МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО и СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РСФСР
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Л.В.ОВСЯННИКОВ
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ
СПЛОШНЫХ СРЕД
(учебное пособие для студентов НГУ)
Часть I
ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ
НОВОСИБИРСК-1976

УЖ 532+533.7+539.3 @75.8)
Овсянников ?.В.
Введение в механику сплошных сред.
4.1. Общее введение. Учебное пособие
для студентов, ЩУ, 1976, 1-76.
Предлагаемое учебное пособие по курсу "Введение в механику
сплошных сред" написано по материалам лекций, читавшихся автором
в течение ряда лет на механико-математическом факультете НГУ. В
нем в сжатой форме приводится математический аппарат, используемый
в механике, и описываются принципы построения основных моделей
сплошных сред»
В методическом плане данное пособие имеет ряд\существенных от-
отличий от имеющихся учебников по данной дисциплине, и поэтому мо-
может быть полезным не только студентам соответствующих специально-
специальностей, на и лицам, ухе знакомым с излагаемым материалом.
Новосибирский государственный университет, 1976

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие •...'..... 5
Часть I. ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ ¦
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 7
1. Алгебра 8
2. Анализ . . .n -. 17
3. Криволинейные системы координат ' 23
4» Тензорные поля 25
5. Дифференциальные уравнения 28
6. Специальные системы координат . 30
, ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 37
§ I. Предмет и метод ....... 38
§ 2. Основные определения и аксиомы . . 42
§ 3. Непрерывное движение . 49
§ 4. Элементы термодинамики 56
§ 5,- Тензор напряжений 60
§ 6. Тензор деформаций 65
§ 7. Определение перемещения по деформации ..... 70

ЛИТЕРАТУРА
Основная:
1. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М., Физматгиз,
1962.
2. Серрин Де. Математические основы классической механики жидко-
жидкостей. Издательство иностранной литературы, 1963.
3. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплош-
сплошных сред. М., "Мир", 1975,
Дополнительная:
4. Седов Л,И. Механика сплошной среда* Т. I и Д. М., "Наука",
1970.
5. Жермен Д» Механика сплошных сред. М., "Мир", 1965.
6. Ландау Л.Д, и Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. 1ЭДТЛ,
1954.
7. Бондарь В«Д. Лекции по курсу "Введение в механику сплошных
сред". ШУ, 1967.
8. Овсянников Л,В. Лекции по теории групповых свойств дифферен-
дифференциальных уравнений. НГУ, 1966*
9. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М., "Мир", 1964.

ПРШСЛОШЕ
Настоящее пособие представляет собой необходимое введение
к специальным дисциплинам - гидродинамике, газовой динамике,
теории упругости и плстичности, которые Являются обязательны-
обязательными для студентов прикладного отделения механико-математичес-
механико-математического факультета Н1У. Оно посвящено изложению тех фундаменталь-
фундаментальных фактов, которые лежат в основе собственно механики сплош-
сплошных сред*
В предлагаемой форме соответствующий курс читался автором
в 1972/73, 1973/74 и 1974/75 учебных годах и доцентом Меньши-
Меньшиковым В.М. в 1975/76 учебном году во втором семестре для сту-
студентов второго курса. В связи с тем, что с 1973/74 учебного
года по этому курсу начали проводиться практические занятия
(семинары) без какого-либо увеличения отводимых на предмет чи-
числа учебных часов, количество фактически читаемых лекций сокра-
сократилось. Это и вызвано необходимость написания данного учебного
пособия.
В отношении отбора материала и стиля изложения данное посо-
пособие имеет ряд особенностей, отличающих его от уже имеющихся ру-
руководств по тому же предмету и, тем самым, оправдывающих насто-
настоящее издание.*
Прежде всего, изложение является сильно -сжатым ввиду необ-
необходимости охватить довольно большой матерная, насыщенный много-
многочисленными понятиями, математическими формулами и выкладками.
Поэтому здесь даются лишь первоначальные сведения по предмету
на примере наиболее простых (но достаточно общих) классических
моделей сплошных сред. По той же причине в пособии не рассма-
рассматриваются никакие конкретные задачи. Вместе с тем краткость
текста и несколько искусственное разделение его на две части
вызваны жесткими административными ограничениями объема издания.
Принципиальной особенностью пособия является то, что в фор-
формулировках основных положений, в записи и выводе уравнений ниг-
нигде не используются системы координат. Тем самым независимость
основных положений и соотношений механики от выбора системы ко-
координат здесь не нуждается в специальном разъяснении - она га-
гарантируется самим способом изложения*

Модели механики сплошных сред рассматриваются как некото-
некоторые математические структуру задаваемые четко сформулирован-
сформулированной системой определений и аксиом. Вероятно, предлагаемая
здесь аксиоматика не является ни совершенной, ни единственно
возможной, но она достаточно хорошо служит поставленной цели.
Пособие состоит из двух частей. В части I, названной "Об-
"Общее введение", содержится важный раздел "Математический аппа-
аппарат". Здесь собраны терминология, обозначения, определения и
факты, относящиеся к используемой в дальнейшем математике.
Все эти сведения должны были бы быть известны студентам при-
прикладного отделения второго курса второго семестра. Однако фа-
фактически это не так, ибо в читаемых курсах Алгебры, Геометрии
и Анализа некоторые необходимые для данного курса моменты ока-
оказываются упущенными.
Собственно механике сплошных сред посвящены § 1-7э объе-
объединенные под названием "Законы сохранения". Здесь приведена
исходная система аксиом и рассмотрены понятия напряженного и
деформированного состояний сплошной среды.
В части П рассмотрены классические модели жидкостей (и га-
газов) и деформируемых твердых тел С § 8-II). Последние четыре
параграфа посвящены более специальным вопросам. Особенно ва-
важен § 14, где дается понятие об инвариантности различных объ-
объектов относительно группы преобразований. Это делается в такой
форме, чтобы по- возможности показать фундаментальный и всеобъ-
всеобъемлющий характер этого понятия.
. Данное пособие дополняется сборником задач, составляющих
обязательное для студентов "Задание". На предлагаемых в нем за-
задачах отшлифовывается навык применения математического аппара-
аппарата и закрепляется основной лекционный материал.
Каждый параграф разбит на пункты. Ссылки в тексте, напри-
например, на пункт 3 из параграфа 7 обозначается .3". Внутри каж-
каждого параграфа использована независимая нумерация формул (I),
B),..., а ссылка, например, на формулу C) из параграфа 4 обо-
обозначается C)".
В заключение автор выражает благодарность доценту кафедры
гидродинамики Меньшикову В.М., критически просмотревшему весь
текст пособия и инженеру Боровской Э.З., а также всем тем, кто
способствовал оперативному изданию настоящего курса.
30.7,76* . Л. В. Овсянников.

l
Часть I. ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ
МАТШАТШВСКИЙ АППАРАТ
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНЫ
JJ - поле вещественных чисел <*.,?, Л , и ,
i?71- евклидово пространство размерности гь
RnCx)- пространство JJ^c общим вектором jc .
а-ё - скачярное произведение векторов а,
\а\ - длина вектора си.,
- векторное произведение векторов ^г ее Л,
]tv базис в ?Л; иногда просто {е^|.
а~Ъ.1eL - формула разложения вектора по базису.
а1 * координаты вектора сь в базисе {^i}.
fi..f 6$ - символы Кронекера (- / , есшгс с = j и О , если с
с°г; А-~Я - отображение множества^ в множество i5 .
tf=4?x) или jc~^-j(*r.) - формула действия отображения у .
л*, / - композитен отображений/ и ^ .
2<л>- образ векторам при линейном отображении Z »
X*- линейное отображение, сопряженное к L .
i? *i* - прямое произведение пространств J2 ж R .
При записи сумм одночленов, зависянщх от нескольких индек-
индексов, знак суммы по повторяодемуся ("немому") индексу опускается.
Индекс называется "немым", если он входит в одночлен ровно два
раза: один раз - как верхний и один раз - как нижний. Множество
значений "немого" индекса должно быть ясно из контекста. При-
П. /77
Z.Lc
В матрице (Z$) всегда верхний индекс j есть номер строки, а
нижний индекс i - номер столбца. Умножение матриц производится
по правилу "строки на столбцы".

I. АЛГЕБРА
I. Базисы. Любой набор из я-линейно независимых векторов
^•••» e7t называется базисом. Базис обозначается lei}x
или, если значение л-ясно из контекста, то просто {e^j.. Каждо
му базису {fij} сопоставляется кобазис [ez\* однозначно опре-
определяемый соотношениями
?r= e. ( г^У,.,., ть9 т*е. если базис /е?} совпадает со сво-
своим кобазисом {егу, то базис {^} называется ортобазисом (орто-
(ортонормированиям базисом). В частности, для векторов ортобазиса
Каждой вектор реЗ^ может быть разложен по базису и по
кобазису .
где числа pl~ р-ег и />г-в./»'^ ( * = /,..,, ??> называются компонен-
компонентами вектора р , причем pi - ковариантные. а /?г- контравари-
компоненты.
Пусть l^i} - "старый" базис и (е^ - "новый" базис. Тогда
матрица С^4) =* (AL) называется матрицей перехода от базиса {^j.
к базису [е[ I. Матрица М^(Хг;является обратной для матрицы
64) , т.е. (A) =CAYi Если />/ /р'1- компоненты вектора р в
64) , т.е. (A) =CAYi Если />/ /р'1- компоненты вектора р
"новом" базисе, то справедливы формулы
2. Линейные отображения. Отображение L'R—^Л называет-
называется линеашм отображением, если для любых А, /исЯ и (Ltin
Множество всех линейных.отображений L: JZ^-R рассматривается
как евклидово пространство и обозначается &б (Л* Лт). Вместо
лп)используется символ ^(Л71). Лдя линейного отображения
?тв базисах {ei?c?7Lи (jC-j^^справедлива форму-
форму8

Матрица (t) =(-Lt) называется матрицей линейного отображения L
в базисах {е?} и Ц], л ( т
В других базисах {е^|с? и [?Лс& матрица того же линей-
линейного отображениях будет (Z)'*(!?.}• Справедливо равенство (ма-
(матрицы умножаются по правилу "строки на столбцы")
где (А)*(А?щ (?)=C-)~ матрицы перехода к новым базисам, опре-
определяемые (|юрмулами
Композиция K°L линейных отображений LtR^-A и
действует по формуле
)?) и (K)-(KJ). то OcojL)- (Kjlf?).
* Случай т=7ь . (йвсволом X обозначается тождественное
отображение Л^р~Лл9 а символом О- нулевое отображение. Ли-
Линейное отображение -ie^-j?;называется невырожденным, если
de6(L)?o . Невырожденное линейное отображение LiB^-^
ляется гомеоморфизмом пространства ¦i27Z'f в частности, имеет об-
обратное L.
Вектор eeR называется собственным вектором линейного
отображения^. , если существует число ЛеЛ , с которым спра-
справедливо .равенство Z<^ >*>??. При этом число Я называется
собственным значением.отображения L . Собственные значения
являются корнями характеристического уравнения
Это уравнение не зависит от выбора базиса в Я71'.
Для 71-5 характеристическое уравнение имеет вид
где Jx- инварианты отображения L . Инварианты выражаются че-
через матрицу (L)~(LJ) по формулам
,1 Л ,3
с дед i. wf t3P \ j_. j - j^. j • j_, л • j_ ,

второй инвариант L
" ^ CL.) «
l\ 4
*
4 4
1 Ll Г
детерминант 2;;
Справедливо тождество Гамильтона-Кэли ?/~ j •_
Справедливы форму,цы
След композиции К ° L называется скалярным произведением ото-
отображений А" и X и обозначается K-L . Если (Х)-(Кр& (M)»"(ZJ)>
то L _• ,
4. Случай
JbmeaHoe отображение
^Я называет-
называетw
ся линейной Формой на пространстве Rw. Пространство ^(Л^; II)
называется сопряженным пространству Я7*™ обозначается Яя*. Су-
Существует метрический изоморфизм эе.: Л^2?,/М'который каждому ве-
вектору ае -Й^взаимно однозначно сопоставляет линейную форму
зе(а-) » действукщую по формуле зе(а)<ё^>=а$. При этом, если
Ф=эе(а)щ то а = з?~л(Ф).
5. Билинейные Формы. Отображение Ф-Л^Л-^Л называется
билинейной Формой на пространстве -Лл, если для любых
и л, ^,
Ф<а,
<а,су .
~^называ-
~^называБилинейная форма о , действущая по формуле
ется фундаментальной формой пространства Я71.
Бели Ь?&(Яп)% то отображение Ф , действующее по формуле
Ф<а^>^оМ<ё>ео^ъ билинейная форма. Обратно, каждая билинейная
форма Ф порождает линейные отображения L и L , с которыми
справедливы формулы
10

Фундаментальная форма у порождает тождественное отображение!,
Эти формулы устанавливают однозначное соответствие между мно-
множеством билинейных форм на ?"и пространством зСсл7), Линей-
Линейное отображение Z* называется сопряженным линейному отображе-
отображению L . Б одном и том же ортонормированием базисе матрица (L*)
получается из матрицы A) транспонированием. Справедливы фор-
формулы
(?+/?)** 1.*+К*, (K*L)*=L**K*.
6- Симметрия. Линейное отображение М называется симметри-
симметричным, если Х*= L и антисимметричным, если L*--L . Каждое ли-
линейное отображение представило единственным образом в виде
суммы симметричного и антисимметричного; L-Lc+L>a..* гДе
Множество ??с(Лл)симметричных и множество ^(^^антисиммет-
^(^^антисимметричных линейных отображений являются .шанейными подпространст-
подпространствами в at(Rn)rСправедливо разложение в прямую сумму
Все собственные значения симметричного линейного отобра-
отображения вещественны, а не-нулевне собственные значения антисим-
антисимметричного линейного отображения - чисто мнимы.
Для любого симметричного линейного отображения JL сущест-
существует ортобазис в Я*% в котором матрица (?) диагональна.
7. Случай 7l=*3 . Антисимметричное линейное отображение
АеХа.СЛъ)тть&: в ортобазисе {е^ } матрицу
/ О ~ а,3 а?
(А) = ( (? О -си?
"^- a? of О
взаимно однозначно связанную с вектором ?~ аге^. Тем самым
определено обратимое линейное отображение Е•'&*-*<?л(я*) дей-
ствущее по формуле Ж<?>=А . Справедлива формула
8. Ортогональные преобразования. Линейное отображение
^называется ортогональным отображением, если оно удо-
удовлетворяет соотношению О°О*=Т* Для ортогонального отображе-
отображения справедливы формулы О *= О~*% det (О) = ±1.
II

Линейное отображение L&^CH71) можно представить единст-
единственным образом в виде композиции ортогонального отображения О
и симметричного неотрицательного отображения A:L=O°A> Наря-
Наряду с этим справедливо также представление L-Ax° OI. причем,
вообще, А?ФА , но всегда Oj~O . В этих представлениях
Ортогональные отображения О:?/&- изъявляются взаимно од-
однозначными. Поэтому их называют также ортогональными преобра-
преобразованиями пространства Rw% Композиция Otо Oz ортогональных
преобразований"О± и ?^, обратное преобразование O^is. тождест
венное преобразование/ являются ортогональными преобразовани
ями. Поэтому совокупность всевозможных ортогональных преобра-
преобразований пространства ^^образует группу. Эта группа обознача-
обозначается О(Д^жш просто О7!'
9* Представления. Отображение Т: О^*~$(?*")называется
проставлением группы О7^ О(ЛЖ), если дяя любых преобразо^
ваний ^^^^^^справедливо равенство
Если дано представление Ж- O^^-aZCM771), то о группе
ворят, что она 7Гг действует (или просто действует, если речь
идет об одном определенном Ж) на пространстве Rm\ Это Ж -
действие задается формулой а-*~7/С0)<а>дяя любого сьеЛт
Действие называется тривиальным, eg ли Ж(О)= I для любого
ОеОп ¦ Пример нетривиального действия Олна ?т- ^
для '-А? (")
10, Изотропные /функции. Пусть даны два действия одной и
той же группы O^i ее Ж^ - действие на пространстве Л и Щ^ -
действие на пространстве Лр. Отображение го iR^rP называ-
называется инвариантным отображением относительно пары (Ж?г %%)> если
для любого зсе?тта. любого О ёО71
В механике такие инвариантные отображения принято называть изо-
изотропными функциями. Простейший пример изотропной функции полу-
получится, если задать >Г-действие 0я"на R^формулой сь+ 0<сау для
q,€.R? бе О71 . Изотропное^ относительно пары (Ж, 7/) отображе-
ние и:Д%-?Должно удовлетворять функциональному уравнению

Общее решение этого уравнения, дающее все такие изотропные
функции, имеет вид Z0(cc)~jc<f(i&\)* где tp :J2-+-Л - произвольная
функция. ^
II. Задача механики. В механике сплошных сред возникает
задача об отыскании изотропных функций на пространствах линей-
линейных отображений ь?(ЯЛ). Непрерывная функция F:<? (?а)•*-??(яa
называется изотропной, если она инвариантна относительно дей-
действия группы б^на ??(Яа'O определенного в примере из п. 9S
т.е. если для любого Ае?(яп)и любого
Теорема. Всякая непрерывная изотропная функция
может быть представлена в виде .
где коэффициенты ^являются скалярными функциями только от
инвариантов линейного отображения А (т.е. функциями коэффициен-
коэффициентов характеристического многочлена de-L (А-
Например, для п—3 ¦ , .
\ F(Al-. %C)I+ % (JJA+
где с7= 6^,-3^.3^>и инварианты ^^определены в п. 3.
?
12. Полилинейные отображения. Отображение 11 ifi?Х ..
действущее по формуле '1 %
т
называется полилинейным ( г -линейным) отображением, если отно-
относительно любого из аргументов а,$ F= /,.,., г.), при фиксирован-
ных значениях остальных г-? аргументов, оно является линейным
отображением Я ^-*- Я™
Частными случаями полилинейных отображений являются линей-
линейные отображения (г~?)г а также линейные и билинейные формы
( z=i,&'? тп~{)^ Если 777=/ , т.е. значение &<#у,...,^естъ чис-
число, то полилинейное отображение называется полилинейной ( ^ -
линейной) формой на пространстве i?^.
^¦3- Тензоры: Полилинейная z-линейная формаФ на простран-
пространстве ?аназывается тензором. Число z %о называется рангом тен-
тензора Ф .
13

. Пусть [е^ - базис и [el\ ~ ему соответствующий кобазис в
?*• Компонентами тензора Ф ранга г в базисе (e{j называются
числа
где каждый из векторов &5( 3 = /,...?) есть один из векторов ба
зиса или ему соответствующего кобазиса. Води все а>6 являются
векторами базиса {е^, то получаются ковариантыые компоненты
а если все #v- векторы кобазиса ¦*¦ то контравариантные компо-
компоненты
Все прочие виды компонент называются смешанными компонентами
тензора Ф , причем р раз ковариантными и ty раз контравариант-
ными, если в их определение входит р векторов базиса и ер век-
векторов кобазиса. При этом важны не только сами числадиа , но
и расположение векторов. Тензор ранга г имеет всего &г различ-
различных видов компонент. Число компонент данного вида (например,
ковариантных) равно тъг .
14* Преобразование компонент¦ Закон преобразования компо-
компонент тензора вытекает из свойства линейности формы Ф по каждо-^
му аргументу. При переходе от базиса {^к базису (е^} с матри-
матрицей перехода Г^;^Г^ковариантше компоненты преобразуются
по формуле
а контравариантные компоненты - по формуле
Для смешанных компонент преобразованные компоненты получаются
умножением исходных на элементы матрицы (А) для каждого кова-
риантного индекса и на элементы матрицы (А)~(А)~Л$№ каждого
коытравариантного индекса и суммированием.
Это правило преобразования показывает, что тензор однознач-
однозначно определен набором своих компонент в каком-то одном базисе.
Этот набор может быть взять произвольно. Кроме того» указанное
правило можно положить в основу определения понятия тензора
(что иногда и делается в учео^иках): тензором ранга z в прост-
пространстве Л^называется множество наборов из nz чисел, каждый
14

из которых-поставлен в соответствие'некоторому базису и изме-
изменяется при переходе от одного базиса к другому согласно данно-
данному выше правилу.
15. Частные случаи. У тензора ранга нуль всего одна компо-
компонента; такой тензор есть просто вещественное число (скаляр).
Тензоры ранга ? - это линейные формы. Пусть Фг^Ф<е^ ко-
вариантные компоненты такого тензора. Тогда вектор р= Ф^ ес ке
зависит от выбора базиса и для любого вектора а- будет Ф<а>=*р*о,
Аналогичное построение с помощью контравариантных компонент.
фх- ф<ег> дает тот же вектор р~фге^ . При этом pi.»Ф^ и /?*
Тем самым тензоры ранта ? отождествляются с векторами простран-
пространства R^ :
Тензор ранта 2-имеет четыре вида компонент:
ф-.<
7
Линейное отображение LiR'^Rf\ действующее на вектор &=
по формуле !*<$>*$^ф?-ег* не зависит от выбора базиса и для лю-
любого вектора cu^oJ'e^ будет
:=Ф<
При этом соответствие L~*+4?взаимно однозначно. Тем самым тензо-
тензоры ранга 2 отождествляются с линейными отображениями простран-
пространства i?A(cMe также п..-5).
16. фундаментальный тензор. Тензор а ранга два» заданный
формулой 0<агё^-аб называется Фундаментальрм тензором прост-
пространства я*'. Шиболее важны его ковариантше компоненты^/» и
контравариатные компоненты йЧ, С ними, справедливы формулы
разложения ¦ . J
it J
Отсюда еледует связь матриц; (alh ^(fiS* Существенным свойст^
вом фундаментального тензора является то, что он.
С помощью фундаментального тензора можно выполнять преоб-
преобразования компонент одного вида в компоненты другого вида для
любого тензора. Эти преобразования-называются операциями опус-
опускания или поднимания индексов и осуществляются путем умножения
на компоненты фундаментального тензора и суммирования (т,е„ пу-
путем "свертывания" с фундаментальным тензором). Например, для
вектора

и для тензора ранга три
17. Операции. Над тензорами можно производить алгебраичес-
алгебраические операции, приводящие снова к тензорам: умножение на число
Ф--А Ф * сложение Cfi tyt^-f+ty* умножение тензоров (f,(fj)-~~ wtj>.
Тензор (форма), равный произведению <f<y /называется также кро-
некеровским произведением тензоров (f и LjJ . Оно обозначается
символом ip&ty.
Кронекеровское произведение векторов (как .линейных форм)
называется диадой. Диада си® $ , рассматриваемая как линейное
отображение (см. п. 5), действует по формуле -
Специфической дня тензоров является операция свертывания
(результатом которой является свертка). Свертывание тензора
ранга г >? осуществляется указанием двух из мест расположе-
расположения аргументов формй Ф , подстановкой на одно из отмеченных
мест вектора базиса ei t на другое - вектора кобазиса ег и су-
суммирования по i . Например, свертка тензора ф?о,,?гс,с1>ш> пер-
первому и четвертому местам дает тензор ранга два
В компонентах эта операция выглядит так: '.%^Ф^\ (сумма по ? )
и дает свертку по первому и четвертому индексам.
Свертка тензора ранга два есть скаляр (след соответствую-
соответствующего линейного отображения, см. п. 4). Свертка тензора ранга
три является вектором.
18. Дискриминантный тензор. Лдя приложений в механике по-
полезен специальный тензор третьего ранга в пространстве^. . С
помощью определенного в Яъ векторного произведения%*ё этот
тензор задается формулой' смешанного произведения трех векторов
Тензор с называется дискриминантным тензором пространства М ,
С помощью его ковариантных 6^ет контравариантных ?v<2компо-
?v<2компонент выражаются векторные произведения базисных и кобазисных
векторов _ ¦¦ ^ ^Л +, ^j Jj*+
16

и векторное произведение любых двух векторов
В силу известных свойств смешанного произведения, все ком-
компоненты tqe выражаются через одну из них* например, через ?
- i l&'l . Базис {е^называется гщавщ^ если?„~lti>0и левым,
если ?^ ~-1?1<О ¦ Справедливы формулы
Число/?/связано сi<l(~de?(f?jj)соотношением
С помощью дискриминантного тензора ? получаются форму(ш,
связывающие компоненты вектора ХеЛ с компонентами линейного
отображения^ **Е<а,>% введенного в р. 7. В силу равенства
АКо^&хби правила отождествления линейных отображений с
тензорами ранга два (см. п. 15), справедливо соотношение
A<g,c>^t<a,,4,~c> .
Отсюда следуют взаимно обратные формулы
2. АНАЛИЗ
I* Непрерывность. Пусть дано. открытое множество QR
Отображение И • Q-^J2m называется непрерывным в точке jce Q
если а. I ^ /
ih/~*o .
Отображение tctQ, ~*~Л называется непрерывным на множестве Q t
если 1Ь непрерывно в каждой точке *г? Q .
2. ДиЗФереншруемость, Пусть Z6:.Q— ^непрерывно на Q, •
Отображение и называется^ дифференцируемым в точке .*r€ Q , если
существует такое линейное отображение L %R^Pm$ что
Отображение Z6 называется ди(М>еренцируемым на множестве Q. , ес-
если z^ дифференцируемо в каждой точке sceQ .
Линейное отображение Z , сопоставляемое, в силу этого опре-
определения, каждой точке JC?jQ, называется производной отображения
U в точке сЖ и обозначается символом д?к(а:). Возникающее при
17

этом отображение -^-— : &—.Jl-O?; Л J, действующее по формуле
Ъи
- - ¦(&) % называется дрокзврдным рторракешем для Ю, Ото-
бражение г& называется непрерывно дифференцируемым на <2 , если
производное отображение непрерывно на Я. .
В дальнейшем, с целью упрощения записи различных формул,
символ -~^ будет употребляться и для обозначения производной
отображения и> (т.е. линейного отображения М-°~&т)\
Боли отображения ZC'Q-^Ли гТ-Я^-Я дифферещируемы, то
их композиция fro tc; ?/$-ЯРчаже дифференцируема, причем
&• Случай л^?-« Здесь ^'^^-«-^бычно называется век-
вектор-функцией переменного ^ . Если г^= z^y/ в базисе {A-j'crje
то производная вычисляется покомпонентно
З *
Вычисление производной в общем случае сводится к этому частно-
частному. Для этого берется произвольный вектор ФеЯ'Х^иногда он назы
вается "пробным" вектором) и рассматривается вспомогательное
отображение гГ:? F) +-Ц™ действуйцее по формуле
Тогда справедлива формула
4. Координатная запись. Матрицаf^rr Указывается матрицей
Якоби отображения го. Если ^с=^е^, a=z/^f., то
J >
где ^-^ - обычные частные производные функций w (&*.„
Отображение и: Q-»-^ непрерывно дифференцируемо на Q, ес-
если и только если все частные производные Ъц,*/да? существуют
и явшштся непрерывными функциями на множестве Q .
5- Случай /ту = У. Здесь рассматриваемое отображение являет-
является скалярной функцией (f : R^R. Производное отображение обо-
обозначается специальным символом
и называется градиентом ip . В базисе [е^ матрица Якоби гради-
градиента имеет вид (Чф^{^1Г..,~±-\ш векторы а,еJ?71'градиент дей-
ствует как .шшейная форма;
18

^ a
в силу чего он является вектором сопряженного пространства J2
?• С1дучай 777-71 . Здесь -~—; есть линейное отображение
fir/
М7** аатрща /—)~ квадратная. Два инварианта этого ли
немного отображения носят специальные названия: след bt (-~ \
1
называется дивергенцией, а детерминантгт^|^/называется якоби-
якобианом отображения ю :
2
В механике используется еще одна векторная дифференциаль-
дифференциальная операция - дивергенция тензора; Пусть дано дифференцируемое
отображение P;Q-+~<?(M*) (тензор). Тогда для любых*ceQ и
7^ величина 1>*6х)«2>еЛлж определено дифференцируемое
*
отображение i>JVa>;^-*-j?7^ действущее по формуле
Поэтому определено линейное отображение -^ C**а>);&+&.ТХо опре-
делению, дивергенцией тензора Р называется вектор a*iTP , задан-
заданный формулой ( ае/2п - произвольный "пробный" вектор)
<2<
m= л=з ротор zoitc определен формулой
¦' j. */-E~?/ — ди* \
где линейное отображение Л определено в 1.7. ¦ ¦
7. Вторая производная. Если производное отображение -—
; Вт) дифференцируемо, то отображение ZL называется
дифференцируемым. Производное отображение -г— —— назы-
вается, вторым производным отображением или производным отобра-
отображением второго порядка отображения ги . Для него применяется
обозначение д & # Значение второго производного отображения
в какой-.1габо точке <&eQ называется второй производной ото^-
бражения и в точке & . Она является билинейным отображением
пространства J2^b gm , Действие второй производной как били-
билинейного отображения-—— iR*SZ->-R опреде.дяется формулой по-
следовательного дифференцирования
д it ,
19

Важнейшим алгебраическим свойством второй производцой яв-
является то, что она, как билинейное отображение, симметрична
С помощью вторых производных отображения и : Q^-&^опре-
Q^-&^определяется векторная операция, называемая оператором Лапласа и
обозначаемая А :
OIL _
где дивергенция тензора -^—г определена в п. 6,
8. Высшие производные. Производные высших порядков опре-
определяются индуктивно. Производной порядка if или К -той произ-
производной -Д-^. называется производная отл^У-оЙ производной
дх*
Значение производной $*&/&?ъ точке «rejQ есть' симметричное"
полилинейное к -линейное отображение^^: ,^-хИ^М? Спуская
обозначение точки «с.г общую формулу последовательного диффе-
дифференцирования можно записать в следующем виде
9* Мера Дебега. Здесь .^рассматривается как точечное ев-
евклидово пространство. Пусть П^ есть открытый ть -мерный куб
(гиперкуб) ьМл9 длина ребра которого равна di {<*> О - любое
вещественное число). Мерой Лебега кубаОдназывается число
и(а^~сс^ Символом (o^.lобозначается произвольная совокуп-
совокупность конечного числа попарно непересекающихся кубов О^..
.Цувть W-'i/Д^.- их объединение. 1йерой Лебега множества WHa-
i l у?
зывается число и (W) *= У. и (а*/.)=У^ Далее рассматривается
произвольное ограниченное открытое множество i2 <^ i? ^. Мерой
Лебега множества Q называется число.
где верхняя грань берется по всем таким совокупностям
для которых U-Q. clQ ,
г z
Мера Лебега обладаем важным свойством аддитивности: если
Q, и Q9- два открытых непересекарцихся шожества, то
20

10. Объемы. Говорят, что область оОсД'шъеп кусочно-глад-
кусочно-гладкою границу дсО . если множество д&> можно представить в виде
объединения конечного числа множеств <?у (гладких кусков) со
щ
следующим свойством: для каждого 6j существу иг точка dcje 6± и
базис [е^яГ{ъ котором лле) такие что 6" взаимно одно
базис [е^яГ{ъ котором л^ле^) такие, что 6"? взаимно одно-
однозначно 1Н}оектирзтотся в направлении Шщ, на гиперплоскость
(проекйдя обозначается 6^) и задается уравнением вида
с непрерывно дифференцируемым отображением (]} ;
Ограниченная область^с кусочно-гладкой границей называ-
называется объемом. Примеры объемов в R : шар, куб, отрезок цилинд-
цилиндра и т.п.
XI. Аддитивные' функпии множества. Пусть/^обозначает со-
совокупность всех объемов <j&cQ. Отображение Ф:{&}+& называ-
называетсяа^щтившм отображением, если дяя любых непересекащихся
объемов оЗу> ^е^1выполнено равенство
Пусть точка *zeQ и Пы&)- куб с центром л и длиной ребра
ос . Аддитивное отображение Ф: fco]->- Ч). называется непрерывным
в точке х , если ё€тФ(п^сзс))^о,Непрерывное в любой точке
jceQ отображение Ф называется непрерывным на Q .
Аддитивное отображение ф называется дифференшруешм в
точке а:, если существует такой вектор U^Umt что
Вектор ZC называется производной отображения Ф и обозначается
Отображение Ф называется шШренщруешм на Q , если
оно дифференцирзгемо в каждой точке &eQ . ? этом случае воз-
возникает отображение uiQ*-?mt действующее по формуле г&=Ф*Сх:)
Отображение Ф называется непрерывно дифференцируемым на Q ,
если подученное отображение & непрерывно Ha& .
12. Интеграл. Пусть дано непрерывное отображение utQ+J??
Тогда справедлива* следующая основная теорема теории интегриро-
интегрирования. ¦ : ¦ •-;.-. .¦¦--¦ - ¦ ¦ ¦-
Существует одна и только одна непрерывно дифференцируемая
? аддитивная функция множества Фг {а>}-*Мт » которая во

¦ ¦ ¦ ¦ /
всех точках <&€& удовлетворяет равенству Фа
Эта функция Фи называется первообразной для отображения W.
Ее значение на любом объеме со a Q называется интегр-алом ото-
отображения и по объему &? и обозначается символом
Поверхностные мера и интеграл. Пусть гладкая гиперпо-
гиперповерхность $ с проекцией У/ на ?/|~узадана так же, как в п. 10,
т.е* уравнением оГл=^ у-^^/;.v^/7"-j,где <f/:fe+JZ- непрерывно
дифференцируемое отображение. Тогда функция (i+ / ? ^//^непре-
^//^непрерывна на fa . Пусть множество б<^$ относительно открыто на у
и его проекция на R есть 6? ; тогда 6? есть открытое множе-
ство (в R ).
Поверхностной мерой Лебега ut множества б называется чис-
число, равное значению интеграла л~/
? C6) =
G этой мерой определяется интеграл по поверхности у от не-
непрерывного отображения if : ^+ Rm как аддитивная непрерывно
дифференцируемая функция множества Hai?"^, производная которой
равна ip-^l+lvif/j2' • Этот интеграл обозначается символом j\
Итак* по определениюа^ *
Интеграл по кусочно-гладкой поверхности f определяется как
сумма интегралов по системе попарно не пересекающихся гладких
кусков, объединение которых дает всю поверхность f .
14. Теорема Гаусса-ОстЬоградского. Пусть даны открытое мно-
множество Q о U л и непрерывно дифференцируемое на?? отображе-
отображение гс.О,^-Я ^ Рассматриваются такие объемы cocQ , для ко-
которых их замыкание co<^Q # Пусть п, есть орт внешней, (по отно-
отношению к со ) нормали к границе ЭсО .Теорема 1аусса»0строградско-
го утверждает, что справедливо равенство (формула Гаусса-Остро-
градского) _?
\.\. ( (di&и)d(D = С,
J со J °
Справедливо также обобщение этой формулы на случай непре-
непрерывно дифференцируемого отображения р; Q-- ? С?л) » т.е. для
тензора ранга два. С использованием понятия дивергенции тензора
(см. п. 6), соответствующая формула такова "".
22

со dc0
. ¦ 3. КРИВОШНЕЙЕШЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
I. Координаты. Здесь рассматриваются криволинейные коор-
координаты, для определенности, в трехмерном евклидовом пространст-
пространстве J2J. Все общие факты и формулы верны з любом Я"*. Арифмети-
Арифметическим пространством jt называется множество наборов троек ве-
вещественных чисел (J<iJC,Xj. С. естественными операциями сложе-
сложения троек и умножения их на числа и скалярным произведением
это пространство является евклидовым. 3
Системой координат на открытом множестве QcJiC?)называ-
QcJiC?)называется взаимно однозначное и взаимно непрерывно дифференцируе-
дифференцируемое отображение К tQ-*-*?* . Это отображение действует по
формуле
Значения функций Кг(?уназывается координатами (иногда говорят:
"криволинейными координатами") вектора (точки) Зс .
^ Щя каждой фиксированной точки Jo0eQ уравнение К^?)=К%з:о)
задает координатную пдверхнооть /Jj<=?3(jc)_t, проходящую через
jco . Пересечения
%
называются координатными линиями ("криволинейными осями коор-
координат"). Вдоль линии ¦/«•¦ меняется только координата Кz.
2. Координатные базисы. Пусть фиксирована точка 3ceQ* В
этой точке определены векторы
¦5<"а5; <*-'¦*¦*),
образукщие базис в Я5. Он называется координатным базисом си-
системы координат Л' в точке Ж . Вектор 5t- является касательным к
координатной линии Ct . Наряду с этим в той же точке определе-
определены векторы
Ъ1
Они образуют кобазис (соответствующий базису {эЛ ), который
называется координатным кобазисом системы координат А1 в точке
Ж . Вектор 3"г* явяяется вектором нормали к координатной ш»~
23

верхности Пг-.
При изменении системы координат меняются также координат-
координатный базис ж кобазис. Если K'-Q-^^J3- "новая11 система коор-
координат, то определено отображение К« K~*i J5-+-Jf3, действующее
по формуле ,11^к.1х.
и ему обратное отображение К* К'~*. Тогда "новые" базис и ко-
кобазис связаны с исходными обычными формулами (см. 1.1)
J
3. Ортогональные системы. Система координат называется ор,-
тогональной (в точке Ж или на множестве Q ), ^сли^векторы ко-
координатного базиса попарно ортогональны, т.е. Эё •
Это свойство равносильно следующему: Э?-Ъ?=О (
Матрица компонент фундаментального тензора а в ортогональ-
ортогональных координатах имеет диагональный вид
о о k3
где
4. Символы Криотоффеля. В общем случае векторы координат-
координатного базиса {д±\ зависят отЗс. или от (к*,кгчК*)=к(рс)(исключением яв-
является аффинная система координат, когда отображение -К-я—Л' -
линейное). Производные по координатам от векторов базиса явля-
являются векторами и могут ^ыть разложены по базису
__ rrS -Z
Коэффициенты ц- называются символами Кристоффеля второго ро,ш>
Они сшшетричны по нижним индексам: Г^^Г-f. Справедлива ду-
дуальная формула разложения . " *
Символы 1^истоффедя выражаются через фундаментальный тензор по
формулам
24

Вместе с тем символы Кристоффедя не являются компонентами тен
зора. Полезно следующее выражение для "свернутых* символов
Кристоффеля: если
Наиболее часто употребляемыми в механике сплошных сред си
стемами координат являются декартова прямоугольная, цилиндри-
цилиндрическая и сферическая. Их подробное описание дано в п. 6.
ные пояа.
I. Производный тензор» Дусть Ф - тензор ранга z , завися-
зависяот Же Q <=-МК Тогда его значение на г фиксированных "про-
"пробных" векторах Фх^л.^б^будет отображением Q.+jR /дейст-
/действующим по формуле
35
а производная этого отображения - линейной формой (см.
Поэтому производная
является значением, г*/ -линейной формы Ф .Следовательно,
Ф есть тензор ранга z+i . ¦¦'".¦
Тензор Ф называется проязводным тензором от тензора Ф»
а его комцоненты» соответствущие, векторам базиса "€**&? - ко-
вариантными производными от компонент тензора Ф .
Обозначение компонент производного тензора получается из
обозначения компонент исходного/ тензора добавлением одного
ковариантного индекса, который пишется через запятую; напри-
мер ф' . .,*.'¦ .
2. Коватзиантше производные. Ковариантные производные вы-
выражаются через обычные частные производные по соответствующим
координатам, исходные компоненты и символы Кристоффеля. Дяя
ковариантных компонент тензора Ф ранга г соответствующе фор-
формулы таковы ; ; "
25

'
где в символе Ф^ ...s...i индекс 5 стоит на месте индекса
Аналогичные формулы для контравариантных компонент имеют вид
где в символе ф**-•*--**• индекс Й стоит на месте индекса
Правила ковариантного дифференцирования суммы и произведе-
произведения тензоров такие же, как и для функций.
3. Примеры. Компоненты фундаментального тензора являются
функциями координат. Тем не менее, их ковариантные производ-
производные равны нулю:
Следовательно, по отношению к ковариантному дифференцированию
• компоненты фундаментального тензора ведут себя как константы".
Это свойство в сочетании с операцией поднимания индексов (см.
1Д6) дает простой способ вычисления ковариантных производ-
производных от смешанных и контравариантных компонент любого тензора,
если известны все ковариантные производные от его ковариант-
ковариантных компонент.
Ковариантные производные скаляра совпадают с обычными
производными:
ф ¦ —
Ейражения для ковариантных производных от компонент векто-
Выражения для ковариантных производных от компонент тензо
ра ранга два:
ф
-r Ф -Г5Ф.
дКе
г
es
26

4. Векторные операции. Здесь приводятся ковариантные выра
жения для ряда дифференциальных операций. Эти формулы .исполь-
.используются при ковариантной записи дифференциальных уравнений ме-
механики сплошных сред в произвольной системе координат в J25.
Градиент функции. Определение: вектор vF= Щ^ . Ковари-
антше компоненты:
Производная вектора. Определение: линейное отображение
?l ,. рассматриваемое как тензор второго ранга -^=. <а, с> ~
Ковариантные компоненты
Дивергенция вектора. Определение: скаляр — - —^ ^. ,
Выражение через контравариантные компоненты вектора: "^
Оператор Далласа от функции» Определение: скаляр
Выражения через ковариантные и обычше производные
Ротор вектора. Определение: вектор zoi & ^E'j/Jtl^^ ЁЩ*\
Контравариантные компоненты ^^ ^
t'e
*
В правом координатном базисе
^щвергенция тензора. Определение (с "пробным" вектором л):
Контравариантные компоненты
¦ .(&*РI-Р\*s = <fi*(P) fs ^
где Рг**(Р*/Р*, Р )- векторы-строки матрицы (PZJ).
Оператор Лапласа от вектора. Определение: вектор л &~
27

Контравариантные компоненты
chr
Ускорение, Определение: вектор —rr-
at
Ковариавтяые и контравариантные компоненты.
5. Физические компоненты. Векторы координатных базисов и
кобазисов, вообще говоря, не нормированы. Поэтому компоненты
тензоров имеют разные числовые значения в разных системах ко-
координат даже тогда, когда направления соответствующих базис-
базисных векторов совпадают. Это вызывает неудобство при опериро-
оперировании с конкретными физическими величинами. Идя его устране-
. ния вводятся физические компоненты тензора.
Определение: физическими компонентами тензора называются
числа, получаемые делением его компонент на длины базисных шш
кобазисных векторов, определяющих эти компоненты.
Например, ковариантшм компонентам <&? « 2 '• 3? вектора 2L соот
ветствуют физические компоненты ^~ сь^У/э^. Контравариантным
компонентам Li^szL<3^ Ъ*>=Ъ*кР> линейного отображения
— . JE ' -Л. ^-^*.# . .
L-R-^Л соответствуют физические компоненты Тч =
-Zlt/lPl-l}*\:-ii т.п.
В ортогональной системе координат для любого тензора физи-
физические компоненты в.сех видов, имеющие одинаковые индексы, рав-
равны между собой..
УРАВНЕНИЯ
*• Задача Кош. Пусть даны открытое множество Q
интервал вещественной оси Z<=.&&)и отображение и-.
Требуется найти дифференцируемое отображение ^с; т^-А* , для
которого было бы справедливо равенство— D)= Ufa&),?)при всех
28

-teT * Искомое отображение or можно подчинить еще условию,
чтобы в данной точке ^ег оно принимало заданное значение
Задача об отыскании такого отображения называется задачей Кош
и кратко записывается так: найти решение обыкновенного диффе-
дифференциального уравнения» удовлетворяющего начальному условию
В дальнейшем задача Коупи рассматривается в предположении,
что заданное отображение г? .\?> *г-^Лнепрерывно и непрерывно
дифференцируемо на множестве Q х т .
.2. Теорема. Существует одно и только одно решение задачи
Коши, определенное на некотором интервале T^l t (зависящем от
точки <Хо )¦ Дяя каждого фиксированного ?еТх это решение, как
отображение -г:«ro-^j:^xe,^непрерывно дифференцируемо, причем
произвбдное отображение удовлетворяет "уравнениям в вариациях"
JL 0х _ да Bjc дл_ г, )=т
В качестве следствия из ^той теоремы для якобиана J~\-^-~
отображения ^-*-*? получается формула Эйлера
3. Восстановление отображения по его производной. Пусть
даны, открытые множества Q.cM"{jc) * Vc J?^ и отображение
J; Q*V^?(Л";?т) . Требуется найти дифференцируедае ото-
отображение U:Q-^jfl для которого было бы справедливо равенство
iSL(&)^j(jc)if(x))'K?№ всех dCeQ . Далее эта задача рассматривае-
ся в предположении, что отображение J- непрерывно дифференциру-
еью на Q * У .
Теорема едикственноети. Пусть дана точка С^со, ио) в Q ХУ.
Может существовать не более одного отображения W-Q-^W", для
которого и(^)-иот равенство -^pcj^^r^^выполнено для всех
jc из некоторой окрестности точки \хо . !
¦*¦¦ Зта теорема показывает ^ что естественна следувдая задача о
восстановлении отображения: найти отображение UiQ-*~Mm* удов-
летворящее дифференциальному уравнению и начально^ условию
4v Задача о восстановлении отображения разрешима, не всегда.
Дело в том, что если решение ¦-.существует, то вторую производную;

?—-'j можно вычислить, в силу уравнения, как первую производ-
производил: а ¦
ную -jrgj &,&&))- Тем самым для каждого фиксированного^ полу-
получится билинейное отображение ?л*?л-+-Д/п', которое должно
быть симметричным (см. 2.7). Однако* для произвольного отобра-
отображения^ это будет не так. Отсюда возникает необходимое усло-
условие симметричности производной -?— $Qx$v(xj)* как-билинейного.,
отображения Я^Я^^А^ Следующее понятие позволяет не свя-
связывать это условие с каким-либо конкретным отображением
Отображение J:Q.xV~-?(Aл; jtmj называется вполне инте-
интегрируемым, если решение задачи о восстановлении отображения
с этим^ существует для любой точки (<?*, z/oj6Q*V.
5. Теорема Фробениуса. Отображение^ вполне'интегрируемо,
если и только если оно удовлетворяет соотношению совместности
для любых точек (tX,zf)€Q*-V и любых "пробных" векторов
Если соотношение совместности выполнено, т.е.^ вполне ин-
интегрируемо, то задача 6 восстановлении отображения решается пу
тем сведения ее к некоторой задаче Кожи для обыкновенного диф-
дифференциального уравнения.
6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТШЫ КООРДИНАТ
^фиксированном ортонормированном базисе пространства Л3
*хе? полагается ж=(я:,уя)* Криволинейные координаты вводят-
вводятся с помощью отображения К • A+J3 , действущего по формуле
т Л _
I. Декартовы прямоугольные координаты. Отображение К :
обратное отображение Х~хг
Координатные поверхности &=;сеп$-6г у=соп$4 или ?=
плоскости. Координатные линии.- прямые, параллельные осям
30

Декартовы прямоугольные координаты -.являются ортогональными.
Координатные базис и кобазис совпадают:
at- -3*- СЛо, о), 4^ '$%Со, /, О), э5 - э3^(о,о,/).
Фундаментальный тензор - единичный
Символы Кристоффеля все равны нулю. Дискринаинантный тензор
определяется тем, что /?/ = i . Система координат - правая.
Физические компоненты вектора г?=^,г?,фсовпадают с тен"
зорными компонентами
Физические компоненты тензора^ ранта два совпадают с соот-
соответствующими тензорными компонентами
Ц,адиенТ
Матрица ковариантных производных вектора; V- ( i * номера
Дивергенция вектора
n "it 9Л * д#
Оператор Jfekmiaca от функции
Ротор вектора toi д-
ди
тензора *
31

Оператор Лапласа от вектора
Ускорение
2. Цилиндрические координаты. Отображение К :,.
Обратное отоОражение
Координатные поверхности г « ^/7^/>о-круговые ш.линдры (с
осью 2 ), tf=*con$i~ полуплоскости (ограниченные осью ? ) ж
2* const- плоскости. Координатные линии 4 " ЛУ4^ исходящие
из точек оси ? и перпендикулярнне этой оси; 4- окружности в
плоскостях, перпендикулярных оси ? с центром на этой оси; 4"
прдошге, параллельные оси f .
Цилиндрические координаты являются ортогональными* Коор-
Координатные базис и кобазис .
\cy, 3&~tC-sin<f, cosf,o) aj*(e,o,/)i
э =i(~
фундаментальный тензор
О О
г- О
о oi/,
Символы Кристоффеля: Т/г*Т?/ = ^ , -5^=~г> остальные - нули
Дискршяинантный тензор: /?/- г • Система координат - правая.
Физические компоненты вектора гЬ=^г?,ф, ^Тензорные ком-
компоненты
32

З&зические компоненты тензора Р ранга два:
Тензорные контраваржантные компоненты (i - номера строк)
~
hz
Градиент функций
Матрица ковариантных производных вектора (г - номера строк)
dife д<0? . di%.
n ^ "dzT ~д? -¦ ~д?~
Дивергенция вектора
Оператор Лапласа от функции
Ротор вектора zot ^« <i7;
Дивергенция тензора ,~
Оператор Лапласа от вектора

!Г>
Ускорение
3,- Сферические коофщнаты. Отображение
^ .
Обратное отображение К~?\
Координатные поверхности z=cc/rs?>o~G$eyti с центром в нуле,
Q-:c0fts&- круглые подуконусы с осью ? и вершиной в нуле,
(р= co/rs-б- полуплоскости, ограниченные осью 3? . Координатные ли-
линии ^/ - лучи, выходящие из нуля, & - по-гтуокружности с центром
в нуле и диаметром, лежащим на оси ? , €3 - окружности, лежащие
в плоскостях, перпендикулярных оси % с центром на этой оси.
Сферические координаты являются ортогональными.
Координатные базис и кобагзис
?, SznGsin(f7 cosQ)~$j
Фундаментальшй тензор
Символы Кристоффаая (выписаны только не-нулевые)
34

Физические кошюнентн вектора #= (^ п t ги.Тензорные компо-
компоненты ¦ .
Физические компоненты тензора Р ранта два:
/Аг A* A? \
Тензорные контравариантные компоненты ( i - номера строк)
Градиент функции
\
/
Л 4 дР
i dF
Матрица ковариантшх производных вектора (г - номера строк)
dz
i
Т'дг
ъ
\
дг
Ь5гп0 дб
Дивергенция вектора
E 5Z77 в
Г
Оператор Jiaimaca от функции
? д(бгл9хГв) i dfy
?0 дв г$гпО d(f
Ротор вектора zo-t zt= ho:
дв
дв
If/'
3
OO =
дв
J
35

Дивергенция тензора
где Pc-,векторы-строки матрицы (Рг^)
Оператор Лапласа от вектора
д-k z dz Z d9 isinG d(f
36

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
СТАНДАРТНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
з ''
JR - трехмерное евклидово аффинное пространство
- радиус-векторы точки в R3
- время
- эй-черовы координаты
(§,?) - лагранжевы координаты
~гг - полная производная
аэ - область в Л с кусочно-гладкой границей (объем)
дсо - граница области со
опD) - Лижущийся (материальный) объем
Z&- - вектор перемещения.
& - вектор скорости
, I - единичный тензор
JT » тензор дисторсии . ¦ .
d,6 - тензоры деформации / ¦¦ '
Р,Р.~ тензоры напряжений
?> г тензор скоростей деформации
р - давление
q - плотность ,
6 - абсолютная температура
U -¦ внутренняя энергия едшшцы массы
6 — энтропия единицы массы
- свободная энергия единицы массы
- вектор потока тепла
/— вектор плотности внешних массовых сил
37

§ i. певдег и метод
I. Предметом изучения в механике сплошных сред являются
физические тела, обладающие характерными свойствами сплошности
и внутренней подвижности* Сплошность есть свойство тела запол-
заполнять целиком, без пустот, занимаемую им часть пространства.
Свойство внутренней подвижности или деформируемости состоит в.
том, что отдельные части тела могут перемещаться относительно
друг друга при неизменной внешней форме тела. Сплошное деформи-
деформируемое физическое тело получило название сплошная среда.
Строго говоря, в силу атомно-молекулярногО:строения любого
вещества, таких физических тел нет. На самом деле, когда речь
идет о физическом'теле как сплошной среде, свойство сплошности
предполагается выполненным приближенно, при условии малости
характерного масштаба молекулярных процессов по сравнению с
минимальным масштабом изучаемого взаимодействия со средой. Эти
масштабы различны для разных условий. Например, среднее рас-
расстояние между частицами (молекулами) воздуха вблизи земли
?ъ /О см, в атмосфере на высоте 60 км ?~Ю см, а в космосе
?^ ? см. Если принять, что нижняя грань длин/, ., на которых
изучаются явления1 в этих средах, соответственно равна 10"" см,
1СГСМ и 'Ю-6и, то для всех трех случаев будет */2>ICI . Поэ-
Поэтому космическую среду можно считать сплошной в том же смысле,
в каком это допустимо дня воздуха при нормальных условиях.
В повседневной практике встречаются разнообразные сплошные
среды, такие как вода, воздух, масло, глина, дерево, железо,
гранит, песок и т.п. Они играют большую роль в процессе осво-
освоения, человеком окружающей среды. Во взаимодействии со сплошны-
сплошными средами плавают корабли, летают самолеты, добываются полез-
полезные ископаемые и формируется погода, из сплошных сред строят-
строятся дома и мосты, сплошные среды участвуют в производстве эле-
электроэнергии ш продуктов питания.
Грубо схематически сплошные среды можно подразделять на
жидкости, газы и деформируемые твердые тела. Условность этих
понятий хорошо показывают примеры асфальта, который крошится
при ударе молотом, но плавно растекается по поверхности за до-
достаточно большое время, или металла, твердого при нормальной
температуре, но жидкого при плавлении.,
38

2. Механика сплошных сред изучает механические и тепловые
процессы, протекающие в сплошных средах под влиянием приложен-
приложенных внешних воздействий со стороны других тел.
Проблемы механики сплошных сред многообразны. Это - проб-
проблемы силового и энергетического взаимодействия жидкостей и га-
газов с движущийся в них телами; протекания жидкостей и газов
по трубам и каналам и фильтрации сквозь пористую среду; движе-
движения и равновесия деформируемых твердых тел, их прочность и
разрушения; волновых и вибрационных яадений в жидких и твердых
телах; циркуляция атмосферы и океана,, прогноза погоды; турбу-
турбулентных - быстро и беспорядочно пульсирующих движений жидкос-
жидкостей и газов;Доведения очень сильно сжатых (до миллиона атмос-
атмосфер) и очень сильно разреженных (космос) сред; использования
движений ионизованных газов (плазма) и веществ в условиях
химических превращений (горение, взрыв, детонация); поведения,
полимерных материалов; биомеханики (мышцы, кровь, растения) и
многие другие.
3. Как естественная наука, механика сплошных сред подраз-
подразделяется на экспериментально-физическую и теоретическую. Насто-
Настоящие лекции посвящены вопросам только теоретической механики
сплошных сред.
Метод теоретической механики сплошных сред заклинается в
том, что, на основе общих физических законов и систематизиро-
систематизированных данных экспериментов, строится математическая модель
поведения того или иного класса сплошных сред.
Математическая модель представляет собой систему соотноше-
соотношений (уравнений и неравенств), связывающих величины, характери-
характеризующие различные свойства среды. Обычно это - дифференциальные
(и конечные) уравнения, к которым добавляются начальные и гра-
граничные условия. Математическая модель должна обладать свойст-
свойством корректности, т.е. решение входящих в нее уравнений долж-
должно существовать, быть единственным и устойчивым. В действитель-
действительности, строго доказать корректность математической модели уда-
удается не всегда, ввиду чего дня оценки ее качества широко ис-
используется
Затем идет разработка чисто математических методов изуче-
ния структуры модели и решения конкретных задач, связанных со
дополнительных условий протекания процессов в
/39

сплошной среде. Эти методы могут быть аналитическими (методы.
Анализа) или численными (применение ЭВМ): Каждый-из них имеет
свои преимущества и недостатки и применяется в зависимости от
конкретной цели исследования. Ввиду сложности общих уравнений
механики сплошных сред,, создание и применение математических
методов встречает большие трудности. Поэтому получили широкое
распространение метода упрощения исходных уравнений (или реша-
решаемых задач), как точные, так и приближенные.
Место механики сплошных сред в классификации наук опреде-
определяется тем, что механика, вообще является частью физики, изуча-
изучающей строение реального мира. В теоретической; части этой науки
исходные данные, добытые опытным путем» закладываются в мате-
математическую модель, после чего проблемы исследуются средствами
чистой математики через решение конкретных математических за-
задач. Поэтому теоретическая механика сплошных сред является раз-
разделом математической физики и составляет основу классической
прикладной математики.
4. Дяя. понимания физических основ формирования математи-
математических моделей механики сплошных сред вначале полезно обратить-
обратиться к молеклярному ("микро11) описанию. Пусть некоторый объем V
сшгошной среды содержит N молекул fr (г-«=/,..„Л0. Тогда знание
массы 777^ молекулы jut :, щр положения <jc10 и скорости z%c в мо-
момент времени ±о % а- также действующей на нее силы^. определя-
определяет положение и скорость этой молекулы в любой момент времени
t через решение дифференциального уравнения второго закона
Ньютона (с начальными условиями)
Если бы такое определение удалось, то можно было бы ответить
на .любой вопрос о поведении среды в объеме V. Однако, этот
путь^ неприемлем, так как число^V очень велико (если V=Jcm
воздуха, тоЛГ^УО ), а сильг^ точно не известны. Поэтому
ймикро"-описание садошных сред отпадает и заменяется "макро"-
¦описанием, в котором основными являются средние валичины.
Рассмотрение средних величин есть методологическая основа
конструирования математических моделей сплошных1 сред.
5» Наиболее широко распространены две "макро"-^теории; мо-
лекулярнскканетическая и феноменологическая.
В мблеклярно-кинетической теории (кинетической теории га-
40

зов) средние величины скорости, плотности и т.д. вводятся с по-
помощью теоретико-верятностного (статистического) описания через
функцию распределения молекул по положениям и скоростям. Кроме
того, делаются определенные-предположения о характере сил -
взаимодействия мезду молекулами (упругие столкновения, кулонов-
ское отталкивание и т.п.). Получаемая математическая модель
имеет вид так называемого уравнения Больцмана лдя функции рас-
распределения. Эта модель используется при изучении взаимодейст-
взаимодействия тела с сильно разреженным газом. С ней мояно познакомиться
как по оригинальной работе создателя этой теории Больцмана
"Лекции по теории газов", так и по более современным моногра-
феноменологической теории составляет представле-
представление о. том, что в каждой точкеА пространства, занятого сплошной
средой, плотность, скорость и другие механические величины мож-
можно определить как пределы некоторых средних по объему V , со-
содержащему точку А . Эти средние формируются так. Пусть молеку-
молекулы ы ( *-/,;.¦,-#);, находящиеся в объеме V , имеют массу /л^ ,
скорость г? и внутреннюю энергию U^ . Пр ним вычисляются
рохарактеристики объема У : масса M^Zl mit импульс
*л S? // Jt/ТГ \
и полная энергия Е*?^{%яъ1щ1+-(/г) • С помощью этих характе-
г-?. ¦ : /
ристик опреде.т[яются средняя плотность д*=>М/у& средняя ско-
скорость z? =*K/M • Далее вычисляется полная внутренняя энергия
и по ней опредеаяется средняя внут-
ренняя энергия Vx-U/V, Тогда макрохарактеристики объема
V выражаются только через средние величины
Физическая гипотеза "материального континуума" позволяет
приписать точке А "предельные1* значения средних,, например,
j)~ €г'т р#> xt-fzm г?, когда объем V стягивается к точке А .
Наконец, математическая модаяь имеет вид законов изменения ма-
макрохарактеристик со временем на основе дополнительных физичес-
физических гипотез о силовых и энергетических воздействиях на объем V
Четкое выделение этих гипотез позволяет рассматривать фе-
феноменологическую теорию механики сплошных сред как теорию не-
некоторой математической структуры, основанной на определенной
системе аксиом* Эта теория и излагается в дальнейшем тексте. ,
41

§ 2. ¦ ОСНОВНЫЕ-ОПРЩЕНЕНИЯ И .АКСИОМЫ
I. Сплошная среда трактуется как меняющаяся со временем
часть физического пространства. Принципиальный вопрос о струк-
структуре пространства-времени событий в классическом подходе реша-
решается так: сплошная среда считается частью трехмерного евклидо-
евклидова аффинного пространства Л5ж предполагается, что время Ь не
зависит от событий, т*е. абсолютно. Эти предположения, состав-
составляющие основу ньютоновой механики, принимаются в настоящих лек-
лекциях в качестве первой аксиомы..
Aj- (аксиома пространства-времени). Сплошная Среда есть
подмножество трехмерного евклидова аффинного пространства.
Время абсолютно.
Евклидово-аффинное пространство состоит из векторов и то-
точек, причем для любых двух его точек Л ,В однозначно опреде-
определен вектор A3 с началом А и концом В . В этом пространстве
фиксируется начало отсчета - точка О , а положение любой дру-
другой точки А характеризуется ее радиус-вектором Ж= ОА . Все
векторы считаются принадлежащими одному и тому же евклидову
векторному пространству над полем вещественных чисел Я ., От-
Открытые, связные множества - области ?>oi?3- рассматриваются
как положения (конфигураций) сплошной среды. В механике об-
область :с кусочно-гладкой границей: обычно называется объемом.
2# Область Q<2J& называется материальной областью (или.
средой), если на ней определена аддитивная функция множеств,
называемая массой. Предполагается, что для любого (не пустого)
объема со с ?> его масса М(сО)>0* Аддитивность массы означает,
что для любых двух непересекающихся объемов &й? ил^справедли-
во равенство М(сО? Ua&j ^М(сё?) + МС<&&) -
Кроме массы, на среде предполагается заданной другая адди-
аддитивная функция множества, называемая внутренней энергией и
обозначаемая i?r-.
Среда О.gЯ3 называется материальным континуумом., если
функции М и Ei дифференцируемы на О. и их плотность (объемная)
ограничена. Объемная плотность массы обозначается о и называ-
называется плотностью среды или просто плотностью. Объемная плот-
плотность внутренней энергии обозначается pZ7 , в связи с чем V
называется удельной внутренней энергией (внутренней энергией
. - "¦•¦ '¦ \ -' ' 42 ' ' - ¦¦'¦¦¦¦¦Г ''¦--¦ -'. ¦ ¦' •¦¦ . ¦

единили массы). Следующие формулы устанавливают связь мезду со-
соответствующей аддитивной функцией множества и ее объемной плот-
плотностью.
СО СО
Вторая аксиома фиксирует соответствующее свойство слошной сре-
среда.
Ag (аксиома материального континуума). Сплошная среда есть
материальный континуум. .
3. Переход сплошной среда из положения^ в положение ?2^
называется ее перемещением. Далее рассматриваются перемещения
сплошной среды в зависимости от времени -Ь , изменяющегося в не-
некотором интервале Т- (а,6)ей. Положение среды в момент времени
Ь обозначается Q± .Совокупность точек, принадлежащих семейст-
семейству областей ??? рассматривается как множество (область)
* » где
}
В этом представлении каждое положение Q6 есть сечение четырех-
четырехмерного множества Wгиперплоскостью, несущей данное значение ¦?
и параллельнойпространству J?3CE).
В дальнейшем фиксируется момент времени ?ое г~ и рассматрива- >
ется однопараметрическое семейство перемещений $ь положения &±о
в положение Й^даш каждого ire f. (для простоты вместо Q^o будет
использоваться символ Qo ). Е1сли каждое перемещение у± являет-
является отображением Яо -^- Q±, то щя каждой фиксированной точки
§gQ0 возникает отображение $с?)* V*-R** действувдее по форму-
формуле K4K-t)~ud)- з
Отображение <р Q.o * Т+-Д , действующее по формуле #С$,?)?$?(§)
называется,движением сплошной среда. Следующая аксиома фиксиру-
фиксирует существование' и класс перемещений. .
А3 (аксиома движения)» Для'любого ?еz~ перемещение сплошной
среда из положения ?2ов положение Q^. определено и есть гомео-
гомеоморфизм области Qcbsl область Qj.; для каждой точки ?eQloото-
?eQloотображение y^f;;r-»-i?HenpepHBHo и кусочно-непрерывно дифференци-
дифференцируемо на т . ¦ ¦
Эта аксиома позволяет индивидуализировать (материализовать)
точки сплошной; среды. Индивидуальной (материальной) точкой назы-
называется точка ?=*][C$>fyе'-?Ь* получаемая в результате движения
фиксированной точки §sQo+ Для краткости индивидуальная точка
43 ;

называется частицей сплошной среда. Каждая частица при измене-
изменении времени -Ь описывает bJ? кривую, называемую траектбрией
этой частицы. - , . :
Движущимся объемом (иди индивидуальным объемом, или мате-
материальным объемом) называется объем.<&•?, состоящий для |всех
¦ЬеТ из одних и тех же частиц.
, В силу аксиомы А& , дяя всех ?&Qovl всех (кроме, быть мо-
может» конечного числа) значений betr существует производная
Э y(gt-fijr которая называется скоростью движения частиц. Ско-
Скорость есть вектор, обозначаемый &.
¦' 4. Существует два способа описания скалярных, векторных
или тензорных полей, заданных на движущейся сплошной среде.
Первый называется эйлеровым описанием и заключается в задании
значения поля-Г на положении^ как функции точки Зсе& и вре-
времени t , т.е. значенияFC&,?). Второй, связанный с понятием
частицы, называется1 лагранжевым описанием и состоит: в задании
значения того же поля на каждой частице §?&св момент време-
времени i ¦ Пусть это значение есть Ftfs,*). Функции Fи ^связаны г
тождеством
к равенству
д-Ь dc
В щйшой частя на функцию F действует дифференциальный опера-
оператор» который называется полной производной (синонимы: индиви-
индивидуальная производная; материальная производная; производная в
частице; производная вдоль траектории) и обозначается символом
-g? (в отличие от частной производной-^-). Итак, дш любого
Угдадкого паля F=F&.-tfi?o полная производная дается формулой
В частности, если F=3c> то Jc~fC§fi)is. снова получается фор-
определения скорости
Координаты (?А) называются лагранжевыми. а Сзс^-ё)- эйлеровыми.
'¦>.-¦' Различие этих двух описаний существенно, Например, если
'иоде вектбра скорости ^известно в лагранжевом описании, т.е.
задана вектор-функция W^,-tY9_To опредедение траекторий, час-
44

тиц (а значит и движения сплошной среды в целом) сводится к
квадратуре ± * _^_ ' f
Если же поле V известно в эйлеровом описании, т.е. задана век-
тор-функпия тГСэс,!), то та же задача приводит к задаче Коши
для дифференциального уравнения движения частиц (уравнения тра-
траекторий)
Несмотря на то, что первая задача много проще второй, ла-
гранжево описание удобно не всегда. В частности, основные диф-
дифференциальные уравнения сплошной среда имеют более простой вид
в эйлеровом описании.
При эйлеровом описании отображение )f получается в силу за
висимости решения вышеупомянутой задачи Коши от начального-' зна
чения | ... Если поле &(х,-6)один раз непрерывно дифференцируемо,
то существует якобиан <&-е/е?C3:/д$[). Для него справедлива
формула Эйлера
вытекающая из уравнения в вариапиях -—• -~ — -~-= о Л^ .
5* В дополнение к основным числовым характеристикам объема
сплошной среды определяются еще ел едущие аддитивные функции
множества для любого объема Q
количество движения (импульс)
момент количества движения (момент импульса)
кинетическая энергия ЯкСсо)^Н\f?f lv-[&Jc0'
Ой
полная энергия Е (со)~ Ек (од) +EiCcO) .
Изменение этих характеристик при движении происходит под
действием силовых и энергетических воздействий на,объем сО . Эти
воздействия осуществляются с,помощью новых величин: главного век
тора сил jFYo^, главного момента сил G(co)и вносимой мощности Я(оЭ)
Если все упомянутые величины взять для какого-либо фиксиро-
фиксированного движущегося объема, то они будут функциями только вре-
времени -6 . Следующая аксиома устанавливает их определнную связь.
А4 (аксиома баланса). Лдя любого движущегося объема Q
45

ив любой момент времени -?ет справедливы равенства
d
мСоо+) = о ;
Эту аксиому иногда называют "принципом отвердевания", так
как данные равенства справедливы в случае движения твердого
тела. ' v
6. Дяя конкретизации правых частей в аксиоме баланса тре-
требуется определенное представление о силах, действующих на объ-
объемы <?> сплошной среды. В настоящем пособии будут рассматривать-
рассматриваться только внешние массовые силы и внутренние поверхностные си--
Внешней массовой силой называется аддитивная вектор-функ-
пдя ^ , имеющая4 плотность. Если ввести ее массовую ..плотность.-'
, то' объемная пло*ш!ость.будет of , Поэтому внешняя тесо-
тесовая сила, действующая на, объему дается формулой
Щ
?
Соответственно, момент внешней массовой силы, действующий на
объем а^опредедяетоя по формуле
Внутренняя поверхностная сила действует на объем со только
по его поверхности дФ. Для ее определения рассматривается
сечение 21-области ?2 некоторой плоскостью, делящей Q на час-
части Q4 ж Q&.
Внутренней поверхаостной сеяой, действущей через сечение
, 2L со стороны части Qt на часть Qy , называете^ аддитивная
вектор-функция Tt множеств 6cz2t . Следующая аксиома утвер-
утверждает существование ж диф$ереншруемость'этой силы.
Ag (аксиома внутренних поверхностных сад). Внутренняя;^по-
Внутренняя;^поверхностная сила определена жая любозто сечеиия ? области Q
и имеет шютность; (поверхностную) на 2L .
7.' 1^сть Ж - орт нормали к 2L » направленный в сторону
46

% . Вводимая аксиомой А§ поверхностная плотность обозначает
ся ^ и называется напряжением поверхностных сил» действующим
на.область &у через площадку с нормаяью/ь . Лдя области 6с ZL
сила, действующая, на часть Qy со стороны части 01^ через пло-
площадку d , равна
Внутренней поверхностной силой, действующей на объем
со стороны области Q\co ( называется сжив.
где в-кавдой точке поверхности дсОь качестве/z. взят орт внеш-
внешней нормали к дсо (точнее, в почти каадой точке, так как по-
поверхность предполагается лишь кусочно-гладкой). Соответственно,
момент внутренних поверхностных сил, действующих на объем со ,
определяется формулой
Следующая аксиома фиксирует предположение о том, что никаких
других, кроме перечисленных выше, сил и моментов на объемы
oOczQ не действует.
А6 (аксиома сил и моментов). Главный вектор и главный мо-
момент сил, действующих на любой объем cocQдаются формулами
да?
дсо &
8. Наконец., требуются еще сведения о мощности притока энер-
энергии в объемы 6t) • Этот приток происходит за счет работы действу-
действующих сил, за счет переноса тепловой энергии и за счет внешних
источников энергии.
Мощностью, развиваемой внутренними поверхностными силами и
внешними массовыми силами называются, соответственно, величины
дс
9. Приток тепла через поверхность определяется с помощью
сечений 21/ аналогично внутренней поверхностной силе.
Потоком тепла через сечение Z/ из части Q^ в часть Q/
называется аддитивная скалярная функция Q множеств
47

Следующая аксиома утверждает су чествование и дифференцируемостъ
этой функции.
Ау (аксиома потока тепла). Поток тепла определен для любо-
любого сечения ZL области О. и имеет плотность (поверностную)на ZL,
Поверхностная плотность потока- тепла обозначается ап . ^щ.
области 6<^2L поток тепла из части Q% в часть Qj через пло-
площадку от р&вен
Потоком тепла в объем coaQ. из области ?2\&> называется вели-
величина ¦ .
где 7i - внешняя нормаль к осО.
Следующая аксиома фиксирует предположение об отсутствии
других, кроме перечисленных выше, механизмов внесения энергии
в объемы ей . ;
Ag (аксиома передачи энергии). Мощность, вносимая в любой
объем <jQcQ, равна
J/fco) = .^ Ссо) + Me (ой) + :Qf&j=Jf&-fa<fa+/ffp?fi/cL> +//<?„ d&.
дсО СО дсо
10. В итоге принятых аксиом и данных определений формирует-
формируется следующая классическая математдртеская модель движущейся"'
сп-лошнейа среды. " - '
M-j-: интеградьные законы сохранения. В движущейся сплошной
среде для любого движущегося объема cD^ и любого момента време-
времени te т справедливы равенства
III ?
oa*. ¦
Каээдое из этих равенств принято называть "законом сохранения" со-
соответствующей механической величины. Следовательно, модель Mj-..
48

состоит (последовательно) из законов сохранения массы, коли-
количества движения (импульса), момента количества движения (мо-
(момента импульса) и полной энергии. Окончательно можно сформули-
сформулировать следующее1 определение:
Двиадаяся сплошная среда есть объект, удовлетворяющий ак-
аксиомам A-pAg, Ее математической моделью является совокупность
законов сохранения Mj.
§ 3. НЕПРЕРЫВНОЕ ЛВИЖЭШ
1. Основные величины связанные с движущейся сплошной сре-
средой^ плотность р , удельная внутренняя. энергия U f скорость V',
напряжение ря на площадке с нормалью И , плотность потока.теп-
потока.тепла ^ д плотность массовых силу в дальнейшем будут рассматри-
рассматриваться в эйлеровом описании, т.е. предполагаться функциями,
заданными на области W<=J?%xtfy. Величины #, и ^л зависят,
кроме того, от орта HeR (от точки единичной сферы St ) и поэ-
поэтому заданы на произведении WXSj . Вообще говоря, эти функ-
функции не обязаны быть непрерывными, так как для справедливости
интегральных законов сохранения это не обязательно. Однако
класс движений, для которых основные величины являются доста-
достаточно гладкими функциями, является наиболее важным и допускает
подход к его изучению средствами математического анализа. Поэ~
тому такие движения подлелсат изучению в первую очередь.
2. Движение сплошной среды называется непрерывным в облас-
области W , если функции f t U f & , рп , <?л непрерывны и непре-
непрерывно дифференцируемы на W t функции ^ , <j,n непрерывны на
WxSx и функция J~ непрерывна на W r
В этом параграфе будет"доказано, что на классе непрерывных
движений система законов сохранения М? равносильна некоторой
системе дифференциальных уравнений. (Тэтой целью каждый из за-
законов сохранения преобразуется в равносильное ему равенство,
вида . .
с непрерывной, на Ж функцией к . Так^как последнее равенство
справедливо д.яя любого объема а)± , то, на основании нижеследу
ющей леммы, h^O на W . Совокупность' равенств k~-0 и офа-
зует искомую систему дифференпиальных уравнений.
49

ЛЕММА. Если функция ^ непрерывна на области Я.с?ъж если
Jfjrhjco-0 для любого объема^сQ ,то/? = С на & .
*** 3. Осуществление упомянутого преобразования связано, преж-
прежде всего, с дифференцированием ео t интегралов, стоящих в ле-
левых частях законов сохранения, т.е. с вычислением производных
вида
где скалярная или векторная функция F предполагается непре-
непрерывно дифференцируемой на W . Для этого в интеграле делается
замена переменных интегрирования пс формуле Зс=^(^-Ь) , т.е.
переход к лагранжевым переменным, в результате которой область
интегрирования становится не зависящей от -k областью o^cz Q.o
и интеграл принимает вид
где J= dei(<?z/d?)~ якобиан' перехода Je-*^f . В пслученном ин-
интеграле подинтегральная функция зависит от -к как от параметра и,
в силу определения непрерывного движения, является непрерывно
дифференцируемой по-1 . Теперь, в сжгу известной теоремы ана-
анализа о, дифференцировании определенного интеграла по параметру?
дело сводится к вычислению производной от подинтегральной функ-
функции; В силу определения полной производной и формулы Эйлера
B.4) эта производная равна
Обратный переход от лагранжевых переменных к эйлеровым дает
требуемую формулу дифференцирования
a fff .„ i . fff Г d s-n, ^ п /. . til J— (OX
4. Если положить F-/ в формуле B), то ее левая часть бу
дет равна нулю в силу закона сохранения массы в модели IVIj. Поэ
тому, в силу предадущей леммы, всюду на W будет
Это уравнение называется уравнением неразрывности. Оно эквива-
эквивалентно закону сохранения массы на классе непрерывных движений.
Уравнение неразрывности позволяет существенно упростить
формулу B) и придать ей вид :
50

5. В силу формулы C) закон сохранения импульса принимает
вид
//?^ ///f^ D)
где функция ^= q fl- ?&Л непрерывна в области SL^ ¦ Это равен-
равенство является основой для доказательства следующей первой основ»
ной теоремы механики оплошных сред,
ТЮРЕМА. I. На области W существует такое тензорное поле
тензоров второго ранга Р , что в каждой точке области W вектор
напряжения рп , действующего на любую пяощадку с нормалью ^,
дается формулой
Доказательство. В данной точке ЛeQ+ ( ¦? фиксировано) вектор
/^ есть непрерывная функция ]з :M3-*-?s\ требуется доказать,
что эта функщш линейна. С этой целью вводится ортонормирован-
ный базис (е"г}и для любого" вектора д- его разложение по это-
этому базису л = n>i Ж?. Всё, что надо доказать, содержится в фсур-
р) -л>гр (е') * так как тогда можно положить ^
—jit fife*) и продо.шшть это определение на Я по линейно-
линейности.
Вначале уетанавяивается, ч?о^>(-л,)=-р(/г}.$ля этого рассмат-
рассматривается шар оОс центром^ столь малого радиуса б , что соаО^,
Плоскостью, проходящей через точку А ортогонально вектору ть ,
этот шар разбивается на два полушара од? и <&%, * ДР154^ ^ направ-
направлен в сторону сй^. Пусть <$& есть круг, получаемый в сечении.
Применение, равенства D) к объемам оох f со&ш оЭ показывает, что
доя любого достаточно малого б >О справедливо соотношение
Л [рс?)+р(-ЩЛс>=о_
Поэтому, в силу непрерывности поля рп на о? , в точке Л должно
быть pfnj+fic-n-J^ О .
Даяее, пусть вектор fr^ti-e* таков, что все ть.ФО. В декар-
товой системе координат с началом вД и осями, направленными по
векторам базиса е~с, плоскость, ортогональная вектору 7Z , отсе-
отсечет от содержащего % трехгранного координатного угла тетраэдр
51

' ¦ &t. Пусть б<*?( i =¦?,&,§.) - грани этого тетраэдра, лежащие в
координатных плоскостях, <% - грань, перпендикулярная вектору
п. ж б - высота (длины б ), опущенная из точкиА на ^ , причем
& столь мало, что Ac^Q^. Тогда дЛб—6^и^^1/^уШУ1 при-
применение D) к <%= Л с дает: равенство
6а <%? €
где одновременно берутся верхние или нижние знаки - , В силу
%
непрерывности % ж у? в точке А , при ?—0 интеграш слева име-
имеют порядок ?& , а интеград справа - порядок, в3. Поэтому в точ-
точке Л справедливо соотношение
где <3t , 6xt - площади граней тетраэдра Л/ {о высотой , равной
единице). Так как..&?i= $±cos(nfТ^бхп-~ег~€ttl^, то из этого
соотношения, с учетом первой части теоремы, следует требуемое
равенство ~p(n)~TLip(ег) , В силу непрерывности левой и, правой
частей этого равенства относительно гье&± , оно справедливо и
тогда, когда одна или две координаты вектора ;? обращаются в
нуль. Теореш доказана. л
-Тензор V называется тензором напряжений» \
Введение тензора напряжений позволяет преобразовать в зако-A
не'сохранения импульса поверхностный интеграл в объемный, В си-
силу теоремы Iaycca-Остроградского получается равенство
В результате выполнения операции дифференцирования и последнего
преобразования интегральный закон сохранения импульса для не-
непрерывного движения принимает вид ..
т.е. вид (I) с непрерывной на S3 подинтегральной функцией.
Применение леммы показывает, что на W выполнено равенство
Это равенство называется уравнением импульса.
6* Аналогичным образом щшводится к дифференциальному урав
нению интегральный закон сохранения момента импульса. Нестан-
Нестандартным здесь является преобразование поверхностного интегра-
интеграла в объемный, которое выполняется с помощью отображения
52

), действующего на вектор TL^d^ в ортонормиро-
ванном базисе {Д-| по формуле
и дающего удобное представление векторного произведения
Тих$=?(&) <#>, С помощью отображениями теоремы Гауеса-Ос-
троградского требуемое преобразование делается так .
t t L
После дифференцирования интеграла но движущемуся объему по фор-
формуле C) и применения лемш интегральный закон сохранения мо-
момента импульса приводится к соотношению
Подстановка выражения y-ggfиз уравнения имгульса упрощает это
соотношение до следуедего -
Это равенство срдержит только тензор Р и, тем самым, может рас-
рассматриваться как дифференциальное условие совместности закона
сохранения момента испульса с законами сохранения массы и им-
импульса, наложенное на тензор Р . Следуецая теорема о симметрии
тензора напряжений раскрывает содержание этого условия.
ТЕОРША. 2. Условие совместности F) выполнено, если и толь-
только если тензор Р симметричен, т.е. Р*~Р. ч
Доказательство. Следующая цепочка равенств справедлива с любым
постоянным вектором ZTb силу определений и свойств используе-
используемых операций "
(р
*о
Следовательно, результат почленного скалярного умножения уравне-
уравнения F) на вектор.2>равносилен равенству-Ь?(Р%Е(Щ=0ш&1 так
как bi(P*° Е(&)) = —6г(Р°Е(Щ% следующему
53

Но тензор p~P можно представить в виде В (с~) , где вектор с.
однозначно определен тензором Р . Поэтому последнее равенство
приводится к такому:-
Так как это верно для любого вектора 2t- , то отсюда следует,
что с-о , а значит и Е(с)~Р?~Р~ О . Так как все проделан
ные преобразования обратимы, то теорема доказана.
Итак, в рассматриваемой модели Mj сплошной среды закон со-
хранеия момента импульса равносилен симметричности тензора на-
напряжений Р . ¦¦."¦¦
7. На. основании' предыдущего все интеграш в интегральном
законе сохранения энергии могут быть преобразованы в интегралы
по объему, кроме интеграла, определяющего поток тепла. Поэтому
этот закон может быть записан! так
где
Теперь уравнение (?) может быть использовано для доказательст-
доказательства теоремы существования вектора потока тепла.
ТЕОРША 3. На области Ж существует такое векторное поле
векторов ^ f что в каждой точке области W плотность потока те-
тепла через любую площадку с нормалью % дается формулой
Я- (8)
Доказательство» Почти дословно повторяется доказательство тео-
теоремы I с очевидными изменениями, вызываемыми тем, что ^—^{/
является скалярной функцией вектора Л . Поэтому теорема может
считаться доказанной.
Вектору называется вектором потока тепла. Знак "-" в фор-
муле (8) взят для того, чтобы вектор ^ показывал реальное напра
вление переноса тепловой энергии, так как'в качестве Ж берется
орт внешней нормали к границедсО того объема, в который вносит-
ся поток тепла с поверхностной плотностью ^.
Введение вектора потока тепла позволяет преобразовать ос-
оставшийся- интеграл по поверхности в интеграл по объему на осно-
54

ваньд теоремы Гауеса-Остроградского
После этого, в силу леммы, из закона сохранения энергии полу
чается равенство ' - ¦
Если еще заметить. что -~
с/
и исключить -gg с помощью уравнения импульса, то окончательно
получится уравнение
которое называется уравнение притока тепла» В этом уравнении
через it) обозначен тензор второго ранга
который называется тензором скоростей деформации.
8. Общий вывод. На любом непрерывном движении сплошной
среде, описываемой моделью Мр существуют непрерывно дифферен-
дифференцируемые поля симметричного тензора напряжений В и вектора по-
потока тепла ^Г, с которыми интегральные законы сохранения рав-
равносильны системе дифференциальных уравнений, справедливых для
любой точки (Зс,
p
at
~ тензор скоростей деформации, 'определенный формулой (-9).
При этом вектор напряжения, действующего на площадку с нормалью
/Г, дается формулой,E), а плотность потока тепла через такую
площадку - формулой (8). .
Следовательно, эта система дифференциальных уравнений яв-
является математической моделью Mg непрерывных движений сплошной
среды. v4
Полезно взглянуть¦на модель Mg с точки зрения ее "замкну- "
тости" в смысле соответствия числа уравнений числу связываемых
55

ими искомых величин. Обычно модель считается "замкнутой", если
эти числа равны. В модели 1^ содержится 5 скалярных уравнений,
а число.искомых скалярных функций равно
так как 3) выражается через V , а массовая плотность внешних
сил^ооично считается известной. Поэтому, с точки зрения упо-
упомянутого соответствия, систему Мг> следует считать "не замкну-
замкнутой" «Отсюда возникает важнейшая проблема '"замыкания" модели,
которая должна решаться на основании дополнительной информации
о среде*
§4. ЭЛШЩГЫ
I. Учет тепловой энергии в моделях механики сплошных сред
требует привлечения фактов из термодинамики (точнее было бы го-
говорить "термостатики"). Термодинамика изучает связи меж^у теп-
тепловой энергией .и другими видами энергии, в первую очередь - с
механической энергией* и.устанавливает закономерности взаимного
превращения одного вида энергии в другой. . ¦ ._
: Основным понятием тёрмо динамики является понятие состояния
физического тела. Феноменологическое описание состояния осуще- „
ствляется с помощью параметров состояния. Например,-уже, вве-
введенные в предыдущих параграфах .величины, такие как удельная
внутренняя энергия Х/ж плотность р (или удельный объем у=%) ¦
являются параметрами состояния сплошной среды*. Кроме них наи-
наиболее часто используются следующие параметры состояния; абсо-
абсолютная температура Q , удельная энтропия «5 и давление р . Ино-
Иногда параметрами состояния удобно считать также компоненты тен-
тензора напряжений Рдли какие-либо Другие величины.
Если для некоторой среды уже установлен набор характеризу-
характеризующих ее^параметров состояния, то следующей задачей является ,
определение всех возможных соотношений между этими параметра-
параметрами. Эти соотношения должны вытекать из общих физических зако-
законов и опытных закономерностей, регулирующих поведение рассма-
. триваемой среды. ¦ ; . .
Пусть ?=B, %,...)обозначает набор характерных параметров,
состояния Z*какой-либо среды. Множество всевозможных допусти-
допустимых значений ? рассматриваемся как некоторое топологическое
пространство ? - пространство состояний - Которое обычно явля-
56

ется многообразием. Размерность V многообразия ? равна мгш~
м&чьному числу параметров, определяющих состояние данной сре-
среда. Если V*/ , то среда называется одаопараметрической,. если
у=? _ то двухпараметричеекой и т.д. Бзли даны два состоя-
состояния &1 и 2^, то на многообразии ? можно, вообще говоря, ука-
указать пути (направленные кривые) ?(%1У%^ идуище от точки %? к
#? .Выделяется некоторое подашожество путей, которые называ-
называются процессами. Процесс 1^.%)называетоя обратимым, если путь
tOkrZi)* идущий по той же кривой, - также процесс. В против-
противном случае процесс 1(%&%г)называется необратимым.
2. Тепловая энергия (или количество тепла) п , определяемая
как энергия хаотического движения молекул, вообще говоря,¦не
является параметром состояния. Количество тепла GL , полученное
средой, перешедшей из состояния % в состояние ?# путем ?(%?,%&
зависит от процесса ?(%,%?. Если рассмотреть состояния¦ %¦' из
маяой окрестности точки ? , то для дифференидруемых процессов,
начинавшихся в ? , может быть написана формула количества те-
тепла, вырабатываемого в элементарном процессе
где а% ~ 5Г- ? . В этом представлении зависимость от пути вы-
выражается в том, что правая часть не является полным дифферен-
дифференциалом какой-либо ^гнкции. Однако, как доказывается в термоди-
термодинамике, существует параметр состояния, называемый абсолютной
температурой О , о которым отношение cfQ/б для любого обрати-
обратимого процесса уже есть полный дифференциал некоторой функции,
тоже являющейся параметром состояния. Эта функция и называется
энтропией 6 . Итак, для любого обратимого процесса
< - Я - f
)
3. Если в некотором элементарном процессе физическому телу
сообщено количество тепла </@ , то это тело совершит механичес
кую работу ^4, а- его внутренняя энергия получит приращение dV
Первый закон термодинамики утверждает, что всегда справедливо
равенство
Этот физический закон, устанавливающий¦эквивалентность тепло-
тепловой и механической энергии, является термодинамическим выраже-
нием всеобщего закона сохранения энергии.
5?

Второй закон термодинамки утверздает, что при любом про- .
цессе, идущем в теплоизолированном теле (т.е. без внешнего под-
подвода или отвода тепла), энтропия этого тела не убывает. Матема-
Математическим выражением второго закона для элементарных процессов
является неравенство
При этом процесс является обратимым, если ж только если справед
ливо равенство 9dS = dQ. .Следовательно,-необратимые процессы
(в теплоизолированном теле) характеризуются тем, что в них эн-
энтропия возрастает*
%полнение этих законов термодинамики дяя сплошных сред яв-
ляетоя новой аксиомой.
Aq (аксиома термодинамики). Для сплошной среды справедливы
первый и второй законы термодинамики.
Обратимые' процессы в сплошной среде характеризуются равенст
вом &dS = dQ или основным термодинамическим тождеством
4. Важную роль играют так называемые "идеальные" сплошные
среды, для которых во всех точках области W тензор напряжений
кратен .единичному. .. \ ¦ ¦
Здесь коэффициент пропорциональности р называется давлением.
В "идеальных" средах элементарная работа дается формулой
dA = f>dV . Поэтому основное термодинамическое тождество для
"идеальной" сплошной среды имеет вид
Состояние видеаяьной" сплошной среды определяется значением пя-
пяти параметров состояния
: . f-±, u,e.s,P.
Если "идеальная" среда является двухпараметрической, то -из
уравнения (I) следуют два соотношения между этими пятью пара-
метрами. Поэтому для полного описания термодинамического состо-
состояния "идеальной" двухпараметрической среды достаточно задать
еще одно соотношение, Такие соотношения называются уравнениями
состояния. Они обычно получаются с привлечением,опытных данных
и имеют вид явного выражения какой-либо термодинамической функ-
функции через независимые параметры. В приложениях чаще всего ис-
58

пользуются уравнения состояния следующего вида:
(а) внутренняя энергия V задается как функция параметров У t 6 г
(б) теплосодержание (энтальпия), г * U+pV - функция от р , 6 :
^/»V- i(p,-6);
(в) свободная энергия 3--V~6&~ санкция от V , 6 :
(г) термодинамический-потенциал ф=*и?03*-рУ- функция от р ,
5. В математической модели сплошной среды участвуют потоки
тепла от одних частей среде к другим.. Поскольку основной мерой
количества теаяа является температура, то эти потоки считаются
-вызванными разностью температур. Зависимость вектора потока те-
тепла от температуры в термодинамике формулируется как закон Фурье*
q=-xve, B)
где за - новнй параметр состояния,-.называемый коэффициентом те-
теплопроводности. В математическую модель сплошной среда этот за-
закон вводится аксиоматически.
Aj-q (аксиома gypbe). Вектор потока тепла пропорционален гра-
градиенту температуры.
Коэффициент теплопроводности «а? положителен и знак "-" в за-
законе %рье отражает тот опытный факт, что теадо всегда течет от
"горячей" части среды к "холодной". В моделях механики сплошных
сред зе. рассматривается как известная функция других параметров
состояния.
В силу B) уравнение притока тепла, справедливое для любых
сплошных'сред в рамках рассматриваемой математической модели,
приводится к следующему виду
Для полного "замыкания" системы дифференциальных уравнений
механики сплошных сред требуется еще шесть уравнений. Эти урав-
уравнения, называемые также уравнениями состояния, связывают тензор
напряжений с движением (или перемещением). Эти связи имеют раз-
различный вид для разных сред и будут сформулированы позже.
59;

§ 5. ТЕНЗОР "НАПРЯЖЕНИЙ
I. Совокупность векторов напряжения в фиксированной точ-
точке (Л,1)едописывает напряженное состояние сплошной среда в
этой точке. В силу теорем 2, 3 это описание сводится к изуче-
изучению симметричного тензора напряжений Р . Этот тензор можно
рассматривать с двух точек зрения: как линейное отображение
и как билинейную форму.
По определению тензора напряжений Р как линейного отобра
жения &+Я , совокупность векторов напряжения, действующих
на площадках с нормалью /ь , дается формулой
При изучении тензора напряжений Р его матрица (Р)в каком-либо
ортонормированием базисе {в^записывается в виде
'<*! ГЛ* ?i
/?. Ч&
Диагональные элементы этой матрицу б^- называются нормальными
напряжениями. Они равны величине _^ормадьной составляющей векто-
вектора напряжения *ре , т.е. <5^- — ^ Ре±. Не диагональные'элементы
T?j называются касательными, напряжениями. Они равны величинам
касательных составляющих вектора напряжений, действующего на
площадке с нормалью "el- , т.е. Trv = Щ • ре~ •
Все эти напряжения, как компоненты тензораР в базисе
зависят от выбора базиса. Поэтому.особенно важно установить
свойства напряженного состояния, не зависящие от базиса (инва-
(инвариантные по отношению к выбору базиса). . ¦
2. Собственные векторы е и соебственные значения Л линей-
линейного отображения J? определяются уравнением
()
При этом любое собственное значение Я должно быть корнем харак
теристического уравнения </e?(P-Jj)*(mm, ъ~раскрытой форме,
jJ-J3 = O? B)
инварианты тензора напряжений JP . Если в ортонор
60

мированыом базисе матрица (Р)имеет вид (I), то инварианты рав-
равны
Благодаря симметричности тензора,? уравнение B) всегда
имеет три вещественных корня. Эти корни называются главными
нормальными .натгряжениями. Направления собственных векторов, со-
соответствующих этим корням,, называются главными осями. Базис из
собственных векторов всегда может быть выбран ортонормированным;
тогда он называется главным базисом, тензора^ , В главном ба-
базисе {с^}-матрица тензора напряжений Р имеет вид
Следовательно, вектор напряжения, действующего на п.ггощажу,
перпендикулярную главнрй оси, направлен по этой оси, а его дли-
длина равна величине нормального напряжения на упомянутую площад-
площадку. Касательные напряжения на площадке, перпендикулярной глав-
главной оси, равны нулю.
3. Как билинейная форма тензор напряжений Р действует по
формуле ¦ '•
Так как эта форма симметрична, то она однозначно определяется
ей соответствующей квадратичной формой. Рассмотрение последней
на любых векторах "геЛэ приводит к отображению Ф :i?^*-J2, дей
ствующему по формуле
Если в ортонормированном базисе {^/вектор г представлен в ви-
виде Т= „xttj + У^& + %ез » а матрица (Р) имеет вид (I), то, зна-
чение Ф в развернутой форме:таково
1
Поверхность второго порядка, определенная уравнением
= ?? t называется тензорной поверхностью тензора Р или, как
принято говорить, кваршкой напряжений. В главных осях уравне-
&I

ние квадрики напряжений имеет вид
Если все три главные напряжения имеют один" и тот же знак* то
квадрика напряжений явяяется эллипсоидом. Если же среди глав-
главных, напряжений имеются числа разных- знаков, то квадрика напря-
напряжений есть объединение однополостного и двухполостного гипербо-
гиперболоидов. Возможны также случаи вырождения, когда некоторые глав-
главные напряжения обращаются в нуль; в этих случаях квадрика на-
напряжений имеет либо форму цилиндра второго порядка, либо пары
параллельных плоскостей.
Если квадрика напряжений Ф(&)±? задана как геометричес-
геометрическая поверхность^, то для каждого орта % вектор напряжения
.?<#> может быть найден геометрическим построением. Оно осно-
основано на том, что V Ф(ъ')~?Р<Т> и- на разложении вектора на-
напряжения Р<~&>на нормальную составляющую рп /& и касательную
составляющую Р^
Здесь Рп^я^Ргл^рг. вектор J?T определен-формулой. D). Величина
рп называется нормальным напряжением, a PT^j^,f~ модулем -каса-
-касательного - напряжения на, площадке с нормалью п .
Геометрическое построение еостойт в том, что для данного ли
определяется число к>о из условия Ф(КТ!)=?{* что дает точку
А е Z о. радиус-вектором ? — к> Л¦, Направ^жение нормали v> к IL
в точке А дает направление вектора Р<п>. Для отыскания его
длины на-прямой, определяемой вектором tL , откладывается отре-
отрезок -4^- длины 1АЩ~?/%?ж через точку3 проводится плоскость,
перпендикулярная-Ж-. Пусты? есть точка пересечения этой плос-
плоскости, с прямой, проходящей через точку А с напрааяяющим векто-
вектором v e Тогда P<n>*AQ, Pr~B% и построение закончено.
4. Разложение-D) может быть использовано для представле-
представления (правда, неполного) напряженного состояния в виде так наг
зываемой диаграммы Мора. Эта диаграмма строится на плоскости
.переменных B„ , Д.). Пусть {^*}~ главный базис тензора Л и
пусть в этом базисе л^/г^ЗГ*. Тогда справедяива формула
с помощью которой и равенства \P<7i>\-]?n+P^ получается система
равенств

Она рассматривается как система линейных уравнений относитель-
относительно "неизвестных" nf. Если б? < d? < <$^ то ее решение единст-
единственно. Это решение должно удовлетворять системе неравенств
п,\ > €, которые, как показывает вычисление, равносильны сле-
следующим
а.
71^0: (?„-
Л
0: (& ~^f+4* (??-)•
В полуплоскости Р^О плоскости (Рп,Рт)вш неравенства в
совокупности определяют область^/, ограниченную отрезком
№»¦<%} °-°и Ц;~Ож тремя, полуокружностями. Последние называ-
называются кругами Мора, а вся область^- диаграммой Мора. Те и
тсдько те точки (Рп, Рг)9 которые принадлежат^ , дают нормаль-
нормальное напряжение и модуль касательного нацряжения на некоторой
площадке, нормаль к которой дается решением системы E).
Неполнота представления напряженного состояния с помощь©
диаграммы Мора связана с тем, что по ней определяется лишь
длина Р^ вектора Рх , а не сам этот вектор. Поэтому для пост-
построения вектора напряжения Р< п ж диаграмме Мора требуется
дополнительная информация.
Из диаграммы Мора непосредственно следует,, что максималь-
максимальное касательное напряжение, которое достигается в рассматрива-
рассматриваемой точке области Wf равно
5. Некоторые частные вида напряженного состояния имеют
специальные названия. Ниже они описываются путем указания соот-
соответствующего вида тензора напряжений в главных осях C), т.е.
частного вида главных нормальных напряжений.
63

Одноосное напряженное состояние: 6t + 0f <^ = б^ = О, На пло-
площадку с нормалью ~е± действует только нормальное напряжение (ка-
(касательное, равно нулю), а на площадках с нормалью вида
полный вектор напряжения равен нуда.
Напряженное состояние простого-сдвига: б?+б?=09 63-О. Нор-
Нормальное напряжение на площадках с нормалью п**4=. (Z ~ез) Рав~
но нулю и на этих же площадках достигается^максимальное каса-
касательное напряжение, вектор которого равен J^ ^ ^ ^
Сферическое напряженное состояние: ^="^2-^3* На любую
площадку действует только нормальное напряжение, величина ко-
которого равна 6Х .
Плоское напряженное состояние: <53=*0. На площадках с нор-
маяью Т5 вектор напряжения равен нулю. На площадках с нормалью
вида Ti/^^^-gfz вектор напряжения лежит в .плоскости векторов
йде одно понятие связано с! величиной среднего нормального
напряжения
Тензор
называется девиаторрм -напряжений.. Он характеризуется, тем, что
его первый инвариант равен нулю: Jt '
64

§ 6. ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ
1, При перемещении сплошной среда из положения «Q^ в поло-
положение Q^ происходит изменение расстояний между материальными
частицами и углов между направлениями на одни и те же частииы.
Каждая "фигура", образованная какими-либо частицами в области
Qo переходит в некоторую "фигуру*1 в области jQ^ f искаженную
по сравнению с первоначальной, изменившую свою форму-
Изменение взаимного расположения частиц, происходящее при
перемещении среды, называется деформацией сплошной среды.
В данном параграфе деформация будет изучаться "в малом*1, т.е.
в малой окрестности некоторой фиксированной частицы'Л . Пере-
Перемещение fa среди из положения Qc в положение Qt , которое со-
согласно аксиоме движения А3 есть гомеоморфизм jQ6 на Q± f бу-
будет предполагаться, вместе со своим обратным ^~? , непрерывно
дифференцируемым в некоторой окрестности частицы А .
2. Положение частицы-d в??оесть^ , а ъО^-ЗЕ-, Вектор
W^~jc-^ называется вектором перемещения частицы А ¦
Положения б.7шзкой к А частицы М определяются вектором AM ,
равным <э^ в Qo is. djc в Q+ , Пусть е есть орт направления AM
в" положении QQ . Относительным удлинением отрезка AM называет-
называется величина '
Пусть Мх~ другая, близкая кД^частица и пусть для нее соот-
ветствущие величины обозначены d/^7di'B/^1, Углы (f , (f' между
векторами АМжАА1? в положениях Q.Q и Q^. определены равенства-
т
Изменение угла <f'-if называется относительным сдвигом пары
(А%, АД/}.
Относительные изменения и сдвиги полностью характеризуют де-
деформацию малой окрестности частицы А . Однако, для построения
уравнений механики сплошных сред это геометрическое описание де-
деформации неудобно и его следует заменить адэкватным аналитичес-
аналитическим описанием. .
3. Аналитическое описание деформации может быть дано с
щью тензора Т=~§г , где^-УЙГДД- движение сплошной среды.
65

(см, 2.3). Сделанные вп, I предположения гарантируют, что этот
тензор не вырожден. Тензор Т называется тензором..дистороии (ис-
(искажения).-В силу формулы
относительные удлинения и сдвиги могут быть выражены в терминах
тензора Т , Описание деформации с помощью тензора диоторсии яв-
является лагранжешм описанием. Через вектор перемещения W тензор
дисторсии выражается формулой
.-.-¦¦' df
где I - единичный тензор. Однако тензор Г не очень удобен для
формулировки основных закономерностей деформации и введения де-
деформации в модели сплошных еред^ отчасти потому, что он не об-
обладает "хорошими" алгебраическими свойствами. Поэтому в механи-
механике сплошных сред, наряду с тензором Т , используется Другой,
выражающийся через него тензор. .
Квадрат элемента1 длины деформированной среды дается форму-
лой: '' 'ТГ^
а его изменение - формулой ;
Тензор с , определяемый равенством
называется тензором деформаций (в лагранжевом описании). Пос-
Поскольку через него выражается / </.х f, а также скалярное произве-
произведение
то тензор деформаций 6 также дает полное описание деформации
малой окрестности частицы А .
Очевидно, что тензор 6 симметричен. С вектором перемещения
2F он связан формулой
f
4. Одно из важных: свойств тензора деформагщй 'заключается в
том, что равенство" ? — О равносильно отсутствию: деформации. Дей-
66

J\
ствитедъно, если 6 — О , то!с?сЫ<$и сЁс <%?.=*df- c/d~f для лю-
любых векторов </f" , djt^f . Поэтому все относительные,удлинения и
сдвиги равны нулю, т.е. деформации нет. Обратно, если в точке
А деформация отсутствует, то малая окрестность точки Л переме-
перемещается как твердое тело, то-естъ, если отвлечься от ее поступа-
поступательного перемещения на вектор 2г , совершает некоторый поворот.
Так как преобразование поворота является ортогональным преоб-
преобразованием, то в этом случае Т*<> Т=* I и 6 = 0,
С этим фактом тесно связан ответ на вопрос: в какой мере
тензор дисторсии Г определен тензором деформаций ? (в данной
точке А )? Ответ таков: .тензор т определен тензором ? с точно-
стью до множителя, являющегося-" ортогональным тензором. Дейст-
Действительно, если Т/о Tf = Т**> Г; то для тензора О=ТХ*Т^справед-
ливо равенство
О*о О - Т*Ч (т/о TJoT^ Т*~ло (т? Т) о Т~'= If
откуда следует, что О - ортогональный тензор.
5. Собственные значения тензора Х^> Т положительны. Дейст-
Действительно, если равенство Т*Т<е> *=Д<Г умножить скалярно на
орт .?"¦, то получится формула Д== / Т<е>1&> О ввиду невыровдевнос-
ти тензора Т .
Очевидно, что главные направления (собственные векторы) тен-
тензоров Т*°Т шб совпадают, а их собственные значения обозначае-
обозначаемые, соответственно, /?г- и 6± , связаны формулой
Отсюда следует, что для собственных значений тензора деформаций,
.всегда выполнено неравенство 6?>~ ~ . Главные.направления тен-
зора ? называются.главными осями деформации. Они определяются
направлениями собственных векторов ег , базис из которых {&;}
можно считать ортоно|)мированным. Относительные удлинения в глав-
главных направлениях легко вычисляются и оказываются равными
Рассмотрение тензора Т% Т (как билинейной формы приводит к
понятию квадрики деформаций ' С аналогичному квадрике напряжений).
С помощью функции Ф(?)~'г-(Т?Т)<г>=1Т<?>(М: эта поверхность зае-
заедается уравнением Ф?г)=1. В главных осях деформации, где вектор
Т записан в'виде ?~*ге,^^ + г^ > уравнение квадрики дефор-
деформаций таково ;¦¦'¦¦
67

Следовательно, квадрика деформаций всегда есть эллипсоид с по-
полуосями
*z i/izti _
6. В главных осях деформации матрица тензора Т о Т являет-
является диагональной и может быть представлена в виде произведения
трех таких диагональных матриц, в каждой из которых .лишь один
диагональный элемент может, бнть отличен от единица. Из формулы
D) следует, что если Яг>1 k%i<i ), то ¦W(ei)>O{U(ei}<O)\
в этом случае соответствующая деформация называется растяжени»
Ш (ояатием) вдоль оси Т^ . Если же Ai -J, то главное удлине-
удлинение ъо(е^) = 0 и деформация вдоль Оси ~е? отсутствует. Из этих
фактов следует вывод: деформация малой окрестности частицы :
представляет собой композицию из трех растяжений (сжатий) вдоль
главных осей деформации. , ' •
Качественное представление о характере перемещения маиой
окрестности частицы А может быть получено с помощью полярного
разложения тензора Т=О°А в композицию (произведение)ортого-
нального тензора О и симметричного положительно определенного
тензора Л .Последний ошозначно определен тензором Т и так
как -Т*°- Т=Л*° О**> О о А =*А , имеет собственные зйачения, равные
Если М - частица из малой окрестности частицы А и
в Qo , то при перемещении сплошной среда из положения О,ов по-
положение^ вектор перемещения частицы М может быть записан в
виде Щц-У^+Т^с/^-г/^ В силу полярного разложения ТА-ОА°ЛА
перемещение частицы М, как преобразование df^df+Щц, опи-
описывается формулой
Отсюда следует вывод: перемещение малой окрестности частицы^
сплошной среды есть композиция трех растяжений'(сжатий) этой
окрестности вдоль главных осей деформаций (преобразованием Л а ),
а также поворота (ортогональным преобразованием ОА) и перено-
переноса (на вектор ш^). этой окрестности, как твердого тела.
• :7. Наряду с лагранжевым описанием деформации сплошной сре-
среды, приводящим к тензору деформаций.? , иногда бывает удобным
эйлерово описание. В этом случае точки ? рассматриваются как
68

образы точек*я:и основным является тензор —— «=¦ Т , обратный
к тензору дисторсии Т • Рассмотрение разности квадратов рас-
расстояний между близкими частицами
показывает, что для характеристики деформации при переходе от
SL к Qo можно ввести тензор 6 равенством .
Тензор 6 называется тензором деформаций в эйлеровом описании.
Непосредственно из определения следует, что тензоры деформаций
t и 6 связаны соотношениями : . .
8. До сих пор деформация сплошной среда рассматривалась.'.для
одного определенного перемещения среда. Изменение деформации в
процессе движения происходит за счет зависимости тензора Дйстор-
сии Т- X7 К а значит и тензора деформации, t от времени ~t .
Скорость изменения деформации характеризуется производной
Так как ¦ ¦ _ '
4
SW f df
где ?* &&&)- вектор скорости частиц среда, то для-производной ,
тензора-деформации получается-равенство
Окончательно А
^ ?)о7, F)
at
где?)- тензор скоростей деформации, определеншй формулой 3(9).
9.. Деформация назевается малой, если норма тензора T—I мала
по сравнению с единицей.
В силу формул (I) и B) малость деформации рав^ооильна малос-
малости нормы тензора длг/д$ или тензора деформации 6 , В данном оп-
определении малость деформации означает не только малость всевозмоя^
ных удлинений и сдвигов, но также и малость тех поворотов, которые
сопровождают дисторсию и входят в" колярное разложение Т= ОоЛ.
Понятие малой деформации составляет основу так называемой jg-
нейной теории деформаций. Соотношения линейной теории получаются,
69

если во всех точных*-соотношениях отбросить величины высшего
порядка малости по сравнению с малой нормой тензора T-I ¦
Например, в линейной теории соотношение C) упрощается до
следующего
дат
-—., : G)
$ of
а выражения D) для относительных'удлинений вдоль главных осей
деформации принимают вид
§ 7. ОШЩЕШШ ШЗРШЩШИЯ ПО ДШЭРЩЩИ
I. По известному перемещению сплошной среды -из положения
положение *Q^ деформация вычисляется с помощью операции
дифференцирования ж некоторых-алгебраических операций. Гораздо
сложнее рассматриваемая в данном параграфе обратная задача об
определении перемещения по тензору деформаций. Эта задача име-..
ет важное прикладное значение, так как в приложениях часто
именно тензор деформаций является наблюдаемой или вычисляемой
величиной.
В предыдущем параграфе показано* что если перемещение неко-
некоторой .частицы.Л известно, то для «е малой окрестности эта" зада-
задача решается на основе знания только тензора'диоторсии ТА и тен-
тензора деформации ?А в точке AeQo . При этом существенны три
особенности: во-первых, если тензор Тд известен, то перемещение
малой окрестности частицы А вычисляется, просто по формуле 6E);¦
во-вторых» по тензору^ тензор Тд определяется неоднозначно, а
,лишь с точностью до ортогонального преобразования (см. 6.4); в-
третьих» на самом деле представление 6E) является приближенным,
справедливым лишь с точностью до малых высшего порядка по срав-
сравнению с малым, расстоянием от частицу А .
Здесь задача об определении перемещения по тензору деформа-
деформации будет рассмотрена в .целом, без предположений о малости ок-
окрестности частицы ^4 и в точной постановке, без каких-либо приб-
приближений.
2. Фактически эта задача есть частный случай задачи матема-
математического анализа о восстановлении отображения по его производи
70

ной, которая ставится так: дано отображение j-: Я * Л^- Ж (Я-
j
и точка (*хо,уо)€М/*& ; ищется отображение у.-Я^Я г действую-
действующее по формуле, ^^^которое удовлетворяет следующему урав-
уравнению и начаяьному условию
В нижеследующей теории отображение^ предполагается непрерыв-
непрерывно Дифференцируемым на &п* Ят (здесь ж ниже, ради краткости
изложения, опущены некоторые подробности, связанные с уточне-
уточнением областей определения встречающихся отображений; точные
формулировки даны в разделе "Математический аппарат", п.5).
Первое важное свойство задачи (I) формулирует теорема
единственности: задача (I) может иметь не более одного решения.
Второе свойство состоит в том, что задача (I) имеет решение
не всегда. Это связано с тем, что вторая производная №^/с/<хя}
как билинейное отображение Яп*Яп->~Ят , является симметрич-
симметричным отображением. Однако, если вычислить эту производную в си-
силу уравнения, выразив ее через производные отображения J- , то
полученное выражение указанным свойством симметрии обладать,
вообще говоря, не будет„ Это означает, что сам факт существова-
существования решения накладавает на заданное отображение^ определенное
условие, называемое условием совместности.
Уравнение (I) называется вполне интегрируемым, если задача
(I)-имеет решение &яя любой начальной точки (<Хо,4о)?ЯЛк Я *
Необходимое условие совместности для'вполне интегрируемого ура-
уравнения (I) записывается с помощью "пробных" векторов ct у
(здесь и далее "пробными" называются любые, не зависящие от
точки jcl , векторы пространства Я*')
Основной результат формулируется в теореме'Фробениуса: ура-
уравнение (I) вполне интегрируемо, если ж только если отображение
J удовлетворяет условию совместности B) в любой точке
3. Прежде всего, уместно применить теорему Фробениуса к за
даче о восстановлении вектора перемещения uF= uf(if) по задан-
заданному тензору дисторсии Т= Т($)* Эта задача, в силу формулы
6.A), сводится к решению уравнения
71

Ш*Т@J, C)
ц
в котором Т предполагается заданным отббражением R-
Воля ввести обозначение
Л D)
то условие совместности B) дая уравнения C) будет иметь вид
(здесь и ниже знак "стрелка" над "пробными" векторами ?7 &,...
опускается)
В силу теоремы Фробевиуса, выполнение равенства E) дте .лю-
.любой точки ?~б Л есть необходимое и достаточное условие того,
чтобы тензор Т + заданный как отображение M~>-<*?(M)i был тен-
зороы дйсторсжи некоторого перемещения. Если это условие шпол-
нецо, то вектор перемещения будет полностью определен, если за-
задать его ^я.какой-либо одной точки fc , т.е. задать.вектор
Щ
4..Получить прямое выражение тензора дисторсии через тензор
деформации невозможно. Однако, можно построить ддя Т некоторое
дифференциальное уравнение вида (I), вывод которого дается ниже
Используется сокращенное обозначение .
с помощью которого равенство 6B) переписывается в виде
¦В результате дифференцирования этого равенства nof с пробным
вектором ? получается соотношение, при записи.которого исполь
зовано обозначение D) ж символы T=f
После круговой перестановки векторов ф^ё-*- с^~ cl отсяща сле-
следуют еще два аналогичных соотношения
Линейная комбинация этю!> трех соотношений с учетом E) приводит
. . ¦ 72. . ;' ; ',

к равенству
Легко проверить, что правая часть может бить представлена в ви-
виде С-2^ , где а л
Поэтому после "сокращения11 на вектор ? равенство G) примет
векторный вид T<&,e>=*T*~J<<$ag> . Так как, в силу определе-
определения 6B1, Т*~?*Т°A*-Ш), ти окончательно равенство G) примет вид
где вектор <и# определен равенством (8).
В правую:част$к (9)^ входят только тензоры Г и б ¦ Поэтому,
при заданном тензоре <? , равенство (9) можно рассматривать как
дифференциальное уравнение вида ЦГдля тензора Т .
В дальнейшем заданный тензор 6Cf) предполагается дваада не-
непрерывно дифференцируемым. Тогда правая част* уравнения (9) удо-
удовлетворяет всем условиям, при которых рассматривалось уравнение
(I). В частности, отсюда следует вывод: если_в точке foeR за-
задан тензор 21 , то даш данного тензора б С<§) может существовать
не боле_е_ одного тензора T(f) , даш которого Т(<*о) — Т0 и во всех
точках^ выполнено равенство 6B).
5. Остается получить для уравнения (9) условие совместности
вида B). Формальным приемом построения этого условия является
дафференцирования уравнения по ^ и запись факта симметричности
второй производной Т"- д^т/ Эр? . Здееь удобно воспользоваться
равноси.яьностью равенств (9) и G) и дифференцировать последнее.
Вычисление значения производной от G) на пробном векторе d
дает run
Перестановка a/+d-* <ьж учет симметричности второй производной
Т*<cd,a,-6>~T&*,d,€> приводит к равенству (при расстановке проб-
пробных векторов учтены условие E) и симметрия 6*)
Входящие сюда скалярные произведения векторов вида Т<йУ6> выра-
.73

л
жаштся через тензор 6 с помощью преобразования
Ц (ТоA+2,6f'<$C€t
Окончательно получается следующее условие совместности рдя
тензора деформаций 6 :
СЮ).
Если для данного тензора ? ftfj это условие выполнено при лю-
любом ^~(и для любых "пробных" векторов сь » 6 , с , с/ ), то, в си-
силу теоремы Фробениуса, уравнение (9) вполне интегрируемо. Легко
показать, чтолего решение Т с начальным условием TCfo)—To , где
~Т6° To=*J>?6(fo)t дяя всех? удовлетворяет соотношению 7** Г=
— Ii-$& . Кроме того, как это видно из самого уравнения
(9), полученный тензор Т удовлетворяет условию совместности E).
Поэтому уравнение.C) с этим тензором Твполне интегрируемо, и, "
следовательно, существует вектор перемещения Щ$1
Итак: заданный тензор' 2?"<Г)является тензором деформаций дщ
некоторого перемещения тогда и только тогда, когда он.удовлетво-
он.удовлетворяет условию совместности, A0).
6. Условие совместности A0) записано в инвариантной вектор-
векторной форме. Для того, чтобы написать его в скалярном,-координат-
скалярном,-координатном виде, надо взять какой-либо базис (e^jL и положить каждый
пробный вектор равным, последовательно, каддому из векторов ба-
базиса е> , ^ , е~3 . Так как в A0) четыре независимых пробных
вектора, то всего возможна З4 = 81 комбинация. На самом деле не
все1 получаемые скаяярные уравнения будут независимы. Используя
свойства симметрии равенства A0), можно показать, что условие
A0) равносильно шести независимым скалярным уравнениям. Если,
для краткости, записать комбинацию (e'i «t>j, ~е^? Те) как (i .тке) ,
то*соответствующие шесть комбинаций можно взять такими:
1122 1123
1133 . ' 2213
2233 3312
7. В линейной теории деформаций допо.лнительно предполагает-
74

ся( что производные %?/д^ и д С/ЭЖ являются малыми того же.
порядка малости (первого), что и тензор 6 * В этом случае век-
векторы 2" р будут также малыми первого порядка» а выражения вида
^<j?' &+&?) 4fycd>~ машми второго порядка. Поэтому условие
совместности д?га тензора деформаций в линейной теории имеет вид
с>- (Ш
Оно называется условием совместности Сен-Венана.
Условие (II) может быть получено и непосредственно из опре-
определения тензора деформаций в линейной теории 6G), В общих чер-
чертах соответствующий вывод аналогичен проделанному в п. 5, но
более прост ввиду отсутствия необходимости оперировать с тензо-
тензором дисторсии, ¦ ¦
75