Д. Д. Кловский
Теория передачи
сигналов
\Л
О')
С''<}
""f- ~·,
~[~
Си
Допущено Министерством связи СССР в каче­
стве учебника для электротехнических ин.сти­
тутов связи
Издательство <<Связь~
Москва 1973

6Ф1
К50
УДК 621.391
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
А. М . ЗАЕЗДНЫй и Н. Т: ПЕТРОВИ'!
К.11овский Д. Д.
1(50
Теория передачи ·сигналов. Учебник для ·вузов. М.,
«·Связь», 11973 ,г.
376 с. с ил., табл.
В книге последо вательно рассматриваются основные положения тео•
рнн передачи сш·налов . Описываются основы теории сигналов, теории по•
мехоустойчивоrо приема . Рассматриваются проблемы кодирования.
Определяются наиболее помехоустойчивые способы переда~и, срав­
ниваются между собой различные системы связи. Формулируются кцнт•
рольные вопросы, которые помотут глубже понять материал.
• К.ниrа
предназначена для студентов электротехнических институтов
связи . Она r-.-1ожет быть полезна широкому и:ругу спецна J1истов радиотех-
11ики н электросвязи .
и0341-12 6- 73
045(01 ) -73
Даниил Давыдович
/(ловскuй.
ТЕОРИЯ ПЕРЕДАЧИ
СИГНАЛОВ
Редактор В. Л. Черняк
Техн . редактор К Г. Маркоч
Корректор М. Х. Механик
Сдано в набор 18/IX 1972 r.
Подписано в печать 19/Х!! 1972 r .
Форм. бум. 60Х90/1, 23,5 печ. л.
23,5 усл.-печ. л.
25,68 уч.-изд. л .
Т-16681
Тираж 20.000 экз. Зак. изд. 14707
Бумага типографская No 2 Цена 1 руб. 14 коп.
Издате.т~ьство «Связь», Москва-центр,
Чистопрудный бульвар, 2
Типография изд-ва «Связь» Государствею1ого
комитета Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли .
Москва-центр, ул . Кирова, 40. Зак. тип. 386
6Ф1

Условные обозначе1шя
Предисловие
Введение
ОГ,ЛАВЛ ЕН И Е
Гл а в а 1. Математическое описание и свойства сигналов и помех
Стр.
5
7
8
1.1 . Детерминированные и случайные процессы
16
1.2 . Вероятностные характеристики случайных процессов
19
1.3. Стационарные случайные процессы
26
1.4 . Эргол:и"!еские случайные процессы
31
1.5. Нормальный (гауссовский) случаi-iный процесс и его основные
свойства •
35
1.6 . Элементы спектральной теории случайных процессов. Энерге-
тический спектр
37
1.7 . Огибающая, мгновенная фаза и частота
44
1.8 . Вероятностные характеристики огибающей и фазы
52
1.9. Осно,вы теории дискретизации функций -непрерывного аргумента. Тео-
рема Котельникова
57
1.10. Прос транства сообщений и сигналов. Системы сигналов, ортогональ-
ных в обычном и vсиленном смысле
64
1.1 1. Фи зичес1шй объем сигнала и канала связи
74
Гл а в а 2. Модулированные сигналы
2.1 . Виды модуляции. 1'vlо дуляция и демодуляция
78
2.2 . Спектры модулированных колебаний прн модулпци11 детерминирован-
ными сигналами
86
2.3 . Функция корреJ1яции и энергетический спектр модулированных сигна-
3.1 .
3.2 .
лов при модуляции гармонической несущей .с.~учайным процессом
94
Глава3. Каналысвязииихзвенья
Общие сведения о каналах связи, их
Искажения сигналов , обусловленные
классификааия
хар актеристнкам и
106
каналов
связн
.
113
3.3 . Аддитивные помехи в канале спязи, их фю11ческая природа, клас-
сификаrщя и статистика . . . . . _
.
.
126
3.4 . Модели каналов связи и их математическое описание
131
3.5 . Прахо ждение случайных воздействий через ;«шал связи и его звеньн 138
Гл а в а 4. Основы теории информации
4.1. Количественное определение информац1ш. Энтропия и информацион-
ные характеристики д11с1<ретного источннка
153
4.2. Количество и скорость передачи информации по- дискретному кана-
лусшумами..
164
4.3 . Пропускная способность дискретного канала и теоремы оптималыното
кодирОL13Н!IЯ
173
4.4. Энтропия непрерывного истО'!ника сообщений
.
.
.
.
184
4.5 . Количество и скорость передачи информации по непрерывным кана -
лам. Проп ускная способность непрерывного канала . . .
190
Гл а в а 5. Основы теории кодирования
5.1 . Классификация кодов, их представление, свойства кодов без избы-
точностн
20Q
3

Стр.
5.2. Корректирующие коды и их свойства. Методы декодирования при ис·
пользовании корректирующих кодов
209
).З. Эффективность избыточного кодирования
226
Гл а в а 6. Основы теории помехоустойчивости пр.нема дискретных сообще­
ний в не,прерывных каналах
б.1.
6.2.
6.3 .
б.4.
б.6.
6.7.
6.8 .
6.9 .
Постановка задачи оптимального приема сигналов
Критерии оптимального приема дискретных сообщений в непрерыв-
ном канале
.
Алгоритм оптимальног,с приема при точно известном сигнале и его
реализация на основе фильтров
Реализация алгоритма оптимального приема на основе согласованных
фильтров . .
•
Потенциальная помехоустойчивость (минимальная вероятность ошиб-
11иJ при точно известном ансамбле сигналов. Оптимальный ансамбль
двоичных сигналов
.
.
.
Ашоритм оптимальн_ого приема и потенциальная помехоустойчивость
при сигналах с неопределенной фазой
Схемы неоптимального приема при неопределенной ·фазе сигналов
Потенциальная помехоустойчивость при неопределенной фазе и ам­
пл итуде сигнала, оптимальный прием при недостаточной априорной
информации
Эффективность дискретных систем связи
Гл а в а 7. Основы теории помехоустойчивости пр иема непрерывных
сообщений
232
235
240
246
254
261
270
274
277
7.1:. Оптимальная оценка отдельных параметров сигнала
282
7.2 . Оптимальный прием непрерывных сообщений и оценка качества не-
прерывных систем .
286
7.3 . Потенциальная поыехоустойчивость при различных видах модуляции
несущей . непрерывными сообщениями .
294
7.4 . Пороговый эффект в широкополосных системах
306
7.5 . Оnтим.альна я и субоптимальная фильтрация непрерывных сигналов
313
7.6 . Эффективность непрерывных систем связи
321
Гл а в · а 8. Методы уплотнения линий связи
8..1 . Многоканальные системы связи и основы теории линейного разде-
ления сигналов
325
8.2. Различные системы уплотнения
332
Гл а в а 9. Методы повышения эффективности и помехоустойчивости
систем свизи
9.1 . Устранение избыточности
9.2 . Статистическое упл отнение
9.3 . Разнесенный прием
9.4 . Прием в целом
.
9.5 . Использование каналО'Б обратной связи
9,6. Применение широк,ополосных сигналов
.
.
9.7. Адаптивная компенсация (коррекция) канgлов связи
Заключение . .
Список литературы
348
350
351
354
356
365
367
368
369

УСЛОВНЫЕ ОБО3НА ЧЕНИЯ:
J, (t) - случайное сообщение, подле ­
жащее передаче
A 1 (t) - случайное сообщение на при ­
емной стороне
а - реализация сообщения на пере­
даче
а' - реализация сообщения на приеме
B(t) - случайный первичный сигнал
на передаче
!Y(t) - случайный первичный сигнал
на прне;,rе
Ь( t) - реализация снгнала на пере­
даче
Ь 1 (t) - реалнзация сигнала на прие-
ме
!;; - КОДОВЫЙ ,СИМВОЛ
Ь - кодовая ,комбинация
[3 - база сигнала
В х (t1, t2) - корреляционная
функ -
ция случайного . процесса
В (т) - корреляционная функция ста­
ционарного случайного процес ­
са
в: - усредненная корреляционная
функция стационарного случай­
ного процесса
С - пропускная способность канала
D[X (t)] - дисперсия случайного про­
цесса
D - динаll1ический диапазон сигна.1а
и канала
d - хемми нгов о расстояние между
КОДОВЫЫ!! КО}!бинацr1ями
т
т/\
Е,= Ss7(t)clt= .\· 87 (t)dt - энергия
о
о
сшнала i , позиции на передаче
( = j sz' (t)dt= f ~~, (t) dt-энергия
сигнала i - позиции на приеме
Г, (Х, t) - одномерная инте гральная
функция
распределения
случайного процесса
f,(X1X2, t1t2) - двумерная интеграль ­
ная функция распре­
деления
F;, Fc - соответственно полоса ча ­
стот канального л первич ­
ного сиг.вала
<1ш - энергетический спектр помехи
типа белого шума.
о~ ( ш) - усредненный энергетический
спектр процесса
g - выигрыш системы модуляции
g 1 - обобщенный выигрыш систем мо­
дуляции
g· (t. т)
-
импульсная
переходная
функщш линейной системы
О (t, т) - импульсная
переходная
функция линейной системы
со случайными параметра­
ми
G(w) - энергетический спектр слу­
чайного про цесса
lif Х) - дифференциальная энтропня
непрерывной величины
Н(А!А1) - энтропия дискретной слу ­
чайной величины
Н'(В/В;) - энтропия в единицу вре ­
мени
li2 - отношение энергии элемента
сигнала к спектральной плотно ­
сти мощности флуктуащ-rо'mого
шума
h 2 - отношение средней энергии эле­
мента сигнала к спектрально й
плотности мощности флуктуа~и­
онного шума
11,(х) - модифицированная функция
Бесселя k -го порядка перво­
го рода
!1Jx) -функция Бесселя k-го поряд­
ка
J( а;) - 1<оличество переданной инфор ­
мации
! 1( А) =Н ( А) - энтропия источника
сообщений
1, i, k - индекс, указывающий но.мер
позиции символа (элемента
сигнала)
l<(iw1t) - передаточная функция ли ­
н ейной системы со случай ­
ными параметрами
к(iw1t) - передаточная функция де ­
т ерминированной линей ной
системы
К - объем алфавита источника сооб ­
щений
Ко.• Кп - соответственно
эффектив-
ность системы связи и пере;
дачи информации
. - :1 х (t) - математическое ожидание
случайного процесса
rr: - основание кода
N тп □ ( А) - типичные последователь-
ности источника
5

п - ЧИСЛО символов кодовой ,<омби­
нации
Р() - вероятность события, указан­
ного в скобках
р - вероятность ошибочного приема
элемента сигнала
ошибк-и
Ра - эквивалентная -вероятность
q2=
'\'~
па 'раметр радиокана -
ла
отношение
средних мощностей
регулярной и флук­
туирующей
частей
сигнала
q - кратность исправляемых ошибок
•кода
Rx(t1t2) - нормированный коэффи-
циент ,корреляции случай­
ного процесса
r(t) - огибающая реализации про-
цесса
s(t) - канальный сигнал
S (iш) -=-спектр Фурье сигнала
Т с, Т к - соответствеюно длитель·ность
элемента первичного и ка­
,нального сигнала
u(t) - реализация адщитивного флук­
туациоооого шума
V; - огибающая сигнала на выходе
фильтра, согласованного с сиг ­
налом S';(t)
Vс Vк - соответс11венно физический
объем сигнала и канала
Х (t) - случайный (,стохастический)
процесс
У( t) - от,клик системы на случайное
воздейст,в ие
;,,(t) - реализация принимаемого коле­
бания (си!'lнал - шум)
f3 - индек,с угловой модуляции
{3;1 J -: - выи!'lрыш ,по эк•вивалентной ве­
роятности ошибки при ,перехо ­
де от i-ой системы к j-ой си­
·стеме
'Y];!J, 'У]> J - ,соответственно энерrети-
•
•
ческий 'Вьшгрыш и О'боб щен-
ный энергетический выигрыш
по эквивалентной •вероятнос­
ти ошибки при переходе от
1i - ой ,системы к j-ой системе
v - количество информации в 1 сек
на 1 гц полосы частот
Ар - спектральная цена уплотнения
П - пикфактор первичного сигнала
IРк - избыточность ~<ода
р" - избыточность источника
~(t) - среднеквадратическое откло­
нение (дисперсия) ,случайного
,проц&са
Тк - интервал корреляции
х
/2
2 s--
Фх= Viл е
2dt
функция
о
!(,рампа
ш1(х/1) - одномерная дифференци-
альная функция распреде­
лен.ия
ш2(x1x2t1t2) - двумерная диффер ен­
циальная функция рас­
·,преде ления
ш(t) - мгновенная круговая частота
сигнала
'\j)(t) - мгновенная фаза сигнала
·- знак
усреднения по ан­
самблю
-
знак усреднения во вре­
мени

ПРЕДИСЛОВИ Е
Учеб1ни,к на,писа,н на основе 1к,урса .«Теория пере ­
да ч,и сиrнал·ов», читаеМ1ого аВ"тор,ам в Куй1быше,вс­
к·о1м эле1rтротех,ническ,о·м институте •.связи. В нем ,ра,с­
С'ма11риваются вопросы анализа ·и юи1нтеза ·оwотем
( це1пей) для 1пере:дачи и1нформации (,с,оабщений).
Курс теории передачи сигналов бизируется на
материалах теории линейных и нелинейных элект­
ри ческих цепей, теории вероятностей и призван со­
здать общие основы для изучения студентами с
ед иных позиций современной теории связи.
В курсе ТПС и соответственно в настоящей 1ши ­
ге излагаются лишь основы современной теории
с вязи. Автор стремился не злоупотреблять матема­
ти ческими выкладками, а дать инженерное толко ­
вание основным результатам ·теории передачи сиг ­
налов.
Автор признателен профессору Л. М. Финку и
до це1 .·т ам Б. Н. Бондареву, Е. 3. Финкельштейну,
Nl. А. Кораблину, критические замечания которых
с пособствовали улучшению книги. Автор выражает
бо лышую tбла,годарно·сть 1пр,офеооора1м А. М. Заез'д­
н ому и Н. Т. Петровичу за советы и замечания, ко­
т орые помогли устранить ряд недочетов в рукопи­
си . Автор признателен доценту Б. И. Николаеву
за ряд критических замеч·аний и большую помощь
нри подготовке книги к изданию.
Замечания и предложения читателей просьба
направлять в издательство «Связь» по адресу:
Москва-центр, Чистопрудный бульвар, 2.
Автор

ВВЕДЕНИЕ
П@д теорией передачи сигналов (или общей теорией связи) пони­
мают в настоящее время науку о передаче информации на расстоя­
нии ·с помощью техничеок1их ,оредств . Когда говорят об и~нфарма ­
ции, имеют в виду сово_купность сведений о каком-либо событии
или о состоянии некоторой материально й системы . Форма пред­
ставления информации называется сообщением. Примеры сообще­
ний: текст телеграммы, речь, музыка, фототелеграмма, телеви­
зионное изображение, данные на выходе вычислительной машины,
отраженные от цели локационные сигналы, команды в системах
телеуправления космичесю~ми аппаратами и т. д.
Для того чтобы сообщение можно было пер едать получателю ,
необходимо воспользоваться некоторым физическим процессом ,
способным с той или иной скоростью распространяться от исто ч­
ника к получателю сообщения. Изменяющаяся во времени физи­
ческая величина (например, звук овая волна, ток, интенсивность
электромагнитного поля и т. п.), отображающая сообщение в про­
цессе его передачи , называется сигналом. Часто говорят, что со­
общение или соответствующий ему сигнал создается источнико м
сообщения или сигнала.
В дальнейшем речь пойдет исключительно о системах эле1,три­
ческой связи (проводная и радиосвязь) 1), в которых для пер едачи
-соо6щен1ий иопользуются эле~ктричес,кие •сиг,налы 2 ).
К:ак отправителем, так и получателем сообщения могут быть
человек или различные приборы, передающие, регистрирующие ,
хранящие и испол~зующие информацию.
В схеме рис. В.1 показано прохождение сообщения от его
источника до получателя (в одном направлении) .
Перед(l,ющее устройство преобразует исходное сообщение в
сигнал, форма которого удобна для передачи п о данной линии
связи (физической среде). Приемное устройство выполняет обрат­
ное преобразование.
1) Следуе т подчеркнуть, что системы о птической и гидроак усти ческой свя­
зи, получившие за последние годы заметное развитие, вполне укладываютс я в
общую схему систем электрической связи.
1) Рассматриваемая теория имеет более широкое приложение к прои зволь­
ной передаче информации в окружающем нас мире .
8

Совокупность средств, предназначенных для передачи сообще­
ний или сигналов, называют каналом связи (в широком смысле).
При этом средства - это технические устройства и линия связи,
по которым проходит сигнал. В зависимости от степени детализа­
ции пути прохождения сигнала под каналом связи понимают ту
или
иную
совокупность
средств. Так иногда в лите­
ратуре под каналом связи
( собственно канал связи или
канал связи в узком с.мыс­
ле) понимают лишь линию
связи (физическую среду)
межд у передающим и при­
емным устройствами. В
этом смыс л е говорят, напри­
мер, о радио: или провод ­
ном канале или о радио- или
провод ной линии.
Помимо сигнала, в кана-
ле связи, как правило, воз -
Система сбязи
м~ал сtязи
Рис В.!. Общая схема -системы электри­
чео1юй связи для передачи {:О0бщений в
од:н•ом на, пра,влени и:
/ - источнш< сообщений; 2 - передающее ус­
ройство; З - линия связи; 4 - приемное ус ­
тройство; 5 -- получате л ь сообщения; 6 - ис­
точник помех
никают посторонние сигналы, назывземые по 1неха.мu или .uy1,ia.1viu
(например, различные наводки , шумы). Накладываясь на полез­
ный сигнал, помехи приводят к неоднозначности при восстановле­
нии сообщения.
Различного рода помехи в реальных каналах связи воздейст­
вуют на ,сигнал на В'Се.м ,пути ег-о ·ра·опр-ос·11ра!Нен·ия. Одна,к-о для
удобства анализа общее воздействие помех представлено на рис.
В.1 суммарным эквивалентным блоком «источник помех». От это­
го источника на вход приемного устройства поступают случайные
электрические возмущения и, взаимодействуя с полезным сигна­
лом, искажают его так, как это вызвано общим воздействием
всех помех, распределенных по тракту передачи .
С выхода линии сигнал поступает на приемное устройство. Его
назначеr-iие ~ преобра зовать пр инятый сигнал в сообщение, ка к
.
.
можно точнее воспроизводящее переданное, несмотря на помехи.
Источник сообщения, передающее устройство, линия (среда)
между пунктами связи, приемное устройство и получатель сооб ­
щения образуют систему связи. В ТПС система считается задан­
ной, если в ней даны методы преобразования сообщения в сигнал
и восстановления сообщения по принятому сигналу.
Сообщения, а также соответствующие им сигналы обычно де ­
лят на непрерывные и дискретные. Примером непрерывного сооб­
щения могут служить речь, музш,а, температура исследуемого
объекта и т. д. Для таких источников два нетождественных сооб­
щения одинаковой дли:гельности Те или соответствующие им сиг­
налы могут отличаться друг от друга в каждый момент времени
сколь угодно мало.
9

Часто встречаются источники, х арактеризующи е ся дискретным
рядом состояний . Дискретным является, например, источн и к, вы­
дающий сообщение в виде текста , записанного русским ал фавитом
или, скажем, в виде последовательности арабски х цифр . У таки х
источников два нетождественных сообщения, как и информацион­
ные параметры соответствующих им сигналов, вс е г д а име ют ко­
нечное отличие. Так, у тел е графного источника два н ето ждес твен ­
ных сообщения отличаютс я хотя б ы одной б у1ш ой или пор ядком
следования букв.
С истемы связи, предна з нач ен ные для передачи н еп рер ывных
сообщений, называют непрер ы вными (ан а логовыми), а дл я пере­
дачи дискретных сообщений - дис к ретны м и. Выделя ют та к же
смешанные системы связи, в которых непрерывные сообщени я пу­
тем дискретизации (квантования) соответствующих и м сигналов
(т. е. их преобразования в дискретную форму) могут быть переда­
ны дискретными методами. Типичными примерами с_истем связи,
в котор ы х передаются - дискр етные сообщения, я в ,rrяют с я теле граф­
ные с и стемы, си стемы передачи телекодовой инфор м а цин, си сте мы
передачи данных с цифровых вычислительных машин и т . д.
_
Рассмотрим подробнее дискретную систем у свя з и. Д нск р етные
сообще н ия со ставляются и з отдельных элем ен тов ( или б укв ), их
совокупность образует первичный алфавит соо бще н ия . Когд а ко­
личество К букв в 'первич1но:м алфавите ,оообщения (объе м алфа­
вита) велико, прибегают, как правило , ещ е к одному допол ни тель­
ному преобра з ованию, на з ывае м ому кодирова н 11 ем . При этом 1<аж-
дая k-я :буква а11. передается ,с ~па~мощью 1юдовой ,комб ин а ции ь;;
(k= 1, 2, .. ., К), содержащей несколько более просты х си м в о лов Ьi
(i=!,2,3, ..., т)
-
элементов вторичного алфа,вита соо б щения .
Число различных символов · вторичного алфавита т называю.!._
основанием кода. До~пуеги:м, что каждая кодовая ,комби н ац ия Ьk
содержит п симВО{!ОВ, причем каждый и з ни х м ож ет п ри нимать
одно из т значений. Тогда q'Исло раз ли чны х ко дов ы х комби наций
(отличающихся хотя бы одни м сттмволом ) равно m".
Если при заданном основании кода rn длину кодо в о й Еом бина­
ции п выбирать так, чтобы удовлетворялось условие •
m,n ;;,, К,
(В.1 )
то число rазличных кодовых комбинаций будет достат очны м для
передачи· всех букв первичного алфавита сообщения. На имен ьшее
значение основания кода т равно 2. Дискретные систем ы св я з и, в
которых используется код с таким основанием, на з ывают ся д воич­
ными. Вследствие своей простоты они особенно широко приме­
няются на практике. Так, во многих телеграфных системах исполь­
зуется пятиразрядный двоичный код Бодо ( п = 5, т = 2) , обеспечи­
вающий передачу сообщений с объемом алф а вита К= 25 = 32. Для
передач-и ;со,общ~ний ak ксщ,овые си 1мволы Ьi чаще всего 1по,с пед,ова­
тельно преобразуются в элементы . канального сигнала si(t) оди­
наковой длительности Т. Этот процесс сводится к модуляц ии . При-
11

менительно к дискретным сообщениям в этом же смысле чаще
у п отребляется термин «манипуляция». При наиболее распростра­
ненном способе приема дискретных сообщений - поэлементном
приеме - элементы (отрезки) принимаемого колебания z(t)
(сигнал + шум) сначала поочередно преобразуются в совокуп­
ность 1юдовых символов ь: 1 J (процесс демодуляции или детекти-
'
рования ), а затем по ним восстанавливаются кодовая комбинация
Ъ~ и буква сообщения а~ (процесс декодирования). Часть схемы
приемника дискретных сообщений, выполняющую функцию преоб­
разования элементов принимаемого колебания z(t) в совокупность
кодовых символов Ь '. , часто называют первой решающей схемой,
,
!
а часть схем ы, восстанавливающую по совокупности ь; буквы со-
общения а~, - второй решающей схемой приемника.
Рассмотрим функциональную схему преобразований сообщений
сигналов в системе связи (рис. В.2). На вход передающего ycтpoй-
a[x,!J,z,t] Г ПереiJшощее ycmpoucmto
l
1
1\!
Ь{О :
1
'
2
1-1-
.........~
1 ._____.
1
1
1
1
1
L-----------------~
г ------------------ ,
a'(x,y,z,t) 1
лrщем11ое устройстбо
1
1
'(t) ~-~ 1
б ----- 5
-~ •-- ---- -~
1
1
1
1
1
L------------- - ---- ~
Ри.с. В.2. Фун~щио,нал ьная сх ем.а преобрасюван,ий сообщений !Н NIГ­
налов в ли,н,ии связ. и:
1 - источник сообщений; 2 - преобразователь в электрический сигнал и ко ­
дер; 3 - модулятор; 4 - линия связи; 5
-
демодулятор (1 - я решающая схе­
ма); 6 - декодер и преобразователь в сообщение .(2-я решающая . схема);
7 - получатель сообщений; 8
-
источник помех
ства от источника поступает сообщение а ( ( t, х, у, z), которое в
общем случае (например, в системах телевидения) может быть
функцией времени t и пространственных координат х, у, z. В ча­
стных случаях сообщение а можеt не зависеть от некоторых из
аргументов х, у, z и t. Так, при передаче фототелеграмм сообщение
зависит лишь от двух пространственных координат передаваемой
«точки» изображения.
•
1 ) illl'pлx указывает на -возможное несоответствие передаваемы х и прини­
маемых символов и -сигналов, об усл овленное искажениями в канале и влиянием
помех.
11

Передающее устройство преобразует сообщение а в канальный
сигнал s (t), являющийся только функцией времени. Подобное пре­
образование осуществляется, как правило, в несколько этапов, в
связи с чем можно отдельно выделить несколько самостоятельных
блоков передающего устройства. Чаще всего их бывает два (рис .
В.2, В.3).
В блоке 2 сообщение а преобразуется в так называемый пер­
вичный (или низкоча,сто11ный) электричес1шй 1сигнал Ь (t). В си­
стемах телеизмерения такие преобразователи получили название
датчиков.
В аналоговых (непрерывных) системах связи первичный сигнал
Ь (t), как правило, линейно связан с сообщением. В дискретных
системах этот сигнал образуется из сообщения в результате более
сложных преобразований (кодирования) и представляет собой на
выходе 1<одера последовательность кодовых символов {bi}, образо­
ванную по некоторому определенному правилу. Это преобразова­
ние нРобходимо (как увидим в дальнейшем) для лучшего согла­
,с,ования сиг!Нала 1с ~каналом •связи, его харак·терист,и.ка1м1и . Сигнал
b(t) в дискретных системах называют дискретным, так как один
или более из его параметров (информационных) принимают лишь
дискретные значения.
В блоке 3 (модуляторе) окончательно формируется канальный
сигнал s(t), способный распространяться по линии и достичь ме­
ста приема. Это преобразование, как правило, заключается в из­
менении определенного параметра переменного или постоянного
тока (несущей) в соответств1щ с изменением модулирующего сиг­
нала b(t). Иногда канальный сигнал формируется многократной
последовательной модуляцией .
Из - за искажений в канале сигнала s(t) и из - за наличия адди­
тив1ных шумов {помех) u(t) при1нимае.мое кюлеба1ние z(t) =s'(t) +
+u(t) тождественно не равно передаваемому s(t).
Приемное устройство, как и передающее, можно представить
несколькими блоками (рис. В.2, 5 и 6). Демодулятор выделяет из
п1р1ши1маемого ,кол·ебания :o(t) !Первичный ,сигнал b'(t), а деко•дер
восстанавливает по нему (по последовательности кодовых симво­
лов) сообщение. В общем случае 1пrр•иня,тое оообщение а' ( t, х, у, z)
отличается от переданного a(t, х, у, z), что вызвано помехами и
искажениями в тракте передачи. Чем меньше отличается приня­
тое сообщение от переданного, тем выше верность (качество) пе­
редачи.
Подчеркнем, что структурная схема рис. В.2 верна в целом и
.п.ля непрерывных систем связи ![сообщение a(t, х, у, z) - непре­
рывная функция своих аргументов] . Однако в этом случае не
нужны блоки 2 и 6. Разумеется, они необходимы в смешанных си­
стемах с дискретизацией сигнала.
На примере некоторых наиболее типичных дискретных и непрерывных си­
стем ,связи рассмотрим преобразования, которым п о.11;вергаются сообщения и r.иг­
налы в процессе их передачи.
12

Так, например , в телеграфной связи элементами сообщения (передаваемого
письменного текста) являются буквы, цифры, выбираемые из первичного алфа­
вита сообщения. При простейшем кодировании передающий те,1еграфный аппа­
рат ,(например, аппарат Бода, СТ - 35, СТА-2М) превращает их в электрические
сигналы, определенным образом , (в соответствии с тем или иным кодом, при­
нятым в данной системе) отображающие передаваемые элементы сообщения..
Эти сигналы (низкочастотные) непосредственно передаются по проводам в мес-­
то ,приема (тогда они являются канальны~ш) или (как это делается, например,
в •радиосвязи) предварительно поступают -в модулятор, который образуе т высо­
кочастотный канальный сигнал. Посторонни е шумы (помехи) могут привестЕ
к тому, что принятые .ко,довые символы не будут соот'ветствовать переданным,
и тогда элемент сообщения окажется восстановленным неверно ~ (прие мный а1t-­
парат отпечатает другую букву).
В телефоююй с.вязи сообщением является человеческая речь, т. е . звуковые
1<0лебания воздушной среды между говорящим и ыикрофоном, к ото рый п рев ра­
щает их в электрические колебания. Последние непосредственно (городской те­
лефон, одноканальные телефонные линии небольшой протяженности) по прово­
дам передаются в место приема или служат модулирующим . оrгналом для вы­
сокочастотного. переносчика . ( ,при многоканальном уплотнении проводной теле­
фонной линии или в ра,диотелефонии). При использовании модуляции канальный
сигнал в -месте приема поступает с нач ала на демодулятор, превращающий высо­
кочастотный канальный сигнал в сигнал звуковой частоты . Электрический сиг­
нал звуковой частоты в месте приема преобразуется в звук с помощью телефона
(громкоговорителя). Помехи в этом случае -сказываются в виде посторонних
шумов, снижающих разборчивость принимаемого речевого сообщения.
В фототелеграфной связи сообщение представляет собой н е подвижное изоб­
ражение (при телевизионной связи - подвижное). С помощью фотоэлектриче­
ских преобразователей и так называемой последовательной развертки по ст.рокам
вырабатывается электрический сигнал, величина которого пропорциональна яр­
кости «считываемого» в данный момент участка изображения. Этот сигнал, вос­
становленный в месте прие м а (посл е демодуляции, если использовался высо-ко­
частотный переносчик), пост у пает в той же вре.менн6й последовательности на
устройство ~ (например, на электроннолучевую тр убку), способное превр ащать
его в световой сигнал, интенсивность которого пропорциональна в каждый данный
момент величине электрического сигнала. Этим •процесс ,передачи оиrнала завер­
шается. В рассматриваемых системах помехи искажают отдельные участки пе­
редавае мо го изображения.
Основой современного курса теории передачи сигналов являет­
ся статистическая теория связи, интенсивное развитие которой на~
чалось в послевоенные годы.
Статистическая теория связи, или теория информации, возник­
ла на стыке физико-математических и инженерно-технических ме­
тодов. Поэтому она обладает характерной особенностью : с одной
стороны, является дальнейшим развитием отдельных математиче-­
ски х дисциплин (теории вероятностей., теории случайных фун.к.ций,
а!-lалuтuческой геометрии, теории мl-lожеств), а с другой - обобще-
нием теории электричес1,ой связ и .
•
Применение вероятностных ыетодов в теории связи позволяет
находить эффективное решение многих актуальных практических
задач, которые раньше либо вовсе не ставились, либо представля­
лись неразреши мым и. Эти методы адекватны существу изучаемых
процессов. На самом деле сигналы, посту пающие на приемное
устройство систе м ы связи, не могут быть заранее предс казаны
(носят случайный характер). Во-первых, потому, что источни к (о
состоянии 1<'оторого несет информацию полезный сигнал) выдает
13

одно из возможных для него сооб щений, заранее неизвестное
на приемной стороне. Если бы в месте приема всегда было
известно заранее; какое (из возможных для заданного источника)
сообщение будет передаваться, то отпала бы надо бност ь в самой
передаче. Во - вторых, случайный характер п ринимаемых сигналов
связи 1) вызван наложением на полезный сигнал различных помех:
атлюсферных, космических, искусственных, флукт.уацuон,н,ых шу­
люв И д'р.
Основной - математический аппарат статистиче с кой теории свя ­
зи - теория случайных процессов и статистических решений
-
развивался, в известной степени, независимо от конкретных физи ­
ческих и технических задач как самостоятельное на п равление тео ­
рии вероятностей. Значительный вклад в развитие этого аппарата
внесли выдающиеся математики нашего времени: А. Н. Колмого ­
ров, Н . Винер, А. Вальд. Первыми основополагающими трудами
по прикладной статистической теории связи были работы В. А. Ко ­
тельникова (1946 г.) по оптимальным (вероятностным) методам
приема сигналов на фоне шумов и К. Шеннона ( 1948 г.) по обос ­
нованию строгой количественной меры информации, оптимальным
методам ~,одирования, при которых обеспечивается предельно до ­
стижимая скорость передачи информации по каналу связи. Совре­
менная теория информации разработана в трудах советских мате ­
матиков А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина, Р. Л. Добрушина,
М" С. Пинскера и других. Достижения общей теории связи в зна ­
чительной ,степени •ОIП·ре.деляю'Гся труда:ми ,сове.т,ских ученых. По:
мимо В. А. Котельникова, следует отметить А. А. Пистолькорса,
Д. В. Агеева, А. Н..Щукина, А. А. Харкевича, В. И. Сифорова,
В . С. Пугачева, В. С. Мельникова, Л. М. Финка, Р. Л. Стратоновича,
Б. Р. Левина, Б . С. Цыбакова, Л. Ф. Бородина, В. И. Тихонова,
Н. Т. Петровича и других. Замет н ый вклад в теорию, помимо
К. Шеннона, внесли зарубежщ,rе ученые Р. Хартли, А. Файнстейн,
Ф. Вудворд, Д. Миддлтон, Р . Хемминг, С . Райс, У. Питерсон,
Л. Бриллюэн, Дж. Турин, Р. Фано, Т. Кайлатс, П . Грин, Дж. Во­
зенкрафт, К. Хелстром и другие.
Теория связи оказала значительное влияние на оценку любых
систем передачи информации по их обобщенным характеристикам.
Различают внешние характ-еристики систем связи, по которым по­
лучате11ь •сообщений оценивает их ,каче.етно безо11на,сителыно к их
внутренней структуре, и внутренние характеристики самой систе­
мы. К внешним характеристикам относятся: скорость (количество
информации, передаваемой получателю в единицу времени), вер ­
ность (степень соответствия переданного сообщения принятому),
своевременность (определяется допустимой задержкой во времени
пр1инятого ·оообщения 01,н10,с-ительно :переданного) 2 ).
1) Случайный ха•рактер принимаемых сигналов связан также с искажения­
ми и помехами, .которые возникают при ·многолучевом распространении:
2) Для спец связей следует учесть и такую характеристику, I~ак скрытность
(нево з можность расшифровки сообщения не адресатом).
14

Наиболее полной внутренней харак те ристик ой любой шст е мы
связи является ее эффективность, показывающая, 1, а1, и Еа!ЮЙ uе­
ной система решает поставленную задачу (т . е. передает инфор ­
мацию с необходимыми скоростью, верностью и задерлшой) при
заданных условиях (прежде всего, свойствах линии связи) . Эффе ,,>
тивность системы связи определяется, вооб ще говоря, многими по­
казателями, например, такими, как сложность аппаратуры, ее
стоимость, надежность во времени, габариты, требуемая мощность
сигнала, ширина полосы частот. Однако в рам1<ах теории переда­
чи сигналов чаще всего удеш1ется внимание следу ющим численным
показатеJJям эффективности: помехоустойчивости (способностн
системы противостоя :!Ъ вредному воздействию поыех), i<Оторая
определяет верность связи; энер г етиче скому выигрыш у (проигры­
шу) ,перехода от одной ,ои,с.темы ,к друrой 1) лр1и сохра1нении вер,ности
и скорости; удельной (на 1 Лц полосы частот) -оюо1р-ости передачи
информации щри зада 'нной ве~р,ности. У,нивер•сашшой хара1к,тер~и,с-ги­
кой эффе:к1'ИВ'но1сти ,си~стем 1переда'Чи 1и~нtфо'))'Ма!Ции ,являет1ся 1юэффи -
. циент
использова ния системой пропускной способности ка н ала
(максимально возможной скорости передачи информации по ка,
налу).
Курс ТПС и соответственно ыатериал книги можно усJювно
разделить на две части. В первой , (гл. 1-3) рассматриваются
только вопросы анализа систем электрической связи, т. -е. опреде­
ляютс~ их характеристики при заданном способе фун к ц ионирова­
ния отдеJJьных звеньев. Во второй части (гл. 4-9) рассм атривают ­
ся вопросы синтеза (построения) оптимальных систем и отдельных
звеньев, у которых скорость передачи и верность приближ аются
к предельным значениям.
Контрольные вопросы
1. Что понимают под теорией передачи сигналов. 1Jл11 общей те о р ней с вязи?
2. Что называют сообщением в ТПС?
3 . Какая разница между сиг налом 11 сообщением?
4. Что понимают под m1,шей, к аналом и систем ой св:ви)
5. Какие сообщения передаются в система х электрической связи, как о нi-1 прев ­
ращаются· в электрический сигнал на п е редающем l(ОНце л11ннн связ1! , н вое .
стапавливаются на пр иемном конце линии ?
6. Какая разница между дискретными и не прерывными сообще1шят1?
7. Что пони.мают под помехами и шумами в канале связи?
8. Чт о понимают под первичным п вторич ным алфавитоы в дискрет н ы:, с и с т е ­
мах связи?
9. Как Вы понимаете З основные внешнне характеристик и сr 1 сте·\1 ся и в: с;<с•
рость, верно с ть , своевременность?
10. Какие х ара~перпстнкп являются внутренними характерист и к а ын эф ф ек т ив-
ности систем связи?
•
11. В чем различие задач анализа и синтеза, рассматриваемых в курсе ТПС?
1) Или степени возможного изменения средней мощности сигнала в сра в­
н;.,ваемых систем ах .
15

1 ·глАВА
Математическое описание и
u
своиства си,гналов и помех
1.1 . ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Многообразие физических процессов (изменений. во времени
ра злич1ных физических величИlн, в том чис.11е и сигн ало'В элек-гриче ­
окой 1авя·З1и ), ,с ,которыми мо•жно в,стретиться в ЛОВ'Сед:невной жиз­
ни, разделяется на два класса.
К первому классу относятся процессы, течение которых во вре­
мени м.ож,но зара1нее ~предсказать, 1имея НЕЖ·оторые а1приорные 1)
сведения. Например, известtю, что генератор вырабатывает сину­
соидалыное налряже~ние ·с ам:плитуд!ой Ио част,от,ой wo и началь·ной
фазой •(l)o • (•р ис. 1.1) . В этом случае за•ранее ·wзвес11но мnновенН'ое 'На­
пряжение на клеммах генератора в любой момент времени:
s(t) = Иo'cos(wat+cpo) .
(1.1)
Подобные процессы называются детермuн.uрован.н.ымu (предо ­
пределенными). Таким образом, детерминированный физический
S(t)
Рис . 1.1. Детерм-нн и ­
раванный га1рмонич е-
0КИЙ ,процеос
продеос может быть задан ,матема11ически
,нект;орой вполне определенной ,фун~кцией
вр·еме1н,и. 0,щнак•о, 1строт,о говоря, в 1пр,ир,оде
нет 1и не ,11ю·жет быть «ч1и,сто» д:етер1ми1ниро ­
ва,н,ных ;пр,оцеосов. Такие •пр,оц·ессы 1мо1гл ·и
бы IВОЗ•НИ'К·нуть "ЮЛЬКО ·В 'ПОЛIНОСТЬЮ ИЗ1ОЛ1И-
1рова1н;ных физических ,си,стемах. Так, поv1 -
ная и.з,оляция ,системы 1прещполагалась в
п~ри·в1еденном выше пр,и1мере детерминир·о­
ва,Нtного ,пр ,о,це,оса, где не уч,итывалось ,влия ­
ние . •ок·ружающей •среды ,на 1ра6оту ге1не,ра­
··юра юи~ну1саидального ~напряжения (•генера-
1'Ор 1предл,олагал,ся идеалыны1м). Поэ·юму
1реальяый физический 1процеас ,может •счи ­
Уать ся детерминированным и, следовательно, описываться вполне
определенной (детермированной) функцией времени лишь прибли­
женно. Сложные причинно-следственные связи, присущие всем фи -
1) apriori (лат.) - заранее, прежде чем,
tб

зическим явлениям в масштабе Вселенной, приводят к тому, что
эволюци я реальных ф из и ческих про цессов определяется колоссаль ­
ным числом различных факто р ов, r:юлный учет кото р ых невозмо ­
жен. Од н ако совоку п н о е воздействие этих факторов, как правило,
подчиняется устойчивым закономерностя:Уr, поддающимся изуче ­
ншо методами современной теории вероятностей. За;юномерности
эти называют,ся ,статистиче,окими. Зна,ние 1их лО!зволяет 1пл~дот ­
ворно изучать различные случайные процессы, а также их взаимо­
связь в окружающей нас природе. Успешное применение теорети ­
Ео - вероятностных методов привело к возникновению целого ряда
статистических теорий. Это статистическая механика, статистиче­
ская термодинамика и другие науки, среди которых сравнительно
недавно получила развитие и статистическая теория связи.
Следовательно, второй класс составляют процессы, течение ко ­
торых не может быть описано регулярной функцией времени . В
Еаждый данный момент процесс с некоторой вероятностью может
принять то или иное количественное значение из множества воз­
llюжных. Рассмотрим пример. Известно, что даже при постоянной
разности потенциалов на электродах радиоламп отмечается хао ­
тическое колебание анодного тока, вызванного флуктуацией интен ­
с1rвности потока электронов, текущих от катода I{ аноду . Явление
это называется дробовым эффектом, а вызванная им флуктуация
анодного . тока - это типичный п р имер случайного
. процесса.
В
этом случае заранее невозможно описать ход процесса детермини­
рованной функцией времени. Можно только указать для каждого
ыоме,нта .Вiремени ,раопределение вероятностей 'З1начений 1проце,сса.
Случайным можно :назвать процесс, эволюция (изменение) ко­
торого зав11сит не только от времени, но и от случайных факторов.
Конкретный ход случай н ого процесса, установленный в результате
всякого отдельного опыта, называется его реализацией.
Размерность отдельных реализаций определяет и размерность
случайного процесса в целом. Всюду в дальнейшем случайные
величины и процессы обозначаются большими латинскими и гре ­
ческими буквами (Х, У, Z, ЧГ и т. п.), в отличие от детермини·рова:н ­
ных процессов (реализаций), обозначаемых малыми буквами 1 ) .
Число различных реализаций случайного процесса может быть
конечным, счетным (бесконе ч ным, но все реализации · мож:но прону ­
меровать) и несчетным.
Так, например, на рис. 1.2а показана двоичная кодовая после­
довательность b(t) длительности Т,, (ее элементы bi имеют одина-
1ювую длительность Т), содержащая одиннадцать двоичных сим­
волов. Это реализация кода Баркера {48] или некоторого случай­
ного процесса , который обозначим через B(t) . Считая, что возмож-
.
ны любые сочетания кодовых элементов на интервале Тк, легко •
1) В порядке исключения большими буквами иногда, по установивш~йся
т ра диции, обозначаются некоторые рег улярные величины и детерминированные
х а рактеристики случайных процессов.
.
\. ·-
_,
',J
•
1...·: ·
••~-..
•"'-~•..-r.-~:.:----_
17

подсчитать, что число реализаций случайного процесса B(t) рав­
но 211.
Бели ( 1.1) •считать р·еализацией •нешрерьшн-ого случайнего ~про­
цесса s(t) = Иасоs (,w 0t+'ljJ) на интервале Т, то в случае непрерыв ­
Рис. 1.2 . По.следова ­
тель.нопь Барк€ра:
а) предста:вление ре­
ализащш
двоич1юго
оинх,ронного случай­
ного л1рюцес-са; б) ав­
тсжорреляцr-:онная
ф'У'JfrКЩИЯ
а)
+h
о
-h
т
~--
ШI)
/ !J(O)
2Тзт41
п
-
51бТ7Твт9Т/ОТtlтt
' -'-
,_
Т,=1/Т
-Пl-fl/J-9HI-П-бТ-5НТ-JT -zr-J 11 2Т JТ '7 ,t 6Т 7Т 8.Т 9Т IOi 111
-~~~ ' о-\.._~~ t
нога распределения начальной фазы 'Ф множество реализаций это­
го процесса несчетно. Заметим, что детерминированный процесс
можно рассматривать I<ак частный случай вырожденного случай-
iХ(t)
нога процесса, характеризу­
емого единственной реали­
зацией, имеющей ве роят­
ность единица .
t
P,ue. 1.3 . Сов.сжу~пность реа1лиза,ций непре­
ры1шого случайного п·роцесса и его мате ­
•мат,ическv•го ожида 1ния
Представить случайный
процесс одной кривой 1) не­
возможно, но иногда поль­
зуются графиком, на кото ­
ром нанесено несколько ре­
ализаций процесса нз числа
возможных (рис. 1.3). Та-
1юе графическое представ­
ление благодаря наглядно­
•сти помогает показать те 1и ли
1И1ные оообен1ности изуча е мо­
го ·случ айного процес с а, луч- ·
ш е ,выя вить смысл ег,о веро-
ятно-ст,ных
ха •рактерИ С 'ГИК.
Случайный ,п-роце-сс 1М'ож ет быть -задан на в,сей оеи времени ( - оо <
<.f< + оо), но чаще всею ,п,ри изучении с1нн;~лов ·связи, ,1шторые
1 ) Искточ ,1я отмеченный выше вырожденный случай.
18

практически всегда ограничены во времени (финитны), его удобно
рассматривать нс1 ограниченном временном интервале (например,
o:::;;;t:::;;; Т). Если фиксировать какой-нибудь момент времени to, то
значение случайного процесса в этот момент представляет собой
случайную величину, называемую сечением процесса в точке to.
Различные связные сигналы, будучи носителями информации
различных сообщений, представляют собой реализации случайно­
го процесса.
Случайным процессом является и помеха (шум) в канале
связи . Следовательно, для дальнейшего изучения сигналов, помех
и их взаимодействия при передаче сообщений, а также для иссле­
дований самого процесса передачи и объективной оценки различ­
ных систем связи. необходимо воспользоваться методами теории
случайных процессов.
Контрольные вопросы
1. Какой процесс н· азывается случайным?
'2 . Что такое реализация случайного процесса и каким числом реализаций мо­
жет характеризоваться случайный процесс?
J_ Что называется сечением случайного процесса?
1.2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Уже отмечалось, что количественно случайный процесс описы­
вается случайной функцией . времени X(t), которая в любой момент
в:реме~ни может ,цр·инимать -различные значения ,с зада1н,ным ра1 с­
пределением вероя-гностей.
В зависимости от того, какие значения принимают аргумент
(время t) и уровни реализаций случайного процесса Х, различают
четыре типа случайных процессов.
Непрерывный случайный процесс: t и Х могут принимать лю­
бые значения на отрезке (или, быть может, на всей) действитель­
ной оси.
Дискретный случайный процесс: t непрерывно, а величины Х
дискретны (принимают одно из возможных значений с шагом Лх).
Непрерывная случайная последовательность: t дискретно (с
шагом ,Лt), а Х может принимать любые значения на отрезке (или
на всей) числовой оси. Такие процессы часто называют также про­
цессами с дис1,ретным временем.
Дискретная случайная последовательность 1 ): t и Х дискретны.
Примеры реализаций четырех классов приведены на рис. 1.4.
Рассмотрим теперь некоторые количественные характеристики
случайных процессов, ибо одно лишь сведение о том, что два про-
1 ) Дискретная случайная последовательность часто служит аппроксимацией
непрерывного случайного процесса и значительно облегчает исследования.
19

цесса X(t) и Y(t) случайны, не позволяет никак сравнивать их
между собой. При рассмотрении процесса X(t) зафиксируеы
а,1
какой-нибудь момент времени f1, т . е .
1,·.x(t)
возьмем сеч е ние X1=X(t1), подчиняю-
щееся, как всякая случайная величина,
тому или иному закону распределения
о
вероятно•стей. Пусть F1(x, t1) - интег­
8) Х(мt)
од
г) Х (глt)
JX1
t
L'>X 1
1.
!1
.
~·1
Рис. 1.4 . Реализации:
t
t
ральная функция распределения выбран­
ного сечения Х1, Это означает, что
F1(x, f1) = Р(Х1<х),
где символом Р обозначена вероятность
выполнения неравенства, указанного в
скобках.
Сечению Х2, взятому в другой моме1н
времени f2=l=t 1, соответствует интеграль­
на -я фу1нкция 1) 1ра1ошределения
F1 (x, f2)=P(X2<x).
F1(x; t1) и Fi(x, f2) в общем случае мог у т
быть различными при различных величи­
нах t1 и tz. Поэ'Гому , ха 1рактеризуя [l•ро­
цесс X(t), можно говорить о семействе
функций распределения, зависящем от
параметра t:
F 1(x, t) = P(X(t) <х).
(1 .2)
Фиксируя в функции дв у х переменных
(1.2) второй аргумент (время t), получим
интегральную функцию распределения
для сечения процесса Х (t) в соответст­
в у ющий момент времени. Если сущест­
вует частная производная от функции
(1.2) по переменной х
( t)_дF1(х,1)
(1)1 х,
-~
~
-
'
дх
(1.3)
а) непрерывно го случайного
процесса; б) днакрепюго
случайного процесса; в) не­
прерыВ1ной ,случай1ной по.сле­
до.вательности; г) диакрет­
ной случайной после,дова ­
тельно,С1'·И
то она называется одномерной диффе­
ренциальной фу~кцией распределения
~процеоса Х ( t) или его одномерной плотностью вероятно,сти.
При достаточно малых приращениях по переменной х из ( 1.3)
имеем
Л{F1(х, t) ]=(1)1(х, t)Лх,
( 1,4)
откуда следует, что прираще н ие F1 (х, t) в окрестности точки х
2 ) Индекс 1 означает, что данная функция рщ:пределення является одно ­
мерной.
20

геометрически определяется приращением элементарной площад ­
:юи :ПОД ,криJЗОЙ 'ПЛОТIНОСТИ 1нерОЯ"Г,НОС'ГИ. Из (1.4) следует тalIOJ{e, ЧТО·
ра:змер1ност1;~ дифферендиалыной функци1и обrра·тна :размерност и
процесса, так как интегральная функция, определяющая вероят­
ность не1,от орого события, всегда безразмерна.
Если случайный процесс Х (t) может принимать только диск­
ре11ные з1начения x1,(k= 1, 2, 3, ... , !() ,с вер,ояп-юстя.ми Pk, то и,нте,г ­
ральная функция (1.2) принимает вид
к
F1(x, t) =Р(Х <х) = ~ Р,,1 (x .--:. xk),
.....
k=l
(1.5)
где 1(z) - ед:инич!ная :функция, ,равная 1 п:ри z>O н нулю 1пр·и
z<O {2] .
Взяв производную от ( 1.5) по х, получим выражение для плот­
ности вероятности дискретного распределения в виде решетчатой
функции:
(1.6)
где
. <:(z) __ dI (z)
ф
Д
u
-
ующия ирака, существующая только в точке
dz
z = О и имеющая единичную площадь ![2].
На рис. 1.5.а, 6 изображены одномерные интегральные и диф ­
ференциальные распределения.
е)
ш,(х,t)
о
х
о ~-~ - - -L!~--;;;:..,. х
•fi(x,t)
fi (х, t)=q 1(x-x1)+f1i1(x-:iz)+ Рз 1(x-:ti}
--
11
c:t'
':fс,::
+
+
IC:,,:
с::,_- .
1
1
о
1
х
о
Х1 Xz
Хзх
1-
L\
Рис. 1.5. Графшш одномерных д1ифференцлаль·ных и интегральных
,рак::,пре,делений случайного процесса:
а) непрерывною; б) диокретного
2[:

Значительную роль при исследовании случайн.ых процессов
игр ают их числовые характеристики (или различные усредненные
значения). Так, если для всякого сечения Х1 =Х (t1), как для слу­
·чайной величины, указать его математическое ожидание 1J.
со
М{Х1} = Х1= SX(J)1 (x, f1)dx
(1.7)
-С,,
т дисперсию
()О
D{X1} = (Х1-Х1) 2 == ~ (x-X1) 2(J)1 (х, f1)dx,
(1.8)
-со
·'1\юж11 0 олределить две не,случайные фунw1..1;1:1rи нремени:
mx(t) =М {X(t)} = X(t)
( 1.9)
,и
9.
о
ах (t) =D{X(t)} = X2(t),
( 1. liO)
· к оторые называются соответственно математическим ожиданием
и дисперсией случайного процесса Х (t). Центрированный процесс
,.о
.Х (t) получается вычитанием из X(t) его математического ожида ­
ния:
о
X(t) = X(,t)-mx(t).
Ле реход от исходного процесса к центрированному в ряде слу­
· чаев намного облегчает решение прикладных задач.
Математическое ожидание случайного процесса представлено
.жирной кривой на рис. 1.3 как функция, ордината которой в каж­
. дой точке t0 является математическим ожиданием сечения X(ta).
Как видно из приведенных опредепений, в отличие от матема - ·
·тического ожидания и дисперсии случайной величины, эти же ха ­
рактеристики случайного процесса не числа, а, вообще говоря,
функции времени. Конечно, в частном случае может оказаться,
·'что mx(f) = mx = const и -а~ (t) = aJc = const (параграф 1.3).
Пусть теперь t1 и t2 - два различных момента времени . Сече­
ния X1=X(,t1) и X2=X(t2), будучи случайными величинами, подчи ­
, няются их совместному (двумерному) закону распределения. Та­
,ким образом, считая, что параметры t1 и t2 принимают всевьзмож ­
ные значения независимо друг от друга, можно говорить _ о двумер­
, ном законе распределения процесса X(t), который может быть за ­
дан функцией четырех переменных
F2(x1, х2, f1, f2) = Р(Х1<х1, Х2<х2) ,
(11.11)
;называемой двумерной ин.тегральн.ой функцией распределения спу -
1 ) Везде в книге предполагается сходимость несобственных интегралов · (чер­
.. та
сверху- знак математического ожидания или усредненIIя по ансамб лю).
:22

чайного ,п,роцесса X(t) . Бел -и -существует вторая 'Смеша1н~ная про- ­
изводная
( 1.12),
то она называется двумерной плотностью вероятности процесса
X(t). Зная двумерный за кон распределения случайного процесса ,.
можно получить его одномерное распределение, а именно:
Jim F2(x1, х2, f1, tz) =F1(x1 ,t 1)
и
00
f w2(X1, Х2., f1, f2)dx2 = w1(x1, f1),
-00
а таюке
Jim F2(x1, х2, f1, f2) = F1(x2, f2)
Х1-оо
и
00
5 w2(x1, Х2, l1, t2)dx1=w1(x2, t2).
-о,
Знание двумер ного зак она распределения случайного процес- ­
са позволяет ввести еще одну очень важную его характеристику.
Расамотрим два сече~ния Х1 1и Х2 1п1роцеоса X(t). В м,о·менты В!реме:ню
t1 и t2 естественно поинтересоваться взаимными вероятностными
связями, пр исущими этим двум сечениям. Зная двумерное распре­
деление процесса X(t), можно численно определить эту свgзь как
математическое ожидание произ веде ния центрированных значений,
процесса в рассматриваемых сечениях:
оо
оо
Bx(t1, t2) =М (Х1Х2) = Х1Х2.
(1.13} :
'
Если существует двумерная плотность вероятности про цесса .
X(t), то
00
00
Bx(t1, tz) = ,) J(х1-Х1) (x2-X2)w2(x1, Xz, t1, i2)dx1dx2, (1.14) ,
-00 -оо
Считая, что п а раметры t1 и t 2 (каждый независимо от другого) -
пробегают всю числовую ось, легко видеть, что соотношение ( 1.13 )
или ( 1.14) задает ф ункцию двух переменных. Эта функция, имею­
щая исключительно важное значение при изучении случайных про- ·
цессов, называется корреляционной функцией процесса X(t).
Непосредственно из (1.13) или (1.14) видно, что при t1=f2= t'
и,ме-ет место 'ра·венств,о Bx(t: t) = 1ai(t), т. е. значение корреляцион­
ной функции сл у чайного процесса X(t) в совпадающ ие моменты :
времени (при равенстве ее аргументов) рав но его диспер си и в .
этот м омент. Таким образом, отпадает необходимость в дисперсии ,
23 -,

как отдельной характеристике случайного процесса, если известна
•его корреляшюнная функция.
Из (1.14) видно, что если значения случайного процесса Х(t)
в сечениях !1 и t2 взаимонезависимы, т. е.
ш2(Х1, Х2, t1, t2) =ш1(Х1, f1)ш1(Х2, f2),
то взаим1ная :кор,реляция между lЭТИМИ ,сечениями В Х (t1, f2) = IO. Под­
черкнем, что из равенства нулю корреляции между сечениями не
·обязательно следует их независимость. Однако это справедливо
всегда, если рассматриваемый случайный процесс нормальный (все
его сечения распределены по нормальному закону, см. параграф
1.5). Так как корреляция сечений Х 1 и Х2 не зависит от последова­
тельности, в которой выбраны моменты t1 и t2, то корреляционная
функция оказывается симметричной относительно своих аргумен­
'ТОВ, т . е. не меняе1'ся ~при пе1ремене аргумен1'ов ме•стами Bx(f1, i2) =
= Bx(t2, f1).
На практике часто пользуются так называемой нормированной
Вх(t1, t2)
1-.:орреляционной функцией Rx (t1, t2) =
ах (t1) ах (t2)
,которая •называется коэффициентом корреляции ,случайн·ого 1Процес ­
,са. Очеви,дно, чтоЯх(t, t) =I .
Ра с,смотрим частный случай, когд а иссл едуем ый процесс не зависит от вре­
-мен и
х(t)=х
(1. 15)
·н е го двумерная плотность вероятности полностью определяется одномерной
СО2 (х1, Х2, t1, t2) = СО1 (х1, t1) CiJ1 (х2, t2/X1, t1) = СО1 (х1, t1) 0 (х2- Х1),
где CiJ1 (х2, t2/X1, t1) - условная JJлот ность р ас пред ел ения в сечении t2 при из­
в естном распределении в сечении t1.
Воспол ьзовавшись ф - лой 1( 1.14) и фильтрующи м свойством 13 - фун кций [29]
"'
ff(х)о(х-у)dx=f(у),
(1.16)
-о,
полу чае м для процесса 1(1.15)
Вх(f1, t2)=D(Х)
н, следовательно, Rx(t1, t2)=1 . Таки м образо м , все сечения процесса (1.i5) пол ­
ност ью коррелированы .
Остановимся на характеристиках случайного процесса частно ­
го вида 1с дискретным временем, :когда вер •ОЯ'11НОС1'ньrе ,свя-зи 1ра,с ­
п1р остра1няю11ся •на ,огра1ничен,ный в~ременнсSй И1нтервал. Так·ие ,процес­
·СЫ часто встречаются на практике и называются марковскими по
им ени выдающегося русского математика А. А. Маркова, rюторым
они впервые изучены ![29]. Частным случаем такого процесса явля ­
ется марковская цепь 1[42], которая описывает дискретную случай­
ную ,по,следовательность . Бели у,сло-вная вероятность P(xj, tk/xi, ik-1)
появления j-r.o дискретного уровня (символа) в момент времени
t 1, зави•сит толЬ1ко ·от -юго, ка ·кой i (i-й) уровень поянил ,ся в п,редыду-
24

ЩИЙ ~ЮМ€НТ Вре'Ме'НИ fk_t , 'НО ~-е ,ЗаВИС'ИТ ОТ уров·неЙ, ПОЯ'ВИ. ВШИХСЯ
ранее, до момента tk-1, то ,мар.ковская цепь наэывае1'ся п.ростой
(односвЯ'зной). Бсл1и же у,словная вероятность P(xj, _tk/ ... ) зависит
не ТОЛЬIК·Ь ,ат велич·и,ны диск,ретно·г-о уровня в момент f1i_1, т-о и от­
значений уровней в предыдущие дискретные моменты времени
цепь Мар1юва называют сложной (многосвязной).
При 1неза1в,и,с,и,мости условн ых вер·оя11ностей перехода P(xixi },
от времени цепь Маркова называется однородной (стационарной).
Простая однородная цепь задана полностью, если заданы априор­
ные вероя'!'но1сти P(xi) нсех ди,ск,ре-гных уровней и 1всевю:з·можные
. значения
условных вероятностей переходов
P(xixi), i, j=1, 2, 3, ... , К.
Здесь К - число различных уровней (состояний) дискретно i1
случайной последовательности.
Поскольку в некоторый дискретный момент времени один и з,
уровней (символов) Xi появляется :навернЯ'ка, то
к
~P(xj/xi)= 1]; i=•l, 2, 3, ... , К.
/=1
Согласно формуле полной вероятности {7] очевидно также, что
априор,ные Р(х;) и 1пе,реходные P(xi/Xj) вероятности· ·связа•ны со о т ­
ношением
J(
P(xi) = )' P(xj)P(x;/xj), i= 1, 2, 3, ... , К.
( 1.17 ).
--
j=l
Теория марковских цепей обобщается и на последовательность
общего ти,па или п-роцес-с Ма-р ,кова. В ето;м ,случае, ,ко1нечно, вме­
с то априор,щ,1х и ~переходных вер·оят;но,стей ис,rтользrуют-ся соответ­
ствующие -нлтшо-сти _вероятности. Та,кой ,п-ро,це,сс ·на1зывается ,неп,ре ­
рывным, если за маль1е лро•межут~ш В'ременя значитель·ные изм е -
1 не,няя уров•ней · малове1р·оя11ны .
Одномерные и двумерные распределения, а также полученные
нз них характеристики далеко не всегда полностью определяют
случайный процесс. Рассматривая совокупность трех, четырех и
т. д . (до любого числа п) сечений процесса в различные моменты
времени, можно ввести соответственно трех-, четырех-, п-мерные
его распределения . При этом всякое п - мерное распределение про­
uесса позволяет определить и все его п-s - мернь1е распределения
(где s= 1, 2, ... , п-1). Т,олько
знание п-мер1ного ра,спределени я­
при любом, сколь угодно большом, п позволяет полностью опреде­
лить случайный процесс .
Однако нас, главным образом, будут интересовать такой круг
вопро сов и те приложения теории случайных процессов , для 1,ото­
рых достаточно знания двумерного распределения.
25.

Контрольные вопросы
,1. Каково число реализа ц ий случайного процесса об щ его типа, дискретного слу­
чайного процесса, случайной последовательности и дискретной случайной по­
следователыюсти, заданных на конечном временном интервале?
:2. Как определяются математическое ожидание, дисперсия н корреляционная
функция случайного процесса?
.
-3 . Что такое центрированный {:лучайный ,процесс?
-4. Для каких случайных процессов отсутствие корреляции между сечениями оз-
начает и их независимость?
.5. Что такое цепь Маркова и марковский процесс?
1.3 . СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
На практике очень часто встречаются такие случайные процес-
.,сы,
для которых можно считать, что их вероятностные характери­
,стики не меняются на анализируемом интервале времени. Они
:представляют собой как бы случайные колебания около некоторого
.,среднего значения, а их источник имеет неизменную во времени
природу. Такие случайные процессы назьrваются стационарными
(однородными), в отличие от нестационарных (неоднородных) про ­
цессов, к которым относятся все другие процессы.
Стационарные процессы по своей природе проще, чем неста­
ц ионарные, и описываются более простыми характеристиками. В
дальнейшем нас будут интересовцть в основном только такие про­
цессы, а сейчас дадим точное их определение .
Стационарным (в строгом или узком смысле) называется слу­
чайн ый процесс, все вероятностные характеристики которого не за­
висят от сдвига на произвольную величину всех временньrх аргу ­
ме нтов. Это . означает, что п-мерная функция распределения ста­
ционар ного процесса при всяких п и ,Л удовлетворяет условию
Fп(Х1, Х2, Х3,..., Хп, f1, iz, ..., tn) =F.n (Х1, Х2,..., Xnt1+
(1.18)
Из этого определения следует, что у стационарного случайного
пр оцесса п - мерная функция распределения зависит только от
,п-1 времен1нь1х а,р1гументО1в ti-t1 (i = 2, 3, ... , п). В ча,отности, ,од,но­
мерн ая функция распределе}!ия стационарного процесса вовсе не
_ зависит
от времени, а поэтому его математическое ож:идание и
дисперсия - постоянные величины (не зависящие от времени).
Заметим, что требование постоянства математического ожидания
для стационарности процесса не является существенным, ибо от
случа йного процесса Х (.t) можно перейти к центрированному слу-
о
чайно му процессу Х (t), математическое ожидание которого тожде ­
ствен но равно нулю.
Поскольку двумерная функция распределения стационарного
•случайного процесса зависит только от одной временной перемен ­
ной т.= ,f2- t1, то от одной лишь переменной зависит и его корреля ­
ционная функция:
Bx(f1, t2) = Bx(t2- t1) = Вх(т.)
(1.!19)
26

Так 1<ак корреляционная функция всякого случайного процес~
са обладает свойством симметрии, а для стационарного процес ­
са она зависит только от разности t2--<t1 = т, то в этом случае
Вх (т) =Bx(t2- t1) =B xUг- tz) =В х (-т).
(1.20 },
В реальных каналах связи сигналы и многие помехи пред-­
ставляют собой, J< ак правило, нестационарные случайные процес- -
сы хотя бы потому, что а)
li,( ,)
они ограничены во време-
• 5х(о)
ни. Тем не менее на о·гра-
ниченном временном ин­
тервале их чаще всего
можно считать стацио­
нарными или однородны­
ми (локальная стацио­
нарность). Из (НЮ) сле ­
дует, что для стационар-
ного процесса корреляци-
онная функция Вх (т) яв -
ляется четной функцией
своего аргумента, причем
Bx(iO) =v3c = const, (1.21)
о
rJ)
О
Тх
Рис. 1.6 . Карреляr.(.нонная функция:
т
т . е. дисперсия стационар­
ного случайного процес­
са не зависит от времени
и равна значению его
корреляционной функции
при т= iО. Легко пО'казать,
что корреляционная фун­
а) колебательного т,нпа; 6) апериодич ес к о ­
го тmпа
кция любого стационарного процесса (рис. 1. 6) удовлетворяет не --
равенств у
( 1.22 }.
так как математическое ожидание положительной функции не ­
может быть отрицательным:
l[(X(t)-X) ± (Х(t-.:)-X)]2 = 2 [ о1 + Вх (т)] ~ О. (1.23),
Результат (1.22) вполне естествен, так как с увеличением разне­
сения во времени т = t2-. f 1 двух сечений стационарного случайно­
го процесса корреляционные связи между ними ослабевают.
Функция Вх (.:) характеризует степень корреляционных связейч
о
о
между двумя сечениями X(t) и Х(t±т), отстоящими друг от дру ~
га во времени на величину т . Естественно, что с ростом т эти,
связи, как правило, монотонно ослабевают, и в пределе пр и,
1:-+оо с ечен и я статистически независимы. Поэтому корреляцион-
2z·

(На я функц·ия $х (т) ,стациона ,р,ного процес-са обычно удо влетво~ряет
условию
limB x(т) =0.
( 1.24)
't-+OO
Случайный про цесс называется стационарным в широком
смысле, есл и его корреляционная функция зависит только от
,0,11.~н,о,г,о а-ргуме~нта, а математическое ожидание по1с1'оя1нно. На
процессы, стационарные в широком смысле, распространяются
все результаты теории стационарных процессов, при выводе ко ­
торых используются распределеш 1 я не более чем двумерные .
Главным образом, име1шо такие процессы нас будут интересо ­
в ать в дал ь нейшем, для простотн будем называть их стационар­
н ыми.
Введем понятие корреляционной фующии связи (или взаим­
ной корреляцио нной функщти) двух случайных процессов Х ( t)
и Y(t). Э1'0 !Не•случайная фующия двух ар.тументов t1 и t2, ,к·ото1рая
о пределяется математичес1шм ожиданием произведения ц ентриро ­
в анных з н ачений процессов X(t) и Y(t) в сечениях t1 и t2:
( 1.25)
Вместо функ ции Bxy(f1, t2) часто пользуются нормироваиной
i, оррел яционной функцией связи
(1.26)
Если корреляционная функция свя з и равна нулю при всех з на­
че ниях t1, t2, то случайные процессы X(t) и Y(t) называют некор­
рели рованными (несвязанными). Если два нормальных сл учай­
ных процесса некоррелированы, то они статистически независи ­
м ы. Если корреляционная функция связи за висит толыю от раз­
но сти .:=t2-t1, то случаifные процессы X(t) и Y(t) называются
ста ционар1-ю связанны.ми . Заметим, что два стационарных слу­
чайных процесса могут быть нестационарно связанными и, наобо­
рот, два нестационарных процесса - стационарно связанными.
В ТПС для характеристики нестационарного случайного про­
це сса Х (t) широко используется понятие усредненной во времени
ко рреляционной функции
т
В~(т)= lim-1 SВх(t, t+ ,:)dt
Т Т-+оо
о
( 1.27)
и зависящей толь ко от разности сечений анализируемого пр?цес­
са т. Этой характеристикой б удем пользоваться в дальнеишем
при анализе случайных модулирова,нных колебаний, являющихся
нестационарными случ а йными процессами. Подчеркнем, что ча­
стным (вырожденным) случаем ,нестаЦ1иона,рног о ,случай,н,ого
28

процесса, определяемого единственной реализацией, являt:тся
регулярный (детерминированный процесс).
Метод усредне ния !?О времени можно использовать и для на­
хождения усредненной взаимокорреляционной функции нестацио­
нарно связанных случайных процессов .
Для численной характерист и ки «протяженности» корреля­
ционных ,свя'Зей JВ случайных ~процессах ввод,ят ~понятие времени
(интервала) корреляции -rE. Чаще всего это время определяют по
методу эквивалентного прямоугольника ( см. рис. 1.66). Площадь
прямо уг ольника равна площади под кривой модуля корреляцион ­
ной функци·и ,п·ри -r~O, а высота ,равна В (О) = ·cr 2. Другими сло­
вами,
"'
"'
1 ,..
,..
-rк= - j JB('t)ld-r=j JR(-r)Jd-r.
(1.28)
В (О)
о
о
Для реальных процессов (как сигналов, так и помех) дисперсия
cr 2 =B (О) всегда ограниченна. Следовательно, время корреляпии
т1,> ,О. Отсюда ,следует та1кже, что 1реальные пр,оцессы 1с о·гра,ничен ­
ной дисперсией имеют на ограниченном временном интервале· Т
лишь I<онечное число совместно некоррелированных сечений
1'! = r!_Jl) ,При Т-+00 И n стремится !{ бесконечности, но остается
Т1·
счетн~rм. Тем не менее при теоретическом исследовании некото­
рым случайным процессам приписывают корреляц ионную функ ­
цию вида
(1.29)
где а - некоторая константа (положительное число). Это та к на­
зываемые процессы с о - корре.1яцией, у которых два сколь угодно
близких несовпадающих сечения взаимно некоррелированы (для
нормальных процессов, следовательно, взаимно независимы).
Ясно, что процессам с о-корреляцией приходится приписывать
бесконечное значение дисперсии (средней мощности флуктуаций)
В(О)=cr2.
В заключение -этого параграфа определим корреля ци онную функцию ста ­
ционарной двоичной случайной последовательности, случайно расположенной от - .
носительно начала отсчета. Будем полагать, что процесс X(.t) с вероятностью 1/2
в дискретных точках, кратных Т, принимает значение ,±h, сохраняя эти значе ­
ния на интервале Т., причем независимо от того, какое значение он имел на
предыдущем участке. Реал изация рассматриваемого процесса показана на
рис. 1.7 а . Сигнал такого вида обычно называют синхронным телеграфным сиг-
!
1
налом. Очевидно, что mx.(t) =mx ~- h• 2 + h• 2
=О,
1
1
Dx(t)=Dx=(- h)2-+h2.-
= h2.
2
2
1 ) Символ [ ] означает целую часть числа .
29

Зафиксируем момент t=nT (рис. :1.7а), где п - любое целое положительное чис­
ло , (включая О). Интервал Лt, отделяющий точку i от ближайшей точк и , в ко­
торои может произойти изменение знака процесса Х ( ! ). р аспределен ра в но м ерн о
на интервале (О, Т]: ш1 (Лt) = 1 / Т, О~Лt~Т.
а)
--
,:f, t
~
-:-
+п ,г .....
1
1
1
1
1
i
о
L
-h
~лt
~1~
1
1
1
1
1
1
1
tЧ+r
1
1
1
1
1
1
1
1
1
t
от
т
Рис. 1.7. Синх-ронный сл у ­
ч айны й телеграфный сиr­
_н ал:
а) реал изация; б) корре.
ляuионная функция
Возьмем сечения процесса X(t) в моменты t и t' > i, т. е. т=t'-t>O. Еслн
т< .Лt, то усреднен но е зна ч ен и е произведения рассмат р!! в ае,~ых с ечений р а вно h2,
]
1
если т>.Лt, то оно равно -h2-2 +h2-2
=0. Поэто му Bx(t, t')=Вх(т)=
т
=Р, (Лt>т)h2+Р1(Лt<т)О=h2 J ш. (,ЛТ)d(Лt) =h2 (1 -т:/Т). Ввиду требования чет-
•
Iюсти по арг у менту т окончательно за.пишем
(1.30}
Завнси м ость коэффициента :корреляции Bx/h2 случай н ог о с н н х р онного т е л е граф­
ного. сигнала от т дана на рис. 1.76. По методу рав н о ве.1 1! !,оrо прямоуrЬ л ьннк а
интервал ко'рреляции рассматриваемого процесса '" = Т / 2 .
Контрольные вопросы
! . Какой сл учай1-п,1й проце сс называют стационарным в ши р о к о м смысле , а ка­
кой в узком (стро г ом) см ы сле?
2. Каковы свойства корреляционной функции стациона рно г о ( хотя бы в широ­
ком смысле) ,слу ч айного п роцесса?
3. Как оIJределяется изаимокорреляционная функция дв у х с.1 у чайных процессов?
4. В каком случае два слу ч айных процеоса на зывают ст а ц и о н арно связаюiым и­
и в каком некоррелнрован н ыми?
5. Как определяется уср еднен н ая корреляционная функция д.1 я нестацнонарных
пр<щессов?
6. Как измеряется время корреляцнI-1 слу ч айного процесс а :'
7. Какие особенности .корреляционны х функций характе р н ы д .1я реальных про­
ц ессов с ограниченной дисперсией?
8. Что такое слу ч айный процесс с 6 - корреляцией?
!:J. Какой вид имеет корреляцf I онн а я функция случайного С ! J;i \ ро нно г о тел е rраф­
I10го сигнала?
30

1.4 . ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Нведем очень важное понятие эргодичности стационарн,Jl'u
случайного ,пр,оцеоса. Стаци·она,р1ный ,случайный 'Процеос называет­
ся эргодически,н, если любая его в,ероя11ностная хара·ктеристика,
полученная уореднен;ием 1по множеству возможных ·реализац,ий, •С
ве·роятно,стью, сколь угодно ,близ.кой к единице, равна в1ремен,н6му
среднему, полученному усреднением за достаточно большой про­
межуток времени из одной единственной реализации случайного
процеt•са. Из этого ОГl!ределеН1ия следу,ет, ч·то, ,иэуча,я эргодическ·ий
процесс, нет необходимости рассматривать большую соnокуп ­
ность реализаций (которой исследователь чаще всего не распо­
лаг ает-), а достаточно одной реализации, наблюдаемой в течение
дли тельного промежутка времени.
•
Для примера рассмотрим два стационарных процесса Х ( l) 11
У (t), представленные на рис. 1.8 и 1.9 совокупностью некоторых
.св оих реализаций. Для случайной функции X(t) характерно то,
о
.
,
/
t
Рис. 1.8. Совокупность реализаций стационарного эргодического случайного
проц ес.са
что каждая из ее реализаций обладает одними и теми же харак ­
·терными признаками: средним значением, вокруг которого проис­
ходят колебания, и средним размахом этих колебаний. Если
взять произвольно одну из таких реализаций и продолжить мыс­
лен но опыт (в результате которого она пол учена) на некоторый
участок времени Т, то, очевидно, при достаточно большом Т эта
одна реализация сможет дать достаточно хорошее представление
о свойствах случайного процесса в целом. В частности, усредняя
значения этой реализации вдоль оси абсцесса (во времени), мы
должны . получить приближенное значение математического ожи­
дания случайного процесса, усредняя по времени квадраты от-
1, лонений от этого среднего - приближенное значе ние диспер­
сии и т. д . Если сказанное справедливо, то проце сс X(t) эргоди­
ческий.
ЗL

Рассмотрим теперь случайный процесс Y(t) (рис. 1.9). Выбе­
рем произвольно одну из его реализаций, продолжим ее мыслен­
но на достаточ1но большой (интервал) времени и вычи·слим ее
среднее значение по ,в,ремени ,на всем :интервале наблюдения .
y,(t)
о
Р ис . 1.9 . Совок улно.сть реализ1аций
стаiЦ,и онарн•о·l'О, .но неэ·ргоtдического
случайнюr,о л1роц еоса
Оченидно, что среднее значение
для каждой реализации будет
свое и может суще,ст.венно от,д,и­
чаться •ОТ математичеокого ож1и,да­
ния случайного про.цесса, пост­
роенного как среднее из множе­
ства ,реализаций. Про такой ,слу­
чайный ттроцесс го,ворят, что он
не обладает эргощичес1ким свой­
ст1во:-v1.
На практике судят ·об эрго­
дичности ·-случайного ·процесса,
чаще нсего исходя ,из физичеоких·
соображений, •связанных с суще­
ством .процесса, а также на осно­
ва.нии опыта и здравого 1смысла.
Часто считают процесс лр1иблизи­
тель.но эргодичеоким лишь :на ог­
раниченном ,В1ременн6м и1нтер­
вале.
Приведем формулы для вычи­
сления хара1ктеристик эргодиче­
ского , стационарнО!го
процесса
Х (t) 1по одной его реал1изацю1
x(t). При достаточно большом Т
математическое ожидание эрго­
дического процес1са Х (t) 1)
t
mx=X(t)=+ J x(t1)dt1, (1.31)
t-т
т. е . определяется как временное среднее. Формула ( 1.31) пока­
зывает, каким должно быть техническое устройство, осуществляю­
щее на практике временное усреднение сигнала. Оно представ­
ляет собой интегратор, причем на практике в качестве интегра­
тора берется узкополосный ФНЧ . Из ф-лы ( 1.31) следует, что
математическое ожидание эргодического стационарного случай­
ного процесса - это постоянная составляющая в спектре реали­
зации процесса. Следовательно, для эргодического процесса по­
стоянные составляющие всех реализаций примерно равны между
собой.
1) Знак ~ сверху означает усреднение во времени.
32

Кор:реляционная фу,н,к,ция Bx;(-r:) (ии-Iаче :называемая ав·юкОiр ­
реляционной:) эргодического процесса X(t) при достаточно боль­
шом Т приближенно вычисляется по формуле
t
Bx(-r:) = +j,, [x(t1) - x][x(t1 - -r:)-x]dt1=x(,t)x(t--r:)-x2.
(1.32) .
t-т
Раосмоrрим ,рис. 1.10. По1м1и•мо двух интеграторов И, в этой
<::хеме имеют<::я бло1< вычитания ВУ, линия задержки ( ЛЗ) вход-
:;;(t)
x(t)-x(t)
x(t-т;) -:t
лз
Рис . 1.10. Структурная схема устройства, определяющего ав­
то,кор.реляционную фуню.1;ию стационар,ного эргодичеек,ого слу ·
чайпито ,процесса
,нога ,сигнала ,на вре11irя -r:, бло,к умножения УМН. Для получения
автокорреляционной: функции при разных -r: надо иметь возмож­
ность изменения времени пробега сигнала по ЛЗ либо распола­
гать много.канальным устройством с различными сдвигами на
ЛЗ в каж·дом канале. Поскольку корреляционная функция при
· t=O оп,рещеляет ди,опер,сию л,роцесса , то согла1сJ-ю (1.32)
t
Вх (О)= а3с =
-
1 j. l[x(t1)-x]2dt1 = х2{{)-х2.
т
.
-
t-т
Если лроце-ос Х ( t) •определяет ,н аmряже~Н'ие или юк, то
cr'i=Px- Po=P~'
( 1.34)
где Рх - полная средняя мощность 1п,роцеоса , Ро
-
,срещняя !МОЩ­
ность постоянной: составляющей:, Р ~
-
средняя мощность пере ­
менной: составляющей: процесса.
Очень часто автокорреJrяционная функция стационарного эрго­
дического процесса определяется ка1{
t
Вх (-r:) = +J x(t1)x(t1--r:)dt1 =x(t)x(t--r:),
t-T
( 1.35)
т. е. отличается от ( 1.32) слагаемым х2. Понятие автоко2реля­
ционной: функции, определяемой: согласно (1.35), распространяют
и на детерминированные сигналы, заданные н ·а ограниченном
2-386
33·

интервале. Так, для ограниченного интервалом (О,Т) гармониче­
ского колебания ( 1.1) имеем при условиях Т"?:::- 2n/ffi и 1, 1~ Т
u2 ::
u2
В 5 (,:) = -f j cos{ffit+rp]cos{ffi(t-,:) +ф]dt= f cos (шт) ( 1 - 1;,1) .
l'tl
( 1.36)
Автокорреляционная функция сигнала длительности Т тождест­
венно равна нулю вне интервала удвоенной длительности. Для
чисто гармонического колебания ( Т---+-оо) из (1.36) следует ре­
зультат
u2
В,(,)=-0 cosон,
2
(1.37)
т. е. корреляционная функция гармонического сигнала сохраняет
периодичность самого сигнала. На рис. 1.26 изображена автокор ­
реляционная функция двоичной кодовой последовательности Бар-
кера, найденная согласно (1.35).
_
Схемы, подобные показанным на рис. 1.1 О, положены в осно­
ву приборов, называемых коррелометрами и предназначенных
для опытного определения корреляционной функции эргодическо­
го случайного процесса.
Соотношения (1.31) 1и (1.32) дают ,пр,и~ближешrные значения
математического ожидания и корреляционной функции эргодиче­
ского стационарного процесса . Точные, с вероятностью 1, значе­
x(t)
Ршс. 1.11. К определению одномер ­
~НJЙ ,интеграл~.ной фуН11щ.ии рас ­
пределения ,стационарною эргоди­
чес,1юrо случайного ,процесса
ния эт-их ха'раrкт,еристю;: получа­
ю11оя, е,сли в .правых част,~х (!1.31)
. 1 и (1.32) перей'Ги :к ,п,ределу при
Т---+-оо . 1Заме11им, что для ;различ­
ных реали'Заций неэ1ргодиче,с.~их
п1роцеС'оов ,существуют 1разл~и1Чные
,вр-еменнь1е а,вто.кор реля1ционrные
функции и каждая~ ,из ,них может
не совпасть с rко:рр,еляционной
функцией 'Проц,еоса.
Для стацrиона1рных Э'рг,одиче­
ских процеосов лелко (по одной
едJ1нственной реализации) опре­
деляются не только корреляционная функция и математичес,кое
ожищание, но также и функц:ия распределения уровней, та,к ка,1{
rюследняя определяется относительным временем пребывания од­
~ной 1реализа1J.1,ии в исследуемых iПределах.
Та1к,
N
~лt·
~
t
F1(x) =Р(Х <х) = lim
т--,,
i=l
т
( 1.38)
34

где Лti - длительность i-го интервала (смотри рис. 1.11), на ко ­
тором процесс X(t) не превышает уровень х; N - число таких
интервалов на промежутке времени Т.
Для стационарных эргодических и стационарно связанных
·случайных 1!1р·оцес~сов X(t) и Y(t) взаимок·орреляци,о,нная фушкция~
ошределяется по ·единстненн,ой :реализации
t
-
Вху (т) = +s ,[x(t1)-x]Iy(t1-т)-y]dt1 = X-( -t)-y(-t- .- ) -xy.
t-т
(1.39)
Ча,сто вза1имо,ыор,реляци1О1Н1ная фу,нкuия отличает,ся от ( 1.39) •сла­
гаемым ху, т. е. определяется формулой
'
Вху (т) = +f x(t1)y(t1~т)dt1 =x(t)y(t-.- ).
t-T
/
(1.40}
Пон-ятие взаимокорреляционной функции, определяемое согласно
( 1.39) и { 1.40), распространяется и на регулярные сигналы. Эта~
характеристика широко используется в теории и технике опти­
мальной обработки сигналов.
Контрольные вопросы
1. Какой стационарный ~п роцесс называют эр г одическим?
2. Как определяются математическое ожидание и корреляционная функция для
эргодического случайного процесса?
3. Какой физический смысл имеет дисперсия стационарного процесса, имеющего
размерность тока или напряжения?
4. Что понимают под а.вто- и взаимокорреляционной функцией регулярных про­
цессов?
5. Как можно экспериментально определить функции распределения эргодическо­
го процесса?
1.5. НОРМАЛЬНЫЙ (ГАУССОВС:КИЙ)
СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Сигналы и аддитивные 1) помехи в каналах связи часто предп(j)­
лагаются нормальными или гауссовскими случайными процесса­
ми. Это объясняется тем, что случайные значения реальных физи:­
ческих процессов обусловлены зачастую суммой большого числ@
слабо коррелированных слагаемых с ограниченными среднимИJ
значениями и дисперсиями (как, например, это имеет место пры
многолучевом распространении радиоволн в радиосвязи или пр?1
флуктуационном шуме, вызванном действием многих эдс, нав(})­
димых флуктуирующими зарядами).
В этих условиях в соответствии с центральной предельной те о­
ремой теории вероятностей [7 ] распределе!{ие процесса можно
1 ) Аддитивной называется помеха, которая ,1инейно суммируется с полез~
ным сигналом.
12*
35

считать нормальным. Нормальный случайный процесс X(t) в _ лю­
бом сечении характеризуется плотностью вероятности
хt----~
-
ех {- [х -тх (t)]2)
Wi(' ) --1/2ло~(t) р
2о}(t) J·
(1.41)
При стационарности такого случайного процесса в широком
смысле он одновременно стационарен и в узком (строгом) смыс­
ле {29 ]. Нормальный стационарный сл учайны й процесс (его функ ­
ции распределения любого порядка) полностью задается своим
·средним тх •и ,КОР'реляционной функцией Вх(1:). На.пример, дву­
мерная плотность вероятности стационарного нормального про­
цесса {7]
(
)
1
•
{
1
w2 Xi, х2, 't
=
2nВ(О)у1 -R2(т) ехр.~ 2В(О)[! -R2(т)] Х
Х[(х1- тх)2+(х2- тх)2- 2R(1:) (х1.;_ тх) (х2- тх)]}
. ( 1.42)
Здесь R(1:)=B.x1 (1:)/B(O), а кар.реляционная фущщия определяет­
ся согласно (1 .14) .
Существенная особенность нормального случайного процесса
заключается в том, что понятия независимости .и некоррелиро­
ванности здесь означают одно и то же: некоррелированные сече­
ния всегда независимы. На самом деле, если в ( 1.42) положить
·R (-r) =0, то для двумерной функции распределения имеем
w2 (х1, Х2) =
1
ехр{-- 1
-
[(х1- тх)2+(х2- тх)2 ];l =
2лВ(О)
2В (О)
-
1 . ехр [- (Х1-7х)2 J-v -1_ехр l- (Х2-7х)2]' (1.43)
v- 2лсr}
2cr х
2лu1
2cr х
что совпадает с п,роизведением одномерных функций распределе­
ния - условием независимости двух сечений.
Существует очень простое достаточное условие эргодичности
стационарного нормального процесса, оно сводится · к условию
сходимости несобственного интеграла от модуля корреляционной
функции {29]:
00
J [В(-с)[d-r < =,
( 1.44)
-со
Таким обра :с ом, эргодичность нормального стационарного про ­
цесса оцределяется только видом его функции ~-;орреляции . Так,
например, для непрерывного нормального стац!!онарного марков ­
ского процесса (29]
(1.45)
_З&

и условие ( 1.44) выполняется. Следовательно, если этот процесс
нормальный, то он обязательно и эргодический.
Известно, что сумма нормальных случайных величин (не обя­
зательно независимых) также распределена нормально. Отсюда
следует, что линейная комбинация нормальных случайных про­
цессов X1(f)
L
Y(t) = ~ [a 1(t) +b1(t)X1(t)],
(1.46)
1=1
rде a1(t), b1(t) - неслучайные функции времени, представляет
собой также нормальный случайный процесс, вообще говоря, не­
ст ационарный. При стационарности процессов X1(t) процесс
Y1(t) заведомо стационарен лишь в случае a 1 (t)=a 1 =coпst, b1(t)=
= Ь1 = const.
Контрольные вопросы
• ! . Какие случайные процессы называются нормальными и почему мы так част-,
сталкиваемся с ними при изучении реальных физических процессов?
2. Какова связь между стационарностью· в широ ком и узком смысле . для нор­
мальных процессов?
3. Какими ,параметрами определяется двумерная плотность вероятности нор ­
мального стационарного процесса?
4. Како е условне является достаточным для эргодичности нормального стаци\!1-
нарного случайного процесса?
1.6 . ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР
При изучении преобразований детерминированных процессов
в линейных цепях ус п ешно используется гармонический анализ:
ряды Фурье для периодических процессов, интеграл Фурье для
непериодических процессов . Желательно было бы иметь столь же
простой и эффек тивный математический аппарат при изучении
случайных процессов.
Вообще говоря, для всей совокупности (всего ансамбля) реа ­
Jiизаuий {x(t)} случайного процесса X(t), заданного на интерва­
Jiе Т, можно было бы определить соответств у ющую ей совокуп ­
,ностъ ,опек-гральных п лотнос тей по Фурье {Sx(iш)} 1 ).
О дна ко совокупность эта, во - первых, оказывается в большин­
стве случаев бесконечной (и даже несчетной), что делает ее
11спользов.ание практически невозможным. Во-вторы х, если слу ­
чайный процесс является строго стационарным, он описыва ет ся
1 ) Пол .агаем, что усдовия Д и р и х л е [2] выполняются для эт0й совокуп ­
ности реализаций.
37

сов01,упностью неограниченных во времени реализаций , дл я
большинства из которых
!_
2
lim s /x(t) Jdt=oo
т 7'-..00
2
·и, ·сл~щователыно, к 1ним 1неприм·е1ншмо 1пре,образова1ние Фурье. Тем
не менее для случайных процессов (в том числе и строго стацио ­
нарных) можно ввести удобную спектральную характеристику,
если отказаться от учета фазовых спектров отдельных реализаций
и принять, как это в большинстве случаев и бывает, условие огра­
ниченности средних мощностей всех реализаций
т
2
00
Р=lim -
x2(t)dt= lim
--'---~~- d
.
1s
s 1Sx(iw)l2 f
Т--+оо Т
Т--+оо
Т
( 1.47)
т
-со
2
При написании последнего выражения учтено известное из тео­
рии преобразований Фурье 1[2] равенство Парсеваля (энергия
сигнала определяется или и н тегрированием его квадрата во вре­
мени, или же интегрированием квадрата модуля его спектраль­
ной плотности по частоте).
Величина
ISx(iw)l2
т
(1.48)
имеет смысл спектральной плотности мощности реализации
x(t) длительности Т. Мощность, обусловленная частотными со- .
ставляющими в пределах очень узкой полоски .Лif вокруг сред­
ней частоты f, .
рт (,Лf) = от(ffi) Лf.
( 1.49)
Отсюда видно, что GT(,ffi) имеет размерность энергии и поэтому
чаще всего называется энергетическим спектром реализации
x(t) . Усредняя (1.48) по всем возможным реализациям и перехо­
дя к пределу при Т--+оо, получают спектральную характеристику
случайного процесса в целом
G(,ffi) =limMi[GT(ffi).
(1 .50) 1
Т--+оо
Для определения этой характ:еристики рассмотрим одну реализа-
о
цию x(t) центрированного случайного процесса X(t). Пусть
хт(t)
усеченная реализация, равная нулю вне интервала
[tJ~ : и совпадаю щ ая с x(t) внутри этого интервала. Она, оче­
видно, удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости .
38

Спеюральная плотность (преобразование Фурье) функции
хт ( t) определяется соотношением
а
'!....
2
s:(i ro) = J х7(t)e-iwtdt,
т
1sтх(iсо)12
Gт (ro) =
--- ~
т
тт
2
2
2,
s:(iw)s:Т(iсо)
т
S Sх7 (t1):./ (f2) e - iw u.-t,J dt1dt2,
т
тт
,--_--
2
2
(1.51)
где S:Т (iro) - функция, комплексно-сопряженная S ~ (iro). Сред­
нее по множеству реализаций для функции G7 (ro) равно:
22
Вводя к0tрреля1цио1Р.ную фу1н1кцию B(t1, t2), ·имеем
!___ т
2
2
М{GT (w)} = +s SВ(t1, t2) e-iro (t,-I,) dt1dt2.
т
т
2
2
Для стационарного процесса
!___ !___
2
M{GT(w)} = _I r
т.)
т
2
SВ (t1 - f2) e-iw (1,-I,) dt1df2.
т
2
2
( 1.52)
('1.53)
Если фиксировать переменную t2 и от t1 перейти к переменной
t 1-t2= т:, 1'0 ( 1.53) при больших 'Значениях Т/2 ·пр 1ин·имает вид
'! ....
'! ....
2
2

Интегрируя по 12, имеем
!....
2
М {Gт (ro)} - J В ('t) e-iw, d1i.
Предел при Т-roo равен:
т
2
Оо
G(w)=limM{GT(w)}= r В(т:) e-iw'td1i,
т-сt:)
J-со
( 1.54)
если интеграл в (1.54) существует. Это всегда справедливо, если
корреляционная функция В (т:) абсолютно интегрируема, т. е .
со
_\
/B(-r) /d,;<oo.
(1.55)
-со
Функция частоты G (ro) называется энергетическим спектром
стационарного (по крайней мере, в широком <;мысле) случайного
процесса. Она дает усредненную картину распределения мощно­
сти процесса по частотам элементарных грамонических состав­
ляющих, но не учитывает их фазовой структуры.
Из ( 1.54) следует, что энергетический спектр G (w) и корреля­
ционная функция В (-r) стационарного случайного процесса свя­
заны друг с другом парой преобразований Фурье (теорема Хин­
чина - Винера):
_
со
со
G(co) = S B(-r)e-iw-c d,;=2 _} · В(т:) cos w,;d,;,
( 1.56)
-Оо
о
Оо
со
В(т:) = J G(w)eiw-c df=2 SG((J)) cos w-rdf.
(1.57)
-ао
О
Та,к ка·к GT:(w) и M{GT(,ro)} ·неотрицателЬiНы, т:о !И э'Нергетический
..,,,
спектр G( w) является неотрицательной функцией частоты. Кроме
того, поскольку модуль спектральной плотности ( 1.51) определен
как при положительных , так и при отрицательных частотах, то
так же определяется и G(w). Из (1.56') следует, что G(w) - чет­
ная функция частоты. Ясно, что реально существующий на поло­
жительных не равных нулю частотах энергетический спектр
Go(w) = ,2 G(w).
Для не1стационарных ,случаЙlных процеосов 1иапользуется ~понятие
,уоредненною 'Э!Нергетического ,опек'Гра G*1(w), ~связасrшог,о с у,оред-
1ненной во В'ре.мени ко,р1реляцио·нной ф:ун~кцией В*(,;) па,рой пре­
образ·овавий Фурье {29] .
40

Согласно (1.57) 'существование корреляционной функции тре­
. бует сходимости интеграла
00
S .G (w)df=B (О),
-0,
т. е. ограниченн,ости оредней ,м·ощности iПроцс,сса .
Если случайный проце<;:с X(t) содержит гармонические со­
ставляющие вида
где А 4, '\\)1, в общем ,случае 1случайны с ве л•ичины, то для у.ере,д•не1н ­
ной •КОР'реЛЯЦИОIН!НОЙ функции
;;р
в; (т)= __!!._
COS ffi1,T
(1.58)
,,
2
не вьщолняется условие абсолютной интегрируем ости (1.55).
Если, однако, принять известное определение В-функции {29]
00
00
Jeixy dx = S cos(xy)dx=б(y)
(1.59)
. -00
-
00
'И ,пред,ста,вить энергетический 1опекnр ,процесса X1,(t) 1в .в1иде
•.
А~
Gj,(ro) = 4 (б(w-w,,) +б(w+ro1,)],
(1.60)
то теорема Хинчина - Винера остается справедливой и тогда,
когда случайный процесс содержит и дискретные частотные ком­
поненты (как квазигармонические, так и гармонические), в ча­
сmюсти и :по,стоянную ·со,ставляющую на час'!'оте ro1, = О.
Бели
пользоваться понятие м энергетического спектра, определенного
JlИШь на положительных частотах, то вместо ( 1.60) следует
воспользоваться записью
(1.61)
Энергетический спектр (1.60) и ли (1.61) определяет квазигар­
l\Юничес1юе колебание •на частоте W1t ,со ,ср•ед1н·ей , мощностью
(1.62)
Н а ,пр актике ча,с110 ·срав,нивают ,различные •случайные процеосы
между •собой по ширине поло,сы их энергетического спектра Fa, оп­
ределяя эту ши·рину по 11ому 1ил1и ·и~ному ,критерию. Со,глаено 11{1р•и-
41

терию .9<ювивалентног-о -прям,оу,гольника (е,нер,гетичеокий -~р·итерий)
Fэ определяется так:
..
00
Fэ=- 1
- J Go(w)df= В(О),
(1.63)
Go тах
•
Go тах
о
где Go тах - максимальное значение G0 (w) в полосе частот слу­
чайного процесса .
Таким образом, Fэ - это основание прямоугольника с высо­
той Go тах, у которого площадь такая же, как под кривой энерге­
тического спектра исследуемого процесса (рис. 1.12а ).
о)Ш
G(o)
o ---i------+-----
2:лf,
(L}
J[
JJ1
2
Zл wТст
РИ1с. 1.12 . К О[]·ределен~rю шири,ны энер г,етлчоокого спе-ктра сл,у,чайного процесса
ме'Го'дом Э1Юви:в-ален11Ного пря ,моуl'ол ь,ника (а); энергет,ичес,к·ий с-пек11р · ·синхр·онного,
теле!'рафног.о си!'нала (б)
Для примера определим ширину энер,етического спектра случайного син­
хронIноrо телеграфного си1Гнала. ,в соглас,иIи с (·l .30) ,и (1.\5:6) э.нергетнческиif
спектр этого процесса
т
siпz ( ш2Т)
G(ro)-2h•J(1-; ),osroтdт-h'T ("f)'
(1.64 )
3
G(ro)
1126 П
В(О)=h2,.
ависимость O (О) от чаIс·юты 1ивобр1аже·н.а на р.и,с. : . , асколыrу
а Go1(0) = ih 2.T, то Iв согласи.и ,е '(,1.163) получае~м, Ч'ГО ш.ир,и,на эне.ргетического.
спектра ,случайного телеграфного •сигнала Fэ= 1/Т.
По критерию ( 1.63) часто определяют ширину частотного
спектра и детерминированных процессов. Величина произведения
ширины спектра Fэ на время корреляции -rн имеет порядок еди-
• ницы:
(1.65):
что в общем случае характерно для двух функций, связанных па­
рой преобразований Фурье. В частности, для синхронного теле­
r,рафного юилнала Fэ -r:н= (rl/T) (Т/2) = ,1/2.
Таким образом, из (1.65) следует, что чем шире частотный:
спектр процесса, тем уже его корреляционная функция и наоборот .
42

Для широко распространенных в системах связи (например,
телеграфная связь) так называемых простых или элементарных
сигналов (отрезков синусоиды) ширина спектра Fэ, как известно,
о бр~тно пропорциональна их длительности Т. Это означает, что
согласно ( 1.65) интервал корреляции таких сигналов .:к;:::;; Т. Если
желательно исполь з овать сигналы с малым интервалом корреля­
ции .:н, но с достаточной длительностью Т (для сохранения энер­
г ии сигнала), о чем р еч ь пойдет ниже, необходи м о отказаться от
и спо.r1ьзовщшя просты х сигналов, а перейти к более сложным •
•
1
с игн а лам, у которы х полоса Fэ значительно больше, чем т
( сигна л ы с большо й базой) . Такие сигналы называют широкопо­
лосными, а и ногда и шумоподобными, так как их корреляцион ­
ные функции напо м инают корреляционные функции шума . Суще­
ствуют различные способы синтеза таких сигналов. Сюда отно­
сятся сигналы с частотной или фазовой модуляцией (с большими
индексами модуляций) , так называемые составные {3] сигналы ,
представляющие собой у порядоченную совокупность простых или
элементарных сигналов, в которых повторяется полезная инфор­
мация (например, последовательных радиоимпульсов одинаковой
длительности и амплитуды, но с различной частотой заполнения
или началыной фазой) . Неко·юрые ,1юзможно1сти и-опользавания
широкополосных сигналов будут рассмотрены в гл. 8 и 9.
Обратим внимание на JO, что случайному процессу с В-корре­
ляцией ( 1.29) -соответствует ,эшергетич-е,окнй -спектр, од•и,наковый
на всех частотах:
Go
G(ш)=а 5б('t')e-iw,d't'=a.
-о,
Примером такого процесса может служить так называемый
• «белый шум», под ко_торым подразумевают
стационарный слу­
чайный процесс с пратическй неизменным энергетическим спект ­
ром Gш на всех частотах ( аналог «белый свет», у которого спектр
примерно постоянен в пределах частот видимого диапазона, от­
сюда термин «белый шум»). Здесь Gш - спектральная плотность
мощности по положительным часто,там. Если рассматривать и
отрицательные частоты , то энергетический спектр «белого шума»
а= G (ш) = Gш/2. Ко•р,рел,яцио1нная функ•ция <~белого шума» согла,сно
{1.57 ) и ( 1.59) определяется соотношением
B('t') = Gш б('t').
(1.66)
2
Рассмотренный «белый шум» является примером неограничен­
н ого по полосе процесса. На практике встречаются процессы с
п ри м ерно постоянны м э нергетическим спектром, хотя и не в бес -
1, онечных, но в достаточно широких пределах. Таким в большин­
<:тве сл учаев является а ддитивный флуктуационный шум на входе
радиоприемного у стройства (его полоса значительно шире энер­
г етической nолосы проп у скания приемника, определяемой поло-
43

сой принимаемых сигналов). Именно такой флуктуационный шуы
в литературе часто называют помехой типа «белого шума» .
Найдем, какова будет корреляционная функция процесса, у
которого энергетический спектр неизменен [G (ro) = Gш] в пределах
2
полосы частот -F7+F. В соответствии с (1.57) имеем для кор­
реляционной функции
F
В('т:)= Ош r e- i2пf'df=GшF sin(2nFт).
(l.67 )
2.)
(2n F 1:)
-F
Графи~к функции ( 1.67)
!J(O
113 Об
показа,н на рис. . .
ра-
а 1, 1А'~
Zf\.Jzt Zf Zf
Р.ис. 1.13. Кор,реляцион,ная функция
стационарного случайного -процесса с
ограниченным и ра,вномер,ным в пре­
делах полосы ча,стот э.нергетичес-1щ м
опектром
ти ·м вниман~ие .на то, что в
сечениях .- , . кратных l /2F (в
котельн и1ковских
.отсчетах,
см. параграф 2.9), кор,реля­
ционная функция исследуе ­
мого :процес-са рав1на нулю,
т. е . ,эти · еечения некор1рели­
рованы, а для нормального
процесса та ,кже и 1-1езави,ои~
мы. Учитывая, что :[29]
11• sinат я()
-
lm--=u't,
З"t 0-+ОО Т
из ( 1.67) при F--+oo следует результат ( 1.66). Поскольку
!. sinх l
G
1m-
=
,
то для помехи типа «белого шума» В (О)= cr 2 = 0F .
Х-+0 Х
Контрольные вопросы
1. Какой физическ и й с м ысл имеет энергетический спектр стационарного слу чай­
ного процесса и ка к о ва его размерность?
2. Какими соотношениям и связаны энергетический спектр и корреляц и о н н ая
функция стационарного случайного процесса? Как обобщаются эт и соотн ош е ­
ния для нестационарных процессов?
3. Как связан энергетический спектр, определенный на положительных ч аст отах ,
с энергетическим спектром, опред:еленном на всей оси частот?
4. Как определяется ширина энергетического спектра по методу эквива ле нтног о
прямоугольника?
5. Как аналитически выражаются энергетический спектр и корреляционная ф у нк­
ция дискретной частотной составляющей?
6. Какая связь сущ~ствует между шириной энергетического спектра и вр ем ене м
корреляции для случайных и регулярных процессов? Каковы пути синтеза
сигналов с уз кими корреляционi'rыми функциями?"
1.7 . ОГИБАЮЩАЯ, МГНОВЕННАЯ ФАЗА И ЧАСТОТА
В.ся1к·ий ,случайный процес,с Z(t), а та·кже €Ю любую реализа­
цию z(t) мож,но ~представить на 1интервале их олределения в виде :
Z(t) =A(t)cos{1\)(t)], z(t) =a(t)cos[1\)(t)] ,
(1.68)
44

где
1а (t) 1;;;:: 1z(t) 1.
( 1.69)
В дальнейшем формулы даны лишь для отдельной реализации
случайного процесса. Знак равенства в (1.69) может иметь место
лишь в счетном числе точек. Представление ( 1.68) не однознач­
но, ибо можно взять произвольную функцию a(t), удовлетворяю­
щую (1.69), и затем определить '))(t) как
'))(t)=arccos[z(t)],
а(t) ·
(1.70)
Очевидно, что при этом получим· для z(t) представление вида
(1.68).
Одна1ю для большинства проц,еосов (,как детермини,р,ованных,
так и случаfшых), с которыми сталкива,емся в технике _связи, это
пред•ставле,ние можно сделать одноз.начным.
Для этого ,в ыделим среднюю ча,стоту fo= wо/2л в усредненном
э·нерrетическом опектре случайно~о процеоса 1), определенном по
положительным ча ,стотам.
Относительно средней частоты ,w0 детерминированный процесс
z(t) можно однознач,но представить в виде
z(t) = a(t) cos[wot +q/ (t) ],
(1.71)
причем a(t) назовем алгебраической огибающей пр,оцееса.
Введем тепе,рь понятие огибающей прощюса z(t), определив ее
соотношением
r(t)=Ja(t)I,
(1.7,2)
и вместо (1.71) за1пишем
z(t) = r(t)cosl[w 0 t+ cp(t)],
(,1.73)
cp(t) будем называть мтновенной начальной фазой процесса.
Подчеркнем, •что введенные выше по.нятия огибающей, началь­
ной фазы и оредней частоты применимы ,не 1ю в,сяаюму процессу, •
а только к тако,му, который можно раосматривать как гармони­
ческое ,колебание с частотой wo, модуд11рованное по фазе (частоте~
и амплитуде.
Выполнив функциональные прео6раэования над r(t) и cp(t),
можно перейти к функциям:
х(t) = r(t)cosЧJ(t),
(1.74)
y(t) =r(t)sin cp(t),
(1.75)
которые называю11ся квадратурными (ко,синусной и синусной) ком­
поне1нтами процесса. Зная ·их, м-ожно z(t) пред-ставить в виде
z(t) = x(t)cos wot-y(t)sin ,wot.
(1.76)
1) Для детерминированного процесса среднюю частоту можно ~ыделить и по
амп.~штудному спектру процесса.
45

Обратное прео бра зова н ие от ква дратурных компонент к огибаю­
щей и наrчальной фа з е проц еоса имеет ви,д :
r(t) = у x2(t)+y2(t),
cp(t) = arctgj[y(t) /x(t)].
(1 .77)
( 1.78)
При извесгной оредней ча,стот е процесса w0, у1д:ов летворяющей усло­
iВИ Ю
(1.79)
rще Fa - ~полоса ча·стот, в ~предела х :к•о11о•р ·ой пра.ктичеС'КИ ,сосредиго-,
'Ч ен процеос, -кв-адратур.ные .ко1м[lоненrгы п•роцеС'са можно вьiделить
при помощи ,кваДtрату,рного «ра:сщеп •ите­
ля », фун,кциональная схема которого по­
казана на рис. 1.14 , ФНЧ на сх ем,е 1пред­
полагается н е иокажающим ·с полосой про­
пуеi, ания F3/2.
z(t)
Заметим, что многие · сигналы и слу-
Р ис. 1.14. Фуи,1щи.ональиая
схема !I<iВЩЦ•ра'Гурного «1рас­
ще ,пителя» щля 1вЫ1деления
нив,к,очао'!'о,т.ных юва1дратур-
1НЫХ 1КомIпонент пр·оцеоса:
Г - генератор
,ои,г,нала,
:гс
(!)_ .. :!__
-
фазовращатель на-;-
2
-
ФНЧ - филь'Гр ннжних ча -
С'ТОТ
Z(t) ,.- -
/
"
/
'
/
\
\
\
D
чайные ,процессы, :изучаемые в рам:ка,х
кур·са ТПС и представляющие ,большой
практиче,сыий инте,рес для техники связи,
у.довлет1воряю-r услов ,ию
2nF3~ ,w0.
( 1.80)
Т а·кие 1процеосы (сигналы) называют уз ­
кополосным'и. Ква,дrрату~рные :ко.м1по1ненты
таких продесоов, ,соот,вет,ственно огибаю­
щая и мгновенная фаза, меняются ,весь ­
ма ,медленно по сравнению с самим про­
цессом z(t) или функ~цией cos[wat+cp(t)],
часто -называе~юй высокоча-стотным за­
,полнением (·рис. 1. 15).
На основании соот,ношен,ий (1.74),
t
х
Рис. 1.15. Реализация узкопо л осного
Ри ,с. 1.16 . Графичесжюе ,пред­
ставлеии,е аюм,пле1юсной 011иба­
ющей (ам1nли'l'у.ды) Iпродеоса и
ее ортого:наль.ных .компонент
.сл у чайного процесса
46

(1.75) ;квадратурные ком1поненты !Процесса z(t) можно представить
1,а·к вещественную и мнимую составляющие комплекс'Ной фующии
r'(t) =r(t)ei"' (t) =r(t)cos cp(t) +ir(t)sin cp(t) = x(t) +iy(t) (1.81)
➔
или как прое1кци1и в•ращающегося векто1ра ,r(t) переменной длины
на неподвижные ортогональные ,оси ('рИ1с . 1.16) . Поокольку cp(t)
_ s, течением 1ВР'е1м,ени 1может к1ак возрастать, так и уб ывать, вектор
'r(t) может rюслещо·вательно занимать произ.вольное полож ение.
Комплек1сную фун,кцию r(t) ,называют КО1МiПЛеКtСН ОЙ огибающей (или
амплитудой) процесса. О!на ,обобщает ~ известное из теор ·ии линей- •
ных цепей 1[2] ~понятие 1юмплек1сной ам1Плитуды ·гар-моничес.кого
сиг.нала
(1.82)
Вектор ,r0 ,на рис. 1.16 будет неподвижным с ,к,оординатами
Хо, уо. Гар.мо1ничеокий сигнал с ча1стотоi[! соо, ам1Плиrудой r 0 и началь­
ной фазой сро
z(t) =r0cos (coot+cpo)
(1.83)
пред,ста,вляется в хомплексном виде
Z
(
f) = Гое iCйot = Гое i (Сйоt+<Ро) = ГоСОS (coof + <ро) --1 -- irosiп (W~f + сро), ( 1.84f
Дей•ствитель,ный ,сигнал z(t) опре деляе'Гlся как реальная часть
соответ;отвующего е1му комплексного пред,ставленrия:
z(t) =Re z·(t).
(1.85)
Ра,спростра1няя понятие 1к1омплек•сного си.гнала (~процесса) на (1 .73),
имеем
z·(t) = r(t) е iCйot = г(t) cos1[co 0t + cp(t)] + iг(t) sin![wot + cp(t )]. (1.86)
Реальную ча1сrгь :от ( 1.86) и ,мнимую часть этого ко,мплек,сного про­
це,сса
.
./\
Jmz(t) =z(t) =г(t)sin:[w 0 t+cp(t)],
(1.87)
кото,рую б удем называть •проц е,осом (сигналом), сопряженным про­
ц еос у z(t), геометрически легко себе предста1Вить как прое,кции вра­
щающего,ся вектора переменной длины r(t) ,с круnовой ~частотой соо
и ~п еременн ой ,начальной фазой cp( t) на неподвижные координатные
оси. В Nюме1нт вре,мени t этот вектор ,образует с вещественной осъю
полный у гол (полную ,мтновенную фазу)
"
ЧJ(f) = Wof +ер(f).
(1.88)
47

Про•извюдную от ,МГНовенной фазы во в,ремени (если она суще,ст ­
вует) или переменную угловую око,рость вращения вектора назы ­
вают мгнов,енной ,круговой ча,стотой ,сигнала 1):
ю(t) = d'I\J(t) =юо+ d<p(t).
(1.89)
dt
dc
. Следует
заметить, что определенный нами соглаено ( 1.87) ,со1пря-
л
'
женный сигнал ('процеос) z(t) =r(t) sin{wot+<p(t) ], как и огибаю­
щая r(t), ,существует на -юм же интервале, на кото'ро,м определен
сигнал z(t) = r(t) sin{юot+<p(t)] (пусть Э1'О будет июервал [О, Т] ).
л
,
Узкополосные процессы z(t) и z(t) можно ,считать ортогональными
на интер,вале св1оего определения (,параграф 1.1 О):
т
л·.
т
Jz(t)z(t)dt = +Sr 2 (t)sini[2 w0t+2 rp(t)]dt = O.
(1 .90)
о
о
что мы в дальнейшем неод.нокраТ!НО будем ;иметь в виду.
Для случая чисто га1рмоничес1<ого сигна л а (1 .83):
(
d'Ф(t)
r(t) =ro; <p(t) =<ро; 'ljJ t) =wot+cpo; ю(t) = ~ = ffio
мгновенная чаG1'ота не меняе'Гся во :времени ·и совпадает с частотой
спектральной ,составляющей ,сигнала. В обще1м же случае мгно­
венная ча,стота •ю(t), меняясь с тече,нием времени, вов,ое 1Не обяза­
тельно со•впадае,т ,с ча .стотами ,спектраль.ных соста.вляющих сигна­
ла. В отличие от ю(t) и r(t), спектральные составляющие сигнала
(ка,к это следует из ~сам1Ой су11и ~преобразований Фурье) остаются
неизменным.и-по ча,стоте 'И -амплитуде •на в,сей време1нн6й юси.
В качестве примера определим огибающую, мгновенную фа з у и частоту
сигнала
тИо
тИо
s(t)=
-
2- cos (ro0+Q)t+-2
-
cos(ro0- Q)t,t>О,
(1.91)
на выходе балансного амплитудного •модулятора при модуляции чистым тоном
b(t) = cos Qi гармонической несущей с частотой roo, т - коэффициент глубины
модуляции 1[16].
Используя формулы для косинуса суммы и разности. углов, имеем
s(t)= mU0cosQ{cosro0t =ИотIcosQtIcos(root+kn),
k_{ОприcosQt>О,
1приcosQt<О.
(1. 92)
1) Аналогом ro(t) пр•и неравномерном механическом движении тела является
его мгновенная скорость, а аналогом 'Ф (t) - полный пройденный путь к момен ·
ту t. При определении мгновенной частоты Q (t) случайного процесса Z(t) диф •
ференцируемость случайного процесса 'Ф( t) понимается в среднеквадратичном
смысле ,[29 ].
48

Этот сигнал изображен на рис. 1. 17. Алгебраическая огибающая сигнала s(t)
a(t) =mU0 cosQt,
( 1.93)
его огибаю щ ая r(t)=mИolcosйtl 1), мгновенная фаза
'Р(t)=Wot+k'it,
(1. 94)
а мгновенная частота
w(t) =dф(t) =
dt
(1. 95)
Ча•С1'О в л1Итературе· огибающую ,и фазу процеоса ,определяют
через .прео.браэов_аrния Гилыберта.
Реализация z(t) ,и ее -сопряжение
s(t) r(t)=lfu/CoнЩ
л
-
по Г1ильбе рту Zг(,t) ,с вязаны па,р,ой 110 нихс - -;- - ✓~- --
преобра-зований (Гильберта):
л
С()
Zг(t) = -
1 s~d-c; z(t) =
'it
t- -r
_:С()
00Л
SZг(-r) d't
'it
t'-
t
(1.96)
/
\/
\
о
Рис. 1.17. К определению огибаю -
при условии, что интегралы , схо- щей, мгновенной фазы и ,rа,стоты
ДЯТСЯ.
уз,кополооного сигнала .
Аналогичные соотно ш ения определяют преобразования Гильберта для двух
,
л
случайных процессов Z(t) и Zг(t), если сходимость интегралов от случайных
функций понимать, как везде в нашей книге, в среднеквадратичном смысле (29 ].
За11\1етим, ,что финитному сигналу z(t) соответствует ,нефинитное
преобразование п о Гильберту. Та,к, для сигнала z(t) = U 0cos wt Х
Х [- ~ < t 3⁄4 ~ ] сопряженный по Гильберту сигнал
л
Zг(t) = U0sin wt
2
2 ssinwхd
-
--
х,
'it
х
о
-
oo<t<+ оо,
(1.97)
л
Лишь при Т-+оо области определения ,сигналов z(t) и zг(t)
л
г,ырав.нивают1ся, ,причем то1гrда zг(t) = Ио sin wt 2 ).
1) Обратим внимание на то, что неискаженное детектирование сигнала S(t)
llинейным детектором (выделяющим огибающую с,игнала) невозможно. ·
л·
2 ) Этот же результат .определяет , сопряженный согласно ( 1. 87) сигнал ,z(t)
на интервале [ -
:-:J.
49

Если сигнал z(t) имеет опе1К11р по Фурье S (iw) = S (rо) ,е 16(ы>,
S (,ro), ·0 (,ro) - ~соответ,ственно его а-мплиту:дный ,и фа·зовый опектры,
л
то л,егкю по.казать, что ,оопряжешный ему по Гильберту ,сигнал zг(t)
-и·мее-т ,спектр Фурье 1)
(1.98)
(+ ,при w<O и - при w>O, т. е. его амплитудный спектр та:~юй же,
ка,к у сигнала z(t), а апек11р фаз ,сдвинут на +:п/2 для отрицатель­
ных частот и на -:п/2 - для положительных].
Действитель,но, •по определению спектралыной ,плотности по
Фурь,е и с учетом (1.96)
<Ю
""
<Ю
Sг(iw)= J;г(t)e-iыtdt=~ J J;(т)т e-iыtdт:dt.
- оо -<Х)
После зам,ены 1J1ерем,енн,ой t-т: = у, dt = dy и иопольэования фор­
мулы Эйлера
СО
С1О
.
00
S(•) j'()
-iw,;d 1 se-iwu d _
·s(· ) 2 ssinwyd
г1ro=
zт:е
т:-
--
у--11ro
-
-
-
у.
л
у
л
у
_,,,
-о,
о
Табличный интеграл 1[12]
<Ю
Ssinwyd _ + л
--
У--.
у
.
-
2
о
(1.99)
[+ при ,ro<O и - 1При w>O, поэто•му из (1.99) следует ,резуль­
тат (1.98)].
Теперь в1веде1м в ,раюомотре1ние ко,мплеКiсный сиf\нал zг(t), назы­
ваемый таrкж,е а'l-lал·итич,е,сж•им 1[29], опредrел,ин его так:
Zг(t) = z(t) + i;г(t) = rг(t) е i1J>r (I) = rг(f) cos:[1\Jг( t)] + irг(t) sin['IJг(:t)]
(1. ,IIOO)
------
·
л
rг(t)= Vz 2 (t)+;2 (t) и 1\Jг(t) = arctg Zr(t) •
г
z (t)
(1.101)
Эти выраже1ния будем называть сооrгветственно огибающей и
л
л
полной мгнове1нН1ой фазQЙ ,сигнала :по Гильбе1р-ту. Бели zг(t) =z(t),
то rг(t) = r(t) и 1\Jг(t) =1j)(t) .
1) Можно показать , что для узкополосных оигналов правая часть (1:98) оп­
л
ред еля ет таюке спектр по Фурье сигнала z(t). сопряженного согласно (1 .87}.
ьо

С уче'Гом ,со:отношений спектров ( 1.98) ,можно видеть, что спек11р
•
.
/\
к,омплексного (а,налитическото) сигнала :;;(t) =z(t) +i z(t) сущест­
вует только пр,И Iположиrгелъных частотах и ра,вен 2S (i w). Следо­
вательно, мо ,жI но за1п'и,оать
00
z(t)=2.) S(iw)eiwtdf.
(1.102)
о
От1меченное о6отоятелыство позволяет дать удобную аналитическую
запись для сиr1нала при од-но1Полосной (ОБП) ,модуляции 1[16] га ,р­
МОIНической не,сущей соо.
На самом ~деле, пуIсть Ь(t) - ·мощулирующий ,сигнал со спектром
Sь(iw), тогда соответствующлй ему аналитический сигнал Ьг(t)=
/\
= Ь(t) +i Ьг(t) ,имеет опектр 2Sь (iw), ,сущесrгвующий толь'КО в об-
ла,сти положительных ча,стот. Ум.ножив Ьг(t) на U0eiwot, перенесем
этот ,спектр вIправ,о о'Гносительно wo. Т,ю<шм образо'М, действитель ­
ный силнал при ОБП (,верхняя боковая полоса)
.
.
t
/\
s(t) овп = Re[ Uobг(t) ] e 1 w 0 ] = ' Uob(t)cos wo(l)-Uobг(t)siпwot =
= Ио Vь2(t)+b2 (t)cos [ffiot + arctg~г(t)]. : (1.103)
r
Ь (t)
Следовательно, на ,сигнал ОБЛ можно омотреть как 1на результат
одноврем,е н1ной м,одуляции гармонической несущей по аIмплитуде
и фазе или же ,как на суммарный ,п рощукт д,вух бала,нсных модуля­
торов с несущим,И, сдвинутыми н а 90° и Iм1одулируемьгми соо'ГВет-
/\
ственно ,сипнал Iа~ми b(t) и Ьг(t) .
Следует пО1дчеркнуть, что ,одноз,начное определение по Гильбер­
ту огибающей и фа,зь1 сигнала z(t) = ,rг(t) ,cos[f\\)г(t)] н,е требуют з!На­
ния сред,ней ча,стоты wo.
Контрольные вопросы
1. I(ак определяются огибающая и мгновенная фаза детерминированного про­
цесса при известной средней частоте спектра?
2. Как определяется мгновенная частота детерминированного и случайного про­
цессов?
3. Как определяются квадратурные компоненты процесса и как они связаны
с огибающей и начальной фазой процесса?
4. Какие сигналы (процессы) называют узкополосными и каковы их свойства?
5. Как определяется сигнал (процесс), сопряженный сигналу z(t) = r(t) Х
Xcos [wo,t + cp (.t)]?
•
6. Что понимают под комплексным сигналом (процессом) z(t) и его комплекс­
ной огибающей r(t)?
7. Как можно объяснить ортогональность двух сопряженных сигналов (про­
цессов)?
8. В чем отличие огибающей - и мгновенной частоты процесса z(t) от амплитуд
,И частот его спектральных составляющих?
51

9. Какие два с-игнала (процесса) - называют сопряженными по Гильберту, чем
отличаются их спектры по Фурье?
10. Что понимают под аналитическим сигналом z, (t),. .какова особенность спект-
.
л
ра -комплексного сигнала z(t)=z(t)+ iz(t)?
1! . Как определяются огибающая и мгновенная фа за сигнала (процесса) по
Гильберту?
1.8. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАР АRТЕРИСТИRИ ОГИБАЮЩЕЙ
ИФА3Ы
Во многих -случаях ттри практических -раючетах систем связи
(в чем убеди!llся в далынейшем) нужно учитывать случайный ха­
рактер ам1плитуд и фаз уз1кополосных процессов (их .ра,спределение ,
момеrнты и т. п.), причем rв осJювно,м, когда та1кой проц,есс может
считать,ся нормальным. Чаще всего в подобных ситуациях доста­
точно з·нать одш,омерное ,ра,спределение огибающей и rнаrчальной
фазы нормального случайного -проце,оса, 1реже - двумерное рас­
преrделвние.
• Ра - ссмотрим ·процесс
где
Z(t) =s'(t) + U(t) =[xc(f) +Xп(t)]cos wot-
-l[Yc(t) + Yп(t)]sin wo,t,
s'(t) - полезный детерминированный сиnнал;
U(t) - аддИТИВ'НЫЙ шум;
wo __:_ _ сре1дняя ча,стотrа ~процесса ;
Xc(t), Yc(t) - квадратурные к-о,мпоненты полезного .сигнала;
Хп(t), Уп(t) - квад·ратур;ные 1юм•поненты шума (помехи).
(1.104)
ПР'И <:тационарности шума процессы Хп(t), Уп(t) следует счи­
тать неко•ррелированными, имеющими одина ,ковые ,ко'Р'реляцно,н­
ные функции Вхп(т) = Вуп(т), а ·следователыно, и диопер•С'ИИ
02=о2
= о2.
Хп Уп
п
Обозначим квадратурные компоненты сум 1марного ,колебания :
X(t) =Xc(t) +Хп(t); Y(t) =Yc(t)+ Уп(t).
Проце,осы X(t), Y(t) являю-гся неегаци,онар1ными хотя бы по'!'ому ,
ч,то их ·матеrматиrчеокие ожидания :;зависят от вреr:v~ени:
М {X(t)} =mx(f) = Xc(t); М {Y(t)} =m y(t) =yo(t).
Если считать процесс (1.104) sормалыным, то ,совме,стное ра,с­
пределение ,:кюмпонент Х ( t), У ( t) в нетют-орый фик,сированный мо­
мент времеши to ,описывается ф - лой (1.43): .
w2(х,у)= -
-
2 ехр1-
~-- -
--
--
(1. Ю5.)
1
Г (х-тх)2
(IJ- ту)2],
2пап L
2о~
2а~
52

Представим проце,ос (1.104) в виде:
В моментt=to:
Z(t) =R(t)cos![ffiof+Ф(t)] )
R(t) = у X2(t) + Y2(t)
у (t)
.
•
Ф(t) = arctg-- •
х (t)
R(to) = ✓ X2(io) + У2 (to)
X(to) =R(fo)cos Ф(tо)
Y(to) =R (to)sin Ф(tо)
( 1.106 )
(1.107),
и сов,ме,стную плотность вероятности ( 1.105) ,можно за·писать тюс
ffiz(x, у)-
2 ехр
2
2
•
(1 .108)
__
1_
{- (r cos ip-mx )2 __ (rsin<p-my )2}
.
2:rtoп ,
2с;п ·
• 2ап
Вероятность того, ч•то точка, заданная декартовыми ,координатами
х, у, ~попадет в элементарную площадку dxdy:
Pdxdy=ffiz(x, y)dxdy.
Перейдя к •поляр,ным координата•м по соотношениям (1.107) и учи­
тывая, что в •н•о,вых 1коорд,инатах элементар1ная 'Площадка равна
rdrd ер,
(,1.109) У
~~•
можно нс2писать
Pd~дy= ,ffi2 (r cos ер, r sin ер) rdгd ер.
(1.110)
Выражение (1.110) определяет
вероятность попадания точки ,в эле­
мента ,рную шющад,ку, заштрихован­
ную на ,рис. 1.18. Разделив (1.110)
на drdep ·и учитывая ( 1.108), полу- О
чим ·с-овместную плотность вероят­
ности огибающей и -начаJшной фа­
х
Рнс. 1.18. К опр(щелению одно­
мерных ра.определений 011ибающей
и начальной фазы нормального •
случайно,го прощеоса
зы нормального случайного процес­
са в заданном -сечении
шz(r, ер) -
2 ехр
2
2
.
( 1.111 )
_
·
_
_
r_
[-(rcos<р-тх)2_ (rsinip- ту)2]
.
2:rtaп
2ап
2ап
Очевидно, есЛ'и полезный сиnнал s'(t) содержит, кроме регулярной .
•со,ставляющей, •еще и флуктуирующую ча,стъ, т. е.
Xc(t) =Xc(t) +ХФ(t); Yc(t) = Yc(t) +УФ(t),
(1.112)
53:

:прич-ем флу~кту ир ующие ,компоненты ХФ(t) и УФ(t) можно сч,итать
норl'Иальными н екоррелирова1нными ,стацио.нар1ными пр,оцеоса : ми с
-о ди наковой ди сп ерсией а\ = а} = а~ , то l!lpи ,не з а1Зиси,мости по-
с
с
-·
лез но го оитна л а и помехи раюпределение ( 1.111) остает,ся в силе,
н о т еперь в мео110 а~ ,надо писать диопер,сию ·суммарной квадратур-
ной ко1м1поненты cr2 = ,cr~ + а~ .
•
И нтегрир уя (1.111) по перемешной ер в пределах 1[0 ; 2:rt], получ и~м
,од1-юм ерно е р 111сп редел ение оги бающей -сиг,нала
r 2sn
[ (rcosер-тх)2 (rsinер-ту)2]
ш1(r)= - - ехр
-
~--
--'-- --'----
-
-'--
d((). (1 .113)
2:rt a2
2а2
2а2
о
:Вычисл яя ин теграл , 'Получи,м
r
( r2+а~\ (арr)
ш1(r)= - ехр ---
,-)Io -
,
-
а2
2а•
а2
r>,O,
(1.114)
а-Vт2+т2
р-
х
у
(1.115)
-
огибающая регуляР'ной соста.вляющей сигнала в момент fo;
1о(х) - модифици,ров,а~н1ная функция Беоселя перБого роща нуле­
rв ого 1поря;дка 1[12] .
Пр-и определ·ен,ии ( 1.114) п1роивведены эл,е:ме1нта:рные математи­
·че-окие преобразования, а затем и,спользова1но известное [12] соот­
,ноше,ние
2n-
~
-
1 S exp(±acoscp)dcp= lo(a).
2n
-
~
(1.Ы6)
Полученный закон ра1апределения (1.114) называется обобщен­
'1-lЫМ распр е делением ~Рэлея или •ра,спред•елением Рай.са 1[42].
Исполь зуя таблич1ные и~нте:гралы {12], найдем, ч·ю м-атематиче­
{ЖОе ,ожида1ние ,слуrчай.ног:о процеоса R(t) с обоб щ енным ра,спреде­
,ление,м Рэл•ея
Х1_Р_/_Р
_Р/ _Р_
[( а.,2) ((У.,2) а,2 (а,2)]
\+2а204а2+2а214а2'
(1 .117)
тде I1( x) - модифицированная фушкция Бесселя первого рода пер"
.вог о по1ря д1,а. Ор,едний же ква,драrг этого !Процесса
54
00
R.2 = ~ r2c,:н(r)dr=a; + 2u2•
о
(1.118)

Бели в ооставе лроце,оса Z(t) нет регуля,рного слагаемою , т. е .
ар = ·О, из (1.114) получаем
w1(r) =-ехр --
.
,
( ,2)
о2
2о2
Распредел•ение ( 1.119) называет,ся рэлеевски м.
Таким образом, огибающая стационарного нор м ального
распределена по рэлеевскому
&,(r)
закону, а огибающая су,ммы ре- О.б
гуляр1-юго колебания и нор­
мального шума - по обобщен ­
:но·му зако,ну Рэлея (рис . .1. 19).
С1,
Заметим, что ,при i
»1обо-
о
бщенно-рэлеевс.кое распределе­
ние близко .к ·1-юр·ма:льному с
параметрами (m= ар, а2 ).
0,5
O,J
0,2
(1.119}
шума ·
Для определения о,дномер­
ного за·кона ра,определения фа­
зы п-роцес1са Z(t) 1п,роинтегр ;и­
руем ,(1.111) :по ~переменной r
О "'--------'------'z""'-------'-- -__,,_,__,,_....,__=-cб-=....,_____,,_,__8 _ ,,L__
б
Р ис 1.19. Обобщ€н но-•рэлеев окое р а с-
в пределах [О, оо ]:
пределение ам,пли·-гуд
"'
2 s [ (гcoscp-mx)2+(rsincp-my)2ldr--·
w1 (ер) =
--
rехр - -'---------'------
2ло 2
2о2
о
=,-
1-. ехр(- а~ ) + арcos(ер-срр) F[ар cos(ер- (J)p)]ехр Х
2л
202
о У2л
о
Х[--а; sin2(ер-ерр)], 1ер-ерр1,<:л:.
( 1.120)
2о2
ту
Здесь rpp = агс tg- - ,началыная фаза р•е,гуляр,ной соста,вляюще й
тх
сигнала в сечении to. Ф ун,кц·ию F(x) ~называют функцией Лапласа .
Она табулирована и выража,ет интег,ральное ра1спределение норми­
рова:нной нормальной веJiичи1ны
х
х
1 s((2)
1
1"
( (2)
F(x) =---= -
ехр--dt=-
+~jехр -- dt.
у2л
2
2
У2л
2
-СХ,
о
(1.121}
Ча,сто в справочной л,итературе встречае тся ф у1нк ция Кр а,мп а
х
Ф(х)=у~Sехр(~t;)dt= 2F(х)-1.
о
(1.122}
Кри,вые од,номер~нrого ра,сп'Р'еделения фазы ,п роц еос а , опред еляе ­
мые ооглаоно (1.120), ,прив,едены на рис. 1.20 .

а
По ме1ре увели:че,ния пара.ме~тра i (роста регуля~рной со>етав­
а
Jiяющей сиг1нала) значения фазы в,се плотнее лруппирую'I'ся вокруг
qJ p. В :предел,е (,ко,гда ар/ а--+оо) ш 1 (ср)--+8 (ср-'срр).
, (J)/JJJ
110
-л
Ри,с . 1.20 . Одномер,ное ра,с,пределен,ие началь,ной фазы ,flормального слу ­
чайного ,процеоса
По мере у~ме,ньшешия регулярной 1юм·поненты ра1спределе,ние
•
С1.
фазы все более вырав1нивается и в предел·е rпри ~ =0 (нет регуляр ­
а
н ой ко,мпоrнеrнты) из ( 1.120) следует
ш1(cp)=l/2:rt, \cp\~:rt .
(1.123)
Таким образом, фазаА> нормального стационарного шума рас­
пределе,на ра·вномерно на отрезке i[- :rt, +:rt].
В ряще случаев (,см., ,например. параI'раф 3.2) приходится иметь
дело с уз.ко'Поло,оным нестациона,рным ~п1роцеосо1м, квадратур 1ные
ко,м,тто,Ненты ко·юрого 1мож1но сч1итать iюрмалыными ·,стационарными
процессами, 11ю .с ра'Зли:чными дисперсиями. Огибающая и фаза
такого сигнала являюrf!ся стациона·рными !Процесса 1ми, а ,их одно­
мерные ,ра,спред:еления ,на.зываются в литературе соо11вет,ственно
четырехпарам.етрическим. ра,сп,р,еделением олибающей и четырехпа­
рам·етричеок;и~м распределенше,м фазы сигнала :[23]. Распределения
эти ,содерж •ат четыре ,независи,мых параме11ра: две дисперсии
al, at и два математических ожщrщния (тх, ту) квадратур1ных
1юм.поне,нт сигнала или же какие -1нибудь четыре независи1мых пара­
.ме11ра, функционально ,связанные с этим,и вел.ичи~нам·и.
Интересно,е ,св,ойство ,общего четырехпараметр,иче,ского ра.сп ре ­
деления амплитуд - возможность (при неко-горых соо11ноше,ниях
:параметров) бим.одальности (двугорбости ,Кiривой расп ределения).
56

Полагая в четырехпараметрических распределениях дисперси и
1юмпо1нент рав.ными (oJ = о} = а2), получае,м раосмотр·ен1ное выше·
обобщенное ра,сm,ределение Рэлея для олибающей и ,распределение
( 1.116) для фазы . Бели, к,роме того, положить равными ,нулю мате ­
матические ожидания ,ювадрату.р1ных .к,о~мпо1нент (mx = my = O), то
получим соотв·етственно рэлеевское распределение огибающей и,
рав,номерное раопределе1ние фазы .
Контрольные вопросы
1. По какому закону распр еделены -сечения огибающей и фазы суммы узкопо,
лосного нормального стационарного ш у ма и сигнала при нулевой •и . пр·: не ­
нулев о й регулярных со ставляющих?
2. Что .следует понимать под четырехпараметрическим законом распределения,_
огибающей и фазы сигнала?
1.9 . ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ
НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА. ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА..
Для техники ,связи (:например, пр,и ,использовании импульоных.
мето,дов передачи непре,рывных сообщений) важна воз1можност~:.
предста,вления неll'рерывной ,регулярной функции в1ремени или слу ,.
чайного процесса через сово­
купность их значений в дис­
крет.ные
моменты времени .
Процедуру та.кого п,редставле­
ния часто -называют дискрети­
зацией или квантованием сиr­
LНала (процесса) во времен.и.
На первый взгляд может mо­
казаться, что точ,ное ·вослролз­
ведение :непрерывной функции
времени (рис. 1 . 21а) возмож­
но лишь при условии задания
ее отсчетов, •взятых с интерва­
лом 1Лt-+О. Однако ,существует
класс :процессов, щля ,которых
возможно точное воопроизведе­
ние при конечном ша ,rе кван­
тован,ия, отличном от ~нуля. К
этому ,клаосу принадлежат ,си­
гналы (процессы) с оrраниче:н­
ным частотным опектром. Сиr­
.налы связи ограничены во вре­
мени (финитны), ибо ,евязь не
может длиться вечно, она лме­
ет начало .и ко1нец. Из сзойств
преобразо.ваний Фурье следует,
11
11
1
t
Рис. 1.21 . Пред,ставление непрерыв­
ной фу,нкц.ии времени с ограничен-
ным спектром
57

что, вообще· говоря, та1ше сигналы, сущест,вующие лишь вну~р,и :не­
жоторого ,временного и,нт€р,вала Т, имеют неограниченный с,пектр.
Од1нако для в,сех реалыных непрерывшых силналов можно ука­
.з ать некоторую ,п-олосу частот, где сосредо11оч,ена основная часть
(tшnример, 99%) ,мощности сигнала , Эта полоса ча,стот •содержит
:всю _ существенно 1Необход1имую инфор,мацию о сообще1нии, заложен­
ную в сигнал.
Если о,сталын у ю часть опект,ра сипнала 1не передавать, то это
nра11пически не ,011рази11ся на точности его последующего :воспроиз­
ведения. Такой сигнал с олраниченным ,спектром уже не будет,
<:т,рого говоря, ограниче1н JIO времени, ощ1нако вне интервала дли­
-т,ельно,сти Т ег~о з.начения, 1при ~некоторых условиях, будут nреше­
брежимо малы.
Приведен~ные со,ображения в ряде случа,ев 11юзволяют прибли­
.зитель,но раосматривать реальные непрерывные ,сообщения и сиг ­
налы 1шк функции .с ограниченнь~м спектром . Э110 . дает воз·мож­
•:нО1tть .исnолъзов·ать в тоории связи важную тео,рему, сфор.мулиро­
ва1нную академиюом Котелыни'!rовым В. А. в 1938 г.
В %Нженерной лра•кТ~Ике •ра,ссмотрешие сигналов ,как функций
•С ог,раниченным ,опек-гром ~позволяет при ,проектирова1нии апnара­
ту,ры связи ограничивать ее полосу ,про1пу,жашия,
Так на пра•ктике чаще Вlсего сталюиваем,ся со ,следующими .при­
мерными значениями шири1ны опектра сигналов в ка1нал,ах -связи:
телеграфног,о - несколько ~сотен герц (в зависим.ости от скорости
"гелеграфи·рова~ния) , телефонного__:__ 3- 5 ,кГц, веща,ния
-
8-10 к1Гц,
телевизио,нного - поряд,ка 6 МГ,ц.
Теорема Котельникова формулируется так:
1. Функц,ия s(t), апектра·лыная плrотность КIО'ЮрQй отлична от
,нуля Т•QЛЬКО ,в и1нтервале - F, F, rПОЛIНОСТЬЮ '()IПределяе'f\СЯ 1СВОИIМИ
знаrчениями, отсчит,анными в диск•ретных то~ч.ках через интерв-ал
лt= 1/2 F,
(,1.124)
а-де F - мак·си1маль.ная (или ве.рх,няя грани1чная) ча,стота опектра
(равная ши1ри1не ,спектра 'В случае, если он начинае,тся от ;нуля) .
2. Значеtния фушкции s(t) в любой точке t выражаю11ся фор-
муло й
00
s(t) =
'{1 s(kЛt) sin2лF(t-kЛt) ,
I..J
2лF(t- /1Лt)
(1 . 125)
k=-oo
тде s (kЛt) - ,011с че ты непрерыв1ной функции в ди,скретных 1'G~чках
1 =k,Лt.
Т а,ки,м обра'З,о,м , непрерывная функция ~может
в ря д по так называемым фунюц,ия,м отсчетов
(t)= sin2лF(t·-
kЛt) '
gk
2:п;F(t- kЛt)
форм а которых изображе,на на рис. ( 1.21 в) ,
58
,быть 1ра-зл,ожена
(1.126)

Коэффициентами в этом разложении Я'вляются с111dче1ния ' рас­
кладываемой функции.
Лрафичеокая иллюст,рация теоремы :Котельникова ,приведена на,
,ри.с. 1(1.21).
·
Нетрудно видеть, что в отсчетных точках kЛt фу1нкция s(t) 01пре­
деляетоя ли1Шь ,од·ним сла'Гае,мым суммы ( 1.12,5), В'Се •остальные от­
•счет~ные функции дают в э·11их т,оч1ках ,нулевой вклад. Между от­
,сч·ет:ными 1'Очками функция s(t) определяет,ся точ,но лишь при уче1'е:
В'КЛада в-сех функций О1'счета.
При доказательстве .тео­
ремы :Котелыникова для про­
стоты предположим,
что
функция s(t) не содержит в
авоем спектре дискрет:ных
составляющих 1).
Из·вестно, что любая
функция s(t), удовлетворяю ­
ща,я условиям Дарих.ле и а'б­
оолютно интелрируемая, свя­
зана преобразованием Фу­
рье ,со овоей комплексной
плотностью S (ilw):
00
s(t)= _\ S(iw)eioot ' df.
-00
I>/
/
Pwc. 1.22. Геометр·ическюе представлен-не ·
двумерных ,ве,кт.о,ро;в, их проекций, норм
и «раостояния» между н1ими
Если опектр ограничен s пределах оrг - F до F , эта формул ru
запи1сывается в конеч1Ных [Jределах интегриро·ва -ния
F
s(t) = JS(i w) eioot df.
( 1.127)
-
F
Функция, удо:влетво·ряющая услов·иям Дирихле и заданная н с11
ограниченном отрез,ке, может быть 1п рещота,влена 1на этом отрезке
(путем пе,риощическоr~о 1Повторения) ,рядом Фурье. В ~нашем случае:
такой ограниченной является функция S (iw) на отрез1ке l[-F +F].
Представи1м ее в ви~е ,ряда
i2nk l_
S(iw)=I:Dkе
2F
( 1.128 }
k=-<x>
1 ) Теорема справедлива и для функций, в спектрах которых содержатся:"
дискретные составляю щ ие, но в этом случае доказательство немного усложняет­
ся, поскольку комплексная спектральная плотность содержит дельта-функцию,
[см. (1.60)].

11rде коэффициенты
F
.
kf
1\
-12л -
Dk= -
S(iw)e
2 Fdf,
2F~
-F
1ю-1
- = лt. Поэтому ф-лу (1.129) мож,но mереписать в ·виде
2F
F
Dk = Л t SS(iw) e-i2л/kЛtdf,
-F
(1 . 129)
(1.130)
И з ф-лы ( 1.127) видно, что интеграл (1.130) выражает зна,че­
:н ие функци·и s(t) в дис-к•ре11ных точках _.:_kлt, т . е.
F
SS(iw)e-i(i)kлtdf= s(- kЛt).
(1.131)
-F
•
(Следовательно, D1;, =лts (-kЛt). Под• ставляя значения коэффициен­
-:г ов D"- в ф-лу (1.128), имеем
00
S(iw) = Лt ~s(-kЛt)ei(J)kлt
~
k=- oo
(1.132)
Очев,идlНо, ч,то от перемены знака у коэффициента fl на обрат­
я ый значение суммы ,не измени1'ся, -следо-вательно,
m
S(iw)=Лf ~ s(kЛt)e-i(J)kЛ/.
( 1.133)
k=-oo
Таким образом, значен,ие фу;нкции s(t) в дис•к,рет.ных точках kЛt
._о:д:нозначно определяет ком~плексную спс-ктральную плотность S (iw) .
Последняя полностью определяет функцию s(t) при любо•м зшаче­
нии t. Тем самым •первое уТ1Верждение теоремы доказано.
Если теперь 1под,ставить ( 1.133) в ( 1.127), то, смен·ив по1рядок
"интегрирования .и суммиро.вания, получим
"'
F
s(t} = Лt ~ s(kЛt) \ ex p![iw(t-kЛt)]df.
k=- oo
-F
Выполнив интегрирован,ие, получаем ряд В . А. Котельникова
( 1.125).
Теорема Котельникова оох•раняе'Г свой •с·мысл и при,менительно
. к случай ,ным процеоса ,м с оrра1 ниче~нным энергетичеоки-м СJПектром,
но теперь S(kлt) -случайные чи•сла, а ряд (1.125) понимается как
сходящийся в ,среднем.
Теорема Котельникова справедлива .и для функций, имеющих
, а гра1н•и1чен·ный опектр, не начинающий1ся с нулевой частоты, а ра,с-
,Бi

положенный ,м,ежду частотами F 1 и F 2. Такая функция может быть
в точности восстановлена, если заданы з начения ее квадратурных
1
компонент в дискретные моменты времен·и через и1н,терЕал Лt=F-.
где F=F2-.F1 - ширина опектра.
Пр едставление (1.125) строго справедливо для неог,раниченных
во времени функц-ий, спектр кото,рых строго огранич,е,н . В этом слу ­
чае ф ун к ц ия определяется бес1юнечным, но оч·етным числом сво,их
отсч ето в . Если же сигнал ог,раничен интервалом Т, а /его спектр при ­
ближ е н но можно ,считать -сос•р,едот:оченным в полосе частот F, то
о бщ ее чи слю отсчетов, очев·ид но , равно:
В=.I_ +1=2РТ+1.
'-лt
(1.134)
П ри 2Fi» 1 ,мож(но 1приближенно считать В = 2FT. Такой сигнал
приближ енно представляе'!'ся конеч·ной ,сум.мой (усеченным рядом
Кот ельн икова) :
в
s (t) = '1s(kЛt) sin2:n:F(t-kЛt) ..
~
i.J
2:n:F(t- kЛt)
k=l
(1.135)
Число В называют базой (или числом ст~епеней свободы) сигна­
ла. Практиче-ски ,спектр финитного сигнала s(t) .можно ограничить
полосо й 0-F, если подать его на идеальный ФНЧ. Но тоrща отно ­
с1тгельная среднеквадратичная потрешность , связа1I-JJ-1ая ,с представ ­
лением фи,н-итного сигнала s(t) рядом (1.135), выразится ооотно ­
шение м
со
2 .\" s(w)2 df
F
00
Js(w) 2 df
-со
ЛЕ
Е
,де Е - полная энерлия финитного сигнала s(t);
ЛЕ - энергия •сооре д оточенная вне полосы 0-F.
(1.136)
Д л я фини11ного сл учайного процесса Х ( t) с энергетиче.ск·им
с пектром G ( w) относительная среднеквадратичная погрешность,
с вяG а н ная с ею !Представлением у сечеНlным рядо•м К:отель,никова,
.мо же т быть определена так :
со
2jG(w)df
O=_ F
_
_
_
00
(1 .137)
sG (w) df
-оо
i1

Н апр и мер, если ограничить п о лосу частот случа й ного си н хронного сигнала
1
величиной F=Fз= 2Т , то с учетом табличного интеграла {12]
имеем
Со
Ssin2 х
--dx
х2
1t
:n;
т- 1, 215
б= _2
__ __
:::::: - ---- :::::: 0,225 .
00
Ssin2 х
-
-dx
х2
\о
:n;
2
1
Если ограничить поло су ча стот величиной F = Т , т о
00
1sin2 х
-
-dx
L
х2
1t
00
Jsin2 x
-- dx
х
о
:::::: -----~ 0 , 1.
2
00
rsin2 Х
1t
, --dx=-
J
х2•
2
о
В .принципе, при заданной 011носи1'ель.ной погрешности и энер ­
гетическом спектре процесса ·согласно ( 1.137) можно определить
1
граличную ча1стоту, а затем ,и интервал диюк•ретшзации Лt = -
.
2F
Иногда оказывается удобlным пред1ставлятъ ,силнал s(t) с по­
мощью выборок его спектральной плотно1сти S (i<uJ). Бели ранее
накладывалось условие, что 1поло1са частот ·сигнала огра·ничена, то
т,еперь следует и,сходить из условия , что .с,иг,нал •суще,ствует 11олыю
в предела х .кюнечного промежутка врем,ени (пу1сть 1от .Р до Т) .
Воспользуем,ся свой1ство1м 1сим,метрии по п еременным t 'И uJ в пре ­
образ,ованиях Фуръе . При этом ~интервал Лt = l/2F между ·выборкам и
фу~нrкщми времени должен быть заменен интервалом 1Лf = 1 / Т м ежду
вьv601ркам.и функци111 част,оты, а 1F ва,менено 1на Т/2.
Ита:к, по а н алогии с (1.125) можно записать ,следующее вы р а­
жение для спе.ктральной 1плоегност1и S (i-uJ) Ф'инитного сигна ла дли­
тельностью Т :
s (iro) - t s (i k'; ( [T(r-•1+)]
k= -oo
.
.
[лТ(t-kТ)]
(1. 138)
Здесь S(ik 2:n:) - ,выбор1ки функЦ;ии S(i>uJ), т . е. ее значения в от­
т
1
сч·е11ных точ•ках k - 1на оси "Iас11от f.
т
62

Если ,считать, ч110 ,кро,м,е длительно,ст:и ог,раниче~н также и спектр
сигнала, приче,м .наивысшая ча •стота есть F, то число отсчетных то ­
чек конечно и равно:
В= 2F +1 = 2FT+l.
Лf
Заметим, Ч1'о это же значе,ние для базы поJ1училось бы, если
исход111ъ ,из пред,ста,вле1тия финлт.ной функции длительностью Т
рядом Фурье и ог,раничиться в нем к,омпо~нента·ми •С высшей часто­
той F.
Обратим в.нимание на то, что ф-ла (1.125) показывает, как
можно ,вычисл 1ить знаrчения функции s(t) пр,и любом t, знс1,я ее зна­
чения в диск,ретных точ,ках. Но в технике ,связ·и важн,о не только
выч,ислить эти з:начения сиг:нала, а тю ,ним в,оопроизвести его в в•иде,
например, электрического напряжения.
Ка,к видно из tР'ИС. ( 1.21), для восmроиз,нещеrния исходной функ-
. ции s(t) пrо ее д1исюретным значениям s (kЛt) можно воздей•ствовать
реше'ГЧатой функцией (рис . 1.216) на ус11ройство ,с ИМ[Jуль.снrой
р~а,юцией вида (1. ,126) . На выходе такого ус1'ройс-гва и бу;дет нос­
л,р-оизводиться исходная непрерЫlвная фуrнкщия s(t).
Подобную и,мmульсную реакц'ию имеет ,идеальный фильтр ниж ­
них частот с ча,стотой ,среза F 1(2]. Такrим образом, н·епрерывная
функция может быть воостановлена пр.и 1про,пус,кании •п·оследова­
тельности импулысов вида s (kЛt) ,o (t-kЛt) (решетчатой функцrии)
через идеальный фильтр нижrних частот с указа1н1ной ча,стотой оре­
за. Здесь o(t - kлt) - дельта - функция. Пра•к1'иrчеюки эти импульсы
аппроко11мируют.ся, напри ,мер, прямоугольными .имлуль,са ,ми дли­
тельностью ,Л, где Л« 1лt, и высотой s(k Л i) /Л.
Ясно, ,чrо отклонение ,овойст,в ФНЧ от ид,еальноло вед~ет к неко­
торым иокажениям в воопроиз·ведении непрерыв1ного сигнала ,по егrо
дискретны, м от,счетам.
В заключение этого rпа,рагра,фа за,метим, что, хотя не существует
реалыных сигнало:в -со стр,ого .ог,раниченным сmектром, это не ума­
ляет 1пра11,тическоrо значения JЗывоtдов, сделанных из теоrремы Ко­
тельни,коIJа. Дело в том, что, прин-имая оигнал с пра,ктиче•оки огра ­
ниченным ,опек'Т'ром (что в.сегда ,име,ет ,мес'Го на 1практике) за иде­
альный ,сиnнал ,со ,с11рото (в ·смысле условий теоремы) ОI1ра1ничен­
ным .спектром, мы после восстановления по дискретным отсчетам
получим сиnншл, неоколь-ко отличный от исход,ного, но это отличие
незначительно, е-слrи ~правильно выбрана ограничивающая сmектр
ча,стота Р. В 111роц•ессе передачи сигrнал до:полнителыно и,окажает,ся
разли'Ч,ными помеха ,ми, и на их фоне i\ЮЖНО nр е,нвбречь искаже­
ния.ми, вызва,нньг м-и ·отли чием ·реальных -сигнало ·в от идеальшых .
Коитр~:льные вопросы
;\ . Как формулируется т е ор еу1 а Котельникова во врем е нном представлении для
сигналов (процессов) со строго ограниченны м амплит удным (энергетическим)
спе1пром?
63

2. Как формул-ируется теорема Котельникова в частотном представлении длн
сигналов (процессов), строго ограниченных во времени?
3. Какими свойствами обладают функции отсчетов?
4. Реакцией какой электрической цепи определяется функция отсчетов Котель­
никова при воздействии на вход бесконечно короткого импульса?
5. Какое значение .имеет теорема Кот е.,, ы1икова для сигналов, ограниченных во
времени?
6. Как можно оценить погрешности, связанные с представлением и воспроизве­
дением непрерывного процесса по его дискретным временнь1м отсчетам?
i.10. ПРОСТРАНСТВА СООБЩЕНИЙ И СИГНАЛОВ.
СИСТЕМрl СИГНАЛОВ, ОРТОГОНАЛЬНЫХ В ОБЫЧНОМ
И УСИЛЕННОМ СМЫСЛЕ
В современной тео;ри1и овязи широко -!юпользуются геомеtриче­
окие [Iредставления ,с [I-р,именением та к их •п011ятий, .как ве_к,тор,
прострапство, расстояпие, проекция и т. д. При эт,ом перечисле1н:ные
геометр :ические те-рмины означают весьма широ'К•Ие ,понятия, от1но­
сящиеся к обла,сти фуrнкционального анализа. Оз,на~ю)v!имся с не­
кrото,рыми из них.
Г,еометри:ческие лред:ста,вления, есте,ственно, связаны с понятием
простра1нства. Э110 ,гюнятие, в ·отли:чие от ·первоначаль~ного, слож,ив­
шегося на основ-е .непосредственно чуrвстве-нного :воспр·иятия окру­
жающего мира, ,в оовр,емен,ной математю:е определяет-ся как аб­
страктное м1-юж,ество, свойства которого аксиоматически выража­
ют•ся некоторыми · i)оот.ношениям1и меж•ду эле-мента,ми этого м1но­
же,ства. Так, на[Iри·м-е1р, если в обыч1ном трех.:vrе,р~ном пространст:ае
ввести де,картову систему 1юорди,нат, то тем самым с 1каждой точ-
-
кой r ,п-ространства окажутся связанными и вещественные числа
{х1, х2, хз}, называемые коо•рдинатами этой точки в выбранной си­
стеме коорщинат. С д1руг1ой сто-раны, всякую упорядоченную тройку
веще.ственных ч,и,сел {х1, х2, х3} можно ,рассматривать как коорди­
наты тючки тр€хмер 1ного пространства (-или, чт-о то же, ·кrоординаты
ра,диус-вектrора ·с ,ко,нцюм в этой точке) в некотrорой д~картовой
системе координат. Таким образом, ,совокуmность всех точек трех"
мерного пространства взаимно од!нозначно отображается на сово·
купность всех упорядоченных троеi{ веще,ствен:ных чисел. Это, как
извес-гно, >iюзвюляет .пользоваться .методами а1нал•ит:иче,с1юй гео­
метрии.
Более тото, можно раоомат,ривать все упо·рядоченные совокуm 0
1-юсти п веществ е нных чисел {х1, х2, ... , Хп}, 1считая их коор1дин·атам .и
точек (или радиу,с-векторов) ,некоторого а-6-страктного п-мерного
прос'!'ранства. Это пространство mр.и n>З не имеет физ·ического про­
образа, до,стуmного нашему чу,вств-енному вооприятию, од:нако по
а 1налоr,и;и -с од1но-, двух- и трех,ме1рным слу~чаями можно изучать ето
свой-стrва методами аналитической геомет•рии. В указанном прост-
1ра,нrстве п-мерный ве.кт-ор определяется .ка ,к упорядоченная ,сово­
кушюсть ([Iоследовательн,о,сть) п вещественных чисел, называемых
64

координатами вектора. Этот вектор можно записать в виде упоря­
доченной строки ег,о координат:
;= {х1, Xz, Х3, ..., Хп},
(1.139)
Сумма двух векторов--:;= {х1, Х2, Хз, ... ,
Хп} и у= {Yi, yz,
... ,
Yn}
дает вектор --;= {21, Zz,
... ,
z,,}, к,оординаты ~оторого равны сумме
соответствующих координат слагаемых:
(1.14{))
Произведение вектора--:;= {х1, Х2, .... Хп} на число Л ·е'СТЬ вектор
-+
ЛХ= {лХ1, ЛХ2, ..., J,,Xri},
(1.141)
-
-+
Для векюра х В!Водят его норму, обозначаемую llx/1, предста•в-
ляющую собой неотрицательное веществ"'ннос число, полу,ченное
по фор.муле
(1.142)
Как видим, норма есть обо:бще,ние ·на п-мерный случай понят,ия
-+
.....
длины вектора. Раостояние между двумя векторами х и у опреде­
ляется как норма их разно ,сти:
d(-;y)=ll;_ЙI= Vf (х1-Уд2•
l=I
(1.143)
Скалярное произвещение двух векторов х и у есть число
-
n
(х у)= ~ XiYi,
(,1.144}
i=I
-+ ->-
откуда видно, 1:::0 !х[/ 2 = (х х). Вводя угол 0 между дsумя п-,мерны-
ми вехторами х и у, имеем по ана ,лог,ии с трехмерными векторами
выражение для косинуса это:го угла:
- +-+
cos 0= (ху)
11 ~\1II Y II
( 1.145)
-+
и для прое,кции вектiОlра хна векто•р у и, наоборот, у на х:
11 ;11 cos0= (ху)_ ; 11 YII cos0 = (ЧJ) .
IIYII
11;11
Заметим, что поскольку l•cos 01 ~ 1, то ооглаоно (1.145)
1 (7ь,) 1~ll;il llyll 1).
(1.146)
1) Это соотношение является частным выражением так наэываемого нера­
венства Буняковского-Шварца '[26] , (см. гл. 7).
3-386
65

:Координаты вехтора прмставляют ;собой проекции 'Вектора на
оси прнмюуголынюй (декар'Товой) системы :координат . Иначе гов,о­
ря, координаты вектора вьгражают,ся скалярными ~произведениями
данноrо в,ектора на орты, т. е. 'На в е кторы с единичной нормой, все
координаты ,котО1рых равны нулю, кроме одной, соотsетствующей
номеру о·рта.
Все эти соотношения можно пюяснить на двумер•ной (n=2) мо­
де.л·и (о~. ~и.с. 1.22), на котюрой два в·ектора обозна1чены соотает -
е11венно s1, s2.
Определенное выше :про,стра,н,стно 'Называется п- мер-ным евкли­
довым пространством и о,боз:начаен)Я R2. Очевид;но, что пр.и n=З
это простра1Нство я1вляе-гся мате,матическим образо.м нашего трех ­
мерноло ,пространства.
Покажем 'Н а 1пр•имере, ка :кое отношение имеют приведенные по­
нятия к проблемам связ•и. Пусть со общение а выражено функцией
~Циск,ретног-о в1ре,мени и а и н т ерв але Т, т. е. •ко:нечной последователь­
ностыо из п отсчетов. Так обстО'ит дело пр и переда,че любо•го сооб ­
щения тт,м ,пульоным ,методом .
Та,к же обсгоит д;ело и ,п,р и п·риблюкенно,:vr пред•сташлении любой
финитной 1-1е1прерывн-ой функц·ии, п1рактич еоки огра,ничеююй по
спектру ее n=B (В - база сигнала) :независимыми отсчетами . Но
в таком случ ае соо б щение а или соотве11ствующий ему сигнал b(t)
могу<т ,быть прrед-ста,влены вектором в п -,ме,рном пространстве, назы­
ваемом прос тра,ч.ств ом сообщений . Пространство сообщений - это
{JОБо куп,1-юс-ть в1се х возмож1ных сообщений, соста rвлеш1ых из п эле­
ментов. Разли[Iте между двумя какими-лИlбо соо,бщениями выра ­
жа•ется расстюян-ием ·межщу векто,рам ,и, из,ображающи.ми и х . Это
расстояние ·з ависит от нор.м (длин) ве,кт:оров и от угла между ним-и .
Аналогично на ограниченных времен11-1ь1х инте:рвалах можно
,ввести .по,нятие пространства сигналов на выходе кодирующего
у,стр-ойства ('в дискретных системах овязи) b;(t), b(t) •и пространст в
кана льных сигналов s(t) . Можно также в,ве ст,и понятия пр о стра1нств
сигналов и аддитив1-1,ых пол1ех в месте приема s(t), и(t) , z(t) =
=s'(t) +и(t), ,сигнал,о·в на выходе детекюра и декодера b;(t),b ' (t),
сооб щений у получа11еля а'. Введенным-и понятия-ми ,м,ожно поль ­
воваться для пояоне1ния 1последователыных лреобра з,ований си лналов
(ломех) в о тдельных точках канала связи, •преоб.разова ний , к ото ­
рые, ·tю ·существу, сводя'Гся к вз аимным отображе1-шял1 одних про,ст­
ранств ,в др угие пр -о•странства.
Прив;ед,енные геометрические понятия, связанные с п-м е рным
евклид-:ов ым ~п:ростра1нством и его точками, могут ,быть значитель,но
о бобщены. Для этоr,о в-ведем [юнятие Л'Инейного ,пространства .
Если з а да,нная на нек·отором множестве элементов операц,ия
сложения к.оммутативпа, т. е. есл 1и п,ри сложен и:и элементов х и у
множест;ва справедливо ,соот,ношение (х+ у= у+х), а о•перация,
r.:вяза,нная с ум.нож,ением элементов •на число 'А удюв летво.ря ет
дистр ибутивному зако1ну ,[т. е. л (х+ у)= 'Ах+ 1,у], то гов,оrрят, что
66

данное множ~стJю вместе •С указа,нными опе:рац·ия,ми образует ли­
нейное пространство, а его элементы [10 а~нал-отии с п-,мерным евкли­
довым пр,остра1нство,м ~называют точ,ками или ве,ктораМ'и этого
пр,остранства (54], х+ у и лх я,вляются эле,ментами линейного прост­
ра:нства.
Линейное простра.нств,о называется метрическим, если для каж­
,дых двух его элементов х и у определено понятие ра,сс'Гояние d(x, у)
как неотрицатель.ная величи1на, удовлетворяющая ,следующим ак ­
сиомам:
1. d(x, х) =0; 2. d(x, у) =d(y, х); 3. d(x, у) ~d(x, z) +
+d(zy) 1).
(1.147)
Р ас,стояние, удовлетвоiряющее а1ю11ома,м ( 1.14 7), может быть
в.ведено многи,ми способа.ми. Правило, по которому 011ю ввещеяо,
называется метрикой да1нного ,метрическоnо пространства.
Линейное 1про,странство на'Зывается нормированным, если для
его элементов х (т-очек ,ил1и векторов) задана норма llxll, удовлетво­
ряющая 11рем аксиомам:
1. ll xlJ;,,,o; 2. 11\xll =IЩlll xll; 3. llx+yll,;:;:;l ixll +ilull. (1..148 )
Линейные нор1~шрова1н:ные _ ,пр,осТlранст.ва относятся к мет.ричес­
ки,м, в IНИХ можно, в ча,стносТ1и, определять ра,ес-юяние как· н,о-рму
раз,ности, как это и ,сдела.но для пространства Евклида.
Пространства, кюторые будут ра,осмат-риватъся в даль·нейшем,
относятся к чи ,слу яо·рми,роваю-1ых.
~"'
В юrней1Но.м пространстве можно а•ксиоматически ввести поня­
тие скалярного произведения двух элеме.нтов (век-юров), пр:иписав
е·му ,следу ющие 1свойст.ва:
! . (ху) = (ух); 2. ({x+y]z) = (xz) + (yz); 3. ф, х]у) =Чху);
4. (xx)=t=O.
(1.149)
Через скаляр1ное п,ро•извед:ение всегда можно О'Пределить норму ,
положив
llxll= ✓ (хх).
(1.150)
В этом случае говорят, что норма порождена скалярным произ ,
ве,д;ением, а нор·мир,оваНlное линейное пространство с такой .нормой
называется евклидовым ил,и гильбертовым ,в ·зависимости от того,
конечно или бесконечно число его измерений. Так, в ,ча,с11ности, гиль,
бе,рто:вым я,вляет,ся прос'fiранство ,в,сех нелрерьшных ,функций apry•
мента t, заданных на и~нте;рвале O~t~T, для ко'юрых операция
1) Условие три часто называют условием треугольника, ибо оно напомин.ает
соотношение длин его сторон.
3*
f,7

сложения и уr,шожения на число задается обычным образом, а ска­
лярн о е iПрон зведение оп-ределено соотношением
т
(x( t )y(t) ) = +S x(t)y(t)dt.
(1 . 151)
о
Эrо п р остранство обозначае1,ся L2. Норма вектора x(t) в простран­
стве L2 в оо·гла,ши с (1.150) задается как .корень квадратный из
скал,я р,н,ого произведен·ия ,векто.ра на самого себя:
ll x (t)II= v-+Sx2 (t)dt.
(1.152)
о
За ,мети м, что ф - ла (1.152) раскрыва •ет физичеи;ий :·:-.1Ысл нор ­
мы. На при м ер, если сигн ал x (t) имеет размерне,сть н апμ:,~же ;ш я,
то нор ма llx(t) 11 - эффективное значени е напряжения, а квадрат
но:рм ы - ,средняя мощность ·оигнала. Распояние между двумя век ­
тора ми в ,п,росгран·стве L2 ·опр е деляется соотношением
d ( x, y)=llx(t)-y(t)II= }/ +J[x-(t)-y(tJJ2 dt , ( 1. 153)
о
С опо-ставляя (1 .151), (1.152), (1 .153) с ф-лами (1 . 142), (1.143),
( 1.14 4), -можно отм е тить, что :пространство ГТ!л,берта L2 получается
и з 1про,стра н ст;ва Бв1клида R2 с ,координатами , ?- , _
VY~ при стрем-
.
rп
п
л-ении чи-сла его ·из,мере:ний n-+oo.
С ,щругой стороны, пространство Евклида мож,но рассматризать
как 'Пр остранство функций, заданных в n=B отсчетных точках .
Следов атель,но, п,ростра1нств.о непрерывных функ ций с дискретным
в р еменем м о ж но расс, магри1вать как пространство Евклида.
• Д л~я наших целей про , стра~нство L2 особенно важно, так как
nовволяет распространить общие геометрические представ л ения на
непр ер ывные (во ,времени и по УRОвням) сигналы и помехи. Эти
функди и м ы будем изображать векторами, длина которых рав,на
и х норм е в гильбертовом ,простра н стве, а угол 0 между двумя та ­
ким и в екто р ами , как и ,в евкли довом ,простран,стве , о:предел ит,ся
оогласно (1 . 145) их скалярными произведениями (1.151) и нор­
мами (1.152).
Д.т1я примера :в ·ооответствии со сказанным на рис . 1.23 изображе­
ны на пло'око сти в 1вище век11оро:в два ·сигнала дл1ительностью
Т s ;(t) и s; (t), на один из которых ~накладывается ~помеха u(t) .
Р асстояшие 1межщу оигналами s; (t) и s;(t) (,между ~онцами ·из ­
r>бр а ж ающих и х ве-кторо'в) определяеТrся норма ,ми соответствующих
, векторо1в (т . е. оредней 1\ЮЩJ-юстью сигналов) и углом между ними
(и х с к алярным ,прои,зведе,нием) . Из Р'ИС , 1 . 23а ,видно , что даже
68

нез1начителъная, по сравнению с сигналами, помеха u(t) может
перевесТIИ s; ( t) в s; ( t) (что iflриведет к ошибоч1юму ттрие,му), е,сли
уг,ол 0 мал. На 1рис. 1.236 та же по :,1ех а u(t) уже не опособна су­
щест:венно устра1нить различие между сигРалами s;(t) и s; (t); при
соотве11ст,вующем методе приема эти два сиrшала будут различать­
ся и ошиб:ка 1В ,П!риеме не произойдет.
а)
d::3
•
Тi(t)
в
.
о
s';(t)
Р.ис. 1.23. Г,еометричес,кое прЕщ,ста ,вление ,в линейном простра1нстве
Г.иJiьбе,рта .не,прерЬ11в.ных, за:данных ,на огра ,ничен,но·м временном
интервале реализаций сигналов и помех при углах между двумя
реализациями сигнала:
а) малом; 6) большом
Две функции времени, рассматриваемые как векторы евклидова
или гильбертова пространства, называются ортогональны.ми, е·сли
их скалярное 1про1изведение ра,вно нулю. Такие функции изобража ­
ются пе.рпе1ндикуля'Р'ными д1руг к другу векторам ·и.
В гильбертовюм 1прост,ра.нстве существует бесконеч1но (несчет­
н,ое) м,ножестаю функций, :каж.цая ла1ра которых ортогональ-на друг
другу. В пространс"Гве Евкл:ид,а их число определяете-я размер­
ностью .про,странства. Всякая такая со:вокупность функций .назы ­
вается ортогональной системой фун,кцuй . Та1ким образом, систе,ма
функций v1(t), v2(t), ... , vn(t) ортоюнальна, если
т
-
1- \ vk(t),11(t)dt=O, если k=!=l .
т"о
( 1. 154)
ОртоГО1нальная ·система {vk(t)}. называется полной в г,ильберто­
вом или евклидо~юм пространстве, •е,сл'и ~сякая входящая в •нее
фу,ющия Vk(t) неорто'го-налына со в-семи ф)'lнкциями v(t), не содер­
жащимися в да,нной анстеме.
Можно от системы {vk(t)} перей~и к системе {cpk(t)}, полож·ив
q>k(t) = Vk (t) , т. ,е. ,разделив функц·ии Vk(t) на ,их нор.мы.
i\Vk(t)II
В этом случае будет ,выпол1няться условие
т
_ 1 scp1,(t)r:p1(t)dt= { О, если k=!=l,
(1.155)
Т
1, если l~=i.
о
С·и,стема функций {cpk(t)} называется ортонормированной. Орт,о­
нориирО1Ванна,я си,стема называется пол,ной, если 011а получена из
полной ортогональ,н,ой системы .
69

В гилыбер.то.вом или евклид,овом про1стр ,ансwе ·существует бес­
конечно много разли·чных полшых ор11онорм:и,рованных систем функ­
ц1ий. Каждую .из них ~можно ра,ссма,т,ривать ка1к ортого,наль'ную коор­
динатную систему, а входящие в нее функции отождествлять с
ортами этой координат.ной системы.
Легко :показать, 'Ч'Ю в .гиль:берrово,м или евклидовом про,стран­
с11Ве всякая функция x(t) на интервале ,[О, Т] может быть п1редста,в­
лена в виде разл,ожения (,в виде ряда) по фун:кциям .ТJюбой полной
ортонор,мированной системы, на,зЬшаемой базисом. В самом деле,
пусть дана полная О1ртонорм'ированная система (баэи,с) {cp1,(t)}.
Зап~Ишем функцию x(t) в виде ряда
п
x(t) = ~ ak<pн(f)
(1.156),
k=I
и найдем, чему должны ра'Внятьоя коэффициенты ak этого разло­
жения. Для этог.о обе ча1сти (l.156) акалярно умножим на <p1(t)
[x(t)cp1(t)]= l: aki[<pk(t)cp1(t)].
( 1.157 )
k=I
В силу ортонормнроваш1но·сти системы {<pk(t)} rв правой части
( 1.157) нее слагаемые ,суммы обращаются в нуль, кроме одного,
соответствующего k = l. Это 1по,следнее слагаемое равно а1, ·ибо
[<p1(t) <p1(t)]. Следователъ,но, имеем
az=t[x(f)cpz(t)].
(1 . 158)
Соотношение (1.158) и я1вляется фо1рмулой для нахож\дения ко­
эффициентов в разложен~ии (1.156).
С геометрической точ~и з,решия разложение (1.156) рав1но з начно
представлению в,екrора x(t) в виде суммы его ортого·наль:ных со­
ст1а'вляющих в ,пространстве R2 или L2. Коэффиц·иенты az - это коор-
--+
динаты вектора x(t) в ,системе {<pk(t)}. Разложение (1.156) назы-
вается прмставле,нием функrщи x(t) в виде общего ,ряда Фурье .
В :ку,рсе .высшей ,математики д:оказыва,ется при этом, что е,сли коэф­
фи'Циенты ,ряда (1.156) опред:ел·е·ны согла,сно (1.158), то ряд э ·ют
а,п1п1роксимирует функцию с минималыной среднек,вад•ратичной ошиб­
ко й . Пр'Ивед е1Ншый ,выше ряд Котелынююва тоже является приме­
ром общего ряда Фурье, •но с орто1нормированной сист,емой фуню.r:ий
sinх Е
u
типа
-
..
ели в качестве о·ртонормированнои системы взять
х
сист'ему триго,rюмет,рических функц:ий:
1; -(~соs2л t; -y2sin2л t; V2cos4л t; -(2-sin4л t • • •, (1.159)
т
т
т
т
то (1.156) в этюм •случае ~представляет ,оо6ой оrбычный ,рящ Фурье.
Гео1метр1ическое :пред'ставление ,сиГ1Нало1В нам<и будет широко
использовано в гл . 8 п1ри ,раосмотрении во1про,сов линей,ного уплот-
70

вения систем связи. Там же ра·ссмотрим представление функции
в ,виде (1.156) с нескодько более общей точ,ки зрения - как пред ­
•Ставлен.ие некот-о·рого сигнала (•вектора) через совокупность (базис)
линейно независимых векюров (фующий).
Такой :п()(Дход широко используется в анашитичес:кой геометрии
.и подробно ,о•свещается в ,специальной математической лттtrературе.
Ортого~алыная ,система функций - 'Частный, но на·иболее рас­
пространенный ,на .практике пример системы (ба,з:иса) линей1но не­
зависимых функций.
Та,кая си-стема фуш1щий широ.ко используется в технике связи
ка,к 001во.куrпность канальных сигналов {s,,(t)}. Подчеркнем, что
е,сли эти сигналы ха,рактеризуются баз,ой В= 2FT, т. е. представля­
~011ся в n = В - мер·ном прос11ра•нстве Бвклида с базисом размера п,
то для у,велrичения ,количест,ва та1к·их сипналов (т. е. для передачи
,большого ч·исла различных ,соо,бщений) необходимо о1ли ув-еличIJ ­
вать их длитель,но,сть Т, или расширять IПОлосу ча•стот F.
Иногда ·в тех.ю1rке связи иопользуется ,биортогональная система
,сигналов {sk(t)}, отличающаяся тем, что любой сиг,нал системы
. sk(t) имеет ·себе проТ1ивоположный - s,i,(t) . Ясно, что при задашюм
В =2FT число сигналов этой аисте.мы равно: 2В =4FT.
Широкое раоп1ро,стра·нение в техшик,е 1свя.зи имеет с·истема сиг­
нал,ов {s,, ( t)}, удоsлетв-оряющих условиям о.ртогоналын.о,сти в уси ­
ле;нном смысле 1[53] :
л
т
-- # -- Ss,Jt)s1(t)dt= О, если k=i= l,
о
т
1('
л
тJ s,,(t) s1(t )dt= 0 для всех!? и!,
о
( 1.160)
(1 .161 )
где s1(t) - сигнал, ~о•пряженный сигналу sz(t) (см. параграф 1.7).
Если ,в какой-либо систе,ме сиг:налов, орТ1огональной в усилен­
но м с м ысле, исполызо,вать сигнал S1<(t), то ,в этой •системе уже не
л
может быть иопольз.овю-r оrртогональ·ный ему -сигнал s,,(t), ибо это
за1прещено условием ( 1. i 61). По этой ,приrчине ,при зада,нной базе
В= 2FT число силналов в си сте ме, о·р'l'огональной в уси ленном
в
смысле, -
=FT.
2
От м етим тffilepь некоторые особенности :простра,н,ств, ·предна ­
значенных для отображения оигналов (,сообщений, ·процессов), дис ­
кретных не только во времени, но и по состояюшм (уровням). Та ­
кие сигнал ы, оодержащие п элем~нтов ('разрядов), могут харак-
теризоваться п-,ме;р;ным вектором х= {х1, Xz,
... ,
Хп}, особен1Ность
1юторого заключается .в том, что все еrго координаты могут прю1и­
мать л1ишь диrок1ретные значения, которые мы обоз·начи м чер ез
О, 1, 2, ... , т (т - чи,сло дтт-ск,ретных состоя•ний элементов сигнала).
71

На р1и,с. 1.24 показано по,строе1ние в З- ,мер1ном пространстве 8 двоич­
ных сигналов, соответствующих трех,раз-рядным J(ом6и:нациям: ООО;
001; 010; 011; 100; 101; 110; 111 (n=З, m=2). Им геометрически
х
100
Ри1с. 1.24 . Пре:дстав,1ение
д,в.оичных оигналов в трех­
мерном линейном простран­
егве
соответствуют вершины 3-.мерного ку­
ба ,с ед:инич.ными г,ра1нями. Бели дво­
ичные сигналы содержат п разрядов,
то .им геометрически соответствуют
вершины гиперкуба с едщшч.ными гра­
нями в пространстве с п-измерения:ми.
Операцию сложения (вычитания)
элементов такого пространства прихо­
дится оговаривать особо, если мы хо­
тим ·в результате этой операции полу­
чить элементы, дозволенные в да ·нном
пространстве. Для этого вводи т:ся опе­
рация ~ложения (вычитан.ин) по мо­
дулю т(тоdт). Поясним эту опер а ­
цию 1для ,случая m=2, т. е. когда ди-
·скрет.ные сигналы могут принимать
л1ишь 2 з~начени,я: О и 1. Правило ,сумми•рования (вычита1ния) эле­
ментов «1» и «О» по модулю 1 таково:
1± ,1=0 0±0=!0
0±1=1 IO·±O=l
Такие операди~и очень часто встречаются при а1нализе двоич,ных
кодов, в эле,ктр'И'ческих ,схемах они лелко 1реализуются с 1помощью
различных устройств триггер,ного типа.
Сущность сумм:иро•вания ,по ,модулю 2 заключает,ся в том, что
результат ра,вен ,модулю суммы (раз:но,сти) эле-ментов, если этот
модуль меньше двух, ,и равен остатку от деления модуля суммы
(разно,сти) на 2 в ,п,ротивном случае.
Умножение элемент,ов «О» и «1» выполня~т,ся обычно : 0-0 =0;
0-1 =1 ·0=0; 1-1=1.
При суммировании (~вычитании) ,по модулю 2 ,многомер·ных век­
торов с дискретными эл ·еме·нтами справедлива операц,ия :nоразряд­
~юго их сумм·и1роваюrя (выч,итания). Так, 1при сложении (вычита­
нии) ,по модулю 2 нижеследующих во1сьмиразрядных ,двоичных
сигналов имеем:
;=10001100
....
у=001 1001
(1.1 62)
;= mod2(:;:"+у)=1О11ОIО1
Подчеркнем, что сум-мирова1ние и вычитание двоичных сиrшалов
дают одинаковый результат . Линейные !Прос-гранст.ва для дис,крет­
нъrх сигна лов относятся к разряду нормированных и ,метрических ,
для них можно ввесrи понятие окаляр.ного произведения и но ·рмы
согласно (1.142) и (1.143). Метрика же (способ из,мерения ра,сстоя-
72

ния) в та1ких 1прост,ранствах чаще всего определяется для дво-ичных
с,игнало1Б по Хем-м'И>нrу 1):
п
d(-;, у)=~ mod2(x;±y;),
(1,163)
i=l
т. е. ,01на определяется ,сло ·жением результатов ,сумми·рова,ния ·
(1выч;итания) .по .м,одулю 2 одноименных раз-рядов. С учет-ом ,изло ­
женного выше ясно, что раостояние :по Хем,мингу ошределяется чис-
-
--+
.rroм разрядов, в к,оторых векторы х и у р~зли~ю'ГСЯ. Так, расстоя -
ние по Хе.мм:и~нгу между комби~ациями х и у 13 (1.162) рав,но 5,
т. е. числу еди,н.иц в комбинации z. Очевидно, что метр·ика Хемми1нга
удовле11воряет условиям ( 1.147). С геометр·ической точки зрения
рассrояние по х~ммингу О'предеu1яется •минимальным числом ребе~р
куба между точ:к,ами •со о11ве11с'Гвующих ,сигнаu1ов (1р·ис. 1.24).
В за1ключение этого параграфа отме'J\и ,м, что введенная выше
rеометричеокая интерпретация ,сиг.налов (со.общений) цеu1ико1м опра­
ведлива и для случайных процессов с тем, одна,ко, отличием, что
координаты соо11ветствующих простра,нств ·следует считать случай­
ными числами, а сходимость сумм и интегралов понимать в среднем.
Контрольные вопросы
1. Как геометрически можно представить сообщения, сигналы и помехи в раз ­
личных точках канала связи?
2. Что такое линейное пространство? J<:акое линейное пространств·о называют
метрическим и нормированным?
З. Как вводится понятие -скалярного произведения в линейном пространстве и
угла между двумя векторами в этом же пространстве?
4. Как определяются линейные пространства Евклида и Гильберта? В каком
случае сигналы связи (сообщения) представляются в пространстве Евклида,
в 1\аком - в пространстве Гильберта?
5. Как вводится расстояние ыежду двумя векторами -в пространстве Евклида
и Гильберта?
-6 . Что такое полная ортогональная сист.ем а функций (базис)? Чему равно чис ­
ло функций базиса (полной ортогональной системы) в пространстве Евклида
и в пространстве Гильберта?
7. Почему две функции, сопряженные по Гильберту, ортогональны?
8. Что такое общий ряд Фурье и как определяются коэффициенты этого ряда?
9. Что такое биортогональная система сигналов?
10. Что такое ортогональная в усиленном смысле система сигналов?
11. Каковы особенности линейных конечномерных пространств, отображающих
дискретные по состояниям сигналы , (сообщения)? Как для них вводится
операция сложения (вычитания) элементов?
12. Как измеряется расстояние по Хеммингу между двумя двоичными сигна­
лами (векторами)?
1) По имени американского ученого Р. Хе мм ин га, получившего эту мет­
рику [57].
73

1.11 . ФИЗИЧЕСКИЙ ОБЪЕМ СИГНАЛА И КАНАЛА СВЯЗИ
-Сигналы, помех·и 1и каналы ,связ1и часrо опрещеляют ха,ра~пери-·
сти1кой, называемой физиче~ск1им объемом.
Под физическим объемом сиnнала Ve понимают ,произведение·
трех -его физических хара:ктеристик: Те - длительность сигнала ,.
Ре - ширина ,спе,кт,ра ча·стот сигнала, De - динамическ.ий д'Иапазон
у-ровней сигнала ('по -мощности):
Vc=TJcDc,
(1.164)
Смысл характеристик Те, Ре мы уже объясняли ра:нее, а под
De будем понима'Гь следующую вел1ич1ину, измеренную rв децибел­
лах:
D=10]аРтах
·
е OPmin1
(1 ,165)
где Ртах - •ма1к1симальное з-начение мощности реал1изац.ий сиг,нала
длитеJшностью Те, полученное уореднением во вре,мени; Pmin для
непрерывных сигнало 1в - это млн:1+малыное з.начение мощности реа­
лизации, а для щискре1iных сигналов - минимальное -значение мощ ­
ности равности ближайших реализац'Ий, полученное у,сред:н ением
во в,ремеши.
Показатель Ve чаще :в,сего ха1рактеризует весь а.нса,мбль исполь­
зуемых в да;н,ной ,систе,ме сrвяз·и ситналов. Иными ,слоrвами, этот
па1ра,метр ха:рактер ·и:зует -сигнал ,ка,к ,случайный проце,сс. Пр·и этом
1rщд Те понимают среднюю длительность сигнала, под Ре - ширину
его э.нергетического спектра, а по,д Ртах и Рт;п 1прл определении Dc
для ансамбля с неог,ра.ничен;ным число1м ,реал,изаций можн,о по­
ни,м,ать значения уров1ней мощности, которые ооответст1вЕш1но превы­
шаются и не превышают,ся .с -ка,кой-то заданной малой вероятностью .
Физический объе,м сиг,Нала - весыма важная его ха1ра,ктеристика,
позволяюща1я оце,нивать трудности, связанные с его ,передачей.
(Чем больше объем сигнала, тем труднее его :передавать по каналу
связи.)
•
Заметим, что 1при заданном динам,ичееком диапазоне объем сиг­
нала Ve ,пропорционален его базе B 9 =2.FcTe.
Практичеоки в условиях шумов в канале уровень мощности
Pmin определяется ,сред,ней мощностью шумов ,в ,канале Рш, и в-место
( 1.165) можно на1писать
D -10,0• Ртах
е-'1--
"'
Рш•
(1.166)
Связывая у,ро1вень Ртах с ус.ре~ненн1ой :за достаточно ·,большой
интервал нремени мощностью С1Игна.rrа Ре, можно ,1-шписать
Dc = 10 lg(.11-2 ~J,
Рш/
(1 .167}
где k2 = Ртах зави - сит от статистики онгнала. Отношение средних •
Ре
74

"
Ре
.
мощно1стеи сиг.нала и шума -
ч,ас'Го в,с'Гречает,ся в анализе и на-
Рш
з ывается про,с110 отношением силнал /1шум.
Приведем некоторые данные, характе,ри з ующие физические ха ­
ра,кте1ристики первичных оигнало,в различных видов связи. При
передаче диоК!ре11ных сообщений (например , телеграфная связь)
пер,вичный сигнал предста·вляет собой чаще в,сего последователь­
tюсть :двоичных импуль·сов, •пр1иче,м ширина спектра та1юго сиг,нала
F с з а,висит от дЛ'ителыности элемента,рных посылок Т с или от ско­
рости телег,рафир·ования в бод ах:
V[бод] =
(1.168)
кото'Рая определяет количество им1Пульсо.в ,в единицу време;ни ( 1 с) .
В наиболее раопрост~раненных телеграфных ,системах с а,ппаратами
тиmов Б,одо, СТ-2 скорость передач1и v=50 бод (или Те=-;- =
1000
)
=
50 = 20 мс , а ширина спектра 1пр1имерно рав,на 50 Гц. Отдель-
ные ,реализации могут ха ,рактеризоват ь ся ка1к большей, так и мень­
шей полосой спе,ктра.
Та,к, нап1ример, у реал.изации, для к:оторой ха,рактер.на перио1ди ­
ческая mе,редаrча 1импуль,сов разно'l'о з.на.ка ,длителънос'Ги Те , чае110-
.
J·V
та основ1ното тона F1 = -
-
=
-
, и есл1и полосу ,частот огра'НG-iЧ'ИТЬ
2Тс
2
"
"
Fз7-Г
третьеи тармо,ниыои, то , c= -v = ь д.
.
2
Суще,сrвуют и быстродейству ющие системы .передачи данных
(особенно в л~ро<1юдных -ка,налах), в ,к.о·юрых !Передача 01сущест,вля­
ется оо скоростями !Iюря~к,а тысячи и десятка тысяч бод . При этом,
естественно, требуется .и •более широкая полоса частот Ре . Энерге­
тическая ха,ракте:ри,сти,ка Dc для 1дискре"Гных сигналов (,определен­
ная согласно 1.167) оiПределяется той !Верностью , которая долж,на
быть обеспечена 1Пр1и ,пере,даче сообщ ений (ем . гл. 6) .
Первичные ,сигналы телефонии , ,вещания, телевид ения, конеч ­
но, более сложны, чем сигналы телеграфии. :Прежде ,всего, эти
сигналы непрерыв,ны во времени и по уронням 1) . Динамическ·ий •
диапазон ,речевых ,сигналов до,стигает 30 дБ, а при художествен­
ном чтении - 50 дБ. При исполнении же, на·пример , симфоничес­
кой муз ыки этот д·иаmазо•н расширяется до 70 дБ. Динамический
диапазон телевизионных сигнало,в невелик и определяется диапа1зо ­
ном ра з личимых градаций ярко ст.и (,порядка 18 дБ). Сигнал фото­
теле,графной связи х ара•ктериз у ется динамиче ски м диа~ 1а з оном по ­
рядка 30-35 дБ и пол,осой частот (,при наиболее употр е бительны х
опосо б ах развертки и з ображения) порядка 1000 I 'ц .
1) Здесь мы не учитываем ряд вспомогательных •сигналов телевндения, име­
ющих дискретную природу (сигналы синхрониза1щи).
75

Полоса ча,стот сигналов телефонии и вещания определяется
свойстsа,ми человечеокого слуха. При обычной телефонии, где ка­
чество в основном оценивается разборчивостью речи и возмож­
ностью узнать собеседника ло голосу, до,ста-rочно передав а ть ча­
стотьr в пределах 300- 3400 Гц (Ес = 3,1 кГц) . При веща,нии , когда
предъявляются 'Гребо,вания перещачи оттенков звуков (тембро•в),
требует,ся полоса ча,стот !Порядка 8 кГц, хотя, вообще говоря, удо­
влет-ворительное качество приема обеопечи,вает и полоса в 5 кГц.
Полезно в,спомнить, что ухо человека обычно не воспринима е т зву ­
ю1 с ча-стотами выше 15-18 1<1Гц .
Требуе-мая полоса ча,стот ,при телевидении в осно·вном опреде­
ляется требованиями качественной передачи мел,ких детал ей из­
ображения. Согласно телев1и з нонному ста,нда·рту Советского Сою­
з а требуе'I'ся четкая ,передача 625 ,строк в .пюбом кадре, а вдо.пь
одной строки ~ · 625 элементов, ибо ширина кад1ра относится к его
3
.
высоте как 4 : 3, Таким обра з ом, каждый кащр телевизионн о го сооб-
щения •должен ,содержать+ • (625) 2 э:1ементов. Для ~непрерывного
восприятия изо1бра:ж ения (как и в кино) у,ребует,оя ·п ередача
25 кадров в секушду. Следо,вательно, за 1 с в телевидении должно
4
быть перещано 25• -
, (625) 2 = 13 -10 6 элементов.
3
Если представить •себе реали з а1цию телевизио,нных кадров в ви ­
де черещова ,ния черных и белых элементов (когда сигнал ,скачком
меняе'!'ся при пе,реходе от черного к белому и, слещо;вательно , тре­
бует ·максимально воз,мож,ную полосу ча,стот), то ч•исло п ер иодов
та1юго , сипнала в одну секунду
~з . ~ов = 6,5-106 Гц.
2
Эту ,величину ,и можно принять за требуемую полосу ча,стот в со­
времеiнном телеви:дении. Та ,кая полоса оказывается достаточной и
тТх
Р.ис . 1.25. Объ·емы сиг.нала и
, канала
76
для передач.и цветных телевизио .н­
·н ы х программ.
Аналогич.но (1.164) можн о вве­
сти и характер,истику, называе,мую
физическим объемом канала связи
или емкостью ,канала:
( 1.169)
где Т1,f'нDк - соответственно время
:1опользования ка1Нала, полоса про­
пускаемых и·м частот и динамиче­
скии диалазо·н уровней, который он
про;пускает (без заметных искаже­
ний).
На рис. 1.25 изображены геомет -

рические аналоги ф - л (1.164) и ( 1.169) в виде соответствующих
параллелепипедов в трехмерном пространстве . Для неискаженной
передачи ло каналу сигналов с объемом Vc необходимо выполне­
ние неравенства (см. параграф 4.5)
Vc~V 1, .
(1.1 70 )
Преобразование первичного сигнала в к ана .,tьный часто и пре•
следует цель еогла'со·вания объемов сигнала и Еанала. На прак­
тике передаваемый по каналу связи сигнал co rласонан с каналом
по всем трем параметрам Те, Ре, De. При это м обеспечивается вы­
ттолне,ние услозий :
(1,171)
а также согласо'вание сиг.нала и канала в пр еделах обших инrе~­
валоn време:ни, частоты и уровней . При указанных условиях объе l:
канального си г нала полностью «вписьгвае-~,ся» в объем к анала
(рис.1.2.S).
/
Простейши(1 пример указа~нюго выше согла ,оо;вания пар\J.М4=r-ров
сигнала и канала при услов:иях Vc= Vн, Dc=Dн и согласования
сигнала и канала в пределах общих интервалов времени, ча стоты
и уровней - это ·обе,спечение соотношен ия
1'
ТJк=ТеFс=__!_к__
(1.172)
Dк
Если, скажем, Те< Тн, но Fс >Fн, о,суш ествляется замедленная пе­
редача сигнала с соо-~,вет-ствующ:им сужением его опектра . Другой
при мер. Если при Т е = TI{ надо обеспечить ршвенство Vc = Vн, •НО
Dc>D1, (энергет:ическая характеристика сиг,нала не согласована с
• возможностями канала), а Fe<Fн, то м~жно у,1е1~hшить пиковые
значения сигнала, а 1кач~ство связи сохранить неи1мениым путем
расширения занимаем-ой сигнало м полосы 1 1зстот (например, пе­
реход к более широкополосной системе модушщии, см . гл. 7).
Контрольные вопросы
1. Что пони ма ют под динамическим диапазоном У[У,вней сиrнала и под объе •
мом сигнала?
2. Каковы значения д и намического диапазона и полосы частот сигналов различ­
ных ю(дов связи?
3. Что понимают под характеристикоtr, назыв ,1.е~ 101J ем"о: . гью Еанала (или физи­
чески м объемом канала)?
4. В чем заключается проблема согласован н " сигнала i1 Кilнала по нх физиче~
скнм характеристикам?
77

2 ГЛАВА
Модулированные сигналы
2.1 . ВИДЫ МОДУЛЯЦИИ. МОДУЛЯЦИЯ И ДЕМОДУЛЯЦИЯ
Передающее у,стройств·о системы ,связи 1вырабатыва·ет оначала
первичный элек11рический сигнал b(t), например, на,пряжение меж­
ду оп-ределен,ными точ,ками цепи, ыоторое, меняясь ·в,о времени,
непо,сред,ственно ,отражает то или иное 1передавае,мое оообщение
a(t, х, у,,;). Бели так,ой ,оилнал споса6ен раопространяться в физи­
ческ,ой среде, ,меж:Цу mередающим и прием.ным устройстваМIИ систе­
мы связи, то без дальнейших преобразю1ваннй он может служить .
переносчиком (несущей) пе,ре1да'Вае:vюй информации.
Од:нако чаще 1первич:ный ,сигнал ,не может ра,спространяться в
среде между ·передающим и приемным устройства,м.н (так, напри­
мер, телеграфные ,посьшки ~постоянного 'ГОКа не могут излучаться
в виде радио.волн). Кроме тог-о, в практике ,связи :в одн,ой :и той же
среде линии связ,и долж,ны, не мешая д'руг другу, пе,реда 1вать сиг­
налы от несколыких ,ис·ючни,к,ов (1п•редназначе1нных ,не.сколыким ад­
ресатам оистемы в многока1нальной связи). Указанные обеюятель­
ства мо•гут проявляться и сов-м естно. В та-ких случаях щля ,передачи
п:ер1Вичных с,игнало,в (а следоазательно, и -оообщений) ~используются
опециалы-1ые переносчик.и - электрические процессы, способные
распрос:гращпЬ'ся в за1да1нной линии связ·и. Чаще всего 'В :качестве
переносчика иопользуе'l'ся гармониче,ское электрюмат,н1ит1-, о·е к·оле­
бание f(t) = Ua :cos (ffiot+cpo) с определеН1ной ам1плитудой Ио и до­
стаrгочно высок,ой 1) ча•сто той ffio. Возможны и щругие (не-гармони­
ческие) [Iе;реносrч•и,ки, напр.имер последоват·елыность видео- или ра­
диоим1пульсов длительностью ти, следующих че-рез ра1В'ные п-роме­
жут~и времени Тп, и даже шумоло,д;обные ,несущие (см. гл . 8).
На рис. 2.1 показаны гармонический и имmульоные перено,счики
'Первичных сиnналов.
Сущность использоваtl'ИЯ пе,р,ен-осчика пер.в·ичных сигналов зак­
л ючае.т,ся в том, что оди,н из его параметр.ов (а ,и,ногда и не,с,(оль­
ко неза'Висимых параметров) из,ме·няется во времени :в соответст -
1) Частота шо определяетс я усл овнями ра сп ространения колебания в среде,
а· также общей ш:1риной полосы ча стот , за нимаемо~1 сигналом.
78

вии с :изменением пер,вичнюго сигнала. Та1кое . преобраз,о~ва,ние пере•
носчика называется модуляцией. Первичный сигнал в этом случае
назы,вает-ся модулирующим сигналом. Устрой,отво модуляции назы­
вается м,одулятоiром.
Сигнал, полученный в результате мощуляци,и а~е,ре,rюсчика, на ,
зывает,ся модулированным. Он и я~вля.ется ка ,нальным сигналом
s(t). Для того чтобы на п,рием ­
ной стороне системы связи из ­
вл.ечь первичный (модулирую­
щий) сигнал из модулированно­
го переносчm{а, необходл,ма опе ­
рация демодуляц,}НI. Ус11ройства,
осущес111:1ляющие демодуляцию,
ча,сто .называют детектора•ми (об ­
наружюелями). Характер преоб­
разо,ва·ний мо~дулиро·ваннюто сиг ­
нала !Демодулятором определяет­
ся в;,щом модуля~ци:и сигнала п,ри
передаче.
Рас1смотрим возможные .в,иды
модуляции гармонического пере­
носчика f(t) =U ,cos(wt+cp). При
отсутствии моtдуляции несущее
колебание 01пределяется ·своим,и
тре,VIя по ·стоянными параметра­
ми: U(t) = ,И0-а,мпл итуда; w(t) =
= wа -•мгновенная
ча ,стота; cpt=
=ера - ··
началь:ная фаза. Изме­
нять в соотве11ствии с изменени ­
ем модулнрующего ,сигнала мож­
но любой из этих паrаметро,в. В
связ;,~ с этим разш-1чают три ви­
да
модуляци ,и:
.а. мш1итудную
(АМ), частотную (ЧМ) и фазо­
вую (ФМ). В .каждом из ,пере­
чи·сленных случаев ~неискаженная
Ри с. 2.1 . Разл1 1чные виды пере,
носчи11юв, использ~емых в тех­
•нике СБЯЗ.И:
а) гармоническая ,несущая ;
6) видеоимпульсы; в) радио­
им,пуль·сы
модуляция заключается л том, что соответст:вующий па.раметр iПО·
лучает приращение, пропорц,иональное модулирующему ,сигналу
b(t). Так имеем:
АМ И(f) = Ио+Ка•Ь(t)= Ио+ЛИХ(t),
ЧМ w(t) = uJo+кчb(t) = ,w0 +Лcox(t),
ФМ - cp(t) =сро+кФЬ(t) =cpa+tнpx(t),
где x(t) = b(t)
-
нормированный модулирующий ,сигнал:
1 Ь (t)lтa.t
ЛU--кa j ,b(t)l,nax," Лw = кч l b(t)l max," Лср = Кф jЬ(t)l тах ;
(2.1)
(2.2)
(2.3)
79

Ка, Кч, Кф - 1крутиз1На характеристик а'мплитудного, ча1стот,ного и
фазов,ото мо,дулято1ров соответственно.
Анал,итическ,ое выражение для АМ колебания за1писыва,ется с
учетом (2.1) ,в виде
sлм(t)=Ио[1 + ЛИ~ x(t)] cos((J)ot+epo).
(2.4)
При обычной ам111литудной модуляции следует ,позаботить,ся о
том, что,бы mеременная амплитуда (2.1) не принимала отрицатель­
ных значе,ний. В противном случае возникают ис1,ажения (пере­
модуляция), делающие невозможным правильное детектир (;R ание
даже •при помощи неиокажающего («линейного») детет, J ера оги-
бающей.
•
Поскольку lx(t)l~1, то параме'Гlры ЛИ, Л(J), Лер в ф-лах (2.1) -
(2.3) определяют максимально возможное приращение модулируе­
мого 111араметра и ,называются соотnет,ственно девиацией (,маК1си­
мальным приращением) амплитуды, частоты и фазы.
При АМ во избежание перемодуляции необходимо, чтобы отно­
ЛИ
сительно,е изменение амплитуды -
удовлетворяло неравенс11ву
Ио
ЛИ =т = Ка/Ь(t)lтax ~1.
(2.5)
Ио
Ио
Параметр т называют коэффициентом модуляции. Коэффициент
модуляции, выраженный в процентах, т. е. величина т-100%, на­
зывает,ся глубиной АМ.
При ФМ аналитическая запись модул,ированного колебания с
учетом (2 .3) имеет вид
sФМ (t) = Иосоs[шоt+Лерх(t) +еро].
(2.6)
Это выражение отличается от (2 .4) тем, что модулирующая функ­
ция х( t) не вводится в множитель при cos ((J)of-1- ,epo), а входит под
знак косинvса.
При ЧМ для нахождения аналитической записи колебания, мо­
дулирован•ного по ча ,стоте, учтем, что мгнове•Н!ная фаза колеба1ния
,i,(t) связаr,а с мгноненной частотой w(t) интегральным соотноше ­
нием ,[см. (1.89)]:
1\)(t) = Sш(t)dt.
(2.7)
Тогда для колебания, модулированного по частоте, ,согласно
(2.2) имеем
t
sчм (t) = Uocos[1\)(t)]= Иосоs{сuоf+Лш .\ x(t1)dt1 +ера].
о
(2.8)
Удвоенную девиацию ча,стоты 2Л(J) часто называют полосой ка­
чания частоты. Ф ,\1 и ЧМ находятся мe:t<ZJ.y собой в близк,ом род­
стве. Можно с 1,азать, что ЧМ - это разновидность ФМ или наобо -
80

рот. Поэтому оба в-ида модуляции ча,сто определяют одним терми­
ном: угловая модуляция . Силналы ФМ и ЧМ не отличаются :по
фор~1е, если x(t) и интеграл от x(t) сохраняют форму (например,
в случае гармонической модуля-
1..LИИ). В более общем случае сигна- a)lx(c)
111
лы отл.ичают,ся по форме, что вид- ~
но из рис. 2.2.
Как уже говорилось, в качестве о
1"
переносчика первичного сигнала ,1
1
1t
МОЖНО ,иоПОJ!ЬЗОВаТЬ пер.иодическую O;r~м(t) .,,. I ... __
1
по.следователыность видео- или ра-
. ,,.....--
1 ...........
!
диоимпульоов _(рис. 2.1 6, в) . После-
,.,..;',....--
1
1
о ...... ,._,
дователы-юсть видеоимпу.11ьсов ха-
................
рактеризуется следующими их па­
раметрами (если считать, что 1им- V
пу.11ысы «прямоугольные», ,рис. 2.3а): 8 sчJt)
1) вьюотой («а•мrпл1итудой») h.; , 2)
длительностью -rи; 3) частотой CJie• 0
1t
1
давания Fи= - (где Ти
-
пер.иод
Ти
их ,следования); 4) ·положе'Н'ием им­
пульсов •во времени от,носительно
тактовых точек (пунктирные линии
на рис. 2.3) или фазой импульсов.
Изменяя один из :пере:числе.нных
параметров в соот1ветств.ии с изме­
нением модул-и,рующей функции,
можно получить четыре основных
вида им•пульсной модуляции (ИМ),
1
1
г).
i
1
-~Ф11(t)
!
1
{\{\i' :(\(\ f'J.
0 J'v vv tг\J\Гt
Ри-с. 2.2 . Сигналы при разлшч­
ных в.идах модуляции гармо­
,ничвокой несущей:
а) модул.и-р,ующий
сигнал;
б)АМ;в)ЧМ;г)ФМ
а именно: 1) ампллтудно -им1пу.r;ьсная модуляция - АИМ; 2) мо­
дуляци-я • им:ттуль·оов по длительности (по ширине) - ДИМ илrи
(ШИЛ!\. ); 3) ча-стотно-импульс::rая модуляпия - ЧИМ; 4) фазово-
1rмпулысная мо_цуляция - ФИМ.
На рис . 2.36 изображен ,передаваемый пер,вичный сигнал (для
примера взят д,воичный телеграфный сигнал). На рис. 2.Зв, г, д, е
псжазаны сигналы при разл1ичных видах .импульсной модуляции.
Вертикальными пу,нктирными линиями отмечены ,положения немо­
дулированных импуль,сов. Предполагается, что при всех видах ИМ
изменения соответствующего па•раметра пропорциональны значе ­
ниям модулирующе й· функщи1и.
Частота сле,дования ,видеоимпуль,сов в импульсных системах
связи Fи не очень велика. Например, для телефонии применяется
частота следования около 8 кГц. Э110 согла,суется с теоремой .Ко­
телыник,ова, ,оогла-оно которой ча,стота ,следования временнь1х от­
счетов телефо·нного сигнала (~которая и оп~ределяет част,оту Fи)
дош,юна быть н е меньше чем 2F с (F с - верхняя частота модул1ирую­
щей фующии) .
Ниже по·кажем, что спектр сигнала после первичной импульсной
81

б) Sмм(t) r:lщll. :11 --'- -'-'
! _ _,_ _:u.. _ __ цl -' -- --□~ .......□-л-~-~--t
1:1
~шd1
оо
,/1
i
•
1
1
1
t
'/tSд_._.(t) 1 i
1:1·1
l ттmтт~ □□ ппn__
iJ)Sчm.Jt)111111
t
1
1
rt, г+~ппп
'-------' -4 - -:1......L.._ l_. μ.. .:~:.L....1.__-Ц-1:_j_щ_i_uш П П
ПП~
е)f'"""(t)
:
:
:
:
:
m' ..
t
l 10!П!ПШШw!ПiП!ППП~
Рис. 2.3. Сигналы ,при различных видах м,адуляци.и поонщовательн о ста
видеоимпуль,сов:
а) нмпульеная неоущая; 6) д,в-оич.ный мощули·р,ующий сигнал; в) АИМ;
г) ДИМ; д) ЧИМ; е) ФИМ
модуляции лежит ,в ,низкоча!СТот.ной области (даже есл,и учесть д,о­
статочно боль;шое число :гармоник ча,стоты Ри). Поэтому для радио­
передачи IП•Р'ОИЗВОIДИ1'СЯ ПО ,ВТОР'Ная МОдiУЛЯЦИЯ: м·одулIир ,ован,ными
Рнс . 2.4 . С11ру,к11урная схема пере­
щающей части ,с н•стемы им .пульс ­
ной ра !ДИО'СВЯЗИ :
1 - источник модулирующего сигнала;
2 - импульсный модулятор; 3 - модуля­
тор; 4 - генератор импульсной несу­
щей; 5 - генератор гармонической не­
сущей
видеоим,пулЬ'са.ми модулируется
гармоничес-кое ,колебание iВысо­
кой ча,стоты. В результате антен­
на передающего устройства излу­
чает .в окружающее пространство
последовательяость модулирован­
•ных :радио·импуль,са,в. С11руктур­
ная · схема пер.едающей ча•сти си ­
. стемы ,импульсной ра ,диосвязи
ill'риведена на рис. 2.4.
На рнс. 2.5а показана реали ­
зация IпеР'в,иююго модулирующе­
го сигпаJ1а. На рис. 2.56 ,показан
сигнал АИМ после вто1ричной мо­
дуляции высокочастотной несущей по амплитуде. Та1кая двойная
модуляция обозначается АИМ-АМ. На ,рис. 2.5в показан оигнал
ФИМ .после ,втор:ачной модуляции высокоча·стот·ной несущей по
амплитуде (ФИМ - АМ).
При повторной мощуляциIи возмож,но осуществить еще неоколь­
,ко видов им1J1ульС1ной модуляции, на•зываемых высоко:ча·стотной
82

нмпульоной мо,дулящией. Наиrбrолее 1ра,сrпр,о-стра~ненные ·из 1них
ВЧИМ - ,высокочастот.ная ·им1пульоная модуляr1.щя ,по ча,стоте
и ВФИМ - вьюо.кочастю,~ная им1Пульсная ,модуляция по фазе.
При оrбеих модулящиях н.и высота, .ни длительность, ни тактовое
положение, ни частота следования импульсов не меняются. Ме.ня-
·:г
,.
t
rJY s(t)лнм-Ам
,~Г)..,.
o~ls(t),.,,
Ри,с. 2.5. Сигналы в импульсных с и стемах раsП:носвязи с
,в·юр,ичной мсщуля,цией гармонич еокой неоущей:
а) модулир·ующий ,с-иr,нал источни:ка; 6) АИ1v1-АМ;
в) ФИМ-АМ; г) ВЧИМ; д) ВФИМ
ются ли шь соответст,венно ча-стота или ,начальная фаза высокочас­
тотного за,полнения ло за-кону изменения сообщен,ия. Та1кие сигна­
л ы показаны на рис. 2.5г, д.
Оста,нови м ся теперь -н а оообенностях модуляц-ии ,синусоидаль­
ного леренос11.шка диокре>tными сигналами. В дискретных -системах
ов язи (телеграфия, ,передача данных .и т. д.) ка1нальный оигнал
прини м ает по инфор ,мационномrу параметру лишь ,щио1«р,етный рЯ1д
зн аче,ний. В этом сл учае обычно говорят ,не ,о мо дуляци и, а о ма,ни­
пуляц ии (дискретной :модул я,ции) несу щей . В дискрет:ных ·оистемах
связи дискретный сигнал на выходе ,кодирующего устрой,ства пере­
датчика bi(t) чаще всего принимает лишь одно из д1вух ,возможных
значен ий (двоичный ил.и бинарный код). Такой сигнал (по·следова-
83

телыность сим,воло·в «1» и «0>>) по-казан на рис. 2.6а 1) в виде после­
дователмюсти 6и~полярных импульсов.
В телеr~рафии 2 ) ,систему ,свяэи, ,работающую ,с ,сиr~налом рис. 2.66,
называют двоичной АТ. Это система с пассивной паузой, п о скольку
1
11
t
tJ)
г)
t
Р,и,с. 2 . о. Сигналы пр'И манипуляции гармоничесп<ой неоущей дво­
ич :ным синхронным ,сигналом:
а) модулирующий синх,ронный телеграфный сигнал; 6) амплиту­
ды (АТ); в) час'!)о,ты (ЧТ); г) фа;зы (ФТ)
здесь символу «1 » соответствует излуче,ние радио1импуль.са с ам­
плитудой И1 =I= О, а сим.волу «О» - от,сутствие излучения (или сиг­
нал с амплитудой И2 = 0).
Си-стему, работающую с сиг,налом рис. 2.бв, называют двоичной
ЧТ. Это система с активной паузой (в которой все время излуча-
1) Здесь и в дальнейшем (если не будет до п олнительной оговорки) счи­
таем, что сигнал Ь (t) синхронный: все элементарные посылки имеют одинаковую
длительность Т. Полагаем также, что их начало и конец строго определены
как на передаче, так и на приеме . Системы связи с такими -сигналами называют
синхронными, они обладают многими преимуществами перед несинхронными си­
стемами, где . эти условия не выполняются.
2 ) Эта терминология перенесена и на другие диск р етные системы связи.
84

ют,ся колебания с неи3,менной амплитудой Ио, а та1кже и с неизмен ­
ной энергией посылки 1при у,словии, что :Все посылки имеют равную
длитель,ность), в ~которой символу «1» соответствует излучение ко­
лебаний частоты u)f, а оим,волу «О» - колебания ча,стоты ш2.
Систему, работающую с сигналом рис. 2.6г, называют двоичной
ФТ. Это та:кже система ,с активной паузой, в которой символам
« 1» и «О» ооответ,ствует излучение колеба,н,ия постоянной частоты,
но с различной ,начальной фазой: ср1 или ср2. Чаще ·всего берут
ср2 = ср1±п (1ка·к .показа,но на рис. 2.6г).
Длительность телеграфной посылки Т при любом из перечис­
ленных способов теле11рафи,ро1Вания определяет скорость телегра­
фиро.вания. Эта ,скорость выражается числом посылок, пер е,давае­
мых за единицу 1вре,мен1и. Измеряется скорость телеграфировання
единицей, названной бод. Одттн бод - это ок,орость телеграфирова­
ния, при которой в 1 ,с переда•ется одна дво1ичная телеграфная rпо­
сьшка. Таким образом, если длитель,ность Т посылки выражена
в секундах, ·ю окорость теле11рафирования в бодах:
V= 1/Т.
(2.9)
Обычно од,ну из двух теле11рафных ·посылок ('в случа е АТ -
активну1о'посьIЛiку) ,называют «нажатием», а другую - «отжатием»,
что связано с телег,рафным ключом - у,ст1ройст;вом, с помощью ко­
торого осуществляет1ся ма 1Н1ипуляция.
В практике •передачи дискретных .оообщений (см. пара-граф 6.6)
применяются оистемы с относительной модуляцией га ·рмонической
несущей по фазе (система ОФМ 1)).
Суть метода отно,ситель-ной модуляции фазы при двоичном мо- -
дулирующем сиnнале (ри,с . 2.7) эаключает,ся в том, что фаза эле­
ментарных ,канальных ,сигналов s (t) ·меняется теперь 1в -соответ­
ств1ии с тем, ·каковы •позиции двух последовательно передаваемых
си-мволов. Образование ,ка1наль,ного сигнала ~при относительной мо­
дуляции по фазе (ОФМ или ОФТ) схематически показано на
рис. 2.6в . До передачи информационных посыло1к 1передает,ся опе­
циалъный опор;ный импуль,с (:пусть с началь,ной фаэой ера). Симв,ол
«О» передается отрез,ком синусо1щцы с началь,ной фазой предшест­
вующего элемента сигнала, аим1вол « 1» передается радиоимпульсом
с начальной фазой, отличающейся от наvальной фазы предшествую­
щего элеме-нта ,сигнала на п . На сигнал 1при ОФМ мож,но смотреть
ка1к на сигнал при ФМ (а,бсолют+юй м-одуляции), полученный после
специальной ,пере1юдировки ~символов модулирующего 1ои,гнала. Эта
перек,оди,р,о.вка свод•ит,ся к тому, что ~новые двоичные ~символы b1(t'}
(рис. 2.76) образуют,ся в результате дво~ичного пересчета исходной
последователъ,ности Ь ( t). Появление оче1редной « 1» в .исходной по­
следователь,ности фи1КJсирует,ся изменением з~шка п,редшест:вующе --
1 ) Эти системы, предложенные Н . Т. Петр о в и чем, часто называют си­
стемами с фазоразностной модуляцией ФРМ., а г.ри использовании двоичного
кода также и системами относительной фазовой телеграфии ОФТ [36].
85-

ГО ДВОИЧНОГО
шие же •«О»
,сим 1вола в н0,вой
1не ·из1ме1няет 1з1на,ка
[][] о
1
о
о
п
!fo+J[
.fo
l1
1
:по,следователыности,
1п:редшес11вующего
о
[] []_
t
о
1
о
п
0 t--~ Iн-н-t-ttt+-'--'-+ft+--Н+н-~'++++---+++++----'+-н+-
1
t
1
L
ОПО!JНЫU. ifMП!Jl!ЬC
Р,и,с. 2.7. К поя,снению о,1'носительной модуляции фазы:
а) синхр.он,ный двоичный мод:уллрующий сиг.вал; б) пе­
рекод'ированная м·одулирующая [юследавателыность, по­
рождающая ,сигнал ФМ, т,ож,дес1'венный спгналу ОФМ;
в) ,канальный ,си-гнал при ОФМ
:Контрольные вопросы
1. В чем сущность модуляции и детектирования в системах связи?
поя,вле­
,символа.
2. Какие виды переносчиков (несущих) используются в системах связи?
3. Каковы основные виды модуляции при использовании гармонической и им­
пульсной несущих?
4. Какова аналитическая запись сигналов АМ?
5. Какова аналитическая запись модулированных сигналов при угловой моду ­
ляции гармонической несущей , (ЧМ и ФМ)?
6. Какой смысл вкладывается в понятие «манипуляция»? Что понимается под
,системой АТ, ЧТ, ФТ?
7. В чем особенности дискретных систем с относительной модуляцией (мани­
пуляцией)?
2.2 . СПЕКТРЫ· МОДУЛИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИЙ
ПРИ МОДУЛЯЦИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ СИГНАЛАМИ
З;начительный пра,ктичеоыий интерес предста1Вляют ,вьшснение
зав1исимо-сти, которой ,е,вяза1ны опек11ры .м-одули:рующе,г,о и 1модули­
,ро1Ванного колебаний, 01пределение :полосы частот Fк, занимаемой
канальным •сит,налом, а также ра,сnределение энергии сигнала в
этой полосе.
'86

Следует иметь в виду, что 1при одном и том же модулирующем
сигнале ·с пектры модули~ро1Ва1нных колебаний rп:ри 1различных видах.
модуляции ·существенно отличаются щруг от д.руга. В связи с этим.
возникает вопр,ос о ора,вне,нии между ообой разл ,ичных видов l\Юду­
ляции по ширине полосы частот, занимаемой модулированным ко­
леба-нием.
Выясним сначала структуру ,олектра модулированното колеба- ­
ния ,при различных видах модуля цИIИ ,сИ1нусоидального переiНОсчика
непрерывным детерминированным ,сигналом. Для простоты она-­
чала будем ,очитать, что ,мод,ул1ирующий сигнал та,кже оинусоидален, •
вида b(t)=bacos (Qt+0o), пр.ичем Q«wo, где wо--частота несуще­
го к:олеба ,ния. Согла 1сно (2.4) аналитическая запи,сь АМ ,колебания
!Имеет в э.rом ,случае (1При тональной 1модуля1ции) 1вид
sлм(t) = Иа[1 +т ,cos (1Qt+ 0о) ]cos (;wot +<ро).
(2.10)
Представив (2.10) в виде ·суммы га ,рмо1нических слагаемых,
имеем [16]
Sлм (t) = ,Uacos ( wot+ <ро) + тИо cosl[ ( wo-Q) t+ <р0-00] +
2
+тИо cos1[(w0+Q)t+<po+0o],
(2.11)
2
откуда ,в,ид1но, что .в этом .слу,чае АМ
колебание со;стоит из тр,ех 1с0:ста,в­
ляющих: колебание с амплитудой
Ио ,на ча,стоте переносчика •Wo ,и д1Ве
составляющие на ча,стотах wo± iQ,
каждая с амплитудой тИq . По•
-
2
·следние две ,составляющие ·принято
Еазывать ·спут:ника ,ми, а их часто­
ты - боковыми частота1ми. Ампли­
тущные !спектры модулирующего си­
гнада b(t), несущей f(t) и АМ ко­
.11ебания при ,сину1соидаль1ной моду­
.11я,ции приведены на р-ис. 2.8 .
Из (2.11) видно, что амплитуды
спу11ников про,порциональлы глуби­
не модуляции. При m= 1, т. е. пр,и
стопроцентной амплитудной модуля­
ции, амплИ1уда каждого ,из -опутни­
·1юв равна половине ,несущего коле-
уlщ\т
/)
1
J'"':
'J•J
тuо
т
J
..
'!,)
.
(JJ
Рис. 2.8 . Амшrи11у1дные спектры
лри модуля.ц.ии по а-м .плитуде
гармоническ•ой нес,ущей си•ну со-
1-щаль. ным , сигналом:
а) мм,ули,рующего с ,JГ,нала;
б) несущей; в) мо,дул.и роыш­
ного ,снгнала
бания. Средняя и ма,ксимальная
.
(пико.вая) мощности п,ри АМ также зависят от па,раметра ,т. Дей -
ствительно, средняя мощность сн,гнала (2.10).
•
2
2•
-
Pc=Slм(t)= Ио fT+mcos(Rt+e;~ 2·= Ио (1 + ' m2 ). (2.12)
2
2
2
87

1\1,ощность принимает максимальное значение, 1югда амплитуда
в (2.10) мак1сималына и ра1вна Ио(1 + т). Следовательно пиковая
мощность при АМ 1 )
(2.,13)
Для радаюпередатчиков, работающих с большими мощностям·и,
очень важе·н показатель П2 = Рпик!Ре - пик-фа'Ктор ,сигнала по мощ­
ности, характер1изующий ,степень исполь'Зо,вания мощности во вре­
мени. Желательно, чтобы П2 был бы как мож,но ,ближе ,к единице.
Для АМ Пр!И модуляции 'ЧИСТЫМ током Гl2 = 2 (1 + m)
2
Приm=1
m2
1+-2 -
пик-фактор Г12 = 5,4. Та·к ка1к практичес1~и т ~0,8 (во :избежание
леремодуляции и существенных иокажеНIИЙ при де11ектировании), то
П2 =4,6. Замети·м, чт,о ,пи1к-фа,ктор П2 - чис·ю га·р•мо1н1ичесжого ко ­
леба1ния (m=O) - ,ра,вен 2.
На долю несущего ,колэбаН1ия приходится неизменная средняя
мощность, пропорциональная квадрату амuшитуды И5/2. На долю
каждого из апу-11ниrков приходи11ся мощность, пропорЦ!ионалыная
квадрату его амплитуды, т. е. И§т2/8. При стопроцентной АМ сум­
марная срещняя ·мощность модулирова-н:ного колебания ,в полтора
раза пр ·евосходит мощность немодулир ·ованн о го переносчика, при
этом на долю бо•ко1Вых (которые, ,собственно, и ,несут полезную
информац:иrо) прихо1,щиТ1ся лишь 50% мощности несущей . При
m=0,8 эта ,доля падает до 32%. С изменением инте,нсивности (ам­
плитуды) модулирующего колеба1ния меняется и т, следовательно,
и полезная мощность бопювых ,со-ставляющих.
В более общем ,случае, когда модулирующая функция ~периоди­
ческая (без ·пюстоЯ'нной составляющей) и ее ,мож;но представить
рядом Фу,рье
о,
ь(t)=2~bkcos(kQt+0k),
(2.14)
k=I
AJ\'\ колебю-ше заишшется 1в •ВIИде
о,
о,
+ к; ~bkcos[((J)o+kQ]t+ЧJo+0kl+ - ·~a IJьkcos[((J)o-kQ)t +
k=I
2
(2.15)
1) Средняя з::~ период nысокой частоты максимальная мощность АМ сигнала
в два раза меньше.
:88

Из этой за1писи видно, что в составе опектра АМ колебания со ­
держа11ся колебание несущей частоты wo и •сумма колебаний с час­
тота,ми юo±kQ (k= ,1, 2 ... ) 1).
СовоК)'iПНОСТЬ ооста,вляющих с ча-стотами (wo-kQ) и (wo+kQ).
называе11ся соотизетст,венно нижней 1и верхней боковыми полосами .
Нетрудно убед1итыся, Ч'ГО верхшяя
бок•овая :полоса пред,ставляет •собой
,апектр 1модrули,рующей ФУiн11щии,
~сд•ви,нутый на вели•iшну wo ·в ,о,бла~сть
верхних ча,стот. Нижняя же поло,са
окавьгваеТiСЯ ,си-мм,етричной ~верхней
nоло:се о,тносительно ча,стоты wo ,не­
·сущего 'Колеба,ния, являя1сь «зер­
кальным ,отраж-е~ние,м» ,верХJней по­
лосы.
Э-110 ооно•вное ,свойство опектра
АМ колебания ,о,стае11ся 13 юиле и в
са•м,ом ,общем ~случае, когда мод•ули ­
•рующая фушю.!)ия ,и,меет ,про,и.з,воль-
1ный (ди,скрет.ный или непрерывный)
опектр . Окаванное 1.поя,сняется ,р1и,с.
2.9 . За,м,ет,И'м, чrго при О''ГСУТС'!)В'ИИ
1ис,кажений форма 1спек'!)ра 6оrювых
о:бязателыно юовпада,ет ,с фо1рмой
сп-е.тра JМ ,одул.и-рующе,:ю •сиnнала.
Из привед:енного · ра1с,с,м,отрения
1неп1осредс'Г;венно ,следует, что шири-
..
(JJ
]
Ри,с. 2.9. Амттлитуюrые спек­
тры пр•и модуляци,и по а•м -
1nл.и11у,де га ,рм,оюrqеской не­
,сущей нелеряодичеек и,м сиг­
налом:
а) модулирующего сигна ла;
6) несущей; в) модулиро-
1ванного еигнала
на 1спектра м,од:улщр,ова,нного к,олебания при АМ ·всецело опреде ­
ЛЯ<еТiСЯ опектро,м ,модулирующей фу,нкц~Иlи и 1ра1вна его удвоенно й
ма1к,сималыной ча,стоте:
FнAlVI=2FС,,
(2.16)
где Fк - ширИiна спектра модулированного канального колебания ;
Ре - мак.симальная (отраничивающая оверху) ча,стота ,в спектре
модулирующей фующил.
Верхняя и ниж,няя бокоизые полосы АМ ,колебания с точ1ностью
до « з еркального» 011ражения -совпадают по форме друг с другом
и со ,спектром модул1ирующей функции . Поэтому, в принципе , в
месте приема полезный низ•к,Ьча1стотный сигнал может быть вос ­
ста~но,влен лишь 1по одной б.окоiВой пол,осе. Это [!ОЗ'Воляет в неко­
торых системах ,овязи [!,рименять так называемую модуляцию о,д ­
ной боковой полосы (сокращенно ОБП), когда вторая боковая по ­
лоса ,п,одавляет,ся на передающем конц€ фил'ь11ровой схемой 2). Та-
1) Ооста ,в спектра ,не ,измен:тттся, если b,(t) соде,ржит []Ос11оя,нн,ую состав­
ляющую.
2 ) Известны и нефильтровые способы формирования сигнала ОБП [напри­
мер, од новременной модуляцией г а рмонической несущей по амплитуде и фазе ,
см. ( 1.103) ]. Одна к о они связаны с не м еньш и ми трудностями.

·кой способ ,передачи ,п,оз,воляет вд:в ое ,сок1р аТ1ить ш ирину полосы
чаС'ют, занимаемой модулироrва,нн ым колебанием. _В,следсТIВие ус ­
.ложнения технИ1ки формирования сиг.нала ОБП на передаче и его
.приема система ОБЛ используе11ся толык,о для магистралыной свя­
зи . Пи,к-фак11ор 1сиr~нала ОБП 1пр1и тональной модуляции П2 =2
неза ниrсимо от т.
Выше отмечалось, что даже 1при самой глубокой, т. е. отопро­
ц·ештной, АМ две трети l\1ощности излучаемого модулирова-нног,о
-колебания пр1иходи1iся на д:олю несущего кюле,ба:ния, кот,орое само
·по себ е не со,де-ржит п ереда,ваемой полез,ной информации. Поэтому
наряду с обычной АМ 1применяетtя ,и так называемая балансная
амплиту,д1ная модуляция (,со1к1ращенно БАМ). Сиr,нал на выходе
баланоного амплитудного модуля'Г'ора (при 100 %-,нам пода!Влении
весущей) !\южно 1за 1писать в ви·де
s(t)влм =KaИob(t)cos( c,J 0 t+cp 0 ).
(2.17)
э,
(J)
Р,и.с. 2.10. А м,плитудные спектр ы пр.и мо­
дуля ции по амплитуде:
а) иrvюульсной ,несущей; б) непер,иоди­
ч ес,кого модул'ирую щего сиг нала; в) сиг ­
налJ АИМ; г ) си1гIIа л а AИM-AJVI.
Полагая, ч110 b(t) не содер ­
Ж'ИТ Л ОС'ЮЯНIНОЙ со-ставляю­
щей, 1не:11руд;но ,убедитыся, чтю
,спектр лра1вой ча1сти (2-'17)
1ООIСТ'ОИТ 'ТОЛЫ!Ю ,И!З двух бок·о­
вых ,полос, 1так1их :ж-е, ·как :и
1При ~обычной АМ, а ~несущее
колебани·е ,о,тсу-гствует. Этrим
достигается улучшение тех­
ши·чесwих хара ·ктер 1и,стик ,си­
,стемы , связ,и (1в ча,с~но~ст1и,
«эфир» 1н,е за1ооряе11ся 1нешуж ­
ными 1излучения,м1и). В · ме-
1сте пр,и·ема для детектир,о,ва­
,ния ,сиг.нала БАМ О'быч:ным
а1м1плитудным
детек,1101р·О1М
~вводят юш1нал ~несущей от
1 мес"tНО 'ГО 1гете р одИIН а.
Нетрrудщо ,под1С'ч1итать, чт-о
:п1ик - фак·11ор п-о 1vющност:и
,с'илнала (2.17) при тональ ­
ной мод:у,ляции П2 =4 ,неза-
1виоимо от Ка Iь сt) linax,
Особенность 1опектро,в ,в
1 им1пулыс'ных ,систем а х 11vюду­
ляции ' М'ОЖ IНО УЯЮНИ 1ТЬ, ра~с ­
СМаТрИ'ВаЯ ,си,стему АИМ - АМ.
На ,р,и,с. 2 . !Оа 'Пока.за:н 'ПiРИ-
мер,ный вид аМ1пл111·тудного
.спектра шосле,щовательности Вlидео:импулыс-ов ,с ,ооновной 1t.Jа1стотой
f и - :первичной несущей 1в ,системах 'Им1пулЬ'оной ,модулящии. Та ­
:кая несущая ,может 1ра,осматриватьс,я как ·соно1купность (!Поло-
90

ЖИIМ, п) к,ра11ных ,си,нусо1идал ьных ·поднесущих. При модуляции П-<} .
а,мплитуд:е :по1сле.до1вательносrги 1и1мпульюо,в (АИМ) ,каждая ~из под­
несущих ,модул:ируе11ся 'ПО од1и1наково1му ,за'кону (р.ис. 2.10 в).С,пектр
АИМ лежит 1в о~бла,стш :низких ча,с11от, так ,как п о,гра·н•ичеашо .
После 1в~т,орич1ной ю&плитуд:ной ,модуляции . га:рманической н·е,сущей
(ча,стюты wo) ампл~и1тудJный ,с~пектр ·п1р:ин1имает :вид, 1Пока.занный 'На
рис. 2.10г.
Обратим внимание на то, что спектр АИМ (так же и при дру ­
гих видах импулыоной модуляци~и) содержит в ·себе полезный
1опек11р модулирующей фу1нкции (,р·ис. 2.10в). Поэтому •в системах
импульсной радиосвязи ~после первичной демодуляции (детектиро­
вания) fflолезный •сигнал b(t), в ,принципе, может быть ,выделен ФНЧ
с гранич ,ной ча10110той Ре,
При выполнеНIИИ условия (,см. рис. 2:lОв) Fc~Pи-Fc или
Fи"?2F с (выте!кающего также из теоремы Б. А. :Котельникова)
вредные продукты ,будут отфильтрованы . Заме11им, что :полоса час­
тот, за.нимаемая си1стемой импульсной мо,дуляцИ\И, шире, чем прк.
непрерывной :модуляции гармонической несущей, что объя•сняетоr
импушюным характером сигнала .
А1нал1из опекгров лри угловой модуляции несколько сложнее,
_ чем ;при амплитудной модуляции.
Ра.осмот·р!Им случай, ·когда пе,рви:чный сигнал си:ну,ооидален с
частотой Q = 2:п:Рс и модулирует ,сину,ооидаль.ную же несущую. Тот­
да в соо11ве11сТ1Вии ·с (2.6) и (2.7) сиг,нал 1юа1К пр~и ФМ, так и при:
ЧМ можно за[Iи,сать та ,к 1) :
Syм(t) =Иocos[wot +~s inQ t],
(2 .18)
где ~ - так называемый индек,с угловой модуляции;
~ФМ=Л(j); ~ЧМ=Лro/Q,
(2.19)
Если ~« ·1, то амnЛ'итудный (но не фазовый) ,опектр ттр1и угловой
модуляции та ·кой же, как ,при АМ (~ри,с. 2.8). В ,самом деле, (2.,18)
можно за.писать та,к:
sУМ(t)= Ио cos wat cos(~sinQ.t)-И0sin co0tsin(~ sinQt). (2.20)
Если B«l, то cos(~sinQt) ~
.1, sin(~sinQt)~BsinQt
(2.21)
В общем ,случае для вьшонения сшжтрального ·состава оиnнала
(2.20) необходимо ра1зложить в ряд Фурье периодические функции
cos ( В sin Qt) и sin ( ~ sin Qt) . К:оэфф~ициентам·и этого разложения­
оказьшаются фуН1к,ции Бесселя а·ргумента ~ [16] :
00
cos(~sinер) =lo(~) +2~l2k(~)cos(2kер),
k=I
1 ) Начальная фаза под знаком косин уса опу щена как не имеющая прин­
ципиального значения.
91

"'
sin(В sinер) =2Lil2м1(~) sin(2k+1)ер,
(2.22)
k=I
где Jk(~) - фу.нк,ция Бес.селя k-го nоря,д1ка.
•С учетом (2.22) 1после элементарных прео6разо!Ва.ний с исполь­
зованием формулы 1произ,ведения двух гармонических функций по­
лучаем
со
Sум(t) =ИоJо(Мcosffiot +Ио1: Jk(В)cos(СОо+kQ)t+
k=I
00
•
+Ио) (-1) hjh ( В) cos (wo-kQ) t.
-
k=I
(2.23)
Таким образом, при синусоидальной угловой модуляции спектр
теоретически ~неограничен, амплитуда k - й боковой со,ставляющей
:лропорц11юнальна Jk ( ~) . Примерный вид этого опектра показан .на
рис. 2.11 .
, S(ш)ум
fo{/3)
о
Ji{JЗ) :;,(.;з)
Jг(.JJ)
Jг(JЗ)
J3(/З)
Jз{.13)
Jп(/з/П·l(,/3)
тi
Т Jп_,(.;З)
1 i Jп(JЗ)
1
Шо·Q (L)o Шо+Q
r.tJ
2nQ
P1uc. 2 .11 . Ам,плит,удный опектр при угл.сшой модуляции гар­
монической Rесущей синусоидальным сигнало•м
Пра·ктически спектр при угловой модуляции огран'И'чен, .пооколь­
ку фун·кция Jk(~) быс11ро у,бывает, когда k доститает значе,ния в.
Поэтому при В» 1 практически 'ЧИСЛО Л'ИНИЙ n ·В ПОЛО1Се частот
(рис. 2.11) можно сч1итать ,ра,вной ~ ,и ши,р.ина полосы
Fкум~2ВFс.
(2.24)
При частот:ной модуляции
Лw
2Лw
FкЧМ~2- Fс=-
=
2Лf, ~>)1,
Q
2л
(2.25)
т. е. практически полоса ча1стот ,определяется полосой качания ча­
стоты, которая за!Висит от интенсивности модулирующего сиг,нала.
·92

Этот результат примерно оказывае1ся справедливым и пр1и произ­
вольном модулирующем сигнале.
Следовательно, Чf-.\ спектр шире, чем АМ в •~=Лw/Q раз. По
этой причине такая система при больших от1Ношениях сиг,нал/шум
оказы в а ется помехоустойчивей АМ (•см. гл. 7). На практике в си-
стемах укв радиовеща,ния с частотной модуляцией .Лf= Лw ~75 кГ,ц
2:rt
и такие системы занимают примерно ~полосу частот Fк чм = 2~F =
= 2 Лf = 150 кГц. При фазовой модуляции
FкФМ~2ЛерFспри fJ»1,
(2.26)
т . е. в э том случае поло·са частот проп,орц1юнальна частоте моду­
ляци и II интенси-нносrи (амплитуде) модулирующего сигнала, ко­
торая определяет Лер. Пик-фаRтор по мощности •сигнала ·при угло­
вой модуляции П2 =2.
Рассмотрим теперь особенно ,сти амплитудных сшжтров при мо­
дуляции гармонической несущей часюты w0 (рис. 2.6) синхрО'нным
двоичны м телеграфным сигналом b(t) ('с выооrой импульсов
h=±l).
Спе ктр АТ принципиально не отличает-ся от ,рассмотренного
выше спектра АМ сигнала, содержит дискретную несущую, а его
боковые полосы повторяют форму спектра модулирующей функ­
ции b(t).
С и гнал ФТ ,или ОФТ при условии , что разность фаз сосед.них
посы л о к O~Лcp~2:ri:, мож-но записать в вид е
SФТ(ОФТ)(t) = И0sin[ыоt + Лер Ь(t) +ер0l=
2
j
= cos (-\ер) Ио sin(wot + q,0)+ИоЬ(t) sin(\<р)cos(cu0t +i:p0), (2.27)
отк уд а следует, что если среднее значение b(t) =0, то:
а) ·прл Лер= ±:ri: сигнал ФТ и ОФТ не содержит в своем соста!Ве
н есу щ ей и получает,ся на выходе балансно!'о амплит удного моду­
лятора;
6) сп ектр бо11ювых та 1кой же, ка1к rпри АТ.
С игн ал ЧТ (при модуляции с разрывом фазы несущей и ра з ­
ност и ча стот «:нажатия» и «отжатия» Л w) можно 1) j аписать так :
sчт(t) = И0sin[(wo+ Ь(t)\w)t+.rp0] =
= .!!...1!._ sin[(wo -
~
)t+<ро]+_l!_o_sin[(wo+Лw)t+q,0l-
.
2
2
2
2,
_1
1) Представив его в виде cyll!MЫ двух АТ колебан11й на разных несущих
( (J)o± Л2w ) , манипулированны х сообщен ием Ь (1) в заимно противоположн о
{рис. 2.12).
,93

- - b(t) ~ 0 sin[(ffia-\w)t+cp0]+b(t) ~ 0 sin[(ffio+л;)t+cpo]. .
(2.28}
от,куда ,следует, что:
а) в опектре сигнала ЧТ в·сегда имеют,ся диокрет:ные -составляю­
Лw
щие с частотами ffi1,2=ffio± - (частоты «нажатия» и ·«отжатия»);
2
}L]_J
~-~F:'
о) Sчт(t) \
r-1
~ f,,1 ::-= ~~
i1
7Г
-1
111
1
о f-+-+-+--f-Н'-1⁄2+н-l-+-1--1--"Н--H-t+++t++t++н-+-t-+-t-l-
1
1
1
1
-1-- -1
1
0
1
t
1
1
~ --i
--~
Рис. 2.12. Представление сиг­
н ала ЧТ как суперпозиции дву:-.
сигналов АТ:
а) модулирующий дво11чный .
сигнал; 6) сигнал ЧТ; в) и г)
сигналы гармонических несу-
Лf•
щих частот f1= ,fo- 2 н
Лf
[2=fo+ 2 и манипулирован-
ных по амплитуде взаимно
противоположно
-б) о,коло этих ча·с'Гот ра,сполагаю'I'СЯ верхние и нижние боко-
вые ·полосы, повторяющие форму спектра модулирующей функции.
Контрольные вопросы
1. Каков спектр сигнала при модуляции по амплитуде гармонической или им­
пульсной несущей детерминированным сигналом произвольной формы?
2. Каков пик -фактор по мощности сигналов АМ, БАМ и ОБП при тональной
модуляции гармонической несущей?
3. Каковы особенности спектров модулированных колебаний при угловой мо­
дуляции детерМJ-IНИрованным сигналом гармонической нес у щей 1 (ЧМ и ФМ)?
4. Каковы особенностн спектров сигналов АТ, ФТ и ЧТ?
2.3 . ФУНКЦИЯ :КОРРЕЛЯЦИИ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР
МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ПРИ МОДУЛЯЦИИ
ГАРМОНИЧЕС:КОЙ НЕСУЩЕЙ СЛУЧАЙНЫМ ПРОЦЕССОМ
В предыдущем пара1графе пр1и ра,ссм,отре1нш1 ,спектров модули­
ро,ванных колеба-ний 'П'редпола,галось, что модулирующая функция
пре.дставл,яет собой ,деtrерм1И!нирова,нный п,роде,ос, и это в целом
ряде случаев позволило найти опек-гральный ·состав модулирован­
ного переносчика . Однако использованный в пара-графе 2.2 детер-
94

мини,р·ова,нный подход к изучению ·модуляционных спе.ктров не всег­
да позаюляет сделать достаточно общие выводы.
Реальная модулирующая фу,н,кция, ,оодержащая .полез.ную ин ­
формац·ию, rв•сегда является одной из :реализаций некоторо·го слу­
чайного процесса, поэто'Му ,при теоретич,еоко,м и,оследовании моду­
ляционных спе1ктроrв целесообразно использовать ,вероятнСУстный
ПОДХОД,
Рассмотрим о•собен•ности корреляционной функции и э нергети­
ческого ,спе.ктра модулир,о.ванных колебаний на примере гармони­
ческой несу щей. Модулирующий процесс B(t) будем предполагать
стационарным с ,нулевым математическим ож:ида,нием и ,корреля­
циоmю й фушщ:ией В(,). Модулир,01ванное колеба,ние в этом случае
также является случайным ;проце,ссом. Одна;ко, как по•каза•но ниже,
при стационарном модулирующем л•роцессе м•одулирова.нный пр,о­
цеос о,]{а з ывается не1стациона:р,ным. Тем не менее можно ,определять
э1нергетичес1,·ий спектр та1ких ,процесоо,в ,как преобрfiзова.ние Фурье
от усред нен1ной ,в,о в•реме1-1и к·ор,реляционной функщии процеоса.
Получе,~ш ый э.нергетический ,опе1,тр ·вполне •соответствует физичес­
кому представлен:ию о,б эне,ргетиче,оком спектре м,одулир,о·ва,нного
,юлебания.
Таким образо•м, чтобы найти а ,налитичес,кое выраже•ние для
энергетичес,кого ,спе.ктра модулировтшого колеба.ния нужно, исходя
из вероятно,стных хара.ктеристик (распределение, корреляцио.нная:
функци я ) модулирующего процесса, найти корр,еляционную функ ­
цию мод улироrван,ното проце,сса. Сначала решим эту задачу для АМ.
В этом случае .модули,рован:ный про,цес,с
0
Sлм(t)=Ио[I + ~-B(t) Jcos(co 0t+cp0 ),
(2.29)
где B(t) - центриров,ю-ii-1Ыf1 сtащюнар н ш"! случ а i1 ный процесс скор­
реляцио н ной фун,кцией В (i:).
Б уде м считать вер,оятно,сть того, что значения сл у чай,ного про-
.
.k3 о
це.оса L--;;; B(t) выходят за пределы отрезка I-1,1], пренебрежимо
мала. Н а практике этого можно до.стичь соответствующим ослаб­
ле,нием ~1 о дул1ирующего сиг,нала на входе модулятора.
Рас кр ыв в (2.29) ·скобки, получим
о
SAM(t) =КАВ(t)cos(wot+<р0)+И0cos(w0 t+ср0), (2.30)
откуда ви дно, что ,процесс Sл:м(t) имеет переменное математичесrш е
•ож,идание Иосоs (wot+cpo). Этому слагаем,ому с•оответ,ствуют , дис­
кретная сос т а,вляющая IJ3 э н е,ргетиче,ск,о м спектре АМ Еолебания
u2
u2
u
о
ф
о
.на част от е соо ве:1ич•инои 2 и 1юрреляционная ун•кция 2 cos woi:
(см. 1.37).
Лервk}е слагаемое ,в пра,вой части (2 .30) пред1ставляет собой
о
;нестационарный центриро,ванный сл у чай,ный проце,ос Sлм(t), полу-
95'

О'
ченный умноженrием стационарного процесса B(t) на неслучайную
функцию времени кА"соs (wot+cpo). В соответствии с форм улам~
о
гл. l для корреляционной функциJ1 процесса Sлм(t) имеем
Во (t, i+'t') =K~cos (wof+cpo) ,cos[wo(t+т) +сро]В (т).
8лм
Усредни:в это выражение по пере?vrе.нной t, получим
•
к~
Во ('t) = -В (т) cos Wo't.
sлм
2
(2.31)
Из (2.31) заключаем, что при АМ усредненная 1корреляцлон­
ная функция центрированного модулированного процесса полу­
чает·ся у.множением -корреляционной функщии модулирующего про­
k2
цесса на :множитель _а cos wот, где кл - крутизна характеристики
2
модулятора при АМ.
Корреляционной функции (2.31) соответствует энергетический
спектр
2
00
2{""
•
Ка
Ка
,
Go (ffi) =-
Jв (т) cos (.t)'t cos WoT dt= --
Jв (т)i[cos (ffi+Wo )T +
sлм
Z
4
-00
-оо
}
к2
+соs(ш-wо)т]dт = -t- 1[G(w+wo) +G(ш-wo)],
где G(w) -' - энергетичесю1й спектр модулирующего процесса , опре­
деленный как по положlИтельным, так и по отрицательным часто­
там; G(w+wo) - с:пект.р 1G(w), •сд,винутый соответстве,нно вправо и
rвлево (в обла1сть отрицательных частот) ла величину ш 0 . Суммар­
ный усредненный энергетический ,спектр, соответствующий процес­
су (2.29), определяе11ся на положительных ча,стотах формул ой
u2
к2
G~м(f)o = -
0 О(w-u>o)+-
8
-
G(u> - u>0).
2
2
(2.32)
Ра,ссмат,ри1Бая (2.32), делаем 1выво,д, что сплошная часть энер­
гетического опект,ра АМ процесса состоит из двух боковых полос ,
являющихся «зеркальным отражениеаvr» друг друга относительно
част-оты wa . На сплошную ча ,сть ,спе,кт.ра приходится средняя мощ-
k2
ность -• В (О) [где В (О) - мощность модулирующего процеоса], а на
2
u2
ддюкрет1ную составляющую - мощность-°. Полная средняя мощ-
2
96

ность процесса р,авна -0 1 + а
, где
Ио - ам1плитуда несу-
U2(
к2В(О) )
•
2
u5
щей. Та!ЮИ'М образом, теоретико -1вероятностный подход 1В ,случае АМ
ц елиrком ,согласуется ,с !ВЫIВОJщми, получет1ыми ра .нее в пара­
лрафе 2.2.
Заметим, Ч'Ю, .ка-к следует из (2 .31) и (2.32) , энертетичеокий
спе1ктр ,АМ коле~ба:ния совершенно не за,висит от распределения мо­
дул.ирующего про,це,оса B(t), а оп,ределяется полностью ero корре­
ляционн,ой функцией илм, чт:о то же, его энергетиче,ским опектР'ОМ.
Это од•но из гла,в,ных ,свой,сТIВ амплитудной модуляции. Иначе в слу­
чае угловой модуля.цИ'и, •которую сейчас ра,сомотршм.
Случайным образом модулир,аван.ную mo углу гармониче•скую
несущую можно заmисать ·в ~виде
SYM (t) = И oCOS![wot +Ф ( t) + сро],
(2.33) .
где Ф(t) - 1слу•чай~ый процесс, овнзанный ,с модулирующим про­
цессом B(t) соотношениями :
Ф(t)=ксрВ(t) при ФМ ,
t
Ф(t) = кчSB(t1)dt1 при ЧМ.
о
(2.34)
(2.35)
·о
Процесс (2.35) не,стацио1нарен даже пр.и стационарности B(t)
(29 ]. Поо1юль·ку центрирование процесса (2.33) в общем случае за­
труд.нено, определи·м фунi!щию 1корреляЦ1ии этого процесса бе.з его
цент,р•и ров а.ния:
U5-{
=·-
cos[2Wot- ffio't'+2(j)o+Ф(t)+Ф(t-i-)]+
2
+cos[w0 't' + Ф(t)-Ф(t-,)]}.
(2.36)
Выполним теперь усреднение (2.36) rпо врем€НИ. Слагаемое, содер­
жащее косину1с д1Вой11ю'Го угла, при этом обращается ,в iНуль и
получаем
•
U5 ----- - -~
U5
Вум (i-) = 2 M{cos[ wт-,0(t, ,)]} = 2 cos woтM{cos0(t, ,)]+
u2
•
•
+ -0 siП •ffio,M[sin0(t, ,)].
(2.37)
2
Здесь обозначено
0(t, ,) = Ф(t-,)-Ф(t).
(2.38)
Обратим в.нимание на то, что, в отлlИ'ЧИе от АМ, ПР'И угло1Вой моду- ·
ляции оину,соидальноiГО 1пере!!юсчика 1корре,r~яц·ио'lшая фуню..r:ия ,мо-
4-386
97

дулированного колебания и энергетиче,ский спектр зависят от рас­
пределения случайного процесса (2.38), а следовательно, и рас-
о
пределения модулирующего процесса B(t) . Если одномерное рас-
пределение 8 выражается четной функцией ,своего аргумента w1 (8),
то
со
1'
М[sin8] "'7 J sin0w1(8)ci8=О
+"'
u2
В~м('t) = Т cos wa,M[cos 0(t, , )].
(2 .39)
Если модулирующий процесс стационарен и распределен нор­
мально, тогда и 8 (t, ,) ка:к линейное преобразование этого процесса
представляет собой нормаль,ный процесс с нулевым средним зна­
чение'v1, но в случае преобразования (2 .35) он нестасщонарсн. Сле­
довательно, диспер,оия этого процесса аНВ (т), t] в общем случае
зависит не только от коррелящио·:аной функции пронесса B(t), но
и от времени.
Используя табли 1 шый интеграл 1[12], получаем для математиче­
ского ожидания cos 8 в ра,ссматри,ваемом случае
""
""
Scos8w1(8)dе=
_
1_ Jexp(-=--~ \ cos8dе=
-
ro
-,12ла~ -ro
2ае )
= ехр[- ~ (В('r), t)]
и вместо (2.39) можно написать
и!
[
а2•
J
В~м(t) = -fcos wo t ехр -f(В(t), t) •
(2.40)
Сравнивая (2.40) с (2.31), цожно заметить, что если иметь в -виду лишь вид
корреляционной функции модулированного сигнала ( следовательно, и его энер­
гетического спектра), то угловая модуляция нор-мальным случайным процессом
с корреля_ционной функцией В (t) эквивалентна мо1дуляции амплитуды случай ­
ным процессом, корреляционная функция которого
л
{а2
}
B(-r) = f[B{t)] = ехр
-
- f [B(-r)t] •
(2.41)
Noожно показать, что сказанное остается справедливым и при другом , (не нор ­
!vJальном) распределении модулирующего сигнала как для ФМ, так и для ЧМ,
л
т олько зависимость В(т) =f[В(т)] меняет вид .
Зависимость (2 .41) косвенно отражает тот факт, что при одном и том ж~
модулирующем сигнале спектр АМ колебания не шире, -чем при угловой мод у ля­
ЦljИ. В самоi\1 дел е , характер этой зависимо~ти (для всех представляющих прак-
.
л
тический интерес случаев) . :акой, что В (т) всегда не шире 1 (т. е . убывает быст ­
рее}, · чем · B'(t), •. А, 1<ак извесtнь, - оолее «уЗ"кой» корреляцион,ной функции соот­
~;етствует более· , «шир·снюй» энергетический спектр.
98,

Благодаря обязательному множителю cos ,Wo't в корреляционной функции
(2.40) сплошная часть энергетического спектра гармонического переносчика, мо­
дулированного -стационарным случайным процессом, обязательно имеет локаль-
ный экстремум на частоте wo . На самом же деле так как в (2.40) в;м (i-)
-
это
усредненная корреляционная функция некоторого случайного процес·са, а
cos -Wo't - четная функция , то четной же функцией оказывается и множитель
л
-В(,:) = f.[В.(i-) ]. Последнему соответствует четное же преобразование Фурье
СХ)
a(w) = f f[B(t)]cosw,:d,:,
-
«>
всегда имеющее при f=O экстремум . Множитель cos wo-r , как уже отмечалось
при рассмотрении АМ, соответствует переносу спектра в обл асть частоты wo так,
что экстремум оказывается на этой же частоте .
Для ,случая модуляции no фаз-е:
о
о
0(t, т) = кФ{В(t -т) - В(t)],
(2.42)
о
о
оо
о:= к~.[В2 (t--т:) +B2 (t)-2 B(t)B(t_:__т)]=2 к~ В (0){1-R (-т:) ], ('2.43)
где R('т:) = В(т)/В(О) - коэффициент корреляции модулирующего
о
процесса B(t) .
В этом случае уrсредненная корреляц·ионная функц,ия модули­
ро1Ванного сигнала
u2
.
В~м('r) = -
0cos roo 't'ехр\-к~В(О) [1- R(-r)]j.
(2.44)
'
2
l(оррелящиоНJ:юй фу,нкции (2.44) соотsетствует энергетический
оое~ктр
u2 «>
О~м(ro)
= Т Jcos roo 't' cos ro 't' ехр \-кt В (О)[ 1- R(-r)]j d-r. (2.45)
-СХ>
К ,сожалению, интетрирование (2.45) в общем виде затруднено.
Поэrому ра,сомоrгрим решение при двух ,край1Них значениях пара­
метра к; В (О), за1Висящего как от мощноС11И модул1ирующего сиг~
нала В (О), та,к и от к•рутизны ха,ра·ктеристиюи _модулятора Кф.
Если кJВ (О)« 1, то, разлагая ехр :[кl В_(О) R (-r)] в ряд и огра ­
ничивая-сь двумя первыми членами, имеем
u2
,
••
В~м(-r) = Т cos roo 't' ехр[- к~В(О)][1+к~В(-r)]. (2.46)
Коррелящио1НJ:юй функции (2.46) ,соотв-етствует энергетичеСЖ'-И Й
сп е:ктр .на полож1Ительных частотах
и2· 2в(11)
•
...
• 2·u2·
2В)
о•·
О-кф.
_
•
_
.
_
•Кф
О-к.ф_(О_:,
·Фм(ro)o =
2е. .б (ro-:--roo). +~е...
-
.,(](ю-ro0 ),
(2.47)
4*

i!юторый пох•ож на опектр при АМ (2.32). Д~иокретная оо.ставляю­
Иб -к2В(О)
Щая опектра на частоте со 0 имеет ,среднюю ,мощнО1сть - е Ф
2
а дв е зеркалыные 011но,сителыно соо п,олосы, образующие ,сплошную
22
2
Кф Ио -кфВ(О)
часть спектра, имеют ,су,ммарную ореднюю мощность - 2
-
е
U2 - к2В\0)
U2
Общаясредняямощность- 0е Ф [1 + кФ2В(О)]~- 0
,
I<ак и
2
2
должна быть :п:ри ФМ. Доля ,м·ощности .«,полез1ной» ,оплошной ча,сти
спе.ктра очень мала, так что ,раюсматри,ваемый случай имеет малый
практиче,ск1ий интерес.
Если к~в (О)» 1, то R (.:) целеоообраз-но разложить 'В ряд Ма-к­
.1орена:
.
R(2J (О) -r2
R(4) (О) -r4
R(.:)=1+
-
21
+
41
+
...
(2.48)
Ком~поненты ,с :нече11ным1и сте~пеням1и отсу11ст.вуют в Э'ГО'М ряду,
та1к как
00
R(.:)= -
1- JG(co),cos,corrd,f
В (О)
является че'!1ной фун:кц·ие й частоты.
Видно та.кже, что в·юрая пр,оиз1в-од1ная от R1 (.: ) 1п,ри .:=0
R< 2)(0) =- а2,
00
гдеа2 = (2n)
2
JG(co)if2df>-O.
(2.49)
В(О)
~
Поокольку при к~в (О)» 1 ненулевые з1начения пра1вой части
(2.44) лежат 1в обла,стях, ,гще ,R(.:) близок к 1, т. е. 't мало, то можно
_ограничиться . первыми двумя членами ряда (2.48) и получить соот­
. ношение
U2
[ - к2В(О)
]
В~м =
-
0 cos со0,:ехр Ф а2,:2
•
2
2
(2.50)
Корреляционной фу~Нlкци:и гау,ссо1ной формы
[- к;В(О)а.2
-r2 ]
В1 (.:) =ехр
2
соот;ветствует 1и энергетшrчеокий 1спектр той же формы
G(J)=
-----ех --,, - --
,
V2n
[ -ro2
]
1()
кl!В(О)а2 р 2к~В(О)а2
(2.51)
100

,,..
а ум но ж ение кор,реля.ционной функции В1 ('t) на cos wo't ,соо~rве11ст­
в у ет , 1,а;к извест:но, ,пере1носу спектра G1 (w) .в:пра~во и ·влево (s об­
ласть от·рицательных частот) на sелич,инrу ,wo.
Та.ким обра зом, 1юрреляц и о.нной ф у,нкции (2 .50) сQ011Ветствует
э-нерг е11ич есжий ,сп ект~р на rюл ожителыных частотах
2
~- ----
о·(w)o=ио"1/
2:rt
ФМ
2 V кlВ(О)а2
(2 .52) •
При к~ В (0)-+оо выра ж е-н~ие (2 .52) стрем,ится :к дельта-фу нкции
u2
.
-
08(w-
·wo). Ита;к , можем утверждать, что, если кiB(O)~l э:нер-
2
'
• г ети ческий СJПектр - ФМ •колебания имеет только , сплошную часть,
·форма
котороQ'о гауссо~ва неза,висимо от формы энергетического
сп ект.ра модули.рующего процеоса G (w) .
Эн ер гетичес1кий сшжт,р ЧМ колебания в.в.иду ,нестащио:нарности
(2.35 ) ле гче всего получить не путем вычисления уоред,ненной кор­
реляцио1нной функции В~м ('t), а путем соп01ста1вления процессу
(2 .35) ,стацио1нарного случайного п-роцеоса (2 .34), у ,кот,ор ·ою энерге­
тиче-01шй СJПектр та1кой же, как уоредненный 11ю 1време:ни энергети­
ческий ,спектр процесса
о
tо
Z(t) = Кч IB(f1)dt1.
о
(2.5'3)
У-оред•ненный энергети-
<.Jес1,~ий ,спект.р
G•() _ 2G(ш)
оW-Кч--,
z
(J)2
и бо коэффициент переда­
чи идеального интеграто­
ра п о мощности равен
r
1/ (J)2.
о L..: ~~~-- __L
_
_J __ _::~~~-
c v четом сказанного
(J}o
ш
результаты для ЧМ сле­
дуют и з результатов для
ФМ, есл!И в !НИХ за1ме-
нить Кф ,на Кч, а
Р1ис. 2. 13. Га:рмонич еская неоущая, манипули­
рованная по ам,пли,туде ,случайным синхронным
телеграфным ,сигналО1м:
а) у{:ред,ненная ~кор ·р·еляц,ио:нная фу.нJщия ;,
б) у сред,ненный энергетический апектр
~
00
B('t)= SG(w)cosw.:df на B'('t)= S G(w) cosw'tdf.
(J)2
-оо
101

00
При этом В (О) = J G (ffi) df эаме,няется ,на
00
В'(О)= ~\ G~:) df
-оо
-оо
и считае11ся , что этот .интеграл суще,е-r,вует. Заметим та,кже, что при
ЧМ J<оэффпщие:нт а2, Qпределяемый ф-лой (2.49), теперь ра!Вен:
00
а2= _ ._1- \ G(w) ffi2df=1.
В(О) J w2
,
(2.54)
-00
Раоамот,рим тепе1рь особенност,и энерге11ических спе:ктров при
модуляции (мани[Iуляции) тармонической несущей частоты ffio
сwнхр-О1Нным дво~ич:ным случайным процессо·м. Спек'Гр при ам,плитуд­
ной .модуляци,и (АТ) определяется, очевидно, так же, как :nри мо­
дуляции непреры1В,ным случайным процессом . Бели в (2.29) счи-
о
,ать, что B(t) -это ,синх,ронный · телетрафный сигнал с корреля-
ционной фу,Н1к,цией В(-т:) = h2[1- 1; 1] и энергетиче,ским ,спектром
G(ffi) = h2 /in2,(w/\cм.(l.64), рис. 1.12], а Кл= Ио , то ,ко,р,реляцион-
(w{у .
h
ная фу,тщ1ия модули,ро,ванного 1колеба1ния
•
и~
и~[ j,;I ]
ВАТ(-т:)=2 COSffio't +2 1-Т COSw0't,
(2.55)
(2.56)
Для . нахождения у,сред:ненных 1ко1р•реляционной фуJищии и э1нер­
гетического спектра •при двоичной фазовой или относительной фа­
зо1юй и частотной манипуляциях (ФТ и ЧТ) восmользу е:м,ся р.езуль­
татами, получе:н!НЫМIИ при АТ .
На са1м ом деле, при модулирующем щвоичном ,си,г.нале рис . 2.14а
сиг.нал ФТ при l\trа~ни;пуля,ции фазы несущей ,на утло:вую 1Величину п
имее'Г вид рис. 2.146. Его можно предста'Вить как наложе,шие двух
сиг:нало:в АТ, ,мод:ул1иро1Ва1нных взаимно о:брат,но (рис. 2.13в и 2.13г),
причем фазы их несущих проти:во;положны. Бели модулирующий
случайный 111роц-есс (р'Ис. 2.14а) •стациона·ре:н, то усредненные 1юр­
релящи,о,н1ная фу,н1кция и энергетический 1спект,р ,сщ•,нала ФТ опреде­
ляются уд'Воением ,соотвеТ~стшующих хара1ктер~исти,к ситнала АТ .
Одна~ко диокретная со,ста1вляющая на ча1стоте несущей при мани-
102

пуляции на n в rопектре ФТ ,от,сутствует. При манипуляц•ии фазы
синJQрон:ным телег~р,афнь11м ,силналом:
*
2[
ji:j ]
ВФт(i:) = Ио 1 - ··т cos(!)о,:,
(2.57)
(2.58)
Лw
Если ·считать, что фазы частот «нажа11ия» ш1 = w0 + - и «•отжа-
2
·
Лw
.
тия» (J)2 = ,w 0- 2 меняются лр1и частотнои ма1нипуляции :незави-
симо, то ,сигнал ЧТ 1можно раесма11р•иватъ :как ·су,мму двух АТ сиг­
Р:алов с различными ча·стотами заполнения (!)1 и w2, модулирован-
\
~it
'
'
о)s (t) '
ФТI
Рис. 2.14 . Пред,ста•влен,ие сигнала ФТ ~как ,суrПерпозицин
д,ву.х сигналов АТ :
.
а) модулирующий д,во,ичный сигнал; б) сигнал ФТ; в) 11
г) оигналы двух га ,рм·он и чеаких несущих, одви-нутых на
180° и ма.н·и1Пулир ·ованных по ам,пли11у,де · взаи,мно противо­
l!lоложно
103··

ных оообщен~ием взаимно пrротивоположшо ('рис . 2.12). Но это озна­
чает, что э:нергети ческий ,опектр (1соответс'flвенно и корреляц,ион~ную
фу1нкц:ию) оиr:нала ЧТ можно найт11 суммированием двух энерге:.
титческих оое<ктро~ АТ ,си['нало:в ·с частотами запол~н-е.ния {01 и w2.
При 1манипу,ляции ча-с11оты несущей ·еинХ1рон1ны.м тел,е,гр аф ным
1силнало·м ,у,с1ред~нен~ный э1нергетичесюий ,опектр
2
2
•
Ио
Ио
Gчт(w)o = 2 б(w-w1)+2 б(w- w2)+
sin[(w- w2)fГ
[(W-W2! ; г
(2.59)
!Примерный 13Ид спектра (2.59) показан на р·и~е. 2.15. Ширина
спектра ЧТ •СИ['•Нала при этом за,виеит от скорости телеграфирова,ния
Pwc. 2.15. Энерrет,ичеокий опектр .при мод'У ляции по ча-ст,оте га р ­
монической •неоущей ,случайным оинхронным телеграфным сиrна­
.тюм
(TI) , а та·кже от де~иац~ии ча•етоты .Л,w = •w2-w1, определяюще й рас-
ста,нов;ку частот w1 и •ffi2.
На лра•ктике при заданной скор,ости телеграфирования чаще
всего приме,няет,ся та1кая девиация частоты, что спектр ЧТ в два ра ­
за шире, чем [I.ри ФТ (АТ) .
Контрольные вопросы
! . Как связаны усредненная корреляционная функция АМ колебания прУ: гар­
мояической несущей с корреляционной функцией модулирующего стационар­
ного . случайного процесса В,(т)?
2. Как связан усредненный энергетический спектр АМ колебания при гармон и­
ческой несущей с энергетически м спектром модулирующего стационарного•
процесса G(,w)?
•
3. Каковы особенности усредненных энергетических спектров гармонической не­
сущей, промодулированной ·стационарным случайным процессом п о углу
(ФМиЧМ)?.
104

4. Каков характер усредненных энергетических спектров ФМ и ЧМ при моду­
ляции непрерывным -нормальным случайным стационарным процессом с энер-
со
гетнческим спектром G.(,w) при условии, что кt JG;(,w)df4;::\ для ФМ и
-со
j"': а (ro)
к2Ф -w--;- df4;:1 для ЧМ?
-со
5. Каков характер усредненных энергетических спектров сигналов ФМ и ЧМ
при модуляции непрерывным ·нормальным стационарным проце~ом с энер-
со
rетичесю1м спектром G(w) при условии, что кt 5G(w)df» \ для ФМ и·
-со
се
к2 \ G(w) df»\дляЧМ?
qJ(J)2
-оо
6. Ка1< м о жно определить энергетические спектры сигналов ФТ 1 (ОФТ) и ЧТ
через энергетический спектр АТ при модуляции гармонического переносчика
про и звольным двоичным случайным процессом?

3 ГЛАВА
Каналы связи и их звенья
3.1 . ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О :КАНАЛАХ СВЯЗИ,
ИХ :КЛАССИФИКАЦИЯ
Во введении канал связи определяется как совокупность
средств, предназначенных для передачи соЬбщений и сигналов
(под «средством» понимаются и технические устройства, и линия
связи - физическая среда, в которой распространяется сигнал
между пунктами связи).
В инженерной пра,кти,ке ·тер 1мин «ха1Нал» ,ча,сто ,примеи-rяют еще
в одном смысле: путь, по которому проходит одно сообщение. В
таком понимании систему связи с несколькими источниками со­
общений и несколькими получателями называют «многоканальной»
(см.гл .8).
Линия связи может, вообще говоря, предназначаться для пере­
дачи сигналов в двух направлениях и иметь произвольное число
входов и выходов (например, входом может быть множество
антенн на передающей стороне радиолини_и, а выходом - множе­
ство антеJНн 1на приемной ,сто~ро·не). При этом линия евязи инте~р­
п,ретируется ка1к М}юго.полюон1ик. Одна,ко для ,ра,с,смотреи-rия о•онов­
ных вопросов настоящего курса достаточно предположить линию
четырехполюсником с одним входом и одним выходом, передача в
котором осуществляется лишь в одном направлении.
К:анал в целом, содержащий всю совокупность средств, распо­
л оженных между точкой ввода первичных сообщений А и точкой
их получения на приемном конце А1, можно себе представить как
по с ледовательное соединение цепочки четырехполюсников , выпол­
няющих различные функции в общей системе_ связи. Такая цепь
применительно I{ :наиболее универсальной дискретной системы ра­
диосвязи показана на рис. 3.1.
При необходимости анализа отдельных блоков схему рис . .3 .1
можно детализировать значительно подробнее. Например, можно
учесть ряд устройств, размещенных в промежуточных пунктах ли­
нии свя зи между передатчиком и приемником (усилительная аппа­
ратура вдо,!Iь дальних линий проводной связи или ретрансляторы
радиорелейных линий связи) .
106

В курсе ТПС нас не интерес.уют вопросы электрического сопря ­
жения отдельных четырехполюсников, образующих канал связи,
на первый план здесь выдвигается такой важный вопрос такого
выбора отдельных функциональных блоков канала, при котором
была бы обеспечена наибольшая возможная эффективность пере-
/(OiJllJJj!IO-
!1ооуля-
Лерв-оат-
/lнте1111а
ще-
пepeiJam -
ycmJJ..011cm-
тор
1/lfl(
'(}о
1/111(0
S1
Л111111я
сОязи
r.ка11ал
' (j YJ!fOM
смысле)
ДВМООfп'ЛЯ-
!Jxoil11ыe
ll11me11h·a
'·~
тор( реш. ~
цепи
пр11ем-
><:,
t'- ,
прием-
щма)
1111/fG
11111.а
!J'
z
Z1
Zz
Р,ис. 3.1. Структу,рная схема канала радиосвязи при пер едаче диакретных со-
общеНIИй
дачи информации. В зависимости от решаемых задач под каналом
{:В язи можно понимать различную совокупность четырехполюсни-
ков рис . 3.1.
.
.
Так, если канал связи задан между точками А и А 1 (канал
связи в целом) и на его вход поступают дисl}ретные символы источ­
•:ника ан, а ,с выхо~а 1снимаю11ся дисюре11ные же 1с,им1волы а~, направ­
. ляемые
получателю, то представляется возможным выбрать опти­
мальные (скажем, -с точки зрения наибольшей эффективности си-
стемы связи в целом) для данного канала источники сообщений.
З адача поиска оптима,JJьных источников сообщений имеет смысл, ·
• i : онечно, если
существует определенная свобода выбора этих
1I сточников. Если задать более узкий канал между точками В и
В 1 на вход которого поступают дискретные элементарные кодовые
символы bi(t), а с выхода снимаются дискретные же символы
Ь; (t), можно поставить задачу поиска оптимальных внешних (по
отношению к заданному каналу) преобразований сигнала ( мето­
ды .кодир•ования и де:к,оди·рования). Оста,вляя вх,од 1ка1нала в -гочке
В и смещая его выход в точку Z, откуда снимаются непрерывны е
(из - за непрерьшного •ха,ра,ктера каналь:ного ,сигнала ·и ш1м1ов в ка-
. нале)
элемен ты колебания z(t), можно ставить · задачу поиска
,оптимальных способов преобразования колебания z(t) в сообще­
ние на приеме или (смещая вход канала в точку S) также задачу
<Оптимального преобразования кодовых элементов bi в канальный
,сигнал s(t) на передаче. Выход канала можно соответственно
107

сместить в точки ZzZ 1, если при поиске оптимальных методов прие­
ма нас интересуют вопросы построения входных цепей при емника
антенных устройств и т. д.
Если задана линия связи между точками S1 и Z2 (канал в
узком смысле), свойства которой определяются конкретными фи­
зическими процессами (распространением радиоволн на различных
частотах, сопутствующими шумами и т. д.), можно, очевидно , ста­
вить задачу поиска всех оптимальных преобразований сообщения
в сигнал на передаче (кодирование, модуляция, усиление, излуче­
ния и т. п.) и сигнала в сообщение на приеме (извлечение сигнала
антенной, преобразование входными цепями, демодулятор, декодер
ит.д.).
Чаще всего, когда в ТПС говорят о радиоканале в узком смыс­
ле, его задают между точками S - Z1, т. е. свойства передающих
и приемных антенн включают в свойства заданной линии связи: В
дальнейшем будем говорить о радиоканале в узком смысле , при­
держиваясь именно такой трактовки. Такой канал (собственно ка­
нал) является естественно, составной частью канала в целом. В
. принципе,
при поиске оптимальных методов построения систем
связи можно было бы задать канал и без среды распространения ,
последнюю же считать предметом поиска. В такой постановке ,
однако, задача чаще всего не имеет практического смысла. На са­
мом деле, наилучшим собственно каналом связи можно априори
считать тот, который не вносит никаких искажений в передаваемый
сигнал. Таких каналов на практике нет. Случай же, когда при за­
данных пунктах связи и виде сообщений есть свобода выбора соб­
ственно канала (скажем можно выбрать или кабельную линию,
или кв радиоканал, радиорелейный укв канал, волновод и т. п.) ,
следует считать весьма редким. Наиболее характерной для связи
является постановка задачи синтеза системы, при которой собст­
венно канал все же задан (задана зависимость, чаще всего стоха­
стическая между входным и выходным сигналами) и ищутся опти­
мальные преобразования сигнала · на передаче и на приеме, при
которых собственно канал используется некоторым наилучшим об­
разом.
В задачах анализа систем связи свойства блоков (четырехпо­
люсников) и преобразования сигналов как на передаче, та к и на
приеме считаются заданными, ищется же зависимость между сиг­
налами на входе и выходе блоков.
Приведем классификацию (типологию) каналов связп. Пос­
ледняя, вообще говоря, возможна с использованием различных
критериев. В зависимости от назначения СИС'rем в. целом обслу­
живающие их каналы связи делят на телефонные, телевизион­
ные, телеграфные, фототелеграфные, звукового вещания, теле­
метрические и т. п. В зависимости от того, распространяется ли
сигнал между пунктами связи в свободном пространстве или по
~
u
направляющим линиям, выделяют каналы радио- и проводнои свя-
108

зи 1) (воздушные и кабельные линии связи, волноводные свч трак­
тыит.п.).
Более существенна классификация каналов электрической
связи по диапазону используемых ими частот.
Так, на современных кабельных линиях связи применяют
сигналы, занимающие поло_сы частот в диапазоне, ограниченном
сверху частотой в несколько сотен килогерц. Дополнительные ме­
роприятия по увеличению симметрии кабельных пар позволяют
увеличить верхний предел используемого диапазона частот до ты­
сяч килогерц.
На воздушных проводных линиях используются частоты не
выше 150 кГц, ибо на более высоких частотах в этих линиях
сильно сказывается мешающее действие аддитивных помех и
резко возрастает затухание в линии .
Коаксиальные кабели, являющиеся основой сетей магистраль­
ной дальней связи, используют в настоящее время диапазон ча­
стот до нескольких мегагерц.
Радиосвязь осуществляется ттри помощи электромагнитных
волн, распространяющихся в частично ограниченном (напри м ер,
земной и ионо,сферной поверх­
ностям.и) простра1нстве. В на­
стоящее в.ремя в ращио·связ,и
прюvrеняютоя частоты пример­
но о,т 3 •кГц до 3-105 МГц.
Этот огром,ный диа[Iазон [I:ри­
нято rв ,соо~вет:ствии ,с десятич­
ной •клаюси:фикацией 1[15J !Под­
разделять на rчасти, m,риоваи­
вая отдель.ным
диапазонам
следующие специальные наи ­
менования.
Волны
Сверхдлинные
Длинные
Средние
Короткие
Ультракороткие:
1
1
Частоты,
Длина волн
МГц
10"---'105 м
10 3-10• м
l0Q- 1000 м
10-,100 м
0,003--'О,03
0,03 -0,3
0,3
-
3
3 ---iЗО
метровые
1-10 м
30- 300
дециме'!)ровые 10 см - 1 м 300-3 • 10 3
сант.и•метравые 1-:10 см
3-108 -3-104
Диапазон миллиметровых миллиметровые 1-10 мм 3 · 104 - 3 : 105
волн уже втшотную подходит
к диаmазону ,инфракра •сных световых волн. Напомним, что диапа ­
зо·н видимых 1световых волн простирается до частот порядка
7,5-108 МГu.
В настоящее время благодаря созданию и внедрению в прак­
тику квантовых генераторов (лазеров и мазера_!'!) осваивается и
диапt1зон световых во-лн (оптический диапазон). Так; например,
в нашей стране успе шно прошли эксперименты по передаче
многоканального телефонного сообщения лучом лазера. Интен­
сивнь~е работы по освоению волн светового диапазона для нужд
связи продолжаются.
1) Деление каналов на радио - и проводные весьма условно не только по­
том у, что они часто работают в одинаковых диа,nазонах волн и зачастую со­
держат участки как тех, так и других каналов, но ;;ще и потому, что характер
искажений в этих каналах нередко оказывается одним и тем же .
:109

Приведенное выше деление радиово.1н на диапазоны связано, прежде все­
го, с условиями распространения электромагнитных колебаний в зависимости
от длины волны. По механизму распространения различают радиоволны четырех
типов: земные (иначе, поверхностные), распространяющиеся вдоль поверхности
земл и и частично огибающие ее вследствие явления дифракции; тропосферные
(называемьiе также пространственными), огибающие выпуклую повер хность зем­
ного шара за счет напра,вляющего действия волноводных образований в тропо­
сфере и рассеяния волн на неоднородностях тропосферы; ионосферные (также
относящиеся к пространственным), распространяющиеся вокруг земного шара
за счет однократноr<:> и;nи ~ш огократного отражения (рассеяния) от ионосферы
(верхних ионизированных действ11ем солнечных и космических лучей слоев
атмосферы); прямые, распространяющиеся преимущественно прямолинейно и
обладающие способностью (в определенном диапазоие волн) проникать сквозь
атмосферу (ионосферу) земли.
•
.
Как поверхностные могут ра~лr, ос траняться волны длиннее 10 см [15], при­
чем тем лучше (с меньшими поглощениями в толще земли или в водных сре­
дах), чем длиннее волна.
Связь на сверхдлинных, длинных и среднf!х волнах в основном поддержи­
вается за счет земного «луча» (земной волны), чаще всего на расстояниях до
г)
~
Рис. 3.2 . Различные механизмы рас.пространения радиоволн:
а) повеμхнос.тной; 6) тропосфе,рной; в) ионосфер.ной; г) пря­
мой (1 - неоднородности атмосферы)
нескольких тысяч километров (рис. 3.2а). Пунктиром на рис. 3.2 обозначен путь
•волны, с оздающей в месте приема лишь довесок к основному сигналу, путь
которого обозначен сплошной линией.
Как rропос.ферные могут распространяться радиоволны в диапазоне от 1 см
до 10 м (укв диапазон) на расстояниях, не превышающих 1000 км (рис. 3.26).
За счет ионос.ферной волны в основном осуществляется связь , (причем за
счет многократного отражения и на расстощшях в десятка тысяч километров)
волн коротк::Jволновоrо диапазона, ибо волны длинные испn1тывают в ионосфере
очень большие поглощения, в то время как волны меньшей длнны слабо отра­
жаются ионосфе11ой ( рис . 3.2в},
110

К ионосферным.· также относят волны в диапазоне от 3 до 10 м, распро­
ораняющиеся на расс тояниях до 2000 км за счет рассеяния на неоднородно­
стях ионосферы или за счет отражения от ионизироваиных следов метеоров.
Связь между двумя наземными пунктами волнами· в укв и оптическом диа­
'пазонах осуществляется в пределах прямой видимости (прямой волной, рис. З.2г).
Космическая связь также осуществляется, главным образом, прямыми волнами.
Когда один из конечных пунктов космической линии находится на поверхности
земли, применяют волны в диапазоне от 1 см до 10 м, если же связь осущест­
вляется между двумя космическими объектами, то можно использовать волны
всех диапазонов .
Следует подчеркнуть, что возникновение того или иного механизма рас­
пространения радиоволны заданной длины во многом определяется направлен­
ностью излучения а. нтенны.
Для современного этапа развития техники связи характерна
тенденция к переходу на все более высокие частоты . Это вызва ­
но рядом не,ских ,причин, укажем неко'I'орые ,и•з 1них:
.1 . Применение очень высоких частот позволяет получить
остронаправленное излучение при небольших размерах излуча­
телей, что имеет очень большое з начение не только для радиоло­
кации, но и для радиосвязи, в частности при построении радио -
. релей ных
линий.
2. В высокочастотных диапазонах
. (начиная
с коротковолно­
вых) делаются :неощутимыми атмосферные помехи и многие ви­
ды промышленных помех.
,.
3. Чем выше несущая частота, тем «просторнее» частопrый
диапазон, следовательно, тем большее число связей можно осу­
ществить без взаимных помех.
4. Большой частотный «простор» позволяет применить поме-
хоустойчивые широкополосные системы модуляции (например,
ЧМ).
5. Только в укв и . оптическом диапазонах можно в настоящее
время осуществить такой вид связи, как телевидение, так как
оно требует очень широкой (порядка 6 МГ u) полосы частот.
В последние годы все более широкое р а .:пrостран е ние получают радиоре­
лейные 1) линии связи (РРЛ). Эти линии предсн,u л я,о т собой цепочку приемно­
передающих радиостанций, расположенных на таких расстояниях друг от друг а,
чтобы между каждыми двумя соседними станциями была устойчивая связь ·( на ­
пример, на расстоянии прямой видимости между антеннами соседних станций).
Сигнал, передаваемый с первой станции, принимается второй станцией, уси­
;ш вается и передается на . третью станцию и т. д. до тех пор, пока он не будет
пμинят последней ст а нцией на другом конце линии.
На радиорелейных линиях связи применяются кана л ьные спrналы ультра­
ко ротковолнового диапазона, что позволяет в одной такой линии разместить
r,, ,л ьшое число каналов, работающих без взаимных помех. Существенным яв­
..1 ?ется и то, что полоса пропускания радио п ередающих и радиоприемных укв
ус тройств без особых затруднений может быть сделана очень широкой. Тем са­
м ым обеспечивается необходимое качество связи.
• 1 ) Термин «радиорелейная» линия происходит от английского слова «relay»,
что значит «смена», и . отража ет, таким образом, восстановление сигнала на
каждой промежуточной станции рад и орелейной линии, как бы замену слабого
сигнала , принятого этой станцией, новым сильным сигнал-оы, посылаемым на
следующую станцию.
1,11

Важной особенностью укв диап·азона является практическое отсутствие в
нем внешних помех ( атмосферных и промышленных). Еди.нственным видом по­
мех, существующим в укв диапазоне, являются собственные шумы ламп и со­
противлений (флуктуационные шумы). Перечисленные факторы, а также воз­
можность создания на укв узконаправленного излучения и являются причиной
того, что на РРЛ применяются сигналы укв диапазона. В последнее время на­
метилась тенденция к переходу на еще более короткие волны путем создания
лазерных РРЛ.
В ТПС наи~ольший интерес представляет классификация ка­
налов связи по характеру сигналов на входе и выходе канала.
Различают каналы:
а) дискретные (по состояниям), на входе и выходе которых
на•блюдают,ся ди,с,юретные ,си,гналы. Та;кие каналы, как mравило,
дис.J<1ретны и ,во вре1мени, иlбо 1произ1водительшость 1реальных
источников всегда ограниченна . Примерами дискретных каналов
являются каналы, заданные между точками А-А1, В - В 1 на
схеме рис. 3.1. Заметим, что если дискретность сигнала понимать
не по его мгновенным значениям (уровням), а по произвольным
параметрам, то в дискретных системах связи на выходе модуля­
тора всегда имеем сигнал, дискретный по информационному па-
1ра, метру, по .от<ношению 1к 'Н ·ему и вход 1ка1нала •В 1уз·ком смысле
можно считать дискретным;
б) непрерывные (по состояниям), на входе и выходе которых
наблюдаются сигналы с непрерывным изменением диапазона
уровней. Такой канал будем в дальнейшем именовать непрерыв­
ным. Примером такого канала может служить канал, заданный
между выходом модулятора и входом демодулятора в любой
системе свя з и;
·в) \l!;И•сюретные (по 1с-осrояния·м) с·о ,стор·оны вх,ода ,и 1неп,ре:рыв­
ные со стороны выхода и наоборот. Такие каналы называются
дискретно-непрерывными .
Примером дискретно-непрерывных каналов являются кана­
лы,заданныемеждуточкамиА- Z,В - Z,В - Z2ит.д.,
рис. 3.1.
Для полноты проведенной классификации необходимо, вооб­
ще говоря, всегда указывать, являются ли каналы непрерьшны ­
ми или дискретными во времени. Дискретность во времени всег­
да можно предполагать, если оперировать дискретными котель­
никовскими отсчетами сигналов, ограниченных по спектру.
Контрольные вопросы
1. Как мож~но задавать канал связи ,в зависимости от целей и задач исследо­
вания?
2. Что подразумевается под кан а лом связи в узко~~ смысле или собственно ка ,
налом?
3. Каковы особенности распространения радиоволн различных диапазонов?
4. По каким i!lризна.кам можно клас сифицировать канал связи?
5. Какие каналы называются дискретными, непрерывными и дискрет,но-непре ­
рывными?
6. Что понимают под каналом дискретным или непрерывным во времени?
112

3.2 . ИСКАЖЕНИЯ СИГНАЛОВ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ
ХАРАЕТЕРИСТИЕАМИ :КАНАЛОВ СВЯЗИ
Передача сообщений и соответствующих им электрических
сигналов через реальные каналы связи всегда сопровождается
изменениями этих сигналов, в результате чего принятые сигна­
лы в какой-то степени отличаются от переданных. · здесь не бу­
дем рассматривать изменения, связанные с_ наложением на сиг­
нал аддитивных шумов. Последствия, связанные с такими слу­
чайными изменениями сигнала, подробно будут анализироваться
в · дальнейшем.
Подчеркнем, что не всякие изменения электрических сигналов
искажают передаваемые сообщения. Если принимаемый сигнал
s'(t) отличае-гся от 1переданног,о s(t) лишь из·ве-с-гным ма,сшта-
6ом а0 и ,по,стояrнной 1за,держкой во времени -ro, т. е.
s'(t) = aos(t-т:o),
(3.1)
то чаще всего при этом передаваемое сигналом сообщение не
искажается. На самом деде, масштаб легко компенсируется со­
ответствующим усилением или ослаблением сигнала. Задержка
сигнала во времени приводит к задержке принятого сообщения
и, хотя компенсации не поддается, чаще всего невелика. По су ­
ществу, лишь при связи в масштабах космоса и наличии очень
большого числа реактивных элементов в линии связи задержка
может оказаться ощутимой. Хуже с изменениями формы сигна­
ла. Такие изменения принято называть искажениями. Искаже­
ния часто обусловлены характе ром реальных амплитудных и
частотных характеристик канала, а также наличием многолуче­
в ого распространения электромагнитных волн (появ.11ение па­
раллельных ка'i--1алов связи).
Ис1,ажения в реальных каналах обычно имеют достаточно
сложный хара~,тер. Тем не менее для решения задач анализа
возможно канал связи представить как последовательное соеди­
нение линейного, в обще м случае инерционного, и нелинейного
безынерционного четырехполюсников 1>, обусловливающих соот ­
ветственно линейные и нелинейные искажения сигнала . Система
- (ли нейна я
или нелинейная) называются неинерционной (без
1rюследей,ствия или без .памяти), если о·-гкли,к 1си,стемы (,выходной
,сигнал) 1в -мо.мент 1в-ремени t зависит от входного воз1д:ейстния в
тот же момент времени. Если же этот отклик зависит от значе ­
ний воздействия в предшествующие моменты времени, систему
называют инерционной (с пос ледей ствием или памятью).
Примером неинерционной линейной системы является перемножитель, в ко­
тором вход,ное воздействие x(t) ум ножается на функцию времени cp(i), а не ­
инерционной нелинейной системы - ограничлтель ·мгновенных значений сигна-
1 ) Разумеется, что нелинейный четырех.полюсиик не включает в себя блоков
ка ,нала, в которых ,нелинейность выполняет .полезную функцию ~ (например, мо­
дулятор на передаче или детектор на приеме). />сналогично замечания относятся
и к линейным блокам .
113

ла. Интегратор представляет класс инерционных линейных систем, а -амплитуд­
ный детектор с фильтром низкой частоты в нагрузочной цепи - класс инер­
ционных нелинейных систем.
Нелинейные инерционные системы с трудом поддаются ана­
лизу (особенно при случайных воздействиях), однако такие си­
стемы во многих случаях можно свести к последовательному
соединению нелинейной неинерционной и линейной инерционной .
систем, что и будем полагать в дельнейшем.
Линейные искажения в канале. Основную часть ка­
нало1;3 (л,нН'ии) свя-зи можно представить в виде линейного четы­
рехполюсника (рис. 3.;3). Если считать, что параметры линейного
канала (четырех1по~юсника)
дg(t,r)
не лод:вержены случаи ,ным ,из ­
менениям, 'ГО исчерпывающей
его хара·ктери-стикой я'вляется
t
детерминированная фуrнкция
g(t,i-)
/{(i,ш,t)
Ри,с. 3.3 . Пред,ставление­
линейного канала с пе­
ременными параметрами
в виде Э'КВ,ивалентного
;четырех:полюсн,ика
р,ис. 3.4 . Реализации импульсны х
переходных характеристик линей­
ного канала с переменными пар а ­
метрами
g (t, т) двух :перенv1енных, определяющая ,реакцию ,сис"!'емы (четы­
рехсrюлюсника) в момент t на о-импульс, поданный ,на вход в мо­
ме,нт t-т; 1).
На рис. 3.4 условно показано семейство , хара ктеристик
g,(t, , т) как функций от т лри фик,сированных моментах 1наб .с; : ;Jде­
ния t.
При изменении параметров четырехполюсника (системы) во
времени кривые рис. 3.4 в отдельных сечениях имеют, вообще
говоря, различную форму . Однако если в линейных системах
(каналах) параметры могут считаться неизменными во времени ,
то импульсная переходная функция d(t, ,;) зависит лишь от раз­
ности моментов наблюдения отклика t и подачи воздействия
t-т: g(t, --с) =g(т). Другими словами, в эrом ,случае ,к,ривые р1к
3.4 одинаковы для любых сечений t, что, . собственно, и отражает
фа1п неизменности параметров системы во времени.
Отличие g(t, т:) mo фо1рмул,е от б -rим,пуль,са ,вызывает переход­
ный процеюс в системе ,и может ,пр1ивес1'и к линейным и,скажениям
входных ,силнало1в. В ,реальных ,каналах связи переход,ный пр,оцеос
обу,словлен или наличием ,реактив,ных э:нергоемк'их элементов в
1 ) Иные определения импульсных характеристик линейных систем менее
удобны для анализа (21].
1114

тракте [2], или же многолучевым (мноюпут1=вым) хара~к'Гером 1ра1сп­
ространения электромагнитных волн. Оба фактора могут ска ­
заться и одновременно. Что·бы объяснить многолучевой ха1ра•ктер
распространения радиоволн ; заметим, прежде всего, что энергия
волны распространяется не по тонкому воображаемом у лучу,
__соединяющему
точки передачи и приема (рис. 3.2).
Поле в точке при е ма согласно принципу Г ю йг е нс а воз никает
в ре з ультате интерференции множества луч ей , со з даваемых
Ри·с. 3.5 . Образ·о·ва.н и е однолучевог-о ра-ди.о сн гн а ла , фо рм ,ир-у ем о го
вн у т-р и не1ют.о:рою огра -ниченно !lо объем а ра,ссеян.ия
«элемента р1ным-и излу.чателямю> (пере.излучателями) ,в~нутри неко­
торого .оr~раниченного ,объема !ра,осея1ния, ,полож-ение ,котор ·оrо о.п­
,р-еделяе11ся направле'Нlными ,свойст·ва,ми ·передающей и п,риемн,ой
а,нтенн (рис. 3.5). Диффузный (рассеивающий) ха1ра1ктер отражения
радиоволн от ра1зл,ичных 1неод1нород,ностей п~р·о·странства (11ропосфе-
1ры, и·о1ноюферы, • луны и т. д.) может ,при определенных условия х
привести ·к большой .разности хода п,риходящих л•учей, а ,след-ова­
тел1:1но, и к •их ·взаимно1му запаздыванию Лt, т. е. ,к поя,вле­
нию переходного 1процес•са в .ка1нале. Заметим, что :пер,ех·осдный про ­
цеас, обу словленный многолучевым х а,ра,ктером ра,спространения
радиоволн, -может но•сить как шепрерьJВ.ный характер (рис. 3.4),
когда принимаемый с игнал создается непрерывным м,ножеством лу­
чей, так и дискретный, кшда прин и маемый •сигн ал ооздается огра­
ниченным ,числом лучей ,сра,внимой интенсив·но·сти (дискрет.ная
многолучевость, рис. 3.6) (,см., на:пр У~ мер, случай и нтерференц и и
л у чей одно- и д~ух-скачко.вото отражения во л ны от ионосферы,
рис. 3 . 2в).
1,15

Протяженность переходного процесса (взаимного запазды­
вания лучей) в линейном канале т~р по переменной т называют
g(t;r:) •111(t)o(r-r1) +llz (t) O{[-Iz) ;
111
L1
1(2
ZI
1па1 мятью :канала .
При 1по1след,ователыной ~пере­
дач·е ,им,пулиных ,сигналов ,дли­
телыностью Т ,по Л'И'Ней,ному 1ка-
1нал у искажения (межсимволь-
ная интерфе~ренция) lбуд!УТ тем
б олее ощутимы, чем хуже вы­
пол~няе'Гся лер а,ве~1ство
TrщJ « Т.
(3.2 )
Из условий :фи1зичес1юй осу­
ще ствимости ,сиrсте:мы (,ка,нала)
L_______.ш.__ __ __ __~~~
r2 i следует положить, ч·ю
о
Р,и,с. 3.6. Вид ,им,п~ульсной переходной ха­
ра,ктеристики ,~шнала с ди~с:1rретной мно ­
rолучево:стью (к1, к2 и т1, т2 - соот,вет­
с'Тlвенно коэффициенты передач1и и вре­
мя расnросrгранения 011дельных лучей)
g(t, т) =0 при т<Ю, (3.3)
1ибо т<О ,соо'Гветствует точка м,
:наlблюден,ия 6олее 1ра1нн·И1м, чем
'1\,Юмент ,подачи ,оигнала на ,вхо­
де ,си1стемы, а в физически осу­
щест,вимой ,оисте!Ме 1 (це~пи) ре­
акция ,на выходе ,не может :предшество,вать 1ноздей1етвию 1на входе.
Реалыные ,системы, всегда удовлетворяющие у,слоgию (3.3), 1на1зы-
вают ди1наМ'ичес,ки- ми.
Искажения в линейном канале можно определить и по ха­
рактеру его передаточной функции (частотных характеристик)
к(i,w 1,t), 1к·оторая овязана ,с g(t, т) п·реобразова1нием Фурье по
переменной т:
с,,
к(iw, t) = Sg(t, т)е- i 2 тсf, dт.
(3.4 )
-
00
Согласно обратному преобразованию Фурье
со
g·(t, т)= Jк(i,w,t)ei 2 "t'df.
(3.5)
-со
Следует !ПОд'черк,нуть, что к (i:w, t) ,не имеет такого 'Наглядного
физического смысла как ' передаточная функция к (iw) системы
(цепи) с постоянными параметрами 1>, выражающая отношение
компJ1ексных амплитуд колебаний на входе и выходе с частотой
w в установившемся гармоническом режиме. В системе с пере­
менными параметрами установившегося режима, строго говоря,
вообще не существует. Если спектр псr Фурье входного сигнала
1) Из (3:4) при учете .условия g(t, т) =g(т) и следует, что для системы
с постоянными параметрами передаточная функция зависит ли ш ь от частоты.
116

равен Э(iш), то спектр выходного сигнала вовсе не равен S (i1ш )
к (j.ш, t) . Одна1к,о, 1и!ополь·зуя и1нтег~рал Дюамеля [29]
00
s'(t) = ~ g(t, т)s(t-т)dт,
(3.6 ):
о
связывающий входной s(t) и выходной s'(t) сигналы в про изв ол ь­
ной· физически осуществимой линейной системе с переменными па­
раметрами, можно видеть, что при передаче моногармонического
сигнала
на выходе
•(t)_•
irot _
elQ)oeirot
s
-roe
-
ro
;, =Ig(t, -т:)e-i2 nf,d'tl: oeiwl =
о
•
i[Шt+(j)0+0 (Ш,1)]
=к(i,ш,.t)s(t)=roк(ш,t)e
к
,
о
(3.7)
где к(ш, t), 8~(,ш, t) - ~модуль и а1рг )11ме,нт mе1редаточ1ной фу1нкции
канала к(iш1t).
Вещественная часть от (3.7), т. е. действительно принимае ­
мый сигнал, можно представить в виде
.
л
s'(t) = Res' (t) =s(t)к (ш, i)cos 8к(,шi)-S(t)к(ш, t)sin 8к(ш, i) . (3.8)
Соотношениями (3.7) и (3 .8) будем пользоваться в дальней­
шем . Заметим, что они описывают выходной сигнал линейной
системы при передаче не только чисто гармонической , но и до­
статочно «узкополосной» модулированной несущей, когда усло­
вия прохождения отдельных спектральных компонент сигнала
можно считать одинаковыми:
к(i1ш, t) = к(t).
(3.9)
Как следует из (3.7), выходной сигнал s'(t) не отличается по
форме от входного s(t) {т. е. строго выполняе1Jся условие (3 .l)I
только тогда, когда параметры канала могут считаться не измен­
ными: к(i,ш 1<f) =к(iш), а его частотные характеристики идеаль ­
ными:
(3.1О)
Неидеальность амплитудно - частотной и фаза - частотной ха­
рактеристик канала и их зависимость от времени влияют, вооб­
ще говоря, на искажения передаваемых сообщений по - разному
в зависимости от вида модуляции. Существуют о п ределенные
возможности коррекции част отных характеристик канала, одна­
ко в условиях относитель н о быстры х, и притом случайных, из
изменений во времени (что характерно для каналов радиосвя­
зи) - это задача достаточно сложная (см. п араграф 9.7) .
117

Рассмотрим подробнее искажения сигналов, обусловленные
:многолучевым распространением, когда вследствие случайного
характера изменения свойств (параметров) канала, переходную,
1<а,к и лереда·1101чную функцию :канала, 1следует ,считать ,случай,ной.
Допустим, что на интервале (О, Т] передатчик излучает «узко­
nолосный» радиосигнал
•
•
i(J)t
s(t) = r(t)e h(t),
(3.11)
где w - средняя _ частота спектра; r(t) - комплексная огибаю­
щая сигнала:
(3.12)
Положим, что принимаемый сигнал (суммарный луч) s'(t)
формrир,уе11ся в одном ,0,1:;ра'ниченнам объеме ,п,рО1стра1н1ства (,ри·с.
3.5) и запишем его в виде
•
L•
_
L
•
iw(t-t1)
s'(t) = ~ r<:1s(t-t1) = ~ к1r(t-t1) е
h (t - tt), (3.13)
l=I
l=I
где
L - число элементарных сигналов (будем их называть «подлу­
чами» 1[23 ]), по п адающих в точку приема;
кz . - коэффициент передачи канала по l-му подлучу (вследствие
«узкополосного» сигнала он считается одинаковым для
всех его частотных компонент);
t,
время распространения l-го подлуча (также считается не ­
изменным для всех частотных компонент сигнала).
Поскольку свойства и состояние отражающего (рассеиваю­
щего) объема среды {тропосферы, ионосферы и т. д.) непрерыв­
но (но не очень быстро), причем случайным образом {15] ме­
няются во времени, к1, t1 следует рассматривать как случайные
функции времени K1(t), T1(t). Однако на протяжении длительно­
сти элемента си·гнала Т (даже при использовании посылок дли ­
ной порядка десятков миллисекунд) К1, Т1 чаще всего можно счи­
-тать н е изменными, что и предположим в дальнейшем.
Напишем
где
т е - среднее время распространения суммарного луча;
Л t1 - отклонение t1 от среднего значения, тогда
••
L
•
iw(t- , ) -iwЛt1
s'(t) =~К1r(t-
'tc- Лt1)е
се
h (t-,c - лtz).
1=1
11&
(3.14)
(3.15)

Положим, что вследствие ограниченности объема рассеяния ~
формирующего принимаемый сигнал, выполняются условия
IЛt1I «1/2Fэ=Т/Вс,
(3., 16)
где Fэ - эффективная полоса частот используемых сигналов.
При этих условиях взаимные фазовые сдвиги частотных компо~
нент комплексной огибающей сигнала Л,!J);::::; 2л:FэЛ,t1 ;::::;О {т. е.
r(:t-1:c-Лtz) ;::::f' (i-1:c) ], 1сигнал s'(t) ко:нцен11рирова1н на ·интерlВале
·1:c --: -'tc + Т ,[т. е. li (,t-1:c~Mz) ;::::; ,h (t--rc)] и можно написать
•
•
L
i01
s'(t) = 1s(t--rc) I Kze ,81=-,ffiЛt1.
(3 .17),
1=1
Случайный мно~китель ,п,ри si(t-1:c)
L
•0
~ К1е1 1 =K(iш,t) ,
(3.18),
l=I
который в общем случае зависит как от времени t, так и средне~
частоты спектра сигнала ffi, часто называют мультипликативнои
помехой канала. Чтобы объяснить характерную для каналов радио­
связи статистику случайной передаточной функции К (ffiti), предста­
вим ее в виде
K(iffi,t) =K(ffi,t) ei 0к<w,t> =X'((t),t)+iY.(,ffi,i) =
L
L
= I X1(ffi, t) + i_1 Y1(ro, t);
(3.19)
l=I
l=I
Х =Ксоs8н, У = Ksin811 -
квадратурные компоненты передаточной
функции канала по суммарному лучу;
X1 = K1cos81, Y1=K1sin81- квадратурные компоненты передаточной
функции канала по l-му подлучу.
Поскольку Х ( w1t) и У (ffi 1t) образуются в результате сложения
большого числа слабо коррелированных 1 > случайных слагаемых
Х1(w1t ), Yz( w1t) с ограниченными дисперсиями, средними значения­
ми и однородной статистикой, . то в силу центральной предельной
теоремы теории вероятностей l[~J Х (ro 1t) и У (,ro 1t) можно при весь­
ма широких предположениях считать нормальными случайными
процессами .
Эти случайные процессы, а следовательно, и J<омплексный слу­
чайный процесс K(iffi1t) =X(ffi1t) +iY(u>1t), вообще говоря, следует
считать нестационар ны ми. Однако, как показывают эксперимен­
тальные исследования каналов радиосвязи, в пределах небольших
интервалов Т ст (например, порядка нескольких минут в кв кана­
лах) параметры распределения Х и У могут считаться неизменны­
ми, а сами процессы стационарными (локально-стационарными
1) Сильно коррелированные слагаемые можно объединить в совместные под­
лучи.

{23]). Случайные изменения во времени на интервале Тет локаль ­
ной ·стациоrна:рrности Х и У ('соотв,етствен1Но К = V Х2 + У2 ·и r0н =
у
= arctg - ) называют интерференционными (и относительно бы-
Х
.
стрыми) замираниями сигнала, так как они обусловлены сложе­
нием (интерференцией) большого числа случайных, меняющихся
во времени, компонент.
,,
На интервалах, существенно превышающих Тст, приходится
считать, что параметры распределений ХУ из-за медленных (часо­
вых, ,су·юч1ных, годовых) rмулыгипликативных флу~ктуаций п,оглоще ­
'Н'ИЯ i) не 'О'СТаю11ся ПОСТОЯ ,НIНЫМИ {15]. Дрrу1Ги:ми ·СЛО'В'а•ми, 1(}Т1р,езки
длительностью Тет следует трактовать как отдельные состояния
локально стационарного канала .
Быстрота изменений во времени комплексного случайного про­
цесса k (iw, t) =K(w, t) ei 0к<(J),/) = X(wt) +iY(w, t) (при фиксирован­
ной частоте2>) определяется временем автокорреляции тн квадра­
турных компонент Х (w, t) и У (w, t) или шириной усредненного
энергетического спектра замираний Лfзам~ 1/тн.
По экспериментальным данным для ионосферной коротковол ­
новой радиосвязи rtн = О, 1- 0,2 с. Для других каналов значения тн
могут меняться в широких пределах . При исследовании условий
передачи сигналов в каналах с замираниями существенна не вели­
чина 'tн сама по себе, а ее отношение к длительности элемента сиг­
нала Т 3> или отношение скорости замираний 1/тн к скорости переда­
чи сигналов 1/Т. Интерференционные замирания называют медлен­
ными, если тн~ Т, что справедливо д.11я большинства радиоканалов
при передаче дискретных сообщений. В этом случае можно счи­
тать, что Х и У (К и 01;) не меняются на интервале Т -
· длитель­
ности элемента сигнала. Если передача идет с очень большими
скоростями, когда Т/тк·-+-0, можно считать , что практически Х и У
остаются неизменными на протяжении многих элементов сигнала.
Если тн одного порядка с Т и даже меньше, замирания назы­
вают быстрыми. Что касается времени корреляции средних задер ­
жек сигнала те, фигурирующих в ф-ле (3.17), которые, вообще го­
воря, также следует считать случайными, то для большинства ка­
налов они значительно превосходят время корреляции процессов
X(w1t), Y(,w1t).
Для нахождения одномерных плотностей вероятности Х и У (со­
ответственно К и 0н) рассмотрим два крайних случая, одинаково
1) Обусловленных не интерференционным эффектом, а изменением условий
р.аспространения . ра:д,иоволн таких , как суточные изменения -в состоянии ионо­
сферы или различие температуры и влажности тропосферы в летнее и зимнее
время.
2 ) Которые, в час11ности, могут быть обусловлены случайными изменениями
взаимного расположения «элементарных излучателей» рассеивающего объема и
точки приема сигнала, ,порождающими допплеровское смещение средней часто­
ты спектра [53].
3 ) При передаче непрерывных сообщений под Т следует понимать длитель­
ность импульс~, соответствующего к отель ни к о в с к ом у окчету.
120

характерных для различных каналов радиосвязи, когда разно~ти
времени распространения подлучей Лt1 достигают значений, суще­
ственно превышающих период средней частоты сигнала 2л/,w, и,
когда ,Лt~2л/,w.
В первом ,слу,чае е1 = -l(J)1Лif1
достигает зна 11ений, существенно
больших 2л,. и :векторы отдель­
ных подлучей хаотически -занима­
ют всевозможные 11юложения от­
носительно ортогональных осей х
и у (р,ис. 3.7) . При этом матема­
тические ожидания ,суммы проек­
ций этих ве,кт-оров :на оси х и у
близки к нулю: тх;:::;,ту;:::;,О . По­
сколь·ку длины векторов в :сред­
нем одинаковы, то интер,валы
,разб.роса ~проекций векторов при­
мерно равны: Лх;:::;, ,Лу - и мож ­
но считать, что дисперсии ~квад­
ратурных компонент ра,вны: а~ =
=
ai=а2.
у
iii
Кz
6.Х
Р,1,1•с . 3.7 . Образование ,с у~ммарног о
л у ча сложением многих «.подлучей:.,
фазовые одвиг.и межд,у которыми м о ­
г у т с ущес:nвенно п ревышать 2:n:
ТаккакХиУмогут
нога распределения К =
[см. (l . 119)]
считаться независимыми, то для одно м ер~
VХ2 + У2 получаем распределение Рэлея
ro1(к)= ; ехр(-2: 2).
(3.20}
у
а д.тrя фазы 0:и = arctg 1⁄2 - равномерное распределение на интер-
вале -л, +л . Такие замирания, как и каналы, в которых они
проявляются, называются рэлеевскими. Во многих случаях в са:­
мых различных диапазонах волн можно считать, что, помимо диф­
фузно отраженных подлучей, в место приема приходит и регуляр­
ный (незамирающий) луч. В этом случае модуль коэффициента
передачи канала К = V Х2 + У2 подчиняется обобщенному распре•
дел~нию Рэлея' [см. (1.1 '14)] :
ro1(к)= а~ ехр(- ;;2 _
, q2 ) Io: ('"к ~~q{),
(3.21}
- ~; \j;J
а фаза распределена по закону, определяемом у выражением:
( 1.120).
В Ji:pyroм 1<райнем сл учае, когда .Лt1 <!;:. 2:n: / ш, фазовые сдвИ!iИ 01 = -,ш,Лt1 с
ничтожной вероятностью достигают значения 2:n: , векторы приходящих подлучей
теперь -очень теоно группируются вдоль направления, характеризуемого нулевым
сдвигом фазы 1 (рис. 3.8) .
12D

у
с:,,
--; ; -i<~::::::,----------+ -+ -- <:J
х
Ри,с_ 3.8 . Образование су'\<1 -
.марного луча . сложением
мн.опих «,падл,учей», тесно
гр.у~ппи,рующиХJся вдоль пре­
и мущественного
наrпра·вле­
ния
В предположении симметричного распреде­
!i ения фаз векторов относителы-10 .их преиму­
щественной ориентации математическое ожи­
дание суммы проекций этих векторов на ось у
близко к нулю, а на ось х - отлично от нуля:
ту= О, тх #= О. Флуктуации же проекций век­
торов .по обеим осям относительно центра рас.
се и вания те перь не равны (,Лу=l=Лх, рис. 3.8),
т. е. не равны и их диспер,сиы: a_k * а}
В предположении некоррелиро·ванности Х
и У 1) их совместная плотность в рассматри-·
ваемом случа е:
Шz (Х, у)= ---- ехр r-
2nux Ciy
-
::} ]
(3.22)
Поступая точно так, как в парагр афе 1.8, получаем для одномерного рас­
:пrrделе ния к= -v х2 + У2 (амплитуд) . вьrражение [23]
2:rt
к j" [ (ксоs8к-rпх)2
w1 (к) = ----
ехр -
2
2nax ау
2ах
о
к ( кz+rn_k) lJ"' (2i+l)!!(a}-ay,Ji . ( ктх)
= --- ехр
-
----
.
.
.
к'li -·
-
2-
, (3.23)
0х ау
2о2
i!2'о2'т'
ах
Х
i=O
уХ
.
тде l ; (x) - модифицированная функция Бесселя i- ro порядка. Распре ,деление
{3.23) и описываемые им замирания rназваны трехпараметрическими [23], так
жак они определяются тремя параметрами: тх, 03(:, ai . При 03{ = а}= -а из (3.23)
,следует обобщенно-рэлеевское распределение. В наиболее_ общем случае нор -
_мального распределения процессов Х, ({!), t), Yt(w, t), когда тх =1=0; ,ny #=О;
а]( *О; а}+ · а]( ,получаем так · называемое четырехпараметрическое распреде­
сЛенне амплитуд и фаз сигнала [23], объясняющее .известные экспериментальные
данffые при кв · и укв радиосвязи, в частности бнмодальное ,(двухгорбое) распре­
деление а-мплит.у,д.
При тх = 0 и а3с =l = ,at из ·(3 .23) можно получить подрэлеевское распреде ­
ление амплитуд i[23], которое характеризует •более глубоки е по сравнению с рэ­
леевскими замира,ния ам-плитуд, отмеченные эксrтериментально . Предельный слу­
чай подрэлеевского распреде л ения, описывающего наиболее глубок,ие замирания
амплитуд, - это односторонне-нормальное распредет,ние (.когда тх =-ту=
al =О), при котором [23]
2
( кz)
w1(к)=
r--ехр
-
-
2-
v 2па2
2ау
у
.
(3.24)
Условие (3.16) характеризует замирания сигналов, которые
можно . назвать неизбирательными (общими) по частоте. Они вы -
• 1 ) Что всегда возмож,но обеспечить некоторым поворотом системы коорди -
1-га т [7, 23].
122

полняются, например, в кв связи при однолучевом приеме, когда
принятый сигнал формируется областью рассеяния достаточно
ограниченных размеров. В рассматриваемых условиях, если только
. изме нение м
параметров канала можно пренебречь {к(i(i), t) =
=a0 e-iw, 0], переходная характеристика канала_
g·(t; t)=a0 .б(t-t0)
(3.25}
и отсутствуют искажения формы передаваемых сигналов.
Иначе обстоит дело, если взаимное запаздывание принимаемых
компонент сигнала не удовлетворяет условию
1
Т
1Лt1«-
=-
.
(3.26}
2Fэ Вс
Соотношение (3.26) может нарушиться, например, при «многолуче­
вом» приеме в кв связи, когда области формирования отдельных
лучей в ионосфере (рис. 3.12в) •существенно удалены друг от друга
[15]. При дискретном числе принимаемых лучей _и передаче сигна­
ла (3.11) принимаемый сигнал
N
~' (t)= Li s(t-Tп)Kп(iш,t),
(3.27}
n=I
где N - число лучей в канале; Kn(i,(i), t) - реализация передаточ ­
ной функции канала по п-му лучу; 't 'n
-
среднее время распрост­
ранения п-го луча.
•
Невыполнение условия (3.26) означает, что для отдельных ча-
стотных составляющих сигнала s(t) могут создаваться. различные
фазовые сдвиги, причем их разность Лср=2 nFэM может существен­
но . превышать 2n. В этом случае имеем дело с так называемыми
селективными (избирательными по частоте) замираниями сигна­
ла, при которых искажается форма сигнала s(t) при его прохожде­
нии через канал. Если также не выполняется и условие
!Лtl«T,
(3.28);
то селективный характер замираний сопровождается . переходным
процессом длительностью Тпер=Лtт.ах (в этом случае говорят о ка­
нале ·с эхо-сигналами, где Лtтах - максимальное время взаимного
запаздывания лучей в канале, которое может быть сравнимо, а
также существенно превышать Т).
Для кв канала, например, максимальное время запаздывания
лучей сравнимой интенсивности (число которых чаще всего не пре­
вышает трех) обычно - не более 2-3 мс; в укв каналах эта вели­
чина может измеряться десятками миллисекунд. Для проводного
канала длительность переходного процесса 'tпер примерно обратно
пропорциональна полосе частот, в пределах которой фаза-частот­
ная характеристика канала может считаться линейной, а ампли-
тудно -частотна я постоянной.
.
Очевидно, что условие (3.26) скорее нарушается для сложных
сигналов с большой базой (шумоподобных сигнальв), чем для про-
123

·стых сигналов с малой базой. Для сигналов с большой базой усло­
в.ие (3.26) может не выполняться, в то время как условие (3.28)
выполнено. Это озна чает, что селективный характер замираний
почти не сопровождается эхо - сигналам и в канале.
Для обычн ы х систем дис1<ретной радиосвязи с просты ми сигна -
лами у словия (3.26) и (3.28) нарушают ся одновременно. В этом
.случае селективный характер замираний . сопро вожд ается взаим­
ным перекрытие м посылок (межсимвольной интерференцией). Этим
резко снижается ка чест во связи при обыч ных методах прием а и
ограничивается минимально возмож ная длительность рабочих по­
сылок (скорость те леграфирования в одном ча стотном канале),
выбираемая из соотношения (3 .28) .
Методы бор ьбы с вредн ыми последствиями случайного переход-
вого процесса в ка нале будут рассмотрены в гл. 9. Здесь лишь
заметим, что некоторые из ни х сво­
дя тся к подстраиваемой (адапт ив ­
ной) коррекции ха рактеристик ка­
нала .
Во многих каналах кв, укв и оп­
тической связи сталкиваемся при
ilJx невыполнении условия (3.28) с не­
прерывной многолучевостью [15], ко­
гда импульсная переход1ная харак­
теристика канала имеет непрерыв-
Рис . 3.9 . Вид ам,птrту-дной ха­
ракте ристи ,ки реального канала
без шумов
ную форму, ка1< в линейных цепях
с реактивными параметрами.
Амплитудные (нелиней-
ные) искажения в канале.
Амплитудная характеристика канала связи представляет собой за­
висимость на·пряжения (или мощности) на выходе канала (экви­
валентного четырехполюсника) от напряжения (или мощности) на
-его входе. Амплитудные характеристики реального канала всегда
не линейны (рис. 3.9).
'
В теории связи амплитудную характеристику чаще всего аппро­
~~симируют полиномом п-й степени
(3. 29)
Ивх , Ивых - мгновенное значение :напряжения соответственно на
входе и выходе канала; а1 ... ап
·_
коэффициенты, зависящие от
•формы характеристики.
Совершенно ясно, что искажений сигнала не будет, если соот ­
±юшения между напряжениями входа и выхода таковы :
Ивых=а1Ивх;а1=const, ak= Оприk=2,3,
.
.
.,п.
(3. 30
Строго говоря, условия (3 .30) на практике никогда точно не вы­
полняются. В реальных условиях приходится учитывать и другие
ч ле1Ны (3.30), которые обусловли•вают нел<инейные иока,жени,я сиг­
.вала (трансформацию спе1пра) . Так, в многоканальных системах
1"24

частотного уплотнения нелинейность (члены a2u~x' азu;х и т. д.) вьi­
зывает переходные шумы, поскольку спектральные компоненты
этих слагаемых могут оказаться в полосе полезного сигнала и нет
во з можности их отфильтровать.
Амплитудная характеристика канала связи искривляется из-за
всякого рода нелинейных элементов аппаратуры канала (радио­
ламп, транзисторов, нелинейных индуктивностей, емкостей, сопро­
тивлений и т. п.). Очевидно, что нелинейность канала ограничивает
максимально возможное неискаженное значение сигнала на выхо­
де канала. Другими словами, нелинейность амплитудной характе­
ристики ограничивает динамический диапазон значений передавае­
мого сигнала.
Нелинейные параметры канала, как .правило, мож,но считать весьма мед­
денно меняющимися во времени, так что их можно измерить и с большой точ­
ностью предсказать. Но есди характеристика нелинейност.и Uвых=f(ивх) канала
( четырехшолюсника) известна, то, в принципе, существует возможность ее кор­
рекции путем посдедовательноrо подключения четырехполюсника с ха·рактери­
стикой
,
1(,)
•
ивых=г ивх '
(3.31)
обрат.ной хара,ктеристиtКе f ( ивх.)-
Практически такие нелинейные корректоры в достаточно широких диапазо­
нах изменения амплитуд и частот сигналов ~ задача трудно выполнимая.
Следует подчеркнуть, что нелинейные ,юкажен,ия в высокочастот.ном тракте
(после модуляции), весьма опасные при использовании амплитудной модуляции
сигнала, почти !Не .влияют на качес'I'ВО связи при использовании угловой моду­
ляции , (часто11ной или фазовой). На самом деле в высокоча-стотном тракте мо­
дулиро>ванный сигнал
s(/)= r(t)cos[w0t+<р(/)],
(3. 32)
wo - средняя частота спектра (несущая).
.
При амплитудной м-одулящш инфор.мация заложена в изменениях огибаю­
щей r(.t), при уrл•овой модуляции - в изменениях фазы <p(t). Обычно выпол -
Fэ Wo
Fэ
•
няется условие - «
-
. где - - ширина .полосы частот процессов r(t) и
22n
2
~(t), т . е. полезный спектр сигнала s(t) концентрирован в от,носительно узкой
полосе Fэ около несущей.
Если амплитудную хараJ<тернстику канала элпроксимировать полиномом
(3.29), то при подаче на его вх од сигнала (3_. 32) вьiходной сиг.вал
s' (t)= a1r (t)cos[w0t+<р(t)]+a2r2(t)cos2[wot+<р(t)]+
+a3r3(/)cos3[w0t+<р(t)]+ ...
Преобразуя степени косинуса по форыулам кратных дуг, получаем
s' (t) =[~'
2
?+ , •]+[a1r(/)++а3Г3(t)+ , , .]COS[Wof+<p(t)]+
r,2и>
]
•
+1а2- 2
-.
+. .cos[2w0t+2<р(/)]+[а~,з(t)+ . . .] cos[3w0t+
+3<р(/)]+ ...
Нелинейность амплитудной характер .истики тракта вызывает появление гар­
моник несущей частоты, а также изменение закона огибающей первой гармони­
ки (существенное для систем АМ) и углубление модуляции фазы (частоты) на
высших гармониках.
12.5

Од нак о для узк·оп олосного процесса появляющиеся высшие гармонические
сост авляющие столь сильно отличаются по занимаемой полосе частот от вход­
ного сигнала, чт,о в реальных системах они весьма эффективно отфильтровы­
ваются и, следовательно, не влияют на качество связи .
В полосе част,от сигнала на выходе канала
s' (t)Fэ=[(li r (t) ++Ц3(t) + : а5rБ(t) +....] cos[ш0t+ (j) (t)],
Отсюда ясно, ЧТ·О при угловой модуляции, когда r(t) =const (и возможно
ограничение амплитуды), нелинейность а:мплитудной характеристики практически
не иокажает сигнала, при амплитудной же ·модуляции искажение налш1;0.
Различными нормами оговариваются допустимые нелинейно­
сти амплитудных характеристик канала при передаче по ним сиг­
налов связи.
Контро.11ъные вопросы
1. Какие изменения претерпевает сигнал при передаче по ,каналу, если не учи­
тывать аддитивного шума в последнем? Что понимаем под искажением
сигнала?
2. Как определяется иипульсная переходная функция для лин ейн ого канала с
переменными параметрами? Каковы особенности этой хара ,ктеристики для
каналов ,с дискретной многолучевостью?
3. Чем вызваны нелинейные искажения сигналов в каналах связи и как мож­
но ослабить их IВШ!lяние?
4. Что та,кое передаточная функция канала с переменными параметрами? Как
с помощью этой . функции .можно определить реакцию канала .на гармони­
ческюе воздействие?
5. При какой переходной хара,ктеристике или передаточной функции линейного
канала не искажается форма входных .сигналов?
6. Как определяется случайная передаточная функция ·радиоканала при «одно­
лучевом» приеме?
7. Почему квадратурные •юомпоненты передаточной функции радиоканала мож­
но с большим основанием считать нор•мальными случайными процессами?
8. Какие интерференционные замира ,ния в канале считаются медленными, а
какие быстрыми?
9. Что т.акое рэлеевокие замирания, обобщенно-рэлеев,ские, трехлараметрические
и как объ,я,снить физически образование замираний того или иного вида?
10. Что понИJмаем под селективными эамираниями сигнала, чем они обуслов-
лены?
,
11 . Почему при обычных схемах скорость передачи дискретных с ообщений п<>
м1Ноголучевым каналам ограничивается длитель:ностью переходного процесса
в канале 't"nep=IЛ'imax?
3.3 . АДДИТИВНЫЕ ПОМЕХИ В КАНАЛЕ СВЯЗИ,
ИХ ФИЗИЧЕСКАЯ ПРИРОДА, КЛАССИФИКАЦИЯ И
СТАТИСТИКА
Аддитивные помехи в канале связи вызываются весьма различ­
ными причинами и могут _ принимать самые различные формы .
индивидуальные реализации которых трудно учес:гь. Именно эти
помехи чаще всего искажают передаваемые сигналь!.
.
Несмотря на большое разнообразие, аддитивные помехи п·о их _
электрической и статистической структуре разделяют на три OCROB :-
H.2'6

ных класса: флуктуационные (распределенные по частоте и време­
iш), сосредоточенные по частоте (гармонические) · и сосредоточен­
ные во времени (импульсные) помехи.
Под фл укту ационной помехой понимается н_епрерывный во вре­
м ени случайный процесс (чаще всего стационарный и эргодиче­
ский) с нормальным распределением мгновенных значений и нуле­
вым средн им . Энергетический спе1пр такой помехи в пределах ана­
лизируемой полосы частот Fэ полагают равномерным ( помеха типа
«белого шума»).
Ф лукту ационная помеха в каналах связи обусловл ена, главным
,образом, внутренними шумами аппаратуры (тепловые шумы, дро­
бовый эффект в вакуумных лампах и т. п.), воздействием радиоиз­
лучения солнца и звезд (если оно попадает в полосу сигнала), сум­
марным сигналом посторонних радиостанций (если они достаточно
удалены и число их настолько велико, что возникает тенденция к
нормализации суммарной помехи) и т. д.
Нап ом ним, что средняя мощность теплового шума в полосе F определяется
формулой Pш=4kT°F, а энергетический спектр такого шума Gш=4kТо, где
.k= 1,37 -10-zз дж/гр ад - постоянная Больцмана, а Т0 - абсолютная температура.
От фл_уктуационной помехи принци:~иально нельзя избавиться,
можно ,1ишь попытаться построить систему связи т5ш, чтобы наи­
лучшим образом ослабить ее. Именно такими вопросами и будем
юпересоваться в дальнейшем.
Для плотности вероятности w( ит) отрезка флуктуационной поме­
хи длительности Т, определенной в полосе частот F, можно полу­
чить очень удобную формулу. Для этого вспомним, что помеха с
рав!jомерным энергетическим спектром Gш в полосе частот Р не ­
:коррелирована в сечениях, разнесенных на интервалы, кратные
1
•
-
{см. ( 1.67) ]. Совместная плотность вероятности сечений поме-
2F
хи по n=2FT отсчетам на интервале Т
Wn(ll1, и2, ..., и.,,.) =(-V_l_ )пехр(--1
-
'1и~),
2па2
2а2 i,J
K=I
где u2 =Рш= GшF
Или иначе
средняя мощность помехи в полосе частот F.
Wn(U;, Ua , Un) -( vb )" ехр (- :ш t:;л 1), (3.33)
гделt=l/2F-
. интервал
Котельни кова .
Совершая в (3.33) предельный переход при Лt->-0 (F-+ -oo), по­
лучаем для искомой плотности выражение
ш(ит)~Кехр (· -
:ш !и'(t)dt),
(334)
127

К=( -V
_
1__ )
2
F т - константа, определяемая из условия
2:rt ашF F-oo
нормировки плотности вероятности {29].
Из (3.34) видно, что максимальную плотность вероятност~
имеет реализация отрезка флуктуационного шуl\11а с заданнои
спектральной плотностью мощности iGш и нулевой энергией: Е=
т
= S u2(t)d,f=O . По мере увеличения энергии реализаций отрезка
о
шума уменьшается их плотность вероятности.
Под гармонической помехой понимается аддитивная помеха,
энергетический спектр которой сосредоточен в сравнительно узкой
полосе частот, сопоставимой или даже существенно меньшей поло­
сы частот сигнала. Такая помеха характерна для радиосвязи и ча­
ще всего обусловлена сигналами посторонних · станций. Это
означает, что статистические характеристики таких . помех можно
считать подобными характеристикам полезного сигнала.
Часто сосредоточенная помеха создается различными промыш­
ленными установками и обнаруживается не только в радио-, но и
в каналах дальней проводной связи .
При проектировании систем связи случайные сосредоточенные
помехи с уровнем мощности, превышающим пороговое значение
Рпарог 1) обычно полагают равномерно распреде.11енными по часто­
те. Это означает, что вероятность их появления Реп в полосе частот
F 0 пропорциональна этой полосе и, кроме того, она пропорциональ­
на среднему числу сосредоточенных помех Vсп в единичной поло­
се, зависящему от порогового уровня Рпарог• Меры борьбы с сосре­
доточенными помехами - одна из главных задач, решаемая с по­
мощью специальных блоков (входные избирательные цепи, преоб­
разователи частоты, УПЧ и т. п.) различных радиоустройств. Спо­
собность осл,абить сосредоточенную помеху на входе решающей
схемы приемника определяется его избирательностью. Избиратель­
ность приемных устройств обеспечивается, главным образом узко­
направленными приемными антеннамв (избирательность в прост­
ранстве) и использованием спектральных отличий сигнала и поме­
хи (частотная избирательность). Следует подчеркнуть, что воз­
действие сосредоточенных помех возрастает при увеличении
нелинейности входных каскадов приемника, поскольку возникаю­
щие при этом комбинационные частоты (даже если помеха на вхо­
де приемника непосредственно и не попала в полосу сигнала) мо­
гут попасть в полезную область частот. Подробно эти виды помех
рассматриваются в курсе радиоприемных устройств.
Под импульсными понимаются аддитивные помехи, которые
пре;цставляют собой последовательность импульсов, возбуждаемых
кратковременными эдс. Эти эдс представляют собой апериодиче­
ский или колебательный процесс. Длительность одиночной импуль-
1) Рпорог, вообще говоря, различно для раз н ых систем связи и олр~деляется
так, что при превышении помехой этого порога качеств.о связи резко ухудшается.
1.28

сной помехи значительно меньше длительности элемента сигнала,
но она может иметь существенные выбросы.
В проводной связи имп ульсн ые помехи обусловлены чаще всего
переходными Еоммутационными шумами, различными наводками ,
в радиосвязи они создаются в основном атмосферными (например ,
гроза) или промышленными источниками. Кратковременные эдс
импульсной помехи характеризуются довольно широким энергети­
ческим спектром, величина которого, однп.ко, резко падает в об­
ласти нулевых частот и частот порядка десятков мегагерц. Вот по­
чему эффективный метод борьбы с импульсными помехами в ради о­
связи - переход ко все более высокочастотным диапазонам, в
которых энергетический спе ктр этих по мех резко ослаблен. Прак­
тически в диапазоне кв, тем более укв , имп уль сные помехи, обус­
ловленные атмосферными источниками, выражены крайне слабо .
Моменты появления импульсной помехи обычно считают равно­
мерно ра зделенными во времени. Это означает, что с увеличен ием
длительности сигналь,ной -посылки Т
(времени а,нализа) ра,стет вероят­
ность Рип попадания та,кой пом ехи в
ин тервал анализа, кроме того, эта ве-
роят,ность ,пропо.рциональна среднему Ри,с. З.!О. Схема ШОУ для:
числу и,мюульсных 1по,мех в единицу
времени vИ11, зависящему от допусти­
мого 1J1орог0:вого уровня помехи.
В 1946 г. академиком А. И. Щуки­
ком,плеюсног-о
подав ления
.им , пульсных и сосредоточен­
ных ,помех
ным была предложена :[62] нашедшая широкое применение схема
для комплексного подавления импул ьсных и флуктуационных по­
мех, названная системой ШОУ (широкая полоса , ограничитель ,
узкая полоса) (рис. 3.10).
Широкополосный входной блок обеспечивает малое «расплы­
тие» входной импульсной помехи (длительность переходного про ­
цесса в линейной системе обратно пропорциональна полосе пропу ­
скания), которая затем подвергается нелинейному ограничению
(выше уровня полезного сигнала). Дополнительная фильтрация
после ограничения устраняет аддитивную помеху вне полосы
сигнала ;
Недостатком схемы ШОУ является то, что наличие нелинейн о­
сти в тракте затрудняет борьбу с сосредоточенной помехой и, кро­
ме того, может внести определенное искажение сигнала.
На сегодня, к сожалению, нет приемного устройства, удовлет­
ворительно подавляющего комплексную аддитивную помеху.
Можно отметить частотно - временн:?ю дуальность между гармонической и
импульсной помехами · (спектральные характеристики сосредоточенной по спектру
помехи напоминают временнь1е характеристики импульсной и наоборот). Это
обстоятельство указывает на то, что меры борьбы с импульсной и сосредоточен ­
ной помехами в приемном устройстве взаимно противоположны.
Наиболее эффективные методы борьбы с импульсной помехой
основаны на амплитудном ограничении входного сигнала или на
5- 386
129

мгновенном запирании приемника на время действия импульсной
помехи.
Пусть входной сигнал приемника подается на двусторонний амплитудный
ограничитель с амплliтудной характеристикой рис. 3.11 .
Если уровень u 0 выбран выше су~1марного напряжения •п олезног о сигнала, .
сосредоточенной и флуктуационной помехи, то при отсутствии иыпульсной поме ­
хи схема приемника остается линейно~. Есл и же пояIJляется импульс ная по•меха
с уровнем , большим, чем u0, она будет ограничиваться . Таким образо;м, импульс­
ная помеха длительности т 11 со сколь у годно большой амплитудой на входе
трансформ ир уется в импульс с площадью тuио на выходе схемы (эта площадь
lloыx
и определяет мешающее сигналу воздейст­
вие) . Если 1:и с у щественно меньше длитель ­
ности . элемента сигнала Т, то пра ктически
мешающее воздействие импуль·сной по мех и
оводится ограничителем к н ул ю. Однако в
реальных условиях уровень ио достигается
и сосредоточенной помехой, а из-за нели -
11tJх н е,i'шого элемента в схеме (ограничитель)
образуются комбинационные частоты сосре­
доточенной помехи, которые в д·альнейшем
трудно отфильтровать. У,становка ограни­
чителя после узкополосного фильтра, устра -
Рис. 3.1 1 . kм,пл.итуд.ная хар ак­
теристика идеального двусто­
ро• юн~го ограни-ч,1пел я
няющего ·влияние сосредоточенной помехи,
,rеэффектив на, •ибо на выходе такого филь ­
тра напряжение импульсной помехи расплы­
вается •ВО времени, при этом, естественно
падает ее амплитуда.
1\1\етод мгновенного запирашrя приемника на время действия импульсной по ­
мехи также не лишён недостатков. В о - первых , во .время запирания и отпирания
возникают переходные .процессы, снижающие качество приема; во-вторых, еум ­
мар .н,ое , входное к олебание (сигнал плюс сосредоточенная и флуктуационная по­
меха) - оказывается при э том 1промодулированным импульсами запирания, из-за
чего появляются до пол нительные ч ас тотные составляющие, которые могут по ­
пасть в полосу сигнала.
Чаще всего прие мное ус тройство (а нередко и систему связи в
целом) строят оптимальныl\'1 (или близким к оптимальному) по от­
ношению к неизбежной в канале флуктуационной помехе . Для
борьбы же с сосредоточенной и импульсной помехами осуществ­
ляют такое построение приемных устрой ств, при котором умень­
шаются вероятности Реп и Рип попадания сосредоточенной и им­
п,· льсной помех на решающую схему приемника. Весьма эффек ­
тивными оказываются здесь методы разнесенного приема (см. гл.
9). Имея в виду сказанное, при последующем изложении будем
учитывать только аддитивную флуктуационную помеху в канале.
Контрольные вопросы
1. Что понимают под аддитивной флуктуационной помехой и каковы причины
ее появления в каналах связи?
2. Как определяется плотность вероятности отрезка флуктуационной помехи?
3. Что пон:имают под ад,дитивной гармонической (сосредоточенной .по спектру)
,помехой и .каковы ,причины ее появления в ,канале овязи? Назовите меры
борьбы с сосредоюченной помехой.
4·.
Что понимают лад аддити·вной им пуль сной помехой и какювы причины ее
появления в каналах связ и? Назовите меры борьбы с им п улысн ой по мехой.
5. В чем и,дея приема по схеме ШОУ?
113{)·

3.4. МОДЕЛИ :КАНАЛОВ СВЯЗИ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОПИСАНИЕ
Выше отмечалось, что с точки зрения передачи информации на­
иболее существенна классифика ция каналов по характеру сигналов
на их вход е и выходе . В этой связи рассмотрим подробнее наибо­
JJее характерные для связи типы каналов: дискретные, дискретно­
непрерывные и непрерывные - и способы их описания.
Д и с 1, ре т н ы й к ан ал. Т акой EaнaJJ мате111атически описан
полностью, если заданы алфавит кодовых символов на входе
x;(i= 1, 2, 3, ... , т) вместе с их вероятностными P(xi), аJ1фавит ко­
довых символо,в х; (j = 1, 2, ... , т 1 ), снимаемых с выхода, количество
v кодовых символов, пропускаемых в среднем в единицу времени,
и значения вероятностей переходов 1 J Р(х;/х;) (i= 1, 2, 3, .. , т; j=
= 1, 2, ... , т 1 ) т. е. вероятностей того, что на выходе канаJJа появит­
ся си мвол х; , если на вход подан символ х;.
Вероятн ость совместного события , состоящего в подаче симво­
ла Х -; на вход и получе1-1ии символа х; на выходе,
P(xi, х1) = Р(х1)Р (!х/х;) = Р(х1) Р (х1/х1),
(3.35)
где Р(х;) - безусловная вероятность приема символа х;
т
Р(х] = ~ P(x1)P(x/x1)-
(3.36)
i=1
Вероятность того, что при появле1-1и и на выходе кодов ого сим­
вола х; был передан символ х; (так называемая апостериорная
или послеопытная вероятность), определяется формулой Байеса
Р (xi) Р ( х1/х1)
р (Х 1/х 1) = -т---'--'---'---
\.'
(,\
~ р (Xi) р XjlXij
i=l
(3.37)
Указанные выше вероятности в общем случае зависят от того,
какие символы передавались и _принимаJJись ранее. Заметим, что
объемы алфавита на входе и выходе канала в общем случае могут
не совпадать: m 1 =J=m.
Если вероятности перехода Р(х;; х;) для каждой пары i, j не
меняются во времени и не зависят от того, какие символы переда­
вались и принимались ранее, дискретный канал называют однород­
ным (стационарным) и без памяти. Если эти вероятности зависят
от времени, то канал называется неоднородным (нестационарным),
если же они зависят от того, какие s;имволы передавались и были
приняты ранее, то канал называют каналом с пшrtятью. Такой ка­
наJJ может математически описываться цепью Маркова (см. параг­
раф 1.2).
1) Иногда говорят о ,матрипе переходов,
5*
131

С учетом свойств реальных непрерывных линий связи (канала
в узком смысле), входящих в состав канала передачи дискретных
сообщен ий, последний можно, строго говоря, отобразить дискрет ­
ным неоднородным каналом с памятью. Однако часто модель одно­
родного дискретного канала без памяти (естественно, наиболее
простой для исследования случай) оказывается вполне приемле ­
мой. Если параметры непрерывного канала считать примерно по ­
стоянными на интервале анализа, а действующую в нем аддитив­
ную помеху ,_
стационарным · случайным процессом, дискретное
отображение канала на участке В-+В 1 (рис. 3.1) оказывается одно­
родным и бе з памяти.
Если в однородном дискретном канале алфавиты на входе
{xi}, i=,l, 2, Э,..., т, и выходе {xj},j=1, 2, 3,...,
одинаковы (как
в больш ин•стве ди окретных •си·стем ,свя-зи) и для любой ~па·ры j=l=i
вероятности P(x;/xi)=p0 , а для 1па1ры j=i P(x1:/xi) = q = l - (m-
-
l) Ро, то такой канал называют симметричным каналом без сти-
рания. Вероятности пepexo-
;,:1"'-: - _ _ __ __ _,,q_=i_-P._, _a_ __ _ __""X( дов в двоичном 01м,метрич-
ном I<ашале схематически
Ра
x2~ - -----
q-=1--P. -- ---- =x;
,
о
Рис. 3.12 . Граф переходов для д~вончно-
го сим·метрич,ного ,канала
показаны в виде графа на
рис. 3.12 .
Из хаяалов, в ,ко'Горых
алфа·в ,иты ·на входе и выхо ­
де не сонпадают, большой
интерес предста ·вляет ка­
нал, в ко'Гором алфавит ·на
выходе содержит лишний
символ по ,срав!Нению с ал­
фави'ГОМ входа (т' = 1 +т).
Этот 1:анал называете.я ,ка­
налом ,со сти рани ем . ,
Появление до~п оJ111-штель­
ного символ а х~+ 1 на выхо­
де можно интерnрет иро вать
как ПР'Изнак того, что ана­
лизируемый элеме нт сигна­
ла не может быть надежно
опознан р е шающей схемой
ввиду [IрИСУ'ГСТВИЯ в непре­
рывном ,канале весыма силь­
х1.оtr::.::::_-----::--q-------;;:,ох; ,ной помехи . Такой допол-
нительный символ обозна­
Р,ис . 3.13. Граф перехо,до·в для двоично- чим знаком ? - «•~имвол :во ­
r о ,симме тричног,о канала со стиранием проса», а вероятность пере -
х ода, при ,котором поя,вляет­
ся такой символ, - через Р е (см. р·ис . 3.13). Хотя часть принятой
кодо вой ,комби на ции стирае тся, но тем не менее при соответствую ­
щем выборе 1tод а х способе обработ1ш в таком :,анале можно су -
1.32

ществеНlно по·высить по мех,оустойчивость . Лишний сим,вол («.сти­
рание») широко иопользуется в •системах с обратной связью (см.
гл. 9).
Для д,воичного снмметричного стациона·рного .канала без памя­
ти и стирания очень лег.ко определя·ются вероятности сочетания
ошибок цроизвольной ,кратности. Если обозначить вероят,ность
ошибочного приема одиночного сим,вола через Ро, то верояпюсть
того, что из п возможных q •сим-волов на приеме зарегистрировано
ошибочно, оп,ределяется формулой Бер11у,11ли ,[7]
р (q) = с~ Рб (1-Ро)п-q,
(3.38)
где С~ - число сочетаний из п элементов по q. При ро< 1⁄2 из
(3 .38) ,следует, что с ростом q верояпюсть p(q) уменьшае11ся.
Таким о.бразом, в рассматриваемом канале ,наиболее вероят­
ными являются реал'изаци.и, в .которых все п символ0:в 1при·няты
безошибочно, :причем есл,и пр 0 << 1, это им,еет место независи,мо от
ДЛИIНЫ цепочки СИМВОЛО1В п.
В дискретных каналах, помтrмо ошибочного приема ·сим:в,олов и
стираний, возможна еще ,о,дна разновидность ~юкажен,ий, связан­
ная 1с ,нарушением вза:имного тактового ,синхрониз.ма (системы ош­
хронизац.ии) ,п ереданных и принятых символов. Именно, есл,и на
приеме при ра'боте решающей схемы за начало цепочки будет при,
нят момент в:ремени, опережающий дейст,вительный момент п,ри ­
хода символов, то будет зарег,истр,ирован ряд лишних символов.
Бел.и же за начало будет принят за,паздывающий отно,сительно дей­
ст1вительного момент времени, то ряд переданных ,символов выпа ­
дает.
Проблемы та1кто.вой синхронизации изучаются в - с•nециальных
ку,рсах. В дальнейшем при анал ,изе диск,ретных систем связи и ка·
налов будем предполагать такт,оную синх,рон изацию идеsлы-юй.
Количество символов v, перЕщс1sаемых ,в сре;П,нем по диокрет,но­
му ю:шалу, чаще ,в,сего устанавливается ,с учетом ширины поло ·сы
пропускания F" непрерывного канала, котюрый является соста,вной
ча 1стью дискретного .
Саг ласно теореме Котель нико ва непрерывный сигнал длительности Т с по­
Jiосой ч аст от 8-Fн описывается 2FкТ отсчетами, т. е. за l с - 2Fк отсчетами,
а за 1 с в полосе шириной 1 Гц - двумя отсчетами. Отсюда часто делают
вывод, что если передается дискретный двоичный спгнал (каждый его отсчет
прини ма ет лишь 2 значения), то в 1 с ·в полосе 1 Гц нельзя передать больше
чем 2 импульса, т. е. v ~2F1, символов в секунду , (так .называемый предел
Най~виста). Следует, однако, заметить, что при дискретных сигналах и отсут­
ствии неконтролируемых искажений существует принципиальная ,возможность
по пр авил ьно ,п ри нятым символам точно 1) предсказать пере ходный процесс в
непрерывном канале, а затем учесть его : (вычитанием ,предсказ анного последей­
ствия канала) при приеме ,последующих символов [23]. Это обстоятельство поз­
воляет в ,канале без шумов полностью устранить межсимвольные влияния и,
в при.нципе, снять ограничения, вводимые пределом Найквиста. Однако практи­
ческая реализация дискретных систем связи, работающих со скоросты6 v >2Fк
символов в ,секунду является нелегкой задачей.
1 ) В пределах, разумеется, инженер1:ой реализуемости.
133

Дискретно-неп ,рерывный канал. Будем для оп,р еде ~­
леююсти очитать, что на 1:1ход диок,ретно-непрерывного канала 1по- ­
дают,ся дио1(ретные символы bi, а ,с выхода ,снимаются элементы
непрерывных 'колебаний z(t). Таким, в ча,стно,сти, я,вляется ,канал .
свя.зи на уча ,стке выход кодера передатчика - вход демодуля то рэ
приемника (B - Z на рис . 3.1). Полунецрерывный канал опр еделен­
полностью, если зада-ны алфа,вит кодовых ,сим,волоаз на вхо де (i=
= ,1, 2, ... , т) вместе с их априорными
вероятностями P(bi), кол и ­
чество v кодовых сим ,волов, пода.ваемых в ,ореднем в един.ицу вре­
мени на вход канала, и плотности 111ереходных в ероят ностей,
w(z/bi) (i= 1, 2, ..., т) ·1юго, что на выходе 1(ю1ал а появит,ся эл е-
1v1ент колебания z(t), если на 1вход подан символ bi.
Согла,сно формуле Байеса о,пределим апостерио,рные вероятно­
сти того, ч·ю 1при заданном элементе принятого колебани я z(t}
был переда:rr 1сиl\шол bi:
р(bi/z) =Р(bi)ш~z/bi) '
(3.39)
Ш(?.)
т
ш(z)= )' p(bi)co(z/b,) _:_~плотность вероятности элемента сигнала
_,
i=I
z(t). Плотность ш(z/bi) определяется п-мерной плотностью ·сечений
элемента z(t) [если считать z(t) дис1<:,ретным во времени]. В ~пре­
деле при n-+ оо для ~канала с аддитивным флуктуационньrм шумом
u(t) и пос·юянными параметрами плотность w(z/bi) с учетом (3.34):
о~пределяет,ся формулой
w(zfbд =Kexp {--1
-
Г[z(t)-s' (bд]2dt,
Ош .)
\
о
где s'(bi) =z(t)-u(t) - принимаемый на .интервале Т сигнал прw
передаче символа bi {канального сигнала Si(t) =s(b1)Ji :Ош - спек-,;
т ,ральная плотно,сть мощности шума.
Бели iплотности вероятности ш(z/bi) для любого сочетания z(t);
b;(t) остаются постоянными во в,ремени и не зависят от того, к а­
кие символы и элементы z(t) фиксировались ранее, то rюлунепре­
рывный канал называется осЦнородныы (,стационарным) и -без ,па­
мяти . Бели же эти плотности вероятности за,висят от .в-ремен и, тG
,ка·нал неоднородный (нестационарный), если же они зав,исят от
предыдущих символов, 110 канал обладает памятью. Ясно, что свой­
ства :плотностей перехода определяются -свойствами непрерывной
ча1сти дисыретно-непре~рывного .канала . Хотя реальные каналы ча­
сто ,приходится считать .неодно,родными и ,с ~памятью, .модел ь ста­
циона.рного диокретно-непрерывного канала без mамяти оказыва­
ет.ся впощ~:е 1Приемлемой 'дл,я анализа раlботы .м,но·гих реальных 1ка­
налав. Сигнал z(t) при задании дискретно-непрерывного ка н ала,
вообще говоря, может быть произвольным, одна,ко из физических
соображений оред;нюю мощность такого :сигнала считают ог р ани -
134

ченной. Конкретное представление z(t) зави.сит от ха.рактера не-
11рерывной части рассматр и,ваемо го ~канала (1см. ниже).
Н ел ре рыв н ы й к ан ал. Ка1<: отмечалось выше, непрерывный
канал наиболее ха,ра,ктерен для в,сех систем связи. Можно ·выде­
.лить несколько 1\юделей непрерывных •канало·в, которые в той или
иной степени приемлемы при анализе реа,r:rьных систем.
а) Идеальный канал, ,в котором отсут,ствуют помехи, а ;сигналы
входа и выхода связаны регулярными соотношениями. Математи ­
чески такой ,канал ;полностью опи-сан, если задана ,с.вязь входного
s(t) и выходного s' (t) сигналов , а также щжоторые ог.раничения
наложены на входной сигнал и канал связи: полоса частот Fи, :до­
лу.ст~в1ая пиковая Рпии или средняя Ре мощность передаваемых си­
гна.-1.о в. Эти ограничения характерны для в,сех неnре.рывных кана­
.'1 О R сз язи, поэтому .их нигде не будем огюва,ривать дополнительно.
К идеальному ,каналу иногда при-ближаю'Гся неко'Горые ·системы
пров-одной ,связи, од.на,ко в целом эта модель мало соответствует
реальным У'Словиям.
б) Гауссов канал, в котором реализация n,ринимаем-ого колеба ­
ния z(t) является суммой неискаженного переданного сигнала s(t)
и реализа ции нормального флуктуационного стациона•рного шума
и( t) с нулевым сред.ним:
z(t) =k(t)s[t--r0(t)]+и(t).
(3.40)
Сигнал s(t), время раопрос'Гранения -r 0 (t) и множитель k(t) изве­
стны в месте приема. Для узко.по лос ных сигналов, -в•се 1ком:поненты
которых .пр,и прохождении через канал 1под,вергаются одинаковым
,фазовым сдвигам 8н, вместо (3.40) с уче'Гом (3.8) ,можно на1Пи,сатъ
л
z(t) = kcos8кs(t)-ksin8кs(t)+и(t).
(3.41)
1 а у ссов канал задает·ся корреляционной фушщией или энерге­
тичесю1м спектром шума U(t) (среднее значение шума· ,предпола­
гается нулев ым). К 1гауосовом у каналу .п1ри.ближаются многие ка ­
налы проводной связи, а также однолуче,вые радио.каналы без за­
мираний и с медленными замираниями, позволяющими надежно
предсказать значения параметров то k и '8к на длительное время.
в) Гауссов ка!-lал с неопределеююй _ фазой сигнала, т. е. 13 (3.41)
фаза 81, 13 месте приема считается неизвестной или случайной. По­
м.имо зна,ния корреляционной функции ,шума, здесь надо задать
статистику изменений фазы 8н. Эта модель приемлема для мно­
гих канал ов ,проводной и радиосвязи с флуктуация1ми 1 ) фазы сиг­
.налов.
г) Однолуttевой гауссов канал с замираниями (флу,кrуац.иями
а,мlПлитуд и фаз сигнала), когда в (3.41) ка,к множитель k (ам;пли­
туда), так и фаза 8и считаются случайными в мест е ттр-иема.
1 ) Они чаще всего ·выз-ваны из·менением свойств среды межд,у пу,н-ктами свя ­
зи ~ (температу ра, давление, состояние ионосферы и т. п.) и фазовой нестабиль ­
,ностью опорных генераторов.
135

Иными слова,ми, случайными сч,итаются квадратурные компо­
ненты:
х=кcosек; у=кsinек.
Пр,и изменении квадратурных ко~шонент X(t), Y(t) во времени
спектр принимаемого колебания
л
z(t) = х(t)s(t)+у(t)s(t)+и(t)
(3.42)
даже при от1сутствии а ддитивного шума U(t) =0 шире спектра пе­
реданного сигнала s(t) . Поэтому модель (3.42) можно такж е на ­
звать моделью канала с рассеянием (энергии) по ча,стоте и гаус­
оовым шумом .
К:ак о'flмечалось раньше, процессы X(t), Y(t) :можно во многих
случаях считать некоррелировюшыми, нормальными и стациона,р­
ными, но ,в общем ,случае •С различными дисперсиями о~, и~ и :раз­
личными ср едними тх, ту . Пр,и этом проце сс (3.42) т'ож е гауссов ,
но в общем случае нест~щионарный . В указанных условия х м одель
ка,нала (3.42) можно назвать обобщенно-гауссовой (ил,и четырех ­
параметрической в рамках одномерных распределений 1[23]).
Обобщенно-гауе;сова модель 1канала задана полностью, если, по ­
мимо корреляционной функции шума U(t), заданы коэффиц.иен т
корреляций квадратурных '!юмпонент Rx (.:) =Ry (.:) =R (.:) .и четы ­
ре параметра о-1, а~, тх, ту. Частным случаем обобщенно-гаус­
сово й модели кана л а является обобщенно-,рэлеев окий канал, ког­
да aJ, и~= cr 2, и рэлееВ'сжий канал, когда а~=и~ =cr2 .и mx=,
=my=O. Модель однолучевого гауссова канала с замираниями ох ­
ватьшает большую часть существующих каналов радиосвязи в са ­
мых различных диа ,пазонах волн, а та,кже некоторые 'I<аналы ·про­
водной связи со случайными изменениями параметров .
д) Линейный канал ,с ржсеянием энергии во времени (из-з ,1
переходного ,n,роцесса) и частоте и гауссовым шумом . Но,опользо­
ва1вши.сь интегралом Дюамеля, ,можно в таком канале реализацию
выходного колебаний z(t) выразить через •реализацию входного
сигнала s(t) и переходную характеристику канала g(t, .:) :
t
z(t) = Sg(t, .:)s(t-. :)d.:+u(t).
(3.43)
о
Эта модель достаточно универсальна ка1к для каналов проводной,
та,к ·и радиосвязи . Часто рассеянию во времени канала можно при­
писать дис'){ре1шый хара,ктер (модель многолучевого канала) и вме­
сто (3.43) ,пользов.атЬ'ся представлением
N
л
Z(t) = }2 Хп(ш, t) S(t-.:п) +Уп (ш, f) S(t-.:п) + U(t),
(3.44)
n=I
где N - число лучей в канале; Хп( ш; t), Уп( ш; t) - квадратурные
компоненты передаточной функции канала для п - го луча.
136

Канал •С рассеянием 1во времени и частоте зада,н полно·стыо, ес ­
ли, помимо корреляционной функции шума U(t), задана стати­
стика переходной харахтеристики ка·нала G(t, т) (или п ереда'11оч ­
ной функции К(iш, t) или статистика квадратурных компонент
Хп( ш, t), Уп(ш, t) по всем лучам. Для рассматринаем~1х каналов
обобщенно-•гауссову модель можно считать достаточ,но общей. Мо ­
дель многолучевого канала с замираниями охватывает значитель­
ную часть канало.в связ.и -в различных диапазо·нах волн. Ча·сто в
таких каналах можно пренебречь зависимостью g(t, т) или квад­
ратурных компонент Хп(ш, t), Уп(ш, t) от момента наблюдения t,
т. е. можно учитывать лишь рассеяние энергии сигнала во времени.
е) Каналы с комплексной аддитивной поме хой ( флуктуацион­
ной, сосредоточенной, импуль-сной) с пос·юянными ~параметрами, не­
определенной фазой и зам .ираниями.
Их полное описание требует задания вероятностных характери ·
стик всех ком1понент аддитивного шу, ма, а тшкже ,параме'Гров i<а ­
нала. Эти модели наиболее полно описывают ,реальные 1каналы свя ­
зи, одна,ко ред1ю иопользуют,ся в анализе в'В.иду их сложности.
Во всех 1Приведе нны х моделях непрерывных ~каналов 'Входные си­
гналы могут быть случайным.и функ,ция.ми времени . При этом для
описания канала требуется задание их плотностей :вероятностей
ил.и, если они случайны лишь по одному или несж,ольким диск,рет­
ным парамет,рам, задание а1приорных вероятно·стей этих 1парам ет­
ров, совпадающих с ап·риО1рными ,вероятностями ,сим .волов, кото­
рым они соответ,ствуют.
Непрерывный канал называет,ся стационарным и без памяти,
есл ,и определяющие его ·вероятностные характер ,истики не меняют­
,ся во ,времени, а плотности ·в~роятностей переходов .ш(z/s) не за,ви­
сят от. эл,ементов переданных и принятых си •гнал,о,в, предшествую­
щих анализируемым. В каналах с медленными замираниями кана­
лу приходится пр ,иписывать па,мять на интервале 'tк ,времени кор­
реляции квадратурных ,1юмпонент Х, У, ибо условия пр.иема отдель­
ных элемен1'ов колебания z(t) на этом интервале о·казывают<ся вза­
имо·связанными, хотя наличие аддитивно•го «белого шу,ма» в кана­
,1е лриводи т к неко'11ор,ой их декорреляции.
:Контрольные вопросы
1. Как математически ош1сы 1вается дискретный :канал. Как ,связа,ны апостериор­
ные вероятности передачи сим·волов и вероятности переходов в таrк:ом ка­
нале?
2. Как определяется стационарный симметричный дискретный канал без памяти?
3. Что такое дискретный ·канал со стиранием символов?
4. Как определяются вероя тности ошибок произвольной кратности q ,,;;_ п ( п -
число символов цепочки) в симметричном стационарном двоич,но·м канале без
па,мяти и стираний?
5. Как математически описывается · дискретно -непрерывный ,канал? Как связаны
а,постериорн ые вероя11ности и плотности вероятностей переходов в таком
канале?
6. Какие модели непрерывных каналов Вы знаете и как они описываю11ся ма­
тематически?
137

3.5. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
ЧЕРЕЗ .:КАНАЛ СВЯЗИ И ЕГО ЗВЕНЬЯ
В задаrчах а·нализа систем связи неред,ко приходится ,ра,ссмат­
ривать прохождение (преобразо,вание) ·ка1к детерминиро,ванных, так
и случайных ,воздейст,вий через различные ~каналы связи и ,их от­
дельные з,венья (четырехполюсниюr) с заданными хара1ктеристика- •
ми. При э11ом осно·вной интерес .предста,вляют ситуаци,и, когда как
воздействие, так .и отклик являются не.прерывными фующиями, а
исследуемая система динамическая.
Иоследованне ,преобразований случайных процессов при ·их про"
хождении через динамические системы (как ·с регулярными, так и
со ,случайно меняющимися ,параметрами) связано с решением за ~
дач двух типов:
1. По данной корреляционной функции (э'Нергет.ическому юпЕж­
тру) входного ·воздей,ствня X(t) на11ти ,кор·реляционную функцию
(энергетический спектр) 011клика Y(t) на ,выходе динамической ,си­
стемы, заданной ее хара,ктери,стиками.
2. Зная мно1го:ме,рные ,ра,определения ;входного ,воздействия X(t) .
найти многомерные ра,определения 011клика Y(t) на выходе задан­
ной динам.ичеокой системы.
Вторая из указанных задач являет,ся более общей, из ,ее .Реше­
ния, очевидно, может быть получено ,решение ·и пер,вой задачи. Од­
на:ко в дальнейшем в основном ограничим,ся ра-осмотрен,ием мето­
дов решения 1первой задачи, лишь у,ка.за1В rвозможные пути ,р,ешен.ия
в·юрой, более сложной задач.и.
Сначала раоомот,рим 1прохождение случайных воздейст,вий через
линейные ди'Намические юистемы самого общего вида со случай­
но меняющим.ися параметрами. Ча,стными •видами линейных дина­
мических систем являются системы с постоянными параметрами
(-етациоFщрные динамиrчеокие системы) и системы ,с регулярными
переменными параметрами (1параметричеок.ие ~системы) .
Затем .Ра,ссмотрим !Прохождения случайных воз,действий через
нелинейные безынерционные системы с постоянными па;раметрами.
Заметим, что динамические ,системы с меняющимися па!раметрами
МОЖ'НО характеризовать средней скоростью их изменения.
П1рохождениеслучайныхвоздей,ствийчерезли­
н •е й н ы е 1с и •Стемы. Исчерпывающей ха1ра,ктеристикой линейного
четырехюолюсника в общем виде (,со случайно меняющимися :па­
ра.метрами) я.вляется случайная импульсная 1Переходная функция
двух аргументов .G(t, . -), реализация которой g(t, .- ) дана на рис.
3.4. С импульсной функцией Y(t, . -) связана случайная комплекс­
ная передаточная функция системы
ос,
K_(i w, t) = SG(t, 't) e- tw-c d't.
(3.45)
-
00
:138

Прео бразование Фурье, обратное (3.45), определяет случайную ,им­
nу.пьсную переходную характернсти.ку
•
со•
i(О't'
G(t, т) = SK(iw, t)e df.
(3.45а)
-а:,
От,клик системы с им,пулысной переходной ха,рактеристикой Y(t, т)
на воздействие X(t) определяется интегралом -сверт,ки [интелра-
.лом Дюамеля, см. (3 .6)] •
00
Y(t)= 5G(t,т)X(t - т)dт.
-00
С учетом условия физичеокой реализу,емО!сти можно наП,исать
t
У(t) =SG(t, т)Х(t-т)dт.
(3.46)
о
Заметим, чrо (3.46) определяет реакцию линейной системы (че-
.
тыр ехполюсника) с последейств ле м ,в момент времени t ка·к ,сум ­
му значений ,входного .воздейств,ия Х (t) ,В предшествующие момен­
ты времени, умноженные на весовой коэффициент IO(t, т). Отсюда
•следует, что если система регулярна '[G(t, т) = g(t, 't), где g(t, т) -
детерминированная функция ] , а входное воздействие пр,едставляет
,собой но~рмальный процесс, то и от,клик -еисте:мы - но,р.мальный
лроцеос, одна,ко в общем случае нестационарный даже п.ри 1стат!/ИО­
нарном воздейст,вии X(t).
Произ,вольный случайный лроцеос Х (t) можно записать ках
'
о
-су м му центрированного процесса X(t) и его математического ожи-
о
дания mx(t) : X(t) =mx(t) +X(t). Аналогично представляется и :им-
пуль сн ая переходная хара,ктернстика произвольной линейной сис­
темы со ,случайными ,ттарамет,рами:
G(t, т) =g(t, т)+G(t, т),
(3.47)
~где g(t,т) =G(t, т).
Передаточная функция ,произвольной линейной си,стемы также мо­
жет быть представлена :в ,вид е суммы ц,ентр ·ированной части и ма -
о
тематического ожидания: K(i(J), t)=K(i.w, t)+к(iw, t):
С учетом •сказанного отклик произвольной линейной системы с
х ар актеристикой G(t, -r) или K(iw, t) на произвольное возд~йствие
X(t) может быть определен суммой четырех ,компонент (рис . 3.14) :
У(t) = У1(t)+У2(t)+У3(t)+У4(t),
(3.48)
1·де Y1 (t) - отклик детерминиро·ванной ,системы с хара,ктери,стикой
g(t, -r) или к(iы, t) на детерминированное же воздействие mx(t);
Y2(f ) - отклик детерм ,инированной ·системы с характеристикой
g(t, т) или к.(i(J), t) на центрированное воздействие X(t); Уз(t) -
139

о
отклик системы с центриро·ванной характеристикой G(t, ,:) на де­
терминированное воздейс11вие mx(t); Y4 (t) - откли,к системы с
о
центрированной характеристикой G(t, ,:) на центрированное же воз-
'о)
а)
X(t)~V(t)
о
цействие X(t).
Поскольку детермиrнирован­
ные и флуктуационные ча,сти
любого случайно·го процесса
статистически независимы, то
в предположении отсут,етвия
связи межrду ·входным воздей­
ствтrем ·и свойствами канала
(системы) легко убедиться в
том, что слагаемые 1\(t),
с~о?- JJV Y2(t), Уз(t), Y,(t) между ·со­
бой ,статистически независимы .
Это означает, что корреля1ци­
онная фу,н1щия или энергетиче­
ский спектр процесса У (t) мо­
жно найти сум,м·ированием кор­
реляционных функций или 1С1Пе-
1пров сла·гаемых (3.48).
Ри,с .. 3.14. Просхож,дения случай·ных воз­
дейс'J1ВИЙ через линейную систем.у с о
олучайно меняющимися па•раметрами:
Определим корреляцион-
ную функцию отклика Y,(t)
линейной системы со случай-
о
а) общая схема ,канала; б) его пред ­
ста,вление четырьмя параллельным.и вет­
вям.и
ной характеристикой G (t, ,:)
на центрированное воздей ·ст-
а
вие X(t):
Ву, (t1, t2) = у4 U1П74 (t;)= J J(] (t11:1) (] (t2, 1:2) _)( (t1 -1:1) Х
-
00 -оо
"' 00
ХX(t2- 1:2)d't1d't2 = J'SG(t1't1)G(t2-'t2)Вх(t1-
't1, f2-'t2) d 't1 d 't2,
-00 а:,
(3.49)
Из (3.49) можно заметить, что корреляционная фу н кция (со­
ответс11венно энергетический спектр) процесса на выходе линейной
системы не зависит от ,расmределения входно г о процесса, а за -ви­
сит лишь от его корреляционной: функц,ии (энер.гетического спек-
тра).
•
Введем .новые переменные: t 1·-т1 = у1; t2-
't2 = .f .12. Тогда
СО
00
Ву. (/1, t2) = s sG(t1, t1 - У1) °с (t2, t2 ._ !)2) вх (У1 У2) dy1 dy2, (3.50)
-со -со
140

При стационарном нходном воздействии
00
СО
By,(ti, t2) = J ~ G(t1, f1-Y1)G(t2, f2-Y2)Bx(Y1-Y2)dy1dy2 , (3 .51)
-00 -оо
Нз этого ,соотношения ,следует, что на выходе линейной сис темы с
переменными :параметрами ,отклик неста,ционарен даже при ста~
r~,ио1-щрном входно~r воздействии.
Воопользовавшись обратным преобразованием Фурье можно
нс1писать:
СО
00
G(t1, f1-У1)G(t2, f2-Y2) =J SК(i w1 t1)К(i w2t2) ei w, (i.-v,J Х
Х ei w, (t,-v,J d f1 df2•
Подста,вив это соотношение в (3 .51) и сделав замену пере менной
Ц1-У2=Z, 1ПОЛУЧИМ
-------
00
00
00
00
Ву, (t1, t2) = J ~ s .\ к (i ffi1 f1) k.. (i ffi2f2) Bx(z)eiw,l,+iw,l,-i(w,+w,)y,+iro,2x
xdz dy2df1df2,
Поокольъ:у энергетический спектр входного воздейст ыrя
а
00
Gx(w 1) = SBx(z)eiw,zdz,
00
\ е- i У, (w,+w,) dy2 = 6 (w1+w2) [см. (1.59)],
.J
-00
то после интегрнровант-;я (3.52) по z и У2 имеем
О')
с,,
By,(ti, f2) = J JK(iw1t1)K(iw2f2)ei(w,t,+w,t,) Gx(w1)6(w1 +w2)df1dfz.
-00
-00
Интегр ируя теперь по {1 с уче11ом фильтрующего ов,ойства 8 - фуm,­
ции и обозначаяf2=f, t2-t1= т, f1=t , имеем
00
Ву,(t, t+т} =
.\'i<(---iw, tjk(iw, t-tт)ei w, Gx(w)df. (3.53)
-СО
о
о
Величину K( --- iw, t) K(iw, t+t) называют функцией корреляции
систе.мы (канала) со случайно меняющимися параметрами . Обо­
значим ее через Вн(f, t, т). Тог~а
"'
Ву,(t, t+т)=
.\Вк(f, t, т)Gх(w) ei w' df.
(3.54)
-
00
141

~орреляционную функцию от,клика Уз(t) можно апределить анало­
гичной формул~ой, если под !Gx (w) понимать характеристику
•
.
s~ (О))
Ox(w)=l1m--,
(3.55)
т➔"" Т
где Sm(w) - модуль по Фурье опектральной плотности -сигнала
mx(t).
Корреляционную функцию отклика Y2(t) дет,е,рминиро~ванной
линейной системы с хара·ктеристнкой g(t, .) на ·стационарное слу-
о
чайное воздействие X(t) можно определить фор·мулой, аналогич-
ной (3.54), если под B,;(f, i, т) по1шмать характеристику
Вк(f,t,-с) =к(- iro, t)к(iro, t+-.).
(3.56)
Если ,перед аточная функция детерм,инированной ,системы к (iш,
•t) не зависи т от частоты (си1стемы без посл-едействия, на,п,ример,
различные безынерционные iПараметричеокие системы с чисто шк­
тив1-1ым.и элементами) и равна к(t), то
а:,
Ву, (t, t+-c) = к(t) к (t+т) SОх (ro) ei w- . df == к (t) к (t+-c) Вх (т). (3.57)
-00
Есл,и. у системы параметры не меняются во ·в•ремени, т. е.
к(iш, t) =к(iffi) ,
то
а:,
Ву,(-с) =
.\ к(-iffi)K(iffi)Ox(w)eiw-.df.
(3.58)
-оо
Очевидно, что в этом случае энергетический опектр отклика
GY, (ffi) = к2 (ro) Ох (ffi),
(3.59)
так ка1к к,вадрат модуля коэффициента передачи системы
к2(w) =к(- iro)к(iш).
(3.60)
Та,ким образом, энергетический опектр ,от1клика линейной •сист е ­
ыы с .постоянны11ш параметрами на стационарное :входное воздей­
с11вие .инва,риантен относительно фазо -частотной хара·ктеристики
системы.
Корреляционную функцию отклика Y1 (t) детеминированной ли ­
нейной си,стемы с характеристикой g (t, --с) на детерминированное
воздей1ствие fnx ( t) можно определить из (3.54), если учесть соот ­
ношения (3.56) и (3.55):
~
2
Ву (t,t+-c)= Jк(-iш,t)к(iw,t+т) Sт(О)) eiw- .df. (3.61)
1
т
- 0:,
Если параметры системы не меняются во времени,
J00
•
S~(ro)
Ву 1 (-с) = к2 (w) Т eiw-cdf,
(3.62)
-0:,
142

а энергетич_еский спектр выхода
S~(ffi)
т
(3.63)
Для амплитудных спектров входа и выхода в этом случае полу­
чаем из (3.63) известное соотношение [2]
SY,(ш) =К(ш)Sm(ш).
(3.64)
Рассмотрим частный класс линейных систем со случайными пара-метрами,
у которых ~передаточная функция не за,висит от времени (например, многолу­
чевые каналы ,с медленнЬ!lмИ замира.ния,ми):
к(i(J), t)= /((iffi).
(3.65)
Заметим, что такой передаточной функции соответствует импульсная пере­
ходная характеристика, зависящая лишь от одной переменной fсм. (З.45а)]:
""
(3. 6q)
_с ,о
Корреляционная функция такой оистемы не за ·висит от времени:
(3.67}
а для корреляционной функции выхода при стационарном воздействии можно
написать
со
Ву• (т) =
.\ Вк (ffi1) Ох (Ф1) ei ro,,; df1 •
(3.68)
-оо
Такой ,корреляционной фун,кции соответствует энергетический опектр
со
со со
Оу, (ffi) = SВу,(т) е-lro,; d т = J JВк (ffi1) Ох (ffi1) ei (ro,-<1>,; Х
-со
-со -оо
00
Xdf1 dт= sBк(ffi1)0x(ffi1)6(ffi1 - ш)df1 =Bк(ffi)Ox(ffi).
-со
Та,ким образом, ,для рассматриваемого класса систем энергетический спектр
выходного сигнала определяется пр.оизведеннем энергетического спектра вход­
ного сиг.вала и кор·реляцио.нной функции системы.
Теперь рассмотрим д'ругой интересный частный кла,сс линейных систем со
случайными параметрами, у которых передаточная функция не за,висит от · ча­
стоты (на-пример, однолучевые каналы с глаДtкими замираниям.и или проводные
каналы со случайными изменениями усиления) !((iш, t) =K,(t). Такой пере:д а ­
точиой функции соо'J\ветствует импульсная переходная характеристика
"'
О(t, т) = JК(t) eiw,; df= К(t)6(т),
-со
а реакция системы на 'Воздействие X(t)
со
Y(t)= sI((t)6(т)X(t - т)dт=K(t)X(t).
(3.69)
-со
143

Таким образом, группа рассматриваемых линейных систем о'l'нос и тся к клас­
су безынерционных. Корреляционная функция для такой стаци о н~рной системы
о
о
Вк(i-) =К(t)К(t+у),
(3.70)
в корреляционная функция выхода при стационарном входе
"'
Ву.(т)= JВк(т)а;(w) elw, df=Rк(i-)Вх(т),
(3. 71)
-<Х>
т . е: определяется произведением корреляционных функций входа и канала.
Обратим внимание на то, что результат (3.71) эквивалентен резу л ьтат у ,
полученному при ам1плитудной модуляции переносчика с корреляционной фун !< ­
цией В х (т) случайным процессом с корр еляционной функци е й В " (т).
Касаясь задачи нахождения распределения вероятностей откли­
ка линейной системы при произвольном случайном воздействии, за ­
метим, что она оказывается весьма сложной в общем случае даже
при нахождении одномерного распределения. Отметим, однако, не­
которую общую тенденцию, присущую узкополосным линейным
с истемам.
Если полоса частот Fc, занимаемая входным сигналом X(t),
много шире, чем полоса пропускания данной линейной системы
Fк, то распределение выходного процесса имеет тенденцию прибли ­
жаться к нормальному. Сказанное непосредственно следует из
центральной предельной теоремы теории вероятностей, в силу кото ­
рой распределение суммы большого числа слабозависимых слу­
чайных величин с ростом числа слагаемых стремится к нормально­
му закону 1[7,29].
На самом деле, процесс Y(t) на выходе линейной системы мож ­
но с учетом (3.46) приближенно представить в виде суммы:
У(t)=)'G(t, kЛт)Х(t- kЛт)Лт,
(3.72)
1-,
(k)
rде шаг квантования пот Лт;? 1/2Fн .
Если ширина энергетического спектра входного процесса F с до­
статочно велика по сравнению с Fк, то время корреляции •к этого
процесса много меньше промежутка времени Лт. Следовательно, в
этом случае всякие две случайные величины Х (t- kЛт) и Х (t-M .:)
как сечения процесса X(t) можно считать практически независимы ­
ми и к сум~1е (3.72) можно применить центральную предельную
теорему .
Поскольку произведение эффективной ширины Ре спектра слу­
чайного процесса X(t) на его время корреляции тк имеет порядок
единицы, то условие, при котором существует тенденция к нор ­
мализации выходного процесса, может быть записано в виде
Тк«ЛТ ИЛИ Fк«Fc.
(3 .73)
Таким образом, для нормализации выходного процесса необхо ­
димо, чтобы полоса пропускания линейной системы была много
уже, чем эффективная ширина энергетического спектра вход н ого
воздействия X(t).
•
144

Весьма , просто определяется распределение процесса на выходе
ли11 ей н u х сисгем без последействия. На самом деле вход и выход
:таких систем связRны зависимостью вида
у(t)= к(t)х(t).
Если K(t) - регулярная функция, то ввиду взаимооднозначной
связи X(t) и Y(t) имеет место следующее соотношение между одно ­
мерными распределениями входного и выходного процессов:
ш1(у)=w1 (х)
1
= _!__ш1(У!Ю.·
(3.74)
dy
IKI •
dx
Если K(t) - функция случайная, то распределение Y(t) находит ­
ся Еак распределение произведения случайных процессов.
Рассмотрим теперь неЕоторые примеры расчета прохождения
случайных воздействий через линейные системы.
а Синхронный детектор (детерминированная линейная система с постоянными
·пара ,метрами).
Пусть входной сигнал детектора представляет собой аддитивную омесь АМ
с нгнала и флуктуационного шума:
Х(t)=Ио[!+'тх(t)]cosW0t+Хп(t)cosWot+Уп(t)siпw0t,
(3.75)
где w0 - несущая частота; x(t) - модулирующий сигнал с нулевым средним зна­
чением; Х п (t), Уп(t) - квадратурные ком п оненты шума, у которых: mx = my=0,
Вх ';" ('Т) = Ву = ('Т)=В( т) , а эн ергетический спектр 1р•авномерен и ограничен по ­
лосой F с частот сигнала x(,t ) .
Опорное напряжение, подаваемое на детектор,
к(t)= аcos(w0t+<р0)= acosq,0cosw0t-asiп<р0siпw0t,
(3,76)
<ро - ·расстройка по фазе.
Колебание на выходе перемножителя c)'(t) =X(t)к(t) имеет математическое
ожидание
ту(t) = aU0[!+тх(t)]cosw0tcos(wot+(J)o)
и корреля ц ионную функцию
Ву (t1, /2) = а2В ('t') cos Wo't' cos (wo t1 + (J)o) cos (wo !2 + (J)o).
Одно1мерное рас,преде.~ен.ие процеоса Y(t)
1
{ (У- ту(t)2}
Wi(у)=у2nВу(t,t)ехр-
• 2Ву(t, t) •
(3. 77)
(3.78)
(3. 79)
Подав сигнал Y(t) на вход идеальног.о ФНЧ с граничной частотой Ре и коэф­
фициентом передачи Кнч, имеем для сигнала на выходе синхронного детектора
Кнч
аХ
у(.],
Унч(1)=2 аcos(f)oИо[1+тх(t)]+Кнч2 [п(1)cos(f)o+ п1)sш(f)o ..(3.80)
Математичеокое ожиданле сигнала (3.80) равно сигнал ь ной составляющей:
Кич
ту(t)=
-
acoscp 0 U 0 [1 +тх(t)] ,
НЧ
2
а постоянная составляющая
~
~
Кнч
УнчU)=ту (t) = -
2 асоsсроИо ­
нч
(3.81)
145

Средняя ыощность пере менной сигнальной составляющей выходного ,продукта
при синхронном детектировании АМ сигнала
к2 а2
~
НЧ
2
--
Ревых= [ту (t)- Унч(t))2 =
-- cos2 сро ИOт2х2 (t).
НЧ
4
Корреляционная функция для У нч (t) определяется корреляционной функ ­
цией: шумовой· составляю щей на ,выходе ФНЧ:
а2
Ву (,) =В(i:)к2 -
НЧ
НЧ4
Средняя мо щ но сть шума на выходе синхронногп детектора
.
а2
Ршвых= Ву (О)=В(О)к~ч -
НЧ
4
Следо1вательно, от.ношение си гнал /шум на выходе
.
cos 2 ср0 m2x2(i) И5
В (О)
(3.82)
На входе же дете.ктора средня я мощность сигнальной составляюще й
И5 _____ И5
~
Рсвх =
-· [1+тх(t)]2=
-
[! + т2х2 (t)],
2
2
R
L
в то ,время ,как средняя мощность шумовой составля-
~ ющей
;,,
_
~l ijf,
(3.83)
X
0
(t) •
С I 1/0Щ Следов(а::~)ьно, отн~;ение «сиг:л/шум» на ·входе
В (О).
_
_
.
-
= -- [1 +т2х2(t)].
(3.84)
Рш nx 2В(О)
Р и,с. 3.15. Линейный ч е -
тырехшолюснИJк с по·сто ­
янными па·раметра1ми в
ви1де одиноч ного юолеб а ­
тель ,ного ,1юнт ура
Сра,внлвая (3 .84) и (3 .82) ,в,идим, что 1при синхрон ­
ном детектировании АМ сигнала отношение «сиг­
н ал /шум» на выходе дете-ктiQра .растет пропорцио­
нально этому отношению u-ra его ВJсоде.
б. Одиночный ,последовательный ко.~еб ательн ы й
контур с по стоянными па1раме11рами, R, L, С (р.ис. ·3 . 15). Это инерl.liионная де­
rермин·и;рО1ванная линейная юистема ,с mостоя:нными параметрами.
1
v-
Коэффициент передачи контура к(iш) = (
, где шо=1/ 'LC-
•
1--
+iw -
(J) )2
Ct
-
Шо
Шо
резонансная частота ; а= 1/Q =RV Cj:L - затухан,ие контура.
~вадрат ам[Iлитудно- ,част.отной характеристики
Ш6
к2 (ш) - ------ -
-
4[~2 +(ш-w0)2] '
B=iR/U - коэфф,ициент затухания.
Пусть X(t) является «белым шу мо м» с энергетическим спектрам Gш, тогда
энергетичеокий сп_е.ктр ,процеоса .на ~в ыходе контура
GшШ5
G (w) - ------
у O - 4[~2+(ш- ш0)2]
(3. 85}
146

а его ко р реляционная функция
00
S
Gш
Ву(,)= Оу (со)о cos со,: df = 2i3 coi е'-- f3 1• 1cos (со0 ,:) .
(3.86)
о
i!Zоэф фи ц п ен т 1юррелящии выходного процесса
Ry (,:) = е- f3 l,I cos (со0,:).
в. Идеальная длинная линия с регулярно ,меняющейся во времени задержкой
~ (/) (детерминированная л.ш-1Gйная система с переменным.и параметрами).
Вы ход связан .со ,входо;,1 соотношением
У(t)= аХ[1- Л(t)].
(3. 87)
а - i!Зв ес тный ~Iа-оштабный множитель.
Дл я р асоматриваемой системы передат очная функция
к(iсо, t)=аехр[-iсоЛ(t)],
(3.88)
,а корр еля ционная функция
В"(со, t, -r) = к(ico, t)к(-ico, t + ,)=a2 exp{ico[Л(t)-Л(t+т)]} . (3 . 89)
Кор реляu,но нная ф у нкция вы,хо да
СХ>
Ву(t, т) =а2 \ Ох(со)ехр{iсо(Л(t)-Л(t+т)+т]}df.
(3.90)
-со
Оче вндно, что интеграл в ,(3.90) выражает корреляционную функцию входа
11.рн аргу~1енте ,:+Л (1)-Л~(t+т), следовательно,
By(t, ,:) =а2Вх[т+Л(t)-Л(t+т)].
(3.91)
Е сл 11 еистема обеспечивает не и зменн у ю во ,времени задерж,1{у д!(,t) = const,
т о к ор ре ляционная ф у нкция выхода с точностью до постоянного множителя а 2
равн а кор реляционной функции воздействия.
Р ассм отр.им сл у чай, u<огда задерж\J( а линейно зави оит от времени:
Л(t)=кt.
(3. 92)
к - коэф ф 1 щиеит .пропорциональности.
Так а я задерж,ка возни rк ает, напрш,rер , в си,стеме радиосвязи, у которой точ­
ки пр ие"r а и перед а чн находятся в относительном движении (напр,имер, при
связи ч ерез спутник из-за перемещ е ния спутника относительно -антенны прием­
ника). В этом случае
К=Vг/С«1,
(3. 93)
с - ск о рость распространения радиоволн в -среде, Vr - радиальная составляI9щая
скоро с т и взаимного движения передатчика и приемника, ~причем Vr имеет поло­
жите л ь н ы i'1 знак при их взаимном уд алении ,и отрицательный []РИ сближении.
В мес то (3.91) можно теперь записать
(3.94)
т. е . п р н стацит1арно~-1 воздейс11вии процесс на выходе четырех,полюсника ос­
тает с я с тационарным.
Корр еляц,ион,ной фуищии (3.94) соответс11вует энергетичес.кий опектр
со
S
.
а2(со)
Gy(со)=а2 Вх[(1-к)т]e-,w,d,: =
-- Ох
--
.
1-к
1-к
(3. 95)
-СО
1-47

Та1шм образом, линейная задержка ·входного воздействия приводит, с одной
стороны, к смещению средней частоты спектра шо на величину кшо . (допплеров­
скому смещению частоты) и, с другой, - к сужению (при 1 - к> 1) корреля­
ционной фун1щии ил.и соответствующему расширению энергетического спектра
пр.оцес·са, а при 1-к< 1 - .к расширению корреляционной функции (сужению
спек'I'ра процесса).
г. Одиолучевой канал с гладк ими замираниями (безынерционная линейная си­
стема· со случайно меняющимися параметрами) и с корреляционной фун!<­
цией
(3. 96)
Корреляц1юмная функцш1 выхода при стацIIонар.ном воздействии на входе
(3,97)
д. Многолучевой канал с медленным,и селективными замираниями (инерционная
линейная .система с о случайно меняющимися параметрам.и) ·с корре ля цио нной
функцие11 ~вида
Вк(ш)=а2ехр[-1:~] ,
(3.98}
ш,, - интервал корреляции ,по ча ,ст.оте .
Энергетический спектр на выходе та,кого канала при ·вхо,дном воздей ст вии
со спектром Gх(ш)
Gy (со)= о2ехр[- ~] Gx (со).
(3.99)
•
СОк
Прохождение случайных воздействий через
нелинейные системы. Ограничимся рассмотрением толыю
безынерционных нелиней ных систем с регулярными параметрами,
у которых вход и выход связаны некоторой нелинейной зависи­
мостью, называемой характеристикой системы:
y(t) = c:p[x(t)J.
(3.100)
Соотношением вида (3.100) достаточно точно может быть оха­
рактеризована работа ряда звеньев реальных каналов связи, нап­
ример детекторов, ограничителей, модуляторов и т. п. Преобразо­
вание xt-+y(t), как правило, всегда однозначно, что не всегда мож­
но сказать об обратньм преобразовании y(t)-+x(t) (например ,
квадратичный детектор с характеристикой у = кх2).
В силу невыполнения принципа суперпозиции в нелинейных си­
стемах рассмотрение сложного воздействия (например, суммы де­
терминировр.нного и случайного слагаемых) нельзя свести к рас­
смотрению прохождения каждой из компонент в отдельности.
Отличительная особенность нелинейных преобразований -
трансформация (изменение) спектра входного воздействия. Так,
если на вход нелинейной системы воздействует смесь регулярного
сигнала и аддитивного шума
X(t) = s(t)+U(t)
(3.101)
в узкой полосе частот Fc, группирующейся около средней частоты
fo, то в общем случае на выходе будут присутствовать составляю-
148

щие комбинационных частот трех видов, группирующи еся о коло­
частот 11!,fo (п=О, 1, 2 .. .); продукты биений составляющих входного
сигнала между собой (сХс); продукты биений составляющих
входного шума (шХш); продукты биений сигнала и шума (сХ ш) .
Разделить их на выходе системы невозможно, что и порождает
специфические искажения сиг н ала, свя з анные с нелинейност ью.
Если известны характеристика у=ср(х) нелинейной системы
и двумерная функция распределения входного воздействия
w2[x 1(t1), x2(t2)], то статистические характеристики выходного про­
цесса, в принципе, всегда можно определить . Так, математ ическ ое
ожидание отклика
<Х)
У(t) = ер[Х(t)] = 1ер(х)w1(х)dx,
а его корреляционная функция
00
.,
-
0,
Ву (t1, f2) = S[(JJ (х1)-У (f1)J [ер (х2)- У(f2)1 w2(x1 , х2) dx1 dx2 .
-со
(3. 102)
(3.1 03),
Обратным преобразованйем Фурье можно по (3.103) най ти и эн ер­
гетический спектр.
Используя правила нахождения законов распред еле ния для
функций от случайных величин (случайных процессов) !(7] , мож но,
в принципе, находить и распределение выходного процесса любо го
поряд1,а, если известно распределение в ходного процесса . Одна ко
определение вероятностны х характеристик отклика нелинейных
систем (цепей) даже на стационарные входные воздействия оказ ы­
вается весьма громоздким и сложным, несмотря на то, что раз ра­
ботан ряд специальных приемов решения этой задачи [17]. Во мно­
гих случаях для узкополосных входных воздействий эти расчет ы
существенно у прощаются путем использования понятий огибаю­
щей и мгновенной фазы (частоты) процесса.
В качестве примера рассмотрим детектирование смеш1 (3.75) АМ сигнала
и аддитивного шу м а «линейным» детектором с харшктеристикой
{ кх, х~О,
У=
о. х<о.
Входную смесь можно ·представить в виде
Х(t)= [Ио(1+тх(t))+Хп(t)]cosWot - Уп(1)sinWo~t =
= R(1)cos[w0t+Ф(t)],
где огибающая
R(t) =lf [Ио(J+тх(t)+Хп(t)]2+У~(t)
(3.104)
имеет обобщенно - рэлеевское распределение (см. 11.1 ,14) с параметрами: ар (t) =
= Иo(l+mx(t)); U2 = Fн .Gш.
Здесь Gш - энергетический спектр шума, Fк
-
полоса частот сигнала s(t).
CG~(i)
Велич,ина
характеризует отношение «сигнал/шум» на входе дет е кто ра
2а2
149

'(Рс/Р ш)вх . На выходе неиокажающего ФНЧ с граничной частотой F"/2 и ,юэф­
,ф,щиентоы передачи Кнч .продукт лю1ейного детек1;ирования с учетом медлен­
±юго изменения огибающей R (1) входного колебания по сравнению с ero вы­
•Соkоч·астотньгм заполнением раmен :
Кнч
Унч(t) = -кR(t),
(3.105)
:rt
тде к/п - коэффициент передачи лннейного де тектора -с угло,м 011сечк;и 90° [16].
Положим, чrо для упрощения заfl и си, что
Кичк/n=1.
:М а тематическое ожщдание сигнала (3.10 5) i (~м. 1.117)
1Г"nl,.. ( о:~(t)) (а~(t)) а~(t)
m
(t)=а I -- 1+-·-
/о--+--/1Х
Унч
,
2
2а2
4а2 . 2а2
Х(о:~(t))ехр[-а~(t)] .
4а2
4а2
(3. 106)
Это соотношение неудобно для анализа, поэтому ра·осмотри.м его асим,птотику
;~:ля двух крайних случаев: когда отношение «сигнал/шум» на входе детектора
.вешJJКо(а~(t) » 1) исrюгда.мало {а~(t) «1).
2а2
\
2о2 •
В пер.вам ,слу,1ае, иопользуп прн больших х. асимптотику (12]
ехI
V'
Iп(х)=--==/1+- ),
V2пх\ ,х
(3.107)
1
3
,где v 8 .при n=0 ,и v=-8 .прн n= 1, получаем
ту (t)=ар(t) l-1 __o::__J .
ВЧ
2а~ (t)
(3,108)
2 ,во втором лег,~ю получи ть
vгп
ту (t)=
-2о.
НЧ•
(3.109)
Опрещел.им теперь среднее во времени значение от тУнч(t) (постоянную состав­
ляющую), .полагая, как и прежде, что X(t)=O .
~2 (t)
При _Р_ » 1 имеем ту (t)=И0.
2а2
НЧ
(3.110)
~2(t)
~
vn
При_Р_«1m (t)=
-
а.
2а2
Унч
2
(3.111)
Примем за переменную онгнальную составляющую Ус (t) выходного продукта
.ври линейном детектиро,ванин процесс
Yc(t)=my (t) - my (t).
НЧ
НЧ
(3.112)
1.50

~2
Тогда средняя м,ощность выходного сигнала Ре nыx=Yc(t). При
а2
Для_Р_~1
2а2 <,:
Ревых~О.
а,2
Р « 1 имее~!'
2а2
(3 . 113}
(3.114)·
За шумовую составляющую У ш-(t) выходного прод~кта при линейном детекти­
ровании АМ сигнала пр.име,м 1Процесс
Уш(t) = УнчU)-ту (t).
(3 . 115)
НЧ
Дисперсия Уш(t)
а~вых=У~(t)=R2- т} (t)=2а2+-а~(t)-т} (t).
НЧ
НЧ
(3.116}·
(J,2
При Р ~ 1 ,средняя мощность шума выходноло продукта
2а2
(3.117)•
При~Р «l
2а2
Рш вых = а~ вых = О,4·3а2,
(3.118)
Обра11им внимание на 110, что в то время как средняя ,мо щность шума на вы-­
ходе детектора при отсу'I'с'I'вии ,сигнала ( а~ -о;)
2а2
/
Ршвых(О)=О,4302 ,
(3.119}
при неограниченном ,увеличении сигнала на · ·входе
она воз-
растает до конечной ,вел.ичины
Ршвых(00):~ а2·,
(3.120 ►
1
т. е. возрастает всело лишь .в - -3
= 2,3 раза. Это известный эффект подавления
0,4
более с11ль.ным сигналом более слабою в нел11нейной ц епи . Из-за того же эф- .
~
фе,кта при
_Р_ -+О сильная помеха давит слабый сигнал (,см. 3.114). Длw
2а2
отношения ,.:,сигналfшу,м» . на .выходе лкнейного детект,ора имеем:
~ (t)
при _Р_»1
2а2
~
апри_Р«1
2а2
2m2~ (t)
илн
1 + m2x2(t)
(3.121)·
(3.122)
lbl

:Контрольные вопросы
1. Какие два типа задач в основном решаются при рассмотрении прохождения
случайных воздеikтвий через канал связи и его звенья?
2. Как связаны -отклик n воздействие в произвольной линейной системе?
3. Ка кими четырьмя независимыми сла гаемыми определяются отклик произ­
воль н ой линейной системы на .произвольное же воздействие?
4. Ка к определяется фу,нкция корреляции линейной .оистемы (канала)
Br;((J), t, т)?
5. Как связана ,корреляционная функция отклnка линейной системы с энерге­
тическим спектром входного ,воздействия и корреляционной функцией си­
стемы?
·б. Ка,{ связаны при стационарном канале корреляцион.ная функция выходно го
процесса безынерционной линейной системы и корреляционная функция вход•
наго стационарного воздействия?
7. Как связаны · энергетичеокие спектры стационарных ·процессов .на входе и
выходе линейной системы, передаточная функция которой не зависит от вре-
1мени?
-
8. Как связа ны энергетические оп ектры стационарных процессов на входе и
выходе линейной системы с постоянными параметр ами?
9. Чем объя снить нор•мализацию от,клика линейной системы при воздействии
произвольного случайного процесса, ширина энергетичеокого спектра кото­
рого .намного превышает полосу пропу,с.кания системы?
10. Како в хара,ктер энергетического спектра на выходе безынер,щонной линей­
ной системы, на вход которой подается смесь сигнала и аддипшноrо шума?
11. Как определяют.ся математическое ожидание и корреляционная функция
процесса на выходе безынерцио.нной нелинейной системы?
12. Как-ими выражениями определяется отношение «сигнал/шум» на ·выходе «ли­
ней ,ного» детектора при подаче на его ·вход смеси АМ сигнала и аддитив­
ного флу1К т уационного шума?

4 ГЛАВА
Основы теории информации
4.1 . :КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ .
ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ХАРАRТЕРИСТИRИ
ДИСRРЕТНОГО ИСТОЧНИRА
Для сравнения между собой различных источников сообщений
(ИJ1И сигналов), а также различных линий и каналов связи нужно
ввести количественную меру, которая дала бы возможность объек­
тивно оценить информацию, содержащуюся в сообщении и перено­
симую сигналом. Такая мера впервые была введена выдающимся
американским ученым К. Шенноном в 1946 г. 1 ) i[61].
С основными идеями статистической теории связи 9зна1юмимся
в предположении, что источник сообщений дискретный; выдающий
последовательность элементарных сообщений {ai}, каждо е из ко­
торых выбирается из дискретного ансамбля (алфавита) а1,
а2, а3,.... , ак; К называют объемом алфавита источника.
В каждом элементарном сообщении содержится для его получа ­
теля определенная информация как совокупность сведен ий о со­
стоянии некоторой системы, в нашем случае - о состоянии дан но­
го дискретного источника сообщений. Определяя количественную
меру этой информации, мы совершенно не будем учитывать ее
смыслового содержания, а также полезность или ценност ь инфор­
мации дл. я получателя i(54] (как субъективные показатели). Для
нахождения искомой количественной меры информации заметим,
что у получателя сообщений до того, как связь состоялась, всегда
имеется некоторая неопределенность относительно того, какое со­
общение ai из числа возможных будет передано по каналу. Сте­
пень же неопределенности (неожиданности) передачи сообщения
ai определяется его априорной вероятностью P(ai), Отсюда сле­
дует, что объективная количественная мера информации, содер­
жащаяся в элементарном сообщении дискретного источника, опре­
деляется в конечном счете вероятностью выбора данного сообще­
ния и естественно определить ее как некоторую функцию этоfr ве-
1) До К. Ш е н нон а количест.венная мера информации была предложена
Р. Ха рт ли в ,1928 г. 1[55], однако она не является у~ниверсальной. Подробнее см.
ш1же.
!5З

роятности . Эта же функция будет хаJ}актеризовать и степень не­
определенности, имеющуюся у «неподготовленного» получателя со­
о бщений относительного во зм ожного поведения (выбора) источни­
ка. Следовательно, именно степень не(}пределенности ожидаемых
сообщений определяет требования к ;,аналам передачи информации
(каналам связи) .
В общем случае вероятност ь Р ( а;) выбора источником того или
и ног о элементарного сообщения а; - в дальнейшем будем назы­
вать е го б v1шой, з наком ил и с имволом - з ависит от того, какие
з на ки был и выбраны раньше, т. е . является условной вероятностью
и не совп ад ает с априорной вероятностью этого выбора.
При ме м, что количество информации J(a;), содержащейся в
знаЕе а;, выражается через вероятность Р(а;, i= I, 2, 3, ... , К (при­
k
чем f Р (а;) = 1, так ка~, все а; образуют полную группу собы-
i=2
тий ) , в ы бора этих знаков фу н к циональной зависимостью J ( а;) =
=(,о1Р (а;)] . Определим тепе р ь вид функции ср[Р], потребовав, чтобы
ко л ичество информации J ( а; ) удовлетворяло двум интуитивным
предст авлениям об этой ко л ич е ственной мере. Во-первых, если вы­
бор источником знака а; заранее предопределен (нет никакой не­
·определенности), т . е. P(a;)=l, то в этом случае естественно счи - .,,_
тать , что J(a;) = ,(1)1[1]=0; во-вторых, если источню, выбрал последо­
вателы-ю знаки а; и aj, а Р(а ;, a j) - вероятность такого события,
то е стественно считать, что количесгво информации, содержащейся
в паре последовательно выбранных знаков, равно сумме количеств
информации, содержащейся в каждом из знаков а; и aj , Такое
свойство количественной меры информации называется аддитив­
ностью.
Считая, что Р ( а;) - э то условная вероятность выбора знака
а ; п о сле всех знаков, ему предшествовавших, а Р( aj/a;) - услов­
ная в ероятность выбора зн а ка aj после а; и всех предшествовав­
ших, и учитывая, что Р(а;, aj) =P(a;)P(aj/a;), условие аддитивно­
.с п~ запишем в виде
ср[Р(а1, ai)]= rp[Р(адР(a/ai)]= ер[Р(щ)]+ср[Р(ai/ai)J.
(4.1)
Обозначая для краткости Р( а;)= Р и Р(aj/a;) = Q, получим
cp(P)+rp(Q) = cp(PQ).
(4.2) •
При этом считаем, что Р, Q=FO, так как в противном случае
вследствие конечного _ числа знаков {ai} выбор источником пары
а;, aj является невозможным событием.
Из функционального ур-ния (4.2) можно найти вид функции
{f!(P). Для этого продифференцируем (4.2) по переменной Р. Имеем
--ср' (Р) = Q,cp' (PQ). Если теперь умножить обе части полученного
уравнения на P =F O и ввести обозначение PQ = R, то получим со­
, отношение
Рср'(Р) = Rер'(R),
(4.3)
,,1:54

которое должно выполняться при любых P =l=O и R=l=O. Но это воз ­
можно только тогда, когд а обе части (4.3) постоянны, т. е.
P,q/(P) = Rq/(,R) = к = const. Отсюда получаем дифференциальное
уравнение Р{р' ( Р) = к, интегрируя которое, найдем
(J)(P) = кlnP+c.
(4.4}
Те перь с учетом первого началыюго усл ов ия ![ер( 1) =0] полу­
чаем
(J)(P)=к1nP.
(4.5)
Таким образом, при сделанных двух предположениях о свой­
ствах количественной меры информации J ( а;) оказалось, что вид
функциональной зависимости этой меры от вероятности выбора
знака а; с точностью до постоянного коэффициента к определяется
однозначно:
(4.6)
Масштабный коэффициент к в выраж:ении (4.5) может быть
выбран произвольно, ибо он определяет только систему единиц
измерения количества информации. Так как ln[P]~O, то целесооб­
разно выбрать к<О, чтобы мера количества информации J(a;) бы­
ла неотрицательной.
Так, например, можно положить к= ~-1. Тогда
J(ai) = -ln[Р(ai)] = ln[-1
-
].
(4.7)
Р(щ)
В этом случае единица количества информации равна инфор­
мации, которая содержитс_я в сообщении о том, что наступило со­
бытие, вероятность которюго равна 1/е. Она называется натураль--
"
•
u
о
1
в
ноu единицеи. днако чаще пола гают к= - . . этом случае
Jn2
J(a;)=- lnP(ai) = - log2P(a).
(4.8}
ln2
Такая единица количества информации называется двоичной.
Одна двоичная единица информащш содержится в сообщении о
том, что наступило одно из двух равновероятностных событий.
Двоичную единицу информации назы вают также <<бит» (название­
это произошло от сокращения английских слов Ьinагу digit - дво­
ичная единица). Преимущественное использование двоичной еди ­
ницы информации в теории связи объясняется, прежде всего, ши­
роким распространением двоичных кодов в вычислительной техни­
ке и технике связи. Можно пользоваться и другими единицами ко­
личества информации, определяемыми выбором основания лога­
рифма, так что в более об щем случае можно написать
J(ai) =- logP(aд,
(4.9)
где логарифм понимается с прои звольным основанием.
Из свойства аддитивности количественной меры информации
следует, что по той же ф - ле (4.9) определяется и количество инфор-
155-,

мации, содержащейся в любом, сколь угодно длинном сообщении,
состоящем из последовательности отдельных знаков. При этом
нужно в (4.9) брать вероятность выбора источником этой последо­
вательности из числа всех возможных с учетом всех ранее выбран­
ных сообщений (или, как часто говорят, с учетом всех rшрреля­
ционных связей, присущих сообщениям данного источника).
За ме тим, что мера (4.9) согласуется с интуитивным понятием
о том, что информация для получателя возрастает с уменьшением
априорной вероятности ожидаемого события (выбора), т. е. с уве­
личением исходной неопределенности этого выбора.
Количественная мера информации J (а;), содержащейся в от­
дельном элементарном сообщении а;, выдаваемом дискретным
источником сообщений А, характеризует только это сообщение, но
еще не дает общего представления о среднем количестве информа­
ции J(A), выдаваемой источником при выборе одного произволь­
ного э ле ментарного сообщения а;. Это среднее количество инфор­
мациr1 х арактеризует источник сообщений в целом и является
одним из основных понятий общей теории связи.
Приведем определение такой характеристики для дисЕретного
источ н ик а независимых сообщений с объемом алфавита К. В этом
случае среднее количество информации, приходящейся на один
знак, ЕОторое обозначим Н(А), определится как математическое
ожидание (среднее взвешен ное) случайной величины Л -к9личе~
ства IIнформации, содержащейся в случайно l[c вероятностью
Р(а ;)] выбранном знаке а;. Таким образом,
/(
J(A) = Н(А) =Л=-22 P(aдlogP(ai).
(4.1 О)
i=l
П о л у ч е нное согласно (4.10) среднее количество информации,
при ход ящееся на один выбранный зна~<, называется энтропиеи
исто чн ика не з ависимых сообщений и является показателем сред­
ней а п риорной неопределенности при выборе очередного знака.
Выр а ж е ние (4 .10) можно рассматривать как меру неопределенно­
сти ( э нтропии) дискретного распределения, заданного своими бе :
зусловны ми вероятностями Р;; ,i = 1, 2, 3, ... , К (7].
З аме тим, что существ у ет прямая связь информационной э!-lтpo ­
nuu ис точника с термо дин амической э нтропией физической систе ­
мы, св едения о которой передаются по линии связи 1[4]. Чем боль ­
ше т е рмо д инамическая энтропия физической системы, тем большее
колич е ство информации требуется для описания ее состояния.
О дн ако обычно в процессе передачи сведений о состоянии некото­
рой мат ериальной системы многие ее микро - и макросостояния не
я в л яют ся предметом передачи, поэтому энтропия источника сооб ­
щ ений не превосходит термодинамической энтропии системы.
Из выражения (4.1 О) следует, что энтропия источника сообще­
н ий рав на н ул ю тогда и только тогда, когда одна из вероятностей
P(ai) равна ед инице (а следовательно, все остальные вероятности
156

равны нулю), т . е. когда имеет место полная определенность вы­
бора.
С другой стороны , легко пока зать (впрсчем, это и очевидно),
что наибольшая неопределенность выбора при заданном объеме
алфавита К соответствует ситуации, когда априорные вероятности
всех выборов равны, т. е. P(ai) = 1/К. В этом случае согласно (4.10)
к
}J1 ()\
Н (А)= Н (А)тах =-
-
log-;'=logК.
!(
!(
(4.11)
i=l
Для источн ика, выбирающего независимо двоичные символы с
веронтностями Р1 =Р(щ) и Р2 = 1-Р 1, энтропия на один символ
определнется соотношением
Н (А)= -Р1 !og Р1 -(1-Р1) log [1-Р1],
(4.12)
график которого показан на рис. 4.1 . Можно видеть, что максимvм
энтропии такого источника достигается при Р1 = Р2 =0,5 и рав"ен
в двоичных единицах log2·2 = 1 дв.ед
символ
Из (4.11) следует, что если рассматривать источники с равно ­
вероятным выбором знаков, но с разными объемами алфавитов К,
то для них энтропия логарифмиче -
ски увеличивается с ростом объема
алфавита.
1,0
Как tолько и·сточником произве- o,g
ден выбор некоторого знака и ре- 0,8
зультат это го выбора стано·вится 0,7
точно известен получателю сообще- 0,6
· ний, существоваrвшая до эт-ого неоп- 0,5
ределенность полностью устра1няет- 0,4
с я. Эта ,в .раrс,сматриваемом случае о,з
означае т, что .количество информа­ 0,2
0,1
нии, содержащейся в среднем ,в од­
н бб.еil
сш18ол
ном знаке, численно равно энтропии
( рис. 4.1) источника 1 ).
о'--'---'----'---'-----'---'---'--L-L.........L_,__
0,1 0,2 О,З 0,4 0,5 О,б 0,7 0,8 o,g 1,0 R
Рис. 4.1. • Зави-симость энтро,пии ·
дво.ичного источнака с незави­
оrмым выбо·ром сим-волов от
а.пр,иор ·ной веро ятн ости выбора
ОДНО'f\О ИЗ НИХ
Выше отмечалось, что неравно-
13ероятный выбор -символов умень­
шае т энтропию (или ·инфорv1ативно­
сти) источник а Н(А) отн осител ьно
его ~'! а I,сим ально возможного з .н а­
чения H(A )max=logК. С другой СТ·О­
роны , уче т вероятностных связей символов (знаков), последова­
тель но выби раемых ис,очником, ведет к дальнейшему умень ше­
нию энтропии, опр~щеляемой ф - лой (4.10), не учитывающей эт·ой
1) ] lнте ресно отмет11ть, что результат (4. 11) как ч~стный случай (4. l О), по
существу, получен в 1928 г. на основе концепции выбора Р. Ха рт ли, который
предлож ,1.1 в качестве меры информащш бра ть логарифм чпсnа возможны х по­
-~ле.:r овате.1 ьностей символов заданной дю1ны [55].
157

связи. На са·мом деле, чем больше :вероят,ностные (к,орреляцлон­
ные) 1связи 1СИ1мволо·в, тем меньше свобода ,выбора последу ющих
символо,в, тем м1еньше в ,среднем инфор1маuии ттриходится на 1,аж­
дый вновь ,выбираемый ,символ источника.
Математически это объясняется тем, что неопределенность
условного распределения символов не может превышать неопреде­
ленности (энтропии) их безусловног о распределения. На самом де­
ле, обозначим энтропию источниЕа с памятью (со связью между
пред ыдущи ми и последующими символами) и объемом алфавита
К через Н(А/А 1), а энтропию источника без памяти, но с тем же
объемом алфавита - через Н(А) и покажем, что
Н (А;А'),,;;; Н (А).
(4.13)
Левую и правую части неравенства (4.13) можно соответствен­
но считать условной и безусловной энтропией дискретного источ1-ш­
ка с памятью.
Обозначим через P(a;Ja 1 ) условную вероятность того, что ис-
точник выбирает символ с номером i (i = 1, 2, 3, ... , К) при усло ­
вии , что на заданное число знако в раньше он выбрал символ с
номером j (А= 1, 2, 3, ... , К). Тогда при фиксированном а\ энтро­
пия рассматриваемого источника
к
Н (А!а;) = -I Р (ai/a;) log Р (atfa;).
(4.14)
i=I
Если же предшествующий символ принимает произвольны е зна­
чения, то энтропия и сточню,а
1(
кк
.
Н(А;А')=}:Р(а1)Н(А;а;)= - ~ ~ Р(а1)Р(а1/а1)logР(ai;a;).
f=I
i=li=l
(4.15)
Поскольку совместная вероятность
Р(а1, а1)= Р(а;)Р(ai/a1),
то (4.15) можно переписать и так:
.
к.к
Н(А/А')= -
~ LР(а1, а1) Iog Р(a1Ja1).
(4.1 6)
i=li=l
Энтропия источника с независимым выбором символов (4.10)
к/(
Н(А)=
-
)~ ~Р(а1, а1)logР(а1),
'
i=lf=I
•
поскольку
к
2:Р(а1, а1)= Р(ад.
/=!
158

Далее имеем
кк
Н(А;А')-Н(А)='\1 '1Р(ai, а;) ln [ Р(ai), llog е.
l.J ,kJ
Р (ai/a -)
i=l i=l
/J
(4.17)
Используя известное соотношение
lnx:,;; х-1
(4.18)
(раве нство имеет место лишь тогда, когда х= 1), получим
КI<
Н(AJA')-H (А)< 1J 1J Р(ai , а;) [Р Р/а~~-
-
1]logе=
i=l /=1
(i//)
-К
К
I<K
= {~Р(а;)~Р(а;)-~~Р(ai, a;)}loge = О,
(4.19)
что и доказывает условие (4.13).
Заметим, что равенство в (4.13) или (4.19) достигается толь­
ко, l<ОГда
х= P(ai) =1 или P(atfa;)=P(a;),
р (Gi/a;)
(4.20)
т. е. у словная вероятность выбора символа равна безусловной ве ­
роятности его выбора, что возможно лишь при отсутствии у
источника памяти.
Типичный пример дискретного источника с неравными вероят­
ностями выбора символов (букв) и статистической связью между
ними - текст, написанный на одном из естественных языков.
Здесь неравная вероятность выбора отдельных знаков и их взаи ­
мосвязь обусловлены структурой языка. Так, · например, в русском
языке вероятность буквы «О» составляет приблизительно 0,09, а
вероятность буквы «Ф» - лишь 0,002.
Еще большую вероятность, чем буква «О», имеет при передаче
русского текста «телеграфньrм алфавитом» пробел между слова­
ми . Объем «телеграфного алфавита» К = 32, ибо используются
лишь заглавные буквы, к числу букв относят пробел между слова­
ми, бу1шы «Е» и «Е», а также «ь» и «ъ» объединя·ются в одну. По ­
скоJrьку средняя длина слова в русском языке значительно меньше
31 буквы, то вероятность появл.ения пробела («нулевой буквы»)
1
1
намного превосходит значение -
.
Она была бы равна -
, если
32
32
бы все 32 буквы были бы равновероятны. По экспериментальным
данным вероятность «нулевой буквы» примерно 0,125 1[54) 1).
1) Благодаря особенностям языка. последовательность букв, безуслов н о, свя ­
зана, а связи эти простираются, вообще говоря, довольно далеко. Так за бук­
вой «ч» в русском техсте нихак не u1,~огут поя:виться бу,1шы «ы» , «я», «ю», а
,скорее всего буде т ст оять одна лз гласных «·и» и «е» или согласная «т» (-слово
«что»). Сочетание « ее» является довольно ч астым, однако ,появл~ние трех «е»
·подряд - крайне редкое событие, после сочетания бу1кв «то> чаще -всего следует
·буква «я» (глагольное окончание «тся»). Эти ·примеры можно было бы продол ­
.жать и далее.
159

Формула для определения энтропии дискретного источника су ­
щественно усложняется по мере все более полного учета вероятно­
стных связей последовательности символов, которые можно трак­
товать как цепи Маркова высокого порядка. Однако эта формула
не нужна, если удается опытным путем измерить энтропию источ­
ника. Так; согласно многочисленным экспериментальным данн ым
энтропия русского текста составляет приблизительно 1,5 двоичных
единиц на букву ,[54]. Эту цифру полезно сравнить с максимально ,
возможной энтропией алфавита, содерж<;1щего К = 32 символа, ко­
торые выбираются независимо и с _равной вероятностью. В этом
случае
Н(А)=Н(А)та~ =log232=5дв•ед_:_ .
символ
Таким образом, средняя информация одной буквы «абсолютно
хаотического русского текста» примерно в 5/1,5 ~ 3,3 раза боль ше,
чем в русском тексте, соответствующем нормальной речи . Этот ре­
зультат не покажется нам парадоксальным, если учесть, что выу­
чить или передать по каналу связи с наилучшим качеством абсо­
лютно хаотический текст значительно труднее нормального текст а ,
в котором при его за поминании или приеме можно учитывать ло­
гические и структурные связи символов, отсутствующие в хаоти­
ческом тексте.
Часто пользуются характеристикой дискретного источника Ри,
называемой избыточностью источнш<а:
Ри = 1-Н (A)JH (А)тах = 1-Н (A}/log К,
где Н(А) - энтропия источника
мально возможная его энтропия
та К.
на один символ; logK
при заданном объеме
(4.21 )
макс и­
алфави-
В ф-ле (4.21) основание логарифма выбирается в соответствии
с единицей измерения энтропии: берется двоичный логарифм, если
Н(А) выражена в двоичных единицах, натуральный логарифм ,
если Н(А) выражена в натуральных единицах, и т. п.
Как ви~но из (4.21), избыточность источника сообщени й пред­
ставляет собой безразмерную величину, заключенную в пределах
{О; 1]. Избыточность равна нулю, если: энтропия источника макси­
мальна при данном К, т. е. если элементарные сообщения, выда­
ваемые ·и,с1'оч1нико:м , равновероятны 1и незави,симы. Та,кой и1с1'оч ­
ник называют источником без избыточности. Поскольку интропия
источника зависит от степени неравновероятности отдельных эле­
ментарных сообщений, а также от присущих им корреляционных
связей, то, как видно из (4.21), от этих же факторов зависит и из­
быточность источнш,а.
Целесообразность термина «избыточность» для Ри можно пояс­
нить так. Если для передачи некоторого количества (объема)
лнформации источника, в котором устранены корреляционные свя­
зи и выравнены вероятности символов, требуется в среднем мини­
мально возможное количество передаваемых знаков no(noH(A)max-
lбO

это объем передаваемой информации), то для передачи того же
объема информации от источника с энтропией на символ H(AJ:
потребуется в среднем число знаков n=noH(A)maxlH(A). Подразу ­
мевая под избыточностью источника величину ри = (n - n0)/n= 1-
-п0/п, получим (4 .21).
В качест.ве примера рассмотрим простейший источник, алфавит кот,ороrо
состоит всего из двух элементарных сообщений О и 1, выбираемых источником
1
3
независимо друг от друга с вероятностями Р (О) = 4 и Р (1) = 4
.В
этом
дв.ед.
1
1
случае H(A)max=log22 = 1 -
-, а энтропия источника Н(А) =- - log2--
-
символ
4
4
3
3
цв.ед.
-
-
Iog2 -
~
0,811 - -
4
4
символ
По ф-ле .(4.21) находим избыточность этого источника
0,811
Ри=1- -1
-
=0,189.
Рассмотрим теперь случай, когда априорные вероятности -сообщений О и 1
од ина:к,овы, но имеются корреляцион н ые связи, причем вероятность выбора ,по­
следу ющего эле м ента зависит от выбора одiноrо предшествующего элемента.
Пу,сть при этом
P(l/l) = P(0/0) = 0,7, а P(0/l) = P(l/0) = :o,3.
Энтропию такого источ н ика най:дем по ф:ле (4.15) как математи<Чес1юе ожи­
дан ие случайного количества информации, содержащейся в одном символе с
уче том вероятност.н предшеству1ощеrо символа. И,меем
ДВ. ед.
Н (А/А') = -P(l/1) log2 P (1/1)-Р(О/1) !ogP, (0/1) = 0,883 ---
символ
.
0,883
Избыточность источника Ри=l- -1- ~0,12.
Пусть, наконец, источнику присущи вероятностные ,овязи того же рода, что
и в предыд ущем примере, но, кроме того, априорные вероятности Р(О) ~P(l.).
Допустим, что Р(О/0) =0,3; P(l/0) = 0,7; Р.(0/1) = 0,1; P·(l/1) =0,9). Сначала по
фор-муле полной вероятности найдем
Р(О)~Р(О)Р(0/0)+[1- Р(0)JР(0/1).
Под,ставив данные значения Р,(0/0) и Р (0/1), находим Р (О) .= 0, 125 и, следова­
тельно, Р ( 1) = 1 -Р.(О) = 0,875. Для энтр о пии источника в рассматриваемом слу­
ча е имеем
Н (А/А')= - О, 125 [0,3 log2 0,3 + О, 7 log О, 7] - 0,875 [О, 1:1ogj0, 1]+ О, 9 Iog:o, 9]~
дв. ед.
~0,51 -- .
символ
0,51
Избыточность источни,ка -Ри = 1- - 1
-
= 0,48.
Ле11Ко проверить, что в последнем ,случае :избыточность больше, чем np.!f цее
зависимых сообщениях с теми же априорнымп вероятностями, когда Н (А)=- .
ДВ-~.
•
= - 0,125log2О,125- 0,875Jog20,875~0,576-- , и,
следовательно, Ри =0,646 4.
символ
•
Для источника, выдающе г о русск5ий «телеr,рафный те кст», избыточное.ть оп- ·
1,
ределяется соотношением Ри = 1- -- =0,7, т. е. довольно значительна.
log2 32
16- 386
161

Определим теперь другую важную характеристику дискретно­
го источника. Она называется производительностью источника с
фиксирован ной скоростью, непрерывно выдающего Vи символов
в единицу времени, и определяется соотношением
Н'(А)=vиН(А).
(4.22)
Ясно, что характеристика (4.22) определяет среднее к оличе­
ство информ ации, которое может выдавать (создавать) источн ик
в единицу времени при непрерывной работе . Если Н(А) опреде­
nять в двоичных единицах, а время в секундах, то Н1 (А) имеет
размерность двоичных еди ниц в секунду .
Дл я дискретных источников с регулируемой в некоторых пре­
дел ах скоростью выдачи символов (например, символы выдаются
после н акопле ния в устройстве памяти по команде со скоростью,
которая ме няется в зависимости от усло вий в ка нале, см. гл. 9)
производительность мож ет определяться аналогичной формулой,
если под Vи понимать ср еднее з начени е с1<о рост11 выдачи симво­
лов .
Для дискретных источнш<ов в ыдающи х стационарные nосл едо ·
ва тел ьност и символов достаточно большой длины п, можно вв е ­
сти очень продуктивные понятия: «типичные» и «нети~ичные»
последовательности символов и сточника, на которые можно раз­
бить всевозможные посл едовательности длины п. При этом ока ­
зы ва ется, что все типичны е последоват ельности Nтип(А) источни­
ка п ри n-+coo им е ют примерно одина1< ов ую вероят н ость появл ения
(4.23)
в то время к ак суммарная вероятность поя вления: всех не1•иtiНЧ :
ных !JОсле довательностей источника б при n-+ -oo стремится к ну­
лю. Отмече нные свойства последовательностей дискретного источ­
ни ка обобщены теоремой асимптотической равновероятности, ко­
торая следует из закона больших чисел.
На самом деле, в последовательности достаточно больш ой дли­
ны п, вы даваемой источни ком, су меют проявиться все т ип ичны е
(х,арактерные для данного· источника) вероятностные характери ­
tтики символов. Но поскольку источник стационарный, то все на­
иболее хар актерные для данного источнш<а последовательност и
достаточно большой длины и будут иметь примерно одинаковые
вероят но стные характеристики (скажем, у них примерно одинако­
во ча•стю встречаются символы а;, где i = 1, 2, 3, ... , К, и любые со­
четания этих символов).
Ч~tёл6. типичных последовательностей дискретного ,источн.и1Ка
достаточно_ большой длины п можно ле г ко овязать •с энтро.п:ией И'С­
точника на один символ Н(А). В самом деле, посколь,ку источник
с вероятностью, близкой к 1, выдает пр;и п- оо л.ишь ТИ'ПИ'Ч'ные по-
1
wедов ате лъности с равной вероятн,остью - ---,
то согласно
•
Nтип (.4)
162

(4.11) энтропия источника, выдающего такие длинные последова•
тельности .равна IogNтim(A). Та:ким образо'М,
Н(А)= logNтип(А) при п-оо,
(4.24)
п
и, измеряя э.нтропию в двоичных единицах, можно написать
,V~~/2 = 2n!i (А) •
(4.25)
Дл'я источника с фиксированной скоростью, выдающе го v.
сим,волов ,в секунду, вместо (4.25) можно написать
N(A) - 2ТН' (А)
(4.26)
тип -
'
где Т = п/vи - дл,ительность последовательно,сти длиной п.
Пос кольку в соответствии с определением ,из.быточности и~точ •
ни,ка (4 .21) Н(А)= (1----jри) Н(А)тах = , (1 -ри) log2K, ·то
Nтип(А)=2n(1- Ри)log,К.
(4.27)
Хотя нетипичные 1по,следо:вателыюсти достаточно большой ДJШ·
ны п в,стречаются край,не редко, их возможное число Nтип(А) очень
велико. На ,самом деле, 1в1севозможные последовательнос11и длины
п, со,ста•вленные из произволь:ных сочетаний букв алфа•вита,
•
N(А)=Кп =2nlog,к_
(4.28}
Доля типичных rюследо,вательностей при ри=;fсО
Nтип(А) =2
-
пРиlog,К
N (А)
(4.29)
с ростом п убывает, в то вrремя ка :к доля нетИJпичных последо,ва•
тельностей.
Nиетип(А)=N(А)-Nтип(А)=1- 2
-
пРиlog,К
(4.30)
N (А)
N (А)
с ростом п растает.
Лишь для ,гипотетиче-ского 01учая, ,когда из,быточно·сть источ­
ни1ка ра,вна нулю (,в :нем ,нет вероятностных связей ,символов,, ,и ,все
они имеют равную вероятность ,выбора), ·в,се последовательности
ЯВЛЯЮТСЯ ТИIПИЧНЫМИ: N(A) =Nтип(А), а Nнетип(А) ;=О .
В качестше примера рассмотрим теле11рафный источни к с объемом К = 32,
элементарными •сообщениями которого являются буквы русо1юго алфавита. Ти .'
пичной для та.кого источника будет вся,кая последователыюсть бу,кв, включая
знак пробела, образующая чапь о:омысленной русокой фразы. При n= 10 типич­
ной для нашег.о источника следует считать десятибуквенн~ую последователь'Кость ,
выбранную наугад из какой-либо книги на русском языке. Например, типичной
будет в этом случае l[]Оследовательность «система моду» как часть осмысленной
фразы «система модуляции», в то время .как последовательности «ъъъАААъКъЕ :,,,
«система ъЕъъ» для rнашего источника заведомо нетипична, хотя вторая , из ниж.
содержит типичную шестибу,квенную qасть.
•.
дв.ед.
·. ·'
Для рассматриJВаемоло источника, полагая Н(А) = 1,5 -- , .
Nтип(А) ,= .
символ
210-1 5 21-
б
•
·
••'
•=
0 , в то время как о щее число всевозможных десятибуквенных со-·
четаний N(A) =2 nlog,k = 210 •5 =250 . Число нетипичных последовательност~й ~ре-
вышает здесь число типичных в 235 раз.
••
6*
16'3

Контрольные вопросы
1. В чем состоит идея выбора д,искре11ным источником сообщений из возмож ­
.ноrо алфавита символов и как можно !Ко л ичественно измерить пер·воначаль ­
ную несmределенность этого выбора?
2. Чем объя,сн.ить, что средняя ,инфор;мативность или энтропия источнИ1Ка вы­
числяется через логарифмы вероятностей выбора и ка,к,им,и овойствами об ­
ладает энтроп ия диск,ретного •источника?
3. Какой асточник выдает од.ну д воичную единицу ,( 1 бит) информации на
буюву ; (1:,имвол)? Чем объяснить широк.ое использование двоичной единицы
информации в теории и технике связи?
4. Чем объяснить, что неодинаковая вероятность выбора сообщений и корре­
ляционные связи символов (память источни.ка) уменьшают его энтропию по
сравнению с максима,льно возможной пр-и заданном объеме алфавита?
5. Каким неравенством связаны условная и без,условная энтропия дискретного
источника ·с памятью?
•
6. Как определить избыточность ,.дискретного источю1ка и чем она вызывается?
Какой источник имеет н уле,вую избыточность?
7. Как олр еделяе11ся произ ·в одн те льность д,ис~ре т ного ,источ,ни,ка?
8. На какие две груп,пы цепочек можно разбить достаточно дл•инные последо ­
ват ельн,о.сти стационарного источни ,ка?
9. Каковы вероятностные характеристики достаточно дл,ин.ных типичных и не­
т ипичных ,последо•вательност ей -с и мволов дискретного ,и:сточю1,ка?
! О . К а-к связ а но число типичных лоследователь·носте й источника Nтии(А) доста­
точно большой длины п с энтропией источника Н(А)? Како•во общее чи·сло
пос л-едавательностей, которое ис-ючн1ик может выдать?
]
4.2. КОЛИЧЕСТВО И СКОРОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ИI-IФОРМАЦИИ
ПО ДИСКРЕТНОМУ :КАНАЛУ С ШУМАМИ
В предыдущем пара.графе мы числен.но оцределили .информа­
цию, .которую выдает дискретный ,источник ,или которая содержит­
ся s последовательности символов этого ,источника {ai}-
1 • Будем теперь , считать, что этот источн,ик, посредст,вом ко,цирую ­
щего устройства выдающий последовательность кодовых ,символов
{•Ь;} (i=l, 2, ..., fп-позиционность или основание кода), согласо ­
вь1,щiет_ся с ди1окретным 11<1аналом, на выходе которого 1появляет-ся
·посл_ед:о:вательность сим.волов {,ь; } (j = 1, 2, ..., т').
Операци,и кодирования (,цреобр.азования) ,сообщений 'В ~юдо.вые
сим:волы (,силналы) b;(t), как .прав,ило, ·взаи:мооднозначны, т. е . по
последовательности сим,волов {,bi} можно однозначно восстановить
.последо.вательность {а;} и, .следовательно, по кодовым символа~~
можно ~получить нею инфо,рмацию источника.
К сож,алению, этого нельзя сказать о после,дователыюстях сим­
волов .выхода {Ь; } и сим:волов •входа канал,а {,Ь;} ,пр ,и наличии в
ка·нале помех. Энтропия выхо,щюй послед;а,вательности Н (В') мо ­
жет оказаться 1даже боль ш е энтропии :входной последоват.ель.ности
Н(В), но это ни в коем случае ,не означает, что для получ .ателя
возросла . информация. В лучшем ·случае ~при вза,имооднозначных
соотношениях входа и выхода 1ка:нала полезная информация ос-
. тается
,неизменной (1шк в приведенном ,выше п ример-е кодирова­
ния), •в худшем же случае, если по выходным ,си~м·волам канала
164

н:иrчего .нелЬ'зя ,сказать о входных, ·выходная лоследовательность ни­
чего общего не имеет со входной, то полез.ная информация оказа­
ла1сь полностью потерянной в канале .
Пооытаем,ся т еперь количественно оценить потери информации
в канале ,с шума:ми и количество переданной по такому ,каналу ин­
фор М'ации . Будем считать, ч110 символ bi передан правильно, если
рег,истр,и:рует,ся на приеме символ Ь 1 с тем же :номером (j = 1i) . Тог-
да для идеального канала без шумов следует считать , что апосте­
р,иор:ные вероятности Р(Ьi;ь; ), а та1,же у словные вероятности
Р(Ь; /bi) удовлетноряют у,словия-м:
Для к а:нала ж,е с шумами :
j= i,
i-=l=i;
j=i,
j -=1= i.
(4.31)
0<P(bi/b1) < 1; 0<P(b1Jb;)<l .
(4.32)
Фн кси·руя на выходе ,каi1-1ал,а не,1юторый сим-вол Ь j , в силу (4.32 )
н ево з можно избежать неопределенности относительно того, како й
из си м нолов bi в самом деле передавался . Это мо жно понимать ка к
неп ол ную передачу инфо,рма,ции, 'Содержащейся ,в перед,. а!Ва,емо м
си мвол е bi. Часть этой ,и1-1формац.ии теряется в процеосе передач и
с иг.на ло,в mo ка:налу, что ,связа·но ,с его особенностями ('в основнqм с
у:ровнем и хара:ктером дей1ст:вующ:Их в нем пом.ех) .
П ридерж:ивансь 1кол,ичественной меры ,информац и.и, .введенной в
п ар а г р афе 4.1, .следует пола1гать, что величина
(4.33)
• п ре дс т а'Вляет , собой числ енное .значение неопределенно сти , и м ею ­
щей с я на выходе ка-нала ,после приема ,си1мвола ,Ьj о тносительн о
с им .вол а bi, т. е . определяет 1юл.ичес11во информацю1, ло~ерянной
п,р,и передаче сим,вола Ь;, если 1при этом принят си мвол Ь i .
Фикс:ируя Ь j и у,сре,rщи:в (4.33) по всевозможным переrд авае ­
м ым ,сим вола1м , ,получим .су мм у
т
Н(Blbj) = - ~ Р(Ь;/Ь1)logР(Ь;/Ь1),
(4 .34)
i=l
которая ,имеет .смысл среднего колич ества информац,ии, теряемой
при передаче элементарного сигнала по -ка.налу б ез па м яти, если
п:ринят сигнал Ьj (t).
Бели у,среднить (4.34) 1по всем Ь~ , то получим величину J(B/B') ,
которую обозначим через Н(В/В'), имеющую -с~мысл с-реднего коли-
165

чест:ва информации, т,еряемой пр,и передаче по к аналу без памяти
одного символа :
m'т
J (В/В')= Н(В/В')=- ~ ~Р(Ь1)Р(Ь1/Ь1)log Р(Ь1/Ь1) =
/=1 i=I
m'т
=-
~ LР(bi, ь;) Iog [Р(Ь1/Ь1)],
/=1 l=I
(4.35 )
где P(bi, Ь; ) - со1в.местная в-ероятность ·юго, что переда,вал,с я
символ bi и :при этом прк~нят ,символ Ь; .
Отметим , ч·то Н(В/В') зависит 1кшк от статиетик,и .источ.ник.а вхо­
да В, та.к •И от вероятностных характер.ис11ик канала •связи .
Н(В/В') ча,сто называют у,словной энт,роrпией символов выхода при
известных символах выхода. Она показывает ,степень неопределен ­
но.сти 011носительно последо:вательности В (t) ,цри у;слов.ии, что при­
нята последовательность B'(t). В соответствии с введенной К. Шен ­
ноном терм,инолог.ией в ,статистической теории связи Н(В/В') на ­
зывают нена rдежностыо ,к,анала.
В качес11ве примера определим ненадеж1Ность двоичного сим.метр,ичного ка ­
нала со ·ст,ирание м и без памяти, характеризуемый вероятностями переходов
Р(ь';ь-)-!Рс, j=З,
Ii-
Ро, i-4= l, j-4= 3,
i=1.2
1-рс - Ро, j=i, j-4=3,
Ре - вероятность стирания; Ро
-
вероят.ность ошибочного перехода.
Для апостериорных вероятностей при Ро=О ,в согла,сии с формулой Байес а
имеем
,
!P(bt), i= 3,
Р(Ь1!Ь1) О ·...;.,.
.
· -4=-З
='
/т-1,/,
i=1,2
1,
j=i, j-4=3.
Су,ммарная вероятность появления сим,вl'ла ст,ирания Р(З') =Р(?) =P,(l)P,(? /1 ) +
+ Р(2)Р(?/2) =Ре,
Следовательио, неиадежность ра с сматриваемого .канала
32
н (В!В') =
-
~ ~ р ( ь,) р (Ь1/Ь1) log P~(bt/bj) =
/=1i=I
2
=
-
Ре,., Р (bt) log Р (bt) = РсН (В).
(4.36)
--
•
i=l
У•словная э·нтропия Н(В/В') , 1ка,к и энтропия д.искретно,го источ­
ника на входе ,к,а,нала Н(В) или на его выходе Н(В'), ,по ,самому
ов,оему определению не ·может быть отрицательной. Ненадежность ·
1,анала Н(В /В') =0 , есл.и ,в .канале нет по.мех, .ибо в этом случае
выполняются соотношения (4.31) .
166

Подобно тому ·как это делалось в па·раграфе 4.1, можно пока­
.зать что Н(В/[!')~Н(В), [Iричем ра,венсгво достигает.ся лишь тот­
.да, .когда вход ,и .выход ,канала с1атистлчески ,неза ,висимы:
Р(bt, bj)= Р(ЬдР(bj); Р(bi/bi) = Р(bt);
Р(ь,;ь~) = Р(ь1),
т. ·е. оим1волы на выходе рег:истрируют,ся неза,в:исиrмю от сим-волов .на
входе (случай очень ·сильных помех в канале или обрыва линии).
При стационшрном канале с ,конечной памятью -опраБедлшза тео­
рема об а,сим,птот,ичео1юй ра:вноlВероятности для ти!!ичных [!Ослещо­
вательностей достаточной большой длины п на .входе канала, ко•
торые могут ~вызвать : (,вследствие шумов ,в ,ка,нале) заданную после­
довательность на выходе ,канала {Ь; }. Аналогично (4.24) число
таких последовательностей можно определить из •соотношен1ия
-
1 log Nтип (В/В')= Н (В/В') при п--+ оо.
п
Измеряя энтропию в двоичных единицах, имеем
Nтип (В/В')= 2п_Н (BJB') .
·
(4.37)
Е,сли помех ,в ,канал,е нет, ненадежность ·канала Н(В/В')=О . и
Nтип(В/В') ~ -1, т. е. зада,нная выходная последо1вательность {Ь;}
однозначно определя ·ет одну единственную :вход,ную последо,ватель­
ность {Ь;}, ее вызва1вшую.
По ,мере •роста ненадежности ,канала растет неопределе,нно.сть
относитель но последоазательност:и .входа, ,которая могла бы выз,ватъ
зада:нную последовательность выхода {Ь 1 }. Ясно та1кже, что подав­
ляющее число ,из нсевозможных последовательност,ей входа дЛ1ины
п, которые моrгли бы выз,вать данную последо:вательность выхода
{Ь; }, для источ,ника с памятью нетипи чно, но имеет очень малую
сум .мщрную ·вероят,ность.
Под переданной в среднем по каналу информацией J ( В, В') на
один сим.вол ~будем понимать разность между количестrвом инфор­
маци,и на ,входе канала J (В) и информа,uлей, .потерянной в канале
J(B/B'). Для ИС'ГОЧrНика и канала без памяти
т
J (В, В')= J (B)-J (В/В')= н (В)-Н (В/В') = -
Lр(bi) х
i=l
т'т
хlogР(Ьд+1:I Р(bj,Ь1)logР(b,/bj)=
i=l i=l
= ttР(bj, ь;) Iog [ Р(Ьt, ь;~].
/= 11=1
Р(Ь~)Р( Ьi)
(4.38)
Выражение (4.38) можно рассматривать как меру сред:ней ,ин­
фор,мадии на од,ин символ, содержащейrся •В выходной последова -
167

тельности B'(t) относительно входной B(t). Последняя зап.ись вы ­
ражения для !(В, В') лоз1Воляет ~сделать вывод, что
J(В,В')=J(В',В).
(4.39)
В самом деле, вероятности P(bi) ,и Р(Ь1) входят в выражение
(4.38) ,симмет:рично, а совместная вероятность P(bi, Ь 1 ) до,пу,окает
переста1но.в,ку аргументов. По тем же соображениям можно нап.и­
сатъ
J (В, В')= J (В', В)= J (B')-J (B'JB) = Н (В')-Н (B'JB), (4.40)
что следует из (4.38), е,сл.и поменять мес:а'МИ bi и ь; . Для и сточ­
ника и )Канала ·без па.мяти велич1ина
т'
J(В')=Н(В')= - ~Р(Ь1)logР(Ь1)
(4.41 )
/=!
олределя.ет эн1,ропию (информащию) <выходных ·сим·волов ~канала.
Ча,сть этой информац,Ии - полезная (о [lередаваемых через ,кана­
лы символах bi), остальная же ложная ( созданная помехами в ка­
нале). Величина J (В 1/В) =Н (В 1/В) ,определяет информацию, со ­
держащуюся 1в последователЬiНости выходных сим·волов B'(t) п:ри
из1вестной последовательности входных символов B(t). Посl{ольку
выходная посл•едовательность отл,ичае11ся от ,входной ·исключитель ­
но из-за !Помех в :канале, то Н(В 1/В) rвыражает информацию имен­
но о ломех·ах в ,канале ,или энтропию шума, а раз;ность Н(В 1)­
-Н(В 1/В) - пол,езную инфо1рма,цию, переданную по ка,налу.
Для канала без памяти
т'т
н(B'JB) = -
~ ~ f,_(bi, ь;) log Р ( ь;;ьJ
(4.42)
/=11=1
Мож1но показать, ЧТО Н(В'/В)~Н(В'). При очень оильных поме­
хах в :~vанале в-ся информация ,выходных ,сим·волов порождена по­
мехой Н(В')=Н(В'/В), т. е. переданная 1по ~каналу полезная ин­
формация р.авна нулю.
Согласно теореме об аси1Мптотичеокой ра:в,новероятности для
Nтип(В 1/В) - числа типичных послед01вательностей достаточно
большой дли,ны п на ,выходе стациона1рно1го канала ,с ;конечной па­
мятью, ,котцрые могут быть выз1ваны фик.си1рованной последова­
тельностью :на входе канала, - можно :нап.и1сать ,соотношение
IоgNтип(В'/В) =H(B'JB) при n ➔ оо.
п
Измеряя энтропию в д1во1ичных единицах, Jiмеем
Nтип(В'JВ) = 2nH(B'/B).
(4.43)
Бсл,и помех в канале нет, Н(В 1/В)=О и Nтип(В'/В)=1, то за ­
данная последовательность на входе канала порождает лишь одну,
однозначно ей . ооотве11ствующую, последовательность выхоща. По
168

мере роста помех в ,канале растет чн.сло ло:следователыю,стей .на
выходе .канала, которые мо,гут быть выз,ваны задан.ной ,последо.в,а­
тель,ностью .на вхо.це. За.мет,им, что !Подавляющее число в-севоз,мож­
ных последовательностей на rвыходе канала длины п, ,ко1торые :мо'Г­
ли бы из-.за по.мех в ка,нале образоваться [I'РИ заданной [1,о,следо­
вательнО'ст,и на rвх·оде, я,вляются .нет:ипичным-и, но .имеют оrче:нь rма ­
лую .сумМ,а !рную вероят:ность.
Наrи.более раопространенной .разновидностью ломех (шумов) ,
дей,ствующих в ,каналах 1связи, являются амитивные шумы U(t),
т. е. в этом случае -ои~гнал на выходе B'(t) и на входе ,ка1нала B(t)
связаны соотношением
В'(t) = В(t)+И(t) или U(t) = В'(t)-B(t).
При непр·ерывных оигналах .на ,входе ;и выходе и шум ,в канале
не:прерывен. Если же входные ,и ,выход1-1ые ,оигналы диокрет:ны, то
и эк•ви1вален11ный шу,м, определяемый ,их разностью, имеет ди,окрет­
ную структуру. Здесь уместно подчеркнуть, что эквивалентный
шу.м ·в дисК)ретнам канале фа.ктически обу,сло:влен шумом ;в .неmре­
рывном канале, входящем в .состав ра,сширенного дJИс~ретшого rка­
нала.
Бели считать, что объем алфа·вита входных и :выход:ных .оим,во­
лов диокре11ного ,канала оди:на~1юв (т' ' ,т) и обо.значить ,аииволы
этого алфа1вита цеJiыми числам-и О, 1, 2, ... , т-1, то
~р1азно·сть
{ Ь' (t)} - {bi(t)}, определяющая э11шивалентный шум в дискретном
канале, ,следует определять по модулю т. 5Iicнo, что в этом слу­
чае шу:м пред~ста,вляет 1собой дискретную с.,1учай~ную :последо·ва ­
тельность, ,:похожую на [Юследователь:ность ,входного и выходного
сИ1гналов. Обозначим ,сим1волы алфавита аддитивного шума . в дис­
кретном ·канале через 1ч(l = О, 1, 2, ..., т-1). Тогда у,сло,в,ные ве­
роятности пер,ехода ,в таКl()м канале Р(Ь; /bi) = .P('Лz)=P(b; -bi)
О[Iределяю11ся л,ишь ~разностью rюследовательностей выхода и вхо­
да. Пр·имером дискретного канала без памятJ:I с аддит.ив•ным шу­
мом может быть сим,метричный 1кан~л -без .стирания . В та :ко•м ,ка­
нале
!1-р,j=iилиl=О,
P(lb/bi) = P(b1 -bt)=P('Лt)= Р . .
.
-- , J=/=t или l= 1,2,3, ..., т-1,
т-1
р = ра( т - 1) - вероя~тность ошибочного п·риема -символа.
Условная энтропия Н(В'/В) в 'Vаком канале (э,н тро[I1ия шума ),
согласно (4.42) определяет.ся выражением
m-1
Н (В'/В) = - ~ Р ('Лz) log Р('Лz)=-(1-р) log (1-p)-
l=o
m-1
.-
'1 _ P _ log - P- = -(1-р) 1og(1-p)-plog - P-
.
(4.44)
l,,Jт-1 m- 1
m-1
1=1
100

Посколыку Н(В/В') ~Н(В ), то, очевидно, информац,ия выходной;
последо,вательности дискретного канала B'(t) относительно :вход-·
ной B(t) или :наоборот J(B, 8 1) = l(B',
В) = Н(В) - Н(В/В') ~
~ Н (В), т . е. полезная информац1ия на ,выходе ка1нала (mередан­
ная ,по каналу) ,не может ~превышать информацию на его входе.
Лишь в предельном ,случае, когда . в канале нет помех Н(В/В') = О,
информация на выходе канала равна информации на входе . Но в,
это.м ,случае последов ,ательности выхода тождественны по:следова­
тельностям входа {bi}- Поэтому 1мож,но написать J(B, В) = Н(В) ,
что позволяет интерпретировать э'нтроmию ~источника (собствен­
ную инфор.мацию источника) ка ,к :информацию ,символов {1Ь;} о ,са­
м,их себе.
Очевидно такж,е, что J(B, B')=l(B', В) = Н(В') - Н(В'/В)~
~Н(В'), а J(B' , В') = Н(В') определяет инфоiрмацию
.выходных.
сим1воло,в {Ь ;} ,канала о са~мих себе.
Анализируя выражение для количества лереда1нной по к,аналу
информации нетрудно в.идеть, что J(B, B') = J,(B', В)~О, 'Причем·
нулевые злачения этой велич,ины, .ка,к отм,ечали выше, достигают:ся
лишь mри условии, что ююд и ,выход 'Канала незави,симы. По этим
соображениям :величину J(B, В') можно иопользо.вать как меру
ст.атистической овязи между случайными 1вел.ичшнами (ообытиям,и)
ВиВ'.
Если на вход дискретного канала по·ступает в ,среднем Vк сим­
волов .в одну ,секу,нду, то можно оnределить ,Сiред,нюю скорость IП'е­
редачи инфор,мац,ии :по ~каналу с шума,М'и:
J' (В, В') = vк J (В, В') = Н' (В)-Н' (В/В') = Н',: (В')-Н' (B'JB), (4.45),
где Н'(В) ='VкН (В) ,_ п,р01изводительность источника .на входе ка­
нала; Н'(В/В') = vнН(В/В') - ~ненадежность канала в единицу вре­
мени; Н'(В') = vкН(В') - производительность источника, образо­
ванного выходом юшала (,выдающего ча,сть полезной, .а ча,сть лож­
ной информации); Н'(В'/В) = ·инН(В'/В) - ~количество ложной ,ин­
формации, создаваемой помехой ,в ·канал,е ,в единицу 'Времени.
В час1шости, для д:воичното •симметричного ка,нала со стираНJием при Ра = (}
с учетом (4.36) следует результат
J'(B,B') =vкН(В) (1-рс),
(4.46)
Из (4.46) 1в.идно, что расширение зоны стцрания (рост Ре, пр,иводящий к умень­
шению средней вероятно.сти ошиб.к,и) однО1временно уменьшает скорость пере­
дачи ,информации (обмен между ве,рностью 1и скоростью).
Есл'и определены величины Н'(В/В') и Н'(В'/В), то т:ипич,ные
1
лосл,едователь.ности длительности T = n -
, выражаемые
ф-ла,ми
Vk
(4.37) и (4.43), можно определить так:
Nтип (В/В') = 2ТН' (В/В'); Nтип (B'JB) = 2ТН' (В'В) • (4.47)
Подчt:1ркнем, что понят,ия количества и скорости переда'!и ин­
фор1мации по каналу мож,но применить ,к ·разJI'И'!ным 'З!Веньям ка­
нала ,связи. Так, например, 1юличес11во информации, передан;ное
1,70

на учаrстке .вход кодера А - выход кюдера В, определя,етrся фор­
мулой
J(А,В)=Н(А)-Н(А/В)=Н(В)-Н(В/А),
(4.48)
где Н(А), Н(В) - энтропии первичного и вторичного ал ­
фавита; Н(А/В) - ненадежность канала на участ:ке А-+В;
Н(В/А) - энтро:пия шума на ра,осма,тр.иваемом уча,стке канала.
Соо11нош ение
J (В', А') = Н (В')-Н (В'/А') = Н (А')-Н (A'JB') (4.49)
.определяет :количество .информации, пер ,едшваемой .на уrча,ст,ке ~вы­
ход 1-й решающей ,схемы лриемника В' - выход декодера А'.
Н(В'), Н(А') - энтропии СИ['!Нала на выходе демодулято.ра и де­
.кодера соо11ветственно; Н(В'/А') - ненадежность участка В'-+А';
Н(А'/В') - энтро1Пия шума на этом уча,ст:ке.
Скорость ~передачи инфор,ма,дии на учае11ке вход кодера А -
выход декодера А' (расши~ренный д:иокретный канал .4-+А') опре­
деляется ооот.ношением
J' (А, А') = Vи[Н (А)-Н (А/А']= Vи[Н (А')-Н (А' ;А)], (4.50)
где Н(А/А') - ненадежность расширенного дискретного ка·нала;
Н(А'/А) - энтропия шума рассматриваемого канала; Vи
-
,среднее ,количест,во з.нююв, выдава,емое ,источни11шм ,сообщений в
с екунду .
При любых преобразованиях ,сообщений ,и сигналов вдоль трак­
та -связ,и ни 1количес11во, ни скорость передачи .информа,щии не мо­
гут возра,стать. В ,некоторых случаях они могут не меняться, тогда
преоб1р.азова,ние ,называетrся об,ратимым и сигналы входа и выхо­
да ювязаны однознач,ными ооотнош ен.иями . Если преобразова.ние
необратимо, однозначной овяз·и выхода и ,вход а нет, то ,неи:збежны
некоторые потер·и инфор,ма,Ц'ии о преобразуемом сигнале.
Здесь уместно отметить аналогию со вторым .наrч.алом термоди­
намики, ,со,гласно ,которому энтропия термодинамической системы
п~ри ,необратимых ,процессах возрастает, а пр.и обратимых .не изме­
няется. С учетом сказанного ясно, например, что
J' (А, А') :а;;; J' (В, В'),,;;; J' (S, Z),
(4 .51)
т. е. ,око-р,о.сть перед,а1чи инфор..мации в ра1сширенном д,искрет:ном :ка­
нале не может превышать скорости передачи инфор1мации на уча­
-стке В-+В', входящем составной частью ,в учшсток А-+А'; ,екорость
ж,е передачи в диюкрет.ном 1канал,е (на уча,с-гк,е В-+В') не :может
превышать скорости пе;редачи информац:ии в непрерывном .каrнале
(на уча,ст:ке S-+Z), входящем .в диск1ретный ка:нал (см. 1параг.раф
3.1 .) . Равенство в ооотношениях (4 .51) ,имеет место лишь при об­
ратимых преобра-зованиях. Так.им образом, в,сякое необратимое
преобразование неизбежно влечет за ~собой поте:рю не:которой ;ин­
формации о прообразуемо.м сигнале.
Примерам и н еобратИ'мых преобразо.ва телей электричеоких сигналов м огут
служ11ть идеальный - фильтр (отсекающий часть опектра сигнала), амплитудный
Ji71

детектор , ('выделяющий огибающую ка1нального сигнала, но теряющий информа­
цию о его фазе), амплиту1д:ный оrраН!ичитель, канал с аддитивным шу:мом и т . п .
Обратимым преобразователем я•вляется, например, идеальный модулятор­
(детект.ируя иод-улир .о,ва·нное колебание, м-ожно выделить мод.улирующую фу~tк ­
цию), а та~кже любая J:Dинейная минимально-фазовая цепь и нелинейная цель, в
которой сущест.вует одн-ознаЧJное соответствие между выходом и в,ходом.
В силу наличия .разл-ич,ного рода помех .необ,рат11мые !Преобра­
з ования неиз,бежны в любой реаль.ной линии связи. Необрати-мыми
мо1гут -быть не:кюторые ,п:р,еобразо'Бания ,сигналов ,в лр·иемном уст-
, ройстве, .на[Iример детектирование, а ·иногда ,и декод,ирова,н.ие (п,ри
к одах -с избыточносп,ю). Поэтому потери и1нфо,рма,ции могут иметь
место ·и ;в само.м приемном устройстве (в решающей схеме). Для
их ум,еньшен.ия иногда .цел1есообразно уменьшить :количество необ­
ратимых преоб.разовюrий в приемном устрой,ст.ве, не прибегая к
раздель.ному детектированию и деюодИiрова1нию, а непосредст~ен ­
но 1преобра·зуя ПО!ступающий на ~вход приемника ,сигнал z(t) в ,оо ·
общение ак. Та:к.ие методы приема ( см. ,гл . 9) получили название
«прием в целом» (в отличие от «поэлеме.нтно1го [Iр.ие.ма») .. 1
Потери -информации о сиг,нале при ею ,пр .еобразова~н-ии не в-сег­
да влекут за собой :пот-~рю -исходной и.нформа,ц,ии о 1переда1Заемом
сообщении. Кроме полезной информации о передаваемом ,сообще­
нии, .си-г.нал .может нести и другую .информацию, п1р.ивне1оенную об­
ратимым преобразованием (на·пример, ,расширение полосы ча·стот
прот:ив м•инимально необход,и,мой .при модуляции) . Может оказать­
ся, как это, например, имеет ме.сто при детекtировании неиска­
женного .помехой :канального сиг,нала s(t), чт-о в,следст'Бие очеред ­
ного необратимо.го преобразо:ва,ния теряет,ся им-енно эта при:вн-е,сен­
ная в л;ро.цессе модуляции информация. Однако, очевидно, в.и при
ка.ком п1реобразо1вании, обратимом или необратимом, полезная .ин ­
формация не может ,возраста.
Контрольные вопросы
1. Как можно численно определ,ить неопределенность, имеющуюся на ,выходе
.дИlскретн-ого канала после приема оимвола Ь; (j= 1,. 2, 3, ..., т') относительно
символа bi1(i= 1, 2, 3, ..., т), или потерю •информации пр-и передаче -симво-
ла Ь;, если принят символ Ь;?
•
2. Kiiiк о-пред·еляе11с-я ненадежность .д•иоюретиого канала с шумами Н1 (В/В') и
,ка ковы св ой,с11ва эт,ой хар-актерtистики?
3. Как определяется - сред,нее количество ,информации (на один сИ1м1юл) , пере­
данной по д.и-с;кретлому каналу с шумами?
4. Как следует понимать характеристику Н(В'/В) (энтропию шума в дискретном
кан·але)?
5. Какие соотношения следуют из теоремы об асимптотической ра1в:новероятно-.
сти достаточно длинных т,ишrчных цепочек для стацианар.ных каналов с шу­
мами?
6. Что ,понимают под скоростью 1передач1и и,нфор,мации по каналу с шумам,н?
7. Как оп,ред-еляет,ся ско")Jо.сть передач.и информации по д-искретному двоичному
си,мметричному каналу со стиранием 1и без памят,и при устремлении вероят­
нос11и ошибочного переJсода к нулю?
8. Какие соотношения для кол,ичест-ва и скорости передач-и информации имеют
место при необр атимых и обрат,имых преобразованиях ,сообщений и сигналов?
172

4.3. ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ ДИСКРЕТНОГО КАНАЛА
И ТЕОРЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО КОДИРОВАНИЯ
К. Шенноно.м введена · очень важная хара1ктеристи,ка, опр,еде­
ляющая предельные f!озможные скорости передачи ,информац ии rпо
к аналу ,с заданным,и ,свойст1ва.ми (заданными шумами) при некото­
рых огранич,ениях на а,ноамбль (:совоку;п1ность) входных сиг,нало1в.
Эта ха-рактеристика назва-на лропу1скной спdсобно-стью канала .и
обозначается буквой С.
Для диокрет.ного [,анала
C=max J' (В, В')= vктах[Н (В) - Н (В/В')]= vк шах [Н (В ') -Н (В'/В)],
- (4.52)
где ма-ксимум 1 ) берется по -всевозможным источ •1шкам входа В !При
заданно1м Vн и объеме алфавита •символов входа т .
Из определения .пропу,скн~ой ,е~поообности дискретного канала
следует, Ч'ГО
О,;;;;С<Vкlogт,
(4 .53)
причем граничное значение С = О имеет место при неза1в,исимых
входе и выход,е (сильные помехи в канале), а граничное з:на·че­
ние
С = vкlogm
- (4.54)
и1меет место, если пом ех -в канале нет ,[Н(В/В')=О)] и если учееrь,
что при заданном т H(B)max=Iog· т.
В качестве прим-ера определ.и,м 1пропус.кную способность оим метричн ого ка­
нала без - п амяти и стираний, для которого условные .вероятности перехода
1 1-р,
Р(Ь~/Ь;) = _Р_ ,
т-1
j=i,
j=I=i'
(4 .55)
(4. 56)
При ад·д,и11ивно,м шуме, и опользуя (4.44) и (4.45), получаем для прсхпускной
способности раюсматрН1Ваемого канала
С=Vктах[Н(В') +(1 - p)_log(l -p)+Р loglтр 1],
(4. 57)
где ма1юимум следует брать по всевозможным ,ист-очникам входа.
Он дост.игае11ся, когда оимволы на входе bi выбираю11ся независимо и с равны ­
ми верО,jТНОСТЯМ'И
!
тогда и символы на выходе Ь; в канале без · пам1:1ти не­
т
т
зависимы и имеют ра,вные вероятности -;;; , ибо Р, (Ь;) = ~ P(bi)P(b;/b;)=
1=1
1) Строго говоря, про.пускную способность следует определить ка,к наимень­
шую верхнюю гранип,у от J' (В, В') по всевозr,южным ,источн.икам вх-ода. Это
связашо с т-ем·, что чи,сл10 источников входа с заданны,м~и ограничениями может
быть бесконечно большим и ,соответствующее им множество значений скорости
передаваемой инфор-мац'Ии может не иметь ма-ксим-ального з•начения.
, 17.3

т
1~
,
1
=-
Р(Ь-/Ь;)= -.
m
/
m
При этом H(B')max=l•og т и окончатель,но получаем
1=1
С=Vк[logт+(l- р)log(1- р)+рlogтр I].
(4.58)
При р=О (канал без шумов) из {4.58) следует {4 .57).
Для двоичн-ого симметричного канала (т=2) пропуокная спо­
собность ,в д~во.ичных единицах в секу,нду
С= vк[ 1+(1-р) log2 (1-р) +р log р].
(4.59)
с
Заrвисимость
ка.к функции р согласно ( 4.59) показана ;на
Vk
рис. 4.2.
Пр,и р= 1⁄2 пропускная опособность двоично•го ,канала С=О, по-
с.кольку 1при такой вероятности ошибки .последовательность ·выход -
;;,
,ных ДВОИ'ЧIНЫХ ·СИМ'ВОЛ<ОВ можно rпo-
r~
луч,ИТЬ, iOOВICeM \Не Переда1ВаЯ ЮИ'ПНа-
ОЛ
лы 1по каналу, а 1выб:ирая их на1у,гад
'
(1на1Пр1имер, по ,результатам броса'Ния
0,4
0,3
0,2
{J,1
/
о '---'- -'- -' --
......<
'
'
--
0,1 O,Z О.З О.ч 0,5 О.В !J,7 0.fJ 0,9 i,0-P
,м,он•еты), т. е. п-рrи p=l/2 последо­
вателыност:и 1Выхода и входа 1Неза­
виси,мы. То, Ч"Ю про•пускная -спосо6-
'Нооть пр·и р = 1 ,в дJВОИЧНО1М канале
такая же, ка1к лр:и р = О (1ка1нал без
шумов), следует из того, что •п1р;и
р = 1 д,оста'ГОЧIНО IВrCe •ВЫХО1)]JНЫе сшм -
. НО{!Ы
за,менить на об.ра·11ные (О на 1
1И 1 на О), чтабьг пра,вилыно 1вос,ста­
н-о·вить входной оигнал.
Рас. 4.2 . За,виси,мость нормиро-
,С :понят.и•ем пр,01пу,скной способ-
ванной пропуюкной спо:ообно- 1в:rости ,ка1нала непо,сред1огвенно ,свя-
•сти д,воичного снмме'I'р,ич н ог,о за1на ,од1на :из фу~нда - менталЬI:IЫХ 1'ero-
rка·нала без памяти от вероят- ф
насти оши•бочного прнема снм - ,рем те,01р·ии и1н, ормации, из1веrс11ная
вола
как ооновшая теорема К. Ше1нно·на
1по оптимальн·ому кодиро·ва:нию :[61].
Пр1и1менительно к д~иск1ре'Гно1му к,аrналу ее l\юж1но фор~мул1и.р,ова1ть
\
так: если 'Производигелыность .И'СТО'Ч<НИ'Ка сообще1н,ий Н'(А) меньше
пр,стrу;ск'Ной слrоооб~ности ,обrслуж,ивающето е-г,о ка1нала С:
Н' (А)< С,
(4.60)
\ то существует спо,соб оптимального юод.ирования (пр,еобразование
сообщения в сигнал .на .передаче) ,и декодир,о-ва,ния (1преобразова­
\ ние ,сигнала в сообщение на приеме), ;при котором вероят.нопь
\ошwбюи или ненадежность ка:на,1а Н(А/А') мткет быть ок-оль угод­
но мала. Есл,и
)
Н' (А)> С.
1114
(4.61)

то так.их опособов не сущест·вует, т. е. ни при 1,аком 11юднро,ва.нии не
удается обеспечить скrаль у год:но малую вероят.ностъ ошибки
(сколь угодно 1малую 1ненадежность Н(А/А')).
Та1ким образом, оогла,сно теореме К. Шеннона по оптимальному
код~ирова1нию конечная величина С - эт•о црrедельное з1начение без­
ошибоч1ной •скорости 1пере,да'-!'И информации по -ка ,налу. Эта теоре .
ма для канала с шумами, к сожалению, неконструктивна, т . е. она
не указывает инженерных путей нахождения оптимально го кода.
Тем не менее значение теоремы трудно переоценить, ибо , в сущно ­
сп1, она означала коренную Jюм,ку во:црений на :принципиальные
возможност.и техники сЕязи. Ведь до К. Шеннона считалось , что в
канале ,с задаtнными шумами обеспечить -сколь угодно малую веро­
ят,но.сть ошибки ·можно только •при стремлении скорости передач:и
информац ю1 .к нулю . Та.ков, скажем, путь повышения верно·сти овя­
зи за счет •повторения ·си,м,волов в канале без па.мяти.
Напр.им ер, оообщения дноич.ного источника а 1 =0 и az= 1 мож­
но передать д,вумя код.овым,и комбинациями, содержащими соо·т­
ветстнеюю п еди1ниц ил.и п .нулей:
Ь1= 000...О; Ь2= 111 ...1,
(4.621
п
п
Если .в месте :приема репtстрировать 1 или О rпо большинству
этих знаков в кодовой комбинации (мажоритар ,ное декодирова­
ние), то я,сно, что ошибка ,произойдет при условии, если в кодовой
комбинации неверно будет принято п /2 или более 1символо,в . Из
теор·ии вероятност:и известно, что 1согласно за.кону больших ч,исел
в~роятность у,клО1нения числа ошибок ,Оп в кодовой комбинации
д лины п от их математ.ического ожидания пр (р - вероятность
ошибочного ,приема элементарно;го символа) ,стремится к нул ю при
П-+ оо:
(4.63)
при -околь угодно малом .полож·и11елыюм значении •е .
Поэтому, если р< 1⁄2, мате:\1атическое -ожидание числа ошибок
пр<п/2 и код (4.62) о.беспечит.пр-и n-+oo безошибочный прием,о.д­
нако одноврем,ен1но пр.и э11ом и ,скорость .передач.и информации по
каналу с11рем,ится · к нулю. Согласно теореме К. Шеи.нона существу­
ют коды, которые, в отличие от кощ1 (4.62), обеспечивают околь
угодно малую вероятность ошибки при конечной окорости переда­
чи инфо,рмац,ии. Подчеркнем, что такие коды характеризуютоя ,весь ~
ма незначителыной избьпочностью •Р1,. В ,самом деле, избыточность
кода основания т (в11орич.но·г~о алфавита) определяет.ся фор:мулой
Рк= 1- Н(В)
=l- Н(В) = l- Н'(В)
Н (В)тах
log т
Vкlogт '
где Н(В) - энтропия код:ового ·символа; Н'(В)=vкН(В); L'к-ЧИ­
слrа та!l<ИХ сим1волов в 1 с.
175

ПО'скольку в кодирующем устройстве должны отсутс11вовать по ­
т,ери кнформаци11 ,
Н'(В)=Н'(А)
(4.64)
ил.и
п=Н(A)JH(В),
(4 ;65)
Где n= Vн/Vи - ореднее Ч'ИСЛО СИМВОЛОВ КО.Да, !ПрИХОДЯЩееся на
од ин зна 'к и,сrочника.
С учетом (4 .64) и (4.65) запишем коэффициент избыточностн
кода.так:
Рк= 1- Н'(А)
=
1- Н(А)
tlк log т
пlogт
(4.66)
Согласно теор.еме К. Шеннона лишь при Н (А)< С ,оущест1в ует
опт:ималь.ный опо•соб кодирования (оптимальный код). Но это оз­
нача ет, что и з быточ.ность та,кого кода не меньше нелич-ины
Ркmin = 1
С +е,
(4.67)
Vк !ogm
где е - околь угодно мс1лая положите,'Iьная величина.
При наличи:и шумов в канале всегда С< Vн log т, .следо,ватель ­
но, ми:н:и:малыная избыточность отлична от нуля. Однако · при не
очень ,силыных :помехах 'В ·канале о.на .незначительна.
_ Для примера ра,осмотрим двоич.ный (т = 2) симмет;ричnый ка­
нал . без памяти, для которого C = v,;[1+plogp+(1-p) log(l - p )].
При таком канале ,МИН'имально необходимая из-бнгочно-сть, опти­
малыного кода
Ркmin = -р logp-(1-p)log (1 -р) +8.
(4.68)
Из этО'го результата 1в:идно, что избыточность оптимально1го 1ю ­
д:а 1ра1стет с увеличением вероятности ош116очно.го приема ,с;имвола
р, меняясь .в .пределах от ipнmin = O (ка1нал без шумо·в, р=О) до
Pкmin = l (об,рыв овязи, р = 1⁄2) .
При до1статочно малых вероятностях р4:_ 1 избьп.очно·сть втор.ич­
ного алфа1нита при О1птималь"Ном ,кодировани:и p1, min<< 1, в то вре­
мя :как в 111ер;вичном алфавите (источнт<:е) избьгючность :могла -быть
весьма сущес11венна. Таким образом, оптимальное 1кодиро1ва.ние по
К. Шеннону о,беспечивает в каналах с умеренными помехами ,сколь
у,годно большую верность цри ,nоrчти полном устранении пер,вона ­
чаль.н:ой и.збыточност,и источ.ниха .
Заметим, что у,словие (4.60) можно заrшсать та'I<:
VиН(А)<VктахJ(В,В').
Поэтому можно дать и другую формулировку ,основной теоре­
мы К . Шеннона: если среднее чи,сло символов ка.нала 1на о,rщн си.м-
вол .ис1'очника п больше энтрО!пии ,исrочника, деленной на ма:кои-
176

мальное значение среднего количества информации ,на символ, пе­
·редаваемый по ;К1аналу·:
п=~> Н(А)
Vи
тах J (В, В')
(4.69)
то сущест:вует способ ,кодиро,вания и декодирования, обеопечи1Ваю­
щий ск:оль угод.но •ма лую вероят,ность ошибки (•ненадежность ка­
нала); если же
Н(А)
n<------
max J (В, В')
(4.70)
такого опо·соба нет. К:ак следует .из (4.69), при двоичном ,симмет­
рич1Ном канале без памят:и минимальное значе ние
Н (А)[дв. ед.)
nmin = -=-
1...,.
+-p
--=-
lo_g_2 P- +-- -- -, -- -,(l~-
-
p..,..
) 7Jo_g_2.,.,(l,---
_
p...,....) +8'
·где в -· сколь у.годно малая положительная ·велич 1и.на.
Перейдем к ,доказательству осно-вной теоремы ко:цирования К Шеннон'а для
каналов с шумами ,методом -случайного кодироваНJия достаточно длинных после­
довательно.стей символов.
Пусть при неюотором ансамбле входных сигналов д·искретного канала Во
обеопечивается п.ропусюная спо·собность юанала
J' (Во, В') =Н' (В0)- Н'(R0/B') =С.
В соответствии с . теаремой об асимптотической рав·но·вер.оятнос11и (.которой
будем пользовать·ся без специал ьных оговоро•к и далее в ходе доказательства)
число типичных последовательностей входных сигналов достаточн о большой
длительности Т (содержащих достаточно большое число С'f1м,волов п) равно:
Nтии(Во) =2ТН'(Во) •
Пусть лередаче подлежат сообщения, выдаваемые д1искретным источником,
производительность хоторого меньше пропускной ·способности канала:
Н'(А)<С =Н'(Во)-Н'(Во/В'). Поскольку .ненадежность Н'(Во/В')-;;з,,О, то
Н' (А) < Н' (Во).
(4. 71)
Чи •сло типичных последова тельнастей источника достаточно большой дли ­
тельнос'!lИ Т равно: Nтиu,(А)=2ТН' (А>.
Вследствие условия (4.71) ч~сло тишичных входных последавателыюстей
к анала - значительно превосходит число типичных последав,ателыностей и·сточника:
[(4. 72)
Будем в процессе код.и рова,ния каждой 11ипичной последовательности источника
ставить в соот.век-гвие oд,i-ry из типичных •последовательностей канальных сигна­
лов Во ( ,рис. 4.3). Нети,пичные же последовательности сообщений длительности Т
, (если источник все же выдаст кахую ,нибудь из них) передавать не будем вовсе,
соглашаясь с тем, 11по каждая такая последовательность б удет принята оши-
бочно.
_
Выполним указа нное кодирование ( сопоставление последовательностей ис­
точника и канала) всем•и возможными -опособа ми и у,сре,дним qастоту ошибок
по этому большому классу [вследств-ие соотношения (4.72)] возможных систем
кодироваН,НЯ.
177

Очеоодно, что число ,воз-можных кодов М равно числу размещений из
N тил (Во) элементов по N тпп (А). Каждому из них соотве'I'ств,ует своя вероя т ­
ность ошибюи Рн- Средняя по ,всем э11им способаы вероятность ошиб ки
м
-
1\1
Рош=М ~Рк
(4.73 )
k=I
Средняя вероятность ошибочного пр•нема типичной последоватеJ1ьн ости и сточ­
ника может- быть получена в предположен.и н случайного ,выбора тип и чной код о ­
вой последовательности длительности Т для передачи типичной по следователь.­
.ности сообщеН1ий той же дли тельности.
Tt1nt1'11tыe
пocлei!o§ome11/Jlfocm1L
liCТП01/lfillrO
Nтнп(д =zтн'(А)
1
20-----~
' Ти.тн11ые 11ослеfJ080-
те11мости. /ШНОЛЬl!ЫХ
си.г1tоло!J
Nт11п(IJ. )=2тнrв,)
~}
о}
J
о2
о 1Jозмож11ые !Jхо!Jные ~
Ci.Lll!OЛ/JI fJля !JO!tltO-
~
i 6N,м(D,juj,2rнm.;i~l
о
о
Типичные dыхо!J-
11ые после!Jооо -
телмости
NТ/1П(в?=2тнr61
} N,,,(ofo,) •2"16J',)
!J0Jмож11ые 8ыхо!Jнщ
0 с11г11олы ilлн !JO!lttO-
eo 8хо!J11ого ,
ПN,,,(д)
Ри:с. 4.3 . Иллюс-тра,ц.ия идеи случайного ,кодирован,ия типич ,ных
послед()вательно.стей и,сточника и воз~южных переходов типич­
ных .входных лоследо,ватель•ностей .в ,канале -с шумами
.Вероя1шость того, что ,какая - то типичная ;последовательность ,канальных
налов иопольз,ована ,при ко:дировании, в силу равновероя111юст,и вы-бора
СИГ ·
Nтип (.4)
Ртип = Л'тип (Во) « l.
(4.74)
Пройдя через !Канал, каждая из типичных входных ,последовательностей
может (,всле:д:ствие воздейств-ия помех) п,реобр,азоваться ,в N тип (В'/Во)=
= 2ТН'(В' /В,) типичных последовательностей · (рис. 4.3) выхода (образова-н,ием
178

маловероятных не11и1пич,ных последователыностей выхода бу,дем пренебрегать,
что не скажется на окончательной оценке Рош).
Р азо бье м множество типичных выходных последователыностей длительностью
TN тип (В') на N тl!n (А) непересекающихся подмножест,в (рис. 4.3) и установим
сл едующее пра1вило дек,одирования: если принятая последовательность пр.инад ­
л ежит подмн ожес-гву с номером i ,(i=l, 2, 3, ..., Nтиn(А)), то rnриrшмается ре­
шен .ие о том, что переда ,на тИ1пичная последовательность источн1Ика с тем же
номером. Такое раз·биение будем именовать в дальнейшем ,решающей схемой.
По сколь, ку в принципе при передаче последавательносrn с номером i на вы­
ход е канала может поя1виться последователыность, пр 1~надлежащая под-множе­
ству с н,омером j =I= i, то не исключены ошибки.
Да н ная выходная последов-ательность длительностью Т могла быть образо­
в а,на N т"n( Во/В')= 2ТН'(Во/В') типичны мн входными ,последовательностями. Ес­
л11 среди этой совокупности т11,пичных последовательностей пер~даваемых сиг ­
налов с одерж"пся только одна ,из ч.исла использованных пр-и кодиро ,ва~нии, то,
очев,идно, она 11 переда,валась и, следавательно, соо11ветствующая ей последо­
вательность соо бщений будет пр1иня·та верно.
Ошибочный прием типичной по,следователь,ности переда,ваемых сообщений
возможен лишь, если среди Nтиn(Во/В') последователыноrстей сигналов имею-гся
две ил и более, иепользо.ва1нные при ко:д,ирова~нии.
Средняя ,вероятность правильного приема 11иш1чной последовательности
Рправ ,сообщений равна условной вероятности того, что среди Nтип(Во/В') ,вход":
ных последовательностей канала N т,ш ( Во/В' )-1 не июпользова:ны при !Кодиро­
вании, а одна использо:в, а 1на.
Вероятность того, что некотор .ая типичная последователыность сигналов не
и спользована при кодН1ровании:
Nтип (А)
1-Ртип= 1- Nтип(Во) ,
(4.75)
а
-
(
Nтип (А) ) Nтип (Во/В') -1
рр-1-
пав-
Nтип (Во)
'
посколыку вероятно·сть т,ого, что 01дин 1из ,канальных ои гнал,оrв выбран при коди­
рованm1 :данного сообщения, равна 1.
Та!К как Nтиn(Во/В')~ 1, то можно написать
-
(
Nтип (А) ) Nтнп (Во/В') ·
Рправ = l - Nтнп (Во)
(4. 76)
Учюывая условия (4.74) и разлагая (4.76) по формуле бинома Ньютона,
по .лучаем
-
.
Nтнп (А)
,
Рправ ~ 1 - Nтнп (Во) Nтнп (Во/В) ,,
(4. 77)
Средняя вероятность ошибочного nриема типичной последовательности при
достаточно больших Т определится формулой
-
_
l-
,...._ , 2-r[H'(B1 }-H '(B1 /B') -H '(A)]_ 2-Т[С-Н'(А)] (4.78)
Рош - -Рпrав ,...._ ,
-
·
Суммар ,ная средняя ,вероя11ность ошибки (,с учетом возможнос-ги поя:вления
и нетип и ч.ных последовательностей ,с оуммарной .вероя·тностью б)
(4. 79)
Поскольку по условию С-Н' (А)> О, то, как следует из (4.78) и (4.79),
с ростом Т р-+-0 (так :ка·к при этом к нулю стрем,ится как Pom, так и 6 .в соот­
ветствии с теоремой •Об асимптотичеокой ,ра,вновероя11ности). Следовательно, при
любом эаданном е>О можно выбрать столь большое Т, что будем .иметь р<е.
11719

Поскольrку сред,и всевозможного числа М кодов существует хотя бы од,ин ,
у которого вероятность ошибк,и не ,превышает среднего значения Рот, то перва fl
часть тео·ре.мы К. ШеН1нона доказана.
Кодирование сообщений длительносТ1и Т способом, изложенным
пр.и доказателыс11ве теор.емы К. Ше1ннона . может начаться лишь ·юг ­
да, ,когда сообщение целиком 1поступило .на коди,рующее у,строй,ст­
во. Декодирование же ,может начаться тогда, ,когда в,ся .ПР'инятая
кодовая по,следовательность поступила на декодирующее устройст­
во. Поэтому задерж·ка оообщения во времен.и между 1J1унктами свя­
зи Тзад=2Т + Т0, где Т0 - ,время, ·затрачиваемое на кодирование и
д,е:коди:ро,вание и прохождение сигнала по каналу. При боль шом
Т мож1но ,прлнять Тзад=2Т.
Теперь ·подчеркнем 1важный результат, J-IеrюсредС'гвенно следую­
щий ,из ф-лы (4.78): верность ·связи тем выше (меньше вероятность
ошибки), чем длиннее .блок кодированной ·по.следов а тельности Т
(чем, следовательно, и больше задержка при приеме информации)
и чем ,менее эффектив1но и,спользуется пропускная <яюсобность ка­
нала 1[чем больше разность С-Н'(А), определяющая «запас про­
пускной способности» канала]. Итак, существует возможность об­
мена между вер.ностью, зад~ржкой 11 эффектив.ностъю ,системы, что
можно проследить не толь.ко в ,системах с оп11имальной ,обра•боткой
сиг.нала, но ·и ,в реальных 1еистемах связи. Следует та.кже nодчер:к­
нуть, ч ·ю •слож·ность ,кодирования и декодирования (га·ба,риты,
стоимость аппаратуры, обе спечен и е нео.бходимой ус·юйrчивости
и т. rп . ) существенно возрастают· с ростом Т (в част,ност:и, требует­
ся у,сложнение блоков памяти на :передаrче и приеме) . Поэ11ому
практичесю;I ч а ще в-сего (во вся·ком случа,е на 1сегодня) предпочи­
тают иметь у.меренные э.начения Т (засдержек, котюрые, к,стати, :не
во ,всех случаях авяз~и мотут быть произ·вольным,и) и добиваться
увеличения вер1-юсти ·за счет менее полног,о использования 1Прапу,ок­
ной опосюбности канала .
Вторая ча·сть осно:вной тео·ремы кодирования К. Шеннона доказывается
очень просто. На самом деле, предmол,ожим, что .можно эаrкодировать некоторый
ис·ючник с производ1ительностью Н'(А)=С+2е (е>О) так, чтобы получить не­
надежность Н',(А/А') ~ е. Тогда оказывае'Гlся, что ,<жарооть передачи информации
по ,си.стеме ·в целом
J' (А, А')= Н' (А) - Н' (А/А')~ С+ е,
(4.80)
т . е. больше С, что противоречит определению пропуокной способности канала.
Противоречия не бу~дет, если допустить, что при Н'{А)> С сообщение пере,дает­
ся с некоторой отл,и,чн,ой от :нуля не1Надеж,1юстью [Н' (А/А')> е].
Основная теор-ема кодирования К Шеннона для каналов •с шу­
мами, к ·сожалению, не у,казывает ;путь отбора ко,н:к•ре1,ного :кода,
обеопечивающего ,предельное соглаюование ·сиnнала с канало.м (тео­
р,ия здесь неконстру,ктивна). Однако можно ,показать, что ,большая
часть .из случайно выбранных кодов ПР'И кодирова,ни:и достаточ.но
;:щинными блоками (цепочек сообщений большой длительностью Т)
обеспечивает вероятность ошибки, ненамного превышающую сред-
ню

нее значениерош, полученное выше ,[см . (4.78)] с позиций случайно ­
го кодирования . Действительно, пусть при случайном кодировании,
в нашем распоряжении имеется М различных кодов, обеспечиваю­
щих вероятность ошибки Pk(k=il, 2, 3, ... , М),
причем Рот=
м
= ~ ~ р1;. . • Обозначим через ,v количество значений Рk~.'Л,Рош •
k=l
Очевидно, что при данном значении РошV принимает наибольшее
значение (vmax), если все v чисел будут точно равны 'Ар 0ш, а ос­
тальные M-v - равны нулю .
Таким об.разом,
-
ЛРошVmax I О(М - Vmax)
Рош= М
-,-
М
'
о'tку.да доля кодов ·С в~роя·11ностью ошиб.к·и Pk = ,tvPoш •
VmaxfM = lj'A.
(4.81)'
Но э110 означает, что ;при случайном выборе кода вероятность
Р [Pk "> А Рош1 ,;;:;,_ VmaxfМ = 1/л.,
(4.82)
т. е. она у.бывает с рос-гом 'А.
Так, доля 11юдов с -вероятностью оrйrибки Pk~ 100Рош со.ста,вляет
0,01, доля кодов с верояТНО'СТЬЮ ошибки Рk~ · юоо Рош составляет
0,001 и т. д. Иными 1сло1вами, любой случай.но вы6ра1нный -код до­
статочно большой длины близок 1к оптимальному.
Однаrко случайное код,ирование дос11аточно длинными блоками
нереализуемо пра~ктическш, ибо ,в этом ,случае, ,ка1к -следует .из до­
I\Jазат,ельств,а тео•ремы К. Шеннона, число элементО!В ~кодера и .деко­
дера (црежде всего, у,стройство .памяти для хра::1ения ·всевозмож­
ных типичных последовательностей) увел:ичивается [10 экrс;rюненте с
ростом дл,ины кода п (или длитель:rюсти 1кодо1вой последователь.но-
с11и Т).
.
Инженерная iПрактика сrч:итает .реализуемыми (конструктивны­
м1и) ,опоообы ,1юди·ро.вания и декодирования, rПри .которых -слож ­
ность ,кодера ·и декодера ра,стет линейно (илrи ненамноlI'о быстрее)
с ,ростом длины ,кода :[52].
Обнадеживающие результаты по ко:нструrктивным методам 1ю­
дирования, •близ:ким к опти,малыным, ~получены у линейf!ЫХ кор,рек­
тирующих кодов достаточно большой длины п ( см. rл. 5).
В чем о·бъяснен.ие того факта, что, ,кюдируя [Iротяженные после ­
довательности символов -кодовыми комбинациями .дост-аточной
длины п, можно обеспечить весьма малую вероятность ошибки?
С ростом дли'Ны блока п ра-стет :и ~шивероятнейшее число ошибок
блока пр, однако в1месте с тем .и кратность ошибок блока Рп •в,се
меньше уклоняется от пр (см. (4.63)], т. е. вероятность того , что
числ,ь ошибок Рп>пр ,стреми11ся к нулю.
Осущес11вляя п:р.и достаточно большом п ·исправления всех оши­
бок ~ратно.сти до пр (,см. ,гл . 5), :можно тем ~самым обесrпечить noч-
lst

,и безошибочный прием сообщений. Пр,и этом, в огл,ич~ие от кода
(4.62), оп11имальный код обеопечивает ,конечную скорость [!ер,едачи
и,нформации, [!Оскольку ,с ростом п растет и количес'Гво инфор.ма­
ции в цепочке, а избыточ;ность 'КО.да, ка·к мы :rюказал,и ,выше, неве-
-JJ ика в каналах с умеренными шумами.
Оста,новимся теперь ·на особенно-стях опт.и.маль.ного кодирования
по К. Шен.нону •приме.н.ительно к дискр,етным каналам без шумов.
Пропуокная спо,собность та.кого канала С = vк log т, а основную
теорему К. Шеннона для этого случая можно ·С уче11ом (4.69) фо,р­
мул.ировать та :rс
еслиV8Н(А)<vкlogmилип=~>Н(А),
(4.83)
Vи
logm .
т,о существует споюоб кодирования и декодирования сообщений ис­
точника, обеспеч.и•вающий околь угодно высокую надежность ото­
ждест,влен·ия •пр.инятых кодовых комбинаций с дейст.вительно пер,е­
дан:ным~и.
Если же
V8Н(А)>Vкlogт ИЛИ п<Н(А) ,
logm
такого способа ·нет.
(4.84)
Можно заметить, чrо при оптимальном 1кодир0~вании ~ канале
без шумов в соо11ве11ствии с (4.67) минимально необходимая избы­
точ.но.сть кода Рк min =.:е, т. е . ,к,9,дттрова ,ние -сводится, по существу, к
полному устранению избьггочности Ри перв-ич.ного ал.фа•в1ита, обус­
ловленной статист,ичеокими овязями символов (.корреляци,ей) или
нера:вными вероятностям,и их выбора. Такое кощирование называют
эффективным.
.
Для до,казательства теоре1viы дО1Пустим, что все 11ипичные последовательно ­
· с ти .ис т.очника достаточно большой длительности Т, число которых N тип (А) =
=2 Тvи Н (А) кодирую11ся щво.ичными кодо.вым,и комбинациями Ь- той же дли­
тельно с ти и сод~ржащими, ,следовательно, Тvи еим,волов. Возможное число та-
.
Tv
ю1х комбинации N (В)= 2 к. В соответствии с усло&ием (4.83) при т = 2 имеем
N (В)
2 Т [ е+vиН(А)J
'и" =vиН(А)+е,ното•гда
А
А = 2т8 .Легкопоказ·атьчтопри
Nтип( )
2тvиН ( )
1
в>
Т ln 2Nтип (А)
N(B)
,, Nтип (А)
'ИЛИ же N,(В)=Nтип(А)+1.
+
Nтип (А)
(1)2
Nтип (А)
21
+...
Такнм образом, при выполнении условия (4.83) ч•исло разли1Юных -кодоrвых
JJоследовасгельностей, по крайней мере, на 1 больше чпе.1а ти,пичных последов а ­
телыностей истDчника. Эту последнюю кодовую комбинац ию сопоставим всем
н етипичным последовательностя,м источ:ншка сообщений, заранее предоnределяя
их ошибоч,ный пр,ием. Пас-коль.ку, однако, оу.ммарная вероятность появления
нетипичных п,ослед.овательностей источника 6 стремится к нулю пр.и стремлении
длины с-ообщения к бесконеЧ1ности, то теорему можнQ считать д,оказ-анной.
182

,
Описанный ~способ ко,zщ,рования предполагает задержку соо·б-­
щения 1на В'ремя не меньше 2Т. Однако почти полное устранение
избыточности истючника (эффекти.вное илш э.кономное кодирование
в .каналах без шумов) пра1ктичеоки можно обеопечить, не толыко
кодируя длинные типичные цепочки •оообщений равномерным ко­
дом, ,как описано выше, а в д.ва эта;па.
На 1перво~м этапе укрупн яется перв:ич~ный алфав,ит - последо-­
вательность (блок) из L бу,юв пер.в;ичного алфа·вита объединяют в
одну «бу,кву» (сим,вол) .в11оричного алфавита. Если L достаточно
в,ел,и:ко, можно ,11;остичь зам-етного ослабления (а может быть , прак­
тичеоки и у,странения) ,статистическ,их овязей между послед:ова­
тельно выби1раемыми символами у~крупненно'го алфавита.
У1крупнение алфавита, однако, само по ,себе ·не уменьшает из­
быточность источника. На самом деле, если объем первмчно.го ал­
фаrвита К, ·110 объем укилпненного алфавита Ку = KL. бреднее коли­
чест,во информац.ии на элемент у~крупненного алфавита H-y=LH
(Н -энтропия на один элемент перв·ичного алфавита). Но тогда
избыточность у,крупненного алфавита
Н
LH
Н
Ру=1---у-= 1-
L =1---=р
(4.85)\
(Ну тгх
log(К )
log К
и
равна ~избыточности пер,внчного алфавита. Поскольку символы у,к­
рупненного алфа·вита слабо коррелированы (при большом L). 'Ю
оч1евидно, вся его избыточно-сть обусловлена неоди~на;юовыми iВероят­
но'стями выбо1ра различных СИМ:ВОЛОВ.
Для у.ст,р.анения избыточност·и, обусловленной неравными веро­
ятностям·и выбора символов, на вто,ром эта,пе осущест1вляе11ся ста-
11истичеокое ко,11;ирование. Оно иопольз ует нерав~но.мерное кодиро1ва­
ние, выбираемое та1к, чтобы более ве.роятные символы .передава­
л,ись более короткими кодовыми 1комбина,циями, а менее вероят­
ные - более дл,инными. В итоге уменьшается ,средняя длина кодо­
в-ой 1комбинации и, в принципе, можно ,приближаться к цр,ед,елу ,
•определяемому из соотношения (4.83)
пт(п =
--
= --+в,
-
(Vк)
Н (А)
Vи m(n
logm
где в - сколь угодно малая положительная велич,ина .
Пример построения тако:rо кода будет раос.мотрен в парагра­
фе 5.3.
Контрольные вопросы
1. Что .пони.мают под пропу,с-кной .способностью канала .связи С?
2. В ,каких пределах может менятыся про,пуокная способность дисК'ре11ного ка­
н ала, на вход которо го пост упает Vи символов в секунду при основании,
,!<'Ода -m?
3. Какой фор,мул,ой опре:деляется п1ропускная способность двоичного симмет ­
ричног,о ка,нала без памят,и, при каком услов1ии пропускная опособность это­
го канала обращается 1В ~нуль?
4.. Как фор~мул,иру ется ·основная тео:рема кодwрования К Шеннон а для дис­
кретного канала с шу-мам,и?
183

5. Как определяется избыточность кода основания т (1втор1ичного алфа,вита)?
6. Как зависит м,инимальная ·избыточность ·оптимального кода от параметров
т,VкИС?
7. Че,м ·определяет,ся минимальное значение 11еличины п (среднее число сим­
волов канала на один символ источника) при оптимальном к-одировании?
8 . Как связаны ·при ,случайном ко,п:ировании достаточно длинных цепочек сред-
няя вероятность ошибки Ро ш, длительность цепочк;и Т и .«запас пропускной
способнос11и ка,нала» С-Н'(А)? Как объяснить возможность обмена между
,верностью, зщдерЖ1Кой и эффективностью?
9. Как объя1снить тот факт, что передача достаточно ~длинных цепочек сооб­
щений в канале с шума.ми посре,п:с11вом код,овых ком-бинац-ий достаточной
длины п может обеспечить весьма малую ненадежность пр.и конечной вели­
<гине скорости переда,чи инфор,мации?
10. Ка .к можно сформулировать основную теорему К. Шеннона для дискрет­
,ного канала без шумов?
J 1. К чему своди11ся эффективное кодирование сообще н ий в канале без шумов
-и как можно его реализовать?
4.4. ЭНТРОПИЯ НЕПРЕРЫВНОГО ИСТОЧНИКА
СООБЩЕНИЙ
Непрерыв,ные сообщения ,источника или ,соотве11ствующие им ои­
г.налы отличаются тем, ,что за конечное 1в,ремя Т О'НИ MOlryт прини­
мать бес1юнечное чи,сло ,возможных форм, т. е . .ансамбль та1ких
реализаций .бесконечен. Каrк следствие ,вероятность во·ЗН1И!{IНОвения
-отдельной 1реализа,ции бесконечно мала, а ее ,и;нфор.ма11ив:~юсть бес­
конечно вели,ка . Для объяснения этого результата ·ра-ссмотр,им ющно
сечение (один оточет) непрерывного сигнала X(t). Пу,сть возмож­
ные зна,чения ,сигнала в этом ,сечен,ии характер.изуют,ся плотностью
вероятности ,w1( х). ,Раздел,им обла,сть изменений Х .на ди.ск,рет:ные
уровни х; (i = 1, 2, 3 ...) с малым ,интерrвалом меж,ду ними Лх. Лх
мож1но назвать шагом ,ква.нтования (дискр,етизации) непрерывного
-оигнала по уровням (состояниям). Вероятность тюrо, чrо значение
Х лежит ,в ,пределах интервала Х;7х;+Лх приблизительно рав,на:
р;= •w1(х;) ,Лх. Положим 1в дальнейшем, что отдель:ные от-счеты ,сиrг­
нала (сообщения) неза:висимы, а их ра,спределение не за1Висит от
времени (1стационар~ный ,и,сточни.к -без памя11и). Тоrг,да можно в ,со­
ответствии с ф-лой (4 . 10) написать следующее выражение для эн­
тропии ,на один незаrвисимый отсчет -1ша1нто·ва:нноrо сигнала:
Ндх(Х) = -~w1 (xi)Лxlog[w1 (xt}Лx] =
(1)
= - Lw1(хдlog[w1(хд]Лх-}2w1(хдЛхlogЛх.
(1)
(i)
(4.86)
У-ст-ремив Лх-+0 дл_я перехода к энтропии :на од,кн отсчет неrп,ре-
""
рывноrо сигнала и учитывая, что f -w1(x)dx = 1, получ:им
-00
1.84

со
Н(Х)= -
5w1 (х} log [w1 (х)] dx- lim log Л х.
Лх-о
Лх-+О
-со
(4.87)'
Слагаемое
00
h(Х)=
-
Sw1 (х) log w1 (х} dx
(4.88}
-со
называют дифференциальной энт,ро~пией непрерывного :распределе­
ния (источника). Оно прИ1нимает ~конечное значение и :может ха ­
рактер!Изо~ать относит,ельную степень неопределенности различ ­
ных ,елучайных процессов (.распределений, 1источни11юв). Заме-rим ,.,
однако, что, :в отл,ич.ие от энтропии диюкре'tно·го распределения (ис-
11очника), h(x) может принимать как положитель·ные, нулевые, так
и о~р,и,цательные значения, а такж,е изменяться .в за ·в1Исимости от·
ма,сштаба переменнюй х [17].
Для дальнейшего заметим, что из в,севозможных ра,с:пределени й
неза1В:иси.мых оrточетоrв случайного процесса X(t) ,с заданной дис­
перс_ией а 21 ) на,ибольшее з1начение дифферендиалыной энтропи и
li(X) до.стигает,ся rпри но·рмальном ра,определении. На само.м деле ,
при 1про,из.вольном р.а,определеlН'ии w1(x) 1с дисперсией а2 и матема ­
тичес:ким ож,иданием т имеем
-оо
00
= h(X)-logу2па2- logе S(х- т)2w1(х) dx =
2а2
-
00
= h (X)-log ✓2 neu2 ,
(4.89},
е - осн·ование .нату;ральных логарифмов {зде,сь, ка,к и при выводе
00
(4.87), учтено условие норм1ировк,и f w1(x)dx = 1).
-со
Но оогласно ,нера!Венс11ву (4.18)
-оо
![(х- т)2]
)
00
ехр -
3⁄4 Jw1(x)
~-1dx=О.
w1(х) У2 п а2
-
00
и, слещо:вательно, из (4.89) ·имеем
h(X) 3⁄4 logy2nea2•
(4 .91),
1 ) Полагая непрерывные сигнала и шумы стационарными и эргодичными про ­
цесса .ми, мы ниже отождест,вляем диоперсию со средней мощностью флуктуаций .
185

Энак ра·венства в (4.91) достигает,ся лишь пр:и нормальном рас­
пределении, когда
ro1(х) = у~ехр[- (х-;а:)2]
(4.92)
За.метим, ч·ю диффере:нц,иальная энтропия не зависит от матема11и- ·
rческог,о ожrида,ния лр·сщесса.
Второе слагаемое в (4.87) стремит.ся к бесконечности незав.иси­
мо от .вероятностных ха·рактерист,ик источ1ника. Та·ким о,б:разом, ес­
ли •В канале нет помехи, а -оигнал в месте приема X'(t) ·регистри­
"J.1у,ет,ся а6солю11н·о точно, то количество передаваемой 'И'нформа,ц-и1и
на один отсчет J(X, Х') =l(X, Х) =Н(Х) , а также количесТIВо ин­
формации, передаваемой в единицу времени, J' (Х, Х') равно бес­
конечно:сти при непрерывном !Исюч·нике. Э-го естест,венно, ибо ·в этих
~сло'Виях .каждый отсчет соответс11вует одной ,из беоконечного чи­
. сла возможных г;радаций и может, на,при.мер, быть однозначно ,оо­
лоставлен сколь угодно длинному сообщению дискретного источ­
. ника.
Но ясно также, ч-го реальные ,каналы связи, а та•кже любые уст­
р,ой.ства регистра.ции (.в -гом числе и о,рганы восприятия челО1Века)
не в оостюян:ии абоолюп-ю точно передашать и регистрировать .не­
прерывные ,сиг.налы (сообщения). Практичеоки это и не нужно,
так 1, ак ·получатель сообщений (сигнала) :не различает «:бл,из1кие»
- сообщения (сигналы), приводящие к одина1ко.вым последствиям.
_
Ме:ру «близости» 1н,епрерывных сообщений (сигналов), к сожале~
нию, нелепю установ,ить, ибо она в знач.ительной степени завиоит
-от
ха.рактера сообщений и их назначений. Так, во м.ногих случаях
при передаче непрерывных телефо.нных сообщений мерой бл.изо-
- сти
сообще1ний может служ1ить их разборчивость неза,виоимо от •ос­
тальных хара.ктеристик -сообщений. (Этим можно объяснить широ­
кое ра,спространение для хара•ктерлстики ,качест•ва телефонной овя­
з1и различных артикуляционных иэ.мерений, выявляющих :процент
неразборчиво :принятых фаз, ело.в, слоrо!Б из общего числа пере­
данных). При высокохудожес·рвенных в,ещательных 1передачах та­
кая мера в большинстве ,случаев о~кажет•ся 1не ,пр·ие:мл·емой, 1ибо
здесь ,существенны и более тонкие характер.ист.иыи сообщения.
Пусть не:прерывный сигнал (сообщение) b(t) воспроизводится
, со сл учайной поFрешностью E(t) сигналом
Ь'(t) = Ь(t)+Е(t), Е(t) = Ь'(t)-b(t),
(4.93)
причем в дальнейшем везде считаем E(t) =0, т. е. регуляр1ная (си -
- сте ма11и ч · еск а , я) 1погреш1ность отсу11ству.ет . ~Процеос E(t) мо•ж•но наэ-
. вать
шумом воспроизведения (регистрации) непрерывного сигнала. 1
В тео:р.ии и практике чаще всего за меру «близости» (ра,сстоя­
ния) d(b, Ь') не.прерыв.ных сиг:нало,в b(t) и b'(t) приним.ают их
.
среднеквадратичное укло.неН1ие
d(Ь, Ь') = V(b'(t)-b(t))2 = Vр(t) •
(4.94)
, .186

Сигналы (,оообщения) b(t) и b'(t) считают достаточно «похожи ­
ми», если ра,остояние d(b, Ь') Re 111ревышает :некотюрой пороrrовой
величины duop определяемой чаще всего дисперсией (средней мощ ­
ностью) сигнала b(t), т. е. при выполнении условия
-
.
d(Ь,Ь')<dпор или Р(t)<dп.
(4.94а) •
Это так называемый сре,п,неквадратичеокий :критерий близост,и.
Полатая ,1ютельн.иковские отсчеты ,в процеосах B(t) ,и B'(t)
{сл,едовательно, и 'В процессе E(t) =B'(t)-B(t)] независимыми, 0111-
редели.м информацию ,в одном О'Гочете процесса В' ( t) относитель-
1ю процесса B(t) или взаимную информацию J(B, В'). Пусть сов­
местная плотность вероятности сечений 1проце,осов B(t) и B'(t)
ro2 (Ь, Ь') = ro1 (Ь) ro1 (b'Jb) = ro1 (Ь') ro1 (Ь/Ь'),
(4.95)•
где ro1(,b'/b)ro(b/b') - ,соо11ве11ст,вующие услов1Ные рас'П'ределения ;
ro1 (,Ь), ,щ (Ь) - одномерные безу,слов:ные :раопределения.
Разделим область ,изменения В и В' на д,и.скретные уровни Ь;,
bj (i, j = 1, 2, 3 ...) с малыми интерв,алами между ними ЛЬ, ,Л,Ь' .
Тогда ,rо1(Ь;)ЛЬ, w1(b; )ЛЬ' приблизительно определяют 'Вероятности
того, 'ЧТО в 1наход,ит:ся В пределах Ь;--';--Ь;+ ,ль, а В 1 В пределах .
Ь'1 + Ь1 +ЛЬ1• В то же время w2(b;, ь; )_ ЛЬЛ,Ь'
-
это .оо,вмес11ная
вероятность ·юго, что 9днов1ремен1Но Ь;~В~ ;Ь;+ЛЬ и ь; ~В'~
~bi +ЛЬ'.
По а,нал,о~гии ,с ф-лой (4.38) для количества ИIНформа,ции пере­
да,ваемой по дискретному каналу можно написать для среднего ,
1юличества инфО1рмации ,в одном ,неза'Висимом 011счете 111роцесса
B'(t) (зада,нного .с точностью ,ЛЬ') ·011нооитель'но процесса B(t) (за­
да,нното с точностью ЛЬ)
,
\1\1
,
( w2(Ьс, ь1)льль'}
J(B, В)ль, ль·= i.Ji.Jro2(b1, b1)1og
.
,
ЛЬЛЬ'. (4.96}'
(/) (l)
w1(Ьс)ЛЬw1(Ь1)ЛЬ'
Переходя в (4.96) к пределу при ЛЬ~О, ЛЬ'-.О, получаем для
среднего количества взаимной информации на один независимый
о'!'счет между лроцессам:и B'(t) и B(t)
о,
со
J (В, В')= JJro2 (Ь, Ь') log [· w2 (Ь, Ь') ] dbdb'.
W1 (Ь) W1 (Ь')
(4 .97}:
-се -оо
Воопользовавшись соотн,)шения,ми (4.95)., можно J(B, В') вы­
ра-з ,ить и:н,аче:
J (В, В')= h (B)-h (В/В') = h (B')-h (В'!В),
(4.98)
о,
где h(B) =- f w1(b )logro1(b )db - дифференциальная энтропия на
-о,
о,
отсчет !Процесса B(t); h(B') =- f ro1(b') Jog w1(b 1 )ab' - дифферен•-
-оо
l·RT

д иальная энтропия •на один отсчет процесса B'(t); h(B/B')=
00
00
,=- J Jw2 (b, b')Iog1[w1(b/b')]dbdb 1 -усл·овная дифференциальная
-оо-00
-
э нтроrпия от:носительно от.счета B(t) пр,и ·из.вестном b'(t); fi(B'/B) =
оо
.
ro
=-J Jw2 (b, b')Iog[w 1(b 1/b )]dbdb' -условная дифференциальная
-с:о-00
э нтр опи я относительно 011счета B 1 (t) при ,из1вест:ном b(t).
Следует подч,еркнуть, что СJiаг.аемые ~вида lim !оg -Лх (см. 4.87),
.
Лх-+О
-в ычи таясь, не влияют iНа .взаимную информацию J(B, В 1), что оп­
_ределяет .конеч~ное з·начение последней. Я,сно также, что J,(B, В') не
за,висит от ма1сшта,ба процессов B(t) и B'(t), если он одина;ков.
Подобно тому, как это делали для условных энтропий при дис­
к ретны х распределениях, можно показать, что условные диффе­
_рен циальн ые Э'Н"Dр·опии нелреры1в1ных ,распр-еделений: .
h(В/В') ,;;;;,h(B); h(B'!B) ,;;;;,h(B').
(4 .99)
Очев.ид но, ч110 количество .информации J(B, В 1) зав,исит нетоль-
1,0 о т стати ст.ики процесса B(t) :[опред еляющей h(B)], но и от опо­
соба его воспроизведения, опредеJiяющего условную плот.ность
(f) 1 (b /b 1) , а следователь.но, и h(B/B1). Эпсилон-энтропией Не (В)
непрерывного источ,ника .или собственяой информацией в 1незави­
• симом отсчете непрерывного !Процесса B(t) называют минимальное
количеств-о инф орма,ции , необходимое для вос:произ,ведеiНия сигна-
_ла B(t) с заданной среднеквадратичной погрешностью 1) E 2 (t) ~
:::;;;d~орог или м.инималь,н у ю взаимную инфо,рмацию на незав.исимый
. отсчет двух процеосов, остающи х,ся достаточ1но «похожими». Дру­
гим и слов а-ми [26],
.Н, (B)= minJ(B, B')=h(B)-maxh(В/B') приЕ2 (t),;;;;,d~оог• (4.100)
·
по w, (Ь/Ь')
по w1 (Ь/Ь')
р
Поскольку b(t)=b 1 (t) - e(t), тю условная дифференциальная эн­
тропия h(B/B 1) пр.и заданном ,сигнале B'(t) mолностью оцре~еля­
• ет,ся шумом воспроизведения (канала Е(t)).Поэтому maxh(B/B')=
=ma x h(E). Если шум воспроизведения E(t) имеет фиксированную
диспероию (среднюю мощность cr '1, ) , то, как mоказано ·выше, диф­
, фере нциа льная энтропия h(E) достигает максимума при нормаль-
ном распределении, который равен (см. 4.92) :
maxh(E)=logV2nea~.
(4.101)
Таким образом, эпсилон - э.нт-ропия непрерыв,ного и-сточ:Ниrк: а ~[процес ­
са В (t)]
(4.102)
' ) В принципе, э псилон-энтропию ,н е прерЬJ1вного источни1ка можно определить
и пр,и ,иных крите рия х « бли зости» 0 (расстонния) сообщений ( •сигналов) .
.188

Пр,и заданной ди-сперсии (,средней мощности) сигнала источника
о1 дифференциальная э1нтропия h(В) максимизи,руе11ся при нор-
м алыном раопределении, ,причем h(B)max = logV 2лео1
Следовательно, ма 1ксимально ,возмоЖ,ное значение э,псилон-эн­
троп,ии непрерывного 'Источлика на один от:счет
н, (В)тах = ~og v2 л eo1-log v2 леоI = +log ( :}) · (4.103)
1
Величина а 11 о} =Рс/Рш характеризует оТlношение сигнал/шум,
при котором «зашу,млен1Ное» и <<ч,истое» ,оообщения (,ил.и ооответст­
вующие сигналы) достаточно «[lохожи» .
Если отдельные отсчеты .сообщения (оигнал,а) будут взаимоза­
висимыми, то эпсилон-энтропия н.а о~ин отсчет, естественно, будет
меньше величины, определяемой ,ооответс11Ц:енно ф-лами (4.102)
и (4.103).
-
Можно ввест:и ,понятие эпсилон-производ:итель.ность непре рыв­
ного источника. Если .источник выдает неза1висимые ,сигнальные от­
счеты дискретно во в·ремени оо -средней скоростью Vи отсчета ,в ,се ­
кунду (~например, путем квантования 'ВО вр,емени ·С шагом В. А. К:о-
1
1
тельникова ,Лt = -
=-
, где Fc - полоса частот ·сигнала ·ис-
. tlи
2Fc
точн,и•ка) 1), то его ~,псилон-1Производителыюсть
н;(В)=vиНs (B)=vи[h(B)-logV2:rteo}] (4 . 104)
Эпсилон -производителыюсть неп;рерывного источни ,ка непрерывно­
•r-о :врем .ен.и и без 1памя11и можно заrписать в виде
(4.105)
Макс и мально .возможная эпсилон-производительность непре­
р ывного источн'И'ка обес-печивает.ся при но,р,малыном распределении
сообщения B(t) с заданной дисперсией о1. Для непрерывных ,ис­
точников дискретного времени с учетом (4.103). •
2
f-1' (В)тах= ~ log -~
8 = ~'!__log(Ре),
(4.106)
Е
2
al
2
Рш
для неп-рерывных ист~оч1ни:ков непр~рывного :времени с -си~налам , и,
-ограниченными полосой Fc,
•
н;(В)тах = Fclog ( :~) =Fclog(;: ) .
(4.107)
1) Напомним читателю ,[см. ( 1.67) ], что котельн иковоК'ие 011счеты неза•виси,мы,
-еслл энергетичеокий спектр процесса μо л агать ,равномер•ным ,в предела ·х всей
,п оло с ы час'I'о, 0-F с-
189

Непрерывный 1случайный с,r1гнал с ~полосой Fc ,и длит,елыностью
Т с характер,изуется ма.ксимально ззозможным объемом ,информа­
ции
(4.108}
Можно отметить, ч·ю !ВыражеНlие (4.108) пр,и k2 =1 ,сов.падает с
характеристикой, наз.ванной в ,параграфе 1.11 физическим объемом
сиrшал,а. Та:к,им образом, 01Казывается, что физ:ичеокий объем сиг­
нала я;вляет-ся одновременно и: ,его удобной ,инфо,рма,ционной ха ­
р акт ери:е11ико й.
Зная ха·ра1ктер ,исти1ки h(B), Ре, Рш, .можно 01Предел.ить избыточ­
ность не:прерьшного ис11оч:ника без памяти по формуле
Ри= 1- н.(В)
= 1-[h(B) - Iog}I~]. (4.109;
Н, (В)тах
1I(Ре)
-
og--
2
Рш
Коцтрольные вопросы
1. Чем объя1анить , что эн11ропия непрерывного и.с1ючника .при абоолютно точном,
-воспроизведении сигнал.а рав·на беоконечност.и?
2. При ка 1кюм раопределении диффере,щиальная энтропия о'Гсчета ,сигнала с за-
данной дисперсией (средней мощностью) Ре максимальна и равна
log }12лeP 0 =log}l l7P 0 ?
3. Как следует понимать сред,неквадратичный критерий «близост,и» (схожести}
неп:рерыв,ных ,сигналов?
4. Как можно выразить сред•нее колич-ество информаци•и 1 (В, В') в одно,м не­
за,висимом отсчете непрерыв ного процесса В' (t) относительно процесса В (t)?
5. Что такое эпсилон - энтрюпия и э.псилон-п,роизводительность непрерывного ис­
точника и iКак определяются эти характер.и.стики?
6. Через ·ка1кие !Па•раметры О1Пределяются маiКiсимально возможные значения эп- •
силан -энтропии и эпсилон -производительности непреры:вноrо источника?
7. Как овязаны физический и .информационный объемы 1си11нала?
8. Каким соотношением определяе'Гся избыточнос ть непрерывною истоЧJНика?
4.5 . КОЛИЧЕСТВО И СКОРОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
ПО НЕПРЕРЫВНЫМ КАНАЛАМ. ПРОПУСКНАЯ
СПОСОБНОСТЬ НЕПРЕРЫВНОГО КАНАЛА
Будем полагать, что на вход канала (от непрерывного источ­
ника) :поступают непре:рыв,ные с,:1гналы S(t), а с входа снимаются
неrпре,рьшные же 1сигналы Z(t). 1
Поступая так же, как при ,получении результата (4.97), (4.98),
моЖJно получить ,следующую формулу для количества передавае­
мой информации на один независимый отсчет, если :источник и
:канал без памяти:
00 00
J(S,Z)= ·s rw2(s, z)log[ (i)2(s, z) ]ds-dz =
j
(i)1(S)(i)1(Z)
-
-оо -оо
= h (S)- Н (S!Z) = h (Z)-h (Z/S),
(4.110)
190

•
где w2(s, z) - совместная плотность вероятности сечений процессов
S(t) и Z(t); щ(s), w1(z) - одномерное ра,спределение процеооо,в
S(t) и Z(t); h(S), h(Z) - дифференциальные энтропии 'на один
"
со
отсчет процессов S(t) и Z(t); h(S/Z) =-J 5w2(s, z) log w1(sf,z)dsdz
-оо -- 00
-
условная ,щиффере:нциаль,ная энтропия отсчета S(t) :при извест-
со
со
ном z(t); h(Z/S) = - 5 Jw2(s, z) log w1(z/s)dsdz-- усло'вная диф-
-оо -оо
фе:ренциальная энтр,опия отсчета Z(t) при и:звестном s(t); w1(s/z),
uн ( z/s) - условные плотности вероятности.
Посколь,ку h(S/Z) ~h(S), h(Z/8) ~h(Z), то J(S, Z) =l(Z, S) ~О,
причем ко.л1ичест!Во переданной по каналу информац'ИИ равно нулю
толыко нрн условии, ,1югда вход и выход ·статистИ'чески независимы
(сильные помехи в канале) и h(S/Z) = h(S), h(Z/8) = h(Z).
Пр ,и огсутствии :помехи в ка·нале 'И когда по выходному сигналу
z(t) можно однозначно определить входной s(t) количество пере­
да,нной информац:ии J (S, Z) = h(S) + lim l,og ЛS = оо, что следует из
лs-о
параг р афа 4.4 .
Еслn •В канале действует а'ддитивная поме ха U(t), так что
Z(t) =s (t)+U(t).
(4.111)
то h(Z/s) =h(И) - дифференциальн·ая энтропия на отсчет помехи ,
ибо ~при зада нном s(t) неопределенность отсчета Z(t) о·пределяется
иск.пючитель:но неопределенностью 011счета помехи.
Следовательно, количество переданной на один отсчет инфор­
м ац,ии в не.прерывном канале с а,ддитив .ным шумом
J(S, Z) = h(Z)-h(U).
(4 . 112)
Бели н а вход не1ПрерЫ1вного канала подается в среднем Vк неза­
висимых отсчета сигнала S(t) за 1 с " то оре1дняя ,скорость передачи
информации по ,непрерывному каналу
J'(S,Z)=vкJ(S,Z).
(4.113)
Поскольку непрерывный 'Канал с ограниченной полооой пропус­
!К ания F1; , равной полосе ча,стот входного сигнала Fс 1), различает
ПР'имерно 2Fк отсчетов за одну секунду, то скорость ·передачи ин­
форма,ци:и в непрерывном канале не:прерыв·ного времени можно
,определить соот ношен,ием (4.113), есл:и положить
Vк=2Fк.
(4.114)
Для ис точника и канала ·без памяти вместо (4 .113) можно на­
юисатъ
J' (S, Z) = vк [h (S)-h (S/Z)-] = vк [h (Z)-h (Z/S)].
(4.115)
-
--
1) Пр и этом условии канал пропустит осно~ной частотный состав входного
, сигнала и прн отоутст-вии по.мех в нем п,рактичеоки не пр ,иввдет к потере ин­
,ф ор-маци н .
191

Следует подчеркнуть, что, ,в отличие от структуры формулы,
опред·еляющей скорость передачи информации в диск·ретном кана­
ле, слагаемое V1,h(S) в правой части (4.115) не определяет произ­
вод1ительность 1истюч•ни1Ка на ·входе канала (или скор ·ость 1ввода ин­
форма,ции в канал). При непрерывном входном сигнале эту харак­
теристику следует определять его эп 1силон-производительностью.
Определим теперь :п,ропускную опосоtбность непрерывного ка·на­
ла С как ма,ксимальное значение скоро;сти передачи информации
по ,каналу J'(S, Z), достигаемое при вар:иации распределений вход­
ных ,сигнало,в w(S) ,и некоторых наложенных на сигналы ограни­
чениях (ограниченно1стью их дисперсии cr~ и числа .сигнальных от-
счетов на входе канала в единицу времени vк). Для источн:И!ка и
канала без памяти
С= max J' (S, Z) = vкmax[h (S)-h (S!Z)J = vк max [h (Z)-h (Z!S)] .
(4.116)
При аддитивном шуме U(t) ,с учетом (4.112) пропускную опо­
собность непрерывного ·канала можно определить из соотношения
С= vкmax[h(Z)-h(U)].
(4.117)
При заданной дисперои:и (средней мощности) аддитиВ'но:го шума
в ,канале сrь велич:ина h(U) мак,симизирует,ся, а слещовательн·о, про-
пускная способность С минимизируется при нормально~ шуме,
причем
h(И)таж = log v2 neal,.
(4.118)
Ясно также, 1что при прочих равных условиях значение h(U)
зависит от степени корреляции отсчетов шума и ма •к,симиз:ируется
при отсутствии такой корреляц,ии . Но последнее условие достигает ­
ся, если энергетический спектр шума рав'Номерен в полосе- частот
канала Fк (как у флуктуационного шума). Так:им о,б,разом, оказы­
вается, что аддитивный флуктуационный шум (г ауссов шум с рав­
номерным спектром) в наИ!болъшей ,степени понижает пропуокную
спо,собность канала,, следовательно, и наиболее опасен для каналов'~
связи.
При та,ком шуме и зада·нной величине Vк пропускная опособ­
ность канала в ,соо11Ветствии с (4.117)
С= vк[maxh(Z) - logV2neaь].
(4.119)
Дифференциальная энтро:пия выходного · отсчета Z(t) = S(t) +
+ U(t), естественно, максимизируе11ся, если эти от,счеты неза1в1Ислмы
и распределены нормально. При нормальных и незавИ!симых отсче­
тах шума U (t) для этого требуются незав,исимость (равномерный
энергетический ,спектр) и ·нормальное ра,спределение отсчетов вход­
ного сигнала S(t). При ограниченной д,иоперсии входного сигнала
а1 и помех:и cri дисперсия выходного сиг,нала al =,ai +aJ также
192

ограниченна, а -максимальное значение энтро ,пии выходьюго отсчета
(4.120}
Имея это в виду, получаем для пропу,скной спюсобности непре­
рывнот,о гауссова канала без :памяти с дискретным ·временем
С=~log (1 + а~)
(4.121)
2
аЬ
Пр·о;пускная способность равна нулю, если отношение сигнал/шум
Ро/Рш= crifab в канале равно нулю. С ростом этого отношения
растет и пропуокная способность, однако медленно вследствие ло­
гарифмической зависимости. Для непрерывного гауссова канала без
памяти с непрерывным временем с учетом (4 ,1 14) пропу,скная спо­
с об1щ,~ть
(4.122)
Соютношение (4.122) часто называют формулой Шеннона . Э~З!
формула имеет важное знаrчение в теории информации, так как
определя€т зав.и,симостъ про:пуок,ной способности рассматри1Ваемого
непрерывног,о канала от та ·ких его инженерных характеристик, как
ширина полосы :проJ:Iускания и отношения «сигнал/шум». Не лишне
подчеркнуть, что формула Шеннона справедлива только для неис­
к ажающего канала с поеюянными параметрами и адд'итивным «бе­
лым шумом» . Бели ра 1спределение аддитивной поме-хи не Я'вляется
нормальным или же ее опектр нера 1вномерен в поло·се пропускания
канала, то ка .к в первом, так и во втором случаях его пропус1шая
способность больше, чем вычисленная по ф-ле (4.122). В случае
мультипликативных :помех (замираний сигнала) пропускная спо ­
собность канала ·меньше величины, определенной согла,сно (4.122),
если под Ре понимать среднюю мощность -сигнала в месте прие­
ма [45, 60].
Формула К. Шенно·на указывает на возможность обмена поло ­
сы пропускания на мощность сигнала и наоборот. Однако, поск·олъ ­
ку С зависит от fк линейно, а от Рс/Рш по логар,ифмичеокому за­
кону, компенсиро вать возможное сокращение полосы пр ,оттуоrшния~J
увелич ением мощности ,сигнала, как правило, нецелеоообраз·но. •БО'·
лее эффективным являе11ся обратный обмен мощности сигнала на
полосу ,пропускания.
Выясним, как меняется проп ускная способность гауссового ка ­
нала с изменением поло-сы . Для этого выразим ·мощно,сть шума в
канале через энергетический опектр шума Gш.
Имеем Рт= GmFк , поэтому ф - лу (4.122) можно представить
ввиде·
7-386
193

На рис. 4.4 ~по1шзана зави,симость С/Соо ·от F1, согласно (4.123).
Хара·ктер этой зависимости таков, что при увеличении Fн проп уск­
ная ·способность С сначала быстро возрастает, а затем а,сим·птоти-
f00t
чески 'Стремится к пределу:
/,01-------:::=:::==:;::::;;;-
С1.СРе
дв. ед.
"'= 1m
=-
1og2 e,
Fк-+оо Ош
од
с
0,б
(4.124)
О,ч
Результат (4.124) объясняет-
o,z
ся очень просто, если учесгь, что
ln ( 1+ е) ""'е п.ри е-+0. К:ак следу­
ет из ф-лы (4.124), для переда -
о ~-~- -~~ -~~-
-
--
ф
Р
2Р
JP
f,r,; ru чи ин ормации по ка·налу с шу-
бш
бш 6ш
мами даже лр·и -оптимальном ко­
Р111с. 4.4 . Зависимость но·р.ми.рован ной
п р.опускной способно:с.т.и гау.осового
канала от занимаемой им поло.сы
ча,сто т
ди1ровании отношение энергии
сигнала к спектральной плотно-
РеТ
сти шума h2 = -- •должно лре-
Gш
вышать некоторую пороговую величину . В самом деле, если на
передачу -с-ообщения .зат1рачено время Т, то сред'нее ,количество пе­
реданной информации ТJ' (S, Z) < ТСоо, та,к как :пропускная способ­
ность канала при любой полосе F 11 не может превысить предельное
значение (4.124). Таким образ·ом,
TJ'(S,Z)<T Ре 1og 2 e .
Gш
Для передачи ТJ1 (S, Z) = l д,в. ед. информа,ции необходимая энер­
гия сигнала должна удовлетворять у~словию
или же
РеТ>~=Gшln2=0,69Gш
Jog2 е
h2= РеТ >0,69,
Gш
(4.125)
Заметим, что максималъ·ный объем инфо1рмацпи, которую мотут
в среднем передать по непрерывному каналу сигналы длитель­
ностью Т11, равен V~ = ТнС.
Для гауссова канала
V~=TкFкlog(l + ::) •
(4.126)
Можно отметить, что при Ре ~ 1 и К2 = 1 выражение (4.126) аовrпа­
Рш
дает с хара.ктеристикой, наз1ванной в параграфе 1.11 физичеGким
объемом ,rшнала.
Обратим также внимание на то, что в этих условиях •соотноше­
ние Vc<Vн, которым ·в параг-рафе 1.11 связаны физические объемы
19'4

сигнала и канала, следует при равен1стве длительностей -сигналов
источника и в ·канале (Тн= Те) из ·осно1вной теоремы кодирования
К. Ше1-11-юна.
Оста·но1вимся теперь на возможн·остях соглаоо1Вания непрерыв­
ного канала с дискретным и непрерывным источ.нжками •сообщений .
Предельные в.озможности соглаоования источника ,с произво,ди ­
тельностью Н'(А) с непрерывным каналом определяется основной
теоремой кодирования К. Шеннона, ,которая 'Может тепе-рь форми­
роваться так: если ,произ•водительность источника Н'(А) = VиН(А)
меньше пропускной способности непрерывного ~канала С, то суще­
ствует описоб оптимального кодирования [преобразован:ия оообще ­
ния a(t) в сигнал s(t) на ,передаче] и де:1юдирован;ия [преобразова-
1-ше сигнала z(t) :в оообще'Ние a'(t) на •приеме], при котором вероят ­
ность ошибки сколь угодно мала. Если Н'(А)>С, такого спо­
соба нет.
Спра1Ве.дливость теоремы следует из возможности д:иокретиза­
ц-ии непрерывного ,канала (непрерывных ,с.игsалов), так как для
дискретного канала она ,доказана ранее . Под оптимальным коди­
рованием д искретных со01бщений в непрерывном канале при эт,ом
следует понимать преобразование длинных последоват·ельностей
сим.волов 1кточника в длинные непрерывные сиг,налы s(t) и обрат­
НОГ'О прео6разо1вания при·нятых непрерывных сигналоrв z(t) в по­
следовательность сим1Воло·в сообщения. Такая возможность, в прин­
ципе, обещает лучшие результаты, чем при иопольз·овании дискрет~
ного кодера и де.кодера (кодирование в узком смысле см. гл . 5), ибо
дополнительные ,ступени преобразования сигналоrв, ,как правило ,
связаны с потерей -информа,ции . Кодирование, близ1юе к о,птималь­
ному, в непрерыв·ном ·канале на сегодня ,не реализуемо, хотя р
некоторых современных системах связи (например, с шумоподоб­
ными -сигналами) видны элементы тааюго кодиро•вания.
Для гау,соового канала оптимальное кодирование требует иrс­
польз-ования до ,статочно пр .отяженных каналы-1ых сигналОIВ с нор­
мальным ра·спр,еделение,1 и ра,вномерным энергетичес1шм спект-ром
и, в ,пр~нщипе, 1возм .ожно при условии, если число 1знаков источн11ка
ооо~бщения за 1 с
f1<log2 (1+3⁄4)
f-l (А)[дв./д·1
Пусть и•сточник 1вы,дает равновероя'!'НО н независимо двоичны .е
зна :ки, тюгда у,словие оптимального кодирования
vи<Fкlog2 (1+ ::- ) ·
(4 . 127)
При больших от.ношениях Рс/Рш допустимая ,скор·ость выдач и
знаков ис'I'очника при оптимальном ,1юди-ровании может существен­
но превышать та-к называемый ,предел Найк,виста 2F11. (см . лар.а-

граф 3.4). При этом ·в соответствии с основной теоремой кодиро­
вания о·ни могут передаваться ,с вероятностью ош~+бки, близкой
к нулю.
Следует подчер:к,нуть, что в согласии с (4.125) при оптималы1 ,J м
к,одировании передача одной двоичной единицы информац11и исюч­
ника в непрерывном ханале ,со сколь угод.но малой вероятностью
ошибки ,возможна при значениях сr1ара1ме-гра /i 2, бли.з,ких к 0,69. При
реальном же ·кодирова·нии (,см. гл. 6) для обеспечения достаточно
малого значения ,вероятности ошибки (которое, в отличие от во з ­
можностей оптимального кодирования, в принципе, не может бытъ
сколь угодно малой) требуются значительно большие значения /i 2 .
Степень со гла,сования д искретного источника сообщений с ·не­
прерывным каналом с :пропускной •способностью С может быть
оцен е н коэффициентом
_
S...<:..
_
max [Н' (А) -Н' (А/А')] _., ,,
1
Кс-
-
""'
'
с
с
(4.128)
называемым э ффективностью системы связи. Числитель это го вы­
ражения определяет пропускную споообность (предельную скоро·сть
передачи информации) системы связи (расширенного канала). Пре­
:1-1ебретая ошибками в ра,сширенном канале, что допустим о ·при опи­
са •нии высоко1качественных систем, можно н а писать при и спользо­
вании источников с объемо м алфавита К:
tnax i-Ji (А)
ilи ]og k
Кс=
= ___:: ----"' --
.
с
с
(4.129)
При кодирьвании •Сообщений источника примитивным п-ра зря д-·
ным m-позиционным кодом K=mn, Vиn=v" и можно написать
(4.1-30)
где С измеряется в дв. ед./,с.
Показатель Кс характеризует эффективность спо·собов дискрет­
ного и непрерывного кодирования (модуляции) на передаче и ,опо­
собов демодуляции и декодирования на приеме. К предельному
значению Кс = 1 можно приблизиться лишь Пj)'И оrптимальном (,иде­
.альном) код;ировании.
Предельные -возможности согласования непрерывного источни­
ка сообщений B(t) с непрерывным каналом определяются основ­
ной теоремой .ко.дирования К. Шеююна, которую сформулируем
,в ра,ссматриваемом ,случае так: если эпсилон-производительность
и,сточыика меньше пропу,скной споео,бности канала Н~ (В)< С, то
существует опоеоб оптимального кодироllшния и декодирования при
котором ,с- вероятно,отью, околь угодно близкой к единице, приня­
тое сообщение [,сигнал B'(t)] достаточно похоже (мощность шума
•:не превышает поро·го1вое значение сl2порог) на переданное {на сиг-
!}Jал B(t)]. Бели Н~ (В)>С, такого спо·соба нет.
.
196

Справедливость этой теоремы для непрерывного источника 1-r
ка,нала ,следует и з в,о.з, мож1н,ост 1и их ди, скретизации, а для ди ,скрет­
ного источника и канала она доказана ранее . Оптимальное коди ­
рование по К. Ше:ннону щ:прерывпых сообщений в непрерывно~~
ка,нале представляет собой пока чисто теоретичеокий интерес, хотя
имею11ся оnред еjrенные уопехи в гюстроении устроfктв, позволяю ­
щие существенно сократить избыточность некоторых непрерывных
источников (см . гл. 9).
Преобразоrвани е путеы дискретизации по времени и по уров­
ням непрерывного сообщения в дискретное и последующее разум­
ное его ,код'ирование по·ка что более ,перспективны для обеспе:чени я
удовлетвор и тельног,о согла ,сования источника и канала.
Для гау,ссового непрерывного источника и канала без памяти
оптимальное код ир ование во з можно с учетом (4.107) и (4. 122) при
в ьиrолненни усл о вия
•
Fclog 01 <Fкlog(1+_t_c,__)
(4.131)
ai
Рш;
IJЛ!l
(4.132)
В е.rгичин у a~fai м ожно • назвать отношением сигнал/шум на
в ы ход е детектора пр.иемника 1), Оl.rrределяющим в конечном счете
I< ачеств о (верность) воопроизведения непрерывного сообщения. Ве­
д ичина же Рс/Рш являет-ся отношением сигнал/шум в· канале (на
Р.ходе приемника) .
Как видно из (4.132), нео·бходимое качество связи ,[заданное
отношение cr~/al = (Рс/Рш)вых] можно, в принципе, обеспечить как
в у з ко:поло,с'ном ,канале (Fн/.Fс~ 1) 2), та,к и в широ1юпол,ооном ка­
нал е (т. е . используя канальные сигналы с достаточно большой
базой 2РнТс,;:::;:,2Fн/Fс» 1, ·где Те - длительность сообщения) .
Однако если ,в системах первого типа для этого приходится
иметь на вх.оде п,р,иемника очень -большие значения отношения сиг­
нал /ш у м,· · то в си.стемах второг,о типа необ:юдимые значения
(Рс / Рш) вх намного меньше.
Эффективность непрерывной
н ал • с п ропускной способностью
системы овя-зи, 1юпользующей ка­
С, можно оценить коэффицие1,1тоы
тах J' (В, В')
с
(4 .133)
1 ) Полагаем, что раз нос ть межд у ко.~ебанием В' (t) на выходе детектора и
п е реданным сигналом B(t) [«эквивалентный шум» E(t)=B'(t)-B(t)] является
.нор м альным процессом с нек.оррелироваииыми отсчетами .
2 ) Системы связи, у которых полоса частот канальных сигналов меньше по­
JIО С Ы ч астот со0бщен,11я fн < Ре, не находят пок:~ .применения.
1.97

Для гауссового непрерыв.ного источника и канала без ламяти
[(Ре)]
log 1-+,
-
Fe
Рш вых
(4 134)
Кс=Fк Jog [1+(::)J
•
:Коэффициент эффективности непрерывных систем по казыв ает, в
к акой мере данный опособ модуляци·и (код;ирование на передаче
непрерывных сообщений) 11 демодуляции (декодирование на пр;и­
еме) >бл'И!зо·к 1к отттималъ·ному (идеальному), для которого Кс при­
н wмает прещель:нюе значение: Kc = •l.
•
Для гауссовосо источника 'И канала без памяти лр11 оптималь­
ной модуляции (оптимальном кодировании), полага я Кс = 1, п о­
лучаем ,соотнош.ение
iag[1+(~) ] =~log[1+(_!'=-)].
(4.135)
Рш вых
Fe
Рш вх
Иопользуя десятичные лога·рифмы, можно .на·писать
[1+(~) ]
=~ [1+(~)]
.
(4.136)
Рш вых [дб] Fе
Рш вх [дБ]
Бсл1и (Рс/Рш) » 1 (слабые ;помехи в канале), то дл я идеал ь·ной
системы
[1_L (~) ] ,.._,(~)
,.._,~(~)
1
Рш вых [дб] ,.._,
Рш вых [дБ] ,.._, Fе Рш вх [дБ] , (4.137)
т. е. отношение «сигнал/rшум»вых(дБ] ли.нейшо 1зави,сит от «·СИГ­
нал/шум»вх [дБJ, тт1ричем коэффициент пропорциональности (:крутиз­
н а характер'!1СТ'ики) ОIПр.еделяется степенью ,раюширен ия (суж ения)
полосы часrот ,ка·малъных сиг.нало·в по с.равнению ,с ,полосой ча,ст,от
g,iJб
5
/,
/,
/,
/,
/,
/,
/
/4
/,
/,
/4
/2
/4
/4
о
50 вод
Рш,Об
10
203040
Р ис. 4.5 . За·виоимость выигрыша си­
стемы модуляци.и от от.нош ен ия с•иг ­
нал /,шу,м ,в ,канале:
-
'"'-- -
-
для идеальной сис т емы ,
.1.ля реальной системы
198
сообщения (перв ичного •сигна­
ла). Ес.11и (Рс /Рш)вх«1)
(очень силыные помехи в кана ­
ле), то даже пр и идеа льно м
кодировании
(Ре)'
О
Рш вых::::::::;
(4.138)
незави-симо от отн ошения «сиг­
нал/шум»вх и коэффициента
Fн/Fc .
Очень часто качество моду­
ляции и де модуляции реаль­
ных непрерывны х .систем оце­
нивают ~коэффиц иен том
g=(~) /(~) ,(4.139)
Ршвых Ршвх
называемым • выиг рышем систе ­
мы модуляции .

Для 'Идеальной системы •При гау1ссов.ом источнике и канале без па­
мяти ,оог.iшсно (4.135)
[l+(::)JFe
g=
-= ---'--=-~ ~-
--
(Ре)
\РшIвх
-1
(4.140)
Завиоимость g[дБ] от (Рс/Рш)вх[дв;, определяемая ,согласно
(4.140), дана •на риrс. 4.5 пункт.ирным:и линиями. Бели (Рс/Рш)вх~l
( слабьте помехи в •канале), ·ю для и1деальной системы
~(Fк_ 1)'Ре\
(4.141)
g[дБ] Fe
\Рш}вх[дБ]'
т. е . имеет место ли~нейная за1ниоимость между g[дбJ и (Рс/Рш)вх [дбJ ·
Любопытно 011метить, что сотла1сно (4.141) пр·и Fи = Fc (система
ОБП) и идеальном кодир,овании g[дб] =0 . Бели (Рс/Рш)вх4:..1 (очень
силь·ные помехи ,в ,ка.нале), то и для идеалыной системы
g~o.
(4.142)
:Контрольные вопросы
1. Какими соотношениями определяется количеС'гво информации на одНIН неза ­
,висимый отсчет, переданное по непрерывному каналу и чему ра,вна эта ве­
личина ·при отсутс"Гви.и помех в канале и ,при очень силыных помехах в ка­
нале?
2. Как определяется коJLичество информации на о"Гочет, переданн·ое от непре ­
рьшного источни,ка без па ,мяти по каналу без памяти и с щц,дитив,ной по­
,мехой?
3. Ка,к определяется скорость передачи информации по непрерывном•у каналу с
дискреmым и непрерывным временем?
4 . Ка1< определяется прюп:ускная способность непрерывного ка.нала?
5 . Какой аддитивный шум с заданной дисперсией а~ при прочих равных усло­
,виях в на,ибольшей степени уменьшает пропускную опосо.бность не.прерыв­
ного канала С?
6. При ка ,ком ансамбле входных сигналов реализуется пропуокная способность
непрерывного канала с ф ,1уктуационным шумом и чему равна величина С
,при заданном отношенЮ! .сигнал/шум в канале Рс/Рш для ка,нала с ·юююрет­
ным и не,прерывным временем ,(формула Шеннона)?
7. Какое мини,малыно возм•ожное значение h2 (отношение энергии сигнала к
спектралыной пло11ност,и .мощности а•ддитивног.о шума) требуе11ея для пере­
дачи по гауссовому каналу од,ной двоичной ,единицы информации?
8 . Как определяется максимально возможный инфор,мацион1ный объем сигнала
V~ и iКанала V~?
9. Как можно сформ,улировать основную т,еорему К. Шеннона по оптимальному
1кО'дирова,нию для непрерывною канала?
1О . Как опwеделяется коэффициент эффективности диок,ретной и неи,рерЬ!'вной
систем 1;,вязи Кс?
11 . Kallffl,м ооотношением связаны в идеальной системе овязи . (,п:ри оотимальном
I{одированли) при гауссовом источнике и канале отношения сигнал/шум на
выход!е прие,м-ника (детектора) и на его входе?
12. Ка,к определяется выигрыш системы .модуляции g?
13. Каким соотношением овязаны в идеальной системе овязи при гауссовом
источнике и канале выигрыш g с отношением сигнал/шу,м в канале (на вхо­
де !Пр:иеыника)?
199

5 ГЛАВА
Основы теории кодирования
5 .1 . RЛАССИФИКАЦИЯ КОДОВ, ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ,
СВОЙСТВА КОДОВ БЕЗ ИЗБЫТОЧНОСТИ
Под к,одированием (в узком смысле или диск1ретном кодиро.~а­
нии) понимают процедуру сопоставления дискретному (или дис­
кретизированному непрерывному) сообщению а; ( i = I, 2, 3, ... , /()
определенной последовательности кодовых символов, выбираемых
из ·конечного множества различных (отличающих1ся друг ,от друга)
элементар·ных кодовых символов bi(i=I, 2, 3, ... , т).
Применяя приемлемый ,способ кодирования, можно ,в той или
иаой степени сотла,оовать днокретный источник с ,каналом связи .
Заметим, одна11ю, что и1спользу,емые в на,стоящее время способы
кодирования не Jюзволяют приблизитъ,ся к теоретической ,пропуск­
ной способности реальных каналов связи при достаточно малой ве­
роятности ошwбки (высокой ,вер·ности лр·иема). Для этого по1~а,до­
бились бы очень сложные, эконом·ически невыгодные схемы коди­
рования и декодирования. Одна1ко с помощью разумно выбранного
к:.Jда чао'о удается значительно повысить скорость пер-едачи или
верность приема.
Теория кодирования развиваеТ1ся в двух главных направлениях :
во-первых, поиски кодов, позволяющих в каналах без шумов мак­
симально устранить 'Избыточность источника (эконол1.1-t0е кодиро­
вание) и те м самым повысить эффе.ктивность системы передачи ин­
формации, и, во-вторых, поиск·и кодов, повышающи х верность в ка­
нале с шумами (помехоустойчивое кодирование). :Помехоустойчи­
вые 1юды называют также корректирующ иж,и (они ,способны обна­
ружив ать или испра:влять ошибю1 и стирания к ан ала), они воз­
мож ны лишь ·при внесении опр,еделенной ·избыточности ·в исполь ­
зуемых 1юдовых п о:следовательностях.
При помехоустойчиво м j,одиро·вании чаще всего считаю т , что
изб ыточность источника на входе кодера ри=О. Дл я этого имеются
следующи,е о,снования: ~во-первых, очень многие диск1ретнь1е источ­
ншш (на пример, инфор!14ация: на выходе мног!:fх ЭВМ ) обладают·
,1алой из,быточно,стью ; во - вторых, если избыточность первичных.
200

истючннков существенна, она обычно порождает,ся сложными свя­
зями, которые :в месте приема затруднительно и спользова ть для
повышения верности·, Р?_зумно поэтому в таких случаях сначала
по во з можности уменьшить избыто,чностъ первичного источника,
а затем методами пом,ехоустойчи:вого ко,дирования в нести такую
и з быточность в сигнале, которая по з воляет достаточно ,простыми
сред с твами поднять верность,
И з ска з аю-юг,о следу ет, что экономное кодирование вполне мо­
ж ет сочетаться с помехоустойчивым.
Т еори·я 1юд ирован ия за последние два дцать лет развивалась
весьма юпенсивно на ос нове современных математических мето­
дов [3, 32, 39]. В на1стоящей книге лишь затронуты общие принципы
теории ,кодирования. Вопросы по,стр·оения и спользуемы х на прак­
тике кодов, а такж,е технической реализации кодирующих и деко ­
дирующих у стройств ра осматриваются 'В специальных курсах.
Коды можно юшссифицировать по весьма различным призна,кам .
Одним из о,сновных явля,ет1ся основание кода т или tшсло различ ­
ных ис,польз у емых в нем символов. Наиболее простыми являю"Гся
двоичные (бинарные) коды, у которых m = 2. Коды с m>2 назы ­
вают лтогопозицион.ными. Мы будем ивтересовать-ся в основном
дво .ичными к.одами, нашедшими преимущественное прим.енение на
Пра!{ТИК€.
Далее коды можно разделять на бло,чные и· непрерывные. Блоч­
ныл,1и называют коды, 1:1 которых каждый элемент («буква») оооб­
щения ak ( k = 1, 2, 3, ... , К) преобразуе-гся в определенную последо­
вательность (бло,к) ,кодовых символов {bi}, называемую кодовой
комбинацией Ь11- (k= 1, 2, 3, .. ., К). Непрерывные коды образуют по ­
следо1Зат,елы-юсть ,символов {bi}, не разделяемую на по1следователь ­
ные кодовые ,комбинации: здесь в процессе кодирования символы
определяются не одн·им, а цел,ой группой элементо:в ,сообщения.
Пока что на практике чаще всего используются блочные коды,
равномерные и нера1вн.омерные. В равномерных ко1дах, в отличие
от н еравнол,~ерных, все кодовые комбинации -содержат одинаковое
число •символов (раэ рядов), nере,да:Ваемых по ,каналу эл,ементами
сигнала ,неи з менной длительно:сти. Это обеюятельство существенно
упрощает технику передач,и и приема ,оообщений и повышает по-
мех,оустойчивость ,системы с:вязи.
•
Ко вся·кому коду обязательно П'Р·едъя1вляет,ся требование одно­
значности де:ко,диро1Зания. В случае блочных ·кодов это значит, что
всякой п о следо.1За т,ель ности или группе последовательностей 1юд:о­
вых си мволов должна ощ-юзначно ,соответствовать последователь­
ность элемент0:в передаваемого сообщения, что в,сег.да выполняется
при использовании равномерных коу:~:о,в.
Если объем (число возможных элемен11ов-букв) алфавита ис ­
точника сообщений ра1вен К, "ГО каждую букrву можно з а1кодировать
с помощью п-разрядного равномер ного кода с основанием т при
тn~К.
(5.1)
201

Если ·в (5.1) имеет ,место равенство, т. ,е. все возможные кодо­
вые 1ко'Мбинации используются для lf!ередачи ,сообщений·, то в этом
случае код называется безызбыточным ·или примитивным. Если же
числ0 возможных ,1юдовых комб.инаций больше числа .различных
букв и, следовательно, г,шсть из них можно не ~задействовать при
передаче сою1бщеший, код называеТ1ся избыточным или корректи­
рующим.
Избыточность ко1да (сигнала на ~выходе ,код:ера) Рн .можнrо оце­
нить ф-лой (4.66) или, если учесть, что Н'(А) =VиН(А) = Vи(l­
-ри) log К, то
Рк=1_(1- Ри)logКVи.
logmvк
(5.2)
Полагая из~бытоrч1ность источни:ка на входе кощера ,Ри=О, а т-по­
зиционный ·код равномерным длиной п, можно на,писатъ сле,дую­
щую фо1рмулу для из~бы11оrчно.с-rи .кода:
·
l IogК
р-----
к-
.
п logm
(5.3)
При кодировании удобно совокупность элементов (бу,кв) источ­
ника ,оообщений ak пр~щставить ·оовосr<утшостью чисел
О,1,2,3,4,
..., К-1;
(5.4)
К - объем а,лфавита источника.
С другой стороны, любое число М .можно заш11сать в заданной
системе счисления т (.или кодом с заданным о.снованием т) сле­
д,ующим образо1м:
M=anmn+an-lтn-l • •• •+ • , -cx1m1+a0m0,
(5.5)
гд,е ап - коэффициенты, принимающие при отдельных раз:ря,дах
числа М зшачения О, 1, ... , ;т-• 1.
Число разрядов п, которое необходимо удержать в (5.5), зави­
сит от объема (числа уровней) истач·ника К и от позищюнности
(основа11:1ия) си,стемы счисления (~кода) т. При использовании рав­
номерносо кода, очеВ'идно, должно удовлетво'Ряться у:оловне (5.1) .
Нап,ример, при К=64 любое число из (5.4) -может быть пр•едставлено в
десятичной системе .счисления двумя разряда1Ми (ибо 10 2 >64): разряд единиц
(10°) -и разря•д деся1'ков (10 1); в че11веричной системе счисления - тремя раз­
ряда•м11 (4~=64): разрщц единиц (4°), разряд че11верок (4 1), раз·ряrд шестнацца ­
тых (42 ); в ~воичной citcreмe •счисления - шестью раз·рядами ,(2 6 =64): ра·:~ряд
единиц (2~) , разряд двоек (2 1), разряд четверо:к ,(2 2), разряд васьме!)Qк (2 3) ,
ра·ЗJря,д urес'!1Надцатых (2"), разряд три1дцать вrорых ;(2 5).
Число 59 заlf!иШе'J)СЯ так: в десятичной ,системе счисления (код
с оенованием 10)
м = 59 = 5-101 +9-10° (59);
(5.6)
202

в четнер ич ной системе ·счисления (код с 001юванием 4)
м=59=3-42+ 2-41+ 3.40 (323);
(5.7)
в двоичной ,системе ,сч•исления (код с ос-нова,нием 2)
М=59= 1~25 +1-24 +1-23 +0-22 +1-21 +1-20 (111011). (5.8)
На рис. 5.1 условно представлены ,силналы, ·соответ.с'гвующие
заттисям (5 .6)-(5.8), в виде совоiку~пности элект:рич,еских импуль­
сов. Отдельные символы кода отличаются здесь своими уровнями
(шаг ~квантования по уровням ,Л).
На рис. 5.1 более младшие .раз­
ряды ,расnолагают•ся правее. Счи­
тается, что равны мак·сималь.ные
значения сигнала b(t)max=
=ЛЬ(т--1) =const и длительно­
сти к_одовых комбинаций Тк = nТ
(Т - длительность элементарно­
го символа). Полезно заметить,
что в указа•нных у,сло.виях с
уменьшением ПОЗИЦ•ИОННОСТИ ко­
да т ра,стет шаг .квантования по
уровню (ра•сст,ояние между •сиг­
нала;VJи)' что должно !ПОВЫСИТЬ
вер;ность связи : (в условиях по­
мех), ,но, ,с д.ру,гой стороны, рас­
тет п (число импульсов или ,раз­
рядность кода), что уменьшает
длительнQсть элементарного сиг­
нала Т (уменьшает его энерг,ии)
и соответственно увеличивает :ве­
роятность ошибочного приема
эле;VJеJ-IТа ,рного символа.
Вся:кий блочный ·код можно
предста,вить в виде та'6лицы, в
которой .каждой букве, цифре
(из 5.4), алфа,вита источника со­
поставляется определенная кодо­
вая 1юмбинация, найденная со­
гласно (5.5) .
Б(t)
Tx=nT=const ь(t)m,x=canst
9
8
7
б
,.,
5
".
~
ёс3'
Jff
.\О
т
7ir
t
Б(t)
.
з
2
,.,
1
"
,,д
ifо
т
T1r t
ь (t)
·-
~
~
_,]_с,.
Тх
t
Рис. 5.1. Си-rналы 1юд01юй по -
·след,о,вательно•стн:
а) при
1десятипозиц·ионном
д,ву.храз·ряд:ном код е; 6) при
четырехmо-з1иционном
тре'Храз-
РЯ\111НОМ uюде; в) •при д·в.ухшози­
щюнно,м шестираэ,рядно.м коде
Ниже это ,сделано для алфа"Вита, содержащего 8 бу,кв (цифр)_,
при ра,вномерiНЫХ десятичном, чеwерично. м и двоичном кодах.
Помимо предста!Вления таблицей, код очень ча,сто ~представляют
графичеоки с помощью так на1зываемюго «кодового дерева» 1) .
Рассмотрим по.стр.оение ,кодово'I'о дер.ева для наиболее простого
и ;наиболее ра,спрi()iстраненного двоичного кода.
1) Понятие «ко1дового д ерева» является частным случаем более общего по­
нятия - гр а ф. При решении многих практических задач шир .око используете,~
м атем а тическая теория r,рафов .
203

Для этого, начиная с олред:еленной точки («корня»), буде м про­
во,дить отрез-1ш прямой (ветви), наклоненные влево или вправо,
если кодовым -символом является ооответст,венно «О» или «1». На
ри,с. (5.2а) построено «Iюдовое дерево» для двоичного кода из
табл. 5.1 . На вершинах этого дерева написаны буквы алфавита
источ·1-шка, ооответс11вующие данным кодовым комбинациям. Обра­
тим внимание на т-о, что здесь ,каждой бу~кве соответствует своя
вершина «кодового дерева». С помощью «кодоного дерева»
Р,ис. 5.2. Кодавые деревья ,для .к,одов:
а) раюю:мерного; б) нера,вноме·рного при.водимого;
в) нера.в1номер.ного непр•иводимого
(ри·с. 5.2а) можно одiНоз.начно декоо11,ировать любую по,следосВатель­
ность ,символов; если толыю ,она принята с самого начала. Это
справ;е.дливо для любого равномер.ного кода.
ТАБЛИЦ А 5. 1
Буква
ЧисJJо
m= 10
m=4
А
о
о
00
ООО
Б
1
1
01
001
в
2
2
02
010
г
3
3
03
011
д
4
4
04
100
Е
.5
5
11
101
ж
6
6
12
110
3
7
7
13
111
Рас-смотрим теперь неравномерный д1вои11Jный код . Пусть он,
например, зад ан «кодовым деревом» (рис. 5.26). В данном cJryчae
некоторым буквам сообщения соответствуют не вершины, а узло­
вые точки дерева. Но тоrда декодировапие будет неодно;тачньш .
Действитель.но, приняв !В начале ко:довой после.довательности сим­
вол «О», мы не знаем, озна'Чает л.и он букву «Б» или является на­
чалом кюд:овой 1юм1бинации, оз·на'Чающей бушвы «Д» или «Е».
Одна,ко можно тюстроить неравномерные коды, допускающие
однозна'Чное декодирование, для этого достат,очно, чтобы в кодо ­
вом дереве всем бу1шам источника соотве·г,ствовали ,бы только
вершины. Тогда .ни одна 11юдовая к-омбинация не будет я~лятьс я
204

началом другой, бол ее дли,нной ком6инаr1,ии. Такой 1юд называет ­
ся нелри•вадим ым 1).
Пример непривод:имого кода представлен «кодовым деревом»
(рис . 5.2в). Если последо·вательность символов принята с начала,
то, начав при де1юдировании движение с «•корня д•ерева», мы су­
меем образовать за ,конченную кодовую комбинац.ию толъ·ко дойдя
. :ro какой-либо вершины. Затем мы возвращаемся к «·корню де­
рева», выполня ем де1юдировю1ие следующей кодо!Вой ·комбинац•ии
п т. д. Заметим, что вся•кий равномерный код являет•ся неприво­
димым.
Рассмотрим теперь свойства кодов без избыточнос ти и прежде
всего равном·ерного безыз,быточного кода . Та•кой код, особенно
двоичн ый, ши-рок·о при меняет,ся в дискретных системах связи. Ос­
новные его дост,оинства - про ,стота кодирования и де~кщщр .ова+1ия .
Пусть дискре тный ист,очник объема К выдает Vи «бук.в» в сек,у нду
и характеризуется энтро1пией Н(А). Тогда его производительность
Н' (А)= vиН (А),,;;; vи log К,
(5.9)
Равенство в (5.9) имеет место только тогда, когда «буквы» вы­
пнраются источникоi\r с равными вероятностями и независимо друг
от друга, другими -словами, когда избыточность источника
pн=l-H(A)/1 ,ogK=0 . Если считать, что в канале связ.и нет помех
(в-се ,символы ,принимаются без.ошибочiно) и он позволяет ,п ере­
давать Vн символов в ое.кунду, то пропу,окная способность такого
канаца
С=Vкlogт.
(5.10)
При использовании п - разрядното равномерного кода (каждая
«букв а» требует п символов) условием передачи ·без пропу,сков (без;
nотерл информации) ,явмr,ется выполнение неравенства
Vк ~ nvи.
Ка ·к следует из (5. i), при пртrмитнвнолr кодировании
nlogm = logK.
С учетом (5.12) ф - лу (5.11) можно записа ть та~<:
n=~>,logК=Н(А)тах
,
Vи
log т
log т
(5.11)
(5.12)
(5.13)
г де п - среднее число к•одовых символов на один о~м,вол источ­
ника . Предельное (минrrмально возможное) значение п, следующее
1 1 з (5.13) и получаемое ,при лримитив·ном коди.роваюш,
nmin = Н (A)'l'E~ =
l.oIL~.
(5.14)
,
1og т
!og т
1 ) Следует заметнп,, что неприводи:vюсть кода - достаточное, но вовсе не
н еобходимое условие одвозначност,и деrюд,ирования. Можно предложить коды,
н ~ обладающие этпм с в ойством, но допускающи е однозначное декодирование,
пра вда, при помощи более сложной логи кн (соответсnIJешю при более сложном
де к одирiющеы устройстве).
•
205

Сог ла,сно ж,е оюноrвной теореме кодирования К. Шеннона для
к аналов ·без шумов существует оптималыный код, для которого
-
_
Н (А) _t_
птiп- - -
1е.
log т
(5.15)
Сравнивая (5.15) и (5.14), видим, что примитивный ко,д обеспе ­
чивает предельное ,соглаоование •и ,сточника ,с ·каналом лишь в т,о;м
случае, когда Н(А) = H(A) max =log К, т. ,е. ;ко гда исючни•к оо-обще ­
ни й не имеет из1быточности (все сим;волы выбираются с равной
вероятностью и незавИ1симо).
•
Как следует из (5.3), для источника ·без избыточности и исполь­
зо:вания двоич1но ,го ра ,вномершого кода
1
log2 K
Рк=,-
-
--
·
п
(5.16)
Бели чи,сло симrволов и,сточни1ка К= 2k, т. е. точно равно 2 в сте­
пени k (где k - наrгуральное число), то полное согласование хода
с ка·налом (,рк = О) 1достИ1гается, если каждому сообщению сопо­
ста1вляется двоичная 1кодовая 1ш 1vl! би~нац.ия длиной п = k. Если же
k+1
kL+z
-
--
l
К=2L=2L(где-
-
правильная дробь), то полное согла-
L
сование с кшналом (р1,=О) может быть о·беопеч,ено, если каждой
1юследовательности из L си мв олов источника оопо~ставить ,кодовую
комбинацию, оодержащую kL+l двоичных символа. При таком ко ­
ди·р,ова:нии (с укру1Пнением алфавита) ·среднее число сим:волов кода
kL+ l
на один СИ;\ШОЛ источника n= -- = logzK, что и п.ри:водит ,ооглас ­
L
но (5.16) к у,слоrвию рк = О.
При наличии помех в ка 1нале код без избыточности не может
о,беспеr11Угь околь угодно высокую в·ерностъ. На с,амом деле, пусть
·кашал сим:метричен и без памяти, а вероятно1сть ошибочного прие ­
ма элементарного сим:вола в таком ·канале равна ро. Тогда вероят ­
нооть правиль.ног,о приема символа 1 -р0 , а вероятность Qк пра ­
вильного приема всех символов п-р,азрядной кодовой комtби-нации
Qн= ( 1-Ро) п_
В :прим.ити~вно1м к·оде 1в1ся1кая кодовая комбинацшя ооотв,етству,ет
определенной «,бу,кве». Если х отя бы один -из символов, ,образую­
щих кодовую комбинацию, будет при~нят ошибочно, то будет ре ­
гистрирована кодовая ком,бинац·ия, ·соответствующая другой «бук­
ве» сообщения. Та·ким оrбразом, вероятность ошибо~чн,ого приема
кодовой комбинац.ии (tбук~вы)
(5 .17)
При Ро« 1, ,юсп-олъзовавшись формулой бинома Ньютона,
имее м
(1-ро)";:::::; 1 - роп и Р" ~ Pon,
(5 .18)
206

Следовательно, ис1пользуя ,пр1имитивный код в ,канал,е с поме ­
хами, пр·инципиально нельзя обеспечить околь у,годно малую ве­
роятность оши-бlки, о Jюторой гоrвори'Гся в оюновной -гrео'Реме коди­
рова 1ния К. Шен,нюна. Такой код мож,но, ,о;чевидно, применять в ка­
нале с :помехами, если достигаемая вероятность оши·бочно,го прие­
ма «буквы» (5.17) не превышает допустимой для данной системьI
связи !Величины.
Мы :видели, что прнмитивный ра~щомерный коiД не может обес­
печить эффективного согласования источника с избыточностью с ка­
налом связи. ДJJя ,канало·в без помех ,код.ирова1ние, к·оторое позrво­
пило ,бы 1пр 1иблизиться 1к предельному сооrг11-юшенюо (5.15), может
быть дюсrгиг,нуто использ·ованием неравномерного кода, длитель-
1-юсть кодо•вых %ом~бинаций кот,орого должна быть соглаоована с
вероятностью выбора .июточником отд,ельных букlВ (пе•р.ви"-!ных СИ\М­
нолоrв). Тшкое кодирова•ние называют статистическим.
Статисти"-l~ское 1кО1дированrие может следоваrгь за укрупнением
алфавита, которое (,см . в паратраф 4.3), ослабляя сriшзи символО'в,
делает б:ол,ее ,не.равном.ерным их распр.е,11;еление. Та·ким образом,
статист.иче,ок·ое ·1юдирование может являться ступенью э1коно1много
rюди,рования.
Нераrвномерный код 1при статистическом 1кодироsании выбирает­
ся та ,к, что•бы более вероятные бу,к1вы ·пер,е:давались с помощью
болве коротких •.к;одовых ,комбинаций, а менее 1вероя11Ные - при по­
:1,rощи боле,е дштных ·ком~бинаций ,кода. В .итоге уменъшаются сред­
няя длина rюдоsой комбинации :по срав•нению со ,случаем равно1мер­
ного кодирования ·и необходимая ·пр'Опуюкна,я опо·собно·сть канала .
Приведем пример 1п0:строен·ия нера1Вномерного неприводимого
кода 1), по :зsоляющего ооJ'ла,совать ка-нал без ,пом•ех с лсточни1Ком
нер авно·вероятных ,символ01в (бу,к,в).
Построе1ние та1юго 1кода покажем на 1кон·кретном .примере ис­
rгочни·ка с о'6ъемом 1(=8. Сим~олы (бу!квы) алфаrвита располагают
в -порядке убывающей вероятню1сти 2 ) (.рис. 5.3), затем выбирают
пару бук·в с наименьшшш вероятно1стями (0,01 и 0,01), от них про ­
водят прямые д,о точ,ки I - точrюr условной бу11квы с суммарной ве­
роятн.0:стью 0,01 +0,01 =0 ,02 . Среtди •букв А- Е и I снова находят
1па,ру бу11<,в с наиме,ньшими вероятно,стями (0,015 и 0,02) и от них
проводят прямые до точки II - точки условной буквы с ·суммарной
вероятностью 0,015+0,02=0,035. Этот -процесс продолжается даль­
ше, пока постро·ение не замыкае,'j'jся к верши'Не. Мы получили «кодо­
в.о,е дерево», к•оrгор1ое позволяет нам наnи1сать кодовые комбинации
для всех бу11ш, расположенных в «з•е1рш:инах дерева». Полученный
неравномерный код, естесгве.нно, я.вляет1ся неmр·иводимым.
1) Этот ,J<O;J. предложен Х а ф ф ·, мен ом [53]. Аналогич ,ные, но менее ущоб ­
ные для пра·ктнчеокого использования коды предложены К. Ш е ·н но ,но м и
РФано[5J , 61] .
2) Если несколько бук в имеет од.инаI,овые вероятности, их раополагают ря­
.'1.О'М в -произвольно м порядке.
'207

Средняя дли~на п (1-:i- в дв.ед./символ) кодовой ,комбинации в на­
шем приме:ре
8
п=~ nkPk=1,825,
(5.19)
k=I
в то время ~шк при примитивном кодировании дв ,оичным кодом
пришлось бы для всех кодовых ,комбинаций использовать три сим­
вола (разряда).
0. '!J,1!8a С,QОНТН.
1 /l,,
lioooбoe fJepe!Jo
l(oiJ Тl;( пi( ffr
д О,б
О,б
б о,г
102о,ч
JЗ 0,1
100 з 0,3
г•0,04
4 0,lб
д 0,025
5 0,125
[ 0,015
100000 б 0,Об
ж 0,01
)'
1000000 7 0,07
J 0,01
IOOQOOOO 8 0,08
п =Iпх·Рх =1,825
Р.ис. 5.3 . Построение кодового дерева -неравномеrного кода
Хаффмеиа
Предел К. Ш1енно.на при двоичном коде для среднего ч!'!сла
символ·ов на бу~кву согла·сно (5.15)
(5.20)
В нашем ~примере энтропия источника (считае,м, что отсутст­
вуют вероятностные свя:зи между символами)
00
Н(А)= -
L Pk log2Pk = 1,781,
(5.21)
k=I
где Н(А) в дв.ед./'сим~вол.
Код ~аффм-ена ,позволил получить оч,ень ,близкие к Н(А) '3-Наче­
ния для п. Используя укру~пнение алфавита со статистич·еским ко­
дированием, можно существенно повысить эффективность ,системы
связи (например, при передаче телеграфной информац.ии) . По су­
щест:ву, передача стандартных текстов телеграмм (например, позд­
равительных) с помощью н:оротil<ИХ условных номеров есть пример
экономного кодирования.
Мы раосматривал1и э·кономное к·одирование в предположении,
что помехи в канаJiе отсут,ствуют и все символы принн·маются
безошибо:чн,о. В реальных же каналах всегда имеют,ся ,пом,ехи, по-
208

это му в сегда ,существует ненулевая вероятность ошибки. Ка,ковы же
будут после.д:ствия, е,сли ошибка вое же произойдет?
При прими11и1Вном рав н омерном коде ошибка в канале на про ­
тяжени и одно й кодовой комбинац'И'и вызовет ошибочный прием
одной бук вы, что во ,м н огих случаях допустимо. При испо л ьзовании
же эк о н о м ного кодиро1вания ощин ошибочно принятый сим1вол мо­
жет вы з·вать оши·бку в декодировании не одной, а большого числа
по сле дую щи х ко довых ,1юмбинаций . Зн·ачительно более тяжелы е
послед ствия п ов ле чет единственная ошибка в сл у чае, ecJIИ коди­
рован ие прои з в едено после ослаблени я корреляционных связей
сообщ е ния. Та 1к, е,сли алфавит укрупнен, 1'0 единичная ошибка мо ­
ж ет иск азить р яд слов сообщения. Отмече1шое свойстnо экономных
кодо в препятст ву ет их ,вн -едрению в ка 1налах связи, где вероят­
ност ь ю ошиб к и ~полностью пренебречь нельзя.
Пр ивеJДенные здесь ,со-ображения пр~ив'Jдят ·к мысли. о том, что
в р я де случаев 01кажется поJ11езным не полное у,странение избыточ ­
ности у кода, а, наоборот, в1нооение ·изл .ишней из6ыто'Ч'ности с по­
сл -едующим рац.иональны,м ее использованием при декодировании.
Таюим обр-азом, подходим к постр·оению 'корректирующих кодов,
о которых речь в ,следующем параграфе.
Контрольные вопросы
1. Чl'о пони .мают под диск.ретны,м кодированием (кодированием в уз·ком смысле)?
2. К:а,1<ая разница меж,ду экоiюм ·иым и помех-оустойчивым кодиров·анием?
3. Как определяется избыточность равномер•ного к-ода?
4. В чем удобство п.редста,вления кодовой JюмбИiиаци,и ,п,р;и коде с осн-о·ваJJ,не.м т
-посредством натуральных чисел, записанных в т - ичной системе. счисления?
5. Что такое «кодовое дерево», ка ,кой вид имеет «кодовое дерево» для непри­
В◊димых кодов?
6. При каких условнях при.ми11и,вный равнО'Мериый 1юд может обеспечить пре ­
делыiое ооглаоова,ние истачни .ка с rКаналом?
5.2 . RОРРЕRТИРУЮЩИЕ КОДЫ И ИХ СВОЙСТВА.
МЕТОДЫ ДЕRОДИРОВАНИЯ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ
IЮРРЕRТИРУЮЩИХ - RОДОВ
Корректирующимл свой-ст;вам-и обладают толыко избы1'очные ко­
ды . Ра-ссм·отрим вкратце во,зможно-сти избыт-оrч,ных, главным об­
разом, блочных кодов и озна~комим·ся ,с элементами теорил таких
кодов.
Рассмо'Грим ра1вномерные блочные двоичные корректирующие
коды , для которых справедл1ив-о неравенстuзо
2п >К,
(5.22)
где К - объем алфаВ'ита источника; п
-
размерность двоичного
кода .
Идея обна,руж·ения ошиб-ок принятой -КОАО-вой 1юмбинации 7;~
весьма проста и ,со-стоит в том, что для передачи и•спользуются не
209

все N = 2п возможных кодовых комбинаций bi, а лишь некоторая
ч-асть из н~их:
K<2n=N.
(5.23)
Иопользуемые в данном .коде К .ком~бина~ц.ии (Ь1, Ь 2, Ьз, ..., Ьк)
·называют,ся разр,ешеНiным-и, а о·стали1ые N-K возможных 1~омби-
наций на переа:rщrче (Ькн Ьк+2, ..., bN) - за1прещенными. Бели в ре­
зультате воздей·ств1ия 1помех ·передаваемая (раз.решенная) 11юл11би­
нация преuзращает,ся в одну из запrрещен1ных, число 1юторых в месте
при,ема No-К, из-за стираний символов, может быть и больше, чем
на передаче, то тем ·самым ·и обнаруж.ив.аюТiся ошибки или стира­
ния ·символ·о1В. Оч1ев1идно, что если ·сов·оку~пнО1сть ошибок п1ри приеме
данн,ой ,коД;овой .комrб~инации лревраща•ет ее в ка :кую-л-ибо другую
раз•решенную, то ошибки не мо1гут ~быть обнаружены.
Ь зависимости от уста.новлен1ного метода де.кодирования (или
в ге,01метриче,окой интерпретации в зави,симост,и от разбиения прост-
ранства прrинимаемых !КОДОВЫХ комбинаций ь~ ·на непереоекаю­
щиеся проотран~стlВа {Пк}, пр.ипи~сьнваемые отдельным решениям)
различают сис11емы с обша1ружением и с,истемы с иопра:в л ением
ошибок и стираний.
В с·истемах ,с о~бнаружение1м ошибо1К про,странство 1пр1июr м аемых
кодовых комбинаций Ь~< разбивается на N'~ N непересекающихся
областей. Если эти комбинации попадают в подпространства П,,
с номерами k = k+l, k+2, ... , N' (не сопоставляемыми разрешен­
ным комби'Нациям), декод:ирован.ие не 1ПрО1изв·одится и 100-от.ветст­
вующая информация л1ибо вообще 'Геряется, .r:rиrбo приобретает,ся
специальными методами, среди которых особое 1распространение
получил м-етод •переопрО1са. Послещний ва.ключа.ет;ся в -том, что при
обна1ружениги оши1бrюи по о~братному ~каналу автоматиrчесi!ш: пасыла­
ется опециальный сигнал, требующий :по.вrорение ошибочно приня­
той кодовой комбинации. Си1с'Гемы 1с о'6р~атным ;каналом ра,осматри­
ваю11ея в гл. 9.
Обнаруж.ен'Ие ошибок 1кодО1Вых комбинаций при избьУгоrчном ко­
щиро1Вании мож€т соrч,етатыся •с испра:влооием ст:иран.ий символов,
если, 1:1ап1ример, [J:риним,аемую 1юодювую ком6инац~ию ь~ ' попавшую
в запрещенную зону, отождествить с той !ИЗ разрешенных, с кото­
р·ой она соs[]адает :в несте1ртых позициях. Если таких ,ра ·зrрешенных
ком1бинащий бу,IJ;ет не,аколыюо, 1iO принятая 'К'ОМби'Нац:ия отожде,ст­
вляе'Гся ,с любой из НIИХ л1и·60 относится к оши'6очно принятым.
В системах с иоправл,ением ошибОIК за1прещеншые ·комбинаu:ии
декодирую'!1ся в соотве'Jiствии ,с ,выбранным алгори11мом, причем
пространство пр.инима·е.мых комrбиrн1аций Ь~ раэбивается теперь
на К не!Пер€секающ1их,ся подпр'Остранств, 1при1пиrсываемых отд:ель ­
ным ре.шениям. Та1кое раз-биение ·стрrемятся ВЫ[JОлнитъ та1к, чтобы
при де:rю:дирован~ии в•а'Г!реще1нных комrбинац,ий восстано!Вить ту из
разрешенных, котора!я могла быть передана с на -ибольшей вероя•т ­
ностью. В сим1метриrчном дво.ич1ном диокретном канале ·без памяти
210

Э1'О та из 1разрешенных комбинаций, к,оторая ближ,е 1rю Хеммингу
к принятой за1i11рещенной комбинации, ибо в та·ком канале вероят­
НОiсть ошибки 'Кр·атности q ;в ,кодовой комбинации длины п
Pq=C~pg(1-po)ri-q
(5.24)
при ро<О,5 быстр<о убЫ!вает с ,ростом ее кратн0rоти.
·-,
Возможl!-iы системы ,связи с исправлением и абнаруже~ние,м оши­
бок. В н,их не~коrорые залрещенные комбинации (например, наи ­
более близ1ки,е IIIO Хеммингу к ра,зр,ешенным) д,е~кодируются, а дру­
ги е {в которых, на1При,мер, отличие от разрешенных вели,ко или от­
личие одиншково для двух или более разрешенных ком,би:наций)
отбрасываются :каlК ошибочные ил,и декодирую'!'ся по,сле пер,есшро;са
и повторения.
.
Изложе1Нные принцлшы декощиров,ания поя1сняют,0я та,блицей 5.2.
Зде,сь символ\,1 Д!воиrчноrо исто:чJшка (А, Б) кодируются 1избы-nоrч­
ны;м трех,разрядным ююичным ,кодом. Из 23 возможных комбинаций
Ситуация
1 1 Символ
ан
источника
21 Переданная кодо•
вая комбинация Ь ;
3 1 Принятая ..:.<,адовая
комбинация Ь k
4 Расстояние по Хем -
·i'IIИIHГY ,по нестертым
ПОЗНЦИЯ ,М d(b;, Ь~)
5 Декодирование с
исправл е нием стира-
ний и обнар ужен ием
ошибок
б
1
Декодирование с
испр авлением ош ибок
1 и стираний
7 Декодирование с
испр а вл е нием· оши бок
; И стираний и обнару•
жени ем ошибок
3
А
ООО / 111 111
1ООО1?11 1О1О
о
о
2
-
А
Б
?
А
А
Б (ош.)
А
А
Б (ош.)
ТАБЛИЦ А 5.2
Номер столбца
4
8
АIА
Б
ООО1ООО\1111ООО1111
О??1?IO1ООО11?? 1???
о
1
3
1
-
А
Б
-
А
? (ош.) (ош.) ?
1
А или!
Б или
Б.А
Б
А
А (ош.) [ (ош.) (ош.) (ош.)
-
А
Б
-
А
? (ош.) (ош.) ?
211

кода выбираются в качестве разрешенных 1юм·бинации ООО и 111,
расстояние между которыми ,по Хеммингу максимально и равно:
d = 3. Из-за ошибо1к в 1канале (п,ер,еход «О» в «1» и «1» в «О») или
сrираний (1появление 3-го символа? на приеме при передаче « О» ,или
«1 ») пр,инятая ,кодовая комби,нация отличается от пере.данной.
И з 33 =27 возможных кодовых ·комбинаций на приеме 25 соответ­
ствуют запрещенным ыомбинациям и позJВоляют, следовательно,
обнаружить наличи,е некоторых оши-бо,к и ,стираний, а ча,сть и з них
11 и,спра1вить. К:од с dmin=3 ,позволяет надежно обнаружить , как
ув-иди,м ниже, два ошибочных элемента ,1юм,бинации; исправить
два стертых симв-ол-а (обнаружить wюжно ст:иран,ия любой крат­
ности); исправить о:дну ошибку при отсутстJВ!ИИ стира•ний. При де­
кодир-ова1нии с исправлением ст,ираний 1и с обна,ружением ошибок
(строка 5) в месте приема будем регистрировать знак стирания
(вопроса ?) , е:сл,и ,принятая к,омбинация относится к чи·слу запре­
щенных. Появление зна1ка ? означает р-азбиение пространства ПJ}И­
ю1ма,емых кодо:вых к-омбина,ций на 3 области: одна со,поставляется
сим:волу А, другая - Б, третья есть ·обла,сть сти,ра,н•ия . Ошибка не
обнаружена и тем более не исправлена в 6-м столбце, поскйльку
принятая кодовая комбинация вслед,ств1ие ошибюи 3-й ,кратности
превратилась в разрешенную комбинацию, не переда;ва,вшуюся
по каналу. Симв,ол в 7-,м столбце та,кже зарепктрирова1н с ошиб­
'кой, ,по,окольку по не,ст,.е,ртой по311щии принятая комбинация (вслед­
ств·ие ошибочного приема символа) совпада,ет с той, кото·рая фак­
тнч-еоки не iпередавала,сь.
Де.код,ирова·ние с испра'Вле.нием стиратrй и ошибок по критерию
мини.му.ма х,еммингоlВа расстояния по несте.ртым позиция~м м:е-жду
переданной и принятой I<ОдОiВыми комбина,ц~иями (стро1ка 6) дала
нам ошибку по •стол1бцам 3,6 и 7. 1v1огут также ,п,0Я1В1иться ошибки
по столбцам 5 и 8, так как по этим столбцам по нестертым пози­
цю~.м хемми•нгово раюстояние -одина,к,о:вое между принятой комби­
нацией и д,вумя разрешенным,и комбинация1ми. Введение ,зоны сти-•
ран,ия позволяет при декодирован,ии ,с исправлением ошибок и -сти­
раний и обнаруж•ении ошибок (стр-ока 7) из·бежатъ возможных li>ШИ­
бок по столбцам 5 и 8.
Лег1ко по,ка .зать, что ,бл·оч ,ный -код с м:инимальным расстоя~нием
по ХеNoмингу dmin между разрешен,ными кодовым,и комбина,циям,и
bi позволяет обнаружить ошибку в принятой кодо~ой комбинации
ь; , если В нем ошибочно принято Ч!И·СЛО элемента1рНЫХ СИМ'ВОЛОВ
q < d,:iiп
(5.25)
(мак-си м альная кратность полностью обнаруживаемых ошибок
qо=dт;п-1). Дей1с11Вителыно, так как между двумя разрешенными
тюм,бинациями ра ,остояни е по Х,ем,ммнгу не меньше dmin, то при
в ыполнении условия (5 .25) [Тринятая комбинац;ия попадет в ч и сло
з апр ещен н ы х , чт,о по зволяет обна-ружитъ фа:кт ошиб:К'и.
Очеви дно, что стирания оим!Волов любой к1ратности (появ лепие
третьег о сим.вола ? на приеме вместо п1ередавае м ых оимiвол ов « О»
212

или «1») обнар уж~иваю11ся в м,есге прие,ма. Иопра:вляют,ся же сти·
рания оимволов (,п,ри о:гсутот:в1И и ошибоlК !В 1шнале), 1к·ратнос ть ко·
торых удовлетворя,ет усло1Вюо (5.25). Ма'Коiмальная к·ратность .пол­
ностью исправи,мых стираний qc = dmi п -·1, ибо при эт ом в нестер­
тых позициях принимаемая комбинация совпадает ли шь с одной
раз,решенной . При блочном к·оде воегда сущест:вует воз:мож,ность
не ·юлыю обнаруж~итъ, но и иопраrвить ошибки кратности
q< dmin
2'
(5 .26}
макои.мальная 1<ратно·сть по лно.стью иоп·равимых ошибо·к равна
-
j
, dmiп
2-1
d
при нечетном т ;п ,
qи- l
dm2in_ I
d
при четном min·
Дей,ст.в'ителыню, при выполнении уrсловия (5.26) принятая ком­
Gи'нация «ближе» ,к действительно переданной, чем любая другая~
что поз1Воля.ет, ,пользуя ,сь ,1~р 1итерием ми 1н1имума хемминг.ова ра •с­
стоя:ния, восстан·овитъ комбинацию точж) (т. е. исправить ошибки).
При де~кодиро:ваню1 •С иоправл1ением ошибок и ст,и·раний м.о,ут
быть и,аn::ра:вле1ны л1рО'изв-ольные q~qи ошибок и q~qc стир а11 ий·
при выполнении усло,в1ия
d•q
q<т,п-с
а
2
'
(5 .27}
которое обО'бщает (5.26) на случай, когда имеются стертые оим ­
волы.
В бо,(!ее общем случа,е блО'чный код с ра,остоянием drni1i исmрав­
ляет пр-оиз:Б<ольные q~qc ·ст.и,раний и q~qи ошибок и обнаруживает·
произ.во.льные qи~q~q 0 ошибок п·ри условии, что
qи+qo+ qc <dmin·
(5.28}
EcJI:и стира,ю1й нет 1В канале (qc = O) и про:изводи'Г•СЯ декодир о ­
вание -е обнаружен1И·ем и испршвл.ением ча1сти обнаруженных оши­
бсiк, т,ь вместо (5 .28) 1м ож1но напиrсать
(5.29}
При qи=О имеем декодиро,ва 1ние тольк·о с о,бна,ружени-е:м ,ошибок
(условие 5.25), ·п,р:и qo = qи - с иопр авлением ошибок (услов1ие 5.26).
Следует лодчерrкну'Гь, чт,о условия (5,25) - (5.29) являются до­
-ста'Гочн ыми, ню не нео·бх,од,имыми, Так , налр:имер, код с dmin = 2 в
отделыных случаях в ,со-стоянии обна·ружива.ть двойные ,и трой ные,
оши-6к:и, но одиночные ошибки обнаруж:и-ваются всегда.
Теперь ра,ссмот,рим раЗ'!-юв-идно,сти корректирующих кодов. Для
начала за rм етим, Ч'ГО ,1шд~ир.о.ва -1-ше и де~кодирование, оmисанные вы ­
ше, позволяют при существенном укрупнении первичного алфави­
та, в ,принщи,пе, ес ли не на,кладывать ограrничение на дл ину %Одовой
213

Rо:следовательно1ст,и б.тю,чноr,о кода п, в,есьма близ1ко ~подойти -к ре­
зультатам, сл1е\дующим из ос1н:01Вной теоре,мы •код,иро:вания К. Шен­
нона для каналов ,с Ш)'LJ\,Jам1и, а ·именно может быть обе,олечена ве- .
Jюятность оши1бочного ПР'иема р-+0 при эффе,ктивности Кс=
тах Н' (А)
=
---
--
-+1. Для этого при симметричном канале без памяти и
с
,стира1ний минимальное хемм1инговю рас•с'Г!Ояние между IразIреше,н­
·ным,и к·ощовы1iи комбинациями долж1но быть при больших п про­
л ор ционально п:
dmln=ап
,
n-,.o,
mрич е,м ,кю-эффициент про1порциональнос11И
а> 2(р0 +в),
(5.30)
(5.31)
:г де Ро - ве~ро,ятность ошибочной :nереща'Чи элементарнюто ,сим:вола
в ка1на ле; е - юколь угодно ,малое :положительное rчислю.
На самом де.11е, в ра1ссматриваемом канале при больших п наи­
верюятнейшее значе~ние IК'ратности ошибки q=npo, приrчем вероят­
,ность того, что 1I{!ратность ошибки будет пр 1е1Вышать про ,стремится
,к нулю ПР'И n-+oo. Согла,сно (5.26), если dmin>2npo, все ошибк1и
в ка'нале будут июправл,ены ( с вероятностью, близ1кой ~к 1 1при боль­
sших n).
Из до1казательства теоремы К. Шеннона (па1раr~раф 4.3) еле­
.дует, ч·ю у~слов:ие (5.30), на1вер,ня1ка, вьшюл1няе11ея пр:и ,случайном
-коди ровании длитrыми юаследовательностj'JIМИ цепО'Чек :зншюсв ис­
точнИlк а (с1и,мв олов у:к1ру1пН'е:нного алфа1в1ита с объемом К» 1).
Однак·о та1ко е ,кюдироsани,е или любое 'другое, требующее на
·пере.даче с01пооа1Вления !Каждому соо,бщению опре,деленнюй кощовой
комбинации из К>> 1 возмож:ных, х1ранящих1ся в памяти, а на прие­
ме принятия решения ,в пользу оs11:ной 1из К» 1 коtдовых комбинаций
,(та,к;ж е требующих u1а,мя11и), наи,более «,близкой» ,к принятой, на
,сегодня техничеюки не реаЛ'11зуе;мо.
Предста:вляют поетому интерес .Иlзlбы·ючные ,коды и методы 1ю ­
дир,ования ; не 11ребующие хран·ения в :памяти и перебора всевоз­
можных кодо,вы,х 1юомбинац,ий (табличный метод кодирова1Ния), но
яместе с тем удовлетВ1оряющ~ие аrсимiптот1ич•е,01юму усло1шю (5.30).
Такие из,бытосгные блоч'ные ра1В}Юмерные ко:ды найдены, а наи ­
·большее ра,опростран,ение ,среди них 1полуrч1или линейные ко;ды .[3, 39 ].
Линейным двоичным •кодом длины п называ,ется такой, для кото­
рого сумма (1по мО1дулю два) любых д,вух разрешенных Iкодо:вых
,юм:бинаЦ1иЙ данного Jс,ода таiкже я.вл,яет,ся разрешенной кодовой
-К<Jмбина'Цией. Бели перпзые k ,с)им·волов ,ко щовой комб1Иrнаци·и дли­
. ны п являются инфор,иационными, а ·остальные r=n-k- неинфор­
-мационными (избыточными или проверочным и), то линейный к•од
называют систе,иатическим. Линей,ные коды можно форм1и,ро•вать
, следующим 06разо1м. К k инфор:мационным д,воич,ным символам ко­
довых к,ом~бwиаций, Iсоо11вет1ст:вующих К сообщениям (K=2h), пр,тт­
бавляе'!1ся r пIровероrчных (и,з,быточных) д:вюичных символов, кот,о-
:2.И

рые являются линей:ным,и ,ко.м,би,нащиям1и 1Инфо,р·мационных:
k
Ьi,пр=~ Ye,ibe,
j=k+l, k+2,
•• ·,k+r,
e=I -
(5.32)!
где у1, j - коэффиu:иенгы (О или 1), характер:изующие код, а сум­
мирование выполняется по -модулю 2. Всего таIких двоичных коэф­
фициентов k :r и толыко юн1и должны х·раrнитыоя ,в па 1мя11и tКодирую-­
щего у1сrгрой,ства, чтю сущеютв-еяно у;проща·ет ело реализаrцию по ­
С'ра:внению ,с табличным метО/д,ом кодиро!Ва,н:ия .
В далынейше,м для опр~е:деленности буде1м считать, Ч"ГЮ линей­
ный код я1вляе:Т1ся сиIстематичеоким, если на первых k поЗ1ициях ко- ­
довой комбинации (счет справа налево) располагаются информа­
ционные "<)и1мволы, на 1по1сле(!!Jних r ,поз·иц:иях - прО1верочные . НаIпри­
мер, ,переда1J3аемую .кодо'Вую комбинац1ию ,за1пишем в вищ1е
ь = ьп, пр; ьн-1,пр' ••
· , bk+l,пi bk, bk-1'
'•·,Ьз,
Ь2, Ь1, (5.33}
Линейные 1юды обозначают выражением (п, k).
Из6ыточно1сть линейного дв,оич:ао,го кода ~можно определить сог-­
ла1сно (5.3) фо:р,муJiой
Рк= 1- log22k= 1--'- .!!:._ =
.!__
.
(5.34),
п
п
п
Сво,бtода выбора k r д1воичных чисел у1, j лозвюляет при зада·н ных .
пи k=n-r поС'гроить 211.т разл:ичных ли ней1ных 1ю,,щов. Разумеет·оя, .
понятно стр•емл1ен.ие таIк выбрать коэффициенты у1, ;, чтобы полу­
чающий1ся -код был «оптимальным» в 1КшюIм-то смысле. В теории,
и [IрактIике ,ко .р1ректирующщ{ кодов чаще вюегlО «аптимальным» счи­
тают ~Код (п, k), 1кот,О1рый обеопечивает наименьшую верюят·но,сп,.
ошибоч11юго де~код:ирошания оредJи воех ,юдов той же длины п и
избыточности r = n-k.
Из этого о:пределвния ,слеи:~.уе'Г, на~пр'ИМер, что при передаче двух
сообщений оптимальным (п, 1) кодом независимо от п может яв­
лятыся кощ с ,раз~решенньnмIи кодо1Выми ,комбинациями: '
Б=ООО . . .ООО· [i=111 . . .111,
1
•
,'
2 ,,___, __,
п
п
по·с:коJiыку любой иной выбор п-1 ,проверочных оимволов 1'> одной
из комб:инац"Ий лишь уменьшmт кодовое ,расстояние d(b1, Ь2) 'И одно­
временно унеличит ,вероятность ·оши'6оч1ног,о декодироваIния. При,
выборе <<Оптимального» кода поJiаrают абыч'1ю неизмен'Ным модель
·ка1-1ала (чаще iВICeJГO это ,двоичный однюро:дный оиммет1р!Ичный канал'­
без памяrги), а алто1р'ИТIМ де:!{0Дирован1ия - «-сштималъным» (ре,гист­
рируется, например, I<'омбинация, которая с наибольшей вероят­
,ностью ,могла бы быть 1передана). O,бщи,е ме:тоды ,построения «ОП1'И­
мальных» Л'И'нейных кодов (п, k) 1поIка не оозда1ны, но некоторые­
«'оmтимальные» коды известны; ·на :пр ,имер, та11шIм я·в -ляе11ся ко1д,
(n, п-1), обна•руживающий одинО1Чные ошиб'К'И, кощ (7,4), иоправ-
215-

-л я ющий одиночные ошибыи, •код ( 14,2), исправляющий ошибки пер­
вой, второй, т-ретий и четвертой кратности, и т. д. (3, 39].
В теори и кодирования существует пон я тие совер шенный и ква 0
з исове р шенн ый Щ)д. Код называют соверше:нным, если вся его из­
быточ но,ст ь ра сходуется на иопра1вление ошибок заданной кратно­
сти q, т . е . та к,ой ,код не исправляет ни одной ошибк~и более высокой
i,р атн о,ст и. Кв а з исовершенный к од исправляет и неко ·юрую ча1сть
о шибок кр ат ноеги q + 1, но не ислра1вляет . ни одной ошибки более
,вы сокой крат н о,сти. Поскольку во многих каналах более вероятны
,ошн бк и м,нн-и м альной кратно·сти, то ясно, что выше определенное
ло н ятие соверш е нного и квазисовершенного кода имеет смысл .
."Ло жн о псж азат ь 1[3, 39], что квазиеовершенный (те.м более сове1р­
ш с нн ый ко д) явл яется также и «опти:малы-1ым».
Об нару жени е ошибок 'П'Р'И использ,овании линейных код,ов
(с дальн ейши,м их .испра~влением, если это позволяет избыточность
-~<о д а) 01сновано на пр·ове-р,ке со1от,ношен1ий (5.32). Для этого по k
принимаемым и нформационным симнолам Ь'1 можно опредеЛiИТЬ r
1<онтрольных (1проiВерочных) оим1волов
k
ьконт= '\"' у1.Ь'1,j=k+1. k+2,
.
.
., k+r
/,Пр _l .J
,/
(5.35)
1=1
1 l сопо-ста1вить их ( ,сложить по модулю 2) с принимаемыми прове­
,1ючны1vш •ОИМВОЛаiМIИ ь ;,пр' Тогда для каждой прин:има,емой 'КОДОВОЙ
,J<ОМ•бинации Ь' мы получаем набор (,ве,ктор) из r чисел, называе­
j'v!ЫЙ си-ндро1мом С (Ь') этой к<Умбинации:
(5.36)
тде
с. = ь: +ьконт(mod2).
J-k
/,ПР
/,Пр
(-5 .37)
Число различ.ных оинд1ромов, соот1Вететвующих различным сочета­
ниям ошибо1к в ,канал,е для линей1ного кода (п, k), ра1Вно ч1ислу все­
вазможных r - значных переборов дво,ичных чисел, т. е. равно 21••
Бели не все эл•ементы синдрома (5.36) нули, то это означает, ч1ю
:принятая ,кодовая комбина'Ц'ИЯ за:прещенная, т. е. возникла ошибка.
При декодировании с исправлением ошибок по ви:ду оиндfюма
·(числу и ра,оположению единиц) о:пределяется, в ка1ких разрядах
:вероятнее всего произошли ошиб,ки, что и п,оз,воляет их исправлять.
Выполненпе этой процедуры 11ребует, поми!Мо r сра:внений прове­
рочных символо1в, пере,борку таблицы исправлен,ий (синдромов),
.содержащей 2,, -1 стро,к 1) . С увеличением длины кода п при за­
-д ан н ом k по,выша.ет,ся его эффективность, но однов,ременно ра1стет
н r, а заодно и о б ъем ,памяти декодера.
Поя-сним п роц едуру кодирования и декодирования mри исполь­
зовании линейн о го кода н а простых при.м ерах. Сначала расс·мот -
1) Си,нд р ом , у которого все элементы нул ев ые, ис ключен из этой таблицы.
:21б

· ри,м
од ин и з ншиrболее Iп'Р'остых кодов (п, п-1), имеющи й лишь одд11-r:
проверочный ,оим·вол в кодю.вой ~юмбиша,ц,ии, форм,ируемый проот ыи•
суммированием по модулю два всех инфо·р•мащио.нных •С'Имвол ов:
n-1
Ьппр=Уbz.
'
" -,1
(5.38у,
1=1
Правило (5.38) овод;ится ,к П!роверке на чеТ1но,сть (числа ед!И­
ниц) безызбы'!'очной кодовой комб1Инации: ,если . число едини ц в"
комбинации четное, то проверочный символ «О», а если нечетное , -
тю«J».
J:!егко показ,ать, что для произвольноiГо лилейно,го ,кода длины .
п dmin олред·еля,е'Гся минималъ.ным весом (:минимальным ч,ислом
едини ц ) по всем кодовЫIМ ком,6инациям (,кроме нулешой, т. е . не е: ·
элементы которой нули).
Д е й,ствитель,но, ·ра,остоя'Ние по Хемм,ингу между двумя кодовы ­
ми комбинаu:иями ра,вно числу единиц в сумме эти х комбинац и й:.
по модулю два. Но для лине й ного ,коща сама эта сум м а шшременно.
я.вл-яется кодовой комбинацией с весом, равным ч;ислу единиц в н ей.
Для кода (п, n- 1)dmin = 2, ибое•сли п- 1 информационных сим ­
ВОЛ{)!В кодовой ~комбинации имеют м,и нимальный ве,с , раiВный 1, то­
согла,сно (5.38) [[роверочный симiВол «1», следовательно вес этой
кодовой комбинации, равен двум. Таким образом, код (п, п-1)
в согласии с (5.25) наверняка позволяет обна·руживать одиноч н ы е,,,
ошибки в к·одGсr3ОЙ ком-бинаци,и. Для э1.10го ,д,о статочно опр ед ел ит h
n-- 1
ОДИН КОН1'р0ЛЬ'НЬIЙ •СИМВОЛ В месте приема Ь~~~; = ::.: ь; И н аЙТИ'
l=l
синдром С (Ь') , содерж~щий один элемент С (Ь') = С1=Ь;1 , пр +
+ b~~~?(mod 2) . Если С(Ь') = 1, :произошла ошибка. Я сно, что для:
кода (п, п-1) можно обнаружить ошибку провер кой на ч етно стh .·
всей пр,инимаемой кодовой ко м6инации и без н ахождения синд•ро-
ма С(Ь') . Очевидно тю<же, что, применяя код (п, п-1) в схеме-­
декодирован ,и я с о.бна·ружен;ием ошибок, можно ,пров еркой н а чет­
rюстъ прин•и ма емой ко•мб инации обнаружить не толыю один очную,
но и все ошиб.1<Jи неч,етной кратно•ст,и.
Теперь рассмотрим более сложный юшейный код (7,4) , для которого-,
dт;,.=3. К оды с dт;,. =3 ч а сто называ ю т кода ,м и Хемминга . Это код п озволяет
надежно обнаруж и ва ть_ все один оg иые и двойные ош!!бюи или исправлять все,
одиночные ошибки в схеме декодирования с исправлением. Положим, tJTO 3 про--­
верочных символа кодовой комбинаuии о,пределяются соотноше1шями :
Ь5,пр=Ь1+Ь3+Ь4
Ь6,пр=Ь2+Ь3+Ь4
Ь7•пр=Ь1+Ь2+Ь3
)
mod 2; или код
определяется
матриuей
коэффиuиентов
Y1,s = 1Y2,s = оУз,s =1Y4,s = 11
У1,6=ОУ2,6=ОУз,6= 1У4,6 = li
У2,1=1У2,7 =1Уз,7= 1'\'4,1 = 1i
(5.39}:3⁄4i
217

Лриве,дем ,при, ~~е р сем,изнач·ной кодовой коыбинации на передаче
.,
Ь=ОО1
.___,_,
проверочные
символы
О11О
информационные
символы
'I,(он11рольные с11мволы на пр.иеме определяются соотношениям,и:
ТАБЛИЦА. 53
кант
' _J__
1
1'
Ь5,пр'=Ь1 ,ЬзтЬ4
Номер разряда ко-
(5 .40)
;Номер
Синдром
до вой комбинации,
(5 -41)
rn~роки
подлежащей
исправлению
1
001
5
2
010
6
.3
011
4
4
100
7
5
101
1
6
110
2
7
l11
3
кант
,
ь' ь'
Ь7,пр=Ь1+2+з
Си,щро~r
(-)
ь' + ьконт ь'
СЬ'=С3,С2,С1=7,пр 7,пр• 6,пр+
- 1- ьконт ь'
.J.... ьконт
,
6,пр' 5,пр 1 5,пр·
(5 -42)
Слева дана таблица исправлений оди •
ночных ошибок для кода (7.4) при 23-1 =7
различных
синдроы ах, соответствующих
различным сочетаниям оu:ибок в канале
(см. табл. 5.3). Исправлены наиболее ве­
роятные ошибки.
Пр,и синдро'1е l - й строки таблицы (,не совпадают Ь ~ . пр
и Ь5~:;) наиболее
,вероятно, что оши бочно ·принят контрольный символ Ь5, пр, ибо если Ь~,пр =
ьконт ь'
ьконт (
.
4,1
,=
б,пр и ?,пр= 7 ,пр замегим, что они определяются ч·ерез · .все
ин,1юрма-
,ционных сш11 вола), то разумно считать, что ка'К инфор,мационные, так и про·
верочные онмволы Ьв, пр и Ь1, пр переданы без ошибок .
А,налоrшчно при синд,роме 2 и 4-й строк таблицы наиболее вероя11но, что
. ошибочно принят соответственно контрольный с1.мвол Ьв, пр или Ь1, пр -
При синдроме 3-й строки таблицы (одновременно не совпадают 5 и 6-й
лроверочные си ,rvгволы) вероятнее всего, что ошибка - в передаче 4 - го инфор ­
мационного оим.вода, определяющего как Ь 5 , пр, так и Ь 6 , пр, в то время как
,провероч,ный символ Ь~ ,щ, = Ь~~;; о:пре,деляется первым1и 3 информаU;ионными
.. сш1июла .ми,
но не зааисит от 4 - го . Аналогично объяснение остальных исправле -
ний, рекомендуемых табл. 5.3 .
В поиаках более iПростой техники ,ко;дирования и декодирования
сбыл найден ,под,кл,асс линейных ,дIвоичIных ,ко1дов, называемых цик­
_.личе-сишм'И и нашедШИIМИ ш,11рсжое пр,имененIие в технисr(,е овя~зи ,[32].
Назва ние этих 'КО\доtв свяIза1но с тем, что каждый вектор, получаемый
из кодового :путем ци1кличеокой п-ерестано1Вкш его элеме~тов, также
явлнется IКО 'довым .
В теории цикл,ичЕюких код,0Iв IП1ринято п -1мерный кодовый ,веIктор
~
Jj ,пр,€дсташлять Iпол,иномом (п-1)-й ,отепени i[54]:
Ь(х)=ао+а1х+а2х2+ • • •+ап-! xn- !,
,где ~юэ ффи ц~иенты И.1< ~принимают значе1шя О или 1.
Та1кое пре;д,ста1Зле.ние у!добно тем, что вектор, :полученный из Ь
ди~кличе1с1кой ,переота:но1В1кой эл,ементоlВ, моЖ!но рассматривать ка1к
:218

результат ум нож€н,ия ~полинома Ь(х) на х, есл·и считать, чта-,
xn = 11) . На само:м 'деле
хЬ(х)=а0х+а1х2+
•+an-l xn = а11_1 + аох+а1х2+
.
,
•+ап-2 xn- 1
.
Полином наименьшей степени ореди всех полиномов, соо-nветствующих К()­
довым комбинациям щткт-1чеок ого ~юда (за исключеНJием кощовой комбинации ­
с нулями во всех разря:дах), назЬ!lвают порождающим и обозначают через
g(х)=1+у1х+у2х2+ ...у,_1xr-\+х',
(5.43),
коэффициенты Ун ра •вны О или 1. Степень порождающего полинома определяет
число П1роверочных символов в кодовой комбинации r=n- k. В по:роЖ'дающем ,
пол:и-номе овободный член Vo всегда равен !. Зная пор ·ождающий полином g(x),
ме>жно по нему построить все кодовые комбинации циклическо го кода, а также·
устройс11ва кодирования и декодирования. На 0П1ределенный согласно (5.43) по­
рождающий полином наа<ладывают дополнителыное условие: это [!Олино м сте­
пени r, на который делится без остатка двучлен xn ± 1.2 ). Результат такого ­
деления определяет так называемый проверючный полином
х" -1
h(x)= -- .
g (х)
(5 .44}:,
Пр01введение провероч·ного н порождающего пош1номов (с учетам того, что
xn-J =0)
li(х)g(х)=О,
что дает основание сч11тать их ортогональны.ми. Соотношение (5 .45) полож·ено
в оонов у алгоритмов де]{одирования ци]{лических кодов.
В качестве примера расемотри,м л,шней,ный щы(л11ческий !(Од (7,4) с пара­
мет,рам.н 11=7, k = 4, r=З . 16 разрешенных •К·омбинаций этого кода сведены в­
табл . 5.4 . Порож,да·ющю1и для этою кода может быть полином
Проверю~ это,
g(х)= 1+х+хз.
раздел ив х7- 1 на g(x) в С'I'олбик:
х7 -1
;,;7 + ;,;5 + ;,;4
х4+х2+х+1
х6+х4+1
хБ+хз+х2
х4-1-хз+х2+1
х4-1-х2+х
х3+х+1
х8+ x+I
ооо
(5. 46),
Получю1 деление без остатка, что подт,верждает, что g(x) = 1+х+х 3 являет­
ся ,порожда ющ им полиномоы для ,кода (7,4) 3 ).
1} Рассыатриваеыые полиномы определяются .по :11одулю х"-1 [54].
2 ) Поскольку двоичные кодовые комбинации Ь (или соответствующие им:,
полююмы Ь(х)] везде СJ<ла.:rываются по .модулю 2, а xn=), то x"± l= O или
хл-J =xn+J.
•
3 ) Легко проверить, что по рождающим для кода (7.~) является также по­
л1:ноы g·(x) = 1+х2+х3.

ОGоз11а;1е­
ннс !{ОДО­
БО!'i кuмби -
11ации
Ь1
]:' ::
Ьз
Ь,.
Ьо
ь6
Ь1
Ьв
bg
Ь!О
Ьн
Ь12
Ь1з
Ьа.
Ь15
Ь16
Кодовая коi\1-
бина ция
(векто р)
1101000
0110100
001 i OIO
ООО! 101
!0111 00
11 10010
1000! 10
0101110
1010001
011100!
l 1001101
0100011
100101 t
0010111
1111111
0000000
Соответствующий полином
Ь(х)
i+х+х3
x -t-x~ +x..~
х2+ хз -;- х5
xs-тxi+х6
1-Гх2+х3+х~
l+х+хЧ-х5
l+-х4+х5
х +х"+х'•+х 5
1-t-х2-t-х6
.\ +х2+хз +хв
1+х+х•+х 6
x--J -x5 +x6
1+х3+х5+х6
x 2+x4 -t-x 5 +x6
1+х+х2+х3+х4+х5+х6
Из к&кой коы-
61шации дан­
ныН Бен.тор
по.пучен цщ<.­
.rшческнм
сдвигом
ь,
Ь1
Ь2
Ьз
Ь10
ь"
ь"
Ь5
Ь12
Ьв
Ь1з
Ь1
Ьн
Ьв
Ь~,
Ь1в
1
ТАБЛ ИН А 5.4
КомбинацIIя образо­
вана сложениеiч
вектором
1-
"
,оазисныи вектор
1
»
»
»
»
»
ь,+Ь2
Ь1+Ьз
Ь1+Ь2+Ьз
ь2 + ь---;
ь1 +ь2+ь.
Ь2+Ь,,
ь, +ь"
Ь2+Ьз+Ь"
Ь1+Ь2+Ьз+Ь.
ьз+Ь:.
Ь1 +Ьз-i-Ь,
Ь1+Ь1
Сопоставим порожда ющий полином (5.46) кодовой комбинации с номером
Ь1= 1101000; Ь1(х)= 1+х+х3
(5. 47)
(1 1нформационныыи считаем 11 =4 си мв-олов справа, соответствующие высшим
степеням х, а проверочными r= 3 первых с11мвола слева) . Осуществляя цикли­
.; 1ес :,ую перестановку сны волов в (5 .47), получае,1 кодовую комбинацию:
ь';= 0110100; Ь2(х)=х+х3+х4.
(5. 48)
Продолжая пш;1-1м же образом, получа ем 3 и 4-ю кодовые комбннац.1ш:
~= 0011010; Ь3(х)=х2+х3+xs,} .
,ь4= 0001101; Ь4(х)= х3+х4+хв_
(5.49)
По •1етырем разрешенным r,одо-вым комбинаци ям цнкпнческого К{)Да (7,4),
1 rа з ываемым базi!сными, 12 остальных могут бы·,ь по.1уче :,ы посредством JJII-
.
11~1r11oro сумм ,иров;1 н1 rя по модулю 2 (с1У1. табл. 5.7).
Не имея возможtюст.и здесь подробнее остановиться на теории
р·н1-::лическ,их кодов :[39, 54], у.кажем м:ратце реал:изац·ионные прнн­
щ1пы кодирования и декодирО1ва •ния.
Кодирующие и декодирующие устрСJйства для циклических кодов
рроятся на баз,е ,сдвигающих реги,стров в ,влде триггерных ячеек,
_охваченных обраш1ыми. связяliVги. В теории ходирования их также
!rазывают многота•ктным·и л,инейными фильтрами Хаффмена.
Роль тр..иггврных ячеек (изображенных :в дальнейшем к1Задра-
1·ш,ом) в рег,истрах ·с,щв,ига свод,ится ,к тому, что при подаче на вхОlд
11чейки дискретноrо воздей,ствия А («О» или «1») ячейка м•еняет свое
?20

сост,ояние Б ( «О» ·ил.и «1 ») на А. Каждое изм,енение оостонния триг"
г е рно й ячейки называю~ такто1м или шагом.
Возможная 1с11руктурная схема 'Кодирующего у1Строй,с1ва ,нз,обра­
:жена на рис. 5.4а. Схема содержит в основном r-ступенный регистр
и ,сумматоры 1по ·модулю 2 (изображе1нные кружком со зна1ком +).
Связи в регистре (v,,), ко -
а)
f!t11fJopнщuн
торы е могут быть ("'k= 1)
•• ·=- --·-·1
r
,·: -- ,..
J<.
,,1
или отсутствовать ('Vk =
· :j::.•"'"1 ~:.
=0), определяются стро -
r,
JJ;c"
t.-
tJ'
1
! IDAG/;'{iJ';
ением пор ождающего по-
+~ --, ~zl--.
+ ---fri-'
1.С.-С.'..-~-
линомс1 (5.43).
~J
,,.
L--~
Кодирующее у стройст-
в о работает следующим
образом . Внач;ы1е Елюч I<
находится в положении
«1».
При этом li=n-г
информационных. симво­
лов, подаваем ых на .вход,
одновременно поступают
в канал связи и в регистр
сдвига, котор ый в началь­
ном положении ,содержит
о)
!1J tаmлаг;т-.;т;-~
-т--4.!...JШ.j'
1
толы,о нули . Когда ин- Рис. 5.4 . Схемы ус·1,ройств для цнк лнческо-
формационные ,символы l'O кода:
к
а) 1шднр ующего ; 6 ) декодирующего
пер еданы, 1,люч
:ттере-
к.щочается: •l! r.оложе1-ше «2», оставаясь там в теч ени~ r пщ:ледvю"
iцi:;·;,: ·ша1·ов pei·l'ic·гpa, i<6т6pbi11 теперь вЫД;аеt; пр6вёi)(JЧНЫё сШ.1§0°
лы в канал. На .вход 'регистра теперь ,1юс'гупают од~ни нули (тс11<
как с у ">rматор сп ра,ва имее т два одинаковых входа) и по истечениJ1
r ша г ов все ячей 1<н регистра снова ока Jывс1ются R начальном нуле-
вом состоянии'
•
Воз можн ая структурная ,схема декодирую щего ус1'рой сгва изоб­
ражена на рис . 5.46. Она со;держ;п ,д ва рег :и,с11ра сд1в-ига. Одш-i
{главный) - дл,ины п, где сигнал за·помJ-1н ается до тех .пор, пока
:не будут приняты в,се ,проверочные символы; · ибо только после это­
-го мож но .вьшсн1ить, ,произошла JI'И оши.бка в кодовой ком·бинацин,
и ее мес'!'о (:пр,и до,статоrчной избыточно,сти :кода) . Второй регист•р
.сдв.иrа дл1ины г ,содержит обратные связи и те же -соединения, что
и регистр на передаче. Декодирующее у,стройст1Во содерж·ит та~<же
и анализатор со1Стояния ячеек ВТ{)lрого реги,ст,ра, ко1о·рый, по су-
ществу, оттр-е.деляе1 синд,ром 1принимаемой ·1,ом,бинации С(Ь').
Р а бо1а декодирующето устрой,ства ,оводит1ся 1, • сле,дующему:
п входных символов ,кодовой •ком,б:инац.и,и запоминаются Б главном
регистре сдв,ита, причем о,zщовр,еменно они посту,пают на второй
реги,стр сдв1иг.а, ,который вначале содержит во всех яч,ейках нулн.
Ана"1изато:р .оостояния регистра на это в,ремя отключен.
После п - го ,симв,ола ·ключ К переходо1т в положение «2» и пре­
краща ет -подачу вх•одных оим'Воло~ на второй регистр. ОдноВ'ремен-
22i •

но ;включает.ся ·в ,работу анал,иза"!'ор. Если ,1юдооая комбинация пе­
реда1на без оши,бо~, rго на п-м шаге все ячейки второго регистра
имеют нули, что и фиксирует анализатор, разрешая одновременно
без 1корре;кции мнфо1рмаrцлонным символам mо,кидать основ:ной ре­
rистр.
Если же на п-м шаге н-е в,ое яч.ейк,и второго ~регистра .на,ходятся
в нулевом сосrояни,и, то произ·ошла ошибка. У,станови·в ошибку,
а также ее место (mр1и достаточной избы110чно·с11И 1ко,д·а) анализатор
по,сылает в сумматор иоправления «1», если требуется испра~влять
СИМIВОЛ, 1по1кид.ающий О·СНОВJ-ЮЙ ,р,еnис11р.
,Поокольку нО1Вое юообщение не мож•ет быть принято до тех пор,
пока 'Иапра~шяет,ся 1прещыдущее, то :в -случае, когда символы на
декодер шоступают непрерывно, нео,бход11мо 1Преду1смо'I'реть неко­
торое буферное уiст-ройстпю (mамять) на входе схемы.
Покажем на конкретном примере цик.iшческого rюода (7,4), позаюляющего
обна ,ружить одну ошибку в кодовой к-омби -нации, рабо'Dу кодера ,и декодера.
а)
А,тлцзатор cocmofl нu я
Рис, 5,5 . Схемы
ц1 -I· кличеокого •кода
а) коди,рующего;
щего
устройс 11в для
(7,4):
б) декод,и ,рую-
Схема кодера показана на рис . 5.5а .
Она построена согласно порождающему
полиному (5.48). Пусть на вход схемы
рис . 5 , 5а подается информащионная пос­
ледовательность импульсов 0110, соот;вет­
ствующая кодовой комбннацн н (5.48). В
табл. 5.'5 показано т ак т за тактом фор ­
мирование им'Пул ьс о в в реrостре. Началь­
ное состояние р е п:стра опр,еделяетс я,
тrемя нулями ,
Для пояснен 11я принципа декоднр о .
вання с исправлением ошибки прн ко.~ е­
(7 .4), на рис, 5.56 показана основная ло­
гическая часть деI<одера: 3-х ступенный
регистр сдвига, собранный в основно м
по той же схеме , что на передаче, 1,i
анализатор его с остояния. Подадим,
сньчала на вход регмстра (ключ /( за м. ­
J(н ут, а ан::,,тватор отключ ,ен) неI-rска­
женную кодовую комбина цию (5,48). В
табл . 5.6 показана смена состояний р,е.·­
гнстра сдвига на приеме зя 7 та1(тов. Подключенный к конц у 7-го такта к реп-I­
с1ру анашrззтор (прн рззомкн утом ключе К) фиксирует н у левое состояние всех ·
его ячеек, а ·следовательно, ·и отсутствие ошибки и разрешает ,информа ционны ;vfi
символам покидать главный р~гистр (рис. 5.46).
Допустим теперь, что в -кодовой комбинации (5.48) п р!! передаче ош11боч1-ю
пр:инят 4-й симв-ол, следовательно, на вх-од регистра 21,екодера посl'упает пос,1 е.­
довательность снмволов
Ь'=0111100.
В табл. 5.7 показана смена состояний рег,истра сдвнга на приеме за 7 тактов·..
Подклю1;,енный к конц::, 7 - го такта к регистру анализа тор (,при разоыкнуто\I:
ключе /() оона,ружит ошиоку. Для определения ее мес-го-положения анализато р~
может зас т авлять регистр делать последовательные такты . Номер тахта, 1:13,
1<0:;оро,м в регистре появляется комбннацля нз единицы в первой ячейке 11 н у­
лен в остальных, н определит номер ошибочного с1нI •вола. Продвигая сочета1ш е
1 1 О (нююняя •строка табл. 5.7) ,по регистру, по лучаем (см. табл. 5.8).
~ 06,наружи'в сочетание 1 О О -на 4-м такте, а следов а тель,но н номер оши­
оочного сим- вола, анализатор посылает оигнал ко:Jре к ци и ( « 1») на сум ),rато р
испра1вления (рис. 5.46).
222

ТАБЛИЦА 5.5
Состояние регистра к концу
Номер так - Вход регистра
такта
Вход канала
1'8
Примечание
No1
1
No2
1
No3
1
о
о
о
о
о
Ключ К в поло-
2
1
1
1
о
1
женин «!»
3
1
1
1
1
1
4
о
о
1
1
о
5
о
о
о
1
1
Ключ К в поло-
6
о
о
о
о
о
женин «2»
7
о
о
о
о
о
ТАБЛИЦА 5.6
1
1
Состояние регистра к концу такта
Номер такта Вход регистра
No1
No2
NoЗ
Приыечание
1
о
о1
о
о
Ключ К замкнут, ана-
2
о
о
о
о
лизатор отключен
3
1
1
о
о
4
о
о
1
о
5
1
1
о
1
6
1
о
о
о
7
о
о
о
о
ТАБЛИЦА 5 . 7
Состояние регистра к концу
~
такта
Примечание
Номер такта вход регистра
~No11No21NoЗ
1
о
о
о
о
Ключ К замкнут,
2
о
о
о
о
анализатор отключен
3
1
1
о
о
4
1
1
1
о
5
1
1
1
1
6
1
о
о
1
7
о
1
1
о
223

Досто,инств,ом циклическ,их кодов, особенно ·кодов Боуза-Чоуд­
хури {3], является то, что они отно·сительно 1Просто rпозволяют обна­
руживать lf 'ИIОПра'Влять па1кеты ошибо1к (т . е. целую цепочку сл,е­
дующих друг за 1друго.м ошибочно приняты х символов). Это о.бстоя­
тель,ство существенно для ,иопользования ц;и1к Л'ических :код•ов в ка ­
налах с ,ко:р•реЛ'ированны1ми ошибкам,и (нап-ример, 'П'роводные кана­
лы с пакетам 1и имmуль,оных mомех, .каналы ,с медленным 1и, но глу ­
бокими зами·ра,ниями 1сигналов и т. д.).
Многообещающей следует ,считать процедуру .мажорuтарr-юго
декодирования, [I1Р'именимую для некоторых классов двоичных ли­
нейных, в том ч,и,сле ци1кл1ических, кодов (3, 53].
Основана она на том, чrо в этих :кодах ,каждый информац:нон ­
ный символ м,ожно нееколь,кими способами выразить через друmе
символы К-СJ1до.в,ой ком~бинац1ии. Р азщельные пр,оверки выно,сят ре­
шения :в поль•зу «О» или « 1», а 0 1конч ательное решение п о каждому
из информационных символов принимается по прилциmу большян­
ства . Реализуя1сь отно1сительно про,сто ,по,оред,ст!Вом регист,ров сдви­
га, мажор~ита-рное декодиро1Вание за , метно 1J1овыша-ет в•ерность связи
по отношению к обычному поелеме~нтному :приему, ,:то,сколъ:ку здесь
осуществляет,ся свое,образный разнесенный прием сюобще,ний {см.
параграф 9.2).
ТАБЛИЦА5.8
Состояние регистра к концу такта
-
Начальное
1
1
1
о
Jlрнмечанне
НGмер так·rа
состояние 1
1
No!
1
No2
1
No3
1
о
1
1
Ключ К отключен, анали-
2
1
1
1
затор включен
'
3
1
о
1
4
1
о
о
В техн.ике связи широ1ко пр~именяется блочный, ,но не лин _ейный
код с постоя/ii-/.ЫМ весом i[32]. Это двоичный ра1вноме,р;ный п-разряд­
ный код, в ,котором в1се ком6инац1ии оодержат ,одинаковое число
п 1 единиц. Очевидно, Ч'Ю число ра,з1р-ешенных кодовых комбинаций
здесь равно: К=С~•. Так, например, при n=7 и n1=3 число кодо ­
вых комбинаций К= С~= 35. Такой к,од им·еет .кодовое ра·с·стояние
dmin=2. Он позвюляет о,бнаружиазать все ,ошибки, mриводящие к И'З­
м-енению числа ,ед1иниц в кодовой ком,бшнации. Не обнаруж,иваются
так называемые оши,бки -см.ещения, ~югда в п,ределах кодовой ко.м ­
бинации число единиц, ,превра-гившихся в нули, равно ч,ислу нулей,
пре:вративших,ся в единицы. По этой лр1ичине код с по,стоя нным
несом !Пол1озен для систем с обнаружен,ием ошибки 'В неоимм-етрич­
ных ка,налах, когда оши,бк1и ,смещения мало.вероятны.
224

Прим·е,ро1м неблочного кода, июпол ь з уе мого в те хнике .связи, мсr­
жет служить рекуррентный или цепной код {54]. Э110 ноорерывный
код. В 1П ростей ше м его ,вар н а.нте .информационные символы чере ­
дуются с п роверочными , ·образуя 1После;довательн ость
Ь1, ь1.2, Ь2, ь2,3, Ьз, Ь3•4, ь4 •••,
(5.50)
где Ь 1~l-й информационвый ,символ, лринимающий з,наче н~ие «О»
или «1» в соотв,етствии ·с передаваемым сообщением, а Ь1, 1+1- про­
верочный •С'ИIМВОЛ, ,01п ределяемый уравнением
ьz. 1+1 = ьz+ ь1+1,
(5.51 )
причем •слож,ение произ!ВОlП!ИТСЯ по модулю 2.
Цепной к·од, 1соде:ржащий на п •СИМ'Волов k информационных час­
то обозначают (k/n), ,в част,но·сти, код (5.50) обоз,начают (1 / 2) 1[54].
I(одирова.ние и декод,ирова:ние посредс'Гвом рек,уррентного кода ( 1/ 2), удов­
ле11воряющег,о соотнашен.иям (5 .50) и (5.51) , можно выполнить -посред,ством
регист.ровых схем и сум,мат,оров, псжазанных на р,ис. 5.6, где СС - схема со-вп а­
дения, которая при наличи11-1 щ;вух ед1rниц на входе выдает в сумматор испр ав­
летш •едюr.и ц~у.
Ошиб ка пр.и приеме ю1дного инфор м ационно го символа Ь; при·вод,ит к тому,
что (5.51) не ,выполняется для д,вух проверочных символов : ь;_1,1 и ь;,z +~
Поэт ому алгоритм деюодиро ва ния можно вырази ть так : ecJDи (5.51) не выпоЛ,­
няетс я для двух соседних провероч­
ных символов, то следует изм•енить
находящийся между ними информа­
ционный символ на пр-отивополож­
ный.
Цепной код (5.5 0) позволяет ис­
правлять од•шочные ош ибк и, распо ­
ложенные на любом месте п ри усло ­
в нн, Ч'ГО :1,1ежду двумя любыми оши­
бочно принятыми имеется по кр ай не~!
ме ре, три правильно прпнятых симво­
ла . Это леrко показать , исследуя ал ­
горитмы проверки (5.51). Цепной код
отлич ает ся относит ел ьной простото й
кодирования и декодирования . Неко ­
торая модификация, заключающаяся
в другом расположении СИJV\ВОЛО В,
входя щи х в п ров ерку (5.51), по з воля­
ет цепным кодам исправить и «лаке т ы
ошибок» (54).
1!111рорма-
·
•
ццонные ~
11
~--s,•(i+~, if-синхронныО.
1-
у 2'1ключ
_
_ _____
1
L.~
Пробеfl_очные
tJ канал
сим8олы
lflllJ}OPМ!l·
r
ционные i- --- ~
.умматор
•
1 симОолы
~ испрабления
Нзканала~
•О+r
-
2
••
_J
/(-синхронный
•
•
мюч
ПроОедочные
сим!Jолы +
Ри,с . 5.6. Схемы .устройст,в для р·екур-­
рентного кода ( 1/2) :
а) коди р ующего; 6) декодирую щего•
К рекурр ентным неблочным
кода, м моЖJно условно отнести
кодиров ание :в диокретных си·стемах овяз.и ,с относительной мани­
:1уляцией фазы (параграф 2.1), а также дельта - кодирование, ис­
пользуемое в системах, в которых непрерывное сообще.ние пер е­
дается дискретными методами (1па1раграф 7.10) .
Контрольные вопросы
1. Как м,ожн,о объяснить ндею обнаруже1-1·ия .и нс пра,вления ,ошибок и стираний
:п,ри язбыточ,ном ,1юд,ировании?
2. Как можно через dmin заш1сат ь дост аточны е условия обнаружения ошибо к
и исправле н ия ошибок и сти раний для произвольного блочного ·кода?
8-38i

3. 1,акова должна быть заJЗ1иси,мость dmin от длины кодовой комбинации 11
(п ,р,и 11---+со) для того, чтобы блочный код в д•во нчном одно.родном с;1м,м с т ­
р1 1чнюм канале без памяти мог бы при к од:и,р.ова1-11111 ,J,ш:н.ных цепоч е1, сч 1 1-
таться близким к оптн,мальному ,по К. Ш енnону'?
4. В чем ,причина того, что л-и,нейное ·код,ирование праQ<Тичеt:юи ,реализуется зн а -
1ч.итель·но проще, чем общее бл,очн-ое код,и.рование?
.
5. Какой линейный код (п, k) называют совершенным, квазисовершенным и
«О[ПШ-малыным»?
б. ,В ка,кам случае линейный код (п, k) называют <:и,стема'I'ическим?
7. Ка ,к оп:ре<деля-ет,ся избьгючнос ть Рн и dmin для произвольного линейного
·кода?
. 8 . Как,овы пр11<нци1Пы код,иро11ания и декодирования пр~~ линей·ных (п, k) кодах?
'9 . В че~1 оообе:нност.и технm<и 1ю,щи.рова,ния ,и декоди,ровання ,пр,и щ1.клических
(п, k) кодах? Что такюе по.рождающий .полином?
10. В чем идея мажорита,рного де1юдирова:ния .избыточных кодов?
11. Какие коды назьпвают рек,ур,рентными илн цепными?
5.3 . ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИЗБЫТОЧНОГО КОДИРОВАНИЯ
Растущее <чи1сло различ.ных сис1'ем ,свя,зи ' и 1Помехюустой:чивых
кюд1ов д.иктует ,нео1бходимость вырабо11ыи критериев для их о,бъек­
тивного сра1внения между ообой. Для ·блочных 1ко;II;ов п1ри зада·н- .
ной длине кодо1вой :комб.инац~ии ·и избыточности ,рк таким .кр-итерием
в ,известной сте1Пенш .может •олужить вероятно•сть ошибочного де­
кодирования кодовой комбинации Рк или минимальное кодовое
раос'Гоя:ние м,ежду разрешенными комбинац:иям,и dmin, так ~как чем
больше dmin пр.и у'iКазанньiх услоsия,х, тем выше_ верность связи.
Одна1ко ча•сто ттриходiИтся •сравнивать между юобой коды различ­
ной длины и 1избьrт0Чiно1сти. В этих условиях удобным 1Параметром
для сра-внен-ия .ко1дов являет,ся экш1ивалентная в е1роятностъ ошиб ки
Рэ, в.веденная Л. М. Фи:нком ,[53].
Поясни м смысл этого параме1'ра 1для дв·оич.ных линейных кодов.
Предположим, ч·ю ·в некото1ром .иоследу е мом к ан але А рассмат­
риваемый код (п, k) обеюпечи-вает -в ероятность прав1Ильного деыо­
диро·вания 'Ксодовой комби;нации Qк= 1-Рк. Ра1ссмотрим тепер ь
воображаемый дво'И'чный сим метричный ,канал без rпа м ят,и Б, в ко­
ТОlром те же k ·информационных ,символов передаются примити113 -
ным ,кодом при в1ероятнос11и ошибочного приема эл ем ентарно го
символа Рэ• До1Пу~стим также, что ,вероя11но,сть ( 1-Рэ ) k 1правилыюг о
приема всех k информационных оим·волов в :канале Б такая же, к а к
в 'Канале А, т. е.
(5.52)
С точ,ки .з1рения верности ,передачи информации ханалы А и Б
можно считать эквивалентными, а Рэ у1ме1стно назsать эсrшивалент­
ной вероятностью ошИ\бок для канала А при зада.н1ном ,коде или
в •более ши1роtком плане экшивалентной вероятностью ошибки ди1с­
кретной -системы (оП!ре,деляемой типом кода, с1Пособом модуляции
и ·овойст,вамл :ка нала) .
22б

Вычисл1ив тем -или иным апособом Рн; можно опрещ:елить э·кви­
валентную •в,ероятность ~ошибки:
(5.53)
В п1ра1к'ГИ'Чеаки 13ажных случаях, когда Рн « •1, воспользовавшись
формуJюй ~бино ма Ньютона, ~получ,им
Рэ-;::;:;1- (1- Р;) =Р; .
(5.54)
В 1ка~ч·естве rшрим,ера оце·ним эювивал-ент,ную в-ероятность ош ибки
оnи,санно го выше л•инейно1Го кода (7,4) при ·и~апользовании его в
симметричном канале ,с rвероятно·стью ,ошибо~чного приема элем·ен­
тарного ,сим!Вола р 0 . :К:одоsая ·комбинация ,оОЩ:ержит n = 7 ·символов
и k=4 двоичных единиrц информации. Код позволяет и~оправлять
в.се одиночные ,ошибки. Поэтому 1комбивация будет д:ек-од:ирована,
правильно, -если в,с,е ,оимволы 1приняты верно либо один ·из оем,и
сим.волов :п·ринят ошибочно. Полшгая, ~что элементарные символ ы
искажаются незавrи:1симо, имеем для веро,ятно•сти iЕра1Вrильно.го дек,е>­
дирования
(5.55 )
Прн Pa«l, •польз уясь фор~мулой бинома Ньюто•на и ,пренебрегая
ч.1енами :порядка р5, получим
1-Рк~ 1-7ро+2р5+7Ро-42р5 = 1-21р~.
Таким образом, Рн~21 р 02 , и на основании (5.34)
Рэ ~ 21р5/4 = 5,25р5 .
(5.56)
Из получ·енлой фо-рму,лы сл-едует, что эффективно·сть 1к,орректи ­
рующего .кода тем сВыше, ,ч,ем меньше исходная вероятно1сть ,ошибки
Ра в канале . Та1к, из (5.56) имеем, что для раосматривае1мого кода
при Ра=О,1 эквивал-ентная вероятно,стъ ошибки Рэ~О,05, т. е. лишь
вдвое меньше, чем ,дл.я примитивного кода (у 1ют,орого, оч,евидно ,
Рэ =Ра). Топда, как пр'И Pa=l0-3, обеопечивает,ся сущестs·енное по ­
выше1-ше верности, :по1скольку Рэ=Б,25-10-6•
Выясним, т,е[1е~рь, 1ка1К вависит Рз от свой•с-r,в ,непрерыв1Ного ка ­
нала, в1сегда входящего в ди·сж-р·ет,ный, пол•оЖ'ив для определенно ­
сти, что используются двоичный код (п, k) и элементарные сигна­
л ы, ортогональные в усиленном смысле (система ЧМ).
Сначала положим, что осуществляется поэлементный П[f'fП~м
в гауооовом канале с неопределенной фазой, При о,птимальном -и.ри­
ем,е вероятность ошибочно1Го ,п,риема э-"'ементарного ·символа (;CTil.
пара,гра,ф 6.9) 1
(5.57)
(5.58)
fJ/27

,,де Gш - {)Пектральная плотность шум а; Р с, Е с
--
средняя мощ ­
ность 'И энергия [Юсыл1ки элемента сигнала длительно,сти Т на тте­
редаче; К - коэффициент переда'Чи ~канала, который rв ·рассматри -
, ваемом кшнал,е -С'Читается . неизменным ,на ·интер 1вале кодо;~юй ком­
бинации, 'Ч11О обу,слОJвливает выоокую ~степень корреляции прию1 -
ма·емых С'ИМ'ВОЛОВ.
Сра;в н е,ние ~различных ,систем между ,с-о-бой 11ю эквивале:нтной
вероятно1сти оши,бки Рэ 'разу~мно вест;и пр·и неизмеН,НОЙ информаци ­
онной окl()lро,сти
J'=v (l - p)=-
1 _!:___
к'
к
Теп
(5.59)
и оре:дней мощности с иг нала К2Р с в месте пр1иема.
Если фи1кс'ирова1на и ,спектра льн а ,я плотно,сть мощности помехи
в канале Gш, "ГО и·нвариантом с-ра,внения яrвляется :параметр
/(2Рс _ !(2РсТс
?.n
h2=
--
-
-
·-- =
!i-
-
.
э GJ'
k
k
ш
-Gш
(5.60)
п
Напишем поэтому ф -.лу (5 .57) та~с
1
(-kh; )
1
( /,/(ЦJС )
р=-ехр -- = -ехр
~- --
.
2
2n
2
2пGш.!'
(5.61)
При исполюо,ван.ии ,к ода (7,4) 1с учетом (5 .56) и (5.61)
р (7,4) = 5,.25exp ( - __i_h2 ) = 5,25ехр(- 4К2Рс).
э
1
7э
4
7Gшl'
(5.62)
:Если 1в том же ка,нале ,иmюльзует,ся ,п,ри1миТ'ивный аюд, то
I
( h;)
1
( ЮРс)
Рэ(п,п)= -
ехр\--
=-
ехр---
.
2
2
2
2Gшl'
(5.63)
Отношение м
~ i/i = PэilPэi (при J' = const; h; = const)
(5.64)
определим выигрыш в дан:но,м ·канале по э:~вивалентной ·вероятно­
стrи ошибки 1П1р ·и 1пе~реходе от i - й си1стемы 1к j - й системе.
Считая в качестве :i - й сиrст•ему, :в которой и,сполъзуется прими ­
тивный код (п, п), а в хаrчестве j-й си,стему, в ко·юрой используется
. ко д (7,4), им,еем
р3(п.п). 2
( 0,5h~ '\
-
-
ех
~i/i - рз(7,4)
-
5,25р--7-)•
(5.65)
Ча,сто ,при сраrвнени'И эффекти .в1ности систем вводи1'ся па 1раметр
эне1ргетичеокого выигрыша (~проигрыша) Y]it.i пер ехода от i - й ои­
<;::темы rк j-й, о'Пре,д:еляемый соотношением
Y]i/i[дБJ = 10Ig ( ::: ) (при J' = coпst; Рэ = coпst). (5.66)
228

Следонатель:но, Y]i! j [Юказывает, .на1сжо.irько должны отличать·ся
:.1ощности ,си1Г,нала ·в ,сравни!Ваемых сист,емах, чтобы в них пр~и неиз­
менной инфо,рмац,ио:нной ,скоро1сти J' ,обеопечива.лась одна и та же
э1,шивале1нтная вер,оятно~сть ошибк,и р3. Сотла•сно ф-лам (5.62) и
(5.63)
h;(7,4)= _!_ln(. 1
'
31 );
4
Рэ
h; (п, n)= 21n (-
1)
2рэ
J
и в канале с неизменным з·наче ние1м коэффищиента передач1и К
~;/;(,u;J ~ 101) [ SJ, (i;,)( J
)]]•
l1 ln(2•1,31)+In -
.
2рэ
(5.67)
В обла,сти достат,очно малых ошибок (Pэ~l)YJi /i~ . l0!g (1,14) ~
~ •0,6 .д,Б .
Бели считать, что ко,эффициент пере1дачи ка:нала К не остает.ся
постояш1ым во времени и слу~чайно, но весьма медленно м.еняет,ся
(медленнее зами,ран~ия в :канале), та1к что .на интервале кодо1вой
1юмбинац'И'И пТ с может считаться почти не:изме:нным, то эквивалент­
ную вероятность ошибки при ,примитивном .коде (п, п) и коде (7,4)
можно о;пределить усреднением !ВЫ!ражений (5.63) и (5.62) • по К.
Сч ,итая, что К име,ет ·распределение Рэлея
2k
I
k2)
ffi1 (/i) = к2 ехр (- к.2
,
получаем :по•сл,е :инте1Грирования :
со
Рэ (7,4) =
_5,_25 sехр (- _4P
_ck_2) ffi1 (k) dk =
__1
_
~_
31_
,
4
7GшJ'
1+_ h.2
о
7э
(5.68)
00
•
1J(Pck2)
1
Рэ(n,п)=Ро=-
ехр--.
-, ffi1(k)dk=~ ,
2
2GшJ
2+ h3
о
(5.69)
-
2
к2Р
2
где hэ = Gш/ - ~ореднее з·начение для hэ
Выигрыш mo эк·вивал-ен11ной вероятности ошибки и энергетичес­
кий ВЫИ Г!рЫШ ,при ,переходе от ,ПрИМИТИIВНОГО кода к коду (7,4) в
:к анале с м,едленными рэлеевюким~:и заrм :ираниям :и
4-2
1+- h
7э
(5.70)
229

В обла,сТ!И ма·лых ошибок (когда Рэ~ 'l, ·р3 "';;}> 1)
~i ! i;::::::; 0,4; 11;/i ~ - 4 дб.
Таким образом, при медленных рэлеевских замираниях иаполь­
зование из,быточното кода (7,4) вместо примитив,ного ведет не
к выигрышу, а к про:игрышу. Это объя1сняется тем, что укорочение
дл;ителыю ст,и 1гюсыло·к [для обеспечения :при коде (7,4) той же ин­
фоrр:мащионной окоро'С'ги, что и при п·р'ИИИТИiВНОМ ,1юдировании], а
соответственно уменьшение энерт,етичеокого nо·казателя h2, !Ведущее
к потере поиех1оуст,ойчиности в данном канале (когда отдельные
эл 1ементы ,сигнала ,сильно нзаимо1юррелированы), не м,ожет быть
ском1пенои1рова:но ,иоПlра!Вляющей опо,собностъю изrбыточного ко­
да (7,4).
Можно показать, что увеличение скорости замираний в канале
(флуктуаций коэффиц~иента К), опо'со6ствующее декорреляции
(ослаблению вероятностных связей) отдельных элементов принимае­
мого сигнала, повышает эффективность избыточного 1кодирования .
На са1мом деле, допу,стим, что ~ )'iелов,иях быстрых замираний коэф ­
фициент пере1дачи канала К должен ~считаться случайно меняю­
щимся от одной элемента,рной посылwи к другой. Тотда вероят.но,еть
ошибочного •приема эле.мента еигнала р0 ·при оптималь;ном ,приеме
может быть определена усреднением (5.57) по К. Считая, что К
имеют ра 1оп1ределение Рэлея, ,получаем
Ро=
-2k
2+h -
эп
(5.71 )
Для эквивалентной в ероятности ошибюи при коде (7,4) соглас ­
. но (5.56) теперь следует результат
Р,(7,4)- ( \'~ )' ,
2+- h2
(5.72)
79
1
в т о вре м я хак 1при при и и1'ив:ном 1кощировании Pa(n, п) = ~ .
2+ h;
В области малы х ошибок при ,быстрых рэл•еев1ских за,миранияiХ ~
/1)
Т/i/i[дБ];::::::; 101g \4 УРз •
(5.73)
Та1к 1при Рэ= 10-4 : Bi/ j ;::::::;600; hi!j;::::::; 14дБ.
Излож,енное выше иллюстри,рует ·неабходiимость учета свой,етв.
реальносо канала при 1выборе того ил;и иного rода. Код. приемле­
мый для одного :ка,ш1:ла, может окаватыся 1совершеюю неприемле -
230

,мым для ;П;руго ло канала. Под:черкнем, что сред~ством улучшения
эфф ективноеги избыточного кода является декорреляция ошwбок
rв прием,е элемента·рных ,сим1Волов. Очевидно также, что, каков бы
ни б ыл ,код, верность связл ул учшается, е~сли прием,но,е уст,ройство
м иними з иру ет в1ероят;но,сть ошибочного пр1иема элемента1рного сим­
вол а . Как это щелать, ка.ковы предельные во з можности повышеJ1ия
помехоу,сто йчивости 1Поэле~ментного 'При е ма диокретных сообщенлй?
Эти и другие 1вопро·сы, связанные с 1Пер,едачей дискретных сообще­
ний IПО непрерывному канал у, бущут раосматриватыся в следующей
главе.
Контрольные вопросы
l. Что ,понимают под экви,валентной вероятностью ошtl'бюи иосл·едуемого ка.нала
пр111 заданно,м коде р,?
2. I<:ак вв.одят ся пок,азателн выиг,ры ша по экв ивалеН1шой в ероятнос11и ош и б1ш
~i /j ·и э·нергетического выиг ры ша hifi , связанные с переходо м от i-й систе­
мы к j-й?
3. Ч е м объяснить малу ю эффек п~в,нос'!'Ь 11з б ы·ючног о кюдиров а ния код ом (7,4)
1П ри мед л енных заrм1ира ни ях в канале и б ольшую эффект,ИJвность э того кода
в условиях быстрых зам,нраi-IИй?

6 ГЛАВА
Основы
приема
u
теории помехоустоичивости
дискретных сообщений
в непрерывных каналах
6.1 . ПОСТ АНОВ:КА 3АДА~И ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА
СИГНАЛОВ
Как уже от,мечалось, в•ся•IQИЙ св,язной оигнал (несущий информа­
цию) я1Вляе11ся .для tПолуrча1'еля ~случайным про~це,осом - дискрет­
ным по о,п,номrу ,или нескольким информационным параметрам или
же непrрерывным по этим пара1метрам. Однако это обстоятель'С'гво
само по себе не преmят1ствует правильному (1без,оши>бочному) прие­
му передаваемых сигналов, если в процессе передачи они
не подвергаются нек.он-rролируемым ,иокажениям. Наличие ж-е ис­
кажений и !ПО>мех ·в ·ка:нале приводит к тому, что в дискретных си­
стемах приемно·е у1стройство не все-гда выдает тот элемент -сообще­
ния ак, который в действительности передавался, а в непрерывных
системах сигнал на выходе детектора не тождесТ!венен передавае­
мому пер1вичному сигналу. Все же и в этих условиях возможно по­
ставить воп•ро,с о •построении приемноiГ•О устройства (,реша ю щ ей сх е ­
мы), наилучшим образо,м обрабатывающего поступающие на его
вход ,сnгналы, что о>беопечит ,предельно до•стиж-имую верность прие ­
ма оообщений. Та1ка,я задаrча впер:вые поставлена ,и решена в рабо­
тах выдающегося советскоiГо ученого В. А. Котельникова ,в
1946 г. 1[27]. Приемное устройст,во, о.бе,спечивающее предельно до­
стижимую верно•сть •приема сообщений в этnх у,слоБ'иях, •называется
оптил1длы-~ы;1,1,. Однако воз,никает вопрос: 1шк в то м или ином слу­
чае определ ,ить степень вер ,ности прие,ма, что д:олжно -сл у жить кри­
терием этой верности и соответств•енно оптимальности пр•иемного
у,ст ро Й·СТIБ а?
Та-кие критерии, •всегда осно!ва,нные на учете вероятностны х за­
кономерностей, ,присущих источнику сообщ ений и канал у связи ,
называют-ся стати 1стичес1 :-и л 11И кр1итериями приема ·сигналов II мо­
гут быть .р а:з:ным-и ,в раз личных конкретных слуrчаях. Если стат;1-
стический 'Крит1ерий пр -ие м а с игналов •выбран, ,оказывается возмож­
ным пос11роить ал1Горитм работы приемника (т. е. указать правило
для лриняТJия ·решения ,о юередаваемом оообщении ,на основ,е обра­
ботки ,rюступающих ,сигналов) и наметить пут-и их схемног0 ре­
шения.
232

Сле:дует отметить, что тео,рия оптимальных методов приема сиг­
налов, развитие ,которой начато работами В. А. ~отельникоша, ока­
з алась более конструктивной, чем теория оптимального кодиро­
вания, основу которой заложил К. Шеннон. Дело в том, что, как
уже отмечало1сь ·в гл. 4, полученные К. Шенноном глубокие теоре­
тические результаты вскрывают и систематизируют основные тео­
ретико-инфо1рмационные законо,м ,ерности ,. .ко не . намечают. путей
пра,ктичес1юго 1Построения о:птималъных (идеальных) еи стем связ~и
в целом . Для ~заданного ,и1сточника сообщений теория оптимально,го
кодирования, ,по 1к райней мере на сегодня, не дает еще !Приемлемых
iПрактических -рекомендаций для пос1'рое:ния нужного .1юда и схем­
·ного •р,еше ния процес са опт,имальной tПередач~и сообщений.
В то же время статистическая теория оптимального приема, при
за.данных условиях на передающем :конце, непооредственно вед!ет
к tПостроению ,схемы оптимального приемно1го устройства и поз1Во­
ляет численно о·пр1еделить мшкимальную (предельно :достижимую)
верность приема.
Т,еория оп11ималыных методо:в приема лучше всего развита для
дискретных ,систем связи. Это в <большой сте1пени о6условл,ено тем,
что при · передаче ,д,искретных ,сообщений можно пользоваться щюс­
тым, удобным и ·вполне исчерпывающим ,мерилом качества пере­
дачи - вероятностью ошибочного (или п·равильного) П'риема от­
дельных эл,ементов дискретного ,сообщения .' В этой гла!Ве будут
расС11ютрены методы приема диск1ретных сообщений и оптималь·ная
обработка лриемн,иком 1еоотве11ствующих им сигнало,в.
Не ,следует ~думать, что в простейших случаях инженерные ре ­
шен ия для схем приема, предшество,ва1вшие возникновению тео·рии
оптимальных методов приема сигналов на фоне шумов, существен ­
но отличаются от оптимальных . Например, давно ,разработанные
на основе 'Инженерной интуиции схемы приема сигналов класси­
чес кой АТ, ЧТ, ФТ в относительно простых каналах весьма близки
х оптимальным ,схемам, подсхазы1ва1емы:м теорией. Однако ~при раз ­
работ,ке :сложных систем, например, -ра·сочита-нных для -работы в
тяжелых условиях ,м ·ноголучев,оr,о расттространения, ра.зличных ко ­
дово - им~пулысных си,сте.м, ,построение оптимальных решающих схем
:приемного устрой,ства возможно толыкр с учетом ·резулъта11ов тео ­
рий О'птимальных методов приема.
Ознакомимся тетт1ерь 1со статистическим ~подходом к задаче прие-
..ма
дискретных 1соо-бщений на фоне шумо1в. Пусть при -передаче дис­
кретных оообщений, 1за'КодирО'ваю-1ых кодом ,с основанием т, на
rперещаче нспользуются реализации ·канального си~гнала si (t) (О~
~ t ~T), соответствующие кодовым сим1волам bi(,i = 1, 2, 3, ... , m).
На интервале анализа O~t~T 1 ) на вход приемноло устройства
постула,ет колебание Z(t), которое в·следсТIВие помех ,и дру~п,rх иска­
жений не совттадает в точно1сти ни с одним из ,сиг:нал-ов si(t). Сле -
1 ) Начал о эт оrо ,интервала условно со:вмещаем с началом .1юор,динат.
233

довательно, в этом ,случае lfl:pиeM,НOe устройстsо 1при отсут~твии
стираний 'ОИМ'ВОЛОIВ ДОЛЖНО выбрать одну и:з m ВО'З.М:ОЖНЫХ ·взаимо­
исключающих (алътерна11ивных) ,гИ!потез:
передавался ,кодовый ,символ Ь1 l[т. е. сигнал s1(t)];
передавался к•одовый ,символ Ь2 :[т. е. сиг.нал s2(t)];
передавался кодовый символ Ьт fт. е. ,сигнал sm(t)].
Одни приемные устройства могут отли'Чаться от друтих, приме­
няемых в той же системе •связи, тем, 'ЧТО при ,приеме к,онкретной
реализации z(t) они выберут разные из iJка·занных m гипотез .
Сово·куп,Ность в1сех ,возможных реали за ций z(t) ,можно геом,етри­
чески .интерпретировать 'I'О~чками .в прост-ра-нств,е принимаемых сиг­
налов. ~Строго говоря, оно является бесконечномерным прост.раНIСТ·
вом Гильберта ~или, с ве.которЫ<М'11 (пр.иемлемыми для практик,и)
оrо1Ворка,ми, .многомер:ным пространством Ев,клида. Простоты ради
будем •графически иэоiб•ражать р,еалазации принимаемых -сигналов
s'i(t) и помехи u(t) длительност-и Т точкам1и на плоско1с-ги (рис. 6.1)
или ·соотs·етствующими нектарам.и. Если алго.ритм iПриемно,го уст-
z(t)='sf(t)+ii(t)
01
рой:ства !Выбран, то это оз:нача­
ет, что ,каждой точке простран-
Щt)
ст.ва (плоокости) принимаемых
ff2
колебаний z(t) = s'(t) +и(t)
:приписывается одна и только
одна из m-гипотез, т. ·е . опре­
деленный передаваемый кодо ­
вый •символ bi, Плоскость, изо-
ffк
бражающая 1прос11ранство лри -
Ji!!.. __ _
нимаемых сигналов, 01кажется
~_
..:_.
,при этом разбитой на т нeпe-
z(t)=s ,;(t) +u.(,)
ресекающихся о бластей В,,
Рис. 6.1 . Раз·биения .простра,нст,ва 1Пр.и-
каждая из которых •соответст-
ни,маемых колебаний (оrгнал+шум) .вует принятию определ енной
н а непересекающиеся обла:сти (под- г,ипотезы. В такой тра1ктов.ке
про·странс11ва), соответе'l'вующие при-
нятию одной из альтернативных ги- различные приемные у,стройст-
потез
-ва отличаются друг от дру,га
способом разбиения интерпре­
тирующей плоскости :на области Bi, т. е. алгоритмом принятия ре­
шения. Возможное ,разбиение -и.нтерпретирующей плоскост.и на об­
ла1сти Bi ,схематичеоки показано на 1р:ис. 6.1 .
.
Пустъ принимаемое колебание на интервале О- Т есть z ( t) =
=s:(t) +и(t), где s'(t) -,полезный сигнал в :месте приема, •прошед­
шии канал с~вязи, а u,(t) - реализация аддит,ивной флуктуационной
пом,ехи с нулевым 1оредним знаll.[ением.
Бели помех нет, rвозможные зна'Че.ния z(t) ,изображаются на
интерпретирующей плоскости т точками s; ( t) (j = 1, 2, 3, .. ., т).
При :нали'Чии !Помех и mереда'Че .сигнала с номером -i точка прини -
234

маемого ,колебания z(t) откло.няе11ся от точки s; (t). Так ~как в ,боль­
шиJI.стве случаев более вероятны малые отклонения, область Bi
включает в ,себя точку s; (t). Однако решение приемного устрой-
ства оказывается правильным лишь ~в тех -случаях, 1КО['Да при пере­
,цаче кодово1го сиМ'вола bi [IOMexa не выводит 11очку z(t) за пределы
области Bi, В противном случае возника·ет ошибlКа. Очевидно, ,из­
меняя границы между областями, можно влиять на вероятность
ошибоч:ного приема отдельных передаваемых симsqлов. Например,
если в раз.биении, показанном на ри,с. 6.1, расширить о'6ла,стъ Bj,
изме,нив ее границы с областью Bnet=j, то уменьшится вероятность
ошибочного приема символа Ь ~ !Вместо ,передаваемого символа bj.
Однако в этом случае во.зрастает вероятность ошибочного приема
ь;при передаваемом Ь1,,.
Тем .не менее в•сегда существует такое .ра'Сlполож,ение обла:стей
Bi, которое в определенном омысле лучше в,сякого :другого. Напри­
мер, если ,символ Ь1 ,переда,ется очень часто, а все другие т-1 сим­
волов - чрезвычайно ред~ю и, кроме 11ого, важ:но, чтобы :как можно
меньше nередаваемых ,символов принималось ошибочно, то целе­
-оообразно ра·сшир,ить обла,сть В1 за счет остальных обла1стей .
Бели задан критерий оптимальности, то наилучшее разбиение
пространства прини,ма,емых сигнало!В, а следователь·но, и оптималь­
ная 1решающая схема приемного устройства находят,ся методом тео­
рии статистических решений.
Контрольные вопросы
1. Какое приемное у,стр:ойство (решающую охему) назы,вают оптимальным?
!. Что понимают под ал11оритмом работы приемника (решающей схемы)?
З. К: цровер1{е каких альтернативных гипотез сводится прием ,дискретных сооб­
щеашй в непрерывном канале с шумами?
4. На сколь.ко неп ересекающихся обла,стей принятия решения Bi следует раз­
бить прос1'ранство принимаемых сиг,нал•ов z<(t) при лередаче двоичных сим-
1 волов и нопользавания стирания?
:5. В ч ем Вы В'И\д.'ИТе смысл оптималь,ног,о разбиения простра11ст,ва пр.инимаемых
сигнал,ов z(t) ,пр,н передаче дискретных сообщений?
6.2 . КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА ДИСКРЕТНЫХ
СООБЩЕНИЙ В НЕПРЕРЫВНОМ КАНАЛЕ
Р ассмотрим 1снача,JJа широко ра·спростра;ненный ·критерий иде­
ального наблюдателя. Пу,сть выбрана нек,оторая решающая схе,ма,
т. е. для всякой реализации z(t) известно, к какой области она от­
носится. Зная 1сво й ства канала, можно опред,елить в П'ространстве
принимаемы х колебаний условную (iВообще говоря, многомерную)
плотность расп,ределени я вероятностей прихода юигнала z(t), т . е.
функцию w(z/ bi), 111ри условии, что пер-еда;вался ,символ bi, Инте­
грируя w(z/bi) по области Bj, найдем условную вероятность того,
235

что да·нная решающая схема ре.ги1стрирует символ ь;=t-i , когда пе­
редавался симв1ол bi:
P(b;;bi) = f w(z/bi)dz.
(6.1)
Bi
У,словная вероятность пра·вильного ,п'Р'иема си.мвола bi
Р( ь;;Ь,) = f w(z/b;/)dz.
(6.2)
в,
Пол,ная вероятно,сть 1правильного приема (любого сим·вола ) на­
ход:ится по формуле по1Лной вероятности
т
т
q = LP(bi)P(b;Jb,)=I f P(bi)w(z/ bi)dz,
(6.3)
i=l
i=l В;
где P(bi) - апр,иорная вероят.ность передачи оимнола bi.
К:роме апр.иорных вероятностей Р(Ь;), вероятность rправильного
пр 1иема зшвисит от ,свойсТ'В rюмехи в -канале, определяющих услов­
ные плотности ,w(z/b;), .и от оrюооба ра•збие,ния пространсТ"Ва при­
нимаемых ,си,r;наJюв на облас11ей В;, т. 1е. выбора решающей схемы .
К:ритерий идеального наблюдателя сводит.ся к тому, что опти маль ­
ной ,считается та 1кая решающая схема, х1оторая об е спеч.ивает УШК­
симум вероятно,сти п1ра1вильного ,приема q, определяе,мой согласно
(6.3). Рассматривая 'Выражение (6.3) , за мет.им, что ма ксима льное
значен1ие вероятност,и q достига,ется тогда, 1,огда ре ализаци я z(t)
относится к области В; п р и условии, что P(b ;). w(z/ bi) превышает
P(b j)w(z/bj) пр.и всех j=t= i. Отсюда правило решения (алгоритм
приема) в случае критерют идеальног о наблюд ателя может бьпь
сформулировано та1к: при ;приходе колебания Z(t) [lр иемни к реги с­
грирует ,символ ь; , если для всех j=f= ,i (i =l , 2, ... , т) выполня ю тся
m-1 неравенств :
P(bi)w(zJb;)>P(bi)w(z/bi) (j =f i).
(6.4)
Для сокращения заrпишем алгориrrм (6.4) так:
Maxi [Р (Ь;) w (z /b,)].
(6.5)
Пр иемник, работающий в :соответств,ии .с этим ,пр авилом , наз1ван
В. А. К:отел ьниковы м идеальным . (Всюду ,в дальнейшем мы буде,м
поль зоваться ,более ра,спроrстр аненным термином - оптu,11.альный.)
Нерав,енство (6.4) можно представить и в дру гой форме, если
ра здели ть обе его части на безусловную плот но сть распреде ления
w(z) приходящего сигнала z(t) и воспользо ваться следу ющей фор­
,мулой Байеса:
(6.6)
где P(b;/ z) имеет смысл апостериорной вероятно,сти того, что пере­
ддвал -ся с-имвол Ь; при у,сло-вии, что принята Р'еализация си гнала
236

z(t). Т огда со!В охупность нера1в ен,ств, .э1кв1ивалентная (6.5), п ри-
мет вид
Maxi [Р (Ь i/z)].
(6.7}
Из (6.7) П'Онятно другое назiвание критери5! идеального наблю­
дателя - к-ритерий максилщма апостериорной (обратной [11]) ве­
роятности. Подчеркнем, что для eJ'o ,реализации требуется знание
априорных !В•ероятностей :передачи отдельных символов Р(Ь;).
Учет последст-ви11 ошибок различного рода (-овязанных с передачей различ-
11ых символов) приводит к обобщен.ню критерия идеалынюг,о на.блюдателя, .из­
вес тном,у под названием к,р,итерия миниА•tального среднего риска (,или байесов­
ского критер,ия 1)) . Оз,накомление с этим 1<ср,итерием начнем с введения некото ­
рых понятий. Таrк, если пр,и передаче сим•вола Ь; принят сим,в-ол Ь i, то пр!!'
j=l=i имеет место ошибха . Чтобы учесть нераВ1но ц ен11-юсть различных ошибок,
меж но с каждой па1рой сим•волов Ь 1 ,и Ь; овязывать не~юторую ЧIИсленную вели­
чину, называемую «потерей», обозначив ее L;;. Величина «потери» за1щ1сит, та-
1шм ,абра-з-ом, от t,ого, какой символ Ь I принят вместо Ь ~, ·соот,ветствующего·
пра·вилыюм ,у прием,у п ри передаче Ь;. Пр,авилынаму приему при этом пр11шнсы­
вае11ся нуле в ая нл,и отрицатель,ная «потеря». Значения L;; определяются в каж­
дом кшшре"Dном случае важностью пра,вилыного п риема данного элемента сиг ­
нала и вет~чиной опасно:сти ,различных ошибок.
Так к•ак при перед:аче оимшола Ь; символы Ь I пояпзляются с определенными
вероятностями как реализации ,некоторой дискретной случайной ·величины, мож­
но го·вор}!ТЬ об усло.вном математическом ОJ1⁄4Ида:нин вели,чnны «1Потери» при
передаче ка1ш-ре11ного си ,мвола Ь;. Назо •вем это условное математическое ожи­
да, н.ие у, словным риском:
т
.
т
Ri = '\" P(b:;bi)Li1• = )' Lii I w(z/bдdz.
.,!,,.J
}
,.,,,.
.)
i=I
i=l
Bj
(6 .8)'
У,слов, ный рис-к R; я1вляе·гся, в свою очередь, одни,м из возможных значений
некоторой случайной величины, математическое ожидание а<от-орой называется
средним pUCK OA·I :
тт
Rcp= L }:, Р (bi) Lii .) w(z/bt) dz .
i=l i=l
Bj
(6.9)
В,ведя это понятие, м,ож,но сформуш1ро·вать критер}!Й минимального оред­
него риска, который за1ключае11ся в 11ом, что опти-мальной считается решающая
схема, обеспечивающая 1наим енышее значение сред·нег,о риска Rср-
Из (6.9) видно, что при использовании этого 1~ритерия н~жно, пом11мо ап­
риорных вероятностей Р(Ь;) передачи от.дельных с·имволов Ь;, знать и вели­
чины потерь Li;- Заметим, что если считать все ошиб~ш ра1вноценными (Lij=
=const при j =I= i и ,Lii =.0), то критерий минимального среднего риска совпад,ает
с критерием идеаль·ного наблюдателя, а байеоовский пр·иемни.1< сюв,падает с оп­
ти,маль,ным прнем,н.иком В. А. Котельни,ко1ва. В общем же случае в оптимальном
байесовском пр-пемнике чаще будут возни,кать ошибки, связанные с малыми по­
терями, и реже - связанные с большнм,и потерями.
1) Ино11да байесовс1,им 'К,ритерием опт,и,мальности и байесовоким приемни ­
ком называют такие, которые требуют ап,риорного знашш веР'оятностного опи­
са~шя изучаемой зада ч11 (1йпрн мер , знания априорных вероятностей передачи
снм,волов, вероятност,ное О[]Иса<ние канала и т. д.).
237

Рассьют,рим частный случай (6.9), ·коrща []равильному приему , (при любом i)
приписывается нулевая потеря >Lн = О, а Lц = L; при всех j=l=i (т. е. 111отери
определяются только ,н омером пере,даваемого си,м,вола).
Тог,ща аред,н,ий pu:i-cк
т
Rcp= ~ °l: Р(Ь;) Li
i= I jcj=i
Учитывая, что I f (1) (z/bi) dz= 1 - J(1) (z/bi) dz,
jcj=i Bj
Bi
м ожно 1(6.10) переписать в виде
т
Rcp=~ Р(Ь;)Li
i=l
т
т
= I Р(Ь;)L;-
~
f P(b;)Liffi(z/b;)dz .
i=l
i=l Bi
(6.10)
(6.11)
Первый член пра,вой части (6 . 11) зависит только от априорных вероятно­
с тей Р(Ь;) и при-нятых значений потерь L ;, а поэтому решающая схема не
влияет ,на ею велич ину. Следовательно, минимум среднего риска будет достиг­
нут при т,ак•ом разбие1-,ии пространства принимае мых сигналов, при котором
абсолю11ная вели•ч-шна ВТО!рого слагаемого (6.11) будет ма~~сий'v1альной . Для этого,
очевидно, нужно реали зацию пркнимаемого сигнала z(t) о'l'нести •к той области
В,, на которой подынтегральная функция P(b;)L;w(z/, b;) принимает наибольшее
значение.
Учитывая э ·ю, можно следующим образ011 сфор,мул,ировать праш1л0 для
принятия решения: при поступлении на вход оптималь~ного байесовского прием­
НИIКа с потерями Lii = L;(j=l=i) .реализации сигнала z(t) он регистрирует сим­
вол Ь;, если
Р (Ь,) L; (1) (z/b;) > Р (bi) Li (1) (z/bi)
(6.12)
для всех j =l= i, что в Д1р,угой форме можно запи,сать та[!(:
ro (z/b1)>Р(bj)Lj .
)
(i=l=i.
ro (z/bj) Р (Ь;) L;
(6.13)
Ка;к в,идио из (6.1_3), иед,а,ста11ок, связанный с необходи,мостью знать априор­
н ые вероятно'Сти переда·ваемых сигналов, присущ и :к;ритерию минимальноrю
сред, него рис ка . Кроме того, его приме,1нен·ие усложняе11ся трудно с тью объектив­
н ого установления значений потерь. Тем не менее этот критерий [!( 3К обобщен,и е
i<iритерия идеального наблюдателя цел·ес-ообразно иопользовать, если последств11я
,различных ошибок нерав•ноценны.
Ситуа ция , в которой практически невозможно определить апр·иор.нуrо ве­
роя·11ность ,передачи -отдельных элементарных сообщ ений н последствия ошибок
разно го рода неодинаковы, особе.нно типична для раднолокац.ии, когда прием ­
ник, анализир;уя пр·иниыаем,ое колебание Z ,(t) ( •сигнал плюс помеха) , должен
,определить, имеется в данном направлении и на данном расстоя.нии объект
наблюдения (цель) ил.и не т. На .само1м деле, ап,риор,ная вероя тность р ( 1) нали ­
чия отраженноr10 от цели сигнала (передачи сим·вола « ! ») . или ожу11ствия сиг ­
нала р, (О) = 1-р ( 1) (rпередач,и сим,вола «О») зара·нее неизвес11ны и, кроме того,
последсmшя д•вух родов ошибок - ложная тревога (лриемниu, фиксирует, что
цел ь есть в т-о время , -как в действительностп ее нет) и пропуск цели (,приемник
отмечае т отсу11ст,вие цели ,в 110 время , как фактически она имеется) - неравно ­
ценны.
В радиолокации и друг,их сходных спту,ациях пользую ·гся критерием прие ­
ма , ·известным под названием критерия Нейлюна-Пирсона. Суть его заклю -
238

чае11ся в том, что решающая схема считае'nся о,птимальной, если при зад'а1 нно й
вер.оятно:сти ложной трев,о,ги р 11 т обесп ечивается м,ини.маль·ная вероятность про ­
пуска цепи PnP •
Очевидно, чт,о 1,южно разл,ич•нЬJ1м,и способами разбить простраrн,ство ~пр.ини­
маемых колебаний Z(t) н а две области: Во (~риписываемое гипотезе об отоу т-
• ствин цели)
н В1 (пр,ишnс ыв,аемое гипотезе о на лич ии цели) - так, чтобы ве­
роя тность ложной тр евог,и
Рлт = Jw(z/0) dz
(6.14)
в,
ра,в,нялась заданной величrине, Поскольк у в локации символ «О» ( от,сутствие
uел и) передается паузо й , то w(z/0) - это плотность распределения ,помехи, Сле­
д·овательно, вероя1Ч-юсть ложио,й тревоги определяется вероятностными хара!Кте­
ристиками поме х и и выбором обла,сти В1. Но от выбора области В 1 зависит и
вероятность пропуска цели
Рпр= Jw(z/l)dz = 1- . \ w(z/l)dz.
(6.15 )
в,
в,
М ,1нимизацня (6,15) при задан.ной веЛ,и<rи не (6.14) до·стнгае11ся, есл'И реше­
нн ~ о нали,чтги цели лри нимает,ся пр•и выполнении н ера·венrства [10]
w (z/1 )/w (z/0) >'А, ']
(6.16)
где 'А - пороговый уровен ь , опр еделяемый за,данн ой вероятностью ложной тре ­
воги Рл т,
У.гюмя:нем еще о б ,и н фор,мац·,юнном кри,ерни оптим,аль,н ого прием а . По ­
ск ольку всякая стI,стема свпзи предназ,rачена д.1я передачи и,нфар,мацnи, опти ­
:vr альным ;1южно счИ1,а ,ть пр и емное устрой,ство, обеопечи,вающее в ср еднем на11-
мсньuше потери и щ[ю р1маuш1 прп преобразовании пос11упающег,о на ег,о вход.
ко.~ебання Z,(t) в сообщение а.
Однако т руд,н о в об щ ем случае пол учи ть алгорлн1 работы приемника, ка~
торый пс ннформац н о н,ному критер ию д олжв! I принять ·решение 1 ),
Для техни ки связ·и (ка1к и для мно•гих друг их ,систеrм ,передачи
инфо:р мащш) преимущественное nрлмене~ние находит оптимальный
кр итери й приема, известный ,под названи ем критерия максималь­
ного правдоподобия ,
Для о·бъя1сн ения этого критер,ия :позна1комимся сначала с паня­
ти ем функuии пра вд оподобия, У славную плотность ра,определения
вероятности w(z/bi) часто называют фун к цией правдоподобия гипо ­
тезы о том, что передавал,ся символ bi ,при да,нной фиксированно й
реализации принимаемого сигнала z(t): Можно юч~итать наиболее
П'ра1вдо'п одобным, что передавался тот из сим1Волов , bi (i = 1, 2, .. ., т) ,
для которо го знаrчен:ие этой функции оJКазывается наибольшим: ,
Maxi[w(z/b;)].
(6.17)
Часто вместо функций правдо1nодобия лри разли чны х i сравнивают
их монотонные функц'Ии (логар ,ифмы), что не меня,ет существа этого
ал ·горитма:
Maxi [ln w (z/bi)].
(6.18)
' ) Св·оеобразный информационный крлтер,ий анализировался Н, И, Кл ю е­
вым [24].
239

Алгоритм (6.17) соответствует критерию максимального правдо ­
подобия. Существенное достоинство алгоритма (6.17) - не требует ­
ся знания априорных вероятностей передаваемых ,сим1JЗолов.
Широкое иапользование кри'Герия макс,имального [Iравдоподо­
бия в технике связи обусловлено :vшоги,ми причинами. Прежде все­
т о, для ди·скретных систем связи характерны как о динаковая апри­
<J рная 1вероятностъ символов (что вез1де буд ем предполагать в даль­
нейшем), так и одинаковая опасность ошибок разного рода (оди ­
на-ковая цена потерь Li = const), но в этих у,словиях ка1к критерий
минимального -среднего риска (6 .13), так и кр'И1'ерий идеального
наблюдателя (6.5) •пр·иводят •к (6.17). Можно также :показать, что
тrри равной ап р.иор ной 'вероятности перед аваемых и принимаемых
символов (что характерно для -симметричных каналоrв пр и фл у к ­
туационной [IOMexe в канале) информационный .критеР'ИЙ о.пти­
·маль,ного приема такж,е приводит к (6 .1 7) ,[33]. Заметим также, что
если априорные вероятности P(bi) различны, но цену :потерь опре­
деляют обратно mропорцио·налыю вероятностям ,символов (что со­
тл а·суется ,с понятием информативности сообщений), то 1,ри те,рий
,минимального среднего риска (6.13) снова ПР'иводит к (6.17).
В,следствие сказанного в дальнейшем будем пользоваться ис­
ключительно критерием максимального ,правдопо,добия 'В качестве
опт.имального 11<ритер1ия приема ,оообщений.
Контрольные вопросы
1. I(а1К сл1едует пони ,мать опти м а л ьный прием по J<1ритер'Ию .идеал ьноrо наблюда -
11еля , (ил ,и по ма,1~симум,у апостериорной вероятности)?
2. Чrо такое крите-р·ий ми·нимального ср едне го риска (байесовский кр,итер.ий) и
при каких у,сл,01в•иях из неrо ,следует ,критерий макси,мал ьного праЕ:доподобия?
3 . Как формули1р,уе11ея аптималыный критерий приема Неймана-ПирсО'На и в
iК'а:ких си11уациях этот .критерий на иболее .приемлем?
4 . Как можно за[]и,сать ал,гори 11:v1 прием а д1Iск,ретных сообщеН'ИЙ по юритерию
,масrюимал ьно'!'о пра,в1д1оподоб.ия?
6.3 . АЛГОРИТМЫ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА
ПРИ ТОЧНО ИЗВЕСТНОМ СИГНАЛЕ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ
НА ОСНОВЕ ФИЛЬТРОВ
Допустим для об щности, что -сигнал на 'Выходе к,анала s; (t) от­
личает,ся от входного si(t), заданного :на интервале О - Т, некото ­
рой .задерж,кой rпо огибающей на 1:, п.м ,плитудным множителем к
и фазовым сдви,гом по высокой частоте ,на 8к ( см. 3.41), т . е.
л
s; (t) = к cos ек si (t-i-)-к sin 8/{ si (t-i-),
-r::;::;; t < i-+ т . (6.19)
В даль·нейшем ,полагаем, что схема тактовой синхронизации
.обеспечивает вполне ,качественное ,выявление г рани ц 'Посылок 1),
' ) Вопро·сы синхронизацюr весьма существенны ,при реализации оптималь ­
ных приемных ус11ройст.в и синхронных систем связи во обще. Но З'десь нет воз­
мож-1юс'Гн их .раюаматр111в-ат ь.
240

так что без ущерба для общности можем в (6.19) 1положить начало
отсчета принимаемого сигнала ,соiшадающим ,с моме.нтом прихода
сигнала, т. е. написать
л
л
s;(f)=КCOS0кsi(f)-f(, sin01{Si(f)= XS,(f)-ysi(f), 0~f~Т. (6.20)
Здесь будем считать, что в месте [Триема нее ожидаемые сигна-
,
л
лы si(t) известны точно, т. е. точно извест,ны сигналы si(t), si(t),
а та·кже :па1раметры канала к, 0к или х=к cos 0к, у=к sin 81,,
Опр,еделим 'В этих условиях алгоритм работы оптимально,го (1по
критерию мак,сималь~ного п,ра•вд,01подо6'Ия) ~приемника, ·в ведя а·нали.з
принимаемого -сигнала на ,интервале Т, а затем ра,ссмютрим ,его
схемлую реализацию. Будем считать, что в канале действует флук­
туац~ионная [Юм,еха ти.па «белого гауссова шума» с энергетическим
оп,ектром G1ш. В этом 1случ ае, н:а:к 1rюка зали в параграфе 3.3, плот­
ность вероя;т1-юсти отрез'Ка такой помехи Ит длительностью Т опре­
деляется соотношением
m(Ит) ~ К схр [- ~шJ u'(l)dll,
(6.21)
К ,определяется у~слоsием нормирования.
Бели сигнал ·в месте nрлема s; (t) изв,естен точно, а Z(t) =
=S; (t) + 1U,(t) (:при О~t~,Т), то у сло вная 1плотностъ ,w(z/bi) О'Пре­
деляется, ,очевидно, выражением (6.21), если положить u(t) =
=z(t)-s; (t). Та·~ш,м образом,
m(z/b,)~ К ехр j- 0
~
J [z(l)-s; (1) ]' dt) .
(6.22)
В со ответств1ии с (6.17) и с учетом (6.22) получаем алгоритм
оптимального приема в виде
Мах; {ехрlг--
1 r[z(t)-s;(t)2dt]i
.
Gш~
J
(6.23)
или ,после логарифмирования
Min; {.f (z(t) -s; (t)2dt} .
о
}
(6.24)
Это распространенный алгоритм ,приемника В. А . Котельникова.
гт
_
1
Js
_
В про·странстве Гильберта 1 / т z(t)-s; (t) 2dt определяет_ нор-
J'
IJ
24!

-+
-+
иу ра!зности сигналов (векто•ров) z(t) !И s; (t) . Поэтому ажор.ИТIМ
(6 .24) можно за•пи,сать в виде
Mint [ 11 z"""':_ -;; 11 ]
(6.25)
и придать ем'У ачень простую .интерпретацию: ,оптималыщй ,прием­
.ник должен регистрировать тот из сигналов s; (соответствующий
символ Ь;), к которому «ближе» принятое колебание z(t).
В качестве примера на рис. 6.2 показано оптимальное раз'6иение
пр()!стран,ства .принИtмаемых колебаний z(t) при переда'Че двоичных
sr 11f:.s;;1
z
О'
/
z(t)=s(t)+u(t)
Рис. 6.3. Стру,кту,рная схема при­
ем.ног-о устройства:
1 - фильтр; 2 - решающая схема
,сигн,алов. Обла,сть принятия решения в
пользу ,символов Ь1 :и Ь 2 расположены 'П()
обе стороны от линии 0-0, перпендикуляр­
ной отрез-ку прямой, ,соединяющей точки си­
гналов и делящей его по:полам.
Приступая к :вопросу о построен И"и при-
Рис. 6.2. И ллюс'Dращия
.
.
оптималыиого по крите - емных у ст,роиств, •реализующ,их тот или
рию ма,к·симального прав- иной алгоритм ~приема, заметим, что любое­
доподобия
разбиен,1ш приемное уст,ройст.во ('оптимальное и неоп ­
прост.ранст,ва приюrмае- тимальное), принимающее сигналы .на фо че
мых 11юлебаний при дв у х-
бб
nозиц.ио нном коде и точ- шумов, можно 'Представить о о щен.но дву-
но извес'I'ных в ,м есте мя блоками (рис. 6.3).
приема сигналах
Фильтр выделяет -сигнал из принима е-
мой смеси, а решающая ·схема вырабаты­
вает сведения, характеризующие принятый сигнал. Если фильтр
может :рассматриваться как самостоятельный фу,нкциональны й ­
блок -приемника, то го ворят о фильтрации сигнала (,см. параграф
7.5) . Если же •структурно разделить фильтр ·и решающую схему ~не­
возможно или нецелесообразно, то говорят, ка•к это делалось .вы-·
ше, о приеме •сигнала. При обсуждении -схем, реализующи х алго­
ритмы оптлмального приема диок,ретных ооо·бщений, специально
не будем выделять блоки фильтрации и при·нятия решения.
Схема, •реализующая алгоритм (6.24), показана на рис. 6.4 . Она
содержит т генераторов Гi опорных сигналов s; (t), т вычитающих
устройС'гв ВУ, т к'Вадратирующих у,стройсm КУ и интеграторов И,
схему орав.нения и выбо·ра ССВ (в •моменты, .кратные Т) ,сигналов
т ветвей 1с целью выбора ветви с минимальным сигналом или ,но­
мера кодового СИIМ'Вола, регистрируемого в ячейке памяти ЯП. По,
со.воку11шости ,ди-ск•ретных ,символов декодер выносит решен.ие в
поль-зу того или иного сообщения .
242

При п р а,ктическ ой реализации выч1ислительного устройства ,оп ­
тималь·ного приемника у,добно алгоrритм (6.24) записать 1в следую­
щем Э"Квивалентном виде:
где
Мах, [J z(t)s;(i)dt -+ Е; J
Рш,с. 6.4 . Схема реализа­
ц и .и сж1,тимального при­
емного у,стройст.ва п о
r~р,итерию ма-к·симальн ·ого
пра,ВЩО1П.одО1бия при точ­
но извест.ных в месте
пр,иема сигналах
(6.2б)
(6.27)
-
энергия ожидаемой посылки •i-го сигнала. Устройство, нроизво­
дящее операцию
т
Sz(t)s;(t)dt,
(6.28)
о
называют оiбыч,но коррелятором, nоэ·юм•у приемник, реал'Изующий
алгоритм (6:26), называют корреляционным.
Так:им образом, оптимальным приемником 1при точно из,вестлом
н а прi1,емной стюроне ансамбле 1передаваемых сигналов является
прием·ник •КО<р'реляц•ионного типа . Этот пр·ие,мник называют та"Кже
когерент.ным , та1к для его ·удовлетворительной работы требуется
согласо13анность по фаз,е (когерентность) между ож'Идаемыми и
опорными сигналами, д'ругими ,словами, требуется знание всех па­
раметров ож:идае,мых ,сигналов, 1в том числе и начальных фаз сиг­
налов .
На рис . 6.5 :nоказана •структурная схема приемного устройства,
работающею в соответсrnии с (6 .26). 3,zrecь УМН - умножающие
устройст ва, осталь·ные обозначения те же, что ,на р'Ис. 6.4.
243

Для широко 1ра,спространенных ,систем с а.ктивной 1Па,узой, для
которых энергии и3се,х реализаций сиrналов s ~(t) ,[следователыю , и
сигналов s;(t) ] одинаковы (E;. = ,const), алгоритм 'Приема (6.26)
Р.ис . 6.5 . Схема реализа­
ции оптимального прием ­
·ного устройства по кр'И­
терию
'Ма1КСНМ3ЛЬНОГО
пра~вдаподо,бля на осно­
ве а1ктwвных фильтро,в
пр.и точно ,Из'вестных в
ыесте пр и ем а сигналах
~
(и соответственно его реализация) упр,ощается (отпадает н еоб х о­
димость в вычитающих устройствах) и принимает в1ид
Maxi [Jz(t)s;(t)dt J
(6.29)
Следует :подчеР'кнуть, что правильный тактовый синхршшзм для
выявления границ посылок (осуществление съема сигнало'В на вы­
ходе блока ССВ в моменты времени, ,к,ратные Т, и гашения коле­
баний на реактивных элементах •схемы после ,принятия решения)
является непременным условием ,практической ,реал1изации рассмот­
ренных алгори11м,ов. Последняя из назва1нны х операций реализуется
в корреляционной схеме из,менением параметров ее электрических
целей.
•
Уст,рой·ство, о:пределяющее скалярное произведение (6.28) меж­
ду IПР'Инятой смесью z(t) ,и сиг.налом s; (t), представляет ·собой ли­
нейный фильтр (см. параграф 7.5). !При услов1ии, если он реали­
зуется схемой перемножения принятой смеси z(t) и опорного сиг­
нала s; (t), интегриро'ванием -рез,улыата ,в заданных ;пределах и
гашением колебаний на реакт.ив,ных элементах после - снятия отсче­
та, Ф'ильтр :Называют активным. Таким образом, структурная схема
рис. 6.5 1реал1изует ал,горитм оптимального ~приема на основе актив­
ных линейных филь11ров.
Для накбол ,ее распространенной двои,чной системы (m=2) и з
244

системы н·еравенст,в (6.26) остается л,ишь од.на и алгорит~м приема<
(соответственно и его реализацию) можно у,простить, заmисав
т
\' z(t)s~(t)dt-л>о,
(6 .30)•
,./
о
гдiе s ~(t) =s'Jt)-s;(t) - опорный сигнал в месте приема;
2
,
Е1- Е2 к2
л = 2 с:= 2 (Е1 -Е2) - пороговый уровень (для оистем с ак-
тивной паузой л. =О).
При выполн ении неравенсnва (6.30) -регистриру,ется символ«!»,.
в 1проти·вном случае - «О». Для -реали зац.ии (6.30) по схеме рис. 6.5,
гам нужно сохранить лишь z(t) 11
liz
.
одну ,ветвь .
ЯП •• Дeffoi!ep
·
На рис . 6.6 :показа·на ,схе-
т
ма, реализующая алгоритм
яс
(6.30) для двоичной систе-
мы видеосигБалов с пассив­
ной паузой i[s; (,t) =ка,
s ; ( t) = О]. Считается, что по­
стоянная времени т;=,Rr:
фильтра значительно прев-о­
сходнт длительность элемен ­
та сигнала Т. На рис. 6.6
обозначено: К1 - ключ, . .раз­
ряжающий конденсатор по-
Р ис 6.6. Схема реализации о,пт.и мал ьн о-­
го по ;1 ,р11тери ю ма, К1си .мального правдо­
·по:добия приема в двухпоз,rщионной си ..
ст еме с па .ссивной па,узой и проти:всто­
ложными с,игнала ,м и при то ч. но из ,ве ст- ·
ном в месте пр .нема сигнале в,и,деоны-
каТ
пулыса пря,~юуголь но й фор·:-ш (л = --
2RC
-
,пороговый уровень)
сле снятия отсчета в моменты времени, кратные Т для подготов.юr
схемы к приему последующих элементов си-гнала; ССВ -выдае т на
своем -выходе в мом,енты, к.ратные Т, сигнал регистрации «1» в ЯП
т
.
при у словии, что напряж-ение на его входе -
Z(t)dt ,превышает
•
1r
RC,
.
о
пороговый уровень л=к ·а TJ,2 .R1C, ,е,сли :вх,од'!юе ,напряжени,е меньше
по:ро•гового ,уровня, ,р,еr1и1с"гр,ир уется «О».
Рис. 6.7. Схема р е ализа­
ции оптимального
по
критерню максима льного
правдоподобия приема в
двухпозиционной с истеме
АТ н ФТ при точно из­
вестном в месте приема
сигнале:
,опорный сигнал :
so(rt) = ,cos ( uJot +cp o)
Если ненулевой сигнал в систем,е с пас-сивно й паузой s; (t) =
= ка cos ( wot +ера), то Q!Птимальное •приемное устройство реали зуе т­
ся схемой рис . 6.7, которая отличаетсй от схеыы рис. 6.6 блоком.
умножения с опорным сигналом s~ (t) = cos (,wot+cpo).
245,

Если двqичная система сигналов удовлетворяет соответственно
:условию - s;(f)=s; (t)=ка или -s; (t)=s; (t)=кacos (wot+<po)
(-сигналы протинополоRSны), то ,оптимальный прием •реализуется ,со­
,отв,етственно охемами рис. 6.6 или рис. 6.7 при нулевом порогов,ом
у ровне.
I{онтрольные вопросы
1. Как можно запис ать услов,ную пло11ность вероя·-гности w(z/, bi) []рИ аддитив-
11-юм ф лук-гуационн,ом шуме в канале с э·нергетичее,ки,м опектром: Gш II точно
из.вестном оигнале?
2. К а:к можно гео м етричеоки ннтер,претировать алгоритм оптимальном приема
•пю критерию маrкоиrмаш,ного правдоподобия пр.и точно из,вестном снгнал_е? .
3. Из как и х эл емен11ов состоит прием-ник, реализующий алгоритм оптимального
а1 ри ем а по кри 11ерию маJ,с-ималыного правдаподобия на базе корреляционной
те хн ик и? Как упрощается этот алгоритм для систем ,с активной паузой?
6.4 . РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА
.НА ОСНОВЕ СОГЛАСОВАННЫХ ФИЛЬТРОВ
Ли нейным фильтром, •согласованным с сигналом s; (t), Н:азы­
в а ют фильтр с импульсной .реа1щией
g(t) = as; (t0 -t),
(6.31)
тде а, to - постоянные.
Т а:н::им образом, функция g(t) оказывается зеркальной по отно­
:шению к s; (t) (рис. 6.8). Поскольку в реализуемом фи.11ьтре oт-
r/\s,lt)
v~ DL\J~
О
Т
t0-T
t8t
Рис. 6.8. Импулыс-ная []ереходная характеристика л·и­
ней ног о филь11ра, оогла~сованноrо с сигналом
· клик на выходе не •может предшествовать !Появлению сигнала на
.в ходе, то необ ходимо потребовать
t0-T~О
(6.32)
в предп ол,о ж ении того, что входной с~игнал отсчитывается от нуля
(с м. р ис . 6.8). С ледовательно, время задержки t0, фигурирующее
.в (6.31 ) для финиТ1ных ,сигналов (Т ·ограН'иче,н,но), ,конечно и удов­
ле тв<>ряет услО1в ию
( 6.33)
Другими словами, для финитных сигналов согласованный фильтр
,в•п ол не удовлетв-оряет условиям :физ1ичеокой реализуемости. В ка-
:'2 46

честве 1При,мера найдем импульсную переходную хараК'Геристику­
фильтра, согласованного с прямоугольным радиоимпуль,сом,
s'(t)=аsin(ro0t+<р0), О3⁄4t3⁄4Т,
(6.34)·
и рассмотрим его возмюжную реализацию. Выбирая to= Т, можно
на основании (6.31) написать для искомой переходной ха·ракте­
рис11и'Ки
g(t)=aasin1[ro 0t0 +<p0 -ro0 t], O3⁄4t3⁄4T.
(6.35)'
Характеристика (6.35) может быть реализована при :по,мощи 1шн­
тура весь,ма ,высо1юй д,обротности Q >>1 1) (практически это эл ек ­
т,ромеханические колебательные оистемы
или регенеративные электрические филь­
тры [16}) nри условии, что для частоты
ffio он ,создает фазовый 'Сдвиг - wrio-
-<po + n (рис. 6.9). ,Ключ К в момент ,вре­
мени 1i= to= Т на очень короткое врем>I
закорачивает емкость и разрывает цепь
с индукТ'ивностью для освобождения :кон ­
тура ст накопленной энергии и его :под­
готовки к приему следующих элементов
сигнала.
Поэтому та,кой :ва1риант ,согла,сованно­
г,о фильтра называют ко.м.мутuруе.м ым .
Как увидим в дальнейшем, можно :пост­
роить линейный согла,сован:ный фильтр и
бе з коммутации параметров . В этом слу-
Рис . 6.9. Контур высокой
добр.отности с 1юммут а -·
цией nа ,раметр,о,в, реаЛ'И­
з,ующrий фильтр, согла ,с о ­
ван,иый с :прямоуго л ь н ым
радио и,м1пуль,со м
чае оогла,сованный фильтр называют пассивным.
КGмплексный 1юэффициент ~передачи к(iш) с Ф согласованного
фильТ'р а с переходной ха р а,ктер ист икой (6.3 1) ле г1ю опр еделя ется
преобразо1вание м Ф у рье:
со
со
к(irо)сф = Jg(t)e-iwtd(=а Ss;(-r)e-iw(I.-,)d't =
-00
-
00
со
= ae-iwt. f s;(-r) eiw,d-r .
-оо
(6 .36)
Если спектр альную 'Плотность (преобразование Фурье) от сиг­
нала s /t) обозначить через S(i,ш )i , то (6 .36) можно представить
в виде
(6 .37)'
где S* (i>ro) i - ф у нкция, 1юм1плексно-солряженная с S (iro) i-
Следовательно, с точностью до к~ом1Плексного М'Ножителя ае -i wt.
частотн ая характер1истика согласованного фильтра определ яется
1) Собственные колебания та1юго коят,у~ра при нулевых нач,альных условиях,
-по ч т и ,гарио ни,ч,еские .
24Т

,:еопр яженны,м спектром входного сигнала [т. е. амплитудно-частот­
ная характ1еристика - амплитудным опектром сигнала s: (t), а фа-
'
за-частотная характеристика обратна по знаку фаз,о,вой характе-
ристики сигнала s; (t)].
Как будет псжаз а н о в гл. 7, согласова·нный фильтр обеспечивает
при флуктуационной по.мехе в кан а ле типа «белого ш ума» в мо­
мен т fo н а овоем выхо де максимал ь но ·возможное отн ошение мощ­
нос'Ги сигнала к средней мощности помехи:
(Ре) = 2h2 = 2РеТе = 2РеТеFк = (Ре) 2ТеFк,
(6 .38)
\рш B';.l'X
Gш GшFк \рш вх
где Т с - дл.ительность сигнала ; Fi; - полоса :входного избиратель­
ного блока (В ИБ), ко торая практически выбирает ся равной поло се ,
зюrиыаемой сигналом; (Рс /Рш)вх - отно шение сигнал/помеха на
входе фильтра .
К:ак видно из (6.38), максимально возможное изменение этого
отношения, достигаемое согласо ванной фильтрацией, равно 2 Fi;Tс
(баэе сигнала).
Во избеж ание ненужной задержки момент отсчета to желатель­
но вы брать ,миним ально возможным, т. е. согласно (6.33) ра,вным Т.
Если на фил ьтр , соглаоованный с сигналом s; (t), поступает напря ­
жение z(t) (iO~,i,~:;;;r), '!10 напряжение на его выходе в соответствии
.,с интегралом Дюамеля
t
'
Ивых(t) = \Z(x)g(t-x)dx= а rz(x)s:(t0 -t+x)dx. (6.39)
J
J'
о
Q
.!Зыби рая to= Т, получаем
t
Ивых(t)=а Jz(x)s;(т-t+x)dx.
(6.40)
о
Если z(t) =s; (t) (ч110 ·возможно при отсутстви1и аддитивной по­
мех1и в канале), напряжение на выходе согла,со'ванного ,фильтра
t
Ивых (t) = а Js;(.t)s; (х+ Т -t)dx = aB(T-t),
(6.41)
о
В (т; = T-t) - автоко рреля;ционная функция сигнала s~ (t).
Так как си гн ал s; (t) отличен от нуля только на интервале 0-Т,
то напряжение (6.41) существует лишь в конечных пределах
{J~t~2T, что су щественно отличает согласо,ванный фильтр от лю­
бого другого, в котором переходный процесс теоретически продол ­
жается бескон еч но дол•го. Это свойство оогласованного фильтра
:11ожно объяс нить коипенсацией ,фазовых одвигов ,~ходного сигнала
в фильтре.
На р.ис. 6.106 :по казаны графики напряжений на выхоД;е согла ­
<:01ванн ых фи лы ров (беэ уч,ета mомех в канале), на вход которых
248

поданы ,соответственно п·ря,моугольный виде,о - и радиоимпульсы:
(рис. 6.10а), с wоторыми фильтры согласованы. На рис . 6.10в по ­
казаны эпюры на'П'ряжений на выходе интегратора активно,го филь­
тра (Р'ИС. 6.6 и 6.7), ко 'Входу ·которо,го подаются сигналы, показан ­
ные на рис. 6.1 Оа.
а)
,I .LfJx (t)
di-----.
о
т
о
1Т
1
1
d)
1
1
1i2T ии{t)
1
1
R.C
о
т
Рис. 6. 10 . Сигналы
и 'КО'рреляционной
Д110Jt)
d----
tо
IT
1
1
-j
1
llo!Jlx(t) 1
аt1.2т
1
у
2Тt
о
с1-2Т Uи(t)
2!/С -----
t
о
на выходе со гласованного
схемы п ри подаче на ВХО\д
угольных ющео - или ра.диоим ,пуль·со:в
t
t
фильтра
прямо -
Как ющно из графиков, максимальное напряжение сигнала на •
выХiоде оогласо;ванного фильтра получается в точке t=fo = T. Это
объясняет,ся т-ем, что именно в эт о й т,очке согласно (6.37) фазовы й
•сдвиг выход н ого сигнала для любой составляющей частоты ш ра­
в•ен: <р(,ш) = ,ш(t-to) = 0, ч·ю обесп ечивает их синфа зно е суммиро­
вани·е.
Полезно отметить, что, исключая 'I'очку f= Т, напр яж ения на вы­
ходе согласованного фильтра и .иrпеграто·ра активного фил ьтра
отличаются дру,г от друга .
Если на вход согласованного фильтра поступает а,ддитивная
смесь z(t) = S ;(t) +и(t), прох ождение отдельных слагае,мых ,можн о •
рассчитывать независимо, поск ольку система линейна. Как видно
из (6.40), ,в момент t = T
т
Иаых(Т) = а f z(t)s;(t)dt.
(6.42 ) ,
о

Таким ибразом, в моменты ·времени, кратные Т, на выходе согла­
,сованн ого фильтра получае~м на'Пряжение, •пропорциональное сиг ­
,налу на выходе интег ратора активн ого фильтра, в схеме ·р-ис. 6.5 .
~
Ри с. 6.11 . Схема ре ализации опти,1vrал ьн ого по кри­
терию ,ма ,кои,мального пра,в1д0Lrrодобия пр.иемно!'о уст ­
ройства на основе согласованных фильтра.в при точ­
но известном ,в ,месте приема сигнале
сев ~
fЛ.-порогоDыи. уроdень
Р,ис . 6.12. Cxe;vra реали зац.ии оптималыногю по
к,рит е рию ма ,к симально!'О пра1вдоподо-б.ия прие ­
ма в .системе АТ или ФТ на базе со,глас{)·ван­
ного ф и льтра пр,и точно из1вестном в мест е
приема сигнале - рад~юимлулысе прямоуголь­
ной формы
z(t)
Р ис. 6.13. Схема ре ализаци.и опти~маль-ного
по .к р,и те р и ю ,·rа,к сималь.ноrо ,пра·вдоподобия
приема в системе ЧТ на базе согласован­
ных ф и ль тров при точно из1вестных в мес ­
те приема ,сигналах ,нажатия и отжатия
ра диои •м :пульсов прям •оугольной формы
Следователь.но, оптималь ­
ное приемное устрой,ст ­
во, реализующее алго­
ритм (6.216), может быть
реализовано ,и на ·базе оо­
гласованных ф,ильтров.
Структурная схема тако­
го приемника показана на
рис. 6.11. Здесь СФ1
-
ф ильт,р, согл асованный с
сигналом s: (t). Конкре-
'
тизнруем
оптимальную
схем у приема , по. строен­
ную на основе согласо­
ванных фильтров при ис ­
пользовании
двоичных
сигналов АТ, ФТ и ЧТ •С
частотами нажатия {u1 и
отжатия ,(1) 2. Имея в виду
результат (6.35) и рис. 6.9,
и!-iтересующие на ,с схем ы
показаны ,на рлс. 6.12 и
6 .13 . Заметим, чrо схема
ри с. 6.12 я вляется анало­
г.ом 11юрреляционной •схе­
мы, ·изображенной на
рис. 6.7.
CxeJ1,1a с согласованными фильтрами кажется проще схемы с а·к ­
тивными фильтрами, одна-ко во многих случаях она реализуется
I-шмного труднее, ибо, :во-первых, те.хника синтеза согласов анных
250

со ,сложными сигналами фильтров далека еще от совершенства, во­
.вторых, при 1высокочастотных входных сигналах снять с допусти­
.мой точностью максимальный отсчет •С выхода оогласованнота,
фильтра значительно труднее, чем с вы;юда интегра11ора активногс,
фильтра (сравните эпюры напряжений .на рис. 6.106 и в).
Согласованный фильтр для сигналов произвольного типа мож­
но, в пр·инципе, ,пост•роить на основе неискажающей длинной линии _
На самом деле, любую финитную функцию s(t) (рис. 6.14а) можно,
ап:пр,ок10им1Ир,овать послед,о-
а)
вателЬ1ностью и1з n=Т/Л •пря­
моугольных 'И\МIП,УШЮОВ ма­
л,ой длителыности Л и ,ооо•т-
1ве-гс11вующей ,высоты ak
(k=1l, 2, 3,_ .., п), Л 1О1пре­
деляе11ся д,опу,отимой 110ч1но-
стью аппроксимации ![Л ~
о)
~
,1/Fi<, Fк- полоса частот Ц:}
сигнала s(t)]. Если на вход
-
д.--:-------
--
--.
длинной ЛИНИИ с задержкой L\
Дтшиав лииия с зaile/Jllfк,й иа бремя т
на Т (точка А) подать в мо-
мент t=O импульс длитель-
.
.......
0п-z
ностью Л единичной высоты
и просуммировать взвешен­
ные (с весом ak) значения
сигналов с п отводов линии,
взятых через интер:валы Л, то
на выходе сумматора после
момента t = Т можно полу­
чить сигнал s(t) (рис. 6.146) .
Фильтр ,ниж,них ча,стот :на
,схеме рис. 6.146 :подавляет
•спектралыные ко1м•поне:нты ,
лежащи •е вне 1спек·11ра силна­
ла r (но ,существующие 1в ~схе­
ме ,в1след,о-гвие 1и,мпуль,с:но,r~о
хара ктера воздейотв1ияJ. Бе­
ли s(t) 1счита,ть ,сиnналом, ,с
к-оторым фильтр д,олже,н
быть оотла,оован , '"ГО я1с•но,
·ч·го ,схема рис. 6.146 ,выпол-
1нит роль
оо ,гла,001ванного
филытра, •если воздей1ств-ие
г\hoSs-(t)~__.,__.,___,___.___.__..,__~
•·1
1___
~
r111 .~
тt
Рис. 6.14 . Реализация ф ил ьтра , с огла­
сованного с пронзв.ольным непрерывны м
,сигналом на о.снове л ин ии за дер ж ки с
отводами и блсж а•11rш вз•вешива н ия:
а) сигнал; б) лин,и я задер жки; в), г)
дв-ончные сигналы, для которых реалл­
.зацня ,согла·сова.нного фильтра на асно­
.ве линий защер-жк,и существенно улро­
щает,с я
1П'Одвес11и .к вых,оду длинной ЛИ'Н'ИIИ · (гючка В), •ибо 1имrп,улыоная р е ­
аЮ.!!ИЯ ,сх,емы будеrг 1зер1кальшой ,по от.ношению к ,сшгналу s(t). Б ло"
ки 1вз·веши·ва1ния ak 1на 1схем,е ,рис. 6.146 реализуются -оюо~бенно 1пр о ­
•сто пр.и по,стр,оеши.и фильтра, ,с;огла,оо·ва,нног,0 . с дноичным ,с,игналом,
(1р~и1с. 6.14в), они '"ГО'Гда 1п•р•ос-го ,замыкают 1на сумма111ор 1сИ'!1нал 1с от -
(ВОд'ов л1ини1И .или непосрещс~венно, :или чеtрез инвер 1тор.

Для двоичного си,гнала с нулевым уровнем .при одной из по­
;3 ици й (рис . 6.14) со,гласованный фильтр реализуется длинной л-и -
1-шей с отвода,ми .на местах, соответствующих ненулевым им.пульсам
1шдо1юй последоrвательности.
Теперь покажем очень ·интересное и полезное для дальнейшего
.овойство ли·нейных фильтров с постоянными !Параметрами, выходной
,сигнал которых
t
Ивых(t) = f z(x)g(t-x)dx
-о,
·имеет С'Пен:тр по Фурь,е согласно теореме о свертке {2]
S(iw)11вых= S(i W)zК(i w)g,
(6.43)
(6.44)
где S(iw)z-cпeктp ~гю Фурье сигнала z(t) (п·редполагается, чт,о он
.сущевтвует); к ( iw) g - ком[!лексный ,коэффициент 1передач,и линей­
ного фильтра с импульсной характеристикой g(t).
л
Обозначи,м через g(t) ,сигнал, сопряженный с g(t), стщов·атель­
но, согла сно ( 1.98)
(6.45)
·теперь покажем, что сигнал на ·выходе линей·ного фильтра с им­
л
луль·сн ой характеристикой g(t) при подаче на вх,од воздействия
z(t), опре деляемого формулой
Л
I
Л
Ивых (t) = JZ (t)g(t-x) dx,
(6.46)
-ею
,сооряжен с сигналом (6.43) . На самом деле, спектр по Фурье сиг­
на ла (6.46)
(6.47)
Сопоста1вляя спектры (6.44) и (6.47), за·ключаем, что они дей­
ст,вител ьно ооответ,ствуют двум сигналам, сопряженным ,между со­
бой. В согласии с (1.101) можем записать следующую формулу,
определяю щую огибающую сигнала на выходе фильтра с хара-кт-е ­
ристикой g(t) ,при 'Подаче на вход сигнала z(t):
r (t).=
Vи2 (t\+t2 (t) =
вых I
вых
г11
j-2IIл
]2
= V lf z(t)f{(t-x)dx + LJ~ z(x)g(t - x)dx _ •
(6.48)
И,мея в виду соотношение (6.31), можно теп ерь записать для
,огибаю щей сигнала на выходе фильтра, согласованного с сигналом
252

s; (t) (O~t ~T), .при .подаче на вход кол•е ба н ия z(t) и при fo= Т
,1,t
12lt л
J~
r,(t)cФ = а V l)· г (x)s;(т-t+x)dxj + Jz(x)s;(т - t+x)dx
(6.49)
В МО,\tснт времени i=Т
~1lт 12lтл 12
r;(Т)cФ=V; = av Jz(x)s;(x)dx_ + fz(x)s;(x)dx_J (6.50)
Легко показать, что величина Vi инвариантна к изменению фазы
сигнала
л
s; (t) = к [cos eкs i (t)-siп екs, (t)].
(6.51)
На самом деле,
л
л
S; (t) = К[COS0кS;(t)+siп0кsi(t)],
(6.52)
л
так 1..:ак сигна л, сО'пряженный s;(t), равен -si(t).
Подставля я (6.51) и (6.52) в (6.50), им еем
V; ~ ак i/Uz(x)S;(x) dx j' + l/ z(x);;(x) dxJ
(6.53)
независимо •от 9н -
Сле,щова1'ел ьно , если м ы интересуемся лишь огибающей сигнала
на •выходе соглас0;ванного филь1'ра, 1'0 согласование филь1'ра с сиг ­
налом s: (t) или s;(t) .может быть выполнено с точн остью до фазы,
'
чт,о во м.1юпп случаях упрощает реализацию схемы . Обратим вни-
мание, в ч а·стности, на ·ю, что при высокочастотных rвходных сиг­
налах допустимая неточность во времени Лlо=!г Т(k4:; 1) снятия
отсчета максиму,ма ог и бающей на выходе согласоrван ного фильтра
(с11-1. р ис. 6.106) значи тельно больше, чем пр и снятии отсчета макси­
мума мгновен ного значения сигнала , 1<огда надо потр ебовать
2:rt
Лfмз= К -.
Шо
Контрольные вопросы
1. Капше и,м1Пул ьсную переходную характеристиху и J,омпл ек•сный ~оэффициент
передачи имеет линей ный фильтр , согласованный с сиГ'налом s(t)?
2. Пр,и ,ка'К!ОМ услав.ни согласава,нный фи\l! Ь'11Р реализ ,уем?
3. Какую формrу .имеют .сигналы на в ыходе со•гла,сованноrо фильтра при ф инит ­
·ных вхо,д,ны х воз,де йс11виях?
4. Ка.к выrvшдит схе ма оппн11альноrо приема д1 1 скре тных со общений при т очно
из'Вестно.м сиг нал е, реализова нн ая на базе согласованных фильтр ·ов?
5. Ка~< , в r~,ри1нци:пе, мотно постро.ить согласоrва,нный сj:м-,льтр для сигналов про -
изволь но!'о 'ВИ;Ц,а?
'
5. К•ак-и~м ,выражением можно определить ог.и•бающую на выходе оогла ,с ова ·н,ного
•с сигналом s(,t) фильтра, есюr на вход пода ето1 колебю111е z ( t)?
253

6.5" ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ
(МИНИМАЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ)
ПРИ ТОЧНО ИЗВЕСТНОМ АНСАМБЛЕ СИГНАЛОВ.
ОПТИМАЛЬНЫЙ АНСАМБЛЬ ДВОИЧНЫХ СИГНАЛОВ
Оптимальный приемни~к обеспечивает при заданных условиях на
передаче (способ модуляции и кодир,о'Вания) минимальную вероят­
носtъ ошибки, ,поэтому его помехоустойчивость, как и помехоустой­
чи1ность системы ·связи 1в целом, называется потенциальной (пре­
дельно ДОСТИЖ'ИМ·ОЙ).
Определим ,потенциальную помехоустойчивость для двоичной
системы с аддитивным нормальным «белым шумом», когда на прие­
ме точно известны оба ожидаемых сигнала: s;(t) и s; (t).
В этом случае согласно (6.30) алгоритм оnтимального приема
можно зап·исать в виде
7
в;= J s/(t)dt. (6.54)
8
При выполнении нера1венства (6.54) оптимальный приемник ре­
гистрирует символ «1», соот,ветствующий сигналу s; (t), в протлв ­
ном случае - сим:вол «О», соответствующий сигналу s; (t). Если дей­
ствительно передается символ «1», то z(t) =s; (t) + U(t). При это м
вероятность ошибки р(О/1) определится с учетом , (6.54) вероят­
но·стью выполнения неравенства
т
т.
_ \' И (t) [s; (t)-s; (t)] dt < -+ S[s; (t)-s; (t)]2 dt.
(6.55)
о
о
Аналогичное ,соотношение получим, если предположить, что пе ­
ред а ется символ «О», т. е. в обоих сл учаях вероятности ошибки р а1в­
ны: P(l/0) =Р(О/1) =р - канал симметричен.
Полная вероятность ошибки равна: P(l)P(0/1) +Р(О)Р(О /1 ) =
=pfP(l)+P(O)]=p, поскольку сумма априорных вероятностей п е­
редачи отдельных символо,в всег1да равна 1.
Запишем (6.55) в :В'иде
(6.56)
где
т
т
0= JИ(t)ls;(t)-s;(t)]dt; Еэ = J[s; (t)-s; (t)]2 dt.
о
о
Нетрудно похазать, что если И (t) - нормальный стац1ионарный
случайный проц,еес типа «белого шума» с нулевым средним с фи­
зически -определяемой спектральной плотностью .мощности Gш, то
254

0 - нормально 'распределенная ,величина с н ул е,вым средю1'v1 и дис ­
персней:
т
ёz=G;J[s;(t)- s;(t)]2dt = G; Еэ.
о
Т,о , что 0 раопре,дел,ено нормалыно ,с нулевым оред ни1м, очевид но, ибо оно
определяе'ГСя линейной операцией на.д нор.малынЫlм же сл,учайным npoJJ:eocoм с
нулеuзым с,р ед:ни,м значени ем . Можно наrписать
тт
02 =.) s-u~(t_)_U _U_1) [ s; (t)- s; (t)] [ s; (t1)-s; (t1)] dtdt1.
(6.58)
оо
Поск,оль.к у кю!рр-еляц.ионная функция «белого ш ума»
(6. 59)
то после и нтегрирования по t1 с учето м филь11рующе го ов ойеnва б-ф ун~щин
следуе1' р.е.зуль'i'ат (6 .57).
Вероятность rвьnпо лнен и я неравенс1'ва (6.56), т. е. вероятность
ошибки
р=
1!
' Е)l
w(0)d0=-l l- Ф( 3
_
=
2
2V02 .J
(6.60)
n i: e Ф(х) -функдия К.рампа.
При заданной 'Инте:нси1ыюсти помехи Gш потенциальная по~1ех-о­
устойч,и вость ,двоичной системы зависит только от так :называемой
э квивалентной энергии сигналов:
т
Е3 = f[s;(t)-s;(t)]2 dt,
(6.61)
о
к ото,рая ге оме11рическн определяется расстоянием между сигналь­
н ыми точками в простра:нстf!е Лильберта . Помех.оустойчивостъ выше
у той системы, у кот орой больше ЭК'В!ИtВалентная энергия исполь­
зуемых сигналов.
Соотношение (6.61) позволяет осуществлять оптимальный вы ­
бор •сигналов s;(t) и s; (t) или соответсwенно s1(t) и s2,(t), обеспе­
чивающих ,мак1си мально возможную ,помехоустойчивость ,при задан­
ной энергrии с11гналов Е1 . В самом деле, для такой оптимальной си ­
.стемы вел'ичина Еэ должна бытъ м а'Ксимальной .при условии , что:
т
т
Е;=
_f s;'(t)dt<.E'; Е_; = f s/(t)dt<.E'.
(6 .62)
о
о
255

т-
Можно натшrсать Еэ=2Е' +2в;- J[s; (t) +s; (t)]2dt.
о
Для получения !v!а'ксимума этого выражения нужно сдела т ь в;
и Е; возможно большими, а интеграл в правой части - как ,можно
меньшnм. Мак1сималыю .возможные значения в; и в; /Получатся,
если, учитьызая усло:вия (6.62), ,положить
(6.63)
т
Интеграл J[s; (t) + s; (t)]2dt принимает толыю полож•ительные
о
значения, поэтому его минимум ра,вен нулю и достига,ется при
условии
s;(t)= - s;(t)илиs2(t)= -
s1 (t).
(6.64)
Последнее условnе не 'Протинореч·ит (6.63). Таким образом, в двоич­
ном канале с постоянными параметрами и аддитивной флуктуа­
ционной помехой оптимальной оказывается система с :противопо­
Л'Ожными сигналами, удовлетворяющими условию (6.64). Этому
услов-ию удовлетворяют, наl!lример, сигналы, применяемые в систе­
ме двоичной фазовой телеграфии (ФТ), если разность фаз сигна­
ло:в Лер = +:п:. Для такой системы n·ри оптимальном приемнике ,ве­
роятно~ть ошибки
к2Р Т
где h2 =_с_, а
Gш
редаче.
Для систе.мы с
(6.65)
Е
Ре= -
-
ср.едняя мощность ,сигналов на !Пе­
т
ю<тивной паузой и ортогональными С'И'гналами
т
(напр-имер, сист,ема щвоичной ЧТ, к1огда Ss;(t)s; (t)dt=O] ,мини­
о
мальная :вероятность ошибки
р= 0,5 [1 -Ф( V7i2)].
(6.66) .
Сра1внивая (6.66) и (6.65), приходим к вывод:у, что пере ход от
системы с ортогональными сигналами (ЧТ) к системе с оптималь­
ными сигналами (ФТ) ·позволяет в ра1соматривае 1vюм канале обес­
печить неизменное ,качество связи (вероятность ошибки) при по­
нижении средней мощности передатчика в два раза, т. е. энерге­
тический выигрыш ТJ = 2 = 3 дБ (см. 5.66). Это говорит о перспектив ­
нос'Ги систем ·с оптималь.ными сигналами.
В д;воичной системе с па1ссивной паузой (АТ), ,полагая s;(t)=O
т
и Js; (t)dt = E, получаем для минимальной вероятность ошибки
о
р = О,9 [1-Ф (V-h2;2)].
(6.67)
256

Отсюда сr3Идно, что ,при ,переходе от системы .А Т к системе ЧТ
энергетИ'ческий 1выитрыш no максимальной мощности рав-ен 2, а при
переходе к системе ФТ - 4.
Е>спи сигналы отдельных поэиц'Ий в системе с паесивной паузой
следуют с одинаковой вероятностью, то среднюю мощность можно
считать ·равной половине максимальной: Рс=Ртах/2.
В си,стема,х с активной паузой средняя мощно·сть сигнала равн а
максималь.н ой . Следовательно, переход от ,системы АТ 1к еистеме
ЧТ не дает энергетического выигрыша по средней мощности, а при
переход,:; к системе ФТ этот выигрыш раsен 2 (3 дБ) .
Есю1 система является т-позицио.нной (m>2), нахождение ве­
роятн ости ошибочного приема Рт ,в общем случае затруд няетс я,
та к ~<ак теперь 1приходится анализ·ировать совокупность из (т- 1)
неравенств. Одща !КО для ои,стем с активн,ой па-узой св; =Е') при
равновероятных ортогональных еигналах к анал си мметричен и в об­
ласти малых ошибок можно написать
Рт~(т-1)Р2,
(6.68)
где Р2 - вероятность ошибки двоичной системы в то м ж·е канале .
На сам:ом деле, согласно (6.29) в рассматриваемых система х
ошибка не произойдет, если при передаче i-го сюшола одновре­
менно ,вьшолни11ся ·m-1 неравенств:
Е'-t-лi> 'А1 (j=1=i),
(6.69 )
где
т
лi = f U(t)s;(t)dt.
о
При нормальном шуме с нул,евым средним значен ием и энер­
гетическим спехтром Gш все Л i распределены нормально с .нулевым
средн·им зна'Ч ением, а функция !Взаимной коР'реляци и
тт
лiлi = SSU,--( -t)~U -(t-1
)
s; (t) s; (t1 )dtdt1
•
оо
Если шум белый, то с учетом (6 .59)
тт
т
'Ai'A 1 = 0; ssб(t-t1)s;(t)s;(t1)dt1dt =G; ss;(t)s;(t)dt. (6.70)
оо
о
При ортотональных сигналах {s;(t)} ,величины · лi 1с различным~и,
индексами некоррелированы и независимы. Следовательно, с уче- :
том ,симметрии канала вероятно1сть отсутствия ошибки или вероят- ,
ность одновременного ,выполнения т-1 неравенств (6.69) равна :"
1-Рт= (l-p2)m-1, где Р2 - вероятность невыполнения одного нера-'
венства в (6.69) (т. е. вероятность · ошибки д.в·оич,ной сис1'емы в том
же канале) .
9-386
257

Можно написать
1.1
)т-1
Рт=-(
-
pz
•
(6.71)
В области малых ошибок (Р2<< 1), воспользовавшись форл1улой
бинома Ньютона, из (6.71) следует (6.68). Из ф - л ы (6.68) не сле ­
дует делать поспешного вывод а о том, что мног о поз и ц ион ная си­
стема (m>2) хуже двоичной (см. параграф 6.12).
Как пока з ано выше, двоичная система с п р отивоположными
сигналами (ФТ с манип уляцией на ±л) пре.1ставляет несомнен­
ный интерес как система с оптимальны м и 01: ·н ала м и д-ля канала
с постоянными (или медленно меняющимися) параметr1ами, когда
ожидаемые сигналы ,можно -считать точно известными на приеме.
Согласно (6.30) алгоритм оптимального прие 11;1 а можно для этой
системы записа т ь так:
т
Jг(t)s;(t)dt>O.
(6.72)
о
При вьшол·нени и ,неравешства (6.72) •следует -регистрировать -символ
«1», в противно м случае - «О».
•
Структурная схема ,приемника, реали зующего алгорит м (6.72)
на основе активного фильтра показана на рис. 6.15. Опорный сиг-
Схема
опреilеле- ~
1111н J11ака
ЯП
Декооер
и Оыilачи
симбола
Р.ис. 6. 15. Схема реализации опти,мального по кр 1пе ­
рию -ма ,1~снмального правдоподобия приема в системе
с протн ·вополож·н ыми сигналами (ФТ) при т-очно нзве ­
ст.ном в месте приема онгнале
11ал должен точно соответствовать (в том числе и по фазе) дей­
ствительному сигналу .на приемной сто·роне s;(t) =Ka.•c.os (wot+cpo).
При реализации алгоритма (6.72) ·согла,сованным фильтро,1
практически встречаются не меньшие трудности. В практических
схемах о'Порный сигнал s;(t) формируется из принимаемого коле ­
бания, по,сколь,ку если его генерировать автономным генератора,-~
в месте приема, то необходимое согласо1JЗание по фазе на сегодня
.не может быть обеспечено . Формирование опорного ,сигнала сво­
д·ится к устранению манипуляции в принимаемом сигнале s'(t) =
= Касоs (мt+сро+iл), где i = O или i = l. Это достигается различны ­
·МИ схемами (36], в частности, ,сх,емой, предложенной А. А. Пистоль ­
'К_орсом :[40 ] (рис. 6.16). Схема содержит умножитель частоты на два,
258

вы~одной сигнал которого через узкополосный фильтр, настроен­
ныи на частоту 2ffio, поступает на ,н,елитель частоты на 2 .[16].
Все схемы формирования опорного сигнала таковы, что в·след­
ст.вие различных неконтролируемых факторов возможны случай­
ные изменения знака отюрного еигна.ла. Это, в частности, относится
и к щелителю частоты на 2 в схеме А. А. Пистолькорса. Это озна-
Соs(ш0 t+кл+ !fо)
~os(2ш
0 t+2!fo) t Cos(ш0t+!fa)
е к=О11л11к=1
Mf\_ 1 n.
~/\/\
о1 г---u--т о . ~ о~\ГV 7
УdfJоитель
частоты
t:" ·S ''\:J
Делитель
частоты
Рис. 6.1 6. Иллюстрация работы схемы А. А. Писrолькорса для формиро•
вания опорного га·рмонического сигнала из си-г нала ФТ с мани.пуляцией
на :п:
чает, что символы, регистрируемые в дискретной памяти на вы ­
х оде приемниха (рис . 6. 15), даже при отсутствии аддити•вной поме ­
хи в канале [z(t) = S ;(t)] после случайного перескока фазы опор ­
ного сигнала записываются обратным кодом (нули будут записаны
как « l », а « l » J{ ак «О»). Это будет продолжаться до ,следующ~го
перескока фазы опорного сигнала. Возникает так навыва,емое яв ­
ление <<обратной работы», которое долгое время тормоз•ило прак ­
тическое внедрение систем фазовой телеграфии .
Эффектны й м етод боръбы с этим явлением был найден путем
перехода к о т носительным (разностным) методам модуляции. С су­
щ е ство м относит ельной фазовой модуляции (ОФМ или ОФТ) мы
познакомились в параграфе 2.4 . Сигналы ОФМ могут приниматьс я
различны м и мето д ами ,[36]. Здесь ра,осмотрим метод приема сиг ­
налQlв ОФ М п р и т очно изв естном сигнале (0птимальный когерент·
ный прие м по м,етоду сра1внения полярностей). Для этого напо:мним
снача л а (с м. параграф 2.3), что систему ОФМ м ожно рассматри •
вать ка к обычн у ю сист е му с фазово й манипуляцией (ФТ), но со
спец и аль н ым пере кодированием символов. Это означает, что оfгги ­
мальны й прие,м сигналов ОФМ можно о с ущестsить , например, схе ­
мой рис . 6.15, но с •перекодировкой принятых символов. Перекоди­
ровка выполняется сравнени,ем полярностей зна :1юв каждого при­
нятого ,симво л а с предыдущим , для ·чего , естественно, требуется за­
держка выхо д ных символов на время Т (р,ис. 6. 17). Символ «l»
регистР'ируется на выходе приемника при совпадении .полярностей
двух соседних 1ГJосылок, символ «О» - если эти полярности проти­
воположны.
g•
~00

При таком м,етоде пр ием а ошибка (при отсутствии помехи в
.к анале) возникает только 'В одном симв,оле в момент переско к а
фазы о'Порного ,сигнала. Последующие же символы регистрируются
правильно (устранено явление обратной работы).
С;;ема
oпpeifeлe­
liШl J11шr(J.
11 (Jыifaч11
самfJола
срабпе1111я
НП
еко{}ер
С;;ема @В--
поляrтостей
Рис. 6.17. Схема оптшмального пр иема сигнало·в ОФМ методом сравнения поляр­
ностей (когере~нтный прием)
Определим -вероятность ошибки в систе.ме ОФТ при уче'!'е флук­
ту ац1ионной помехи в 1кан але и когерентном ПР'иеме. Вероятность
РоФт ошибочной регистрации сим!Волов в ·системе ОФТ при приеме
по методу сра1внения полярностей не совпадает ,с вероятностью
появления искажения знаков на выходе фазового детек11ора или,
что то же самое, с вероятностью р Фт ошибок в системе «класси­
ческой» фазовой телеграфии (ФТ), О!Пределяемой ф-лой (6.65). Оче­
видно, чrо •ошибочная регистрация символа при приеме методом
сравнения полярностей возможна в результате одного из д,вух не­
совм естимых событий: а) знак данного элемента ,принят ошибочно,
а з_нак предыдущего - верно; б) знак данного элемента принят
верно, а ,предыдущего - оши,бочно . К:аждое ,из этих собы'ГИЙ имеет
!Вероятность РФт (1-РФт ). Таким образом, РоФт = 2РФт (1 -РФт).
В нор,малъных условиях эксплуатации, когда требуется, чтобы
РФт« 1,
(6.73)
Та1ким образом, «плат,ой» за у~странение обратной ра:боты яв­
ляется у.двоение вероятности ошибки, обусловленной шумом в ка­
нале.
Контрольные вопросы
1. Чrо понимают под потенциальной помехоуст,ойч11,востью системы свяЭ'И?
2. Ка,1юй фор~м,улой определяется минимальная вероя11ность ошибки двоичной
,системы ,при из1вестнюм точно си гнале ,в гаусоовом кана,ле?
3. Ка ,к опр,щеляется эк8'ивалентная энергия СИl'нвл,ов двоичной системы связи?
4. Какая из д1в•оичных сис11ем являекя оптимальной в кана111е с постоянными па­
ра1метр ,ам,и и ,а,д1дитивной флуктуацион,ной помехой?
5. Чему ра·вен ">нергетичеокий выигрыш перехода в гауссовом канале от д1воич­
ной системы АТ к системам ЧТ и ФТ?
6. Как связаны вероятности ошибки МНQrопозиционной и двухпозиционной си-
1стем с актив,ной па,узой и ортогональными сигнал,ам.и в области малых
,ошибок?
260,

7. В чем заюлюча·ется явление обр а тной работы, наблюдаемое в системах 'Клас­
,сичеок ой ФТ?
8. Почем у в системах ОФМ (ОФТ) мо21шо успешно бо-роться с явлен.нем «об­
ра11ной работы»?
9 . Ка'К .осуществляется оптнмалыный когерентный пр,ием сигналов ОФТ методом
,срав·неншя полярностей и как определяется вероятность ошибки эт-ой схемы
при у чете флукту,а,ци.о·н·ног.о шу м а .в .канале?
6.6. АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА И
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ
ПРИ СИГНАЛАХ С НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ФАЗОЙ
Во многих случаях связи начальную фазу 8н ожидае<мых сиг-
л
н алов s; (t) = K[cos 8нsi(t)-sin 8нsi(t)] нель-зя сч·итать 11очно извест-
но й н~1 nр·иеме, так ка,к она под:вергается случайным изменениям
в кан а ле, которые заранее точно предсказать нельзя.
Флуктуации фаз, анализируемых в месте приема сигналов, мо­
гут быть обусловлены флуктуациями фазы сигнала на передаче
(в,следствие недостаточной фазовой стабильности), изменением вре­
мени :распространения -сигнала в канале (например, ;В коротковол­
новом ·радиоканале это tПрО'исходит из-за флуктуац·ии .местополо­
жения 1'0Чек ионосферы, от ,которых происходит отраж,ение радио- •
луча в сторону приемника), а также флуктуациями фазы гетеро­
дина приемника.
Естест,венно, если фаза (или какой-либо друrой или другие па­
ра,метры) п·ринимаемого сигнала флу.к ·гуирует настоль-ко ,медленно,
что путем измерения (оценки) ее можно достаточно надежно пред­
сказать на интер1вале анализа, оптимальный прием в основном (•за
исключение;м блок-ов о:цен,ки) реализуе11ся так же, как при rочно
~иэв-естном 1С'игнале. Та ,кая ,оитуация •В'пол~не ха1ра•к,т-ерна для многих
каналов проводной и даже радиосвязи [23].
Когда же фаза сигнала на приеме неопределенна, приходится
отказываться от реализации когерентного приема ( ом. параграф
6.5). Можно, однако, 'И для новой ситуации найти приемник, теперь
уже осуществляющий некогерент,ный прием, не требующий априор­
ного .знания фазы сигнала, но обеспечивающий .максималь.но воз­
rvюжную помехоустойчИlвость в новых условиях . Разумеется, что си­
стемы связи, предполагающие только когерентную о:бра6от,ку сиг­
нала (система ФТ), теперь исключаются из рассмотрения .
Полагая, что в канале имеется аддитивная флуктуационная по­
меха типа «белого шума», отпраrвимся от условной плотности ве­
роятности (6.22), которую с уч,етом (6.20) после элементарных
nреобразо1Jаний запи шем в виде :
{2к
.
л к2Et}
ro(z/b1)к, ек=К1ехр Gw [cos0кYi-sIП0кYtJ-a;;;- , (6.74)
т
л
тл
У1=f Z(t)S1(t)dt; Уi =fZ(t)S1(t)dt,
о
о
261

где К1 - постоянная, не 'Зависящая от i, w(z/b;)к, ек является усло·в.­
ной .плотностью при известных к и 0к-
Полагая начальную фазу равномерво распределенной w1 (0.к) =
= 1/2л (О~Gн~2л), найдем ,математичес,кое ожидание о т
w(z/b;) к, ек т. е. услюввую плотность
z"
2л
w(z/bдк = Jw(zjb;)к 8 W1(0к)d0к =-2:.:: Jw(z/bi)" 8 dек.
•"
2л
'
"
(6.75 )
о
о
Запишем (6.74) ;в вид,е
w(z/b,)к, e" = -. 1S1 ~xp[ ~к :.v7~~s -(0" -
0;) -
~
2
Ei],
!!1"
ш
(6.76 )
где
л
01 = arc tgYi!Y1.
Интегрируя (6.75) сучето•м (6.76) и (1.116),получаем
{ ,<:2Еt) ('2кVi\
т(z/Ьдк = К1ехр 1 -~
-
lo --).
\
Gш,
Gш
(6.77)
В со,ответс11вии с критерием максимального пра,вдоподобия
(6.18), логарифмируя сначала (6.77), пол учаем следующий алго­
рит,м оптимального ·приема при неопределенной фазе сигн ала:
Maxtln/0- -1
--
---'-
.
l" (2кV•) к2Е•l
Gш, GшJ
(6.78)
л
Величины У; и Yi можно получит ь в ,юменты времени, крат­
ные Т, на выходе активного фильтра с опорными сигналами, рав -
л
ными ооотве'!'ственно s;(t) и si(t). С учетом сказанного понятно
построение на основе а,ктивных фильтров схемы, называемой квад­
ратурной и реализующей алгоритм (6.78), рис . 6.18. Здесь Г;
-
ге­
нерато·ры опорных сигналов si(t) с -ючностыо до фазы высокой ча-
С'!'оты, ер~- фазовращатели .воех ,сигнал ьных ком п онент на 90°
2
(или генераторы сопряженных сигналов), БОМ - блоr, определения
модуля ,вектора Vi = У У7 + У; •по ортогональным "компонентам,
HYi - нелинейные устройства с характеристикой Ивых=ln / 0( i: Ивх)
• Подч • еркнем, Ч'I'О (см. параграф 6.4) величины Vi не зависят
от начальной фазы сигналов si(t) и оп:ред'еляются огибающей (s мо­
менты, кратные Т) на выходе фильтра, ,согласованного с сиг.налом
si(t). Алгоритмы п·риема, не требующие для своей ·реализации зна­
ния фазы ,сигнала, н:..зывают некогерентными.
262

--------
.--
---l
1
1
1
______________ j
м ожно записать в виде
Рис. 6.18 .
~ва,дратурная
схема реал,изации оптималь­
ного по критерию макси­
мального
п,равщоподобия
приема д.исжрет,ных сооб­
щений при неопределенной
фазе сигнала
Та,ким образом, алгоритм
(6 .78) можно реализовать ·и на
базе ,согласованных фильт,ров,
•как показано на рис . 6.19. Де­
текгоры D выделяют огибаю­
щую ,сигнала.
Для двоичной си,стемы с
па ссивной паузой, полагая, что
символ «О» передается сигна ­
лом s2(t) =0, ал .горитм (6.78)
(6.79)
где пороговый уровень
Л= Gшf(к2Е1).
(6.80)
2к
Gш
Функция f(x) обратна функции lnlo(x). При выполнении неравен­
стtВа (6.79) (превышение V1 над порогом) регистрируе11ся первая
Рис. 6.19. Схема реализации оптимального по ,к•ритерюо
,ма:ксимального пра,~щоподобия приема диюкретных сообще­
н·ий на базе согла ,сованных фильт,ро·в при неопределенной
фазе ,си,гнала
263

позиция (символ «1»), в против,ном :случае - вторая позиция
( СИМ IВОЛ «О») .
При реализации алгоритма (6.79) в схемах Р'ИС. 6.18 или 6.19'
оста,етоя лишь одна ветвь.
Алг,оритм (6.78) и соответственно его реализац·ия суще,стsе.нно,
упрощаются для систем с активной паузой (Ei = Е). С учетом мо­
нотонного характера зависи,мости функции ln I o(x) от св·оего аргу­
мента х ;;,,О для систем •С активной паузой алгоритм оптимального
приема при неопределенной фазе сигнала можно .за·писать так:
Мах1[V1].
(6.81)
Для ,его реализац·ии в с:х.емах ,рис. 6.18 и 6.19 больше не тре­
буются блок1и вычитания ВУ.
При флуктуационной поме,хе в канале и неоnределенно й ф азе
сигнала из еистем с активной паузой при заданной .максимальной
энер.гии сигнала оптимальной (обеспечивающей минимальную ве­
роятность ошибки) оказывается ,система , ортогональная в усилен­
ном сл1,ысле, у которой сигналы удовлетворяют у словиям:
т
т
л
fs 1 (t)si(t)dt=0 при j=тf:i; Js1 (t)si(t)dt=0, i, j=l,2,3, ... , т. (6.82)
о
Усло·вию (6 .82) удоsлетворяет, например, система частотно й
телеграфии (ЧТ) с частотами, кратньвш 1 / Т, или при про извол ь ­
ных частотах, но при разносе между ними •Лf » 1/ Т (спе ктры от­
дельных сигналов лочти не перек·ры1ваются).
Опти м аль,но1сть систем, о:ртогональных в у,сил,енном смысле•
.можно
'Пояснить следующим образом. Как видно из (6.81), та си­
стема сигналов оказывается бол-:-е помехо устойчивой, для которой
'При передаче bi величина Vi оказывается как можно больш ей, а
величины Vj,,ьi - ,к ак ,можно меньшими. Но так как Vj;;,,O, то ми­
нкмально ·в озможное значение Vj ра1в.но нулю.
Т,t,перь .напомним, что
(6.83)
а при передаче символа Ь;
л
z(t) =кcos0кs1(t)-кsin0кs1(t)+и(t).
(6.84),
Если ,помеха в ка .нале отсутствует :[u(t) = 0] и передается сим.вол bi,
то при вьыюлнении условий (6.82) Vi = к V Е, а Vj,,ьi принимает
минимальное значение, ра~вное нулю. ,
Так как область наибольшей вероятности для значений флук­
туационной пом,ехи И(t) лежит вблизи нул я , то усл о вия (6 .82)
,обеспечивают оттти,мальность системы и при учете флуктуационной
помехи в канале.
264

Определим 1вероятность ошибки при приеме по алгорит.му (6.81)
и использова н ии олтимальной системы сигнало в (6.82). Если пере ­
дается симвюл bi, то с учетом (6.82), (6.83) и (6.84) имеем:
V1 = V{лi +ХЕ)2+(Л1+уЕ)2 ' х=К cos0к, у=Кsiпек, (6.85)
vj=i = Vл7+л7,
(6.86)
т
л
т
л
Л;= JИ(t)s1 (t)dt; Л 1 = JИ(t)st(f)dt.
(6.87)
о
о
л
-
Нетрудно видеть, что величины Лi, Лi распределены нормально
с нулевым средним значение.м.
л
С учетом (6.70) можно видеть, что случайные величины Лi, Лi
с различными и~щексами для системы сигналов (6.82) взаимоне­
коррелированы ( а следо1вательно, 1и независимы всл,едствие нор ­
мальности распределения), другими словами, случайные величины
Vi и Vj=t=i (см. 6.85 и 6.86) взаимонезависимы. Взаимонезависимы
л
также велич,ины Лi и Лi (в,следств·ие взаимной ортогональности
сопряженных сигналов).
л
Gш
Диспер ·сии всех случайных sеличин Лi, Лi равны 2 Е. Случай-
ная величина Vj (6.86) распределена по Рэлею:
ro(Vi)=Vi / ( Е~ш)ехр(- 0:JE ).
(6.88)
в то время как случайная величина Vi (6.85) имеет обобщенное
распределение Рэлея:
ro(V;) = Vi / (Е~ш )ехр (- v7:~:E
2
) /0( 2~:i )· (6.89)
Вер,оятность 01Шибки для двоичной ~оисгемы (здесь вслед,с'Гlвие
си.мметрии канала одинаковая rпри передаче любой позиции симво­
ла bi) определи'Гся •вероятностью невыполнения неравенства
.Vi> Vj(j=l= ,i = 1,2)
00
•00
р= f w(V;) _J ro(Vi)dVidV1•
(6.90)
О L;i!:~~~=-1[ V i
Производя интегрирование по Vj, с учетом (6.88) 1и (6.89) по­
.лучаем
00
SI2i1i
[ ._2к2Е 2Vi ]/ (2кVi)dV
р= --ехр - ----- о
-
-
i·
GшЕ
~Gш
GwЕ
Gш
о
•
.
265

Этот интеграл является табличным 1[12], и по,сле его вычисле­
ния получим
1
( h2)
р=2ехр - -2
-
,
(б.90а)
где h2 =к2Е/Gш - отношение энергии элемента сигнала к спект­
ральной плотности мощности шу,ма.
На рис. 6 .20 дана за.висимость р (h 2) согласно (6.90). Там же
для сравнения дarra зависимость, характеризующая лотенциаль-
ную 'Помехоустойчивость ра,с-
---'~~--
1~( _
_
1~в3__1
~0•__1
~0
5_____t2 сматриваемой системы (двоич-
р
Р,ис . 6.20 . Зависим·ост.и вероятност и
ошиб.ки двоичной ЧТ от h2 при опти­
малыном (по критерию ма1~симального
правдоподо'6ия) приеме при различных
параметрах ·канала:
1 - односторонне нормальные замирания; 2" " '
рэлеевские замирания; 3 - обобщенно-рэлеев­
ские замирания; 4 - фаза сигнала не опреде­
лена; 5 ""' канал с пщтояннымн параметрами
ная ЧТ) в ,канале с точно из­
вестной фазой и определяемая
ф-лой (6.66).
Сравнение ,кр,ивых ~показы­
вает, что для рассматриваемой
системы связи ( с актив,ной лау­
зой, ортогональной ,в усилен­
ном смысле) априорное знание
фазы и реализация когерентно­
го приема не дают сколыко-ни­
будь ощутимого энергетическо ­
го выигрыша по ,сравнению со
случаем некогерентного при­
ема.
Расчеты показывают {53] ,
что средняя вероятность ошиб­
ю1 при равновероятных сим.во­
лах «О» и «1» в двоичной си­
стеме ·с пассивной паузой при .неопр еделенной фазе сигнала опре­
деляется также приближенно ф-лой (6.90), если под h2 по.ним ать
величину Е1к2/2,Gш, где Е 1 .-
энергия ненулевого элемента ,сигнала .
Для 'Многопозиционных систем с активной паузой (Ei=E), орто ­
гональных в усиленном ,смысле, при неопр,еделенной фазе и опти­
маль.ном приеме канал симметричен и в обла,сти малых ошибок
на оснО1Ве результата (6.68)
(6.91 )
Остановимся теперь на оптимальном приеме сигналов ОФМ при
неопределенной фазе сигнала, который вполне возможен, и более
того, мало уступает по помехоустойчивости когерентному приему .
Поскольку при ОФМ информац·ионный параметр сигнала опре­
деляется двумя соседними посылками {(п - 1)-й :на интервале 0-Т
и n-ii . на .илтервал,е Т - 2Т], то оптимальный алгоритм (6.81) можно
для ра,ссматриваемой ,систе,мы записать в виде
266

где
Мах,\V[7 z (i) s; (1) dt]'+ [fz(t) ~; (t)dt]',
i-1,2,
z(t)=fZn-1(t), 03⁄4t3⁄4Т,
lZn(t), Т3⁄4t3⁄42Т.
(6.92)
Если сигнал (п -1 )-й посылки имеет вид ка oos (,ffiot+'ljJ), где
'\jJ - случайная началь.ная фаза, не ,известная на приеме, то систе­
му сигналов при ОФМ можно записать так:
s; (t) = к а cos (ffio t + '\jJ), О ~{)3⁄42Т при передаче «1»
п-посылкой,
(6.93)
r8, (t) = { каcos(ffiot+'\j)), O3⁄4t3⁄4Т при передаче «О»
•
2"
-кacos(ffiof+'\JJ), T3⁄4t3⁄42T п-посылки.
Нетрудно видеть, что (6 .93) пред!ставляет собой двоичную си­
стему сигналов с акти1вной паузой, ортогональной ,в усиленном
смысле. !Поэтому вероятность ошибки П'ри приеме ОФМ сигнал.ов
по алгоритму (6.92) определяется с уче11ом (6.90) очень просто
р = 0,5 ехр (-h2),
где учтено, что для реализаций (6.93) параметр h2 - отношение
энергии сигнала на интервале длительностью 2 Т к спектральной
плотности шума - ра:вен удвоенному зна чению h2 -
отношению
энергии элемента ·сигнала длительностью Т к той же ,спектраль­
ной .плотности шума.
Что касается схемной реализации алгорит.ма (6.92), то его мож­
но упростить . Для этог,о подставим систему сигналов (6.93) в (6.92)
и после . сок·ращения одинаковых слагаемых приводим алгоритм
приема к 'Виду
(6.94)
где
Т
2Т
)
Ха=Jzп-i(t)cos(ffiot+'\J))dt; Хь= f Zn(t)cos(ffiot+'\J))dt 1.
(6.95)
Т
2Т
\._
Уа=IZn-1(t)sin(ffiot+ '\j))dt; Уь =1Zпsin(ffiot+'\j))dt j
Полагая фазу '\jJ, хотя и случайной, ,но пос·юянной на интервале
10 ~ 2 Т, можно легко показать что левая ча{'ТЬ (6.94) инвариантна
к значению этой фазы.
На ,рис. 6.21 показана корреляционная схема, р,еализующая ал­
горитм приема (6.94) ,на основе активных фильтров. Величины
Ха, Хь, Уа, Уь получаются п утем интегрирования на интервале дли­
тельности Т произведения элеме.нта принимаемого колебания на
о.парные сигналы cos(ffioi+Ф) или sin(шпt+cp).
267

,В моменты вр,емени, кратные Т, ,велич·ины Хь и Уь снимаютс я
непосредственно с интеграторов, а Ха и Уа - с выхода схемы за•
держки на время Т. На рис. 6.21 1) .не указаны цепи, осуществляю­
щие ,сброс интегратора !К концу инте.рвала инт,егри рования, и ввод
накопленного на нем результата в множи'Г'ельное у,стройство и схе­
му задержки на время Т.
z(t)
Рис. 6.21 . Схема оп11имального пр.нем а сиг,налов ОФМ при не оп ­
ределе н н ой фазе на базе акт.ивных фильтр ов
Струю·урная схема, реализующая алгор-итм (6.94) .на основе
согласованных с точностью до фазы с прямоугольным радиоим­
пульсом (см . 6.35) ~юм-мутируемых фильтров, использован.ная в
различных вариантах американской многоканальной системы с
ОФМ «Кинеплеко> [35], ,показана на рис. 6.22.
/f.
---
СФ
Рис. 6.22 . Схема отпимальноrо приема сигналов ОФМ
при неопределенной фазе на основе согласованных
(,коммутируемых) фил ьт-ров
В момент t=O приходящее колебание z(t) пода,ется .на первый
фильтр, который до этоrго приведен .к .нулевым начальным усло­
виям путем гашения колебаний_ В момент t = Т входное колебание
коммутируется со 1Jторым фильтром, тоже пр·иведенным rк нуле.вым
1) Принципы схемы рис. 6.21 предложены Л. М. Р ах о ,в и rч ем и исполь­
зованы в различных вариантах отечест.венных много.ка~нальных систем с ОФМ
мс (1.18).
268

начальным условиям. В первом фильтре колебания при этом не
гасятся и сохраняются до мо.мента отсчета 2Т. Колебания с двух
фильтров ,поступают на фазовый детектор ФД (выполняющий функ­
цию 'Перемножения входных сигналов и интегрирования резуль ­
тата).
Знак напряжения на выходе фазового детектора в моменты,
кратные Т, будет положитель.ным, если вы полн ено условие (6,94) ,
что и позволяет принять нужное решение.
На само·м деле, ,сигнал на выходе лер,вого фильтра
t
а1(t) =fZп-1(х)cos w0' (t-x)dx ,=
о
t
t
=COS w0t fZn-1 (х) cos w0 xdx+ sin wo tfZп-1(х)sin Wo dx.
о
с
Сигнал на выходе :второго фильтра
t
a2 (t) = Jzп(x)cOSffio(t-x)dx=
т
t
t
• cos w0 t Jz11 (х) cos ffio xdx + sin со0 tJZn (х) sin ffio,
т
•т
Результат на выходе фазового детектора, если учесть медлен-
r
•
t
_ ность изменения Xa(t) = .\ Zn-1(x)cos w0xdx; Ya(t) = JZп-1(х) sinX
о
о
t
t
Xwoxdx; Хь= 5zп(x)coswoxdx; Yь(t)=s zп(х) sinwoxdx, по сравне-
о
Т
нию с cos ,wot, sin wot, равен в моменты, кратные Т,
т
1
fа1(t)а2(t)dt = 2 [ХаХь+УаУь],
о
что с точностью до множителя 1/2 со/Впадает с ле:вой частью (6.94) .
В заключение этого параграфа обратим внимание на то, что,
хотя пр·и оптимальной некогерентной обработке высокочастотных
сигналов (обра:ботка по огибающей) снижаются требования (п о
сравнению со случаем когерентной обработки) к точности установ­
ки границ посылок элементарных канальных сигналов длитель­
ности Т, все же для реализации оптимальной схемы средняя часто­
та заполнения сигналов должна быть известна с высокой точ­
ностью . Во :всяком случае, есл ·и от,клонение средней ча,стоты ЛF
1
от своего истин него значе.ния fо существенно меньше Т
IЛFI « +'
(6.96)
269

то измен,ение фазы ,высокочастотной посьшки на интервале .
Т (2пЛFТ) существенно меньше 2rr, .и получ-енные выu.iе а.rrгоритмы
оптимального приема и формулы для минимальной вероятности
ошибок остаются !Верными.
Контрольные вопросы
1. Ка,{ можно записать алгор,итм оптима ,'1ьного приема дискрет,ных сообщеюrй
tПрИ неопредел,енной фазе си!'нала?
•
2. Как можно реализовать этот алгоритм на базе корреляционной тех,ники и сог­
лаоо1ванных филь1'ров?
3. В ~акай мере у,прощаю'J\СЯ алгоритм и схемная реализация оптимального
,приема цри неопр~еленной фазе сигнала для систем с акти,вной паузой?
4. Как можно объяснить оптимальность систем, орто!'ональных в усиленном
смысле, в канале с неопределенной фазой и флу;ктуационным шумом?
5. Ка,кой формулой определяется минималь·ная вероятность ошибки для двоич-
111ой сис11Е1мы с активной паузой, ортогона\)]ьной в усиленном смысле, при не­
опре,и:еленной фазе сигнала и флук11уационном шум,е?
6 . Как определяе11ся вероя11Ность ошибки при оптимальном приеме сигналов
ОФМ при несшределенной фазе?
7. Какими схемами можно реал.изовать оп-nималь·ный некогерентный прием сиг­
,налов ОФМ?
6.7 . СХЕМЫ НЕОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА
ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ФАЗЕ СИГНАЛОВ
На сегодняшний день -в аппаратуре связи чаще всего встреча­
ются схемы не.когерентного ПР'иема, отличающиеся от оптималь­
ных. Так, при приеме сигналов двоичной АТ распространена схе­
ма рис. 6.23. Здесь амплитудный детектор D и ФНЧ выделяют oги -
rlt)
Рис. 6.23 . С:-еиа неоiпималь,ного приема сигналов
АТ методом сравнения оги,бающей с ,пороговым
уров·нем
бающую r(t) принимаемого колебания, прошедше-го входной изби­
рательный блок (полосовой фильтр ПФ) с эффективной полосой
пропускания Fэ, достаточной для получения всех наиболее сущест­
венных комп0нент сигнала. Затем огибающая r(t) в определенные
моменты времени (наприме•р, в середине посылки) -сравнивается
в ССВ с шжоторым порого;вым уровнем л. При выполнении нера ­
венства
г-л>О
(6.97)
регистр-ируется 01м1юл «!», в противном случае - «О». Сравнивая
(6.97) с алгоритмом (6.79) оптималь.ного приема при неопределен­
ной фазе сигнала, можно видеть их идентичность: оптимальный при-
270

емник отличается от неоптимального тем, что обычные детектиро­
вание и фильтрация на выходе детектора заменены синхронным
детектированием (предельная фильтрация) или, иначе, вместо
обычного полосового фильтра с детектором огибаюшей исполь ­
зуе-гся согласованный (с точностью до фазы) фильтр и детектор
огибаюшей .
При приеме сигналов двоичной ЧТ распространена схема
рис. 6.24. На рис. 6 .24 обозначены: ПФн - разделительный поло-
z(tj
Рис. 6.24 . С х ема неоптнмального прием а сигналов ЧТ ме ­
тодом сравнения огибающ и х в раздельных фильтрах
совой фильтр , пропускающий область частот Fa около частоты на­
жатия ; ПФ о - р азделител ь ный полосовой фильтр, .пропускающий
область част о т Fэ около частоты отжатия .
СЧ'и т ается, что в полосы фильтров попадают все наиболее су ­
щественные ко.мпоне.нты сигналов . D - безынерционный амплитуд ­
ны й детектор; ФНЧ - фильтры нижних частот, выделяющие оти ­
б 2ющие rн (t) и ro( t) сигналов на выходе разделительных фильтров .
В о пределенный момент ,в;ремени (например, в середине посыл ­
к и ) выбирается та ИЛ'И иная позици я символа в з ависимости от
того , в ка,кой ветви мгновенное з.начение огибающей окажется
больше .
Например, если
(6.98)
регистрируется сим1вол « 1», в противном случае - «О». Можно от­
метить идентичность алгоритмов приема (6.98) и (6. 81) (:при m=2) ,
однако в оптималь.ной схеме в,место разделительыых полосовых
фильтров используются фильтры, согласованные с точностью до
фазы с сигналом . Оц,еним по.мехоустойчивость схемы рис. 6.24 (ме­
тод сравнения огибающих) при флуктуационном шум,е ,в канале
и сравним ее ,с помехоустойчивостью при оптимальной обраб:от.ке
<.: игнала.
Если эффекти·вная полоса пропускания разделительного филь­
тра на входе
Fэ= n/T, п>1,
(6.99)
271

и разность между частотами нажатия iI отжат.ия имеет порядок
величины Fэ, то при передаче частоты нажатия амплитуда сигнала
ro на выходе фильтра ПФо определяется только флуктуационной
помехой в ка.нале и, следовательно, имеет ра-спределение Рэлея
w1(r0)= _!'_!!_ехр(- r~ ) ,
Gшfэ
2Gшfэ
rде GшРэ - дисперсия (.средняя мощность) помехи на вых0де
фильтра.
Амплитуда ж,е сигнала rн на выходе фильтра ПФн обусловлена
сигнало,м и помехой и имеет обобщенное расп ределение ,Рэлея
_
(·)_rн
[ r~+(l\:a)
2
l / (rн_ка)
ш1/11 - --ехр
-
-----
о--
,
Gшfэ
2Gшfэ
Gwfэ
rде а - амплит уд а сигнала на передаче, ка
-
амплитуда сигнала
с месте приема.
Если полосы пропускания низ1кочастотных фильтров, нагружаю­
щих детекторы, считать достаточно широким -и так, что они про­
пускают все ча-стотные составляющие огибающих ,сигналов, то
сравнение сигналов на ,выходе этих фильтров, по существу, сво­
ди'Гся J< сравнению огибающих на выходе ра'Зделительных филь ­
тров и вероятность ошибки (одинаковая вследствие еимметрии ка­
нала при перед аче любой mозиции)
Оо
Оо
Р = Sffi (r8) Jffi (r0) dr 0 drн,
о
гн
После интегрирования аналогично (6.90) получаем результат
р = _!_ _ ехр (......,
а2к~ )
2
2-2Gшfэ
к~а2Т
и ли , введя обоз.начение h2 =
--
и учитывая (6 .99), имеем
2Gш
-
р-
_ i ехр( - !!:.__') ·
(6.100)
2
2n
Сравнивая (6.100) и (6.90а), можно видеть, что переход к опти­
мальному приему эквивалентен энергетическом-у выигрышу в
n = FэT=B/2 (В - база сигнала) раз. Аналогичный вывод можно
получить, сравни·вая -схемы рис . 6.23 и оrпимального прие.ма ,при АТ.
Полученный результат объясняется так: параметр, определяю­
щий помехоустойчи,вость, ~при оптимальном прием-е
h2 = к-2 Рс/(Gш l/T), Ре =Е/Т.
Считая Gш ( 1/Т) средней мощностью помех·н при опти-мально v1
пр.ие.ме, можно утверждать, что оптимальный: приемник имеет для
помехи полосу пропускания Fп = r l/T (в то время как его факти ­
че-ская полоса пропускания для сигнала Fэ достаточ.на для того,
чтобы пропустить все наиболее сущес-nвенные составляющие сиг-
272

нала). В н€оптимальной схеме приема полоса про,пускания длц11э­
мехи !В разделюельном фильтре Pэ=n(l/T), т. е. ее диспер,Gш1
(мощность) в п раз больше, чем при оптимальном лрием-е.
Если считать, что эта пол-оса достаточна ,для неискаженнфге
воспроизведения сиг.нала и что энергия сиг.нала в месте приема
такая же , как •при неоптимальном приеме, то ясно , что энерr.ети­
чес1шй выигрыш оптимального приема действит-ельно ра,вен • п.
В приемнИ1ках обычной телеграфии n>2. Это объясняется не ТQЛJ.­
ко необходимостью пропускания существенной части мощности сиг­
нал а, но и необходимостью уменьшения длительности переходног@
про цес са в фильтре, который обусловливает меж-символьную ио­
,ме ху при обработке элементов сигнала .
Следует, одна.ко, иметь в виду, что переход к ,оптимальной об­
раб отке сигнала (корреляцио н ный прием) связан ,не только -с э.нер­
r етичес ким :выигрышем, но, что существенне-е, с более эффе1{тив ­
ны м ·использованием занимаемой ,полосы частот (см. гл . 8) .
Обр атим внимание на то, что схемы приемников с неоптималъ­
н о й ф ил ьтрацией до и 1посл,е детектора широ,ко используются на
пр акти,к е в тех сл учаях, -когд а частотная -стабил ь ность недостат,оч­
но в-елика, т. е. условие (6.96) 1ЛF J~ (1/Т) не выполняется, и, сле­
дов ате льно, ре.ализация оптимальното ,ттр-иема с согласованной
фи льтр ацией затруднена. Это имеет, например, ме-сто ·при сил .ьном
п р оя влении эффекта Допплера при ,связи с движущимися объекта­
м.и или при использовании сигнала от движущегося ,спутника, при
бол ьши х нестабил ьностя х частот автоге.нерато ров ,и т . п.
Есл и •полосы пропускания вх-одны х фильтров F0 ,в схемах
р ис. 6.2 3 и 6.24 удовлетворяют условию F0 >2ЛF, то сигнал оста­
нетс я в поло·се nроттускания фильтра .при всевозможных флуктуа­
ци ях ча1стот . При это.м величина n= ,FэT>2ЛFT может оказаться
зн ачительно больше 1 и не :будь фильтрации сигнала после детек­
тор а э нергетический проигрыш rio сравнению с оптимальным прие­
м о м ,при стабильной частоте сиг.вала -был 1бы весь.ма -сущест-вен .
Од нако, и ополь зу я ФНЧ, со~ла,сованный ·по поло.се частот (•см.
п а р агр аф 7.9) с формой сигнала на выходе детектора .[заметим,
чт о ес л и радиоимпульсы на входе приемника имеют •пря м оуголь­
н ую огиба ющую, а отношение сигнал/шум ,выше порогового (см.
п а р а-г раф 7.9), то лри n)J> 1 сигнал на выходе Д;етектора представ­
ляет со бой ·прямоугольный еЗидеоимпульс], можr:10 з а счет дополни­
тел ьной фи л ьтрац ии ,сущест в енно ум еньшить пот-ерю помехоустой­
чи во с ти, связанную с нестабильностью частоты (31].
:Контрольные вопросы
1. Чем прлнци.пиально отличаются оптималь·ные н неоптн,ма,лыrые схемы неко­
герениюго приема сигналов АТ и ЧТ?
2. К ак о бъ яснить, что энергет ичесю!Й выи грыш от р ешr.изацr~и ол т.и м ального
н екогер с н11ного прием а ра:вен; n= FaT?
3. Чем объя:снить, что схемы прием-ников с неоптимальной фильтрацией до и
•пос .~е детект ора м·огу т оущественно у.м еньш и ть потерю по м ехоустойчивости,
с вяза нну ю с нестаби л ьностью частоты сигнала?
273

6.8 . ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ
ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ФАЗЕ и .АМПЛИТУДЕ СИГНАЛА, '
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ ПРИ НЕДОСТАТОЧНОЙ
АПРИОРНОЙ ИНФ_ОРМАЦИИ
В практике радиоприема во многих случаях ста ,,л11вают::я с та­
кой ;ситуацией, когда в месте приема априорно неизвестны не толь ­
ко начальная фаза 0к. но и амплитуда (коэффициент к) ожидае­
.мых сигналов s;(t). Это имеет место, например, при относительно
быстрых (по сравнению с длительностью посылки Т) замираниях
сигнала, когда по результатам приема предыдущих посылок нельзя
сколько-нибудь определенно судитъ о значениях амплитуд и фа з
при пр ·ие.ме последующих посылок.
Алгоритм оптимального ,приема в этих условиях нетрудно полу­
чить, определив математическое ожидание от (6.77) по к
00
w(z/Ьд = Jw (z/Ь;)к w1 (к) dк
о
(6.101 )
и сравнив между собой условные плотности w(z/bi) с различным и
индексами i. Однако результат для наиболее интересных в г,рак­
тик,е систем ;с актиизной паузой легко указать и без дополнительны х
выкладок - он определяется соотношением (6.81).
Это очевидно, так ,как (6.81), являясь алгоритмом прие м а при
неопределенной фазе, не зависит от амплитуды (коэффициента к) ,
следовательно , этот алгоритм пр·иемлем при любом законе распре­
деления амплитуд. Таким обр аз ом , для систем с а,1пивной паузо й
алгоритм опти,мального пр и е м а реализуется одной и той же схемой
(схема рис. 6.18 и 6.19) независимо от того, замирает или нет
амплитуда ·сигналов . При этом , одна~ко, помехо у,стойчивость прие;.,1а
сущест,венн,о зависит от распределения К.
Подчеркнем, что ·при неопределенной фазе сигнала из систем
с активной паузой оптимальной (•в смысле минимума :вероятности
ошибки) является систе.ма, орто,гональ.ная в усиленном ,смысле ,
независимо от того , замирает амплитуда сигна л а или нет (см. па ­
раграф _ 6.6).
Опре д,елим веро я тность ошибки двоичной системы с активной
па уз ой, ор тогональной в усиленном смысле , при у сло,вии, что фаза
сигнала не определена, а а мплит уда имеет т р ехпараметрическо е
распределение (3 .23).
Интересующу ю нас вероятность ошибки можно получить, усред­
няя (6.90а) по К:
00
р=-
ехр --- w1 (к) dк.
1) (к2РеТ)
2,
2Gш
(6.102)
о
274

Воспользовавшись для интегрирования табличным интегралом и
сворачивая получаемую сумму {12], получаем результат [23]
{
q2h2 (1 + ~2)
}
Р= ехр - 2[(!+ ~2)(1+ q2)+ ~2h2J
,
1/[
~2 h2
][
h2
~1
2v 1+(1+~2)(I + q2) 1+(1+!32)(1+q2)J
(6.103)
т;
где q2= ----
отноЕ1ение средних мощностей регулярной и
а2+а2
х
у
cr2
флуктуирующей частей сигнала; ~2
=-
~
-
коэффициент асим-
а2у
-
R2Е
(т2+cr2+cr2)Е
метрии квад1ратур1Ных rкомпонент; hZ = -
-
=
ххУ
Gw
Gw
уоред~ненное з,начение отношения энергии элемента сигнала к спект­
ральной плотности мощности шума .
Ясно, что при q2=oo (канал без замираний амплитуд) из (6.103)
следует результат (6.91). Если q2 =0 (нет регулярной компоненты
сигнала) , следует результат
р = ---~---_-_---
- -----
~-
~~~~~~~~~
-
2 -{[1 + r:~2][1+ 1:~2]
При односторонне нормальном (q2 = ~2 =0) распределении ам­
плит у ц (3.24), когда замирания наиболее глу б о кие, вероятность
ошибк'-1
p= -----
2vr1 + h2
В рэлеевском канале (q 2 = 0, ~2 = 1)
(6 . 104)
(6.105)
Зависимость p(li2), даваемая ф-лой (6.103), при раЗЛ'ичных зна­
ч ениях q2,
~
2 приведена на рис. 6.20. Сравнение кривых показывает,
что при замираниях амплитуд сигнала помехоустойчивость систем
связи при неизменной мощности передатчика ниже, чем в канале
без замираний. Для поддержания же неизменного качества связи
в этих условиях приходится иметь определенный запас по мощ­
ности .передатчика . Так, при неизменной вероятности ошибки
р = llQ - 4 работа в канале с рэлеевскими замираниями (q 2 =0, ~2 = 1)
при оптимальном приеме ·по сравнению оо случа,ем оптимального
приема в идеально м канале ведет к энергетичеокому проигрышу
в 51 раз (17 дБ) , в односторонне нормальном канале (q2= ~2= 0)
этот iПроигрыш составляет 54 дБ .
275

С ростом параметра q2 помехоустойчивость связи монотонно
возрастает. При q2 ~ 10 помехо у стойчивость почти такая же, как
в канале ,без за.мираний.
'
Реализация оптимальных схем приема требует, как это видно
из изложенного выше материала, некоторой: априорной информа­
ции о сигналах и -свойствах ·канала. Чем большей априорной ин­
формацией мы распола-гаем, тем сов•ершеннее может быть прием­
ное устройство и выше ero ло.мехоустойчивость . В частности, если
можно путем изучения канала получить удовлет ворительную оцен­
ку всех необходимых параметров, можно реализовать когерентный
приемник В. А . Котельникова.
Однако во многих ситуац·иях мы ищем .максимально •простой и
надежный вариант •приемного устройст1Ба, \Пусть даже ценой неко­
торого энергетического проигрыша или потери пом-ехоустойчивости.
В этой связи предста вляет интерес Пр!Иемное yc'I'pOЙC'I'BO из кла,сса о,пти­
ма,;шн ых, работающее по кр,итерию обобщенного макснмального пра,вдапо,добия,
которое для своего фу,ющионирования вообще не требует з,наший параметров
1<анала х=к ,ооs 0н, у=к sin 0н, следовательно, и закона-в их ра·спределения. Для
пол,учения Э'I'ОГ-О алгоритма пр.нема будем считать, что х, у (.или к, 0н) пос­
тоянные, неслучайные, но не,!З'вестные вел,ичины. Из неск,оль·ких гипотез с не­
из,вес'I'ными а,пр,иор,ными вероянюстями выби,рает,ся та, для кот,орой мю<!Gимум
функции пра1в,д•опо1добия wi(z/b;) больше, чем для др,угих гипотез, пр ичем мак­
сп,мум берется по в-сем параметрам, определяющ,Dм плотности вер;оя11ност и .
Для получения интересующего нас алгор,итма приема запишем (6 .74) в виде
w (z/b;) = К1ехр{/i:[хУi-:V1- Е; · (х2+у2)]}.
В.место максим,ума выражения w-(z/b;) можно искать максимум
тонной функции
lnw(z/b;) =~[хУ1- у11
-
!l.!_ (х2+у2)]+ ln К1•
Gш
2
его МОНО·
(6.106)
Согласно обобщенно;Лу кр.Jпер.ию макоимального пра,в1дю-подобия следует
региs;'I'рwров.ать си,м,вол Ь 1 , если для всех j =;i= i ·выполняются неравенства
. maxlnw(z/b;)>max\nw(z/b/),
(6.107)
где ,ма~сим,ум выраже,ния (6.106) следует искать по параме·тра,м х и у .
Параметры х, у, обра щаюШ!Ие (6.106) в маюсимум, ооределяются из ус­
лончя
д ln w (z/b;)
дх
д \n w (z/b;)
ду
(6.108)
Найденные з-начения х, у .называют маюсимально правдоподобНЬIIМН оценками
этих .величин. По1д!ста1вляя эти оцен%и в (6 .106), получим
У7+У7
v'~
шах ln w (z/bi) =
---- +lnК1= -
0' +\пК1
Е;Gш
Eiш

и алгоритм (6.107) примет в1щ
maxl[ ~: ].
(6 . 109)
Для систем с акти;вной пауз-ой (Ei=E) (6 .109) оводикя к (6.81), т . е. при­
емник, ош~имальный по обобщен,ному к•ритерию ~шксим,ума пра11:щоподобия (при
неиз;вес'I'ном за tКiоне раопределен.ия амплитуд и фаз (сигнала), остае'I'ся опти­
малыным и при неопределенной и ра,в,но м ерн о распределенной фазе независимо
от распределения амплитуд. Это обстоятел ьство стим ,уJLирует дополнительный·
и-н'I'ерес к алг-оритму (6.81).
:Контрольные вопросы
к2Е
1. Какой фиЗ1Ичеruшй омысл имеет параметр h 2 = -
-
в канале с фл уктуация-
Gw
м.и ,а.мпл.итущ?
2. Как за·в.исит вер:оятность ошибки д.воичной системы с активной паузой, орто­
-гональ•ной в усиленно.м смысле , (ЧТ) в кан•але с за,м,и,ра,ниями и флуктуа-
.
2
2
ар
а:,,;
ционным шумом, от параметров q2 = ---
2 и ~2=·-
, каков энергетический·
2+
2
их ау
ау
про1игрыш в рэлеев•ском и одностораНJн е НGрмальном канале пр.и вероятности
оши-бки 10-• по сравнению с •канало.м без за ,мираний?
3. В чем смысл критерия обобщен•ного ма 11Jси м альног-о пра ,вд,оподобия и в чем
выражается универсальность алгоритма М.axi[Vi] для систем связи с актив ­
н.ой ffJa,yзoй?
6.9 . ЭФФЕКТИВНОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ СВЯ3И
Сравн•е.ние диск·ретных систем связи между собой по эффектив­
нос'!'и может быть выполнено по весьма различным критериям.
Удоб ной сравнительной хара,ктеристикой ве,рности дискретны;<;
систем связи является, вообще говоря, не -вероятность ошибки Рт,
а эквивалентная в•ероятность ошибки Рэ ( см. параграф б.3). Из
определения Рэ следует, что при прочих ра8.ных условиях лучше та
система, при коrор•ой Рэ меньше.
Найдем э1квивалентную вероятность ошибки для m - позицио.н­
ной системы с активной паузой, ортогональной в усиленном смысле­
при кодировании без избыточности и иополъзовании -симметрич­
ногG: канала без памяти. Если вероятность ошибочного приема
символов в рассматриваемом канале ·равна Рт, то вероятность
безошибочного приема последовательности из k символов равна
(1 - Pm)k.
.
Гlри равно1вероятном и независимом выборе символов каждый
симв,ол этой последовательности содержит log2m двоичных единиц
инфор.мации, а k символов - k log2 m двоичных единиц. Согласн()
определению эквивалент.ной вероятн·ости ошибки
277

Для области доста'J\очно малых ошибок (Pm~l), используя
формулу бинома Ньютона, получаем
р ,.__.,
Рт
эrп.,,,.._---.
•
log2m
(6.110)
Очевидно, что при т = 2 имеем Рэ, 2 = р2. Для системы ортогональ­
:ны:х изве стных точно сигнало·в с учетом (6 .66) и (6.68) имеем
Рэ,т~ m----,-I [1 - Ф(уh~)].
(6.111)
21og2т
р',,,Тт
Если бы h2 =--,
где ТтР',,, =k2Pm - дшпельность посылки
т
Gш
.0и средняя мощность сигнала для системы с числом позиций т, •
сставалось неизменной с изме.нением т, то увел'Нчение т было бы
неоправданно, так ка1к влекло бы за собой рост Рэ- Однако дискрет ­
~чые систе,мы целесообразно сравнивать при неизменной максималь­
но возможной производительности источника (информационной
.скорости)
J' = ]og2т = ]og2mр~
Тт
h~Gш
(6.112)
Если ф·иксировать Р',,,, J' и Gш, то инвариантом является экви­
:валентное отношение сигнал/шум
,
2
рт
hm
h;= J'Gш =
-
1-- .
(6 . 113)
og2 m
Соотношение (6.11 1) с у четом (6 .113) можно записать так:
Рэ,т~ m-I [1 - Ф(yh2 1og2 m)].
(6.114)
2]og2m
9
В области больших значений аргумента (и ,соответственно лри
-малых значениях вероятности ошибки Рэ, rr,) для функц ии Крампа
·справедлива о ч ень простая асим,птоти ч еская формула (12]
1-Ф(х)~ - 2 _ ехр( - __:_:_) , х велико.
(6.115)
У2пх2
21
Сл -едоват ельно, в области -малых ошибок
т-1
(h;
)
Рэ,т~-v -
15ехр - -log2т ,
.
2пhэ(log2т) '
2
(6.116)
юткуд а следует, что при заданном h~ вероятность Рэ , т-+0 при
m-+oo. Этот результат находится в согласии с основной 'J\еоремой
кодирования К Шеннона для каналов с шума.ми и подтверждает
принципиальную возможность оптимального кодирования.
Фиксируя эквивалент.ную вероятность ошибк•и Рэ, m= ,const, мож­
·но при неизменной окорости передачи информации J' и интенсив-
:.278

нос'Ри помехи в канале Gш определить энергетический: выигрыш.
(проигрыш) ,пер,ехода от i-й к j-й системе формулой
h;, t
11111[.цБ]= 10lg- 2
-
при Рэ = const, J' = const.
hэ, 1
(6.117)·
Для подавляющего числа систем связи, ломим10 rпоказателя Рэ, i,
и h;1 , существенной является и :полоса ча,стот Fi требуемая систе-
мой (сигналами связи) при заданной скорости !'. В этой связи мож­
но в качестве по1казателя эффективности ввести обобщенный энер-­
гетический выигрыш 11:li n1ерехода от 1i-й к j-й системе:
•
(h;,iFi)
Fl
'111/i[дБ] = 10 lg - 2--.
= '111/i[дБ]+10lgF .
hэ,IF1
1
(6.118}
Если многопозиционная ,система с ортогональными сигналами-­
создается за счет использования отрезков га·рмонических (простых)
сигналов с кратными частотами, то !Полоса частот, эанимаемая с.r­
стемой F, пропорциональна числу позиций т и вместо (6.118) мо. ,<-
но написать
(6 . 119)
Универ,салыюй хара,ктеристикой эффективности дискретной си­
стемы связи является коэффициент эффективности [см. (4.130)}'
(6.120}-
J'
log2 m
Кс=--= -- '
С
ТтС
11ричем С определяется при отношении сигнал/шум, обеспечиваю­
щем в анализируемой систе.ме заданную эк·вивалентную ,вероят- ­
ность ошибки Рэ• ,
Поскольку отношение сигнал/шум в непрерывном канале
2h2
=--
в
где В=2FнТ - база ,каналь.ных сигналов, то можно написать для,
канала с постоянным.и :параметра.ми при гауссовом шуме
к_
2!og2m
с-
( 2h2\
ВIog2 1+--В-)
(6,121):
Если т и способ модуляции фиксированы, ·ю h2 однозначно ,
определяет минимально возможную эквивалентную в,ероятность .
ошибки дискретной системы. При этом чем большую верность при
заданном В мы хотим обеспечить (больше h2), тем меньше эффе,к­
тив.ностъ системы.
279е

С другой сrороны, ,при ,эадаJiно.м h2 (верности) в~11:.11ина
2hi
~ log2 ( 1+ 8 ) монотонно растет с росто.м •базы ои~rнала В, а вместе
{1 тем уменьшается Кс.
Если помимо эквивалентной sероятности ошибки Рз, т фикси-
• рованной является та 1кже и с1юр,ость ввода инфор,мации в канаiЛ
J' (дв.ед./с}, то вместо (6.121) следует написать
(~ .1 22)
Это выражение монотонно растет с ростом удельной (на единицу
полосы частот) •скорости передачи информации J'f Fн. Сл,едователь-
но, 1при заданной верности (h;) более эффективной оказывается
,система, для которой этот показатель больше.
Если h2J'/Fн очень мало, то, разлагая log2 ( 1+ J::;) в ряд и
,ограничи·наясъ первым членом, получим
(6.123)
т. е. в этих условиях эффективность системы зависит лишь от ее
-верности (h;) и обратно ,пропорциональна ей.
Эквивалентная вероятность ошибки многопозиционной системы
с активной паузой, ортотональной в усиленном смысле, в канале
с флуктуационным шумом и неопределенной фазой в области ма­
.лых ошибок
и
р
т-I
( !z; тlog2т)
р~_
_!!!._
~ --- ехр
-
•
,
э,т Iog2m
2 log2m
2
h2-
_2
_
ln[m-I
l
э,т- iog2т
2Рэ,тlog2тj
log2 т log2е
J' h2
Кс ~ ---,, r~- -= ~--, ,-
при -~'с...•_т_ (< 1.
2 ln 2 Рэ~п~~g2 m]
Fк
В области малых ошибок при отрани'Ченных значениях т
log, т Iog, е
Кс~ 2l11-(---1
--- ')·
2Рэ,т
при
(6.124)
(6 .125)
(6.126)
(6.127)
,откуда следует, что с ростом числа позиций растет эффективность
сист,емы.
280

Следует подчеркнуть, rчто большие значения показателя эфgtеt<·­
тивности системы Кс еще не означают высокой эффективности ие­
редачи информации, ибо показатель Кс не учитыва.ет возможную,
и·з,быточно,сть истоrчника сообщений Ри•
В этой связи можно ввести коэффициент эффективности пере- .
дачи инфор.мации
J' (А, А') Н' (А) - Н' (А/А')
Кп= ·
=----~ ,
(6 . 128)
с
с
который, в отличие от Кс завиеит не только от системы связи, но
и •от источника сообщения А. Только для идеальной системы
Кп = Кс= 1. Для реальных же си,стем Kn~Kc< •l, Поскольку пере­
дачу информации по ,системам связи стремятся обеспечить с ми­
нимальными потерями, то можно полагать Кп~Н'(А)/С. Если
кодирующее устрой ,ство не вносит избыточность в сообщения, ro
согласно (5.2)
Н (А)тах Vк Vи
пСvи
Н' (А)тах n
=-----
с
п
-
Vк
n=--
..
Ои
пс
Н' (А)
:Поскольку
Н'(А)тах
=1-ри, где Рн - к,оэффициент избыточно-
сти источника, ·ю для ра•в.но.мерных кодов (n = n) с очевидностью
следует ,соотношение
(6.129)
Источ1Ники дискретных с·ообщений, как .пра:вило, обладают отно­
сителыю малой избыточ,ностыо, вследствие чего коэффициент эф­
фективности системы Кс в достаточной мере характеризует и эф ­
фективность передачи информации.
Контрольные вопросы
1. Чему равна э1<вивале1111ная ,вероятность ошибки Рэ, т для много.паз·и11щонных
,систем при .rюдиравании без избыточности и иопользов,ании сим-метричногэ,
канала без памяти?
2. Что следует поНIИмать под экв~1.валентным 0 11ношением сигнал/шум h; дис­
.
кретной системы овязи?
3. Ка1< определяется энергетический вьгигрыш (проигрыш) и обо·бщенный энер­
гетический ,выиг,рыш (.прои,грыш) перех·ода от одной дискретной оистемы к
другой при фиксиров.анной скорости ввода информации в канал?
4. Ка.к за:висит эффективность связи от числа позиций кода и удельной ('на•
1 Гц пол.осы частот) ,окар.ости ввода информац.1ш в ,ка,нал?
5. Что по!'rимают под ,юэффиц:иентом • эффективности передачtи информации по,
каналу Кп?

7 ГЛАВА
Основы
приема
u
теории помехоустоичивости
непрерывных сообщений
7.1 . ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ОТДЕЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
СИГНАЛА
·
В т еории и технике связи часто приходится решать задачу из ­
м ерения (·или, ка,к часто говорят, · оценки) одного или нескольких
ь епре,рыв.но изм •еняющихся в некоторых пределах параметров сиг­
нала.
Рассмотрим простейший случай, котда принимаемое колебание
z(t) ,на интервале а.нализа О - Т представляет собой аддитивную
с месь сигнала известной формы s'(b, t), за.висящего от одно г о па­
р ам ет ра Ь , и флуктуационного шу.ма u(t):
z(t) =s'(b, t)+и(t),
(7.1)
причем Ь считается неизменным на интервале а.нали·за.
По принятому колебанию z(t) надо решить наилучшим обра­
зом, какое значение имеет пара.метр Ь в пределах ,непрерывного
лнтер,зала его воз.lVюжных .значений от Ьтiп до Ьтах•
Сформулированная задача возникает, .наприм•ер, при измере­
,нии параметров канала, .в частности его коэффици€нта передачи к
_или фазового сдБига 0к, ~при измерении средней частоты или вре­
мени прихода сиг.нала в блоках подстр ойки частоты или тактового
интервала в синх-ронных дискретных системах связи и т . д.
Из-за шума •в канале, непрерывного характера ·из.м,енения: пара- -
метра и конечного времени анализа точное измерение параметра Ь
невозможно. Можно лишь найти его оцешку b* = fiz(t)], являющую-
с я, естественно, некоторым ф у нкционалом от реализации z(t) ко­
лебания на входе измеритель.но1го (приемного) устройст,ва.
Разумеется, что вид функционала желательно выбрать та,к·nм,
чтобы оц€нка Ь* ,максимально приближалась к истинному значе­
J-IИЮ Ь, иными словами, желательно минимизировать ошибку
Е= Ь*-Ь.
(7.2)
Вследствие случайного характера на и.нтервале анализа как
,rr,ейстВ'ительного Ь, так и оцененното Ь* значений параметра ошиб ­
•ка е тахже является случайной .
:282

В области больших О'ГНОшений сигнал/шум на входе измер!{­
теля и достаточном интервале анали з а ошибка Е может считаться
ра,спред:еленной тю нормальному закону 1[29], следовательно, харак ­
теризуе"Гся лишь дву,мя параметрами: мат ематическим ожиданием
M i[E]=E и дисперсией D[E]= (Е-Е) 2.
Качество оценки параметра, о которой зде.сь идет речь и назы •
ваемой точечной, обычно проверяется выполнением трех условий :
1) условие •сост,оятельности оценки, заключающееся в том, 'Ч'ГQI
при увеличении вре.мени анализа Т (или объема выборки, как го ­
ворят в математической стат·истике) диоперсия ошибки s должн а­
уменьшаться:
limD(Е)= limD(Ь-Ь*)= О;
(7.3)
Т-+оо
Т_.,,,оо
2) усл ,овие несмещенности оценки, за,ключающее.ся в том, что
математическое ожидание ошибки Е- должно равняться нулю:
М[Е]=Ь-Ь*=ОилиЬ*=Ь;
(7.4)
3) условие эффективности оц енк и, закл ючающееся в том, что,
дисперсия ошибки D(E) должна быть м инимальной в классе всех_
возможны х оцrенок :
D (Е) = (Е-Е)2 = min.
(7.5} ,
По к а,кому же методу следует выбрать функц ионал b* = f1[z(t)].
обесп ечивающий оптимальную оц,енку параметра?
Наиболее ра спростране.н крит ер ий максимальн о го правдоподо , .
бия (см. параграф 6.3) применительно к оп тимал ьному прие м у
дискретных сообщений, который сводится к сра.внению конечного .
числа в,ел·ичин О) (z/bi) (,i = 1, 2, 3, ..., т)
между собой ·и выбору ·
наибольшей.
•
При измерении непр •ерыв ных пара.метрив согласно этому кри~
терию ,в 1<ачест1Ве оценки .параметра Ь принимается то его значение,_
которое ма,ксимизирует условную плотность вероятности (функцию
правдо1подо6ия), т . е. Ь''' опреде ляется из ус.'Iо вия
дw (z/b) = О.
(7.6 ).
дЬ
Поскольку изм,еряемый пара м етр в большинстве случаев счи ,
тается равномер~:ю распределенным, то ясно, что критерий (7.6)
обеспечивает одi'юв1ременно и мак симизацию апостериорной ве ­
роятности. О.ц1ею,а параметра, получаемая согла.сно критерию (7.6) ,
называется максимально пра,вдопо добной . Ура,внение , определяю .
щее максимально пра вдо п одобную оценку (ур ав нени е правдопо а
добия), можно записать в виде
д[]пш(z/b)] = О,
(7. 7)
дЬ
.поск•ольку ln х - монотонная функция своего аргумента и, следа •
'Вательно, :корни ур -ний (7.6) и (7 .7) совпадают. Оптимальная прав ,
283

доподобная оценка определяется тем корнем ур-ния (7.7), который
·с о ответствуе т максимуму функции правдоподобия.
Мож,но доказать [29] очень важные св-ойства максимально пра,в,доподо·бных
-оценок .при некоторых, обы чно выполняемых на практике, предположениях от­
носительно про цесса Z (.t ):
а) если существует несыещен11ая эффекти·вная оцен.ка Ь*, то уравнение
пра,вдоподоб,ия имеет единствен.ное решение;
б) оценки мак,сима,лмшго пра1щоподобtия состо яте льны , асимпто т ически (при
стремлении ,времени анализа Т ил 11 объема выбор1<и к бесконеч.ности, или же
при ограниченном Т, но пр.и д остаточно большо м отношен.и·и сигнал /шум ), эф­
фЕжти,вны и раоп,ределены нормаль но .
Найдем в качестве ·примера оптимальную оценку коэффиц-иен­
та передачи канала к (амплитуды), полагая, что прин·имаемый
си гнал на интервале анализа представим в •виде
s'(к,t)=кs(t,0к),
(7.8)
л
.а s(t, 0н) =cos 0кs(t) - sin 0кs(t) точно изв-естно в месте приема.
При нормальном белом ш ум-е функционал правдоподобия оо:г­
.пасно (6.74):
[2кsт
к2 в]
со(z/к) = К1ехр - _- z(t)s(t, 0к)dt--
,
Gш
Gш
о
т
т
Е==fs2(t, 0к)dt= Js2(t)dt.
о
о
Уравнение правдоподобия (7.7) ,пр·ини.мает ~ид
т
д {ln (j) [z/к]} =
_2_sz(t)s(t, 0к)dt-2кЕ = О.
дк
Gш
Gш
о
(7.9)
:а его решение, О[]р€деляющее ·оптимальную оценку амплитуды при
точно известной форме сигнала,
т
к* = ~ - Sz(t)s(t, eк)dt .
(7.1О)
о
В рассма-гриваеwюм случае и·змерит€лъ ам[]литуды реализуется
·фильтром, согла·сова,нным с сигналом f s(t, 0к) или эквивалентной
схемой а:ктивного филь'Гра.
Определим качество .найденной о.ценки. С учетом (7.8) и (7.1)
т
имеем к* = ·К+ J_s u(t)s(t, 0к)dt, следовательно, ошиб1<а измерения
Е
j)
284
т
в = к*-к = +5u(t) s(t, 0к) dt.
о
(7.11)

При нормальном шуме U(t) с нулевым ,средним и энергетичес­
к и м спектром Gш ошибка s распр-еделена нормально, с нулевым
ср едним и дисперсией (см . 6.70).
D(E) = !!_ш_ .
(7.12)
2Е
С ледо,вательно, полученная оценка несмещенная , состоятельна
и асим_п тотически эффективна, ибо при Т-+оо энергия сигнала
Е-оо, а D(E)-+0.
Если фаза ,сигнала (7 .8) не определена ,и может считаться рав­
но м ерно распределенной , то функционал правд:о1Подобия ооглас­
J-Ю (6.77)
(7.13)
rде
(7.14)
У1равнение праsдоподобия
дw(z/к) =[- 2кЕ !о(~)+ 2V 11 (~кV)]ехр( - к2 Е) = О, (7.lS)
дк
Gш
Gш
Gш \Gw
Gw
посколыку ![12]дlо(х) = l1(x). Из этого уравнения следует макси­
дх
мально пра1Вдоподобная оценка амплитуды ,при неизв,естной фаз,е
сигнала
V
к*= -
Е
(7.16)
М ножитель ,I1(x)/lo(x) изменяется от О до 1 при изменении х
от О до оо. Следовательно, при больших отношениях сигнал/шум ,
2 к*V
к огда -- ~ 1, согласно (3.107)
Gw
к*~ V/E,
(7 .17)
т . е. оценка амплитуды линейно зависит от о г ибающей на выходе
фильт ра, согласованного .с точностью до фг.зы -с сигнал•ом s(t).
Изложенную здесь методику 'нахожд,ения максималь.но правдо­
подобной оц,енки можно обобщать на случай совместной оценки
произвольного числа параметров. Случай оценки двух п а раметров
(квадратурных ко.м1Понент коэффициента передачи -канала х и у)
рассмотрен ,в параrграфе 6 .8 .
285

Контрольные вопросы
1. В чем выражаются у,сло,вия самостоятельности, несмещен-ности и эффектив­
ности оценки параметра?
2. Как можно сформулировать критерий максимально правдопод,обной оценки
параметра и зап,исать уравнение правдопод·обия?
3. Какими свойств,а,м,и обладают максимально правдоподобные оценки пара-
метров?
•••
4. Как определяется м-аксимально правдо1юдобная оценка амплитуды в канале
с флуктуац.ионным шумом при точно извес11ной форме сигнала и как реали­
зуется о,птимальный из•м еритель?
5. ~а.к определяется маюсамально правдоподобная оценка ам•плитуды в канале
с флуктуац-ионным шумом при неопределенной фазе сигнала и как реал•изу­
етоя оптимальный измеритель?
7.2. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ НЕПРЕРЫВНЫХ СООВIЦЕНИй
И ОЦЕНКА :КАЧЕСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
При передаче .непрерывных сообщений канальный сиг.нал, за­
данный на интервале 0-Т, является функцией первичного сиг­
нала b(t):
s(t) = s[Ь (t), t].
(7.18)
Будем считать, что принимаем,ое колебание z(t) на интервале
анализа О - Т ~представляет -собой аддитиsную смесь сигнала из­
вестной формы s'fb(t), t], ·зависящего от одного ме.няющегося во
времени на интервале Т параметра Ь (t) и флуктуационного шу­
ма u(t);
z(t) = s'[b(t), t]+u(t).
(7.19)
По rtрйнятому колебанию z(t) надо решить наилучшим образом ,
какая реалюация сообщения b(t) передавалась. Из-за шума и
случайного характера передаваемых сообщений точное выделение
(детектирование) параметра Ь(t) невозможно. Однако и здесь
можно ставить вопрос о получении хорошей или даже оптимальной
в определенном смысле оценки b*(t)=f1[z(t)] на выходе детектора,
являющейся :некоторы м функционалом от реализации !Колебания
на входе приемника . Опти.мальн ый прие м меняющё'fося во вре­
мени .параметра (.непрерывных сообщений) можно свести к задаче
совместного оптималь·ного прие ма мно гих параметр оз.
На самом деле, ограниченный интервалом Т сигнал Ь (t) можно
представить обобщенным рядом Фурье ( см. параграф 1.8). Выбе­
рем для простоты обычный ряд Фурье, полагая , что спектр сигнала
практически ограничен частотой Ре:
вс
Ь(t)= 1Jл2k-Iу2sin[\п 2кt]+л2kу2cos(~ кt)=
k=I
вс
=
}J л,k <pk (f),
(7 .20)
k=I
286

где {cpk(t)} - система ортонормированных функций (синусы и ко­
!
синусы •;астат, кратных - ) ; ?ck - координаты (параметры), ха -
т
рактеризующие непрерывный сигнал b(t) (коэффициенты при ко­
синусах и синусах); всю совокупность (вектор) этих параметров
обозначим через 5:; Вс=2 FcT - база первичного сигнала. Среднее
значение сигнала здесь и в даль.нейшем считается нулевым.
С учетом (7.20) принимаемое ·колебание (7.19) можно •з аписать
в виде
z(t)= s' (л, t)+и(t).
(7 .21)
Качество совместной оценки Ее параметров (координат) л:, со ­
ответственно качество оценки сообщения b*(t) обычно проверяет­
ся на выполнение условий совместной состоятель.ности, несмещен­
ности и эффективности 1[29].
Совместные максимально правдоподобные оценки •координат
сообщения (они же определяют и наиболее вероятное ,переданное
сообщение при условии ·рав1ювероятности всех реализаций) опре­
деляются из условия
_д_ (w(z/л)) =0 или _д_ (lnw(zД)J = О, k=l,2,3, .. ., Вс, (7.22)'
д'J,.,k
.
д'J,.,k
где w (z/л) - функция [lравдоподобия, которая при флу,ктуацион ­
ном шуме и известной форме сигнала s' (i', t) определяется фор­
му,rюй
(7.23)
Отметим, что лри некоторых не очень ограничительных пред­
полож,ениях о случайном процессе Z(t) решение .системы урав.не­
ний правдоподобия (7.22) однозначно и приводит к состоятельным,
асим,птотически (при Т-+оо или :при ограниченном Т, но при доста­
точно большом отношении сигнал/шум) несмещен.ным и совместно
эффективным оценкам, совместное •распределение которых асимп­
Т()тически нормальное со средними, равными оц,ениваемым пара­
:метрам [29]. Иными словами, максимально пра вдоподобия оценка
,сообщения (7.20) может быть mредставлена в виде
~
~
~
.Ь*(t)= у л;QJk(t)= )
, (лk+ллk)QJk(t)=Ь(t)+I л/vkQJk(t), (7.24)
k=l
k=1
k=l
.,'де Ллk - асимптотически нормально раопределенные величины с
нулевыми средними зна"-!'ениями. Процесс
287

Вс
В'с;
8 (t) =Ь*(t)-b(t) = LЛлkcpk(t) = LЛл2k-i-,/2sin [ 2; (2к- 1)t]+
k=I
k=I
•
r-
(2л )
+Лл2kу2cos Т кt ,
(7.25)
можно интерл~ретироsатъ ка,к помеху (шум) на выходе при емн ика
(детектора) . Совместная эффективность оценок обеспечивает ми­
нимально воз можное, при заданном апособе модуляции (1пре об ра­
зование сообщен·ия Ь (t) в канальны й сигнал s'1[b (t), t]), значен ие
дисперсии (средней мощности) процесса E(t) или потенциал ь ную
помехоустойчи1Вость системы связи. При этом обеспечивается и
максимально возможная верность перед ачи по среднек,вад р ат иче с­
кому критерию (см. параграф 4.4).
С учетом (7.23) мrожно найти вел и чины л ;, соответств ующ ие
ма;ксималъно ~правдоподобным оценкам при флуктуационном шум е
в канале из условия минимума функционала :
т
d = j[z(t)_,,.s'(~, t)]2dt.
(7.26)
о
Таки.м образом, решение олтимального приемника b*(t) = Nz( t)J
соответствует, как и при передаче дискретных сообщений, том у из
возиожных сигналов s':[b (t), t], который меньше других отлич ае тся
в ,среднеквад·ратичном смысле (по метрике Гильберта или Е вк ли­
да) от реализации сигнал + шу,м .на входе :приемника. При о т с ут­
стsии помех {z(t) =s'{b/t), t]} такой приемник не дает искаж е ний
(d=O).
Уравнения правдоподобия (7.22) можно написать s виде
т
~ =-2J[z(t)~s'(i., t)] -д- {s'(~. t)}dt = О,
д~
д~
k= 1,2,3, . .. ,Вс . (7.27)
о
Теперь допу,стим, что под действием слабой помехи u(t) 1,оле­
бание z(t) получит малое приращение
Лz(t)=и(t). •
(7 .28)
Тогда .координаты <::ообщения на выходе ,приемника (детектора)
получат приращения Лл1 . Этим приращениям координат соо твет-
ствует приращение канального сигнала Лs'(Лл, t), определяемое от­
ношением
вс
Лs'(ЛХ,t)=~
1=1
дs' (~, t)
д Л,/
Л л1,
(7.29)
где ч-ерез ,Лл обозначена ·сов1окупностъ (вектор) ~координат прира-
288

щения. Средний квадрат ,отклонения между колебанием z(t) +
+ Лz(t) и сиг.налом s'(f, t) +Лs'(,Л,f, t)
т
d = j'[z(t)+Л z (t) - s'9v, t) - Лs'(Л),,, t)) 2 dt.
(7.30)
о
•
Для оптималь ного приемника должны удовлетворяться ура,в-
нения правдоподобия
.
т
-
т
~
=- 2 J[z(t) - s'(Т.,,, t)] дs' (л, t) dt - 2J[Лz(t) - Лs'(Лf, t)] X
д~
д~
о
•
о
дs' ([, t)
Х дЛk df=О, k=1,2,3;..., Вс,
(7.31)
С уч етом (7.27), (7.28) и (7.29) .вместо (7 .31) можно написать
т
8с
т
-
1 Jи(t) -a-{s'('X, t)}dt= t1лл1-1 s - a
-
{s'(~, t)}X
Т
д л1,
I.J
Т дл1
О
1=1
О
Х_а_{s' (~ t)}dt.
длk
(7.32)
Рассматриваемые нами методы преобразования сообщения в
д
-
сигнал (модуляции) таковы, что функции - {s' (л, t)} с неоди­
дле
наковыми инд,ексами l взаимоортогональны на интервале О - Т.
•
д
-
Следовательно, п ра,вая часть в (7 .32) равна Лл11.{ - {s' (л, t)} ]2 и для
-
длk
малых приращений координат сообщения на выходе оптималь ного
приемника следует результат
т
Лл1, =
-
1 j·•_a
_
{s'(~, t)}u(t)dt
1
Т длk
[д_
·12
О
длk {s'(л, t)} J
(7.33)
Строго говоря, ,полученные соотношения справедлн·вы, когда:
u(t)=Лz(t)~dz(t); Лs'(л, t)~ds'(л, t); Ллk~dлk, (7.34 )
т. е. тем ·в большей степени, чем меньше помеха 'В канале по орав­
нению с полезным сигналом.
Из (7 .33) следует, что величины Лл11., т. е. координаты эквива- •
лентного шума (7.25), на выходе оптимального приемника раопре ­
делены нор мал ьно [из - за нормального распределения помехи U(t)J
с .нулевы м средним значением и дисперсией
·10 - 386
а~=ЛЧ=
G~
Гдs'(л,t)]2
2Тl дЛk
(7.35)

причем слагае:,.,1ые ЛJч, с различными индексами некоррелированы_
и незав и симы [вследствие ортогональности функций _д_ {s' ~, t)}
д l•,k
с различными индексами k].
Поскольку при любы х .видах м одуляции
.[;:--а -{i(~:--,»]2 =[ д -{~ -;- ('i,, ~n}] 2,
2k- 1
i} Л2k
то коэффициенты при сину са х и косинусах _ одина\ово го аргумента
в ряде (7.25) хар а ктеризуются одинаковой дис перс v.ей
a~k-1 = O"~k'
(7.36)
При указанных выше усл овия х ряд (7.25) определяет стацио ­
н арный нормальный шум со средней мощностью на частоте f = к/Т,
равной:
(7 .37)
Поскольку смежн ые спектральные компоненты ряда Фурье сдви­
нуты по част оте на Лf = 1/Т, то энергетический спектр эютвалент ­
__ного
шума на .выходе приемника с учетом (7.35) и (7.37)
G( ) _ cr 2 (f) _ --=~=О=ш======:--
(J) вых -
-
с•
Л f [a:k{s' (Ь (t), t)}г
(7 .38)
Отношение средних мощн остей сигнал/шум на в ыход-е прием­
ника (детектора)
Ь2 (t)
Fc
f O((J))выxdf
о
Ь2 (t)
ffi (t)
(7.39)
Как бы ни выбирались разумная количественная мера верно ­
сти передачи непрерывных сообщений, она является возрастаю-­
щей функцией от отношения сигнал/шум на вых-оде пр·иемника.
Это обстоятельство позволяет при количественной оцен к е ве р -
ности пользоваться отношением (:~ ) вых- Однако верность з ави­
сит не толыко от этого отношения, но и от '])Яда других факторов ,
в частности, от хара'Ктера распределений сигнала и пом-ехи, от
н.азначения и способа регистрации принятого сообщения и т. д.
Поэтому количестве.нная ,мера .верности не определяется однознач-
-
(Ре)
,,,
ф
но ·одним лишь отношением Рш вых оез учета других акторов.
Отношение (7.39) можно выразить через пик-фа,ктор первич-
J!юго сигнала
290
П = lb (t)lmax
~/ь2 (t)

В дальнейшем .непрерывные сигналы b(t) считаются нормирс,,­
ванными так, что I Ь ( t) 1тах = 1. Поэтому можно написать
и
~
1
Ревых=Ь2(t)= --
п2
( Ре)
1
Рш вых= П2Ршвых
I;с
п2 .\ G ({J))вых df
о
(7.40)
Качество непрерывных систем связи часто оценивают коэффи­
циентом g, называ~мым вы игры ш ем системы модуляции (в от­
ношении сигнал/шум) и определяемым соотношением
(7.4li )
где (:;) ю: - отношение средних мощностей сигнала и шума на.1
входе приемни,ка. Выигрыш g зависит, в частности, от применяемыл
в данной ,системе методов модуляции и демодуляции (детектирова,­
ния) и являеч:.ся мерой :помехоустойчивости системы. Однако выиг-­
рыш g иногда оказывается необъективной мерой. Так, если срав·
нить две системы, в ,которых передается одно и то же оообщение
Ь (t), но в первой системе оно преобразуется в ·каiнальный сигнат
s;(t), а во второй- в сигнал s; (t), то может оказаться, чт_о пр@
одинако'Вой мощности Ре вх сигналы s; (t) и s; (t) занимают неоди ­
наковые полосы частот F1 и F2 соответственно.
Пусть для определенности F2>F1 и в канале к полезным сигна­
лам доба'вляется «белый шум» со . спектральной плотностью Gш.
Тогда для первой системы( Р.~) = Рсвх, а для второй(Рс ) =
Рш вх,1 GшF1
Pm вх,2
р
р
= ~< ~ . Если обе эти системы обеспечивают одинакову ю,
GшF2 GшF1
верность передачи сообщения, т. е. ( Ре )
• ( Ре ) ,товыигрыш.1
Рш вых,1 Pm вых,2
для второ й системы r;. окажется бо.Тiьше, чем выигрыш g1 дл я пе-р1...
вой, хотя естественно .:читать, что обе эти системы имеют одина,­
ковую помехоу стойчивость . В силу оказанного при флуктуаци0н­
ном шу м е более объективным оказыва,ется сравнение систем н е
л,ри одинако ,вых значениях ·мощности помехи Рш, вх, а при один а--
1ювых значениях ее спектральной плотности Gш ,
Умножим знаменатель (7.41) на 1пол-осу частот Fн, занимаему ю
канальным сигналом (полоса пропускания входных .цепей · прием ­
ника). Чтобы полученная та,ким образом мера выигрыша о-ста­
в ал ась безразмерной ,вел,ичиной, умножим числитель (7.41) .н а
полосу частот Fc, занимаемую сообщением b(t). После этого ло ~
10*

луч им показ атель g.,, который называется обобщенны.м выигрышем:
g'=
(3⁄4)выхРе = g Fe .
(~) F
Fк
Ршвхк
(7.42)
Заметим, 'ЧТО ка,к выигрыш g, так и обобщенный выигрыш g'
могут оказаться для некоторых систе'м меньше ед·иницы (как уви ­
дим в дальнейшем), т. е., по существу, систе,ма дает не «выигры ш »,
и «проигр ыш».
При известной форме сигнала с учетом (7.38), (7.40) имеем
при слабом « белом» шуме следующие выражения, опре дел яющие
предель ные з начения :выигрыша •и обобщенного -выигрыша:
Fк
Fe
П2Ревхs
df
[~~~t~2
о
(7.43)
g'=
Fe
те
П2 Ре вхJ
df
о [а:k {s' (Ь(t)t)}J2
(7.44)
Распространенные системы модуляции непрерывных сообщений
делят н а rпрямые, в кот,орых модулированный сиг.нал s'1[b (t), t]
в момент ,врем,ени t заsисит только от значений модулирующей
функции в этот же .момент времени, и .непрямые, в которых это
условие не вьmолняется. Из непрямых ,систем в техн·ике связ·и на­
ход я т применение инт,егральные системы модуляции (ЧМ), в ко ­
торых
s' [Ь(t)t] = s' [Кмsь(t)dt, t] = кcosекs[Км~ь(t)dt, t]-
л
-кsin0кs [ ,':м Jb(t)dt, tJ .
(7.45)
где Км - крутизна м одуляционной х арактер и стик и .
При прямых системах модул яции с yчeTOJI,' (7.20)
[ ___a_ {s'(b(t), t} l 2
= [~{s'(b(t), t )} дЬ(t)] 2 =
дЛk
J
дЬ
дЛk
= [ :ь {s'(b(t),t)}г(JJ~(t).
Обычно всегда частотный спектр функции
лежит зна -
(дsд'Ь(t))2
чиТ~ельно выше удвоенной верхней частоты спектра первичного
сигнала b(t) [функции (J)i (t) ]. Но тогда :в силу ортогональности
е
292

функций с нелерекрывающимися спектрами среднее значение их
произведения равно произведению средних значений. Поэто~иу, учи­
тывая, что {cp1,,(t)} образуют ,ортонор,мированную систему фун.К:ций,
имеем
(7.46)
Поск,ольку эта величина от частоты не зависит, то для прямых
систем модуляции эне~ргетический спектр шума на выхо.1.е опти­
малы-юго u~риемника равномерен и определяется формул,ой
G(ro),ы, ~ r-~~-~г
.
дЬ {s' (t)}
и можно написать:
Вводя обозначение
вс
v{t) = f b(t)dt =~ л,k s(f)k(t)dt
k=I
и учитывая, что . [ ·:ь {v (t)} J2 =[Jcpk (t) dtJ2 = ~~ ,
имеем при интеграль.ной модуляции
(7.47)
(7.48)
(7.49)
(7.50)
[_д {s' (v (t), t)}] 2
= [д {s'(v(t), t)}]2/\дv 'J
2
=-+ [-i- {s' (v (t), t)}]2.
дAk
дv
д··м, ,
ш1, д,,
гд
]2
где l- {s' (v (t), t)} от частоты не зависит.
д•v
Энергетический спектр шума на выходе оптимального
пика при инте гральной м,одуляции согласно (7.38) и (7.51)
G(w)вых = д Cw(2:;i)2f2 2 '
t~ {s' (v (t),t)}] • .
т. е. возрастает пр,опорционально квадрату частоты.
(7.51)
прием-
(7.52)
2f!З

Выигрыш и обобщенный выигрыш при интегральной системе
модуляции и олтимальном приеме:
Fкlддv {s' (v (t), t)}] 2
g= -~------~-
Fe
П2 Ре вх (2 л:)2s/2 df
о
3 fк [---/ -; {s' (v (t), t)}J2
П2Ревх(2л:)2F~
з[-f- {s' (v (t), t)} J2
g'=__v
_______
П2 Ре вх (2n)2 F~
Контрольные вопросы
(7.53)
(7.54)
!. Почему прием IJепрерывных сообщений мож·но свести к савместной 1JЦенке
м:ногих 1Пара,мет,ров?
2. Как,овы свойс тва совместных маю::имально правдоподо•бных оц енок п ара1Мет­
ро:в с-иг.н,ала из-вест,ной формы на фоне флу~ктуационн.ого шум,а?
3. Как можно з,алисать ор т огональнюе разложение перм,чного еигнала на пе­
редаче Ь (t), приеме Ь' (t) и пю.мех'У на выхюде п риемни:ка &(t) .и каковы ве­
рюя·тност;ны е хара ,кте р истики послед.н ей пр.и «белом» шу,ме в канале и из­
,вес т ной точно форме ~си г нала ?
4. Какой фар.м 1улюй 01пределяется энергети-ческ,ий епек11р шу,ма на выходе опти-•
мального прием .н.ика для прямых и иктегральных состем мод,уляцИ11?
5. Как определяю11ся характвристиrюи помех·оуст,ойЧJИJвости (,~а-чес11ва) нбП1рерыв­
•ных систем, наэ,ва,нные выигрышем g и обобщенным выиг,рьuшем g'?
7.3 . ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ
ПРИ РА3ЛИЧНЫХ ВИДАХ МОДУЛЯЦИИ НЕСУЩЕЙ
НЕПРЕРЫВНЫМИ СООБЩЕНИЯМИ
Найдем показатели g и g' при оптимально,м приеме непрерыв ­
ных сообщен·ий на фоне слабых шумов для систем авязи с наибо­
лее распространенными .видами модуляции.
Сначала •рассмотрим системы с одностушенчатой 1прямой и ин­
тегральной модуляциями, а затем и системы с многоступенчатой
:;юдуляцией. Везде будем считать, что модулирующая функция
b(t) нормирована и не содержит постоянной составляющей.
При амплитудной модуляции гармонической .несущей запишем
си,гнал в месте приема в виде
s' [b(t), t] = к U0 [1 + mb(t)] cos(ffio t+(J)o),
(7.55)
где кИо, ffio, {!)о - известные значения амплитуды, частоты и на­
чальной фазы сигнала.
Находим:
д
д
к2 ,п2 u2
дЬ {s'[b(t), t]}=KUomcos(ffiof+(j)o); [aь{s'{b(t), mJ2= --
2-0
. (7.56)
294

Средняя мощность входного сигнала с учетом медленности
изменения модулирующей функции b(t) по ёрс1внению с eos шоt
определяется соотношение:\-1
2-
Рсвх= [s'(t)]2 = к2Ио[1+ тЬ(t)]2cos2(ш0t+cp0) =
к2 u2
,..С,
к2 u2
,
m2
=__
о [1+m2 Ь2(t)] =
__
о_(1+ --\ .
(7 .57)
2
2.
п2)
С учетом ф-л (7.48) и (7.49) и того, что при амплитудн,ой мо ­
дуляции гармонической н-есущей P1,=2Fc, можно написать следую ­
щие выражения для выигрыша и обобщенното выигрыша при АМ
и оптимальном приеме:
F"
т2
[{АМ = -~-
2+fl2
,с
т
,
т2
cr
==---
ьлм т2+п2
2т2
т2+п2
(7.58)
(7.59)
Предельное значение выигрыша при АМ ра.вно 1 и достигается
то гда, 1югда m=l и П2 =1. Практически всегда m<l, а пик-фактор
сообщения П2 > ' 1, поэтому gлм<l, и g~м <l, друrими словами,
сис--те.ма АМ дает не «·выигрыш», а «проигрыш». Так, например, при
передаче речевого сигнала можно считать П ~3. При m=0,8 имеем
g = 0,068; g' = 0,034:
Малые значения выигрыша g и g' для системы АМ связаны
с тем,. ч то толы~о часть мощности входного сигнала (заключенная
в боковых полосах) содержит в себе полезную информацию,
т. е. может создать полезный сигнал на выходе детектора. Поэтому
устранение несущей в сигнале АМ (переход к БАМ) может под­
нять эффективность системы модуляции.
На самом, деле, сигнал в системе БАМ в месте приема можно
з аписать в :виде
s'[b(t), t] = кUomb(t)cos(root+q>o).
(7.60)
Средняя мощность этого сигнала
•Р~вх =[s'(Ь(t),t)J2= ~
2
ug т2 '[} (t)=
(7.61)
Вели'Чина же [-:ь {s' (t)}] 2 здесь определяется так же, как при
обычной АМ, ф-лой (7.56). С учетом этих соотношений ииеем:
gБАМ.=2; g~AM = l,
(7 .62)
т. е. выитрыш не зависит ни от глубины ·модуляции, ни ,от пик-фак­
тор-а сообщения. Нетрудно показать, ч·ю при отсутствии несущей
и ,передаче лишь одной бо,ковой •( система ОБП)
(7.63)
295

Вследствие лин€йной зависимости между канальным сигналом
s1,[b(t)t] и сообщением b(t) при АМ, БАМ и ОБП получ,енные выше
соотношения остаются справедливыМ'и как при слабых, так и при
сильных помехах.
Рассмотрим теперь фазовую модуляцию .гармонической несу­
щей . Это тоже 'Прямая сJ,1стема ·м одуляции . Записав принимаемый
сигнал .в виде
s' [Ь(t)t]=KИоcos[шоt+л rpь(t)+ q>o], .
[(7.64 )
где Лер - девиадия фазы, и пр·ив•одя такие :1ke, как и .при АМ, вы­
числ•ения, получим:
_J_{s'[Ь(t)t]}=-кU0Лq> sin[шоt+ЛrpЬ(t)+<р0],
дЬ
(7.65)
Мощность принимаемого сигнала в рассматриваемом случае
пропорциональна -квадрату амплитуды:
р-12uz
свх--К О·
2
(7.66)
Поэто:vrу со1гласно (7.48) и (7.49)
(7 .67)
~Фм =Лер - индекс фазовой модуляции,
р2
к
4П2F~
(7.68)
К:ак .вид·им, П,РИ ФМ обобщенный выигрыш зависит от индекса
фазовой модуляции и пик-фактора сообщения. Так как первый
:vюжет быть существенно больше вто·рого, то обобщенный выигрыш
(не говоря уже о выиrрыше, ,который зависит еще от fк/fc>l) мо­
жет быть значительно больше единицы. Рост индекса модуляции
ведет к расширению занимаемой сигналом полосы частот . Подчерк­
нем, что ф-лы (7.67) и (7.68) верны для слабых помех и неприме­
нимы пр·и ,больших помехах, так 1,ак, в отличие от АМ, сигнал ФМ
(7 .64) нелинейно завлсит от сообщения Ь (t). Говорят, что ФМ ,
а также ЧМ являются нелинейными -видами модуляции.
Переходим If рассмютрению соотношений при частотной моду ­
ляции га•рмонической несущей. Представим ЧМ колебание в месте
приема в 'Виде
s'fv(t), t] = кU0 cos[ш0 t+Лшv(t)+cp0],
(7.69)
где Лш =2л,Лf - девиац·ия частоты (рад/с), v(t) =с S b(t)dt.
296

Мощность шума на входе приемника определяется ф-лой
(7.66), а
~{s' [v(t), t]}=-кИ0Лrosin[ro0t+Лrov(t)+с:р0];
дv
[ ~ {s' (v(t), t)}] 2
=
--
1 к2И5Л002•
dv
2
В,о-с,польвовавпшсь ф - ла,ми (7.54) и ,(7.55), получаем:
3Лf2Fк
g =----
ЧМ jJ2~
4П2F~
А
лf Лffi
•
где ·t'чм = -
=-
-
индекс частотнои модуляции.
Ре Qc
(7.70)
(7.71)
Таким образом, в условиях слабых помех выигрыш (как и
обобщенный выигрыш) при ЧМ может быть значительно больше
единицы, если дев·иащrя ча,стоты при зада.иной полосе частот мо­
дулирующего сигнала Ре достаточно ·велика.
С увеличением девиации частоты увеличивается ширина ·полосы
частот, .аанимаемой .канальным сигналом. Следовательно, увели­
чить выигрыш л~ри ЧМ ,можно (как ,и при ФМ) толыко за счет
ра,сширения оо·ект1ра модулир·ованноrо колебания.
При сильных помехах ф-лы (7.70) и (7.71) несправедливы, так
как ЧМ, как и ФМ, - нелинейный вид модуляции с ярко выра­
женным ·пороговым эффектом, о котором ,речь пойдет ниж,е.
Можно показать, что реальные приемники АМ, ЧМ и ФМ, обес ­
печивающие при отсутствии .помехи неи-скаженный прие м сообще­
ний, ,имеют ,при слабых ,помехах 1) такую же помехоустойчивость
(то же значение g и g'), как при оптимальном приеме сигналов
из в естной фо,рмы Iсравсr1ите, наприм-ер, ф-лы (3.121) и (7.58), опре­
деляющие gлм].
Отметим, Ч1'О верность с.вязи при широ·кололосной угловой мо ­
дуляции при обычных методах приема резко ухудшается в -каналах
с селектив.ными замираниями (обусловленными, например, много­
лучевым распространением радиоволн). Ясно, что эффект селек­
тивности замираний, приводящий к сильным изменениям мгновен­
ной фазы или частоты колебаний, сказывается тем сильнее, чем
широкополоснее ,сигнал {т. е. чем больше индекс модуляции). В .де­
.лях экономии полосы частот и для того чтобы избежа1'ь указанных
выше искажений сигнала, угл,овая модуляция, как ·правило, не
используется, к•огда л·р·иходится принимать во внимание -с.електив­
ность канала. Большое распростр-анение для таких каналов полу-
1) Когда м,ожно считать, что приращения сообще.ния на выходе пр и е.мюI1{а
линейно за1в1и,сят от приращен.ин сиr,нала на его входе.
297

чили системы с амплитудной модуляцией и, главным образом, си­
стемы ОБ:П.
Рассмотрим теперъ два юща импульсной мо.дуляц.ии: по ампли­
т у де (.А.ИМ) и фазе (ФИМ). АИМ и ФИМ относятся к системам
прямой модуляции. На интервале Т 1) (длител'ьность сообщения)
н емодулированная импульсная - ·последсRательность (несущая , рис .
2.За) может бытъ записана в виде
Т/2 Ти
f(t) = L F(t-:кТи),
k=--T -
2ти
где Ти= 1/Fи~ l/2Fc - период следования импульсов.
(7.72 )
Функция F(t) о,пределяет форму импульсов. В простейшем слу­
чае им:пульсов прям ,оугольной формы
F(t - кT~) = {h , О< t-кТи<т:и,
(7.73)
О, т:и< t-кТи< О,
~:и - длительность импульса, а h - его высота.
Сигн-алы при АИМ в месте приема (рис. 2.Зв) запишем в виде
s' [b(t), t] = кb(t)f(t). .
(7.74)
Средняя мощность этого сигнала
(7.75)
а
[ :ь {s' (Ь(t), t)}J2= к2F(t).
(7.76)
Согласню ф-лам (7.48) ,и (7.49) имеем для системы АИМ:
Fк
1>l,
l
gлим = -::::::: -- ; gлим= ·
Fc
"t'и Fc
(7. 7-7 )
Прием сигналов АИМ реальными амштитудными щ~текторами
обеспечивает []рИ слабых помехах пример.но те же показа'I'ели g
и g'. Вследствие линейной зависимости модулирую щего и каналь­
ного сигналов порог-оnый эфф.ект в системе АИМ выражен очень
слабо.
•
Сигналы при ФИМ можно написать в виде
Т/2Ти
s;(t)=к L F(tk),
(7.78)
k=-Т/2Тн
где tk=[t-kTи+Лtmaxb(kTи)] определяет вре.менн6е положение мо­
дулируемого им,пульса; .ЛtтахЬ(kТи) определяет мгновенное значе-
1) К•о,т,орый считае11оя •:юратным 2Т".
298

ние временного сдвига, зависящее от модулирующего сообщения
для дискретного момента врем,ени kТи; ,Лtтах - ма1ксимальное от­
кло нение импульсов, соответствующее максимальным значениям
со общения b(t}max = 1.
'
Поскольку при одноканальной передаче сигнал (7.78) на ин­
тервал е Ти существует только в пределах ограниченной длитель ­
но ст и ти , то его средняя мощность
P(t)dt.
(7.79)
Определим функцию д~ {s ~(t)} . Имеем
Т/2Тн
_j_{s'(t)}= д[s' (t)]дtk =Kt k '1
дЬ
дtk дЬ
• тах
.l..J
(7 .80)
k= -T/2T и
Учитывая,чтоприФИМ_ _ k_ =
--
,т. е. не зависит отk,
[дF(t)]2 [дF(t)j"2
дtk
дt
число импульсов на интервале Т равно Т/Ти и они не перекрыва­
ются во времени, можно написать
(7 .81)
Согласно ф - лам (7.48) и (7.49) получаем для выигрыша ·И обоб­
щенноло выи г рыша при ФИМ:
g __1_ (Лtmax)2 Fc .
.
ФИМ--п2Кф 'tи
Fк'
(7.82)
'"'и/2
sF2(t)dt
-'tи/2
-
-----
--
-
кюэффициент, определяемый форму-
'"'и/2
,:~ s (д::t) )2dt
-'tи/2
л ой импульса.
Для обычно
1
торыхРн~ -
,
'tи
используемых импульсов плавной формы, для ко ­
КФ~О,1. •Очевидно, что Л tmax 3⁄4 Ти = -
1-3⁄4
_
l_и
2
2Fи 4Fc
299

Следовательно, имеем для предельных значений выигрыша и
обобщенного выигрыша при ФИМ:
(7.83)
Реальные приемники сигналов ФИМ, ,в :которых чаще sсего зна­
чения сообщения устанавливаются в соответствии с тем моментом,
когда огибающая при.нимаемого колебания (аигнал + шум) пере­
секает некоторый пороговый -ура:вень (пороговый •способ регистра­
ции), обеспечивают при слабых помехах такой ж,е резулыат.
За счет расширения 'занимаемой поло·сы ча,стот fн над мини­
малыю необх-одимой Ре обобщенный выигрыш (а тем более просто
выигрыш) при ФИМ может значительно превышать ед1иницу . При·- ·
малых значениях сигнал/шум ф-лы (7.83) несправедливы, ибо си­
сте,ма ФИМ ·относится ,к системам с резко выраженным порогом
пом,ехоусrойчивости .
Существуют -системы связи, в ,которых канальный сигнал s(t)
образуется посредством нескольких последовательных этапов моду­
ляции. Чаще всего сначала перв1Ичным ,си•гналом Ь (t) модулируется
то или иное вспомогательное колебание, называ,емое nоднесущим,
затем ,модулированным поднесущим: ,колебанием, в свою очередь,
модулируется другое вспомогательное колебание, полученным ко­
л·ебанием модулирует,ся третье поднесущее колебание и т.д. Нако­
нец, последним из модулированных поднесущих колебаний модули­
руется еще одно колебание, называемое не.сущим .
Такие системы применяют.ся, например, в системах импульсной
радиосвязи и ПР'И уплотнении каналов связи (см. гл. 8) .
К:ак под.н-есущие 1и несущие ,колебания, так и виды моду:11яции
на каждом этапе ,м,одулядии могут быть различными, поэтому можно
указать ,большое число ра-зличных аистем с м'ногоступенчат.ой мо­
дуляцией. На практике, как правило, получили ра,спространение
лишь системы с двойной ,модуляцией, т. е. такие, в которых исполь­
зуется только одна промежуточная ступень модуляции, а затем
модулируется несущее .колебание. Поэтому в дальнейшем огра.ни­
чимсl! ра,ссмотрением лишь двойной ,модуляции.
Заметим, что в радиосвязи применяется и другая разновидность
систем с двойной модуляцией, в ,которых одна несущая оказы­
вается про'модулирова.нной 110 двум пара~метрам, на:приме,р по ам­
плитуде· и частоте . _Такая двойная модуляция одним сообщением
может п1р1и наличии помех в канале повысить верность связи и
может также использоваться как средство уплотнения канала
двумя независимыми сообщениями ( см. а-л. 8) 1).
Используя гармониче,ское поднесущее кол,ебание, частота ко­
торосо ffiпн доста11очно стабильна, можно снизить требование к ста­
бильности частоты 1ffio несущего ,колебания . Особенно выгодны;1,ш
1) В да,J11>1Jейшем , о:п,накю, мы и.меем в внду лишь наиболее ши р шю рас­
пространенные системы с поднес у щими.
300

являются системы с двойной модуляцией в каналах с селе1<11ивны­
ми замира.ниями, в которых вторичная угловая . модуляция недо­
пустима, а первичная желательна.
Система с д.вукратной модуляцией обозначается, например,
так: ЧМ-АМ, ФМ-АМ и т. п. В приведенном обозначении сначала
указан вид модуля.ци}i по.в.несущего колебания, а на втором мес•
те - вид м•одуляции несущей, Этот (ЩQ·С·Об ,обоэна·чения 11споль•
зуется и для других систем двойной модуляции.
Практическое ,распространение получили наиболее целесообраз­
ные оочетания двоlшой модуляц·ии, сред1и них: ОБП-АМ, ФM-Afv\,
ЧМ-АМ, ОБП-ОБП, ЧМ - ОБП, ОБП-БАМ, ОБП-ЧМ, ЧМ-ЧМ,
АИМ-АМ, ФИМ-АМ и д1р.
Предельный выигрыш и обобщенный выигрыш системы с двой­
ной модуляцией :в общем елучае может быть, в n.ринщше, определе.н,
как и при простой модуляции, по ф-лам (7.53), (7.54).
Однако для систем, в которых вторая ступень является не пря­
мым видом модуляции (например, ЧМ-ЧМ, АМ-ЧМ, ·испол ьз уем ых
на укв, например, в радиорелейных линиях), определение выигры­
ша, как правило, связано с большими вычисщ1телы--1ыми труднос­
тями ,при нахождении мощнос11и - шума на выходе приемника. Го­
раздо проще обстоит дело для систем, у которых на второй ступени
применяется какой-нибудь из прямы х видов модуляции. При этом
условии для нахождения обобщенного .выигрыша системы в целом­
достаточно знать обобщенные выигрыши отдель ных ступеней мо·
дуляции.
•
В сам,ом дел•е, при прямой второй ступени модул яции и . флук­
туационном шуме в канале после детектир:ования сигнала по-преж­
нему ,остается пом.еха типа «белый шум» (т. е. с равномерным
спектром); как это следует !ИЗ (7.47). :Следовательно, на вх оде
детектора первой ·ступени модуляции выполняют,ся усл,оIJия, для
которых получены результаты лара:г,рафа 7.2 и ка·к для первой, таJ{
и для второй ступеней модуляции обобщенный выигрыш может
быть определен отдельно. Пусть g ~ - обобщенный выигрыш, полу ­
чаемый при детекти,ровании ·м ·одулированното ,несущего колеба,1шя;
g~н - обобщенный выигрыш при посл-е.ду1;0щем детек11ирова нии
поднесущего колебания. Тогда, очевидно, общий .выи грыш g' рас­
:~ матрива~мой с,ист,е.мы с д'Войной модуляцией находится как п.роиз­
ведени,е:
(7.84)
Следует заметить, . что если в выражения для g; и g~н входят
пик-факторы соответствующих входных сигналов, ТО для g~H бе­
'Рется пик-фактор исходного модулирующего сигнала b(t), а для
g; следует брать .пик -фактор промеж уточного сиг н ала, получен·
ного после пер,в,ой степени модуляции.
Этот лик-фактор Ппн = -V Рrrин/Ре равен V2 при фа зо вой и час­
тотной модуляциях поднесущей (пик-фак11ор квазисинусои,цалъно.го
301

--колеба1ния), равен 2 ( 1+:m) ! V 2 + m2 пр·и а м плитудной модуляции,
раве н примерно пик-фактору первичного модулирующего сигнала
П при однополосной модуляции и V 2п - :при балансной моду­
ля ции л одне сущей.
С учетом -сказанного напишем, например, · ,выражение для об ­
<0 бщенного ,в ыигрыша системы ЧМ-АМ, воспо льз овавшись уже
;н айденными выше формулами для обобщенных выигрышей систем
.сАМиЧМ.
И-меем
(7.85)
Аналогично можно найти обобщенный выигрыш и для други х
с истем с дсвойной модуляцией, у которых на втоР'ОЙ ступени пря­
Jм ая модуляция (табл . 7.1).
Система мо­
.
дуля ц ии
ОБП -АМ
ФМ-АМ
'ЧМ-АМ
ОБП - ОБП
ФМ-ОБП
ЧМ-ОБЛ
1
1
Обоб щенн ы й выигрыш
m2
2+m2
т2 F~
4П2(!+m2)F~
3т2 F~
4п2(!+ m2) F~
1
р2
к
4п2F~
3F~
• 4пzF~
J Система мо-
1
дуляции
1
IФИМ-АМ
ОБП-ФМ
АМ-ФМ
БАМ-ФМ
АИМ-АМ
КИМ-АМ
ТАБЛИЦА7.1
Обобщенный выигрыш
р2
к
4п2 F:
т2FiJf2+т2
8(П2+m2)F~(1+т)
F~
вп2F~
т2
л2+m2
Fc32Fк/Fc
FкП22ln(3ОF")
Заметим, что ф - ла (7.84) лег.ко обоб щ ается для случая, когда
число ступеней модуляции больше двух, если только на всех сту­
!Пенях .п,осл,е первой использованы прям ы е виды модуляци:и.
302

Остановимся теперь на о.цен:ке помехоустойчивости смешанны х
систем связи, в которых непрерывные сообщения путем дискрети ­
зации по времени и уровню превращаются в дискретное и зат·е м
передаю т с я дискрет н ыми методами.
Досто,ин ством си:::тем с дискретизацией следует считать высо кую
помехоусто йчивость, удобство обработки информации в цифрово й
форме, во з можность прим-енения ра з лИ'чных кодов для согласова ­
ния сигнала с каналом, возможность создания универсальных (ин ­
т,егральных) систе м передачи произвольной информации в циф­
ровой форме !И т, п.
•·~
0-~
~
)i
Наибольшее распространение получили две системы с дискре ­
тизацией непрерывrюго сообщения: система с ·кодово-импульсно й
модуляцией (~ИМ) и оистема с дельта - модуляцией.
В сис'Гемах КИМ отдельные О'Гсчеты непрерывного сигнала Ь(t)
после дискретизации (стробирования) во в ремени ( с шагом
В . А . К:отелы-iи1ка,ва Лt= l/2fc) и по уровню (с шагом ЛЬ) кодируют­
ся, ,как правило, двоичным равномерным блочным кодом (рис. 7.16).
Дискретизация ·по уровням сводится к передаче по каналу вместо
действительного у,ровня Ь(t) «блттжайшего» дискретного Ьль(kЛt)
iа)
t1
'
о
--
/
'-
bltJ --
/
'-
_, --
v'
/
"\.
-
"-
.,,.._,
.,,Ьль(2лt) ......_
v~ -bль(tJt)
\
""\
пппопп
оо□□
'-
t
...
t
Р.и·с. 7.1. Иллюстрац.ия пр,инщша п е р едачи непрерывного
с ообщеющ посредс11вом КИ,М:
а) реализация ноорерывного CIIr н aлa и его при,блюке ­
ние д,иокретн ыми ощч е т аJ>ш; 6) дво ичны е кодовые по­
следо,вателиюст.и лри КИМ
( р и с. 7 .1) . Бели число раз·рядов (импуль,оо,в) в к,адовой комбинаци и
р авно п, а чи,сло уровней к,вантования К, то должно выполняться
очевидно•е усло.вие
(7.86}
О б ычно выбирают К равным целой степени от 2. Передавая
кодовые к-омб;:инации любым и з известных сnособов по линии свя-
303

зи, в месте приема
сигr~ала Ь ль (kiлt), а
ласой F с, получают
сигнал b(t).
по ним восстанавливают диокретные уровни
за'Г,ем, пропуска-я по,следн.ие через ФНЧ с по -
(с определен.ной погр-ешностью) непрерывный
Если даже передаваемая при КИМ последо,вате.irьность кодо ­
вых символюв ,принимается без ошибок (при большом превышении
сигнал/помеха), в регенерированном ·в месте приема сигнале ·
Ь'ль (t) = ·Ь ль(rt) имеется погрешность, обусловленная округлением ·
(квантованием) непрерывного сигнала на передаче, называемая
шумом кван-гования. Шум квантования
в(t)=Ь(t)-Ьль(t).
(7.87)
Если шаг 1шанrования рав,ен ,ЛЬ, то я,сно, что шум квантования
(в отсчет,ных точках) лежит в rпределах
-ЛЬ/2~е~ЛЬ/2.
(7 .88)
Полагая ,случайную ·величину Е равномерно распределенной
на ИН'Гервале Лh, имеем для средней мощности шума квантования
ль
2
S82 _1_ dе'= (ЛЬ)2
.
ЛЬ
12
ль
'
(7.89)
2
Если сигнал b(t) норм,ирован в пределах от -1 до + 1, то,
ест,ественно,
льк=2.
(7.90)
При примитивном 1Кодир-овании К=2/,ЛЬ = 2п (п - разрядность
кода) ~вместо (7.89) можем написать
р __1_
шк - 3.22"
(7 .91)
:Отношение мощностей сигнала и шума ·квантования на выходе
приемни ,ка
(-Ре) __!
__
3.22п
Ршк вых П2 Ршк
П2
(7.92)
не з ависит от отношения сигнал/шум на входе приемню,а.
Отношение сигнал/шум :на входе приемни1,а, .при 1кот:ором ,мож­
но в системе КИМ - АМ без ретра,нсляц и й пренебречь ошибкам.и в
ка.налеi[см. (7.108) и (7.111)], равно:
(Ре) = 21n[60nFeJ .
,Рш
вх
(7 .93)
Обобщенный ,выи грыш для системы К:ИМ-АМ
,
Fe ·3-2211
gким- лм= FкП2 21n(60nFc) •
(7.94)
304

Рост п (при неизменном интервале между отсчетами ,M = ·l/2 Ре)
приводит .к сокращению длительности посылок ти и •соответ~ствую­
щему 1ра1сши,рениКi полосы частот сигнала Fк, ибо n=1Лt/ти=
=Fн/2Fс- Учитывая это, ,можно на~п.исать
FK
Рс­
Fс·З•2 ,
g~ИМ-АМ = _F_к_П--=-2 -2-ln- (3-0-F-к)
(7.95)
В отлич:ие от ранее 1раюсмотре:нных ~систем с ФМ, ЧМ и ФИМ
(см. табл. 7.1), обобщенный ,выигрыш при КИМ (также 1Верно1сть
связи) ,ра,стет с ра,сширением занимаемой ,сиг.налом 11юлосы ча•стот
по степенному за,ко:ну, т. е. эта ,оистема значительно эффективнее
и спользует полосу ча1с·ют . :
Наряду с ,системой КИМ :разработана другая ·сраrвнимая
с ~ней 1по эффективности система с дельта-модуляцией. В этой
системе сначала непрерывный сиг:нал b(t) путем дие:кретиза­
ции во времени (с шагом tЛt) и по уровням (с ·шагом
(ЛЬ) ,превращается в 1Ква:нтованпый ступенчатый сигнал
Ьль(kЛt). Образова,ние rстушенчатой функции ,сводит,ся ·к тому, что
Р,ис. 7.2 . Иллюстрац.ия при•нци:па передачи н епрерывно­
го сообщения 1посредсnвом дельта-модуляции:
а) реализация непрерывног,о с•игнала и его приб лиже ­
ние днакретной .последовательностью; 6) кодовая по­
сле:цовательн ·о·сть ,пр .и дельта- ·м му ляци н
€ слив данной диоК'ретной точке kЛt разность b(lliЛt)-bi[(k-l)Лt]>
>0, то ,к,вантованны й сигнал .получает при.ращt1ние + rЛЬ, в .против­
ном случае он получает ~приращение - ЛЬ (ри,с. 7.2а).
Затем Кlвантовый сигнал подвергается двоичном у дельта-коди­
;рованию (,разновидно·сть рекуррентного цепного кода) , которое
305

заключается в том, что его положительному tП.риращению +ЛЬ ,со ­
поста·вляе11ся символ «1», а отрицательному приращению -ЛЬ -
символ «О» (ри,с. 7.26).
Передав ди,скретную Иiнформацию по .каналу любым из изsест ­
ных опоообов, ,в ме.сте. ~приема сrшантованное з·начение ,сигнала
Ь~ь(t) во:останавливается путем :накопления (,интегрирования) все х
предшестJЗующих данному ютсчету у.ровней фуНlкций ь:ь (kЛt]. Не­
прерывный сигнал Ь'(t) ,получают фильт,ра.щией дискретного ь:ь(t) .
Ясно, что ,возн:икновение ошибок (при малых отношениях сиг­
нал/помеха) ,при разрешении [Iредшест:вующих ,отсче·юв .влияет на
ве.роят:но·сть ошиб,ки ,П1ри анал,изе и тюследующих отсчетах. В этой
связи 1си,стема с дельта - модуляцией (ка-к и КИМ) 1лра,ктичеоки при­
м-еняется в ,каналах с достаточным ·превышен:ием 1силнал/помеха.
Си·стемы с КИМ и дельта-модулядией от.носят,ся к 1Пороговым
системам , по1скольку, есл,и отношение сигнал/шум Б канале :ниже
порогового уровня, 1при ,которо.м вероятность ошибочного приема
сим,волов еще ·находится 1в допу,стимых г.ра ·ницах, помехоу1стойч,и­
во•сть tисте.мы рез.iю падает.
:Контрольные вопросы
1. Че,~{ объяюш1 ть увеличение в ы иг.рыша и обобщенного вынг.рыша rrp и БА М
и ОБП Iпо ора:в,нен.ию с сис'I'ем-ой АМ?
2. За очет чеrо в системах с угJЮвой модулЯ'цней га•рмоничеокой несущей не- ·
1Прерьrв,ным сообщением достигается рост выигрыша и обобщенног.о . выигры­
ша .по 1ср.авиению со случ~ем АМ?
3. К,акие системы овязи называю'!'-, снсrема~мн с м,ногоступ€нчатой модуляци ей
и ка~не сочетания видов д•1юйной мо1дуляrцнн нашли преамущест.в·еин,ое пр и ­
мене1Ш1е на ,праJКтике?
4. Как апределяются вынг-рыш и обобщенный выиr,ры1Ш систt1м с многоступен-­
чаmой модуляцией при условии, что на .воех сту~пеиях после пер.вой •иополь­
з,ованы прямы€ ющы М{J;,дул,яrщи?
5. _К,а!К зави~сят ,011н ошение сигнал/шум на выходе лрие1<i'Н.И'Ка в си,стеме КИМ
(,в~рность овязи) и обобщен,ный выигрыш от зани~маемой в каи·але полосы
частот, если в иоорерыll!НОIМ канале ошн.бкам-и при передаче симв.оло,в м.ожио
,пр,енебречь?
6. KIIIК за1в,иIсит обобщенный выигрыш в системе КИМ - АМ от за,нимаем-ой сиг­
налом поло.сы част от?
7.4. ПОРОГОВЫЙ ЭФФЕКТ В ШИРОКОПОЛОСНЫХ
СИСТЕМАХ
Полученные ~выше р-езультаты для 1потЕшu,иальной 1Помехоус11ой­
чи•вости непрерывных оистем справедливы толь-ко в [Iредnоложе ­
н·и:и линейной за1в.исимо1сти между приращением сообщения на iВЫ­
ходе приемника и сигналами на его входе, что для любых си ­
стем мод уля ции .и,меет место пр.и большом от.ношени:и ·сигнал/шу м
в ка,нале. В этих у,слов,иях, как это уже n.одчерки,вали выше, поме­
хоу1стойчи1в-ость реальных лр•иемников мало отличается от [IОТенuм­
альной. Одна1кю ,при некото.ром ~пороговом отношении сиrнал/поме-
306

ха на входе приемни к а для систем -овязи, за,н и мающих шир окую
п олосу ча ·стот и харак т ериз у ющихся .нелин ейной за•висимостью ме­
жду каналь.ным о~г,налом s'(t) и -сообщением b(t), ,помеха на ·вы ­
ходе 1приемн.И1ка не может больше апределятъ·ся п1р,и~веден,ными оо­
отношения .ми, она резко возрастает и ,соо 11ветственн-о :верность та­
ких систем ре з,ко падает.
Появление по-рогового эффекта для ,систе.м евяз1и, в 1юторЬi х
в резу льтате коднрювания и модуляц,и.и поJюса ча,стот Fн ,сущест ­
венно ~превышает минималь,н о необход,и.мую Fc (т. е. для ,к•оторых
база СИ'гнала 2FкТн очень велика), можно объя,снить, напр!Имер,
так.
С ра,сшире Н'ием занимаемой ,ка ,нальным -сиг-налом поло-сы час тот
fн налицо две тенденции - возрастание (при неизменной спект­
ра льной плотнос11и мощности шума) суммарной мощности (дис­
персии) ломех•и и ослабление корреляционных (вероятно,стны х)
с-вязей между частотным.и КО;\шо·нентами помехи. Перв·ое об-стоя ­
телыство ведет к возра,ста.нию эквивалентной помех.и на lВыходе де ­
тектора, вт,орое -- к ее ослаблению, т. е. ,сказыва -е11ся эффект «раз­
не сенного» приема по многим частота и (,см. гл. 8), ,при ,сла6ой по ­
мех е в :канале эффект «разнесения» 1пр ео-бладает (та,к ,как больши,н ­
ство из «частотных полосок» хоро шо п1роходят ,по ка,налу) JI мы
на блюдаем увеличение выигры ш а ,с .ростом полосы (,ростом ч:исла
к аналоlВ раз,несения). При ·сильной помех,е :в ,канале ~велика !Вероят ­
ность «,плохого» прохождения большинства «чаеготных поло,со:к»
си'11нала, вслед,ствие че:го качество свя:1и рез.ко падает.
В суще.ст~вован.ии mоротового эффекта для- реальных ,систем мо ­
дуляции и 1кодиро·вания мож,!-ю убедиться, 1сопоста,вив значения вы­
игрыша g [дБJ идеальной системы (пунктирные кривые на рис. 4.5),
ко11орый лннейно зашкит от отношения ·с иг нал/шум в канале
( Ре/\ , со значениями g [ БJ,
полученными ·в 1параграфе 7 .3
Рш вх [дБ)
д
дл я реальных си,стем модуляцил и кодирования. Последние lВ обла-
сти больших отношен1ий (~) совершенно не зависят от отно-
Рш/вх
· шения сигнал/шу,м в канале ,и имеют тем большие з-начения , чем
F
больше велич,ина ~ , что .иллюстрирует-ся оплошными ,кр1ивыми
Fc
.
рис. 4.5. Бели бы кривые рис. 4 .5 для реальных и идеальных си­
стем пересекали,сь, то реаль,ная оистема ,стала бы лучше идеаль­
ной. Поо1юл ьку это н евозможно , то кривые для реаль·ных -сИ'стем
все гда раополагаются ниже кривых для иде аль.ных ,сI+стем с тем
,
.
F
же параметром , ~ .
Но это о з начает, что, начиная ,с некотю,рого
Ре
от ношения(~) , называемого пороговым, iВ Ыигрыш реальных си ­
Рш вх
F
стем с большим пара.метром ~ резко падает . Из ри с. 4.5 также
с;
,с
307

Рк
1,,идно, что чем ·выше пара .ме-гр -
,
тем резче падает iкачесmо си-
Ре
стемы пр:и ,на,сту,плении порога rпомехоу:стойчи:восттr.
ЗаниженнQе значение и-юроrовой вел.ичины (Ре\} можн:о полу-
Рш вх
чить, если .найти абсц:и~ссу rоч-к•и пересечения ,оплошных ·и 111ункт,и.р ­
ных кривых рис. 4.5, соответствующих одинаковым значеыиям па-
раметра KF= Рк (,коэффициенту частотной избыточн:0сти) . •
Ре
Получим ураrв•нен ие
(7.96)
Для ,си,стемы ОБП (без ча,стотной и:збыточно1сти), ,Iюnда g=
= KF= 1 соотношение (7.96) удовлетворяется для произвольных
значений (~)
,
т. е. порого:вый эффект отсутст,вует. Он та!К:же
Рш вх
слабо выражен, если KF и g близки к 1. Бели же KF»l (g»1)
ур 4ние (7.96) вЫlполняет.ся лишь для :конкретных з·начений (~ ')
.
Рш1вх
Например, для ,системы ФМ с параметр.ом KF = 50 1при П2 =9 (мо­
дуляция речевым ,сигналом) ,следует ,ооот.ношение
50 lg [1 + (J:.c..) ]=lg (~) + lg (:sоз)
.
,Рш
вх
Рш вх
36
(7.97)
и •результат
(_!_.<:._) ~о,13.
Рш вх пор
.
(7 .98)
В .реальных ,системах ·с угловой м1одуля.ц~ией при больших зна­
чениях параметра KF (·индексов ,модуляции) порого:вQе з,начение
(~)
»0,13. Чтобы его -оценить, ра1ссмотр ,им подробнее 111ри­
Рш вх
ч ину возi-шкновения rпороr,ового эффекта для ,некоторых систем.
Для начала .ра-осмотр.им -систему ,с ФМ. Для этой системы на
рис. 7.3 изображены переменные 1ве1п-О'ры •пр·инимаемого ,сиг,нала
. ...
s' ,и ,помехи и . Помеха сдвигает , и•гнавенную фазу 1принима,емого
сиnнала на не:юото1рый -угюл, т. е . .к ,полезной 1Мюдуля,ц.и,и соо·бщением
доба,вляется «шумовая фазовая ,Ivюдуляц.ия».
Пока огибающая помехи меньше ам1Плитуды си:гнала, уrгол -8 ле
может по абсолю11ной величине ,превысить л/2 (рлс 7.За). Это 'зна ­
чит , что если ,работать ,с ин.дексом модуляции ВФм = Лср»л /2, то­
шу,мовой фон на выходе фазового детеrпора будет ,очень незначи­
телен . (даже если учесть возможные флуктуации вектора помехи
в iпределах ючерченного ,пункти ром на р,ис. 7.За к1руга). Я,сно так­
же, что в ра , осматри,ваемом случае выигрыш по отношению сиг-
_ нал/п-омеха пропор цион ален В lм vка,к это и выте1,ает .из ф - льn
308

(7.67) ]. Вел.и огибающая помехи [1ревышает ампл.итуду ,сигнала,
у,гол шумовой модуляц.ии i8 (с учетом возмож,ных флуктуаций :век­
тора помехи s пределах очерченного на р,ис. 7.36 ,кру,га) может
,стать :как угодно большим .и
сиг,нал на .выходе детектора в а)
слабой степени -будет зависеть
от полезного сообщения. Та­
ким образом, пороговым бу­
дет являться . такое мини­
мально возможное значение
амплитуды сигнала, ,1ют;о:рое
лишь с малой вероятностью
превышается огибающей поме-
о) ,,.....,......- ---........ ,
/
"
/
"
/
\
/
\
( L>,\
\
~11
'/
\
s
f
\
о-/
'
l/
"
/
, ........ ____ ,,,,.,,,.
хи (лри амплитудах -сигнала, Рrис. 7.3 . Сложение вектора ФМ с и г н ал а•
равных или больше пороговых,
сохраняет,ся линейная зависи­
мо·сть между отношением сиг­
нал/1помеха на выход,е 'И вх,оде
приемника).
и вектора шума:
а) амплитуда помехи м еньше а,мпл и ту ­
ды сигнала; б) а,м[]литуда помех и пре ­
вышает а,м,пл ,и1'уду ,си гнала
Если помеху СЧiит,ать флу,ктуа,ционной, т.иrпа «белого» шума , ro
ее оги6 ~ юшая r ,имеет ра,сл·ределение Рэлея
ro1 (r) =
-'- ехр(-~) ,
о2
2о2
(7.99 )
где а2=Ршnx -
средняя мощность помехи на входе приемника.
Пороговое значе-ние амплитуды :сигнала Ипор найдем из уело-
вия, считая, что
и пор
"'
(
2\
Jro1 (r) dr=exp , --~)
ИпоР
была бы достаточно мала. Полагая Р=О , 001, имеем
И~ор/2сr~ ~ 7 .
Таким образом, пО1роговое отношение ,сигнал/помеха
(7.100)!
(7.101),
( _!J__r:,__)
= И~ор =7.
(7.102)
Рш ,вхпор
202
Формула (7 .102) пример.но определяет пороговое отношение
сигнал/1Помеха и для ,системы ЧМ. · И для этой системы (Ре)Рш вых
резко уиеньшается, ко-гда огибающая помехи 1Превысит амплитуду
сигнала, так ,ка,к :при э·ю,м мгновенная фаза nриходящего-ся сигна­
ла z(t), а ,следо1вательно, !И его мгновенная частота определя ются ,
гланным обра:зом, помех,ой, а не полезным ,сигналом .
'Так ка,к Рш вх = GшFк, т·о при заданной ,спектральной плот,IЮ'СТИ
помехи Gш велич,ина пороговой мощности сигнала ,з а,в.исит от ши­
р,ины его сшектра Fк, кото'рая, в ,овою очередь, зав и сит от и нд е~с а
30 9'

у гловой модулящии р. Поскольку при больших индексах Fк=2FcB,
то rюрогов ая мощность ,сигнала
Ре пор;:;; 7 GшFк ~ 14 GшFc ~-
(7.103)
С ростом ,инд е~с R модуляции В ~вместе с по·вышением выигрыша
си1стемы ;растет и пороговая мощ1-юсть сигнала, т. е., чем л учше •си­
стем а пр.и малых по мехах, тем хуже она 1При больших. Сказанное
,иллюст р:111руется граф,иками рис. 7.4. Уч астки кр ив ых, •соответ.с11ву ю­
:щие мощности сигнала ,ниже пороговой (.когд а рез,1ю ,падает ,каче­
,ство ), отмечены пу нктиром.
Как в идно ,из .1"ривых, при заданном от,ношении ,сиnнал/,помеха
па входе прием,ни.!( а индекс модуляци.и р не должен nре.вышать
i,,ритиче ского значе;.rия, при ,котором наступает .пороговый эффект .
.дл я
JС.равнен ия на 1ри·с. 7.4 ,на ·несе.на также зав,июим о·сть отношения
' (!1_\
' (Ршlоых, i/5
JJO
.бО
40
.о510
20
30 40 !!с)
1Рш, бх, об
сигнал/помеха входа и выхода
приемника для узко-полосной
системы ,с линейной модуляци­
ей (ОБП), в 1которой порою­
вый эффект отсутствует .
Ввиду большой распростра­
,ненности •систем ,с ЧМ не пре­
кращаются :попыт,ки усовер­
ше.н-ство.ва,ния ,схемы црием:ни­
ка ·с тем, чтобы сниз-ить nри
заданном
шуме
пороговую
мощность и тем самым увели­
Ч'ИТЬ дальность связи при той же
мощности пере.датчика. Мето­
ды !Понижения порогового уро­
вня сигнала ЧМ основаны,
главным образом, на исполь­
зовании уз·кополосного прыем­
ника с перестраиваемой •сред­
ней частотой с тем, чтобы еле-
:Рис . 7.4 . Зависимасть отнашеиия сиг­
нал/шум на выходе детектора от отно­
шения сигнал/шум на его вх,оде в си­
с,темах угловой rvюдуляции пр;и различ­
ны х индексах м одуляции
д:ить за мгновенной частотой
ц:иг нала, которая, меняясь, остRется в пределах полосы Fн=2 FcP •
Они 'rеал.изуются, напр.имер, пр,именением следящего фильт·ра
промежуточной ча,стоты с полосой пропускания Fэ=2Fc 1[22] . При
,исполь :;юва,нии ,следящего филЬ'11ра в тртпе промежуточной ча1сто­
т ы, ~к оторый ,перестраивается под действием низкоча,стотного ,сиг­
. вала ла выходе частот1ного детектора приемника, до,ст,и.-аются ,су­
жение .по лосы 1пропуокания УП Ч и соответс11вующее ослабление
:шума на в ходе детектора ,пр ,имер'Но 1в ~ раз , ч·ю ,ведет к тшкому
. же 1пон1ижению порогов-ой .мощности сигнала.
Р а,ссмот'рим теперь физические пр,ичины п,о,рогово,го эффекта в
импульсной си-стеме ФИМ-АМ. В прием,ном устрой -с11ве значения
,прин ятого сообщения при ФИМ-АМ у,ста1навливаются в соо11ветст­
::s ии с тем мо_ментом, когда ,огибающая прин.имаемого сиг.нала z(t)
310

пе~ресека~т н екоторый ~порог, как ,правило, равный половине з на ­
чения амплитуды сигнала U0/2. Ясно, что наличие помехи вызы ­
вает ,смеще:-гие дейсгв,Ительно'I'О фронта импульса ,на неко-го·рую ве­
личину Л tш, . что и ,в ызь!,вает шум на выходе 1пр1и,ем.ни,ка. Если rпо ­
меха слабая, а тра1(т приемника ,согласован по ~полосе (,ом. п ара ­
Iiраф 7.5) 'С .им1пульсом сиnнала, то выигрыш си,стемы ФИ М -АМ сш ­
ределяется да,нным,и табл. 7.1.
При сильных ,помехах на,сту,пает порог помех·оу,стоЙч'и.вости , та1к
как отдельные выбросы огибающей шума довольно часто !П е ре ­
се.кают порог срабатывания. Вслед,ствие этого сигнал на ,выход•~ ,­
по сущес10ву, ·больше не определяется полезным сигналом на·
вхо,де .
Из ·сказанного следует, чтю при ФИМ-А1\!l вел.ичину Ио/2 мо ж но,
считать пороговой, если она лишь с малой вероятностью (Р=О,001)
п-ревышается огибающей помехи. Воопользова 1вшись ф-лой (7.101) ,.
имеем
и~ор
- -- ,;::;;;7.
4-2а2
(7.104),
Так ка,к при ФИМ на интервале ,след,о:ван,ия нм;пуш,,со1в Т11 =
= 1/Fи им\Пульс существует только в ~пределах ;короткого отр ез , ка ·
-rн, то по1роrовая мощно,сть ,ситнала ,с уче110,м (7.104)
U2
-r:нf2
Ти/2
Рспор,;::;;;__Е.ОЕ..._l_ j' F2(t)df=28Pш 8x -1- S P(t)df, (7 . 105 )1
2Ти
Ти
-Ти /2
-Ти/2
где _F(t) - функция, определяющая форму им:пульсной последова­
тельности (лоднесущей).
Вели увеличение полосы частот .при ФИМ связано ,с укорочен.н­
ем длительноС'ГИ имrпульса -rи, то оказывается, что Ре пор не Заl13.ИС'ИГ
от ширины ~спектра сигнала Fн. На самом деле, сотла,сно теореме ·
о оред,нем
."-
F2
F2(t)dt = -r F2 ,;::;;; _с_р
иер
Fк'
где 'Fcp - некото·рое среднее значение функ,ц,ии F(t).
Под-ста,вляя (7.106) iВ (7.105), имеем
Ре пор,;::;;; 28GшF~p ;и
(7.106 ►
(7.1 07),
Независимость Р е поv от полосы частот - сущест,венное п,реим у ­
щест1во ,ИМIПуль-с.ной модуляции [IO ,сра ,в.нению с ЧМ :или ФМ ~ Вы­
бирая, например, до,ста-гочно .малое значение -rи (т. е . достатюч но ­
широкоrполо-сный сигнал), можно увелич,ить выигрыш системы без .
повышения пороговой мощности оигнала .
31 [.,

Раосмотрим, :на1конец, •воп,ро.с о rгюрого1Jом от.ношении си,г,нал/ло­
'Мех,а для системы КИМ-ЧМ. Полагая сигналы, модул,ированныеmо
'частоте, о1ртогональными ,в усиле,нном ,смысле, аюлучаем для не­
роятност.и ошибки при не01111И.мальном филь-гро,вом методе прие­
ма1) (см. (6Л00)]
р= _!__ехрГ -
-
1(~)] ,
.
2
L2Ршвх
(7,108)
(~)
-
21п(-1 )
Рш вх-
2р•
(7 . 109)
Допуст:им, что си,стема КИМ ,иапользуется для передачи рече­
вых .сообщен,ий. Тогда ошибочный прием ,сим,волов кодовой 'КОМ­
бина,ци}! ПрiИВОДИТ к iПОЯrВЛЕШИЮ отдельных «щел'Ч·КОВ». Бели оши­
·бок много, эти «щелчки» переходят в ·сильный шум, кото,рый мо­
.жет превысить - шум квантования и припзест,и к ,резкому ладен,ию J<а­
чест,ва. В ,системе КИМ за одну минуту mередае11ся 2F0 n-60 rкодо­
~вых и,мmуль,сов. При ,вероятности ошибки р на r ретрансляционных
участках будет в минуту в ·среднем pr• 120 Реп ошибочно принимае­
_мых имmульсо,в.
Если считать допуст.имым (rпоро•говым) при работе КИМ оди,н
«щел'ЧО!К» в ·м•и,нуту, то
Рдоп = r-120 Реп
(7.110)
( Ре) = 21n(r,60Pen).
Рш вхпор
(7.111)
Чи.сло им,п уль~сов Iв 1кодовой mо•следо1вательности п ,пример.но оп­
ределяется отношея,ием занимаемой сигналом полосы частот Fн к
удrвоеыной полосе частот сообщения 2Fc (или, д·рут,им,и сло,ва;ми,
,степенью увеличения базы ,сигнала по ,сравнению с базой ,оообще ­
яия - ето .мерило избыточности сигнала, а,а1к ,мы подчер%ивали
неоднократ.но) .
И:з (7.111) видно, что п,р,и заданном числе ретрансляций r 1Ве-
.личина (~)
тем ·больше, чем широкополо,снее сигнал. Бели
Рш вх пор
прим ерно ,считать для телефонии с КИМ, что
Fк=2nFc = 2•7-300=42000 Гц, то
(~)
= 2ln(60 r •42 ООО)~ 4,6 ·ln(r)+29,4.
(7 .112)
Рш вх пор
'
1) Вы,раж€н.ие (7.108) определяет пр.иближен,но среднюю вероятность ошиб­
ки при неоптималыном приеме двоичных си!'налов с А, М, т. е. полученный ниже
резулиат оправвд ю1в и для ,системы КИМ - АМ.
312

Вслед,стtВие логарифмической зависимост.и порога.вое отношен,ие-­
сиг.нал/помеха . мало .зав11,сит от числа :пунктов ·ретрансляции r.
Пр.и r= 1
( Ре\ ;::::;29,4.
(7.113}
Рш )вх пор
За.мет.им, что приня·юму значению n=7 ·соответствует (при ;rrре­
небреже.ни.и ошибками) с учетом (7.92) от,ношение сит-нал/тюмеха
на выходе .пр.ием·ни,ка (при :пи;с-факторе П=3)
. (~)
=
3.22 ·7 ;::::; 5000,
Рш вых 32
.
5000
ч·ю э,кви,вале.нт,но выигрышу gким-чм = 29 , 4 ;::::; 170, а обобщенно -
му выигрышу
,
Fc
170 122
gI<ИМ-ЧМ =g- =
--
;::::;
'
'
·
Fк
2n
Это оуществе:нно лучше, чем то, что мож,но ожи1дать от других:
рассмотренных нами широкополосных · систем, используя их при от ­
ношении сигнал/шум, превышающем пороговый уровень.
Контрольные вопросы
1. Ка,к можно объя,они-ть сущесТ:в ·ов·а,111и-е пороювого эффекта в реальных систе -­
мах овязи с большой базой ,из теоретиrчеоких и физических соображений?
2. Как объяонить тот факт, что прм угловой мадrуляции с большИIМ.И 1шде1~са­
ми ~ чем ка'Чес11веннее оистема прlИ больших отношен.иях сиr~нал/,шу,м, '!'е м,
хуже еи:стем.а пр.и малых отношениях сигнал/шум в ,ка,нале?
3. Как объяонить неза1висиrмо·сть пороговой мощности системы ФИМ-АМ от за ­
;ни,маемой в канале поло,сы ча ,стот?
4. Как объяснить порого ,вый х арактеif си,стем свяэи, в которых ,непрерывные со ­
общения пере,даюТ:ся дискретны~ш методам .и?
7.5. ОПТИМАЛЬНАЯ И СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ:
НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
При 1решении м,ногих практических задач, относящихся к прие­
~1у -непрерывных сигналов (в радиолокащ-iи, овяз.и, из,мерительной­
технике и т. д.) важное значение ,пр.иобретает вопрос о выделе­
нии полезного сигнала s'(t) при помощи некоторой системы (филь­
тра) из смеси сигнал +шум z(t) =s' (t) + u(t), где и(t) - некон ­
трол111руемая аддитивная помеха.
Непрерывный сигнал s'(t) может при этом нести в себе сведе­
ния ка,к о ди-скр•е-гном, так и н-ещрерьшном •сообщениях.
Пра.ктичеоки выделить сигнал S'(t) в «чистом» (неискаженном)
виде невозможно. Однако можно подвергнуть искаженный поме­
хой сигнал z (t) такому преобразованию (фильтрации) L, при ко ­
тором преобразованный сигнал y(,t) = ,L {z(t)} окажется в опреде­
ленном смысле близким к сигналу s'(t-t0 ), где t0 -
некоторая
313

,известная задержI<а сигнала ,во 1в,ремени. Оптимальная ф.ильтрация
сигнала во м.ноглх слvчаях решает и задачу оптимальноrо лр,ие­
ма содержащегося в нем сообщения .
Воопользуемся среднеквадратичным 1крит,ерием близо{:ти ,и бу ­
дем искать линейную систему, обеопечивающую м,ини.мум 1ореднего
1шадрата ошиб.ки
Е2 = [У (t) - S' (t-t0)]2 = {L [Z (t)]-S' (t-t0)}2 •
(7 .114)
Для ,стациона1р.ных эргодических п,роцессо·Е усреднение может быть
;вып о л:нено по времени.
I<:омплексный коэффиц,иент ,передачи к (iw) о= к ( w) 0eiq,,(wJ иоко-
1v1ой линейной системы ,не будет зависеть от времени лишь ,в случае
,стациона•рных воздействий S1 (t) и ,U(t). Будем пола1гать, что про­
цессы S1 (t) и U(t) случайны и ·стацио,нарны , взаимонеза·влсимы с
нулевыми cpeдli.I:JMИ з.начениям,и, а 1в месте ~прием.а ,изв естны лишь
их э не,ргетичеокие ,спектры G(w) 8 , и G(w)u.
Прш у,каза:нных выше условиях средний 11@адрат ошибки
Е2 = {L [S' (t)]-S' (t-t0)}2 + {L [И (t)J}2 = Е~, +Et (7.115)
можно полагать состоящим из двух слагаемых: Е~, = {ЦS 1 (t)]-
-- S1 (t-to) ~ 2, обусловленной прохождением , сигнала, и Eu =
::= {ЦИ(t)]}2, обусловленной прохождением шума,
"Дадим неоколЬ'ко у,прощенный вывод 11, омпл ексного коэффиц,и ­
,е1-па передачи шс1юмого ф1ыьтра .
-2
Очевидно, что ,с точки зрения ,мин11мизации -слагаемого Es, фа -
,зо-ча,стотная характер11с·ш1<а искомого фильт,ра должна быть ли­
нейной
(ро (w)= -
w to,
(7.116)
ибо это являе11ся необходимым условием отсутствия и-скажений
,фо,рмы сигнала . - 2
Сла:гаемое же Еи , определяющее среднюю мощность (диспер -
сию) откл111ка фильтра на вход.ной шум, от фазо,вых ,соотноше.ний
Jюобще не зависит, его э,нергетичеокий опектр G(w) 8u=KЧ,ffi)oG(,w)u.
Найдем амплитудно-ча,стотную характеристrжу ио1ю1Vюго филь­
тра. Для этого за.метим, что энергетичеокий ,сп ектр сигнала ошиб ­
к,и определяе'I'ся формулой
G(w)E =G (w)E 5 ,+G(w)вu = G(w) 5 , [l:-к(w) 0 ]2+G(w)uк2 (w) 0 (7.117)
На са.мом деле, для 1юнкретной реаЛ1изац.ии входного сигнала
_
}'(t) со опектраль,ной п лотностью S(iw)s' можно напи,сать ~полагая,
- iwt
что коэффиц.иент пе,редачи фильтра равен к(w) 0 е .
0 , ,и исmользуя
. рбратное ,преобразование
Фурье:
00
Е8(t) = L[s' (t)]-s'(t-t0) = S[к(w)о-1]S(iw)5, ]; w(t - t,)df.
)14

•
От,сюда и ,следует, что э:нергетический ,спектр ,случайного про -·
ц,есса E8 ,(t) в целом оrп-ределяется ~первым ,слагаемым в пра,в,ой ча - ­
сти выражения (7.1)7).
Если мы ,сможем найти значение к (.w) о, об;раща ющее (7 .117),
в м,и:нимум 1При произвольной ча·стоте ,w, ro тем самым будет опре-­
делена оптим,альная ампли тудно-частотная ха1ра,ктеристика филь-­
тра.
Взяв при заданной ча,сюте w п•р олз,водную от G(w)в по к(w)о и.
пrри,ра 1вня•в ее ,к нулю, получ,им у,ра,внекие
дi~~~):} = -2G(ro)s,[l -к(ro)o] + 2к(ro)0 G(ro)u = О,
от.сюда
G (ro)s,
••
1
к (roo) =
-
-----
G (ro)s, + G(ro)u
G (ro)u
1+ G(ro)s,
(7.118)
Подставив (7.l 18) в 1(7.117), !Получаем следующее соотношение для
э н ергетического С1Пектра си1nнала аI..iшбrои :на выходе анализируе ­
могю фильтра:
G (ro)s, G (ro)u
G(ro) 8 ~ -----
G (ro)s, + G (ro)u
(7.119 ►,
С учетом (7.l 16) можно теперь написать для ком1Плексного ко­
эффициента передачи искомого ф,ильТ1ра
1
к(i ro)0 = ----- exp(- i wt0),
(7.120};
G (ro)u
1+ G(ro)s, .
называемый rв литературе оптямальным фильтром Колмогораrва­
Винера п о имени двух выдающих·ся ма'Гем.ати,ко1в, заложивших ос­
новы ![8,.25] оптимальной фильтрации ,сиrчалов на фоне шум,ов и
СТ!рОГО ,полуЧИIВШИХ результат (7.120).
.
При t0 = 0 опт,имальлый фильт•р Колмо:горо,ва-Винера не реа -­
л,изуем, ибо его требуемую ам1плитудно-частотную характеристи,ку­
к (w) о нельзя ,получнть •схе мой, не содержащей реа:ктивные элем ен­
ты. Од,на11ю условия физической осуществимости (3.3) можно обе­
•спечить, выбирая в пределах ра·бочей полосы частот t0 ·больше ~па ­
мяти фильтра 'tпер ~пр.актическая длительность переход,ного !Процес­
са фильтра g(t)], ибь т,огда от,кл,и,к :на выходе фильт,ра не ,сможет­
определить воздействие [g(t) ;:::;,О при .t<to].
Проанализ:и,руем ,амплиту дно-ча.с·готную ха ра,~стер,истику най ­
денного филь11ра, Прежде ,всего, отметим, что в ,случае, когда ,спек--­
тры 1сигнала и ,помехи :н,е 1Перекрывают:ся, ,из (7.118) получаем
( \ _ { 1 ,при {u, П'ринадлежащей полосе, занимаемой сигналом ~,
К ffi10-
0 пр:и w в.не ;полосы, зан,имаемой ,сигналом.
315,

В эrом случае оптшмаль·ным оказывается идеалыный лоло-савой
фильтр (ил,и ФНЧ), ,полоса m·роттуокания которого ·совпадает с по­
..лосой, занимаемой ·сигналом. На ,выходе та,кого фильтра о:казы­
}Вае1.1ея ,сигнал, ~полностью «очищенный» от помехи. В другом край­
;нем случае, когда G(ш)s,=0, ;из ' (7.118) получим ~(ш)о~О. Таки.м
,образом, и ,в эrом случае получаем \Полное «оч1ищение» ,с,И1Гнала от
\помехи, ~пас,коль,ку ,сигнал ра,вен ~Нулю .
В д,ругих случаях, ~когда опекгры •Сигнала .и юомехи ча,стично
или полностью [Iерекрываются, оn-пимальный фильтр толыко ча­
стично ослабляет воздей,ствие по-
а) G((JJ~~
Cs((,})
мех. Достигае11ся это тем, что, как
flu((JJ)
следует из (7.118), для частот, на
1
которых G (ш)u/1 0 (,ш)s> 1, модуль
i) '----'----~ ---+---- коэффициента передачи фильтра
1
ш оказывается меньше 0,5 и ста-
.о)
[
нов1ится тем меньше, ~чем :больше ето
Хо(ш) 1
[
отношение. Для частот же, на iКoro-
1
J
i ,рых G(w)s,>G(,ш)u модуль коэффи-
:~:
ц,иента передачи больше 0,5 и тем
д5 ---~- -- --- -~
больше, чем больше отношение
О
1
1
ш G(ш)s,/0(,ш)u. Таким образом, оп-
l
I тимальный фильтр создает условия,
Д1
1
при ,которых .возможно большое по-
• 1/ 1(> rиi·!f. vш1
1
иs'' 1/ о~
,1• 1/
1
1
давление спек11ра помехи соттровож-
• дается возможно • меньшим lrюдавле ­
.нием (искажением) спектра полез-
.д
1
1 ~ нога •сигнала. На рис. 7.5а nр,иведен
1
1
случай, когда опектры сигнала ·и по-
?)
1
1
с
u;
1
мехи перекрываются. оответствую-
-
tCu((t})Ko(Ш) . [ щий модуль коэффиц·иента переда-
-
чи оптимального фильтра по.казан
о,
1
-
.
1
1
1 ш на рис. 7.56. На рис. 7.5в и г приве--
:Рис. 7.5 . Энер,гетичес:кие с-оот ­
ношеН,ИЯ в линей-нам фильтре,
оптимальном по ,Колrvюгоро­
ву~Винеру :
μ, ) энергетичеокие апектры сиг­
• нала и ш у~м а на ,входе фильт­
ра; б) а-м:пл.итуд:но-'Ча:стотная
характерис11ика
фильтра;
в) энерге11ичеокий опе<ктр ,сиг­
нальной составляющей на вы ­
ходе фильтра ; г) энергетиче ­
ский опект р ш ум овой ооета.вля­
ющей н а выхо~е фильтра
дены спектры сигнала .и шума ,на
выходе оптимальноf'о фяльтра. Со-
1rюставление этих рису,нков ,создает
наглядное представление о ра6оте
оптимального фильтра Колмого:ро­
ва -Ви нера.
Результаты оптимальной филь­
трации сигнала на фоне , nом,ехн
свидетельствуют о пользе ·лерера-с­
пределения (предыскажения) мощ­
ности сигнала на передаче пря по­
мощи соответ-ст.вующего фильтра,
, r1ри котором учитывалась бы форма энергетического :спектра ~поме-
хи (т. е. поле з но ·концентрировать м-ощность сигнала по [Iолосе об­
ратно пропорционально ·интелсивно·сти помехи). Чтобы :при воспро ­
изведении полезного сообщения в такой системе не ,было ,иекаже-
316

t1ий, на приемной стороне .необходим корректи.рующий фильтр с ча­
стот,1-юй хара,ктерипикой к(i•(i))2, обра1шой хара'Ктеристике фильтра
на передаче ю(j,(!))1 (к(iw)2 = a/к(i(t))1).
Выше 1ра,осмотрели ·вопрос о ,си:нтезе линейного фильтра для-наи­
.11у чшего (IВ смысле м.инимума средне1\iвад,ратич1ной ошибки) !Выде­
ления сигнала неизвестной формы, .но ,с известным энергетиrчеоким
спектром G((t))s, :На фоне аддити:вного стационарного шума. Здесь
ра,осмотрим вопрос о 1синтез,е линейного фильт,ра ,с постоя1нным,и
па·рамет.рами, обе.апечи.вающего ,на фоне «бело.го шума» наиболь­
шее возможное отношеНlие пикового значения мощности ,сигнала
и звестной фо.рмы :к ,сред,ней •мошJiосги шума. Такой филь'Г!р назы­
вают согл.аоо•ван:ным ,с ,сигналом. Некоrоiрые его хара'Ктеристики и
применения ~были .раосмотрены в [Iредыдушей гл.аве.
Найдем ча1сто11ные ха,ра1ктеристиюи еогла100,ванного фмлыра.
Пусть :на !Входе фильтра дей,ствует смесь 1си1гнала s' (t) изсrзостной
формы {с комплексным спектром по Фурье S(iw) =S(,(t) )expfi0(ffi)]}
и флуктуационного «белого шума» со ,спектральной 'ПЛОТ!ностью
мощности на положитель:ных частотах Gш. Обоз,начив ком,плек1с ­
ный коэффициент 1Передачи ,искомого линейного ,фильт:ра чеiРез
к(iffi)o = к(1ffi)oexpi[icpo(ffi)], можно написать для полезного •сигнала
н а ,выходе фильтра
00
s(t)вых = JS(ffi)K(ffi)oexp{i[ffit+0(co)+cpo(ffi)]}df.
-00
Средн яя мощность шума .на ,в ыходе фильтра
00
Ршвых= 0
21!!.. Jк2 (ffio)df.
(7.121)
-оо
r
Пусть ма,к•симальное значение (.пик) лоJ,ез.ного ,сигнала на ~вы­
ходе фильт ра 1Iюлучает,ся в какой-то мо.мент 5ремени to (который
м ы за т ем уточнrим). В момент to
"'
s(t0)8ыx = ~ S(ffi) к (ffi)o ехр {i [(t) to + 0 ((t))+ ср0 (w)]} df.
(7 .122)
-оо
Отношение ,на выходе фильтра пиковой мощности сигнала к
с редней l\ющност,и п ом ехи
1
00
12-
fS(w)к(w)0ехр{i[wt0+0(w)+<р0(w)]}dfi
-оо
1 .(7.123J
со
GшJ
2- к2(w)оdf
12 = 1s (tо)/;ых
Рш вых
Найдем теперь характер.истику к(i•ffi)o=к(w)oex.p[icpo(ffi)], об1ра­
щаюшую iПравую часть (7.123) в маrкимум, т . е. характеристику
317

оптимального фильтра. Для этого воопользуем,ся из-вестным из .ма-
1емати1ки нераве:нством Бу,ня,ковского - Шварца (29]
(7,124)
которое ,геометрически можно толковать та.к: модуль скалярного
произведения двух 1вектор0,в (~k) = 11~111 ~211 ,cos ер меньше или ра.вен
произведению норм этих •векторов (это очевидно, так как ·cos ер~ l,
ер - угол между векторам .и). Равенство в (7.124) имеет место при
.....
.....
со.впадении ве~поров f1 ,и f2 по направлению.
Пр.именяя (7.J 24) ,к числителю пра,вой части (7.123), имеем
00
00
'
SS2 (ro) df Sк2 (ro) 0 df
I ~ ,;;;; -_оо________
(7,125)
-00
где Е- э,не,р:гия сиг.нала на выходе фильт1ра, а Рс = Е/Т - его сред­
няя МОЩНОСТЬ.
ОтношеН1ие сигнал/помеха г2 достит,ает ма1ксимума:
r;ax = (~)
= 2h2 = 2РсТFк = (Ре) 2FкТ (7.126)
Рш вых тах
Ош Fк
Рш вх
( Рш ~х = GmFн - средняя мощность шума на входе)
-
тогда, когда
правые частя в (7.123) и (7.125) будут равны, а это имеет место
;шшь при :выполнении условий
ro t0+0(w) +ep0(ro) = 0 или (j)o ((!)j = -0(ro)-roto}, (7.1 27)
к(ro)0 = аS(ro)
где а - произвольный ,коэффициент.
ТаК,ИМ об~разом, комплЕж1сный 1коэфф.ициент передачи оптималь­
ного {оогла,оованного ,с сигналом s'(t)] фильтра
к(iro)o=a S(ro)ехр{-i[0(ro)+ro t0]}=аS*(i w) e-iro t,,
(7.128)
где S* (i,w) - ко.мплексно-соrпряженный •опектр ,вх,одного сигнала.
Как 1пО1казано в па·раграфе 6.6, частотной хара.ктер.истике
(7.128) ,соответствует импульсная пе,реходная ха,ра,ктеристика
фильт,ра
(7,129)
Также было :показано, что юоглаеованный фильт·р реализуем
для ограНiиченных ,на .интервале Т сигналов, если выбрать ,t0 ~ Т, а
также то, что характерная особенность такого фильтра - от,сут­
ст,вие ,сигнала на выходе ~пр.и t~to+T.
318

В :с0отв етствии с интегралом Дюамеля ,си гнал на выходе сог­
ла сова,нного фйльтра в любой момент :В'ремени 1п,ри подаче 1в мо ­
мент времен.и t=O воздействия s' (t) оп,ределяется оо от1н ошением
~
t
s (t)вых = а Jg~(x) s' (t-x) dx=a .\ s' (х) s' (х - Н- to) dx=aB5 , (t-ta).
-С,,
о
(7 .130)
т. е. с ·ючностыо до постоянного множителя 1п~ре,I1!ставляет ,собой
•(функц.ию .автоко.р·реляции» входн.ого сигнала, дост,игающей мак­
симального значения (пИlк) ,при i = ta .
Для многих важных п,р1ИJюжений ооглаоо,ва,нных фильтров (или
соотве-гствующих им корреляционных ~схем, ,см. паратрафы 6.5, 6.6)
важно, чтобы ,выходной полезный сигнал 'Имел доста"гочную пюнцен­
трацию 1во в~ремени, другими слОiвами, ч11обы ширина «автокор,ре­
ляционной фующни» 'СИ['Нала 'tн была бы достаrочно узкой.
Из1вестно, что ,время 1rюр,реляции тн обра'I'но :пропо,рцио:налыно
шир,ине спектра 0I<гщ1ла Fн:
(7 .131)
~де с - константа.
Следовательно , достаточно узкий пик выходног,о ,сигнала 1) ·воз­
м ожно получить, только используя достаточно широ1юполооный •си­
гнал.
Есл1и ~одулирующий оrгнал b(t) (,со.общение) ,11 1шналь:ный •си­
г нал s'(t) имеют одинапювую длительность Те, то базы эт,11х сиг­
валов относ ятся между ,собой, ка ,к :их полосы:
B,JBc = Fк!Fc = Кр,
(7.132)
где KF - - параметр , характеризующий избыточность модул .яции ( 1по
занимаемой полосе частот).
Этот же параметр определяет отношение дл,итедыюсти ,сигна ­
ла Те на входе и выходе 'tн согла·сов.анного фильтра, 1ко11орое :назы­
в ают коэффициентом сжатия сиг:нала во ,времени:
(7.133J
Ка'к в.идно из (7 .126), пиковая мощность сигнала н а выходе
согла,сованного фильт·ра при заданных от.ношениях сигнал/mомеха
:на его входе ,и веm1Чине Fc тоже ,пропорциональна 1юэффици,енту
KF = Fк/Fc.
1) Чт,о существен,но с точ1ш з.рения увеЛ'ичення разрешающ ей спос•обн остJJ
пр · иеrм,нJJка во времени точ н ости О'Гсч ета меток времени в месте приема по при­
нимаем,ам у оигналу, например : решение нопрооов взанм,ноrо фаз11·ровюшя (син­
хро1Н1изации) передающих и прием,ных устр·ойств системы связ11, увеличение точ ­
ност и :выявления радиолокационной цели, разделение сиг на лов отдельных лучей
в условиях многолуч·еrвопо лрrне.ма и т. п.
319

Оказанное 1Выше весьма ценно для ~практики, так -ка,к оказы­
вается ~возможным увеличить ,длительность ;сигнала на передач е
Т с для увел1ичения энергии сигнала без потери ,разрешающей спо­
собнос'Fи пр,иемника, которая определяется длительностью сиг на ­
ла на выходе ·согласооа:н:ного фильтра т:н= Tc!KF .
Следует ,иметь в 1Влду, ч-го, :поокольку аmпаратур-ные ,соображе­
ния огранщшвают ма1к,симальные (пиковые) значеНlия мощности
сигнала на 1пер-едаче, !Значительно проще - rrювыоитъ энер .г,ию ,сиг­
пальной посылки, удлиняя ее и юохра,няя ,при этом большую ~ба.з у
сигнала.
В цра1ктике радиоприема очень часто вместо оJПтималь·ных (со­
гласованных) иоrюльзую11ся так называемые к вазиоптимальные ли­
нейl-lые фильтры, форма ча,с11отных характер1и1спы< :которых за.ранее
задана и максимум отношения ,сиг:нал/шум .в 1юторых обеспечива­
ет•ся лишь соот:в-е11ствующим подбором шир,ины полосы про1пу,ока ­
ния фильтра. К::в.а.злоJП11имальный фильтр впервые исследовался
В. И. Сифо·ровым 1[44], ,коrорый ,рассматривал .прохождение одиноч­
ного ,рад.иоим1пульса с прямоуголь·ной о,ги6ающей через идеальный •
полооовой фильтр с ~полосой mропускан.ия F на фоне поме)GИ '~ипа
«белого шvма».
Воспол'ьзовавшись ф-лой (7.123), В. И. Сифоров показал, что
п ри F = 1,37 /Т отношение r2 достилает максимума , ·рав,ного:
r2
= О82•2h2•
niax
'
(7 .134
Сравнив (7.134) и (7.126),мож1новидеть,чтопри приеме о~иноч­
ною импульса энергетический ,выигрыш оnтима J1ьного фильтра по
сравнению с квазио:птималь,ным невелю, (не .превышает 1 дБ). У
реальных фильтров амшштудно - ча •стотная характер,истика имеет
не прямоугольную форму, а чаще всего приближает;ся ,к гауосо,вой
(нормальной):
_к_(w_)_ = ехр [ - а (ffi-ffio)2 ], /
к (w)тах
(7 .135)
где wo - ·средняя частота в ;полосе про1пуекания фильтра, а · -
ПОС1'0Я'Нlная.
РадиоиМ1пуль,с в реальных ус.тювиях .имеет таюке не строго ,пря:­
~1оугольную, а более плавную огибающую, •близкую в ряде случаев
h гауосовой к,ривой:
г(t)=И0ехр [-а(t-т:0)2],
(7 .136 )
где то - точка, соот,ветс11вующая ·середине имп у льса.
Указа•нные обстоятельства еще более прJ16л:ижают кваз,ноtrти ­
м а.льный фильтр к оптимальному.
На самом деле, легко IПОI<азать, чт;о ,радиоимпуль,с с гауооовой
огибающей. (7.136) имеет также и г.ауссо:ву форму амплитудного
опектра
S(w)=сехр[- (w- wo)2l.
4а; J
(7.137 ).
320

i-Io в этих условиях амплитудн,6-ча,стотная хара,ктериётиkа
-
(7. 135) является для 1сшнала вида (7:137) оп'Гималь~ной (:при •под­
боре ,коэффициента а, т. е. ши·рины гау,с,соной .кр,ивой).
Та·ким образом, IП,ри ,приеме одиночных ,р.адиоим,пуль,сов в~полне
допустимо ог,раничиться к,ваз~юптимальнQЙ фильТ1рацией. Положе­
ние, одна 1ко, существенно меняе11ся, если надлежит пр.инимать ин­
формационные им~пулысы, ,сJ1едующие дРУ'Г за JJ.ipyroм с таким ин­
тервалом, что при иопользо·вании ·,квазиоптимального филь11ра (или
иных обычных фильтро,в) переходные п-роцессы не успевают зату­
хать на этом интервале.
В этих усло·виях, ,когда фазо-вая хара,ктеристика фильтра .и,г­
рает ·решающую ~роль, качес ·гво !Приема с квазиоптимальной филь­
трац,ией рез·ко ,падает, в 110 .время как !При 1иопользовании- ,опти­
мальною филь11ра ·качество остается прежним, та1к ,ка•к (это уже
отмечалось ·выше) его фазовая характеристика такова, что •сигнал
на его выходе ,концент•рируется .на ограниченном ,временном и.нтер­
R.але.
Контрольные вопросы
1. Какой линейный фильтр называют опти,маль,ным по среднеювщд,ратичному
~,ритеР'ИЮ или по Ко.mм,огорову-Винеру?
2. Ка* .. объясн.ить требование линейности фазо-ча,сто11ной хара,ктеристики та;1юго
филь1>ра и характер · eno а,мп.mитуднrо -ча,стотной характеристики?
З. Ка·ково о1'ношение сигнал/шум на вых,од,е согла,сов-анног,о с сигналом извест­
,ной фор.мы линейног.о фильтра и во сколыю раз оно превышает отношение
сигнал/шум на вхо1де фильтра?
4. Чем объяснить, что разрешение сигналов во времен.и (коэффициент сжатия
u-1мп ульса) про'П'орцио,нально его частотной ,изб ыточ,юс1'И (параметру
J(p=Fн/Fc)?
5. В как их случаях .кваз.июптималыные и с-огласованные ли,нейные филы,ры обес­
печивают при мерно одинаковые отношения сиг,нал/шу,м ,на своем выходе и в
,каких сл,учаях каче :1'во ювази,оптлмалиюй филыращи,и рез1ко . yc'J)ynaeт каче­
ству с огла,оованной фильтрац,ии?
7.6. ЭФФЕКТИВНОСТЬ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ СВЯЗИ
· Срав нение
неп,рерынных систем ювязи между ·собой •по эффек­
ти,вност,и может быrь выпол ·нено, ,вообще говоря, различным обра­
зом. При эт,ом здесь .имеем в iВИду системы •связи, передающие од­
ни и те же непрерывные ,сообщения, но отличающиеся ,опооо'6ом мо­
дуляции л детектирования.
Объективных методов сопоставления непрерывных систе,м ов я­
зи , ,передающих со-общения различного вида, нет.
Фикси,руя О1'Ношение ,сигнал/шум на выхо,де приемника и, сле­
довательно, пр·и о:предеJrенных усJювиях и 'к,ачество овязи, можно
оп,ределить энергетиче,окий выигрыш (про1щрыш) перехода от i-й
к j-й системе:
'l']i/ifдБJ = 101gh7/h7 при(Рс/Рш)вых= const,
(7.138)
где hf = ( Рс/Рш вх)i -отtНошение ·си•г,нал/шу:м 1на вхоsде прием,нИ!ка
для i-й системы.
11-386
321

Очевид,но, что характеристику 'УJщ можно выразить .и ~е.рез кое:
эффициеlНты •выигрыша системы мод,уляции g;(g~), 1раосмотренные
'
в параграфах 7.2 - 7 .4:
(7.139)
Бсл1и в ~качестве i-й :взять систему , непосред:сТ1Венно передающую
• первичный •сиnнал , (~без • модуляции), то для
нее (Ра/Ршвых)i=
=(Рс/Ршвх)iИ gi=l . Тогда 'Yli;;[дБJ численно оnределя-ется величи­
ной gJ в дец,ибелах .
В табл. 7.2 сведены З.\fачения 'Yl;!i[дБJ = 10 lg g J, характерцзуIQ-­
щие энергетическ,ий вьшr1рыш 1разл1ичных систе.м ;модуляц,ии ,ГLри
передаче речевых ,сообщений (П~З;, F0 ~3000 Гц).
71 im11вJ .
.•
Вид модуляции
71 i!i[дБ]
АМ
1-101-13
БАМ
1
3
ОБЛ
1
оо
ФМ
1
19
7,5
ФИМ-ОБП 1 22
10,5
АИМ-ОБП 1 11
1
0,5
КИМ-ЧМ
23
11, 5
Кс;
[при (~)
= 5000]
Рш вых
37
.
-
=О394
94
'
37
.
-
=
О 545
68
'
25
-
=
О 139
180
'
25
265 = 0,095
25
265 = 0,096
37
-
=
О 189
196 '
ТАБЛИUА 7.2
Примечание
=2
1
KF =2
1
KF=1
1
KF=14
1
KF=14
1
KF=14
KF = 14; n=7; r=l
щелчок
Рдоп=1- - .
-
мин
Ка,к ·в.ищно ·из табл. 7.2, наибольший энергетический ,вьшг,рыш
при заданной ,верности обещают •системы КИМ. )Пр1и:ведевное ,срав­
нение не являе1'ся однако, дО'ста110Ч:но объе1кт,и1вным, ,в ча,стности,
оно :не учитывает эффектиишость иопользов,ания ,системой 0анимае-
мой полосы частот.
•
Поэ11ому ,Пiреi!!.•Ставляет,ся ц-ел-еооо~бразным, ка~к и для характери­
стиюи д.исж.ретных систем, ,ввести лр·и сравнении непрер ы вных сис-
з.22

тем ,в качестве ·по:казателя обоб щ енный э.нергетический •в ы игрыш:
(проигрыш) 1перехода от i - й к j - й ,системе:
•
( h~F";) (Ре)
t
'lli!i[дБJ=10Jg - - -
;-_
=cons.
_
h1 Fкi
Рш вых
(7.140)
Пока'Затель 11;/i [дБ] можно выразить чер,ез .обобщенный :выиг-
рыш_ си,стемы модуляции g; , ибо
-
,
*.
=101 (gjF"i1 = 101 .!.L.
'Y]i// [д Б ]
grр .·::
g,
gi кI
gi
(7,141)
Если в •качес11ве i-й взять систему, ,непо·сред,ст1Венно ,передаю­
щую -пе,рвичный юигн,ал" то для нее Fкi = Fc и g; = 1l и тогд,а ri;1i [дБ]
численно определя,ется !Величиной g 1 в . децибелах. Значения 11 ;//дБ
для ·различ,ных .систем ,м.одуляции 1пр.и ПЕ'!редаче рече1Вых сообщений
также •сведены в табл. 7.2 . На,иболыший о·боб щ енный э1нергетически~
выигрыш о•стается за ·систе.мой КИМ.
Обратим .внимание на то, что та~кие •системы, ·как ФИМ ·ИIЛИ ФМ,
ха,ра,ктер,изую11ся при з•адан.ной ,вер1ности энерr"ет~ичеоки.ми показа­
телямrи, близкими ,к си,стеме КИМ. 0Д'на,к,о если различ·ные 1си,стемы
модуля,щш сра,вни.вать м·ежду собой ,в усло·виях :передач1и непре;рыв­
ных •соо·бщений .на дальние раос11оян,ия !ПО•средс11Вом реТlрансляции
на 'П'ромежуточных ·пунктах, то ,преимущесТiВо КИМ ,станет неос­
поримым. На самом деле, при ~опустимом уровне шумов в 1Ка;нале
в системе КИМ 1При каждой ре11рансляц-ии в.се кодовые •символы
принимаются безошибоrчно л ,на,ко~nления шума нет, ,в то время •как
в •системах ,с •нелрЕ'!рывной м,одуляци,ей ('в том чи•сле ФИМ ,и ФМ)
шумы, 1п·оявляющиеся 1п~ри ·каждой ретрансляции, ,суммирую'I'ся.
Энерr-етичеокие показатели непрерывных ,си•стем •связи при за­
да,нной ,вер1но·сти не пол,ностью хара,ктеризуют их эффект-ивность.
Ун1ивер,сальная характеристика эффектив.ности систем :переда­
чи ·нелре,рывных сооб щ ений выражается 1коэффиц·иентом использо­
вания j~й ,си,стемой п.ропу,ск,ной спо с,о~бности 1негiр~рыв1ного канала.
Когда и•сточник и канал гау,осовокие и 6ез 1Памяти, то
Fcjlog[1+(pPc)
.]
-
Cci
ш вых1
Ксi=
-
= ----=- - -' - -= --' -="'-'-'"- --
с Fкjlog[1+(~)]
.Рш вх/
(7.142)
На,помн,им, что числитель в (7.142) определяет rl'ропуокную ·оn:о­
собность •си,стемы Се (расширенно·го канала) IП·ри УСЛОВ'И.И, что шум
воспрои'З•ведения сооб щ ения можно сч11тать нормаль.ным. При
(Рс/Рш)вх» 1 и ,гауосо.вом канале Э'I'О оправедливо для 1Всех си,стем
с прямой модуляцией, включенных в табл. 7.2 . Ои•стема КИМ это­
му услов,ию ·не удовлетворяют, ибо в ней шум восцро.из1ведения
(к,вантоаз,ания) пола·г али (см. па,раг,раф 7.2) равномерно ·распре­
деленным. Посколыку iПри равномер:ном шуме ,с той же •оредней
11*
323

мощностью, что у ,н,ормалыноr,о шума, проiпу,скна,я 1опосО'бность си ­
стемы Се может лишь возрасти, ф-ла (7.142) дает для 1системы
КИМ ,несколько за-нижен·ный пока-затель Кс.
Сравниiм 1оистемы, предста,вленные в табл. 7.2, 1при одинаково й
верност.и, о,пределяемой в-еличиной (Рс /Рш)вых = БООО (37 дБ) .
В Э11ИХ у,сл,ов,иях (Рс/Рш)вх» 1 'И МОЖНО· 'Написать
FejlOlg( Ре) .
Рш вых1
Кс i = -----~-~-
-
- ---
--
-
-
--- -
Fкi1Оlg(Ре) . КFi[1- __!0
- ~=g=g~i-1
'
Рш вх1
!О lg (-с)
•
Рш выхi
К [!- rJi/j[дБ]]
Ff
37
(7 . 143)
При заданном коэффициенте избыточно1сти IПО ,полосе ч а стот
/(р си-стема т-ем более эффек11ивно иопользует про'пуокную способ­
ность ,ка,нала, чем больший энергетлчес;шй выигрыш 01на обеспечи­
вает . Да,нные, -сосчиташные 1п-о Э"ЮЙ фо:р'муле , сведены в та,бл. 7.2 . И з
табл. 7.2 ющно, что:
1
•
а) ,системы связи с большой избы-гоч,ностью ;rю ,занимаемой по­
лосе ча-с1'от KF>>'1 значит-ельно хуже и·опользуют ,пропу,скну ю спо­
собность канала, чем уз,кополосные системы;
б) из сравни,ваемых ши·рокополосных ,систем -система КИМ об•
ладает наибольшей эффектив,ностью, ибо она наиболее выгодно об­
мени,вает полосу ча'стот на u1омехоустойчивость;
в) ,ои·стема ОБП (или ,система с не:по.средственной передачей
сообщений) хара,ктеризуется предельным значением показателя
эффективности, ра:вным 1, ка,к в идеальной ,си-стеме (1При оптиы аль­
ном ко\l!,ировании). Однако, в отличие от последней, в-ер-ность пе­
редачи ,оообщений в системе ОБП ог,раничена и существен·но ·ниже
(в области больших ·отношений юигнал/шум) ,; чем в системе КИМ.
Ис·ючник.и непрерывных сообщений ,в ,с,вязи характеризуются
очень большой избыточностью. По этой mр'ичине коэффициент эф­
фе-ктиrвности -си1ете:м ,свя1Зи К с ,не характеризует еще эффе'Ктивно,сть
передачи информации источника mo каналу. Пр1-г м,алых потерях
информац-и,и ,последнюю можно характеризо·вать коэффи;циентом
Кп=Кс(l-ри) 'Jtсм. ф-лы (4.109) И (6.129).J .
Контрольные вопросы
1. Как определяются при _ заданной верности энергетический выилрыш rJ ;! ; и
обобщенный энергетический выигрыш 11;/i для непрерыв,ных систем связ-и?
2. Ка.к эт,и показателIи овяза ,ны с по•казателя,,ш выигрыша g и обобщенного
,выиг.рыша g' ои,стемы м,одуля•!JiИИ?
.
3. Чем объя,он1ить высокие энергетические по~азатели си,стемы КИМ при пере­
даче непреры1Вiных оообщений?
4. Как объя,снить низ,кую эффективность н,е,прерь~ных систем овази е большой
избы:г.ач1юстью по занимаемой JIMИ по.1юсе ча,стот?

,8 ГЛАВА
Методы
u
уплотнения линии связи
8.1 . МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СВЯЗИ И ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ЛИНЕЙНОГО РА3ДЕЛЕНИЯ СИГНАЛОВ
Существующие :и пр,оект-щруемые ,системы ,свя•зи являю'Гся, как
пра,вило, м1-югоканальнымu, т. е. в них ,по од,ной физической линии
путем ее уплотнения передается .большое число неза1виоимых сооб­
щений. Это естественно, та1к ,ка:к л.иния ,с1вязи - дороюстоящее оо­
оружение и ее нужно использовап, наиболее полно; а по11оки ин ­
фо:рмац;и,и от разл,ичных ,источников, подлежащие !Передаче, непре­
рывно :возра,стают. Много.канальная !Передача информации хара1к-
1ерна практически для всех ча•стотных диапазо.нов ~проводной, а тем
более .радиосвязи: для систем радI;Iотелеуправления, радиотелемет­
рии, радиорелейных л1иний овязи, радиотелеграфии .и пе,редачи дан­
ных.
За лоследйие годы, в частности, оч,ень большое развитие полу­
чают .м,ногоканальные системы передачи ,цифро.вой (дискретной)
информации от •различных ис'Гочников по су ще-ст,вующим каналам
проводной и радиотелефонной овязи.
УПJ1О'Гнение сущест,вующих ка1налов -св.язи ,с заданной пропускной
опособностыо С независи,мыми источникам.и, ·индив•идуальная про­
изводительность которых Н~ (.k= 1, 2, 3, ..., п - число :источни­
I<Ов уплотнения) существенно меньше С, я-вляется расцростра1нен­
ным способом повышения эффект.ивности 1с-вязи. Это объя,сняе'Гся
т ем , что сум1ма,р,ная производительность воех .истюч:ниаюиз
п
(8.1)
k=I
может оказать,ся уже близкой (но ·не должна, разумее'Гся, ,превос­
ходить С :в силу основной теоремы ко~.иро,ва1ния К:. Шеннона) к
пропускной способности канала. Необходимо, однако, иметь в ви­
ду, что в •реальных системах овя.зи, чтобы не ·слишк,ом усложнить
и удорожить устройства кощ1ровалия и декодирования оообщений,
доля об щей пропускной способности канала, лриходящейся ,.яа k-й
источник, все же превышает Н ~ •В 1неоколь,ко •раз.
12°-3-&6
3~5

Уплотнение одного :канала связи с большой пропускной опособ ­
ностью С особенно эффекти-в,но :при передаче на очень -большие :ра,с­
стояния (~в пределах земли или :космоса) ~больших потюк:ов :неза­
висимых сообщений, ибо ,строить в этих усло,виях большое 1(0ЛИ­
чество неза!висимых каналов с малыми пр-опусК!Ными ,опособно,стя,ми
экономически ·крайне невыгодно .
В качест,ве примера допустим, что ,весьма 111ротяженный ~ка на л
овя зи :с общей проп у скной споообностью С= 10 ООО дв.ед./с уплот­
,няется n= 100 канала.ми, по ,~оторым :передается инфо.рмация от­
ста;ртстопных телеграфных аппаратов с ,произiВодит,ельностью
Н~ =50 дв.ед./с. Пу,сть ка1н.ал той же протяженностью , но предна­
значенный для передачи ,информации одного телег,рафного аппара­
та и ·имеющий пропускную С1Пособность 100 дв.ед./.с, ст6iит .в 4 ра­
за меньше. Нетр удно видеть, что ,в указанных условиях стоимость
передачи 1 д:в. ед. информации в ,секунду в уплотненноrм 1каrнале 1&
25 ·раз меньше, чем в ,случае использ ования для .каждО['О ,источни ­
ка , свое['о канала.
Уiплотняются кшк ди,скретные, так и непрерывные ,системы свя­
зи. Существенная особенность м11:югоханальных систем ,связи - на­
л,ичие ,в них блока, уллотняющего Jшнию связи на передающей сто­
роне, ·и блока, разделяющего отдельные каналы на приемной сто ­
роне.
Общая идея уплотнения ли.нии связи м·ного,ка;-1альным сообще­
нием ,схематически ·поя,сняется ,рис . 8.1 . Индивидуальные сигналы
1-fi
lltlТIOЧffUK
сооощенай
2-fl
11стжч1111к
соа щenaiL
п-и
11сточнш
C0OOЩC!fllti
lfoi!ep
и
11оi/улятод
/foi!ep
а
иоilулятор
Линия
сбяш
t1tсто11ник
aiJ(JшпuiJ-
11ыx ПОМВХ
г----
iАппаратура1
1разОе.ле1111я 1
1
i
1
1
1
1
1
1
1
1
Де110O11лн­
тор 11
i!екооер
Рис. 8.1 . Стр,уктур-ная схема мноrока.нальной системы с ;уплот­
нением линии связи
sk(t) (k= l, 2, 3, .. ., п), , соответ ,ст1вующие ,сообщения.м отдельных.
ис·ючников, объединяются в бло,ке уплотнения и образуют ,сум'Мар ­
ный или груюповой .сигнал sI- (t), кото·рый и передается по каналу.
В системах далыней ~проводной и радиоовяз·и груntJювой сигнал , ка1к
пра,вило, до ~подачи ;в rканал преобразуется 111р.и помощи допол,ни ­
тельной ,модулят.!,iии того ·или ,ино,го ;вида ,в линей,ный сигнал . В ие~
326

сте приема он ,во,сстанавливается после первой демодуляции. В ме,­
сте приема ,су,ммарный 1сшгнал (,сигнал всех ка'нало,в + помеха)
посту~пает на у,ст,ройство разделения канало1В (ко11орое чаще всего
оодержит п отдельных ·блоков), а затем •сиnналы отдельных кана ­
.r:юв поДiвергаются индив.иду,аль:ной обработ,ке (демодуляции 1и де­
кодированию) . При отдельных ,видах уплотнения функ,ци:и разде­
ления каналов и. обработки инд'ИIВ'идуального сигнал.а выполняю11ся
оовместно .
По ,опоообу образования гр у~ппового сиг.нала sJ:.(t) из iИНJr;и,ви-
дуальных си1г,налов s11,(t) (k= 1, 12, 3, . .., п), определяющего также
и :принц, ил •разделения 1каналоrв на приеме , системы уплотнения де­
лят на :ра здельные, .комбинационные и смешанные .
В разделыных ,системах у~плот,нения групповой ,сигнал sJ:.(t) об -
разуется пут,ем линейного сложения индивидуальных сиг-налов
п
(8.2)
k=I
Для 11оло 'Ч'Гобы на приемной С'ГО)ЮНе можно было раздел.ить -си­
гналы отдельных J<аналов, необходимо, чтобы они раз личал ись ме­
ж,ду 1ообой по какому -то 1признаJ<у, а разделител.и могли бы осуще­
ствить .разд,еление !На осно,вании этого ~признака. Наиболее .распро ­
страненными на :Практике я1вляют,ся 4 опоюоба линейного разделе­
юrя мно г-окаш.альных сигналов, 1ко то1рые рассмотрим ниже: по ча­
сготе, по в,ремени, .по фазе и по форме сиг нала . Иногда иопольз у­
ют,ся нелиней.ные схе:мы раздел ,ения J<анальных сигналов по :их уро­
вням.
Очевидно, что для k-го ,индивиду ального канала сигнал ы ,всех
остальных каналов (1каJ< и аддитюзный шум) в (8.2) пред1ставляют
собой 1помехи. Их называют ~переходными . Пр:и большом числе :не­
за,виои,1ых каналов у1Плотнения переходный шум имеет характер
нормального флуктуационного шума. Совершенная ~схема •разделе­
ния должна их све,сти к минимуму. ~Заметим, чrо !Переходную !Поме­
ху нельзя умень шить по·вышением мощности ,сиглала, ибо это ,по ­
влечет .за ,ообой ,и р,ост мощности [!Омех.и.
Сйстемы раздельного уплотнения ·применяю11ся для передачи
как диск,ретных, таrк .и непрерывных оообщений. Они нашли пре­
и,мущественное применение на пра,ктике в1в1иду простоты образо­
вания ханалообразующей а1пюа1ратуры.
Ком,бинационные -системы уплотнения применяются для мноrо­
ка1наль:ной передачи диокретных ,сообще1ний. В этих еи,стемах ни
групповой сигнал sJ:. (t), ни его отдельные ющраметры ·не могут счи­
таться ,суммой ,ин-ди,в,идуальных сигналов. Групповой сигнал зде-сь
определяе11ся совокупностью оочет,ан,ий символов в инд,ивидуальных
каналах. Существо ·ко.мбина,цио1нноrо меrода уплотнения :и его реа­
лизаци.и рассмотрим ниже.
В смешанных системах: у~плот нения дискретные сообщения пе­
редаются посредством .со,вместного иопользо,вания раздельных •и
комбинационных 1П1ринципов уплотнения.
,1,2°*
,3"2?

В · зависимости от возможности доступа индив.иду.аль-ных 1юр­
ре,спондентов (источнико;в) в упл отняемый ,ка,нал ·связ•и •системы
уплотнения делят на синхро1нные и асинхронные.
В :синХ;ронных ·си.стемах уплотнения •инфо·рмац,ия от отдельных
ист,очников 1переда ,ется с одинаковыми или кра11ным,и скоростями
и строго соблюдается смена нач.ала и .конца элеме.нтов ·сигнала,
длительность 1юторых ·одина1кова. Успехи техн.ики частотной и фа­
зов-ой стабилизации ·и взаимной синхро.низадии колебаний делают
синхронные си•стемы уплотнения весьма ,перспекти ,вным ,и mри пе­
редаче дискретных сообщений. Передача дискретных ,сообщений от
несинхронных .источников через синхронные системы уплотнения
обычно осуществляется при помощи согласующих устр ойств 1на •пе­
редаче .и пр ·иеме.
В асинхронных системах у плотнения отдельные источни11{;и •име ­
ют отно.сительно свободный до.ступ в ка,нал, скорость выдачи ин­
формации может варьироваться в широ!{;ИХ ~пределах, отпадает ·не­
обходимость в устройствах согласования с упл отняемым •каналом,
резко понижаются требоrвания частотной стабильности. Од:на ,ко
асинхронные системы уплотнения менее эффекти,вно используют ча­
стотные и временньrе интервалы, отведенные для ,овязи.
О з накомимся теперь с основа.ми теории наиболее .ра,спростра­
ненного линейного разделения (селе1щии) сигналов, начало кото­
рой было полож,ено в 1935 т. работами Д. В. Агее,ва i[l].
'
Эту теорию проще всего изложить, польз уя.сь геометрическим
пред:ставлением •сигналов (помех), ограниченных на интер,вале
0-Т, ,ка,к точе,к (,радиус-векто•ров) •в м1ногомерном (беск,онеч1но
ме,р,ном) линей·ном .пространстве Л (,на·пр1имер, Ев,клида R2 rили
Гильберта L2). Реализации группового сигнала s:r, (t) можно пред-
:тавить векторами (точками) s z в этом пространстве (рис. 8.2).
flpocmpa11cm80 11
1 Элементами этого пространства яв-
~t~~t1:о;л,
л
ляются также векторы (точки) реа-
,,, '/
,,,,,,,
1
лизацтrй индив,идуальных каналов
_,,,,,,
t
Sн . Поскольку в ходе передачи ин-
,,,
I
!lоОпрос- ф
,JcSeJ·
s, 11
тра11стnол1
ормации меняются отдельные реа-
/
_ ,,-,
лизаци.и индив.идуального канала,
сиг.налы lf-гo канала будут ,пред­
ставляться не одним векто,ром, а со­
вокупностью ,векторов, об:разующих
подп,ространство Лн (k= 1, 2, 3, ... ,
п) общего пр,остранства групповых
,сигналов Л. Э1'и rпод,п[р,остранства, в
ча,стности, могут совrпасть с коорди­
•натными ооями пр,ос-гра~нства Л
(рис. 8.2).
Рис. 8.2 . Геометриче ское пред­
ставление реализаций ,инди,ви­
дуальных и гру,ппо·вых сигна­
лов в линейном простра ·нстве
Гильб ерта
Для разделения оиг.налов, принадлежащлх разл.ичным ка1налам,
подпр·о•странства Л1,, \дОЛЖ'НЫ бы1'ь неле1р,е,секающимися. Др~•гими
328'
/

с.i:iбва.М;и, .:в,се (ненулевые) векторы s" д!Олжны лежа:;1 в поддро­
сТ1ран1стве л" и 1ни 01дин ,из 1них .не до1л1жен попа•сть 'В s,. :подпрост­
ранство ,с друг1и,м номером. Но высказанное у,слоsие есть не 'ЧТIО
И!НОе, 1ка·к опред,еление липейной пезависимооти 1подпр·о·сТ1ра1нств л"
➔
(k= 1, 2, 3, ..., nL или функций s,Jt) (векторов s,.) 1[54].
Бсл:и 1век11оры s,. ![функции s,.(t), k= .1, 2, 3, . .., п] линейно ,iiеза­
висимы •И об,разуют ,заданный базис {полную оистему координатных
фу~нк,ц,ий {s,.(t)}]1), то через них любой ,век11ор грул:пового ,сигнала
-,.
sr. {функ,ция s!:(t)] можно однозначно !Представить так:
п
п
--;JJ= г}ak~ илиSr,(t)= г}aksk(t),
(8 .3)
k=I
k-1
где ak - коэффициенты .разложения, которые могут, например, ха­
рактеризовать переда•ваемые .сообщения.
Заметим, что число независимых ,коо:рдинат (размерность 111ро­
ст1ра1н1ства), о:пред:еляющих элементы ,п1рос1'ра1Н1ства Л {грrупловых ·си­
гналов s!: (t)], равно ~сумме !Неза ,висимых ,координат (размерностей
под1прос11ранств), определяющих сигналы sk ( t).
Выделение ·индинидуальных канальных сигналов s,.(t) 1в месте
пр.нема по группово.му ,сигналу sr, (t) еводится с геометрической
-
точки зрения к опр,еделению проекций векто-ра s !: на ооотве'Гствую­
щие подпрост.ра:нства (рис . 8.2). Это можно выполнить, ·вычисляя
скалярные ,произ.ведения.
На ,самом деле, зная базисные функции {s 1,(t)} можно выбрать
другую систему базисных функций {c,, (t)} так, чтобы :их ·скаляр­
ные лро:из,ведения удовлетво1рял,и условию
_, .(
_, .)
_
{О, l*k,
SkС1 -
1,l=k.
(8.4)
-такие две системы (базисные) функций •называют ,взаимными
('биортюгональнымл).
Используя систему {c,.(t)} ,в качест1ве опорных (весовых) ,сиг­
налов, 1на приеме можно выполнить разделение s!:(t) на состав­
ляющие и выделить :информационные коэффпщ,иенты ak, если :реа­
лизовать п (число ,каналов) операций по определению ·скалярных
произвед,ений
(8.5}
где Т - интеР'вал ,определения функций, k = 1, 2, 3, ... , п.
1) Баз1и,с может, в ча,стнос11и, определятьсн полной ортонор1м.нрованной си•
стемой функци,и.
329

Реализа'l(.ию общего алгорrитм,а .разделен ия (8.5) ниже просле ­
=дим 'Пр:и :ра,ссмотрен.ии ча ,стных видов систем у_тлотшения.
I(а,к отмечалось, ,по ,суммар.ному вектору s:E ,соста,вляющие s11
·-определяются однозначно ![следовательно, ,сущес11вует ~возможно:сть
·однозначного ·выбора а:нсамбля весов ых функций {c,Jt)} и ,разде­
.лить каналы], если только анса'М~бль функций {s1i(t)}, зада,нных
на интер,вале 0-Т, образует линейнонезависимую .сис,ему. А для
этого, rкак известно, :необход11,мо и достаточно, чтобы был отл,ичен
от нуля опреде.11итель Грама, элементы кото.рого оm,ределены соот­
ношениями
т
pk l = ...!_ rsk(t)S1(t)dt.
'
т.)
(8.6)
о
Таким образом, условие линейной независимост:и функций мож­
но за,пи,сать в ,следующем в.иде:
Рн Р12 Р1з . -Р1п
Р21 Р22 Р2з
,Р2п
D=
(8.7)
Рпl Рп2
Рпп
У,словие (8 .7) долж•но 1выполняться при ·всевозможных р,еализа­
ц· иях ·ка:нальных сигr:алов.
Если функци,и ансам ·бля {s,,(t)} - линейж>1неза,висимы, это оз­
!На·ча,ет, что (8.3) обращае11ся в нуль только л-ри усл•ОIВ'ИИ, что од•но­
Вiременно 1все коэффи,щиенты ak = О. Ясно, что для ортогонального
на интервале 0-Т ансамбля фу~н1щий
т
со
Pk, l = +Jsk(t)s,(t)d(=+-Js(iw)kS*(iro),x
0
-
00
Xdf={0•
Pck•
k =/== l,
k=l,
(8.8)
S (i,ro) k, S* (i,w) k - спектр п,о Фурье k-ro силнала и ·соп:ряжеН"ноrо
ему значения ; Pck - средняя мо щ ность k - го -сигнала.
След1овательно, определитель Грама в э·юм случае ра,вен 1): D =
п
= П ip1ik = П Pck>O, т. е. удовлетворяет условию линейной неза•в.и-
k=l
k=l
•
симост,и (8.7). На практике чаще всего .выбирают в ,качестве ка ­
нальных сигналов {sk(t)} ,именно орrогональную совоку,пность
' ) . Реализ-ация сиг,налов Sk(t) с нулевой среJ~1ней мощностью ,исключае т ся
из ,расс-мотрения.
330

функций, ибо :в этом случае разделение на rприеме, которое .сво­
дится, очевидно, к определению базисных ко.м[Iонент (проекц,ий)
сумма,рного линейного сигнала s'E. (t) (наэываемого в общем слу­
чае разделен.ием _ rпо фо:рме), вьиюлняется П'роще, чем в ,случае, ког ­
да условия ортогоналыности не соблюдены.
В параграфе 1.10 было .введено понятие базы ,оистемы сигна­
.лов, ю1пределяемой ч~и,слом 2FcTc ,(Tc - длительность сИ1гналов,
Fc - лолоса частот) .
Интересно вьшснить, в каком соот.ношен.ии находится база ан­
~амбля групповых сигналов Вт. = 2FiT'E. ,с базой индлвидуалыных
сигналов Bk = 2FkTk .
Можно утверждать, что
(8.9)
rде maxBk - .ма,коимальная база индивидуального ·сиг.нала.
Бели считать, что ранны длительности .и'Ндивидуальных и груп-
1ювых аигналов: Т'Е. = Tk=T (.системы частотного уплотнения), то
соотношение (8.9) мож1но записать так:
(8.1 О)
тде m axFk - ма,коималь:ная полоса ча:стrот у ,индшв,идуально:го сиг­
нала. Бели же равны полосы частот .индивидуаль:ных и групповых
,сигна лов: Р'Е. =Pk=.F (,системы временного уплотнения), т,о 'Соот­
ношение (8.9) при1ни,мает вид
)
(8.11
В некоторых м,ногоканальных системах с уллотнением по фор­
ме, в ,кото;рых :индив,идуальные сигналы лерек.рываются как .во вре­
мени, так и по спектру, могут быть случа,и, ,когда В'Е. =maxBk(F'E. - :: :: ::
~m axfkT'E. = Tk). В используемых много,ка·нальных системах уп ­
лотнеtния ло ,в:ремен.и ·и ча'стоте обычно 1rюлоса ча,стот и инт,ервалы
времени использую:гся менее эффективно. При эrом ,имеет место
-G ООТНОше:ние
Контрольные вопросы
1. В чем Вы видите ц.елесообразность построения многоканальных систем связи
·,п у т,ем упл,отнен.ия Л1Инии овяз ,и с повышенной про,п у,скной опюсобностыо С?
2 . В че-м о:ообен,ность пос11роенIия уплютне-н,нюй м·ногока,н·аль,ным сюо·бщенмем ли ­
ниIи овязи?
.З . Ч ем . отлич.аются с истемы разде,пьноrо у.пл-011ненnя от си,стем комби-наци,оннюго
_у.пл,отнения?
331

4. По каким признакам осуществляется в многоканальных системах разделение­
·реализащий .сигиало·в на пр.иеме?
5. Как геометр~иrчесюи и а-наJш1т.ичесжи фор,му,1ируется услрвие линейной не з а-
1висим·ости со,воку,пности фун,кций sk'( t ) . (• век'I'оро!Б)?
6. Какие д•ве системы фун'КЦИЙ назЬ!lвают вза ,и,;1 1нымп1 и как и·опользуют,ся вза11м­
;ные си-стемы фу,ющий пр.и лшнейно'i\-1 разделении и,нд.ивидуаль:ных сигналов­
гр;у~ппового сигнала?
7. Ка:ковы ооо·'!'ношения между баз,ами и пол:осами ча,стот грушпово110 и и· н,ди ­
'Бlfдуаль.ных сигнал•ов при много·ка-нальной овнзи?
8.2 . Р А3ЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ УПЛОТНЕНИЯ
В ши,роко ра1спро.страненных на пра,кт.ике кла.осиче,ских систе­
мах частотного уплотнения в .качестве ка~нальных используются~
та1кие ,сигналы s1,,(t), ча,с•го'flные с1пектры которых []ра,ктически •не­
пеtрек-рываются.
Предста,вляя ,инди,видуальный (k-й) канальный •с-и-гнал на .ин­
тервале его сущес'l'вования Tk в ,вид,е
sk(t)= ak, i(t)cos[ffik, i+(J)k, i(t)],
где ,i - НО1ме:р реализации сигнала, и учитывая условия ортого,наль- ✓
1-юсти (8.8), можно -в:идеть, что индивидуальные ,еиГ1налы s1,,(t) ос­
тают,ся взаи1м1но ·орто1гональными при 1п,р,оизвольных энач ,ениях ak, i,.
(J)", ;, (J)k, ; , если только спектры сигналов удо-вле'ГВоряют указанным
выше о.гра,ничениям .
Это означает, что ,в системах с ча1стотшым уллотнением (разде­
лением) хашrлов ,возможен любой вид модуляции ,в ,инди1Видуаль­
ном канале. Следует подчер,кнуть, что пр,и ча1стотном уплотнении
длительность ,каналыных еигналов Тk ра,вна длительност.и .оо·обще­
н.ий, они :передаются в неперекрывающих,ся час11отных полосах, но•
во врем,ени могут иметь 1произ·воль·ное взаимное ра,сположение. Сле­
довательно, .системы •С ,кла,сеичеоrшм ча ,стотным уплотнением отно­
сятся к разряду асинхронных.
Частотное разделение каналов обычно осущесmляется •на ос1-ю­
ве одновременного ,выделения всех ,каналов группой полосо·вых раз­
д,ел,ительных фильтро-в, ·на,строенных на час11оты -овоего ,ка,нала.
При1мер1ный 'Вид амплиrуд,но1го ,опектра S-r . ((J)) ГJруппового сиг­
нала _при частотном у1Плотнен.ии и амплитудно -частотных ха ·ракте­
рiИстик разделительных фильтров к (w) J-Ia •приеме mоказа,н на рис.
8.3 соответственно сплошными и пунктирными линиями. С ·помощью­
лоло~овых фильтров можно полностью разделить -сигналы, если их
спектры ,не перекрываются. Для этог,о необходимо, чтобы каждый
сигнал индивидуального канала sn(t) занимал ограниченную по­
лосу частот. Но эти сигналы ,имеют ·конечную дл.итель:ность и ,вслед­
ствие Э"ГОГ>о, -с11рого говоря, обла'дают неог,раниченным спект•ром .
Бели опектр ,искуос'!'ве.нно ограничить, то ,возни·кают иокажен,ия -си­
гнала, ~причем чем круче 1срез огранич-ивающего, филътра, тем силъ­
нее эти иокаж,ения.
332

Если же опе.ктры не огранич1ить, то с учетом -1-1еидеалыности ,раз ­
делительных фильтра.в возникают большие переходные помех,;~. Как
искажение сигналов за 0 счет ог.раничения их •спектров, т,ак !И rпояв­
.rrение переходных ПО'мех снижают :качеr,тво (верность) связ1и. На
Р.и-с. 8.3. Примерный вид а,мплитуднот ,спектра груп­
пового сигнала при клас-сиче аком ча,стотном уплот ­
нении , (,оплошные .кривые) а.;vрпл.итудно -ч а,стотных ха ­
рактеристик раз:делительных фи льтров на приеме
(1пу11-1:кти•рные юривые)
пра,ктике для обеопечения :нужноло качества Пiр,и ча·стотных мет10-
дах уплотнения оставляют -защитные ча ,стотные про,межут,ки меж­
ду опектрам,и индивидуальных •сигналов (зани.мающие до 20% .об­
щей по.лосы rча,стот грушпо:вого сигнала Fг_), ч·ю, ко,нечно, снижает
эфф~жти,вность системы ча,стотно:ю у1плотнения .
•
Классичеокая ,структу,рная .схема системы .овязи ,с частотным
уплотнением по·казана на р:ис. 8.4 . Сообщения
1b 1(t), b2(t), ...,
bn(t), дискретные или непрерывные , сначала модулируют подне­
сущие ча,стоты f1, {2, ..., fп, образуя .инди,в,идуальные сигналы s1(t),
п
s(t), . .., sn(t), а зат,ем сигнал s'E.(t) = "2.sh!(1t) модул1и,рует оrбщую
k=l
несущую, образуя линейный сигнал sл(t), 'Посту1пающий ,в кан.ал.
Принятый сиг,нал сначала детект.ируется (де.модулируется) в об­
щем детекторе, а затем, при помощи .полосовых .разделительных
фильтрq,в ПФ1, ПФ2, . . . ,
ПФп, выделяются :инд1и1в,идуальные ,ои~г­
налы .
Поднесущие ,f1, f2, ..., fп, выбираются та1к, чтобы ,сп ектры инди­
видуальных сигналов ,не перекрывались .и были р.аз,делены н~б­
ходимым,и защитными :интервалам1и.
Та1к как можно независимо выбирать любой ·из :возможных ви­
дов модуляции (мани•n уля,ц,ии) поднес у щих и общей несущей, су­
щеС'гвует большое КОJJ,ичест,во .различны х ,системы частотного уп ­
лотнения . При уплотнении дискретными сообщениям,и rподнесущие
чаще всего модулируются по частот е, а в качестве вторичной мо­
дуляц:ии :применяется однополосная, балансная, амплитудная .ил.и
частотная. Получающиеся ,при этом системы называют 000Т1Ветст­
венно ЧМ-ОБП, ЧМ-БАМ, ЧМ-АМ, ЧМ-ЧМ. В пртюдных ,си,стемах
связи, где э.коно.мия суммарной полосы ча ,стот является ~решающи м
со·о6раже~нием чаще в:сето ·пфим-еняе11с я ,система ЧМ-ОБIП. По тем же
причинам и в к,в -овязи ·использует,ся одно,полосная модуляция не-
ззз

.сущей, 01дна:ко проще реал,ИЗуется система ЧМ-АМ. В ,рад1иорелей­
ных систем.ах с ча,стотным уплотнением дискретными сообщения­
ми чаще друг.их прИ1меняется система ЧМ-~М.
/f11eparop
поднцу­
щеи
fi
ГещJ11тор
noilнepy­
щeu.
fi
feHtDarop
поtJ11цу­
ще11
fя
Ьп(t) 11оi!улятор ( )
Snt
---
Л111111я
сОязu
t1сточ11ик
аОi/uтиО11ой
понехи
(руппоВой
tJeтeuop,
ФНЧ
ФНЧ
Рис. 8.4 . Струк'I'урная .схема многоканальной системы связ,и с кла,с(:Ичес·ким
частоrным у,пл.от.нением
При частотном уплотнении непрерывными •сообщениямш в про­
-вод,ной связи в основном :пр:именяют систему ОБП-ОБП, ,в кв ·1<а-
11алах - системы ОМ-ОМ, ОМ. - БМ, ОМ-АМ, в ,радиорелейных ·ка­
налах - ОМ-ЧМ .или ЧМ-ЧМ.
V: Оценим теперь некоторые важные ,показатели эффект,ивност.и
систем связи с уплотнением. При этом будем 1с~итать, что ~вредное
воздействие переходных помех уст.ранено 1), однако флуктуацион­
ные шумы должны быть учтены rв канале. •
Введем показатель «энергетическая цена» уплотнения 11Р(п),
который :показывает, во окольк,с:i раз т:ребуется увеличить :ере.днюю
мощность -сигнала, чтобы ,пр.и данной системе уплотнения ,и задан­
ной верности (вероятности ошибки при передаче дискретных -сооб­
щений, отношение ·сиг.нал/помеха на выходе детекто,ра пр.и nереда­
че • непрерывных сообщений) передавать п сообщений вместо од­
ного:
11(п)=~ ,
Р
Рс1 •
(8. 13)
где Рс1, Реп средние мощ:нос11и сигналов при однока'Нальной и п-1ка­
нальной системах связи, при которых обеспечивает-ся неизменное
качество .
В большинстве •систем с частотным у:плот.нением (при вторичной
1) У,чет .пе_р:еходных помех расоматр,Иiвае1'ся в спещиальных курсах.
,3 34

ЛМ, БАМ или ОБП) можно считать, что :в л111нейном 1сиг,нале оиг­
налы индивидуальных ка ,нало~В леза:висимы и
(8.14)
т. е. энер1гетическая цена уплотнения 'YJP(n) =n, ;как .и для си.стем
часrотного уплотнения без вто,рич,ной модулящш. В большинс11ве
систем ча1стотного уплотнения 1со втор,ич,ной модуляцией :несущей
по фазе или частоте энергетическую цену уплотнения тоже .можно
при.мерно ,считать ра,вной п.
За,метим, что в системах ,радиосвязи ,наложены 0:г1раничен,ия на
пико1вую мощность линейного ,сигнала Рпин n, и для обеопечения
наибольшей верно.сп,~ связи на ,каждом 'В.ременном инт,ервале же­
лательно, чтобы при 'Заданном Рпин n была бы ма1к,сималь·на пико­
вая мощность .индивидуалыного сигнала Рпин 1- Оказывается, что .в
си•стемах с частотным уплот,нением
(8.15)
где х - коэффиц,иент, хара1ктеризующий нели:нейность передатчика
и лежащий :в !Пределах от I до 2. Это означает, что в то вр:емя
1<ак ~пик-фактор по мощност.и П2 индИlвидуального сигнала (011рез­
к а синусоиды) ра1вен 2, пик -фактор группового сигнала
(8. 16)
На са,мом деле, если бы амплитудная ха,рактерис-nи,ка г,рупш51Во­
rо тра.кт,а была строго линей,ной (высо,кая л,инейность здесь важ­
на для снижения переходных помех между 1каналами, которые мо­
гут воз.никнуть за счет нелинейности пр,и появлении ,комбинаu,и:он­
ных ч.астот) ,и если допустить, что индивидуальные сигналы, я.в­
ляясь отрез.ка·м.и синусоиды, могут •складываться 'В фазе, то
Рппн п=n2Рпин 1, 1СJiедовательно, х=2 и задаНlная 1ш1:ковая МОЩНОСТЬ
передатчика ,край.не невыгодно распределяется между ка.налам,и.
Если доmуст.ить 'Некото,рую нелинейность J'руmпового тр.а1кта и счи­
тать, что сложение в,сех индивидуальных сигналов в фазе малове­
роятно (или !Принимать опещ1альные меры 1цо ,их 1ра1сфазированию),
то х, будет меньше 2, 'НО не меньше 1.
Важным показателем эффективности систем уплотнения щ3ля­
ется так называемая «спектральная цена» ущютнения.
лF(n)=FпJF1,
(8.17)
ПОJ(азывающая, во С!(ОЛJ:ЖО ,раз возра 1стает полоса частот, занимае­
мая м1ногоканаль:ным сообщением по сраВ'нению .с одно.канальным
·при условии сохранения шида мо,дуляцшi и tПос·юянст,ва вел.ичины
F1 при ,передаче любого из ,сообщений. Пр,и ча·сrотном уплот;нении
лF(п) >п из-за 11-1ео6ходи:мо1сти оставлять защитные ча,стотные ,и,н­
тервалы межд1у 1сю'ншлами ин,дивидуалыных каналов.
Эффективность уiПлотнения также ха ,рактеризуют количеством
инфо1р.ма.ции, пеrедаваемой си<:темой за k в 1 Гц полосы частот
335

(,показатель v дв. ед./с, Гц), ,при прене,брежении ошибками в ка­
нале:
п
п
v = LН~JF11 = LH~JF1 "'F (п).
(8.18)
k=I
k=I
Бел.и нее -источники дискретны и сообщения передаются двух­
поз,иц,ио·нrным ,кодом сиг.налами неизменной длительности Т с, то
(8.19)
Вводя коэффициент частотной избыточности ,си.стемы модуля­
ции Кр= Fк;::: и полагая, ч·го Fc=c /Tc( c>I), можно ·написать
Ре
(8.20)
При ча,с;готном уплотнении канало:в ·в1оегда v< 1.
Следует заметить, что для систем · с частотным у:плот,нением ха­
рактер1но ·то, что ,различные подканалы могут работать с различным
кач,еегвом. На .самом деле, при частотной ·модуляции яесущей, как
было .пока'Зано в гл. 7, ~спектральная плоп-юсть помех.и на ~выходе.
детектора при флу,ктуаци,онном шуме в .канале нера,вномерна и ~воз­
растает с ча,стотой, поэтому для оообщений, переда,ваемых на бо­
лее низких .поднесущих, условия юказываются лучшими, чем для
оообщений, ,передаваемых 1на более высоких .rюд·несущих. К,роме
тofiO, если в канале имеют ,место ,селективные (ча,стотшозав.иси,мые)
за· м:лра.ния, то опять-таки .верность овязи для отдельных канало·в
являет,ся сущес'ГВенно различной.
Помимо метода выделения отдельных каналов при час-ютном
уплотнении полосовыми фильтрами (классический метод), ,в ·пос­
лед,ние годы ,нее чаще поя,вляются системы, в которых отдельные
ча,с.тотные каналы разделяются юогласова'!шыми фильтрами. Одна­
ко, поскольку в этих системах :полосы каналов переюрываются , их
целесообразно отнести к ·системам уплотнения 1по ,форме .сигнала
и ,раоомотреть отдель,но.
Времен н 6 е у плот ·не ни е. Лри временном у,пл,отнени,и эле­
менты индивидуа ль:ных сигналов s,,(i) 1передают.ся по линии овя­
зи поочередно (последовательно), но в общей :ттолосе чаеют. Уч,и­
тывая условие ортогональ,ности (8.8) , можно видеть, что инJI;и,ви­
дуал ьн ые сигналы s,i(t) ,остаются взаимно ортогональным.и 1!1ри
прои зволь ных значениях параметров импульоов, при 1юторых обе­
спече~о отсутствие пере1,•рыт,ия. Эm означает, что в системах с вре­
менным уплотнением (разделением) каналов возможен любой и з
из;вест,ных видов и•мпульсной модуляции. Системы связи ,с .в.ремен­
ным уiплотнением (рис. 8.5) строят:ся как синхронные.
Раосмотрим ри•с . 8. ,5. Зд,е,сь 1на !передаче и 1п•риеме :показаны си1н ­
хронно в1ращающиеся механичеокие распределители, которые на
практике заменяются электронной схемой . Посредством распреде -
336

лителя передачи ,сообщения от отдельных источников •b1,,(t) пооче ­
редно Jvr.одули.руют (по 11ому или ,иному пара.метру) периодичеокiИ
поступающие от иМ~п ульон ого генератора ,им:пуль,сы . Посколыку об-
f;Jyппo8oi1
iJетем~о
Рис. 8.5 . Структурная схема многоканальной си.стемы с,вязи с временньш
у плотнением
разующийся ,на •выходе 1и·l'vшульсного модулятора труп:поной сигнал
S1: (t ) является низrюча,стотным, при дальней овязи, как 1Праrвило,
применяется . вторичная модуляuия гармоничеокой несущей ,fo. На
приеме после детект,ирован-ия [выделения s};(t)] си,нхронный рас-
•сиг,налы по ·СВО'ИМ ,ка-
пределитель раопределяет индивидуальные
налам. Индивидуальные фильтры ниж- а)
123
п1~
них частот ФНЧ на nр·иеме устраняют t П П П П П
спе1пральные ·компоненты вне полосы о--·-~~--~~-~--~~-
частот ·сигналов b1,,(t).
t
На ,рис. 8 :6 :по.казаны форма сигна- rJ)
ла (периодической импульсной лосле ­
доват ельности) на ,выходе ·импульоно- 0L_- =- - "" " - -- - -_ .: :,. ...: ,,. ._ ,_
r,o генератора, а также формы моду­
лирующего (гармоничес1юго) и г,руп-
пового сигналов (при АИJ\11.). При п- 6)
1
·
2
1
кратном в,ременном уплотнеr~и.и сооб-
.!.. п Пз
ПпП
щение Ьн.(t) длительностью Т должно ~ - ~
~~ -~- ~-~ -'- -'-'-'-- --
о/
7
в канале передаваться на интервале
'-
Ти= Т/п. Отсюда ясно, что частота [10-
вторения импульсо,в в импульсном ,ге­
нераторе Fг=nFи 1).
Финитный сигнал индивидуалы-юго
канала на передаче имеет, ,строго гово­
ря, бесконечно протяженный спектр.
Рис. 8.6 . Сигналы связ.и при
многоканальном у:пло11нении во
времени:
а) .им,пуль.сная неоущая; б) мо ­
дул ,ир,ующие оиг. налы трех ис­
точ.ни,ков; в) груп,повой сигнал
при АИМ
1) Г,де F11 -
та.к11овая час т от а в каждо•м канале, выбираемая в соот,ветсгви •и
с тео,рем,ой В. А. Ко'Гельнико ,в а равной или большей 2Fc, а fс- ,маюси­
малыная ча ,стота переща,ва емого сообщения в отдельном канале. При уплотнении
днскрет,ных (,двоичных) сообщен· нй Fп определяе11ся тех,ничес1юй скоростью ин­
ди,ви:д,уа,1ьног-о :wс·ючн.ика оообщеш1й .
337

\
Вследств-ие ограниченности :полосы пропускания реального канала
•ыа выходе ·канала отдельные импульсы ~сигнала ·расплываютr.я , ~что
создает п,редпосыл ,ки для возникновения переходных помех между
соседними каналами. Для снижен~ия пере:х,одных помех обыч,но по­
лосу :пропу1скания группового т,ракта р-асширяют до велич-ины по­
ряд1ка Зп/Т или 'П'ри •заданной по л,осе ,соответствеН'но у,меньшают чи­
сло канало.в п ИЛ/И вводят защитные временнь1е интервалы между
z1м:пульсами индивидуаль,ных каналов.
В.се эт,и мерО1Приятия сн;,~жают эффективность ,систем с времен­
нь1м у:пло11нением. Причиной п ереходн ы·х помех может быть также
Мllюголучевое р,аспростра1-1ение радиов,олн (наnример, в к1в овязи),
в •результате rчего запаздывающий луч, несущий сигнал одного ка­
нала, может интерферлровать ,с первым лу~чем, соответствующим
д•ругому ка,налу. Для зашиты от та-ких ,помех часго аз,водят защит­
ный и1нтервал, ,р авный максималыно,му шремени 1за1паздываН'ия ,Л,tта:1:
между лучами ·с ооизмеримой инте,нси·в11-юстью. Одн .ако ет,от защит­
ный .интер,вал ,не .11.олжен, естес'Гвеюiо, превышать •время, отводимое
для :п,ередачи •1-гндивидуалыног,о х•а·нала Ти=Т/п, т. е. ,Л:tтахсЕ;;;,Jи,
При 1кв ,связи и .Л,tтах=З 1:м,с ·имеем Тн~З ·мс, что лри тех1н·ичес·кой
ск·орости v= 1/T=S0 бод огранич1ивает •чи-сло ка·налов п~,6.
Следует од.на.ко подчеркнуть, что реализация идей адапти,вной
ко.м1Пенсации (.коР'рекции) ,переходных процесоо1в канала (см . гл. 9)
позволяет снять ограничение ila ми;нимально допу,стимые з1начения
длительна,ст,и ·сигнальных .посылок и строить эффективные скорост­
ные системы связи ,с време.ннь1м уплотнением (последовательной
передач ей информации).
Важ,ные преи,мущества систем времен;ного у1пло'Гнения (метод
последовательной ~передачи информации ,источников) •перед частот­
ными ![метод ,па,раллельной (во в1ремени) ,передачи инфо·рма,ц,ии ис­
точников] - опюсительная простота каналообразующей а•п.парату­
ры, пониж е.ние требований ·к амплитудным характеристикам тра 1к­
та и, что особенно ,важ,но для радиосвязи, независимость nи,к - фак­
то·ра ,сигнала от числа уплотняемых каналов. Для .им,пул ыснь1х -си­
стем -с активной паузой ,пико•вая мощность ~передатч.ика определя­
ет .и пиковую мощность сит,нала !В инди.видуальном 1ка.нале. Это ·об­
стоятельсгво обусловливае:г энергетиче,ский выигрыш ,си-сте м В1ре­
ме.нн6го у:плотн ен,ия пе-ред системами частотного уш1о~нения с той
же общей производительностью.
Энергетическая цена 1временното уплот•нения YJp(ti):::::<n. Пр и :пе­
редаче непре:рыв,ных ,сообщений и .использовании .наиболее .ра•опро­
страненных систем ФИМ-АМ, КИМ - АМ (для которых ха•ра,ктерно
постоя•нсгво длительност.и отдельных ,им пульсов) это объя,сняется
тем, 'Ч"Ю число излучаемых и:мпулысов 1в единицу !Времени п·ропор­
ционально п, а iНеобходпмая энер.г.ия 1<,аждого .ИМ[lульса (для обес­
печения заданной верно,сти) определяется услов.ие:м r1ревыш е!-liи я
порога помехоу,стойчивости, т. е. за.висит лишь от спект,ралыной
плотности помехи Gш. Поскольку с изменением числа каналов уп­
ло11нения ве,п.ич,ина Gш ,не меняется (переходными помехами пре-
338

не6регаем), необходдмая энергия ,сигнала в единицу в•ремени, т. е.
его средняя мощность, проnорц.иональна п.
Пр.и передаче дискре11ных оообщений для сохране.ния ~неизмен ­
ной ,верояш-юст,и ошибки при флу,ктуацио.н.ной помехе ,с заданной
опект.ральной плотностью Gш требуегся ,сохранение постоя1нС'ГВ &
эн~ргии посьщки . Посколь,ку при :в1ременнсУм уллотне-нии длитель­
но,сть элемента сигнал ,со1к:,ращает,ся в п ,раз, для выполне.ния Э'Г0·го
условия на,до у,величить .мощность сигнала та,кже в п раз, т. · е.
YJp(n) =n. Эти же соображения поз :воляют ,считать, что спект раль­
ная цена ,в,ременн6го ушло'Гнения лр(n);:::::;; п, е,сли П)Р'е~Неiбречь меж ­
символьной и,нтерференцией.
По.казатель v, о·пределяемый ф-лой (8.20), для ,систем ,времен­
НОII'О и ча,стотшого уплотнения (1с соглаоова,нными фильтрами) :при­
нимает -примерно одинаковое значение ,и n'·ра,ктически прл дисюрет­
ных •сооб щениях в двоич1ном :коде ·мень:ше 1 дв. •ед./,с, Г,ц.
Уплот ,нение по фазе . Рассмотрим ,случай •раздельного уп­
лотнения, когда в качест:ве и·ндивидуалы-1ых . сигналов на пнтер.ва -­
ле О~ t~ Т с выбраны гармоническ,ие функции:
sk(t) = akcos(u>t+cpk), k = 1,2,3, ... , п .
(8.21)
Считая, что величины а,, в (8.21) статистически ,незави сим ы, но
нмеют ,однородную статис~и1ку, можно ,в,идеть, ч·ю энергетич,е ок ая
;1ена уплот н ения YJp(n) ,в . этой ·систем е равна п, в то в•ремя , как
опект,ральная цьна уплотн ени я J,p(n) = 1, а v = c;F .(дв. ед./,с , ,Гц):
при .перед аче сообщений от двоичных 1источ.ников, т. е . система оч,ень
выгод,1ю иопользует полосу частот. Поскольку частота у .всех реа­
лизаций ансамбля (8.21) неизменна, для пе­
редачи информации 1и разделения каналов
можно использовать отличие •си гналов или
,по а-мплитуде, или по фаз-е. Бели з1начение
фаз {1)11, ма1нипули.р,овать ·в ,с о·отве11сТ1вии ·С U1е­
реда,ва•емым сообщением и иметь у отдельных s,(t)
реализаций различ-ные, но не меняющиеся
амплитуды а11,, то при помощи нелинейн ых
устрой,ств (напрИ1мер, огранич111телей) воз­
можно разделение -каналов. Такую ,систему
можно назвать уплотненной по амплитуде.
Если же в соответствии с передаваемым
сообщением менять амплитуды реализаций
а11,., но иметь у отдель.ных реал:изаций раз­
лИ1чные, но не меняющиеся фазы ср11,, то .воз­
можно линейное ,разделение ,или, как гово­
рят В данном случае, уплотнение [10 фазе.
Рлс. 8.7 .
С11ру:ктурная·
схема раз 1деляющего ус т­
ройства в двух,ка,нальной ·
си,стеме с ,v~плотнением
по фазе •
При помощи определителя Грама лет.ко проверить, что лишь
при n = 2 сигналы (8.21) остаются при фазовом упло~нен.ии лин ей ­
нонезавиоимым.и при произвольной ,разности фаз :между индив иду.­
аль,ными сиг.налам·и .Лер= cp1 -cp2=#:kл:(k=O, 1, 2, 3 ...) .
339,

В двух;ка,нальной системе с фазовым у,плотнением , сиг,нал на
входе ,разделяющего ус'Гройства (,рис. 8.7) ~приемника (при прене­
бр,ежен,ии аддитивной помехой и .искажениям.и в канале) можно)
записать в в,иде
sE (t) =а1cos(wt+rp1)+ а2<;os(wt+ (J)2).
(8.22) .
В пред,положен:ю1 того, что время а,нализа (иi-1тегрирован:ия)
Т» ,2л/w, опо1рные •си1г,налы c1(t) и c2(t), пода1ваемые на 1перемнож,и­
тел.и, определяются ооо'Гношениями:
С1(t) = -.-
2-
COS (ro t + (J)2-_ !:___)
.
SlП Л (jJ
2
(8.23)
В отсутствие помехи мы получаем на выходе 1пер·вого ~,анала
т
устройства разделения +js~ (t)c1(t)dt = a1, на выходе же второ­
u
т
го к анала сигнал ,равен: +} s~ (t)c2(t)df=az. Таким образом, в
о
O11сутствие аддити1вной по.мех,и .и .иокажений к·аналы •ра.зделяются
полностью.
_Случай, .когда число каналов фазового уплот,нения п ,на од,ной
поднесущей :равно двум и разность фаз между ,ним-и ,Лrр=90°, ,пред­
ставляет наибольший ,интерес, поскольку ,система :сигнало,в оказы­
.вается взаимоортогональной и упрощается фор!Vшро:вание опорных
сигналов. На самом ,деле, при Лrр = л/2 из (8.23) ,следует:
c1 (t) = 2cos(wt+rp1); c2(t) = 2cos(wt+rp2-:rt/2).
Групповой ,сиг1нал в этой системе пр.и передаче ,ноо1реры1в,ных оо­
общений b1(t) и b2(t) имеет вид
sE (t) =Ь1(t)cos(wt+ rp1)+Ь2(t)sin(wt+ rp1)
(8.24)
и мож,ет быть ~получен посредством балансной 'Модуляции д1вух не ­
сущих, находящихся в к·вадратуре (их взаимный фазовый ,сдвиг
равен 90°).
У •плот не ни е по форм с. Наиболее общим 1ме'Годом уплот-
1нения ,каналов являет,ся упло'Гнение по форме, ·когда для инди:в.иду­
альных каналов ,используются ·сигналы различ1ной формы, удовлет­
воряющие услов,иям л,ин~йной неза,в,иси,мости ..
Бели пр.и этом сообщения отделышх каналов передавать ,в 06-
щих ча ,стотных ·и времен1нь1х интервалах, мож,но существенно по­
высить эффекгивность ·системы связи по ,сравнению 1с рассмотрен­
ными выше оистемам,и ча,стотного и вр ,еменн6го уплотнения.
Посколыку ортогонализация системы сиг,налов упрощает реа­
лизацию приемных устрой ,ств и улуч шает помехоуст,ойчавость свя­
зи, на практике и,опользуется, гла1вным образом, этот признак .
.340

Для передачи информации ,в ·многоканаль.ных системах связи
наиболее применимы инд:ивидуаль'ные сигналы в виде отрезков гар­
м,оничеак·их колебаний к•rатных чаС'гот (так называемые 'Простые ·
си,гналы) :
•
2:rt
sk(t)=acos(rokt+cpk); rok=k Та, k= 1,2,3, ... , п; (8.25)
Та - ,время анализа элеме!нтарных сигна.тюв. Система с,111гналов
(8.25) оказывается ор·югональной в усиленном омысле.
Извест.ные м-н.оrюка,нальные системы связIи «КинеплЕЖ,с» и МС-! [ 18] являются
примерам.и сис'I'ем, иопользующих сигналы вида (8.25) и оптимальную технику
выделения сигналов 01щель,ных частот.ных ка , налов (,оо гласо•ва,н·ны.м . и фил ьтрами
или эквивалентными им схемами приема) , В этих системах телефонный канал
с полосой 3, 1 кГц ушлотняется телеграфными сообщениям .и 40 источ,никосв, ра­
ботающих си,нхронно оо ск,оростью 75 бод (,длительно'СТь посыл~ш~ Т с~ 13,4 м-с) .
Таким образом, в уJ< азанной -полосе пе редае'!'ся 75 Х 40=3000 двоичных еди1Ниц в
секу~н,ду (если пр ене бречь ошибочно принятымIи посьшками), а поrказат,ель v -
немно·гим меньш е 1.
На 20 чЭ1Стотах, сдви,нутых на Лf = 110 Гц , осуществляется д!Война-я отн о,си ­
тельная фазо,вая мани ,пуляцIия, в то вр ем51 как 21-я ча,сют,н ая ооставляющая,
ра ,ополюженная в,и-утр,и полосы 3, 1 кГц, но сд,ви,нутая относительно рабоч1их ча­
стот, иопольз,уегоя для син хр онизации ПР'Ие-м,ного устрой .ства 1). Т а~шм образом,
• 20 часто 11 ных соста·вляющих пере,д,ают инфор,мацию от 40 и.сточии~юв, на каждой
частоте здесь осущес11вляется комбинационное у плот,иеиие.
На пршем ,е выделение и анализ инд,,шидуаль·ных сигналов оогла.сосван,ными
фильтра.ми (или корреляционной тех,ншюй) ведут,ся на актиазном ,интерв а ле
Т а ~ 9, 1 мс, в т,о время ка,к раз,но.сть между длительностью элемента сш:~нала Т с
и Та (ЛТ = 13,4 -9 , 1=4,3 м•с) используется ка.к защит,ный ,ИJнтервал (борьба про­
тив м,и-огол,у,чевост,и в к·в ов яз,r, г а шение rюлеба-н1ий с•оседних посылок).
Нетрудно видеть, что •разнесение ча,с-гют ,в ра,ссматриваемых •Си­
стемах Лf = 11 О Г,ц 1/Та= 1/9, 1:м-с, т. е. ,обеспечена ,орюг,ональность
(1причем в усиленн,ом ,смысле) ,си,с-гемы •сигналов при любых з1на­
чениях параметров а и ({)k, что ,сущест~венно ,с ·юч.к,и зрения раз­
личных технических проблем (например, проблема фаза.вой ста­
билыности в канале).
При1менет1е ор·11ого-нальных в усиле.нr-юм смысле сиг,налО1В и оогла,сава,н:ных
фильтров обеопе'Чlивает оущес'11венно более экономич,ное ис• пользов-ан.и,е полосы
частотного канала, чем ста·рые системы с час тотным уплотнением (использующие
полосо.вые р,азделIительные фильтры). На самом деле, если при скорости теле­
графирования v= 1 /Т=50 бод выбрать умереНiное разнесение чаtст,от Лf=3/Т=
•= 150 Гц в си,стеме с полосовы,ми фильтра,ми, то каждый и,н.ди,вищу альный канал
с ЧМ потребует пол.о.су 300 Гц (для д•вух ча,стот мани•пуляци1и), В пол.осе
3,1 кГц мож,н-о бущет раз,местить 10 канал,ов, что обеопечит суммар,ную окорость
ЮХБ0=500 дв. ед. в ·се-кунду (если пренеб;речь ,ошибка~м•и) ,ил 111 v=l500/3,! ,00 ~
~ О,. \ 7 д1в. ед./.с , Гц . Система ,MIC- 1 (или ей анал ·оr,иrчные с,истемы) о~беопечм,в. ает
(пр1и использ ,аванл:и , правда, 4 -позищистного ко,да) значительно ,большую эффек­
тивность: пр имерно 1 дв. ,ед . /,с, Гц. При двоичIном коде можно было обеопечить
в этой системе п ер едаrчу 0,5 дв. ед./;с, Гц, что в 0,5 / 0,17 ~ 3 раза больше, чем
при .кл.асоических ме11одаIх уплотнения .
За,метим, что в то время как при неза,виюимо·сти п отдель.ных канал,ов энер­
ге11ичеокая цена у,пл·о'11нения многоча,сто11ных снс'I'ем с еоглас,ов,анны,м•и фильтра-
1) В более позднем и усовершенствованном варианте, системе МС-5, синхро­
низация ооущее11вл.яе'11Ся по рабочим по·сыл·ка -м, что поз•воляет по,выс.ить эффек­
тивнюсть •си ,стемы.
341

ми 11p(n) ~ п, • пи1ювая мющность передатч.ика иDпольвуе'!IСя значительно хужё.
П1tк-фа1К11ор по мющности в общем случае апределяется ф-лой (8.16).
•В
по:след;ние годы п~оявил.ись м1ногоканальные сист-емы уплотнения по фор­
ме, ,и,спольз,ующи.е «,почти» орт-огональные сиnналы, при которых услов•ие (8.8)
при k=l =l выmоЛ1ияе-11ся лишь пр,иближенно.
Существенно, что в этих системах прибпиз.итель.ная ортогональ­
ность (пр.ичем в усиленна~м смысле) между сиnнала.м,и сохраняется
пр,и заметных ,взаимных 1сд,ви:гах ·между ними 'ВО 1В!ремени . Это ~по­
зволяет на базе та1ких сигналов -созда1вать мноюка-нальные та:к на­
зываемые асинхронные адресные 1системы овязи (ААСС) со сво ­
бодным доступом абонентов ,в общую сеть {6].
Пачти ортогональные сиr,налы для сист,ем ААСС м•оrут образ-оваться самы­
ми разш1qиым1и Dпособа,ми, главн·ое, чтобы их а,вто.ко.рреляциоиные ф,уикц·ии бы ­
л•и как м•ож-но у же (близки к б - функции), а вза1и,мо.юорреляци,онные функщин
были при про.изволь,ных вза-им,ных Dд,вигах бл1-1з,к,и к нулю (основ-вое условие
приблlИзительной орт-оrональности сиnнал-ов). Та1К1ие сигналы (,называемые также
сложным1и, шу ,1юпод,обны,ми, п-севдосл ,учайными или широ1юлолосными) реал.изу ­
ются са:мым11 р а злич, ным·и опособа,м.и: реализациями отрезков «белого шу ма»,
посл е1даватель-н,остям,и коротких радиоимпуль·сов с мод,улящией а,мпли11уды, фа ­
зы или ча,с-юты (так называемые с-оставные с•игиалы), и т. п. [30, 37 ].
ААСС иDпользуются по.к•а в основном для передачи тел-ефоНJных сообщений
в уюв д~иа,пазоне. Ка:ж,дый ис110ч 1ннк (абонент) может неза,в и-сwмо входить в сеть
наборам. к,ода ( адре:са) получателя (вызыlВ•аемого абонента). O11Дельные и·сточ­
ники се11и ААСС мог,ут территор,иальн-о ра,сполагать-ся иа весь.ма больших рас­
стоя-н,иях д,руг от друга, что не мешает 11'М в-ойт-и в Dвязь с той же легкостью,
как это делают абоненты городской телефон,ной сети.
Отдельным а,дресам ААСС сопост-а1вляют.ся р,азлич-ные шу,моп-адобные сиrна ­
,(!Ы из общего ан,са,мбля почти орт-огональных сиГ1нал-ов, и оп-ольз•уемых в си­
стеме. Число реализаЦJий этого ансам·бля п о·пределяет кратность (чи,сло кана­
лов) системы у плотн ения, которая в раопространенных системах ААСС равна
1ООО 111 более.
Пер·еда·ч-у сообщений • между корреопо,н,дентаi'lш в раопр,ос11ранен·ных с-нсте ­
мах ААСС с соста.вными оигналами поя.он,яет рис. 8.8.-
Сообщение, подлежащее
передаче, под.вергается сначала и,м.пулысной модуляции (ФИМ, дельта-модуля ­
ция и т. п.). Затем каж1дый кор-откий и-мп-,улЬ'с ( его длитель·но:сть - порядка
0,5 мкс, а ширина опект-ра - порядка ,нескольких мегагерц) .преобразуется в ад­
рес-ную по:след,о-вательнюсть из N =4 1И1м ,п-ул·ьсов, раз:деленных п-а,узам•и и разли­
чающи1'ся овои-ми ча,ст-отам,и запол,нения. Бели каждый из этих им.п-улы:ов мо­
жет в пределах а,дре:с'ной п-осле:д-ователынос11и занять одно из 1= 17 различных
пол-ожений во времени, т,о кра11ность у~плотнения
п= N!Cf_11= 4!Су6= 13440.
(8.26)
А•дресные последовательности образую-ген с помощью ли-ни•и задержк,и с
l = 17 011в-одами, из которых иопользуют,ся ли-шь N =4 в мес-гах, ооо'!'вет,с-гвующих
адресу вызываем,оrо абонент-а . Эти 4 ,и,мпульса манИJп-ули,р,уют по а-м,пл.итуде
частоты 4 поднесущих, та,к чт-о сум,марный сиг-нал на вх•оде гр,у,п-повоrо моду­
лятора имеет вид р.и,с . 8.8. Для т,оло ч-гобы выз,вать опре,деленн,ого абонента и
уста1н0Бить с ни,м связь, необходи.мо устанювить с-о.011ве"I'с'I'вующие N положений
ли·нии за,держ.к-и на передатч,и,ке в с,оот-ветс11вии с п-р,исвоенной этому абонент у
адресной 1юдавой комбинацией. Ча-ст-оты в систе-ме не перестраивают,ся, что
сп-000'б-с11в-ует ее н-адежнаст.и и удешевлен:ию.
Инщиви:дуальный !]риемник после группового детекто·ра оодержит N = 4 по ­
лосО1Вых фильтра, на,строенных на час-готы под,неоущих . Импульсы, прод,етекти ­
ров,а•нные на выходе п-олос-овых фильтров, поступают на л.и·нии задержки, иден­
тw~ные линиям, иооользуемым на пере,д-атч1ике. O-гводы на этих линиях выби­
раются так, чтобы на вых-оде схемы сра1в,нения все N им-пуль-сов, соотве-гс-гвую -
342

m.,н~ кодд:вой ком,бина,щи1и адреса данного абонента, совпали бы во времени .
При вы1полнении э1юго у,сл,овия нелинейная схема со,владений выдает на вы­
ходе и1мпулыс оо следами пер,Б1Ичной мо:дуля,ции, 1ют,орый затем под,ае11ея на
импульсный детектор,
Если с вы~одю.в линий задержки на в 4 од схемы со1Впадения им.пульсы по•
сту,пят неод:1юs•ремешно, то им,пулыс на вы::юде схемы ссmпа·дения не появи11ся.
Тем самым обеспечruвает,ся из,бирательность пр.ием<ни,ка на сигнал, соот,ве11ствую •
Г12уппо13ой
оетектор .
f1нiJul3uilyaлышй. переilатчи к
/1оiJулятор
{p!J,nnoбoй
MO O!JЛRTOJ)
!1мпульс~ый bit)
fJетек тор
Рис. 8.8 . Структурная схема многоканальной асинхронной адресной
сИ1стемы связи с «почти» ортогональным ,и широкополосными .сигналами
щий ruриовоенному ему а1дресу . Нетр,У'д,но в,идеть, что ли,нии задер~к,и на прие­
ме, по существу, фильтры, согла·оо·ванные с видеои1мп,улысами кодiовой ком•би­
.нацИJи дiаrнно•го а1д•реса (,ом .. рис . 6.14г) .
Ч11обы уменьшить вер·оятность образО1Бао-1,ия ложных импуль·сов из-з.а дейст­
в•ия флу~ктуацианною шума в к,анале, мощность ,оигнала в системе ААСС •долж­
на быть д,остаточно большой. Чтобы вероятность образ,ова,н.ия импульса~1и дру­
тих юuналов случайной последо1вательности, санпадающей с- адрес•ом данного
.абонента, была дiосrгаточно мала , в системах ААСС пр11х,оди11Ся ограничить крат-
;из

ность упло'Гнения п. Энерге11ическа·я ц~на у,п.iiотнения в cиcтei'viax ААСС nр и мер ­
Iно. рwвна п, а опектра-льная цена упл,011нен.ия ненам·ного превышает 1.
Комбина,ционноеисмешанное у~плотне·н·ие.Ком­
бин.ацион.н.ое у1плотнение широко применяется для ~передачи дис­
кр,етных оообщен,нй ,и отличает,ся тем, что -сообщения от ,всех ис­
точников кодируются совместно, так что кажд ый 11юдовый оимвол
не-сет в одина.к,о,вой полосе ча-стот л в одно -и то же время ,инфор­
мацию от очередных элементов всех переда;ваемых сообщений.
Для пояснения существа ,комбинационного уплотнения поло­
жим, что и.меется п дискретных -источников, выдаю щ их информа­
цию двоич,ным кодом («О» ,и «1») со окоростью •V = (1/Т), д-в. ед./с.
Вместо •передач,и за В'ре-м-я Т п ~не-зависимых двоичных символов от
01щель-ных источников можно поступить -ина 1 1 е - п- р,исваи -вать со­
вюкушюсти из п символов но.вую кодовую :комбинацию .и переда­
вать ее за вр·емя Т. Очевидно, что 1этот ,новый ~код должен 1иметь
позиционность m = 2п по числу •воз·можных комб,инаций символов
и-сходных дво.ичных источ,н-иков. Так как с ростом п основание но­
наго .Iюда m растет очень быстро, а однов-ременно усложняется ,си ­
стема ,формирова-ния и обработки информации -и падает ее эффек ­
тивность, на ,пра·1пике комби·нашюнное уплотнес1ие применяет-ся в
осно.в,но.м пр.и n=2, т. е. m=22 =4 .
_
Примерам.и ои,стем комбинац-и-онного уплотнения, и-спользующих
четырехпоз.ицио,нный код, явл;:rются: система ,с двойной частОТiНОЙ
манипуляцией (ДЧМ или ДЧТ - двой.ная частотная 1'елеграфия);
система с двойной фазовой манипуляцией (ДФМ) ·ил,и двойной
отнооительной фазовой ма1шшуляцией (ДОФМ) .
-В системе ДЧМ сигналом служит отреза-к ,синусоиды постоянной
амплитуды, хараюериз у емой одни.м из четырех значений час·юты
(.f1, fz, ,fз, f.) в зав•исимости от сочетания двоичных оиг;н.алов от двух
независимых каналов. На,пример, код можно задать ·нижеследую­
щей та•блицей:
Симво·л !-го канала
«!))
«!»
«О»
«О»
Символ 2-го канала
«!»
«О»
«!))
«О»
Рабочие частоты ДЧТ
f3
В месте .приема определяется, 1как<!я из четырех 11юзможных ·ре­
ализаций -сигнала передавалась, а по ~ней - и информац.ия для
двух получателей. Спектральная ,цена уплотнен.ия системы ДЧМ
равна 2.
Бели ср·авнить сист-ему ДЧМ с двумя системами ЧТ (двух1ка­
нальная ЧТ), иопользующими примерно ту же общую полосу ча­
стот и ·обе-опеч,ивающими тот же объем переда·ваемой информации,
нетрудно выя-вить энергет.ичесr<ие 1преимущестsа _•системы ДЧМ.
344

Дейст,вителыю, для двух;кашtльной ЧТ при иопользованил от­
рез1юв 1синуооидалыных ,си1лналов У]Р не меньше 2, в то 1Вiрем я ка~<
для •систе;мы ДЧМ У]Р~ 1, т. е. ·в эт,ой ·системе мож,но обе,спечить оди­
на;~ювое с од,нока:нальной ,качество, не изменяя мощность передат ­
ЧИ!Ка.
В самом деле, согласно ф-ле (6.91) .вероя пюсть ошибочного
приема символа в 4-поз.иционной ,системе ДЧМ в гауосоном ка,нале
с неопределенной фазой ра,вна tB обла,сти малых ошибок: р.=
3
( h~\
=-
ехр - - ) . Но, а,нализируя кодирс,ва·ние в оистеме ДЧМ
2
,
2,
(ом. приведенную выше таблицу), можно убедить-ся в том, что лишь
в д!вух из трех ,возможных ,случаев оши6очно,го решения о пер е­
да,нной 'Ча:стоте 'Грул·nо-вого •сигнала сам.волы в отдельных 11<анала х
будут зарегистрированы ошибочно. Поэтому 'Вероятность ошибк,1;1
в ·каждом ,из двух канало,в системы ДЧМ
р=fр4~ехр(- h})
!!ЛИ
(8.27)
При одно,канальной передач е в ,системе ЧТ (о-рюгональной в уси-
•1)
ленном емысле) /i~ = 21n ( -2Р . Отсюда энергетическая цена уплот-
h~
п(~ )
нения 11 =
-
=----'--'-----'---
.
,В области малых ошибок У]Р= 1.
Р h2 \п(-;)+lп(+)
Бели сра·внить не средние, а пиковые мощ1-юсти сигналов ДЧМ
и дву~канальной ЧТ, преимущества ДЧМ еще ,более очевидны. Н а
самом деле, в :системе ДЧМ пиковая Мощность в отдельном ка,на ­
ле равна пиковой мощности 1передат'Чика Рпер (так :KaiI< каждый •раз
изучается лишь одна ча,стота). Для того же ~побы 1в двухка,наль ­
ной ЧТ в каждом ,канале ,иметь такую мощность, надо при ст-ро­
гом линей,ном 'режиме ,передатчи~<а иметь ли 1ювую мощность пере­
датчика, в 4 раза большую.
В оистеме ДФМ сигнало.м служит отрезок синусоиды постоян­
ной амплитуды и ча,стоты, но принимающий одно яз 4 з,начений
фазы ((р1, (JJ2, срз, qJ.) в зависимости от оочетания щвоич:ных симво­
лов от д,вух неза•виси1vrых каналов. Например, код можно задат-ь
следующей та·блицей.
В ра,осматрмвае.мой оисте.ме инфор1мац.ия заложена в начал ь.­
ной фазе сигнала и, следовательно, требуется 1когер-ентная ,обрабо .т­
ка сигнала на приеме.
Рассмотрим рис. 8.9 . Эти сигналы мож,но раосмат,р,ивать ка!:(
результат суммирования сиг.нало.в д:вух неза1внсимых дво.ичнысх ,1<;а--
13-386
34Ei

1
Символ 1 - го канала
«!»
«!»
1
«О»
«О»
]
Симв о,1 2-го канала
«!»
«О»
1
«!))
«О»
1
Фаза· сигнала ДФ,'v1
(f)1=0
С/!2=Л/2
1
<j)3=Л
3
<j)4 = 2Л
на.;юв ФТ (1 и 2-го) с ам,плитудой a/V 2, сдвинутых взаимно на
90. Средняя мощность эти х -сигналов в 2 раза меньше, чем у су,м­
i\tарного сигнала ДФТ. Следовательно, при оптимальном когерент-
'\-
Р'
ном пр ·иеме вероятность ошибки
',2
в н:аждом ,из дво-ич~ных каналов
определяется ф-лой (6.59) , если
(1
там h2 заменить на h2/2, т. е.
JL.
/
/
р = 0,5[1 - Ф(h)].
(8.28)
"'"2
V. "/
"
"/
J
а
"
/
а
/
Другими словами, энергетиче­
◄~--=----"11?---_::__----;~-- екая цена ра1саматриваемого спо-
2
jiz/ /
/
"
/
а
"-°=
----rz
'-.
'
х соба у:пло-гнения YJp=2, ка,к при
частот,ном ·или в ременном уплот­
неютл. Одна~ш, в отличие от по ­
следних, система ДФМ более эко -
но.мично использует ,полосу час-
ч
тот : при той же суммарной ско -
р ост·н передачи информаци.и она
-Р.и-с. 8.9". Векторная ,д.иаграмма си!'на -
лов при д•войной фазовой телеграфии з анимает примерно ту же П OJiocy
с1а стют, что и одноканальная ФМ,
,. е. спектр альная цена уплот,нения -системы ДФ,1\!l равна: лF = 1.
Вследствие трудностей обеспечения с и1нфаз·ного опорного нап­
ряжения ва лра1ктике реализована пока лишь система ·с дво.ичной
относительной фазовой манипуш,:цией (ДОФМ) 1) .
Возм ожная в системе ДОФ ,'✓i. разность фаз между соседними
посылка1м:и определя·ется сочетанием ,дв·оич,ных символов от д:вух
источни ков и может, ,как, например, в сисгеме МС-1 [18], опреде­
ляться в .соответстви,и -со ·следующей та,бл.ицей.
С11~налы ДОФ 1vl мож·но принять различными метюдами, в ча ­
стности, при .когерентной обр-абот:ке м-етодом сравнения [lОлярно­
стей (см. па ратраф 6 .5) . У,страняя влияния перескоков фа'-зы опор ­
ного JJ а-п·ряжения на ,прием последующих сим,волов, мы, ка,к .и лри
ОФМ, имеем такую ,ситуацию, когда при ошибочном олред,елен,ии
фазы одного элемента сигнала ошибоч·но оказываю-гся определен­
НЫ}Ш два соседних аим,вола, поскольку одно и то же значение фа­
зы уч.аст,вуе т в определении двух символов . Это праводи т к тому,
1 ) Особенности систе м , использующих относительную манипуляцию , ра-с­
,смотрены в парагр,афах 2.1 , 6.5 и 6.6.
346

Символ 1-го канала
«!»
(( 1})
1
«О»
«О»
Символ 2-го канала
«!»
«О» ·
l «О»
«1»
Разность фаз между пере-
Л(J) 1=0
л
Л(j)3= л
3•
даваемым и предыдущим
Л(J)2=-
Лq,4=2 11
элементами сигнала
2
Ч'ГО .вероятность ошибки 1в одном 1ка,нале :в ·системе ДОФМ пр.и­
м-ер.но :В 2 ,раз.а ;выше, чем :В ,системе ДФМ.
Днойная ,относительная манипуляция фазы nрименена в каж­
дом из 20 ча,стотноуплотненных ·каналов упом.инавшихся выше .сис­
тем «Кинеплеюс» 1и МС-1 [18], :ко-горые предста 1вляют ообой ,п,р,им,е­
ры смешанных 1систе~м уплотнения.
Энергетическая цена уплотнения этих систем YJp=40, т. ie . .крат­
. ности
у~плотнения, в то ,время как 1их опект:ральная цена у~плотнения
олред~яется ,опектральной ценой у1Плотнения 20 ча,стотных кана­
лов и равна: i/\,p=20.
Контрольные вопросы •
1. Каковы особенности построения классических (-асинхронных) систем раз.11е.ль•
ного частотного уллот нения ,и синхронных ч1стем часlJ'отного уплотнения (с
саглаоава,нными филь·11ра:м.и)?
2. Ка[{ оruределяю11ся энерге11ичеок,ая и спектр,алыная Ц ЕНЫ уплот,нения оис:тем
,связи, показатель v (~количество инфор,мации, переща1ваем,ой много.юа,на дыюй
си,стемой , в I с на 1· Гц пол,осы ча,стот) и пwк -ф аюю-р груJшювог,о сипнала в
•оистемах ча,сто11ного уллотненИtя)?
3. В ч ем осо:бенности постр,оения син хронн ых систем врем енного упдо'I'нения?
4. Че,м объяюнить понмженные требования к л,иней.нос11и 11ракта, пр оеоо11у а,ппа ­
р,а'I'уры и Л1учшее иопользо·вание пи.ко.вой м_ощно:ст и п ер едатчи К1а в системах
,в·ременн6!'о упл,отнения 1ю сра:внению с си ,стема.м,и ча,сто тно rо уплотнения?
5. Каковы реал,изацнонные оон,о:вы и псжазател ·и эффек11и1В1нос ·vи систем с уплоТ··
нением по фазе?
6. Чем объя1онить боль1Шую эффекти1в ность синх,р:сшных систем частотного уn ­
д•отнения (,с оо.гласов.анныаvш фильтра-ми) по срав-нен.ию с кла,соиче:скИJМИ си ­
,стема:ми у,пло'l'нения, в которых кан,алы разделяются поло сов ы,мм фильтрами?
7. Как,о.вы ово йс11ва «;почти» ортогон алын ы х (•сложных шумоно:добных) сигналов,
11юп-ользуемы х для у,пл,отнения по фо·р.ме в а,синхронных а,дресны х системах,
и общие .rrринци:пы перед,ачш ,сообщен,ий в ААСС?
8. Сообщения ка к их источников передаются посредством IКОмбинациониого и
,см-ешю-1,но!'о уплотнения и в чем особенност.и систем ДЧМ, ДФМ, ДОФМ?
9. К·ак,ова ср,швнитель~ая эфтj1екти1вность д,вухканалынюй ЧТ и ФТ ,и оист е ы
ДЧМ, ДФМ (дОФМ)?
13*

9 ГЛАВА
Методы повышения эффективности
u
и помехоустоичивости систем связи
9.1 . УСТРАНЕНИЕ ИЗБЫТОЧНОСТИ
Стат,истическая теория ,связи ,выдвига,ет и ,строt•6 -01босн,овЫ:ваеt
ряд методов, позволяющих ,существенно повысить эффектив,но,сть
( э1кономию ,полосы ча1стот, скорость передачи информа:Ци.и, поме ­
хоустойчивость ;и т. п . ) .систем •связи. Некоторые из этих методов
уже весьма широко ,применяют·ся. Остановимся на следующих из
ни х: у,с-гранен1ие ·избыточности ,с,ообщений, ,ста,ти1стическое ,уплотне­
ни е, разнесенный прием сигналов, прием ,в целом, ,иопользо.вание.
к аналов обратной связи, :применение широкополооных ,сигналов,
а д аптивная 'Комленса'ция (.коррекция) -канало1в ,связ.и .
У,странение избыточност:и ооо.бщений (см. ,пара!'раф 4.2) ,сводит­
ся к у,странению вероятностных 1связей: между элементами ,сообще ­
ни я (достигаемому для д1искретных сообщений ук,рул-нением алфа­
вита ) и к выравниванию вероят н остей появления отдельных ,сим­
воло в (дост,игаем-ому для д1к1, ретных сообщений стат,ист,ичеоким
ко щи,рованием).
В настоящее время мето д ы статист:ического (экономного) коди­
р ова ния в с,и ст емах пе,редачи данных ( ,напр,имер, ,в 1вычисл,ительных
м ашинах и при передаче телеграфной ,и нформац и:и) на практике
н е ,июп-ользуют1ся. Это обусловлено тем, что ,в •вьгчисл,ительных ма ­
шинах и з быточ·ность информации мала, ,в тел,е1графных же ,сообще­
ни ях ,избыточность ·об условлена в основ ном ·вероятностны ми свя­
з я• м,и между бу;квами, ,которые ·про•стираются очень далеко. Это
о зна,чает , что для у,странения Jiзбыточност и лр:ишлось бы приме­
н ять з.нач,ит ел ьное у1кру1Пнение алфа,вита, ~по сильно услоЖ'няет
т ехническую реал1изацию у,строй.стш I<одир,ования ,и ,декодир,о·вания.
К.роме этого, большая .избьпоч-ность телег.рафных •оообщен,ий поз­
в оляет .правильно во.остановить текст и при з·начительных ошибках
в 1ка.нале , ее устра ·нение повлекло бы за собой ,существенное .повы­
шение требований к качественным ха ,рактеристикам каналов ·свя,з1и.
Во'Прос об устранени,и избыт,очно;:т:и и,сточника оч,ень а,к'гуален
и экономическ,и важен ,при ,передаче непрерывных :сообщенtИЙ (в
ч а·стности, в телефонии ;и телевидении), где ,к тому же избыточ,ность
сообщений трудно иопользовать для по1вышения ,верно.с-ги ,овяз,и.
348

Речевой -сиг.нал обладает избыточностью, что ,сл едует хотя :бы
лз того, что · для передач.и какого-то текста 1по• телефо ну т1ребуе-11ся
.значительно большая n:ро1Пуе,к•ная ,спо1собно,сть (полоса ч астю т) :ка ­
нала, чем при ею передаче по 1телег,рафу. Даже ча:ст:ичное устра­
· нение избыточности rелефо,н·ных ,сообщений, обусло,вленной , ['Ла:в­
ным -о6ра,зом, ,сложными 1С1Вязями ·между его отдельными элемента­
ми, ·позl!Золило ,бы зам-етно сократить необходимую пюлосу 1Пр,ооус­
кания !канала .и снизить требование к его ,качес11ву , т. е. 1при1Вело бы
к ,существенному выигрышу. Предп,ринимается очень м1но,r~о ПО!ПЫ ­
то.к у,стр.анить избыточность телефонных ,сообщ ений при по.мощи
разл1ичных типо-в вокоде,ров 1 ) - у,стройств для ,ыод1иро,в,ани,я голо­
,са, ·в которых по л,ини.и связи, 1ка 1к пра,впл о дискрет·ным .и ,меТ~ода­
ми, передает~ся л.ншь инфо•рмаuия об отдельных параметрах теле­
фо.нного •сообщения, :тто -которым в месте прtиема ,синтезируется ре­
чевой •сигнал . Обобщенная структурная схема передачи телефон­
н ого сообщения ,с вокодером 11ю каза1на на ·рис. 9 .1.
t!сточ1111к
ооr5ще1111я
д11ализатор
соооще1111я
Блок
rрормиро/Jшюя
параметра!}
соооще1111я
Л111111я
CIJЯJU
/00.'Лf"0 то'Ль
r
езатор
ОцеIIКО
''
' '"·
.,_---1" 1111т -~----1параметроб
соо ще1111п
сооr5ще1111я
сооr5щеt1ия
'
Рис. 9.1 . Обобщенная стру.к11ур·ная сх•ема передачи непр е-
рывного с-ообщен.ия путем измерения и передачи по ка,на ­
лсу совоку,пн.ости его па, рамет, ро,в и синтеза по ним в мес ­
те приема исх-<щного сообщения
В некото,рых во.кодерах ,пара1мет.рам.и сообщения служат ам1пл1и ­
туды -сигналов в определенных, ,наиболее ха·ра,ктерных для :речи, уз ­
К;их полосках сообщен:nя 1 ( форма , нтные аюкоде ры), 1в д.ру ,гих (;га·р , мо­
НIИчеокие вокоде ры) !Параметрами являют,ся .несколько ,коэфф.иц·и­
е.нт,ов Фурье от разложения в ,ряд текущеJ'!о ам:плитудного ,спектра
сеиг,нала.
Разрабо11ки последнего времен.и обеспеч,ивают .ка1чес~во переда­
чи телефо'Нных со-общений .вокодером .и в трудных у1сЛО1В'ИЯХ ыв
св язи, ,используя диок,ретные , м-етоды передачи пара,ме-тров речи.
Острее, чем ,в телефонии, ,стоит вопрос об у-.сrранении из·бы1'0Ч-
1юсти •В те.лев,ид,е;:1ии . Эта ,избыточность коло.ссальна, о чем, 'В ча ­
стности, свидетель·ствует ширина полосы ча,стот, т,ребуемой сегод­
ня для леJР'едачи телев,изио,нного ,сигнала (п,о,ря,дка 6 МГ,ц). Между
тем оказывается, что соседние элементы ,изображения ·на одной
с11роке, соседни е строкн внутри кадра и даже соседние кад!ры изо -
1 ) Т ер,"ы1·н обр,азо1ван от -а,нглийоких слов : \1 oi,ce - голо.с и coder - кодиро­
вание.
349

бражени я ,оиль.оо кор,рели р-о в аны .меж д у соб ой, Ч1'О ,п о:р ожда,ет бо ль ­
шую из~быточ,ность {28]. Ее можно было бы уст-ра нит?, напр,имер ,
передавая ЗIНачителыно ·ме·ньшее · число элем,ен т-ов в -ед ин и ц у ,вре ме­
ни и пр()IИЗ-ВОДЯ интерП·ОЛЯ,Ц•ИЮ У. Л И же переда,вая ,по Л,ИНИ.И ,св я.зи
л.ишь 1сигнал ,ошибки м,ежду дейс11вительным и ~предс к а з анны м з на­
чениям.и •н е,прерьшного оигнала (рис. 9.2). Более радикальное соа,-
IJcтr10rJ.cт80
соа811е11ия
Пf1.еiJсказы­
Оающее
устройстОо
ЛереiJатчик
сиг11оло.
ОШUО!Ш
J7111111я
сбяз11
Пр11ем11иii
сигнала
ошибки
УстдоtJ.стбо
cpaff11e1111я
Реге11ератор
11епрерь1О110-
го c11г111Jna
Преl!сказы ­
_______, 8а1ощее ·
устроО.стiJо
PJ1c 9.2. С11р·у,ктурная схема п е редач и непр-е рЫ:вн о го с ообщения пут ем п ер еда ч и
по rканал,у сигнала ошибки межщ•у ,пред•сказанны м и измере-н ным з·н ачен и ям.н
сигнала
ращение избытоrчнос11и телевизионного сообщения, одна·ко, ' о беща­
ет путь теле.1юдера (см. р.ис. 9.1). Очев,идно, что -в параметра х , аш­
то·рые определят в телекодере ,передаваемое сообщение, до л жны
быть максимально учтены особ_енности человеческого зрения и про­
ц еоса в-о,сп,риятия им изо-браже.ний.
К сожалению, предлож,енные и част,ично ,с,м-аа< етирова.нны е спо­
собы «•сжатия» телев.и зпонного си,гнала с ,целью оокращен.ия , iВ пер­
вую очередь, его спектра еще очень дале1ш от желаемых .
9.2 . СТАТИСТИЧЕСКОЕ УПЛОТНЕНИЕ
Ра,ссмотренные .в гл . 8 ,си,сте.мы уплотнен и я лин,ий 'овя зи н ел ьз я
сч,итать пр е.делы-ю эффектир ными. Осно·вная ~прич ина ·неэф ф ектив­
,1iос11и з а к лючается в то м, чт,о отдельные .инте,р,валы времени ,и ч·а­
стоты 1п о·стош-шо за,креплены за отдельным и абонентами. ·неза:в.,и си­
rv(о от то·г•о, есть ли дей•с'Гвительная ~потребность в 1них ·или 1нет. Дру­
г iм1и ,словами, .не учить;вается то обсто я т,елыс11во, что источник юо­
обiцений , ка\]( 1пра1в,ило , .выдает ,инфор м ацию на ,все нремя ,и .н е во
в,сей отводимой ему ча,стотно й полос е . Это оообен:н о наглядно п;ро­
являет,ся лр и уплотнении канала телефон1Н!.,1ми сообщениям1и.
На -само,м дел,е, ·при д;ву,сто'Ронней тел-е фонной связ.и отдел ь ный
абонент говорит :в среднем не -более полювины вре1мени , о сталь ное
время ,слушает ответ. Существуют ,п ерерывы и з 1само.м раз,гО:вор ·е ,
во время ко·горых по ка•налу информац,ия -не ,передается, хотя -он и
за.нят.
Поскольку перерывы ,овязи в большинстве ушлотняемых 1,,анал,ов
происходят неза ,ви1симо, :имеется воз,\южнс,,сть по:выоить ч,исл о пе­
редаваемых ·союб щ ~ний (эффектИlвность 1связ,и), за~пол·няя частот­
·ные .ил.и в,ременн ьr е учас11ки, в которых .передача .на ,данном интер ­
вале 011сутс11Вует, оиf1налам,и до1пол·нительных овязей. Само со•бой
350

понятно, что реализац,ия этой возможности связана с определенны ­
ми техничес~ш ,ми труд,ностя.ми, та1к ,как rв таких оистемах :r;:а,стотные
ил~и времею1ь1·е ,интервалы нельзя закреплять за отдельными -источ ­
н.и.кам1и.
Предложен·о неоколмю систем гювышен,н·ой эффекти,в•ности со статистu,~ески,11
уплотнением (учитыва ющие статиrст.ику естес-11веш-1ых перерывов овяэrи) . До:воль­
но просто зада:ча стат,1-uст иrч•еского у,плотненин телефонными сообщениями реша­
ется с пом-ощью н~оrвого метода им,пульсной ·м-одулнщи,и ИИМ - интер•вально ­
!•JМ.пульсная модуляция . При этом методе информация о передаrваемом сообще ­
н,ии содержится в длитель·ност,и интервала Лt между и:мл,ульюом, ооо·nветствую­
щим данному соо-бщению, и предыrдущи,м им.пульсом, кото·рый соответ.ствует
другому по порящ:ку соо•бщени.ю.
В отл,ич,ие от ФИМ, при ИИМ для уплотняющих к•а~налов не О'l'ВОJI,ится
же-С'f\КО установленных отрезк·ов в1ремени, им,п.улысы отдельных к, а, нало-в разме­
щаются в тактовом интервале Ти = 1/2Fс ,в соответствии со значениями пере­
даваемых сообщений .
Число воз,м-ожных ка,нал,ов в оистеме ИИМ определяют, исходя из ·юго,
что су:мrма всех интер1ва,•юв Лt i межrду импульса,ми с вер·оятностыо, близкой 1-;
единице, не должна П1ревышать Ти:
п
LЛtk<Тц,
k=l
(9 .1)
Е{:лн бы во всех каналах информ ,а,щия пере:да1вал-а1сь без перерывов, то воз-
мож,ное число .каналов
(9 .2)
С учетом же статистики перерыво-в значение п следующее из (9.1), может
в 3-4 раза превышать значен,ие п, ,следующее из (9 .2) и справедливое для о·быч ­
ной систем ы ФИ./\'\.. ИИМ реализована в нек•ото:рых прово-д,ных системах теле ­
фонной ,свя,зи .
9.3. РАЗНЕСЕННЫЙ ПРИЕМ
Сущно·стъ разнесенного ,приема заключает:ся в том, Ч'ГО передан ­
ное сообщение 1воспро.изводи11ся в.а ,приеме не по одному, а [Ю дiВУ,М
или более си,гналам, несущим одну и ту же инфор .маuщю . :Го:во:рят
о ч.исле ,ветвей разнесенного приема п. Раз·несенный прием тем бо ­
лее эффективен (тем больше увЕ:лиrч.ива·ет по.мехоу.стойч,ивость овя ­
зи :по ,срав·нению 1с о_щиночныrм л:риемом), чем меньше велич,ина •,вза­
имной корреляции м-ежду 'Помеха,м1и и полез.ным:и сигналам,и в ,от­
деJiьных вет,вях. Раз·не;::енный лрием является одним 1и:з осно.вных
способов по:вышения помехоус ·гойчи вост и связи при нал-ич'И.и зами­
раний ,си1гнала.
В радиос,вяз,и ·разл1ичают, ,по крайней .мере, 6 ,способов ра-знесен­
ного приема: ,во врем,ени (оводится, ,по суще-стrву, к пошторен,ию аи.г­
нала ,несколько раз); по ча,стоте (,полезный 1ОИ['Нал дублируется по
·м1ног11м частотным кана'лам); прием ,сигнала на ,различ1ные а1нтен­
ны , раз-несенные в пространстве; поляризационное разнесение (при­
ем на ·различные антенны, ра ,оположенные в одном месте, :но 'Пр1и 0
ни.мающие каждая электромагнитную волну о:пределенной mоляри­
зации); разнесение по углу mрихода электромагнитной волны в го-
351

ризонталь ной iИЛIИ вертнк альн о й !Плоскости (пр1именяется ,на укв) ;
р азнесение по отдельным лучам •В :многолучевом (.многоп у тевом) ,ка­
нале.
Из перечисленных 1мето,дов ,в .wв ,и ук,в диапазонах ,на ,сегод н я
наибольшее ра,С1П1ространение пот,учил пр·ием 1на разн есенные •в ,про­
стра ,нс11ве антен.ны.
Сущес1'вуют различные способы ком·би,нирования («сложения»)
сиг:нало,в отдельных вет,в-ей 'раз.несени я ·на приеме. Ра-ссмотркм -на.и­
б олее 1п:р10стой ·и ,широаю ~распространенный юпо,соб автО'выбора вет­
в,и с ,наиболее оиль·ным сиг.налом и переключен ием приемников
( р,ис. 9.3).
1-я дет/Jь
Лриеюшк
---
-----
-----i 1
__
г_-я_б_ет_б_ь _ _ _____лриешшк
z
__
л...-я,_б_ет_б_ь_--+----+----1 !!рие111111к
п
Схе11а
переклю­
чеNи R
fleшaющuii
олок
Рис. 9.3. Схе ма разне:се нного пр ,ием а сигнал.о-в п утеы
_а:втовыбора ветви с наиболее сильным сигналом.
В эт,ой ,схеме [юсrоянно изиеряется коэффициент передач.и ка ­
нала Ki (или мо щности принимаемого rснr·нала) по ·отдельным вет­
вям, а на основе эт{>rо ,изучения 1к ·решающему блок у лодключает­
·СЯ прие мник ,с ,на,иболее ,сильны iи :аи гнал,о,м.
Проа,н,ализируем по:мехо ус т-ойч·ивость схемы а.втавыбора д,1я J,вончно й ои ­
стемы с аrкт,ишн-о й па у зой, орт.огона л ь ной в усиленном омысле (ЧТ), при мед­
.ленных рэлеев-оwих неза · вис ,имых и и,де,нтичных замира , ниях сигналов в O11дель­
ных ·ветв ях.
Вероя ·11нооть тог-о, ч110 ,в (п-1) ве11вях ко эф фициент передач ,I-1 канала
К <-vo, а в од,ной ка,кой - либо ветв,и К - в-блнзп 'Vo, о пμ-едеш!11ся фор.ыулой
[Уо ]п-1
w (-у0)d'Vo = п w1(k = -у0) iw1(k) dk
d~'о=
=
0ехр-~
1- ехр
-
0
d 'Vo,
n-y
( 'V2)r
( 'V2)]n- l
кz
к2-
кz
.
(9 .3)
352

{"Де rо1(к) = 2
~' ехр (-
~) - рэлеев,окое раюпределение а•м~плитущ (!().
к2
к2
Плотность · вероятности :д.ля ,мююимrу,м а юоэффи!liиента передаrчи канала
Ктах="уо ,ю л.учим, если (9 .3) раэдели т ь на clyo:
п '\'о
'\'о
'\'о
[
(
2)]n- 1
ro ("?о)=К2-ехр(- 1(2) 1- ехр
-
к2.
(9.4)
Для д•во,ичн:ой ЧТ в 011сутствие зам•ира·НIИЙ сигнала и оптималЬ'lюм (пр·н
флу1Кт,уационной помехе) пр.иеме при неопрещ·еленной фазе вероятность ошибки
.при /( =уо ршвна · согла1сн,о (6.88):
р(Уо) =+ехр(- +
где Gш - 1ооею.ральная пло11ность Ш)llll1a .
ЛнаЛ!из,ируе,мая схема а1втювыбора может ра.оом•атр;ивать,ся JШК схема оди ­
нарного приема, у к,ото•рой при медленных за·1,ш,раниях сигнала Jюэффшще·нт
перед,ач,и канала /( =уо меня ·е11ея в соо11Ветси,ии со стат.истикой (9.4), т. е . оред­
няя вер·оятность ошибки пр,и п-.1'ратно м разнесении 1)
ео
";
[ "?2(
h2)]( 1'6 )n- l
Pn =Jp(yo)ro(yo)dy0 = п_J Уоехр
-
~1+-
1-е- К2 dyo,
2к2
•
к2
2
о
о
-
К2 РсТс
h 2 = ~ - отношение сред•ней энергии посылки си11нала в месте приема
к с•пеuпральнюй пл•о11ности мощнос1ш шrу•ма.
Используя формулу -бинома Ньютона и ин­
·тегрируя, •получим
п1
Рп=
(9.5)
На рис. 9.4 изображены зависимости- Р п
-от Тi- 2 при числе 1ветвей -разнесения n = 1, 2, 3, 4.
Из кривых видно, что эффективность раз ­
несения вел·ика при переходе от одинарного к
двоичному приему и заметно падает при даль­
нейшем росте числа ве'!'вей.
Это объяоняется тем, что разнесение тем
выгоднее, чем хуже эквивалентный одинар-
_.
ный канад. С ростом же п флуктуации Уо
уменьшаются - эквивалентный канал стремит­
·СЯ к каналу без замираний, где р азнесение
(теперь только по помехе в отдельных ветвях)
значительно менее эффективно. Пра ,ктически
число ветвей разнесения чаще всего берут
.равным 2.
Рис. 9.4 . Зависимость вероятно­
сти ошибки в двоичной ЧТ с .
автовыбором ветви с наиболее
сильным сигналом от отноше­
ния ,сигнал/шум и числа ветвей
разнесения
1) Эта форм ул,а п рн бл,иженная, так ка.к из - за а.д,д,ит,и,вноrю шум.а в ка,нале
· блоки
измерения на рис. 9.3 не могут т,очно измерить м-ощность чи1011оrо сигнала
{t1юэффиц•иенты Ki). Одна,ко п,р1и достаточно медленных замираниях, произ•водя
:уч:рещ1,rение по помехе (выбирая достаточно большу ю постоянную в,ременл), бло­
ки измереН1ия • омог у т уд овлетворительно с-пра.в.итыся со овоей за1дачей.
353

В облас11и м алых ошrнбО1к :
Р1 ~ 1/hi; ~2
2
~
4/(h~2 } .
7if ~ 1/р1; h2 = 2/УР2
(9. 6)
Пр и н еизменно й ,веро я тности ошибки р1 = Р2=Р эне р гетиче ск ий в ы игрыш (,вы­
игрыш по мощности передатчика) сдвоенного лриема по сравнению с одинарным
ТJр =hi /h~ = 112 -V ,i':'
(9. 7)
При .ве:роя11ности ошибк и р=!О-,. и•ме ем 11=50 (1 7 дБ).
Бели меж,д'У оигнала.м~-1 в о '!\делыных в е11вях .имеется корре ляция , в ыи гр ы ш от
ра·&несения, ,ка,к можно показ,ать, падает, однако незна•IИтель,но, вплоть до ко­
эффiщие нтоtВ вз аим,ной 1юрреля.ц и и R ~ 0,6 [53].
М ожш,о также показать [53], что помехоу,сто йч.и вость ра,сом-отренн,о й схе~~ ы
с автовыбо·ром в области ыалых ошибок незначитель,но уступает по по~1ехо­
устойчи•вости схемам опти м ального сложения си гнал ов, ,реализуемы м более
СЛОЖl!·!О.
9.4 . ПРИЕМ В ЦЕЛОМ
До сих 1пор ,раооматри •вали только наиболее распростра~ненный
на пра1ктиI<е поэлементный метод ,шриема ди~окретных сообщений,
пр,и котором :решение о ~ереданной буюве а,, (или соотве11ст,вующей
ей кода.вой комбинации Ь,,) приним.а,ется декодеро,м (.второй решаю­
щей .схемой) ,по результату а.нализа совокупности элементарных ко­
дмых ,с,им,воло:в ь; , 1Послед-ователь-но выда·ваемых первой ·решаю-
щей схемой приемника по результату а•нализа эле,мента непрерыв-
1юго сиг н ала длительности Т.
Одна:Ко, если IП·рrи коди,роватш соО'бщений ак в1несена избы'ГОЧ­
ность, поэлементrный прием не я:вляется оптимальным :даже ·при ус­
ловии, что первая и вторая ·решающие ,схемы пр,ием .н1ика в ,отдель-
1-юст,и реал~изуют оп,имальный ал•горчгм обработки ,оигнала (,п у,сть
тю кр.итерию ма,юсиму.ма а'Постериорной ,вероятности ,[53]) .
На сам·ом дел·е, пр,и поэлеVIентном приеме ~вторая ~решающая
с х ема распо л ага ет не полной информацией, юодержащейся н ,при­
нимаемом ,сип1 але z(t) [например, хара·ктер этог-о ,сиг.нала, апосте­
риорные ·вероя11ности P(b;/z) и т. п.], а лишь информацлей, оодер-
жаще й,ся в :по,следовательностн сим1воло:в Ь; , выдаваемых ,п,ервой
р е ша ю щей схемой. След,о:вательно, если при •использо:ва,нии коррек­
ти:рующето кода эта последовательность ·не образует .допу~стимую
иодовую ыом б,инацию, 'Ю декодеру «,приходится» принимать реше­
н1ие о переданной бук,ве a k , не раополагая 1в1сей возможной л нфор­
~1ацией.
В ча,стном случае, кшда последовательности элементар,ных ,сим­
волов н а вых оде пер,вой решающей схе1мы mриемника ,в сегда обра­
_,уют до,пуст и.м ую и апр.иор.но равновероятную кодовую ~юмбtина ­
цию ( кодиро,вание без избьггочност.и), поэлементный пр:ием :следует
считать оптимальным, ибо :в Э'ГОМ случае опт,имал ь ный выбор каж­
дото из элемента1рных ,оим:волов Ь: обеспечивает ма1к симальную
L
354

.ацостериор:ную вероятность '!Юдовой ко.мб,инац,и,и, об1разо,ва :нной на
их основе.
При избыточном же ко.диро:Ва,нии оrптималь.ным ~следует сч.итать
пр,ием :в целом, когда прrиемное у~етрой:с11во ,анализ,и руеr ·ка,к еди­
ное целое принимаемый ,с:игнал z(t), соответеr~вующий ~Всей ,пере­
данной кодовой ком6инац·ии, принимая решения в :пользу сообще­
ния а,, (б~к,ве) с на,ибол ь шей аrпосте:р.июр.ной ~вероятностью.
П р,нведем про.с11ой прIием, который про:n.емон,стР'ирует ро.ст эффекти-в,ности
-при-ема в целом пю сраIвнепию с по элемен тным прием,о.м. Пу,сть 1-юп·ользуется
из бы т-очный код (3 .1) с разрешен,ными кодовыми к,омбинациям и:
(9. 8)
.а д, в 0,11ч ные с11м I в-олы пер ·ещаю'Гся .сигн ·алам-и, о:р'Го11ональrными . в усиленном ом ы сле
(оаст ема ЧМ) , по га,у.соов,ому ка,нал,у с неолределеНiной фазой и и3вес1'ным ко­
э ффиц,иен'Г ом переща,чи к.
Вер,оя п юс1ъ ошнбочноrго прием,а , элементаIрного сшив-ола длителы юс1'и Т
при ОJi т,ималыном ло;тементн:о,м приеме
1
( h2)
р=2ехр -2;
(9. 9)
,В ероятность же ошибочного приема кодовой комrби,нац~-ш (9.8) в це л ом прн
использюв аI1ши опять -т,алш д в-ух си~нал,ов, орто11оналыных в у,с.илешно м смы<:ле ,
но теперь длIителы1юстью ЗТ, равна:
Рк=+ехр(-з~2 ).
(9.10)
Экви•вал ент н ая верюятность ошибки Ра при п оэлементном приеме ( ом . п~ ­
р аграф 5.3)
3
(12).
Рэ(поэл.пр) = 4 ехр - б hэ
'
в т о в ремя как э:ыв,ишалент.ная вероя11ность ошибки п~ри П1рие,ме в ц елом
1
( h2'
Рэ(nр.в целом)=Рк= 2 ех~ - f) ·
Выигрыш iю эк вивалентной вероятности ошибюи
Рэ(поэл.nр) . е; ( h; )
~ nоэл.пр = -~-~~ = l ,vexp -
,
пр.в целом Рэ(пр . в целом)
8
а энерге тическ ий .выигрыш в рассм,а11риваемом ка,нале
[
(1,5) j
[
h;(nоэл. пр) ]
ln \ --;;
ТJ поэл.пр = 101g -~
-~-
=
!Olg 3lnгlэ.)
.
•
пр. в целом
h;(np. в цел ом)
\2рэ,
В о·бла,ст,и м•алых оши<бок ТJ
~101g3~4,7дБ.
поэл.пр
пр.в целом
(9 .11)
(9.12)
Необходимо иметь в ,виду, что реализац.ия оп11имальной ,решаю ­
щей ,схемы для 'Приема :В uелом в общем ,случае до,ста точ.но сложна.
В ~шст.ности, она дошю-;а ,содержать на,бор фильтр ов , согласо,ва н-
355

ных 1с ·ситналами, соответствующими всем разрешенным 1юмб,ина-­
циям кода .
Предсташляют поэтому практичеокий ,интерес ,схемы пр и ема, за­
нимающие по эффект.и,вност:и промежуточное положение между
приемом 1в ·целом .и поэлементным приемо.м. В них две решающие ·
схемы, но, ,в отличие от обычного ,поэлементного ,приема, iПJРИ пр ,и­
няти:и •решения во втQрой ·решающей ,схеме учитывает,ся некоторая ·
инфор.ма,ция 1непрерывного ,сигнала на вхо,де приемника.
О11метим зд•есь дексщиро,ва,ние по наиболее надежJН ым си~мво.1~ам , которое··
реалкзуе11ся схем •ой указа-н,Н,О!'О вида. ДеJКодироваfLие по на ,иболее н а д еж•ным
оимвола,м ·1юдов·ой JЮ-l'v~бинации осню-ва,но на то.м , чт,о п р,1 использ ов а нии избы ­
точных .код~о-в декодер м,ожет пр1и·нять решеfLие и при .наличии час'!\И стертых .
(а следов1ательно, ненадеж•ных) эл емента,р•ных сим·вод ов [3].
Для линей,ных кмов, д оп ускающих р а здельные проверки по и,нформ,а,цион-­
ным СИ,М•&олам ( ом. ла1раграф 5.3) , з а по·след,нее вр ем я [20] предлож ен метод а н а­
логавого дек,wщр•оваю,я, обеСJпеч1ивающий эфф ектив.ность, бл,и З1Кую к эфф е1<'1\И ,В - ·
,но.сти приема в целом. При э ·юм методе решение по кажд·о.му из информаЦ1ион­
ных символов п,риним-ает,ся по рез у льт,ату ана,л и з,а ( 1непрерывног,о анал·огового) ,
напряжения на .выходе д емодулят,ора при емн и,к а.
Теперь ра,осмотрим системы ,связи ,с ,обратным .каналом. аюторые ·
могут обе·спеч,ить еще большую помехоу,стойчи1вость, чем 1пр.ием в .,
целом (,53].
9.5 . ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КАНАЛОВ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
Существующие системы связи часто делят на односторонние·
(прямые) ;и .цву:сторонние. В односторонних (прямых) ,системах нн­
фармац.ия лередает,ся в одном на,пра,влении.
Тиrпич,ным ,пр:имером пр.я.мой ,системы может .служить ·ради0,ве­
ща1ние .или теле,видение: здесь ,сообщение передае11ся, наир,имер ,_
толыко из радиостудии к ,слушатедям или зрителя 1м, ,овязь 1же в об­
ратном на!Пра1вле1-ши - от слушателя ·и зрителя к студии
-
на ·се-­
го.дня невозможна.
Дву,с11оронние 1ои·стемы иопользую·гся для овя з и меж ду .ко,р,рес­
пондентам.и, :каждый ,из ~которых может быть ка,к оrnра:в и телем, так
и получателем информа,ции. Практичеоки таыие систе м ы ,обычно:.
реализуют,ся ,с прим~енением на обоих концах линий ;связи однот.ип­
ных комбинированных приемо-передающих устрой,сТ!В .
Дву,сrоронние системы ,связи деJiят на ~симплексные и tду1Плек.с­
ные. Система называется симплекспой, если в ней !В одно ;и ·ю ·же ·
время .информа,ция может переда,ваться только в одном .напра;вле­
нии.
Иными словам 1и, 113 :симплексных системах, если п,р.иеl\юпередат­
ч1ик одног,о .из ко·рреопо,ндентов ,работает ,в ,режиме 1Пер·едачи, то у ·
друrото он в это Вiре:мя ра,ботает 1в режиме ~приема . Затем 1ко:ррес­
понденты, ,по у,ста1но·вле1нному сиlf'налу ,с,о ,сто·роны ~переда тчи:ка, ме-­
няются ролями.
П,ри·мер,ом та,ких ,систем связи •может ,служить большое число по-­
левых ~радиоу,ста,новак, rпр,именяемых в ,военном '"-еле, •навигащии и ,
др,
356

Система ,овязи называе11ся дуплеsсной, е,сли она ,обес,печ и-вает
воз:1,южно1сть одновременного независимого обмена информацией
между д:ву.мя iорреопондентам,и . Такой, на·пр:имер, являет,ся сие­
·. тема
обычной телефонной связи.
Все сказанное в предыдущих ,главах о выборе оптимальны х для
данных условий опособов 1Ш~JРедачи (кодирование, rв,Ид переносч и ­
ка и его модуляц111и) и о;пт1и:мальных споообов приема rв ра ,вной ме•
ре относи11ся как · к ,прямым, та,ь. и двуеrс,ронним ,си,стемам.
Здесь ~а1осмотр,Им те дополнительные возможности ,по1выше:ния
помехоу,стойч1ивост,и, коrорым1и обладают двусторонние ои ст емы
овязи. ,Возмож,ност:и эти ошюваЕы •на иопользовании обратной овя­
зи от 'Получателя к 011п:р,аrвитешо в процессе передачи сообщен ия
и особенно эффект:ивно могут реализовывать~ся в ,ду,плЕжсных ,сис ­
темах .
С rюмощью обратной овязи, посредст,вом которой моЖ'но пере­
давать те и ли иные сигналы ,в напра·Rлени и от ,получатеш, ·к от.пра­
вителю, 11<а,к увидим нпже, можно сущесгвенно ,повысить :вернос ть
приема ,сообщений, передмшых в прямом направлен~ии. При это,м
система в цело.м может работать ,как дуллек,сная и иопользоват ь
толь,ко ча,сть пропускной оrюсобностн каналов (в обо,их на[]равл е ­
ниях) для передачи до'Полнительных данных, 1поз,воляющих по,вы­
сить верность ов1яз,и. Заметим, что двусторо нняя связь я1Вляе'Гся 1су­
щес11венной оообенн,о,стью раосматриваемых ·нами зде,сь систем
лишь ,постольку, посколь,ку она ,по зволяет образовать .ка1нал обрат­
ной овяз1и. Поэтому системой с обратной ,связью 6удем 1сч.итать и
такую, в которой по каналу обрапюй .овязи могут передаваться
лишь сигналы, корректирующие ра,боту прнмого канала.
Обратная 1овязь (от получателя ,сообщения к его от1пр ав.ителю}
можег быть иоrюльзова на по-разному, что пр,и,водит к создани ю
большого ч,исла ,разлнч.ных .систем, ,всю ,совоку1пность которых обыч ­
но под1разделяют .на два основ1ных кла,сса: системы .с инфо·рма щи­
анной обра1'ной овязыо и системы с упра1нляющей 1) обратной свя­
зью. Основ.ой та,1юго деления служит присущее э·шм двум :классам
разл1ичие ,в методах иегюльзовалия обратн.ио канала '[13] .
Современная тех,Н1ика овязи иопользует обрат,ный ·канал, глаn­
ным образом, для повышения верности передачи лишь дис1кретных
сообщен,ИЙ в прямом км~але. ПеР.едачу дискретных оообще т1й н
будем ТI'редполагать ,в дальнейшем.
К ,аисте.мам ,с инфо·рмационной обратной ,свя,зью относя т та1кие,
в которых при передаче сообщений с прием,ного устройегва на
передающее ,по каналу обратной ,овязи посту,паеf информация о
'!'ОМ, в каком ,Вlиде по прямому каналу ,при,нято ,сообщение . Р аспо­
.r~а,гая та,кой ,инфо,рмащ;ей, передающее устройство принима ет ре­
шение о сте1Пени ,соотве 'Гс11вия 1принятог,о сообщения пе:р едшваемо­
му ,и в ,случае неюбходимости ююоит в проце:ос лередач1и изменения
(натт,р1и,мер, увеличение мощност.и передатчика, по,вторение ошибоч-
1 ) Ин~олда ,их называют с «·решающей» абра11ной связью.
357

но принято,го -сообщения, измсне'l1ие используемого кода илтт да ­
же полное 1прекращение передачи на в,ремя, пока канал находит­
ся !В «·плохом состоянию>). Каждому из.ме.нению IпредшестtВуют ,со­
отве11стrвующий условный сигнал :по прямому ,каналу и под'Гв ержде­
ние о его ПР'иеме (по ка,налу обра'!'ной овязи).
Одним .из Пiростых .ме'!'одо:в инфО'рмацианной обратной овяз:и яв­
ляется мет,од Iполнооо обратного по·вторения и ;проверки (,сокращен­
но ОПП). В этом случае ,принимаемый ,сигнал, по .мере постуIщ1е ­
нIия, тюл.ностью ,nередае11ся ,по .каналу обра·тной с.вяз,и ;на передаю­
щее устройство. Там каждая rпринятая Iкодо·вая ком,бина,ц,ия сли­
чается с той, которая при этом ,переда,валась. Бели обна·ружится
несовпадени е переданной и п.риня'l'ой rкодовых •комбинац,ий, то пе ­
редающее устрой,ство посылает 1опещ1иальный ,сигнал («<стирание»),
после чего лоIвтюряется неправильно принята.я 1комбинац,ия. Оигна ­
лом «'ст;ира ние» служит одна из кодовых комбинаций .
Ра,ссмотрим ,схему (рмс. 9.5). В оистеме ОПП, как nра'В.ило, и·с­
пользуется ,при.м ,~пивный код 1 (без избыточности). За,кодиро.ван-
Перебающая сторо11а
I
Пр11ем11ая сторо11а
••
..----.
1
Нсточ11ик
блоки J Линия блоки fJрененной Полкчатель
сооощения
переilачи пrg::g;g приема накотпель ~ооощения
Линия
ооратного
канала
блоки
переilачи
днализатllfl
сигншщ
стирания
Р1!1с. 9.5 . Ф унrюц,ион альная сх ема д:иокретно й системы с Jiнформацнонной обрат - -
ной связью
ное сообщение 'Посылается в ка·нал <<1порц ия м,и» ,в в.иде последо•ва­
телЬ'нос11и ('ГОЙ или иной длины) кодовых !СИМ:В'ОЛО:В. Чаще 1в,се-го та ­
кой порц.ией я:вляется одна очередная Jюд овая 11юмб:инация, однако
зто ·может быть .и одна очередная элеме,нта,рная посыл ка (,кодовая)
Л,Ибо очередная гр уппа, состюящая .из и звестного числа ,кодо,вых
комбинаций.
На.пDавлеН'!-Iая ,в кана л пря,мой овязтт «порЦ1ия» в то же В'ремя
заiПОI'1'1'ИНается на mеред ающей ст,ороне !ВО :временном накоп ителе.
Принятая «•порц,ия» сначала з аписывается ,во временном накопи ­
теле ,приемного ,у,стр·о йства и Од!новременно по обрагному каналу
передается снова ·на 1передающий ко·нсц, гд е ,срав.нивается ,с пере ­
данной, з 9,фик1сированной в на'Колителе . Под вD здейст В'J-rе м пом,ех
к а:к в ,прямом , та к и в обратном каналах ,свя.зи передаваемые «пор ­
пии» .могут исказиться . Бели сра·внение на передающей ,с"юр,оне по ­
казывает, что и1сжажений не было, 'ГО передае11ся следующая «пор -
358

ция» закОl!I!И;раванного ~сообщения, в ,противном же ·случае переда ­
е11оя опециаль.ный сигнал ,стирания. Если •сигнал стирания .не IПО·
стуюил на п·рием,ное уст ройство, ·ю «'Iюрция», х-ранящаяся там в
на 1копителе, деко ди руется, а вмесrо нее за поминает;ся -следующая,
в юрот.и·вно м ,случае юодержи.мое лр,иемно,го ·на ,копителя стирается
без декодирова'ния, а при,нятый си,гнаJI ,стирания передае тся по об­
ратному ·каналу ,на передающий .конец, где ,тюсле его поступлен1ия
на прием.ный конец напра,вляется вся ранее ·передавае мая «пор­
ция» оообще~шя.
Бели передача сигнала, :подтве,рждающего стирание, по .ка налу
обратной овязи lсопровождает-ся искажени,;ми, то по :прямому ка­
налу 'С1-юва по1сьшае11ся ,си,гнал ст.ираш-ш.
Кодовая 1ко·м-бина.ция пр ;инима етс я неправ.ильно только тогда,
1югда в ПР'ИНЯ"ГОЙ ,по прямому каналу комбинации окажутся ошибки,
а .в •канале о·брат~ной овязи возникнут, ,в свою очередь, та1кие ошиб­
к,и, что в результате передаваемая по •нему неправ,ильно iПр.инятая
1, одовая ,ком-бинация 1п1ре,вра11ится ,в дей,ст:витель'Но :перед анную и
сигнал ,ст.ирания ,не последует.
Найдем вероя·т;ность та 1кого ,собьпия. Пу,ст ь р1 - 1вероs:~:тнасть
ошиб1ш (~вероятность ошибочного ,приема отдельно:го кодового сим­
вола) ,в прямом ,канале; Р2 - вероятность ошибки 1в канале обрат­
rной ,е:вязи. Т,огда лр'И д1но'ич1н•ам ,кодирова~нии в двух 1нап ·рав.т~:ениях
эквивалентная ·ве-роятно1сть ·оши~бк1и для с•и,с.rемы ОПП
(9.13)
Та .к ка'к после каждой ошибочно приня·rой (в прямом или об­
рат,ном канаJiе) кодовой комбинац,ии нвобходимо переда~ва;Гь две
дополнительные комбинац.ии (стирание ,и по1вто·рение), то в 1раосма­
триваемом канале неи.збеж,но з2медлепие переда'Чи (уменьшение
средней скорости ,передачи полезной информац.ни J').
Степень .замедления передачи, т. е. оиюшение ,сред них скоро­
стей в ·системе п,рямой свяэи J~c и в 1сИrстеме ОПП J~пп • -может
быть выражена ч.исленно величиной
J~c
Кз=
-,- =
1+2п(Р1+Р2)-
(9.14 )
lопп
Величина (9 .14) есть ,среднее значение (математиче:01юе ож1ида­
ние) времени, фа :ктиче,сr{,и затраченного на !передачу, отнесенного
1ю :В'ремени, необходимому для ,передач.и ·в отсутствие nоме х (1нов ­
то·рений) .
Ме11од и,нформациоююй обратной овязи (,в ча,стлости , система
ОПП) оказывае11ся -рационалыным, если канал обiраТ!ной ,связи обе­
спечивает весьма в ысокую верность передачи, т. е. рг+-0 .
На ,са~мо,м деле, е.сли рг+-0, то ценой из'вестного замедления пе­
редачи можно обеопечить надежный прием ,сообщений, переданных
по весыма ,ненадеж1ному прямому :каналу. Это ,непосредстве нно сл-е-
дует из (9:13), (9.14).
•
359

Непрерывная загрузка канала обратной ·ов,яз1и является большим
l--! едостатком метода по л-ной ретрансляции. Более совершенный ме ­
тод инфо•рмащионной обратной ·связи - это мегод передачи 1юн ­
трол ьных ·сим-волов. ,В этой си.стеме бу,к,вы алфа,вита ,сообще.ния,
1,ак и сигнал ,сти~рания, -0'6ычн,о код,ируются -си,стематически м кодом
с мтrн имальным хе,ммингоrвым ,ра,сстоянием dт;п> 1. По п:ря,1vюму
кан ал у пере1даются толыко информац,ион·ные сим.волы, а ,по хана ­
лу обратной связ:и, в.место :полной ре-грансля,ции, передаются л.ишь
к он троль.вые сим,волы, ,соот:ве11ст:вующие ,к•о,ЩОIВОЙ 11юмбинации . На
п е р едающей стороне они ,сопоставляются ,с [Iереданными инфо р ма ­
ц.нанны м и ,сим ,вола.ми, .и rпри обнаружении ,несоо·лветс'l'вия передя ­
ется •сигнал стира•ния ,и повто•ряется ошибочно лри1нятая ко:м,би -
1н ация.
Лучшие результаты по и спользованию 1про1J1уск,ной способности
о братного канала можно аюл уч ить, применяя управляющую о·брат­
н у ю связь, поэтому последняя и спользуется значительно шире.
В сист ем ах ·С у пра,вляюще й обрат,юй связью на ·пр.иемно й сто­
роне осуществляете,~ непрерьпшая оценка надежности принимае ­
мо й ннформаци.и и лишь [Iри выявлении «ненадежных» 1сим,волов
ил.и ,ошибочно принятых кодовых комбинаций (при кодиро:ва-нии •С
нз·б ыточностыо) по каналу обратной овяз.и ~посылается силнал за ­
'i1 роса повторения. Таким образо м , ·в ,си~стемах с у,пра1вляющей об ­
р атной связью обратный канал иопользуется ·редх·о,. л,ишь при ·воз­
н ию-ювенни ошибки (.или при выявлении «ненадежных» ,сим1в-оло,в) .
В остальное :в ·ремя он может иопользоваться пр .и mередаче 1оообще ­
ний в обратном на1пра влении. Та,кой метод ,особенно удобен ,для
дупле кошх линий связи.
В каждом ншправлении ·пось:лаются -сообщен.ия, пока не будет
обнаружена ошиб к а ·в ,принятой комбинации (или «ненадежные»
си,м;волы), 1по,сле чего передается ,сигнэ.л за,проса.
Исrюльзование даже .примитvв·ного кода IJ3 ,е,очетан.ии оо схемой
в ьшвлення «·ненадежных» эле~1ента·р;-1ых символов кодовой комби­
н ации с дальнейшим .их автоматичеоким запросом на ,повторение
(системы АЗО - автомаы1чес·кий запрос ошибки) может весьма
существенно поднят!:> эффективность овязи, в -особенности в радио­
к аналах ,с гл~у601<им1и эамиран-иями ( мал 1пара,м-етр q2 ).
<(Ненадежные» сим.волы в месте приема могут быть выявлены
р азлнч-ным образом. Это можно ·сделать путЕм оптимальною раз ­
биения проора1н,ства 1при1нимаемы х ошналов z(t) (,см. гл. 6) не на
т (•1,ак з ,системах прямой ювязи ,с т -п-озищиошшм кодом), а на
т + 1 н епересе1{ающихсн обла~стей ,и интерпретац.ии символа как
«,ненад ежного» при попадании 1соответствующе.го ему колебания
z(t) в m+l облает!:> («зону 1н:определенности») 1).
1) По сущ ест,ву, здесь получаем канал со стиранием . При из,быточном коди ­
рован и и можно, в []ринци,пе, во второй ,решающей схеме ,пра-вильно ;вооста1но·вить
передан ну ю б ук,в.у алфавита с·оо:бщения и пр.и нал·ич,ии определенного числа
«·стерты х» ненадеж,ных символ,ов, не за-просив их по в торения (метод Л. Ф. Б о­
род,и,на) [3].
360

На юра1,т;и1ке вместо оптимального способа выявле,ния «ненадеж -
1-1ых» ,символов часто ценой некоторой потери [IОМехоу1стойчи,вости
пользуются другими, более простым.и 1опоообам.и, вьшвляя ненадеж ­
ный ,символ путе м анализа л:ишь некоторых (одного) 111араметров
принимаемого сиг,нала . Ча,сто, на1п1р1имер, ·в рад,иоовязи анализируе ­
мый -сим,вол ,считают 'Ненадежным, если коэффициент передач,и ка ­
нала к леж·ит НИ'Же ,порогового уров1Ня Ко . Та~кой ,способ назы1в·ают
пороговым.
Пооколь.ку в реальных условиях овя.зи :из - за адд;итивной пом-ехи
в ,ка1нале велич,ину к нельзя точ,но изме-рить, пороговый ,спооо:б ~при­
ема в ч,истом ниде неосущест,вим. Однако 1при доrста·ючно медле,н ­
ных замираниях, усредняя в блоке ,измерения ,на .протяжении ря ­
да элементов, можно значитель'Но осла-бить 1влияние ~помехи.
Оценим эффею1и1вно,сть пороговой . схемы выяв,ления «ненадеж,ных» снм ,во ­
л он в рэлеевском канале (q2 = :0,
~2 = 1) для двоичной ЧТ. Будем считать, что
п р•1-н1 имаемый элемент ст1нала считае11ся «1на1дежным» (,при э·том та,<ж,е, естест ­
венно, п•р-и,н:и,мает,ся решение о переда!-!)НОЙ пол1щш с регис11рацией выбора в
ячейке памяти) при условии, что отно шение эне р гии элемента сигнала к2 Е =
=к2РсТс ,к удельной мощнос11и флуктуацион1ной помехи Gш превышает поро ­
г овое значеJние R, т . е. пр,и вы:пот~ении неравеJнства
к2 Е/Gш>R.
(9.15)
При вы iполнении обр.ат,ною неравенства элем,ент сигнала оч:итается « нена ­
де)1~ным» и приемная с1юрона посылает команду «за,пр.оса» повторе-ния на пе­
рмающую.
С'I1р,укт,у,р,ная схема с истемы связ1и с у,правляющей (решаю щей) обр,атной
св язью н 1п оэлемен1шой провер,~юй си~мв-олов на нащежность при,в-ед-ена на
р и,с. 9.6. Здесь ключ К1 а ·нализатора замыкает,ся пр11 поп адан,и1и прини'!v~ае,~юго
IICi"OЧttUX
сообщеttия
Лере:бающаR cmopot1a
i
Приемt1ая cmopot1a
1
Лереклю­
чатель
ffoiJцpyю­
щee
устроист~
/fal(OТIU ­
' ---
-+---
-- 1 тель
1
1
дttалuзrпор
nputtuмae- •
Л11tt11я
могосагнола
%.r:1g1--4- - -- -- -- --+-<~o~
~11tt11я
Датчшr
0l!Л':%~0 --1!------1/l!fff~lf!o'Я
1
Лолу_чатель
сообщения
Рис. 9.6. Функциональная схема ди1е,юре11ной си.стемы с управляющей обрат­
ной ,овязью
сигнала в зон у «01uределе:н,нос:т» (выполнение неравенст,в,а 9.15) и раз,мыка -е тся,
,е сли принимаемый си,r1н ал н·иже по.рога . Од,новременно посылае11ся ко1ма~ща от
да11ч1и1ка решающих си11на.лов на передающую ,сторону и за ,прещает,ся запись
ин-фо,рмацни в ус11ройс'Гве па,мятш.
Для воз,м,о~ности п овтор1ения «не н а,деж,ных» си.м,волов накош~тель передат­
ч ика должен их держать в памяти на время, превышающее период замираний
с агнала в канал е . При из:вес11ном точно в месте приема коэффи~циенте передачи
361

канала к ( о таком приближении, естественно, можно говорить только в усло­
виях достаточно медленшых замираний в канале) и неопр едел енной фазе сиг­
нала вероятность ошибки двоичной ЧТ пр и оптимальном приеме, но бе з про­
верки сим,волов на ·надежн:ость определяется форм улой
1
( Ек2'
р(к)=-ехр-- )
.
2
2Gш
(9.16)
Сре,дняя вероятность оши бк и при пороговом спос обе при ема в си сте ме с
«поэлементной проверкой симво л ов на надежность» ( систем а ППСН)
_
_
Р(ош,s~
Р - Рз.о.(ош)
-
'
Р(з.о.)
(9.17)
где р(з . о.) - безусловная ,вероятность попадания анализир у емого элемент а сиг­
: 1ала в зону определ енности (зону приня т ия р е ш е1шя), КОТ(}рая опред ел яется
вероятностью вы,пtшне11-tи я нера:вен ст в (9 .15);
Рз-о ( ош) - вероятность ошибки при условии попадания элемента сигнала
-в зо ну определенно:сти. Именно эта условная вероятность ошибки определяет
средюою вероятность ошибоч,ного пр и'ема с ооб щен ий ра со1 а три1Ваемой спсте мы;
р(ош.з.о) - совместная св ероятность ошибочного приема и поп адани я эле ­
мента сигнала в зо н у оп,р адел е нност. и.
Рассматривая К как •случайн у ю величину (в ходе з а мираний сигн ап а) с
п лотностью вероятно·с'])и w1 (к), мож1но лег.ко определнть с у четом (9.1 5) ве -
рояпrость
р-S
w1 (к) dк
(з.о.) -
и вероятнос ть
00
р
=
(ош,з.о.) •
VRGш
Е
1
w1(к)р(к)dк= -
2
С.~Ещо.ватель,но, покомая вероятность ошибочного прием а элемент ар ного
снмвола
Sw1(к)dк
}1R. G;;;тв·
Е·сли !( раЬпреде.пен ,по Рэлею .со средн ич .кв адратом 1(2, т о
w1 (к) = ;: ехр (-;:)
и 111пеnр:иро,ва.н,ие (9.18) дает резулы.ат
1
362
р= ---=ехр(- R).
2+h2
(9 18)
(9 .19)

С ;, ед,няя окоро с ть пер~дачи инфор,мацюr в а,нализи.р'Уемой сшстеме (.прене ­
брег. ая ошибками в канале) пр~и иополиовани.и дво.ич,ных посылок длителЬ1но ­
с тыо т и .прим,ИТ'ИIВНОГО ,!Юда
J'=
_i:_:_OJ__
_
-
ехр - -==--
=
-
ехр - -=---
,
р'
1
(R)1(R)
Т.
-
Т
h21
Т
а2Т
(9.20)
где а2=h2/Т=К.2 Рс / Gш- •ОТНQ1Шение средн е й :VIOЩIIOCTИ приншмаемого снrнала
к опектральной лл,011ности мющно:сти шу:м а .
.
Из (9 .20) следует , что при задан,ном п орог е R сущест,вует некоторое апти­
маль н ое з,I-~ачение длитель:ност.н по:сылюr Т, ыа,rюи,м1wз·нр,ующее !' .
Это объяс­
,няе-гс я тем, что при очень больших Т [очень большой энерrши он-гнала, ~огда
Рзо-'>-1 и услов и е (9.16) ·выпол:няекя с в ер о ятностью, близ11юй к 1] !' не м,ожет
быть большим , при очень маленыких Т [оч ен ь малых значен·иях энерг.н,и сигнала,
когда Р<з•оJ-'>-0 и усло·вие (9.16) выполняется с вероятностью, близкой к нулю]
J' т а,к:же не может быть болышлм, так ,ка,к пр·и Т -' > -0 чи,слитель в (9.20) умень ­
шае 'I'С Я бЬ!lс-nре е зна,менателя. •
dJ'
Из усл овия
dT
= 0 .пол,учае,I ,!!З (9.20)
R
Топт =
--=
а2
П р~1 выбо р е Тоuт нмеем:
,
1
Р ( зо) = ехр(-1); J'=Jmax= ~
exp(-1);
опт
Д ля си ·сте,1 ы пря,1ой связи
Р(з.в.) = !;
ехр (- h2)
р=
2+ h2
(R=O) им~е,м:
,
1
Jric= -
; Рпс=
----
Тпс
1+ /i~c
(9.21)
(9.22)
Из (9.21) !! ( 9.22) можно найти необходимое превышение ).= h~c /hz, при
котором обеопечн,вае'I'ся неизм енная верюятность оши,бки р=рпс- Средняя с1<,о­
рость передач:и информации в д,Бух СИ1сrемах пр,и этом различная . При р= Рпс =
= IO-" пара .ме 11р 'J, =770.
При одинаковой п нков·ой мощно·стн переда'I'чика а2=а~с для обеспечения
н еиз·,ншной ве,ро я щюс-гн ошnб;ки длительн,ость элемента сигнал·а в СИ'ст еме с
обраnным ка,на-лом д ол жна быть в r, раз к,ороче (т. е, зан'Имае,мая поло,са ч а ­
стот в л раз ш и·ре), чем в прям.ой ои·стеме овяз.и. О11сюд.а с уче11ом (9.20) и
(9.21) возмож н ый выигрыш в оред.ней ск,о,росиr переда~и инф:ормации
J~ax
•
л
=-
-
=t,Р()=-
J'
з.о.
е
пс
Пр и р=Рпс = 10-4 нмеем л1 ,=285. Нетрудно ув,и,деть, что при о,дн на'!(овой
с редн ей скорости передачи информации (f'=l~п) и одинаковом качестве р=Рпс)
использ ование обратного канала сулит энергетический выигрыш по ,пиковой ( а
т акж е ор ещ,ней д ля онсте у1Ы с ак11и1в н ой паузой, ка,1юв,ой нIвля е 11ся система ЧТ)
мощности Т]р= л1,. При p=po= lO-' - имеем Т]р=285 (24,5 дБ).
При оди,на,к·ов о й полосе проп у,ока-ния кана л а ( одина11юв•ой д лн т елЬ1н ости ра­
боч·их посьшак Т = Т пс) в снстеме с обра 11ным канал,ом можно об еспечить сщи­
напю в ое кач ес 11во (p=iJ □ c), у,м ен ьши,в по ора•внению с пря мой си,с'I'емой nm<о­
в у ю :1ю щ,ность сиг нала в ), р•аз. Пр и этом, одн а,ко, средняя mю рость передач •и
'),,,
1
ннформац,ни у~1еаьшается в •,- =
-(-) раз.
•
"J' р30
363

Расс мо тр енная система с .поэлементной ,проверкоtr символов ,на
надежность и ;канала обра11ной ·связ.и может, ~конечно, хопользовать­
ся и при :избыточном 1юд,и,ровании. В этом случае, одщ1к·о, ~возмож­
но обна,ружение ошибочного приема кодовой 'Комбинации . Бели об­
наружена ошиба< а пр.и пр ием е ,очередной .кодовой комбинац.и+1, та
по ·каналу обратной 1связн передается сиг,нал заюроса. По этому ,си­
лналу ,передающее устройство ·повторяет неп,ра,вильно приняту ю хо­
довую ,комбинацию, для чего ряд последовательны х код,о,вых 1юм ­
бннац.ий хранится на .пе-редающем конце в за:пом'инающем устрой­
стве.
Стру,КТ)'рная схема та.кой системы ,п,ринципиаль.но также lПред­
ста:вляется схемой р.ис. 9.6, если там упразднить а,нал,иза"ЮР сиг­
нала на приеме, замкнув накорот11ю ключ К1, а упра,вляющим счи­
тать решающий блох: ,приемника (замыкается ~ключ К2).
Использование ка,нала обратной связи в сочетании с цростым.
корректирующим код,0:\1 заачительно . повыша -ет верность .передачи .
При помощи более ,сложных 1юрректнрующих а<одов в •си~ст,емах
А·ЗО 11южно д,обитыся вьюо•кой верности передачи даже в У,СЛО!3ИЯХ
очень ,сильных зам.иuа,ний.
Следует 1по1дчерк·нуть, что .применение :кор1рекги,рующи х 11юдов в
прямых I<аналах (без 1исnользова 1ни я обратной связи) , хотя и при­
вод,и т 1подча , с ,к сущест;венному улучшению .в-ернос~и, може т ,потре­
бовать столь сложного кодирова,ния и декодир-ова'ния , что ело ,прак­
тичеокое :применение о·кажется нецелесообраз,ным. Использо,вание
канала обратно,й свяЗ,J.I поз,воляет добиться ~столь же ,вы,сшюй ,вер­
ности, пр.именяя относительно пр,остой ко,рректrирующий ~код или
даже примитивное код,ирование (,в системах с выя:влением нена­
дежных сиг,налов). В это.м, в первую ·очередь, и за,ключает,ся ·боль­
шое преимущество систем с обратной свя.зью, которые опра•вданы
вrсегда, ко:гда ,o,J-!lи техничеок,и рег.лизrуе,1ы {53).
Разло,видно,стью · систем с у,пра·вляющей обратной -связью явля­
ются системы лрерыз,;с:стой -овязи 1[23). ,В этих системах полезная
информац,ия .переда;;тся оо ско;ростью V=Vmax лишь ,в инт,~р ,валы
времени, наиболее благоприятные щля овя.зи . Сигналы на изменение
режима ра'6оты передатчю,а посту1пают по ка.валу обратной свя­
зи. ,В интервалах, ,когда .информация не переда,ет,ся, передатчик из­
лучает лишь зондирующий оигнал . Таким об.разо.м, та,кая -ои1стема
прерывистой ювязи, по существу, не отличается от системы АЗО ,
ра ,осмотре.нной выше, и хара;~пtризуется высо1<0Й эффективностью.
Пра ,кт.ич -еаки на . сегсщ,няш1ний день си,стема л,реры,в,и tс'Гой связи реатвована
лишь на метровых волнах с иопольз,ованием отражен'Ия рщд,,ювол1н от ионизи­
,рова ·нных след0rв, возш-J1К,ших в ат,м·о:офере на высоте 70-120 к,,,[ при прохож­
деш-m1 мет.е0rрав.
Отраз1и1Вrшись от. метеорного- следа, радиоволны соз,дают з.на,чительную на­
пряженшост.ь поля на ра,ост.ояни.и до 2000 км от. переда'ГЧи,ка. Э'Го поз,вол.яет. в
промеж,ут,к-е времени, когда в сект.о,ре связи имеются достаточные для 011раже ­
ния ,следы метеора, вести передачу с большо'й скоростью при относительно ма­
лой мощност,и пере:цат.,ч·и,ка. На мет.ео,рных линиях аiКти,в·но и·спользуе'!'ся при­
м,ер ·но д,ва процента рабочего времени, в остальное время пе,редат.чи1к наход,ит­
ся в режшме ожи1да,н.ия .
364

Си,стема метеорной св.язи реализует п,р.еры,вн.стый при,нци.п .из-за преры1ви ,сто~-­
_, u ха·ракте'J)а оуществова·ния сам.ого ка1r1ала, приго;D:,ного для овяз1и. М.ож1но, о,ц­
I-rако, внедрить прерывистую систему и при постоянно ,существующем ка ,иале ,
но с пер.еменным усло,вием п~рох,ож:п.ения радиоволны, что ха•рак"гер!i_О, напрн ­
мер, для болышинспва· си,сте11;1 .кв овяз,и .
9.6 . ПРИМЕНЕНИЕ ШИРОКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ
За последние годы поя ,вIился ряд ,систем радиоов.яз1и, ,исполь- -
зующих ,олож·ные, ши~ро:кололо,с,ные (шу:мопо,до~б~ные) ,сигналы с ба- -
зой В~ = :2Р11 Тк поря,п;ка 10 2-103•
•
В цшраграфе 8.2 раосматри,вались :возможности ;1,~ ,опользов а нИ1я ·:
«почти» ор1'огональных шумоподобных СИlгнало,в ·в мно,гоканальных .
оистемах ААСС, :в· параr;рафе 3.4 ,показано, что широ1юполос н ые •
с111стемы .могут обеспечить эффективную эащиту от им,пуль·сных , а
иногда и от ,сосредоточенных помех.
Другая обла·сть возмож;но:rо применения широкополосны х , шу­
мо,подобных ,сигналов - ,синХ~ронные системы передачи д,искрет,ных .
сообщений в многолучевых каналах связи. Осущест1Вляя оптималь­
ный .пр:ием так:их сигналов (корреляционной те:х;ни,к1ой или оогла- •
сованным,и фильтрами), удает,ся разделить отдельные лучи и осу -­
щес-гвлять по ним разнесенный П'Рием, -повышая • тем ,самым 1вер- ·
ность авязи ,в каналах ,с ,селективными замираниям.и.
На ,са,мом деле, пр Iи оптимальной обработ,ке сигнала в пр,ие.м- -
нике можно оmределить функцию ·взаи.мной кор·реляции между за­
де:rжа~нным л•ринятым ,колеба,нием z(t) (,сигнал+ломеха) и ожи -­
даемым О1порным •сит,налом 'i-й позициIи s; (t):
та
у (т) = Jz(t--т:) s; (t) dt,
(9.23)' >
о
где Та - время а·нал.иза, -близкое к длительности элемента сиr- на -·
ла r.
Бел.и для про·сl'оты анализа .исключить :влияние адщитивной по -­
мехи, то_ я1сно, что (9.23) до,сти,гает мак,симума ,пр·и 1:=О, е сли в ·
составе z(t) имеет,ся ,сигнал s~ (t).
'
Длительность оигнала у(1:) ·на выходе коррелятора nример.но,-
-
1
опр-ед·еляется и1нтер Iвалом 1юр-реляц·ии -т:к= - реализации s '. (t).
.
•
Fк
'
1
В vзкопоJ:юоных системах FнТ" = 1 и •к~ - ~ Тк, т. е. ,си,г,налы
•
~
от отдельных лучей ,с различ,ным запаздыrванием на ·выходе кор1ре­
лятора будут перекрЬ!iваться .и их разделеНlие невозможно. Э'!'о при­
водит ·к междусим,волыюй интерференции, :воз,ра,стающей IПО мере·
у,1юрочения пос·ыло·к ,и рез-ко ухудшающей .качестIво ,свя.зи. Указан ­
:-юе о6сrоятелыство олра'н~ич:швает в раопростра,ненных системах ми­
н и мальную длительность рабочих посьшок (т. е. скоро·сть ·пер~да ­
чи информации в .одном ча,стотном ка.вале). Эта -скорость в :мно•
голучевых каналах обычно не :превышает (200-300) бод.
355,;

в
i
~т
ши1рокополосных системах ,н;:::;::
-
~ к, поэтому ,сит -
Fк Вк
налы отдельных лучей ~при времени взаимного ,запаздыва·ншя :Л-r>
>т.;; будут тточт1и поЛ'ностью ·разделены ,1юррелЯ1юром. В :юв с:вязи,
нап ·риме,р, чаще •нсего Лimin 1не меньше О, 1 мс, 'Т. е. для ра1зд:еле­
НИ·Я лучей требуе'Гся ,силнал ,с ~полос,ой частот F;;> 10 кГц.
После того .как ,сигналы отделЬ~ных лучей iраз.iелены, их мож­
но (rпосле соо'Гветст:вующей коррекции фаз и ам1Плитуд) сов,местJ1ть
в о ·времени и ·сложить, что и повышает помехоу1стой1чиность ,свя,з1и.
На р11с 9.7 пр.и,ведена блок-,схе•ма о,д,нсй из пеР'вых ыв ши,ро,1юлоло:сных с11 -
- стем связи «Рей.к» [37], .предназ,наченшый ддя ПР'иема д:воич·ных телеграфных
,с 11гналов 1 ( ЧТ) .
•
Она со,с·юит из сер ·и.и коррелятора.в, ра ·сriол•оженных вдоль югн-ии задерж йш
·на Ттах (мак,симальное в·ремя взаимного запаздывания лучей в канале) , двух
опорных генераторов, интеграторов, двух детекторов огибающей и сравнивающей
схемы. Генераторы опорных ,сиrurалов создают к-олеба1ния, ,соответст.вующие двум
возможным позициям ( сигнал «нажатия» и сигнал «отжатия»), Каждый из кор ­
реляторов состоит из ум ,ножителя УМН и интегратора, но так как все выходы
,корреляторов соеди-няются вместе через цепи коррекции амплитуды (у,) 1) и фа ­
зы ( (j);), то целесообразно .применить один общий интегратор соответственно
.для каналов <<"нажатия» и «отжатия».
'
Фу.н,1щия взаим,ной корреляц.ии межщу напряжением аrюрното генераrо,ра и
прнн,и.маемым си.гнаiю,м ,и·меет ма~симум ПiрИ В1реме1ни задержки между ни ­
ми Л:r=О.
Если опорные ,сигналы синхронизированы с первым лучом, достагшн-м к
•началу интегр,ироваи.ия конца ли 1 н1 ии задержю ,1 и выделяемым, следоват:ельно,
кр3йн.ей пр.а.вой в.е11выо на схеме р11,с. 9.7 , то лучи с большим за ·паздь.11Ва,н,иеы
Рн•с. 9.7 . Стр ,уктурная схема прием •ного устройства дво­
ичной системы с ортогональными (,в усиленном смыс ­
ле) широко.поло·сным1и сигналам.и, предназначенной для
многолучевых .канало.в ( «Рейк»)
'RЪ11д е. rш1011ся левее раополо,жен,ныl\<!' ~1 ве1111яыи. Су:м.ма,рное в.ремя пр.охо~дения
. с игнала до прие~шика и вдо 11ь линии задержки оди н аково при этом для всех
1) Коррекция ам,плит,уtды за ,ключается в том, что в оу.м.мар1но-м онг-нал:е под ­
· черк ·н.в шо11ся более .сильные луч,и 11 пода•вляютсн более сла·бые.
366

Jiучей, и пос.1е их корре.:щн,и по фазе &се они С'КJJаlдываются арифмет11че,ою1 ,
обеопечиrвая пrредельнюе отношен'Ие. ,сигнал/помеха.
В с,истеме «Рейrк» при F"= 10 кГц длитель,ность посыл-к-и Т=20 мс, так что•
база сигна ла B=2F1J=2000.
Шн.р ркополосные, шу,мсшодобные сигналы в си,стем-е «Рейю> соз,даю'!'СЯ на
базе та,к называемых линейных рекурреН1шых по:следо:ватель·ню:стей биполярных
l
корО1)КИХ им ,пуль.сою длнтельност,и т ~ F , ра,с'Пюложенных псевдо:случай.но внут-
к
ри общей длительности элемента сигнала Т. Эти последовательности создаются
при · помощи регистров сдвига, ох·ваченных цепями обратной овязи [37]. Такие­
с.игналы (,пщо,бные реализац·иям флук ту а:ц,1юшюго шума) обладают пе толь.ко
уз,кими автокорреляционными фуню.1:ия1ми, но и близ11шми к нулю взаимокорре­
шщ1и,о,нны,ми ф.ункциям-11, 1·. е. о·бразуют ан.с;н1бль «почти» ор11ог,опальны х •функ­
ций (-в усил·е.нно.м С1':ысле) . Таrкимн же ::юрошими овойст,вами обла ,даюr и не­
которые дру,гие а,н,саrмбл'lr сигнал·ов (.на.пример, последовательно'С'I'И Баркера, с11г ­
иалы ЧМ и ФМ с большими инде1<:сам,и модулящии и т . п.) [30, .37].
Сжщует подчерю-rуть, что од1-юканальные систеrмы тиmа «Рейrк» (.или дру1'11е
системы с большой базой B = 2F"T"), обеопечивая в каналах с ,селективными
замIIраи11ями· повышение верност,н свя.з:и, весыма неэффекrив,rю иополыз ,уют за -
1-нrма ·ем,ую поло;оу ча·с,тот.
Для э11их си 'стем п,ри дво.ич,ном ·коде количес·лво передаваемой информации
(при пренебрежении оши'6ка 1м1и в r(а,нале) в од,иу секунду на Gдrин герц полосы -
час-ют
•
1
2
v=--=
-·«1,
(9.24)
FкТк В
другими сJювами, 01юр1J:сть переда~rи инф ор .мации на едиющу поло·сы ча,стот
здесь обмен.ивается на веj)'но,сть .
9.7. АДАПТИВНАЯ КОМПЕНСАЦИЯ (КОРРЕКЦИЯ) КАНАЛОВ
связи
Ка,к .мы отмечал;,,~ 13 лара,графе 3.3, основную часть 1ка·нал1ов ,овя-­
зн можно пред,ста1Злять ,в ~виде л,инейно,го четырехполюсн.и,ка с ме­
няющими,ся 1пара метрам;и, ха,рактеризуемого переходной ха,рактери­
с11икой g(i, т) или ,1юм1плек,сным 1коэффи.циентом :передачи к(i,(i), t)'.
Бс,пи параметры ,канала меняются достаточно медленно (что
ха,ракт,е рно для пода,вляющегю большинства каналов хак про-вод­
ной, таJ< и 1рад1иоовязи), 110 можно [Iутем ,периодич,еекого зондиро­
вания -канала ,испытательным импульсом, отделенным от инфор­
мационното :пакета имmульсов защитным ·интер,валом !L~.tз::::::;тпер
('рис. -9 .8), и изучения от,клика ~к анала надежно измерить характе-
!111q;op11aцuoшшiL
пакет uмпульсо8
PMoчuiL
тиет
uнпульсо8 \
Ри-с . 9.8 . Оиr~налы на переда,че в си;стсые овязи с и,спыта­
тельным им:пуль,сом и адаптивной компен -сацией перех,од­
ного процеаса в канале
ристики g1(t, 1:) (ил:и к1(i(i), t)), где l ~ номер интервала rзондиро­
ва·ния, .и предrоказать их на ,1-rнтервал передачи пол,езной информа­
нии И·СТОЧНИКа.
367

Пос11роенные по этому 1прнц.ипу системы \южно наз·вать систе ­
мами ~И[Jа СИИП ,[23] ('с1ютемы с .ислытатель,НЫ\I :имrпульсо м и
предска занием) .
Такие ,системы позволяют в месте i1р.иема пе;рнодич,еск,и Jюррек ­
т,ир0rв ать ха1рактер.истику канала g (t, т) {или к(iw , t)] :ил и ,ком[JеН­
сировать переход:ный ·процесс в канале, обеопечиsая тем самым 'ВЫ­
сокую еффективность та1ких ,систем, кото·ры е становятся таким об ­
разом ада1птив'ными (следящими за мен яющи м1ися ,свойствами ~<а ­
нала).
Синх ронные оистемы ада[Jтивной компенсации поз:во ляют ,с вы ­
• со1юй ,вер.ностыо лере,да,вать 1по ·каналам связи дИСI{,ретные сообще ­
ния посылками несьма малой длительности 'На однrой каналь ной ча­
стоте (rпо·сл едовательный метод 1пер,едачи), обеспечивая тем самым
высокие ,окороrсти пе;редачи 'В ,сочетании с [1ри1влекательными ха­
рактер 1,!'Сти-ками -систем В'Р·еме,нн6'го уплотнения .
.Контр ольные
вопросы
,1. В чем Вы ви :rщт е прояшлен,ие избы~;очrност,и речевые( и телеВ1изиоr-1:ных сооб ­
щени й и ка ,к·ов ы возмюж,ные пу.ти пюстроения эффективных с-и сте~,1 для пере­
дачи таrких оо-общений?
'.2. Че.м ПJри:влекателыно сега,т.истичеrnюе у~пло11ненше в си:стема,х овязrи и в чем от ­
ЛIИЧ'Ие ИИМ от ФИМ?
:з . За счет чего разнесен11ый при,ем -сообщен ,ий может падн я-ть вер1ноС'Гь овязи,
1к а,кg,в энергетич еокий выи 11ры,ш од1Военно110 приема на разнес-енные антенны
в обла ,сти малых ошиrбсж?
-4 . В чем разница межд,у оистемам,и с информац,ионно й и у,пра1в,л яющей обrра11ной
связь ю, .ка%ой ценой в этих си,стема,х д,о.стигае11ся по·вышенrие вер.н-о:сти связи?
:5. Ка rков э.н-ер,гетическ·и й выиrрыш си~стемы ЧТ при примитwвном 1юд,ирО1вании
за счет иоп-ольз.овм1 1ия абратного у,п:ра rвляющего канала (,схемы позлеме н11ной
,праверк-и симrволов на на,дежность) при рзлеевоких за ,мираниях в прямом
,ка:нале?
u. Ка1к реа л,и•зу 10-rх:я си ,стемы с аrвт ома-1:11чес.<иw( за-прасом и~скажен,ныс, кодовых
комбин аций при избыточном кодировании?
7. Как овы ,возможности их характериС'nики широкополооных синхронных сис т ем
с вязи в многолучевых каналах?
8. Ка ковы возможности оистем ,связи с адаптивной к ом,пенсац.ией ( ·коррекцией)
!Канала ?
-ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоя щ е:м курсе ТПС изложены лишь осн.о.вы статис'Гической
~rоор·ии овяви, не все ее аоп екты rпредст а,влены ощинаково пол'Н о .
.i\' \но г ие
1ВОU1рю·сы, котюрые ,в настоящее ,время :ттредставляют :пр ед ­
·мет те ор1ии пе.редач и си,гналов, по .необхо~и,м,о,сти вообще 0U1ущены .
rl(ypc лриз,ван - служить ,ка ,к ,бы трамrпл-ином для изучения сп ециаль ­
ной ли:тературы, ыоторая далеко не исчер1пыва,ет,ся рекомендуемой
, на:М'И ,ниже. В.месте с тем •курс ТПС я·вляе11ся ~остаточным под ­
опор ьем для уоп е:шноrго уiС'воения с более -общих и зрелых 1поз,и ц ий
, специа льных .куроов , читаемы х ,в эле11шротехнич еск,их институтах
, св,язи и рOLд1ст1венных .им в уз ах.
Следует [1OДЧ Е\р,кнуть, ч-ю ста·т;иrстичесЕая теория связи достиг­
.ла значительн ы х уопехо,в з а ·сравнитель-но небольшое нремя (око-
,3 68

ло 20 лет), прошедшее с ее возникновения. Они 01п·ределяются, ко,~
нечно, ·не :т,олыко -большим ч·ислом печатных ра·бот 1110 ТПС, и-счис­
ляемых на ,сегодня десятками тысяч, но и рядом П"ра;ктическ.их до­
стижений, подсказанных и обоснова·нных теор.ней.
Нведение в 1про1Г1ра1ммы электр,отехшичесжих институтов связ и~.
курса ТПС, безу1словно, опо,собе11вует 'Подготовке высо1юК1валиф.и­
цнро:ванных специалистов связи, опоооб.ных ,лрет1Ворить 1в жизнь
те большие защачи, ~юто•рые поставлены 1пер,ед -нами :программой .,
построения :ком,му:нистиче1ско1го общес11ва .в . .нашей 1стране. Од,на ,и з .
та1К1их задач - это задача создания .ед.иной ав"гоматизиро,ванной 1си- .
стемы ,связи (ЕАСС) 1В pa rмJ<ax ~всей нашей страны.
•
Та1кая ,систе.ма, управляемая в будущем электронно-вычисли­
тель.ными машинам.и (ЭВМ), должна 1быть в состоя·нии :пер,едать с­
высоким качест:вом и в нуж,ные сроки нее увеличивающийся объе м
инфо•рмации между про•извольными пункта.ми нашей 'I-1еобъятно й-,
Родины. На ооюва,нии оведений о потоках информа.ц,ии, о ,степен и :
ее важности и срочност,и, о загрузке линии ,связи электро·нные маши ­
ны выберут лучший, о.:iпимальный :маршрут для передачи ,инфо·р-.
мац.ии ,различного рода . Высоконадежные ли,н.ии радио- •и :про,вод­
r-юй овязи должны образовать вместе уншвер•сальную, эко,но,м ную и-,
эффективную систему связи, прис'Пособле.нную для mередачи 'Ин­
формации самого 1различного рода .
Построение тaEorr снстемы немыслимо без широко.го внедрения;,
в 1rrра 1ктику достижений и ре,ком,ендаций ТПС, в ча1стности, той ·наи­
более ·разра6отанной ее част:~-1, •которая ка,сается ,вопросов опт.и­
мальной 1пеР'едачи ди,сКjрет1ных •сообщений.
Си,стему ЕАСС ·немыслимо, да ·и экономическ1и ~невыгодно,
отроить ·на базе одной ли1Шь узк,ой щ1стемы связи. В ,ней 'Найдут,·
,,1есто различ,ные методы ,кодирования и де,1ю1дирования (,ко.деки ),
различные методы модуляди1и и демодуляции , (модемы), :в ·ней най­
дут ·применение самые различные п ерспект.ивные си,стемы передачи .
информации, работающ.ие [!ракт,ичеюки ,в .неограниченном Дtиапазо­
не электромагш-пных волн, прич ем в од,Еом диа1Пазоне будут и:с -• .
пользоваться разл.ич,ные ·системы . В э1,ой :связи создание ЕАСС уш1и­
рается в ком,пле1<с вопросов, ,связанных с электромагнитной оов ~
ме1сти1мостью ,различных ,систем ,связи .
• У, опешное ,решение отмеченных выше_ ~проблем - ответственна я:,
задача у•1е.ных ,и инженеров, .работающих в облает.и связи. Ча,сть
Э'ГОЙ рабсты, · несомненно, ляжет ·на плечи тех, 1~оторым •в перву ю.
очередь адресуется эта книга - нынешним студентам ,ннституто Е,,.
связи страны . .
Список литературы
l. Агее •в Д. В. Осно вы т ео,рии ли нейной селекции . На ,уч1но -тех,нически й сбор- .
НIИ,]( ЛЭИС, 1935, No 10.
2. Белец -к ·и й А. Ф. Основы теории линейных элек11рических цепей. М ,._
«Овязь», 1967.

-
3 . Бор. один Л. Ф. Вввде ~-а1е в теор,ию nомехоустойч1Ив.ост1I кодирова,ния. М,
«Со.ветс~ое радио», 1968 .
4. Б ·р пл и ль э н Л. Нау,ка .и теор.ия ннфор,·1ац1:,и. l'vl ., Ф,и3'1viа.тгиз, 1960.
5. Вал ь,д А. Последователы1ый а,налнз. Jvl., Физматгиз, 1960.
6. Ве ,не ,д ·и 1кто 1в М. Д., Ма р ·ко 1в В. В., Эйду .с Г. С. Асинхронные ад,рес-
•ные системы овязи . М., «Овязь», 196 8.
•
7. В е ,н т це ль Е. С. Теор~ия ,вероятностей . М., «Наука» , 1964 .
8. В ,ин е ,р Н. К•и.бернетнк а . М., «Совеюкое радио :>, 1968.
-
~
В о·з ен,к,р а фт Дж., Дж е,кобс И. Теоретаческие основы. техн:flки связи.
М.. , «Ми,р», 1969.
10 . В ,уsд·в о ,рд Ф . Теор,ия вероятностей и теория инфор,мации · с приме,нен ием в
ра,диолокаци1и . J\11., «Советсq{ое родио» , 1955 .
J 1. Г ,утки н Л. С . Теория оn11имальных 111ет,одов радиоnриема пр1и флуктуа­
циоп1ных помехах . М.-Л., Г осэнергоиз·дат, 1961.
i 2. Г •Рад шт ей 'Н И. С., Р ы ж и ,к И. М. Таблицы интегралов «су.м,м, рядов
и проиЗ1ведений» . Изд 4 -е, лереработ . М., Фнз:,,rатгиз, 1962.
! 3. Г ,р ,и и П. Сп стемы с обра11Ной связью. В 1~н,нге «Лекции по теории си.сте~t
овяз,и». Перевод с англ. под ред. Б. Р. Л е B'I·I на. М., «Мир», 1964.
14. До · б ·р ,уши н Р. Л . Мате11 атичес.кие во.;росы шенноновской теорип опти ­
•мального ,юд,иро•вания инфор,rации . «Проблемы ,передачи 1инфор, 1ац ии» .
ИППИ, JJЫП . 10, 196 1.
15. Д .о л ,ух ан о •в М . П . Флуктуаuщонные процессы при раопростршнеаин ра ­
•диоволн . М., «Gвязь» , 1971.
16.3аездныйА.М.,Куш1н1рВ.Ф.,Ферс
.vr ан Б. А. Теория нелинейны х
электриrqеских цепей. М., «Овязь», 1968.
17 . 3 а езд .н ы й А. М. Ос.новы инженерных расчетов по ста ,т истичеокой ра 1дио­
тех н,ике. М ., «Связь», 1969.
18. Заез~ный А . М . , О ~,унев Ю. Б., Рахо ,вич Л . М. Фазоразностч-1ая чо ­
,дуляция . М., «Свя зь», 1967.
19. 3 ю 'К о А. Г. Помеха-устойчивость 11 эффективность систе:vr связ,;1. М., «Связь»,
1963 .
20. К а г а н Б. Д., Ф ин к Л. М. Метод последовательного приема в целом для
кодов, допускающих мажоритарное декодирование. - « Электро связь », 1967,
No 1.
2 l. К ай лат-с Т. Ка+1алы с пара:v1етрами, из,-1 еняющимися во времени. В книге
«Леuщ и1и по теории снстеы связ,н». Перев ад с ::!НГЛ. под ред. Б. Р. Левина .
М., «Мир», 1964.
22. К ан то р Л. Я. Мет од ы повы шения помехо у,стойчивости приема ЧМ сиг ­
на.~ов. М., « Связь» , 11967 .
23. Кл о •В с кий Д. д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам. М .,
«Свя зь», 1969.
24. Клюев Н . И. Информ ационные основы теории пер едачи сообщений . М.,
«Со ветское радио», 1966.
26. К о л мог о ров А. И . Интерпол,ирование и экстраполирование стационарных
случайных последовате л ьностей . М., изд-во АН СССР ( сер. матем.), т, 5, 1941.
26. К о л мог о ров А. Н. Теория передачи информации. М., изд-во АН СССР ,
1960.
27. К отель ни к о ·в В . А. Теория потен циальной помехоустойчивости. М., Го с ­
энер гоиздат, 1956.
28. Лебеде в Д. С., Ц укк ер м а н И. И. Телевидение и теория информации.
М., «Энергия» , 1965.
29. Лев ин Б. Р. Теоретиче ские ооно•вы статистической радиотехники. М . , «Со -·
ветское радио», ч. I, 1966; ч. II, 1968.
30: Лез и.н Ю. С. Оптимальные фильтры 1и накопители импульсных сигналов.
М., «Со ветское ра,дио», 1968.
31. Мел ь н и к о .в В. С. Вопросы теории помех оустойчивости телеграфных си­
стем . Доюорокая днссертация. МЭИС , 1962.
32.Мешковски·й К А, Кириллов Н. Е. Кодирование в технике связи.
М., «Связь», 1966.
37()

33. М ,и ,д 'д л т -о ,и Д. В.ведение в отатнст11ческ·ую теорию овязи. М., «Советскоо.·
·радио», т. 1, 1961; т. 11, 1962.
34. Н аз а,ро1в В. М., Ку·вшюно,в Б. И., П-опо1в О. В. Теория. передач11
,с-илна лов. М . , «Овя~зь», 197,0.
35. О в,се е 1в ич И. А., П.ин,с·к е,р М. С. Пропус,~~ная опо,собность каналов с
,общшми и селекги1вными замира!ШIЯJМИ . - « Р1а1диотехни1Ка», 1960, No 2.
36 . П ,е т .р о .в и ч Н . Т. Передача д·и,с1~ретной ннфор.мац,ии в каналах с фа зовой•
1манишуляцией. М., «Оо1вешкое ,рад1ио», 1965.
37. Петр ,о ,в и ч Н. Т., Р аз.мах н .ин М. К . Си-стемы овязи с ш:у~мопощоб:ными,
СИГ,ИаJ1 ам,и . м . , «Советское .ра,ди о», 1969.
38. Пи н ,с 1к ер М . С. Ве•роят- 1-юсть оши,бки пр11 бло~ковой перед а,че по гауюсо ­
ш ому IКaнaJliy · без памяти. с обрат.ной с.в языо . «Проблемы передачи инфор- .
м ащ,и», вып . 4, 1.968 .
39. Пи ,те 1р 1с ,0 1н У . К•о!ды, иопра ,вляющие ошибки. М . , «.J\1.и-р», 1969 .
40 . Пюс ,толькор ,с А . А. Мно го1кратиая телеграфия с изменением фа.зы .
«Иэвоот,ия элек11ропромь11шU1ен~юоти ,слабого тсжа», 193 5, No 3.
41 . П ,у ,га ч ев В. С. Теор и я ,случ-айных фу нкций и ее примен·ение к задачам ав­
то1мат.и,чео1юго регулиров ания. Из•д . втор ое . М . , Ф,изматги-з, 1966 .
42 . Р ай с С. Теория флукт-у,ащюнных шум,ов. С·бо•р.ни-к перево,п,.ов «Тео,рrия пер е- -
дачи элекmр И1Чеаких си111налов при налич,и.и ,по-мех» . М., ИЛ, 1953 .
43 . Р ·о 1м а н •о .в1с .ки й В. И. Д1ккре11ные цеп и Марко.ва. М. , Го.стехиз.дат, 1949.
44. С а 1м ю й л е ,н к ю С. И. Помехоустойч111вое код,и,ровюгие. М., «Нау,ка», 1966..
45. С ·и ф о 1р ю -в В . И: О влия,н,ии помех на прием им,пуль·сных оигиалов. - «Ра­
д,иотех,ника», 1946, No 1.
46. Ст ,рато ,н ,о .ви ,ч Р . Л . Избранные в·о111росы теор.ни флrу,к11уаций в радио -­
техmи<е. М. , «Сове'Ю1юе ра дио», 196 1.
47. Те 1П л .о ,в Н . Л. Помех-оу,с.тойчи,в-ость систем п ередачи д,и1С1Кретной ииф о·р,ма- .
ции. М., «О.вязь», 1964.
•
48. Тих он о в В . И . Статиелнчес-кая ра щ.иотех,ни ,ка. М . , «Оове11окое радио», 1966.
49. Ту ·р .ин Дж. Согла,ооiВа .нные фи•льтры. - ·«Зарубеж,ная раtдиоэл ек тр они1к а » ,
1961, No 3.
50. Фай нс те r"i н А. Основы теор,ии информ а ции. Статистическая теория связи .
J\11., «М1и,р », 1965.
51 . Фан о Р. Перед ач а информации . Стати стическая теория связи. М., «Мир» . .
1965.
5'2 . Ф лей ш :м а и Б. С. Конструкт1шные мето.ды опт.ималь-нопо Jюднро.в ани я дл я
к-а налов ,с шу:ма,ми. М., ,изд -.во АН СССР, 1963 .
53. Ф и1нк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений. М., «Оо:ветокое ра-
1д;и о», 1970.
54 . Х_а ·р ,ке 1вич А. А. Избранные труды . Т . 3. Теор·ия инфо,р,мащги. Опо з,1-rани е
,о-бразп9в. М . , « Н аука», 1972.
55 . Ха 1р т л и Р . Переда-ча информа,п:ш1 . Сборниrк «Те о·рия инфор1мащии и ее -
,применение». Под ред. А. А. Ха ,р 1к ев и ч а. М., Фи.з.матг,из, 1959.
56. Хе л -с т ром К Статнстичес,ка н теор ия обнаружения си г,нал-ов. М., ИЛ , 1963.
57. Хе мм-ин г Р. К-оды с обнаружением и испра,влением ош и бок. В сб . «Коды •
с обнаружением и иопра ,влением ошибок». ]J од ред . А . М. Петр0:всжого . М. _
ил, 1956 .
58. Х ,н ,н ч и .н А. Я. По1нятия энтропии в теори.н вероят.но.сти. - «У,опех-и мат.
наук », 1953, No 3.
59 . Х ·ин ч ,ин А. Я . Об основ.ных теорем ах теори,и информации. - «У,апе х-и мат.
нау,к», 1956, No 1.
60. Ц ы ба к о в Б. С. О проп ус-к ной опос-обност.и нек,о·юрых многолу ч евы х ка­
,нал-о·в с-вязи . - «Рад иотехн ак а и элект,ронич<а», 1959, No 10.
61.Шенн -он К Математ,ич·есжая теор ия связи . В об . «Работы по теории ин­
формацми и кибер1нетике». П од ре:д . Р. Л. Дот 1р уш,и.на и О . Б. Луп а­
,нова.М.,ИЛ, 1963.
62. Щ у cr< ,ин А. Н. Об одном методе борьбы с импуль·еными помехами. М., Из­
вес тия А Н СССР, сер . ф изиче.с;кая, В ЫIП. 1, 1946.
37 1;

:ПРЕДМЕТНЫй УКАЗАТЕЛЬ
А
,.альтернатИ1вная гишотеза
234
,алгор·итм р,а-боты прием,ного усг -
рой,ст,ва
240
.аддитивные поме2ои (шумы)
12,126
.ада~п111шная ком,пенсация (ко,ррек-
, цня)· ·ка.нал о·в
368
Б
белый шум
.б11за (число степеней свободы)
сигнала
бази·с
босд
. бс1за ансамбля груruповых сигна­
лов
в
43
61
70,329
75
331
время корреляции
29
вектор линейнонезависимый
329
верность связи
14
время автоко•рреляции квасдратур -
,ных -ком,поне,нт канала
120
r,ероятность
,выбора данно·го сообщения
(,си.мв ола)
154
средняя правильного прие м а
тИ'пичной последова телыност,и
179
средняя оши,бочного .пр,иема
типичной последовательности
179
ошибочного .приема кода-вой
комбинации
206,226
э,к,вивалентная оши.бки
априорная
236
ложной тревоги
239
,цро·пус!Ка цели
239
вес 1<одовой ко-мбина ци,и
217
11ершина кодового дерева
204
·выигрыш
оистемы мо,дуляции
198,291
об общенный снеге.мы модуля -
ци•и
292
[Ю экви-валентной ·вероят,ности
ошибки
228
энергетический
228
обобще,н.ный энергети,ческий
323
вокодер
349
демодуляция
1детеКТИ ро.ва Н,И е
.декодирование
д
мажоритарное
.
372
11
11
11
227
датчик
sдnумерная плотность вероятности
ди,скрет,изация (квантова,н,ие) сиг-
12
23
Ес ла
57,303
ли,намичесжий диа,пазон
74
десятичная классифика ц,ия диапа­
зона электро ·мат,н,ит,ных волн
до,п,плеро,вское смещение частоты
девиация фазы
,девиаи:ия частбгы
,девиация а~nплшт уд ы
Е
е;tин,иц а из м ерения инфор.ма ции
109
148
80
80
80
натуральная
155
двоичная (БИТ)
155
з
з,, м,ирания
интерференцио,нные
медленные
быстрые
селек11ивные (избирательные
1по ча,стоте)
и
ин фо1р-ма1ция
И!-!фо·рмаЦ1ио,нный объем сигнала
канала
идеалыный (о,птимальный) прием ­
ник В. А . Котельникова
[!З бЫ'I'ОЧНОСТЬ
и·сто,чника
кода
им• пульсная переJоОд, ная характе-
ристика (функция) •
индекс , мосдуляции
,и,скшжен·ия сигнала.в
линейные
(ам1пJDиту,,п,ные) нелинейные
к
ка ,нал св язи
·в узком смысле
1расдио
[Jровод,ной
диокретный
локально - стацио,нарный
непрерывный
,дискретно-,непрерывный
сим·метр.и,чный
о,дноро1дный (стационарный)
неодноро,дный (,н естацiюнар-
ный)
120
120
120
123
153
190
194
236
160
175
114
91
114
124
9
9
108
109
112
220
112
112
132
131
131

(Со .:тИ1ранием
:идеальный
,га:усс~в
132
135
135
•с ,не<:mределенной фазой сиг-
нала
135
·однолу,чевой гауссов ,с замира-
ниями
135
-лин·ейный с рассеян,ием
136
'С комплексной аддитивной
rпо1ме.1юй
137
,Dщ нолу:чевой с r лщцюи.ми зами-
ра,ниями
122
,м,ноrолу,чевой с ,медленными
селек11ивными зами.раниями 123
о;брат,ный
356
к- оди ро,вание
случа йное
177
диск ретное (в узком смысле) 200
182
200
183
э;к; о,номное
шомехоустойчиво е
,ста ти1сnи,ческо е
кр11тери й экви,вален11но ,го прямо­
угольника
,для изме,рен1ия времени корре-
лящи,и
29
для из,мерения ширины энерг-е-
ти1чео1юго спектра
42
ко1р•рек'I1и.рующий
209
,дв оwч,н ый (1бина-рный)
201
•М1Н'О'ГО1ПО,J°ИJ.1,ИОННЫЙ
2Ql
,блО'Ч,НЫЙ
ра,вномерный
201
нера'ВномеJJIНЫЙ
201
,непрерывный
201
безызбыточный (,при,митивный) 202
·из!б ыто'Чный (корректирующий) 202
непр1ИВОiП!ИМЫЙ
205
Хаффмена
207
л инейный
214
·совершенный
216
,квази со,вершенный
216
•ОIПТИМаЛЬНЫЙ
215
,сИlстематическ,ий
214
ц11кличеокий
218
с ло·стоянным весом
224
рекур1рентный (цепной)
225
кстельниковск.ие отсчеты
58
кодовое дерево
204
ко,ре11ь дерева
205
ком!бина:ция
ко:цо,в а я
.раэ,решенная
за1Прещенная
202
210
210
комплексная оrи.бающая процесса 47
hО:рре1Щия каналов
367
коэффициент
корреляци,и
24
эффек11и,вно1сти системы связи 196
эффекти.вносн1 1пе,реда ,чи ,нн -
фор'Ма.ции
281
ча,стотной из-быто ,чности (из ·бы-
точности мо1дулящии)
308
к_ритерий ,и:деально1го ,на,блюда тел я
(В. А. Котельник.01ва)
235
среднек'ва,дратичес1~ий близост,и 187
мини~мальиоr.о среднего риска
(юайесовский)
237
Неймана-<Пи,рсона
238
кор,реломет·р
37
количество информации передан-
ной в среднем ,по каналу с шу-
мами
167,190
t{Оли,че·ство ложной инфор.маци,и,
создаваемое помехой в единиц у
времени
170
к ващрат у,рные ко -м1поненты переда -
точной фу,нкщии ,канал а
119
кол,ичество информаци,и в 1 с в
! Гц полосы ч астот
336
кодек (система ко,дИiрования-,деко-
~иро,вания)
372
л
линия ,связи
9
до.жная ·тревога
239
линейная незЗ1влсимость по,дпро-
,с транств (си.-,нало,в)
329
.М
ма .1шпуляция
83
м а тематшче,окое ожидан,ие
22
м!'новенная фаза сигнала
47
м гновенная частота сигнала
48
модем ( система модутщ,ия-демо-
дуляция)
369
модуляция
79
,уг ло-вая
81
фазов ая
79
часто тная
79
амплитудная
79
импульсная
81
линейная
296
нелиней,ная
296
двойная
300
~балансная
90
дельта-мо1дуляция
305
шумовая фазовая
308
интервально -им1пульсная
351
,многоступенч атая
300
ко:дово-·и,м,ггульоная
303
одной боковой пол.осы (ОБЛ)
89
ме.11юимвольная и,н,тер,ференция
116
модель непрерывного канала
о:бобщен,но -гауссова
136
и,деального
135
га уссовог о
135
373

с ко -м.плексн о й адд,итивной п о -
-мехой
137
,гауссова канала с , нео,пределен-
ной фазой
135
одн.олу,чевого канала с заы11 -
,раниям,и
135
обоб щеJ-Iно -rа,уссов ото л.ине!°!-
,н.ого канала с рассеянием
энергии во времени и по ча-
•стоте и гауссо:вым шумом
136
.м,ноголучевоrо канала
123
максимального правдопо;~:обия кри-
терий .приема
239'
метод.
1Полно-го обратно,го повторения
н ruроверки (ОПП)
359
·последо,вательной передачи ин -
формации
367
параллельной передачи инфор -
м,ац,ии
367
н
несущая
78
,,енщцежнос ть канала
166
,ненадежность канала в еди-ниц у 270
вр-емени
но,р.ма вектора
85
норма в пространстве Г:ил1:>берта 68
о
основание кода (его позицион-
.ность)
201
о;гибающая
~процесса
45
0:Г'1'ИМ3ЛЬНЫЙ ~прием
232
обра тная ра ,бота
259
с,бобщенный выигрыш
энергетический
323
системы модуляции
292
о,пре,.д ел итель Лрама
330
о'l\ношение оиг,нал/шум
75
орто гональн ост ь
в
уоилен,но:ч
СМЬJIСЛе
7!
-отнашение сигнал/помеха на вы-
ходе согласованнОГ\О фильТ'ра 248,318
оценка макои,мально пра·вдо.подоб-
ная
,п
11ередающее устройст.во
~приемное устройство
,гюмехи
283
11
12
аiдiДИТИВНЫе
126
флуктуационные
127
соаредого1ченные по частоте
(,га:рмонические)
128
сосре;доточенные 1по •времени
(им•пульсные)
128
-пе-рено•счик
78
полоса качания ча 1стоты
80
f'роцесс
::лучайный
17
374
;.~:етерминJ1рова нн ый
ди скретный случайный
;; епрерывный случайный
~т а:щюнарный ( о д нор одныr1 )
случайный
нестационарный
ный)
стационарный
смыс,1 е
(неоднород-
в
широксч
эрrод-ический случа1~iный
но рмальный слу.чайны11
,rауссовский с.1Уча11с1ый
ло слЕЩо·вательность
случайная непрерывная
слу,чай-ная диокреl)ная
тиш,ичная
нети ,пична я
fi реобразование Ги л ьбео г а
п ·роекци я
п реобразователь
.неабратнмый
оlб,ра т,имый
.п ро1пуок ц·ели
л отенщиальная
В·ОСТЬ
л о,~е хоустой ,rи-
память ·канала (системы)
1преобразован.ие Ф у рье
приём
поэлементный
,в це лом
разнесенн ый
п ространство
ЕВ1Клида
соо:бщений
сигнала
канальнQIГо с-и.г нала
аддитив,ных по,1ех
линейное
метрическое
но,р-ми 1 ро 1 ва нное
Гильберта
rприни,маемых кодо вых ко:-1б !i ­
нацлй
rсропускная способ нос ть кан ала
IГЮ ЛИ ,НОМ
16
19
19
26
17
26
28
31
35
35
19
19
162
162
49
64
171
171
238
254
116
37
354
351
66
6.4
64
66
66
67
67
67
68
IГ!орождающий
219
,про.верочный
219
urык ет о,rшr,бок
225
поро'1о ,вый эффект
306
произ,во,д1ительность источника 162
«почт.н» о,ртогональные сигна лы 343
п·рием,ник
ыорреляц,ио,н,ный
243
ПИJ(-фактор ситнала
213
по д.несущая
300
про·верка на чет.ность l(·о;~: ово й
ксм, бинщии
217
р
реализация случайного про ц ес са
р,· •остояние
17

в пространстве Гильб.ерта
68
по Хемми нг,у
73
м,ини,мальное • по Хемм,ингу 212
раопрещеление
Рэлея (рэлее,вское)
55
об0б щ енно-рэлеевское ('раiiсов-
ское)
54
чегырех,п а ра,1ет,р~ическое
оги-
•бающей
56
четЫ!рех,па ра·метрическое фазы 56
трехпараметрическое амплитуд 12 2
риск
условный
237
сре,щний
237
разде.1ение
классическое частотное
334
сообщение
диокретное
неп1рерывное
система (связи)
с
с постоянными параметрами
10
10
, (ста,цио на ·рные дннамич-еск,ие) 116
с регуля, рными
переменными
па раметрам,и (, па ра;,1е.11рические
сисге11ы)
114
сч}fсления
202
ортогональная в , усиленном
смысле
с а КТИВ,НОII ла узой
с пасси.вной паузой
с противополож, ными
.1а}!И
с био,ртогональными
ламп
с прямой модуляцией
снrна-
С,ИГ.Н а -
с интегральной модуля1~ией
с многоступенчатой модуля -
цие й
многоканальная
си~~плексная
дуюле.к• сная
.прерыви,стая
ШIИ'рОi!<ОiПОЛОСНаЯ
«Кинеплекс»
,М:С
сиип
«Рейк»
авто,ма11ическогю за1 проса оши -
71
245
245
246
271
292
292
30
325
356
357
364
366
341
34!
368
~к ~30)
~4
с к,одово-и,мпульоной
цаей
асинхронно-адреоная
модуля -
единая
автоматизиро·ва нная
303
342
(ЕАСС)
369
униве рсальная (интегра льна я) 369
схема Пистолькорса
258
статисп1 ческая теор , ия С'Вязи
,сечение случайно,го П!роцесса
спектральная пло тность детерми­
н:, ров а нно,го процесса {,П!ре образо ­
ва ,ние Фурье)
степень нео•пределенности
С\НЩНЯЯ длина КОДО•ВОЙ комбина­
ции
средняя скорость пе:реда,чи ин-фор-
22
37
154
208
мации по каналу
170,191
срщнее количест во взаимной ин­
формации м•ежду двумя ,про,цес-
,сам,и
167
сющром • кодовой 1юм,бинации
216
•СБЯ'ЗЬ
телеграфная
13
телефо.нная
13
,фототелеграфная
13
телеВ1изионная
13
информационная обратная
356
системы .уплотнения
ко,мбинационные
344
синхронные
336
асинхро,н,ные
342
с:,,~е.шан ,ные
344
С ) fМВОЛЫ
ненадежные
361
контрольные
216
си.гнал
простой
365
•СЛО,ЖНЫЙ
366
широ,1шполосный (шумоподоб-
ный)
365
узко.полосный
365
финитный
19
сопряженный
47
,~,ру,п:повой
систеиы модуляции
1 пря•мые
292
интегральные
292
с1-;аляр,ное пр о·изведеиие
65
СУ-аля.рное произведен,ие в прост-
ранстве Гильберта
68
средняя мощность сигнала
75
с;:едняя мощность шума
75
спектр
энергетичесюий
37
усредненный энер.г,етический
40
энергетический о,пределенный
на положительных ча стогах
40
с;ред1няя ча ·стота
45
система функций
ортогональная
69
ортогональнан
в
у,силенном
смысле
71
орrонор.миро:ванная
69
своевременность связи
14
совместимость электромагнитная
369
спектралhная цена уплотнения
335
с.1ожение (вычштание) по :'.юдулю 72
375

т
тра,нсформа,ц,ия спек11ра
такто•вая синхронизация
телекоще1,р
rЕореыа Котельниu<ова
у
условия
состоятельности оценки
несмещенности оценки
эффективности оце-нки
уплотнение
кана аа связ ,и
J1ИНИЙ ·СВЯЗ.И
раздельное
1коМJ6инащионное
смеша,нное
ча ,стотное
,статис11ическо-е
во . !J!рем,ени
noфазе
,по форме
124
350
58
243
243
243 •
325
325
327
344
327
332
350
336
339
340
управляющая обратная
устранение избыточност,и
связь 356
207,348
ф
фазовый детектор
269
фуНJIЩИЯ
интегральная раопр.еделения
20
дифференциальная распреде -
ления
20
одно.мерная
20
м,ногомерная
23
корреляцион-ная
23
усреднен ная
корретщион -
,ная
29
вза ,и1моко~:1реляцио,нная
( связи)
28
;.юрм1ированная корреляци -
онная
24
с ограниченным спектром
57
отсч-ето,в
58
корреляции кан,ала (сис'F емы )
со случайно ыеняющюrися па-
,рам-ет,ра ·ми
119
лра1У,Ц◊Подо-бия
239
физи,ческий объем сиг,нала и ка:
НЕЛВ
74
,филы1рация сигнал а
242
формула Ше ннона (д .1я пропуск -
11ой способности канала)
193
фильтр
линейный
ак11ив,ный
\Комму11ир-уемы11
ill аССИВНЫЙ
246
244
247
247
СО['Ласова ,нный
оп ти,мальный
В,инера
246,317
Колмогорова -
ква-зиаптималь ный С ифо.рова
ш
шумы (-п омехи ) а д-д·итивные
, шаг ква , нтования
шум воопрои-зведе ни я
энтро1п.ия
и-сточника
услав-на я
э
шума в ,JJ;Искретно-м канале
(количество .10жной ·инфо·рма­
ц,ии)
•выходных снмволов ка-нала
(нсточник,а на выходе ка,нала)
:д,ифференц·иальная
условная дифференциальная
эпсилон--э,нтропия
,(-со·бственная
1-'нформация)
эпсилон апро из вод.ительнос ть
эффе1пивно сть
сис-гемы связ , и
оистемы переэ,ачи информации
ЭJ<'Вивалент,ная эне!)('-ИЯ си-г.налов
эффективная полоса 111ропуокания
энерт-етическая цена у,плотнения
315
320
12,126
57,303
185
157
158
168
166
185
188
188
189
14
281
255
42
334
,,.·~:
'- f,

..