/
Автор: Назаров М.В. Кувшинов Б.И. Попов О.В.
Теги: электротехника радиотехника связь сигналы электросвязь средства связи
Год: 1970
Текст
ТЕОРИЯ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ
ТЕОРИЯ
ПЕРЕДАЧИ
СИГНАЛОВ
М. В. Назаров • Б. И. Кувшинов • 0. В. Попов
М. В. НАЗАРОВ, Б. И. КУВШИНОВ, О. В. ПОПОВ
ТЕОРИЯ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ
Допущено Министерством связи СССР
в качестве учебника для электротехнических
институтов связи
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СВЯЗЬ»
МОСКВА 1970
УДК 621.391
УДК 621.391
ТЕОРИЯ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ
М. В. Назаров, Б. И. Кувшинов, О. В. Попов
В книге 'систематизирование) изложены основные положения теории
передачи непрерывных и дискретных сообщений по каналам связи.
Рассматриваются свойства сообщений, сигналов и помех, характери¬
стики каналов.
Рассматриваются вопросы теории информации, теории потенциаль¬
ной помехоустойчивости (и теории кодирования; формулируются основ¬
ные положения теории разделения сигналов; обсуждаются основные
направления технической реализации теоретических возможностей при
передаче информации.
Кииг-а ^предназначена для - студентов* электротехнических институ¬
тов связи. Она может быть полезна широкому кругу специалистов ра¬
диотехники и электросвязи.
Таблиц 10, иллюстраций 50, библиографий 161.
3—4—1
2—69
Михаил Васильевич Назаров, Борис Иванович Кувшинов,
Олег Васильевич Попов
ТЕОРИЯ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ
ТЕОРИЯ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ
Отв. редактор М. В. Назаров Техн. редактор 3. И. Резник
Редактор В. JI. Черняк Корректор 3. И. Коростелева
Сдано в набор 10/IX 1969 г. Подписано в печ. 8/1 11970 г.
Форм. бум. 60x90/!6 23,0 печ. л. '23,0 усл.-п. л. <22,41 уч.-изд. л.
Т-01505 Тираж 18 000 экз. Зак. изд. 13183 Цена 96 коп.
Издательство «Связь», Москва-центр, Чистопрудный бульвар, 2
Типография издательства «Связь» Комитета по печати при Совете
Министров СССР. Москва-центр, ул. Кирова, 40. Зак. тип. 562
Памяти
Александра Александровича
Харкевича
посвящается
АВТОРЫ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 10
Введение 11
Глава 1. Математическое представление сообщений, сигналов и помех
1.1. Разложение функций на элементарные 15
Детерминированные и случайные процессы 15
Векторное представление непрерывных функций 17
Представление функций как элементов линейных пространств 21
Векторное представление дискретных функций 24
1.2. Спектральное представление колебаний 26
Слектральное представление периодических функций .... 26
Спектральное представление непериодических функций ... 28
Спектры импульсных сигналов 28
Связь между шириной спектра импульса и его длительностью 30
Импульс с линейно изменяющейся частотой 32
1.3. Временное представление колебаний 34
Дискретизация непрерывных функций 34
Теорема Котельникова 35
Погрешности представления реальных сигналов рядом Котельни¬
кова 37
Интеграл Дюамеля 40
1.4. Характеристики случайных процессов 42
Числовые характеристики случайных процессов 42
Стационарные и нестационарные случайные процессы .... 43
Эргодическое свойство стационарных случайных процессов . . 44
Физическое толкование числовых характеристик 44
Особенности нестационарных процессов 46
Функции корреляции и их свойства 47
Нормальный случайный процесс 51
Случайные последовательности 53
1.5. Энергетический спектр случайного процесса и его связь с функцией
корреляции 54
Преобразование Хинчина-Винера 54
Функция корреляции шума с ограниченным спектром .... 57
Эффективная ширина энергетического спектра 59
Функция корреляции обобщенного телеграфного сигнала ... 60
1.6* Узкополосные случайные процессы 62
Преобразование Гильберта 62
Комплексный сигнал 64
Комплексное представление узкополосного сигнала 66
Узкополосный процесс как сумма двух AM сигналов .... 66
Стр.
Статистические характеристики огибающей и фазы случайного
процесса г 67
Корреляционная функция узкополосного случайного процесса с
равномерным спектром 72
Представление узкополосных процессов рядом Котельникова . . 73
1.7. Геометрическое представление случайных процессов 73
Энергия процесса 73
Плотность вероятности случайного вектора 75
Проекция случайного вектора 76
1.8. Физические характеристики сообщений и сигналов 78
Глава 2. Преобразование сообщений и сигналов
2.1. Виды преобразований в системе связи 81
Математическое описание преобразований 81
Основные преобразования (в системе связи 83
Виды преобразователей 85
2.2. Линейные преобразования 86
Линейные четырехполюсники с постоянными параметрами ... 86
Линейное преобразование случайных процессов 88
2.3. Нелинейные преобразования 89
Нелинейные безынерционные четырехполюсники 89
Нелинейное преобразование случайных процессов 90
Отношение сигнала к помехе при некогерентном детектировании 94
2.4. Преобразования с переменными параметрами 95
Когерентный детектор, как преобразователь с переменными пара¬
метрами . . . 95
Отношение сигнала к помехе при когерентном детектировании 96
2.5. Непрерывная модуляция 96
Понятие о модуляции 96
Виды модуляции 98
Детектирование 99
2.6. Дискретная модуляция и кодирование 99
Преобразования при передаче дискретных сообщений .... 99
Кодирование и декодирование 100
Блочные коды 101
Равномерные коды 101
Неравномерные коды 103
Цепные коды 104
Дискретная модуляция и решение 105
Прием в «целом» 106
2.7. Дискретизация, квантование и кодирование непрерывных сообщений 107
Дискретизация и квантование 107
Кодово-импульсная модуляция 109
Дельта-модуляция 110
Фонемный вокодер . * 111
Глава 3. Модулированные сигналы
3.1. Общие замечания 112
3.2. Модуляция гармонического переносчика 113
Сигналы AM 113
Сигналы угловой модуляции (ЧМ и ФМ) 116
Различие ЧМ и ФМ сигналов 119
3.3. Смешанные виды модуляции 121
Предварительные замечания 121
Сигнал смешанной частотной и амплитудной модуляции . . . 122
Сигнал однополосной AM 123
Сигналы однополосной угловой модуляции 125
Ширина опектра сигнала ОЧМ 126
3.4. Сигналы дискретной модуляции 126
Форма сигналов при дискретной модуляции 126
Спектр сигнала ДАМ 127
Сгхектр сигнала ДФМ 128
Спектр сигнала ДЧМ 129
3.5. Сигналы импульсной модуляции 131
Особенности импульсной модуляции 131
Спектр сигнала АИМ 133
Спектр сигнала ШИМ 134
Спектр сигнала ФИМ 136
Ширина спектра сигналов ИМ 137
3.6. Модуляция случайными функциями 138
Энергетический спектр модулированных сигналов .... 138
Энергетический спектр сигнала AM 140
Энергетический спектр сигнала ЧМ 140
Энергетический спектр сигнала ФМ 144
Энергетические спектры сигналов дискретной модуляции . . . 146
Глава 4. Каналы передачи информации
4.1. Общие сведения о каналах передачи информации 148
Определение и классификация каналов 148
Описание каналов 150
4.2. Искажения и помехи. Модели непрерывных каналов 151
Искажения и их классификация 151
Искажения сообщений при искажениях модулированных сигналов 154
Коррекция искажений 156
Помехи и их классификация 157
Модели непрерывных каналов ' 159
Гауссов канал 160
Канал с замираниями 160
Общие и селективные замирания 161
Статистические характеристики замираний 162
4.3. Ошибки и стирания Модели дискретных каналов 163
Скорость передачи символов 163
Преобразование символов в дискретном канале 165
Стационарный дискретный какал без памяти 166
Симметричный канал 167
Двоичный капал 168
Вероятности сочетаний ошибок 172
Особенности реальных дискретных каналов 173
Глава 5. Основы теории передачи информации
5.1. Мера количества информации 174
Общие соображения 174
Энтропия как мера неопределенности 175
Энтропия дискретного случайпого процесса 176
Энтропия непрерывного случайного* процесса 178
Количество информации как мера уменьшения неопределенности 179
Количество информации в дискретных процессах 180
Количество информации в непрерывных процессах 182
5.2. Производительность и избыточность источников сообщений . . . 183
Определения производительности и избыточности 183
Производительность дискретного источника 184
Избыточность дискретного источника 186
Производительность непрерывного источника дискретного времени 188
Избыточность непрерывного источника дискретного времени . . 190
Производительность и избыточность непрерывного источника не¬
прерывного времени 190
5.3. Скорость передачи информации и пропускная способность канала. 191
Определения скорости передачи информации и пропускной способ¬
ности . 191
Скорость передачи и пропускная способность дискретного канала 192
Скорость передачи и пропускная способность непрерывного кана¬
ла дискретного времени 195
Скорость передачи и пропускная способность непрерывного кана¬
ла непрерывного времени 196
Сопоставление пропускных способностей дискретного и непрерыв¬
ного каналов 198
5.4. Характеристики системы передачи информации 199
Согласование источников и получателей сообщений с каналами 199
Скорость передачи информации 199
Верность передачи 200
Своевременность 201
Эффективность и помехоустойчивость 201
5.5. Согласование дискретного источника с идеальным дискретным кана¬
лом. Статистическое кодирование 202
Задачи статистического кодирования 202
Сокращение избыточности, обусловленной неравновероятностью
элементов сообщения 203
Сокращение избыточности, обусловленной памятью .... 205
Предельные возможности статистического кодирования . . . 206
5.6. Согласование дискретного источника с дискретным каналом с ошиб¬
ками. 'Помехоустойчивое кодирование . 208
Задачи помехоустойчивого кодирования 208
Оптимальное декодирование 209
Выбор кода 210
Предельные возможности помехоустойчивого кодирования . . . 211
Границы верности передачи при конечной задержке . . . . 213
5.7 Согласование дискретного источника с непрерывным каналом . . 214
Задачи непосредственного согласования 214
Предельные возможности 216
5.8. Согласование .непрерывного источника с каналом 217
Согласование с квантованием 217
Согласование без квантования 218
Глава 6. Передача дискретных сообщений
6.L Критерии оптимальности и правила решения 219
Критерий минимальной вероятности ошибки 219
Критерий минимального риска 220
Правило решения при двоичных сообщениях 221
6.2. Понятие о потенциальной помехоустойчивости дискретных систем
связи при флуктуационных помехах 222
Понятие потенциальной «помехоустойчивости 222
Правило решения оптимального приемника 223
6.3. Потенциальная верность передачи двоичных сообщений .... 225
Потенциальная верность передачи 225
Влияние свойств сигналов на верность передачи 226
Верность передачи сообщений при неоптимальных способах приема 228
6.4. Оптимальный приемник полностью известных сигналов .... 231
Функциональная схема оптимального приемника 231
Взаимокорреляцион-ный приемник 233
Согласованный фильтр 234
Отношение сигнала к помехе при согласованной фильтрации . . 235
Физическое толкование согласованной фильтрации 237
Коэффициент передачи согласованного фильтра 240
Оптимальный приемник двоичных сообщений 241
6.5. Оптимальный приемник сигналов со случайными параметрами . . 242
Вводные замечания 242
Апостериорная вероятность сигнала со случайными параметрами 244
Оптимальный прием сигналов со случайной фазой 245
Оптимальный прием при отсутствии априорных .распределений па¬
раметров 248
6.6. Оптимальная система сигналов 250
Распределение энергии сигналов 250
Коэффициенты взаимной корреляции сигналов 250
Энергетический выигрыш 253
Потенциальная верность передачи m-ичных сообщений .... 254
6.7. Методы оптимального приема сигналов в канале с замираниями . . 255
Потенциальная верность передачи при общих замираниях . . . 255
Разнесенный прием 257
Применение псевдослучайных сигналов 259
6.8. Накопление сигнала как метод повышения верности передачи . . 262
Физическая сущность метода накопления 262
Отношение сигнала к помехе при накоплении 264
Интегральный прием 268
Глава 7. Корректирующие коды
7.1. Блочные корректирующие коды . 269
Определение блочного корректирующего кода 269
Обнаружение ошибок и исправление стираний 270
Исправление ошибок 271
Исправление и обнаружение ошибок и стираний 272
Оптимальные коды 273
Кодовое расстояние 274
Задачи систематизации 275
7.2. Линейные коды 275
Разделимые коды 275
Определение и задание линейного кода 276
Исправление стираний . .* 280
Синдром 280
Обнаружение ошибок 282
Исправление ошибок 283
Оптимальные линейные коды 285
Проблема декодирования 288
Циклические коды 288
Итерированные и каскадные коды 290
Цепные линейные коды 291
7.3. Применение двоичных корректирующих коДов при заданном гауссо¬
вом канале 292
Глава 8. Передача непрерывных сообщений
8.1. Мера верности передачи непрерывных сообщений 294
Среднеквадратичное отклонение 294
Другие меры верности 295
8.2. Оптимальная линейная фильтрация 296
Общие замечания 296
Коэффициент передачи оптимального фильтра 297
Физическая реализуемость оптимального фильтра ..... 300
Выходная мощность помехи 300
8.3. Потенциальная верность передачи при различных видах модуляции 301
Мощность помехи на выходе оптимального приемника .... 301
Потенциальная верность при AM, ЧМ и ФМ 304
Сравнение различных видов модуляции 306
Мощность помехи на выходе реальных приемников .... 308
8.4. Порог улучшения помехоустойчивости в широкополосных системах
модуляции . . 310
Структура апостериорного распределения и аномальные ошибки 310
Геометрическая трактовка порога 312
'Порог улучшения помехоустойчивости ЧМ . . . . ' . . . 313
8.5. Передача непрерывных сообщений по дискретному каналу . . . 314
Кодово-импульсная модуляция 314
Шум квантования, шум ложных импульсов 314
Ширина спектра и мощность сигнала КИМ—AM 317
Сравнение КИМ с другими способами передачи 318
(Пропускная способность системы с КИМ 319
8.6. Эффективность систем передачи непрерывных сообщений .... 320
Глава 9. Передача сообщений по многоканальным системам
9.1. Основы теории разделения сигналов 323
Блок-схема многоканальной системы 323,
Оператор разделения 324
Условие линейного разделения 326
Геометричеокая трактовка разделения 327
9.2. Системы многоканальной связи с частотным, временным и фазовым
разделением 330
Функциональная схема многоканальной системы с частотным раз¬
делением 330
Временной способ разделения сигналов 333
Разделение сигналов по фазе 336
9.3. Многоканальные системы с разделением сигналов по форме . . . 339
9.4. Многоканальные асинхронно-адресные системы связи 341
Понятие о системах со свободным доступом 341
Физическая сущность разделения сигналов в асинхронно-адресных
системах 343
Примеры псевдослучайных сигналов 346
9.5. Комбинационный способ разделения сигналов 350
Принцип комбинационного разделения 350
Разделение сигналов по уровню 352
Связь между комбинационным разделением и разделением но
уровню 353
9.6. Влияние взаимных помех при разделении сигналов на пропускную *
способность многоканальных систем 354
Геометрическая трактовка разделения сигналов при наличии по¬
мех 354
Влияние взаимных помех на пропускную способность канала . 357
9.7. Передача сообщений по системам с обратной связью 358
Предварительные замечания 358
Особенности систем передачи дискретной информации с обратной
связью 361
Системы с информационной и управляющей обратной связью . . 362
Пример оценки выигрыша при использовании управляющей об¬
ратной связи 365
Заключение . 366
Литература s ■ 367
ПРЕДИСЛОВИЕ
Курс «Теория передачи сигналов» впервые начал читаться в
1963 г. в Московском электротехническом институте связи по ини¬
циативе академика А. А. Харкевича, а с 1965 г. этот курс введен
для всех технических специальностей электротехнических инсти¬
тутов связи.
Настоящий учебник написан в соответствии с программой кур¬
са «Теории передачи сигналов», разработанной МЭИС, ЛЭИС,
ОЭИС, НЭИС и КЭИ'С и утвержденной УРКиУЗ Министерства
связи СССР в 1965 г. В нем систематизированно изложены основ¬
ные положения теории передачи сигналов по каналам связи. По¬
следовательность изложения материала книги определилась опы¬
том, накопленным авторами при чтении курса «Теория передачи
сигналов» студентам МЭИС. В книге приводятся основные опре¬
деления, относящиеся к сообщениям, сигналам и каналам, излага¬
ются вопросы математического представления детерминированных
и случайных процессов, описываются наиболее важные преобра¬
зования сообщений и сигналов в процессе передачи, свойства сиг¬
налов и каналов передачи, а также основы теории передачи ин¬
формации. Рассматриваются вопросы синтеза систем передачи
информации по непрерывным и дискретным каналам, а также мно¬
гоканальных систем и систем с обратной связью.
Естественно, что в книге ограниченного объема не везде уда¬
лось выдержать необходимую строгость и методически целесооб¬
разную последовательность изложения. Вместе с тем авторы стре¬
мились помочь читателю овладеть методами современной теории
передачи информации и теории потенциальной помехоустойчиво¬
сти; хотелось также раскрыть основные направления технической
реализации теоретических возможностей при передаче сообще¬
ний. Как на содержание книги, так и на методику изложения-
многих вопросов значительное влияние оказали работы А. А. Хар¬
кевича.
Улучшению книги .способствовали критические замечания, сде¬
ланные профессором А. М. Заездным, профессором Д. Д. Клов-
ским и профессором А. Г. Зюко при рецензировании рукописи, за
что авторы выражают им искреннюю благодарность.
Замечания и предложения читателей будут встречены с благо¬
дарностью, их следует направлять в издательство «Связь» (Мо¬
сква-центр, Чистопрудный бульвар, д. «2).
— ю —
ВВЕДЕНИЕ
Системы связи предназначаются для передачи некоторых све¬
дений, или информации. Подлежащая передаче информация со¬
держится в сообщении. Так, при передаче телеграммы сообще¬
нием является тот или иной текст, представляющий собой после¬
довательность отдельных (дискретных) символов — букв и цифр.
Системы связи, передающие подобные сообщения называют си¬
стемами передачи дискретных сообщений.
При разговоре по телефону сообщение — непрерывное измене¬
ние во времени звукового давления, отображающее не только
смысл фраз, но также интонацию, тембр, ритм и иные свойства
речи; такие сообщения передаются по системам телефонной связи.
В радиовещании и проводном вещании сообщениями являются
речь7 и музыка. При передаче движущихся изображений в телеви¬
зионных системах сообщение представляет собой изменение во
времени яркости элементов изображения. Иначе говоря, системы
связи различаются характером передаваемых сообщений. Из дру¬
гих систем передачи информации отметим здесь системы телемет¬
рии (передачи результатов измерений на расстоянии), системы те¬
леуправления' (системы передачи команд для дистанционного уп¬
равления различными объектами), радиолокационные системы
(системы обнаружения объектов на расстоянии).
При передаче речи микрофон преобразует изменения звуко¬
вого давления в соответствующие изменения электрического на¬
пряжения; при передаче телеграмм каждый символ (бук¬
ва, цифра) преобразуется телеграфным аппаратом в определен¬
ную последовательность электрических импульсов («посылок» и
«пауз»); передающая телевизионная трубка (иконоскоп) преобра¬
зует подлежащие передаче элементы изображения в электриче¬
ское напряжение. Для удобства последующего изложения будем
называть сообщением электрический ток или напряжение на вы¬
ходе преобразователя, а сам физический источник информации
вместе с преобразователем — источником сообщений. С математи¬
ческой точки зрения сообщение представляет некоторую функцию
времени a(t).
Процесс передачи сообщений разбивается на три основных
этапа (рис. В.1). Вначале каждое сообщение a(t)s преобразуется
передатчиком в сигнал s(t). Затем сигнал передается по каналу
связи (каналу передачи). Наконец, полученный на приемной сто¬
роне канала сигнал s*('/) вновь преобразуется приемником в сооб¬
щение a*(t). Канал передачи — это технические устройства и фи¬
зическая среда, в которой сигналы распространяются от передат¬
- 11 -
чика к приемнику. Передатчик, канал и приемник образуют систе¬
му связи или систему передачи информации.
В процессе передачи на сигналы воздействуют различные по¬
мехи. Все помехи (рис. В.1) для упрощения условно объединены
в одном источнике помех. Поскольку они имеют случайный харак¬
тер, сигнал на входе приемника s*(t) будет случайным образом
отличаться от переданного s(t). По принятому сигналу s*(t) при¬
емник восстановит сообщение a*(t), которое может отличаться от
переданного a(t).
В.1. Блок-схема системы передачи информации
Характеристики системы связи можно разделить на внешние
и внутренние. К внешним характеристикам, по которым получа¬
тель оценивает качество связи, относятся верность, скорость и
своевременность передачи. Внутренние характеристики позволяют
оценить степень использования предельных возможностей систе¬
мы. К ним относятся помехоустойчивость и эффективность. Рас¬
смотрим эти характеристики.
Верность передачи определяется степенью сходства принятого
и переданного сообщений. В системах передачи дискретной инфор¬
мации в результате действия помех вместо переданной последо¬
вательности импульсов а({) может быть принята иная последова¬
тельность a*(t)\ получатель сообщений воспримет это как появле¬
ние ошибок. Поскольку появление ошибки—случайное событие, то
верность передачи в данном случае естественно характеризовать
вероятностью ошибки.
Если сообщение описывается непрерывной функцией a(t), то
отклонение е(£) принятого сообщения a*(t) от переданного a(t)
имеет непрерывный характер e(t)=a(t)—a*(t)\ верность переда¬
чи в этом случае выражается вероятностью того, что отклонение
е(^) для всех t не будет превышать некоторой допустимой вели¬
чины 8д0п.
Одним из путей повышения верности передачи является борь¬
ба с помехами, поскольку различие между a\(t) и a*\(t) тем мень¬
ше, чем меньше уровень помех. Способы борьбы с помехами де¬
лят на косвенные и прямые.
К прямым относятся те, которые предусматривают непосредст¬
венное воздействие на помеху в месте ее возникновения. Можно,
например, обеспечить тщательную защиту от фона и различных
наводок в передатчике и приемнике, предусмотреть возможность
— 12 —
подавления индустриальных помех в месте их возникновения и т. п.
В дальнейшем будем рассматривать лишь косвенные способы.
Повышение мощности сигнала на передающей стороне — один
из простейших способов борьбы с помехами: чем больше отноше¬
ние мощности сигнала к мощности помех, тем больше будет вер¬
ность передачи. Этот способ очевиден и теоретического интереса
не представляет.
Задача состоит в том, чтобы повысить верность передачи при
заданном отношении сигнал/помеха. Таким образом, приходим к
понятию помехоустойчивости — способности системы противо¬
стоять вредному действию помех. Помехоустойчивость оценивает¬
ся по верности передачи при заданном отношении сигнал/помеха
и зависит как от свойств передаваемых сигналов, так и от спосо¬
ба их приема.
Как будет показано ниже, существует предельно достижимая
или потенциальная помехоустойчивость. Приемник, обеспечиваю¬
щий потенциальную помехоустойчивость, называется оптималь¬
ным. Он обеспечивает для заданного отношения сигнал/помеха
наименьшую вероятность ошибки при передаче дискретных сооб¬
щений или наименьшую вероятность превышения допустимого от¬
клонения при передаче непрерывных сообщений.
Важной внешней характеристикой системы связи является
скорость передачи информации — количество сведений, которое
передается по системе связи за единицу времени с заданной вер¬
ностью. Простейший и в то же время тривиальный способ увели¬
чения скорости передачи — построение канала связи более высо¬
кого качества, «например, за счет расширения полосы частот ка¬
бельных магистралей и радиорелейных линий. Однако это приве¬
дет к увеличению общей стоимости системы связи. В данном же
курсе рассматривается повышение эффективности данной систе¬
мы, т. е. отношения скорости передачи информации к пропускной
способности канала.
Под пропускной способностью при этом понимают предельно
возможную скорость передачи информации по данному каналу с
учетом действия помех. Практический интерес представляет уве¬
личение скорости передачи за счет повышения эффективности си¬
стемы.
Своевременность передачи определяется допустимой задерж¬
кой, обусловленной преобразованиями сообщений и сигналов, а
также конечным временем распространения сигнала по каналу
связи.
Перечисленные важнейшие характеристики систем передачи
тесно связаны между собой. Эффективность использования суще¬
ствующих систем и обоснованность выбора принципов построения
новых систем во многом будут зависеть от того, насколько полно
разработчики аппаратуры используют свойства сообщений, сиг¬
налов и помех, а также особенности их преобразований в каналах
и различных звеньях системы. Задачи курса «Теории передачи
- 13 —
сигналов» делятся на два класса — анализ и синтез. Анализ сво¬
дится к оценке показателей системы при условии, если заданы
принцип ее построения и алгоритмы выполнения операций в от¬
дельных звеньях системы. Синтез же состоит не только в выборе
функциональной схемы построения системы связи, но также и в
выборе и обосновании принципов действия отдельных звеньев
тракта передачи. Такое деление принято и в данной книге — в
первых четырех главах излагаются вопросы анализа систем, а в
последующих — вопросы их синтеза.
Теория передачи информации возникла на основе решения
практических задач техники связи. Для того чтобы количественно
сравнивать различные системы связи по скорости передачи, Харт¬
ли в 1928 г. предложил ставшую общепринятой меру количества
информации, основанную на представлении о выборе данного со¬
общения из общей совокупности всех возможных сообщений. К
тому же периоду относится фундаментальная работа В. А. Ко¬
тельникова, который в статье «О пропускной способности «эфира»
и проволоки в электросвязи» (1933 г.) доказал ряд важных по¬
ложений теории передачи информации, связанных с оценкой про¬
пускной способности систем связи. Ценный вклад в развитие тео¬
рии передачи информации внесла работа Д. В. Агеева «Основы
теории линейной селекции» (1935 г.), в которой сформулированы
основные принципы разделения сигналов.
Следующим важным шагом явилось создание В. А. Котельни¬
ковым в 1946 г. теории потенциальной помехоустойчивости.
В 1948—1949 гг. К. Шеннон опубликовал ряд фундаменталь¬
ных работ, значительно продвинувших развитие теории передачи
информации. Он ввел в рассмотрение статистическую структуру
сообщений, доказал ряд важных теорем и, в частности, теорему о
пропускной способности канала связи при наличии помех. Приме¬
нение статистических методов было исследовано А. Н. Колмого¬
ровым (1941 г.) и Н. Винером (1948 г.).
В последующие годы развитие идей теории передачи информа¬
ции шло по двум направлениям.
К первому из них можно отнести математическую теорию ин¬
формации, в которой дается строгое математическое обоснование
основных положений этой теории. Здесь важное значение имеют
работы А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина, А. Файнстейна,
М. С. Пинскера, Р. Л. Добрушина, Р. Л. Стратоновича и других
ученых. Второе направление — прикладная теория информации
(теория передачи информации), — предназначенное для решения
важнейших практических задач, успешно развито в работах
В. А. Котельникова, К. Шеннона, С. Райса, В. И. Сифорова,
А. А. Харкевича, Д. Миддлтона, С. Голдмана, У. Питерсона и др.
На формирование статистических методов решения инженер¬
ных задач радиотехники и электросвязи значительное влияние
оказали монографии Б.* Р. Левина, Д. Миддлтона, В. С. Пугаче¬
ва, В. И. Тихонова, Л, Mj Финка.
- 14 -
4 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ,
■ СООБЩЕНИЙ, СИГНАЛОВ И ПОМЕХ
1.1. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
Детерминированные и случайные процессы. Все процессы в ра¬
диотехнике и электросвязи можно разделить по их физическим и
математическим свойствам на две группы: детерминированные и
случайные.
Детерминированными или регулярными называются такие про¬
цессы, течение которых во времени можно полностью предопреде¬
лить заранее. Математическим определением детерминированного
процесса является детерминированная функция времени x(t). Это
означает, что для любого заданно¬
го момента времени U может быть
однозначно определено значение
функции x(ti).
Детерминированные функции
широко применяются при изучении
свойств линейных, нелинейных и
параметрических цепей. Так, при
анализе переходных процессов -в
линейных целях часто используют¬
ся следующие детерминированные
функции: единичное ступенчатое
напряжение 1(4) (рис. 1.1а) и си¬
нусоидальные колебания (рис. 1.16)
при определении различных харак¬
теристик четырехполюсников; по¬
следовательности импульсов (рис.
1.1 в) при настройке и регулировке
различных импульсных устройств и
усилителей. Иначе говоря, исполь¬
зуя детерминированные сигналы,
можно изучать многие существен¬
ные особенности поведения линей¬
ных и нелинейных систем в различ¬
ных режимах работы, хотя перио¬
1.1. Примеры детерминированных
функций:
а) единичная ступенчатая функ¬
ция, б) синусоидальная функция,
в) последовательность импульсов
дическая последовательность импульсов, синусоидальное колеба¬
ние, а тем более единичная ступенчатая функция весьма далеки по
своим свойствам от реально воздействующих на системы случай¬
ных сигналов. Детерминированные колебания различной формы
широко применяются также в качестве переносчиков при форми¬
ровании и преобразованиях сигналов.
Случайными или нерегулярными называются такие процессы,
течение которых точно предсказать невозможно. Для их количест¬
венной оценки вводится понятие о случайных функциях S(t). Они
отличаются от детерминированных тем, что нельзя заранее ут¬
верждать, что S(/) в данный момент времени U будет иметь оп¬
ределенное значение; можно лишь говорить о вероятности того,
что в данный момент t=ti значение функции З(^) заключено в
интервале между значениями £ и Иначе говоря, если 2(0
есть случайная функция, то ее значение З(^) при фик-сированиом
значении аргумента U — случайная величина. Это означает, что
при неизменных условиях экс¬
перимента случайная функция
3(7) может принимать с не¬
которой вероятностью различ¬
ные конкретные формы £(7),
называемые реализациями слу¬
чайного процесса (рис. 1.2).
Каждая k-я реализация
£(ft)(/) имеет в момент времени
. U определенное значение %^(U)
и, следовательно, представля¬
ет собой детерминированную
функцию. В отличие от детер¬
минированного процесса, кото¬
рый .полностью описывается
единственной реализацией x(t),
случайный процесс 3(f) опи¬
сывается ансамблем реализа¬
ций {£(ft)(0}- Ансамбль реализаций считается заданным, если из¬
вестно множество реализаций вместе с вероятностями их появ¬
ления. Это множество и обобщается понятием «случайная функ¬
ция» 3(/).
В зависимости от вида передаваемых сообщений и характера
помех x(t) и З(^) могут быть непрерывными или дискретными
как по аргументу (времени t), так и по значениям функции. В
дальнейшем будем рассматривать следующие разновидности
функций:
— «Непрерывная функция непрерывного аргумента» (рис. 1.3а).
Это означает, что значения функции x{t) могут изменяться в про¬
извольные моменты времени, а величина x(ti) может принимать
любое из непрерывного множества вЪзможных значений в неко¬
тором ограниченном интервале *мин^*^*макс.
— 16 —
1.2. Множество реализаций случай¬
ного щроцесса
— «Дискретная функция непрерывного аргумента» (рис. 1.36).
Здесь функция x(t) может принимать лишь одно из дискретного
множества возможных значений (—т,... —2, —1, 0, 1, 2,..., т).
Значения ее могут изменяться в произвольные моменты времени.
— «Непрерывная функция дискретного аргумента» (рис. 1.3в).
В этом случае значения функции x(t) могут изменяться только
в определенные наперед за¬
данные моменты времени
ti = ikt; величина x(iAt) мо¬
жет принимать любое из не¬
прерывного множества воз¬
можных значений.
— «Дискретная функций
дискретного аргумента»
(рис. 1.3г). Особенность
функций x(t) в том, что x(t)
может принимать лишь од¬
но из конечного множества
возможных значений; значе¬
ния функции x(t) могут из¬
меняться в дискретные мо¬
менты времени ti = (iAt).
Векторное представление
непрерывных функций. Сре¬
ди различных математиче¬
ских приемов, используемых
при исследовании радиотех¬
нических цепей и сигналов,
наиболее широко применя¬
ется разложение пройзволь-
ной функции в непрерывную
или дискретную последова¬
тельность более простых
(«элементарных») функций
(задача анализа). Это объ¬
ясняется, прежде всего, тем,
что значительная часть це¬
пей относится к классу так
называемых линейных це¬
пей, к которым применим
принцип независимости дей¬
ствия (суперпозиции). Кро¬
ме того, в последние годы
все чаще возникает задача
формирования (синтеза)
сложных сигналов из более
простых «элементарных»
сигналов.
1.3. Юримеры функций с различным ха¬
рактером изменения:
а) непрерывная функция непрерывного
аргумента, б) дискретная функция не¬
прерывного аргумента, в) непрерывная
функция дискретного аргумента, г) дис¬
кретная функция дискретного аргумента
Задача разложения колебания сложной формы на простейшие
составляющие во многом сходна с разложением обычного векто¬
ра трехмерного пространства на его составляющие по координат¬
ному базису единичных векторов i, j, k (рис. 1.4). Представление
вектора х в виде суммы:
ал)
называется разложением вектора х по единичным ортогональным
ортам i, j, k. Поскольку векторы Х\i, x2j и xzk — элементы разло¬
жения вектора х, то их принято называть составляющими векто¬
ра х по базису i, j, k. Коэффициенты хь х2 и х3 представляют со¬
бой проекции вектора х на оси i, j, k, т. е. являются координата¬
ми вектора х. Иначе говоря, вектор трехмерного пространства
полностью определяется совокупностью его координат
(1.2)
Электрические колебания сложной формы по своей физической
природе далеко не всегда сходны с привычными нам представле¬
ниями векторов как йаправленных отрезков. Тем не менее пред¬
ставляет практический интерес обобщение операций над вектора¬
ми на функции, описывающие различные колебания. Дело в том,
что наглядные геометрические представления, связанные с поня¬
тием «вектора», помогут нам уяснить физическую сущность про¬
цессов формирования, передачи и разделения сигналов, а также
правильно подходить к'выбору элементов разложения сложных
функций на простейшие.
Чтобы перейш к обобщению понятия вектора трехмерного про¬
странства дл^случая n-мерного пространства, обратимся к при-
— 18 —
1.4. Разложение векторов по
единичным ортогональным ор¬
там трехмерного пространства
1.5. Представление непрерывной функции
.*(/) отсчетами я(Ш)
меру. Некоторое представление о функции *(/), непрерывной на
некотором конечном интервале (О, Г), дают значения этой функ¬
ции в точках t\, t2,..., tu ..., tn, разделенных небольшими про-
Т
межутками At=— (рис. 1.5); значения x(t) в этих точках обо-
п
значены соответственно через
л:1 = х(А/), х2 = х(2Д0, . . .Xi=x(\At) . . хп = х (пЛ t). (1.3)
Если теперь условно представить функцию x(t) «вектором», то
для его определения понадобится п = координат, представляю¬
щих собой отсчеты мгновенных значений функции x(t) в моменты
ii, t2, . . tп. В качестве координатных ортов можно принять, на¬
пример, импульсы прямоугольной формы высотой 1, смещенные
на At один относительно другого
(1.4)
Таким образом, получаем возможность приближенно записать
функцию x(t) аналогично (1.1) в виде разложения
(1.5а)
по элементарным координатным функциям (1.4) с коэффициента¬
ми (1.3); можно также представить x(t) в виде «вектора» задан¬
ного п координатами
(1.56)
Запись (1.56) означает, что функции x(t) соответствует неко¬
торый вектор x=(xit x%j ..хп) n-мерного пространства.
В виде суммы, аналогичной (1.5а), можно представить также
случайную функцию 5(f). Предварительно поясним на примере
понятие случайной функции. Предположим, есть большое число
одинаковых приемников, включаемых одновременно. После вклю¬
чения будем наблюдать шумы на выходе каждого из них £(1)(0>
£(2)(/),..., £(fc)(0»—» QN){t) (рис. 1.2). Все эти функции — реа¬
лизации случайного процесса Э(^), а совокупность возможных
реализаций образует ансамбль {|(fe)(f)}. Рассмотрим теперь свой¬
ства случайной функции В(£) в различные моменты времени.
Пусть в момент tx значения реализаций будут равны £(1)Ui)>
£(2)(/i),..., QN){ti). Совокупность полученных чисел представляет
собой набор значений случайной величины {£(fe)(^i)}- В другой мо¬
мент t2 значения £(1)(7?), 1(2)(*2), . • QN)(h) образуют новую случай¬
ную величину {Qh)(tz)}> и т- Д- Отсюда следует, что при фиксиро¬
ванном значении аргумента U случайная функция эквивалентна
случайной величине. Иначе говоря, случайный процесс можно
— 19 —
трактовать как непрерывную последовательность случайных величин
Si = S(^), 52 = 5(*2),»., = En = E(tn), т. е. значений
функции 5(f) в моменты времени t\, tn, отстоящие
друг от друга на бесконечно малые временные интервалы Д£ Оче¬
видно, случайная функция как объект исследования значительно
сложнее обычной случайной величины, а именно, равноценна бес¬
конечному множеству случайных величин.
Для приближенного представления случайной функции можно
ограничиться совокупностью п случайных величин Нг = Н(^)>
1=1, 2,..., п, или, что то же, представить случайную функцию век¬
тором n-мерного пространства
(1.6а)
координатами вектора являются случайные величины Нг-; вектор
(1.6а) называют случайным.
Чтобы пояснить смысл сказанного, обратимся вновь к рис. 1.5.
Заменим каждую из реализаций Qk)(t) случайного процесса после¬
довательностью импульсов одинаковой длительности At\ высота
импульса в момент ^ = Ш будет равна значению lik)(t{) =l(k); за
Т
время Т будем иметь п= — таких импульсов. Назовем получен-
A t
ную последовательность опорной. Повторив операции замены реа¬
лизаций по всем возможным k, получим совокупность последова¬
тельностей импульсов. Высота импульса в каждой точке ti = i.\t
представляет собой случайную величину 5*; общее число таких
случайных величин равно п. Таким образом, приходим к выводу,
что случайную функцию В(£) можно приближенно представить
разложением, аналогичным (1.5а),
(1.66)
по единичным ортам (опорным импульсам) 4>i(0> ^2(Л,—*
■фг(0. —. ^п'(0 со случайными коэффициентами (Hi, Н2,И{,...,
Зп). Отдельные слагаемые вида Н^(/) будем называть элемен¬
тарными случайными функциями.
Векторы «-мерного так же, как и трехмерного пространств яв¬
ляются элементами линейного пространства: на них полностью
распространяются основные правила сложения и умножения на
постоянное вещественное число. Сложение векторов производится
—► —>
покоординатно, т. е. суммой векторов х и у называется вектор
х + у=(х1 + у1, х2 + у2, . . .,хп + уп),
а произведение Кх вектора х на вещественное число К:
Будем обозначать пространства большими буквами А, X, Y,
R, S,а элементы пространств (векторы, функции) — малыми
буквами. Запись х £Х или х§ X означает, что элемент х принад¬
лежит или соответственно не принадлежит пространству X; 6 на¬
зывается знаком включения.
Операция сложения в линейном пространстве означает, что
—► —►
для каждой пары векторов х£Х и у £Х можно построить третий.
вектор x-\-y = z£ X, который также будет вектором пространст¬
ва X. Если некоторая совокупность Хт элементов линейного про¬
странства Хп сама образует пространство с теми же операциями,,
то эту совокупность называют подпространством Хт пространст¬
ва Хп (при т<.п) и обозначают знаком включения Хт Хп.
Представление функций как элементов линейных пространств.
По аналогии с выражением длины вектора в трехмерном прост¬
ранстве назовем длиной, или нормой вектора х величину
(1-7)
Переходя к пределу при п-*~оо или, что то же при Л^->-0
(рис. 1.5), естественно назвать «длиной» или «нормой» функции
x(t) величину
(1-8)
В последнем случае норма (1.8) имеет не только геометриче¬
ский, но и отчетливый физический смысл. Так, если x(t) электри¬
ческий ток в единичном сопротивлении (1 ом), то квадрат нормы
Н*(0Н2= J x2(t)dt пропорционален энергии сигнала. В дальней¬
шем будем иметь дело с функциями, удовлетворяющими условик>
квадратичной интегрируемости,
(1.9)
которое означает, что энергия реальных процессов всегда конеч¬
на. Выражение J x(t)dt будет означать интегрирование на интер¬
вале Т, если пределы интегрирования не оговорены особо. Оста¬
новимся несколько подробнее на основных определениях и поня¬
тиях, относящихся к функциям с интегрируемым квадратом.
1. Норма разности x{t) и y(i):
характеризует среднеквадратичное уклонение функции x(t) от
функции y(t) и является аналогом расстояния между векторами
х= (хь *2,..., Хп) И У=(Уь У2,.:> Уп), Т. е.
2. Важное понятие — определение скалярного произведения
функций x{t) и y(t), которым назовем
(1.11а)
Определение (1.11а) представляет обобщение скалярного про¬
изведения векторов х и у, т. е.
(1.116)
Обратим внимание на то, что в пространстве непрерывных
функций x(t) со скалярным произведением (l.lila) норма оказы¬
вается
Пространства, в которых норма задана скалярным произведе¬
нием (1.11а), называются гильбертовыми и обозначаются L2. В
/г-мерном пространстве норма вектора также определяется ска¬
лярным произведением iMi = V (*,*> = х2.. Пространства,
i=\
в которых норма задана скалярным произведением (1.116), назы¬
ваются эвклидовыми и обозначаются Rn.
В дальнейшем нам встретятся также пространства с другой
метрикой, т. е. с иными способами определения нормы и рас¬
стояния.
Из линейной алгебры известно, что скалярное произведение
двух векторов по абсолютной величине не превышает произве¬
дения их норм, т. е. | (х, у) \^\\х\\ \\у\\. Применительно к функцио¬
нальному пространству это условие эквивалентно неравенству Ко-
ши-Буняковского
(1.12)
Косинус угла между векторами х и у:
Согласно (1.12) это выражение по абсолютной величине не.
превосходит единицу. Для единичных векторов г|э и ц косинус уг¬
ла определяется скалярным произведением coscp^ = (г|э, rj); ана¬
логично определяется косинус угла между нормированными функ-
циями (||i|3(7)|| = ||ti(X)II = 1), т. е.
(1.14)
Будем считать векторы х и у ортогональными, если их скаляр-
ное произведение равно нулю, т. е. (х, у) = 0; условие «ортого¬
нальности» функций x(t) и y(t) записывается в виде
(1.15)
Пусть дано п взаимоортогональных нормированных функций
'iMO' 'iMO*—» ^'(О' удовлетворяющих условию
Коэффициентом Фурье функции x{t) по отношению к функции
г|)ь(/) называется
(1.16)
Операция (1.16) эквивалентна проектированию вектора х на
направление единичного вектора -фь т. е.
Обратим внимание на то, что результат проектирования:
(1.16)—число Си, а не вектор и не функция.
Возвращаясь к выражению (1.5а)
видим, что оно выражает обычную задачу аппроксимации. Точ¬
ность ее будет определяться как числом членов разложения, так
и значениями коэффициентов разложения С*.
Из курса математического анализа известно, что среднее квад¬
ратичное уклонение или, что то же, среднеквадратичная погреш¬
ность представления функции x(t)
^волнистая черта означает усреднение по времени) достигает свое¬
го минимума
(1Л7)
«если Ch — коэффициенты Фурье (1.16). Тогда для разложения
«функции x(t) по элементарным функциям {^МО} справедливо
выражение
(1.18)
По аналогии с (1.1) коэффициенты Сн называют координата¬
ми функции x(t) в системе элементарных функций {'фь(^)}; оче¬
видно также, если система {г|эь фг.'фп} задана, то функция x(t)
полностью определяется п координатами Си С2,..., Сп.
Известно, что для любой квадратично интегрируемой функции
x(t) и любого целого положительного п справедливо неравенство
Бесселя
(1.19)
со
Это означает, что ряд ^ сходится и неравенство Бесселя
k=i
принимает вид
00
(1.20)
Ортонормированная система {-фь 'фп} по определению
называется замкнутой, если для любой функции x(t) из L2 нера¬
венство i(1j20) обращается в равенство Парсеваля
(1.21)
Смысл (1.21) в том, что для квадратично интегрируемых функ¬
ций энергию можно определить суммированием квадратов коэф¬
фициентов разложения функции x(t) в обобщенный ряд по орто¬
гональным составляющим (1.18).
Векторное представление дискретных функций. Отметим основ¬
ные особенности векторного представления дискретных функций
дискретного аргумента (рис. 1.3г). Если функция x{t) в каждой
точке ti = iAt может принимать одно из m возможных значений
{О, 1, 2,..., m—>1), то на интервале О-=-Г она будет полностью оп-
т
ределена я= —значениями xi = x (Ш) или, что то же, совокупно-
А t
стью коэффициентов {х\, %2> *з> ••• *п}, называемой «я-набором».
— 24 —
Поскольку к л-наборам применимы операции «сложения» и
«умножения» на постоянное число, их часто представляют «вектора-
ми» л-мерного линейного пространства. Операция сложения здесь
отличается от обычной и носит название суммирования «по моду¬
лю т» (mod т). Сущность суммирования по mod т в том, что
полученная обычным сложением сумма делится на т, а остаток
от деления принимается за результат суммирования по mod m
(обозначается @). Если, например, т = 3 (*1=0, 1, 2), то сумма
чисел 1+2 = 3 в результате деления на т = 3 остатка не имеет,
т. е. 1 ©2=0 (mod 3); при сложении 2+2=4 и делении на т = 3,
получим в остатке 1, т. е. 2@2=«1 (mod 3). Иначе говоря, при
суммировании по mod т выполняется правило
Часто используются наборы двоичных (т = 2 «О», «1») л-знач-
ных чисел. Суммирование по mod 2 выполняется в соответствии
с правилом:
0®0=0, 001 = 1, 100=1, 101=0;
умножение двоичных чисел обычное, алгебраическое:
0-0=0, 0*1=0, 1-0 = 0, 1-1 = 1.
Приведем пример суммирования по mod 2 двух векторов
Аналогично производится вычитание по mod 2, обозначаемое 0.
Введем теперь метрику в пространстве, векторами которого яв¬
ляются n-наборы двоичных чисел, ,3а меру расстояния между век¬
торами х и у может быть принята любая функция координат. В
качестве такой меры в теории кодирования широко распространен
— 25 —
При сложении по mod т л-значных чисел справедлива опера-
ция попозиционного суммирования векторов а={аь а2,..., ап} и
Ь={Ь\, &2>•••> bri)>
т. е.
но, введенное Хэммингом расстояние между двоичными вектора¬
ми, равное числу позиций, в которых векторы х и у различаются
Если, например, взять п = 3, т = 2
(«О» и «1»), тогда число 'возможных
комбинаций из «О» и «1» на п пози¬
циях (я-наборов) N = 23 = 8:
ООО, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.
Здесь любые два n-набора различа¬
ются не менее, чем в одном знаке.
К тем же результатам приводит сум¬
мирование векторов по mod 2, поэто¬
му для расстояния в пространстве
Хэмминга можно записать равносиль¬
ное определение _1
(1.24)
С геометрической точки зрения это означает, что в рассматри¬
ваемом пространстве расстояние измеряется минимальным чис¬
лом ребер куба, которые надо пройти от конца вектора х к век¬
тору у.
1.2. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
Спектральное представление периодических функций. При фор¬
мировании и обработке сигналов часто встречаются периодиче¬
ские колебания сложной формы. Ставится задача представления
периодической функции x(t) сложной формы тригонометрическим
рядом Фурье, т. е. разложения x(t) по элементарным функциям
{х|эл(0) основной тригонометрической системы
(1.25)
Все функции системы (L25) попарно ортогональны на интер¬
вале Оч-Г и могут быть поэтому использованы в качестве элемен-
2зт
•тов разложения периодической функции x(t) с периодом Т = —
COi
3 тригонометрический ряд Фурье вида
1.6. Геометрическое пред¬
ставление двоичных чисел
где коэффициенты аи и Ьи вычисляются в соответствии с (1.16) по
формулам:
(1.27)
Смысл ф-лы (1.26) в том, что периодическая функция х (t) мо¬
жет быть представлена ее спектром, т. е. суммой гармонических
^ 2я
колебании с частотами, кратными основной частоте «>! = — и с
амплитудами и Ьи.
На рис. 1.7 представлена функциональная схема измерения
коэффициентов аи и Ьи (анализатор спектра). Входное колебание
подается на перемножители М, где оно перемножается с напря-
1.7. Функциональная схема изме¬
рения коэффициентов ак и bh
il.8. Функция спектральной плотности
импульса прямоугольной формы
жениями ГОЧ (генераторов опорных частот) sin^coi# и cosk(x)\t.
После усреднения в интегрирующих цепях и получим аь и Ък.
Иначе говоря, анализатор спектра выполняет операции проекти¬
рования функции («вектора») x(t) на направления элементарных
функций вида (1.25).
Ряд Фурье может быть записан также в комплексной форме
где С/г — комплексная амплитуда, определяемая по ф-ле
(1.29)
Спектральное представление непериодических функций. Ряд
Фурье дает разложение периодической функции по тригонометри¬
ческим функциям. Однако это разложение может быть обобще¬
но на случай непериодической функции x(t). При переходе к пре¬
делу при оо последовательность дискретных значений частоты
tfcoi заменяется текущей частотой со, сумма заменяется интегра¬
лом, в результате получаем
Формула (1.30) и есть интеграл Фурье в комплексной форме.
'Подынтегральная функция в (1.30) выражает отдельное, бесконеч¬
но малое слагаемое, т. е. гармоническое колебание eiG)* с беско-
называемую также комплексным спектром непериодической функ¬
ции; абсолютное значение |«S(co)| называют просто спектром.
Спектры импульсных сигналов. В качестве примера найдем
.спектральную плотность прямоугольного импульса (рис. 1.8а). За¬
пишем аналитическое выражение импульса:
(1.30)
где S(co) —спектральная плотность
(1.31)
^ечно малой амплитудой dC:
Отсюда находим спектральную плотность амплитуд
(1.32)
f де А — высота импульса, ти — его длительность.
— 28 —
Подставляя (1.32) в (1.31), получим
Принимая во внимание, что [е^ — ег[У] /2i = Sin*/, для S(co)
получаем выражение:
(1.33)
где Ати — площадь импульса.
График модуля |5(со)| изображен на рис. 1.86: спектральная
плотность обращается в нуль при ^5- — ±kn {k=\, 2,...) или на
■ .2я Л
частотах «в =+ k—на частоте (о=0 спектральная плотность
Ти
JS(co)| всегда равна площади импульса: |5(0)|=Лти.
Аналогично находятся спектры импульсов иной формы:
1.9. Спектр импульса треугольной формы
треугольной (рис. 1.9)
косинусоидальной (рис. 1.10)
1.11. Спектр экспоненциального им¬
пульса
1.12. Спектр колокольного импульса
Связь между шириной
спектра импульса и его дли¬
тельностью. Из приведенных
примеров видно, что им¬
пульсы ограниченной дли¬
тельности теоретически име¬
ют бесконечный спектр.
Практически под шириной
спектра £2э=2я/7э будем по¬
нимать область частот, в
пределах которой сконцент¬
рировано 90% или 99% энер¬
гии. Для колокольного и экспоненциального импульсов, имеющих
бесконечную длительность, для удобства расчетов также вводят
1.10. Спектр косинусоидального 'импульса
— колокольного импульса
(рис. 1.12)
понятие эквивалентной длительности тэ, понимая при этом тот ин¬
тервал времени, в пределах которого сосредоточена основная доля
энергии сигнала.
Полную энергию им¬
пульса на основе теоремы
Парсеваля (1.21) опреде¬
ляем из соотношения [2]:
Если принять за основ¬
ную часть энергии
Еу= уЕ (у = 0,9^0,99),
то эквивалентная ширина
.спектра (рис. 1.136) и
эквивалентная длитель¬
ность (рис. 1.13а) нахо¬
дятся из выражений:
1.13. К определению эквивалентной дли¬
тельности импульса (а) и эквивалентной
ширины спектра (б)
(1.34)
Для сравнения составим табл. 1.1 произведений /vt9 при у = 0,9
для рассмотренных импульсов [45]:
Из таблицы видно, что для «плавных» импульсов, например,
косинусоидального и колокольного произведение /yt9 оказывается
меньше, чем у импульсов со «скачками», как, например, прямо¬
угольного и экспоненциального. Характерная особенность в том,
что для всех импульсов
(1.36)
есть постоянная величина порядка единицы. Смысл (1.36) в том,
что оно в явном виде указывает на связь между шириной спектра
и длительностью импульса: чем короче импульс, тем шире его
спектр. Этот вывод полностью согласуется с теоремой о спектре
функции при изменении масштаба [2].
Для импульсов, функции спектральной плотности которых про¬
ходят через нуль (рис. 1.86, 1.96, 1.106) приближенно можно при¬
нять за ширину спектра область частот Т7* между нулем и тем
значением частоты, когда функция 5 (со) первый раз обращается в
нуль. Это, конечно, грубая оценка ширины спектра, однако вслед¬
ствие простоты она часто применяется на практике. Как видно из
табл. 1.1, произведение F9k ти также постоянная величина поряд¬
ка единицы: ^эТи^!.
Таблица 1.1
Импульс с линейно изменяющейся частотой. При разработке
помехоустойчивых систем передачи сигналов встречаются радио¬
импульсы длительностью Т=ти с прямоугольной огибающей и
линейно изменяющейся частотой заполнения (рис 1.14а). Опре¬
делим спектр такого импульса. Частота изменяется по линейному
закону (рис. 1.146), т. е.
где ЛсоГГ1 = Ао)д — девиация частоты.
Колебание в общем виде записывается как
где
или
— 32 —
Импульс
Прямоугольный
Треугольный
Косинусоидальный
Колокольный
Экспоненциальный
1.14. Спектр радиоимлульса с линейно из¬
меняющейся частотой:
а) рад-ибимпульс ЛЧМ, б) график измене¬
ния частоты заполнения, в) спектр импуль¬
са ЛЧМ (к — постоянная, масштабный
-множитель)
Для больших значений A|fmTH (порядка нескольких десятков)
спектр получается почти равномерным в широкой полосе частот
(рис. 1.14в). Характерная особенность таких импульсов, называе¬
мых иногда импульсами с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ)
2—562 — 33 ®
Интеграл (1.38) выражается через табулированные интегралы
Френеля ГЭ61:
в том, что для них произведение FqTq^>1. Это их свойство в пос¬
ледние годы находит применение в системах радиолокации и по¬
мехоустойчивой радиосвязи.
1.3. ВРЕМЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
Дискретизация непрерывных функций. Для точного воспроиз¬
ведения произвольной непрерывной функции x(t) на конечном ин¬
тервале Т нужно располагать данными о мгновенных значениях
этой функции во всех точках интервала (рис. 1.15), т. е. непре¬
рывным множеством отсчетов, отстоящих друг от друга на беско¬
нечно малые интервалы.
1.15. Представление непрерывной функции %(t) от¬
счетами Котельникова
Вместе с тем, если класс функций, подлежащих передаче, об¬
ладает какими-либо специфическими свойствами, то для воспро¬
изведения на приемном конце любой из функций этого класса мо¬
жет оказаться достаточным знания значений функции лишь в от¬
^ 34 -
дельных точках. Это характерно для функций, спектр которых ог¬
раничен, т. е. спектральное разложение которых не содержит со¬
ставляющих за пределами полосы частот Q9 = (db—(он (сов и сон —
соответственно верхняя и нижняя граничные частоты). В частно¬
сти, если сон = 0, то £2э = а)в = 2я/в-
Сигналы с ограниченным спектром часто встречаются в радио¬
технике. Так, для высококачественной передачи речи в радиотеле¬
фонной связи необходимая полоса частот не превышает 4-f-5 кгц;
при телевизионной передаче граничная частота определяется чис¬
лом различимых элементов изображения и не превышает 5-1-6 Мгц.
Функции с ограниченным спектром частот полностью определяют¬
ся счетным множеством дискретных значений или отсчетов. Опе¬
рация замены непрерывной функции последовательностью отсче¬
тов ее мгновенных значений называется дискретизацией Дискре¬
тизация широко используется при импульсных методах передачи
непрерывных сообщений.
Теорема Котельникова. Фундаментальное значение для реше¬
ния многих задач теории передачи сигналов имеет следующая
теорема Котельникова: непрерывная функция времени x(t), не со¬
держащая частот выше граничной о)в, полностью определяется от¬
счетами мгновенных значений x(kAi) в точках, отстоящих друг от
друга на интервалы A t = — . Интервал Дt часто называют иытер-
0)в
валом Котельникова. Эта теорема позволяет представить непре¬
рывную функцию x(t) в виде ряда:
(1.40)
Из сопоставления ряда (1.40) с общим видом ортогонального
разложения
(1.41)
следует, что элементарными функциями в разложении Котельни¬
кова являются функции ’) 1
(1.42)
называемые функциями отсчетов.
*) Ортогональность функций (1.42) следует непосредственно >из соотаоше-
В соответствии с (1.16) коэффициенты Си ортогонального раз¬
ложения (1.41) в общем виде определяются выражением
(1.43)
В частном случае, для коэффициентов разложения (1.41) по
элементарным функциям (1.42) можем записать1)
(1.44)
(1.45)
где
Преобразование (il.45) дает возможность определить функцию
времени x(t) для любого момента времени t, в том числе и для
интересующего нас момента t = kAt:
или после подстановки в последнее выражение вместо S (со) его
значения из (1.45) и изменения порядка интегрирования получим
*) Множитель — вводится для удобства нормировки.
- 36 —
Покажем теперь, что Си действительно мгновенные значения
функции x(t) в момент t = kbt. Действительно, для функции с ог¬
раниченным спектром
поэтому для преобразования Фурье можем записать
После вычисления интеграла в квадратных скобках
Сравнение (1.47) с (1.44) при а=— показывает, что полу-
0)в
ченные отсчеты x(kAt) функции x(t) в моменты kAt являются ко¬
эффициентами Фурье Ck разложения (1.41) по ортогональным
функциям (1.42) и потому полностью определяют функцию x(t).
Как отмечалось в (1.19), ряд i( 1.41) сходится к функции x(t).
Таким образом, если известны значения функции x{t) в точках
отсчетов kAt, то она может быть полностью восстановлена для
всех t суммированием элементарных функций отсчетов (1.42) с
соответствующими коэффициентами x(kAt). Графики функций
(1.42) для k=—2, —1, 0, 1 представлены на рис. 1.156: ось сим¬
метрии каждой функции вида ULE. приходится на момент време-
ни t=kAt, где функции (1.42) обращаются в единицу; в моменты
же времени t=iAt (при 1фк) функция (1.42) равна нулю. Следо¬
вательно, сумма (1.40) дает значения функции x(kAt), поскольку
все остальные члены суммы в этот момент равны нулю. Из (1.40)
следует и процедура восстановления функции x(t) по отсчетам
x(kAt): нужно перемножить значения отсчетов x(kAt) на соответ¬
ствующие отсчетные функции (1.42) и просуммировать полученные
произведения (рис. 1.15в). Для полного восстановления непрерыв¬
ной функции x(t) по значениям ее отсчетов нужно просуммиро¬
вать бесконечное множество членов ряда (1.40).
Погрешности представления реальных сигналов рядом Котель¬
никова. При практическом применении теоремы Котельникова
возникают некоторые погрешности представления. Обсудим при¬
чины наиболее существенных из них.
Если функция х(t) с ограниченным спектром рассматривается
на конечном интервале Т (рис. 1.15а), то точное разложение
(1.40) заменяется следующим приближенным разложением:
(1.48)
функция x*(t) в (1.48) определяется конечным числом п ее отсче¬
тов, поичем
(1.49)
выражение (1.46) принимает вид
- 37 -
(обычно 2/вГ»1, поэтому n — 2fBT). Очевидно, что погрешность
представления в этом случае будет тем больше, чем меньШее чис¬
ло членов разложения участвует в восстановлении функции. Оце¬
ним качественно погрешность |е(/) | = \x(t) — x*\(t) |. Поскольку
функция вида —^ обращается в нуль во всех точках отсчетов
у
Ш, кроме точки k&t, то в ней значения x*(t) и x(t) будут совпа¬
дать, т. е. погрешность е(М/) равна нулю; погрешность достигает
наибольшей величины где-то в середине промежутка между отсче¬
тами. Кроме того, поскольку в образовании значений функции
x*(t) в середине интервала участвует большее число слагаемых
(рис. 1.15в), то величина погрешности нарастает к краям интер¬
вала (рис. 1.15г).
Другая причина, вызывающая погрешность при представлении
реальных сигналов рядом Котельникова в том, что из-за конечной
длительности реальных сиг¬
налов их частотные спектры
бесконечны. Однако свойст¬
ва спектра таковы, что в
некотором диапазоне частот
от нуля до сов сосредоточе¬
на основная часть его энер¬
гии (рис. 1.16); за предела¬
ми же этого диапазона (сум¬
марная энергия спектра до¬
статочно мала. Если, напри¬
мер, для передачи сигнала используется только полоса частот от
О до сов, то восстановленный сигнал x*(t) будет отличаться от
исходного x{t). Оценим относительную среднеквадратичную по¬
грешность
(1.50)
Воспользуемся (1.21) и запишем
(1.51)
1.16. Спектр 2 убывает быстрее, чем 1
где Е — полная энергия сигнала x(t), а АЕ — та часть энергии,
которая оказывается за пределами полосы частот 0^со^сов и не
учитывается при восстановлении сигнала. Таким образом, при за¬
данной относительной среднеквадратичной погрешности (d .51)
можно определить необходимую граничную частоту сов, а следо¬
вательно, и интервалы между отсчетами At = —. Детальное ис-
следование показывает, что погрешности за счет отбрасываемой
части спектра сигнала будут тем больше, чем «медленнее» убыва¬
ет спектр за пределами заданной полосы.
Для восстановления функции x(t) по ее отсчетам нужно пред¬
варительно сформировать элементарные функции вида (1.42). На-
, sin и
пряжение, имеющее форму функции вида , можно получить
на выходе идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) с гранич¬
ной частотой ©в при действии на его входе единичного им¬
пульса 6(0-
1.17. Частотные характеристики и импульс¬
ная реакция идеального (1) и реального
(2) ФНЧ
Амплитудно-частотная характеристика идеального ФНЧ пря¬
моугольна (рис. 1.17а)'.
а фазо-частотная характеристика ф(со)=а)т линейна (рис. 1.176).
Как известно из теории линейных электрических цепей [2], им¬
- 39 —
пульсная характеристика линейного четырехполюсника g(t) выра¬
жается через К(ы)=Ко1 e-i<p(0)) day соотношением Фурье:
Для рассматриваемого случая идеального ФНЧ
Реальные характеристики /С(со) и ф(со) отличаются от идеаль¬
ных (рис. 1.17а, б, пунктир), что приводит к отклонению формы
реальной функции отсчетов от идеальной (рис. 1.17в) и, как следст¬
вие, к появлению дополнительных погрешностей восстановления
функции x(t) по отсчетам.
Интеграл Дюамеля. Теорема Котельникова сформулирована
для функций с ограниченным спектром; для их воспроизведения
на любом интервале Т нужно располагать бесконечным множест¬
вом отсчетов, что физически неосуществимо. Такие функции прин¬
ципиально не могут являться носителями информации. Тем не ме-
менее теорема Котельникова представляет собой удобную форму
приближенного представления реальных сигналов с неограничен¬
ным спектром (быстро убывающим за граничной частотой сов) по¬
следовательностью отсчетов x(kkt), следующих друг за другом че¬
рез равные интервалы At = — .
CDB
Рассмотрим более подробно некоторые свойства функции от¬
счетов (1.42). В частности, спектр этой функции
равномерен в полосе частот от 0 до сов (так как |S^(co)| =— =
(Dg
= const) и равен нулю за пределами полосы. Если далее полоса ча¬
стот будет неограниченно расширяться, то A t = — будет неогра-
0)в
ниченно уменьшаться, и в пределе при сов-2^00 мы получим им¬
пульс бесконечно короткий по длительности со спектром, равно¬
мерным в бесконечной полосе частот. Такие импульсы называются
6-функциями и определяются на основе соотношений
— 40 -
или, приняв
получим
б — функция обладает стробирующим свойством, состоящим в
(1.53)
т. е. произведение под интегралом x(t)8(t—th) существует лишь в
единственный момент времени t—ik и обращается в нуль при всех
других Следовательно, интеграл (1.53) не изменится от за¬
мены функции x(t) ее значением ла(4). Если затем вынести это
значение за знак интеграла и принять во внимание (1.52), то по¬
лучим (il.53), которое в общем виде известно как интеграл Дюа-
меля
(1.54)
В теории линейных электрических цепей интеграл Дюамеля
обычно получают на основе приближенного представления функ¬
ции *(/) ступенчатой кривой (рис. 1.5), образованной следующи¬
ми друг за другом импульсами длительностью At, высота которых
Xh=x(kAt) соответствует мгновенному значению x(t) в момент
t—kbd. Иначе говоря, колебание x(t) представляется рядом
(1.55)
Элементами разложения (1.55) являются импульсы прямо¬
угольной формы
(1.56)
Очевидно, что импульсы г|эг-(£) и г|)&(/) ортогональны, т. е.
ибо для любого момента времени t один из множителей под инте¬
гралом равен нулю (импульсы сдвинуты во времени настолько,
что не перекрываются).
В соответствии с (1.16) коэффициенты разложения находятся
по формуле
том, что
При Д£->0 импульсы (1.56) становятся б-функциями, сумма
(1.55) заменяется интегралом >(>1.54). Интеграл Дюамеля имеет
ту же структуру, что формула скалярного произведения (1.11а).
Поэтому операцию (1.54) можно трактовать как проектирование
вектора x(t) на направление единичного орта в виде дельта-
функции 8(t).
1.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Числовые характеристики случайных процессов. Случайный
процесс X(t) может быть охарактеризован его я-мерной плотно¬
стью вероятности wv(xh х2>..., хп\ t\, tn), т. е. плотностью
вероятности я-мерного случайного вектора {X(tx), X{t2),...y Аг(^п)},
где th t2,..., in — произвольные значения аргумента t. Многомер¬
ные плотности вероятности позволяют описать случайный процесс
сколь угодно полно. Вместе с тем нахождение я-мерной плотности
вероятности — трудная задача, которую удается решить далеко не
всегда.
На практике часто ограничиваются рассмотрением хотя и ме¬
нее полных, но зато более простых характеристик, называемых
числовыми характеристиками или моментами. Это средние зна¬
чения вида М[Х(^)Х(£2)...Х(^П)], где М [ 1, как обычно, знак ма¬
тематического ожидания. Число сомножителей называется поряд¬
ком момента, так что
(1.57)
— момент первого порядка;
(1.58)
— момент второго порядка;
— смешанный момент второго порядка, называемый также функ¬
цией корреляции (автокорреляции);
(1.60)
— момент k-то порядка.
— 42 —
Относительно роли моментов случайной функции можно ска¬
зать то же, что и о роли моментов случайных величин. Конечно,
они дают менее детальное описание случайной функции, чем мно¬
гомерные функции плотности вероятности. Однако, во-первых, в
ряде практически важных вопросов эти характеристики оказы¬
ваются достаточными, а, во-вторых, нахождение моментов часто
значительно проще, чем вычисление я-мерных плотностей вероят¬
ности. Для нас особенно важно то, что для практических целей, а
также в большом числе вопросов теории, наиболее существенную
роль играют моменты низших порядков (первого и второго).
Стационарные и нестационарные случайные процессы. Случай¬
ные процессы делятся на стационарные и нестационарные в зави¬
симости от того, является ли определенная группа вероятностных
характеристик процесса инвариантной во времени, т. е. изменяют¬
ся ли эти характеристики при перемещении всех точек отсчета tu
/2,—, tn на произвольный интервал т. Различают два типа ста¬
ционарных процессов.
Случайный процесс называют стационарным в узком смысле,
если плотности вероятности и моменты любого порядка не зави-j
сят от начала отсчета времени. Математически это означает, что
для любых пит справедливо равенство
wn(Xu х2, . . tlt t2, . . -,tn) = wn(x 1, x2, . . .,X„;
ti+i; t2+x, . . . t„ + t).
Отсюда следует, что все одномерные плотности вероятности
должны быть идентичными, т. е. не должны зависеть от времени t:
= w± (хъ t1+x)=w(x)
все двумерные плотности вероятности могут зависеть только от
интервала т = /2—U:
щ (хъ х2; tu t2) = w2 (xlt x2; ^ +т, t2 + x) = w2(xlt x2; x);
n-мерная плотность вероятности wn(xh x2,..., xn\ tu t2y..., tn) при
любом n зависит только от величины интервалов t2—tif t3—th ..
tn—1\ и не зависит от положения этих интервалов в области из¬
менения аргумента L
Случайные процессы называют стационарными в широком
смысле (по Хинчину), если моменты тх и т2 не зависят от t, а
функция корреляции B(tb t2)=B\x) зависит только от интервала
т = ^2—1\. Из (1.57), (1.58) и (1.59) следует, что для полного опи¬
сания стационарных процессов в широком смысле достаточно
знать лишь плотности вероятности первого и второго порядка.
Теория, использующая для описания случайных процессов только
моменты ть т2 и корреляционную функцию В(т), называется
корреляционной теорией стационарных случайных процессов.
Если процесс стационарен 6 узком смысле, го он стационарен
и в широком смысле, но не наоборот.
- 43 —
Следует подчеркнуть, что корреляционная теория, ограничи¬
ваясь моментами (1.57), (1.58) и (1.59), не может полностью опи¬
сать все свойства случайных процессов. Тем не менее в дальней¬
шем для краткости мы будем употреблять термин «стационарный
процесс», имея в виду стационарность в широком смысле.
Эргодическое свойство стационарных случайных процессов. В
теории случайных процессов пользуются двумя понятиями сред¬
них значений. Первое — это среднее по ансамблю М{Х(^)] (мате¬
матическое ожидание), определенное на основании множества на¬
блюдений над ансамблем реализаций, полученных в один момент
времени. Среднее по ансамблю обозначается также прямой чер¬
той над соответствующим выражением случайной функции, т. е.
Другое понятие о средних значениях — это средние по време¬
ни, определенные на основе наблюдения за одной и той же реали¬
зацией на протяжении длительного интервала Т. Эти средние обо¬
значаются волнистой чертой над соответствующим выражением
случайной функции:
Вообще средние по множеству и средние по времени различны.
Однако к стационарным случайным процессам почти всегда при¬
менима эргодическая гипотеза, по которой среднее по времени и
среднее по ансамблю реализаций одинаковы.
Эргодическая гипотеза позволяет заменить трудно осуществи¬
мое одновременное наблюдение за множеством реализаций дли¬
тельным наблюдением за одной реализацией; результат наблюде¬
ний будет тем же самым. Стационарные случайные процессы, для
которых усреднение по ансамблю и усреднение по времени экви¬
валентны, называются эргодическими.
Физическое толкование числовых характеристик. В теории пе¬
редачи сигналов часто будем иметь дело со случайными процес¬
сами, представляющими собой токи или напряжения на сопротив¬
лении, которое для простоты примем равным одному ому ((единич¬
ное сопротивление). В этом случае среднее значение случайного
процесса будет равно (1.61) и физически представляет собой по¬
стоянную составляющую тока или напряжения (рис. 1.18а), очень
часто постоянная составляющая равна нулю (рис. 1.186). Очевид¬
но, что для стационарного случайного процесса среднее значение
от времени не зависит. Операция определения сводится, таким
образом, к простому интегрированию.
Рассмотрим теперь среднее значение квадрата случайного про¬
цесса, или, что то же, начальный момент второго порядка
(1.61)
(1.62)
— 44 —
Эта величина есть не что иное как средняя мощность процес¬
са; нахождение т2 усреднением во времени также значительно
проще усреднения по ансамблю. Операция определения т2 сво¬
дится к обычным операциям возведения в квадрат и интегри¬
рования.
1 .«18. К определению среднего по «времени значения стационар¬
ного случайного процесса
В общем случае стационарйый процесс может содержать как
постоянную составляющую, так и случайно изменяющуюся (флук¬
туирующую) часть
тогда
Принимая во внимание, что второе слагаемое в последнем вы¬
ражении равно нулю как среднее значение флуктуирующей вели¬
чины, т. е.
а третье слагаемое представляет собой среднее значение квадрата
флуктуаций, г. е. дисперсию
— 45 —
для m2 будем иметь:
(1.64)
Из (1.64) следует, что полная средняя мощность случайного
процесса складывается из суммы средних мощностей постоянной
составляющей и средней мощности флуктуаций (переменной со¬
ставляющей). Из (1.64) можно также получить выражение для
дисперсии случайного процесса
(1.65)
Значение Di[X] численно равно средней мощности флуктуирую¬
щей составляющей; о — представляет собой эффективное значе¬
ние переменной составляющей напряжения или тока.
Особенности нестационарных процессов. Отличительная осо¬
бенность нестационарных процессов в том, что их вероятностные
характеристики (плотности вероятности, моменты) являются функ¬
циями времени.
Моментной функцией первого порядка называется такая не¬
случайная функция времени, которая в каждый момент времени
равна математическим ожиданиям случайного процесса:
1.19. Графическая иллюстрация среднего значения не¬
стационарного процесса
Другими словами, моментная функция первого порядка пред¬
ставляет собой некоторую «среднюю» функцию (рис. 1.19), около
которой группируются и относительно которой колеблются возмож¬
ные реализации случайной функции.
Чтобы учесть «разброс» моментных функций нестационарного
процесса относительно «средней» моментной функции по аналогии
— 46 —
с ф-лой (1.63), вводится понятие о дисперсии нестационарного слу¬
чайногопроцесса
D[X (01 =м{[X(t) -xm =m2 (t)- (1.67)
Таким образом, дисперсия нестационарного случайного процес¬
са характеризует средний квадрат возможных отклонений случай¬
ной функции от некоторой «средней» функции mx{t)\ D[X(/)] —
функция времени.
Для нестационарных процессов функция корреляции B(th t2)
(1.59) зависит не только от временного интервала т=/2—U> но
также от текущего времени t, т. е. В{т, t).
Функции корреляции и их свойства. Функция корреляции вы¬
ражает степень статистической взаимосвязи между отдельными
значениями случайного процесса в различные моменты времени.
В соответствии с (1.59) функция корреляции определяется через
усреднение' по ансамблю. Если процесс эргодический, то усредне¬
ние по ансамблю заменяется усреднением по времени и корре¬
ляционная функция определяется выражением.
(1.68)
В частности, при т=0 имеем
Если рассматривается случайный процесс с постоянной состав¬
ляющей, т. е. x(t) = \x(t)+x{t), то функция корреляции записы¬
вается в виде
(1.69)
Корреляционные функции /С(т) и В(т) связаны между собой
соотношением
(1.70)
для процессов с нулевым средним значением /С(т) =В(т). Схема
измерения функции автокорреляции представлена на рис. 1.206.
Для получения сдвинутой на т копии случайного процесса
(рис. 1.20а) вводится линия задержки (ЛЗ), перемножитель (М)
и интегратор (И) вычисляют средние значения произведений
x(t)x(t — т) для определенных значений т. Чтобы получить функ¬
цию корреляции, нужно проделать ряд подобных операций при
— 47 —
различных значениях временного сдвига т. Для измерения функ¬
ций корреляции разработаны специальные приборы — коррело¬
метры.
1.20. К измерению автокорреляционно^ функции
В(Т}
г)
ею
Рассмотрим теперь наи¬
более важные свойства кор¬
реляционных функций ста¬
ционарных случайных про¬
цессов.
1. Автокорреляционная
функция—убывающая функ¬
ция своего аргумента т, она
стремится к нулю при бес¬
предельном возрастании т,
если случайный процесс
имеет нулевое среднее зна¬
чение (рис. 1.21а). Если про¬
цесс содержит постоянную
составляющую, то значе¬
ние функции корреляции
В (оо) стремится к зна¬
чению квадрата постоян-
1.31. Функция корреляции про¬
цессов:
а) с нулевым средним, б) со сред¬
ним значением, в) медленно убы¬
вающая (1) и быстро убывающая
(2) функции корреляции, г) абсо¬
лютно случайного процесса
- 48 —
ной составляющей (мощности постоянной составляющей),
рис. 1.216. Из графиков рис. 1.21а и рис. 1.216 следует,
что при малых т значения x(t) и x(t—т) более тесно связаны
между собой, чем при больших т. Иначе говоря, вероятность
того, что значения x(it) и x(t—т) мало отличаются друг от друга,
будет тем больше, чем меньше т. При больших г вероятности по¬
лучить положительные и отрицательные произведения под инте¬
гралом (1.68) примерно одинаковы. Поэтому среднее значение
этих произведений по мере возрастания т 'приближается к нулю.
Чем меньше корреляция, тем быстрее убывают значения В(т)
(рис. 1.21в); © предельном случае (рис. 1.21а), когда (корреляцион¬
ная функция равна «улю 'при всех т, отличных от нуля, а при т=0
она равна В(т)=6(т)х2 (т. е. представляется б-функцией), слу¬
чайный процесс называют некоррелированным или Ь-коррелиро-
банным\ 6-коррелированные процессы иногда называют абсолютно
случайными процессами.
2. Автокорреляционная функция является четной функцией от т:
3. При т=0 автокорреляционная функция В(т) численно равна
средней мощности процесса В (0) = x2(t) = Р,т. е. В(0)>0 является
существенно положительной величиной.
4. Значение автокорреляционной функции при т^=0 не может
быть больше ее начального значения при т=0, т. е. |£(т) |^Bi(0).
5. Для оценки статистической взаимосвязи двух случайных про¬
цессов вводится понятие взаимной корреляционной функции
При x{t) =y(t) функция взаимной корреляции переходит в
функцию автокорреляции (1.68).
6. Автокорреляционная функция суммы двух случайных процес¬
сов
Здесь Вхх(т) и Вуу(т) — функции автокорреляции процессов X(t)
и Y(t) соответственно, а Вху(т) — функция взаимной корреляции.
7. Автокорреляционные и взаимные корреляционные функции
зависят как от степени статистической взаимосвязи сопоставляемых
значений случайных процессов X(t) и Y(t), так и от дисперсий
- 49 -
этих процессов. В качестве меры статистической взаимосвязи часто
используют нормированную функцию взаимной корреляции.
(1.73)
Если принять здесь x(t) =y(t), то получим выражение для нор*
мированной автокорреляционной функции Ь(т) .или коэффициента
корреляции. Нормированные корреляционные функции могут при¬
нимать значения только в пределах от —1 до +1, т. е. —1 ^Ьху^1.
8. В дальнейшем будем пользоваться понятием интервала кор¬
реляции to, позволяющим ориентировочно определить, при каком
временном сдвиге коррелированы значения (сечения) случайного
процесса. Интервал корреляции т0 определяется выражением:
(1.74)
1,22. К определению интервала корре¬
ляции
Графическая интерпретация выражения (1.74) дана на рис. 1.22;
интервал корреляции численно равен основанию прямоугольника с
высотой b (0) = 1 и имеюще¬
го ту же площадь, что и
площадь, заключенная меж¬
ду кривой | b (т) | и осыб
абсцисс.
Полезно обратить вни¬
мание на то, что 5(0) чис¬
ленно равно средней мощ¬
ности процесса. Мощность
всякого реального источни-г
ка сигналов или помех всег¬
да ограничена. Поэтому из
(1.74) следует, что интер¬
вал корреляции реальных процессов то>0.
В результате приходим к выводу, что сигналы и помехи конеч¬
ной длительности Т могут иметь ограниченноег во всяком случае
счетное, множество взаимонекоррелированных сечений п = — *
То
Вместе с тем понятие о физически неосуществимых 6-коррели-
рованных процессах является полезной идеализацией при изучении
реальных процессов, приближающихся по своим свойствам к так
называемым абсолютно случайным процессам. Характерная осо¬
бенность абсолютно случайного процесса в том, что значения x(h)y
взятые в различные моменты tlf tz> ..tn, совершенно независимы
друг от друга, как бы близко эти моменты времени мы друг к дру¬
гу не выбирали. Это означает, что в реализациях такого процесса
содержатся «всплески» или «выбросы», возникающие и затухаю¬
щие за бесконечно короткие промежутки времени.
— 50 —
9. Выражением (1.68) формально можно пользоваться не толь¬
ко применительно к случайным функциям, но и применительно к
детерминированным функциям. Такая задача возникает в тех слу¬
чаях, например, когда в составе исследуемого процесса содержат¬
ся периодические функции. В качестве примера найдем «корреля¬
ционную функцию» для x(t) =y4sin(co/ + 9), шонимая при этом ре¬
зультат применения к функции x(t) операции (1.68). Заметим, кста¬
ти, что выражение (1.68) с точностью до постоянного множителя
можно трактовать как скалярное произведение функций (см. ф-лу
1.11а). Запишем выражение В (г) для периодической функции
При достаточно большом Т с любой степенью точности можно
написать
т. е. функция корреляции имеет тот же период, что и x(t), но не
зависит от начальной фазы. Точно так же для
Нормальный случайный процесс. Особое место в радиотехнике
и электросвязи занимают нормальные или гауссовы случайные про¬
цессы. Случайная величина Хи распределена нормально, если ее
плотность вероятности определяется формулой
где а2 — дисперсия. Характерная особенность нормальных процес¬
сов в том, что для них понятия некоррелированности и статистиче¬
ской независимости означают одно и то же. Совместная плотность
вероятности п некоррелированных составляющих случайного про-
— 51 —
(1.75)
корреляционная функция
(1.76)
цесса (случайного вектора) из-за статистической независимости
равна произведению плотностей вероятности отдельных состав¬
ляющих:
следовательно,
(1.77),
Формула (1.77) может быть приведена к более удобному виду.
Найдем в качестве примера я-мерную плотность вероятности нор¬
мального белого шума, т. е. стационарной случайной функции вре¬
мени E(t), имеющей нормальное распределение и равномерный ча¬
стотный спектр в полосе от 0 до /в. Напряжение шума на интерва¬
ле может быть представлено п дискретными значениями,
причем n = 2fBT. В пределах нго интервала Л/=1/2/в напряжение
шума можно приближенно считать постоянным а его энергию
за время At:
полная энергия шума за время Т равна сумме энергий отдельных
составляющих, т. е.
Разделив левую и правую части равенства на спектральную
плотность мощности шума<
С учетом полученного равенства выражение (1.77) приводится
к виду
(1.78)
Из выражений (1.77) и (1.78) следует, в частности, что наи¬
большая плотность вероятности соответствует нулевой реализации
напряжения шума g(/), т. е. такой, которая равна «улю на всем
интервале наблюдения Т\ чем больше значения gi, £2,—, £п в точ¬
ках отсчета, тем меньше вероятность появления такой реализации,
— 52 —
найдем
Случайные последовательности. Аналогом случайной функции
при передаче дискретных сообщений и сигналов является случай¬
ная последовательность, элементы (отсчеты) которой являются
случайными величинами, принимающими в дискретные моменты
времени / = ..., —2, —1, 0, 1, 2,... значения x(ti)=xu будем назы¬
вать также Xi значением символа i-и позиции последовательности
{хг}. Если ограничиться рассмотрением последовательностей, ко¬
торые обладают свойствами стационарности и эргодичности, то
для них среднее по времени
равно среднему значению по ансамблю, т. е. математическому
ожиданию
{*'} = м [х{] или (хД = {*,}.
Корреляционной функцией соответственно назовем следующее
выражение:
(1.79)
здесь I — временной сдвиг, выраженный числом позиций (числом
дискретных интервалов) между сечениями. Корреляционные функ¬
ции случайной последовательности и случайного процесса обла¬
дают одинаковыми свойствами. Взаимная корреляционная функ¬
ция последовательностей {xi} и {*/*} записывается в виде
(1.80)
Случайные последовательности {xi} могут быть как непрерыв¬
ными, так и дискретными по значениям Xi. В последнем случае
любое из возможных дискретных значений ((символов) Xi может
быть представлено одной из цифр 0, 1, 2,..., m—1.
Стационарная случайная последовательность с независимыми
значениями полностью определяется одномерной плотностью ве¬
роятности w(Xi) для непрерывных значений х^ или одномерным
распределением в случае дискретных значений х*.
Иначе говоря, при независимых дискретных Xi статистика сим¬
волов г-й позиции полностью определяется вероятностями их появ¬
ления, т. е. /?(0) =/?(** = 0), р(1) =р(Хг=1), р('2) = р(xi =i2),...
p{m— 1) =p(Xi=m—1), разумеется, что сумма р(0) +р{1) +••• +
+ Р(т—1) = 1 образует полную группу событий.
— 53 —
Если между символами на различных позициях есть статисти¬
ческая связь, но вероятность того или иного значения символа на
(/+2)-й позиции зависит только от значения символа на (/+1)-й
позиции, то такая последовательность символов называется про¬
стой (односвязной) цепью Маркова. В этом случае статистика
полностью определяется матрицей переходных вероятностей
здесь для сокращения записи принято
Р( *г+2 = ) = PW *i> *2 = 0, 1, 2, . . т— 1.
Переходные вероятности pXlx2 позволяют найти одномерное рас¬
пределение р(х) из системы уравнений
Понятие цепи Маркова обобщается на случай, когда условная
вероятность появления данного значения символа на i-й позиции
зависит от значений символов, расположенных на позициях, уда¬
ленных от данной на несколько дискретных интервалов (позиций).
Такие последовательности называют сложными (многосвязными)
цепями Маркова: Цепи Маркова называются однородными, если
условные вероятности рх\х2 перехода от Х\ к х2 зависят только от
этих значений, но не зависят от номера позиции (временного ин¬
тервала).
1.5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР СЛУЧАЙНОГО
ПРОЦЕССА И ЕГО СВЯЗЬ С ФУНКЦИЕЙ КОРРЕЛЯЦИИ
Преобразование Хинчина-Винера. Перейдем теперь к обобще¬
нию аппарата преобразований Фурье на случайные процессы X(t).
Предварительно вспомним, что преобразование Фурье справедли-
— 54 -
во только для функций, удовлетворяющих условию абсолютной
интегрируемости,
(1.83)
Реализации случайного процесса x(t) этому условию не удов¬
летворяют; для них интеграл (1.83) является расходящимся, так
как подынтегральная функция при t-*~оо предела не имеет. Поэто¬
му для случайного процесса необходимо установить какое-то иное
понятие спектральной плотности, содержащее в своей математиче¬
ской основе неслучайную функцию.
Для этого введем новую функцию xT(t), совпадающую на ин-
[ТТЛ
-т- — с реализацией случайного процесса x(t), а за
пределами этого интервала равную нулю:
(1.84)
Так как теперь функция xT(t) по определению (1.84) равна ну¬
лю при
Фурье:
, то для нее справедливо преобразование
(1.85>
Среднюю мощность колебания x^(t) можно выразить как че¬
рез временную функцию, так и через частотный спектр (теорема
Рэлея):
(1.87>
и будем называть спектральной плотностью мощности. Эта функ¬
ция характеризует распределение мощности единственной реали¬
зации xT(t) по спектру частот и имеет размерность вт- сек/рад.
Для определения спектральной плотности мощности совокупности
реализаций {*r(0} можно провести усреднение по ансамблю воз¬
можных значений функции (1.87), т. е. М{GT (со)}.
— 55 —
Для этого запишем
Здесь по определению (1.65)
или при t\—12='г для стационарных процессов (1.88) примет вид
Переходя к пределу при оо, окончательно получим
Таким образом, функция спектральной плотности G(со) пред¬
ставляет собой прямое преобразование Фурье для корреляционной
функции В(т). Очевидно также, что, если существует прямое пре¬
образование (1.90), то существует и обратное преобразование
Фурье
Пара преобразований, связывающая функции (/(со) и В(т) но¬
сит название преобразования Хинчина-Винера. Часто вместо кру¬
говой частоты со вводят частоту колебаний f в герцах, тогда ф-лы
(1.90) и (1.91) приводятся к виду:
имеет размерность
В случае нестационарных^процессов пользуются понятием сред¬
ней функции корреляции В(% t) и среднего спектра ко¬
торые также связаны между собой парой преобразования Фурье:
(1.926)
и
Важно подчеркнуть также, что в отличие от спектрального ана¬
лиза детерминированных процессов спектральная плотность мощ¬
ности случайного процесса не позволяет восстановить какую-либо
реализацию случайного процесса, так как она не содержит сведе¬
ний о фазах отдельных спектральных составляющих.
Следует помнить также, что функция G,(<o) в (1.90) в общем
виде определяется как
Для стационарных случайных процессов, однако, усреднение
по ансамблю может быть заменено усреднением во времени. Поэ¬
тому в последнем определении символ математического ожидания
М можно опустить и считать приближенно
Функция корреляции шума с ограниченным спектром. Для ил¬
люстрации соотношений (1.90) и (1.91) рассмотрим конкретные
примеры, имеющие и самостоятельное значение.
1. Рассмотрим так называемый «белый шум».
Случайный процесс, у которого спектральная плотность мощно¬
сти одинакова на всех частотах, называют «белым» шумом (по
аналогии с белым светом, имеющим сплошной и равномерный
спектр в пределах видимой части). Функция спектральной плотно¬
сти белого шума G(co) =const = G представлена на рис. 1.23а.
Найдем функцию корреляции белого шума по ф-ле (1.91):
(1.94)
Пользуясь выражениями для прямого и обратного преобразо¬
вания Фурье 6-функции:
(1.97)
и сопоставляя (1.95) и (1.97), получим
(1.98)
Таким образом, функция корреляции белого шума выражается
6-функцией, рис. 1.236. Это означает, что сечения случайного про¬
цесса некоррелированы при любом сколь угодно малом времен¬
ном сдвиге, т. е. здесь интервал корреляции то=0.
1.24. Энергетические соектры узкополос¬
ного и широкололосного процессов
2. Энергетические спектры реальных процессов практически ог¬
раничены полосой частот Q3 = coB—6)Н-, Поэтому в дальнейшем
удобно разделить случайные процессы на узкополосные и широ¬
кополосные в зависимости от положения Йэ на шкале частот. Слу¬
чайный процесс с непрерывным энергетическим спектром (в част¬
ности, с равномерным) называется узкополосным, если энергети¬
ческий спектр процесса сосредоточен в основном в относительно
узкой полосе частот около некоторой фиксированной частоты соо
(рис. 1.24а), или широкополосным, если указанное условие не вы¬
полняется (рис. 1.24б). Условие узкополосности обычно выража¬
ется неравенством — <^ 1. В данном разделе ограничимся рас-
©0
смотрением широкополосных процессов. Если белый шум с равно¬
мерным энергетическим спектром пропустить через идеальный
ФНЧ с граничными частотами сон=0 и сов = 2зт/в, то на выходе по¬
лучим шум с ограниченным спектром (рис. 1.25а), причем шири¬
на спектра £2э = (Ов = 2я/в-
— 58 —
1.2Э. Функция корреляции «бе¬
лого» шума
Для определения функции корреляции воспользуемся соотно¬
шением
(1.99)
где P = G сов — средняя мощность процесса.
График корреляционной функции (1.99) представлен на рис. 1.256.
Здесь уже интервал корреляции то имеет конечную величину, ко¬
торую можно опреде¬
лить, например, как
интервал между точ¬
кой т=0 и точкой, где
В{т) первый раз об¬
ращается в нуль,
т. е. совт=я, откуда
т0 = — = —. Из этого
0 сов 2 fB
соотношения 1следует
также, что по мере
сокращения полосй
частот Йэ=<0в интер¬
вал корреляции увели¬
чивается. Иначе гово¬
ря, ограничение спект¬
ра влечет за собой по¬
явление корреляции.
Эффективная ши¬
рина энергетического спектра. При описании случайных процессов
с неравномерным энергетическим спектром (рис. 1.26), интенсив¬
ность которого убывает с ростом
частоты, пользуются понятием
эквивалентной или эффективной
ширины энергетического спектра
1.25. Функция корреляции шума с ограничен¬
ным спектром
(1.100)
где GMaKc — наибольшее значе¬
ние функции спектральной плот¬
ности. Величину £2э=2я/7э можно связать с интервалом корреля¬
ции на основе соотношения
(1.101)
1.26. К 1 определению эквивалент
«ой ширины энергетического
спектра
Действительно, на частоте /=0
Gi (/) = JB(x)cos2nfxd i = Gx(0);
о
известно также, что Б(0) =Gi(0)Fg средняя мощность процесса.
Поэтому для (1.101) получим
0-102)
Соотношение (Л.102) — дальнейшее обобщение связи между
шириной спектра амплитуд и длительностью импульса (1.36).
Функция корреляции обобщенного телеграфного сигнала. Что¬
бы лучше уяснить понятие корреляционной функции, рассмотрим
обобщенный телеграфный сигнал. Он представляет собой
(рис. 1.27а) случайную последовательность импульсов, которые
•1.27. Функция корреляции и энергетический
спектр обобщенного телеграфного сигнала
могут принимать значения «1» или «О»; переходы «1» в «О» и «О»
в «1» совершаются в случайные моменты времени. Пусть вероят¬
ности появления «0» и «1» одинаковы и равны Примем да¬
— 60 —
лее, что число переходов на конечном интервале Т подчиняется
закону Пуассона
(1.103)
где p\k, Т) — вероятность того, что на интервале Т произойдет
^-переходов, а — среднее число переходов в единицу времени.
Спектр обобщенного телеграфного сигнала можно вычислить из
соотношения (1.93), если предварительно найти функцию корре¬
ляции сигнала.
Так как случайный процесс может принимать лишь два состоя¬
ния, то интегралы в (1.59) могут быть заменены соответствующи¬
ми суммами, а плотность вероятности — соответствующими веро¬
ятностями. Тогда запишем
(1.104)
Все возможные виды переходов представлены в таблице
Теперь можно составить выражение для функции корреляции
как математического ожидания произведения (1.104), т. е.
5(т);=М[^л:(+т] = 0-0-р(0, 0; т) + 1 *0• р(1, 0; т)+
+ 0-1-р(0, 1; т) + 1 • 1 - р (1, 1; t) = 1 • 1 -р(1, 1; т). (1.105)
Поскольку появление «О» или «1» и число возможных перехо¬
дов на каком-то интервале события независимые, то их совмест¬
ная вероятность находится как произведение вероятностей, т. е.
р (1, 1, т) = р (1) р (k4eT, т),
где р(\)=—— вероятность появления «1»;
— вероятность того, что на интервале
т произойдет четное число переходов, и, следовательно:
(k — четные). (1.106)
Перепишем выражения для ряда (1.106) в ином виде
и подставим (1.107) в (1.106). Тогда получим
(1.108)
График этой функции приведен на рис. 1.276. Предельные зна¬
чения корреляционной функции В (0) = — и В (оо) = — .
2 4
Для отыскания энергетического спектра нужно вычислить пря¬
мое преобразование Фурье корреляционной функции (1.93а):
Первый интеграл в (1.109) вырождается в б-функцию при со = 0
и выражает численно мощность постоянной составляющей; второй
интеграл дает непрерывную часть энергетического спектра
(рис. 1.27в).
В соответствии с (1.100) для эквивалентной ширины спектра
имеем
т. е. ширина спектра определяется средним числом переходов.
Этот вывод вполне согласуется с общими представлениями о спек-
трах; чем быстрее происходит смена состояний в случайном про¬
цессе (чем меньше средняя длительность импульса), тем шире его
энергетический спектр.
1.6. УЗКОПОЛОСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Преобразование Гильберта. Как детерминированные, так и
случайные процессы обычно представляются действительными
функциями времени x(t). Вместе с тем часто удобнее представ¬
лять их векторами на комплексной плоскости или записывать в
символической форме. Предварительно напомним смысл широко
используемой в теории электрических цепей символической запи¬
си синусоидальных колебаний.
— 62 —
Действительная функция
(1.110)
(где Ао—амплитуда, а>о— частота, ф0 и 0 — соответственно
начальная и полная фаза) представляется условно в символиче¬
ской форме как
х (t) = А0 е1 = А0 eie = А0 cos @ + \А0 sin @ = х (t) + i х (t).
(1.111)
Иначе говоря, символическое представление x(t) получается
добавлением к действительной части *(/) =i40cos0 определенным
образом подобранной мнимой части. Последняя выбирается так,-
чтобы проекция x(t) на ось абсцисс соответствовала исходной дей¬
ствительной функции Re[x(t)] = x(t) (рис. 1.28). В нашем случае
мнимая часть Im [х (/)] = х (t) колебания x(t) находится в квадра-
JT *
туре (сдвинута на угол -у) с действительной частью x(t). Ком¬
плексный вектор x(i) = А0 е10 длиной Л0 вращается с угловой ско¬
ростью
против часовой стрелки; конец вектора опи¬
сывает окружность. Покажем, что дейст¬
вительная и мнимая составляющие комп¬
лексной функции (1.111) связаны между
собой парой взаимно однозначных инте¬
гральных преобразований Гильберта1):
1.28. Геометрическое
представление коле¬
бания на комплекс¬
ной плоскости
(1.114)
Действительно, подставив в (1.113) вместо функции x(t) ее
выражение из (1.111), получим (при ф0=О)
*) Здесь символы &i[-] и <Ш 1 [•] обозначают прямое и обратное преобра¬
зования Гильберта соответственно.
— 63 -
или
то сопряженная функция
или
Ряд или интеграл (1.117) называется сопряженным ряду или
интегралу (1.116), а функция
л
x(t) = x (t) +ix(t) = A (t) еш {t) (1.118)
называется комплексным (аналитическим) сигналом, соответст¬
вующим действительной функции x(t). Комплексный сигнал
— 64 —
Поскольку первый интеграл
второй интеграл
то для функции, преобразованной
по Гильберту, получаем
А
Функции x(t) и x(t) называются сопряженными по Гильберту.
Аналогично для функции simoo^ сопряженной является функция
—coscoo^. Изложенные здесь положения можно распространить и на
случай символического представления колебаний сложной формы.
Комплексный сигнал. Поскольку преобразование Гильберта ли¬
нейно, то, если исходное колебание x(t), можно представить в ви¬
де дискретной или непрерывной суммы спектральных составляю¬
щих (т. е. рядом или интегралом Фурье)
(рис. 1.29) изображается на комплексной плоскости вращающим¬
ся вектором с модулем
(1.119)
и угловой скоростью
(1.120)
/Ч
Здесь, как обычно, фаза колебания выражена через x(t) и x(t)
РППТиПТТТРТТМРМ
(1.121)
Таким образом, мы можем рассматривать (1.118) как обоб¬
щение обычно используемого символического представления сину¬
соидального колебания
/\
В частности, когда x{t) =-coscoot то x(t) = sin®0t и, следова¬
тельно,
откуда следует, что в данном случае угловая скорость вращения
вектора комплексного сигнала постоянна и равна частоте ®о си¬
нусоидального колеба¬
ния.
Для колебания
сложной формы (1.116)
вектор комплексного
сигнала может иметь
как равномерную, так
и неравномерную ско¬
рость вращения (рис.
1.29). Функцию
(1.120), выражающую
угловую скорость вектора, мы принимаем за мгновенную частоту
колебания (1.116). Колебание произвольной формы выразим как
колебание с меняющейся «амплитудой» A(t) и меняющейся фазой
(1.122)
Выражения для «амплитуды» или, как ее называют иначе, оги¬
бающей (1.119), а также для мгновенной фазы (1.121) всегда
можно найти, определив с помощью преобразования Гильберта
(1.113) функцию x(t), сопряженную с исходной функцией x(t),
т. е. i(i)=Jj?[xi(/)]. Представление сложного колебания в виде
комплексного 'Сигнала с изменяющимися амплитудой и фазой
особенно наглядно при изучении узкополосных процессов.
3 —562 — 65 —
1.29. Траектория перемещения вектора комп¬
лексного сигнала
Процесс называют узкополосным, если Qx<Co)o, где соо =
средняя частота полосы.
Применяя выражения (1.1166) и (1.1176), в которых полагаем
^(со) = 1, Ь((д) =0, получим:
(1.126)
для фазы в соответствии с (1.121) имеем
где п=О, 1, 2... в зависимости от знака sin1—t в (1.126). Распо¬
лагая выражениями для огибающей A(t) и фазы 0(£), мы можем
на основании (1.122) представить рассматриваемый узкополосный
лроцесс в виде
(1.128)
Трафик функции (1.128) изображен на рис. 1.34 (координат¬
ные оси x(t) и t).
Узкополосный процесс как сумма двух AM сигналов. Приведем
действительную часть комплексного сигнала
к эквивалентному виду
(1.129)
где (dot — линейно меняющаяся часть фазы, ф(£) — медленно ме¬
няющаяся часть фазы.
— 66 -
Комплексное представление узкополосного сигнала. Рассмот¬
рим теперь процесс x(t), спектральная плотность которого одина¬
кова в ограниченной полосе частот Qx = coB—т. е.
Подстановка (1.124) и (1.125) в (1.119) приводит к выраже¬
нию для огибающей
Узкбйолосный процесс в соответствии с (1.129) можно тракто-
колебание с медленно меняющимися
и фазой ф(^) (рис. 1.30). Если бы.
вать как высокочастотное
огибающей амплитуд A(t)
ф(0=0, то x(t) пред¬
ставляло бы собой обыч¬
ное АМ-колебание; от¬
клонение изменений фа¬
зы от линейного закона
coot на величину <p(f) бу¬
дет означать появлениш
угловой модуляции.
Из курса нелинейных
цепей известно {46], что
огибающую амплитуд
можно получить на выхо¬
де линейного детектора,
если на его вход подать AM колебание.
Представим сложное узкополосное колебание суммой двух AM
колебаний
x(t) = A (t) cos [<о01 — <p(f)J = U (t) cos (n0t + V (t) sin <o0t, (1.130)
где U(t)=A(t)cos<p(t) и V{t) =A (^)sinf(^) — ортогональные ком¬
поненты комплексной огибающей; для огибающей и фазы имеем:
(1.131а>
(1.1316)
Статистические характеристики огибающей и фазы случайного
процесса. Если процесс стационарный, то каждую реализацию x{t)
можно разложить на синфазную и квадратурную составляющие
x(t) = u(i) + v(t), которые также стационарны. Считаем, далее, что
процесс не содержит постоянной составляющей, т. е. u(t) = v(t) =0,
а мощности синфазной и квадратурной составляющих одинаковы
и равны
(1.132)
Наконец, ограничимся рассмотрением случая, когда x(t) —нор¬
мальный случайный процесс, т. е. составляющие u(t) и v(t) имеют
нормальное распределение
(1.133)
и не имеют взаимной корреляции,
з* — 67 —
1.30. Временная диаграмма узкополосного
процесса
Найдем теперь плотность вероятности огибающей w(A) и фа-
Ш w(<p) для нормального узкополосного случайного процесса X(t).
В прямоугольных координатах (рис. 1.31) вероятность того, что
случайная величина А будет находиться в пределах прямоугольни¬
ка, ограниченного сторонами (U, U+dU) <и (V, V+dV) 'можно вы¬
разить через совместную плот¬
ность вероятности
Вероятность этого же собы¬
тия можно записать в полярных
координатах А и ф, т. е.
и, следовательно,
^1 .юб)
Поскольку речь идет об одной и той же вероятности, то площадь
элементарного прямоугольника dUdV должна быть равной элемен¬
тарной площадке в полярных координатах AdAdxp:
(1.137)
Кроме того, вследствие статистической независимости синфаз¬
ной и квадратурной составляющих, а также, принимая во внимание
(1.77), (1.133) и (1.137), имеем
S8)
Сопоставляя (1.138) с (1.136), получим
(1.139)
Это выражение определяет совместную плотность вероятности
огибающей А и фазы ф.
— 68 -
1.31. К определению плотности
вероятности огибающей и фазы
узкополосного процесса
Для определения плотности вероятности огибающей проинте¬
грируем (1.139) по всем возможным значениям фазы ф в пределах
от 0 до 2п:
Для определения плотности вероятности фазы ф) надо сов¬
местную плотность вероятности (1.139) проинтегрировать по всем
возможным значениям огибающей:
поскольку
Из (1.141) видно, что плотность вероятности фазы равномерна
по всей области возможных значений ф от 0 до 2я (рис. 1.326).
Выражение (1.140) может быть безразмерным, если обозначить
у = —*При переходе от переменной А к у должно выполняться ра-
венство
(1.142)
Подставляя© (1.142) значение w(A) из (1.140) и учитывая, что
dA = oxdy> получим
(1.143)
Плотность вероятности, определяемая (1.143), называется рас¬
пределением Рэлея (рис. 1.32а). Здесь переменная у может прини-
1.32. Графики плотности вероятности,
огибающей узкополосного случайного
процесса и его фазы
— 69 -
мать лишь неотрицательные значения, в отличие от нормального
распределения, где у может принимать как положительные, так и
отрицательные значения. Распределение Рэлея не обладает свойст¬
вом симметрии, характерным для нормального распределения. Из
графика рис. 1.32а видно, что максимальное значение плотности
вероятности огибающей имеет место при у= 1 или, что то же, при
А = Ох-
Полезно обратить внимание на то, что, хотя в рассматриваемом
случайном процессе x(t) постоянной составляющей нет, среднее
значение его огибающей не равно нулю:
Иначе говоря, смесь сигнала и шума представляется аналогич¬
но (1.130), т. е.
Если найти совместную плотность вероятности огибающей фа¬
зы и проинтегрировать по фазе в пределах от —л до +я, то ири-
- 70 —
Для среднего значения квадрата огибающей имеем
а мощность флуктуаций огибающей, равная ее дисперсии на¬
ходится из выражения
В дальнейшем нам потребуются плотности вероятности огибаю¬
щей и фазы суммарного колебания сигнала и шума. Пусть имеется
сумма узкополосного нормального стационарного шума £>(t) =
=Л: (t)cos[(d0t—фс (/)] и гармонического сигнала s(t) = t/o(£)cos(oo£
С учетом (1.130) для огибающей суммарного колебания A (t) (1.131)
и фазы ф(/) (1.132) запишем:
дем к распределению Райса для плотности вероятности огибающей
суммы сигнала и шума
где /о
(1.146)
модифицированная функция Бесселя нулевого порядка,
дисперсия помехи. Графики этого распределения приве¬
дены на рис. 1.33а. При малых отношениях сигнал/шум
плотность вероятности близка к рэлеевской (рис. 1.32а),
а при больших — к нормальной.
1.33. Графики плотности вероятности огибающей
(а) я фазы (б) суммы сигнала и шума
Проделав вычисления, аналогичные (1.141), найдем выражение
для плотности вероятности фазы:
(1.147)
— 71 —
Графики этого распределения приведены на рис. 1.336.
Корреляционная функция узкополосного случайного процесса с
равномерным спектром. Пусть энергетический спектр равномерен
в полосе частот Q9 = wB—сон и равен нулю на всех других частотах,
т. е. {G= 1 соб^э} и {G=0 g)$Q3}. В этом случае для корреля¬
ционной функции можем записать
o2 = GQэ— средняя мощность процесса.
График корреляционной функции (1.148) изображен на
рис. 1.34; огибающая функции В(т) имеет ту же форму, что и кор¬
реляционная функ¬
ция соответствующе¬
го по полосе широ¬
кополосного процес¬
са (1.99). Сопостав¬
ление (1.148) и
(1.99), а также гра¬
фиков рис. 1.256 и
рис. 1.34 позволяет
сделать следующее
обобщение: для по¬
строения корреля¬
ционной функции
узкополосного про¬
цесса достаточно
найти корреляцион¬
ную функцию огибающей узкополосного процесса и вписать в нее
косинусоидальное заполнение с частотой, равной средней частоте
процесса.
- 72 —
-табулированный интеграл вероятности.
огибающая корреляционной функции;
1.34. Функция корреляции узкополосного шума
Представление узкополосных процессов рядом Котельникова.
Приведем без доказательства формулу разложения Котельникова
для узкополосных колебаний
где A(t) — огибающая амплитуд узкополосного колебания,
<р(/) — фаза, Qx = 2nFx — ширина спектра.
По 'сравнению со случаем широкополосного процесса здесь от¬
счеты можно брать через большие интервалы Д = — = -1-,тогда
a* f х
2
как для широкополосного процесса At = — = — . Дело в том,
^X
что каждая отсчетная функция (1.149) в соответствии с (1.130)
несет сведения о синфазной и квадратурной составляющих или,
что то же, в каждом отсчете узкополосного колебания (1.149) со¬
держатся сведения об амплитуде и фазе. Поэтому необходимое
число координат для полного описания узкополосного процесса,
так же как в случае широкополосного процесса,
(1.150)
Число n = 2FxT называется базой сигнала.
Сопоставление ф-л (1.149) и (1.148) показывает сходство струк¬
туры функции отсчетов ряда Котельникова и корреляционной функ¬
ции узкополосного шума (рис. 1.34).
1.7. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Энергия процесса. При анализе и синтезе сигналов и помех ча¬
сто приходится определять их энергию. Бели задан процесс x(t),
то величина *
(1.151)
называется .квадратичным эффектом и численно равна энергии ко¬
лебания x(i), выделяемой на единичном сопротивлении. На основе
равенства Парсеваля (1.25) энергия может быть выражена также
через коэффициенты разложения x{t) в ряд по ортогональным
функциям. Применяя теорему Котельникова для функции со спект¬
— 73 —
где обозначено Х=сов(£—kAt).
Принимая во внимание, что
Если учесть, что вектор «-мерного пространства определяется
совокупностью п чисел, являющихся его проекциями на соответст¬
вующие оси координат, то для x(t) запишем
(1.155)
Норма вектора х:
(1.156)
сопоставление (1.156) с (1.154) дает
(1.157)
Е
Переходя в (1.157) от энергии Е к мощности Р= —, для нор¬
мы вектора имеем
(1.158)
Итак, норма функции x(t) или, что то же, длина вектора х при
заданной длительности колебания и ширине его спектра определя¬
ется средней мощностью Р; при заданной мощности Р норма векто¬
ра х пропорциональна n = 2FxT.
— 74 —
ром, ограниченным частотами сон=0 и сов (ширина спектра £2* = о)в),
можно получить выражение для энергии колебания непосредствен¬
но через значения отсчетов функции времени.
Запишем разложение в ряд Котельникова
и найдем энергию x(t) при конечном
Если x(t) — детерминированная функция, то хь имеют опреде¬
ленные значения >и вектору х—(хи х%..., хп) будет соответствовать
единственная точка «-мерного пространства.
Плотность вероятности случайного вектора. Как мы видели, слу¬
чайную функцию Х(£) также можно представить разложением по
ортогональным функциям:
(1.159)
где отсчеты Xk=X(kAt) являются случайными величинами. Конец
вектора X—(Xi, Х2,..., Хп) будет занимать теперь в я-мерном про¬
странстве не точку, а некоторую область
dV = dxi dxa, . . dxn. (1.160)
Вероятность того, что конец вектора X попадает в некоторый
«объем» dV л-мерного пространства
dp = ш(хъ хъ . . ,,xn)dxidx2 . , .dx„ = wn(X)dV.
Если отсчеты некоррелированы, т. е. взяты через интервалы
т0 >- ——, то для нормального процесса с х (t) = 0, о| = х2 (t) и
2*лг
плотностью вероятности
можем записать
Принимая во внимание определения нормы (вектора (1.156) и
энергии колебания (1.154), перепишем (1.161) в виде
здесь G — плотность энергетического спектра (а\ = GFX).
Геометрически случайная функция характеризуется случайным
вектором, конец которого занимает некоторый объем в и-мерном
пространстве или, как иногда говорят, «облако» с переменной плот-
ностью, определяемой функцией плотности вероятности (рис. 1.35).
Вероятность нахождения конца вектора в заданном объеме и есть
вероятность появления заданной реализации. Объемная плотность
1.35. Геометрическое лредставле-ние:
а) случайного вектора, б) суммы детерминированного колебания со случайным
вектором
вероятности (1.162) зависит от расстояния области dV от начала
координат: чем больше расстояние, тем меньше —. Из (1.161)
непосредственно следует, что наиболее вероятны реализации с ма¬
лыми значениями координат. Это практически означает, что чем
больше энергия реализаций, тем меньше вероятность их появления.
Заметим также, что вследствие равновероятности направлений слу¬
чайного вектора X, объемная плотность вероятности сферически
симметрична, т. е. поверхности равных плотностей представляют
собой поверхности n-мерных сфер, центры которых совпадают с
началом координат случайного вектора.
Проекция случайного вектора. Пусть даны случайные функции
X(t) и Y(t), имеющие одинаковые полосы частот Fx=Fy = F. Пред¬
ставим^ реализации векторами х и у с составляющими xk/V п и
Ун! Vп, где n = 2FT. Для квадрата нормы разности этих векторов в
соответствии с (1.10) можно записать
Принимая во внимание, что первые два слагаемых в (il. 163) —
квадраты норм векторов х и у, а последнее — скалярное произве¬
дение {х, у) = \\х |) || у\\ соэф^ , перепишем (1.163) в виде
(1.164)
или, заменив три т=0, получим
(1.165)
Важно отметить, что d(x, у) пропорционально не только мощ¬
ностям колебаний x(t) и у (f), по также величине n = 2FT. Для слу¬
чая взаимно некоррелированных процессов ЬХ1Д0)=0, тогда ф-ла
(1.165) примет вид
(1.166)
если 6Х1/(0)= — 1, то d2{x, у) имеет максимальное значение и, сле¬
довательно,
(1.167)
т. е. наиболее удаленными друг от друга являются «противопо¬
ложные» реализации.
Найдем теперь скалярное произведение случайного нормально
распределенного процесса Z (/) и детерминированной функции s(t).
С подобной ситуацией мы сталкиваемся при изучении взаимодейст¬
вия сигнала с помехой. Пусть координаты сигнала известны
s=(si, s2,..., sn), а координаты вектора помехи случайны
Z— (Zi, Z2, ..Zn). Представим помеху t,(t) и сигнал s(t) вектора¬
ми £ и s с составляющими £*/ Уп и sj У п, где n=2FT. Скаляр¬
ное произведение векторов С и s можно выразить через косинус
угла между ними (1.13)
При неограниченном увеличении числа координат cosqpjs стре¬
мится ж значению нормированной функции взаимной корреляции
(при т=0), т. е.
(1.169)
Отсюда следует, что cosqpcs-^-O.cp^-»- — при п-+-оо. Таким обра¬
зом, отсутствие корреляции между Z и s геометрически отобража¬
ется ортогональностью векторов Z и s. При конечном ti cos<pzs —и
будет случайной величиной, флуктуирующей около нуля. Поэтому
(1.168) можно переписать в виде
или
Здесь, как в (1.162), || £ ||2 = = G]F, a j| s || = VJs2 (t) dt По опре¬
делению.
Итак, скалярное произведение случайного нормально распреде¬
ленного процесса Z(t) и детерминированной функции s(t) есть слу¬
чайная величина с нормальным распределением и единичной дис¬
персией.
1.8. ФИЗИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СООБЩЕНИЙ И
СИГНАЛОВ
Всякое сообщение мы условились представлять изменяющейся
во времени электрической величиной (тока или напряжения) и за¬
писывать функцией a(t). Если функция a(t) задана, то мы распо¬
лагаем полными сведениями о сообщении. То же можно сказать
и о сигнале s(/). На практике, однако, удобнее оперировать не с
отдельными реализациями передаваемых сообщений и сигналов, а
описывать их свойства некоторыми обобщенными показателями,
характерными для множества сообщений или сигналов данного
вида и наиболее существенными с точки зрения передачи содержа¬
щейся в них информации. Такими физическими характеристиками
являются три величины: длительность сигнала (или сообщения),
динамический диапазон и ширина спектра. Длительность сигнала
Ts — простая и практически важная его характеристика: чем боль¬
ше Ts, тем на большее время занимается канал связи. Для всяко¬
го сообщения отводится определенное конечное время передачи.
Поэтому теоретически ширина спектра любого сигнала должна
быть неограниченной. Однако изучение спектров реальных сообще¬
ний и сигналов показывает, что их спектральная плотность убы¬
вает с ростом частоты; при определенных условиях это позволяет
рассматривать сообщения и сигналы как процессы с ограниченным
спектром, шириной Fs. Ранее нам встречалась еще одна характе¬
ристика — энергия сигнала или отличающаяся от нее постоянным
коэффициентом средняя мощность. Поскольку при передаче на сиг¬
налы всегда воздействуют помехи, то в качестве энергетической ха¬
рактеристики сигнала принимается отношение А*= р1 средней
мощности сигнала Ps к средней мощности помех Рс ; часто это от-
р
ношение выражают в логарифмической мере D^6j = 101g^- и на¬
зывают динамическим диапазоном (измеряется в децибелах (дб).
При оценке информационной содержательности удобно представ¬
лять динамический диапазон D = log2h2, где log2 — логарифм с ос¬
нованием 2.
— 78 —
Можно ввести наглядное представление об объеме сигнала V&
если за координаты принять FSy Ts и Z)s, т. е.
(1.172>
Понятие об объеме сигнала особенно полезно в сочетании с по¬
нятием о емкости канала VK = FKTKDK (п. 4.3).
Приведем некоторые сведения о спектрах сообщений. При пе¬
редаче дискретной информации, например в телеграфии, сообще¬
ния представляются некоторой последовательностью импульсов,
отображающей информационные символы. Ширина спектра зави¬
сит от скорости передачи импульсов и их длительности. Для гру¬
бой оценки ширины спектра можно ограничиться рассмотрением
периодической последовательности импульсов прямоугольной фор*
мы (рис. l.le). Хотя теоретически спектр такой функции бесконе¬
чен, однако для удовлетворительного воспроизведения ее достаточ¬
но сохранить несколько гармоник, например, первую и третью.
Основная частота ? называемая иногда частотой манипуля¬
ции (в телеграфии), зависит от скорости передачи; поэтому от ско¬
рости передачи зависит и ширина спектра F = 3f\. Скорость переда¬
чи в телеграфии и в системах передачи данных определяется чис¬
лом импульсов в единицу времени v и измеряется в бодах (1 бо<3 =
1 иМП \ 1
= 1 ); если длительность импульса ти, то v6oa = —. Так, при
сек ти
ГЛ г л 1 faefc г 1П 3 £ 1 2
скорости v = 50 бод, ти = — = 20 мсек\ h = — = — -
V 4 50 /1 Ти
I
= " g 2о \гГ *■ 25 Щ, т. е. F=3 /i=75 гц. Скорость а = 50 бод от¬
носится к низким скоростям передачи; в быстродействующих си¬
стемах при о=600 бод ширина спектра Р=900гц; при и=1200 бод—
7^*= 1800 гц; при о = 2400 бод — F=3600 гц; в ряде случаев скорость
передачи достигает нескольких десятков тысяч бод.
Телефонные и радиовещательные сообщения по структуре зна¬
чительно сложнее телеграфных. Область акустических колебаний*
способных создавать ощущение звука при воздействии на челове¬
ческий орган слуха, ограничена как частотным диапазоном воздей¬
ствующих колебаний, так и диапазоном уровней звука. Человек
не слышит звуковых колебаний с частотами выше 15-^20 кгц\ при
ширине спектра F—15 кгц воспроизведение звука можно считать
идеальным; при /7= 10 кгц воспроизведение звука достаточно вы¬
сокого качества, при F = 8 кгц — высокого качества и при
F = 5 кгц — удовлетворительно. При телефонии требования к ши¬
рине спектра могут быть значительно снижены; поскольку здесь
критериями качества являются разборчивость и возможность уз¬
нать собеседника по голосу; для этого оказывается достаточной
ширина спектра от 300 до 3400 гц, т. е. F = 3100 гц. Динамический
диапазон речи диктора составляет 25-1-35 <36; художественное сло¬
— 79 —
во — 40-^50 <36; небольшие вокальные или инструментальные ан¬
самбли — 45-f-55 <36; симфонический оркестр—65-^75 (36. Отме-
.тим, что при передаче музыки динамический диапазон нередко
приходится сокращать до 35-f-45 дб во избежание «перегрузки»
канала передачи.
При передаче телевизионных изображений роль источника со¬
общений 'выполняет передающая телевизионная трубка со спе¬
циальным мозаичным фотокатодом. Спроектированное на «его изо¬
бражение последовательно развертывается по элементам управ¬
ляемым электронным лучом. При перемещении луча по элементам
мозаики в анодной цепи передающей телевизионной трубки возни¬
кают импульсы фототока, «амплитуда» которых будет непрерывно
изменяться в соответствии с изменениями яркости элементов изо¬
бражения.
В Советском Союзе принят стандарт разложения телевизионно¬
го изображения на 625 строк. Такая же четкость, естественно, дол¬
жна обеспечиваться и вдоль строки. Следовательно, различимых
элементов вдоль строки должно быть 4/3 625 = 833, где 4/3 — отно¬
шение сторон кадра. Общее число различимых элементов в одном
кадре изображения будет 625X833^500 000. Для непрерывности
восприятия изображения передаются с частотой 25 кадров в се¬
кунду. Приближенно для ширины спектра телевизионного сигнала
обычно принимают 6 Мгц. Ясно, что для телевизионной пере¬
дачи .потребуются каналы с полосой пропускания, во много раз
большей, чем при передаче телеграфных, телефонных или радио¬
вещательных сигналов.
2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СООБЩЕНИЙ
И СИГНАЛОВ
2.1. ВИДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В СИСТЕМЕ СВЯЗИ
Математическое описание преобразований. При передаче по си¬
стеме связи сообщения и сигналы подвергаются различным преоб¬
разованиям. Их можно разделить на вводимые преднамеренно и
нежелательные, избежать которых не удается из-за несовершенст¬
ва аппаратуры или неидеальности линии связи (среды). Первые из
них будем полагать сосредоточенными в передатчиках и приемни¬
ках, вторые — в каналах связи (пренебрегая или относя к каналу
нежелательные преобразования в передатчике и приемнике).
Преобразования сообщений и сигналов (как и любых случай¬
ных процессов) могут быть детерминированными и случайными. В
общем случае преобразование может содержать и детерминирован¬
ную, и случайную составляющие. Простейший пример — умноже¬
ние на фиксированное число и суммирование со случайным про¬
цессом (например, усиление и наложение помехи).
Число входов и выходов преобразователя в общем случае мо¬
жет быть произвольным. Однако большинство преобразователей в
системах связи может быть представлено четырехполюсниками,
преобразующими один входной процесс X(t) (воздействие) в один
выходной процесс Y(t) (отклик).
Преобразование четырехполюсником воздействия в отклик
X(t)-+Y(t) математически описывается оператором
Ф [*(/)] = 0(0- (2.1)
Оператор Ф устанавливает соответствие между двумя множе¬
ствами функций, аналогично тому, как функция устанавливает со¬
ответствие между двумя множествами чисел. Простейшими приме¬
рами являются операторы сложения Ф[x(t)] = x(t) + v(t) или умно¬
жения Ф[x(t)] = x(t)v(t) по тем или иным правилам на.некоторую
функцию времени v(t) (или число v), возведения в степень
сР
Ф [*(£)] = xv (t), дифференцирования Ф [х (/)] = х (?), интегриро-
dtV
ьания с переменным пределом
- 81 —
функции времени v, v(/) в приведенных примерах играют роль па¬
раметров преобразования.
В геометрическом представлении (см. П. 1.1) возможные реали¬
зации воздействия x(t) и отклика y(t) определенной длительности
являются векторами (точками) х и у соответствующих пространств
X и Y. Оператор Ф (х) = у описывает способ установления соответст¬
вия X-VY (отображение) пространства откликов Y пространству
воздействий X. При равной длительности воздействия и отклика
размерности пространств X и Y могут и не совпадать.
При детерминированном преобразовании все параметры опера¬
тора (в приведенных выше примерах v, v(t)) известны точно, и со¬
ответствие X-VY однозначно. При этом соответствие X-*-Y прост¬
ранства X пространству Y может быть как однозначным, так и не¬
однозначным. В последнем случае различные реализации воздей¬
ствия могут приводить к одной и той же реализации отклика (на¬
пример, если Ф [*(?)] = x2(t) ). При этом одному вектору у 6 Y мо¬
жет соответствовать более одного вектора х£Х и соответствие
пространств X. Y не является взаимно однозначным, как в первом
случае. При известной реализации воздействия x(t) детерминиро¬
ванный оператор Ф позволяет точно предсказать реализацию от¬
клика у(/). При известной статистике воздействия X(t) он позво¬
ляет определить статистику отклика Y(t). Для этого следует при*
равнять вероятности реализаций отклика вероятностям соответст¬
вующих реализаций воздействия. При взаимно однозначном соот¬
ветствии
(2.2)
для дискретных воздействий и
(2.3)
для непрерывных (здесь dy и dx — элементарные объемы про¬
странств Y и X). При однозначном, но не взаимно однозначном
соответствии, правые части (2.2) и (2.3) суммируются или инте-
—*■ —►
грируются то всем х, соответствующим данному у.
При случайном преобразовании, по крайней мере, часть пара¬
метров оператора Ф известна лишь статистически. В этом случае
одной реализации воздействия x(t) соответствует множество реа¬
лизаций отклика y(t). Геометрически это означает, что одному век¬
тору х£Х соответствует подмножество («облако») векторов у£ Y ,
а в общем случае — все пространство Y. При этом соответствия
X-^Y и Хч-Y являются неоднозначными. При случайном преобра¬
зовании по известной статистике воздействия Х(Т) также можно
определить статистику отклика Y(7), но уже через условные веро¬
ятности:
- 82 —
, Особым видом случайного преобразования является такое, ког¬
да различным реализациям воздействия соответствуют различные
подмножества реализаций откликов. При этом существует взаимно
однозначное соответствие между векторами х£Х и подмножества¬
ми векторов г/6 Y (преобразование взаимно однозначно но некото¬
рым параметрам), т. е. соответствие Х-<-Y является однозначным.
Если оператор Ф восстанавливает процесс x(t), преобразован¬
ный другим оператором Ч*, т. е. Ф{Чфс(7)]} =л;(7), то он называет¬
ся обратным оператору Ч? и обозначается Ф=ЧГ_1. Обратный опе¬
ратор W~l существует, если оператор W устанавливает взаимно од¬
нозначное соответствие.
Основные преобразования в системе связи. В каждой системе
связи можно выделить 3 укрупненных преобразования: A(t)-*S(t)
в передатчике, S(t)-+S*(t) в канале и S*(t)->A*(t) в приемнике.
Цель преобразования A(t)-*S(t) сообщения в сигнал в передат¬
чике — обеспечить возможно более хорошие условия передачи по
каналу. Как правило, оно осуществляется так, чтобы /при отсутст¬
вии изменений в сигнале s(t) по нему можно было в принципе точ¬
но восстановить сообщение a(t). При этом оператор передатчика
Фпер[a(t)] = s(t) устанавливает взаимно однозначное соответствие
пространств А и S. Иногда в это преобразование преднамеренно
вводится случайная составляющая (пример — модуляция случай¬
ного переносчика). При этом взаимно однозначное соответствие су¬
ществует по некоторому параметру. Для непрерывных сообщений
в передатчике иногда преднамеренно вводится неоднозначность со¬
ответствия Ач-S, отвечающая требуемой точности воспроизведения
сообщения в приемнике (пример — квантование).
Преобразование S(f)-*S*(f) в канале в идеальном случае долж¬
но было бы сводиться к равенству s*(£) = s(f) или, по крайней ме¬
ре, быть 'взаимно однозначным. Однако из-за помех в канале его
оператор Фк[5(/)]=5*(0 имеет случайную составляющую, которая де¬
лает точное восстановление s(t) по s*(t) в принципе невозможным.
Поэтому преобразование S(t)->S*(t) неоднозначно. При этом ди¬
скретному сигналу s(t) может соответствовать непрерывный сиг¬
нал s*(t).
Цель преобразования S* (<)-*Л*(/) в приемнике — восстановить
переданное сообщение с необходимой точностью. Как правило, опе¬
ратор приемника ФПр[s*(t)] = a*(t) детерминирован и при отсутствии
изменений в сигнале выполняет преобразование, обратное операто¬
ру передатчика: ФцР[5(/)] = a(t). Однако соответствие S*-* А* одно¬
значно, но не взаимно однозначно. Это вызвано тем, что за счет
канала (а иногда и передатчика) одному вектору а£А соответ¬
ствует более одного вектора s*£ S*. Если сообщение a(t) дискрет¬
— 83 —
но, а сигнал s* (t) непрерывен, то прием сопровождается дискре¬
тизацией пространства S* Правило приема может быть описано
как установление соответствия между областями пространства S*
и векторами пространства А*. Такое соответствие устанавливается
на основе гипотезы о преобразовании S->S* в канале. В силу слу¬
чайности преобразования S->S* действительное преобразование
6-^5* может отличаться от предполагаемого, и точное восстанов¬
ление переданного сообщения по принимаемому сигналу невозмож¬
но. Иногда при приеме возможно стирание сигнала — отказ при¬
емника от установления соответствия на некотором участке а* (О,
Операции при преобразованиях A(^)->~S(/) в передатчике и
A* (t) в приемнике различны по характеру для непрерывных
и дискретных сообщений.
При передаче дискретных сообщений дискретного времени мож¬
но выделить две основные пары операций. Одна из них состоит в
изменении электрического представления каждого отдельного эле¬
мента дискретной последовательности (дискретная модуляция, или
выбор сигнала в передатчике) и отождествлении принимаемого
непрерывного сигнала с одним из возможных переданных (реше¬
ние) в приемнике. Эти операции осуществляются для каждой от¬
дельной позиции независимо, причем одной позиции воздействия
соответствует одна позиция отклика. Вторая пара операций со¬
стоит в изменении построения дискретной последовательности в
передатчике (кодирование) и восстановлении прежнего построения
с возможной точностью в приемнике (декодирование). Кодирова¬
ние предшествует дискретной модуляции, а декодирование осуще¬
ствляется после решения.
При передаче непрерывных сообщений непрерывного времени
можно различать два основных варианта преобразований. При пер¬
вом из них непрерывное сообщение предварительно сводится к ди¬
скретному. Основные операции при этом — дискретизация сообще¬
ния по времени и по значениям (квантование). Дискретизации по
времени соответствует обратная операция, которую можно назвать
восстановлением. Квантование по самому смыслу не имеет обрат¬
ной операции, однако иногда такой операцией называют сглажива¬
ние квантованного процесса. При втором варианте непрерывность
процесса по времени и по значениям сохраняется на всех участках
системы. Основной парой операций при этом являются непрерыв¬
ная модуляция и детектирование (демодуляция). При непрерывной
модуляции сообщение воздействует на параметры некоторого де¬
терминированного или случайного процесса, называемого перенос¬
чиком. Соответствие между сообщением и модулированными пара¬
метрами является взаимно однозначным. Детектирование представ¬
ляет собой воспроизведение сообщения по модулированному сигна¬
лу. При втором варианте преобразований возможен и ряд других
операций, повышающих эффективность или помехоустойчивость
передачи (например, предыскажение в передатчике и фильтрация
- 84 I—
в приемнике). Сообщения и сигналы могут подвергаться также'
преобразованиям, которые представляют меньший интерес с точки:
зрения теории передачи сигналов; к ним относятся, например, уси¬
ление или ослабление, изменение масштаба времени.
Преобразования в каналах также различны для дискретных и
непрерывных сигналов. Они рассматриваются в гл. 4.
В целом 'передача сообщений по системе связи описывается по¬
следовательностью преобразований
Их геометрическое представление для случая, когда пространствам
A, A* S, S* передаваемых и принимаемых сообщений и сигналов
дискретны, поясняется рис. 2.1. Пространства А,А* на это'м рисун¬
ке состоят из трех сообщений. Жирными линиями выделены ото¬
бражения векторов s£S в s*£S* , соответствующие приня¬
той гипотезе о преобразованиях в канале. Если действительное4
преобразование в канале отли¬
чается от гипотетического, то
при приеме происходит ошиб¬
ка.
Оператор всей системы мо¬
жет быть записан в виде
а*(г) = Фпр{Фк{ФперИО]}}.
В идеальном случае
a* (t) = ф-!р {Фпер [а (/)]} = а (/)
Виды преобразователей. В
зависимости от построения и
электрических свойств четы¬
рехполюсника различают сле¬
дующие виды преобразовате¬
лей: 1—линейные и нелиней¬
ные2 — безынерционные (не
имеющие памяти) и инерцион¬
ные (с памятью), 3 — с постоянными и переменными парамет¬
рами.
Линейный четырехполюсник отвечает принципу наложения (су¬
перпозиции) — отклик линейного четырехполюсника на сумму воз¬
действий равен сумме откликов на каждое отдельное воздействие
(2.4>
Для нелинейного четырехполюсника этот принцип несправедлив..
Нелинейность обусловливается наличием элементов, сопротивление
или проводимость которых зависит от величины тока или напряже¬
ния.
- 85 —
2.1. Геометрическое представление пре¬
образований в системе передачи ди¬
скретных сообщений с помощью ди¬
скретных сигналов
Отсутствие памяти (безынерционность) четырехполюсника оз¬
начает, что отклик y(ii) в каждый момент времени t\ зависит толь¬
ко от значения воздействия x(ti) в этот момент времени и не зави¬
сит от его более ранних значений. При этом оператор y(t) = <b[x(t)]
полностью определяется амплитудной характеристикой у=Ф(х).
В четырехполюснике с памятью (инерционном) y(ti) зависит и от
предшествующих значений воздействия (от x(t) для t<ti). Память
может быть конечной, когда y(t 1) зависит от x(t) для и
не зависит от x(t) для t<t0, и бесконечной, когда на y(t) оказы¬
вают влияние все предшествующие значения x(t). Память обуслов¬
ливается наличием реактивных элементов, являющихся накопите*
лям'И энергии.
В четырехполюснике с постоянными параметрами смещение воз¬
действия во времени на интервал т вызывает только смещение от¬
клика на то же время т, т. е. Ф;[х(7—т)]—y(t—х) при любых значе¬
ниях т. Для четырехполюсника с переменными параметрами это
условие несправедливо. Непостоянство (параметров обусловливается
процессами в четырехполюснике. Эти процессы могут быть детер¬
минированными или случайными. В простейшем случае они сум¬
мируются или умножаются на воздействие. При отсутствии других
изменений воздействия в этом случае <b[x(t)]=x(t) \i(t)+v(t),
где |i(/) и v(/) —процессы, действующие в четырехполюснике.
По приведенным выше признакам можно различать восемь ви¬
дав преобразователей. Наиболее сложен нелинейный инерционный
преобразователь с переменными параметрами. Его можно считать
и наиболее общим, из которого получаются все остальные, как ча¬
стные случаи. Наиболее прост линейный безынерционный преоб¬
разователь с постоянными параметрами, для которого Ф[x(t)] =
= Kx(t)\ он содержит только постоянные активные сопротивления.
Все преобразователи с постоянными (параметрами являются де¬
терминированными. Преобразователи с переменными параметрами
в зависимости от характера действующих в них процессов могут
быть как детерминированными, так и случайными.
2.2. ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Линейные четырехполюсники с постоянными параметрами. Мно¬
гие преобразователи в системах связи с достаточной степенью точ¬
ности представляются линейными инерционными четырехполюсни¬
ками с постоянными параметрами (типичными примерами являют¬
ся частотные фильтры). Как известно из курса теории линейных
электрических цепей [2], свойства таких преобразователей полно¬
стью определяются импульсной реакцией g(t) (временное пред¬
ставление), или комплексным коэффициентом передачи /С((о) =
= /С (о>) е 1ср*(й)) (частотное представление), /((со) и фк(ю) назы¬
вают амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристиками со¬
ответственно (при этом К(—со) =К(ы); фк(—и) =—Ф-к («»)). Произ-
d (рк (со)
== (со)— групповое время запаздывания. В ряде
водная
й(д
случаев вместо коэффициента /С(со) пользуются постоянной пере¬
дачи четырехполюсника ё (ю) = ln = а (со) + i 6 (со), где
а(со) =—1п/С(со) —затухание (в неперах), а Ь(ы) =фк((о) —фазо¬
вая постоянная четырехполюсника. Отклик рассматриваемого пре¬
образователя на воздействие x(t) выражается оператором
со,
(2.5)
где Sx (со) К (со) = Sy (со)— комплексный спектр отклика y(t).
В реальном четырехполюснике g(t)=0 при /<0 (в силу прин¬
ципа причинности) и g(0~^0 ПРИ t-^oo (из-за наличия активных
сопротивлений). Интервал времени
(2.6)
(см. рис. 2.2), в котором сосредоточена основная часть энергии
импульсной реакции, будем называть временем памяти четырехпо¬
люсника. Если g(t) = e~~at, то тп = —^ т, е. совпадает с постоян¬
ной времени линейной цепи.
2.2. Определение интер-вала памяти четырехпо¬
люсника
В большинстве четырехполюсников можно различить полосы
непропускания (где /((со)— 0) и пропускания. При наличии одной
— 87 —
лолосы шропускания ее эффективная ширина определяется анало¬
гично (1.100):
(2.7)
(см. рис. 2.3).
Поскольку /С(со) и g(t) связаны преобразованиями Фурье
{П.1.3), то ширина полосы пропускания F3 и время памяти тп четы¬
рехполюсника связаны обратно пропорциональной зависимостью
^этп = const, (2.8)
аналогично тому, как зто имеет место дли ширины спектра и дли¬
тельности импульса (П. 1.2), а также для ширины спектра и ин¬
тервала корреляции -случайного процесса (П.1.4). В зависимости
ют того, укладывается или не укладывается полоса частот воздейст¬
вия в полосу пропускания линейного преобразователя, размерность
.ny = 2FyT пространства откликов Y равна или меньше размерности
nx = 2FxT пространства воздействий X при равной длительности Т
‘(очевидно, что Fv^.Fq). В последнем случае соответствие X-«-Y яв¬
ляется неоднозначным. В линейном преобразователе с (постоянны¬
ми параметрами не может возникнуть новых частот.
Четырехполюсники, пропускающие энергию в полосе частот
вблизи /о и имеющие ширину полосы Fd<^.f0, С 1 j » называют
.узкополосными. Очевидно, что их отклики — узкополосные сигна¬
лы (П. 1.6). В частности, импульсная реакция узкополосного четы¬
рехполюсника имеет вид g(t) =Ag{t)cos[(o0t—ф*(01 гДе ^*(0 и
4^(0—медленные (по сравнению с coot) функции времени.
Линейное преобразование случайных процессов. Описание пре¬
образования случайных процессов в линейном четырехполюснике
сводится к определению статистики отклика при известной стати¬
стике воздействия.
- 88 -
2.3. Определение полосы пропускания четырехлолюеника
Для -нахождения числовых характеристик отклика при стацио¬
нарном эргодическом воздействии X(t) удобнее 'всего проследить
преобразование спектра мощности. Если спектр мощности воздей¬
ствия равен G*(g))> а модуль коэффициента передачи четырехпо¬
люсника /((со), то спектр мощности отклика в установившемся ре¬
жиме1) в соответствии с (1.94)
(2.9>
(от фазовой характеристики четырехполюсника он не зависит).
Зная Gy(со), по ф-ле (1.91) можно_найти_функцию корреляции от¬
клика ^(т), а следовательно, и г/2, о2у , у. Кроме того, у = хК (0)у
Задача определения плотности вероятности отклика (даже од¬
номерной w(y), при известной статистике воздействия в общем ви¬
де не решается. Известно (25], что при нормальном (П. 1.4) воз¬
действии отклик также нормален. В общем случае закон распре¬
деления изменяется. Если ширина полосы пропускания четырехпо¬
люсника Fq намного уже ширины спектра воздействия Fx, то имеет
место так называемая нормализация случайного процесса. При
любом распределении воздействия отклик в этом случае нормален.
Нормализация при ограничении спектра объясняется тем, что в си¬
лу соотношения (1.102) интервал корреляции отклика %оу оказы¬
вается много больше, чем то* воздействия, а число независимых
значений ny = 2FyT (размерность пространства Y) много меньше,
чем nx = 2FxT (размерность пространства X). При этом значение'
воздействия в каждый момент времени можно рассматривать как
сумму большого числа независимых случайных величин. Как сле¬
дует из основной предельной теоремы теории вероятности, распре¬
деление такой суммы стремится к нормальному закону.
2.3. НЕЛИНЕЙНЫЕ преобразования
Нелинейные безынерционные четырехполюсники. Ряд преобра¬
зователей с достаточной степенью точности представляется нели¬
нейными безынерционными четырехполюсниками с постоянными
параметрами или последовательными соединениями таких четырех¬
полюсников с линейными инерционными. К их числу относятся, на¬
пример, так называемые линейные и квадратичные детекторы.
!) Если воздействие Х(/) подается на вход четырехполюсника при ^=0, то-
в течение некоторого 'В,ремен.и существует переходный .процесс, являющийся,
очевидно, нестационарным, даже если X(t) —стационарный процесс. Статисти¬
ческие характеристики .переходного процесса определяются в [251 й здесь не
р ассм атр и ваются.
- 89 —
Преобразование детерминированного процесса в безынерцион¬
ном нелинейном четырехполюснике с постоянными параметрами
полностью описывается амплитудной характеристикой */ = Ф(Х).
Часто ее апроксимируют полиномом. При дискретных воздействиях
нелинейные безынерционные преобразователи могут представлять
собой сложные логические устройства, для которых зависимость
у=Ф(х) удобнее описывать таблицей.
Соответствие пространств X-^Y при нелинейном безынерцион¬
ном преобразовании является однозначным. Соответствие X-«-Y
может быть как однозначным (когда х = Ф~~1(у) является однознач¬
ной функцией у) у так и неоднозначным (например, при у -> /С*2,
как в квадратичном детекторе).
Отличительное свойство нелинейного четырехполюсника — об¬
разование новых частот. Возможны случаи, когда в спектре откли¬
ка отсутствуют частоты воздействия. Векторы у могут размещать¬
ся в пространстве с большей размерностью, чем векторы х.
Нелинейное преобразование случайных процессов. Если
* =фоднозначная функция у, то одномерная плотность
вероятности отклика находится по одномерному распределению
воздействия в соответствии с (2.3) из соотношений w(y) = w(x) — .
dy
Если одному значению у соответствует несколько значений
* = ф1 (*/)> Ф2{у),-> то
. (2.10)
Например, для у = Кх2 имеем w (у) = w(x). Зная w(y), легко
V Ку
определить г/, У2, ву (п. 1.4). Функция корреляции отклика Ву(х)
может быть найдена по двумерной плотности w(ylt уъ %), выражен¬
ной через w(xu хг, х) и Ф(х), или по спектру мощности Gy(со). Для
узкополосного воздействия спектр Gy (со) может быть найден на ос¬
нове анализа огибающей.
Важно отметить, что нелинейное преобразование смеси сигнала
с помехой не может рассматриваться для каждой компоненты от¬
дельно, как это можно делать три анализе линейного преобразова¬
ния в силу принципа суперпозиции.
Как пример безынерционного нелинейного преобразования рас¬
смотрим прохождение узкополосного случайного процесса X(t) че¬
рез нелинейный четырехполюсник с амплитудной характеристикой
используемый при линейном детектировании.
— 90 —
помехи
Допустим, что воздействие x(t) — сумма гармонического сигна*
ла s(t) =i40coso)0^ и помехи Z>(t), являющейся узкополосным нор¬
мальным случайным процессом с центральной частотой соо- Процесс
x(t) можно представить в видеx(t) =s(t) +£,(t) =A(t)cos[toot—ф(t)\
где A(t) — огибающая, а ф(0 — фаза случайного процесса x(t).
Статистические характеристики A(t) и ф(£) определены в П.1.6.
Функция плотности вероятности мгновенных значений процесса x(t)
определена >в [39] и выражается формулой
в которой 1п{и) — модифицированные функции Бесселя,
отношение средней мощности сигнала к средней мощности
на входе детектора.
На рис. 2.4 показаны процессы на входе и выходе преобразова¬
теля (2.11). Отклик y(t) может быть разложен на три составляю^
щие:
2.4. Процессы на входе и выходе,
нелинейного преобразователя
Постоянная составляющая у л осле нахождения w(y) может
‘быть определена по ф-ле (1.57). Низкочастотная составляющая
*#нч(0 находится как разность среднего значения y(t) за период
2зт — •
Т0 = — и постоянной составляющей у:
со0
-ее энергия (сосредоточена вблизи со = 0. Высокочастотная состав¬
ляющая находится как yB4(t) = у (t)—yH4{t) — у\ ее энергия сосре¬
доточена вблизи частот соо, 2шо, Важно отметить, что перемен¬
ная составляющая (2.13) пропорциональна огибающей воздейст¬
вия- Определим основные статистические характеристики отклика
y(t) и его составляющих.
Прежде всего найдем w{y). Поскольку при х<0, y(t)= 0, то ве-
о
роятность р(у = 0) = | w(x)dx = 0,5, а плотность вероятности за-
00
дисывается как 0,5 6{у). При до 0 у пропорционален х. Поэтому
4>орма функции плотности вероятности повторяет w(x) три х>0у
но числовые характеристики w(y) зависят от К. Графики w(y) для
различных значений h показаны на /рис. 2.5 (/С = 1) -
Среднее значение процесса y(t) находится по ф-ле (1.57); пос¬
ыле интегрирования
2.5. Плотность вероятности от¬
клика нелинейного преобразова¬
теля
Зависимость^- =/(Л)> где у0=у при h=О, показана на рис. 2.6,
Уо
из которого видно, что при малых значениях h она нелинейна. Поэ¬
тому относительное приращение постоянной составляющей откли-
2.6. Зависимость -среднего значения и средней
мощности низкочастотных флуктуаций выход¬
ного напряжения детектора огибающей от от¬
ношения сигнала к помехе на его входе
ка У/Уа оказывается значительно меньше, чем относительное при¬
ращение амплитуды сигнала. Этот эффект называется подавлением
сигнала помехой.
ту-
Колебание Y (t) = ym{t) + У = —A (t) (рис. 2.4) имеет такую
Я
же плотность вероятности, как и A(t), но с другими параметрами,
зависящими от наклона амплитудной характеристики К:
(2.15)
Поэтому
При h = О
Таким образом, при изменении h от 0 до оо мощность низкоча¬
стотных флуктуаций возрастает примерно вдвое.
Отношение сигнала к помехе при некогерентном детектирова¬
нии. Рассмотренный выше безынерционный нелинейный преобра¬
зователь (2.11) с подключенным к его выходу фильтром нижних
частот представляет собой так называемый линейный детектор
(детектор огибающей). Поскольку результат линейного детектиро¬
вания не зависит от фазы сигнала, такой детектор называют неко¬
герентным. Линейное детектирование используется при приеме AM
сигналов (п.2.5). *
Важнейшая характеристика любого нелинейного преобразова¬
ния суммы сигнала и помехи — сопровождаемое им изменение от¬
ношения сигнала к помехе h. Полезной составляющей при детекти¬
ровании является y(t), выделяемая фильтром нижних частот. Вы¬
ходная помеха создается низкочастотными флуктуациями, т. е. про¬
цессом уНч(0- Процесс на выходе ФНЧ Y (/) = — A(t) пропорци-
л
онален огибающей воздействия (где — — коэффициент переда-
я
гг
чи детектора). Положим— = 1. Тогда ш(У)=а»(Л) и при h~%> 1
я
стремится к нормальному закону сЛ«/40 иО(Л)«о? • Отношение
— 94 —
Поскольку уич = 0, то Y = у. Средняя мощность низкочастотной
составляющей
График
при h=О, показан на рис. 2.6.
При
сигнала к помехе на выходе детектора й* (по напряжению) мож¬
но определить как отношение приращения среднего значения y(t)
к эффективному значению по¬
мехи
Зависимость h*=f{h) по¬
казана на рис. 2.7 (кривая 1),
из которого видно, что при ма¬
лых значениях /г наблюдается
значительное подавление сиг¬
нала помехой (h*<h).
2.7. Зависимости отношения сигнала
к помехе на выходе некогерентного
(/) и когерентного (2) детекторов
от отношения сигнала к помехе на
входе
2.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
Когерентный детектор как преобразователь с переменными па¬
раметрами. Примером линейного преобразователя с переменными
параметрами может служить когерентный детектор. Его функцио¬
нальная схема приведена на
рис. 2.8. Перемножитель — ли¬
нейная система, коэффициент
передачи которой изменяется
пропорционально опорному на¬
пряжению Uo(t). Включенный
на выходе перемножителя
ФНЧ усредняет поступающее
к нему напряжение для выделения низкочастотной составляющей.
Найдем отклик детектора при случайном воздействии
x(t) = i40cosco0^ + £(*) = [Ло+^(0] cosco0< + V(0sincoof,
где £,(t) — помеха, U(t) и V(t) — ортогональные компоненты
2.8. Когерентный детектор
комплексной огибающей помехи (см. и. 1.6). Опорное напряжение
равно f/Gcos(o)o/—ф). Тогда
Постоянный множитель — представляет собой коэффициент
передачи детектора; для сокращения записи примем его равным
единице. Полезной составляющей является первое слагаемое. Два
последних слагаемых представляют собой низкочастотные флуктуа¬
ции выходного напряжения */Нч(0- Так как U к V_ имеют нормаль¬
ное распределение -вероятностей с дисперсией U2 = V2 =а? , то и
их сумма у*гч_(/) также_имеет нормальное распределение с диспер¬
сией yl4 = U2 cos2<p +l/2sin2<p = о\. Отметим, что мощность вы¬
ходной помехи не зависит от сдвига ср. Следовательно, плотность
вероятности процесса у может быть записана в виде
(2.21)
Отношение сигнала к помехе при когерентном детектировании.
Отношение сигнала к помехе на выходе когерентного детектора
Величина Л* зависит от фазового сдвига ф опорного напряжения
относительно принимаемого и достигает максимума при ф=0. Важ¬
ная особенность когерентного детектора — линейная зависимость
между h* и /г, т. е. подавление сигнала помехой отсутствует. Для
сравнения с некогерентным детектором, рассмотренным в п.2.3,
эта зависимость показана кривой 2 на рис. 2.7. Из сопоставления
видно, что отношение сигнала к помехе h* при когерентном детек¬
тировании всегда выше, чем при некогерентном, однако при h^> 1
различие в результатах детектирования практически отсутствует.
2.5. НЕПРЕРЫВНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Понятие о модуляции. При непрерывной (аналоговой) модуля¬
ции воздействие x(t), являющееся в этом случае модулирующим
сигналом или сообщением a(t), взаимодействует с переносчиком
/(/), который генерируется в самом преобразователе.
- 96 —
Переносчик — чаще всего детерминированное колебание и мо¬
жет быть представлен функцией времени, определяемой п пара¬
метрами: f(t, си, (12,..., <tn)■ Как правило, эта функция периодична
и потому имеет дискретный спектр (п. 1.2). Наиболее распростра¬
нены гармонический и импульсный переносчики. Первый из них —
гармоническое колебание
(2.22)
которое определяется тремя параметрами: амплитудой А0, началь-^
ной фазой фо и частотой ©0- Второй — периодическая последова¬
тельность импульсов
(2.23)
где fi(t) — функция, описывающая форму одиночного импульса.
Эта последовательность описывается тремя параметрами, непо¬
средственно входящими в (2.23) — амплитудой (высотой) А0, на¬
чальной фазой (сдвигом относительно выбранного начала отсче¬
та) to и частотой следования f (или непосредственно периодом
* О
следования Го) импульсов, а также длительностью тио и в общем
случае другими параметрами формы импульса МО- Чаще всего
(2.23) —последовательность однополярных прямоугольных импуль¬
сов, определяемая лишь перечисленными четырьмя параметрами
(см. рис. 1.1). Однако МО может быть, например, и отрезком гар¬
монического колебания с дополнительными параметрами — часто¬
той и фазой заполнения импульса. _
В некоторых системах используются так называемые шумовые
переносчики, представляющие собой случайный процесс. Роль па¬
раметров переносчика в этом случае играют числовые характери¬
стики случайного процесса.
Модуляция состоит в изменении одного или нескольких пара¬
метров переносчика в соответствии с воздействием. Модулирован¬
ный сигнал s(0, представляющий собой отклик y(t) преобразова¬
теля на воздействие x(t)=a(t), в общем случае имеет вид:
(2.24)
где сн(7) = Ф*[а(7)] представляет собой i-й модулированный пара¬
метр (Ф« — оператор преобразования i-ro параметра). Изменения
модулированного параметра, как правило, пропорциональны воз¬
действию. Оператор преобразования модулированного параметра
в этом случае имеет вид
(2.25)
где Дон — девиация i-го параметра. Так обстоит дело, в частности,
при наиболее распространенных видах модуляции рассмотренных
выше гармонического и импульсного переносчиков по одному па¬
раметру.
4—562 — 97 —
Из сказанного, в частности, из соотношения (2.24) следует, что
осуществляющий модуляцию преобразователь, который мы будем
называть модулятором, представляет собой четырехполюсник с пе¬
ременными параметрами. При шумовом переносчике оператор пре¬
образования содержит случайную составляющую.
Соответствие пространств A, S при модуляции детерминирован¬
ного переносчика взаимно однозначно, а при шумовом переносчи¬
ке—взаимно однозначно по определенным параметрам (п.2.1).
Модуляция сопровождается преобразованием частотного спектра
и динамического диапазона (гл. 3). При этом, как правило, Fs>Fa
и векторы s размещаются в пространстве с большей размерно¬
стью, чем векторы а.
Виды модуляции. Для гармонического переносчика возможны
три вида модуляции: амплитудная (AM), фазовая (ФМ) и частот-
пая (ЧМ), когда модулированные параметры имеют вид
соответственно. Модулированные сигналы имеют вид:
(2.26)
(2.27)
; (2.28)
(2.28) вытекает из общих соотношений, связывающих фазу коле¬
бания 0(0 и его частоту со(^):
Для импульсного переносчика возможны четыре вида модуля¬
ции: амплитудно-импульсная, или высотно-импульсная (АИМ),
фазо-импульсная, или время-импульсная (ФИМ)4 широтно-им¬
пульсная или модуляция ,по длительности (ШИМ) и, наконец, ли¬
бо частотно-импульсная (ЧИМ), либо интервально-импульсная
(ИИМ).
Воздействие сообщения на модулируемый параметр по уста¬
новленному закону, например (2.25), может повлечь за собой из¬
менения других параметров — в общем случае по другим законам.
Например, частотная модуляция гармонического переносчика со¬
провождается изменением начальной фазы, и наоборот, см. (2.27),
(2.28). Однако одновременное воздействие на несколько парамет¬
ров (не обязательно по одинаковым законам) может осущест¬
вляться и преднамеренно. В этом случае модуляция называется
смешанной. Возможны, например, амплитудно-частотная и ампли¬
тудно-фазовая модуляции гармонического переносчика. При мно¬
гоканальной передаче на разные параметры могут воздействовать
различные сообщения.
— 98 —
Иногда модуляция осуществляется в несколько этапов: оперва
исходное сообщение модулирует некоторое поднесущее колебание,
затем модулированный сигнал воздействует на основной (перенос¬
чик. Примерами могут служить система ЧМ—AM, в которой сооб¬
щение a{t) модулирует поднесущее колебание по частоте, а затем
ЧМ колебание модулирует основной 'переносчик по амплитуде,
AM—ЧМ, ШИМ—ФМ и т. д. Некоторые системы многоступенной
модуляции (например, AM—AM, АИМ—AM) эквивалентны одно-
ступенной модуляции сообщением a(t) некоторого условного пере¬
носчика, который можно сформулировать, модулируя переносчиком
первой ступени переносчик следующей ступени.
Значение немодулированного параметра щ в (2.25) в частном
случае может быть нулевым. Полагая, например, Л0 = 0, в (2.26)
получаем так называемую балансную амплитудную модуляцию
(БАМ), при которой
Балансный модулятор — линейный безынерционный четырех¬
полюсник. Модуляторы при AM и АИМ являются преобразовате¬
лями с линейным приращением. В общем же случае линейность
приращения параметра при модуляции (2.25) еще не означает, что
в качестве модулятора можно использовать преобразователь с ли¬
нейным приращением. Безынерционность преобразования пара¬
метра (2.25) также не означает безынерционности преобразовате¬
ля. Например, при ЧМ отклик модулятора s(t), как видно из (2.28),
зависит не только от текущего, но и от предшествующих значений
воздействия a(t).
Детектирование. Непрерывной модуляции при передаче соответ¬
ствует детектирование (демодуляция) при приеме. Соответствую¬
щий преобразователь называют детектором (демодулятором). При
детектировании воздействием x{t) является преобразованный кана¬
лом связи модулированный сигнал s* (t), а откликом y{t) — при¬
нимаемое сообщение a* (t) (детектированный сигнал).
При s* (0 = s(t) откликом детектора на s(t) в идеальном слу¬
чае должно быть сообщение a(t), воздействующее на модулятор
(оператор детектора при этом обратен оператору модулятора:
ФД=Ф“!), или сообщение, -смещенное во времени и измененное в
масштабе, Ka{t—4). Смещение во времени вызвано инерционно¬
стью детекторов. При линейных приращениях одного параметра
детектор в идеальном случае выделяет именно его изменения.
Соответствие пространств S*“*A* при детектировании однознач¬
но, но соответствие S*«-A* как правило, неоднозначно.
2.6. ДИСКРЕТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ И КОДИРОВАНИЕ
Преобразования при передаче дискретных сообщений. Преобра¬
зование дискретного сообщения A(t) в сигнал S(t) может быть
описано как преобразование та-ичной последовательности {Aj}
4* — 99 —
элементов сообщения Aj = a в т8-ичную последовательность {Si}
элементарных сигналов S* = s. Элементы сообщения а = 0,та—1,
как правило, импульсы постоянного тока. Элементарные сигналы
s=0, 1,..., ms—1 в зависимости от используемого канала могут
представлять собой колебания самого различного вида. Нумерации
позиций преобразуемой / = —1, 0, 1,... и преобразованной
f = ..., —1, 0, 1,... последовательностей в общем случае различны
(на k позиций {Aj} приходится п позиций {Si}).
Преобразование принимаемого сигнала S* (t) в принимаемое
сообщение А* (t) может быть описано как преобразование после¬
довательности принимаемых элементарных сигналов {£**}, в пос¬
ледовательность принимаемых элементов сообщения {Л**} . При¬
нимаемые элементарные сигналы s* из-за воздействия (помех при¬
надлежат непрерывному множеству. Принимаемые элементы сооб¬
щения я* принадлежат тому же та-ичному множеству, что и эле¬
менты а, или тому же множеству, но с дополнительным элемен¬
том— символом стирания 0 (смысл стирания пояснен в п. 2.1). Та¬
ким образом, в общем -случае а* = 0,..., та—1, 0. Нумерация пози¬
ций принимаемых последовательностей /*, /* за счет потери син¬
хронизации может случайным образом отличаться от нумерации
передаваемых последовательностей i, j. Однако в дальнейшем син¬
хронизация будет полагаться идеальной (i* = i; j* = /').
Преобразования {S*} {Л}} обычно выполняются
в два этапа: кодирование и дискретная модуляция при передаче,
решение по отдельным элементарным сигналам и декодирование
при приеме.
Кодирование и декодирование. Кодированием называется ото¬
бражение дискретного сообщения сочетаниями кодовых символов.
При кодировании та-я последовательность {А3} преобразуется в
ть-ю последовательность {В*} кодовых символов Bi=b. Множест¬
во возможных кодовых символов Ь — О, ..., тъ—1 называют кодо¬
вым алфавитом, а их количество ть — основанием кода. Электри¬
ческое представление символов bi(t) роли не играет, но как пра¬
вило, они представляют собой импульсы постоянного тока (как и
элементы сообщения). В общем случае тъфша. Если 1ф], то раз¬
личаются и скорости следования элементов сообщения va и кодо¬
вых символов vb. Отличительная особенность кодирования — нали¬
чие связей между позициями (памяти при преобразовании). Это
значит, что при кодировании либо один элемент воздействия опре¬
деляет 'несколько символов отклика, либо один символ отклика
зависит от нескольких элементов воздействия. Таким образом, при
кодировании изменяется построение дискретной последователь¬
ности.
Декодирование имеет целью восстановление сообщения по при¬
нимаемым кодовым символам. При этом последовательность {В*}
принимаемых кодовых символов В* = Ь* преобразуется в после¬
довательность {Л|} . Множество принимаемых кодовых симво¬
— 100 —
лов может содержать символ стирания, таким образом, в общем
случае Ь* = 0, 1, ..., тъ—1, 0.
Устройства, осуществляющие кодирование и декодирование, на¬
зывают соответственно кодером и декодером. Для задания упоми¬
навшихся выше связей эти устройства должны обладать памятью.
Как правило, это нелинейные логические устройства.
В зависимости от характера связей, т. е. памяти при преобра¬
зованиях, различают блочное и цепное кодирование.
Блочные коды. При блочном кодировании последовательность
элементов сообщения {а^ разбивается на отдельные блоки aj, ко¬
торые называют отдельными сообщениями (или просто сообще¬
ниями, если не требуется подчеркнуть их отличия от всей после¬
довательности {aj}). Каждому сообщению а сопоставляется блок
кодовых символов, называемый кодовой комбинацией р. Последо¬
вательности {aj} и {bi} в этом случае могут рассматриваться как
последовательности сообщений {aj-} и кодовых комбинаций {рЛ
соответственно.
Множество всех кодовых комбинаций называют блочным ко¬
дом. В силу взаимной однозначности преобразования {dj}-^{bi}
число кодовых комбинаций равно числу всех возможных сообще¬
ний К. Правило блочного кодирования в общем случае определяет¬
ся кодовой таблицей, содержащей К соответствий а*-—р. В частных
случаях оно может быть сформулировано более компактно. Пра¬
вило декодирования в общем случае сложнее, так как должно пре¬
дусматривать не только отождествление каждой принимаемой ком¬
бинации jjy с одним из сообщений а, но и установление границ жом-
бинаций в последовательности { b\) (фазирование комбинаций).
Обычно все отдельные сообщения содержат одинаковое число
элементов k. Это число называют длиной сообщения. Условимся
нумеровать позиции элементов в каждом сообщении справа нале¬
во: (аи-ъ dh-2,Яо). При этом удобно элементы aj рассматривать
как цифры, а сообщения — как ^-разрядные числа та-ичной систе¬
мы счисления:
( ak—V • * •уао)<—ma 1 "Ь . . . aom°a — а- (2.29)
Обычно на позициях сообщения возможны любые сочетания
элементов. В этом случае К = т* и a = 0, 1,..., К—1. Так, при
ma= 10, & = 4 имеем сообщения 0000—0, 0001 1, 0002——2, ...,
9999—*9999, при ша — 3, &=4 имеем сообщения 0000—0, 0001——1,
0002—2, 0010*-—3, ..., 2222—80 (числа приведены в десятичной
записи).
Кодовые комбинации даже и при одинаковых длинах сообще¬
ний могут содержать одинаковые или различные числа кодовых
символов, называемые длинами кодовых комбинаций.
Равномерные коды. Если все кодовые комбинации имеют одну
И ту же длину п, то блочный код называют равномерным, а число
п — длиной кода. Это наиболее распространенный класс кодов.
— 101 —
При заданном числе кодовых комбинаций К длина кода долж¬
на быть такой, чтобы число N — т* всех возможных ть-ичных
/г-наборов подчинялось условию N^K. Для К=т* это условие
принимает вид m* < т" или
(2.30)
(здесь и в дальнейшем через log обозначен двоичный логарифм,
применение которого ib ряде случаев удобнее, чем десятичного lg
или натурального In). При N>K существует К кодовых, или разре¬
шенных, и N—К запрещенных «-.наборов. В этом случае ^-мерное
пространство сообщений отображается в подпространство «-мер¬
ного пространства сигналов. Для того чтобы при кодировании не
было нарастающих задержек с одной стороны и простоев канала с
другой, длительности сообщения и кодовой комбинации должны
быть одинаковыми [— = —)• Деля обе части (2.30) на эти дли-
\va Vb I
тельности, имеем
(2.31)
Позиции кодовых комбинаций, а также запрещенных «-набо¬
ров. условимся нумеровать справа налево, как и в сообщениях.
Тогда р=(6„_ 1,..., Ь0). Кодовую комбинацию р, отображающую со¬
общение а=0,..., К—1, будем обозначать р(а) или просто пола¬
гать р(а> = а.
Простейшее правило равномерного блочного кодирования при
та=£ть основано на перезаписи ^-разрядных «га-ичных чисел а
(2.29) в /«ь-ичную систему счисления:
(2.32)
При этом кодовые комбинации р(а) = а составляются из цифр
«-разрядных чисел (2.32). Так, двоичная [та = 2) последователь¬
ность {а,}, разбитая на блоки длины &=4, может быть закодиро¬
вана в пятеричную (ягь = 5) последовательность {bi} с помощью
блочного кода длины « ^ 4 = 1,72 см. ф-лу (2.30). Для это-
log 5
го достаточно четырехразрядные двоичные числа представить двух-
разрядными пятеричными. Пример такого кодирования:
■ {а}} 1001 1110 0000 0100 1100 1000 1111 0001...
Десятичное
представление 9 14 0 4 12 8 15 1...
{bi} 14 24 00 04 22 13 30 01...
представлен на рис. 2.9 (при этом отклик кодера b(t) смещен во
времени относительно воздействия a(t), так как 7-я кодовая ком¬
бинация Pj может быть сформирована только после поступления
всех элементов /-го сообщения а/).
— 102 —
При декодировании равномерных блочных кодов разграничение
принимаемых комбинаций трудностей не (вызывает, так как при
идеальной синхронизации последовательностей {&*} и {Ь-} доста¬
точно установить границу между одной парой комбинаций. Прави¬
ло декодирования в общем случае задается таблицей, в которой
указывается, какие принимаемые я-наборы закрепляются за каж¬
дой из К кодовых комбинаций; смысл этой таблицы поясняет
рис. 2.1. При этом п-мерное пространство сигналов отображается
в ^-мерное пространство сообщений. Общее число принимаемых
/г-наборов N* = N при невозможности стираний и N*=(mb+ 1)п
при возможности стираний.
Неравномерные коды. При неравномерном кодировании раз¬
личные комбинации имеют различные длины. При этом кодирова¬
ние должно обеспечить возможность однозначного разграничения
комбинаций при декодировании, по крайней мере, при отсутствии
ошибок или стираний. Такая возможность обеспечивается, если ни¬
какая «кодовая комбинация не совпадает с началом какой-либо
другой кодовой комбинации.
Этого проще всего добиться, если один из кодовых символов
использовать в качестве разделительного и помещать его в конце
каждой кодовой комбинации. Примером может служить троичный
(ть = 3) код Морзе. Его кодовые комбинации (буквы) составляют¬
ся из символов 0 (точка), 1 (тире) и заканчивается символом 2
(пробел). Например, слово «Москва» кодируется последовательно¬
стью 11211120002101201120122 (22 означают пробел между слова¬
ми). Вместо специального разделительного символа можно закан¬
чивать все кодовые комбинации сочетанием кодовых символов, ко¬
торое ни в одной комбинации на других позициях не встречается.
Примером может служить код Морзе в двоичном представлении,
кодовые комбинации которого составляются из сочетаний 10 (точ¬
ка), 110 (тире) и заканчиваются дополнительными символами 0
(пробел).
Однозначности разграничения можно добиться и без раздели¬
тельных символов или сочетаний (такие коды называют неприво¬
димыми). Для этого .следует представить выбор кодовых комбина-
2.9. «Пример равномерного блочного кодирования
— 103 —
дий как выбор пути прохождения по аграфу, называемому кодовым
деревом, от .начала до одной из вершин. Каждая вершина соответ¬
ствует одному из сообщений. Пример кодового дерева для кода
с /С=4 комбинациями приведен на рис. 2.10. Если принять, что каж¬
дое продвижение вверх со¬
ответствует кодовому сим¬
волу 0, а вниз 1, как пока¬
зано на рисунке, то код бу-^
дет состоять из комбинаций
0, 10, МО, 111. Ни одна из
них не совпадает с началом
какой-либо другой. Это свя¬
зано с невозможностью
пройти до какой-либо вер¬
шины графа через какую-
либо другую вершину. Од¬
нако заметим, что при от¬
сутствии разделительных символов или сочетаний ошибка в одном
символе может привести к неправильному декодированию всей
дальнейшей последовательности. Это явление называется размно¬
жением ошибок.
Цепные коды. При цепном (непрерывном) кодировании после¬
довательности {aj}, {bi} не могут быть разбиты на блоки, преоб¬
разуемые независимо. Связи при цепном кодировании носят сколь¬
зящий характер. Множество всех возможных кодовых (разрешен¬
ных) последовательностей {&*} называют цепным кодом.
Простейшим примером может служить дельта-код, символы ко¬
торого формируются по правилу bj = aj где 0— знак вычи¬
тания по модулю mb, тъ^та,. Пусть mb = ma = 8. Тогда, например,
отрезку сообщения {aj}... 074215046 3..., следующему за
нулевыми элементами, соответствует отрезок кодовой последова¬
тельности {bi}... 0756743425.... При декодировании при¬
нимаемые элементы сообщения вычисляются по правилу
= . Поскольку декодирование каждой последующей
позиции опирается при этом на результат декодирования предше¬
ствующей, то дельта-коду свойственно размножение ошибок. Если,
например, в приведенной выше кодовой последовательности четвер¬
тый символ 6 принят как 5, то она будет декодирована как {ajJ
...074104735 2... (подчеркнуты неправильно декодированные
элементы).
Другой пример — относительный код, символы которого форми¬
руются по правилу bj = ajQbj-i. При этом тому же отрезку сооб¬
щения {aj} соответствует отрезок кодовой последовательности
{bi} ... 0 7 5 5 4 1 7 5 1 2... Декодирование относительного кода
осуществляется по правилу а*. = 6)0 6^,. При этом наличие од¬
ной ошибки в { &*} приводит лишь к двум ошибкам в принимаемом
сообщении.
— 104 —
2.10. Пример кодового дерева неприво¬
димого кода
Соотношения bj=aj@a,j-4; bj=a3@bj-А являются рекуррентны¬
ми. Цепные коды, символы которых формируются по рекуррентным
соотношениям, называют рекуррентными.
Дискретная модуляция и решение. Второй этап преобразования
дискретного (сообщения в сигнал — дискретная модуляция. При
ней закодированное сообщение b(t), т. е. последовательность т&-х
кодовых символов bi(t) преобразуется в сигнал s(t), состоящий из
ms-x элементарных сигналов S{(t). Последние отличаются от кодо¬
вых символов лишь электрическим представлением. Таким обра¬
зом, преобразование каждой Uй позиции последовательности {&*}
при дискретной модуляции осуществляется независимо и состоит в
замене кодового символа bi= 0,..., тъ—1 закрепленным за ним эле¬
ментарным сигналом sM (t) (ms = mb). В частном случае при ди¬
скретной модуляции кодовые символы b{(t) воздействуют на пере¬
носчик /(f). Такая дискретная модуляция подобна непрерывной; ее
часто называют манипуляцией. Однако в общем случае электриче¬
ский характер элементарных сигналов может быть произвольным
и дискретная модуляция может состоять во включении одного из
тъ генераторов. Дискретный модулятор в общем случае — нели¬
нейное устройство, безынерционное относительно дискретного
времени.
Если длительность каждого элементарного сигнала (О
(равная длительности кодового символа bi(t)) составляет Ти, а ши¬
рина его спектра Fs, то каждый сигнал s^{t) может быть пред¬
ставлен последовательностью 2/vtH чисел s^b). При Fs = fB этими
числами могут быть отсчеты сигнала sib)(vAt) » взятые через
интервал Котельникова A t =—-—. Минимальное число отсчетов
1 ^s 1
равно 1 ^Fs = Практически оно обычно не меньше 2
Если база 2/уги^1, то сигналы называют многомерными. Та¬
ким образом сигналы s^(t) могут быть представлены 2/vtH — мер¬
ными векторами 5 , и при преобразовании bi-^Si одномерное
пространство кодовых символов отображается в 2/vtH — мерное
пространство элементарных сигналов. При этом, хотя отсчеты сиг¬
нала могут выбираться из непрерывного множества, пространство
сигналов дискретно.
Операция, обратная дискретной модуляции, называется реше¬
нием, а устройство, ее осуществляющее, — решающим устройст¬
вом. Решение состоит в отождествлении принимаемого элементар¬
ного сигнала s*(f) длительности тш который из-за воздействия
помехи принадлежит непрерывному множеству с одним из воз¬
можных элементарных сигналов s^b) (t) , или, что то же, с одним
из кодовых символов 6=0,..., тъ—1. Принимаемый элементарный
сигнал может быть представлен 2/7вТи-мерным вектором s] не¬
— 105 —
прерывного пространства S*. Это пространство при решении
s* 6* отображается в дискретное одномерное пространство
принимаемых символов В*. Пространство S* может иметь так на-
—>*
зываемую зону стирания. Если st попадает в эту зону, то ре¬
шающее устройство выдает символ стирания 6г-=0. Правило ре¬
шения описывается разбиением пространства S на пгъ или тъ-\т
+1 зон. Очевидно, что решение представляет собой нелинейную
операцию. Решающее устройство — нелинейный преобразователь,
безынерционный относительно дискретного времени.
Прием «в целом». Прием { s*J _» { а*} для блочных кодов мо¬
жет выполняться в один этап. При этом каждый /-й блок s* (/) ,
состоящий из п принимаемых элементарных сигналов s*(0 и сси
ответствующий 7-й принимаемой комбинации [J* , непосредствен¬
но отождествляется с одной из кодовых комбинаций р(а), или,
что то же, с сообщением а. Такое преобразование, представляю¬
щее собой объединение решения и декодирования, называется при¬
емом «в целом», в отличие от ранее рассмотренного посимвольно¬
го приема, при котором решение сперва принимается по каждому
символу, а затем по их блоку. Если длительность каждого сигна¬
ла s(a) (/) (равная длительности кодовой комбинации) Т = пхИу а
ширина спектра Fs> то принимаемый сигнал может быть представ¬
лен 2FsT-MepuuM вектором s*. Таким образом, при приеме в це¬
лом 2FsT-Mepuoe пространство S* принимаемых сигналов преобра¬
зуется в /(-мерное пространство А* принимаемых сообщений. Это
пространство также может иметь зону стирания. Правило приема
«в целом» описывается разбиением пространства S* на К или
Л'-М зон.
Передача {aj}-+{bi} при блочном кодировании также может
выполняться в один этап. При этом каждому /-му сообщению aj
сопоставляется сигнал s(ya)(f), a=0,..., К—1. Если длительность
каждого сигнала (равная длительности сообщения) состав¬
ляет Т, а ширина спектра Fs, то каждый такой сигнал может быть
представлен 2РвГ-мерным вектором. При этом сигналы s^a)(t) ана¬
логичны кодовым комбинациям $j, а 2FST — длине кода п. Дис¬
кретное пространство S, в которое отображается при этом /(-мер¬
ное пространство А, является подпространством непрерывного
2/7в7,-мерного пространства. Рассматриваемое преобразование мо¬
жет быть названо кодированием. Его можно представить так же,
как последовательность двух операций — кодирования с повыше¬
нием основания от тпа до K—rnka и дискретной модуляции К-ич-
ными сигналами. Естественно, что прием при описанном кодиро¬
вании может быть только приемом «в целом»; его в этом случае
можно назвать декодированием.
Техническая реализация преобразований в один этап много
сложнее, чем в два.
— 106 —
2.7. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ, КВАНТОВАНИЕ
И КОДИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ
Дискретизация и квантование. Методами передачи дискретных
сообщений, рассмотренными в п. 2.6, можно пользоваться и при
передаче непрерывных сообщений, если провести их дискретиза¬
цию по времени и по значениям.
Первая из указанных операций обратима, если непрерывная
функция времени a(\t) заменяется последовательностью своих от¬
счетов {aj} или отсчетов огибающей и фазы (или ортогональных
компонент комплексной огибающей), взятых в соответствии с тео¬
ремой Котельникова. Для простоты в дальнейшем будем полагать
спектр сообщений начинающимся с нулевой частоты и рассматри¬
вать последовательность отсчетов {aj, взятых через интервал, не
большийAt= . При этом отсчеты aj принадлежат непрерывно-
а
му множеству. Дискретизация по времени осуществляется ампли¬
тудным импульсным модулятором (линейный безынерционный
четырехполюсник с переменными параметрами). Обратная опера¬
ция, полностью восстанавливающая функцию, как следует из тео¬
ремы Котельникова, должна представлять собой пропускание по-
зх
следовательности отсчетов через фильтр низкой частоты с К (со) ==—
СОв
для соусов и /С(со) = 0 для (о>|(ов- Практически такой преобразова¬
тель реализован быть не может [2]. Поэтому в реальных условиях
можно говорить лишь о приблизительном восстановлении непре¬
рывной функции после дискретизации по времени.
Дискретизация по значениям, или квантование непрерывного
сообщения состоит в замене, по тем или иным правилам, его зна¬
чений, принадлежащих непрерывному множеству, дискретными
значениями. Чаще всего при квантовании шкала возможных зна¬
чений сообщения разбивается на равные интервалы (квантование
с равномерным шагом Да) и непрерывное значение заменяется
ближайшим дискретным. Однако в общем случае шаг шкалы
квантования может быть неравномерным и непрерывное значение
может заменяться не ближайшим дискретным. Во всех случаях
каждому дискретному значению соответствует множество непре¬
рывных, поэтому операция квантования является необратимой.
Искажения, возникающие при квантовании, часто характеризуют
так называемым шумом квантования g(t), понимая под ним раз¬
ность исходного a(t) и квантованного aV (t) сообщений. Шум
квантования представляет собой пример детерминированных, но
не компенсируемых искажений (типа отсечки). Очевидно, чем
меньше шаг шкалы квантования, тем меньше шум квантования.
Пример квантования с равномерным шагом и выбором ближай¬
шего дискретного значения без дискретизации по времени приве-
— 107 —
ден на рис. 2.11. Чаще квантование осуществляется после дискре¬
тизации по времени. Квантование осуществляет нелинейный безы¬
нерционный четырехполюсник с постоянными параметрами. Его
2Л1. Пример квантования с равномерным шагом без
дискретизации времени
амплитудная характеристика представлена (применительно к рас¬
смотренному примеру) на рис. 2.12. При приеме квантованного со¬
общения последнее в ряде случаев пропускается через фильтр низ¬
кой частоты для сглажива¬
ния. Сглаживание можно
рассматривать в известной
мере как операцию, парную
(но ни при каких условиях
не взаимообратную) кван¬
тованию.
Дискретизированное по
времени и квантованное со¬
общение может быть пред¬
ставлено дискретной после¬
довательностью { ау } ; воз¬
можные значения а] мо¬
гут быть обозначены цифра¬
ми 0, 1, . . ., та— 1, где
та — число дискретных зна¬
чений. Если при однополяр¬
ном квантованном сообще-
2.L2. Пример амплитудной характе¬
ристики квантизатора
— 108 —
нии шкала дискретных значений начинается с нуля и имеет равно¬
мерный шаг, то af пропорциональны обозначающим их цифрам.
Последовательность ( а*} может быть подвергнута дальнейшим
преобразованиям, рассмотренным в п. 2.6. Однако первоначальное
кодирование может и (совмещаться с дискретизацией и квантова¬
нием. Рассмотрим два наиболее распространенных примера дис¬
кретизации, квантования и первоначального кодирования непре¬
рывных сообщений — кодово-импульсную (КИМ) и дельта-моду¬
ляцию.
Кодово-импульсная модуляция. КИМ складывается из трех
операций — дискретизации по времени в соответствии с теоремой
Котельникова, квантования отсчетов и кодирования квантованных
отсчетов блочным равномерным двоичным кодом. При этом каж¬
дый отсчет кодируется в одну комбинацию представлением ото¬
бражающей его та-ичной цифры в двоичной (тв =2) системе
счисления. Длина кода определяется в соответствии с (2.30), при
этом n^logtria (так как k=l). Для полного использования кода
число квантованных значений та = К обычно выбирают тпв—2п.
Для речевых сообщений чаще всего та = 32, 64, 128 или 256, что
— 109 —
2.13. Пример преобразований ори К'И(М
соответствует п = 5, 6, 7 или 8. Прием при КИМ состоит в деко¬
дировании квантованных отсчетов по принимаемым комбинациям
.и восстановлении непрерывности времени (пропусканием^кванто¬
ванных отсчетов через ФНЧ). Пример описанных преобразований
при та = 8, п = 3 приведен на рис. 2.13.
Дельта-модуляция. Дельта-модуляция складывается из дискре¬
тизации по времени, принцип которой поясняется ниже, кванто¬
вания дискретных отсчетов, при котором каждый последующий
квантованный отсчет отличается от предыдущего на ±Да (где
А а — шаг шкалы квантования) и кодирования квантованных от¬
счетов цепным двоичным дельта-кодом (п. 2.6). Квантование в дан¬
ном случае осуществляется построением ступенчатой функции
яЛ (t) таким образом, что в каждый дискретный момент времени
осуществляется сравнение последней с сообщением a(t). При
яЛ (0<а(0 ступенчатая функция увеличивается, а при
аА (t)>a(t) — уменьшается на Да (см. рис. 2.14). При этом
2Л4. Преобразование сообщения при дельта-моду¬
ляции
дельта-кодирование осуществляется вычитанием предшествующе¬
го значения а л (/) из последующего по правилам обычной ариф¬
метики. Для декодирования последовательности b(t) достаточно
проинтегрировать ее. Восстановленная ступенчатая функция аЛ (/)
может быть сглажена фильтрацией. Схема устройств, выполняю¬
щих указанные действия, приведена на рис. 2.15. Интервал дис¬
кретизации времени At выбирается так, чтобы ступенчатая функ¬
ция aL{t) успела следовать за изменениями сообщения a(t). Ес¬
ли можно считать, что максимальное значение крутизны измене-
— по —
ния сообщения составляет la'^UaKc, то для этого необходимо,
чтобы At\a'(t) |макс^Ая. Если практически максимальное значе¬
ние сообщения составляет | а (0 | макс и сообщение однополярно, то
Д I ^ I а (^) 1макс .
та \а' (0 |макс
2.15. Схема устройств, осуществляющих дельта-мо¬
дуляцию и детектирование
Фонемный вокодер. Упомянем еще о специфическом способе
кодирования непрерывных сообщений, применяющемся в так на¬
зываемой синтетической телефонии. Он состоит в представлении
речевого сообщения последовательностью фонем, представляющих
собой элемент устной речи, подобно тому, как буква-элемент пись¬
менного сообщения. Если требуется передать лишь содержание ре¬
чи (без индивидуальных особенностей), то при кодировании уста¬
навливается, какой из заранее отобранных фонем соответствует
данный отрезок сообщения, и тем или иным способом кодируется
указание этой фонемы (например, ее номер). Прием состоит в вос¬
становлении элементарного звука по полученным указаниям о фо¬
неме. Такого рода система представляет собой одну из разновид¬
ностей так называемых вокодеров (кодеров голоса).
g МОДУЛИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ
3.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Чтобы правильно выбрать канал связи для передачи по нему
модулированных сигналов, необходимо знать такие характеристи¬
ки последних, как пиковая и средняя мощность, а также энергети¬
ческий спектр. Эти характеристики модулированных сигналов от¬
личаются от аналогичных характеристик сообщений, которыми
производится модуляция. Для различных видов модуляции соот¬
ношения между характеристиками сообщения и модулированного
сигнала различны. Например, как показано ниже, ширина спект¬
ра сигнала ЧМ больше, чем ширина спектра сигнала AM, хотя
модуляция производится одним и тем же сообщением.
Сообщения представляют собой некоторые случайные процес¬
сы, поэтому сигналы, получающиеся в результате модуляции, так¬
же являются случайными, и для отыскания упомянутых выше ха¬
рактеристик сигналов следует использовать методы теории слу¬
чайных процессов, изложенные в гл. 1. Такое рассмотрение для
наиболее распространенных видов модуляции проведено в п.3.6.
Однако в подавляющем большинстве случаев более наглядное
представление о свойствах модулированных сигналов можно по¬
лучить, предположив, что модуляция производится некоторыми
детерминированными функциями, такими, как гармоническое ко¬
лебание или периодическая последовательность импульсов извест¬
ной формы. Эти функции можно рассматривать, как отдельные
реализации из ансамбля возможных сообщений. Математическое
описание модулированного сигнала в таком случае упрощается,
так как спектр модулированного сигнала можно определить через
преобразование Фурье.
Модуляцию сообщением, представляющим собой гармониче¬
ское колебание a(£)=cos£2t будем называть тональной.
При модуляции сложной функцией для простоты будем пола¬
гать, если не делается специальных оговорок, что минимальная
частота в спектре модулирующей функции равна нулю.
Рассматривая дискретную модуляцию (или манипуляцию), в
качестве типичного детерминированного сообщения удобно при¬
— 112 —
нять периодическую последовательность прямоугольных импуль¬
сов. Помимо математической простоты, этот выбор оправдан тем,
что такое сообщение обычно используется при испытании и на¬
ладке систем передачи на практике.
В дальнейшем будем также предполагать, что модулирующее
сообщение a(t) нормировано таким образом, что
—i<;a(f)<;i,
так как такая нормировка упрощает запись математических вы¬
ражений модулированных сигналов, не снижая общности рассмот¬
рения. Аналогичным образом при рассмотрении модуляции слу¬
чайными сообщениями удобнЬ допустить, что a(t) = О и a2(t) = 1.
3.2. МОДУЛЯЦИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПЕРЕНОСЧИКА
Как отмечалось ,в п. 2.5, при использовании в качестве перенос¬
чика гармонического колебания f(i) =^0cos((oof+cpo) =^ocos0(/)
возможны три основные ви¬
да модуляции: амплитуд¬
ная, частотная и фазовая, а
также смешанная. Как мо¬
дуляция частоты юо, так и
фазы приводят к измене¬
ниям мгновенной фазы не¬
сущего колебания 0 (/). По¬
этому оба эти вида модуля¬
ции из методических сооб¬
ражений можно объединить
одним названием — угловая
модуляция.
Сигналы AM. Сигнал, мо¬
дулированный по амплиту¬
де непрерывным сообщени¬
ем a(t), можно записать
как
Отношение кА/Ао—т на¬
зывается коэффициентом
глубины модуляции. Чтобы
при передаче сообщений не
было искажений, связанных
с перемодуляцией, величина
3.1. Сигналы амплитудной модуляции при
m<!l и m> 1
т не должна превышать единицы. Сигнал амплитудной модуля¬
ции показан на рис. 3.1.
Пусть сообщение a(t) имеет комплексный спектр Sfl(<o) . Тогда
спектр сигнала AM
Используя формулу Эйлера coso>/ = 0,5 (eia)*+e~ia/) и учи¬
тывая, что
+ 5а(© + ©0)]. (3.2)
Этот спектр показан на рис. 3.2, из рассмотрения которого вид¬
но, что при AM происходит перенос спектра сообщения Sa(со) на
3.2. Спектры сообщения а(/), несущего колебания
Aocosioot и сигнала амплитудной -модуляции
частоту coo- Спектральная плотность амплитуд пропорциональна
глубине модуляции. Ширина спектра сигнала AM в два раза пре¬
восходит ширину спектра сообщения a(t), т. е.
(3.3)
Важным показателем любого вида модуляции, при котором
происходят изменения амплитуды сигнала, является отношение
средней мощности модулированного сигнала к его максимальной
(мгновенной или средней за период несущей частоты) мощности.
— 114 —
Этот показатель характеризует степень использования мощности
передатчика. Чем ближе его значение к единице, тем лучше ис¬
пользование передатчика. Для амплитудной модуляции получаем
следующее соотношение. Соответствующая наибольшей амплиту¬
де средняя за период несущей частоты Г0=2я/со0 мощность
3.3. 'Спектр и форма сигнала балансной ам¬
плитудной модуляции
(3.5)
(3.6)
Заметим также, что низкочастотный сигнал на выходе детек¬
тора определяется изменениями амплитуды входного AM сигнала.
Средняя мощность изменений амплитуды равна мощности боко¬
— 115 —
Средняя мощность сигнала AM при передаче сообщения
a(t) =cosQ/
Таким образом,
что при т= 1 дает РСр/^макс=0,375.
вых полос сигнала и при тональной модуляции составляет
0,5 т2Р0. При tn= 1 она составляет всего третью часть средней
мощности сигнала. Несущее колебание может быть восстановле¬
но в приемнике и поэтому может не передаваться.^ Такая разно¬
видность AM называется балансной амплитудной модуляцией
(БАМ). Спектр и форма сигнала БАМ показаны на рис. 3.3, БАМ
имеет лучшее отношение Рср к Рмакс (при тональной модуляции
оно равно 0,5).
Другой разновидностью AM является однополосная амплитуд¬
ная модуляция (ОАМ). Демодуляция, заключающаяся при AM в
обратном сдвиге спектра сообщения с частоты соо на частоту © = 0,
возможна и в том случае, когда спектр нижних боковых частот
в модулированном сиг¬
нале отсутствует. По¬
этому достаточно пере¬
давать лишь спектр
одной боковой полосы.
В результате модули¬
рованный сигнал имеет
теоретически такую же
ширину спектра, как и
модулирующее сообще¬
ние. Это позволяет в
заданной полосе час¬
тот обеспечить одно¬
временную работу боль¬
шего числа радиостан¬
ций, чем при обычной
AM. Поэтому ОАМ
обычно используется в
многоканальных систе¬
мах связи как средство повышения эффективности использования
полосы частот линии связи (см. гл. 9).
Сигналы угловой модуляции (ЧМ и ФМ). При угловой моду¬
ляции сигнал в общем виде может быть записан как
s(t) = Д, cos 0(0- (3.7)
При частотной модуляции в соответствии с сообщением a(t)
изменяется частота несущего колебания в пределах ± До около ©о*
как показано на рис. 3.4. Наибольшее отклонение частоты Дю на¬
зывается девиацией частоты. Мгновенная частота определяется
как производная фазового угла по времени со (t)=dQ/dt, поэтому
мгновенная фаза сигнала при ЧМ
3.4. Модулирующее сообщение a(t), изме¬
нение .мгновенной частоты переносчика со (*)
и сигнал ЧМ
Последнее выражение показывает, что при ЧМ происходят изг-
менения фазы несущего колебания по закону Асо J a(t)dt. При
a(t) =cos £М.
Величина
называется индексом частотной модуляции и имеет смысл наи¬
большего отклонения фазы в процессе модуляции.
Если несущее колебание модулируется по фазе, то
где Аф — наибольшее отклонение фазы, называемое индексом фа¬
зовой модуляции. При этом мгновенная частота изменяется по
закону
(3.11>
т. е. происходит частотная модуляция. При тональной фазовой
модуляции девиация частоты
(3.12>
и зависит, таким образом, от частоты модулирующей функции.
Заметим, что при ЧМ Асо не зависит от частоты модуляции. При-
изменении амплитуды мо¬
дулирующей функции
прямо пропорционально
изменяются как Аф при
ФМ, так и Асо при ЧМ.
Различное поведение ин¬
дексов частотной и фазо¬
вой модуляции при изме¬
нении частоты £2 показа¬
но на рис. 3.5. Итак, при
тональной угловой моду¬
ляции сигнал можно за¬
писать как
где р = Аф при ФМ и р=Асo/Q при ЧМ. Найдем спектр такога
сигнала.
Заменим в выражении (3.13) косинус суммы двух углов тож¬
дественным тригонометрическим выражением cos (х-\-у) =
= cosa:cosу—sinxsim/. Тогда
3.5. Зависимость индексов частотной и фа>
зовой модуляции от частоты модулирую¬
щей функции
Используя известные разложения:
(3.14)
где /П(Р) — функция Бесселя первого рода п-го порядка от аргу¬
мента р, и выполнив несложные преобразования, получим
(3.15)
Таким образом, при тональной угловой модуляции спектр сиг¬
нала теоретически состоит из бесконечного числа боковых частот,
отстоящих от несущей частоты на ±<Ш. Амплитуда спектраль¬
ной составляющей на частоте соо определяется Jо(р) и при некото¬
рых значениях р может быть равна нулю. Амплитуды боковых ча¬
стот также зависят от р и изменяются так же, как функция Бес¬
селя /ft(p) при изменении порядка k. Графики бесселевых функ¬
ций показаны на рц§. 3.6. Из рассмотрения их при некотором
'фиксированном значении р видно быстрое убывание при k боль¬
ших р. Ясно, что вкладом спектральных составляющих с малыми
амплитудами можно пренебречь. Это означает, что практически
ширина спектра сигнала угловой модуляции ограничена той поло-
— 118 —
3.6. Бесселевы функции
сой частот, в пределах которой амплитуды спектральных состав¬
ляющих Cji=AqJ& (р) превосходят некоторое значение аСмакс, где^
Смаке — наибольшее значение амплитуды боковой частоты,
а — произвольный коэффициент, обычно выбираемый в пределах
0,01^а^0,1. Определяемая так полоса частот вблизи соо назы¬
вается действительной шириной спектра Qs. На рис. 3.7 показана
3.7. Функция /Са (P)=Qs/2Acd при значении а=0,05
зависимость Qs/2Aco = /Ca(p), вычисленная для a=0,05. С доста¬
точной для практических целей точностью она может быть ап¬
проксимирована формулой
Эта зависимость показывает, что при р^>1 действительная ши¬
рина спектра сигнала угловой модуляции
(3.17)
При р<0,5 из графиков рис. 3.6 следует, что /0(Р)~ 1, <МР)~
«0,5р, /2(р) > /3(Р) <С«МР)- Следовательно, существенное зна¬
чение имеют всего три составляющие: несущая частота соо и две'
ближайшие к ней боковые частоты соо±£2, остальными составляю¬
щими ввиду их малости можно пренебречь. Таким образом, при
р<0,5 имеет место
(3.18>
Различие ЧМ и ФМ сигналов. Различие между ЧМ и ФМ про¬
является при изменениях параметров модулирующей функции;
ci(t). Оно обусловлено различным поведением индексов модуля-
3.8. Спектры сигналов фазовой модуляции при различных значениях
модулирующей частоты Q
ции при изменении Q. При ФМ, как следует из ф-лы (3.12), из¬
менение £2 приводит к прямо пропорциональному изменению дей¬
ствительной ширины спектра, как показано на рис. 3.8. При ЧМ„
3.9. Спектры сигналов ЧМ при различных значениях
модулирующей частоты £2=Дсо/р (Лео=const)
— 120 —
когда р»1, изменение Q практически не влияет на Qs. Спектры
сигналов ЧМ при различных значениях Q приведены на рис. 3.9.
Изменение амплитуды модулирующей функции вызывает пропор-
3.10. Спектры сигналов угловой модуляции при раз¬
личных значениях индекса модуляции pi(Q=const)
циональное изменение индекса модуляции как при ЧМ, так и при
ФМ, а значит, и изменение ширины спектра. Это иллюстрирует¬
ся рис. 3.10.
3.3. СМЕШАННЫЕ ВИДЫ МОДУЛЯЦИИ
Предварительные замечания. Рассмотрение смешанной моду¬
ляции представляет интерес с различных точек зрения. В неко¬
торых приборах (например, магнетронах) при изменениях ампли¬
туды колебания наблюдается изменение частоты генерации. Поэ¬
тому при использовании таких устройств в качестве модуляторов
— 121 —
выходной сигнал оказывается модулированным как по амплитуде,
так и по частоте по одному и тому же закону.
Частотная и фазовая модуляции также обычно сопровождают¬
ся паразитной амплитудной модуляцией, возникающей вследствие
.несовершенства реальных модуляторов. Сигналы амплитудной мо¬
дуляции вследствие изменений несущей частоты, обусловленных
нестабильностью частоты задающего генератора передатчика, так¬
же оказываются модулированными как по амплитуде, так и по
частоте.
Как будет показано ниже, при одновременной модуляции по
амплитуде и частоте происходит изменение амплитуд спектраль¬
ных составляющих сигнала, и при определенных условиях некото¬
рые из них могут быть полностью подавлены. Необходимость та¬
кого полного подавления составляющих, образующих нижнюю
(или верхнюю) боковую полосу модулированного сигнала, возни¬
кает при однополосной модуляции (не обязательно амплитудной).
Поэтому смешанная модуляция может рассматриваться как прак¬
тический способ получения сигналов однополосной модуляции.
Смешанную модуляцию, наконец, в определенных условиях
можно использовать как средство ослабления мешающего дейст¬
вия помех. Действительно, если помехи таковы, что они произво¬
дят независимую паразитную модуляцию параметров сигнала, то
применение одновременной модуляции нескольких параметров пе¬
реносчика одним и тем же сообщением и суммирование напряже¬
ний на выходе соответствующих демодуляторов приемника приве¬
дет к ослаблению помехи [47] (см. также п.6.8).
Сигнал смешанной частотной и амплитудной модуляции. Рас¬
смотрим спектры сигналов при смешанной амплитудной и частот¬
ной (или фазовой) модуляции гармонического переносчика. Тогда
один из модулированных сигналов может рассматриваться как
сложное «несущее колебание» для другого сообщения.
Пусть несущее колебание f(t) =AoCOsa)ot модулируется по ча¬
стоте сообщением ai(t). Модулированный сигнал запишем в виде
Если теперь этот сигнал модулируется по амплитуде сообще¬
нием a2(t), то сигнал смешанной амплитудной и частотной моду¬
ляции ЧМ—AM оказывается
Как показано в п. 3.2, сигнал ЧМ (3.19) может быть представ¬
лен суммой гармонических составляющих. При модуляции такого
сигнала по амплитуде сообщением a2(t) около каждой из этих со¬
ставляющих появятся спектры боковых частот, повторяющие
спектр сообщения a2(t). Результирующий спектр при произволь¬
ных функциях ai(t) и a2(t) может иметь очень сложную структу¬
ру, зависящую от U\(t) и a2(t) и параметров модуляции т и Асо.
(3.19)
- 122 —
В частном случае, когда ах=а2 =cosQt, ф-ла (3.20) с учетом вы¬
ражения (3.14) и рекуррентного соотношения Jn-i (р) +Ai+i(p) =
= (2/г/р) (р) может быть записана в виде
. (3.21>
Первая сумма выражает спектр нижней боковой полосы, а
вторая — верхней. Равноотстоящие от несущей частоты боковые ча¬
стоты имеют неодинаковые амплитуды. Наличие этой асимметрии
спектра сигнала на выходе частотного модулятора является при¬
знаком паразитной амплитудной модуляции. Составляющая спект¬
ра сигнала с частотой о)0—для которой выполняется условие
ktn/$ = 1, (3.22)
оказывается полностью подавленной. Для подавления всех состав¬
ляющих на частотах о)0—kQ (£=1, 2, 3...) необходимо осущест¬
влять амплитудную и частотную (фазовую) модуляции по разным
законам. Определение законов модуляции, необходимых для по¬
лучения однополосной модуляции, легко выполняется при исполь¬
зовании комплексного представления сигнала, рассмотренного
в п. 1.6.
Сигнал однополосной AM. Как показано в п. 1.6, комплексный-
сигнал представляет собой комплексную функцию времени, дей¬
ствительная и мнимая части которой связаны преобразованием.
Гильберта друг с другом. Для обратного перехода от комплексно¬
го представления к реальному сигналу необходимо отождествить*
реальный сигнал с действительной (или мнимой) частью ком¬
плексного сигнала. Преобразование Гильберта сигнала x(t) будем
обозначать x(t). Напомним, что спектр комплексного сигнала, т. е.
его преобразование Фурье, равен нулю при о)<0. Поэтому, если
несущее колебание также записывается в комплексной форме, при
модуляции происходит перенос спектра комплексного сообщения
на частоту о)0, т. е. модулированный сигнал имеет однополосный:
спектр.
Рассмотрим амплитудную модуляцию для получения формулы
однополосного сигнала AM.
Если обычный сигнал БАМ записывается в виде s(t)=--
= a(t)A0costi)ot, то комплексный сигнал БАМ выражается форму¬
лой
(3.23>
Пусть сообщение a(t) представляется рядом Фурье
Тогда его преобразование Гильберта в соответствии с форму¬
лой (1.115)
Поэтому комплексное сообщение
Подстановка этого выражения в ф-лу (3.23) показывает, что
спектр сигнала s(t) содержит только частоты озо + о)п- Действи¬
тельно,
(3.24)
Найдем действительную и мнимую части комплексного сигна¬
ла. Представляя в ф-ле (3.23) е1<0|>< =coso)0^+i sinoot получаем
Таким образом, реально существующий сигнал однополосной
AM (ОАМ)
(3.25)
Огибающая этого сигнала, выражающая закон его модуляции
это амплитуде,
(3.26)
Эта функция не совпадает с a(t), поэтому демодуляция сигна¬
ла ОАМ обычным амплитудным линейным детектором сопровож¬
дается большими искажениями.
Сигнал soam {i) можно представить в виде
(3.27)
где А(1) определяется по ф-ле (3.26), а
(3.28)
Таким образом, производя смешанную модуляцию по амплиту¬
де и фазе в соответствии с выражениями (3.27) и (3.28), получим
сигнал однополосной AM.
— 124 —
Сигналы однополосной угловой модуляции. Аналогичным обра¬
зом можно получить сигналы однополосной угловой (частотной
или фазовой) модуляции. Комплексный сигнал угловой модуляции
(3.29)
При фазовой модуляции <р(£) =Д<ра(/). Взяв действительную
часть сигнала s(t), получим
А
(3.30)
При частотной модуляции ф(£)=Дсо J* a{t)dt, поэтому
(3.31)
При тональной модуляции a(^)=cosQ£ a(^)=sinQ£
где р=Дсо/Q — индекс частотной модуляции. Из рис. 3.11, на ко¬
тором показан сигнал ОЧМ, видно, что уже при сравнительно не¬
больших значениях р он имеет глубокую амплитудную модуля-
3.11. Сигнал однополосной частотной модуля¬
ции при Р=1
цию. Максимальная мощность сигнала, соответствующая его наи¬
большей амплитуде ЛМакс=Лоер» равна РМакс = 0,5 А\ е 2Р. Средняя
мощность сигнала за период модулирующей функции Г=2я/£2
где /о(2р) — бесселева функция нулевого порядка мнимого аргу¬
мента (или модифицированная функция Бесселя).
— 125 —
Таким образом, для сигнала ОЧМ получаем
(3.32)
Это отношение быстро падает с ростом р и при р>0,7 оно оказы¬
вается меньше, чем при AM.
Ширина спектра сигнала ОЧМ. В заключение приведем оценку
ширины спектра сигнала однополосной ЧМ при тональной моду¬
ляции a(t)=cosQt. Комплексный сигнал ЧМ тогда может быть
представлен в виде
Реально существующему сигналу однополосной ЧМ соответст¬
вует действительная часть этого выражения
(3.33)
На рис. 3.12 показаны спектры сигналов обычной и однополос¬
ной ЧМ при условии, что оба сигнала имеют одинаковые средние
мощности (р = 3). Видно, что однополосный сигнал имеет несколь¬
ко большую ширину спектра, чем половина ширины спектра обыч¬
ного сигнала ЧМ. Ширина спектра сигнала однополосной ЧМ со¬
ставляет примерно 2/3 ширины спектра сигнала двухполосной ЧМ.
ЗА. СИГНАЛЫ ДИСКРЕТНОЙ МОДУЛЯЦИИ
Форма сигналов при дискретной модуляции. Если сообщение
a(t) может принимать ряд дискретных значений, то параметры пе¬
реносчика при модуляции будут изменяться скачком. Такое скач¬
кообразное изменение параметров называется дискретной модуля-
— 126 —
3.12. Спектры сигналов двухполосной и однополосной ЧМ, имеющих
одинаковые средние мощности (Р=3)
Используем разложение
Тогда
цией или манипуляцией. На рис. 3.13 показано двоичное сообще¬
ние и сигналы при амплитудной, частотной и фазовой манипуля¬
ции, для обозначения которых будем использовать соответственно
ДАМ, ДЧМ и ДФМ.
При ДАМ одному из символов сообщения соответствует ам¬
плитуда несущего колебания 0,5Л0(1—т), а другому 0,5Ло(1+т).
Наиболее часто, однако, используется сигнал с пг= 1; именно та¬
кой сигнал показан на рис. 3.13.
При ДЧМ частота сигнала скачком изменяется на ±Асо око¬
ло о)о- Частоты o)i = о)о +Дсо и о)2 = о)о—Асо в практике радиотеле¬
графии называются частотами «нажатия» и «отжатия». По анало¬
гии с ЧМ можно ввести индекс дискретной частотной модуляции,
определяемый как
(3.34)
где £2 = 2я/7=я/ти — круговая частота манипуляции при переда¬
че периодической последовательности импульсов, ти — длитель¬
ность импульса.
При ДФМ измене¬
ние фазы Аф относи¬
тельно фазы немоду-
лированной несущей
обычно выбирается рав¬
ным я/2. Тогда два
элементарных сигнала
отличаются по фазе на
180°. Как показано в
п. 6.3, такие сигналы
обеспечивают наиболь¬
шую верность переда¬
чи, чем и объясняется
их широкое использо¬
вание. Широкое рас¬
пространение на прак¬
тике получила разно¬
видность фазовой ма¬
нипуляции, называе¬
мая относительной фазовой манипуляцией (ОДФМ). Сигнал
ОДФМ такой же, как при обычной ДФМ. Эти два метода отлича¬
ются правилом манипуляции фазы и способом демодуляции, о чем
более подробно говорится в п. 6.3.
Спектр сигнала ДАМ. Перейдем к рассмотрению спектрально¬
го состава сигналов дискретной модуляции. Будем предполагать,
что она производится двоичным сообщением, представляющим
собой периодическую последовательность прямоугольных импуль¬
сов с периодом Г=2ти:
3.13. Двоичное сообщение a(t) и сигналы ам¬
плитудной, частотной .и фазовой манипуляции
- 127 —
Это двоичное сообщение представляем рядом Фурье
(3.36>
Сигнал ДАМ можно записать в виде
Построенный по этой формуле спектр сигнала ДАМ показан
на рис. 3.14. Его огибающая, показанная пунктиром, представляет
смещенный на юо спектр одиночного импульсного сигнала a(t).
Спектр сигнала ДФМ. Для отыскания спектра сигнала ДФМ
запишем его в виде
s (0 = А0 sin [ю01 + ф0 + Д<р а (/)]]= Л0соэ [Дф а (<)] X
X sin (со0 / + ф0) + А0 sin [Дф а (/)] cos (со01 + Ф0) = А> cos Дф s*n (®о * +
+ ф„) + а (/) Д, sin Дф cos (со01 + Ф0)- (3.38)
Последнее выражение показывает, что сигнал ДФМ может
быть разложен на две квадратурных составляющих: немодулиро-
— 128 —
ЗЛ4. Опектр сигнала амплитудной манипуляции
ванную несущую с амплитудой ЛосоэДф и манипулированную по
фазе составляющую. Используя разложение (3.36), запишем
Спектры сигналов ДФМ для различных значений Д<р показаны
на рис. 3.15. При изменении Л<р от 0 до л/|2 происходит перерас¬
пределение энергии сигнала между несущим колебанием и боко¬
выми составляющими, и при Д<р=я/|2 вся энергия сигнала содер¬
жится только в боковых полосах.
3.15. Спектры сигналов фазовой .манипуляции при
различных значениях Дер
Спектр сигнала ДЧМ. При рассмотрении спектра сигнала
ДЧМ следует различать два способа частотной манипуляции: пе¬
реключение двух независимых генераторов, имеющих частоты coi
и юг, и манипуляция частоты одного генератора. Очевидно, в пер¬
вом случае сигнал ДЧМ является суммой двух сигналов ДАМ с
разными несущими частотами ©i и а2> и в таком сигнале наблю-
5—562 — 129 —
даются скачки фазы в моменты переходов. Во втором случае
мгновенная фаза сигнала является непрерывной.
Для сокращения вычислений при определении спектрального
состава сигнала ДЧМ запишем его в комплексной форме:
где
(3.40)
(3.41)
Графики изменения частоты со (/) и фазы ср(^) при частотной
манипуляции показаны на рис. 3.16. Поскольку <р(^) является пе-
3.16. Изменение частоты и фазы п,ри частотной
манипуляции
риодической функцией, то и —также периодическая и мо¬
жет быть разложена в ряд Фурье
где
Произведя интегрирование с учетом (3.41), получим
(3.42)
Взяв действительную часть сигнала s(t), находим сигнал ДЧМ
На рис. 3.17 показаны рассчитанные по этой формуле спектры
сигналов ДЧМ при различных значениях р. При малых значениях
Р энергия сигнала сосредоточена в полосе частот вблизи соо- Су¬
щественно, что ближайшие бо¬
ковые оказываются больше,
чем при ДАМ. По мере уве¬
личения р энергия сигнала
концентрируется вблизи частот
нажатия и отжатия. Интерес¬
но отметить, что при нецелых
значениях р отсутствуют спект¬
ральные составляющие на ча¬
стотах нажатия и отжатия.
Амплитуды боковых составля¬
ющих при достаточно больших
значениях k убывают обратно
пропорционально №. При час¬
тотной манипуляции с разры¬
вом фазы спектр сигнала яв¬
ляется суперпозицией спект¬
ров двух сигналов ДАМ с не¬
сущими частотами ©i и а>2.
Амплитуды боковых частот в
этом случае убывают обратно
пропорционально их номеру k.
Таким образом, непрерыв¬
ность фазы при манипуляции
приводит к более быстрому затуханию спектральных составляю¬
щих, чем при разрывной фазе, что является практически важным
с точки зрения взаимных помех, а также определения полосы про¬
пускания приемника.
Действительная ширина спектра сигналов дискретной модуля¬
ции может быть определена так, как это делалось в п.3.2 при рас¬
смотрении ЧМ.
3.5. СИГНАЛЫ ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИИ
Особенности импульсной модуляции. Характерной особенно¬
стью импульсных систем передачи является то, что энергия сиг¬
нала излучается не непрерывно, а в виде коротких импульсов,
длительность которых обычно составляет незначительную часть
периода их повторения (см. рис. 1.1). Благодаря этому энергия
б* - 131 -
/3-'
/3 = 1,6
3.17. Спектры сигналов частотной мани¬
пуляции «при различных значениях р
импульсного сигнала во много раз меньше энергии непрерывного
сигнала (при одинаковых пиковых значениях). Различие в энер¬
гиях импульсного и непрерывного сигналов зависит от соотноше¬
ния между длительностью ти и периодом повторения То, т. е. от
скважности у=Т0/хи. Обычно y^I- Большие временные интерва¬
лы между импульсами используются для размещения импульсов
других каналов, т. е. для осуществления многоканальной связи с
временным разделением каналов (см. гл. 9).
Частоту повторения импульсов определяют, исходя из допусти¬
мой точности восстановления непрерывного сообщения при его де¬
модуляции. Минимальное значение частоты повторения импульсов
(3.44)
где Fa — максимальная частота в спектре передаваемого непре¬
рывного низкочастотного сообщения cu(t).
В большинстве случаев высокочастотный сигнал импульсной
модуляции создается в два этапа: сначала сообщение модулиру¬
ет тот или иной параметр периодической последовательности им¬
пульсов постоянного тока (или видеоимпульсов), затем видеоим¬
пульсы модулируют (обычно по амплитуде) непрерывное высоко¬
частотное несущее колебание. Тем самым осуществляется перенос
спектра модулированных видеоимпульсов на частоту несущего ко¬
лебания /о- Энергия высокочастотного импульсного сигнала скон¬
центрирована в полосе частот вблизи несущей f0. Преобразование
непрерывного сообщения в импульсный сигнал при амплитудно¬
импульсной модуляции (АИМ) показано на рис. 3.18. На рис. 3.19
3.1в. Модулированные по амплитуде видеоимпульсы и
сиг.нал AHiM
— 132 -
(3.45)
— 133
показаны модулированные видеоимпульсы, образующиеся при мо¬
дуляции по ширине импульсов (ШИМ) и по фазе импульсов
(ФИМ). Амплитуда сигналов при этих видах модуляции не изме¬
няется.
3.19. Модулированные по ширине (ШИМ) и по фазе
(ФИМ) видеоимпульсы
Спектр сигнала АИМ. Перейдем к рассмотрению спектров сиг¬
налов импульсной модуляции. Будем исследовать лишь спектры
модулированных видеоимпульсов.
При АИМ сигнал записывается в виде
где fi(t) — функция, описывающая одиночный импульс последо¬
вательности.
Немодулированную последовательность видеоимпульсов, вы¬
полняющую роль промежуточного переносчика, можно предста¬
вить рядом Фурье
где Йо=2я/Г0 — круговая частота повторения импульсов. Спектр
сигнала s(t) находится по формуле
Первая сумма, не зависящая от т, представляет собой спектр
немодулированных видеоимпульсов. Амплитудная модуляция вы¬
зывает появление около каждой из составляющих этого спектра
боковых полос, повторяющих спектр сообщения S0(io). Таким об¬
разом, спектр сигнала АИМ представляет собой как бы много¬
кратно повторенный спектр обычной AM, в котором роль «несу¬
щих частот» выполняют гармоники частоты следования импуль¬
сов. Спектр сигнала АИМ при тональной модуляции показан на
рис. 3.20.
Рассмотрение спектра сигнала АИМ позволяет пояснить соот¬
ношение (3.44), определяющее выбор частоты повторения импуль¬
сов. Значение F()Kxa—2Fa определяет то минимальное значение ча¬
стоты повторения, при котором не происходит наложения спект¬
ров соседних боковых полос. Как показано далее, структуру, по¬
добную спектру сигнала АИМ, но несколько более сложную, име¬
ют и спектры сигналов при других видах импульсной модуляции.
Характерной особенностью спектров сигналов импульсной модуля¬
ции является наличие около to=0 составляющих, соответствую¬
щих частотам передаваемого сообщения. Это указывает на воз¬
можность демодуляции фильтром нижних частот, пропускающим
на выход лишь составляющие с частотами от 0 до 2яFa и отфиль¬
тровывающим все остальные. Демодуляция не будет сопровож¬
даться искажениями, если в полосу пропускания ФНЧ не попа¬
дут составляющие ближайшей боковой полосы, т. е. нижней бо¬
ковой полосы около частоты Q0. Из рассмотрения спектра сигна¬
ла АИМ, представленного на рис. 3.20, видно, что искажения при
демодуляции будут отсутствовать, когда спектры соседних боко¬
вых полос не перекрываются, а для этого надо, чтобы частота пов¬
торения импульсов была бы Fo^2Fa. Из этого рассмотрения вы¬
текает также необходимость предварительной фильтрации пере¬
даваемого сообщения a(t) таким образом, чтобы ширина спектра
его ограничивалась некоторой частотой Fa.
Спектр сигнала ЩИМ. Рассмотрим сигнал широтно-импульс¬
ной модуляции (ШИМ). Для определенности будем полагать, что
немодулированные видеоимпульсы имеют прямоугольную форму и
— 134 —
3.20. Спектр сигнала АИМ
длительность ти. За начало отсчета времени примем момент, соот¬
ветствующий середине импульса, так что на интервале, равном
периоду повторения Г0, сигнал
(3.46)
Сигнал (3.46) представлен на рис. 3.19, из которого видно, что
t\ и t2 определяют положение переднего и заднего фронтов каж¬
дого импульса, а длительность импульса ти=/2—1\- Пусть при мо¬
дуляции ширины импульса по закону a(t)=sinQt соответственно
изменяется лишь временное положение переднего фронта импуль¬
са, а положение заднего фронта остается неизменным. Такой вид
модуляции называется односторонней модуляцией длительности
импульса. Обозначим максимальное отклонение переднего фронта
импульса через Дт. Очевидно, Дт^ти. Тогда положения фронтов
импульсов при модуляции выражаются соотношениями
(3.47)
Представим немодулированную последовательность видеоим¬
пульсов прямоугольной формы рядом Фурье. При выбранном на¬
чале отсчета времени
(3.48)
Подставляя (3.47), получаем
(3.49)
Это выражение показывает, что при модуляции коэффициенты
ряда Фурье (3.48) не остаются неизменными, а являются некото¬
рыми периодическими функциями времени. С учетом известного
из теории бесселевых функций соотношения
(3.50)
выражение для сигнала ШИМ приводится к виду
(3.51)
Построенный в соответствии с ф-лой (3.51) спектр сигнала
ШИМ представлен на рис. 3.21. Его рассмотрение показываем
что вообще он имеет более сложную структуру, чем спектр сигна¬
ла АИМ при том же законе модуляции. Теперь около гармоник
частоты повторения импульсов kQ0 имеется теоретически бесконеч¬
ное множество боковых частот kQ0±tnQ (т= 1, 2, ...). Их ампли¬
туды определяются значениями бесселевой функции m-го порядка
от аргумента 2&яДт/(ути), т. е. зависят от соотношения Дт/тю ко¬
торое можно назвать коэффициентом глубины модуляции длитель¬
ности импульсов. Этот же коэффициент Дт/ти определяет и значе¬
ние амплитуды составляющей спектра, имеющей частоту сообще¬
ния Q. Предельное значение Дт/ти=1. При y^I Для составляю¬
щих с небольшим значением k (которые только и следует учиты-
вать* так как амплитуды спектральных составляющих обратно
пропорциональны k) получаем 2&я/у<С1. При малых значениях
аргумента
Следовательно, при сделанных предположениях спектр сигна¬
ла ШИМ на частотах вблизи со=0 совпадает по структуре со
спектром сигнала АИМ. Это означает, что возможна демодуляция
с помощью фильтра нижних частот, причем для устранения иска¬
жений в выходном сообщении должно выполняться условие
Fo^2Fa. Если параметры модуляции таковы, что аргумент бессе¬
левой функции при малых значениях k имеет порядок единиц, то
составляющие спектра с частотами &Qo—имеют заметные ам¬
плитуды, и для устранения искажений при демодуляции необхо¬
димо увеличить частоту повторения импульсов по сравнению с 2Fa.
Спектр сигнала ФИМ. Рассмотрим спектр сигнала фазово-им¬
пульсной модуляции (ФИМ) для случая a(^)=sin£W. Ширина им¬
пульсов при изменении их временного положения остается неиз¬
менной. Пусть при sinQ/>0 импульсы сдвигаются влево от исход¬
ных точек (т. е. в сторону опережения), а при sinQKO — вправо
— 136 —
3.21. Спектр сигнала ШИМ
(в сторону отставания), как показано на рис. 3.19. Тогда изме¬
нение положения фронтов импульсов при ФИМ можно записать
как
Подстановка этих значений в ф-лу (3.48) с учетом (3.50) при¬
водит к следующему выражению для сигнала ФИМ:
В общем случае сигнал ФИМ имеет более сложную спектраль¬
ную структуру, чем сигнал АИМ. Амплитуды спектральных со¬
ставляющих боковых частот &Qo±mQ зависят от тф=2А4/То. Если
скважность то предельное значение т,ф близко к единице.
Аргумент бесселевых функций при малых значениях k оказывает¬
ся большим (&ятф>1), амплитуды составляющих с частотами
kQ0—mQ (m> 1) достаточно велики и пренебречь ими нельзя.
Чтобы исключить их попадание в полосу пропускания ФНЧ при
демодуляции, необходимо увеличить частоту повторения импуль¬
сов F0 по сравнению с F0=QFa.
Второе обстоятельство, на которое следует обратить внимание,
заключается в том, что составляющая спектра с частотой модуля¬
ции Q не точно соответствует модулирующему напряжению a(t) =
= sinQt: она имеет временное запаздывание и ее амплитуда про¬
порциональна sinQ ти/2, т. е. зависит от частоты модуляции Q.
При демодуляции идеальным ФНЧ это служит причиной возник¬
новения частотных искажений в выходном напряжении (ослабля¬
ются нижние частоты). По этим причинам демодуляция сигнала
ФИМ осуществляется путем преобразования ФИМ в ШИМ или в
амплитудно-фазовую импульсную модуляцию (АФИМ) с после¬
дующим выделением спектра сообщения с помощью фильтра ниж¬
них частот.
Ширина спектра сигналов ИМ. Дадим оценку ширины спектра
высокочастотных сигналов импульсной модуляции. Из соотноше¬
ния (1.51) следует, что ширина спектра радиоимпульса
(3.54)
Для сигнала АИМ при F0=ZFa получаем
(3.55)
т. е. в 2у раз шире, чем при амплитудной модуляции непрерывно¬
го гармонического переносчика. Это же соотношение справедливо
для сигналов ШИМ и ,ФИМ при малых значениях глубины моду¬
ляции соответствующих параметров, а также для сигнала ЧИМ.
Следует отметить, что при оценке ширины спектра не учитыва¬
лась строго форма импульсов. На практике форма импульсов
всегда отличается от прямоугольной. Сглаживание импульсов при¬
водит к уменьшению ширины спектра. Точная оценка ширины
спектра сигнала импульсной модуляции в каждом конкретном
случае может быть проведена общими методами, .рассмотренны¬
ми в гл. 1.
Энергетический спектр модулированных сигналов. До сих пор
рассматривалась модуляция гармонического переносчика детер¬
минированными сообщениями. Это позволило получить важные
для анализа систем сведения, относящиеся к спектрам модулиро¬
ванных сигналов. Полученные результаты, однако, не дают пол¬
ного представления о характеристиках модулированных сигналов,
относящихся ко всей совокупности возможных модулирующих со¬
общений. Такое представление можно получить лишь из рассмот¬
рения совокупностей возможных сообщений и модулированных
сигналов, как некоторых случайных процессов.
.Практический интерес представляет рассмотрение энергетиче¬
ского спектра модулированных сигналов не только в том случае,
когда случайным является лишь модулирующее воздействие, а пе¬
реносчиком служит детерминированная функция, но также, когда
и переносчик — некоторый случайный процесс (обычно узкопо¬
лосный). Такой переносчик называется щумовым несущим коле¬
банием. Необходимость рассмотрения переносчика, как узкополос¬
ного шумового колебания, возникает в некоторых оптических си¬
стемах связи с некогерентным излучением. Применение шумового
несущего колебания дает возможность ослабить мешающее дейст¬
вие замираний уровня сигналов в каналах с многолучевым рас¬
пространением радиоволн (см. п. 6.7).
Определим энергетические спектры модулированных сигналов,
когда сообщение a(t) — стационарный случайный процесс с
a(f) = Она*$ = 1, а переносчик — гармоническое колебание
Л0со&<»о£ Сигналы амплитудной, частотной и фазовой модуляции
записываются в виде:
3.6. МОДУЛЯЦИЯ СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
(3.56)
— 138
(3.57)
где ал, а*» и а9 равны средним значениям квадратов отклонений
соответственно амплитуды, частоты и фазы переносчика при мо¬
дуляции.
В формуле (3.66) выражение в скобках показывает закон из¬
менения амплитуды переносчика. Он повторяет сообщение a(t)
только тогда, когда OAd(t)<Ao. В силу случайного характера a(t)
это выполняется не всегда; в некоторые моменты времени,
oAa{t) >А0, возникает перемодуляция. При демодуляции обычным
линейным детектором перемодуляция приводит к искажениям
сообщения. Чтобы перемодуляция наблюдалась достаточно редко,
необходимо выполнение условия ал<^А0. Соотношение между Ло
и о а зависит от распределения вероятностей сообщения a(t). На¬
пример, если a(t) распределено по нормальному закону, то при
Ло=Зсга перемодуляция имеет место только в течение 0,136% все¬
го времени передачи, и поэтому ею можно пренебречь. Дальней¬
шее рассмотрение проводится в предположении, что перемодуля¬
ция практически отсутствует. Перемодуляция действительно отсут¬
ствует, когда a(t) — ограниченный по уровню процесс.
Хотя a(t) — по предположению стационарный процесс, моду¬
лированные сигналы являются процессами нестационарными, так
как их статистические характеристики зависят от времени. Напри¬
мер, для сигнала AM
(3.59)
т. е. средняя мощность сигнала AM является периодической функ¬
цией времени. Поэтому необходимо использовать понятие энерге¬
тического спектра нестационарного процесса, рассмотренное в
п. 1.5. Энергетический спектр нестационарного случайного процес¬
са является статистической характеристикой процесса, определяе¬
мой посредством двукратного усреднения — по множеству и по
времени. Он связан со средней по времени функцией корреляции
процесса преобразованием Фурье
(3.60)
где B(t, х)=В(х) — среднее по времени значение корреляцион¬
ной' функции нестационарного случайного процесса.
Формула (3.60) является основным соотношением при отыска¬
нии интересующих нас энергетических спектров модулированных
сигналов.
— 139 —
Энергетический спектр сигнала AM. В случае AM функция кор¬
реляции модулированного сигнала
(3.61)
Здесь гп = оа1Ао> Ьа{т) — коэффициент корреляции случайного
сообщения a(t). Функция B(t, т) зависит от времени, что еще раз
подтверждает нестационарность модулированного сигнала. Усред¬
ненное по времени значение корреляционной функции сигнала
(3.62)
Применяя ф-лу (3.60), находим спектр сигнала AM
(3.63)
Таким образом, в отсутствие перемодуляции спектр AM сиг¬
нала состойт из несущего колебания и перенесенного на со0 спект¬
ра сообщения a(t). При значительной перемодуляции в спектре
сигнала AM появляются дополнительные частотные составляющие.
В результате спектры боковых полос уже не повторяют спектр
a(t), а ширина спектра модулированного сигнала более чем в два
раза превосходит ширину спектра сообщения.
Энергетический спектр сигнала ЧМ. Перейдем к рассмотрению
спектров сигналов ЧМ и ФМ, для чего сначала необходимо найти
функции корреляции этих сигналов. Оба эти сигнала могут быть
объединены общей формулой
(3.64)
где ф(^) — случайный процесс, показывающий закон изменения
фазы переносчика.
Функция корреляции модулированного сигнала
►
Теперь произведем усреднение по времени. При этом первое
слагаемое обращается в нуль, второе — не зависит от t, и мы по¬
лучаем
и по известной формуле представим косинус суммы двух углов
cos (о)0т + х) = cos 0)0т cos х — sin G)0T sin x.
Средние по множеству значения косинуса и синуса от х мож¬
но найти, если известен закон распределения вероятностей сооб¬
щения a(t). Пусть a(t) подчиняется нормальному закону распре¬
деления вероятностей. Тогда х(%), являющееся линейным пре¬
образованием a(t), также имеет нормальное распределение ве-
роятностей с нулевым средним значением и дисперсией ст*. Обо¬
значим функцию плотности вероятности процесса л:(т) через w(x):
Знание закона w(x) позволяет найти
Таким образом, усредненная по времени функция корреляции мо¬
дулированного сигнала
(3.69)
Величина ст* представляет собой среднее значение квадрата
изменения фазы переносчика за время т. Конечно, значения
различны для сигналов ЧМ и ФМ, но в обоих рассматриваемых
случаях ах можно выразить через функцию корреляции или че¬
рез энергетический спектр сообщения cc(t). Действительно,
где В9(т) — функция корреляции процесса <p(t). Функция корре¬
ляции В9 (т) связана преобразованием Фурье с энергетическим
спектром процесса as(t).
— 141 —
Обозначим разность
(3.71)
(3.72)
При ЧМ <р(0=ог«) J a(t)dt. Из теории случайных процессов
известно, что интеграл случайного процесса a(i) имеет энергети¬
ческий спектр G0 (со)/со2. Поэтому
(3.73)
Формулы (3.72) и (3.74) позволяют найти спектры сигналов
ЧМ и ФМ, если известен спектр (или функция корреляции) еооб*
щения a(t).
Пусть модулирующая функция a(t) имеет равномерный спектр
до частоты
При ФМ
Теперь можно найти энергетический спектр сигнала ФМ как
преобразование Фурье функции корреляции В(т), определяемой
ф-лой (3.69). С учетом выражений (3.70) и (3.71) получаем
С учетом выражений (3.70) и (3.73) получаем
Это совпадает с выражением для энергетического спектра белого
шума, прошедшего через резонансный контур, настроенный на ча¬
стоту <о0 и имеющий полосу пропускания яащ/й0-
При медленных изменениях частоты несущего колебания
От >Qa. Экспоненциальный множитель в выражении (3.74) быстро
убывает с ростом т, так что интерес представляют малые значения
т, при которых интеграл (3.76) приближенно равен 0,5 Qat. Тогда
Таким образом, при медленных изменениях частоты форма
спектра сигнала ЧМ совпадает с функцией плотности вероятности
модулирующего сообщения a(t). Хотя этот результат получен для
частного случая энергетического спектра (3.75), он справедлив
и для других форм Ga(oj), если выполняется условие а«>>йв-
- 143 -
где новая переменная г/=ют/2.
Входящий в выражение (3.76) интеграл приближенно (с макси¬
мальной ошибкой около 10%) может быть выражен как
Рассмотрим два характерных режима модуляции: быстрое и
медленное изменение частоты несущего колебания.
Первому режиму соответствует малое по сравнению с Qa сред¬
неквадратичное отклонение частоты а<о» т. е. а<в<Сйв. Экспонен¬
циальный множитель в выражении (3.74) тогда медленно убывает
с ростом т, но при больших значениях т интеграл (3.76) прибли¬
женно равен я/2. Поэтому
Спектры сигналов ЧМ показаны на рис. 3.22. По мере'умень¬
шения ош спектр сигнала ЧМ все более концентрируется около
(Do, переходя в 6(ю—-соо) при а<»->0.
Найдем ширину спектра сигналов ЧМ, определяя ее как интер¬
вал частот около соо, на границах которого спектральная плотность
составляет половину своего максимального значения. Из выраже¬
ний (3.78) и (3.79) находим
3j23. Зависимость ширины спектра
сигнала ЧМ при модуляции случай¬
ным сообщением от P=a(l) /йа
Эти зависимости показаны
пунктирными линиями на
рис. 3.23, сплошная линия по¬
казывает величину Qs/Qa для
произвольных значений аш/йа-
Энергетический спектр сиг¬
нала ФМ. Пусть случайная
функция a(t), спектр кото¬
рой определяется выражением
(3.75), модулирует гармониче¬
ское несущее колебание по
— 144 —
3.22. Энергетические спектры сигналов ЧМ при модуляции
случайным сообщением для различных значений Р = о>(|) /Йа
фазе. Тогда для нахождения энергетического спектра фазомодули-
рованного сигнала надо воспользоваться ф-лой (3.72). Получим
Интеграл в экспоненциальном множителе легко вычисляется
Подставив этот результат в формулу энергетического спектра,
получим
Этот интеграл расходится, т. е. в спектре фазомодулированного
сигнала есть периодическая составляющая на частоте cd = cdo. Что¬
бы'выделить ее, прибавим и вычтем е~~°1 в экспоненциальном
множителе подынтегрального выражения. Тогда
Первый член характеризует мощность периодической состав¬
ляющей на частоте о) = соо. Эта мощность зависит от су умень¬
шаясь с ростом су Второй член характеризует непрерывную часть^
спектра модулированного сигнала. Точное определение этой части
спектра возможно численными методами. Поэтому получим при¬
ближенные результаты для случаев4 больших и малых значений
среднего квадрата девиации фазы .
При 1, разложив sinQat/QaT в ряд по степеням Qat,
получим
Интеграл, определяющий непрерывную часть спектра, является \
Непрерывная часть спектра модулированного сигнала в рас¬
сматриваемом случае имеет форму гауссовой кривой (так же, как
при ЧМ С
При сг2<с1, разложив экспоненциальные множители в ряд,
получим '
Подстановка в ф-лу (3.81) и вычисление интеграла приводят к
выражению
Таким образом, в первом приближении при о* <С1—непрерыв¬
ная часть спектра является равномерной вплоть до частоты
| со—<j)o|=Qa. Для%1ирины спектра сигнала ФМ на основании
ф-л (3.82) и (3.83) получаем следующие оценки:
Эти зависимости показаны пунктирными линиями на рис. 3.24.
Сплошная линия на том же рисунке приближенно показывает, как
изменяется ширина спектра сигнала ФМ при увеличении оу
Энергетические спектры сигналов дискретной модуляции. При
дискретной модуляции гармонического несущего колебания слу¬
чайным сообщением a(t) наибольший практический интерес пред¬
ставляет случай, когда a(i) случайная последовательность знако¬
переменных импульсов единичной амплитуды и одинаковой дли¬
тельности Т.
Повторив вывод ф-лы (3.63) для сигнала ДАМ s(i)= 0,5 Ав X
XII + с (51)] cos ю01 = 0,5Д, cos со01 -j- 0.5Д, a if) cos ю01, получим
(3.83)
(3.84)
Замечая, что сигнал ДФМ при Аф=я/2 отличается от второго
слагаемого сигнала ДАМ только в два раза большей амплитудой,
приходим к выводу, что спектр сигнала ДФМ
(3.86)
Сигнал ДЧМ может рассматриваться как два сигнала ДАМ на
разных несущих частотах, поэтому энергетический спектр его равен
сумме двух спектров сигналов ДАМ с несущими частотами <oi
2
2
/
3.24. Зависимость ширины спектра сигнала ФМ при
- модуляции случайным сообщением от а ^
и 0)2- Таким образом, во всех рассмотренных случаях непрерывная
часть энергетического спектра модулированного сигнала повто¬
ряет форму спектра сообщения a(t), перенесенного на соответ¬
ствующую высокую частоту.
КАНАЛЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
4.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ
ИНФОРМАЦИИ
Определение и классификация каналов. Каналом передачи ин¬
формации называют совокупность технических устройств, кото¬
рые обеспечивают передачу электрических сигналов с определен¬
ными свойствами от одного пункта к другому. Входы канала под¬
ключаются к передатчику, а выходы — к приемнику. В общем
случае канал имеет произвольное число входов и выходов и мо¬
жет обеспечивать двустороннюю передачу сигналов. Однако в
дальнейшем в основном будут рассматриваться каналы с одним
входом и одним выходом, передающие сигналы лишь в одном
направлении. Они могут быть представлены четырехполюсниками;
последние чаще всего состоят из более простых четырехполюс¬
ников, соединенных последовательно.
Непременной составной частью любого канала является линия
связи. Линией называют тракт, по которому проходят сигналы
от одного пункта к другому. В современных системах связи ис¬
пользуются весьма разнообразные линии — проводные (воздуш¬
ные и кабельные — симметричные и коаксиальные), радио и ра¬
диорелейные (в том числе метеорные, космические, ионосферные,
тропосферные, световые), волноводные, поверхностной волны. В
общем случае в канал может входить и несколько линий. Однако
чаще одна и та же линия входит в состав нескольких каналов, в
ряде случаев — каналов обоих направлений.
Помимо линии связи, канал, как правило, содержит ряд уст¬
ройств, размещенных в промежуточных' (усилительных или пере-
приемных) и оконечных пунктах. При этом в зависимости от
рассматриваемой задачи одни и те же оконечные устройства
могут быть отнесены или к каналу, или к передатчику или при¬
емнику. Например, дискретный модулятор и решающее устрой¬
ство (п. 2.6) при сравнении и выборе способа электрического
представления сигналов относят к передатчику и приемнику, а при
сравнении и выборе способа построения дискретной последова¬
тельности (кодирования и декодирования) — к каналу. Каналом
считают заданное звено системы связи, с которым должны быть
согласованы источник и получатель сообщений с помощью пере¬
— 148 —
датчика и приемника. В частных случаях канал может совпадать
с линией связи (рис. 4.1) или с системой (при отсутствии ’пере¬
датчика и приемника).
Каналы передачи информации могут классифицироваться по
различным признакам. В зависимости от назначения системы, в
состав которой они входят, в настоящее время различают кана-
4.1. Упрощенные схемы непрерывных каналов
непрерывного (Времени
лы телефонные, звукового вещания, телевизионные, фототелеграф¬
ные, телеграфные, передачи цифровой информации, телеметриче¬
ские, телекомандные. В зависимости от характера сигналов, пе¬
редачу которых они обеспечивают, различают каналы непрерыв¬
ные и дискретные — по значениям и по времени. В дальнейшем'
будем различать каналы лишь по этому признаку.
Из различных непрерывных каналов непрерывного времени
выделим два наиболее типичных. Первый из них представляет
собой непосредственно линию связи, часто с усилительным или пе-
реприемным и фильтровым оборудованием (последнее необходима
при использовании одной линии в нескольких каналах). Этот
капал занимает особое положение, так как входит в состав лю¬
бого другого. Второй отличается от первого наличием модуля¬
ционного и детекторного оборудования, часто многоступенного, и
соответственно имеет другую полосу пропускания. Примерами ка¬
налов этого типа могут служить индивидуальные и групповые-
тракты систем высокочастотного телефонирования, телевизионные-
каналы и т. д. Упрощенные схемы указанных каналов (без уси¬
лителей, фильтров и других вспомогательных устройств) приве¬
дены на рис. 4.1.
Примером непрерывного канала дискретного времени может
служить непрерывный канал непрерывного времени с подклю¬
ченными к нему на обоих концах стробирующими устройствами
для получения синхронизированных отсчетов передаваемого и при¬
нимаемого сигналов (например, типа амплитудно-импульсного мо¬
дулятора).
- 149 —
Дискретные каналы чаще всего дискретны и по времени, и по
значениям передаваемых сигналов. Канал такого типа состоит
из непрерывного канала с подключенными к ним дискретным
модулятором (ДМ) и решающим устройством (РУ) (см. рис. 4.2),
которые, в идеальном случае действуют синхронно.
4.2. Упрощенная схема дискретного канала ди¬
скретного времени
Модулятор и детектор (рис. 4.1), а также стробирующие уст¬
ройства, как и ДМ и РУ (рис. 4.2), являются примерами уст¬
ройств, которые в зависимости от постановки задачи могут быть
отнесены или к каналу или к передатчику и приемнику.
Описание каналов. Описание канала состоит в указании огра¬
ничений на сигналы S(t), передачу которых он обеспечйвает, и
характера преобразования S(t)-+S*(i), которое он осуществляет.
Ограничения на передаваемые сигналы касаются их физиче¬
ских характеристик — положения во времени, возможных значе¬
ний, скорости изменения (п. 1.8). Эти ограничения могут обуслов¬
ливаться как построением данного канала, так и условиями его
работы, например, необходимостью ограничить мешающие влия¬
ния на другие каналы.
Наиболее четко указанные ограничения формулируются для
дискретных каналов дискретного времени. Здесь достаточно ука¬
зать допустимые сигналы (символы) или просто их число m&=mK
и допустимые моменты смены сигналов или просто скорость
Vb = vK передачи символов по каналу. При тк=2 (такие каналы
называются двоичными) единицу измерения скорости называют
бодом: ик=1 бод, если за секунду по каналу передается один
двоичный символ. Иногда пересчитывают на боды и скорость vK
для тк-х каналов: если тк=21*, то пересчитанная скорость равна
yKlogmK=uKM’ бод. Современные дискретные каналы имеют ско¬
рости от десятков до сотен тысяч бод.
Для непрерывных каналов непрерывного времени вместо тк
чаще всего указывают допустимую пиковую РкПИК или среднюю
Рк мощность передаваемых сигналов, а вместо скорости — полосу
передаваемых частот Разность FK=fB—/н называют шири¬
ной полосы пропускания канала. Ширина полосы пропускания
современных непрерывных каналов лежит в пределах от десятков
до миллионов герц.
Преобразование S(t)-*-S*(t) в идеальном случае должно было
бы сводиться к равенству s*(t)=s(t): отличия s*(t) от s(t) обус¬
ловливаются несовершенством реальных каналов (в общем случае
— 150 -
возможны каналы с преднамеренно вводимыми изменениями s(t),
но их рассматривать не будем). Основные отличия вносит линия
связи. Преобразование S(t)-+S*(l) содержит две составляющие —
детерминированную и случайную (п. 2.1).
Детерминированные изменения сигнала в непрерывном канале
непрерывного времени определяются построением канала и сво¬
дятся к изменению масштаба (усилению или ослаблению), задерж¬
ке (смещению во времени) и искажениям (изменениям формы)
сигнала. Детерминированные изменения сигнала в дискретном ка¬
нале дискретного времени состоят лишь в задержке: решающее
устройство выдает сигналы фиксированных форм.
Случайные изменения сигнала как в непрерывном, так и в ди¬
скретном канале обусловлены помехой, действующей в непре¬
рывном канале. Помехой называют случайный процесс, налагаю¬
щийся на передаваемые сигналы, а также случайные изменения
параметров канала (например, коэффициента передачи). В непре¬
рывном канале непрерывного времени помеха приводит к случай¬
ным отличиям формы, масштаба и задержки принимаемых сиг¬
налов относительно передаваемых. В дискретном канале дискрет¬
ного времени следствием помехи являются ошибки (несовпадения
принимаемых символов с передаваемыми), стирания, а при нару¬
шении синхронизации — также выпадения символов и вставки
ложных символов.
Основное внимание в теории передачи сигналов уделяется слу¬
чайным изменениям сигнала: борьба с ними принципиально более
сложна, чем с детерминированными.
Математическое описание преобразования S(t)^~S*(t) в ре¬
альных каналах, т. е. запись оператора канала s*(t) = Ф„{»(7)] яв¬
ляется достаточно сложной задачей. Обычно пользуются упро¬
щенными моделями каналов.
4.2. ИСКАЖЕНИЯ И ПОМЕХИ. МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ
КАНАЛОВ
Искажения и их классификация. Из детерминированных изме¬
нений непрерывного сигнала непрерывного времени подробно рас¬
смотрим только искажения, т. е. изменения формы сигнала. Изме¬
нение масштаба компенсируется усилением или ослаблением при¬
нимаемого сигнала. Задержка во времени принципиально не может
быть скомпенсирована!, но, как правило, она не велика и заметно
сказывается на своевременности передачи лишь при большой про¬
тяженности канала и наличии в нем большого числа фильтров.
Искажения в реальных каналах носят достаточно сложный
характер. Для упрощения анализа канал обычно представляют
последовательным соединением линейного инерционного и нели¬
нейного безынерционного четырехполюсников с постоянными па¬
раметрами, а при наличии модулятора и детектора — также и че¬
— 151 —
тырехполюсников с переменными параметрами. Соответственно
такому представлению отдельно исследуют линейные, нелинейные
и специфические искажения, свойственные параметрическим це¬
пям.
Линейными называют искажения, которые возникают в инер¬
ционном линейном четырехполюснике с постоянными параметра¬
ми (п. 2.2) и обусловливаются наличием в нем реактивных эле¬
ментов.
С временной точки зрения линейные искажения объясняются
•отличием формы импульсной реакции от единичного импульса.
Условием отсутствия искажений является равенство g(t) =
= K8(t—t3), которое точно возможно лишь в четырехполюснике с
чисто активными сопротивлениями (при этом t3=0).
С частотной точки зрения линейные искажения объясняются
нарушением тех соотношений амплитуд и фаз гармонических со¬
ставляющих, которые существуют в передаваемом сигнале. Со¬
ответственно говорят о частотных и фазовых искажениях. Для их
отсутствия необходимо, чтобы для всех гармонических составляю¬
щих сигнала были одинаковы модуль коэффициента передачи
К{(й)=К и время запаздывания /3(со)=/3. Кроме того, поскольку
d фд- (со)
*4 (©) =1—— и ПРИ Ь(со) =t3 имеем (со) = I t3((d)d(d + C=Gjt3+
+Фк (0), то смещение фазы при о) = 0 должно быть кратно 2я, т. е.
^к(0)='2kn (или kn, если допустимо изменение полярности сиг¬
нала). При нарушении условия фк(0)=^я возникают так назы¬
ваемые квадратурные искажения, обусловленные смещением на¬
чальных фаз всех составляющих на одну и ту же величину. Если,
например, s(t) =cos eDf+cos 2o>f и К (о>) = е 2 , то s*(i) =sin ш-/+
+ sin 2Ы (см. рис. 4.3). Однако квадратурные искажения возмож¬
ны лишь в четырехполюснике с переменными параметрами; при
постоянных параметрах фк(0)=0. Условия К(ы)=К, t3{(o)=t3 ъ
точности выполняются лишь при отсутствии реактивных элемен¬
тов. В инерционном четырехполюснике, как известно из курса тео¬
рии электрических цепей [2], [12], их точное выполнение невозмож¬
но даже в полосе пропускания.
Неравномерность амплитудно-частотной и нелинейность фа-
зо-частотной характеристики канала приводят к возникновению
искажений формы передаваемых импульсов: импульсы «расплы¬
ваются» во времени, что приводит к их взаимной интерференции.
Последняя — один из факторов, ограничивающих скорость пере¬
дачи импульсов по каналу.
Нелинейными называют искажения, которые возникают в
‘безынерционном нелинейном четырехполюснике с постоянными
параметрами и обусловливаются наличием в нем нелинейных эле¬
ментов (п. 2.3). Они объясняются нелинейностью амплитудной ха¬
рактеристики. Следует отметить, что если нелинейный четырех¬
полюсник входит в состав нескольких каналов (например, груп¬
— 152 —
повой усилитель в многоканальных системах), то продукты нели¬
нейности сигнала одного канала могут иметь частоты, лежащие в.
полосе пропускания другого канала. Для каждого отдельного»
канала такие продукты нелинейности следует считать уже не ис¬
кажениями, а помехой, так как они не могут быть предсказаны на
основе знания лишь сигнала на входе данного канала. Для груп¬
пового тракта они являются искажениями.
4.3. (Квадратурные -искажения сигнала, состоя¬
щего из двух косинусоид
При использовании четырехполюсников с переменными пара¬
метрами для модуляции и детектирования могут возникнуть спе¬
цифические искажения, обусловленные несинхронностью измене*
ния параметров модулятора и детектора.
Если при детектировании однополосного AM сигнала исполь¬
зуется опорное колебание, создаваемое в приемнике, то его
частота и начальная фаза могут отличаться от частоты и
фазы переносчика, созданного в передатчике (с учетом смеще¬
ния фазы в канале). Следствием этой погрешности является сме¬
щение частот или фаз всех гармонических составляющих прини¬
маемого сигнала на одну и ту же величину по отношению к
передаваемому сигналу.
— 153 —
Смещение фаз на величину Дф, отличную от kn, приводит к
квадратурным искажениям. Смещение частот представляет собой
особый вид искажений. При передаче речи оно нарушает гармони¬
ческие соотношения звуков (например, при расхождении частот
на Др гармоники Д, 2З/i... преобразуются в колебания с часто¬
тами /i+Д/, 2/i+A/, З/i+A/ ..., не являющиеся гармониками).
При двухполосной амплитудной модуляции в случае расхож¬
дения несущей и опорной частоты имеем a*(t)=Ka(t) cosДсо^
(каждой модулирующей частоте / после детектирования соответ¬
ствует пара частот f+Af и f—Af).
Искажения сообщений при искажениях модулированных сиг¬
налов. При передаче сообщений модулированными сигналами ис¬
кажения, вносимые каналом, следует оценивать по их влиянию на
детектированное сообщение. В зависимости от вида модуляции
одни и те же искажения модулированного сигнала приводят к
различным искажениям сообщения. При этом в процессе детек¬
тирования часто меняется сам характер искажений. Поясним ска¬
занное примерами, относящимися к искажениям амплитудно- и
частотномодулированных сигналов.
Пусть амплитудномодулированный сигнал
(см. рис. 4.4а), огибающая .которого меняется пропорционально
сообщению a(t) =.4i cos Qii+^cos Qzt (рис. 4.4г) передается по
каналу, частотная и фазовая характеристики которого показаны
на рис. 4.46. Сигнал на выходе канала
где /и* =т{ KilK0=m: K(&o+Qi)/Ko, * = 1, 2 — коэффициенты
глубины модуляции на выходе канала (см. рис. 4Ав). При
линейном детектировании выходное сообщение a* (t) пропорцио¬
нально огибающей сигнала s*(t). Огибающие сигналов s(t) и s*(t)
отличаются друг от друга (рис. 4.4г и д) из-за различия в коэффи¬
циентах глубины модуляции на входе и выходе канала (вследст¬
вие неравномерности частотной характеристики канала) и фазо-
— 154 —
вого сдвига частотных составляющих огибающей (вследствие не¬
линейности фазовой характеристики канала). После линейного
детектирования это приведет к частотным и фазовым искажениям
сообщения. Если несущая частота модулированного сигнала отли¬
чается от центральной частоты канала (рис. 4.46), то могут воз-
4.4. Искажения огибающей AM сигнала
никнуть нелинейные искажения огибающей, являющиеся следст¬
вием перемодуляции в s* (t). Кроме того, асимметрия частотных ис¬
кажений боковых частот приведет к квадратурным, а асимметрия
фазовых искажений — к частотным искажениям сообщения.
Если по каналу, характеристики которого показаны на
рис. 4.46, передается сигнал ЧМ, то несовершенство характеристик
канала приводит к искажениям закона изменения частоты сиг¬
нала. Основную роль при этом играет нелинейность фазовой ха¬
рактеристики канала. Пренебрегая влиянием неравномерности ча¬
стотной характеристики, а также переходными процессами в ка¬
нале при изменении частоты сигнала (так как при медленных
изменениях частоты сигнала их длительность мала по сравнению
с периодом сигнала), можем записать
где a(t)—передаваемое сообщение, До — девиация частоты. На¬
пряжение на выходе частотного детектора, пропорциональное из¬
менениям частоты сигнала s*(t),
— 155 —
Второе слагаемое характеризует искажения выходного сооб¬
щения. Чтобы установить тип искажений, аппроксимируем фазо-
рую характеристику канала полиномом по степеням (ю—шо) =
= А(о a(t):
где фь фг, фз, ••• — некоторые постоянные. Тогда, положив 6=—i—
Асо
получаем
При a(t) =cosQt имеем
Мы видим, что фазовые искажения в канале приводят в дан¬
ном случае к квадратурным (второй член a*(t)) и нелинейным
(остальные члены a*(t)) искажениям выходного сообщения. При
линейной фазовой характеристике ф2 = фз= •.. =0 и нелинейные
искажения отсутствуют. При ф1 = 0 отсутствуют и квадратурные
искажения. ,
Жесткость требований к частотным и амплитудным характери¬
стикам канала при различных видах модуляции в ряде случаев
влияют на инженерный выбор способа модуляции.
Коррекция искажений. В силу детерминированности, искажения
не приводят к неоднозначности соответствия S->S*. Обычно они
.не приводят и к неоднозначности соответствия S*-S* (исключе¬
ние составляют искажения типа
ограничения спектра, отсечки, раз¬
рыва амплитудной характеристики
и т. д.). Благодаря этому сущест¬
вует принципиальная возможность
коррекции искажений.
Одним из наиболее распростра¬
ненных способов коррекции линей¬
ных искажений является включение
так называемых корректирующих
четырехполюсников. В принципе
возможно два способа включения
корректирующего четырехполюсни¬
ка (см. рис. 4.5): а) последовательно с искажающим (коррекция
-умножением) и б) параллельно ему (коррекция сложением). В
.первом случае коэффициент передачи корректирующего четырех-
— 156 —
4.5. Коррекция:
а) умножением, б) сложением
полюсника L(со) подбирается таким образом, чтобы результирую¬
щий коэффициент передачи /C(co)L(<o) =k е~1<0\ а во втором /((со) +
+ L(со) =& е“ыз. в силу сказанного выше указанные равенства мо¬
гут быть достигнуты лишь приближенно. Очевидно, что для кор¬
рекции искажений, вносимых линией связи, пригоден лишь после¬
довательный способ. При этом корректирующий четырехполюсник
может включаться как на приемном, так и на передающем (пре¬
дыскажения) конце линии. Аналогичными способами может быть
осуществлена и коррекция нелинейных искажений.
В реальных каналах коррекция осуществляется так, чтобы ис¬
кажения не выходили за пределы, установленные соответствую¬
щими нормами. Нормирование линейных искажений при времен¬
ном подходе состоит в указании допустимых отклонений отклика
канала на прямоугольное импульсное воздействие от самого воз¬
действия. При частотном подходе указываются допустимые от¬
клонения характеристик К (со) или а (со) и /з(со) от постоянной
величины (или фк(со) от наклонной прямой, отсекающей отрезок
2kn на оси ординат). Для нормирования нелинейных искажений
обычно задают допустимую степень отклонения реальной ампли¬
тудной характеристики от линейной, или коэффициент нелиней-
V А2 + А1+ • • •
ности ян= , где Ai — амплитуда I-и гармоники
отклика при гармоническом воздействии.
Поскольку искажения, как правило, могут быть скорректиро¬
ваны с нужной степенью точности, в дальнейшем основное вни¬
мание будет сосредоточено на изучении влияния помех на пере¬
дачу сигналов.
Помехи и их классификация. Помехой условились называть
всякое случайное воздействие на сигнал в непрерывном канале
(п. 4.1). При отсутствии детерминированных изменений это воз¬
действие может быть отображено в виде оператора s*(t) =
=s(t)t^(t) + t^(t)9 где £а(Х)—аддитивная, a t^(t)—мультиплика¬
тивная составляющая помехи. Как так и Ем(0 представля-
4.6. Эквивалентная схема непрерывного канала
без детерминированных изменений
ют собой случайные процессы, не зависящие от сигнала. В таком
представлении непрерывный канал может быть представлен эк¬
вивалентной схемой, содержащей условные источники случайных
процессов Za(t) и ZM(t) (рис. 4.6).
— 157 —
Физические источники помех весьма разнообразны и находятся
как в. самом канале (внутренние помехи), так и вне его (внешние
помехи). Существуют помехи природные, индустриальные и созда¬
ваемые преднамеренно. Различны также электрические и статисти¬
ческие их характеристики.
Аддитивная помеха обусловливается возникновением в канале
случайных эдс. Наиболее распространенными ее причинами яв¬
ляются флуктуационные явления, обусловленные тепловыми про¬
цессами (в проводах, сопротивлениях, транзисторах, лампах), и
наводки, обусловленные природными (атмосферные разряды, кос¬
мическое излучение, магнитные бури) или индустриальными про¬
цессами (промышленные установки, линии электропередачи, ра¬
диостанции, другие каналы связи).
В зависимости от спектральных и временных характеристик
аддитивной помехи ее делят на сосредоточенную, импульсную и
флуктуационную (гладкую). Первые два вида отличаются кон¬
центрацией энергии по частоте и времени соответственно, а тре¬
тий— ее «размытостью». Сосредоточенная помеха имеет спектр,
составляющий небольшую часть полосы пропускания канала. Им¬
пульсная помеха имеет характер случайных импульсов, разделен¬
ных промежутками времени, за которые успевают практически
прекратиться вызванные ими переходные процессы. Флуктуацион¬
ную (гладкую) помеху можно представить как последовательность
импульсов, сливающихся в сплошной процесс: ее спектр занимает
значительную часть полосы пропускания канала или выходит за
нее. Реализации гладкой и импульсной помехи приведены на
рис. 4.7.
а)
4.7. Типичные реализации:
а) гладкой, б) импульсной помехи
Мультипликативная помеха обусловливается случайными изме¬
нениями коэффициента передачи канала. Наиболее распростра¬
ненными ее причинами являются прерывания тракта передачи из-
за плохих контактов и переключений, изменения коэффициентов
усиления усилителей из-за колебаний напряжений питания, регу-
— 158 —
лировок усиления и кратковременных перегрузок (в групповых
усилителях), замирания (см. ниже). В зависимости от скорости
изменения во времени реализаций мультипликативной помехи (по
сравнению со скоростью изменений сигналов, для передачи ко¬
торых предназначен канал) ее делят на медленную и быструю.
В ряде каналов могут быть регулярные (не случайные) мешаю¬
щие воздействия, например, так называемый «фон», обусловлен¬
ный недостаточной фильтрацией переменной составляющей пи¬
тающего напряжения в выпрямительных устройствах или регу¬
лярными наводками от линий электропередачи. Однако такого
рода воздействия в силу их детерминированности могут быть
скомпенсированы.
Отдельно следует сказать о мешающих воздействиях, завися¬
щих от сигнала. К их числу относится, например, так называемый
«попутный поток» при передаче телевизионных сигналов по ка¬
белю (обусловленный многократными отражениями от неоднород¬
ностей кабеля). В тех случаях, когда компенсация такого рода
воздействий оказывается сложной, ею пренебрегают и относят эти
воздействия к помехе. Мешающие воздействия, обусловленные пе¬
регрузкой групповых нелинейных устройств (например, усилите¬
лей). являются помехой для отдельных каналов (п. 4.2).
Модели непрерывных каналов. В реальных непрерывных ка¬
налах многие из перечисленных факторов часто действуют одно¬
временно, и помеха имеет достаточно сложный характер. Кроме
того, помеха в реальных каналах сочетается с детерминирован¬
ными искажениями, также достаточно сложными. Поэтому полное s
математическое описание преобразования сигналов в таких кана¬
лах весьма рложная и до настоящего времени — нерешенная зада¬
ча. При исследовании вопросов передачи сигналов по непрерыв¬
ным каналам пользуются небольшим числом существенно идеали¬
зированных моделей.
Большинство из них предполагает отсутствие детерминирован¬
ных изменений — полное (схема рис. 4.6), или в некоторой полосе
частот (полосе пропускания). В последнем случае полагают, что
эквивалентная схема канала отличается от схемы рис. 4.6 нали¬
чием идеального фильтра, с коэффициентом передачи л (ю) = 1 в
полосе пропускания и /С(со) =0 вне этой полосы (подобный фильтр
практически не реализуется [2]).
Помимо ограничений на полосу частот, несмотря на линей¬
ность используемых моделей, обычно оговаривают и ограничения
на мощность передаваемых сигналов (п. 4.1). Хотя в реальных ка¬
налах чаще всего ограничены пиковые значения сигнала (вслед¬
ствие нелинейности), при теоретических исследованиях обычно по¬
лагают ограниченной среднюю мощность сигнала Ра=Р&.
В каналах с аддитивной помехой без детерминированных изме¬
нений в полосе пропускания мощность сигнала на входе и выходе
канала одинакова. В этом случае обобщающими характеристи¬
ками канала, которые отображают как ограничения на входные
— 159 —
wiiucwioi, idK и степень воздействия помехи, являются ширина по-
р
лосы пропускания FK и отношение = h* сигнала к помехе или
р
динамический диапазон канала £>к = log-=? .Их называют физиче-
с
скими характеристиками канала. Произведение VK=FKDKT, где
Т — некоторый отрезок времени, называют емкостью канала за
время Т.
Гауссов канал. Наиболее распространенной моделью непрерыв¬
ного канала является так называемый гауссов канал. В этом
канале действует лишь аддитивная помеха, представляющая собой
гауссов процесс без постоянной составляющей (п. 1.4), чаще всего
полагаемый белым шумом (п. 1.4) в полосе частот, перекрываю¬
щей или совпадающей с полосой пропускания канала. Такой
канал полностью определяется полосой пропускания и спектраль¬
ной плотностью Gt мощности помехи Рс = о®, причем а\ =/>с =
= GC-FK, где F„ — ширина полосы пропускания канала (Gc = Gt=
=2яО имеет размерность вт/гц).
Гауссов канал отображает канал с флуктуационной помехой.
При этом в случае теплового шума, мощность которого в полосе F
равна P=4kBT°F, где kb — постоянная Больцмана ^ЛБ = 1,37X
X 10 23 —) , а Т° — абсолютная температура, имеем GC=4&BT°.
Флуктуационная помеха присутствует во всяком реальном ка¬
нале, но часто не является определяющей, так как другие помехи
имеют большую интенсивность. Однако по соображениям простоты
в дальнейшем в основном будем пользоваться моделью гауссова
канала.
Канал с замираниями. В большинстве реальных радиоканалов
(св, кв, ионосферного и тропосферного рассеяния) существуют
мультипликативные помехи. В этих каналах распространение сиг¬
нала от нередатчика к приемнику происходит по нескольким пу¬
тям, протяженность которых, а следовательно, и время распростра¬
нения сигнала изменяются случайным образом (многолучевое рас¬
пространение). Случайным образом изменяются и коэффициенты
передачи отдельных путей. Вследствие этого амплитуды и фазы
суммарного сигнала на входе приемника случайны. Случайные,
но значительно более медленные изменения амплитуды сигналов
вызываются и рядом других причин, таких как изменение погло¬
щения радиоволн в ионосфере. Эти изменения носят цикличе¬
ский — суточный, месячный, сезонный — характер.
Для установления статистических характеристик замираний
предположим, что передаваемый сигнал s(t), имеющий спектр
S(со), ширина которого QS = ©B—<»& а средняя частота ю0, посту¬
пает к приемнику по N путям с коэффициентами передачи /и (со)
и временами распространения t3.. Колебание на входе приемника
— 160 —
Введем среднее значение времени распространения^. Тогда
*.,=£+А*»,. и
(0.
Обозначив t— t3 = t' и соД t3 = Т, (со), преобразуем это выраже¬
ние
где
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Записанный таким образом замирающий сигнал s3(i) есть не
что иное, как сигнал на выходе линейной цепи с частотной харак¬
теристикой К (со) и фазовой характеристикой у(®)- Однако в рас¬
сматриваемом случае К (со) и у (со) случайно изменяются во време¬
ни, так как случайны Л', (со) и 'Рг(со).
Общие и селективные замирания. В зависимости от степени
корреляции отдельных частотных составляющих сигнала различа¬
ют два вида замираний: общие и селективные. Замирания называ¬
ются общими, когда корреляция флуктуаций частотных составляю¬
щих сигнала столь значительна, что можно считать /((со) и у (со)
6—562 — 161 —
одинаковыми для всех частот спектра сигнала. Очевидно, это усло¬
вие выполняется тем точнее, чем уже ширина спектра сигнала Q$=
СО в—(Он*
Селективные замирания характеризуются тем, что отдельные
участки частотного спектра сигнала флуктуируют независимо друг
от друга.
Общие и селективные замирания — две удобные модели, к ко¬
торым приближаются реальные каналы с замираниями. При этом
существенную роль играет значение флуктуаций времени распрост¬
ранения отдельных лучей ДЦ , а также база сигналов n = 2FsT.
Пусть выполняется условие (/Б—/н)Д£з, <С1. Это означает, что
максимальное значение разности фазовых сдвигов частотных со¬
ставляющих сигнала мало, и поэтому можно считать, что все
спектральные составляющие его имеют одинаковый фазовый сдвиг
= сооД^3/- • Обычно можно считать, что Кг (со) = Кг, так как раз¬
личие в затуханиях отдельных частотных составляющих практи¬
чески оказывается незначительным. Тогда
(4.4)
т. е. замирания являются общими. Условие общих замираний мож¬
но записать, как 0,5пД^3. С Т. Когда сигналы имеют малую базу
л~ 1, то замирания являются общими, если | Af3 * |макс<С7\ Селек¬
тивные замирания в этом случае имеют место, когда At3. соизме¬
римы с длительностью сигналов Г, т. е. всегда связаны с нало¬
жением соседних элементарных сигналов (явление эхо).
Если передаются сигналы с базой пЗ>1, то селективные зами¬
рания могут возникнуть и при |Д^з |г>лкс<^7\ причем наложения
соседних сигналов может и не быть.
Статистические характеристики замираний. Для разработки оп¬
тимальных методов приема сигналов в канале с замираниями не¬
обходимо знать статистические свойства флуктуаций коэффициен¬
та передачи К и фазового сдвига у. Они могут быть найдены как
экспериментально, так и теоретически, исходя из предположения,
что число лучей N достаточно велико и можно применить цент¬
ральную предельную теорему теории вероятностей (практически
достаточно хороший результат получается при N>5).
Пусть в канале с общими замираниями выполняется условие
—<^|Д^3|<^ . Это означает, что фазовый сдвиг Wi может
/о /в /н
значительно превосходить 2я. Случайные величины cos'?* и sin'P*
тогда имеют практически нулевые средние значения и одинако¬
вые дисперсии 0,5. /(iCosH^ и A^sin'Pi также имеют ограничен¬
ные дисперсии и нулевые средние значения, поэтому суммы в (4.2)
распределены нормально с одинаковыми дисперсиями и нулевыми
— 162 —
средними значениями. В этих условиях К имеет распределение
Рэлея [42]
а фаза у равномерно распределена в интервале (0,2я).
Когда выполняется условие |Af3|<—•, то фазы -фг с очень ма-
1 fo
лой вероятностью достигают значения 2л и группируются около
нулевого среднего значения. Предполагая, что имеет симметрич-
ное распределение, получаем среднее значение sin ^ = 0,cos Ф О
и положительно. В этих условиях К имеет обобщенное распреде¬
ление Рэлея
где
Распределение у отличается от равномерного и зависит от соот¬
ношения между А/С2 и Ко-
При селективных замираниях распределения амплитуды и фа¬
зы (одномерные) таковы же, как при общих рэлеевских замира¬
ниях.
Помимо рассмотренных одномерных функций плотности веро¬
ятности, важной статистической характеристикой замираний яв¬
ляется функция корреляции случайных процессов K(t) и y(t). Их
корреляционные свойства зависят от физических процессов в среде
распространения сигнала и обычно определяются эксперимен¬
тально.
4.3. ОШИБКИ И СТИРАНИЯ. МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ
КАНАЛОВ
Скорость передачи символов. Сигнал на входе дискретного ка¬
нала дискретного времени может быть представлен последова¬
тельностью {Вг}^к-ичных (тк=тъ) символов Вг=Ь; 6 = 0,1, mK—1
(п. 2.6). Электрически это чаще всего импульсы постоянного на¬
пряжения, пропорционального b. Для передачи по непрерывному
каналу дискретный модулятор ДМ преобразует их в последова¬
тельность {SJ элементарных сигналов s^£b)(t), т. е. в сигнал S(t).
Скорость передачи тк-ичных символов по дискретному каналу
Уъ = Ук устанавливается с учетом ширины FK полосы пропускания
непрырывного канала. Ширина спектра сигнала S*(Y) на выходе
6* — 163 —
непрерывного канала не может превышать FK. В соответствии с
теоремой Котельникова (п. 1.3) такой сигнал полностью опреде¬
ляется отсчетами, следующими со скоростью — = 2F# Поэтому
A t
в полосе FK нельзя передать более 2FK произвольных чисел за се¬
кунду. Для непрерывных каналов дискретного времени (п. 4.1) это
означает, что скорость vK передачи отсчетов в них в принципе
не может превышать 2FK.
Для дискретных каналов дискретного времени такого ограни¬
чения, вообще говоря, не существует, так как передаваемые числа
в них не произвольны, а принадлежат фиксированному конечному
множеству. При отсутствии помех это позволило бы устранить
взаимные влияния между элементарными сигналами s(b)(t) (на¬
пример, компенсацией переходных процессов) даже при скорости
передачи vK>2FK. Действительно, если не учитывать ошибок, то
после принятия решающим устройством очередного решения на
приемной станции становится в точности известен сигнал (f),
переданный за соответст¬
вующий t-й отрезок вре¬
мени, а значит, и вызы¬
ваемые им переходные
процессы в канале в по¬
следующие отрезки вре¬
мени. Создавая такие же
процессы в приемнике и
вычитая их из принимае¬
мого сигнала, можно пол¬
ностью исключить влия¬
ние предшествующих сим¬
волов на последующие
(рис. 4.8). Однако за счет
помехи возможны непра¬
вильные решения. При
этом одна ошибка влечет
за собой неправильную
компенсацию переходных
процессов в последующих
элементарных сигналах,
что приводит к размно¬
жению ошибок. Чтобы из¬
бежать его, прием каж¬
дого символа, как прави¬
ло, осуществляют незави¬
симо.
t
4.8. Компенсация взаимных влияний между
импульсами
При независимом приеме скорость vK^>2FK невозможна, а ско¬
рость vK = 2Fк возможна, если импульсная реакция g(t) непрерыв¬
ного канала совпадает с функцией отсчетов (п. 1.3), т. е. канал
— 164 —
является идеальным фильтром. Уже небольшие фазовые искаже¬
ния, неизбежные в реальном канале, приводят к весьма сильным
взаимным влияниям. Поэтому обычно длительности элементарных
сигналов sW(t) выбирают таким образом, чтобы их искажения, и
следовательно, взаимные влияния были небольшими. Тогда в
соответствии с (1.36) vK^FK.
Преобразование символов в дискретном канале. Сигнал на вы¬
ходе дискретного канала может быть представлен последователь¬
ностью символов {#**}, которая из-за несовершенства канала и от¬
личия s*(t) от s(t), отличается от {В*}. Возможны следующие от¬
личия выходной последовательности от входной: 1—задержка,
т. е. смещение во времени позиций i* относительно i, 2 — выпаде¬
ния позиций или вставки, т. е. преобразование одной позиции вход¬
ной последовательности в несколько позиций выходной последо¬
вательности, 3 — выдача решающим устройством на позиции i
символа &*, отличного от bi.
Задержка в дискретном канале принципиально не может быть
меньше задержки в непрерывном канале, на основе которого он
построен. Во многих случаях она существенного значения не име¬
ет. Выпадение или вставка символов могут исказить всю дальней¬
шую передачу. Однако на практике с помощью целого ряда мер
вероятность изменения числа позиций, как правило, удается до¬
вести до достаточно малой величины. В дальнейшем будем пола¬
гать синхронизацию идеальной. Подробнее рассмотрим третье
отличие.
В зависимости от построения решающего устройства множест¬
во возможных символов на выходе дискретного канала либо та¬
ково же, как на входе (0, ..., /пк—1), либо содержит, кроме того,
символ стирания (0, ..., тк—1, 0). Решающее устройство выдает
символ стирания, если сигнал на выходе непрерывного канала
настолько сильно отличается от всех передаваемых, что его нель¬
зя уверенно отождествить ни с одним из них. Вообще говоря,
может быть и несколько символов стирания (они указывают тог¬
да, к какой группе символов наиболее близок принимаемый сиг¬
нал). Однако на практике к этому обычно не прибегают.
При совпадении выходного символа со входным Ь*. —Ь\ на i-я
позиции имеет место правильный прием, при &*=0— стирание
символа, при Ь*ФЬ{, Ь*ф6—ошибка. Соответствующие вероят¬
ности условимся обозначать рс (вероятность правильного приема),
пв (вероятность стирания) и ре (вероятность ошибки). Очевидно,
Рс+Рв+Ре=1• (4-7)
Отличия Ь* от bi обусловливаются помехой в непрерывном ка-
нале и имеют случайный характер. В общем случае вероятност¬
ные закономерности преобразования {£*}->{£*} достаточно слож¬
ны в силу сложного характера помехи (п. 4.2). При исследова¬
ниях пользуются упрощенными моделями.
— 165 —
Стационарный дискретный канал без памяти. В простейшем
случае условные вероятности р(В*= b*\Bi=b) =p(b*\b) = рьъ*
того, что на i-й позиции с выхода канала будет выдан символ
если на вход канала был подан символ Ъ (их называют также пе¬
реходными вероятностями) для всех позиций i одинаковы и не за¬
висят от значений 6* и b на других позициях. В этом случае
дискретный канал называют стационарным дискретным каналом
без памяти. Он полностью определяется матрицей переходных ве¬
роятностей размерности ткХ(/»к+1):
(4.8)
или соответствующим графом (рис. 4.9). В канале без стираний
последний столбец (4.8) отсутствует {рьв— 0), и матрица пере¬
ходных вероятностей является
квадратной матрицей порядка
тк. Очевидно, что сумма вероят¬
ностей в каждой строке (4.8)
По матрице (4.8) и распре¬
делению вероятностей символов
на входе канала р(Ь) может быть
найдено распределение вероятно¬
стей р(В* = Ь*)=р(Ь*) символов
на выходе канала:
Соотношения (4.11) показывают, что верность передачи симво¬
лов по рассматриваемому каналу зависит не только от помехи,
— 166 —
4.9. Граф переходных вероятно¬
стей Шк-ичного канала со стира¬
нием
а также вероятности:
'определяющей переходные вероятности p(b*\b), но и от стати¬
стики передаваемого сигнала (в данном случае — от одномерного
распределения р(Ь)). 1
Матрица (4.8) и распределение р(Ь) позволяют определить
также так называемые апостериорные вероятности p(Bi = b\B* =
*=&*) =р(6|6*) того, что на данной позиции передан символ 6, если
решающее устройство выдало символ 6*. Вероятность p(b\b*)
передачи символа Bi = b называют апостериорной, чтобы подчерк¬
нуть, что она вычисляется после приема соответствующего ему
символа = в отличие от вероятности р(Ь), которую назы¬
вают априорной. Поскольку совместная вероятность р(6, &*) =
= p(b*)p(b\b*) =р(Ь)р(Ь*\Ь), то по правилу Байеса
(4.12)
Симметричный канал. Выделим частный случай стационарного
дискретного канала без памяти, при котором переходные вероят¬
ности р(Ь*\Ь)=рьь* одинаковы для всех b при b* = b, 6* = 0 и для
всех b,b* при Ь*ФЬ, Ь*Ф&. Назовем такой канал симметричным.
тк-]
Поскольку p(b) = 1, тоиз (4.11) следует, что в симметричном
канале
и матрица переходных вероятностей
(4.14)
Соотношения (4.13) показывают, что в симметричном канале
верность передачи не зависит от статистики передаваемой последо¬
вательности Воздейст¬
вие помехи при этом можно
представить как попозици-
онное суммирование после¬
довательности {Вг} с не за¬
висящей от нее последова¬
тельностью {£*} мешающих
символов Ei = е = 0, . . .,
mK—1, 0, выдаваемых ус¬
ловным мешающим источ-
4.10. Эквивалентная схема симметричного
дискретного канала
ником МИ. Эквивалентная схема симметричного канала в
таком представлении приведена на рис. 4.10 (здесь С — сумматор,
ЛЗ — линия задержки). Суммирование bi@ei осуществляется по
модулю тк (п. 1.1) для = 0, ..., тк—1 и по правилу 6* ©0 = 9
для ег = 0.
Симметричный канал полностью определяется статистикой ме¬
шающей последовательности {£г}- При этом
В соответствии с (4.13)
причем р{е= 1) = ... =р(е — тк—1). Таким образом, статистика
{Ei}> а следовательно, и симметричный канал полностью опре¬
деляются заданием любых двух из трех вероятностей, входящих в
(4.7). При отсутствии стираний (ре =0) симметричный канал опре¬
деляется одним числом, например, ре. При пренебрежимо малой
вероятности ошибки ре иногда говорят о канале со стиранием без
ошибок, который также определяется одним числом, например, р 9
Понятие о мешающем источнике может быть применено и при
отсутствии симметрии. Однако в этом случае статистика {Е\}
зависит не только от помехи, но и" от статистики {б*}.
Двоичный канал. Поясним сказанное на примере наиболее
простого и, в то же время, наиболее распространенного на прак¬
тике канала — двоичного (тк = 2).
Рассмотрим двоичный канал, построенный следующим обра¬
зом. Дискретный модулятор при подаче на его вход символа &г=1
выдает положительный импульс постоянного напряжения вели¬
чины Л (являющийся элементарным сигналом при подаче
символа bi = 0 — отрицательный импульс постоянного напряже¬
ния—Л (являющийся элементарным сигналом s^ft)). Образован¬
ный таким образом сигнал S(t), отображающий последователь¬
ность символов {Bi} (одна из его возможных реализаций приведе¬
на на рис. 4.11а), подается на вход гауссова канала (п. 4.2) с
полосой пропускания от 0 до fB=--FK гц. Если FK>vк и детерми¬
нированными изменениями сигнала можно пренебречь, то сиг¬
нал на входе решающего устройства
помеха, имеющая нормальное распределение
(пример реализации такого сигнала приведен на рис. 4.116). Пусть
решающее устройство принимает решения на основе сравнения
однократного отсчета каждого принимаемого импульса s*(t) с по¬
- 168 —
роговым значением ао: если отсчет 5* превышает порог ао, то вы¬
дается решение b* = 1, если s*<c а0, то Ь* =0 (см. рис. 4. И в). В за¬
висимости от значения помехи £ в момент отсчета решение может
- 169 —
4.11. Примеры реализаций сигнала ла выходе ДМ (а) и на
входе РУ (б) и шкалы отсчетов при РУ без стирания (в)
и со стиранием (г)
быть правильным или неправильным. При vK^.2FK интервал меж¬
ду отсчетами Аи отсчеты помехи независимы. Таким обра-
2 FK
зом, описанный канал является стационарным (в силу стационар¬
ности гауссовой помехи) двоичным каналом без памяти, который
полностью определяется матрицей переходных вероятностей
Очевидно, что переданный символ 0 будет воспринят решаю¬
щим устройством как 1, если значение помехи в момент отсчета
превысит Л + ао. Поэтому
Аналогичным образом
на рис. 4.12а показаны площади, равные вероятностям Poi и
Ры. В общем случае они не равны. При этом вероятность ошибки
ре = р(0)р(1|0)+р(1)р(0|1) (4.18)
зависит от априорных вероятностей р(Ь = 0) =р(0)\ р(Ь = \) =
= р( 1), т. е. от статистики {Вг}. Поскольку ре = р'(е=\), то от
4.12. Графическое определение вероятностей ошиб¬
ки, стирания и правильного приема:
а) в несимметричном, б), в) в симметричном ка¬
налах
статистики {Вг} зависит и статистика мешающей последовательно¬
сти {Ei}. Если, однако, выбрать пороговое значение ссо = 0, то в
силу симметрии распределения w(t>) относительно оси ординат
(4.19)
и канал становится симметричным (рис. 4.136). Как следует из
(4.18), (4.19), в этом случае при любой статистике входной после-
— 170 —
довательности (см. рис. 4.126). Статистика {£,}
при этом р(в{=1) —ре\ р(вг=0) = 1—ре также не зависит от ста¬
тистики {В,}. Заметим, что
4.13. Графы переходных вероятностей двоичного симметричного
канала:
а) со стиранием и ошибками, б) без стирания, в) со стиранием
без ошибок
Поскольку
то получаем следующее выра
жение устанавливающее зависимость вероятности ошибки в двоич¬
ном симметричном канале от отношения сигнала к помехе в гаус¬
совом канале:
пред¬
ставляет собой интеграл вероятно¬
сти. Зависимости — Ф(к) и ре от h
приведены на рис. 4.14.
Если, вместо одного порога а
установить два: ai и аг и принять
правило, что Ь* = 1, если s*>ai;
£*=0, если s*<аг и если
a2<s*<ai (см. рис. 4.11г), то по¬
лучим канал со стиранием, в об¬
щем случае не симметричный.
— 171 —
4.14. Зависимость интеграла ве¬
роятности и вероятности ошиб¬
ки в двоичном симметричном
канале без памяти от отноше¬
ния сигнала к помехе в гаус¬
совом канале
Если, однако аг =—аь то будем иметь симметричный канал со
стиранием (рис. 4.13а), причем
оо
(см. рис. 4.11в). Введение стирания позволяет уменьшить вероят¬
ность ошибки, но наряду с этим уменьшается вероятность правиль¬
ного приема рс= 1—ре—/V
Выбрав достаточно малое значение ai, можно добиться
Ре^Ръ- Иногда при этом говорят о симметричном канале со стира¬
нием без ошибок (рис. 4.13б).
Другим крайним случаем является полностью асимметричный
канал, в котором /?oi = 0 или /?ю = 0. Представления о нем являются
такой же идеализацией, как и о симметричном канале со стира¬
нием без ошибок.
Вероятности сочетаний ошибок. Следствием независимости
ошибок в стационарном двоичном симметричном канале без памя¬
ти является возможность легко определить вероятности различных
сочетаний ошибок на любом отрезке принимаемой последователь¬
ности {В*}. Сочетанием ошибок е называют отрезок мешающей
последовательности {Е{} длины п. т. е. п-иа>бор е= (£г-(п-1),..., £*) =
= {еп-ь с0). Число q символов ei=\ в этом наборе, т. е. число
ошибок на отрезке длины п называют кратностью сочетания оши¬
бок е.
В силу независимости все сочетания ошибок одной и той же
кратности q в рассматриваемом канале имеют одну и ту же веро¬
ятность
Легко ввдеть, что три ре<.0,5 сочетание ошибок имеет тем
большую вероятность, чем меньше его кратность: p{z\q) >p(&\q+ 1).
Наиболее вероятным является нулевое сочетание е=(00...0).
Вероятность p(q) того, что кратность сочетания ошибок соста¬
вит q,
(4.21)
где Счп — число различных сочетаний ошибок кратности q. Среднее
П
число ошибок q— ^ qp (q) = пре. Если пре<^\, то наиболее вероят¬
но *
ная кратность является нулевой и с ростом q вероятности p(q)
убывают.
— 172 —
Особенности реальных дискретных каналов. Большинство ре¬
альных непрерывных каналов гораздо сложнее, чем гауссов. Соот¬
ветственно и большинство реальных дискретных, в частности, дво¬
ичных каналов гораздо сложнее, чем стационарный симметричный
канал без памяти. Одним из важных отличий многих реальных
каналов является наличие памяти, приводящей к группированию
ошибок. При симметрии канала в таких случаях часто вводят по¬
нятие о пакете ошибок — отрезке последовательности {£г}, в ко¬
тором ошибки независимы и имеют -высокую вероятность рЕ (близ¬
кую к 1 \ в то время как в остальной последовательности
тк j
вероятность ошибки близка к нулю. Наиболее общим видом ди¬
скретного канала является нестационарный несимметричный ка¬
нал с памятью. В дальнейшем, однако, в основном будут рассмат¬
риваться стационарные симметричные каналы без памяти, — глав¬
ным образом, — двоичные.
g ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
5.1. МЕРА КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ
Общие соображения. Система связи предназначена для переда¬
чи сообщений. Однако для оценки и выбора способа построения си¬
стемы это положение следует уточнить.
В процессе передачи по системе связи сообщение может под¬
вергаться многочисленным преобразованиям, существенно меняю¬
щим его электрическое представление и физические характеристи¬
ки. Например, в системе с КИМ-ЧМ (пп. 2.5, 2.7) непрерывно
меняющееся напряжение преобразуется сперва в m-ичные, а затем
в двоичные импульсы постоянного напряжения (рис. 2.11), далее в
отрезки синусоид различных частот, в смесь этих синусоид с поме¬
хой, снова в двоичные, а затем в m-ичные импульсы постоянного
напряжения и, наконец, снова в непрерывно меняющееся напряже¬
ние. При этом выходное сообщение восстанавливается по прини¬
маемым сигналам, которые могут сильно отличаться от передавае¬
мых. При передаче некоторых сообщений электрическое представ¬
ление выходного сообщения может существенно отличаться от
входного, не вызывая, однако, заметного снижения качества пере¬
дачи. Разборчивость речи, например, мало зависит от фазовых
соотношений в спектре принимаемого сообщения.
Анализируя сказанное, можно сделать вывод, что объектом пе¬
редачи в системе связи является не электрическое представление
сообщения, а такая информация о нем, которая позволяет восста¬
новить его с нужной точностью. Именно эта информация должна
оставаться 'инвариантной при всех преобразованиях. Преобразуе¬
мые процессы (сообщения и сигналы) являются ее носителями.
Для уяснения существа дела здесь полезна аналогия с системами
электропередачи. Объектом передачи в них я!вляется не электри¬
ческий процесс (ток или напряжение), а энергия, носителем кото¬
рой он является. Ток и напряжение могут менять свою форму (пре¬
образовываться из переменного в постоянное и наоборот) и вели¬
чину (повышаться или понижаться). Энергия же при всем этом в
идеальных условиях оставалась бы неизменной, а в реальных — ча¬
стично теряется. В системе связи аналогом энергии является ин¬
формация, позволяющая восстановить передаваемое сообщение с
— 174 —
нужной точностью. Как и для энергии, для нее нужна количест¬
венная мера.
Можно говорить о количестве информации в каждой реализа¬
ции процесса (за некоторый отрезок или в некоторый момент вре¬
мени). Она является случайной величиной, которая имеет то же
распределение вероятностей, что и содержащие его реализации.
В дальнейшем, однако, будем говорить лишь о среднем количест¬
ве информации по ансамблю реализаций (за то .или иное время),
называя его количеством информации в процессе. Количество ин¬
формации относительно процесса X(t), которое содержится в про¬
цессе Y(t) за некоторый отрезок времени, будем обозначать 1{Х, Y)
и называть количеством взаимной информации. Количество инфор¬
мации 1(Х, Х)=1(Х), которое содержится в процессе X(t) и отно¬
сится к нему самому, будем называть количеством собственной ин¬
формации. Количество информации, отнесенное к единице времени
(секунде), будем отмечать штрихом: 1'(Х, У), Г(Х). Информация,
которую содержит любой процесс в системе связи, относится в ко¬
нечном счете к передаваемому сообщению A{t). Информация в
сообщении является собственной, а информация в сигналах S(t),
S*(t) и в принимаемом сообщении A*(t) — взаимной. Поскольку
количество информации при преобразовании процесса не может
увеличиться, то
(5.1)
Меру количества информации естественно выбрать так, чтобы
она соответствовала интуитивным представлениям о содержании
информации в процессе и была удобной для использования.
В соответствии с интуитивными представлениями, количество
информации 1{Х, Y) ов процессе Y(t) относительно процесса X(t)
естественно определить как меру среднего уменьшения неопреде¬
ленности относительно реализации x(t) в результате наблюдения
реализации y(t).
Степень уменьшения неопределенности относительно x(t) в ре¬
зультате наблюдения y{t) зависит от того, насколько велика эта
неопределенность до наблюдения y(t), насколько точно можно на¬
блюдать реализации y(t) и насколько уверенно можно судить о реа¬
лизации x(t), если известна реализация y(t). Рассмотрим эти фак¬
торы подробнее и учтем их количественно.
Энтропия, как мера неопределенности. Если реализация x(t)
может быть предсказана заранее (априорно, т. е. до наблюдения
ее или реализации y(t)), то неопределенности относительно нее не
существует. В этом случае никакой процесс Y(t) информации отно¬
сительно X(t) не содержит. Аналогичным образом, детерминиро¬
ванный процесс Y(t) не снимает никакой неопределенности, и по¬
тому не содержит информации относительно какого-либо процесса
X(t). Количество информации в процессе или относительно про¬
цесса, таким образом, зависит от его априорной неопределенности
— 175 —
(степени случайности). Поэтому для измерения количества инфор¬
мации нужна мера неопределенности (процессов.
Неопределенность случайного 'процесса, называемую также эн¬
тропией, естественно оценивать средней неожиданностью его реа¬
лизаций.
Реализация процесса за некоторый отрезок или в некоторый
момент времени тем неожиданнее, чем меньше ее условная вероят¬
ность (при условии знания реализации процесса за предшествую¬
щее в(ремя). Поэтому мерой неожиданности реализации могла бы
служить любая убывающая функция этой вероятности. Чтобы ме¬
ра была аддитивной, используют логарифм вероятности, взятый с
обратным знаком; за основание логарифма обычно выбирают 2
(иногда используют также десятичные и натуральные логарифмы).
Поясним это.
Энтропия дискретного случайного процесса. Дискретный случай¬
ный (процесс любого электрического характера может быть пред¬
ставлен дискретной случайной последовательностью {XJ симво¬
лов (элементов) Х{=х\ х = 0, 1,..., mx—1 (см. п. 1.4), а его реали¬
зация за один дискретный отрезок времени — значением символа
х на соответствующей позиции i. Если последовательность {Xt}
является стационарной и имеет независимые значения Хь то услов¬
ная вероятность реализации хь т. е. р (Xt = Х(_2*=
= *,_2> • • •) = Р(*о1*—1» х 2 • • •)* Ра,вна безусловной р(Х{=х{) =
*=р (х0) =р(х). Мерой неожиданности такой реализации могла бы
служить, например, величина —-—. Однако при этом неожидан
Р(х)
ность более длинной реализации (например, за два дискретных
отрезка времени — Xi=x0, Xi+i=xlf т. е. \ равнялась бы
Р(х0)р(х1) )
не сумме, а произведению неожиданностей более коротких
реализаций. Логарифмическая же мера log = — log р (*)
Р(*)
обладает свойством аддитивности: —log[р (*о) р (*i)] = —
—log р (л;0) —log р (*i). Поэтому неожиданность реализации ста¬
ционарной дискретной последовательности {Х*} в общем случае
определяют как —logр(хо\х-и х~2,...) для одной позиции и —log
Р(хп-1, . . . у хо Iх 1» х-2> • • *) для набора позиций. При этом
неожиданность измеряется в двоичных единицах (при использова¬
нии недвоичных логарифмов соответственно получим другие едини¬
цы). Неожиданность независимого символа, имеющего вероятность
0,5, равна 1 дв.ед, так как — log0,5= 1. Неожиданность достовер¬
ного символа, имеющего вероятность 1, равна —log 1=0. Неожи¬
данность невозможного символа равна —log0=oo.
Неопределенность, или энтропия дискретного случайного про¬
цесса, согласно сказанному выше, находится усреднением неожи¬
данностей его реализаций. Энтропия, отнесенная к одной позиции
— 176 —
и обозначаемая Н(Х), для дискретного процесса, с независимыми
значениями, находится как
где Hi(X) — так называемая энтропия одномерного распределе¬
ния р(0), р( 1),..., р{тх—1). Соответствие меры (5.2) интуитивным
представлениям можно 'Проверить, определив, например, энтропии
двух двоичных процессов с независимыми символами, имеющими
одномерные распределения р(0)=0,4, /7(1) =0,6 и р (0) =0,1,
р(1)=0,9 (рис. 5.1). Для первого из них, который, очевидно, более
5.1. Реализация двоичных случайных процессов с
Р(0) =0.4 (а), р(0) =0,1 (б), р(0) =0 (в)
случаен, получаем Н(Х)= 0,97, для второго Н(Х)= 0,47 дв.ед/сим-
вол. При /?(0)=0, р(1) = 1 (детерминированныйпроцесс) Н(Х)= 0.
Для зависимых позиций определение энтропии усложняется
[Н(Х)ФНi(X)]; оно будет рассмотрено в п.5.2. Как и неожидан¬
ность, энтропия измеряется в двоичных единицах (при выборе дво¬
ичных логарифмов) и обладает свойством аддитивности. Нашример,
энтропия блока из п элементов (энтропия n-мерного распределе¬
ния) стационарной дискретной последовательности с независимы¬
ми значениями
Можно .показать [50], что «приведенное определение энтропии яв¬
ляется единственным (с точностью до постоянного множителя),
удовлетворяющим тем требованиям, которые разумно предъявить
к мере неопределенности. Важно отметить, что энтропия Н(Х) за¬
висит от статистики процесса X(t) (при независимых значениях —
от вероятностей р(0),..., p(mx—1)), но не от электрического пред¬
ставления символов.
Энтропия непрерывного случайного процесса. Для непрерывно¬
го случайного процесса использование приведенных определений
осложняется тем, что неожиданность его реализаций бесконечно
велика, та .к как их вероятности бесконечно малы. В связи с этим
бесконечна и энтропия процесса. Покажем это формально.
Непрерывный случайный процесс с определенными ограниче¬
ниями может быть представлен последовательностью {Хг} отсче¬
тов Xi=x, принадлежащих непрерывному множеству (п. 1.4). Пусть
5.2. Замена непрерывной случайной величины х дискрет¬
ной
процесс стационарен, а отсчеты Xi независимы и имеют плотность
вероятности w(Xi=x) = w(x). Осуществим квантование значений
отсчетов с шагом Ах и заменим их непрерывное множество ди¬
скретными значениями х^и\ где м = ..., —1, 0, 1, ... — порядковый
номер на шкале квантования (см. рис. 5.2). Эти дискретные зна¬
чения имеют распределение вероятностей
неожиданности
и энтропию
Тогда энтропия непрерывного
процесса, отнесенная к одному независимому отсчету,
Поскольку J w (я) dx = 1, то второе слагаемое »при любой ста-
— оо
тистике процесса равно —lim log Дл; = оо. Таким образом Н(Х) =
Ах-+0
=А(Х)+°°, где слагаемое
представляет собой так называемую дифференциальную или отно¬
сительную энтропию. В данном случае она совладает с дифферен¬
циальной энтропией одномерного непрерывного распределения
hi(X). Если значения Xi зависимы, то определение h(X) услож¬
няется [h(X) =£hi(X)].
Дифференциальная энтропия может характеризовать различие
неопределенностей различных процессов, так как зависит от их
статистики. Например, при нормальном распределении
X*
1 2<j2
w (я) = ——— е дифференциальная энтропия h± (X) =
у 2п<*х
= log |/"2тс е а2х тем больше, чем больше дисперсия (мощность)
процесса о2х . Если положить величину х безразмерной (разделив
ее на единицу измерения), то h(X) можно измерять в дв.ед. Она
обладает свойством аддитивности. Следует, однако, учитывать, что,
в отличие от энтропии дискретных распределений, h(X) зависит от
масштаба х, а значит, от выбора единицы 'измерения. Изменив мас¬
штаб х в v раз, получаем для новой величины x'=vx с учетом соот-
dx I 1
ношений w(x')dx' = w(x)dx; w(x') = w(x) —=—w(x) дифферен-
dx' I v
циальную энтропию
Например, -переход от вольт к милливольтам в измерении х увели¬
чивает дифференциальную энтропию на log v = loglООО = 9,96 дв. ед.
Количество информации как мера уменьшения неопределенно¬
сти. Энтропия Н(Х) случайного процесса X(t) не всегда совпадает
с количеством 'информации 1(Х, У), которое содержится в процессе
Y(t) и относится к процессу X(t) (напомним, что в частном случае
Y(t) =X(t)]. Совпадение имеет место, если наблюдение реализации
y{t) (воспроизведение ее соответствующим устройством) полно¬
стью снимает неопределенность относительно x(t). Это происходит
при выполнении двух условий: если реализации y(t) воспроизво-
- 179 —
дятся с абсолютной точностью и 'процесс Y(t) однозначно отобра¬
жает процесс X(t). В общем случае после наблюдения реализации
y{t) остается неопределенность относительно реализации x(t). Эта
неопределенность оценивается условной энтропией H(X\Y) процес¬
са X(t) при известном процессе Y(t).
Поскольку априорная неопределенность относительно X(t) со¬
ставляет И(Х), а количество информации I(X, Y) определяет ее
уменьшение в результате наблюдения y(t), то
Количество информации в дискретн'ых процессах. Дискретный
процесс можно считать воспроизводимым с абсолютной точностью:
устройство, на которое он подается, практически всегда правильно
различает возможные значения символов на каждой позиции. Поэ¬
тому неопределенность H(X\Y) для дискретных последовательно¬
стей {XJ, {FJ отлична от нуля лишь в том случае, если это
различные последовательности ({Х£} Ф {FJ) и соответствие сим¬
волов Х{=х = 0, 1,..., mx—1 символам Y{ = y = 0, 1,..., ту—1 не яв¬
ляется однозначным. Такое положение имеет, например, место, ес¬
ли {X;} — процесс на входе, a {Ys] — на выходе дискретного
канала с ошибками или стираниями или наоборот. Если обе после¬
довательности имеют независимые элементы, то неопределенность
H(X\Y) находится усреднением по всем значениям у неопределен¬
ности Н(Х\у), которая существует относительно х при данном у.
Последняя находится аналогично энтропии Н(Х), но с заменой
безусловных вероятностей р(х) условными р(х\у). Таким образом,
(поскольку р(у) р(х\у)=р(х, у)).
Подставляя (5.2) и (5.6) в (5.5) и учитывая соотношение
ту-1
р(х) = V р(х, у), находим, что для дискретных случайных про-
да»
1/=о
цессов с независимыми значениями элементов количество инфор¬
мации в {У,-} относительно №}, отнесенное к одному элементу,
(5.5)
(5.6)
— 180 —
5.3. Реализации двоичных случайных процес¬
сов со статистическими связями р(х=у\у) =
=0,9 (а, б) и р(х=у\у)= 0,7 (а, в)
Энтропия каждого из них в соответствии с (5.2) H(X)=H(Y) =
= 1 дв. ед/символ. Чем сильнее процесс {У^ зависит от процесса
{Xf}, тем меньше неопределенность H(X\Y) и тем ближе количе¬
ство информации 1(Х, У) к Н(Х). Например, если р(х=у\у) =0,9,
р(хфу\у) =0,1 (рис- 5.36), то H(X\Y) =0,47 и 1(Х, У) =0,53, если
же р(х=у\у) = 0,7, р(хфу\у)=0,3 (рис. 5.3в), то H(X\Y) =0,88 и
1(Х, У) =0,12 дв. ед/символ, процесс «б» более «похож» на «а»,
чем процесс «в».
Если процесс {У{} не зависит от {Хг}, т. е. р(х\у) =р(х) для
всех х, у, то условная неопределенность H(X\Y) равна априорной
Н(Х) и 1{Х, У) =0. Если, наоборот, между элементами {Xi} и
{У<} существует взаимное однозначное соответствие (например,
при дискретной модуляции) или если речь идет о собственной ин¬
формации ({У*} = {Л^}), то р(х\у)=0 или 1, неопределенность
H(X\Y) = 0 и 1(Х, У) =Н(Х). В частности, 1(Х)=Н(Х). Таким об¬
разом, количество собственной информации в дискретном случай¬
ном процессе равно его энтропии (воспроизведение его реализа¬
ции полностью снимает неопределенность относительно реали¬
зации).
— 181 —
Количество информации в непрерывных процессах. Непрерыв¬
ный процесс воспроизводится лишь с ограниченной точностью: ни
одно реальное устройство не в состоянии точно различить беско¬
нечное число бесконечно близких значений. Поэтому после наблю¬
дения реализации y(t) непрерывного процесса Y(t) всегда остает¬
ся неопределенность относительно этой реализации, а следова¬
тельно, и неопределенность H(X\Y) относительно реализации про¬
цесса X(t), к которому относится информация, содержащаяся в
процессе У(/). Если процесс X(t) также непрерывен, то неопреде¬
ленность Н{Х\У) бесконечно велика. Однако количество информа¬
ции 1(Х, У), т. е. изменение неопределенности относительно х пос¬
ле наблюдения у, и для непрерывных процессов является величи¬
ной конечной. Действительно, рассуждая так же, как и при на¬
хождении энтропии непрерывного процесса Н(Х), легко убедить¬
ся, что условная энтропия H(X\Y) непрерывных процессов X(t),
Y(t), отнесенная к одному независимому отсчету, #(Х|У) =
= /г(Х|У)+<х>, где слагаемое
(5.9)
представляет собой условную дифференциальную энтропию отно¬
сительно отсчета X(t) при известном отсчете Y{t). Учитывая это и
■осуществляя вычитание в (5.8) до перехода к пределу, получим
(5.10)
«ли
(5.11)
При изменении масштаба х и у в v раз, т. е. при переходе к
величинам x'=vx и у'=ху, условная дифференциальная энтропия,
как видно из (5.9), изменяется на logv:
(5.12)
Однако количество информации, как видно из (5.4), (б. 12) и
(5.11) не зависит от масштаба непрерывных процессов, если мас¬
штабы X и У одинаковы.
Важно отметить, что количество собственной информации 1(Х)
в непрерывном процессе X(t) не равно ни энтропии Н(Х), ни диф¬
ференциальной энтропии h(X) этого процесса. Поскольку точность
воспроизведения реализации x(t) непрерывного процесса в любом
реальном устройстве ограничена, то результат этого воспроизведе¬
ния xv (Л случайным образом отличается от самой реализации.
— 182 —
В соответствии с (5.10), (5.11) количество информации в отсчете.
xv относительно независимого отсчета х
Поскольку w(x, xv) =w(.x'*)w{x|xv), то из (5.9), (5.13) сле¬
дует, что это количество информации зависит не только от стати¬
стики процесса X (t), но и от способа его воспроизведения, который
определяет плотность ш(х)х7). Количество собственной информа¬
ции 1(Х) в независимом отсчете процесса X(t) естественно опреде¬
лить как минимальное число двоичных единиц, необходимое для
его воспроизведения с заданной точностью, т. е. «ак минимум
1{Х, Xv ), взятый по всем w(x|xv ) (по всем способам воспроизве¬
дения), при которых погрешность воспроизведения имеет заданную-
величину ео:
(5.14>
Под погрешностью воспроизведения ео будем понимать средне¬
квадратичное уклонение xv от х. т. е.
(5-15)
где Ое — дисперсия уклонения е=х—х v (полагаем при этом, что-
x=xv, т. е. систематическая погрешность отсутствует). Выбор та¬
кого критерия точности воспроизведения соответствует выбору
гильбертовой метрики в пространстве сообщений и сигналов*
(п.1.1). Вообще говоря, возможны и другие критерии. Количество¬
собственной информации 1(Х), найденное по ф-ле (5.14) при том
или ином способе определения погрешности ео, называют эпсилон-
энтропией Не (X) [23].
5.2. ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ И ИЗБЫТОЧНОСТЬ
ИСТОЧНИКОВ СООБЩЕНИИ
Определения производительности и избыточности. Количества
собственной информации 1'(А), содержащееся в сообщении A(t)
за одну секунду, называется производительностью источника сооб¬
щений. Производительность измеряется в двоичных (или других)
единицах количества информации за секунду. Если сообщение
А (t) может быть представлено последовательностью {Aj} дискрет-
— 183 —
ных элементов а или непрерывных отсчетов а, следующих со скоро¬
стью va отсчетов или элементов за секунду, то
(5.16)
где 1(A) — количество собственной информации в элементе или
отсчете.
При заданных физических характеристиках (производительность
источника полностью определяется статистикой сообщения. Варьи¬
руя эту статистику, можно найти максимально возможное при дан¬
ных физических характеристиках значение производительности
АшссИ)- Отношение —^ характеризует степень насыщен-
^макс(^)
ности сообщения информацией. Величину
(5.17)
называют избыточностью источника. Избыточность указывает сте¬
пень недоиспользования физических характеристик сообщения.
Производительность дискретного источника. Для дискретного
источника Aj = a = 0, ..., та—1 и 1(A) =Н(А), где Н(А) —энтропия
одного элемента (п. 5.1). Производительность дискретного источ¬
ника
(5.18)
равна энтропии последовательности {Aj} за секунду Н'(А). Будем
в дальнейшем полагать последовательность {Aj} эргодичной. Ис¬
точник при этом также называют эргодичным.
Если элементы последовательности {Aj} независимы (источник
без памяти), то в соответствии с (5.2)
(5.19)
Пусть, например, та=4, (причем
р(0) = 0,5; р( 1) = 0,25; р(2) = р(3) = 0,125. (5.20)
Тогда
Если (последовательность {Aj} является простой, т. е. односвяз¬
ной цепью Маркова (простой марковский источник), т. е.
Р («/!«/_р . . .) = p(al\aj_l) = p(a/+2|a/+1) = р(а2|ах)
(см. п. 1.4), то неожиданность элемента а2 в соответствии с п. 5.1 за¬
висит от элемента а{ и равна —log p{a2\ai). Энтропия Н(А) в этом
— 184 —
случае представляет собой усредненную по всем значениям эн¬
тропию Я(Л2|а1) относительно аг:
Сопоставляя (5.21) с (5.6), видим, что энтропия простого мар¬
ковского источника равна условной неопределенности ff(A2\Ai)
относительно последующего элемента при известном предыдущем.
(5.23)
— энтропия двумерного распределения. Пусть, например, та = 4
и матрица переходных вероятностей (1.81), определяющая простую
цепь Маркова, имеет вид
(5.24)
(аь аг—0, 1, 24 3). Решая систему (1.82), находим, что одномерное
распределение вероятностей для данного источника равномерно:
р(0) =р(1) =р(2) =р(3) =0,25. Поэтому энтропия одномерного рас¬
пределения //i(Л) = log 4 = 2. Двумерное распределение в соответст¬
вии с соотношением р(аi, аг) =p(at) p(a2\ai) имеет вид:
Поэтому энтропия двумерного распределения
Тогда энтропия источника Н(А)= 3,75—2=1,75 дв.ед/элемент.
— 185 —
Учитывая (5.6) и соотношение
ставить (5.21) в виде
где Hi(A) —энтропия одномерного, а
Аналогичным образом показывается, что если последователь¬
ность {Aj} является /г-овязной цепью Маркова, т. е.
то энтропия элемента
где
— энтропия v-мерного распределения p{alt..., av).
Для произвольного стационарного источника Н(А) =
= \im[Hn+i(A)—Нп(А)], так как любой стационарный дискретный
Л—►ОО
процесс можно рассматривать как однородную марков¬
скую цепь достаточно большой связности. В то же время
Л (Л) = lim — , так как с ростом длины блоков п уменьшает-
/1—^00 ТЬ
ся зависимость между ними (она обусловлена вероятностными свя¬
зями между элементами различных блоков) и Нп(А) приближает¬
ся к энтропии блока длины /г.
Избыточность дискретного источника. Для нахождения макси¬
мально возможной производительности /'макс (А) и избыточности
:р(Л) дискретного источника с заданными физическими характери¬
стиками va, ma необходимо определить статистику последователь¬
ности {Aj}, которая максимизирует энтропию позиции #(Л).
При заданном одномерном распределении р(а) энтропия Н(А)
максимальна, если у источника отсутствует память: вероятностные
зависимости между позициями уменьшают среднюю неожидан¬
ность каждого очередного элемента сообщения Покажем это
«формально, сравнив условную энтропию H(X\Y) с безуслов¬
ной Н(Х).
имеем
Воспользуемся соотношением
Следовательно,
(5.26)
Равенство в (5.26) имеет место только в том случае, если
Р(х\у) = р(х) при всех х, у (что соответствует v= 1*в ф-ле (5.25)).
т. е. если X и Y .независимы.
Энтропия источника без
памяти (5.19) является безус¬
ловной, а всякого источника с
памятью, в том числе просто¬
го марковского (5,22) — ус¬
ловной энтропией позиции. По¬
этому из (5.26) следует, что
при заданном одномерном
распределении р(а) энтропия
источника максимальна при
отсутствии памяти, когда
H(A)=Hi(A). Следо-вательно,
-^макс (А) —Hi макс (А) , И ОСТа-
ется найти одномерное рас¬
пределение р(а), максимизи¬
рующее Hi(A).
Неопределенность относи¬
тельно реализации элемента
при заданном числе его воз¬
можных значений та мак¬
симальна, если все возмож¬
ные реализации (значения
этом р(а) = — , для а = 0,..., та— 1 и Ht(A) =log ma. Всякое раз-
Ма
личие в вероятностях р{а) уменьшает среднюю неожиданность эле¬
мента. Если одна из вероятностей р(а) достигает значения 1
(остальные р{а) при этом равны 0), то процесс становится детер¬
минированным и неопределенность отсутствует. Последнее под¬
тверждается соотношением! logl + (ma—1)0 log 0 = 0. Первое ут¬
верждение формально доказывается на основе соотношения (5.25),
из которого следует, что
5.4. Иллюстрация соотношения
In vj^v—1
элемента) равновероятны. При
вытекающим из того факта, что угол наклона lnv к оси абсцисс
(рис. 5.4) — In v = — , при v< 1 больше, а при v> 1 меньше угла
d v v
наклона прямой v—1. Учитывая, что log v = loge In v, получаем
или
(5.27)
т. е. Hi(A) ^logm0.
Для двоичных источников (та=2), одномерное распределение
которых определяется вероятностью любого из двух значений эле¬
мента, например р(0), приведенный результат может быть полу¬
чен непосредственно из соотношения
Зависимость Н1(А) =Н(А) энтропии двоичного источника без
памяти от вероятности р(0) приведена на рис. 5.5.
Таким образом, энтропия Н(А) дискретного источника с задан-
мым пга максимальна при отсутствии памяти и равновероятности
всех возможных значений элементов и равна
Соответственно максимально возможная производительность и
.избыточность источника с заданными ma, va
(5.29)
Например, для четверичного (пга=4) источника НМШС(А) =
= log 4 = 2. Поэтому избыточность источника без .памяти, но с не¬
равновероятными элементами
(5.20), а также источника с
равновероятными элементами,
но имеющего память (5.24),
составляет
Производительность непре¬
рывного источника дискретно¬
го времени. Для нахождения
производительности (5.16) не¬
прерывного источника дискрет¬
ного времени необходимо оп¬
ределить количество собст¬
венной информации 1(A) в
непрерывном отсчете А, т. е. эп¬
силон-энтропию отсчета Не (А)
(п. 5.1).
Если отсчеты Aj независимы, то в соответствии с (5.14)
:5.5. Зависимость энтропии двоичного
, источника без памяти от вероятности
одного из элементов
— дифференциальная энтропия отсчета А и условная дифферен¬
циальная энтропия отсчета А, воспроизводимого как Лу соответст¬
венно, а максимум берется по всем распределениям w(a\av ), при
которых отклонение г—а—а7 истинного значения отсчета а от вос¬
производимого av имеет заданную дисперсию о\ = е2=ео.
Поскольку w(a\d*) = a>(av+e|av) = w(s\av), то Л(Л|Л7)
равна условной дифференциальной энтропии /г(Е|Л7 ) отклонения
е при известном воспроизведенном значении av. Тем же методом,
что и при выводе (5.26), можно убедиться, что оно справедливо и
для дифференциальных энтропий, т. е.
h(X\Y)^h{X). (5.31)
Поэтому энтропия /г(Е|Л’) при прочих равных условиях макси¬
мальна, если отклонение 8 не зависит от av. Таким образом,
оо
max h (Л|ЛУ) = шаxft(£), гдей(£) =— Г w (е) ’og w (s) d e — диф-
w (a|av) ш(е)
ференциальная энтропия отклонения е, и максимум берется по всем
распределениям до(е), при которых дисперсия а\ =е02. Следует,
однако, заметить, что независимость е от av возможна не при вся¬
ких w(a).
При заданной дисперсии энтропия hi(X) максимальна при
х*
1 *4
нормальном распределении w(х) = — е , когда h(X) =■
У 2яч*
= log |/"2я е а2. Действительно, для произвольного распределения
w(x), при котором х=0, х2= ol,, имеем
— 189 —
Поэтому
или, в силу соотношения (5.25),
h (X) ^ log j/ 2ir е о%.
(5.32>
Равенство в (5.32) имеет место, когда распределение w(x) нор¬
мально.
Таким образом, при распределениях w(a), допускающих неза¬
висимость е от av, количество собственной 'информации в незави¬
симом отсчете, воспроизводимом с погрешностью ео=ае,
(5.33>
Избыточность непрерывного источника дискретного времени.
Максимальное значение производительности Гмакс И) и избыточ¬
ность р(Л) непрерывного источника дискретного времени с задан¬
ной скоростью отсчетов va зависят от ограничений, налагаемых на.
отсчеты А]. Эти ограничения определяют hMdiKC(A) =hlMdiKc(A) (в
силу (5.31) h(A) максимальна при независимости отсчетов).
При заданной дисперсии отсчета о2а (что соответствует заданию
средней мощности при непрерывном времени) в силу (5.32) диффе¬
ренциальная энтропия h(A) максимальна в случае нормального
распределения отсчетов w(A) и равна hMaKC(A) = logJ/r2леа^ При
нормальном w(a) возможна независимость е от av. Поэтому из-
(5.33)
Максимально возможная производительность и избыточность
источника с заданными va, оа и ае=ео соответственно составляют
Производительность и избыточность непрерывного источника
непрерывного времени. Непрерывное сообщение непрерывного вре¬
мени с шириной спектра Fa в соответствии с теоремой Котельникова
(п. 1.3) может быть представлено последовательностью {Aj} непре¬
рывных отсчетов, следующих со скоростью va = 2Fa. Поэтому про¬
изводительность непрерывного источника непрерывного времени в
соответствии с (5.16) I'(A)=2FaI(A). Если п,ри этом отсчеты неза¬
висимы, то в соответствии с (5.33)
где Ре = о2 = 8q — мощность ошибки воспроизведения.
Производительность непрерывного источника непрерывного вре¬
мени при заданной ширине спектра Fa, средней мощности сообще¬
ния Ра = о2а и погрешности Ре = о\ = максимальна, если отсчеты,
— 190 —
взятые со скоростью 2Fa, независимы и имеют нормальное распреде¬
ление. Эта условия выполняются, если сообщение имеет характе¬
ристики гауссова белого шума (п. 1.4). Тогда в соответствии с
(5.35)
где Da — динамический диапазон сообщения (п. 1.8). Соотношение
(5.37) непосредственно выражает максимально возможную цроиз-
водительность непрерывного источника непрерывного времени че¬
рез физические характеристики непрерывного сообщения. Сопо¬
ставляя (5.37) с (1.172), видим, что объем Va сообщения за время
Т равен максимальному количеству информации, которое может со¬
держаться в этом сообщении.
5.3. СКОРОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
И ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КАНАЛА
Определения скорости передачи информации и пропускной спо¬
собности. Количество информации /'(^,S) относительно сообщения
A(t), содержащееся в сигнале S(t) на входе канала за секунду,
назовем скоростью ввода информации в канал. При разумном по¬
строении передатчика сигнал содержит всю информацию, позволя¬
ющую восстановить сообщение с заданной точностью (дискретное
сообщение — с абсолютной точностью). Поэтому /'(Л, S)=I'(A).
Скорость ввода информации можно считать также равной количе¬
ству собственной информации I'(S) в сигнале за секунду. Если сиг¬
нал S(t) может быть представлен последовательностью {S*} дис¬
кретных символов или непрерывных отсчетов, следующих со ско¬
ростью vs = vw то r(S)=vKI(S), где I(S)—количество собствен¬
ной информации в символе или отсчете.
Количество информации /'(Л, S*) относительно сообщения A (t),
содержащееся в сигнале S*(t) на выходе канала за секунду, на¬
зывают скоростью передачи информации по каналу. В силу сказан¬
ного выше Г (A, S*)=I'(Sf S*). Если сигнал S*(l) может быть
представлен последовательностью {S*} дискретных символов или
отсчетов с той же скоростью следованиями, то /'(5,5*) =vKI(S, S*),
где /{S, S*)—количество информации в выходном символе или
отсчете относительно входного, называемое скоростью передачи
информации на символ или отсчет. Если передаваемые символы
или отсчеты независимы, а канал стационарен и не имеет памяти
(ошибки и стирания или отсчеты помехи независимы), то в соот¬
ветствии с (5.8)
Здесь H(S)f H(S*)—энтропии входного и выходного символа или
отсчета, a tf(S|S*), H(S*\S) —их условные энтропии (неопреде-
— 191 —
ленности) при знании выходного и входного символа или отсчета,
обусловленные неоднозначностью соответствия S-»-S* (за счет по¬
мехи или ошибок и стираний). Формула (5.38) показывает, что
скорость передачи информации зависит и от статистики передавае¬
мого сигнала и от свойства канала.
Максимальное (по всем статистикам сигнала S(t), которые воз¬
можны для данного канала) значение скорости передачи информа¬
ции называют пропускной способностью канала С. Обозначим ус¬
ловно статистику сигнала через p(s). Тогда C = max I'(S, S*). Ес-
P(sj
ли сигналы s(t), s*(t) могут быть представлены последовательно¬
стями {5,}, {5*}, то
где Ci — пропускная способность на символ или отсчет. Пропуск¬
ная способность канала является характеристикой его самого и не
зависит от статистики сигнала.
Скорость передачи и пропускная способность дискретного ка¬
нала. Сигналы S(t)=B(t) на входе и S*(t)=B*(t) на выходе
дискретного канала могут быть представлены последовательностя¬
ми, которые в соответствии с п. 4.3, будут обозначаться {Вг}, {ВД,
где
Скорость ввода информации в дискретный канал /'(В) =vKH(B),
где Н(В)—энтропия входного гимипля. кптппяя Tin И независимо¬
сти позиций {Вг} равна
Если при этом дискретный канал не имеет памяти, то скорость
передачи информации на символ
— энтропия выходного символа,
— условные энтропии -выходного символа при известном входном,
и наоборот (смысл и определения вероятностей /?(&*), р(6*|6),
p(b\b*) приведены в п. 4.3).
— 192 —
Если дискретный канал без памяти симметричен, т. е. b* = 6$ et,
где {Ег} — мешающая случайная последовательность, не завися¬
щая от {Bi}, Ei = e = 0, m„—1, 0 (п. 4.3), то в соответствии с
(4.15) p(b*\b) =р(е). Тогда неопределенность
к
равна энтропии мешающего символа Н (Е) — Ях (Е) = — р (е)х
8=0
Xlogp(е).Таким образом, для симметричного канала без 'памяти
скорость передачи информации на символ
В канале со стиранием без ошибок неопределенность относи¬
тельно b возникает лишь при стирании принимаемого символа
(6*=0), вероятность чего в симметричном канале р(6*= 6) = рв.
Эта неопределенностьН(В10) =Н(В), так какр(610) =р(Ь). Таким
образом, в симметричном канале без ошибок Н(В\В*)=рй Н(В) и
Пропускная способность дискретного канала без памяти насим-
вол в соответствии с (5.39), (5.40)
Для симметричного канала без памяти в соответствии с (5.41)
Таким образом, пропускная способность симметричного канала при
заданных ограничениях тем меньше, чем больше энтропия мешаю¬
щего источника Н(Е).
Для симметричного канала без памяти, не вносящего стира¬
ний, ^максимальное значение энтропии Н(В*) выходного символа
достигается при статистике р(Ь), максимизирующей энтропию
Н(В) входного символа. Действительно, в соответствии с п. 5.2 эн¬
тропия Н(В*) максимальна и равна НМ&КС(В*) = logmK, если пози¬
ции последовательности {£*} независимы и все выходные символы
равновероятны р (Ь*) = —. Независимость позиций {В* } в канале
тк
без памяти достигается при независимости позиций {В<}. Равнове-
7—662 — 193 —
роятность выходных символов Ь* в симметричном канале без сти¬
рания достигается при равновероятности входных символов Ь:
Таким образом, для рассматриваемого канала пропускная способ¬
ность на символ
Она реализуется при безызбыточном входном процессе {Вг}- По¬
скольку в канале без памяти Н(Е)=Н1(Е) и в соответствии с
п. 4.3 р(е=0) — \—ре, р(е= 1) =р(е = 2) = ... =p(e=mK—1), то в
данном случае
Если при этом вероятность ошибки ре=0, то Н(Е)= 0 и Ci = logmK.
Если ре = 1 , то Н(Е) =logmK и Ci=0. Для двоичного сим-
тк
.метричного канала без памяти при отсутствии стираний
S.6. Зависимость пропускной способ¬
ности двоичного симметричного ка¬
нала без памяти, не вносящего сти¬
раний, от вероятности ошибки
5.7. Зависимость пропускной способно¬
сти двоичного симметричного канала, не
вносящего ошибок, от вероятности сти¬
рания
(см. рис. 5.6). Отметим, что Ci=l, если ре=0 или ре— I (в по-
следнем случае также нет неопределенности Н(В\В*)), и С4=0,-
если ре=0,5.
Для симметричного канала без ошибок из (5.42) имеем С4 =
= (1—ре) шах Н(В) или Ci=(l—р6 )logmK (см. рис. 5.7), что-
Р (М
также соответствует безызбыточному .процессу {fif}.
Соотношение (5.45) справедливо и для симметричного канала с
памятью. Оно показывает, что при заданной вероятности ошибки'
в канале ре пропускная способность минимальна в канале без па.-
мяти (память уменьшает неопределенность Н(Е)).
Скорость передачи и пропускная способность непрерывного ка¬
нала дискретного времени. Сигналы на входе и выходе непрерыв¬
ного канала дискретного времени могут быть представлены после¬
довательностями непрерывных отсчетов {5,}, {S*}.
Скорость ввода информации в такой канал J'(S) = vKI(S), где
I(S) —количество собственной информации в отсчете, которое, как
и для непрерывного сообщения, не равно энтропии отсчета (п.5.1).
Если передаваемые отсчеты независимы и независимо преобра¬
зуются каналом (отсчеты помехи независимы), то скорость переда¬
чи информации на отсчет в соответствии с (5.38), (5.11)
I (S, S*) - h (S) — [h (SIS*) = h (S*) — h (S*|S), (5.48)
где дифференциальные и условные дифференциальные энтропии оп¬
ределяются в соответствии с (5.3), (5.9).
Если при этом помеха аддитивна (s*=s + £) и не зависит от пе¬
редаваемого сигнала, 'то w(s* |s) = a>(s+£|sj =ш(£); w(s*, s) =
= w(t)w(s) и условная дифференциальная энтропия в соответствии'
с (5.9)
•о
равна энтропии отсчета помехи A(Z) = — j* a>(£) log w(Qd £. Тогда'
скорость передачи информации на отсчет равна разности диффе¬
ренциальных энтропий отсчетов выходного сигнала и помехи
причем
В этом отношении непрерывный канал с аддитивной оомехой
аналогичен симметричному дискретному каналу.
7* — № —
Пропускная способность непрерывного канала дискретного вре¬
мени, отнесенная к одному отсчету, при независимости отсчетов по¬
мехи в соответствии с (5.39), (5.48)
Для канала с аддитивной помехой в соответствии с (5.49^
При заданной дисперсии помехи ее дифференциальная энт¬
ропия максимальна и равна h(Z) =hMai<c(Z) = log]/2яеа\ при нор¬
мальном распределении до(£) (п.5.2). Пропускная способность при
этом минимальна. В этом смысле гауссова помеха наиболее опасна
для передаваемой информации.
Дифференциальная энтропия выходного отсчета h(S*) при про¬
чих равных условиях максимальна, если эти отсчеты независимы
(п.5.2). При независимых отсчетах помехи для этого должны быть
независимы передаваемые отсчеты. Если ограничена дисперсия
входного отсчета о^ = (Тк> то П‘РИ заданном канале (при ограничен¬
ной дисперсии помехи о\) ограничена и дисперсия с^* выходного
отсчета. В этом случае дифференциальная энтропия выходного от¬
счета (5.50) максимальна, если эти отсчеты имеют нормальное
распределение o;(s*). Если помеха нормальна, то это достигается
при нормальном распределении передаваемых отсчетов w(s). При
этом ag* = а*+ас2 и h(s*) =log ]/" 2яе(а* + о\).
Таким образом, пропускная способность непрерывного канала
дискретного времени, отнесенная >к одному независимому отсчету,
при гауссовой помехе и ограниченной дисперсии входного отсчета
и реализуется при гауссовом распределении входных отсчетов (и
их независимости).
При заданных аю ас (5.53) представляет собой минимальное
значение С4. При негауюсовой помехе и при зависимых отсчетах по¬
мехи пропускная способность повышается.
Формула (5.53) показывает, что при неограниченном уменьше¬
нии помехи в рассматриваемом канале (ас->0) его пропускная спо¬
собность неограниченно возрастает (Сг-^оо). В нуль (Ci-Я)) про¬
пускная способность обращается лишь при нулевом сигнале (ак->0)
или бесконечно большой помехе (ас-^оо). Если ас =аю то Ci = 0,5.
Скорость передачи и пропускная способность непрерывного ка¬
нала непрерывного времени. Непрерывный канал непрерывного
времени с полосой пропускания FK (п.4.2) может быть сведен к не¬
прерывному каналу дискретного времени со скоростью следования
отсчетов vK=2FK.
— 196 —
Если помеха аддитивна и .представляет собой гауссов белый
шум с шириной спектра F„, то ее отсчеты независимы (in. 1.4) и ско¬
рость передачи информации I'(S, S*)=vKI(S, 5*) в соответствии
с (6.49)
Г (S, S*) = 2FK [Л (5*) - log , (5.54)
где h(S*)—дифференциальная энтропия отсчета выходного сиг¬
нала, Pc = GcFK=ac2 — средняя мощность помехи, G; — ее спек¬
тральная плотность ('п.4.2).
Пропускная способность рассматриваемого гауссова непрерыв¬
ного канала непрерывного времени определяется максимизацией
(5.54), а следовательно, h(S*) по всем статистикам входного сиг¬
нала с заданной средней мощностью Ps = PK = aКак и для непре¬
рывного канала дискретного времени с независимыми гауссовыми
отсчетами помехи, максимум /t(S*) достигается, если отсчеты вход¬
ного сигнала независимы и имеют нормальное распределение. Тог¬
да в соответствии с (5.53) пропускная способность гауссова канала
C^FK\og{l+-^^FK\og(l + (5.55)
Она реализуется, если передаваемый сигнал имеет такие же ха¬
рактеристики, что и гауссов белый шум.
При заданной полосе пропускания FK и отношении сигнала к по¬
мехе р1- = h2, (5.55) представляет собой наименьшее значение
пропускной способности. Если распределение помехи не нормально
или она не является белым шумом (т. е. ее отсчеты зависимы), то
пропускная способность больше (5.55).
5.8. Зависимость пропускной способности гауссо¬
ва канала с заданными Рк и Gq, от ширины по¬
лосы пропускания FK
Из {5.55) видно, что С->оо при Gc -Я) и С-*О ,приОс-^оо или
Рк-^0. При неограниченном расширении полосы пропускания
(FK-+-оо) и заданной спектральной плотности мощности помехи G
- 197 -
и мощности сигнала Рк пропускная способность рассматриваемого
канала стремится к постоянной величине
(см. рис. 5.8). Таким образом, для передачи за секунду 1 дв.ед
информации по гауссову каналу нужна мощность сигнала, не мень¬
шая _Если h 2Э" 1, то пропускная способность С .
5.9. Зависимость пропускной способности
гауссова и двоичного симметричного кана¬
ла без памяти на 1 гц полосы пропуска¬
ния от отношения сигнала к помехе
FK log ^
близка к произведению фи¬
зических характеристик ка¬
нала (п. 4.2). Емкость каня^
ла за время Т при этом
VK «СГ.
Сопоставление пропуск¬
ных способностей дискрет¬
ного и непрерывного кана¬
лов. Сопоставим пропуск¬
ные способности рассмот¬
ренного гауссова непрерыв¬
ного канала и построенно¬
го на его основе двоич¬
ного симметричного кана¬
ла (п.4.3). Если даже при¬
нять для последнего ско¬
рость передачи символов
vK=2FK, то его пропуск¬
ная способность на герц
полосы пропускания в со¬
ответствии с (5.47)
где /?е = 0,5[1—Ф(ЯК)] (4.20), в то время как для гауссова канала в
Q
соответствии с (5.55) -р= log(l +Л*). При всех ненулевых отноше-
* К
ниях сигнала к помехе пропускная способность непрерывного ка¬
нала больше, чем двоичного (рис. 5.9), и с ростом Ак увеличивает¬
ся неограниченно ^.в то время как для двоичного канала у- -*2j .
Это объясняется тем, что сигналы на выходе дискретного модуля¬
тора не являются гауссовым белым шумом, который реализует
пропускную способность гауссова канала.
- 198 —
5.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ
ИНФОРМАЦИИ
Согласование источников и получателей сообщений с каналами.
Непосредственное подключение источника и получателя сообще¬
ний к каналу возможно сравнительно редко. Для этого прежде
всего необходимо, чтобы физические характеристики сообщений
A (i) (п.1.8) удовлетворяли ограничениям, налагаемым на входной
сигнал S(t) (п.4.1). Так, при дискретных источнике и канале необ¬
ходимо, чтобы та^mK; = при непрерывном — чтобы Ра^Рк,
а полоса частот сообщения укладывалась в полосу пропускания
канала. Но и при выполнении этих требований непосредственное
подключение возможно, если между входным и выходным сообще¬
ниями A(t), Л*(/) допустимы такие же отличия, как между вход¬
ным и выходным сигналами S(/), 5*(/) (на,пример, допустимы
ошибки с вероятностью ре при передаче дискретных сообщений по
дискретному каналу).
Как правило, приведенные условия не выполняются и требуется
согласование источников и получателей сообщений с каналами
связи. Это согласование осуществляется в передатчиках и прием¬
никах. Оно касается в общем случае как физических (перенос
спектра и изменение динамического диапазона модуляцией и де¬
тектированием, согласование va> vK и та, тк кодированием и де¬
кодированием), так и статистических характеристик (пропускная
способность канала реализуется лишь при определенной статисти¬
ке входного сигнала; ослабление случайных отличий, например,
ошибок также требует преобразований, изменяющих статистику
сигнала по сравнению со статистикой сообщения).
Совокупность передатчиков, приемников и каналов связи, обес¬
печивающих передачу сообщений с определенными свойствами, на¬
зывается системой связи (системой передачи информации). В об¬
щем случае система связи содержит произвольное число каналов и
обеспечивает двустороннюю связь произвольного числа источников
и получателей сообщений. Однако в настоящей, а также 6—8-й
главах рассматриваются системы связи с одним источником, одним
получателем и одним каналом связи одностороннего действия. Со¬
ответствие системы связи ее назначению оценивают внешние ха¬
рактеристики. Они касаются в основном трех факторов — скоро¬
сти, верности и своевременности передачи. Качество построения
системы и использование ее каналов оцениваются внутренними ха¬
рактеристиками (эффективностью и помехоустойчивостью).
Скорость передачи информации. Как отмечалось в п. 5.1, объект
передачи в системе связи — информация, позволяющая восстано¬
вить сообщение с нужной точностью. Количество информации
1'{А, Л*) относительно сообщения A(t), которое содержится в при¬
нимаемом сообщении Л*(/) за секунду, называют скоростью пере¬
дачи информации по системе. Если передаваемое и принимаемое
- 199 —
сообщения могут быть представлены последовательностями ди¬
скретных элементов или непрерывных отсчетов {Aj}, {Л*} (воз¬
можностью нарушения синхронизации между ними пренебрежем),
то Г (A, A*)=vaI(A, А*), где 1(А, А*) — скорость передачи ин¬
формации на элемент или отсчет. Для дискретных сообщений
Л, = а = 0,1..., та— 1; Л?=а* = 0,1,..., та— 1, 0 и
I (А, А*) = Н (А)-Н (Л|Л*) = Н (А*) - Н (Л*|Л). (5.56)
Для непрерывных сообщений
I (Л, Л*) = h (Л) — h (Л|Л*) = h (Л*) — h (Л*|Л). (5.57)
Если элементы или отсчеты сообщений и их преобразования в
системе связи независимы, то энтропии, входящие в -приведенные
соотношения, определяются в соответствии с (5.2), (5.6), (5.3),
(5.9). Соотношения i(5.56), (5.57) справедливы и в общем случае,
но энтропии при наличии памяти определяются сложнее.
Скорость передачи информации по системе (как и по каналу)
определяется не только ее построением, но и статистикой сообще¬
ния. Максимально возможное значение этой скорости но всем ста¬
тистикам сообщения с данными физическими характеристиками
назовем пропускной способностью системы: Сс = тах 1'{А, Л*).
Р (а)
При условиях, аналогичных симметрии в дискретном или аддитив¬
ности помехи в непрерывном канале (п.5.3), If {А, Л*)=Сс, если
сообщение безызбыточно.
Верность передачи. Разность Г {А)—/'(Л, Л*) между скоростью
ввода информации в систему, равной производительности источни¬
ка /'(Л), и скоростью выдачи информации получателю, равной ско¬
рости передачи 1'(А, Л*), представляет собой потери информации
в системе связи за секунду. Как видно из (5.56), (5.57), (5.18),
(5.33), эти потери для дискретных сообщений равны условной не¬
определенности Я'(Л|Л*)=1>«Я(Л|Л*) относительно передаваемо¬
го сообщения при известном принимаемом, а для непрерывных
2Fa[h{A |Л*)— log]/ 2 nePsl где Р =е*— заданная погрешность
воспроизведения. Потери информации зависят от случайных разли¬
чий между передаваемым и принимаемым сообщениями (ошибок,
стираний, наложения помехи) и могут использоваться для характе¬
ристики верности передачи. Однако удобнее оценивать верность
непосредственно.
Верность передачи представляет собой меру соответствия при¬
нятого сообщения Л*(/) переданному A{t). Различие реализаций
a(t), a*(t) на некотором отрезке времени Т может быть оценена
расстоянием d(at a*)=d в той или иной метрике. Выбор метрики
зависит от характера сообщений и их использования получателем.
Критерием верности может служить среднее расстояние d (по ан¬
самблю реализаций) или вероятность p(d^d0) того, что это рас-
— 200 —
стояние не превысит некоторого значения d0. В последнем случае
для численной оценки верности удобна мера log = —
Для непрерывных сообщений чаще всего пользуются метрикой
— УРЯТ, где Ре — мощность ошибки e(t)=a(t)—а*(^), обуслов¬
ленной помехой в канале, которую можно назвать также
мощностью эквивалентной помехи (ее следует отличать от задан¬
ной погрешности воспроизведения ео, не связанной с каналом, см.
п. 5.1). Часто пользуются динамическим диапазоном принима¬
ла*
емого сообщенияDa* = log—— . Возможны и другие критерии
Р.
как заданной, так и фактической ошибки (п.8.1).
Для дискретных сообщений чаще всего пользуются метрикой
Хэмминга (п. 1.1) и принимают критерий p(d^O) =рщ» где рпр —
вероятность правильного приема сообщения. При отсутствии сти¬
раний 1—Pnp = /?(d>0) =р<шь где рот — вероятность неправильно¬
го декодирования сообщения, т. е. наличия в нем хотя бы одной
ошибки. Если неправильное декодирование сообщения приводит к
худшим последствиям, чем его стирание (выдача получателю сим¬
волов 0), то верность передачи оценивают по двум критериям:
рот и вероятности стирания сообщения рст. Вероятности р0ш и рст
определяются аналогично вероятностям ошибки ре и стирания рь
символа в канале (п.4.3).
Своевременность. В ряде случаев, помимо верности, имеет
значение своевременность поступления сообщений получателю.
Своевременность характеризуется задержкой, т. е. смешением во
времени принимаемого сообщения относительно передаваемого.
Чрезмерная задержка может привести к 'старению информации, за¬
труднению обмена сообщениями при двусторонней связи и другим
последствиям. Задержка сообщения в системе связи обусловли¬
вается задержкой сигналов в канале и задержкой при преобразо¬
ваниях в передатчике и приемнике. Например, при блочном ко¬
дировании {п. 2.6) задержка, как правило, не может быть меньше
длительности п элементарных сигналов, где п — длина кодовой
комбинации. Помимо своевременности, эта задержка характери¬
зует объем памяти, а следовательно, сложность передающего и
приемного оборудования.
Эффективность и помехоустойчивость. Эффективностью системы
назовем отношение ее пропускной способности к пропускной спо-
1 — р (d<d0)
— log p(d>d0).
Гильберта (п.1.1). При этом
— 201 —
Q
собности канала у]с Часто пользуются также (понятием эффек-
V (А Л*)
тивности передачи у\п= '—которая, в отличие от т]с, зависит
С/
не только от системы связи, но и от источника сообщений. Повыше¬
ние эффективности позволяет передавать больше информации по
тому же каналу или пользоваться более дешевым каналом (с мень¬
шей С) для передачи той же информации. Из определений /'(Л, Л*),
Сс, С следует, что г)п^г)с^ 1. Заметим, что скорость ввода ин¬
формации -в систему (производительность -источника) Г (А), вооб¬
ще говоря, может превышать пропускную способность. Однако при
1/(А)>С потери информации -в системе не могут быть меньше
I (А)—С. Это, естественно, не означает еще отсутствия потерь
информации (абсолютной верности передачи) при /7(Л)<С. Как
правило, надлежащим согласованием удается добиться, чтобы по-
V М)
тери информации были невелики и т]п~ —— .
— С
Помехоустойчивостью называют способность системы противо¬
стоять вредному действию помех. Столь же четкой количественной
оценки, как эффективность, она не имеет. Обычно оценка помехо¬
устойчивости hoght сравнительный характер. Более помехоустой¬
чивой является система, которая обеспечивает большую верность
передачи при заданном канале или заданную верность при худ¬
шем канале.
5.5. СОГЛАСОВАНИЕ ДИСКРЕТНОГО ИСТОЧНИКА
С ИДЕАЛЬНЫМ ДИСКРЕТНЫМ КАНАЛОМ.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ КОДИРОВАНИЕ
Задачи статистического кодирования. При достаточно малых ве¬
роятностях ре, рв приемлемой идеализацией является представле¬
ние о дискретном канале без ошибок и стираний. Пропускная спо¬
собность такого канала C = vK\ogmK (tn. 5.3). Естественно поставить
вопрос о полном согласовании источника и получателя с таким
каналом, т. е. о передаче информации без потерь со скоростью,
равной пропускной способности,
г (Л, Л*) = vaW (Л) = vK logmK = С; 71п = 1, (5.58)
когда число t> = — кодовых сим!В0Л0В, приходящихся в среднем
Va
на один элемент сообщения, равно минимально возможному зна-
Н (А) „
чению рМин = —— . При этом каждый тк-ичныи кодовый сим-
log пгк
вол В г содержал бы log mK дв. ед. информации и избыточность
кодовой последовательности {В<}
Р(В)_1 «1М)_ = 1_ т__1_ДН (5.59)
Я»„,(Я я.,КС (В) |С*
равнялась бы нулю.
— 202 —
Если источник сообщений не имеет избыточности (р(Л)=0,
Н(А) = //Мако(А) = log nta), то поставленная задача решается авто¬
матически, непосредственным подключением его к каналу, если
ma = mK, или простейшим согласованием с помощью равномерного
блочного кодирования, если тафтк, но существуют целые числа
кип, при которых тКа= т* (п. 2.6).
Если источник имеет избыточность р(Л)>>0, то простейшее со¬
гласование приводит к избыточности кодовой последовательности
р(В)>0. Для передачи без потерь в этом случае на один элемент
* ^ Н (А)
сообщения должно приходиться jj > тк-ичных кодовых сим-
log тк
волов, и канал должен иметь пропускную способность С = vK log mK,
большую производительности источника Н'(А) (г]п<1). Так, для
четверичных {та = 4) источников (5.20) и (5.24) с энтропией
#(Л) = 1,75 дв. ед/элемент и избыточностью р(А) =0,125, при от¬
сутствии согласования должен быть использован четверичный ка¬
нал со скоростью передачи символов vK = va(\i= 1), а при простей¬
шем согласовании может быть использован, например, двоичный
канал со скоростью передачи символов i>K=2aa(|ui = 2). В обоих
случаях пропускная способность канала С = 2va и т]п =
= 1= 0,875.
Для повышения эффективности передачи сообщение {Aj} долж¬
но быть закодировано таким образом, чтобы избыточность р(В)
кодовой последовательности {Bi} была бы возможно меньше. Ко¬
ды, обеспечивающие такое преобразование {Л?}-^{Вг}, называют
статистическими. Покажем возможность повышения эффективности
на простейших примерах, после чего выясним предельные возмож¬
ности статистического кодирования.
Сокращение избыточности, обусловленной неравновероятностью
элементов сообщения. Если источник не имеет памяти и избыточ¬
ность р (А) обусловливается лишь неравновероятностью элементов
сообщения, то она может быть ухменьшена кодированием наиболее
вероятных элементов сообщения (или отдельных сообщений) в
наиболее короткие, а наименее вероятных — в наиболее длинные
кодовые комбинации.
Наибольшее снижение избыточности (наименьшее значение jm,
возможное при данных та, р(а), тк) достигается кодированием по
методу Фано-Шеннона-Хафмена [40]. Построение по этому методу
двоичного (та = 2) кода для пятеричного (тк=5) источника без
памяти, описываемого распределением,
р(0) = 0,4, р( 1) = 0,35, р(2) - 0,10, р(3) - 0,10, р(4) = 0,05,
для которого
f/ (A) = Н1 (Л)Н1,94, Нткс (ЛНlog 5 = 2,32, р (Л) = 0,164,
поясняется рис. 5.10. Для выбора кодовых комбинаций элементы
сообщения выписываются :в порядке убывания их вероятностей.
— 203 —
Далее два наименее вероятных элемента объединяются в один, и
тем же способом (в порядке убывания вероятностей) выписывает¬
ся вспомогательный ансамбль, состоящий из та—2 исходных и од¬
ного объединенного элемента (вероятность последнего равна сум-
5.10. Пример двоичного кода Хафмена для .пятеричного источника
ме вероятностей объединяемых). Затем вспомогательный ансамбль
подвергается аналогичному преобразованию и т. д. до получения
ансамбля из одного элемента, имеющего вероятность /?(0)+...+
+р(та— 1) ='1.
Кодовые комбинации для каждого элемента находятся по графу
(п. 2.6), отображающему описанные операции. Так, для приведен¬
ного примера 0«—*1; 1—*00; 2<—>011; 3«—Ч),100; 4«—*0101 (перемеще¬
ние по графу вниз соответствует символу 1, перемещение вверх —
символу 0). При этом среднее число двоичных символов на эле¬
мент сообщения
и может быть использован двоичный .канал со скоростью следова¬
ния символов vK = 2va, т. е. с пропускной способностью C = 2va =
= 1,03 Н'(А) —* ед' (г]п=0,97; р(В)=0,03). Можно показать, что
сек
никакой другой код не может дать меньших ц и р(В).
Если /77a=2v и р(а) = 2~\ где у, уа — целые числа, то каж¬
дый узел графа соответствует лезавиоимому выбору из двух рав¬
новероятных возможностей. При этом каждый двоичный кодовый
— 204 —
символ содержит 1 дв. ед. информации, и код Фано-Шеннона-Хаф-
мена устраняет избыточность полностью. Так, при кодировании чет¬
веричного источника (5.20) в соответствии с графом рис. 2.10 по¬
лучаем (ы=1,75, ок=1,75 va, С = 1,75 va = H'(A), т]п=1, р(б) = 0.
В силу неравномерности рассмотренных кодов и случайного
характера сообщения {Aj} передача без потерь информации с по¬
стоянной скоростью следования кодовых символов vK -может быть
обеспечена лишь при наличии буферного накопителя с неограни¬
ченной памятью и, следовательно, (при допустимости неограничен¬
ных задержек.
Сокращение избыточности, обусловленной памятью. Избыточ¬
ность, обусловленная памятью источника, не может быть умень¬
шена при независимом кодировании отдельных элементов.
Если источник является v-связньш марковским, то уменьшение
избыточности может быть достигнуто кодированием по методу
(v+1)-грамм, когда каждая очередная кодовая комбинация сос¬
тавляется в зависимости от очередного и v предшествующих эле¬
ментов сообщения и отображает не сам элемент, а его изменение
(как в дельта кодах — п. 2,6). Код при этом может составляться
по принципу Фано-Шенноиа-Хафмена: наиболее вероятные изме¬
нения отображаются наиболее короткими 'комбинациями. Так, для
односвязного (простого) марковского источника (5.24) может быть
использовано кодирование по методу диаграмм (v+1 =2) в соот¬
ветствии с таблицей, где ai — предыдущий, (/+1)-й, а аг—очеред¬
ной (/+2)-й элемент. Тог¬
да, например, последова¬
тельности элементов {а^} ...
00013203110 ..следующих
за нулевыми элементами,
соответствует кодовая по¬
следовательность {bi} . . .
Ill 01 000 01 001 000 000
1 01 ... (второй 0 в {а?},
следует за 0, поэтому ему
соответствует 1 в {bi}, эле¬
менту 3, следующему за 1, со¬
ответствует 000 и т. д.). При этом среднее число двоичных кодовых
символов на один элемент сообщения fx = 4 • 0,25 (1*0,5 + 2*0,25 +
+ 3*0,125 + 3*0,125) = 1,75 дв. симв/элемент и избыточность р (В) =
= 0. При других p(a2\ai) может иметь место лишь частичное
устранение избыточности.
Универсальный способ уменьшения избыточности, обусловлен¬
ной памятью источника, — укрупнение. При этом кодирование осу¬
ществляется длинными блоками. Вероятностные связи между бло¬
ками меньше, чем между отдельными элементами сообщения и
чем длиннее блоки, тем меньше зависимость между ними. Смысл
укрупнения может быть пояснен на примере буквенного текста.
Если вероятностные связи между буквами в любом языке отно-
— 205 —
<сительно сильны, то между словами онь значительно меньше, еще
меньше между фразами, еще меньше между абзацами. Поэтому,
применяя кодирование слов, фраз, абзацов и т. д., мы можем до¬
статочно полно устранить избыточность, обусловленную вероятно¬
стными связями Естественно, при этом возрастает задержка.
Предельные возможности статистического кодирования. Одним
из основных положений теории передачи информации является
первая теорема Шеннона, согласно которой при любой статистике
источника существует код, позволяющий при отсутствии ограни¬
чений на задержку получить среднее число |л кодовых символов
на элемент сообщения, сколь угодно близкое к минимальному зна¬
чению
Докажем эту теорему для источника без памяти, имея при этом
в виду, что к нему со сколь угодно высокой степенью точности
может быть сведен любой источник, если блоки элементов сооб¬
щения достаточно большой длины ki рассматривать как элементы
с более высоким основанием га*1.
Рассмотрим все возможные сообщения (блоки) а= (аи-и •••, ао),
содержащие k ma-ичных элементов сообщения aj = 0, ...,ma—1.
Вероятности этих сообщений для источника без памяти р{а) =
= p(ak-t)p(ah-2) ... p(aQ).
При достаточно большой длине сообщения k все множество
К = т* возможных сообщений может быть разбито на два под¬
множества. Одно из них (назовем его высоковероятным) содержит
Ki наиболее вероятных сообщений, сумма вероятностей которых
1—б, близка к 1. Второе содержит остальные К2 = К—Ki сообще¬
ний, суммарная вероятность которых б близка к 0. Увеличивая k,
можно сделать б сколь угодно малым. Сказанное следует из за¬
кона теории вероятностей, согласно которому при достаточно боль¬
шом числе испытаний количество каждого из возможных исходов
близко к своему математическому ожиданию (закон больших чи¬
сел). В данном случае числом испытаний является число k эле¬
ментов в сообщении, а исходами являются значения элементов аг
Поэтому достаточно длинное сообщение с высокой вероятностью
содержит близкое к kp(0) число элементов 0, kp(l) элементов 1,
..., kp(ma—1) элементов та—1. Такие сообщения и составляют
высоковероятное подмножество. Вероятность того, что сообщение
содержит другие числа элементов, ничтожно мала.
Поскольку при отсутствии памяти у источника вероятность то¬
го или иного сочетания различных элементов сообщения зависит
только от их количества, то все сообщения, принадлежащие к вы¬
соковероятному подмножеству, имеют одну и ту же вероятность,
близкую к
то при любой ненулевой избыточности источника число сообщений
высоковероятного подмножества составляет ничтожную часть от
всех возможных сообщений, если длина сообщения k достаточно
велика (ничтожную суммарную вероятность имеет подавляющая,
часть достаточно длинных сообщений).
Эго обстоятельство и позволяет добиться близкого к миниму¬
му числа и кодовых символов на элемент сообщения, применяя
неравномерный код. Для Ki сообщений высоковероятного подмно¬
жества, а также специального разделительного сигнала использу¬
ем равномерный код. В соответствии с (2.30) он может иметь
длину
Увеличивая k, можно сколь угодно уменьшить число, % допол¬
няющее Ki + 1 до и число 0 по сравнению с числами, с кото¬
рыми они суммируются. Для остальных Къ = К—Ki~K сообщений»
составляющих маловероятное подмножество, используем более
длинные кодовые комбинации, начинающиеся с упомянутой выше
разделительной комбинации длины щ (для того, чтобы при деко¬
дировании можно было разграничить принимаемые сообщения).
Для этого достаточна длина
(про г|) и у можно сказать то же, что про_А и о;, поскольку сред¬
няя длина кодовой комбинации при этом п=( 1—6)я1+6/г2, то сред¬
нее число кодовых символов на элемент сообщения
где
может быть сделано сколь угодно малым при достаточно больших
k. Это и доказывает теорему Шеннона.
— 207 —
В силу равновероятности число сообщений в высоковероятнолг
подмножестве i
Поскольку
— кп (л), то количество сообщении в высоковероятном подмно¬
жестве может быть выражено через энтропию источника: /Ci =
Из приведенной теоремы вытекает, что при любой статистике
источника сообщений эффективность т]п передачи информации по
идеальному каналу может быть сколь угодно близкой к 1 ,при от¬
сутствии потерь -информации. (При этом приближение может быть
тем точнее, чем больше длина сообщения k. Таким образом, эта
теорема указывает на возможность «обмена» задержки на скорость
передачи информации.
5.6. СОГЛАСОВАНИЕ ДИСКРЕТНОГО ИСТОЧНИКА С
ДИСКРЕТНЫМ КАНАЛОМ С ОШИБКАМИ.
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ
Задачи помехоустойчивого кодирования Если ошибками и сти¬
раниями в дискретном канале нельзя пренебречь, то постановка
вопроса о согласовании с ним источника и получателя сообщений
усложняется. Вероятности рош неправильного декодирования или
/?ст стирания сообщения при подключении источника и получателя
сообщений к каналу непосредственно (при va=vVb та^тк) или с
помощью простейшего согласования часто оказываются недопусти¬
мо высокими. В этом случае, помимо задачи о повышении эффек¬
тивности, возникает и, как правило, выдвигается на первый план
задача повышения верности передачи.
Кодирование {Aj}-+{Bi} и декодирование {В* }-+{A*f }, повы¬
шающие верность передачи по каналу с ошибками или стирания¬
ми, называют помехоустойчивыми, а соответствующие коды —
корректирующими. Коррекцией, или исправлением ошибок и сти¬
раний, называют правильное декодирование отрезка сообщения
при наличии ошибок или стираний в отрезке принимаемой после¬
довательности {В*.}. Коррекцией называют также и обнаружение
ошибок, приводящее к стиранию отрезка сообщения. Однако в этой
главе стирания сообщений будем полагать недопустимыми.
Очевидно, что корректирующий код даже при безызбыточном
Н' (А)
источнике должен обладать избыточностью р(В) = 1 ^—> 0:
vK log tnK
поскольку C<vKlogmK, то при р(В)=0 мы получили бы Н/(А)>С
и потери информации Н'(А |Л*) =Н'(А)— Г(А, Л*) не могли бы
быть меньше Н'(Л)—С. В дальнейшем избыточность дискретного
источника будем полагать равной нулю или устраненной предва¬
рительным статистическим кодированием. При этом избыточность
кодовой последовательности обусловливается существованием за¬
прещенных, т. е. не используемых при передаче сочетаний кодовых
символов (при блочном кодировании — запрещенных комбина¬
ций). Избыточность равномерного блочного кода в этом случае
где K = m* —число кодовых, a N=m%—всех возможных тк-ичных
я-наборов (п. 2.6).
— 208 —
Рассмотрим принципы и предельные (возможности помехоустой¬
чивого кодирования и декодирования, ограничившись случаем рав¬
номерных блочных кодов. Подробнее корректирующие коды рас¬
сматриваются в гл. 7.
Оптимальное декодирование. Декодирование принимаемой ком¬
бинации 'Р* состоит в отождествлении ее с одной из кодовых р(а)
(т. е. с сообщением а) по тому или иному правилу, которое мо¬
жет быть задано таблицей декодирования и пояснено рис. 2.1
(п. 2.6). Ошибка происходит в тех случаях, когда переданная ко¬
довая комбинация преобразуется каналом в принимаемую, зак¬
репленную за другой кодовой. Если код и канал заданы, то спо¬
соб декодирования отражается лишь на верности передачи. Деко¬
дирование, обеспечивающее минимальную вероятность ошибки,
называется оптимальным.
Очевидно, что вероятность ошибки минимальна, если каждая
принимаемая комбинация р* отождествляется ic гой кодовой р(а),
для которой апостериорная вероятность /?(р(а)| Р*) =р(а| р*) мак¬
симальна. Если таких комбинаций р(а) несколько, то р* отожде¬
ствляется с любой из них. Такое декодирование называют деко¬
дированием по максимуму правдоподобия. По правилу Байеса
Вероятности /?(р(а)), /?(р*| р(а))при известной статистике источни¬
ка и канала могут быть вычислены (знания /?(р*) для сравнения
апостериорных вероятностей не требуется).
При безызбьггочном источнике априорные вероятности всех
кодовых комбинаций одинаковы р(р(а))=/?(а)=ь—и максимум прав-
К
доподобия соответствует максимуму переходной вероятности
Р(р*|р(в>), а в симметричном канале (п. 4.3) — наиболее вероят¬
ному • сочетанию ошибок е=р*ор(а). В двоичном симметричном
канале без памяти вероятность р(г) любого сочетания ошибок е
определяется лишь его -кратностью q; при ре<0,5 наиболее ве¬
роятными являются сочетания ошибок наименьшей кратности
(п. 4.3). Кратность q сочетания в двоичном канале рав¬
на расстоянию Хэмминга d(p*, р(а)) между принимаемой комби¬
нацией р* и кодовой р(а). Таким образом, в двоичном симметрич¬
ном канале без памяти с рс< 0,5 оптимальным является декодиро¬
вание по минимуму расстояния, когда принимаемая комбинация
отождествляется с той кодовой, от которой она отличается в ми¬
нимальном числе позиций. При ^>0,5 декодирование по миниму¬
му расстояния оптимально, если предварительно заменить в при¬
нимаемых комбинациях все единицы нулями, а все нули единица¬
ми (декодирование по максимуму расстояния).
- 209 -
Выбор кода. Построение кода при заданной длине п и числе
сообщений (кодовых комбинаций) К состоит в выборе К кодовых
/г-наборов из N возможных. Число М различных способов такого
кодирования равно числу =N(N—1) ... (N—/С+1) размеще¬
ний из N элементов по К\ если N^>I\, то M~NK = mntna. В общем
к
случае необходимо выбирать также п и К. Таким образом, при
заданном канале и способе декодирования построение кода опре¬
деляет не только верность, но также скорость и своевременность
передачи. Своевременность характеризуется задержкой, определяе¬
мой длиной кода. Скорость зависит от избыточности кодовой по¬
следовательности (5.60). Верность передачи зависит от распреде¬
ления переходных вероятностей /?(р*| р(а)),а следовательно, от по¬
строения кода и статистики канала. Код, который при данной
длине п и избыточности р(В) обеспечивает в данном канале наи¬
меньшую вероятность ошибки роиь называется оптимальным. Поиск
оптимальных кодов в общем случае достаточно сложен. В прин¬
ципе он мог бы осуществляться перебором и сравнением всех М
возможных способов кодирования. Одкако уже при не слишком
малых п, К такой перебор практически невозможен даже при ис¬
пользовании современных вычислительных машин.
При отсутствии ограничений на скорость и своевременность пе¬
редачи и С>0, сколь угодно малая вероятность ошибки может
быть достигнута сравнительно просто дискретным накоплением
(коды с повторениями). Пусть, например, сообщения от безызбы-
точного двоичного источника должны быть переданы по двоично¬
му симметричному каналу без памяти с /^<0,5. Будем считать со¬
общением каждый элемент (&=1), тогда К=т* =2. Составим рав¬
номерный блочный код нечетной длины п из двух комбинаций,
о,—,00 ... 0, Ь—>11 ... 1,
представляющих собой /г-кратные повторения элемента сообще¬
ния. При декодировании по минимуму расстояния, которое в дан¬
ном случае является мажоритарным (р* отождествляется с тем
элементом 0,1, который встречается в ней чаще), получим вероят¬
ность ошибки
При /?е<0,5 мешающий источник можно рассматривать как источ¬
ник с избыточностью: Н(Е) <HM3lKC(E) = 1 (п. 5.2). Поэтому с ро¬
стом п вероятности сочетаний ошибок, кратность которых отлич¬
на от математического ожидания q = пре, неограниченно умень¬
шаются (н. 5.5). При ре<0,5 имеем пре<— . Поэтому вероятность
— 210 —
p а следовательно, и вероятность ошибки р0ш неограни¬
ченно уменьшаются с ростом п (тем быстрее, чем меньше ре). На¬
пример, в канале с ре= 10-2 при п = 3, 13, 23 ... имеем /?оШ=3* Ю-4,
2* 10-11, 10-18 ... Однако при этом избыточность р(5) = 1 — стре-
п
мится к 1, а скорость передачи информации Г (А, А*) < — и
п
эффективность г]п — к нулю. Таким образом, в рассмотренной си¬
стеме имеет место «обмен» верности на скорость и задержку.
Предельные возможности помехоустойчивого кодирования.
Центральное положение теории передачи информации состоит в
том, что возможен обмен верности на задержку без потери скоро¬
сти передачи информации. Таким образам, сколь угодно малая
вероятность ошибки может быть достигнута при эффективности
сколь угодно близкой к 1, если не налагать ограничений па длину
кода п. Этот результат составляет содержание второй теоремы
Шеннона:
дискретные сообщения, выдаваемые источником с производи¬
тельностью Н'(А), можно закодировать так, что при передаче их
по дискретному каналу с ошибками или стираниями, пропускная
способность которого С превышает производительность источника
на сколь угодно малую величину, вероятность ошибки рош будет
сколь угодно малой.
Для доказательства оценим значение р0ш вероятности ошибки
при оптимальном декодировании, усредненное по всем возможным
способам блочного кодирования достаточно длинных сообщений,
при которых кодовая последовательность имеет статистику, реали¬
зующую пропускную способность канала С, и содержит Н'(В) =
= Н'(А) <С дв. ед информации за секунду. Ограничимся при этом
случаем безызбыточного источника и симметричного канала без
памяти.
Для безызбыточного источника все К. = т* сообщений длины
п равновероятны. Его производительность Н' (Л) = va .
k
Пропускная способность симметричного канала без памяти
C = vK[logmK—Н(Е)] реализуется, если кодовые символы неза¬
висимы и равновероятны (п. 5.3). Все N=m" возможных бло¬
ков длины п в такой последовательности равновероятны, и С =
= Ч,[-^-Я(£)].
При заданных К и ЫЖ существует М=А§ различных спо¬
собов кодирования. Каждому из них соответствует своя вероят¬
ность ошибки р0шг Средняя по всем этим способам вероятность
м
ошибкирош =—\^рош/ может быть оценена в предположении,
М JmU
i= 1
- 211 —
что кодовые комбинации для каждого из К сообщений выбираются
с л у ч а й н ы м обр а з ом.
При достаточной длине комбинации п в симметричном канале
можно считаться лишь с 2пНW сочетаниями ошибок г, имеющими
* ** примерно одинаковые вероятно¬
сти и принадлежащими высоко¬
вероятному подмножеству (Н(Е)
— энтропия мешающего источни¬
ка) . Вероятность остальных
тп —2пН(£) сочетаний ошибок ни¬
чтожно мала (п. 5.5). В этих ус¬
ловиях каждой комбинации р*
на выходе канала с одинаковы¬
ми вероятностями соответствуют
2пще) комбинаций р*©е на вхо¬
де; остальными соответствиями
можно пренебречь. Декодирова¬
ние по максимуму правдоподобия
при этом может быть не¬
правильным, если юреди этих
2пще) комбинаций имеется бо¬
лее одной кодовой (см.
рис. 5.11): в этом случае апо¬
стериорная вероятность р(Р(а)|р*) максимальна для нескольких
кодовых комбинаций р(а). При случайном кодировании вероятность
того, что какая-либо комбинация выбрана в качестве кодовой, рав¬
на — . Поэтому вероятность Рпр=1—рот правильного приема при
случайном кодировании может оцениваться вероятностью того, что
2пще)—1^2г'я(я) комбинаций не являются кодовыми:
Следовательно, рош « 2пН (Е) — . При этом — = 2logK_lo&w,1 а
N N 1
из приведенных выше выражений цпя Н'(А), С, соотношения — =
п Va
»= — (п. 2.6) и (5.60) следует, что
VK
log К — log N =— [Н'(А)—С]—пН(Е)=п[р (В) log тк—Н(Е)]—пЩЕ).
VK
Поэтому вероятность ошибки при случайном кодировании, а -сле¬
довательно, средняя вероятность ошибки по всем кодам оценива¬
ется формулой
5. М. Условия возможности (а) и
невозможности (б) ошибки при
ками обведены кодовые точки)
оптимальном декодировании (круж-
Поскольку среди всех возможных кодов существует хотя бьг
один, у которого вероятность ошибки pomi не превышает среднего-
значения рош, то ф-ла (5 62) доказывает вторую теорему Шеннона..
Выбирая длину кода п, а следовательно, и задержку достаточно¬
большой, можно при любой С>Н'(А), т. е. избыточности р (В) >
> Н ^ получить сколь угодно малую вероятность ошибки. При
log тк
этом Н'(А |Л*)-Ю,-^^ —<-тг)п и рош^2 ^ ^ °к. Таким образом*
С
рош-^0 может быть достигнуто при т|п-^1, т. е. при практически
полном согласовании источника с каналом. Для двоичного симме¬
тричного канала logmK= 1, рош = 2~п[р(В)~ и /?Ош-^0 достига¬
ется при любой избыточности, большей энтропии мешающего ис¬
точника.
Формула (5.62) показывает, что чем меньше эффективность т|ш
т. е. чем больше избыточность кода р(В), тем более быстрого»
уменьшения вероятности ошибки р0ш можно достичь при увеличе¬
нии длины кода п.
Вторая теорема Шеннона (в отличие от приведенной в п. 5.5}
не указывает конкретного способа построения кода, обладающего
сформулированными в ней свойствами. Однако большая часть ко*
дов обеспечивает .вероятность ошибки, по крайней мере, не на мно¬
го превышающую среднее значение роШ (5.62). Действительно,,
м
Рот — РоШг Обозначим через |х количество значений р0ш*
i=\ _
не меньших v рот. Очевидно, что при заданном среднем значении'
рош это количество будет наибольшим, если все эти |х чисел будут
равны vpoub а остальные М—ц чисел ^?0шг будут равны 0. В ука¬
занном 'случае ц.= ц-макс может быть .найдено из соотношения
^-■0(М— Рмакс) +4jvPom Рмакс=Рош- Из него следует, что jJMaKC .
ММ v
Доля таких значений — = —.Та>ким образом, вероятность того, что
М V
при (случайном выборе кода вероятность ошибки превысит среднее
значение в v или более раз, р (p0m^vPom) ^ — • Так, доля кодов
V
с вероятностью ошибки р0ш> Юрош не превышает 0,1, доля ко¬
дов с вероятностью ошибки рош> Ю0рош не превышает 0,01 и т.д.
Иначе говоря, случайно выбранный код с высокой вероятностью
будет обеспечивать вероятность ошибки, близкую к оценке (5.62).
Границы* верности передачи при конечной задержке. На прак¬
тике длина кода ограничена. Чем меньше п, тем больше погреш¬
ность ф-лы (5.62): >при малых п нельзя считаться только с наибо-
— 213 —
лее вероятными сочетаниями ошибок. Более точные рассуждения
£40], также основанные на методе случайного кодирования, пока¬
зывают, что в симметричном канале без памяти Рош^2-п,’в(’1п\ где
'фв(лп) —убывающая функция эффективности, более сложная, чем
Q
(1—^п)—• Эта формула является верхней границей наименьшей
VK
вероятности ошибки при данной длине п и эффективности tin. Изве¬
стна и нижняя граница Pom~^2~n,f^T'n\ принцип нахождения кото¬
рой на примере двоичного симметричного канала и частного клас¬
са блочных кодов поясняется в п. 7.2. Здесь фнГлп)—также ^убы¬
вающая функция эффективности. Из приведенных формул следует,
что наименьшая вероятность ошибки при данных п и rjn в симмет¬
ричном канале подчиняется условию
2-«М ’in) < Рош ^ 2-»?в( ’in) (5.63)
Приведенные формулы справедливы для любых т|п<1. При вы¬
соких эффективностях верхняя и нижняя границы оказываются
близки друг к другу. Поскольку верхняя граница установлена ме¬
тодом (случайного кодирования, то это означает, что при высоких
эффективностях случайно выбранный код с высокой вероятностью
близок к оптимальному. Приведенные формулы показывают, что
при ограниченной задержке верность передачи может обменивать¬
ся. лишь на скорость.
5.7. СОГЛАСОВАНИЕ ДИСКРЕТНОГО ИСТОЧНИКА
С НЕПРЕРЫВНЫМ КАНАЛОМ
Задачи непосредственного согласования. Согласование дискрет¬
ного источника не непосредственно с непрерывным, а с дискретным
тк-ичным каналом (обычно с небольшим основанием тк) широко
используется на практике, так как упрощает техническую реализа¬
цию кодирования и декодирования. Однако включение ДМ и РУ
(рис. 4.3) без полного согласования с непрерывным каналом сни¬
жает пропускную способность (п. 5.3).
Рассмотрим принцип и предельные возможности непосредствен¬
ного согласования дискретного источника и получателя сообщений
с непрерывным каналом. Будем считать последний гауссовым
(п. 4.3) с белым шумом и полосой пропускания 0~FK (гипотеза об
отсутствии мешающих воздействий, принятая в п. 5.5 для дискрет¬
ного канала, для непрерывного канала неприемлема, так как пред¬
полагает С = оо). Источник будем полагать безызбыточным, а каж¬
дое отдельное сообщение — состоящим из k элементов.
Преобразование A(t)-+S(t) сообщения в сигнал в рассматри¬
ваемом случае можно считать кодированием {Л;}->{5г}, при ко¬
тором каждому отдельному сообщению а=(ал_ь ..., До) сопостав¬
ляется кодовая комбинация s(a) = ( s\a\ . . ., s*a)) (п. 2.6). Здесь
- 214 -
dj=0,..., ma—\ —элементы сообщения, sja) = s(a) (Ш) — отсче¬
ты элементарного сигнала s(a*(t) длительности Т, отображаю¬
щего сообщение а, взятые через интервал At= , n=2FKT—
2FK
число отсчетов, являющееся аналогом длины кода. Множество
К кодовых комбинаций может быть представлено К векторами
s(a) (точками) «-мерного непрерывного пространства. Как и для
дискретного канала, способ кодирования определяет своевремен¬
ность (задержку), скорость и верность передачи при выбранном
способе декодирования. Число возможных способов кодирования
бесконечно велико.
Преобразование S*(t)^~A*(t) можно считать декодированием,
при котором принимаемая комбинацияs* = (s*, . . ., s*n) отожде-
ствляется с одной из возможных передаваемых s , т. е. с одним
из сообщений а (п. 2.6). Здесь s<=s|(a)+£i=s*(’iA0 — отсчеты
принимаемого сигнала длительности Т, £i = £(iAt) — отсчеты по¬
мехи £(t). Множество возможных принимаемых комбинаций мо¬
жет быть представлено непрерывным п-мерным (n=2FKT) прост¬
ранством S* векторов s*, включающим в себя К кодовых век¬
торов s(a). Правило декодирования, определяющее верность пере¬
дачи, может быть задано разбиением пространства S* на К под¬
пространств (областей) S*(a); если s* € S*(a) , то выдается сооб¬
щение а (стирания в настоящей главе полагаем недопустимыми).
Если при этом переданный вектор s(a) преобразуется в принимае¬
мый, принадлежащий другой области, то происходит ошибка.
Как и для' дискретного капала, оптимальным (минимизирую¬
щим рож при заданном коде и канале) является декодирование по
максимуму правдоподобия, при котором принимаемый вектор ото¬
ждествляется с тем сообщением а, для которого апостериорная ве¬
роятность p(a\s*) является наибольшей. В данном случае
где ds* — ds*dsJ... ds* — элементарный объем пространства S*. При
безызбыточном источнике р (а) = — при всех а и для сравнения
К
апостериорных вероятностей достаточно сравнить плотности услов-
ных вероятностей ш (s*|a) принимаемого вектора s'* для каждо¬
го из сообщений а. Поскольку помеха аддитивна и не зависит от
сигнала, то
ш(>|ос) = w (£i, . . ., sj,a) +£„Ua\ • • 4a))=w(5i, .... Sn).
— 215 —
Так как отсчеты гауссова белого шума £г = £(/Д/), взятые через ин¬
тервал Д t = , статистически независимы, то
В эвклидовом /г-мерном пространстве сумма
'представляет собой квадрат расстояния между принимаемым век¬
тором 5* и кодовым s{a). Поэтому для безызбыточного источника
сравнение апостериорных вероятностей эквивалентно сравнению
расстояний между принимаемым и всеми кодовыми векторами.
Наиболее правдоподобной является передача того сообщения а,
для которого это расстояние d (s*, s(a)) является минимальным.
При этом разбиение пространства S* на области должно быть
выполнено так, чтобы каждая область S*(a) включала в себя все
точки, расстояние которых до sv меньше, чем до других кодо¬
вых векторов.
Предельные возможности. Предельные возможности согласова¬
ния дискретного источника с непрерывным каналом указываются
следующей теоремой Шеннона, которая аналогична приведенной
б п. 5.6:
дискретные сообщения, выдаваемые источником с производи-
тельностью Н'(А), можно закодировать так, что при передаче их
то гауссову каналу с белым шумом, пропускная способность кото¬
рого С превышает Н'(А) на сколь угодно малую величину, ве¬
роятность ошибки рош будет сколь угодно малой.
При этом случайно выбранный .код, обеспечивающий эффектив¬
ность передачи т]ш близкую к 1, с высокой вероятностью близок к
•оптимальному. Доказательство высказанных утверждений анало¬
гично приведенному в п. 5.6.
Мы видим, что при согласовании дискретного источника непо¬
средственно с гауссовым каналом скорость следования элементов
-сообщения может превышать FKf не требуя компенсации переход¬
ных процессов и не приводя к размножению ошибок (п. 4.3). Огра-
ничения на va обусловливаются в этом случае не шириной полосы
пропускания канала взятой в отдельности, а пропускной спо¬
собностью канала (5.55); они состоят в неравенстве Н'(А)<С.С,
т. е. va < ——— log ^ 1 + . Если, например, пга=2, а отношение
logma \ PU
сигнала к помехе в канале hi = = 1000, то скорость следова¬
—,216 -
ния элементов сообщения может быть сколь угодно близкой к
XloglOOl, т. е. 10FK6od. При hK-+oо допустимая скорость возра¬
стает неограниченно.
Практическое использование этих возможностей затрудняется*
сложностью технической .реализации передачи с большой задерж¬
кой (она требует большой памяти).
5.8. СОГЛАСОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО ИСТОЧНИКА
С КАНАЛОМ
Согласование с квантованием. Производительность непрерыв¬
ного источника сообщений Г (A)=2FaHt(A), где Яе (А)—эпси-
лон-энтропия отсчета, т. е. минимальное число двоичных симво¬
лов, которые необходимы для воспроизведения отсчета сообщения
А с заданной погрешностью ео (п. 5.2). Можно убедиться, что
Нв (А) является также и достаточным для этого числом двоичных
символов. Другими словами, последовательность непрерывных от¬
счетов {А,}, а следовательно, непрерывное 'сообщение A(t) может
быть отображено последовательностью двоичных символов, сле¬
дующих со скоростью \х = Нг(А) дв. симв/отсчет, т. е. va =
= 2FaHt (А) дв. симв!сек, которая позволяет воспроизвести сооб¬
щение с заданной погрешностью ео. Действительно, отсчеты Av ,
воспроизводящие отсчеты сообщения А с заданной погрешностью ео
и содержащие относительно них Н£(Д) дв.ед информации, можно
проквантовать со столь малым шагом Да (не обязательно равно¬
мерным), что погрешность воспроизведения сообщения по кванто¬
ванным отсчетам будет превышать погрешность воспроизведения
неквантованных отсчетов .на сколь угодно малую величину. Коли¬
чество информации в квантованном отсчете при этом практически
равно Нг (А) (увеличиться оно не может, а уменьшение при доста¬
точно малых Да может быть сколько угодно малым). Последова¬
тельность таких отсчетов можно рассматривать как последователь¬
ность дискретных элементов сообщения со скоростью следования*
va=2Fa и энтропией Н(А)=Н£(А) на элемент. В соответствии с
первой теоремой Шеннона (п. 6.5), такая последовательность мо¬
жет быть преобразована в последовательность т^-ичных символов*
Н•(Л)
следующих со скоростью, сколь угодно близкои к и= симво-
log mb
лов на отсчет или Vb = 2Fa- символов в секунду. Таким обра-
1оgmb
зом, и непрерывные сообщения могут быть подвергнуты статисти¬
ческому кодированию, уменьшающему его избыточность до сколь
угодно малой величины (также в обмен на задержку).
Кодовая последовательность, позволяющая воспроизвести не¬
прерывное сообщение с заданной погрешностью и практически не
— 217 —
содержащая избыточности, может быть передана со сколь угодно
малой вероятностью ошибки по дискретному (п. 5.6) или гауссову
(п. 5.7) каналу, имеющему пропускную способность С, превышаю¬
щую I'(A)=2FaH е(А) на сколь угодно малую величину. Таким
образом, и непрерывные сообщения могут передаваться с эффек¬
тивностью т]ш сколь угодно близкой к 1, при погрешности воспро¬
изведения, сколь угодно близкой к заданному значению ео. При
этом ширина полосы пропускания канала FK и его динамический
диапазон DK могут быть меньше ширины спектра Fa и динамиче¬
ского диапазона Da сообщения. Другими славами, если сообщение
обладает избыточностью, то указанным способом оно может быть
передано по каналу, емкость которого VK меньше объема сообще¬
ния Va (объем сообщения Va, равен максимально возможному ко¬
личеству информации в сообщении; при наличии избыточности он
может быть уменьшен).
Согласование без квантования. Сказанное выше не означает,
что полное согласование непрерывного источника с непрерывным
каналом возможно лишь при дискретизации и квантовании непре¬
рывного сообщения. Однако повышение эффективности и помехо¬
устойчивости передачи непрерывных сообщений с помощью не¬
прерывных сигналов (без квантования) достигается приемами,
использующими конкретные особенности данного сообщения и ме¬
тода его передачи.
Примером могут служить вокодеры, в которых избыточность ре¬
чевых сообщений уменьшается за счет выделения из них сравни¬
тельно медленных изменений основных параметров речевых коле¬
баний (интенсивности и формы спектра). Сами же «несущие коле¬
бания» речи, представляющие собой богатые гармониками коле¬
бания голосовых связок (в гласных звуках) и шумовые колебания,
образующиеся при вдувании воздуха в ротовую полость (в шипя¬
щих согласных), либо их комбинацию, по системе связи не пере¬
даются, а генерируются на приемной стороне специальными гене¬
раторами. Передается лишь небольшое (порядка 10) число коле¬
баний, необходимых для управления параметрами этих генерато¬
ров при синтезе речи. Такие системы синтетической телефонии
позволяют примерно в 10 раз сократить полосу частот при доста¬
точно хорошей разборчивости речи. Конечно, при этом индивиду¬
альные особенности речи, присущие каждому человеку, теря¬
ются.
ПЕРЕДАЧА ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ
6.1. КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ И ПРАВИЛА
РЕШЕНИЯ
Критерий минимальной вероятности ошибки. При передаче
сигналов по каналу с помехами полностью безошибочное восста¬
новление переданного символа сообщения невозможно, так как в
силу случайной природы помех соответствие между переданным
сигналом и принятым не однозначно. Когда передаются дискрет¬
ные сообщения, составленные из m-ичных символов а*(£=0, 1,2,
т—1), приемное устройство на основе анализа принимаемого ко¬
лебания s*(t) =si(t)-\-t>(t) (с учетом свойств источника сообще¬
ний, сигналов Si, канала) должно выносить решения о переданных
символах. Действие приемника можно представить как разбиение
пространства S* на неперекрывающиеся подпространства по числу
символов т (предполагается прием без стирания) и отождествле¬
ние принятого сигнала s* с тем символом ак, в область которого*
он попадает. Таким образом, существенным действием приемника
является вынесение решения о переданном символе сообщения,
поэтому иногда приемник называют решающим устройством. Ко¬
нечно, в реальных условиях приемник производит ряд преобра¬
зований поступающего на его вход сигнала (фильтрация, усиле¬
ние, демодуляция и др.), однако в данном рассмотрении они не¬
существенны.
Разбиение пространства S* на подпространства S* возможно
различными способами Разбиение, соответствующее некоторому
критерию оптимальности, называется оптимальным разбиением, а
приемник, работающий в соответствии с таким критерием, назы¬
вается оптимальным приемником. Всякому критерию оптималь¬
ности соответствует правило, руководствуясь которым приемник
выносит решения; это правило определяет функциональную схему
оптимального приемника.
Обозначим вероятность попадания сигнала s* в подпространст¬
во при передаче символа ai через p(s*k\ax}. Тогда, очевидно,
p(s*\ai) есть вероятность правильного приема символа аь а*с
1—р(5*|аг)= ^ Р (s*1 а0 — вероятность ошибочного приема его..
Ьф1
- 219 —
Полная (средняя) вероятность ошибочного приема символа со¬
общения (или вероятность ошибки)
Б основу построения оптимального приемника можно было бы
положить критерий .минимума ре, однако такой подход не всегда
верен. Его недостаток в том, что он не учитывает значимость
ошибочных решений, которая, вообще говоря, различна для раз¬
ных символов сообщения. В 'полученной нам,и телеграмме ошибки
в любой букве нежелательны в равной мере, т. е. значимость оши¬
бок в данном случае одинакова для всех букв. Однако, если сим¬
волы cii представляют команды, посылаемые на борт радиоуправ¬
ляемого снаряда, то ошибка при приеме команды на подрыв сна¬
ряда более нежелательна, чем ошибка при приеме команды на
небольшое изменение направления его движения. Другим типич¬
ным примером, где значимость ошибок различна, являются радио¬
локационные системы. Значимость ошибок зависит от ценности
для получателя информации, содержащейся в отдельных симво¬
лах сообщения. Понятие оптимальности тесно связано с учетом
значимости ошибок.
Критерий минимального риска. Одним из наиболее общих кри¬
териев оптимальности является критерий минимального риска [6].
Он состоит в том, что каждой паре переданный символ а* — при¬
нятый символ ah(i¥=k) приписываются некоторые числовые коэф¬
фициенты L(a,k,ai)} называемые потерями. Чем более нежелатель¬
на ошибка, тем большие потери ей приписываются. Оценка по¬
терь— самостоятельная задача и здесь не рассматривается. Теперь
в основу требования оптимальности можно положить минимум
«средних потерь или минимум риска
Критерий минимального риска называется байесовым критери¬
ем. Заметим, что его применение требует большого объема априор¬
ных сведений о канале p(sl\ai), источнике сообщений р(а{), а
также о потерях Ь(а^а{), которые на практике не всегда имеются.
Поэтому представляет интерес рассмотрение других критериев
оптимальности, соответствующих той или иной полноте априорных
сведений, которые вытекают из байесова критерия.
Прежде всего рассмотрим ситуацию, когда любые ошибочные
переходы а^аь в равной мере нежелательны, т. е. L(ak,ai) для
всех пар k, i(k^i) является некоторой одинаковой величиной.
- 220 —
Такое же положение возникает, когда обоснованный выбор потерь
невозможен. Полагая L (аь, ai) =L, получаем
Риск минимален, когда полная вероятность ошибки минималь¬
на или когда вероятность правильного приема максимальна. Дей¬
ствие приемника основывается на анализе апостериорного распре¬
деления символов, которое находится по формуле Байеса
Если при передаче каждого символа а* регистрируется тот, для
которого максимальна апостериорная вероятность, то для каждой
реализации s* вероятность правильного решения максимальна,
следовательно, и полная вероятность правильного приема будет
максимально возможной. Приемник, производящий выбор пере¬
данного символа по максимуму апостериорной вероятности, назы¬
вается оптимальным приемником Котельникова, который первым
предложил это правило решения [24].
В современных системах передачи информации предъявляются
высокие требования к верности передачи, и ошибки в любом сим¬
воле сообщения /снижают ценность его .столь значительно, что ра¬
зумно считать потери одинаковыми для всех возможных пар пере¬
данных и принятых символов.
Если в приемнике отсутствует знание априорных вероятностей
p(ai), но потери Ь(аи, ai) определены, то применить критерий мини¬
мального риска нельзя. Для выбора правила решения можно лишь
m—1
использовать условный риск Гг=* 2 L(dk, ai)p(s*k\ai). При некото-
k=0 k±i
ром выбранном способе разбиения на области s*k условный риск
является только функцией а*- Тогда оптимальным правилом будет
такое, которому соответствует минимум максимального значения
условного риска. Такой критерий называется минимаксным крите¬
рием. Он гарантирует, что в среднем потери не будут превышать
минимаксного значения.
Наконец, когда отсутствуют априорные сведения о распределе¬
нии вероятностей символов и потерях, то для выбора оптимального
правила решения можно использовать лишь знание условных ве¬
роятностей p(s* | ai). Рассматриваемое, как функция а<, это рас¬
пределение вероятностей называется функцией правдоподобия. На¬
помним, что p(s*\ai) есть вероятность приема колебания 5* при
условии, что переданным символом является а*. (В соответствии со
смыслом этой вероятности разумно переданным символом счи¬
тать тот, для которого p(s*\ai) максимальна.
Правило решения при двоичных сообщениях. В заключение
рассмотрим, как определяется правило решения на основе байесо¬
— 221 —
ва критерия оптимальности в важном частном случае двоичных
сообщений. Задача сводится к определению границы между об¬
ластями s* и s *. Полагая s* непрерывной случайной величиной (в
общем случае многомерной), можно записать выражения для ус¬
ловных вероятностей ошибок
где r0(s*|tfo) и w(s*\cii)—функции плотности вероятности коле¬
бания 5* при передаче символов а() и ai соответственно. Когда
5* — одномерная случайная величина1), например, значение на¬
пряжения в некоторый момент времени, то решающее устройство
принимает решение о передаче аь если s* превосходит некоторое
значение а, и решение, что передан а0, если s*<a. Таким образом,
решающее устройство может быть реализовано в виде ограничи¬
теля с порогом ограничения а.
Правило решения, соответствующее минимальному риску
находится из условия dr/da=0. Произведя вычисления, получим
Р (^l) L (^о> ^l) ^ (aomi^l) = Р К) ^ (^Ъ Оо) ^ (аопт1^о)* (®*5)
Это уравнение легко решается графически: а0пт соответствует
абсциссе точки пересечения кривых р(а0)Ь(а0, ai)'Xw(s,¥\ai) и
p(a0)L(aif a0)Xw(s*\aQ).
6.2. ПОНЯТИЕ О ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ связи
ПРИ ФЛУКТУАЦИОННЫХ ПОМЕХАХ.
Понятие потенциальной помехоустойчивости. Изложенный в
предыдущем параграфе подход к проблеме оптимального приема
сигналов является достаточно общим и может быть применен для
широкого класса сигналов, помех и каналов. Наиболее просто
задача оптимального приема решается для канала с постоянными
параметрами, в котором действует аддитивная нормальная флук-
туационная помеха типа белого шума (см. п. 1.5). Эта задача
впервые была решена В. А. Котельниковым в 1946 г. Разработан¬
ная им теория потенциальной помехоустойчивости позволяет опре-
!) В некоторых случаях, когда s* (Представляет собой совокупность выбо¬
рочных значений, либо непрерывное колебание «а интервале Т, оно преобра¬
зуется в одномерную величину (например, интегрированием) д# подачи на ре¬
шающее устройство.
делить помехоустойчивость оптимального приемника и установить
его функциональную схему для случая, когда форма передаваемых
сигналов точно известна на приемной стороне, а значимость всех
ошибок одинакова. Эта помехоустойчивость называется потенци¬
альной, потому что она не может быть превзойдена никаким дру¬
гим приемником. Для любого реального приемника .помехоустой¬
чивость может быть определена расчетным или экспериментальным
путем. Ее сравнение с потенциальной помехоустойчивостью позво¬
ляет установить, сколь совершенен данный приемник и целесооб¬
разно ли его улучшение. Статистический подход к проблеме опти¬
мального приема, предложенный В. А. Котельниковым, лежит з
основе всех последующих работ в этой области.
Теория В. А. Котельникова впоследствии была развита и до¬
полнена трудами советских и зарубежных ученых, особенно в ча¬
сти критериев оптимальности и выяснения структуры оптимальных
приемников при различных условиях приема.
Правило решения оптимального приемника. Случай полно¬
стью известного сигнала предполагает, что преобразование аг* в
Si(t) является однозначным и все параметры сигналов Si(t),
включая начало и конец интервала времени Т, в течение которых
они передаются (равного длительности сигналов), известны на
приемной стороне. Эти условия не всегда выполняются на практи¬
ке. Соответствие между а* и Si(t) может и не быть однозначным,
одному символу аг- может соответствовать целая совокупность сиг¬
налов Si (отличающихся каким-либо параметром, например, фа¬
зой при ДАМ). Тогда передаваемый (и принимаемый) сигнал со¬
держит один или несколько неизвестных (случайных) парамет¬
ров. Параметры сигнала также могут изменяться при передаче
по каналу с переменными параметрами. Такие сигналы называют¬
ся сигналами со случайными параметрами и их прием рассматри¬
вается в п. 6.5. Учет случайных параметров усложняет анализ, но
вместе с тем ясно, что при незначительных вариациях параметров
сигналов помехоустойчивость будет мало отличаться от потен¬
циальной, когда параметры полагаются постоянными. Это сообра¬
жение говорит о допустимости предположения о постоянстве па¬
раметров сигналов.
Как отмечалось в предыдущем параграфе, при сделанных пред¬
положениях оптимальный приемник должен выносить решение о
переданном символе а* (или сигнале Si(t)) на основе анализа апо¬
стериорного распределения вероятностей (6.3). Минимально воз¬
можное число ошибочных решений получается, если переданным
считается символ, которому соответствует наибольшая апостериор¬
ная (вероятность, т. е. правило решения оптимального приемника
Котельникова таково: считается переданным тот символ ан, Для
которого
— 223 —
для всех
Входящая в (6.3) вероятность приема колебания s* находится
т—\
по формуле полной вероятности р (5*) = ^ Р (ai) Р (s*ls/) и после
г=0
приема s*(7) является некоторой известной величиной, одинаковой
для всех а*. Поэтому правило решения можно записать так:
считается переданным тот символ а^ для которого
Условная вероятность приема колебания s*, когда передается
сигнал Si при действии аддитивной по.мехи, очевидно, равна веро¬
ятности того, что «а интервале 'наблюдения помеха приняла значе¬
ние £(t)=s*(t)—Si(t). Помеха является непрерывным процессом,
поэтому вместо вероятности следует рассматривать плотность ве¬
роятности. Плотность вероятности нормальной флуктуационной по¬
мехи с равномерной спектральной плотностью мощности на всех
частотах Gc вт/гц, определяется по ф-ле (1.78). Используя ее,
можно переписать (6.7) в виде
Иногда удобнее рассматривать не апостериорные вероятности
символов, а ,их натуральный логарифм, являющийся монотонной
функцией аргумента. Тогда правило решения оптимального при¬
емника становится таким:
для всех 1фк.
Итак, для получения наибольшей достижимой верности пере¬
дачи приемник должен выбирать в качестве переданного тот сим-
т
вол аъ, для которого J (s*—sk)2dt — Gc In p(ak) имеет наименьшее
о
значение.
Если все сигналы равновероятны, то правило решения опти¬
мального по'ием'ника fivrreT
Наиболее вероятным переданным сигналом является тот, ко¬
торый менее всего (в среднеквадратичном смысле) отличается от
колебания s*(t). Это естественно, так как наиболее вероятной яв-
— 224 —
ляется нулевая реализация помехи и поэтому вероятнее всего, что
действительно переданным является тот символ аи, которому со¬
ответствует сигнал sk(t), наименее отличающийся от s*(t).
Определение на основе полученных правил структуры оптималь¬
ного приемника и потенциальной верности передачи рассматрива¬
ется в следующих параграфах.
6.3. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ВЕРНОСТЬ ПЕРЕДАЧИ
ДВОИЧНЫХ СООБЩЕНИЙ
Потенциальная верность передачи. Определим вероятность
ошибки, характеризующую потенциальную верность передачи, для
случая равновероятных двоичных сигналов s0(t) и Si(t). Если пе¬
редан сигнал s0(t), то вероятность ошибочного решения равна ве¬
роятности невыполнения неравенства (6.10) при подстановке в
него колебания +
Как отмечалось в п. 1.7, интеграл от произведения случайного
процесса на детерминированную функцию
где к — случайная величина, имеющая нормальное распределение
вероятностей с единичной дисперсией. С учетам ф-лы (6.12) сигнал
So(0 будет принят с ошибкой, если выполняется неравенство
Вероятность выполнения этого неравенства
где
Подобным же образом выражается вероятность ошибочного
приема сигнала Si(t), а следовательно, и полная вероятность ошиб¬
ки ре.
8—562 — 225 —
Влияние свойств сигналов на верность передали. Формула
(6.15) показывает, что потенциальная верность передачи зави¬
сит только от свойств сигналов и спектральной плотности мощно¬
сти помехи. Рассмотрим влияние свойств сигналов на потенциаль¬
ную верность передачи. Свойства -сигналов удобно характеризовать
взаимной энергией В0ь называемой -иногда мерой взаимной корре¬
ляции сигналов s0(t) и Si(t),
Для сигналов с равными энергиями
и и
значения В01 заключены в пределах —Е^В01^.Е. Введем нормиро¬
ванное значение взаимной энергии сигналов Ь01 (называемое иног¬
да коэффициентом взаимной корреляции сигналов s0(t) и Si(t),
равное
Тогда формула для вероятности ошибки переписывается в виде
Если Вт=Е (это соответствует s0(t)=si(t) или &oi=l), то ве¬
роятность ошибки равна 0,5, а это при равновероятных сигналах
означает отсутствие передачи информации. Значение Boi =
= —Е (b0i=—1) получается, когда сигналы противофазны s0(t) =
= —Si(t). Тогда
Для ортогональных сигналов Boi = boi=0 и
Сравнивая ф-лы (6Л8) и (6.20), можно сделать вывод, что вер¬
ность передачи в системе с сигналами, имеющими коэффициент
взаимной корреляций b01 и энергии Е, равна верности передачи в
системе с ортогональными сигналами, энергия которых равна
Е( 1—feoi). Наконец, если один из сигналов равен нулю (£0=О,
Е\ = Е), что соответствует передаче с пассивной паузой, то
Зависимости вероятности правильного приема рс= 1—ре от от¬
ношения Е/G', для различных значений В01 показаны на рис. 6.1.
— 226 —
Наилучшей вер'й£>£ТЪю обладает система связи с противофазным^
сигналами. При одинаковой вероятности правильного приема энер¬
гия противофазных сигналов в
четыре раза меньше, чем средняя
энергия сигналов в системе с
пассивной паузой и в два раза
меньше энергии ортогональных
сигналов.
Полученные выше формулы
позволяют определить потенци¬
альную верность передачи при
различных видах манипуляции,
когда для передачи используют¬
ся сигналы
энергия которых равна
Взаимная энергия сигналов
(6.22) зависит от разности час¬
тот и фаз сигналов
6.1. Зависимость вероятности пра¬
вильного приема сигнала оптималь¬
ным приемникам от Е/Gс при раз¬
личном выборе сигналов s0(t) и Si(/)
(6.23)
При фо = ф1 и выполнении условия (соо—со\)Т^\ можно считать
В01 = 0, т. е. сигналы являются ортогональными. Таким образом,
ДЧМ при достаточно большой разности частот сигналов является
ортогональной системой. Противофазные сигналы используются в
системе ДФМ с 2Лф = я. Проведем сравнение верности передачи
систем манипуляции в предположении, что пиковая мощность (т. е,
амплитуда) сигналов одинакова. Для ДФМ получаем с учетом
TFs^l:
Подобным образом, для ортогональных сигналов ДЧМ и ДАМ
получаем соответственно:
8*
через /г~ = и,олуа“ — обозначено отношение средних мощностей
сигнала и помехи на входе приемника.
Верность передачи сообщений при неоптимальных способах
приема. Важно отметить, что практическая реализация потенци¬
альной верности передачи требует применения когерентного детек¬
тирования -сигналов в приемнике. Но «и при этом вследствие -не¬
которого расхождения частоты и фазы приходящего и опорного
сигналов, верность передачи в реальных приемниках оказывается
меньше -потенциальной. Еще более верность отличается от (потен¬
циальной, когда в приемниках ДЧМ и ДАМ применяются некоге-
6.'2. Блок-схема приемника двоичных сигналов
рентные детекторы, а также когда вместо ДФМ используется
ОДФМ. Представляет интерес оценка верности передачи сообще¬
ний при применении неоптимальных способов приема, как с точки
зрения метода вычисления верности передачи, так и сравнения
полученных -результатов с потенциальными для установления энер¬
гетических проигрышей при неоптимальных способах приема сиг¬
налов.
Пусть в приемнике сигналов ДАМ, -показанном на рис. 6.2,
детектор является линейным некогерентным, а решение о передан¬
ном символе сообщения выполняется сравнением огибающей вход¬
ного -сигнала A(t) с некоторым порогом а в момент времени,
соответствующий окончанию посылки сигнала. Если А>а, то счи¬
тается переданным -символ 1, в противном случае — 0. Для -нахож:
дения полной вероятности ошибки /?<>=/? (0)/?(110) +/?(1)р(0| 1) не¬
обходимо знать функции плотности вероятности нап-ряжения на
входе решающего устройства в момент сравнения. Эти функции
для линейного некогерентного детектора огибающей были опре¬
делены в т. 2.3. Обозначая их через хю^(и) и w0(u) -соответственно
при передаче и отсутствии сигнала, можно записать
Существует значение порога а0пт> при котором вероятность
ошибки минимальна, определяемое из условия dpelda=0. При
— 228 —
р(1)=р(0) аопт соответствует абсциссе точки пересечения функ¬
ций Wo(u) и Wi(u), и при /ii>l аопт»О,ЪА0. Тогда
(6.27)
В приемнике сигналов ДЧМ с некогервнтными детекторами,
показанном на рис. 6.3, порог решающего устройства а=0 при
равновероятных сигналах. Функции плотности вероятности напря¬
жений на выходах детекторов w(x) и w(y) определяются ф-лами
— 229 —
Как отмечалось в п. 1.6, обобщенное рэлеевское распределение
уже при с малой погрешностью может быть заменено
нормальным с параметрами и = Л0 и дисперсией о2. Поэтому
6.3. Блок-схема приемника сигналов частотной манипуляции
(1.146) и (1.140) соответственно. Пусть передан сигнал Si(t). При
достаточно большой разности частот oai—шо напряжение на выхо¬
де фильтра 0i является суммой сигнала и помехи, а на выходе
Фо — одной помехой. Ошибка при приеме произойдет, если на¬
пряжение на выходе Д\ окажется меньше напряжения на выходе
До. Аналогично при передаче сигнала s0(t). Следовательно,
р(011) =р{\|0). Если передан сигнал Si(X), то для некоторого зна¬
чения выходного напряжения детектора Дъ лежащего в пределах
от х до x+dx, вероятность того, что у превзойдет х, р(у>х) =
оо
p(y)dy. Так как х случайная величина, то полная вероятность
X
р (011) находится усреднением р(у~>х) по всем возможным зна¬
чениям х от 0 до оо:
потому что сигналы равновероятны. Подстановка (1.146) и (1.140)
и вычисление интеграла приводят к формуле
Вероятность ошибки при использовании ОДФМ и приеме по
способу сравнения фаз настоящей и предшествующей посылок сиг¬
нала может быть найдена из следующих соображений. Как водно
из схемы рис. 6.4, опорным напряжением является случайный про-
6.4. Схема приемника сигналов ДОФМ с детектирова¬
нием >по способу сравнения фаз
цесс в виде суммы сигнала предшествующей посылки и помехи,
мгновенная фаза которого имеет функцию плотности вероятности
Изменение фазы опорного напряжения фазового детектора при¬
водит к изменению постоянной составляющей выходного напряже¬
ния. Это эквивалентно изменению отношения сигнал/помеха на
входе детектора, которое теперь можно записать как h{cos ср. Для
определения вероятности ошибки при некотором значении ср можно
использовать формулу, полученную ранее для ДФМ
Поскольку ф случайная величина, то полная вероятность ошиб¬
ки находится усреднением /^(ош) но всем возможным значениям
Ф в интервале (—я, я)
что после интегрирования дает
Используя полученные формулы, характеризующие верность
передачи при применении неоптимальных приемников, можно оце¬
нить проигрыш, который они дают, ьероятность правильного прие¬
ма показана на рис. 6.5.
6.6. Зависимость 'вероятности правильного
приема символа от отношения сигнала к
помехе на ,входе приемника: 1 — ДАМ, не¬
когерентный детектор, 2— ДАМ, когерент¬
ный детектор, 3 — ДЧМ, некогерентный де¬
тектор, 4 — ДЧМ, когерентный детектор,
5 — ДФМ, 6 — ДОФМ, метод сравнения фаз
6.4. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМНИК ПОЛНОСТЬЮ
ИЗВЕСТНЫХ СИГНАЛОВ
Функциональная схема оптимального приемника. Правило вы¬
несения решения о 'переданном сигнале для оптимального прием¬
ника, различающего т полностью известных сигналов, полученное
в предыдущем параграфе, позволяет составить функциональную
схему оптимального приемника. Из рассмотрения системы нера¬
венств (6.16) следует, что оптимальный приемник для каждого из
возможных переданных сигналов Si(t) должен определять зна¬
чения
(6.30)
и сравнивать их между собой с целью выявления сигнала, для ко¬
торого (6.30) имеет наименьшее значение. Следовательно, опта-
— 231 —
мальный приемник состоит ,из т идентичных каналов, производя¬
щих преобразования в соответствии с выражением (6.30), и уст¬
ройства сравнения. Приемник должен также иметь устройство син-
6.6. Функциональная схема' оптимального приемника для
случая полностью известных сигналов
хронизации, необходимое для определения моментов времени при¬
хода сигналов к .приемнику. Схема оптимального приемника пока¬
зана на рис. 6.6. На выходе устройства сравнения регенерируется
символ сообщения ал, со¬
ответствующий каналу с
наименьшим выходным
напряжением.
Действие такого опти¬
мального шриемника весь¬
ма наглядно можно пояс¬
нить, воспользовавшись
геометрическим представ¬
лением (п. 1.7). Будем
представлять колебания
в бесконечномерном про¬
странстве с метрикой
(1.10). На рис. 6.7 схема¬
тически показана система
векторов сигналов s* и
вектор колебания на вхо¬
де приемника s*. Вхо¬
дящий в выражение (6.30)
интеграл есть не что
иное, как квадрат рас¬
6.7. Геометрическое рассмотрение дейст&ия
оптимального приемника
стояния dx между вектором s* и каждым из сигналов sr.
Таким образом, оптимальный приемник находит все т значе¬
ний расстояния di и после соответствующей корректировки, учи¬
тывающей интенсивность помехи и априорные вероятности p(ai),
принимает за переданный сигнал su тот, для которого dk2—
—G Inp(ai) имеет наименьшее значение. Такой выбор приводит к
минимальному числу ошибок, потому что вероятность появления
вектора помехи тем больше, чем меньше его длина (предполага¬
ется, что помеха распределена по нормальному закону).
Если в системе (6.9) знаки неравенств заменить знаками ра¬
венств, то получим уравнения, определяющие границы областей
правильного приема символов ait которые делят все пространство
сигналов на т неперекрывающихся областей (подпространств).
На рис. 6.7 границы областей схематически показаны линиями
DAB, ВАС и CAD. Принятое колебание s* отождествляется с тем
символом а{, в область правильного приема которого оно попа¬
дает.
Взаимокорреляционный приемник. Рассмотрим далее случай,
когда все сигналы Si(t) являются равновероятными и имеют оди¬
наковые энергии Ei=E. Тогда правило'решения (6.10) можно пе¬
реписать в ином виде, исключив из неравенств все члены, не
зависящие от номера сигнала i. Правило решения становится
таким:
Входящие в неравенства (6.32) интегралы с точностью до по¬
стоянного множителя 1 IT определяют величину взаимной корреля¬
ции между входным колебанием s*(t) и каждым из возможных
переданных сигналов Si(t). Наиболее вероятным переданным сиг«
налом Sk(t) считается тот, для которого взаимная корреляция с ко¬
лебанием s*(t) имеет наибольшее значение. Функциональная схема
взаимокорреляционного приемника показана на рис. 6.8. Геомет¬
рическая интерпретация действия взаимокорреляционного прием¬
ника показана на рис. 6.9. Значение интеграла
соответствует скалярному произведению векторов s*Hsf(f=0, 1, 2),
которое равно (см. 1.7) s*-s£= ||s* || si || cos Qh где 0* — угол между
векторами s* и st. Иными словами, Bi есть проекция s* на на-
— 233 —
правлениея^, умноженная на норму вектора sh равную ((||= VEv
Так как все сигналы имеют одинаковые энергии, то
6.8. Оптимальный приемник ib случае, равноверо¬
ятных сигналов с одинаковыми энергиями
переданным считается тот сигнал Sk, для которого проекция имеет*
наибольшее значение. Напомним, чго взаимная корреляция явля¬
ется мерой сходства двух колебаний, и поэтому ясно, что приемник
должен отождествлять s*(t)
Sл
Sk(t),
наи-
6.9. Геометрическое представление дей¬
ствия взаимокорреляционного прием¬
ника
с тем сигналом
сходство с которым
большее (на рис. 6.9 таким
сигналом является 5г).
Согласованный фильтр.
Значения В* можно полу¬
чить на выходе линейного
фильтра с соответствующей
импульсной реакцией gi(t),
если производить отсчет на¬
пряжения в момент време-
ни, соответствующий концу
интервала наблюдения 7\
Действительно, напряжение
на выходе линейного фильт¬
ра определяется интегралом
Дюамеля
(6.34)
— 234 —
Сравнивая выражения (6.33) и (6.34), видим, что для выпол¬
нения равенства
Первый член пропорционален функции корреляции сигнала
В(Т—t), второй — помеха на выходе фильтра. При t = T
U
Фильтр с импульсной реакцией (6.35) называется согласован¬
ным фильтром1). Импульсная реакция согласованного фильтра
показана на рис. 6.10. Как
видно из рисунка, gi(t) яв¬
ляется зеркальным отобра¬
жением сигнала Si(t).
Таким образом, идеаль¬
ный приемник для пг рав¬
новероятных сигналов 1C оди¬
наковыми энергиями вмес¬
то корреляторов может со¬
стоять из пг согласованных
фильтров.
Отношение сигнала к
помехе при согласованной
фильтрации. Покажем, что
согласованный фильтр яв¬
ляется оптимальным в том
смысле, что в некоторый ме
мент t0 он обеспечивает н
выходе максимально воз¬
можное отношение сигнала
к помехе.
!) В общем случае импульсная реакция .согласованного фильтра записы
вается в виде gt (0 =ast (t0—t), где а — произвольный коэффициент, tQ^T.
- 235 —
ф,ильтр должен иметь импульсную реакцию
Подстановка (6.35) в ф-лу (6.33) дает
6.10. Сигнал s(t) и импульсная реакция
согласованного с ним фильтра
(6.37)
На основании выражения (6.12) знаменатель можно перепи¬
сать © виде
G,
Наибольшее значение h\ получается, когда первый множитель
достигает максимума (второй множитель не зависит от g(t)), а
это будет в том единственном случае, когда as(x)—g(t0—т) или,
что то же самое, когда g(i)=as(to—t).
— 236 —
Пусть имеется фильтр с импульсной реакцией g(t), на входе
которого действует сумма сигнала s(t) и флуктуационной помехи
t,(t) с равномерной спектральной плотностью Gr
На выходе фильтра имеем напряжение
Обозначим отношение пиковой мощности сигнала на выходе
в момент to, к средней мощности помехи на выходе через h\ _
Тогда
Напомним, что и — случайная нормально распределенная ве¬
личина с единичной дисперсией, поэтому х2 = 1. Чтобы пайти
фильтр, обеспечивающий наибольшее значение h\, используем не¬
равенство Шварца—Буняковекого
Неравенство (6.38) переходит в равенство лишь тогда, когда
Перепишем выражение (6.37) в виде
Если выбрать t0=T—At, то g(t)=as(T—At—t), т. е. g(t) отли¬
чается от 0 на интервале —Д^<^<0. Это условие не может быть
выполнено в физически реализуемом фильтре, для которого обя¬
зательно g(t)= 0 при t<0. С другой стороны, выбор to=T+At
требует введения дополнительной задержки сигнала на время At,
и поэтому практически используется очень редко. Таким образом,
мы приходим к выводу, что целесообразно выбирать t0—T. Тогда
g(t) = as(T—t), что с точностью до постоянного множителя совпа¬
дает с (6.35). Из выражения (6.40) находим, что отношение сиг¬
нала к помехе на выходе согласованного фильтра в момент to
достигает наибольшего значения
Следовательно, максимально возможное отношение сигнала к
помехе не зависит от формы сигнала, а определяется его энергией.
Сигналы различной формы, не с одинаковыми энергиями, прини¬
маемые на согласованные с ними фильтры при одинаковых усло¬
виях приема, будут давать одинаковую вероятность правильного
приема. Отсюда, однако, не следует делать поспешного вывода, что
во всех случаях применения согласованного фильтра в качестве
приемного устройства выбор формы сигнала не имеет значения.
Напомним, что все рассуждения велись в предположении, что си¬
стема связи является синхронной, т. е. момент прихода сигнала
точно известен на приемной стороне.
В асинхронных системах связи наличие сигнала на выходе со¬
гласованного фильтра отмечается по появлению острого пи,ка на¬
пряжения сигнала. Это требует применения сигналов со специаль¬
ными автокорреляционными свойствами (ом. гл. 9).
Итак, мы показали, что согласованный фильтр является един¬
ственным линейным фильтром, обеспечивающим получение мак¬
симально возможного отношения сигнала к помехе на выходе.
Интересно сравнить значение Ломакс с отношением сигнала к
помехе на входе фильтра h\\
^2 ср. мощность сигнала
1 ср. мощность помехи
Откуда
Таким образом, улучшение отношения сигнала к помехе, давае¬
мое согласованным фильтром, тем больше, чем больше база сигна¬
ла 2TFS, т. е. чем сложнее форма сигнала.
Физическое толкование согласованной фильтрации. Рассмот¬
рим более подробно механизм образования максимума напряже¬
— 237 —
ния сигнала на выходе -согласованного фильтра. Согласованный
фильтр может быть построен на основе линии задержки с отво¬
дами. Схема такого фильтра показана на рис. 6.11. Линия задерж¬
ки должна иметь достаточно большое число отводов через такой
6.11. Согласованный ф.ильтр на линии задержки
с отводами
интервал т, чтобы получить хорошее приближение импульсной
реакции фильтра к требуемой функции. Напряжение от каждого
отвода линии задержки через согласующее устройство (изменяю¬
щее, если требуется, полярность напряжения, что обозначено зна¬
ками -\ на схеме) и делитель напряжения поступает на сум¬
матор. Если коэффициенты деления подобраны в соответствии с
относительной высотой прямоуюльных импульсов, аппроксимирую¬
щих непрерывную функцию g(t), то при подаче на вход схемы им¬
пульса длительностью т на выходе фильтра получится аппрокси¬
мирующая ступенчатая функция. Для сглаживания следует после
сумматора поставить фильтр нижних частот с полосой пропуска-
- 238 —
ния —1/т1). Для двоичного сигнала, показанного на рис. 6.12, при¬
менять делители напряжения не нужно.
На рис. 6.12 показаны эпюры напряжения в различные момен-
ты -времени. Выходное напряжение фильтра находится суммиро¬
ванием импульсов, поступивших в линию задержки к рассматри-
6.12. Напряжение <на выходе согласованного фильтра в
последовательные моменты времени
ваемому моменту времени, с учетом полярностей отводов. Видим,
что при t=T полярности импульсов сигнала и согласующих уст-
ройств совпадают для всех импульсов сигнала, и поэтому поляр¬
ности импульсов на всех входах сумматора одинаковы. Выходной
сигнал достигает максимального значения. Во все другие моменты
времени импульсы на входах сумматора имеют неодинаковые по¬
лярности и часть из них взаимно уничтожается при суммирова¬
нии. Поэтому во все другие моменты времени выходное напряже¬
ние будет меньше, чем при t=T. Отсчет выходного напряжения
следует производить, очевидно, тогда, когда сигнал на выходе
максимален, т. е. при t—T.
]) Строго говоря, .необходимо включить фильтр, согласованный с элемен
тарным импульсом [12].
— 239 -
Коэффициент передачи согласованного фильтра. Определим ко¬
эффициент передачи согласованного фильтра /((со), являющийся
преобразованием Фурье импульсной реакции g(t):
Вводя переменную t'=t0—t, получим
где Ss(—со) — функция, комплексно-сопряженная спектру сиг¬
нала
Из .выражения (6.44) следует, что амплитудно-частотная ха¬
рактеристика согласованного фильтра
а фазо-частотная характеристика определяется соотношением
Именно такой вид фазовой характеристики обеспечивает обра¬
зование максимального напряжения сигнала при t=t0. Выходное
напряжение фильтра .при действии на его входе сигнала
В момент t=t0 ©се спектральные составляющие выходного сиг¬
нала совпадают по фазе и, суммируясь, образуют максимум
Во все другие моменты времени фазы спектральных состав¬
ляющих сигнала различны, и выходное напряжение меньше, чем
при /= По¬
фазовая характеристика фильгра не оказывает никакого влия¬
ния на помеху на выходе. Мощность помехи .на выходе фильтра
определяется только амплитудно-частотной характеристикой, ко¬
торая совпадает со спектром амплитуд сигнала. Такая форма а,м-
плитудно-частотной характеристики обеспечивает ослабление со-
— 240 —
ставляющих помехи на тех частотах, где составляющие сигнала
малы, и отсутствие ослабления составляющих сигнала на тех ча¬
стотах, где они велики. В результате мощность помехи -на выходе
оказывается минимальной (при условии, что пиковая мощность
выходного сигнала Е) и равной
Рассмотрение спектральных свойств согласованного фильтра
позволяет легко определить коэффициент передачи, когда помеха
имеет произвольный спектр мощности Gc (со). Чтобы получить ми¬
нимальную мощность помехи на выходе, значения амплитудно-ча-
етотной характеристики фильтра должны быть пропорциональны
спектральной плотности сигнала и обратно пропорциональны спек¬
тральной плотности мощности помехи, т. е.
Множитель 1/"|/Gc (о) можно рассматривать как частотную ха¬
рактеристику дополнительного линейного фильтра, производящего
выравнивание спектральной плотности помехи.
Оптимальный приемник двоичных сообщений. Из приведенных
на рис. 6.6 и 6.8 -схем оптимальных приемников нетрудно получить
схему оптимального приемника в важном частном случае двоич¬
ных сигналов, положив т—2. На первый взгляд может .показать¬
ся, что в этом случае приемник должен быть двухканальным. Это,
однако, не обязательно так. Чтобы показать это, обратимся к пра¬
вилу решения (6.9), записав его для случая т=2. Приемник вы¬
носит решение в пользу сигнала s0(t), если выполняется неравен¬
ство
Преобразуем это выражение, раскрыв скобки и сгруппировав
члены, к виду
Это выражение показывает, что приемник должен определять
значение интеграла в левой части неравенства и сравнивать его
с порогом, определяемым правой частью неравенства (6.53). Если
сигналы s0(t) и Si(t) равновероятны и имеют одинаковые энергии,
то значение порога равно нулю.
Определение интеграла в неравенстве (6.53) возможно различ¬
ными способами. Поскольку интеграл этот является мерой взаим-
— 241 —
ной корреляции входного сигнала s*(t) с колебанием As(t) =
= So(t)—Si(t), то такое представление приводит к схеме взаимо-
корреляционного приемника. Тот же самый результат можно до-
6.13. Оптимальные приемники двоичных сигналов-
а) взаимокорреляционный, б) с согласованным
фильтрам
лучить, производя отсчет напряжения при t=T на выходе согла¬
сованного фильтра, имеющего импульсную реакцию
Эти две схемы оптимальных приемников показаны на рис. 6.13.
6.5. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМНИК СИГНАЛОВ СО
СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Вводные замечания. Допущение о том, что на приемной сторо¬
не системы связи все параметры сигналоз известны, на практике
не всегда выполняется. Реальные каналы связи таковы, что их
характеристики с той или иной скоростью изменяются случайным
образом во времени. Так, например, в канале с замираниями
амплитуда сигнала на входе приемника является случайно изме¬
няющейся величиной в соответствии с некоторым статистическим
законом. Ясно, что оптимальный приемник, рассчитанный на при¬
ем сигналов с известной амплитудой, теперь уже не будет наи¬
лучшим, так как теперь точное знание амплитуды -сигнала отсут¬
ствует на приемной стороне системы связи. Основная причина
ухудшения состоит в том, что приемник, рассчитанный на прием
— 242 —
сигналов с неизменной амплитудой, не использует статистических
свойств замираний. Бели статистические свойства замираний из¬
вестны, то-полное-использование этого знания на приемной стороне
позволяет повысить верность передачи. Таким образом, и при прие¬
ме сигналов с неизвестной, случайно изменяющейся ам-плитудой
можно стаеить вопрос об обработке входного колебания с учетом
статистических свойств замираний, которая обеспечивает предель¬
но достижимую в данных условиях верность передачи. Осуществ¬
ляющий эту обработку приемник .по-прежнему будем называть оп¬
та, мальным.
То же -справедливо и для других параметров высокочастотных
сигналов, таких как частота и фаза колебаний. Изменения частоты
сигналов наблюдаются при связи с движущимися объектами из-за
эффекта Допплера. Фаза сигнала также в большинстве случаев
точно не известна на приемной стороне или из-за того, что при¬
меняется способ формирования сигналов, при котором фаза слу¬
чайным образом изменяется от одного сигнала к другому или
вследствие случайных изменений времени распространения сиг¬
нала в канале связи (п. 4.3).
Один из практических способов использования статистических
закономерностей случайно изменяющихся параметров сигнала для
повышения верности передачи состоит в получении тем или иным
способом достаточно надежной оценки неизвестного параметра сиг¬
нала, которая и принимается за истинное значение параметра.
Обычно такая возможность имеется тогда, когда параметр изменя¬
ется столь медленно, что его значение практически постоянно в
течение нескольких интервалов Т.
Таким образом, задача приема сводится, к уже решенной зада¬
че приема полностью известных сигналов. Именно зта адея лежит
в основе всех схем приемников, содержащих устройства для сле¬
жения за изменениями параметров сигнала (конечно, речь идет об
изменениях тех параметров-сигнала, которые не подвергаются по¬
лезной модуляции). Поскольку оценка параметра отличается от
истинного значения, помехоустойчивость этих приемников несколь¬
ко ниже, чем помехоустойчивость приема полностью известных
сигналов.
Следует заметить, что в некоторых случаях (когда это в прин¬
ципе возможно) полный отказ от учета статистических свойств
отдельных (но не всех) параметров сигнала не приводит к слиш¬
ком большому энергетическому проигрышу. Так, например, из
рассмотрения рис. 2.5 следует, что применение некогерентного
детектирования вместо когерентного для получения одинаковой
верности требует не более чем двукратного увеличения напряже¬
ния сигнала, т. е. проигрыш не превышает 6 дб (при вероятности
ошибочного приема близкой к 0,5). Величина энергетического про¬
игрыша быстро падает по мере уменьшения вероятности ошибоч¬
ного приема символа. Так при ре-= 10-5 энергетический проигрыш
составляет всего 0,6 дб. Приведенные соображения заставляют
— 243 —
сделать вывод, что учет статистических свойств параметров сигна¬
ла и связанное с этим усложнение и увеличение стоимости обо¬
рудования может быть целесообразным в том случае, если не
существует других, менее дорогостоящих способов получения тре¬
буемого результата. Чтобы получить возможность оценки сложно¬
сти оборудования, необходимо найти структуру оптимального
приемника для сигналов с неизвестными параметрами. Это рас¬
смотрение следует далее.
Апостериорная вероятность сигнала со случайными параметра¬
ми. Допустим, для простоты, что только один из параметров а
сигнала Sb(cti, аг, ..t) является случайным, все остальные извест¬
ны точно на 'приемной стороне системы связи. Пусть таким слу¬
чайным'параметром является параметр аь Тогда k-й сигнал с не¬
известным параметром ai записывается как s*. a, (0- 5 общем
случае закон распределения параметра <х\ может зависеть от ин¬
декса k. Поэтому статистические свойства параметра определя¬
ются совместным распределением
® («*. о*) = Р (sk) ю Kta), (6.55)
где — функция плотности вероятности параметра ai при
заданном значении s*. Если значения параметра aI не зависят
от k, что имеет место в большинстве практических случаев, то
W (sk, at) = P (Sft) w (aj). (6.56)
Как и для сигнала известного полностью, можно найти апосте¬
риорную вероятность сигнала Sk, a/О по формуле
w (% «,/s*) = CW (Sk, a,) w (s*|s*. <0, (6-57)
где с — постоянная.
В этом выражении te>(s*|sh, aJ есть плотность вероятности при¬
ема колебания s*(t), если передан сигнал Sk, «1 (0>
s*(t) = sk>ai(t)+Z(t). (6.58)
Функция w(Sh, о, |s*) содержит информацию не только о пере¬
данном сигнале Sh, но и о параметре аь которая является излиш¬
ней. Избавиться от этих излишних сведений можно, произведя ус¬
реднение w(Sk, a, |s*_) по всем возможным значениям параметра
aj. Тогда получим
Р (Ф*) = jw (sa> о, ]s*) d ai = cp(s*) J w(a1\s^w(s*/sk, at)d av (6.59)
Далее на основе анализа апостериорного распределения
'Производится решение о переданном сигнале:
p(skls*)> P(stfs*) (6.60)
для всех 'гфк.
Если сигнал имеет несколько случайных параметров ai, аг, •.•>
то необходимо найти функцию w(s*\sk, <хь «г, а затем про¬
извести усреднение с учетом статистических свойств параметров,
— 244 —
определяемых функцией w(sh, аи аг, .. .)=p(sh)Xw(au а2 |sft).
Это дает формулу
p{sk\s*) = kp(sk) j*JJ ш(ab a2, . . .|sfe)w(s*|sft,au a2 , . ,)dax da2da3...
(6.61)
Оптимальный прием сигналов со случайной фазой. Соответству¬
ющий анализ общих выражений (6.59) и (6.61) с учетом правила
решения (6.60) позволяет определить структуру оптимального
приемника. Проведем этот анализ ib предположении, что переда¬
ваемые оигналы на интервале (О, Т)
/%
где Sh(t) =Ak(t) cos Qh(t), Sh(t) — преобразование Гильберта сиг¬
нала Sk(t), Ah(t) и Qh(t)—огибающая и мгновенная фаза сигнала
sh(t), <р — неизвестный, не зависящий от k случайный параметр,
имеющий функцию плотности вероятности w (<р) = 1/ (2я) на интер¬
вале (0,2я). Сделанные предположения означают, что фаза <р на
интервале (0,Т) сохраняется неизменной и претерпевает случай¬
ные некоррелированные изменения при переходе от одного ин¬
тервала наблюдения к другому.
Прежде всего, определим —Sh,v (0]
по формуле, подобной (6.8), в которую вместо Sk(t) следует под¬
ставить Sk,9(t):
В множитель Ci включены есе величины, не зависящие от к.
Преобразуем интеграл в показателе экспоненциального множи¬
теля
(6.64)
Вводя
можно записать
■q{k, <р) = M*cos (% —ф).
. По ф-ле (6.59) находим
(6.66)
(6.67)
Удобнее сравнивать для вынесения решения не сами апостери¬
орные вероятности сигналов Su(t), а их натуральные логарифмы.
Логарифмируя (6.67), получаем следующее правило решения: пе¬
редан тот сигнал для которого
Для всех
Выполнение этого неравенства зависит не только от уровня по¬
мехи, но также от свойств сигналов. Обычно в практических си¬
стемах с активной паузой (ДЧМ и ДФМ) все передаваемые сиг¬
налы имеют одинаковые энергии. Полагая сигналы равновероят¬
ными и учитывая, что In /0(Х) является монотонной функцией, мож¬
но записать правило решения оптимального приемника в виде:
Очевидно, (верность передачи тем выше, чем значительнее отли¬
чаются друг от друга Мк и М{ в отсутствие помех. При передаче
сигнала Sk(t), как следует из (6.65), значение М* достигает ми¬
нимального значения, равного нулю, при условии, что
Удовлетворяющие этому условию сигналы называются ортого¬
нальными в усиленном смысле [42]. Примерами таких сигналов яв¬
ляются сигналы ДЧМ, неперекрывающиеся «во времени сигналы и
ряд других.
Таким образом, при неопределенной фазе сигналов оптималь¬
ными являются ортогональные в усиленном смысле сигналы.
Выражение (6.68) определяет функциональную схему опти¬
мального приемника сигналов с неизвестной фазой. Первое пре¬
образование входного колебания s*(t) состоит в определении зна¬
чений Мк устройством, показанным на рис. 6.14. Значение Мк мож¬
но также рассматривать как огибающую выходного напряжения
линейного фильтра, согласованного с сигналом Sk(t), в момент
t = T. Такой подход приводит к функциональной схеме, состоящей
из фильтра с импульсной реакцией gk(i) =Аи(Т—t)cos®(T—t) и
(6.68)
Mh>Mi для всех
— 246 —
линейного детектора. Заметим, что выходное -напряжение детекто¬
ра повторяет огибающую лишь при условии о)оГ^>1, где со0 —
средняя частота сигнала.
6.14. Функциональная схема устройства вычисления М
Составленная на основании выражения (6.68) функциональная
схема оптимального прием'н-ика сигналов <с неизвестной фазой по¬
казана на рис. 6.15. Она состоит из т параллельных каналов и
сравнивающего устройства, выбирающего канал с наибольшим на¬
пряжением.
6.16. Функциональная схема оптимального приемника сигна¬
лов с 'неизвестной фазой
Проведенные в [42] расчеты потенциальной верности передачи
при неизвестной фазе сигналов показывают, что ухудшение незна¬
чительно по сравнению с предельным случаем полностью извест¬
ных сигналов и может быть скомпенсировано небольшим увеличе¬
нием энергии сигналов. Так, в двоичном случае вероятность гора*
-h\j 2
вильного приема pQ= 1—0,5 е (кривая 3 на рис. 6.5).
— 247 —
Оптимальный прием при отсутствии априорных распределений
параметров. Рассмотренный пример показывает, что для построе¬
ния оптимального приемника сигналов, один из параметров кото¬
рых является случайным, необходимо располагать знанием стати¬
стических свойств сообщений и неизвестного параметра. Однако
иногда знание статистических характеристик сообщений и 'случай¬
ного параметра отсутствует. Представляет большой интерес реше¬
ние вопроса о том, каким должен быть приемник в этом случае.
Конечно, следует ожидать, что вероятность ошибочного приема
символов в этом случае будет больше, -чем для оптимального '.при¬
емника, использующего «статистические свойства сообщений и па¬
раметров. Проследив ход предыдущих рассуждений, мы видим,
что лучшее, что -можно сделать, -когда неизвестны p(sk) и до (а) —
это выносить решения о переданных сигналах на основе вычисле¬
ния функции w(s*\sk,a)-
Допустим, что вся область изменения случайного параметра а
разбита на ряд интервалов Да со средними значениями а;-(/=1, 2,
..., п) в каждом интервале. Тогда правило решения о переданном
сигнале можно записать так:
переданным является тот сигнал Su, для которого
для всех значений 1фк, /= 1, 2, ..., п.
Таким образом, приемник, помимо полезных сведений о пере¬
данных сигналах Sk, выдает еще ненужные сведения о значении
случайного параметра ар. Однако избавиться от них усреднением,
как это делалось раньше, теперь нельзя, так как неизвестна функ¬
ция w(a).
На основании ф-лы (6.8) функция
Vu.ii;
где Si(aj, t)—функция сигнала Si при значении параметра aj.
Правило решения можно переписать в виде
для всех i=?=k, / = 1, 2, ..., п.
Раскрывая скобки и исключая члены, не зависящие от i и /, по¬
лучим
Здесь Mij — мера взаимной корреляции колебаний s*(t) и
Si (<Xj, t) .
— 248 —
Ец — энергия колебания Si(aj, t):
Бели сигналы S; имеют одинаковые энергии, не зависящие от
значений случайного параметра ар то асе значения^ одинаковы.
В этом случае переданным считается тот сигнал sь для которого
Mkp > Ми (6.76)
для всех / = 1, 2, ..., п.
Правило решения (6.76) можно использовать при построении
схемы приемника сигналов с равными энергиями, у которых неиз¬
вестными параметрами являются фаза или частота.
Если фаза сигналов .случайна, то из (6.76) получаем функцио¬
нальную схему приемника, рис. 6.16. Она состоит из генераторов
6.16. Функциональная схема шрием-ника сигналов
с неизвестной фазой, когда неизвестны р{ац)
и ш(ф)
сигналов s,(<pj, t), устройств, вычисляющих Мц (корреляторов или
согласованных фильтров) и сравнивающего устройства, выбираю¬
щего канал с наибольшим выходным напряжением.
Когда неизвестный параметр — частота, то
Структура приемника оказывается такой же, как на рис. 6.16,
с той лишь разницей, что теперь генераторы сигналов вырабаты-
. вают колебания Ai(t) cos coj/.
6.6. ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА СИГНАЛОВ
Распределение энергии сигналов. Верность передачи при ис¬
пользовании произвольной системы сигналов Si(t) (7=0, 1, 2, ...,
т—1) и оптимальном приеме зависит от распределения вероятно¬
стей p(di), энергий сигналов £г- и их взаимокорреляционных
свойств, характеризуемых коэффициентами взаимной корреляции
bki-
При заданных статистических свойствах источника сообщений
т— 1
p(ai) и заданной средней энергии сигналов Е = (1 Im) ^ Et мож-
Iе о
но подобрать такое распределение энергий отдельных сигналов и
коэффициентов взаимной корреляции Ьиь при котором верность
передачи будет максимально возможной. Такую совокупность (си¬
стему) сигналов, которая обеспечивает получение наибольшей вер¬
ности передачи при заданных р(щ) и средней энергии сигналов Е,
будем называть оптимальной.
Иными словами, оптимальная система сигналов позволяет по¬
лучить потенциальную верность передачи при минимальных за¬
тратах энергии сигналов.
Задача синтеза оптимальной системы сигналов в такой общей
постановке является очень сложной. Ниже рассматриваются от¬
дельные стороны этой общей задачи.
Сравнительно просто решается вопрос о том, как следует рас¬
пределить энергии неравновероятных ортогональных сигналов Е{,
чтобы средняя вероятность ошибочного приема была минималь¬
ной.
Выразим энергии отдельных сигналов Ei через среднюю энер¬
гию Е, введя коэффициенты распределения энергии \x>i=(Ei—Е)/Е,
m— 1
причем ^ = 0. Коэффициенты распределения энергии \ц, обе-
спечивающие минимальную среднюю вероятность ошибки, нахо¬
дятся из совместного решения системы уравнений
J^L = 0 и = 0, 1, 2, . . пг— 1). (6.78)
d\*i
Коэффициенты взаимной корреляции сигналов. Далее рассмот¬
рим вопрос о том, как следует выбирать коэффициенты взаимной
корреляции сигналов Ьиг в частном случае равновероятных сиг¬
налов p(ai) = \!m. В этом случае для получения наибольшей вер¬
ности передачи при минимальных затратах энергии все сигналы
должны иметь одинаковые энергии и быть равноудаленными друг
от друга.
— 250 —
В. А. Котельников показал {24], каким обр-азом произвольную
систему равноудаленных сигналов Si(t) (i=0, 1,2,..., т—1) мож¬
но преобразовать в оптимальную систему сигналов;
Обозначим расстояние между концами векторов сигналов в
пространстве сигналов через
причем в данном случае все dih одинаковы и равны некоторому d,
не зависящему от i и k (iф-k). Образуем новую систему сигналов.
Система сигналов s'(t) имеет расстояние между сигналами d,
так как добавление ко всем сигналам Si(t) одинакового колебания
z(t) с геометрической точки зрения равноценно параллельному пе¬
ремещению всех концов векторов сигналов S{(t) на одинаковую
величину. Поэтому и потенциальные верности передачи гари исполь¬
зовании систем сигналов Si(t) и s'(t) одинаковы.
Очевидно, колебание z(t) следует взять таким, чтобы средняя
энергия системы .сигналов s'(t) была минимально возможной.
Средняя энергия сигналов s', (t)
Если изменять колебание z(t) так, чтобы его энергия Ег оста¬
валась неизменной, то первый и второй члены в квадратной скоб¬
ке изменяться не будут. Средняя энергия будет минимальна, ког¬
да последний член отрицательный, т. е.
где k — некоторая положительная постоянная.
Подстановка этого значения z(t) в ф-лу (6.81) и. исследование ее
на минимум определяет значение k:
(6.79)
(6.80>
(6.82>
(6.83)
Итак, система равновероятных сигналов, обеспечивающая по¬
тенциальную верность передачи при минимальной средней энер¬
гии сигналов, определяется соотношением
Непосредственным подсчетом величин анергий £' можно по¬
казать, что все сигналы s' (t) имеют одинаковые энергии, равные
средней энергии Е
Геометрический «смысл рассмотренных преобразований сигна¬
лов Si(l) поясняет рис. 6.17, на котором ш-оказаны три вектора сиг¬
налов s0, Si и 52. Сумма этих векторов образует вектор mz. Векто¬
ры новых сигналов st имеют одинаковые длины (т. е. энергии)
и расстояния от концов векторов соседних сигналов.
6.17. Преобразование произвольной системы
равноудаленных сигналов Si(t) в оптимальную
систему сигналов s't (/) (/=0, 1, 2)
Интересно определить значение коэффициента взаимной кор¬
реляции bik между сигналами оптимальной совокупности s' (t)
Взаимная энергия сигналов s' (t) из ф-лы (6.79)
(6.86)
252 —
Поэтому
Это значение bik является наибольшим отрицательным значе¬
нием коэффициента взаимной корреляции, которое могут иметь
равноудаленные сигналы с равными энергиями.
С другой стороны, значение Ь^, определяемое ф-лой (6.87), яв¬
ляется средним значением коэффициента взаимной корреляции для
произвольной системы сигналов с равными энергиями. Чтобы по¬
казать это, образуем неотрицательную величину
Вторая -сумма -содержит т(т—1) членов и представляет сум¬
му взаимных энергий сигналов данной системы. Средняя взаим¬
ная энергия, таким образом, удовлетворяет соотношению
Огсюда среднее значение коэффициента взаимной корреляции
находится как
Итак, показано, что не существует системы сигналов с равными
энергиями, у которой коэффициент взаимной корреляции был бы
меньше, чем [—1/(т—1)].
Энергетический выигрыш. При рассмотрении потенциальной
верности передачи двоичных сигналов указывалось, что сигналы,
обладающие энергией Е и коэффициентом взаимной корреляции
имеют такую же верность, что и ортогональные сигналы с энер¬
гией Е( 1—bi0). Такое же соотношение справедливо и для системы
сигналов с произвольным т. Следовательно, выигрыш в энергии
сигналов, который получается при переходе от ортогональной си¬
стемы сигналов к оптимальной, составляет
При т^> 1 энергетический выигрыш оказывается весьма не¬
большим, так как с ростом т значение bik= —1/(пг—1) стремится
к нулю. Отсюда следует важный вывод о том, что при т^> I опти¬
мальная -система сигналов без значительных затрат энергии и
ухудшения верности передачи может быть заменена системой ор¬
тогональных сигналов.
Потенциальная верность передачи m-ичных сообщений. Потен¬
циальная верность передачи m-ичных сообщений, подобно двоично¬
му случаю, находится как вероятность выполнения системы нера¬
венств (6.9) [24]. Для равновероятных равноудаленных сигналов*
с равными энергиями справедлива приближенная формула [при
E(\—b)!G^ >4]
Рс ~ 1 — {Ш — 1) Ре(т=2) • (6-90>
где ре(т=2) — определяется по ф-ле (6.18), а b=—l/(m— 1). При
одинаковых энергиях сигналов в системах с разными т верность
уменьшается с ростом т (рис. 6.18). Этот факт дросто объясняет¬
ся геометрически. При фиксированной энергии сигналов с ростом
6.18. Зависимость вероятности пра¬
вильного приема сигнала от Е/G^
для различных значений числа сиг¬
налов т. Энергия сигналов при всех
значениях т одинакова
6.19. Зависимость вероятности пра¬
вильного приема сигнала от £/G-
цля различных значений числа сиг¬
налов т. Скорости передачи и сред¬
ние мощности сигналов при вссх
значениях т одинаковы
т уменьшается Ъ и расстояние между сигналами, а это приводит
к снижению верности. Это, однако, не означает, что m-ичные си¬
стемы (т>2) хуже двоичной. Один m-ичный равновероятный сим¬
вол содержит в log2tf* раз большее количество информации, чем
— 254 -
двоичный. Поэтому правильнее сравнивать m-ичные системы при
одинаковой скорости передачи информации и одинаковых средних
мощностях сигналов. Тогда энергия сигналов m-ичной системы
£w=£log2/rc, где Е — энергия двоичных сигналов. Вероятность пра¬
вильного приема определяется приближенно, как
и теперь результат сравнения говорит уже в пользу систем с т>2
(рис. 6.19). Это находится в полном согласии с теоремой Шеннона.
Следует заметить, что в силу сложности технической реализации
систем ,с т>2 обычно используются двоичные системы. Если при
этом верность оказывается недостаточной, то используют коррек¬
тирующие коды (гл. 7).
6.7. МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА СИГНАЛОВ
В КАНАЛЕ С ЗАМИРАНИЯМИ
Потенциальная верность передачи при общих замираниях. В ка¬
нале с замираниями, как указывалось в и. 4.3, сигнал на входе
приемника подвержен случайным изменениям как амплитуды,
так и фазы. Использование статистических свойств замираний со¬
ставляет основу всех оптимальных -методов приема сигналов в ка¬
нале с замираниями. Правило решения о переданном символе со¬
общения описывается общими формулами, приведенными в п. 6.5,
которые определяют также и структуру оптимального приемника.
Здесь этот общий подход будет использован для анализа конкрет¬
ных условий замираний.
Двумя основными типами замираний являются общие и селек¬
тивные, причем скорость изменения параметров сигналов может
колебаться в широких пределах. При очень медленных общих за¬
мираниях, когда на протяжении многих интервалов Т (равных дли¬
тельности элементарных сигналов) параметры сигналов остаются
практически постоянными, возможна надежная оценка случайных
параметров сигнала по результатам наблюдения в предшествую¬
щие моменты времени. Это означает, что оптимальными метода¬
ми приема здесь являются те, которые были получены для полно¬
стью известных сигналов при условии, что производится непрерыв¬
ная регулировка приемника в соответствии с ожидаемыми значе¬
ниями амплитуды и фазы приходящего сигнала. Обычно это осу¬
ществляется с помощью систем автоматической регулировки уси¬
ления и автоматической подстройки фазы в приемнике. Но даже
если оценка неизвестных параметров сигнала производится совер¬
шенно точно, замирания приводят к снижению верности передачи.
Хотя слежение за фазой приходящего сигнала позволяет приме¬
нить когерентное детектирование, автоматическая регулировка уси¬
ления не изменяет соотношения между полезным сигналом и ад¬
— 255 —
дитивной помехой на входе приемника, которое прямо пропорци¬
онально значению коэффициента передачи канала К (п. 4.3). Каж¬
дому мгновенному значению К соответствует значение отношения
сигнала к помехе на входе ириемника hi и вероятность ошибки
Pe(hi), определяемая по общей ф-ле (6.18) в двоичном случае.
Средняя вероятность ошибки находится усреднением pe(hi) по
всем возможным значениям hi с учетом функции плотности веро¬
ятности замираний. Если обозначить через hi среднее значение
отношения сигнала к помехе, то
В качестве примера найдем верность передачи двоичных сооб¬
щений в предположении, что замирания подчиняются рэлеевскому
распределению (4.5) :
Интегрируя по частям, получим [42]
Это при /Iq^>1 можно заменить приближенной формулой
Подобным же образом можно определить вероятность ошибки
и для неоптимальных способов приема двоичных сообщений, рас¬
смотренных в п. 6.3. Результаты расчетов представлены на рис. 6.20
в форме рс*= 1 — рея Рассмотрение этих зависимостей показывает,
что повышение верности передачи в канале с замираниями увели¬
чением мощности сигнала практически неосуществимо, так как
связано с очень большим возрастанием мощности сигнала. Поэто¬
му используются другие методы повышения верности, которые рас¬
сматриваются ниже.
Аналогичные расчеты можно произвести и для замираний, под¬
чиняющихся обобщенному рэлеевскому распределению (4.6). В этом
случае верность передачи зависит от соотношения между регуляр¬
ной и флуктуирующей составляющими замираний, т. е. от Ко /А /С2
(п. 4.2). При /Со/А К2->0 замирания приближаются к рэлеевским,
при Ко /А/С2->оо замирания отсутствуют. Соответственно этому из¬
меняется и верность передачи сообщений.
При быстрых общих замираниях значения амплитуды и фа¬
зы сигналов в соседних интервалах Т практически коррелированы
столь слабо, что их можно считать независимыми. Это делает ма¬
ло эффективной или полностью исключает возможность надеж¬
— 256 —
ного предсказания неизвестных параметров сигнала. Оптимальное
правило решения о переданном символе сообщения теперь опре¬
деляется усреднением условной апостериорной вероятности сим¬
вола по амплитуде и фазе с учетом их функций плотности вероят¬
ности (см. п., 6.5). Для систем с активной паузой при равновероят¬
ных сигналах это приводит [42] независимо от статистики замира¬
ний к следующему оптимальному правилу решения:
Mk > Mt для всех / Ф к, (6.95)
совпадающему с оптимальным правилом решения при неизвестной
фазе сигнала (см. п. 6.5). Из этого вытекает, что в этих условиях
оптимальными являются
ортогональные в усилен¬
ном смысле сигналы, а по¬
тенциальная верность пе¬
редачи реализуется схе¬
мой оптимального неко¬
герентного приемника (см,
рис. 6.15). Следует заме¬
тить, что при замирани¬
ях, подчиняющихся обоб¬
щенному рэлеевскому рас¬
пределению, возможен и
когерентный прием, ког¬
да флуктуирующая со¬
ставляющая замираний
мала по сравнению с ре¬
гулярной [19].
Разнесенный прием.
Разнесенный прием — на¬
иболее распространенный
способ борьбы с общими
замираниями. Он состоит
в том, что решение о переданном символе сообщения производится
не по одному сигналу, а по нескольким, несущим одно и то же сооб¬
щение. Технические варианты разнесенного приема могут быть раз¬
личными. Несколько одинаковых сигналов могут передаваться на
разных частотах, отличающихся столь значительно, что замирания
сигналов в отдельных частотных каналах можно считать некорре¬
лированными. Сигнал от одного передатчика может приниматься
на две или более антенн, разнесенных в пространстве. Возможно
также разнесение по углу прихода луча, по поляризации, по вре¬
мени.
Во всех случаях разнесенного приема необходимо стремиться
к тому, чтобы взаимная корреляция замираний в ветвях разнесе¬
ния была близка к нулю (или даже отрицательна). Вследствие
статистической независимости замираний в отдельных ветвях ве¬
роятность того, что во всех ветвях одновременно напряжение сиг-
9—562 — 257 —
6.20. Вероятность правильного приема сиг¬
налов в канале с рэлеевскими замираниями
нала окажется недопустимо низким, мала. Это означает, что с ро¬
стом числа ветвей разнесения увеличивается вероятность того, что
хотя бы в одной ветви амплитуда сигнала окажется достаточно
большой, чтобы обеспечивалась высокая верность передачи. Про¬
изводя сравнение амплитуд сигналов в различных ветвях и вы¬
бор рзтви с максимальной амплитудой сигнала, можно обеспечить
такие условия, что амплитуда -сигнала на выходе устройства под¬
ключения ветвей будет почти все время достаточной для обеспе¬
чения заданной верности передачи. Такой вариант называется раз¬
несенным приемом с автовыбором. Увеличение числа ветвей раз¬
несения свыше трех незначительно увеличивает верность передачи
и не оправдывает усложнения и увеличения стоимости оборудова¬
ния. Поэтому обычно применяют две-три ветви разнесения.
Разнесенный прием с автовыборам ветви, в которой сигнал
в данный момент максимален, не использует энергии сигналов в
остальных п—1 ветвях разнесения. Между тем их использование
позволяет повысить верность передачи. Методы, которые исполь¬
зуют сигналы во всех п ветвях, называются разнесенным приемом
со сложением сигналов. При медленных замираниях, когда извест¬
на фаза сигналов в ветвях, возможно когерентное сложение; при
быстрых замираниях, когда возможности слежения за фазой нет,
используется некогерентное сложение сигналов.
Найдем оптимальную схему когерентного сложения, когда за¬
мирания медленные и значения коэффициентов передачи и фазы
сигналов в отдельных ветвях разнесения могут считаться извест¬
ными. Будем для простоты предполагать, что замирания в ветвях
независимы, а аддитивные помехи во всех ветвях имеют одинако¬
вую интенсивность. Наиболее вероятным переданным символом
аь является тот, для которого максимальна совместная условная
вероятность колебаний во всех ветвях разнесения при условии, что
передавался символ а& и значения коэффициента передачи кана¬
ла и фазы сигнала в i-й ветви равны Ki и 0*. Сигнал в i-й ветви
при передаче символа аи и значениях Ki и @г-
а совместная условная плотность вероятности колебаний во всех
ветвях разнесения
i=*i
Для нормальной флуктуационной помехи с равномерным спек¬
тром мощности G , которая здесь предполагается, вероятность
ш(£) определяется по ф-ле (1.78):
• 1 Подставляя это в- ф-лу (6.97), получим оптимальное правило
решения:
передан тот аи, для которого
2 f [ s) (t) - Kfik (Bh t)]2dt < 2 j Is] (t) - Kfi, (9,-, t)fdt (6.99)
/=1 0 i=»l о
для всех 1ф1г (I, & = 0, 1, ..m—1).
На основе этого правила решения может быть составлена функ¬
циональная схема оптимального сложения сигналов, рис. 6.21.
6.21. Схема оптимального когерентного сложения сиг¬
налов
Фазовращатели сдвигают фазы колебаний на —0*, так что сиг¬
налы всех ветвей суммируются когерентно. Аттенюаторы ослаб¬
ляют сигнал (и помеху) в i-и ветви пропорционально коэффици¬
енту передачи /С*. Устройства, производящие измерение К% и 0г* и
управляющие работой фазо/вращателей и аттенюаторов, (на схеме
не показаны. Со «схемы сложения сигнал поступает к оптимально^
му когерентному приемнику. Реализация такого оптимального ко¬
герентного сложения затруднительна, поэтому чаще используется
оптимальное некогерентное сложение сигналов, или комбинирован¬
ный метод сложения и автовыбора, при котором из рассмотрения
исключаются ветви, где отношение сигнала к помехе значительно
меньше, чем в других ветвях. Существует и ряд других неопти-
мальцых методов обработки сигналов при разнесенном приеме;
их описание можно найти в [17, 42].
Применение псевдослучайных сигналов. При применении сиг¬
налов с малой базой, многолучевое распространение сигнала при¬
водит к селективным замираниям, сопровождаемым наложением
соседних сигналов, когда bdC^T, Селективные замирания и явле¬
ние эхо снижают верность передачи, поэтому многие методы борь¬
бы 1C этим1Ц явлениями основываются на создании таких условий
передачи, при которых удается избежать взаимного наложения со¬
седних сигналов: Например, если снизить скорость передачи на¬
столько, что будет выполняться условие Т^>\А/* макс, то замирания
будут общими, а не селективными.
9*
— 239 —
использование сигналов с большой базой 2Fsf>>l позволило
по-новому решить проблему приема сигналов в многолучевом ка¬
нале с селективными замираниями. Как отмечалось в п. 6.4, сиг¬
нальная составляющая выходного напряжения согласованного
фильтра ys(t) пропорциональна функции автокорреляции сигнала
Аналогичный результат
получается и на выходе взаимокорреляционного приемника.
Допустим, что сигналы Si(t) представляют собой отдельные .реа¬
лизации случайного процесса с равномерным спектром мощности
шириной FSy длительность которых Т. Автокорреляционная функ¬
ция этих сигналов находится как преобразование Фурье от спек¬
тра мощности:
При изменении сдвига Т—t эта функция быстро убывает
(рис. 1.25), ширина ее центрального пика &2/F8. Она может быть
сделана весьма малой по сравнению с длительностью сигнала Г,
если 2FST'>1. Этот же результат справедлив для огибающей узко¬
полосных сигналов, энергия которых сосредоточена в полосе 2Fs
около некоторой высокой частоты /о. Сигналы, функция автокорре¬
ляции которых при всех сдвигах, кроме небольшой области вбли¬
зи Т—^ = 0, мала по сравнению с максимальным значением Bs(0),
называются псевдослучайными сигналами. Такую автокорреляци¬
онную функцию имеют, например, сигналы ЛЧМ (п. 1.2) и целый
ряд других [39].
Теперь ясно, что, применяя сигналы с достаточно большой ба¬
зой 2FST^>1 в условиях селективных замираний, можно обеспечить
условия полного разделения лучей на выходе оптимального при-
6.22. Огибающая напряжения на выходе фильтра, со¬
гласованного с псевдослучайным сигналом с 2FST^>\,
при многолучевом распространении
емника, если ширина пика автокорреляционной функции меньше,
чем минимальная разность времени распространения лучей. При¬
мерный вид огибающей выходного напряжения оптимального при¬
емника показан на .рис. 6.22. Решение о переданном сигнале в при¬
— 260 —
емнике можно выносить, взяв отсчет напряжения в момент време¬
ни, соответствующий приходу луча с наибольшей амплитудой
(обычно это первый луч), однако такое построение приемника не
использует энергию других лучей и поэтому не является оптималь¬
ным. Бели произведена оценка запаздывания отдельных лучей от¬
носительно первого, то, производя временной сдвиг сигналов на
выходе приемника с помощью линий задержки, возможно совме¬
щение сигналов отдельных лучей в момент времени прихода пос¬
леднего луча. При этом возможно как когерентное сложение (сло¬
жение высокочастотных колебаний), так и некогерентное (сложе¬
ние огибающих, рис. 6.23). На практике время прихода отдельных
►.23. Некогерентное сложение сигналов при многолучевом распро-
странении
лучей хотя и медленно, но непрерывно изменяется; это требует
непрерывного контроля и регулировки величин задержек, что зна¬
чительно затрудняет возможности реализации этого метода.
Иной, более легко реализуемый вариант когерентного сложе¬
ния лучей применен в системе «Рэйк», упрощенная схема прием¬
ника которой показана на рис. 6.24.
Напряжение с выхода УПЧ подается на линию задержки, вы¬
полняющую роль запоминающего устройства. Задержка выбира¬
ется такой, чтобы линия «вмещала» все лучи, которые должны
— 261 —
быть просуммированы. Линия задержки снабжена отводами, с ин¬
тервалом 1 /Fs. Напряжения, снимаемые с отводов, перемножают¬
ся с напряжениями от генераторов сигналов Si(t) (/=0,1), начало
генерации которых совпадает «с моментом появления сигнала пер¬
вого луча на последнем отводе линии задержки. Несущие частоты
генераторов Si(t) отличаются от промежуточной частоты на вели¬
чину /д. Полосовые фильтры на выходе перемножителей настроены
на эту частоту /д. После коррекции фаз сигналов, что необхо¬
димо для их когерентного сложения (устройства коррекции на
схеме не показаны), сигналы суммируются в узкополосном фильт¬
ре и после детектирования поступают к решающему устрой¬
ству. Благодаря отмеченному выше виду автокорреляционной функ¬
ции .сигналов когерентно суммируются лишь сигналы на тех отво¬
дах линии задержки, которые соответствуют началу прихода лу¬
чей. Напряжения лучей на остальных отводах создают помехи
(кроме аддитивной), которые суммируются некогерентно (энерге¬
тически). Различие мощностей сигнала и помехи на выходе интег¬
рирующего фильтра, очевидно, тем больше, чем больше база сиг¬
налов и число суммируемых лучей.
Помимо применения псевдослучайных сигналов, одним из спо¬
собов борьбы с селективными замираниями, предложенным в по¬
следнее время [45], является использование шумового несущего ко¬
лебания, параметры которого (например, средняя мощность) моду¬
лируются передаваемыми сообщениями.
Если к приемнику приходят, например, два луча l(t) и %(t—т)
одинаковой мощности Р0 со сдвигом т, то мощность результирую¬
щего сигнала, определяемая за время Т,
При достаточно большом Т можно считать, что Р=2Р0 + 2В(т).
Как отмечалось выше, при достаточно большом значении 2FST (где
Fs — ширина спектра шумового переносчика) функция корреляции
В (г) весьма быстро убывает при изменении т. Следовательно, при
достаточной ширине спектра переносчика Fs можно считать В (т) «
«О и Р = 2Р0. Несмотря на замирания, средняя мощность сигнала
остается постоянной, и вредный эффект замираний практически
полн остью под ав л яется.
6.8. НАКОПЛЕНИЕ СИГНАЛА КАК МЕТОД
ПОВЫШЕНИЯ ВЕРНОСТИ ПЕРЕДАЧИ
Физическая сущность метода накопления. При рассмотрении
разнесенного приема отмечалось, что сложение напряжений в от¬
дельных ветвях приводит к улучшению отношения сипнала к поме¬
хе на выходе схемы сложения. Такой метод повышения верности
передачи можно использовать не только в каналах с-замираниями
— 262 —
сигнала, но и во многих других случаях. Будем (называть его ме¬
тодом накопления. Метод накопления является универсальным спо¬
собом ослабления мешающего действия случайных флуктуаций не
только в радиотехнических системах, но и во многих других об¬
ластях. Рассмотрим закономерности этого метода на примере об¬
наружения прямоугольного видеоимпульса с длительностью Т и
высотой А на фоне формальной флуктуационной помехи t,(t) со
средним значением £-=0, средней мощностью С2 = о2 и интерва¬
лом корреляции то. Для того чтобы обнаружить импульсный сиг¬
нал s(t), будем .производить отсчеты входного напряжения s*(i) =
= s(t) + Z(t) через интервал времени At, суммировать их в нако¬
пителе (им может быть интегрирующая цепь с большой .постоян¬
ной времени), а затем полученную сумму сравнивать с порогом в
решающем устройстве « выносить решение о присутствии сигна¬
ла, если напряжение «а входе решающего устройства превосходит
установленный порог. Колебания на входе и выходе накопителя
показаны на рис. 6.25. Как при передаче сигнала, так и в отсутст-
6.25. Накопление отсчетов сигнала+помеха и одной
помехи
вие его, напряжение на выходе накопителя в моменты Т, 2Т, ..
тТ, является случайным. Однако, если присутствует сигнал, вы¬
ходное напряжение содержит постоянную составляющую, величина
которой определяется амплитудой сигнала и числом отсчетов (т. е.
длительностью сигнала Т, так как n^T/At). Если сигнал отсут¬
ствует, то выходное напряжение накопителя колеблется около ну¬
левого уровня. Наличие постоянной составляющей выходного на¬
пряжения накопителя и позволяет обнаружить присутствие сиг¬
нала на входе, причем верность обнаружения будет определяться
соотношением между средним значением и эффективным значением
флуктуаций выходного напряжения. Как будет показано ниже, при
соблюдении некоторых условий, накопление приводит к увеличе-
нию указанного отношения, а следовательно, и повышению вер¬
ности передачи. Очевидно, что накопление связано с увеличением
времени передачи сигнала, а значит, и с уменьшением скорости пе¬
редачи. Таким образом, метод накопления можно рассматривать
как метод повышения верности за счет уменьшения скорости пе¬
редачи. Установление некоторых закономерностей этого обмена и
составляет цель последующего рассмотрения.
Отношение сигнала к помехе при накоплении. Напряжение на
выходе накопителя после суммирования п отсчетов s*(tb)= Sk
входного напряжения
Среднее значение случайного напряжения у(п):
когда присутствует сигнал, и
когда он отсутствует. Таким образом, величина п2А2 равна сред¬
ней мощности сигнала на выходе накопителя. Мощность сигнала
при накоплений растет пропорционально квадрату числа отсчетов.
Мощность помехи на выходе накопителя равна дисперсии вы¬
ходного напряжения
Отношение сигнала к помехе на выходе накопителя
Рассмотрим дисперсию суммы отсчетов помехи. Можно запи¬
сать
Вторая сумма берется по всем значениям 1фк. Величина t>\
есть не что иное, как средняя мощность помехи в момент кЫ; так
как помеха представляет стационарный процесс, то мощность не
зависит от времени, поэтому
п
2 £1 = я
k=l
~ 264 —
величина l&h есть значение корреляции между отсчетами по¬
мехи, разделенными интервалом (к—i) At. Обозначим \k—i|=/.
Тогда
где обозначает любую пару отсчетов помехи, разделенных ин¬
тервалом времени lAt. Поэтому
где В(1)—значение функции корреляции помехи В(х) при %—lAt.
Выражая функцию корреляции через ее нормированное значение
6(т) = Я(т)/о*,
можем записать
Формула (6.105) показывает, что мощность помехи на выходе
накопителя существенно зависит от корреляции между значения¬
ми помехи в моменты отсчетов. Для выяснения этой зависимости
рассмотрим сначала два характерных случая: слабой и сильной
корреляции между соседними отсчетами помехи. Как показано в
п. 1.5, интервал корреляции помехи связан с шириной энергетиче¬
ского спектра помехи соотношением x<s=\l (2F Таким образом,
слабая корреляция между соседними отсчетами помехи имеет ме¬
сто, когда отсчеты берутся через интервал Д/^то или At^\/(2F
а сильная, — когда At<g.xo или Д/<С 1/(2F_). Пусть отсчеты берут¬
ся через At^xo- Тогда можно считать Ь(1)—0 и
где h*=A2/o2 — отношение мощности сигнала к средней мощно¬
сти помехи на входе накопителя. При накоплении некоррелирован¬
ных отсчетов помехи ее мощность растет пропорционально числу
отсчетов, и отношение сигнала к помехе на выходе накопителя уве¬
личивается пропорционально числу отсчетов.
Пусть теперь отсчеты берутся через интервал А/<^т0. Тогда зна¬
чения помехи во всей последовательности отсчетов практически оди¬
наковы: 6(7) = 1, /=1, 2, . .., {п—1). Мощность помехи на выходе
накопителя оказывается
(6.105)
Применяя формулу для суммы членов арифметической пре¬
грессии, стоящей в квадратной скобке, получим
Как и следовало ожидать, мощность суммы сильно коррелиро¬
ванных отсчетов помехи растет пропорционально квадрату числа
отсчётов. В этом случае
и накопление не приводит к улучшению верности передачи.
Зависимости выходного отношения сигнала к помехе от числа
отсчетов показаны «а рис. 6.26.
6.26. Зависимость отношения сипнала к по¬
мехе на выходе накопителя от числа от¬
счетов
Корреляция между отсчетами помехи в действительности по¬
степенно ослабевает по мере увеличения интервала до бесконеч¬
ности в соответствии с корреляционной функцией помехи В (т).
Пусть помеха с равномерным спектром Gt, вт/гц, прежде чем
поступить на отсчетное устройство и накопитель, пропускается че¬
рез интегрирующую #С-цепь с коэффициентом передачи /((и). По¬
меха на выходе цепи имеет опектр
где
— 266 —
Отношение сигнала к помехе h\ зависит от аАt, стремясь к Д|=
— nh\ по мере роста аД£->оо. Зависимости h\ для различных зна¬
чений аАt показаны на рис. 6.26.
Следует заметить, что если корреляция между соседними от¬
счетами помехи отрицательная, то мощность ее при накоплении бу¬
дет увеличиваться не пропорционально п, как в случае (независи¬
мых отсчетов помехи, а более медленно. Поэтому и отношение мощ¬
ности сигнала к мощности помехи на выходе накопителя будет ра¬
сти быстрее,чем /г. Например, если 6(1) = —0,5, 6(2) =6(3) = ... =0,
то по 6-лам (6.105) и (6.104) находим
Функция корреляции помехи на выходе RC-цепи
где <j2=0,25 Gcxa=Gc/(4/?C) есть средняя мощность помехи на
выходе 7?С-цепи. Если производится накопление отсчетов такой
помехи, взятых через интервал At=d/a=dRC, то
Входящая в последнюю формулу сумма является суммой чле¬
нов арифметико-геометрической прогрессии
где с = e~d = е а . При п^> 1
и мощность помехи .на выходе накопителя
Тогда для отношения сигнала к помехе на выходе накопителя
в рассматриваемом случае получаем формулу
Эта зависимость также показана на рис. 6.26.
Интегральный прием. Возвращаясь к техническому осуществле¬
нию накопителя, рассмотренному в начале этого параграфа, отме¬
тим, что когда Д/->0, то п->- оо и суммирование в ф-ле (6.100) за¬
меняется интегрированием
Такой метод приема называется интегральным. Интегральный
прием является оптимальным методом, когда сигнал s(t) пред¬
ставляет собой постоянное значение на интервале наблюдения
(0, t). Действительно, при Si(7)=A, 5о(0=0 ,и при р(А) =р(0) =0,5
из ф-лы (6.53) получаем следующее оптимальное правило реше¬
ния:
Но именно эта процедура интегрирования входного сигнала на
интервале его существования Т и сравнение с порогом произво¬
дится при интегральном методе приема. Отношение мощности сиг¬
нала к средней мощности помехи на выходе интегратора [47]
т. е. пропорционально числу независимых отсчетов помехи, при¬
ходящихся на интервал интегрирования Т. Такое же соотношение
было получено и для накопления отсчетов входного сигнала. Та¬
ким образом, дискретное суммирование и непрерывное интегри¬
рование в этих условиях эквивалентны.
КОРРЕКТИРУЮЩИЕ КОДЫ
7.1. БЛОЧНЫЕ КОРРЕКТИРУЮЩИЕ КОДЫ
Определение блочного корректирующего кода. Коды, способ¬
ные обнаруживать и исправлять ошибки и стирания, внесенные ди¬
скретным каналом, называются корректирующими. Наибольшее ра¬
спространение в настоящее время получили блочные равномерные
корректирующие коды. Из материала п. 5.6 следует, что при до¬
статочно большой длине такие коды позволяют получить сколь
угодно малую вероятность ошибки при скорости передачи инфор¬
мации, сколь угодно близкой к пропускной способности дискрет¬
ного канала, причем случайно выбранный код с высокой вероят¬
ностью близок к оптимальному. Это не снимает, однако, вопроса
о выборе кода при ограниченных задержках и, тем более, вопро¬
са о технической реализации корректирующих кодов. При рассмот¬
рении этих вопросов в настоящей главе ограничимся случаем бе-
зызбыточных двоичных источников и двоичных симметричных ка¬
налов без памяти. Особенностей, связанных с коррекцией ошибок
и стираний в каналах с памятью, которой обладают многие реаль¬
ные дискретные каналы (п. 4.3), касаться не будем.
Блочный код длины п является корерктирующим, если число
K—fUa, его кодовых комбинаций меньше числа N=ml всех воз¬
можных ть-ичных /г-наборов (п. 5.6). Например, двоичный код, зада¬
ваемый табл. 7.1, корректирующий, так как для него /С=4, N=24 =
= 16. Избыточность (5.60),
обусловленная неравенством Таблица 7.1
может использовать¬
ся по-разному в зависимо¬
сти от канала и требований
к системе передачи. Один и
тот же код может декодиро¬
ваться с обнаружением оши¬
бок, с исправлением ошибок,
с исправлением стираний и с различными сочетаниями этих приемов.
Во всех случаях принимаемая комбинация |3*, совпадающая с одной
из кодовых р(а), отождествляется с последней, т. е. декодируется как
а
00
01
10
11
•Р
1000
1100
1110
1111
— 269 —
сообщение а. Если в действительности передавалась другая ком¬
бинация, декодирование будет неправильным. Очевидно, что при
K=N (при отсутствии избыточности) невозможна никакая коррек¬
ция, так как при любых ошибках принимаемая комбинация совпа¬
дает с какой-либо 'кодовой.
Обнаружение ошибок и исправление стираний. Для декодиро¬
вания с обнаружением ошибок достаточно сравнять принимаемую
комбинацию со всеми кодовыми и стереть ее, если она не совпа¬
дает ни с одной из .них. При этом не обнаруживаются сочетания
ошибок е, преобразующие одну кодовую комбинацию в другую.
В общем случае обнаружимость сочетания ошибок зависит от пе¬
реданной комбинации. Для примера в табл. 7.2 показан участок
Таблица 7.2
{■/>
10
0 0
0 1
{ м •
. . 1110
1000
1100
(М
. . 0000
0010
1001
{ Й) •
. . 1110
1010
0101
К) •
. . 10
0 0
0 0
1 0
1 1
0 0
и
10
1110
1111
1000
1111
1110
0010
0000
1000
0001
1011
1100
1111
0000
1110
0101
0 1
1 1
0 0
1 0
0 0
последовательности сообщений {а/}, кодовых комбинаций {pj} (со¬
ставляемых в соответствии с табл. 7.1), сочетаний ошибок {е/},
принимаемых комбинаций {pJ} = {Pj®bj} и сообщений {а}}, вы¬
даваемых получателю при декодировании с обнаружением оши¬
бок. Мы видим, что одно ,и то же сочетание ошибок е=0010 обна¬
руживается при передаче р=Ю00, но не обнаруживается при пе¬
редаче р=1110.
Для декодирования с исправлением стираний достаточно срав¬
нить принимаемую комбинацию р* со всеми кодовыми р(а) и отож¬
дествить ее с той из них, с которой р* совпадает в нестертых по¬
зициях. Если таких комбинаций р(а), оказывается несколько, то в
зависимости от требований к рс? и рош, принимаемая комбинация
р* стирается (стирания .не .поправляются) или отождествляется с
любой из этих р(“\ В дальнейшем будем полагать первое. В ка¬
нале со стираниями и ошибками р* может не совпадать в своих
нестертых .позициях ни с одной кодовой. В таких случаях обнару¬
живаются ошибки. Исправим,ость сочетания стираний также за¬
висит от переданной комбинации. Сказанное поясняется табл. 7.3,
аналогичной табл. 7.2.
Сопоставление рассмотренных алгоритмов позволяет устано¬
вить аналогию между способностью кода обнаруживать ошибки
и его способностью исправлять стирания. Сочетание стираний ис¬
правляется, если обнаруживаются все сочетания ошибок, образую-
— 270 —
шееся из него заменой стираний (символов 0) всеми возможными
сочетаниями единиц и нулей. Таким образом, если исправляется
сочетание стираний, то обнаруживается и соответствующее соче¬
тание ошибок (образованное заменой стираний ошибками, т. е.
0->1), обратное утверждение ве
ние стираний 0000 при передаче
{М- •
10
0 0
0 1
{ Ь} .
. . 1110
1000
1100
{*;}
. . 0000
00J0
С009
{ .
. . 1110
1030
6100
К} •
10
0 0
0 1
>но не всегда. Например, сочёта-
1110 (табл. 7.3) не исправляется:
Таблица 7.3
1 0
1 1
0 0
1 1
10 . .
1110
1111
1000
1111
1110 .
0000
0000
еооо
0000
0000 .
1100
1111
1000
1110
0100 . .
0
11
0 0
оэ
00 .
хотя сочетание ошибок 1011 и обнаруживается, однако сочетание
0010, образованное из него заменой двух единиц на нули, не об¬
наруживается (табл. 7.2).
Исправление ошибок. Для декодирования с исправлением оши¬
бок принимаемая комбинация р* должна быть отождествлена с
одной из'кодовых р(в) даже © том случае, когда она отличается от
всех них. Такое отождествление аналогично принятию той или иной
гипотезы о сочетании ошибок в канале е: р* = Р<а>@е. Поэтому из
К сочетаний ошибок, которые могут привести к приему каждой
комбинации р*, исправляется только одно; остальные К—1 соче¬
таний вызывают неправильное декодирование (ошибку). При этом
исправимость сочетания ошибок в общем случае зависит от пере¬
данной комбинации.
В двоичном симметричном канале без памяти с ре<0,5 для
минимизации вероятности ошибки р0ш следует всегда принимать
гипотезу о возникновении сочетания ошибок минимальной крат¬
ности или, что то же, отождествлять 0* с той р(а), до которой рас¬
стояние Хэмминга rf(p*, р(в)-) является минимальным (п. 5.6). По¬
иск такой комбинации при декодировании может осуществлять¬
ся попозиционным суммированием по модулю 2 принимаемой
комбинации р* со всеми кодовыми р(ос) и сравнением весов сумм
Р* ©Р(а): эти веса и равны соответствующим расстояниям Хэммин¬
га (п. 1.1). Однако закрепление всех возможных принимаемых
комбинаций за различными кодовыми может быть осуществлено
и заранее — в виде таблицы декодирования, заложенной в памяти
декодера. Эта таблица, смысл которой поясняется рис. 2.1, со¬
держит К столбцов, в которые входят все N* = N- возможных при¬
нимаемых комбинаций, причем каждая из них встречается в таб¬
лице только 1 раз. При этом каждая принимаемая комбинация
— 271 —
00
01
10
11
1100
0100
р* отождествляется с той кодовой, за которой закреплен столбец,
содержащий р*.
Правило оптимального (минимизирующего рош) декодирова¬
ния кода, задаваемого табл. 7.1, приведено в табл. 7.4 Она со-
Т а блиц а 7.4 ставлена так, что все при¬
нимаемые комбинации в од¬
ной строке соответствуют
одному и тому же сочета¬
нию ошибок. Само* это со¬
четание выписано в послед¬
нем столбце (который непо¬
средственно для задания
правила декодирования не
нужен). Прочерки показы¬
вают, что соответствующее
сочетание ошибок при пе¬
редаче данного сообщения
не исправляется (приво-
дит к неправильному деко¬
дированию). Сочетания ошибок, не перечисленные в послед¬
нем столбце, не исправляются ни при каких кодовых комбина¬
циях. Общее число комбинаций, записанных во всех столбцах
таблицы, N* = N= 16. В данном коде многие принимаемые
комбинации находятся на одном и том же минимальном расстоя¬
нии от нескольких кодовых. Поэтому таблица оптимального деко¬
дирования может быть составлена и другими способами.
Таблица 7.5
1000
0000
1001
0001 I —
1110
0110
1010
0010
1111
0111
1011
1101
ООП
0101
0000
1000
0100
0010
0001
1100
1010
1001
{м
10
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
1 1
1 0
(Ру} •
. . 1110
1000
1100
1110
1111
1000
1111
1110
<м •
. . 0000
0010
1001
0010
0000
1000
0001
1011
{*0} •
. . 1110
1010
0101
1100
1111
0000
1110
0101
KI •
. . Го
1 0
1 1
0 1
1 1
0 0
1 0
1 1
В табл. 7.5 пояснен процесс декодирования в соответствии с
табл. 7.4. Сопоставляя табл. 7.5 и 7.2, можно видеть, что при
декодировании с исправлением ошибок те же ошибки в канале
при тех же переданных комбинациях приводят к неправильному
декодированию гораздо чаще, чем при декодировании с обнару¬
жением ошибок без исправления.
Исправление и обнаружение ошибок и стираний. Исправле¬
ние ошибок может сочетаться с их обнаружением. В этом случае
попытка исправления ошибок делается при приеме лишь некото-
— 272 —
рых комбинаций, отличающихся от кодовых, и множество N
принимаемых комбинаций разбивается не на К, а на /С+1 непе-
ресекающихся подмножеств. При приеме комбинаций, принадле¬
жащих первым К подмножествам, они отождествляются с соот¬
ветствующими сообщениями, при приеме комбинаций последнего
(/С+1) -го подмножества сообщение стирается. Такое декодирова¬
ние описывается с помощью кодовой таблицы, которая аналогична
таблице для исправления ошибок, но содержит (/С+1) -й столбец,
соответствующий стираниям. При этом некоторые сочетания оши¬
бок исправляются, некоторые — обнаруживаются, некоторые при¬
водят к неправильному декодированию. Распределение принимае¬
мых комбинаций между столбцами, вообще говоря, может быть
любым, но разумно его осуществлять с таким расчетом, чтобы ис¬
правлялись наиболее вероятные, а обнаруживались менее веро¬
ятные сочетания ошибок. Пример такого распределения для кода,
задаваемого табл. 7.1, при¬
веден в табл. 7.6 (при этом
строки уже не соответству¬
ют одним и тем же со¬
четаниям ошибок). Часто
стирают такие комбинации,
которые с максимальной
вероятностью соответству¬
ют нескольким кодовым
(расстояние которых ми¬
нимально до нескольких ко¬
довых) .
Наиболее общим способом декодирования является декодиро¬
вание с исправлением ошибок и стираний и обнаружением ошибок,
когда таблица декодирования содержит /С+1 столбец (как
табл. 7.6) и в этих столбцах записано N*={mb+ 1)п комбинаций,
возможных на выходе канала с ошибками и стираниями.
Оптимальные коды. При заданных /С, п может быть построено
An различных кодов (п. 5.6). Тот из них, который при оптималь¬
ном декодировании в данном канале обеспечивает наименьшую ве¬
роятность ошибки рощ, называют оптимальным. Вообще говоря,
возможны и другие критерии оптимальности (например, рст при
заданной р0ш), но они используются реже.
В двоичном симметричном канале без памяти 'вероятность
р(&) того или иного сочетания ошибок 8 зависит только от его
кратности q и с ростом q убывает (п. 4.3). Поэтому коды для ка¬
нала без памяти должны строиться так, чтобы исправлять или
обнаруживать в первую очередь сочетания ошибок наименьшей
кратности. Применительно к исправлению ошибок наилучшим бу¬
дет такое построение кода, при котором избыточность полностью
расходуется на исправление всех сочетаний ошибок кратности
q^qyu так как при этом qu будет наибольшим. Код, исправляющий
все ошибки кратности q^q* и не исправляющий ни одного соче¬
— 273 —
Таблица 7.6
а*
00
01
10
11
00
Р*
1000
0000
1100
0100
1110
0110
1111
0111
0010
0011
1001
1010
1011
1101
0001
0101
тания ошибок более высокой кратности q>qa, называется совер¬
шенным. Код, исправляющий все сочетания ошибок кратности
?=^<7и 'и часть сочетаний ошибок кратности q = qB-\-l, но не исправ¬
ляющий ни одного сочетания ошибок более высокой кратности
<7><7и+1, называется квазисовершенным. Очевидно, что и совер¬
шенные и квазисовершенные коды оптимальны. Однако существу¬
ют оптимальные коды, не являющиеся совершенными или квази-
совершевньши.
Кодовое расстояние. При ориентировочном сопоставлении ко¬
дов для двоичного симметричного канала без памяти пользуются
понятием о кодовом расстоянии d. Эта величина представляет со¬
бой минимальное значение расстояния Хэмминга между двумя
кодовыми комбинациями, вычисленное по всем возможным парам.
Например, для кода, задаваемого табл. 7.1, d= 1, для кода с теми
же К, п, но состоящего из комбинаций 1100, 0011, 1010, 0101,
d=2. Кодовое расстояние однозначно определяет максимальную
кратность тех сочетаний ошибок или стираний, которые исправля¬
ются или обнаруживаются полностью.
Сочетание ошибок е не обнаруживается, если оно преобразует
одну кодовую комбинацию в другую, т. е. изменяет те позиции
передаваемой комбинации, в которой она отличается от другой
кодовой. Это невозможно, если кратность q сочетания ошибок не
равна расстоянию Хэмминга между этими комбинациями. Поэтому
код с расстоянием d обнаруживает любые сочетания ошибок крат¬
ности q<d (максимальная кратность полностью обнаружимых
ошибок qo=d—1).
Сочетание стираний не исправляется, если принимаемая ком¬
бинация в своих нестертых позициях совпадает более, чем с одной
кодовой, т. е. если стираются позиции, в которых передаваемая
комбинация отличается от других кодовых. Поэтому все стирания
кратности q<.d исправляются (максимальная кратность полно¬
стью исправимых стираний qc=d—1).
При исправлении ошибок по минимуму расстояния неправиль¬
ное декодирование происходит, если расстояние Хэмминга от при¬
нимаемой комбинации до переданной оказывается больше, чем до
какой-либо другой кодовой. Для этого сочетание ошибок должно
изменить более половины позиций, в которых переданная комби¬
нация отличается от какой-либо другой кодовой. Поэтому код с
расстоянием d исправляет все сочетания ошибок кратности q < ~
(максимальная кратность полностью исправимых ошибок при не-
л d~l j d ,\
четном d qa=—— , а при четном d q^= — 11.
При декодировании с исправлением и обнаружением ошибок
код с расстоянием d может исправить любые q^qa ошибок и об¬
наружить любые <7и-С<7 <7о ошибок, если qa-\-qo<.d. В частности,
код с четным d может исправить любые —1 или меньше ошибок
— 274 —
и обнаружить любые ошибок. При q0=Qn имеем декодирование
только с исправлением, при qa=0— только с обнаружением оши¬
бок.
Аналогичным образом, при декодировании с исправлением оши¬
бок и стираний при кодовом расстоянии d могут быть исправлены
любые <7^<7и ошибок и q^qc стираний, если 2qa-\-qc<.d.
В общем случае код с расстоянием d исправляет любые q^qc
стираний и любые,q^qa ошибок и обнаруживает любые qa<.q^qo
ошибок, если <7и+^с+<7о<^-
Кодовое расстояние лишь частично характеризует качество ко¬
да даже в канале без памяти, так как, помимо полностью испра¬
вимых или обнаружимых сочетаний ошибок и стираний (кратность
которых определяется кодовым расстоянием), часто исправляются
или обнаруживаются многие другие сочетания.
Задачи систематизации. Описание кодирования и декодирова¬
ния, приведенное в настоящем разделе является общим для
всех блочных корректирующих кодов. Однако практически оно
может быть реализовано лишь при небольших k, п, так как тре¬
бует регистрации всех К кодовых комбинаций в кодере и декодере
(а при декодировании с исправлением ошибок по таблице — всех
N возможных «-наборов). Если, например, для двоичного источ¬
ника А:=30, то К=230, и необходимый объем памяти составит 230,
т. е. более 109 кодовых комбинаций. Вместе >с тем высокая верность
передачи при хорошем использовании канала часто требует гораз¬
до больших k.
Уменьшение памяти может быть достигнуто при подчинении
преобразований {Л,}-*-{В4}, {В'}-^{А*/} каким-либо правилам,
т. е. при систематизации кодирования и декодирования. Система¬
тизация сужает класс используемых кодов и в принципе может
ухудшить достигаемые показатели, но такое ухудшение оправдано,
если оно делает возможным техническую реализацию. Наиболее
важные примеры более узкого класса блочных корректирующих
кодов приведены в п. 7.2.
Другим .примером являются коды с постоянным весом, каждая
комбинация которых содержит одно и то же число единиц w.
Общее число кодовых комбинаций такого вдца К не превышает
С%, при этом кодовое расстояние d=2. Однако в полностью асим¬
метричном канале (и. 4.3) коды с постоянным весом обнаружи¬
вают все ошибки. На практике часто применяются коды длины
п—7 с весом w=3 (К=С^—35) и длины п = 8 с w—4 (К=С\ =
=70).
7.2. ЛИНЕИНЫЕ КОДЫ
Разделимые коды. Естественным способом систематизации по¬
строения корректирующих кодов является разделение кодовых
символов на информационные, представляющие собой непосред-
— 275 —
ственно /элементы сообщения, и проверочные, которые функцио¬
нально рависят от информационных (полагаем та=ть). Блочный
код длины п, содержащий k информационных и r=n—k провероч¬
ных символов, называют разделимым кодом (п, k). Избыточность
разделимого кода р (В) ——. Условимся считать, что информацион-
Л
ные символы расположены на первых k, а проверочные — на по¬
следних г позициях блока (такое расположение обычно удобно
практически), и будем обозначать их соответственно aj, cv, где
/ = 0, ..., k—1; t> = 0, ..., г—1. Тогда кодовая комбинация
Р= (bn-ri ..bo) в случае разделимого кода может быть представ¬
лена как (ah-1, ..а0, сг-Ь ..., с0).
Разделимый код может быть, задан без кодовой таблицы. Пра¬
вило его построения полностью определяется заданием функцио¬
нальной зависимости r-набора проверочных символов от ^-набора
информационных
Подставляя в (7.1) все возможные сочетания информационных
символов, мы можем определить все К=Ша кодовых комбинаций.
Зависимость (7.1) может быть произвольной. Наибольшее рас¬
пространение получили линейные разделимые коды.
Определение и задание линейного кода. Разделимый (/г, k) код
с простым основанием тъ, проверочные символы которого являют¬
ся линейными комбинациями информационных ,по модулю этого
основания
называется линейным или систематическим. Здесь yJV — произволь-
V
ные т&-ичные числа, —знак суммирования по модулю тъ.
В дальнейшем будем рассматривать лишь двоичные линейные ко¬
ды (ть = 2), при этом Yjv = 0,l-
Задание г соотношений (7.2) полностью определяет правило по¬
строения линейного кода. Эти соотношения в свою очередь опре¬
деляются kr двоичными коэффициентами Так линейный код
(5,3) полностью определяется 3*2 = 6 двоичными числами. Если в
качестве этих чисел выбрать, например, 721= Yn—1» Yoi—0;
Y20 = 1, Yio = 0, Yoo = 1, то соотношения (7.2) примут вид
и подставляя в них все возможные сочетания а» мы получим все
/С = 23 = 8 кодовых комбинаций:
00000, 10011, 01010, 00101, 11001, 01111, 10110, 11100
(7.4)
— 276 —
Наряду с соотношениями (7.2) для задания линейного кода
пользуются порождающей и проверочной матрицами.
Соотношения (7.2) показывают, что результат попозиционного'
суммирования по модулю 2 любых двух комбинаций линейного
кода p<‘)©p(2) является, в свою очередь кодовой комбинацией
символы С(3> = с</>0С(2) на проверочных позициях этой суммы удов¬
летворяют соотношениям (7.2), так как aW^a^Qatp. Можно убе¬
диться, что указанное суммирование ассоциативно:
Кроме того, каждый линейный код содержит нулевую комбина¬
цию, так как при ао= ... == a*_i=0 в соответствии с (7.2) со= ... =*
= cr_i=0. Множества, обладающие такими свойствами, называюг
группами. Из сказанного следует, что линейный код образует
группу порядка 2й, являющуюся подгруппой группы всех двоичных.
n-наборов (подгруппой называют подмножество элементов группы,,
обладающее всеми ее свойствами). По этой причине линейные ко¬
ды называют также групповыми. Легко проверить, что линейный
код может рассматриваться как подпространство пространства
всех двоичных /г-наборов (п. 1.1). Напомним, что в этом прост¬
ранстве может быть введена метрика Хэмминга.
Из сказанного следует, что весь линейный код можно получить-
линейным комбинированием по модулю 2 любых k линейно неза¬
висимых кодовых комбинаций. В качестве последних удобно вы¬
брать комбинации, которые на информационных позициях содер¬
жат лишь один 'ненулевой символ. Матрица, строками которой-
являются эти k комбинаций, называется порождающей, или про¬
изводящей матрицей G. Она имеет размерность kXn(k строк и п.
столбцов). Определяя ее строки из соотношений (7.2), имеем
где Ц — единичная матрица порядка k, a G' — матрица коэффици¬
ентов размерности kXr, которая и определяет код. Для кода
(7.4)
(7.6)
— 277 —
Соотношения (7.2) для двоичных кодов могут быть представ¬
лены 1в виде
(7.7)
или, при сквозной нумерации позиций кодовой комбинации
где 6<и) =yjV для информационных позиций (i = r+]\ /=0,..., k—1)
6(^ = 1 для v-и проверочной позиции (i=v) и б<*>=0 для остальные
•проверочных позиций. Соотношениям (7.7), (7.8) должны удовле¬
творять символы bi любой кодовой комбинации. Поэтому их на¬
зывают проверочными.
Левые части (7.8) могут быть представлены как скалярные про¬
изведения кодовой комбинации р на проверочные комбинации той
л—1
же длины D= (671—ъ ..6о), вычисляемые >по правилу
*-о
Поскольку эти произведения = 0, то кодовые и проверочные
комбинации ортогональны. Матрицу размеров гХп, строками ко¬
торой являются указанные проверочные комбинации, называю!
проверочной матрицей Я. Очевидно,
где 1г — единичная матрица порядка г, а Н' — матрица коэффи¬
циентов размера rXk, которая может быть получена транспони¬
рованием (заменой строк столбцами) матрицы G'. Для построе¬
ния линейного кода по матрице Н следует перебрать все п-набо-
ры, ортогональные всем ее строкам. Для этого проверочные сим¬
волы должны формироваться суммированием тех информацион¬
ных, на позициях которых в соответствующих строках Н стоят
единицы.
Строки (7.9) линейно независимы. Комбинируя их, можно по¬
лучить все 2П—1, возможные для данного (п, k) кода провероч¬
ные комбинации. Вместе с нулевой эти комбинации образуют ли¬
нейный код (п, г), который называется ортогональным, или двойст¬
венным коду (п, k). Помимо использованных в (7.9), для построе¬
ния проверочной матрицы могут использоваться и любые другие г
линейно независимых проверочных комбинаций.
Для кода (7.4)
(7.10)
а все множество проверочных комбинаций содержит, кроме строк
Н, еще комбинацию 01111, соответствующую соотношению ai©
@a0®ci@c0=0. Нетрудно убедиться, что скалярные произведения
всех комбинаций (7.4) на все проверочные комбинации равны
нулю. Например, 10011 • 11010=1 @1=0; 10011 • 10101 = 101=0;
10011-01111 = 101=0.
Рассмотренные три способа задания линейного кода (7.2),
(7.5), (7.9) эквивалентны. Например, код (7.4), построенный на
основе (7.3), может быть получен также из (7.6) или (7.10). Ис-
7.1. Кодер для кода (5, 3)
пользование их три построении кодера и декодера требует реги¬
страции в памяти последних одних и тех же kr двоичных коэффи¬
циентов у 3V-
При кодировании элементарное сообщение непосредственно об¬
разует информационные символы. К ним добавляются провероч¬
ные символы, вычисленные в ко¬
дере в соответствии с описанны¬
ми способами. Пример построе¬
ния кодера для кода (7.4) при¬
веден на рис. 7.1. Информацион¬
ные символы, сжатые в буфере
во времени в соответствии с
рис. 7.2, поступают на выход ко¬
дера и одновременно регистриру¬
ются в ячейках регистра сдвига,
обозначенных на рисунке пря¬
моугольниками. По окончаний
регистрации сумматоры по мо¬
дулю 2 (обозначенные©) формируют проверочные символы, по¬
даваемые на выход через ключ вслед за информационными.
Задача декодирования состоит в проверке или восстановлении
информационных символов с помощью проверочных символов.
7.2. Формирование комбинации
10110
— 279 —
Исправление стираний. Для исправления стираний с помощью
линейного кода достаточно подставить символы Ь*. принимаемой
комбинации р* в любые г линейно независимых проверочных со¬
отношений, например, в (7.7), и решить полученную систему урав¬
нений относительно стертых символов b*—Q. При этом стертые
проверочные символы восстанавливать не требуется. Так, напри¬
мер, при передаче сообщения 011, закодированного в комбинацию
01111 кода (7.4) и стирании символов а<ъ т. е. при приеме ком¬
бинации 01011, из соотношений (7.3) имеем
Получателю при этом выдается сообщение 011. Несовместность
системы уравнений указывает на наличие ошибок.
Поскольку из г уравнений можно найти не более г неизвестных,
то линейный код позволяет исправить не более г стираний. При
этом все сочетания стираний кратности q<Ld исправляются пол¬
ностью (п. 7.1). Возможность решения уравнений при отсутствии
-ошибок не зависит от значений известных (не стертых) символов.
Поэтому способность линейного кода исправить то или иное со¬
четание стираний кратности d^.q^r зависит только от его кон¬
фигурации, и не зависит от переданной комбинации р. Вероятность
стирания сообщения при этом равна сумме вероятностей неис¬
правимых сочетаний стираний; для канала без памяти
тде Hq — число неисправимых сочетаний стираний кратности q.
Например, код (7.4) с d = 2 из 10 стираний кратности 2 не исправ¬
ляет 00000 и 00000; для него
Объем памяти декодера при исправлении стираний таков же,
как у кодера.
-Синдром. Обнаружение и исправление ошибок линейным ко¬
дом основано на проверке выполнения соотношений (7.7) для
символов Ь* принимаемой комбинации р* и анализе результатов
этой проверки.
Проверка может быть выполнена сопоставлением принимае¬
мых проверочных символов с* с проверочными символами с** =
k-\
— 2 Yfvah вычисленными по принимаемым информационным aj-
/=о
Результат такой проверки может быть представлен в виде г-набо¬
ра элементов с**. Этот г-набор С(р*) = ((?£_,, .. .э с^) на¬
зывают синдромом комбинации р*. Каждый элемент синдрома
— 280 —
представляет собой скалярное произведение v-k строки матрицы Н
на принимаемую комбинацию р*:
Поэтому синдром может быть определен умножением матрицы
Я на р*. Число различных синдромов для любого линейного
(п, k) кода равно числу всех возможных двоичных r-наборов, т. е.
2Г. Пример схемы, осуществляющей вычисление синдрома для ко*
да (7.4), приведен на рис. 7.3.
7.S. Декодер для обнаружения и исправления ошибок кодом (5, 3)
Поскольку принимаемая комбинация р* является суммой кодо¬
вой комбинации р и сочетания ошибок е, а вычисление синдрома
есть операция линейная, то синдром принимаемой комбинации
С(р*) =С(р@е) =С(р)@С(е) равен сумме синдромов кодовой
комбинации и сочетания ошибок. Очевидно, что синдром кодовой
комбинации С(р) =0, так как для нее с” = с*. Следовательно,
синдром принимаемой комбинации
одинаков при любой переданной комбинации и зависит только от
воздействовавшего на нее сочетания ошибок.
Равенство (7.11) показывает, что каждому синдрому соответ¬
ствует 2й сочетаний ошибок: синдром не меняется, если соответ¬
ствующее ему сочетание ошибок сложить по модулю 2 с любой
кодовой комбинацией. Например, каждому из 22=4 синдромов ко¬
да (7.4) соответствует 23=8 сочетаний ошибок, приведенных в
табл. 7.8. Нулевому синдрому (первая строка) соответствуют со-
Таблица 7.8
— 281 —
четания ошибок, совпадающие с кодовыми комбинациями. Нену¬
левым синдромам соответствуют сочетания ошибок с нулями на
информационных и сочетаниями единиц и нулей, повторяющими
синдром, на проверочных позициях (первый столбец), а также сум¬
мы этих сочетаний со всеми кодовыми комбинациями (остальные
столбцы).
В синдроме сосредоточена вся информация о воздействии оши¬
бок, которая может быть извлечена декодером из принимаемой
комбинации. Поэтому из (7.11) следует, что способность линей¬
ного кода обнаружить или исправить то или иное сочетание оши¬
бок зависит только от самого сочетания и ,не зависит от кодовой
комбинации, на которую оно воздействовало.
Обнаружение ошибок. Для проверки на обнаружение ошибок в
линейном коде достаточно вычислить синдром С(р*) принимаемой
комбинации и сравнить его с нулевым синдромом, т. е. с г-набором
нулей. При С(р*) =0 считается, что ошибок не произошло и полу¬
чателю выдаются информационные символы принимаемой комби¬
нации. При С(р*) Ф0 сообщение стирается. Пример декодера,
осуществляющего указанные операции для кода (7.4), приведен на
рис. 7.3. Роль корректора в этом случае сводится к выдаче сим¬
волов стирания, когда анализатор синдрома устанавливает
С(р*)#0. При этом объем памяти декодера практически таков
же, как у кодера. Буфер осуществляет растяжение принимаемых
информационных символов во временя, если оно необходимо.
Из (7.11) следует, что линейный код не обнаруживает только
такие сочетания ошибок, которые'совпадают с какой-либо кодо¬
вой комбинацией: для них и только для них С(е)=0 при
гфО. Таким образом, общее число необнаружимых сочетаний оши¬
бок для любого линейного (я, k) кода равно числу ненулевых
кодовых комбинаций, т. е. 2*—1. Их доля от общею числа 2п—1
всех возможных сочетаний ошибок (без нулевого) составляет
2& 1 2k
——- ~ =2-г и зависит, таким образом, только от числа прове¬
рочных символов.
Из сказанного выше следует, что минимальная кратность оши¬
бок, не обнаруживаемых линейным кодом, равна весу (числу
единиц) тех кодовых комбинаций, в которых этот вес минимален.
В то же время минимальная кратность необнаруживаемых ошибок
равна кодовому расстоянию d: все ошибки кратности q<.d обнару¬
живаются (п. 7.1). Поэтому кодовое расстояние линейного кода
равно его минимальному ненулевому весу. Например, в коде (7.4)
кодовое р а остоян ие d—2.
В канале без памяти все сочетания ошибок е одинаковой крат¬
ности q равновероятны, и вероятность необнаруженной ошибки
где Мд — число кодовых комбинаций язеса w = q. Эта величина за¬
висит от распределения весов Mw кодовых комбинаций. Если ве¬
роятность ошибки в канале без памяти ре—0,5, то все сочетания
ошибок имеют одну и ту же вероятность 0,5*(1—0,5)n“3 = 2_n, и
для любого линейного (/г, k) кода
Например, для кода (7.4) имеем М2 = 2, М3 = 4, М4= 1, ЛГ5 = 0 и
а, если ре—0,5, то р0ш=2-2—2~5«0,22.
Исправление ошибок. Исправление ошибок линейным кодом
достигается сложением по модулю 2 принимаемой комбинации р*
с одним из сочетаний ошибок 8, соответствующих ее синдрому
С(р*). Правило такого декодирования в общем случае задается
таблицей, указывающей, какие сочетания ошибок закрепляются
за каждым из 2Г возможных синдромов (считая нулевой). Число
исправляемых сочетаний ошибок для любого ^инейного (п, k)
кода равно числу ненулевых синдромов, т. е. 2г—1. Оно состав¬
ляет малую часть числа всех возможных сочетаний ошибок, рав-
иую ^ = 2~* (в то время как доля обнаруживаемых со¬
четаний ошибок 1—2~г близка к 1).
Щ сказанного выше следует, что линейный код может испра¬
вить лишь такие сочетания ошибок, синдромы которых различны.
В частности, если кодовое расстояние разно d, то синдромы раз-
личны для всех ^ Счп сочетаний ошибок кратности q^q^ где
9=0 d
qH = —^— для четных h?h=— —1 для нечетных d (п. 7.1). Отсюда
следует соотношение
которое позволяет для каждой длины п установить верхнюю гра¬
ницу кодового расстояния d при заданном числе проверочных сим¬
волов г или нижнюю границу г при заданном d. Их называют
границами Хэмминга. Если в (7.12) достигается равенство, то
код является совершенным (п. 7.1); это возможно лишь при не¬
четных d.
Для минимизации вероятности неправильного декодирования
рош сочетание ошибок, закрепляемое за каждым синдромом, дол¬
жно выбираться из числа наиболее вероятных. В канале без па-
— 283 —
•мяти оно должно иметь наименьшую кратность. При этом реали¬
зуется способность кода исправить все сочетания ошибок крат-
d
рост q^. — и
Для совершенного кода в (7.13) имеет место строгое равенст-
d — 1 _
jBo, причем qu— Для квазисовершенного кода
Обобщая сказанное выше, можно установить нижнюю границу
(Вероятности ошибки в канале без памяти для произвольных п, k,
когда неизвестно, существуют ли совершенные или квазисовершен-
ные коды. Обозначив через <?' наименьшее число, для которого
я _ d—1\
выполняется условие (для совершенного кода <7 = ——
<7=0 '
имеем
Путем несколько более сложных рассуждений аналогичная гра¬
ница может быть получена и для произвольных блочных кодов.
Поясним оказанное на примере кода (7.4), который имеет
4 различных синдрома и, следовательно, может исправить 3 соче¬
тания ошибок. Для оптимального декодирования в канале без па¬
мяти необходимо из 8 сочетаний ошибок, соответствующих каждо¬
му синдрому, выбрать одно — с наименьшим весом. Таблица 7.8
показывает, что наименьший вес сочетаний ошибок для всех не¬
нулевых синдромов равен 1, причем синдрому 11 соответствует од¬
но, а синдрому 10 и 01 — по два таких сочетания. Из последних
может выбираться любое. Одно из возможных закреплений соче¬
таний ошибок за синдромами при оптимальном декодировании при¬
ведено в табл. 7.9. Таблицы 7.8, 7.9 показывают, что рассматри¬
ваемый код даже из одиночных ошибок (<7 = 1) может исправить
лишь некоторые. Так, при воздействии, например, на кодовую ком¬
бинацию 10110 сочетания ошибок 00100 синдром принимаемой
— 284 —
комбинации С(10010)=01, и в результате коррекции принимаемых
информационных символов по табл. 7.9 (1000001 = 101) декодер
выдает правильное сообщение 101. При воздействии на ту же
комбинацию сочетания 01000
имеем 0(11110) = 10, и
Таблица 7.9
С(«)
00
10
01
и
£
00000
00010
00100
10000
после коррекции (1110000=
= 111) декодер выдает не¬
правильное сообщение 111.
Этого и следовало ожидать,
так как для рассматривае¬
мого кода d=2 и <7и=0.
Вместе с тем рассматриваемый код оптимален, так как исправ¬
ляет часть одиночных ошибок и не исправляет ни одной ошибки
более высокой кратности и, следовательно, является квазисовер-
шенным. Он обеспечивает
что соответствует (7.14).
Примером декодера, реализующего исправление ошибок, мо¬
жет служить уже упоминавшаяся схема рис. 7.3. Однако при этом
анализатор синдрома не просто сравнивает его с нулем, а опознает
синдром и выдает в корректор соответствующее сочетание ошибок.
Для этого он должен облагать памятью на 2Г соответствий
С(е)-»-е (например, в виде дешифрирующей матрицы).
При декодировании с исправлением и обнаружением ошибок
определенные .сочетания ошибок закрепляются не за всеми, а
только за некоторыми ненулевыми синдромами. Остальным нену¬
левым синдромам ставятся в соответствие обнаруживаемые, но не
исправляемые сочетания ошибок, приводящие к стиранию сооб¬
щения. Отказ от использования одного синдрома для попытки ис¬
править ошибки позволяет обнаружить все 2к соответствующих ему
сочетаний ошибок. Таким образом, в общем случае линейный (я,
k) код может исправить |i^2r—1 и обнаружить 2n—2ft(ji+l) со¬
четаний ошибок.
Оптимальные линейные коды. Линейный (я, k) код определя¬
ется rk двоичными числами, которые могут выбираться произволь¬
но. Поэтому при заданных п и k = n—г может быть построено 2kr
линейных кодов. Это число уже при не слишком малой длине п
ничтожно мало по сравнению с общим числом 2п2>к блочных кодов
той же длины и избыточности, но достаточно велико, чтобы исклю¬
чить возможность поиска оптимальных линейных кодов исчерпы¬
вающим перебором. Так, уже при п = 30, k=20 число различных
30 2**
линейных кодов 22(И0>1060, хотя и составляет от числа 2 ‘ >
>10 107 всех блочных кодов долю, меньшую Ю~107, но само по
себе весьма велико.
С ростом п доля линейных кодов от всех блочных неограни¬
ченно уменьшается. Поэтому можно было бы опасаться, что для
линейных кодов несправедлива теорема Шеннона, приведенная в
— 285 —
п. 5.6. Однако можно показать'^[40], что й гари линёййом' кодирова¬
нии можно получить сколь угодно малую вероятность ошибки рот
при сколь угодно близкой к 1 эффективности rin, если не налагать
ограничений на их длину. При этом верхняя граница минимальной
вероятности ошибки для линейных кодов в канале без памяти
оказывается такой же, как для произвольных блочных кодов. При
достаточно больших длинах и высоких эффективностях она' ока¬
зывается близкой к нижней границе, а следовательно, и к истин¬
ному минимальному значению. Доказательство этих фактов ана¬
логично доказательству теоремы (п. 5.6) и основано на оценке
вероятности ошибки при случайном кодировании, которое для
линейных кодов сводится к случайному выбору kr двоичных коэф¬
фициентов с вероятностями р(0) — р(1) =0,5. Из этого доказа¬
тельства следует также, что при достаточно больших длинах слу¬
чайно выбранный линейный код с высокой вероятностью будет
близок к оптимальному. Сказанное не снимает, однако, вопроса о
поиске оптимальных или близких к ним линейных кодов для не
слишком больших п. Оно не означает также, что при всех п, k
среди линейных кодов найдутся оптимальные. Однако для некото¬
рых п, k оптимальные линейные коды известны. Приведем не¬
сколько примеров, более широких, чем рассмотренный выше (7.4).
К числу наиболее .простых относится код (п, п—1) с одним
проверочным символом, равным сумме всех информационных по
модулю 2: с0 а;-. Его называют кодом с одной проверкой на
1=0
четность. Он имеет расстояние (1=2 и может исправить одну оди¬
ночную ошибку. Поэтому этот код квазисовершенен. Однако, как
правило, он применяется' для обнаружения ошибок. При этом он
обнаруживает все сочетания ошибок нечетной кратности, так как
все его кодовые комбинации имеют четные веса. Проверочная мат¬
рица такого кода имеет одну строку из ®сех единиц:
Н = \ И . . .1 ||.
Другой простой код (п, 1) имеет один информационный и п—1
проверочных символов, являющихся повторениями информацион¬
ного Со=. • . = c„-2=go. Его называют кодом с повторениями. Лег¬
ко видеть, что кодовое расстояние таких кодов d = n. При нечетной
длине п они совершенны, так как исправляют любые ошибки крат¬
ности до и не исправляют ни одного сочетания ошибок более
высокой кратности (п. 5.6). При нечетной длине они квазисовер-
шенны. Их порождающая матрица
о = || п . . .1
Более интересны коды Хэмминга с d=3 и d—4.
Коды Хэмминга с d=3 имеют длину п=2т—1 ((3,1), (7,4),
(15,11), (31,26),...]. Они отличаются тем, что столбцами их про¬
— 286 —
верочной матрицы являются все 2Г—1 различных ненулевых г-на¬
боров (размещенные в .произвольном порядке). Например, код
(7,4) может иметь проверочную матрицу
1110 10 0
Я= 110 10 10
10 110 0 1
Можно .видеть, что в любом линейном коде синдром одиночной
ошибки на i-й позиции совпадает с i-м столбцом проверочной ма¬
трицы (скалярные произведения такого сочетания на строки Я
совпадают с i-ми символами этих строк). Для кода Хэмминга это
означает, что все одиночные ошибки имеют различные синдромы
1
и потому исправляются. Поскольку при этом 2Г = ^ Счп = 1 + п,
<7—0
эти коды совершенны. Код Хэмминга (3,1) совпадает с кодом с по¬
вторениями.
Коды Хэмминга .с d=4 имеют длины п=2Г~1[(4,1), (8,4),
(16,11), (32,26)...]. Они образуются из кодов Хэмминга с d=3
добавлением одного проверочного символа, равного сумме по мо¬
дулю 2 всех остальных символов — информационных и прове¬
рочных:
(7.16)
Например, проверочная матрица кода (8,4)
Видно, что при этом те комбинации, которые в коде с d=3
имели четные веса, сохраняют их, а комбинации, имевшие нечет¬
ные веса, увеличивают их на 1. Благодаря этому я кодовое рас¬
стояние повышается на 1. Коды Хэмминга с d=4 квазисовершен-
ны, так как все их ненулевые синдромы с нулем на последней
позиции соответствуют двукратным ошибкам и потому, помимо
всех 2Г~1 однократных, эти коды могут исправить 2Г~1—1 из С* дву¬
кратных сочетаний ошибок. Однако обычно их используют для
исправления одиночных и обнаружения друкратных ошибок.
Добавление (7.16) повышает на 1 кодовое расстояние и в лю¬
бых других кодах с нечетным d. При этом k сохраняется, а г и л
увеличиваются на 1.
Отметим, что все рассмотренные в настоящем пункте опти¬
мальные по рош способы линейного кодирования могут применять¬
ся при неограниченном увеличении длины кода («->оо). Однако
— 287 —
при этом они не обеспечивают возможностей, указываемых теоре¬
мой Шеннона в п. 5.6. (рОш->0 при riir-Я). Коды {п, 1), как пока¬
зано в п. 5.6, обеспечивают р0ш-И), но при этом г)п->0. Остальные
обеспечивают р(В)->0, но при этом р0щ-Н. Такое или еще худшее
положение (pom-И при т]ц—^0) характерно для большинства регу¬
лярных методов кодирования. Это связано с тем, что избыточность
таких кодов р(5) с возрастанием длины п стремится к 0 или к 1,
а не к энтропии источника ошибок Н(Е) или хотя бы к величине,
большей Н(Е), но меньшей 1.
Проблема декодирования. Линейные коды обеспечивают прак¬
тическую возможность создания кодера, а также декодера для
проверок на обнаружение ошибок и для исправления стираний,
особенно при не слишком больших длинах. В этих устройствах
должно запоминаться kr двоичных коэффициентов и они имеют
сравнительно простую логику (несколько сложнее логика исправ¬
ления стираний). Но декодеры с исправлением ошибок, хотя и
сильно упрощаются по сравнению с декодерами произвольных
блочных кодов (имеющими объем памяти 2П или 2h /i-наборов),
однако уже при относительно небольших п, г оказываются весьма
громоздкими, так как требуют запоминания 2Г соответствий
С(е)<—>в. Практически они могут быть реализованы лишь при очень
небольших длинах и для исправления ошибок очень небольшой
кратности, чаще всего — одиночных. Решение проблемы декодиро¬
вания может быть достигнуто при подчинении алгоритмов исправ¬
ления ошибок определенной системе, что, в свою очередь, требу¬
ет более систематизированного построения кодов, а значит — даль¬
нейшего сужения их класса.
Циклические коды. Один из путей дальнейшей систематизации
линейных кодов состоит в подчинении способа кодирования таким
алгебраическим правилам, которые позволяли бы исправлять
ошибки при декодировании также по определенным алгебраиче¬
ским правилам. Основные результаты в этом направлении достиг¬
нуты с помощью циклических кодов. Линейный код (п, k) называ¬
ется циклическим, если все /i-наборы, образованные циклической
перестановкой символов любой кодовой комбинации (6n-i, Ъп-ь
..., b\, Ьо), т. е. (Ьп—ъ Ьп-з» • • •» bo, bn—i), (&п—з» Ьп—4, • • •, Ьп—и
Ьп-г), . •(Ьо, 6п-i, ..., Ъъ bi) также являются кодовыми комби¬
нациями. Нетрудно проверить, что код (п, г), двойственный цикли¬
ческому, также цикличен. Цикличность позволяет уменьшить объем
памяти кодера и декодера, обнаруживающего ошибки (регистри¬
ровать в них всего г или k двоичных коэффициентов), и реализо¬
вать исправление одиночных ошибок почти столь же просто, как
обнаружение [33]. Исправление многократных ошибок для цикли¬
ческих кодов реализуется несколько проще, чем для произволь¬
ных линейных, но в общем случае остается достаточно громоздким.
Существенно упрощается исправление многократных ошибок
при использовании наиболее важного класса циклических кодов —
кодов Боуза—Чоудхури—Хоквингема. Эт коды, обладая хоро¬
— 288 —
шими корректирующими свойствами (среди них есть оптималь¬
ные), позволяют .в то же время свести исправление ошибок к ре¬
шению системы алгебраических уравнений и применить ряд дру¬
гих упрощающих приемов [33]. Однако исправление ошибок боль¬
шой кратности и в этом 'случае остается громоздким.
Многократные ошибки весьма просто исправляются цикличе¬
скими кодами с так называемыми разделенными проверками (сре¬
ди которых есть коды Боуза—Чоудхури—Хоквингема) [21]. В этих
кодах можно так подобрать несколько проверочных соотношений
для каждой позиции, что все остальные позиции войдут в них не
более одного раза. Например, для циклического кода Абрамсона
(7,3) с d—4, состоящего из комбинаций ОООДООО, 100J110, 0100111,
0011101, 1101001, 10100L1, 0111010, 1110100, и имеющего провероч¬
ную матрицу
Н =
10 110 0 0
1110 10 0
1 1 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 1
можно, комбинируя строки последней по модулю 2, получить 3
комбинации ортогонального кода
10 110 0 0
1 1 0 0 0 1 0 . (7.17)
1 0 0 0 1 0 1
определяющие разделенные проверочные соотношения
© 64 © Ьз = 0, Ь$ © Ъь © = 0, © Ь2 © Ь0 = 0.
Циклические перестановки проверочных комбинаций (7.17) оп¬
ределяют аналогичные соотношения для (всех остальных позиций,
'например,
^5©6з©&2=0, 65©&4©fe0 = 0, ^5©^l©j^6=0‘
Наличие разделенных соотношений позволяет исправлять ошиб¬
ки по мажоритарному принципу. Для этого достаточно найти зна¬
чения &** каждой позиции принимаемой комбинации через ос¬
тальные с помощью разделенных проверочных соотношений,
учесть непосредственное значение принимаемого символа на этой
позиции Ь* и подставить на нее то значение, которое встретится
большее число раз. При этом ошибки, кратность которых q не
превосходит половины числа fi разделенных проверочных соотно¬
шений, исправляются полностью, так как каждая такая ошибка
даст не более одного неверного значения Ъ**. Если число разде¬
ленных проверок нечетно, то могут быть, кроме того, обнаружены
все ошибки кратности (если стирать комбинацию при рас¬
10—562
— 289 —
пределении значений какой-либо позиции поровну)-. В коде (7,3)
для каждой позиции i имеем четыре значения Ь**, например, 6” =
= Ь*4@\ЬЬ К = ^5©Ь\\ Ь'* = Ь’2фЬ*0; Ь“ = ь*6. При любой оди¬
ночной ошибке будет три правильных и одно неправильное значе¬
ние Ь** и ошибка исправится. При двукратной ошибке для какой-
нибудь -из позиций окажется два правильных и два неправильных
значения и ошибка обнаружится. Из оказанного ясно, что число
разделенных проверок ц не может быть больше d—1. Для осущест¬
вления указанных операций в декодере достаточно зарегистрировать
разделенные проверочные соотношения лишь для одной позиции.
Для остальных они могут быть (составлены циклическими сдвига'-
ми принимаемой комбинации. Пример такого декодера для кода
(7,3) приведен на рис. 7.4. Заполнение регистра показано для
7.4. Пример декодера для мажоритарного декодирования
циклического кода (7,3).
момента окончания приема комбинации. К сожалению, число из¬
вестных кодов с разделенными проверками в. настоящее время
невелико.
Итерированные и каскадные коды. Другой путь дальнейшей
систематизации линейных кодов состоит в сведении длинного кода
к многократно повторенным коротким (итерированные и каскад¬
ные коды). При этом кодирование и декодирование осуществляется
в несколько ступеней (чаще всего — в две). Например, комбина¬
ции двуступенного кода могут быть представлены двумерной таб¬
лицей
Здесь первые индексы относятся к первой, а вторые — ко вто¬
рой ступени кода. Строки являются комбинациями линейного
ть-ичного кода первой ступени (щ, ki). В итерированных кодах
- 290 —
столбцы являются комбинациями линейного ть-ичного кода второй
ступени («2, kz). При этом проверочные символы cv, v, в правом
нижнем углу таблицы (без верхних индексов) могут быть пред¬
ставлены как линейные комбйнации проверочных символов первой
или второй с системы. В каскадных кодах строки рас¬
сматривают как укрупненные (я?*1 -ичные) символы, и нижние гг
строки формируются целиком как проверочные символы кода («2,
, имеющего основание яг*1 . Итерированные коды можно считать
частным случаем каскадных.
Возможность декодирования длинной комбинации по ступе¬
ням -позволяет существенно упростить техническую реализацию
декодера.
Замечательное свойство итерированных и каскадных кодов со¬
стоит в том, что для них можно указать регулярный способ построе¬
ния, при котором с наращиванием числа ступеней, а следователь-
но, и длины кода п, избыточность стремится к величине, отличной
от 0 и от 1. При этом тюступенное декодирование, хотя и не яв¬
ляется оптимальным, :но обеспечивает рош-^0 [33].
Цепные линейные коды. Помимо блочных, в настоящее время
большое развитие получили также цепные корректирующие коды.
Как правило, их кодовые последовательности содержат информа¬
ционные и проверочные позиции, причем проверочные оимволы
являются линейными комбинациями информационных по модулю
тъ. Такие цепные коды также называют линейными.
Зависимости проверочных символов от информационных в ли¬
нейном цепном коде рекуррентны (п. 2.6). Примером может слу-
2
жить код с избыточностью р (В)=—, имеющий кодовые последо-
о
вательности
проверочные символы которого формируются по правилу
Такого рода коды называют также сверточными.
Кодирование и обнаружение ошибок для цепных линейных ко¬
дов в юилу их рекуррентности реализуется несколько проще, чем
для блочных. В сверточных кодах с разделенными проверками (ко¬
торые близки по свойствам к соответствующим циклическим) весь¬
ма просто реализуется и исправление ошибок [29]. Важное свойство
сверточных кодов — возможность исправления ошибок по методу
так называемого последовательного декодирования [9]. Оно может
быть практически реализовано и без дальнейшей систематизации
построения кода. Это позволяет выбирать код -случайным образом
и получать таким образом р0ш->0 при конечной эффективности ч\п.
Ю* ^ 291
7.3. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОИЧНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ
КОДОВ ПРИ ЗАДАННОМ ГАУССОВОМ КАНАЛЕ
Двоичные корректирующие коды применяются для повышения
верности передачи дискретных сообщений с помощью двоичных
сигналов. Если при этом задан двоичный канал (в том числе
скорость wK передачи по нему двоичных символов), то повышение
верности достигается снижением скорости передачи информации
1'(А, А*): скорость ввода информации в систему в этом случае
Н'(А) = ук[1—р(В)\ а при не слишком малой верности передачи
1'(А, А*)жН'(А) (п. 5.4). Если же задан не двоичный, а гауссов
канал с дополнительным условием, что передаваемые по нему сиг¬
налы должны быть двоичными, то при достаточной ширине поло¬
сы пропускания канала fK ©ведение избыточности может быть осу¬
ществлено и без снижения скорости ввода информации. Это дости¬
гается повышением скорости vK передачи двоичных сигналов по .ка-.
налу, т. е. сокращением их длительности т0 в —-— раз (для раз-
1—р(В)
делимых (п, k) кодов — в— раз). Например, при использовании
k
кода (5,3) можно сохранить скорость следования элементов сооб¬
щения, если сократить длительности двоичных сигналов в 5/3 раза
в соответствии с рис. 7.2
Однако сокращение длительности сигналов при заданной мощ¬
ности Ps = Pk снижает их энергию Es=Pst:ii, а следовательно, повы¬
шает вероятность ошибки на символ ре. Действительно, в соответ¬
ствии с (6.19) при оптимальном построении и оптимальном прие¬
ме двоичных сигналов >в гауссовом канале
В этих условиях корректирующий код целесообразен лишь в
том случае, если повышение верности передачи за счет исправле¬
ния ошибок перекроет снижение верности за счет увеличения ре.
Л. М. Финк показал [42]> что, если каждый двоичный элемент
сообщения считать отдельным сообщением, то корректирующий
код снижает рош (в данном случае — по сравнению с р0ш=ре),
лидя^— . Например, коды Хэмминга с d=3, <7и=1 (п. 7.2) удов-
k
. Если двоич¬
ный источник выдает элементы сообщения со скоростью va = —
то при отсутствии кодирования vK—— и ре=0,5[1—Ф(АК У~2\1)].
К*
Если применять (п, k) код, то
— 292 —
г з \
летворяют этому условию (так, для кода (7,4)— = — = 0,75] .
k 4 /
Увеличение длины отдельного сообщения при том же коде увеличи¬
вает обеспечиваемый им выигрыш. Часто длина отдельного сооб¬
щения равна числу информационных символов. Пусть, например,
при этом отношение сигнала к помехе в канале hK— / = 2,
а ц = 2 (т. е. va= 0,5 FK). Тогда при отсутствии кодирования ре=
=3,2 • 10~5, и если длина отдельного сообщения k=57, то р0ш=
= 1—(1—ре)57=1,8* 10-3. Если применить код Хэмминга (63,57),то
k 63
— =0,905, ре=7 -10-5 и в соответствии с (7.13) р0ш=^ С<зз Ре (1 —
П _ _ ?=2
— ре) ^ = 9,6 * 10 6 (вероятность ошибки снижается примерно в
180 раз).
При заданном корректирующем коде и построении двоичных
сигналов вероятность ошибки рош может быть снижена при введе¬
нии стираний в решающем устройстве (о. 4.3) с последующим их
исправлением корректирующим кодом [4].
Наибольшее снижение рот может быть достигнуто при приеме
«в целом» (п. 2.6), когда решение принимается не по отдельным
символам, а по всей кодовой комбинации. Такой прием в опти¬
мальном случае должен осуществляться, как оптимальный прием
/n-ичных сигналов, например, с помощью К—2к=т фильтров, Со¬
гласованных с каждой комбинацией. Однако техническая реали¬
зация такого приема уже при не слишком малых k становится
громоздкой.
g ПЕРЕДАЧА НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ
8.1. МЕРА ВЕРНОСТИ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНЫХ
СООБЩЕНИИ
Среднеквадратичное отклонение. Результатом воздействия по¬
мех при передаче по каналу связи сигналов, модулированных не¬
прерывными сообщениями, является несоответствие принимаемого
сообщения переданному. Степень несоответствия в зависимости от
типа и назначения системы передачи может оцениваться различ¬
ным образом. Наиболее подходящей мерой верности в большин¬
стве случаев является среднеквадратичное отклонение сообщения
на выходе приемника a*{t) от переданного сообщения a(t):
^ ^ Y[a*{t)-a(t)f . (8.1)
Абсолютное отклонение e(t)=a*(t)—a(t) является случайной
функцией времени и представляет собой не что иное, как помеху
на выходе приемника. Статистические свойства случайной функ¬
ции 8'(/) могут быть охарактеризованы обычным математическим
аппаратом, используемым для описания случайных процессов. Сле¬
дует, однако, заметить, что статистические свойства выходной по¬
мехи е(/) и помехи на входе приемника £(/) в общем случае не
совпадают. Действительно, выходное сообщение получается из ко¬
лебания на входе приемника s*(t) =s(t) +£(0 посредством ряда
линейных и нелинейных преобразований, при которых функции
плотности вероятности помехи изменяются. Определение статисти¬
ческих характеристик е(/) при совместном действии на входе при¬
емника модулированного сигнала и помехи £(t) представляет изве¬
стные трудности. Когда помеха мала по сравнению с полезным
сигналом на зходе приемника, можно считать, что выходная поме¬
ха е(/) по своим статистическим свойствам незначительно отли¬
чается от помехи на выходе, которая имела бы место в отсутствие
полезной модуляции переносчика. Такое допущение значительно
упрощает вычисление мощности помехи на выходе приемника и
обычно используется при оценке верности передачи при различных
видах модуляции.
Сравнение различных способов передачи непрерывных сообще¬
ний по выбранному критерию среднеквадратичного отклонения мо¬
жет производиться просто по величине е2 при одинаковых условиях
— 294 —
приема для всех сравниваемых способов или ло величине отноше¬
ния мощнобти сообщения к мощности помехи на выходе приемни¬
ка при одинаковом для всех способов отношении сигнала к помехе
на входе приемника.
Обозначая спектр мощности выходной помехи Gs(<o), а сооб¬
щения Ga((о), найдем отношение средних мощностей сообщения
и помехи «а выходе
При действии аддитивной помехи условия приема характеризу¬
ются отношением средней мощности сигнала к средней мощности
помехи на входе приемника (причем средняя мощность помехи оп¬
ределяется в полосе пропускания тракта 'приемника до детектора)
Часто различные системы передачи сравнивают по величине
называемой выигрышем системы, а также по величине обобщен¬
ного выигрыша системы
где Gc = P,JFV Ft — эффективная ширина спектра входной по¬
мехи, равная обычно ширине спектра входного сигнала
Gt. = PJFa, Fa — эффективная ширина опектра сообщения.
Обобщенный выигрыш является более объективным показате¬
лем, так как позволяет сравнивать системы передачи с различны¬
ми соотношениями между Fa и Fs.
Другие меры верности. Для систем связи, в которых наблю¬
дается резкое ухудшение качества передачи, когда мгновенное
значение абсолютного отклонения e(t) превышает некоторый до¬
пустимый уровень бдоп, более предпочтительной мерой верности
является вероятность того, что |е(0|^едош которую можно наз¬
вать «вероятностью правильного приема» (правильного в том
смысле, что отклонение |е|^еДОп практически не снижает каче¬
ства передачи)
Экспериментально эта вероятность может быть определена как
относительное время пребывания процесса a*(i) в полосе, опрани-
— 295 —
четной значениями a(t)—еДОп и а(/)+1едоп при достаточно боль¬
шом времени наблюдения Т-*-оо. Из рис. 8.1 видно, что
При передаче речевых сообщений сравнение различных спосо¬
бов передачи производится на основе критерия разборчивости речи>
определяемой как вepoяfнocть правильного приема определенного
типа речевых сообщений. Существует очевидная связь между раз¬
борчивостью и отношением сигнала к-помехе'на выходе приемника:
чем выше h\, тем выше и разборчивость речи. Однако определе¬
ние разборчивости речи расчетным путем по известным свойствам
помехи на входе приемника (или на выходе) является практически
невыполнимой задачей, вследствие трудностей учета большого чис¬
ла факторов, влияющих на разборчивость. Поэтому обычно раз¬
борчивость речи определяется на основе артикуляционных испы¬
таний систем передачи.
В дальнейшем будет использоваться в качестве меры вер¬
ности передачи непрерывных сообщений среднеквадратичное от¬
клонение ('8.1).
Общие замечания. Непрерывные сообщения a(t), принадлежа¬
щие некоторому ансамблю A(t) с известными статистическими
свойствами, могут передаваться как непосредственно (системы низ¬
кочастотной телефонии, например), так и с использованием моду¬
ляции.. В первом случае задача построения оптимального прием¬
ника сводится к нахождению такого фильтра, на выходе кото¬
рого помеха является минимальной с точки зрения выбранного кри¬
терия. Решение такой же задачи во втором случае является более
(8.7)
8.1. К определению вероятности р(|е| ^еДОп)
8.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
— 296 —
сложным, так как помеха на выходе приемника зависит не только
от уровня помехи в канале передачи, но также от применяемого
вида модуляции. Сложность еще усугубляется тем, что в неко¬
торых реальных демодуляторах происходит подавление сигнала
помехой (п. 2.3), что еще более затрудняет сопоставление различ¬
ных способов передачи и выбор оптимального. Поэтому при ис¬
пользовании модуляции задача разбивается на две: во-первых, на¬
хождение такой оптимальной обработки входного сигнала, при ко¬
торой помеха на входе демодулятора оказывается минимальной с
точки зрения принятого критерия оптимальности, во-вторых, опре¬
деление минимально возможной помехи (опять исходя из приня¬
того критерия) на выходе демодулятора при разных видах моду¬
ляции. Конечно, возможна фильтрация помехи и на выходе демо¬
дулятора, однако при этом следует иметь в виду, что при 'слабом
сигнале на входе демодулятора при демодуляции происходит по¬
давление сигнала помехой, и поэтому лучше осуществлять филь¬
трацию помехи до демодулятора.
Первая задача, очевидно, полностью совпадает с той, которая
возникает при непосредственной передаче сообщения a(t), (когда
s(t)=a(t), с той лишь разницей, что слово «сигнал» следует заме¬
нить на «сообщение». Когда сообщения (сигналы) и помехи пред¬
полагаются стационарными случайными процессами, а их статисти¬
ческие свойства заданы в форме их энергетических спектров, как
показали Колмогоров [22] и Винер [8], можно найти такой линей¬
ный фильтр, на выходе которого средняя мощность помехи мини¬
мальна. Такой фильтр называется оптимальным линейным фильт¬
ром. Основы теории оптимальной линейной фильтрации рассматри¬
ваются в настоящем разделе.
Вторая задача — определение минимальной выходной помехи
(в среднеквадратичном смысле) при различных видах модуля¬
ции — была решена В. А. Котельниковым [24] в разработанной им
теории потенциальной помехоустойчивости для случая -слабой нор¬
мальной флуктуационной помехи. Ее рассмотрение проводится в
п. 8.3.
Коэффициент передачи оптимального фильтра. Определим ли¬
нейный оптимальный фильтр, как устройство, на выходе которого
средняя мощность помехи е2=[s*(t) — s(t)]2 минимальна. Конкрет¬
ная форма реализаций s(t) неизвестна, а заданы лишь спектр мощ¬
ности-сигнала (сообщения) Gs(co) и аддитивной помехи Gc (со).
Предполагается, что оба эти процесса s(t) и t,(t) являются стацио¬
нарными. Сразу же отметим, что задача отыскания такого фильтра
нетривиальна только в том случае, когда спектры Gs(со) и Gc.(co)
хотя бы частично перекрываются. Если они не перекрываются, то
очевидно, что оптимальный фильтр не должен пропускать те обла¬
сти частотного спектра, где мощность* сигнала равна нулю.
Уточним постановку задачи оптимальной фильтрации в отноше¬
нии времени появления требуемых значений сигнала на выходе
— 297 —
фильтра. Поскольку используется линейный фильтр с импульсной
реакцией g(t), то выходное напряжение y(t) определяется тем от¬
резком (входного колебания которое к настоящему моменту
времени уже поступило на вход фильтра
В некоторых применениях (обычно в системах авторегулирова-
ния) требуется, чтобы колебание y(t) с минимальной ошибкой ото¬
бражало сигнал s(7+a), т. е. соответствовало бы тому значению
входного сигнала, которое он может принять в будущем. Иными
словами, фильтр должен предсказывать будущие значения сигнала
на а сек вперед. Само собой разумеется, что предсказание может
быть надежным только в том случае, когда а меньше интервала
корреляции сигнала, так как единственные свойства сигналов, ко¬
торые используются для предсказания — это функция корреляции,
связанная с Gs(со) преобразованием Фурье.
В большинстве систем связи предсказание не требуется, а, на¬
оборот, допустима задержка выходного сигнала на некоторый ин¬
тервал времени а, т. е. ys(t)=s(t—а). Хотя математическая обра¬
ботка задачи одинакова как для положительного, так и отрицатель¬
ного значения а, в дальнейшем будет рассматриваться оптималь¬
ный фильтр с задержкой.
Для определения условий, при , которых средняя мощность
ошибки z(t)=y(t)—s(t—а) -минимальна, найдем энергетический
спектр ошибки Ge (со). Благодаря линейности фильтра, можно рас¬
сматривать прохождение сигнала и помех независимо. Составляю¬
щая спектра ошибки, обусловленная действием входной помехи,
имеющей спектр G q (со):
где /((со)— комплексный коэффициент передачи оптимального
фильтра, который необходимо определить.
Теперь определим ту 'составляющую спектра ошибки Ge(co), ко¬
торая связана с искажениями полезного сигнала при его прохож¬
дении через фильтр.
Пусть на входе фильтра действует одна из возможных реали¬
заций сигнала sT(t), все -множество которых образует стационар¬
ный случайный процесс. Ошибка еs(t)=sT(l)—sT(t—а), а комп¬
лексный спектр ошибки 5eS(co) находится как разность спектров
колебаний sT(t) и sT(t—а):
Переходя к пределу при Г-> оо в соответствии с ф-лой (1.94),
получим энергетический спектр GeS (со):
Полезный сигнал и помеха на входе фильтра являются стати¬
стически независимыми процессами, поэтому
Средняя мощность ошибки находится по формуле
Подставляя сюда значение К (со) — К (со) е~1<р(ш), получим
Величина е2 минимальна тогда, когда минимальна подынте¬
гральная функция. Для этого . необходимо, прежде всего, чтобы
отрицательный член -в квадратной скобке имел наибольшее аб¬
солютное значение, что будет при <р(со)=—асо.
Ge (со) = К2 (со) [Gs (со) + Gc (со) ] - 2К М Gs (со) + Gs (а) =
Теперь видно, чтое2 минимальна, когда квадратная скобка рав¬
на нулю, т. е.
Итак, окончательно получаем, что оптимальный линейный
фильтр имеет комплексный коэффициент передачи
Амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра
(8.13) имеет простое физическое толкование. Коэффициент пере¬
дачи уменьшается на тех частотах, где отношение спектральных
плотностей мощности сигнала и помехи уменьшается и увеличи¬
вается там, где это отношение увеличивается (рис. 8.2). В тех
участках спектра сигнала, где Gc (со) =0, коэффициент «передачи
— 299 —
На частотах, где Gs (со) > G^ (со), h\ (со) «G6.(co)/Gc (со); где
Gs(co) <^G^ (со), h\ (со) ~G\(со)/0^ (со), т. е. слабые спектральные
составляющие сигнала еще более подавляются при оптимальной
фильтрации. Это указывает на желательность введения предыска¬
жений в передаваемый сигнал с последующей обратной коррек¬
цией на приеме.
Физическая реализуемость
оптимального фильтра. Из вы¬
ражения (8.13) следует, что
при а=0 оптимальный фильтр
физически нереализуем. Но мо¬
жет оказаться, что и при <а=^0
этот фильтр также физически
нереализуем. Условие реализу- )
емости линейного фильтра, как
известно, состоит в то.м, что
импульсная реакция фильтра
g(/)=0 при £<0. Важно, что
если выражение (8.13) приво¬
дит к физически нереализуемо¬
му фильтру, то достаточно
близкий физически реализуе¬
мый фильтр можно получить,
увеличивая задержку а. Пос¬
кольку /((to) и g{t) связаны преобразованием Фурье, то для над¬
лежащим образом определенных «ширины полосы пропускания»
и «времени памяти» тп (подобно тому, как определялись ширина
спектра и длительность сигнала в п. 1.2) справедливо выражение
За пределами интервала тп без большой погрешности можно
считать, что Поэтому, взяв задержку, превышающую тш
получим физически реализуемый фильтр, мощность помехи на вы¬
ходе которого будет незначительно превышать минимальное зна¬
чение е2.
Выходная мощность помехи. На выходе фильтра, имеющего
коэффициент передачи (8.13), помеха минимальна и ее мощ¬
ность
8,2. Частотная характеристика опти¬
мального линейного фильтра
— 300 —
фильтра равен единице. Отношение спектральных плотностей мощ¬
ности сигнала и помехи на выходе фильтра
При Gs(a>)‘CG,. (<») мощность помехи на выходе оптимально¬
го фильтра в соответствии с выражением (8.14)
где Ps — средняя мощность сигнала. Мы получили, что средняя
мощность «выходной ошибки равна средней мощности сигнала, и
при этих условиях восстановление сигнала оказывается очень
неточным.
В другом частном случае, когда отношение сигнала к помехе
на входе фильтра значительно превышает единицу и Gs(co)
>G?(co), получаем
Этот результат легко объясняется, если учесть, что характери¬
стика фильтра в этом случае почти равномерна в пределах ши¬
рины спектра сигнала.
Как указывалось выше, иногда возникает необходимость пере¬
распределения мощности сигнала по частотам (предыскажение
сигнала) для повышения помехозащищенности. Типичным приме¬
ром, где требуется введение предыскажений, является частотная
модуляция. Как показано в п. 8.3, спектр мощности помехи на
выходе частотного демодулятора при слабой входной помехе яв¬
ляется квадратичным. Поэтому целесообразно увеличить интен¬
сивность высокочастотных составляющих спектра сообщения на
передаче, а на выходе частотного демодулятора произвести соот¬
ветствующую частотную коррекцию. В общей постановке задача
сводится к выбору характеристик предыокажающего L (со) и кор¬
ректирующего К(ч>) фильтров, обеспечивающих минимальную мощ¬
ность выходной помехи при фиксированной мощности сигнала. Эта
задача решена в [47].
8.3. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ВЕРНОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ПРИ
РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ МОДУЛЯЦИИ
Мощность помехи на выходе оптимального приемника. Потен¬
циальной верности передачи, определяемой по Котельникову -на
основе .критерия минимальной среднеквадратичной ошибки, соот¬
ветствует минимально возможная при рассматриваемом виде мо¬
дуляции мощность выходной помехи.
Пусть нормированное сообщение —1^а(7)^:1 представляется
рядом Фурье на интервале его длительности Т
в котором tyi(t)—единичные ортогональные функции; Xi— коэф¬
фициенты .разложения, являющиеся эффективными значениями
спектральных составляющих сообщения a(t). Их число равно
&2—ki+\=2FaT-\-\, где Fa — ширина спектра сообщения. В ре¬
зультате модуляции сообщение a(t) [преобразуется в сигнал s(t),
являющийся функцией времени и коэффициентов Xi: sa(t) =s(XKt,
XKl+1, .., Як,, t). Наложение помехи t(t) приводит к тому, что все
коэффициенты Xi получают некоторые приращен-ия АХь и поэтому
выходное сообщение равно
Второй член определяет выходную помеху. При этом, конечно,
предполагается, что демодуляция в отсутствие помех не вносит ни¬
каких искажений, т. е. демодулятор является идеальным. Наиболее
вероятным переданным сообщением является то, которое соответ¬
ствует сигналу с наибольшей апостериорной плотностью вероят¬
ности,
При равновероятности всех реализаций a(t) наиболее вероят¬
ным переданным сообщением является то, которому соответствует
минимальное значение
Так как воспроизводимое оптимальным приемником сообщение
приводит к минимальному значению <R, то должно выполняться
условие
Когда входное колебание под действием %(t) получает прира¬
щение As*(t), то коэффициенты Xi изменяются на ДА*. Прираще¬
ниям A Xi соответствует приращение сигнала
Теперь величина R записывается в виде
Минимальному значению R соответствуют приращения АКь ко
торые (находятся из условия
Принимая, что для рассматриваемых видов модуляции D{(t)
ортогональны, а также учитывая (8.19), получим
Величины АХь полученные из условия минимума R, и характе¬
ризуют потенциальную верность передачи. Приращение As*(t)
есть не что иное, как помеха t,(t). Строго говоря, ф-ла (8.21) спра¬
ведлива при As*(t)=ds*(t), и поэтому выводы, которые можно
сделать на основе (8.21) тем вернее, чем меньше помеха
Заменяя As*(t) на £(7), получим
т
Это 'выражение является основным при сравнении различных
способов модуляции. Следует только помнить, что G е (f) найде¬
на при условии нормировки сообщения a(t) и поэтому также яв¬
ляется нормированной. Ненормированное сообщение с максималь¬
ным значением аМакс имеет среднюю мощность Ра = а^акс Д2 (0 =
= амакс^п> где = Амане/ V Ра.—ПИкфаКТОр Сообщения. ПОЭТОМУ
откуда
где Иг — нормально распределенная случайная величина с нулевым
средним значением и единичной дисперсией. Среднее значение
квадрата АХ, имеет смысл средней мощности помехи на выходе.
Спектральная плотность мощности помехи на выходе > оптималь¬
ного приемника
Принимая за меру потенциальной верности передачи отношение
•сигнала к помехе на выходе оптимального приемника, можем запи¬
сать
и
где /1 и /2 — частоты отсечки фильтра нижних частот на выходе
демодулятора.
амплитудной, частотной и фазовой модуляции. Амплитудную и
фазовую модуляцию Котельников назвал гарямыми видами моду¬
ляции, потому что передаваемое сообщение непосредственно вхо¬
дит в .выражение для модулированного сигнала. Изменение часто¬
ты при частотной модуляции пропорционально интегралу a(t), и
поэтому ЧМ относится к интегральным видам модуляции.
Для прямых видов модуляции сигнал в общей форме можно
записать так:
Обычно несущая частота сигнала значительно превосходит выс¬
шую частоту в спектре сообщения, т. е. спектры модулированного
сигнала и сообщения a(t) не перекрываются. В этом случае, в си¬
лу ортогональности
Функции a)ii(t) являются нормированными и их средняя мощ¬
ность равна единице, поэтому
(8.24)
Потенциальная верность при AM, ЧМ и ФМ. Найдем /12"опт при
Тогда
(8.25)
При амплитудной модуляции:
да
т
о
Спектр помехи на выходе приемника
(8.26)
— 304 —
т. е. является равномерным, причем спектральная плотность мощ¬
ности зависит от глубины модуляции сигнала. Считая, что /i=0 и
f2 = Fa> по ф-ле (8.24) находим
Из выражения (8.27) следует, что, помимо очевидного способа
повышения верности при AM, состоящего в увеличении мощности
сигнала, есть еще одна возможность. Она заключается в ташм
нелинейном преобразовании сообщения a(t), при котором сни¬
жается пикфактор kn. Например, речевое сообщение имеет kn~3,
поэтому такое нелинейное преобразование в этом случае является
желательным и обычно используется на .практике в форме сжа¬
тия динамического диапазона сообщения. Конечно, чтобы восста¬
новить естественную форму сообщения, в приемнике используется
обратное преобразование,
nprf фазовой модуляции
Мощность помехи на выходе равномерно распределена по ча¬
стотам с плотностью
Выражение (8.29) показывает, что верность передачи можно
повысить увеличением Д<р. (При этом мощность сигнала не изме¬
няется, но расширяется занимаемая сигналом полоса частот, а сле¬
довательно, растет мощность помехи на входе приемника.
Наконец, рассмотрим отношение средних мощностей сигнала и
помехи при интегральных системах модуляции, примером которых
является ЧМ. В этом случае:
(8.27)
(8.28)
и
(8.29)
где
Так как — гармонические функции, то
Далее
По ф-ле (8.23) определяем спектр мощности помехи на выходе
гтпиемтика
Характерной особенностью интегральных систем модуляции яв¬
ляется квадратичный спектр помехи на выходе приемника.^
При ЧМ получаем
По ф-ле (8.24) находим
При ЧМ так же, как при ФМ можно повысить верность пере¬
дачи не только увеличением мощности сигнала, но и расширяя
спектр сигнала, т. е. увеличивая девиацию,частоты.
Сравнение различных видов модуляции. Интересно сравнить
значения выигрыша Q2 и обобщеаного выигрыша Q'2 для рассмот¬
ренных видов модуляции, а также и некоторых других. Для это¬
го, 'прежде всего, надо определить отношение средних мощностей
сигнала и помехи на входе приемника h \. При этом будем пола¬
гать, что .полоса пропускания приемника до детектора равна ши¬
рине спектра модулированного сигнала.
Мощность сигнала AM
Мощность помехи на входе приемника равна !
Следовательно,
Разновидности амплитудной модуляции БАМ и ОАМ имеют не¬
сколько лучшие показатели. При балансной амплитудной моду¬
ляции
Спектр помехи и отношение сигнал/помеха на выходе опти¬
мального приемника по-прежнему определяются по ф-ле (8.27),
поэтому
При однополосной амплитудной модуляции (см. п. 3.3):
д
По ф-лам (8.23) и (8.24) находим
На входе приемника сигналов ОАМ имеем
Поэтому
Сравнивая полученные результаты, видим, что БАМ и ОАМ
дают одинаковый обобщенный выигрыш, тогда как обычная AM
в предельном случае т= 1, k\ = \ имеет Q/2=0,5.
Для систем с частотной и фазовой 'модуляцией PS=0,5A%, Р1.=
Поэтому для ФМ
(8.36)
а для частотной модуляции
(8.37)
Следует иметь в виду, что все результаты получены при малой
помехе на входе приемника. При ЧМ и ФМ выигрыш зависит от
параметров модуляции р и Дер, т. е. достигается расширением
спектра сигнала. При этом с ростом р и Л<р 'пропорционально уве¬
личивается мощность помехи на входе приемника (при G =const)t
и, начиная с некоторого значения Fs, помеху на входе уже нельзя
считать малой. При дальнейшем расширении полосы наступает
резкое ухудшение верности передачи. Существует некоторое ми- '
нимальное значение h\, при котором еще реализуется значение
Щопт- Это значение h2{ называют пороговым. При уменьшении
h\ ниже порогового значения наблюдается резкое увеличение вы¬
ходной помехи. Явление порога в той или иной мере проявляется
при различных видах модуляции и более подробное рассмотрение
его дано в п. 8.4.
Мощность помехи на выходе реальных приемников. При слабой
помехе на входе реальные приемники при правильном выборе их
основных элементов практически реализуют потенциальную вер¬
ность передачи и значения выигрышей, определенные выше для
оптимальных приемников. Чтобы показать это, допустим, что одно
и то же сообщение a(t) = cosQ^ передается по системам связи с
амплитудной, частотной и фазовой модуляцией, а помехой в кана¬
лах передачи является нормальная флуктуационная помеха с рав¬
номерным спектром Gr, вт/гц в пределах ширины спектра полез¬
ного сигнала, причем h j>1. Разделим весь спектр помехи на по¬
лоски шириной df. Тогда процесс в каждой из этих элементарных
полосок является почти гармоническим колебанием со средней
частотой ю=2л[ и средней мощностью dP 4 = Gi_g?/. Накладываясь
на смодулированный сигнал s(t) =/4osin(Do£ каждая элементарная
составляющая помехи вызывает паразитные амплитудную, частот¬
ную и фазовую модуляции. Действительно,
где
(8.38)
'с
(8.39)
— 308 —
Мгновенная частота колебания s*(t)
Ю0)*
(8.40)
Амплитуда элементарной .помехи в данном случае бесконечно
малая dA'. = J/ G, df. Максимальные отклонения параметров пере¬
носчика, вызываемые элементарной помехой,
Считаем, что 'напряжения на выходе демодуляторов численно
равны изменениям модуляционных параметров. Поэтому соотно¬
шения (8.41), по существу, определяют спектр помехи на выходе
демодуляторов AM, ЧМ и
ФМ. Возводя эти вы/раже-
ния в квадрат и учитывая,
что элементарные состав¬
ляющие помехи, располо¬
женные симметрично относи¬
тельно несущей частоты ©о,
дают одинаковый вклад в
мощность выходной помехи,
получим
(8.42)
8.3. Спектры ломехи на 'выходе детекторов
AiM ;ЧМ и ФМ П|ри сильном сигнале на
[входе
Эти спектры показаны на |рис. 8.3. Полная мощность помехи
на выходе находится интегрированием в пределах полосы про-
нуокания ФНЧ на выходе демодулятора. Полагая характеристику
этого фильтра равномерной от 0 до Fa, получим
PeAM = 2GcFa; Р фм = 2GJJAI- Р чм= 20^(3^). (8.43)
При AM сш=1 средняя мощность выходного сообщения Рп =
=А%/2, поэтому
При ФМ и ЧМ соответственно получаем
Полученные выражения совпадают с (8.27), (8.29) и (8.31), если
учесть, что в рассматриваемом случае kn=Y 2.
Сделанные при анализе допущения, относящиеся к идеальным
равномерным с резкой отсечкой характеристикам фильтров на
входе и выходе демодулятора, а также .к идеальной характеристи¬
ке демодулятора, на практике точно не выполняются.
Структура апостериорного распределения и аномальные ошиб¬
ки. К ширикополосным системам модуляции относятся такие, для
которых Fs/Fa^> 1. Примерами таких систем являются ФМ и ЧМ
при индексе модуляции больше единицы. Как указывалось выше,
в таких системах происходит значительное улучшение выходного
отношения сигнала >к помехе по сравнению со входным, если .по¬
меха 1на входе приемника мала по сравнению с сигналом. При
уменьшении величины hi (за счет уменьшения .мощности сигнала
или за счет увеличения мощности помехи при расширении спект¬
ра сигнала) этот выигрыш уменьшается, а после некоторого кри¬
тического значения, называемого пороговым, уменьшение проис¬
ходит весьма резко, и ни о каком выигрыше говорить не при¬
ходится. Это явление наблюдается в реальных прием,никах (хотя
и в различной степени [18]), но существенно, что и в оптимальном
приемнике Котельникова оно также имеет .место. Объяснение ему
можно получить из более подробного рассмотрения структуры апо¬
стериорного распределения i^('s0|s*)=!^('a|s!,!), где а — модулиру¬
емый параметр сигнала. Как ,и .раньше, будем полагать, что все
значения а равновероятны и заключены в интервале (—1, 1), и
энергия сигнала не зависит от а. Тогда наиболее вероятно то
значение а, для которого максимальна взаимная корреляция меж¬
ду колебанием s*(t) и сигналом s(a, t)
где время интегрирования T=\/(2Fa).
Обозначив передаваемое значение сигнала s(ao, t), запишем
8.4. ПОРОГ УЛУЧШЕНИЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ
В ШИРОКОПОЛОСНЫХ СИСТЕМАХ МОДУЛЯЦИИ
(8.44)
(8.45)
— 310 —
Первый член — мера автокорреляции сигнала для всех воз¬
можных значений а, второй член — случайная функция а, имею¬
щая нормальное распределение с нулевым средним значением и
т
дисперсией 2ES/G<;, где Es= j’s2(a, t)dt — энергия сигнала. Норми-
о
рованное значение qu(a)
(8.46)
Эта функция определяет вид апостериорной вероятности
вблизи а = а0. Ширина пика функции b(v) вблизи а=а0 (т. е. v = 0)
приближенно равна
(8.47)
Таким образом, весь диапазон значений а, равный 2, можно
разбить на
п=^- = ± (8.48)
2v0 v0
участков. Для широкополосных систем .модуляции п^> 1. В первом
приближении можно считать, что на участке вблизи а = а0 апосте¬
риорная .плотность вероятности определяется лишь функцией
6(v), тогда как на остальных п—1 участках она определяется слу¬
чайной функцией qс.(а) и состоит из последовательности случайно
возникающих выбросов, форма которых близка к 6(v). Величина
этих выбросов зависит
от отношения сигнал/по¬
меха на входе прием¬
ника. При слабой вход¬
ной помехе функция
ay(a|s*) имеет большой
сигнальный выброс, а
шумовые выбросы весьма
малы (рис. 8.4). В этом
случае ошибка определе¬
ния •переданного -сообще¬
ния а характеризуется
значением vo, которое тем
меньше, чш больше п.
Квадрат величины vo
определяет ареднеквадра-
тичеокую ошибку т. е.
среднюю мощность поме¬
хи на выходе оптимально¬
го приемника при слабой
входной помехе.
•/ о /
М. Апостериорные распределения для раз¬
личных значений 2ES/G?
— 311 —
В работе [43] показано, что v* совпадает с АХ2., определяемым
по ф-ле (8.22). Такие ошибки в определении переданного сообще¬
ния называются нормальными. По мере увеличения мощности
входной помехи (при Es = const) уменьшается сигнальный и растут
шумовые выбросы, которые могут превосходить сигнальный. Ес¬
ли один из них (наибольший) принимается за сигнальный, то
ошибка в определении переданного сообщения может во много раз
превышать величину vo- Такие ошибки называются аномальными.
Появление аномальных ошибок приводит \к значительному умень¬
шению помехоустойчивости и является основной причиной воз¬
никновения порога улучшения помехоустойчивости в широкополос¬
ных 'системах модуляции. Средняя мощность выходной помехи
приближенно может быть найдена как сумма средних мощностей
нормальной и аномальной ошибок
и ее зависимость от 2EJG с для некогерентного приема сигналов
показана на рис. 8.5 (подробности расчета приведены в (43]). Эти
зависимости обладают
явным пороговым свой¬
ством, которое прояв¬
ляется тем заметнее,
чем больше п. Такой
пороговый характер вы¬
ходной помехи хорошо
подтверждается теоре¬
тическими и экспери¬
ментальными исследо¬
ваниями конкретных
широкополосных сис¬
тем модуляции.
Геометрическая трак¬
товка порога. Нагляд¬
ное представление о
пороге в широкополос¬
ных системах модуля¬
ции можно получить из
геометрического рас¬
смотрения модулиро¬
ванных сигналов. Для
широкополосных си¬
стем модуляции раз¬
мерность пространства сигналов во много раз больше, чем раз¬
мерность пространства сообщений. Каждому значению параметра
переносчика соответствует вектор в пространстве сигналов.
Если энергия сигнала не зависит от модулируемого па¬
раметра, то концы всех векторов лежат на поверхности
— 312 —
8.5. Зависимость помехи на -выходе преем¬
ника широкополосной системы связи от от¬
ношения сигнала к помехе на входе при¬
емника
гиперсферы. При модуляции конец вектора описывает не¬
которую линию на поверхности гиперсферы. Слабая помеха вы¬
зывает смещение линии сигнала, не превосходящее поло-вины рас¬
стояния между двумя -соседними участками линии сигнала. По¬
этому «скаженный помехой сигнал с большой вероятностью отож¬
дествляется приемником с теми значениями сообщения, которые
близки к действительно переданному. При сильной помехе откло¬
нение -вектора сигнала столь значительно, что ближайшим к нему
является уже совсем другой учас¬
ток линии сигнала, соответствую¬
щий значению параметра, сильно
отличающемуся от действительно
переданного. Это и есть аномаль¬
ная ошибка. При увеличении раз¬
мерности пространства сигналов
(без увеличения мощности сигна¬
ла) уменьшается расстояние между
соседними витками линии сигнала
на гиперсфере и растет вероятность
аномальных ошибок, что и приво¬
дит к резкому увеличению средней
мощности выходной помехи и по¬
явлению порога улучшения помехо¬
устойчивости.
Порог улучшения помехоустой¬
чивости ЧМ. Для физического
объяснения возникновения ано¬
мальных ошибок и порога улуч¬
шения помехоустойчивости рас¬
смотрим прием сигналов ЧМ. Будем
полагать, что напряжение на выходе пропорционально мгновен¬
ной частоте входного сигнала. Сигнал и помеха — узкополосные
процессы, параметры которых изменяются медленно по сравне¬
нию с частотой соо- Для простоты можно считать, что на некотором
интервале времени сигнал и помеха являются синусоидальными
колебаниями с частотами cos и со^ и амплитудами As и Ас соот¬
ветственно. Мгновенная частота суммарного колебания определя¬
ется по ф-ле (8.40), график ее при разных отношениях AJA^ по¬
казан на рис. 8.6. При AJA мгновенная частота изменяется
около cos по почти гармоническому закону с частотой со^—cos, при¬
чем амплитуда изменений частоты равна (со^—(o8)AJAs. По мере
приближения As/Ac к единице, вследствие быстрого изменения
мгновенной фазы суммарного колебания вблизи точек перехода
огибающей через нулевой уровень, наблюдаются резкие изменения
мгновенной частоты, хотя средняя частота остается равной cos.
Эти значительные отклонения частоты и означают появление ано¬
мальных ошибок в выходном сигнале. При дальнейшем уменьше¬
— 313 —
8.6. Изменение 'мгновенной ча¬
стоты юум,мы двух гармомиче-
оких колебаний o>(^)=cos +
+Лсо((0
нии AJA < 1 средняя частота колебания уже равна g>c и проис¬
ходит подавление сигнала помехой. Процесс изменения мгновен¬
ной частоты суммарного колебания сигнала и 'Помехи в реальных
условиях, конечно, гораздо сложнее, чем на рис. 8.6, так как амп¬
литуда и частота помехи изменяются во времени случайно. Но
всякий раз, когда амплитуда помехи при своих изменениях ока¬
зывается равной амплитуде сигнала, на выходе приемника с ве¬
роятностью, близкой к единице, будет наблюдаться выброс на¬
пряжения. Количество их зависит от вероятности того, что оги¬
бающая помехи превышает амплитуду сигнала. При рэлееваком
законе распределения огибающей помехи эта (вероятность
t2
— Aj
р( у4?>Л4) = е . При уменьшении hi ниже некоторого порого¬
вого значения .вероятность p(A>As) непропорционально быстро
растет, а следовательно, растет и мощность помехи на выходе
частотного детектора. Наступает резкое ухудшение помехоустой¬
чивости за счет значительного числа аномальных выбросов вы¬
ходной помехи.
8.5. ПЕРЕДАЧА НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ ПО
ДИСКРЕТНОМУ КАНАЛУ
Кодово-импульсная модуляция. Передача непрерывных сооб¬
щений ото дискретному каналу, называемая иногда цифровым
способом передачи, обладает рядом интересных особенностей, ко¬
торые .рассматриваются ниже. Как указывалось в п. 2.6, для пе¬
редачи по дискретному каналу непрерывное сообщение должно
быть преобразовано в дискретную форму. Это преобразование
включает в себя квантование, дискретизацию по времени и коди¬
рование. Обычно используется кодово-импульсная модуляция
(КИМ), при которой каждое дискретное значение сообщения пред¬
ставляется кодовой комбинацией равномерного блочного кода с
некоторым основанием т. Обычно т = 2. Последовательность им¬
пульсов КИМ еще не является в полном смысле сигналом, который
передается по линии связи. Чтобы отметить начало и конец каж¬
дой кодовой комбинации (что необходимо для осуществления де¬
кодирования), вводится сигнал синхронизации. Затем полученная
импульсная последовательность модулирует переносчик.
На приемной стороне системы связи сигнал подвергается демо¬
дуляции и декодированию. Хотя, вообще говоря, возможно при¬
нимать сигналы, соответствующие кодовым комбинациям «в це¬
лом» (см. п. 2.6), обычно используется поэлементный прием. Это
оправдано тем, что при использовании кода без избыточности вер¬
ность при этих двух способах приема одинакова, а декодирующее
устройство оказывается значительно более простым при поэлемен¬
тном приеме.
Шум квантования, шум ложных импульсов. Преобразование не¬
прерывного сообщения в дискретное сопровождается неустранимой
— 314 —
ошибкой, называемой шумом квантования. Шум квантования —
один из факторов, определяющих верность передачи непрерывных
сообщений по дискретному каналу. Вторым фактором являются
помехи в. канале передачи, накладывающиеся на полезные сигналы
и приводящие к их ошибочному приему1). Ошибки в символах при¬
водят к ошибочному декодированию всей кодовой комбинации. В
результате действительно переданное дискретное значение сообще¬
ния заменяется другим возможным (не обязательно ближайшим,
так как все зависит от того, какие символы кодовой комбинации
приняты с ошибкой). Эта вторая составляющая ошибки выходного
сообщения называется шумом ложных импульсов. Таким обра¬
зом, полная мощность ошибки выходного сообщения равна сумме
мощностей двух указанных ошибок. Определим мощности этих
ошибок и их зависимость от основных показателей системы пере¬
дачи.
При использовании квантования с равномерным шагом А а (ко¬
торое применяется в подавляющем большинстве случаев) мак¬
симальное значение шума квантования не превосходит 0,5Да. Если
полный размах непрерывного сообщения a(t) равен 2аМакс, то чис¬
ло уровней квантования та= (2аМакс/Дя) +1. При та» 1 можно
считать, что шум квантования имеет постоянную плотность ве¬
роятности в интервале от —0,5Да до +0,5Да. Средняя мощность
шума квантования
Если непрерывное сообщение a(t) также имеет равномерную
функцию плотности вероятности в интервале от —амакс до + аМакс>
то его средняя мощность
Таким образом, отношение средних мощностей сообщения и
шума квантования, определяющее верность квантованного сооб¬
щения,
Верность квантованного сообщения зависит от числа уровней
квантования. Выбирая его достаточно большим, можно снизить
относительное значение шума квантования до любой допустимой
величины.
*) При преобразовании дискретного сообщения в -непрерывное (обычно с
помощью соответствующего ФНЧ) также возникает ошибка, однако она обычно
мала по сравнению с шумом квантования и поэтому здесь не рассматривается.
— 315 —
Далее вычислим мощность шума ложных импульсов. Обозна¬
чим вероятность ошибочною приема одною символа кодовой ком¬
бинации через ре. Эта вероятность зависит от вида модуляции и
находится по формулам п. 6.3. Ошибки гари .приеме символов пред¬
полагаются независимыми, и вероятность ошибки кратности q
p(q) = C%Pl (1—Pe)n~q. При 1 вероятность p(q) быстро
уменьшается с ростом q и подавляющую долю ошибок составляют
одиночные ошибки. Вероятность того, что кодовая комбинация
принимается хотя бы с одной ошибкой равна 1—(1—ре)п ~пре. При
декодировании каждый символ кодовой комбинации, в зависимости
от места, которое он занимает, дает определенный вклад в вы¬
ходное сообщение. Если используется .код ic m=2 и разряды сле¬
дуют оправа налево в .порядке возрастания, то ошибка в первом
символе кодовой комбинации вызывает ошибку в выходном со¬
общении, равную шагу квантования Да. Ошибочный прием второго
символа вызывает ошибку в выходном сообщении, равную 2Да
и т. д. Средняя мощность шума ложных импульсов
При фиксированном значении n = \ogzina шум ложных импуль¬
сов зависит только от ре, которая, в свою очередь, определяется
отношением мощностей сигнала и помехи в канале h\ и видом
модуляции. (При любом виде модуляции зависимость е!и от h ?
обладает порогом, т. е. существует такое h \ пор , при небольшом
превышении которого ре резко уменьшается. Приближенно можно
считать,' что при работе выше порога e|H = 0. Например, для си¬
стемы КИМ—AM значение Л inop ~ 100 (или 20 дб). Таким об¬
разом, при верность передачи непрерывных сообщений
посредством КИМ определяется только шумом квантования.
Эго свойство КИМ делает ее особенно привлекательной для
использования .в тех системах связи, где имеется множество пере-
приемов сигнала. Типичный пример таких систем — радиорелей¬
ные линии связи. В них сигналы передаются по цепи ретрансля¬
торов, расположенных на таких расстояниях друг от друга, кото¬
рые обеспечивают надежную связь. Помехи и искажения в от¬
дельных звеньях системы накапливаются. Бели помехи в каждом
эвене статистически независимы, то их мощность на входе при¬
емника последнего эвена равна сумме мощностей помех всех
звеньев. Допустим, для простоты, что сигнал в каждом ретрансля¬
ционном пункте только усиливается. Тогда, если система состоит из
k звеньев, для обеспечения заданной верности передачи мощность
сигнала на входе приемника последнего звена должна быть в k
раз больше, чем первого. При k>l удовлетворить это требование
очень трудно.
— 316 —
При использовании КИМ все совершенно иначе. Если в каждом
звене h\>h2lnov, то выходная помеха, а значит и верность пере¬
дачи, определяется только шумом квантования. Шум ложных им¬
пульсов, вообще говоря, накапливается. Вероятность ошибки на
выходе k-vo звена равна примерно kpe, где ре — вероятность оши¬
бочного приема символа в одном эвене. Однако, когда отношение
мощностей сигнала и помехи ib каждом звене выше порога, тре¬
буется весьма небольшое увеличение мощности сигнала в каждом
звене, чтобы снизить вероятность ошибочного приема символа до
р е=pe/k (увеличение мощности сигнала составляет примерно
1 дб). Преимущества КИМ по помехоустойчивости перед непосред¬
ственным способом передачи очевидны. Расчеты показывают, что
для обеспечения одинаковой верности передачи отношение мощно¬
стей сигнала и помехи «а входе приемника при КИМ—AM должно
быть равно 20 дб, а при обычной AM — 60-=-70 дб [37]. Следова¬
тельно, цифровой способ передачи трёбует значительно меньшей
мощности сигнала, чем обычные аналоговые способы.
Ширина спектра и мощность сигнала КИМ—AM. Вместе с тем
сигнал КИМ занимает более широкую полосу частот, чем исход¬
ное сообщение. Минимально возможная ширина спектра сигнала
КИМ гари т = 2 может быть определена следующим образом.
Пусть непрерывное сообщение имеет ширину спектра Fa. Тогда
минимальная частота отсчетов при временной дискретизации по
теореме Котельникова равна 2Fa. Каждый отсчет может принимать
та возможных дискретных значений и заменяется при кодирова¬
нии комбинацией из n = logmm&—logma двоичных импульсов. Сле¬
довательно, длительность каждого импульса не может быть боль¬
ше, чем TH=l/(2ir0log/n0). При точной синхронизации полоса ча¬
стот, необходимая для передачи импульсов F=1/(2th) =Falogma-
Модулированный сигнал КИМ—AM при двухполосной модуляции
будет иметь ширину спектра
Напомним, что та определяет верность передачи посредством
КИМ. При увеличении верности увеличивается и ширина спектра
сигнала КИМ по логарифмическому закону. Так, увеличение та в
два раза приводит к увеличению ширины спектра сигнала в
log 2ma/logma=i + 1/log та раз. Ширина спектра сигнала КИМ
зависит от основания кода т. При т=2 ширина спектра сигнала
КИМ наибольшая, увеличение т приводит к сокращению ширины
спектра сигнала. При этом следует иметь в виду, что с ростом т
увеличивается и средняя мощность сигнала, когда для передачи
используется КИМ—AM. В этом случае каждый символ кода с
основанием т отображается импульсом, высота которого может
принимать т значений. Для почти безошибочного приема импуль¬
сов интервал между соседними высотами должен быть As»
~ У 200 а, где а — эффективное значение помехи в канале
— 317 —
a= YP< • Если все «высоты импульсов равновероятны и могут при¬
нимать значения от 0 до Дs(m—1), то средняя мощность такого
сигнала
Отсюда можно найти то значение т, которое следует применять
при данном отношении средней мощности сигнала к средней мощ¬
ности помехи в канале передачи. Минимальное значение мощно¬
сти сигнала КИМ получается, когда импульсы принимают как по¬
ложительные, так и отрицательные значения в интервале от
—0,5As(m—1) до +0,5 Дs(m—1). Для передачи таких импульсов
посредством AM необходимо изменять на 180° фазу несущего коле¬
бания, когда передаются отрицательные импульсы. Соответствен¬
но прием должен быть когерентным. В этом случае мощность сиг¬
нала
Мощность помехи ня вхоле ппиемшпкя
и
Учитывая соотношение As2=200 Р^, из ф-лы (8.55) находится
Из этой формулы можно найти, что значение т=2 следует при¬
менять, конца h\ <25. При указанном выше пороговом значении
А^пор =100 следовало бы применять код с т=4, что при задан¬
ной верности привело бы к сокращению ширины спектра сигнала
по сравнению с т = 2. Заметим, что применение кода, основание
которого больше, чем определяемое из ф-лы (8.57), потребовало бы
значительного увеличения мощности сигнала.
Сравнение КИМ с другими способами передачи. Для сравне¬
ния КИМ—AM с другими способами передачи определим значения
Q2 и Q/2, предполагая, что отношение сигнала к помехе на входе
приемника превосходит пороговое, и шумом ложных импульсов
— 318 —
можно пренебречь. Тогда единственной помехой на выходе являет¬
ся шум квантования, и h\ определяется по ф-ле (8.52):
Величины Q2 и Q'2 зависят от основания кода и числа уров¬
ней квантования. Для наиболее распространенной двоичной си¬
стемы КИМ—AM получаем Q2=0,04 (та—I)2, Q/2=0,02(ma—I)2/
log та.
Выигрыш быстро растет с увеличением та. Так, при та—64
Q2«160, Q'2«16.
Пропускная способность системы с КИМ. Итак, КИМ пред¬
ставляет собой способ передачи, при .котором ширина спектра сиг¬
нала значительно больше, чем исходного сообщения, но для дости¬
жения одинаковой верности передачи .КИМ требует значительно
меньшего отношения средней .мощности сигнала и помехи, чем
обычная AM. Происходит обмен мощности сигнала на ширину
спектра. Возможность такого обмена непосредственно 'следует из
формулы для пропускной способности гауссова канала (п. 5.3):
Будем считать, что наиболее выгодный обмен мощности сигна¬
ла на ширину спектра имеет место для системы, у которой ско¬
рость передачи равна (8.60). Для сравнения КИМ с такой системой
следует определить пропускную способность системы передачи с
КИМ. При работе выше порога .можно считать, что ошибки деко¬
дирования отсутствуют и пропускная способность равна скорости
передачи информации:
где п — число символов в кодовой комбинации, /=logm — количе¬
ство двоичных единиц информации в одном символе.
Минимальная полоса частот, .которая требуется для передачи
импульсов, имеющих длительность ти= l/(2/!*a), F= 1/(2ти) = Fan.
Следовательно, с учетом ф-лы (8.57), пропускная способность си¬
стемы с КИМ при однополосной передаче
Сравнение с ф-лой (8.60) показывает, что при КИМ требуется
в восемь раз большая мощность сигнала, чем та, которая теоре¬
тически необходима для получения заданной пропускной способ¬
ности п.ри данной ширине полосы F. Расчеты показывают, что все
другие способы передачи требуют большей мощности сигнала.
— 319 —
.При рассмотрении передачи непрерывных сообщений посред¬
ством ЧМ и ФМ было установлено, что и в этих системах наблю¬
дается улучшение верности при расширении спектра сигнала пу¬
тем увеличения индекса модуляции. Иными словами, так же как
при КИМ, в этих системах происходит обмен ширины спектра сиг¬
нала на его мощность. Однако этот обмен не является таким же
выгодным, как при КИМ. Увеличение ib два раза ширины спектра
сигнала ЧМ увеличивает в два раза и напряжение сигнала на вы¬
ходе (напомним, что напряжение на выходе частотного детектора
пропорционально девиации частоты). При КИМ увеличение ши¬
рины спектра сигнала в два раза позволяет передавать в два раза
большее число импульсов в кодовой комбинации. Следовательно,
число уровней квантования и выходное напряжение увеличивают¬
ся в ma2lmai, = mni раз.
8.6. ЭФФЕКТИВНОСТЬ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ
НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИИ
Проведенное выше рассмотрение верности передачи непрерыв¬
ных сообщений при различных видах модуляции показывает, что
одна и та же верность в различных системах достигается при раз¬
личных значениях ширины полосы сигнала и отношения сигнала
к помехе в канале (на входе приемника). Это затрудняет непо¬
средственное сравнение различных систем передачи, так как для
каждой из них существуют своя связь между отношениями сиг¬
нала к помехе на входе и выходе приемника, а также свои соот¬
ношения «обмена» ширины спектра на мощность сигнала на вхо¬
де приемника, необходимую для получения заданной верности пе¬
редачи. Поэтому в основу сравнения различных систем передачи
удобно положить количество информации, воспроизводимое на вы¬
ходе приемника.
Пропускная способность системы, т. е. максимально возможная
скорость передачи информации по ней
где Fa — ширина спектра сообщения, hi—отношение средней
мощности сообщения к средней мощности помехи на выходе при¬
емника, которое характеризует верность передачи.
Выражение (8.63) справедливо при условии, что средние мощ¬
ности сигнала и помехи фиксированы и что помеха на выходе име¬
ет равномерный энергетический опектр и нормальную плотность
вероятности. Последнее практически всегда выполняется, так как
обычно на входе приемника 1.
— 320 —
Пропускная способность канала, как показано в п. 5.3, опреде¬
ляется по формуле
где FK— ширина полосы пропускания канала,'равная обычно ши¬
рине спектра модулированного сигнала Fs.
h\ — отношение средних мощностей сигнала к помехе на вхо¬
де приемника, которое требуется для получения задан¬
ного значения Al-
Отношение пропускной способности системы к пропускной спо¬
собности канала показывает, сколь эффективно используется про¬
пускная способность канала при данном способе передачи и назы¬
вается эффективностью системы
Эффективность г)с = 1 в идеальной системе, у которой Сс = С
(ее частный случай при Fa=FK—ОАМ), для остальных — т]с'<1.
Значения т]с для некоторых систем модуляции приведены в таблице
[17]. Данные таблицы найдены при значении верности передачи
10 \oghl =40 дб и пикфаторе сообщения kn=V^
Вид модуляции
FJFa
Амплитудная модуляция
2
0,48
Балансная AM
2
0,50
Однополосная AM
1
1
Фазовая модуляция
2
0,50
Фазовая модуляция
20
0,19
Частотная модуляция1)
2
0,57
Частотная модуляция1)
20
0,32
Идеальная~система
любое
1
!) Приведенные данные являются приближенными
поскольку при ЧМ выходная помеха имеет неравномер¬
ный энергетический спектр.
Данные таблицы показывают, что при одинаковой полосе FK=
= 2Fa рассмотренные системы модуляции имеют примерно одина¬
ковую эффективность. Эффективность ЧМ и ФМ падает с расши¬
рением полосы частот сигнала, что указывает на неоптимальносгь
обмена полосы частот на отношение мощностей сигнала и поме¬
хи по сравнению с идеальной системой, для которой эффективность
при любой полосе частот равна единице.
11—562 — 321 —
Заметим, что высокая эффективность системы т)с еще не озна¬
чает высокой эффективности передачи информации т]п (п. 5.4), так
как т]с не учитывает избыточности, которой может обладать сооб¬
щение. Высокая эффективность передачи информации обеспечи¬
вается только в том случае, когда скорость передачи информации
по системе близка к пропускной способности системы (8.63), т. е.
когда избыточность передаваемого по системе сообщения мала.
Эффективность передачи информации
представляет собой отношение скорости передачи информации к
пропускной способности канала. Повышение эффективности пере¬
дачи информации достигается устранением избыточности. Эта опе¬
рация в какой-то мере аналогична статистическому кодированию
дискретных сообщений (см. гл. 5).
9 ПЕРЕДАЧА СООБЩЕНИЙ
ПО МНОГОКАНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ
9.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗДЕЛЕНИЯ СИГНАЛОВ
Блок-схема многоканальной системы. В связи с быстрым
развитием народного хозяйства непрерывно повышаются требова¬
ния к увеличению числа одновременно действующих связей. Эта
проблема решается многоканальными системами связи, предназ¬
наченными обеспечить одновременную и независимую передачу
сообщений от многих отправителей к такому же числу получате¬
лей. В таких системах общая линия связи «уплотняется» индиви¬
дуальными каналами, каждый из которых обеспечивает передачу
сообщений единственной пары абонентов (отправителя и полу¬
чателя).
На рис. 9.1 приведена блок-схема системы многоканальной свя¬
зи. Сообщения каждого канала ai(t), a2(t), ..., ah(t), ..., aN(t) с
9.1. Блок-схема системы мн агок ам а л ыгой передачи:
ИС — источник сообщений, Мъ.—канальные передатчики,
М — групповой передатчик, П — групповой приемник, Пъ —
канальные приемники, ПС — получатели сообщений, СУ —
суммирующее устройство
помощью индивидуальных передатчиков (модуляторов) Mi, Мъ ...,
Mh, ■ ■. MN преобразуются в соответствующие канальные сигналы
S\(t), s2(t) ... Sk(t) ... sN(t). Совокупность канальных сигналов
на выходе суммирующего устройства СУ образует групповой сиг¬
нал s(t). Наконец, в групповом передатчике М сигнал s(t) преоб¬
разуется в линейный сигнал s„(i), который и поступает в линию
11* — 323 —
связи. Простоты ради, считаем, что линия пропускает сигнал без
искажений и не имеет шумов. Тогда на приемном конце линии
связи линейный сигнал s„(t) ,с помощью группового приемника П,
может быть вновь преобразован в групповой сигнал s(t). Каналь¬
ными или индивидуальными приемниками Яь Пь ..., ..., fJN
из группового сигнала s(t) выделяются соответствующие каналь¬
ные сигналы Si(t), Si(t), ..., Sh(t), ..sN(t) и затем преобразуют¬
ся в предназначенные получателям сообщения ai(t), a%(t), ...,
. * Ч &i
Канальные передатчики вместе с суммирующим устройством
СУ образуют аппаратуру уплотнения. Групповой передатчик М,
линия связи и групповой приемник П составляют групповой канал
связи. Групповой канал связи вместе с аппаратурой уплотнения и
индивидуальными приемниками объединяются в систему много¬
канальной связи.
Особо следует обратить внимание на то обстоятельство, что
в отличие от одноканальной системы связи индивидуальные при¬
емники системы многоканальной связи Пъ наряду с выполнением
обычной операции преобразования сигналов Sh(t) в соответствую¬
щие сообщения au(t) должны обеспечить выделение сигналов Sh(t)
из группового сигнала s(t). Иначе говоря, в составе технических
устройств на приемном конце системы многоканальной связи дол¬
жна быть предусмотрена специальная аппаратура разделения ка¬
налов, предназначенная для выделения канальных сигналов Sk(t)
из группового сигнала s(t).
Оператор разделения. Перейдем теперь к вопросу об общих
свойствах сигналов, пригодных для одновременной и независимой
передачи в системах многоканальной ювязи. Чтобы разделяющие
устройства были в состоянии различать сигналы отдельных кана¬
лов, должны существовать определенные признаки, присущие
только данному сигналу. Такими признаками в общем случае мо¬
гут быть, например, амплитуда, частота или фаза в случае непре¬
рывной модуляции синусоидального переносчика; при дискретных
видах модуляции такими признаками могут служить различия в
форме сигналов и др. В соответствии с используемым для разде¬
ления признаком различаются и способы разделения сигналов:
частотный, временной, по форме и др.
Пусть, например, необходимо организовать одновременную не¬
зависимую работу N индивидуальных каналов по общему группо¬
вому каналу. Будем считать групповой канал пригодным для пе¬
редачи сигналов любого k-ro канала Sh(t). Не снижая общности
рассуждений, представим сигнал k-m канала в виде
= (9.1)
где tyk(t) — функция переносчика,
Ck — некоторый коэффициент, отображающий передавае¬
мое сообщение (при непрерывных «сообщениях Ck оз¬
начает мгновенное значение функции сообщения; при
— 324 —
дискретной передаче Си — некоторое число, соответ¬
ствующее передаваемому символу). Для суммы всех
канальных сигналов, называемой групповым сигна¬
лам, можем записать
Групповой сигнал затем преобразуется в линейный sa(t). На
приемном конце линейный сигнал sa(t) вновь преобразуется в
групповой сигнал, т. е. сигнал Sn(i) преобразуется к виду s(t), удоб¬
ному для разделения сигналов.
Для разделения N канальных сигналов на приемной стороне
группового канала необходимо иметь N разделяющих устройств,
причем каждое k-e разделяющее устройство должно выполнять
операцию, выделения k-ro сигнала. Действие приемного устройст¬
ва, в результате которого происходит выде¬
ление сигналов определенного k-ro канала,
будем для краткости условно обозначать так
называемым оператором разделения П*.
Приемное устройство, описываемое опера¬
тором разделения ГЦ, только тогда выделит
сигнал Sh(t),. когда оно не будет реагиро¬
вать на сигналы других каналов. Другими
словами, k-e приемное устройство должно
«откликаться» только на сигнал Sh(t) и не
должно реагировать на остальные сигналы.
Теперь сформулируем операцию разделения сигналов в мате¬
матическом виде.
Обозначим через уk(t) отклик, т. е. результат воздействия опе¬
ратора Пь приемного устройства k-ro канала на групповой сигнал
s(t) (рис. 9.2), т. е.
На входе каждого k-ro приемного устройства многоканальной
системы действует сумма сигналов всех N каналов.
Для того чтобы приемное устройство Я& было «чувствитель¬
ным» только к сигналам (t), необходимо, чтобы его отклики на
все другие сигналы были равны нулю; через k-e разделяющее уст¬
ройство должен пройти только сигнал k-ro канала:
или, подставляя значения Sh(i) из (9.1), получим
9.2. Воздействие груп¬
пового сигнала s(t)
на приемное устрой¬
ство k-ro канала
Более того, полученные здесь результаты могут быть обобщены
также 'на случай, когда отклик разделяющего устройства на сиг¬
нал Sh(t) будет иметь иную форму; важно лишь, чтобы величина
отклика была однозначно связана с передаваемым сигналам. В
частном случае, откликом на сигнал Sh(t) может быть просто не¬
которое число ah однозначно связанное с коэффициентом Си:
Физический смысл полученных выражений (9.4) и (9.6) как раз
и сводится к тому, что приемное устройство Пи выделяет только
«свои» сигналы Sk(t) и подавляет сигналы всех других каналов,
т. е. приемник Пи обладает избирательными свойствами по отноше¬
нию к сигналам sh(t). Впервые такое определение избирательных
свойств приемника предложено Д. В. Агеевым в 1935 г. [1]. Заме¬
тим попутно, что в работах зарубежных авторов подобная трак¬
товка вопросов разделения сигналов появилась значительно позд¬
нее (например, Л. Задэ, 1952 г., [37]).
Условие линейного разделения. Сформулируем теперь основ¬
ное условие, которому должны удовлетворять сигналы отдельных
каналов, чтобы их можно было разделить. Необходимым и доста¬
точным условием разделимости сигналов su(t) — Cutyu(t) является
условие линейной независимости, состоящее в том, что тождество
может выполняться только © том единственном случае, когда все
коэффициенты Си одновременно равны нулю.
Бели же окажется возможным подобрать такие коэффициенты
Си не равные нулю, при которых условие (9.7) удовлетворяется,
то сигналы станут линейно зависимыми и разделить их будет не¬
возможно.
Физически, условие линейной независимости означает, что для
разделимости сигналов, прежде всего, нужно переносчикам раз¬
личных каналов придать особые отличительные признаки и свя¬
зать их со свойствами разделяющих устройств.
В соответствии с определением избирательных свойств (9.4) и
(9.6) подлежащие разделению сигналы su(t) и приемные устрой¬
ства Пи в общем виде должны удовлетворять условию линейного
разделения:
где Y»fc — отклик разделяющего устройства Пи на канальный сиг¬
нал Si(t).
(9.6)
— 326 —
Если теперь «подействовать» оператором П& на обе части тожде¬
ства (9.7), то, принимая во внимание (9.8), получим
Но функции у ни не равны тождественно нулю, следовательно,
равны нулю все Ск, ибо й=1, 2, ..., N. Иначе говоря, условие ли¬
нейного разделения (9.8) будет выполняться лишь тогда, когда
канальные сигналы линейно независимы. На геометрическом язы¬
ке условие линейной независимости означает, что векторы -фь
... линейнонезависимы тогда и только тогда, когда ни один из
них не может быть образован линейной комбинацией других. В об¬
щем случае необходимым и достаточным условием линейной неза¬
висимости элементов линейного функционального пространства яв¬
ляется неравенство нулю определителя Грама:
(9.10)
где я|зй) — скалярное произведение.
Определитель (9.10) равен нулю, если функции i|)i, ipa, ..., г|)п ли¬
нейно зависимы, и положителен, если они линейно независимы; он
равен произведению квадратов норм функций, если и ‘фьСО
ортогональны (1.15). О р то нор м и ров атан а я система всегда линейно
независима, так как для нее определитель Грама равен единице.
На основе свойств определителя Грама можно сделать важный
вывод о том, что при построении систем многоканальной связи не¬
обходимо использовать линейно независимые, в частности, ортого¬
нальные сигналы.
Геометрическая трактовка разделения. Условию разделения
(9.8) можно придать отчетливую геометрическую трактовку, если
воспользоваться определениями линейного подпространства и опе¬
ратора проектирования. Пространство Ат называют подпростран¬
ством или частью пространства Ап, и пишут АтосА„, если из
*€АТО и у 6 Аго следует, что (х+у) 6 Ат. Пусть (^b ф* ..грь, .. •,
■фп) базис в я-мерном пространстве Ате. Поставим в соответствие
п т
вектору £=2 вектор I = Pm„ {g} гДе т<п- Оператор
fc~l k~ 1
Pmn называется оператором проектирования пространства А„ на
подпространство Ат с базисом (\|?ь грг» ..
В самом деле, если через а обозначить /-ю составляющую
сообщения i-ro канала, то совокупность этих составляющих {а^р)
образует пространство сообщений А» i-ro канала. Аналогичные
— 327 —
пространства сообщений Аь А* ..А*, ..., AN будем иметь для
всех N каналов. С помощью индивидуальных передатчиков каж¬
дой составляющей сообщения будет приведен в соответствие
определенный элементарный сигнал отличающийся от дру¬
гих сигналов значениями некоторого параметра v,
Совокупность элементарных сигналов {s^(v)} образует про¬
странство S2- сигналов t-го канала; аналогичные пространства бу¬
дут сформированы другими канальными передатчиками и мы по¬
лучим соответствующие пространства, сигналов Sif S& ..Sjv по чи¬
слу каналов N. Далее необходимо, чтобы пространства S* и S*
образовывали взаимно непересекающиеся подпространства, т. е.
чтобы они не имели ни одного общего элемента (различающегося
значениями v), кроме нулевого. Необходимо также, чтобы каналь¬
ные сигналы являлись элементами пространства группового сиг^
нала, т. е.
где S — пространство группового сигнала. В этом случае -мы мо-
жем рассматривать пространства канальных сигналов SidS, S2c=S,
..., SivCiS как подпространства, т. е. некоторые области простран¬
ства группового сигнала S, заданного на определенном множестве
значений v; вся область Av значений параметра у разделяется на
области, принадлежащие канальным сигналам, т. е. Av = ^ Av
Итак, пусть на приемном конце канала имеется групповой сиг¬
нал
Задача выделения сигналов sh(t) k-no канала сводится, по су¬
ществу, к операции проектирования пространства S на подпрост¬
ранство Sfe с помощью оператора проектирования Р, роль которого
в данном случае выполняет оператор П&:
N
(9.11)
отображаемый пространством сигналов
(9.12)
Таким образом, для разделения сигналов Si, s& ..., sN необходимы
такие устройства, чтобы описывающие их операторы являлись one-
раторами проектирования, а подпространства Sif Sъ SN долж¬
ны занимать неперекрывающиеся области в пространстве S. Раз¬
деленные таким образом сигналы затем преобразуются демодуля¬
торами в сообщения aif аъ ..., aN.
Из рассмотрения процесса передачи сообщений по групповому
каналу следует, что возможность разделения зависит как от
свойств сигналов, так и от свойств канальных приемников. При
разработке систем многоканальной связи потребуется, очевидно,
определенное сочетание этих свойств. В самом деле, действие при¬
емного устройства k-то канала сводится к операции проектирова¬
ния (9.13) или, что то же, к операции образования скалярного про¬
изведения (1.11). В нашем случае задача сводится к образованию*
скалярных произведений векторов пространства группового сигна¬
ла (s(v)} на так называемые весовые функции gi(v), g2(v), ..
• ••, Sn{v) приемных устройств, однозначно связанные с соответст¬
вующими подпространствами канальных сигналов
Последнее равенство выполняется в том единственном случае,,
когда грг (v) и g-fc(v) ортогональны, т. е.
Иначе говоря, вешвая функция приемника должна иметь та¬
кой же вид, как и элемент разложения канального сигнала по па¬
раметру v. Операцию выделения k-ro сигнала будем поэтому а
дальнейшем записывать в виде
Выражение (9.17) означает, что k-e приемное устройство реагирует
лишь на те сигналы, параметр v которых принадлежит области
Avk k-ro канала. Полезно заметить, что операция выделения k-m
сигнала совпадает с алгоритмом оптимального прием,а дискретных
сообщений при точно известном сигнале (6.33).
(9.14)
(9.15У
или, что то же, при
(9.16)
(9.17)
— 329 —
9.2. СИСТЕМЫ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СВЯЗИ
С ЧАСТОТНЫМ, ВРЕМЕННЫМ И ФАЗОВЫМ
РАЗДЕЛЕНИЕМ
Функциональная схема многоканальной системы с частотным
разделением. Функциональная схема простейшей системы много¬
канальной овязи с разделением каналов по частоте представлена
на рис. 9.3.
Проследим основные этапы образования сигналов, а также их
изменение в процессе передачи. Сначала <в соответствии с пере¬
даваемыми сообщениями, имеющими спектры Si(Q), S2(Q), ...,
9.3. Функциональная схема системы многоканальной передачи с
частотным 'разделением сигналов: ИС — источники сообщений,
Mk — канальные модуляторы, Фь — канальные фильтры, М —
групповой модулятор; П — групповой приемник; Дк — канальные
демодуляторы, ПС — получатели
— Sft(Q), Sw(£2) модулируются поднесущие частоты т каждого ка¬
нала. Эта операция выполняется модуляторами Mi, Af& ..., Мк,
MN канальных передатчиков. Полученные на выходе частотных
фильтров Фь Фь ■ •Ф.\ спектры 5&(со) канальных сигналов за¬
нимают соответственно полосы частот Асоь Ась ..., До)« (рис. 9.4),
которые в общем случае могут превышать ширину спектров сооб¬
щений Qi, Q2, • • •, т. е. Awfc^Qft. В частности, при широкопо¬
лосных видах модуляции, например, при ЧМ ширина спектра
Ao)fe^2(p+l)Qft (см. п. 3.2), при OAMAo)ft = Qft. Для простоты бу¬
дем считать, что используется ОАМ (как это принято в системах
многоканальной связи с частотным разделением), т. е.
Затем спектры Si(to), 52(ю), ..., Sjv(to) суммируются (СУ на
рис. 9.3):
и их совокупность S (со) поступает на групповой модулятор М.
Здесь спектр S(w) переносится в область частот S(a)o+to), отве-
— 330 —
денную для передачи данной группы каналов, т. е. групповой сиг¬
нал s(t) преобразуется в линейный сигнал s„(t).
На приемном конце линейный сигнал поступает на групповой
демодулятор (приемник П), который преобразует спектр линейно¬
го сигнала S((oo+g>) в спектр группового сигнала S((o). Затем
9.4. Преобразование спектров в системе с частотным разделе¬
нием сигналов
оиектр группового сигнала частотными фильтрами Фь Ф% ■ ■ Фк
с коэффициентами передачи gi(co), £2(10), ..gw(®) вновь разде¬
ляется на полосы Aoft, соответствующие отдельным каналам. На¬
конец, канальные демодуляторы Ди преобразуют спектры сигна¬
лов (<о) в юпектры сообщений i\(Q), предназначенные получа¬
телям.
Из приведенных пояснений легко понять смысл частотного спо¬
соба разделения каналов. Поскольку всякая реальная линия связи
обладает ограниченной полосой пропускания, то при многоканаль¬
ной передаче каждому отдельному каналу отводится определенная
часть общей полосы пропускания.
На приемной стороне одновременно действуют сигналы всех
каналов, различающиеся положением их частотных спектров на
шкале частот. Чтобы без взаимных помех разделить такие сигна¬
— 331 —
лы, приемные устройства должны содержать частотные фильтры.
Каждый из фильтров Фи должен пропустить без ослабления лишь
те частоты со $ Дсоь, которые принадлежат сигналу данного кана¬
ла; частоты сигналов всех других каналов © (| Ат фильтр дол¬
жен подавить. Такой способ разделения сигналов называется ча¬
стотным.
Перейдем теперь к математической формулировке сущности ча¬
стотного „ разделения сигналов.
Поскольку различимым признаком v при образовании многока¬
нального сигнала является частота со, то операцию (9.14), выпол¬
няемую приемным устройством &-го канала при частотном разде¬
лении можно записать в виде
или с учетом (9.19) имеем
N N
© =
Последнее условие выполняется, поскольку спектры S* (ш) и
Sfe(co) ортогональны, т. е. занимают не перекрывающиеся области
частот Acoj и Ат:
Из (9.20) следует, что действие частотного фильтра k-ro ка¬
нала можно рассматривать как выделение из более широкого
спектра -S(to) группового сигнала лишь той его части Sh(a>), кото¬
рая принадлежит сигналу 6-го канала. Используя геометрические
представления, можно сказать, что частотная характеристика по¬
лосового фильтра gh(ca) определяет направление координатных
осей оператора проектирования П*,: пространство группового сиг-
N
нала S(cd) с шириной спектра Дсо= ^ Дсо/ проектируется на подпро-
странство канального фильтра gk(&) с полосой пропускания Асо&.
Итак, для полного разделения сигналов различных каналов не¬
обходимо иметь такие фильтры gk(со), полоса пропускания кото-
- 332 I—
рых полностью соответствует спектру сигнала Sfc(w); на гармони¬
ческие составляющие за пределами полосы Aa>h фильтр gk(a>) реа¬
гировать -не должен. При этом имеется в виду, что энергия сигна¬
лов Sft((o) полностью, сосредоточена в пределах ограниченной по¬
лосы Асой, отведенной k-му каналу. Бели бы оба эти условия удов¬
летворялись, то посредством частотных фильтров можно было бы
разделить сигналы различных каналов без взаимных помех. Од¬
нако ни одно из них практически невыполнимо. Результатом яв¬
ляются взаимные помехи между каналами. Они возникают как
за счет неполного сосредоточения энергии сигнала &-го канала в
пределах заданной полосы частот Ат, так и за счет неидеально-
сти характеристик реальных полосовых фильтров. На практике
приходится учитывать также (Взаимные помехи, возникающие за
счет нелинейности амплитудных характеристик группового ка¬
нала.
Для снижения взаимных помех до допустимого уровня прихо¬
дится ©водить защитные интервалы частот Дюзащ (рис. 9.5). Так,
например, в современных системах многоканальной связи каждо¬
му телефонному каналу выделяется полоса частот 4 кгц, хотя
спектр передаваемых звуковых сигналов ограничивается полосой
от 300 гц до 3400 гц, т. е. ширина его 3,1 кгц. Между полосами
частот соседних каналов предусмотрены интервалы шириной
0,9 кгц, предназначенные для снижения уровня взаимных помех.
Это означает, что в многоканальных системах связи с частотным
разделением эффективно используется лишь около 80% полосы
пропускания линии связи.
Временной способ разделения сигналов. Принцип временного
разделения весьма прост и давно применяется в телеграфии. Он
состоит в том, что с помощью электромеханических или электрон¬
ных коммутаторов /Спер групповой канал связи предоставляется по¬
очередно для передачи сигналов каждого канала многоканальной
системы. Сначала передается сигнал 1-го канала, затем следую¬
щего канала и т. д. до последнего канала за номером N, после че¬
го опять включается 1-й канал, и процесс периодически повторяет¬
ся (рис. 9i6).
На приемном конце устанавливается аналогичный переключа¬
тель Кщ» который подключает групповой канал поочередно к при¬
9.6. Защитные промежутки Дшзащ для снижения вза¬
имных помех между каналами
— 333 —
ем,никам разных каналов. Приемник каждого &-го канала должен
быть «включен только на время передачи k-то сигнала и выключен
все остальное время, пока передаются сигналы других каналов.
Это означает, что для нормальной работы (многоканальной систа-
9.6. Упрощенная блок-схема многоканальной свяаи с
временным разделением сигналов
мы с временным разделением необходима синхронная и «синфаз¬
ная работа коммутаторов на приемной и передающей стороне.
Часто для этого один из каналов занимается под передачу спе¬
циальных импульсов син¬
хронизации, предназна¬
ченных для согласован¬
ной во времени работы
■/'Спер И Кщ>.
Таким образом, сущ¬
ность временного спосо¬
ба организации многока¬
нальной связи в том, что
сигналы различных кана¬
лов, например, 1-го и
2-го канала на рис. 9.7
передаются по линии свя¬
зи поочередно и в той
же последовательности
подключаются к прием¬
никам. Переносчиком со¬
общений здесь является
последовательность им¬
пульсов (с периодом То) г
поступающая на импульс¬
ный модулятор ИМ от
генератора тактовых им¬
пульсов ГТИ. Пусть для
простоты передача ведется с помощью сигналов амплитудно¬
импульсной модуляции АИМ. Групповой сигнал s(t) (рис. 9.7а)
поступает на коммутатор Кщ>. Последний выполняет роль «времен¬
ных» фильтров или ключей, проводимость которых gk (рис. 9.7б)
- 334 —
9.7. 'Временные диаграммы двухканаль¬
ной системы
(9.23>
(9.25)
— 335 —
изменяется синхронно (с периодом Т0) и синфазно с изменениями
проводимости /Спер-
Это означает, что в пределах каждого «ременного интервала Atk
линия связи (соединена только с k-м импульсным детектором ИД-k.
Полученные в результате детектирования Sh(t) сообщения посту¬
пают к получателю сообщений ПС-k. Таким образом, при времен¬
ном разделении необходимо, чтобы изменения проводимости
gh(t-kx) совпадали по времени с sh(t—kx), а для этого, как сле¬
дует из (9.16) необходимо обеспечить
Тогда
и, следовательно, коммутатор Кпр юможет разделить сигналы дрн
многоканальной передаче.
При временном разделении взаимные помехи в основном обу¬
словлены двумя причинами.
Первая из них состоит в том, что ва счет ограниченности по¬
лосы частот всякой физически осуществимой системы связи нару¬
шается импульсный ха¬
рактер сигналов. Дейст¬
вительно, если при пере¬
даче модулированных им¬
пульсов конечной дли¬
тельности ограничить
спектр, то импульсы «рас¬
плывутся» и вместо им¬
пульсов конечной дли¬
тельности (рис. 9.8а) мы
получим процессы, бес¬
конечно протяженные во
времени (рис. 9.86). При
временном разделении
сигналов это приведет к
тому, что импульсы од¬
ного канала будут накла¬
дываться на импульсы
других каналов (рис. 9.86). Иначе говоря, между каналами воз¬
никают взаимные переходные помехи (взаимная интерференция
символов).
9.8. Форма импульсов il-ro и 2-го каналов:
а) лри неограниченном спектре, б) при ог¬
раниченном спектре
Кроме того, взаимные помехи могут возникать из-за несовер¬
шенства синхронизации.
Для снижения уровня взаимных помех приходится вводить
«защитные» временные интервалы, что соответствует некоторому
расширению спектра сигналов. Так, в многоканальных системах
коммерческой телефонии полоса эффективно передаваемых час¬
тот устанавливается F=3100 гц; в соответствии с теоремой Ко¬
тельникова минимальное значение периода следования тактовых
импульсов можно было бы взять 7У= =—-—^160 мксек.
2 F 2*3100
Однако в реальных системах период следования импульсов вы¬
бирают с некоторым запасом и принимают равным Т'0= 1 25 мксек,
ято соответствует частоте F'=4 кгц. Это, естественно, приводит
к снижению эффективности использования спектра. При времен¬
ном разделении сигнал каждого канала занимает одинаковую
^полосу частот, определяемую из соотношения (без учета канала
«синхронизаци) :
оде Fобщ== NFt что совпадает с общей полосой частот системы при
частотном разделении. Хотя теоретически временное и частотное
разделение позволяют достигнуть одинаковой эффективности ис¬
пользования спектра, тем не менее пока что системы временного
разделения уступают системам частотного разделения по этому
показателю.
Вместе с тем, системы с временным разделением имеют неос¬
поримое преимущество связанное с тем, что благодаря пооче¬
редной передаче сигналов разных каналов отсутствуют взаимные
помехи, обусловленные нелинейностью тракта передачи.
Разделение сигналов по фазе. Рассмотрим теперь множество си¬
нусоидальных сигналов
Пусть подлежащая передаче информация содержится в изме¬
нениях амплитуды Ak (амплитудная модуляция), несущая частота
сигналов (9.26) одна и та же соо, а сигналы различаются началь¬
ными фазами переносчиков
Поскольку разность фаз Дф** переносчиков 'ф* и tyk может вы¬
бираться произвольно в пределах интервала от 0 до 2я, т. е.
- 336 -
0^Дф«^2я и A<p,-ft=<pfc—ф,-, то, выбрав разности фаз между сосед¬
ними каналами одинаковыми и равными
(9.28)
(9.29)
Это, однако, не означает, что мы можем обеспечить передачу
любого числа N непрерьивных сообщений на одной несущей ча¬
стоте.
Дело в том, что среди N переносчиков (9.29) лишь два любых
и i|)fc линейно независимы; любые N>2 переносчиков линейно
зависимы. Чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться оп¬
ределителем Грама (9.Ю). Пусть N=2, т. е.
12—562
получим N различающихся по фазе переносчиков
Скалярные произведения
и, следовательно, для определителя Грама имеем
Из (9.31) следует, что переносчики (9.30) линейно независимы
при любом значении Дф^О, ибо определитель Грама не равен ну¬
лю. Это значит, что при любом Д<р4^0 сигналы Si и s2 могут быть
разделены.
Этого не произойдет при N = 3:
Для скалярных произведений имеем:
г =
(9.33)
обращает в нуль сомножитель в квадратных скббках, т. е. обра¬
щает в нуль определитель Грама
(9.34)
Это означает, что любые три переносчика (9.29) оказываются
линейно зависимыми и, следовательно, не удовлетворяют основно¬
му условию разделения сигналов (9.8). Из множества различаю¬
щихся по фазе сигналов (9.26) линейно независимы только любые
два сигнала. Поэтому на
одной несущей частоте со0
при произвольных значе¬
ниях амплитуд Аг- и и
фаз фг и щ можно обес¬
печить лишь двухканаль¬
ную передачу.
Возвращаясь к опре¬
делителю Грама (9.31)
для случая двух перенос¬
чиков г|)1 и 2, можно оп¬
ределить разность фаз Дф,
при которой и г|)2 ор¬
тогональны. При ортого¬
нальных сигналах опре¬
делитель Грама равен
произведению норм векторов и г|)2, т. е. при (<фь <ф2)=0 или,
что то же, при Дф = я/2.
Мы приходим, таким образом, к выводу о том, что при разде¬
лении по фазе (возможны два способа построения системы: при
л
разности фаз Дф= — (ортогональные сигналы) ,и при произволь¬
ной разности фаз (линейно независимые сигналы). Йа практике
преимущественно используется разделение ортогональных сигна¬
лов вида
fi, следовательно, определитель 1 рама можно записать в виде:
Подстановка в (9.33) вместо icos 2Дф его значения
9.9. Разделение ортогональных сигналов
синхронными детекторами
Ортогональные сигналы (9.35) разделяются -как обычно, выбо¬
ром опорных напряжений (весовых функций) gt(t) и g2(t) из ус¬
ловия разделения (9.8), т. е. при gifO =sin cd0^ и g2(t) =cos ©0£
В -самом деле, в результате операции проектирования группово¬
го сигнала s = si-\~s2 на координатные оси gi и g2 получаем: *
Здесь разделение свелось к проектированию вектора сигнала на
прямоугольные координатные оси или, что то же, к измерению
взаимной корреляции группового сигнала ic весовыми функциями
gi(t) и gi(t). Эта операция обычно выполняется синхронным де¬
тектором (рис. 9.9).
9.3. МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С РАЗДЕЛЕНИЕМ
СИГНАЛОВ ПО ФОРМЕ
Для разделения сигналов могут использоваться не только такие
очевидные признаки как частота, время и фаза* Наиболее общим
признаком является форма сигналов. Различающиеся по форме
сигналы могут передаваться одновременно и иметь перекрываю¬
щиеся -спектры и тем не менее такие сигналы можно разделить,
если выполняется условие их линейной независимости или усло¬
вие ортогональности.
(Пусть в качестве переносчиков выбраны импульсы, последова¬
тельность которых образует, например, степенной ряд 1, t, t2, ...,
т. е.
В предположении, что информация содержится в коэффициент
тах Сь Съ ..., CN для группового сигнала, запишем
Члены ряда (9.36) линейно независимы и, следовательно, нч
один из канальных сигналов не может быть образован ли¬
нейной суммой всех других сигналов. Это легко понять, обратив
12* — 339 —
внимание на то, что каждый последующий член ряда (9.36) яв¬
ляется интегралом от предыдущего (рис. 9.10).
Это различие может быть непосредственно положено в основу
построения многоканальной системы с разделением сигналов по
форме.
9.10. Различающиеся по форме сигналы
Для разделения в данном случае потребуются элементы, «реа¬
гирующие» на форму сигнала, — это дифференцирующие и интег¬
рирующие цепи. При необходимости разделить сумму трех сиг¬
налов
потребуется выполнить следующие операции:
Схема, выполняющая перечисленные операции, может быть
составлена из двух дифференцирующих ДЦ, трех интегрирующих
И и двух вычитающих устройств, соединенных между собой, как
показано на функциональной схеме рис. 9.11.
Однако для разделения можно воспользоваться и общим прие¬
мом в соответствии с критерием линейной независимости перенос¬
чиков (9.36). Возвращаясь к двухканальной передаче, имеем для
интервала (0^/^1)
если, далее, весовые функции выбрать удовлетворяющими усло¬
вию разделения:
то в результате операций проектирования будем иметь:
1
Здесь (г|)1, t|>i) = l; (Ф* ^2) = ~; (грь гр2) = (-фг, =
о 2
Операции (9.41) и (9.42) «выполняются разделяющим устрой¬
ством, изображенным на рис. 9.9. В отличие от обычных устройств
разделения ортогональных сигналов, здесь добавляется устройство
формирования опорных
напряжений, которое из
функций \|)i и г|)2 образу¬
ет линейные комбинации
вида (9.39) и (9.40).
В заключение отме¬
тим, что ряд (9.36) мож¬
но ортогонализовать. т. е,
перейти от линейно неза¬
висимых функций к ор¬
тогональным функциям:
так получают полиномы
Чебышева, Лагерра, Эрмита и др. На основе некоторых из них
также разрабатываются многоканальные системы передачи ин¬
формации.
9.4. МНОГОКАНАЛЬНЫЕ АСИНХРОННО-АДРЕСНЫЕ
СИСТЕМЫ СВЯЗИ
Понятие о системах со свободным доступом. Рассмотренные в
предыдущих параграфах системы многоканальной «связи с орто¬
гональными сигналами требуют для нормальной работы той или
иной синхронизации:
— точного совпадения спектра сигнала с полосой пропускания
канала при частотном разделении;
— точного совпадения временных интервалов передачи сигна¬
лов отдельных каналов при временном разделении;
- 341 —
9.11. Блок-схема устройства для разделе¬
ния то форме
— точного совпадения моментов начала и конца интегрирова¬
ния в системах «с разделением сигналов по форме.
Характерной особенностью ортогональных сигналов является
то, что на приемном конце системы связи энергия каждого сиг¬
нала полностью отделяется от энергии других сигналов. В ряде
случаев осуществить точную синхронизацию трудно. С подобными
ситуациями приходится сталкиваться, например, при организации
оперативной связи большого числа подвижных объектов (само¬
летов, автомобилей); такая задача возникает при организации опе¬
ративной связи через искусственные спутники земли ИСЗ. Во всех
этих случаях становятся более предпочтительными системы асин¬
хронной многоканальной связи, когда сигналы всех абонентов пе¬
редаются в общей полосе частот, а каналы не синхронизированы
между собой. Поскольку в таких системах за каналами не закреп¬
лены ни частотные, ни временные интервалы и время работы каж¬
дого канала произвольно, то такие системы называют системами
со свободным доступом к линии связи или системами с незакреп¬
ленными каналами.
В системах со свободным доступом каждому каналу (абонен¬
ту) присваивается определенная (или изменяющаяся по задан¬
ной программе) форма сигнала, которая и является отличительным
признаком («адресом») данного абонента. В отличие от обычного
разделения по форме, где условие ортогональности сигналов вы¬
полняется лишь тогда, когда сигналы отдельных каналов пере¬
даются одновременно (синхронно), в асинхронных системах раз¬
личие в форме сигналов и их ортогональность сохраняются при
произвольных взаимных временных сдвигах (задержках) сигна¬
лов различных каналов. Будем называть такие сигналы ортогональ¬
ными на заданном интервале при произвольных взаимных задерж¬
ках или, для краткости, квазиортогональными.
Наиболее распространенным примером технического использо¬
вания квазиортогональных сигналов (ниже это будет обосновано)
могут служить определенным образом подобранные последова¬
тельности дискретных, в частности, двоичных импульсов. Каждому
каналу присваивается одна из множества квазиортогональных и,
следовательно, различимых дискретных последовательностей, ко¬
торая является «адресом» канала. Это приводит к названию
«асинхронно-адресные системы связи» ААСС.
Важным достоинством ААСС является то, что здесь нет не¬
обходимости в центральной коммутационной станции; все абонен¬
ты имеют прямой доступ друг к другу без частотной перестройки
приемных и передающих устройств (рис. 9.12). Подобно системам
автоматической телефонной связи АТС здесь достаточно «набрать
адрес» вызываемого абонента, т. е. изменить «форму» последова¬
тельности импульсов или, что то же, изменить закон чередования
и м пу л ьсов в п ос л е д ов ате л ьности.
■В системах с закрепленными каналами добавление хотя бы од¬
ного нового абонента оказывается возможным лишь при исключе-
— 342 —
нии одного из имеющихся © (системе. Значительно проще эта зада¬
ча решается в системах ААСС. Здесь, вследствие свободного до¬
ступа к линии связи могут вести передачу любые No абонентов из
общего числа N абонентов системы связи, причем N может значи¬
тельно превышать No. В зависимости от степени «активности» або¬
нентов (т. е. от доли времени, занимаемого к-ы канало<м для пе-
9.12. Блок-схема асинхронно-адресной системы связи
редачи сообщений) можно организовать, например, 1000-каналь-
ную систему связи, в которой одновременно ведут передачу лю¬
бые 50 абонентов. В таких системах легко реализуются резервы
пропускной способности, возникающие за счет «мало активных»
абонентов. Изучив статистику сообщений, передаваемых по каж¬
дому каналу, можно установить допустимое число каналов в си¬
стеме N, при /котором обеспечивается нормальная работа А7о «ак¬
тивных» каналов.
Поскольку асинхронно-адресные системы многоканальной свя¬
зи имеют ряд интересных в принципиальном отношении положе¬
ний, ниже рассмотрим наиболее важные из них.
Физическая сущность разделения сигналов в асинхронно-ад-
ресных системах. Пусть, например, сигнал I канала образован по¬
следовательностью из четырех импульсов, отстоящих друг от дру¬
га на временные интервалы tlf t2 и U; комбинация этих междуим-
пульсных интервалов образует «адрес» I-го канала (рис. 9.13а).
Сигнал II канала состоит также из последовательности четырех
— 343 ^
9.13. Временные диаграммы асинхронно-адресно¬
го разделения:
а) сигнал на входе разделяющего устройства,
б) блок-схема разделяющего устройства, в) сиг¬
нал на выходе линии задержки
— 344 —
импульсов; однако интервалы между импульсами последователь¬
ности 5// отличаются от интервалов последовательности Sj (рис.
9.13а). Длительности последовательностей Sj и 8ц могут быть
одинаковы и равны, например, Т, однако во времени они могут
быть смещены друг относительно друга. При передаче по общей
линии связи эти последовательности суммируются, .и на приемной
стороне будет последовательность импульсов 5 вида (рис. 9.13а).
Для выделения сигнала I канала («адреса» I абонента) вос¬
пользуемся разделяющим устройством, функциональная схема ко¬
торого изображена на рис. 9.136; схема содержит линию задерж¬
ки ЛЗ и блок совпадений БС. Первый отвод ЛЗ имеет в точке
/з, второй — в точке t3 + t2, третий — в точке h+h+ti. При таком
выборе отводов ЛЗ совмещает во времени только импульсы «сво¬
его» адреса. Иначе говоря, импульс на выходе блока совпадений
появится только в момент t=U + i2-\-t\> когда на его вход посту¬
пят одновременно все импульсы (1, 2, 3 4) (рис. 9.13в), принад¬
лежащие сигналу I канала.
Импульсы сигнала II канала поступят на блок совпадений I ка¬
нала в разное время, поэтому на выходе БС-1 импульса не воз¬
никнет, т. е. схема рис. 9.136 выделит сигнал I канала. Для вы¬
деления сигнала II канала потребуется другая ЛЗ с отводами, со¬
гласованными с временными интервалами между импульсами по¬
следовательности Sц. Последовательности I и II оказываются раз¬
делимыми н в случае, когда некоторые из импульсов перекры¬
ваются во времени, ложный импульс на выходе блока совпадений
может появиться только тогда, когда комбинация импульсов раз¬
личных каналов совпадет с комбинацией импульсов данного ка¬
нала. Вероятность такого события невелика. Это позволяет обе¬
спечить асинхронный режим работы отдельных каналов. При ор¬
ганизации многоканальной связи очевидно потребуется большое
число различающихся последовательностей. Для эффективного ис¬
пользования емкости линии связи пригодны лишь некоторые из
последовательностей, обладающие специфическими свойствами.
Наиболее существенное значение имеет то, что адресные после¬
довательности по своим свойствам должны как можно меньше от¬
личаться от ортогональных сигналов, т. е. энергия их взаимодей¬
ствия должна быть минимальной.
В качестве примера квазиортогональных сигналов укажем на
множество реализаций белого шума в ограниченной полосе частот;
в пределах достаточно длинного интервала реализации «ограни¬
ченного белого шума» почти ортогональны и могут быть пополь¬
зованы в качестве сигналов. Поскольку такие сигналы не являют¬
ся строго ортогональными, то для них скалярное произведение
будет отличаться от нуля и, следовательно, при разделении воз¬
никнут дополнительные взаимные помехи, так называемые «шумы
неортогональности». Эти дополнительные помехи будут в ряде
случаев окупаться заметными преимуществами, обусловленными
переходом на асинхронный режим работы.
— 345 —
Основной особенностью сигналов в виде реализаций ограни¬
ченного по полосе частот белого шума является то, что их спектр
является равномерным в пределах полосы частот F& а их авто¬
корреляционная функция имеет форму, приближающуюся к 6-об¬
разной (рис. 1.25). Такие сигиалы являются наиболее высоко¬
энтропийными. Этим обусловлена наметившаяся в последние годы
тенденция к созданию таких сигналов, свойства которых прибли¬
жались бы к свойствам реализаций белого шума, а обработка
не вызывала серьезных технических затруднений. Сигналы с та¬
кими свойствами называются псевдослучайными или шумоподоб¬
ными,. Функция автокорреляции шумоподобного сигнала должна
приближаться по форме к функции автокорреляции белого шума.
Вместе с тем, применительно к системам многоканальной связи
возникает еще одно существенное требование: взаимная корреля¬
ция сигналов должна быть минимально возможной.
Примеры псевдослучайных сигналов [26, 39]. В настоящее вре¬
мя усиленно разрабатываются методы синтеза сигналов с задан¬
ными автокорреляционными и взаимокорреляционными свойст¬
вами.
Если рассматривать последовательности из п импульсов прямо¬
угольной формы, которые могут принимать значения ±1, то про¬
стым подбором можно найти такие последовательности, для кото¬
рых b (0) =|1и \Ьп \ = — . Среди них, прежде всего, назовем после¬
довательности Баркера (табл. 9.1).
Таблица 9.1
Число
знаков
Номер знака k
Наибольшие
значения
0
1 | 2
3 | 4
5
6
7
8 | 9 | 10
11 | 12
МО)
1 Ьп\
3
+i
+ 1
— 1
1
1/3
4
+i
+ 1
—1
+ 1
1
1/4
5
+i
+ 1
+ 1
— 1
+ 1
1
1/5
7
+i
+ 1
+ 1
—1
—1
+1
—1
1
1/7
11
+i
+ 1
+ 1
—1
—1
—1
+1
—1
—1
+ 1
—1
1
1/11
13
4-1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
—1
—1
+ 1
+ 1
— 1
+ 1
— 1
+ 1
1
1/13
Последовательности Баркера имеют близкую к идеальной ав¬
токорреляционную функцию; абсолютная величина боковых лепест-
— 346 —
ков не превышает величины
от главного значения. На
рис. 9.14а, б приведены последовательности Баркера для п—11, а
на рис. 9.14в — их автокорреляционная функция. Прием последо¬
вательности Si рис. 9.14а («адрес» 1 канала) выполняется согла-
9.14. Последовательности Баркера: а) 1-го канала,
б) 2-го канала, в) функция автокорреляции последова¬
тельностей 1 и 2
сованным фильтром рис. 9.15, структура которого сходна с
рис. 6.11. Импульсы последовательности Баркера с числом знаков
я =11 поступают на JI3, имеющую отводы через каждые At, далее
на разделительные каскады ( + ) и (—) с коэффициентами пе¬
редачи + ] и —1 соответственно, затем в суммирующее устройство
9.16. Согласованный фильтр для последовательности Баркера
(/i=il.l)
— 347 —
и, наконец, в решающее устройство РУ. Разделительные каскады
( + ) и (—) включены в порядке, соответствующем чередованию
знаков последовательности Баркера; число .каскадов равно числу
п импульсов последовательности. Первый каскад включен до ли¬
нии задержки, последний на конце ЛЗ. Импульсы принимаемой
последовательности продвигаются но ЛЗ и в момент, когда по¬
лярности всех импульсов на соответствующих отводах ЛЗ совпа¬
дут со знаками коэффициентов передачи разделительных каскадов
( + ) и (—), в суммирующем устройстве импульсы сложатся син-
фазно; на выходе РУ появится наибольший отклик —согласован¬
ный фильтр зафиксирует «адрес» 1 канала. (П,ри всех других сдви¬
гах суммирование производится с разными знаками и на входе
решающего устройства появляются отклики, максимальные уров¬
ни которых не превышают величины 1
— от максимального
п |
значения. Поскольку функция взаимной корреляции между после¬
довательностями рис. 9.14а и рис. 9.146 также имеет наибольшие
I 1 I
значения, не превышающие —, то последовательность «адреса»
I п I
2-го канала также не может вызвать ложного срабатывания ре¬
шающего устройства 1-го канала.
Баркером были указаны последовательности, имеющие «остатки»
автокорреляционных функций \Ь^ = — только для 13. Иссле¬
дования показали, что последовательностей с «остатками» вели¬
чины— для п> 13 не существует. Поэтому для больших п при-
п
ходится довольствоваться последовательностями, имеющими «ос¬
татки» больше, чем —.
п
Несколько худшими автокорреляционными функциями по срав¬
нению с баркеровскими последовательностями, но все же при¬
годными для использования в качестве сигналов, имеют линейные
рекуррентные последовательности ЛРП. Для ЛР|П отношение глав¬
ного максимума к максимальному боковому лепестку автокорре¬
ляционной функции растет приближенно как V п, где п — число
позиций в последовательности длительности Т. ЛРП обладает
свойством «хаотичности», которое заключается в следующем.
Если из периода ЛРП, содержащего п = 2^—1 членов, выбрать
все возможные отрезки по \х членов в каждом, то, во-первых, среди
этих отрезков не будет совпадающих и, во-вторых, среди них
найдутся любые комбинации из +1, —*1, состоящие из \х членов
(кроме «запрещенной» комбинации, состоящей только из +1). Эти
свойства сходны со свойствами случайных биполярных последо¬
вательностей; поэтому ЛРП часто называют псевдослучайными
или шумоподобными последовательностями. К тому же автокорре¬
ляционная функция ЛРП имеет форму, сходную с автокорреля¬
ционной функцией ограниченного по спектру «белого шума». Чис¬
— 348 —
ло элементов (последовательности п \с увеличением \х резко воз¬
растает, практически удваиваясь при увеличении \х на единицу.
Так как в принципе п можно -выбрать .сколь угодно большим,
то автокорреляционная функция может быть получена весьма
близкой к идеальной; можно показать также, что среди длинных
последовательностей существуют такие; для которых максимумы
взаимокорреляционной функции не превышают т. е. могут
быть сделаны достаточно малыми при больших п, то же относится
к боковым лепесткам автокорреляционных функций (рис. 9.14в).
ЛРП формируются генераторами двоичных импульсов с ис¬
пользованием регистра сдвига. /Прием ЛРП может осуществляться
как -согласованными фильтрами, так и 'корреляторами.
Из других (способов формирования шумоподобных сигналов для
асинхронно-адресных систем связи упомянем о способе формиро¬
вания с помощью частотно-временной матрицы (ЧВМ). Мы уже
отмечали, что в системах с ортогональными сигналами энергия
каждого сигнала полностью отделяется от энергии других сигна¬
лов. Это положение становится наиболее отчетливым, если обра¬
титься к частотно-временным диаграммам системы связи при
частотном разделении (рис. 9.16а) и при временном разделении
9.16. Частотно-временные диаг¬
раммы: а) при частотном раз¬
делении, б) 1при временном
разделении
9.17. Формирование шумоподобного сиг¬
нала с помощью частотно-'временной
матрицы
сигналов (рис. 9.166). Здесь каждому каналу отводится опреде¬
ленная область частотно-временного пространства; положение пло¬
щадки можно рассматривать как «адрес» абонента. Однако ча¬
стотно-временную диаграмму можно разделить на площадки иным
способом: адрес каждого канала можно сформировать из набора
— 349 —
«элементарных площадок» частотно-временного пространства
(рис. 9.17в). Здесь каждый информационный символ (рис. 9.17а)
отображается определенной последовательностью импульсов, име¬
ющих разные частоты (рис. 9.176). Эти «адресные» наборы им¬
пульсов составляются на основе их представления в виде частот-
но-зременной .матрицы (ЧВМ) (рис. 9.17в); к ним предъявляются
обычные требования хорошей свертки (с малыми боковыми ле¬
пестками) автокорреляционных функций и малой взаимной кор¬
реляции. Изменение временного положения импульсов и различие
в их частотах дают возможность сравнительно простыми техни¬
ческими средствами получить несколько тысяч частотно-времен¬
ных комбинаций («адресов»). Разумеется, не все комбинации ча¬
стотно-временной матрицы можно использовать в качестве адре¬
сов; среди них встречаются и такие, которые не обладают необхо¬
димыми корреляционными свойствами.
Максимальное число адресов, для которых уровень боковых
лепестков корреляционных функций не превышает 1 /]/Тг при¬
ближается к FT. Сигналы ЧВМ являются разновидностью сигна¬
лов, различающихся по форме. Их также можно разделять как
согласованными фильтрами, так и корреляторами.
Развитие асинхронно-адресных систем во многом будет опре¬
деляться тем, насколько быстро и успешно разрешится проблема
выбора нужного числа почти ортогональных сигналов с хорошими
автокорреляционными .свойсгвахми и малыми взаимокорреляцион-
ными «остатками».
Отметим в заключение, что в технической литературе все чаще
появляются публикации о реализации различных систем асинхрон¬
ной многоканальной связи. Наиболее характерными из них яв¬
ляются системы на 1000—1500 каналов с 50—100 «активными»
абонентами.
9.5. КОМБИНАЦИОННЫЙ СПОСОБ РАЗДЕЛЕНИЯ
СИГНАЛОВ
Принцип комбинационного разделения. Пусть необходимо ор¬
ганизовать передачу N независимых дискретных сообщений по
общему групповому каналу. Если каждый элемент сообщения мо¬
жет принимать любое из двух возможных состояний («0» —пауза,
«1» — посылка), то при одновременной передаче N двоичных со¬
общений общее число возможных состояний будет М — 2N. Так, при
двухканальной передаче двоичных сообщений может появиться
любая из четырех (М = 22=4) возможных комбинаций: (00) —пау¬
за в каждом канале, (01) —пауза во втором канале, посылка в
первом, (10) —посылка во втором канале, пауза в первом, (11) —
посылка в каждом канале. Если, далее, эти комбинации пронуме¬
ровать, то номер комбинации будет однозначно определять состоя¬
ние «0» и «1» в каждом канале. Сказанное остается в силе для
— 350 —
любого числа каналов. Многоканальная передача сводится теперь
к передаче некоторых чисел, определяющих номер комбинации.
Эти числа могут передаваться посредством любого кода. При та¬
кой передаче групповой сигнал является отображением определен¬
ной комбинации посылок и пауз различных каналов. Разделение
сигналов, основанное на различии в комбинациях сигналов разных
каналов, называется комбинационным разделением.
Типичный .пример комбинационного разделения — система двух¬
канального частотного телеграфирования ДЧТ. Для передачи че¬
тырех комбинаций сигналов двух каналов используются четыре
разные частоты fi, fz, /з, /4. При двукратной фазовой манипуляции
(двукратная фазовая телеграфия ДФТ) каждой комбинации со¬
стояний I и II каналов соответствует одно из четырех значений
фазы группового сигнала, <рь <р2,-фз или ф4. Принцип комбина¬
ционного разделения используется также в системах фазовой
манипуляции более высокой кратности, например, трехкрат¬
ной [14].
В качестве иллюстрации принципа комбинационного разделения
рассмотрим пример разделения -сигналов при ДЧТ двухканальной
системе частотного телеграфирования (рис. 9.18). Здесь выходное
9.18. Комбинационный способ разделения сигналов
двухканального частотного телеграфирования (ДЧТ)
напряжение «с усилителя промежуточной частоты приемного уст¬
ройства подается на ограничитель и затем разделяется фильтрами
Фъ Фъ Ф& Ф4. Фильтры подключены к восьми детекторам Дъ Д2,
Дз, •••> попарно работающим на общие нагрузки. Если усло¬
виться, чго «1» соответствует «нажатие» («Н»), а нулю «О» соот¬
ветствует пауза или «отжатие» («О»), то при передаче на частоте
ft, напряжение с выхода Ф4 должно подводиться через диоды Д1
и Дг к входным зажимам «Oi» ги «О2» аппаратов первого и второго
каналов. Очевидно, что три передаче на частоте /3 напряжение с
фильтра Ф3 должно подключаться через диоды Дъ и Дв соответ¬
ственно к зажимам «Oi» и «Н2». Аналогично выполнены все осталь¬
ные соединения на схеме рис. 9.18, необходимые для обработки
сигналов на частотах /2 и /4.
— 351 —
Разделение сигналов по уровню. Интересной в принципиальном
отношении 'разновидностью комбинационного разделения являет¬
ся разделение сигналов по уровню. В этом случае сигналы имеют
одинаковую форму, а раз¬
личаются только их величи¬
ной (уровнем).
В простейшем случае
двухканальной передачи сиг¬
налы обоих каналов Si(t) и
s2(t) могут быть разделены,
если только их уровни Si и
sz отличаются друг от дру¬
га (рис. 9.19а). Пусть, на¬
пример, Si превышает s2 на
As=si—s2. Тогда на входе
разделяющего устройства
будет смесь двух сигналов
с результирующим уровнем
s=si+s2. Для выделения
сигнала первого канала нуж¬
но суммарный сигнал s =
= Si + s2 ограничить снизу
на уровне s2, а сверху на
уровне Sz+As, т. е. «выре¬
зать» полоску между уров¬
нями s2hs2+As (рис.9.19а).
В результате ограничения
получим сигнал первого ка-
Si
нала, уменьшенный в
sA — sa
раз.
Чтобы выделить сигнал второго канала, усиленный в ——— раз,
si — s*
сигнал первого канала вычитается из суммы сигналов. Таким об¬
разом, разделяющее устройство можно построить в соответствии с
блок-схемой (рис. 9.196).
В случае многоканальной системы с комбинационным разде¬
лением по уровню можно использовать кодирующую трубку1),
как показано схематически на рис. 9.20. Здесь для примера пред¬
ставлено устройство, способное разделить пять каналов, каждый
из которых работает двоичным кодом, а групповой сигнал пред¬
ставляет собой импульсы различной амплитуды. Каждому значе¬
нию <высоты импульса соответствует одно из возможных состоя¬
ний всех пяти каналов. Таких состояний М= 25=32, следовательно,
32 уровня должен иметь и групповой сигнал.
1) (Пример с кодирующей трубкой .приведен для «наглядности объяснения.
В реальных системах используются дешифраторы из феррит-транзисторных ло¬
гических элементов.
9:19. (Временные диаграммы разделе¬
ния сигналов ino уровню
352 —
Электронный луч отклоняется напряжением группового сигна¬
ла по .вертикали, а пилообразным развертывающим напряжением
с тактовой частотой — по горизонтали. В результате луч пробегает
по одной из 32 строк маски с кодовыми комбинациями МКК, на
которой имеются отверстия в точках, соответствующих наличию
сигнала в данном канале. Пусть, например, имеются посылки «1»
9.20. «Комбинационное разделение сигналов с
помощью кодирующей трубки
в каналах № 2, 4 и 5 и паузы «0» — в каналах № 1 и 3. Такому
состоянию в двоичной системе соответствует число 01011 или число
11 —в десятичной системе, т. е. импульс группового сигнала будет
иметь высоту 11 единиц. Под действием этого импульса луч от¬
клонится по вертикали и попадет на 11-ю строку маски МКК. В
этой строке отверстия пробиты на позициях 2, 4 и 5. Луч, пробегая
по строке, (проходит через отверстия и замыкает цепи соответству¬
ющих каналов через расположенные за маской вертикальные шины
каналов Ш. Телеграфные аппараты 1 и 3-го каналов получат
«паузы», а в каналах 2, 4 и 5 — «посыл-ки».
Связь между комбинационным разделением и разделением по
уровню. Отметим в заключение, что в основе разделения по уров¬
ню и комбинационного разделения лежит преобразование сигнала
изменением основания кода (п. 2.6). Действительно, при передаче
двоичные сигналы (т = 2) N каналов заменяются единственным
групповым сигналом с основанием т* = 2™=М, равным числу ком¬
бинаций. При приеме выполняется обратное преобразование сиг¬
нала с основанием т*=М в двоичные канальные сигналы (с ос¬
нованием /п = 2).
Пусть необходимо построить 3-ка.нальную систему с разделени¬
ем сигналов по уровню. Если условиться, что сигналы первого ка¬
нала имеют уровень Si=l единицу, второго канала s2=2 единицы,
а сигналы третьего канала передаются импульсами 53 = 3 единицы,
то оказывается, что такой произвольный выбор различающихся
уровней сигналов разных каналов не позволяет произвести их
разделение в месте приема. В .самом деле, если, например, будет
принят сигнал с уровнем 5 = 3, то невозможно сказать, соответ¬
— 353 —
ствует ли это переданному сигналу третьего канала s3=3 или сум¬
ме сигналов второго и первого каналов s2+Si=2+1=3.
Для образования разделимых сигналов нужно выбирать уровни
по определенному правилу.
При трехканальной передаче двоичных сообщений групповой
сигнал должен принимать одно из М = 23=8 различных по уровню
значений (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) в соответствии с передаваемой
комбинацией посылок и пауз в отдельных каналах. Одним из пра¬
вил, пригодных для формирования различимых по уровню сиг¬
налов, является геометрическая прогрессия. В частном случае,
если выбрать знаменатель геометрической прогрессии <7 = 2, то для
трехканальной передачи уровни /сигналов отдельных каналов бу¬
дут: Si=l—в первом канале, s2 = <7Si=2 — во втором канале,
s3 = qs2=q2Si—A — в третьем канале. Таким образом двоичный сиг¬
нал первого канала имеет уровни 0 и 1, (второй: 0 и 2, третий: 0 и 4.
Отличительной особенностью сигналов каждого канала является
то, что ни один .из них не может быть образован линейной суммой
вюех остальных, т. е. si + s2=7^<s3, s2+s3=7^si, Si + s3=^s2. Не останав¬
ливаясь на блок-схеме разделяющего устройства трехканальной
системы, упомянем лишь то, что в ее состав войдет несколько
ограничителей (нелинейных преобразователей) с различными поро¬
гами и вычитающих устройств, включенных подобно рис. 9.196.
9.6. ВЛИЯНИЕ ВЗАИМНЫХ ПОМЕХ ПРИ РАЗДЕЛЕНИИ
СИГНАЛОВ НА ПРОПУСКНУЮ СПОСОБНОСТЬ
МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Геометрическая трактовка разделения сигналов при наличии
помех. Чтобы уяснить роль взаимных помех при ограничении про¬
пускной способности систем многоканальной связи, воспользуемся
геометрическими представлениями.
Пусть на приемном конце группового .канала вместе с подле¬
жащим выделению .сигналом Sk{v) интересующего нас k-ro канала
имеются сигналы других каналов. Они являются мешающими для
k-ro канала, поэтому их сумму будем представлять вектором
Другими словами, каждым &-м приемником групповой сигнал бу¬
дет воспринят как «сумма «полезного» сигнала Sk и помехи £, т. е.
На рис. 9.21 вектор л; образован суммой -сигналов трех ка¬
налов
Поэтому, например, приемное устройство 2-го канала воспри¬
мет групповой .сигнал х, как х=а2ур2 + 1. Длина и направление
вектора I на плоскости [фь 0, г|)3] произвольны, так как они зависят
только от сигналов 1 и 3-го каналов.
— 354 —
С точки зрения полною разделения сигналов необходимо, что¬
бы в результате воздействия оператора разделения П2 приемника
2-го канала из суммы сигнала аг$2 и помехи | был выделен лишь
сигнал 02^2, т. е.
В общем случае прием сигналов k-vo канала не будет зависеть
от мешающего вектора % только в том единственном случае, когда
оператор П& будет обеспечивать выполнение операции проектиро¬
вания, т. е. когда в результате проектирования группового сиг¬
нала х на направления координатных осей gi(v) оператора П&
все проекции, кроме k-ii,
обращаются в нуль. При
наличии таких сигналов»
операторов оказывается
возможным полное раз¬
деление сигналов без вза¬
имных помех.
Однако, как правило,
в реальных условиях ни
сигналы, ни разделяющие
устройства не удов¬
летворяют требованиям
идеального разделения.
Следствием этого являет¬
ся ограничение пропуск¬
ной способности системы связи. Особенности разделения сигналов
в реальных условиях также удобно пояснить с помощью геометри¬
ческих представлений.
Предварительно заметим, что весовой функцией при частотном
разделении является комплексный коэффициент передачи gh(a>),
который можно разбить на две части
так, чтобы часть g'k (to) характеризовала действие оператора Пй
в пределах полосы частот шбАсоь, отведенной для передачи сигна¬
лов данного k-vo канала, а вторая часть g"k (со) характеризовала
свойства Пй за пределами полосы, т. е. на частотах to (f Ат-
То же можно сделать и с характеристикой временного демо¬
дулятора gh(t—kx) при временном разделении
где g'k(t)—образована функциями, существующими в интервале
Atft каждого канала, a g"k (t) отображает функции за пределами
этого интервала t (£ Atft.
— 355 —
9.01. К выбору направлений координатных
осей операторов приемных устройств
Чтобы уяснить механизм воздействия взаимных помех разобьем
реальный оператор разделения П& и функцию | на две части:
Такое разложение на языке векторных представлений озна¬
чает, что функции Flfti и | состоят из векторов, входящих в два
линейно независимых пространства. При частотном разделении
первое пространство образовано частотами в пределах полосы
принимаемого сигнала и П^, а второе содержит частоты вне
этой полосы П/t—П^и (|—£'). При временном разделении первое
подпространство образовано функциями в пределах временного
интервала Ат*, а второе состоит из функций, существующих за
пределами и этого интервала.
Таким образом, помеха | оказывает свое мешающее действие
на приемное устройство Flft, благодаря наличию двух компонентов,
входящих в упомянутые подпространства. В результате отклик на
выходе приемника любого канала П& при проектировании про¬
странства сигналов будет зависеть не только от выделяемого сиг¬
нала Sk, но и от мешающих (Сигналов В самом деле, при про¬
ектировании пространства сигналов, например, на направление
оси оператора лк (рис. 9.22), получим
9.22. (Операция проектирования:
а) при наличии помех, б) при неидеальноети операторов разделения
т. е., кроме полезного сигнала sk, возникают помехи П'^ и Tl"k I"
(слагаемые П^", П*£' и равны нулю, так как они образованы
векторами, входящими в линейно независимые пространства). Со-
- 356 -
ответственно мощность помех за счет несовершенства разделения
сигналов будет тем больше, чем больше W"k и Величины ТГк
и в свою очередь, возрастают с увеличением скорости передачи
и ухудшением избирательных свойств разделяющих устройств.
Все это приводит к необходимости принимать во внимание при
оценке пропускной способности систем -многоканальной связи вза¬
имное мешающее действие между каналами за счет несовершен¬
ства разделяющих устройств, за счет конечной длительности сиг¬
налов, а также за счет ограниченности полосы пропускания ре¬
альных линий связи.
Влияние взаимных помех на пропускную способность канала.
Предельная пропускная способность канала с равномерной ча¬
стотной и линейной фазовой характеристиками в полосе частот
при наличии флуктуационного шума средней мощностью Рс для
сигналов со средней мощностью Ps определяется по формуле
Шеннона
Смысл этой формулы состоит в том, что при заданной полосе
частот, средней мощности сигнала и оптимальном коде пропуск¬
ная способность ограничивается средней мощностью шума
В дальнейшем для упрощения считаем, что статистические свой¬
ства взаимных помех такие же, как у флуктуационного шума. Вза¬
имные помехи между каналами также приводят к ограничению
пропускной способности систем связи. Однако в отличие от помех
флуктуационного происхождения средняя мощность взаимных по¬
мех Ph между каналами пропорциональна средней мощности сиг¬
налов
где jbi — коэффициент взаимного мешающего действия между ка¬
налами.
Если теперь в ф-лу (9.48) вместо мощности флуктуационного
шума подставить Рh из ф-лы (9,49), то для пропускной способно¬
сти системы связи получим
Из этой формулы следует, что пропускная способность систе¬
мы увеличивается при уменьшении \х, т. е. при улучшении качества
разделяющих устройств. Непосредственно из этой же формулы
следует, что при заданном качестве разделения каналов, т. е. при
заданной надежности связи, увеличить пропускную способность
системы за счет увеличения мощности сигналов нельзя. При этом
предполагалось, что при передаче имеются только помехи от дру¬
гих каналов, а флуктуационных .помех нег. Вместе с тем на прак-
— 357 —
тике возможны самые разные соотношения между уровнями сред¬
них мощностей флуктуацио'нного шума и помех от соседних ка¬
налов. Поэтому важно знать значимость каждого вида помех при
передаче.
В реальных условиях пропускная способность систем связи
ограничивается как флуктуационным шумом так и помехами
за счет разделения сигналов РПоэтому при определении про¬
пускной -способности системы нужно учитывать суммарную мощ¬
ность -помех РГ+Р*. Тогда ф-ла (9.48) примет вид
Из последней формулы можно сделать вывод о том, что коэф¬
фициент jLi непосредственно связан с отношениями средних мощ¬
ностей флуктуаций и сигнала. Чтобы взаимные помехи между
каналами не приводили к заметному снижению пропускной способ¬
ности системы связи, понадобится такое значение коэффициента \х,
при котором \х<^Р /Р8. Например, системы дальней связи нор¬
мально работают при отношении сигнал/шум, равном 40 дб, л л и
P. /Ps= Ю-4. Поэтому, чтобы не -принимать во внимание взаимные
помехи, коэффициент ,ц должен быть существенно меньше этого
отношения. Практика эксплуатации аппаратуры уплотнения пока¬
зывает, что помехи за счет разделения каналов должны быть ос¬
лаблены, по крайней мере, на 60 дб. При частотном разделении
каналов это приводит к тому, что для снижения уровня взаимных
помех приходится затрачивать до 20%'общей полосы пропускания
системы связи. Соответственно потере полосы частот уменьшается
и пропускная способность системы связи.
Следует пояснить, что при оценке пропускной способности си¬
стем связи нужно также принимать во внимание помехи, за счет
нелинейных переходов, которые здесь не рассматриваются1).
9.7. ПЕРЕДАЧА СООБЩЕНИЙ ПО СИСТЕМАМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Предварительные замечания. В общем случае часть каналов,
связывающих два пункта, обеспечивает передачу сигналов в од¬
ном, а другая часть — в обратном направлении. При наличии об¬
ратных каналов могут быть созданы системы с обратной связью.
Обратная связь облегчает согласование источников и получа¬
телей сообщений с каналами. При отсутствии обратной связи по¬
строение сигналов и введение избыточности в передатчике осно-
*) Вопросы определения мощности флуктуацлонных (помех .и помех нели¬
нейного происхождения рассматриваются в курсах «Многоканальная связь» и
«Системы связи и радиорелейные линии».
— 358 —
вызаются лишь на статистических сведениях о помехе. Конкрет¬
ный характер воздействия помехи на каждый отдельный отрезок
сообщения при его передаче неизвестен. Для достаточно полного
согласования .с каналом в этом случае преобразуемые отрезки
сообщения должны быть настолько длинными, чтобы реализация
помехи за время передачи каждою отдельного отрезка с доста¬
точной точностью соответствовала статистическим закономерно¬
стям (пп. 5.6, 5.7). Обратная связь позволяет получдть информацию
о конкретном характере воздействия помехи на каждый отдельный
отрезок сообщения по мере его передачи и регулировать вводимую
избыточность в соответствии с этой информацией. В этом случае
требуемая верность передачи может быть достигнута при большей
скорости или меньшей задержке.
Особенно большой выигрыш обратная связь может дать в двух
случаях: когда воздействие помехи на сигналы обратной связи
много слабее, чем на сигналы, несущие передаваемую информа¬
цию, и когда помеха в каналах двух направлений коррелиро-
вана.
В общем случае источники и получатели сообщений имеются на
обоих оконечных пунктах, и система связи должна обеспечить
передачу сообщений в обоих направлениях. Тогда каналы каждого
направления могут использоваться и для передачи сообщений в-
прямом направлении, и для обратной связи, контролирующей пе¬
редачу сообщений в обратном направлении. Схема такой системы
приведена на рис. 9.23.
9.26. Схема многоканальной системы передачи сообщений ib обо¬
их направлениях с обратной ювявью
В более частном случае передача сообщений происходит лишь
в одном направлении, а каналы второго направления использу¬
ются только для обратной связи. Рассмотрим в основном послед¬
ний случай, пошагая, что и в прямом и в обратном направлении
имеется по одному каналу. Схема такой системы связи для слу¬
— 359 —
чая одного источника (ИС) и одного получателя (ПС) сообще¬
ний приведена на рис. 9.24.
Обратная связь может использоваться при передаче любых
сообщений — непрерывных .и дискретных. Однако в настоящее
9.24. Схема однсжанальной системы передачи сообще¬
ний в одном направлении с обратной связью
время разработаны теоретически и применяются практически в
основном системы, в которых обратная связь используется при
передаче дискретных (или дискретизированных) сообщений.
Особенности систем передачи дискретной информации с об¬
ратной связью.
При передаче дискретных сообщений обратная связь может
контролировать непосредственно непрерывный канал, дискретный
канал или всю систему. Подключение устройств обратной связи
9.25. Система передачи дискретных сообщений с обратной связью:
а) контролирующей непрерывный канал, б) дискретный канал,
в) систему
в этих случаях для системы рис. 9.24 представлено на рис. 9.25.
Возможна также обратная связь, контролирующая смешанные
участки системы, например, дискретно-непрерывный канал. Кроме
— 360 I—
того, возможно комбинирование различных 'видов обратной связи,
например, контролирующих непрерывный и дискретный канал. Для
этой цели могут использоваться отдельные или общий обратный
канал с тем или иным разделением сигналов.
При контроле непосредственно непрерывного канала
(рис. 9.25а) сигнал с его выхода через непрерывный канал
обратного направления и корректирующие фильтры приемного и
передающего пунктов подается на комбинирующее устройство и
через него воздействует .на сигнал, поступающий с выхода дис¬
кретного модулятора. При определенных условиях надлежащий
подбор корректирующих фильтров и способа комбинирования по¬
зволяет получить эквивалентный непрерывный канал прямого на¬
правления с более высокой пропускной способностью или с луч¬
шим ее использованием, чем в исходном прямом канале. Если
помеха в обратном канале коррелирована с помехой в прямом, то
последняя может быть ослаблена -компенсацией, что и приводит
к повышению пропускной способности эквивалентного непрерыв¬
ного канала. Если помеха в обратном канале существенно сла¬
бее, чем в прямом, то при передаче еще непереданной части
каждого сигнала можно достаточно точно учесть воздействие по¬
мехи на уже переданную часть. Это позволяет улучшить исполь¬
зование допустимой средней мощности, регулируя мощность каж¬
дого сигнала в процессее его передачи [27].
При контроле дискретного канала (рис. 9.256) решения, при¬
нимаемые решающим устройством по каждой позиции кодовой
последовательности, делятся на предварительные и окончатель¬
ные. На декодер (или получателю сообщений при передаче без
кодирования) выдаются лишь окончательные решения. Каждое
решение или стирание символа в решающем устройстве сопровож¬
дается посылкой обратного сигнала в дискретный модулятор пе¬
редатчика. В зависимости от принимаемого сигнала обратной свя¬
зи передатчик может передать следующий символ или повторить
предыдущий (для того, чтобы приемник мог отличить повторения
от новых символов, могут использоваться специальные служеб¬
ные сигналы). Приемник после этого может изменить ранее при¬
нятое предварительное решение. Число повторений каждого сим¬
вола может быть фиксированным. При этом электрическое пред¬
ставление символа или мощность сигнала при очередной передаче
регулируются в соответствии с результатами предшествующих пе¬
редач. Однако, чаще всего число повторений символа является
случайной величиной, зависящей от реализации помехи. При этом
электрическое представление и мощность сигнала при повторени¬
ях могут оставаться неизменными.
В обоих случаях за счет повторений эквивалентный дискретный
канал имеет меньшую эквивалентную скорость передачи симво¬
лов иэкв, чем исходный. Однако регулировка мощности отдельных
сигналов или числа передач в соответствии ic изменениями помехи
позволяют добиться в эквивалентном дискретном канале меньшей
— 361 —
вероятности ошибки реэКв, чем в дискретном канале без обратной
связи со скоростью vK=уэкв при этой же средней мощности Рк =
=Рэкв или наоборот [3].
При контроле системы (рис. 9.25в) обратные сигналы относятся
не к отдельным -символам, а к участкам кодовой последователь¬
ности, при блочном коде, чаще всего, — к кодовым комбинациям.
В случае необходимости (в зависимости от поступающих сигналов
обратной связи) передатчик повторяет всю комбинацию в том же
или в измененном коде или добавляет к ней дополнительные про¬
верочные символы. Для указания характера передачи могут ис¬
пользоваться специальные служебные комбинации или символы.
После окончательного декодирования сообщение выдается по¬
лучателю. Время передачи сообщения (общее число затраченных
на нею кодовых символов) может быть фиксированным или слу¬
чайным. В последнем случае дополнительные передачи могут пред¬
ставлять собой простые повторения кодовой комбинации, передан¬
ной первый раз. Регулировка .избыточности кодовой последователь¬
ности в соответствии с конкретным характером ошибок или -сти¬
раний при передаче каждого отдельного сообщения позволяет при
заданном дискретном канале прямого направления добиться боль¬
шой верности передачи при той же средней избыточности или на¬
оборот.
Системы с информационной и управляющей обратной связью.
В зависимости от характера информации, передаваемой прием¬
ником с помощью сигналов обратной связи, и использования этой
информации передатчиком различают два основных вида систем
с обратной связью, контролирующей дискретный канал или си¬
стему: 1) с информационной обратной связью, или со сравнением;
2) с управляющей обратной связью, или с переспросом. Возмож¬
на и комбинированная обратная связь.
При информационной обратной связи обратные сигналы ука¬
зывают .подмножество возможных сообщений или символов, к ко¬
торому приемник отнес данную комбинацию или сигнал. Передат¬
чик, сравнив эту информацию с действительно переданным сооб¬
щением или символом, передает 'следующее сообщение или символ
(три отсутствии расхождений), либо повторяет старое. Такое по¬
строение системы позволяет всю избыточность, необходимую для
проверок на обнаружение ошибок, отнести к обратному каналу,
оставив в прямом канале лишь избыточность, связанную с повто¬
рениями и с передачей служебных сигналов. В каналах с редкими
ошибками это позволяет существенно повысить скорость передачи
информации при той же верности или наоборот.
Указание подмножества может осуществляться, например, пе¬
редачей по обратному каналу проверочных символов, сформиро¬
ванных приемником по принимаемой комбинации; передатчик
сравнивает их со сформированными им, но не переданными по
каналу проверочными символами. Однако в наиболее распростра¬
— 362 —
ненных системах указание подмножества осуществляется простым
повторением (ретрансляцией) принятой комбинации или символа.
Такую информационную обратную связь называют полной.
В случае идеального обратного канала полная информацион¬
ная обратная связь 'позволяет без применения корректирующих
кодов обеспечить абсолютно достоверную передачу информации в
прямом направлении: передатчик в этом случае обнаруживает все
ошибки приемника и при отсутствии ограничений на задержку
всегда .имеет возможность исправить их. Для исправления обычно
посылается специальный сигнал поправки, после чего повторяется
неверно принятое сообщение. Сигнал поправки также ретрансли¬
руется приемником, благодаря чему при идеальном обратном ка¬
нале передатчик имеет возможность скорректировать и те ошибки,
которые вызваны потерей или ложным приемом сигнала поправ¬
ки. В реальных системах при полной информационной обратной
связи не обнаруживаются лишь так называемые зеркальные ошиб¬
ки. При управляющей обратной связи (ее иногда неудачно
называют решающей) обратные сигналы отображают не саму ин¬
формацию, содержащуюся в принятом сообщении или символе, а
только ее количество («надежность» принятого сообщения или
символа).
В наиболее простом и наиболее распространенном случае сиг¬
налы управляющей обратной связи являются двоичными и назы¬
ваются подтверждением и переспросом. Подтверждение посыла¬
ется в том случае, если приемник находит количество информации
в данной комбинации или символе на его входе достаточным для
надежного окончательного декодирования или решения, пере¬
спрос— если он находит это количество недостаточным. При кон¬
троле сислемы в этом случае требуется применение корректирую¬
щего кода, позволяющего производить проверки на обнаружение
ошибок, а при контроле дискретного канала — наличие зоны сти¬
рания в решающем устройстве (переспрос посылается при обна¬
ружении ошибок в принимаемой комбинации или стирании при¬
нимаемого символа). Передатчик, приняв подтверждение, пере¬
дает следующую комбинацию или символ, а приняв переспрос,
повторяет следующую комбинацию или символ, или добавляет
к ранее переданной комбинации дополнительные проверочные сим¬
волы, позволяющие приемнику осуществить исправление ошибок.
Простое повторение комбинаций, в которых обнаружены ошиб¬
ки, приводит к большей избыточности, чем добавление провероч¬
ных символов, но позволяет обойтись без исправления ошибок
при декодировании, которое реализуется сложнее, чем обнару¬
жение. При контроле дискретного канала высокая верность пе¬
редачи может быть достигнута и без кодирования (или при ис¬
пользовании простых кодов) [3].
При контроле системы управляющая обратная связь требует
избыточности в каждой комбинации, передаваемой в прямом на¬
правлении, и в этом отношении проигрывает информационной об¬
— 363 —
ратной связи. Однако она облегчает требования к обратному ка¬
налу. То обстоятельство, что на кодовую комбинацию, передавае¬
мую в прямом направлении, требуется один двоичный сигнал об¬
ратной .связи, позволяет обойтись обратным каналом с малой про¬
пускной (способностью. Это особенно важно при двусторонней пе¬
редаче сообщений.
При идеальном обратном канале система с управляющей об¬
ратной связью не требует передачи служебных сигналов в прямом
канале, так как передатчик в этом случае точно следует командам
приемника.
При комбинированной обратной связи чаще всего приемник по¬
сылает переспрос при обнаружении ошибок в принимаемой ком¬
бинации и ретранслирует последнюю для проверки ее передат¬
чиком, если сам он в ней ошибок не обнаруживает.
Неправильный прием служебного сигнала приемником при ин¬
формационной или обратного сигнала передатчиком при управ¬
ляющей обратной -связи может привести к выпадению или вставке
сообщения или символа. Так, при управляющей обратной связи,
контролирующей систему, принятие передатчиком подтверждения
за переспрос приводит к повторению сообщения, которое прием¬
ник трактует как новое сообщение (вставка сообщения). Приня¬
тие переспроса за подтверждение приводит к передаче нового со¬
общения, которое приемник трактует как прежнее (выпадение
сообщения). Выпадения и вставки могут привести к искажению
всей дальнейшей передачи, так как каждое последующее у-е сооб¬
щение будет восприниматься как (/+1)-е или (/—1)-е. Одно из
средств борьбы с выпадениями и вставками при управляющей об¬
ратной связи состоит в защите обратных сигналов кодом, обна¬
руживающим ошибки, и использовании служебных сигналов в
прямом канале. При обнаружении ошибок в обратном канале счи¬
тается, что передавался сигнал переспроса и повторяется прежнее
сообщение, а чтобы приемник мог отличить повторение от нового
сообщения, в каждую комбинацию вводится служебный символ,
нумерующий сообщения по модулю 2. При этом принятие пере¬
спроса за подтверждение имеет малую вероятность (происходит
лишь при необнаружении ошибок), а принятие подтверждения за
переспрос приводит только к ненужному повторению, которое за¬
мечается приемником.
Для исключения простоев канала, связанных с ожиданием об¬
ратных сигналов, в системе может быть организовано несколько
временных подканалов с таким расчетом, чтобы за время передачи
сообщений по остальным подканалам успел придти сигнал обрат¬
ной связи, относящийся к данному подканалу. Например, при
двух подканалах последовательность сообщений разбивается на
две подпоследовательности. После передачи первого сообщения
немедленно передается второе. К концу его передачи приходит
сигнал обратной связи по первому сообщению. Бели он оказы¬
вается подтверждением, то за вторым сообщением передается
— 364 —
третье, если переспросом, то повторяется первое. Вслед за этим
в зависимости от сигнала обратной связи передается четвертое со¬
общение или повторяется второе и т. д. Существуют и другие спо¬
собы исключения простоев.
Пример оценки выигрыша при использовании управляющей
обратной связи. Выигрыш, который может быть получен при ис¬
пользовании обратной связи по сравнению с системами односто¬
роннего действия, проиллюстрируем на примере управляющей об¬
ратной связи, контролирующей систему.
Пусть дискретный канал прямого направления является дво¬
ичным симметричным каналом без памяти с вероятностью ошибки
ре= Ю~3, а вероятностью ошибки в обратном канале можно пре¬
небречь. Если использовать квазисовершенный код Боуза—Чоуд-
хури (31, 21) с d = 5, #и=2 (п. 7.2) без обратной связи, то в со¬
ответствии с (7.14) получим вероятность ошибки
при избыточностир (В) = — =— = 0,32. Если организовать систему
п 31
с переспросом и применить в ней код Абрамсона (31,25) с d = 4,
^о = 3 (п. 7.2), используя его только для обнаружения ошибок, то
в соответствии с п. 7.2 получим вероятность ошибки при одно¬
кратной передаче
(для этого кода Л14=1085, М5=0, М6=22568, М7 = 0...). Для оп¬
ределения результирующей вероятности ошибки надо учесть воз¬
можность повторений. Вероятность одного повторения 1—р{я —
= 0)— рош1 = р(<7>0)— рош1. Поэтому
В данном случае р(<7=0)=(1—ре)32=0,969 и рош=1,2-10“9 .
При этом среднее число символов, затрачиваемых на одно сооб¬
щение:
— 365 —
в данном случае равно 32 и избыточность
ким образом, обратная связь в данном случае позволяет снизить
вероятность ошибки более чем в 3000 раз с одновременным сни¬
жением избыточности в 1,45 раза (повышением средней скорости
передачи в 1,3 раза). При этом, вместо исправления однократных,
двукратных и части трехкратных ошибок, декодирование осу¬
ществляется лишь с проверками на обнаружение ошибок, т. е. реа¬
лизуется значительно проще. Предположение об отсутствии оши¬
бок в обратных сигналах в данном случае оправдывается тем,
что даже при той же ре—10_3, что и в прямом канале, вероятность
ошибки в обратном сигнале может быть сделана р (<7^516) =
= 3* 10-40, если применить дискретное накопление (п. 5.6) и повто¬
рять каждый сигнал п = 31 раз.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Характерной особенностью теории передачи сигналов, основы
которой изложены в данной книге, является широкое обобщение
понятий, относящихся к передаче и приему различных сообщений.
Проблемы увеличения эффективности систем передачи инфор¬
мации и их помехоустойчивости являются основными в технике
связи. Обе эти проблемы решаются на основе наиболее полного
изучения и использования статистических свойств сообщений, сиг¬
налов и помех.
Введение универсальной меры количества информации, пере¬
даваемой по каналу связи, позволяет производить объективную
оценку как существующих систем передачи, так и проектируемых
по их эффективности и помехоустойчивости. Важным результатом
теории передачи сигналов является установление взаимосвязи
между верностью, скоростью и своевременностью передачи.
Некоторые из возможностей совершенствования систем связи,
вытекающие из теории передачи сигналов, уже реализованы, дру¬
гие близки к реализации. Применение современных методов коди¬
рования, модуляции и оптимальных методов приема позволяет
обеспечить относительно высокую эффективность использования
пропускной способности реальных каналов при весьма высокой
верности передачи. Так, разрабатываемые системы передачи циф¬
ровой информации с использованием многоуровневой модуляции т
последовательного декодирования в сочетании с обратной связью
обеспечивают передачу по стандартному телефонному каналу со
скоростью передачи порядка 9000 дв. ед/сек при вероятности ошиб¬
ки порядка 10-9.
В последние годы внимание специалистов привлекается к раз¬
работке адаптивных систем связи, автоматически вырабатываю¬
щих оптимальные условия приема сигналов при изменяющихся ха¬
рактеристиках каналов передачи. Все чаще находят применение
ЭВМ (электронно-вычислительные машины) в качестве оконечной
■ аппаратуры кодирования и обработки сигналов.
В связи с резким увеличением потоков подлежащей передаче
информации при одновременном повышении требования к екоро-
— 366 —
сти и верности передачи возникла проблема создания единой ав¬
томатизированной сети связи ЕАСС. Организационно-техническое
объединение всех средств связи в единую автоматизированную
сеть позволит решить важную народно-хозяйственную задачу оп¬
тимального использования систем .передачи информации в масш¬
табе всей страны. В ЕАСС предусматривается передача различной
информации посредством дискретных и непрерывных сигналов как
по коаксиальным кабельным линиям, так и .по линиям радиосвязи,
радиорелейной и спутниковой связи. С помощью унифицирован¬
ных низкоскоростных, среднескоростных и высокоскоростных кана¬
лов будет обеспечиваться передача телефонных и видеотелефон-
ных, телеграфных и фототелеграфных сообщений, цифровой ин¬
формации (данных), передача вещания и телевидения, а также
других видов информации. Системы передачи должны допускать
возможность организации в ЕАСС каналов международной связи
с установленными качественными показателями.
В настоящее время многие из возможностей практического
улучшения различных звеньев в системах передачи информации
еще ждут своего разрешения, и здесь большую роль могут сыграть
специалисты радиосвязи и электросвязи, вооруженные знанием
идей и методов современной теории передачи сигналов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Агеев Д. В. Ооновы теории линейной селекции. Научно-технический
сборник ЛЭИС, 1935 г., № 10.
2. Белецкий А. Ф. Основы теории линейных электрических цепей.
Изд-во «Связь», 1967 г.
3. Б л о х Э. Л. Помехоустойчивость систем связи с переспросом. Изд-во
АН СССР, 1963 г.
4. Бородин Л. Ф. (Введение в теорию помехоустойчивого кодирования.
Изд-во «Советское радио», '1968 г.
5. Б у н и м о в и ч В. И. Флуктуационные процессы в радиоприемных уст¬
ройствах. Изд-во «Советское радио», 1951 г.
6. Вальд А. Последовательный анализ, Физматгиз, 1960 г.
7. Венедиктов М. Д., Марков В. В., Зйдус Г. С. Асинхронные ад¬
ресные системы связи. Изд-во «Связь», 1908 г.
8. Винер Н. Кибернетика. Изд-во «Советское радио», .1968 г.
9. Возенкрафт Д ж., М., Рейффен Б. Последовательное декодирова¬
ние. ИИЛ, 1963 г.
10. Вудворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с приме¬
нениями в радиолокации. «Советское радио», 1955 г.
11. Голдман С. Теория информации, Изд-во ИЛ, 1957 г.
112. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы, ч. 1 и 2.
Изд-во «Советское радио», 1966, 1968 г.
13. Г уткин J1. С. Теория оптимальных методов радиоприема при флук-
туационных помехах. Госэнергоиздат, 1961.
14. Заездный А. М., Оку н ев Ю. Б., Рахович Л. М. Фазо-разност-
ная модуляция. Изд-во «Связь», 1967 г.
15. Заездный А. М. «Теория нелинейных электрических цепей». Изд-во
«Связь», 1968 г.
'16. Заездный А. М. Основы инженерных расчетов по статистической ра¬
диотехнике. Изд-во «Связь», 1969 г.
17. Зюко А. Г. Помехоустойчивость и эффективность систем связи. Связь-
издат, 1963 г.
— 367 —
18. Кантор Jl. Я. Методы повышения помехозащищенности приема ЧМ
сигналов. Медово «Связь», (1967 г.
19. Кловский Д. Д. Передача дискретных сообщений .по радиоканалам.
Изд-во «Связь», 1969 г.
20. Клюев Н. И. Информационные основы теории передачи сообщений.
Изд-во «Советское радио», 11966 г.
2.1. Колесник iB. Д., Мирончиков Е. Т. Декодирование циклических
кодов. Изд-во «Связь», il968.
22. К о л м о г о р о в А. Н. Интерполирование и экстраполирование стацио¬
нарных случайных последовательностей. Изд-во АН СССР (Сер. мат.).
1941 г., т. 5.
23. Колмогоров А. Н. Теория передачи информации. Сессия AiH СССР
по научным проблемам автоматизации производства 15—20 октября 1956 г.
Пленарные заседания. Изд-во АН СССР, 1957 г.
24. Котельников IB. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. Гос-
эн ер го из дат, 1956 г.
25. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники, кни¬
га 1 и 2. Изд-во («Советское радио», 1966, 11968 г.
26. Л е з и н Ю. С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сигна¬
лов. Изд-во «Советское радио», '1963 г.
27. Лекции по теории систем связи, под редакцией Багдади Е. Дж. Изд-во
«Мир», 1964 г.
28. Мановцев А. *П. Введение в цифровую радиотелеметрию. Изд-во
«Энергия», 1967 г.
29. Месс и Дж. -Пороговое декодирование. Изд-во «Мир», 1966 г.
30. М е ш к о в с к и й JK. А., Кириллов Н. Е. -Кодирование в технике свя¬
зи. Изд-во «Связь», il966 г.
31. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Изд-во «Со¬
ветское радио», 1962 г.
32. Петрович Н. Т. Передача дискретной информации в каналах с фазо¬
вой манипуляцией. Изд-во «Советское радио», 19615 г.
33. П и т е р с о н У. Коды, исправляющие ошибки. Изд-во «Мир», 1964 г.
34. П и р с Д ж. Символы, сигналы, шумы. Закономерности и процессы пе¬
редачи информации. (Изд-во «Мир», ]1967 г.
•35. С а м о й л е н к о С. И. Помехоустойчивое кодирование. -Изд-во «Нау¬
ка», 1966.
36. «Таблицы интегралов Френеля». Изд-во АН ССОР, '1953.
37. Теория информации и ее приложения. Сборник, переводов под редак¬
цией А. А. Харкевича. Физматгиз, 1959 г.
38. Теп лов Н. Л. Помехоустойчивость систем передачи дискретной ин¬
формации. Связьиздат, 1964.
39. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советское ра¬
дио», 1966.
40. Ф а н о Р. Передача информации. Статистическая теория связи. Изд-во
«Мир», <1966.
41. Фельдбаум Л. А., Дудыкин А. Д., Мановцев А. II., Миро-
люб о в Н. Н. «Теоретические основы связи и управления». Физматгиз, 1963.
42. Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений. Изд-во «Совет¬
ское радио», 1963 г.
43. Ф о м и н А. Ф. Пороговые сигналы и оптимальные параметры модуля¬
ции аналоговых методов передачи информации при идеальном приеме. Радио¬
техника, (1966, № 7.
44. X арке вич А. А. Очерки общей теории связи. Гостехиздат, 1955.
45. X а р к е в и ч А. А. Спектры и анализ. Физматгиз, 11962.
46. Харкевич А. А. -Основы радиотехники. Связьиздат, 1963.
47. Харкевич А. А. Борьба с помехами. Изд-во «Наука», '1965.
48. X еле т-ром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. ИИЛ,
1963.
49. Ш а сто в а Г. А. Кодирование и помехоустойчивость передачи телеме¬
ханической информации. Изд-во «Энергия», 1966.
50. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. ИИЛ, 1963.