G равна некоторой
положительной постоянной.
Доказательство принципа максимума / / d "г
опирается на следующую лемму.
Лемма. Пусть 5—открытый шар и Ро—
точка на его границе. Предположим, что
коэффициенты оператора М [и] ограничены
в 5 и что существует положительная по-
постоянная т, такая, что неравенство
2 в«?^>«11 й (П)
/,6=i (=i
выполняется для всех $ и для всех то-
точек х из 5. Далее, предположим, что р11С. 22.
функция и дважды непрерывно дифферен-
дифференцируема в 5, непрерывна в S~\-Po и удовлетворяет в 5 условиям
М[и]^0 и и<м (Р0). Тогда производная по внешней нормали du/dn
в точке Ро, понимаемая как нижний предел выражения Дм/Дп, поло-
положительна.
Доказательство. Пусть 5* — меньший шар, касающийся 5
в точке Ро изнутри (см. рис. 22). Тогда Ро является единственной
точкой максимума функции и в замыкании S* шара S\ Возьмем
326 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
начало координат в центре шара 5* и положим г2 = 2 xt'< ro обозначает
расстояние между точкой Ро и началом координат. Обозначим через 5'
пересечение 5* с фиксированным шаром Sj с центром в точке Ро и
радиусом, меньшим чем г0. Граница 5' состоит из сферических
сегментов границ Л\ и S*, которые мы обозначим через S\ и S2
соответственно,
Теперь мы введем вспомогательную функцию
h = e —е \
положительную в S* и равную нулю на границе этого шара. При
достаточно больших а мы можем сделать выражение
[п
[
положительным внутри S'; действительно, в силу A1) форма
aikxixk строго положительна в S', так как г строго положи-
п
тельно. На S\ функция и меньше, чем и(Р0), и, следовательно, она
строго меньше, чем и(Р0). Поэтому для достаточно малого фикси-
фиксированного s функция
v= и -\-efi
на 5i меньше, чем и(Р0). Рассмотрим теперь функцию v в области 5'.
Внутри 5' мы имеем М [v] = М [а]-\-гМ [h] > 0. В силу утвержде-
утверждения на стр. 320 в п. 1, max г; достигается на границе области 5'.
S'
Но v < и (Ро) на S\ и v= и < и(Р0) на S'2 (за исключением точки Ро);
кроме того, v (Ро) — и (Ро). Таким образом, max "У достигается
S'
в точке Ро. Отсюда следует, что в Ро
dn dn ' dn ^
и поскольку dh/dn < 0, то
лемма доказана.
Теперь легко получить принцип максимума. Пусть функция и
в G удовлетворяет условию М [и] ^ 0. Если и ф const имеет внутрен-
внутреннюю точку максимума, то можно найти шар, целиком лежащий в G и
такой, что на его границе лежит точка максимума функции м, а внутри
точек максимума нет. В силу леммы, в этой точке dujdn > 0, а это
§ 6, Краевые задачи для общих уравнений. Единственность решения 327
противоречит тому факту, что первые производные функции и обра-
обращаются в нуль во внутренней точке максимума.
Как мы замечали ранее, из принципа максимума следует, что
любая функция, удовлетворяющая в G условию Л4[м]^>0, прини-
принимает максимальное значение в граничной точке. Если в G существует
шар 5, такой, что точка максимума Ро лежит на его границе, и если
в шаре 5 коэффициенты оператора М ограничены и удовлетворяют
условию A1), то лемма и принцип максимума дают следующий полез-
полезный результат: либо и = const в G, либо производная по внешней
нормали du/dn в точке Ро положительна1). Например, для таких
областей из этого результата следует, что функция Грина для урав-
уравнения М[и] — 0 (она обращается в нуль на границе области О и
имеет особенность во внутренней точке) в любой точке границы
удовлетворяет условию du/dn < 0, так как эта функция достигает
минимума на границе.
Этот результат дает нам также простое доказательство единствен-
единственности решения второй краевой задачи, или задачи Неймана, для
уравнения М[и] = 0, причем это доказательство легко распростра-
распространить на уравнения вида (I7). Задачу лучше всего сформулировать
следующим образом. На границе Г области G, обладающей непре-
непрерывно изменяющейся нормалью, задана непрерывная функция ср; тре-
требуется найти решение и уравнения М[и] = 0, непрерывное и обла-
обладающее непрерывными первыми производными в G-j-Г, принимающее
заданное значение в некоторой фиксированной точке Р и такое, что
его производная по внешней нормали на Г равняется функции ср
с точностью до аддитивной постоянной:
4^
dn
') См. Хопф [1]. Надо отметить, что утверждение леммы и последнее
утверждение остаются справедливыми даже в том случае, когда наименьшее
собственное значение матрицы (а^) может обращаться в нуль в точке Ро,
т. е. когда в точке Ро нарушается эллиптичность уравнения, если направле-
направление границы .$ в точке Ра не является характеристическим. В этом случае
п
сумма ^ aiffXiXif, используемая в доказательстве леммы, также строго
/, * = i
больше нуля в окрестности точки Ро; следовательно, можно провести и
остальную часть доказательства. Аналогичные результаты см. в работе
Пуччи [1]. [См. также работу Г. Фикера (F i с h e r a G., On a unified theory
of boundary value problems for elliptic-parabolic equations of second order,
Boundary problems in differential equations, Univ. Wisconsin Press, Madison,
I960, 97—120; русский перевод: сб. „Математика"^_Ш 6 П9вЗ)), а также
цикл статей А. Д. Александрова (Александров А. Д., Исследования
о принципе максимума, Изв. высш. учебн. завед., матем., №5A958), 126—157;
№ 3 A959), 3—12; № 5 A959), 6-32; № 3 (I960), 3—15; № 5 A960), 16—26;
№ 1 A961), 3—20). — Прим. ред.]
328 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Чтобы доказать единственность, мы должны показать, что любое
решение а уравнения М[и] = 0, удовлетворяющее на Г условию
du/dn — const = k vl обращающееся в нуль в точке Р, тождественно
обращается в нуль и, следовательно, k = 0. Мы предположим, что
коэффициенты оператора УИ[и] ограничены в О и удовлетворяют
условию A1) и что в любой точке Ро на Г мы можем найти открытый
шар S, целиком лежащий в G и такой, что точка Ро находится на
границе этого шара. Если и есть решение, то из принципа макси-
максимума следует, что и принимает максимальное и минимальное значе-
значения в некоторых точках границы Г, В силу наших предыдущих
рассуждений в этих точках производная du/dn соответственно поло-
положительна или отрицательна, если и не является тождественной кон-
константой. Но du/dn = k, следовательно, и = const в G; кроме того,
и тождественно обращается в нуль, так как и = 0 в Р.
Принцип максимума можно применять не только для доказательства
единственности решения а уравнения A') (а, следовательно, и урав-
уравнения L [«] = /). принимающего заданные граничные значения и —ср
на границе Г области G, но и для оценки функции а.
Мы утверждаем, что если функция g удовлетворяет условиям
— ?[*]> max |/| в G
и
g^> max |cp| на Г,
то
Для доказательства достаточно показать, что функции v = u—g и
— и — g неположительны. Но это вытекает из следствия принципа
максимума, так как функция v удовлетворяет условию
и так как на границе г> = ср — g .< 0. Аналогично доказывается, что
— и -?<0.
Теперь мы построим такую функцию g, предполагая для удоб-
удобства, что область О лежит в полупространстве х1^>>0. Мы будем
считать, что существуют такие положительные постоянные т, Ъ, что
всюду в G
ап ^ in, ~bx <^b.
Положим
g-:=max |/| (ехх — eaX')-{-max |cp|,
причем хх-^.х в G, а а — положительная постоянная, выбранная
так, чтобы функция g удовлетворяла поставленным условиям. Ясно,
§ 7. Априорные оценки Шаудера 329
что g ^ max |^|. Кроме того, при достаточно больших а
= max |/1 [e«'(ana2+ bxa) ~ с (e« — e«0 — с max |cp|
max |/| (flu^H-^a) > max
Выбор а зависит только от т и Ь.
Таким образом, мы получили следующую априорную оценку.
Для решения и уравнения (V), удовлетворяющего гранич-
граничным условиям и —у, справедлива оценка
и] <тах|9|-}-тах|/|(ев* — 1), A2)
где a ¦- постоянная, зависящая только от b и т, а х— такая
постоянная, что \ xl | <C x в G.
Даже не предполагая, что с^О, можно получить оценку вида
|и|<А(тах|<р|+тах|/|), A3)
если область G — достаточно узкая в некотором направлении, на-
например х}, или, более точно, если
(maxc)(fca*' — 1)< 1. A4)
(Тогда постоянная k зависит от т, b, max с и х.) Действительно,
в этом случае мы можем записать уравнение в виде
где c~=min(c, 0), и применить априорную оценку A2). Получим
max \u\ <; max |cp| -(-max |/| (е*х — 1)<;
^ max |ср| -\-(е™ — l)(max |/[ -)-max \u\ max с),
или
. max 1 <р 1 + тах I /1 (елХ — 1)
1 — maxc(e"x — 1)
max |
Заметим, что из оценки A3) следует единственность решения
краевой задачи.
§ 7. Априорные оценки Шаудера и их приложения
Первые систематические исследования краевых задач для нели-
нелинейных эллиптических уравнений принадлежат Бернштейну. В своих
фундаментальных работах он выяснил, что основным и, как правило,
наиболее трудным этапом при решении нелинейных эллиптических
задач является получение достаточно сильных априорных оценок для
330 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
решения. Шаудер [1,2]') получил некоторые априорные оценки ре-
решений и(хх, х2 хп) линейных эллиптических уравнений вида
м«]= 2 «,*««+2 */«/+««=/ A)
в ограниченной области О. Применяя эти оценки, он прямым мето-
методом решил краевую задачу (для с ^ 0), не прибегая к построению
фундаментального решения уравнения.
Оценки Шаудера справедливы для равномерно эллиптических
уравнений вида A) с ограниченными коэффициентами, удовлетворяю-
удовлетворяющими условию Гёльдера, т. е. для уравнений, удовлетворяющих
следующим условиям. Существуют такие положительные постоян-
постоянные ш, М и а @ < а < 1), что в области G
а) для любых действительных %v ?2, .... \п справедливо нера-
неравенство
2 «<*to > « 2 5?.
/, k=\ ( = i
б) \aik\, \bt\, |c|<Af (I, k=l, 2 n),
в) коэффициенты aik, bt, с удовлетворяют условию Гёльдера
(см. § 1, п. 2) с показателем а и коэффициентом М.
Мы приведем оценки Шаудера без доказательства (см. ссылки на
литературу в примечании 1) и изложим метод Шаудера решения
краевой задачи для уравнения A). Кроме того, мы укажем некото-
некоторые применения этих оценок; в частности, можно доказать, что
решения A) обладают свойствами, аналогичными многим свойствам
гармонических функций.
1. Оценки Шаудера. Чтобы придать сжатую форму оценкам,
которые дают границы для производных решений уравнения A),
удобно ввести классы функций, имеющих производные различных по-
порядков, и подходящие „нормы", выражающие „величину" функций
этих классов. Для этой цели мы определим класс Ст (т — неотри-
неотрицательное целое число) — класс функций и(хг, х2,..., хп), имеющих
частные производные до порядка т, непрерывные в G + F, и класс
Ст+а (т — неотрицательное целое число, 0 < а < 1) функций и из Ст,
таких, что их производные порядка т удовлетворяют в G-\-Г усло-
условию Гёльдера с показателем а (см. § 1, п. 2). Класс Со, который иногда
называют С, — это класс функций, непрерывных в G —|—Г.
!) Более простые доказательства дали Миранда [1], Дуглис, Ниренберг
и другие. Агмон, Дуглис и Ниренберг [1] получили аналогичные оценки
решений общих краевых задач для эллиптических уравнений любого по-
порядка; см. особенно стр. 650—663. В этой же работе приведена библио-
библиография.
§ 7. Априорные оценки Шаудера 331
Обозначая любую из производных функции а порядка т через
Dmu, мы введем „норму" в Ст:
1!м||ш= max |и(Р)Ц- max \D^u{P)\-\- . . . + max \Dmu(P)\,
P?OiT PgG-'-Г PgO + Г
где максимум берется также по всем производным указанного по-
порядка. Обозначая через Ha[Dmu] наименьшую константу К, такую,
что все производные функции а порядка т удовлетворяют в G^\-T
условию Гёльдера с показателем а и коэффициентом К, мы введем
" ст+. "°РМУ
Теперь классы Са определены для всех чисел а ~^> 0. Ясно, что
класс Сп является линейным классом, т. е. любая конечная линейная
комбинация функций из Са с действительными коэффициентами также
принадлежит Са. Кроме того, легко видеть, что норма ||и||„ обла-
обладает следующими свойствами:
(]|н||а = 0 только при м = 0);
\и\\а для любой действительной постоянной с;
!!4-\-v\\a<^jj«|[a-f- l[^ii0 (неравенство треугольника).
Следовательно, класс Са можно рассматривать как линейное про-
пространство, элементами, или „точками", которого являются функции и,
и в котором норма || ||а определяет метрику, или расстояние между
двумя функциями ими: \\и — г>||а. В этом пространстве мы сле-
следующим образом определяем сходимость последовательности функ-
функций \ип\:
й„->н, или \\тип=и, тогда и только тогда, когда ||и„—м||„->0.
(Сходимость по норме ||и||ш, где т — целое число, эквивалентна
равномерной сходимости в G-f-Г функции и и ее производных до
порядка т.) Ясно, что любая сходящаяся последовательность [ап]
является последовательностью Коши, т. е. обладает тем свойством, что
Wum — "«Ha-*0 ПРИ т, п->со.
Кроме того, линейное нормированное пространство Са полно,
т. е. в Са любая последовательность Коши сходится. Доказательство
этого утверждения предоставляется читателю. Таким образом, Са
есть полное линейное нормированное пространство, т. е. простран-
пространство Банаха 1). Для функций, определенных в некоторой замкнутой
') См., например, Банах [1], где изучаются такие пространства, а также
Данфорд и Шварц [1] и дополнение (§ 15) к этой главе [см. также Л го-
стерни к Л. А. и Соболев В. И., Элементы функционального анализа.
Гостехиздат, М.—Л., 1951. — Прим. ред.]
332 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
подобласти В области G, мы будем обозначать соответствующие
пространства и нормы через Са и || ||^.
Кроме пространств Са, нам понадобятся пространства непрерывно
дифференцируемых функций, производные которых могут заранее
указанным образом обращаться в бесконечность на границе Г.
Пусть dp обозначает расстояние от точки Р в G до границы об-
области Г, и пусть dpQ = min(dp, u?q) для любой пары точек Р, Q.
Для любой функции и, непрерывной в G-f Г и обладающей в G
непрерывными производными до порядка от, мы определим
jfl )|-f- ... ¦+sup dp\D и (Р)
Р?О
где верхняя грань берется также по всем производным указанного
порядка; норма ||и||т может быть бесконечной. Для функций и,
производные которых порядка от удовлетворяют условию Гёльдера
с показателем а в любой замкнутой подобласти области G, мы
положим
И \п'",Л — с„п
Ha[D u\— sup
где верхняя грань берется также по всем производным порядка от,
а \Р — Q\ обозначает расстояние между Р и Q; кроме того, мы
положим
Пусть Ст—класс функций и, непрерывных в G —|— Г, обладающих
непрерывными производными до порядка от в G и таких, что норма
j'ttj|m конечна. Пусть Ст+а — подкласс класса Ст, состоящий из
функций, для которых конечна норма Цн||т+а при 0< а < 1. Таким
образом, классы Са и соответствующие „нормы" || ||а определены
для всех а ^> 0. Кроме того, нормы || ||в обладают свойствами, ука-
указанными выше для норм || ||а, и класс Са образует линейное простран-
пространство, которое, как легко видеть, полно относительно нормы || ||а.
Таким образом, Са — банахово пространство. Ясно, что если функ-
щ-я и принадлежит Са, то она принадлежит пространству Са для
любой замкнутой подобласти О.
Теперь мы можем сформулировать априорные оценки. Сначала
мы заметим, что требования типа б) и в), наложенные на коэффи-
коэффициенты, можно в наших новых обозначениях записать короче, так
§ 7. Априорные оценки Шаудера 333
что вместо требований а), б) и в) мы теперь имеем
? B)
IK*L. IIMI.. И*<2Ж. C)
Оценки бывают двух типов: „внутренние" оценки (в любой замкну-
замкнутой подобласти В области G) и оценки „вплоть до границы" (во всей
области G + F). Мы соответственно будем считать, что / принад-
принадлежит пространству Са или Са.
Внутренние оценки. Если и—решение уравнения A), вторые
производные которого удовлетворяют условию Гёльдера (с показа-
показателем а) в любой замкнутой подобласти области G, то норма
il u Иг+а конечна и
!Й2+а<КAЙ1о+11?Ъ- D)
Здесь К — постоянная, зависящая только от m, a, M и диаметра
области G.
Для вывода оценок вплоть до границы мы требуем, чтобы об-
область G и граничные значения ср функции и были достаточно глад-
гладкими. Мы называем область G гладкой, если она имеет гладкую
границу, т. е. если мы можем покрыть Г конечным числом шаров,
таких, что часть поверхности Г, заключенная в каждом из этих
шаров, с помощью выделения одной из координат, например хп,
может быть задана в виде
причем предполагается, что функция g имеет вторые производные,
удовлетворяющие условию Гёльдера с показателем а. Кроме того,
граничные значения ср также предполагаются гладкими относительно
локальных параметров xv х2, •¦¦, хп-\< т- е- и они должны иметь
вторые производные, удовлетворяющие условию Гёльдера с показа-
показателем а. Используя фиксированное конечное число систем локальных
параметров на границе и норм ЦсрЦг+ц в каждом шаре, можно опре-
определить для функции ср норму ||ср|| j a как максимум норм ||ср||
Оценки вплоть до границы. Пусть и — принадлежащее классу С2+а
решение уравнения A) в гладкой области G с гладкими граничными
значениями ср. Тогда
e). E)
где К1 — постоянная, зависящая только от т, а, М и области G.
334 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Вывод оценок Шаудера слишком длинен, чтобы его приводить
здесь. Он основан на оценке вторых производных решений уравнения
частного вида, а именно, уравнения Пуассона Ди —/. Одна из этих
оценок, которую мы будем применять при решении краевой задачи,
утверждает, что если и есть решение уравнения Ди = / в об-
области, где f принадлежит СЛ, 0<а< 1, то функция и в ка-
каждой замкнутой подобласти принадлежит С2+а. В свою оче-
очередь, утверждения, касающиеся уравнения Пуассона, получаются из
интегральных выражений для этих вторых производных, которые опре-
определяются формулой B') из § 1 и для получения которых применялось
фундаментальное решение уравнения Лапласа. (В § 1, п. 2 мы
только показали, что если / принадлежит Са, то функция и, задан-
заданная формулой A4) из § 1, принадлежит в каждой замкнутой подобласти
пространству С2.)
При решении краевых задач мы применяем также следующую
теорему о гармонических функциях, принадлежащую Келлогу [2].
Пусть и — гармоническая функция, определенная в гладкой
области G и имеющая гладкие граничные значения. Тогда и
принадлежит пространству С2+а.
Прежде чем решать краевую задачу, мы заметим, что если в ура-
уравнении A) с<<0, то справедлива оценка A3) из § 6 и оценки Шау-
Шаудера D) и E) можно записать в виде .
fi(l?L+ii<pi0. D0
+ii(pii;+.). E0
где К' и К\ — постоянные, зависящие только от т, а, М и от
диаметра области О.
2. Решение краевой задачи. Мы опишем метод Шаудера решения
краевой задачи для уравнения A) с с^О и коэффициентами, удо-
удовлетворяющими условиям а), б), в) или B) и C). Предположим сна-
сначала, что ограниченная область О и граничные значения ср гладкие
и что / принадлежит Crj. Тогда мы имеем следующую теорему.
Теорема. Существует единственное решение уравнения A),
принадлежащее пространству С2ла и принимающее граничные
значения ср.
При доказательстве теоремы достаточно рассмотреть случай
cpssO, так как предположения о гладкости обеспечивают существо-
существование функции ср из С2+а, принимающей на Г граничные значения ср.
Тогда функция и — ср обращается в нуль на границе и является ре-
решением уравнения L[u\=f — L[y\. Наша цель состоит в том, чтобы
ц несколько этапов доказать, что оператор L обратим.
§ 7. Априорные оценки Шаудера 335
Мы будем для этого применять метод продолжения по пара-
параметру. Построим однопараметрическое семейство эллиптических
операторов
b 0l
1де Lo — &. и LX = L. Мы покажем, что все операторы Lt, и в част-
частности Lv обратимы. Обозначим через Т множество тех значений
параметра t на единичном отрезке, для которых оператор Lt имеет
обратный, и докажем, что множество Т совпадает со всем отрезком,
так как
1) Т содержит точку ^ —0;
2) Т является открытым множеством на единичном отрезке, т. е.
для любого t0 из Т можно найти такое e(Y0)>0, что любое значе-
значение t на единичном отрезке, удовлетворяющее условию \t — /01^
.<s(Y0), принадлежит Т;
3) Т является замкнутым множеством.
Если эти свойства проверены, то из них сразу следует, что Т
совпадает со всем отрезком. Действительно, тогда Т является не-
непустым множеством на отрезке, одновременно открытым и замкнутым;
следовательно, оно совпадает со всем отрезком.
Чтобы доказать свойство 1), мы должны доказать, что существует
решение уравнения Ди = /, непрерывное в G-f-Г, равное нулю на Г
и принадлежащее С2+а. Продолжим функцию / на шар S, содер-
содержащий внутри G + F, так, чтобы функция f в S принадле-
принадлежала Са. В § 1, п. 2 мы построили в S частное решение v урав-
уравнения Ди = /, заданное формулой A4) из § 1. Согласно п. 1, это
решение принадлежит С2+а в любой замкнутой подобласти S, в част-
частности в G-f-Г. Отсюда следует, что его значения на Г гладки
(в том смысле, как было ранее определено в этом параграфе). Пусть
w—гармоническая функция в области G, совпадающая с и на Г.
В силу теоремы Келлога, приведенной в п. 1, функция w принад-
принадлежит С2+а в области G. Отсюда следует, что u = v — w является
искомым решением.
Прежде чем доказывать свойства 2) и 3), мы заметим, что в силу
предположений а), б) и в), а также в силу того, что оператор Lt
имеет указанный вид, существуют такие постоянные пгх, Мх и а,
что коэффициенты оператора Lt также удовлетворяют условиям а),
б), в) для всех t, причем постоянные ш, М заменяются на mv Mv
Из оценок E') следует существование такой постоянной К2> что
искомое решение ut уравнения Lt[u] — f удовлетворяет оценке
II И/112+.< ^Il/L- F)
Теперь мы будем доказывать свойство 2). Пусть t0 — точка мно-
множества Т, а /—произвольная функция пространства Са. Мы хотим
найти решение уравнения
336 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
удовлетворяющее условию и — 0 на границе и принадлежащее С2+а,
если t достаточно близко к ^0. Это уравнение можно записать в виде
или
/.,„[«] = (* —*0)(Ди — А[
Подставляя в правую часть любую функцию и из С2+Л, мы получаем
функцию F из Са. Так как точка }0 принадлежит множеству Т, то
существует решение v уравнения
удовлетворяющее условию к = 0 на границе и принадлежащее С2+а.
Мы можем считать, что v получается из функции и с помощью не-
некоторого линейного неоднородного преобразования
v = А (и).
С помощью итераций мы находим „неподвижную точку" нашего
преобразования, т. е. такую функцию и, что
и = А (ц).
Несложный подсчет, основанный на предположениях б) и в),
приводит к неравенству
где Л — фиксированная постоянная, не зависящая от и. Применяя
априорную оценку F), получаем
Отсюда следует, что из неравенства ||и||2+в <! 2А ||/||а вытекает
неравенство
если 2K2K3\t — ^0|< 1.
Кроме того, заметим, что если т>1 = Л(«1) и v2 = А(и2), то vt—v2
является решением уравнения
Lh\v\ — vi\ ={t — t0) (Д («! — и2) — L [ul — u2]),
причем vx — v2 = 0 на границе. Применяя оценку G), мы получаем
IK — v2\\2+a<K2K3\t — to\ \\аг — «2||2+а<-2- ||«1 —и2||2+в, (8)
если 2K2K3\t—^0|<;i. Тогда, если мы возьмем значение t столь
близким к t0, чтобы выполнялось неравенство 2K2K3\t — ^0|<^1, то
преобразование А(и) будет переводить множество функций, удовле-
§ 7. Априорные оценки Ш ay дера 337
творяющих условию || н||гч а -^ 2Л |[/||„, в себя и, в силу неравен-
неравенства (8), преобразование А (и) является сжимающим.
Теперь мы возьмем некоторую начальную функцию И(о> и положим
последовательность и(;, будет равномерно сходиться к некоторой
функции и из С2+а, удовлетворяющей уравнению
и —А (и).
Тогда функция и является решением уравнения Lt[u] — / с усло-
условием и~0 на границе. Таким образом, отрезок \t¦—to\-^l/2K2K3
принадлежит Т и множество Т открытое.
Чтобы доказать свойство 3), мы предположим, что t является
пределом точек \tt), принадлежащих Т, и рассмотрим любую функ-
функцию / из Са. Мы имеем соответствующую последовательности {tj}
последовательность {«(/)} решений уравнений
ui принадлежат С,2+а и удовлетворяют условию и(/)=0 на Г. Применяя
оценку F), получаем
Таким образом, функции а^у а также их первые и вторые произ-
производные, равностепенно непрерывны в G-j-Г. Мы можем поэтому
выбрать подпоследовательность, которую снова обозначим через аи),
сходящуюся к некоторой функции а, причем первые и вторые про-
производные функций и(г) сходятся к соответствующим производным
функции и и сходимость равномерна в любой замкнутой подобласти G.
Ясно, что и принадлежит С2+а, удовлетворяет уравнению
и условию и —0 на Г. Таким образом, и является искомым реше-
решением уравнения Lt[u\ = f и точка t принадлежит множеству Т. Это
завершает доказательство теоремы.
Применяя эту теорему и внутренние оценки, легко получить
решение уравнения A) при более слабых предположениях.
Теорема. Если ограниченная область G гладкая, f принад-
принадлежит пространству Са, а граничные значения ср непрерывны,
то существует единственное решение и уравнения A), принад-
принадлежащее С2 + а-
Для доказательства мы равномерно аппроксимируем заданные
функции ср и / с помощью трижды дифференцируемых функций срга
338 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
и дифференцируемых функций /„ так, что нормы ||/,, 1|, равномерно
ограничены. Согласно предыдущей теореме, существуют решения ип
уравнений
принадлежащие С2+а и удовлетворяющие условиям ип = <?п на Г.
Применяя неравенство A3) из § 6 к разностям ип — ит, мы убе-
убеждаемся в том, что функции ип равномерно сходятся к некоторой
непрерывной функции и. Из внутренних оценок D') мы делаем
вывод, что нормы |!ия||2+а равномерно ограничены. Из этого сле-
следует, что и принадлежит пространству С,н я и что производные
функции и являются пределами производных функций некоторой
подпоследовательности ип (сходимость равномерна в замкнутых под-
подобластях). Функция и является искомым решением.
С помощью внутренних оценок мы можем также решить краевую
задачу в широком классе негладких областей. Пусть О — ограни-
ограниченная область, которую можно представить как объединение после-
последовательности гладких областей Gn, причем каждая область О„
содержится в следующей области Оя + 1 и имеет границу Тп.
Предположим, что для каждой точки Q на границе Г области G
существует „сильный барьер", т. е. функция wQ, дважды непрерывно
дифференцируемая в G, непрерывная и неотрицательная в О--(-Г,
равная нулю в точке Q и удовлетворяющая условию
(В следующем пункте мы построим такие функции wQ для некото-
некоторого класса областей.) Теперь мы сформулируем следующую более
общую теорему.
Теорема. Предположим, что в области О с только что
описанными свойствами функция f принадлежит Са и что
ср—непрерывная функция в G-\-T. Тогда существует единст-
единственное решение и уравнения A), принадлежащее С2+а и сов-
совпадающее с функцией ср на Г.
Доказательство. В силу предыдущей теоремы в области Оп
существует решение ип уравнения ?[«„] = /, совпадающее с ъ на Гп.
Применение оценки D') показывает, что нормы !|«J|2+a функций ип
в областях Gn равномерно ограничены. Отсюда следует существо-
существование сходящейся (равномерно во всякой замкнутой подобласти G)
подпоследовательности и„, причем предельная функция и имеет и G
конечную норму 11м|[2 + а и удовлетворяет в G уравнению L[u) = f.
Если мы определим функцию и на Г так, чтобы она совпадала
§ 7. Априорные оценки Ш ay дера 339
там с ф, то нам останется только показать, что функция и непре-
непрерывна в G -)-- Г.
Для этого возьмем точку Q на Г и соответствующий сильный
барьер wQ. Из свойств wq следует, что для любого е > 0 суще-
существует такая константа k, что
Если мы положим
где ?j —тах(/г, sup | / — ccp(Q)|), to
^ в O-f-Г.
Далее, заметим, что
так как с^О и ? [wQ] <; — 1.
Из способа построения функции W следует, что
Г ±(«„ —cp(Q))>0 наГ„
0 в О„.
Применяя принцип максимума к функциям IF ± (ип - ср (<?)), мы мо-
можем сделать вывод, что
K-cp(Q)|<W вО„,
и, переходя к пределу, получаем
|в-9«?)|<Н? в G.
Но в силу непрерывности wQ мы имеем W ^ 1г в некоторой окрест-
окрестности точки Q; таким образом, функция и непрерывна в Q. Так
как Q—произвольная точка границы, то функция и непрерывна
в G 4- Г и теорема доказана.
3. Сильные барьеры и их приложения. Чтобы завершить рас-
рассмотрение краевой задачи, мы укажем, как построить сильный
барьер Wq для тех граничных точек Q, которые обладают следую-
следующим свойством: существует замкнутый шар SQ, такой, что его пере-
пересечение с G ~\- Г состоит из единственной точки Q. Пусть R — ра-
радиус сферы Sq, г г — расстояние до центра сферы Sq, который мы
принимаем за начало координат. Оператор L задается формулой A)
и предполагается равномерно эллиптическим, т. е. удовлетворяющим
условиям а) и б); кроме того, с считается неположительным.
Положим
340 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
где k1 и р— положительные постоянные. Ясно, что функция wQ не-
неотрицательна в G-ff и обращается в нуль только в точке Q. Не-
Непосредственный подсчет дает
[п п 1
г, ./ = 1 (=i J
+ cwQ < klPr-r-* [- (/»+ 2)
в силу свойства а) и неравенства с ^ 0. Если теперь мы выберем р.
а затем kv достаточно большими, то мы будем иметь
?[«*<,]< —1.
Таким образом, если kx и /? выбраны соответствующим образом (при
этом они зависят только от R, in, M и области G), то функция wQ
имеет все свойства сильного барьера.
Заметим ]), что с помощью сильных барьеров мы можем распро-
распространить метод Перрона (см. § 4, п. 5) для решения уравнения Лап-
Лапласа на решение задачи Дирихле для общего однородного эллипти-
эллиптического уравнения вида A') из § 6, а именно
Е Л М, 0. с<0;
/,*=1 (=i
при этом требуется, чтобы задача была разрешима в малом, т. с.
чтобы для достаточно малых шаров существовало решение с произ-
произвольными непрерывными граничными данными. В этом случае можно
легко построить функции, аналогичные субгармоническим (супергар-
(супергармоническим). Непрерывная функция а называется обобщенной субгар-
субгармонической (супергармонической) функцией, если для любого доста-
достаточно малого шара С из области О, a^Q>) Mc[u]. Здесь функция
Мс[и] равна и вне С, а в С является решением уравнения A') из
§ 6, совпадающим с и на границе С. Свойства 1), 2), 3), доказан-
доказанные в § 6, п. 4 для субгармонических функций, легко распространить
на обобщенные субгармонические функции с помощью принципа мак-
максимума для уравнения (Г) из § 6; удобная для этой цели форма
принципа максимума дана в § 6, п. 4.
Если мы хотим найти решение а уравнения A') из § 6 с задан-
заданными граничными значениями ср, то мы определяем соответствующие
обобщенные нижние (верхние) функции как такие обобщенные суб-
') Это замечание принадлежит П. Лаксу. См. также Таутц [1], Беккенбах
и Джексон [1]. Симонов [1] применял также некоторую модификацию
метода Перрона к решению нелинейных эллиптических уравнений второго
порядка в предположении, что решение с заданными непрерывными гранич-
граничными условиями можно найти для малых областей.
§ 7. Априорные оценки Шаудера 341
гармонические (супергармонические) функции, которые не больше
(не меньше) ср на границе. Как и в случае уравнения Лапласа, иско-
искомое решение и равно тогда верхней грани всех нижних функций.
Чтобы доказать, что эта верхняя грань является решением уравне-
уравнения A') из § 6, мы для решения, определенного в шаре, должны
получить оценки производных в меньшем концентрическом шаре,
такие, чтобы оценка зависела только от максимума модуля решения
и от того, какие именно шары рассматриваются. Мы должны также
доказать, что предел равномерно сходящихся решений уравнения (!')
из § 6 тоже является решением (см. § 4, п. 5). Для уравнений,
коэффициенты которых удовлетворяют условию Гёльдера, это утвер-
утверждение следует из внутренних оценок Шаудера. Чтобы показать,
что на границе функция и совпадает с ср, мы применим сильные
барьеры').
Сильные барьеры можно использовать также для того, чтобы в гра-
граничных точках оценить первые производные решений уравнения A),
обращающихся в нуль на границе.
Лемма. Пусть и является решением уравнения
L[u) = f, c<0, A')
где оператор L предполагается равномерно эллиптическим, т. е. удо-
удовлетворяющим условиям а) и б). Предположим, что решение и и
его первые производные непрерывны в G —|— Г и что и обращается
в нуль на Г. Пусть область G ограничена, имеет на границе непре-
непрерывно изменяющуюся касательную плоскость и обладает следующим
свойством: существует такая положительная постоянная R, что для
любой точки Q на границе Г можно найти шар радиуса R, пересе-
пересечение которого с областью O-f-Г состоит из одной только точки Q.
Тогда в любой точке границы
^L|<?2sup|/| (/=1.2 л). (9)
где k2 — постоянная, зависящая только от т, М и О.
Доказательство. Пусть Q — произвольная точка границы.
Так как и обращается в нуль на границе Г и
ди
ди
дп
') Заметим, что рассматриваемое общее эллиптическое уравнение вто-
второго порядка и уравнение Лапласа имеют одни и те же регулярные гранич-
граничные точки. См. О л е й н и к О. А., О задаче Дирихле для уравнений эллип-
эллиптического типа, Машем, сб. 24 F6), A949), 3—14, а также Миранда [1]. —
Прим. ред.
342
Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
то достаточно в точке Q оценить производную по внутренней нор-
нормали ди/дп. Пусть Wq—построенный выше сильный барьер. Из по-
построения функции Wq ясно, что в точке Q
ST <*»
с некоторой постоянной k2, зависящей только от м, М и G и не
зависящей от выбора граничной точки Q. Положим v = wQsup \f\;
ясно, что
L[v ± и]<0.
Так как и обращается в нуль на границе, то, применяя принцип
максимума к функциям v ± и, мы находим, что в области G
МО-
Обе функции и и v равны нулю в Q, и, следовательно, в этой
точке
да
дп
dv
откуда непосредственно следует неравенство (9).
4. Некоторые свойства решений уравнения L \и\ = f. Мы бу-
будем здесь предполагать, что функция / принадлежит классу Са и
что в области G выполняются условия а), б), в), сформулированные
в начале этого параграфа. Для того чтобы были справедливы любые
утверждения, касающиеся решений в замкнутых подобластях G, те же
самые требования должны выполняться только в любой замкнутой
подобласти.
Сначала мы получим следующее свойство: если и есть дважды
непрерывно дифференцируемое решение уравнения A), то вто-
вторые производные этого решения удовлетворяют условию Гёль-
Гёльдера в лн.бой замкнутой подобласти Q.
Достаточно установить этот факт для шаров, лежащих в G.
В замкнутом шаре S, лежащем в G, мы запишем уравнение A)
в виде
п п
2 allulj-\- 2 biai = f—си.
Согласно теореме, доказанной на стр. 338, в 5 существует решение v
уравнения
л п
jj|j a, iV,: —|- 7 b v, = / — с и,
совпадающее с и на границе. Кроме того, вторые производные функ-
функции v удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а в некотором
§ 7. Априорные оценки Шаудера 343
меньшем концентрическом шаре. Но решение v этого уравнения
единственно; следовательно, u^v. и вторые производные и удов-
удовлетворяют условию Гёльдера. Начиная с этого места, мы будем пред-
предполагать, что все решения обладают этим свойством. Применяя внут-
внутреннюю оценку D). мы сразу получаем аналог теоремы о компактности
для гармонических функций (§ 2, п. 3).
Любое равномерно ограниченное множество решений урав-
уравнения A) в G содержит подпоследовательность, равномерно
сходящуюся в любой замкнутой подобласти В области G.
Кроме того, предел равномерно сходящейся последователь-
последовательности решений уравнения A) сам является решением.
Мы можем сделать еще некоторые выводы относительно решений
уравнения A')- В этом случае справедлива внутренняя оценка D')
и, следовательно, мы имеем теорему, аналогичную теореме Вейер-
штрасса о сходимости для гармонических функций (см. § 2, п. 3).
Последовательность решений ип уравнения A')> непрерывных
в замыкании области G, с равномерно сходящимися гранич-
граничными значениями сря равномерно сходится к некоторому
решению этого уравнения и, принимающему граничные значе-
значения cp = limcpn-
Этот результат получается, если применить оценку D') к разно-
Внутреннюю оценку D) можно также использовать при обобщении
одного из основных свойств гармонических функций на решения
уравнения A). Любое решение уравнения A) бесконечно диффе-
дифференцируемо, если функция f и коэффициенты уравнения бес-
бесконечно дифференцируемы. Из аналитичности функции / и коэф-
коэффициентов следует аналитичность любого решения; однако мы здесь
не будем это доказывать (см. ссылки в следующем параграфе).
Мы докажем теорему о дифференцируемости в следующей точной
форме').
Если функция / и коэффициенты уравнения принадлежат
классу Ст+г/, где т — неотрицательное целое число, 0 •< а < 1,
то в любой замкнутой подобласти В любое дважды дифферен-
дифференцируемое решение принадлежит классу Ст+2+а-
Для случая in — Q доказательство уже было дано. Сейчас мы
проведем доказательство для т = 1 (для т > 1 все рассуждения
можно просто повторить). Пусть В' и В" — замкнутые подобласти
') См. Хопф [4], где дано доказательство теоремы о дифференцируемости
(а также об аналитичности решений аналитического уравнения), в котором
не исполь'опана теория существования решений краевой задачи для случая
т = 0. См, также приложение 5 в работе: Агмон, Дуглис, Ниренберг II].
344 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
области О, такие, что они содержат внутри себя подобласти В и В'
соответственно. Пусть число /z0 > 0 так мало, что для /г ^ hQ и для
всех точек P:(xlt . . ., хп) области В' точки Pk:(xl-\-h, х2, .. ., хп)
лежат в В". Мы вычтем из уравнения A), написанного для точки Р,
то же самое уравнение, написанное для точки Ph, и разделим раз-
разность на h. Введем для конечно-разностных отношений при фикси-
фиксированном h следующие обозначения".
uh(u(P)
bi = ~ (bt (Ph) - bt (Р)), ch = 1 (с (Ph) - с (Р)),
а через Lh обозначим оператор, коэффициентами которого являются
конечно-разностные отношения для коэффициентов исходного опера-
оператора L. Тогда мы можем записать полученное в результате этих
операций уравнение в виде
А[ий(Р)] = — Lh [и (Р ft)]-f- fhs=Fh. A0)
Так как / и коэффициенты уравнения принадлежат С1+а, их конечно-
разностные отношения можно записать в виде интегралов, например,
1
^alk(Ptl)dt.
где Pth — точка с координатами (л^-f-^/z, х2, ¦••> хп), и, следова-
следовательно, эти отношения принадлежат классу Са ¦ Кроме того, так как
решение и принадлежит Cf+a, правая часть Fh (в которую входят
производные решения и в точках области В") принадлежит Са .
Далее,
где /С4 — постоянная, не зависящая от h. Рассматривая функции uh
как решения уравнения A0), мы можем применить к ним внутреннюю
оценку D), причем В будет замкнутой подобластью области В';
мы получим, что
|| ,,h Ф s- is
где /С3 — постоянная, не зависящая от h.
Из этой оценки следует, что существует такая последовательность
{hn}—>0, для которой последовательности [и "}, {и"), ['J-^} равно-
равномерно сходятся в В к некоторой функции г» и ее производным vt,
vlk соответственно. Кроме того, функция v принадлежит классу Сг+а-
§ 7. Априорные оценки Ш ay дера 345
Но при /г->0 функция uh сходится просто к иХх. Следовательно, мы
доказали, что иХх принадлежит классу Сг+а- Аналогично мы можем
показать, что производная их. принадлежит Cf+a (/=1, 2, .... п),
т. е. что и принадлежит с?+а.
Этот метод легко можно применить к общему нелинейному урав-
уравнению второго порядка
F(xv х2 хп, a, uv u2 цяя) = 0,
которое является эллиптическим, т. е. для которого квадратичная
форма
t, k=\ lK
всюду является положительно определенной. Кроме того, применяя
теорему о диффэренцируемости решений линейных эллиптических
уравнений (стр. 343), мы можем легко показать, что любое решение и
нелинейного уравнения, принадлежащее С2+а, 0<а<1, является
бесконечно дифференцируемым, если функция F обладает производ-
производными всех порядков по всем аргументам. На самом деле было
показано, что это утверждение справедливо, даже если и принадлежит
только С2 ')• Наконец, решение является аналитическим, если функ-
функция F аналитическая (см. следующий пункт).
5. Дальнейшие результаты, касающиеся эллиптических урав-
уравнений; поведение вблизи границы. В предыдущем пункте мы с по-
помощью неравенств Шаудера показали, что решение эллиптического
уравнения второго порядка обладает большой гладкостью, если коэф-
коэффициенты уравнения достаточно гладки и если с самого начала пред-
предполагалась некоторая гладкость этого решения.
Вопрос о дифференцируемости и аналитичности решений диф-
дифференциальных уравнений рассматривался многими математиками,
начиная с С. Н. Бернштейна, которому принадлежит фундаменталь-
фундаментальная работа [1] об уравнениях второго порядка. На дальнейшие
исследования оказала большое влияние работа Хопфа [4]. В этой
работе Хопф применяет „параметрикс", чтобы получить интегральные
представления для производных решения. (Параметрикс — фундамен-
фундаментальное решение дифференциального уравнения, содержащего только
члены второго порядка с постоянными коэффициентами, равными зна-
значениям соответствующих коэффициентов заданного уравнения в не-
некоторой фиксированной точке.) При доказательстве аналитичности
решения нелинейного уравнения эти формулы интегрального предста-
') См. Ниренберг [3] и [1]. См. также Морри [4].
346 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
вления распространяются на комплексные значения независимых пере-
переменных *).
Морри [2] доказал аналитичность решении эбщчх нелинейных
элл 1птических уравнений произвольного порядка с помоиыо инте-
интегральных формул, распространенных на комплексную область. Кроме
того, он доказал для таких уравнений, что решение задачи Дирихле
аналитично в окрестности границы, если все данные предполагаются
аналитическими. Фридман [1] установил аналогичные результаты,
пслучая оценки для всех производных решения и и доказывая схо-
сходимость ряда Тейлора к функции и.
В указанных влше доказательствах аналитичности с самого на-
начала предп )лагается некоторая гладкость решения. В случае линей-
линейных элллпт,1ческих уравнений произвольного порядка д (фференц.фуе-
мость решений вплоть до границы при очень слабых ограничениях
была доказана для весьма широкого класса граничных условий. Мы
отсылаем читателя к работе Ниренберга [2], где имеются дальнейшие
ссылки. Для нелинейных уравнений предстоит еще много работы
по ослаблению предположений о гладкости. В случае двух независи-
независимых переменных работу в этом направлении начал Морри [1, 3]. Не-
Недавно появились работы де Джорджи [1], Нэша [1] и Мозера [1],
касающиеся случая большего числа измерений2). Мы отметим также
интересную работу Хейнца [2] об уравнениях Монжа — Ампера,
в которой обобщаются результаты Г. Леви (см. ссылки в раооте
Хейнца) на неаналитические уравнения.
Рассматривая уравнения общего типа, Хёрмандер [4]3) охаракте-
охарактеризовал дифференциальные операторы L с постоянными коэфф цлен-
тами, такие, что любое решение и уравнения L\u] = f бесконечно
дифференцируемо, если функция / бесконечно дифференцируема.
Хёрмандер [2] и Мальгранж [2] обобщили эти результаты на ли-
линейные уравнения с переменными коэффициентами.
Теперь мы переходим к вопросу о регулярности вплоть до гра-
границы решений дифференциальных уравнений, удовлетворяющих диф-
дифференциальным условиям на границе. Хёрмандер [3] рассматривал
решения уравнения L[w] = / с постоянными коэффициентами в полу-
полупространстве, удовлетворяющие дифференциальным граничным усло-
условиям (тоже с постоянными коэффициентами) на плоской границе. Он
охарактеризовал операторы и граничные условия, такие, что решение
') В 1937 г. И. Г. Петровский впервые доказал аналитичность решений
для общих нелинейных систем эллиптических уравнений, которые теперь
часто называют эллиптическими по Петровскому. См. работы И. Г. Пет-
Петровского ДАН СССР, 17 A937), 339—342; Машем, сб., 5 D7), A939),
3—70. — Прим. ред.
2) См. Ниренберг Л., УМН, XVIII, вып. 4 A963), 101—118. — Прим.
ред.
3) См. также Шилов Г. Е„ УМН, XIV, 5 A959), 3—44. —
Прим. ред.
§ 7. Априорные оценки Шаудера 347
бесконечно дифференцируемо вплоть до границы, если заданные
функции (правая часть / и значения граничных операторов, действую-
действующих па функцию и) бесконечно дифференцируемы. Для линейных
эллиптических уравнений с переменными коэффициентами дифферен-
цируемость вплоть до границы решений, удовлетворяющих гранич-
граничным условиям, была доказана для широкого класса граничных условий.
Случай граничных условий типа Дирихле освещен в работе Нирен-
берга [6].
В некоторых так называемых „задачах со свободной границей"
частью задачи является определение области, в которой существует
решение эллиптического уравнения, удовлетворяющее заданным гра-
иич 1ым условиям. Такке задачи возникают в газовой динам же и. ко-
конечно, в теории волн на поверхности воды. В таком случае надо
не только доказать, что решение аналитично в окрестности неизвест-
неизвестной границы, но и установить, что сама граница аналитическая.
Фундаментальная работа по этим вопросам принадлежит Г. Леви [2|').
В заключение этого пункта мы покажем, как можно распро-
распространить теоремы предыдущего пункта о дифференцируемое™ на
решения задачи Дирихле и доказать их дчфференцируемость вплоть
до границы. Так как речь идет о локальном поведении функции, мы
будем считать, что некоторая часть границы Г, лежит на пло-
плоскости, например на плоскости хп = 0, и установим дифференци-
руемость решения на Г, и в окрестности Г,, причем предполагается,
что Гх — открытое множество на плоскости хн = 0. Для гладкой
границы все можно свести к такому случаю с помощью некоторого
локального преобразования коорд шат. Вычитая соответствующую
функцию, мы можем всегда перейти к случаю, когда функция я
обращается в нуль на Г,.
Рассмотрим дважды непрерывно дифференцируемое решение и
уравнения A) в области G, предполагая, что Г, лежит на границе G.
Предположим, что выполняются условия а), б), в), сформулированные
в начале § 7, и что функция и принадлежит классу С1+о в G + 1\
и обращается в нуль на Г,. Тогда мы имеем следующую теорему.
Если правая часть f и коэффициенты уравнения принад-
принадлежат классу Ст + а, где т — неотрицательное целое число и
0<а< 1, то в любой ограниченной подобласти В. замыкание
которой лежит еО -{- Г, функция и принадлежит классу Ст+2+а.
Эта теорема включает как частный случай аналогичную теорему
на стр. 343.
Заметим сначала, что в силу указанной теоремы (на стр. 343)
нашу теорему достаточно доказать локально, т. е. для малых o%a-
С1ей Б, например, в слуае, когда В — малый полушар с центром
из Г\. Мы можем также предполагать, что коэффициент с обращается
') См. также Гарабедян, Г. Леви и Шиффер [1].
348 Га, IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
в нуль; этого можно добиться, если разделить и на положительное
решение однородного уравнения в области В. Существует такая
подобласть А области О, обладающая гладкой границей, что замы-
замыкание В содержится в Л+Г,, а замыкание А лежит в G-f-Г,. Пусть
С — функция, бесконечно дифференцируемая в области А, равная
единице в точках области В и равная нулю вместе со всеми своими
производными в тех граничных точках Л, которые лежат в области О.
Сначала мы докажем теорему для т = 0. Положим v = (,u; тогда
легко видеть, что функция L [v\ принадлежит в замыкании А
классу Са. Применяя основные теоремы существования и единствен-
единственности (стр. 334 и 337), мы видим, что v принадлежит С^+а, так
что и принадлежит Сз+а. Теперь мы укажем идею доказательства
для т—1. Следуя доказательству теоремы о гладкости на стр. 343,
мы рассмотрим конечно-разностное отношение uh, причем разности
берутся по направлениям, параллельным первым п — 1 осям, т. е.
параллельным плоскости, в которой лежит Гх. Функция uh удовле-
удовлетворяет уравнению
Положим vh = ^uh; легко видеть, что норма |]L[^ft]||^+a ограничена
постоянной, не зависящей от h, и так же, как на стр. 344, полу-
получается, что функции их , i = 1 п — 1, принадлежат классу
Cf+ai. Итак, все производные и вида д2и1дх1дХ], t < n, J <Сп, при-
принадлежат С\+а. С помощью самого дифференциального уравнения мы
можем выразить производную д2и/дх2п через эти производные и про-
производные более низкого порядка и установить, что она тоже при-
надлежит С\+а. Таким образом, й?Сз+а. Для т > 1 эти рассужде-
рассуждения также применимы.
Аналогичным образом можно доказать дифференцируемость вплоть
до любого порядка решения нелинейного уравнения F — 0 (стр. 345),
если это решение обращается в нуль на границе и принадлежит
классу С2+а, а граница и функция F достаточно гладки. Общие
результаты в этом направлении приведены в работе Агмона, Дуглиса
и Ниренберга [1].
§ 8. Решение уравнений Бельтрами
В гл. III, § 2 мы показали, что задача о локальном приведе-
приведении любого эллиптического уравнения
к виду
§ 8. Решение уравнений Бельтрами 349
с помощью преобразования а(х, у), р(х, у) эквивалентна задаче
о нахождении такого решения уравнений Бельтрами
для которого оЛ.ру — аурх Ф 0. В этом параграфе мы построим такое
решение1) в предположении, что а, Ъ, с удовлетворяют условию
Гёльдера с показателем а, 0 < а < 1.
Для любой дифференцируемой комплекснозначной функции да
переменных х и у, которую мы обозначав?! через да (z) (z = x-\-ty),
введем формальные операторы дифференцирования
dw \ (dw . dw\ dw 1 / dw , . dw
Ясно, что эти операторы перестановочны и что для них справедливы
обычные правила дифференцирования:
-gj (и О) да (г)) = uwz -f- uzw;
аналогичная формула имеет место для d/dz. Если / — дифференци-
дифференцируемая комплекснозначная функция да, то
и
lf(w(z))]- = fww. + f-wT
Тождество Грина принимает вид
f f (a2~b w-)dx dy — уф (udz — wdz), B)
где dz = dx-\-tdy, dz — dx — /dy, а оператор Лапласа Дда равен
4wz-. Утверждение, что да (г) является аналитической функцией,
может быть выражено так:
w- = 0.
Рассмотрим уравнения Бельтрами A) и положим
да = a-j-tp.
') Результат и идея доказательства принадлежат Корну и Лихтенштейну.
Данный здесь вариант доказательства был независимо найден Берсом и
Чжэнь Шэи-шэнем. Как показал Морри, уравнения Бельтрами A) и C)
можно решить в обобщенном смысле, если (л (г) — измеримая функция,
|(j-] si 8 < 1. Ссылки на литературу см. в работе Альфорса и Берса [1].
[См. также книгу Ьекуа [1J. — Прим. ред.\
350 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Мы сразу можем получить уравнения
1w-t У ас — & = (ft — /а -И У ас — b2) рх + {с — lb — У ас — Ь2) ру,
2и>г У ас — Ъ2 =*(b-\-ia + l У ас — ft2) рх -f- (с + lb -f У~ас~^1>2) ру.
Простой подсчет показывает, что коэффициенты при рх и ру в пра-
правых частях этих уравнений пропорциональны, и мы видим, что
W- с — а — Tib
г
или
с — а — 2/6
C)
Легко видеть, что уравнения A) можно также получить из уравне-
уравнения C), поэтому выражения A) и C) эквивалентны. Функция (j.
удовлетворяет условию Гёльдера (см. § 1, п. 2) в силу свойств
коэффициентов а, Ь, с, а ее абсолютная величина меньше чем 1.
Мы выразим условие ахр —а рхФ0 через функцию w==a-\-tp
и покажем, что достаточно найти такое решение w уравнения C),
что ¦и>2ф0 в рассматриваемых точках. Заметим, что
отсюда видно, что наше условие эквивалентно условию ах -\- о2 -f-
+ р^+ру=??=О, а для решения уравнения C) это можно выразить как
wz Ф 0.
Из формы C) уравнений Вельтрами следуют многие весьма спе-
специальные свойства решений. Заметим сначала, что если /—аналити-
/—аналитическая функция и w является решением уравнения C), то f(w(z))
также является решением, так как
/_ — w/ =/ (w- — цда ") = 0.
Обратно, если w — такое частное решение уравнения C), которое
непрерывно и взаимно однозначно отображает область О плоскости z
в некоторую область О' плоскости w, причем •а>2Ф0, то любое
другое решение v уравнения C) в области О' является аналитической
функцией w в области О'. Действительно, из уравнения C) мы получаем
0 = V- — v/v =v (w- — 1Ш "\ —I— f (W- — v.w ) = v^W- A — I u. 12),
так что v— = 0.
Таким образом, если мы имеем частное решение w, осуществляю-
осуществляющее указанное отображение, то задачу об отыскании другого реше-
§ 8. Решение уравнений Бельтрами 351
ния, удовлетворяющего другим условиям (например, на границе),
можно свести к нахождению аналитической функции f(w), удо-
удовлетворяющей условиям, которые являются аналогами условий, нало-
наложенных на решение. Например, задача об отыскании в круге 5,
лежащем в области О, решения уравнения C), имеющего на границе
заданную действительную часть и принимающего в точке Р заданное
значение, сводится к задаче об отыскании аналитической функции
в области S' — образе S. причем она должна иметь заданную дей-
действительную часть на границе и заданное значение в Р'. Следова-
Следовательно, мы можем считать, что задача решена.
Чтобы построить то частное решение уравнения C), которое
дает требуемое отображение, по крайней мере в малой окрестности,
мы должны доказать следующую теорему.
Если функция p(z) удовлетворяет условию Гё'льдера с по-
показателем а в окрестности точки z — О и \\l(z)\ <1, то
уравнение C) имеет в окрестности начала координат реше-
решение w(z), такое, что wz@) Ф 0, а производные функции w (z)
удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а.
Достаточно доказать теорему в предположении, что
ц@) = 0.
Действительно, если мы введем новую переменную С= z + (i.@)z, то
wz — w -\- % ^
и уравнение (З) перейдет в уравнение
w- = V- (С) ^с.
где
i?,r,_ (л И-КО)
Заметим, что если |jj.| < 1, то якобиан преобразования г—>С поло-
положителен и |(а| < 1. Кроме того, функция jx(C) удовлетворяет усло-
условию Гёльдера с показателем а и A,@) = 0.
Чтобы доказать теорему, мы сначала исследуем уравнение и- =/,
предполагая, что функция / удовлетворяет условию Гёльдера с по-
показателем а в круге Sr : \z\ < г. Полагая
, t])log|C — z\dldf\
и учитывая, что &v = 4(d/dz)(d/dz)v = f(i, ?j), мы приходим к сле-
дующлм леммам.
352 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
Лемма 1. Функция
имеет в Sr непрерывные частные производные, которые опре-
определяются формулами
так что и является частным решением уравнения и- =/.
Мы предоставляем читателю доказательство этой леммы, анало-
аналогичное доказательству второй теоремы из § 1, п. 2. Там была доказана
дифференцируемость потенциала распределения масс с плотностью,
удовлетворяющей условию Гёльдера, и получены выражения для
производных.
Лемма 2. Пусть функция f (z) в круге Sr удовлетворяет усло-
условию Гёльдера с показателем а. и коэффициентом Н. Положим
Тогда существует такая постоянная С, зависящая только
от а, что
\p(z)\4?CHr\ D)
и функция p(z) удовлетворяет условию Гёльдера с показате-
показателем а и коэффициентом СН.
Доказательство. Мы получим оценку D), взяв в выражении
для p(z) абсолютную величину под знаком интеграла и использовав
неравенство
Чтобы доказать, что функция p(z) удовлетворяет условию Гёльдера,
берем фиксированные в Sr значения zxn г3фггн полагаем 8= \гг — гъ\.
Пусть z,z — точка Sr, удовлетворяющая условиям \z2 — ^1^8,
IZ2 ~~ Z31 *C & и r — I^I^-VIO- Покажем, что для некоторой кон-
константы Cj справедливо неравенство \p(Zj) — p(z2)\ ^.СНЬ*, 1=1, 3;
из него следует требуемое неравенство \p(zx) — p{zs)\ -^ 2СНЬа.
Мы рассмотрим только случай (=1:
-P(z2)=~^ f fg^dUri, E)
где
/(О
§ 8. Решение уравнений Бельтрами
353
Пусть область кг (с границей Д;) представляет собой пересечение Sr
и круга с центром в точке гх и радиусом 28 — 2\zx — z3\, а Д2 —
дополнение к Д2 в Sr Тогда
п J J \Ц—г, 12-а
где С] — постоянная, зависящая только от а. Чтобы оценить инте-
интеграл от g по области Д2, заметим, что
g (с) =
@)
тогда
Согласно тождеству Грина B), при u=l((z2 — С), w = Q, мы имеем
did-fj __ l Г dX
К|=Г
dX I Г dl _ i r dl
так как интеграл по |С|=л обращается в нуль. Таким образом,
4rW < С2НЬ\ F)
где С2 — абсолютная константа, так как \z2 — Cf^-8/10 для
Наконец, заметим, что в области Д2
г.-С
так что
<¦
6Я8
354 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
где С3— постоянная, зависящая только от а. Это вместе с форму-
формулами E) и F) дает требуемое неравенство
\p(zO - р (z2)\ < (С, + С2 + С3) Н |г, - *2|".
Теперь мы в состоянии доказать теорему. Предположим, что w —
искомое решение; тогда, в силу леммы 1, функция wz отличается от
1 Г С 1Л @ wz (С) — р- (г) о», (г) ,,. ,
на аналитическую функцию. Взяв в качестве это!! аналитической
функции константу, равную единице, мы решаем уравнение для wz:
Тогда легко получается -да; как будет показано в конце параграфа,
оно удовлетворяет уравнению C).
Пусть С (г, а)—множество комплекснозначных функций со (z),
определенных в Sr и удовлетворяющих условию Гёльдера с показа-
показателем а < 1. Для функций со из С (г, а) мы введем норму
p ;у
г, фг \гх—Z2\
тогда С (г, а.) будет банаховым пространством. Легко видеть, что
для любых функций со и - из С (г, а.)
Пусть теперь \х (z) — заданная в Sr функции; она удовлетворяет усло-
условию Гёльдера с показателем а и, кроме того,
I* @) = 0.
Мы определим оператор Т в С (г, а) равенством
Ясно, что Т — линейный оператор и, в силу леммы 2,
Так как (Ц0) = 0, то норма ||[а||г стремится к нулю при г->0. По-
Поэтому для достаточно малых г, например для г < г0, мы имеем
так что
||7>]||,<тИ1' Для r<rQ. G)
§ 9. Краевая задача для квазилинейного уравнения 355
Теперь мы хотим решить уравнение
в круге Sr r<rQ. В силу неравенства G), класс функций ш из С (г, а)
таких, что
при преобразовании Т переходит в себя и преобразование f является
сжимающим, так как
Известно, что функции <оп, определенные рекуррентной формулой
ш1==0, соя+1 = 7>пЦ-1 (я=1, 2, ...).
сходятся по норме || ||г к функции со, удовлетворяющей уравнению
ш = ГМ-(-1,
причем ||ш||г<2. Кроме того,
и, следовательно, ш(г)фО в Sr
Мы завершим доказательство, если покажем, что функция
W(Z) =
s
г
обладает требуемыми свойствами. Согласно лемме 1, w имеет непре-
непрерывные частные производные, определяемые формулами
w- =
и
wz = T[w]-\- \ = ш;
следовательно, функция w удовлетворяет уравнению C) и wz Ф 0.
Так как ш принадлежит пространству С (г, а), то производные функ-
функции w в S, удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а.
# Я Краевая задача для некоторого специального
квазилинейного уравнения. Метод неподвижной точки
Лере — Шаудера
В этом параграфе мы покажем, как при доказательстве теорем
существования применяется один топологический метод. Этот „метод
неподвижной точки", связанный с идеями Пуанкаре, был ясно изло-
356 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
жен Биркгофом и Келлогом [1] и превращен в мощное орудие Шау-
дером и Лере1).
Вместо общей теории, развитой Шаудером и Лере, мы восполь-
воспользуемся только частным результатом, известным под названием тео-
теоремы Шаудера о неподвижной точке.
Если Т — непрерывное отображение замкнутого выпуклого
компактного множества в банаховом пространстве в себя,
то Т имеет неподвижную точку.
Эта теорема доказывается в § 15 приложения к этой главе, где
определяются „выпуклые компактные множества в банаховом прост-
пространстве".
Рассмотрим квазилинейное эллиптическое уравнение
А(х, у, z)zxx-\-2B(x, у, z)zxy + C(x, у, z)zyy = 0 (I)
в ограниченной области О, граница которой состоит из конечного
числа отдельных замкнутых кривых Г. Предположим, что область
О — гладкая (в смысле § 7, п. 1, стр. 333) и что ср — гладкая функ-
функция, определенная на границе Г. Здесь гладкость области О и функ-
функции ср можно следующим образом описать в терминах длины дуги s
на кривой Г. Функции x(s), y(s), определяющие граничную кривую,
и функция cp(s) имеют первые и вторые производные, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию Гёльдера с показателем а, 0<а< 1. При некоторых
условиях, наложенных на коэффициенты А, В, С (эти условия будут
указаны ниже), мы ищем решение z (х, у) уравнения A), равное ср
на Г. Согласно принципу максимума, любое решение будет удовле-
удовлетворять неравенству
z | < max | ср I = Мо.
Поэтому мы будем рассматривать А, В, С, определенные для х, у
из O-f-Г и | z | <! Мо, и наложим на них следующие условия:
(а) Ас? + 2S;t) -f- Cif "^ m Q? -f- if) для всех действительных \, ту,
(б) \А\, \В\, \С\4.М;
(в) А, В, С удовлетворяют по х, у, z условию Гёльдера с пока-
показателем а и коэффициентом М. (Здесь m, M и а — некоторые поло-
положительные постоянные.)
Применяя теорию Шаудера для линейных эллиптических уравне-
уравнений, изложенную в § 7, мы докажем следующую теорему существо-
существования.
При условиях (а), (б), (в) и указанных выше условиях, нало-
наложенных на область О и функцию ср, существует решение
z(x, у) уравнения A), равное у на Г. Кроме того, z принад-
принадлежит пространству С?+а (см. § 7, п. 1).
') См. Лере и Шаудер [1].
§ 9. Краевая задача для квазилинейного уравнения 357
Доказательство основано на априорной оценке для решений ли-
линейного эллиптического уравнения вида
L[u]==a(x, у) ихх + 2Ь(х, у)иху + с(х, у) иуу = О B)
в ограниченной области О, граница которой состоит из конечного
числа замкнутых кривых с непрерывно вращающейся касательной.
Кроме того, мы предположим, что область О обладает следующим
свойством: для некоторого положительного числа R и любой точки Q
на границе Г существует круг радиуса <R, пересечение которого
с G-j-Г состоит из одной только точки Q. Мы предположим также,
что коэффициенты а, Ь, с удовлетворяют условию Гёльдера по х
и у и что уравнение равномерно эллиптическое, т. е. что для неко-
некоторых положительных постоянных т и М в области О выполняются
неравенства
аЧ2 + 2?>>7j + ct]2> m(^+7]2)) i^ \b\t |С|<Ж. C)
Априорная оценка. Пусть и — решение уравнения B), не-
непрерывное в G-f-Г вместе со своими первыми производными. Пред-
Предположим, что в G-\-Y существует дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемая функция и, равная и на Г, причем ее первые и вторые произ-
производные в G-1-Г ограничены величиной К. Тогда существует постоян-
постоянная k, зависящая только от т, М и G (т. е. не зависящая от коэф-
коэффициентов), такая, что
KI. |«УК*К D)
всюду в О. Мы установим эту априорную оценку в настоящем пара-
параграфе.
Чтобы применить эту общую оценку к нашему нелинейному
уравнению, мы заметим сначала, что, в силу предположений о глад-
гладкости области О и функции <р, легко построить в О—(- Г непрерыв-
непрерывную функцию z, равную ср на Г и такую, что ее первые и вторые
производные ограничены по абсолютной величине некоторой постоян-
постоянной К и непрерывны в G-j-Г и О соответственно1). Если теперь
мы будем рассматривать искомое решение z уравнения A) как реше-
решение линейного уравнения вида B) с а(х, у) — А(х, у, z(x, у)) и
т. д., то, в силу оценки D), получим
\гх\, \zy\^kK. E)
Заметим далее, что если функция z имеет в G-f-Г непрерывные
первые производные, ограниченные величиной кК, то она удовле-
удовлетворяет условию Липшица
для всех Р, Q из
') См., например, Миранда [1J. —Прим. ред.
358 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
где у. — постоянная, зависящая только от области О Докажем сфор-
сформулированную выше теорему существования. Рассмотрим банахово
пространство Со (см. § 7, п. i) функций z, непрерывных в О-(-Г,
с нормой
||г|| =:max| z\.
Обозначим через 5 подмножество функций z из Со, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию
|z|<max|<p|
и условию Липшица
I <vkK для всех A Q из
Легко видеть, что S — компактное выпуклое1) множество в Со.
После этой подготовки мы переходим к типичному итерационному
процессу: если в коэффициенты уравнения A) А(х, у. z), В(х. у, z)
и С{х, у, z) вместо z подставить некоторую функцию г (я, у) из
множества 5, то А, В, С перейдут в функции а, Ь, с, зависящие
только от х и у. Из того, что А, В, С удовлетворяют условию
Гёльдера [условие (в)], и из оценки F) следует, что функции а, Ь, с
удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а и с некоторым
фиксированным коэффициентом, не зависящим от функции z(x, у).
Если такая функция z(x, у) подставлена в коэффициенты, то
можно решить линейное эллиптическое уравнение
А(х, у, z(x, y))axx-{-2B{x, у, z(x, y))uxy +
+ С(х, у, z(x, y))uyy = 0
при условии, что функция и на Г равна ср. Из первой теоремы
§ 7, п. 2 следует, что это возможно. Здесь мы используем предпо-
предположения о „гладкости" О и <р. Решение и единственно; оно при-
принадлежит пространству С2.ы и удовлетворяет неравенству | и | ^ max | ср|.
Согласно априорной оценке, и удовлетворяет условию E) и, сле-
следовательно, F), так что и принадлежит S. Таким образом, преоб-
преобразование и=Т [z], определенное как „разрешающий оператор" нашего
линейного уравнения, является преобразованием S в себя.
Если мы теперь покажем, что преобразование Т непрерывно, то,
в силу теоремы Шаудера о неподвижной точке, Т будет иметь не-
неподвижную точку z. Тогда z принадлежит С2 + я и является искомым
решением уравнения A). Чтобы доказать непрерывность преобразо-
преобразования Т, рассмотрим последовательность \zln)\ функций, принадле-
принадлежащих 5, равномерно сходящуюся к функции z из 5, и положим
') Определечче компактного выпуклого множества см. в приложе-
приложении, § 15, стр. 402.
§ 9. Краевая задача для квазилинейного уравнения 359
и"' =*= Г[г('"|. Функции и(п) являются решениями уравнений, коэффициен-
коэффициенты которых удовлетворяют условиям (а), (б) и равномерно удовлетво-
удовлетворяют условию Гёльдера, не зависящему от п. Кроме того, и1'" j^max \y\.
Применяя оценки Шаудера вплоть до границы, мы видим, что нормы
i^'IL+a равномерно ограничены. Поэтому мы можем выбрать такую
подпоследовательность и(п), которая сходится вместе со своими пер-
первыми и вторыми производными к некоторой функции и и ее соот-
соответствующим производным. Но тогда и удовлетворяет предельному
дифференциальному уравнению
А{х, у, z{x, у))ихх + 2В(х, у, z(x, у))иху +
+ С(х, у, г(х. у))иуу^0
и равняется 9 на Г, т. е. u~T[z]. Таким образом, подпоследова-
подпоследовательность {и'п)} сходится к T[z]. Из единственности предельной
функции следует, что исходная последовательность {и'-п)} сходится
к T[z\, таким образом, установлена непрерывность Т.
В заключение этого параграфа мы выведем априорную оценку D).
Наше доказательство делится на две части. Сначала мы покажем,
что функции их и иу принимают наибольшее и наименьшее значение
на границе. Затем мы установим справедливость неравенства D)
во вгеч граничных точках, откуда следует, что D) выполняется
воюду в О.
Мы докажем принцип максимума для их и му и предположении,
что коэффициенты уравнения B) удовлетворяют условию Гёльдера.
(Можно дать другое доказательство, опирающееся только на эллип-
эллиптичность уравнения, т. е. на условие C).) Достаточно рассмотреть
функцию их и показать, что ее максимум в любом круге D, лежащем
в области G, достигается на границе. (Отсюда затем следует, что
также и минимум их достигается на границе.)
В случае, когда и имеет непрерывные третьи производные, а
коэффициенты а, Ь, с один раз дифференцируемы, мы разделим
уравнение B) на с, продифференцируем результат по х и получим,
что функция ul = ux удовлетворяет эллиптическому дифференциаль-
дифференциальному уравнению
к которому применим принцип максимума из § 6, п. 4; это и дает
требуемый результат.
Если коэффициенты а, Ь, с удовлетворяют только условию
Гёльдера в круге D, то мы можем равномерно аппроксимировать
их дважды дифференцируемыми функциями а , Ьп , с , удовлетво-
360 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
ряющими равномерно по п условию Гёльдера. В силу теории Шау-
дера для линейных уравнений, уравнения
с условием и'-п) = и на границе D имеют в D решения и<"\ равно-
равномерно сходящиеся к и. Кроме того, и^)->их, и{уп)-> иу. Так как
коэффициенты а(п), Ь{п\ с(л) дважды дифференцируемы, функции и{п)
обладают непрерывными третьими производными (см. § 7, п. 4).
Следовательно, можно применить предыдущее рассуждение и сделать
вывод, что max «(">, а следовательно, и max и,., достигается на гра-
границе D.
Чтобы показать, что на границе выполняется условие D), положим
w = и—и. Так как функция w обращается в нуль на Г и удовле-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
i [да] ==-?[«]=/
и так как, в силу условий, наложенных на и,
1/КЗМ/С, G)
функция w и область О удовлетворяют всем условиям леммы, сформу-
сформулированной в конце § 7, п. 3. Мы делаем вывод, что на Г
где k2—постоянная, зависящая только от nt, M и области О.
Следовательно,
K на Г,
что и дает требуемое неравенство D) на границе.
§ 10. Решение эллиптических дифференциальных уравнений
с помощью интегральных уравнений
Мы дополним предыдущие параграфы кратким обзором иного
метода решения эллиптических дифференциальных уравнений с част-
частными производными, который является обобщением метода инте-
интегральных уравнений, изложенного в § 4, п. 3').
Применение интегральных уравнений подсказывается общими
соображениями функционального анализа, которые по многим поводам
явно или неявно применяются в этой книге.
') Этот метод, основанный на понятии „параметрикс", был введен
Э. Леви [1], а затем Гильбертом (см. [1], стр. 1—65). Его упрощенное изло-
изложение, а также полные результаты и доказательства имеются в работе
Джона [1].
§ 10. Решение с помощью интегральных уравнений 361
Мы рассмотрим линейный эллиптический дифференциальный опе-
оператор L[u]—f и попытаемся найти обратный оператор
где /—произвольная функция из должным образом определенного
функционального пространства (например, функция / непрерывна
в О-)-Г), а функция и должна удовлетворять некоторым граничным
условиям (например, и = 0 на Г, если L — оператор второго порядка).
Дифференциальный оператор L[u] преобразует одну функцию
в другую, L[u\=f, обычно менее гладкую, например, преобразует
дважды непрерывно дифференцируемую функцию в функцию только
непрерывную. Точнее, он преобразует функциональное простран-
пространство S, к функциям которого он применяется, в более широкое
функциональное пространство 5. Наоборот, обратное преобразо-
преобразование LT [/] преобразует 5 в его подпространство 5; в этом смысле
(как и в более точном смысле, основанном на понятии нормы, см. § 7),
это сглаживающее преобразование. С таким сглаживающим преобра-
преобразованием в принципе проще иметь дело. В нашем случае предста-
представление сглаживающего преобразования LT в виде интегральных опе-
операторов, которые могут привести к сходящимся процессам теории
Фредгольма для нахождения решения и (см. т. I, гл. III), дости-
достигается аналитическими методами.
1. Построение частных решений. Фундаментальные решения.
Параметрикс. Сначала мы рассмотрим случай линейного дифферен-
дифференциального уравнения второго порядка относительно функции и(х, у)
двух независимых переменных и предположим, что это дифферен-
дифференциальное уравнение имеет вид
L[u] ззки-\-аих-\-Ьиу -\-си — f, A)
где функции а, Ь, с, / непрерывно дифференцируемы в О-}-Г.
В случае аналитических коэффициентов а, Ь, с вопрос о суще-
существовании решений уравнения A) в достаточно малых областях О
решается положительно с помощью теоремы существования Коши —
Ковалевской (гл. I, § 7, п. 4). Однако при меньших ограничениях,
наложенных на функции а, Ь, с, /, доказательство существования
хотя бы частного решения уравнения A) требует уже других мето-
методов; например, можно применить следующий метод, принадлежа-
принадлежащий Э. Леви.
Мы рассмотрим функцию
ф (*, У, I г]) = ~ log УГх — V2-h(y-ri? = - log r, B)
которая называется параметрикс. Это функция х, у и точки-пара-
точки-параметра E, rf), причем в точке л: = 5, у = ?] она имеет характеристиче-
362 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
скую особенность, соответствующую главной части Дм оператора L [и].
Параметрикс не удовлетворяет дифференциальному уравнению, но
функция L [ф1 при х — \, у — г), имеет особенность только первого
порядка относительно 1/г.
Интеграл
J [(х, у; =, у})рE, т])d\dr, C)
с произвольной непрерывно дифференцируемой функцией р(лг, у),
а также более общее выражение
r{ D)
не будут удовлетворять уравнению A), если ш—трижды непрерывно
дифференцируемая в О, а в остальном произвольная функция. Однако,
соответствующим образом подбирая функцию р при заданном со, мы
сможем построить функцию и, удовлетворяющую уравнению A).
Чтобы доказать это, подставим выражение D) б уравнение A).
В силу предположений о дифференцируемости о, мы имеем (см. т. I,
гл. V, § 14, п. 5)
Ди = Дсо — 2ир
и, следовательно,
L[a} = L[w]~ 2uP4- Г f (вф,+ ^у + с<ЮР«. 7[)d\df[.
Если мы для краткости положим
К(х, у; I ri)=-^(a^ + b^ + c^ =
= -~[а(х, у)^^ Н- Ъ (х, у) ^=^ -+- с (х, у) log г] E)
и
? (L\]f)
то мы получим для р интегральное уравнение
(X, у, 5, Tj)p($, 7])d;flf7l + g(x, у). F)
К этому уравнению нельзя непосредственно применить теорию Фред-
гольма, так как в точке х = 5. у = vj ядро /С обращается в беско-
§ 10. Решение с помощью интегральных уравнений 363
нечность, как 1/г, и, следовательно, не является интегрируемым с квад-
квадратом, но легко видеть, что итерированное ядро
К2(х, у; I rl) = jJK(x. у; s, t)K(s, t; I ri)dsdt
a
интегрируемо с квадратом. Поэтому вместо уравнения F) мы рас-
рассмотрим сначала итерированное интегральное уравнение
'2(х, у; S, т|)р($. 7^)й?$й?7]-[- h (x, y), G)
о
где
= g+ f fK(x, у; 6.
Для этого уравнения справедливы теоремы Фредгольма.
Однородное интегральное уравнение, соответствующее уравне-
уравнению G).
К2(х, у; к, 7i)p(?, i\)d%dr\, (8)
о
может иметь решение р, не обращающееся тождественно в нуль,
только при условии, что
о L о
К\(х, у; 5 ij]
J
Поэтому, если мы выберем область О достаточно малой, так что
значение интеграла в левой части неравенства будет меньше 1, то
уравнение (8) будет иметь только одно решение р = 0.
Функция g(x, у) = (l/2ir)(.Z, [со] — /) непрерывна и непрерывно
дифференцируема в О; поэтому то же самое справедливо для функ-
функции h (х. у), так как теорема, доказанная в § 1, п. 2, стр. 248 для
трех переменных, справедлива также для двух переменных.
Таким образом, из теорем Фредгольма мы делаем вывод: для
достаточно малой области О и произвольной функции h суще-
существует решение интегрального уравнения G). Это решение не-
непрерывно дифференцируемо и удовлетворяет исходному интеграль-
интегральному уравнению F). Действительно, если мы положим
v = g + f f К(х, у; I T))p(S, ^did-q, (б')
о
то уравнение G) означает, что
364 Гл. IV. Теория потенциала и эллиптические уравнения
После умножения на К и интегрирования получаем
или
т. е. функция v также удовлетворяет уравнению G) и в силу един-
единственности должна совпадать с р. Но для г> = р уравнение F') совпа-
совпадает с интегральным уравнением F).
Если мы подставим это р(х, у) в выражение D),
JJ(a;, у;
о
то получим, что
uj f f
т. е. и является решением уравнения A) с непрерывными в О про-
производными вплоть до второго порядка, зависящим от произвольной
функции св. Таким образом, мы доказали существование решений
нашего дифференциального уравнения в достаточно малой области G.
В частности, если мы положим
ш = - юг У(х - хоу+(у — Уог
и выберем в качестве О достаточно малую область О*, лежащую
в окрестности точки (х0, у0) и такую, что сама точка (х0, у0) исклю-
исключена из нее с помощью малого круга радиуса 8, то, согласно только
что полученному результату, мы найдем в области О* решение вида
У)=~ log У(Jt - *0J + (У —
Легко показать, что при 8->0 функция р* стремится к функции р,
такой, что интеграл
а
обладает в предельной области О непрерывными производными вплоть
до второго порядка. Тогда функция
К (х, у, х0, у0) = - log Y(x — xof -1- (у — у0J +
(*. У. 5. 1)рE. ¦«OdUTj (9)
§ 10. Решение с помощью интегральных уравнений 365
удовлетворяет уравнению L [f] — / всюду в G, за исключением точки.
'х = х0, у — у0; кроме того, так как функция f — log \jr регулярна
всюду в О, то i(x, у; х0, у0) является фундаментальным решением
уравнения A).
2. Дальнейшие замечания. Характерная трудность, возникаю-
возникающая при применении этого метода, состоит в том, что ядро полу-
полученного интегрального уравнения имеет особенность. В нашем случае
эту трудность удалось обойти путем перехода к итерированному
интегральному уравнению, но лучше модифицировать метод1) так,
чтобы его легче было применять. Мы можем заменить введенную
выше „параметрикс" <|> другой функцией t]/(je, у; \, ?]), для которой
выражение L [ф/] при х = %, У—7] имеет особенность более низкого
порядка чем ?[ф], и пользоваться далее функцией Ф'.
Метод параметрикс, обобщенный в указанном выше смысле, можно
распространить на любое число независимых переменных, а также на
дифференциальные уравнения высших порядков и системы уравнений.
Детали и дальнейшие применения этого метода к решению крае-
краевых задач читатель может найти в соответствующей литературе1).
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ IV
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Относительно краевых задач для общих нелинейных уравнений
в случае более чем двух независимых переменных известно мало2).
Такое уравнение имеет вид
F(*i х„, и, и, а„, ип ипп) = 0, A)
') См. Джон [1].
2) Мы отсылаем читателя к работам, указанным в п. 5, § 4, и даем здесь
несколько дополнительных ссылок. Для случая п = 2 получено много резуль-
результатов. Отметим сначала основную работу Морри [3]. По связанным с ней
вопросам см. Ниренберг [3, 1], Морри [4] и библиографию в этих статьях,
а также Берс и Ниренберг [1, 2]. В работе Хейнца имеются дальнейшие
ссылки, в частности, на работу А. В. Погоралова. По поводу уравнений
типа Монжа — Ампера мы уже ссылались в § 7, п. 5 на статью Хейнца [2],
где есть ссылки на работу Г. Леви.
Мы отметим также работу А. Д. Александрова [1], касающуюся та-
таких же уравнений в случае большего числа измерений.
В связи с уравнениями дозвукового течения в газовой динамике см. ра-
работу Берса [3], которая содержит обширную библиографию.
Относительно большего числа измерений см., кроме того, Кордес [2],
см. также работу Финна и Гилбарга [1] и Киселева и Ладыженской [1].
[Обзор результатов имеется в докладе Ниренберга „Некоторые вопросы тео-
теории линейных и нелинейных уравнений в частных производных", УМН, 18,
4 A963), 101— 118. — Прим. ред.]
366 ¦ Приложение к гл. IV.
причем мы предполагаем, что F—дважды непрерывно дифферен-
дифференцируемая функция своих р = -_- (га2 -f- га) -f- 2га -f- 1 аргументов в не-
некоторой р-мерной области.
1. Теория возмущений. Рассмотрим функцию и— такое решение
уравнения A) в гладкой области О (в смысле гл. IV, § 7, п, 1),
для которого уравнение A) является эллиптическим. Без ограничения
общности мы можем считать, что #==0; тогда матрица
дР
i х„. 0 0))
должна быть положительно определенной в каждой точке области О.
Пусть
Ж*1 хп, и, их и„, «п ипп)
— заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция. Мы ста-
ставим следующий вопрос. Существует ли при достаточно малых s
решение уравнения
F(xv х2 хп, и, «j ип, ап, .... иап) =
= sR(x1 хп, и, их ип, аи, ..., аяя), B)
равное ср на Г, для которого ||<р||2+а<е (см- гл. IV, § 7, п. 1)?
В случае, когда
|?(*,. .... хп. 0 0)<0.
ответ утвердительный.
Чтобы доказать это утверждение, мы запишем уравнение в виде
п
L[u]—F(xv ..., х„, и, н,, ..., и„, нп «„„)
v .... х„, и, «! ип, ип, ..., «n/I) = Q[
•?аким образом, мы оставляем в левой части уравнения линейные
члены, т. е. члены первого порядка в разложении функции F по а
и ее производным, а из нелинейных частей составляем оператор Q[u].
Нелинейные уравнения 367
Теперь мы с помощью рекуррентноЧ формулы определим последо-
последовательность функций ит, удовлетворяющих условиям
= у на Г (т= 1, 2, ...)
Существование решения ит следует из теории Шаудера (гл. IV, § 7, п. 2)
и из предположения, что dF/du ^0.
С помощью оценок Шаудера (гл. IV, § 7, п. 1) нетрудно по-
показать, что для достаточно малых е функции ит сходятся к реше-
решению уравнения B).
Аналогичная теорема о возмущениях для эллиптических уравне-
уравнений произвольного порядка доказана в работе Агмоиа, Дуглиса,
Няренберга [1] в качестве примера применения оценок Шаудера
к таким уравнениям.
2. Уравнение \a=f(x, и). Мы рассмотрим краевую задачу
\u = f(xv х2 хп, u) = f(x, и), и —у на Г, C)
где функция / определена и имеет непрерывные производные для
всех х из C-f Г и для всех и.
а) В предположении, что функция / ограничена,
|/(*. e)|<W, D)
мы докажем, что уравнение C) имеет решение.
Мы будем предполагать, что граница и граничные значения ср
гладкие (в смысле гл. IV, § 7, п. 1), и даже, что ^ = 0. Действи-
Действительно, полагая u = v -\- h, где h — гармоническая функция, рав-
равная ср на Г, мы получим следующую краевую задачу для функции v:
v=0 па Г.
Если область не является достаточно малой, то решение задачи C)
не обязательно единственно. Рассмотрим, например, в случае одного
независимого переменного х уравнение uxx — f(u) на отрезке
0 <С1 х <С 2л, где / (и)—ограниченная функция, равная —и для
— 1 ^ и ^ 1. Функции и — к sin х, \к\ .< 1, являются решениями этого
уравнения, равными нулю в концах отрезка. Аналогичные примеры
можно построить для любого числа измерений.
Прежде чем возвращаться к решению уравнения C), мы напом-
напомним одно неравенство, справедливое для всех функций и. непрерыв-
непрерывных в G -\- Г, равных нулю на Г и обладающих в О непрерывными
368 Приложение к гл. IV.
первыми !i вторыми производными, а именно: для любой ком-
компактной подобласти Л области G мы имеем
ди
fi-i о y ^^ /* С11П I Л // I (^~\\
11J ал ~jr ^^ С ollU Ujh , \{J I
л Oxi a
где постоянная с зависит от Л и G. (Справедлива и более силь-
сильная форма неравенства E), где область Л заменена на G.) Чтобы
установить неравенство E), мы заметим, что если К (х — у) является
l ~n
фундаментальным решением уравнения Лапласа (K(x) — Q\x
для п > 2, К(x) — Qlog\x\ для я = 2, где Q — некоторая посто-
постоянная, зависящая от п) и если С (у) — дважды непрерывно диффе-
дифференцируемая функция, тождественно равная 1 в Л и равная нулю
на Г и в некоторой окрестности Г, то
и {х) = / С (у) К (х - у) Дуй (у) dy - j и (у) Ду (С (у) К (х - у) )dy,
а
Можно показать, применяя результаты гл. IV, § 1, п. 2, что
ди
max
л
; С sup | Ди |-Ь supI и |,
а а
где С — некоторая константа. Однако, так как функция и обра-
обращается в нуль на Г, из неравенства A3) гл. IV, § 6 мы полу-
получим, что |и|<С К sup| Дм|; если мы подставим это неравенство в пре-
предыдущую оценку, то получим E).
Решение задачи C) можно получить с помощью теоремы Шаудера
о неподвижной точке (см. гл. IV, § 7), но мы дадим другое дока-
доказательство, где применяются итерации. Пусть v(x) — решение за-
задачи
Дг> = — N, v — 0 на Г,
где число ./V взято из формулы D). В силу принципа максимума
из гл. IV, § 6, п. 4, мы получаем, что v^-О. Положим
k — sup(df(x, и)/ди) для всех х из G и —max и <; и ^ max v,
так что
/С*, в) —/(*, да)—*(«—да)>0 F)
для —тахи <; м <;да<; тахи.
Мы получим решение задачи C) как предел последовательности
функций иту определенных уравнениями
М«т] = Дят — kum = f(x, um_^) — kum_v ит = 0 на Г, uo = v. G)
Согласно теории Шаудера (гл. IV, § 7, п. 2), такие функции су-
существуют. Сначала мы заметим, что
L[u1] = f(x, v) — kv> — N — kv — L [v].
Нелинейные уравнения 369
Применяя принцип максимума, мы видим, что их <^ vt Из вытекаю-
вытекающего отсюда неравенства
Дм, = k(u1 — v)-\-f(x, г»)<N = — Ди
получаем, что м, > — г>, так что
— г> <; к, <; v.
По индукции мы покажем, что
— «<«m<«m-,<« (/«=1,2,...). (8)
Убедившись, что неравенство (8) справедливо для /ге=1, предпо-
предположим, что оно выполняется для некоторого /и. Тогда, согласно F),
— ит] = /(*, um) — f(x, Mm_i) —й(мт —мт_1)>0;
таким образом, согласно принципу максимума, ит+1 ^ ит. Следо-
Следовательно,
bum+1==k(um+1 — um) + f{x, ит)<ЛГ = —Дг>,
так что снова в силу принципа максимума —v^.um+v т. е. спра-
справедливо неравенство (8) для т -j- 1; поэтому оно справедливо для
всех т.
Функции \ит\ равномерно ограничены и, следовательно, в силу
условий G), то же самое верно относительно значений |Дит|. Из
неравенства E) тогда следует, что первые производные функций ит,
а следовательно, в силу равенства G), и первые производные от Дмт,
равномерно ограничены по абсолютной величине на всех компактных
подмножествах JL множества G. В силу внутренних оценок Шау-
дера (гл. IV, § 7) вторые производные функций ит также равно-
равномерно ограничены по абсолютной величине и равностепенно непре-
непрерывны в любой компактной подобласти. С помощью теоремы Арцела
(и обычного диагонального процесса) отсюда получается, что неко-
некоторая подпоследовательность \ит } сходится (вместе со своими про-
производными вплоть до второго порядка) в области G к функции и
(и ее соответствующим производным). Но так как последователь-
последовательность [ит] монотонна, то вся последовательность сходится к и.
Пусть в формуле (8) т->оо\ мы видим, что —v^u^v, следо-
следовательно, если мы положим и = 0 на Г, то функция и будет непре-
непрерывна в G-f-Г. Переходя к пределу при т—>со в формуле G), мы
делаем вывод, что и является решением задачи C).
Легко видеть, что построенное решение а является наибольшим
из решений. Действительно, если w — некоторое решение задачи C),
то из принципа максимума следует, что |вд|^г/, и по индукции,
что
370 Приложение к гл. IV.
Если бы мы начали итерационный процесс с н0 = — v, мы по-
получили бы наименьшее решение.
б) Рассмотрим снова задачу C) в более общих предположениях,
а именно, считая, что/(л;, u) — fx(x, u)-\-f2(x, к), где величина |/2|
ограничена и д/1/ди^-0. (Примером может служить встречающийся
во многих математических и физических задачах случай, когда
f = eu.) Как и раньше, мы можем предполагать, что ср = О.
Согласно теореме о конечных приращениях, мы можем записать
задачу C) в виде
Ди — ^-(х, u)u—fx(x, 0) + /2(лг, и), и = 0 на Г;
здесь и{х) находится между 0 и и(х). Если применить к уравне-
уравнению с левой частью L[u] неравенство A3) из гл. IV, § 6, то полу-
получится оценка
2(лг, и)|< Ж. (9)
Мы найдем решение задачи C), рассмотрев несколько измененную
задачу, к которой мы сможем применить результат а). Пусть и (и) —
непрерывно дифференцируемая монотонно возрастающая функция,
определенная для —оо < и < оо и такая, что и (и) —и для |м|^уМ
и |и(и)|<^2М для всех и. Рассмотрим модифицированное уравнение
с функцией f1(x, «)s=/j(Ar, и (и)) в правой части:
tM—fx(x, u)-j-f2(x, u)~f(x, и), м = 0 на Г. C')
Ясно, что dfjdu )-0 и что fx (х, 0) = fx (x, 0). Из неравенства (9)
следует, что решение задачи C') не больше М по абсолютной вели-
величине и, следовательно, является решением задачи C). Заметим те-
теперь, что для некоторой константы TV имеем
|/(х, «)|< sup
1и|<2Ж
и в силу а) сделаем вывод, что задача C'), а следовательно, и C)
имеет решение.
Если df/du ^ 0, то решение задачи C) единственно, согласно
общей теореме единственности (гл. IV, § 6, п. 2). В этом случае
для решения задачи C) можно также применять метод продолжения
по параметру, рассматривая для 0 <^ t ^ 1 однопараметрическое се-
семейство задач
Ди = */(*, и), и —0 на Г. C")
При ? = 0 решением является и = 0. Согласно рассуждениям
в пункте а), множество Т тех значений t, для которых задача C")
имеет решение, принадлежащее С2+а (см. гл. IV, § 7, п. 2), открыто.
Нелинейные уравнения
371
Чтобы завершить доказательство, нам надо только показать, что Т
замкнуто; тогда множество Т, будучи непустым и одновременно
замкнутым и открытым, совпадает со всем отрезком.
Чтобы убедиться в том, что множество Т замкнуто, выберем
последовательность ит решений задачи C"), соответствующих зна-
значениям tm, стремящимся к некоторому t\ мы должны показать, что
задача C") имеет решение для t. Согласно оценке (9), функции \ит\,
а следовательно, и \/(х, ит)\ равномерно ограничены. В силу нера-
неравенства E) (в его сильной форме) первые производные от функ-
функций ит, а следовательно, и от f(x, um{x)) равномерно ограничены
по абсолютной величине. Применяя оценки Шаудера и теорему Ар-
цела, мы получаем, что некоторая подпоследовательность последо-
последовательности ит сходится к решению и задачи C"); этим заканчи-
заканчивается доказательство существования методом продолжения по па-
параметру.
в) Вообще говоря, можно доказать разрешимость краевой задачи
для дифференциального уравнения
ku = f(xl хп, и, Mj ип) = F [и], A0)
если только основная область G выбрана достаточно малой.
Мы ограничимся случаем, когда G — шар радиуса R и и = 0 на Г,
причем будем предполагать, что функция / непрерывна и имеет пер-
первые производные по всем аргументам.
Заметим сначала, что из сильной формы неравенства E) сле-
следует, что
ди - nsup|&a|, A1)
max
дх>
где константа с зависит только от числа измерений п.
Мы покажем, что для достаточно малых R последовательность
функций, определяемых формулами
= 0 на Г,
=1, 2, ...
(т)
сходится к решению уравнения A0).
Введем норму (см. гл. IV, § 7, п. 1)
[|#||j = max \u\ -f-max
да
дХ;
и обозначим через (а положительную константу,
\ \
р ( у у
величины |/|, \df[du\ и \df/dut\ (i=l, 2
Если [| и (и) Hi <^ 1. то, согласно A1), мы получаем, что
ди(т+\)
ограничивающую
п) при 1*4 < 1.
дх.
372 Дополнение к гл. IV.
и, следовательно, так как и(,„'+1) = 0 на Г, \{ )\
Если мы выберем R таким, что cR\i-f- c/?2jj. -< 1, то по индукции
установим, что вообще ||и(;-) ||, < 1. Применяя теорему о конечных
приращениях, мы, кроме того, получим
| Д (И(,л + 1) — М(Я,))| < I F \Щт)\ — ^ l«(m-l)l < «Н- ||«(т) — «(m-l)lll-
Из A1) мы заключаем, что
Ограничив /? еще и требованием, чтобы было (с/? -|- cR2) tip ^ у,
мы будем иметь
|| U(m + 1) — U{m) [Ij < у || й(т, — й(т_ 1) ||,
и, следовательно,
|| и(т+1, — и(т) ||, < 2"т || «(I,
откуда следует, что функции и(ш) и их первые производные равномерно
сходятся к некоторой функции и и ее соответствующим производ-
производным. Нетрудно показать (см. § 1, п. 2.), что , т равномерно удо-
удовлетворяют условию Гёльдера во всякой компактной подобласти
области G.
С помощью внутренних оценок Шаудера мы легко устанавливаем,
что вторые производные функций И(Ш) также равномерно сходятся
во всякой компактной подобласти из G и, следовательно, функция а
в области О имеет непрерывные вторые производные и удовлетво-
удовлетворяет уравнению A0).
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ IV
ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ
НА ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ')
Теория уравнения Лапласа на плоскости по существу эквивалентна
теории аналитических функций комплексного переменного. Произ-
Произвольному линейному дифференциальному эллиптическому уравнению
с частными производными второго порядка относител! нэ функции
двух независимых переменных можно поставить в соответствие тео-
теорию обобщенных аналитических функций, или, как их еще называют,
') Это дополнение принадлежит Липману Берсу.
§ 1, Определение псевдоаналитических функций 373
псевдоаналитических функций. Мы вкратце опишем основные факты
этой теории :), а также укажем на другие связи между теорией функ-
функций и эллиптическими уравнениями.
? /. Определение псевдоаналитических функций
Сначала мы напомним, каким образом аналитические функции
связаны с уравнением Лапласа. Пусть Ф(х, у)— гармоническая функ-
функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа
дф = ф _j_ ф — о
Положим и = Фх, V — — Фу. Тогда функции и (х, у), v(x, у) удо-
удовлетворяют уравнениям Коши—Римана
ux — vy — 0, uy-\-vx — 0,
так что комплексный градиент w = u-\-lv является аналитической
функцией комплексного переменного z — x-\-iy. Кроме того, сами
функции и и v также являются гармоническими. С другой стороны,
можно найти сопряженную к Ф гармоническую функцию ч7 из урав-
уравнений Коши — Римана
Ф — W — О
Ф -4-ЧГ =0
Функция Ф является действительной частью комплексной аналитиче-
аналитической функции И = Ф -j- iW. Функции 2 и w связаны соотношением
w (z) = dQ (z)/dz.
Рассмотрим теперь общее линейное дифференциальное уравнение
с частными производными эллиптического типа
а 1 №г + 2а 12?Ц -h «22?^ Н- а 1<Р? + a2<fTj -f flocp = 0. A)
Предположим, что в рассматриваемой области старшие коэффи-
коэффициенты atj(Q,'ri) обладают первыми производными, удовлетворяющими
условию Гёльдера, и что уравнение имеет положительное реше-
решение сро(?, т)). Если мы введем новые независимые переменные х = х(%, tj),
у=г=у(?, к)), такие, что отображение E, у\)->(х, у) является гомео-
гомеоморфизмом2), удовлетворяющим уравнениям Бельтрами (см. гл. III.
§ 2 и гл. IV, § 8), связанным с метрикой
я22di2 — 2а12dtdri-f- aurfr,2,
') Эту теорию разработал Л. Берс; независимо она была развита
И. Н, Векуа. Изложение этой теории дано в работе Берса [1] вместе с под-
подробной библиографией. См. также И. Н. Векуа [1].
2) Гомеоморфизм — это топологическое отображение; оно взаимно одно-
однозначно, непрерывно и имеет непрерывное обратное отображение.
374 Дополнение к гл. IV.
и если мы введем также новую неизвестную функцию Ф=ср/ср0, то
уравнение A) примет канонический вид
ДФ + а(х, у)Фх + $(х, У)ФУ = О. (Г)
В дальнейшем мы будем рассматривать только такие уравнения.
Как и ранее, положим и = Фх, v = — Фу. Эти функции удовле-
удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
ах — vv = — аи -f- fte/,
«, + ^ = 0. B)
которая является частным случаем эллиптической системы
ux — vy = o.nu-{-a.l2v,
"y + ^ = a21M + a22'y;
такие системы впервые были изучены Гильбертом и Карлеманом.
Применяя комплексные обозначения, введенные в гл. IV, § 8, мы
можем записать систему C) в виде
w- — a (z) w -f• b (z) w, D)
где
4a = ж,, -j- a.n -\- ia21 — /a12, 4* = an — a22 -|- fx21 + io.12.
Непрерывно дифференцируемое решение уравнения D) мы будем
называть псевдоаналитической функцией первого рода, опреде-
определенной системой C), или еще [а, 6]-псевдоаналитической функцией.
Комплексный градиент любого решения уравнения (!') является
[а, а]-псевдоаналитической функцией, причем 4а = —a — 1ф.
С другой стороны, в § 4 мы покажем, что если задано уравне-
уравнение вида (Г), то мы при весьма общих предположениях можем найти
две действительные функции т(л% у) и а(х, у) > 0, удовлетворяющие
уравнениям
(эта система также имеет вид C)). Из этих соотношений видно, что
уравнение A') эквивалентно эллиптической системе
• (Ь)
аЬ — ^Тд- = — ф*;
уравнение может быть получено из системы с помощью исключе-
исключения <Ь. Функция <р —)— /ф, соответствующая решению системы вида F)
с коэффициентами, удовлетворяющими условию Гёльдера, называется
псевдоаналитической функцией второго рода, связанной с этой
§ 2. Одно интегральное уравнение 375
системой. Таким образом, любое решение уравнения (Г) является
действительной частью псевдоаналитической функции второго рода.
Заметим, что линейная комбинация двух псевдоаналитических функ-
функций с действительными постоянными коэффициентами снова является
псевдоаналитической, но произведение двух таких функций, вообще
говоря, не является псевдоаналитическим.
Ниже мы покажем, что псевдоаналитические функции имеют важ-
важные свойства, общие с обыкновенными аналитическими функциями,
и что псевдоаналитические функции первого и второго рода можно
рассматривать как два представления одного и того же математиче-
математического понятия.
§ 2. Одно интегральное уравнение
Изучая решения уравнения D), т. е. [а, 6]-псевдоаналитические
функции первого рода, мы" будем предполагать, что коэффи-
коэффициенты a (z), b(z) определены всюду, удовлетворяют условию Гёль-
дера и тождественно обращаются в нуль вне большого круга \z\ < R.
(Эти предположения делаются только ради простоты, а результаты,
которые будут получены, справедливы при гораздо более общих
предположениях.)
Изучение уравнения D) основано на некоторых свойствах ком-
плекснозначного двойного интеграла
где С = 1-4-гт). Мы предположим, что комплекснозначная функция р (z)
обращается в нуль вне круга \z\ </? и всюду удовлетворяет нера-
неравенству |р|^Ж. Тогда
для любого ?, такого, что О < е < 1; при этом константа К зависит
только от s и R. Если же в окрестности некоторой точки функ-
функция p(z) удовлетворяет условию Гёльдера, то функция q{z) имеет
частные производные, удовлетворяющие условию Гёльдера в этой
окрестности, и удовлетворяет уравнению
Ч-г = Р- G)
Все эти утверждения можно доказать с помощью методов, описанных
в гл. IV, § 8.
Мы заметим также, что соотношение G) справедливо даже тогда,
когда мы не предполагаем, что р удовлетворяет условию Гёльдера,
если только нам известно, что существует некоторая непрерывно
376 Дополнение к гл. IV.
дифференцируемая функция Q{z), такая, что Q- = р. Это можно
получить из тождества Грина, что читатель легко сможет проверить.
Пусть w{z)— ограниченная непрерывная функция, определенная
в области D. Функция w(z) является [а, Ь]-псевдоаналитической
тогда и только тогда, когда функция f(z), определенная фор-
формулой
\J f
J f ^ (8)
D
аналитична в D.
Чтобы доказать это, заметим, что двойной интеграл в формуле (8)
является непрерывной по Гёльдеру функцией от z, так что из того,
что одна из функций w или / удовлетворяет условию Гёльдера,
следует то же самое для другой. Если, кроме того, функция w
удовлетворяет условию Гёльдера, то из того, что одна из функций w
или / является непрерывно дифференцируемой, следует то же самое
для другой. Дифференцируя формулу (8) и применяя соотношение G),
мы получим для w в области D дифференциальное уравнение
Таким образом, функция w удовлетворяет уравнению D) тогда н
только тогда, когда /- = 0, т. е. когда функция / (z) аналитическая.
Как следствие этого результата мы получаем теорему об устра-
устранимой особенности:
Если псевдоаналитическая в области 0<|г — z0[ < г функ-
функция w(z) ограничена, то ее можно так определить в точке z0,
что она будет псевдоаналитической во всем круге \z — zo\<C-
Доказательство следует из того, что это справедливо для анали-
аналитических функций и что двойной интеграл не изменяется, если из об-
области интегрирования исключить одну точку.
Для заданной функции f (z) уравнение (8) можно рассматривать
как линейное интегральное уравнение относительно неизвестной функ-
функции w(z). Это уравнение, как доказал Векуа, всегда однозначно раз-
разрешимо. Однако мы не будем пользоваться этим фактом.
§ 3. Принцип подобия
Мы называем две заданные в области D комплексные функ-
функции w(z) и f(z) подобными, если отношение w/f ограничено, отгра-
отграничено от нуля и непрерывно в замыкании области. Мы докажем
четыре теоремы, утверждающие, что любая псевдзаналитическая функ-
функция подобна некоторой аналитической функции, и обратно.
а) Пусть w{z)—произвольная [а, Ь]-псевдоаналитическая
функция в области D. Тогда существуют аналитическая функ-
§ 3. Принцип подобия 377
ция f(z) и комплекснозначная непрерывная функция s(z), та-
такие, что
w (z) = es <г>/ (z). (9)
Кроме того, s(z) непрерывна в замыкании D и удовлетворяет
условию Гёльдера, причем максимум ее модуля и модуль не-
непрерывности зависят только от коэффициентов а, Ъ.
Доказательство состоит в том, что явно выписывается функ-
функция s(z). Если w (z) i= 0, то доказывать нечего. Если w не обра-
обращается тождественно в нуль, то мы обозначим через Do открытое
подмножество D, в котором w(z)=?0, и положим
Do
Функция s (z) всюду непрерывна; в Do она непрерывно дифферен-
дифференцируема и удовлетворяет уравнению s~z — а -\- bw/w. Поэтому f-==0
в Do, т. е. функция f (z) аналитична в Do. Из теоремы об устра-
устранимой особенности для аналитических функций следует, что f(z)
аналитична также во всех изолированных точках дополнения D — Da.
Пусть теперь z0—неизолированная точка D — Do. Тогда суще-
существует последовательность точек {z4}, таких, что w (.?,) = О, v=l, 2, ....
и ?4-> z0. Мы можем выбрать такую подпоследовательность, что
последовательность аргументов 2\ — z0 тоже будет стремиться к неко-
некоторому углу 6. Простое применение теоремы о конечном приращении
показывает, что в точке z0 выполняется соотношение w^cosO-j-
-)-wysin6 = 0. С другой стороны, w(zo) = O и, следовательно,
в силу D), также и 2геь = wx -\- Ш =0 в точке z0. Поэтому
wx(z0)=wy(z0)=0, так что \'\m[w(z)j(z—го)]—0 и Um[f(z)/(z—zo)]=Q.
Отсюда следует, что функция f(z) имеет комплексную произвдд-
ную также и в неизолированных точках D — Do, так что f (z) ана-
аналитична во всей области D.
Так как аналитическая функция, не равная тождественно нулю,
имеет только изолированные нули, мы можем a posteriori сделать
вывод, что дополнение D — Do состоит только из изолированных
точек, так что мы можем написать
D
То, что эта функция обладает нужными свойствами, следует из резуль-
результатов § 2 этого дополнения.
бI Пусть выполнены предположения теоремы а) и пусть
граница области D состоит из простой замкнутой дважды
непрерывно дифференцируемой кривой С и область D нахо-
378 Дополнение к гл. IV.
дится целиком внутри или целиком вне С. Тогда функцию s(z)
можно выбрать так, чтобы она была действительной на С и
обращалась в нуль в заданной точке z0 кривой С.
Мы докажем эту теорему только для случая, когда С является
единичной окружностью, a D — единичным кругом. Случай общей
кривой С можно рассматривать аналогично или свести к единичному
кругу с помощью конформного отображения.
Доказательство опирается на классическую теорему (принадлежа-
(принадлежащую А. Корну и И. И. Привалову), касающуюся сопряженных функ-
функций. Пусть g(z) = U-\-tV— аналитическая функция в единич-
единичном круге. Если функция V(x, у) непрерывна в единичном
круге и удовлетворяет в нем условию Гёльдера с показате-
показателем <х<1 и константой Н, то функция g(z) в замкнутом
круге удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а и кон-
константой kH, где k зависит только от а.
Доказательство теоремы Привалова дано в § 14 этого дополнения.
Чтобы доказать утверждение б), определим s формулой A0) и по-
положим
¦2г. ,9
s0 (z) = s (z) — It (z) — s B0) -f- it (z0).
Из теоремы Привалова следует, что аналитическая функция t{z),
действительная часть которой на окружности | z | = 1 равна lms(z),
непрерывна в замкнутом единичном круге, причем максимум ее мо-
модуля, а также постоянные а и Н в условии Гёльдера зависят только
от коэффициентов а и Ь. Ясно, что функция e~s"^'W{z) аналитична.
С другой стороны, функция so(z) действительна при | z 1 = 1 и обра-
обращается в нуль при z = z0.
в) Пусть f (z) — аналитическая функция, определенная в об-
области D. Тогда существует функция s(z), непрерывная в замы-
замыкании D, удовлетворяющая условию Гёльдера и равная нулю
в заданной точке z0, такая, что функция w(z) = e*Wf{z)
является [а, Ь\-псевд о аналитической.
Функцию s(z) можно выбрать так, чтобы максимум ее
модуля и модуль непрерывности зависели только от а, Ь.
В силу доказанной выше теоремы об устранимой особенности мы
не нарушим общности, если удалим из области D все нули аналити-
аналитической функции /. Тогда мы можем предполагать, что f (z) Ф 0 в D.
¦Если мы сможем найти функцию s(z), удовлетворяющую дифферен-
дифференциальному уравнению
s-=a-{-blje~s-s, A1)
то функция esf будет [а, 6]-псевдоаналитическай.
§ 3. Принцип подобия 379
Чтобы найти такую функцию s, мы рассмотрим оператор Т, пре-
преобразующий ограниченную непрерывную функцию s (z), заданную
в области D, в функцию o(z) — a(z0), где
//[g]|^ A2)
Ограниченные непрерывные функции в области D образуют действи-
действительное векторное пространство В, так как линейная комбинация
двух непрерывных ограниченных функций с действительными коэф-
коэффициентами также является непрерывной и ограниченной. В этом
пространстве можно ввести норму \\s\\ =sup|sB)|. Если [sn] является
последовательностью Коши по этой норме, т. е. если lim |srt—si7j — О,
то существует ограниченная непрерывная функция s(z), такая, что
\\sn—s\\ —>0. Таким образом, пространство В является полным нор-
нормированным пространством, т. е. банаховым пространством'). Из
свойств двойного интеграла, установленных в § 2 этого дополнения,
следует, что максимум модуля и модуль непрерывности любой функ-
функции a — Ts зависят только от а, Ь, и, если область D неограничена,
они имеют (равномерно по z) порядок 0{\г\~г) при г->сю. Пусть Л
обозначает множество всех функций с таким максимумом модуля и
модулем непрерывности и — в случае неограниченной области D —
с таким поведением на бесконечности. Множество Л — выпуклое
(см. § 15 этого дополнения). Кроме того, из теоремы Арцела
(см. т. I, гл. II, § 2) следует, что из любой последовательности
функций, принадлежащих Л, мы можем выбрать равномерно сходя-
сходящуюся подпоследовательность, т. е. подпоследовательность, сходя-
сходящуюся по норме пространства В. Таким образом, Л есть компактное
подмножество В. Легко видеть, что Т непрерывно преобразует В в Л
и, в частности, дает непрерывное отображение Л в себя.
Теперь мы применим теорему Шаудера о неподвижной точке2)
(см. § 9 и 15 этого дополнения), которая утверждает, что непрв'
рывное отображение компактного выпуклого множества в ба-
банаховом пространстве в себя имеет, неподвижную точку. Из
этой теоремы следует, что существует функция s(z), принадлежа-
принадлежащая Л, такая, что s = Ts, т. е.
Эта функция удовлетворяет рассматриваемому дифференциальному
уравнению A1) и обращается в нуль в точке z0.
') См. § 15 этого дополнения.
2) С помощью более длинных рассуждений можно обойти применение
Ш
)
теоремы Шаудера.
380 Дополнение к гл. IV.
г) Пусть область D и кривая С удовлетворяют условиям
теоремы б), и пусть f (z)— заданная аналитическая функция
в области D. Тогда функцию s(z), существование которой
утверждается в теореме в), можно выбрать так, чтобы она
была действительной на С и обращалась в нуль в заданной
точке z0 кривой С.
Доказательство очень похоже на доказательство теоремы б). Мы
снова будем рассматривать только случай единичного круга. Чтобы
найти требуемое решение уравнения A1), мы рассмотрим оператор 7\,
который преобразует ограниченную непрерывную функцию s(z),
заданную в области D, в функцию о, (г) — а1 (z0), где
в —г
(функция а (г) здесь определяется формулой A2)). Затем мы приме-
применяем к уравнению s=T1s теорему Шаудера о неподвижной точке.
Тот факт, что преобразование 7\ отображает пространство В в его
компактное выпуклое подмножество, следует из теоремы Привалова.
? 4. Приложения принципа подобия
В качестве первого приложения мы укажем теорему о локальном
поведении псевдоаналитических функций. Пусть функция w(z) —
псевдоаналитическая в области 0 < \z — zo\ < г. Тогда либо
w(z) при z-*z0 принимает значения, сколь угодно близкие
к любому комплексному числу {существенная особенность),
либо существуют положительное целое число п и комплексное
число а Ф 0, такие, что
v^-J^f <*-*** 03)
(это значит, что w имеет полюс порядка п), либо w(z) имеет
в точке z0 устранимую особенность. Если функция w{z) регу-
регулярна в точке zQ и w(zQ) — 0, 1а>ф0, то существует положи-
положительное число п и комплексное число а Ф 0, такие, что
w(z)~a(z — zo)n A4)
(нуль порядка п).
Это утверждение сразу следует из принципа подобия а) и соот-
соответствующих классических утверждений относительно аналитических
функций. В качестве следствия мы получим хорошо известную тео-
теорему Карлемана, утверждающую, что решение уравнения D), не
равное тождественно нулю, имеет только изолированные нули
и в каждой точке может иметь нуль только конечного порядка. Из
§ 4. Приложения принципа подобия 381
этой теоремы следует, в частности, что псевдоаналитическая функция
однозначно определяется своими значениями на любом открытом мно-
множестве. То же самое утверждение справедливо тогда для решений
эллиптических дифференциальных уравнений вида A) с гладкими не-
неаналитическими коэффициентами. Эту теорему об однозначной про-
продолжимости можно различными методами распространить также
на эллиптические уравнения вида A) с ограниченными измеримыми
коэффициентами. Ароншайн1) доказал теорему об однозначной про-
продолжимости для уравнений второго порядка с достаточно гладкими
коэффициентами в д-мерном пространстве2).
Мы сейчас применяли ту часть принципа подобия, которая опи-
описывает структуру псевдоаналитических функций. Теперь мы дадим
применения тех утверждений, которые являются утверждениями о су-
существовании. Мы покажем, что для эллиптического уравнения вида A')
существует функция Грина в любой области D, ограниченной про-
простой замкнутой дважды непрерывно дифференцируемой кривой С.
Чтобы построить эту функцию, возьмем g (z0, z)— функцию Грина для
уравнения Лапласа, соответствующую рассматриваемой области, с осо-
особенностью в точке z0 и положим 4а = —а — 1$. Принцип подобия г)
утверждает, что в области D существует [а, я]-псевдоаналитическая
функция <w(z), такая, что частное w/(gx — igy) равномерно непре-
непрерывно, отлично от нуля и действительно на С. Возьмем некоторую
точку г, на С и положим
г
О о0, z) = Re J w (z) dz.
Криволинейный интеграл не изменится, если путь интегрирования де-
деформировать так, чтобы он не проходил через особую точку z0.
Действительно, если С — замкнутая кривая в области D, такая, что
в ограниченной ею области G не содержится точка z0, то мы имеем,
согласно теореме Грина,
Re (? w dz — Re 2/ Г Г w- dx dy = 0.
с о
') См. Ароншайн [1]. Независимо тот же результат доказал Кордес [1].
Кальдерон [1] доказал очень общую теорему единственности для задачи
Коши. Эти работы обобщают основную идею Карлемана [1]. Независимо
Мальгранж [1] и П. Лаке [1] установили интересную связь между свойством
однозначной продолжимости и свойством Рунге для эллиптических урав-
уравнений. Недавно Плись [3, 1] и независимо Коэн [1] дали примеры эллипти-
эллиптических уравнений, для которых свойство однозначной продолжимости не
имеет места.
2) См. также Ландис Е. М., ДАН СССР, 107, 5 A956), 640—643;
Лаврентьев М. М., ДАН СССР, 112, 2 A957), 195—197; Heinz,
Nachrichten Akad. Wins. Gottingen, 1 A955), 1—12, и книгу Хёрмандера,
указанную в примечании на стр. 159. — Прим. ред.
382 Дополнение к гл. IV.
Чтобы доказать однозначность функции G (z0, z), мы должны показать,
что криволинейный интеграл, взятый по некоторой замкнутой кривой
вокруг особой точки, равен нулю. Но на С мы имеем g — О и, сле-
следовательно, gxdx -\- g dy = 0, так что
Re(wdz) — 0 на С
dO = Re (? w dz = О,
откуда и следует наше утверждение. Функция G (z0, z) является реше-
решением уравнения (Г). Она постоянна на С и, как легко видеть, имеет
логарифмическую особенность в точке z0. Следовательно, она и
является искомой функцией Грина. Заметим, что такой метод по-
построения функции Грана дает сразу существование и непрерывность
ее нормальной производной на границе.
Аналогичным способом мы можем построить решение уравне-
уравнения (Г), которое обращается в нуль на некоторой дуге кривой С и
равно 1 на дополнении этой дуги. Если мы имеем такую функцию,
то мы легко можем решить для уравнения A') первую краевую за-
задачу.
Применением принципа подобия получается также следующий резуль-
результат: существует одна и только одна ограниченная [а, Ь\-псевдо-
аналитическая функция w(z), определенная во всей плоскости
и принимающая в некоторой точке z0 значение а. Действительно,
в силу теоремы в) существует псевдоаналитическая функция вида
aes<-zK причем здесь функция s(z) ограничена на всей плоскости и
sB0) = 0. Единственность следует из теоремы а), которая утверж-
утверждает, что любая ограниченная псевдоаналитическая функция, опреде-
определенная на всей плоскости, имеет вид esWf(z), где f(z) — ограни-
ограниченная целая аналитическая функция, т. е., согласно теореме
Лиувилля, постоянная. Таким образом, ограниченная „целая" псевдоана-
псевдоаналитическая функция либо не имеет нулей, либо обращается в нуль
тождественно.
Теперь мы можем доказать одно утверждение, сделанное в § 1
этого дополнения, а именно, доказать, что уравнение (Г) эквива-
эквивалентно системе F). Мы предположим, что коэффициенты а, |3 удовле-
удовлетворяют условию Гёльдера и равны нулю вне некоторого большого
круга. Согласно только что доказанной теореме, существует ограни-
ограниченное решение (о0, т0) системы E), определенное на всей плоскости
и такое, что о0=1, х0 = 0 при z — 0. Мы можем требовать, чтобы
всюду было о0 > 0. Действительно, предположим, что о0 = 0 в неко-
некоторой точке z0; тогда ограниченное решение системы (б) о = о0,
х = т0—to(zo) обращается в нуль в точке z0 и, следовательно, равно
нулю тождественно, что невозможно.
§ 5. Формальные степени 383
§ 5. формальные степени
Мы б)гдем предполагать, что коэффициенты уравнения D) удовле-
удовлетворяют требованиям, сформулированным в § 2 этого дополнения,
так что принцип подобия можно применять во всей плоскости. Со-
Согласно этому принципу, существует псевдоаналитическая функция
первого рода, подобная аналитической функции a (z— zo)n, где
п — положительное или отрицательное целое число. Мы обозначим
эту функцию через w(z) = Z^n (a, z0, z) и назовем ее формальной
n
у фу р 0 фр
степенью. Она ведет себя, как a. (z — zQ)n, при z—> z0 и равна ||
на бесконечности. Применяя принцип подобия, легко убедиться в том,
что эти свойства однозначно определяют функции Z . Из принципа
подобия также следует, что существует такая константа К, завися-
зависящая только от рассматриваемого уравнения, что
±-\a
z-zo\n<\zin)(a, г0. *)|<К|<х| \г — го\а
-
Формальные степени удовлетворяют соотношению
Z(")(Xa + Ixp, г0. z) = ).Z{n)(a, z0, г) + ^п\$, z0, z),
если X и (j. — действительные постоянные. Для доказательства доста-
достаточно проверить, что функция в правой части обладает свойствами,
однозначно определяющими функцию в левой части. Можно также
показать, что Z' (a, z0, z) является непрерывной функцией от z0.
С помощью формальных степеней можно дать аналитические
выражения для произвольных псевдоаналитических функций, по
аналогии с классическими результатами теории функций. Мы приво-
приводим формулы без доказательства.
Пусть w(z)—псевдоаналитическая функция, определенная в обла-
области D, лежащей внутри простой замкнутой гладкой кривой С, и пред-
предположим, что w непрерывно продолжается на С. Тогда для z из D
справедлива „формула Коши"
= JL f
Z("l) [iw Q dL С, г]. A5)
Этот интеграл надо понимать в следующем смысле. Если параметри-
параметрическое представление кривой С имеет вид C(s)> 0<;s<;jL, то для
любой функции у_, определенной на С, имеем
{x&()]V(s), Цз), z)ds.
с о
Интеграл A5) равен нулю для точек z, лежащих во внешности С.
384 Дополнение к гл. IV.
Рассмотрим теперь псевдоаналитическую функцию, определенную
в области 0 < \z — zo\ <CR- Тогда w(z) единственным образом пред-
представляется в виде ряда
w(z)= 2 Z(B)(aB. z0, z),
сходящегося в этой области.
Если бесконечное число коэффициентов ап при п < 0 отлично
от нуля, то функция имеет существенную особенность в г0. Если
только конечное число коэффициентов а„ с отрицательным п отлично
от нуля, то функция имеет полюс, а если в разложении имеются
только коэффициенты ап, соответствующие положительным п, то
функция регулярна в z0.
Эти результаты можно, конечно, переформулировать так, чтобы
они относились к решениям дифференциальных уравнений с частными
производными эллиптического типа второго порядка, без упоминания
псевдоаналитических функций.
§ 6. Дифференцирование и интегрирование
псевдоаналитических функций
Говорят, что два решения уравнения D) F (z) и G (г) образуют
порождающую пару, если они не обращаются в нуль и если мни-
мнимая часть их отношения G/F положительна. Так, для уравнений
Коши — Римана порождающую пару образуют функции 1 и Л
а также ег, iez. При весьма общих предположениях можно доказать,
что порождающие функции всегда существуют. Например, в предпо-
предположениях § 2 этого дополнения, можно взять в качестве порождающей
пары два ограниченных целых решения уравнения D), принимающих
в начале координат значения 1 и I.
Пусть (F, G)—порождающая пара для уравнения D). Любую ком-
плекснозначную функцию w (z) можно однозначно записать в виде
(z)G(z), A6)
где функции ср и ф действительны. Удобно каждой функции w ставить
в соответствие функцию ш(г) = <р-|-/|;. Как будет показано ниже,
если w—псевдоаналитическая функция первого рода, то ш — псевдо-
псевдоаналитическая функция второго рода. Так как любые две достаточно
гладкие функции F, G, которые не обращаются в нуль и отношение
которых G/F имеет положительную мнимую часть, образуют поро-
порождающую пару для некоторого уравнения вида D), то мы в дальней-
дальнейшем будем говорить о (F, 0)-псевдоаналитических функциях.
Функция A6) является (F, 0)-псевдоаналитической тогда и только
тогда, когда
§ fi. Дифференцирование и интегрирование 385
Действительно, по предположению, мы имеем
так что
w~ — aw — bw — <f-F -f- i|^O.
Введем теперь действительные функции i{z) и с(.г)>0 с помощью
соотношения о—h = iF/G. Тогда уравнение A7) будет совпадать
с системой F) и наша терминология будет оправдана.
Если функция A6) является (F, О)-псевдоаналитической функцией
то ее (F, 0)-производная определяется формулой
dIF плю
^ F + ^O. A8)
Если функции A(z), B(z) определяются уравнениями
Fz = AF + BF,
OZ = AQ + BO,
то формулу A8) можно записать в виде
w = wz — Aw — Bw.
Если известна производная w, то функцию w или, точнее, соответ-
соответствующую псевдоаналитическую функцию ш второго рода, можно по-
получить с помощью интегрирования. Действительно, определим двой-
двойственную порождающую пару (F, G)* = (F*, О*) с помощью соот-
соотношений
fP-0G' = 2,
FF* — GG*==0.
Тогда, согласно формулам A7) и A8), получим 2yz = F*w,
2tyz = — G*w, так что
A9)
Замечательно, что (F, О)-производная от (F, О)-псевдоаналитической
функции сама является псевдоаналитической, но, вообще говоря,
383 Дополнение к гл. IV.
относительно другой порождающей пары. Чтобы доказать это, мы вы-
вычислим х) w- и получим
= <?2 (aF 4- bF)-f >;z {aG -f- bG) -f-
+ (%F + '. jg), - <?; (^ + BF) - te (ло + SO).
Замечая, что (o-F-\- ty-G\ ?= О, и выражая срг, cpj, фг, -}j через
¦да и w, согласно формулам A7) и A8), мы получим уравнение
¦w- = aw — Bw,
из которого следует, что функция w является [а, —fij-псевдоанали-
тической. Порождающая пара (Fx, OJ, соответствующая уравнению
w- = aw — Bw,
называется последующей для пары (F, G). Исходная пара (F, G)
сама является последующей для некоторой пары (F_v O_j), которая
может быть получена следующим образом: пара (F_:, 0^,) является
двойственной к паре, последующей для пары, двойственной к (F, G).
Простое доказательство этого факта предоставляется читателю. Таким
образом, заданная порождающая пара (F, G) может быть включена
(причем бесконечно большим числом способов) в последовательность
порождающих пар
.... (F_2, О_2), (F_v G.j), (Fo, O0), (Fv Oj), (F2, O2) B0)
такую, что пара (F4, Gv) является последующей для (F,l_l, Gv_j).
Такая последовательность называется периодической с периодом п,
есл i (Fn, Gn) = (F(), Go). Наименьшее л, для которого это имеет
ь:есто по всем последовательностям, в которые можно включить пару
(Fb, Go), называется минимальным периодом для (Fo, Go); говорят,
что пара (Fo, Go) имеет минимальный период со, если ее нельзя
включить ни в какую периодическую последовательность. Проттер [1]
показал, что существуют порождающие пары для любого заданного ми-
минимального периода.
Относительно порождающей последовательности B0) заданная
(Fo, C0)-псевдоаналитическая функция w (z) имеет производные всех
порядков, которые определяются рекуррентными формулами
d(F 0 , Ю1»1
Можно показать, что, как и в случае аналитических функций, после-
последовательность чисел {wM(z0)} для некоторого фиксированного z0
однозначно определяет функцию w.
') То, что функция w непрерывно дифференцируема, можно доказать,
применяя теоремы существования для уравнения (!')¦
§ 7. Уравнения смешанного типа 387
Применяя порождающую последовательность B0) и описанный
выше процесс интегрирования, можно с помощью квадратур построить
последовательность (F4, О^)-псевдоаыалитических функций частного
вида, называемых локальными формальными степенями; они обозна-
обозначаются через Z{n) (a, z0, z). Эти функции определяются рекуррент-
рекуррентными соотношениями
Z$0) (a, zn, z) = а,
JLl = ^-.)(яв1 ,о, г) (га==1, 2> ...})
где а и z0 — комплексные постоянные. Название „степень" оправ-
оправдывается тем, что для (Fv, Gv) = (l, I) (v = 0, ±1, ...) мы имеем
Z[n\a, г0, z) = a(z-zQ)n-
Глобальные формальные степени, описанные в § 5 этого дополнения
являются частным случаем локальных формальных степеней.
? 7. Пример. Уравнения смешанного типа
Особенно простой класс псевдоаналитических функций получается,
если в качестве порождающей пары берутся функции F=l,
G==/[3(y), где Р(у) — положительная функция. В силу условия A7)
функция cp-j-фф является A, ф)-псевдоаналитической тогда и только
тогда, когда ср и ф удовлетворяют уравнениям 1)
2
Не ссылаясь на общую теорию (F, 0)-дифференцирования и инте-
интегрирования, можно сразу проверить, что если пара (<р, ф) удовле-
удовлетворяет уравнениям B1), то пары (<р', (])')> гДе
ф' = ^- f = Фдг'
и (Ф, ЧГ), где Ф и ^ определяются не зависящими от пути интегралами
Ф = J (T dx — Рф dy), 4"= J^d;c-ff- rfyj, B2)
также являются решениями системы B1). Порождающая пара
A, ф(у)) является последующей для самой себя, функция cp'-J-iffy'
является A, г'Р)-производной от ср —j— /рф, а эта последняя функция
является A, /р)-производной от Ф){№
') См. Берс и Гельбарт [1J.
388 Дополнение к гл. IV.
Определенные выше локальные формальные степени можно явно
выписать. Для простоты мы рассмотрим только степени Z'"' (а, О, г).
Положим
у у
Ж у) = 2! J" pft) K"> (nfld*). B3)
о
У У ~.г
(У) = /
о
о
Тогда для действительных X и р. и п=1, 2, ... имеем
. О, + у)
/-о
). B4)
Важно заметить, что те же самые формальные рассуждения проходят
для систем вида
где мы не предполагаем, что действительные функции j3j и [32 поло-
положительны. В формулах B2) — B4) надо только заменить (•) на C2
и 1/C на 1/C]. Система B5) может тогда быть или эллиптической,
или гиперболической, или смешанного типа. В качестве примера
системы смешанного типа рассмотрим систему
Ту = - Ж-
Исключение функции ср приводит к так называемому уравнению
Трикоми 1)
') Теория этого уравнения была заложена в знаменитой работе Три-
Трикоми [1]. Обширная библиография по уравнениям смешанного типа содер-
содержится в работе Берса [3]. [См. также книгу Бицадзе, указанную в приме-
примечании на стр. 167. — Прим. ред.]
§ 8. Общее определение псевдоаналитических функций 389
которое играет важную роль в сверхзвуковой газовой динамике.
Наши формулы дают ряд полиномов, удовлетворяющих этому урав-
уравнению.
Аналогично мы можем рассмотреть систему
= Pi (У) Фу B6)
Формулы дифференцирования и интегрирования
Ф = J (a2cp rfx — р2ф dy), ЧГ = J [(ф/аО rf
позволяют получить из решения (ср, ф) системы B6) решение системы
^- B7)
Если а.х = а2 = а > 0, Cj = C2 = р > 0, то из системы B6) следует,
что ср —(— i'jj — псевдоаналитическая функция второго рода относительно
порождающей пары F = (a/$I', G = I (fi/a)''2. (Z7, 0)-производная
б
функции cpF -j- фб легко вычисляется и равна
(a/j3)'/3cp, + ' ФМ'1' Ь
где
Эта производная является (Fv О^-псевдоаналитической функцией, так
как функции ср', Y удовлетворяют системе B7). Таким образом,
пара (Fv Oj) является последующей для (F, О), и точно так же уста-
устанавливается, что пара (F, О)—последующая для (Fv Oj). Мини-
Минимальный период для этой порождающей пары равен 2, если только а
не постоянная.
§ 8. Общее определение псевдоаналитических функций
Мы вернемся к общей теории псевдоаналитических функций и
заметим, что определенная в § 6 этого дополнения (F, О)-произ-
водная может быть получена с помощью предельного перехода,
который является обобщением обычного процесса дифференцирования
комплексных функций.
Точнее, пусть функция w(z) представлена в виде A6), где F (z)
и G (z) — фиксированные непрерывные комплексные функции, такие,
что Im (G/F) > 0, а функции ср и. ф — действительные. Мы составим
„разностное отношение"
l B8)
390 Дополнение к гл. IV.
и выясним, имеет ли оно предел, когда комплексное число h стре-
стремится к нулю любыми возможными способами. Если такой предел
существует, то он, в частности, будет существовать и при h = § -> 0
и при /г = *?>->• 0, где 8--действительная переменная. Эти два
предела равны соответственно
дх ' дх I \ ду ' ду
Из условия, чтобы эти два предела были равны, сразу получается
уравнение A7), а если мы обозначим общую величину этих двух
пределов через w, то получим соотношение A8).
В общей теории псевдоаналитических функций исходят из поро-
порождающей пары F (z), O(z), причем не предполагается, что эти
функции дифференцируемы. Функция A6) называется (F, G)-nceBno-
аналитической в области, если в любой точке z этой области отно-
отношение B8) имеет конечный предел при /г->0. Большинство сфор-
сформулированных выше теорем справедливо, если функции F и О
удовлетворяют условию Гёльдера. Псевдоаналитические функции и
в этом случае можно охарактеризовать дифференциальными уравне-
уравнениями» F); однако они, вообще говоря, уже не будут удовлетворять
уравнению вида D) и не будет справедлив принцип подобия.
? 9. Квазиконформные отображения1) и общая
теорема о представлении
При изучении геометрических свойств псевдоаналитических функций
удобно работать с функциями второго рода. С помощью одного
дифференциального неравенства, которое является следствием диф-
дифференциальных уравнений F), устанавливается, что эти функции
в некотором смысле имеют общие геометрические свойства с анали-
аналитическими функциями.
Аналитическую функцию комплексного переменного можно рас-
рассматривать как отображение на плоскости, конформное в каждой
точке, в которой производная не обращается в нуль. Это значит,
что в таких точках отображение в малом является преобразованием
подобия: оно переводит бесконечно малые круги в бесконечно малые
кр)ги. Естественно, что очень полезно рассматривать также отобра-
отображения, переводящие бесконечно малые круги в бесконечно малые
эллипсы с равномерно ограниченным эксцентриситетом. Такие ото-
отображения называются квазиконформными.
') Теорию квазиконформных отображений начал разрабатывать Грёч, ее
развивали Альфорс, М. А. Лаврентьев, Морри, Тейхмюллер и другие.
Обширную библиографию можно найти в работе Кюнци [1]. [См. также
В о л к о в ы с к и й Л. И., Квазиконформные отображения, Львов, 1948. —
Прим. ред.]
§ 9 Квазиконформные отображения и общая теорема о представлении 391
Для преобразования вида w(z)—u(x, y)-\-iv(x, у), где и и v
имеют непрерывные частные производные и отличный от нуля яко-
якобиан, только что указанное геометрическое свойство может быть
выражено с помощью любого из трех эквивалентных дифферен-
дифференциальных неравенств
max \wxzo$$-{-wysmb\'l^Q{uxvy~uyvx), B9)
«I + и] + v\ + v\ < Ж (axvy - uyvx), B9')
\w-\^k\wz\. B9")
Здесь Q^-l, /C^-l. 0<;й<1, и постоянные Q, /С, й связаны
соотношениями
Легко проверить, что любая псевдоаналитическая функция второго
рода (« = cp-)-r[j или даже любое решение «>= и-\- lv эллиптической
системы
удовлетворяет этим дифференциальным неравенствам, если система
равномерно эллиптическая, т. е. если а12 > 0 и
О < l^l±^iL- < const;
4a12a21 — (al + aJ
константа Q квазиконформного отображения зависит только от кон-
константы в этом неравенстве.
Определим квазиконформное отображение более общим способом.
Вместо того чтобы требовать непрерывности производных, входящих
в неравенства B9), мы будем только предполагать, что эти произ-
производные существуют и удовлетворяют неравенствам почти всюду,
локально интегрируемы с квадратом, а также что непрерывные
функции и(х, у), v(x, у) абсолютно непрерывны по одной из пере-
переменных при почти всех значениях другой переменной.
Основное свойство функций, осуществляющих квазиконформные
отображения, может быть выражено в виде следующей теоремы,
которую мы здесь сформулируем без доказательства (и не в самом
общем виде).
Пусть w (z) — функция, осуществляющая квазиконформное
отображение и определенная в единичном круге. Тогда w
допускает представление
W(*) = /[X(*I. (80)
где (, — y(z) есть гомеоморфизм {т. е. взаимно однозначное и
взаимно непрерывное отображение) области j^J<Cl на )С|<; 1,
392 Дополнение к гл. IV.
причем х@) —0, хО)—1> эт0 отображение и обратное ему
отображение у_~1 равномерно удовлетворяют условию Гёльдера,
причем константы, в этом условии зависят только от кон-
константы Q в неравенствах B9), а /(С) — аналитическая функ-
функция комплексного переменного С, |С| < 1.
В этой теореме произвольная функция, осуществляющая квази-
квазиконформное отображение, представляется через аналитическую функ-
функцию и функцию, удовлетворяющую условию Гёльдера. В § 3 этого
дополнения мы получили похожее разложение (уравнение (9)) для
функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению D). Легко
видеть, что то же самое разложение (9) справедливо для функций,
удовлетворяющих дифференциальному неравенству
w-\-^.k'\w\ C1)
с некоторой постоянной k'. Оба результата, принцип подобия для
функций, удовлетворяющих дифференциальному неравенству C1),
и теорема о разложении вида C0) для функций, осуществляющих
квазиконформное отображение, являются частными случаями более
общей теоремы о представлении, которую мы сейчас сформулируем,
также без доказательства у).
Пусть w(z)— функция, определенная в единичном круге
и удовлетворяющая дифференциальному неравенству
-\-k'\w\-\-k" C2)
w-
z
w
(здесь ?< 1, а на частные производные наложены те же требования,
что и раньше). Тогда функция w может быть представлена в виде
w(z) = e^flx(z)]-±sQ(z), C3)
где C~x(z) — гомеоморфное отображение единичного круга
на себя, причем х@) = 0, х@—1; функции s(z) и so(z) не-
непрерывны в замкнутом единичном круге, действительны на
его окружности и обращаются в нуль при 2 = 1, а /(С)—
аналитическая функция комплексного переменного С- Функции
s, s0, х и обратный гомеоморфизм х удовлетворяют усло-
условию Гёльдера, максимумы их модулей и модули непрерывности
зависят только от констант в неравенстве C2). (В частности,
если k" = Q, то so = O).
Эта теорема о представлении очень важна, потому что любое
решение равномерно эллиптической системы с ограниченными коэф-
коэффициентами
— «у =
') Представление C0) принадлежит Морри [3], а представление C3) —
Берсу и Ниренбергу [1]. См. также Боярский [1].
§ 10. Одна нелинейная краевая задача 393
обязательно удовлетворяет дифференциальному неравенству вида C2).
В частности, если система однородная Gi = f2^0), то из теоремы
о представлении следует, что решение обладает следующим свой-
свойством однозначной продолжимости: оно не может обращаться
в нуль на открытом множестве, не будучи тождественным нулем.
Этот результат является обобщением (но не прямым следствием)
теоремы Карлемана, рассмотренной в § 4 этого дополнения.
$ 10. Одна нелинейная краевая задача
Теоремы о представлении, сформулированные в предыдущем
параграфе, можно применить для получения априорных оценок и
теорем существования решений краевых задач для нелинейных эллип-
эллиптических уравнений. Мы рассмотрим здесь сравнительно простой
пример *).
Мы будем решать задачу Неймана для квазилинейного уравнения
вида
а(х, у, ср, срж, сру)сржж+2?(х, у, ср, ср^, сру)срху-|-
-\-с(х, у, f, срх, cpy) fyy = 0. C5)
Мы предположим, что коэффициенты а, Ь, с определены для х2 -\~
-\- у2 < 1 и для любых значений ср, ср^, сру и равномерно удовлетво-
ряют условию Гёльдера, а также, что уравнение равномерно эллип-
эллиптическое, т. е. что
а>0, ас —?2=1, a + c<const. C6)
Пусть t(z) — действительная функция, определенная в единичном
круге и равномерно удовлетворяющая условию Гёльдера. Задача
Неймана состоит в том, чтобы найти решение ср этого уравнения,
определенное и непрерывно дифференцируемое в единичном круге
и удовлетворяющее на границе условиям
|| у^ + ? ПРИ |Z| = 1,
ср = О при z = 1,
где константа k подлежит определению.
Мы покажем, что эта задача всегда имеет решение. При дока-
доказательстве используется следующая
Априорная оценка. Предположим, что дано некоторое ре-
решение задачи Неймана. Тогда функция if и ее первые произ-
производные срж, ср ограничены, и первые производные удовлетворяют
условию Гёльдера; при этом максимумы модулей и константы
') Этот пример взят из работы Берса и Ниренберга [2].
394 Дополнение к гл. IV.
в условии Гёльдера зависят только от постоянной в условии
C6) и от заданной граничной функции т.
Доказательство. Заметим сначала, что из ограниченности
первых производных следует ограниченность самой функции. Затем
мы оценим константу k. Так как непостоянное решение уравне-
уравнения C5) не может принимать максимальное или минимальное значе-
значение во внутренних точках, то нормальная производная должна менять
знак па границе. Поэтому постоянная k не может быть больше, чем
максимум |т|. Таким образом, мы находим оценку для максимума
модуля и модуля непрерывности функции z(z)-\-k. В некоторой
точке границы тангенциальная производная <р должна обращаться
в нуль. В этой точке
W = срж — /сру = Z {х
Поэтому нам достаточно найти модуль непрерывности функции w.
Эту функцию можно также записать в виде
w = u-\-tv,
если положить м=срх, v=—<ру. Так как уравнение C5) эквивалентно
системе
х а х ' а У
то функция w(z) будет осуществлять квазиконформное отображение
с некоторой константой, зависящей только от постоянной в усло-
условии C6). Поэтому для этой функции можно найти представление
вида C0). Тогда граничное условие C7) можно записать в виде
или
Так как мы знаем, что преобразования С = XС2")- z — Х~г (?) удо-
удовлетворяют условию Гёльдера, то мы можем записать последнее соот-
соотношение в виде
Re [С*Л«0/@] = о(С). |С| = 1.
где функция X действительна и имеются оценки для максимумов мо-
модулей, показателей и констант Гёльдера для функций X и о. Легко
доказываемое обобщение теоремы Привалова (сформулированное и до-
доказанное в § 14 этого дополнения) показывает, что функция
/(С) при |С|<;1 удовлетворяет условию Гёльдера. Так как
w(z) = /[xBK. то условию Гёльдера удовлетворяет и w.
§ 10. Одна нелинейная краевая задача 395
Рассмотрим теперь нашу задачу Неймана для линейного уравне-
уравнения вида C5), т. е. для уравнения, в котором коэффициенты а, Ь, с
зависят только от х и у, и сформулируем следующую теорему.
Теорема существования и единственности. Для линейного рав-
равномерно эллиптического уравнения вида C5) задача Неймана
имеет одно и только одно решение.
Доказательство единственности сразу следует из сделанного уже
замечания о том, что для непостоянного решения нормальная произ-
производная на единичной окружности должна менять знак. Утверждение
о существовании вытекает из следующей леммы.
Лемма о непрерывности. Рассмотрим последовательность
уравнений
а{п)(х, у)?хх + 2Ь^(х, у)<?ху+с<а>(х.У)<?Уу = 0. C8)
Мы предположим, что все эти уравнения равномерно эллип-
эллиптические (с одной и топ же константой) и что их коэффи-
коэффициенты удовлетворяют одному и тому же условию Гёльдера.
Мы предположим также, что при п->оо коэффициенты
во всех точках единичного круга стремятся к коэффициен-
коэффициентам уравнения
«(*. У) 9ХХ + 1Ь (х, у) 9ху + с (х, у) Ьу = 0. C9)
Пусть ср<л) для каждого п есть решение уравнения C8), удовле-
удовлетворяющее граничным условиям нашей задачи Неймана. Тогда
функции ср(и) в замкнутом единичном круге вместе со своими
первыми производными равномерно сходятся к решению за-
задачи Неймана для уравнения C9).
Доказательство. В силу априорной оценки все функции
ср<«>, срМ, <р(л> равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Тогда, по теореме Арцела, мы можем выбрать подпоследователь-
подпоследовательность {ср1"-'}. которая вместе со своими первыми производными
сходится к некоторой функции <р(лс, у). Ясно, что эта функция
удовлетворяет граничным условиям задачи Неймана. С другой сто-
стороны, из оценок Шаудера (см. гл. IV, § 7) следует, что в любой
замкнутой подобласти единичного круга равномерно сходятся вто-
вторые производные функций ср^"Я. Поэтому предельная функция удов-
удовлетворяет уравнению C9). В силу уже доказанного утверждения
о единственности, мы a posteriori делаем вывод, что не было необ-
необходимости выбирать подпоследовательность и что ср(л) -> <р.
396 Дополнение к гл. IV.
Из леммы о непрерывности следует, что задача Неймана разре-
разрешима для линейного уравнения C9), если коэффициенты этого урав-
уравнения можно аппроксимировать с помощью коэффициентов уравнений,
для которых решение задачи Неймана уже найдено. Мы знаем,
что для уравнений с очень гладкими коэффициентами это можно
сделать, например, методом интегральных уравнений (см. гл. IV,
§ 10). Таким образом, существование решения доказано в общем
случае. (Заметим, что тот же метод годится для доказательства су-
существования решения равномерно эллиптических уравнений с ко-
коэффициентами, которые не только не удовлетворяют условию Гель-
дера, но не являются даже непрерывными.)
Теперь мы возвращаемся к нелинейному уравнению C5). Обо-
Обозначим через Ъ банахово пространство непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых функций Ф, заданных в замкнутом единичном круге, с нормой
|]Ф|| =тгх\Ф\ -\-та\\Фх— /Фу|.
Пусть Л — подмножество Ъ, состоящее из функций, удовлетво-
удовлетворяющих граничным условиям нашей задачи Неймана и априорным
оценкам, полученным для решений нашей задачи. Легко видеть,
что Л есть выпуклое компактное подмножество ЯЗ. Пусть Ф — не-
некоторая функция, принадлежащая множеству Л. С помощью этой
функции мы построим линейное уравнение
а(х, у, Ф(х, у), Фх(х, у), Фу(х, у))<р,,+
-\-2Ь(х, у, Ф(лг, у), Фх(х, у), Фу(х, у))чху +
-+- с (х, у, Ф (х, у), Фх (х, у). Фу (х, у)) <руу = 0
и обозначим через ср однозначно определенное решение задачи Ней-
Неймана для этого линейного уравнения. Если мы положим
ср = Г(Ф), D0)
то преобразование Т будет переводить Л в себя. То, что это пре-
преобразование непрерывно, легко можно показать с помощью сфор-
сформулированной выше леммы о непрерывности. Согласно теореме
Шаудера о неподвижной точке, преобразование Т должно иметь не-
неподвижную точку. Другими словами, существует функция ср, такая,
что ср = Г(<р). Это и есть искомое решение задачи Неймана.
Тот же метод применим в более общих случаях. Например,
мы могли бы доказать разрешимость задачи Неймана для нелиней-
нелинейного уравнения вида
а (х, у, <р, ср,, ?у) 9хх + 2* (х, у, ср, Тж> ?у) <?ху +
-f-C(x, у, <р, ср^, сру)сруу =d(x, У, ср, Ъ, сру),
§ 11. Обобщение теоремы Римана об отображениях 397
если оно равномерно эллиптическое и его правая часть удовлетво-
удовлетворяет неравенству
\d(x. у, т, ?л. ?,)!<*'(|<Р,| + |?,|) + А".
В этом случае мы получили бы необходимые оценки, применяя
не представление C0), а более общее представление C3).
§ //. Обобщение теоремы Римана об отображениях
Понятие квазиконформного отображения естественным образом
приводит к далеко идущим обобщениям теоремы Римана об отобра-
отображениях. Эта теорема утверждает, что любая заданная односвязная
область, например, для простоты, жорданова область (т. е. область,
ограниченная простой жордановой кривой) может быть отображена
на другую жорданову область конформно, т. е. так, чтобы беско-
бесконечно малые окружности переходили в бесконечно малые окружно-
окружности. Отображение может быть выбрано так, чтобы три заданные
точки на границе одной области переходили в три заданные точки
на границе другой области.
Естественно поставить вопрос, можно ли отобразить одну за-
заданную жорданову область в другую так, чтобы в каждой точке
выполнялись следующие условия: бесконечно малый эллипс с эксцен-
эксцентриситетом е и большой осью, наклоненной под углом О к оси х,
переводится в бесконечно малый эллипс с заданными эксцентрисите-
эксцентриситетом е' и наклоном большой оси 6'. Мы можем требовать, чтобы
числа е, е', 0, 0' зависели и от рассматриваемой точки и от ее об-
образа. Легко проверить, что при соответствующих предположениях
о непрерывности геометрические условия, наложенные на такое ото-
отображение, могут быть выражены аналитически с помощью требова-
требования, чтобы осуществляющая это отображение функция w (z) == и -(- lv
удовлетворяла квазилинейной системе дифференциальных уравнений
в частных производных эллиптического типа, т. е. системе вида
их = ап(х, у, и, v)vx+*l2(x, у, и, v)vy,
— иу=^а.21(х, у, и, v)vx-\-a,22(x, у, и, v)vy.
Предположим, что коэффициенты этой системы удовлетворяют усло-
условию Гёльдера и что система равномерно эллиптическая. При этих
предположениях справедлив следующий результат (впервые доказан-
доказанный 3. Я. Шапиро'): Заданная жорданова область D на пло-
плоскости г может быть отображена на заданную жорданову
') См. Шапиро [1]. Эту задачу и ее обобщения рассматривали многие
авторы; см. библиографию в работе Боярского [1]. [Далеко идущее обоб-
обобщение этой теоремы принадлежит М. А. Лаврентьеву, см. его работу
в Матем. сб., 21 F3) A947), 285—320. — Прим. ред.]
398 Дополнение к гл. IV.
область D' на плоскости w с помощью пары функций и(х, у),
v(x,y), удовлетворяющих системе D1). Отображение можно вы-
выбрать так, чтобы три заданные граничные точки D переходили
в три заданные граничные точки D'.
Эту теорему можно доказать с помощью метода, описанного
в предыдущем параграфе. Представление C0) для функций, осуще-
осуществляющих квазиконформное отображение, дает необходимые апри-
априорные оценки.
§ 12. Две теоремы о минимальных поверхностях
В наших предыдущих исследованиях мы подчеркивали аналогию,
существующую между аналитическими функциями комплексного пе-
переменного и решениями эллиптических дифференциальных уравне-
уравнений. Однако в случае нелинейных уравнений возникают новые явле-
явления, которые не имеют аналогий в теории аналитических функций.
Мы проиллюстрируем это на примере двух теорем, касающихся ре-
решений одного из самых простых нелинейных уравнений — уравне-
уравнения минимальных поверхностей (см. гл. I, § 6):
Ф ?„ = °- <42>
Первая теорема (принадлежащая С. Н. Бернштейну) утверждает, что
любое решение уравнения D2), определенное на всей плоскости,
есть линейная функция-
Заметим, что для решений уравнения Лапласа утверждение тео-
теоремы было бы справедливо только если бы мы заранее знали, что
решение, о котором идет речь, имеет ограниченные производные;
в таком случае это утверждение было бы следствием хорошо изве-
известной теоремы Лиувилля о целых аналитических функциях.
Аналогично, теорема Римана об устранимых особенностях, кото-
которая, как мы видели раньше, применима также к линейным эллипти-
эллиптическим уравнениям, справедлива для уравнения минимальных поверх-
поверхностей в гораздо более сильной форме (Л. Берс).
Однозначное решение уравнения D2), определенное в окре-
окрестности некоторой точки (за исключением самой этой точки)
имеет в этой точке устранимую особенность. Другими словами,
решение можно определить в этой точке таким образом, чтобы функ-
функция была в ней регулярной. Заметим, что мы не требуем a priori,
чтобы решение было ограниченным.
Мы не будем здесь доказывать эти теоремы; заметим только, что
в одном из методов их доказательства снова применяется теория
комплексных функций !).
') Библиографические указания на эти теоремы и их обобщения даны
в работе Берса [4]. См. также Финн [1] и Оссерман [1]. Особенно простые
доказательства даны в работах Иоганнеса Нитше [1J и [2].
§ 13. Уравнения с аналитическими коэффициентами 399
§ 13. Уравнения с аналитическими коэффициентами
До сих пор мы рассматривали применение теоретико-функцио-
теоретико-функциональных методов к линейным дифференциальным уравнениям с част-
частными производными эллиптического типа при очень слабых ограни-
ограничениях на коэффициенты. В случае, когда сами коэффициенты являются
аналитическими функциями двух переменных, существует совершенно
другая возможность применения теории комплексных функций для
изучения решений.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с частными
производными
+ Т (•*¦ У)<Р = О. D3)
коэффициенты которого—действительные аналитические функции, и,
следовательно, могут быть определены также для комплексных зна-
значений независимых переменных. Для простоты мы предположим, что
эти коэффициенты — целые аналитические функции х и у. Мы будем
рассматривать как независимые переменные комплексные переменные
z = х -(- iy и z = х — iy; в новых переменных уравнение D3) можно
записать в виде
с?«+Лс?г+В(рг-+СсР=:=0; D4)
формально оно является гиперболическим уравнением, записанным
в каноническом виде. Заметим, что, прибегая к такому преобразова-
преобразованию, мы вынуждены рассматривать также комплекснозначные реше-
решения. При этом мы не теряем никаких решений, ибо, как было пока-
показано ранее(стр. 343), все решения линейных эллиптических уравнений
с аналитическими коэффициентами сами являются аналитическими
функциями.
Хорошо известно, что все решения гиперболического уравнения
в канонической форме в действительной области можно выразить
с помощью интегральной формулы, содержащей так называемую
функцию Римана этого уравнения и произвольные функции одной
переменной (см. гл. V). Те же самые формальные выкладки можно
проделать и в комплексной области. Тогда мы получим интегральные
операторы, преобразующие произвольную функцию одного комплекс-
комплексного переменного (которая, конечно, предполагается аналитической)
в решение эллиптического дифференциального уравнения D4). В слу-
случае уравнения Лапласа этот оператор не является интегральным опе-
оператором; он состоит просто в том, что берется действительная часть
аналитической функции.
Метод интегральных операторов, который мы описали только
в самых общих чертах, был развит и применен ко многим частным слу-
случаям С. Бергманом, И. Н. Векуа и их последователями. Подробности
и формулы, а также распространение метода на дифференциальные
400 Дополнение к гл. IV.
уравнения высших порядков и дифференциальные уравнения более
чем с двумя независимыми переменными, можно найти в соответствую-
соответствующей литературе *).
? 14. Доказательство теоремы Привалова 2)
В этом параграфе мы дадим доказательство теоремы Привалова,
сформулированной в § 3 этого дополнения.
Рассмотрим аналитическую функцию g(z) = U -\-iV, определенную
для |z|<l. Мнимая часть V (z) непрерывна при |г|^1, и для
всех 6, 6' и некоторого а, 0<а<1,
V (<?'9) — V О"') |< Н | е" — е'6' |\
Для некоторого фиксированного 6' обозначим через Ф(г) гармони-
гармоническую функцию (однозначную в единичном круге) Ф (z) =
= Re [(I — 2e~/0')°c]. Эту функцию можно определить так, чтобы было
ф@)=1. Тогда Ф(г) = |г — е'9' |acosav, где v — угол между пря-
прямыми, соединяющими точку eib' с точками 0 и г. Отсюда следует,
что на единичной окружности справедливо неравенство
COS ая/2 ^ ч ' ч ' ^ COS arc/2
в силу принципа максимума для гармонических функций оно верно
также всюду в единичном круге. В частности, гармоническая функция
V(z) — V(eib'), рассматриваемая в круге \z — re'9'| < 1—г, по
модулю не превышает величины
(///cos72a*)[2(l —r)]*.
Следовательно, в центре этого круга абсолютные величины произ-
производных Vх, Vy не больше, чем (Я/cos 72С"СJ*A—г)"". Но g'(z) =
= V -\- tVx и, так как 8' произвольно, мы имеем
С помощью этого неравенства легко показать, что
'1 — *2l •
где k зависит только от а.
') См. Бергман [1]. Обширная библиография содержится в работах
Кшивоблоцкого [1] и Векуа [2].
2) См. Привалов [1]. Теорема имелась уже в работе Корна [1J. Данное
здесь доказательство принадлежит Берсу. Обобщение теоремы дано в § 3
статьи Агмона, Дуглиса, Ниренберга [1].
§ 15. Доказательство теоремы Шаудера о неподвижной точке 401
Теперь мы сформулируем некоторое обобщение теоремы При-
Привалова, полезное для приложений (см. § 10 этого дополнения).
Пусть X (z)— действительная функция, определенная на единичной
окружности |z| = l, причем известно, что для нее выполняется ус-
условие Гёльдера с показателем, меньшим единицы. Пусть g(z)—ана-
g(z)—аналитическая функция, заданная в единичном круге и непрерывная на
окружности. Предположим, что функция а (г) = Re [g {z) zea <z>]
на единичной окружности равномерно удовлетворяет условию Гёль-
Гёльдера. Тогда функция g (z) равномерно удовлетворяет условию
Гёльдера в замкнутом единичном круге, причем константы
в условии Гёльдера зависят только от максимума модуля и от
констант Гёльде-ра функций \ и а.
Чтобы доказать эту теорему, возьмем аналитическую функцию
h (z), заданную на единичном круге, мнимая часть которой на
окружности совпадает с X(z). Такая функция существует, так как
задача Дирихле для гармонических функций разрешима. Если мы
потребуем, чтобы функция Re/z обращалась в нуль в начале коор-
координат, то наша функция h будет определяться однозначно и, в силу
теоремы Привалова, для нее будут известны максимум модуля и
константы, входящие в условие Гёльдера. Аналитическая функция
на единичной окружности удовлетворяет граничному условию
Reg"jB) = eRe h о. Таким образом, по теореме Привалова, мы можем
найти константы, характеризующие условие Гёльдера для функции
g (z) на единичной окружности и, в силу той же теоремы, во всем
единичном круге.
§ 15. Доказательство теоремы Шаудера
о неподвижной точке
Теорема Шаудера о неподвижной точке является обобщением
на бесконечномерные пространства знаменитой теоремы Брауэра. Тео-
Теорема Брауэра утверждает, что непрерывное отображение замкнутого
ограниченного выпуклого множества в «-мерном евклидовом про-
пространстве в себя имеет неподвижную точку. Доказательство теоремы
Брауэра о неподвижной точке можно найти в большинстве учебников
по топологии 1).
Так как теорема Шаудера о неподвижной точке касается отобра-
отображений в банаховом пространстве, то мы прежде всего напомним
определение такого пространства.
') См., например, Понтрягин Л. С, О:новы комбинаторной тополо-
топологии, Гостехиздат, М. — Л,, 1947, стр. 90. — Прим. ред.
402 Дополнение к гл. IV.
Линейное векторное пространство (действительное) есть множество
элементов (называемых также точками), которые можно складывать
и умножать на действительные числа так, что при этом выполняются
обычные законы арифметики, Точнее, если через х, у, г, ... обо-
обозначаются элементы пространства, а через X, ^, v, ...—действи-
...—действительные числа, то мы требуем, чтобы выполнялись следующие законы:
1) х-}-у=у-\~х; 2) х-+-(у -f- г) = (x-f- у) + z; 3) существует
такой элемент 0, что х-\-0 = х; 4) уравнение х-\-у = 0 при
любом у имеет единственное решение (оно обозначается через — у);
5) X (х + у) = Хх -f Ху; 6) (X + ]х) а: = Хх -f \>-х; 7) X. (^.лг) = (Xjjl) лг;
8) 1 • х — х. Линейное пространство навывается нормированным, если
любому элементу х поставлено в соответствие число \\x\\, такое, что
!Jxj|^O, причем ||jc||=O тогда и только тогда, когда х = 0;
||Хх || = |Х | || * ||; || x-j- у || ^ ||х|| -)- [| у ||. В нормированном простран-
пространстве расстояние между двумя элементами х и у определяется как
\\х—у||. Говорят, что последовательность элементов {хп\ сходится
к элементу х, если \\хп — х\\ —>0. Множество Л в таком пространстве
называется замкнутым, если для любой последовательности элемен-
элементов {хп} из Л, такой, что ||х„— х||—>0, элемент х также принад-
принадлежит Л.
Нормированное векторное пространство называется полным, или
банаховым пространством, если в нем любая последовательность Коши
сходится, т. е. если для любой последовательности элементов \хп),
длт которой \\хп — хт\\ —>0 при от, я—>оо, существует элемент х,
такой, что || л;л — jc |j —>- 0.
Функция, или отображение из одного банахова пространства 23
в другое банахово пространство, называется непрерывной, если доста-
достаточно малым изменениям аргумента соответствуют сколь угодно малые
изменения значений функции.
Множество Л элементов банахова пространства называется выпук-
выпуклым, если оно содержит отрезок, соединяющий любые две его точки.
Точнее, если х и у—элементы Л, то все элементы вида Хх -f- ;xy
при Х^О, р.^-0, Х-|-р.—1 (X, [х—действительные числа) принад-
принадлежат Л.
Множество Л элементов банахова пространства называется ком-
компотным, если любая бесконечная последовательность элементов из Л
содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторому эле-
элементу Л.
Пусть Л-—произвольное множество элементов банахова простран-
пространства. Оно содержится в некотором замкнутом выпуклом множестве,
например, во всем пространстве. Так как пересечение любого числа
замкнутых выпуклых множеств, как легко видеть, также замкнуто и
выпукло, то существует наименьшее замкнутое выпуклое множество Л.
содержащее Л; оно называется выпуклой оболочкой Л. В частности,
если Л состоит из конечного числа точек, то его выпуклая оболочка
§ 15. Доказательство теоремы Шаудера о неподвижной точке 403
лежит в конечномерном подпространстве банахова пространства, и
ее можно рассматривать как ограниченное замкнутое выпуклое мно-
множество в евклидовом пространстве.
Пусть теперь Л—выпуклое компактное множество в банаховом
пространстве 2?, и пусть Т—непрерывное преобразование Л в себя,
не обязательно линейное. Теорема Шаудера утверждает, что это пре-
преобразование имеет неподвижную точку.
Чтобы доказать эту теорему, мы построим сначала вспомогатель-
вспомогательное преобразование S, которое непрерывным образом переводит
множество Л в конечномерное замкнутое выпуклое подмножество ') Л
и для которого
\\S(x) — x\\ <е
для всех х из Л, причем здесь е — некоторое наперед заданное поло-
положительное число.
Это преобразование строится следующим образом. Мы можем
найти конечную последовательность точек
xv x2, ..., xN D5)
из Л, таких, что для любого элемента х из Л и для некоторого j
1
выполняется неравенство \\х — Xj\\ ^ -у е. Действительно, пусть
х1 — произвольная точка из Л. Если все остальные точки лежат не
1
дальше, чем на расстоянии -„-е от xv то наше утверждение устано-
установлено. В противном случае будет существовать такая точка х2, что
II х\ — Х2\\^ ^тг- Если не все точки из Л отстоят на расстоянии,
меньшем чем -^ s, от хх или х2, то в Л будет существовать точка х3,
такая, что \\хг — х3\\^-^-е, \\х2 — х3|| ^ -у6- Продолжая выбирать
точки таким образом, мы построим последовательность D5). Заметим,
что этот процесс должен оборваться после конечного числа шагов,
так как в противном случае мы получили бы бесконечную последова-
последовательность точек из Л, таких, что расстояние между каждой парой
этих точек не меньше, чем -к е. Такая последовательность не могла бы
содержать сходящуюся подпоследовательность, что противоречило бы
') Под конечномерным множеством в банаховом пространстве мы здесь
понимаем множество, содержащееся в некотором конечномерном подпро-
подпространстве.
404 Дополнение к гл. IV.
компактности Л. Построив последовательность D5), мы для х из Л
положим
||х — jCy11, если ||х — ХуЦ^-д-е,
е — ||х — Xj\\, если -g-е < \\х — Xj\\ < e,
О, если \\х — Xj\\ > s;
2 N (х)
Е= 1
; = 1
Легко видеть, что отображение S(x) непрерывно. Оно отображает Л
в Ло — выпуклую оболочку точек D5). Кроме того, так как Ху^О,
N
2^,-=1 и Х,(х) = 0, если ||л: — х,||;>е, то
N
N
Рассмотрим теперь произведение преобразований ST. Это преобразо-
преобразование непрерывным образом переводит Ло (выпуклую оболочку точек
D5)) в себя. Согласно теореме Брауэра, это отображение имеет не-
неподвижную точку у. Таким образом, мы имеем S[T(y)] = y и
\\Т(У) — У\\ <е.
Из предыдущего утверждения следует, что для любого п мы
можем найти такую точку уп из Л, что \\Т(уп) — ул|| < 1/л. Так
как А — компактное множество, то существует подпоследователь-
подпоследовательность (,Ул.}> сходящаяся к некоторой точке у из Л.
В силу непрерывности преобразования Т мы имеем
T(y) = UmT(yn.) = y.
Точка у является искомой неподвижной точкой.
Существует также более общая форма теоремы Шаудера о не-
неподвижной точке, которая утверждает, что непрерывное отображение
любого замкнутого выпуклого множества в банаховом пространстве
в его компактное подмножество имеет неподвижную точку. Этот
результат можно доказать, проверив, что выпуклая оболочка ком-
компактного множества компактна. Более общий результат был получен
Тихоновым х).
') См. Данфорд н Шварц [1]. [См. также Лере и Шаудер [1].—Прим. ред.]
Глава V
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ
ПЕРЕМЕННЫМИ
Введение
В следующих двух главах рассматриваются гиперболические урав-
уравнения, описывающие распространение волн. Эта глава посвящена
задачам с двумя независимыми переменными х, у или х, t (в послед-
последних параграфах мы часто будем писать t вместо у, чтобы подчерк-
подчеркнуть, что t — переменная, соответствующая времени); в гл. VI рас-
рассматривается случай более чем двух независимых переменных.
Чтобы сохранить единство изложения, иногда придется повторить
в несколько измененном виде материал, уже затронутый в гл. III.
В начале этой главы, в соответствии с историческим развитием
предмета'), будет рассматриваться одно гиперболическое уравнение,
в частности, второго порядка.
Но затем основное внимание будет обращено на гиперболические
системы дифференциальных уравнений, особенно системы уравнений
первого порядка, что не только приводит к большой общности и
простоте, но и непосредственно соответствует многим физическим
задачам, так как задачи эти часто формулируются в терминах таких
систем.
Основным результатом в случае двух независимых переменных
будет решение задачи Коши с той же степенью полноты, с которой
решаются задачи в теории обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений; решения могут быть построены с помощью итерационных
методов, совершенно аналогичных тем, которые применяются к обык-
обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Понятие характеристик, введенное уже в гл. I, II и III, играет
решающую роль в изучении гиперболических уравнений не только
в случае двух, но и в случае большего числа независимых перемен-
переменных (см. гл. VI). Мы сначала напомним и расширим результаты
наших прежних исследований характеристик для случая двух неза-
независимых переменных, а затем применим эту теорию к решению ос-
основной задачи Коши.
Характеристики (характеристические кривые) С обладают сле-
следующими свойствами, каждое из которых можно принять за опреде-
определение (см. также гл. I, II, III):
') См. Зауэр [1].
406 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
1) На характеристике дифференциальное уравнение (а для сис-
систем—некоторая линейная комбинация уравнений) является уравне-
уравнением, связывающим внутренние производные.
1а) Начальные данные на характеристике не могут быть заданы
произвольно; они должны удовлетворять условию совместности, если
мы хотим дополнить эти данные до „интегральной полосы".
2) Разрывы решения (вид которых уточняется ниже) могут про-
происходить только по характеристикам.
3) Характеристики являются единственно возможными „линиями
ветвления" решения, т. е. такими линиями, для которых одна и та
же задача Коши может иметь несколько решений.
Для систем квазилинейных дифференциальных уравнений первого
порядка начальные данные, или „данные Коши", являются просто
значениями неизвестных функций на начальной кривой. Первое свой-
свойство связано со следующим основным фактом: некоторое на-
направление является характеристическим в точке Р, если существует
такая линейная комбинация дифференциальных уравнений системы,
которая в точке Р содержит дифференцирование только по этому
направлению. (Система является гиперболической, если ее можно за-
заменить с помощью линейного преобразования эквивалентной системой,
в которой каждое дифференциальное уравнение в каждой точке со-
содержит дифференцирование только по одному „характеристическому"
направлению.) Второе и третье свойство для гиперболических систем
также можно получить из этого специального вида уравнений.
Как мы увидим, задача Коши для одного дифференциального
уравнения высшего порядка всегда сводится к задаче для системы
уравнений первого порядка со специальным образом выбранными
начальными условиями (см. также гл. I, § 7). Тем не менее сначала
мы вкратце рассмотрим случай одного дифференциального уравне-
уравнения, в основном уравнения второго порядка, не производя такого
сведения. (Читатель, которого в первую очередь интересует систе-
систематическое изложение, может опустить многие детали § 1.)
$ /. Характеристики дифференциальных уравнений
(в основном второго порядка)
1. Основные понятия. Квазилинейные уравнения. Рассмотрим
квазилинейный дифференциальный оператор второго порядка
L[u]==ar-\-bs-\-ct A)
и дифференциальное уравнение
= Q, B)
где
§ 1. Характеристики дифференциальных уравнений 407
а величины а, Ь, с, d—заданные в рассматриваемой области функ-
функции переменных х, у, и, р — их, q = uy. В тех случаях, когда не
оговорено противное, предполагается, что все встречающиеся нам
функции и их производные непрерывны.
Как и в гл. II, мы начнем с задачи Коши, т. е. будем дополнять
начальную полосу до интегральной полосы. Сначала мы определим
полосу первого порядка С\ следующим образом: две функции х =
= X (К), у = Y (к) параметра к определяют на плоскости х, у кривую
Со; вместе с функцией u = U(k) они определяют кривую Со, лежа-
лежащую в пространстве х, у, и „над кривой Со". Плоскости, касатель-
касательные к кривой Со, определяются заданием двух дополнительных функ-
функций Р(к) и Q(k) (нормаль к такой плоскости имеет компоненты
Р, Q, — 1), причем эти функции должны удовлетворять „соотноше-
„соотношению полосы"
U = PX + QY, C)
которое отражает тот факт, что кривая Со и касательная плоскость
параллельны (точка здесь обозначает дифференцирование по па-
параметру к). Все время мы предполагаем, что
Заданная поверхность и(х, у) порождает полосу Сх над основной
кривой Со, если мы положим U, Р и Q равными тем значениям,
которые функции и, р и q принимают на Со, т. е. мы полагаем
U(\) = u(X(k), Y(X)) и, кроме того, Р(к) = их(Х(к), Y(к)),
Q(k) = и (X(к), Y(к)I). Для полосы, 'лежащей на поверхности
и(х, у), мы будем писать и, р, q (и х, у) вместо U, P, Q (и X, Y),
если при этом остается ясным смысл.
Часто бывает полезно представлять основную кривую Со на плос-
плоскости х, у с помощью соотношения ср(х, у) — 0. Мы будем пред-
предполагать, что кривая f= 0 на плоскости х, у, а также кривая Со на
поверхности и — и(х, у) отделяют область, где ср < 0, от области,
где ср > 0. Мы предположим также, что ср —0 — регулярная кривая,
т. е. производные срж и ср не обращаются в нуль одновременно.
Затем мы определим полосу второго порядка С2, рассматривая
три дополнительные функции R(k), S(k), T(k), соответствующие
вторым производным г, s, t функции и(х, у) и полосе Су, эти функ-
функции должны удовлетворять соотношениям полосы
Q = Sx~\-Ty.
') Соотношение полосы C) выражает тот факт, что интегральная по-
поверхность и (х, у) содержит эту полосу.
408 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
Основную задачу Коши1) для уравнения B) можно поставить сле-
следующим образом.
Дана полоса первого порядка С,; надо найти решение и (х, у)
уравнения B), такое, чтобы поверхность и(х, у) содержала полосу Сх.
Естественно, при этом предполагается, что функции \, определяющие
полосу Cv имеют непрерывные производные первого, и, если пона-
понадобится, более высокого порядка2).
Вместо того чтобы сразу же попытаться решить эту задачу, мы
поставим сейчас менее тонкий вопрос: позволяют ли условия B) и C)
однозначным образом дополнить заданную полосу Сг до полосы С2,
удовлетворяющей уравнению B)? Такую полосу С2 мы будем назы-
называть интегральной полосой.
Записав соотношения для интегральной полосы С2 в виде
p—rx-\- sy, q = sx-\- ty,
мы получим на Сх систему
ar-\- bs-\-ct = — d,
xr-\-ys = р, D)
xs-\-yt = q
трех линейных уравнений относительно г, s, t. В результате для
любой точки Р полосы Сх возникает следующая альтернатива: либо
для любой точки Р кривой Со
a
лг у 0
0 х у
г= ау2 — дху + сх2 Ф 0
— в этом случае Сх называется свободной полосой, вторые произ-
производные однозначно определяются на Со полосой Сх и дифференциаль-
дифференциальным уравнением; либо в некоторой точке Р кривой Со
x2 = 0. E)
') Для двух независимых переменных х, у, несомненно, полезно рас-
рассмотреть решения, полосы и характеристики в трехмерном пространстве
х, у, и, как мы это делали в гл. II. Однако часто мы будем концентрировать
свое внимание на плоскости независимых переменных х, у и рассматривать
полосы или кривые в пространстве х, у, и как кривые на плоскости х, у,
несущие значения и, р, q, ... . Если контекст ясен, мы позволим себе при-
применять то из этих определений, которое окажется более удобным.
2) Решение ищется в некоторой малой окрестности кривой Со. —
Прим. ред.
§ 1. Характеристики дифференциальных уравнений 409
Говорят, что в такой точке Р, т. е. в точке, где выполняется это
„характеристическое соотношение", функции, задающие полосу, обра-
образуют характеристический элемент.
В дальнейшем предполагается, что либо вся рассматриваемая по-
полоса свободна, либо она состоит целиком из характеристических эле-
элементов. Во втором случае полоса называется характеристической
(см. гл. III, § 2).
Если полоса Сх свободна, т. е. если Q Ф 0 всюду на Со, то инте-
интегральная полоса С2 однозначно определяется как расширение по-
полосы Су Кроме того, дифференцируя уравнения D), мы убеждаемся,
что на Со однозначно определяются также интегральные полосы более
высокого порядка. Например, для третьих производных гх, sv tx
мы получаем три уравнения
arx + bsx + ctx = — axr — bxs — cj — dx,
xrx + ysx —r,
xsx-\-ytx=s\
правые части этих уравнений известны, а определитель системы не
обращается в нуль.
Если Q = 0 вдоль кривой Со, т. е. полоса первого порядка Сх
состоит целиком из характеристических элементов, то из того, что
определитель E) обращается в нуль, следует, что между левыми
частями уравнений D), а следовательно, и между их правыми частями
имеется некоторая линейная зависимость, причем коэффициенты зави-
зависят только от х, у, и, р, q. На Сг это соотношение дает некоторое
новое условие на р и q, кроме соотношения полосы C); это условие
должно выполняться, если полосу С] можно дополнить до интеграль-
интегральной полосы второго порядка С2- Такую полосу первого порядка С1
мы называем характеристической полосой; несущая полосу кри-
кривая Со называется характеристической кривой (характеристикой)
в пространстве х, у, и, а ее проекция Со — проекцией характе-
характеристической кривой, или просто характеристической кривой
на плоскости х, у.
На характеристической полосе Cv включенной в интегральную
полосу второго порядка, вторые производные г, s, t не определяются
однозначно, а только с точностью до слагаемого, которое является
произвольным решением однородной системы, соответствующей D).
Итак, либо полоса Сх свободная, и в этом случае диф-
дифференциальное уравнение однозначно определяет вторые и стар-
старшие производные функции и на Cv если заданы и, р, q\ либо
полоса содержит точки, удовлетворяющие характеристиче-
характеристическому соотношению E). Если Су целиком состоит из таких
410 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
точек, то ее можно расширить до интегральной полосы С2
только при выполнении некоторого дополнительного условия.
В этом случае расширение уже не является однозначным.
Тогда полоса С1 называется характеристической.
Рассмотрим, например, линейное дифференциальное уравнение
ик =0 и полосу С], заданную функциями х = К у = 0, u = k\
(с постоянным k), p = k, q = /(>.). Все точки этой полосы удовле-
удовлетворяют соотношению E), и из уравнений D) следует, что вдоль
полосы q = 0. Следовательно, на полосу надо наложить дополнитель-
дополнительное условие q = const, для того чтобы ее можно было расширить до
интегральной полосы. Другими словами, среди всех полос, элементы
которых удовлетворяют условию E), только плоские полосы являются
характеристическими.
Характеристическое соотношение получается также с помощью сле-
следующих рассуждений (которые можно обобщить на п независимых пере-
переменных); эти рассуждения относятся к основному многообразию^ (х, у) —
= 0 (<pj+?y Ф 0) полосы С1 (см. гл. I, прил., § 1 и гл. III, § 2). Мы
будем называть дифференциальный оператор второго порядка, при-
примененный к функции и, внутренним дифференциальным операто-
оператором на С], или оператором, действующим внутри Cv если он на
кривой Со может быть выражен через величины, описывающие по-
полосу С]. Например, их является таким внутренним дифференциаль-
дифференциальным оператором для полосы х=Х, у = 0, и = 0, /7 = 0, q = f(К),
так как иху = q.
Теперь мы ставим следующий вопрос: каким условиям должна
удовлетворять полоса Cv чтобы квазилинейный дифференциальный опе-
оператор A) был внутренним оператором на С,? Оказывается, что необ-
необходимым и достаточным условием этого является выполнение на С1
характеристического соотношения
Q (<р, <р) == afx + Ь>хзу + «р$ = 0. F)
Здесь Q(tp, cp) называется „характеристической формой".
Доказательство. Вместо х, у мы введем новые координаты
7) = tp(x, у) и Х==ф(х, у) так, чтобы X (или <|>) тождественно совпа-
совпадало с ранее введенным на Сх параметром, а ср была бы переменной,
„выводящей" из С1. Тогда для любой функции и (х, у)
Uxx= V#
§ 1. Характеристики дифференциальных уравнений 411
и если <?(ср, ф) есть билинейная форма (см. т. I, гл. 1, § 1, п. 4),
соответствующая квадратичной форме Q, то
//Щ G)
На полосе Cj дифференцирование, по ф = Х является внутренним диф-
дифференцированием, а дифференцирование по ср является дифференци-
дифференцированием, выводящим из С, (см. гл. II, прил. 1, § 1). На С\ функ-
функция и и ее первые производные известны, а также известны те произ-
производные второго порядка, которые получаются из первых производных
с помощью дифференцирования по Х. = ф. Таким образом, единствен-
единственный член в операторе L[u], содержащий вторые производные, не
лежащие в Cv есть и Q (ср, ср). Условие Q(ep, ер) = 0 при ср~О
является, следовательно, необходимым и достаточным для того, чтобы
L[u] был внутренним оператором.
Теперь мы рассмотрим дифференциальное уравнение
/.[«] + <*= 0. B)
Мы снова немедленно приходим к альтернативе: или <?(ср, ср) Ф 0
в любой точке С,, и в этом случае выводящая из С, производ-
производная и а вместе с ней и все вторые производные функции и, одно-
однозначно определены на Сх\ или же Q (ср, ср) = О в некоторой точке Р
полосы С,, и тогда дифференциальное уравнение B) в этой точке
полосы представляет собой дополнительное условие на величины,
определяющие полосу. Если мы предположим, что полоса С, задана
(т. е. что вдоль кривой Со известны первые производные функции и)
и если Q (ср, ср) —0 всюду на Cv то это новое условие имеет вид
обыкновенного дифференциального уравнения относительно функ-
функции u^ = k аргумента ф = Х., а именно
2ftxQ(<p, ф) + *М<р]+ ... =0, (8)
где точки поставлены вместо величин, известных на полосе.
Ясно, что характеристические условия F) и E) эквивалентны.
Действительно, так как
т. е.
Чу х
левая часть формулы F) с точностью до множителя совпадает с ле-
левой частью E). Характеристические полосы С, могут существовать
только в тех областях, где
4ас — 62<0,
412 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
иначе уравнениям E) или F) не могут удовлетворять никакие дей-
действительные отношения х : у (или срх : сру).
Мы напомним следующие определения. Дифференциальный опе-
оператор аихх-\-Ьиху-\- сиуу является гиперболическим в точке
Р: (х. у, и, р, q) пятимерного пространства х, у, и, р, q, если
в этой точке
— Ь2<0 (9)
(см. гл. III, § 2, п. 1). Аналогично, он называется гиперболическим
на поверхности и — и{х, у), если условие (9) выполняется в каждой
точке этой поверхности. Ясно, что если условие (9) выполняется
в некоторой точке Р пространства х, у, и, р, q, то оно будет вы-
выполняться и в соответствующим образом выбранной окрестности Р.
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что дифференциаль-
дифференциальные операторы гиперболичны в рассматриваемых точках.
Если дифференциальный оператор линеен, то гиперболичность его
зависит только от х, у и не зависит от и, р, q. В частности, проек-
проекции характеристик Со определяются тогда только дифференциальным
оператором независимо от и, р, q.
Наконец, мы подчеркнем следующий важный факт: характери-
характеристическое соотношение для дифференциального уравнения B)
инвариантно относительно любых преобразований независимых
переменных х, у. Это непосредственно следует из того факта, что
характеристическое условие необходимо и достаточно для того,
чтобы L[u] был внутренним оператором на Сх. Чтобы получить фор-
формальное доказательство, мы перейдем от переменных х, у к %, г\.
Получим
аихх + Ьиху 4- сиуу + d = аик + [iuiy] -j- Ти^ + 5,
где коэффициенты а, C, -j. 8 в правой части являются функциями ?,
т], и, Ur_, u7. Тогда, как легко проверить,
из чего уже следует наше утверждение.
2. Характеристики на интегральных поверхностях. До сих пор
мы ограничивались тем, что рассматривали переменные вдоль неко-
некоторой полосы; теперь мы рассмотрим всю поверхность У: и = и(х, у),
причем мы будем предполагать, что она является интегральной по-
поверхностью уравнения B). На такой интегральной поверхности не
только и, но также и р = их и q = uy, а следовательно, и коэф-
коэффициенты а, Ь, с, d являются известными функциями хну. Мы
предполагаем, что на всей рассматриваемой поверхности выполняется
§ 1. Характеристики дифференциальных уравнений 413
условие (9), т. е. что уравнение B) гиперболическое. Характеристи-
Характеристическое соотношение
ау1 — Ьх у -f- сх2 = О
определяет тогда два действительных различных значения Ср ^ для
отношения у/х, и, следовательно, оно определяет два различных
однопараметрических семейства характеристических кривых
на интегральной поверхности1); они являются решениями обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений
dy __ . dy __ r
dx —4' ~dx~— -2-
Как мы увидим, введение этих двух семейств в качестве координат-
координатных кривых сильно упрощает задачу о решении дифференциального
уравнения.
В эллиптическом случае, когда 4ас — Ь2 > 0, таких характери-
характеристик не существует. В предельном параболическом случае, когда
Аас — 62 = 0, два семейства характеристик совпадают.
Характеристические полосы — это единственные полосы, по кото-
которым возможно ветвление интегральной поверхности. Под полосой,
по которой возможно ветвление, мы подразумеваем полосу, которой
касаются две различные интегральные поверхности, так что при этом
значения величин и, р, q для них совпадают, а некоторые произ-
производные более высокого порядка оказываются различными. На нехарак-
нехарактеристической полосе все вторые производные (и аналогично все
производные более высоких порядков, до тех пор, пока они суще-
существуют и непрерывны) определены однозначно. Следовательно, полосы,
по которым происходит ветвление, должны быть характеристиче-
характеристическими.
Если дифференциальное уравнение эллиптическое, то на интеграль-
интегральной поверхности не существует полос, по которым возможно ветвле-
ветвление. Если, кроме того, мы предположим, что это уравнение —
аналитическое и что в соответствии с этим производные любого
порядка однозначно определены на каждой полосе, лежащей на
интегральной поверхности, то мы естественно придем к заключению,
что любое решение такого уравнения эллиптического типа должно
быть аналитической функцией. Доказательство этого будет дано
в приложении 1 к этой главе (см. также гл. IV, § 7). Здесь мы
только заметим, что наличие полос, по которым возможно ветвление,
') Мы снова позволяем себе употреблять термин „характеристические
кривые" для пространственных кривых на J и одновременно для их проек-
проекций на плоскость х, у. В частности, для линейных дифференциальных урав-
уравнений мы в основном будем говорить о проекциях, так как они фиксиро-
фиксированы и не зависят от решения.
414 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
влечет за собой суше:твование неаналитических решений урав-
уравнения.
Мы еще раз рассмотрим характеристическое условие F), Q = ачрх-\-
-f frp^cp -f-лр2 —0, где а, Ь, с — известные функции х и у на инте-
интегральной поверхности J. Пусть ср— функция, удовлетворяющая соот-
соотношению F), которое мы будем рассматривать как дифференциальное
уравнение в частных производных: мы видим, что тогда кривая
ср = const является характеристической кривой на поверхности J.
Ясно, что если ср является решением уравнения F), то решением
является также ср — const; следовательно, все кривые семейства
ср = const являются характеристическими на J. Обратно, если урав-
уравнение ср = const задает такое семейство характеристик, то функция ср
удовлетворяет уравнению F), рассматриваемому как дифференциаль-
дифференциальное уравнение в частных производных.
В качестве примера можно привести дифференциальное уравне-
уравнение иху = 0. Характеристическое соотношение имеет вид сржсру = 0.
Ему удовлетворяет любая функция ср, которая является функцией
одного только х или одного только у. Поэтому проекциями харак-
характеристик являются линии х — const и у = const.
3. Характеристики как линии разрыва. Фронт волны. Распро-
Распространение разрывов. Мы ввели характеристики как линии, по кото-
которым происходит ветвление интегральных поверхностей, т. е. как
кривые, на которых некоторые производные функции и имеют раз-
разрывы. Этот пункт посвящен замечательному факту, который далее
будет рассматриваться для более общего случая (см., например, гл. VI,
§ 4). Он состоит в следующем: величина таких разрывов первого
рода подчиняется некоторому обыкновенному дифференциальному
урав; ению первого порядка вдоль характеристической кривой.
Мы опишем здесь это явление для случая распространения раз-
разрывов вторых производных.
Пусть кривая С задана уравнением ср(х, у) = 0 и разделяет
области, где ср ^> 0 и ср ,<С 0; пусть и (х, у) удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению B) в каждой из этих областей, причем
функция и и ее первые производные непрерывны при переходе через
кривую С, а „внешние" вторые производные и терпят разрыв при
переходе через С. Однако при этом внутренние производные непре-
непрерывны на кривой ср = 0 в следующем смысле: если, как и раньше,
Х = ф и т| —ср являются координатами на интегральной поверхности J
в окрестности кривой С, а X есть параметр на С, то все производ-
производные функций и, р, q по X непрерывны при переходе через С.
Через [/] мы обозначим скачок функции / при переходе через С
в направлении возрастания значений функции ср. По предположению,
функция их непрерывна вместе со своей внутренней производной
§ 1. Характеристики дифференциальных уравнений 415
(см. гл. II, § 1), которая определяется формулой ихху —ихух; не-
непрерывна также внутренняя производная от иу, определяемая форму-
формулой «хуТу — «уу?*-
Таким образом, мы имеем для скачков два соотношения
которые сразу дают
с некоторым коэффициентом пропорциональности k (между прочим,
легко видеть, что k = [u ]).
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение B) в двух точ-
точках Р( и Р2, лежащих по разные стороны от кривой С, вычтем одно
из этих уравнений из другого и устремим точки Р, и Р2 к точке Р,
лежащей на С (рис. 23). Непрерывные
члены пропадут, и соотношение примет вид
а \ихХ\ + Ъ \иху\ + с 1нуу] = °-
или, в соответствии с результатом, полу-
полученным выше, после сокращения на мно-
множитель А,
а'?х
рис_
что является просто характеристическим соотношением. Таким обра-
образом подтверждается, что разрывы указанного вида могут происхо-
происходить только на характеристике.
Чтобы дать физическую интерпретацию, мы будем рассматривать
y = t как время, а решение и (х, t) будем представлять себе как
„волну" или такую величину, которая изменяется в пространстве х
с течением времени t. Если эта волна имеет разрыв на характери-
характеристике ср(лг, t) = Q, то мы будем считать, что уравнение ср = О раз-
разрешено относительно х : х = х (t) и
_^?^ Ъ_
dt <fx ¦
Это позволяет нам на плоскости х, t интерпретировать кривые
ср = О, на которых происходит разрыв, как траектории точек раз-
разрыва х, передвигающихся с течением времени по оси х со скоро-
скоростью dxjdt.
Коэффициент пропорциональности k характеризует величину раз-
разрыва. Он обладает следующим замечательным свойством. Вдоль
416 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
характеристики С множитель k удовлетворяет обыкновен-
обыкновенному линейному однородному дифференциальному уравнению,
а именно
= 0, A0)
где коэффициенты а и [3 определяются формулами
ф), p = M<p] + Q9(<P. 9)-
Для доказательства мы продифференцируем по ср уравнение L [и] -\-
-\-d = 0, где оператор L задается формулой G), и составим выра-
выражение для скачка. В него войдут только члены, содержащие произ-
производные по ср второго и высших порядков. Учитывая, что на С
<5(ср, ср)г=О, мы приходим к дифференциальному уравнению A0)
для k.
Из этого результата следует, что множитель k либо нигде не
обращается в нуль, либо равен нулю всюду на рассматриваемой части
кривой С.
Выше были рассмотрены разрывы производных второго или более
высокого порядка. Разрывы первых производных исключаются по
самому смыслу дифференциального уравнения. Тем не менее в § 9
мы обобщим понятие решения так, что станут возможны эти и неко-
некоторые другие разрывы. В действительности, разрывы первых производ-
производных могут происходить вдоль произвольной свободной кривой С.
Мы различными способами можем дополнить С до полосы Сх. Тогда
(см. вторую часть этой главы) мы можем решить соответствующие
задачи Коши, и, объединяя решение, построенное с одной стороны
кривой С, с любым другим решением, построенным с другой сто-
стороны, мы получим обобщенное решение и, которое само непрерывно
и имеет первые производные, разрывные при переходе через С.
Однако легко видеть, что было бы бесполезным обобщением до-
допускать обобщенные „решения", которые сами непрерывны и имеют
производные, разрывные при переходе через некоторую (свободную)
кривую С. Такие функции всегда можно было бы построить, рас-
рассматривая по разные стороны кривой С два различных решения иг
и н2, для которых начальные полосы С1 и С2 являются различными
полосами, построенными на кривой С; например, и = 0 для у>0
и и = у для у<0 для уравнения и у — ихх = 0 и линии у = 0
в качестве кривой С.
Однако в § 9 мы дадим нетривиальное расширение понятия реше-
решения, введя „слабые решения". Такие решения могут иметь разрывы
первых производных, причем здесь снова окажется, что эти разрывы
могут происходить только вдоль характеристик.
В случае линейных дифференциальных уравнений отличительное
свойство характеристик как линий, на которых возможны разрывы,
сохраняется также для разрывов самой функции и. Во всех этих
§ 1. Характеристики дифференциальных уравнений 417
случаях мы найдем обыкновенные дифференциальные уравнения вида
A0) для распространения этих разрывов.
4. Общие дифференциальные уравнения второго порядка.
Предыдущие результаты легко распространить на общее дифферен-
дифференциальное уравнение второго порядка
F (х, у, и, р, q, r, s, 0 = 0. A1)
Мы снова рассмотрим кривую С в пространстве х, у, и п предпо-
предположим, что она дополнена до полосы первого порядка С: или до
полосы второго порядка С2. Мы будем считать, что С2 — интегральная
полоса, т. е. что соответствующие величины х, у, и, р, q, r, s, t
удовлетворяют уравнению F = 0.
Первым шагом к решению задачи Коши является дополнение инте-
интегральной полосы С2 до полосы третьего порядка С3, несущей вели-
величины, соответствующие третьим производным функции и(х, у), кото-
которая удовлетворяет уравнению A1).
Мы можем следующим образом получить характеристическое
соотношение: пусть X — параметр на кривой С, проекция Со которой
на плоскость х, у задается уравнением ср(дг, у) = 0. Мы введем
новые координаты X и ср в окрестности CQ. Тогда функция и (х, у)
перейдет в функцию и (X, ср), и мы можем написать
F {х, у, и, р, q, r, s, t) — G(\, ср, н, мх, и^, ип, иц, и?(р).
Начальная интегральная полоса С2 называется характеристической,
если не все старшие производные функции и, в частности, не все
третьи производные, однозначно определяются на этой полосе диф-
дифференциальным уравнением. Если вторая выводящая производная и
может быть определена на полосе из дифференциального уравнения
О = 0, т. е. если это дифференциальное уравнение может быть
записано в виде
то с помощью дифференцирования мы получаем третью внешнюю
производную и ; .очевидно, вместе с ней мы определяем все осталь-
остальные третьи производные на полосе С2. Другими словами, если
Ои Ф О, то все старшие производные на полосе С2 могут быть
определены, и полоса С2 является свободной, т. е. нехарактеристи-
нехарактеристической. Следовательно, для характеристической полосы С2 должно
выполняться условие Ga = 0. Это „характеристическое соотноше-
соотношение" легко привести к виду
Несколько другим путем, который более соответствует п. 1, мы
можем вывести характеристическое соотношение, вычисляя на начальной
418 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
полосе С2 третьи производные, например rx, sx, t%. Дифференцируя
уравнение F = 0 по х, вводя сокращенные обозначения
и применяя соотношения полосы, мы приходим к линейной системе
xsx+ ytx =s.
К этой системе можно применить в точности те же рассуждения,
которые применялись к системе D) в п. 1.
Если определитель
\ F F F
\ ' г ' s ' t
Q— x у О
О х у
Ftx<2
отличен от нуля, то интегральная полоса С2 свободна а
старшие производные на С2 однозначно определяются. Если
определитель обращается в нуль всюду на полосе, то полоса
называется характеристической. В этом случае величины х,
у, и, р, q, r, s, t, определяющие характеристическую полосу,
должны удовлетворять двум дополнительным условиям для
того, чтобы полосу С2 можно было включить в интегральную
поверхность (или даже просто дополнить до полосы третьего
порядка). Первое условие выражает тот факт, что правые части
написанных выше уравнений линейно зависимы между собой, так
же как и левые части; второе условие получается аналогич-
аналогичным образом, если мы продифференцируем уравнение F = 0 по у.
Если <р(х, у) = 0 —уравнение проекции характеристики, то харак-
характеристическое соотношение
t = O A2')
отличается от условия A2) только множителем. Условия A2) и A2')
могут выполняться в некоторой точке полосы С2 для действительного
отношения — <ру'-9лг или Х'-У> только если в этой точке
4FrFt — /^<0.
Как и раньше, мы назовем оператор F гиперболическим в точке
восьмимерного пространства х, у, и, р, q, r, s, t, если в этой
точке выполняется строгое неравенство
4FrF,-F2s<0. A3)
§ 1. Характеристики дифференциальных уравнений 419
Дифференциальный оператор называется гиперболическим на полосе
второго порядка или на поверхности и(х, у), если неравенство A3)
выполняется в каждой точке.
Как и в частном случае квазилинейных уравнений, надо заметить,
что характеристическое соотношение на данной интегральной поверх-
поверхности можно рассматривать как дифференциальное уравнение в част-
частных производных первого порядка для функции ер, а характеристи-
характеристические кривые образуются семействами решений ер = const.
5. Дифференциальные уравнения высших порядков. При изу-
изучении дифференциального уравнения п-го порядка с неизвестной
функцией и(х, у) мы будем пользоваться следующими сокращен-
сокращенными обозначениями
д"и . „ , ,
р = (v = 0, 1, ..., п).
дх дуп
Дифференциальное уравнение и-го порядка имеет вид
F(x. у, и р, Рп)==0; A4)
здесь явно не выписаны производные порядка меньшего, чем п. Мы
введем понятия характеристик и характеристического соотношения
следующим образом. Предположим, что и — и(х, у) — интегральная
поверхность и что на ней задана кривая С вместе с соответствую-
соответствующей полосой п-го порядка Сп, причем проекция кривой С: ср(х, у) = 0
отделяет область, где ср > 0, от области, где ер < 0. Пусть X — пара-
параметр на полосе. Снова на интегральной поверхности и(х, у) мы
введем X и ср в качестве независимых переменных вместо хну.
Мы обозначим через и (X, ер) функцию, в которую перейдет и (х, у),
и введем обозначение
д"и
?•¦•? дчп
для я-й производной функции и, выводящей из полосы Сп. Тогда мы
получим
где точки поставлены вместо членов, не содержащих п-Я производ-
производной ш. Заданное дифференциальное уравнение A4) можно теперь
рассматривать как дифференциальное уравнение относительно функ-
функции м(Х, ер). Если на кривой С уравнение A4) может быть приве-
приведено к виду
и) =/(Х, ер, и, . . .),
где ш уже не содержится явно в правой части, то мы можем с по-
помощью дифференцирования по ср однозначно определить выводящую
420 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
(п-\- 1)-ю производную о» и все остальные производные (я+1)-го
порядка от функции и. Это всегда возможно, если Fю Ф 0. Если
Fm = 0 для всех X, то мы будем говорить, что Сп — характери-
характеристическая полоса. Если записать это соотношение в старых коор-
координатах, то получится основное характеристическое соотношение
Мы считаем полосу я-го порядка с проекцией ср = 0 характеристи-
характеристической, если 1) всюду на ней выполняется соотношение A5), и 2) она
является интегральной полосой.
Вопрос о том, можно ли определенную таким образом характе-
характеристическую полосу включить в интегральную поверхность, т. е.
вопрос о существовании решения задачи Коши, остается здесь от-
открытым.
Теперь мы вернемся к рассмотрению характеристических инте-
интегральных полос на заданной интегральной поверхности J. На поверх-
поверхности J: и = и(х, у) соотношение A5) выполняется в том случае,
если всюду в A5) подставлена функция и(х, у) и значения ее про-
производных, а область изменения хну ограничена дополнительным
условием ср = 0. Если кривая ср = 0 записана в виде у = у (х), то
для наклона у' = — <?х'<?у характеристическое соотношение пере-
переходит в уравнение
т. е. в обыкновенное дифференциальное уравнение для характеристи-
характеристической кривой С на J.
Если рассматривать соотношение A5) как дифференциальное
уравнение в частных производных с неизвестной функцией двух
независимых переменных cp(jt, у), то любое решение этого уравне-
уравнения дает на поверхности не только отдельную характеристическую
кривую С, но и целое семейство характеристических кривых <р(лг, у) =
= с с параметром с.
Характер корней алгебраического уравнения относительно пере-
переменной С
V- /Ч-.С"~1+ ••• +(-1>%0 = 0 A7)
определяет тип дифференциального уравнения A4) в окрестности
интегральной полосы. Если это алгебраическое уравнение имеет п
различных действительных корней, то дифференциальное уравнение
называется вполне гиперболическим, или просто гиперболическим,
в точке пространства х, у, и р0, ..., рп, или на полосе Сп,
или на поверхности и = и(х, у). Если все корни алгебраического
уравнения комплексные, то дифференциальное уравнение называется
эллиптическим. Если некоторые из действительных корней совпа-
§ I. Характеристики дифференциальных уравнений 421
дают, то дифференциальное уравнение часто называют параболи-
параболическим1). (Однако в дальнейшем мы несколько изменим эту клас-
классификацию, отнеся к гиперболическим некоторые классы уравнений
с кратными характеристиками, для которых все-таки разрешима за-
задача Коши.)
6. Инвариантность характеристик при преобразованиях коорди-
координат. Характеристики дифференциальных уравнений в частных про-
производных инвариантны относительно преобразований координат. Дру-
Другими словами, при преобразованиях независимых переменных характе-
характеристики переходят в соответствующие характеристики преобразованного
дифференциального уравнения. Доказательство становится ясным при
рассмотрении простейшего случая дифференциального уравнения вто-
второго порядка F(uxx, иху, иуу,...) = 0, которое при переходе
к новым переменным Е, т) преобразуется в уравнение О(йц, щ , и )=
= 0. Инвариантность и здесь либо непосредственно следует из ин-
интуитивного понятия характеристической полосы, либо из тождества
которое получается после элементарных вычислений.
Из инвариантности характеристик следует, что гиперболические
уравнения обратимы по времени, т. е. гиперболичность сохраняется
при преобразовании х' — х, у' — — у, где у рассматривается как
время.
Так как любая нигде не характеристическая кривая может быть
преобразована в нигде не характеристическую прямую, то достаточно
решить задачу Коши лишь для случая, когда ось х выбрана в ка-
качестве начальной линии.
7. Сведение к квазилинейным системам первого порядка. Без
ограничения общности при изучении задачи Коши можно рассматри-
рассматривать лишь задачи, касающиеся квазилинейных систем первого порядка
(см. также гл. I, § 7, п. 2). Здесь мы повторим обычные приемы,
с помощью которых производится такое сведение.
Если дифференциальное уравнение
F{x, у, и, р, q, r, s, t) = 0 A2)
не является квазилинейным, то уравнение, полученное из него диф-
дифференцированием, например по у,
y + Fuq + Fy = O A8)
') Определение параболических уравнений и систем в узком смысле
или, как говорят, параболических по И. Г. Петровскому, дано, например,
в книге И. Г. Петровского [1], изд. 3, стр. 352. Этот класс уравнений со-
сохраняет многие свойства простейшего параболического уравнения—уравне-
уравнения—уравнения теплопроводности. — Прим. ред.
422 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
является квазилинейным. Оно вместе с уравнениями
му = <7. Py = s, qy = t, ry = sx, sy=tx
дает квазилинейную систему первого порядка относительно неизвест-
неизвестных функций и, р, q, r, s, t. Если заданы начальные условия
и== f (х), uy—g(х) (при у = 0), то начальными значениями для функ-
функций, входящих в систему, будут и = /, p — f, q — g, r = f",
s = g', a t(x, 0) определяется из уравнения F — 0. Решение и, р,
q, r, s, t системы дает решение и исходного уравнения. Чтобы убе-
убедиться в этом, мы заметим, что из нашей системы следуют соотно-
соотношения
Так как s — qx при у — 0, мы имеем sz=qx==uxy. Аналогично можно
отождествить другие неизвестные функции системы с производными
функции и. Наконец, проверяется, что dF/dy — О; так как на на-
начальной прямой F = 0, то отсюда следует, что и является решением
исходного уравнения.
Такое сведение к квазилинейным системам первого порядка всегда
можно произвести в силу нашего обычного предположения о том,
что все входящие в задачу функции достаточное число раз диффе-
дифференцируемы (см. также гл. i, § 7, п. 2). В соответствии с этим мы
в дальнейшем сосредоточим свое внимание на квазилинейных систе-
системах первого порядка; мы напомним и расширим те рассмотрения,
которым посвящен § 1 гл. III.
? 2. Характеристическая нормальная форма
для гиперболических систем первого порядка
1. Линейные, почти линейные и квазилинейные системы.
Квазилинейная система первого порядка записывается в виде:)
Ч)==сХ (* = 1. 2 k) A)
или, в матричных обозначениях, где А, В — матрицы, а с — вектор,
Ц Аих-\-Вау=с. (У)
Мы предположим, что в рассматриваемой области матрица В неосо-
неособая, т. е. что определитель ||В|| = \\b*l\} не обращается в нуль.
Если матрицы А, В не зависят от неизвестного вектора и, а с
зависит от и линейно, то система называется линейной; если А и В
!) Мы рассматриваем только „определенные системы" (см. гл. I, § 2, п. 3),
где число k уравнений равно числу неизвестных.
§ 2. Характеристическая нормальная форма 423
не зависят от к, а с зависит от и, но не линейно, то система на-
называется почти линейной и с ней можно обращаться почти так
же, как с линейной. В противном случае, если А и В зависят также
и от и, система называется квазилинейной. Как мы видели, любая
нелинейная система, если ее продифференцировать, становится по су-
существу эквивалентной некоторой квазилинейной системе.
В силу того, что l\B\\=J=0, мы можем разрешить систему A) отно-
относительно ну и записать ее в эквивалентной форме
иу + Аих = с, A")
где В = I — единичная матрица, откуда следует, что линии у =
— const — нехарактеристические, или свободные.
Мы дополним основные факты, касающиеся системы A"), рас-
рассмотрев сначала линейный или почти линейный случай (см. гл. III,
§ 2, п. 1). Характеристические кривые С вида ср (л:, у) = 0 за-
задаются дифференциальным уравнением
dx:dy = z B)
или
причем т является корнем алгебраического уравнения
Q= ||Л —т/|[ =0. C)
Из этого уравнения следует, что матрица А — х! особая, поэтому
для характеристической кривой существует собственный вектор
l = (lx lk), для которого
1А = il. D)
В соответствии с § 2 гл. III гиперболичность системы L опреде-
определяется с помощью требования, чтобы все корни х:, ..., izk уравне-
уравнения Q = 0 были действительны и чтобы, кроме того, существовали k
линейно независимых собственных векторов /', ..., /*. В частности,
так будет обстоять дело, если все корни т и, следовательно, все
характеристики, различны.
Гиперболическую систему можно заменить системой, эквивалентной
ей с точностью до линейного преобразования, причем эта система
получается из уравнений A"), если умножить их соответственно на
компоненты собственного вектора I1, 1=1, . .., k, и сложить или если
умножить систему A), (Г) или A") слева на левые собственные
векторы I и воспользоваться соотношением D). Из A") с помощью
умножения на 1 = 1' получается эквивалентная система
I'L[и] = А1 [и] = I1 (иуН-х,ия) = 11с (/ = 1,2...., *). E)
В предположении, что эта система линейная или почти линейная, мы
можем еще более упростить систему E), введя вместо неизвестных
424 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
функций и новый неизвестный вектор U с k компонентами, полу-
получаемый с помощью линейного преобразования
Ux = lxu (у. = 1, . . ., k). F)
Если на характеристике Сг ввести дифференцирование по направле-
направлению характеристики,
Dl = i + ^> G)
и положить
gt=н + «(/;+т/?) (т = т,),
то система примет вид
DlUl = #'. (8)
Обозначая дифференцирование по независимой переменной у вдоль
характеристики через d/dy, систему (8) можно записать в виде
-±и!=ё1(х, у, U) на С(. (9)
или, короче, в матричном виде
Uy+TUx = g, (9')
где Т — диагональная матрица с элементами т; на диагонали. Формы
E), (9), (9') являются нормальными формами системы. Очевидно,
что имеет место следующий факт: почти линейная гиперболическая
система эквивалентна симметричной системе с матрицами коэф-
коэффициентов А и В, причем одна из этих матриц, например матрица А,
положительно определенная'). В частности, мы всегда можем пред-
предполагать, что матрица А в уравнении A") симметрична. Для квази-
квазилинейных систем введение новых переменных U не привело бы к та-
такому простому виду, как (9), так как производные от коэффициен-
коэффициентов Z также содержали бы неизвестные функции. Следовательно,
в этом случае мы должны удовлетвориться нормальной формой E).
') В матричных обозначениях преобразование системы A") к симметрич-
симметричному (диагональному) виду может быть описано следующим образом. Мы
полагаем U = Ни, где строки матрицы Н являются собственными векто-
векторами /', и подставляем в A") выражения
Уравнение A") принимает вид
AH'lUx -\-H~lUy = c — (АН~1 -4- H'1) U.
Далее, умножая слева на Н, мы получаем систему в диагональном виде
где G = H(c — AH~lU — Н~гЩ — известный вектор, линейно зависящий
от U и не зависящий от производных U.
§ 2. Характеристическая нормальная форма 425
Тем не менее просто с помощью дифференцирования уравнений E)
по хну можно было бы получить для производных функции и
упрощенные уравнения, обладающие более слабой нелинейностью,
причем введение линейных комбинаций этих производных уже дает
нужный эффект.
Если мы снова ограничимся линейными операторами L, то из
нормальной формы мы можем сразу вывести основные свойства ха-
характеристических кривых. В частности, нормальная форма делает
ясным тот факт, что на характеристической кривой линейная комби-
комбинация IL является внутренним дифференциальным оператором.
Кроме того, нормальная форма подсказывает нам, что, кроме
решений с разрывными производными, рассмотренными в § 1, можно
ввести в рассмотрение обобщенные решения, которые сами имеют
разрывы, в частности, претерпевают скачок при переходе через
кривую С, а в остальном — гладкие функции; при этом кривая С
должна быть характеристикой. В гл. VI, § 4 мы рассмотрим в бо-
более общей форме разрывы и их распространение вдоль характе-
характеристик. Здесь будет отмечен только следующий факт, который оче-
очевидным образом следует из формулы (8).
Все компоненты вектора U, кроме 0х, непрерывны при переходе
через кривую С*. Распространение скачка [?/*] = ш вдоль С происхо-
происходит в соответствии с обыкновенным дифференциальным уравнением :)
1f = g(x. у.со).
2. Случай k — 2. Линеаризация с помощью преобразования
годографа2). Для гиперболических систем двух уравнений, так же
как для одного уравнения второго порядка, можно (как в § 1) ввести
два семейства характеристических кривых в качестве координатных
кривых. Это значит, что вводятся две характеристические перемен-
переменные а и р, такие, что уравнения
a = cp(x, у) = const и C = (|)(л;, у) = const
дают два различных семейства характеристик; в квазилинейном слу-
случае они зависят от рассматриваемого частного решения и1, и2,
а в линейном случае они не зависят от и и известны а priori. Вве-
Введение характеристических переменных аир особенно удобно при
изучении нелинейного уравнения Монжа — Ампера (см. приложе-
приложение 1, § 2).
Мы можем рассматривать и1, и2, х, у как четыре функции двух
независимых переменных а и {3 и получить эквивалентную систему
') В квазилинейном случае уравнение для скачка исследовал Нитше [31.
2) См. гл. III, § 2, п. 5.
426 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
четырех уравнений с характеристическими независимыми переменными
Апи1_|_А12и2==т1| a21«' + A22h2 = t2> (lla)
*. = *УЛ' *? = "% (Нб)
где й'\ fx, хх — известные функции и1, и2, х, у, ха, ...,уг
Для линейной системы уравнения A16) и уравнения A1а) неза-
независимы; для квазилинейной системы эти уравнения связаны. Во вся-
всяком случае, совокупность этих уравнений заменяет исходную систему,
причем полученная система четырех уравнений проще и не содер-
содержит явно независимых переменных.
В одном важном частном случае квазилинейная система с двумя
неизвестными функциями сразу сводится к линейной системе путем
замены зависимых переменных независимыми, т. е. х и у надо счи-
считать функциями и = и1 и v — и2. Такое сведение возможно для си-
системы, состоящей из дифференциальных уравнений, однородных отно-
относительно производных, вида
a2ux-{-b2uy-{-c2vx-{-d2vy = 0,
где а1, ..., d2 — функции только и, v, причем якобиан J = uxv—uyv,
не обращается в нуль. Мы имеем
и наша система переходит в линейную систему
xtt = 0,
относительно функций х(и, v) и у (и, v). Это преобразование играет
важную роль в гидродинамике, причем и, v обозначают компоненты
скорости в стационарном двумерном потоке. Оно называется пре-
преобразованием годографа, так как на плоскости и, v образ траекто-
траектории частицы, движущейся по плоскости х, у, т. е. траектория конца
вектора скорости, называется „годографом" этой частицы.
§ 3. Приложение к динамике сжимаемой жидкости
Движение сжимаемой жидкости дает поучительный и важный при-
пример, поясняющий понятие характеристик 2). В главе VI мы рассмотрим
') Чтобы облегчить сопоставления с литературой по гидродинамике, мы
в этом параграфе применяем обозначения, несколько отличные от обозначе-
обозначений § 2. Например, вместо у мы употребляем букву t, обозначающую время.
Дальнейшие подробности относительно приведенных здесь примеров можно
найти в книге Куранта и Фридрихса [1].
§ 3. Приложение к динамике сжимаемой жидкости 427
такое течение, зависящее от трех пространственных переменных
и от времени. Здесь мы ограничимся случаями, которые можно описать
с помощью двух переменных.
1. Одномерное изэнтропическое течение. Дифференциальные
уравнения для скорости и(х, t) и плотности р(х, t) при одномерном
изэнтропическом течении имеют вид
О [и, р] = рих+иРх+р( = 0,
L2[u, p\ = puux-\-put-\-c2px = Q.
„Скорость звука" с(р) определяется формулой с = У/'(р)>0, где
p — f(p) — заданная монотонная функция, выражающая зависимость
давления р от плотности р. (Условие У'(р)>0 выражает гипербо-
гиперболичность этой системы.) Для этой квазилинейной системы первого
порядка характеристические направления i = dx:dt определяются
уравнением
1 и —
и — •
= 0,
следовательно, t —и±с. Система гиперболическая, так как суще-
существуют два различных действительных корня т. Для каждого из этих
значений т существует нетривиальное решение (X1, X2) системы
Х' + (н — ОХ2 = 0,
(и — т) X1 + с2Х2 = 0.
Если х = и-\-с, то X1 : Х2 = с; если т = и — с, то X1 : Х2 = — с. При
каждом из этих значений отношений X1 : X2 линейная комбинация
X1Z,l-f-X2L2 содержит производные от функций и и р по одному
и тому же направлению (по соответствующему характеристическому
направлению). В соответствии с этим мы получаем следующую си-
систему дифференциальных уравнений:
АЧи, р] = ?[ut-\-(u + c)ax]-\-с [Р< + (« + с)р,] = О.
А2 [и, р\ = р [и, + (и — с) их\ — с [pt + (и — с) рх] = 0.
Мы можем ввести характеристические переменные а —ср(х, t),
р = (])(д:, t) так, что уравнения
ф (х, t) = const
и
tf(x, t) — const
будут определять характеристические кривые, для- которых
— Ф<: Фл- = dx : dt — и -f- с
и
— ©,: yx = dx ; dt — и — с.
428 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
Так как — ^t''^ix=sXti:K и — Ъ: 9х — х$ '¦ V мы получим уравнения
для четырех функций и, р, х, t характеристических переменных a, fi
(см. § 2, п. 3).
Характеристические кривые в этом примере можно рассматривать
как „звуковые волны" (распространение малых возмущений), скорость
которых
и±с
называемая „характеристической скоростью", отличается от „скорости
потока" и на + с.
Отметим, что уравнения Aа) приводят к так называемым „инва-
„инвариантам Римана", т. е. к функциям, постоянным вдоль характе-
характеристик. Их можно ввести следующим образом.
Нам нужно записать уравнения Aа) в виде
dr _ л ds __ л
с некоторыми функциями г (и, р), s(u, p) для того, чтобы иметь
г = const при р = const и 5 = const при а = const. Ясно, что мы
должны найти такие функции gal, что ru = g'p, г — gc; su — lp,
sf = — /с, причем „интегрирующие множители" g (и, р) и 1(и, р)
должны удовлетворять условиям совместности (gp) = (g"c)u, (Zp) =
= (—/с)и. Легко видеть, что
г1 / !
удовлетворяют этим условиям и приводят к инвариантам Римана
р
2r = u-\- f с v dp' — const при р = const,
Ро
р
2s = — и-\- I ^v dp' — const при а = const.
Ро
В важном случае идеальных „политропных" газов давление задается
формулой
§ 3. Приложение к динамике сжимаемой жидкости 429
где А и 7 — постоянные, f > 1. В этом случае
и если мы возьмем ро = О, то инвариантами Римана будут
и , с и , с
г — ~2 ' т — Г' s— 2 ' 7 1 '
Этими функциями можно пользоваться при решении задачи Коши.
Наконец, заметим, что нелинейная система L1 [и, р] = О, L2 [и, р] = О
принадлежит классу систем, допускающих линеаризацию с помощью
преобразования годографа, введенного в § 2. Это преобразование
приводит к следующим линейным уравнениям для х, t как функций
мир:
которые справедливы до тех пор, пока определитель их pt — ut px
отличен от нуля. (Подробный анализ см. в книге Куранта и Фрид-
рихса [1].)
2. Сферически симметричное течение. Так же можно исследо-
исследовать дифференциальные уравнения
ЬЦи, р] =
описывающие сферически симметричное изэнтропическое течение.
Так как операторы L1 и L2 такие же, как в случае одномерного
течения (см. п. 1), то характеристические направления т задаются
соотношениями т = и±с. Аналогично, значения \1/\2 снова опре-
определяются формулой Х1Д2=±с, что дает систему дифференциальных
уравнений
лч«. Р] = -
где операторы Л1 и Л2 такие же, как и раньше. Уравнения, анало-
аналогичные Aа), имеют вид
, 2сри ,
РмаН-^Ра = f-C
а уравнения A6) остаются без изменения.
430 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
3. Стационарное безвихревое течение. В двумерном стационар-
стационарном безвихревом изэнтропическом течении компоненты скорости и, v
удовлетворяют системе уравнений
Ll\u, г>]==му— vx — Q,
L2 [и, v] = (с2 — к2) их — uv (иу + г»,)-+- (с2 — v2) vy = 0,
где скорость звука с — известная функция ti2-\~v2. В этом случае
характеристические направления г удовлетворяют уравнению
— - с2 — и2 -f- uv-
— 1 — мг> — (с2 — v2) т
Во всех точках, где и2-\- v2 > с2 (т. е. где поток сверхзвуковой),
это уравнение имеет два различных действительных корня т1, т2, и
система является гиперболической. Для каждого из этих значений х
соответствующее значение X1 : X2 равно —uv — (с2—v2)z. Каждый
раз мы берем линейную комбинацию X1!1-+-X2L2 и приходим к си-
системе
А'[и, v)^(c2 — u2)(uy + т<
-\-(с2 ~-v2)xl(vy-\-'Jvx)~0 A = 1, 2).
Уравнения для и, v, x, у как функций аир имеют вид
(с2 — и2) ма -f (с2 — т^2) тЧ>а = 0,
(с2 — и2) Ир 4- (с
2 — v2) х2г>р = 0 Cа)
Об)
Уравнения (За) можно записать в эквивалентной форме
т2м -4- г> == 0,
Для дифференциальных уравнений
Ll[u, v] = uy—г»^ = 0,
ЬЦи, v] = (с2 — м2) мх — мг> (иу -f-г»^ + (с2 — v2) vy = — —,
описывающих стационарное безвихревое трехмерное изэнтропическое
течение, обладающее цилиндрической симметрией, операторы L1 и Z,2
такие же, как в предыдущем примере, так что характеристические
направления снова удовлетворяют уравнению
(с2 — г>2) t2 + 2uvx 4- с2 — и2 = 0.
§ 3. Приложение к динамике сжимаемой жидкости
431
Уравнения, аналогичные уравнениям (За), в этом случае имеют вид
и I Т2 с (С2—W2) у а'
1 c2v Da)
т {с w j у
а уравнения C6) остаются без изменения.
Уравнения стационарного безвихревого течения также допускают
линеаризацию с помощью преобразования годографа, введенного
в § 2. Предположив, что
uxvy — uyvx*0.
мы получаем линейную систему
(с2 - и2) yv + wo (xv + уи) + (с2 — v2)xu = О
для х, у как функций и и v.
4. Системы трех уравнений для неизэнтропического течения.
В (нестационарном) одномерном неизэнтропическом течении скорость
и(х, t), давление р(х, t) и удельная энтропия S(x, t) удовлетво-
удовлетворяют системе уравнений
L1 [и, р, S]^pc2ux-{- upK-\- pt = 0,
L2[u, p, S] == риих + ри, + рх = 0,
L3[m, p, S]=-mSx +5, =0,
где р и с Ф 0 — заданные функции ;? и S. Характеристические на-
направления т определяются уравнением
с2 и — х О
и —т 1 0 =0,
О 0 и —
откуда находим
[ = и + с.
поэтому система гиперболическая. Для каждого и& характеристиче-
характеристических направлений т1, т2, х3 существует нетривиальное решение
X1, X2, X3 системы
с2Х! + (и — х) X2 = О,
(и - т) XI -f X2 = О,
432
Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
которые с точностью до коэффициента пропорциональности опреде-
определяются равенствами
A, с, 0) для т = т1,
(—1, с, 0) для т = х2,
@, 0, 1) для т = т1
Взяв для каждого из т линейную комбинацию ^ДЛ1 —f— X2Z,2 —(— >.3Z,3, мы
получим систему
ЛМм, р, S)=~?c[
Л2[и, р, S]=pc[
Л3[u, p, S]s=St-\-uSx = 0.
Хотя мы не вводим вместо х, t характеристические переменные, как
мы делали в случае двух неизвестных функций, мы можем тем не
менее записать эти уравнения в более сжатой форме, вводя пара-
параметры sv s2, s3 на каждом семействе характеристических кривых.
Тогда уравнения принимают вид
ди
ди
др
dS
ds3
= 0.
В приведенном примере характеристические кривые, определен-
определенные уравнением dx : dt = и-f-c, представляют собой звуковые волны
(как и в изэнтропическом случае), а характеристические кривые, для
которых dx : dt = и, представляют собой траектории частиц.
В качестве другого примера мы рассмотрим дифференциальные
уравнения
\\2 0
(здесь скорость звука с — с (р) ф 0 — известная функция), которым
удовлетворяют компоненты скорости и(х, у), v(x, у) и плотность
р(х, у) стационарного двумерного вихревого изэнтропического тече-
течения. Характеристические направления удовлетворяют уравнению
и — r
0
С2
0
1
и — tv — х
— 1С1 U — IV
= (и — IV) [(и — тг>J — A -j- т2) с2] = 0.
§ 3. Приложение к динамике сжимаемой жидкости 433
Два семейства характеристик dx : dy определяются корнями квадрат-
квадратного уравнения
A Н-х2) с2 — (и — тоJ —(с2 — v2) г>+ 2ичп-\- с2 — «2=0,
которое совпадает с уравнением для т, рассмотренным в нашем при-
примере для потенциального случая. Эги два семейства характеристик
различны и действительны в точках, где «2-)-г>2>с2 (т. е. там, где
поток сверхзвуковой). Иногда характеристические кривые этих двух
семейств называются линиями Маха. Третье семейство характе-
характеристик определяется соотношением dx:dy = u:v (т. е. и—гг> = 0)
и состоит из линий шока, т. е. из кривых, касающихся векторов
скорости. Легко видеть, что направления линии тока и линии Маха
не могут совпадать ни в какой точке, так что система вполне гипер-
гиперболична при u2J\-v2 > с2.
Для первых двух характеристических направлений мы с точностью
до коэффициента пропорциональности получаем
(XI, X2, Х3) = (—1, т', u—tlv) {l=\, 2),
а для третьего характеристического направления
(X1, X2, Х3) = (м, v, 0).
Взяв для каждого характеристического направления линейную ком-
комбинацию X1/,1 -\-\2L2-\-l?L? и введя на характеристических кривых
трех семейств параметры sv s2, s3, мы получим систему
^^-^Й—0 (/=1,2).
ди , dv , 9 да п
аи -з— -4- av з г- сг -^- — 0.
v ds3 i^ v ds3 ' ds3
б. Линеаризованные уравнения. Нелинейные уравнения гидро-
гидродинамики можно приближенно заменить линейными, если предполо-
предположить, что рассматриваемый поток отличается от некоторого постоян-
постоянного состояния только на „малые" величины, так что можно
пренебрегать членами второй степени, содержащими эти величины и
их производные. Достаточно привести следующий пример. Построим
линейное приближение для уравнений, рассмотренных в последнем
примере предыдущего пункта, т. е. для стационарного двумерного
вихревого изэнтропического течения. Мы предположим, что скорость
мало отличается от некоторой постоянной скорости и, параллельной
оси х, и что плотность р также мало отличается от некоторой по-
постоянной плотности р. Положим
и — и-\- со, г>=:Х, р == р —J— а.
434 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
где со, X, а — малые величины. Далее, мы предположим, что движе-
движение жидкости можно достаточно точно описать, отбросив в диффе-
дифференциальных уравнениях произведения и высшие степени величин ш,
X, а и их производных. Тогда исходная система дифференциальных
уравнений заменяется следующей системой линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
и ршд.+ с2ах= О,
11 P
где с = с (р). Мы сразу получаем соотношение
= Кх>
т. е.
где F (у)— некоторая функция. Это соотношение выражает так на-
зываемую теорему о вихре. Положив м/с = k, мы получим теперь
систему
/грХу-A - ?2) Cax== О,
из которой с помощью исключения получаются два дифференциаль-
дифференциальных уравнения
Из этих уравнений сразу видно, что при k > 1, т. е. при и > с,
мы имеем дело с гиперболическим случаем. Характеристики являются
тогда прямыми линиями, образующими с осью х угол а, который
называется углом Маха и для которого | sin a| = I/A = с/и.
Два семейства характеристик можно обнаружить экспериментально
при движении жидкости или газа, если основная скорость и парал-
параллельна плоской стенке. Мы образуем на малом интервале АВ этой
стенки маленькую шероховатость или выступ, порождающий около
стенки небольшую вертикальную компоненту скорости X. В предпо-
предположении, что движение описывается нашей приближенной системой
уравнений, возмущение должно распространяться в область, где течет
жидкость, вдоль двух параллельных отрезков характеристик, беру-
берущих начало на АВ и образующих угол а со стенкой.
§ 4. Единственность. Область зависимости 435
§ 4. Единственность. Область зависимости
В этом параграфе мы часто будем подчеркивать, что переменная у
имеет смысл времени, и писать t вместо у.
Доказательство существования решения задачи Коши для гипер-
гиперболической системы
L[u) = f(x. t)
с заданными начальными значениями
и(х, 0) = ф(*)
будет дано в §§ 6, 7, 8. Здесь мы будем предполагать, что решение
существует, и докажем, что решение однозначно определяется дан-
данными задачи, т. е. функциями f(x, t) и ф(дг). Более того, в лю-
любой точке Р решение, если оно существует, определяется значениями
f(x, t) и ф(лг) только в части про-
пространства Г. Такая зависимость ре-
решения и от данных задачи связана
с конечной скоростью распростра-
распространения возмущений в задачах, опи-
описываемых гиперболическими уравне-
уравнениями.
1. Области зависимости, влия-
влияния и определенности. Решение -
и(Р) задачи Коши в точке Р с ко- "~
ординатами х, t (t > 0) зависит Р
только от значений данных задачи Рис. 24.
в конечной „области зависимости" Гр
точки Р; эта область зависимости состоит из множества точек в верх-
верхней полуплоскости, ограниченного крайними характеристиками 1),
проходящими через точку Р (см. рис. 24).. Если дифференциальное
уравнение однородно, т. е. / = 0, то и(Р) зависит только от началь-
начальных данных ф (а:) на отрезке fp оси х, отсекаемом крайними характе-
характеристиками 2). Этот факт можно выразить также следующим образом:
') Если крайняя характеристика пересекается с другой, то крайнюю
характеристику надо продолжать как дугу этой другой характеристики.
2) Для наглядности имеет смысл предполагать, что, как и на рис. 24,
в рассматриваемой области плоскости х, ^характеристики, проходящие через
точку Р, образуют пучок из k кривых, не пересекающих друг друга и сое-
соединяющих точку Р с некоторыми точками оси х. Рис. 25, относящийся
к уравнению utt — t2uxx = 0 с характеристиками х — хо= ± t2/2, показывает,
что две характеристики, проходящие через одну точку при ? = 0, касаются
друг друга, так что крайние характеристики не состоят из одного аналити-
аналитического куска. Однако такое пересечение характеристик не исключалось
предыдущими рассуждениями.
436
Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
и(Р) не зависит от начальных данных вне y ; или, другими словами,
если ф (х) = ф* (а:) на fр и / = /* в Гр, то решения и (Р) и и* (Р)
уравнений L[u]—f и ?[«]=/*, принимающие начальные значения
и ф*(дг) соответственно, совпадают в точке Р. Иногда говорят
Р
ф( ф р
также, что величина и (Р) „не замечает" данных задачи вне Гр
В дальнейшем мы будем рассматривать только однородные гипербо-
гиперболические уравнения L[u] = Q (как мы знаем, это не ограничивает
общности), и будем называть отрезок *fp оси х областью зависи-
зависимости для точки Р.
Соответственно мы определим область влияния множества (?,
принадлежащего оси х, как такую область верхней полуплоскости,
точки Р которой имеют области зависимости, содержащие точки
t=o
Рис. 25. Область зависимости для
(д/dt -f t д/дх) (d/dt — td/dx)u = 0.
множества S. Если ®—отрезок, то его область влияния ограничена
внешними крайними характеристиками !), выходящими из концов от-
отрезка © в сторону верхней полуплоскости. Эта область влияния
неограничена, если мы можем продолжать характеристики для сколь
угодно больших значений t.
Наконец, область определенности отрезка © на оси х состоит
из тех точек Р, соответствующих t > 0, для которых области зависи-
зависимости fp целиком лежат на (?. Очевидно, что эта область ограни-
ограничена отрезком (? и внутренними крайними характеристиками, выходя-
выходящими из концов (? в сторону верхней полуплоскости; отрезок ©
является областью зависимости для точки пересечения этих характе-
характеристик. Значение этих тесно связанных между собой понятий стано-
становится полностью ясным в связи с доказательствами единственности,
данными в следующих пунктах.
Заметим попутно, что эти понятия и доказанные ниже теоремы
единственности указывают только на отрицательный факт, а именно
на то, что и (Р) не зависит от начальных данных вне fp- Однако
') См. предыдущую сноску.
§ 4. Единственность. Область зависимости 437
в случае двух независимых переменных можно показать, что fp
является областью зависимости в строгом смысле, а именно, что для
каждой точки Q на fp существуют такие начальные данные ф, что
и{Р) действительно зависит от значений функции ф в Q и в окрест-
окрестности Q. Как мы увидим в гл. VI, для более чем двух независимых
переменных соответствующий вопрос об области зависимости в стро-
строгом смысле представляет большие трудности.
Если бы допустимые начальные данные ф(лг) для задачи Коши
принадлежали только классу аналитических функций, то значения
функции ф на сколь угодно малом открытом множестве на начальной
прямой определяли бы значения ф на всей этой прямой. Следова-
Следовательно, понятия области зависимости, влияния и определенности не
имели бы смысла. Чтобы выяснить эти важные понятия, надо допу-
допустить более широкий класс начальных значений. Таким образом, для
гиперболических задач естественно строить решения с помощью мето-
методов, пригодных для неаналитических начальных данных, а не опираться
на доказанную в гл. I, § 7 теорему существования Коши — Ковалев-
Ковалевской, которая предполагает аналитичность дифференциального урав-
уравнения и начальных условий.
2. Доказательство единственности для линейных дифферен-
дифференциальных уравнений второго порядка. В этом пункте мы установим
следующие факты. Для линейных гиперболических уравнений второго
порядка область зависимости для точки Р заключена между двумя
характеристическими кривыми, проходящими через точку Р в направ-
направлении убывания времени, и начальной кривой. Если уравнение однород-
однородное, то основание f получающегося при этом „треугольника" является
искомой областью зависимости для точки Р (этот вопрос уже рас-
рассматривался для волнового уравнения ujt—ихх = 0 в гл. III, § 7).
Областью определенности отрезка f является вся. эта треугольная
область, так как она содержит все точки, для которых области
зависимости содержатся в f- Две другие („внешние") характеристики,
проходящие через концы отрезка "f> ограничивают область влияния
этого отрезка, состоящую из точек, для которых области зависимо-
зависимости имеют общие точки с у.
Чтобы показать, что основание f нашей треугольной области
является областью зависимости для вершины Р, достаточно доказать
единственность, т. е. установить, что решение однородного уравне-
уравнения L [и] = 0 обращается в нуль в точке Р, если начальные значения
равны нулю на *f; если начальные значения для двух решений урав-
уравнения L[u] — f отличаются только вне отрезка f. то разность этих
решений является решением однородного уравнения с начальными
данными, равными нулю на -у.
Следующее ниже доказательство единственности опирается на
некоторые интегралы энергии, связанные с дифференциальным
438
Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
уравнением. Мы уже встречали пример такого интеграла в связи
с доказательством единственности для гиперболического уравнения
теплопроводности (см. гл. III, § 6). Для гиперболических уравнений
аналогичная идея оказывается эффективной, если области интегрирова-
интегрирования ограничены характеристиками >).
Теорема единственности для линейных задач утверждает сле-
следующее.
Если на части о начальной кривой начальные данные равны
нулю, то однородное уравнение имеет только тривиальное,
т. е. тождественно равное нулю, решение в треугольной обла-
области, ограниченной внутренними характеристиками, проходя-
проходящими через концы отрезка о.
Идею доказательства можно проиллюстрировать на примере вол-
волнового уравнения
A)
¦«„ = 0.
Пусть Г — треугольная область на плоскости х, t, ограниченная
начальной кривой АВ, которая нигде не имеет характеристических
направлений, и двумя характе-
характеристическими кривыми РА и РВ
(см. рис. 26).
Рис, 27.
Нашей целью является доказательство того, что если и и произ-
производная и(, а следовательно, и производная их, обращаются в нуль
на АВ, то функция и тождественно равняется нулю во всей обла-
области Г. Для этого мы отсечем вершину нашего треугольника прямой
t = const, пересекающей кривые РА и РВ в точках С и D, и рас-
рассмотрим оставшуюся область Г' с границей f'. По этой области мы
проинтегрируем выражение
') Ссылки на литературу и изучение общего случая /г -j- 1 переменных
можно найти в гл. VI, § 8.
§ 4. Единственность. Область зависимости 439
которое имеет вид дивергенции. Принимая во внимание само диф-
дифференциальное уравнение, мы получим после интегрирования по Г'
г'
где через х^, fv обозначены направляющие косинусы внешней нор-
нормали к кривой f' (т. е. АВ-\- BD -f-DC-j- СЛ), a s — длина дуги.
На характеристических сторонах СЛ и DS мы имеем х\ = t\ = 7г-
Следовательно, соответствующую часть интеграла по границе можно
записать в виде
AC + BD
откуда видно, что она неотрицательна. На АВ подинтегральная функ»
ция равна нулю, так как начальные данные обращаются в нуль,
а на CD мы имеем ?v=l, j;v = 0, ds=dx. Таким образом, мы
получаем
/(«* + «?)</* = О,
CD
откуда следует, что M^-f-M^ = 0 всюду на CD. Так как расстояние
прямой CD от оси х было произвольным, мы можем сделать вывод,
что их и и( равны нулю во всех точках области Г, принадлежащих
некоторой окрестности вершины Р. Но любую точку Р области Г
можно рассматривать как вершину соответствующей меньшей тре*
угольной области, содержащейся в Г и имеющей основание, лежащее
на АВ; следовательно, их и ut равны нулю во всех точках обла-
области Г. Поэтому функция и постоянна всюду в Г и, так как на
начальной кривой она обращается в нуль, то и тождественно равна
нулю, что и утверждалось.
Аналогичное рассуждение можно применить к линейному гипер*
болическому уравнению второго порядка
L [и] = ии — ихх — аи, — рих — Ьи = О Х), A)
где а, р, Ь — непрерывные функции х и t. Для краткости мы огра-
ограничимся такой задачей Коши, когда начальные данные заданы на
прямой t = 0. В этом случае теорема единственности утверждает
следующее. Если функции и и ut обращаются в нуль на осно-
основании АВ треугольника Г {т. е. треугольника АВР, стороны
') Линейное гиперболическое уравнение второго порядка общего вида
получается из него с помощью преобразования координат.
440 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
которого являются отрезками характеристик x-\-t — const,
а: —1 = const, а основание АВ лежит на прямой t — О, см.
рис. 27), то функция и равна нулю во всем треугольнике.
Сначала мы заметим, что для любой точки (х, () треугольника Г
t
и (х, 0=| ^(х, ')<?т;
о
следовательно, в силу неравенства Шварца,
t
иЦх, 0<^ / и\(х, i)dx.
о
Мы снова отсечем вершину нашего треугольника с помощью прямой
? = const, получая меньший треугольник, основание которого мы
обозначим через Ht, и трапецию Г, с параллельными сторонами АВ
и Ht. Тогда имеет место оценка
Г u2dx^.t { С и\(х, x)dxdn
Ч
для той части нашего треугольника, которая является трапецией
(с основанием АВ). Интегрируя это выражение по t от t = 0 до t = h,
получим
h
U J J \ dx dz} dt
h
\h j j u2x(x,
j j u2dxdt4CJ U J J u\ (дг,
rh о L r,
h
< j \
о L
Теперь мы определим „интеграл энергии"
и проинтегрируем тождество
по области Гд. Так как прямая /УЛ соответствует отрезку CD на
рис. 27, мы получим с помощью таких же рассуждений, как
§ 4. Единственность. Область зависимости 441
раньше, что
/
AC+BD
= 2 j j'(a.u
откуда следует неравенство
Оценим правую часть, принимая во внимание, что
UxUt
Если обозначить через М верхнюю грань непрерывных функций
а, р, Ь, то мы получим
и, следовательно, в силу доказанного выше неравенства
J f u*dxdt<Ch2 f / («? + и2х) dx dt,
имеем
где С = 4Л1 A —|— /г2), а /г — высотч трапеции ГЛ. Если / — любое
число, такое, что / > h, то
h 1
Е(К) < С J~?(a) rfa < С j E(a)da.
о о
Интегрируя это неравенство по А в пределах от 0 до I, получим
i i
j E(h)dh<CCl J E{h)dh.
о о
Если бы величина E(h) была отлична от нуля где-нибудь на
отрезке 0 <^ h -^ I, то мы имели бы
что, очевидно, невозможно при / < \/С. Следовательно, на отрезке
.1 мы имеем ? = 0. Повторяя эти рассуждения для начальных
442
Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
прямых t — /, t = 2l после конечного числа шагов мы убедимся,
что интеграл Е обращается в нуль во всем треугольнике Г; следова-
следовательно, функция и постоянна и равна нулю, что мы и хотели дока-
доказать.
3. Общая теорема единственности для линейных систем пер-
первого порядка. Метод интегралов энергии позволяет построить очень
ясное доказательство единственности для гиперболических систем
Рис. 29.
первого порядка. Мы запишем неоднородную систему в матрично-
векторной форме
ut-JrAux-\-Bu-{- с =5 0, B)
где и — вектор неизвестных функций, А(х, t) и В(х, t) — заданные
матрицы, а с(х, t) — заданный вектор.
Без ограничения общности мы можем предполагать, что А =
= (aik(x, t)) — симметричная матрица, вспоминая, что линейные
гиперболические системы могут быть приведены к симметричной форме
(т. е. к характеристической нормальной форме, см. § 2, п. 2). Кроме
того, мы предположим, что А имеет непрерывные производные, а В
и с непрерывны.
Через точку Р с координатами $, т мы проведем характеристики
С), С2, .... Ck в обратном направлении и получим точки их пере-
пересечения Pv Р2 Рь с начальной прямой t = 01) (см. рис. 28).
Теперь мы можем утверждать, что справедлива следующая теорема
единственности. Если с = 0 и и(х, 0) = 0 на некотором отрезке
прямой t = Q, включающем все точки Рх, то и (?, т) —0.
х) Некоторые из этих характеристик могут быть кратными в рассматри-
рассматриваемой области.
§ 4. Единственность. Область зависимости 443
Наименьший такой интервал, т. е. интервал, высекаемый крайними
характеристиками, проходящими через точку Р, содержит область зави-
зависимости х) точки Р. Действительно, если и(х, 0) = 0 на отрезке Р^Рк,
то и(х, t) = 0 в треугольной области Гр, высекаемой крайними
характеристиками, проходящими через точку Р, и имеющей в каче-
качестве основания отрезок P]Pk прямой ^ = 0.
Для доказательства мы воспользуемся тождеством Грина, которое
имеет вид
{и, Аи)х = (ик, Аи)-{-(и, Ахи)-\-(и, Аих),
Так как матрица А симметричная, то (и, Аих) = (Аи, их), и это
тождество сводится к
2 (и, Аих) — (и, Аи)х — (и, Ахи).
Умножив дифференциальное уравнение B) скалярно на и и применяя
только что полученное соотношение, мы получим (для с = 0)
{(и, и\ + \{и. Au)x-j(ti, Axu) + {u, Д«) = 0.
Полезным приемом является введение вместо и неизвестного вектора
•у = е~^и,
где [л — постоянная; это приводит к дифференциальному уравнению
vt -f- Avx -f B*v = 0 B')
с начальным условием v{x, 0) = 0; здесь В* выражается через В и
единичную матрицу /:
Предыдущее тождество для квадратичных форм, если снова
писать и вместо V, примет вид
11 >*
-2 (и, u)t-\-j(u, Au)x = (u, Ви);
квадратичная форма в правой части образована с помощью матрицы
получение которой является целью нашего приема. Выбирая ц до-
достаточно большим, мы можем добиться того, чтобы матрица В была
отрицательно определенной, т. е. чтобы было (и, Ви)^,0.
Теперь мы проинтегрируем это тождество по трапециевидной об-
области Гд с границей $h = PlPkAkAl (см. рис. 29); обозначая компо-
') Отрезок P\Pk действительно является областью зависимости для Р;
здесь также применимы замечания, сделанные в п. 2.
444 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
ненты единичного вектора внешней нормали через xv, fv, получим
формулу Грина
и, Au)x]dxdt =
Если воспользоваться обозначением
Ak
= ~ f (и, u)dx.
то мы получим
?(A)-?@)<-4 J *,(«,[>! +A/]ajrfs. C)
cr'c*
Мы покажем, что правая часть неравенства неположительна. Для
этого мы напомним, что кривые С! и Ck являются характеристи-
характеристическими и определяются уравнениями <?l(x, t) — 0, cpft (jc, t) = 0.
Следовательно, они удовлетворяют дифференциальным уравнениям
где t1, т* — собственные значения матрицы А, т. е. такие числа, что
матрица А — г/ — особая (см. § 2).
Вдоль характеристики Сх: ср1 = О внешняя нормаль имеет ком-
компоненты, пропорциональные производным ср],, tpj; следовательно,
— tjx.l = il. Так как Сх является крайней слева характеристикой,
т1 является наибольшим собственным значением матрицы А. Анало-
Аналогично, на характеристике Ck\ cp* = O компоненты нормали пропор-
пропорциональны производным (р*, ср*, и — ^v/xv = т* — наименьшее соб-
собственное значение матрицы А. Мы напомним, что для симметриче-
симметрической матрицы А наибольшее и наименьшее собственные значения
определяются как
(и, Аи) ь . (и, Аи)
§ 4. Единственность. Область зависимости 445
(см. т. I, гл. 1, § 4, п. 1). Следовательно,
(и, м)т1>(м, Аи), (и, и)т*<(м, Аи)
или
(и, [Л-т^йХО, (и, [Л — г*/]и)>0.
Так как xv < 0 на Cj и xv > О на Ck, мы имеем
— i Гаг,(а. Г/1-|-—/] «) <fr <О для /=1, А.
Это показывает, что правая часть формулы C) неположительна и,
следовательно, мы можем утверждать, что
Я(А)<Е@). D)
Так как по предположению f@) = 0, мы имеем 0 <^ E{h) ^0; по-
поэтому E{h) — 0 для /г > 0 и, следовательно, м=0 для t=h.
4. Единственность для квазилинейных систем. Только что до-
доказанная теорема единственности справедлива также и для квазили-
квазилинейных систем первого порядка:
ut-\-A(x, t, u)ux+B{x, t, и) —0, E)
несмотря на то, что характеристики системы E) Сх зависят от ре-
решения и.
Мы предположим, что матрицы А и В в рассматриваемой области
имеют непрерывные производные по х, t и и.
Пусть и и v — два решения системы E), определенные в об-
области D и удовлетворяющие на начальном отрезке одинаковым на-
начальным условиям. Тогда функция
z (х, t) = u —v
имеет нулевые начальные значения.
Вычитая дифференциальное уравнение, записанное для функции v,
из уравнения для и, мы получим
zt+A(v)zx + [A(и) - А(V)} Ujc + B(a)~B(v) = 0; F)
здесь не указано, что коэффициенты еще явно зависят от х и t.
В силу непрерывности и дифференцируемое™ матриц А и В мы
можем воспользоваться следующей теоремой о конечных приращениях:
А (и) — A (v) = /¦/(«, v)z\ B(u) — B(v) = K(u, v)z,
где Н, К - непрерывные функции. Рассмотрим теперь и, v, ux как
известные функции х и t и подставим их в Я и /(, а также в A (v);
446 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
тем самым уравнение F) будет сделано линейным однородным диф-
дифференциальным уравнением относительно функции z вида
с нулевыми начальными значениями. Теорема из п. 3 утверждает
теперь, что z тождественно обращается в нуль, и, таким образом,
теорема единственности доказана также и для квазилинейных ура-
уравнений.
б. Энергетические неравенства. Неравенство D) п. 3 утвер-
утверждает, что значение E(li) для положительных h ограничено величи-
величиной, отличающейся от Е@) только фиксированным постоянным
множителем. Во многих уравнениях, описывающих физические явле-
явления, величину Е (И) можно истолковать как энергию некоторой части
физической системы в момент времени h. Поэтому неравенство D)
в таких случаях (и по аналогии в общем случае) называется энерге-
энергетическим неравенством.
В гл. VI, § 9 такие энергетические неравенства будут приме-
применяться для доказательства существования решения задачи Коши
в случае п независимых переменных. Но для двух независимых пере-
переменных в § 6 этой главы будут построены решения прямым методом,
который одновременно дает другое доказательство только что полу-
полученной теоремы единственности.
? 5. Представление решений в форме Римана
Начало современной теории гиперболических уравнений в частных
производных было положено Б. Риманом, получившим представление
решения задачи Коши для уравнения второго порядка '). В его ра-
работе нет общего доказательства существования и способа построе-
построения решений, а лишь рассмотрены некоторые примеры, допускаю-
допускающие явное решение. В предположении, что решение и существует,
Риман дает лишь изящное явное интегральное представление и в форме,
аналогичной представлениям решений краевых задач для эллиптических
уравнений с помощью функции Грина; это интегральное представле-
представление является типичным образцом для большого числа аналогичных
формул, определяющих „линейные функционалы" 2). Элементарное из-
изложение теории Римана будет в дальнейшем сильно обобщено.
') Римаи развил эту теорию как приложение к своей классической ра-
работе о динамике сжимаемых газов (см. Риман [1]).
2) См. примечание на стр. 450 и дальнейшие рассуждения, в частности,
гл. VI, § 15 и приложение.
§ 5. Представление решений в форме Римана
447
1. Задача Коши. Любое линейное гиперболическое уравнение
второго порядка после соответствующего преобразования может быть
записано в одной из двух форм (ср. гл. III, § 2, п. 1)
= ayy — uxx-\-
= f,
A)
(У)
Рис. 30.
где а, Ь, с, / — заданные (непрерывно дифференцгр/емые) функции
независимых переменных х, у.
Начальная кривая С предполагается „свободной", т. е. она нигде
не касается характеристических направлений; характеристиками для
уравнения A) являются прямые,
параллельные осям координат; у
для уравнения (Г) это прямые
х-)-у —const и х — у — const.
Наша цель состоит в том, что-
чтобы выразить решение и в точке Р
через функцию / и начальные дан-
данные, т. е. через значения функ-
функции и и некоторой „выводящей
из С" производной и на кривой С.
(Из таких начальных данных на С
определяются и их = р, и иу = q).
Из § 4 мы заключаем, что область
зависимости для точки Р : (?, т;) —
это область, ограниченная двумя характеристиками, проходящими
через Р, и кривой С. В случае уравнения A) это треугольная об-
область ^3 изображенная на рис. 30.
Если начальная кривая вырождается в прямой угол, образованный
прямыми х — а, у = [i, то мы не можем уже задавать два условия
на С; вместо этого мы ставим „характеристическую задачу Коши" *),
в которой на прямых х = а, у = р задаются только значения и.
2. Функция Римана. Римап обосновывал свой метод получения
формулы представления с помощью аналогии между дифференциаль-
дифференциальным уравнением и конечной системой линейных уравнений. Такую
систему относительно неизвестных и1 можно решать следующим об-
образом: умножим левые части на неопределенные пока величины vl,
сложим эти произведения, перегруппируем слагаемые в этих били-
билинейных формах, вынося за скобку неизвестные и1, и, наконец, опре-
определим vl так, чтобы коэффициенты при всех и1 обратились в нуль,
кроме, например, коэффициента при и1, который сделаем равным 1.
') Иногда эту задачу называют задачей Гурса. — Прим. ред.
448 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
Таким образом мы получим представление для и1, аналогично
для и2 и т. д. Соответствующие величины v1 зависят от коэффи-
коэффициентов, но не зависят от правых частей уравнений.
Представление для значения решения нашего дифференциального
уравнения в точке Р можно получить аналогичным образом: умно-
умножают дифференциальное уравнение на функцию v, интегрируют по
области ^], преобразуют интеграл с помощью формулы Грина, так
чтобы функция и оказалась множителем в подинтегральной функции;
затем пытаются определить функцию v так, чтобы получить требуе-
требуемое представление.
Мы уже ввели понятие сопряженного оператора L* для данного
оператора L (гл. III, прил. 1, § 2); при этом выражение vL[u] — uL* [v]
должно иметь вид дивергенции. Для уравнения A) L* определяется
формулой
L* [v] = vxy — {av)x — {bv)y -f cv,
и мы имеем
vL\u] — uL*\v[ = {vux-\-buv)y — (uvy— auv)x.
Интегрируя это равенство по области G с границей Г, мы получим
с помощью формулы Гаусса
- Г Г (vL [и] — uL* \v\)dx dy =
о
— j l(vux H~ buv) dx -f- (uvy — auv) dy].
v
Применим эту формулу к области зависимости для точки Р. Учиты-
Учитывая уравнение A), найдем, что
— J fifv — uL* [v] )dxdy =
о
= J [v(ux-\-bu)dx-\- u(vy — av)dy] =
AB+BP+PA
— J [v(ux-\-bu)dx-\-u(vy — av)dy] +
AB
-f- I u(vy — av) dy — j v {ux -\- bu) dx,
BP AP
и так как
J v (ux -|~ bu) dx = v (P) u(P) — v (А) и (А)— ^ и (vx — bv) dx,
AP AP
§ 5. Представление решений в форме Римана 449
то
и (Р) v(P) = u (A) v(A)-{- ju (vx — bv) dx-\~ Г и (vy — av) dy -f
AP BP
-f- Г [v (ux-\- bit) dx -f- и (vy — av)dy\-\- Г Г (fv — uL* [v])dx dy.
AB О
Чтобы получить представление для а (Р) = и (?, ¦»)), мы выберем в ка-
качестве v функцию R (х, у; S, у\), удовлетворяющую следующим усло-
условиям:
а) R как функция хну удовлетворяет сопряженному уравнению
L*x,y)[R] = 0. B)
б) Rx = bR на АР, Ry — aR на ВР, или, если написать это
подробно,
Rx(x, у; \, г[) = Ь(х, ri)R(x, у; \, tj) при у — т\,
Ry{x, у, t 7j) = a(«, y)R(x, у; I tj) при х — \.
в) /? E, ij; ?. rf) =1.
Условия б) являются обыкновенными дифференциальными уравне-
уравнениями для функции R вдоль характеристик; интегрируя их и при-
применяя условие в), чтобы определить значение постоянной интегриро-
интегрирования, мы получим для значений R на характеристиках, проходящих
через Р, формулы
f х Л
R (х, т); I ij) = ехр Г b (I, ij) Ok , C)
U J
R(l У, I i) = exp J a (?, X)rfX . C')
1 i J
Задача отыскания решения R уравнения B), удовлетворяющего усло-
условиям C), C'), является характеристической задачей Коши. Вопрос
о существовании ее решения будет рассматриваться в начале § 6.
Функция R называется функцией Римана, связанной с оператором L;
с помощью этой функции получается формула представления Римана
AB
= u(A)R(A; ?, tj)+ J[R(ux-\-bu)dx-\-u(Ry
+ ffRfdxdy.
450 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
Чтобы получить более симметричное выражение, мы сложим это ра-
равенство с тождеством
O^~[u(B)R(B)-u(A)R(A))~
— / \~2 (UjcR ~^~ uR-*) dx~^~~2 (uyR ~l~ aR? аУ •
АВ
которое получается, если выражение uR проинтегрировать по частям
вдоль С от А до В:
и{Р)=~ [и (A) R(A)+u (В) R (В)] +
АВ
Н ) ] ) n Rf dX dy- D)
о
Формула D) дает представление решения уравнения A) для произ-
произвольных начальных данных, заданных на произвольной нехарактери-
нехарактеристической кривой С, через решение сопряженного уравнения R, за-
зависящее от х, у и двух параметров с, т; 1).
Выводя формулу представления D), мы предполагали существо-
существование решения и уравнения L{u]~f с начальными данными на АВ
и существование функции Римана R. Легко проверить следующий
факт. Если функция Римана существует и имеет достаточное число
производных по своим аргументам, то функция и(Р), определенная
формулой D), является решением уравнения L[u]—f с заданными
начальными условиями, если только кривая С нигде не имеет харак-
характеристического направления. Однако это замечание на самом деле не
упрощает общее доказательство существования, так как функцию
¦) Формула Римана D) является частным случаем следующего общего
принципа: „Непрерывный линейный функционал" и (Р) = L [/], т. е. величина,
линейно и непрерывно зависящая от функции /((?), может быть представлен
в виде
= J K(Q, P)f(Q)dQ,
где ядро К является функцией Q и Р, а интегрирование производится по
области изменения переменной Q. Естественно, что такое общее предста-
представление (оно принадлежит Ф. Риссу) справедливо только при некоторых
условиях гладкости. Но во всяком случае оно является достаточным осно-
основанием для применения многих методов. В нашем случае решение и является
линейным функционалом от функции /(х, у) в области q и начальных зна-
значений на С и зависит от ?, т; как от параметров. Как мы увидим позднее,
в гл. VI, стремление получить такие интегральные представления приводит
к да леко идущим обобщениям.
§ 5. Представление решений в форме Римана
451
Римана, определенную как решение характеристической задачи Коши
(с очень частными на вид начальными данными), вообще говоря,
построить не легче, чем решение произвольной задачи Коши. Однако
в некоторых частных случаях можно явно построить функцию
Римана (см. п. 5, скажем, при-
пример 2I). У'
В предположении, что функция R
существует, из формулы D) следует,
что решение с заданными началь-
начальными данными единственно. Ввиду
теоремы Хольмгрена (см. гл. III,
прил. 2) это не является неожи-
неожиданным.
D(xo,yo)
3. Симметрия функции Римана.
Предположим, что и является реше-
решением уравнения L [и] = иху-\- аих-\-
-\-Ьиу-\-си = 0, определенным в пря-
прямоугольнике PADB (см. рис. 31);
его стороны AD и DB являются характеристиками, в которые
вырождается начальная линия АВ. Тогда формула представления
Римана D) принимает вид
Рис. 31.
u(P) = lf[u(A)R (А) + и (В) R (В))
j J (Ryii~uyR —
2 J y v-r
D
Применяя тождество
Rzu — uzR — 2guR = {uR)z — 2R (uz
— ~ j (Rxu — uxR — 2buR)dx.
o)
и производя интегрирование в первом члене, получаем
А В
u{P) = u{D)R{D)+ j R(uy + au)dy+ j R(ux-\-bu) dx. E)
D D
Теперь мы выберем в качестве и функцию Римана для сопряженного
уравнения L* [v] ~ vxy — avx — bvy -f- dv (где d — с — ax — by) и для
точки D:
u = R*(x, у; D).
') Формула представления Римана была впервые обобщена на линейные
уравнения высших порядков с двумя независимыми переменными Бур-
гатти [1] и Реллихом [2]. Хольмгрен обобщил метод Римана на системы
уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными (см. Хольм-
Хольмгрен [2]). См. также п. 4 и гл. VI, § 15.
452 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
Из свойств функции Римана (см. а), б), в) п. 2) следует, что
ГЧЛЧ = ?[/?•] = о,
/?у + а/?* = 0 на DA,
R*x + */?* = О на DB,
и R* (D, D) —- 1. Поэтому формула E) дает
R*(P; D) = R(D; P). F)
Другими словами: функция Римана для оператора L переходит в функ-
функцию Римана для сопряженного с ним оператора L*, если поменять
местами переменные 5, tj и х, у1). Из этого свойства „взаимности"
функции Римана следует, что она как функция параметров ?, tj удо-
удовлетворяет уравнению
i«, ,)[«(*. У> ?¦ 1I = 0. G)
Хотя функция /? сначала была определена как решение сопряженного
уравнения, оказывается, что она дает также двупараметрическое се-
семейство решений уравнения L[a] —0.
4. Функция Римана и излучение из точки. Обобщение на
задачи более высокого порядка. Рассмотрим уравнение (Г) (считая,
что переменная у совпадает со временем t)
L[u] = utt — uxx-\-aux-\-but-\-cu = f.
Пусть [fk) — последовательность функций, обладающих следующими
свойствами:
(I) функция /д^>0 отлична от нуля только в некоторой окрест-
окрестности Nk фиксированной точки Q — (a, p);
(II) I I f k dx dt = 1 при всех k;
(III) окрестности Nk стягиваются в точке Q при k->co2).
Обозначим через uk решение уравнения L[u] = fk, равное нулю
вместе со своими первыми производными на начальной кривой С.
Из представления Римана следует тогда, что lim ик — и существует
и что
') В частности, отсюда следует, что если оператор L самосопряженный,
то функция R симметрична относительно х, у и ?, i\.
2) Предел lim /д соответствует 3-функции Дирака.
§ 5. Представление решений в форме Римана 453
Решение и(х, t) = R(/x, Р; x, t) можно, следовательно, физически
истолковать как интенсивность в точке (х, t) единичного излучения,
исходящего из точки Q пространства-времени. Математически это
кратко формулируется так: функция и (х, t) при t > 0 является реше-
решением уравнения
L[u] = b(x~a, t — Р),
удовлетворяющим нулевым начальным условиям на С.
Для произвольной функции / формула Римана дает суперпозицию
эффектов излучения, источниками которого являются все точки (ос, р),
расположенные над кривой С, лежащие в области зависимости
точки (х, f). Это подсказывает, каким образом следует обобщить
понятие функции Римана для задач более высокого порядка и с боль-
большим числом пространственных переменных (см. гл. VI, § 15). Здесь
можно дать только краткое указание, так как в гл. VI, § 15, будет
полностью изложена соответствующая теория.
Рассмотрим для краткости оператор L[u], применяемый к век-
вектору и с k компонентами, и предположим, что L состоит из k линей-
линейных операторов первого порядка. Тогда тензор Римана определяется
с помощью 8-функции Дирака как решение сопряженного уравнения
L*(R(x, t; I т)) = 0. (*<т)
удовлетворяющее при ^ —т условию
R(x, х; I т) = 8(х — ?)/,
где / — единичная матрица. Построение тензора Римана и подробные
объяснения даны в гл. VI, § 15; это построение основано на инте-
интегрировании по характеристикам, исходящим из точки Р в сторону
прямой ^ = 0, как показано в гл. VI, § 4.
5. Примеры.
1) Для простейшего волнового уравнения
«,у = 0 (8)
функция Римана R(x, у; 5, -q) тождественно равна 1, и, следовательно,
решение дается формулой
и (Р) = I [и (А) + и (В)} + ^ J(uxdx~ uy dy). (9)
Л В
Вводя новые координаты
лг + у-А-.
х — у = Т,
454 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
мы получим вместо (8) уравнение
итт-ихх = 0, (8')
а вместо формулы (9) — формулу
«(Р) = 1[м (Л)+«
[
AB
= ^ [и
! j(uTdX+uxdT). (90
Если начальной кривой служит линия Г—0, т. е. если А и ??—это
точки (Х — Т, 0), (А'+Т4- 0). то формула (90 дает
и(Х, Т) = ±[и(Х — Т. 0) + н(*Н-7\ 0)]Н-
х+г
+ i J ит{1, 0)d\. A0)
х-г
Общее решение уравнения (80 можно записать в различных
видах, простейший из которых таков:
и(Х. T) = f{X-T) + g{X + T),
где fug — произвольные функции. Чтобы решить задачу Коши,
надо определить / и g из начальных условий. Это приводит к фор-
формуле A0), которая обычно так и получается.
2) Далее мы рассмотрим уравнение
L[u] = uxy + cu = g(x, у),
где с — постоянная; оно эквивалентно телеграфному уравнению
(см. гл. III, § 4). Это уравнение является самосопряженным. Так как
коэффициенты оператора L постоянные, функция R (P, Q) зависит
только от относительного положения точек Р и Q. Кроме того, счи-
считая Q началом координат, можно заметить, что если функция
v(x, y) = R(x, у; 0, 0)
удовлетворяет условиям, наложенным на функцию Римана (см. усло-
условия а), б), в) п. 2), то функция
w{x, y) =
также удовлетворяет этим условиям. Ясно, что из условия L*[v(x, y)]~0
следует, что L*[w]=0, так что условие а) выполняется. Так как
о = 6 = 0, условие б) означает, что функция v = R постоянна на
осях координат. Если v обладает этим свойством, то им обладает
§ 5. Представление решений в форме Римана 455
и w, наконец, из того, что v@, 0)=1, следует, что w (О, 0)=1.
Так как эти условия определяют функцию Римана однозначно (см. § 6),
то мы получаем, что w(x, y) = v(x, у)—функция только от ху.
Для более общего случая, когда Q —(?, г[), функция Римана R(P, Q)
имеет вид
R(x, у; I ч) = /(*).
где
— 7)).
Из уравнения ?*[/?] = О тогда следует, что функция / удовлетво-
удовлетворяет уравнению zf"-\-f'-\-cf = Q; если положить Х = ]/Чсг, оно
переходит в уравнение Бесселя
Решением, регулярным в .начале координат, является функция Бесселя
/ = У0(Х)
(см. т. I, гл. VII, § 2). Действительно,
R(x, у; I ri)=,
есть искомая функция Римана, так как она удовлетворяет заданным
условиям на прямых х = \, у = ^\ это легко проверить непосред-
непосредственно.
3) В § 3, п. 1 мы изучали одномерное изэнтропическое тече-
течение жидкости; мы ввели инварианты Римана г и 5 и привели урав-
уравнения движения к виду
(ж
Эту систему можно линеаризировать с помощью преобразования годо-
годографа (см. § 2, п. 3), что приводит к системе
xs—(u-\-c)ts = 0.
Мы исключим х и получим уравнение второго порядка
- 2ctrs + (и - c)s tr + (u + c)r ts = 0.
Для политропного газа были найдены инварианты Римана (см. § 3, п. 1)
и. с и | с
Г + +
456 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
так что наше уравнение второго порядка имеет вид
Мы теперь изменим обозначения, приведя их в соответствие с обозначе-
обозначениями этого пункта. Пусть r = x, s = y,t = u и (i-\- l)/2(f—-1) = —-л.
Тогда наше уравнение второго порядка переходит в уравнение
ux-\-uy) = 0. A1)
Согласно п. 2, его функция Римана должна удовлетворять уравнению
L4R] = RXi) + 1^j(Rx+Ry)-jz^yyR = o A2)
и условиям
Rx(x, % l i)=* — -j^R(x, т,; 5, 7j),
Ry(l у; s. r^^-j^yRd у, \, t,
и R{t, % \, ^)=1. Если проинтегрировать эти условия по характе-
характеристикам, то получатся соотношения
R(x, tj; E, 7l) = (^+±y, A3)
для решения уравнения A2) (ср. уравнения B), C) и C')).
Уравнение A1) имеет решения особенно простого вида, если
п — целое положительное число. Умножая уравнение A1) на х~\-у
и дифференцируя его п раз по х, мы получим, согласно формуле
Лейбница,
"uy—nDx+1u = 0, A4)
где через Dx и Dy обозначены д/дх и д/ду.
Из свойства взаимности функции Римана следует, что R как функ-
функция ?, 7] удовлетворяет уравнению
n) = 0 A2')
(см. уравнение G)). Следовательно, мы имеем также
§ 5. Представление решений в форме Римана 457
Уравнения A4) и A5) — это обыкновенные дифференциальные урав-
уравнения относительно функций D^Xu и Df+1R соответственно; они
имеют решения
Dnx+1u=A(x; S, vjK
Применяя условие A3), мы убеждаемся, что при ч\ = у
DcilR(x, у; q, 7j) = 0. Отсюда В(>, х, т)) = 0 и, следовательно,
В ($; х, у) = 0. Из этого равенства и из соответствующего рассу-
рассуждения для (rc-j-l)-fl производной по 7j мы делаем вывод, что R
является полиномом степени не выше п по ?, tj.
Решение уравнения A2'). удовлетворяющее нужным граничным
условиям при \ = х, vj = y, мы ищем в виде полинома
t\ \Z, Tfj, X, у) —
где
Подставляя выражение A6) в уравнение A2') и учитывая, что
мы получим, что функция ф удовлетворяет уравнению
w(w— 1)ф"(-ш)-j-Bге» — l)i]/ (w) — «(«+ 1)ф(-да) = 0. A7)
Единственным решением1) этого уравнения, для которого (|>@)=1,
является гипергеометрический ряд
«!¦(*)=*ФОН-я, —я, 1; г).
Таким образом, функцию /? мы получаем в виде
-¦
для целых положительных п она обращается в полином степени п— I.
Из наших рассуждений следует, что формула A8) дает функцию
Римана для произвольных и2).
') См. Магнус и Оберхеттингер [1], гл. II, § 1 [а также Три ко ми Ф.,
Лекции по уравнениям с частными производными, М., 1957, гл. I. — Прим. ред.]
2) Копсон (в работе [1]) сделал обзор уравнений, для которых можно
получить функцию Римана в замкнутом виде. Читатель найдет там также
интересные сведения о методах получения явных решений.
458 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
§ б. Решение задачи Коши для линейных
и почти линейных гиперболических уравнений
с помощью итераций
В последующих параграфах даны конструктивные доказательства
существования решения задачи Коши. Они основаны на том же ме-
методе последовательных приближений, который хорошо известен
в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Как говорилось раньше, задачу Коши можно свести к такой
задаче Коши, для которой начальные данные, или „данные Коши",
обращаются в нуль. Для этого мы вычитаем из неизвестной функ-
функции и подходящим образом подобраннуюг) фиксированную функ-
функцию со и рассматриваем дифференциальное уравнение для новой неиз-
неизвестной функции. Кроме того, мы можем так преобразовать неза-
независимые переменные, чтобы нехарактеристическая начальная кривая С
перешла в прямую у = 0. Без ограничения общности мы можем
производить эти упрощения и снова обозначать неизвестную функ-
функцию через и.
1. Построение решения уравнения второго порядка. Сначала
мы вкратце рассмотрим характеристическую задачу Коши, в част-
частности с целью доказать существование функции Римана, введенной
в предыдущем пункте.
Сначала мы рассмотрим дифференциальное уравнение второго
порядка
L\u}~ uxy-{-aux-\-buy-\-cu = f (х, у), A)
которое можно записать также в виде системы двух линейных урав-
уравнений первого порядка относительно функций и и v — uy-\-au\
uy = v — аи,
Вместо того чтобы решать задачу Коши для уравнения A), можно
рассмотреть задачу Коши для более общего уравнения
uxy = F(x, у, и. p. q), (Г)
что так же просто, а с формальной точки зрения даже яснее; снова,
как и прежде, мы будем пользоваться сокращенными обозначениями
«* = />¦ иу = Ч-
Дифференциальное уравнение и в этом случае можно заменить почти
линейной системой трех уравнений относительно функций и, р, q:
чх==р, py = F(x, у, и, р, q), qx = F(x, у, и, р, q).
') Если начальная кривая С задана уравнением у = у (х) и если на С
заданы неоднородные данные Коши: и = и (х), их = р (х), uy~q (x), удов-
удовлетворяющие условию полосы и' = p-\-qy', то такая функция определяется,
как легко проверить, например, формулой <о (х, у) = и(х) -j- (у — у (х)) {)
§ 6. Решение задачи Коши для линейных уравнений 459
Мы ставим себе целью построить такое решение и, которое на не-
некоторой гладкой нехарактеристической кривой С принимает началь-
начальные значения и = p=q = 0.
Здесь предполагается, что функция F имеет непрерывные про-
производные по аргументам х, у, и, р, q. Относительно решения и
предполагается, что оно имеет непрерывные производные первого
порядка и смешанную производную s=uxy, которая в силу урав-
уравнения A') также должна быть непрерывной1).
Задача сохраняет смысл, и описанное ниже построение дает
решение также и в случае характеристической задачи Коши. Это —
предельный случай, для которого кривая С состоит из двух харак-
характеристических линий AD и BD (см. рис. 32). Нам достаточно задать
на С только начальные значения функции и, и, как мы видели раньше,
Рис. 32.
дифференциальное уравнение A) превращается в обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение для функций р и q на линиях AD и BD
соответственно. Это уравнение, вместе с условием, что /? = <7 —0
в точке D, определяет значения р и q на С. В остальном нет необ-
необходимости делать здесь различие между задачей Коши и характери-
характеристической задачей Коши.
Решение строится в достаточно малой треугольной области ^
плоскости х, у, которая содержит заданный отрезок начальной кри-
кривой С или прилегает к нему и состоит из таких точек Р, которые
соединяются с кривой С двумя отрезками характеристик РРг и РР2.
так что точки Рх и Р2 лежат на данном отрезке.
Область ^] расширяется до области G пространства х, у, и,
р, q с помощью неравенств | и | ^ jj., |/?|^[а, !<7|^С[а, где ^. — не-
некоторая постоянная. Мы предполагаем, что в этой области | F | < X,
I ^а I <^> l^pl^X, I^I^X с некоторой постоянной \. Для на-
начальных данных м = p = q = 0 (а в случае характеристической
') Относительно ихх, иуу не надо делать таких предположений. Однако,
если функция F и начальные данные имеют непрерывные вторые производ-
производные, то описанное ниже построение решения обеспечивает существование
непрерывных производных г = ихх, t = иуу и даже непрерывных третьих
производных рХу, qXy.
460 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
задачи Коши просто и = 0) уравнение A') может быть записано в
проинтегрированной форме
f(x, у, и, р, q) dx dy B)
для точки Р области ^] (см. гл. I, § 1, п. 1).
Теперь мы определим интегральное преобразование функции
v{x, у) в новую функцию v'(x, у) с помощью формулы
v'(P) = Tv= Г Г F (х, у, v, vx, vy) dx dy. B')
Искомое решение является „неподвижной точкой" этого преобразо-
преобразования Т в функциональном пространстве, и эту неподвижную точку
можно получить с помощью процесса последовательных приближений.
Она будет пределом последовательности ип, в которой ип+1 — Тип
и «0—произвольная функция, удовлетворяющая начальным условиям,
например, и = 0, р = 0, q = 0.
Для достаточно малых областей ^] последовательные приближения
безусловно сходятся к решению. Чтобы избежать повторений, мы
не будем проводить доказательство в этом пункте. Как указывалось
выше, характеристическая задача Коши эквивалентна задаче Коши
для линейных или почти линейных систем первого порядка; ниже мы
построим решения таких систем с помощью последовательных при-
приближений.
2. Обозначения и результаты для линейных и почти линей-
линейных ') систем первого порядка. В последующих пунктах мы будем
писать t вместо у. Как и в § 2, мы рассмотрим систему k диффе-
дифференциальных уравнений первого порядка для вектор-функции и(х, t)
с компонентами и1, и2 ak:
ut-\-Aux-\-B = 0, C)
где матрица А(х, t) размера &Х& и вектор В(х, t, и) имеют не-
непрерывные первые производные и где В может зависеть от пере-
') Результаты, касающиеся квазилинейных систем, которые будут по-
получены с помощью рассуждений этого и следующего параграфов, принад-
принадлежат Шаудеру [1]. Дальнейшие доказательства были даны Чинквини-Чиб-
рарио [1], Фридрихсом [1], Курантом и П. Лаксом [1]. Более тонкие резуль-
результаты были получены Дуг лисом [1], Хартманом и Винтнером [1] и П. Лаксом [5].
Теорема существования при более сильных предположениях о дифферен-
цируемости для одного дифференциального уравнения п-го порядка была
много лет назад получена Э. Леви [2]. Работа Леви о гиперболических
уравнениях оставалась забытой, пока почти все его результаты не были
заново открыты. Его замечания о нелинейных уравнениях с кратными ха-
характеристиками (см. Леви [1]) до сих пор остаются не продолженными.
§ 6. Решение задачи Коши для линейных уравнений 461
менных и как линейно, так и нелинейно. Без ограничения общности
мы можем предполагать, что ось х: t = 0 является начальной ли-
линией, и задать начальные данные
и(х, 0) = ф(х),
где вектор ф (х) имеет непрерывную первую производную. Система C)
прелполагается гиперболической в смысле §2, т. е. матрица А имеет k
действительных собственных значений т1, тй т* и k линейно неза-
независимых левых собственных векторов I1, I2 lk, образующих
матрицу Л с определителем 1. Предполагается, что собственные век-
векторы Г имеют непрерывные производные по х и t. Наконец, мы
предполагаем, что первые производные коэффициентов и, следова-
следовательно, первые производные собственных элементов, имеют модуль
непрерывности, удовлетворяющий специальным требованиям, напри-
например, условию Липшица. Характеристические кривые определяются
обыкновенными дифференциальными уравнениями dx/dt — ?\ и ха-
характеристики C./t выходящие из точки Р с координатами ?, -с, могут
быть представлены с помощью функций
СЛ: x = x*(t; l х),
имеющих непрерывные производные по ( и но параметрам I, х.
В силу соотношения ГА = т*/*, характеризующего собственные век-
векторы, умножая систему C) на собственный вектор 1%, мы получаем
систему уравнений в характеристической форме
=:0 C')
или, короче,
где Z> — дифференциальный оператор D* = д/dt -f- т* (д/дх). Опе-
Оператор Z> можно рассматривать как дифференцирование d/clt вдоль
кривой Сх.
В соответствии с нашими предположениями мы будем считать,
что собственные значения хх и собственные векторы Iх являются
функциями х и t с непрерывными первыми производными.
Иногда мы будем опускать явное указание на определенную ха-
характеристику и будем вместо Z> и Iх писать D, I. Отметим также
полезную формулу D(ab) = aD(b)-\-bD(a), справедливую для про-
произвольной пары функций а, Ь.
Вид C') системы уравнений наводит на мысль о том, чтобы
ввести новые неизвестные функции U% = Ги, или, коротко, U = Au
или U = 1и. Так как lD(u) = D(lu) — uDl, система уравнений при-
принимает вид
. C")
462 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
Поскольку и можно выразить через U с помощью соотношения
u = ArU, где Л' — матрица, обратная Л, то систему C") всегда
можно записать как
DU = F{x, t; U), C'")
где правая часть — непрерывная вектор-функция от переменных
х, t, U, обладающая непрерывными производными по переменным U.
Конечно, через D здесь обозначена диагональная матрица с компо-
компонентами Dx.
Заметим, что начальные значения ф(х) функции и переходят в
начальные значения 47 (х) для U, заданные при t = 0, причем W (х, t) =
= Лф. Наши предположения
обеспечивают эквивалентность
задачи Коши для и и V.
Рассмотрим на плоскости х,
t замкнутую область G, такую,
что все характеристики С%,
проведенные из точки Р в об-
область G в направлении, обрат-
обратном по отношению к возра-
возрастанию значения t, пересекают
заданный отрезок g оси х
в точках Р., с координатами
хх=х@; X, -с), так что отре-
отрезок g содержит область за-
зависимости для всех точек Р
области О. Полоса 0 < t < h области G обозначается Gh (см. рис. 33).
В п. 3 мы получим следующий результат. Задача Коши с началь-
начальными значениями ф на отрезке ?f имеет единственное решение
и с непрерывными производными в полосе Gh при достаточно
малых п.
Из доказанного в § 4 следует, что решение определяется одно-
однозначно. Мы увидим также, что решение можно распространить
на всю область G, если только коэффициенты сохраняют свою
гладкость. Кроме того, если А и В имеют непрерывные произ-
производные до порядка п включительно, то решение и также имеет про-
производные этих порядков. Наконец, если коэффициенты и начальные дан-
данные ф зависят от некоторого параметра, по которому они непрерывны и
дифференцируемы, то такими же свойствами обладает и решение.
3. Построение решения. Чтобы построить решение системы, за-
записанной в виде C'"), принимающее начальные значения W(x), мы
заменим U в правой части вектор-функцией V = Av и рассмотрим
множество, или „пространство", S функций, определенных в области О,
обладающих непрерывными производными и принимающих начальные
§ 6. Решение задачи Коши для линейных уравнений 463
значения W (х). Интегрирование уравнений C") или C'") вдоль ха-
характеристик С, от Р„ до Р подсказывает, что надо исследовать ин-
интегральное преобразование
W (>, т) = Ф (л:,)-f-J F (x, /; V)^ =
(лг, *, V*)-b(DY)t>) tf/, D)
где в F*(x, t, V(x, t)) вместо х подставлена функция х% (t). Сим-
Символически это преобразование можно записать в виде
оно переводит функцию V пространства 5 в функцию W, принимаю-
принимающую те же начальные значения. Мы ищем решение задачи Коши
как элемент, не изменяющийся при этом преобразовании.
При преобразовании Т каждая компонента вектора W (?, t) в
точке Р выражается как соответствующий интеграл по характери-
характеристике Сх; это значит, что в FA(x, t, V(x, t)) мы должны заменить х
на хх (t; Е, т) и затем просто проинтегрировать по t от 0 до х.
Для достаточно узкой полоски Oh искомый неподвижный элемент
можно найти с помощью итераций, т. е. как равномерный предел
при п—>оо последовательности
причем начинать можно с любой допустимой функции U0 = W(x, t),
принимающей начальные значения Ф (лг).
С этой целью мы используем максимум-норму \\f\\, или ||/[|0,
для непрерывной вектор-функции /, равную наибольшему значению,
которое в замкнутой области G принимают модули компонент /. Мы
положим N = \\W(x, t)\\ и ограничим множество допустимых функ-
функций из S такими, для которых |V||<2;V. Для этих допустимых
функций существует общая верхняя граница, т. е. такое число [>.,
что в G, а тем более в Gh
где Fv обозначает градиент функции F по переменным V. Мы можем
также предполагать, что величина jx ограничивает абсолютные ве-
величины подинтегральных функций в формуле D).
Тогда, если h выбрано достаточно малым, преобразование Т
переводит допустимую функцию V в допустимую функцию W. Дей-
Действительно, заметим, что из формулы D) следует, что \Wl^N-\-h\>.;
поэтому, если мы выберем h так, что A|j. < А/, то ||1^|^2А/. В том,
что W имеет непрерывные производные, мы сейчас убедимся
464 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
Чтобы доказать равномерную сходимость последовательных при-
приближений Uп, мы рассмотрим разности Zn — Un+l — Un, для которых
в силу D) справедливы равенства
Z\<\, x)= f{Fx(x, t, Un+l)-F*(x, t, Un))dt (x = xjt\ ?. -))•
о
Так как функция F(x, t, V) имеет непрерывные производные по V,
мы можем применить теорему о конечных приращениях и для
некоторых промежуточных значений О получить соотношение
с
= f Fb(x, t; U^Z^ix, t)dt.
о
Так как Ц^цЦ-^^. мы сразу же, как и раньше, видим, что
Поэтому, выбирая h достаточно малым и таким, чтобы hk[x = Q < 1,
например, 0 = 1/2, мы получим, что
Тогда мы можем утверждать, что преобразование Т является сжи-
сжимающим относительно данной нормы и Zn равномерно стремятся
к нулю в области Gh при п—>оо; следовательно, функции Un рав-
равномерно сходятся в Gj к некоторой непрерывной функции U. Пре-
Предельный вектор U, принимающий, очевидно, начальные значения Чг(х),
является неподвижным элементом преобразования Т и решением сис-
системы интегральных уравнений U = TU. Так как применение к со-
содержащимся в этой системе интегралам дифференцирования по на-
направлению D" дает подинтегральную функцию, то U является также
решением нашей системы дифференциальных уравнений, записанной
в характеристической нормальной форме (З'"I).
Однако из существования производных по направлениям непо-
непосредственно еще не следует существование и непрерывность произ-
производных Ux, Ut для предельной функции U. То, что эти производные
существуют и непрерывны, будет доказано ниже, а именно, будет
установлено, что производные Uп равномерно сходятся, если равно-
равномерно сходятся сами функции' 0п. Тогда, согласно элементарным
теоремам анализа, предельные функции для производных будут про-
производными предельной функции U.
Мы можем ограничиться случаем производной по х (или по ;),
так как производную по t можно тогда выразить через известную
') Приведенное выше рассуждение показывает, что решение единственно.
Действительно, в силу того, что преобразование Т является сжимающим,
разность двух решений тождественно равна нулю.
§ 6. Решение задачи Коши для линейных уравнений 465
производную по направлению Z)\ При дифференцировании формул D)
по ? под знаком интеграла член (Dl)v дал бы вторые производные
от собственных векторов /, в то время как мы предполагали лишь
существование первых производных. Мы легко можем обойти эту
трудность, предположив сначала, что существуют непрерывные вто-
вторые производные, а затем, после дифференцирования, избавиться от
этого предположения с помощью предельного перехода. Однако мы
могли бы применить следующий более прямой прием (предложенный
П. Унгаром) дифференцирования по ? интеграла вида Л"($) =
т
= I P(t, l)DQ(t, i)dt, где D обозначает дифференцирование по пе-
о
ременной t (в нашем случае дифф?ренцирование вдоль характери-
характеристики). Вместо К (?) мы рассмотрим функцию двух параметров а и |3:
¦г
Я (а, $) = f P(t, a)DQ(t, §)dt,
о
так что К(\) — Н (I ?), a /Q = Я, + Яр для а = ft == I Тогда член НЛ
получается с помощью прямого дифференцирования под знаком
интеграла:
Чтобы получить выражение для второго члена, мы сначала проин-
проинтегрируем по частям, а затем уже продифференцируем по J3; нако-
наконец, мы снова положим а = [5 = $. Складывая результаты этих опе-
операций, мы получаем
= / [Pi(t. t)DQ(t, t) — DP(t, DQ^t, %)\dt
Эта формула позволяет нам непосредственно дифференцировать ин-
интеграл от vD(l), Комбинируя различные выражения и сокращая гра-
граничные члены, мы можем, наконец, записать выражение W — TV
в виде
W%(*, т) = — J хг [bx + bvVx-\-lxDv - vxDl] dt +
-M^I^-M'U- (б)
Независимо от того, выражаем ли мы v под знаком интеграла через V
или нет, эта формула представляет производную W^ через функцию V
и ее первые производные, не включая вторых производных от /.
466 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
Она показывает, что функцчя W имеет непрерывные первые произ-
производные. Кроме того. ф>рмула E) указывает на следующий факт:
производные функции W ограничены, есл1 ограничены \\V\\ и ЦК^;
здесь \\Vli есть максимум-норма первого порядка, т. е. наиболь-
наибольшее значение, которое в нашей области принимают функции \Vx\
или |V?|!)-
Точнее, если задана оценка М для ||V||, то можно определить
величину Mv ограничивающую \\V\\V так что для достаточно малых h
величины IJIFJI и ||W||j ограничены соответственно величинами М
и Mv
Более того, так же как и выше, можно сделать следующий вывод:
для достаточно малых h преобразование TV является сжимающим
также и для первых производных. Поэтому не только функции Un,
но и первые производные последовательных приближений Un равно-
равномерно сходятся в достаточно узкой полосе Gh. Соответствующие
пределы должны быть производными предельной функции U. Поэтому
функция U является решением задачи Коши.
Можно добавить следующее замечание: из формулы E) легко
следует, что некоторый „модуль непрерывности" для функции V;
становится также модулем непрерывности для W^. В частности, если
Vj (или Vt) удовлетворяют условию Липшица с постоянной Липшица а,
т. е. если разностные отношения равномерно ограничены величиной а,
то аналогичное утверждение будет справедливо для производных
функции TV.
Следовательно, производные последовательных приближений равно-
равностепенно непрерывны. По теореме Арцела они образуют в этом слу-
случае компактное множество, так как они равномерно ограничены,
и в силу теоремы единственности могут иметь только один предель-
предельный элемент. Таким образом получается несколько иной вариант
доказательства.
Наконец, мы сделаем важное замечание, которое будет исполь-
использовано в § 7: даже если на каждом шаге преобразование E) Т=Тп
изменяется, равностепенная непрерывность производных и условие
Липшица сохраняются при применении преобразования Т до тех пор,
пока члены DXZ* остаются равномерно ограниченными.
Кроме того, предыдущие рассуждения можно без изменения рас-
распространить на старшие производные. Если начальные данные и
коэффициенты дифференциального уравнения имеют непрерывные про-
производные до порядка п, то решение будет иметь такую же глад-
гладкость. Мы будем говорить, что свойства гладкости функции и про-
должимы, т. е. дифференцируемость любого порядка сохраняется
') Норму ||V|, можно было бы определить и несколько иначе, а именно
как максимум величин Vх |, I V* , | V] , где
§ 6. Решение задачи Коши для линейных уравнений 467
при переходе от t = 0 к t = h. В гл. VI, § 10, мы изучим роль,
которую играет понятие продолжимых начальных условий.
Теорема, сформулированная в начале п. 2, справедлива в более
широкой области. Чтобы доказать это, мы возьмем прямую t = h
за новую начальную прямую, а значение функции U {х, К) за новые
начальные данные и будем решать ту же самую задачу в полосе
h <^ t ^ 1h. Этот процесс мы будем продолжать шаг за шагом и
таким образом получим решение для произвольно больших t, если
только при этом будут сохраняться предположения о непрерывности
и ограниченности.
4. Замечания. Зависимость решений от параметров. Легко уста-
установить важное следствие оценок, которые применяются для доказа-
доказательства сходимости в методе последовательных приближений: если
коэффициенты дифференциального оператора или начальные данные ср
непрерывным образом зависят от параметра г и имеют по е непре-
непрерывные производные до порядка s, то аналогичное утверждение
справедливо относительно характера зависимости функции и от е.
В заключение следует отметить, что, применяя описанное выше
построение к начальным значениям ф(х), мы получим обобщенное
решение, даже если функция t]> имеет разрывы, например скачок
в некоторой точке (пусть это будет точка х = 0).
Такие разрывы распространяются от начальной точки разрыва Р*
вдоль каждой из характеристик, выходящих из Р*. Подробный ана-
анализ таких разрывных решений в более общем виде будет дан
в гл. VI, § 4,
б. Смешанные начальные и граничные задачи '). Многие инте-
интересные физические явления происходят в части пространства, огра-
ограниченной подвижной или неподвижной границей. Эти границы мате-
математически выражаются с помощью соотношений между переменными,
описывающими физическую систему. Укажем несколько примеров
таких граничных условий.
а) Нормальная компонента скорости идеальной жидкости около
подвижной стенки должна быть равной нормальной компоненте ско-
скорости стенки.
б) Смещение колеблющейся струны, закрепленной в конечных
точках, должно быть равным нулю в этих конечных точках.
в) Нормальная компонента градиента амплитуды звуковых волн
у идеально отражающей стенки должна равняться нулю.
Мы предположим, что система рассматривается только на поло-
положительной полуоси х, х ^ 0, и постараемся решить линейную или
почти линейную систему в характеристической нормальной форме C"):
') См. также приложение 2 к этой главе, а также гл. VI, § 8, и. 4.
468
Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
Dxu* = Fx (х, t, к1 и*); решение мы будем строить в малой
области, примыкающей к положительной полуоси х, х > 0 и к полу-
полуоси t > 0. Условия, заданные на осях х и t, должны определять кор-
корректно поставленную смешанную задачу.
Мы предположим, что г — число положительных собственных
значений х:
а тг+1, ..., тй — отрицательны. Согласно нашим предположениям,
ни одно из собственных значений не должно обращаться в нуль. Дру-
Другими словами, г есть число характеристик, проходящих через начало
координат О, идущих вверх, в первый квадрант плоскости х, t.
Рис. 34.
Тогда первые г характеристик, проходящие через точку, достаточно
близкую к О (t > 0), также идут в первый квадрант. Кроме того,
мы будем считать, что характеристики не пересекают друг друга.
Тогда характеристика Ст, проведенная через точку О, разделяет
квадрант, примыкающий к этой точке, на две области. При этом
все г характеристик, проведенные через точку Р в области слева
от Сг в направлении убывающих значений t, пересекают положитель-
положительную часть оси t, если мы будем рассматривать достаточно малую
область, примыкающую к точке О (рис. 34).
На положительной полуоси х мы зададим начальные данные Коши,
т. е. k значений и(х, 0)^=ф(х). В дополнение к этим данным Коши,
заданным при х > 0, мы при х = 0 зададим г граничных условий
(8)
с известными функциями у?(t), p<>, или, в более общем виде,
ир-
2
= 1 г).
(9)
§ 6. Решение задачи Коши для линейных уравнений 469
Здесь (k — г)г величин т}'* известны и могут быть выбраны так, что
k
j.r+l
Из условий (9) ясно, что г функций а1, .. ., иТ можно линейно выразить
через остальные функции ur+1, ..., к*. Условие A0) нужно лишь
для того, чтобы технически упростить приводимое ниже доказатель-
доказательство сходимости. Ему всегда можно удовлетворить, если вместо функ-
функций кг+1, ..., и* ввести новые зависимые переменные \шг + 1 \хик
с достаточно большим положительным множителем р..
Наконец, мы заметим следующее: вдоль характеристик, проходя-
проходящих через точку О, решение будет иметь разрывы, если значения
функций и при х = 0, < = 0 в точке О не удовлетворяют некоторым
„условиям согласования". В частности, согласование нулевого порядка,
т. е. непрерывность функций и, заключается в выполнении условий
ХР@)+ 2 mA4;@) = f@) (р=1 г).
Аналогичные условия для непрерывности производных получаются
с помощью дифференцирования.
Мы утверждаем, что при заданных условиях дифференциальное
уравнение C) имеет единственное решение в квадранте 0^.х,
0 ^ t. Если коэффициенты дифференциального уравнения и началь-
начальные и граничные данные имеют непрерывные производные порядка s
и если данные задачи удовлетворяют условиям согласования порядка s,
то решение имеет непрерывные производные до порядка s включи-
включительно. Если условия согласования выполняются только до порядка р.
то производные решения порядка выше р имеют разрывы на харак-
характеристиках Cv .... Сг, исходящих из начала координат.
Построение решений с помощью итераций происходит почти
-точно так же, как в п. 3. Снова обозначим через Рх пересечение
характеристик Сх с прямой t ¦= 0 или х = 0; в очевидных обоз-
обозначениях мы имеем
Р
F*(x, t, a» u*)dt. A1)
Если точка Рх лежит на оси t, что может случиться только при
luCr, мы подставим вместо величины их(Рх) ее значение из фор-
формулы (9), а если Рх лежит на оси х, то мы подставим начальные
данные ф*(Рх). Затем мы так же, как и раньше, введем интегральное
преобразование
470 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
приняв за Ти правую часть формулы A1). Чтобы доказать сходи-
сходимость последовательности \vn\, мы опять рассмотрим ряд, составлен-
составленный из разностей wn+-i = vn+1— vn. Если точка Рг лежит на оси t,
мы имеем рекуррентные соотношения
* р k
f
To, что преобразование, переводящее <wn в wn + v яяляется сжимаю-
сжимающим, как в максимум-норме, так и в максимум-норме s-ro порядка,
для достаточно малой полоски устанавливается так же, как в п. 3.
Таким образом, решение снова получается как неподвижный элемент
преобразования Т.
Если физическая система ограничена двумя стенками, а не одной,
например линиями х —0 и х = а, то на линии х —- а надо зада-
задавать граничные условия в соответствии с теми же принципами. Дру-
Другими словами, мы должны задавать столько граничных условий,
сколько характеристик из точки (а, 0) входит в нашу область, при-
причем эти условия должны удовлетворять условиям согласования и
линейной независимости, аналогичным тем условиям, которые раньше
ставились при х = 0. Тогда мы получаем единственное решение
в полу поло се.
Область, изменяющаяся с течением времени, математически опи-
описывается следующим образом: задается ее положение в момент
? —0 — некоторый отрезок (а, Ь) на оси х, и задается движение ее
концов с помощью двух кривых, исходящих из концов отрезка а
и b в направлении положительных значений t. Если эти кривые
достаточно гладкие, то задача для такой области может быть заме-
заменой независимых переменных сведена к той задаче, которая рас-
рассматривалась выше.
До сих пор мы предполагали, что граничные кривые нигде не
имеют характеристического направления; но тот же самый метод
построения решений можно применять и в случае, когда одна из
граничных кривых (или обе) характеристическая. Число условий,
которые надо здесь задать, равно числу характеристик, входящих
в рассматриваемую область, не считая самой граничной кривой.
Это согласуется с замечаниями, касающимися характеристической
задачи Коши (см. п. 1).
Примеры. 1) Движение натянутой струны в плоскости подчи-
подчиняется уравнению
И//-с2и.« = 0, A2)
где и обозначает смещение струны, а с — постоянная, зависящая от
плотности и натяжения струны. Задаются начальное положение и
§ 6. Решение задачи Коши для линейных уравнений 471
скорость струны (данные Коши), а концы струны (а, 0) и (Ь, 0)
фиксированы, т. е. граничные условия имеют вид
и (a, t) = u(b, 0 = 0.
Сведем уравнение второго порядка A2) к системе первого порядка,
имеющей диагональный вид, введя новые неизвестные функции
v = cux-\- ut, <w = cux— ut. Тогда мы имеем
vt — cvx — 0,
wt -f- cwx = 0.
Характеристические скорости здесь равны ± с. Рассматриваемой
областью является полуполоса а ^ х <^ b, t^>0; из каждого угла
в эту область входит ровно одна характеристика. Поэтому л=1
для обеих граничных прямых. Следовательно, мы имеем на каждой
границе одно граничное условие:
v(a, t) — w(a, f) = v(b, t)-—w(b, t) = 0.
Кроме того, легко проверить, что в этом случае выполняется усло-
условие линейной независимости.
2) Движение сжимаемого газа в трубке, закрытой подвижными
поршнями, можно описать, зная скорость потока и и плотность р.
Уравнение неразрывности и уравнение сохранения количества движе-
движения имеют вид
иг\иих+рх = Ъ.
Здесь р обозначает давление; уравнение состояния газа задает р как
известную') (и монотонно возрастающую) функцию р.
Эти уравнения нелинейные. Теория задачи Коши для таких урав-
уравнений во многом аналогична теории для линейного случая; она будет
рассматриваться в следующем параграфе. Аналогия переходит также
на теорию смешанных начальных и граничных задач, как показывает
данный ниже пример. Конечно, для нелинейных систем надо учиты-
учитывать тот факт, что все утверждения будут справедливы только для
достаточно малых областей.
В начальный момент аир задаются как известные функции х
(а < х < Ь). На кривых x = a(t) и x = b{t), соответствующих поло-
положению поршней, замыкающих трубку, мы требуем, чтобы скорость
потока была равна скорости поршня:
u(a(t), 0 = -^-.
') Тем самым мы, как и в § 3, п. 1, предполагаем, что поток изэнтро-
пический.
472 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
Характеристические скорости равны и-{-с и и — с, где с2 = dp/dp.
Рассматриваемая область имеет вид о(/)<; х <[ b{t), f^-Q. Здесь
снова г = 1 на обеих границах, т. е. на каждо i границе задано одно
условие.
В теории, построенной для линейного случая, число условий должно
было быть равным числу характеристик, входящих в область. Ана-
Аналогичное условие должно выполняться для нелинейного случая.
В нашем примере это условие действительно выполняется, как легко
видеть непосредственно.
? 7. Задача Коша для квазилинейных систем
Мы рассмотрим теперь строго квазилинейную систему
ut + A(x, t; и)их-+-В(х, t; и) = 0 A)
и вкратце укажем, как на основании результатов § 6 можно для
нее решить задачу Коши с помощью слегка измененного итера-
итерационного процесса. Результат получается точно такой же, как для
линейных или почти линейных систем. В частности, если коэффи-
коэффициенты А, В а начальные значения ф(х) имеют первые производные
по х, t, и, удовлетворяющие условию Липшица, то в некоторой
окрестности 0 ^ t ^ h отрезка 0 оси х существует единственное
решение, имеющее производные, удовлетворяющие условию Липшица,
если только система гиперболическая для заданных начальных значе-
значений и(х, 0) —ф(х); как и раньше, гиперболичность означает, что
существует k линейно независимых левых собственных векторов
(/', . .., /*). Мы можем предполагать, что они нормированы таким
образом, чтобы составленная из них матрица Л имела определитель,
равный 1. Характеристики С%, собственные значения т* и собствен-
собственные векторы зависят теперь от конкретных функций а. Мы будем
рассматривать функции v (не обязательно решения) с заданными
начальными значениями v(x, О) = ф(л;), причем первые производные
удовлетворяют условию Липшица, а сами функции подчиняются не-
неравенствам
Ы\<М, ||v||1<Af1
с фиксированными М и Мх. Мы предположим, что матрица
А(х, t, v) имеет k действительных собственных значений х*(х, t; v),
короче т(г»), и что существует матрица Л (г»), составленная из линейно
независимых собственных векторов /\ первые производные которых
по всем аргументам существуют!) и удовлетворяют условию Лип-
Липшица; все эти условия должны выполняться в фиксированной обла-
') Для случая различных собственных значений эти свойства собствен-
собственных элементов следуют из предположений относительно матрицы А.
§ 7. Задача Коши для квазилинейных систем 473
сти Оп, которую мы сейчас опишем, взяв за v любую „допустимую"
функцию, удовлетворяющую указанным выше условиям. Решения
обыкновенных дифференциальных уравнений dx/dt = т* называются
характеристиками О поля V. Наклоны характеристик для допусти-
допустимых функций равномерно ограничены: |т*| < а; мы определим теперь
замкнутую область Сив ней полоску Gh: область G состоит
из>таких точек, что проведенные через них ^-характеристики О
в направлении к прямой t = 0 остаются в области G и пересекают
часть g оси х. Множество или „пространство" всех функций v
снова обозначается через Sh. Собственные векторы / и собственные
значения, а также их первые производные зависят от переменных х,
t и v и удовлетворяют условию Липшица. Как и раньше, мы опре-
определим дифференциальные операторы вдоль характеристик в поле v
формулой D = d/dt -)- zd/dx.
Теперь мы введем естественный итерационный процесс. (Сравните
с гл. IV, § 7, где дана аналогичная схема для эллиптических урав-
уравнений, и с гл. VI, § 10, п. 5 — для гиперболических уравнений
с числом независимых переменных, большим чем два.)
Чтобы допустить достаточную свободу выбора функций v, мы
можем положить М = N -f- 1, считая, что ||<]>(jc)|| < N. Тогда, под-
подставляя в А и В допустимую функцию v(x, t), мы получим из урав-
уравнения A) линейное уравнение, так же как это было в § 6. Найдем
решение и задачи Коши с заданными начальными значениями и(х, 0) =
= ty(x) и положим u = Tv. Тогда мы получим решение уравнения A)
как неподвижный элемент преобразования Г; в частности, его можно
получить как предел при я->оэ равномерно сходящейся последо-
последовательности Тип — ип+1, с ио = ф(х), где Т—Тп зависит от п.
Решение строится следующим образом (см. Курант [1]). Сна-
Сначала мы так же, как и в § 6, получаем преобразование u — Tv,
вводя новые функции с помощью равенств U = Au, V — Av, Ф = Лф
и т. д. Затем в основных формулах E) и F), § 6 мы должны только
заметить, что при дифференцировании по х надо учитывать зависи-
зависимость I, ... от v, т. е. мы должны считать, что (d/dx)l — lx-{-
-\-lvvx, ... вводя, таким образом, производные от v. Это непосред-
непосредственным образом приводит к следующей лемме: для M=-N-\- 1 мы
можем выбрать достаточно большое Ж, и достаточно малое h так,
что любая функция v из Sh переходит в функцию w=Tv также
из Sk.
Кроме того, последовательные приближения ип равномерно схо-
сходятся в области Gh к некоторой предельной функции и. Эта функ-
функция определяется однозначно и, очевидно, удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению, записанному в характеристической форме
/Da + /S = 0. To, что преобразование является сжимающим, а также
единственность функции и устанавливается, как и в § 6, с помощью
оценки разности z = u — и* двух допустимых функций u — Tv и
474 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
и* = 7У, где С = г' — v*\ для z справедливо дифференциальное
уравнение
zt + A (v) zx + (A (v) - A (v*)) z*x + В (v) — В (v) = 0.
Применяя теорему о конечных приращениях и ссылаясь на фор-
формулу D) из § 6, мы [получаем
где К — ограниченная функция от х, t, и, как в § 6, устанавливаем
неравенство вида
При достаточно малых h мы можем добиться того, чтобы было
|| z ||-^ у || С ||. и следовательно, чтобы преобразование Т было сжи-
сжимающим, поэтому функции ип в области ОЛ равномерно сходятся
к некоторой функции и.
Чтобы показать, что функция и имеет производные, удовлетво-
удовлетворяющие условию Липшица, и является решением уравнения A)
в строгом смысле, мы сошлемся на замечания в конце § 6. Из фор-
формулы E), § 6 можно установить, что преобразование Tv сохраняет
условие Липшица для производных. Поэтому первые производные
последовательных приближений ип равностепенно непрерывны, обра-
образуют компактное множество и предельная функция имеет, как и
утверждалось, производные, удовлетворяющие условию Липшица.
Приведем несколько иное рассуждение, которое также можно
было использовать. Сначала мы аппроксимируем функции А, В и <]>
соответствующим образом подобранными функциями с непрерывными
и ограниченными вторыми производными. Тогда соответствующие
решения ип будут иметь равномерно ограниченные вторые производ-
производные. Максимум модуля вторых производных после предельного пере-
перехода станет просто константой Липшица для первых производных
функции и. Во всяком случае, для нелинейных систем получается
такой же результат, как и для линейных.
Между прочим, нетрудно заменить предположение о выполнении
условия Липшица предположением о том, что имеется любой заданный
(вогнутый) модуль непрерывности (А. Дуглис [1]).
§ 5. Задача Коша для одного гиперболического
дифференциального уравнения высшего порядка
Одно дифференциальное уравнение высшего порядка заслуживает
отдельного рассмотрения, так как оно имеет ряд черт, отличающих
его от систем первого порядка.
§ 8. Задача Коши для одного уравнения высшего порядка 475
Линейное дифференциальное уравнение порядка k относительно
одной функции и (х, t) записывалось уже раньше в символической
форме
1+ ... +рО)в + / = 0. A)
где
ih-'!^r+¦••+¦¦.? Aа)
(х=0, 1 К)
— однородный многочлен степени ж относительно производных d/dt,
д/дх с коэффициентами а%., зависящими от х и t.
Задача Коши с начальной линией t = О состоит в том, чтобы
найти решение и уравнения A), если на прямой t = Q заданы зна-
значения и и его частных производных ut, utt, ..., и k_l. Без суще-
существенного ограничения общности мы предположим, что данные Коши
равнььнулю, так что функция и и ее производные до порядка k — 1
включительно тождественно равны нулю при t = 0.
Мы предположим, что в рассматриваелтй области t ^> 0 уравне-
уравнение A) гиперболично х) в том смысле, что в каждой точке суще-
существует k различных характеристических направлений (см. § 2) с раз-
различными характеристическими дифференциальными операторами
Как и в § 1, коэффициенты х. — — у\Ы1х соответствуют семействам
характеристик ев' (t, x) = const, которые удовлетворяют характери-
характеристическому уравнению
Мы предположим, что линии t = const не являются характеристи-
характеристиками, т. е. что (fx ф 0 и а* Ф 0. Разделив характеристическое урав-
уравнение на #*, мы можем заменить #* на 1, а характеристическое
Уравнение на уравнение
Я* (т. —1) = 0.
') Для постоянных коэффициентов более широкое определение гипербо-
гиперболичности было дано Гордингом [2]; оно включает некоторые уравнения
с действительными кратными характеристиками. Некоторые из методов этого
параграфа применимы и к таким уравнениям. Заметим, что столь общие
определения позволяют получить эффективные критерии корректности
постановки задачи Коши. [Определение гиперболичности для общих нели-
нелинейных систем уравнений с любым числом независимых переменных впервые
было дано И. Г. Петровским в работе [5]. —Прим. ред.\
476 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
В этом параграфе мы укажем несколько методов решения задачи
Коши для уравнения A) в гиперболическом случае. Мы рассмотрим
даже более общий случай, когда задача Коши разрешима, хотя урав-
уравнение может иметь кратные характеристики.
1. Сведение к характеристической системе первого порядка.
Задачу Коши для уравнения A) можно свести к задаче Коши для
линейной системы первого порядка в диагональной форме.
Сначала мы произведем это сведение, вводя в качестве новых
неизвестных функций производные функции и (как мы делали и
раньше). Система первого порядка, которая получается в результате,
будет иметь те же k различных характеристик, что и уравнение A),
и, кроме того, линии х = const будут тривиальными кратными ха-
характеристиками. Эту систему можно привести к диагональной нор-
нормальной форме, рассмотренной в § 6, п. 2. В пункте 3 мы рас-
рассмотрим более изящные и общие способы приведения к диагональной
нормальной форме.
Мы будем писать а{ вместо а\ и положим о0=1; уравнение A)
можно заменить системой дифференциальных уравнений с -?? k{k— 1)
неизвестными функциями
-О;
Эти функции отождествляются с производными д +'ujdt дх . Основ-
Основное уравнение имеет вид
= 0. B)
Здесь все k-e производные, которые были в уравнении Aа), кроме
k-x производных по t, заменены производными по х от величин pl> i
для /-)-/=&—1. Величина Н есть линейное выражение относи-
относительно р1'', /-}-/< k—1, и не содержит производных. К уравне-
уравнению B) добавляются еще уравнения
pi,j — pi + hj —о для i-f/ = 0, 1 k — 2, B')
Plt>4—Px+l'4~'l=Q Для i-\-j = k— 1, 1фк— 1. B")
В качестве начальных данных мы берем те, которые уже даны или
получаются из исходных данных Коши, т. е. при t = 0 мы полагаем
функции plt° равными д1и(х, t)/dtl, г = 0 k—1. Тогда из
уравнений B') и B") следует, что начальные данные для /?'¦ 1 равны
нулю и, кроме того, что всюду р''=д+1(р' )/dt'дх}; /-(-/<&.
Теперь мы обозначим через U (x, t) вектор-столбец с компонен-
компонентами p'-J, упорядоченными в порядке убывания i-j-J и возраста-
§ 8. Задача Коши для одного уравнения высшего порядка
477
ния
мет
где
j, как
вид
матрица
в
А
формулах B),
Ь
такова:
аг
— 1
0
0
0
't+AL
а2 ..
0 ..
— 1 ..
0 ..
0 ..
B') и
'х+т
¦ ak-
. 0
. 0
J
0
(Г).
ak
0
0
0
0
Тогда
= 0,
0 ...
0 ...
0 ...
0 ...
0 ...
наша система
0
0
0
0
0
при-
B"')
легко найти вид характеристического уравнения Ц/т-f-Л[| = 0,
а именно:
где N — ^jk(k—1). Множитель xN соответствует тривиальным крат-
кратным характеристикам х = const нашей системы.
Таким образом, система B"') принадлежит классу, рассмотрен-
рассмотренному в § 6, п. 2.
Следовательно, задача Коши с указанными выше данными имеет
единственное решение, которое одновременно является решением
исходной задачи для уравнения A).
2. Представление оператора L [и] через характеристики. Бо-
Более общий метод решения задачи Коши для гиперболического урав-
уравнения A) основан на представлении оператора L[u] через производ-
производные по направлению характеристик.
Предварительно мы рассмотрим г производных по направлениям,
не обязательно характеристическим, но различным:
Di — -TT -f-хДх, О-з— (i=l, 2 г),
где Т; Ф Xj для I Ф j. Функции тг (х, t) предполагаются достаточно
гладкими. Тогда легко устанавливаются следующие леммы:
Лемма А.
Лемма Б.
— DJDi = a(x, t)
дх'
где коэффициент а определяется формулой
дг.
Л
dt
478 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
(Если величины xt, т;- постоянны, то а обращается в нуль и
операторы Dt, Dj коммутируют.)
Лемма Б'. Перестановка операторов Dt в произведении k
различных операторов дифференцирования по направлению
оставляет это произведение неизменным с точностью до сла-
слагаемого, которое представляет собой линейный дифферен-
дифференциальный оператор порядка меньше k. (В случае постоянных
коэффициентов этот дополнительный оператор равен нулю.)
По индукции отсюда можно легко получить следующую лемму.
Лемма В. Любой линейный дифференциальный оператор Nr
порядка г < k можно представить как сумму вида
2 lv C)
где Ur' l есть произведение г из г -\- 1 операторов Dv .... Dr+l:
Ur'' = DT+l ... Di+V Dl_l . .. Dp т. е. из произведения D1 . . . DT+l
исключается i-й сомножитель, например (/'r+1 = Dr .. . Dv
или
UT'l = Dr+lDr ...D2.
Дополнительный член /Vr-1 является оператором порядка не
большего, чем г — 1.
Применяя лемму В к оператору Л^г-1 и повторяя этот процесс,
мы получаем следующую лемму.
Лемма В'. Любой оператор порядка г может быть записан
в виде
Nr = ^aSiUs'1 (/<s+l, s<r). D)
Лемма В доказывается просто по индукции. Мы имеем
Отсюда следует лемма В для s = r=l. Предположим, что лемма В
справедлива для г = s ^ k — 1, и покажем, что производные д (Nr)/dx
и d(Nr)/dt имеют вид D). Рассмотрим член IIs'1. Оба дифферен-
дифференциальных оператора д/дх и djdt имеют вид pDl-\-qDs+2. Согласно
леммам Б и Б', мы получаем, что /?D;{/S'' — p(Jsil's;+2-J-Ns и
qDs+2Us>t = q(Js+l' . Если мы применим это рассуждение ко всем
членам оператора Ns, то лемма В будет доказана по индукции.
Процесс оканчивается при s = k—1, если рассматривается
всего k производных Dt. Если заданы k различных производ-
производных Dt, то, вообще говоря, линейный дифференциальный опе-
оператор порядка г = k нельзя выразить в виде C). Мы можем не-
§ 8. Задача Коши для одного уравнения высшего порядка 479
посредственно убедиться, используя, например, результаты п. 1, что
если Dx Dk — операторы дифференцирования по направлению
характеристик гиперболического оператора L[u], то из разложения
характеристического полинома Рч на линейные множители получается
основная формула разложения
L[a\ = Ma+Nk_xu, E)
где
= DkDk__l...Dla, F)
а Nk_x — оператор порядка не выше k—\. Поэтому, учитывая те
члены Nk_v которые не содержат производных функции к, мы
можем в силу леммы В' записать дифференциальное уравнение A)
в нормальной форме:
_lu= Ми-А- 2 asUs'lu-^-au = — /(*, t). G)
3. Решение задачи Коши. Задачу Коши для уравнения A) с на-
начальными условиями а = 0, IIs' а = 0 при ^ —0 можно теперь сразу
решить, приведя уравнение к диагональной нормальной форме.
Слегка изменяя обозначения, положим и = U и заменим U^'lu просто
символом IIs'1. Величины ?/u, Us' рассматриваются как неизвестные
функции, образующие вектор U с k(k-{-l)/2 компонентами.
Обозначая через l(U) линейное выражение относительно компо-
компонент вектора U, мы, согласно п. 2 и равенству D), легко полу-
получим, что
DJJs>i = ls,i(U) (s<k— I, /<s+l) (8)
и
*ll * f, (9)
где lk-\,i(U) снова есть линейное выражение относительно компо-
компонент вектора U.
Система (8), (9) является как раз системой в характеристической
диагональной форме, которая решалась в § 6.
Таким образом, задача Коши решается с помощью приведения
уравнения к характеристической нормальной форме.
Данное выше решение можно сразу распространить на случай
кратных характеристик при выполнении некоторого естественного
условия.
Чтобы оправдать это условие, мы заметим, что для оператора L[u]
возможно приведение к виду E) также и в случае, когда некоторые
из характеристических направлений совпадают. Но тогда может ока-
оказаться невозможным представление G), ибо оно может не пройти
для члена Nft_,. Например, для А = 4, если DX = D2, D3 = D4>
оператор L [«] ~ DiD3D2D1 -f-D4D3D3 имеет вид E), но не вид G).
480 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
Но мы можем представить себе, что кратные характеристика полу-
получаются при непрерывном изменении некоторых параметров, в резуль-
результате чего некоторые из первоначально различных производных Dt
совпадают. Выражение Л/й_] принимает вид, указанный в фор-
формуле G), только некоторые из множителей Dt совпадают. Теперь мы
сформулируем это наводящее соображение „как условие А". Опера-
Оператор L[u] можно привести к виду G), причем ни один из членов не
должен содержать более высоких степеней Dt, чем главный член М.
При выполнении этого условия приведение уравнения A) к нор-
нормальной диагональной форме остается буквально без изменений.
Следовательно, условие А обеспечивает единственность решения и
корректность постановки задачи Коши и в случае кратных характе-
характеристик !).
4. Другие варианты решения. Теорема П. Унгара. В преды-
предыдущем пункте нам удалось избежать появления дополнительных ха-
характеристик, но мы ввели много новых неизвестных, отчего харак-
характеристики приобрели высокую кратность.
а) Сводя одно уравнение к диагональной системе, мы можем,
(см. Унгар [1]), избежать введения как посторонних характеристик,
так и лишних уравнений, если будем пользоваться следующей заме-
замечательной теоремой.
Теорема Унгара. Если L—оператор порядка k, удовлетво-
удовлетворяющий условию А, то задачу Коши для уравнения L[u]—f
можно свести к задаче Коши для диагональной системы, со-
состоящей ровно из k уравнений первого порядка.
Запишем формулу E), изменив порядок сомножителей:
здесь совпадающие Dj перенумерованы подряд. Существует последо-
последовательность операторов
Rk_
k_2,
') В связи с содержанием предыдущего и следующего пунктов мы со-
сошлемся на работу Э. Леви [3]. Эти результаты были независимо получены
А. Лаке [1]. В этой работе для уравнений с постоянными коэффициентами
показано, что в случае кратных характеристик условие А не только доста-
достаточно, но и необходимо для того, чтобы задача Коши была корректно
поставлена. Для уравнений с п переменными и с постоянными коэффициен-
коэффициентами Гординг [2] указал необходимое и достаточное условие, связанное
с поведением корней полинома, соответствующего оператору.
§ 8. Задача Коши для одного уравнения высшего порядка 481
где /?,= 2 а1^г Вводя новые переменные ио = и, ui=^Llu G=1,
1 — 0
2 k—1), мы получим диагональную систему уравнений
V-1
«^DA-i+Se;-1»/ (v-l, 2 k—l), A0)
( = 0
/ = 0***-i+2«?-4
1=0
Как и раньше, условия Коши, заданные для функции и, индуцируют
соответствующие начальные значения для функций ut. В частности,
они равны нулю, если данные Коши для и нулевые.
б) Непосредственно обобщая решение уравнения их= — аих —
— buy-\-f, данное в § 6, п. 1, мы получим другой вариант реше-
решения. Мы приведем его краткое описание.
Снова запишем дифференциальное уравнение L[u] = f в виде
или
Ми= — Nu— f.
Уравнение
Mu = — Nv — f A1)
вместе с начальными условиями определяет преобразование
и — Tv.
Нам надо показать, что последовательные приближения
v" = Tv'1'1
сходятся; в частности, мы покажем, что
\\Tvn— Tvn-l\\^.~\\vn — v"-l\\,
где || да || —некоторая подходящая норма. Удобно пользоваться нормой
||ад|| = max |Ж<ш|,
так как в достаточно узкой полоске 0 ^ t ^ h для функции w
с начальными данными, равными нулю, легко получить оценку
max |yVw|<-5" max \Mw\ A2)
с помощью повторного интегрирования вдоль характеристик и при-
применения лемм А и Б п. 2.
Таким образом устанавливается, что преобразование Т сжимаю-
сжимающее, и в достаточно узкой области, примыкающей к начальной
482 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
кривой, итерации v! равномерно сходятся к некоторой функции и,
для которой
и = Ти,
т. е.
Mu-\-Nu = — f.
Нетрудно показать, что функция и не только имеет все нужные
производные по направлениям, но также удовлетворяет начальным
условиям и, таким образом, является решением нашей задачи Коши.
б. Замечания, Как и в случае гиперболических систем, получен-
полученные выше решения задачи Коши не только единственны, но и непре-
непрерывно зависят от начальных данных. Задача Коши „корректно поста-
поставлена" в смысле гл. III, § 6. Этот факт лежит в основе построения
наших решений.
Нарушение условия А может привести к тому, что решение за-
задачи Коши не будет непрерывно зависеть от начальных данных.
В гл. III, § 5, п. 3, стр. 220 было показано, что задача Коши
для параболического уравнения
с начальными условиями при t — 0 поставлена некорректно, так как
решение такой задачи Коши не будет непрерывно зависеть от на-
начальных данных. Очевидно, что уравнение ии — их = 0 имеет вид G),
однако для него не выполнено условие А.
§ 9. Разрывы решений. Ударные волны
Явления, связанные с распространением волн, описываются реше-
решениями гиперболических уравнений с заданными начальными и гранич-
граничными условиями. Если эти данные разрывны (как, например, в случае
волны, возникающей под действием импульса), то решение также будет
разрывным.
Нашей целью является уточнение понятия „разрывного решения".
Например, функция и = /{X-\-1)-f-g(х— t) является классическим
решением волнового уравнения ан — ихх = 0, если функции / и g
дважды дифференцируемы. Если же / и g не дифференцируемы, то их
можно рассматривать как некоторое „решение в обобщенном смысле".
Мы приведем теперь точную формулировку этих понятий.
1. Обобщенные решения. Слабые решения1). Пусть, как и в § 3,
?[и] = 0— линейная система:
L [и] == Аих + ?«, + Си = 0
') Несколько другой и более обстоятельный подход см. в гл, VI, § 4,
и в приложении.
§ 9. Разрывы решений. Ударные волны 483
относительно неизвестного вектора и1, а2 и*. Мы определим
оператор L*, сопряженный к L, с помощью выражения CL[«] — uL* [(.],
которое должно иметь вид дивергенции, т. е.
так что
U[u}~ uL*m = ((,Au)x-\-(CBu)t. A)
В области G, в которой рассматривается и, мы теперь введем „проб-
„пробные функции" С, тождественно равные нулю вне некоторой под-
подобласти R области G:).
Интегрируя равенства A) по R, мы получим, в силу теоремы
Гаусса,
J J(C?[m] — uL*&])dxdt = 0. B)
R
Если L[a] = 0, то
J J uL* [С] <** dt = 0. C)
Обратно, если соотношение C) выполняется для некоторой функ-
функции и, обладающей непрерывными производными, и для всех допу-
допустимых пробных функций С во всех подобластях R области G, то
из равенства B) следует, что
J J(.L [и] dx dt = 0. D)
R
Отсюда, в силу основной леммы вариационного исчисления (см. т. I,
гл. IV, § 3, п. 1), мы делаем вывод, что L[u] = 0.
Теперь мы дадим некоторое обобщение понятия решения, которое
заключается в том, что вектор-функция и ее производные могут быть
кусочно-непрерывными, т. е. они могут иметь разрывы первого рода
вдоль кусочно-гладких кривых С Такая функция и называется сла-
слабым решением уравнения L[u] — 0 в области О, если
J
для всех допустимых пробных функций С и всех подобластей R
области О2).
') Такие функции иногда называются финитными или функциями с ком-
компактным носителем; область, где функция не равна нулю, называется ее
носителем.
2) Конечно, можно обобщить это понятие, оставив только требование
интегрируемости и, но это не принесло бы нам большой пользы.
484 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
Предполагая, что разрывное решение и уравнения L[u]=0 регу-
регулярно во всех областях, не содержащих С, мы покажем, что линии
разрывов С обязательно должны быть характеристиками. Предполо-
Предположим, что кривая С разделяет область R на две части Rl и ^2.
Произведем в равенстве B) интегрирование по частям отдельно
в областях /?] и /?2. Так как в каждой из этих областей L[u] — О
и так как С = 0 на границе области R, мы получим (обозначая
через [и] скачок функции и на кривой С)
Здесь <fx и ср, — направляющие косинусы нормали к кривой С,
a ds — элемент длины дуги на кривой С. Но функция С произ-
произвольна на С, и, следовательно, в силу основной леммы вариацион-
вариационного исчисления, мы получаем, что
(<рИ + <Р/Я)[«] = 0. E)
В предположении, что скачок [и] отличен от нуля, из этого линей-
линейного однородного уравнения следует, что матрица ср^Л-f-срE особая,
т. е. (см. § 2) что С — характеристическая кривая. В качестве при-
примера читатель может легко проверить, что функция и = / (х -\-1) -\-
-\-g(x — t) является слабым решением волнового уравнения даже и
тогда, когда функции fug разрывны.
Аналогичное определение слабых решений можно дать для урав-
уравнений высших порядков.
Можно ввести и такие обобщенные решения и, которые обра-
обращаются в бесконечность вдоль характеристик. Возьмем, например,
слабое решение и, определенное как производная u=vt функции v,
которая может иметь скачки, и потребуем, чтобы равенство
J f v -^ L* [C] dx dt = (
выполнялось для всех гладких пробных функций С. Как и раньше,
мы видим, что разрывы функции v возможны только на характери-
характеристиках и что скачок [v] удовлетворяет тому же соотношению, что
и [и] в предыдущем случае, т. е. что
2. Разрывы в квазилинейных системах, выражающих законы
сохранения. Ударные волны. Аналогичная теория разрывных реше-
решений, имеющая большое значение в динамике сжимаемой жидкости,
может быть построена для квазилинейных систем, если только они
§ 9. Разрывы решений. Ударные волны 485
являются дивергентными уравнениями, или „законами сохранения" *),
т. е.
L[u] = pt(x, t. «) + ?,(*. t. «) + я(лг, t, и) = 0. F)
где р, q, n — дважды непрерывно дифференцируемые вектор-функции
от аргументов х, t в области О и от а в некоторой заданной
области2). В частности, в таком виде могут быть представлены диф-
дифференциальные уравнения, возникающие в связи с принципом Га-
Гамильтона.
Чтобы определить слабые решения для систем законов сохране-
сохранения, мы снова рассмотрим произвольные гладкие пробные функции С
в области RczO, равные нулю вне R. Умножим уравнение F) на С,
проинтегрируем по R и получим
J f
R '
Для гладких а теорема Гаусса дает
t = 0. G)
f f
Обратно, если формула G) справедлива для некоторой функции к,
имеющей непрерывные первые производные, и для всех допустимых
пробных функций С, то, применяя еще раз теорему Гаусса, мы по-
получим
\t — Q. (8)
Как и раньше, отсюда мы делаем вывод, что L[u] — 0. Мы назовем
функцию а слабым решением, если она кусочно-непрерывна и имеет
кусочно-непрерывные первые производные и если соотношение G)
выполняется для всех допустимых пробных функций С и для всех
подобластей R области G.
Мы снова получим соотношение на скачке для разрывного слабого
решения и. Пусть С — линия'разрыва, разделяющая R на две области.
Применяя теорему Гаусса отдельно к каждой из этих областей и
принимая во внимание, что С = 0 вне R и L[u] = 0 вне С, мы
получим
') См. замечание V в конце этого пункта, которое показывает, что такие
законы сохранения не определяются однозначно одним только дифферен-
дифференциальным уравнением, а нуждаются в дополнительном физическом обосно-
обосновании.
2) Линейные системы всегда можно записать в таком виде.
485 Гл. V. Гиперболические уравнения с двумя переменными
и, следевательно, соотношение на разрыве вдоль линии С будет
иметь вид
M = 0. (9)
Здесь <pt, <px снова обозначают направляющие косинусы нормали к С,
а [р], [q] — скачки функций pug при переходе через линию С.
Между этим случаем и линейным имеется много существенных
различий').
(I) Соотношения для скачков и для наклона линии С не разде-
разделены, а вза1мно связаны. Линии разрывов С, или „ударные волны",
уже не являются характеристиками.
(II) В линейном случае разрывные решения могут быть получены
как пределы гладких решений, поэтому слабые решения можно опре-
определить и таким образом. Но для нелинейных законов сохранения
слабые решения уже не могут быть получены как пределы гладких
решений.
(III) Условие E) на скачке в линейном случае достаточно для
того, чтобы определить единственное разрывное решение для задан-
заданных разрывных начальных (или смешанных начальных и граничных)
условий. В нелинейном случае условия (9) на разрыве должны быть
дополнены, например, так называемым условием неубывания „энтро-
„энтропии", для того чтобы они определяли единственное решение соот-
соответствующей задачи.
(IV) Решения линейных уравнений разрывны только тогда, когда
начальные данные разрывны. Наоборот, решения нелинейных уравне-
уравнений, принимающие гладкие (даже аналитические) начальные значения,
могут становиться разрывными с течением времени.
(V) Различные системы законов сохранения могут быть эквива-
эквивалентными как дифференциальные уравнения, т. е. гладкие решения
одной системы являются также гладкими решениями другой. Но раз-
разрывное решение одной системы не обязано быть (и, вообще говоря,
не будет) решением другой системы. Поразительным примером является
система, состоящая из законов сохранения массы, количества движе-
движения и энергии, с одной стороны, и из законов сохранения массы,
количества движения и энтропии, с другой стороны.
Разрывные решения в связи с изучением сжимаемой жидкости рас-
рассматривали Риман, Гюгонио, Рэнкин и другие. См. работы Р. Ку-
Куранта и Фридрихса [1], Олейник [4] и Гельфанда [1]. Общую
теорию разрывов решений систем законов сохранения разработал
П. Лаке [2].
') Эти различия легко проследить на примере одного квазилинейного
уравнения. См. приложение 2 к гд. II. — Прим. ред.
§ 1. Дополнительные замечания 487
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 К ГЛАВЕ V
ПРИМЕНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК В КАЧЕСТВЕ КООРДИНАТ
§ I. Дополнительные замечания относительно общих
неланейных уравнений второго порядка
Задача Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с по-
помощью некоторого общего метода была сведена к соответствующей
задаче Коши для квазилинейных систем первого порядка. Для случая
уравнений второго порядка интересен более прямой подход1) к этой
задаче, состоящий в том, что вводится характеристическая система
координат а, C и получается система уравнений для величин х, у,
и, р, q, r, s, t, рассматриваемых как функции этих характеристи-
характеристических параметров (см. также § 2, п. 3).
1. Квазилинейное дифференциальное уравнение. Сначала рас}
смотрим квазилинейное уравнение
:O, A)
где а, Ь, с, d — заданные функции величин х, у, и, р = их, q = uy,
обладающие непрерывными вторыми производными в рассматриваемой
области пространства х, у, и, р, q.
Семейство кривых <р(х, у) = const является характеристическим
(см. § 1, п. 1 и 2), если
аср2+*Р,<Р, + *Р2у = 0; B)
мы требуем, чтобы выполнялось неравенство
Ь2— 4ас>0,
т. е. чтобы уравнение A) было гиперболическим в рассматриваемой
части пространства х, у, и, р, q. Без ограничения общности мы
можем предполагать, что а Ф 0, b ф 0, т. е. что линии х — const,
у — const не являются характеристиками.
Как и в § 2, п. 3, два семейства характеристических кривых для
решения а (х, у) задаются уравнениями <р = а(лг, у) = const и
ср = р (х, у) — const, и дифференцирование по направлению характе-
характеристической кривой С по параметру на. этой кривой будет обозна-
обозначаться точкой. Применяя сокращенные обозначения
') Подробности см. в работе Г. Леви [7] и в книге Адамара [2]. Дан-
Данное Гансом Леви решение задачи Коши для нелинейного уравнения второго
порядка было основным этапом в теории, которая рассматривается в настоя-
настоящей главе. Случай второго порядка выделяется в силу того, что два харак-
характеристических параметра можно ввести в качестве независимых переменных,
488
Приложение I к гл. V
мы запишем теперь уравнение A) и условия полосы на характери-
характеристике С в виде
ar -\-bs -\- ct -f- d = О,
xr + ys — p = 0, C)
xs-\-yt — q =0.
С одной стороны, величины г, s, t нельзя однозначно определить из
уравнений C), так как кривая С характеристическая; с другой сто-
рэны, уравнения C) должны быть совместными, если мы хотим, чтобы
решение и {х, у) существовало. Поэтому матрица
a b с d
х у 0 —р
0 х у — q
не может иметь ранг, больший чем 2. Это позволяет снова полу-
получить характеристическое соотношение
a b
B')
х у 0
0 х у
= ау2 — bxy -f- сх2 = 0
и
х 0 — р
0 V —Q
= dxy~\- ayp-\-cxq = 0.
D)
Так как Ь2 — Аас > 0, афО, сфО, мы можем записать усло-
условие B') в виде
где tl(x, у, и, р, q), х2(х, у, и, р, q) — две различные действитель-
действительные функции, и два семейства характеристик определяются диффе-
дифференциальными уравнениями
Чтобы величины а и {3 можно было взять в качестве координат,
якобиан
§ 1. Дополнительные замечания 489
должен быть отличен от нуля, т. е. должно быть х\-\- х\ ф 0; это
можно предполагать без ограничения общности.
Теперь мы можем написать систему шести дифференциальных
уравнений для пяти величин х, у, и, р, q:
(а) тЧ —У. =0,
(б) -А*,, —ур =0,
00
fa . ia E)
(г) й#хь +а* ' Л К)
(д) — рхх — qya + u« =0,
(е) — рхр — qyp+u? = 0.
Первые два уравнения возникают из условия B'), следующие— из усло-
условия D), а последние два являются соотношениями полосы для и.
Одно из этих уравнений лишнее, оно является следствием осталь-
остальных пяти').
Таким образом, мы получили систему пяти уравнений для пяти
величин.
Эти уравнения образуют гиперболическую систему первого порядка
относительно характеристических переменных а, ф, которая имеет
вид, рассмотренный в § 7. Если для исходного уравнения начальные
значения и, иу заданы на некоторой кривой, которая нигде не имеет
характеристических направлений, то на этой кривой они сразу опре-
определяют начальные данные для х, у, и, р, q (они рассматриваются
теперь как функции переменных а, р).
') Действительно, чтобы получить уравнение E, е) как следствие остальных
уравнений, мы продифференцируем выражение
по а, а уравнение E, д) по р. Вычитая, получим
Мы выразим уа, ур через х«, Ха, с помощью уравнений E, а, б); затем вычи-
вычислим комбинацию последних двух членов с помощью уравнений E, в, г)-
Это дает
Но из характеристического соотношения B') мы имеем x't2 = —, следо-
следовательно,
Отсюда вытекает, что В = const на каждой кривой р = const. Так как пред-
предполагается, что в начальный момент данные задачи удовлетворяют нашей
системе, то В = 0 всюду.
490 Приложение 1 к гл. V
Существование и единственность решения уравнений E) дока-
доказаны в § 7. Кроме того, решение х, у, и, р, q задачи Коши для
уравнений E), принимающее начальные значения, определенные через
исходные данные Коши для уравнения A), дает решение и(х, у)
исходной задачи Коши для уравнения A), что можно показать сле-
следующим образом.
Прежде всего, так как якобиан хау^ — х^ух не обращается
в нуль, х vi у можно взять в качестве независимых переменных, и
функции и, р, q будут непрерывно дифференцируемы по х и у.
Чтобы доказать равенства их = р, uy = q, мы рассмотрим эквива-
эквивалентные им соотношения
Соотношение Л = 0 удовлетворяется в силу уравнения E, д); соот-
ношет.е 5 = 0, как мы видели выше, есть следствие уравнений
от E, а) до E, д) и того факта, что 5 = 0 на начальной кривой.
Hi к >нец, мы должны проверить, что величины и, р, q, ихх=г,
uxy — s, uyy = t, полученные из системы E), удовлетворяют урав-
уравнению A). Действительно, ввиду того, что
из системы E) следует соотношение
0 = d^xa + exi (rxa + sya) + с (sxa + /у.) =
Но так как t1^ =? 0 и так как из квадратного уравнения следует,
что ах1 —j— (с/х1) = Ь, мы имеем
что и требовалось доказать.
Таким образом, задача Коши для квазилинейного уравнения
решена и неявно доказана единственность решения.
Предположения, при которых доказано существование решения,
можно резюмировать следующим образом: начальная полоса нигде
не имеет характеристического направления и всюду гладкая, на ней
заданы величины и, р, q, обладающие непрерывными производными;
коэффициенты а, Ь, с, d имеют непрерывные производные до вто-
второго порядка. При этих условиях доказывается единственность и
существование решения; область зависимости для точки Р ограни-
ограничена двумя характеристиками, проходящими через Р, и заключенной
между ними дугой начальной кривой').
') Можно делать несколько более слабые предположения, как показано
Дуглисом [1] (см. также Хартман и Винтнер [1]).
§ 2. Исключительный характер уравнения Монжа — Ампера 491
Заметим также, что аналогично может быть поставлена и решена
характеристическая задача Коши.
2. Общее нелинейное уравнение. Метод, примененный в пре-
предыдущем пункте, почти дословно применяется к кваг и чинейным систе-
системам с одинаковой главной частью, т. е. к системам вида
a*]xx + buxy + cuyy + dl = ° С/=1. 2. .... /и). (Г)
где а, Ь, с, d-' —заданные функции от х, у, и1, р1, q'.
Общее нелинейное гиперболическое уравнение
F(x, у, и, р, q, r, s, t) = 0 F)
можно также свести к эквивалентной ему системе квазилинейных
уравнений с одинаковой главной частью; это делается с помощью диф-
дифференцирования уравнения F) по х и у.
Вообще говоря, получается эквивалентная каноническая система
первого порядка, причем независимыми переменными являются харак-
характеристические параметры; она состоит уже не из пяти, как прежде,
а из восьми уравнений для восьми величин х, у, и, р, q, r, s, t,
зависящих от а и р1). (Специальный случай уравнения Монжа —
Ампера будет рассматриваться в следующем пункте.)
Тот же метод, который применялся в п. 1, дает двенадцать урав-
уравнений для восьми величин х, у, и, р, q, r, s, t, и можно доказать
следующее, а) Четыре из этих двенадцати уравнений являются след-
следствиями остальных, и только восемь из них независимы, б) Если для
уравнения F) поставлена задача Коши, то м)жно определить началь-
начальные значения для этой системы из восьми уравнений первого порядка.
Решение х, у, и, р, q, r, s, t системы снова строится с помощью
последовательных приближений и дает решение
и(х, у) = и(а(х, у), Цх, у))
уравнения F). в) Решение и системы имеет непрерывные производные
вплоть до третьего порядка, если начальные значения для величин
х, у, и, р, q, r, s, t непрерывно дифференцируемы и если функ-
функция F имеет непрерывные производные по х, у, и, р, q, r, s, t
вплоть до третьего порядка.
ф 2. Исключительный характер уравнения Монжа—Ампера
Уравнение Монжа — Ампера
\ 2 + = 0, A)
') Подробности см. в работах Г. Леви [7] и Адамара [2].
492 Приложение 1 к гл. V
имеющее большое значение во многих областях, как, например,
в дифференциальной геометрии, — существенно нелинейное: оно квад-
квадратное относительно г, t, s. Но в противоположность общему нели-
нелинейному уравнению, которое сводится к системе восьми дифферен-
дифференциальных уравнений, задача Коши для уравнения A) сводится к задаче
Коши для системы только пяти квазилинейных уравнений первого
порядка, точно так же, как в случае квазилинейного уравнения
второго порядка. Этот факт влечет за собой интересные следствия;
например, класс начальных условий, допустимый для уравнения
Монжа — Ампера, шире, чем для общего нелинейного уравнения
(т. е. на начальные функции накладываются менее строгие условия
гладкости).
Рассмотрим уравнение A), где А, В, С, D, Е являются гладкими
функциями от х, у, и, р, д. Характеристическое соотношение (9)
из § 1 принимает вид
(А + Dt) у2 —(В — 2Ds) ух + (С + Dr) x2 = 0. B)
Мы можем предполагать, что A-{-Dt=f=0, С~\-пгф0. Уравне-
Уравнение B) имеет действительные различные корни х1, х2, если уравне-
уравнение A) гиперболическое, т. е. если дискриминант
Д2 = /-1 — 4FrFt = B2~ 4AC + 4ED>0. C)
Замечательно, что вторые производные г, s, t не входят в выра-
выражения для дискриминанта.
Кроме того, из уравнения A) и из вида дискриминанта Д2 выте-
вытекает следующее тождество
Q = D\Ar-\-Bs-\-Ct + D(rt —
или
A + Dt
Мы решаем уравнение B) относительно yjx и получаем корни
,_ В — 2?>s+A 2_ B—2Ds — b. .
х ~ 2 (A + Dt) ' Х ~ 2 (A + Dt) '
это позволяет получить уравнения
— -iE-2DS + A)xa = 0,
! E)
§ 2. Исключительный характер уравнения Монжа — Ампера 493
с характеристическими независимыми переменными аир, или
\ ^ ' E0
В силу соотношения полосы
q = sx-\-ty,
мы имеем
1
E")
Применяя тождество D), из уравнений E) мы получим два допол-
дополнительных уравнения
F)
или
\ F')
а с помощью соотношения полосы
p = rx-\-sy
мы получаем
F'0
Заметим, что система, состоящая из пяти уравнений E"). F'0 и соот-
соотношения полосы
ua~~pxa — gya = o, G)
эквивалентна исходному уравнению Монжа — Ампера A) в следующем
смысле. Если х, у, и, р, q есть решение этой системы с началь-
начальными данными, определенными через начальные данные для урав-
494 Приложение 1 к гл. V
нения A), и если якобиан д(х, у)/<?(сс, J3) не обращается в нуль, то
и(а(х, у), $(х, у)) = и(х, у)
является решением задачи Коши для уравнения A).
Чтобы установить этот факт, мы сначала определим три вели-
величины г, s, t из четырех условий полосы
Мы исключим г из первых двух уравнений, a t — из последних
двух и получим
_ Хъръ — хърл УъЧя — УоЯг
д (х, у) д jx, у)
д (а, Р) д (а, Р)
Соотношения типа Яа==Чхха~\~ЧуУа показывают, что уравнения (8)
совместны тогда и только тогда, когда qx — py. Ясно, что функ-
функции г, s, t, полученные из уравнений (8), удовлетворяют уравне-
уравнениям E') и F'), а, следовательно, также уравнениям E) и F). Из пер-
первых уравнений в системах E) и F) мы получаем тождество
D \Ar-\- Bs-\-Ct — D irt — s2)-+- E) =0,
или, так как D=?0 (иначе уравнение A) было бы квазилинейным),
Ar + Bs~{-Ct — Dirt— s2)-f ?' = 0.
Таким образом, решение системы дает нам решение уравнения A)
и можно непосредственно проверить, что оно имеет нужные началь-
начальные значения.
Достаточно потребовать, чтобы начальные данные для уравнения
Монжа — Ампера обладали следующими свойствами гладкости: функ-
функция и (л:, 0) должна быть дважды, а функция и (а:, 0) — один раз
дифференцируемой. Другими словами, требования имеют тот же
характер, что и в квазилинейном случае, но они и менее сильные,
чем в общем нелинейном случае.
Другое замечание также указывает на исключительный харак-
характер уравнения Монжа — Ампера. Оно касается задачи Коши: для
дифференциального уравнения, квадратного относительно вторых
§ 3. Переход от эллиптического случая к гиперболическому 495
производных,
K^b, (9)
где А К являются функциями от х, у, и, р, q, рассмотрим
задачу Коши на кривой х (^), у(^). задав значения и(Х), р(Ц, q(k)
таким образом, чтобы они удовлетворяли условию полосы
и — px-\-qy. Затем мы должны дополнить эту полосу первого
порядка до интегральной полосы второго порядка, вычисляя началь-
начальные значения для г, s, t из уравнения (9) и соотношений полосы
rx -j- sy = р, sx-\-ty — q.
В силу того что уравнение (9) квадратное, это дополнение, вообще
говоря, можно сделать двумя способами. Однако можно показать,
что из всех уравнений вида (9) только одно уравнение Монжа —
Ампера допускает однозначное дополнение любой начальной полосы
первого порядка до интегральной полосы.
Чтобы доказать это, мы положим в написанных выше соотно-
соотношениях полосы у/х = — аи получим
где точками обозначены величины, известные на полосе первого
порядка. Вводя эти выражения для г и s в уравнение (9), мы полу-
получим в качестве коэффициента при t2 выражение
Если это выражение обращается в нуль при всех значениях а, то
оно эквивалентно уравнениям
что и доказывает наше утверждение.
Этот результат для задачи Коши тем более замечателен, что для
краевой задачи в случае эллиптического уравнения Монжа—Ампера,
как было показано в гл. IV, § 5, п. 3, возможна неоднозначность
решения.
§ 3. Переход в комплексной области
от эллиптического случая к гиперболическому
Всюду в этой книге предполагалось, что переменные действи-
действительны; иногда комплексные переменные вводились чисто формаль-
формальным образом. Но в следующих двух параграфах мы коротко рас.
скажем о более существенном применении комплексных переменных(
496 Приложение 1 к гл. V
начало которому положил Г. Леви [6] и которое было развито далее
в работах Г. Леви, П. Гарабедяна1) и других.
Многие рассмотрения главы V остаются почти без изменений,
если функции / и коэффициенты а^ являются комплекснозначными
функциями действительных переменных х, у. Мы можем разбить
решение и = и^-\-1и2 на действительную и мнимую часть; таким об-
образом, вместо п уравнений с комплексными коэффициентами мы по-
получаем 2я действительных уравнений того же самого типа для
функций Mj и и2. Теория интегрирования, теоремы единственности и
доказанные ранее теоремы о непрерывности и дифференцируемости
решений как функций параметров остаются без изменения.
Кроме того, если левая часть действительного дифференциального
уравнения F(x, у, и, ...) = 0 является аналитической функцией всех
своих аргументов и если мы, кроме того, знаем, что решение и(х, у)
аналитически зависит от х и у, то мы можем аналитически продол-
продолжить дифференциальное уравнение и его решение в комплексную
область, считая, что х'= хх-f- tx2 и y = y1-\-iy2— комплексные
переменные. Если мы это сделаем, то исчезнет различие между ти-
типами уравнений и в принципе станет возможным переход от эллипти-
эллиптического к гиперболическому случаю.
Простейшим типичным примером является дифференциальное урав-
уравнение
bu = uxx~\-uyy = f(x, у, и, их, иу), A)
которое в действительной области эллиптическое. Мы предположим,
что правая часть этого уравнения является аналитической функцией
своих пяти аргументов. Если решение и аналитически зависит от л: и у,
то мы можем рассматривать и как функцию комплексных перемен-
переменных х — хх-\-1х2, У = У\~\-1Уч< или как комплексную функцию
четырех действительных переменных xv x2, yv y2. Тогда в дейст-
действительной области дифференциальное уравнение имеет вид
«м-, + «у.у, = / (*, у, и, и,,, иу,). B)
Но так как на комплексной плоскости мы можем дифференцировать
как по 1у2, так и по yv то комплексная аналитическая функция и,
рассматриваемая как функция четырех переменных xv x2, yv y2,
удовлетворяет также уравнению
их,х, — Ну„у2 = /(-*:. У, и, и,,, — /иУ2), C)
которое, имеет гиперболический характер. Обоснование такого пере-
перехода связано с предполагавшейся до сих пор аналитической природой
решения и, т. е. с тем фактом, что производная функции в ком-
комплексной области не зависит от направления дифференцирования.
') См. Гарабедяя и Либерштейн [1].
§ 4. Аналитичность решений в эллиптическом случае 497
Теперь мы можем обратить наше рассуждение, т. е. исходить из
действительного решения первоначального уравнения и пытаться про-
продолжить это решение в комплексную область так, чтобы это продолже-
продолжение удовлетворяло гиперболическому уравнению C) или соответствую-
соответствующим системам, а затем доказать аналитичность таким образом по-
полученной комплекснозначной функции. Эта основная идея впервые
была применена Г. Леви [6] в его методе доказательства аналитич-
аналитичности решений эллиптических дифференциальных уравнений.
§ 4. Аналитичность решений в эллиптическом случае
1. Замечание из теории функций. Комплекснозначная функ-
функция w(xv x2, yv y2) = wx~\-iw2, обладающая непрерывными част-
частными производными первого порядка, называется аналитической функ-
функцией двух комплексных переменных х — хх-\-1х2, у = yl-{- iy2
в области В четырехмерного пространства xv x2, yv y2, если там
выполняются уравнения Коши — Римана
Vw = wXl ~\- iwx% ~ 0, Лда = wVl -f- iWy2 = 0. A)
Можко дать следующее эквивалентное определение: функция w ана-
литична в окрестности точки х = 0, у = 0, если существует такое
положительное число М, что функция w может быть разложена
в степенной ряд
со
V, A = 0
для |jc|^Af, lyl^C7^1)'. она называется аналитической в области В,
если она аналитична в окрестности каждой точки из В.
2. Аналитичность решения уравнения \u=f(x, у, и, р, q).
Мы предположим, что в дифференциальном уравнении
Ди = /О, у, и, р, q) C)
функция / — (действительная) аналитическая функция своих пяти
аргументов и что и(х, у) — заданное дважды непрерывно дифферен-
') Это условие можно получить, например, из определения Коши — Ри-
Римана с помощью последовательного применения интегрального представле-
представления Коши для функций комплексного переменного: пусть соотношения
Коши —Римана A) выполняются в области В, определенной неравенствами
ЬА
| х | < М, | у | < М. Для любой пары чисел ?ь ?2, таких, что [ ё | < -~-, ок-
М
ружность Кх:\ х — 11 = -j- целиком содержится в В; в этой области содер-
содержатся также все такие точки х, что | х — ё | ^ —~-. Следовательно, если
498 Приложение 1 к гл. V
цируемое решение этого уравнения в некоторой (действительной)
окрестности точки х = 0, у = 0. Предполагается, что / аналитична
в этой окрестности и в некоторой области значений а, р, q, опре-
определяемых рассматриваемым решением. Мы утверждаем, что рас-
рассматриваемое решение и не только дважды непрерывно дифферен-
дифференцируемо, но и аналитично.
Мы докажем это с помощью продолжения в комплексную
область, непрерывно продолжая и до комплекснозначной дважды
непрерывно дифференцируемой функции аргументов xv х2, Ух, У2<
удовлетворяющей уравнению (II). Вводя комплексные переменные
х = X]-f-/х9, У — У\-\-i-Vv мы постараемся построить функцию
и (лГ], х2, yv y2) — ниже будет доказано, что она аналитична по
х и у, — которая при х2 = у2 = О сводится к заданной функции
и(х, у) = и(х1, ух).
Продолжение осуществляется постепенно; сначала для фиксиро-
фиксированного хх мы продолжим исходную функцию u(xv у,) до ком-
комплекснозначной функции u(xv x2, уг), а затем эту функцию про-
продолжим до комплексной функции u(xv x2, yv y2). Функцию / мы
продолжим как аналитическую функцию своих аргументов; тогда она
мы пока будем считать уи у2 параметрами, то функция w внутри Кх будет
представлена с помощью интегральной формулы Коши
Аналогично, окружность КУ'-\У — ^ I = М/2 и соответствующий круг цели-
ком лежат в В, если т], и г|2 удовлетворяют соотношению 1 vj | <; -^-.
Поэтому w можно представить также в виде
у
С помощью подстановки мы получаем представление через двойной интег-
интеграл Коши
С
j
Дробь, стоящую в подинтегральном выражении, можно теперь разложить
в степенной ряд по х и у, так же как в случае одной переменной, а полу-
полученное выражение проинтегрировать почленно. Тогда мы получим для w
искомое представление в виде ряда.
') Для нашего уравнения доказательство можно было бы так же просто
получить, применяя методы теории потенциала. Однако метод Ганса Леви
представляет самостоятельный интерес и открывает возможность для ре-
решения других задач (см. работы Г. Леви [5], [3] и [4]). Аналогичные
идеи, связанные с продолжением решений в пространство большего числа
измерений, успешно применялись в других, но связанных с этой, областях
(см. Г. Леви [2]).
§ 4. Аналитичность решений в эллиптическом случае 499
автоматически будет непрерывно дифференцируемой по этим аргу-
аргументам.
Наш первый шаг состоит в том, что мы будем рассматривать хг
как параметр и попытаемся определить новую функцию и (xv xv yj
с помощью дифференциального уравнения
«у,у, — «лга —/О1 + /л:2, yv и, —1иХ2, иу), D)
которое возникает из уравнения C), если мы формально заменим х
на xx-\-ix2. Здесь х1 считается фиксированным параметром, ау, и х2—
два действительных независимых переменных в комплексном диффе-
дифференциальном уравнении. Мы рассмотрим для этого уравнения задачу
Коши с начальными данными на линии х2 = 0. Начальное условие
на этой линии имеет вид
u(xv О, у1) = м(л;1, yj, E)
где правая часть есть исходное действительное решение уравнения C).
В качестве второго начального значения мы зададим иХг, опре-
определив его из условия
Vu = uXi -f iuXi — 0 для *2 = 0, F)
которое означает, что на начальной линии выполняется условие
Коши—Римана. Таким образом, согласно теории, изложенной выше,
функцию и(хх, ух) можно однозначно продолжить до u(xv х2, у{)
в некоторой окрестности начальной кривой. Так как, кроме того,
u(xv yt) непрерывна и непрерывно дифференцируема по параметру х1
в некотором интервале (см. гл. V, § 5), то функция н(х1? х2, У])
определена и непрерывно дифференцируема по х1 в некотором
параллелепипеде, который является-окрестностью точки хх = 0, х2 = О,
ух = §. Аналогично, производная иХ2 непрерывно дифференцируема
по xv
Дифференцируя второе начальное условие F) по параметру xv
мы получаем соотношение ^ = uXlXi + luXiXl = 0. Положив х2—0,
вычтем из уравнения C) уравнение D). Мы получим
uXlXl + uX2Xl = 0 для х2 = 0
или, применяя полученное выше соотношение,
Их2х2 — iUx2Xl = 0.
или же
^JL ) = 0. G)
Теперь мы применим оператор Коши V к уравнению D). Полагая
для краткости Vm = o>, мы после формального дифференцирования
получим
«^у, - «^ = /^Vx + fuVu — lfp4ux, И- /qVuyi.
500 Приложение 1 к гл. V
Так как 7х = 0, мы, наконец, получим
">У,У, — Ш*А = fuw — 1/р<°х> + fqUy,-
Коэффициенты в правой части — известные комплексные функции
У] и х2. Поэтому наше уравнение является линейным однородным
гиперболическим дифференциальным уравнением относительно функ-
функции ш; в силу предыдущих результатов, для него однозначно опре-
определяется решение задачи Коши. Но так как, в силу условий F) и G),
начальные значения ш и д<а/дх2 обращаются в нуль, ш = 0 тожде-
тождественно в некоторой трехмерной окрестности Q начала координат.
Теперь мы должны сделать второй шаг, а именно продолжить и
в четырехмерную область xv х2, уг, у2. С этой целью мы рассмотрим
любые два значения х2 и уг в Q и продолжим и по новой пере-
переменной так, чтобы она удовлетворяла гиперболическому дифферен-
дифференциальному уравнению
«ад — «у2у2 = /О. У. и. «л-,. —'«у2). (8)
На прямой у2 = 0 в плоскости хг, у2 мы зададим начальное условие
u(xv x2, yv 0) = u(xv х2, у{),
а в качестве второго начального условия мы потребуем, чтобы вы-
выполнялось равенство
Аи е= (-?- + / -4—) и = 0 для у2 = 0. (9)
Тем самым функция а (дгр лг2, yv y2) определяется однозначно. В силу
непрерывности решения уравнения (8) по переменным х2, у,, оно
будет определено и непрерывно дифференцируемо по своим аргу-
аргументам в некоторой четырехмерной окрестности В начала координат.
Теперь, чтобы доказать аналитичность функции и, нам остается
установить, что всюду в В выполняются соотношения Vu = 0 и Аи = 0.
Соотношение Аи = 0 для у2 = 0 как раз и является нашим началь-
начальным условием (9). Кроме того, для у2 = 0 выполняются оба уравне-
уравнения (8) и D), и с помощью вычитания мы получаем
мад — «у2У2 + ихгх2 — иУ1у, = 0 для у2 = 0.
Но так как при у2 = 0 мы, как было показано раньше, имеем также
Vw == uXl-\-iuX2 = 0, то с помощью дифференцирования и вычитания
мы получим, что
«y>yi + «y2ya = ° для У2 = °-
§ 5. Применение комплексных переменных 501
С другой стороны, там выполняется также условие (9), и, таким
образом, с помощью дифференцирования по параметру уг мы полу-
получаем, что My,),, + iuy2y2 = 0; применяя A0), получим
-^-Ли = 0 при у2 = 0.
Из единственности решения задачи Коши, так же как и выше, мы
получаем, что Ли = 0 всюду в четырехмерной области В. Аналогично
доказывается, что в В выполняется соотношение Vu = 0.
Так как из этого следует, что функция и— аналитическая в не-
некоторой комплексной окрестности точки x = xv y = yj, то мы
доказали аналитичность исходного решения и(х, у) эллипти-
эллиптического дифференциального уравнения Ди = /.
3. Замечание об общем дифференциальном уравнении
F(x, у, и, р, q, r, s, t) — 0. Идею Леви можно применить также и
в случае общего аналитического дифференциального уравнения вто-
второго порядка с двумя независимыми переменными. Справедлива
следующая теорема. Если и(х, у)— трижды непрерывно диф-
дифференцируемое решение эллиптического дифференциального
уравнения, аналитического относительно всех своих аргу-
аргументов, ;по сама функция и(х, у) также является аналити-
аналитической относительно переменных х и у.
Детали доказательства читатель найдет в литературе!). Основная
идея заключается в том, что, как и раньше, дифференциальное урав-
уравнение заменяется квазилинейной системой дифференциальных уравне-
уравнений. Но, в силу ее эллиптического характера, в ней нельзя перейти
к действительным характеристическим параметрам а и р. Тем не менее
можно привести эту систему дифференциальных уравнений к виду
<Ъ + *рз=8А(а' Р- *'¦ v%' ¦¦¦' <• <'¦•¦' v\- vl' •••)
с неизвестными функциями vx, v2 Для такой системы можно
почти без изменений применить теорию § 2, и на основании этой
теории доказать аналитичность решения.
§ 5. Применение комплексных переменных
для продолжения решений
Пусть и—решение аналитического эллиптического уравнения,
удовлетворяющее аналитическим краевым условиям на части границы
его области определения. С помощью продолжения в комплексную
область Г. Леви [2], а также Гарабедян [2] доказали возможность
') См. работу Г. Леви [6] и изложение доказательства Леви в книге
Адамара [2].
502 Приложение 1 к гл. V
аналитического продолжения решений эллиптических уравнений через
границу. Важные приложения этого метода к продолжению мини-
минимальных поверхностей, к формулировке обобщенного принципа отра-
отражения, к задачам со свободной границей можно найти в указанной
литературе 1).
Мы дадим здесь только понятие об этом методе, рассмотрев
очень элементарный пример.
В § 4 мы видели, что если функция и является решением аналитиче-
аналитического эллиптического уравнения в действительной области, то ее можно
продолжить в комплексную область, решая задачу Коши для некото-
некоторых гиперболических уравнений. Если функция и удовлетворяет
аналитическим краевым условиям на аналитическом куске границы, то
мы можем использовать продолжение краевых условий в комплексную
область. При этом получается смешанная, с начальными и гра-
граничными условиями, задача для гиперболических уравнений, ко-
которые позволяют аналитически продолжить функцию и в более
широкую область. Это и дает продолжение через кусок границы
первоначально заданной области существования.
Чтобы получить сколько-нибудь общий результат такого рода,
надо преодолеть значительные геометрические и аналитические труд-
трудности. Самые сильные полученные до сих пор результаты принадлежат
Гарабедяну; в его работах даны ссылки на более ранние исследо-
исследования Г. Леви и Адамара.
Мы продемонстрируем этот метод на примере простейшего не-
нетривиального случая; рассмотрим уравнение C) из § 4 в прямоуголь-
прямоугольнике R: — о ^ х ^ о, — х -^ у ^ 0, находящемся в нижней полу-
полуплоскости. Пусть и = 0 на стороне у = 0, и предположим, что и
имеет непрерывные третьи производные в замкнутой области R. Мы
будем продолжать и в полуплоскость у > 0.
Введем, как и раньше, переменные хх и л;2. Уравнение D) с на-
начальными условиями E) и F) (см. предыдущий параграф) и с гра-
граничным условием
к = 0 при у = 0
дает гиперболическую почти линейную граничную задачу; мы знаем,
что она имеет решение в достаточно малом треугольнике, ограничен-
ограниченном с одной стороны характеристиками, а с другой стороны — ли-
линией у = 0, на которой заданы граничные значения (см. рис. 35).
Такой треугольник задается явно неравенствами
Ы + 1*21<р. у<°; A)
*! входит в эту задачу только как параметр. Наибольшая область
на плоскости х2, у, в которой уравнение D) (§ 4) имеет решение,
зависит от хх\ для достаточно малых значений р решение будет
') См. также вскоре выходящую в свет книгу Гарабедяна [1].
§ 5. Применение комплексных переменных
503
существовать при всех | х11 -^ о и х2, у. удовлетворяющих нера-
неравенствам A).
Теперь мы знаем значения и, иу при у = 0, \х2\^р, \х1\^<з.
Эти данные позволяют нам найти а, решая задачу Коши для урав-
уравнения D) (§ 4) в некоторой области, где у > 0, заключающей часть
действительной полуплоскости у > 0, лг2 = 0.
Надо еще проверить, что полученное нами продолжение является
решением исходного уравнения. Это можно сделать, показав, как и
Рис. 35.
выше, что функция и удовлетворяет соответствующему уравнению
в четырехмерной комплексной области; мы не будем па этом оста-
останавливаться.
Заметим, что для линейных уравнений вида D) из § 4 область,
в которую можно продолжить функцию и, зависит только от R и
от расположения особенностей коэффициентов, но не от самого
решения и. В частности, если коэффициенты не имеют особенностей,
то функцию и можно продолжить на весь прямоугольник, который
является зеркальным отражением R1).
ПРИЛОЖЕНИЕ2) 2 К ГЛАВЕ V
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ И ОПЕРАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ХЕВИСАИДА
Нестационарные задачи (см. гл. I
ную роль в различных приложениях,
, § 8) играют весьма важ-
иапример в электротехнике.
') Как заметил Гарабедян, это соображение позволяет получить прин-
принцип отражения Леви (см. Г. Леви [2]).
2) Хотя это приложение тесно связано с задачами, рассмотренными
в гл. III, V и VI, его следует рассматривать как вставку, несколько отлич-
отличную по стилю и направленности от остальных частей книги.
504 Приложение 2 к гл. V
Им посвящена обширная литература, в которой особо выделяется
символический метод операторов Хевисайда. Этот метод дает
очень прямой подход к задачам и часто позволяет получить явные
решения, которые другим путем не могут быть так просто найдены.
Сначала этот символический метод был предложен без строгого обо-
обоснования: Хевисайд выражал даже некоторое пренебрежение к опасе-
опасениям профессиональных математиков. Но поразительный успех метода
Хевисайда заставил объяснить его с математической точки зрения,
что привело к полному оправданию и дальнейшему развитию симво-
символических методов.
Исчерпывающее изложение этого вопроса вышло бы за рамки
этой книги1)- Однако мы рассмотрим теорию нестационарных задач,
по крайней мере простейшего вида, и приведем несколько примеров.
§ /. Решение нестационарных задач
с помощью интегральных представлений
1. Пример явного решения. Волновое уравнение. Мы будем
искать решение волнового уравнения
utt— ихх = ° (О
на отрезке 0 <С х ^ /, удовлетворяющее начальным условиям
и(х, 0) = 0, и Да:, 0) = 0
и граничным условиям
и@, t) = f(t), и (Л 0 = 0 (а)
или
и@, 0 = /@. М'- 0 = 0, (Р)
где „сила" f (t) есть заданная функция t.
Первая задача (а) может относиться к струне, которая в началь-
начальный момент t = 0 находится в состоянии покоя, закреплена в конце
х — 1, а на другом конце л: —0 совершает движение, описываемое
заданной функцией / (/), вызывающей отклонение и.
Во второй задаче (C) струна совершает то же движение на конце
х —0, но конец х = I теперь может свободно перемещаться по
прямой, перпендикулярной оси х (положению покоя). Вторую задачу
можно также истолковать как задачу об определении напряжения
и(х, t) в идеальной л шии передачи, где ток их обращается в нуль
в конце. В обеих задачах мы предполагаем, что
/@ = 0 для г<0.
') Читатель найдет подробное изложение, содержащее многие достиже-
достижения последнего времени, в книге Минусинского [1].
§ 1. Решение с помощью интегральных представлений 505
Эту задачу легко явно решить, подбирая функции ср(Х) и ф(Х) в об-
общем решении волнового уравнения
и(х, 0 = ?(*+*) + + (* — *) B)
так, чтобы удовлетворялись начальные и граничные условия. Мы
разделим ось X на интервалы 7V: vi ^л ^(v-f- 1)/, а затем последо-
последовательно определим ср и ф в каждом из этих интервалов.
Сначала мы рассмотрим вторую задачу, соответствующую отра-
отражению относительно конца. Из начальных условий при ^ = 0 мы по-
получим для искомых функций соотношения
Из первого соотношения с помощью дифференцирования получим
ф' (*) — f (— jc) = 0. C')
Здесь .v находится в интервале Уо, а —х— в интервале •/_,. Отсюда
следует, что функции у (к.) и ф(А) постоянны для А, принадлежащих
этим интервалам; соответствующим образом подобрав произвольную
аддитивную константу для функций ср и —ф, мы можем считать, что
эти функции равны нулю. Из граничного условия для х — 0 следует,
что для всех интервалов 7V выполняется соотношение
D)
Из условия отражения на другом конце следует, что
lim [cp'(Y + *) — ф'(* — х)] = 0. E)
Предполагая, что функция <р(^-|-0 — ф(^ — 0 всюду непрерывна, мы
получим
ф(/ — /) = 0. F)
откуда следует рекуррентная формула
0 = ф@. G)
справедливая для всех Л принадлежащих интервалам У_,, Уо Из
соотношений D) и G) однозначно определяются функции ср и ф,
а следовательно, и «(я, ^) для всех значений / > 0. Как легко про-
проверить, решение можно явно записать в виде
f} //+ (8)
v=l
Правая часть здесь представляет собой бесконечную сумму, но в каж-
каждый момент времени t только конечное число ее слагаемых отлично
от нуля. Мы можем считать, что этот ряд описывает движение волны;
506
Приложение 2 к гл. V
решение является суперпозицией волн, имеющих форму /(X) или
/ (— X) и перемещающихся по струне — со < х < со в обоих на-
направлениях.
Надо отметить одно свойство этого решения. Предположим, что
f(t) представляет собой импульс1), например, /(/?)=1 в малом ин-
интервале 0<^<> и f(t) — O всюду вне этого интервала. Тогда в ко-
конечной точке х = I функция и при значениях времени I <^ t <С 1-\-е
будет принимать значение 2 (см. рис. 36). В приложениях к электро-
электротехнике, когда и обозначает напряжение, это значит, что в линии
Рис. 36.
Рис. 37.
передачи с бесконечным сопротивлением на конце приложенное на-
напряжение может быть удвоено.
Задачу (а) с закрепленным концом можно решить явно таким же
простым способом:
и(х, /) = /(/ —*)
v=l
— х — 2vQ —
x — 2v/)]. (9)
Это решение также можно наглядно представить себе как суперпо-
суперпозицию волн одинаковой формы. Рис. 37 соответствует импульсу, для
которого функция / (/) равна 1 на интервале 0 <; i ^ e и нулю вне
этого интервала. На нашем рисунке полоса, рассматриваемая на пло-
плоскости х, t, разделена на области, в которых функция и принимает
значения -\-1, —1 или нуль.
') Слово „импульс" мы будем применять для описания мгновенных
явлений.
§ 1. Решение с помощью интегральных представлений 507
2. Общая формулировка задачи. Изучая нестационарные ?адачи
с более общей точки зрения, мы ограничимся случаем одного про-
пространственного переменного х и временнбй координаты t; случай
нескольких пространственных переменных можно изучить аналогич-
аналогичным образом. Мы будем рассматривать следующую задачу.
Задана I. Пусть задано дифференциальное уравнение
autt-\-but=zL[u]==puxx-\-qux-\-ru, A0)
причем a, b, p, q, г — непрерывные функции одного только х на
отрезке 0 -^ х <С' и удовлетворяют на этом отрезке следующим
условиям:
(а) р>0,
( а > 0 в гиперболическом случае,
( а = 0, ? > 0 в параболическом случае.
На отрезке 0 ^ х ^ I и для значений времени t > 0 отыскивается
решение и(х, t) уравнения A0), удовлетворяющее начальным усло-
условиям
и(х, 0) = <р()
ut(x, О) = ^(лг) (в гиперболическом случае)
и граничным условиям
«@.0-/@.
pux(l, t)-j~lut(l, t) — au(l, t). y '
Здесь ср(лг), ф(л:) и f(t)—заданные функции, а р, X и о—заданные
постоянные.
В частности, мы рассмотрим самый важный случай, когда
<р = ф = О, т. е. когда при ? = 0 имеет место состояние покоя') (не-
(нестационарная задача в собственном смысле, см. гл. III, § 6, стр. 226).
3. Интеграл Дюамеля. Для таких начальных значений, т. е. для
и(х, 0) = и,(х, 0) = 0 в гиперболическом случае, или и(х, 0) = 0
в параболическом случае, общую задачу [ легко можно свести к за-
задаче с функцией f(t) специального вида (см. гл. III, § 4). Заметим,
что, так как коэффициенты не зависят от t, производные и(, ии (если
они существуют или могут быть соответствующим образом определены)
являются решениями, соответствующими „силам" f'(t), fit)
') Как мы видели в гл. III, § 8, общий случай формальным способом
можно всегда свести к этому случаю.
508 Приложение 2 к гл. V
Введем решение U (x, t) с разрывным граничным условием
1 для t > О,
О для t < О,
удовлетворяющее некоторым граничным условиям при х = 1,
U(x, 0) = 0,
и предположим, что любую ограниченную часть полосы 0 ^ х ^ /,
t ^> 0, можно разделить на конечное число замкнутых подобластей,
в которых решение U непрерывно вместе со своими производными до
второго порядка'). Такую функцию U можно ввести либо как вто-
вторую производную по времени от решения U2(x, t), соответствую-
соответствующего граничному условию
-~- для <>0,
/@= 2
О для t < О,
либо непосредственно, обращаясь к понятию обобщенных функций,
или распределений (см. гл. VI, § 3 и приложение).
Тогда справедлива
Теорема Дюамеля. Если функция f (f) и ее производная f'{t)
кусочно-непрерывны для t > О, то интеграл Дюамеля
rfx A3)
является решением задачи I с граничными условиями A2).
Функция U (x, t) не должна быть всюду непрерывной, как будет
показано на примерах. Действительно, мы должны ожидать, что
функция U будет разрывной, так как граничное условие U@, t)= 1
вместе с начальным условием U{x, 0) = 0 означает, что в точке
х = 0 в момент времени t = 0 возникает импульс, который мгновенно
повышает значение U@, 0) = 0 до значения 1. Отсюда становится
интуитивно понятным смысл интеграла Дюамеля A3).
Мы представляем себе, что действие „силы" f (t) (на левом конце
отрезка) слагается из отдельных импульсов, возникающих в моменты
то = О, tj, т2 хп. Каждый импульс заставляет значение и @, tv-1)
скачком измениться на величину /(¦;„) — /(tv_j). Если U(x, t) —
определенное выше решение специального вида, то решение и{х, t),
') Этот факт может быть обоснован с помощью исследования распро-
распространения разрывов, приведенного в гл. V, § 9, и ниже, гл. VI, § 4.
§ 1. Решение с помощью интегральных представлений 509
соответствующее этим импульсам, может быть записано в виде
п
и (х, 0 = JS U {х, *-т,) [/ (т,+1) — / (х,)] 4- U (х, 0 / @) (т,+1 = 0-
Если мы предположим, что функция /@ непрерывно дифференци-
дифференцируема при ? > 0, но /@) может отличаться от нуля — это соответ-
соответствует конечному скачку в момент ^ = 0 —и если мы перейдем
к пределу, устремляя интервалы времени к нулю, то мы получим
решение
t
и(х, t) = U(x, t)f@)-\-fu(x, t — x)f'(x)dx =
л, A30
что соответствует формуле A3).
Эти наводящие соображения легко можно заменить непосредст-
непосредственной проверкой, основанной на тождестве
¦§ffU(x, t — x)f(x)dx=U(x. 0/@L-
о
t
4-их(х, о/'@L- и3(х. О/"@L-/ и2(х, t — х) f" {x) d*.
о
которое справедливо, так как U2{x, 0)==Ul(x, 0) —0, где Ul(x,t)
есть решение, соответствующее граничному условию
( t для t > 0,
^ ^ ~ 1 0 для t < 0.
Это тождество показывает, что дифференциальное уравнение и гра-
граничные условия, заданные на конце х = 1 для функций U, Ux и Uv
выполняются и для функции и(х, О- То, что и удовлетворяет на-
начальным условиям, вытекает из следующего замечания: из дифферен-
дифференциального уравнения и из условий U2(x, Q)—Ul(x, 0) = 0 следует,
что U(x, 6) = Ut(x, 0) = 0. Наконец, так как U@, t)—l, из фор-
формулы A3') получается, что и@, t) = f@)-\- f f (x)dx = f(t). Сле-
o
довательно, первое из граничных условий A2) выполняется.
Интегральную формулу Дюамеля A3) можно рассматривать как
представление линейного оператора Т, который преобразует заданные
граничные значения /@ в решение и(х, t), т. е, формула A3) есть
510 Приложение 2 к гл. V
представление оператора и = Tf. Однако интегральная формула
Дюамеля справедлива не только для такого оператора Т, который
рассматривался здесь и определял решение задачи для дифференциаль-
дифференциального уравнения, а для всех линейных операторов Т, удовлетворяющих
следующим условиям ').
а) Оператор Т определен для всех функций / {t), равных нулю
при t < 0, и преобразует f (t) в функцию Tf(t), также равную нулю
при t < 0, (Tf(t) может, кроме t, зависеть также от других пере-
переменных2): х, ...).
б)
здесь т— параметр.
в) Если /@) —0 и если функция f(t) диффгренцируема, то
d
(Tf(t)) T
dt VJvi)—1 at '
г) Если Tf (() — <{ (t), то для всех -с > 0
—х) = ?(/ —т).
Чтобы доказать справедливость формулы A3), достаточно представить
f(t) в виде
о
где
1 для
для *<0.
Из этого, в силу условий а), б), в) и г), следует, что
где
Можно убедиться, что условия а), б), в) и г) полностью харак-
характеризуют класс линейных операторов, представимых в виде интеграла
Дюамеля.
4. Метод суперпозиции экспоненциальных решений. Рассмат-
Рассматривая задачу Коши в гл. III, § 7, мы применяли метод, связанный
') Это замечание возникло как следствие замечания, сделанного в рус-
русском переводе первоначального немецкого издания.
2) Зависимость функции от этих переменных явно не указывается.
§ I. Решение с помощью интегральных представлений 511
с интегралом Фурье, т. е. с суперпозицией решений, предста-
вимых в виде экспоненциальных функций; этот метод после соот-
соответствующих изменений может быть применен и к решению сме-
смешанных задач. Мы здесь снова ограничимся наводящими соображе-
соображениями; они будут в § 3 дополнены теоремой существования. Рассмо-
Рассмотрим специальную задачу с и (О, t)=\, u(x, 0) = ut(x, 0) = 0 и
будем искать функцию U(x, t), введенную в предыдущем пункте.
Сначала мы построим частные решения дифференциального урав-
уравнения A0)
au
вида
Для v получается обыкновенное дифференциальное уравнение
L[v] = {af-\-b*{)v, A4)
куда f входит как параметр. Если на конце х = I мы наложим на v
граничное условие
pvx = (o — \t)v, A5)
то функция
u = v(x,
будет, очевидно, удовлетворять заданному граничному условию A2)
pux~\-kut — аи;
то же самое справедливо относительно любой линейной комбинации
таких решений с различными параметрами f. Теперь мы постараемся
удовлетворить граничному условию u@,t)=l для t > 0 и началь-
начальным условиям и(х, 0) = 0, ut(x, 0) = 0 с помощью суперпозиции
таких решений.
С этой целью мы предположим, что функция v и ее производные
являются аналитическими функциями комплексного параметра ^ = а-\-
-\- гр в полуплоскости a > 0. Интегрируя по контуру L, лежащему
в правой полуплоскости комплексного переменного f> мы получим
новые решения дифференциального уравнения A0), удовлетворяющие
второму из граничных условий A2). Эти решения имеют вид
При х = 0 мы получаем
512
Приложение 2 к гл. V
и задача состоит в том, чтобы выбрать путь интегрирования L и
граничные значения г» @, f) таким образом, чтобы
и @, t) = 1 для t > О,
й @, 0 = 0 для г1 < 0.
Граничное условие при х = О будет выполнено, если мы по-
положим
v@, ?)=1 A5')
и возьмем в качестве L любую прямую, параллельную мнимой оси
на плоскости f и лежащую в правой полуплоскости а > 0. При таком
выборе L мы получим интеграл
и @, 0 = -
ЧтЛ
Г Q^
"~ 2тс J а + Гз
A7)
L2
который в силу элементарных теорем схо-
сходится при всех а Ф 0, t ФО. Так как
(,+;
взятый по пря-
Рис. 38.
молинейному отрезку длины /2 — lv па-
параллельному действительной оси а, стре-
стремится к нулю при возрастании |р|, то
интеграл A7) не зависит от а. Это обычным
способом получается из интегральной теоремы Коши (см. рис. 38).
Следовательно, если мы устремим а к бесконечности, то сразу по-
получим, что и @, t) — 0 для t < 0. В случае t > 0, применяя инте-
интегральную теорему Коши и вычисляя вычет при f =0, мы получим
уравнение
a+ico
а— /со
где а отрицательно, но в остальном произвольно. Переходя к пре-
пределу при а—> — со, мы получим, что и@, t)=l для t > 0.
Поэтому кажется правдоподобным, что выражение
"<*¦ ') = ^г
A8)
является искомым решением уравнения A0). Между прочим, мы не
можем всегда ожидать, что этот интеграл будет абсолютно сходиться,
§ 2. Операторный метод Хевисайда 513
так как для заданного х функция U(x, t), вообще говоря, будет
иметь разрывы по t. Эту трудность можно обойти при помощи сле-
следующего метода.
Для достаточно больших п мы рассмотрим выражение
С
j
' Т) г
соответствующее функции f (t) — tn/n\ для t > О, f(t) = O для
Это представление для Un(x, t) хорошо сходится для больших п,
и легко проверяется, что оно дает решение смешанной задачи. Тогда
функцию U можно получить из Uп с помощью дифференцирования
по t. Эти предварительные соображения, имеющие эвристический ха-
характер, будут снова рассмотрены и изучены с несколько иной точки
зрения в § 3.
§ 2. Операторный метод Хевисайда
На практике символический метод Хевисайда имеет большие
преимущества по сравнению с методом, описанным в § 1, п. 4. Его
можно строго обосновать на основе понятий, введенных в § 1 и 3.
Преимущество метода Хевисайда состоит в том, что формальное вы-
вычисление решения отделяется от математического содержания метода.
Это разделение позволяет отложить обоснование формально полу-
полученного результата. Кроме того, реализацию символических опера-
операторов можно задавать в форме таблиц. Таким образом, во многих
приложениях можно избежать трудностей, связанных с неформальным
математическим содержанием. метода.
Основная идея этого формального исчисления состоит в рассмо-
рассмотрении линейного преобразования, которое заданной граничной функ-
функции f (t) ставит в соответствие решение и(х, t) дифференциального
уравнения из § 1, п. 3. Мы снова ограничимся нестационарной за-
задачей в собственном смысле, когда при t =0 имеет место состояние
покоя.
1. Простейшие операторы. Метод основан на введении опера-
операторов дифференцирования и интегрирования р и р~1, которые
являются обратными друг к другу. Мы рассматриваем функции вре-
времени t для t > О (которые мы продолжаем для t < 0 тождественным
нулем) и вводим оператор интегрирования р~1 при помощи фор-
формулы
t
(Х)Л. A)
514 Приложение 2 к гл. V,
Если мы обозначим оператор дифференцирования через р, так что
??. B)
то равенство
pp-^=p-ip = \ C)
будет лежать в основе построения исчисления с правилами, анало-
аналогичными алгебраическим. Чтобы было справедливо это соотношение,
т. е. операторы р и р~г были обратны друг другу, мы должны на-
наложить очень сильное ограничение.
Оператор р можно применять только к таким функ-
функциям g(t), для которых g@) = 0.
Иначе мы имели бы
t
= /
= S @ — g @).
t
pp~ig=4r /
и, следовательно,
P~lPg =? PP~lg-
Однако, в отличие от оператора р, оператор р~1 можно
применять к произвольной непрерывной функции. Если
— произвольный полином степени т, то мы можем очевидным обра-
образом определить рациональный интегральный оператор Q(p~}) и
применить его к произвольной функции /. Соответствующий опера-
оператор Q(p) определяется как линейный дифференциальный оператор
порядка т, но его можно применять только к функциям /, равным
нулю при / = 0 вместе со своими производными до порядка т — 1.
Если
другой полином степени п и если Q@) = a0 ф 0, то
называется дробно-рациональным регулярным оператором.
Этот оператор
может быть определен различными способами.
§ 2. Операторный метод Хевисайда 515
Во-первых, для заданной функции /, кусочно-непрерывной при
t > О, можно определить g как решение дифференциального урав-
уравнения
aog{m) + а^"-1» + . . . + amg = ?("»>, E)
где ср = P(p~l) f. Это решение однозначно определяется тем, что оно
должно удовлетворять начальным условиям
aog" @) + axg' @) + a2g @) = ср" @), F)
Во-вторых, g можно определить, если мы разложим рациональ-
рациональную функцию
P(k)/Q(k) = R(X)
в окрестности начала координат в степенной ряд по X,
() 2,
v=0
Легко видеть, что соответствующий ряд
СО
/?(P~1)/ = 21«,/'
v=0
сходится для всех положительных значений t и совпадает с опреде-
определенной выше функцией g (t).
Если коэффициент а0 равен нулю, то рациональный оператор на-
называется нерегулярным и может быть представлен в виде
где оператор R — регулярный. Чтобы можно было применить такой
оператор к функции /, мы должны предполагать, что
Ясно, что над этими операторами можно производить рациональные
операции в соответствии с правилами алгебры. Для этих операторов
из данного в § 1 представления Дюамеля можно вывести следующее
утверждение.
Если для „единичной функции" Хевисайда ri(t), определен-
определенной формулами
1 для <>0,
516 Приложение 2 к гл. V
и для оператора Т выполняется соотношение1)
G)
то мы имеем
t
^fdx (8)
для произвольной функции / (t).
Чтобы расширить область применения операционного исчисления,
очень важно определить не только рациональные, но и более общие
функции от р таким образом, чтобы в этом расширенном множестве
операторов сохранились законы алгебры, принцип Дюамеля и неко-
некоторые другие законы, которые будут введены ниже.
2. Примеры операторов и приложения. В этом пункте мы рас-
рассмотрим несколько простых операторов и покажем, как их можно
применить к решению дифференциальных уравнений.
1) Для оператора
мы имеем
t
Trj = e~at, Tf (t)--^i Г e~"<'-т>/(t)dx = g(t).
о
Здесь g является решением дифференциального уравнения
g'-\- аё — /'• причем ?@) = /@).
2) Для оператора
Т= 1 + ^ ,-
мы имеем
t
0
Здесь g есть решение дифференциального уравнения
с начальными условиями
= /@), g'(G =/'@).
') В литературе единичная функция ij (t) часто не выписывается явно.
Символ оператора Т тогда просто обозначает функцию Т-ц. Между прочим,
если мы захотим выразить тот факт, что некоторая функция f (t), определен-
определенная для t > 0, продолжается нулем для t < 0, то иногда мы будем писать
/ @ 1) @ вместо / (t).
§ 2. Операторный метод Хевисайда 517
3) Рассмотрим неоднородное уравнение с постоянными коэффи-
коэффициентами
i»(m-l) + ¦ ¦ • + amu = / if) (9)
с начальными условиями
и@)=и'@)= ... =и<т-1)@) = 0. (9')
При этих начальных условиях мы можем символически записать диф-
дифференциальное уравнение в виде
Q(p)u = f (О (Q (X) = а0Г + . .. + О:
его решение имеет символическую форму
Если алгебраическое уравнение
имеет m различных корней а,, а2, . .., ат ^= 0, то мы можем получить
решение очень изящным способом с помощью простейших дробей.
Из формулы
_1_ = 1 i у
pQ(j>) P ?
мы получаем
W F7
v=l
В частном случае, когда
f(t) = elairi(t) (шфа.),
мы можем, не применяя интеграла Дюамеля, получить реализацию
нашего оператора с помощью следующего, еще более изящного ме-
метода.
Запишем f {t) в виде
р — ш
и получим
.._ p ~
где для краткости мы полагаем
L [р] = (Р — ш) Q = «о (Р — ai) • • • (Р — ат) (Р — fa).
518 Приложение 2 к гл. V
Мы можем записать дробно-рациональный оператор в виде
т
р dap |^ ijn d^p
TTpT — „ г-щ г 2и р а '
v=l
причем коэффициенты разложения на простейшие дроби определяются
формулами
d0 = -q~ , rfv == а ]_ы 1 -.
Вспоминая наш первый пример, мы теперь сразу получаем искомое
решение
m
и = dQeimt + 2 &•? v • A1)
Конечно, коэффициент d0 наиболее важен для приложений.
4) В качестве другого примера рассмотрим „сингулярные опера-
операторы"
/А />-'/.; A2)
их надо определить в соответствии с нашими правилами, указанными
выше, если мы расширяем согласованным образом наш запас опе-
операторов. Теория дифференцирования и интегрирования дробного по-
порядка подсказывает следующее определение:
p-V.7] = 2 Ytfc p-y it) = B/Уп) -*. J У7=\ f (t) dv.
°t A3)
Как легко проверить, это определение действительно удовлетворяет
требованию
Это же определение можно получить в результате следующих рас-
рассуждений. Соотношение p'nf\ = ctn удовлетворяется для с=1/я!.
Поэтому естественно положить
/?-'/«т) = с УТ,
где константа с должна быть определена соответствующим образом.
Если мы потребуем, чтобы был справедлив принцип Дюамеля и вы-
выполнялось соотношение
§ 2. Операторный метод Хевисайда 519
то мы получим
о о
и, следовательно,
2
С ^"Т
у* ¦
Таким образом, константа с оказывается такой же, как и в фор-
формуле A3).
5) Очень важным примером оператора, который не является ра-
рациональным, служит экспоненциальный оператор, который для
любой постоянной h вводится при помощи формулы
= f(t — К). A4)
Это определение подсказано рядами Тейлора для e~hP и /(t — К).
Однако такие правдоподобные соображения не могут служить доста-
достаточным обоснованием, так как определение не должно зависеть от
аналитической природы функции f (t).
Обоснованием для нашего определения является тот факт, что из
него следуют соотношения
g-flp e-kp j: ф _ e-(h + k)p f (f)
И
•J^ «-**/@ = -/>«-**/@;
последнее соотношение эквивалентно уравнению
6) Теперь для h < 0 мы рассмотрим оператор
e~hY~P, A5)
который будет определен в п. 5. Здесь мы просто заметим, что,
если наш оператор допускает дифференцирование по параметру h,
из равенства e~h^Pf = g мы получим уравнение
Следует ожидать, что для значения параметра h = 0 функция dg/dh
будет определяться формулой
dh й = 0
520 Приложение 2 к гл. V
Это показывает, насколько прямым методом является операторный
метод.
7) В качестве последнего примера в этой связи мы рассмотрим
так называемый принцип смещения Хевисайда.
ЕслиТ = Ф(р)— некоторый оператор, a k — постоянная,
то оператор Ф(р-\-к) определяется формулой
Ф{р-\-к) — е-ыФ{р)еы. A7)
Эту формулу можно непосредственно проверить для всех регулярных
рациональных операторов. Сначала по индукции от п к ft-f- 1 мы
покажем, что принцип смещения справедлив для операторов ljpn.
Тогда он будет справедлив для всех регулярных рациональных опе-
операторов, так как они могут быть выражены через ряды относи-
относительно \\р. Затем мы сможем ввести принцип смещения для нерегу-
нерегулярных операторов в качестве постулата. Например, мы определим
У р-\-а? так:
f Ш
«'=</(о=—-¦— f -уШ
и, в частности,
о
dt
О
Чтобы оправдать такое определение этих нерегулярных операторов,
надо еще доказать, что оно согласуется с законами элементарной
алгебры. Это будет сделано в п. 5.
3. Приложение к уравнению теплопроводности. Мы применим
операторный метод к нескольким типичным примерам.
На полубесконечной оси рассмотрим уравнение теплопровод-
теплопроводности
ut — uxx = 0. B0)
Пусть заданы начальные и граничные условия
и(х, 0) = 0,
и (со, t) — 0.
Мы будем искать оператор Т — Т(х) (зависящий от х как от пара-
параметра), преобразующий заданную функцию / (t) в искомое реше-
решение и(х, t).
§ 2. Операторный метод Хевисайда 521
Запишем дифференциальное уравнение в виде
(Txx-pT)f = 0, B1)
а граничные условия — в виде
Г@)=1, Г(оо) = 0.
Предполагая, что наши функции равны нулю при отрицательных зна-
значениях t, мы уже учитываем начальное условие, записав
Рассматривая дифференциальное уравнение
Тхх-рТ = 0
как уравнение, содержащее параметр р, мы немедленно получаем его
решение
Т—е-хУ~Рш B2)
Возникает вопрос, как можно истолковать это символическое выра-
выражение и какие функции задаются формулами
На этот вопрос мы можем дать по крайней мере частичный ответ,
который позволяет решать задачи, имеющие непосредственное значе-
значение для приложений: мы можем найти поток тепла при х = 0, т. е.
явно найти выражение для их@, t), применяя к оператору Т обыч-
обычные правила. Применяя результат примера 6, п. 2, мы получим
Одно из главных преимуществ символического исчисления состоит
в том, что мы имеем возможность получать частные результаты,
такие, как этот, не находя полные выражения для операторов через
известные функции.
Аналогично мы можем рассмотреть более общее уравнение
теплопроводности ut — ихк-\-а2и=0 на интервале 0 <^ х < аэ
с теми же начальными н граничными условиями, что и раньше. Для
оператора Т (х), который дает решение и(х, t) = T(x)f(t), справед-
справедливо символическое уравнение
)Т. B3)
При граничных условиях
Т @) = 1, Т (со) = 0
522 Приложение 2 к гл. V
оно имеет символическое решение
Г = «-"^. B4)
Нам еще труднее полностью истолковать этот оператор, чем оператор
в предыдущем примере. Однако мы снова можем дать ответ на важ-
важную часть задачи; мы находим для их@, t) выражение
где правая часть берется из примера 4, п. 2.
В частном случае единичной функции / = т) мы имеем
их @, 0
2е~а21 d I Г \
=^=r — \e*'t \ e--dx\. B5)
4. Волновое уравнение. Решение простейших смешанных задач,
рассмотренных в § 1, п. 1, тоже можно объяснить с помощью опе-
операционного исчисления. На отрезке О^х^/ мы рассмотрим диффе-
дифференциальное уравнение
«„-«„= 0 B6)
с начальными и граничными условиями
и(х, 0) = «,(¦*• 0) = 0,
и @, t) = /(t). ux(l,t) = O.
Положим
и(х, t) = T{x)f.
Для оператора Т мы получим дифференциальное уравнение
Тхх~-рЧ = § B7)
с условиями
Т @) = 1, Тх (I) = 0.
Мы получаем символическое выражение
ch/>(/-*) __ е-Р'+е-Ч*-»
пли, если выписать его разложение в ряд,
Т (х) — е~рх -f- 2 (— 1)" le-P{Х+Ъ!) — е-Р B»'-*)].
На основании примеров, рассмотренных и п. 2, теперь очень легко
истолковать этот результат.
§ 2. Операторный метод Хевисайда 523
В соответствии с результатом, полученным в § 1, п. 1, мы имеем
оо
а(х, t) = f(t-x)+2i(-iy[f(t-x-24l)-f(t+x-2vl)\. B9)
1
Другая рассмотренная там задача (задача (а) с закрепленным концом),
конечно, также может быть решена аналогичным способом. Для
соответствующего оператора мы получаем
или
со
Т = е~Рх-\- 2 [е~р (Х+Ы) — е~Р i2v'-*
v=l
Поэтому
и(х, t) = f(t — x)+2i[f(t — x — 2vD — f(t+x — 2vl)]. C1)
б. Обоснование операционного исчисления. Определение даль-
дальнейших операторов. Операционное исчисление можно строго обо-
обосновать. Сначала мы дадим общее определение наших операторов,
а затем, на основании этого определения, мы проверим, что выпол-
выполняются указанные правила вычислений, теорема о смещении и прин-
принцип Дюамеля. Мы проверим также, что это определение согласуется
с теми, которые были даны раньше.
Соображения, приведенные в § 1, п. 4, оправдывают следующее
определение.
Пусть F (f)—регулярная аналитическая функция перемен-
переменного f = a -f- ф, определенная в полуплоскости а > а0. Пусть L —
произвольная прямая, параллельная мнимой оси, лежащая
в полуплоскости а > а0; если же а0 < 0, то L является кон-
контуром, изображенным на рис. 39. Тогда, в предположе-
предположении, что интеграл (l/2iu) Г (Z7 (?)/?) er< rff существует и не за-
L
висит от конкретного выбора контура L для всех t > 0, мы
полагаем
524 Приложение 2 к гл. V
Достаточным условием существования интеграла C2) является, на-
например, наличие такой положительной функции Ф (р), для которой
сходится интеграл
о
и при всех f = a-f-J[i) с a^>ao-)-S, о > 0, выполняется неравенство
Тогда во втором интеграле в формулах C2) мы можем произвести
интегрирование по т под знаком интеграла; следовательно, если мы
положим
t
то получим
Справедливость законов операционного исчисления для операторов,
определенных таким образом, обеспечивается теоремой умножения
F (p)G (p) = FG (р) C3)
или, другими словами, тем, что результат последовательного
применения двух операторов F и G может быть также полу-
получен с помощью применения оператора, соответствующего про-
произведению двух функций FG.
Достаточно доказать эту теорему для единичной функции т) (t).
Для доказательства мы введем следующие дополнительные предпо-
предположения относительно функций F и G1): в любой полуплоскости
a^aoH~^ существует положительная функция ф(р). для которой
со
интеграл I ty^dp сходится, такая, что всюду в этой полуплоскости
о
Тогда интегралы
СО
~iip и
') На самом деле эти ограничения слишком сильны для многих важных
случаео. Теорему можно доказать при гораздо более слабых ограничениях.
См., например, Коппенфельс [1].
§ 2. Операторный метод Хевисайда
525
также существуют — первый в силу неравенства Шварца
Поэтому интегралы C2), соответствующие функциям F, G, FG, абсо-
абсолютно сходятся. Если мы положим
то мы получим
dt
В силу наших предположений легко видеть, что дифференцирование
под знаком интеграла всегда дает интеграл, равномерно сходящийся
Рис. 39.
-Т
Рис. 40.
L'
в области tl
при t1 > 0. Поэтому мы имеем
G (Ь) Ьеы — ^
L L'
Здесь в качестве U выбрана прямая, лежащая правее L и параллель-
параллельная L (рис. 40).
526
Приложение 2 к гл. V
Из оценки
о (о — -
-Л- Г
а — a J
О(Ь)
следует, что второе слагаемое внутреннего интеграла в правой части
становится сколь угодно малым при возрастании а'; это означает,
что соответствующий интеграл равен нулю. Следовательно,
Bti/J
и
Из наших предположений следует, что мы можем переменить поря-
порядок интегрирования1) в двойном интеграле. Мы получим
Таким образом, осталось только доказать соотношение
1 г F (f) , F(b)
¦Ш} тE-т) т~~б~"
L
Но оно является следствием интегральной теоремы Коши.
Обоснование теоремы о смещении также немедленно полу-
получается из представления в виде комплексного интеграла. Если F (р) —
заданный оператор и, следовательно,
то мы имеем
') Пусть А| — конечный отрезок прямой L между точками с ордина-
ординатами —t и Т (рис. 40); тогда мы имеем
V I,
Это утверждение непосредственно следует из оценки
L-L,
т -»I2
и из сходимости интеграла I ф2 dp.
§ 2. Операторный метод Хевисайда 527
Это выражение означает, что
Так как —~-г rt = ektt\, то получается, что
F(p-\-k) т, == е- MF (p) ек'у].
Легко установить также эквивалентность опрелелений, которыми мы
пользовались в ранее рассмотренных примерах, и данного здесь
интегрального определения. Мы имеем *)
— — — Г gT<
где п — положительная постоянная. Контур интегрирования можно
деформировать в произвольную кривую, окружающую начало коор-
координат; следовательно,
_!__!_Г_^!_„1 Л
р" п\ [df Jr=0~ п\ •
2) Р — ! Г
3) (Р+,)«^^2Я/ J (а
4) /^
J
Если мы заменим переменную ~[ на А = ^7. то получим, что
-1 J Yl
Путь интегрирования L' на плоскости ^ является (см. § 3, п. 3)
правой ветвью произвольной равносторонней гиперболы и эквива-
эквивалентен мнимой оси. Таким образом, мы имеем
оо
1 1 Г rJ ,0 1
ft и J ' Vnt
со
') Для краткости мы будем писать F (р) вместо F (p) ij.
528 Приложение 2 к гл. V
Интеграл можно вычислить:
2тЛ $ y1"' ГA—s)
и, следовательно,
Ь) й "Ш! TdT~( 1 для t>k.
7) р - J- Г е"' dy
' Р2 + а2 ~~ 2ш J f + a2 '"
Если мы деформируем L в кривую, окружающую точки +1а, то мы
получим
р _ 1
p2 + a2 ~~ 2тсг У е 2га \т — m -f + wj T~ a '
8) В качестве примера дальнейших операторов мы рассмотрим
VP = J^ Г ^^ d C4)
Интеграл в правой части легко вычислить; мы имеем
-*'1*1. C5)
У я^
Для оператора е~*1р, вместо того, чтобы непосредственно вычи-
вычислять интеграл
мы получим представление следующим образом:
е-х V], = у~р е-х Vp
Yp
Таким образом,
1 * 2
гх У^г. К "J
9) Формула
C6)
§ 2. Операторный метод Хевисайда 529
приводит к интересному применению теоремы умножения. Если мы
разложим оператор р/(р2-{-а2) в произведение
Р _ j_ Р Р
р2 + а2 р Y р* -{- а*У р* -{- а2
то принцип Дюамеля дает
= fjo(a(t—c)) Jo (az) dz.
о
С другой стороны, в соответствии с примером 7, мы имеем
р sin at
р2-\-а2 ~~ а '
Таким образом, мы получаем следующую интегральную теорему
для функций Бесселя:
C7)
10) Наконец, мы рассмотрим (см. т. I, гл. III, § 10, п. 9,
стр. 140) интегральное уравнение Абеля
t
т. е. операторное уравнение
/>/ = ГA—<х)/Лр.
Его решение есть
Y- ГA-«)^
или
t
1 d
о
Тогда, в силу того, что Г(а)ГA—a) = ir/sinica, мы получаем отсюда
решение
т. (It J (t_x)l-a
(I v '
что совпадает с результатом, полученным в т. 1, стр. 140.
530 Приложение 2 к гл. V
§ 5. Общая теория нестационарных задач
В предыдущем параграфе даны приложения операторного метода,
но нет полного его обоснования. Вызывает сомнение, стоит ли фор-
формулировать те общие теоремы, опираясь на которые можно дедук-
дедуктивным путем обосновать этот метод. Привлекательность метода
состоит в том, что он легко и естественно применяется к задачам
совершенно различных типов. Сведение всех этих возможностей
в одну исчерпывающую теорему привело бы в лучшем случае к крайне
неудобной формулировке. Здесь мы не будем предпринимать такую
попытку, но мы сделаем шаг в этом направлении, продолжая идеи
§ 1, п. 4. Мы не только покажем, как этот метод может быть обос-
обоснован, но и сформулируем теорему, которая позволяет обосновать
довольно сложные примеры. Основой здесь будет служить преобра-
преобразование Лапласа, которое часто применялось для этой цели, в част-
частности в работах Дётша [1], [2].
1. Преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа непосред-
непосредственно получается, если в двух теоремах об интегральных форму-
формулах Меллина (см. т. I, стр. 95, 96) мы заменим переменную х
на е~х, а функцию g(x) на g(e~x) = <?(x). Однако мы независимо
докажем формулу об ращения преобразования Лапласа (с по-
помощью интеграла Фурье) при несколько более широких предполо-
предположениях.
Теорема 1. Пусть cp(s) — функция комплексного переменного
s = a-\-ii, регулярная и аналитическая в полосе а < а < р.
Пусть в любой более узкой полосе a -f- S ^ а .^ р — 8 (8>0 — про-
произвольное фиксированное число) задана положительная функ-
со
ция Ф(р), такая, что I Ф(р)с?р существует и всюду в полосе
о
справедливо неравенство
|ср (s)\ ^ Ф(|т|). A)
Тогда для действительных х и фиксированного а существует
интеграл
a+ico
ср (s) exs ds B)
а— loo
и в полосе а < а < р выполняется уравнение
?~Xi dx. C)
= f
§ 3. Общая теория нестационарных задач 531
Теорема 2. Если ty(x)— кусочно-гладкая функция действи-
со
тельного переменного х и если интеграл I ty(x) е~зх dx абсо-
со
лютно сходится при а. < а < р, то из равенства C) следует
формула обращения B).
Следствие. Если р = оо и, следовательно, функция y(s) регу-
регулярна на всей полуплоскости о > а, ы если функция cp(s) y<9o-
влетворяет сформулированным выше дополнительным усло-
условиям1), то мы имеем ф(х) = 0 для х < 0. Таким образом,
в этом случае справедливы формулы
ст-i- /со
D)
?~xs dx.
о
Сначала мы докажем теорему 2. Пусть
о-IT -Т
Подставив вместо tp (a —|— гх) выражение
ср := | ф (?) е~^ ^"*"t%^ d$,
— со
мы получим
в*а С Г
-Г -со
со
Так как функция $(х)е~ла кусочно-гладкая и I \ty (x)\ e~x° dx
— со
сходится при любом фиксированном а в интервале а < а -^ C, из
теоремы об интеграле Фурье (см. т. I, стр. 72) следует, что интеграл
') Мы имеем в виду условие, что для всех <j>a-j-S существует соот-
соответствующая функция Ф (р).
532
Приложение 2 к гл. V
при возрастании Т стремится к <.\{х)е~ах; следовательно, функция
ifT (х), как мы и утверждали, стремится к <\i(x).
Чтобы доказать теорему 1, мы составим интеграл
который при наших предположениях абсолютно сходится на интер-
интервале а < а < р.
Теперь мы покажем, что этот интеграл
не зависит от а. Рассмотрим интеграл
J=
стг
" по отрезку прямой, параллельной действи-
¦ тельной оси; длина этого отрезка фиксирова-
фиксирована и равна о2 — ах > 0, и он целиком содер-
содержится в полосе a-f-5^a^p — 8. Применяя
интегральную теорему Коши, мы видим,
что функция ф (х) действительно не зависит
от а, если только J стремится к нулю,
когда | Т\ пробегает соответствующую не-
неограниченно возрастающую последователь-
последовательность значений |7\|, |Г2|, ... (рис. 41). А интеграл J стремится к нулю
в силу оценки
Рис. 41.
с2
J* | «р (о
Ф (| Г |)(о2 — ах);
так как интеграл |Ф(р)й?р существует, то должна существовать
о
такая последовательность Tv Т2 Для которой Ф (| Т |) стре-
стремится к нулю.
Из уравнения
следует, что функция ^(х)е~л" есть преобразование Фурье функции
ср(а — ii), кусочно-гладкой относительно х. Поэтому, если интеграл
со
Г [<p(a — h)\d\ сходится, то, в силу теоремы об обращении инте-
§ 3. Общая теория нестационарных задач 533
града Фурье, мы получим
ср(а — гЧ)= Г
что и утверждается в теореме 1.
Чтобы доказать следствие, заметим, что в указанных там пред-
предположениях для всех о ^> a -f- 8 и для всех л; справедлива оценка
E)
Если л: отрицательно, то правая часть становится сколь угодно малой
при больших о и, следовательно,
<р (л:) = 0 для х < О,
что и утверждалось.
2. Решение нестационарных задач с помощью преобразования
Лапласа. Теперь мы можем получить решение нестационарной за-
задачи I из § 1 в более общей форме, чем раньше (см. § 1, п. 4),
даже в предположении, что начальное состояние не является состоя-
состоянием покоя. Метод решения опирается на тот факт, что задачу I
можно свести к некоторой другой задаче II, содержащей на одну
независимую переменную меньше. Обе эти задачи эквивалентны, что
устанавливается с помощью прямого и обратного преобразования
Лапласа, но во многих случаях вторую задачу можно решить просто
и в явной форме, а первую нельзя. Желательно, чтобы предположе-
предположения, при которых можно применять преобразование, были достаточно
широкими и охватывали бы важные практические применения.
Мы потребуем, чтобы решение и(х, t) задачи I удовлетворяло
следующему условию: существует такое действительное число а0, что
функции
а(х. /)гЧ их(х, t)e-a°\ uxx(x, t) е~л~* F)
остаются ограниченными равномерно по х при стремлении t к бес-
бесконечности. При этом предположении соответствующее преобразова-
преобразование Лапласа, которое удобно записать в виде
\ J
534 Приложение 2 к гл. V
существует для Re 7 = а > а0 и является регулярной аналитической
функцией от
в полуплоскости а > а0. На основании наших предположений мы
получаем следующие формулы для производных этой функции:
со
7 J ДЛ
о
Из наших условий мы заключаем, что преобразования Лапласа для
функций ut и ии также существуют. Мы имеем
т г
j ut (x, t) e-i' dt — u (х, Т) е-'!т — ср (х) + Т J «(*. О е~г< Л.
Так как правая часть имеет предел при Т—>со и Re f > а0, толевая
часть также имеет предел, т. е. мы имеем
со
I ute~'il dt = v(x, ¦{) — v(x).
В гиперболическом случае (а > 0) отсюда следует также существо-
существование интеграла
с»
Г ине~11 dt.
о
Мы получаем, что
оэ
f utte-*dt = (v — ср)т — ф.
Кроме того, если мы умножим дифференциальное уравнение A0) из
§ 1 на e~'i' и проинтегрируем его по t от 0 до со, то для v мы
получим неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение
L \v\ -f (af+ b-0 cp -f аТф = (aT2 + 67) г».
§ 3. Общая теория нестационарных задач 535
Это уравнение становится однородным, если в начальный момент мы
имеем состояние покоя. Аналогичным путем мы получаем граничные
условия
со
v@, T) = T f f(t)e-t'dt,
pvx = (a — l-() v -}- X-j-cp (/) Для х = 1.
Таким образом, возникает следующая краевая задача для обыкно-
обыкновенного дифференциального уравнения относительно функции v не-
независимой переменной х, содержащего комплексный параметр ~[.
Задача II.
L [v] + (яТ2 + *Т) ? + "ТФ = («Т2 + *Т) «• G)
@в-т'Л. G')
о
рг>г = (а—Xf) v -f- X-fcp (/) для х = 1.
Пусть функция /@ — кусочно-гладкая для t^-О и интеграл
со
I f(t)e~atdt абсолютно сходится для а > а0; пусть <р(х) и ф (л:) —
о
непрерывные функции для 0 ^ х <! /.
Мы немедленно делаем следующий вывод:
Если задача II имеет единственное решение для любого
Y = a -f- /р с а > а0, то существует не более одного решения
соответствующей задачи I, удовлетворяющего условиям F).
Однако еще более важно показать, что с помощью формулы обра-
обращения преобразования Лапласа из решения задачи II можно получить
решение задачи I. Мы докажем следующую теорему.
Пусть i)(x, f) — решение задачи II, непрерывное и обладаю-
обладающее непрерывными производными по х вплоть до второго
порядка на отрезке 0^x^.1. Пусть для любого фиксирован-
фиксированного х на этом отрезке функция v(x, f) регулярна всюду
в полуплоскости Re 7 > а0 комплексной плоскости f. Кроме
того, пусть в каждой полуплоскости Re*f^ao-|-8, из которой
в случае а0 < 0 начало координат исключается с помощью
произвольно малого фиксированного круга, и для любого фикси-
фиксированного отрезка г^.х^1 выполняется неравенство вида
v \х> "О / л /1 о I \ /а\
536 Приложение 2 к гл. V.
причем I Ф(р)^р существует. Тогда если функция и, опреде-
(9)
о
ленная формулой
непрерывна в области 0 ^ х ^.l, t ~^> 0, t2 -f- x2 !> г > О (е —
произвольно малое число) и обладает непрерывными первыми
и вторыми производными в области О < х ^ /, t ^ О, t2 -f- х2 ;> е,
то функция и является решением соответствующей задачи I.
Здесь контур интегрирования Z. есть произвольная прямая, параллель-
параллельная мнимой оси и лежащая в полуплоскости а > а0, или же, в слу-
случае а0 < О, L есть контур, изображенный на рис. 39, § 2, п. 5 ')•
Сначала мы установим, что функция и(х, t) удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению. Так же как и при последующей про-
проверке граничных и начальных условий, мы произведем нужные диф-
дифференцирования с помощью приема, несколько раз упомянутого
в § 1. Сначала мы составим вспомогательную функцию
•м J f - -•¦ ^
L
В силу предположения (8) эту функцию можно дважды дифференци-
дифференцировать по t под знаком интеграла для е ^ х <С /. t ~^> 0. В частности,
мы имеем
wit = и (х, t).
С другой стороны, в силу дифференциального уравнения G), интеграл
1 с L\v\
f
J_ Г L[v]
2г./ J f e "'
равномерно сходится в области s ^ х ^ /, s ^ t ^ Т. Из этого мы
заключаем, что справедливо соотношение 2)
') Легко доказать, что этот результат совпадает с представлением реше-
решения в виде интеграла Дюамеля (§ 1, п. 3).
2) Достаточно проверить, что
или, так как р > 0, что
§ 3. Общая теория нестационарных задач 537
Отсюда следует, что
1 с е^1
awn -\-bwt — L \w\ = -^-г J —3- l(af -f- b-fiv — I [v] ] df.
i
Таким образом, из дифференциального уравнения G). мы получили
1 с е1'
awtt-\-bwt — L[w] = -^-r I—rl(aT~h
L
или
awn -f- bwt — L [w] = ay -)- (by -f- аф) ^.
Если мы продифференцируем это уравнение дважды m t — это воз-
возможно, так как по предположению функция и (х, t) дважды непре-
непрерывно дифференцируема,—то для и мы получим дифференциальное
уравнение autt-\-but = L\u\, справедливое для таких х, t, для кото-
которых 0 < х ^ /, t > 0. Тот факт, что функция и в точке х=;0 удо-
удовлетворяет граничному условию «@, t) — f(t), немедленно следует
из теоремы об обращении преобразования Лапласа и из непрерыв-
непрерывности и (х, t) при / > 0, 0 ^ х ^ /.
Для вспомогательной функции w па конце х=/ выполняется
условие
kw
t — aw — -^- J 4x
Следовательно, дифференцируя два раза по /, мы получаем
pux-{-Xut — аи = 0.
!Х
| — dx' \. Интегрируя выражение Я, за-
о Р J
данное выше с помощью интеграла, мы получаем
" —('-о—со-
где A (t) не зависит от х. Дифференцирование этого последнего уравнения
сразу дает й = (Pwx)x.
538 Приложение 2 к гл. V
Чтобы проверить, выполняются ли начальные условия, мы заметим
сначала, что функции w(x, 0) и wt(x, 0) равны нулю при х > 0
в силу того, что
И
и ввиду условия (8). Действительно, справедливы оценки
\w(x,
из которых при а—* со получается нужное утверждение. Из пред-
предположений, сделанных относительно функции и(х, t), следует, что w
и wt непрерывны вместе со своими производными до второго порядка
в области
и, следовательно, что выражения L [w] и L [wt\ стремятся к нулю
при t—>0. Уравнение A1) переходит в уравнение
a[wtt(x, 0)— у(х)] = а [и {х, 0) — ср(х)] = О. A2)
Дифференцируя уравнение A1), мы получим для / = 0
a (wttt — ф) + b (wtt — ср) = 0,
или
a[ut(x, 0) — ty(x)]-{-b[u(x, 0) — <р(л;)]=О. A3)
В случае а Ф 0 отсюда следует, что
и(х, 0) = 9(л:), ut(x, О) = ф(лг),
а в случае, когда а = 0, Ь ф 0, получаем
и (х, 0) = (р (х),
чем заканчивается доказательство.
Наконец, мы заметим, что, в силу условия (8), при произвольном
а > а0 для функции и справедлива оценка
\и(х, t)\<-e
§ 3. Общая теория нестационарных задач 539
Для t < О отсюда следует, что
и(х, () = 0, A4)
а для t > О
Это показывает, что первоначально сделанное относительно и пред-
предположение F) выполняется для только что построенного решения.
3. Пример. Волновое и телеграфное уравнения. В качестве
иллюстрации метода мы рассмотрим телеграфное уравненче
ин = игх— г2и (г — постоянная) A6)
с начальными условиями
и(х, 0) = иДх, 0) = 0 A6')
и граничными условиями г)
«(О, t) = ~,
м A6")
= au для x = l.
Мы имеем соответствующую задачу II:
*ХХ=Ы, A7)
«@. Т)=^. A70
рг\. = (а — )^)v для х = 1,
причем мы должны положить
Решение этой задачи определяется формулой
7,(г -л - - Pfe ch *(/-¦») + (^Т - °) sh * (/ - jc) J__
pkchkl+Qq — a)sh
') Вместо того чтобы строить возникающую под действием импульса
функцию U (x, t), мы построим функцию U3(x, t) (см. § 1, п. 3), чтобы на
основании теоремы из п. 2 иметь уверенность в том, что соответствующий
интеграл A/2яг) / [v (x, ~t)l~{\ е"<{ d-\ представляет искомое решение. Пред-
L
положения этой теоремы не будут выполняться для интеграла, представляю-
представляющего U (х, t). Однако мы можем затем получить U из U3, так как
U (х, t) = d3U3 (л-, t)jdt\
540 Приложение 2 к гл. V
где
Как и раньше, мы видим, что существует такое я0 > 0, что знаме-
знаменатель выражения A8) не имеет нулей в полуплоскости Re f > <х0;
следовательно, функция v регулярна всюду в этой полуплоскости.
На любой прямой L, параллельной мнимой оси и лежащей в полу-
полуплоскости Re"( ^-ao-f-S, выполняется неравенство
v (х,
1
где Л>0 и В > 0 — постоянные, не зависящие от х и -р Из этого
неравенства и из соответствующих оценок для vj*[ и vxx/~[ ясно, что
B0)
является непрерывной функцией и имеет непрерывные производные
первого и второго порядка в области 0 ^ х ^ /, t ^- 0. Следова-
Следовательно, эта функция является решением уравнения A6).
Мы снова рассмотрим частные случаи '):
ихA, 0 = 0, е(*)=— 1,
и (Л 0 = 0, е(*)=1. B1)
Как и раньше, разложим функцию v в ряд
fv(x, T)= ^ eV*-*+M)- 2 еУ*-™ B2)
v = 0 v=l
и подставим этот ряд в формулу B0). Так как легко убедиться, что
допустимо почленное интегрирование, мы получаем ряд вида
Us(x, t) = S(x, 0 + 2 ?V\SBv/ +x, 0 — 5Bv/ — x, t)], B3)
v=l
где S(x, t) определяется с помощью интеграла
S(x. O = ^Jexp{-^/?T^+T^- B4)
Для г =0 мы немедленно получаем
S(x, 0 =
2я/
/.
') Другой важный случай соответствует г = 0; он, однако, возникает
только при r = 0, a = 0 и Х=р. В этом случае не существует .отражен-
.отраженных" волн.
§ 3. Общая теория нестационарных задач 541
Таким образом, имеем
„. ДЛЯ t > X,
о ^Д-, ij — о {I — лj — \/,о)
О для t < х,
и, наконец,
U3(x, t) = S(t — x)+ 2 e"[S(t — x — 2v/) — S(t-\- x — 2v/)], B6)
в соответствии с результатами, приведенными в § 1, п. 1 для част-
частного случая
Только конечное число членов ряда B6) отлично от тождественного
нуля, и каждый из этих членов имеет непрерывные производные до
второго порядка и кусочно-непрерывные производные третьего по-
порядка. Следовательно, для функции U при г = 0 мы сразу получаем
с помощью дифференцирования формулу
U(x, t) =-n(.t — х) + EevhC — *—2vQ — tj(/+ x + 2v/)],
v=l
где
1 для / > 0,
о для /<0.
Чтобы вычислить интеграл B4) в случае г Ф 0, мы введем вместо 7
переменную интегрирования ср = з -)-^. связанную с f соотношением
f = /A COS ср.
Отсюда следует, что
{ os?))-^V^«fcp. B7)
Здесь Z,' — образ прямой L на плоскости ср, т. е. U — это кривая
Re (tr cos ср) = const > а0,
изображенная на рис. 42. Если t < x, то действительная часть по-
показателя
//¦(/jcsincp -f-^coscp),
т. е. выражение
rsina(^sht — jtcht), B8)
в области 0<с<тг, т>0 стремится к —с» при х->схз. Таким
образом, контур V может быть сжат в двойную прямую, проходящую
в этой области (см. рис. 43), и, следовательно,
S{x, 0 = 0 (t <x). B9)
542
Приложение 2 к гл. V
Если t > х, то выражение B8) стремится к —оо при т->оо в об-
области — тг<а<0, т>0, и L можно перевести в кривую L", иду-
идущую по краю всей полосы — тг < а < тг (рис. 44). Так как под-
интегральная функция в формуле B7) периодическая, мы получаем
S(x, t) =
exp{ir(ix sin <? + t coscp)
C0)
где точки <р = + ^ исключаются с помощью малых полукругов,
открытых снизу.
0 к
Рис. 43.
-7Г
Рис. 44.
Рис. 42.
Достаточно вычислить функцию
f(x, t) — 4 I exp [ir (i'xsincp-j-^coscp)}—^
cos4
C1)
так как S— — fх. Четвертая производная функции C1) по / равна
ехр {/г (/х sin
cos <
= i0 (r
При t~x функция f(x, t) обращается в нуль вместе с производ-
производными по t вплоть до третьего порядка. Действительно, если мы
в формуле C1) положим t — x и введем новую переменную инте-
интегрирования z = elf, то мы получим
fix, х)=1-г
¦dz,
где в качестве пути интегрирования взята единичная окружность на
плоскости z, а точки z= ~ti надо исключить, слегка деформируя
контур. Мы сразу получаем, что f(x, лг) = 0; аналогично мы уста-
§ 3. Общая теория нестационарных задач
543
навливаем, что при t — x равны нулю производные /. Таким об-
образом, мы получаем
t
t
f (х ,t) = -ij- J (/ - xK Jo (r V?=
dx
и, следовательно, в качестве окончательного результата имеем
t
S(x,t)= дх J 3! ° Г *' ДЛЯ Х' C2)
О для t < х.
В частном случае, когда л = 0, мы опять получаем прежний
результат
для t > х,
S(x. t) =
3!
О
ДЛЯ t < X.
В случае г ф 0 в соответствии с формулой C2) ряд B3) имеет
только конечное число членов, отличных от тождественного нуля,
причем каждый из этих членов имеет непрерывные производные
вплоть до второго порядка и кусочно-непрерывные третьи произ-
производные. Следовательно, с помощью дифференцирования мы можем
получить для функции U = д3иг/д?3, возникающей под действием
импульса, выражение
U(x, t)—S(x,
v=l
— SBvl — x, t)\, B3'/
где
S(x, t) =
0
для
ДЛЯ t < X.
B4')
Эта функция является решением задачи A6) с граничным условием
U@, 0=1-
Большое количество других важных примеров содержится в цити-
цитированной литературе.
Глава VI
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
СО МНОГИМИ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Введение
Теория гиперболических дифференциальных уравнений математи-
математической физики в случае, когда число независимых переменных больше
двух, представляет собой столь широкую область, что ее невоз-
невозможно полностью изложить в этой книге, даже если в основном
ограничиться линейными задачами. В этой главе мы будем рассма-
рассматривать эти проблемы с точки зрения распространения волн. Основ-
Основную роль в исследовании задачи Коши и задачи об излучении будут
играть характеристические поверхности и бихарактеристические лучи
(вдоль которых распространяются возмущения).
В случае многих независимых переменных уже нельзя построить
решение с помощью простых итерационных методов, как в гл. V.
Тем не менее мы сможем описать общую структуру решений и дать
их подробный анализ в некоторых важных частных случаях.
Прежде всего мы рассмотрим задачу Коши для одного уравнения
произвольного порядка и для систем уравнений с несколькими неиз-
неизвестными функциями. В довольно элементарных первых двух парагра-
параграфах мы обратим особое внимание на случай одного уравнения второго
порядка, а в следующих за ними параграфах — на симметрические
гиперболические системы первого порядка. Исследование этих си-
систем несколько проще, чем изучение общих уравнений или систем
высших порядков.
Замечательно, что почти все уравнения математической физики
возникают в виде симметрических гиперболических систем первого
порядка. Здесь нам придется повторить в несколько измененной
форме некоторые результаты, изложенные в гл. III.
Первая часть этой главы посвящена вопросам единственности,
существования, построения решений и их геометрическим свойствам;
вторая часть в основном относится к представлению решений через
данные задачи и связанным с этим вопросам.
Построение, данное в первой части, доказывает основной резуль-
результат—наличие конечной области зависимости от данных Коши (что
мы уже видели в гл. V для случая двух независимых переменных).
В противоположность этому данное во второй части представле-
представление решений через „плоские волны" не доказывает непосредственно
того, что область зависимости конечна.
§ 1. Уравнения второго порядка 545
Надо всегда иметь в виду, что, как правило, наши утверждения
и результаты справедливы только ,.в малом"; однако в тех случаях,
когда это возможно, мы будем распространять наш it результаты на
более широкие области, естественные для рассматриваемых задач.
Мы будем уделять основное внимание линейным задачам, но
достаточно подробно будем описывать обобщения и на квазилинейные
системы.
Наконец, мы напомним (гл. III, § 4, см. также § 10, п. 1 и
§ 12, п. 5), что в случае линейных гиперболических задач решение
неоднородной задачи выражается через решение однородной задачи
с помощью представления Дюамеля. Поэтому мы можем в основном
ограничиться исслгдованием задачи Коши для однородного урав-
уравнения.
Мы будем рассматривать п-\~ 1 независимых переменных х0,
хг, .... хп и обозначать их совокупность через вектор х. Однако
часто мы будем выделять переменную х0, считая ее временем t, и
записывать совокупность независимых переменных как t, x. Для
удобства мы будем пользоваться обычными сокращенными записями
вида
Часть I
ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ПОСТРОЕНИЕ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ
§ 1. Дифференциальные уравнения второго порядка.
Геометрия характеристик
1. Квазилинейные дифференциальные уравнения второго по-
порядка. Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение вто-
второго порядка
А [«] + <*= 2 aikullt + d = 0. A)
Здесь использованы сокращенные обозначения ui = dujdxl и uik —
= д2и/дх1 dxk. Свободный член d и коэффициенты aUi — aki — за-
заданные функции независимых переменных х0, х1 хп, функ-
функции и и производных «; '). Как всегда, мы предполагаем, что встре-
') В этой главе индексы у функций, к которым применяются дифферен-
дифференциальные операторы (например, и., у., ^., и(), будут обозначать соответст-
соответствующие частные производные, тогда как у коэффициентов (например, alk,
Ъь Ci) они являются индексами в обычном смысле.
546 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
чающиеся нам функции непрерывны в рассматриваемой области, если
специально не оговорено противное.
Как уже было указано в гл. I и III, понятие характеристик воз-
возникает из попытки дополнить начальные данные на поверхности С,
заданной уравнением ^(x0 х„) = 0, до решения уравне-
уравнения A) '). Начальные данные на поверхности С состоят из значений
функции и (определяющих внутренние производные и) и значений
л
одной „выводящей" производной, например и = 2 ut<?i- Тогда на С
v / = о
определяются все первые производные функции н 2).
Задача Кошп состоит в том, чтобы найти решения уравнения A)
в некоторой окрестности поверхности С, но исследование дифферен-
дифференциального уравнения на самой поверхности С подсказывает постановку
гораздо более простой задачи: дополнить начальные данные до ин-
интегральной полосы, т. е. найти функции и, иг, uik, которые на С
удовлетворяют уравнению A); см. гл. III, § 2. Именно эта простая
задача непосредственно приводит к понятию характеристик3).
Вместо х0 хп мы введем новые независимые переменные
Хо \п, причем \п = у, а Хо, ..., Хп_] являются „внутренними
переменными" на поверхности С; таким образом, задачу можно более
точно сформулировать следующим образом: на поверхности С заданы
функции
построить такую функцию и (х0, .... хп), чтобы на С эта функция
и ее производная по ср совпадали с заданными функциями (Г) от
Хо, .... Хп-1 и чтобы функция «удовлетворяла уравнению A) на по-
поверхности С.
Ясно, что все вторые производные функции и(х0 хп), кроме
и??> однозначно определяются из данных на поверхности С с по-
помощью дифференцирования функций A') по внутренним переменным.
Теперь мы постараемся выяснить, когда дифференциальное урав-
уравнение и начальные данные определяют также и производную и на
поверхности С. В переменных Хо, Xj Хп = ср уравнение A) при-
принимает вид
V2fe)+---=0, B)
где
со
<?k) = 2 aik?*?* C)
t,k = Q
') Далее в этой главе мы изменим обозначения, сохраняя обозначения С
и 9 для характеристических поверхностей.
2) Для уравнений порядка т соответствующие данные Коши состоят из
значений и и ее выводящих производных до порядка т — 1.
3) Сравните с соответствующими рассуждениями в гл. III.
§ 1. Уравнения второго порядка 547
— характеристическая форма. Точки в выражении B) заменяют
члены, которые выражаются через начальные данные, т. е. члены,
содержащие только внутренние производные функции и и первых
производных от и. Следовательно, вторая производная и одно-
однозначно определяется данными задачи в каждой точке Р поверхности С,
в которой коэффициент при и в формуле B), т. е. квадратичная
форма Q(tf;), не обраш,ается в нуль. Таким образом, для каждой
точки Р поверхности С мы получаем следующую альтернативу:
либо вторая производная и , а вместе с ней и все вторые произ-
производные, однозначно определяется начальными данными и дифферен-
дифференциальным уравнением, либо дифференциальное уравнение представ-
представляет собой некоторое дополнительное ограничение, наложенное на
начальные данные.
В дальнейшем будет предполагаться, что на всей поверхности С
для начальных данных, заданных формулой A'), выполняется одна
из этих возможностей. В первом случае мы называем начальную
поверхность сюбодной (см. гл. III, § 2), а во втором случае — ха-
характеристической. Во втором случае на поверхности С при за-
заданных значениях и и ut удовлетворяется характеристическое урав-
уравнение
Q (?;. Ъ) = Q (?/) = S "ikWk = 0. D)
причем в коэффициенты aik подставлены начальные значения и и ut.
Хотя характеристическое соотношение D) имеет форму диффе-
дифференциального уравнения первого порядка относительно функции ср,
функция
(> х\ *л)
не обязана тождественно удовлетворять этому уравнению; по опре-
определению, она должна удовлетворять соотношению D) только на по-
поверхности С, т. е. при ср = 0. Однако если С задается в виде
xo = <],(xv х2 хп),
то D) представляет собой дифференциальное уравнение относительно
функции ф, зависящей только от п переменных:
2 в,*М* - 2 2 в/o+i + «оо = 0. (б)
причем вместо х0 надо подставить в коэффициенты его выражение
через хх, х2 хп, а вместо и и и( — их начальные значения.
548 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Если, в частности, ао0 = —1, а/0 = 0 для 1 <; / <! п и если
коэффициенты aik не зависят от xo = t, то уравнение A) прини-
принимает вид
i,k=\
а характеристическое дифференциальное уравнение для функции ф—
вид
Этот случай часто встречается в физике.
Для заданного решения и = и (х0, хх хп) дифференциаль-
дифференциального уравнения A) функция и и производные и, являются известными
функциями переменных xQ, xv ..., хп. Заменим и и и{ в коэффи-
коэффициентах atj на эти известные функции; тогда характеристиче-
характеристическое уравнение D) определяет характеристические поверхности
для заданного решения и. Если уравнение D) удовлетворяется
не только при ср = О, но и тождественно по х0, хх хп,
то уравнение <р=с —const дает однопараметрическое семейство
характеристических поверхностей, зависящее от параметра с.
Обратно, если уравнение ср —с является уравнением такого
семейства характеристических поверхностей, то функция <р
удовлетворяет уравнению D), которое надо понимать как диф-
дифференциальное уравнение первого порядка.
Кроме того, из уравнения B) видно, что на характеристической
поверхности С, где Q(cp,-, <pft) = 0, дифференциальный оператор вто-
второго порядка L[u] является внутренним дифференциальным опе-
оператором в следующем смысле: если на С заданы значения функ-
функции и и производных и,-, то известно значение L[u]. Действительно,
из начальных данных можно найти значения всех внутренних про-
производных от ut, а также от и . Выводящая вторая производная а
не входит в оператор, так как член с этой производной имеет вид
u9oQ' a Q = 0. Поэтому уравнение L[u] = 0 на поверхности С можно
рассматривать как дифференциальное уравнение первого порядка
относительно выводящей первой производной и .
Как уже указывалось в гл. III, характеристические поверхности
могут существовать только в том случае, когда действительные
функции ср удовлетворяют соотношению D); тогда квадратичная
форма Q(cp^) не должна быть знакоопределенной. Уравнения, для
которых квадратичная форма Q, содержащая я -f- 1 переменных,
может быть с помощью линейного поеобразования сведена к ана-
§ 1. Уравнения второго порядка 549
логичной форме, зависящей от меньшего числа переменных
(параболические уравнения), не будут рассматриваться в этой
главе1).
Теперь мы предположим, что форма Q не только не является
знакоопределенной, но что ее индекс инерции равен 1, т. е. что
в каждой рассматриваемой точке форму Q можно с помощью со-
соответствующего линейного преобразования независимых переменных
привести к виду
Тогда дифференциальное уравнение A) называется гиперболи-
ческим. В новых переменных его главная часть в точке Р равна
«11 +«22+ ¦¦•+ипп — «00-
т. е. совпадает с главной частью волнового уравнения. Элемент
я-мерной поверхности Ф0 = 0 называется элементом пространствен-
пространственного типа, а направление оси Фо можно рассматривать как времен-
временную ось в точке Р. Позднее, в § 3, мы дадим более общий анализ
понятия гиперболичности (см. также гл. III, § 2), не используя тот
факт, что Q — квадратичная форма.
Простейшим примером является волновое уравнение
«и+«22+•••+«/« -«оо = 0-
для которого характеристическое уравнение имеет вид
Конечно, существуют квадратичные формы Q с другими индек-
индексами инерции. Мы вернемся к этим „ультрагиперболическим" слу-
случаям позже, в § 16 этой главы. Типичным примером служит диф-
дифференциальное уравнение
«11 + «22 — «33 — «44 = 0
с характеристическим уравнением
') Теория линейных параболических уравнений второго порядка под-
подробно изложена в обзорной статье А. М. Ильина, А. С. Калашни-
Калашникова и О. А. Олейник, Линейные уравнения второго порядка парабо-
параболического типа, Успехи машем, наук, 17, вып. 3 A962), 3—146.— Прим. ред
550 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
2. Линейные дифференциальные уравнения. Общая ситуация,
описанная в п. 1, упрощается для линейного дифференциального
уравнения
L[u]-\-d = 0, F)
где
;,/; = 0 1 = 0
а коэффициенты aik, аг а являются заданными функциями только
от /г —{— 1 независимых переменных х0, хг хп. Тогда выпол-
выполнение характеристического уравнения D) или E) зависит только от
поверхности С и не зависит от начальных данных; поэтому харак-
характеристики не зависят от того, какое решение рассматривается. То же
самое справедливо, если от и и ее производных не зависят коэффи-
коэффициенты главной части, т. е. aik. Такие уравнения называются почти
линейными. Поверхность ср = О в пространстве х, удовлетворяющая
уравнению D), т. е. такая, что Q(cp(-) = O, называется характеристи-
характеристической поверхностью линейного дифференциального уравнения
F). Очевидно, в этом случае гиперболичность является свойством
самого дифференциального уравнения и не зависит от начальных
данных.
Связь между характеристическим уравнением D) и дифферен-
дифференциальным уравнением E)
можно описать следующим образом: предположим, что функция
ср = <р(х0, х1 хп) является решением уравнения D), которое
рассматривается как дифференциальное уравнение с частными про-
производными. Если уравнение ср = с = const решить относительно х0,
xo = ty(xv xv ..., хп, с),
то получится однопараметрическое семейство решений уравнения E).
Обратно, если
XQ = 'HXV X2 Хп> С)
есть однопараметрическое семейство решений дифференциального
уравнения E) и это равенство разрешается относительно с в виде
с^?(х0, хх хп),
то функция ср является решением дифференциального уравнения D).
Пусть теперь ср = О — произвольная характеристическая поверх-
поверхность, удовлетворяющая уравнению D) при сс = О; тогда соответ-
соответствующая функция
xQ = <lf(xv х2 хп)
§ 1. Уравнения второго порядка 551
является решением дифференциального уравнения E). Любое до-
достаточно гладкое решение такого дифференциального уравнения с
частными производными первого порядка может быть включено в
однопараметрическое семейство решений xo = ty(xv x2 хп, сI).
Решая это уравнение относительно с, мы получаем соответствующее
решение уравнения с частными производными D). Следовательно, лю-
любая характеристическая поверхность ср = О может быть вклю-
включена в однопараметрическое семейство характеристических
поверхностей <р = с. Поэтому мы можем без ограничения общности
предполагать, что такое включение произведено, если специально
не оговорено противное. Тогда функция ср является решением урав-
уравнения D), причем его надо понимать как дифференциальное
уравнение с частными производными.
В качестве примера такого включения мы рассмотрим при я = 2
дифференциальное уравнение att — ихх — иуу = 0 и характеристиче-
характеристический конус х^^2 — х2 — у2 = 0. Эта функция ^ удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению
Поэтому конус х = 0 характеристический, но поверхности х = с
не являются характеристическими при сфО. С другой стороны, если
мы включим исходный конус в семейство конусов
то получим
ft fx fy '
так что поверхности <р = с будут характеристическими при любой
постоянной с. Соответствующие утверждения справедливы для вол-
волнового уравнения с любым числом переменных.
3. Лучи или бихарактеристики. В соответствии с теорией урав-
уравнений первого порядка, изложенной в гл. II, любая характеристи-
характеристическая поверхность ср = О или ср = const порождается семейством
бихарактеристических кривых или лучей, которое тесно связано с
уравнением второго порядка A). Эти лучи задаются как функции
некоторого параметра s на кривой с помощью системы п-\-\ обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений
п
') Например, согласно гл. II, мы можем определить решения дифферен-
дифференциального уравнения E), задавая начальные значения, зависящие от пара-
параметра с.
552 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
в случае, когда коэффициенты alk в уравнении A) не зависят от и
и И] ип, т. е. в случае линейного или почти линейного1) урав-
уравнения A). Для квазилинейного уравнения A) мы рассмотрим фик-
фиксированное решение и и подставим в коэффициенты aik соответствую-
соответствующие значения и(х) и Uj(x); тогда лучи определяются системой
xt = у Q-?.. В любом случае можно дополнить бихарактернстические
лучи, вводя „бихарактернстические полосы" xt(s), pi(s), где /», = ср?,
и определить величины, задающие эту полосу, как решения кано-
канонической системы (см. гл. II, § 8)
W?- й—f& «-»•• <¦>¦ <«'»
Тогда система (8') дает все возможные характеристические
полосы для решения и.
Надо напомнить, что на каждом решении этих обыкновенных
дифференциальных уравнений (8') Q = const = с. Чтобы выделить те
из них, которые на самом деле соответствуют уравнению A), мы
должны наложить дополнительное условие, что<3 = 0 в одной из
точек каждого луча, откуда уже следует, что Q = 0 на всем луче2).
Интегральные кривые системы (8'), удовлетворяющие условию
Q —0, являются характеристическими лучами или бихаракте-
бихарактеристиками заданного дифференциального уравнения второго
порядка A); они порождают все поверхности характеристического
семейства ср = const.
Можно также напомнить результат из гл. II. Если две различ-
различные характеристические поверхности ty = t и x = t касаются
в момент t = 0, то в любой последующий момент они имеют
общую точку касания, перемещающуюся по лучу, общему для
этих двух фронтов волны. Это утверждение эквивалентно теореме
') В этом случае требуется, чтобы только старшие члены были линей-
линейными.
2) Несколько более общим образом мы можем поставить в соответ-
соответствие любому (необязательно характеристическому) семейству поверхностей
<р = const семейство „трансверсальных" кривых, определяемых системой (8).
Тогда плоскости, касательные к этим поверхностям, и соответствующие
трансверсальные направления будут сопряженными относительно поверхности
второго порядка 2 aik^fik — °-
i,k=0
Поверхность <р = const будет характеристической тогда и только тогда,
когда в каждой точке трансверсальное направление касается поверхности.
Тогда дифференцирование по трансверсали является внутренним дифферен-
дифференцированием. Действительно, характеристическое уравнение можно сразу
п
записать в виде ^ ^
§ 1. Уравнения второго порядка 553
о том, что две интегральные поверхности дифференциального урав-
уравнения с частными производными первого порядка (здесь характе-
характеристического уравнения), имеющие общий элемент поверхности, имеют
также общую характеристическую полосу.
Если коэффициенты aik дифференциального уравнения A)
постоянны, то все характеристические лучи являются пря-
прямыми. Это непосредственно видно из уравнений (8')- Это ясно также
из того, что полные интегралы <р уравнения D) можно получить
в виде семейства линейных функций; образуя огибающие однопара-
метрическнх подсемейств, мы получаем прямые в качестве линий
касания.
Простейший пример дает волновое уравнение
х\х\ ' ' ' хпхп '
где мы положили xo — t. Характеристическое уравнение имеет вид
и
а лучи — прямые пространства х, t вида je/ = c(.-f-a^, где 2 а/ = '•
/ = 1
Если рассматривать бихарактеристики не в («-(-1)-мерном про-
пространстве х, t, а в я-мерном пространстве х и считать, что они
зависят от временного параметра t, то они будут произвольными
прямыми, по которым точка х перемещается с единичной скоростью.
Характеристические поверхности, заданные в виде t — ty(xv x2, ...,хп),
удовлетворяют дифференциальному уравнению
Таким образом, характеристические поверхности для волнового
уравнения определяются семейством параллельных поверхностей ^==t
(см. гл. II, § 6), полученных из исходной поверхности движением
по нормали с единичной скоростью. Лучи будут соответствующими
ортогональными траекториями.
4. Характеристика как фронт волны. Характеристические по-
поверхности играют роль „фронта волны", т. е. на этих поверх-
поверхностях решения уравнения A) могут претерпевать разрывы, на-
например разрывы вторых производных. На таких разрывах значения
вторых производных различны с разных сторон поверхности. Так
как на свободных поверхностях вторые производные однозначно
определяются данными Коши, то такая неоднозначность возможна
только на характеристиках.
Такой „фронт волны", например, возникает на границе, за ко-
которой в момент времени t нет возмущения. Решение, описывающее
554 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
возмущение, тождественно обращается в нуль по одну сторону этой
поверхности и не равно нулю по другую ее сторону.
Мы во многих случаях будем возвращаться к важному понятию
фронта волны (см., в частности, § 2). Здесь достаточно заметить
следующее.
Предположим, что уравнение A) линейное, и снова пусть xo = t
и ср == ф(хх, х2, ...,хп) — t. Мы будем понимать t как время,
аи — как функцию в я-мерном пространстве Rn переменных х,
зависящую от времени как от параметра. Тогда мы имеем дело
с решением уравнения A) u(xv х2 хп, t), которое обладает
поверхностью разрыва
зависящей от времени t и перемещающейся в пространстве х.
Предположим для удобства, что дифференциальное уравнение
имеет вид E')- Тогда вдоль лучей dt/ds=l. Таким образом, вве-
введенный выше параметр 5 на кривых совпадает с временем t и
уравнения лучей имеют вид
»*>* (/==1> 2 п)- (9)
В я-мерном пространстве Rn эти лучи пересекают фронт волны ty =
и мы имеем
2
i,k=\
Вектор с компонентами xt в пространстве Rn называется лучом,
трансверсальным к фронту волны ф = Л
Если предположить, что квадратная матрица (а1к) порядка п по-
положительно определенна, то уравнение E') будет гиперболическим.
В этом случае направления луча и касательной плоскости
к фронту волны будут сопряженными относительно эллип-
эллипсоида
Кроме вектора скорости в направлении луча с компонентами
xl = vl, можно рассматривать вектор нормальной скорости или
вектор волновой скорости фронта бегущей волны; эта скорость
получается, если следить за движением точки поверхности ty = t по
ортогональным траекториям семейства ^ = ^ = const. Компоненты
этой скорости 7), пропорциональны производным ^ и определяются
§ 1. Уравнения второго порядка 555
формулами
^ = (grad фJ (' = ! И)-
Скорость по направлению нормали и скорость по направлению
луча связаны уравнениями
(*=1, 2, .... п). A0)
Более подробное изложение см. в § 3.
5. Инвариантность характеристик. Очень важны некоторые
простые свойства инвариантности.
Пусть преобразование
К = $ЛХО' XV •••' Хп) 0 = 0, 1, ..., П)
переводит функцию и (х) в о>(?); мы можем написать (см. G)), что
[][] + 2 W+2 РЛ+[][] +
(л, v = 0 |л = 0
Тогда мы имеем не только L[u] = A[(a], но и L'[и] =Л'[ш].
Мы утверждаем, что характеристики инвариантны относи-
относительно произвольных преобразований независимых переменных.
Это очевидным образом следует из самого понятия характери-
характеристического уравнения. Чтобы доказать это с помощью формальных
выкладок, мы положим ijt = д^/дх^ и сразу получим, что
и
«¦и,— 2 aif4f-kv Теперь, если
<Р(*0- Х\ Xn) = Hk' St У-
то в силу равенства sv = 2 Фи.ти.м мы имеем тождество
0
2 ;*№ 2j
I, ft=0 i, ft=0
которое показывает, что характеристическая форма инвариантна.
Иногда можно воспользоваться этой инвариантностью для того, чтобы
перевести характеристическую поверхность в плоскость х„ = 0.
Заметим, что плоскость хп = 0 является характеристической
поверхностью тогда и только тогда, когда
«ля(*о- xi xn-v 0) = 0. A1)
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравне-
уравнение хп = const давало семейство характеристических поверх-
556 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
ностей, состоит в том, что коэффициент апп(х1, х2 хп)
тождественно обращается в нуль.
Аналогично устанавливается, что инвариантны бихарактеристические
лучи; это значит, что бихарактеристические направления ll = — Qti/
и x4=-^Q9 определяют один и тот же вектор, т. е. что они свя-
связаны соотношением
i 2 v/v
v = 0
Ясно, что это уравнение немедленно следует из предыдущих формул!).
6. Конус лучей, конус нормалей, коноид лучей. Направления
лучей, проходящих через точку Р, образуют „локальный конус лу-
лучей" (это конус второго порядка), или конус Монжа в смысле
гл. II, § 3, для характеристического дифференциального уравнения D).
Само уравнение D) является условием, наложенным на направляющие
коэффициенты ?,- = %. но не для лучей, а для нормалей к характе-
характеристическим элементам поверхности. Рассмотрим эти нормали как
векторы %, исходящие из начала координат в пространстве с прямо-
прямоугольными координатами ?0, ..., \п (мы можем его представлять
себе в той же координатной системе, что и х0, хх х„). Концы
этих векторов лежат на „конусе нормалей", или на „двойственном"
п
конусе 2 fl^ft=0.
Направления лучей задаются уравнениями
xt = aiklk, A2)
где \k удовлетворяют соотношению
Q(l 0 = 0. A3)
Если матрица Alk — обратная для матрицы alk, то в силу A2)
Подставив ..эти выражения в формулу A3), мы легко получим для
коэффициентов, определяющих направление лучей, уравнение
Aik'xixk = Q. A4)
') Аналогично этому, дифференцирование по трансверсали инвариантно
относительно произвольных преобразований независимых переменных
(см. п. 4), так как для произвольных функций у билинейная форма
п
j_ = dyjds = ~У, ацЯкЪ> связанная с квадратичной формой Q, инвариантна.
§ I. Уравнения второго порядка 557
Обратно, если величины xt удовлетворяют уравнению A4), то вектор х-
имеет бихарактеристическое направление.
По определению, конус лучей является огибающей всех харак-
характеристических элементов поверхности, проходящих через точку Р.
Двойственный конус нормалей является огибающей плоскостей,
ортогональных к лучам, образующим первый конус и проходящим
через Р. Двойственность двух этих конусов второго порядка может
быть описана следующим образом. Мы определим коллинеацию, или
преобразование двойственности, которое каждому лучу, проходящему
через точку Р, ставит в соответствие его полярную плоскость
(т. е. ортогональную плоскость) относительно мнимого конуса
п
У| с2 = 0 (двойственное преобразование1)). Тогда каждый из этих
г = о
конусов является огибающей полярных плоскостей лучей другого
конуса.
Например, для дифференциального уравнения
Hit — йц — Ux г — ... — Ur у = 0
" х\х\ гхг хпхп
оба конуса совпадут, если мы отождествим пространства % и х.
С другой стороны, для уравнения ии — uXlXl — 2«л-л = 0 урав-
уравнением конуса нормалей будет
S2_l_ Ota И
а уравнением конуса лучей—уравнение
xi _j_ — х2 — t2
Если коэффициенты aik дифференциального уравнения не постоянны,
то положение в основном остается без изменений. Мы только должны
в каждой точке рассматривать конус нормалей и локальный конус
лучей.
Для постоянных или непостоянных коэффициентов коноид лучей
определяется как поверхность, составленная из всех лучей, прохо-
проходящих через точку Р и касающихся в точке Р локального конуса
лучей (см. гл. II). Этот коноид является характеристической по-
поверхностью или фронтом волны, для которого точка Р является
„центром возмущения"; он называется сферическим фронтом волны
с центром в точке Р (см. п. 7).
В § 3 мы рассмотрим соотношение между этими конусами в гораздо
более общем виде. Здесь мы только заметим, что две части конуса
лучей, исходящего из точки Р в момент t, часто различаются как
конус лучей, направленный вперед в сторону возрастающих
') Часто такое преобразование называют полярным преобразованием
относительно данной поверхности второго порядка.— Прим, ред.
558 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
значений времени, „в будущее", и конус лучей, направленный назад,
„в прошлое".
7. Связь с римановой метрикой. Сделаем несколько замечаний,
которые будут использованы в дальнейшем. В (я+ 1)-мерном про-
пространстве Rn+i введем метрику с элементом длины
rfo2= 2 Aikdxidxk. A5)
Тогда лучи, порождающие коноид, в силу характеристического урав-
уравнения, будут лучами нулевой длины, т. е. кривыми, вдоль которых
da — 0, или кривыми, вдоль которых расстояние между двумя точками
равно нулю. Обратно, все кривые нулевой длины в этой метрике
являются характеристическими лучами для дифференциального урав-
уравнения L[u] = 0.
Эти факты легко проверить, если снова выделить переменную
t == х0 в качестве временной координаты и рассмотреть дифферен-
дифференциальное уравнение частного вида
п
««— 2 «/*«,* =0. A6)
где матрица (aik) предполагается положительно определенной и счи-
считается, что коэффициенты alk не зависят от времени t. Тогда харак-
характеристики ф(х,, х2 хп)— ? = 0 удовлетворяют дифференциаль-
п
ному уравнению 2j aik'h^k == ' •
Совокупность всех лучей, проходящих через фиксированную точку
пространства х, дает соответствующий характеристический коноид.
Мы можем представить его в виде
">(*,. *2 хп' xv Х2 х») = ш(х; xn) = t,
где л:0 — вершина коноида лучей — имеет координаты х°г
Сферические фронты волны получаются из этого коноида при
о) = ^. Если через (Aik) снова обозначена матрица, обратная (aik),
то вдоль лучей
п п
21 Л1кх1хк= S 0^0)^=1. A7)
l,k=\ i,k=\
В я-мерном пространстве х мы снова введем метрику с элементом
длины
п
df= 2 А1кйхьйхь\ A8)
i,k=l
§ 1. Уравнения второго порядка 559
тогда t дает длину вдоль этих лучей и поверхность ш = t в этой
метрике является сферой радиуса t с центром в точке х°, если рас-
расстояние измеряется по этим лучам. (Сравнение с гл. II, § 9, пока-
показывает, что эти лучи являются геодезическими кривыми для вариа-
вариационной задачи, соответствующей интегралу
Квадрат геодезического расстояния Г от точки х, t до точки-
параметра \, т удовлетворяет дифференциальному уравнению
как было показано ранее для волнового уравнения.
Направление dxt называется направлением временнбго типа,
если
а элемент поверхности ср(х0, х: хп) = 0 называется элементом
пространственного типа, в соответствии с определением, данным
в п. 1, если
(см. конец п. 2). Таким образом, в частности, ось времени dxt = 0
соответствует направлению временнбго типа, а поверхность <р = ? = 0
является поверхностью пространственного типа. Общие понятия
„временнбго" и „пространственного" типа будут рассмотрены в § 3.
Пример волнового уравнения
ии — Ли = О
дает иллюстрацию наших общих понятий. Соответствующие элементы
длины равны
rfp2 = 2 dx\ и rfa2 = dt2— S dx].
i=i i = \
8. Двойственные преобразования. Имея в виду § 3, мы добавим
еще одно замечание о двойственном преобразовании независимо от
применения к дифференциальным уравнениям второго порядка.
Как было определено в п. 6, двойственное преобразование в пучке
прямых, проходящих через фиксированную точку, есть линейное
560 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
преобразование, которое каждому лучу, заданному вектором ?, ставит
в соответствие плоскость
kx = 0 A9)
с текущими координатами х, т. е. плоскость, ортогональную лучу \.
И обратно, симметричное соотношение A9) позволяет поставить
в соответствие каждой плоскости, проходящей через точку Р, на-
направление, ортогональное этой плоскости. С помощью этого линей-
линейного преобразования лучей в плоскости можно получить преобра-
преобразование конуса ЛЛ порожденного лучами ?, в конус 5, порожденный
плоскостями A9). Если луч % описывает коническую поверхность
Л/а0, \v ..., y = yVC;) = 0, B0)
где N обозначает однородную функцию степени k, то с помощью
формулы A9) поставим в соответствие конусу N коническую по-
поверхность 5, порожденную плоскостями, двойственными по отноше-
отношению к лучам, составляющим конус N. Говоря точнее, мы можем
считать, что конус 5 является огибающей этих плоскостей.
Такое двойственное преобразование конуса второго порядка
снова дает конус второго порядка, но для конусов N высших по-
порядков k это преобразование приводит, вообще говоря, к поверх-
поверхностям порядка отличного от k.
Так как соотношение B0) симметрично, мы можем утверждать
следующее. Плоскости, опорные для одного конуса, являются по-
полярными плоскостями для образующих двойственного конуса, а именно,
п
полярными плоскостями относительно мнимого конуса 2^ = 0,
У = о ;
причем начало координат Р является его вершиной. Мы можем также
выделить координату х0 и рассматривать в я-мерном пространстве !¦
поверхность N*, по которой конус N пересекается с „плоскостью"
Ёо —— 1. Аналогично мы можем рассматривать поверхность 5*
в к-мерном пространстве (х1 хп), которая является пересече-
пересечением S с плоскостью хо=\. Тогда соотношение двойственности
между поверхностями N и 5, или N* и 5*, выражается формулой
п
*; = 2*&=1; B0а)
это означает чтс при фиксированном х точка Ч находится на пло-
плоскости, полярной для х относительно единичной сферы1), и наоборот.
') Если бы мы определили jV* как пересечение jV с плоскостью ?0 = 1.
то плоскость была бы полярной относительно сферы мнимого радиуса I,
что, впрочем, не составляет существенной разницы.
§ 1. Уравнения второго порядка 561
Чтобы аналитически выполнить преобразование заданной поверх-
поверхности N*(?v ,.., ?л) = 0 в S*, мы должны были бы построить оги-
огибающую плоскостей в пространстве х, удовлетворяющих соотно-
соотношению B0а), нормали к которым подчиняются ограничению /V*(?) = 0.
Этот процесс не только приводит к алгебраическому выражению
для S", порядок которого, вообще говоря, выше порядка k поверх-
поверхности N1), но, как мы покажем на примерах в § 3 и За, построе-
построение огибающих может также привести к образованию особенностей,
таких, как изолированные точки или ребра возврата. Однако гео-
геометрическое определение преобразования позволяет обойти эти
осложнения: мы рассматриваем не только касательные плоскости,
но и вообще опорные плоскости в некоторой точке, т. е. такие
плоскости, проходящие через точку Р поверхности, что вся поверх-
поверхность лежит по одну сторону плоскости (по крайней мере в окрест-
окрестности точки Р). Тогда двойственное преобразование ставит в соот-
соответствие точкам поверхности N* геометрическое место S* полюсов
опорных плоскостей к N*, и обратно, ставит в соответствие точкам
поверхности S* геометрическое место N* полюсов опорных плоско-
плоскостей к 5*.
Те части поверхности ЛЛ, которые имеют гладкую кривизну,
конечно, отображаются в части регулярной огибающей плоскостей,
полярных к этим точкам. Появления особенностей, таких, как острие
огибающей, следует ожидать в точках, соответствующих тем
точкам ЛГ, где кривизна обращается в нуль2). Если часть поверх-
поверхности IV* имеет особую точку, в которой имеется целый пучок
опорных плоскостей, то соответствующие полюсы образуют часть
некоторого линейного многообразия в пространстве х, граница
которого касается огибающей.
Осложнения, которые получаются из-за возникновения особен-
особенностей, по-видимому, исключают возможность простого геометри-
геометрического описания. Это объясняется тем, что наши знания об алге-
алгебраических поверхностях в действительном пространстве недоста-
недостаточны.
Однако при преобразовании замкнутой выпуклой поверхности N'
(N' может быть частью поверхности N*) положение становится ясным
и уже не осложняется наличием особенностей. В этом случае мы
легко можем показать, что поверхность S', двойственная по
отношению к выпуклой поверхности N', также выпукла; она
является выпуклой оболочкой множества точек, полученного
с помощью построения обычной огибающей к полярным плоскостям N'.
') Однако существуют важные с точки зрения математической физики
случаи, когда обе эти поверхности имеют одинаковый порядок; см., напри-
например, в § За уравнения кристаллооптики.
г) Примеры будут рассматриваться в § 3 и За.
562 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Действительно, пусть соотношение 2 xfii — 1 <^ О определяет
„положительную" сторону плоскости {х\)— 1=0, полярной к точке \.
Предположим, что точка ? — 0 лежит внутри поверхности N', и
определим двойственное преобразование для замкнутой внутрен-
внутренности Nf поверхности N' как пересечение (т. е. совокупность общих
точек) всех полупространств (х\)— 1^0, соответствующих точкам \
из N'. Это точечное множество 5' выпукло, так как оно является
пересечением множества полупространств; выпукла также его
граница 5'; очевидно, что она является образом поверхности N'.
Мы могли также определить двойственный образ выпуклой области N'
как множество полюсов для всех плоскостей в пространстве ?,
не пересекающих область N'. Читатель легко может убедиться
в эквивалентности этих определений.
Во всяком случае, очевидно, что S' является выпуклой оболочкой
для огибающей полярных плоскостей, соответствующих точкам
гладкой части поверхности IV.
Значение двойственных поверхностей для дифференциальных
уравнений высших порядков будет выясняться еще в § 3.
9. Построение фронта волны по Гюйгенсу. Теория полного
интеграла и соответствующее построение огибающих решений задачи
Коши для' дифференциальных уравнений первого порядка немедленно
приводит к следующему важному способу построения фронта волны
(см. гл. II, § 4 и 8, а также § 3 этой главы).
Мы рассмотрим возможный фронт волны ^(х1, х2, .. ., xn) — t,
удовлетворяющий уравнению а1к'!?$к — 1. Сферические волны вокруг
точки Ро будем обозначать через w(xvx2 хп< Po)—t- Если
при t = 0 фронт волны совпадает с заданной поверхностью Wo, то
построение Гюйгенса позволяет получить фронт волны в момент t
следующим образом. Вокруг каждой точки Ро поверхности Wo мы рас-
рассмотрим сферический фронт волны t = ш (х, Ро) и при фиксирован-
фиксированном положительном значении t построим огибающую всех этих
сфер в пространстве xv х2 хп, заставляя точку Ро пробегать
всю поверхность Wo. Это дает поверхность <\>(xv х2 xn) = t,
содержащую искомый фронт волны. Другими словами, фронт
волны в данный момент времени t можно получить как
огибающую сфер радиуса t, в смысле описанной выше мет-
метрики, причем их центры лежат на поверхности фронта
волны при t — 0l).
') Мы обращаем внимание читателя на то, что с первого взгляда кажется
парадоксом: предположим, что и(хи х2 хт t) есть решение дифферен-
дифференциального уравнения L[u]=0, причем ^ = t— фронт волны. Пусть этот
фронт волны состоит из одной поверхности Wf, перемещающейся в про-
пространстве Rn с течением времени. Если мы будем исходить из фронта
§ 2. Уравнения второго порядка. Значение характеристик 563
10. Поверхности пространственного типа. Направления вре-
меннбго типа. Теперь мы займемся дальнейшим выяснением смысла
понятия поверхности „пространственного типа" для гиперболических
уравнений второго порядка. Значение этого понятия (см. § 8, 9)
состоит в том, что задача Коши разрешима, если начальная поверх-
поверхность пространственного типа.
Если оператор второго порядка L[u] гиперболический, т. е. если
матрица aik имеет одно отрицательное собственное значение и п по-
положительных, то все направления \, удовлетворяющие соотношению
Qz=0, образуют конус нормалей в пространстве Ч,. Элемент поверх-
поверхности, проходящий через точку Р, называется элементом простран-
пространственного типа, если его нормаль % направлена внутрь конуса,
т. е. если Q(ij)>0. Он называется характеристическим, если
Q(!) = 0, и элементом не пространственного типа, если Q(Sj)<0.
Поверхность пространственного типа — это такая поверхность,
элемент которой в каждой точке является элементом пространствен-
пространственного типа.
Как легко видеть, следующее определение эквивалентно опреде-
определению, данному выше: элемент поверхности, проходящей через
точку Р, называется элементом пространственного типа, если он
пересекает локальный конус лучей, построенный в точке Р, лишь
в самой этой точке, т, е. если он разделяет две части конуса.
Направление называется направлением временного типа, если оно
входит во внутренность локального конуса лучей.
Если расстояние по направлению временного типа отождест-
отождествляется со временем t, то говорят, что точка Р разделяет части
конуса лучей, направленные „вперед" и „назад", или конус лучей,
соответствующий будущему, и конус, соответствующий прошлому.
В § 3 мы увидим, как эти понятия обобщаются, разъясняются и
делаются более тонкими для задач высших порядков.
§ 2. Уравнения второго порядка. Значение характеристик
Вместо того чтобы определить характеристики как поверхности,
на которых нельзя свободно задавать данные Коши (как мы делали
в § 1), мы могли бы воспользоваться следующим эквивалентным их
волны Wo в момент ^ = 0, то построение Гюйгенса может привести к двум
различным „параллельным поверхностям" Wt и w't, причем обе удовлетво-
удовлетворяют характеристическому дифференциальному уравнению. Однако, по пред-
предположению, разрыв решения и в момент t происходит только на одной из
них, а именно на той, которая действительно соответствует моменту вре-
времени t, в то время как другая поверхность соответствует времени —t.
Характеристическая поверхность может (но не обязана) быть поверх-
поверхностью разрыва решения и, и построение огибающих может также привести
к поверхностям, на которых решение в момент t не имеет разрыва; это
не будет противоречить нашей теории.
564 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
свойством, которое подчеркивает несколько иную сторону этого
понятия: на характеристической поверхности С дифференциальный
оператор является внутренним оператором в смысле, который
мы сейчас уточним. Мы видели в гл. V, что это свойство является
решающим для построения решения задачи Коши в случае двух
независимых переменных. Для большего числа независимых перемен-
переменных это свойство, вообще говоря, не приводит к аналогичному
прямому построению решения, за исключением некоторых специаль-
специальных дифференциальных уравнений (см. п. 4).
Однако в общем случае можно исследовать основные свойства
разрывного решения, пользуясь внутренним характером дифферен-
дифференциального оператора на характеристиках. При этом можно построить
хотя бы остов решения, решая только обыкновенные дифференциаль-
дифференциальные уравнения. При соответствующих предположениях можно даже
пойти дальше по пути полного построения решения задачи Коши.
Следующий важный факт играет большую роль в теории распро-
распространения волн, а именно: имеющие физический смысл разрывы
решений могут происходить только на характеристических поверх-
поверхностях (в связи с этим такие разрывы будут называться фронтами
волны) и перемещаются по этим характеристикам вдоль бихаракте-
ристических лучей. Это распространение разрывов описывается про-
простым обыкновенным дифференциальным уравнением.
В этом параграфе мы кратко опишем положение дел для линей-
линейного (и квазилинейного) уравнения второго порядка с тем, чтобы
более подробно рассмотреть эти вопросы в § 4 и 5.
1. Разрывы второго порядка. Рассмотрим поверхность
С:ср(х0, ...,хя) —0, на которой первые производные решения и
уравнения A) из § 1 непрерывны1) и непрерывны также все
тангенциальные, или внутренние, производные от этих первых про-
производных. Вторые производные Ujk (если они не являются внутрен-
внутренними производными) могут иметь скачки на поверхности С.
Для любой функции /, имеющей скачок при переходе через
поверхность С, мы будем в дальнейшем обозначать этот скачок
через (/J). Выражение и^ср;—иц'Чи является внутренней производной
от ut на поверхности С (см. гл. II, прил., § 1) и, следовательно,
непрерывно при переходе через С. То же самое справедливо
относительно ч1^1—uji'-?i- Следовательно, линейная комбинация
uikfjfi — uji'fi'?k этих ДВУХ непрерывных выражений также непре-
') Здесь можно предполагать, что это уравнение линейно или квази-
квазилинейно.
ред.
зино.
2) В гл. V, § 1, п, 3 скачок функции / обозначался через [/]. — Прим,
§ 2. Уравнения второго порядка. Значение характеристик, 565
рывна при переходе через С. Тогда для величины скачков мы полу-
получаем соотношение
(иИ<)<?/?1,~(ид)9Як<
и, таким образом'),
О/А') = %?*•
где коэффициент пропорциональности X есть функция, определенная
на поверхности С, которая не может обращаться в нуль ни в какой
точке поверхности, где хотя бы одна из вторых производных
функции и разрывна. Между прочим, легко видеть, что
Очевидно, что поверхность С должна быть характеристической,
так как иначе значения всех вторых производных на поверхности С
однозначно определялись бы через значения и и ut на С и, следо-
следовательно, не могли бы иметь скачков. Этот факт можно также
установить непосредственно, рассматривая на поверхности С соот-
соотношение на разрыве (L [и]) = 0 и применяя предыдущие формулы;
мы получим2)
п п
i,k-0 /, *=О
Разрывы первых производных некоторого искусственно введен-
введенного обобщенного решения и могут быть совместимы с дифферен-
дифференциальным уравнением и на нехарактеристических поверхностях
(см. гл. V, § 1 и § 3 этой главы). Однако в обобщенных решениях,
имеющих физический смысл3), такие скачки в действительности проис-
происходят при переходе через характеристические поверхности, как мы
покажем в § 3. То же самое справедливо относительно скачков
самой функции а и для других типов скачков.
Доказательство существования таких решений, которые исследо-
исследовались в этом пункте, будет дано в § 4 и в § 10.
') По предположению, все производные функции <р не могут обращаться
в нуль одновременно ни в какой точке поверхности <р = 0.
2) Аналогичное исследование можно провести для таких разрывов на
поверхности С, когда разрывны только производные порядка 2-\-г\ мы
должны просто /• раз продифференцировать уравнение и применить к про-
продифференцированному уравнению прежнее рассуждение. В результате снова
получится, что поверхность С характеристическая; кроме того, если скачок
выводящей (г + 2)-й производной есть \ = (и г4.2). то скачки производных
Dy° ...D"nnu равны
где Dj обозначает д/dxi.
3) „Допустимые" решения будут охарактеризованы в § 1.
566 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
2. Дифференциальное уравнение на характеристической
поверхности. Для краткости мы ограничимся линейными дифферен-
дифференциальными уравнениями. Мы выясним, какие сведения можно полу-
получить из того факта, что
л п
на характеристической поверхности ср = О. Без ограничения общности
мы можем предположить, что семейство поверхностей ср = с = const
преобразовано в семейство координатных плоскостей хп — с = const.
Результаты можно будет затем сформулировать для произвольных
поверхностей ср = с на основании свойства инвариантности, доказан-
доказанного в § 1, п. 5.
Мы запишем уравнение A) в виде
л-1 л-1
I, * = 0 ' ( = 0
л-1
Теперь мы объединим члены, содержащие только внутреннее диф-
дифференцирование на поверхности С : хп = 0, т. е. дифференцирование
по переменным х0, х1 -vn-i' и обозначим их сумму через J.
Мы имеем
я-1
пп пп п ,_о п
Из предположения о том, что поверхности ср = хл = const являются
характеристическими, немедленно следует, что алл = 0, и обратно.
Поэтому на этих характеристических поверхностях мы имеем
?[и] = У-|-алил4-2 2 ainuin = 0. D)
i < п
Далее, для ср = хл производные характеристической формы Q(cpf, <pft)
равны
В силу § 1, вектор Q,,,. касается поверхности ср = const и указывает
направление бихарактеристических лучей. Вводя производную и =v,
выводящую из поверхности, и соответствующий параметр s на лучах,
§ 2. Уравнения второго порядка. Значение характеристик 567
лежащих на поверхности ср — const, мы можем записать уравнение D)
в виде
4
где d/ds = 2 2 alndjdxi.
i < л
В соответствии с § 1, дифференцирование по характеристическим
направлениям инвариантно *) относительно преобразования, переводя-
переводящего плоскости хп ~ const в другие семейства характеристических
поверхностей ср = с, -— const. Кроме того, по определению, выражение
Z. [ср— с] на поверхности ср = с инвариантно относительно преобразо-
преобразований координат (эта инвариантность определяет преобразование
коэффициентов оператора L). Так как для <р = л;п = О мы имеем
?.(<р] = ал, и, вообще, для ср==хл = с мы имеем Цср — с] = ап, то
мы можем теперь записать уравнение E) на характеристической по-
поверхности Сс с уравнением ср == с в виде
*L + Ll<p-c]v = 0, F)
где оператор L [ср — с] на Сс обращается в известную функцию,
а выражение J также известно на Сс, если известна функция и. Эта
замечательная форма исходного дифференциального оператора будет
по разным поводам встречаться и дальше. Это соотношение показы-
показывает, что на С данные Коши действительно нельзя выбирать произ-
произвольно. Мы сейчас воспользуемся этой формой уравнения для изуче-
изучения распространения разрывов.
3. Распространение разрывов по лучам. Уравнение F) пред-
представляет собой линейное обыкновенное дифференциальное уравнение
первого порядка относительно выводящей производной v — и . Это
обыкновенное дифференциальное уравнение выполняется на каждом
из лучей, порождающих характеристическую поверхность ср = с.
Теперь мы на некоторое время вернемся к предположению, что
семейство характеристик состоит из плоскостей ср = хп ¦¦= с. Тогда
тождественно выполняется равенство апп = 0.
Мы воспользуемся уравнением F), дифференциальным уравнением,
которое получается в результате дифференцирования A) по хп = <?,
предположим, что апп = 0, и получим, что
2 ikikn\ 2 ainunnl-{- ^aiunt+aun
г, ft < л I < п
+ (а)п и + апипп + 2 («/*)„ «/ft
/, ft < п
+ 2 2 («/„)„ яя/+2 («,)„*< = °-
') С точностью до произвольного внутреннего параметра на бихаракте»
ристических кривых.
568 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
На поверхности tp = O функция и и ее первые производные, а сле-
следовательно, также их внутренние производные, предполагаются из-
известными. Объединяя их во внутренний оператор J*, будем иметь
J* + 2 2 ainwt + anw = О (w = «^).
Если, как в уравнении F), мы обозначим дифференцирование по лучу,
лежащему на поверхности С, через djds, то мы можем написать, что
Теперь, как в п. 1, предположим, что производная и имеет скачок
при переходе через С
в то время как функция и, ее первые производные, а также их
внутренние производные, непрерывны на С. Тогда, в силу непрерыв-
непрерывности выражения J*, уравнение Eа) немедленно дает соотношение
на скачке J) для поверхности С : хп = 0
§¦ + />* = (>, G)
где d/ds обозначает дифференцирование по бихарактеристическим
лучам на поверхности С, а выражение P — L\y\ = L[xn\ на поверх-
поверхности С известно.
Уравнение G) дает закон, управляющий распространением
разрыва вдоль лучей, лежащих на характеристической поверхности
разрыва. Оно имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения
и, между прочим, показывает, что величина скачка не может об-
обратиться в нуль ни в одной точке луча, если он где-нибудь на нем
отличен от нуля.
Вследствие инвариантности характеристик и дифференцирования
по характеристическим направлениям, соотношение G), где P = L [ср],
имеет место для произвольных, не обязательно плоских, характери-
характеристических поверхностей ср = 0. Чтобы установить этот факт, заметим,
что если мы преобразуем хп в ср, то выводящая производная ипп
перейдет в и <fx -f- ... . Точками обозначены члены, непрерывные
при переходе через поверхность С; они пропадут, если мы возьмем
разность значений оператора L [и] с двух сторон С. Множитель у2х
приводит лишь к изменению параметра s на луче.
') Оно получается, если рассмотреть уравнение Eа) для двух точек,
лежащих по разные стороны С в окрестности некоторой точки С, взять
-разность и перейти к пределу при стремлении этих точек к одной точке
на С.
§ 2. Уравнения второго порядка. Значение характеристик 569
Если разрыв происходит при переходе через характеристическую
поверхность ср ===== с, то закон G) надо заменить следующим:
Мы увидим, что аналогичные законы справедливы для всех типов
особенностей решении линейных дифференциальных уравнений, напри-
например, для разрывов первых производных или даже самой функции и,
в смысле, который будет уточнен позднее (см. § 4, п. 3).
Наконец, обратим внимание на одну специальную характеристи-
характеристическую поверхность, а именно, „коноид лучей", введенный в § 1.
По его лучам переносятся локальные разрывы из его вершины в про-
пространство х.
4. Пример, Решение задачи Коши для волнового уравнения
с тремя пространственными переменными. Как указывалось во вве-
введении, есть случаи, когда решение может быть фактически построено
с помощью интегрирования по лучам.
Важный пример дает уравнение s
L [и] === и lt — Ли =з ии — ихх — иуу — uzz = 0. (8)
Применяя высказанные выше идеи, мы решим задачу Коши для этого
уравнения; эта задача уже рассматривалась в гл. III, § 5; более
подробно она будет исследована в § 12. При ^ = 0 мы зададим на-
начальные значения
и(х, у, z, О) = ср(х, у, z), и,(х, у, z, 0) = фО, у, z).
Мы введем следующие символы дифференцирования:
А — д д А — д д Л — д д
А^ — удг Z ду ' A2~ZTx Х дг ' Лз — X1J У дх
и
д I
дч t — t L дх ' * ду ] дг ч '
Эти обозначения несколько отличаются от обозначений п. 3.
Тогда на характеристическом конусе К
К : (t — тJ — х2 — у2 — z2 — 0
с вершиной в точке Р: @, 0, 0, -) дифференциальные операторы Л,,
А2, А3 и дифференцирование в характеристическом направлении d/ds
являются внутренними дифференциальными операторами, а д/дч
обозначает дифференцирование по направлению нормали.
570 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Каким образом на К связаны внутренние производные, видно
из тождества
= (A\+Al+Al)u. (9)
справедливого для (t — тJ = х2-j- у2-\- 22. Но на трехмерной сфере
х2-\~ у2-\- 22 = const поверхностный интеграл от Л! [i>] равен нулю
для произвольной функции v, так как равен нулю соответствующий
интеграл по любому кругу, образованному пересечением сферы
с плоскостью z = const. To же самое, конечно, справедливо для
соответствующих поверхностных интегралов от Л2 [v] и Л3 [v] и,
следовательно, таюке и для выражения (/4i-j- Аг-}- A^jv = Т[г>].
С помощью выражения W[u]/(t — т) мы теперь составим интеграл
t — т
ds
по той половине характеристического конуса, для которой т > t > 0.
Так как L[u] — 0,
к
и после интегрирования по s мы получаем
4тг-2й (Р) — J J иdw — х J J-^- rfm = 0, A0)
где интегрирование производится по поверхности сферы x2-j-y2-f-
-|~22 = т2. Это решение было уже найдено в гл. III, § 5.
Таким же способом для неоднородного волнового уравнения
можно получить решение, данное в гл. III, § 5.
Данный здесь метод, по существу принадлежащий Бельтрами,
опирается на тот факт, что с помощью внутренних дифференцирова-
дифференцирований мы можем особенно просто записать дифференциальное уравне-
уравнение на характеристическом конусе !). С помощью интегрирования
только по поверхности конуса можно явно найти значение решения и
в вершине через начальные данные на границе основания конуса.
Этот метод вскрывает „гюйгенсовский характер" волнового уравнения.
Нельзя построить совершенно аналогичную теорию для произ-
произвольных линейных дифференциальных уравнений второго порядка и
получить решения с помощью интегрирования по лучам, лежащим
') Этот метод был обобщен М. Риссом [2] на все нечетные значения п.
§ 3. Характеристики для операторов высших порядков 571
на характеристическом коноиде, так как из такой теории следовала бы
справедливость принципа Гюйгенса в общем случае, что, конечно,
не имеет места. Интересной задачей является получение условий, до-
достаточных для того, чтобы был справедлив принцип Гюйгенса; для
этого можно применить методы, близкие к методам этого параграфа1).
§ 3. Геометрия характеристик
для операторов высших порядков
Для уравнений высших порядков и для систем уравнений необ-
необходимо существенно обобщить теории, изложенные в § 1 и 2
(см. также гл. III и V); это обобщение будет сделано в настоящем
параграфе.
1. Обозначения. Мы будем пользоваться следующими обозначе-
обозначениями 2). Дифференцирование по хх снова будет обозначаться через
D% или D*:
DV==DX = S~ (х = 0 и).
Вместо хй, ..., хп мы иногда будем писать х; однако, если пере-
переменная xu — t выделяется и рассматривается как время, то мы будем
через х обозначать «-мерный вектор хх хп. Оператор градиента
будет обозначаться через D:
D = (D0 Dn).
Пусть р — (р0, .... рп) — произвольный вектор с /1+1 неотрица-
неотрицательными целыми компонентами. Пусть ? = (?0, ..., ?я) — произволь-
произвольный (я+1)-мерный вектор. Тогда мы положим ? = ?0° ... \пп.
Компоненты вектора ? могут быть числами или операторами; в част-
частности, для ? = D символ Dp обозначает дифференциальный оператор
DP=DP0°... Dn\
') См. Асгейрссон [1], Штелльмахер [1] и Дуглис [2]. См. также, на-
например, § 18.
2) Между прочим, одно из преимуществ этих обозначений (предложен-
(предложенных Лораном Шварцем) состоит в том, что они позволяют кратко записать
правило Лейбница и теорему Тейлора. Если мы положим
2! ...рп\,
то мы будем иметь
572 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Порядок дифференциального оператора Dp обозначается через \р\\
\р\ =
В этих обозначениях дифференциальный оператор порядка т можно
записать в таком виде:
/.[«]= 2 aPDpu=f.
1 V I < m
Коэффициенты ар, так же как и правая часть /, могут быть по-
постоянными, или функциями независимых переменных х, или зависеть
от х, и и от производных функции и до порядка т—1.
Большинство уравнений математической физики имеет вид систем k
уравнений с k неизвестными функциями их uk, которые мы
будем рассматривать как компоненты одного вектора-столбца и;
уравнение тогда можно записать в матричной форме
L[u]= 2 ApDpu=f. A)
\р\<т v ;
Здесь дифференциальный оператор Dp действует на каждую компо-
компоненту вектор-функции и, коэффициенты Ар являются квадратными
матрицами порядка k, a / — вектор с k компонентами.
Так же, как и раньше, коэффициенты Ар могут быть постоян-
постоянными или же зависеть от х; для квазилинейных уравнений они за-
зависят от функции и и от ее частных производных до порядка т — 1.
Члены наивысшего порядка составляют главную часть оператора:
2 ApDp.
Имея в виду некоторые конкретные случаи, мы обратим особое вни-
внимание на три класса уравнений.
Случай а: системы первого порядка
п
L[u\=J-iAiDiu + Bu^=f. (la)
i = 0
Случай б: одно уравнение порядка т
Ци}= 2 apDpu=f. A6)
\р\ < т
Общий случай A) систем уравнений порядка т мы будем называть
случаем в.
Особенно важны для приложений системы второго порядка, ко-
которые могут быть записаны в более развернутой форме
т п
L[u\= 2 Al}D,DjU+ % AtofU + Bu^f,
;,/=о ( = о
где В, А', А1' — квадратные матрицы порядка k и А'' = А'К
§ 3. Характеристики для операторов высших порядков 573
2. Характеристические поверхности, формы и матрицы. За-
Задача Коши состоит в том, чтобы найти решение уравнения L [«]=/,
если на некоторой поверхности ') С заданы „данные Коши". Для
уравнения или системы уравнений порядка m этими данными являются
значения и и ее частных производных до порядка m — 1 включи-
включительно по какой-нибудь переменной, выводящей из поверхности.
(Мы предполагаем, что все уравнения системы имеют один и тот же
порядок т.) В частности, для систем первого порядка (случай а)
данные Коши состоят из значений самих функций и.
По данным Коши мы можем с помощью внутреннего (тангенци-
(тангенциального) дифференцирования определить все частные производные и
до порядка т—1, а также значения тех производных порядка т и
выше, которые получаются дальнейшим внутренним дифференциро-
дифференцированием. Дифференциальный оператор, значения которого на поверх-
поверхности С определяются таким образом через данные Коши, называется
внутренним дифференциальным оператором порядка т (см.
гл. III, § 2).
В этокГ пункте мы не будем пытаться строить решения диффе-
дифференциального уравнения A), а займемся следующим предваритель-
предварительным вопросом, касающимся только начальной поверхности С.
Для каких поверхностей С существуют функции и, соответствую-
соответствующие произвольным данным Коши и удовлетворяющие на С уравне-
уравнению L [«] = /?
Если такую функцию и всегда можно найти, то поверхность С
называется свободной для оператора L; если никакая часть поверх-
поверхности не является свободной, то она называется характеристиче-
характеристической поверхностью оператора L.
Решить вопрос о том, является ли поверхность С характеристи-
характеристической 2), можно с помощью следующего алгебраического критерия,
выраженного через коэффициенты оператора L и нормаль i- к по-
поверхности С: ср(*) = О. Мы определим однородную „характеристи-
„характеристическую форму" Q(?o, $! ?„) порядка mk относительно компонент
вектора ? = ZDcp, нормального к поверхности С, такую, что равенство
<?&. .... ?„) = <?@ = 0 B)
является необходимым и достаточным условием для того, чтобы по-
поверхность С была характеристической 3). Для одного уравнения A6)
') Под поверхностью мы подразумеваем гладкую n-мерную гиперповерх-
гиперповерхность <f (х) = 0 с | Dtp | ф 0.
2) См. также гл. V и гл. III, § 2. Приведенное здесь рассуждение отчасти
повторяет прежние.
3) Конечно, это условие можно применять просто к элементу поверх-
поверхности С, если мы хотим подчеркнуть его локальный характер.
574 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
порядка т характеристическая форма Q задается формулой
2 ; C)
\p\=lll
для системы Aв) Q является определителем
Q №)=¦=!
D)
В особенно сажном случае системы уравнений первого порядка Aа)
мы имеем
Для систем второго порядка
Для систем уравнений произвольного порядка т характеристическая
форма является определителем характеристической матрицы
А= 2 Apip. F)
\р\ = т
В случае те = 1 характеристическая матрица имеет вид
A=i;A%, G)
а в случае m = 2 —
. (8)
То, что Q —0 есть характеристическое уравнение, следует из наших
предыдущих рассуждений. Введем внутренние переменные Ху \п
на поверхности С и выводящую переменную ср = Х0; тогда с помощью
уравнения Q = 0 мы выражаем условие, что на поверхности С урав-
уравнение L[u} — 0 не определяет всех величин (д/д<р)ти через произ-
произвольные данные Коши для и. Система линейных алгебраических урав-
уравнений для этих k величин имеет матрицу А и определитель Q.
Естественно, что характеристические формы Q и матрицы А зависят
от точки х, если коэффициенты главной части оператора L не по-
постоянны.
В случае систем Aа), Aв) условие Q = 0 означает, что характе-
характеристическая матрица А — особая; следовательно, существуют
^-компонентные левые нуль-векторы I и правые нуль-векторы г,
такие, что
1А= Аг = 0.
Если ранг матрицы А равен k — 1, то эти нуль-векторы в каждой
точке данной характеристической поверхности С определяются одно-
однозначно с точностью до произвольного скалярного множителя.
§ 3. Характеристики для операторов высших порядков 575
Оператор L, соответствующий одному уравнению, является вну-
внутренним на каждой характеристической поверхности С.
Если L[u] — матричный оператор, применяемый к вектору и, то
условие, что характеристический определитель Q равен 0, равносильно
утверждению, что оператор
действующий на вектор и, является внутренним оператором на харак-
характеристической поверхности С.
3. Интерпретация характеристического уравнения во времени
и пространстве. Конус нормалей и поверхность нормалей. Ха-
Характеристические нуль-векторы и собственные значения. Если
xo — t выделяется в качестве временной переменной, то мы можем,
как в § 1, представить характеристическую поверхность в виде
<f(t, x) = ty(x)—t — 0, т. е. как поверхность С с уравнением
(jj (x) = const = t, перемещающуюся в re-мерном пространстве х. Мы
имеем ср, = —1, <рж.= ф^—^ и будем рассматривать вектор 5
в я-мерном пространстве. Нормальная скорость перемещающейся
поверхности i/ = t есть вектор v, ортогональный к поверхности и
такой, что |г>| есть скорость изменения значения ф вдоль этой нор-
нормали. Таким образом, мы имеем
где c = D]j—re-мерный вектор, а X — некоторый скаляр; поэтому
Векторы $ и v обратны, или „двойственны", друг другу относительно
единичной сферы, а характеристическое уравнение B) можно записать
в виде
(9)
Если ввести «-мерный единичный вектор
a—L
151
в пространстве х, нормальный к поверхности С, то из уравнения (9)
мы в силу однородности функции Q(S0, ^ ?„) получим эквива-
эквивалентное ему уравнение
Q(—\v\. «1 «я) = °- (9а)
Это алгебраическое уравнение степени тй относительно нормальной
скорости \v\ для такой характеристической поверхности, нормаль
576 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
к которой имеет направление вектора а. Для дифференциальных опе-
операторов с непостоянными коэффициентами эти соотношения отно-
относятся, конечно, к фиксированной точке в пространстве х и к опре-
определенному моменту времени t.
Вместо уравнения (9а) мы можем также написать уравнение
Важно отметить, что для системы первого порядка
Ll«] = e,-|-iM\+ ••• =0, (la)
v= 1
где Л° = / есть единичная матрица, нуль-векторы / или г для ха-
характеристической поверхности ср = ф (jc) — ^ = 0 являются просто
п
левыми или правыми собственными векторами матрицы 2 S,^\ где
v=l
ф =?v, а нормальные скорости \v\ равны собственным зна-
значениям матрицы
п
Л = 2 аИ'-
г = 1
Это следует из того, что соотношение Q=j|4|| = 0 дает
Не подчеркивая без необходимости временнбй характер перемен-
переменной t, мы сейчас определим характеристический конус нормалей
в точке О пространства х0, хх хп как конус, порожденный
нормалями ко всем характеристическим элементам поверхности
в точке О. Если через ?0, ..., \п обозначены текущие координаты
на конусе с вершиной О в начале координат, то однородное алге-
алгебраическое уравнение степени mk
\ U = o (Ю)
дает конус нормалей, проходящий через точку О.
Конус нормалей непосредственно выражается через дифферен-
дифференциальный оператор L.
Если мы снова выделим переменную xo = t, то характеристиче-
характеристическое уравнение (9) в пространстве %v ..., \п с геометрической точки
зрения представляет собой поверхность, называемую поверхностью
нормалей, т. е. пересечение конуса нормалей с плоскостью ?0 = —1:
Q(—1. \v ..., у = 0.
Аналогично, мы можем истолковать вид (96) характеристического
уравнения в л-мерном пространстве компонент скорости vv ..., vn
как поверхность, которую мы назовем поверхностью нормальных
§ 3. Характеристики для операторов высших порядков 577
скоростей, или взаимной поверхностью нормалей г). В силу урав-
уравнения (9а) эта поверхность является геометрическим местом таких
точек Р, для которых расстояние до точки О по направлению а равно
скорости \v\. Эти поверхности нормалей соответствуют друг другу
при преобразовании инверсии относительно единичной сферы |Е|2=1
в пространстве ?2).
4. Построение характеристических поверхностей или фрон-
фронтов. Лучи, конус лучей, коноид лучей. В физическом простран-
пространстве х решения характеристического уравнения Q(?) = 0 для нормалей
\ — grad cp = Dcp можно интерпретировать как характеристические
поверхности <р(х0, xv . .., хп) = const. Как и в § 1, мы будем рассма-
рассматривать Q = О как дифференциальное уравнение с частными произ-
производными первого порядка относительно функции ср(х0, . . ., хп); тогда
все поверхности семейства <p = const = c являются характеристиче-
характеристическими поверхностями Ссг). Они строятся в соответствии с теорией
дифференциальных уравнений первого порядка, развитой в гл. II.
Любое решение характеристического дифференциального урав-
уравнения Q(Dcp) = O порождается «-параметрическим семейством харак-
характеристических кривых, соответствующих уравнению первого порядка
Q = 0. Эти „бихарактеристики", или лучи, связанные с оператором L,
можно дополнить до бихарактеристических полос, задавая на них
значения
(Мы рассматриваем значения ?(- на этих кривых как функции пара-
параметра X на нашей кривой, и точкой мы будем обозначать дифферен-
дифференцирование по X.) Тогда, как и в § 1, бихарактеристические полосы
удовлетворяют системе ~2п~\- 2 канонических обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений
xt = Qf_, A1)
') Обе эти поверхности, уравнения которых тесно связаны, очень полезны
при наглядном изучении явлений распространения. Между прочим, иногда
используется терминология, обратная применяемой здесь.
2) Независимо от того, выделяем ли мы переменную t, мы можем интер-
интерпретировать геометрические соотношения в «-мерном проективном про-
пространстве.
3) Если мы будем рассматривать не семейство поверхностей, а отдельную
поверхность tp = 0 и представим эту поверхность в виде <р = — t -]-
-J- ф (-*Tj хп) = 0, то функция Ф от п переменных х удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению Q (—1, ^ ф* ) = 0, причем в коэффициен-
коэффициентах переменную t надо заменить на t{/.
578 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
функция Q(x, %) есть интеграл этой системы. Мы потребуем, чтобы
в одной из точек каждого луча выполнялось условие Q = 0; тогда
уравнения A1), (Па) и Q = 6 определят 2я-параметрическое семей-
семейство характеристических полос; оно определяется независимо от
частного вида характеристической поверхности <р = const.
Если переменная xo — t выделяется и мы записываем уравнение
Q(Е_) = 0 в виде Ео— /(^, ..., ?n) = 0, то снова имеем хо=1,
т. е. параметр X можно отождествить со временем: \ = t = x0.
Если предполагается, что функция ср(лг) известна, то ясно, что
даже одна система A1) определяет бихарактеристики на характери-
характеристических поверхностях Сс: cp = const = c, если в Q вместо 14 под-
подставлены значения срх., зависящие от х0, ..., хп.
Для того чтобы построить характеристическую поверхность
ср(*0, xv . .., л;я) = 0, проходящую через заданное (я— 1)-мерное мно-
многообразие 0' на «-мерной начальной поверхности 0, мы пред-
предположим, что 0 имеет вид л;0 = 0, так как любую re-мерную на-
начальную поверхность 0 можно преобразовать в плоскость хо = О,
и при этом характеристические элементы останутся инвариантными.
Теперь мы зададим на 0 начальные значения <р@, xv ..., хп) =
= (u(X], ..., хп) так, что многообразие 0' определяется уравнением
(о = 0. Затем мы найдем бихарактеристические лучи (и полосы), про-
проходящие через 0, вычислив на 0 начальные значения для <рг. При
/ = х0 — 0 мы имеем соотношение <р@, xv . . ., хп) — о>(xv ..., хп);
следовательно, срг = (ог. для t=\, .... п. Следовательно, при ^ = 0
равенство Q(y>0, ®х @^.^ = 0 является алгебраическим уравне-
уравнением степени mk относительно начального значения <р0; оно опреде-
определяет mk (или меньше) действительных начальных значений <р0. Тогда
уравнения A1), (Па) дают такое же число бихарактеристических
полос, а они порождают такое же число семейств характеристических
многообразий ср = О, выходящих из начального многообразия 0'.
Особое значение имеет случай, когда начальное многообразие 0'
вырождается в точку О,
Мы введем следующие определения. Бихарактеристические лучи,
проходящие через фиксированную точку О, образуют коноид лучей,
проходящий через О; бихарактеристические направления, проходящие
через точку О, образуют локальный конус лучей, или конус Монжа,
проходящий через точку О. Если главная часть оператора L имеет
постоянные коэффициенты, и, следовательно, форма Q также
имеет постоянные коэффициенты, то лучи являются прямыми, а ло-
локальный конус лучей совпадает с коноидом лучей.
Как указывалось в § 1, п. 8, локальный конус лучей является
двойственным по отношению к конусу нормалей. Даже в случае,
когда конус нормалей есть сравнительно простой алгебраический конус
порядка mk, конус лучей может иметь особенности или изолирован-
§ 3. Характеристики для операторов высших порядков 579
ные лучи и не обязан состоять из отдельных гладких конических
полостей1) (см. п. 5 и примеры в § За). Например, дифференциаль-
дифференциальный оператор третьего порядка в пространстве трех измерений
L = D0DlD2 дает
5
Конус нормалей, проходящий через точку О в пространстве ?, состоит
из трех плоскостей, параллельных координатным плоскостям, а лучи
будут просто прямыми, параллельными координатным осям в про-
пространстве х. Поэтому конус лучей вырождается в тройку прямых,
а характеристическими поверхностями, проходящими через невыро-
невырожденное многообразие g' на начальной поверхности д, будут три
цилиндра, проходящие через 0' и параллельные координатным осям.
Наконец, мы напомним, что теория полных интегралов из гл. II
позволяет строить решения дифференциального уравнения первого
порядка Q = 0 как огибающие семейств других решений; сейчас мы
проиллюстрируем эту теорию на примере построения Гюйгенса для
фронта волны.
б. Фронты волны и построение Гюйгенса. Поверхность лучей
и поверхность нормалей. Как указано в § 2, п. 1, характеристи-
характеристические поверхности имеют важное значение как возможные поверх-
поверхности разрывов решений и уравнения L[m] = 0. Легко убедиться
в том, что разрывы первого рода, возникающие только для произ-
производных порядка т, не могут происходить на „свободной" поверх-
поверхности С, где Q Ф 0. На такой поверхности данные Коши однозначно
определяют производные порядка т, так что эти производные не
могут иметь разрывов при переходе через С. Другими словами, такие
разрывы могут происходить только на характеристических поверх-
поверхностях. Для других типов разрывов роль характеристик как един-
единственно возможных поверхностей разрыва будет исследована в § 42).
Характеристические коноиды важны потому, что они описывают
распространение возмущения, первоначально сосредоточенного
в точке О. Такие возмущения называются „сферическими" фронтами
волны с центром в точке О (см. гл. II, § 9 и гл. VI, § 18).
В случае постоянных коэффициентов все лучи являются пря-
прямыми и ни конус нормалей, ни конус лучей не зависят от вершины О.
Конус лучей, проходящий через О и состоящий из прямых, является
огибающей плоскостей, проходящих через О и ортогональных к ко-
конусу нормалей Q(x, \v ..., ?„) = 0 или, точнее, эти плоскости
') Иногда более целесообразно рассматривать локальный конус лучей
как конус, порождаемый его опорными плоскостями, а не лучами.
2) Действительно, построения, проведенные в § 4, 9, 10, показывают,
что для любой характеристической поверхности существуют такие разрыв-
разрывные решения и.
580 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
являются опорными плоскостями конуса лучей:). Переменные \, т
мы представляем себе в пространстве х, t и t = xQ выделяем как
время.
Пересечение части конуса лучей, направленной вперед, с пло-
плоскостью ^ = 1 называется поверхностью лучей. Это (я—1)-мерная
поверхность в «-мерном пространстве х. Поверхность лучей пред-
представляет собой геометрическое место точек, куда при t—l доходит
возмущение и, при / — 0 сосредоточенное в точке О. В этом смысле
поверхность лучей может быть названа сферическим фронтом волны,
хотя она может состоять из отдельных полостей или кусков.
Чтобы сделать эту ситуацию более ясной, предположим, что для
произвольного я-мерного единичного вектора а характеристическое
уравнение
Q(~v, а,, ..., а„) = 0
имеет k действительных корней v — V-, так что функции
(р(/, X) = vt-o.,xx— ... -ад*„ = г* —(ал) = 0 A2)
представляют собой „плоские фронты волны", передвигающиеся в про-
пространстве х с нормальной скоростью v в направлении вектора а
(см. гл. III, § ЗJ).
Плоские фронты волны вида A2), проходящие при i = 0 через
начало координат, не обязательно служат опорными плоскостями для
всего гладкого конуса лучей; они могут быть опорными для его обо-
оболочки. Оболочка состоит из частей конуса лучей, связанных между
собой кусками плоскостей A2), которые касаются конуса лучей по
двум бихарактеристикам и отгораживают сектор конуса лучей между
этими бихарактеристиками. В некоторых случаях, кроме внешней
оболочки, возникают сложные геометрические образования. Попытка
дать интуитивно ясное и тем не менее общее описание представляется
очень трудной.
Тем более важным является следующий факт, вытекающий
из § 1, п. 8. Для заданного направления а рассмотрим плоскую волну,
определенную формулой A2), и предположим, что ее наибольшая
скорость равна г» (а). При изменении а эти фронты волны в момент t
будут служить опорными плоскостями для выпуклой оболочки Г ко-
конуса лучей. Такик образом, выпуклая оболочка Г дает внешний
„сферический фронт" для начального возбуждения, сосредоточенного
в точке О. Мы можем сказать, что „внутренние" части конуса лучей,
не лежащие на Г, соответствуют более медленным „способам распро-
') Как указывалось ранее, не все опорные плоскости обязаны касаться
(локального) конуса лучей, который может иметь вогнутые части или изо-
изолированные лучи.
2) Это по" существу есть предположение гиперболичности (см. гл. Ill,
§ 2 и п. 7 настоящего параграфа).
§ 3. Характеристики для операторов высших порядков 581
странения". Этими вопросами мы снова займемся в п. 7, а примеры
из § За покажут разнообразие геометрических возможностей.
Для непостоянных коэффициентов сферические фронты волны
уже не являются огибающими плоских фронтов волны. Вместо этого
мы будем рассматривать фронты волн типа плоских, т, е. такие
решения y(t, x) характеристического дифференциального уравнения
Q(w , ср , .. ., ср ) = 0, которые при f — 0 имеют начальные зна-
\ Л о л | Хп>
чения (а.х) — а.-1х1-\- ... -\-а.пхп, где а — произвольный единичный
вектор. Такие фронты волны, ср = 0, с течением времени передви-
передвигаются в пространстве х и могут потерять свою первоначальную
плоскую форму; из этих фронтов можно построить коноид лучей и
выпуклую оболочку Г таким же способом, как в случае плоских
волн и постоянных коэффициентов.
Построение Гюйгенса является полезным вариантом этого построе-
построения, но дает поверхность лучей, а не конус лучей. Для краткости
мы снова предположим, что коэффициенты постоянны, и рассмотрим
при t—\ плоские фронты волны v — (ax) = 0, где
Q(—"О, а, а„) = °.
а а— единичный вектор. Когда вектор а пробегает единичную сферу,
вектор (va.x г>а„) описывает поверхность нормальных скоростей
(95), а плоскости v — (ах) = 0 огибают поверхность лучей.
Так как взаимная поверхность нормалей сама по еебе лишена
физического смысла и, кроме того, вообще говоря, имеет более
высокий алгебраический порядок, чем поверхность нормалей, то пред-
представляется более целесообразным выразить соотношение между двумя
поверхностями следующим образом: поверхность лучей является
геометрическим местом полюсов касательных или опорных
плоскостей нормальной поверхности (9) относительно единич-
единичной сферы. Это легко видеть, так как плоскости A2) являются поля-
полярами точек нормальной поверхности (см. § 1, п. 8).
На примерах, приведенных в § За, мы убедимся, что для уравне-
уравнений высших порядков такое построение поверхности лучей указывает
на возможность не только вырождения поверхности лучей (например,
в изолированные точки), но также на возможность таких особен-
особенностей, как ребра возврата. В соответствии с замечаниями в § 1, п. 8,
надо отметить, что более целесообразно рассматривать опорные пло-
плоскости, а не только касательные плоскости, и понятие огибающей
связывать с опорными плоскостями. Тогда соотношение между поверх-
поверхностью лучей и поверхностью нормалей будет симметричным; каждая
из них является геометрическим местом полюсов для опорных пло-
плоскостей другой поверхности. Такое геометрическое определе-
определение можно применять отдельно к каждой из полостей этих по-
поверхностей.
582 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Между прочим, одному изолированному лучу поверхности лучей
соответствует плоский кусок поверхности нормалей. (Для взаимной
поверхности нормалей, или поверхности скоростей, соответствующий
кусок будет сферическим.)
Наконец, мы заметим следующее: для непостоянных коэффициентов
понятия поверхности нормалей и поверхности лучей сохраняют свое
значение; они имеют локальный характер, связанный с некоторой
точкой, а соотношение между ними точно такое же, как было опи-
описано выше.
Ба. Пример. Примером служит следующее уравнение третьего
порядка:
dt ду)\Ж^ду) ~ дх*
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
а уравнение конуса нормалей в пространстве -с, %, т\ —
Таким образом, поверхность нормалей есть кривая третьего порядка
(декартов лист) на плоскости %, г\:
(_ 1 — 7))(— 1 + 7JJ = ? (-2 + 7J).
изображенная на рис. 45; из этого примера видно, что конус нор-
нормалей может не состоять из отдельных полостей. Здесь одним куском
является овал, а другой кусок касается овала и уходит в бесконеч-
бесконечность. В точке соприкосновения оба куска имеют угловые точки,
через которые они аналитически продолжают друг друга, так что
вместе они образуют одну связную алгебраическую кривую с точкой
самопересечения.
Поверхность лучей изображена на рис. 46. Отрезок между точ-
точками х== ±\JY~%> y=l. является образом двойной точки поверх-
поверхности нормалей. Часть поверхности лучей, имеющая угловую точку
и расположенная между этими двумя точками, является образом того
куска поверхности нормалей, который уходит в бесконечность.
Оставшаяся выпуклая часть поверхности лучей является образом
овальной части поверхности нормалей.
Этот несколько искусственный пример показывает две возможные
особенности геометрической структуры конуса лучей и поверхности
лучей. Если поверхность нормалей имеет двойные точки, то поверх-
поверхность лучей и конус лучей могут не быть выпуклыми и, чтобы полу-
полунить выпуклую оболочку, надо добавить „крышку". Если поверхность
нормалей имеет кусок, уходящий в бесконечность, или точку пере-
§ 3. Характеристики для операторов высших порядков
583
гиба, то поверхность лучей будет в некоторой точке иметь острие.
В § За мы встретим интересные с физической точки зрения примеры
такого поведения поверхностей.
6. Свойства инвариантности. Характеристические формы, харак-
характеристические матрицы и характеристические лучи инвариантны отно-
относительно преобразований координат. Как было указано выше, это
непосредственно следует из самого определения этих понятий, в част-
частности из инвариантного характера внутреннего дифференцирования
и из того факта, что бихарактеристики являются кривыми, по кото-
которым соприкасаются характеристические поверхности. Аналитическое
подтверждение свойств инвариантности в точности такое же, как
в § 1, п. 5.
7. Гиперболичность. Многообразия пространственного типа,
направления временного типа 2). До сих пор не делалось никаких
предположений относительно действительности характеристических
поверхностей или конуса нормалей. Но главная цель этой главы.,
т. е. решение задачи Коши, требует большего, чем существование
действительных ветвей этих поверхностей. Для того чтобы обеспечить
разрешимость задачи Коши, надо наложить более строгое условие
гиперболичности. Можно было бы приравнять эту разрешимость
понятию гиперболичности. Однако для целей математической физики
более удобно наложить условия, которые можно проверить с помощью
алгебраических или геометрических критериев и которые достаточны
для того, чтобы существовали решения как можно более широкого
класса задач. Все варианты определения2) гиперболичности сводятся
') Ср. с гл. III, § 2.
2) См. также гл. III, § 2.
584 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
к тому, чтобы алгебраический конус нормалей не имел мнимых
полостей.
Определение. Оператор /.[«] называется гиперболическим
в точке О 1), если существуют векторы С, проходящие через О, такие,
что любая двумерная плоскость и, проходящая через С, пересекает
конус нормалей Q (?) = () no mk различным действительным линиям.
Алгебраическое требование, содержащееся в нашем определении,
формулируется так: если б — произвольный вектор (не параллель-
параллельный С), то прямая Sj = XC-|-6, где \ — параметр, должна пересекать
конус нормалей в mk действительных различных точках, т. е. урав-
уравнение
должно относительно X иметь mk действительных различных корней.
Элементы поверхности, проходящие через О и ортогональные векто-
векторам С, называются элементами пространственного типа, а С назы-
называется нормалью пространственного типа. Элементы поверхности
пространственного типа отделяют часть конуса, направленную „впе-
„вперед", от части, направленной „назад).
Полезно дать второе эквивалентное определение гиперболич-
гиперболичности, связанное с понятием поверхностей пространственного типа.
Во-первых, заметим, что мы можем разложить любой вектор 6
в сумму векторов, соответственно параллельных и ортогональных
вектору С, и объединить первый из них с С. Во-вторых, учитывая
свойства инвариантности, изложенные в п. 6, мы можем считать, что
вектор С имеет компоненты 1, 0, 0, ..., 0; следовательно, первая
компонента вектора 6 есть 0. Тогда уравнение Q (ХС —|— б) = 0 при-
принимает вид Q(\, 6j, ..., 9л) = 0.
Это замечание немедленно приводит к следующему второму опре-
определению.
Некоторое «-мерное многообразие g (или его элемент), которое
мы после соответствующего преобразования координат можем запи-
записать в виде хо = О, называется многообразием пространственного
типа, если для каждой точки g и произвольных действительных
значений \v ..., \п уравнение Q(?o, \v ..., с„) = 0 имеет mk раз-
различных действительных корней ?0. Согласно п. 4, это значит, что
из каждого («—1)-мерного начального многообразия g в про-
') Надо снова подчеркнуть, что гиперболичность является локальным
свойством оператора L или формы Q и можно ограничиться элементами
поверхности, проходящими через рассматриваемую точку О. Для квазили-
квазилинейных операторов гиперболичность зависит также от локальных данных
Коши.
2) Заметим, что эти части связаны друг с другом на бесконечности, если
рассматривать их в проективном пространстве,
§ 3. Характеристики для операторов высших порядков 585
странстве х исходит ink различных кусков характеристических
поверхностей.
Оператор L [и] называется гиперболическим в точке О, если
такие поверхности (или элементы) пространственного типа, проходя-
проходящие через О, существуют.
Нормали С к элементам пространственного типа в точке О обра-
образуют „сердцевину" конуса нормалей, ограниченную внутренней
полостью этого конуса.
Внутренняя полость конуса нормалей выпукла. Эта важная
теорема почти непосредственно следует из определения. В противном
случае внутри „сердцевины" существовали бы векторы С, через кото-
которые проходят плоскости, пересекающие эту внутреннюю полость
более двух раз и, следовательно, имеющие более ink пересечений
с конусом. Геометрически можно себе представить, что конус нор-
нормалей состоит из замкнутой внутренней полости, ограничивающей
внутренность („сердцевину"), в которую направлен вектор С, и из
других полостей, которые образуют последовательные оболочки во-
вокруг этой сердцевины. Эти полости могут быть замкнутыми или
уходить в бесконечность; во всяком случае они таковы, что все
плоскости и, проходящие через С, пересекают их по mk различным
линиям.
Конус, для которого опорными плоскостями служат плоскости,
ортогональные к образующим выпуклой внутренней полости конуса
нормалей, является выпуклой оболочкой Г локального конуса
лучей; в частности, выпуклой оболочкой его внешней полости')
(доказательство см. в § 1, п. 8). Мы введем следующее определение:
любое направление из точки О внутрь этой внешней полости назы-
называется направлением временного типа. Кривая в пространстве х
называется кривой временнбго типа, если она в каждой точке
имеет направление временного типа2).
Очевидно, что понятия „пространственного типа" и „временнбго
типа" не зависят от системы координат.
Для одного дифференциального уравнения второго порядка, когда
имеется только одна полость конуса нормалей и локального конуса
лучей (см. § 1), получается картина, которая, очевидно, входит
в описанную здесь схему.
Сейчас было бы полезно резюмировать замечания и определения,
касающиеся характеристических конусов, сделанные в предыдущих
параграфах при разных обстоятельствах. Если алгебраическое урав-
') Мы снова подчеркиваем тот факт, что здесь не нужно ничего гово-
говорить о внутренних частях конуса лучей. Они могут состоять из замкнутых
полостей, соответствующих полостям конуса нормалей, окружающих сердце-
сердцевину, но могут иметь и совсем другую структуру.
2) Другое определение, не эквивалентное нашему, см. в книге Джона [4],
стр. 157,
586 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
нение порядка k для конуса нормалей дает максимально возможное
число отдельных действительных полостей, то двойственное преобра-
преобразование ставит в соответствие каждой из этих полостей отдельную
полость локального конуса лучей, или отдельный „способ распро-
распространения фронта волны". Выпуклая внутренняя полость конуса нор-
нормалей переходит во внешнюю полость локального конуса лучей,
которая автоматически получается выпуклой. Если конус нормалей
состоит из нескольких вложенных выпуклых полостей, то то
же самое справедливо и для конуса лучей. В противном случае
конус лучей может содержать изолированные лучи и иметь особен-
особенности 1).
Вообще говоря, сделанное выше предположение о том, что
полости должны быть отдельными, не выполняется. Для целей мате-
математической физики требование, чтобы корни А были различными,
является слишком строгим, так как во многих важных случаях зоз-
никают кратные корни X, т. е. различные полости алгебраического
конуса нормалей могут касаться друг друга, или пересекаться, или
полностью совпадать2). В п. 9 мы увидим, что определения 1 и 2
могут быть легко обобщены так, чтобы они включали случай харак-
характеристических поверхностей с равномерной кратностью3). Но даже
такое простое дифференциальное уравнение, как иХоХ[Х2 = 0, не попа-
попадает под наши определения, хотя задача Коши для него решается
в явном виде.
Для уравнений, у которых полости конуса нормалей не являются
целиком различными, трудно найти разумное обобщение понятия
гиперболичности4) и исследование задачи Коши требует более тон-
тонкого анализа. Однако, к счастью, в задачах математической
физики трудности, возникающие из-за многократного пересечения
конуса нормалей плоскостями и, вообще говоря, не влияют на дока-
доказательство теорем существования и единственности, если все корни \
уравнения Q (ХС —(— 9) = 0 действительны. Причина состоит в том, что
уравнения математической физики в основном являются симметри-
') Нужно отметить, что современное состояние теории алгебраических
поверхностей не позволяет вполне удовлетворительно применить ее к затро-
затронутым здесь конкретным вопросам геометрической структуры поверхностей.
2) Случаи такой кратности и сейчас являются серьезным препятствием
для построения теории. Для многих систем первого порядка, например, для
уравнений Максвелла, такие кратности встречаются всегда. Очевидно, что
можно построить одно дифференциальное уравнение порядка k с произвольно
заданным алгебраическим конусом нормалей.
3) Для уравнений с постоянными коэффициентами (а также в какой-то
мере и для непостоянных коэффициентов) обобщения понятия гиперболич-
гиперболичности даны Гордингом и другими; в этих случаях учитывается также влия-
влияние младших членов дифференциальных уравнений (см. Гординг [2]
и А. Лаке [1])
4) См. также гл. V, § 8.
§ 3. Характеристики для операторов высших порядков 587
ческими !). В частности, центральной и наиболее плодотворной темой
исследования оказались симметрические гиперболические системы
первого порядка; с точки зрения математической физики несимметри-
несимметрические системы имеют второстепенное значение.
8. Симметрические гиперболические операторы. Мы будем
рассматривать линейные (или квазилинейные) симметрические системы
первого порядка, т. е. системы вида
п
?[«] = 2 Л'и, + Ви, A4)
о
где матрицы А1 симметричны, а матрица В произвольна.
Симметрическая система A4) называется симметрической гипер-
гиперболической системой (в точке О), если одна из матриц А1 или неко-
некоторая линейная комбинация
является знакоопределенной, например положительно определенной;
«-мерные многообразия 0 , ортогональные таким векторам 5. назы-
называются многообразиями пространственного типа. Так как линей-
линейная комбинация положительно определенных матриц с положитель-
положительными коэффициентами снова является положительно определенной,
то множество векторов %, ортогональных к элементам пространствен-
пространственного типа, представляет собой выпуклый конус.
Если, например, матрица Л° положительно определенная, то
я-мерные пространства вида xo = t — const будут пространствен-
пространственного типа.
Тесную связь понятия симметрического гиперболического опера-
оператора с определениями, данными в п. 7, можно установить, например,
следующим образом (для простоты предположим, что матрица Л°
положительно определенна). Для ?0=1, ^ = ... — ?л = 0 уравнение
имеет k действительных корней, так как оно просто является усло-
условием обращения в нуль определителя симметричной матрицы
= 0, A5)
где Л° —положительно определенная матрица. Корни X являются
собственными значениями матрицы ?6гЛ( относительно положительно
') Между прочим, симметричность тесно связана с тем, что обычно эти
уравнения являются уравнениями Эйлера для некоторой квадратичной вариа-
вариационной задачи.
588 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
определенной матрицы Л°. Существенная разница состоит в том, что
в нашем определении симметрической гиперболичности не делается
никаких предположений о том, что корни X уравнения A5) должны
быть различными. Как мы увидим в § 8 и 10, для симметрических
гиперболических систем задача Коши всегда разрешима.
Для многих физических примеров очень важно следующее замеча-
замечание: если матрица А0 положительно определенная, то мы можем
линейным преобразованием привести нашу систему к виду
п
1-Х
где через А', В, v обозначены преобразованные величины и где
матрицы А1 остаются симметричными1).
Даже в случае кратных корней характеристическая матрица имеет
полную систему k линейно независимых левых собственных векторов
1A = г), таких, что оператор lL[u] является внутренним оператором
на соответствующей характеристической поверхности, независимо от
того, является ли эта характеристическая поверхность кратной (т. е.
допускает несколько линейно независимых нуль-векторов /).
9. Симметрические гиперболические уравнения высших поряд-
порядков. Последнее замечание будет касаться одного уравнения или
системы высшего порядка. Если они получаются в результате
исключения из симметрической гиперболической системы первого
порядка, то они также будут называться симметрическими гипер-
гиперболическими; в этом случае к ним применима теория, построенная
для систем первого порядка.
Например, уравнение
иХоХЛ = 0
возникает таким путем из симметрической системы
и1х = и2, и2х = и3, и\ = 0.
Замечателен следующий факт.
Любое гиперболическое дифференциальное уравнение вто-
второго порядка может быть сведено к симметрической гиперболи-
') Преобразование имеет вид
L[v]= TLT(v),
так что
А1 = ТА'Т.
Поскольку матрица А0 положительно определенная, она имеет квадратный
корень С: А0 = С2- Выберем теперь Т—С~1. Ясно, что А° = 1, и так как
матрица Т симметрична, то матрицы А1 также симметричны.
§ 3. Характеристики для операторов высших порядков
589
ческой системе первого порядка. Мы запишем (см. § 1) диффе-
дифференциальное уравнение для функции и в виде
п п
iW = s(/ + 2 2a%- 2 «'Ч* + ••• =0, A7)
i = i I, k = \
где точками обозначены члены, содержащие производные функции и
не выше первого порядка, a alk — akl.
Мы предположим, что уравнение A7) гиперболическое, и^>2, а
t-= const — поверхность пространственного типа; тогда квадратичная
п
форма Я(^, ik)~ 2 a'kifck будет положительно определенной,
а точка \х = ?2 — ... = ?„ = 0 лежит внутри эллипсоида
действительно, элемент поверхности с компонентами нормали
х, Е,, . . ., %п будет элементом пространственного типа, если уравнение
имеет два действительных корня X одинаковых знаков.
Чтобы свести уравнение к системе, мы просто заменим первые
производные ut, ux в уравнении A7) на новые неизвестные функ-
функции v°, vl соответственно. Тогда уравнение A7) заменится системой
2
2
;s «'*(*>{
(Л=1, 2, ..., /г)
относительно вектор-функции w = (w0 фя). Это — симметриче-
симметрическая гиперболическая система 1).
Если, как и ранее, на начальные данные для v накладывается
условие, что они получены путем отождествления с начальными дан-
данными для uL и ut, то легко установить эквивалентность двух этих
задач.
') Действительно, ей соответствует форма A"vt-\- 2 A'ivi~\~ ¦¦¦ = О, где
1 0 ... 0
О а11 ... а1"
О ап1...ам
2а"
а" ... —а'"
О ... О
0 ...
О
590 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
10. Кратные характеристические поверхности и приводи-
приводимость. Надо добавить краткое замечание относительно общего слу-
случая систем первого порядка, необязательно симметрических. Пучок k
различных характеристических поверхностей С\ описанный во втором
определении п. 7, соответствует k линейно независимым нуль-векто-
нуль-векторам Iх, . .., /*, таким, что выражение CL[u] является внутренним диф-
дифференциальным оператором на характеристической поверхности С\
Предположим теперь, что s таких характеристических поверхностей,
например С1 С'\ совпадают, но в каждой точке этой поверх-
поверхности1) о(х) = 0 мы все же имеем s линейно независимых нуль-
векторов I1 Is матрицы А. Тогда вся поверхность С назы-
называется s-кратной, и все s дифференциальных операторов 14,
1=1, ..., s, являются внутренними на С.
Такие операторы L[u] мы можем называть гиперболическими
(в обобщенном смысле), несмотря на то, что, по предположению,
матрица Л на С имеет ранг k — s.
Наличие кратных характеристических поверхностей тесно связано
с приводимостью характеристической формы Q(|o, ..., |л), т. е.
с возможностью ее разложения на неприводимые множители более
низкого порядка2) Q — QiQ2 • • • Qj • • • и, в частности, с наличием s
одинаковых множителей Qt.
Характеристические поверхности должны удовлетворять одному
из уравнений Qy = O; кроме того, при предположении, что уравнение
гиперболическое, т. е. что существует k линейно независимых нуль-
векторов /'-, каждому уравнению Qj — O соответствует точно kj
независимых нуль-векторов /', если полином Qj имеет степень ki.
Если s множителей Qj совпадают, то соответствующая характери-
характеристическая поверхность имеет кратность s и на ней мы имеем s ли-
линейно независимых нуль-векторов.
Обратно, как показывает простое алгебраическое рассуждение,
наличие кусков поверхности кратности s в силу нашего определения
влечет за собой приводимость формы Q, Q = QjQ2.
Надо подчеркнуть, что в случае приводимости лучи можно (а для
кратных кусков нужно) определять не относительно Q, а относи-
относительно неприводимых множителей Qj.
Как указывалось выше, приводимость формы и кратные характери-
характеристические поверхности встречаются во многих задачах математической
') Мы здесь не будем рассматривать случай, когда два или несколько
кусков С" просто пересекаются или касаются (см. Ямагути и Касахара [1]).
2) В частности, такая ситуация возникает для системы L [и] = 0, если
она состоит из блоков уравнений, каждое из которых содержит про-
производные только от некоторых неизвестных функций, так что связь между
этими блоками осуществляется только через члены младшего порядка
(слабая связь).
§ 3. Характеристики для операторов высших порядков 591
физики, например, в уравнениях Максвелла, в линеаризованных урав-
уравнениях магнитной гидродинамики, в уравнениях упругих волн (см.
§ За и 13а). Часто встречаются также касания и пересечения характери-
характеристических поверхностей !). Однако в этих случаях гиперболических
симметрических систем кратность не вносит никаких трудностей при
доказательстве теорем существования и единственности (но при изу-
изучении явлений распространения особенностей и других аналогичных
вопросов требуется особое внимание).
11. Лемма о бихарактеристических направлениях. Мы добавим
сейчас к этому параграфу несколько замечаний, которые будут
использованы в § 4.
Лемма. Рассмотрим в некоторой фиксированной точке х
характеристическую матрицу А как функцию переменных
^ = дср/длг;, / = 0, ..., п; пусть на нее накладывается условие
||Л||—Q(?o, q, ..., 5„) = 0. Если А имеет ранг k—1, то произ-
производные по направлению бихарактеристических лучей опреде-
определяются формулами
Xi — lA\.r A = 0, .... п),
где точкой обозначено дифференцирование вдоль луча по не-
некоторому параметру на этой кривой, а I и г обозначают
левый и правый нуль-векторы матрицы А.
Доказать это можно с помощью непосредственного вычисления 2).
Однако мы проведем доказательство с помощью следующего неяв-
неявного рассуждения.
Рассмотрим характеристические элементы поверхностей в некото-
некоторой фиксированной точке О; они ортогональны образующим конуса
нормалей и определяются совокупностью параметров ?0, ..., ^.кото-
^.которые должны удовлетворять условию Q(?o, ..., ?л)=0, но в остальном
') Можно предположить, что такая кратность должна иметь место в си-
системах дифференциальных уравнений. В частности, легко видеть, что любая
система, содержащая нечетное число уравнений, обязана иметь кратные
корни. Разобраться в этом предположении в общем случае было бы инте-
интересной алгебраической задачей.
2) В случае системы первого порядка А= "^ А'?~, мы обозначим эле-
менты матрицы А'' через a'J и заметим, что Q. = V alj Л1)', где Л1^ —
v i, ; = i
п
алгебраическое дополнение к элементу я'-' = 2 a'-'S, в определителе || А |].
v=0
По предположению, нуль-векторы г и / определяются однозначно с точно-
точностью до скалярного множителя; они пропорциональны алгебраическим дополне-
дополнениям некоторой строки или столбца матрицы <А. Мы имеем Ли : <AlJ = AlX :Л1]
592 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
являются независимыми переменными. Векторы г и / являются
функциями \.
Продифференцируем уравнение Лг = 0:
п
Adr+У; А, г </$; = 0.
0 ''
(=0
Умножив это равенство на / и заметив, что 1А = 0, получим
п
2 lAi.rdh = Q.
Дифференциалы d\t должны з'довлетворять линейному соотношению
п
dQ = 2 Qi, dit = 0,
1=0 '
так как %t удовлетворяют условию Q(%, ..., |л) = 0; в остальном
они независимы.
Из этих соотношений немедленно следует, что величины -^
и 1А г пропорциональны, так как п компонент d\t можно выбирать
произвольным образом. Таким образом, лемма доказана.
Этот результат можно обобщить на кратные куски характери-
характеристических поверхностей, на которых матрица А имеет ранг k — s
всюду в рассматриваемой области. Такой кусок характеристической
поверхности удовлетворяет уравнению вида
Матрица А имеет линейно независимые правые нуль-векторы
г1, г2, ... и левые нуль-векторы I1, I2 Тогда для произволь-
произвольных i ж j мы имеем
*1
Таким образом, независимо от с и J справедливо соотношение
(г, у=1, ..., k), или
где /; = Лп, rj~ Л } являются соответственно компонентами векторов /
и г, a l/a = c#n. (Мы предполагаем, что Лп фО.)
Далее,
и, следовательно,
§ За. Примеры 593
Доказательство точно такое же, как приведенное выше: в фиксиро-
фиксированной точке х рассмотрим уравнение
где Sj in — независимые параметры. Продифференцируем это
уравнение, умножим слева на один из векторов /; и, как и ранее,
получим
J3v
1=0
где для рассматриваемого куска поверхности $0 = /(^ ?я) соот-
соотношение
o ?/,,
V = 1
является единственным условием, наложенным на d;v. Следовательно,
§ За. Примеры. Гидродинамика, кристаллооптика,
магнитная гидродинамика
1. Введение. В этом параграфе мы рассмотрим три примера ]),
иллюстрирующие общую теорию § 3.
На (квазилинейных) уравнениях гидродинамики можно показать
физический смысл характеристических поверхностей, лучей и коно-
коноида лучей.
Второй пример, уравнения кристаллооптики, позволяет изучить
важное явление — анизотропию. Скорость распространения волны
зависит от направления, по которому она распространяется; для
уравнений кристаллооптики поверхность нормалей и поверхность лу-
лучей являются поверхностями четвертого порядка, и, следовательно,
они более сложны, чем в случае уравнений гидродинамики.
В третьем примере уравнений магнитной гидродинамики мы
видим, что в важных с физической точки зрения случаях конус нор-
нормалей и в особенности коноид лучей могут иметь очень сложную
структуру.
Eire более сложный пример анизотропных упругих волн рассма-
рассматривал Дафф [2] 2). Некоторые примеры с сильным вырождением
') В соответствии с тем, как принято в физике, мы будем в этом пара-
параграфе иногда применять другие обозначения. Читатель легко приведет их
в соответствие с общими обозначениями § 3.
2) См. также Бухвальд [1].
594 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
поверхности нормалей, поверхности лучей и области зависимости
были даны Гордингом [4].
В случае симметрических гиперболических систем доказательство
георемы существования и единственности решения задачи Коши не
представляет особых трудностей (см. § 8, п. 10). Однако для несимме-
несимметрических систем или для одного уравнения порядка выше второго
возможные усложнения геометрической структуры конуса нормалей,
особенно наличие кратных элементов, влекут за собой трудности,
которые еще полностью не преодолены 1). Даже в случае симметри-
симметрических гиперболических систем подробный анализ структуры реше-
решений, в особенности изучение распространения особенностей, затруд-
затрудняется при усложнении геометрии характеристических поверхностей.
Так, исследования, проведенные в § 4, непосредственно применимы
только тогда, когда кратность корней характеристического уравне-
уравнения не меняется.
2. Система дифференциальных уравнений гидродинамики.
В качестве примера нелинейной задачи мы рассмотрим систему диф-
дифференциальных уравнений, описывающую движение сжимаемой
жидкости в плоскости х, у. (Случай стационарного течения уже
был рассмотрен в гл. V, § 3, п. 3.) Если компоненты скорости
жидкости обозначены через и{х, у, t), v(x, у, t), а плотность через
р(лг, у, t) и если, как и ранее, р(р) дает давление как функцию
плотности, причем р' (р) > 0, то квазилинейные уравнения движения,
уравнения Эйлера, имеют вид
pvvy + р'ру = 0,
= 0.
Пусть <р(лг, у, 0 = 0 — многообразие, на котором заданы величины
и, v, р. Тогда, вообще говоря, все производные функций и, v, p и,
в частности, выводящие производные и , v , p однозначно опре-
определяются значениями и, v, p на многообразии.. Однако это не
так, если на многообразии ср = 0 или на всем семействе <р = const
удовлетворяется характеристическое уравнение
-0. B)
О Р'<?х
о
Р?лг
') Относительно одного уравнения с кратными характеристиками см.
Гординг [2] и А, Лаке [1].
§ За. Примеры 595
Раскрывая этот определитель, мы получаем
опуская множитель р2 и полагая <р/ = т, <рж = ^ ?у —^ мы будем
иметь')
(т + и? + ^) t(x + и? + *Ч)а - Р' 0? + f)l = 0. C0
Характеристические поверхности (с уравнением ср = О) в простран-
пространстве х, у, t, а также соответствующие им семейства кривых t = ty(x, у)
на плоскости х, у, которые получаются, если положить <p = t—ф(лг, у),
снова дают многообразия, на которых возможны разрывы, или фронты
волны, связанные с движением жидкости. Например, мы можем по-
получить характеристическую поверхность
t-\-u\-\-vt\ = 0, D)
отвечающую первому множителю в уравнении C')- Соответ-
Соответствующая полость конуса нормалей2) в пространстве ?, т), т является
плоскостью. Проекция связанного с ней луча на плоскость х, у дает
не что иное, как линию тока рассматриваемого течения; сами лучи,
которые в трехмерном пространстве задаются дифференциальными
уравнениями dx/dt — u, dy/dt=v, дают скорость течения одновре-
одновременно с линией тока.
Второму множителю в уравнении C') соответствует характери-
характеристическое многообразие
(T + aS + wjJ — р'(?-\-ур) = 0. E)
т. е. квадратичная полость конуса нормалей. Направления лучей,
или бихарактеристик, которые задаются отношением dt : dx : dy,
снова представляют собой „скорости распространения" или лучевые
скорости для разрывов. Лучи, на которых t является параметром,
как легко проверить, удовлетворяют уравнению Монжа (см. гл. II, § 5)
В акустике и гидродинамике величина Yр' представляет собой
скорость звука. Следовательно, уравнение F) утверждает: относи-
относительная скорость распространения разрывов равна скорости
звука.
') Член х + и\ -\- г/г] = ^ дает скорость изменения <р в некоторой подвиж-
подвижной частице жидкости.
2) Рассматривается локальный конус нормалей с фиксированной верши-
вершиной, например t^ = 0, ха = уа = 0, и при фиксированных значениях и, v, p.
596 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Эти результаты и их отношение к упомянутому ранее стационар-
стационарному случаю (гл. V, § 3, п. 3) можно еще проиллюстрировать с по-
помощью следующих геометрических рассуждений.
Для заданных и и v локальный конус лучей, или конус Монжа
характеристического дифференциального уравнения, в про-
пространстве х, у, t задается уравнением
если мы считаем, что его вершина находится в начале координат
х — у = t —0. Следовательно, этот конус получается проектирова-
проектированием окружности
на плоскость t—l из начала координат. В соответствии с тем, со-
содержит ли этот круг начало координат х = 0, у = 0, т. е. в зави-
зависимости от того, какое из двух неравенств и2 -\- v2 < р' или и2 -j- v2 > р'
Рис. 47.
выполняется, рассматриваемый круговой конус или содержит ось t
или наклонен так, что ось t находится вне его (см. рис. 47). Пере-
Переход к стационарному случаю состоит в том, что все производные
по t полагаются равными нулю. Тогда мы рассматриваем только такие
касательные плоскости к конусу Монжа, для которых ср^ —0, дру-
другими словами, касательные плоскости, перпендикулярные к пло-
плоскости х, у, т. е. плоскости, содержащие ось t. Линии их касания
с конусом дают два характеристических направления для стационар-
стационарного случая. Но две касательные плоскости к конусу Монжа, про-
проходящие через ось t, действительны и различны тогда и только
тогда, когда ось t лежит вне конуса, т. е. когда скорость потока
Yu2-\-v2 больше скорости звука Ур'• Тем самым подтверждается
§ За. Примеры 597
и разъясняется полученный раньше в гл. V, § 3, результат, касаю-
касающийся стационарного движения жидкости.
3. Кристаллооптика. Характеристическое уравнение для уравне-
уравнений Максвелла в вакууме было выведено в гл. III, § 2 с несколько
иной точки зрения. Здесь мы рассмотрим обобщение уравнений Макс-
Максвелла на случай кристаллооптики, Оощче уравнения Максвелла,
связывающие вектор напряженности магнитного поля •§>, вектор на-
напряженности электрического поля 6, вектор индукции 5) и вектор
магнитной индукции 23, имеют вид
rot (? = — i-93; G)
здесь с — скорость света, точка обозначает дифференцирование по
времени t, \х§ = Ъ (\ь — постоянная магнитной проницаемости; обычно
ее принимают равной 1). Компоненты uv u2, «3 вектора 6 связаны
с индукцией 3) соотношением ?) —(г,^, е2м2, е3и3), где г,, е2, е3 —
три диэлектрические постоянные по направлениям трех координатных
осей. Наличие различных констант е указывает на кристаллический
характер рассматриваемой среды.
Из уравнений G) немедленно получается, что (div S))'= 0 и
(div 23)' = 0. Предполагая, что в начальный момент div 3) = div 23 = 0,
мы будем иметь
divD = 0, div 23 = div ? = 0; Ga)
мы будем всегда считать, что соотношения Gа) выполнены.
Исключение вектора •§> из уравнений G) приводит к трем линей-
линейным дифференциальным уравнениям второго порядка для вектора
напряженности электрического поля:
. д
11 : дх
22 г ду
33 Л дг дх ду дг дх ду дг
где at = ([х/с2) в; ')• Мы хотим вкратце привести алгебраические вы-
выкладки, которые позволяют получить конус нормалей, конус лучей
и поверхность нормалей. Напишем xv xv хг вместо х, у, z; мы
получим для характеристического многообразия <p = t — ф(х) = 0
д2щ
ду2
, д2щ
1 дг2
д2щ
дх ду
Vu*
д2иг
дхду
') См. также отдельные уравнения для каждой компоненты векторов
в § 14а, п. 1.
598 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
следующее уравнение:
чч
'-S-o,
= 0, (9)
где 5, = ?г . р2=|?|2 = ?2
слений,
Н (?) = (р2 - о,) (р2 - о2) (р2 - в3) X
' или" после несложных вычи-
вычиX
/ р2 р2 f2 \
(9а)
Уравнение конуса нормалей в пространстве т, ? имеет вид
Q (т, 5) = (р2 - о,т2) (р2 - о2х2) (р2 - о3т2) X
/ е2 Л Л \
x(l 2_aT2— ,_8Т, — -т~!г)=0' (9б)
так что
H(\) — Q{—\, I).
Следовательно, поверхность нормалей задается уравнением
3 ?2
Р®=У;-7г~=1- (Ю)
Уравнение взаимной поверхности нормалей (см. § 3, п. 3) получится
из A0), если мы заменим \t на A/р2)^:
Уравнение поверхности нормалей можно записать также в другой
форме
" Йг^ = 0. (Юа)
а уравнение взаимной поверхности нормалей — в форме
Уравнение A0а) можно получить непосредственно из A0) с помощью
тождества
Z^ р2 ~Z^ (р2 — ог)р2 ~^ р2 —"г ра
(Па) следует непосредственно из A0а),
§ За. Примеры 599
Поверхность лучей получается либо как огибающая') нормаль-
нормальных плоскостей к взаимной поверхности нормалей2), либо, что экви-
эквивалентно, как геометрическое место полюсов плоскостей, касатель-
касательных к поверхности нормалей A0), относительно единичной сферы.
Касательная плоскость в точке \ представляется уравнением
JK®e-y = O. или iF^^y^.
где С; — текущие координаты. Полюс этой касательной плоскости
имеет координаты
Исключая из этих алгебраических уравнений и из уравнения A0а)
координаты ^. после некоторых вычислений получаем уравнение
поверхности лучей:
И поверхность нормалей, и поверхность лучей являются алгебраи-
алгебраическими поверхностями четвертого порядка, „поверхностями Френеля".
Они переходят одна в другую, если заменить at на 1/ог, $ на т) и р
на R. Как мы увидим далее в п. 4, эти поверхности состоят каждая
из двух замкнутых кусков, причем внутренний кусок выпуклый. Их
проекции из начала координат в четырехмерное пространство дают
соответственно конус нормалей и конус лучей. Выпуклая „сердцевина"
первого конуса с помощью двойственного преобразования переходит
в выпуклую оболочку другого конуса.
4. Форма поверхности нормалей и поверхности лучей. Поверх-
Поверхность нормалей A0) является алгебраической поверхностью четвер-
четвертого порядка, симметричной относительно начала координат. Каждая
прямая, проходящая через начало координат, пересекает эту поверх-
поверхность в четырех действительных точках; она состоит из двух зам-
замкнутых „полостей", или кусков, которые имеют только четыре общие
точки, в которых они касаются друг друга. Предположим, что
а1 > о2 > о3; тогда эти четыре точки самопересечения, которые опре-
') Заметим, что с помощью такого построения мы получаем собственно
поверхность лучей, а не ее оболочку.
2) То есть огибающая плоскостей, проходящих через точки взаимной
поверхности нормалей и ортогональных радиусам-векторам этих точек. —¦
Прим. ред.
600 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
деляют главные оси биаксиального кристалла, лежат на плоскости %v
на прямых
а3 а2 Ъ V о2 а,
Эти факты будут выведены из уравнения A0) с помощью некоторых
вычислений. Формальная аналогия между уравнениями A0) и A2) по-
показывает, что соответствующие утверждения справедливы также
для поверхности лучей, если заменить av о2, о3 на обратные им ве-
величины.
Умножая уравнение A0) на (р2 — ох) (р2 — о2)(р2 — о3) и собирая
члгны с одинаковыми степенями ?, мы получаем, что уравнение по-
поверхности нормалей имеет вид
-о1о2а3A-Ф© + Р2Ф@) = 0, A3)
где
_ ?2 I C2 _(_ ?2
— "ч Г^2 I q3.
+
а2а3 а3а, о,а2
Если а — произвольный единичный вектор, то прямая, проходящая
через начало координат в направлении вектора а, состоит из точек
вида ? = ра, где р — параметр. Точки пересечения этой прямой с по-
поверхностью нормалей определяются корнями следующего квадратного
уравнения относительно р2:
р"Ф(а) — р2? (а)+1=0. A4)
Дискриминант этого уравнения равен
А-(а) = Ф2(а) — 4Ф(а). A5)
Положим теперь
Л2_ 1 1 Л2— 1 1 Л2_ 1 ] .
А\ = —¦ , Лг = —, Лз = ;
О3 О2 О[ О3 О2 О!
простые вычисления показывают, что если S^—b то
А-(а) = П(«И1±М2±«з^з)- 06)
где произведение берется по всем четырем возможным комбинациям
знаков. Так как величины Ах и А3 действительны, а величина А2
чисто мнимая, то множители, составляющие X, распадаются на ком-
комплексно сопряженные пары. Поэтому X ^ 0. В самом деле, X = 0
только в том случае, когда а2 = 0 и а^ ± агАь = 0. Следовательно,
§ За. Примеры
601
четыре корня уравнения A4) действительны и различны, за исклю-
исключением случая, когда a1Al ± а3Л3 = 0.
Таким образом, поверхность нормалей состоит из двух отдель-
отдельных кусков с уравнениями
Пользуясь однородностью функций 47 и Ф, мы можем определить
величину X Q.) формулой
W » A7)
Тогда для внешней и внутренней частей поверхности мы будем
соответственно иметь уравнения
A8)
Эти части поверхности соприкасаются только в четырех точках, ле-
лежащих на прямых
в плоскости ?), ?3 (см. рис. 48).
Рис. 48. Пересечение поверхности нормалей с координатными плоскостями.
Чтобы представить себе поверхность нормалей, мы рассмотрим
ее пересечение с координатными плоскостями. В пересечении с пло-
плоскостью ^2==0 получаются окружность и эллипс, которые имеют
четыре точки пересечения:
е? -+- eg—«2—о
и
Эти точки пересечения, конечно, соответствуют точкам, общим для
внешней и внутренней части поверхности. Для других двух коорди-
602 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
натных плоскостей в пересечениях также получаются окружность и
эллипс, но здесь они не пересекаются. На плоскости ^ = 0 мы
имеем
аналогично на плоскости %3 — 0 получается
(см. рис. 48).
Из общей теории § 3 следует, что внутренняя часть поверхности
нормалей должна быть выпуклой. Внешняя часть не будет выпуклой,
Рис. 49. а — поверхность нормалей; б — поверхность лучей.
так как она имеет четыре конические точки, направленные внутрь,
в то время как соответствующие вершины для внутренней полости
направлены наружу.
Как мы заметили выше, в точности то же самое справедливо для
поверхности лучей, если параметры ог о2, о3 заменить на обратные
им числа. Однако надо обратить внимание на тот отмеченный в § 3,
п. 5 факт, что определение двойственного преобразования требует
некоторой модификации, когда речь идет о конических точках. Образ
выпуклой поверхности, содержащей внутри начало координат, должен
быть выпуклой поверхностью. Выпуклая внутренняя полость поверх-
поверхности нормалей соответствует выпуклой оболочке поверхности лучей.
(Обе они обведены жирными линиями на рис, 49.)
§ За. Примеры 603
Конические точки поверхности нормалей переходят в четыре
плоские „крышки", которые добавляются к поверхности лучей при
построении ее выпуклой оболочки. Эти „крышки" не получаются как
огибающие характеристических плоскостей, но являются кусками
плоскостей, опорных для поверхности лучей в собственном смысле
(которую можно представлять себе как огибающую характеристиче-
характеристических плоскостей).
Так как соотношение между поверхностью нормалей и поверх-
поверхностью лучей является соотношением двойственности, то выпуклая
оболочка поверхности нормалей отображается во внутреннюю по-
полость поверхности лучей. Та часть внешней полости поверхности
нормалей, которая не содержится в выпуклой оболочке, отображается
в соответствующую часть поверхности лучей (обе эти части на рис. 49
изображены пунктиром). Точно так же, как конические точки по-
поверхности нормалей соответствуют „крышкам" поверхности лучей,
„крышки" поверхности нормалей соответствуют коническим точкам
поверхности лучей. Границы „крышек" являются параболическими
кривыми, т. е. такими кривыми, на которых обращается в нуль
одна из главных кривизн поверхности (см. рис. 49).
Действительно, границы „крышек" поверхности лучей являются
окружностями; так как каждая из этих кривых есть линия сопри-
соприкосновения плоскости и поверхности четвертого порядка, она должна
быть кривой четвертого порядка, все точки которой двойные, т. е.
коническим сечением. Чтобы убедиться в том, что граница „крышки"
является окружностью, мы запишем уравнение поверхности лучей
в однородных координатах -ц, -с:
где параметры av о2, о3 в выражениях Т и Ф заменены обратными
им числами. Отсюда следует, что поверхность лучей содержит абсо-
абсолютную окружность проективного пространства, которая задается
уравнениями
т = 0, R2 = 0.
Следовательно, пересечение поверхности лучей с любой плоскостью
содержит две абсолютные точки этой плоскости. Если плоская кри-
кривая пересечения вырождается в две действительные кривые второго
порядка, то одна из этих кривых содержит абсолютные точки, т. е.
является окружностью. В частности, это справедливо для линии
соприкосновения „крышки" с поверхностью лучей. (Между прочим,
это рассуждение подтверждает тот факт, что кривая пересечения
поверхности лучей с любой координатной плоскостью должна содер-
содержать окружность.)
5. Задача Коши для уравнений кристаллооптики. Задача Кош
для системы уравнений кристаллооптики (это система уравнении
604 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
первого порядка), а также для других дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами, например для уравнений магнитной
гидродинамики, может быть переформулирована как задача Коши
для некоторой системы второго порядка или для одного уравнения
более высокого порядка; это делается с помощью исключения пере-
переменных (см. гл. I, § 2). Мы установим эквивалентность соответ-
соответствующих задач для случая уравнений кристаллооптики.
Исключая вектор напряженности магнитного поля из исходных
уравнений Максвелла G), мы получаем систему трех уравнений вто-
второго порядка
д2 д* д2
" — д2ц' д*и\ д2и2
1 * дх\ дх\ дхх дх2 дхх
д2и3
а _ 2 2 3
2 дх\ дх\ дх2 dxz дх2
•• д2и3 . д2и3 d2"iд2
°3 ~~ дх\ дх\
дх\ дх\ дх3 дхх дх3 дх2 '
С помощью процесса исключения мы легко можем убедиться, что
все компоненты w вектора и удовлетворяют одному и тому же диф-
дифференциальному уравнению шестого порядка
> = 0, B0)
• B0')
где т обозначает д/dt, \t обозначает d/dxit a
D(?,x)=
р2
— &2 Р — « — °3^
Из уравнения A3) мы заключаем, что
D(?, т) — — 0^03 (т6 — W (?) т4 -|- р2Ф (I) х2). B1)
Уравнение B0) можно свести к уравнению четвертого порядка, так
как из каждого члена D можно выделить множитель х2. Если мы
положим v = wtt, то будем иметь
)tf = O. B2)
Применяя уравнения Gа), из двух уравнений системы A9) с помощью
простых вычислений можно исключить две компоненты и таким обра-
образом для всех компонент вектора 6 мы получим уравнение
четвертого порядка
F(l т)и==0. B2а)
Задачи Коши для уравнений Максвелла G) и для уравнения B2)
тесно связаны между собой. Мы покажем, что задача Коши для
§ За. Примеры 605
уравнений Максвелла, которая состоит в том, что при t — О задаются
векторы 6 и ?), сводится к задаче Коши для уравнения B2)
с начальными данными специального вида
v@. x) = 0. vt@, x) = 0, vtt@. x) = 0,
vttt(Q, x)=g(x). (ZZ)
t
Если мы положим w*(t, х)= Г (t—s)v(s, x)ds, то
о
D(l z)w* = 0 B3)
и
и>*@, x)=~w*@, x) = 0 (i=\, 2, 3, 4),
dt' B30
Если ввести для этого решения обозначение
w*(t, x) = U[g],
то решение задачи Коши
D(l i)w{t, jc) = O, B4)
w@, x) = gQ(x). ^-«@. x) = g,(x) (/=1 5), B4')
очевидно, определяется формулами
Чтобы решить теперь задачу Коши для системы уравнений Максвелла,
мы просто должны проверить, что из данных Коши для системы
сразу получаются данные Коши для уравнения B4). Система G) вы-
выражает производные компонент w по времени через их простран-
пространственные производные, которые в свою очередь вычисляются через
данные Коши. Производные по времени более высокого порядка по-
получаются, если сначала продифференцировать систему по t, и т. д.
Таким образом, задачу Коши для уравнений Максвелла можно ре-
решить, если мы сможем решить задачу Коши для уравнения B2)
с начальными данными специального вида B2'). Мы рассмотрим эту
последнюю задачу в § 14а.
606 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
6. Магнитная гидродинамика ')• Изучение движения ионизиро-
ионизированных газов и жидкостей, на которые действуют электромагнитные
силы, приобретает все более важное значение. В связи с этим воз-
возникает множество задач, куда входят гиперболические операторы.
Здесь для нас интереснее всего то, что даже простые примеры та-
такого движения приводят к характеристическим поверхностям сравни-
сравнительно сложной структуры, которые тем не менее оказываются
в сфере действия общей теории, развитой в этой главе. Мы ограни-
ограничимся простейшим случаем идеально проводящей жидкости при
наличии магнитного поля. Пусть и обозначает вектор скорости
течения, В— вектор напряженности магнитного поля, J—вектор
плотности электрического тока, а [л—магнитную проницаемость.
Мы будем также пользоваться обозначением V для градиента и X
для векторного произведения; скалярное произведение там, где это
необходимо, будет обозначаться точкой.
Уравнения движения такой жидкости образуют гиперболическую
систему; она анизотропна и нелинейна. Для упрощения предпола-
предполагается, что все скорости течения малы по сравнению со скоростью
света, так что можно пренебречь релятивистскими эффектами, такими,
как ток смещения в уравнениях Максвелла. Тогда мы имеем
[>J=TOtB, A3)
где [j, обозначает магнитную проницаемость. Дальнейшее предполо-
предположение о бесконечной электропроводности позволяет нам найти выра-
выражение для вектора напряженности электрического поля Е:
Е = — иХВ. A3')
Оставшиеся два уравнения Максвелла вместе с уравнениями дви-
движения жидкости дают следующую систему дифференциальных урав-
уравнений для В, и и плотности жидкости р как функций от положения
точки х = (х, у, z) и времени t:
, —rot (и X Я) = 0. (М
B 0
Последний член в третьем уравнении представляет собой силу JX.B,
с которой магнитное поле действует на единичный объем жидкости.
') Подробнее по этому вопросу см. Гофман и Теллер [1], Фридрихе
и Кранцер [1], Град [1], Базер и Флейшман [1], см. также Фридлендер [2],
Лайтхилл [1] и Вейтцнер [1]. Обозначения в этом пункте более соответ-
соответствуют тому, что принято d физической литературе, чем обозначениям, при-
применяемым в § 3.
§ За. Примеры 607
Как и в случае обыкновенных уравнений Максвелла, первое уравне-
уравнение имеет характер начального условия.
Мы рассмотрим линеаризованную форму этих уравнений, опу-
опуская все члены второго порядка. Тогда легко видеть, что системе
эквивалентна некоторой симметрической гиперболической си-
системе в смысае § 3, п. 8.
Сначала мы рассмотрим случай несжимаемой жидкости
р = const. Последнее уравнение системы A4) тогда примет вид
div и = 0,
а давление р может быть взято в качестве неизвестной функции.
Чтобы получить характеристическое уравнение, мы рассмотрим
произвольное многообразие ср(х, t) = Q и положим
v = ср, -)- и • Vcp = ip A5)
(г> = ср есть скорость изменения величины ср с течением времени при
наблюдении из точки, перемещающейся вместе с жидкостью, так как
(d/dt)<f(t, х (t)) = ср, -f- и • Vcp). Далее, если ср == 0 есть характери-
характеристическое многообразие, то величина v удовлетворяет уравнению,
в левой части которого стоит некоторый определитель, а в пра-
правой — нуль; если раскрыть этот определитель, то легко можно по-
получить, что
(хрг> (Wv2 — (?VcpJJ = 0. A6)
Таким образом, мы имеем однократную характеристическую ско-
скорость, соответствующую v = 0, и две характеристические скорости
кратности 2, соответствующие значениям ± v = vSVcp(jj.p)""'''2.
Как и в п. 2, характеристика v—0 дает линию тока. Остав-
Оставшийся множитель в выражении A6) дает прямую и обратную волны.
Альфвена. В обозначениях т = ср,, Е = Vcp соответствующие поверх-
поверхности нормалей будут плоскостями с уравнениями |/"(i,p (т-|-и ?) +
+ (Щ) = 0. Мы не ограничим общности, если положим и = 0,
т. е. будем пользоваться системой координат, которая перемещается
вместе с жидкостью, так как наши уравнения инвариантны относи-
относительно такого переноса. Взаимная поверхность нормалей для прямой
волны Альфвена (иногда ее рассматривают вместо настоящей поверх-
поверхности нормалей) является просто сферой диаметра
проходящей через начало координат (см. рис. 50). Ее полюсом будет
поверхность лучей, состоящая из единственной точки х = ЬВ/\В\;
эта точка проектируется из начала координат с помощью изолиро-
изолированного луча. Следовательно, прямая волна Альфвена распростра-
распространяется только в направлении вектора В; ее скорость Ъ относительно
жидкости называется скоростью Альфвена. Аналогично, обратная
608
Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
волна Альфвена распространяется с относительной скоростью b
в направлении, обратном к В.
Для сжимаемой жидкости система A4) также применима, но
тогда р есть заданная функция р(р). Так как кроме скорости Альф-
Альфвена Ъ имеется скорость звука
положение теперь более сложное. Со-
Сохраняя обозначения, введенные для слу-
случая несжимаемой жидкости, мы полу-
получим характеристическое уравнение
v (v2 — фVcpJ) [г;4 — {a2 -f b2) v2 +
= 0, A7)
Рис. 50. Взаимная поверхность где а = ]//?', Ь— \В\(}>.р)~''*. Два пер-
нормалей для прямой волны вых множителя дают характеристиче-
' скую поверхность г>=0, соответствую-
соответствующую линиям тока, и характеристические поверхности Альфвена
Геометрические места, соответствующие множителю четвертой
степени в уравнении A7), т. е. поверхность нормалей и поверхность
лучей, более сложны и более интересны, чем соответствующие по-
поверхности Альфвена. Чтобы упростить исследование, не теряя при
этом общности, мы снова будем считать, что скорость и обращается
в нуль, по крайней мере в рассматриваемой точке. (Наши диффе-
дифференциальные уравнения инвариантны относительно замены системы
координат системой, перемещающейся с постоянной скоростью.) Как
и ранее, в характеристическом уравнении мы заменим Vcp векто-
вектором
—величиной т.
р^
Поверхность нормалей, вообще говоря, состоит из трех кусков,
вместо которых мы можем изобразить их сечение плоскостью 'iv ij2,
так как имеет место симметрия относительно оси вектора напряжен-
напряженности магнитного поля В. Внутренняя полость конуса нормалей,
заключающая „сердцевину", выпукла. Внешние полости уходят в бес-
бесконечность; они похожи на плоскости, ортогональные оси (век-
(вектора В), с изгибом около самой оси (см. рис. 51).
С геометрической точки зрения надо различать три случая, соот-
соответствующие разным соотношениям между скоростью звука а и ско-
скоростью Альфвена Ь:
(а) а2 < Ь2,
(б)
(в)
Ь2,
а2 > Ь2.
§ За. Примеры
609
Поверхность нормалей показана на рис. 51. В случаях (а) и (в) поверх-
поверхность нормалей имеет две двойные точки, а именно, точки на рас-
расстоянии I/ft от начала координат по направлению вектора В. Имеется
также четырехкратная точка на бесконечности. Следует заметить,
что те две полости, которые уходят в бесконечность, соответствуют
множителю четвертой степени в характеристическом уравнении. Та-
Таким образом, конус нормалей не состоит из вложенных замкнутых
поверхностей.
В случае (ф имеется две тройные точки, а именно общие точки
пересечения полости, соответствующей множителям Альфвена. и по-
полостей, соответствующих множителю четвертой степени. Точки пере-
пересечения являются коническими точками поверхности нормалей.
А А
В
Рис. 51. Поверхность нормалей; А — поверхность Альфвена.
Соответствующие взаимные поверхности нормалей получаются из
поверхностей нормалей (рис. 51) с помощью инверсии относительно
единичной сферы. На рис. 52, б, в видно, что внешняя полость
взаимной поверхности нормалей не обязана быть выпуклой, несмотря
на то, что сердцевина настоящей поверхности нормалей выпукла.
Поверхность лучей показана на рис. 53. Ее алгебраическая сте-
степень выше, чем степень поверхности нормалей. Случай а показывает,
что, хотя конус нормалей и поверхность нормалей регулярны, конус
лучей может иметь особенности. В этом случае треугольники
с остриями получаются из безобидных на первый взгляд овалов на
рис. 52, а, в. Острия соответствуют точкам перегиба и бесконечно
удаленным точкам внешних кусков поверхности нормалей. В случае,
610
Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
представленном на рис. 53, б, внешняя полость конуса лучей уже
не будет выпуклой, и, следовательно, не совпадает со своей выпук-
выпуклой оболочкой. Лучи, соответствующие поверхности Альфвена, лежат
а б в
Рис. 52. Взаимная поверхность нормалей; А — поверхность Альфвена.
во внешности остальной части конуса лучей, несмотря на то, что
поверхность Альфвена для нормальных скоростей, т. е. взаимная
Рис. 53. Поверхность лучей.
поверхность нормалей, всегда лежит либо на остальной части поверх-
поверхности нормальных скоростей, либо внутри нее. Это легко объяснить,
если понять, что нормальные скорости и скорости по лучам, вообще
говоря, различны.
§ 4. Распространение разрывов и задача Коши 611
Так как конус лучей имеет острия, то мы можем ожидать, что
возмущения, которые в начальный момент имеют гладкую границу,
могут в дальнейшем иметь границу с остриями. Это действительно
возможно, как показано на рис. 54.
Эти примеры показывают, что коноид лучей может иметь сложную
структуру и может иметь особенности, несмотря на то, что конус
нормалей является регулярным. Соответственно и другие характери-
характеристические поверхности могут иметь неожиданные особенности. Эти
особенности приводят к интересным вопросам, касающимся связи
между алгебраической геометрией и теорией дифференциальных
уравнений с частными производными.
Рис. 54.
В этом параграфе мы рассматривали геометрические формы харак-
характеристических поверхностей, в частности фронтов волны. Позднее,
когда мы будем подробно изучать задачу Коши и распространение
волн, мы увидим, какое значение имеют проделанные ранее исследо-
исследования для задач о распространении волн (см., например, § 4, 7, 12,
14, 15).
§ 4. Распространение разрывов и задача Коши
1. Введение. Для гладких начальных данных решение задачи
Коши будет построено в § 8, 9 и 10 с помощью метода „интегралов
энергии", т. е. метода, который не опирается непосредственно на
понятие характеристик. Однако в этом и следующем параграфе
мы увидим, что, тем не менее, структура решений определяется
характеристическими поверхностями и лучами. Исходной точкой будет
служить анализ распространения разрывов на характеристических
поверхностях вдоль лучей (см. также § 1 и 2). Но этот анализ
приведет нас к несколько более общему подходу к задаче; в резуль-
результате мы получим по крайней мере приближенные решения для
широкого класса задач с помощью одного только интегрирования
обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль лучей.
Разрывы начальных функций или производных этих начальных
функций большей частью будут происходить только на (п—1)-
мерных многообразиях начального пространства; в остальном началь-
начальные данные будут предполагаться настолько гладкими, насколько
612 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
это понадобится (т. е. они будут иметь непрерывные производные
до любого желаемого порядка).
Как будет показано при подробном исследовании, анализ распро-
распространения особенностей основан на предположении, что рассматри-
рассматриваемые характеристики являются простыми, или, в случае кратных
характеристик, что кратность одинакова для всех точек и всех
характеристических элементов. Это ограничение исключает из области
применения общей теории многие важные задачи математической
физики. Несмотря на то что эти задачи можно решить с nOiMOuibio
специальных методов, несовершенство общей теории остается вызовом
для исследователей !). Многочисленные примеры и комментарии
в последующих параграфах сделают ситуацию более ясной.
2. Разрывы первых производных для систем первого порядка.
Уравнение переноса. Сначала мы рассмотрим системы линейных
дифференциальных уравнений2) первого порядка
п
L[u]=2iAiui-SrBu = 0. A)
( = 0
Выше (см. гл. III и гл. VI, § 3) мы убедились в том, что поверх-
поверхности С: ср (л:) = 0, при переходе через которые сама функция и
непрерывна, а производные первого или более высокого порядка
имеют разрыв, являются характеристиками. Из соотношения на раз-
разрыве3) при переходе через С
сч]J
( = 0
следует, что
так как ui = и у,- -j- тангенциальные производные, а тангенциальные
производные предполагаются непрерывными при переходе через С.
Следовательно, матрица А = 2 A'<?i особенная, и скачок выводящей
производной и при переходе через С
g = (u4) = er B)
является правым нуль-вектором характеристической матрицы А,
определенной в § 3; о здесь скалярный множитель.
') Некоторые успехи в теории кратных характеристик были достигнуты,
например, в работе Людвига [3]; см. также Льюис [1].
г) Относительно квазилинейных систем см. п. 9.
3) Здесь снова символ (/) обозначает скачок функции / при пере-
переходе через С.
§ 4. Распространение разрывов и задача Коши 613
За исключением тех случаев, когда явно оговорено противное,
мы здесь, как и в § 3, предполагаем, что характеристическая
матрица А имеет ранг k—1 и, следовательно, с точностью до
скалярного множителя о имеет один правый нуль-вектор г и один
левый нуль-вектор /, такие, что 1А = Ar =Q.
Любое решение ср дифференциального уравнения
дает семейство характеристических поверхностей
Сс: ср (л:) = с = const,
и нуль-векторы г, I определены на всех этих поверхностях.
Теперь мы сформулируем следующую теорему, скаляр о, опре-
определяющий скачок
распространяется по бихарактеристическим лучам, лежащим на поверх-
поверхности С, в соответствии с обыкновенным дифференциальным урав-
уравнением (уравнением переноса)
i-)-Po = 0 C)
(точка обозначает дифференцирование по некоторому параметру
вдоль луча), где
Р = /?[/¦]. D)
Чтобы коротко') доказать эту теорему, исследуем разрыв и при
')
переходе через поверхность С: <р = 0, представляя решение в виде
где g = (u ) = ar, а функции g(x) и R (x) имеют непрерывные первые
производные, для которых на С непрерывны внутренние производные.
Положим &(ср) = -- для ср > О И h(y) =—-п Для с? < 0. Тогда
в силу того, что Ag — О, мы имеем на обеих сторонах поверх-
поверхности С
L [и] == h (ср) Ag + \ |ср| Z. [g] + Z. [/?] = ~ [ср|i [g-] -f- L [R] = 0.
Умножая это равенство на нуль-вектор/, получаем ^|ф| Л [,?>¦]+//.[/?) = 0.
Оператор//.[/?] является тангенциальным, так как / 2 ¦^'сРг = 1А = 0.
Следовательно, по предположению, первые производные выраже-
выражения IL[R\ непрерывны на С. Поэтому мы можем продифференцировать
') В п. 4 мы будем более подробно и в более общем виде исследовать
разрывы для систем вида A).
614 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
последнее уравнение по <р и рассмотреть скачок левой и правой
части при переходе через С; мы немедленно получим внутреннее
дифференциальное уравнение на характеристической поверхности
С: lL[g] = 12 A'gl-\-lBg = 0. Кроме того, подстановка g = ar
дает
I 2 Л'гс, + / Bi Alrt + Br)e — 0,
откуда в силу леммы из § 3, п. 11 получается уравнение
о -+- IL [г] о = 0.
Между прочим, мы могли бы получить этот результат также
по аналогии с § 2, п. 3, предположив сначала, что <р имеет спе-
специальный вид ср = л:я, и воспользовавшись затем инвариантностью
характеристик и дифференцирования по характеристическим напра-
направлениям.
3. Разрывы начальных значений. Введение обобщенных
функций. Бегущие волны. Как уже указывалось в гл. V, § 9, п. 1,
правильное математическое описание физической реальности требует
введения обобщенных решений с более сильными разрывами, например
решений и, которые сами при переходе через С имеют скачок (и)Ф0.
Однако мы не можем приписать физический смысл всем разрывным
решениям, возможным с математической точки зрения1). Обобщенные
решения должны подчиняться тому ограничению, чтобы они и их
производные получались из гладких решений с помощью предельного
перехода. Следуя указанным выше идеям, мы будем допускать
в качестве физически осмысленных решений такие решения, которые
выражаются через обобщенные функции, или распределения.
Такие обобщенные функции, в частности дельта-функция Дирака,
и раньше применялись в этой книге как символические обозначения.
Здесь и далее мы определим их и будем пользоваться ими систе-
систематически.
Последовательная общая теория обобщенных функций дана в каче-
качестве приложения к этой главе, здесь мы сформулируем только
следующие важнейшие идеи этой теории.
Распределения S(cp), или обобщенные функции, зависящие от
переменной <р, можно в ограниченной области изменения <р опре-
определить как символические производные непрерывной функции №
„фазовой переменной" ср
') Например, рассмотрим два различных решения и1, и2 уравнения L [и] = О
и отождествим «разрывное решение" и по одну сторону произвольной
поверхности С с и1, а по другую — с и2. Тогда и имеет на С значок («),
и ни С, ни (и) ничем не выделяются.
§ 4. Распространение разрывов и задача Коми 615
где а — положительное число, a D есть d/dy. Мы тогда сможем
дифференцировать обобщенные функции так, как если бы они были
обычными функциями. Мы можем также образовывать их линейные
комбинации с обыкновенными функциями, дифференцируемыми не
менее а раз, в качестве коэффициентов и получать таким образом
новые обобщенные функции. Кроме того, мы можем подставлять
обобщенные функции в линейные дифференциальные операторы и
обращаться с этими идеализированными функциями так, как если бы
они были обыкновенными.
Кроме обобщенной функции S = S0, мы будем рассматривать
обобщенные функции Sv(cp), такие, что
S,'(<p) = DS, = ?,_!. E)
Если г>а, то S; можно определить как (i — а) раз проинтегриро-
проинтегрированную функцию W', причем в качестве нижнего предела берется
нуль, так что S;@) = 0.
Предположим, что S(tp) — регулярная функция при ср=?О; это
означает, что функция №(ср) имеет обычные производные при <р=?0.
Тогда, очевидно, S4(<?) имеют при возрастающих v все меньшие
особенности, непрерывны при v^-a и сколь угодно гладки для
достаточно больших v. Кроме того, для ограниченного интервала
и для v > а мы имеем
где М — некоторая постоянная.
В качестве примера мы рассмотрим
= 5 (<р). &W = Ь{а~2) (<р),
где т|((р) — функция Хевисайда:
т|((р)=1 для ср > 0, 7|(ср) = О для ср < О,
или
или
или
=-~ и т. д.
616 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
В особой точке (здесь при ср = 0) не имеет смысла1) отождествление
обычных функций с обобщенными функциями, обозначаемыми теми же
символам 1. Однако, как указывалось, такие o6ofщенные функции
или их комбинации можно подставлять в линейные дифференциальные
уравнения и обращаться с ними как с обычными функциями').
Чтобы найти представление для функций и (х, t), имеющих особен-
особенность на поверхности С: <{>(х, t) — 0, мы заметим, что после
вычитания члена с особенностью может получиться остаток с более
слабым разрывом. Это объясняет введение в рассмотрение разрывных
(обобщенных) функций следующего вида:
и(х, 0 = 2«,(?)Г(*. 9 + Ж*. t). F)
v = 0
где N мы можем выбирать по нашему усмотрению, коэффициенты g~>
настолько гладкие, насколько это нужно, а остаточный член R
также имеет любую необходимую степень гладкости. Если и—вектор,
то коэффициенты g4 и остаточный член R также должны быть
векторами, a So, 5Р .. .— скалярами.
Надо заметить, что такое представление не единственно, если
мы просто хотим иметь определенную особенность при <р = 0. Вне
поверхности С: ср = О мы можем произвольным образом изменять
коэффициенты g, считая, что 5(<р) регулярны всюду, кроме ф —0.
Члены, которые получаются при изменении, всегда можно включить
в остаточный член R. Если мы не должны обращать внимание
на тонкости строения особенности функции и, то мы можем скомби-
скомбинировать члены разложения F) в одно или два слагаемых. Например,
если W (z>) = log |ср| и, следовательно, S (ср) = So (ср) = const • ср~а,
то для целых а представление F) может быть записано в виде
где коэффициенты G, G* регулярны.
Во всяком случае, разложения вида F) оказываются наиболее
подходящими для анализа.
Часто будет удобно в разложении F) не указывать число N
и не выделять остаточный член R, а писать
оо
а (х, 0 ~ S S, (?) g" (х, t), So = S; F')
v=0
при этом подразумевается, что это формальное разложение надо пре-
прекратить после некоторого числа N членов и затем добавить оста-
остаточный член R нужной степени гладкости.
') См. приложение.
§ 4. Распространение разрывов и задача Коши 617
Если в действительности ряд F') прерывается" после /V членов
и остаточный член равен нулю, то мы будем называть функцию и
(имея в виду дальнейшее изучение понятия волны в § 18) бегущей
волной порядка N, или, если она может быть представлена в виде
сходящегося ряда, полной бегущей волной; в противном случае и
называется приближенной бегущей волной.
Как указывалось выше, обобщенные функции описанного типа
можно рассматривать как (слабые) пределы при е—>0 функций
вида DaW(<f), где WE(<p) имеет производные всех нужных порядков.
Тогда и рассматривается как предел регулярных функций иг, „резко
изменяющихся" при переходе через С, но не вдоль С, таких, для
которых L [иг\ стремится к /.[и]. Вместо того чтобы работать
с функциями иг и переходить в конце к пределу при е—>0, мы
формулируем простые правила действий над S-функцией и вообще
над обобщенными функциями вида D*W (<$>) (см. приложение).
Применение бегущих волн вида F') оправдывается также необхо-
необходимостью подробного изучения характера разрыва и при переходе
через С.
Например, разрыв типа скачка для функции и может быть пред-
представлен просто одним членом vj (cp) g (х, t); чтобы одновременно
учесть разрыв нормальной производной и , мы используем два члена
fl(<f)g(x, t)+\<?\gl(x, t) и т. д.
Мы снова заранее оговорим некоторые предположения. Прежде
всего, мы всегда предполагаем, что коэффициенты дифференциаль-
дифференциального оператора и начальные данные настолько гладки, насколько
это нужно для того, чтобы были справедливы утверждения относи-
относительно гладкости коэффициентов g* и остаточного члена R. Во-вто-
Во-вторых, за исключением особенности при ср = О, и, возможно, еще при
нескольких значениях <р, S(<ij>) также предполагается достаточно
гладкой функцией.
Чтобы построить обобщенное решение и (х, t) типа бегущей
волны F) или F'). мы просто подставим эти разложения в диффе-
дифференциальное уравнение; при этом обобщенные функции дифферен-
дифференцируются так же, как если бы они были обычными. Затем потребуем,
чтобы полученные в результате этого гладкие коэффициенты при
обобщенных функциях Sv обращались в нуль. Это приведет к после-
последовательности дифференциальных уравнений для коэффициентов g4,
а эти уравнения можно свести к простым обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнениям.
Если число N достаточно велико, то остаточные члены можно
сделать сколь угодно гладкими, что позволит нам завершить построе-
построение решения задачи Коши, обратившись к построению, приведен-
приведенному в § 10.
В случае, когда ряд F') конечен или сходится, не надо учитывать
остаточные члены; указанный метод применим тогда к произвольным
618 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
функциям S(cp) = S0('f), независимо от того, сингулярные они или
гладкие. Это замечание (см. также § 18) позволяет полностью
построить решение для важных классов начальных данных, не обра-
обращаясь к теоремам существования из § 10.
4. Распространение разрывов для систем первого порядка.
Чтобы провести указанные выше действия, заметим, что
Щ = S-! (<р) Ы + t 5, (9) [g] + g'+\] + • ¦ ¦ G)
а также
в, j = S
N-2
+ Sosv {g}j+sTl(?j+gy1fi+g^ij-h g"^^} + • • • (8)
и т. д.; точками здесь обозначены регулярные члены. Если оборвать
формальное разложение после некоторого числа членов, то, как было
указано ранее, остаточный член будет сколь угодно гладким.
Подставим выражение G) в оператор первого порядка A) и
получим
N-1
[R]) = 0, (9)
где А = А1<?(, г R — регулярная функция для достаточно больших N.
Мы предположим, что все коэффициенты при S-v S, Sj
а также выражение S^L[gN]-\-L[R] обращаются в нуль не только
при ср = О, но также и на поверхностях Сс: ср = с=?О для при-
прилегающей части пространства х.
Таким образом,
Ag = 0, A0)
(v==0, 1 N — 1), A0')
N A0")
Следовательно, как и ранее, \А\ =Q(Dcp) = O,
g° = g = or.
Поэтому семейство ср = const представляет собой семейство характе-
характеристических поверхностей Сс. Умножая равенства A0') на левый
нуль-вектор /, получаем
lL[g4 = 0 A1)
§ 4. Распространение разрывов и задача Коши 619
и, в частности, для v = 0
IL \g\ = IL [or] = 2 MVo, + IL [r] a = 0, (И')
V
или (см. лемму § 3, п. 11)
Л [or] = а+ /?[/¦] о = 0. A2)
Это фундаментальное обыкновенное дифференциальное уравнение,
определяющее g® = g, как указывалось выше в п. 2.
Коэффициенты g, g1, ... теперь определяются последовательно;
мы рассматриваем g"+1 как решение системы линейных уравне-
уравнений A0'); из способа вывода этой системы следует, что она сов-
совместна '), несмотря на то, что ее матрица А особенная. Как след-
следствие мы получаем, что
+1 +1 +г. A3)
Здесь величина Av+1 определяется однозначно (по модулю г), если
известно значение L[g"v], a ov+1 — скалярный множитель.
Подставим выражение A3) в A1) и напишем v —1— 1 вместо v; мы
снова получим обыкновенное дифференциальное уравнение вдоль луча
o-HL[r]o-|-&v = 0, o = ov+1, A2')
где ky известно, если известно L [g"].
Эти обыкновенные дифференциальные уравнения „переноса"
A2) и A2') позволяют последовательно определить функции g
на поверхности Сс: cp = const = c, если известны их начальные
значения на пересечении Сс с некоторым пересекающим его много-
многообразием, например лго = О. Тогда функции g* определены в некото-
некоторой (я-J- 1)-мерной части пространства х, заполненной характери-
характеристическими поверхностями <p = const = c.
В случае, когда функция и имеет разрыв типа скачка, 5 (ср) = ~q (cp),
(u) = g, соотношения G) и (8) сразу позволяют нам выразить скачки
производных (м?), (utj), ... на поверхности разрыва С: ср = 0 через
коэффициенты g* и их производные на С. Так как скачки
8'(ср), ... равны нулю, мы имеем
') Кроме того, совместность является непосредственным следствием
полученных ниже соотношений A2').
620 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Обратно, скачки производных функции и позволяют последовательно
определить функции g, g1, g2, . . . на Со (надо иметь в виду, что
продолжение функций g, g1, ... вне Со не определяется скачками
U, U/, ... И Т. Д.).
5. Характеристики постоянной кратности. Как указывалось
в § 3, для симметрических гиперболических систем наличие кратных
характеристик не обязательно приводит к серьезным трудностям.
Хотя большинство уравнений математической физики симметрические,
желательно обобщить проделанный выше анализ на важный случай
уравнений с кратными характеристиками, кратность которых по-
постоянна, т. е. не меняется ни в зависимости от направления нормали,
ни от точки к точке; система при этом может быть или не быть
симметрической. Мы предположим, что существует s линейно неза-
независимых правых нуль-векторов г1, г2, .... rs и s независимых левых
нуль-векторов Л /2, ..., Is: Arl = tfA = 0, 1^/, /'<>. В силу
того что А (и) —0, скачок (и) должен быть линейной комбинацией
векторов /¦', г2 rs:
В общем случае мы выведем дифференциальные уравнения для
скалярных множителей at: подставим выражение A5) в равенство
lL[u] = 0 и для 1 = 1' получим
V 2 2 A-r'ai + lj 2 2 (Art + Brl) a1 = 0 (j = 1, . . ., s). A1")
Эти равенства снова представляют собой систему дифференциальных
уравнений в частных производных относительно ор a2 as на С.
Таким образом, дифференцирование при s > 1 может и не привести
к обыкновенным уравнениям вдоль бихарактеристических лучей;
разрывы, резко локализованные в начальный момент, могут распро-
распространиться на всю поверхность С (ниже будут даны примеры).
Однако это не может случиться, и, как и раньше, разрывы будут
распространяться вдоль лучей, если во всех точках пространства х
характеристики имеют одинаковую кратность. Ссылаясь на § 3, п. 10,
мы следующим образом определим такую кратность: алгебраическое
уравнение Q(cp0, ..., <?п) = 0 при произвольном наборе значений
срР ср2, ..., <fn (в некоторой л-мерной области) определяет кратный
корень <?о = /(<ру ..., <р„). такой, что матрица Л = Л"срч имеет s
линейно независимых правых нуль-векторов г1 (/=1, 2, ..., s)
и столько же независимых левых нуль-векторов /',
Чтобы доказать наше утверждение, мы обратимся к лемме § 3,
п. 11. Согласно этой лемме в дифференциальных уравнениях A1")
§ 4. Распространение разрывов и задача Коши 621
все величины о1 дифференцируются по одному и тому же биха-
рактеристическому направлению
*, -хо = — /v, v>0
и, таким образом, наше утверждение доказано. Как легко видеть,
эти бихарактеристические лучи относятся к неприводимому мно-
множителю выражения Q, определяющему рассматриваемую полость
характеристической поверхности.
ба. Примеры распространения разрывов вдоль многообразий
более чем одного измерения. Коническая рефракция. Если пред-
предположение п. 5 не выполняется, т. е. характеристическая поверх-
поверхность С имеет кратность более единицы, но не принадлежит семей-
семейству характеристических поверхностей, обладающих одинаковой
кратностью для всех направлений нормали и во всех точках про-
пространства, то может случиться, что начальные разрывы из точки,
лежащей на поверхности С, распространяются по многообразиям,
лежащим на С, имеющим размерность два или более.
Это можно увидеть на почти очевидных примерах. Рассмотрим
систему трех уравнений и предположим, что первое уравнение
не содержит дифференцирования по переменной х3. Тогда плоскости
лг3 = const будут характеристическими поверхностями кратности два
(или, может быть, три), так как существует по крайней мере одна
линейная комбинация остальных двух уравнений, в которую не входит
дифференцирование по ха. Теперь легко видеть, что начальный
разрыв на поверхности С: лг3 = 0 распространяется по С в двух
направлениях. Достаточно рассмотреть типичный пример. Мы будем
писать х, у, z вместо xv x2, х3 и и, v, w вместо uv u2, м3;
рассмотрим систему
wz — v = 0.
z
Характеристической плоскости 2 = 0 соответствуют два линейно
независимых левых нуль-вектора A, 0, 0) и @, 1, 0); эта плоскость С
покрыта не одним, а двумя семействами бихарактеристических кри-
кривых х = const и у = const. Компонента v удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению vxy — 0, и, очевидно, разрывы v при переходе
через плоскость 2 = 0 распространяются как решения этого же
уравнения. Разрыв, первоначально локализованный в точке, рас-
распространяется по двум бихарактеристикам х — const и у = const,
проходящим через эту точку.
В предыдущем примере отклонение от „нормального" поведения
можно считать минимальным. Однако имеются важные с физической
622 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
точки зрения случаи, когда отличие от нормального поведения оказы-
оказывается более существенным. В этих случаях число независимых
переменных больше трех и характеристические кривые, проходящие
через некоторую начальную точку на рассматриваемой характеристи-
характеристической поверхности, образуют двумерное многообразие, конус.
Наиболее известен пример из кристаллооптики (коническая рефрак-
рефракция). Согласно проведенному в § За исследованию дифференциаль-
дифференциальных уравнений кристаллооптики, плоские фронты волны вида
о.-[хх-\-а.2х2~\~агхъ — ^ = О являются характеристическими поверх-
поверхностями для этих дифференциальных уравнений, если нормаль
<х = S/1с 1 и скорость г\ —— т/|?| связаны характеристическим урав-
уравнением (96) из § За. Это уравнение, вообще говоря, определяет
два значения скорости для заданного направления нормали и один
характеристический луч для каждой из этих скоростей. (Построение
двух лучей для заданной нормали имеется в § 3, п. 4.)
Однако существует одно исключение из этого правила, а именно
случай, когда нормаль а направлена по оптической оси кристалла.
Тогда обе скорости совпадают и вместо двух лучей, проходящих
через точку, мы имеем круговой конус, составленный из лучей.
Это явление „конической рефракции", впервые теоретически открытое
Гамильтоном и затем подтвержденное экспериментально, означает,
что луч, входящий в кристалл по направлению оптической оси,
разбивается на множество лучей, направленных по всем образующим
конуса; разрыв, принесенный входящим лучом, распространяется
прежде всего по конической поверхности, но также (в сильно смяг-
смягченном виде) и внутрь конуса. Аналитически в этом можно убедиться,
применив построения п. 5 и соответствующим образом преобразовав
полученные дифференциальные уравнения; тогда видно, что величина
разрыва удовлетворяет волновому уравнению, содержащему два
пространственных переменных и время.
Явление, аналогичное конической рефракции, встречается и в маг-
магнитной гидродинамике (см. § За, п. 6), если на жидкость из вакуума
падает фронт электромагнитной волны по направлению магнитного
поля этой жидкостих), а скорость звука в этой жидкости и ско-
скорость Альфвена совпадают.
6. Устранение начальных разрывов и решение задачи Коши.
В этом пункте мы воспользуемся построенной выше теорией для
того, чтобы свести задачу Коши с разрывными начальными данными
к соответствующей задаче с гладкими данными. Существование и
единственность решения этой последней задачи будут доказаны
в последующих параграфах. Такое сведение опирается на тот факт, что
можно построить конечную волну w вида F), которая имеет задан-
') Подробный анализ см. в работе Людвига [2].
§ 4. Распространение разрывов и задача Коши 623
ные начальные разрывы и для которой выражение L [w] сколь
угодно гладко.
Мы предположим, что хо = t = 0— начальное многообразие g
пространственного типа. Тогда из (и—1)-мерного многообразия g0,
определяемого уравнением
<р@, хх хп) = ср(х) = с — const на g,
исходят k характеристических поверхностей Сх: yx(t, Ar) = const = c
(х=1, ..., k)y пучком расходящихся в пространство х, (. Незави-
Независимо от того, совпадают ли некоторые из них между собой,
из гиперболичности L[u] следует, что для характеристической матрицы
существует k линейно независимых правых нуль-векторов /•*.
Предполагается, что начальные данные имеют разрыв S при пере-
переходе через (я—1)-мерное многообразие g0: ср (д:) = 0, и что они
имеют вид
«(О, x) = «0(x)=2 5v(?W)^(x) + «(x).
Первый шаг в решении задачи Коши состоит в разложении началь-
начальных значений ио(х) на k компонент, каждая из которых соответ-
соответствует одной из k характеристических поверхностей f*(t, x) = c
пучка, проходящего через многообразие <р(лг) = О. Соответственно
мы разложим и решение и на k компонент
k
в (Л x)=%Ux(t, х).
х=1
В обозначениях п. 3 мы потребуем, чтобы
L {Ux] = 0 и 2^@, х) = ао(х).
Поскольку для всех ч мы имеем ср*(О, х) = у(х), то в соответствии
с этим мы при каждом v потребуем выполнения равенства
2 Г'40, х) = ?Г(х). A6)
считая, что функции g^x) известны из начальных данных. В силу
сказанного в п. 4, функции g^ * выражаются через скаляры ov- * и
известные нуль-векторы гх с помощью формулы A3). Это
для каждого v приводит к системе k линейных уравнений для началь-
начальных значений ov' * на g.
В частности, для начального разрыва типа скачка, т. е. для
SQ (ср) = 5 (ср) = 7] (<р), где 7](ср) снова обозначает функцию Хевисайда,
624 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
величина g°(<f) = g(y) при ср = О измеряет величину скачка век-
вектора и при переходе через С.
В соответствии с п. 4 скачок функции и при переходе через Сх:
fx(t, лг) = О определяется выражением (их) = a* (t, x)rx(t, x); сле-
следовательно, на начальной плоскости при <р = 0 мы имеем
2 (и*) = (и0) =Ца> @, х) г- (О, х) = g @, х). A7)
7.~ 1
Эта система А линейных уравнений невырожденная и, следова-
следовательно, однозначно определяет скаляры о* @, х); действительно,
в силу предположения о гиперболичности векторы /¦*((), х) линейно
независимы. Таким образом, начальный разрыв (и0) распадается
на k компонент, каждая из которых соответствует одной из k
характеристик пучка, проходящего через начальный разрыв.
Для начального многообразия ср = О такое распадение обязательно;
теперь мы потребуем, чтобы оно происходило для всех характе-
характеристик Сс пучка, проходящего через многообразие ср(х) = с = const,
в соответствии с формулой A7); это согласуется с замечаниями п. 4.
В силу обыкновенных дифференциальных уравнений переноса A2')
начальные значения б*@, х) определяют функции а* и, следовательно,
множители g°>" на всех характеристических поверхностях Скс, не-
несмотря на то, что поверхности С*с не несут разрывов при сфО.
Применяя формулы A3), мы можем аналогичным образом с помошью
некоторого числа простых шагов определить коэффициенты gy (x)
и их продолжение на характеристики С?. Для скаляров о''*@, х)
уравнения A6) немедленно приводят к системе линейных уравне-
уравнений вида
2ov>v=M\
ч
где величина Мх известна, если известны gv-> * для jx < v. Таким
образом, шаг за шагом, сначала определяются начальные значения
для ov- *, а затем, в силу уравнений A2'), эти скаляры, а следова-
следовательно, и g*' *, определяются на поверхностях СУС. Тем самым эти
функции определяются в некоторых {п-\- 1)-мерных окрестностях Схс
для подходящих окрестностей с = 0.
Данное выше разложение величин g'1 применимо не только
к разрывам типа скачков, но и к произвольным особенностям S(y).
Однако для S (ср) = т) (ср) мы можем сделать еще один шаг вперед,
связав коэффициенты g"v со скачками производных функции и0.
Читатель легко может убедиться в том, что это можно сделать
на основании формул A4) из п. 4.
§ 4. Распространение разрывов и задача Коиш 625
После этих приготовлений легко закончить решение задачи Коши.
Возьмем достаточно большое N и составим функцию
I> 2v0p(
х=1 v=I
Тогда выражение L[U} = G(x, t) будет настолько гладким, насколько
это нужно; то же самое справедливо относительно функции w = и — U.
Поэтому из того, что L [и] — О, следует дифференциальное уравнение
L[w] = ~Q(x, t)
с гладкими начальными условиями и гладкой правой частью. Един-
Единственное решение такого типа задач будет построено в § 10. Сле-
Следовательно, a = U-\-w является единственным решением задачи
Коши, поставленной в этом пункте.
6а. Характеристические поверхности как фронты волны.
Сделаем несколько замечаний относительно волн и фронтов волны.
В § 3 характеристические поверхности рассматривались как воз-
возможные поверхности разрывов или фронты волны для решений и
уравнения L[u)==0, которые носят название „волн". Теперь, в силу
предыдущих результатов, мы убедились з том, что любая, характе-
характеристическая поверхность y(t, л:) = 0 является фронтом волны
для соответствующим образом построенной волны и. Следовательно,
характеристические поверхности можно определить как фронты
волны.
Кроме того, построение Гюйгенса фронтов волны как огибаю-
огибающих семейств других фронтов волны <p(t, x, а), зависящих от пара-
параметров a, av а2, ..., находит отражение в следующей теореме:
если волна и (t, x, а) есть решение уравнения /.[и] = 0, зависящее
от параметров а и имеющее особенность на фронте волны <?((, х, а)=0,
то суперпозиция таких волн u(t, x)= I u(t, x, a) da является вол-
волной, особенности которой сосредоточены на огибающей фронтов
(f(t, х, а) = 0. Для доказательства этого факта мы сошлемся на рас-
рассуждения § 15, п. 3 !).
7. Решение задачи Коши с помощью сходящегося разложе-
разложения на волны. Если разложение на бегущие волны обрывается
после N членов или сходится к полной бегущей волне, то приве-
приведенное выше построение дает решение задачи Коши, причем без
обращения к доказательству теоремы существования в § 10. Как
указывалось раньше, в этом случае разложение дает решение урав-
') См. также Людвиг [1].
626 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
нения L[u] — О для произвольной функции S(<?), независимо от того,
имеет ли она особенности.
Мы рассмотрим случай полных бегущих воли. Чтобы построить
все коэффициенты g\ мы предположим, что коэффициенты Л" и В
имеют производные всех порядков; точнее, мы предполагаем, что
они являются аналитическими функциями (например, постоянными или
многочленам!!). Тогда справедлива следующая замечательная теорема.
Пусть начальные значения задаются рядом
со
и @, *)= 2 S,(<p(*)) ?*(*).
таким, что функция 2 ОЛОСфУ^М аналитична по х, т. е. раз-
лагается в равномерно сходящийся степенной ряд в некоторой
окрестности точки х — 0, ср = О. Тогда бесконечный ряд
определенный в п. 4, также равномерно сходится при достаточно
малых | л: ] и t и дает решение задачи Коши. Здесь 5(<р) — произ-
произвольная обобщенная функция.
Можно было бы попытаться доказать это с помощью оценок
для коэффициентов gx>v и их производных, опираясь на построение,
проведенное в п. 4. Однако мы просто сошлемся на изящное дока-
доказательство Людвига [1], которому удалось свести эту теорему
к теореме существования Коши — Ковалевской.
8. Системы второго и высших порядков. Для решений вида F)
систем уравнений порядка т. тем же методом, что и для систем
первого порядка, получен весьма общий результат. Его можно сфор-
сформулировать следующим образом: фазовая функция 9 задает характе-
характеристику, а множители gv определяются формулами вида
где о" — скаляр, величины h" известны, если известны g"v-1, ^v, ...;
/?" = 0, а г — правый нуль-вектор характеристической матрицы А.
На характеристической поверхности Сс: ср = с —const скаляр
а = а'" удовлетворяет следующему обыкновенному дифференциальному
уравнению переноса вдоль бихарактеристических лучей:
o-f-Pe-j-?v = 0. A8)
§ 4. Распространение разрывов и задача Коша
627
где k" известно, если известны функции gv~: k° = 0, и где,
независимо от v, на Сс выполняется соотношение
р = "(^Т)Г/?к?-с>~Ч- A9)
Здесь I обозначает левый нуль-вектор матрицы А.
Доказательство этой общей теоремы можно провести с помощью
непосредственных вычислений, например для случая m = 2, т. е.
для системы k уравнений второго порядка
1=0
B0)
Так как A.f, =
где 'А1' = AJi, А1 и В — квадратные матрицы порядка k (см. § 3, п. 1).
Предполагается, что эти матрицы имеют достаточно большое число
производных по х (для квазилинейной системы также по и и ut).
Характеристическая матрица равна А —
п
= 2 2 <4;7сР/> то подстановка выражений G) и (8) в уравнение B0)
у=о
дает
N-2
v=0
Мы снова потребуем1) для i^N — 2, чтобы все множители при
функциях 5/ обращались в нуль не только на поверхности С = С0,
но и на всех поверхностях Сс: ср = с = const в некоторой (я-f-l)-
мерной окрестности Со. Поэтому на этих поверхностях мы также
будем иметь Ag — О. Следовательно, [Л| = 0; таким образом, все
семейство Сс состоит из характеристик и g = ar, как мы видели
выше в п. 4.
Приравнивание нулю множителей при S_j, SQ, ... дает на Сс
0, B1)
= 0 B10
(v = 0.
') На поверхности <р = 0 это является следствием уравнения L [и] == 0,
если S[ имеют надлежащие особенности.
628 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Умножим теперь каждое из этих равенств на левый нуль-вектор /
матрицы А; в силу того что /Л = 0, мы точно так же, как в п. 4,
получим
l% A 'T/) g° = 0, B2)
t)g- + II [g*~4 = 0, B2')
Снова эти обыкновенные дифференциальные уравнения являются вну-
внутренними на характеристических поверхностях ср = const, так как
п
на них 2 lA<p.<pj = 21А = 0. Согласно лемме из § 3 п. 11, вектор
xt = Q9 , направленный по характеристическому лучу, пропорционален
вектору lA^.r. Поэтому, подставив в формулу B2) вектор g = ar,
мы получим для о обыкновенное дифференциальное уравнение
вдоль лучей, лежащих на поверхности Сс: a -f- Ра = 0, где
Неоднородные обыкновенные дифференциальные уравнения, опре-
определяющие коэффициенты g* для v > 0, получаются так же, как
в п. 4; формулы B1') дают для ^v+2 систему линейных уравнений
с вырожденной матрицей А. Следовательно, в силу того что си-
система B1') совместна (см. п. 4), мы имеем
B3)
, v + 2
где правая часть h т известна, если известны функции g\ gl, .. ., g"" + 1
и их производные, а а'1''2 — скаляр. Напишем v вместо v-f-2 и под-
подставим выражение B3) в B2'); на поверхности ср — с = 0 для av мы
получим неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение
(уравнение переноса)
с той же однородной частью, как и ранее. Таким образом, шаг за
шагом определяются все коэффициенты g" в формуле F), если изве-
известны их начальные значения на некотором (п—1)-мерном начальном
многообразии, принадлежащем Сс и пересекающем все лучи.
Для систем высших порядков доказательство по существу остается
таким же. Приведенные выше вычисления можно упростить, воспользо-
воспользовавшись свойствами инвариантности характеристик, сформулирован-
сформулированными в § 3. Подробности мы здесь опустим.
9. Дополнительные замечания. Слабые решения. Ударные
волны. Как указывалось в гл. V, § 9 для случая двух независимых
переменных, обобщенные решения, обладающие особенностями, можно
получить с помощью понятия „слабых решений", заменив дифферен-
§ 5. Колеблющиеся начальные значения 629
циальное уравнение L[u] — 0 интегральным соотношением
' uL* [v] dx = 0.
Здесь L* — сопряженный оператор, a v — произвольная гладкая „проб-
„пробная" функция, финитная, т. е. равная нулю вне достаточно большой
сферы. Для п независимых переменных рассуждения остаются совер-
совершенно без изменений и нет необходимости приводить их здесь. Во
всяком случае, они тесно связаны с понятием обобщенных функций
(см. приложение).
Но необходимо добавить замечание, касающееся квазилинейных
уравнений A). Конечно, для них понятие характеристик и бихаракте-
бихарактеристик остается таким же, как в линейном случае. Остаются спра-
справедливыми также результаты, относящиеся к разрывам первых произ-
производных.
Однако теория предыдущего параграфа неприменима, если рас-
рассматриваются разрывы самой функции и. Так же, как в гл. V, § 3,
мы можем ввести такие разрывы, называемые „ударными волнами",
в случае, когда система первого порядка имеет вид системы зако-
законов сохранения, т. е. когда она может быть записана в форме
п
У-^Р'Чх, «) = 0. У=1 А.
Тогда для поверхности С: <р(х) = 0, на которой функция и испыты-
испытывает разрыв, интерпретация этих законов в слабом смысле точно
так же как в гл. V, § 9, дает условия на ударной волне
2(Р"(и))<р, = о С/=1 А);
эти условия связывают между собой скачки функции и и уравнение
поверхности С: ср = 0; таким образом, поверхность ударной волны
уже не является характеристикой.
Самый важный пример дают уравнения гидродинамики 1), рассмо-
рассмотренные уже в гл. V для случая двух независимых переменных,
§ 5. Колеблющиеся начальные значения. Асимптотическое
разложение решения. Переход к геометрической
оптике.
1. Предварительные замечания. Бегущие волны высшего по-
порядка. Применение метода § 4 к колеблющимся начальным значениям 2)
объясняет явление распространения волн по лучам в „геометрической
') Подробный анализ см. в книге Куранта и Фридрихса [1], стр.
116—172.
2) См. П. Лаке [4].
630 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
оптике". Для быстрых колебаний этот метод дает асимптотическое
решение задачи Коши с помощью только решения обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Представляется естественным построение решения в виде су-
суперпозиции решений задачи Коши с разрывными начальными функ-
функциями, а именно, с функциями ф(х) = 8(х—I), резко локализован-
локализованными в точке х = % (см. также § 15). Однако с тем же успехом
можно было бы разложить начальные функции на плоские волны
с помощью интеграла Фурье. В соответствии с этим сначала надо
было бы найти колеблющиеся решения, а затем построить полное
решение задачи Коши в виде их комбинации; этот метод аналогичен
методу, который применялся в случае постоянных коэффициентои
(см. гл. III, § 5).
В свете теории § 4 мы начнем с исследования „бегущих волн",
записанных в виде
оо
2 Т^(х. t))g>(x, t), A)
7=о
где функции Tj как функции фазовой переменной <р(х, t) не обязаны
иметь особенностей и где Тj — Tj_\. Как и в § 4, мы формально
подставим выражение A) в уравнение L[u\ = 0 и потребуем, чтобы
все множители при Т_х, То, Г,, ... обращались в нуль. Очевидно,
что полученные в результате этого соотношения для множителей gl
будут совпадать с соотношениями, полученными в § 4 для сингуляр-
сингулярных функций Tj = Sj.
Применим комплексные обозначения и возьмем, в частности,
Т{> (? (х, t)) = е'*р ^ «. Tj = ~~- е^г е- «
с большим параметром \.
2. Построение асимптотических решений. Независимо от заме-
замечаний, объясняющих, почему решение ищется в таком виде, мы
теперь поставим себе целью построить асимптотические решения
гиперболической системы
(S , +Bu = ut-t-N(u) = 0 B)
7 = 1 >
в виде суммы k выражений вида !)
?/¦(*.*; 9 W*"*^ «5+4 4- ... 4-4+---1 C)
') Отсутствие множителя (j.y в знаменателе несущественно.
§ 5. Колеблющиеся начальные значения 631
где вектор-функции и(), «,, ..., uv не зависят от X и где предпола-
предполагается, что выражение, взятое до члена uj'%, дает остаток по-
порядка ?"*~1.
Мы хотим решить задачу Коши с начальными данными
к @, x)^^?W(|)D
поэтому мы положим ер" (х, 0) —ш(х); начальные данные для функ-
функций U'' будут заданы позже.
Теперь в формуле C) мы опустим индекс х и будем исследовать
структуру отдельного выражения вида C). Подставим выражение C)
в уравнение /, [м] = 0, обозначим единичную матрицу через /, введем
п
характеристическую матрицу Л = /ср, -f- 2 ^Ф/ и сразу получим, что
v= 0 * v=0
Как и в § 4, последовательное сравнение коэффициентов при
;"', v—- — 1, 0, 1, ..., в левой и правой части приводит к соот-
соотношениям
Лно = О, E)
i-t-L[«v] = 0 для ^ = 0, 1 F)
Для решения и уравнения E) снова должно быть ф = |Л| = 0.
Следовательно, семейство tp—const = c есть семейство характери-
характеристических многообразий с заданными начальными данными ср (х, 0) =
= <о(х). Предположим, что ранг матрицы А равен k—1 и обозначим
правые и левые нуль-векторы Л через г и / соответственно: Л/' —0,
/Л = 0. Тогда мы будем иметь соотношение
ио = аг, G)
где а — некоторый скаляр. Умножим уравнение F) при v = 0 на / и
получим для функции и0, а следовательно, и для а, соотношение
0, (8)
совпадающее с соотношением A1') в § 4. Это соотношение позво-
позволяет определить а из обыкновенного дифференциального уравне-
уравнения вдоль лучей, принадлежащих характеристической поверхности
ср = const, если известны начальные значения о при ^ = 0.
Кроме того, если мы предположим, что функция и0 известна, то
уравнение F) при v = 0 превращается в систему линейных уравнен 1й
632 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
относительно компонент вектора и1 с вырожденной матрицей А.
Как и в § 4, отсюда следует, что
a1 = Gir-\-h1, (9)
где в1 — скаляр, a hl выражается через L[u0]. Чтобы найти о1, мы
умножим уравнение F) для v = 1 на /и получим „уравнение пере-
переноса"
lL[u1] = lL[r^]-\-lL[hl] = O, A0)
т. е. опять обыкновенное дифференциальное уравнение, на этот раз
неоднородное, для скалярной величины о1 вдоль луча, принадлежа-
принадлежащего характеристическому многообразию ср = const.
Точно так же мы находим, что
(И)
IL[Uj] = O или IL[raJ\ -f- IL \h'\ = 0, A2)
где величина /г-7 известна, если известны и0, ир .... Uj_v а они
определяются из предыдущих дифференциальных уравнений для ска-
скаляров о;.
Положив
{о+-?-+ ... -f-^j. A3)
мы будем иметь
где Р} ограничены; это выражение порядка \ относительно $, т. е.
мы получили асимптотическое выражение для V.
Возвращаясь к задаче Коши для системы B), мы теперь заметим,
что из гиперболичности системы B) вытекает (см. § 3) следующее
утверждение: из любого начального многообразия, принадлежащего
семейству ср (х) = с = const, выходит пучок k характеристических
поверхностей ср*(х, t) = с; все они соответствуют одинаковым началь-
начальным значениям <р*(х, О) = ср(х); все эти функции ср4 удовлетворяют
характеристическому дифференциальному уравнению
Даже если некоторые из этих поверхностей совпадают, k левых
нуль-векторов />, I2, ,.., lk и k правых нуль-векторов г1, г2, . . ., rk
образуют линейно независимые системы.
Для каждой из этих характеристических поверхностей ср* мы рас-
рассмотрим построенное выше асимптотическое решение (/*• Соответ-
§ 5. Колеблющиеся начальные значения 633
ственно в формулах G), A1) мы должны рассматривать k скаляр-
скалярных множителей а, которые мы будем обозначать 'а, 2а *о,
опуская индекс j функции и у Затем мы зададим начальные значе-
значения для компонент к*(х, 0), и%,{х, 0) с помощью равенств
2 «5(*.о) = ф(*). A5)
х= 1
A6)
где ф(х)— произвольная достаточно гладкая функция.
В уравнения A5) и A6) мы подставим мо = W* и и) = Vr* -f- %h}
для у'^-1 из формул G) и A1) и рассмотрим эти соотношения
при ?=0. Из линейной независимости векторов г* следует, что для
каждого j начальные значения k скаляров *а; определяются одно-
однозначно. Таким образом, решение задачи Коши для системы B)
с начальными значениями и(х, 0) = e'f W<|> (x) строится как сумма к
сумм вида C).
Из того, что в силу соотношения A4) компоненты U* асимпто-
асимптотически выражаются через конечные степенные ряды относительно 1/?
для ?/\ мы можем сделать следующий вывод: выражение
JU — 2 JU* является асимптотическим приближением для функции и,
х=1
соответствующей начальным значениям е"Р(ж)ф(х). Действительно, из
уравнения Z.[a] = 0, в силу формулы A4), для V= U — и полу-
получаем, что
и функция JV имеет нулевые начальные значения. Поэтому интег-
интегральное представление Дюамеля (см., например, § 10, п. 1) для функ-
функции JV показывает, что функция JV имеет порядок 4~J и наше
разложение является асимптотическим.
Кроме того, справедливы аналогичные оценки асимптотических
выражений для производных, порядок которых может быть выбран
сколь угодно высоким, если начальные данные имеют достаточно
большое число непрерывных производных.
Данное выше асимптотическое решение позволяет получить при-
приближенное— часто очень точное — решение задачи Коши. Оно по-
получается только с помощью решений обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, так как определение функций ср\ так же как и
последовательное вычисление и0, их Up требует только реше-
634 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
ния обыкновенных дифференциальных уравнений и алгебраических
уравнений.
3. Геометрическая оптика. Изложенная здесь асимптотическая
теория геометрической оптики была построена Грином, Лиувил-
лем A837), Зоммерфельдом и Рунге').
Теперь мы в состоянии понять соотношение между волновой
оптикой, которая описывается дифференциальным уравнением
в частных производных B), и геометрической оптикой, которая
описывает явления распространения в терминах лучей. В оптике мы
имеем дело с колебаниями высокой частоты; тогда точное решение
дифференциального уравнения с частными производными в первом
приближении дается первым членом его асимптотического разложе-
разложения. Этот член, так же как и дальнейшие члены разложения, опре-
определяется с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений
вдоль лучей. Естественно, что существует тесная связь между гео-
геометрической оптикой и разложениями § 4 и этого параграфа.
Обычно в оптике мы имеем дело не с задачей Коши, а со сме-
смешанными или краевыми задачами, в предположении, что зависимость
решения и начальных данных от времени заключается только
в наличии множителя elmt. Кроме того, предполагается, что коэф-
коэффициенты дифференциального уравнения не зависят от времени.
Рассмотрим систему первого порядка
п
L [и] == и, + М [и] = и, + ^ А''(х) ~~ + В (х) и = 0. A7)
Мы можем разделить пространственные переменные и время и искать
решение в виде
Тогда функция v(x) должна удовлетворять „приведенному уравнению"
M[v]-\-tuw — 0. A8)
С другой стороны, мы знаем, что уравнение A7) имеет решения
иида
сс
u=^iTj(^g\x,t), A9)
где Tj(<?) — e1(O!f/(iiay. Ввиду того что коэффициенты дифферен-
дифференциального уравнения не зависят от t, мы рассмотрим такие решения,
') Литературу см. в работах Келлера [1], Келлера, Льюиса и Сек-
лера [1], Клайна [1], П. Лакса [4] и Люнебурга [2], [1].
§ 5. Колеблющиеся начальные значения 635
для которых коэффициенты g-1 (х, t) не зависят от t. Если мы
положим
то будем иметь
следовательно,
со
tl (X t) пИМ , olw'f ж о v / •
v (х) = е'< У X_W . B0)
Таким образом, метод, который мы применяем в этом параграфе,
приводит нас к асимптотическому разложению для приведенного
уравнения A8). Коэффициенты gf (x) должны удовлетворять соот-
соотношениям
2) У=-1. 0, ...). B1)
или эквивалентным соотношениям
\
)JJ (У=-1,0, ...)•
Как мы видели выше в § 4 и в настоящем параграфе, уравнения B1)
можно решить с помощью одних только обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений вдоль лучей. Следовательно, разложение B0)
можно построить, решая только обыкновенные дифференциальные
уравнения. Эти обыкновенные дифференциальные уравнения вдоль
лучей являются уравнениями геометрической оптики.
Аналогичное соответствие существует между теорией § 4 и не-
неоднородным приведенным уравнением A8). Рассмотрим уравнение
L[u\ = ut-\-Mu = eiwtf{x). B2)
Если u(t, x) = elmtv{x), то функция v(x) должна удовлетворять
уравнению
Mv -\- mv = f (x).
Мы определим функцию w(x, t) с помощью следующих условий:
L [w] — 0 для t > 0,
w(x, О) = /(дг).
Применение принципа Дюамеля приводит тогда к формальному
решению
v(x, ш) = f e'imsw(x, s)ds. B3)
636 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Асимптотическое разложение для функции v при больших значениях ш
определяется особенностями функции w(x, t), которые зависят от
особенностей /(х)\ в соответствии с § 4 эти особенности распро-
распространяются по лучам. Таким образом, здесь, как и ранее, асимпто-
асимптотическое разложение функции v(x), соответствующей геометрической
оптике, определяется с помощью обыкновенных дифференциальных
уравнений вдоль лучей.
§ 6. Примеры теорем единственности и области
зависимости для задачи Коши
Метод интегралов энергии впервые применил Заремба [1].
Он был снова открыт и обобщен Рубиновичем [1, 2], а также
Фридрихсом и Г. Леви [1], и применен для исследования сим-
симметрических гиперболических систем. Многочисленные дальнейшие
работы Фридрихса [2], а также Шаудера [4] окончательно показали,
насколько мощным и гибким является этот метод1).
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые типичные примеры
теорем единственности и области определенности решения задачи
Коши сначала для уравнений второго порядка с тем, чтобы можно
было лучше понять общую теорию § 8 (см. также гл. V, § 4).
Существование и единственность решения задачи Коши для про-
произвольных начальных данных тесно связаны между собой (см. гл. III,
§ 6); эти вопросы будут рассматриваться в§8, 9 и 10 с помощью
некоторых квадратичных средних значений решений и их производ-
производных, т. е. с помощью так называемых „интегралов энергии". Реше-
Решение задачи в точке Р определяется однозначно, если данные Коши
известны только в некоторой ограниченной „области зависимости",
связанной с точкой Р. Предметом § 6 и 7 является выяснение фактов,
связанных с вопросами единственности и определенности.
1. Волновое уравнение. Для двумерного волнового уравнения
L [и] = и„ — ихх — иуу = 0 A)
можно привести доказательство теоремы единственности, которое
несколько отличается от рассуждений гл. V. Пусть 5 — произвольная
начальная поверхность ср(лг, у, t)~0 пространственного типа, т. е.
или
') Очень сильные результаты с помощью интегралов энергии получены
в работе Петровского [5]. —Прим. ред.
§ 6. Теоремы единственности и область зависимости 637
где jcv, yv, t^ обозначают компоненты единичного вектора нормали
к поверхности, т. е.
•'V
Предположим, что решение дифференциального уравнения и обра-
обращается в нуль вместе со своими первыми производными в некоторой
подобласти В' поверхности 5. Мы утверждаем, что функция и
обращается в нуль во всех точках Р, для которых харак-
характеристический конус, проходящий через Р, пересекается с на-
начальной поверхностью S внутри В' (см. рис. 55). Мы обозначим
Рис. 55.
через G область, ограниченную куском поверхности В' и характе-
характеристическим конусом с вершиной в точке Р. Характеристический
конус в пространстве х, у, t — это конус, образующие которого
наклонены к плоскости ? = 0 под углом в 45°, т. е. являются харак-
характеристическими лучами.
Доказательство основано на тождестве
2«<?[и]^-2(«Л)л-2(«<Иу)у + К)< + («;)/ + («?)/ = 0. B)
причем это тождество интегрируется по области G. Так как вы-
выражение B) имеет вид дивергенции, то, применяя теорему ГауссаJ)
и подставляя начальные данные, мы получаем
0 =
м
—— Mil f It Y ^2 _i_ ('r; / <r м \2l r! <Z
где М — та часть поверхности конуса, которая является границей
области G, dS — элемент поверхности на М; кроме того, принимается
во внимание, что на М выполнено соотношение t2 — х2 — у2 —0.
') Здесь и в других местах книги теоремой или формулой Гаусса автор
называет известную формулу Гаусса — Остроградского.—Прим. ред.
638
Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Следовательно, последний интеграл по поверхности конуса обра-
обращается в нуль; тогда подинтегральная функция также равна нулю.
Другими словами, uxt4— utxw~0 и uytw — uty4 = 0 всюду на М; таким
образом, на М обращаются в нуль две линейно независимые вну-
внутренние производные функции и. Поэтому решение и постоянно
на М и, следовательно, оно тождественно равно нулю в силу началь-
начальных условий. Из этого следует, что и обращается в нуль в точке Р.
Одновременно это рассуждение позволяет найти для нашего
дифференциального уравнения область зависимости в следующем
смысле: значение решения и в точке Р с заданными на S на-
начальными данными зависит только от начальных данных на
той части поверхности S, которая вырезается направленной
назад к S полостью характеристического конуса, проходя-
проходящего через Р.
На вопрос о единственности и области зависимости в случае
трех и большего числа независимых переменных можно также от-
ответить, применяя данный в гл. V, § 4 метод к более общему диф-
дифференциальному уравнению ин — Ди-f- аих-\- buy-\- cut-\- du — 0,
где коэффициенты а, Ь, с, d— про-
произвольные непрерывные функции t и про-
пространственных переменных (см. общую
теорию в § 8).
Затем мы докажем единственность
2 для „характеристической задачи Ко-
ши" для волнового уравнения. Здесь
начальные данные уже не задаются на на-
начальном многообразии пространственного
типа, для которого ср^ — ср^. — ср2 > 0; те-
теперь они задаются на некотором спе-
специальном характеристическом многообра-
многообразии, а именно, на половине характеристи-
характеристического конуса К'-
(t-tof-(x- xo?-(y~yo?=O (*>*„). C)
Согласно полученным ранее результатам, мы уже не можем произ-
произвольным образом задавать функцию и и некоторую выводящую
производную (т. е. все производные); мы можем задавать только
значения самой функции и. Мы предположим, что начальные значе-
значения функции и задаются как значения, которые на поверхности
конуса принимает некоторая функция, непрерывно дифференцируе-
дифференцируемая в окрестности конуса, содержащей его вершину. Тогда спра-
справедливо следующее утверждение: значения функции и на половине
конуса К, определенной уравнениями C), однозначно опреде-
определяют функцию и всюду внутри этой половины конуса, т. е.
М.
§ 6. Теоремы единственности и область зависимости 639
для х, у, t, таких, что
(*-*0J —(* — *„)*_ (у-уоJ> 0, (>t0
(см. рис. 56). Доказательство получается из установленных выше
формул. Предположим, что заданные на характеристическом конусе
начальные значения решения и равны нулю, и проинтегрируем вы-
выражение B) по области G, ограниченной этим конусом и характе-
характеристическим конусом, проходящим через точку Р. Если Ж, и М2—
соответствующие ч,:сти этих конических поверхностей, то мы сразу
получим в прежних обозначениях
J f± [(«л - «ЛJ + (йу*, - я,у,я ds = о.
м2 v
Интеграл по нижнему конусу обращается в нуль, так как в под-
интегральную функцию входят только внутренние производные функ-
функции и на этом конусе, а они по предположению все равны нулю.
Следовательно, две независимые внутренние производные uxts — ufx4,
uyt^ — uty\ также равны нулю па характеристическом конусе, про-
проходящем через Р. Другими словами, на поверхности этого конуса
решение и постоянно и, следовательно, равно нулю, так как и
обращается в нуль на пересечении двух конических поверхностей.
2. Дифференциальное уравнение аи — \а—-гuf~0 (уравне-
(уравнение ДарбуM). Другой вариант метода применяется к дифференци-
дифференциальному уравнению
. A[a]ssaM+7«< —Д«=0. D)
так называемому уравнению Дарбу, которое содержит сингулярный
член. Здесь X—произвольная неотрицательная непрерывно дифферен-
дифференцируемая функция переменных xt и t. Характеристическое уравне-
уравнение снова имеет вид
*?-«?,-<?,-•••-<?, = <> E)
или
(?)'-?(#)'-•• <5'>
( = 1
п
и характеристические конусы ср(х, t) = (t — тJ.— 2 (xi — У2 = 0
i = i
такие же, как в п. 1. Мы покажем следующее: если дважды не-
непрерывно дифференцируемое решение и уравнения D) и его
производная ut обращаются в нуль при t — О на основании В
характеристического конуса с вершиной в точке P(t>0), то
') См. § 13,
640 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
функция и равна нулю в точке Р и всюду во внутренности
конуса О.
Доказательство. Мы имеем
0 = -2и/?[в]а2 2(«<«*<)х -(S «!,+ «?) —ТГ«2-
t=i ' \t=i It
Поэтому, если мы проинтегрируем это соотношение по области G
(элемент объема обозначается через dv), принимая во внимание на-
начальные данные на В, и применим теорему Гаусса к дивергенции,
стоящей в правой части, то получим
где М обозначает поверхность конуса, a dS — элемент поверхности
на М. Подинтегральная функция в интеграле, который берется по М,
в силу того, что на М выполняется характеристическое соотноше-
соотношение E')> может быть записана в виде
Так как \ > 0, немедленно получается, что ut~0 всюду в G.
Таким образом, как мы и утверждали, функция и тождественно
равна нулю в G.
3. Уравнения Максвелла в вакууме. В качестве примера си-
системы дифференциальных уравнений с четырьмя независимыми пере-
переменными мы рассмотрим систему уравнений Максвелла 1) (см. гл. III,
§ 2), считая скорость света с равной единице:
(S, —rot? = 0. ф, + гоШ = 0. F)
Для этой системы дифференциальных уравнений мы рассмотрим
задачу Коши, считая, что начальные данные для векторов S и §
заданы при t = 0.
Нашей целью является доказательство следующего утверждения:
если начальные значения для (S и •§> обращаются в нуль, то
векторы S к § равны нулю тождественно. Данное ниже до-
доказательство единственности (так же как аналогичное доказательство
') К уравнениям Максвелла добавляются соотношения
div e = 0, div g> = 0.
На основании уравнений F) легко показать, что эти соотношения выпол-
выполняются всюду, если они выполняются в начальном пространстве t = 0. Таким
Образом, они имеют характер начальных условий.
§ 6. Теоремы единственности и область зависимости
641
для дифференциальных уравнений кристаллооптики) становится
гораздо более ясным, если рассматривать его как частный случай
более общего результата, доказанного в § 8. Тем не менее, по-
поскольку исторически доказательство в этом частном случае послужило
стимулом к развитию общей теории, оно будет дано здесь.
Каждой точке Р в четырехмерном пространстве х, у, z, t соот-
соответствует характеристический конус О, который высекает на началь-
начальной плоскости ? = 0 трехмерный шар В. С помощью плоскости
t =h, параллельной начальной плоскости, мы построим усеченный
конус Gh, ограниченный шаром В, частью Mh конуса G и шаром Dh,
который конус G высекает в плоскости t = h (см. рис. 57).
Рис. 57.
Из уравнений Максвелла в силу векторного
rot (g — (g rot ф = div [(§ X •&] следует, что
соотношения
= 26F, —
rot®)
2 div[®X«»].
Теперь мы проинтегрируем это соотношение по Qh сначала только
по х, у, z, считая t фиксированным, а затем по t от 0 до h.
Принимая во внимание начальные условия ® = ф = 0 при ? = 0,
мы сразу получим
J f f
Mh
X
= 0, G)
где rv — вектор нормали к сфере радиуса t с центром в точке про-
проекции Р в трехмерное пространство х, у, z; tv = -^V^ — компо-
компонента нормали к поверхности Mh в направлении оси t.
642 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
В силу того что на Mh выполняется характеристическое соотно-
соотноие t-, =rv, мы имеем на Mh
(е2+Ф2) tl + 2/л [6 х ф] = e-Vv + 2е [ф х л] *, + Ф2??.
Так как ГК> X rvf = Ф2'—('& ' О2' пРавая часть равна
Из формулы G) вытекает, что
О = \ J / (б2 + ?2) </* rfy dz +
откуда следует, что ($ = <?>= 0 на /5Л, а, следовательно, и всюду
внутри О, что и требовалось доказать.
Для дифференциальных уравнений кристаллооптики G) из § За
можно было бы аналогично доказать теорему единственности и найти
область зависимости; однако мы не будем делать этого и сошлемся
на общую теорию § 8.
§ 7, Области зависимости для гиперболических задач
1. Введение. Как указывалось в примерах § 6, важной чертой
задачи Коши для однородных гиперболических уравнений является
следующее: решение и (Р) в точке Р однозначно определяется дан-
данными Коши только в некоторой ограниченной области Г = ГР,
соответствующей точке Р. Данные Коши вне этой области не влияют
на значение и{Р). Соответственно и(Р) = 0, если данные Коши
в области Гя обращаются в пуль. Это свойство соответствует тому
факту, что гиперболические задачи связаны с распространением волн
с конечной скоростью.
Очевидно, что существование таких областей зависимости Гр
доказывается с помощью теорем единственности, связывающих к(Р)
и начальные данные на Гр. Мы получим и сформулируем такие
теоремы в § 8. В настоящем параграфе мы ограничимся геометриче-
геометрическим описанием областей зависимости Гр.
Попутно мы заметим, что понятие области зависимости влечет за
собой понятие области влияния для некоторой начальной области D.
Это множество точек Р, для которых области зависимости имеют
общие точки с D. С физической точки зрения, начальные данные
в области D не влияют на явления, происходящие вне области влия-
влияния 1D, т. е. среда вне 1D „не знает", каково начальное состояние в D.
§ 7. Области зависимости для гиперболических задач 643
Заранее надо указать на некоторую неопределенность понятия
области зависимости. Утверждение „Гр является областью зависи-
зависимости для и(Ру имеет негативный характер; утверждается только,
что данные вне Гр не влияют на значение и (Р). Любая область Г5,
заключающая Тр, попадает в тот же класс. Поэтому было бы разумно
определить область зависимости в точном смысле как наимень-
наименьшее множество точек Г, такое, что и (Р) однозначно определяется
начальными значениями на Г. Но в общем случае эту область Г
трудно охарактеризовать. Она может быть областью в пространстве х,
содержащей лакуны !); в других случаях она может состоять только
из границ таких областей (см. дальнейшие исследования, касающиеся
принципа Гюйгенса). Поэтому мы стараемся найти некоторый ком-
компромисс, считая по определению область зависимости Г настолько
малой, насколько это можно сделать с помощью удобного и есте-
естественного геометрического описания, не ставя себе целью обяза-
обязательно найти наилучшее точечное множество Г. Такие описания будут
даны в следующем пункте.
2. Описание области зависимости. Мы снова выделим время
t = х0 и будем обозначать совокупность пространственных перемен-
переменных Xj хп через х; предполагается, что пространство х про-
пространственного типа и что t есть настоящая временная переменная.
Мы будем рассматривать следующие тесно связанные между собой
понятия: область зависимости Тр и выпуклую оболочку коноида
лучей, или внешний сферический фронт волны с центром в точке Р,
обозначенный Г в § 3. Такой коноид, проведенный из точки Р в сто-
сторону убывающих значений времени, называется „обратным коноидом
зависимости"; коноид, проведенный в сторону возрастающих значе-
значений t, называется „прямым". Если уравнение неоднородное, то область
зависимости состоит из всех точек (я-f- 1)-мерного пространства х, t,
лежащих внутри Г и на Г между точкой Р и начальным многообра-
многообразием. Если уравнение однородное, то область зависимости состоит
только из точек внутри Г и на Г, лежащих на начальном много-
многообразии. Мы позволим себе снова обозначать область зависимости
через Гр, или, для однородного случая, через ^р-
Повторяя и дополняя определения, данные в § 3, мы рассмотрим
сначала операторы L[u], главные части которых имеют постоянные
коэффициенты. Из гиперболичности оператора L\u) следует тогда,
что „сердцевина" конуса нормалей выпукла (см. § 3, п. 7). Двой-
Двойственный для нее конус Г также будет выпуклым; в каждой точке Г
нормали принадлежат сердцевине конуса нормалей. Следовательно,
') Возможность существования таких лакун видна на примере упругих
волн (см. § 13а)) или уравнений кристаллооптики. . Глубокое исследование
этого явления принадлежит Петровскому [3].
644 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
элементы поверхности Г отделяют элементы пространственного типа
от всех остальных. Как было указано выше, поверхность Г = ГР
по определению есть коноид зависимости.
Мы можем также определить Гр следующим образом: пусть
точка Р имеет координаты (t, iv .. ., ?„). Для любого а рассмотрим
характеристическую плоскость
©(/ —i) —а • (х— ?,) = 0,
для которой скорость v максимальная. Гр есть пересечение всех
полупространств v{t — т) — а • (х— %) ^ 0, т. е. множество точек,
общих для всех этих полупространств; а. пробегает единичную сферу.
Для непостоянных коэффициентов определение аналогично: через
линейное многообразие (ах) = 0 или (а(х—|)) = 0 в плоскости ? = т
пространственного типа в направлении t < т мы проведем характе-
характеристические поверхности „типа плоскостей". Одна из них, для кото-
которой „отрицательные" направления нормалей идут по границе сердце-
сердцевины конуса нормалей, отделяет элементы пространственного типа
от всех остальных и соответствует наибольшей локальной скорости
в точке Р. Тогда Тр есть пересечение соответствующих полупро-
полупространств, причем а пробегает всю единичную сферу. И здесь Тр
можно рассматривать как выпуклую оболочку обратного коноида
лучей, проходящего через точку Р.
Определение направлений „временного типа", данное в § 3, п. 7,
немедленно приводит к следующему утверждению: внутренность
коноида зависимости Гр есть множество точек, которые можно
соединить с точкой Р кривыми, всюду имеющими, направление
временнбго типа.
В следующем параграфе мы ограничимся симметрическими
гиперболическими операторами первого порядка
t\^ii t A)
Тогда плоскости t = const — пространственного типа. Поверхности Rx,
состоящие из куска плоскости t=z, лежащего внутри коноида, и
из куска полости Rx коноида Г, лежащего между плоскостями t = О
и t — x @ ^ t ^ х), образуют „линзу пространственного типа" Lt.
Если t = t есть временная координата точки Р, то эта линза совпа-
совпадает с внутренностью коноида для 0-<^?-^i.
Если уравнение ср(/, х) — 0 задает границу линзы Lx, то характе-
п
ристическая форма А =/срг-}- 2 Л'ср, просто совпадает с единичной
§ 8. Интегралы энергии для систем первого порядка 645
матрицей / при ( = Ои/ = т, и характеристическая матрица А
неотрицательна на конической части поверхности R^1).
Действительно, на характеристической поверхности („типа пло-
плоскости", соответствующей максимальной скорости, характеристиче-
характеристическая матрица неотрицательна. Так как любая точка границы Гр
является точкой касания с такой характеристической поверхностью,
характеристическая матрица будет неотрицательной на границе Гр.
Следовательно, для поверхности, элементы которой лежат как раз
на границе между элементами пространственного и не пространствен-
пространственного типа, матрица обязательно будет неотрицательной.
Конечно, понятия области зависимости и области влияния точно
так же применимы к любому более общему точечному множеству П,
например к некоторой области плоскости t = const > 0. Область
зависимости Сц является тогда замыканием множества всех точек,
таких, что t^-О, которые могут быть соединены с точками области П
с помощью кривых временнбго типа.
Как мы подчеркивали выше, понятие области зависимости Гр не
совсем точно, так как область Гр всегда может быть заменена более
широкой областью Гр, содержащей Гр. В частности, мы можем рас-
рассматривать „тетраэдральную" область Гр, ограниченную тремя харак-
характеристическими поверхностями „типа плоскостей", проходящими через Р
и соответствующими максимальной скорости. Тогда Гр есть область,
общая для всех таких „тетраэдральных" областей Гр.
Снова заметим, что оправдание введения понятий, которые рас-
рассматривались в этом параграфе, неявно содержится в приведенном
ниже доказательстве теоремы существования и единственности2).
§ 8. Интегралы энергии и теоремы единственности
для линейных симметрических гиперболических систем
первого порядка
1. Интегралы энергии и единственность решения задачи
Коши. В этом параграфе мы ограничимся линейными симметрическими
') Часть R* является поверхностью «слабо пространственного типа";
иногда мы будем называть ее поверхностью пространственного типа. Основ-
Основное состоит в том, что на R* выполняется неравенство А > 0.
2) Частные случаи, допускающие явное решение, показывают, что не
всегда необходимо" заменять коноид лучей его выпуклой оболочкой. Напри-
Например, пусть и = 2, * = 2, Lx = D\ — D\ — AD% L2 = D20 — 4D\ — D\. Поверх-
Поверхность лучей на плоскости х, у тогда состоит из двух пересекающихся
эллипсов. Система Li[ul]=0, L2[u2]=0, очевидно, имеет единственное
решение, если начальные данные для каждой из функций и^ и и2 заданы на
одном из этих эллипсов; здесь нет необходимости рассматривать выпуклую
оболочку. Но если два уравнения связаны через члены порядка, ниже вто-
второго, содержащие и ии и иъ то поверхность лучей не изменится, а данные
надо будет задавать на выпуклой оболочке.
646 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
гиперболическими системами первого порядка, которые уже рассмат-
рассматривались раньше (см., например, § 3, п. 8 и стр. 587).
Они имеют вид
п
z.[«i = 2 л'и, + я« = о. A)
1=0
где все матрицы А1 симметричны, а В не обязана быть симметричной.
Согласно § 3, п. 7, поверхность 5: с(х) = 0 является поверх-
поверхностью пространственного типа для оператора L, если на 5 харак-
характеристическая матрица
А = А1 ъ
положительно определенна. Мы предположим, что система A) гипер-
гиперболическая, т. е. что для нее существуют поверхности пространствен-
пространственного типа. Без ограничения общности мы опять можем предположить,
что плоскости х0 = t = const являются поверхностями пространст-
пространственного типа, т. е. что матрица А0 положительно определенная.
Рассуждения этого параграфа основаны на формуле Гаусса, кото-
которая непосредственно вытекает из следующего „дивергентного" пред-
представления для и L\ti\:
2и/.[«]==(«, Aiu)j-\-2{u, Ви) = 0, B)
где
п
В = В-\У^А). C)
С помощью простой замены переменных мы всегда можем преоб-
преобразовать L в такой оператор, для которого форма (и, В и) положи-
положительно определенна. Мы введем вместо и функцию
v — e'^'u D)
с положительной постоянной (i. Отсюда получается, что L[u]=
= е'-'х> [L \v}-\- (a A°v] = 0 и, следовательно,
где
В* = В-\-рА°. E)
Так как, по предположению, матрица Л° положительно определенна,
то квадратичная форма (и, В*и) также будет положительно опреде-
определенной в любой заданной области, если постоянная \i выбрана доста-
достаточно большой. В частности, мы можем считать, что
(и, и)<2(и, В*и). F)
§ 8. Интегралы энергии для систем первого порядка 647
Пусть D — область, имеющая форму линзы, описанная в § 7,
т. е. область, ограниченная двумя поверхностями 50 и S, причем
обе они пространственного типа и соединены по их общей границе.
Тогда справедлива следующая теорема единственности1): если
решение и равно нулю на So, то оно обращается в нуль на лю-
любой поверхности S, которая образует с So линзу простран-
пространственного типа.
Доказательство сразу получается с помощью интегрирования ра-
равенства B) по линзе D. Полученная таким образом формула Гаусса
имеет вид
О
= Г («, Au)dS— Г (к, Au)dS + J Г (к, Bu)dx,
где dS обозначает элемент поверхности, dx = dxodx1dx2 ... обо-
обозначает элемент объема, А — характеристическая матрица на границе.
Так как обе формы (и, Аи) и (и, Ви) положительно определенные,
отсюда следует, что и обращается в нуль на D.
Заметим, что в этом доказательстве мы пользовались тем, что
5 — пространственного типа, но не пользовались пространственным
характером So.
Если В тождественно обращается в нуль, то оператор L назы-
называется консервативным. В этом случае „энергия"
|*(и, Au)dS
одинакова на поверхностях So и S; этот факт можно интерпретиро-
интерпретировать как „сохранение энергии", что оправдывает название „интеграл
энергии".
2. Интегралы энергии первого и высших порядков, Мы будем
выделять в качестве особой переменной время xo = t и, как и ранее,
предположим, что гиперплоскость t — const — пространственного типа.
В соответствии с § 3, можно ввести такие новые неизвестные функ-
функции к, что дифференциальное уравнение примет более простой вид
'ux, +Bu = 0, A6)
где матрицы А' по-прежнему симметричны.
Мы рассмотрим специальные линзообразные области, или, точнее,
однопараметрические семейства линзообразных областей, построенных
') Читатель может сравнить последующие рассуждения с доказательством
теоремы Хольмгрена в гл. III, приложение 2. Доказательство теоремы Хольм-
грена основано на существовании решения задачи Коши для сопряжен-
сопряженного дифференциального уравнения, но в нем не используется ни симметрич-
симметричность, ни гиперболичность.
648 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
следующим образом. Пусть Р — точка в пространстве t, x с поло-
положительным t. Пусть Гр —обратный коноид зависимости для точки Р
(см. § 7). Обозначим через Rh пересечение Тр с гиперплоскостью t= h.
Теперь рассмотрим линзообразную область, ограниченную поверх-
поверхностями So = Ro и 5j = Rh-\- Mh, где Mh — часть поверхности (по-
(полости) коноида, заключенная между гиперплоскостями ^ = 0 и t — h.
Как мы видели в § 7, Mh—поверхность „слабо" пространственного
типа, т. е. форма (и, Аи) неотрицательна на Mh. Так как поверх-
поверхности Ra и Rh пространственного типа, то справедлива следующая
сформулированная ранее теорема единственности.
Если функция и удовлетворяет уравнению Z- [w] = 0 внутри
Гр и обращается в нуль на Ro, то и обращается в нуль всюду
в Тр.
Из этого результата получается следующий важный факт.
Значение функции и в точке Р однозначно определяется
значениями L{u] — f в Тр и данными Коми на Ro; следовательно
на значения и в точке Р не влияют данные задачи вне Тр.
Этот факт, конечно, оправдывает название „коноид зависимости"
для области Гр.
Если мы введем обозначение *)
,4'
— { С 21 Y1'
¦ ¦ I I U \Х) iljClXi
\ J I '
*н
то из доказательства теоремы единственности, данного в предыдущем
пункте, в предположении, что (и, Ви)^- 0, следует энергетическое
неравенство
(8;
Аналогичные неравенства справедливы для интегралов энергии
|| и (h)I) r порядка г, которые определяются следующим образом:
\D"u\4x. (9)
R(h) [p\<r
причем суммирование в правой части распространяется на все част-
частные производные Dpu порядка \р\ ^г по переменным х (множество
всех этих частных производных мы будем обозначать вектором V).
Энергетическое неравенство порядка г имеет вид
A0)
') Введенное здесь обозначение отличается от того, которое применялось
для «максимум-нормы» ||и|| = тах|и| в гл. V, § 6 и 7.
§ 8. Интегралы энергии для систем первого порядка 649
Здесь с — постоянная, зависящая от максимумов модулей коэффи-
коэффициентов оператора L и производных этих коэффициентов до по-
порядка г включительно. (Всегда предполагается, что произведена за-
замена D) с экспоненциальным множителем, содержащим достаточно
большую постоянную р..)
Доказываются эти неравенства так же, как обычное энергетиче-
энергетическое неравенство (8). Надо только применить те же самые рассужде-
рассуждения к системе дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет
вектор V; эта система получается дифференцированием L[«] = 0 по
переменным х. Таким образом мы получим систему уравнений вида
L\V\-\- MV = 0; здесь один и тот же оператор L применяется
к каждой отдельной производной Dlu, a MV обозначает линейную
комбинацию всех компонент V. Дифференциальное уравнение A6) и
уравнения, полученные из него дифференцированием по t и х, поз-
позволяют выразить все производные функции и порядка г через произ-
производные и по переменным х порядка г'^г. Сопоставляя это с энер-
энергетическими неравенствами высших порядков A0), мы получим
\\u(h)\\'r<c'\\u@)\\r, A1)
? \D"u\2dx> t9')
причем суммирование теперь распространяется на все частные произ-
производные функции и(х, t) порядка г'^г, а не только на производные
по переменным х.
Наконец, для решений неоднородного уравнения L[u] = f
справедливо следующее энергетическое неравенство:
J A2)
о
где
11/@11г= J>(*. t)dx.
R(t)
Чтобы доказать неравенство A2), мы воспользуемся тождеством B)
неравенством
и применим неравенство F):
2 (и, Ви) — и2>0.
650 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Следующий аналогичный результат справедлив относительно ин-
интегралов энергии высших порядков:
h
\\u (h) Ц;< с || и @)||; + с f ||/ (t)fr dt. A2a)
о
Как будет показано ниже, все эти неравенства имеют важное значе-
значение для построения и исследования решений, а не только для дока-
доказательства единственности.
3. Энергетические неравенства для смешанных задач. Инте-
Интегралы энергии из п. 2 позволяют нам немедленно распространить
доказательства единственности на некоторые важные классы задач,
а именно на смешанные задачи для симметрических, но не обяза-
обязательно гиперболических уравнений, содержащие начальные и гранич-
граничные условия (см. гл. V, § 6). В этом пункте мы кратко укажем,
как можно осуществить такое обобщение 1). Мы ограничимся гипер-
гиперболическими смешанными задачами и даже такими смешанными за-
задачами, содержащими начальные и граничные условия, в ко-
которых выделена временная переменная t = х0 и предполагается, что
дифференциальные уравнения имеют вид A6). Такие задачи состоят
в том, чтобы найти решение и уравнения A6), определенное для
всех х в заданной области пространства G и для всех положитель-
положительных t, когда в G заданы начальные условия и (х, 0); кроме того,
решение и должно удовлетворять некоторым условиям на границе 5
области О (см. также гл. V, § 6, п. 4). Мы предположим, что эти
граничные условия — линейные однородные соотношения между ком-
компонентами и на 5. Они могут изменяться от точки к точке гра-
границы 5 и зависеть от времени t. Физически они могут иметь смысл
ограничений, наложенных на систему, когда ее рассматривают
только в области О (например, кинематические условия); или же
они могут выражать взаимодействие между системой и внешними
факторами, ограничивающими систему, например отражение, пре-
преломление, закрепление, затухание, остывание, испарение, излучение
и т. д.
Наши рассуждения будут касаться только единственности; общие
доказательства теорем существования для смешанных задач остаются
за пределами этой книги, хотя соответствующие теоремы для задачи
Коши приведены в § 10 (см., однако, гл. V, § 6, п. 4 и приложение
для случая двух независимых переменных).
>) Сошлемся на статью Фридрихса [3], в которой рассматриваются во-
вопросы существования и единственности для симметрических систем, не
обязательно гиперболических. См. также работу П. Лакса и Филлипса [1] и
Даффа [3].
§ 8. Интегралы энергии для систем первого порядка 651
Мы позволим себе обозначать через S: i(xv x2, .... хп) — 0
либо границу области G, либо вертикальную часть границы цилиндра Z,
перпендикулярного ^ = 0, построенного над границей G. На ? харак-
k
теристическая матрица Л—^]^Л' просто равна
i 0
к
= У
\Ч— If.)
так как компонента нормали к Z по направлению оси t обращается
в нуль.
Основная цель этого пункта состоит в том, чтобы сформули-
сформулировать соответствующие граничные условия на Z (или 5) при t > 0,
которые вместе с данными Коши на О гарантируют единственность
решения и в то же время таковы, что можно ожидать и существо-
существования решения.
Соответствующие граничные условия, так же как и в гл. V,
§ 6, п. 4, выражаются следующим образом: в каждой точке х, t на
боковой поверхности 5 цилиндра Z вектор а (х, t) принадлежит
некоторому линейному пространству /V размерности r = k — р,
определенному р линейными однородными соотношениями
(и, щ}) = 0 (У==1, 2, .... р), A3)
где т' — линейно независимые векторы. На пространство /V на-
налагается следующее ограничение: для векторов и, принадлежащих N,
квадратичная форма
Q(u, u) = (u, Аи)
неотрицательна на Z.
Обоснование таких граничных условий дает применение формулы
Гаусса к соотношению B)
Г Г Г (и, Bu)dtdx-\- С Г (и, Au)dS = 0,
где Л=^Л'срг — характеристическая матрица на поверхности,
1 = 0
ограничивающей D. Если (и, Ви)—положительно определенная
форма, то эта формула обеспечивает единственность решения ура-
уравнения A) в D, если из заданных граничных условий следует неот-
неотрицательность формы (м, Au)-Q(u) в каждой точке поверхности 5.
Интересно отметить, что это замечание справедливо независимо от
того, является ли система A) гиперболической.
652 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
В частности, если мы выберем в качестве D цилиндрическую
область над G между гиперплоскостями ( = 0 и / = t, то для ре-
решения уравнения A6) мы получим
Г (и, u)dx Т+ Г Г (и, Au)dsdt~{-j Г (и, Bu)dxdt — 0. A4)
'=° 0 D
О '=° 0 S
Тогда из граничных условий для и, несомненно, следует единственность
решения смешанной задачи так же, как это получалось в п. 1 для
задачи Коши. Это замечание является главным в настоящем пункте.
Однако мы хотим добавить несколько замечаний, чтобы внести боль-
большую ясность и получить удобный для применения критерий един-
единственности.
Во-первых, для заданной матрицы А пространство N можно
выбирать различными способами. Например, в простом случае, когда
k = 2, a (a, /4m) = Mj—и\, любое линейное пространство, заданное
соотношением и2— ои1 = 0 с |о| < 1, очевидно, удовлетворяет усло-
условию определенности.
Во-вторых, если задано слишком много граничных условий, то
мы не можем ожидать, что решение будет существовать (например,
в случае, когда меньшее число граничных условий все еще гаранти-
гарантирует единственность). Так как граничное пространство /V тем шире,
чем меньше граничных условий мы налагаем, то мы приходим к рас-
рассмотрению следующего понятия, тесно связанного с требованием
существования: граничное пространство N должно быть макси-
максимальным неотрицательным, т. е. его нельзя расширить до
большего линейного пространства, на котором квадратичная
форма (и, Аи) все еще всюду неотрицательна.
Хотя мы не будем доказывать существования, мы потребуем,
чтобы пространство /V было максимальным.
Самый важный вопрос, касающийся Л/, таков: какова размерность
пространства N, т. е. сколько линейно независимых условий A3)
всегда определяют максимальное неотрицательное пространство ./V?
Предположим для простоты, что цилиндр Z нигде не имеет ха-
характеристического направления, т. е. на нем не обращается в нуль
ни одно собственное значение матрицы А 1). Тогда мы утверждаем
следующее: число измерений г максимального неотрицательного
пространства N равно числу положительных собственных
значений матрицы А. Число г и число p = k — г условий вида
{и, т') = 0, налагаемых на функцию и, не зависят от конкретного
выбора максимального пространства N (для случая двух переменных
см. гл. V, § 6).
') Легко видеть, что это удобное предположение несущественно.
§ 8. Интегралы энергии для систем первого порядка 653
Критерий, который дает эта теорема, часто можно непосред-
непосредственно применять.
Доказательство опирается на тот факт, что в rf-мерном линейном
пространстве й-мерных векторов (т. е. векторов с k компонентами)
всегда можно найти не равный нулю вектор а, который удовлетво-
удовлетворяет s линейным однородным условиям, если только fi?-j-s<&.
Рассмотрим теперь полное множество нормированных собствен-
собственных векторов И], ..., uk матрицы Л, соответствующих собственным
значениям \ \к. Предположим, что первые собственные значе-
значения Xj \г положительны, а остальные отрицательны. Если
а — а;«,.,
то
(и, Aii) = a2li.
Сначала мы покажем, что dimA/<>. Действительно, если бы
пространство N имело более г измерений, то мы могли бы найти
в N вектор и, такой, чтобы выполнялись г условий ортогональ-
ортогональности а1 = а2=... =ar = 0 и, следовательно, было бы (и, Аи) —
k
— 2 ai\- < 0, что противоречит предположению о положитель-
i = r+l
ности матрицы А для всех и из N.
Затем мы покажем, что пространство /V не является максималь-
максимальным, если d — dim /V < г.
Действительно, наложим на вектор а условия
(и, Av) — 0 для всех v из N
и
(и, Uj) = 0 для / == л- —)— 1 k;
эти условия представляют собой d-\-k — г линейных однородных
уравнений для вектора и, и, так как d~\-k — г меньше, чем k, суще-
существует отличный от нуля вектор и, удовлетворяющий этим условиям
(из первого условия следует, что и не принадлежит N). Тогда для
любого вектора вида w = o.a~\-v, где v принадлежит N, а a — поло-
положительная постоянная, мы имеем
(w, Aw) = a2(u, Au)-\-(v, Av)>0. A5)
Это означает, что все векторы w принадлежат N, что противоречит
максимальности Л/, так как и не лежит в N.
Следовательно, возможно только, что uimN = r, и наше утвер-
утверждение доказано.
Аналогично можно было бы определить максимальные отрица-
отрицательные пространства /V* размерности р = k — г, которые являются
положительными пространствами для формы — А.
654 Га. VI. Гиперболические уравнения го многими переменными
До сих пор мы предполагали, что |Л|^=0. Если же |Л(=0,
то существуют некоторые собственные функции м, удовлетворяющие
уравнению Аи = 0. По существу, ничего не меняется, только про-
пространства N и /V имеют общее дополнительное, например §"-мерное,
пространство таких собственных функций.
В качестве последнего замечания мы укажем, что для сопряжен-
сопряженной задачи для оператора ?*[«] = 0, рассматриваемой в обратном
направлении, т. е. для задачи, в которой задаются значения и(х, х)
в области G и решение ищется при / < т, правильные граничные
условия на Z таковы: решение а должно принадлежать максималь-
максимальному неположительному пространству Л/*.
4. Интегралы энергии для одного уравнения второго порядка.
В этом пункте мы выведем энергетическое неравенство и, сле-
следовательно, получим теорему единственности для одного гиперболи-
гиперболического уравнения второго порядка. В § 3, п. 8 мы свели гипербо-
гиперболическое уравнение второго порядка к симметрической гиперболической
системе первого порядка. Поэтому энергетические неравенства следуют
из результатов предыдущих пунктов этого параграфа. Тем не менее
стоит привести их независимый вывод в случае уравнения второго
порядка (что исторически было сделано раньшеI), так как эти
неравенства служат простым общим обоснованием для примеров § 6
и так как этот вывод является моделью вывода соответствующих
неравенств для уравнений высших порядков, что будет проделано
в следующем параграфе.
Как и в § 3, мы рассмотрим уравнение второго порядка вида
iI«] = ««-S«%+ ••• =0. A6)
Мы предположим, что это уравнение гиперболическое и что гипер-
гиперплоскости / = const—поверхности пространственного типа. В соот-
соответствии с § 3, так будет тогда и только тогда, когда квадратичная
форма а1' положительно определенна. Мы выразим utL[u] в виде
дивергенции 2)
2нtL [и] = (u*)t - 2 ? (a'V,);+ 2 («S«A + Q.
где через Q обозначены члены, не содержащие производных второго
порядка. Если мы для удобства предположим, что оператор L не
содержит членов нулевого порядка, то Q будет квадратичной формой
относительно производных первого порядка от и.
') См. литературу в § 6, стр. 636.
2) Q в этом пункте и в § 9, конечно, не обозначает характеристическую
форму.
§ 8. Интегралы энергии для систем первого порядка 655
Теперь мы проинтегрируем это тождество по линзообразной об-
области D, ограниченной двумя поверхностями 50 и 5:; если и является
решением уравнения L[u] = 0, то из формулы Гаусса мы получим,
что
J qdS — J* q dS = j* J Qdxdt; A7)
S, i'o О
где
Здесь т и Е;- обозначают компоненты нормалей к So к 5, по напра-
направлению осей t и ,v;-; нормали проведены по направлению положи-
положительной оси t.
Пусть теперь в качестве 50 выбрана область /?@), вырезанная
на начальной гиперплоскости ? = 0 с помощью обратного коноида
лучей Г, проходящего через точку Р, а 5[ пусть состоит из области
R(h), вырезанной коноидом лучей на гиперплоскости t = h, и из
М (ft), куска полости коноида, заключенного между гиперплоскостями
t = 0 и t = h. Интегральное соотношение A7) можно тогда пере-
переписать следующим образом:
JqdS+ JqdS— [ q (IS = j J Qdx dt.
R{h) M(h) r'@) D
Как указывалось в § 3, величина q, если рассматривать ее как
квадратичную форму относительно ut и их, неотрицательна на R(h),
R@) и М (Л). Тогда, обозначая интеграл по R(h) через E(h), мы
получим энергетическое неравенство
?(А)< Е @)+ J J Q rf.v dt,
D
где
/?(A) Л (A)
Квадратичная форма Q мажорируется произведением q на доста-
достаточно большую постоянную С:
Q < Cq.
Подставляя это соотношение в энергетическое неравенство, мы по-
получим
E(h) <?(())+ С ( E(t)dt.
656 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Простым следствием этого интегрального неравенства является
оценка
это и есть искомая окончательная форма энергетического неравенства.
Аналогичные неравенства для интегралов энергии высших поряд-
порядков можно получить с помощью дифференцирования уравнения A6),
§ 9. Энергетические оценки для уравнений высших порядков
1. Введение. Результаты § 8, касающиеся симметрических систем
первого порядка, являются достаточно общими для большинства за-
задач о распространении волн, встречающихся в физике. Тем не менее
желательно построить теорию и для других гиперболических задач.
Для таких задач удовлетворительная теория была построена !) при
строгом ограничении, что все характеристики различны, так что все
полости конуса нормалей можно разделить полостями некоторого
другого конуса.
Мы вкратце опишем метод Лере [2]2) для одного уравнения
порядка т.. Этот метод без каких-либо изменений можно применить
к слабо связанным системам гиперболических уравнений с одинако-
одинаковой главной частью. Так как (см. гл. I, § 2, п. 2) произвольную
гиперболическую систему с различными характеристиками можно
свести к слабо связанной системе, то метод Лере охватывает такие
гиперболические системы уравнений.
Ключом к теоремам единственности (§ 8) и существования (§ 10)
являются энергетические неравенства. Поэтому мы ограничимся тем,
что покажем, как можно получить энергетические оценки без пред-
предположения симметричности.
2. Энергетические тождества и неравенства для решений
гиперболических уравнений высших порядков. Метод Лере и
Гординга. Метод, примененный в § 8 к уравнениям второго порядка,
состоял в том, что уравнение Ци] = 0 умножали на du/dt, и полу-
полученное квадратичное выражение интегрировали по линзообразной
области, причем с помощью интегрирования по частям результат
удавалось свести к сумме интегралов по области и по границе от
квадратичных форм относительно первых производных функции и.
Последний шаг состоял в доказательстве того, что граничные инте-
интегралы — положительно определенные. Чтобы обобщить этот метод
на уравнения высших порядков, мы должны 1) выбрать подходящий
') Построение общей теории начал И. Г. Петровский, см. работы [5]
2) Изящные рассуждения Лере даны здесь в изложении Гординга [3].
§ 9. Энергетические оценки для уравнений высших порядков 657
множитель, 2) произвести преобразование с помощью интегрирования
по частям и 3) установить, что граничные интегралы положительно
определенные.
Пусть L — гиперболический оператор порядка т. Множитель
будет иметь вид N [и], где Л/ — некоторый оператор порядка т—1.
Прежде чем выбрать конкретный вид оператора N, мы выразим
произведение N[u]L[u] как сумму дивергенции и некоторой квадра-
квадратичной формы относительно производных порядка, меньшего т. Это
формальное тождество не зависит от гиперболичности оператора L.
Чтобы вывести его, мы ограничимся членами порядка т — 1 и т
в операторах N и L соответственно, так как произведения, содер-
содержащие члены более низких порядков, можно включить во введенную
ниже форму Q.
Пусть G — некоторая область, а В — ее граница, причем компо-
компоненты единичного вектора нормали к границе равны f;. Тогда суще-
существуют две формы q (и) и Q(u), квадратичные относительно произ-
производных функции и до порядка т — 1 включительно и такие, что
J fN[u]L[u]dx= fq(u)dS~f-ffQ(u)dx, A)
о во
где dS — элемент поверхности на В, a dx — элемент объема в О.
Достаточно доказать формулу A) в случае, когда N и L — одно-
одночлены, N= aDxD2 ... Dm_x, L = bDm Л. D2m_x, где символы Dj,
j=\, ..., 2т—1, обозначают частные производные по некоторым
переменным (эти переменные не обязательно различны для различ-
различных j), а а и Ъ — функции х. Интегрируя по частям по переменной,
соответствующей Dm, получаем
J J ab{Dx ... Dn_xu) \Dm ... D2m_xu) dx —
a
-=~ j f ab{Dx ... Dmu] [Dm+l ... Dim_itt}dx+O,
о
где через О обозначены члены, которые войдут в Q или q, поскольку
они, как требуется, являются интегралами от квадратичных форм,
а именно
j" J
о
+ fab{Dl... Dm_xu) {Dm+l . . . Dbn_xu) udS.
в
Первый член снова можно преобразовать, интегрируя по частям
Последовательно по переменным, соответствующим Dv ..., и таким
образом последовательно перебрасывая дифференцирования Dt из
0'58 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
первой скобки {...} во вторую. После нечетного числа 2т—1
таких операций операторы N и L поменяются местами и получится
тождество следующего типа:
J J N[u)L\u]dV = — J J L[u)N[и] dV +
а а
+ 2 J q (и) dS + 2 f f Q (u)dV,
в а
где q и Q—-квадратичные формы относительно производных до (от—1)-го
порядка функции и. Отсюда следует требуемое тождество A). За-
Заметим, что Q =е 0, если коэффициенты операторов L и N постоянны
и если L и N не содержат членов низшего порядка.
Квадратичная форма q(u), связанная с операторами L и N и
поверхностью В, не определяется однозначно, если порядок L выше
двух и если имеется более двух независимых переменных. Но любые
две такие формы отличаются на член вида дивергенции на поверх-
поверхности, т. е. значение I q{u)dS не зависит от конкретного выбора
в
формы q.
Если оператор L гиперболический, a G—линзообразная область,
ограниченная двумя поверхностями пространственного типа Sj и S2,
имеющими общую границу, то мы попытаемся так выбрать опера-
оператор N, чтобы граничный интеграл I q dS в формуле A) был поло-
положительно определенным на 5j и отрицательно определенным на S2-
Это будет выполнено, если мы, следуя Лере, выберем оператор N
таким образом, чтобы полости его характеристического конуса
нормалей разделяли полости конуса нормалей для L в следую-
следующем смысле.
Пусть L(E) и N(X) — характеристические формы, связанные с опе-
операторами L и N. Мы назовем направление С направлением простран-
пространственного типа для оператора L, если для любого направления 6,
не параллельного С. характеристическая форма L(K,-{-B) обращается
в нуль для т действительных различных значений X. Говорят, что
характеристики оператора N разделяют характеристики L, если
форма N(K-{-Q) обращается в нуль для т—1 действительных
различных значений X и эти значения X разделяют1) корни формы L.
Для данного гиперболического оператора L можно построить
оператор /V на единицу меньшего порядка, характеристики которого
') Нетрудно показать, что если оператор N обладает этим свойством
разделения для одного направления пространственного типа С, то он будет
разделяющим для всех направлений пространственного типа.
§ 9. Энергетические оценки для уравнений высших порядков 659
разделяют характеристики L. Мы можем, например, взять
x=o
To, что Л/ есть разделяющий оператор, получается как непосред-
непосредственное следствие классической теоремы о том, что корни много-
многочлена разделяются корнями его производной.
Теперь мы более точно сформулируем утверждение о положи-
положительной определенности граничных интегралов в формуле A). Мы
предположим, что имеем самый простой случай: пусть 5j и So — две
гиперплоскости ? = 0 и t — T, и пусть коэффициенты операторов
L и /V постоянны. Мы предположим также, что рассматриваемое
решение и обращается в нуль для достаточно больших значений
пространственных переменных (т. е. переменных в гиперплоскостях S).
Мы утверждаем тогда следующее.
Если оператор L гиперболический и его характеристики разделены
характеристиками оператора ЛЛ и если гиперплоскости t = const —
поверхности пространственного типа, то квадратичный функционал
Г q (и) dx, связанный с операторами Л/, L и гиперплоскостями t = const,
является положительно определенным, т. е. для всех гладких
функций, обращающихся в нуль при больших значениях |лг|, мы
имеем
J
const- 1^\йаи\2с1х, B)
где сумма в правой части распространена на все частные производ-
производные функции и порядка, не превышающего т. — 1.
'В аналогичной ситуации для операторов второго порядка мы
проверили положительную определенность соответствующего квад-
квадратичного функционала I qdx, показав, что подинтегральная функ-
функция q(u) есть положительно определенная квадратичная форма от-
относительно производных первого порядка от функции и. В общем
случае это не всегда справедливо и, следовательно, такую проверку
произвести невозможно. Вместо этого мы применим критерий по-
положительной определенности, принадлежащий Гордингу [3].
Обозначим через t/v(^) преобразование Фурье по пространствен-
пространственным переменным функции d^u/df. Пусть D"a—любая частная про-
производная от а порядка т.— 1; запишем ее как D, . . . Dm_-l_,/d'Ju/dt\
где символы Dx Dm_,_v снова обозначают дифференци-
дифференцирование по пространственным переменным. (Согласно хорошо из-
известным правилам, преобразование Фурье производной D*u равно
im~^\ , .. ?m_!_st/v.) Применяя формулу Парсеваля, мы можем
660 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
выразить Г q dx как интеграл по пространству ? от соответствующей
эрмитовой формы h:
f q{u)dx=*
где h —полином степени 2т— 2 — ч — [х относительно \.
Аналогично мы имеем
где \\\ обозначает (й+ ... +?т) *. Таким образом, неравенство B),
которое мы хотим доказать, эквивалентно неравенству:
C)
Так как функции Uv, ч — О, ..., т. — 1, независимы друг от друга,
то легко видеть, что такое неравенство справедливо тогда и только
тогда, когда эрмитова форма h положительно определенна для
всех I.
Таким образом, чтобы доказать неравенство B), остается только
при указанных условиях проверить, что эрмитова форма, связанная
с q, положительно определенна. По этому поводу мы сошлемся на
уже упомянутую статью Гординга.
Мы резюмируем наши результаты, касающиеся уравнений с по-
постоянными коэффициентами, как закон сохранения энергии.
Положительно определенная величина I q(u)dx, которую можно
рассматривать в качестве „интеграла энергии", для всех решений
уравнения L[u] = 0 не зависит от t. Этот результат можно без
существенных трудностей распространить на уравнения с перемен-
переменными коэффициентами. Можно построить аналогичный „интеграл
энергии", который, хотя и будет зависеть от t, но будет расти
с ограниченной скоростью, т. е. его значение при t = T превышает
его значение при ^=0 не более чем в еСТ раз. Величина постоянной С
зависит от коэффициентов оператора i и от величины их первых
производных 1)
3. Другие методы. Надо обратить внимание на другой подход
к этой задаче, принадлежащий Кальдерону и Зигмунду. Их
работы [1, 2], касающиеся сингулярных интегральных уравнений,
дали гибкое орудие для исследования задач, рассматриваемых в этом
параграфе, и для изучения других вопросов, связанных с линейными
') См. работу Гординга [3]. Мы вернемся к неравенству Гординга
в томе III.
§ 9. Энергетические оценки для уравнений высших порядков 661
уравнениями с частными производными. Основой метода является
тот факт, что, применяя соответствующие интегральные операторы,
можно приводить дифференциальные операторы с частными произ-
производными к симметрическому виду и таким образом получать от-
отличные от метода Лере способы вывода энергетических неравенств1).
Наконец, мы дадим схему другого доказательства энергетических
неравенств, принадлежащего Пейзеру [1] и основанного на нормаль-
нормальной форме линейного гиперболического оператора для двух пере-
переменных х и t, введенной в гл. V, § 8, п. 2 и 3.
Сначала мы рассмотрим гиперболический оператор L [и] порядка m
относительно функции и(х, t) двух переменных х, t, причем будем
считать, что он задан в нормальной форме:
L\u\=DxD2...Dma + R. D)
где дифференциальный оператор R содержит только производные
порядка, меньшего чем т, и где все т операторов дифференциро-
дифференцирования по характеристическим направлениям Dt — djdt -j- ~1д/дх раз-
различны. (Обозначения несколько отличаются от тех, которые при-
применялись в гл. V, § 8.) Мы введем операторы Vj = (Dl ... Dm)j
порядка т—1, причем в произведении, стоящем в правой части,
пропущен множитель Dy Согласно результатам гл. V, § 8, все
производные порядка т — 1 и более низких порядков можно линейно
выразить через величины Vjti. Мы рассмотрим решение а уравне-
уравнения L[u\ = 0 в слое Е: O^.t^.T и предположим, что функция и
финитна в Е, т. е. обращается в нуль, если величина | х | превышает
некоторое фиксированное число.
Теперь мы введем оператор порядка т — 1
N[u] = ^V,lu]. E)
который может быть получен из оператора L с помощью формаль-
формального дифференцирования его главной части относительно символа d/dt.
Мы сразу же получим основное тождество
где Q[u] — квадратичная форма относительно производных и по-
порядка меньшего, чем т. Интегрируя по всему слою, учитывая, что
') См. также позднейшие результаты Мизохата [1] и [2].
662 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
функция и финитна, и рассматривая t как параметр на каждой из k
характеристик, мы получаем интегральное соотношение
0= J j N[u]L[u]dxdt = f[q(u(x, T)) — q{u(x, 0))]dx-\-
2
+ J JQ(u(x, t))dxdt = E(T) — E(O)-\-fJQ(u(x, t))dxdt,
где q (u) = -и- У, (Vj иJ — положительно определенная квадратичная
форма, a E(t) обозначает „интеграл энергии"
= fq(u(x, t))dx. G)
Оценивая производные низших порядков так, как это делалось выше,
мы почти сразу получаем, что
т
j J Q(u(x, t))dxdt-4. const • Г E(t)dt.
I 0
Следовательно, для нашего решения и уравнения L[u] = 0 справед-
справедливо энергетическое неравенство
т
?(Г)<?"@) + const • JE(t)dt, (8)
о
причем E(t) — положительный квадратичный функционал относительно
производных (т—1)-го порядка функции и1).
Следующий шаг состоит в распространении этого результата на
случай л переменных хх хп. Для этого мы предположим, что
оператор L имеет постоянные коэффициенты. Тогда, коротко говоря,
неравенство устанавливается так: сначала с помощью преобразования
Фурье решение и разлагается на плоские волны v (t, у; а), завися-
зависящие от единичного вектора а в пространстве х: и(х, t) =
') Надо заметить, что, как было указано при формальном выводе ра-
равенства A), формула
j j N [и] L [и] dxdt= J [q (и (х, T))-q(u (x, 0) )] dx +
+ J J Q (« (x, t)) dx dt
получается при повторном интегрировании выражения N [и] L [и] по частям
по переменным х и t; полученная таким образом функция q (и) может от-
отличаться от нашей функции только выражением типа дивергенции, так что
значение функционала E(t) не изменяется,
§ JO. Теорема существования 663
= I v(t, у; a.) da, y = (a, x), причем плоская волна v как функция
х и t удовлетворяет дифференциальному уравнению L[v} = 0. Финит-
ность функции и обеспечивает возможность такого разложения и со-
соответствующего разложения для всех производных и, входящих в опе-
оператор L. Тогда можно применить полученные выше энергетические
соотношения к функции v, зависящей от двух переменных у и t, а
затем интегрирование по а позволяет с помощью формулы Парсеваля
получить искомые энергетические соотношения для функции u(t, х),
§ 10. Теорема существования
1. Введение. В этом пункте мы применим энергетические не-
неравенства, полученные в § 8 и 9, для доказательства существова-
существования решений симметрических гиперболических систем уравнений
L[u] = ut-t-M[u] = 0 A)
с произвольными гладкими начальными условиями.
Мы напомним, что формула для решения задачи Коши в случае
неоднородного уравнения
L[u]=f(x,t). (И)
удовлетворяющего, например, начальным условиям и(х, 0) = 0, по-
получается непосредственно из принципа Дюамеля. Если U(x, t\ x)—¦
решение уравнения A) при t > т, такое, что U (х, т; т) = /(х, т),
то решение а определяется формулой
и(х, t)= J U(x, t\ T)
Таким образом, мы можем ограничиться доказательством суще-
существования для однородного уравнения A).
Для того чтобы сформулировать результат в достаточно общем
виде, удобно будет следующим образом воспользоваться терми-
терминологией гильбертова пространства. Рассмотрим в пространстве х
область R, зависящую, может быть, от параметра t, и „гладкие
функции" и в области R, обладающие непрерывными производными
до порядка г включительно. В качестве областей R (или Rf) не
обязательно выбирать плоские сечения коноида зависимости Гр для
некоторой точки Р. Они, например, могут соответствовать области
зависимости для произвольной плоской области t = const в слое Е
(см. § 7). Функции и не обязаны быть решениями дифференциаль-
дифференциального уравнения. Мы введем теперь гильбертово пространство HT{t)
664 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
или H*{t) как пополнение1) нашего пространства гладких функций а
по норме /--го порядка \\u(t)\\r или ||«(?)||г. определенной в § 8, п. 2.
Тогда энергетические неравенства § 8 дают следующее утверждение-:
если начальные значения принадлежат пространству Нг@) или Нг@),
то значения и решения уравнения A) для достаточно малых поло
жительных t принадлежат соответствующему пространству Nr{t)
или H*{t), а их нормы равномерно ограничены при ограниченных
значениях t. Справедливость энергетических неравенств с подходя-
подходящими константами для произвольных областей R либо может быть
доказана непосредственно, 'либо эти неравенства могут быть получены
с помощью объединения нескольких областей Rt описанного выше
типа.
В некоторых частных случаях элементы абстрактных пространств Нт
могут быть связаны с обычными функциями. Эта связь устанавли-
устанавливается с помощью леммы Соболева (см. гл. III, приложение 1),
которая утверждает, что для достаточно больших г элементы Нг
будут гладкими функциями. А именно, если/? — ограниченная область
с гладкой границей и если 2г > п, то
max \u(x)\ <C const • ||и||г,
xdR
причем величина постоянной зависит только от R и от г. Кроме
того, для /•>-^--r-s все элементы пространства Нг имеют огра-
ограниченные частные производные до порядка s.
В дополнение к энергетическим неравенствам необходимо иметь
конструктивный элемент; здесь его дает теорема Коши — Ковалев-
Ковалевской2), если следовать идеям Шаудера [4].
') Это означает следующее: если и , uj, ...—последовательность
функций, имеющих в области R непрерывные производные до порядка г
включительно и равномерно ограниченные нормы \\Uj\\r, и если, кроме того,
функции Uj образуют последовательность, фундаментальную в норме по-
порядка г, т. е. если || и,- — uj Ц г -> 0 при г -> со, j -> со, то мы приписываем
последовательности (и,-) в качестве предела идеальный элемент и. При-
Примерно так же вводятся действительные числа как пополнение системы ра-
рациональных чисел. Норма предельной функции определяется формулой
|| и II г = Hm \\Uj\\r.
у'->со
2) Другие идеи см. в работе Фридрихса [2]; там применяются конечно-
разностные уравнения, а в работе П. Лакса [6] — ортогональные проекции
в гильбертовом пространстве. Относительно теорем существования решений
смешанных задач для уравнений второго порядка см. Кшижанский и Шау-
дер [1] и Ладыженская [1]. Некоторый класс смешанных задач для
уравнений, которые не обязательно должны быть гиперболическими, рас-
рассматривается в работе Фридрихса [3], см. также П. Лаке и Филлипс [1].
§ 10. Теорема существования 665
Мы дадим подробное доказательство для симметрических ги-
гиперболических систем первого порядка и коротко проведем рассуж-
рассуждения для несимметрических систем и для уравнений высшего по-
порядка. Кроме того, укажем, что замечания в § 4, п. 7, и позже,
в § 15, приводят к другому способу построения решения.
2. Теорема существования. Задача Коми для уравнения L [и]=0
с условием и(х, О) = ф(лг) имеет в R(t) гладкое решение и,
если оператор L гиперболический, а его коэффициенты и на-
начальная функция ф имеют достаточное число производных.
Если и принадлежит пространству Нг над областью R@),
то и принадлежит НГ и в любом сечении R{t) коноида зави-
зависимости.
Необходимо добавить следующее: если функция ф просто непре-
непрерывна или не имеет достаточного числа производных для того, чтобы
обеспечить гладкость решения и, то, тем не менее, можно опреде-
определить обобщенное решение и как элемент пространства Нг й = \\тип,
с помощью замыкания в норме Нг.
Доказательство распадается на три этапа. Сначала мы построим
решения для случая, когда коэффициенты оператора L, а также на-
начальные данные ф аналитические; затем мы перейдем к случаю,
когда начальные данные принадлежат гильбертову пространству Нг;
наконец, мы снимем ограничение аналитичности коэффициентов опе-
оператора L.
1. Пусть ф— произвольная функция из Нг. Л1ы приблизим ф по
норме г-го порядка последовательностью аналитических функций,
например полиномов ф,G=1, 2, . ..). Задача Коши для аналитиче-
аналитического уравнения L[u] с аналитическими (полиномиальными) на-
начальными значениями фг была решена в гл. I, § 7 методом Коши—
Ковалевской, состоящим в применении степенных рядов. Аналитиче-
Аналитическое решение м;, которое определяется однозначно в силу теоремы
единственности, было построено в достаточно узком слое Ег: 0<^ <^ Т.
Ширина этого слоя, Т, не зависит от конкретных полиномов1) фг,
хотя зависит от аналитической структуры коэффициентов уравнения.
2. Так как последовательность начальных значений ф; сходится
к функции ф по норме /•-го порядка над областью /?@), то энерге-
энергетические оценки, примененные к разности и1 — ит, дают следующий
результат: все частные производные порядка не выше чем г соот-
соответствующего решения и1 сходятся по норме порядка г на любом
сечении R(t) слоя Ег при t^.T. Очевидно, что энергетические
оценки остаются справедливыми и сходимость имеет место, если R(t)
есть некоторая конечная часть горизонтальной плоскости t = const
в слое Ег.
') См. гл. I, § 7.
666 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Тогда из леммы Соболева следует, что последовательности функ-
п
ций ut и всех их производных порядка меньшего, чем г—к-, равно-
п
мерно сходится в слое Ег. Если г больше, чем -^—|— 1, то предель-
предельная функция и имеет непрерывные первые производные и удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению A). Кроме того, так как про-
пространство Нг полное, то таким образом полученное решение и(х, f)
принадлежит Нг над областью R(t) при t ^ Т.
Теперь мы можем повторить этот процесс; если в слое 0 ^ t -^ T
задано решение и, значения которого над областью R(T) принадле-
принадлежат Нг, то мы построим решение и в слое:) Т ^ t <^ 27* с началь-
начальными данными, заданными в R(T), и т. д. Таким образом в любом
слое Е мы можем построить решение с заданными начальными значе-
значениями. Очевидно, выбирая вместо точки Р точку Р', для которой
коноид зависимости Г7>- включает в себя Гр, мы можем распростра-
распространить решение и на более широкую область вне Гр.
3. Это доказательство легко можно обобщить на случай, когда
коэффициенты А', В уравнения A) не аналитические, а просто
достаточно гладкие—например, обладающие непрерывными произ-
производными до порядка г-\- 1 включительно — причем снова применяются
энергетические оценки. Здесь достаточно дать краткие пояснения.
Мы предположим, что /•>1j--j-ii и равномерно приблизим в слое S
коэффициенты оператора L и их производные с помощью аналити-
аналитических функций А1„, Вп (п= 1, 2, . . .) и их производных. Таким
образом, мы заменим оператор L аналитическим аппроксимирующим
оператором Ln. Задача Коши для этого оператора в слое ? имеет
решение ия; для этой функции Ln[un] = 0; un(x, 0) —ф(х).
Предположим сначала, что функция t]> принадлежит Hr+V Тогда,
в силу энергетического неравенства, un(t) также принадлежит Нг+Х
и \\ип (t)\\r+l <; const • ||ф||г+1> где постоянная не зависит от п. Раз-
РазL-n К — и,п\ = (Lm — Ln) Um = fnm-
Функция ин — ит обращается в нуль при t — 0, поэтому
Так как коэффициенты оператора Ln и все их частные производные
до порядка г равномерно приближают соответствующие коэффи-
коэффициенты и производные L, отсюда следует, что ||/nm||;--<!e/im||«m||r+1,
>0 при возрастании пит. Мы уже показали, что
') Равномерность ширины слоя, в которой существует аналитическое
решение, следует из теоремы Коши — Ковалевской.
§ 10. Теорема существования 667
|г+1 равномерно ограничена. Следовательно, ||/лт||г стре-
стремится к нулю и, в силу энергетического неравенства, к нулю стре-
стремится и \\ип — ит\\т.
Согласно лемме Соболева, последовательность функций ип и их
частных производных первого порядка также равномерно сходится.
Предел u{t) функций ип принадлежит Нг при каждом значении t.
Кроме того, так как функции ап удовлетворяют энергетическому
неравенству
|| «л (О || г < COllSt
с постоянной, не зависящей от я, такое же неравенство справедливо
для предельной функции а.
До сих пор мы предполагали, что функция ф принадлежит Нг+1.
Чтобы построить решение для любой функции ф из Нг, мы прибли-
приблизим t]> последовательностью функций фл, принадлежащих Нг+1. В силу
полученного выше результата для этих начальных функций существуют
однозначно определенные решения ип, принадлежащие Нг, и для ап — ит
справедливо энергетическое неравенство
Это показывает, что последовательность ип сходится по норме /--го
порядка к некоторому пределу и, который и является искомым
решением.
3. Замечания о сохранении свойств начальных значений и
о соответствующих полугруппах. Малый принцип Гюйгенса.
Представим себе, что начальные значения ty(x) = u(x, 0) заданы на
всей гиперплоскости ^—0. В силу теорем существования из п. 2, реше-
решение уравнения A) однозначно определяется для всех последующих
значений времени t > 0. Кроме того, если функция ф(х) принадле-
принадлежит НТ во всем пространстве х, то решение и(х, t) будет принад-
принадлежать Нг (t) для всех последующих значений времени. Этот резуль-
результат можно сформулировать следующим образом.
Если сопоставить решение уравнения Z. [«1 = 0 в момент
времена ?>0 его значениям при / — 0, то получится ото-
отображение функционального пространства Нг в себя. В част-
частности, решение задачи Коши выражается с помощью некоторого
линейного оператора 7', зависящего от t:
и(х, t) = T(t. /0)ф,
если функция и принимает начальные значения ф при t — tQ. Оче-
Очевидно, что вместо того, чтобы делать один шаг, переходя от началь-
начальных значений при ^=^/0 = 0 к значениям и в момент t, можно
ввести промежуточное значение tv найти и(х, t^ и затем решить
668 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими неременными
задачу Коши с начальными значениями и(х, ^) вместо и(х, *0) = ф(лг).
Тогда решение выразится через линейный оператор
и(х, t)=*T(t, tx)u{x, tx)
и, следовательно, через произведение двух операторов
и(х, t) = T(t. ti)T(tv *„)<]>.
Тогда, в силу теоремы единственности, операторы Т должны удо-
удовлетворять соотношению
T{t, to) = T(t. tJT^.to) при t>tl>t0. B)
Если мы предположим, что коэффициенты оператора L не зави-
зависят от t, то оператор T(t, t0) будет зависеть только от разности t — t0
и соотношение B) примет вид
-t0) при *>*!>*„. Bа)
Это является групповым соотношением. Так как здесь предполагается
что оно выполняется только для t^> tx^- tQ, то можно сказать, что
операторы Т образуют полугруппуJ).
Адамар обратил внимание на соотношения B) или Bа) и назвал
тот факт, который они описывают, „малым принципом Гюйгенса".
В случае, когда операторы Т могут быть явно представлены как
интегральные операторы, соотношение B) приводит к интересным
тождествам для ядер этих операторов. Между прочим, то же самое
справедливо в случае граничных задач для эллиптических и парабо-
параболических уравнений, если они решаются с помощью функции Грина2).
Некоторое свойство Р начальных функций называется сохра-
сохраняющимся, если решение и(х, t), соответствующее начальной
функции ф, которая обладает свойством Р, при любом другом
значении времени t также обладает свойством Р. На этом языке
наши предыдущие результаты можно выразить следующим образом:
свойство иметь ограниченную норму r-го порядка является
сохраняющимся3).
Как мы увидим из примеров, приведенных в следующем пункте,
свойства функции ф(-*0 иметь производные или непрерывные произ-
производные не сохраняются; некоторые из свойств дифференцируемости
') Рассматривая „обратную" задачу Коши, мы можем убедиться, что
оператор Т имеет однозначный обратный Т(ta, <,) = Г (<,, t0). Поэтому на
самом деле эту полугруппу можно расширить до настоящей группы.
2) В этих случаях граничные задачи имеют решение только в полупро-
полупространстве, например для t ^> 0, и соответствующие операторы образуют лишь
полугруппу.
3) Для несимметрических уравнений это свойство уже не обязано сохра-
сохраняться. Например, рассмотрим систему
ut — vx = 0, vt = О,
§ 10. Теорема существования 669
теряются при применении оператора Т. Так как предположение
о справедливости малого принципа Гюйгенса очевидно является разум-
разумным с физической точки зрения, то ясно, что имеющим физический
смысл сохраняющимся условием является наличие энергетических
норм, а не дифференциальные свойства1).
4. Фокусирование. Пример несохранения дифференцируемости.
Обычно в математической физике дифференциальное уравнение L [а] ~ О
имеет регулярные, например постоянные, коэффициенты, и начальные
данные также регулярны, например бесконечно дифференцируемы, за
исключением, может быть, начального многообразия у (хг хл_2)=0,
где функция и или ее производные имеют разрывы, как это было
описано в § 4, п. 3. Эти разрывы, согласно § 4, распространяются
вдоль характеристик. Однако там было построено решение только
„в малом", т. е. в полосе 0 ^ хп ^ X при достаточно малых X, причем
эта полоса может расширяться до тех пор, пока лучи, исходящие
из многообразия So, порождают гладкие характеристические поверх-
поверхности С. Если же на С эти лучи имеют огибающую, или „каустику",
которая может быть ребром возврата поверхности С, то начальные
особенности могут усиливаться на этой каустике. Хотя из этого
явления, которое называется фокусированием, не следует, что реше-
решение нельзя продолжить за каустику2), оно все же локально по-
понижает гладкость решений.
В этом смысле интересно рассмотреть следующий пример, не-
несмотря на то, что в нем каустика состоит всего из одной точки.
с начальными данными
! Ух для х > О,
и @, х) = 0, v @, х) = { \
[ 0 для л:<0.
Тогда для х > О
и {t, х) = -^~ ; v (t, х) = Vic.
Очевидно, что интеграл I (u2-{-v2) dx | < со конечен для любого ограни-
ограниченного интервала, но при t>Q интеграл I (и2 -f- v7-) dx не существует.
Другой пример дают начальные условия
и@, х) = 0, v@, х) = У\7\ е~х.
Тогда
и (t, x) = t{- ^=г — У\Т\) е~х, v (t, х) = \г[х\ е~х.
\2 \х\У\х\ I
') Этот факт был впервые отмечен Фридрихсом и Г. Леви в работе [1].
2) См. подробности и доказательства в работе Людвига [1].
670 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Мы рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения, например,
в трехмерном пространстве:
"tt — Uxx — "уу — "-ZZ = °'
с начальными значениями и @, х, у, z) = Q,
,Л ч ((\—г2K'2 для Л2<1,
«ДО, х, у, z) = { ^
' 1 0 для г2>1.
Здесь х2 4- У2 -f- 22 = г2. Эти начальные условия имеют непрерывные
производные вплоть до второго порядка. Явное решение задачи Коши
на оси t определяется формулами')
J11-^ для t<u
0 для *>1.
Мы имеем «, = 0, utt — 0 для ?> 1, а для f <1
ии = — 3 A — г2)'/2 — бг1 A — ;2)'/2 + ЗС2A — г12)"'1'2.
Очевидно, что производная ut непрерывна при t=\, а ии — раз-
разрывна 2).
5. Замечания о квазилинейных системах3). Следует заметить,
что эту теорию можно распространить на нелинейные системы с по-
') Формулы гл. III, § 3 показывают, что сферически симметричные
решения волнового уравнения имеют вид и (г, г) = -^-—!— — .
Из этой формулы непосредствен ю видно, что и @, t) имеет на одчу произ-
производную меньше, чем /.
2) В основном мы рассматривали одно дифференциальное уравнение
высшего порядка. Если мы положим w = ut-\- ux, v[ = — иу, v2 = — uz, то
функции w, vl и v2 удовлетворяют системе wt—wx -j- vl -)- яР"г ~ О,
v] -\- v\ -\- wy = 0, v\ -f v\ -f wz = 0 и начальным условиям
0 (r«>l),
vi @, x, y) = 0,
t,2 @, X, >) = 0.
Здесь функция о> непрерывна при t = \, а ге»^ — разрывна. Таким образом,
непрерывность первых производных для начальных значений не гарантирует
непрерывности первых производных решения.
3) Для квазилинейных систем второго порядка этот метод был проведен
Шаудером [4]. Дальнейшие результаты принадлежат Франклю [1]. Задачу
Коши для нелинейных гиперболических уравнений любого порядка рассма-
рассматривал Лере [2]. [Ранее решение задачи Коши для гиперболических квази-
квазилинейных уравнений и систем было получено в работе Петровского [5]. —
Прим. ред.\
§ 10. Теорема существования 671
мощью метода итераций. Если система A) квазилинейная, т. е. если
матрицы коэффициентов зависят только от неизвестных функций и,
то метод итераций, приведенный в гл. V, § 7, можно обобщить на
случай п переменных. Таким образом мы получим доказательство
единственности, а также существования решения и, которое строится
как предел и= lim и", где м"+1 — решение линейной задачи Коши
11 = 1 М
Начальными значениями для всех функций ип служат заданные зна-
значения ф (х).
6. Замечания о задачах высших порядков и о несимметри-
несимметрических системах. Как мы подчеркивали выше, большая часть гипер-
гиперболических задач математической физики сводится к симметрическим
системам, для которых построенная выше теория решения задачи
Коши вполне удовлетворительна. Однако задача о решении одного
дифференциального уравнения высшего порядка или несимметрической
системы первого порядка интересна с математической точки зре-
зрения. Замечателен тот факт, что данные выше энергетические оценки
позволяют обобщить доказательства на такие задачи.
Энергетические оценки, полученные в § 8, п. 4, немедленно
позволяют получить решение задачи Коши для любого гиперболи-
гиперболического уравнения второго порядка. (Другим способом эта задача
решается, если свести такое уравнение к симметрической гиперболи-
гиперболической системе; это было сделано в § 3, п. 8.)
Чтобы решить задачу Коши для одного гиперболического урав-
уравнения порядка m или для системы таких уравнений с одинаковой
главной частью, можно воспользоваться общими энергетическими
оценками, полученными в § 9. После этого доказательство существо-
существования проводится приблизительно так же, как в первых пунктах
этого параграфа.
Оценки § 9 и сделанные из них выводы применимы также
к произвольной гиперболической системе первого порядка с различ-
различными характеристиками, так как любую систему такого типа с по-
помощью исключения функций (см. гл. I, § 2, п. 2) можно свести
к системе k уравнений порядка /п, причем главная часть оператора,
т. е. члены старшего порядка, в каждом из уравнений одинакова и
относится только к одной из неизвестных функций и1, и2, ..., uk.
Уравнения связаны между собой только через члены низших порядков.
Как это видно из гл. V, с такими системами можно обращаться
почти так же, как с одним уравнением порядка k.
Снова следует заметить, что этот метод требует гиперболичности
в строгом смысле, т. е. полости характеристического конуса нормалей
672 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
должны быть различными (а следовательно, то же самое будет
справедливо и для конуса лучей). Случай общих уравнений с крат-
кратными характеристиками не охватывается изложенной выше теорией
и остается нерешенной проблемой ;),
Часть II
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
§ 11. Введение
1. Общие понятия. Обозначения. Для линейных гиперболических
дифференциальных уравнений, в частности для уравнений с постоян-
постоянными коэффициентами, решение задачи Коши может быть выражено
с помощью более или менее явных формул2) (см. также гл. III, § 5
и гл. V). Такие представления решений в виде функционалов от
начальных данных не только приводят ко многим интересным фор-
формальным соотношениям 3), но, что, пожалуй, еще важнее, позволяют
изучать свойства решений. Эти представления основаны на разложе-
разложении решений (а также и других произвольных функций) на плоские
волны (см. также гл. III, § 3), а иногда — на сферические волны.
Плоская волна определялась как решение дифференциального урав-
уравнения, зависящее только от времени ( и от некоторой линейной
комбинации пространственных координат. Сферическая волна — это
решение, обладающее сферической симметрией относительно некото-
некоторой точки в пространстве.
Колеблющиеся плоские волны, которые применялись для разло-
разложения функции в интеграл Фурье, не всегда дают наиболее простой
аппарат. Иногда возможен более прямой подход. Но никогда приме-
применение колеблющихся плоских волн не позволяет непосредственно
выявить области зависимости и роль характеристик. Однако этот
недостаток компенсируется изяществом явных результатов.
В § 12 и § 13 мы будем рассматривать одно уравнение второго
порядка; в § 13а мы приведем в качестве примера интегрирование
уравнений упругих волн. В § 14 мы рассмотрим уравнения произ-
произвольного порядка с постоянными коэффициентами, а в § 15 мы
получим представление для решений произвольных гиперболических
задач, не обязательно с постоянными коэффициентами. Мы будем
') См. дальнейшие замечания в § 4 и § 15, а также в работе Людвига [3].
2) Среди прочей литературы см., в частности, обширную монографию
Джона [4].
3) По этому вопросу имеется очень много работ. Мы ограничимся, не-
несколько субъективно, теми из них, которые представляются интересными
в рамках этой книги.
§ П. Введение 673
опираться на теоремы существования и единственности, доказанные
в первой части этой главы, и будем предполагать, что начальные
данные обладают указанными там свойствами гладкости (§ 10). Надо,
однако, сказать, что явные формулы части II могут быть использо-
использованы не только для представления решений, но и для конструктив-
конструктивного доказательства теорем существования с помощью непосредствен-
непосредственной проверки.
В § 16 и 17 мы рассмотрим „ультрагиперболические" дифферен-
дифференциальные уравнения и некорректно поставленные задачи для гипер-
гиперболических уравнений. Последний параграф содержит краткое изло-
изложение некоторых свойств передачи сигналов, подчиняющихся гипер-
гиперболическим уравнениям.
Как и выше, мы выделяем временную переменную t = х0, а сово-
совокупность пространственных переменных xv x9 xn обозначаем
через вектор х с абсолютной величиной
I х\ — \Г х2 -J- х2 -4- 4^-2
Единичную сферу в /г-мерном пространстве мы будем обозна-
обозначать через со„ или со, элемент ее поверхности — через ёшп или dv>,
площадь ее поверхности 1) есть
Сфера радиуса г обозначается через Qr или Q, элемент ее поверх-
поверхности есть rf2 = r"cfw, а элемент объема—dx=dx1 dx2 ¦ ¦ . dxn—
= \x[n~ dwnd (л;[ = |г|"~ dwndr. Единичные векторы обозна-
обозначаются через а, C, и иногда элемент поверхности единичной сферы
вместо rfco обозначается через da, d$. Иногда, если это удобно, мы
будем применять обозначения, принятые в рассматриваемой области.
2. Некоторые интегральные формулы. Разложение функций
на плоские волны. Для последующего будет полезно собрать здесь
некоторые формулы интегрального исчисления в я-мерном про-
пространстве; большинство этих формул касается интегрирования по
сферам.
Сначала мы рассмотрим интеграл от функции f (x) = f (xv . . ., хп)
по шару |*|^г, где г фиксировано. Применяя обозначения
\\ j^ 2 2 2
х
ру ||^ фр р
х\~\- ... -j-x^_1 = p2 = r2 — р2, хп = р, мы напишем
f dp f f(xv .... xa_v p)dxl...dxa_l. A)
') См. гл. IV, § 1, п. 1.
674 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Интеграл по поверхности сферы Qr т. е. по поверхности | х \ = г,
выражается формулой
II fdQ= If f' ld«>=irK(r). B)
1*1 =г 1*1= г
Если функция / не зависит от хп = р, то мы имеем
^0^
l*l=r F<r К г р
Еще более важен тот случай, когда функция / зависит только
от одной переменной хг, или, в более общем случае, от скалярного
произведения х на некоторый вектор C; мы будем применять обо-
обозначение
(х, р) = (*р) =
В силу того что наш интеграл инвариантен относительно вращения,
мы можем взять р = (Зл. Тогда формулы A) и B) при г=1 дают
следующую важную формулу
+ 1
f ff(x$)d$ = «,„_, ff(p\x\){\-p^ln-3)l2dp D)
Р2 = i -1
(здесь мы пишем d$ вместо du>n). При получении этой формулы мы
рассматриваем пересечение шара | Р[^г с плоскостью рл = р, вводим
полярные координаты и предполагаем, что / = /(р\х}), где
р\х\ = (хф), например с р = $п- Тогда на рассматриваемом сечении
мы имеем d$t .. . d^n_l = p"~2 dpdu>n_l. Интеграл от функции / по
сечению равен [1/(я—1)](/2 — P2)tn~i)P wn-if (P I x |), откуда немед-
немедленно получается формула D).
Надо обратить внимание на то, что формула D) имеет различный
характер для четных и нечетных и, так как множитель A—р2)(«-з)/2
в подинтегральной функции рационален для нечетных п и иррацио-
иррационален для четных п.
Отметим некоторые частные случаи: / = 1 дает
an-V
г _
Функция / = log (| $x I) дает
+i
log i xp [ d$ = шп_1 J log (p | x |) A — p2)C-3)/2 d/7|
-1
§ 11. Введение 675
или, как легко вычислить,
= «»„ log | a: | -Ь- с. Dа)
где с — постоянная. Для / = | х§ | мы получим
1
f f
[-2=1
откуда следует, что
Я 2(о i
I v-й /Уй — "-' V-1 С4б~\
] Лр M.VJ —— л Л \ . y^^j
Эти формулы дают для функций | х | и log j л: | представление в виде
суперпозиции плоских волн.
Формулы Dа) и D6) вместе с основной формулой теории потен-
потенциала позволяют получить разложение произвольной функции
f{xv ..., хп) на плоские волны, т. е. на функции, зависящие только
от линейной комбинации (ал;) пространственных переменных х1 хп,
где а — единичный вектор. Это разложение имеет следующий вид:
4 B*)" (-1 )<"-1)/2 / (г) = Л<"+ т / / / (х) К (х ~z)a)\ dz dx E)
для нечетных п и
= Af f ff(x)\og\((x-z)a)\dadx E')
для четных я, причем А* обозначает v-ю итерацию оператора Лап-
Лапласа, взятого по переменным z, а интегрирование распространено на
единичную сферу а2 = 1 и на все пространство х. Можно предпола-
предполагать, что функция f (х) обращается в нуль для больших значений | х |,
так что не будет возникать трудностей, связанных с вопросом о схо-
сходимости интеграла при | л: | —> оо.
Формулы E) дают разложение функции / (z) на плоские волны,
зависящие только от (х — z, a).
Для того чтобы доказать их, мы напомним теорему Пуассона из
теории потенциала (см. гл. IV, § 2). Функция
ОО
/ f/M\z\2-ndx Для д>2, F)
СО
w(z) = ~ f ... ff(x)log\z — x\dx дляя=2 F')
— с»
является решением уравнения Пуассона kzw — f(z). Здесь Az обо-
обозначает оператор Лапласа относительно независимых переменных z.
676 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Далее, элементарные вычисления дают
log ] х 1 =
^) ¦)
Г
четных л. G')
Эти формулы вместе с Dа) и D6) сразу дают представления E)
и E'), если подобрать соответствующим образом постоянные мно-
множители. Мы просто должны выразить | х \ ~" в формуле Пуассона
через формулы G), G'), заменить | х \ на \z — х |, а затем вынести
итерированный оператор Лапласа за знак интеграла.
Используя аппарат обобщенных функций, мы можем найти очень
сжатую форму для только что доказанных соотношений; мы дадим
ее здесь и будем пользоваться ею позднее, в § 15.
Сначала мы напомним, что соотношения F) и F') можно записать
в виде
^ для л>2,
1 (&')
B-л)*>„ \х
для л
2,
где 5(л;) = 8(аг1 л;л) —дельта-функция в л-мерном простран-
пространстве; тогда формулы G) и G') дают
= -— д_, I 8 (х, а)йа для нечетных п;
(8)
— —Т^ш— I log(n)|(x, a)|rfa для четных л. (9)
«2=1
Здесь 8(х, а) — дельта-функция, зависящая только от одной пере-
переменной (х, а), 8 —ее (л — 1)-я производная, а производную
надо понимать как обобщенную функцию.
Следующий изящный метод, принадлежащий Джону [4] и
Гельфанду и Шилову [1], позволяет получить общее выраже-
выражение для четных и нечетных л. Мы рассмотрим для действи-
действительных значений z главное значение функции log z = log | z \ -f-
(l—'i(z)), где 7j — функция Хевисайда. Тогда последовательные
§ 12. Уравнения второго порядка 677
производные этой функции, если понимать их как обобщенные функ-
функции, можно записать в виде
В этих обозначениях представления (8) и (9) можно объединить фор-
формулой
^ / . a) da. (П)
справедливой 1) для произвольных п.
Это очень интересное и полезное разложение дельта-функции на
плоские волны.
Доказательство состоит просто в надлежащей интерпретации полу-
полученных ранее результатов. Формула Пуассона выражает 8(лг) через
Д|х|2~". Следовательно, функцию Ъ(х) можно получить с помощью
многократного применения оператора Лапласа к левым частям соот-
соотношений G), G'), а следовательно, и к левым частям формул Dа),
D6). Согласно правилам действий над обобщенными функциями, можно
применять оператор Лапласа под знаком интеграла. Одновременно мы
заметим, что для любой обобщенной функции / одной перемен-
переменной (ах) мы имеем
Это получается с помощью прямого дифференцирования с учетом
того, что <х2=1. Тогда формулы (8) и (9) непосредственно полу-
получаются, если соответствующим образом подобрать постоянные коэф-
коэффициенты.
§ 12. Уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
1. Задача Коши. В соответствии с гл. III, § 3, мы рассмотрим
все гиперболические дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами, если изучим дифференциальное урав-
уравнение частного вида
н^ —Ди — си = 0 A)
с начальными условиями
и(х, 0) = 0, ut(x, 0) = b(x), (I')
') В силу симметрии области интегрирования, мнимая часть обращается:
в нуль.
678 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
где ф (х) есть функция от xv x2 хп с непрерывными произ-
производными по крайней мере до порядка (/г —(— 1 )/2 в случае нечетного п
и (га -f- 2)/2 в случае четного п. (Чтобы понять целесообразность
этого предположения, см. § 8 и данные ниже явные выражения.)
Выше было указано, что, если и есть решение задачи Коши, то
v = u, также есть решение соответствующей задачи Коши, для кото-
которой начальные условия имеют вид v(x, О) = ф(л;) и vt(x, 0) = 0.
Поэтому для того, чтобы решить задачу Коши с произвольными
начальными данными для и и ut, в силу принципа суперпозиции, доста-
достаточно найти решение задачи Коши (Г)-
В этом параграфе мы будем применять интеграл Фурье, чтобы
получить формальное построение решения задачи Коши. Проверка
результата, полученного с помощью формальных операций над
интегралом Фурье, здесь пропускается, так как в последующих пара-
параграфах тот же результат будет получен различными другими методами.
Сначала мы рассмотрим только волновое уравнение ин — Дк = 0
с начальными значениями и (х, 0) —0, ut(x, О) = ф(л;).
В этом пункте будет получено явное решение
f^ /('2 2)("~3)/2 Q ( Г) йГ'
=-i- f Гф(^+рг)</р. C)
где
Решение имеет одинаковый вид для четных и нечетных значений
числа п пространственных переменных. Но следующее представление
реше шя показывает, что оно различным образом ведет себя для чет-
четных и нечетных п:
где
u(x, t)=——.—г- -jij" V Q) для нецетных п, D)
2Г Щ ^' I
t , $ \(n-2)/2 _
a(jf, 0=—7Тг("а^) V H' для четных й> E)
¦(^0=f^5rfr. F)
Если мы хотим получить формулу, объединяющую выражения D)
и E), справедливую и для четных и для нечетных п, то мы должны
§ 12. Уравнения второго порядна 679
воспользоваться понятием дифференцирования дробного порядка.
Тогда формула D) годится для обоих случаев (см. § 13, п. 2).
2. Построение решения для волнового уравнения. В соответ-
соответствии с идеями гл. III, § 5, мы попробуем записать искомое реше-
решение в виде
со
и = Г ... f A (a) el iax) sin pt da, G)
— CO
где а обозначает вектор av .... an,
(a, x)— скалярное произведение а и х, a da = da1 ... dan.
Из начального условия, заданного при ^ —0, мы получаем с по-
помощью дифференцирования под знаком интеграла
со
ф (х) = J ... J" рА (a) el M da.
Перестановка операций здесь и дальше оправдывается с помощью
непосредственной проверки результата ').
Формула обращения интеграла Фурье немедленно дает
со
/ /ф(?)«-/(вЕ)^ (8)
Подставляя вместо Л в формулу G) это выражение и меняя порядок
интегрирования, получим формальный результат
со со
Однако для п > 2 внутренний интеграл в этом выражении расхо-
расходится, так как в полярных координатах мы имеем da = dui ... dan =
= р"- da>n dp. Мы обойдем эту формальную трудность с помощью
следующего приема 2). Для нечетных п ^ 3 мы рассмотрим выражение
v(x, t)= f ... j ¦?&. el <¦«*> cos pt da, (9)
') Мы могли бы также воспользоваться понятием обобщенных функций,
которые применяются в других местах этой главы; но для нашей цели это
не нужно.
*) Применение В-функций и других символических функций в сущности
возникло из аналогичных приемов.
680 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
а для четных
w i
2 — выражение
со
, t)= f ... J -^1-е'с* sin pt da.
Для нечетных п ^ З формальное дифференцирование дает
а для четных п ^ 2
(9')
(9a)
(9a')
Подставив выражение (8) вместо Л (а) в формулы (9) и (9'), мы
можем переменить порядок интегрирования по % и а. В результате
мы получим
л-2 °°
« = -^ J ••• J4 (* + №('¦ 0« (dS = dS,... </?„), A0)
где r =
1, а
Bп)л г \г2
0
1
для г < t,
для г > t.
Чтобы доказать этот результат, мы вычислим внутренний интеграл
только для нечетных п. (В случае четных п вычисления такие же;
кроме того, результат для четных п легко можно вывести из соот-
соответствующей формулы для нечетных п.) Сначала вместо av a2 ап
мы введем полярные координаты р = У а'*~\-а%-\- ... -f- a2n ил-мер-
ил-мерный единичный вектор р с компонентами ^1 = р~1а1, так что da —
= рп~г dpd$. Подстановка этих координат в формулы (8) и (9) и
перемена порядка интегрирования дает для внутреннего интеграла
в формуле (9) выражение
Sa(r. t) = -
где М(г)—-среднее значение,
M(9r)cos9tdp,
M
(r) = — f ..
A1)
A2)
§ 12. Уравнения второго порядка 681
С помощью формулы D) из § 11 получим 1)
M(r) = ^^ f(l-X?)(n)/V"dX1. A3)
В формуле A1) мы теперь положим pr = s и получим
со оо
<*> cos 4 ds = 2РШ» / M <*
г
о
или, после простых преобразований, согласно A3),
В силу хорошо известных свойств „интеграла Дирихле", стоящего
в правой части (см. т. I, стр. 73), мы имеем
7%$(*-?гГт ^ r>t. (н)
О для г < t.
Но для функции v мы имели представление
со
— со
Вводя полярные координаты
и следующее обозначение для среднего значения функции ф на сфере
радиуса г с центром в точке х:
Q(xv х2, .... хп, r) = ~ f ... J^(A; + ar)rfa, A5)
в силу A4) мы будем иметь
') Согласно т. I, стр. 408, мы, между прочим, получаем
682 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Для нечетных п ^> 3 мы воспользуемся тождеством
^_ J (Г2 _ ,2)f»-3W2 rQ (д. r) dr = 0_ A5,}
0
Так как подинтегральная функция есть полином степени (п—-3)по t,
то его производная (я — 2)-го порядка по t равна нулю. Вычитая A5')
из dn'2v/dtn'\ мы получим для a=(~lf~mdn~2v/dt"~2 предста-
представление
и(х, о = С„^- ((t*-r*){"-mrQ(x. r) dr.
dt J
эквивалентное представлению A0). Постоянную Сп можно найти либо
из приведенных выше формул, либо просто рассматривая частный
случай ([)=1, u = t, когда Q=\. Мы найдем, что Ся=1/(л — 2)!.
Таким образом, решение задачи Коши задается формулой
»-г»)("-3)'яг<?(*. г)dr. A6)
Та же самая формула справедлива для четных п; ее можно получить,
исходя из (9'). Однако выкладки в этом случае более громоздки,
поэтому мы предпочитаем распространить формулу A6) на случай чет-
четного числа измерений с помощью прямого метода, описанного в сле-
следующем пункте.
3. Метод спуска. Метод спуска J) основан на следующем заме-
замечании: из решения нашей задачи для п независимых переменных можно
получить как частный случай решения для п — 1 или меньшего числа
переменных. При этом мы „спускаемся" от „высшей" задачи к „низшей".
В силу теоремы единственности, мы получим решение задачи
в случае п — 1 пространственных переменных из формулы для п
пространственных переменных, предположив, что начальная функция
^(Xj xn) не зависит от переменной хп. Тогда решение и также
не зависит от хп и, следовательно, является решением задачи Коши
для п — 1 пространственных переменных. Аналогично мы можем
спуститься от п пространственных переменных к п — 2 простран-
пространственным переменным, предполагая, что начальная функция ф зависит
ТОЛЬКО ОТ Xv X2 хп-2- И Т- Д-
Теперь мы применим метод спуска для того, чтобы вывести фор-
формулу A6) для четного числа переменных в предположении, что она
доказана для нечетного числа переменных.
') См. Адамар [2]. См. также гл. Ill, § 4, п. 4.
§ 12. Уравнения второго порядка 683
Мы будем исходить из (»-(- 1)-мерного пространства переменных
xv х2, ¦¦-, хп + 1. В этом пространстве мы рассмотрим функцию
ф(лГ], х2 хп), зависящую только от п переменных, и ее сред-
среднее значение по сфере 2л+1 радиуса г:
Г... f
П+1 J J
on+1,
где а — единичный вектор. Так как ф не зависит от (ra-f-l)-fl про-
пространственной переменной, то, в силу § 11, этот поверхностный
интеграл сводится к интегралу по re-мерному шару. Имеем
Поскольку шп — 2 (y"it)"/r(n/2), получаем
Г
где
есть соответствующее среднее значение функции ф в я-мерном про-
пространстве.
Таким образом, спуск на один шаг приводит к нужному резуль-
результату, если произвести следующие несложные выкладки. Заменим
в формуле A6) п на re-j-1 и подставим вместо Qn+1(x; r) выра-
выражение A7); после перемены порядка интегрирования и дифферен-
дифференцирования получим
' ' 2 2 (п-4)/2 1
( ~ V,—.=- dr ,
где С ¦— постоянная. Введем новую переменную интегрирования z,
полагая 1—р2/г2 = A — p2/t2)z; тогда легко видеть, что
t г
j VL-ZJp^Zj— dr == (Р ~**l"~ ] j z-'h A — zf-w~ dz. A8)
p ^
Следовательно,
^n-2
dtn
« = c^J>~P2)f-3)/2P<№ P)^P.
0
684 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Постоянную Сп снова можно найти, рассматривая частный случай:
С„=1/(я-2)!.
Таким образом, вид решения сохраняется, если мы перейдем к мень-
меньшим значениям п. Следовательно, достаточно вывести формулу A6)
только для нечетных значений п, так как к четным значениям мы
можем перейти от больших нечетных значений.
4. Дальнейшее изучение решения. Принцип Гюйгенса. Решение,
заданное формулой A6), легко можно привести к виду D) или E),
откуда легко получить следующий замечательный факт, касающийся
принципа Гюйгенса 1).
Обозначим через 0{t) произвольную X раз непрерывно диффе-
дифференцируемую функцию t и рассмотрим функции
^ & = BХ + 1)! d%
о
Для функций A9) легко доказывается следующая рекуррентная
формула
(Ш' + 2Ш>> B0)
Из того, что U0 — tG(t), следует
х
U^t^aXi^G^(t), B1)
где ax>v — постоянные числа. Если обозначить через /\(О полином
Л
то это соотношение можно записать в символической форме
Ux(t) = tPx(tQ). B2)
где степени G заменяются соответствующими производными. Тогда
решение задачи Коши A6) для нечетного п — 2Х -)- 3 можно записать
в виде
B3)
где G(t) = Q(t) = Q(x, t) — функция, ранее определенная фор-
формулой A5).
') См. гл. Ш, § 4, п. 6.
§ 12. Уравнения второго порядка 685
Из этой формулы мы получим представление решения также и
для четного числа п пространственных переменных, спускаясь от
нечетного числа измерений п -j- 1 к п; мы сразу будем иметь
B3a)
где G — I ... I ty(x-}-$t)d<on + v т. е., согласно п. З,
г (n~^~M '
2 \ 2 1 Г гп~Ю (х г\
О @ = -^г v . . ;- —Ц- -^rJL^l °- dr. B3')
i4-
Следовательно, решение представляется через производные функции
G(x, t) no t до порядка (я — 2)/2.
По аналогии с тем, как было получено выражение для нечетного
числа измерений, мы могли бы дать несколько иное представление
через производные выражения
Н(х, t)= Г ГУ ' 2 dr, B4)
о
которое удовлетворяет волновому уравнению при п = 2. Положим
B5)
о
и получим для Z рекуррентные формулы
i
B6)
Отсюда следует формула вида
Л
v =0
с постоянными blt v. Мы можем символически записать ее через
полиномы
Л
ад =24/
v=0
в виде
B8)
686 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Следовательно, решение задачи Коши для четного числа измерений
есть
и = П(я_2)/2(*Я). B9)
где
Г Г%(±Л dr.
J Vt*-r
Формулы B3) и B9) показывают, что функция и непрерывна, если
начальная функция ф имеет непрерывные производные до порядка
(п — 2)/2 для четных п и (п — 3)/2 для нечетных п. Возможность
двукратного дифференцирования и, необходимая для того, чтобы
можно было написать дифференциальное уравнение A), обеспечи-
обеспечивается предположением, что ф имеет непрерывные производные до
порядка (п-\- 1)/2, если п нечетное, и до порядка (ге —j— 2)/2, если п
четное1).
Из полученных ранее представлений следуют некоторые факты,
касающиеся принципа Гюйгенса. Принцип Гюйгенса есть утвержде-
утверждение о том, что значение решения задачи Коши для волнового
уравнения зависит только от границы области зависимости
на плоскости t = 0, т. е. что оно зависит только от началь-
начальных значений решения и и его производных на границе осно-
основания r — t характеристического конуса, но не от начальных
значений внутри этого основания. Мы напомним, что принцип,
Гюйгенса справедлив для волнового уравнения с тремя простран-
пространственными переменными, но не в случае двух переменных2). Наши
формулы показывают, что этот факт является частным случаем сле-
следующего общего правила: принцип Гюйгенса справедлив для
волнового уравнения, если число п пространственных пере-
переменных нечетное, и несправедлив, когда п четно3).
Наконец, рекуррентные формулы B0), B6) легко приводят
к представлениям D), E). Если вместо U или Z взять функции
#х = B/Уп)ГBХ+.3/2)?/х или Sx = (l/t)\\Zx соответственно, то
мы получим более простые рекуррентные формулы
Kx = ^x-i-W2-4-flx-v Л„ = *Q(*. t),
') Независимо от нашего представления в § 10 было показано, что
такое предположение достаточно для решения задачи Коши.
2) См. гл. III, § 4 и гл. VI, § 2.
3) По-видимому, это впервые было четко указано Вольтерра [1] и
Тедоне [1].
§ 12. Уравнения второго порядка 687
где d/dt2 = (\/2t)(d/dt). Решением этих рекуррентных уравнений
являются функции
откуда следуют представления D) и E).
5. Неоднородное уравнение. Интеграл Дюамеля. Для того
чтобы получить решение неоднородного уравнения
aw-Aa=/(jf, t) C0)
с заданной правой частью f(x, t) и с начальными условиями
и (х, 0) = иДл;, 0) = 0, C0')
мы снова обратимся к методу вариации параметров, или „ин-
„интегралу Дюамеля", который рассматривался, например, в гл. III,
§ 4, п. 3. Снова предполагается, что функция / имеет непрерывные
производные вплоть до порядка (п-{-\)/2 или (и-(-2)/2 соответ-
соответственно. Пусть функция v (x, t; т), зависящая от параметра т, есть
решение однородного дифференциального уравнения
vtt — Д11 = 0,
удовлетворяющее начальным условиям
v(x, 0; х) = 0, г»Дат, 0; i) — f(x, т).
Тогда
u — fv(x, t — x; i)di. C1)
о
Из этого „интеграла Дюамеля0 сразу получается решение для неод-
неоднородного уравнения C0) с начальными условиями C0')- Возьмем
среднее значение
Q(x, r; t) = J
мы будем иметь
и, следовательно,
688
Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
или, если переменить порядок интегрирования и дифференцирования
(законность этого легко проверить), получим
J)i^ 2-r2f-3)l2rQ(x, r, t-*)dr. C2)
о о
Для я = 2 и п = 3 получаются выражения
t
"= iSd~ II f(vS~~^~dldT{ (р2=
И
u = -4- f J j~f(l 7), C; t
(р2=:(х-^ + (у-7)J + (г-СJ); C4)
это соответствует результатам, полученным в гл. III.
6. Задача Коши для общего линейного уравнения второго
порядка. На основании п. 5 задача Коши для общего линейного
гиперболического дифференциального уравнения второго порядка
может быть легко решена с помощью метода спуска. Достаточно
сначала рассмотреть дифференциальное уравнение
Ди + с2и = «„ C5)
с начальными условиями
и(х, 0) = 0, ut(x, 0) = ^(x). C5')
В силу гл. III, § 3, общий случай можно свести к этому.
Явное решение снова получается с помощью метода спуска. Мы
искусственно увеличим число „пространственных" переменных до
«+1, полагая xn+l = z, и рассмотрим задачу Коши для диффе-
дифференциального уравнения
&.v = x)tt C6)
относительно функции v(xv x2, .... xn+v t) с начальными усло-
условиями
v(x, 0) = 0, vt(x, О) = ф(лг1 хп)есх"+^=^(х)е". C6')
Положим
v = eczu(xv x2, .... хп, t); C7)
тогда и будет решением задачи Коши C5). Действительно, получен-
полученное ранее представление A6) показывает, что решение v задачи
Коши C6') имеет вид е"и {хх х2 хп, t). Но, если мы под-
§ 12. Уравнения второго порядка 689
ставим функцию v в уравнение C6), то мы сразу получим, что и
есть решение задачи Коши C5), C5')- В силу теоремы единствен-
единственности, доказанной в § 8, может существовать только одно реше-
решение и и, следовательно, u = ve~cz. Теперь мы можем получить пред-
представление для v, а следовательно, также и для и, с помощью
формул п. 4. Таким образом, для четных я, а следовательно,
для нечетных я -j- 1 мы имеем
где
Тогда и = ?Р(„_2)/2(^О). причем
In г i a ct?
щл+1 J J
Как и ранее, через rf">n + ] обозначен элемент поверхности (п-\-\)-
мерной единичной сферы. Так как функция ф не зависит от по-
последней переменной z = xn+v в силу того, что
мы получаем соотношение
О(х, t)=~^
или
= - \ 2 / -Ц- f /HI
K 12 j о
G(x, t) = - \ 2 / -Ц- f /HI— chcVW^fQix, p)rfp. C8)
где
ап
Аналогично, для нечетных п мы получаем решение
C9)
где
D0)
690 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
здесь JQ — функция Бесселя порядка нуль. Действительно, в этом
случае
где
Если в этом интеграле произвести интегрирование по in+1 от
— Yt2 — р2 до + Yt2 ~~ Р2> то получится выражение тс70 (ic }/V2 — р2).
так что в соответствии с формулой D0)
Н(х, t) = H*(x, t)e~cz —
Чтобы применить этот результат к решению телеграфного урав-
уравнения
bu = utt + u, D1)
при начальных условиях
и(х, 0) = 0, иДдг, О) = ф(лг),
мы положим и — х>е-'12 и получим для г/дифференциальное уравнение
которое совпадает с C5) при с = -у.
Например, при и=1, 2, 3 решение телеграфного уравнения
имеет вид
t
о
[ф(Л
' chi-^"^?
i9 V?=-* Q(*'P)dP' D3)
1 Г
J ^U + p + P)rf я = 2,
Р) = 4^ J
§ 12. У равнения второго порядка 691
7. Задача излучения'). Результат, полученный в п. 5, по-
позволяет нам найти решение задачи излучения для общего волнового
уравнения с п пространственными переменными; это делается по-
посредством простого предельного перехода2). Мы сформулируем за-
задачи излучения следующим образом.
Для t > О мы ищем такое решение однородного волнового
уравнения ии — Ди = 0, которое при t = 0 обращается в нуль
вместе со своей производной и, всюду, кроме начала координат
в пространстве х, и которое при г = Yх\ + х\-\- ¦ ¦ ¦ + х2 — О,
т. е. на „оси времени", имеет такую особенность, что
lim f... C^Lds=-g[t). D4)
Здесь в момент t интегрирование происходит по сфере Ке с цен-
центром в начале координат в пространстве х. Через д/дч обозначается
дифференцирование по нормали к сфере, ds — элемент поверхности,
а радиус сферы е стремится к нулю. Здесь g (t) есть заданная как
функция времени интенсивность излучения.
Мы можем более кратко сформулировать задачу излучения
как задачу о решении неоднородного „дифференциального уравне-
уравнения" 3)
utl — Au=g(t)b(x, у, z) D4')
с однородными начальными условиями C0'); Ь(х. у, z) здесь трех-
трехмерная дельта-функция, которую мы ввели выше.
Мы попытаемся построить решение с помощью предельного пе-
перехода, используя решения неоднородных уравнений. В частности,
пусть и — ин — решение уравнения C0) с /(х, t) — ]>(x)g(t), где
ф = 0 для г>Л,ф>0 для г<Л и ("••• Гф dxx dx2 . .. dxn = 1.
i) о о 2
Здесь г" = X] -f- x<2+ •••-(- Хп- Искомое решение задачи излуче-
излучения получается как предел решений uh при А —> 0. В результате
получим, что
л-2 ' %
Ч = ^го)! 4^2 f g (*-*)& f (^2 - s*)ln-*)l2sQ (х, s) ds,
о о
где Q(x, s) = —• I ... Гt}>(л:-J— $s)du>n. Если мы запишем внутрен-
') Изложение близких вопросов см. в работе Вайнштейна [2].
2) См. § 15, где дано более общее и подробное изложение.
3) Ниже (в § 14 и 15) мы будем систематически пользоваться 5-функ-
цией; здесь мы воспользуемся более классическим методом.
692 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
ний интеграл в виде
(Т2 _ s2)<-3)/2 sQ (д. s) ds _ _L г... г ii-=±L Ф & di
О W« J s<, J S
(S2 = {X, - ?,J + (X, - У2 + . . . + (*„ - У2)
и перейдем к пределу при /г->0, то получим
т [ О ДЛЯ Г ^- Т,
lim Г(Т2 —52)<Л)/25<5(ЛГ, S)rfS= (х2_г2)'«-3)/2
^°0J [ ШдГЯ-2 ^ЛЯ '<^
Следовательно, искомое решение задачи излучения таково: для
и = 0,
а для г < f
или
„ t-r
Для п = 2 и л = 3 (см. гл. III, § 4) мы снова получаем соответ-
соответственно
t
и = — I di D6)
г
И
u—-J—g(t — r). D7)
В случае « = 5 имеем
1 1
а в случае я = 4
1 1 <5
г
§ 12. Уравнения второго порядка 693
С помощью вычислений, вполне аналогичных тем, которые были про-
проведены в п. 4, решение задачи излучения можно записать1) в
более компактном виде
(_ п(л-3)/2 , d ч(л-3)/2 a,t__r<.
л [j ^^т— для нечетных "•
/_ j4'n-2)/2 , d v(n-2)/2
u(x, t) = - —it, I—s-l H (t — г) для четных п, D9)
27t"/2 \dr2
причем H{t — r)=\\g{t — i)IYx<2 — r2\dx. Заметим, что резуль-
Г
таты этого пункта останутся справедливыми, если t — г заменить на
t-\-r. Надо также отметить, что решения D8) и D9) задачи излу-
излучения можно представить в виде сумм
2"
u=—;—t-jk У av«Br)vp-4^ — г) для нечетных и E0)
v= 1
(л-2)/2
и— п_г д/2 V Ь^)ПBгУИ\г, t) для четных д E1)
с постоянными ач_„, й,,„.
Выражения вида E0) называются бегущими волнами высшей сте-
степени (п — 3)/2 (см. § 4 и далее § 18).
Снова с помощью исследования наших представлений мы полу-
получаем подтверждение следующего замечательного результата: прин-
принцип Гюйгенса справедлив для задачи излучения с нечетным
числом п пространственных переменных11). В точке х в мо-
момент t влияние возмущения, исходящего из начала координат, за-
зависит только от характера этого возмущения в один предыдущий
момент времени, а именно в момент t — г. Возмущение, распрост-
распространяющееся из начала координат с единичной скоростью, доходит
до точки х как раз в момент (. Таким образом, импульсы, исхо-
исходящие из начала координат и резко локализованные во времени,
т. е. представляемые с помощью функций g{t), отличных от нуля
только на малом интервале времени, воспринимаются в любой точке
') Подробное рассмотрение этой задачи см. в § 18, п. 3. Заметим также,
что, применяя обобщенные функции и дробные производные, можно получить
выражение, объединяющее формулы D8) и D9).
2) Безусловно, принцип Гюйгенса для задачи Коши и принцип Гюйгенса
для задачи излучения эквивалентны.
694 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
на расстоянии г от начала координат только в течение короткого
интервала времени, начинающегося на г единиц времени позже.
Однако принцип Гюйгенса несправедлив для задачи из-
излучения в случае четного числа пространственных измерений.
Это непосредственно видно из формулы D9). В этом случае
резко локализованное во времени возмущение в начале координат
не может быть обнаружено в точке, отстоящей на расстояние г от
начала координат, раньше, чем через г единиц времени. Однако
после этого момента влияние в этой точке остается заметным. Дру-
Другими словами, решение, вообще говоря, остается отличным от нуля
при t > г. Таким образом, в пространстве четного числа измерений
невозможен четкий прием передаваемых сигналов, удовлетворяющих
волновому уравнению. В этом случае сигналы всегда будут расплы-
расплываться. Этот факт и дальнейшие соображения (см. § 18) показывают,
что трехмерное пространство, в котором мы существуем, замечательно
тем, что в нем можно передавать резкие сигналы без искажения.
§ 13. Метод сферических средних. Волновое уравнение
и уравнение Дарбу
Теперь мы проведем обоснование результатов § 12, применяя
другой метод') решения задачи Кошн.
1. Дифференциальное уравнение Дарбу для средних значений.
Мы будем рассматривать среднее значение произвольной дважды не-
непрерывно дифференцируемой функции ^(л^, х2 хп) = ф (х) от п
переменных xt
v(xv x2, .... хп, r) = v(x. r) = ~f ... ^{x + $r)du A)
по сфере Qr радиуса г с центром в точке х. В этом интеграле E
обозначает единичный вектор с компонентами Cj, E32, ..., рл; кроме
того, du> = dwn — d$ — элемент поверхности на единичной сфере,
a dQ = rn~x dw — элемент поверхности на сфере радиуса г с цент-
центром в точке х. Тогда среднее значение функции v удовлетворяет
дифференциальному уравнению Дарбу2) (см. § 6,п. 2)
B)
с начальными условиями
v(x, О) = 4|(лг). vr(x, 0) = 0. B')
') См. Джон [4].
2) См. работу Вайнштейна [2], где теория уравнения Дарбу обобщается
на случай, когда (п — 1) заменяется произвольным параметром X.
§ 13. Метод сферических средних 695
Следовательно, функцию v можно однозначно продолжить для от-
отрицательных г как непрерывно дифференцируемое решение этого
уравнения, полагая
v{r)
Мы сформулируем этот факт следующим образом: функция v есть
решение уравнения Дарбу, четное относительно переменной г.
Для доказательства мы вычислим с помощью интегральной тео-
теоремы Гаусса •) функцию
=J- г...
«>п J
где Or — внутренность сферы Qr, dx — элемент объема, dx =
п
= dxx dx2 . . . dxn, a d/dv='?fyl(d/dxl) обозначает дифференциро-
i- 1
вание по внешней нормали к сфере 2Г.
Дальнейшее дифференцирование по г дает
f
n — 1
откуда следует наше утверждение.
Если мы предположим, в частности, что наша функция
х2, .... хп)=
зависит только от одной переменной х = хг и что она дважды не-
непрерывно дифференцируема по х, то в силу § 11, п. 2 ее среднее
значение может быть записано в виде
1
^)<Я~3)/Ч C)
и удовлетворяет дифференциальному уравнению
vrr + ^±vr~vxx = 0. D)
Из § 6, п. 2 мы делаем вывод, что формулы A) и C) дают
решение задачи Коши соответственно для уравнений Дарбу B) и D)
с начальными условиями B')-
1) См. примечание редактора на стр. Ь37. — Прим. ред.
696 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
2. Связь с волновым уравнением. Имеется взаимно однозначное
соответствие между решениями уравнения Дарбу и волнового урав-
уравнения. Д"фференцируя формулу C) дважды по х, мы будем иметь
1
«,, = -^ JV (* + гц) A - Р2)(п~т ф.
-1
Следовательно, из уравнения Дарбу получим
В этой формуле параметр х, который добавляется к rjx, несущест-
несуществен. Поэтому мы получаем следующий результат.
Если функции v(r) а у (г) связаны между собой интеграль-
интегральным преобразованием
1
v(r) = f<?(rV.)(l—v?f-3)l2dV., E)
-1
то
F)
Таким образом, операции ср" «ад функцией <f(r) здесь соответ-
соответствует операция v''-\-(n—\)v'/r, примененная к v(r).
Мы можем применять формулу F), если tp(s) зависит не только
от одного параметра х, а от п параметров xv
будем рассматривать функции
1
•о {г, х, Xn) = f<?(xv . .., хп
Теперь мы установим следующую связь между волновым уравнением
и уравнением Дарбу. Пусть и(хг хп, t)—дважды непрерывно диф-
дифференцируемое решение волнового уравнения, такое, что ut(x, 0)=0,
т. е. решение „четное относительно t". Тогда, заменяя t на г, мы
будем иметь четное решение
v(x, r) = v(xx хп, г) —
такое, что
0) — и(х, 0)-—^(х), vr{x, 0) =
§ 13. Метод сферических средних 697
Если мы воспользуемся найденным выше результатом, то получим
дифференциальное уравнение
Начальные условия v(x, 0) = ф, vr(x, 0) = 0 удовлетворяются в силу
того, что v определяется как сферическое среднее.
В соответствии с п. 1, решение задачи Кошл для уравнения Дарбу
определяется формулой
Таким образом, решение и волнового уравнения, четное относительно
t — r, должно удовлетворять соотношению
- — {¦¦¦{Их + г?)аш. G)
Наоборот, из этого соотношения мы можем теперь единственным
образом получить решение и волнового уравнения. Задача сводится
к обращению функционального уравнения E): подстановка в E)
г = Ys , г(а = У"о дает
) da.
v(Vs)s{n-2)l2={^l(S~-ajl
о '
Применяя сокращенные обозначения w(s) — v (Vs) s("~ " • Х(°)~
= <р(|/о)/|/о, получаем
¦да E1) = I х (°) (s — °)<л ~ '' rf*. (8)
о
Если п — нечетное, то единственное решение определяется фор-
формулой
698 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
следовательно,
Если п четное, то обращение осуществляется с помощью „дробного"
дифференцирования порядка (п—1)/2. Мы получим
1 Id \ Г w (а) 1 (\\\
I/ TtX [ •— х О
поэтому
r_L=
A2)
Таким образом, полагая <p(r)—и(х, г) ¦ "~* , мы получаем решение
задачи Коши для волнового уравнения Дн — ии = 0 в случае чет-
четного я в виде
/
, г))dr. A3)
где
Q(x,r)=±f (ty(x+r$)d«>, A4)
а в случае нечетного п — в виде
j (t"-*Q(x, t)). A5)
Таким образом, мы нашли явные выражения для решения волнового
уравнения. Легко установить их тождество с представлениями § 12,
если принять во внимание видоизмененное начальное условие. Итак,
мы теперь обосновали различные формулы § 12, п. 1, которые все
свелись к уравнению A0) этого параграфа. Между прочим, было бы
достаточно ограничиться доказательством формулы A5) только для
нечетных п.
3. Задача излучения для волнового уравнения. Из резуль-
результатов, установленных в п. 2, мы можем также получить интересный
вывод формул для решений, соответствующих процессам излучения.
Сначала мы будем искать решения волнового уравнения, зависящие
п
только от r2 = 2-x;; и от времени t. Такие решения и (г, t) должны
§ 13. Метод сферических средних 699
быть четными по г и должны удовлетворять дифференциальному
уравнению (см. гл. III, § 3)
«« — ~-uT—urr = Q, A6)
являющемуся уравнением Дарбу B), в котором переменились роли
пространственной переменной х и временнбй переменной t. В соот-
соответствии с п. 1, решение этого уравнения дается формулой
1
u(r,t)= J.ptf+rpKl-i*2/'1-3^ A7)
с произвольной функцией ср. Для нечетных п разложение степенной
функции в подинтегральном выражении в соответствии с биноми-
биномиальной формулой дает
|л-3)/2 г
и (г. 0 = 7^5" 2 cvr"-3-2v(-l)v /<p(^-t-P)P2Vp, A8)
где cv — биномиальные коэффициенты. Если g— любая функция, та-
такая, что (d"~2/dx"~2)g (х) = ср(лг), то мы можем интегрировать по
частям. Получим
(и-3)/2
и(г. 0 = -^ 2 V((—1)У(' + г) —*'(' —О). A9)
где g'W обозначает ч-ю производную функции g и где коэффици-
коэффициенты Av можно определить1), например, с помощью подстановки
в формулу A6). Кроме того, члены
каждый в отдельности также удовлетворяют волновому уравнению,
так как значение g в точке t-\-r не зависит от значения g
в точке t — г, за исключением случая г = 0.
4. Обобщенные бегущие сферические волны. Сферические бе-
бегущие волны, имеющие вид и —<р(/ — г)/г в пространстве трех из-
измерений, обладают аналогом в пространстве любого нечетного числа из-
измерений2). Обозначим волновой оператор d2/dt2 — Д через ?• Мы
') Мы получим (ср. § 12, п. 7)
¦<л-3)/2\ 2s //«-3'
2) Это интересное замечание принадлежит Фридрихсу.
700 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
утверждаем, что для нечетного я функции
с произвольной формой волны <р являются решениями волнового
уравнения
? « = 0.
Дли я—1, 3, 5 мы находим следующие решения:
t—r)lr)=*f{t-r)lr, где / = 2ср';
Последнее решение является не просто относительно неискажающейся
бегущей волной, а суперпозицией двух таких волн.
Это утверждение немедленно следует из тождества !)
которое можно проверить непосредственно, но лучше получить из
более общего тождества, выполняющегося для оператора
Ln [и (г, 01 = «„ + ^! ит - ин. B0)
Для нечетных я и произвольных g обе функции g(t-\-r) и g(t — г)
удовлетворяют (я -f- l)/2 раз итерированному уравнению Дарбу
L{rm[u] = 0. B1)
Чтобы доказать это утверждение, мы сначала покажем, что для
произвольной функции ср и целого числа ч ^ 0 справедливо соотно-
соотношение 2)
]У |*2Г1</ц. B2)
где (v-|- \)dni, ==(« — 3)/2 — v. Если обозначить интеграл в левой
части через w(r, x), то в силу п. 1
и так как Ln — Z.2v 13-f-[(я—Bv -f- 3))/r](d/dr), имеем
') По разным поводам А. Вайнштейн указывал обобщения этого тожде-
тождества. См., например, его статью [3].
2) В п. 1 этот результат получен для частного случая, ч = (п — 3)/2,
§ 13а. Решение задачи Коши 701
Нужный нам вид правой части получается интегрированием по ча-
частям.
Последовательно применяя формулу B2), мы получаем
-1
= dntOdnil
Здесь правая часть обращается в нуль, так как й?/!,(л-з)/2 = 0. Сле-
Следовательно, для любой функции ср, обладающей непрерывными про-
производными до порядка п — 1 включительно,
] 0. B3)
j
Для ср —?¦" мы имеем
-01.
откуда в силу B3) получается утверждение B1).
Следовательно, наше исходное утверждение доказано, так как
в случае сферической симметрии оператор Дарбу совпадает с опе-
оператором ? •
§ 13а. Решение задача Коша для уравнения упругих
волн с помощью сферических средних
Метод сферических средних в трехмерном пространстве (см. § 13)
приводит к изящному решению задачи Коши для уравнения четвер-
четвертого порядка, описывающего распространение волн в изотропной
упругой среде').
Малая упругая деформация, переводящая точку х бесконечной
среды в точку ?, может быть записана в виде
\l = xi-\-ul{xv х2, хъ, t),
или, в векторных обозначениях,
i = х + и (о.
!) В этом параграфе мы позволим себе пользоваться обозначениями,
применяемыми в теории упругости, что облегчит сопоставление полученных
результатов с соответствующей литературой.
702 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Связь между напряжениями и деформациями (см. т. I, гл. IV) для тен-
тензора напряжений t'* записывается в виде
где X, [1 — постоянные упругой среды, blJ — символ Кронекера, а
6 = div и = 2 их.-
Уравнения движения имеют вид
2#. = |*Ди'+(Ь + |*H;г =ри«. A)
i '
или
[хДи-f (v -f- iJ.)grad& — putt, B)
где р — плотность. Вводя скорости с1, с2 с помощью формул
и операторы второго порядка
L — дг — с2Д / — d2 с2Д
1 — Ж ! 2~W 2
мы легко можем получить для 6 уравнение
Для вектора и мы получим дифференциальное уравнение четвертого
порядка
А1А2[к] = 0. C)
Таким образом, для тензора напряжений мы имеем уравнение
L:L2[tiJ\ = O (/,/=1,2,3).
Попутно мы заметим, что можно найти частные решения урав-
уравнения C) при следующем предположении:
tl' = Q для j
Тогда для
мы получим
L{[Q]==Ll[p]==0.
Эти решения соответствуют волнам сжатия только с нормальным
давлением р и без напряжений сдвига.
§ 13а. Решение задачи Коми 703
С другой стороны, волны сдвига без сжатия представляются ре-
решениями, для которых
6 = 0, 12[и] = 0
или
L2[tik} = 0.
Так как Ll и L2 являются волновыми операторами, характеристи-
характеристический конус лучей для уравнения C) состоит из двух концентри-
концентрических круговых конусов. Замечательно, что задачу Коши для урав-
уравнения C) с начальными векторами
и(х. 0)=F0(x), «Дх, 0) = /=•,(*) D)
можно решить и проанализировать с помощью сферических средних,
как это было сделано для трехмерного волнового уравнения.
Сначала из B) и D) мы получаем начальные значения при t = 0
для функций иа, иш, просто подставляя значение < = 0 в уравнение
utt== с\ ^и ~^~ (ci — ct) ?ra<^ M v и
и в дифференциальные уравнения, полученные из него дифференци-
дифференцированием:
ии (х, 0) = с\ AF + (с* ~ cl) grad div FQ = F2 (x),
иш(х, 0) = ^AF1 + (c2-c|)graddivF] = F3(x). (O}
Теперь введем сферические средние по сферам радиуса г с центром
в точке х следующим образом:
1
/(х, г, О = -^ f u(x + r\, t)d^, F)
Ъ(х. r) = ± f Ffix + rDdui (/ = 0, 1, 2, 3); G)
/ и ср рассматриваются как четные функции г. Мы имеем
/(х, 0, t) = u(x, t), срДх, 0) =/•-, (л:).
В силу наших прежних вычислений (§ 13, п. 1) мы имеем
Л (г/) = (/¦/)„, Д(гсрг) = (гсрг)„;
кроме того, при ^ = 0 мы имеем начальные значения
А_/ = ъ (/в0. 1,2,3).
Взяв среднее значение в уравнении C), мы сразу получим
704 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Теперь можно получить явное решение уравнения (За) с начальными
условиями G). Действительно, для любой фиксированной точки х
функция г/(г, t), которая в силу развитой выше теории определяется
однозначно, может быть представлена в виде
rl(г, О = О,(г + cxt) +O2(r~с,0 + О3(г + c2t) +OA{r — c2t).
Четыре сферические волны О определяются начальными условиями
при t — 0:
+ °3 -I" °4 — ГСРо>
Сначала мы рассмотрим случай, когда
так что
Мы найдем, что Gj — четная функция
г
1 '(r~s)-
1 M«-$i
И ЧТО
2 ('¦)== — Gi(r). O^r) = —y-Qx(.r), GA{r)=~^Ox(r).
Обозначим решение, соответствующее начальным значениям О, О, О,
F, через U (F); тогда мы получим
следовательно,
где
1 г
W(F) = —тъ 5Г { {с4 — s)sv(s)ds.
С0(с, —Со) J
Здесь функции V и W удовлетворяют уравнениям
§ 14. Метод плоских средних значений 705
Это соответствует разложению волны на безвихревую, или дилатацион-
ную часть (rot U = 0), и соленоидальную часть (div G = 0), распрост-
распространяющиеся соответственно со скоростями сг и с2-
Кроме того, мы можем написать, что
C2t С it 1
/с с п
Со v
1
L 0 °2 c2t
(г2 г2\
\с\ — С2>
следовательно,
4)(/(f)= //
l <c2t
Решение и, соответствующее общим начальным условиям Fo, Fx,
определяется формулой
^* г г /г /Or ОЧаг^Ч i
Тогда, согласно E),
u = U(—c\ ЬР, + (с\ - cf) grad div FY) +
div Fo) + 5
Отсюда сразу можно получить следующий замечательный факт: ре-
решение не зависит от начальных значений внутри сферы радиуса c2t,
так как выражение —c\t±F\-\-{с\ — c^grad div Fx является ди-
дивергенцией. Следовательно, область зависимости в строгом
смысле не содержит внутренности меньшей сферы радиуса c2t
вокруг точки х.
В самом деле, область зависимости представляет собой сфериче-
сферический слой между этой сферой и внешней сферой радиуса cxt
(см. § 15, п. 4).
§ 14. Метод плоских средних значений. Применение
к общим гиперболическим уравнениям
с постоянными коэффициентами
В этом параграфе мы обращаемся к общему методу, позволяю-
позволяющему исследовать произвольное гиперболическое уравнение или си-
систему с постоянными коэффициентами. В соответствии с вводными
замечаниями, сделанными в § 11, п. 1, будет получено представление.
706 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
для решения задачи Коши в виде суперпозиции плоских волн'),
что позволяет обойти трудности, связанные с переменой порядка
операций. Кроме того, более тонкий анализ в следующем параграфе
позволит снять предположение о постоянстве коэффициентов2).
1. Общий метод. Пусть L[u] — произвольный линейный гипер-
гиперболический дифференциальный оператор порядка k относительно
функции u = u(xv ..., хп, t) = u(x, t). Мы рассмотрим задачу
Коши для уравнения
L[u) = g(x1 хп, t), A)
где функция g по крайней мере k/2 раз дифференцируема. Началь-
Начальные значения задаются для функции и и ее первых k — 1 произ-
производных:
/ = 0, 1 k — 1,
причем fly) — функции, гладкие в пространстве х. Так как опера-
оператор L[u] гиперболический, область зависимости для любой фикси-
фиксированной точки (xl xn, t) ограничена; следовательно, мы мо-
можем без ограничения общности считать, что функции g, h^ и и равны
нулю вне некоторой большой сферы в пространстве х.
Задачу для уравнения A) можно свести к задачам для гипербо-
гиперболических уравнений только с двумя независимыми переменными. Та-
Такое сведение производится с помощью интегрирования уравнения A)
по п—1 переменным х, например по х2, .... хп; тогда при на-
наших предположениях все члены, содержащие производные по любой
из этих переменных, пропадут. Следовательно, останется дифферен-
дифференциальное уравнение относительно функции двух переменных
U (xv t) = Г Г и dx7 ... dxn.
Можно проделать это в более общем виде: выберем произволь-
произвольный единичный вектор
а = (а1 ап)
и вместо хх хп введем новую ортогональную систему коор-
координат у1 у„, где
п
у, = (ах) = ах = 2 «А = р, C)
') См. Курант и А. Лаке [1], стр. 501.
2) Хотя рассуждения § 15 более общие, чем те, которые приводятся
здесь, данный вариант метода кажется оправданным, так как он является
более прямым.
§ 14. Метод плоских средних значений 707
а у2 уп — другие линейные комбинации переменных xv, согла-
согласованные с этим выбором yj. Затем мы рассмотрим интегралы от
функции и (или других функций) по плоскостям р = const с нор-
нормалью а. Эти интегралы мы будем обозначать следующим образом:
1{р, t, а)= 1{р, t, а, «)= j J u(x, t)dSa, D)
где dSa — элемент поверхности на такой плоскости. Можно также
написать
Пр. t, я) = -^- / / / а(х, t)dx. Da)
'Лга)>р
где интеграл берется по полупространству (хо.)^ р. Или, приме-
применяя 8-фуикцию Дирака, мы можем получить
{р, t, а) = J J J и (х, t) 8 ((ха) — р) dx, D6)
где интеграл формально распространен на все пространство х. Если
гиперплоскость содержит фиксированную точку г, то мы имеем
p — (z, а) и
I(p,t,a.)= Jj udSa = J Г J u(x, t)b((x — z),aL)dx. Dв)
Теперь, если уравнение A) проинтегрировать по у2, .... уп, то
все производные по пространственным переменным, кроме производ-
производных по переменной р, обращаются в нуль в силу того, что на бес-
бесконечности функция и и все ее производные равны нулю. Таким
образом мы получим дифференциальное уравнение для новой неиз-
неизвестной функции I (p, t, а), зависящей только от двух перемен-
переменных р, t (а здесь параметр):
L'(I(p, t, a)) = g(p, t, a). E)
Правая часть уравнения E) определяется формулой
g(p, t, o.) = I(p, t. a, g(Xt t)), F)
а начальные значения при ? = 0 имеют вид
/(/>, а) = /(/>, 0, a, h(x)),
G)
В силу определения гиперболичности, данного в гл. III, V, VI,
легко видеть, что полученное уравнение E) будет гиперболическим
при любом выборе а. Следовательно, для любого а уравнение E)
708 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
и условия G) составляют разрешимую задачу Коши для неизвестной
функции /(/>, t, а) от двух независимых переменных. Тогда эту
функцию можно построить с помощью методов гл. V. Мы предпо-
предположим, что это уже сделано для каждого единичного вектора а и,
кроме того, что полученное решение l(p, t, а) непрерывно зависит
от а ').
После этого остается задача о восстановлении функции и(х, t),
если известны ее интегралы по плоскостям /а 2). Мы поступим сле-
следующим образом: для р = (za.) построим интегралы / ((.га), t) для
всех плоскостей (xa) = (za) = p, проходящих через фиксированную
точку О с координатами zx zn\ затем мы проинтегрируем по
единичной сфере а2=1. Таким образом мы получим функцию
V (z, t)=V (z1 za, t) = f f Г ((га), *) da, (8)
«8=1
где интеграл I" относится к плоскости (ха) = (za) = р. Поэтому,
очевидно, функцию V можно выразить как среднее значение от функ-
функции и с некоторым весом, причем вес w зависит только от расстояния
между х и г: \х — г\ = \(хх — zJ2-\- ... -f-(xn — znfik = r,
т. е.
со
V(z, t)= f f ... f u(Xi xn, t)w(\x-z\)dx, ... dxn, (9)
-co
где w = w(r) — положительная функция; точнее,
(Ю)
причем интеграл берется по всему пространству.
Чтобы доказать формулу A0) (см. также § 15, п. 2), мы в фор-
формуле D) заменим и на произвольную функцию / (z). Тогда получим
r«-*f{r)dr,
где ш„_] — элемент поверхности (п—1)-мерной единичной сферы.
Интегрируя по а, мы в силу (8) получим
') Последнее предположение нетривиально; существуют случаи, когда
оно не выполняется. Однако надо подчеркнуть, что это предположение вы-
выполняется тривиальным образом, если мы постулируем существование и
непрерывность решения и и имеем в виду только получение представления.
2) См. Джон [4], стр. 7—13.
§ 14. Метод плоских средних значений 709'
С другой стороны, имеем
со
V —ш„ Г f{r)rn-1w(r)dr.
о
Поскольку функция / (г) произвольна, мы делаем вывод, что-
w(r) = wn_l(l/r).
Теперь предположим, что число пространственных переменных п
нечетно. Тогда решение и можно легко найти, применяя итерирован-
итерированный оператор Лапласа к обеим частям равенства A0). Заметив, что
оператор Лапласа (по z или по х) от любой степени \z— x\k есть
просто постоянная (зависящая от я и k), умноженная на \z — х\ ,
мы получим
со
VJJ^з^^... dzn, A1)
где Ьп зависит только от /г. Интеграл Пуассона, введенный в гл. IV,
§ 2, показывает, что оператор Лапласа от правой части равен
со
"'*°"а* dZ = au(X Х °
где ап — еще одна постоянная, зависящая от п, а Ах — оператор
Лапласа по х. Подставив в A2) значение интеграла из A1) и объ-
объединив константы, мы найдем для нечетных п следующее явное ре-
решение нашей исходной задачи Коши:
и(х, t) = Cnbx("-1)!2V(x, t). A3)
Множитель Сп легко определить:
с —__!_— — ! г— n("~1)/2
Вид решения A3) наводит на мысль, что он может быть со-
сохранен и для четных п, если соответствующим образом определить
дробные степени оператора Лапласа. Мы не будем останавливаться
на деталях, так как всегда можем спуститься от нечетного числа
переменных х к четному; более подробное исследование случаев
четного и нечетного числа переменных х будет проведено в. § 15.
Наконец, подчеркнем, что результаты и методы этого параграфа
можно применять также к гиперболическим системам дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Если L[u] — векторный дифференциальный, оператор .
с постоянными коэффициентами, действующий на вектор и, a g —
также некоторый вектор, то результат остается буквально тем же
710 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
самым. В частности, L[u] = g может быть системой уравнений пер-
первого или второго порядка. Конечно, начальные данные должны за-
задаваться в соответствии с порядком L[u].
2. Применение к решению волнового уравнения. Метод п. 1
здесь будет использован для того, чтобы еще раз получить решение
волнового уравнения
L[u] = Lu — и„ = 0 A4)
с начальными значениями
и(*. 0 = 0, и,{х, 0 = ф(*). A5)
которое уже рассматривалось в § 12. Как указывалось в п. 1, без
ограничения общности можно предполагать, что ф (х) обращается
в нуль вне некоторой большой сферы S в пространстве х.
Во всех ранее описанных преобразованных системах координат
со
(см. п. 1) функция I(p, t)= f f ... f u(p, y2, ...,yn, t)dy2 ... dyn
— СО
удовлетворяет одному и тому же дифференциальному уравнению
Г [/„] = /„-/„ = 0 A6)
и начальным условиям
Г(р, 0) = 0, Г,(р, 0) = х*(/0.
где
оо
/ / ...dyn. A8)
— оо
Решение уравнения A6) (см. гл. I, § 17) есть
, p+i
а 1 Г 1 Г С 1 п
2 J 2 J J "
Так как ф обращается в нуль вне S, это решение должно непре-
непрерывно зависеть от а для кусочно-гладких ф. Тогда мы можем рас-
рассмотреть поверхностный интеграл
V{xx хп, t)= J JV((ax), 0^a B0)
и получить решения и(х, О. применяя к этой формуле итерирован-
итерированный оператор Лапласа:
и(х, t) = Cn • A"!)/'V(x, t), B1)
где Сп=\/2Bш)"~1.
§ 14. Метод плоских средних значений
711
Мы подробно произведем эти вычисления только для нечетных я;
решения для случая четных п ') можно тогда получить с помощью
метода спуска Адамара. Из формул A9) — B1) мы получаем
и(х, i) = Cn~^ f f Г ((ах), t)da =
я
B2)
где К(х, q) определяется поверхностным интегралом
' da B3)
и с геометрической точки зрения представляет собой площадь пояса
с высотой 2t/\ \ | на /г-мерной единичной сфере.
Этот интеграл легко вычислить; он равен
B4)
где функция x(s) задается формулами
1
2о>„_1 J(l—Х2)(")/2Л = const для \s\ > 1.
о
\s\
B5)
2ш
,-iJ (l-X2)("-3)/Vx для |S|<1.
Подставляя B4) в B2) и вводя для среднего значения ф на по-
поверхности сферы радиуса т с центром в точке х обозначение
1 С С
Q(x, г) = — I I ф (х-(-гу а!;, B6)
мы получаем решение а(х, t) в виде
') См. также соответствующие рассуждения в § 15, который связан
с настоящим параграфом.
712 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Если явно произвести одно дифференцирование, то получим
или, в силу B5),
со
и (*, Г) = Ап -~^ fQ(x,r) (г2 — г2) г dr. B7)
где Лл = сон_1(олС,| — снова постоянная, зависящая только от п.
Как и в § 12, п. 2, формулу B7) можно переписать в виде
и(х, t)=(-lt-l)l2Aa-^T\ Q(x, r)(t*-r*f-Z)llrdr. B8)
ot J
о
В соответствии с принципом Гюйгенса, в оба эти выражения значения
начальной функции ф входят только через значение Q и ее первых
(я — 3)/2 производных по г при г ~t.
Как и в § 12, п. 2, постоянный множитель можно вычислить,
положив ф—1, Q=\, u = t. Таким образом, для нечетных п мы
получаем решение
^ -r*f'-Wrdr. B9)
как и в § 12, п. 2,A6). В § 12, п. 3 было показано, что эта фор-
формула справедлива и для четных значений п.
§ 14а. Применение к уравнениям кристаллооптики
и к другим уравнениям четвертого порядка !)
1. Решение задачи Коши. В соответствии с идеями § За задача
Коши для системы дифференциальных уравнений, описывающих явле-
явления кристаллооптики 2) (см. § 3, п. 3), легко сводится к задаче Коши
для одного дифференциального уравнения четвертого порядка, кото-
которому удовлетворяет каждая координата векторов электрической и
магнитной напряженности. Уравнение имеет вид
z)w(x, t) = 0, A)
') См. Джон [4]; там содержится упрощенное изложение фундаменталь-
фундаментальной работы Герглотца.
2) Мы снова будем применять специальные обозначения, принятые
в этой области.
§ 14а. Применение к уравнениям четвертого порядка 713
где Р — однородный многочлен четвертой степени относительно
dldxl = %l и d/dt = z, такой, что Я (О, т) = ^. Мы имеем -,2P = Q,
где Q — характеристический полином исходной системы. Решения
уравнения A) всегда порождают решения уравнения
Я E, т)и = 0, Aа)
где и == x2w.
В этом пункте мы дадим решение задачи Коши *) для произволь-
произвольного гиперболического уравнения Aа), если это уравнение четвертого
порядка (не обязательно уравнение кристаллооптики) с начальными
условиями
ГО для х = 0, 1, 2,
х*и(х, 0)= B)
(f(x) для -/. = 3.
Как легко видеть, решение задачи Коши для уравнения Aа) с про-
произвольными начальными данными, а также задачи Коши для исходной
системы строится с помощью комбинации таких решений и их произ-
производных (см. § За, п. 5).
Пусть \ — некоторый вектор, % = (?v ?2, ?3)" а ^ — скаляр; харак-
характеристическое уравнение для уравнения Aа) имеет вид
Я«, Х) = 0. C)
Для любого действительного вектора \ уравнение C) должно иметь
четыре действительных корня, так как уравнение A) — гиперболиче-
гиперболическое. Для простоты мы ограничимся рассмотрением случая, когда
корни различны для всех \, кроме, может быть, конечного числа
единичных векторов \, причем для этих особых \ не могут встре-
встречаться корни кратности выше двух 2). Тогда мы сможем получить
явное решение задачи Коши. Частный случай
PQ-, X)=F (l Т) = т4 — ЦГфт2_|_р2ф(?)| D)
п
где р2 = Д] ?2, соответствующий кристаллооптике, удовлетворяет этим
i= 1
условиям (см. § За, п. 3).
Как и ранее, предположим, что функция / (х) обращается в нуль
для точек х вне некоторого шара. Переходя к переменным yv y2,
') Для читателя может быть полезным произвести вычисления с приме-
применением В-функции, как в § 15. Можно также решить эту задачу с помощью
прямого применения интеграла Фурье (см. гл. III, § 5, и эту главу, § 12).
2) Что такое ограничение не обязательно, показано Джоном [4], гл. II.
Однако надо еще раз повторить, что трудности, связанные со случаем крат-
кратных характеристических элементов, еще не полностью преодолены, так что
надо удовлетворяться анализом частных классов задач.
714 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
у3 с у^ = (ах), мы установим, что интеграл по плоскости
Г (у, 0 = / f и (у. у2. Уз- 0 dy2 йуг E)
— QO
удовлетворяет уравнению
Я(ат}, т)/а(у, 0 = 0, F)
где
д_
Кроме того, Г удовлетворяет начальным условиям
О для у. = 0, 1, 2,
для •/ = 3,
где
yv у3) dy2 dy3. (8)
Мы обозначим четыре корня X уравнения Я (а, Х)==0 через Х,=
= Х;-(а), где у'=1, 2, 3, 4. В силу однородности Р легко видеть,
что любая линейная комбинация вида
4
J" (у, 0 = i ^z (у ~Ь ^/0 (9)
с произвольными функциями щ>у удовлетворяет уравнению F). Чтобы
удовлетворить начальным условиям G), мы рассмотрим сначала та-
такие а, для которых все четыре корня Х;- различны.
Для любого многочлена четвертой степени относительно X со
старшим коэффициентом, равным единице, и с различными корнями
справедливы тождества Ньютона
Y (h)" } 0 для у. = 0, 1, 2,
fJPx{a,\,)-\l дЛЯ х = 3,
откуда следует, что надо выбрать
где ga (у) — любая функция, такая, что
^'|У)=/*(У). A2)
§ 14а. Применение к уравнениям четвертого порядка 715
Итак, в случае различных А. решение задачи F), G) дается фор-
формулой
4
' (у. 0= \-
Из формулы A3) могло бы показаться, что решение I" зависит
от выбора g"'. Однако это не так, поскольку условие A2) позво-
позволяет изменять g" только на некоторую квадратичную функцию от у,
а из A0) следует, что добавление к g" квадратичного слагаемого не
влияет на величину решения Г, определяемого формулой A3).
Кроме того, из (8) следует, что /а(у) = 0 равномерно по а для
достаточно больших |у|. Поэтому существуют такие решения ga(y)
уравнения A2), которые обращаются в нуль при достаточно больших
положительных у, а также другие решения, равные нулю для боль-
больших отрицательных у. Поскольку Г не зависит от конкретного
выбора g", отсюда следует, что для любого фиксированного t и для
всех а решение 1а (у, t) тождественно равно нулю для достаточно
больших |у|. С помощью аналогичных рассуждений можно заклю-
заключить, что Iя есть непрерывная функция а там, где Xj различны.
Пользуясь этой непрерывностью, мы теперь найдем I" для тех
изолированных значений а, которые соответствуют кратным корням Xj.
Предположим, например, что для некоторого частного значения
а = а* корни X, и Х2 совпадают. Тогда для а, близких к а*, суще-
существует корень X' уравнения /-\(а> ^) = 0. лежащий между Хг и Х2.
Поэтому первые два члена формулы A3) можно переписать в виде
Если мы это сделаем для каждого а, близкого к а*, и перейдем
к пределу при а—>а*, то для особого значения а = а* мы получим
следующую функцию I":
г* ,.. п _ 2 thtt (у + V) 2g' (у + М) Рщ (» *) У g" (У + ?)
(a, X,)]2 ^ IU Px(a,Xy)
где h\y) = f\g'l{y).
Мы должны еще проверить, что функция /" удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению F) и начальным условиям G). Непо-
Непосредственная подстановка в уравнение F) показывает, что оно
удовлетворяется. Функция Г удовлетворяет также условиям G) и не
716 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
зависит от выбора ga, что следует из предельной формы тождеств
Ньютона в случае X2 = Xj:
Л 0». *l) SPl (а, X,) ' ^ Pi (». Ху)
0 для х = О, 1, 2,
1 для х = 3.
Так как, по построению, A4) является непрерывным продолжением
выражения A3), то все условия, необходимые для применения ме-
метода § 14, п. 1, выполняются1).
Применяя к равенствам (9) общий метод § 14, п. 1 и учитывая,
что к = 3, получаем
и(х, t)=— g^-Д J jf(ax, t)da =
la | = 1
'4 0
^^"^ J_J \jL Pl^,lj)
Если в соответствии с формулой A2) мы положим
-! Г .- 2 «
— со
то для |а| = 1 и любого р мы будем иметь
\g*(a.x+p)= f f'(q)dq. A8)
— СО
или в силу (8)
±g*(ox-\-p)= I I / (дг + z) dzx dz2 dz3. A9)
*z<p
Подставив это выражение в A6), найдем, что
и(х, t)= f f j f(x-\-z)K(z, t)dzxdz2dz3, B0)
— CO
с ядром
4
az< >. . (a)/
') Ясно, как надо изменить A4) для случая, когда корни Х3 и kt совпа-
совпадают. Такой случай, когда кратные корни встречаются парами, возникает
в уравнениях кристаллооптики.
§ 14а. Применение к уравнениям четвертого порядка 717
В случае уравнения кристаллооптики и, вообще, в случае, когда
Р (?, 0)^=0 для всех действительных ? Ф 0, корни \ и Х2 положи-
положительны для всех а, а Х3 и Х4 отрицательны. В любом таком случае
каждый луч, проходящий через начало координат, пересекает по-
поверхность нормалей N, соответствующую дифференциальному урав-
уравнению Aа), т. е. поверхность
Р(Ь 1) = 0 B2)
в двух (возможно, совпадающих) точках. Таким образом, N состоит
из двух кусков, jVj и N2. Эти куски параметрически задаются урав-
уравнениями X = a/Xj (a) и t = a/X2 (a) соответственно, причем параметр a
пробегает поверхность единичной сферы. Согласно нашим предполо-
предположениям, внутренний кусок А^ и внешний кусок М2 различны и могут
иметь только конечное число общих точек.
Мы продолжим исследование некоторых ствойств ядра. Во-первых,
из A0) непосредственно вытекает, что
K(z, 0) = 0. B3)
Во-вторых, если мы перенумеруем корни Х;-(а) в порядке убывания
X1(a)>X2(a)>X3(a)>X4(a)
и заметим, что
М<")=—М—*)¦ \(л) = — \{—*). B4)
то мы легко сможем привести К к виду, содержащему только Xt и
а именно
J J Px (a, \j (a) ) J J P, (a, \j (а) ) '
i^=l |ct|=l
B5)
K{z, o = —-g-r
2. Дальнейшее исследование решения. Область зависимости.
Лакуны2). Теперь мы преобразуем „фундаментальное решение" К,
заданное с помощью формулы B5) как интеграл по части единичной
сферы, в интеграл по поверхности /V. Пусть dN — элемент площади
поверхности на N; через grad P обозначим вектор, г-я компонента
которого равна Pt ($, 1). С помощью проекции из начала коор-
координат легко получить, что
lgrad^' ¦ B6)
| a grad P \
') Общие условия существования лакун в области зависимости даны
в работе Петровского [3].
718 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Но из однородности Р следует, что
для I, лежащих на N. Поэтому для % на N,
B7)
agradP =
—
—
где
Следовательно,
2
х(Р=.(;,
da
1)
Dl
1,
-1,
))| = Е
? на
-1
Р
;|
/V
Ч на /V
tdN
2?
2-
.Л. (?
ж)
1)
а, Х.(а)),
B8)
. ,г,.>,у-,, |8.„-. , B9)
Кроме того, для у=1, 2 величина (Х^—аг) имеет тот же злак,
что (t — %z). Тогда формула B5) принимает вид1)
- • C0)
Если \z <^ t для всех
равно постоянной
N
лежащих на N, то K(z, t) тождественно
~"8^" J J ]
/>E,
Этот результат имеет место при условии, что плоскость zl = t не
пересекает внешнего куска N2, или при эквивалентном условии,
что z/t лежит внутри поверхности S2 (S2 — поверхность, в которую
переходит выпуклая оболочка N2 при двойственном (полярном) пре-
преобразовании относительно единичной сферы).
Обратно, если плоскость z% = t пересекает внутренний кусок Nv
то ядро К (z, t) равно нулю. Чтобы доказать это, возьмем произ-
произвольный вектор ?0 на этой плоскости, лежащий внутри /Vr В фор-
формуле C0) положим %¦=%' -\-\q. Тогда интеграл, определяющий К,
берется по поверхности N' с уравнением
Я E'4- $о. 1) =
C1)
') Согласно нашим предположениям, знаменатель подинтегрального вы-
выражения имеет только нули первого порядка в особых точках. Поэтому
интеграл сходится.
§ 14а. Применение к уравнениям четвертого порядка 719
Эта поверхность получается из N с помощью переноса, так, что
градиент и элемент поверхности в соответствующих точках остаются
неизменными. Следовательно,
*(*, t)~ 8тс2 J J
/v
Но этот интеграл равен просто К (z, 0), где К — ядро, которое по-
получилось бы из B1), если бы полином Р(Ч, X), соответствующий
исходному дифференциальному уравнению A), мы заменили на по-
полином
P(l\) = P(l+i0, X). C3)
Так как ?0 находится внутри Mv то любая прямая, проходящая через |0,
пересекает N в четырех точках. Следовательно, Р имеет четыре
действительных корня Х^ для всех %. Поэтому к К применимо соот-
соотношение B3) и наше утверждение доказано.
Так как N — поверхность четвертого порядка и любая прямая,
пересекающая Nv должна по крайней мере два раза пересекать N2,
то ни одна прямая не может пересекать Л/, в трех точках. Поэтому
поверхность Л^ выпукла'). Следовательно, мы можем сформулировать
полученный результат следующим образом: К (z, t) = Q, если z/t
лежит вне поверхности 5], полученной из /V, при двойственном пре-
преобразовании относительно единичной сферы.
Возвращаясь к решению исходного уравнения и(х, t), мы возьмем
точку (х, t) в качестве вершины и построим две конические по-
поверхности Cj и С2 с осями, направленными в сторону убывания t.
Конус Cj определяется тем свойством, что его сечение на расстоянии
от вершины, равном единице, конгруэнтно S/. Ясно, что С2 содер-
содержится внутри С,. Из формулы B0) мы теперь можем заключить,
что область зависимости для точки (х, t) есть в точности пересече-
пересечение Cj с начальной плоскостью t = 0. Кроме того, подмножество
этой области, которое является внутренним также и для С2, обладает
тем замечательным свойством, что каждая его точка оказывает на
решение одинаковое влияние, определяемое формулой C0а).
Дело существенно упрощается, если поверхность нормалей N
симметрична относительно начала координат (это будет так для
уравнений кристаллооптики). В этом случае
Яе-dN Г Г zdN Г Г edN
|grad Я(?, 1)| ~ JJ lgrad/>(?, \) \ ~ J J |gradP(?, 1)| '
N N N
') Это рассуждение повторяв! рассуждение, приведенное в § 6.
720 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
так что из формулы C0) имеем
К (г. t) = —X
C4)
N
где величина d*N^ — г dN/ | grad P (?, 1)| называется элементом „псев-
„псевдоплощади" :) поверхности нормалей N. Таким образом, „фундамен-
„фундаментальное решение" К с геометрической точки зрения можно истолко-
истолковать как „псевдоплощадь" части поверхности N, лежащей между
двумя параллельными плоскостями z;=±/ (см. рис. 58).
ч 1
\1 JjJ
ш
Рис. 58.
Наконец, мы обращаем внимание на тот факт, что в случае
кристаллооптики наше дифференциальное уравнение четвертого по-
порядка надо еще дважды продифференцировать по t, чтобы получить
то уравнение шестого порядка, которое получается после исключения
из исходной системы G), § За всех неизвестных, кроме одной ком-
компоненты электромагнитного вектора. Предполагая, что выполнены
соотношения Gа), § За, нетрудно выразить решение задачи Коши
для этого вектора через дифференциальные операторы, примененные
к решениям уравнения четвертого порядка A); отсюда мы видим
следующее.
Внутренняя полость конуса лучей, соответствующая внешней
полости конуса нормалей, вносит в решение задачи Коши для нашего
уравнения четвертого порядка значение, постоянное по времени во всех
точках пространства.
Вектор, который является решением задачи Коша для
уравнений кристаллооптики, в любой точке х пространства
не зависит от начальных значений внутри внутренней по-
') Этот термин был введен Герглотцем, см. Джон [4J, стр. 23.
§ 15. Решение задачи Коши как линейный функционал 721
лости конуса зависимости; эта внутренность есть лакуна1). Этот
результат является естественным; он выражает тот факт, что ло-
локальное возмущение в точке О в пространстве х доходит до точки х
за время, соответствующее большей скорости распространения, и
прекращается во время, соответствующее меньшей скорости; после
прохождения более медленного фронта волны не остается никаких
следов возмущения. С другой стороны, предыдущие выкладки позволяют
легко прийти к следующему заключению: любая точка на начальной
плоскости, находящаяся внутри выпуклой оболочки конуса лучей,
но не внутри его "сердцевины", вносит в решение значение, не по-
постоянное по времени. Это значит, что вся область между выпуклой
оболочкой Г и внутренней полостью конуса лучей действительно
составляет точную область зависимости для решений и их про-
производных по времени.
§ 15. Решение задачи Коши как линейный функционал
от начальных данных, фундаментальные решения
1. Описание. Обозначения. В предыдущих параграфах и раньше,
в гл. V, § 5, решение задачи Коши — которое является линейным
функционалом от начальных данных — было представлено в виде
интеграла от некоторого произведения; один множитель задается
начальными данными в области зависимости, а другой множитель,
„ядро", зависит только от дифференциального оператора. В этом
параграфе мы дадим широкое обобщение этих явных „римановых
представлений" решений задачи Коши для линейных гиперболических
уравнений произвольного порядка с произвольным числом независи-
независимых переменных, не предполагая, что коэффициенты постоянны2).
Если порядок дифференциального уравнения достаточно высок по
сравнению с числом независимых переменных (как в кристаллооптике
или в магнитной гидродинамике), то ядро является обычной функцией.
Если это не так, то оно может быть выражено с помощью обобщен-
обобщенной функции, т. е. может быть получено из непрерывной функции
с помощью дифференцирования3).
Нашей целью является построение и исследование этого ядра
Римана. Как и в гл. V, это представление позволяет выяснить более
') См. также § 15, п. 4.
2) Такое представление для одного уравнения второго порядка является
предметом знаменитой теории Адамара (см. п. 5). На общий случай впервые
обратил внимание П. Лаке (см. Курант и П. Лаке [2]).
3) Роль обобщенных функций в случае более двух независимых пере-
переменных иллюстрировалась и раньше на примере решения 5 (t — r)(r вол-
волнового уравнения с тремя пространственными переменными (см. § 12)
с особенностью на конусе лучей. Надо отметить, что применение обобщен-
обобщенных функций, хотя оно удобно и изящно, не является обязательным; в § 12—14
и в работе Куранта и П. Лакса [2] показано, как можно без этого обойтись.
722 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
тонкие стороны структуры решения; в этом состоит его главное
значение.
В этом параграфе предполагается*), что решение задачи Коши
существует и единственно; при этом можно опираться на § 4 и 8—10,
где были построены решения с особенностями на характеристических
поверхностях.
Рассмотрим опять гиперболическую систему первого порядка от-
относительно вектор-функции и: и1, ..., uk
L[u] = ut+%Aiul + Bu = f(x,t) (/=1, ...,«) A)
j= i
при t^O, с начальными условиями «@, x) = ty(x), где матрицы А', В
и функции ф, / достаточно гладкие. (Позже мы аналогичным образом
рассмотрим системы более высокого порядка.) Мы можем считать,
что векторы фи/ обращаются в нуль при достаточно больших
значениях своих аргументов. Тогда в силу теоремы единственности и
также обращается в нуль при фиксированном t и при достаточно
больших значениях пространственных переменных х.
Мы исходим из тождества
vL [и] - L* [V] и = 2 JL (vA'u) + -t- (ш). B)
i=i '
Как и раньше, L* есть оператор, сопряженный к L. Мы проинтег-
проинтегрируем тождество B) по слою 0 <^ t ^ t и получим
Г Г (vL [и] — L* [v\ и) dxdt= J vudx— J vu dx. C)
0
Это соотношение справедливо, если обе функции и и v обращаются
в нуль при больших значениях \х\. Если вместо v мы подставим
решение уравнения L* [v] = 0 и если L [и] = /, то C) примет вид
(vudx— jvudx-{- J ivfdxdt. (За)
В эвристических рассуждениях мы будем применять соотноше-
соотношение C) также и тогда, когда под знаком интеграла стоят обобщенные
функции. Затем мы покажем, что все эти операции можно обосно-
обосновать для обобщенных функций, рассматриваемых в этом параграфе2).
') См., однако, замечание в конце п. 7.
г) Заметим, между прочим, что (За) можно использовать для определе-
определения обобщенного решения.
§ 15. Решение задачи Коши как линейный функционал 723
В частности, мы рассмотрим в качестве v в слое, расположенном
ниже х, матрицу R (x, t; ?, х), удовлетворяющую уравнению
!*[/?] = О для /<х, D)
которая при t = х принимает „конечные значения"
. т; 5. х) = Ь(х — ?)/. Dа)
Здесь 8 есть я-мерная дельта-функция, а /—единичная матрица.
При таком выборе v формула (За) принимает вид
йE, x)=JR(x, 0; S. х) ф (х) rfx+
f f R(x. t; I x)f(t, x)dxdt, E)
где ф (x) — начальные значения функции и (х, t).
Для однородного уравнения, т. е. для случая / = 0, мы имеем
«E, -0= /Ж*. V Ь 1Ц{.х)йх, E0
где м(х, to) = ^(x); формулу E) можно отсюда немедленно полу-
получить с помощью принципа Дюамеля.
Аналогично мы можем вместо и(х, t) ввести матрицу S(x, t; \v i{),
которая в слое выше t = ix удовлетворяет уравнению
?[S] = 0, t>xv F)
с начальным условием
S(x. т,; 5i, ^) = Ь(х — 5,)/ Fа)
при 1 = хг.
Интегрирование тождества B) по слою т, ^ t ^ x тогда фор-
формально дает
х; ?!> i
— JR(x, ^;1 x)S(x, т,; ^,, xl)dx = Q.
Пользуясь условиями Dа) и Fа), установим закон симметрии:
S(l, х; ?,. x1) = R$v xt; I т). G)
Из формулы представления E) следует, что матрица R, если
рассматривать ее как функцию ? и х, является фундаментальным
решением для дифференциального оператора:
^, т [/? (X, /; $, х)] = Ь (X — I t — х) I. (8)
Аналогично,
L\v Tj [S (х, t; \v xx)\ = 8 (х — 6lt / — X!) /. (9)
724 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Здесь в правой части мы имеем (я-f- 1)-мерную дельта-функцию.
Таким образом, функция R(kv V> ?> т) описывает влияние в точке
(?j, Tj) обратного излучения, исходящего из источника, расположен-
расположенного в точке (?, х), a S(b t; \v Xj) описывает влияние в точке (?, т)
прямого излучения из источника в точке {%v ix). Закон симметрии
утверждает, что эти влияния одинаковы, если прямое излучение опи-
описывается оператором L, а обратное — оператором L*.
В следующем параграфе мы построим матрицу R и дадим обо-
обоснование нашего метода. Кроме того, мы докажем два важных
свойства функции R. Во-первых, матрица R{x, t\ \, т) регулярна
всюду, за исключением бихарактеристических лучей, исходящих из
точки (?, х), а во-вторых, R (x, t\ \, х) тождественно равна нулю
вне коноида зависимости для точки (?, х). Следовательно, в выра-
выражении E) для решения уравнения L[u] — f с условием и@, x) = ty(x)
интегрирование надо производить только по внутренности коноида
зависимости Гр, исходящего из точки Р(?, t) в направлении убы-
убывания t.
Для дифференциальных операторов L [и] более высокого по-
порядка т. положение совершенно аналогично. Снова римановы ядра
излучения R n S можно охарактеризовать с помощью простых на-
начальных условий, соответствующих условиям Dа) или Fа) и содер-
содержащих 8-функцию только от пространственных переменных ').
Например, для т = 2 мы имеем
L* [R] = 0 для t < т,
/? = 0. Rt = b(x~® для t = i;
L [S] — 0 для t > т,
S = 0, St~b(x — ty для t = i. A0')
Тогда формула E) дает решение, соответствующее начальным зна-
значениям
и@, х) = 0, и,@, х) = $(х).
В случае, когда данные Коши для и, ut, ... заданы произвольно,
можно таким же образом получить представление, применяя фор-
формулу Грина. Для произвольного т. не требуется дальнейших по-
пояснений.
2. Построение функции излучения с помощью разложения
6-функции. Теперь эвристические соображения из п. 1 мы за-
заменим прямым построением матрицы Римана R (или S, что эк-
эквивалентно). Основная идея состоит в том, что точечную особен-
') Между прочим, начальные или конечные условия выделяют функции
излучения из всех фундаментальных решений; это следует из единственности.
§ 15. Решение задачи Коши как линейный функционал 725
ность матрицы R мы сведем к более простым особенностям, сосре-
сосредоточенным на характеристических поверхностях, и применим теорию
задачи Коши, развитую в § 4 для таких особенностей. Этот метод
тесно связан с методом § 14.
Пусть а — произвольный единичный вектор в я-мерном про-
пространстве, а 8 — одномерная дельта-функция. Мы будем решать
задачу Коши в обратном направлении:
L*[V(x, t; I -, а)] = 0
для t < х с „конечным условием"
V(x. х; 5. х, а)
Если
и и(х, 0) = ф(х), то из (За) следует, что
1A Т; а; и)= J и(х, ~*)Ъ((х— Z)a.)dx = f V(х, 0; ?, т, a.)
Эта формула выражает интегралы /(?, х; a, «), определенные в § 14,
через начальные значения функции и. В силу § 14 мы можем вос-
восстановить и по соответствующим интегралам 1'($. х; a; w) и таким
образом получить явное выражение для /?.
Однако мы предпочтем несколько иной, более изящный метод,
который одинаково применим к случаю четного и нечетного п. Он
основан на разложении /г-мерной 8-функции 8(х) на плоские волны;
это разложение дано в § 11, п. 2 формулой A1). В соответствии
с этим мы можем представить функцию R (x, t; ;. x) (которая ха-
характеризуется дифференциальным уравнением Lx< t[R] = O и „конеч-
„конечным условием" R(x, x; \, i) = b(x —1I) в виде суперпозиции функций
U(x, t\ $, x, а), удовлетворяющих тому же самому дифференциаль-
дифференциальному уравнению L*x< tU — 0, но более простым конечным условиям
U(x, x; \, х, а)=1о^пЦ(х— $) а)/
на /г-мерной плоскости t = x; здесь а — произвольный единичный
вектор.
Эти функции U(x, t; $, х, a) = f/(a) можно построить с помощью
метода § 4. Если функции U (и) мы будем считать известными, то
немедленно получим искомое представление для R:
fU(x, t; I r, a) da. A1)
a.2— 1
Конечно, аналогичную формулу можно написать для сопряженной
матрицы Римана 5. Построим с помощью метода § 4 функцию
726 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
V(x, t; I, t; P) (где p— произвольный единичный вектор), при ^ = ^0
удовлетворяющую начальному условию
V$) = V(x, t\ 5, <:. Р) == log<»> (дг — Е. Р)/.
а при / > т0, удовлетворяющую дифференциальному уравнению
LXtt[V] = 0. Тогда
S(x. t-Л, ,) = _*. Jv(P)rfp. (lla)
Формулы A1) и (На) выражают наш общий результат. Конечно,
его можно записать менее формально, если в обратном порядке про-
произвести те шаги, которые привели к формуле представления A1) из
§ 11, п. 2. Начальные значения log(/J)(a(x— ?)) можно с помощью
оператора Лапласа выразить в виде
log"" ((х — \) а) = 4л+2)/2 log() ((* — ?) а) (п четное),
\og{n\{x — ?)a) = A^+3)/2log(~3)((x — 0» (я нечетное),
где функции log(~2' и log(~3) непрерывны и дифференцируемы. Таким
образом, мы можем представить U, а следовательно, и R, через
итерированный оператор Лапласа по переменным ?, примененный
к интегралам от непрерывно дифференцируемых матриц.
Выражение обобщенных функций через производные обычных
функций можно применить также к обоснованию соотношения взаим-
взаимности G), которое следует из C) после подстановки v = V($) и
u = U(a.) и замены ^ = 0 на t — xv Так как U (а.) и V(P) являются
обобщенными функциями относительно двух различных переменных a
и р, то такую подстановку делать можно. Тогда интегрирование
по а и р немедленно дает закон симметрии G).
Надо заметить, что если оператор L имеет высокий порядок, то
начальные значения для U, а следовательно, и для самой римановой
матрицы, получаются более высокой гладкости. По этой причине,
например, матрица Римана для уравнения кристаллооптики, которое
имеет четвертый порядок, является обычной функцией и ее не надо
толковать как обобщенную функцию. Наконец, мы должны заметить,
что из теорем единственности (§ 8, п. 9 или гл. III, приложение 3)
следует, что матрица Римана тождественно обращается
в нуль вне коноида зависимости, исходящего из сингулярной
конечной точки или начальной точки соответственно. Дей-
Действительно, из теоремы единственности следует, например, что
функция 5 обращается в нуль во всех точках пространства х, t,
область зависимости для которых не содержит особенности.
Предыдущую теорию почти буквально можно применить к си-
системе L операторов высшего порядка. Рассмотрим, например, систему
§ 15. Решение задачи Коши как линейный функционал 727
второго порядка
v=l (л. = 0 |j. = 0
Тогда матрица излучения R (х, ^; ?, t) определяется следующими со-
соотношениями
L [/?]== О, если ?>т, A2)
Я(х, т; S, т) = 0, A3)
/?,(х, -с; 5, т) = 8(*_ 5)/ A3')
и может быть построена точно таким же методом как для системы
первого порядка.
3. Регулярность матрицы излучения. Из символической записи
предыдущих результатов легко вывести важные свойства ') решений
и получить для решений конкретные выражения. В этом пункте
мы покажем, что матрица R — а, следовательно, и 5 — является
обобщенной функцией с особенностями, сосредоточенными на коноиде
лучей с вершиной Р; во всех других точках она является непрерыв-
непрерывной функцией и имеет непрерывные производные до порядка, опре-
определяемого гладкостью коэффициентов оператора L 2).
Для краткости мы рассмотрим систему первого порядка A) и
предположим, что коэффициенты А и В имеют непрерывные произ-
производные любых порядков. Тогда мы покажем, что функции излуче-
излучения R и S регулярны, т. е. имеют непрерывные производные
любых порядков, во всех точках х, t, которые нельзя соеди-
соединить с вершиной Р —(?, т) бихарактеристическим лучом.
Мы будем иметь дело с интегралом вида
R(x, t; I т)= --Луг / U(x, t; I x, a)da. A4)
W=i
Сингулярная часть U состоит из суммы членов вида 3)
5Дср(х, /; I х, a))gl(x, t\ I t, a), A5)
') Надо обратить внимание на следующий факт. Если в конусе лучей
встречаются изолированные или кратные лучи, то некоторые из утверждений
этого пункта придется изменить. Для случая кратных характеристик общий
анализ особенностей матрицы излучения на коноиде лучей и на его выпук-
выпуклой оболочке до сих пор не доведен до конца; надо отдельно изучать част-
частные классы примеров, как мы это делали раньше. Последние результаты по
этому вопросу содержатся в работах Людвига [3] и Лере [3].
2) Некоторая модификация приведенного ниже рассуждения показывает,
что R и S аналогичны всюду, за исключением коноида лучей, если коэффи-
коэффициенты аналитические. См. выходящую вскоре работу Людвига.
а) Буква S здесь применяется не в том значении, как в п. 1 и 2.
728 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
где S = S; — обобщенная функция переменной ср с особенностью
в начале координат, а функции g — gi регулярны по всем своим
аргументам. Достаточно исследовать гладкость отдельного члена вида
К= f 5(ср(дг, /; I т, a))g(x, t; \, т. a) da. A6)
1=4=1
Зафиксируем (х, t; \, т) и рассмотрим множество Q, состоящее
из всех точек сферы |а| —1, удовлетворяющих уравнению
, t; Ь -г, <х) = 0.
Множество 2 компактно, и поэтому мы имеем следующую альтер-
альтернативу: либо (а) градиент функции ср по координатам на сфере
обращается в нуль в некоторой точке х, t из 2, либо (б) градиент
функции ср по координатам на сфере отличен от нуля в любой
точке 2.
Если выполняется условие (а), то (х, t) является точкой, принад-
принадлежащей огибающей характеристических поверхностей, проходящих
через точку %, т и определенных уравнениями
Из теории дифференциальных уравнений с частными производными
первого порядка следует, что огибающая должна содержать луч,
проходящий через точку (х, t). Этот луч пересекает плоскость t — ~
в точке Р, где
<?(х, v, I t, a) — (x — 0 a.
Огибающая плоскостей (х — ?)а = 0 состоит из одной точки х — 1.
Таким образом, Р = (?, т), и точки (дг, /) и ($, т) лежат на одном
луче. Мы приходим к выводу, что условие (а) выполняется только
в том случае, когда точки (х, t) и (?, т) лежат на одном луче.
Если выполняется условие (б), то мы можем ввести ср в качестве
локальной координаты на сфере в любой точке множества 2. Тогда
мы можем разбить область интегрирования в интеграле C) так,
чтобы в каждой подобласти либо (i) ср можно было ввести в качестве
локальной координаты, либо (ii) ср было бы отграничено от нуля.
В областях типа (ii) подинтегральная функция будет гладкой, и,
следовательно, интеграл по таким подобластям также будет гладким.
В подобластях типа (i) ср есть локальная координата и мы можем
сколько угодно раз интегрировать по частям по переменной ср.
С помощью многократного интегрирования по частям мы приходим
к выражениям любой нужной гладкости. Следовательно, если выпол-
выполнено условие (б), К есть гладкая функция х, t.
§ 15. Решение задачи Коши как линейный функционал 729
Таким образом, мы доказали, что имеет место следующая альтер-
альтернатива: либо (а) точки (х, t) и (?, т) лежат на одном луче, либо (б)
R{x, t\ \, х) гладкая функция 1) как переменных х, t, так и Ь т.
За. Обобщенный принцип Гюйгенса. Результат п. 3 позволяет
установить факт, который играет большую роль в теории гипербо-
гиперболических систем, описывающих передачу сигналов (см. также § 18).
Классический „принцип Гюйгенса", который мы рассматривали в раз-
разных местах книги (например, см. § 12 и § 18 этой главы), утвер-
утверждает, что первоначально резкие сигналы передаются как резкие
сигналы, т. е. что решение дифференциального уравнения, описываю-
описывающего распространение сигналов, возникающих в момент t = О, за-
зависит только от начальных данных на границе коноида зависимости
и не зависит от начальных данных внутри коноида. Этот принцип
справедлив только при совершенно исключительных условиях,
в частности для волнового уравнения с 3, 5, 7, ... пространствен-
пространственными переменными. Однако результат, полученный в предыдущем
пункте, можно истолковать как обобщенный принцип Гюйгенса 2),
который утверждает, что в некотором приближенном (и в силу этого,
как правило, вполне удовлетворительном) смысле гиперболическая
система передает первоначально резкие сигналы как резкие сигналы,
хотя и несколько размытые.
Сначала мы сформулируем такое утверждение: решение и (Р)
системы A) является гладким в некоторой окрестности точки Р,
если все лучи, проходящие через Р, пересекают начальное многооб-
многообразие (/ = 0) в пределах замкнутой области G*, в которой началь-
начальные данные гладки.
Более точно: предположим, что коэффициенты оператора L [и]
достаточно гладки и что начальные данные и их производные вплоть
до порядка г ограничены в описанной выше области G*; тогда реше-
решение и и его производные до порядка г будут ограничены в опреде-
определенной выше точке Р; оценки зависят от / и от максимумов модулей
начальных данных и их производных.
Мы можем еще следующим образом описать обобщенный принцип
Гюйгенса 3): особенности решения и в точке Р зависят только от
особенностей начальных данных, причем лишь от тех особенностей,
которые расположены на коноиде лучей, проходящих через Р.
Принцип можно сформулировать более точно, если сделать неко-
некоторые предположения относительно начальных данных; например,
') R имеет производные любого порядка, если коэффициенты оператора
L [и] бесконечно дифференцируемы.
2) Он был сформулирован П. Лаксом; см. Курант и П. Лаке [2], а также
П. Лаке [4].
3) Как указывалось выше, в случае кратных характеристик формули-
формулировку необходима несколько изменить.
730 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
если предположить, что начальные данные гладки всюду, кроме не-
некоторой гладкой кривой С, на которой они имеют скачок. Тогда
решение и (Р) будет гладким всюду, за исключением таких точек Р,
для которых коноид лучей, проходящий через Р, касается кривой С.
Если коноид имеет с С касание высокого порядка, то имеет место
„фокусирование" и решение, вообще говоря, будет иметь меньше
производных, чем начальные данные *). С качественной точки зрения
обобщенный принцип Гюйгенса утверждает, что решение особенно
чувствительно к передаче начальных разрывов (или других особенно-
особенностей, например, резких изменений значений) по характеристическим
лучам 2).
4. Пример. Системы с постоянными коэффициентами част-
частного вида. Теорема о лакунах. Мы будем рассматривать систему
вида A) с постоянными коэффициентами, где Б = 0 и f==0. Тогда
решение U(x, t; &. т, а), согласно § 4, п. 6, можно построить просто
как суперпозицию k плоских волн, которые сводятся к одному пер-
первому члену разложения для бегущей волны
(предполагается, что ? = 0), причем X* = Xх (а) — собственные значе-
п
ния матрицы 2 ^Vav (см. § 3), т. е. нормальные скорости, г% — пра-
v = l п
вые нуль-векторы характеристической матрицы XV — 2 ^Х' а числа
v = l
ох определяются в соответствии с § 4, п. 6. Если число п нечетное,
то U (а) с точностью до постоянного множителя имеет вид
фундаментальное решение Римана получается интегрированием по а.
Далее предположим, что ни одна из скоростей Xх не равна нулю
и что x/t принадлежит „сердцевине" конуса лучей; тогда очевидно,
что фундаментальное решение обращается в нуль в этой сердцевине,
так как для каждого а в ней равны нулю функции 8<п~1)(Хх/-|- ах).
Таким образом мы получаем следующую замечательную общую тео-
теорему.
') См. Людвиг [1].
2) Зависимость решения и от начальных данных легко исследовать, если
выразить ядро R через производные от гладких функций по переменной <р
(ср = 0 есть уравнение полости характеристического коноида). Тогда повтор-
повторное интегрирование по частям снимает особенности ядра за счет введения
соответствующих производных от начальных данных.
§ 15. Решение задачи Коши как линейный функционал 731
В нечетномерном пространстве для системы вида A) с по-
постоянными коэффициентами и с 5 = 0, для которой скорость
распространения нигде не равна нулю, внутренняя сердцевина
конуса лучей представляет собой лакуну, т. е. не принадле-
принадлежит области зависимости для вершины в строгом смысле.
Эта теорема остается справедливой даже тогда, когда некоторые
скорости Xх обращаются в нуль, если только соответствующие мно-
множители о* также равны нулю. Как легко установить, это имеет место
для уравнения кристаллооптики (см. § 14, п. 2), если выполняются
условия относительно дивергенции [см. § За].
5. Пример. Волновое уравнение. Общая теория п. 2 содержит
как частные случаи те решения задачи Коши, которые были найдены
в явном виде в предыдущих параграфах. Например, представления
§ 14, 14а мы легко можем отождествить с только что полученным пред-
представлением. Здесь мы ограничимся несколькими простыми примерами.
Сначала мы рассмотрим волновое уравнение.
Конечно, формулы D8) и D9) из § 12 немедленно дают явное
выражение для R или 5 — эти функции совпадают в силу самосо-
самосопряженности волнового оператора—если g (К) в этих формулах
заменить на функцию Дирака 8 (к).
Однако мы хотим получить эти или эквивалентные им выражения
из общего представления A1) в п. 2.
Пусть 5 — функция Римана для волнового уравнения с /г —|— 1
независимыми переменными х1 х", t. Обобщенная функция
5(n) (x, t\ %, т) удовлетворяет следующим условиям:
Si?> —ijSi? = O (*>т). A7)
v = l
Sw(x, x; I t) = 0, A8)
S\n)(x, t; I x) = b(x — 0. A9)
Так как волновой оператор имеет постоянные коэффициенты, мы без
ограничения общности можем положить ч: = 0 и ? = 0. Функцию 5
можно представить как
S<"](x' ')=W / V("\x,t; a) da, (Щ
где Vй" удовлетворяет следующим условиям:
//
Vft — 2 ^v"} = 0 (t > 0), B1)
v=l
V(n){x, 0; a) = 0, B2)
V{,n)(x, 0; a) = log(n) (x a). B3)
732 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Здесь log('!) есть п-я производная логарифма в смысле обобщенных
функций.
Очевидно, что
V{n) (х, t; a) = -i [logC-D (t + xa) — logC-D (—* + .* о)]; B4)
следовательно,
^C— < + xaPa. B5)
Из формулы D), § 11 следует, что при п ;> 2
— logt"-1) (— / + rp)\ A — pbp-W dp< B6)
где %_,== Bтг)(")/2/Г((и— 1)/2), а г = jд:|. Слегка изменяя обо-
обозначения, мы будем рассматривать S как функцию г и t.
Продифференцировав формулу B6), получим
- lOg(n) (— / + ГР)\ р{\—
Теперь мы можем проинтегрировать по частям; так как внеинтеграль-
ные члены равны нулю, имеем
dS(n>
дг — (n-l)-2-B7iO" J ll0g
(— t + rp)\ A — ^(«-D/S dp B8)
Простые вычисления показывают, что!)
Таким образом, функция 5 может быть получена с помощью рекур-
рекуррентных соотношений, если известны функции SB) и 5<3).
Из B5) следует, что
5<2>=~2(i^W / llo&(JC a> + 0 + log(* «» — 01 ^«>. C0)
') См. также § 12.
§ 15. Решение задачи Коши как линейный функционал 733
Вводя угловую координату 6 на единичном круге, получим
тс
5l2)="|-w/llog!rcos9 + 'l+loglrcos9-'l1(*9- C1)
о
Хорошо известная формула интегрирования дает
5B) = — 1 (t2 > г2). C2)
Мы можем выразить S как интеграл дробного порядка от 8-функ-
ции. Из определения непосредственно следует, что
Формула для S{3) почти сразу получается из B6). Мы имеем
C3)
— \ogB)(rp-t)]dp. C4)
Hot по определению, на действительной оси
Imlog^ = ir(l — 7j(z)), C5)
где t\ — функция Хевисайда. Тогда
= — кЪ'{г) C6)
-1
или
Из определения 8-функции следует, что
5 (Р - г2) = ~ [8 (/ — г) - 8 (t + г)],
поэтому
5C> == ~ 8 (t2 — г2).
Применяя B9), C3) и D0), получаем
1
)). C8)
734 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Формула D1) дает представление решения для всех я1). В частности,
если п больше или равно 3 и нечетно, то S обращается в нуль
всюду, кроме поверхности t2 — г2 = 0. Это и есть строгая форма
принципа Гюйгенса.
6. Пример. Теория Адамара для одного уравнения второго
порядка. Современная теория задачи Коши во многом опиралась на
основополагающую работу Адамара [2] о гиперболических уравне-
уравнениях второго порядка. Применение обобщенных функций и другие
методы этой главы допускают более широкий и простой подход
к вопросу, но в основе многих рассуждений этого параграфа лежат
идеи Адамара, которые мы сейчас кратко изложим, несмотря на то,
что применение результатов п. 2 и 3 к случаю одного уравнения
второго порядка перекрывает теорию Адамара.
Достижение Адамара состояло, во-первых, в том, что было
построено фундаментальное решение; это построение можно осу-
осуществить прямо, не пользуясь теми упрощениями, которые были
получены в п. 2 благодаря предварительному разложению «-мерной
8-функции на плоские волны с последующим интегрированием по еди-
единичной сфере. Во-вторых, Адамар, не имея в своем распоряжении аппа-
аппарата обобщенных функций, применял „конечные части" расходящихся
ь
интегралов для вычисления выражений типа I [A (x)/(b — x)'h]dx,
а
где подинтегральные выражения понимаются не как обобщенные,
а как обычные функции. Мы не будем здесь останавливаться на
понятии „конечной части интеграла" (см., однако, приложение),
так как его можно обойти с помощью применения обобщенных
функций. Вместо этого мы в несколько измененном виде изложим
способ Адамара построения фундаментального решения.
Исходя из результатов, полученных для волнового уравнения
(см. п. 4), мы рассмотрим общее аналитическое уравнение второго
порядка
п п
L[u]= 2 %%+2*Л + « = 0. D2)
Мы будем искать решения с особенностями на коноиде лучей
Г(*. ?) = 0,
где Т(х, 0 — квадрат расстояния между точками х и %, если это
расстояние измеряется в римановой метрике, связанной с уравнением.
') Эта формула выводится и обсуждается в книге Гельфанда и Шилова
[1]. Естественно, она эквивалентна результатам § 12, в частности выраже-
выражениям A4) и E), § 12.
§ 15. Решение задачи Коши как линейный функционал 735
Функция Г удовлетворяет уравнению
S Я/*ГЛ = 4Г, D3)
и, следовательно, удовлетворяет характеристическому уравнению
только на коноиде лучей').
По аналогии с методом § 4 мы будем искать решение уравне-
уравнения L[u] = О в виде
и{х, 0«2 5,(Г)Г(*. S). D4)
v = 0
где
^Г5Ч(Г) = 5,_1(Г) для всех v; D5)
обобщенная функция 50(Г) и функции g^ix, ?) будут определены
ниже. Мы укажем несколько различий между методом Адамара и
методом § 4. Во-первых, поскольку Г не удовлетворяет характери-
характеристическому уравнению тождественно, коэффициенты ^(л;, ?) будут
зависеть от выбора 50. Во-вторых, поверхность Г = 0 имеет особен-
особенность в вершине коноида лучей (х =;). Такие особенности в § 4
исключались из рассмотрения.
Здесь наличие особенности в вершине после некоторых вычисле-
вычислений приводит к условию
(^P)_1(V) = O D6)
при Г = 0; без ограничения общности мы можем потребовать, чтобы
это условие выполнялось при всех значениях Г. Тогда коэффициенты
g^ix, ?) можно определить с помощью метода, вполне аналогичного
методу § 4; они будут решениями некоторых обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений вдоль геодезических, исходящих из вер-
вершины х = \. Условие, что функции g" должны быть регулярными
в вершине х — %, позволяет определить и с точностью до постоян-
постоянного множителя.
Определив все коэффициенты в выражении D4), мы можем
объединить некоторые члены. Применяя соотношения D5) и D6),
получаем
-^Y1M-!- D7)
Подбирая соответствующим образом постоянные интегрирования,
будем иметь
/ /„ i 1 \ \
.= 1. ...). D8)
См. § 1 и гл. II, § 9.
736 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Полагая [А —(я—1)/2, получаем
D9)
если знаменатель не обращается в нуль. Но при нечетном п знаме-
знаменатель будет равен нулю при некотором v = j*; ниже мы введем
некоторую обобщенную функцию
Т (Г) = S^ (Г). E0)
Тогда для v > (Л, снова подбирая соответствующим образом постоян-
постоянные интегрирования, мы будем иметь
^ E1)
Теперь мы можем воспользоваться формулами D9) и E1) для объеди-
объединения членов в нашем разложении. Если п четно, то
и(х. ?) = S0(r)U(x, 0. E2)
где
(,)(i)
v=0
Если п нечетно, то
и(х. l) = S0(T)U(x, S)-\-T(T)V(x, ?), E4)
где
Только теперь мы уточним, каковы должны быть 50(Г) и Г (Г).
Из соотношения D6) Адамар сделал вывод, что с точностью до
постоянного множителя
50(Г) = ГA-")/2. E7а)
Однако, вспоминая пример волнового уравнения в п. 5 и учитывая,
что должно удовлетворяться условие A0) из п. 1, мы предпочтем
взять в качестве исходной функции особенностей
50(Г) = 8(("-3)/2)(Г). E76)
§ 15. Решение задачи Коши как линейный функционал 737
Функция 8(Г) удовлетворяет уравнению
ГЗ (Г) = 0, E8)
а 8(''/2)(Г) =-j=r-j=- удовлетворяет уравнению
E9)
с помощью дифференцирования можно убедиться, что не только функ-
функция E7а), но и наша функция 50(Г), определенная формулой E76),
удовлетворяет условию D6). (Эта неоднозначность в определении SQ
связана с тем, что уравнение D6) имеет особенность при Г = 0.)
Которую из формул E7а) и E76) следует выбрать? Рассмотрим
сначала случай, когда п четное. В этом случае формулы (а) и (б)
совпадают, но только в формуле F) 50 надо понимать как обобщен-
обобщенную функцию. Разница сказывается только тогда, когда вычисляются
интегралы от этих функций по областям, содержащим коноид лучей
Г = 0. В случае (а) такие интегралы, вообще говоря, расходятся.
Эта трудность была существенным препятствием !) и привела Адамара
к рассмотрению „конечных частей" расходящихся интегралов. Однако
эти „конечные части" являются просто выражениями, которые полу-
получаются при интегрировании обобщенной функции (б). В действитель-
действительности введение Адамаром понятия конечной части оказалось одним
из существенных поводов для возникновения современной теории
обобщенных функций.
Аналогичная ситуация имеет место при нечетном п. В этом слу-
случае Адамар вводил „логарифмическую часть" интегралов, входящих
в его решение. Эти выражения совпадают с теми, которые полу-
получаются при применении дельта-функции.
Поэтому для четных и нечетных п мы одинаково можем записать
наше решение в виде
и(х, 9 = 8((в-8)/2)(Г)?/(*, 1)+т\(Г)У(х, ?)• F0)
где ч] (Г)— функция Хевисайда, а V обращается в нуль при четных п.
Из свойств 8-функции и ее производных следует, что и(х, 5) обра-
обращается в нуль всюду, за исключением коноида Г=0, тогда и только
тогда, когда п нечетно и V (х, ?) = 0. Это и есть строгая форма
принципа Гюйгенса.
Формулу F0) легко можно сравнить с выражением, полученным
Адамаром; в этом выражении содержится log Г, а не "Ц(Г). Чтобы
убедиться в том, что фундаментальное решение действительно имеет
вид F0), можно воспользоваться определениями п. 2; это мы предо-
предоставляем читателю.
') Интересное изложение этого вопроса см. в работе Адамара [3].
738 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
7. Дальнейшие примеры. Случай двух независимых перемен-
переменных. Замечания. Надо обратить внимание на тот факт, что обоб-
обобщение представления Римана, данного в гл. V, на случай одного
уравнения высшего порядка или на систему k уравнений первого
порядка с двумя независимыми переменными получается как почти
тривиальный случай общего представления этого параграфа.
Что касается вырожденных уравнений, то стоит отметить типич-
типичный пример оператора uXlXlX%. Здесь функция Римана, как видно из
п. 2, имеет вид
¦Ц (*i — Si) 1 (*2 — У fi (*з — У •
где т) — функция Хевисайда.
Вообще говоря, оказывается, что на кратных характеристических
элементах, на изолированных лучах и каустиках матрица Римана
имеет особенности более высокого порядка, чем в остальных точках
конуса лучей или его выпуклой оболочки. Тщательное исследование
этих особенностей позволило бы лучше уяснить обобщенный прин-
принцип Гюйгенсах).
Наконец, мы повторим сделанное выше замечание относительно
теорем существования и единственности. Хотя доказательство теорем
существования в § 10 опиралось на интегралы энергии, теорема
о сходимости разложения для бегущей волны вместе с проведенным
в этом параграфе построением в случае аналитических операторов L
позволяет получить матрицу Римана независимо от интегралов энер-
энергии и независимо от того, является ли оператор симметрическим.
Матрица Римана позволяет непосредственно получить решение задачи
Коши и, кроме того, позволяет изучить дифференциальные свойства
решения.
Теорема Хольмгрена из гл. III, приложение 2, обеспечивает един-
единственность решения. Таким образом, мы получили подход к решению
задачи Коши, отличный от использованного в § 8—10.
§ 16. Ультрагиперболические дифференциальные уравнения
и общие дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
1. Общая теорема Асгейрссона о среднем значении. Метод
сферических средних позволяет получить для произвольных линейных
уравнений второю порядка с постоянными коэффициентами про-
простую, но сильную теорему о среднем значении, принадлежащую
Асгейрссону [2, 3]. Согласно гл. III, § 3, п. 1, однородные диф-
') Некоторые шаги в этом направлении предприняты в работе Люд-
Людвига [3].
§ 16. Ультрагиперболические уравнения 739
ференциальные уравнения такого вида, не вырождающиеся в парабо-
параболические, всегда можно привести к виду
II у у —|— • » • —г— Чу X ~ Ч\! V ~*т™ . , , —4— tl\f \) —— СИ
11 tl Tl II ТП fit
если произвести соответствующее линейное преобразование перемен-
переменных и, в случае необходимости, сократить на некоторый экспоненциа-
экспоненциальный множитель. Мы можем также формально уничтожить коэффи-
коэффициент с (в случае, когда он положителен), если введем новую фиктивную
независимую переменную хп+1 и положим u=vel cxn+\. Дифферен-
Дифференциальное уравнение тогда примет вид
х\х\ ' ' xn+ixn+\ yiyi ' i^ ymym
причем вместо v мы снова пишем и. В том частном случае, когда а
не зависит ни от одной из переменных у, мы получаем уравнение
Лапласа. Если и зависит только от одной из переменных у, то мы
получаем волновое уравнение. Кроме того, предполагая, что и не
зависит от некоторых из переменных х или у, мы можем без огра-
ограничения общности записать дифференциальное уравнение в виде
Д,« = Ду«, A)
т. е.
2л 2уЛ, О>
с одинаковым числом m переменных хну; некоторые из них будут
фиктивными. Дифференциальные уравнения такого типа мы будем
называть ультрагиперболическими.
Теперь мы предположим, что в рассматриваемой области про-
пространства х, у функция и дважды непрерывно дифференцируема
и удовлетворяет уравнению A). С помощью этого решения мы по-
построим следующие интегралы по единичной сфере ^-\- . . . -\-$2т= 1,
имеющей площадь поверхности шт и элемент площади поверхности
(* + ?/•; у) <*Р B)
и
Цх, у, О = тг f ••• Г«(х; У + И<*р. C)
Таким образом, ч(х, у, г) есть среднее значение функции и по по-
поверхности сферы радиуса г с центром в точке у пространства у
при фиксированном значении х, и аналогично \i(x, у, г) есть среднее
значение в пространстве х при фиксированном у. Мы будем пред-
предполагать, что функции v и [х четным образом продолжены для отри-
отрицательных г.
740 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Мы составим также среднее значение
m o;2=.l p2=l
т. е. среднее по сфере радиуса г в пространстве л; и по сфере ра-
радиуса s в пространстве у. Ясно, что
р(х, у, r) = w(x, у; г, 0),
v(x, у, r) — w(x. у; 0, г).
Теорема Асгейрссона о среднем значении может быть выражена просто
соотношением
\х(х, у, r) = v(>, у, г) E)
или, подробнее, следующей формулировкой.
Среднее значение по сфере радиуса г в пространстве у при
фиксированном х совпадает со средним значением при фикси-
фиксированном у по сфере радиуса г в пространстве х, т. е.
[л (л:, у, г) = ч(х, у; г). Вообще,
w(x, у; г, s) = w(x, у, s, г), F)
т. е. двойное среднее значение симметрично относительно
радиусов г и s.
Сначала мы докажем частный случай теоремы. В силу § 13 оба
средних значения v и ц удовлетворяют уравнениям Дарбу
—р— (А, — [А,, = О,
Д
где в первое уравнение входит в качестве параметра у, а во вто-
второе х. Из уравнения A) мы имеем Дл.(л = Ду[д и Ьуч = Ьхч. Следо-
Следовательно,
Кроме того, в силу определения мы имеем
р(х, у, 0) = и(х, у), ft,(*. у. 0) = 0,
ч(х, у, 0) = и(х, у), чг(х, у, 0) = 0.
Таким образом, функции (л и v как функции х и г, зависящие от
параметра у, являются решениями одной и той же задачи Коши
для уравнения Дарбу. Следовательно, в силу теоремы единственно-
единственности § 6, п. 2 они тождественно равны друг другу.
§ 16. Ультрагиперболические уравнения 741
Общее соотношение F) получается аналогичным образом. Для
двойного среднего значения мы имеем kxw = kyw, оно также удо-
удовлетворяет уравнениям Дарбу
A
Д w =
у
w = «>, +
у s s I
так что
m — 1 , m — 1
(8)
При s = 0 мы будем считать функцию w(x, у; г, 0) известной; мы
знаем также, что ws(x, у; г, 0) = 0. Эти начальные з шчения одно-
однозначно определяют функцию w(x, у; г, s) в силу утверждений § 6, п. 2.
Если w(x, у; г, s) = u(r, s) и w(x, у; s, r) = v(r, s), то функ-
функции и и v удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению (8)
с начальными условиями и (г, 0) = w(r, 0); us(r, 0) = 0 ио(г, 0) =
= и»@, г); vs(r, 0) = 0. В силу частного случая теоремы о средних
значениях имеем да@, r) = w{r, 0). Тогда из теоремы единственности
следует, что решения тождественно совпадают
v(r, s) = w(r, s) = w(x, у; г, s).
Поскольку уравнение E) для средних значений справедливо для любой
сферы радиуса г, мы сразу с помощью интегрирования по г получим
соответствующую теорему о среднем значении для шаров
f ... fu(x + ly)dl = f... fu(x, y + E)rfS; E')
в обеих частях равенства интегрирование производится по шару
р2 —jj2_j_ ... -|_ j:^-^ г2. Этот результат позволяет получить соот-
соответствующую теорему для п > т, т. е. для дифференциального урав-
уравнения
их х -\- ¦ ¦ ¦ -\- их х — и* v -г- ... -f- «v v •
Предположим, что в равенстве E') решение и не зависит от пере-
переменных ут+1, .. ., уп, т. < п. Тогда мы можем высказать более
общее утверждение
J ... J «(Jfj + Si *Я-Н„; У𠦕¦•
~ p\){n"")/2«(*; у + О Л. E")
где
о2 = "~2 -А- -4-4? и o2 = c2-i~ -4- Е2
*iТ^ • • • л '•я-
742 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
2. Другое доказательство теоремы о среднем значении. При
более сильных предположениях о дифференцируемости можно дать
другое доказательство теоремы о среднем значении. Положим
1 1
(/¦, s) = J fv (ar, Р«) A — а2)(ш~3)/2 A — р){т~3I2 da d$ (9)
да (, ) J f
-l -l
с некоторой функцией v(a, b) и будем считать, что функция w до-
достаточно гладкая, так что четную функцию v, соответствующую w,
можно однозначно определить в соответствии с § 13. Из § 13, п. 2
мы имеем
-1 -1
т — 1 , т — 1
w + w
Применяя (8), получим
тогда
v(a, b)
Если мы подставим это выражение в (9) вместо г» (я, Ь), то получим
выражение, симметричное относительно г и s, и, следовательно,
установим требуемое соотношение
w(r, s) — w(s, г).
3. Применение к волновому уравнению. Мы снова получим
решение задачи Коши для волнового уравнения utt — Дй —0 с на-
начальными условиями и(х, 0) = ty(x), ut(x, 0) = 0. В соответствии
с только что полученными результатами мы будем рассматривать
волновое уравнение как частный случай ультрагиперболического диф-
дифференциального уравнения A) с y1'=t при дополнительном условии,
что решение и не зависит от переменных у2 уп. Теперь мы
применим теорему о среднем значении к произвольной точке х про-
пространства х и началу координат у = 0 в пространстве у.
Это дает
— Г ... Гм(л; + ^; O)dp==— Г . .. Г и (х; axt)da, A0)
Р2=1 «2=1
причем в правой части и завирит только от компоненты otj единич-
единичного вектора а. Выражение в левой части равенства равно среднему
значению Q{x, t) начальной функции ф, которая известна из началь-
начальных условий. Так как подинтегральная функция в среднем значении,
стоящем справа, зависит только от одной переменной а^, кроме
§ 16. Ультрагиперболические уравнения 743
параметров х, то в силу § 11 это среднее значение можно записать
в виде
Таким образом, из теоремы о среднем значении получается инте-
интегральное соотношение
t
которое совпадает с формулой, полученной в § 13; оно разрешается
относительно а с помощью дробного или обычного дифференциро-
дифференцирования.
Наш метод, по существу, сводится к тому, что пространственные
переменные и время можно рассматривать симметричным образом
за счет введения фиктивных „временных параметров", которые не
влияют на описание физических явлений.
4. Решение характеристической задачи Коши для волнового
уравнения. Другим применением теоремы Асгейрссона является сле-
следующий метод решения характеристической задачи Коши для волно-
волнового уравнения
и« — ихх — «у у — «« = ° A2)
в трехмерном пространстве; она ставилась в § 6, п. 1. Мы предпо-
предположим, что значения и заданы на конусе
т. е. функция
и(х, у, z, Yx2-\-y2-\-z2) = ty(x, у, z)
известна. Мы попытаемся найти решение уравнения A2) (регулярное
при К ^ 0), которое принимает заданные значения на поверхности
Сначала мы построим решение этой задачи на оси конуса х = у =
= z = 0. Чтобы построить это решение, мы воспользуемся теоремой
о среднем значении и получим
it
2vt Ги@, 0, 0, r)dr = t2 f fty(at,
0 2
ИЛИ
t
J и @, 0, 0, г) dr = tf $ ф (у t, ~t, 1Л
744 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
причем интеграл в правой части берется по поверхности единичной
сферы в пространстве а, C, ?. С помощью дифференцирования мы
получим
и @, 0, 0, t) = i
я
где во втором интеграле в функции ^х, ^v, ^г надо также подста-
подставить значения аргументов -~-1 Если в некоторой точке Р, не
лежащей на оси t, значение К отрицательно, то решение и(Р) по-
получается отсюда непосредственно. Мы только должны перевести
точку Р на ось t с помощью преобразования Лоренца, т. е. пре-
преобразования, оставляющего неизменным характеристический конус.
Если, например, точка Р имеет координаты х = х0, у = 0, 2 — 0,
t = t0, хь < t0, то это преобразование имеет вид
х = . U х' + , Хо V,
Vi2 У2 Vt2 X2
У =/¦
а образ Р' точки Р имеет координаты
*' = / = *' = 0,
Так как наше дифференциальное уравнение инвариантно относительно
преобразования Лоренца A4), формулу A3) можно будет применить
к функции
v(x', у', z', t') — u(x, у, z, t)
с граничными значениями
Х(х', у', z')="K*. у, г);
соответственно мы будем иметь
и(х0, 0, 0, tQ) = v@, 0, 0, Vtl — xl) =
8я
8
§ 16. Ультрагиперболические уравнения 745
Если х выразить через ф> то получим
и(х0, О, О, /0)=
( ^' *
Здесь аргументы в функциях tyx, tyy, tyz должны принимать те же
значения, что в ф, т. е.
Поэтому в каждой точке Р, для которой t > 0 и К < 0, функция и
однозначно определяется через i|>; мы просто считаем, что с помощью-
вращения координатных осей точка Р переведена в плоскость y—z—§.
Таким образом, значение а в точке Р зависит только от на-
начальных значений v на эллипсе, высекаемом характеристиче-
характеристическим конусом на некоторой плоскости. Этот эллипс совпа-
совпадает с тем, который получается при пересечении исходного
конуса с характеристическим конусом, проходящим через
точку Р.
Читатель может попытаться проверить, что построенная таким
образом функция действительно является решением задачи. Мы за-
заметим также, что аналогично можно рассмотреть характеристическую1
задачу Коши для ультрагиперболических дифференциальных уравне-
уравнений. Отметим, что этот метод дает только значения решения и внутри
характеристического конуса. Если решение существует также вне
конуса, то его значение в каждой точке зависит от данных на всем
характеристическом конусе1).
б. Другие приложения. Теорема о среднем значении для со-
фокусных эллипсоидов. Другие известные теоремы о среднем зна-
значении являются частными случаями теоремы Асгейрссона. Например,
теорему о среднем значении для оператора Лапласа можно получить,
если рассмотреть гармоническую функцию и (xv .... дгт) как частное
решение дифференциального уравнения A), не зависящее ни от одной
из переменных у. Применение к функции и соотношения E) для сред-
средних значений при произвольном х и у ==,0 сразу дает теорему о сред-
среднем значении для гармонических функций. Эта теорема следует также
из более общего соотношения E") для т = 0.
Менее тривиальная теорема о среднем значении для гармонических
функций получается следующим образом. Пусть u{xv ..., хт) — ре-
') См. Джон [4], стр. 114—120.
746 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
шение уравнения Лапласа Аи = 0. Вместо т переменных xt мы ис-
искусственно введем 1т новых переменных ^ и rqi с помощью системы
уравнений
hal A=1, ..., т),
где величины ах ат могут быть произвольными. Тогда функ-
функция и (х) переходит в функцию и (?, rj) переменных
а дифференциальное уравнение Аи = О превращается в ультрагипер-
ультрагиперболическое дифференциальное уравнение
Теперь мы воспользуемся теоремой Асгейрссона о среднем значении
в форме E') для точки ^ = 7^ = 0 и шара К\. $i-f- ... + ?m О2
в пространстве ? и соответствующего шара Af2: i}i~\- ¦¦¦ -\-ybn^.r2
в пространстве tj. Этим сферам соответствуют два софокусных
эллипсоида
-V7
1=1
в пространстве дг. Средние значения по шарам переходят в средние
значения функции и (х) по внутренности соответствующих двух
эллипсоидов. Так как в соответствии с нашими формулами мы
можем представить таким образом любую пару софокусных эллип-
эллипсоидов при соответствующем выборе величин аг и г, то мы сразу
получаем следующую теорему.
Среднее значение гармонической функции по внутренности
некоторого эллипсоида сохраняется неизменным для целого
семейства софокусных эллипсоидов.
Заметим также, что к этому последнему результату можно было
бы подойти с более общей точки зрения. Существует группа линей-
линейных преобразований, переводящих ультрагиперболическое уравне-
уравнение A) в себя. Эю линейные преобразования („ультралоренцевы"
преобразования), которые переводят характеристическую форму
§ 17. Многообразия непространственного типа 747
в себя (с точностью до постоянного множителя) и которые, следо-
следовательно, оставляют неизменным характеристический конус диффе-
дифференциального уравнения. Естественно, эта группа преобразований
(заслуживающая дальнейшего изучения1)) имеет в качестве подгруппы
не только преобразования подобия, но и преобразования Лоренца
в пространствах с меньшим числом пространственных переменных.
Производя замену переменных с помощью „ультралоренцевой
группы" и применяя затем теорему Асгейрссона, можно получить
новые теоремы о средних значениях для решений частных видов
ультрагиперболических уравнений2).
§ 17. Задача Коша для многообразий
непространственного типа
Теорема о среднем значении § 16 позволяет выяснить положение
с задачей Коши для ультрагиперболических уравнений и для гипер-
гиперболических уравнений с начальными данными на многообразиях не-
непространственного типа. В частности, мы увидим, почему задачи Коши
такого типа „поставлены некорректно" в смысле гл. III, § 6.
1. Функции, определенные с помощью средних значений по
сферам с центрами на некоторой плоскости. Интеграл от неко-
некоторой функции f(x, t) = f(xx х„, t) по сфере радиуса г
с центром в точке (х, 0) пространства х, t определяется формулой
g(x, /¦)= / f(x + l T)rfS = Q[/]. A)
Очевидно, что величина Q[f] зависит только от четной части функ-
функции /, f(x, t)-\- f(x, —t). Мы хотим определить f(x, t)-\-f{x, —t)
по заданной функции g (x, r). Для этого мы построим интеграл
') Для т = 3 эта группа эквивалентна группе преобразований совокуп-
совокупности всех прямых в трехмерном пространстве в себя; см., например,
Клейн [1].
Эквивалентность этих групп становится- более ясной в связи с одним
приложением, указанным Джоном, теоремы Асгейрссона о среднем значении
к ультрагиперболическому уравнению
с т — 2 (см. Джон [5]). Мы будем интерпретировать Х\, хъ у,, у2 как коор-
координаты прямых в трехмерном пространстве ?,-? в смысле геометрии прямых.
Тогда общее решение, определенное во всем пространстве и удовлетворяю-
удовлетворяющее некоторым условиям регулярности на бесконечности, дается с помощью
интеграла от произвольной функции ?, С по прямым в пространстве. Для
прямых, лежащих на произвольном однополостном гиперболоиде в простран-
пространстве 5, С, теорему Асгейрссона о среднем значении можно сформулировать
следующим образом: интеграл от любого решения и по прямым одного из
семейств равен интегралу по прямым другого семейства.
2) См. Асгейрссон [2].
748 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
от функции / по шару радиуса г с центром в точке (х, 0):
г
О(х. r) = jg(x, p)dP= J /(Jc + E. x)dUx. B)
Дифференцируя О по одной из переменных х, а именно xv получим
= f /e(* + S, x)dUx = i f /(* + ?. x)?,rf5. C)
f»25 У 2'
f»J--2<r5
Следовательно,
-$- L(x
dXi J g{X'
о
где Z?; — линейный оператор, действующий на функцию g(x, r).
Применяя такое же рассуждение к функциям x-J вместо / и повто-
повторяя этот процесс многократно, мы для любого полинома P(xv ..., х„)
сможем найти «интеграл от функции Pf по сфере радиуса г с цен-
центром в точке (х, 0); он дается формулой
= P{D1 Dn)g
тен, если известна ф
Q\Pf]= f PGl)(/G], T)+/G], -X))-^p-, D)
и, следовательно, он известен, если известна функция g. Мы также
имеем
где
В силу полноты полиномов Р на сфере функция
а, следовательно, и четная часть функции / однозначно определяются
по известным величинам P(D1, ..., DJg1).
Теперь мы отметим следующий важный факт. Чтобы вычислить
оператор Dtg для любой системы значений лг°, . . ,, х°п, г°, доста-
') Тот факт, что функция E) имеет особенность при т = 0, не влияе!
¦на справедливость этого вывода. Мы только должны сгладить функцию E)
в некоторой окрестности сферы \г\ — х | = г и выбрать в качестве полино-
полиномов Р последовательность, равномерно стремящуюся к этой сглаженной
функции.
§ 17. Многообразия непространственного типа
749
точно знать среднее значение g(x, r) функции f(x, t) для
О < г < г°,
F)
где число ? сколь угодно мало. То же самое справедливо относи-
относительно вычисления P{DV ..., Dn)g для всех полиномов.
Отсюда следует, что значения g в области, определяемой нера-
неравенствами F), однозначно определяют четную часть функции /
во всем шаре
Это, в свою очередь, однозначно опре-
определяет интеграл от g(x, t, г) по любой
сфере с центром на плоскости t — 0,
лежащей внутри той сферы, где извест-
известна функция /, если
G)
e
Рис. 59.
Таким образом, мы показали следующее.
Функция g однозначно определяется во всем двойном ко-
конусе G) своими значениями в цилиндрической области F) про-
произвольной толщины ? (см. рис. 59).
2. Приложения к задаче Коши. Мы рассмотрим ультрагипер-
ультрагиперболическое уравнение
i~\ l l 1=1 l l
в котором мы выделяем переменную xn+l = t и предполагаем, что
га^>2, но не считаем обязательным, что 1 = п-\-1. Мы попытаемся
найти решение, задавая его значения на плоскости t = 0. Пусть
при t = 0 заданы
и(х, у, 0) = ty(x, у) и ut(x, у, О) = ср(дг, у).
Мы рассмотрим начальные значения в некоторой области простран-
пространства х, у, причем предполагается, что у находится в некоторой об-
области О пространства у, а х изменяется в пределах малого шара
¦V
(9)
в пространстве х. Область, в которой заданы начальные значения,
является, таким образом, „произведением" малого шара в простран-
750 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
стве х и произвольной области О в пространстве у. Рассмотрим
решение и как функцию х, t, зависящую от параметра у. Тогда
наши заданные значения ф позволяют определить интегралы от и
по таким сферам в пространстве х, t, центры которых xt, t удо-
удовлетворяют условиям
п
t = 0, 2 (jc, — xjf <
а радиусы не больше, чем радиус г° наибольшего шара с центром
в точке у пространства у, который целиком лежит в области О.
Для п > / это непосредственно следует из теоремы о среднем зна-
значении § 16. Если п < /, то эта теорема о среднем значении позво-
позволяет сначала найти только интегралы
u{x, t)[ r2-
по любому шару Vr в пространстве х, t с радиусом r^r° и цен-
п
тром Xj хп, t = Q; здесь S (-f; — x°J^s2. Если мы обозначим
интеграл от функции и по сфере радиуса г через I (г), то написан-
написанный выше интеграл приобретет вид
О
Но это выражение известно для г < г°; тогда /(г) также однозначно
определится для г ^ г°. Это получается из приведенных ранее рас-
рассуждений (см. § 16) с помощью решения интегрального уравнения
Абеля. Таким образом, наше утверждение доказано также для I > п.
В силу п. 1 четная функция и(х, у, t)-\-u(x, у, —t) однозначно
определится во всем шаре
по заданным значениям ф. Аналогично, четная функция
ut(x, у, t)~\-ut(x, у, —t)
определится через <р- Отсюда сразу следует, что и(х, у, t) опреде-
определяется однозначно. В частности, при ^ = 0 начальные значения
и(х, у, 0) определяются в шаре
J 0°)
§ 17. Многообразия непространственного типа
751
начального «-мерного пространства Rn, и мы, таким образом, полу-
получаем замечательный результат.
Если начальные значения решения и улыпрагиперболического
уравнения (8) известны для у из области Q и х из произвольно
малого шара
(см. п. 1), то начальные значения однозначно определяются
всюду в большем шаре
( = 1
где г° определяется так же, как и ранее.
Вследствие этого нельзя произвольно задавать начальные зна-
значения и (х, у, 0).
У
'1
X,
Рис. 60. Рис. 61.
Например, если при данном а для дифференциального уравнения
задаются начальные значения u(yv y2, х, 0) в тонком цилиндриче-
цилиндрическом диске
то значения и (yv y2, х, 0) a priori однозначно определяются в об-
области
ограниченной двумя конусами (см. рис. 60).
752 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Аналогично, рассмотрим волновое уравнение
ЙУУ — «*.*¦ — Ux2x2 — И« = 0, A2)
но переменим в нем роли пространственной переменной у и времен-
временной переменной t. Если функция и (у, xv х2, t) задана в тонком
цилиндре
образующие которого параллельны оси у, то начальное значе-
значение и (у, xv x2, 0) сразу однозначно определяется в ограниченной
двумя конусами области
У(хх - 4L- (х2 - *§/ + | у - у°I < в
(см. рис. G1).
Таким образом, на плоскости непространственного типа
невозможно произвольным образом задавать начальные значе-
значения, для решения волнового уравнения.
В случае общего уравнения (8), если начальные значения
м(Уг Уг> ¦••' Уг'> х\< •••• хп' 0) заданы для
i=lч ' 1 = 1
то они a priori известны в области
(у, - у«J4-
а решение и(х, у, 0 однозначно определяется для
i (У, - У?J + (/I; (^ ~ х?J + Р < а.
Для уравнения Лапласа
uXlXl+ ... -Ь«^я + а« = 0 A3)
это означает следующее: ес^гм решение и является четной функ-
функцией t, то значения и(х, 0) в произвольно малом шаре
однозначно определяют значения решения в области
при произвольном а.
§ 18. Замечания о бегущих волнах 753
В частности, при ^ = 0 значения и(х, 0) в любом малом шаре
однозначно определяют начальные данные для и во всей плоскости.
Это утверждение для начальных значений верно без требования чет-
четности решения.
Такого результата для решений уравнения Лапласа следовало ожи-
ожидать в силу аналитического характера решений, что нам уже было
известно. Но в случае гиперболических и ультрагиперболических
дифференциальных уравнений полученные выше соотношения между
значениями решения на начальной плоскости не являются столь оче-
очевидными. Действительно, эти начальные функции могут даже не быть
аналитическими. Таким образом, при исследовании значений решений
гиперболических и ультрагиперболических дифференциальных уравне'
ний на плоскостях непространственного типа мы имеем дело с заме»
чательным явлением, а именно с функциями, которые не обязаны
быть аналитическими, но значения которых в произвольно малой
области определяют функцию в существенно большей области1).
§ 18. Замечания о бегущих волнах, передаче
сигналов и принципе Гюйгенса
1. Неискажающиеся бегущие волны. Термин „волна" в этой книге
применялся в совершенно общем смысле для любого решения гипер-
гиперболической задачи2), но существуют некоторые специальные классы
волн, представляющие особый интерес, например „стоячие волны",
представимые в виде произведения функции времени на функцию про-
пространственных переменных. В этом параграфе мы хотим выяснить
значение другого такого класса — бегущих волн, которые рассматри-
рассматривались для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
коэффициентами в гл. III и для более общего случая в § 4 этой главы. Это по-
понятие является основным в теории передачи сигналов и главным
предметом изучения в теории гиперболических дифференциальных
уравнений. Для краткости мы будем рассматривать одно уравнение
L[u] = Q.
В соответствии с гл. III, § 3 мы определим семейство неиска-
жающихся бегущих волн как сгмейство решений уравнения L [и] = 0,
зависящее от произвольной функции 5(ср) и имеющее вид
и = 5(<р(*. 0). A)
где S называется формой волны, а <?(х, t) — фиксированная фазо-
фазовая функция пространственных переменных х и времени t = xQ.
') См. Джон [3], где другим методом получены даже более сильные ре-
результаты для общих линейных уравнений с аналитическими коэффициентами.
2) Чтобы не было недоразумений, термин „фронт волны" мы постоянно
сохраняли для поверхностей разрыва, не удовлетворяющих исходному диффе-
дифференциальному уравнению, но связанных с характеристическим уравнением
первого порядка.
754 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Такой фазовой функцией может быть
Решение и описывает движение неискажающейся волны формы 5
в пространстве. Пользуясь произвольностью формы S(tp), мы делаем
вывод, что функция ср должна удовлетворять уравнению
?.[?] = О
и характеристическому уравнению
Первое уравнение получается, если взять S(cp) = cp; второе возникает,
если положить 5 = 8(ср— с) с произвольной постоянной с (см. § 4).
Таким образом, мы можем утверждать, что фазовая функция ср яв-
является характеристической функцией, т. е. фазовые поверхности
ср = const являются характеристическими фронтами волны.
Несмотря на переопределенность ср, существуют некоторые диф-
дифференциальные уравнения L[m]=0, допускающие такие- семейства
неискажающихся бегущих волн. Например, это имеет место для ли-
линейных дифференциальных уравнений L [и] — 0 с постоянными коэф-
коэффициентами, содержащих только члены старшего порядка, в част-
частности для волнового уравнения (см. гл. III, § 3). Однако, вообще
говоря, условия, наложенные на функцию ср, несовместны. Поэтому
целесообразно ввести менее стеснительное понятие семейства „отно-
„относительно неискажающихся" бегущих волн вида
u = g(x, /M(<p). B)
где снова функция S (ср) произвольна и где не только фазовая функ-
функция cp(jf, t), но и коэффициент искажения g имеют специальный вид.
Такие волны все еще могут служить для передачи сигналов, а мно-
множитель g характеризует затухание. Сферические волны в трехмер-
S(t — r) S(t + r)
ном пространстве, например •— или —-—!—- , дают типичный
пример такого семейства относительно неискажающихся волн. Кон-
Концентрические сферы в пространстве являются перемещающимися ха-
характеристическими поверхностями постоянной фазы.
Условия, наложенные на решение B), снова сводят его к харак-
характеристическим функциям; они дают переопределенную систему диф-
дифференциальных уравнений для искажения g. В этом легко убедиться,
например, подставив решение B) в дифференциальное уравнение
и учитывая, что из произвольности функции 5 следует обращение
в нуль всех коэффициентов при 5, S', S", ....
Следовательно, уравнение /.[и] —О имеет такие относительно не-
искажающиеся семейства решений только в исключительных случаях.
§ IS. Замечания о бегущих волнах 755
Конечно, если некоторое дифференциальное уравнение L[u] = 0 об-
обладает этим свойством, то им обладает целый класс эквивалентных
дифференциальных уравнений. Два дифференциальных уравнения
L[m] = 0 и !*[;;*] = О для двух функций и(х) и и*(х) называются
эквивалентными, если их можно перевести друг в друга с помощью
преобразования вида
**t=*t(xo- xv •¦•• хп)' «* = /(*)«.
Вопрос об отыскании всех операторов L, имеющих такие семей-
семейства решений, почти совершенно не изучен!).
Существует задача, связанная с этой, для которой известно ре-
решение. Рассмотрим волновое уравнение с четырьмя независимыми
переменными. Какие фронты волны возможны для относительно не-
искажающихся бегущих волн? Ответ состоит в том, что фронты
волны являются циклидами Дюпена2), которые включают плоскости
и сферы как частные случаи.
Вообще говоря, чтобы уменьшить или ликвидировать переопре-
переопределенность системы для искажения g, надо ввести несколько таких
коэффициентов, как мы это действительно делали в § 4, определяя
бегущие волны высших порядков, или даже полные бегущие волны.
В соответствии с § 4 и 5 использование таких волн позволяет сде-
сделать важный шаг по пути построения решений, хотя они дают иска-
искажение начальной формы сигнала.
2. Сферические волны. Проблема передачи сигналов еще более
проясняется с помощью понятия „сферических волн", которые слу-
служат обобщением сферически симметричных решений трехмерного
волнового уравнения. Мы ограничимся случаем линейных дифферен-
дифференциальных уравнений второго порядка L[u] — 0 и рассмотрим кривую
') Легко доказать следующий частный результат: в случае двух пере-
переменных хх = х, t — хо = у единственными дифференциальными уравне-
уравнениями второго порядка, допускающими семейства относительно неиска-
жающихся бегущих волн в обоих пространственных направлениях, яв-
являются уравнение иху = 0 и эквивалентные ему уравнения.
Действительно, гиперболическое уравнение второго порядка эквивалентно
некоторому уравнению вида 2иху-\- Вих-\- Си = 0, где В и С — функции х
и у, a x-j-y и х — у представляют собой соответственно временную и про-
пространственную координату; прямые х = const и у = const являются характе-
характеристиками. Существование семейства волн вида u=g(x, y)S(y) возможно
при одновременном выполнении условий gx = 0 и 2gxy -f- Bgx -\- Cg = О
и, следовательно, при С — 0. Если, кроме того, должно существовать семей-
семейство решений и= h (x, у) S (х), распространяющихся в другом направлении,
то должны выполняться условия 2hy -f- Bh = 0 и 2hxy -f- Bhx = 0, так что
Bx = 0. Но уравнение 2ику -\- В (у) их = 0 эквивалентно уравнению иху = 0.
2) См. Фридлендер [1] и М. Рисе [1].
756 Гл. VI. Гиперболические уравнения со многими переменными
Л временного типа1), заданную в виде xt = kQ.) с некоторым парамет-
параметром X (здесь не выделена временная переменная). Мы рассмотрим
характеристический коноид с вершиной в точке ?(Х) или сферический
фронт волны Г(х; ij) = 0.
Для заданного х мы можем определить X как функцию х из
уравнения Г(х, ?(>.)) = 0; мы положим X = <p(jc). Характеристический
коноид с вершиной %{у(х)) задается уравнением ср (х) = const. Се-
Семейство относительно неискажающихся сферических волн, ис-
исходящих из кривой Л, можно тогда определить как решение и
дифференциального уравнения второго порядка вида
с произвольной функцией S и функцией g специального вида.
По поводу этого понятия известно мало; очевидно, оно связывает
сферические волны с задачей о совершенно правильной передаче сиг-
сигналов во всех направлениях. Все, что мы можем здесь сделать, это
сформулировать одно предположение, которое получит некоторое
подтверждение в п. 3: семейства сферических волн для произ-
произвольных кривых Л временнбго типа существуют только в слу-
случае двух или четырех переменных и только в случае, ког-
когда дифференциальное уравнение эквивалентно волновому урав-
уравнению.
Доказательство этого предположения показало бы, что четырех-
четырехмерное физическое пространство-время мира классической физики
обладает весьма существенными отличительными свойствами.
Здесь мы только подчеркнем, что если для волнового уравнения
в качестве кривой временного типа Л мы возьмем ось / и положим
г2 = х2-{-у2-\- z2, то мы получим такие волны с y = t—г и g = 1/r
Для других прямых временнбго типа сферические волны получаются
с помощью преобразования Лоренца.
В случае четного числа независимых переменных /t+l=2v + 4
(v=l, 2, ...) существуют решения в виде семейств бегущих волн2)
высших порядков. Явные решения, построенные в § 12, п. 4 или
§ 15, п. 4, уже не свободны от искажений, но все же описывают
процессы распространения.
Что касается уравнений высших порядков, то стоит в качестве
примера заметить, что [(« + 1)/2]-я итерация волнового уравнения
для всех четных значений /1+1, т. е. уравнение порядка ге+1
П См. § 3, п. 7.
2) Обозначения несколько отличаются от применявшихся выше.
§ 18. Замечания о бегущих волнах 757
имеет неискажающиеся семейства сферических волн
хотя само волновое уравнение
не имеет таких семейств решений. Этот факт является просто дру-
другой интерпретацией теоремы, доказанной в § 13, п. 4. Он указывает
на то, что для уравнений высших порядков существуют различные
возможности, которых нет для уравнений второго порядка.
Наконец, надо напомнить, что встречаются и играют важную
роль отдельные бегущие сферические волны высших порядков
с конкретном функцией S, а не обязательно с семейством произволь-
произвольных функций S (§ 4). В частности, фундаментальное решение из § 15,
например выражение Адамара для фундаментального решения одного
уравнения второго порядка (§ 15, п. 6), представляется с помощью
таких волн
где 5 (Г) — некоторая специальная обобщенная функция.
3. Излучение и принцип Гюйгенса. Принцип Гюйгенса несколько
раз рассматривался в этой книге; он утверждает, что решение в не-
некоторой точке ?, т зависит не от всех начальных данных в коноиде
зависимости, а только от данных на характеристических лучах, про-
проходящих через точку \, т (мы снова выделяем переменные xQ = t
и |0 —т). Принцип Гюйгенса эквивалентен утверждению, что матрица
излучения, построенная в § 15, тождественно обращается в нуль
Bcioflyt за исключением лучей, проходящих через точку !-, т. В со-
соответствии с этим мы можем утверждать, что резкий сигнал, исхо-
исходящий в момент т из точки ?, передается по лучам в виде резкого
сигнала и не может быть обнаружен вне коноида лучей. Однако
принцип не утверждает, что этот сигнал передается б;з искажений.
Для одного дифференциального уравнения второго порядка с по-
постоянными коэффициентами мы видели, что только для волновых
уравнений с 3, 5, 7, ... пространственными переменными и для
эквивалентных им уравнений справедлив принцип Гюйгенса. Для диф-
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами гипотеза
Адамара1) состоит в том, что эта теорема остается справедливой
также и тогда, когда коэффициенты не постоянны. Но примеры по*
казывают, что эта гипотеза в таком виде не может быть полностью,
1) Эта знаменитая гипотеза не была категорическим утверждением
Адамара.
758 Приложение к гл. VI
справедливой:), хотя в высшей степени правдоподобно, что она
по существу правильна2).
Вообще, вопрос о принципе Гюйгенса для уравнений второго
порядка надо было бы рассматривать в связи с гораздо более ши-
широкой задачей о точных областях зависимости и влияния для любой
гиперболической задачи (см. § 7); эта проблема остается еще совер-
совершенно открытой.
Что касается передачи сигналов, которые не только остаются
резкими, но и не искажаются, то в п. 2 было сформулировано пред-
предположение о том, что это возможно только в трехмерном простран-
пространстве. Для изотропной однородной среды, т. е. для случая постоян-
постоянных коэффициентов (и для уравнений второго порядка) доказательство
этого предположения содержится в предыдущих рассуждениях. Таким
образом, представляется, что наш реальный физический мир, в ко-
котором основой связи являются звуковые и электромагнитные сиг-
сигналы, выделяется среди других, с математической точки зрения воз-
возможных моделей особой простотой и гармонией.
Однако в любой гиперболической системе, по крайней мере
приближенно, сохраняется резкость сигналов в смысле обобщенного
принципа Гюйгенса (см. § 15, п. 3). Поэтому этот обобщенный прин-
принцип важен для понимания передачи сигналов с математической точки
зрения. Это становится особенно ясным, если учесть, что справед-
справедливость принципа Гюйгенса в лучшем случае является весьма не-
неустойчивым свойством дифференциального оператора; это свойство
нарушается сколь угодно малым изменением коэффициентов опера-
оператора. Поэтому нам кажется, что обобщенный принцип Гюйгенса надо
рассматривать как правильное отражение физической реальности.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VI
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ИЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
§ /. Основные определения и понятия
1. Введение. В этом приложении мы рассмотрим понятие „обоб-
„обобщенной функции) или распределения. Применение этих обобщенных
') Противоречащий пример для пространства семи измерений был недавно
построен Штельмахером [1].
') Адамар отождествлял справедливость принципа Гюйгенса с равенством
нулю логарифмического члена в его выражении для фундаментального ре-
решения с нечетным числом п пространственных переменных. В нашей интер-
интерпретации принцип Гюйгенса означает, что ряд D4) в § 15 не содержит чле-
членов с функцией Хевисайда и ее интегралами.
3) Термин „распределения" указывает, что обобщенные функции, такие,
как дельта-функция Дирака и ее производные, могут быть истолкованы как
§ 1. Основные определения и понятия 759
функций в предыдущих главах будет обосновано здесь с более об-
общей точки зрения.
Необходимо понимать, что слово „функция" может означать век-
вектор-функцию с k компонентами. Рассматриваемые функции могут
принимать комплексные значения, но независимая переменная х всегда
есть действительный я-мерный вектор.
Многое из того, что составляет содержание этой теории, уже
давно играло важную роль в физической литературе и некоторых
других работах'). Но систематическое изучение этого вопроса нача-
началось только с момента выхода обширной книги Лорана Шварца [1];
этой теории посвящено множество работ2); некоторые из них
далеко идут в направлении изучения тонких вопросов3). В этом при-
приложении внимание сосредоточено на элементарных основах теории
в той мере, в какой это необходимо для проведенного здесь иссле-
исследования линейных дифференциальных уравнений. Мы опускаем под-
подробное рассмотрение обычно излагаемых приложений к теории пре-
преобразования Фурье (см., однако, § 4, п. 4).
2. Идеальные элементы. „Распределения" удобнее всего вводить
как идеальные элементы в функциональных пространствах. Одним
из основных математических построений является расширение данного
множества или „пространства" 5 некоторых математических объектов
с помощью дополнительных новых „идеальных элементов", которые
не являются элементами исходного множества S и определяются
не дескриптивно, а с помощью некоторых соотношений, таких, что
в расширенном множестве S сохраняются прежние правила для ос-
основных операций. Целью этого расширения является снятие ограни-
ограничений, налагаемых на элементы исходного множества 5.
Так, например, в проективной геометрии идеальные элементы,
а именно „бесконечно удаленные точки", определяются пучками па-
параллельных прямых. В других случаях идеальные элементы вводятся
с помощью пополнения исходного множества 5 по некоторой норме;
распределения масс, диполей и т. д., сосредоточенных в точках, на кривых
или на поверхностях. Однако термин „обобщенные функции" кажется более
соответствующим той роли, которую играет это понятие в связи с диф-
дифференциальными уравнениями и с математическим анализом вообще. Дей-
Действительно, роль обобщенных функций аналогична роли обычных функций,
почти так же, как роль действительных чисел аналогична роли рациональ-
рациональных чисел.
') Например, стоит обратить внимание на статью Соболева [1], которая
намного опередила теперешний поток литературы.
2) См., например, Гельфанд и Шилов [1]. Следует упомянуть еще вы-
вышедшую недавно небольшую книгу Лайтхилла, где особое внимание обра-
обращается на теорию преобразования Фурье. Книга Лайтхилла отчасти продол-
продолжает работу Темпла. См. Лайтхилл [2] и Темпл [I], а также литературу,
цитируемую в этих работах.
8) См., например, серию работ Эренпрейса [1].
760 Приложение к гл. VI
при этом используется „сильный" предельный переход. Например,
действительные числа определяются как 1) сходящиеся последователь-
последовательности рациональных чисел /•„, такие, что норма \гп — гт\ стремится
к нулю, если п и т стремятся к бесконечности. Функции, интегри-
интегрируемые по Лебегу, или функции, интегрируемые с квадратом, также
можно определить с помощью последовательностей непрерывных функ-
функций fn(x), для которых в соответствующих областях пространства х
интегралы I |/„ — fm\dx или I |/л — fm\2dx стремятся к нулю.
Функции в гильбертовых пространствах — это идеальные элементы,
заданные как последовательности достаточно гладких функций /„,
для которых основная положительно определенная квадратичная форма
Q(fn — fm) стремится к нулю. _
В этих примерах расширенное пространство S — полное, т. е.
его нельзя расширить, пополняя по той же самой норме. В проти-
противоположность этому данное ниже определение обобщенных функций
не будет введено путем пополнения по некоторой норме2).
Обобщенные функции вводятся для того, чтобы расширить область
применения элементарного анализа за счет снятия весьма стеснитель-
стеснительных условий дифференцируемое™. Выделение операций над обоб-
обобщенными функциями как особого рода объектами вместо использо-
использования приемов, свойственных тем или иным разделам анализа (это
впервые было проделано Лораном Шварцем [1]), оказалось весьма пло-
плодотворной идеей; более того, рассматривая эти обьекты как „функ-
„функции", можно существенно упростить некоторые рассуждения3), кото-
которые в противном случае были бы очень сложными.
Для целей этой книги достаточно ввести обобщенные функции
(как в гл. VI, § 4), применяя линейные дифференциальные операторы
к непрерывным функциям и задавая некоторые правила действий над
ними. Однако полезно привести два других определения и доказать
') Часто желание дать дескриптивное определение идеальных элементов
приводило к таким логическим вывертам, как утверждение: „Действительное
число есть дедекиндово сечение в множестве рациональных чисел". По-ви-
По-видимому, мало что можно выиграть, пытаясь заменить определение идеальных
объектов с помощью соотношений дескриптивными определениями.
2) Это «слабое определение". Надо, однако, заметить, что для обобщен-
обобщенных функций можно дать также „сильное" определение с помощью сходи-
сходимости по некоторой норме (см. замечание ниже, в § 4, п. 4). Связь между
слабым и сильным расширениями и их эквивалентность была указана Фрид-
рихсом [4].
3) См., например, Гельфанд и Шилов [1]. Получаемые таким путем фор-
формальные упрощения не должны создавать иллюзию, что тем самым устра-
устраняется самое существо свойственных этому вопросу трудностей; трудности
эти только изолируются и выясняются. Часто подлинная трудность перено-
переносится на последний этап задачи, когда надо понять, в каком смысле резуль-
результат, полученный в терминах обобщенных функций, можно выразить с помощью
обычных функций.
§ 1. Основные определения и понятия 761
эквивалентность всех трех определений. Прежде чем сделать это
(в § 2, п. 3), мы напомним и дополним некоторые обозначения из
гл. VI.
3. Обозначения и определения. Пусть даны два вектора у, г;
мы будем считать, что у < z, если одна из компонент вектора у
меньше, а остальные не больше, чем соответствующие компоненты
вектора г.
Как и в гл. VI, § 3, через г мы будем обозначать вектор с п
целыми неотрицательными компонентами г,,..., гп, а через \г\ —-
сумму /"!+ ... +/"„; иногда мы будем писать (— 1/ вместо (—1)|г|.
Иногда мы будем через г+1 обозначать вектор с компонентами
Г{-\- 1, И Т. Д.
Кроме того, г—>оо означает, что все компоненты вектора г стре-
стремятся к бесконечности. Как и в § 3, мы положим г 1 = гг! г2! ... гп\.
Для любого вектора с, в и-мерном пространстве \т определяется
как произведение k[' ^ • • • fy-
Через 0, 0'', 0* мы будем обозначать прямоугольные1) области
в пространстве х, например область —а < xt < А или все про-
пространство. Обычно через ^, ^' и т. д. мы будем обозначать соот-
соответствующие замкнутые области.
Скалярное произведение (g, h) двух функций g и h, как обычно,
определяется как интеграл от функции gh по основной области 0,
которая может совпадать со всем пространством.
Через Dr — D[' ... Drn" мы обозначим оператор дифференциро-
дифференцирования, причем Dj обозначает d/dxf, через Dz мы обозначаем соот-
соответствующий оператор дифференцирования, если хотим подчеркнуть,
что независимым переменным является вектор z.
Иногда полезно обозначать операторы интегрирования симво-
символами DJX, D~s и т. д.; при этом не всегда будут указываться
нижние пределы соответствующих, интегралов.
Через С (или С00) мы будем обозначать пространство функций ф,
для которых производные Огф (или Орф при всех р) непрерывны,
или по крайней мере кусочно-непрерывны.
Наконец, мы напомним определение максимум-нормы |[ср||, соот-
соответственно r-максимум-нормы ||<р||г для функции <р в области 0;
она равна верхней грани в области 0 модуля |ср|, соответственно
модулей всех производных Dr ср при г' ^ г.
4. Повторное интегрирование. Пусть z — точка-параметр в пря-
прямоугольнике 0, скажем 0 < х{ < 1; в области х < г пространства х,
') То, что область 3 прямоугольная, удобно, но несущественно.
762 Приложение к гл. VI
которую мы обозначим ?, положим
qr{x; z) = q{x\ z) = -р-(z — x)T; A)
вне этой области положим
qr(x; *) = 0.
Тогда для любой непрерывной функции 1г(х), которая обращается
в нуль на ? при больших значениях |х|, мы положим
G(z)=f ... fqr(x; z)h{x)dx; B)
согласно элементарным правилам анализа, мы имеем
r+l C)
5. Линейные функционалы и операторы. Билинейная форма.
Напомним общее понятие линейного функционала Л [ср], который
определен для функций ср(х), заданных в основной области д и,
кроме того, принадлежащих некоторому линейному „пространству"
55 основных функций <р; например, 35 может быть множеством
функций, каждая из которых непрерывна в некоторой подобласти д'
области д и равна нулю вне д'. Основное свойство линейного
функционала выражается тождеством Л [с^-j-с2ср2] = сгА [cpj -|~
-J- с2Л [ср2] для любых двухосновных функций срр ср2 и произвольных
постоянных с1 и с2. Отсюда в предположении непрерывности функ-
функционала (см. п. 6) следует тождество
если
ф(х)= I cp(x; %)d\ D')
и если основная функция ср(х; с) непрерывно зависит от параметра?
в пространстве \, в котором ведется интегрирование.
Если функционал Л[ср(х); у] зависит не только от основной
функции ср(х), но и от параметра у, то Л представляет собой
линейный оператор, или линейное преобразование,
функции ср(лг) в ш(у) (иногда это кратко обозначается как Л [ср] == со).
Обычно мы рассматриваем случаи, когда переменная у изменяется
в пределах той же области д, что и переменная х.
Если можно образовать скалярное произведение функции ш(у) =
= А [ср] и основной функции ф(у) над областью д, то это произ-
произведение
(о), д^В[Г, ^] = (Л[<р], ф)= /Л
§ 1. Основные определения и понятия 763
называется билинейной формой, или билинейным функционалом,
связанным с оператором Л. Очевидно, что для фиксированного ср
это есть линейный функционал относительно ф, а при фиксирован-
фиксированном ф — линейный функционал относительно ср. Если существует
линейный оператор Л* [ф], такой, что В можно представить в виде
ф] = (Л[<р]. ф) = (?. Л*[ф]), E)
то Л * называется оператором, сопряженным к Л!).
Производные и вообще дифференциальные операторы являются
линейными операторами специального типа, так как они резко
локализованы, т. е. их значение в точке зависит от значений функ-
функции-аргумента ср(лг) не во всей области изменения х, а только в
бесконечно малой окрестности точки х — у. (Здесь такие операторы,
может быть, следовало бы записывать в более развернутом виде
Л[ср(у); х], где роли х и у меняются. Однако мы позволим себе
применять обычные обозначения и будем просто записывать диффе-
дифференциальные операторы в виде L[<f(x)], как мы это делали всюду
в этой книге.)
Заметим, что, в противоположность этому, операторы дробного
дифференцирования не локализованы; это сразу видно из формул
для дробных производных.
6. Непрерывность функционалов. Носители основных функ-
функций2). Раз и навсегда мы предположим, что основные функции ср(дг)
непрерывны и, кроме того, что каждая из них тождественно равна
нулю вне некоторой конечной области g*, которая называется
носителем; такие функции называют функциями с ограниченным
носителем, или финитными. Мы будем иногда говорить, что
функция ср сосредоточена на 0*.
Если, кроме того, все производные DT ср при г' <^.г непрерывны
(т. е. функция ср принадлежит классу С), то мы скажем, что функ-
функция ср принадлежит классу Юг; если все производные функции ср
непрерывны (т. е. ср принадлежит С00), то функции ср образуют более
узкий класс 3)^ или, короче, 3). Очевидно, что 3V включает ф^,
если г' < г. Если не оговорено противное, то мы будем предпола-
предполагать, что ср принадлежит С°° или J).
Мы рассмотрим основную область g в пространстве х. Линей-
Линейный функционал Л[<р] (и аналогично линейный оператор) называется
непрерывным, если
') Относительно понятия сопряженного оператора см. гл. III, приложе-
приложение 1, § 2.
2) В текст этого приложения редактором внесены небольшие измене-
изменения. — Прим. ред.
764 Приложение к гл. VI
для любой последовательности основных функций сре с носителем
в произвольной подобласти д* области 0, равномерно по х схо-
сходящейся к функции ср при е—>0. В силу линейности следующее
определение эквивалентно только что приведенному. Для всех непре-
непрерывных основных функций с носителем в замкнутой подобласти д*
области д существует фиксированное положительное число X, такое,
что |Л[ср]|<Х||<р||.
Менее сильное определение непрерывности можно сформулировать
следующим образом. Функционал А [ср] называется г-непрерывным
в области 0*, если при некоторой фиксированной положительной
постоянной \ мы имеем
для всех основных функций ср с носителем в д*, принадлежащих 55Г
и таких, что r-максимум-норма ||ср||г функции ср ограничена по-
постоянной от.
Очевидно, что требование /-'-непрерывности функционала А [ср]
менее сильно, чем требование r-непрерывности, если г' > г. Сфор-
Сформулированное выше определение непрерывности при условии, что
ограничена только величина ||ср|[, является более сильным условием
на функционал А [ср], чем r-непрерывность при любом г > 0. Мы
будем называть такую „обычную" непрерывность нуль-непрерыв-
нуль-непрерывностью.
Иногда бывает необходимо рассматривать в открытой основной
области 0 функционал А [ср], который r-непрерывен при каком-
нибудь значении индекса г в каждой замкнутой подобласти д* (это
значение г может зависеть от 0*). Такой функционал мы будем
называть почти непрерывным в д. Это понятие охватывает все
важнейшие случаи.
Для формальной общности иногда вводят кажущееся менее огра-
ограничительным условие, при котором основные функции ср в области 0
принадлежат самому узкому классу 55, или 55те. Пусть от, — произ-
произвольная последовательность положительных чисел, а д* — любая
замкнутая подобласть д. На функционал налагают следующее усло-
условие: существует положительная постоянная А (зависящая от д* и от
последовательности mv), такая, что |Л[ср]|^Х для любой основной
функции ср из 55те с носителем в 0*, для которой |jDvcp||^mv.
Следует заметить, что в этом определении не требуется, чтобы
бесконечное множество чисел т, было ограничено равномерно по v.
Поэтому это определение нельзя сформулировать в терминах мак-
максимум-норм, как это было сделано для г-непрерывности !).
') Пространство 3)^ не нормируемо с помощью максимум-нормы.
§ 1, Основные определения и понятия 765
Иногда мы этот более слабый тип непрерывности будем называть
со-непрерывностью или ^-непрерывностью функционала Л ftp].
Как мы увидим в следующем пункте, это понятие не является
более общим по сравнению с почти непрерывностью.
7. Лемма об r-непрерывности. Мы приведем здесь одну довольно
тривиальную лемму1), позволяющую произвести более тонкое срав-
сравнение r-непрерывности и почти непрерывности с м-непрерывностью.
Если функционал Л[ср] ш-непрерывен в открытой области 0, то для
любой замкнутой подобласти 0* существует конечный индекс г,
такой, что функционал А в 0* r-непрерывен для всех основных
функций с носителем в 0*. Этот индекс г, конечно, может зависеть
от 0* и может увеличиваться при расширении 0* (как будет по-
показано на примерах). Другими словами, «-непрерывность и почти
непрерывность функционала Л[ср] в 0 эквивалентны.
Доказательство леммы проводится от противного и вытекает из
самого смысла определения. Предположим, что функционал Л[ср] не
является r-непрерывным в некоторой замкнутой области 0*, каким
бы большим мы ни выбирали г. Тогда для любого г существовала
бы допустимая основная функция <рг, такая, что |Л[срг]| > \г\, а ве-
величина ||ср,||г при этом становилась бы сколь угодно малой, напри-
например ||tpr||r ^ V(\r\ + !)• (Как и раньше, ||ср||г обозначает г-макси-
мум-норму для замкнутой области 0*.) Тогда очевидно, что после-
последовательность срг в 0* равномерно сходится к нулю при г—>оо
вместе со всеми производными Dr yr при фиксированном г'. В силу
предположения об со-непрерывности в пространстве 2) с величиной
тг=тах||срЛ'||г значения функционала Л[срг] должны быть ограничен-
г
ными, что противоречит предположению |Л[срг]| > \г\. Это завершает
наше доказательство.
8. Некоторые вспомогательные функции. Мы построим неко-
некоторые частные финитные функции из С00, которые понадобятся нам
в § 2. Сначала рассмотрим одну независимую переменную х и для
положительных а положим
р (х; а) =
ez (x; a) для — a ^ x ^ a,
0 для x < — a, F)
1 для x > a,
где
2 (je; a) = — e-r/tr3-а2>. Fа)
') Это только утверждение о существовании, совершенно несуществен-
несущественное в применении к математической физике.
766 Приложение к гл. VI
Эта функция р равна нулю для х <С — а. тождественно равна
единице для х > а и принадлежит С00. Для п переменных произ-
произведение
Р(х; а) = р(х1; а.)р(х2; а) ... р{хп; а) F6)
принадлежит С°°; эта функция равна нулю при х ^—а (это значит,
что х{ ^ — а) и тождественно равна единице при х ^> а.
Аналогично, функция одной переменной
К(х) = -^р(х; е) G)
принадлежит С"° и обращается в нуль вне интервала — s < х < е.
При каждом значении s мы имеем
+ СО
J bt{x)dx=l. (8)
— оо
Положим е=1/« и будем писать 5„ вместо 8Е; тогда для любой
функции ср (л:), непрерывной в ^, как известно, имеем
ср (х) = lim J 5„ (х — 0 ср (?) d? = lim (<р. 8Я (* - ?)). (9)
ff
Предел всегда рассматривается при п—>со или при е->0.
9. Примеры. Приведем несколько примеров, иллюстрирующих
введенное понятие непрерывности. Пусть х—одна переменная,
д—открытый интервал—1 < х < 1; тогда ср(О) есть непрерывный
функционал для f(x) из 2H. Величина ZDr (ср @)) = срЛ @) есть /--не-
/--непрерывный функционал от cp(je) в области д.
Однако, как читатель может убедиться, величина
v=0
не является функционалом от ср, непрерывным в смысле определений
из п. 6.
В противоположность этому, ряд
со
сходится, если носитель функции ср находится на некотором замкну-
замкнутом подинтервале ff*, например на отрезке 0 ^ х <J. 1 — \jr; на этом
§ 2. Обобщенные функции 767
отрезке функционал /--непрерывен. Индекс г возрастает, если отрезок g*
расширяется до Я, а во всей области Я выражение A1), очевидно,
не является r-непрерывным; но этот функционал, например, «-непре-
«-непрерывен над пространством D^.
оо
Выражение 2 <?'(*— l/v) представляет собой 1-непрерывный
v=l
функционал в области Я : — 1 < х < 1 над пространством 3)j
функций с носителем в 0. Аналогично, 2? 00 есть непрерывный
— оо
функционал, если основной областью Я является вся числовая ось.
§ 2. Обобщенные функции
1. Введение. Возвращаясь к основным пунктам теории, мы
дадим три варианта определения !) обобщенных функций и установим
их эквивалентность. Эти расширения понятия обычных функций осно-
основаны на принципе слабого определения, или слабой сходимости.
Вместо того чтобы охарактеризовать некоторую непрерывную функ-
функцию / в Я с помощью значений, которые она принимает, мы могли
бы с тем же успехом охарактеризовать ее с помощью множества
всех скалярных произведений (/, ср) для всех основных функций ср
класса 2) с носителем в Я 2). Для непрерывных функций / это
„слабое" определение эквивалентно обычному определению, если
пространство 35 = 2>0 состоит, например, из непрерывных функций.
Однако именно это слабое определение открывает путь для обобще-
обобщения. Мы не принимаем во внимание исходное определение „функции",
представленной множеством значений, соответствующих различным
точкам х, и вместо этого рассматриваем значения скалярных произ-
произведений (/, ср) для обычных основных функций ср как исчерпывающую
характеристику символа функции /. Чтобы ввести „функцию" / как
символический множитель в скалярном произведении, следует прежде
всего дать соответствующее определение скалярного произведения
(/, ср), т. е. определение, в котором не предполагается, что функция /
известна из каких-нибудь других соображений. Наши три опреде-
определения слегка отличаются одно от другого именно способом, каким
определяется это скалярное произведение.
') Как указывалось выше, эти определения не дескриптивные.
2) Мы напоминаем, что термин „основная функция, сосредоточенная
в 3", означает, что носитель этой функции лежит в д; „функционал Л [<р]
определен в Э" означает, что основные функции ср, к которым он приме-
применяется, должны иметь носитель в 3. Скалярные произведения (/, g) всегда
относятся к основной области ff. Можно также дать такое определение: не-
некоторый функционал имеет носитель в &, если он обращается в нуль для
всех основных функций, равных нулю в ff.
768 Приложение к гл. VI
Как было сказано выше, главная задача — установить неограни-
неограниченную дифференцируемость в расширенном множестве S обобщен-
обобщенных функций и представить общий линейный функционал в виде
скалярного произведения.
Три определения опираются на а) линейные дифференциальные
операторы L; б) слабые пределы непрерывных функций, в) обшее
понятие линейных функционалов. В каждом случае мы должны дать
определение только для некоторой конечной замкнутой подобласти 0*
области Я, а затем его можно легко распространить на области 0',
содержащие Я*. Для краткости мы будем предполагать, что обла-
области 0, 0* (и т. д.) прямоугольные1).
Как мы увидим в п. 6, обобщенные функции образуют ли-
линейное пространство, т. е. суммы и линейные комбинации обоб-
обобщенных функций снова являются обобщенными функциями.
2. Определение с помощью линейных дифференциальных
операторов. Для любой пары сопряженных линейных дифферен-
дифференциальных операторов L и L* порядка г с непрерывно дифферен-
дифференцируемыми коэффициентами в некоторой замкнутой подобласти 0*
области 0 и для любой непрерывной — или даже кусочно-непре-
кусочно-непрерывной— функции W в 0* мы обозначим символом
f = L[W]
некоторую обобщенную функцию в 0* и придадим смысл этому
символу с помощью такого определения скалярного произведения:
i) = (W, L'lf]). A)
где основные функции ср принадлежат Сг и имеют носитель в 0*.
Два таких линейных оператора L и М порядков соответственно
г и s для обыкновенных функций W и V определяют одну и ту же
обобщенную функцию / в 0*, если для всех ср с носителем в 0*
имеем (W, L*[<?]) = (V, Ж* [ср]).
Если, кроме того, операторы М и М*, а также функция V, оп-
определены в некоторой области 0, содержащей 0*, то с помощью
символа М [V] обобщенная функция / распространяется2) на 0.
Если такая обобщенная функция / определена для всякой замкнутой
подобласти открытой основной области 0, то считают, что обоб-
обобщенная функция / определена во всей основной области 0.
') Так как другие замкнутые области можно покрыть кубами, то
не возникает существенных трудностей, если допустить более общие
области. Но для наших целей не стоит преодолевать даже мелких связан-
связанных с этим затруднений.
2) Для более широкой области может оказаться, что индекс s больше,
чем г.
§ 2. Обобщенные функции 769
Это определение а), которое является перефразировкой опреде-
определения, данного в гл. VI, § 4, основывается на тождестве Грина
(W, Г[<р]) = («р. L
справедливом для обычных функций W, принадлежащих С, ввиду
того, что носитель функции ср лежит в g*. Снова подчеркнем, что
имеет смысл говорить об обобщенных функциях только после того,
как дано независимое определение скалярного произведения.
Особое значение имеют сопряженные операторы
Ясно, что в случае одной переменной х последовательные произ-
производные D'W = / некоторой непрерывной функции W являются обоб-
обобщенными функциями, которые в силу определения а) характери-
характеризуются скалярным произведением A), где L — Dr обозначает дифферен-
дифференцирование по х.
Для любого числа п переменных х и любого индекса s производ-
производная Dsf = DsL\W\ определяется с помощью линейного дифференциаль-
дифференциального оператора N — D"L. Предположим, что операторы L и L* имеют
бесконечно дифференцируемые коэффициенты; тогда легко видеть,
что обобщенные функции можно неограниченно дифференци-
дифференцировать. Предположение о коэффициентах не является существенным,
ибо, как мы увидим в п. 5, любая обобщенная функция / из 0*
может быть представлена в специальном виде f = DTW с непре-
непрерывной „порождающей функцией" W и достаточно большим индексом г.
Мы добавим следующее важное замечание: очевидно, что скаляр-
скалярное произведение (/, ср) является r-непрерывным линейным
функционалом над основными функциями ср с носителем в cc/s.
Можно применить это определение к примерам, рассмотренным в § 1.
Для случая одной переменной х через .g (х) мы обозначим функ-
функцию, равную g (х) при х>0 и нулю при х < 0; тогда для опера-
оператора Z, = ZK и функции W = .х2/2 мы имеем
где В обозначает дельта-функцию. Или, в очевидных обозначениях !),
1 °°
для W (х) = -=- У, .{х — xvJ мы имеем
1 v=i
v=l
') Здесь используется обозначение:
(х — xwJ при х > xv
/у у \2
1 0 при х^х^ — Прим. ред.
770 Приложение к гл. VI
если только xv~>oo при ч—>оо. Здесь область g—вся бесконеч-
бесконечная ось х. Если значения х\ сходятся к некоторому пределу, напри-
например к 1, то в качестве g мы возьмем открытый интервал —1 <
<х< 1.
Для
мы не можем построить обобщенную функцию с помощью одного
оператора Dr с фиксированным г во всей бесконечной области g,
— co<x<-f-co, но для интервала g*, —-^—т < х < у -f-r,
мы имеем соответствующее выражение
Dri2W = br(x— l) + 8r~1(x — 2)+ ••¦ + 8(лг —г).
Конечно, все эти обобщенные функции остаются неизменными в лю-
любом фиксированном подинтервале g*, даже если г возрастает неогра-
неограниченно.
Читатель легко может привести другие примеры, иллюстрирующие
введенные выше понятия.
3. Определение с помощью слабых пределов. Мы рассмотрим
последовательность функций fn, непрерывных в основной области g.
Мы предположим, что для некоторой замкнутой подобласти g* и
для основных функций ср, сосредоточенных в g"\ скалярные произ-
произведения
((/„-/,).?)
стремятся к нулю при п->оо и 1—>оо при условии, что /'-мак-
/'-максимум-норма функции ср ограничена. В таком случае мы будем
называть последовательность fn слабо r-сходящейся в 0*. Теперь
мы поставим в соответствие такой последовательности слабый пре-
предел при п->оо: / = Нш//г и зададим эту обобщенную функцию /
в g* с помощью следующего определения скалярного произведения:
(/, 9) = HmC/n, ср). B)
Часто это определение б) оказывается применимым с одним и
тем же г для всей основной области g. Но для общности надо до-
допустить случай, когда при расширении области g* индекс г можно
заменить большим индексом, ослабляя таким образом требования на
сходимость fп. Таким образом, мы определим обобщенную функ-
функцию / во всей основной области g как почти слабый предел функ-
функций fп, непрерывных в g, предполагая, что для каждой замкнутой
§ 2. Обобщенные функции 771
подобласти д* существует такой индекс г, для которого последо-
последовательность /„ является слабо г-сходящейся в д*.
Надо снова подчеркнуть, что из слабой /¦-сходимости последова-
последовательности функций /„ в д* следует слабая r'-сходимость для любого
г' > г. так как требование слабой r-сходимости более сильное, чем
требование слабой r'-сходимости при г' > г.
Наиболее сильным видом слабой сходимости является нуль-схо-
нуль-сходимость, т. е. слабая сходимость в том случае, когда предполагается
только ограниченность ||ср||. В противоположность этому почти слабая
сходимость во всей основной области д определяется с помощью
менее сильного требования, которому удовлетворяет гораздо более
широкий класс последовательностей /„').
Очень важен следующий факт: слабый предел (/, ср) в д* является
/•-непрерывным линейным функционалом от ср2). Для всей основной
области д предел (/, cp) = lim(//J, ср) является почти непрерывным
линейным функционалом от ср в указанном выше смысле.
Заметим, что при п=\ дельта-функция Ь(х) является слабым
пределом (при г = 0) функций 8„(х), определенных в § 1, п. 8, и,
конечно, также слабым пределом любой последовательности функ-
функций /„, которые стремятся к нулю вне отрезка х2 < 1/и, неотри-
цательны, и для которых I fndx->\.
- 1/я
4. Определение с помощью линейных функционалов. Третий
вариант в) определения обобщенных функций возникает, если мы
переменим роли выводов и предположений в определениях а) и б) и
дадим следующее определение. Каждому линейному функционалу Л [ср],
который является /¦-непрерывным или только почти непрерывным
в основной области д , мы поставим в соответствие обобщенную
функцию /, просто определяя скалярное произведение как
(/. <р) = Л[<р]. C)
Это значит, что для допустимых основных функций ср, сосредото-
сосредоточенных в некоторой замкнутой подобласти д* области д, в которой
функционал Л [ср] /--непрерывен, соотношение C) является слабым
определением функции /.
') Между прочим, можно было бы ввести слабую r-сходимость также
п для отрицательных индексов г; но для наших целей мы бы ничего не по-
получили из такого определения.
2) См., например, Лю стерни к Л. А. и Соболев В. И., Элементы
функционального анализа, М.—Л., 1951, § 24, стр. 193, 194, а также Г е л ь-
ф а н д И. М. и Шилов Г. Е., Пространства основных и обобщенных
функций, М., 1958, стр. 67, 68, —Прим. ред.
772 Приложение к гл. VI
Между прочим, лемма из § 1, п. 7 показывает, что мы могли бы
с тем же успехом исходить из предположения, что функционал Л [ср]
ш-непрерывен в g,
Но мы хотим обойтись без доказательства эквивалентности, данного
в лемме, и будем исходить из предположения, что в каждой замкну-
замкнутой подобласти 0* области 0 функционал Л [ср] r-непрерывен при
некотором значении г.
Мы напомним также следующее: если функционал Л [ср] /--не-
/--непрерывен в области 0*, то вместо ср мы можем брать функции t]»
в 0*, обладающие непрерывными производными Dr i|> только для
г'^Сг. Такие функции ф, а также их производные вплоть до Drty
можно равномерно аппроксимировать с помощью функций срп из С°°;
следовательно, в силу требования /--непрерывности, значение функ-
функционала Л [ф] можно определить как соответствующий предел вели-
величин Л[ср„] при п->оо.
Некоторая абстрактность определения в) немедленно устраняется
с помощью следующих рассмотрений.
б. Эквивалентность. Представление функционалов. Все три
определения, приведенные выше, эквивалентны.
Прежде всего, как уже указывалось, определения а) и б) позво-
позволяют определить функционалы (/, ср), обладающие свойством в).
Кроме того, из определения в) легко выводится определение б). Это
легко видеть, если, например, записать, что
[?] = lim f ? ($ Л [8Я (* —
в соответствии с формулой (9) из § 1, п. 8. Так как функции %п(х—
принадлежат С00, то при я->оо мы имеем
Шп(/я. ср), D)
где
/„(*) = Л [8Я (*-?)]. E)
в соответствии с определением б).
Следовательно, остается только установить эквивалентность опре-
определений в) и а).
Для этого мы предположим, что рассматриваемый функционал
(г — 2)-непрерывен') в некоторой замкнутой подобласти 0** обла-
области 0. Для простоты2) мы будем считать, что g** — куб —а <^
') Отсюда следует, что г > 2 (т. е. Г; !> 2 для i = 1, ..., п), так как пред-
предполагается, что индекс непрерывности Л [<р] не отрицателен.
2) Как говорилось раньше, требование, чтобы области У, 9", &** были
прямоугольными, удобно, но не необходимо.
§ 2. Обобщенные функции 773
<^ xt -^ 1 —(— а, где а принимает малое положительное значение, и что
g*— куб а<;Х(<1, в то время как основная область g должна
содержать больший куб — 2а < xt < 1 -}- 2а.
Тогда эквивалентность определений в) и а) следует из основной
теоремы о представлении функционалов.
Если функционал Л[»] является (г — 2)-непрерывным (при
г — 2^-0) в некоторой области g**, содержащей область g*,
то для g* мы можем построить такую непрерывную функ-
функцию W, что для всех основных функций ср с носителем в g*
будет выполняться равенство
± (Г, Drcp), F)
где ± стоит вместо выражения (—1)'г| и где функция
W = Л [<|>] Fа)
будет явно определена через указанную ниже функцию ф.
Это является свойством, указанным в определении а), в случае,
когда берется простая нормальная форма Dr линейного диффе-
дифференциального оператора Lx).
Чтобы доказать формулу F) и построить функцию W, мы можем
в Л [ср] подставлять основные функции, которые не обязательно при-
принадлежат С°°, но должны быть (л — 2) раза непрерывно дифферен-
дифференцируемыми в g** (см. § 2, п. 3). В частности, с помощью функций
р(х; а) и qr{x\ z), определенных в § 1, п. 4 и § 1, п. 8, опреде-
определим следующую основную функцию ф в g*, зависящую от пара-
параметра z:
<*)?,-i(*; z). F6)
При фиксированном значении индекса аппроксимации п и для функ-
функции /л, заданной формулой E), выражение
определяет непрерывную функцию Wn(z) параметра z в g*\ кроме
того, в силу E), предельная функция
W (z) = lim Wn (z) = lim (/„, ф) = Iim (pfn, qr_J - А Щ G)
непрерывна по z. Более того, в силу основного свойства функций qr,
') Как следствие имеем, что для любого дифференциального опера-
оператора L в &* существует, линейный оператор Т (который, по существу,
является интегральным оператором (D~ L) ), такой, что для некоторого г
имеем LT — D''.
Конечно, этот факт легко проверить непосредственно; это упражнение
из элементарного анализа.
774 Приложение к гл. VI
указанного в § 1, п. 4, C), функции Wn имеют непрерывные произ-
производные вплоть до порядка г, причем Dr(Wn) — pfn\ так как />=1
в g*, мы имеем
DTWn = fn{z) в g\ (8)
Наконец, мы возвращаемся к функционалу Л [<р] = lim (/„, ср), опре-
определенному для любой функции ср из С°°, носитель которой лежит
в g*. С помощью интегрирования по частям мы получим1)
„, <р)= ±Нт(Г„, Drcp).
В этом последнем выражении мы перейдем к пределу под знаком
интеграла и получим
= ±(W, Z)rcp),
где 1F = Л [ф], как и утверждает теорема.
Надо снова подчеркнуть, что соотношение между / и „порождаю-
„порождающей функцией" W сохраняется, если заменить W на W-\-V, где
V — некоторая функция из Сг, или даже некоторая обобщенная функ-
функция, для которой DrV тождественно обращается в нуль.
Мы отметим также следующее. Если в данных выше определе-
определениях обобщенных функций
где f — непрерывная функция, то для порождающей функ-
функции W существует производная DrW в обычном смысле и
DrW = /.
Аналогично, если в случае определений а) или б) в области g'
существует L[W] — f как регулярный непрерывный дифферен-
дифференциальный оператор, или если последовательность fn равно-
равномерно сходится к некоторой непрерывной функции /, то
в области д' обобщенную функцию можно отождествить
с непрерывной функцией f (см, п 8).
6. Некоторые выводы. Из наших эквивалентных определений
вытекают следующие свойства.
Сумма двух обобщенных функций fug также является обоб-
обобщенной функцией. Если / и g (r — 2)-непрерывны, то тем же свой-
свойством обладает их сумма (г — 2 ^ 0).
Произведение обобщенной функции f на обычную функцию g
из С00 снова есть обобщенная функция. Если в некоторой области g*
') Здесь ц всюду знак ± обозначает (—1)'Л'.
§ 2. Обобщенные функции 775
предполагается лишь (г — 2)-непрерывность /, то произведение также
будет (г — 2)-непрерывноЙ обобщенной функцией, если g принадле-
принадлежит только Сг_].
Локализация и разложение. Хотя формально обобщенная функ-
функция /(х) не определяется в отдельных точках, ее можно рассматри-
рассматривать в сколь угодно малой замкнутой области g*, если брать только
такие основные функции ср, носитель которых лежит в g*. Кроме
того, как мы покажем ниже в п. 8, любая обобщенная функция /
может быть разложена в сумму двух или большего числа обобщен-
обобщенных функций, каждая из которых равна нулю всюду, кроме некото-
некоторой замкнутой 'области, причем эти области покрывают основную
область.
7. Пример. Дельта-функция. Можно в качестве иллюстрации
данных выше общих понятий привести пример дельта-функции Ди-
Дирака. Для случая одной переменной х она определяется с помощью
соотнэшения 8(х) = D2(.х), где точка перед функцией снова озна-
означает, что для отрицательных значений независимой переменной функ-
функция равна нулю. Связанный с этой обобщенной функцией линейный
функционал Л [ср] = (8 (х), ср) = ср(О) очевидно нуль-непрерывен.
Между прочим, этот пример показывает, что зазор между (г — 2)
и г в теореме о представлении п. 5 связан с существом дела, так
как, вообще говоря, (г — 2)-непрерывные функционалы представляются
как производные вида DTW от непрерывной функции W.
В пространстве п измерений дельта-функцию Ь(х) можно опре-
определить как
8 (х) = D2W, где W = (.х:) (,х2) ... (.*„),
или просто как произведение
8(x) = 8(Xl)8(x2) ... Ь(хп).
Эта обобщенная функция снова соответствует функционалу Л [ср] = ср @).
Дельта-функции и их производные (см. ниже) являются простей-
простейшими обобщенными функциями; их носитель сосредоточен в одной
точке О, и вне этой точки их можно отождествить (см. п. 8) с обык-
обыкновенной функцией, тождественно равной нулю.
Конечно, производные Dsb(x) определяются соответствующими
производными D'5+2№ от порождающей функции W, или как пределы
производных тех функций /„, слабым пределом которых является 8.
В силу естественного обобщения свойств функций W или /„ мы
называем 8-функцию четной функцией:
а ее производные — попеременно нечетными и четными.
776 Приложение к гл. VI
Мы добавим еще несколько формул, представляющих одномерную
8-функцию как слабый предел:
§(x) = lim -Le-^E\ (9)
e_>0 У-яе
s/ ч 1 I- sin ял; . 1ПЧ
8(х)=- lim ——-. A0)
Я п->оо х
Эти формулы выражают факты, хорошо известные из теории урав-
уравнения теплопроводности и рядов Фурье соответственно. Вторую фор-
формулу можно записать также в виде
+п
2u8(x)= lim Г el^d\
П-Усо J
— п
или, короче (см. § 4, п. 3), в виде
со
2%Ь(х) = Jewell A1)
Это есть „преобразование Фурье функции, тождественно равной еди-
единице". (Между прочим, формула (9) дает пример нуль-сходимости,
а формула A0) — пример 1-сходимости.) Другое интересное пред-
представление непосредственно следует из интегральной формулы Пуас-
Пуассона для функции Грина оператора Лапласа в верхней полупло-
полуплоскости; очевидно, что 8-функция просто является символом для гра-
граничного значения функции Грина при у = 0:
= lim ,у. ,. A2)
х! + У* к '
8. Отождествление обобщенных и обыкновенных функций.
Не всегда при рассмотрении отдельных задач наиболее правильным
путем является применение теории обобщенных функций в максималь-
максимальной общности. В большинстве случаев целесообразно ограничиться
более узкими, но более обозримыми классами обобщенных функций;
особенно полезны бывают обобщенные функции, которые в некото-
некоторых подобластях области 0 можно отождествить с обычными функ-
функциями. Если в некоторой замкнутой подобласти g" области g по-
порождающая функция ]) W обладает непрерывными производными вплоть
до порядка г, то в области g* обобщенную функцию DrW можно
отождествить с обыкновенной непрерывной функцией / (х). Эквива-
') Полезно заметить, что в наших определениях мы всегда можем заме-
заменить требование непрерывности функций W или /„ более слабым требова-
требованием кусочной непрерывности.
§ 2. Обобщенные функции 777
лентным образом это отождествление можно произвести, если в g*
порождающая последовательность сходится не только слабо, но и
равномерно, к некоторой непрерывной функции f (х) (или, в случае
применения определения в), если последовательность /п — А[Ъп(х — ?)]
в ~д* сходится к некоторой 'непрерывной функции /).
Здесь мы сделаем следующее замечание: если область g момно
покрыть конечным числом областей g v g2 то мы всегда можем
разложить любую допустимую основную функцию ср в сумму ср =
== срх —j— ср2 —j— ... допустимых основных функций cpv, носитель кото-
которых лежит в g ч\ поэтому любая обобщенная функция / в области g
является суммой обобщенных функций f\-\-f2~\~ ••• ~/> таких,
что /„ тождественно обращается в нуль вне gч.
В частности, в большинстве рассматриваемых случаев мы имеем
дело с обобщенными функциями f = DrW, которые являются обыч-
обычными функциями всюду, за исключением особенностей, сосредото-
сосредоточенных в подобласти О* некоторой большей области О, причем вне О*
порождающая функция W имеет непрерывные производные DrW, или,
что эквивалентно, порождающая последовательность /п сходится не
только слабо, но и равномерно, к некоторой непрерывной функции /.
Часто это точечное множество О* состоит из изолированных точек,
кривых и т. д. Функции DrW в этих точках могут иметь особен-
особенности в обычном смысле слова, но если мы будем рассматривать /
как обобщенную функцию, то эти особенности будут учтены только
в операциях, установленных для обобщенных функций (определяемых
через скалярное произведение); вне множества О* нет необходимости
подчеркивать обобщенный характер функции DrW. Именно так в § 4,
гл. VI мы действовали с сингулярной функцией 5(ср), особенности
которой сосредоточены на многообразии1) ср = 0 и которая является
обобщенной функцией одной переменной ср.
Мы снова приведем некоторые функции W одной переменной х>
имеющие изолированную особенность при х = 0, и их производные:
W — x\og\x\ — х, DW=log\x\, D2W = — , \
W = . (x log x — x), DW = .logx, D2W' = . —
X
В тех точках, где имеется особенность, интерпретация этих выра-
выражений как обобщенных функций существенно отличается от их интер-
интерпретации как обыкновенных функций. Обобщенным функциям при
') Не надо путать с обозначением <f для основных функций.
778 Приложение к гл. VI
х = 0 не приписывается никакого бесконечного значения; наоборот,
слабые определения сглаживают влияние особенностей (см. п. 9).
Согласованность этих определений становится ясной из рассуж-
рассуждений п. 5.
Как следствие мы легко можем получить такой результат.
Обобщенная функция f с носителем в одной точке, например
в начале координат, является линейной комбинацией дельта-
функции и ее производных до некоторого порядка.
Действительно, как легко видеть, построение, проведенное в п. 5,
дает для / в качестве порождающей функции W полином степени
меньшей, чем г, в „положительной" части пространства хь > 0, 1 =
— 1, ..., п, в то время как вне этой части пространства х функ-
функция W тождественно равна нулю. В самом деле, вне малого квадрата
QE: \xt\ <s функции /„ при этом построении обращаются в нуль;
поэтому Wn(z) — 0 для значений z вне полуоси z,-^> — г, так как
для каждой точки z в скалярном произведении Wn (z) = (/„, ф), опре-
определяющем Wn (z), обращается в нуль один из сомножителей. Кроме
того, для zt^>0 множитель ty(x; z) является полиномом относи-
относительно z степени меньшей, чем г. Так как Wn (z) -> W (z), мы
получаем соответствующее утверждение относительно W (z). Следо-
Следовательно, W(х) есть сумма одночленов вида (.х^1)... (.хгА, где
r't <; г(—1, или г' 4i г — 1, причем некоторые из показателей г\ могут
равняться нулю. Очевидно, что то слагаемое из DrW, которое по-
получается с помощью применения оператора Dr к этому одночлену,
содержит произведение производных
Это произведение с точностью до постоянного множителя можно
записать в виде Dsb(x), где s = r — г'—1—неотрицательный ин-
индекс, т. е. система неотрицательных целых чисел. Складывая то, что
получается в результате дифференцирования отдельных одночленов,
мы получим нужный результат.
Мы дадим другой вариант доказательства этой последней тео-
теоремы, где не используются построения из п. 5. Мы предполагаем,
что функционал (/, ср) обращается в нуль для всех основных функ-
функций ср, которые равны нулю в некоторой окрестности начала коор-
координат и имеют непрерывные производные Dr ср при г' < г. Тогда мы до-
докажем, что значение (/, ср) для произвольной функции ср зависит только
от значения ср и се производных Dr ср в начале координат, или, что то
же самое, (/, ср) обращается в нуль, если функция ср и указанные ее
производные равны нулю в начале координат. Мы положим а=1,
Q (х) = Р (х — 2; a) -f Р (— х — 2; а) и ср„ = Q (пх) ср, где Р — функ-
функция Р{х; а) из § 1, п. 8. При л->оо функции срд и их производные
§ 2. Обобщенные функции 779
порядка меньше г равномерно стремятся к ср и к соответствующим
производным о. Следовательно, так как (/, ср) есть (г—^-непре-
(г—^-непрерывный линейный функционал от ср и (/, срп) = О, мы имеем (/, <р) =
;=lirn(/, сря) —0, что и утверждалось. Поскольку (/, ср) зависит
только от значений конечного числа производных ср в начале коор-
координат, этот функционал должен быть линейной комбинацией значе-
значений этих производных. Но это и есть утверждение нашей теоремы.
9. Определенные интегралы. Конечные части. Теперь мы перей-
перейдем к „определенным интегралам от обобщенных функций". Пред-
Представление ft=DrW сразу позволяет придать некоторый смысл перво-
первообразным функциям или неопределенным интегралам D~sf от
некоторой обобщенной функции / = DrW. Их можно было бы просто
определить как функции DrD~sW при s<^r. Из п. 8 мы видим, ка-
какова степень неопределенности первообразной функции.
Чтобы перейти к рассмотрению определенного интеграла от
обобщенной функции f — DrW по области G, мы в этом пункте
ограничимся функциями /, которые всюду, за исключением некото-
некоторой замкнутой подобласти О* области О, являются обычными глад-
гладкими функциями, причем они непрерывны вплоть до (гладкой) гра-
границы Г области О.
Мы получим следующий результат. Для таких обобщенных
функций сохраняется соотношение между первообразной функ'
цией и определенным интегралом, т. е. основная теорема
интегрального исчисления.
Сначала мы рассмотрим функции / одной переменной х и возь-
возьмем в качестве О интервал —1<х<1; мы предположим, что
функция DrW = f непрерывна в некоторой окрестности концов
х = 1 и х=—1. Какое значение Z мы должны приписать символу
1
I f(x)dx7 Чтобы получить ответ на этот вопрос, мы рассмотрим
-1
основную функцию ср, тождественно равную 1 в G (следовательно,
все ее производные равны нулю на границе G); далее она произ-
произвольным образом продолжается на область G=ff—О, дополни-
дополнительную по отношению к G, так, чтобы она была финитной. Инте-
Интегрируя по частям, мы получим
± (/, ср) = ± / (<?DrW) dx= J W -Dr<!}dx =
o+P
±
а о
причем + снова обозначает (—1)г. С другой стороны, мы должны,
780 Приложение к гл. VI
естественно, иметь Z = (/, ср)— I fydx. Таким образом, мы по-
б
лучаем следующий результат: интеграл по интервалу О: х2 < 1 от
обобщенной функции f = DrW, регулярной в концах интервала, опре-
определяется равенством
+i
Z= J f(x)dx = Dr-W\+_\. A3)
-i
Точно такая же формула связывала бы определенный и неопреде-
неопределенный интеграл в случае обыкновенной функции /. Между прочим,
для случая /"=1, т. е. для обобщенных функций вида f = W, этот
результат справедлив также тогда, когда функция W не дифферен-
дифференцируема на границе.
Эта формула A3) для значения Z была введена Адамаром в ка-
качестве конечной части интеграла от функции / и была основным
орудием в его тонких исследованиях задачи Коши (см. гл. VI, § 15).
Конечно, аналогичная, но несколько более сложная формула по-
получится, если мы будем рассматривать подинтегральное выражение
вида / = gDrW, где g (х)— регулярный r-непрерывный множитель.
Хотя функцию / такого вида можно свести к рассмотренному выше
случаю, мы применим прямые рассуждения по образцу только что
проведенных, последовательно интегрируя по частям. Получится сле-
следующий результат:
J* gDrWdx =
-i
i
... +Dr~2gDW)\+_\ ± f(W
-1
Таким образом, интеграл от обобщенной функции сводится к гра-
граничным членам и к интегралу от непрерывной функции W ¦ Dr~^g.
+ 1
В качестве примера мы вычислим интеграл /= j (\jx2)dx, где
-1
1/х2 мы будем понимать не как обычную функцию, а как обобщен-
обобщенную функцию —D2log\x\. Так как DW — —1/х, мы сразу по-
получаем
Г ~dx = — 2.
Другим примером будет служить обобщенная функция, определен-
определенная формулой / = — 4D2 (.х'1а). За исключением особенности при
§ 2. Обобщенные функции 781
х — 0, эта функция равна нулю для х < 0, а для х > О отожде-
отождествляется с х~Ч*. Интеграл по интервалу —1 -< х <; 1 можно вы-
вычислить следующим образом:
+i 1
— 4 J D2(.x^)dx — j x-s'idx = — 2;
-i о
в результате получается „конечная часть" сингулярного интеграла.
Для п переменных также можно получить результаты, аналогич-
аналогичные основной теореме интегрального исчисления. Например, таким
результатом является интегральная формула Гаусса, если подин-
тегральная функция составлена из обобщенных функций, которые
представляют собой первые производные непрерывных функций;
в частности, если подинтегральная функция является дивергенцией
некоторого непрерывного векторного поля, то будет справедлива
формула Гаусса, известная из классического анализа.
Если же подинтегральная функция f = DrW получается в резуль-
результате дифференцирования более высокого порядка, то, как говорилось
раньше, мы ограничимся тем случаем, когда обобщенная функция
DrW, или, по крайней мере, одна из п функций D~lDrW является
непрерывной функцией в окрестности гладкой границы Г области
интегрирования О, для которой \ — вектор внешней нормали, a dS—
элемент поверхности.
Мы будем пользоваться теми же обозначениями G, О* О, как
и раньше, и возьмем функцию <р, равную тождественно единице в G
и продолженную на дополнение G~ff—О произвольным образом,
но с сохранением условий гладкости и финитности. Так как функция
f = DrW определяется с помощью ее скалярных произведений на
основные функции и так как все производные нашей частной основ-
основной функции обращаются в нуль в G и на Г, то мы имеем право
ввести интеграл функции / по О на основании следующих соотноше-
соотношений, не требующих пояснений:
? dx = / / / * dx + / / I ^°rW dx =
a+o ° о
= ±J [ jWDrfdx=+j f J<?DrWdx±
6 a
Таким образом, мы должны положить
| f ffdx = { f(DT lDrW) \t dS;
782 Приложение к гл. VI
подчеркнем присутствие индекса i. Можно получить симметричную
формулу, введя символический вектор А с компонентами At=
— DJxDrW. Тогда получится формула Гаусса
Аналогичным образом легко можно обобщить и другие формулы
интегрального исчисления.
? 3. Операции над обобщенными функциями
Введение обобщенных функций может показаться очень сильным
расширением обыкновенного анализа. Но в классе обобщенных функ-
функций можно производить не все операции классического анализа. Та-
Таким образом, преимущество, возникающее за счет возможности не-
неограниченного дифференцирования, отчасти теряется в силу того, что
теряется свобода при умножении функций и образовании сложных
функций. Не совсем верно даже то, что обобщенная функция не-
нескольких переменных становится обобщенной функцией меньшего
*,исла переменных, если некоторые из этих переменных принимают
постоянные значения в области определения. Не проводя системати-
систематического исследования выигрыша и проигрыша в области анализа, мы
в этом и следующем параграфе подчеркнем несколько основных
пунктов.
1. Линейные процессы. Если в некоторой'замкнутой области g*
мы положим f = DrW, где W— кусочно-непрерывная порождающая
функция, то мы легко можем установить следующее: линейная ком-
комбинация таких r-непрерывных обобщенных функций с обычными до-
достаточно гладкими функциями в качестве коэффициентов снова
является /¦-непрерывной обобщенной функцией.
Если порождающая функция W обладает непрерывными произ-
производными по параметрам а, то и обобщенную функцию можно диф-
дифференцировать по этим параметрам. Например, для функции / =
= 8 (ад;), где а некоторый вектор, мы имеем fa. = Xib'(ax).
Аналогично, интеграл от обобщенной функции можно дифферен-
дифференцировать по параметрам под знаком интеграла, если справедливы
сделанные выше предположения относительно функции W. (Сравните
с примерами в гл. VI, § 15.)
Если кусочно-непрерывные порождающие функции Wn стремятся
к некоторой кусочно-непрерывной функции W, то в смысле слабой
/¦-сходимости мы имеем DrWn — /„-> / = DrW,
§ 3. Операции над обобщенными функциями 783
В соответствии с этим мы можем почленно дифференцировать
ряды или менять порядок предельных переходов, таких, например,
как дифференцирование по различным параметрам.
Что касается интегрирования, то мы сошлемся на § 2, п. 8.
2. Замена независимых переменных. Мы напомним, что обоб-
обобщенные функции можно локализовать в прямоугольных областях,
или вообще в областях 0* с гладкой границей, просто за счет изме-
изменения исходной кусочно-непрерывной порождающей функции W,
а именно, продолжая W за пределы 0* тождественным нулем. По-
Поэтому при введении новых переменных у вместо х с помощью фор-
формулы х — g (у) мы можем ограничиться достаточно малыми обла-
областями 0*. Мы предположим, что переменные х как функции пере-
переменных у в 0* обладают непрерывными производными, например, до
порядка г, и что якобиан д(у)/д(х) отграничен от нуля, так что
обратное преобразование обладает той же гладкостью. Тогда в обла-
области 0* функция / = Iim/n преобразуется в обобщенную г-непрерыв-
ную функцию переменных у. Это почти сразу следует из второго
определения обобщенной функции / с помощью r-сходящейся по-
последовательности непрерывных функций /„; при этом надо брать
основные функции ср с носителем 0*. Действительно, производные от
основных функций ср по переменным у порядка г' <^ г ограничены
через производные ср по х вплоть до порядка г'. Но в силу § 2 об-
обобщенная функция Пт/Л от переменных у определяется как lim(/ft, ср).
Отметим как следствие наших рассуждений, что обобщенные функ-
функции S одного переменного, введенные в гл. VI, § 4, являются также
обобщенными функциями п переменных х.
Без дальнейших пояснений можно показать, что для дифферен-
дифференцирования сложных обобщенных функций, построенных с помощью
допустимых преобразований координат, сохраняются обычные правила
анализа. Однако надо отдавать себе отчет в том, что наши утвер-
утверждения относительно преобразований координат и сложных функций
основаны на том, что преобразование задается с помощью доста-
достаточно гладких функций.
Особенно следует подчеркнуть тот факт, что понятие обобщен-
обобщенной функции от обобщенной функции лишено смысла. Кроме того,
хотя можно построить обобщенную функцию от гладкой обычной
функции, понятие обычной функции от обобщенной функции не имеет
смысла. Даже такие простые операции, как возведение обобщенной
функции в квадрат или перемножение двух обобщенных функций
одного и того же переменного х, недопустимы. В этом заключается
основное ограничение в анализе обобщенных функций.
3. Примеры. Преобразование дельта-функции. Самые важные
конкретные примеры касаются дельта-функции. Как легко видеть,
784 Приложение к гл. VI
для постоянных a, b и одного переменного х мы имеем
A)
Вообще, для /гекоторой функции р(х), такой, что /?'@)^0, а р @) = 0,
на достаточно малом отрезке 0*, содержащем начало координат, мы
имеем
8 (р (*))=[/>'(О)Г1 & (*)•
Предположим, что гладкая функция р (л:) имеет нули в точках av
а2, .... ап что либо число т этих нулей конечно, либо ат
стремится к бесконечности и что для всех т мы имеем р' (ат)ф6.
Тогда легко установить, что
= 2 [Р'(«,)Г18(* — «,)• B)
В частности, мы имеем (см. также, например, гл. VI, § 15, п. 5)
Ъ(х* — а*) = -^{Ь{х — а)-*Ъ(х + а)). C)
В качестве упражнения читатель может истолковать и доказать
формулу
+ оо
8(sinx) = S <—1)vS(jc — ttv). D)
v= —со
Заметим также следующее: дельта-функция является одно-
однородной функцией порядка—1 относительно переменной х (ана-
(аналогично функция 8 (х) в случае п измерений однородная порядка—п).
Соответственно для одной переменной мы имеем соотношение
О. E)
Что касается перехода к полярным координатам в случае я-мер-
ной 8-функции, то общие формулы из п. 2 неприменимы в окрест-
окрестности начала координат. Тем не менее часто применяемую формулу
(шп обозначает площадь поверхности я-мерной единичной сферы)
можно обосновать; при этом опираются на тот факт, что ср(О) есть
выражение для функционала Г I b(x)y(x)dx. Однако надо учиты-
учитывать, что, строго говоря, получение выражения F) для м-мерной
функции 8(х) требует некоторого изменения наших определений; на-
ср (х) 8 (х) dx = -=- ср @).
§ 3. Операции над обобщенными функциями 785
4. Умножение и свертка обобщенных функций. Хотя, вообще
говоря, произведение двух обобщенных функций f (х) и g(x) не
имеет смысла как общее понятие, произведения вида f(x)g(y) двух
обобщенных функций, зависящих от разных совокупностей не-
независимых переменных х и у, согласно нашему определению
являются обобщенными функциями 2п переменных хну. Действи-
Действительно, если, например, / (х) = DrxW (x), a g (у) = DsyV (у), то в оче-
очевидных обозначениях мы имеем
f(x)g(y)=DxDsyVW. G)
Для обобщенных функций / (x)=DrW и g (x)=DsV от одного и того
же переменного х всегда имеет смысл свертка !), если только один
из двух множителей, например g(x), имеет ограниченный носитель;
в результате свертывания двух функций получается новая обобщен-
обобщенная функция F (х). Для непрерывных функций fug свертка опре-
определяется формулой
F (x) = f*g = g*f = J f f(x-k)g&cb =
-1) d%, (8)
= //
причем мы предполагаем, что основная область интегрирования
0—все пространство х. Для обобщенных функций / (х) = Drx W (х)
и g (у) = Ds V (у) свертка определяется формулой
F(x)=f*g = DrDs (W * V),
где W и V — непрерывные функции и V имеет ограниченный носитель.
(Важность понятия свертки следует из того, что свертка возникает
при представлении решений дифференциальных уравнений с помощью
фундаментальных решений, а также из того, что всякая функция
есть результат свертки этой функции с дельта-функцией.)
Важным свойством оператора свертки является его перестановочность
с дифференцированием.
Многие важные применения свертки связаны со следующим оче-
очевидным фактом: любой линейный оператор L [и (х)\ можно предста-
представить как свертк} (L[u(i)}, Ь(х — ?)); следовательно, уравнение
L[u(x)] = 0 эквивалентно формальному интегральному уравнению
(и@, ^3(л- — ?)) = 0 (9)
относительно и.
Если мы теперь будем аппроксимировать обобщенную дельта-
функцию и ее производные соответствующими гладкими обычными
функциями, то мы получим аппроксимацию функционального урав-
уравнения L[u] = 0 с помощью обычных интегральных уравнений. (Мы
отсылаем к выходящему третьему тому этой книги.)
') По-немецки „Faltung".
786 Приложение к гл. VI
§ 4. Дополнительные замечания. Модификации теории
1. Введение. Как указывалось выше, имеются различные возмож-
возможности для обобщения понятия функции. Такие модификации играют
важную роль в математической физике; они интересны также с чисто
теоретической точки зрения1). В этом параграфе мы вкратце рас-
рассмотрим некоторые из этих модификаций. За исключением примера
в п. 5, они касаются того, как влияют на поведение обобщенных
функций во всей области 0 краевые условия, или, скорее, условия
на бесконечности, налагаемые на основные функции.
Нам будет удобно рассматривать комплекснозначные функции /,
g, cp, ф и определить скалярное произведение обычной формулой
(/• g) = f f (x) gix) dx = <J7J). A)
2. Различные пространства основных функций. Пространство ©.
Преобразования Фурье. Хотя для целей этой книги пространство
финитных основных функций представляется вполне удовлетворите-
удовлетворительным, иногда бывает полезно рассматривать несколько более широ-
широкие классы основных функций (и тем самым несколько сузить „двой-
„двойственное" пространство обобщенных функций), без существенного
изменения определений и методов § 2, 3. В частности, если в качестве
основной области 0 взять все пространство х, то можно рассмат-
рассматривать пространство <3 основных функций <р, которое состоит из
функций, принадлежащих С°° и таких, что они и все их производные
стремятся к нулю на бесконечности быстрее, чем любая степень \х\,
т. е. таких, что
для всех г, независимо от того, насколько большим выбрано число N2).
В пространстве основных функций <3 скалярное произведение (W, <р)
определяется как обычный интеграл по 0, т. е. по всему простран-
пространству х, от произведения Wcp; оно имеет смысл для всех функций W,
непрерывных в g, для которых существует положительная постоян-
постоянная М, такая, что |VV11 jc| —>0 при |д;| —уоо и N > М\ другими
словами, для функций W, которые на бесконечности растут не быстрее
некоторого многочлена. В соответствии с определениями § 2 мы
можем тогда для любого целочисленного индекса г ввести обобщен-
обобщенные функции
f = DrW B)
1) Ср., например, Берковиц и П. Лаке [1].
2) Например, пространство всех функций из С100, которые вместе со
своими производными имеют на бесконечности порядок не выше e~xi, при-
принадлежит @.
§ 4. Модификации теории 787
и определить скалярное произведение / и ср с помощью соотношения
C)
Очевидно, что любая обобщенная функция, определенная таким обра-
образом над пространством основных функций ©, является также обоб-
обобщенной функцией над пространством 3) финитных основных функций
в смысле определения из § 2. Однако обратное не всегда верно 1).
Пространство основных функций S полезно при построении тео-
теории преобразования Фурье, переводящего функцию g(x) в функцию
g (х) = -^=yr f g (?) ем d\ = j (х). D)
Если функция g принадлежит ©, то, как легко видеть, ее преобра-
преобразование g тоже принадлежит © и мы имеем полную взаимность
преобразования Фурье:
g(x) = f(x), f(x) = ?(x), E)
и с помощью преобразования Фурье пространство © взаимно одно-
однозначно переводится в себя.
Отметим важную формулу Парсеваля
(/. g) = (f. g). F)
или
J fgdx = J fg(x) dx; Fa)
ее легко доказать для функций / и g, принадлежащих классу ©, так
как соответствующие интегралы по х быстро сходятся.
Теперь мы можем дать удовлетворительное определение преобра-
преобразования Фурье / функции /, не обязательно принадлежащей про-
пространству ©, но определенной формулой / = DrW [см. уравнение B)];
это значит, что мы определим преобразование Фурье для обобщенных
функций / над пространством S, возникающих при дифференциро-
дифференцировании функций W, растущих на бесконечности не быстрее некото-
некоторого многочлена2).
') Рассмотрим, например, обычную функцию / = е*\ Ее можно интер-
интерпретировать как обобщенную функцию над пространством 35, так как ее
скалярное произведение с любой финитной функцией <р получается с по-
помощью обычного интеграла. Но над пространством © это определение не-
непригодно, так как, например, функция <f = e~x% является допустимой основ-
основной функцией из пространства @, а скалярное произведение / и f не су-
существует.
2) По поводу этого широкого обобщения преобразования Фурье см.
Бохнер [1] и Шварц [1].
788 Приложение к гл. VI
Сначала мы снова напомним, что если <р принадлежит ©, то ф —ср
также принадлежит ©, и наоборот. Затем мы применим формулу
Парсеваля F), но не как теорему, требующую доказательства, а как
слабое определение функции /. Мы положим
(/¦ Ф) = (/. ?) = (/. <р); (8)
при этом мы принимаем во внимание, что правая часть равенства
заранее известна в силу C) и равна ± (W, Dr<p). Поэтому преобра-
преобразование Фурье полностью определяется с помощью скалярных произ-
произведений (8), если ф и ср пробегают все пространство <3.
Это определение / может служить отправной точкой для более
глубокого изучения теории преобразования Фурье.
Почти сразу можно установить следующий важный факт. Пре-
Преобразование Фурье функции Dsf есть (—tx)s f при любом индексе s\
вообще, для любого линейного дифференциального оператора с по-
постоянными коэффициентами ?[/]=2 afi9f преобразование Фурье есть
р
где Р — полином 2аР(—?ЛГ)Р- связанный с дифференциальным опе-
р
ратором L (см. гл. III, прил. 1, § 2). Мы не будем проводить даль-
дальнейших рассмотрений и отметим только, что замечания о том, что
функция 8 (л:) и функция, тождественно равная единице, являются
друг для друга преобразованием Фурье, легко укладываются в эту
теорию.
3. Периодические функции. Часто бывает полезно ограничиться
периодическими порождающими функциями W и периодическими основ-
основными функциями ср, обладающими одинаковым периодом, например 2гс,
относительно всех переменных xt; основной областью 0 служит
область 0 ^ Х[ ^С 2-ге. Тогда, применяя комплексные обозначения, мы
возьмем в качестве пространства ty основных функций пространство,
натянутое на тригонометрические функции е~lv-^ = cpv, где ч — вектор
с целыми компонентами. Обобщенные функции, определенные фор-
формулой f—DrW, мы также будем называть периодическими (см. опре-
определение в § 2). Кроме того, с помощью некоторого видоизменения
определения § 2 мы можем допустить в качестве порождающих функ-
функций W функции с интегрируемым квадратом.
С помощью этих модификаций мы избавляемся от усложнений,
связанных с граничными условиями аля бесконечных областей. Для
дифференциальных уравнений, заданных в конечной области, часто
можно периодически продолжить коэффициенты и решения за пределы
§ 4. Модификации теории 789
рассматриваемой области, не теряя при этом общности1). Таким
образом достигается возможность применения простых методов.
Как обычно, мы определим коэффициенты Фурье ccv функции* W
формулой
av = (W, cpv) = f We-1» dx; (9)
здесь и далее мы будем предполагать (в действительности без огра-
ограничения общности), что коэффициент а0, т. е. постоянный член в раз-
разложении Фурье, обращается в нуль. Тогда мы получаем теорему
Парсеваля в виде
\\W\\* = (W, W)= Г \W\idx = v?n 21
^ м= —с
Для обобщенных функций f = DrW мы определим скалярные произ-
произведения в соответствии с § 2 формулой (/, ср) = + (W, ?>гср). Это
позволяет определить коэффициенты Фурье с, обобщенной функции
/ = DrW как
с, = (/¦ <pv) = (DrW, 9,) = ± &Y №• <Р„) = ± W «,• (9б)
Аналогично мы можем рассмотреть интегралы D'rW и их коэффи-
коэффициенты Фурье
dv = ± (fv)~r av = {D"rW, cps), A0)
причем всегда предполагается, что постоянный член равен нулю.
Формула Парсеваля (9а) наводит на мысль о том, что через обычную
норму W можно определить норму порядка г для D~rW и порядка —г
для DrW; это делается следующим образом:
СО
||DrW/|f_r = ||D"r||r2=||r||2=it2'1 2 KI2- (И)
V = — СО
Во всяком случае, коэффициенты Фурье обобщенной функции /
так же, как и коэффициенты Фурье обычной функции, дают „конкрет-
„конкретное" или „явное" представление /. Обобщенная периодическая
функция / представляется последовательностью чисел с„ для всех
значений индекса v (предполагается, что со = О), такой, что суще-
существует фиксированное число г, для которого ряд
2|cj2|v-2'|=:2KI2 A2)
V V
сходится; тогда числа (/v)~rcv = av являются коэффициентами Фурье
некоторой функции W с интегрируемым квадратом.
') Такой искусственный прием с успехом применял П. Лаке в работе [6];
затем его применяли и другие. [Этот прием был применен ранее в работе
Петровского [5]. — Прим. ред.]
790 Приложение к гл. VI
Конечно, можно определить и явно производить все операции над
периодическими обобщенными функциями, опираясь на это представ-
представление.
4. Обобщенные функции и гильбертовы пространства. Нега-
Негативные нормы. Сильные определения. В § 2 и выше в п. 2 мы
вводили обобщенные функции / с помощью „слабых определений",
т. е. с помощью „скалярных произведений" с функциями ср, принад-
принадлежащими пространству D; обобщенные функции / рассматриваются
как элементы „двойственного пространства" так же, как в проек-
проективной геометрии есть двойственное соответствие между
плоскостями и точками, которое устанавливается через скалярное
произведение их координат. Очень интересноJ), что можно опреде-
делить обобщенные функции также с помощью „сильных определе-
определений", через пополнение всюду плотных множеств гладких функций
в некоторой норме гильбертова пространства. На такой метод
опираются основные операции в классическом прямом вариационном
исчислении; этот метод с успехом применял П. Лаке2) и другие.
Здесь мы дадим только его краткое описание.
В случае периодических функций, рассмотренных в п. 3, си-
ситуация очень проста. Сначала в гильбертовом пространстве перио-
периодических функций W с нормой \\W|| мы рассмотрим всюду плотное
множество функций W, обладающих производными вплоть до по-
порядка г; затем мы построим непрерывные функции DrW = f и по-
пополним это множество в норме \\W\\. Таким образом, в это полное
гильбертово пространство мы включим в качестве идеальных элемен-
элементов пределы / и назовем ||№|| = ||/||-г негативной нормой f по-
порядка — г. Ясно, что для периодических функций эти нормы и соот-
соотношения между ними такие же, как те, что даны в п. 2.
Во всяком случае, негативные нормы позволяют дать сильное
определение идеальных элементов через замыкание по некоторой
гильбертовой норме. Легко видеть, что идеальные элементы, полу-
полученные с помощью сильного определения, по существу эквивалентны
идеальным элементам, ранее построенным с помощью „слабых опре-
определений".
Предположение о периодичности совершенно несущественно для
этих рассуждений. Для функций W и /, заданных во всем простран-
пространстве х, мы могли бы рассматривать основные функции из простран-
пространства 3), а функции W — из гильбертова пространства, полученного
пополнением пространства финитных функций из Ст в норме \\W\\.
Тогда для любого индекса г пополнение W приводит к гильбертову
пространству обобщенных функций DrW = f с негативной нормой
') См., например, применение к построению решений краевых задач
вариационными методами (т. III).
2) См., например, П. Лаке [6].
§ 4. Модификации теории 791
|/||_г = ||U?||. Заставляя индекс г пробегать все значения и объединяя
все определенные таким образом идеальные элементы, мы приходим
к определению обобщенных функций, по существу (но не полностью)
эквивалентному определению, данному в § 2.
Более ясную аналогию с определением через коэффициенты Фурье
в случае периодических функций, конечно, дает теорема Парсеваля F)
для интегралов Фурье.
5. Замечание о других классах обобщенных функций. В ка-
качестве иллюстрации, поясняющей, какая степень произвола допустима
при введении обобщенных функций, мы добавим следующее краткое
замечание. Можно было бы определить полезный класс обобщенных
функций, рассматривая на границе, например на границе единичного
круга, значения функций, гармонических внутри (или, вообще, рас-
рассматривая граничные значения решений некоторого эллиптического
дифференциального уравнения). Эти граничные значения могут не су-
существовать в обычном смысле; они вводятся в качестве идеальных
элементов через задание аналитической гармонической функции
внутри. В § 2 мы заметили, что дельта-функцию можно было бы
таким образом определить через граничные значения функции Грина.
Однако, как читатель легко может увидеть на примерах, граничные
значения гармонических функций и вовсе не обязаны быть обобщен-
обобщенными функциями в смысле § 2 или предыдущих пунктов этого па-
параграфа ]).
С другой стороны, этот новый тип обобщенных функций обла-
обладает свойствами, которые позволяют применять их в анализе как
полезное орудие. Если вместо гармонических функций в единичном
круге мы рассмотрим регулярные аналитические функции комплек-
комплексного переменного z = x-\-iy, мы получим некоторые дополнитель-
дополнительные преимущества, например возможность естественным образом
определить произведение и функцию от обобщенной функции.
') Например, в полярных координатах р и 8 в единичном круге р < 1
ряд
оо
U = ^ evp4 COS V0,
v=l
где
дает функцию, гармоническую при о < 1; однако норма л2^ | av |2v~2' не
сходится ни при каком целом значении г (см. п. 3), в то время как ряд
для и равномерно сходится для 0 < р < 1 — г с любым е > 0 и является гар-
гармонической функцией.
792 Приложение к гл. VI
Несмотря на достоинства теории, изложенной в этом приложении,
сделанное выше замечание указывает на необходимость дальнейшего
изучения других, менее исследованных возможностей обобщения по-
понятия функции с помощью введения некоторых идеальных элементов.
Ценность всех этих понятий должна измеряться не их формальной
общностью, а той пользой, которую они могут принести в широкой
области анализа и математической физики.
БИБЛИОГРАФИЯ
Агмон, Дуглис, Ниренберг (Agmon S., Douglis A., Niren-
berg L.)
[1] Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential
equations satisfying general boundary conditions, I, Communs. Pure and
Appl. Math., 12 A959), 623—727. (Русский перевод: Агмон С, Д у г-
лис А., Ниренберг Л., Оценки вблизи границы решений эллипти-
эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных усло-
условиях, ИЛ, М, 1962.)
Адамар (Hadamard J.)
[1] Equations aux derivees partielles. Les conditions definies en general. Le
cas hyperbolique, Enseignement math., 35 A936), 5—42.
[2] Le probleme de Cauchy et les equations aux derivees partielles lineaires
hyperboliques, Hermann, Paris, 1932.
[3] Psycology of invention in the mathematical field, Dover, New York, 1954.
Александров А. Д.
[1] Задача Дирихле для уравнения det || гц II = Ф(г гп, г, х{ хп).
Вестник Ленингр. ун-та, серия мат. мех. и астр. 1 : 1 A958), стр. 5—24.
Альфорс, Берс (Ahlfors L., Bers L.)
[1] Riemann's mapping theorem for variable metrics, Ann. of Math., 72 A960),
385—404.
Ароншайн (Aronszajn N.)
[1] A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differential
equations or inequalities of second order. /. de Math., 36 A957), 235—249.
Асгейрссон (Asgeirsson L.)
[Ij Some hints on Huygens' principle and Hadamard's conjecture. Communs.
Pure and Appl. Math., 9, № 3 A956), 307—326.
[2] Ober eine Mittelwertseigenschaft von Losungen homogener linearer par-
tieller Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten,
Math. Ann., 113 A936), 321.
[3] Uber Mittelwertgleichungen, die mehreren partiellen Differentialgleichun-
Differentialgleichungen 2. Ordnung zugeordnet sind. Studies and Essays, Interscience, New
York, 1948, pp. 7—20.
794 Библиография
Базер и Флейшман (Bazer J., and Fleischman О.)
[1] Propagation of weak hydromagnetic discontinuities, Rep. № MH-10, Insti-
Institute of Mathematical Sciences, New York University, 1959.
Банах (Banach S.)
[1] Theorie des Operations Lineaires. Warsaw, 1932. (Украинский перевод:
Банах С, Курс функционального анал1зу, Киев, 1948.)
Беккенбах и Джексон (Beckenbach E. F., and J а с It-
son L. К.)
[1] Subfunctions of several variables, Pacific J. Math., 3 A953), 291—313.
Бергман (Bergman S.)
{1] Linear operators in the theory of partial differential equations, Trans. Am.
Math. Soc, 53 A943), 130—155.
Берковиц и Лаке (Berkowitz J., and Lax P. D.),
[1] Functions of a real variable. To be published by Wiley, New York.
Бернштейн (Bernstein S.)
[1] Sur la nature analytique des solutions de certaines equations aux derivees
partielles du second ordre, Math. Ann., 59 A904), 20—76.
Бер с (Be r s L.)
[1] An outline of the theory of pseudoanalytic functions. Bull. Am. Math. Soc,
62 A956), 291—331.
[2] Lectures on elliptic equations. Summer Seminar in Applied Mathe-
Mathematics. University of Colorado, Boulder, Colorado, 1957. Lectures in
Applied Mathematics, Vol. IV, to be published by Interscience, New
York.
[3] Mathematical aspects of subsonic and transonic gas dynamics. Wiley,
New York, 1958. (Русский перевод: Б ере Л., Математические вопросы
дозвуковой и околозвуковой газовой динамики, ИЛ, М., 1961.)
[4] Non-linear elliptic equations without non-linear entire solutions, Л Rail.
Mech. Anal, 3 A954), 767—787.
[5] Results and conjectures in the mathematical theory of subsonic and
transonic gas flows, Communs. Pure and Appl. Math., 7 A954), 79.
Берси Гельбарт (Bers L, and Gelbart A.)
[1] On a class of functions defined by partial differential equations, Trans.
Am. Math. Soc, 56 A944), 67—93.
БерсиНиренберг (Bers L, and N i r e n b e r g L.)
[1] On a representation theorem for linear elliptic systems with discon-
discontinuous coefficients and its applications, Convegno Internazionale sulle
Equazioni lineari alle derivate parziali. Edizioni Cremonese, Rome, 1955,
pp. 111—140.
[2] On linear and nonlinear elliptic boundary value problems in the plane,
Convegno Internazionale sulle Equazioni derivate parziali, Edizioni Cre-
Cremonese, Rome, 1955, pp. 141—167.
Библиография 795
Б и р к г о ф, К е л л о г (В i r k h о f f Q. D., Kellogg О. D.)
[1] Invariant points in function space, Trans. Am. Math. Soc, 23 A922),
96—115.
Б ох нер (Bochner S.)
[1] Vorlesungen iiber Fouriersche Integrale, Akademische Verlagsges., Leipzig,
1932. (Русский перевод: Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье,
Физматгиз, М., 1962.)
Боярский Б. В.
[1] Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого
порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами, Матем. сб.
43 (85), № 4 A957), 451—503.
Брело (Brelo t M.)
[1] Lectures on potential theory, Tata Institute of Fundamental Research,
Bombay, 1960.
Бухвальд (В u с hw a 1 d V. Т.)
[1] Elastic waves in anisotropic media, Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 253
A959), 563—580.
Бургатти (Burgatti P.)
[1] Sull' estensione del metodo d'integrazione di Riemann a!!' equazioni lineari
d'ordine n con due variabili independent!, Rend, reale accad. lincei, Ser. 5a,
15, №2 A906), 602—609.
Вайн штейн (WeinsteinA.)
[1] Conformal representation and hydrodynamics, Proceedings of the First
Canadian Mathematical Congress, 1945, University of Toronto Press, To-
Toronto A946), pp. 355—364.
[2] The generalized radiation problem and Euler-Poisson-Darboux equation.
Instituto Brasileir de Educate, Cienciae Cultura, 1955, pp. 126—146.
[3] The method of axial symmetry in partial differential equations, Convegno
Internazionale sulle Equazioni Lineari alle Derivate Parziali, Trieste
A954), pp. 86—96. Edizioni Cremonese, Roma, 1955.
Бейль (W e у 1 H.)
[1] Ausbreitung elektromagnetischer Wellen iiber einem ebenen Leiter, Ann.
Physik, Ser. 4, 60 A919), 481—500.
[2] Die Idee der Riemannschen Flache, 3. Aufl., Teubner, Stuttgart, 1954.
Вейтцнер (W e i t z n e r H.)
[1] On the Green's function for two-dimensional magnetohydrodynamic waves.
Bull. Am. Phys. Soc, Ser. 2, 5 A960), 321.
В еку а И. Н.
[1] Обобщенные аналитические функции, Физматгиз, М., 1959.
[2] Новые методы решения эллиптических уравнений, Гостехиздат, М., 1948.
796 Библиография
[3] Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического
типа и граничные задачи с применением к теории оболочек, Матем. сб.,
нов. сер., 31, № 2 A952), 217—314.
Винер (Wiener N.)
[1] Certain notions in potential theory, /. Math, and Phys., 3 A924), 24—51.
[2] The Dirichlet problem, /. Math, and Phys., 3 A924), 127—146.
Винтнер, Хартман (Wintner A., and Hart man P.)
[1] On hyperbolic differential equations, Am. J. Math., 74 A952), 834—864.
В и ш и к М. И. и Ладыженская О. А.
[1] Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых
классов операторных уравнений, УМН, XI, № 6 A956), 41—97.
Вольтерра (Volterra Vito)
[1] Sur les vibrations des corps elastiques isotropes, Ada Math., 18 A894),
161—232.
Г а м е л ь (Н amel G.)
[1] Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Losungen der Funktional-
gleichung f(x + y) -=f(x) +f(y), Math. Ann., 60 A905), 459—462.
Гарабедян (QarabedianP.)
[1] Partial differential equations. To be published by Wiley, New York.
[2] Partial differential equations with more than two independent variables
in the complex domain, /. Math, and Mech., 9 A960), 241—272.
Гарабедян, Лев и, Шиффер (Qarabedian P., Lewy H., and
Schiffer M.)
[1] Axially symmetric cavitational flow, Ann. of Math., Ser. 2, 56 A952),
560—602.
Гарабедян, Либерштейн (Garabedian P., and L i e b e r-
stein H. M.)
[1] On the numerical calculation of detached bow shock waves in hypersonic
flow, /. Aeronaut. ScL. 25 A958), 109—118.
'Гельфанд И. М.
[1] Некоторые вопросы теории квазилинейных уравнений, УМН, 14, 2 (]959),
87—158.
Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е.
[1] Обобщенные функции и действия над ними, Физматгиз, М , 1958.
Гильберт (Hilbert D.)
[1] Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen,
Qottingen Nachrichten, 1910; Leipzig, 1924.
Гординг (Qarding L.)
[1] Dirichlet problem for linear elliptic partial differential equations, Math.
Scand., 1 A953), 55—72,
Библиография 797
[2] Linear hyperbolic partial differential equations with constant coefficients.
Ada Math., 85 A951), 1—62.
[3] Solution directe du probleme de Cauchy pour les equations hyperboliques.
Comptes rendus du colloque pour les equations aux derivees partielles,
Colloque International, CNRS, Nancy A956), 71—90. (Русский перевод:
Г о р д и н г Л., Прямое решение задачи Коши для гиперболических урав-
уравнений, сб. Математика, 2 : 1 A960), 81—85.)
[4] The solution of Cauchy's problem for two totally hyperbolic linear diffe-
differential equations by means of Riesz integrals, Ann. of Math., 48 A947),
785—826.
Гофман и Теллер (de Hoffmann F. and Teller E.)
[1] Magneto-hydrodynamic shocks, Phys. Rev., 80 A950), 692.
Град (GradH.))
[1] Propagation of magnetohydrodynamic waves without radial attenuation,
Rep. No. NYO-2537, Magneto-Fluid Dynamics Division, Institute of Mathe-
Mathematical Sciences, New York University, 1969.
Данфорд и Шварц (Dunford N., and Schwartz J. T.)
[1] Linear operators, Part I: General theory, Interscience, New York, 1958.
(Русский перевод: Данфорд Н. и Шварц Дж. Т., Линейные опера-
операторы. Общая теория, ИЛ, М., 1962.)
Д а фф (Du f f Q. F. D.)
./ [1] Mixed problems for linear systems of first order equations, Can. J. Math.,
10 A958), 127—160.
[2] The Cauchy problem for elastic waves in an anisotropic medium, Philos.
Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 252 A960), 249—273.
У [3] Mixed problems for linear systems of first order equations, Can. J. Math.,
10 A958), 127—160.
Де Джорджи (Giorgi E. de))
[1] Sulla differenziabilita e Panaliticita delle estremali degli integrali multipli
regolari, Mem. accad. set. Torino. Cl. sci. jis. mat. nat., Ser. 3, 3, 1 A957),
25—43. (Русский перевод: де Д ж о р д ж и Э., О дифференцируемости и
аналитичности экстремалей кратных регулярных интегралов, сб. Мате-
Математика, 4:6 A960), 23—38.)
Д ётш (D oet sch G.)
[1] Handbuch der Laplace Transformation, 3 Vols. Birkhauser, Basel, 1950.
[2] Theorie und Anwendung der Laplace Transformation, Springer, Berlin,
1937.
Джон (John F.)
[1] General properties of solutions of linear elliptic partial differential equa-
equations. Proceedings of Symposium on Spectral Theory and Differential
Problems, Oklahoma Agricultural and Mechanical College, Stillwater,
Oklahoma A951), 113—175.
798 Библиография
[2] Numerical solution of the equation of heat conduction for preceding times,
Ann. di mat, Ser. 4, 40 A955), 129—142.
[3] On linear partial differential equations with analytic coefficients — Unique
continuation of data, Comniuns. Pure and Appl. Math., 2 A949),
209—253.
[4] Piane waves and spherical means applied to partial differential equations.
Tract. 2, Interscience, New York, 1955. (Русский перевод: Ион Ф., Пло-
Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным
уравнениям с частными производными, ИЛ, М., 1958.)
[5] The ultrahyperbolic differential equation with four independent variables,
Duke Math. L, 4 A938), 300—322.
Д у г л и с (D о u g I i s A.);
[1] Some existence theorems for hyperbolic systems of partial differential equa-
equations in two independent variables, Comniuns. Pure and Appl. Math., 5,
№2 A952), 119—154.
[2] A criterion for the validity of Huygens' principle, Comniuns. Pure and
Appl. Math., 9, № 3 A956), 391—402.
Жермен (Germain P.)
[1] Remarks on the theory of partial differential equations of mixed type
and applications to the study of transonic flow, Comniuns. Pure and
Appl. Math., 7 A954), 117—144.
Жермен и Бадер (Germain P., and В a d e r R.)
[1] Unicite des ecoulements avec chocs dans la mechanique de Burgers, Office
Nationale des Etudes et des Recherches Aeronautiques, Paris, 1953, 1—13.
3 ay эр (S auer R.\
[1] Anfangswertprobleme bei partiellen Differenzialgleichungen, 2. Auf.,
Springer, Berlin, 1958.
Заремба (ZarembaS.)
[1] Sopra un teorema d'unicita relativo alia equazione delle onde sferiche.
Rend reale accad. Lincei, Ser. 5\ 24 A915), 904—908.
Калашников А. С.
[1] Построение обобщенных решений квазилинейных уравнений первого
порядка без условия выпуклости как пределов решений параболических
уравнений с малым параметром, ДАН СССР, 127, № 1 A959), 27—30.
Кальдерон (Calder6n А. Р.)
[1] Uniqueness in the Cauchy's problem for partial differential equations, Am.
J. Math., 80 A958), 16—36.
Кальдерон и Зигмунд (Calderon A. P., and Zygmund A.}
[1] Singular integral operators and differential equations, Am. J. Math. 79
A957), 901—921.
[2] Singular integral operators and differential equations, Am. J, Math., 80
A958), 16—36.
Библиография 799
Каратеодори (CaratheodoryC.)
[1] Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung,
B. G. Teubner, Leipzig und Berlin, 1935.
Карлеман (Carleman T.)
[1] Sur les systemes lineaires aux derivees partielles du premier ordre a deux
variables, Compt. rend., 197 A933), 471—474.
[2] Sur un probleme d'unicite pour les systemes d'equations aux derivees par-
partielles a deux variables independentes, Ark. Mat., Astr. Fys., 26B, № 17
A939), 1—9.
Келлер (Keller J. B.)
[1] A geometrical theory of diffraction. Calculus of variations and its appli-
applications, ed., L. M. Graves, Proceedings of Symposia on Applied Mathema-
Mathematics, v. 8, pp. 27—52. American Mathematical Society, Providence, 1958.
Келлер, Льюис, Секлер (Keller J. В., Lewis R. M., and
Seckler B. D.J
[1] Asymptotic solution of some diffraction problems, Communs. Pure and
Appl. Math., 9 A956), 207—265.
Кел лог (Kellog О. D.)
[1] Foundation of potential theory, Springer, Berlin, 1929.
[2] On the derivatives of harmonic functions on the boundary, Trans. Amer.
Math. Soc, 33 A931), 486—510.
Киселев А. А. и Ладыженская О. А.
[1] О существовании и единственности решения нестационарной задачи для
вязкой несжимаемой жидкости, Изв. АН СССР, сер. матем., 21, № 5
A957), 655—680.
Клайн (Kline M.)
[1] An asymptotic solution of Maxwell's equation, Communs, Pure and Appl.
Math... 4 A951), 225—263.
[2] Asymptotic solution of linear hyperbolic partial differential equations,
/. Ratl. Mech. Anal., 3 A954), 315—342.
Клейн (Klein F.)
[1] Vorlesungen flber Hohere Geometrie, 3 Auf., Springer, Berlin, 1926. (Рус-
(Русский перевод: Клейн Ф., Высшая геометрия, Гостехиздат, М., 1939.)
Коппенфельс (Koppenfels W. von)
[1] Der Faltungssatz und seine Anwendung bei der Integration linearer Dif-
Differentialgleichungen mit konstanten koeffizienten, Math. Ann., 105 A931),
694—706.
К о п с о н (С о р s о п Е. Т.|
[1] On the Riemann — Green function, /. Ratl. Mech. Anal., 1 A958), 324—348.
Кордес (Cordes H. O.)
[1] Ober die eindeutige Bestimmheit der Losungen elliptischer Differential-
800 Библиография
gleichungen durch Anfangsvorgaben, Nadir. Akad. Wiss. Gottingen, Math. -
Phys. K1-, Jahre 1956, 239—258.
[2] Ober die erste Randwertaufgabe bci quasilinearen Differentialgleichungen
zweiter Ordnung in mehr als zwei Variablen, Math. Ann., 131 A956),
273—312. (Русский перевод: Кордес Г О., О первой краевой задаче
для квазилинейных дифференциальных уравнений более чем с двумя
независимыми переменными, сб. Математика, 3:2 A959), 75—107.)
Корн (К о г п А.),
[1J Cber Minimalflachen, deren Radkurven wenig von ebenen Kurven abwei-
chen, Anhang II. Abhandl, Konigl. preuss. Akad. Wiss., Berlin, Jahre 1909.
К о ш и (С а и с h у A. L.)
[1] Memoire sur ('integration des equations lineaires aux differentielles par-
tielles et a coefficients constants, Oevres Completes, Ser. 2, T. 1, 1823.
Коэн (Cohen P.)
[1] The non-uniqueness of the Cauchy problem, Technical Rep. No. 93, Applied
Mathematics and Statistics Laboratory, Stanford University, 1960.
Кшивоблоцкий (KrzywoblockiM. Z.)
[1] Bergman's linear integral operator method in the theory of compressible
fluid flow. Osterrlich. Ing.-Arch., 6 A952), 330—360.
Кшижанский, Шаудер (Krzyzaiiski M. and Schauder J.)
[1] Quasilineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom hyperbolischen
Typus. Gemijchte Randwertaufgaben, Studia Math., 6 A936), 162—189.
Курант (Courant R.)
[1] Differential and integral calculus, Vol. II, Interscience, New York, 1936.
(Русский перевод (с немецкого): Курант Р. Курс дифференциального
и интегрального исчисления, ч. I и II, ГНТИ, М.—Л., 1931.)
[2] Dirichlet's principle, conformal mapping and minimal surfaces, Intersience,
New York, 1950. (Русский перевод: Курант Р., Принцип Дирихле,
конформные отображения и минимальные поверхности, ИЛ, М., 1953.)
[3] Cauchy's problem for hyperbolic quasi-linear systems of first order partial
differential equations in two independent variables, Communs. Pure and
Appl. Math., 14, № 3 A961), 257—265.
Курант, Лаке A. (Courant R. and Lax A.)
[1] Remarks on Cauchy's problem for hyperbolic partial differential equations
with constant coefficients in several independent variables, Communs. Pure
and Appl. Math., 8 A955), 497—502.
Курант, Лаке П. (Courant R., and L a x P. D.)
[1] On nonlinear partial differential equations with two independent variables,
Communs. Pure and Appl. Math., 2 A949), 255—273.
[2] The propagation of discontinuities in wave motion. Proc. Natl. Acad. Sci.
U. S., 42, № 11 A956), 872-876.
Библиография 801
Курант, Фридрихе (CourantR. and Friedrichs К. О.)
[1] Supersonic flow and shock waves, Interscience, New York, 1948. (Русский
перевод: Курант Р. и Ф р и д р и х с К- О., Сверхзвуковое течение и
ударные волны, ИЛ, М, 1950.)
Курант, Фридрихе Лев и Г. (С our ant R., Friedrichs К. О.
and Lew у H.)
[1] Uber die partiellen Differenzengleichungen der Physik, Math. Ann., 100
A928—1929), 32—74. (Русский перевод: Курант Р., Фридрихе К.
и Л е в и Г., О разностных уравнениях математической физики, УМН,
8 A940), 125—160.)
Кюнци (Ku nz i H. Р.)"
[1] Quasikonforme Abbildungen, Springer, Berlin, I960.
Ладыженская О. А.
[1] Смешанная задача для гиперболического уравнения, Гостехтеориздат,
М., 1953.
Л айтхилл (Lighthill M. J.)
[1] Studies on magnetohydrodynamic waves and other anisotropic wave mo-
motions, Phil. Trans. Roy. Soc. (London), Ser. A., 252 A960), 397—430.
[2] An introduction to Fourier analysis and generalized functions, Cambridge
University Press, New York, 1958.
Лаке (Lax A.)
[1] On Cauchy's problem for partial differential equations with multiple cha-
characteristics, Cotnmuns. Pure and Appl. Math., 9, № 2 A956), 135—169.
Л а к с (L a x P. D.)
[1] A stability theorem for solutions of abstract differential equations, and
application to the study of the local behavior of solutions of elliptic equa-
equations, Communs. Pure and Appl. Math., 9, № 4 A956), 747—766.
*p [2] Hyperbolic systems of conservation laws II, Communs. Pure and Appl.
Math., 10 A957), 537—566.
[3] Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical com-
computation, Communs. Pure and Appl. Math., 7 A954), 159—193.
[4] Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems, Duke Math. /.,
24 A957), 627—646.
[5] Nonlinear hyperbolic equations, Communs. Pure and Appl. Math., 6, № 2
A953), 231—258.
[6] On Cauchy's problem for hyperbolic equations and the differentiability
of solutions of elliptic equations, Communs. Pure and Appl. Math., 8
A955), 615—633,
Лаке, Филлипс (Lax P. D. and Phillips R. S.I
[1] Local boundary conditions for dissipative symmetric linear differential
operators, Communs. Pure and Appl. Math., 13, № 3 (I960), 427—456.
802 Библиография
Л еви (Levi E. E.)
[1] Caratteristiche multiple e problema di Cauchy, Ann. di mat., Ser. 3a, 16
A909), 161—201.
[2] Sul problema di Cauchy per ie equizioni a caratteristiche reali e distinte,
Rend, reale accad. lincei, Ser. 5a, 18, 1° A908), 331—339.
[3] Sul problema di Cauchy per le equazioni Lineari in due variabili a ca-
ratteristice reali, I, II, Rend. 1st. Lombardo, Ser. 2, 41 A908), 409—428,
691—712.
[4J I problemi dei valori al contorno per le equazioni lineari totalmente
ellittiche alle derivati parziali, Mem. soc. It. delle sc, Ser. 3, 16 A909),
3—113.
Л е в и (Le w у Н.)
[1] An example of a smooth linear partial differential equation without solu-
solution, Ann. of Math., B), 66 A957), 155—158.
[2] On the reflection laws of second order differential equations in two inde-
independent variables, Bull. Amer. Math. Sac, 65, № 2 A959), 37—58.
[3] A priory limitations for 'solutions of Monge-Ampere equations I, Trans.
Amer. Math. Soc, 37 A935), 417—434.
[4] A priory limitations for solutions of Monge-Ampere equations II, Trans.
Amer. Math. Soc, 41 A937), 365—374.
[5] Eindeutigkeit der Losung des Anfangsproblems einer elliptischen Differen-
tialgleichung zweiter Ordnung in zwei Veranderlichen, Math. Ann., 104
A931), 325—339.
[6] Neuer Beweis des analytischen Charakters der Ldsungen elliptischer Diffe-
rentialgleichungen, Math. Ann., 101 A929), 609—619.
[7] Ober das Anfangswert Problem einer hyperbolischen nichtlinearen Diffe-
rentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhangigen Veranderlichen,
Math. Ann., 97 A927), 179—191.
Л e p e (L e г а у J.)
[1] Uniformisation de la solution du probleme lineaire analytique de Cauchy
pres de la variete qui porte les donnees de Cauchy, Butt. Soc. Math.
France, 85 A957), 389—429. (Русский перевод: Л ере Ж., Униформиза-
ция решения линейной аналитической задачи Коши в окрестности много-
многообразия, несущего начальные данные, сб. Математика 3:5 A959),
57—89.)
[2] Hyperbolic differential equations. Lecture Notes, Institute for Advanced
Study, Princeton, 1951—1952.
[3] Lectures on hyperbolic equations. Institute for Advanced Study, Prince-
Princeton, 1952.
Лере и Шаудер (LerayJ. and Schauder J.)
[1] Topologie et equations fonctionelles, Ann. ecole norm. sup. 51 A934),
45—78. (Русский перевод: Лере Ж. и Шаудер Ю., Топология и
функциональные уравнения, УМН, н. с, 1, № 34 A946), 71—95.)
Библиография 803
Липман и Швингер (Lippman В. A. and Schwinger J.)
[1] Variational principles for scattering processes I, Phys. Rev., 79 A950), 409.
Лихтенштейн (Lichtenstein L.)
[1] Neuere Entwicklung der Theorie partieller Differentialgleichungen zweiter
Ordnung vom EHiptischen Typus, Encyklopadie der mathematischen Wis-
senschaften, Bd. II—3, Heft 8, Leipzig, 1924, pp. 1277—1334.
Льюис (Lewis R. M.)
[1] Discontinuous initial value problems for symmetric hyperbolic linear diffe-
differential equations, /. Math, and Mech., 7 A958), 571—592.
Людвиг (L u d w i g D.}
[1] Exact and asymptotic solutions of the Cauchy problem, Communs. Pure
and Appl. Math., 13, № 3 A960), 473—508.
[2] Conical refraction in crystal optics and hydromagnetics, NYO Rep. № 9084,
AEC Computing and Applied Mathematics Center, Institute of Mathemati-
Mathematical Sciences, New York University, 1960.
[3] The singularities of the Riemann function, NYO Rep. № 9351, AEC Com-
Computing and Applied Mathematics Center, Institute of Mathematical Scien-
Sciences, New York University, 1960.
Люнебург (Luneburg R. K)
[1] Mathematical theory of optics, Brown University Press, Providence, 1944.
[2] Propagation of electromagnetic waves, New York University, New York,
1948 (mimeographed).
Магнус, Оберхеттингер (Magnus W. and О b e r h e 11 i n g e r F.),
[1] Formulas and theorems for the special functions of mathematical physics,
Chelsea, New York, 1949.
Мадженес, Стампаккья (Magenes E. and Stampacchia Q.)
[1] I problemi al contorno per le equazioni differenziali di tipo ellittico, Ann.
scuola norm. sup. Pisa A958—1959).
Мальгранж (MalgrangeB.)
[1] Existence et approximation des solutions des equations aux derivees parti-
elles et des equations de convolution, Ann. inst. Fourier, 6 A955—1956),
271—355.
[2] Sur une classe d'operateurs differentials hypoelliptiques, Bull. Soc. Math.
France, 85, № 3 A957), 283—306.
M и з о x а т a (M i z о h a t a S.|
[1] Le probleme de Cauchy pour les systemes hyperboliques et paraboliques,
Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto, Ser. A, 32 A959), 181—212.
[2] Systemes hyperboliques, Л Math. Soc. Japan, 11 A959), 205—233.
M и к у с и н с к и й (М i k u s 1 Л s k i J.),
[1] Operational calculus, Pergamon Press, New York, 1959. (Русский перевод:
Минусинский Я., Операторное исчисление, ИЛ, М., 1956.)
804 Библиография
Миранда (Miranda С.)
[1] Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, Springer, Berlin, 1955.
(Русский перевод: Миранда К., Уравнения с частными производ-
производными эллиптического типа, ИЛ, М., 1957.)
Мо з ер (Mo s e r J.)
[1] A new proof of de Qiorgi's theorem concerning the regularity problem
for elliptic differential equations, Communs. Pure and Appl. Math, 13
A960), 457—468.
[2] On Harnack's theorem of elliptic differential equations, Communs. Pure
and Appl. Math., 14, № 3 A961), 577—591.
M о р р и (М о г г е у С. В.)
[1] Multiple integral problems in the calculus of variations and related topics,
University of California Publications in Mathematics (N. S.), 1 A943),
1—130.
[2] On the analyticity of the solutions of analytic non-linear elliptic systems
of partial differential equations, I and II, Am. J. Math., 80, № 1 A958),
198—237.
[3] On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations,
Trans. Am. Math. Soc, 43 A938), 126—166.
[4] Second order elliptic systems of differential equations, Ann. of Math. Stu-
Studies, Princeton, 33 A954), 101—159.
Мюллер (Mu 11 er С.)
[1] On the behavior of the solutions of the differential equation Аи = F (x, u}
in the neighborhood of a point, Communs. Pure and Appl. Math., 7
A954), 505—515.
Ниренберг (NirenbergL.)
[1] On a generalisation of quasi-conformal mappings and its application to
elliptic partial differential equations, Ann. of Math. Studies, Princeton,
№ 33 A964), 95—100.
[2] On elliptic partial differential equations, Ann. scuola norm. sup. Pisa, ser.
3, 13, № 2 A959), 115—162.
[3] On nonlinear elliptic partial differential equations and Holder continuity,
Communs. Pure and Appl. Math., 6, № 1 A953), 103—156. "*
[4] Remarks on strongly elliptic partial differential equations, Communs. Pure
and Appl. Math., 8 A955), 649—675.
H и тш e (N i t s с he J.)
[1] Elementary proof of Bernstein's theorem on minimal surfaces, Ann. of Math.,
66 A957), 543—544.
12] Zu einem Satze von L. Bers fiber die Losungen der Minimalflachenglei-
chung, Arch. Math., 9, A958), 427—429.
[3] Ober Unstetigkeiten in den Ableitungen von Losungen quasilinearer hy-
perbolischer Differentialgleichungssysteme, /. Ratt. Mech., II A953), 291—
297.
Библиография 805
Ньюмен (NewmanM. H. А.)
[1] Topology of plane sets of points, Cambridge University Press, New York,
1961.
H э ш (Nash J.}
[1] Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations, Am. J. Math.,
80 A958), 931—954. (Русский перевод-. Нэш Дж., О непрерывности ре-
решений параболических и эллиптических уравнений, сб. Математика, 4 : 1
A960), 31—52.)
Олейник О. А.
[1] О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функ-
функций, ДАН СССР, 95, № 3 A954), 451—454.
[2] О разрывных решениях нелинейных дифференциальных уравнений,
ДАН СССР, 109, № 6 A956), 1098—1101.
[3] О единственности обобщенного решения задачи Коши для одной не-
нелинейной системы уравнений, встречающейся в механике, УМН, 12, № 6
A957), 169—176.
[4] Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений, УМН,
12, № 3 A956), 3—73.
Оссерман (OssermanR.)
[1] Proof of a conjecture of Nirenberg, Communs. Pure and Appl. Math., 12
A959), 229—232.
Пейзер (Peyser G.)
[1] Energy integrals for the mixed problem in hyperbolic partial differential
equations of higher order, J. Math, and Mech., 6 A957), 641—653.
Перрон (Perron О.)
[1] Eine neue Behandlung der Randwertaufgabe fur Аи — 0, Math. Z., 18
A923), 42—54.
Петровский И. Г.
[1] Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз, М., 1961.
[2] О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными,
УМН, 1, № 3—4 A946), 44—70.
[3] О диффузии волн и лакунах для систем гиперболических уравнений,
Матем. сб., 17 E9) A945), 289—370.
[4] О проблеме Cauchy для систем линейных уравнений с частными произ-
производными в области неаналитических функций, Бюлл. МГУ, сер. матем.
и механ., 1, № 7 A938), 1—6.
[5] Uber das Cauchysche Problem fur Systeme von partiellen Differential-
gleichungen, Матем. сб., 2 D4) A937), 815—866.
Пицетти (P i z e 11 i P.)
[1] Sulla media dei valori che una funzione dei punti dello spazio assume alia
superficie di una sfera, Rend, reale accad. Lincei, Ser. 5a, 18 A909), 309—316,
806 Библиография
П л и с ь (Р 1 i s A.)
[1] A smooth linear elliptic differential equation without any solution in a
sphere, Commims. Pure and Appl. Math., 14, № 3 A961), 599—617.
[2] Characteristics of nonlinear partial differential equations, Bull. Acad. Po-
lon. Sci. Cl. Ill, 2 A954), 419—422.
[3] Non-uniqueness in Cauchy's problem for differential equations of elliptic
type, /. Math, and Mech., 9 A960), 557—562.
Привалов И. И.
[1] Sur les fonctions conjugees, Bull. Soc. Math. France, 44 A916), 100—103.
Проттер (Protter N. H.)
[1] The periodicity problem for pseudoanalytic functions, Ann. of Math. B),
64 A956), 154—174.
П у ч ч и (P u с с i С.)
[1] Proprieta di massimo e minimo delle soluzioni di equazioni a derivate
parziali del secondo ordine di tipo elllttico e parabolico, Rend, accad. naz.
lincei (Classe di scienze fisiche, mat. e natural!), Ser. 8, 23, fasc. 6
(December, 1957); 24, fasc. 1 (January, 1958).
[2] Studio col metodo delle differenze di un problema di Cauchy relativo ad
equazioni a derivate parziali del secondo ordine di tipo parabolico, Ann.
scuola norm. sup. Pisa, Ser. 3, 7 A953), 205—215.
Рел лих (Rel lich F.)
[1] Zur ersten Randwertaufgabe bei Monge-Ampereschen Differentialgleichun-
gen vom elliptischen Typus; differentialgeometrische Anwendungen, Math.
Ann., 107 A933), 505—513.
[2] Verallgemeinerung der Riemannschen Integrationsmethode auf Differen-
tialgleichungen n-ter Ordnung in zwei Veranderlichen, Math. Ann., 103
A930), 249—278.
P и м а н (R i e m a n n Q. F. B.)
[1] Uber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite.
Abhandl. Konigl. Oes. Wtss. Oottingen, 8 A860).
Puce (R i e s z M.)
{1] A special characteristic surface, Rep. № 25, Dept. of Mathematics, Univer-
University of Maryland, 1957.
[2] A geometric solution of the wave equation in space-time of even dimen-
dimension, Communs. Pure and Appl. Math., 13 (I960), 329—351.
Рубинович (Rubinowicz A.)
[1] Eindeutigkeit der L6sungen der Maxwellschen Qleichungen, Physik 1., 27
A926), 707—710.
[2] Herstellung von Losungen gemischter Randwertprobleme bei hyperboli-
schen Differentialgleichungen zweiter Ordnung durch Zitsammenstuckelung
aux Losungen einfacherer gemischter Randwertaufgaben, Monatsch. Math.
Phys., 30 A920), 65—79.
Библиография 807
С ер р и н (Serrin J.)
[1] On the Harnack inequality for linear elliptic equations, /. d'Analyse Math.,
4 A956), 292—308.
Симонов Н. И.
[1] О первом краевой задаче для нелинейного эллиптического уравнения,
М., Бюлл. ун-та, матем., 2 : 1 A939), 3—18.
Соболев С. Л.
[1] Новый метод решения задачи Кошп для уравнений в частных производ-
производных второго порядка, Матем. сб. (н. с), I A936), 39—71.
Т а у т ц (Т a u t z Q.)
[1] Zur Theorie der elliptischen Differentialgleichungen II, Math. Ann., 118
A943), 733—770.
Тедоне (Tedone O.)
m •>
[1] SuH'integrazione dell'equazione dz'f/dt2 — Hd2f/dxl = 0, Ann. di mat.,
Ser. 3, 1 A889), 1.
T e м п л (T e m p 1 e G.)
[1] Generalized functions, Proc. Roy. Soc. London, Ser. A., 228 A955), 175—190.
T p и к о м и (Т г i с о m i F.)
[1] Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di seconde ordine, di tipo
misto, Rend, reale accad. lincei, Ser. 5, 14 A923), 134—247. (Русский пе-
перевод: T p и к о м и Ф., О линейных уравнениях смешанного типа, Гос-
техиздат, М.—Л., 1947.)
У н г а р (U n g a r Р.)
[1] Single higher order equations and first order systems, Thesis, New York
University, 1958.
Финн (F i n n R.|
[1] Isolated singularities of nonlinear partial differential equations, Trans. Am.
Math. Soc, 75 A953), 385—404.
Финн и Гилбарг (FinnR. and G i 1 b a r g D.)
[1] Three dimensional subsonic flows and asymptotic estimates for elliptic
partial differential equations, Ada Math., 98 A957), 265—296.
Ф р а н к л ь Ф. И.
[1] О задаче Коши для линейных и нелинейных уравнений в частных произ-
производных второго порядка гиперболического типа, Матем. сб., н. с, 2 D4),
Х° 5 A937), 793—814.
Фрндлендер (FriedlanderF. G.)
[1] Simple progressive solutions of the wave equation, Proc. Cambridge Phil.
Soc, 43 A946), 360—373.
[2] Sound pulses in a conducting medium, Proc. Cambridge Phil. Soc, 55,
IV A959), 341—367.
808 Библиография
Фридман (Friedman A.)
[1] On the regularity of the solutions of nonlinear elliptic and parabolic
systems of partial differential equations, J. Math, and Mech., 7 A958),
43—60.
Фридрихе (FriedrichsK. О.)
[1] Nonlinear hyperbolic differential equations for functions of two indepen-
independent variables, Am. J. Math., 70 A948), 555—588.
[2] Symmetric hyperbolic linear differential equations, Communs. Pure and
Appl. Math., 7 A954), 345—392.
[3] Symmetric positive linear differential equations, Communs. Pure and Appl.
Math., 11 A958), 333—418.
[4] The identity of weak and strong extension of differential operators, Trans.
Amer. Math. Soc, 55, № 1 A944), 132—151.
Фридрихе и Кран пер (Fridrichs К. О. and К г a n z е г Н.)
[1] Notes on magneto-hydronamics VIII. Nonlinear wave motion, Rep.
№ NYO-6486, AEC Computing and Applied Mathematics Center, Institute
of Mathematical Sciences, New York University, 1958.
Фридрихе и Л ев и Г. (Fried richs К- О. and Lewy H.)
[1] Ober die Eindeutigkeit und das Abhangigkeitsgebiet der Losungen beim
Anfangswertproblem linearer hyperbolischer Differentialgleichungen, Math.
Ann., 98 A928), 192—204.
X a a p (H a a r A.)
[1] Ober Eindeutigkeit und Analytizitat der Losungen partieller Differenzial-
gleichungen, Atti de congr. intern, dei mat., Bologna, Vol. 3 A928), 5—10.
Хартман и Винтнер (Hart man P. and Wintner A.)
[1] On hyperbolic differential equations, Am. J. Math., 74 A952), 834—864.
X e й н ц (Heinz E.)
[1] On certain nonlinear elliptic differential equations and univalent map-
mappings, J. a"Analyse Math., 5 A956—1957), 197—272.
[2] Ober gewisse elliptische Systeme von Differentialgleichungen zweiter Ord-
nung mit Anwendung auf die Monge-Amperesche Gleichung, Math. Ann.,
131 A956), 411—428.
X e л л ь в и г (Н е 11 w i g G.)
[1] Partielle Differenzialgleichungen, Teubner, Stuttgart, 1960.
Хёрмандер (HormanderL.)
[1] Differential operators of principal type, Math. Ann., 140 A960), 124—146.
B] On the interior regularity of the solutions of partial differential equations,
Communs. Pure and Appl. Math., 11 A958), 197—218.
[3] On the regularity of the solutions of boundary problems, Ada Math., 99
A958), 225—264.
[4] On the theory of general partial differential operators, Ada Math., 94
A955), 161—248. (Русский перевод: Хёрмандер Л., К теории общих
дифференциальных операторов в частных производных, ИЛ, М., 1959.)
Библиография 809
[5] On the uniqueness of the Cauchy problem (I), Math. Scand., b A958),
213—225, (II), Math. Scand., 7 A958), 177—190.
Хольмгрен (Holmgren E.)
[1] Ober Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen, Ofversigt a\
kongt. Vetenskapsakad. F6rh., 58 A901), 91 — 103.
[2] Sur les systemes lineaires aux derivees partielles du premier ordre a cha-
rasteristiques reelles et distinctes, Ark. Mat., Astr. Fys., 6, № 2 A909),
1—10. -
Хопф (Hopf E.)
[1] A remark on linear elliptic differential equations of second order, Proc.
Am. Math. Soc, 3 A952), 791—793.
[2] Elementare Bemerkungen iiber die Losungen partieller Differentialglei-
Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus, Sitber. preuss. Akad.
Wiss. Berlin, 19 A927), 147—152.
[3] The partial differential equation ut + uux -— \iuxx, Communs. Pure and
Appl. Math., 3 A950), 201—230.
[4] Ober den funktionalen, insbesondere den analytischen Charakter der Lo-
Losungen elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Math. Z., 34,
№2 A931), 194—233.
Чинквини-Чибрарио (Cinquini-Cibrario M.)
[1] Un teorema di esistenza e di unicita per un sistema di equazioni alle de-
rivate parziali, Ann. di mat. D), 24 A945), 157—175.
Ш a n и р о З. Я.
[1] О существовании квазиконформных отображений, ДАН СССР, 30, № 8
A941), 690—692.
JJ а у д е р (S с h a u d e г J.)
[1] Numerische Abschatzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen,
Studia Math., 5 A937), 34—42.
[2] Ober lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Math. Z.,
38, №2 A934), 257—282.
[3] Cauchysches Problem fur partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.
Anwendung einiger sich auf die Absolutbetrage der Losungen beziehenden
Abschatzungen, Comment. Math. Helv. 9 A936—1937), 263—283.
[4] Das Anfangswertproblem einer quasilinearen hyperbolischen Differential-
gleichung zweiter Ordnung, Fund. Math., 24 A935), 213—246.
Шварц (Schwartz L.)
[1] Theorie des distributions, t. 1, 2, Hermann, Paris, 1950—1951.
Швингер (SchwingerJ.)
[1] On the charge independence of nuclear forces, Phys. Rev., 78 A950), 135.
[2] The theory of quantized fields, Phys. Rev., 93 A954), 615.
810 Библиография
Шмидт (Schmidt E.)'
{1] Bemerkung zur Potentialtheorie, Mathematisclie Abhandlungen Hermann
Amandus Schwarz zu seinem funfzigjahrigen Doktorjubilaum am 6. August
1914, gewidmet von Freunden und Schiilern. Julius Springer, Berlin, 1914.
Штелльмахер (StellmacherK. L.)
[1] Ein Beispiel einer Huygensschen Differentialgleichung, Nachr. Akad. Wiss.
Gotiingen, Math.-Phys. Kb, 10 A953), 133—138.
Эренпрейс (EhrenpreisL.)
[1] Solutions of some problems of division, (I), Am. J. Math., 76 A954),
883—903; (II), 77 A955), 286—292; (III), 78 A956), 685—715.
Ямагути и Kacaxapa (Yamaguli M. and Kasahara К)
[1] Sur le systeme hyperbolique a coefficients constants, Proc. Japan Acad.,
35 A959), 547—550.
Симпозиумы и коллоквиумы
[1] Colloqua International № 71. La Theorie des equations aux derivees par-
tielles, Nancy, April 9—15, 1956.
[2] Convegno Internazionale sulle Equazioni derivate parziali. Trieste, 1954.
Edizioni Cremonese, 1955.
[3] Transactions of the Symposium on partial differential equations. Berkeley,
California, June 1955; Communs. Pure and Appl. Math., 9, № 3 A956),
Дополнительная литература
Ада мар (Hadamard J.)
Lemons sur la propagation des ondes et les equations de l'hydrodynamique.
Hermann, Paris, 1903.
Problemes a apparence difficile, Матем. сб. (н. с), 17 A945), 3—7.
Бельтрами (BeltramiE.)
Sul principio di Huygens. Rend. 1st. Lombardo, Ser. 2, 22 A889), 428—438.
Бибербах (BieberbachL.)
Theorie der Differentialgleichungen. Springer, Berlin, 1930 (Grundlehren
der Math. Wiss., Bd. 6).
Бюро (Bureau F.).
Quelques questions de Geometrie suggerees par la theorie des equations aux
derivees partielles totalement hyperboliques. Colloque de Geometrie Alge-
brique, Liege, 1949.
Вайнштейн (WeinsteinA.)
Les conditions aux limites introduces par l'hydrodynamique, L'enseignement
mathematique A936), pp. 107—125.
Библиография 811
On the wave equation and the equation of Euler—Poisson. The Fifth
Symposium in Applied Mathematics, McGraw-Hill, New York, 1954,
pp. 137—147.
Гальперн С. А.
О корректной постановке задачи Коши для совместных систем линейных
уравнений в частных производных, Матем. сб., 7 D9), 1 A940), 111—
141.
Лакуны иегиперболических уравнений, ДАН СССР, 132, № 5 A960),
990—993.
Г о р д и н г (Q a r d i n g L.J,
Hyperbolic equations. Lecture Notes, University of Chicago, 1957. (Рус-
(Русский перевод: Г о р д и н г Л., Задача Коши для гиперболических урав-
уравнений, ИЛ, М„ 1961.)
Г у р с a (GoursatE.)
Cours d'analyse mathematique, t. 1—3, ed. 5, Qauthier-Villars, Paris, 1956.
(Русский перевод: Г у р с а Э., Курс математического анализа, М.—Л.,
ОНТИ, 1936, т. I, II, III.)
Lemons sur l'integration des equations aux derivees partielles du premier
ordre, ed. 2, Hermann, Paris, 1921.
Джеффри с (Jeffreys H.),
Operational methods in mathematical physics. Cambridge Tracts № 23,
Cambridge University Press, New York, 1927.
Камке (К a mke E.)
Differentialgleichungen reeller Funktionen. Akademische Verlagsgesellschaft,
Leipzig, 1930.
К а р с о н (Carson J. R.)
Electrical circuit theory and the operational calculus. 1st ed. McGraw-Hill,
New York, 1926.
Касахара и Ямагути (Kasahara К. and Yamaguti tA.J,
Strongly hyperbolic systems of linear partial differential equations with
constant coefficients, Mem. Coll. Sci. Kyoto, Ser. A, 33, Mathematics, Ms 1
(I960).
Леви-Чивита (Levi-CivitaT.)
Caratteristiche dei sistemi differenziali e propagazione ondosa. Zanichelli,
Bologna, 1931.
Л ер e (L er а у J.)
La solution unitaire d'un operateur differentiel lineaire, Bull. Soc. Math.
France, 86 A958), 75—96.
Le calcul differentiel et integral sur une variete analytique complexe, Bull.
Soc. Math. France, 87 A959), 81—180. (Русский перевод: Л ере Ж.,
812 Библиография
Дифференциальное и интегральное исчисления на комплексном аналити-
аналитическом многообразии, ИЛ, М, 1961.)
М и з о х а т а (М i г о h a t a S.)
Analyticite des solutions elementaires du systeme hyperbolique a coefficients
constants, Mem. Coll. Sci. Kyoto, Ser. A, 32 A959), 213—234.
Петровский И. Г.
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Гостех-
теориздат, М.—Л., 1952.
II и к а р F. (P i с а г d E.)
Traite d'analyse, t. 1—3, ed. 3, Gauthier-Villars, Paris, 1922—1928.
Пуанкаре (Poincare H.)
Theoremes generaux sur le potential Newtonien, Lecon 1 in: Figures
d'equilibre d'une masse fluide. Legons professees a la Sorborme en 1900,
Naud, Paris, 1902.
Релл их (Rel lich F.)
Ober die Reduktion gewisser ausgearteter Systeme von partiellen Differen-
tialgleichungen, Math. Ann., 109 A934), 714—745.
Рисе (R e i s z M.)
L'integrale de Riemann-Liouville et le probleme de Cauchy, Ada Math., 81
A949), 1—223.
Г о м а с и Т и т т (T h о m a s T. Y. and T i 11 E. W.)
Systems of Partial Differential Equations and Their Characteristic Surfa-
Surfaces, Ann. of Math., 34 A933), 1—80.
Форсайт и Розепблум (Forsythe G. E. and Rosenbloom P. C.|
Numerical analysis and partial differential equations. Wiley, New York,
1958.
Фридрихе (FriedrichsK. О.)
Asymptotic phenomena in mathematical physics, Bull. Am. Math. Soc, 61
A955), 485—504. (Русский перевод: Фридрихе К-, Асимптотические
явления в математической физике, сб. Математика, 1:2 A957), 79—94.)
On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential equa-
equations, Communs. Pure and Appl. Math., 6, № 3 A953), 299—325.
On differential operators in Hilbert spaces, Am. J. Math., 61, № 2 A939),
523—544.
Хольмгрен (Н о 1 m g r e n E.]
Sur les systemes lineaires aux derivees partielles du premier ordre a deux
variables independantes a caracteristiques reelles et distinctes, Ark. Math.,
Astr. Fys., 5, № 1.
Sur I'extension de la methode d'integration de Riemann, Ark. Math., Astr,
tys., 1 A903), 317—326; 5, № 16,
Библиография 813
Ober die Existenz der GrundlSsung bei einer linearen Differentialgleichung
der zweiten Ordnung, Ark. Math., Astr. Fys., 1 A903), 209—224.
Ober Randwertaufgaben bei einer linearen Differentialgleichung der zwei-
zweiten Ordnung, Ark. Math., Astr. Fys., 1 A903), 401—417.
Штелльмахер (Stellmacher K.)
Zum Anfangswertproblem der Gravitationsgleichungen, Math. Ann., 115
A938), 136—152.
Яффе (Jaf f e G.)
Unstetige und mehrdeutige Losungen der hydrodynamischen Gleichungen,
Z. angew. Math. Mech., 1 A921), 398—410.
Ямагути (Yamaguti M.)
Le probleme de Cauchy et les operateurs d'integral singuliere, Mem. Coll,
Sci., Kyoto, Ser. A, 32 A959), 121—151.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Альтернирующий метод Шварца 293
Аналитичность гармонических функ-
функций 270
Анизотропия 593
Асимптотические решения 630
Барьер 3H
Бегущая волна 617, 753
относительно неискажающая-
ся 617
¦ плоская 192
— — полная 617
— — порядка Л' 617
сферическая 200, 699
Билинейная форма 763
Бихарактеристики (лучи) 551, 577
Бихарактеристические направления
591
— полосы 552, 577
Вектор нормальной скорости 554
— скорости в направлении луча 554
Ветвление интегральной поверхности
413
Внутренний дифференциальный опе-
оператор 410, 548, 563, 573, 575
Внутренняя полость конуса норма-
нормалей (сердцевина) 585, 643
— производная 140, 174
Волновая оптика 634
Волновое уравнение 549, 636, 670, 678,
710, 742
Волны Альфвена 607
— плоские 190, 662, 673, 706
— стоячие 197
— сферические 197, 775
— цилиндрические 197
Выводящая производная 140
Выпуклая оболочка конуса лучей 585
Геодезическое расстояние 124, 128
Геометрическая оптика 634
Гиперболические квазилинейные си-
системы 670
Гипотеза Адамара 757
Главная часть дифференциального
оператора 185, 572
Двойственная порождающая пара
385
Двойственное преобразование 557,
559
Дисперсия 194
Дифференциальное уравнение Бельт-
рами 164
— — Гамильтона — Якоби 125, 128
Дирака 182
. •— — квазилинейное 16, 42
линейное 16, 40
•— — Максвелла 182
Эйлера 121
Дифференциальный оператор гипер-
гиперболический 193, 412, 418, 420, 549,
583
параболический 185
ультрагиперболический 185,
549, 673, 738
эллиптический 161, 168, 191,
420
Емкость 304
Задача Коши 73, 80, 83, 88
— Плато 226, 227
— Римаиа об отображении 227
Законы сохранения 485
Запаздывающий потенциал 207
Затухающие волны 195
Гармонические функции 242
Геодезическая сфера 132
Инвариантность характеристик 555,
583
Предметный указатель
815
Инвариантность характеристических
лучей 583
— — матриц 583
Инварианты Римана 455
Индекс инерции 549
Интеграл Дирихле 255
— Дюамеля 507, 545, 687
— Фурье 678
Интегральная поверхность дифферен-
дифференциального уравнения 16
— полоса 88, 408, 409, 546
¦— теорема для функций Бесселя 529
— формула Пуассона для полупро-
полупространства 269
сферы 266
Интегральный коноид 92, 132
Интегралы энергии 437, 611, 636, 647,
654, 660
Интенсивность излучения 691
Каноническая система дифференци-
дифференциальных уравнений 114, 117, 122
— форма вариационной задачи 122
Канонически сопряженные перемен-
переменные 122
Канонический вид квадратичной фор-
формы 185
уравнения второго порядка
162
Каноническое преобразование 135
Каустическая поверхность 130
Каустические кривые 92, 98
Квазиконформное отображение 390
Коллинеация 557
Конечная часть расходящегося инте-
интеграла 734, 778, 780
Коническая рефракция 621
Коноид лучей 556, 559
Консервативный гиперболический
оператор 647
Конус лучей 132, 556, 577
— — направленный вперед 557, 563
584
назад 558, 563, 584
— Монжа (локальный конус лучей)
35, 84, 556, 578
— нормалей 556, 563, 575, 577
Корректно поставленная задача 218,
230, 482
Кратные характеристические поверх-
поверхности 590
Кривая временного типа 756
Лакуны 643, 717, 721, 730
Линза пространственного типа 644
Линии Маха 433
— тока 433
Линия ветвления 74
Лучи (бихарактеристики) 551, 577
Луч трансверсальный к фронту вол-
волны 554
Максимальное неотрицательное гра-
граничное пространство 652
Максимум-норма 463, 466, 761
Метод Бельтрами 570
— выметания Пуанкаре 296
— мажорант 60
— разделения переменных 31
— спуска 208, 682
— сферических средних 694
Многообразие полос 106, 141
Направление временного типа 559,
563, 583
Негативные нормы 790
Неискажающаяся волна 192
Неравенство Харнака 270
Нерегулярный рациональный опера-
оператор 515
Нижние (верхние) функции 308
Нормальная скорость 575, 576
— форма системы 424
Носитель функции 763
Нуль-векторы 574, 576, 588, 590, 612,
620, 730
Нуль-непрерывность функционала 764
r-непрерывность функционала 764
Область влияния 230, 436, 642
— зависимости 212, 230, 436, 636,
642, 717
— — в точном смысле 643, 721
— определенности 436, 636
Обобщенные решения 425, 665
— функции (распределения) 614,
676, 721, 758, 767
Обратный коноид зависимости 643
Однородные функции 24
Операторный метод Хевисайда 504
Опорные плоскости 561, 579, 580
Основные функции 762
Особое решение 37, 94
Ось Монжа 35, 72
Плоские средние значения 705
Поверхности Френеля 599
Поверхность вращения 23
— лучей 580, 581
816
Предметный указатель
Поверхность нормалей 575, 576
— нормальных скоростей (взаим-
(взаимная поверхность нормалей) 577,
581
— пространственного типа 549,563,
583
Подобные комплексные функции 376
Поле эстремалей 129
Полный интеграл 36, 93, 115
Полоса 85
Полугруппа 668
Порождающая пара псевдоаналити-
псевдоаналитических функций 384
Порядок дифференциального уравне-
уравнения 15
Последующая пара 386
Построение Гюйгенса 579
Потенциал двойного слоя 253
— распределения масс 247
Почти линейная система 175
— линейное уравнение 550
Преобразование годографа 425, 427
— Лапласа 530
— Лежандра 43, 46, 49, 121
— Лоренца 744
— Фурье обобщенных функций 787
Приводимость 590
Принцип Гюйгенса 212, 684, 693, 712,
737, 753, 757
— — малый 667
обобщенный 729, 738
— Дюамеля 663, 723
— отражения 272
— смещения Хевисайда 520, 526
— Ферма 124
Проблема излучения 691, 698
Продолжимые начальные значения
467
— свойства гладкости 466
Проекция характеристической кривой
79, 409
Производная по направлению норма-
нормали 139
Прямой коноид зависимости 643
Псевдоаналитическая функция вто-
второго рода 374
первого рода 374
Пучок Монжа 72
Развертывающаяся поверхность 24
Разделяющий оператор 658
Распространение разрывов 567, 618
вдоль лучей 568
Рассеяние 312, 317
Рассеянная волна 317
Ребро возврата интегральной поверх-
поверхности 75, 92, 104
Регулярная точка 310
Решение уравнения с частными про-
производными 15
Самосопряженный оператор 237
Свертка обобщенных функций 785
Свободная линия 65, 175
— поверхность 177, 547, 573
— полоса 408
Семейство характеристических кри-
кривых 79
Сильное определение обобщенных
функций 790
Симметричная система 424
— — гиперболических уравнений
544, 587, 588, 644, 663
Система дифференциальных уравне-
уравнений вполне гиперболическая 178
— — — квазилинейная 423
— линейная 422
— — — недоопределенная 28, 85
— — — определенная 28
переопределенная 28
— — — почти линейная 423
— — — эллиптическая 176
— законов сохранения 629
— уравнений гидродинамики 594,
603
— — магнитной гидродинамики 606
Скорость Альфвена 607
— звука 595, 608
Слабая непрерывность функционала
764
оо-непрерывность 765
«-непрерывность 765
Слабо сходящаяся последователь-
последовательность 770
Слабое определение обобщенных
функций 767
— решение 484, 485, 628
Смешанные задачи 650
Сопряженный оператор 238
Сохранение свойств начальных зна-
значений 667
Субгармоническая функция 306
Супергармоническая функция 306
Сферический фронт волны 557, 558,
580
Тангенциальная производная 140
Телеграфное уравнение 454, 539, 690
Теорема компактности гармонических
функций 275
Предметный указатель
817
Теорема о вихре 434
— — среднем значении Асгейрссо-
на 738
для шаров 741
— — сходимости Вейерштрасса 273
Харнака 274
— умножения 524
Теория канонических возмущений 137
Трансверсаль 129
Трубчатая поверхность 39, 103
Угол Маха 434
Ударные волны 629
Уравнение Дарбу 639, 694, 740
— Клеро 39, 48, 101
— Лапласа 242
— Монжа 95, 595
— Монжа — Ампера 322
— переноса 612, 628, 632
— Пуассона 243, 247
— эйконала 125
Уравнения кристаллооптики 597, 712
— Максвелла 640
Условие Гёльдера 250
— излучения Зоммерфельда 313
— на ударной волне 629
— полосы 85, 106
— трансверсальности 129
Условия согласования 469
Фаза 192
Фазовая функция 753
Финитные функции 483, 762
Фокальная полоса 85, 91
Фокальные кривые 85, 95, 98
Форма волны 192, 193, 753
Формула Парсеваля 787, 789
— преобразования тета-функции
204
Формулы Вейерштрасса 172
Фронт волны 97, 553, 562, 579, 625
плоский 580
типа плоского 581
Фундаментальное решение 188, 246,
721
Функция Грина 262, 263
— излучения 724
— Лежандра 121
Функция Хевисайда 615, 676,733,737
Характеристики 64, 405, 547
— постоянной кратности 620
Характеристическая задача Коши 65,
447, 638, 744
— матрица 177, 573
— поверхность 177, 545, 547, 550,
553, 563, 573
— полоса 86, 88, 105, 417, 420
— — интегральная 417
— производная 142
¦— система дифференциальных урав-
уравнений 87, 105
— форма 179, 185, 547, 573
Характеристические кривые 40, 65,
72,84,88, 111,409
— — для уравнения второго поряд-
порядка 163, 176
— поверхности «типа плоскостей»
644
Характеристический вектор 81
полосы 107
— канонический вид системы 176
— конус нормалей 576
— линейный элемент 72, 409
— определитель системы 175
Характеристическое многообразие 81,
107, 142
полос 108
— направление 85, 142
— соотношение 410, 547, 144, 142,
420
— уравнение 191
Циклиды Дюпена 755
Эйконал 123, 124
Экспоненциальный оператор 519
Элемент ветвления интегральной по-
поверхности 91
— поверхности пространственного
типа 559, 563, 589
Энергетическое неравенство 446, 662
— — для задачи Коши 648
• — смешанных задач 650
уравнений высших поряд-
порядков 656
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие к русскому изданию 9
Предисловие 11
Глава I. Вводные замечания 15
§ 1. Общие сведения о совокупности решений 16
1. Примеры 16
2. Дифференциальные уравнения заданных семейств функций .... 21
§ 2. Системы дифференциальных уравнений 24
1. Вопрос об эквивалентности системы дифференциальных уравнений
и одного дифференциального уравнения 24
2. Исключение неизвестных из линейной системы с постоянными ко-
коэффициентами 27
3. Определенные, переопределенные, недоопределенные системы ... 28
§ 3. Методы интегрирования некоторых специальных дифференциальных
уравнений . 30
1. Разделение переменных 30
2. Построение других решений посредством суперпозиции. Фундамен-
Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона 32
§ 4. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения пер-
первого порядка с двумя независимыми переменными. Полный интеграл 34
1. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения пер-
первого порядка 34
2. Полный интеграл 36
3. Особые интегралы 37
4. Примеры 38
§ 5. Теория линейных и квазилинейных уравнений первого порядка ... 40
1. Линейные дифференциальные уравнения 40
2. Квазилинейные дифференциальные уравнения 42
§ 6. Преобразование Лежандра 43
1. Преобразование Лежандра для функций двух переменных .... 43
2. Преобразование Лежандра для функций п переменных 46
3. Применение преобразования Лежандра к дифференциальным урав-
уравнениям в частных производных 46
§ 7. Теорема существования Коши — Ковалевской 50
Оглавление 819
1. Введение и примеры 50
2. Сведение к системе квазилинейных дифференциальных уравнений 54
3. Определение производных вдоль начального многообразия .... 57
4. Доказательство существования решений аналитических дифферен-
дифференциальных уравнений 58
4а. Замечание о линейных дифференциальных уравнениях 63
46. Замечание о неаналитических дифференциальных уравнениях . . 64
5. Замечания о критических начальных данных. Характеристики . . 64
Приложение 1 к главе I. Дифференциальное уравнение Лапласа для
опорной функции минимальной поверхности 66
Приложение 2 к главе I. Системы дифференциальных уравнений пер-
первого порядка и дифференциальные уравнения высших поряд-
порядков .... 67
1. Эвристические соображения 67
2. Условия эквивалентности системы двух уравнений в частных про-
производных первого порядка и дифференциального уравнения вто-
второго порядка 68
Глава II. Общая теория дифференциальных уравнений с частными
производными первого порядка 71
§ 1. Геометрическая теория квазилинейных дифференциальных уравнений
с двумя независимыми переменными .71
1. Характеристические кривые .71
2. Задача Коши 73
3. Примеры 75
§ 2. Квазилинейные дифференциальные уравнения с п независимыми
переменными 78
§ 3. Общие дифференциальные уравнения с двумя независимыми пере-
переменными , 84
1. Характеристические кривые и фокальные кривые. Конус Монжа 84
2. Решение задачи Коши 88
3. Характеристические кривые как элементы ветвления. Дополни-
Дополнительные замечания. Интегральный коноид. Каустики 91
§ 4. Полный интеграл 93
§ 5. Фокальные кривые и уравнение Монжа 95
§ 6. Примеры 97
1. Дифференциальное уравнение световых лучей (grad«J= 1 . . • . 97
2. Уравнение F(uXluy). = 0 100
3. Дифференциальное уравнение Клеро 1,01
4. Дифференциальное уравнение трубчатых поверхностей ЮЗ
5. Соотношение однородности . 104
§ 7. Общее дифференциальное уравнение с п независимыми переменными 105
§ 8. Полный интеграл и теория Гамильтона — Якоби Ill
1. Построение огибающих и характеристические кривые Ш
820 Оглавление
2. Канонический вид характеристических дифференциальных урав-
уравнений 113
3. Теория Гамильтона — Якоби 115
4. Пример. Задача двух тел 117
5. Пример. Геодезические на эллипсоиде 118
§ 9. Теория Гамильтона — Якоби и вариационное исчисление 120
1. Дифференциальное уравнение Эйлера в каноническом виде .... 121
2. Геодезическое расстояние, или эйконал, и его производные. Диф-
Дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби 123
3. Однородные подинтегральные функции 126
4. Поле экстремалей. Дифференциальное уравнение Гамильтона —
Якоби .128
5. Конус лучей. Конструкция Гюйгенса • 132
6. Инвариантный интеграл Гильберта для представления эйконала 132
7. Теорема Гамильтона и Якоби 134
§ 10. Канонические преобразования и их приложения , . , 135
1. Каноническое преобразование 135
2. Новое доказательство теоремы Гамильтона — Якоби 136
3. Вариация постоянных. (Теория канонических возмущений) . . . .137
Приложение 1 к главе II 138
§ 1. Дальнейшее изучение характеристических многообразий 138
1. Замечания о дифференцировании в пространстве п измерений . . 138
2. Задача Коши. Характеристические многообразия 141
§ 2. Системы квазилинейных дифференциальных уравнений с одинаковой
главной частью. Новое построение теории 146
§ 3. Доказательство теоремы единственности Хаара 151
Приложение 2 к главе II. Теория законов сохранения 153
Глава III. Дифференциальные уравнения высших порядков 159
§ 1. Канонический вид линейных и квазилинейных дифференциальных
операторов второго порядка с двумя независимыми переменными 159
1. Эллиптический, гиперболический и параболический канонические
виды. Смешанные типы 160
2. Примеры . 165
3. Канонический вид квазилинейных дифференциальных уравнений
второго порядка с двумя независимыми переменными ...... 168
4. Пример. Минимальные поверхности . ..... 171
5. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка . . 173
§ 2. Общая классификация и характеристики 174
1. Обозначения 174
2. Системы первого порядка с двумя независимыми переменными.
Характеристики 175
3. Системы первого порядка с п независимыми переменными .... 177
Оглавление 821
4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Гиперболич-
Гиперболичность 178
5. Дополнительные замечания 180
6. Примеры. Уравнения Максвелла и Дирака 180
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициен-
коэффициентами 184
1. Канонический вид и классификация уравнений второго порядка 184
2. Фундаментальные решения уравнений второго порядка 187
3. Плоские волны ¦ 190
4. Плоские волны (продолжение). Бегущие волны. Дисперсия . . . 192
5. Примеры. Телеграфное уравнение. Неискажающиеся волны в ка-
кабелях 196
6. Цилиндрические и сферические волны 197
§ 4. Задача Коши. Задача излучения для волнового уравнения .... 200
1. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Преобразование
тета-функции 201
2. Задача Коши для волнового уравнения 204
3. Принцип Дюамеля. Неоднородные уравнения. Запаздывающие по-
потенциалы 205
За. Принцип Дюамеля для систем первого порядка 208
4. Задача Коши для волнового уравнения в двумерном пространстве.
Метод спуска 208
5. Задача излучения 210
6. Явления распространения и принцип Гюйгенса 211
§ 5. Решение задачи Коши с помощью интеграла Фурье 213
1. Метод Коши применения интеграла Фурье . 213
2. Пример 215
3. Обоснование метода Коши 218
§ 6. Типичные задачи для уравнений математической физики 224
1. Вводные замечания 224
2. Основные принципы 228
3. Замечания о «некорректно поставленных» задачах 232
4. Общие замечания о линейных задачах 233
Приложение 1 к главе III 234
§ 1. Лемма Соболева 234
§ 2. Сопряженные операторы • . . 236
1. Матричные операторы 236
2. Сопряженные дифференциальные операторы . 238
Приложение 2 к главе 111. Теорема единственности Гольмгрена . . 239
Глава IV. Теория потенциала и эллиптические дифференциальные
уравнения . 242
§ 1. Основные понятия 242
1, Уравнения Лапласа и Пуассона и связанные с ними уравнения 242
822 Оглавление
2. Потенциалы распределения масс 247
3. Формула Грина и ее применения 253
4. Производные потенциалов распределения масс 259
§ 2. Интеграл Пуассона и его приложения 262
1. Краевая задача и функция Грина 262
2. Функция Грина для круга и шара. Интеграл Пуассона для шара
и полупространства 265
3. Следствия формулы Пуассона 269
§ 3. Теорема о среднем значении и ее приложения 276
1. Теорема о среднем значении для однородного и неоднородного
уравнения 276
2. Обращение теорем о среднем значении -. 277
3. Уравнение Пуассона для потенциалов пространственных распре-
распределений 284
4. Теоремы о среднем значении для других эллиптических уравнений 286
§ 4. Краевая задача 290
1. Предварительные замечания. Непрерывная зависимость от гранич-
граничных значений и от области 290
2. Решение краевой задачи с помощью альтернирующего метода
Шварца 293
3. Метод интегральных уравнений для плоских областей с достаточно
гладкой границей 298
4. Замечания о граничных значениях 302
4а. Емкость и выполнение граничных условий 304
5. Метод субгармонических функций Перрона 306
§ 5. Приведенное волновое уравнение. Рассеяние 312
1. Предмет изложения 312
2. Условие излучения Зоммерфельда 313
3. Рассеяние 317
§ 6. Краевые задачи для более общих эллиптических уравнений. Един-
Единственность решения 319
1. Линейные дифференциальные уравнения 319
2. Нелинейные уравнения 321
3. Теорема Реллиха для дифференциального уравнения Монжа—Ампера 322
4. Принцип максимума и его применения 324
§ 7. Априорные оценки Шаудера и их приложения 329
1. Оценки Шаудера 330
2. Решение краевой задачи 334
3. Сильные барьеры и их приложения 339
4. Некоторые свойства решений уравнения L[u] = / 342
6. Дальнейшие результаты, касающиеся эллиптических уравнений; по-
поведение вблизи границы 345
§ 8. Решение уравнений Бельтрами 348
§ 9. Краевая задача для некоторого специального квазилинейного урав-
уравнения. Метод неподвижной точки Лере — Шаудера 355
Оглавление 823
§ 10. Решение эллиптических дифференциальных уравнений с помощью
интегральных уравнений 360
1. Построение частных решений. Фундаментальные решения. Пара-
метрике 361
2. Дальнейшие замечания . 365
Приложение к главе IV. Нелинейные уравнения 365
1. Теория возмущений 366
2. Уравнение &u = f(x,u) 367
Дополнение к главе IV. Теоретико-функциональная точка зрения
на эллиптические дифференциальные уравнения с частными
производными 372
§ 1. Определение исевдоаналитнческих функций 373
§ 2. Одно интегральное уравнение 375
§ 3. Принцип подобия 376
§ 4. Приложения принципа подобия 380
§ 5. Формальные степени 383
§ 6. Дифференцирование и интегрирование псевдоаналитических функций 384
§ 7. Пример. Уравнения смешанного типа 387
§ 8. Общее определение псевдоаналитических функций 389
§ 9. Квазиконформные отображения и общая теорема о представлении 390
§ 10. Одна нелинейная краевая задача 393
§ 11. Обобщение теоремы Римана об отображениях 397
§ 12. Две теоремы о минимальных поверхностях 398
§ 13. Уравнения с аналитическими коэффициентами 399
§ 14. Доказательство теоремы Привалова 400
§ 15. Доказательство теоремы Шаудера о неподвижной точке 401
Глава V. Гиперболические дифференциальные уравнения с двумя
независимыми переменными 405
Введение 405
§ 1. Характеристики дифференциальных уравнений ( в основном второго
порядка) 406
1. Основные понятия. Квазилинейные уравнения 406
2. Характеристики на интегральных поверхностях 412
3. Характеристики как линии разрыва. Фронт волны. Распростране-
Распространение разрывов 414
4. Общие дифференциальные уравнения второго порядка 417
5. Дифференциальные уравнения высших порядков 419
6. Инвариантность характеристик при преобразовании координат . . 421
7. Сведение к квазилинейным системам первого порядка 421
§ 2. Характеристическая нормальная форма для гиперболических систем
первого порядка 422
1. Линейные, почти линейные и квазилинейные системы 422
2. Случай k = 2. Линеаризация с помощью преобразования годографа 425
824 Оглавление
§ 3. Приложение к динамике сжимаемой жидкости 426
1. Одномерное изэнтрогшческое течение 427
2. Сферически симметричное течение 429
3. Стационарное безвихревое течение 430
4. Системы трех уравнений для неизэнтропического течения .... 431
5. Линеаризованные уравнения 433
§ 4. Единственность. Область зависимости 435
1. Области зависимости, влияния и определенности . 435
2. Доказательство единственности для линейных дифференциальных
уравнений второго порядка 437
3. Общая теорема единственности для линейных систем первого по-
порядка .... 442
4. Единственность для квазилинейных систем 445
5. Энергетические неравенства 446
§ 5. Представление решений в форме Римана 446
1. Задача Коши 447
2. Функция Римана 447
3. Симметрия функции Римана 451
4. Функция Римана и излучение из точки. Обобщение на задачи
более высокого порядка 452
5. Примеры 453
§ 6. Решение задачи Коши для линейных и почти линейных гиперболи-
гиперболических уравнений с помощью итераций ." 458
1. Построение решения уравнения второго порядка 458
2. Обозначения и результаты для линейных и почти линейных систем
первого порядка 460
3. Построение решения 462
4. Замечания. Зависимость решений от параметров 467
5. Смешанные начальные и граничные задачи 467
§ 7. Задача Коши для квазилинейных систем 472
§ 8. Задача Коши для одного гиперболического дифференциального урав-
уравнения высшего порядка 474
1. Сведение к характеристической системе первого порядка .... 476
2. Представление оператора L[u] через характеристики 477
3. Решение задачи Коши 479
4. Другие варианты решения. Теорема П. Унгара 480
5. Замечания 482
§ 9. Разрывы решений. Ударные волны 482
1. Обобщенные решения. Слабые решения 482
2. Разрывы в квазилинейных системах, выражающих законы сохра-
сохранения. Ударные волны 484
Приложение 1 к главе V. Применение характеристик в качестве
координат 487
§ 1. Дополнительные замечания относительно общих нелинейных уравне-
уравнений второго порядка ..... 487
Оглавление 825
1. Квазилинейное дифференциальное уравнение , 487
2. Общее нелинейное уравнение _ 491
§ 2. Исключительный характер уравнения Монжа — Ампера 492
§ 3. Переход в комплексной области от эллиптического случая к гипер-
гиперболическому 495
§ 4. Аналитичность решений в эллиптическом случае 497
1. Замечание из теории функций 497
2. Аналитичность решения уравнения Ли = f(x, у, и, р, q) 497
3. Замечание об общем дифференциальном уравнении
F(x,y,u,p, q,r,s, t) = 0 5С1
§ 5. Применение комплексных переменных для продолжения ре-
решений 501
Приложение 2 к главе V. Нестационарные задачи и операционное
исчисление Хевисайда 503
§ 1. Решение нестационарных задач с помощью интегральных представ-
представлений 504
1. Пример явного решения. Волновое уравнение 504
2. Общая формулировка задачи 507
3. Интеграл Дюамеля 507
4. Метод суперпозиции экспоненциальных решений 510
§ 2. Операторный метод Хевисайда 513
1. Простейшие операторы 513
2. Примеры операторов и приложения 516
3. Приложение к уравнению теплопроводности 520
4. Волновое уравнение 522
5. Обоснование операционного исчисления. Определение дальнейших
операторов 523
§ 3. Общая теория нестационарных задач 530
1. Преобразование Лапласа 530
2. Решение нестационарных задач с помощью преобразования Лап-
Лапласа 533
3. Пример. Волновое и телеграфное уравнения 539
Глава VI. Гиперболические уравнения со многими независимыми пере-
переменными 544
Введение 544
Часть I. Единственность, построение и геометрические свойства ре-
решений 545
§ 1. Дифференциальные уравнения второго порядка. Геометрия характе-
характеристик 545
1. Квазилинейные дифференциальные уравнения второго порядка . . 545
2. Линейные дифференциальные уравнения 550
3. Лучи или бихарактеристики 551
826 Оглавление
4. Характеристика как фронт волны 553
5. Инвариантность характеристик 555
6. Конус лучей, конус нормалей, коноид лучей '. . . . 556
7. Связь с римановой метрикой 558
8. Двойственные преобразования 559
9. Построение фронта волны по Гюйгенсу 562
10. Поверхности пространственного типа. Направления временного
типа . 563
§ 2. Уравнения второго порядка. Значение характеристик 563
1. Разрывы второго порядка 564
2. Дифференциальное уравнение на характеристической поверх-
поверхности 566
3. Распространение разрывов но лучам 567
4. Пример. Решение задачи Коши для волнового уравнения с тремя
пространственными переменными , 569
§ 3. Геометрия характеристик для операторов высших порядков . . . 571
1. Обозначения 571
2. Характеристические поверхности, формы и матрицы 573
3. Интерпретация характеристического уравнения во времени и про-
пространстве. Конус нормалей и поверхность нормалей. Характери
стические нуль-векторы и собственные значения 575
4. Построение характеристических поверхностей или фронтов. Лучи,
конус лучей, коноид лучей 577
5. Фронты волны и построение Гюйгенса. Поверхность лучей и по-
поверхность нормалей 579
5а. Пример 582
6. Свойства инвариантности . 583
7. Гиперболичность. Многообразия пространственного типа, направ-
направления временного типа 583
8. Симметрические гиперболические операторы 587
9. Симметрические гиперболические уравнения высших порядков . . 588
10. Кратные характеристические поверхности и приводимость .... 590
11. Лемма о бихарактеристических направлениях 591
§ За. Примеры. Гидродинамика, кристаллооптика, магнитная гидродина-
гидродинамика . 593
1. Введение 593
2. Система дифференциальных уравнений гидродинамики 594
3. Кристаллооптика 597
4. Форма поверхности нормалей и поверхности лучей 599
5. Задача Кошн для уравнений кристаллооптики 603
6. Магнитная гидродинамика 606
§ 4. Распространение разрывов и задача Коши 611
1. Введение 611
2. Разрывы первых производных для систем первого порядка. Урав-
Уравнение переноса 612
Оглавление 827
3. Разрывы начальных значений. Введение обобщенных функций.
Бегущие волны 614
4. Распространение разрывов для систем первого порядка 618
5. Характеристики постоянной кратности 620
5а. Примеры распространения разрывов вдоль многообразий более
чем одного измерения. Коническая рефракция 621
6. Устранение начальных разрывов и решение задачи Коши .... 622
6а. Характеристические поверхности как фронты волны 626
7. Решение задачи Коши с помощью сходящегося разложения на
волны 626
8. Системы второго и высших порядков 62E
9. Дополнительные замечания. Слабые решения. Ударные волны . . 628
§ 5. Колеблющиеся начальные значения. Асимптотическое разложение
решения. Переход к геометрической оптике 629
1. Предварительные замечания. Бегущие волны высшего порядка . . 629
2. Построение асимптотических решений 630
3. Геометрическая оптика . 634
§ 6. Примеры теорем единственности и области зависимости для задачи
Коши 636
1. Волновое уравнение 636
2. Дифференциальное уравнение иц — Ди г и,\ = 0 (уравнение
Дарбу) 639
3. Уравнения Максвелла в вакууме 640
§ 7. Области зависимости для гиперболических задач 642
1. Введение 642Ч
2. Описание области зависимости 643
§ 8. Интегралы энергии и теоремы единственности для линейных симмет-
симметрических гиперболических систем первого порядка ... 646
1. Интегралы энергии и единственность решения задачи Коши . . . 645
2. Интегралы энергии первого и высших порядков . . 647
3. Энергетические неравенства для смешанных задач 650
4. Интегралы энергии для одного уравнения второго порядка .... 654
§ 9. Энергетические оценки для уравнений высших порядков 656
1. Введение 656
2. Энергетические тождества и неравенства для решений гиперболи-
гиперболических уравнений высших порядков. Метод Лере и Гординга . . 656
3. Другие методы 660
§ 10. Теорема существования 663
1. Введение 663
2. Теорема существования 666
3. Замечания о сохранении свойств начальных значений и о соответ-
соответствующих полугруппах. Малый принцип Гюйгенса 667
4. Фокусирование. Пример несохранения дифференцируемости .... 669
5. Замечания о квазилинейных системах 670
828 Оглавление
6. Замечания о задачах высших порядков и о несимметрических си-
системах 671
Часть II. Представление решений 672
§ 11. Введение 672
1. Общие понятия. Обозначения 672
2. Некоторые интегральные формулы. Разложение функций на пло-
плоские волны 673
§ 12. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . . . 677
1. Задача Коши 677
2. Построение решения для волнового уравнения 679
3. Метод спуска ¦ 682
4. Дальнейшее изучение решения. Принцип Гюйгенса 684
5. Неоднородное уравнение. Интеграл Дюамеля ¦ 687
6. Задача Коши для общего линейного уравнения второго порядка E88
7. Задача излучения . 631
§ 13. Метод сферических средних. Волновое уравнение и уравнение Дарбу 694
1. Дифференциальное уравнение Дарбу для средних значений . . .691
2. Связь с волновым уравнением 696
3. Задача излучения для волнового уравнения ggg
4. Обобщенные бегущие сферические волны 699
§ 13а. Решение задачи Коши для уравнения упругих волн с помощью
сферических средних . . : 701
§ 14. Метод плоских средних значений. Применение к общим гиперболи-
гиперболическим уравнениям с постоянными коэффициентами 705
1. Общин метод ygg
2. Применение к решению волнового уравнения 710
§ 14а. Применение к уравнениям кристаллооптики и к другим уравне-
уравнениям четвертого порядка _12
1. Решение задачи Коши _.„
2. Дальнейшее исследование решения. Область зависимости. Лакуны _._
§ 15. Решение задачи Коши как линейный функционал от начальных
данных. Фундаментальные решения .
1. Описание. Обозначения ......__.
2. Построение функции излучения с помощью разложения б-функции
3. Регулярность матрицы излучения .
За. Обобщенный принцип Гюйгенса
4. Пример. Системы с постоянными коэффициентами частного вида.
Теорема о лакунах
5. Пример. Волновое уравнение
6. Пример. Теория Адамара для одного уравнения второго порядка
7. Дальнейшие примеры. Случай двух независимых неременных.
Замечания
§ 16. Ультрагнперболические дифференциальные уравнения и общие диф-
дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэф-
коэффициентами T'-jg
Оглавление 829
1. Общая теорема Асгейрссона о среднем значении 738
2. Другое доказательство теоремы о среднем значении 742
3. Применение к волновому уравнению 742
4. Решение характеристической задачи Коши для волнового урав-
уравнения _ 743
5. Другие приложения. Теорема о среднем значении для софокусных
эллипсоидов _ 745
§ 17. Задача Коши для многообразий непространственного типа .... 747
1. Функции, определенные с помощью средних значений по сферам
с центрами на некоторой плоскости 747
2. Приложения к задаче Коши 749
§ 18. Замечания о бегущих волнах, передаче сигналов и принципе Гюйгенса 753
1. Неискажающнсся бегущие волны 753
2. Сферические волны 755
3. Излучение и принцип Гюйгенса 757
Приложение к главе VI. Обобщенные функции или распределения 758
§ 1. Основные определения и понятия 758
1. Введение 758
2. Идеальные элементы 759
3. Обозначения и определения 761
4. Повторное интегрирование 761
5. Линейные функционалы и операторы. Билинейная форма .... 762
6. Непрерывность функционалов. Носители основных функций . . . 763
7. Лемма об г-непрерывности 765
8. Некоторые вспомогательные функции 765
9. Примеры 766
§ 2. Обобщенные функции 767
1. Введение 767
2. Определение с помощью линейных дифференциальных операторов 768
3. Определение с помощью слабых пределов 770
4. Определение с помощью линейных функционалов 771
5. Эквивалентность. Представление функционалов 772
6. Некоторые выводы 774
7. Пример. Дельта-функция 775
8. Отождествление обобщенных и обыкновенных функций 776
9. Определенные интегралы. Конечные части 779
§ 3. Операции над обобщенными функциями 782
1. Линейные процессы 782
2. Замена независимых переменных 783
3. Примеры. Преобразование дельта-функции 783
4. Умножение и свертка обобщенных функций 785
§ 4. Дополнительные замечания. Модификации теории 786
1. Введение 786
2. Различные пространства основных функций. Пространство©- Пре-
Преобразования Фурье 786
830 Оглавление
3. Периодические функции 788
4. Обобщенные функции и гильбертовы пространства. Негативные
нормы. Сильные определения . . 790
5. Замечание о других классах обобщенных функций 791
Библиография 793
Предметный указатель 814