ДОМАШНИЙ 1 РЕПЕТИТОР
К.Н. Лунгу
для
АБИТУРИЕНТОВ

ДОМАШНИЙГ РЕПЕТИТОР
К.Н. Лунгу
для
АБИТУРИЕНТОВ
МОСКВА
АЙРИС jg^ ПРЕСС
2003

УДК 510.2
ББК 22.1я729
Л84
Серия «Домашний репетитор»® основана в 1996 году.
Все права защищены.
Никакая часть данной книги не может переиздаваться
или распространяться в любой форме и любыми средствами,
электронными или механическими, включая фотокопирование,
звукозапись, любые запоминающие устройства и системы поиска
информации, без письменного разрешения правообладателя.
Лунгу К. Н.
Л84 Тесты по математике для абитуриентов. — М.:
Айрис-пресс, 2003. — 352 с: ил. — (Домашний
репетитор).
ISBN 5-8112-0040-4
Данная книга предназначена будущему абитуриенту для
подготовки и сдачи экзамена в вуз по математике в форме
тестирования. Пособие также поможет старшекласснику
подготовиться к ЕГЭ и самостоятельно оценить уровень своих
знаний.
В книге представлен справочный материал и комплект
тестов трех типов, различающихся по уровню сложности и
объему.
Ко всем тестам приведены ответы. Каждый двенадцатый
тест полностью решен.
ББК 22.1я729
УДК 510.2
ISBN 5-8112-0040-4 © Айрис-пресс, 2003

Предисловие
В последние годы многие вузы РФ проводят
вступительные экзамены по математике в форме тестирования. Опыт
применения тестов на вступительных экзаменах показывает,
что тестирование позволяет более объективно и
дифференцированно оценить знания абитуриентов и сократить временные
затраты на их проведение.
Данная книга предназначена будущему абитуриенту для
подготовки к поступлению в выбранный вуз на выбранную
специальность и сдачи экзамена по математике именно в
форме тестирования. Цель каждого абитуриента поднять уровень
своих знаний и оценить самостоятельно этот уровень. Именно
наши тесты помогут это сделать.
Здесь представлены тесты трех типов, причем тип
определяется как уровнем предложенных заданий, так и их
количеством. Один тест может содержать либо 10 (раздел первый),
либо 14 (раздел второй), либо 20 (раздел третий) заданий. Это
связано с бюджетом времени, которым располагает учащийся
в тот или иной день. Для решения теста из первого раздела
потребуется около 120 мин, из второго — 180 мин, а из
третьего — около 240 мин. Дело в том, что представленные во
многих тестах задачи по планиметрии и стереометрии, как
правило, требуют больше времени на их решение, чем аналогичные
по уровню сложности задачи по алгебре и началам анализа.
Прежде чем приступить к решению какого-либо теста,
необходимо усвоить и, по возможности, заучить (именно это и
определит результат работы) все понятия, термины,
формулы, теоремы из теоретической части. Эти сведения
приводятся в начале пособия.
В зависимости от начального уровня подготовки
следует выбрать вид теста. В любом случае рекомендуем начинать
тесты с 10, затем с 14 и только потом с 20 заданиями. Ведь
надо тренировать в себе характер, настойчивость, усидчивость,
терпение для того, чтобы решить весь тест, не делая
перерывов. Система оценок, которая зависит от количества
правильно решенных заданий в тесте, показана в табл. 1.
Сразу заметим, что оценка на экзамене на самом деле
может быть выше, чем та, что предусмотрена табл. 1, или

Таблица 1
Оценка
Вид теста
10 заданий (тест А)
14 заданий (тест Б)
20 заданий (тест В)
3
4
5
количество решенных заданий
6-7
7-10
11-14
8-9
11-12
15-18
10
13-14
18-19-20
число верных примеров — ниже. Кроме того, отметим еще
немаловажную деталь.
Известно, что некоторые вузы по некоторым
специальностям не включают определенные разделы математики
(например, могут отсутствовать текстовые задачи, векторы,
прогрессии, производная, интеграл, стереометрия и пр.). В таком
случае задача абитуриента соответственно упрощается.
В пособии приведено достаточное количество решенных
тестов разных типов.
Каждое задание снабжено 5 ответами, один из которых
(реже - два) правильный. После полного решения задания
необходимо сравнить свой ответ с данными ответами и выдать
правильный. Не стоит начинать пример с угадывания ответа,
потому что именно это время будет безвозвратно потеряно.
Несомненным достоинством книги является разнообразие
вопросов и охват практически всей элементарной математики.
Вместе с тем мы специально не приводили суперсложные
примеры с параметрами или суперзадачи по стереометрии. Тем не
менее решение всех тестов данного пособия гарантирует
приобретение достаточно высокого уровня математических
знаний, необходимых для поступления в выбранный вами вуз.
Желаем успеха!

Справочный теоретический материал
1. Алгебра
Обозначения:
• N, Z, Q, R — множества натуральных, целых,
рациональных, действительных чисел, соответственно;
• a Е А — элемент а принадлежит множеству А;
• а £ А — элемент а не принадлежит множеству А;
• X С Y — множество X, содержится в множестве У;
• U — знак объединения множеств;.
• П — знак пересечения множеств;
• 0 — пустое множество;
• => — знак следствия;
• <=> — знак равносильности (эквивалентности).
1.1. Действия со степенями
Для любых #, |/ G I и а > 0, 6>0 имеют место
равенства:
1. а0 = 1.
2. а~х = i.
3. ах-а,У = ах+У.
4. ах :аУ = ах~У.
5. (ах)У = ах'У.
6. (а • Ъ)х = ах • Ьх.
7 (±Y-£
1.2. Формулы сокращенного умножения
1. (а + б)2 = а2 4- 2аЬ + Ь2 — квадрат суммы.
2. (а — б)2 = а2 — 2ab + Ь2 — квадрат разности.

3. а2 — b2 == (а + b) • (а — b) — разность квадратов.
4. (а + Ь)3 = а3 f За26+ЗаЬ2+Ь3 = а3 + 63 f 3ab(a+b) -
куб суммы.
5. (а-6)3 = а3-За2Ы-За62-63 = а3-Ь3-За6(а-Ь) —
куб разности.
6. а3 + Ь3 = (а + 6) • (а2 - аЬ + б2) — сумма кубов.
7. а3 — б3 = (а — 6) • (а2 + аб + б2) — разность кубов.
1.3. Преобразование арифметических корней
1. Арифметическим корнем степени n, n Е N, п ^ 2,
из неотрицательного числа с ) 0, с G I, называется
такое неотрицательное число, обозначаемое у/а или an,
что ( \/а)п = а. Вместо у[а пишут л/а (у/ — знак корня
или радикала).
Если п = 2к + 1 — нечетное число, то 2к^\/^а =
= - 2кЧ/а, при a > 0. Если г = ^ G Q, то ar = а п =
= л/a^ (а > 0, п е N, m G Z).
2. Формулы преобразования арифметических
корней или дробных степеней (а ^ 0; b ^ 0; m,n, к е N;
т,п,к ^ 2):
а) ^ = а,
Ь)
ПРИ ж ^ °'
—ж, при х < 0,
модуль числа гг изображает расстояние от
точки М(х) до начала координат О(0) на числовой
прямой: \х\ = ОМ. Верно также \х\ = тах(ж; — х) —
наибольшее из чисел х и —х.

3. Некоторые формулы сокращенного умножения,
содержащие радикалы:
ъ)а-Ь={у/а-у/Ь)-(у/а + у/Ь), (a>0,ft>0),
Ь) а - Ь =
d) y/E-Vb= (№-
1.4. Числовые неравенства и их свойства
1. По определению а < ft, если а — Ь < 0.
Неравенство Ъ > а равносильно неравенству а < Ь. Это строгие
неравенства.
Нестрогое неравенство а < Ь (ft > а) допускает
возможность неравенства а < ft (ft > а), а также равенства
а = ft (ft = а).
Числовые неравенства обладают свойствами:
a) Если а < ft, то а-\-с < b+с для любого числа с G К,
I ас < be, при О 0,
b) Если а < ft, то <
I ас > ftc, при с < 0,
c) Если а < Ь и с < d. Toa + c<ft + d,
d) Если а > 0, ft > 0 и а < ft, то ап < Ьп для любого
n£N,
e) Если а > 0, ft > 0 и ап < ftn, где п £ N, то а < ft.
2. Имеют места неравенства \\х\ — \у\\ < |# + у| <
<М + |у|.
3. Если a > 0, Ь ^ 0, то ^-у— > \/aft (среднее
арифметическое не меньше, чем среднее геометрическое).
Равенство достигается при а = ft.
4. Если z > 0, то2+! ^ 2, а если я < 0, то z+\ < -2.
Равенство в первом случае имеет место при г — 1, во
втором при z — —\.

1.5. Квадратное уравнение, квадратный трехчлен,
формулы Виета
1. Квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = О (а Ф 0) с
дискриминантом D — \? — Аас имеет:
а) При D > 0 — два различных действительных
корня:
_Ь . ГБ
-Ь±у/Р 2±У4
Х^2 = ~^Га = а
(вторая формула удобна при четном Ь); при этом
— формулы Виета и ах2
разложение трехчлена на линейные множители;
Ь) При D = О один корень (говорят также о двух
одинаковых или совпадающих корнях х\ = х2 =
Х() = — 7Г И
= а{х- х0)2 = а (х + ^Л .
CLX ~\~ Ьх
Уравнение ах2 + Ьх + с = О может иметь один корень,
если а = 0 и b ф 0;
с) При D < 0 уравнение не имеет действительных
корней, а соответствующий квадратный трехчлен на
линейные действительные множители не
разлагается.
2. На рис. 1 видны промежутки, на которых
квадратный трехчлен сохраняет знак.
Если а > 0, то
х е (—оо;х\) U (#2; +оо), при D > 0,
ах -\-ох+с > 0 <=> \ х € (—оо; хо) U (#05 +°°)> ПРИ D = 0,
^я G (—оо; +оо), при 2Э < 0,
8

Рис. 1
ах
х G 0, при D < 0.
Случай а < 0 можно свести к предыдущему:
ах2 + Ьх + с < О <=> -ах2 - Ьх - с > 0 (см. 1.4)
1.6. Логарифмы и их преобразование
При любых а>0, а / 1, М > 0 следующие
равенства (условия) равносильны и служат определением
логарифма числа М по основанию а:
ах = М <£> х = loga М <=> a og° = М <£> loga аж = х.
Имеют место равенства (ниже М > 0, N > 0, b > 0,
^1,с>0):

1. loga M • N = loga M + loga N — логарифм
произведения;
2. loga -jt = loga M — loga ЛГ — логарифм частного;
3. logaa M& = - loga M — логарифм степени и со
степенным основанием;
4. loga jt = log i M = — loga M — логарифм обрат-
а
ной величины, или с обратным основанием;
loga M
5. log6 M = переход к другому основанию;
a
6. logfc а = г — перемена числа и основания;
7. alogb с = clogb a — тождество.
1.7. Показательная функция, ее свойства и график
Показательная функция у = ах (а > 0) определена
при всех х £ Е и обладает свойствами:
1. положительности: ах > 0, я G К, а0 = 1 (ах < 0
быть не может);
2. монотонности:
{при а > 1 имеем х\ < х^ <=> aXl < aX2,
при 0 < а < 1 имеем #i < x<i <=> aXl > аХ2\
3. асимптотически стремится к нулю на
бесконечности:
I если а > 1, то ах —> 0 при ж —> — оо, , ЛЧ
< (рис. 2)
[если 0 < a < 1, то ах -> 0 при ж —> +оо.
Прямая у = 0 называется горизонтальной
асимптотой графика у = ах.
1.8. Логарифмическая функция, ее свойства и график
Логарифмическая функция у = loga х (а > 0, а Ф 1)
определена только при х > 0 (у = loga ж <=> # = а^
(см. 1.6)) и обладает следующими свойствами:
10

о
Рис. 2
1. монотонности
[если а > 1, 0 < х\ < Х2 «=> loga х\ < loga аг2,
[если 0 < а < 1, 0 < х\ < Х2 <^ loga xi > loga x2,
(рис. 3)
la > 11
л.
{:
2. сохранения знака
^при а > 1 : logaz > 0 & х > 1, logax < 0 & О < х < 1;
, при О < a < 1 :
loga rr = О & х = 1 (a > О, а ф 1).
3. асимптотического стремления к бесконечности
при х -> 0 (я > 0),
{если а > 1, то loga ж —>- —оо при гг —> 0,
если 0 < а < 1, то loga ж -* +оо при х -> 0.
Прямая ж = 0 называется вертикальной асимптотой
графика функции у = loga х (рис. 3).
(рис. 3)
11

1.9. Области определения степенных функций
Стеленной функцией называется функция у = хау
а — фиксированное действительное число. Область
определения D(xa) и область значений Е(ха) зависят
от а. Для компактности укажем D(xa), E(xa) в виде
табл. 2
Таблица 2
Функция
D{x«)
Е(хс
")
X
У
1
X
ф
ф
0
0
хп,
neN
хеш.
уем.
хт
т е
хф
уф
ъ
0
0
2Ф,
neN
У>0
In
п
X
У
GN
еш
еж
ха
а е
X >
У>
м
0
0
Мы условно причисляем функцию у = |х| к
степенной, поскольку \х\ = >/х* = 2\/х2к, к G N.
1.10. Решение уравнений
При решении уравнений или неравенств чаще
всего данное уравнение заменяется более простым
равносильным уравнением. Наша цель состоит только в том,
чтобы указать на некоторые наиболее эффективные
такие замены. Для сокращения текста воспользуемся
знаком двойной импликации (4=>) между равносильными
утверждениями.
1. Дробное уравнение:
А(х)
В(х)
А(х) = О,
В(х) ф 0.
2. Уравнение, содержащее модули:
В(х) > О,
\А(х)\=В(х)<* '
12

\А(х)\ = \В(х)\ * А\х) = В2(х)
3. Иррациональные уравнения:
(х) = -
V ' V \A(x) = В2п(х), n6N,
2п+У1(^) = В(х) & А{х) = В2п+1(я?).
4. Показательные уравнения: еИ^ = ав^х^ а > О,
а/ 1ф> -А(ж) = В(ж). Если а = 1, то х — любое число
из пересечения областей определения А(х) и В(х).
5. Логарифмические уравнения:
loga A(x) = loga B(x), a > 0,
(x) > 0 или В(х) > 0,
^A(x) = B(x).
loga A(rr) = C, a>0, a^l& A(x) = ac.
^%a{x)B{x) = C(x), a{x) >0,
{:
1.11. Решение неравенств. Метод интервалов
Считаем целесообразным описать волну знаков
стандартной рациональной функции и применение ее к
методу интервалов.
Р(х)
Рациональную функцию R(x) = -ртт-т назовем стан-
дартной, если ее числитель Р(х) и знаменатель Q{x)
разложены на простые (быть может, кратные) множители,
причем старшие коэффициенты всех множителей —
положительны.
Волна знаков — удобное средство интерпретации
(закрепления) интервалов знакопостоянства функции
13

R(x). Ее чертят справа налево, начиная ее над осью
и проводят через все корни Р(х) и Q(x).
При этом:
• если кратность какого-либо корня нечетная, то
волна пересекает ось Оя, т. е. переходит с одной стороны
оси Ох на другую;
• если кратность какого-либо корня четная, то волна
остается по одну сторону оси Ох (такую точку,
корень, назовем точкой возврата).
Методом интервалов удобно решать рациональные
неравенства, в том числе и целые, т. е. неравенства вида
R{x) Л 0 или D(x) Л О,
где D(x) — многочлен, а знак Л — один из знаков
неравенства «>», «^», «<», «<».
• При строгом неравенстве ответ состоит только из
интервалов.
• При нестрогом неравенстве в ответ включают также
корни только числителя и отдельные точки — точки
возврата, соответствующие корням числителя.
1.12. Простейшие неравенства, содержащие знак модуля
Простейшие неравенства с одним модулем можно
решить способом раскрытия модуля по определению, но
можно их свести к простым системам или совокупности
систем более коротким способом.
А о/\
ЛуХj *> —JDyJLj)
2. \А(х)\ > В(х) <*> { А^ > В^'
3. \А(х)\ < \В(х)\ 4Ф А2(х) < В2(х) &
<* (А(х) - В(х)) (А(х) + В{х)) < 0.
14

1.13. Иррациональные неравенства
Основные иррациональные неравенства сводятся к
системе или совокупности систем рациональных
неравенств. Здесь мы ограничимся двумя неравенствами,
содержащими только квадратные корни.
(А(х) > О,
1. у/А{х) < В{х) <*> I В{х) > О,
I А(т\ <? R2(tV
\л\х) < а \х),
А(х) > 0; \А{х) > В2(х):
В{х) < О,
А(х) >0;
(в этом случае ответ состоит из объ-
В(х) ^0,
Л(гг\ \ ДЗ/^Л.
единения ответов систем 1) и 2)).
1.14. Показательные неравенства
Решения основных показательных неравенств,
помещенных в табл. 3, вытекают из свойств монотонности
показательной функции (см. 1.7). Ниже X — неизвестная
или выражение.
1.15. Логарифмические неравенства
Решения основных логарифмических неравенств,
помещенных в табл. 4, вытекают из свойств монотонности
логарифмической функции (см. 1.7). Ниже X —
неизвестная или выражение.
15

п/п
Неравенство
Условие
Таблица 3
Решение
ах > ав
0<а<1
ах <ав
а> 1
0<а < 1
X <В
Х>В
ав <ах <ас
а>\
0<а< 1
В<Х <С
С <Х <В
ах > М
а > 1, М > 0
<а<1, М>0
а > 0, М ^ 0
X > logo M
X < logo M
х еш
ах < М
а> 1, М >0
0<а<1,М>0
а > 0, М ^ 0
X<\ogaM
X>\ogaM
х е0
Таблица 4
п/п
1
2
3
4
5
6
Неравенство
logaX<logaM, M>0
1о§аХ>1о§аАГ,ЛГ>0
lognN <logaX <logaM,
М > 0, N > 0
loga*<6
logaX > с
с < logQ X < b
Решение
при данном условии
а> 1
0<Х<М
Х> N
N <Х <М
0 < X < аь
Х>ас
ас <Х <аь
0<а<1
Х>М
0<Х <N
М <Х <N
Х>аь
0 < X < ас
аь <Х <ас
2. Тригонометрия
2.1. Определение тригонометрических функций
1. Угол (дуга) в тригонометрии измеряется в
градусах и радианах (тг рад = 180°, 1 рад « 57°, 1° = т^г «
л 0,017 рад, 57,28° < 1 рад < 57,31°), а его величина
положительна или отрицательна в зависимости от того,
16

отсчитывается ли он от начального радиуса О А (точки
А) против или по часовой стрелке (рис. 4). Например.
ZAOB = — АВ = 90° = f, /LAOC = ~ ADC = -180° =
= — 7Г.
/
-l/
c\
\
0
в
M
\
\l
I u JA
D
/
и
Рис. 4
2. Единичную окружность и2 + v2 = 1 отнесем к
прямоугольной системе координат Ouv. Каждой точке
M(u\v) этой окружности (и — абсцисса, v —
ордината М) соответствует бесконечное множество угловых
(дуговых) координат: М(щ v) —> {а}, где а = ао + 2тгп =
= а0 + 360°n, n e Z, a а0 = £АОМ G [0;2тг) = [0;360°)
(можно принимать также ао £ (—тг; тг]).
3. Тригонометрические функции синус и косинус
определяются при помощи координат и и v точки М:
sin a = v, cos а = и.
Две другие функции — тангенс и котангенс —
можно определить следующим образом (рис. 5).
Касательную At(Br) превратим в числовую прямую с началом в
точке А(В), положительным направлением вверх
(вправо) и единицей масштаба, равной радиусу окружности.
Через £(т) обозначим координату точки пересечения
прямой ОМ с осью тангенсов At (котангенсов Вт),
17

По определению, принимаем:
ctga = r (a ф тгп), п G
Имеют место равенства:
sina rttr/v — COSQ
- cosa' ^б«- gina - tga-
Приняты также обозначения (секанс и косеканс)
sec a = -гггтг, cosec a =
sin a
Если a измеряется в градусах, то говорят о
функциях углового аргумента, а если в радианах — о функциях
числового или абстрактного аргумента (числовой
аргумент чаще обозначают буквой я, а угловой — буквой а).
4. Введенные тригонометрические функции
обладают свойствами:
a) Косинус — функция четная: cos(—a) = cos(a),
остальные — нечетные: sin(—a) = — sin(a), tg(—a) =
= -tga, ctg(-a) = -ctga.
b) Косинус и синус имеют минимальный период,
равный 2тг = 360°: sin(a + 2тгп) = sina, cos(a + 2тгп) =
= cos a, n G N; тангенс и котангенс имеют
минимальный период, равный тг = 180°: tg(a + Trn) = tga,
ctg(a + тгп) = ctg a, n G N;
c) Синус и косинус ■=— ограниченные функции: — 1 ^
^ sina < 1, —1 ^ cos a < 1; равенства sina = р
и cos a = р при р > 1 или р < — 1 не могут иметь
места.
Тангенс и котангенс принимают произвольные
значения: для любого значения р G (—оо; оо) найдется
такой угол а, что tg a = p (ctg a = р).
d) Таблица основных значений тригонометрических
функций (см. табл. 5).
e) Формулы приведения позволяют свести значение
тригонометрической функции произвольного угла
18

Таблица 5
а0
а, рад
sin а
cos а
tga
ctga
а0
а, рад
sin a
cos a
tga
ctga
0
0
0
1
0
Too
180
7Г
0
-1
0
ТОО
30
ТГ
6
1
2
л/3
2
л/3
3
л/3
210
7тг
6
1
2
л/3
2
л/3
3
л/3
45
ТГ
4
л/2
2
л/2
2
1
1
225
5тг
4
л/2
2
л/2
2
1
1
60
ТГ
3
л/3
2
1
2
л/3
л/3
3
240
4тг
3
л/3
2
1
2
л/3
л/3
3
90
ТГ
2
1
0
±00
0
270
Зтг
2
-1
0
±оо
0
120
2тг
3
л/3
2
1
2
-л/3
л/3
3
300
5тг
3
л/3
2.
1
2
-л/3
л^
3
135
Зтг
4
л/2
2
л/2
2
-1
-1
315
7тг
4
л/2
2
л^
2
-1
-1
150
5тг
6
1
2
л/3
2
л/3
3
-л/3
330
11тг
6
1
2
л/3
2
л/3
3
-л^
(с учетом периодичности) к значению функции
острого угла (см. табл. 6).
Таблица 6
/?
а + 2тг
-а
тг±а
|±а
2 ±а
sin/?
sin a
— sin a
=Fsina
cos a
— cos a
cos Р
cos a
cos a
, — cos a
=Fsina
±sina
tg/?
tga
-tga
±tga
Tctga
Tctga
ctg^
ctga
— ctga
±ctga
Ttga
Ttga
19

2.2. Тригонометрические формулы
1. Основная формула тригонометрии и ее следствия:
l+tg2a =
sin2a+cos2a =
cos a sin a
2. Связь между функциями одного аргумента
(следствия из п. 1) (см. табл. 7).
Таблица 7
sin a
cos a
tga
ctga
sin a
±vl — sin2 a
sin a
±л/1 -sin2 a
±л/1 -sin2 a
sin a
cos a
±y/l - cos2 a
±y/l — cos2 a
cos a
cos a
±л/1 — cos2 a
tga
± tga
"*" л/1 + tg2 a
± 1
л/l + tg2 a
1
tga
ctga
+ 1
л/l + ctg2 a
± ctga
л/l + ctg2 a
1
ctga
Знак перед радикалом согласуется со знаком
вычисляемой функции.
3. Формулы «сложения аргументов».
a) sin(a ± (3) = sin a cos /3 ± cos a sin /3;
b) cos(a ± /3) = cos a cos (3 =p sin a sin /?;
4. Формулы двойного, тройного и половинного
аргумента.
a) sin 2a = 2 sin a • cos a;
b) cos 2a = cos2 a — sin2 a = 2 cos2 a — 1 = 1 — 2 sin2 a;
l-tg2a'
ctg2 a -:
d)ctg2a= 2ctga ,
e) sin 3a = 3 sin a — 4 sin3 a; cos 3a = 4 cos3 a — 3 cos a;
20

r\ 4. о 3tga-tg3a , o ctg3a-3ctga
f) tg3a = l-»Ja ; Ctg3a = 3ctg»«-l ;
h)cosf =
-f cos a
. — cos a sin а 1 — cos а 1
-cosa 1 + cosa sina ctg —
Знак перед радикалом согласуется со знаком
вычисляемой функции.
5. Формулы преобразования суммы в произведение.
a) sin a + sin /3 = 2 sin —г— cos —г—;
b) sina — sin/3 = 2sin —r— cos —r—;
c) cos a + cos /3 = 2 cos a o cos Q o ;
d) cos a — cos /3 = 2 sin a 2 sin 2 a = —2 sin Q 2 x
xsin
cos
j
g) cosa + sina = V^sin (a + jj = v^2cos (a — jJ;
h) cosa — sina = V^cos (a + f ) = V^sin f ^ — aj;
j) ctg a - tg a = 2 ctg 2a.
6. Формулы преобразования произведения двух
функций в сумму.
a) sina cos /3 = |(sin(a + /3) + sin(a — /?));
b) sina sin/3 = |(cos(a-/3) - cos(a+ /?));
c) cos a cos /3 = |(cos(a + /3) + cos(a — /?)).
7. Универсальные формулы.
a) sin2a= 62 ;
l-htg a
l + tg2a'
21

8. Формулы понижения степени.
e2 or - 1~cos2q
9. Формулы, содержащие дополнительный угол.
a) a cos a ± bsina = у/а2 + б2 cos (a ± ао);
b) a sin а ± 6 cos а = л/а2 + Ь2 sin(a ±ao),
где ао = arccos —.-.Л«:^
= arcsin
у/а2 + b2 y/a2 + b2'
10. Таблицы основных значений аркфункций (см.
табл. 8 и 9).
Таблица 8
р
arcsin p
arccosp
-1
тг
2
тг
л/3
2
тг
3
бтг
6
у/2
2
тг
4
Зтг
4
1
2
тг
6
2тг
3
0
0
тг
2
1
2
тг
6
тг
3
л/2
2
тг
4
тг
4
л/3
2
тг
3
тг
6
1
тг
2
0
Таблица 9
Р
arctgp
arcctgp
— 00
тг
2
тг
-л/3
тг
3
бтг
6
-1
тг
4
Зтг
4
у/г
3
тг
6
2тг
3
0
0
тг
2
л/3
3
тг
6
тг
3
1
тг
4
тг
4
тг
3
тг
6
+ОО
тг
2
0
2.3. Основные тригонометрические уравнения
1. Простейшие тригонометрические уравнения в
общем случае решаются по следующим формулам:
sin а; =р, — 1^р^1=># = (—1)n arcsin p-f-тгп, п G Z;
cos х=р, — 1<р<1=># = ± arccosp + 2тгп, n G Z;
tg# = р =*► х — arctgp + тгп, п G Z;
ctgа; = р => а; = arcctgp + тгп, п G Z.
22

2. Таблицы частных случаев тригонометрических
уравнений (см. табл. 10).
Таблица 10
р
-1
у/Ъ
2
~т
1
2
0
1
2
V2
2
л/3
2
1
sin я; = р
-|+2™
(-1)п+1|+ тгтг
(_l)n+i2L + ,m
(-1)П+1|+7ГП
7Г71
(-1)«|+7ГП
(_1)П|+7ГП
(-1)«|+7ГП
1 + 27ГП
COSX =р
тг + 2тгп
±^ + 2тггг
±2р + 2тгп
±^ + 2тгтг
1+7ГП
±| + 2тгп
±f + 2тиг
4
±| + 2ттгг
2ттп
-л/3
-1
л/3
3
0
у/г
3
1
tgrr = g
-f + тт
-} +7ГП
-f + 7ГП
О
7ГП
f +7ГП
f + ТГП
f + ^n
ctga; = д
^+тт
¥ + «»
f +1ГП
!+«»
f + ^n
f + яп
3. Геометрия
3.1. Основные определения, теоремы
и формулы планиметрии
Обозначения:
ААВС — треугольник с вершинами A, S, С, а =
= ВС, b = АС, с = А# — его стороны, та, Ja, /ia —
соответственно, медиана, биссектриса, высота,
проведенные к стороне а, Р — периметр, р = у — полупериметр,
Ди? радиусы соответственно описанной и вписанной
окружностей.
23

S — площадь фигуры, di,d2 — диагонали
четырехугольника, (а, Ь) — угол между прямыми а и Ь;
||, J_, ~ — знаки, параллельности,
перпендикулярности, подобия соответственно.
О — определение, Т — теорема.
Т-1. (Признаки параллельности прямых, рис. 6).
Рис. 6
Две прямые параллельны, если:
• внутренние накрест лежащие углы равны: Z3 = Z5;
• внешние накрест лежащие углы равны: Zl = Z7;
• соответственные углы равны: Zl = Z5;
• сумма внутренних односторонних углов равна 180°:
Z2 + Z5 = 180°;
• сумма внешних односторонних углов равна 180°:
Zl + Z6 = 180°.
0-1. AAiBiCi ~ A ABC (к — коэффициент
подобия), если их стороны пропорциональны, а
соответственные углы равны (рис. 7):
АВ = АС = ВС = k
AiCi BiCi '
24

d А
Рис. 7
Т-2. (признаки подобия) Два треугольника подобны,
если:
• два угла одного Д равны двум углам другого Д;
• две стороны одного Д пропорциональны двум
сторонам другого Д, а углы, заключенные между этими
сторонами, равны;
• три стороны одного Д пропорциональны трем
сторонам другого Д.
Т-3. В подобных треугольниках пропорциональны
все их линейные элементы (с одним и тем же к):
стороны, медианы, биссектрисы, высоты, радиусы вписанных
и описанных окружностей и пр.
Т-4. (Фалеса) Параллельные прямые, пересекающие
стороны угла, отсекают от них пропорциональные
отрезки (рис. 8):
АВ АС _ ВС
Т-5. Сумма углов треугольника равна 180°.
Т-6. Три медианы треугольника пересекаются в
одной точке, которая делит каждую медиану на части в
отношении 2:1, считая от вершины (рис. 9):
АО: DO = 2:1.
Т-7. Средняя линия треугольника, соединяющая
середины двух сторон, параллельна третьей стороне и рав-
25

на ее половине (рис. 10):
MN || AC,MN = 4p.
Т-8. Биссектриса внутреннего угла треугольника
делит противоположную сторону на части,
пропорциональные прилежащим сторонам (рис. 11):
BD : CD = АВ : АС.
МА
N
/ \
Рис. 10
Рис. 11
Т-9. Вписанный угол (образованный двумя хордами,
исходящими из одной точки окружности) измеряется
половиной дуги, на которую он опирается (рис. 12):
Т-10. Центральный угол, образованный двумя
радиусами окружности, измеряется дугой, на которую он
опирается (см. рис. 12):
26

Т-11. Угол между касательной и хордой,
проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги,
заключенной между его сторонами (рис. 13):
Z.ABC =
Рис. 12
Рис. 13
Т-12. Угол между двумя секущими с вершиной вне
окружности измеряется полуразностью двух дуг,
заключенных между его сторонами (рис. 14):
ZAMC =
-^ BD) : 2.
Т-13. Касательные, проведенные к окружности из
общей точки, расположенной вне окружности, равны:
В А = ВС. Угол между двумя касательными
(описанный угол) измеряется полуразностью большей и
меньшей дуг, заключенных между точками касания (рис. 15):
ZABC = (w АтС - — АпС) : 2.
Т-14. Угол между двумя хордами с вершиной внутри
круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых
заключена между его сторонами, другая — между их
продолжениями (рис. 16):
ZAOC = (— АС - — BD) : 2.
27

Рис. Ц
Рис. 15
Т-15. Если две хорды пересекаются внутри круга, то
произведение отрезков одной хорды равно произведению
отрезков другой (см. рис. 16):
АООВ = СО- OD.
Т-16. Если из точки вне круга проведены
касательная и секущая, то квадрат касательной равен
произведению отрезка секущей на ее внешнюю часть (рис. 17):
МА2 = МС • MB.
Рис. 16
Рис. 17
Т-17. В прямоугольном треугольнике (а, Ь —
катеты, с — гипотенуза, h — высота, опущенная на
гипотенузу, ас,Ьс — проекции катетов на гипотенузу) имеют
место (рис. 18):
1. формула Пифагора с2 = а2 + Ь2;
28

2. формулы а2 = с • ас, Ь2 = с • Ьс, Л2 = ас • 6С;
3. определение тригонометрических величин
(функций) острых углов:
sin Л = cos В = |, cos A = sinB = ^,
4. формулы решения прямоугольного треугольника:
а — csinA = ccosB = big A = bctgB,
b = с cos A = с sin В = a ctg A = a tg B,
с =
а __ а __ Ь __ Ь .
sin Л cos В cos A sin 5'
5. центр описанной около прямоугольного
треугольника окружности лежит на середине гипотенузы и
Ъ
Рис. 19
Т-18. В произвольном треугольнике (рис. 19):
1. -т^-т = -—zz — .с' = 2R — теорема синусов:
sin Л sin Б sin С J '
2. с2 = a2 + b2 — 2abcos С — теорема косинусов;
3. та = ^
? + с2) — а2 — длина медианы.
Т-19. Сумма квадратов длин диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон:
29

Т-20. Центр окружности, вписанной в угол, лежит
на биссектрисе этого угла. Радиус окружности
перпендикулярен стороне угла в точке касания. Центр
окружности, вписанной в треугольник, находится в точке
пересечения биссектрис углов треугольника.
Т-21. Центр окружности, описанной около
треугольника, расположен в точке пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам.
Т-22. В описанном около окружности
четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. В
частности, если равнобочная трапеция описана около
окружности, то ее средняя линия равна боковой стороне.
Т-23. Во вписанном в окружность четырехугольнике
суммы противоположных углов равны 180°.
Т-24. Площадь треугольника равна
S = -ah = !-*—:-n _ a2sin#sinC
2 sin A
= 2R2 sin A sin В sin С = рг = ^ =
= Vp(p - а){р -b){p -
Т-25. В правильном треугольнике со стороной а:
«
Я=
Я=
Т-26. В правильном n-угольнике (ап — сторюна п-
угольника, R — радиус описанной, г — радиус
вписанной окружности):
Т-27. Площади подобных треугольников относятся
как квадраты сходственных сторон.
0-2. Две фигуры называются равновеликими, если
их площади одинаковы.
30

Т-28. Медиана делит треугольник на две
равновеликие части. Три медианы делят треугольник на шесть
равновеликих частей. Отрезки, соединяющие точку
пересечения медиан с вершинами, делят треугольник на
три равновеликие части.
Т-29. Формулы площадей четырехугольников:
• квадрата со стороной a: S = а2;
• прямоугольника со сторонами а и b: S = а • Ь;
• параллелограмма со сторонами а и Ъ:
S = afesin(a, Ь) = aha\
• ромба со стороной а и острым углом а между
сторонами:
S = a2 sina = aha = \did2]
• трапеции с основаниями а и Ь:
• выпуклого четырехугольника:
S = 2^1 ^2 sin(did2)> S = 2
если d\ JL с?2.
Т-30. Другие формулы:
• площадь многоугольника, описанного около
окружности радиуса г: S — р • г;
• площадь круга радиуса R: S = тгД2;
• площадь сектора раствора а° (j рад):
Ь~ 360°а " 2К '
• длина окружности радиуса R: L = 2тгR;
• длина дуги в а° или 7
31

3.2. Основные сведения из стереометрии
1. Прямая, пересекающая плоскость, называется
перпендикулярной плоскости, если она
перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
2. Дана плоскость гр, прямая a Е я/>, прямая 6,
пересекающая гр, и пусть с — проекция прямой Ъ на плоскость
ф. Если b J_ а, то с J_ а. Обратно, если с _1_ а, то Ь _L a
(теорема о трех перпендикулярах) (рис. 20).
3. Даны две плоскости а и /3, пересекающиеся по
прямой а. Пусть Ъ\ — прямая, лежащая в а, и Ь\ _1_ /3;
&2 — прямая, лежащая в /3, и &2 -L #• Тогда угол между а
и /3 определяется как угол между Ь\ и &2- (#> /3) = (bi, 62)
(рис. 21). Если (о^/З) = 90°, то a J_ /3.
Рис.
Рис. 21
4. Две прямые называются скрещивающимися, если
они не пересекаются и не лежат в одной плоскости.
Расстоянием между ними называется длина их
общего перпендикуляра, равного расстоянию между
параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.
Угол между скрещивающимися прямыми равен углу
между пересекающимися параллельными им прямыми
(рис. 22).
5. Элементы призмы (рис. 23): параллельные
основания (многоугольники), параллельные боковые ребра,
боковые грани — параллелограммы, высота — рассто-
32

Рис. 22
Рис. 23
яние между основаниями. У прямой призмы боковые
ребра перпендикулярны основаниям. Правильная
призма — это прямая призма, основания которой —
правильные многоугольники.
Объем призмы V = £0Сн * Н.
Площадь боковой поверхности 5бок = Роен * #бок.гр.-
Площадь полной поверхности Sn = S^0K 4- 2 • 5Осн-
Четырехугольная призма называется
параллелепипедом, а если у него квадратные грани, то это куб.
6. Элементы пирамиды (рис. 24): основание —
многоугольник, боковые ребра — отрезки, соединяющие
вершину пирамиды с вершинами основания, боковые
грани — треугольники. У правильной пирамиды основа-
2-1731
33

ние — правильный многоугольник, боковые грани —
равнобедренные треугольники. Высота боковой грани
называется апофемой.
Треугольная пирамида называется тетраэдром.
Тетраэдр, все грани которого — правильные
треугольники, называется правильным.
a) Если все боковые ребра пирамиды образуют с
основанием равные углы или если все боковые ребра
равны, то высота пирамиды проходит через центр
окружности, описанной около основания.
b) Если все двугранные углы при основании
равны а, то высота пирамиды проходит
через центр окружности, вписанной в основание, и
с) Если пирамиду пересечь плоскостью,
параллельной основанию, то:
• получится новый многогранник — усеченная
пирамида;
• боковые ребра пирамиды и высота разделятся на
пропорциональные части;
• в сечении получится многоугольник, подобный
основанию;
• площадь сечения и площадь основания относятся
как квадраты их расстояний до вершины пирамиды.
Объем пирамиды V = ^S0CHH.
о
Объем усеченной пирамиды
v = f (si + s2 +
7. Элементы прямого кругового цилиндра:
основание — круг радиуса Д, образующая — отрезок,
соединяющий две точки окружностей оснований и
перпендикулярный основаниям. Объем, площадь боковой и полной
поверхностей цилиндра вычисляются по формулам:
V = тг - R2 • Я; 5бок = 2тгRH; Sn = 2тг - R - (Я + Я).
34

8. Элементы прямого кругового конуса: основание —
круг радиуса Д, образующая — отрезок, соединяющий
вершину конуса с точкой окружности основания (L —
длина образующей).
V = |тг - R2 - Я; £бок = тг • Д • L; Sn = тг R • (R + L).
Объем усеченного конуса
Площадь боковой поверхности усеченного конуса
(L — образующая усеченного конуса)
+ R2).
9. Объем шара радиуса Л равен V = «тгЛ3. Площадь
поверхности щара 5П = 4тгЛ .
4. Векторная алгебра. Элементы
математического анализа
4.1. Метод координат
1. В прямоугольной системе координат Оху:
d = М1М2 = у/(х2 — х\)2 \- (j/2 — У\)2 — расстояние
между точками Mi(ari;j/i),
к = г _ - угловой коэффициент прямой М\М2\
2/ — 2/1 = к(х — х\) — уравнение прямой М1М2, где
и _ У2 - 2/1.
я?1 + Ая2 2/1 + А^2
гг = 1 + л , у = 1 + л — координаты
точки М(х,у), делящей отрезок М\М2 в отношении
М\М : ММ2 = А (А > 0 данное число).
2. Уравнение окружности радиуса Д с центром в
точке М0(х0] у0) имеет вид {х - хг)2 + [у - уо)2 = Л2.
о*
2 35

3. Неравенство ах + by + с > О определяет
полуплоскость с границей ах + by + с = 0. Полуплоскость
определяется той точкой (#о; Уо)> для которой ахо +■ Ьуо + с > 0.
4. Система уравнений
{ +61J/1 =сь
совместна в том и только в том случае, когда а\Ъ2—Ъ2Ъ\ ф
Ф О, несовместна, если а\Ь2—Ь2Ь\ = 0 и aiC2—a2z\ ф О или
Ь\с2 — Ь2с\ ф О и имеет бесконечное множество решений,
если — = г~ = zr-
4.2. Векторы
1. Вектором называется направленный отрезок.
Длина соответствующего отрезка называется модулем
вектора. Модуль вектора а или АВ обозначается а или
АВ (пишут также |а|, \АВ ).
Векторы, расположенные на одной прямой или на
параллельных прямых, называются коллинеарными.
Два вектора называются равными, если они колли-
неарны, имеют одинаковые направления и одинаковые
модули.
Вектор называется нулевым, если его модуль
равен 0.
2. Линейными называются действия сложения,
вычитания векторов и умножения вектора на число.
Геометрическое определение и выполнение
линейных действий (рис. 25):
а) Сумма а + Ь. Если начало b совмещено с концом а,
то начало а + b совпадает с началом а, а конец — с
концом 6.
Или, если начала а и b совмещены, то а + b — диаго-
саль параллелограмма со сторонами а и Ь, идущая
13 общего начала а иЬ.
36

a-b
п
Рис. 25
b) Разность а — Ь. Если начала векторов а и b
совмещены, то начало а — b совпадает с концом Ь, а конец
а — b совпадает с концом а.
c) Векторы Ха и а коллинеарны. Если А > 0, то Ха
и а имеют одинаковое направление, если А < 0, то
Ха и а имеют противоположные направления. Если
А = 0, то Ха = 0. Модуль Ха равен |А| • а.
Вектор /^ = ^ — называется ортом вектора а,
= 1.
3. Запись а = (ах; ау\ az) = axi + ayj + azk обозначает,
что вектор а имеет координаты ах, ау, az или а
разложен по базису г, j, к (г, J, к — орты осей Ох. Оу и Oz
пространственной системы координат Oxyz). При этом
а =
4. Линейные действия над векторами
распространяются на их координаты:
а±Ь= (ах± Ьх\ау ± Ъу\az ± bz),
Ха = {Xax\Xay\Xaz).
ЕСЛИ Pi = P\[xi\yi\Zi) P2 =
=• {х2 -хх\у2 -y\:z2 - z\).
37

5. Скалярное произведение двух ненулевых
векторов а и b — это число, определяемое одним из
следующих равенств:
ab = a- b-cos(p = а-пр$Ь = fe-npga = axbx
где (р = (а, Ь) (пр^а — проекция вектора а на вектор Ь).
Если хотя бы один из векторов а и b является нулевым
вектором, то а • b = 0.
При этом: а •а = а2 = а2; г • г = j - j = к - к = 1.
г-] = ]-к = к- г = 0.
Условие перпендикулярности аи b: a ±b<& ab = 0.
4.3. Последовательность. Профессии
1. Последовательностью называется бесконечное
занумерованное множество действительных чисел,
обозначаемое аь п2у ..., а„,..., или кратко {an}£Li-
2. Арифметическая прогрессия (символ -=-)
определяется двумя числами а (первый член) и d (разность
прогрессии) и имеет вид а, а-f-d, a4-2d, ..., а+{п—l)d ...
При этом ап = а + (п — l)d — формула общего
члена, Sn = Ql 2 fln • n — формула суммы п первых
членов арифметической прогрессии, 2а^ — а^_х + Q>k+\ =
= о>к -2 + afc-b2 = . • • — свойство членов арифметической
прогрессии.
3. Геометрическая прогрессия (символ -Н-)
определяется двумя числами b (первый член, b ф 0) и q
(знаменатель прогрессии, q ф 0, q ф 1) и имеет вид 6, 6д, 6^2,...,
bqn~ \ . . При этом bn = b - qn~l — формула общего чле-
1 п
на, Sn = Ы-Ь^Ч-Ь^2Ч hb^71"1 = Ьузг формула
суммы первых п членов, 5оо = _ (только при |<?| < 1) —
формула суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии; б| = 6*-ibfc+} = 6*. 2&*+2 = • • — свойство
членов геометрической прогрессии.
38

4.4. Дифференцирование
1. Нахождение производных (дифференцирование)
функций выполняется по определенным формулам и
правилам, доказываемым в соответствующих
учебниках.
Таблица производных основных элементарных
функций рассчитана на ее применение к сложным
функциям вида у = f[u(x)]. Для простых функций: и(х) = я\
а и' = х1 = 1.
a) (с)' = О,
b) {ипУ = пи71"1 • г/,
c) (аи)' = аи
g) (sin«)' = cos и • и',
h) (cosw)' = — sinu ■ u',
u'
j)(ctg «)' = --V-
sin и
2. Правила дифференцирования арифметических
действий и сложной функции.
Предположим, что fix) и #(#) — две
дифференцируемые функции в некотором промежутке.
Имеют место равенства (аргумент х опускаем):
aj (C-f(x))' = C-f'(x) (С —константа, постоянная).
= f'9-f9r
2 '
e) Если f(u) и и = u(x) дифференцируемые функ
ции, то {f[u(x)])' = f'u[u{x)} - и'(х).
Существование производной /'(#о) равносильно
существованию касательной t к графику функции f{x) в

точке А(хо,уо), где у0 = f(x0) и f'{x0) = tga0 выражает
ее угловой коэффициент.
Уравнение t имеет вид
(<) : У = Уо + А:(гг - я0), А; = /'(ж0).
3. Если £ = 5(t) — путь, пройденный материальной
точкой М за время £, то AS = S(t + At) — S(t) — путь,
пройденный М за время Д£, -д- — средняя скорость
движения за время Д£, а производная Sf(t) = lim -£ —
мгновенная скорость М в момент времени t.
4.5. Применение первой производной
Предположим, что функция f(x) непрерывна в
интервале (а, 6), а х\ и Х2 — любые две точки этого
интервала, причем х\ < Х2- Функция f(x) называется в этом
интервале:
• возрастающей (неубывающей), если f(x\) < /(#2)
Ufa) < /Ы);
• убывающей (невозрастающей), если f{x\) > /(#2)
№1) > f(x2))\
• монотонной, если она либо возрастает (не убывает),
либо убывает (не возрастает).
Если f'(x) > 0 при х G (a, 6), то f(x) монотонно
возрастает в этом интервале.
Если f'(x) < 0, х G (a, 6), то f(x) убывает в этом
интервале.
4.6. Интегрирование
1- Функция F(x) называется первообразной функ-
иии f(x) на отрезке [а, 6], если Ff(x) = f(x).
Например.
Если f(x) = cosrr, то F(x) = sinrr, x G R.
40

т4 <r4
Если f(x) = #3, то F(x) = ~- или F(x) = ^ + 7,
2. Множество всех первообразных F(rr) + C функции
f(x), где С — произвольная постоянная, называется
неопределенным интегралом от функции f(x) и
обозначается
' f{x)dx =
/■
При этом f(x) называется подынтегральной
функцией, f(x)dx — подынтегральным дифференциалом,
J — знак интеграла. Действие нахождения
первообразной называется интегрированием.
3. Следующие свойства неопределенного интеграла
вытекают из его определения.
a)d(Jf(x)dx) = f(x)dx,
b)(//(*)<**)'= /(*),
c) JfdF(x)=F{x) + C9
d) J(Af(x) ± Bg{x) dx) = Aff(x)dx±Bf g{x) dx.
Свойство (d) выражает линейность действия
интегрирования (А и В — постоянные).
4. Переменную интегрирования в таблице основных
интегралов принимаем tx, так как это удобно для
применения.
)/f || ,
c) / sin и du = — cos и + С,
d) J cos udu = sin и + С,
e) )audu=f-+C,
' J In a '
f) feudu = eu + C,
5. Если i^(x) — произвольная первообразная
функции f(x) на отрезке [a, 6], то определенным интегралом
41

b
J f(x) dx от функции f(x) вдоль отрезка [a. b] называет-
a
ся число
b
f{x) dx = F{x)\b= F{b) - F{a).
В правой части написано приращение первообразной
F(x) на отрезке [а; 6].
6. Если f(x) неотрицательна и непрерывна на от-^
резке [а; &}, то фигура D, ограниченная снизу отрезком
[а;6], сверху графиком Г функции /(#), ас боков
отрезками прямых х = а, х = 6, называется криволинейной
трапецией.
Площадь S = S(D) фигуры D криволинейной
трапеции вычисляется по формуле
ь
S(D) = Jf(x
)dx.
Если область D ограничена сверху графиком
функции у — f{x), снизу — графиком функции у = д(х), а
с боков отрезками прямых х = а, х = Ь. то площадь S
этой фигуры вычисляется по формуле
S(D) = j{f(x)-g(x))dx.

Раздел первый
Тесты типа А
Тест!
1. Решить уравнение у/2 — х + у/х + 3 = 3 и в ответе
указать сумму корней.
Ответ: а) -1; б) 1; в) -2; г) 0; д) 3.
2. Решить неравенство \\5х — 3] + 4я| < 5. В ответе
указать наименьшее целое решение.
Ответ: а) -2; б) 1; в) 3; г) -1; д) 0.
3. Найти целые корни уравнения Ах2 + 12я + ^- + -^ =
= 47.
Ответ: а) 2; б) -3; в) 1; г) 4; д) 0.
4. Решить уравнение 2 ж -3* = V9 и указать нецелый
корень.
Ответ: a) -31og32; б) |; в) |; г) л/7; д) log2 3.
к о \х{х + Ъу) = 18,
о. Решить систему < и указать величи-
[(3 + ) 6
ну п(х2 + у2), где п — количество решений системы.
Ответ: а) 10; б) 20; в) 1; г) 2; д) 9.
6. Решить уравнение log2 ^-^ + log^ х~ = 0.
2
Ответ: а).3; б) -1; в) 2; г) 4; д) |.
— sin a
7. Упростить выражение tg ( j •+ у J - - cos .
Ответ: а) 2; б) cos а; в) 1; г) sina; д) tg^.
8. Вычислить без калькулятора 4 arctg | — arctg ^q.
Ответ: а) тг; б) f; в) arctg 2; г) |; д) arcsin|.
*± о о
43

9. Разложить на линейные множители многочлен !
+ Ш2 + 19я + 10.
Ответ: а) (ж-1)(ж-2)(2а?+5); б) (х+1){2х+2){х+Ь)\
в) (х + 1)(х + 2) (2а? + 5); г) (2х - 1)(х + 2)(х + 5);
10. Пять человек делают некоторую работу. Первые три
из них. работая вместе, выполняют работу за 7,5
часов: первый, третий и пятый — за 5 часов; первый,
третий и четвертый — за 6 часов; второй, четвертый
и пятый— за 4 часа. За какое время выполнят эту
работу все пять человек, работая вместе?
Ответ: а) 2 ч; б) 2,5 ч; в) Зч; г) 4 ч; д) 5 ч.
Тест 2
1. Упростить выражение
-1
Ответ: а) у/а: б) у/Ь\ в) 1; г) 0; д) |.
2. Вычислить (x/l8l0g3^25 - 8log^3 - 2б) :
Ответ: а) -3: б) 1; в) 0; г) log3 5; д) Iog53.
3. Вычислить , если ig -rx =
1-со.(| -Р-» 2
Ответ: aj |; б) |; в) 1: г) -1; д) 4.
4. Решить уравнение ^б^ — 24 -= —.
Ответ: а) - 1: б) 0; в) ); г) 2, д) 0.
5. Найти и выписать корни уравнения
5 cos х + 3 + cos(2rr + 4тг) = 0,
принадлежащие отрезку [0;2тг].
44

Ответ: а) £; б) Ц-; в) тг; г) ^; д) Щ-.
6. Решить уравнение log_z_ 2 + 2 log x 2 • log ж 2 = 0 и ука-
16 2 4
зать произведение корней.
Ответ: а) 3; б) 2; в) 4; г) 8; д) |.
7. Решить уравнение \/х + 4 + v^# + 3 = ^—2 — х.
Ответ: а) 1; б) 2; в) -2; г) 3; д) -3.
8. Для 8 коров в зимний период ежедневно
заготавливается 80 кг сена, 96 кг корнеплодов, 120 кг силоса и
12 кг концентратов. Определить количество силоса,
необходимого для 36 коров ежедневно.
Ответ: а) 450 кг, б) 500 кг; в) 540 кг; г) 580 кг,
д) 600 кг.
9. Радиус сектора равен Д, а радиус окружности,
вписанной в этот сектор, равен г. Найти площадь сек-
су
тора, если г = 1, R = 1 Н——.
v3
Отоет: а) ^Ц^; б) *z£; в) 7f; г) Ш.
. (7-4ч/3)тг3
д) з •
10. Высота правильной треугольной пирамиды равна
6 м, а боковая грань образует с плоскостью
основания угол в 30°. Определить боковую поверхность
пирамиды в м2.
Ответ: а) 347; б) 486; в) 500; г) 600; д) 648.
ТестЗ
1. Решить уравнение х* + х~ = у и указать
наибольший корень.
Ответ: а) 5; б) 2; в) 1; г) |; д) -3,
45

2. Упростить данное выражение в области определения
переменных
у/а3х — Зах + Зху/ах — х2 / / + \
2
+ х \
—2х}
\2у/ах —2х} у/а — у/х
Ответ: а) 0; б) а; в) х\ г) |; д) 4.
3. Решить уравнение у/0,125г-4х+гх2 = -^ff- и указать
произведение корней.
Ответ: а) -1: б) 0; в) |; г) 1; д) 2.
о
4. Решить уравнение cos3x + cos2rr = sin x и указать
корни, принадлежащие отрезку f; ~F" •
Ответ: а) ^; б) f; в) ^; г) f; д) 0.
5. Найти длину отрезка, на котором определена данная
функция у = Iog2(|3rr — 5| +х — 1) + VV# + 4 — а; — 2.
Ответ: а) 1: б) 2: в) 3; г) 4; д) 8.
6. Основание равнобедренного треугольника равно
48 см. а его площадь 432 см2. Найти в см радиус
вписанной в треугольник окружности.
Ответ: а) 32; б) 11: в) 10; г) 9; д) 8.
7. Найти длину интервала убывания функции
Ответ: а) 0; б) 0,5; в) 1; г) 2; д) 3.
8. Решить неравенство 2х2 • 215~8ж < 1 и указать
середину интервала, на котором оно имеет место.
Ответ: а) 0: б) 1: в) 4; г) 5; д) 7.
9. Определить, при каком значении а система
J2z + 3y = 5,
t 4x + ay = 1
несовместна.
46

Ответ: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6.
10. Найти расстояние между противоположными
ребрами правильного тетраэдра с ребром а.
Ответ: а) 1; б) ^Ц—; в) д/2; г) а; д) 2а.
Тест 4
1. Упростить Л/Э-
7^
V об + а
Ответ: а) 0; б) а; в) v^; г) 1; д) \/b.
2. Найти наименьшее из чисел х, удовлетворяющих ра-
венству f |J = 161)3x.
Ответ: а) 1; б) 2; в) -1; г) -5; д) -0,2.
3. Решить уравнение k)g144(# — З)2 = log12 \/3j; — 5 и
указать произведение корней.
Ответ: а) 7; б) 2; в) 14; г) 15; д) 16.
4. Решить уравнение tg f ж + ?) +tgx + 2 = 0B
интериг; ^Ч.
вале ; ^
ет: а) f; б) -£
Ответ: а) f; б) Ъ-£; в) ^; г) £; д) f.
5. Решить уравнение + ——- = -^-- и указать нал-
больший корень.
Ответ: а) 16; б) 9; в) 2; г) 1; д) 0.
О С\
6. Решить неравенство о > —— и указать центр
интервала, на котором оно не имеет места.
Ответ: а) -5; б) -4; в) -3; г) -2,5; д) 4.
7. Сумма цифр двузначного положительного числа
равна 9. Если цифры этого числа переставить, то
47

получится число, составляющее | первоначального.
Найти это число.
Ответ: а) 18; б) 54; в) 45; г) 27; д) 31.
8о В прямоугольный треугольник вписана окружность.
Точка касания окружности делит один из катетов
на отрезки длиной 6 см и 10 см, считая от вершины
прямого угла. Найти площадь треугольника.
Ответ: а) 100 см2; б) 156 см2; в) 200 см2; г) 240 см2;
д) 250 см2.
9о Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями у = Ах — х2] у = 0.
Ответ: а) ^: б) 15; в) 36; г) 21; д) 16.
10. Сторона основания правильной четырехугольной
пирамиды равна 2, а диагональное сечение пирамиды
равновелико основанию. Найти площадь боковой
поверхности пирамиды.
Отерт: а) 5; б) 6; в) 8; г) И; д) 12.
Тест 5
1. Упроешть
-1"
4'
Ответ а) а; б) 6; в) 0; г) у/а; д) —у/В.
Iog153-log! 3
2. Упростить 5 .
Iog153 + log! 3
5
Ответ- a) 0; б) 1; в) Iog153; г) log3 15; д) -1.
3. Подарок состоит из конфет, печенья и вафель.
Конфеты составляют 30% от веса печенья, а печенье
48

по весу в 1,5 раза больше, чем вафель. Сколько
граммов весят конфеты, если весь подарок весит
590 граммов?
Ответ: а) 85; б) 90; в) 100; г) 111; д) 150.
4. Вычислить tg 15° + ctg 15°.
Ответ: а) л/3; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
5. Сумма второго, шестого и десятого членов
арифметической прогрессии равна 36, а произведение
шестого и девятого членов равно 216. Найти сумму первых
пятидесяти членов этой прогрессии.
Ответ: а) 800; б) 1600; в) 1800; г) 2000; д) 2550.
6. Через точку Л(3; 0) к графику функции у = — про-
у/Х
ведена касательная. Найти площадь треугольника,
образованного этой касательной и осями координат.
Ответ: а) 2; б) 2,25; в) 4; г) 5; д) 9.
7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у = 16х2(х — I)2. В ответе указать их сумму.
Ответ: а) 0; б) |; в) 1; г) 3; д) 4.
8. Решить уравнение -л—-^ = 1 + sin2rr и указать наи-
1 — ЩХ
больший отрицательный корень.
Ответ: а) -|; б) -1; в) -§; г) -2; д) -§тг.
9. Дан треугольник ABC. О — точка пересечения его
медиан. АС = а, ВС — Ь. Выразить вектор Аи через
векторы а и 6.
Ответ: а) |(25+6); б) а-26; в) |(2а-6); г) За-46;
д)|(2-26).
10. Объем пирамиды со всеми одинаковыми ребрами
равен 18\/2. Найти длину ребра пирамиды.
Ответ: а) >/5; б) 3; в) 6; г) 8; д) 18.
49

Tea 6
1. Упростить
V a
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) а; д) у/а.
log45 3 • log i 3
Упростить
Iog453 + log ! 3*
Ответ: а) 1; б) 2; в) log3 15; г) 3; д) Iog345.
3. Цена некоторюго товара последовательно возрастала
вначале на р%, а потом на вдвое больший процент.
На сколько процентов поднялась цена во второй раз,
если начальная цена товара была 7000 руб., а
конечная 10974,6 руб.?
Ответ: а) 7%; б) 10%; в) 18%; г) 25%; д) 34%.
4. Вычислить ctg ^ — tg ^.
Ответ: а) 4; б) 2; в) уД\ г) 1; д) -1.
5. Между числами 3 и 24 поместить шесть чисел, чтобы
все эти восемь чисел образовали арифметическую
прогрессию. В ответе указать разность прогрессии.
Ответ: а) 6; б) 9; в) 2; г) 5; д) 3.
6. Найти область определения функции
У =
В ответе указать наибольшее целое значение х.
Ответ: а) -2; б) 3; в) 5; г) 6; д) 7.
7. Решить систему уравнений:
|:п/ + 4 = 0,
50

В ответе указать (х2 + у2) • -, где п — число решений
системы.
Ответ: а) 4; б) 42; в) 15; г) 17; д) 19.
8. Решить уравнение т—5 = 2 и в ответе указать
корень, принадлежащий интервалу (1;3).
Ответ: a) f; б) ^; в) 2тг; г) тг - 1; д) ^.
9. В прямоугольном треугольнике ABC дано: катет
С В равен 4,5, синус угла ВАС равен у|. Найти
площадь треугольника.
Ответ: а) 4; б) 5; в) 5,4; г) 6; д) 8.
10. В правильной четырехугольной пирамиде боковое
ребро образует с плоскостью основания угол 60°, а
сторона основания равна \ff. Найти площадь
боковой поверхности пирамиды.
Ответ: а) 3; б) л/б; в) \fl\ г) 7; д) 8.
Тест 7
1. Упростить (1 — + а~1 1 : —~~а 1 : -—= .
4=
у/а
Ответ: a) Q; б) 1; в) 2; г) а; д) у/а.
Iog244 1og1 4
2. УПРОСТИТЬ ; : г-
log24 4 -f log i 4
Ответ: a) 0; б) 1; в) 2; г) Iog46; д) Iog424.
3. За некоторую сумму денег планировали купить
несколько тонн товара. Однако цена за тонну
поднялась на 25%, и поэтому за ту же сумму денег было
куплено на одну тонну меньше. Сколько тонн товара
было куплено?
Ответ: а) 2,8; б) 3; в) 3,5; г) 4; д) 4,6
51

sin I 2тг —
- ■ - arcctg«
4. Вычислить sin
Ответ: a) -1; б) --^=; в) 0; г) |; д) 1.
5. Найти а; из уравнения 3 + 7+11 Н \- х = 820.
Ответ: а) 76; б) 79; в) 83; г) 95; д) 100.
6. Найти область определения функции
|2ж + 3|-1 /х
У 6 |х-2| + ^ "
В ответе указать максимальное целое значение х>
принадлежащее ей.
Ответ: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6.
7. Решить систему уравнений:
х + у = 9
set/ 7i
и в ответе указать произведение —г—, где п — число
решений системы.
Ответ: а) 4; б) 5; в) 9; г) 11; д) 20.
<\
8. Решить уравнение: —— = 1 и указать корень,
3v2sinar- 1
принадлежащий интервалу (2тг;^~Ч.
Ответ: а) }; б) 2=; в) if; г) 2г; д) ^.
9. В прямоугольном треугольнике Л5С даны: длина
катета ВС, равная 3,5, и длина гипотенузы AJ3,
равная 12,5. Вычислить периметр данного
треугольника.
Ответ: а) 14; б) 26; в) 28; г) 30; д) 35.
10. В правильной треугольной пирамиде двугранный
угол при основании равен 30°, а сторона основания
52

равна 4. Найти площадь боковой поверхности
пирамиды.
Ответ: а) 3; б) 5; в) 8; г) 10; д) 11.
Тест 8
ЛГ (л/а - л/Б)3 + За? + 62 у/аЬ-Ь
1. Упростить — - + v , - 1.
3(/E + b/b) а"Ь
/
Ответ: а) 0; б) 1; в) у[а\ г) л/б; д) аЪ.
Iog287.1og! 7
2. Упростить —- -.
н Iog287 + logl7
Ответ: а) |; б) 1; в) 4; г) 7; д) 28.
3. Цена некоторого товара повышалась
последовательно дважды на одно и то же число процентов, в
результате чего поднялась с 2000 руб. до 30258 руб. На
сколько процентов повышалась цена товара каждый
раз?
Ответ: а) 12; б) 15; в) 16; г) 20; д) 23.
4. Вычислить sin f | — 2arctgO,28j.
Ответ: а) -2; б) -1; в) 0,28; г) Щ; д) 1.
5. В арифметической прогрессии а\ = 10, ап = 40,
Sn = 275. Найти d.
Ответ: а) 4; б) 3; в) 2; г) 1; д) -1.
6. Найти область определения функции
х-2
В ответе указать наибольшее целое значение х,
принадлежащее ей.
Ответ: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6.
53

7. Решить систему уравнений:
и в ответе указать (#4+у4)-тг, где п — число решений
системы.
Ответ: а) 16; б) 64; в) 81; г) 95; д) 97.
8. Решить уравнение ^ = 1 в интервале ( — тг; тг ).
Ответ: а) -|; б) -|; в) -£; г) §; д) f.
9. В прямоугольном треугольника известны длины
катетов, равные 21 и 3,25. Вычислить радиус круга,
описанного около треугольника.
Ответ: а) 17; б) 10,625; в) 68,25; г) 13,65; д) £§.
10. В правильной треугольной пирамиде двугранный
угол при основании равен 30°, а боковое ребро
равно л/13. Найти площадь боковой поверхности
пирамиды.
Ответ: а) л/28; б) л/35; в) 17; г) 18; д) 21.
Тест 9
1. Упростить ( 6а — 5л/а — 1 + -^ ) х
V VZ + 1J
x[3^-2 + -^riJ _^_L_J .
Ответ: а) у^; б) 0; в) 1; г) 4; д) 5.
9 v sm21° - cos 9° - cos 159° • sin 369°
* ПР°СТИТЬ cos 51o . sin 81o + sin(_51)o . sin 369o •
Ответ: a) -1; 6) 0; в) 1; г) 2; д) 3.
3. Ha рынке купили морковь, картофель и капусту. Вес
капусты превышал вес картофеля на 38%, а морковь
54

была легче картофеля по весу на 40%. Сколько
килограммов капусты купили, если вся покупка
весила 14,9 кг?
Ответ: а) 6,9 кг; б) 9,6 кг; в) 7,5 кг; г) 3,8 кг,
д) 10 кг.
4. Вычислить cos тг + ^ axcsin ~у= •
~ ч 117-Vrf ^ 117-h у/17 ч 1
Ответ: а) ^ —^—; б) -^—р—; в) --±-
5. Определить минимальное число членов прогрессии
3, 5, 7,... которое нужно взять, чтобы их сумма
была больше 143?
Ответ: а) 10; б) 11; в) 12; г) 15; д) 22.
6. Найти область определения функции
В ответе указать наибольшее целое значение #,
принадлежащее ей.
Ответ: а) -3; б) -2; в) -1; г) 0; д) 2.
7. Решить систему уравнений:
( Ъх + у _ х-у _ ~
Ответ: а) (5,1); б) (6,2); в) (7,3); г) (8,4); д) (9,5).
8. Решить уравнение 4 = \ в интервале (тг; 2тг).
V 3 tg х + 5 г
Ответ: а) ^; б) Ц-; в) ^; г) f; д) ^.
9. В треугольнике ABC длина стороны АС равна 26,35
и синусы острых углов ВАС и ВС А равны
соответственно 0,352 и 0,6. Найти площадь треугольника.
Ответ: а) 75; б) 84; в) 86,955; г) 90; д) 100.
55

10. Правильная треугольная пирамида вписана в шар
так, что ее основание проходит через центр шара.
Радиус шара равен 2л/3. Найти объем пирамиды.
Ответ: а) 4л/3; б) 16; в) 20; г) 18; д) 19.
Тест 10
1. Упростить sin2a+sinl0a . g
^ cos 2a + cos 10a to
Ответ: а) 6a; б) 6; в) 2; г) 1; д) 0.
^j > 3 х и указать
наименьшее целое решение.
Ответ: а) 4; б) 3; в) 2; г) 0; д) -1.
3. Сумма п первых членов геометрической прогрессии
вычисляется по формуле Sn = 10(2п — 1). Найти
седьмой член прогрессии.
Ответ: а) 250; б) 300; в) 500; г) 640; д) 1000.
4. Решить уравнение 4х2+2 — 9 • 2х2+2 + 8 = 0. Указать
наименьший корень.
Ответ: а) -3; б) -1; в) 0; г) 2; д) 4.
5. Решить неравенство log0 5 (х2 — 5х + 6) > — 1. Указать
середину длины конечного промежутка, где оно не
выполняется.
Ответ: а) 3; б) 2,5; в) 2; г) 1,6; д) 0.
6. Решить уравнение 21og4(4 — х) = 4 — Iog2(—2 — х).
Ответ: а) -4; б) -1; в) 0; г) 2; д) 3.
7. Решить систему
111
56

и указать х2 — у2, если система имеет единственное
решение и сумму всех таких разностей, если система
имеет несколько решений.
Ответ: а) 4; б) -3; в) 16; г) 9; д) 14.
8. В равнобедренной трапеции диагональ делит острый
угол пополам. Найти среднюю линию трапеции, если
ее периметр равен 48, а большее основание 18.
Ответ: а) 14; б) 16; в) 10; г) 12; д) 15.
9. Решить уравнение sin(180° — х\ 4- sin Зх — 4 cos3 x = 0
в интервале (0; 180°).
Ответ: а) 45° и 90°; б) 60°; в) 0° и 45°; г) 135°;
д) 45° и 135°.
10. Высота прямой треугольной призмы равна 5 м, ее
объем равен 24 м3, а площади граней относятся как
17 : 17 : 16. Найти периметр основания.
Ответ: а) 3,4; б) 9,6; в) 9,8; г) 10; д) 10,2.
Тест 11
-а Лг 1 + tg 2а + tg2 2а
1. Упростить 2-т—.
1 + ctg 2а + ctg2 2а
Ответ: a)tg22a; б) sin а; в) cos 2а; г) ctg а; д) 1.
2. Решить неравенство 2х + 21~х — 3 < 0 и указать
середину промежутка, где оно выполняется.
Ответ: а) -|; б) 0; в) |; г) 1; д) 2.
3. В геометрической прогрессии Ь\ = 54; S$ = 78. Найти
знаменатель прогрессии. В ответе указать этот
знаменатель, если задача имеет одно решение, или их
сумму, если задача имеет более одного решения.
Ответ: а) \; б) 2; в) -^; г) -1; д) 3.
57

4. Решить неравенство k)g8(#2 — 4# + 3) < 1. Указать
наибольшее положительное его решение.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 2; г) 5; д) 6.
5. Решить уравнение у/х + \fx — 12.
Ответ: а) 81; б) 55; в) 17; г) 9; д) 8.
6. Решить уравнение 4 • 22х - 6х = 18 • 32х.
Ответ: а) -2; б) 3; в) 0; г) 1; д) 2.
7. Решить систему i " """ ы ' а в ответе указать
\ху = 8,
,4 i i ~,4 _j_/»,4
гДеп — число решений
системы.
Ответ: а) 21; б) 56; в) 800; г) 272; д) 1088.
8. Хорда делит окружность на две дуги в отношении
3 : 7. Найти величину меньшего вписанного угла,
опирающегося на эту хорду.
Ответ: а) 40°; б) 50°; в) 54°; г) 60°; д) 70°.
9. Решить уравнение /'(#) = , если f(x) =
v 16 — 2х — Ъх2
= #\/16 — 2rr — Ъх2. В ответе указать больший
корень.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 1; г) 2; д) 3.
10. Высота правильной треугольной пирамиды равна
высоте основания этой пирамиды. Найти объем
пирамиды, если ее апофема равна л/30.
Ответ: а) 30; б) 25; в) 24; г) 27; д) 9.
Тест 12
1. Преобразовать ^^^ • tg2 | - cos2 a.
Ответ: а) 0; 6)1; в) cos а; г) sin2 а; д) tga.
5в

_ 1
2. Решить неравенство 4~ 2 — 7 • 2~х — 4 < 0 и указать
наименьшее отрицательное решение.
Ответ: а) -3; б) -1; в) 0; г) л/2; д) 2.
3. В геометрической прогрессии знаменатель q равен ■=,
a Sn = 121 — . Найти первый член прогрессии.
Ответ: а) 81; б) 27; в) 33; г) 19; д) 18.
4. Решить неравенство lg(#2 — Ъх + 7) < 0. Указать
середину промежутка, на котором оно выполняется.
Ответ: а) 0,8; б) 1; в) 2,5; г) 3; д) 6.
{х + у + ху = 5,
ив ответе указать
х + у + ху = 7
Х1+У\ +Х\ + У2~\ ^Хп + Уп) гдеп — число решений
системы.
Ответ: а) 10; б) 20; в) 40; г) 15; д) 18.
6. Концы диаметра удалены от касательной на 1,6 м
и 0,6 м. Найти длину диаметра. Ответ дать в виде
десятичной дроби.
Ответ: а) 1м; б) 2 м; в) 2,2 м; г) 2,8 м; д) 3,8 м.
7. Найти наименьшее значение функции f(x) = -zxs —
о
— 2%2 + 5 на отрезке [—1;4].
Ответ: а) -1; б) -0,5; в) 0; г) 0,5; д) 2.
8. Решить уравнение 61og64(—х — 2) = — log^ у/— 1 — 2х.
2
Ответ: а) -6; б) -5; в) -4; г) 2; д) 3.
9. Решить уравнение f'{x) = -z г, если f(x) = -^—-.
Ответ: а) -5,5; б) —2; в) 0; г) 0; д) 4.
10. Высота правильной треугольной пирамиды равна
высоте основания. Найти объем пирамиды, если
апофема равна \/30.
Ответ: а) 27; б) 25; в) 20; г) 16; д) 11.
59

Тест 13
1. Упростить
Ответ: a) tg6a; б) 0; в) cos 2a; г) 2; д) sin 10а.
2. Решить показательное уравнение 22х+1 — 33 • 2х"1 +
+ 4 = 0. Указать наибольший корень.
Ответ: а) 3; б) 2; в) 0; г) -1; д) -3.
3. Решить неравенство х2 • 5х — 52+х < 0 и указать длину
промежутка, на котором оно выполняется.
Ответ: а) 1; б) 3; в) 7; г) 8; д) 10.
4. Сумма первого и пятого членов арифметической
прогрессии, все члены которой натуральные числа,
меньше 24, а сумма второго и третьего членов
больше 16. Найти сороковой член этой прогрессии, если
ее разность равна d = 4.
Ответ: а) 24; б) 38; в) 126; г) 143; д) 159.
5. Решить неравенство log7 ir-—г > 0. Указать наи-
ZX — 1
больший целый отрицательный корень.
Ответ: а) 0; б) —1; в) —2; г) —3; д) —4.
1 +у = -5,
6. Решить систему < ху у В ответе указать
произведение всех значений х и у, таких, что пара
(#, у) является решением системы.
Ответ: a) f; б) И; в) g; г) f- д) 6.
7. Найти площадь трапеции по разности оснований,
равной 14, и двум непараллельным сторонам,
равным 13 и 15, если известно, что в трапецию можно
вписать окружность.
Ответ: а) 100; б) 140; в) 160; г) 168; д) 200.
8. Решить уравнение у/х2 — 6х + 9—\/64 — 16x + х2 = 5.
Указать наименьшее решение.
60

Ответ: а) 8; б) 2; в) 1; г) 0; д) -3.
9. Через точку А(3; 1) проведена прямая, являющаяся
касательной к графику функции у = л/8 — х2.
Определить угол между этой прямой и положительным
направлением оси абсцисс.
Ответ: а) 75°; б) 80°; в) 90°; г) 115°; д) 135°.
10. В правильной треугольной пирамиде двугранный
угол при основании равен 45°. Сторона основания
равна 3 см. Найти объем пирамиды в см3.
Ответ: а) 1,125; б) 1,5; в) 2; г) 3; д) 4.
Тест 14
. , т cos 2a • tg a — sin 2а л ,
1. Упростить —- ^—, . о + 2tga.
^ cos 2a • ctg a + sin 2a °
Ответ: а) -tga; 6) 2 ctg a; в) 1; г) 2; д) 0.
2. Решить уравнение 3 • 52х~1 - 2 • 5х""1 = 0,2.
Ответ: а) 0; б) 0; в) 1; г) 2; д) 3.
3. Решить неравенство
1о Заг-1
VII) < ТГ
Указать наименьшее целое решение.
Ответ: а) 0; б) —2; в) —1; г) 2; д) 4.
4. Решить уравнение Iog3(x + 1) 4- Iog3(x + 3) = 1.
Ответ: а) 0; б) 3; в) 4; г) 10; д) 0.
5. Найти наименьшее целое решение неравенства
Зу/х — у/х + 3 ^ 1.
Ответ: а) 2; б) 4; в) 0; г) 1; д) 5.
61

6. Три числа состгшляют геометрическую прогрессию.
Среднее арифметическое второго и третьего ее
членов равно 20, а среднее арифметическое первого и
второго членов равно 5. Найти эту прогрессию и в
ответе указать отношение знаменателя к первому
члену.
Ответ: а) -1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
{<2#2 I gy __ 231
'ив ответе указать
х2 + ху = 210
У / \
отношение -, если [хг у) — единственное решение
системы или сумму таких отношений -, если система
имеет несколько решений (#, у).
Ответ: а) 1; б) ут; в) 2,2; г) 0,1; д) не определено.
8. В круговой сектор вписана окружность, радиус
которой в три раза меньше радиуса сектора. Найти
величину центрального угла (в градусах).
Ответ: а) 30; б) 45; в) 60; г) 75; д) 80.
9 г Решить уравнение 2 cos2 Зх + sin Зх = 1 в интервале
(-60°; 20°).
Ответ: а) -10°; б) -30°; в) -35°; г) -40°; д) -45°.
10. Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4
и 22 см, требуется превратить в равновеликий
цилиндр такой же высоты. Чему равен радиус
основания цилиндра?
Ответ: а) 25 см; б) 10 см; в) 12 см; г) 14 см;
д) 20 см.
Тест 15
1. Упростить ~ cos Q . ctg2 £ — sin2a.
^ 1 + cos a to 2
Ответ: a) cos a; 6) cos2 а; в) sin a; r) tga; fl)ctga.
62

2. Решить уравнение 5 • 2X+1 +5-2 х+2 = 30. Указать
наименьший корень.
Ответ: а) -|; б) -1; в) -|; г) 0;,д) 1.
3. Решить неравенство 4Х+1 — 16х < 2 log4 8. Указать его
наименьшее решение.
Ответ: а) 1; б) 1,4; в) 1,7; г) 2; д) 2,3.
4. Решить неравенство
2 -x-2)> Iog0j2(-z2 + 2х + 3).
Указать длину промежутка, где оно выполняется.
Ответ: а) |; б) 1; в) |; г) 2; д) §.
5. Пять положительных чисел образуют
геометрическую прогрессию. Произведение первых двух чисел
равно 2187, а произведение последних двух —
равно 3. Найти эти числа, а в ответе указать их сумму.
Ответ: а) 121; б) 81; в) 63; г) 242; д) 120.
{у2 - ху = 12,
ив ответе указать
х1 - ху = 28
отношение -|, если (#, у) единственное решение
системы, или сумму всех таких отношений, если
система имеет несколько решений.
Ответ: а) 7^/|; б) 7; в) 3^/|; г) -^; д) \.
7. Общая хорда, пересекающая окружностей, видна из
их центров под углами 90° и 120°. Найти расстояние
между центрами окружностей, лежащими по одну
сторону от хорды, если длина ее равна —^—.
Ответ: а) 0,25; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4.
8. Решить уравнение 2\х - 1| + 2\х - 2| = 6.
Ответ: а) 0; б) 3; в) 2; г) 1; д) 0.
9. Дано Ьс = 64, Ъа = 8, & = 7. Найти сс.
Ответ: а) 49; б) 45; в) 38; г) 20; д) 16,
63

10. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара,
делит диаметр на части 3 и 9 см. На какие части
делится объем шара? В ответе указать объем большей
части.
Ответ: а) тг см3; б) 45 см3; в) 45тг см3; г) 60тг см3;
д) 243тг см3.
Тест 16
i лг sin 2a — cos 2а
1. Упростить выражение :—т—; ^—.
sin а — sin За + cos а — cos За
Ответ: a) ^sina; б) 1; в) 0; г) tga; д) cos За.
(11 |_ С
2. Решить уравнение ~ + 5 ~ = 5 и указать
наименьший корень.
Ответ: а) -2; б) 0; в) 1; г) 2; д) 3.
3. Упростить —— I —— 1 + 4.
v a3b 4- аЬ 4- а — а \ у/а — vЬ )
Ответ: а) 0; б) 4; в) а; г) \/а\ д) а2.
4. Решить уравнение 7 • Зх+1 - 5Х+2 = Зж+4 - 5Ж+3.
Ответ: а) -3; б) -1; в) 2; г) 4; д) 0.
5. Решить уравнение Iog7(2a; — 1) + Iog7(2x — 7) = 1.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 2; г) 3; д) 4.
6. Решить неравенство logj^ (rr2 — 3rr + 2) +1 < 0. Указать
б
наименьшее целое положительное решение.
Ответ: а) 5; б) 4; в) 3; г) 2; д) 1.
7. Члены геометрической прогрессии — натуральные
числа. Третий член равен кубу первого, а сумма
первых трех ее членов в 7 раз больше первого члена.
Найти эту прогрессию. В ответе указать сумму
первого члена и знаменателя прогрессии.
Ответ: а) 2; б) 2,5; в) 3; г) 4; д) 5.
64

8. Решить систему
13
6 '
и в ответе указать произведение гг • j/, если система
имеет единственное решение, или сумму всех таких
произведений, если система имеет более одного
решения.
Ответ: а) -2: б) 2; в) 3; г) 0; д) -3.
9. Найти высоту трапеции, у которой большая боковая
сторона равна 5, а разность длин оснований равна 4.
Ответ: а) 4; б) 3; в) 2; г) 1,5: д) 1.
10. В правильной треугольной пирамиде двугранный
угол при основании равен 30°. Сторона основания
равна 4 см. Найти площадь боковой поверхности.
Ответ: а) 8,1; б) 8; в) 7; г) 6,8; д) 3,9.
Тест 17
1 4- tg4 2а 1
1. Упростить .
tg2 2а + ctg2 2a cos2 2а
Ответ: а) -1; б) 0; в) tg22a; г) 2; д) 3.
21"~х _ 2х 4-1
2. Решить неравенство —— ^ 0. Указать
меньшее положительное решение.
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 2,5.
3. Решить уравнение г^2"1-3х2 = Зх2-1-2х2+2. Указать
сумму корней.
Ответ: а) 1; б) -1; в) 2; г) -2; д) 0.
4. Сумма трех чисел, составляющих возрастающую
геометрическую прогрессию, равна 70, а если из них
3-1731 65

вычесть соответственно 2, 8 и 24, то вновь
полученные числа составят арифметическую прогрессию.
Найти сумму первых двенадцати членов
геометрической прогрессии.
Ответ: а) 50940: б) 45090: в) 40950; г) 5940;
д) 2590.
5. Решить неравенство log0 i log2 у—тт < 0. Указать
наибольшее целое отрицательное решение.
Ответ: а) -4: б) -3; в) -2: г) -5; д) -1.
р
6. Решить систему { " ' Для каждого реше-
ху = 10.
ния (#,у) найти -. В ответе указать это отношение,
если система имеет единственное решение, или
сумму таких отношений, если система имеет более
одного решения.
Ответ: а) 1,5; б) -1,5; в) §; г) -|; д) |.
7. В окружности по разные стороны от центра
проведены параллельные хорды длиной 12 и 16. Расстояние
между ними равно 14. Найти радиус окружности.
Ответ: а) 10; б) 9; в) 8; г) 7; д) 6,5.
8. Решить уравнение \/9 — 6я 4- х2 + л/36 — 12я + х2 =
= 11 и указать наибольшее решение.
Ответ: а) 10; б) 8; в) 7; г) 6; д) 3.
9. Решить уравнение (2#+1)(#+2)(2#2-7#+2)+20я;2 =
= 0и указать сумму корней.
Ответ: а) -1; б) 2; в) 2,5; г) 3; д) 5.
10. Площадь основания прямой треугольной призмы
равна 4л/11 м2, а площадь боковых граней 9, 10 и
17 м2. Найти объем призмы.
Ответ: а) 4\/Г1 м3; б) 12 м3; в) 20 м3; г) 17 м3;
д) 19 м3.
66

Тест 18
+ sin4Q
1 Уппогтить 1
1. Упростить 1
Ответ: а) 0; б) 1; в) sin 2а; г) tg2a; д) ctg2a.
ij +2^0.
Указать наименьшее положительное решение.
Ответ: а) 1; б) 1,2; в) 2; г) 2,5; д) 3.
3. Решить уравнение 2 • Зх+1 - 6 • 3х"1 - 3х = 9.
Ответ: а) -3; б) -1; в) 0; г) 1; д) 2.
4. Сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии относится к сумме двух ее первых членов
как 4 : 3. Первый член прогрессии равен 8. Найти
сумму квадратов членов этой прогрессии.
Ответ: а) 85^; б) ю|; в) 64; г) 16; д) 80.
5. Решить неравенство log0)5 (logs _ <\ ) < 0. Указать
половину длины конечного промежутка, где оно не
имеет места.
Ответ: а) 2; б) 3,5; в) 1; г) 5; д) 0,5.
6. Решить систему
и в ответе указать квадрат расстояния между
точками, координаты которых удовлетворяют системе.
Ответ: а) 10; б) 9; в) 12; г) 18; д) 16.
7. Из точки Л, взятой на окружности, проведены
диаметр АВ = 10 см и хорда АС. Из точки В проведены
к хорде перпендикуляр длиной 6 см и касательная,
пересекающая продолжение хорды в точке D. Найти
длину касательной.
Ответ: а) 8,5 см; б) 7,5 см; в) 8 см; г) 3 см; д) 6 см.

8. Разложить вектор (—1:15:—!) по векторам (1;2;1),
(2: —4:1) и (0:1; —2). В ответе указать сумму
коэффициентов разложения.
Ответ: а) 3; б) -3; в) 2; г) -2; д) 1.
9. Основание пирамиды - прямоугольник со
сторонами 9 м и 12 м, все боковые ребра равны 12,6 м. Найти
объем пирамиды.
Ответ: а) 530; б) 360; в) 350; г) 300; д) 285.
10. Найти косинус угла между векторами АВ и AD4
если А(3;2), В(8:1), £>(2;7).
Ответ: а) -^: б) -j=: в) ~f=: г) -1: д) 0-
1«* у26 v26
Тест 19
1. Вычислить 4 sin 2a- cos a ecm t | = _1,25.
(1 + cosa)(l + cos 2a) °2
Ответ: а) -5; б) -4: в) -3; г) 0; д) 4.
,7-
Ответ: а) 0; б) 1; в) Iog57; г) 2; д) log2 6.
3. Сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равна 8, а сумма квадратов ее членов рав-
на -^-. Найти эту прогрессию и указать в ответе
отношение первого члена к знаменателю прогрессии.
Ответ: а) |; б) 4; в) 5; г) 6; д) 8.
4. Решить неравенство
logi {х2 -6х + 18) + 21og5(rr - 4) < 0.
5
Указать наименьшее целое положительное решение.
Ответ: а) 5; б) 4; в) 9; г) 7; д) 6.
68

5. Решить систему
= -3.
В ответе указать произведение х • у, если система
имеет одно решение (гг, у), или сумму всех таких
произведений, если система имеет несколько решений.
Ответ: а) -7; б) -|; в) 21; г) ^; д) 22.
6. Найти боковую сторону равнобокой трапеции,
описанной около круга, если острый угол при основании
равен 30°, а площадь равна 288.
Ответ: а) 20; б) 21; в) 24; г) 25; д) 26.
7. Найти наименьшее значение функции
f(x) = \х4 - 2х2 + 1
на отрезке [—1; 3].
Ответ: а) -3; б) -1; в) 3; г) 4; д) 5.
8. Найти значение параметра а, при котором сумма
действительных корней уравнения
х2 + 2{а2 - Ъа)х - 10а3 + 35а2 -9 = 0
принимает наибольшее значение.
Ответ: а) -2,5; б) 1,2; в) 2,5; г) 4; д) 38.
9. Найти сумму корней уравнения
г\ \ а *\ 11 \ -П + л/649 ч-П-%/649
Ответ: а) -6; б) -11; в) ^ ; г) ^ ;
д)22.
10. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде
ребра оснований равны 4 и 6, а высота \/Т0. Найти
диагональ боковой грани.
Ответ: а) 6; б) 6,5; в) 7; г) 8; д) 10.
69

Тест 20
1. Число 434 разделить на части, пропорциональные
числам 15 и 16. В ответе указать большее число.
Ответ: а) 224; б) 217; в) 210; г) 200; д) 197.
2. В 10 кг 25%-го раствора кислоты добавили 5 кг
чистой кислоты. Какова концентрация нового
раствора?
Ответ: а) 16%; б) 20%; в) 25%; г) 30%; д) 50%.
3. Вычислить (ю^10"^5 - 510^25-106^4) : б1^.
Ответ: а) 0,0625: б) 0,1; в) 0.25; г) 0,5; д) 0,625.
4. Найти наименьшее натуральное число гг, удовлетво-
ряющее неравенству ( - 1 <811~ж.
Ответ: а) 1; б) 3; в) 4; г) 6; д) 0.
5. Найти значение функции f(x) = х3 — 6х2 + 9х + 2 в
точке максимума.
Ответ: а) 3; б) 6; в) 7; г) 8; д) 9.
6. Решить уравнение (sin я; — cosrr)2 = sin 2а; и указать
корень, принадлежащий интервалу (0°;20°).
Ответ: а) 9°; б) 10°; в) 11°; г) 15°; д) 18°.
7. Решить уравнение logo х — log2 х = log ж f — lg x.
2 z
Ответ: а) |; б) 0,4; в) |; г) 1; д) 2.
8. В равнобедренном треугольнике с углом при
основании 60° вписана окружность радиуса 2\/3. Найти
длину основания треугольника.
Ответ: а) 8; б) 10; в) 11; г) 12; д) 14.
9. В тетраэдре ABCD точка М — середина ребра АВ,
точка D лежит на ребре DC, причем DP = 3 • PC.
70

Разложить вектор МР по векторам ЛВУ А& и AD и
указать сумму коэффициентов разложения.
Ответ: а) -1; б) -2; в) |; г) 0,5; д) 2.
10. Объем правильной четырехугольной пирамиды
равен —, а площадь основания равна 9. Найти угол
V6
между боковым ребром пирамиды и высотой (в
градусах).
Ответ: а) 40°; б) 45°; в) 50°; г) 55°; д) 60°.
Тест 21
+ лг / 49 ^а + 3 \
1. Упростить выражение —-~= —т=
(^) + 27а 40-
16-(^)2
Ответ: а) 0; б) 1; в) 9; г) а; д) ^а.
2. Решить уравнение (Зх - 2)2 + 5(3я - 2) - 6 = 0 и
указать больший корень.
Ответ: а) -1; б) -3; в) 1; г) 2; д) 4.
3. Решить уравнение
(5 + \/3)sin2a; + (5л/3 - l)sin#cosa; = 5
и указать число корней, принадлежащих отрезку
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 0.
4. Решить уравнение ——-г— = 1.
Ответ: а) -\/5; б) -1; в) 1; г) 2; д) у/Е.
5. Решить неравенство 1 — х < у/х2 — 2х и в ответе
указать наименьшее целое его решение.
Ответ: а) -3; б) -2; в) -1; г) 2; д) 3.
71

в. Найти наименьшее целое решение неравенства
2х- 3
(0,2)*-2 >5.
Ответ: а) 0: б) -3; в) 0; г) 1; д) 2.
7. Найти произведение всех чисел х, для которых
Ig5 4- \g[x + 10) - 1 = lg(21s - 20) - lg(2s - 1).
Ответ: aj |; 6) 8; в) 10; г) 12; д) 15.
8. Найти наименьшее х из области определения
функции у = (Ах2 + 25я — 21)2 + х/—|3гг -h 2| + 19.
Ответ: а) -8; б) -7; в) 0; г) 3; д) 6.
9. Решить неравенство
logx-з 2(z2 - Юх + 24) > 1оё:Е_з(х2 - 9).
В ответе указать наименьшее решение.
Ответ: а) 10-л/43; б) 0; в) 4; г) 10 + л/43; д) -4.
10. Гранями треугольной пирамиды являются равные
равнобедренные треугольники. Углы при вершине
каждого такого треугольника равны 80°, а его
основание равно 4. Определить объем V и площадь S
полной поверхности такой пирамиды.
Ответ: а) V = 4= \А tg2 50° - |, £ = 4л/3 + 12tg50°;
V 3 V о
б) V = 10, S = 12; в) V = 30, 5 = 4V3; г) V = |,
S = 6; д) V = 8, S = 12tg50°.
Тест 22
1. Упростить выражение
- а0'5 • б0'5] (а - Ь)"1 +
72

при а > О, Ь > О.
Ответ: а) 0; б) 1; в) а; г) v^b; д) у/а.
14х2 11 49
2. Решить уравнение j H—з~т = Гд и указать
больший корень.
Ответ: а) -4; б) 0; в) 2; г) 3; д) 4.
3. Сад имеет форму прямоугольника, причем одна
сторона больше другой на 200 м. Найти периметр сада,
если его площадь равна 29,25 га.
Ответ: а) 0,8 км; б) 2 км; в) 2,2 км. г) 3 км,
д) 4 км.
4. Решить уравнение л/6 — Ах — х2 = х + 4.
Ответ: а) -4; б) -1; в) 0; г) 2; д) 3.
5. Решить неравенство \/х2 — 1 > х и указать
наибольшее его решение.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 2; г) 3; д) 4.
{\/х -t- 2y = 4,
_ 'ив ответе
VJ - 8^ = 2
указать х — у.
Ответ: а) 9; б) 8; в) 7; г) 6; д) 5.
7. Найти наименьшее целое решение неравенства
Ответ: а) —5; б) —4; в) 1; г) 4; д) 5.
о
8. Решить неравенство ^ < 1 и указать наибольшее
целое значение #, не удовлетворяющее ему.
Ответ: а) 5; б) 4; в) 3; г) 1; д) 0.
9. Найти яг, если 16yO,255"f = 2V^+T.
Ответ: а) 24; б) 21; в) 19; г) 18; д) 10.
73

10. Решить уравнение lg(3#2+7) — lg(3#—2) = 1 и указать
меньший корень.
Ответ: а) -1; б) 1; в) 2; г) 3; д) 5.
Тест 23
1. Первый велосипедист стартует со скоростью 36 къл/ч.
Через 30 с вслед за ним стартует второй
велосипедист со скоростью х км/ч. При каком значении х
второй велосипедист догонит первого через 4,5 мин?
Ответ: а) 35; б) 38; в) 40; г) 45; д) 60.
2. Найти наибольшее значение функции у = 5#2+Зя—6
на отрезке [2;3].
Ответ: а) 25; б) 38; в) 40; г) 48; д) 51.
3. Построить на плоскости фигуру, координаты точек
которой удовлетворяют соотношениям
(Ъх + Ау + 7) (Ъх - 2у - 11) = 0
и найти ее площадь.
Ответ: а) 10; б) 13; в) 15; г) 16; д) 20.
4. Найти сумму целых корней уравнения
-2 sin2 я cos2 (я2 - Ъх + 5) + 2 cos2 х - 1 = 0.
Ответ: а) 2; б) 8; в) 5; г) 4; д) 3.
5. Решить систему уравнений
74

В ответе указать сумму х + у.
Ответ: а) -12; б) -8; в) -^; г) -|; д) 4.
6. При каком неотрицательном р разность Х2 — Х\ (где
#2 > #i) корней уравнения х2 — (Зр—5)х — 2р24-94 -= О
равна 9?
Ответ: а) 6; б) 5; в) 4: г) 3: д) 0.
7. На сторонах АС и ВС треугольника ABC отмечены
соответственно точки М и N так, что AM : МС =
= 4 : 5, a BN : ВС = 0,25. Отрезки ВМ и АЛГ
пересекаются в точке Р. Найти длину АР, если PiV = 10.
Ответ: а) 11; б) 19; в) 26; г) 27; д) 32.
8. Решить уравнение
Ответ: а) 3; б) 2: в) 0; г) -1: д) 0.
9. Дано 6е = 25, сс = 36, Ьа = 5. Найти са.
Ответ: а) 6; б) 7; в) 8; г) 9; д) 10.
10. Сфера вписана в усеченный конус, радиусы
оснований которого равны 8 и 2. Найти радиус сферы.
Ответ: а) 5; б) 4; в) 3; г) 2: д) 1.
Тест 24
1. Два тракториста, работая вместе, могут вспахать
поле за 5 ч. Второй тракторист вспахал часть
поля, проработав 4 ч, а затем оставшуюся часть поля,
большую на 14 га, вспахал первый тракторист,
проработав 6 ч 12 мин. Какова площадь поля?
Ответ: а) 95 га; б) 100 га; в) 108 га; г) 110 га;
д) 120 га.
75

2. Решить систему уравнений
и указать (х + у + z).
Ответ: а) 4; б) 3; в) 2; г) 0; д) -1.
3. Решить уравнение \/12 — х = *6 — х.
Ответ: а) 4; б) 3; в) 2; г) —1; д) 0.
4. Решить неравенство log^ (log2 х х ) > 0 и указать
меньшее целое число, удовлетворяющее ему.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 1; г) 2; д) 4.
5. Найти 10 cos 2а, если tg (а - |) = 5>/3 - 8.
Ответ: а) -6; б) -3; в) 0; г) 4; д) 8.
6. Боковая сторона равнобедренного треугольника на
1 см больше его высоты. Найти площадь
треугольника, если его периметр равен 16 см.
Ответ: а) 10; б) 12; в) 14; г) 18; д) 21.
7. Решить неравенство 2logo'3a;'logo'3 T > 1. В ответе
указать длину конечного промежутка, на котором оно
имеет место.
Ответ: а) 0,3: б) 0,4; в) 1: г) 2; д) 4.
8. Решить уравнение sin2 2x = 3 cos2 x и указать число
корней на отрезке f: ~г •
Ответ: а) 0; б) 1: в) 2; г) 3; д) 5.
9. В шар вписан конус с высотой 3 и радиусом
основания 3\/3. Найти радиус шара.
Ответ: а) 2: б) 3: в) 4; г) 6; д) 8.
76

10. Найти площадь фигуры, заданной на плоскости
системой неравенств
[\x\i-2y <4,
Ответ: а) 10; б) 8: в) 6: г) 5: д) 4.
Тест 25
1. Решить уравнение logllx_28<2rr — \ПЛх-^28) = 0,5.
Ответ: а) -3; б) 1; в) 2: г) 4; д) 11.
2. Найти число целых решений неравенства
(ctg2x-t-4)(x2 -6X0.
Ответ: а) 5; б) 3; в) 2; г) 1: д) 0.
3. Найти все корни уравнения Ъх3 — Ах2 - Их — 2 = 0.
В ответе указать их произведение.
Ответ: а) -1; б) 2: в) -±, г) 0,4; д) 4.
4. Составить уравнение касательной к кривой у — х2 —
— Зх + 4 в точке М(1; 2) и вычислить площадь
треугольника, образованного этой касательной и
координатными осями.
Ответ: а) 1,5; б) 2: в) 3: г) 4; д) 4,5.
j5.32-1+log3y = 19,
5. Решить систему уравнений < 2 о2ж i _ 7 и
Н 81
в ответе указать разность х — у.
Ответ: а) 3""6 - ilog311.5: б) 80; в) -80: г) 40;
77

6. Вычислить без таблиц и калькулятора
cos 70° + sin 70° -tg35° i
2 cos2 35° -cos 70° sin2 45° *
Ответ: a) -1; 6) 0; в) 1; г) 2; д) 5.
7. Решить уравнение 2 cos (j~ + тгам = у/5 и указать
число корней, принадлежащих отрезку [4; 21].
Ответ: а) 17; б) 12; в) 10; г) 3; д) 0.
8. Найти сумму целых положительных решений
неравенства Iog2(#2 + х + 2) < 4.
Ответ: а) 0; б) 3: в) 4; г) 6; д) 8.
9. Решить уравнение 7х{у/2)2х ~6 — •— = 0 и указать
меньший корень.
Ответ: а) -3; б) 0; в) 1; г) 2; д) 3.
10. Решить уравнение у/Ъх + 4 + у/х — 4 = lyfx.
Ответ: а) -1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
Тест 26
1. Указать наибольшее целое решение неравенства
у/Ъ - 2х < 6х - 1.
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4.
2. Две бригады должны были изготовить по 390
изделий. Первая бригада изготовляла в день на 9
изделий больше, чем вторая, и поэтому выполнила
задание на 3 дня раньше второй. За сколько дней первая
бригада выполнила задание?
Ответ: а) 10; б) 8; в) 7; г) 6; д) 4.
78

3. Найти высоту параллелограмма, опущенную из
вершины В на сторону AD, если А(1;2), В(5;2). С{7Л)
-0(3; 4).
Ответ: а) -^; б) \/2; в) 2л/2; г) 3; д) 4.
v 3
5
4. Вычислить J (х2 — 4х — 5) cte.
-1
Ответ: а) -36; б) 0; в) 10; г) 15; д) 22.
5. Из точки М, лежащей вне окружности, проведены
к ней секущие, образующие угол 45°. Меньшая
дуга окружности, заключенная между сторонами угла,
равна 30°. Определить величину большей дуги.
Ответ: а) 15°; б) 36°; в) 40°; г) 60°; д) 120°.
6. Объем правильной треугольной пирамиды равен 1,
а сторона правильного треугольника, лежащего в
основании, равна 2\/3. Найти двугранный угол при
основании (в градусах).
Ответ: а) 40°; б) 45°; в) 60°; г) 70°: д) 75\
7. Найти наименьшее целое число, удовлетворяющее
неравенству 36Ж ^ v^216.
Ответ: а) -1; б) 1; в) 3; г) 2; д) 0.
8. Найти угол между векторами АВ и АС. если А{\\ 1),
В(3;1),С(2;2).
Ответ: а) 18°; б) 36°; в) 45°; г) 60°; д) 75°.
9. Определить число различных корней уравнения
cos 4rr cos 6х = cos
на отрезке [0;2тг].
Ответ: а) 17; б) 14; в) 10; г) 4; д) 0.
10. Найти /у(2), если /(яг) = 7(х - 2)3у/х - sinirx.
Ответ: а) —тг; б) —1; в) 0; г) 1; д) 2.
79

Tea 27
1. Две трубы, работая одновременно, могут пополнить
бассейн за 4 ч. Первая труба наполняет этот бассейн
на 3 ч 54 мин быстрее, чем вторая. За-сколько часов
наполнит бассейн вторая труба, работая отдельно?
Ответ: а; 10,4; б) 8: в) 6; г) 5; д) 3.
2. Вычислить ctg I arctg -j- + arctg —=- I .
Ответ: а) -2; 6) 4=5 B) 1; r) 3; д) у/3.
v3
3. Решить уравнение у/IQx — 6 = 4 — 2x.
Ответ: а) -1; 6) 0: в) 0; г) 1; д) 2.
4. Найти значение функции у = — #2 + 4# + 2 в точке
максимума.
Ответ: а) 0: б) 2; в) 3; г) 6; д) 8.
5. В правильной треугольной пирамиде косинус угла
между боковым ребром и смежной стороной
основания равен g у §• ^айти (в гРаДУсах) угол между
боковым ребром и высотой пирамиды.
Ответ: а) 60°; б) 45°; в) 30°; г) 15°; д) 12°.
6. При каком положительном значении а сумма
квадратов корней уравнения х2 + ах + 3 = 0 равна 19?
Ответ: а) 5; б) \/22; в) 4; г) </Щ75; д) 8,2.
7. Сторона ромба равна 8 м, а острый угол равен 30°.
Найти площадь ромба.
Ответ: а) 16; б) 32; в) 25; г) 30; д) 18.
2 I о0,3х
8. Решить уравнение 128Ж +ж = ^-^g- и указать больший
корень.
Ответ: а) -|; б) -0,3; в) 0,3; г) |; д) 1.
9. Решить уравнение \2х — 3| = 3# — 2.
80

Ответ: а) 0; б) -1; в) 0; г) 1; д) 2.
10. Решить неравенство у = \2х - 3| + |3х — 2| < 11 и
указать длину промежутка, на котором оно имеет
место.
Ответ: a) ff; б) §; в) 1,7; г) 3,2; д) 4,4.
Тест 28
1. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16.
Найти радиус вписанной в него окружности.
Ответ: а) 2,8; б) 3,5; в) 4; г) 4,5; д) 5.
2. Сфера вписана в конус, радиус основания которого
равен 3, а высота равна 4. Найти радиус сферы.
Ответ: а) 0,9; б) 1,5; в) 2; г) 2,3; д) л/5.
3. Найти угол наклона касательной к кривой
в точке с абсциссой х = 1.
Ответ: а) 15°; б) 38°; в) 45°; г) 60°; д) 75°.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у =
= 3 sin х + cos x + 5, х = 0, х = тг, у = 0.
Ответ: а) тг; б) 5; в) 6; г) 8; д) 5тг + 6.
5. Найти координаты четвертой вершины
прямоугольника ABCD, если Л(-1; -1), В(2; 4), С(7; 1). В
ответе указать сумму координат этой вершины.
Ответ: а) -4; б) 0; в) 1; г) 2; д) 4.
6. Со старта выезжают два велосипедиста. Второй
выезжает после первого со скоростью 40 км/ч и
догоняет первого через 4,5 мин. Какова скорость первого
велосипедиста (в км/ч)?
Ответ: а) 29; б) 30; в) 35; г) 36; д) 40.
81

7. Найти наименьшее значение функции у = х2 + 2х — 3
на отрезке [0;4].
Ответ: а) -3; б) 1; в) 2; г) 5; д) 8.
(х2 + х — 6)у/х2 — Зх — 10
8. Решить уравнение ^ = 0. В
ответе указать произведение корней.
Ответ: а) -3; б) -2; в) 4; г) 6; д) 8.
9. При каком значении параметра а трехчлен f(x) =
= х2 + 2 (а + 1)х + 2а2 + а — 1 касается оси абсцисс?
В ответе указать сумму полученных значений а.
Ответ: а) -2; б) 2; в) -1; г) 1; д) 3.
10. Радиус окружности, описанной около основания пра-
еу
вильной треугольной пирамиды, равен — см, а
боковое ребро наклонено к плоскости основания под
углом 30°. Найти площадь боковой поверхности
пирамиды.
Ответ: а) 2; б) 3; в) 4; г) >/7; д) ^7.
Тест 29
1. Упростить выражение
а(а3 + 27) 4 - 9а - а2
/ 49 а + 3 \ а(а3 + 27)
\а3 + 27 о2 + 9 -За/ 16 - а2
Ответ: а) -2; б) 1; в) 27; г) а; д) а3.
2. Решить уравнение = ^ и указать меньший
его корень.
Ответ: а) -2; б) 1; в) 2; г) 3; д) -3.
3. Решить уравнение 2\Jx + 5 = а? + 2.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 0.
82

4. Решить неравенство у/х + 18 < 2 — х и указать
наибольшее целое его решение.
Ответ: а) -3; б) -2; в) 1; г) 4; д) 5.
5- Вычислить 81^ . ffog^Vi _ 25^5
Ответ: а) 625; б) 187; в) 130; г) 81; д) 27.
6. Вычислить ctga — 2tg^, если sina = — ^, а а Е
()
Ответ: а) 2; б) 4; в) 10; г) 12,4; д) 15.
7. Вычислить sin 10° ™ 10°.
sin 20°
Ответ: а) -0,25; б) 0; в) 0,5; г) 1; д) 2.
8. Решить неравенство k)g0 5(2^ — 7) ^ logo s(10 — а?) +1
и указать наименьшее его целое решение.
Ответ: а) -10; б) -5; в) 2; г) 3; д) 5.
9. Найти сумму целых корней уравнения
{х2 — 7а; -Ь 9)| tgrr| = 3tgz.
Ответ: а) -6; б) 2; в) 4; г) 7; д) 9.
10. Найти корни уравнения 3 sin2 х = 2 — cos2 ж,
принадлежащие интервалу (0;90°).
Ответ: а) 0; б) 15°; в) 45°; г) 60°; д) 75°.
Тест 30
1. Упростить ' *ао ' u~v ! 2e
a + fc a — b'
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) —Ь; д) а.
2. Найти аг, если 25х = 0,2*"3.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 1; г) 3; д) 4.

3. Решить уравнение (9 — х2)у/2 — х = 0 и указать его
больший корень.
Ответ: а) -3; б) -2; в) 2; г) 3; д) 0.
4. Решить неравенство (20 — х — х2)Iog09(3 — х) > 0 и
указать наибольшее целое его решение.
Ответ: а) -2; б) 0; в) 1; г) 2; д) -5.
5. Решить систему уравнений
= 7,
3 • 2х = 4 • З^2
и в ответе указать значение х.
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 7.
6. Найти наименьшее целое решение неравенства
100* > 0,1 • VlOOO.
Ответ: а) -2; б) -1; в) 0; г) 1; д) 2.
7. Найти ж, если lg(4# — 40) = 4.
Ответ: а) 3000; б) 2510; в) 2000; г) 200; д) 20.
8. Найти наименьшее целое х из области определения
функции у = Iog2(15 + 2х — х2).
Ответ: а) -3; б) -2; в) 1; г) 2; д) 4.
9. Найти /'(2,5), если
f{x) = {2х - 5)3 v^T2 - 7 - у/Ах + 2,25.
Ответ: а) -4; б) 1; в) 2; г) 3; д) 5.
10. Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-м и
получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов
каждого раствора было взято? Указать большее из
полученных чисел.
Ответ: а) 150; б) 180; в) 220; г) 300; д) 450.
84

Тест 31
1. Упростить
Ответ: а) 0; б) 1; в) х\ г) |; д) я2.
2. Решить уравнение л/1 + 4# — х2 = х — I.
Ответ: а) 0; б) -1; в) 1; г) 2; д) 3.
3. Первый член бесконечной убывающей прогрессии
равен 66, а ее сумма равна 110. Найти знаменатель
прогрессии.
Ответ: а) -1; б) 0,4; в) 1; г) 2; д) 3.
4. Решить неравенство logx(a;3 — х2 — 2х) < 3. Указать
наименьшее целое положительное решение.
Ответ: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 8.
5. Решить систему
foxy - 3§ = 15,
\ху + | = 15.
Ответ: а) (±6, ±2); б) (4,1); в) (2,6); г) (±6,т2);
Д) (±3,4).
6. Высота равнобедренной трапеции равна 17 см, а
основания — 24 см и 10 см. Найти радиус
окружности, описанной около трапеции.
Ответ: а) 11; б) 12; в) 13; г) 14; д) 15.
7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
f(x) = ~хо "*" ж~ на отрезке [—1;4]. В ответе ука-
v ' х2 - 2х 4- 2 L J
ЗаТЬ раЗНОСТЬ /наиб ~ /наим-
Ответ: а) 1; б) 4; в) 4,5; г) 5; д) 10.
85

8. Решить уравнение
-£-= .-I
Ш \ 3 )
и указать меньший корень.
Ответ: а) -2; б) -1; в) 1; г) 0,3; д) -0,5.
9. Решить неравенство у/2х + 5+4 ^ | и указать сумму
наибольшего и наименьшего решений неравенства.
Ответ: а) 19,5; б) 17; в) 12; г) 6; д) 0.
10. Боковые ребра наклонной треугольной призмы
равны 15, а расстояние между ними 26, 25 и 17. Найти
ее объем.
Ответ: а) 3060; б) 3000; в) 2015; г) 1085; д) 1000.
Тест 32
1. При каком целом значении к один из корней
уравнения Ах2 — (Зк + 2)х + к2 — 1 = 0 втрое меньше другого.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 2; г) 3; д) 4.
[ —^— + —^— + —£— - 3 )
\л/3 — 1 л/3-2 З-л/3 У
2. Вычислить [ )
\л/3 — 1 л/3-2 З-л/3 У
Om6em; a) _3v|_+7. б) _2; в) 1; г) 2; д) 624_36УЗ
Л __ (sin4a + cos4 a - 1) 9(cos2 За + sin2 За)
3. Упростить ^—-, -, • -^ = -.
sin6 а + cos6 а - 1 4sin|
Ответ: а) 1; б) 1,5; в) 2; г) sin а; д) cos а.
4. Найти все значения ш, при которых неравенство
—г— ~ < 0 имеет место при всех х €
тх2 + 2(т + 1)х + 9ш + 4
Gl. В ответе указать левый конец промежутка
таких значений т.
Ответ: а) -2; б) -0,5; в) 0; г) 1; д) 3.
86

5. Найти корень уравнения 3 + 2sin2# = tg# + ctga\
принадлежащий интервалу (50°; 90°).
Ответ: а) 55°; б) 65°; в) 70°; г) 75°; д) 80°.
6. Решить уравнение
- 2х + 15 + \/Зх2 - 2х + 8 = 7
и указать произведение его корней.
Ответ: а) -|; б) 1; в) |; г) 2; д) 3.
7. Найти наименьшее целое решение неравенства
Ответ: а) 5; б) 6; в) 2; г) 3; д) 4.
8. Решить уравнение 2X+V*TZ* - 5(\/2)x~2+v^Zi = 6.
Ответ: а) 1; б) 2,5; в) 3; г) 4; д) 0.
9. Найти значение функции f(x) = -у^ в точке
максимума.
Ответ: а) -2; б) 0,25; в) 1; г) 3; д) 4.
10. Составить уравнение касательной к графику
функции у = 6 + х — я2, проходящей через точку (0; 10),
причем ее угловой коэффициент отрицательный.
Ответ: а) у = —Зге + 10; б) у = — х +1; в) у = —Зя;
г) У = -5#; д) у = -Зя; + 9.
Тест 33
л/Л -U */п
1. Упростить
2у/Ь
a-b y/ЬЛ-у/а
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) v/a; д) y/b.
87

о тэ Ах2 + 4ж - 3 5х2 + 5х .
2. Решить уравнение —г г = 4 и ука-
J^ x2+x-l 3z2 + 3s + 4 J
зать больший корень.
Ответ: а) -3; б) 0; в) 1; г) 2; д) 4.
3. Найти остаток от деления многочлена 5х3 + 2х2 —
— Зх + 4 на х — 1.
Ответ: а) 8; б) 4; в) 3; г) 1; д) 0.
4. Около окружности описана равнобедренная
трапеция с боковой стороной, равной 10. Найти площадь
трапеции, если радиус окружности равен 4.
Ответ: а) 80; б) 75; в) 60; г) 46; д) 34.
5. Исследовать на экстремум функцию у = 4х3 + 6х2 —
— 2Ах — 20 и вычислить ее значение в точке
максимума.
Ответ: а) 13; б) 18; в) 20; г) 24; д) 25.
6. Определить объем правильной усеченной пирамиды
со сторонами основания, равными 10 м и 2 м, и
боковым ребром 9 м.
Ответ: а) 300; б) 289^; в) 275; г) 250; д) 200.
о
7. При каком наименьшем значении параметра a G Z
уравнение (а — 1)х2 — 2(а + 1)х + а — 3 = 0 имеет два
различных корня?
Ответ: а) 3; б) -1; в) 0; г) 1; д) 2.
8. Решить уравнение -^ —— = у и указать
произведение корней.
Ответ: а) -13; б) 2; в) 4; г) 6; д) 8.
9. Решить уравнение х2 • Ъх + 8х • 5х = х2 - 5^^ +
+ 8 • х • 5^ж+6. Указать сумму его корней.
Ответ: а) -1; б) 1; в) 2; г) 4; д) 3.
10. Решить уравнение 2 Iog8(—2х) + Iog8(#2 — 2х +1) = -.
Ответ: а) 0; б) -3; в) -1; г) 2; д) 3.
88

Тест 34
1. Вычислить 13sin(a + /3), если sin a = 7, a cos/3 = т^,
причем ОИ|8 — острые углы.
Ответ: а) -11; б) 8; в) 10; г) 12,6; д) 14.
2. Сумма первого и второго членов возрастающей
арифметической прогрессии равна 9, а сумма
третьего и четвертого ее членов равна 37. Найти седьмой
член прогрессии.
Ответ: а) 40; б) 43; в) 36; г) 28; д) 19.
3. Трое рабочих первого разряда и пять рабочих
второго разряда выполнили некоторую работу за 2,5 дня.
За один день пять рабочих первого разряда и трюе
рабочих второго разряда выполняют |=- этой рабо-
/О
ты. За сколько дней выполнят эту работу 6 рабочих
первого разряда и 15 рабочих второго разряда?
Ответ: а) 1 день; б) 2 дня; в) 3 дня; г) 4 дня;
д) 5 дней.
4. Указать меньший корень уравнения
\/х2 - 2х + 1 + Зу/х2 + Ах + 4 = л/25.
Ответ: а) -3; б) -2,5; в} -1; г) 2; д) 4.
5. Найти наименьшее значение суммы х + j/, если
(я, у) — решение системы
Гу2-4я2 = 0,
\у2 + #у-у = 4.
Ответ: а) -3; б) 0; в) 1; г) 0,5; д) 4.
6. Построить область, координаты точек которых
удовлетворяют неравенствам (х — 2у) (х — 2у + 4) ^ 0 и
89

1 < у < 4, и вычислить площадь полученной
фигуры.
Ответ: а) 7; б) 14; в) 20; г) 15; д) 30.
7. Найти число корней уравнения ctg2# + |ctga;| = 6,
принадлежащее отрезку — Щ-; тг .
Ответ: а) 0; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
8. Найти разность между наибольшим и наименьшим
значениями функции f(x) = sin2 x + sin a; + 2 на
отрезке 0; Щ- .
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) 2,25; д) 4.
9. Найти все корни уравнения 5а;4 — 4х3 — 11а;2 — 2а; = 0
и в ответе указать их сумму.
Ответ: а) -1; б) -0,2; в) -2,8; г) 2; д) 3.
10. В равнобедренном треугольнике углы при основании
равны 30°, а само основание равно 2\/3. Найти
радиус описанного круга.
Ответ: а) 1,5; б) 1,6; в) 2; г) 2,3; д) 3,8.
Tea 35
1. При каких значениях параметра а система
J21+:A +2siny = 6a-6,
[2v^ - 4sin?/ = -2a + 7
имеет хотя бы одно решение? В ответе указать длину
промежутка значений а.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
2. Найти наибольший корень уравнения х2 -f За; — 18 +
+ Wx2 + 3х - 6 = 0.
Ответ: а) —5; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4.
90

3. Решить уравнение (|) (у) = Ig8*
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 0.
4. Решить неравенство logx+3(x2 — x) < 1. В ответе
указать сумму координат середин интервалов, на
которых неравенство имеет место.
Ответ: а) -2; б) -1; в) -1,5; г) 1,5; д) -2,5.
4х-2 2х- 1
5. Решить уравнение 42ж + * — 5 • 42я? + J +4 = 0.
Ответ: а) 3; б) 2; в) 1; г) 0,5; д) 0.
6. Решить уравнение cos Ъх — sin5rr = sin7x — cos 7x.
Ответ: а) ^ + ?&; б) ^ + 2тг&; в) ^ + тг&; г) | + 7rfc;
д) тгА:. (Везде к е Z.)
7* Решить систему уравнений < 'ив ответе
^ ^^ \1об^ 16
указать сумму значений у, для которых
соответствующие (я, у) являются решением системы.
Ответ: а) ^; б) 20; в) А; г) Щ; д) 64.
8. Решить уравнение
{х2 - я: + I)4 - 6я2(я2 - х + I)2 + 5я2 = 0
и в ответе указать меньший корень.
1 + у/Ь - д/2(1 + л/5)
Ответ: а) —3; б) у5; в) 1; г) ^ 5
Д) 2
9. Поле А имеет площадь 72 га, а поле В — 12 га.
Производительность первого комбината в 2,4 раза
больше производительности второго. Первому
комбайнеру поручено убрать поле Л, а второму — В. Во
сколько раз быстрее первый комбайнер уберет свое
поле, чем второй?
Ответ: а) 2,5; б) 2.3; в) 2; г) 1,5; д) 1,4.
91

10. В равнобедренном треугольнике основание и боковая
сторона относятся как 2 : 3. Периметр треугольника
равен 32\/2 см. Найти длину высоты, опущенной из
вершины треугольника на основание.
Ответ: а) 18 см; б) 16 см; в) 15 см; г) 13 см;
д) 12 см.
Тест 36
1. Упростить
Ответ: а) 2; б) 3; в) 6; г) 9; д) у/а.
2. Найти корни уравнения -^ + ^^ - ^—^ = О
и указать их сумму.
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 5.
3. Решить уравнение у/х + 1 4- \/2я; 4- 3 = 1.
Ответ: а) -1; б) 1; в) 2; г) 3; д) 0.
/37\я2-8х
4. Найти длину промежутка, на котором ( — 1 ^ 1.
Ответ: а) 8; б) 6; в) 5; г) 4; д) 1.
5. Диаметр CD параллелен хорде А В той же
окружности. Найти длину этой хорды, если АС = 3, ВС = 4.
Ответ: а) 1,4; б) 1,8; в) 2; г) 2,4; д) 3.
6. Дано 31g#2 — Ig2(—x) = 0. Найти корни и указать
больший по модулю.
Ответ: а) -1000; б) -1000000; в) 1000000; г) 10;
Д)|.
7. Найти частное от деления многочлена 6#5 + 9х4 —
- 13я3 - Их2 + Пя - 2 на 2х2 + Зх - 1.
92

Ответ: а) Зя2 - 5; б) хг + Ъх - 2; в) 2я3 - 2;
г) Зх3 - Ъх + 2; д) Зх3 - 5ж2 + 2.
8. Чему равен талгенс угла между векторами АВ и АС,
еслиЛ(8;1), В(3;2), С(7;6)?
Ответ: а) Д; б) |; в) ч/З; г) f; д) 3.
9. Найти наименьшее значение я, принадлежащее
области определения функции
f{x) = y/b-4x- х2 + 1п(3 - яг).
Ответ: а) -6; б) -5; в) 0; г) 2; д) 3.
10. Радиус окружности, описанной около основания
правильной треугольной пирамиды, равен 2 см, а
боковое ребро наклонено к плоскости основания под
углом 60°. Найти объем пирамиды.
Ответ: а) 1; б) 3; в) 4; г) 6; д) 8.
Тест 37
1. Вычислить /(3), если f{x) = ||| ||^| +
2а;2 + За
Ах2 Л- 12x4- 9*
Ответ: а) 0; б) |; в) 1; г) 2; д) 3.
2. Из какого минимального количества одинаковых
цифр можно составить число, делящееся без остатка
на 101?
Ответ: а) 5; б) 4; в) 3; г) 2; д) 1.
3. На сколько процентов увеличится площадь
прямоугольника, если одну сторону увеличить на 25%, а
другую — уменьшить на 25%?
Ответ: а) -10%; б) -6,25%; в) -6%; г) -5%;
д) +8%.
93

4. Найти длину промежутка, на котором не имеет
места неравенство \х + 2| > 5. А сколько целых чисел
этому неравенству не удовлетворяют? (Первое
число в ответе — длина, второе — количество целых
чисел.)
Ответ: а) 8 и 11; б) 9 и 9; в) 9 и 10; г) 10 и 9;
д) 10 и 10.
5. В классе 30 учащихся. Из них 18 занимаются в
секции легкой атлетики, 10 — в секции плавания, 3 —
в обеих секциях. Сколько учащихся не занимаются
ни в одной из секций?
Ответ: а) 8; б) 7; в) 6; г) 5; д) 4.
6. Упростить
/5115 \
/ оЛ -Л Ъ Ъ \
Ответ: а) 0; б) 1; в) у/а; г) л/fe; д) аЬ.
7. Вол съел копну сена за 1 ч, конь съел копну сена за
2 ч, а коза съела копну сена за 3 ч. За сколько
времени съедят всю такую копну сена все три вместе.
Ответ: а) ^- ч; б) | ч; в) 1ч; г) | ч; д) 2 ч.
8. Решить уравнение
2) = 3(v3aT+T8
Ответ: а) 0; б) 1; в) -1; г) |; д) -§.
9. Сколько корней имеет уравнение sin а; ■+• sin 2а? +
+ sinЗх = 0 на отрезке — |;тг ?
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
10. Решить уравнение 13log|х — 3log2х3 + logo5x~4 = 0.
Указать иррациональный корень.
Ответ: a) v^l3; б) \/2; в) ^Тб; г) log2 3; д) log3 5.
94

Тест 38
1. Вычислить
(log5 2 + log25 + 2)(log5 2 - lg2) log2 5 - log5 2.
Ответ: a) -2; 6) -1; в) 0; г) 1; д) 2.
2. Найти наибольшее целое решение неравенства
4^1^ + 1<
Ответ: а) -1; б) 0; в) 1; г) 2; д) 3.
3< Найти сумму корней уравнения
л/И + х + \Jx-2 = у/9х + 7 + у/2-х.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 7; д) 9.
4. Найти произведение корней уравнения
5*^ *
4,5х - 1,5 -^ + 0,5 = 0.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 1; г) 2; д) 3.
5. Смешали 20 кг раствора кислоты с концентрацией
70% и 22,5 кг такого же раствора с концентрацией
50%. Определить концентрадию нового раствора.
Ответ: а) 16; б) 38; в) 40, г) 42; д) 45.
6. Найти квадрат расстояния между точками,
координаты (#, у) которых удовлетворяют системе
уравнений
{х2 + у2 + ху = 13,
х + у = 4.
Ответ: а) 10; б) 1; в) 8; г) 3; д) 4.
95

7. Упростить
х+у х -у
1 у-у/ху + х
х + у
х+у х-у
Ответ: а) у/х\ б) у/у\ в) |; г) |; д) 0.
8. Выражение ; C(f а ~ , не зависит от а.
8tg(f-a)W(a-f)
Найти его значение.
Ответ: а) 0; б) ±; в) 1; г) |; д) 2.
9. Найти скорость изменения функции у — (х2 + 2)х — 1
в точке х = 8.
Ответ: а) 194; б) 100; в) 64; г) 38; д) 20.
10. Решить уравнение у/5х — 6 = 4 — х.
Ответ: а) 0; б) 0; в) 2; г) 3; д) 4.
Тест 39
1. Решить уравнение у/Зх — 2 = 2х — 3.
Ответ: а) 0; б) 0; в) 1; г) 2; д) ^.
1
2. Вычислить 5losi6 25 - log3log2 V^
Ответ: а) 0; б) 2; в) 3; г) 4; д) 7.
3. Найти меньший корень уравнения 3—^Z— = —ИГ"'
Ответ: а) -2; б) -1; в) 0; г) 1; д) 3.
4. Из пунктов А и В навстречу друг другу вышли два
пешехода и встретились через 6 ч. За сколько
времени пройдет путь от А до В первый пешеход, если ему
потребуется для этого на 5 ч больше, чем другому?
Ответ: а) 10 ч; б) 12 ч; в) 13 ч; г) 15 ч; д) 16 ч.
96

5. Вычислить sin 40° sin 70° + cos 40° sin 20°.
Ответ: a) 1: б) ^; в) ^; г) \; д) О.
6. Найти наименьшее решение неравенства 0.125^
L
Ответ: а) -1; 6) 0; в) 2; г) 3; д) 6.
7. Найти наибольший отрицательный корень
уравнения sin х + sin Зх + cos x + cos Зх = 0.
Ответ: а) -45°; б) -22,5°; в) -10°; г) 30°: д) 36°.
8. К кривой у = Зх2 — 6х + 5 проведена касательная,
параллельная оси абсцисс. Найти координаты точки
касания. Указать их сумму.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 5; д) 8.
9. Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на два
отрезка, длины которых относятся как 3:8.
Найти большее основание трапеции, если средняя линия
равна 33.
Ответ: а) 50; б) 48; в) 46; г) 45; д) 35.
10. Найти наибольшее значение #, принадлежащее
области определения функции \/4 + Зх — я24-2 log(2x-3).
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
Тест 40
1. Вычислить [(^3 - ^27)2 + 7] [{№ + >/27)2 - 7].
Ответ: а) 50; б) 47; в) 7; г) ^27; д) \/3.
2. Вычислить 521°625tg30° .2-io6o,5tg60°
Ответ: а) -5; б) |; в) 1; г) 2; д) 5.
3. Вычислить (| - | - £ + £) : Ц* - (l + |) при
а= -УШ.
Ответ: а) 0; б) 1; в) о; г) 2; д) 4.
4-1731 97

4. Найти какое-либо значение х такое, что у/х — 11 +
+ у/х + 37 = 8.
Ответ: а) 0: б) 8; в) 11; г) 12; д) 13.
|] > 2,25х2"10. В ответе
указать длину промежутка, на котором оно имеет
место.
Ответ: а) 1: б) у/В: в) 4; г) 2у/Е; д) 5.
/■JAZ- 1\3
6. Решить уравнение 2х ~3 • 5х ~3 = —щ— и указать
сумму корней.
Ответ: а) 5: б) 3; в) 2; г) 1; д) 0.
7. Найти г £ (180°; 360°) такое, что sin я + cosrr = 0.
Ответ: а) 190°; б) 200°; в) 300°; г) 315°; д) 350°.
8. Определить наибольшее целое значение х, при кото-
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4.
9. Найти значение гг, при котором (0,7)3 = 0.2401.
Ответ: а) 14; б) 12; в) 11; г) 10; д) 9.
10. Решить уравнение 7Ж+2 - 7Ж+1 = 6 • 2Х+1.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 2; г) 3; д) 0.
Тест 41
1. Вычислить значение выражения
6 1
х2-9
при х — 4.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 1,5; г) 2: д) 2,5.
(1 \х 8х
|-4х1 — jg = 0 и в ответе ука-
98

зать среднее арифметическое его корней.
Ответ: а) 1; б) \/2; в) 1,5; г) 2; д) 3.
3. В равнобедренном треугольнике ABC АВ = ВС = 4,
а точка D делит боковую сторону АВ в отношении
3:1, считая от вершины. Найти косинус угла между
векторами CD и СМ, если АС = 6.
Ответ: а) ^; б) ±; в) ^; г) |; д) 3.
4. Найти сумму целых положительных значений х.
удовлетворяющих неравенству
Ш
6-x _1_
< 161-.
Ответ: а) -4; б) 0; в) 2; г) 6; д) 7.
5. В интервале (50°; 90°) указать корень уравнения
(cos х — sin x)2 = 2 sin x cos x.
Ответ: а) 55°; б) 60°; в) 65°; г) 75°; д) 85°.
6. Решить уравнение 2 + Iog4 х + log4 х = log4x 16я2.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 4; г) 8; д) 16.
7. Найти наименьшее решение неравенства
х2 - 25 < 25х20 - я22.
Ответ: а) -5; б) 0; в) 1; г) 4; д) 5.
8. Дано: аь = 81, Ьс = 2, ас = 3. Найти Ьь.
Ответ: а) 9; б) 14; в) 16; г) 22; д) 25.
9. Найти значение функции f(x) = — в точке
х — 2х + 5
минимума.
Ответ: а) -2; б) -0,25; в) 0,2; г) 3; д) 4.
10. В основании прямой призмы лежит прямоугольный
треугольник, у которого сумма катета и гипотенузы
4* 99

равна 27, а угол между ними равен arcsin|. Через
другой катет и вершину противоположного угла
другого основания проведена плоскость, образующая с
основанием угол 60°. Найти объем призмы.
Ответ: а) 50; б) 60; в) 300; г) 450; д) 461л/3.
Тест 42
1. В равнобокой трапеции боковая сторона равна
средней линии, а периметр равен 10 м. Найти боковую
сторону.
Ответ: а) 2 м; б) 2,5 м; в) 3 м; г) 3,5 м; д) 4 м.
2. При каком значении х векторы а(2; —1; 3) и 6(1; 3; х)
перпендикулярны?
Ответ: а) -3; б) -|; в) ±, г) 1; д) 2.
3. Найти площадь треугольника, заключенного между
прямыми у = # + 3, # + 2у = 6иу = 0.
Ответ: а) 10; б) 12; в) 13,5; г) 14; д) 15.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами
у = 2х2 - Зх + 3 и у = х2 - 2х + 5.
Ответ: а) 3,8; б) 4; в) 4,5; г) 5; д) 5,2.
5. Две стороны треугольника равны соответственно 6
и 8. Медианы, опущенные на эти стороны, взаимно
перпендикулярны. Найти третью сторону
треугольника.
Ответ: а) 2; $) 3; в) \/5; г) 4; д) 2%/5.
6. Решить систему уравнений < У ' и в отве-
[у/у-2х =2
те указать сумму всех значений х таких, что (#, у) —
решение системы.
Ответ: а) -4; б) -1; в) 1; г) 0; д) 3.
100

7. Составить уравнение биссектрисы AD треугольника
ABC, если А(2,-5), 5(5,-1), С(-4,3).
Ответ: а) # - 2 = 0; б) # + у - 1 = 0; в) 2х - 3 = 0;
г) 2я + у - 1 = 0; д) 2х - Зу - 5 = 0.
8. Решить неравенство Ъх +2~ < 125. В ответе указать
середину промежутка, на котором оно имеет место.
Ответ: а) -3; б) -1; в) 1; г) 2; д) 3.
9. Вычислить sin6 a + cos6 а, если sin а 4- cos a = -.
о
Ответ: а) 0; б) 0,69; в) 0,6928; г) 0,54; д) 1,5.
10. В прямоугольном треугольнике точка касания
вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки
5 см и 12 см. Найти больший катет.
Ответ: а) 7%/2; б) 13; в) 14; г) 15; д) 16.
Тест 43
1. Вычислить / ( —|)j если f(x) = 5#3 — Ах2 — Их — 2.
Ответ: а) 0; б) 0,5; в) 1; г) 2; д) 3.
2. Найти остаток деления многочлена Р$(х) = х5 — хА —
— 9#3 + Ых2 + 10# — 15 на многочлен Р${х) = х3 -
- Зх2 + 5.
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) #; д) а; — 2.
3. Чему равно значение функции f(x) = |3ж + 1| +
+ |4я? - 3| - 7х при х > |?
Ответ: а) 7#; б) 4х — 3; в) Зх 4-1; г) х\ д) —2.
4. Найти отрицательный корень уравнения
||2яг + 5| -х\ = 7.
Ответ: а) -12; б) -4; в) -3,2; г) -2; д) -1,5.
101

2х 4- 3
б. Найти минимальный корень уравнения
4х - 3 х2 + х - 15
Ъх - 1 (Зх - 4)(5х - 1) *
Ответ: а) -3: б) -1: в) 0; г) 1; д) 2.
6. Одна сторона параллелограмма меньше другой в
2.5 раза Как и на сколько процентов изменится
периметр параллелограмма, если большую сторону
уменьшить на 25%, а меньшую увеличить на 80%?
Ответ: а) -5%; б) +2%; в) +5%; г) +6%; д) +10%.
7. Вычислить ( 2 _ + 2 _ + У15 ) л/19.
Ответ: а) уТб: б) VTf; в) vT9; г) 19; д) 27.
8. Решить уравнение 20>6 = ( ^ ) и указать сумму
корней.
Ответ: а) 0; б) 0,5: в) 2; г) 3; д) 4.
9. Найти максимальное значение х из области
определения функции у = у/А — |д; — 3| + log2 —^у.
Ответ: а) -8; б) 0: в) 3; г) 5; д) 7.
10. Решить уравнение
sin2 х + (1 4- л/3) sin a; cos a; 4- л/3 cos2 a; = 0
и указать корень, принадлежащий интервалу
Ответ: a) -J; б) -|; в) -|; г) -§; д) -±.
.
Тест 44
1. Найти остаток от деления многочлена 4#3 — Зх2 +
+ 2# + 5 на х — 1.
Ответ: а) 8; б) 2; в) 1; г) 0; д) -3.
102

2. Найти площадь параллелограмма с известными
координатами вершин ABCD: Л(5;4). £(0;3), С(9;8),
Ответ: а) 25; б) 24; в) 20; г) 18; д) 16.
3. Решить уравнение ||Зх+2|—5х\ = 14 и указать сумму
корней.
Ответ: а) 6; б) 5; в) 3; г) 0; д) -2.
{Х2 _. „.2 _ 1Л
Ответ: а)(\/3,1); б) (тл/3,±2); в) (±3,±1):
г) (±2v^,±V^); д) (±л/2,т2л/2).
5. Решить неравенство logi x Q +77 > ^.
т | X ТО a Z
Ответ: a) (-J,-l); б) (-|,-|); в) (-1,|);
г) (-1,-|); д)(0,1).
6. Составить уравнение карательной к кривой у = х2 ~
— Ах + 3, проходящей через точку (2, —5) и имеющей
отрицательный угловой коэффициент.
Ответ: а) у = —Ах; б) у = —Ах + 3; в) у = —Зх — 2;
г) у = -Зх + 4; д) у = -х + 3.
7. Точка движется прямолинейно так, что путь зависит
от времени по формуле S(t) = 18 - 2t + 2At2 - 0,3£5
(t — время в секундах, S — путь в метрах). В
какой момент точка имеет наибольшую скорость V и
какова она?
Ответ: a) V(l) = 44,5 м/с; б) V(2) = 70 м/с;
в) V(3) = 100 м/с; г) V(A) = 190 м/с;
д) V(8) = 70 м/с.
8. Решить уравнение 322*2 = 2~*+7>2.
Ответ: а) -0,9; б) 0; в) 0,8; г) 1; д) 3.
103

9. Решить уравнение Iog2(x — 2) — 41oga._2 2 = —3 и
указать произведение корней
Ответ: а) 0; б) ||; в) Щ; г) f; д) 72.
Ю. Найти длину наибольшей стороны треугольника с
вершинами Л|0:-4), £(8; 2), С(-4; -3).
Ответ: а) 15; б) 13; в) 12: г) 11; д) 10.
Тест 45
1. Вычислить /'(-5), если f{x) = 5~2-а;3-4я2-11а;-г-20.
Ответ: а) 34; б) 32; в) 31; г) 30; д) 28.
2. Найти частное от деления многочлена хь — х4 — 9т3 4-
4- Ых2 4- Юх - 15 на многочлен xs - Зх2 4- 5.
Ответ: а) х2 — 2х — 3, б) х2 — х 4- 3: в) х2 4- х;
г) х2 4- 2х - 3: д) 2х2 - 3.
3. Определить значение f(x) = \3х + 1| 4- |4т — 3| — 7х
при -| < х < |.
Ответ: а) —8#4-4; 6)0; в) 3x4-1: г)4гг —3; д) 7х.
2х 4- 3
4. Найти минимальный корень уравнения о _ л +
4х -3 _ 2х - 9
' г 7 ~
Ответ: а) -1; б) 0; в) 1; г) 2; д) 3.
5. Найти отрицательный корень уравнения
\\2х f 5|-яг| = 7.
Ответ: а) -5; б) -4; в) -3; rj -2; д) -1.
6. Одна стороца параллелограмма меньше другой в
2.5 раза. Как и на сколько процентов изменится
периметр параллелограмма, если большую сторону
увеличить на 25%, а меньшую уменьшить на 80%?
Ответ: а) -7%; б) -6%; в) -5%; rj +4%; д) 4-8%.
104

7. Вычислить
19
Ответ: а) -19; б) 0; в) v/15; г) \/l7; д) \/l9
8. Решить уравнение 20>6 = (32) и в ответе
указать большее из отношений ^- и §^.
Ответ: а) -6; б) -0,6: в) 1,5; г) ОД; д) 6.
9. Найти корни уравнения 2sin2 (|тг — х) — 3sinx = 0.
принадлежащие отрезку 0; |тг . В ответе указать их
сумму.
Ответ: а) |: б) ^; в) ±§^; г) ^; д) ±f.
10. В треугольной пирамиде боковые ребра взаимно
перпендикулярны и имеют длины 8л/3, 4л/б и v^6. Найти
объем пирамиды.
Ответ: а) 28; б) 30; в) 31; г) 18л/5; д) 32л/3.
Тест 46
1. Найти площадь фигуры, состоящей из точек (л, у),
удовлетворяющих системе неравенств
l*-|y|-2<0.
Ответ: а) 32; б) 10; в) 20; г) 6; д) 24.
2. Найти положительное значение а, при котором
сумма квадратов корней уравнения х2 — (2а 4- 1)х + а2 —
+ а - 6 = 0 равна 73.
Ответ: а) 5; б) 3; в) 1; г) -4; д) 2.
105

3. Решить уравнение (х2 — l)i/2# — 1 = 0 и указать
меньший корень.
Ответ: а) -1; б) 0,5; в) 1; г) 2; д) 0.
4. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC взяты
точки М и JV, соответственно, причем AM : АВ = 2:5
и jBAT : NC = 2:1. Отрезки AN и СМ пересекаются
в точке К. Найти СК : КМ.
Ответ: а) 5:2; б) 3 : 7; в) 5 : 4; г) 2 : 7; д) 3 : 1.
5. Решить уравнение \/х2 + х — 5 + л/а;2 + 8# — 4 = 5 и
указать меньший корень.
Ответ: а) 2; б) 1; в) ^; г) -^; д) 4.
6. Центр круга вписан в прямоугольную трапецию,
отстоит от-концов боковой стороны на 1 см и 2 см.
Найти площадь трапеции.
Ответ: а) 3 см2; б) 3,8 см2; в) 4 см2; г) 4,5 см2;
д) 5,2 см2.
7. Сфера вписана в цилиндр, диагональ осевого
сечения которого равна -^=. Найти площадь поверхности
л V71"
сферы.
Ответ: а) 1; б) 2; в) тг; г) |; д) 4.
8. Решить уравнение sin a; + cos а; = у/2 sin f За; + jj и
указать число корней на отрезке т> "Г" •
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4.
9. Определить наименьшее значение параметра а, при
Згг2 + Згг + 7 ^
котором неравенство —; ^ а имеет место при
х +х + 2
всех xER.
Ответ: а) ^; б) 3; в) Щ; г) 4; д) 8.
10. Радиус окружности, вписанной в основание
правильной треугольной пирамиды, равен —== см, а боко-
вое ребро наклонено к плоскости основания под
углом 45°. Найти площадь поверхности пирамиды.
106

Ответ: а) 1; б) 2; в) 2,5: г) 3; д) 3,2.
Тест 47
1. Вычислить при х = 9 и у = 4 значение выражения
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) 4; д) 6.
2. Найти остаток от деления 6ж4 + 7ж3 4- 7а; — 2гг2 — 2 на
Зх2 - х + 2.
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) х; д) а;2.
3. Вычислить tgl5°, не пользуясь таблицами и
калькулятором.
Ответ: а) л/3 - 2; б) 1 - л/2; в) 2 - ^3; г) 1 -t- у/3,
д)з.
4. Решить систему
Ответ: а) (3,1); б) (3,2); в)
5. При каком значении Ь сумма квадратов корней
уравнения х2 + Ьх + 3 = 0 равна 10?
Ответ: а) -4; б) -2; в) 2; г) 4: д) 5.
6. Упростить 4(sin3 x cos Зх + cos3 а; • sin За:) — 3 sin 4a?.
Ответ: а) -1; б) -2; в) 0; г) 2; д) 3.
7. Найти наибольшее значение х, не удовлетворяющее
±2
неравенству
Ответ: а) -3; б) -2; в) 0; г) 1; д) 4.
107

8. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро
образует с основанием угол 30°, сторона основания
равна у/7. Найти площадь боковой поверхности
пирамиды.
Ответ: а) 1,42; б) 1,56; в) 1,75; г) 2; д) 2,05.
9. Найти наименьшее значение функции
f(x) = -2у/х - 2 - 4\/7 -х
внутри своей области определения.
Ответ: а) -10; б) -8; в) 0; г) 4; д) 3.
10. Решить уравнение
л/5-8# + л/ТТх = \/12 -х - у/-х - 1.
Ответ: а) 3; б) 2; в) 1; г) 0; д) -1.
Тест 48
1. Упростить
ах
Ответ: а) 2; б) 4(а — х); в) У^; г) v^; д) v^—
2, Упростить tg 3a — tg 2a — tg a — tg a • tg 2a • tg 3a + 1.
Ответ: а) tga; 6) tg2a; в) 0; г) 1; д) 2.
3 Вычислить ( —Р -Р 4^ ) (л/7+1).
\V7-1 л/7 + 5 /V
Ответ: а) 24; б) 20; в) 15; г) 5; д) у/7.
108

4. Найти наибольший корень уравнения
л/4 - Ах + х2 + yj{x - 5)2 = 3.
Ответ: а) 5; б) 4; в) 3; г) 0; д) -1.
Ах-А 2д?-2
5. Решить уравнение 22* - 1 - 3 • 22* - l + 2 - 0
Ответ: а) -2; б) 1; в) 1,5; г) 2; д) 3.
6. Решить неравенство log^. 1 ^5 < —2.
Ответ: а) (0,1); б) (1,4); в) (2,3); г) (|,l):
()
7. Решить уравнение 92х+4 = 26 • 32х+3 4- 3.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 1; г) 3; д) 0.
8. Решить уравнение sin a; + smbx = 2cos2a; и указать
число корней в интервале (0; 2тг).
Ответ: а) 0; б) 2; в) 4; г) 6; д) 7.
9. Решить систему
f (log2 х + log2 у - 2) log18 2 = 1,
и в ответе указать большее из значений х + у, таких,
что (#, у) — решение системы.
Ответ: а) 18; б) 22; в) 38; г) 40; д) 54.
10. Сторона основания правильной четырехугольной
пирамиды равна 2 см, а диагональное сечение
пирамиды равновелико основанию. Определить боковую
поверхность пирамиды в см2.
Ответ: а) 10; б) 11; в) 12; г) 13; д) 14.
109

Tea 49
1. Вычислить / (—I), если f(x) = 6#3 + Ъх2 - 6x — 5.
Ответ: а) 0; б) |; в) 1; г) |; д) 2.
2. Найти наименьший корень уравнения -—3 х~ +
2х-\ = 1
х2 + х + 1 x-V
Ответ: а) -3; б) -1; в) 0; г) 0,5; д) 2.
3. Разделить многочлен Р(х) = 6#5 — 13#4 + 9хг + 6х2 —
— 12# 4- 4 на многочлен Q(x) = 2х2 — Зх +1 и в ответе
указать коэффициент частного при х.
Ответ: а) -2; б) -1; в) 0; г) 2; д) 3.
4. Найти меньший корень уравнения
Ответ: а) -3; б) -1; в) 0; г) 2; д) 2,25.
5. Изделие стоимостью в 10 тыс. руб. подорожало
дважды на 2% каждый раз. Какова новая цена изделия?
Ответ: а) 10 100 руб.; б) 10400 руб.; в) 10404 руб.;
г) 11000 руб.; д) 15 000 руб.
6. Вычислить f —Д-— + 3 _ - \/21 J -т=.
\л/2Т— VT8 \/15-\/18 / VT5
Ответ: а) -1; б) 0; в) у/1Е; г) л/18; д) ^
7. Три машины типа А и семь машин типа В могут
перевезти 36 т груза, а пять машин типа А и одна
машина типа В — 28 т. Сколько тонн груза могут
перевезти одна машина типа А и одна машина
типа Б?
Ответ: а) 5; б) 6; в) 7; г) 8; д) 9.
/ logi 7 /-
8. Вычислить 3 з +6logv/6v'8
110

Ответ: a) logs 7; б) 2; в) Iog25; г) 3; ц) 5.
9. Найти наибольшее отрицательное решение неравен-
2-х 2х-3
с)
Ответ: а) -3; б) -2,5; в) -2; г) -1; д) 0.
10. Найти наибольшее решение неравенства
2х2 + #2 cos5 х < 18 + 9 cos5 x.
Ответ: а) -1: б) 0; в) 3; г) 10; д) 11.
Тест 50
1. Решить уравнение f{x) = /(1), если f(x) = х3 +
+ Ъх2 + 4х + 2. Указать меньший корень.
Ответ: а) -4; б) |; в) 2; г) 3; д) 5.
о
2. Вычислить
logn log3 у 3\JShft + logn 18 + logn 121.
Ответ: a) 2 + logn f; б) |; в) 1; г) 2; д) 3.
3. Найти корень уравнения
+ 18
Ответ: а) 0; б) -1; в) 0; г) 2; д) 3.
4. Упростить до числа
sin2 i^f - а) - cos2 (а - f) - | sin 2а + | cos2 2а + 1,5.
Ответ: a) 0; б) 1; в) 1,5; г) 2; д) 2,5.
111

л о
5. Решить уравнение 4 + ——- = —%т- и указать мень-
о—1 5
ший корень.
Ответ: а) 0; 6)l-log54; B)log53; г) 1; д) 2.
6. Решить уравнение |5 - х2|2х2+3^ = |5 - x2\x(2VE+3) и
указать число его корней.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
7. Найти значения параметра а, при которых система
= 10,
\tg2x + aey = 21
несовместна. В ответе указать наименьшее значение
параметра.
Ответ: а) [-3,3]; б) -3; в) 1; г) 2: д) 3.
8. Найти область определения функции
у = log(a - 1) - V^x2 — Зяг —5
и указать меньшее значение из этой области.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 2,5; г) 3; д) 4.
9. Написать уравнения касательных к кривым у = х2—8
и у = (х — 4)2 в точке их пересечения. В ответе
указать уравнение с меньшим угловым коэффициентом.
Ответ: а) у = 6х — 3; б) у = 6х — 17; в) у = х 4-1;
г) у = -2х\ д) г/ = -2ж 4- 7.
10. Два велосипедиста выехали одновременно из
пункта Л в пункт В, отстоящего от А на 30 км. Первый
проезжал в час на 2 км больше и поэтому прибыл в
В на 10 мин раньше. Сколько времени находился в
пути первый велосипедист?
Ответ: а) ъ\ ч; б) з| ч; в) 4 ч; г) 4^ ч; д) 4± ч.

Раздел второй
Тесты типа Б
Тест 51
1. Вычислить
*
\2л/Т7-3 Vl7-2 J V '
Ответ: а) д/17; б) 10; в) 20; г) 13; д) 59.
2. Один из корней уравнения 5х2 — 6х + а = 0 равен ~.
Найти другой корень.
Ответ: а) 0; б) 2; в) 5; г) 1,2; д) -1.
3. В арифметической прогрессии сумма первых 15
членов равна 225, а а$ — аз = 30. Найти восьмой член
прогрессии.
Ответ: а) 20; б) 10; в) 12; г) 15; д) 18.
4. Решить уравнение cos 5тгя: — cos Зтгя: = 0 и определить
число его корней на отрезке [—1; 2].
Ответ: а) 3; б) 5; в) 6; г) 8; д) 13.
к о (\2х2\ + 2у = -а + 2,
5. Решить систему < ' ' ,—^ отно-
\|1|21+>/^ З + 1
сительно неизвестных х и у.
Ответ: а) х = у = а при а ^ 0; б) я; = 1, у = 2 при
о = 1; в) я? = 1, у = 2 при а > 1; г) я: = 2, у = 1 при
а G [0,1]; д) х = 1 — а, у = л при а < 2.
6. Упростить 2cos2a-l
8tg(}-a)W(a-})'
Ответ: а) 0,25; б) 0,5; в) 1; г) cos a; д) ctga.
113

7. Найти сумму всех целых решений неравенства
|3-2х-14| <2* + 2.
Ответ: а) 4; б) 5; в) 6; г) 7; д) 8.
8. В равнобочной трапеции ABCD с высотой 12 точка
О лежит на середине меньшего основания ВС. При
этом О А биссектриса угла А и О А = 20. Найти
меньшее основание трапеции.
Ответ: а) 10; б) 25; в) 15; г) 23; д) 18.
9. Найти область определения функции
- 3log3 х -
Ответ: а)(0;1); б) (0;2) U (2; 5); в) (0; 1)U (1; +оо);
г) (1;+оо); д)(0;20).
10. В прямоугольный треугольник ABC {/.С = 90°)
вписана окружность, касающаяся сторон
треугольника в точках В, Е, К. Найти площадь треугольника
ВЕК, если ВС = 8,АС = 6.
Ответ: а) 5; б) 4,5; в) 5,2; г) 6; д) 4,8.
11. Изобразить на плоскости Оху множество всех точек
М(#;у), координаты которых удовлетворяют
неравенствам: х2-\-у2 > г2, (у-2х)(х+2у) < 0, 0 < х < Зг,
где г > 0 некоторое число. Найти значение г такое,
что площадь рассматриваемой фигуры равна 45 — тг.
Ответ: а) 1,5; б) 2,2; в) 2; г) тг; д) ^.
12. При каких значениях а уравнение
(а + Ах - х2 - 1)(о - 1 - \х - 2|) = О
имеет ровно 3 корня?
Ответ: а) 2; б) 0; в) 1,5; г) 0,5; д) 1.
114

13. Найти длины диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах а = Ър + 2q и Ь = р — Зд, если
р = 2^2, 9 = 3,(0,5) =45°.
Ответ: а) 15 и 20; б) 18 и 24; в) 12 и \/593; г) 15
и 24; д) 15 и л/593.
14. В шар вписана пирамида с высотой 10, в основании
которой лежит прямоугольный треугольник с
катетами 6 и 8. Найти радиус шара, если известно, что
высота пирамиды проходит через центр шара.
Ответ: а) у/37\5; б) 12,5; в) 6,25; г) 12,5- у/Е; д) 6,5.
Тест 52
1. Упростить
а + y/ab
Ответ: a) y/ab; б) 0; в) у/Ь; г) а; д) 1.
о т> гг - 49 , 2х Н- 50 о ^
2. Решить уравнение —Т"*~Н т~г~ = 2 и указать
больший корень.
Ответ: а) 1; б) 5; в) 4; г) -2; д) 3.
/2ч8х2+5х 2
3. Решить уравнение ( « J = (1,5)~2х ~8х и
указать сумму корней.
Ответ: а) -1; б) |; в) 1; г) 4; д) -2.
4. Найти область определения функции
у
= V -4я + 2 + %/бх + 7 + log -ЗЦг.
В ответе указать сумму наибольшего и наименьшего
значений из этой области.
Ответ: а) 2; б) ~; в) 3; г) 1; д) -1.
115

5. Решить уравнение 31og27(s - 2) = 21og3 \/2x - 1 и
указать произведение корней.
Ответ: а) 3; б) 4; в) 5; г) -1; д) 2.
6. Решить уравнение sin ( ^ + х\ + cos(tt + 2х) =
= sin(3a: + тг) и указать корень, принадлежащий
отрезку [тг;^].
Ответ: a) f; б) ^; в) f; г) тг; д) f.
7. Задумано целое положительное число. К его
записи присоединили справа цифру 7 и из полученного
числа вычли квадрат задуманного числа. Остаток
уменьшили на 75% этого остатка и еще вычли
задуманное число. В окончательном результате
получили нуль. Найти задуманное число.
Ответ: а) 5; б) 7; в) 6; г) 8; д) 9.
8. Решить уравнение
bg2* -i(* + 2)2 + logx+2(2x2 + Зх - 2) = 4.
Ответ: а) 2; б) 1: в) 4,2; г) 3; д) 5.
9. Решить неравенство 2#2cos2# 4- 48 > Зх2 4- 32 cos2 а;
и в ответе указать число целых решений.
Ответ: а) 4; б) 6; в) 7; г) 8; д) 9.
10. При некотором значении а сумма кубов корней
трехчлена у = 2х2 — Ах Л- а равна 15,5. Указать это
значение а.
Ответ: а) 2,5; б) -2,5; в) 3; г) -4; д) 2.
11. Высота СН, опущенная из вершины прямого угла
С треугольника ABC, равна 12, а катет АС = 15.
Найти радиус окружности, вписанной в треугольник
ВСН.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
116

12. Найти больший корень уравнения
5 • 16х + 4 • 25х - 9 • 20х = 0.
Ответ: а) 1; б) 0; в) -2; г) 3; д) -1.
13. Найти площадь треугольника, образованного осью
абсцисс и двумя касательными к графику
у = х2 - 8х + 12,
проходящими через точку Мо(1; 1).
Ответ: а) 1; б) 3; в) 0,2; г) 5; д) |.
14. Определить положительное значение параметра р,
при котором максимальное значение функции
/(*) = -х2 - Щр
равно минимальному значению функции
(р(х) = х + 6х + р + 2,5.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 1,5; г) 4; д) ||.
Тест 53
1. Расстояние между двумя пристанями 60 км.
Лодка преодолевает это расстояние между ними туда и
обратно за 4,5 ч. Найти собственную скорость лодки,
если скорость течения равна 3 км/ч.
Ответ: а) 20; б) 24; в) 27; г) 30; д) 25.
2. Найти члены пропорции, если сумма крайних
членов равна 17, сумма внутренних равна 13, а сумма
квадратов всех членов равна 290. В ответе указать
среднее арифметическое всех членов.
Ответ: а) 10; б) 8; в) 7; г) 7,5; д) 5.
117

3. Упростить
( 9 , _2а_ _ а3 + 15а2\ / о, 9а V ,ч-1
Ответ: а) 0; б) 2; в) -1; г) 3; д) 1.
4. Упростить
ctg (a - f) [sin (a - ^) - sin(7r + o)l
\ Z / L \ Z / J^ , . ce ^ опт
tg(7r -f a) [cos(a 4- 2тг) -f sin(a - 2тг)] 8 2 1 + cos a *
a sin a
Ответ: а) 1; б) 2; в) 0; г) -1; д) 0,5.
ll(V5 + V53) 2(h/3
5. Вычислить — — —I.
Ответ: а) \/23; б) л/3; в) 2\/23; г) 20; д) 10.
6. Решить систему неравенств
- 12
и указать наибольшее целое решение.
Ответ: а) 5; б) -5; в) -3; г) 0; д) 10.
7. Решить уравнение Iog3(32x - 2 • 3х + 3~х - 63) = -х.
Ответ: а) 2; б) -1; в) 3; г) 0,1; д) 4.
8. Стороны параллелограмма равны 23 см и 11 см, а
диагонали относятся как 3 : 2. Найти диагонали и в
ответе указать большую из них.
Ответ: а) 10; б) 20; в) 25; г) 18; д) 30.
9. Высота правильной четырехугольной пирамиды
равна 8 см, а площадь диагонального сечения равна
48 см2. Найти объем пирамиды (в см3).
Ответ: а) 200; б) 180, в) 64; г) 192; д) 216.
118

10. Решить неравенство у/Ъх — х2 — 2 > 2 - Зх и указать
середину промежутка, на котором оно имеет место.
Ответ: а) 1,5; б) 2; в) -1; г) 3; д) -1,5.
11. Определить все значения параметра р, для которых
уравнение (р — 12)#2 + 2(р — 12)# + 2 = 0 имеет два
различных корня. В ответе указать середину
промежутка, на котором утверждение не имеет места.
Ответ: а) 10; б) 11; в) 13; г) 14; д) 12.
12. Найти сумму бесконечно убывающей
геометрической прогрессии со вторым членом, равным 0,4, и
отношению пятого к третьему члену, равному 0,16.
Ответ: а) |; б) 1; в) 5; г) -1; д) |.
13. При каком а уравнение |гг2 4- 4д: — 5| = а имеет три
разных корня.
Ответ: а) 4; б) 5; в) 8; г) 6; д) 9.
14. В конус с радиусом основания бл/2 и высотой 12
вписан куб. Найти объем куба.
Ответ: а) 200; б) 195; в) 216; г) 50; д) 72л/2.
Тест 54
1. Упростить выражение
1 / 5 , 15а \ / 25 2а_ _ а3 + 25а2 \
а-5'V а-5/\аЧ 5а-f 25 5-а а3 - 125 /
Ответ: а) а; б) ^; в) —1; г) 1; д) 0.
2. Вычислить
МЕ±* /п д] (2 _
Ответ: а) 100; б) 19; в) 21; г) -300; д) -40.
119

3, Решить систему уравнений
г - 2у = _i
у + Згг " 5'
и указать максимальное значение х • у.
Ответ: а) ^; б) 1; в) -2: г) |; д) \.
4. Решить уравнение
\/bx2 - Зх + 7 + л/бх2 - Зх 4- 2 = 5
и указать сумму его корней.
Ответ: а) 3; б) 2,5; в) 5; г) 1; д) 0,6.
5. Имеется два сплава золота и серебра. В первом
сплаве количество этих металлов содержится в
отношении 2 : 3, во втором — в отношении 3:5. Сплавляли
по нескольку граммов каждого сплава с общим весом
136 г, получив сплав, в котором отношение
количества золота и серебра было 13 : 21. Сколько граммов
брали второго сплава?
Ответ: а) 40; б) 80; в) 86; г) 96; д) 50.
6. Найти количество целых чисел, принадлежащих
области определения функции
а:-11 2 , , х + 6
Ответ: а) 6; б) 5; в) 3; г) 2; д) 1.
7. Решить уравнение
л/Зет (ж + |) - sin (| - я) = 0
и найти число его корней на отрезке [—тг; 2тг].
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
120

8. Около круга радиуса 2 м описана прямоугольная
трапеция, боковая сторона которой 5 м. Найти
площадь трапеции.
Ответ: а) 15; б) 18; в) 10; г) 7; д) 20.
9. Найти число корней уравнения
Ъ2х + 35 . 7х _ 35 . 52х - 7х = 0.
Ответ: а) 2; б) 1; в) 0: г) 3; д) 4.
10. Образующая конуса равна 37,5, а тангенс угла
между образующей и высотой равен ,. Найти радиус
о
шара, вписанного в этот конус.
Ответ: а) 10; б) 8; в) 7: г) 15; д) 9.
11. Вычислить ЮО sin3 гг— tga? = -3.
5 sm x - 3 cos x' ь
Ответ: а) 5; б) 100; в) 2; г) |; д) 15.
12. Вычислить
при loga 6 = 2.
Ответ: а) 1,8; б) 0,3; в) 1,5; г) 3; д) 4; 3,3.
13. Найти сумму корней уравнения \х 4- 3|х ~х "6 = 1.
Ответ: а) -3; б) -5; в) 0; г) 2; д) 3.
14. При каком значении а уравнение \\2х — 3| — 3| = а —
имеет ровно три корня?
Ответ: а) 2; б) 3; в) 4; г) 0; д) 1.
Тест 55
1. Один сплав состоит из двух металлов, входящих в
отношение 1:2, другой сплав содержит те же
металлы в отношении 3 : 4. Сколько частей каждого
металла следует взять, чтобы получить третий сплав,
121

содержащий те же металлы в отношении 15 : 22? В
ответе указать меньшее число частей.
Ответ: а) 7; б) 11; в) 9; г) 22; д) 15.
2.
Упростить -
1
И
1
с2
1-е2
Ответ: а) с; б) 0; в) 1; г) с2; д) -.
3. Вычислить
3 2 1 Л 38
(
Ответ: а) 2,8; б) 4,8; в) л/3; г) у/% д) л/б.
4. Найти больший корень уравнения
1 + Згг _. 5
Ответ: а) -1; б) -6; в) 2; г) 3; д) 5.
5. Два велосипедиста выехали одновременно из села в
город. Первый из них едет со скоростью 15 км/ч, а
второй — 12 км/ч. Спустя полчаса, из того же села
в город, выехал третий велосипедист. Он догнал
сначала второго, а еще через 1 ч 30 мин догнал и первого
велосипедиста. Определить скорость третьего
велосипедиста.
Ответ: а) 16; б) 18; в) 19; г) 21; д) 25.
6. Решить уравнение Iog2x_i(x2 4- Зх — 1) = 2.
Ответ: а) 2; б) 3; в) 1; г) 4; д) 5.
7. Решить неравенство 210х2~х~1 < 2~10х2 и указать
длину промежутка, на котором оно имеет место.
Ответ: а) 6; б) 12; в) 9; г) 0,45; д) 3.
122

8. Построить область в плоскости Оху, координаты
точек которой удовлетворяют неравенствам
х - 2|у| + 6 > О, Зя + \у\ - 3 < О,
и найти ее площадь.
Ответ: а) 20; б) 21; в) 36; г) 19; д) 17.
9. Определить значения а, при которых один корень
уравнения х2 — Аах + За2 + 4а — 4 = 0 в два раза
меньше другого, и в ответе указать меньшее такое а.
Ответ: а) -5; б) 1,2; в) 4; г) 2,1; д) 6.
10. Решить уравнение
VI - cos2х(х2 - 7х +11) - tgxvTTcos2x = 0
и указать сумму целых его корней.
Ответ: а) 8; б) 9; в) 11; г) 3; д) 20.
11. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием
АС дано АВ : BD = 5 : 4 (BD — медиана). Найти
площадь треугольника ABC, если расстояния от
некоторой точки Р треугольника BCD до его сторон
ВС, CD и BD соответственно равны 2, « и 1.
Ответ: а) 25; б) 27; в) 13; г) 18; д) 28.
12. При каких значениях а уравнение
(а2 - 6а + 8)х2 + (а2 - 4)х + (10 - За - а2) = 0
имеет более двух корней?
Ответ: а) 1; б) -2; в) -1; г) 2; д) 3.
13. Решить уравнение 2log2x + #log2 x = 6 и указать
произведение корней.
Ответ: а) 1; б) |; в) i; г) 10; д) 2.
14. В правильной четырехугольной пирамиде высота
равна 3, а апофема равна 5. Найти расстояние от
центра основания до боковых граней.
Ответ: а) 3; б) 2,4; в) 2,5; г) 1,8; д) 2.
123

Тест 56
1. Как и на сколько процентов изменится площадь
прямоугольника, если большая его сторона увеличится
на 60%, а меньшая уменьшится на 15%? (Увеличение
отмечать знаком «+», уменьшение — знаком «—».)
Ответ: а) +25%; б) -10%; в) +36%; г) +40%;
Д) 0%.
2. Найти длину промежутка, на котором неравенство
\\2х + 3| — Зх\ > 2 не имеет места.
Ответ: а) 5; б) 4; в) 3,5; г) 1; д) 3,2.
3. Упростить выражение
1] • (х - у) :
а затем вычислить его значение при х — 4, у =
Ответ: а) 2; б) |; в) -1; г) 3; д) 0.
4. Решить систему уравнений
и указать сумму всех значений х и у таких, что
(#, у) — решение системы.
Ответ: а) 1; б) 3; в) 1,8; г) 4,8; д) 6,2.
5. Решить неравенства у/Ъх + 7 ^ 2х — 2 и указать
количество целых чисел, удовлетворяющих ему.
Ответ: а) 6; б) 5; в) 8; г) 22; д) И.
QX Л~Х
6. Решить уравнение — 7 • -^- + 3 = 0 и указать
16*-2 3
сумму корней.
Ответ: а) 0; б) 2; в) 1; г) -1; д) 4.
124

7. Упростить
cos (2а + f) •sin (^f ~ 3a) ~ cos (2a ~ 57r) *sin3a
ctg5a.
sin (-~ — a) cos 4a + sin a • cos (4a + ^r-)
Ответ: а) 0; б) |; в) 3; г) -1; д) 1.
8. Построить фигуру, если ее координаты
удовлетворяют неравенствам
■Зу-12)(а?-3у-3) >0,
Ах — у ^ 0, х ^ 0. Найти площадь этой фигуры.
Ответ: а) 1; б) 6; в) 5; г) 3; д) 4.
9. Определить положительное значение параметра с,
при котором сумма квадратов корней уравнения
х2 - (2с + 1)х 4- с2 + с - 12 = 0
равна 85.
Ответ: а) 5; б) 16; в) 1; г) -7; д) 3.
10. Решить уравнение
(1- л/3)8ш2я- (V3 + l)sinscosa; = 1
и указать число корней, принадлежащих отрезку
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 0; д) 4.
11. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты
соответствующие точки М и N так, что
AM : АВ = 3 : 4, AN: АС = 2:9.
Отрезки СМ и BiV пересекаются в точке Р. Найти
длину отрезка PiV, если ВР = 12.
Ответ: а) 10; б) 28; в) 27; г) 16; д) 25.
125

12. Решить уравнение
(2а? - 1)(х - 2)(2х2 + 7х + 2) 4- 2(Ь2 = О
и указать сумму корней.
Ответ: а) -2,5; б) 2; в) |; г) 4; д) 3.
Jogs* lQg3 *
13. Решить уравнение 9 los* 9 - 6 • lllos* n - 27 = 0 и в
ответе указать произведение корней.
Ответ: а) 3^; б) 1; в) З"4^; г) 7; д) 2.
14. В правильной треугольной пирамиде двугранный
угол при основании равен 30°, а сторона основания
равна 4л/3. Найти объем пирамиды.
Ответ: а) 11; б) 8; в) 7; г) 9,3; д) 14.
Тест 57
1. Двое рабочих изготовили за смену 90 деталей.
После того как первый рабочий повысил
производительность труда на 10%, а второй — на 15%, вместе
за смену они стали изготовлять 101 деталь. Сколько
деталей изготовляет каждый рабочий за смену
после повышения производительности труда? В ответе
указать большее число.
Ответ: а) 55; б) 46; в) 50; г) 48; д) 60.
2. Упростить
/(Ь) = ЗГ + 6|Ь~1| + 2~Т
/ ( - j • /(2).
и в ответе указать
Ответ: а) у/% б) -Щ в) -?=; г) -f; д) 1.
126

3. Вычислить ( r * - *=*£) ■ 2.
( r
Ответ: а) л/7; б) 1; в) л/5; г) 0; д) \/35.
4. Найти наименьший корень уравнения
2х -f 3 ! 4аг + 6
— 1 = —;
2х + 9 2х + 21 *
Ответ: а) -6; б) |; в) ±; г) -5; д) 7.
5. Бассейн наполняется двумя трубами за 12 ч. Первая
труба, работая отдельно, может его заполнить на 7 ч
быстрее второй. За сколько часов наполнит бассейн
первая труба?
Ответ: а) 6; б) 12; в) 21; г) 5; д) 28.
6. Решить систему уравнений
\агу = -2.
В ответе указать наименьшее из значений х таких,
что (#, у) — решение системы.
Ютвет: а) 3; б) 0; в) -1; г) -2; д) 4.
7. Решить неравенство 3~х ~2х < 9Ж~16. В ответе
указать наибольшее целое отрицательное число,
удовлетворяющее неравенству.
Ответ: а) -3; б) -8; в) -9; г) -10; д) -4.
х2 4- 7х
8. Решить неравенство =- ^ 2х и указать наиболь-
X ~~ А
шее его решение.
Ответ: а) И; б) 10; в) 9; г) 7; д) 8.
9. Решить уравнение 3 + 21og2 (f — 6} = Iog2(# + 3).
Ответ: а) -15; б) 22; в) 15; г) 20; д) 0.
127

2s+ 2 д + 1
10. Решить уравнение 3 4 - я — 7-34-ж+6 = 0и указать
целый корень.
Ответ: а) -4; б) 4; в) 0; г) -1; д) 3.
11. Сумма первого, второго и третьего членов
возрастающей арифметической прогрессии равна 27, а
произведение третьего и четвертого ее членов равно 221.
Найти седьмой член прогрессии.
Ответ: а) 29; б) 25; в) 28; г) 34; д) 36.
12. Три велосипедиста из одного пункта в одном и том
же направлении выезжают с интервалом в 1 ч.
Первый двигался со скоростью 12 км/ч, второй —
10 км/ч, третий, имея большую скорость, догнал
сначала второго, а через 2 ч — первого. Найти
скорость третьего велосипедиста.
Ответ: а) 15; б) 20; в) 18; г) 17; д) 13.
13. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная
на основание, равна 20 см, а высота, опущенная на
боковую сторону, равна 24 см. Найти периметр
треугольника.
Ответ: а) 65 см; б) 27 см; в) 49 см; г) 80 см;
д) 22 см.
14. В правильной треугольной пирамиде сторона
основания равна 5 см, а площадь основания относится
к площади боковой грани как 3 : 7. Найти высоту
пирамиды.
Ответ: а) 8; б) 10; в) 9; г) 7; д) 5.
Тест 58
1. Две продавщицы продали вместе 11 пучков редиски.
Каждая продавала по своей цене, но обе выручили
128

одинаковые суммы денег. Если бы первая
продавала столько пучков, сколько вторая, то она выручила
бы 1350 р., а если бы вторая продавала столько
пучков, сколько первая, то она выручила бы 600 р. На
сколько пучков одна продавщица продала больше,
чем другая?
Ответ: а) 20; б) 14; в) 16; г) 28; д) 18.
2. Упростить выражение
sin4 a + 2 sin a cos a - cos4 a
— cos 2а.
tg2a- 1
Ответ: а) -1; б) 0; в) -2; г) 6; д) -3
3. Решить уравнение Зх2 log^. 625 • Iog125 x = 4х 4- 8.
Ответ: а) 3; б) 2; в) 3,2; г) 1; д) 4
4. В треугольник ABC вписан ромб ADEF так, что
угол А ромба и треугольника общий, вершина Е
ромба лежит на стороне ВС, Найти сторону ромба, если
АВ = 15, АС = 35.
Ответ: а) 10,5; б) 9,8; в) 7; г) 6; д) 9.
5. В правильной четырехугольной пирамиде длина
высоты равна 3 см, боковое ребро равно 5 см. Ндйти
объем пирамиды (в см3).
Ответ: а) 32; б) 45; в) 26; г) 31; д) 28.
6. Упростить выражение
(у/а - \/6)3 f 2a2 у/а + Ьл/Ь 3\/а6 -36
ay/a f Ьу/b а b
Ответ: а) 26; б) 3; в) 1, г) -1; д) а.
7. Решить уравнение cos3 x sin Зх 4- sin3 x cos Зх — -г и
указать число корней в интервале ( —т; -у-)-
Ответ: а) 4; б) 5; в) 6; г) 3, д) 2.
5-1731 129

8. Найти площадь фигуры, координаты точек которой
удовлетворяют системе неравенств
Ответ: а) 18; б) 1; в) 5; г) 19; д) 16.
9. Найти такое целое га, при котором один корень
уравнения 2х2 — (2га — 5)х + 7га — 42 = 0 в четыре раза
меньше другого.
Ответ: а) 20; б) 14; в) 13; г) 15; д) 8.
10. Решить уравнение
(3 + y/l) sin a; cos х + (1 - 3\^3) cos2 x = 1
и указать число корней, принадлежащих интервалу
Ответ: а) 2; б) 0; в) 1; г) 3; д) 4.
11. В трапеции ABCD основания AD и ВС относятся
как 2:1. На стороне А В взята точка К, так что
АК : АВ = 2 : 3, а на CD — точка М, так что
DM : МС = 4:3. Отрезки AM и ТЖпересекаются
в точке Q. Найти AQ : QM.
Ответ: а) 7 : 4; б) 3 : 2; в) 4 : 3; г) 5:4; д) 2 : 3.
12. Решить уравнение (х-4)(х- 2)(я + 10)(я+ 5) = 18#2
и указать сумму корней.
Ответ: а) -9; б) 0; в) 1; г) -4; д) 6.
1
13. Решить уравнение 9 • lO*°eTio + X2igx _ 190 = 0 и
указать произведение корней.
Ответ: а) 1; б) 10; в) ^; г) 100; д) ^.
14. Найти наибольшее значение функции
у = Ау/х - 10 + 3\/35 - х.
Ответ: а) 25; б) 15; в) 20; г) 35; д) 10.
130

Тест 59
1. Из молока получается 21% сливок, а из сливок 24%
масла. Из какого количества молока можно
получить 126 кг масла.
Ответ: а) 252; б) 2000; в) 600; г) 2500; д) 1440.
о v (>/* 1 У/v^-1 v^+Л, х-1
2. Упростить I — ±— ) I ~= ^г=—- 4 —.
v \ 2 2у/х) \у/х + \ \fx-l) у/х
Ответ: а) х; б) у/х\ в) 1; г) 0; д) 3.
3. Вычислить (Щ£\* (1 - л/21 +
V 2 V
£\* (1 -
2 / V
Ответ: а) л/7; б) 4; в) л/3; г) \/2Г; д) 0.
4. Найти больший корень уравнения -^—Ь 4 Т х = 5.
Ответ: а) 3; б) -2; в) 2; г) |; д) 6.
5. Первая труба наполняет бассейн в два раза быстрее
второй. Если половину бассейна наполнит одна
первая труба, а оставшуюся часть — одна вторая, то
бассейн заполнится за 6 часов. За сколько часов
одна первая труба заполнит бассейн?
Ответ: а) 3; б) 4; в) 2; г) 1; д) 5.
6. Решить уравнение \Ъх — 2| — \2х — 5| = х4-2 и в ответе
указать сумму его корней.
Ответ: а) 6; б) -0,25; в) 11; г) 2,5: д) 6.
7. Решить систему уравнений
и указать в ответе большее из значений т.
Ответ: а) 3; б) 2; в) 5; г) 4: д) 15.
5* 131

8. Решить неравенство
x2 4- 2(Ь + 25 - у/9х2 - 2Ах 4-16 > у/х2 4- Ах + 4
и в ответе указать длину промежутка, на котором
оно выполняется.
Ответ: а) 2; б) 3,25; в) 7; г) 6; д) 9.
9. Сумма первых шести членов возрастающей
арифметической прогрессии равна 90, а разность пятого и
второго ее членов равна 12. Найти шестой член этой
прогрессии.
Ответ: а) 20; б) 18; в) 25; г) 16; д) 14.
10. Найти второй корень х^ уравнения
рх2 + Пх+р+1 = 0,
если первый х\ — — 3.
Ответ, а) 2; б) 3; в) -0,4; г) -1; д) 0.
11. Изобразить на плоскости Оху множество всех
точек, координаты которых удовлетворяют
неравенствам г2 < х2 4- у2 < 9г2, у - Зх < 0, х 4- Зу > 0,
г > 0, и определить такое значение г > 0, при
котором площадь соответствующей фигуры равна 18тг.
Ответ: а) 1; б) 3; в) 2; г) 4; д) 5.
12, Пусть Sn сумма первых п членов геометрической
прогрессии. Определить значение знаменателя q
прогрессии, если при любом п имеет место формула
log2(Sn 4- 2) = 1 + 77 log2 3 - 2n.
Ответ: а) 2; б) |; в) |; г) |; д) 1.
13, В равнобедренном треугольнике боковая сторона
равна 10 см, а основание 12 см. Определить радиус
вписанного в треугольник круга.
Ответ: а) 5 см; б) 3 см; в) 2 см; г) 4 см; д) 1,5 см.
132

14. Высота правильной четырехугольной пирамиды
равна 6 см, а боковое ребро равно 10 см. Найти объем
пирамиды.
Ответ: а) 256; б) 125; в) 250; г) 260; д) 300.
Тест 60
1. Сумма бесконечно убывающей прогрессии равна 243,
а сумма первых двух членов равна 135. Найти
третий член прогрессии, если ее знаменатель
положительный.
Ответ: а) 195; б) 200; в) 100; г) 36, д) 81.
2. Найти /'(тг), если f(x) = 3sin3 2x • tg */|.
Ответ: а) 1; б) 0; в) -1; г) 2; д) -3.
3. Найти 19(12х + у), если
§)-3,-4.
Ответ: а) 432; б) 1; в) 0; г) -2; д) -3.
4. Найти площадь треугольника ABC, если А(— 4; —1),
B(0;4),C(8;2j.
Ответ: а) 6; б) 24; в) 14; г) 10; д) 12.
5. Кусок материи стоит 4500 р. Если в куске было бы
на 15 м больше, а каждый метр стоил на 10 р
дешевле, то стоимость материи была бы прежней. Сколько
стоил 1 м материи первоначально?
Ответ: а) 75; б) 60; в) 100; г) 120; д) 90.
6. Все ученики данного класса пользуются
транспортом: 20 пользуются метро, 15 — автобусом, 17 —
133

троллейбусом. Всеми видами транспорта
пользуются 3 ученика, троллейбусом и автобусом — 7, метро
и автобусом — 3, метро и троллейбусом — 6.
Сколько учеников в классе и сколько из них пользуется
только одним видом транспорта и каким?
Ответ: а) Всего 39 (14 метро, 8 автобусом, 7
троллейбусом); б) всего 45 (14 м, 11 а, 12 т); в) всего
30 (15 м, 12 а, 19 т); г) всего 40 (10 м, 15 а, 22 т);
д) всего 36 (18 м, 13 а, 10 т).
7. Производительность труда при выполнении
некоторой работы повысилась на 40%. На сколько
процентов сократилось при этом время, необходимое для
выполнения этой работы.
Ответ: а) 22%; б) 35%; в) 27%; г) 32%; д) 28,6%.
8. Вычислить площадь трапеции, если разность ее
оснований равна 14, а непараллельные стороны равны
13 и 15. Известно, что в трапецию можно вписать
окружность.
Ответ: а) 180; б) 168; в) 166; г) 200; д) 150.
9. Найти все значения параметра а, при которых
корень х уравнения 6 - За + Аах = 4а + 12х меньше 1. В
ответе указать длину промежутка, содержащего все
значения а.
Ответ: а) 5; б) 4; в) 3; г) 2; д) 6.
10. Два работника выполняют некоторую работу за
20 дней. Первый из них, работая отдельно,
затрачивает на эту работу на 30 дней меньше, чем второй.
За сколько дней первый работник может выполнять
указанную работу?
Ответ: а) 16; б) 30; в) 18; г) 29; д) 17.
11. К графику функции у = х2 + 1 в точке с абсциссой
х = 4 проведена касательная, пересекающая прямую
134

5y-3x+l = 0. Определить эту точку и указать сумму
ее координат.
Ответ: а) 2; б) 3; в) 1; г) 0; д) -2.
12. Решить уравнение |х2 — 5|гг| + б| = А; и в ответе
указать значение &, при котором оно имеет ровно четыре
корня.
Ответ: а) 3; б) 0; в) 0,8; г) 1; д) 2.
13. В шар вписана правильная четырехугольная
пирамида со сторонами основания 2 и высотой 4. Найти
радиус шара.
Ответ: а) 12; б) 22,5; в) 2,25; г) 10; д) 11.
14. Решить систему уравнений
и в ответе указать величину х + у.
Ответ: а) 4; б) 3; в) 6; г) 9; д) 8.
Тест 61
1. На базу привезли 8,98 т клубники. Измерения
показали, что влаги в ягодах содержится 90%. Через
некоторое время влажность ягод уменьшилась на 1%
Сколько теперь весят ягоды (приблизительно)?
Ответ: а) 7,98; б) 8; в) 8,5; г) 7,9; д) 8.16.
31og515.1og59-21og215-log29
2. Вычислить —— р-^-—-—21- ^—
log5 9 - log5 15
Ответ: а) 2; б) 8; в) 4; г) -3; д) 7.
о D 3- cos 46° -4 sin2 23°
3. Вычислить .
сое2 23°
Ответ: а) 1; б) -1; в) 3; г) ±; д) 2.
135

4. Два брата одновременно тронулись в путь с
намерением проехать 42 км на велосипедах. Младший
отставал каждый час на 4 км. Но так как старший
отдыхал в пути 1 ч, а младший только 20 мин, то к
финалу они прибыли одновременно. Сколько минут
продолжалась поездка?
Ответ, а) 200; б) 180; в) 90; г) 210; д) 190.
5. Решить уравнение x2-f4|a;|—21 = 0 и в ответе указать
произведение всех его корней.
Ответ: а) -4; б) 21; в) -9: г) -21; д) 25.
6. Решить уравнение log(5_x)(a;2 — 8х + 15) = 1.
Ответ: а) 2; б) -1: в) 3; г) 2: д) 5.
7. Три числа составляют возрастающую
геометрическую прогрессию. Сумма первого и третьего равна
52 а квадрат второго равен 100. Найти меньшее из
этих чисел.
Ответ: а) 1: б) 3; в) 2; г) 4; д) 5.
8. Найти площадь фигуры, координаты точек которой
удовлетворяют неравенствам
Ответ- а) 16; б) 8: в) 7; г) 18; д) 21
9. Найти целое значение а, при котором один из корней
уравнения х2- [а-3)х+3а—18 = 0 в два раза меньше
другого.
Ответ а) 4; б) 3; в) 12; г) 8: д) 6
10. Решить уравнение ^tgx - 1(3 cos a; + cos2# + 2) = 0
и указать число корней, принадлежащих отрезку
Гтг Зтг]
L 2 ' 2 J
Ответ (а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 0
136

11. В трапеции ABCD длины оснований AD и ВС
относятся как 3 : 1. На стороне АВ взята точка К так,
что АК : KB = 1 : 3, а на стороне CD — точка L
так, что DL : LC = 3:2. Отрезки AL и DK
пересекаются в точке О. Найти длину DK, если О К = 1.
Ответ: а) 3; б) 5; в) 6; г) 8; д) 2.
12. Решить уравнение 6(ж2 +1)2 - 35(я2 +1) • х + 50х2 = О
и указать меньший его корень.
Ответ: а) -2,5; б) 4; в) 8; г) 3; д) \.
о
13. Решить уравнение #21og2x + 3los* 3 =6и указать
произведение его корней.
Ответ: а) 2; б) 1; в) |; г) |; д) 4.
14. Радиус основания конуса равен 2, образующая
составляет с основанием угол 60°. Найти объем
правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус.
Ответ: а) 2; б) 3; в) 6; г) 7; д) 4.
Тест 62
1. Упростить выражение
9а -25а"1 а + 10а"1 + 7
Ответ: а) — 1; б) 1; в) 0; г) а; д) 4а.
2. Решить уравнение
В ответе указать сумму корней.
Ответ, а) -6; б) -4; в) 2; г) 13; д) -7.
137

3. Решить уравнение 4^/(0,125)х"3 = 2^^+*.
Ответ: а) 0; б) 2; в) 3; г) -1; д) 1.
4. Решить уравнение 3 + 2 logx+1 3 = 2 Iog3(x +1) и
указать целый корень.
Ответ: а) 8; б) 7; в) 3; г) 0; д) 1.
5. Найти область определения функции
у = Iog3(2|a; + 2| - х - 5) 4- \/l2 - х - х2.
В ответе указать сумму длин промежутков,
составляющих эту область.
Ответ: а) 5; б) 3; в) 2; г) 6; д) 4.
6. Решить уравнение
у/х2 + ж + 0,25 - у/х2 -х + 0,25 = 0,25.
Ответ: а) ^; б) 0,125; в) ^; г) ^; д) |.
7. Упростить
sin3 (| - х) cos (| -
Ответ: а) -3; б) 4; в) 3; г) 2; д) 1.
8. Решить уравнение 3 - 2 sin 2x = tg a; 4- ctg а; и указать
в градусах корень, принадлежащий отрезку ^; | .
Ответ; а) 10°; б) 18°; в) 15°; г) 25°; д) 30°.
9. В треугольной пирамиде три грани взаимно
перпендикулярны, а их площади равны соответственно 2,
14 и 9. Найти объем пирамиды.
Ответ: а) 16; б) 5; в) 42 г) 18; д) 30.
138

10. Пусть Sn — сумма первых п членов геометрической
прогрессии. Найти знаменатель этой прогрессии,
если при любом п имеет место равенство
log3 (f- + l) = п.
Ответ: а) 2; б) 1; в) 3; г) 4; д) 5.
11. Найти сумму всех целых значений #,
принадлежащих области определения функции
f(x) = y/lx - х2 - 6 + logn |—£•
Ответ: а) 18; б) 1; в) 2; г) 4; д) 6.
12. Моторная лодка проплыла вверх по течению 24 км я
вернулась обратно, затратив на весь путь 1 ч 45 мин.
Найти собственную скорость лодки, если она
проплывает 4 км по течению на ^ ч быстрее, чем плот.
Ответ: а) 25; б) 27; в) 28; г) 26; д) 30.
13. Две стороны треугольника равны 12л/5 и 16\/5, а
медианы к этим сторонам перпендикулярны между
собой. Найти третью сторону треугольника.
Ответ: а) 10; б) 20; в) 12; г) 18; д) 25.
14. Ребро правильного тетраэдра равно а. Определить
радиус шара, поверхность которого касается всех
ребер тетраэдра. Ответ дать при а = 4>/2.
Ответ: а) л/5; б) 2; в) у/% г) 3; д) 1.
Тест 63
л лг у/х — 1 1
1. Упростить выражение —— — : -г — и вычи-
Ху/х-Х + у/х Х^+у/х
слить его значение при х = 2.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) о.
139

2. Упростить выражение
logca
loga b - loga с
и вычислить его значение при а = 3;Ь = 2,5ис = 3,6.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 0.
3. Из сосуда, содержащего 12%-й раствор кислоты,
отлили 1 кг воды и долили обратно 1 кг воды, затем
отлили еще 1 кг раствора и долили в сосуд 1 кг воды.
В результате в сосуде образовался 6,75%-й раствор
кислоты. Установить, сколько килограммов
раствора было в сосуде первоначально.
Ответ: а) 4: б) 2; в) 5: г) 3; д) 8.
4. Определить наибольший корень уравнения
||6аг + 4| - 10ж| = 12.
Ответ.: а) 4; б) 5; в) 9; г) 12; д) 7.
5. Разделить многочлен 6х5 + 8х4 4- #3 + х2 — Ъх + 1 на
многочлен 2х3 4- х — 1 и указать коэффициент при х
частного этих многочленов.
Ответ: а) 3; б) -|; в) - |; г) 7; д) 4.
6. Расстояние между городами А и В равно 390 км.
Города С и D расположены между А и В так, что
АС : CD = 3 : 2, а CD составляет уу расстояния
DU. Найти расстояние от С до D.
Ответ; а) 135: б) 90; в) 165; г) 200; д) 45.
7. Решить неравенство
(625)3^1 >(^
140

и указать наибольшее целое отрицательное значение
х, удовлетворяющее ему.
Ответ: а) -1; б) -5; в) -3; г) -2; д) -4.
8. Найти наибольшее значение функции
у = 3\/х-5 4- 4>/30 - х.
Ответ: а) 24; б) 3,0; в) 25; г) 13,0; д) 10.
9. При каком значении р система уравнений
f рх 4- 2у = 7,
\8яг + ру = 11
несовместна?
Ответ: а) -1; б) 2; в) ±4; г) 1; д) 3.
10. Решить неравенство 2х2 — х2 sin3 х ^ 8 — 4 sin3 а; и в
ответе указать сумму всех целых его решений.
Ответ: а) 2; б) 5; в) 0; г) 3; д) 1.
11. Сторона правильного треугольника, вписанного в
окружность, равна 10. Определить утроенную
площадь квадрата, вписанного в эту окружность.
Ответ: а) 100; б) 80; в) 200; г) 190; д) 180.
12. Найти производную функции
f(x) = sin3 Зх cos 2x 4- у/4 + х
при х = 0.
Ответ: а) |; б) \; в) |; г) I; д) §.
13. Из точки Л, лежащей вне круга, проведены
касательная и секущая. Сумма их длин равна 30, а
внутренний отрезок секущей на 2 меньше касательной.
Найти длину касательной.
Ответ: а) 12; б) 10; в) 8; г) 11; д) 20.
141

14. Основанием прямого параллелепипеда является
параллелограмм, стороны которого равны 26 и 10, а
синус угла между ними равен т^. Найти площадь бо
ковой поверхности параллелепипеда, если его объем
равен 40.
Ответ: а) 5; б) 7; в) 27; г) 29; д) 36.
Тест 64
1. Упростить выражение
{ab) 2-
Ответ: а) л/Ь; б) Vab\ в) 1; г) 0; д) а.
sin(3rr+ f) +sin3(rr+|)
2. Упростить —^—^г -^—у.
Ответ: a) cosх; 6)3; в) 2; r)sin^; д) sin#.
3. Вычислить 7 (4log-^3 - 731о^э16 _ t
Ответ: a) log7 16; б) 1; в) 2; г) log27 14; д) 6.
4. Два самосвала перевозили по 600 т грунта. Первый
самосвал перевозил ежедневно на 5 т грунта
больше, чем второй, и приступил к работе на 4 дня
позже. Сколько тонн грунта перевозил второй
самосвал ежедневно, если оба закончили работу
одновременно?
Ответ: а) 10; б) 25; в) 8; г) 16; д) 9.
5. Решить уравнение у/х2 — Ах 4- А — у/х2 — 6# + 9 = 0,2.
Ответ: а) 2,2; б) 2,6; в) 3; г) 2; д) 1,9.
142

9coe(»-f)
6. Вычислить jz -, если tg - = 2.
3 i^J z
Ответ: a) 21; 6) sin2a;; в) tg#; r) cos х; д) 2.
7. При каком значении а разность корней уравнения
(а - 2)х2 - (а - 4)х - 2 = 0 равна 3?
Ответ: а) 1; б) 3; в) 2; г) 4; д) -2.
(л\х f 2l\x~^ Ig4
Ответ: а) -2; б) 2; в) 1; г) -1; д) 0.
9. Найти а > 0, при котором максимум функции
совпадает с минимумом функции
у = х2 + 6х + а.
Ответ: а) ±; б) 1; в) §; г) -§; д) -1.
10. Решить уравнение 2 — 2 sin 2# — 5 cos 2х — 0 и указать
число корней на отрезке ~~§? -f" •
Ответ: а) 2; б) 1; в) 4; г) 3; д) 0.
11. Решить систему неравенств
Г2-3* > 5-9х+ 3-3*-6,
и в ответе указать середину промежутка, на котором
неравенства имеют место.
Ответ: а) 2; б) -|; в) 0; г) 1; д) 3.
12. Решить уравнение Зх logx 81 • Iog27 x = Ах2 — 80.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 12; г) 3; д) 5.
143

13. Площадь равнобедренного треугольника с тупым
углом при вершине равйа 48 см2, а боковая сторона
этого треугольника равна 10 см. Найти длину
основания треугольника.
Ответ: а) 14; б) 12; в) 16; г) 8; д) 20.
14. Высота прямоугольного параллелепипеда равна
8 см, а две стороны основания и диагональ
параллелепипеда образуют арифметическую прогрессию
с разностью, равной 5 см. Найти площадь основания
параллелепипеда.
Ответ: а) 160; б) 90; в) 176; г) 190; д) 170.
Тест 65
1. Упростить выражение
Г/а-26 Ь \а3- аЬ2 2Ъ2 1 / , , ч
[\а3 -• б3 а3 - аЧН аЪУ а2+Ь2 а3 + a2b + аЬ2 + Ъ3\^а^°>-
Ответ: а) -1; б) 0; в) 1; г) 2; д) 3.
2х — 5 21гг 4- 7
2. Решить уравнение Q + -^ г = 8 и указать мень-
ОХ ~г 1 ZX О
ший корень.
Ответ: а) -5; б) 4; в) -6; г) -3; д) 2.
3. Решить уравнение
и указать сумму корней.
Ответ: а) 2; б) -9,4; в) 3; г) 5; д) 10.
4., Решить уравнение Iog4(3—x)— Iog4(-x—l)+log4 8 = 2.
Ответ: а) -3; б) 3; в) -5; -г) -4; д) -7.
5. Решить уравнение
(4 -г ч/б) cos2 х + 2(л/2 + л/3) cos ж 4- ч/б sin2 rr = 0
144

и в ответе указать число корней, принадлежащих
интервалу (140°; 220°).
Ответ: а) 0; б) 4; в) 2; г) 3; д) 1.
6. Вычислить без калькулятора и без таблиц
л/6 4- 1 [2
arccos -—— arccos \/£.
2л/3 V 3
Ответ: a) f; б) f; в) -§; г) -f; д) 0.
ctg4a • cos \Aol - |тм
7. УПРОСТИТЬ
Ответ: а) 0; б) 3; в) 4; г) 1; д) -1.
8. Вычислить - при a = ^ Ь = q .
(l + l6 + lga)loga| F 2' 8
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) -2.
9. При каких значениях а один корень уравнения х2 —
— 2(а + 1)х 4- 4а + 1 = 0 больше 1, а другой меньше
1? В ответе указать большее целое значение а.
Ответ: а) -1; б) 0; в) -2; г) 2; д) 3.
10. Увеличив выпуск изделий на 12% в месяц,
предприятие стало выпускать 5040 изделий в месяц. Во второй
раз предприятие увеличило выпуск продукции еще
на 5% в месяц, ria сколько изделий в месяц возрос
выпуск продукции после двух увеличений выпуска
продукции?
Ответ: а) 972; б) 297; в) 392; г) 792; д) 146.
11. Длина средней линии трапеции равна 5 см, а
длина отрезка, соединяющая середины оснований,
равна 3 см. Найти длину большого основания, если углы
при нем равны 30° и 60°.
Ответ: а) 9; б) 8; в) 4; г) 7; д) 6.
145

12. Определить значения параметра А:, при котором
уравнение (к — 2)х4 — 2(к + 3)х2 + к — 1 = 0 имеет
четыре действительных корня, отличных от нуля, и
в ответе указать наименьшее целое значение
такого к.
Ответ: а) -3; б) 1; в) 3; г) 2; д) -1.
13. Решить систему
и в ответе указать произведение log2 x • log2 у.
Ответ: а) -3; б) 4; в) 1; г) 2; д) -2.
14. Найти объем правильной четырехугольной
пирамиды, если ее высота равна 1,5, а двугранный угол при
основании пирамиды равен 60°.
Ответ: а) 4; б) 3; в) 1,5; г) 2; д) 2,2.
Тест 66
1. Упростить
1 /6а гЛ /а3-Юа2 2а 4 \
U + 2 A a3+ 8 <* + 2 а2 -2а + 4/
Ответ: а) 0; б) -1; в) 2; г) 1; д) 3.
о о о \/2 + л/21 26^
2. Вычислить 3 • -^-7=—~= ,- ,
3\/2 + л/2Т 2\/2-\/2Т
Ответ: а) 21; б) л/21; в) л/2; г) 26; д) 23.
3. Члены ai, a2, аз, ... арифметической прогрессии
удовлетворяют условиям аз + ав = —20, а 5б = — 72.
Найти ац.
Ответ: а) -28; б) -1; в) 3; г) 5; д) 12.
146

4. Решить уравнение х2 + Ъх — 18 + Ау/х2 + За; — 6 = 0 и
указать сумму корней.
Ответ: а) 6; б) -3; в) 1; г) 4; д) 8.
5. После двух снижений цен на одно и то же число
процентов товар стоил 384 р. На сколько процентов
снижалась цена товара каждый раз, если до снижения
он стоил 600 р.?
Ответ: а) 25%; б) 20%; в) 17%; г) 10%; д) 8%.
6. Решить систему
/
и в ответе указать большее из произведений х • у, где
(х, у) — решение системы.
Ответ: а) 2; б) 5; в) 3; г) 12; д) 18.
7. Сколько натуральных чисел удовлетворяют
неравенству ||2я? + 3| - Зя|< 2?
Ответ: а) 1; б) 0; в) 5; г) 4; д) 8.
8. Решить неравенство
Указать середину конечного промежутка, на
котором оно выполняется.
Ответ: а) 5; б) 3; в) 2; г) 0; д) -1.
9. Найти длину промежутка, являющегося областью
определения функции
f(x) = log7(o; - 4 -
Ответ: а) 1; б) 4; в) 3; г) 2; д) 3,5.
147

10. В треугольнике с основанием 10 и высотой 15 вписан
квадрат так, что две его вершины лежат на
основании, а две другие на боковых сторонах. Найти
сторону квадрата.
Ответ: а) 5; б) 6; в) 9; г) 8; д) 4.
11. Высота конуса равна 20, а радиус основания 17.
Найти площадь сечения, проходящей через вершину
конуса на расстоянии 15 от центра основания конуса.
Ответ: а) 100; б) 200; в) 340; г) 150; д) 170.
12. При каких значениях а уравнение (а + 2)х2 +
+ (4 + 2а)х — 3 = 0 имеет единственный корень?
Ответ: а) —2; б) —5; в) 3; г) 4; д) 1.
13. Найти площадь треугольника, образованного осью
ординат и двумя касательными, проведенными через
точку А(1] 2) к графику функции у = —2х2 + Ах — 2.
Ответ: а) 4; б) 7; в) 8,5; г) 2; д) 3.
14. Решить неравенство 2х2 cos4 х — 12 < 8 cos4 х — Зх2 и
указать число его целых решений.
Ответ: а) 2; б) 3; в) 8; г) 5; д) 1.
Тест 67
1. Вкладчик взял из Сбербанка 25% своих денег, потом
3 оставшихся денег, затем еще 400 р. После этого на
его вкладе осталось 25% своих денег. Какова
первоначальная величина вклада?
Ответ: а) 3000; б) 2400; в) 2500; г) 6000; д) 7200.
СЗ 3 3 3 \
- j-^—i - - Vab 1 (а + б)*1.
Ответ: a) 2; б) Ь; в) Vab; г) |; д) 1.
148

3. Вычислить
)
.+
Ответ: а) 144; б) 12; в) ч/Тб; г) л/13; д) 9.
4. Найти больший корень уравнения 2 • х~ + 18
а? + 2 гг - 2
= 9.
Ответ: а) 5; б) 8; в) 4; г) 18; д) -у.
5. Две бригады могут выполнять некоторую работу за
6 ч. Если первая бригада будет работать в два
раза быстрее, а вторая в два раза медленнее, то всю
работу они закончат за 4 ч. За сколько часов может
закончить работу вторая бригада, работая отдельно?
Ответ: а) 12; б) 18; в) 15; г) 16; д) 13.
6. Решить уравнение \х + 1| 4- \х\ = 5 — х и в ответе
указать меньший корень.
Ответ: а) -8; б) -6; в) 5; г) 9; д) 3.
7. Решить систему уравнений
Ах 4- у -f- xy = 36
и в ответе указать наименьшую из сумм х + у, где
(х,у) — решение системы.
Ответ: а) -18, б) 8; в) 17; г) -25; д) -38,25.
8. Решить неравенство
-х2+6х+10 27
^ 64
и в ответе указать длину промежутка, на котором
выполняется неравенство.
Ответ: а) 8; б) 7; в) 4; г) 1; д) 5.
149

9. Решить уравнение
2*-i -6-2^-1 +16 = 0
и указать больший корень.
Ответ: а) 2; б) -2; в) 1; г) |; д) 0.
10. Разность квадратов двух положительных чисел
равна 180, а их сумма равна 30. Найти их произведение.
Ответ: а) 12; б) 18; в) 216; г) 612; д) 162.
11. Один из катетов прямоугольного треугольника
равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу
равна 16. Найти радиус описанной окружности данного
треугольника.
Ответ: а) 12,5; б) 12; в) 13; г) 10,5; д) 8.
12. Решить уравнение 12 cos 2х — 5 sin 2х + 13 sin4# = 0 и
указать число корней на интервале (0; 2тг).
Ответ: а) 8; б) 7; в) 6; г) 3; д) 0.
13. Центр окружности, вписанной в прямоугольную
трапецию, удален от концов ее боковой стороны на
расстояния 2\/Ш и 6\/10. Найти радиус окружности.
Ответ: а) 6; б) 4; в) 8; г) 5; д) 3.
14. Сколько точек с целыми координатами принадлежат
треугольнику ABC, если Л(0;0), 5(7; 1), С(1;6)?
Ответ: а) 20; б) 21; в) 23; г) 24; д) 30.
Тест 68
1. Сколько воды надо выпарить из 100 кг раствора
соли с концентрацией 10%, чтобы получить раствор с
концентрацией 20%?
Ответ: а) 40; б) 50; в) 45; г) 60; д) 38.
150

2. Упростить
Ответ: а) 1; б) а; в) 0; г) 2; д) — 1.
3. Найти сумму корней уравнения
х2 + 2х + 3 6s __ г
х х2 + 2х + 3 ~~
Ответ: а) 4; б) 6; в) 5; г) 3; д) 2.
4. Некоторая работа была выполнена двумя рабочими
за 15 дней, причем первый рабочий приступил к
работе на 7 дней позже второго. Известно, что эта
работа может быть выполнена первым рабочим на 5 дней
быстрее второго. За сколько дней может выполнить
данную работу первый рабочий?
Ответ: а) 20; б) 17; в) 22; г) 30; д) 26.
5. Решить уравнение \3х — 4| 4- \2х 4- 4| 4- х = 9 и в ответе
указать сумму его корней.
Ответ: а) -0,75; б) 5; в) 8; г) 2; д) 1.
6. Решить уравнение 8 • ^—к 4- 5 • J30 Q — 41 = 0 и в
оХ — Z ZX ~г о
ответе указать произведение его корней.
Ответ: а) -2; б) 5; в) 8; г) -6; д) 3.
7. Решить систему уравнений
(О I О о
Jx + Zy'2x-y
\{2х - у)(3у + х) = 15
и в ответе указать величину х2 4- у2, если система
имеет единственное решение (#, у), и сумму всех
таких величин, если система имеет несколько решений
Ответ: а) 1; б) 2; в) 5; г) 3; д) -4.
151

8. Решить неравенство
VfAx2 + 20ж + 25 - л/9х2 - 2Ах + 16 < х + 2
и в ответе указать середину промежутка, на котором
неравенство не выполняется.
Ответ: а) 0,5; б) 1,875; в) 1; г) 9; д) 3.
9. Построить область, координаты точек которой
удовлетворяют неравенствам у ^ \х\ + 2, у ^ 3\х\ — 6, и
найти ее площадь.
Ответ, а) 18; б) 32; в) 34; г) 17, д) 19.
10. При каком значении а один корень уравнения
х2 - Аах + За2 + 4а - 4 = 0
в два раза больше другого?
Ответ: а) 16; б) 6; в) -3; г) 8; д) 14.
11. Решить уравнение
/ 2 - 6я + 6,5j - | sin2# = 0
и указать сумму его целых корней.
Ответ: а) 2; б) 3; в) -1; г) 8; д) -3.
12. В треугольнике АВ С длины его сторон АВ, ВС и
АС относятся как 13 : 14 : 15. Расстояния от
некоторой точки М треугольника ABC до АВ, ВС и
АС соответственно равны 2, 1 и 4. Найти периметр
треугольника.
Ответ: а) 12; б) 25; в) 16; г) 24; д) 30.
13. Решить уравнение
и в ответе указать его больший корень.
Ответ: а) 2; б) -J; в) |; г) 3; д) 6.
152

14. Пол у шар вписан в конус так, что его основание
лежит на основании конуса. Высота конуса равна 20,
образующая равна 25. Найти радиус полу шара.
Ответ: а) 9; б) 12; в) 3; г) 18; д) 11.
Тест 69
1. После двух последовательных одинаковых
повышений зарплаты сумма в 800 р. повысилась до 1076 р.
48 к. Определить процент повышения зарплаты
каждый раз.
Ответ: а) 6; б) 15; в) 16; г) 20; д) 22.
2. Упростить 1 —
-Ь
+ аЪ
Ответ: а) а; б) Ъ\ в) а + Ь; г) -; д) j-.
3. Вычислить ( —Д— + -тД— + —~ ) —^-р.
Ответ: а) л/3: б) 5; в) 0; г) 1; д) 15.
1х -\~ 4 х \ 2
4. Найти меньший корень уравнения 1 =1 —г.
Ответ: а) 5; б) -1; в) 3; г) 2; д) -8.
5. Рабочий должен выполнить задание за 5 дней.
Перевыполняя норму на 17 деталей в день, рабочий за
4 дня выполнил задание и еще 15 деталей
дополнительно. Сколько деталей изготовил рабочий?
Ответ: aj 340; б) 75; в) 280; г) 68; д) 200.
6. Решить уравнение
|2яг + 3| — |3яг — 4| Ч- я? = 1.
Ответ: а) 1; б) +|; в) 0; г) -|; д) |.
153

7. Решить неравенство 79х2+8гс~3 < (|) .В ответе
указать длину промежутка, на котором оно имеет
место.
Ответ: а) 2; б) 1; в) 3; г) 7; д) 6.
8. Решить систему уравнений
В ответе указать меньшее значение у из решений
(#, у) системы.
Ответ: а) -11; б) 9; в) -1,4; г) 0; д) 6.
9. Первый член возрастающей арифметической
прогрессии равен 5, а сумма ее первых пяти членов
равна 185. Найти разность прогрессии.
Ответ: а) 11; б) 8; в) 16; г) 14; д) 13.
10. Найти sin2a, если a G (|;тм и sin a = -JL-.
Ответ: а) 2; б) -1; в) -§; г) |; д) ^.
11. Решить уравнение cos2 ж - cos2x = sin x и в ответе
указать число его корней, принадлежащих отрезку
[О;тг].
Ответ: а) 0; б) 4; в) 3; г) 2; д) 1.
12. Стороны треугольника пропорциональны числам
6 : 8 : 12. Найти длину меньшей стороны, если его
периметр равен 104.
Ответ: а) 20; б) 19; в) 27; г) 24; д) 22.
13. Вектор а(—5; 9) разложить по векторам
Ti(2;3), Г2(3;-1).
В ответе указать сумму коэффициентов разложения.
Ответ: а) 2; б) 3; в) -2; г) -1; д) 0.
154

14. Площадь основания правильной треугольной
призмы равна 4 • \У%. Найти объем призмы, если высота
равна стороне основания.
Ответ: а) 16; б) 14; в) 18; г) 21; д) 15.
Tea 70
1. Найти три числа, из которых второе больше первого
на столько, на сколько третье больше второго, если
известно, что произведение двух меньших равно 391,
а произведение двух больших равно 667. В ответе
указать сумму этих чисел.
Ответ: а) 40; б) 69; в) 52; г) 43; д) 29.
2. Упростить
— г : , — — Ъу/тп\ х
2(m-n) л/^-Vn* J
х (у/т- у/п)~2.
Ответ: а) га; б) 0; в) п; г) 1; д) ran.
3. Найти больший корень уравнения
х2 -х _ х2 — х + 2 __ 1
х2-х-1 х2-х-2~~ '
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 5; д) 0.
4. Первая бригада может выполнить некоторую
работу за 18 ч, а вторая — за 24 ч. После того как
вторая бригада проработала 10 ч, к ней присоединилась
первая. За сколько часов бригады, работая вместе,
завершили работу?
Ответ: а) 15; б) 16; в) 9; г) 12; д) 20.
155

5. Решить уравнение
2 \/х2 + Ах + А + >/25х2 - 2(Ь + 4 = 7х + 2
и в ответе указать количество корней (+оо, если их
бесконечное множество).
Ответ: а) 1; б) +оо; в) 3; г) 0; д) 2.
б. Решить уравнение
4Ь+8 = О
В ответе указать меньший корень.
Ответ: а) 0; б) -2; в) -6; г) 2; д) 8.
7. Решить систему уравнений
2у
"Г
и в ответе указать величину 32 • гг • у, где (ж, у) —
решение системы.
Ответ: а) 3; б) 4; в) 5; г) -2; д) 1.
8. Решить неравенство V'Ах — 4 ^ а; — 4 и в ответе
указать наибольшее целое его решение.
Ответ: а) 5; б) 2; в) 4; г) 3; д) 10.
9. Определить значения а, при которых неравенство
х2 — (а -f 2)# + 8а 4-1 > 0 имеет место при всех х G R
В ответе указать наибольшее целое а.
Ответ: а) 4; б) 27; в) 10; г) 0: д) 2.
10. Длины сторон треугольника пропорциональны
числам 3, 4, 6. Найти большую сторону, если периметр
треугольника равен 104.
Ответ: а) 32; б) 24; в) 48; г) 46; д) 40.
156

11. Найти наибольшее значение функции
f{x) = x2y/x-20x
на отрезке [1;9].
Ответ: а) 44; б) 28; в) 63; г) 60; д) 72.
12. Сумма второго и пятого членов убывающей
геометрической прогрессии равна 0,4256, а сумма ее
третьего и четвертого членов равна 0,224. Найти первый
член прогрессии.
Ответ: а) -2; б) 1; в) 2; г) -1,04; д) 0,4.
13. Площадь основания прямой треугольной призмы
равна 9л/3. Найти объем призмы, если ее высота
в \/3 раз больше стороны основания, а основанием
призмы является правильный треугольник.
Ответ: а) 37; б) 81; в) 63; г) 60; д) 162.
14. Составить уравнение касательной к кривой
у = i(#-3)7sin5# + #2 -2x4-1
в точке с абсциссой х = 3.
Ответ: а) у = Зх — 5; б) у = —2а;; в) у = х\ г) у = 3;
д) у = Ах - 8.
Тест 71
1. Среди прямоугольников с данной площадью 16 м2
найти стороны того прямоугольника, который имеет
минимальный периметр.
Ответ: а) 4; б) 2; в) 8; г) 5; д) 2.
2. Решить уравнение \Ах + 7| = Зх2 + 8 и указать
больший корень.
Ответ: а) 1; б) |; в) 2; г) -1; д) |.
157

3. Решить уравнение х 4- 2х Q = 2 и указать сум-
му корней.
Ответ: а) -1; б) 3; в) 2; г) -1; д) 4.
4. Вычислить 4sin4а-сов2а t _x 25
(1 + cos2a)(l+cos4a) к ь '
Ответ: а) 0; б) -5; в) -4; г) 3; д) 2.
5* Решить систему
[5х + 4-2х = 5у + 4.3*
и указать значение х + у, где {х,у) — решение
системы.
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) -1; д) 3.
6. Решить уравнение у/\ + Ах — х2 = х — 1.
Ответ: а) 0; б) 3; в) 2; г) -3; д) 4.
7. Решить уравнение 51+х — 51~х = 24.
Ответ: а) 1; б) 0; в) -1; г) 2; д) 3.
8. Найти область определения функции
f(x) = \J\/2x 4- 4 - х + 2 4- lg l^i
и в ответе указать сумму наибольшего и
наименьшего значений из этой области.
Ответ: а) 4; б) 2; в) 3; г) -1; д) -4.
9. Решить уравнение (1 - tg#)(l 4- sin2#) = 1 4- tgx и в
ответе указать число корней на отрезке [0;2тг].
Ответ: а) 0; б) 3; в) 5; г) 2; д) 4.
1 Зх-1
тч / 2 \ б2 6- 2я 2
10. Решить неравенство I ^ ) < «■ и указать наи-
меньшее целое а; из множества решений.
Ответ: а) -2; б) 2; в) 0; г) -1; д) 3.
158

11* Определить значение а, при которых произведение
корней уравнения х2 + Зх + (а2 — 7а + 12) = О
равно нулю. В ответе указать произведение этих
значений а.
Ответ: а) 7; б) 4; в) 3; г) -12; д) 12.
12. Найти первый член арифметической прогрессии,
если ее разность равна 16, а сумма первых шести ее
членов равна 270.
Ответ: а) 6; б) 8; в) 5; г) 4; д) 3.
13. Вкладчик положил в банк 25 000 р. под 8% годовых.
Какова будет сумма вклада через 3 года?
Ответ: а) 34 921; б) 1942; в) 4300,8; г) 31492,8;
д) 30492,8.
14. Радиус окружности, вписанной в основание
правильной пирамиды, равен — см, а боковая грань накло-
v3
нена к плоскости основания под углом 60°. Найти
площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ: а) 5; б) 4; в) 3; г) 8; д) 6.
Тест 72
1. Свежие фрукты содержат 85% воды, а сухие — 15%.
Скольхо килограммов сухих фруктов можио
получить из 1700 кг свежих?
Ответ: а) 200; б) 300; в) 450; г) 600; д) 350.
2. Большой насос перекачивает за 1 ч на 2 м3 воды
больше, чем малый насос. Резервуар объемом 260 м3
наполняли сначала 7 малыми насосами. Когда в
резервуаре было 56 м3 воды, 3 малых насоса
заменили большими. Сколько м3 воды перекачивает в час
большой насос, если весь резервуар был заполнен за
8 ч?
Ответ: а) 4; б) 5; в) 6; г) 7,5; д) 8.
159

3. Какое максимальное значение может принимать
величина х + у, если
х2 - Ъху + 6у2 = 15 и х2 - 2ху + 2у2 = 5?
Ответ: а) 3; б) 2VT6; в) |л/ТО; г) 2 + \/lO; д) -3.
4. Решить неравенство у/5х + 1 ^ х — 1. Найти длину
промежутка, на котором оно имеет место.
Ответ: а) 5: б) 3: в) 6,8: г) 7; д) 7,2.
5. Построить область, координаты точек которой
удовлетворяют неравенствам
Зх + 4у + 7 > 0, Зя - 4у 4- 23 > 0, 9я - 4у + 5 < 0.
Определить число точек с целыми координатами в
этой области.
Ответ: а) 20; б) 41; в) 18; г) 15; д) 10.
6. При каком а система
- & = 5а + 8,
совместна? Указать наибольшее целое среди таких а.
Ответ: а) 0; б) 1: в) 5; г) 3: д) 4.
7. Вычислить
4tgl7°
tg34°(l-tg217')'
Ответ: а) 2; б) -1; в) 3; г) 0,5; д) 4.
8. В прямоугольном треугольнике один из катетов
равен 10. а котангенс противоположного угла равен 2,4.
Найти радиус описанного круга.
Ответ: а) 9; б) 8; в) 11; г) 13; д) 10.
9. Решить уравнение
z + lj =2(l+sin2z)
160

и указать корень, принадлежащий интервалу
Ответ: а) |тг; б) тг; в) ^; г) Af\ д) Ц-.
10. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у = у/х, у = -х3, х - 0. х - 1
Ответ: а) 2; б) 3; в) 1,75; г) 2,4; д) Jj
11. Сторона основания правильной треугольной
пирамиды равна 12. а боковые ребра образуют с
плоскостью основания угол 45°. Найти объем пирамиды.
Ответ: а) 136; б) 120; в) 144; г) 139; д) 140.
12. Найти угловой коэффициент касательной к кривой
о
в точке с абсциссой х = 2.
Ответ: а) 1; б) -|; в) -1; г) 2, д) i=.
13. Найти сумму координат середины отрезка АВ, если
А(3;-2),В(5;12).
Ответ: а) 7; б) 5; в) 3; г) -2; д) 9.
14. Найти вершину D квадрата ABCD, если
Я(2;3), С(4;2). Указать значение х.
Ответ: а) 4; б) 3; в) 2: г) 5; д) 0.
6-1731

Раздел третий
Тесты типа В
Тест 73
1. Чему равен остаток от деления многочлена
6ж5 4- 8х4 4- х3 4- х2 - Ъх + 1
на 2хг 4- х - 1?
Ответ: а) 0: б) х; в) х 4-1; г) 2а; — 1; д) 1.
2. Найти меньший корень уравнения
3 + 21og2(^-6)=log2(o;2 + 3).
Ответ: а) -\Лб; б) 15; в) -20; г) 3: д) 19.
3. Решить уравнение 8 • *~ 0 4- 9 • •£•—т = 27 и указать
меньший корень.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) -1; д) -2.
4. При каком значении параметра а система уравнений
[7х2 + 21у2 = 210,
[8х2 + ау2 = 240
имеет бг конечно много решений? Указать хотя бы
одно из них
Ответ: а) а = 24, (х,у) = (±3, ±y/l)\ б) а = 5,
(я:, у) = (0,±л/1б); в) о = -6, (яг,у) = (л/30,0);
г) о = 4, (я:, у) = (6,1); д) а = 3, (яг, у) = (3,3).
5. Составить уравнение окружности, проходящей через
три данные точки Л(5; 1), В(6;6), С(1; 1).
162

Ответ: а) (х + З)2 + (у + 4)2 = 13;
б) (х-5)2 + (у-б)2 = 15; в)(а;-3)2 + (у-4)2 =
г) (х - I)2 + (у - 4)2 = 10; д) (х + I)2 + 42 = 25.
6. Решить уравнение 4-53 = (1 — 5 з )v5.
Ответ: а) §; б) |; в) -§; г) 1; д) 0.
7. Решить систему уравнений
£_1=0
у2 =
+ Ъух + Зу2 = 24
и в ответе указать наибольшую сумму чисел х + у
таких, что (#, у) — решение системы.
Ответ: а) 3; б) 2^/2^5; в) 0; г) 4,8; д) 5.
8. Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству
х2 - \5х - 3| < х + 2?
Ответ: а) 10; б) 9; в) 3; г) 7; д) 8.
-пг ) + 0,5 = 0.
Ответ: а) {1,2}; б) {§,-§}; в) {-1,3};
10. Решить уравнение
Ответ: а) 0; б) 8; в) 3; г) -7; д) -8.
11. Вычислить без компьютера и таблиц
128 • sin 10° ■ cos 80° • cos 20° ■ sin 50° • cos 40° sin 70°.
Ответ: a) 1,2; 6) 1; в) З; г) 2; д) 5.
6* 163

12. Найти высоту, опущенную из вершины
треугольника .4(3,2) на сторону ВС треугольника ABC, есл!
В[8:1) иС(7;6).
Ответ: а) ~Р=: б) 10; в) 7; г) 6; д) 4.
v26
13. Решить уравнение c°s\x = \/2cos5a; и указать число
COS oX
его корней на отрезке — т^: ут> г
Ответ: а) 2; б) 3; в) 1; г) 0; д) 4.
14. Изобразить на плоскости множество всех тех точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству
— + -j- ^ 1, и вычислить площадь полученной при
этом фигуры.
Ответ: а) 56; б) 48: в) 28; г) 112; д) 30.
15. Найти наименьший положительный период функции
f(x) — \s\nx\ + tg2x.
Ответ: а) тг; б) |: в) 2тг; г) ^: д) |.
16. Сумма первых пяти членов возрастающей
арифметической прогрессии равна 55, а разность прогрессии
равна 4. Найти третий член прогрессии.
Ответ: а) 11; б) 9; в) 8; г) -4; д) -11.
17. Большее основание равнобедренной трапеции в три
раза больше меньшего основания. Площадь
трапеции равна у/3. Найти ее боковую сторону, если
трапеция описана около окружности.
Ответ: а) у/2: б) 1; в) 2; г) л/3; д) |.
18. Составить уравнение касательной к кривой
у = Зх2 - х + 2,
проведенной через точку с абсциссой х = 0,5.
Ответ: а) у = 2х - 3: б) у = 2х — 4; bJ у = Зх — 1;
г) у = 0,5х 4- 0,25; д) 2дг + 1,25.
164

19. Найти тангенс угла между векторами 5(1; 2)' и
5(-3;2).
Ответ: а) -8: б) -1, в) 2: г) 8; д) 9
20. Диагональное сечение правильной
четырехугольной пирамиды представляет собой правильный
треугольник. Найти объем пирамиды, если сторона ее
основания равна \/Ъ.
Ответ: а) 1; б) 3; в) #6; г) -*-; д) -±=.
Тест 74
1. Решить уравнение
6 +За „
Ответ: а) 4; б) 2,25; в) 2; г) -1; д) 1,75.
2. Вычислить
Ответ: а) |; б) 0; в) -|; г) -1; д) 2.
3. Решить систему уравнений
(25х2 -4у2 = 12,
I 3 I 4 =2
4 5x4-2?/ 5гг — 2у
В ответе указать значение х • у.
Ответ: а) ^; б) 3; в) -^; г) 14; д) 21.
4. Найти число целых решений неравенства
Ответ: а) 4; б) 5; в) 9; г) 3; д) 2.
165

5. При каком значении параметра а сумма квадратов
корней уравнения 2х2 — 7х + а = 0 равна 21,25?
Ответ: а) 8; б) -9: в) 11; г) -6; д) 7.
6. При каком значении а система уравнений
\8-32*-аДоё2у=1
не имеет решений?
Ответ: а) -24: б) 8; в) 3; г) 11; д) 0.
7. Решить уравнение
л/18 - 2х + у/х + А = V2-6x - у/-х - 4.
Ответ: а) -4; б) 0: в) 9: г) -2; д) 1.
8. Решить тригонометрическое уравнение
1 - sin 10х = (cos Зх - sin Зх)2
и указать число корней в интервале (0; ?).
Ответ: а) 2; б) 1; в) 3; г) 0; д) 4.
9. Решить уравнение Iog4(x - 1) + Slog^.^ 4 = 4 и
указать сумму корней.
Ответ: а) 43; б) 5; в) 65; г) 69; д) 70.
10. Площадь трапеции равна 2400 м2, а высота и одно
основание соответственно равны 24 м и 60 м. Найти
другое основание трапеции.
Ответ: а) 180: б) 74; в) 140; г) 150; д) 90.
11. Решить систему уравнений
Гб • 22/ + 2гг = 123
| 3 • 2У - х = -3.
166

В ответе указать величину х2 + у2.
Ответ: а) 15,3; б) 10; в) 21,25; г) 24: д) 20,25.
х2-1
12. Решить неравенство . > 0.
у/-2х2 + 5х - 2
Ответ: а) [-1:1]; б)(-1;|); в) [1:2): г) (-1;2J;
М
13. Решить уравнение log2 |1 4- х\ = log4 |7 4- х\.
Ответ: а) -1 и 4; б) -3 и 2: в) 2 и -7; г) 0 и -3:
д) -2 и 3.
14. Найти /'(2), если
г{х) = 3^9а;2-9+^(2а; - 4)3.
Ответ: а) 3; б) 6; в) ^4; г) 9; д) 4.
15. Найти меньший корень уравнения 32~2х = 2~
Ответ: а) |; б) §; в) 0,2; г) 0,5; д) 1.
16. Решить уравнение log3 (log! ^ + 3 log2 ж + 5) = 2и
указать больший корень.
Ответ: а) 3; б) 2; в) 5; г) 4; д) -1
17. Найти область определения функции
у = yj-(x2 - Sx + 2) + уЦя2 - 5х + 6).
Ответ: а) (-оо;-1); б) (1;2): в) 2: г) (3i+oo).
д)(1;3).
18. Найти наименьшее натуральное значение х<
удовлетворяющее неравенству
Ответ: а) 8; б) 9; в) 3; г) 4; д) 0J.
167

19. Две окружности одинаковых радиусов с центрами
О и О] пересекаются в точках А и В. причем О
и О\ расположены по разные стороны хорды АВ.
Длина дуги АВ составляет -z часть длины
окружности. Найти длину хорды АВ, если площадь ромба
OAOiB равна ^ см2.
Ответ: а) 1: б) л/3; в) 3; г) 2.4: д) 3,5.
20. Длина высоты правильной усеченной
четырехугольной пирамиды равна 7 см. Длины сторон оснований
10 см и 2 см. Найти длину бокового ребра.
Ответ: а) 3: б) 2: в) 9; г) 7: д) 8.
Тест 75
1. Найти ординату точки пересечения прямых
5х + у = 9 и 2х-Зу = -10.
Ответ: а) 9: б) 5; в.) 4: г) -4: д) —1.
2. Вычислить -—~х + 52—- + . г ,ч + -—^ г при
(3rr-4)(3rr + 4) 2(3rr-4) rr(-3rr + 4) K
X = -12.
Ответ: а) 8: б) 3: в) 0: г) -1: д) -2.
3. Упростить до числа
Ответ: а) 0; б) 1: в) 2; г) 3: д) 2.
4. Найти меньший корень уравнения
6 , 14 . 1 = о
х - 2 1-х
Ответ: а) 0: б) 1: в) 3; г) 2; д) 8.
168

5. Некоторое изделие стоимостью в 10 тыс. руб.
сначала подорожало на 5%, затем подешевело на 5%
Какова новая стоимость изделия?
Ответ: а) 1200: б) 3000; в) 9975; г) 100; д) 120
6. Найти больший корень уравнения ||2# + 4| — 111 = 3.
Ответ: а) 3; б) 0; в) 4. г) о; д) —1.
[
7. Вычислить [J ь _ у/п\ =
\/20 /1 V7 /U ) \/20
Ответ: а) 3; б) -2; в) -1, г) 1; д) 0
8. Две машины типа А и пять машин типа В за один
рейс могут привезли 25 т груза, а пять машин типа А
и одна машина типа В — 28 г. Сколько груза может
перевезти за один рейс одна машина типа А?
Ответ: а) 4; б) 3; в) 5; г) 8; д) 1.
log 16 6400-2 log0)8 10
9. Вычислить 5 25
Ответ: а) 3; б) 8; в) 5: г| 4. д) 2.
10. Упростить выражение (32 — Ах) ( 2 и ^-—z ) и вы-
числить при х = л/27.
Ответ: а) 9; б) 8; в) 2; г) 4: д) 3.
11. Упростить 2(sin6 a + cos6 a) — 3(sin4 a + cos4 a)
Ответ: а) 0; б) 2; в) 1; г) -1: д) 3.
12. Вычислить без таблиц и калькулятора
- л/2).
Ответ: а) 1,8; б) 5; в) 8: г) 10; д) 2.
13. Найти произведение координат точки пересечения
прямых х + у = 4 и 2# — Зу = 3.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4: д) -3.
169

14. Найти площадь треугольника, образованного
касательной к кривой у = —х2 -ж + 5в точке с абсциссой
х = 2 и осями координат.
Ответ: а) 7,4; б) 9: в) 8Д; г) 3; д) 8.
15. Вычислить значение дроби
4,1 1
х2 - Юя + 25 25-х2 х + 5
при х = 13.
Ответ: а) -1: б) -3; в) 5; г) 0; д) 7.
16. Вычислить |(1 4- ctga)(l + ctg/З), если а + /3 = ^.
Ответ: а) 0; б) -1; в) 1: г) 2; д) -2.
17. Найти меньшее решение неравенства
3#2 — 16 sin х < 48 — х2 sin ж.
Ответ: а) -48; б) -6; в) -4; г) 11; д) 16.
18. При каком значении а сумма квадратов корней
уравнения ах2 4- Зх - 5 = 0 равна ^?
Ответ: а) 1: б) 0: в) 2; г) 7; д) -2.
19. Найти значение функции f(x) — х* в точке
х + 4гг + 8
максимума.
Ответ: а) |; б) -2; в) ±; т) |; д) 0.
20. Найти число корней уравнения
принадлежащих интервалу (0; тг )•
Ответ: а) 4; б) 2; в) 1; г) 0; д) 3.
170

Tea 76
1. Решить уравнение ~ Н ^ = 6 и указать
произведение корней.
Ответ: а) 8; б) 3; в) 6; г) -12; д) 9.
2. Упростить выражение
Vl6mn
Ответ: а) |; б) т; в) 4; г) у/п; д) 0.
3. Решить уравнение 22х - 2х - 2 = 0.
Ответ: а) 2; б) -1; в) 1; г) 0; д) 3.
4. Решить уравнение Iog2(4 • 3х — 6) - Iog2(9rc — 6) = 1.
Ответ: а) -3; б) 0; в) 1; г) -1; д) 2.
5. Решить систему уравнений
fz + 2y = 2,
[2я + 3у = 8
и в ответе указать сумму х 4- у, где (я, у) — решение
системы.
Ответ: а) -8; б) 11; в) 6; г) 10; д) -4.
6. Вычислить /(3), если f{x) = 2х 4- Зх - 15.
Ответ: а) 9; б) -21; в) 2; г) 1; д) -2.
7. Вычислить х\ — х\Х2 + х<2, если #i и #2 — корни
уравнения х2 + 2х — 3 = 0.
Ответ: а) 9; б) 7; в) 13; г) 8; д) 3.
8. Вычислить значение функции у = 2х2 — \2х + 17 в
точке минимума.
Ответ: а) 1; б) 0; в) -1; г) 2; д) 4.
171

9. Вычислить (^9+ #6
Ответ: а) 0; б) -1; в) 1; г) 3; д) 4.
10. Вычислить 3sino;~cosa, если tga = 2.
sm a + 2 cos a' °
Ответ: а) 0; б) 1; в) §; г) |; д) §.
sm a
Ответ: а) 3; б) -1; в) 0; г) 1; д) 2.
11. Упростить
1
Ответ: а)
12. Вычислить
5arccos(—1) — 12arccos ^— 6arccos ( — Д= J .
1 \ v2/
Ответ: a) f; б) -|; в) 0; г) -^; д) тт.
13. Найти наибольшее значение функции f(x) =
= —5sinx 4-12 cos x.
Ответ: а) 2; б) 3; в) 13; г) 6; д) 8.
14. Вычислить log6 ~ + log6 ~.
Ответ: а) 9; б) 2; в) -3; г) -4; д) -1.
15. Решить систему уравнений
и указать нецелое значение у, удовлетворяющее
системе.
Ответ: а) — log2 9; б) log3 8; в) 3; г) —2; д) —21og3 2.
16. Определить высоту трапеции с основаниями 25 и 11
и боковыми сторонами 15 и 13.
Ответ: а) 11; б) 25; в) 15; г) 13; д) 12.
17. Высота правильной четырехугольной пирамиды
равна 3. Боковая грань образует с основанием угол 60°.
Найти объем пирамиды.
Ответ: а) 21; б) 3; в) 12; г) 11; д) 9.
172

18. Решить систему уравнений
f
log4z-=y- 1,
б 4
и в ответе указать меньшее из значений -^(у - х)
где (х* у) — решение системы
Ответ: а) 3; б) 4; в) -2; г) -I* д) 3.
19. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у = х2 + 2х - I и у = Зх -h 1
Ответ: а) 3; б) 2; в) 1; г) 4,5; д) 0; 2.
20. При каком значении х векторы
а(х; -2; 1) и Ь(х; — х;1)
перпендикулярны?
Ответ: а) 2; б) -3; в) -2; г) -1: д) 4.
Тест 77
1. Найти тот корень уравнения 134х2 + 399х - 533 = 0,
который отличен от 1.
Ответ: а) 1; б) 533: в) - ~|; г) 134: д) 399.
2. Раскрыть модули в выражении
у = |3х - 2| - |2х - 5| - 2х + 3
при х < ^.
Ответ: а) -Юх; б) 2; в; - Зх, г) 0; д) -1
3. Вычислить х\ + Х2- если xi и Х2 корни уравнения
2х2 - Зх - 50 ^ 0.
Ответ: а) 14; б) 22: в) ~^: г) 9, д) 27.
173

4. Вычислить
Ответ: а) л/2; б) 6; в) 7; г) %/б; д) ^25.
5. Вычислить Iog4(log2(log381)).
Ответ: а) -1; б) 4; в) 0,5; г) 3; д) 2.
6. Решить уравнение -^Го + I = * и Указать меньший
корень.
Ответ: а) 8; б) 1; в) 4; г) 5; д) 0,2.
7. Решить уравнение \3х — 2| = 5 и указать целый
корень.
Ответ: а) -3; б) -2; в) -1; г) 7; д) 3.
8. Решить систему уравнений
{х + Зу = 4,
Ах -Зу = 1
и указать произведение #у, если (#, у) — решение
системы.
Ответ: а) 3; б) 2; в) 1; г) 2; д) -1.
9. Определить расстояние между точками А(2; 1)
иВ(5;-3).
Ответ: а) 3; б) |; в) 5; г) 1; д) §.
1 п лг ~ л m 10 sin 40° • sin 50°
1U. Упростить — .
Ответ: а) 2; б) -1; в) 5; г) 4; д) 3.
11. Найти корень уравнения
sin (f-2*)= 4-
принадлежащий интервалу (0;60°).
Ответ: а) 30°; б) 45°; в) 135°; г) 60°; д) 0°.
174

12. Решить неравенство \ ^ х и указать наибольшее
целое отрицательное решение.
Ответ: а) -3; б) -1; в) 0; г) -2: д) -5
13. Найти /' f |j, если f(x) = sinxsinЗх + cos2л;
Ответ: а) -3; б) 6; в) 3; г) 7; д) 8.
14. Найти значение функции в точке максимума, если
Ответ: а) 31,5; б) -7*-; в) 13,5; г) 9; д) 2.
15. Третий и седьмой члены арифметической
прогрессии соответственно равны 1,1 и 2,3. Найти сумму
десяти первых ее членов.
Ответ: а) 4; б) 3; в) 6; г) 8; д) 18,5.
16. В равнобедренном треугольнике основание равно
4%/3, а угол при вершине 120°. Найти проекцию
высоты на боковую сторону.
Ответ: а) 3; б) 2; в) 1; г) 0; д) -^z.
v3
17. Найти диагональ куба, если его объем равен 125.
Ответ: а) л/3; б) л/5; в) 2; г) 5%/3: д) 8.
18. Вычислить объем тетраэдра ABCD с вершинами в
точках Л(0;0;0), В(1; 0;0), С(0;2;0), £>(0;0;3).
Ответ: а) 3; б) 4; в) 5; г) 6; д) 1.
19. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у = 2 + sin#, у = 0, х = 0, ж = 7г.
Ответ: а) тг; б) 0; в) 2тг + 2; г) 1; д) 3.
20. Найти координаты четвертой вершины D
параллелограмма ABCD, если А(1; 1), В(4;3), С(5;5). В
ответе указать произведение координат точки D.
Ответ: а) 4; б) 7; в) 5; г) -6; д) 6.
175

Тест 78
1. В сосуде было 12 кг серной кислоты. Часть кислоты
отлили и сосуд долили водой, затем снова отлили
столько же и опять долили водой. Сколько жидкости
отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25%-й
раствор серной кислоты?
Ответ: а) 8; б) 6; в) 10; г) 9; д) 7.
2. Упростить w~ v-, ■ -у- ■■bvfr +
Ответ: а) 0: б) 1: в) а; г) Ь; д) |.
3. Решить уравнение (х — 1)(х — 3)(х- 5)(х — 7) +15 =0
и в ответе указать произведение всех его корней.
Ответ: а) 210; б) 120; в) 105; г) 15; д) 35.
4. Вычислить \J{\o%2 5 + 16 log5 2-8) log5 2+4 log5 12,5.
Ответ: а) -25; б) 7; в) 4; г) -1; д) 0.
5. Старший брат на мопеде, а младший на
велосипеде совершили часовую прогулку без остановок. При
этом брат на мопеде проезжал каждый километр на
4 мин быстрее, чем велосипедист. Сколько
километров проехал младший брат, если известно, что
старший проехал на 20 км больше?
Ответ: а) 8: б) 10; в) 15; г) 16; д) 18.
6. Решить уравнение
и в ответе указать сумму квадратов корней.
Ответ: а) 7; б) 5; в) 12; г) 18; д) 13.
7. Решить систему уравнений
4
З1
176

В ответе указать меньшее из значений у,
удовлетворяющих системе.
Ответ: а) -|; б) ±; в) 1; г) 2; д) 0.
8. Число 1665 разложить в виде суммы трех слагаемых
пропорционально числам 12, 17, 16. В ответе указать
большее число.
Ответ: а) 26; б) 8; в) 3; г) 629; д) 9.
9. Вычислить
при п = 100.
Ответ: а) 3; б) 15; в) 45; г) 1; д) 2.
10. Вычислить sin (| arccos | J.
Ответ: а) |; б) |; в) |; г) 1; д) -|.
11. При каком значении а система
] 2!+12/-31 - JFTI = За - 1
разрешима?
Ответ: а) 3; б) 1; в) 0; г) 2; д) -1.
12. Найти минимум функции у = х3 + 6.т2 + 9х + 1.
Ответ: а) 4; б) -3; в) 0; г) 2; д) 3.
13. Найти середину конечного промежутка, на котором
имеет место неравенство
(I)
>i6i-..
Ответ: а) 0; б) 0,5; в) 1,5; г) 2,3; д) 2.
177

14. Решить уравнение 3 + log2 x + log4 x = log3:r 27a;3.
Ответ: а) 0; б) -1; в) 2; г) 1; д) 0,25.
15. Решить уравнение
9х + ! =4
х* + 2х + 1 хг - 2х + 1
и указать меньший корень.
Ответ: а) 0; б) 1; в) 0,5; г) 3; д) 4.
16. Дано Ьс = 81, Ьа = 9, са = 5. Найти сс.
Ответ: а) 14; б) 13; в) 25; г) 10; д) 51og92.
17. Найти наибольшее решение неравенства
2х2 - х2 sin2 х < 8 - 4 sin2 s.
Ответ: а) 0; б) 3; в) 2; г) -1; д) -2.
18. В равнобедренном треугольнике высота равна 20 м,
а основание относится к боковой стороне как 4 : 3.
Найти радиус круга, вписанного в этот треугольник.
Ответ: а) 15 м; б) 12 м; в) 8 м; г) 16 м; д) 9 м.
19. Решить уравнение
1 — cos х = 2л/3 sin |
и в ответе указать корень, принадлежащий интерва-
лу (-§тг;О).
Ответ: а) -|; б) -тг; в) -^; г) 0; д) -^.
20. Объем правильной треугольной пирамиды равен j, a
площадь ее основания равна -—-. Найти (в градусах)
величину угла наклона бокового ребра к основанию.
Ответ: а) 45°; б) 60°; и) 10°; г) 30°; д) 50°.
178

Тест 79
1, Найти расстояние от точки (7; —3) до прямой
Зх + 6у - 3 = 0.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 0; д) 5.
2. Упростить выражение
, _
1 + л/1 - х 1 - \Л - х
о
и вычислить его значение при х = j.
Ответ: а) -2; б) -3; в) |; г) -1; д) 2.
3. Вычислить ~ f arctg | + arctg | + arctg | + arctg | J.
Ответ: а) 0; б) 2; в) 1; г) -1; д) 3.
4. Вычислить значение выражения
у = 10 ctg 2я - 13 cos 2x,
если tg# = 1,5.
Ответ: а) 27; б) 19; в) 29; г) 21; д) 18.
5. Изделие подешевело на треть. На сколько
процентов оно должно подорожать, чтобы его цена стала
прежней?
Ответ: а) 22%; б) 30%; в) 50%; г) 14%; д) 45%.
6. Решить уравнение 32х~2гр2 = 40>3 и указать больший
его корень.
Ответ: а) 1; б) 0,3; в) ±; г) 3; д) 2.
7. Решить уравнение log3 (log2 x — 3 log2 ж + 5)=2и
указать меньший корень.
Ответ: а) 16; б) 8; в) 23; г) 19; д) 0,5.
179

8. Решить уравнение
sin2 а; — (\/3 + 1) sin x cos х + %/3cos2# = О
и указать корень, принадлежащий отрезку 0; тИ .
Ответ: а) |; б) |; в) ^; г) ^; д) |.
9. Найти целое решение неравенства
Iog2(# 4-1) < Iog4(5 — х).
Ответ: а) -1; б) 0; в) 2; г) 3: д) 4.
10. Решить уравнение
9гг . Зх _ о
х2 + 2гг -f 1 я2 - 2я + 1
и указать больший корень.
Ответ: а) 1; б) -3; в) 2; г) 1; д) 4.
11. Дано Ъс = 49, Ьа = 7, са = 8. Найти сс.
Ответ: а) 60; б) 58; в) 64; г) 34; д) 43.
12. Упростить
a + y/abj а-Ь
Ответ: а) -1; б) 2; в) 0; г) 1; д) -2.
13. Решить уравнение Iog3(32x — 9 + 3х) = х.
Ответ: а) -1; б) 1; в) 0; г) 2; д) 3.
14. Решить уравнение
и указать максимальный корень.
Ответ: а) 7; б) 5; в) 6; г) -1; д) 4.
180

15. Решить систему уравнений
)х-у "'
\х2 + у2 = 13
и указать минимальное значение х — у, если (#, у) —
решение системы.
Ответ: а) 3; б) 9; в) 12; г) -5; д) 8.
16. Найти наибольшее целое решение неравенства
х 7 -225x7 +х2 < 225.
Ответ: а) -4; б) 14; в) 15; г) 10; д) 2.
17. Вычислить площадь треугольника, образованного
касательной к кривой у = х2 + 2х — 3 в точке Мо(2; 5)
и осями координат.
Ответ: а) jf; б) g; в) А; г) А; д) f.
18. Решить уравнение
и в ответе указать произведение корней.
Ответ: а) 225; б) 15; в) 100; г) 106; д) 4000.
19. Найти сумму координат точки пересечения прямых
2х - Зу + 10 = 0 и 5х 4- у - 9 = 0.
Ответ: а) 4; б) 3; в) 0; г) 5; д) 0.
20. Основание АС равнобедренного треугольника ABC
равно 12 см, боковые стороны АВ = ВС равны
7,5 см. Найти длины отрезка ВО, где О — точка
пересечения высот треугольника ABC.
Ответ: а) 2,4; б) 3,5; в) 3,6; г) 28; д) 3.
181

1. Вычислить #3
Ответа: а) 80; б) 4; в) 66; г) 15; д) 8.
2. Раскрыть модули в выражении
у = \3х + 5| - |5я? + 3| - 2х + 2
при х < -|.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 2; г) -3;- д) 1.
3. Вычислить у/х\ + #|> если #1 и #2 корни уравнения
12я2 + 7х - 5 = 0.
Ответ: а) А; б) f; в) g; г) ^; д) 5.
4. Вычислить * _+ _г _+ _г _+
/7 /8 /б + /7 /5 /б
Ответ: а) -2; б) 0; в) -1; г) 2; д) 3.
5. Решить уравнение —~г + - = | и указать
отрицательный корень.
Ответ: а) -2; б) -10; в) -|; г) -±; д) -3.
6. Решить уравнение \5х +1| = 3 и указать
неположительный корень.
Ответ: a) -±; б) -|; в) -|; г) -1; д) 0.
7. Решить систему уравнений
{Зх + 2у = 11,
za; — оу — о
и указать Iog2(# + у), где (#, у) — решение системы.
Ответ: а) 1; б) -2; в) 2; г) 0,5; д) 3.
8. Найти угловой коэффициент прямой АВ, если
А(-1;2), В(1;5).
Ответ: а) 1; б) 0; в) 1,5; г) 2,3; д) 4,8.
182

9. Решить неравенство
logi(z-3)>-2
5
и указать наибольшее целое его решение.
Ответ: а) 11; б) 9; в) 8; г) 4; д) 3.
10. Найти /'(1), если f(x) = 3л/^+1.
Ответ: а) -§; б) 2; в) 3; г) |; д) 4.
11. Найти значение функции в точке максимума, если
f(x) = |я4 + я3 - я2.
Ответ: а) 10; б) 5; в) 4; г) -3; д) 0.
12. Сумма четырех первых членов арифметической
прогрессии равна 56. Сумма четырех последних членов
равна 112. Найти число членов прогрессии, если ее
первый член равен 11.
Ответ: а) 11; б) 9; в) 8; г) 12; д) 14.
13. Катеты прямоугольного треугольника равны 20 см
и 21 см. Найти радиус описанной окружности.
Ответ: а) 5,2; б) 3,4; в) 1,9; г) 14,5; д) 15.
14. В основании пирамиды лежит равносторонний
треугольник со стороной 2\/3. Боковые ребра
наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найти
объем пирамиды.
Ответ: а) 1; б) 6; в) 1,5; г) 9; д) 4.
15. Решить систему уравнений
* = 18
V
и в ответе указать ^, если (#, у) — решение системы.
Ответ: а) нет решений; б) 1; в) —4; г) —2; д) —3.
183

16. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у = Зх2 - х + 5, у = 2х2 + 2х + 5.
Ответ: а) 13,82; б) 4,04; в) 5; г) 4,5; д) 9.
17. При каком значении р система уравнений
{рх + Зу = 4,
х + 2у = 11
не имеет решений?
Ответ: а) 0,5; б) 1,5; в) 0,1; г) 2; д) 3.
18. Дан куб ABCDA\B\C\D\. Разложить вектор ОС по
векторам АВ\, AD\ и АА\, если О — центр
симметрии куба. В ответе указать сумму коэффициентов
разложения.
Ответ: а) |; б) -|; в) -§; г) 1; д) -1.
19. Решить уравнение sin7# — sin x = cos4# и указать
число корней, принадлежащих отрезку 0; ? .
Ответ: а) 3; б) 2; в) 4; г) 1; д) 0.
ОЛ тз Iog240 Iog2320
20. Вычислить -——- - . о .
log160 2 log20 2
Ответ: а) 0; б) 2; в) 1; г) 3; д) Ig25.
Тест 81
1. Найти сумму корней уравнения
361а;2 + 582ж - 943 = 0.
184

1 я
2. Решить уравнение —7-7 Н ^ = — 1.
гг + 1 гг — 3
Ответ: а) -1,5; б) 3,5; в) 0: г) 1; д) -3.
3. Найти х\ + х\, если #1, #2 — корни уравнения
2х2 + Зя - 15 = 0.
Ответ: а) 40; б) 27,5; в) 100,25: г) 185,0625; д) 200.
4. Записать выражение у = |#+2|+|ж—2|—5 без модулей
на отрезке [-2,2].
Ответ: а) —5; б) х + 2; в) х — 2; г) — 1: д) 2# — 5
5. Вычислить у/22-уД • \/23 • s/2.
Ответ: а) ^2; б) л/2; в) л^2: г) 2; д) 1.
6. Вычислить lglf"lg4.
Ig64
Ответ: a) Ig4; б) 1; в) Iog464: г) |; д) 3.
7. Преобразовать выражение
sin2 2а - cos (| - 2а) • sin ^2а - |) .
Ответ: a) sina; б) 1; в) cos2a; г) 5; д) 0,25.
8. Решить уравнение \\2х - 3| + 5| = 7х.
Ответ: а) |; б) |; в) 3; г) §; д) 7.
9. Вычислить tg тг, если sina — cos a = |.
Ответ: а) л/3; б) 4=5 в) 1; г) 3; д) 2.
V3
10. При каких значениях параметра к уравнение
|я2-6|я|+8| = к
имеет четыре корня?
Ответ: а) к G (0; 1); б) к = 1; в) к = 0;
г) fc€(8;+oo); д) fcG(l;8).
185

11. Решить систему уравнений
{х-2 4-у"2 = 25.
Ответ: а) (3;4); б) (4;-3); в) (±;±); г) (\;\
12. Составить уравнение касательной к кривой
у = х2 + 2х 4- 5
в точке с абсциссой х = 1 и определить площадь
треугольника, образованного этой касательной и
координатными осями.
Ответ: а) 1,5; б) 2; в) 2,5; г) 3; д) 3,5.
13. Решить уравнение sin6x + cos6# = 1 — 2 sin За; и в
ответе указать число различных корней,
принадлежащих интервалу (0;2тг).
Ответ: а) 3; б) 5; в) 8; г) 9; д) 11.
14. Решить неравенство
\trx- 1
Ответ: а) (1; 2); б) (0; *Т5); в) (О; -^); г) (2; -УШ):
15. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
f(x) = | + | + 1 на отрезке [1,4].
Ответ: а) /наиб — Ю, /наим = 2; б) /наиб = yt
/наим == <^i в) /наиб = "» /наим == ^>? г) /наиб == "^">
/наим — *>J Д) /наиб == о, /наим :=: 5.
186

16. При каких значениях параметра а векторы
а(3;2;5а) и Ь(а2;9;-3)
перпендикулярны?
Ответ: а) -2; б) 3; в) 0; г) 2; д) 1.
17. Расстояние между двумя станциями железной
дороги равно 96 км. Первый поезд проходит это
расстояние на 40 мин быстрее, чем второй. Скорость первого
поезда больше скорости второго на 12 км/ч.
Определить скорость второго поезда.
Ответ: а) 24 км/ч; б) 30 км/ч; в) 48 км/ч;
г) 42 км/ч; д) 36 км/ч.
18. В прямоугольном треугольнике ABC проведена
высота CD из вершины прямого угла. В маленькие
треугольники вписаны окружности радиусов г\ и г 2-
Найти радиус г окружности, вписанной в большой
треугольник.
Ответ: а) г\ + Т2\ б) у/г\Г2\ в) у/г\ + г|;
2 2
v^f + rf; д) 77Т77.
19. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой
у = — х от параболы у = 2х — х2.
Ответ: а) 13,5; б) 9; в) 4,5; г) 5; д) 6.
20. В правильной треугольной пирамиде плоский угол
при вершине равен а, а кратчайшее расстояние
между боковым ребром и противоположной стороной
основания равно d. Найти объем V пирамиды.
Ответ: а) £; б) j£^; в) |rf3ctg2f;
187

Тест 82
1. Упростить ( —• —-=. Л —- I . —.
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) а; + у; д) —1.
2. Найти а?, если lgх = 2 — lg б| — lg 6.
Ответ: а) ОД; б) 0,25; в) 2,5; г) 2; д) 3.
3. Найти Ах, если 0,1252* = 4х"1.
Ответ: а) -1; б) 2; в) 0,5; г) 1; д) 0.
4. Решить уравнение (х2 — А)у/х + 1 = 0 и указать
меньший его корень.
Ответ: а) 4; б) -1; в) 2; г) -2; д) 3.
5. Решить неравенство у/х + 61 < а; + 5 и указать
наименьшее целое его решение.
Ответ: а) 3; б) 4; в) 0; г) -2; д) 2.
6. Вычислить 216~3 . Ш~2 - 5"1 • (^
Ответ: а) 3; б) 1; в) 0; г) 2; д) -1.
7. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие — 12%.
Из какого количества свежих грибов можно
получить 450 кг сухих?
Ответ: а) 6390; б) 100; в) 3960; г) 230; д) 4500.
8. Растворы соли с концентрацией 70% и 40%
перемешали и получили новый раствор с
концентрацией 50%. Сколько килограммов раствора с большей
концентрацией содержится в 30 кг полученного
раствора?
Ответ: а) 3; б) 10; в) 9; г) 8; д) 5.
9. Решить уравнение Iog144(3 — х)2 = log12 у/Тх — 5 и
указать меньший корень.
Ответ: а) 5,4; б) 3,8; в) 2; г) 4; д) 3.
188

10. Найти сумму бесконечно убывающей геометриче-
7
ской прогрессии с первым членом, равным ^, и
четвертым —.
Ответ: а) 7; б) |; в) 3,5; г) 2; д) 10.
11. Решить неравенство — г < 1 и указать длину
(х- 1)
промежутка, на котором оно не выполняется.
Ответ: а) 1; б) 3; в) 0; г) 2; д) 3,5.
12. Решить уравнение 32х - 2 - 32х~2 - 2 • З2*"1 = 1.
Ответ: а) -2; б) 1: в) 0г г) -1; д) 3.
13. Решить систему уравнений
\ъ* + у/у = Ъ*
{23х-^у = 6
и в ответе указать х + у, где (я, у) — решение
системы.
Ответ: а) 0; б) 1; в) -1; г) 2; д) 3.
14. Две бригады должны были изготовить по 780
деталей. Первая изготовляла в день на 9 деталей
больше второй и поэтому выполнила задание на 6 дней
раньше, чем вторая. Сколько дней затратила вторая
бригада на выполнение задания?
Ответ: а) 22; б) 33; в) 62; г) 26; д) 14
15. Найти наименьшее натуральное число п, делящееся
на 36, в записи которой участвуют все цифры от 1
до 9.
Ответ: а) 132456789; б) 123457968; в) 123478956;
г) 123456798: д) 123459876.
16. Найти угол при вершине А треугольника ABC, если
А(2;3), Б(6;3), С(4;5).
Ответ: а) 30°; б) 21°; в) 0°; г) 45°; д) 60°.
189

4
17. Вычислить f(x2 — ix) dx.
о
Ответ: а) 0; б) |; в) 1; г) -§; д) |.
18. Хорда делит окружность в отношении 11 : 16.
Определить угол между касательными, проведенными из
концов этой хорды.
Ответ: а) 30°; б) 100°; в) (~fi)°; г) 90°; д) 40°.
19. Объем правильной четырехугольной пирамиды
равен 6, а сторона основания равна л/б. Найти угол
наклона бокового ребра к основанию (в градусах).
Ответ: а) 90°; б) 60°; в) 30°; г) 40°; д) 45°.
20. При каком значении т один из корней уравнения
х2 + 6х + т = 0 равен —7?
Ответ: а) 7; б) 4; в) -7; г) 3; д) 2.
Тест 83
1. Найти х2 + х2, если ii и^ корни уравнения
х2 - Ъх - 12 = 0.
Ответ: а) 24; б) 10; в) 49; г) 60; д) 12.
2. Вычислить cos у • cos -^ • cos —.
Ответ: а) -Ь б) 1; в) §; г) |; д) |.
3. Раскрыть модули в выражении
при х е [-|;+°°)-
Ответ: а) 0; б) 2х; в) -1; г) 2; д) х.
190

4. Вычислить
2V7 + 2 V6.
Ответ: а) л/б; б) л/28; в) 0; г) v/27; д) л/26.
5. Вычислить З21°ез2+1оез5
Ответ: а) 27; б) 6; в) 20; г) 7; д) 28.
6. Решить уравнение у—^-^ + у—^-^ = л/б-
Ответ: а) |; б) 1; в) 2; г) 3,6; д) 12.
7. Решить систему уравнений
fz + 2y = 4,
1 2а; + Зу = 7
и указать Iog5(a;2 + у2), если (х^у) — решение
системы.
Ответ: а) -3; б) 1; в) 0; г) 2; д) -1.
8. Найти расстояние между точками А(—4; 5) и
В(2;-3).
Ответ: а) 5; б) 7; в) 10; г) 9; д) \/8.
9. Вычислить ctg2a, если sin а = ^и^<а<тг.
Ответ: а) -4; б) 10; в) -±|§; г) -1; д) 2.
10. Найти корень уравнения sin За; 4- sin x = 2 sin 2а; на
отрезке [10°; 90°].
Ответ: а) 55°; б) 45°; в) 90°; г) 60°; д) 30°.
11. Решить неравенство Iog6(x2 — а;) < 1 и указать
наибольшее целое его решение.
Ответ: а) -1; б) 2; в) -2; г) 3; д) 10.
12. Найти /'(I), если f{x) =
Ответ: а) -1; б) 2; в) -2; г) 3; д) -5.
191

13. Найти значение функции f(x) в точке минимума,
если
f(x) = 6x- \х2 - \хъ + 13,5.
Ответ: а) 0; б) 1; в) -3; г) 2; д) 4.
14. Найти сумму бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, если третий член этой прогрессии
равен 2, а шестой равен -г.
Ответ: а) 8; б) ^; в) 10; г) 1; д) 16.
о
15. Касательная и секущая, выходящие из одной точки,
соответственно равны 20 см и 40 см. Секущая
удалена от центра окружности на 8 см. Найти радиус
окружности.
Ответ: а) 15; б) 19; в) 17; г) 20; д) 71.
16. В правильной четырехугольной пирамиде боковое
ребро образует с плоскостью основания угол 60°, а
сторона основания равна 2v^7. Найти площадь
боковой поверхности пирамиды.
Ответ: а) 24; б) 22; в) 28; г) 14; д) 16.
17. Решить систему уравнений
[2»-3^ = 18
и в ответе указать х • у, если (я, у) — решение
системы.
Ответ: а) 1; б) 18; в) 4; г) 3; д) 6.
18. Найти неизвестные координаты четвертой
вершины D параллелограмма ABCD, если
А(-1; 1; 1), В(2; -2; -1), С(3; -1; -5), D(x; у; *).
В ответе указать сумму координат точки Z).
Ответ: а) -2; б) 2; в) -1; г) 3; д) 0.
192

19. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х2 + х - 2 и у-Зх-2.
Ответ: а) |; б) 10; в) |; г) 1; д) 4.
20. В прямоугольном параллелепипеде площадь
основания равна 300, боковое ребро равно 16. Известна
также площадь сечения, проведенного через концы трех
ребер, исходящие из одной вершины, она равна 250.
Определить объем параллелепипеда.
Ответ: а) 3000; б) 2800: в) 4550; г) 5000; д) 4800.
Тест 84
1. Упростить выражение
(а4 - I)2 -2а4(а4 - 1) + а2
Ответ: а) 0; б) —1; в) 2; г) 1; д) 3.
2. Решить уравнение (Зх + 2)2 + 15(3* + 2) - 16 = 0 и
указать сумму корней.
Ответ, а) 0: б) 2; в) - 1; г) -6^; д) 3.
3. Решить уравнение v6# - х2 — 5 = 2х — 2.
Ответ: а) 3,5; б) 1,5; в) 1; г) 2; д) 3.
4. Решить неравенство у/х 4- 2 j> x и указать
наименьшее его решение.
Ответ: а) -1; б) 0; в) -2; г) 2; ц) 1
5. Решить уравнение f-^—h ^-^ = —^-т
•^ 3 — ж хг + 3 9 — х
Ответ: а) 4; б) \; в) 2: г) 0,25- ц) 2,5.
«5
7-1731 193

6. Найти длину промежутка, на котором имеет место
неравенство ~ > 2.
Ответ: а) 3; б) 2; в) 1; г) 4; д) 4,5.
7. Цена на товар снижена последовательно два раза на
20% и 13%, соответственно. Конечная цена 174 руб.
Какова была первоначальная цена (в рублях)?
Ответ: а) 200; б) 220; в) 250; г) 300; д) 1000.
8. Решить систему уравнений
{Зх 4- 2у = 4,
х 4- 4у = -2.
В ответе указать х2 4- у2, где (х,у) — решение
системы.
Ответ: а) нет решений; б) 4; в) 3; г) 5; д) 2.
9. Решить уравнение sin 2х — cos а; = 0 и указать число
корней в интервале (0;360°).
Ответ: а) 1; б) 4; в) 3; г) 9; д) 2.
10. Найти сумму бесконечно убывающей прогрессии, у
5 5
который второй член равен ^, а третий <г.
Ответ: а) 5,7; б) 2; в) 7,5; г) 4; д) 8.
11. Решить уравнение logg(2x—5)2 = log3 \/ШГ+~4 и
указать больший корень.
Ответ: а) 3,5; б) 3; в) 7; г) 2; д) 4,2.
12. Найти область определения функции
У = 1О§2 (^31 " I)
и указать ее наибольшее целое значение х.
Ответ: а) 3; б) 2; в) 4; г) -4; д) 5.
13. Решить уравнение Ъх 4- 5*+1 = 3750.
Ответ: а) 3; б) 4; в) 5; г) 3,5; д) 2.
194

14. На перегоне в 240 км поезд шел со скоростью, на
10 км/ч меньшей, чем предполагалось, и поэтому
прибыл на место назначения с опозданием на 20 мин.
С какой скоростью должен был двигаться поезд на
этом перегоне?
Ответ: а) 90; б) 80; в) 85; г) 95; д) 78.
15. Найти угол между векторами АВ и ВС, если Л(5:2).
В(1;2), С(3;4).
Ответ: а) 40°; б) 0°; в) 135°; г) 60°; д) 90°.
4
16. Вычислить / (х2 - х — 12) dx.
-з
Ответ: а) 20,5; б) -40; в) 41; г) 0; ц) -57g.
17. Около окружности радиуса 4 м описан
прямоугольный треугольник с периметром 60 м. Найти длину
гипотенузы.
Ответ: а) 14; б) 22; в) 31; г) 23; д) 26.
18. В треугольной пирамиде три грани взаимно
перпендикулярны, а их площадь равна 2, 4 и 9. Найти объем
пирамиды.
Ответ: а) л/2; б) 1; в) 2х/2; г) |; д) 4.
19. Найти /'(1), если
/(*) = |(3х + 1)(х2 - 2х + 1) - ^ tg \x.
Ответ: а) 4; б) 3; в) ±; г) 2; д) -1.
20. Найти наименьшее целое положительное .значение х
из области определения функции
Ответ: а-) 6; б) 7; в) 5: г) 9: д) 10.
195

Tea 85
1. Вычислить
\/V2 + 2x + \ + y/x2 - 2x + 1
при x G [-1; 1].
Ответ: а) -1; б) -2; в) 2х\ г) 2; д) 1.
2. Вычислить —— т—^ +4 при а; = -2-\/%.
Ответ: а) -1; б) 2; в) 0; г) 3; д) 4.
3. Найти сумму целых чисел, удовлетворяющих
неравенству у/х + 2 + |х - 4| < 6.
Ответ: а) 25; б) -2; в) 6; г) 1; д) -6.
4. Вычислить
f [(l + f)log23-log2(3*-13)]
при х = 41og32.
Ответ: а) 2; б) -1; в) 1; г) 0; д) -2.
5. Найти меньший корень уравнения ||2# + 4| — 111 =3.
Ответ: а) -6; б) -8; в) 7; г) -9; д) 10.
6. Изделие стоимостью в десять тысяч рублей дважды
подешевело на 2% каждый раз. Какова стоимость
изделия теперь?
Ответ: а) 2000; б) 9000: в) 9604: г) 9600; д) 9500.
7. Вычислить ( _2 _ - г_2 _ -f \/15 ] • -—:.
\\/Г9 - \/17 л/17- л/15 ) у/19
Ответ: а) 2; б) 0: в) 1; г) -1: д) 3.
8. Один рабочий первого разряда и один рабочий
второго разряда могут выполнить за час 8 деталей, а
три рабочих первого разряда и семь рабочих второго
разряда за час могут выполнить 36 деталей. Сколько
196

деталей могут выполнить за час пять рабочих
первого разряда и один рабочий второго разряда?
Ответ: а) 25; б) 13; в) 28; г) 24; д) 8.
9. Вычислить tg9° - tg 63° + tg 81° - tg27°.
Ответ: а) 5; б) 0; в) 3; г) 2; д) 4.
10. Упростить 2(sin6 x -г cos6 x) + 6 sin2 x cos2 х — 3.
Ответ: а) -2; б) 0; в) -1; г) 1, д) 2
11. Найти наименьшее целое решение неравенства
х2 + x2lg2x < 4 + 41g2z.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 1: г) 3; д) 2.
12. Один из катетов прямоугольного треугольника
равен 5, а другой 12. Найти длину медианы,
проведенной к гипотенузе.
Ответ: а) 0,4; б) 2; в) 6,5; г) 5,6; д) 9.
13. Радиус основания конуса равен 2, образующая
составляет с основанием угол 60°. Найти объем
правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус.
Ответ: а) 3; б) 8; в) 6; г) 2; д) 1.
1 -
14. Найти /'(тг), если f(x) = sin3 2x cos \ + ^ -«- 7
Ответ: а) 3; б) 0; в) 2; г) 1; д) -1.
15. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у = 0, у = 2 + у/х. х -= 0, х = 4.
Ответ: а) 9; б) 20; в) л/7; г) 29, д, f
16. Найти абсциссу третьей вершины прямоугольного
треугольника ABC, если А(0; 1), Ж1 3), C\j\ 1).
Вычислить площадь треугольника и в ответе указать
эту площадь.
Ответ: а) 9; б) 3; в) 4; г) 5; ц) 8.
197

17. Решить уравнение tg# + tg3# = 2sin4# и указать
число корней, принадлежащих отрезку ~f; § •
Ответ: а) 0; б) 3; в) 1; г) 4; д) 2.
18. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей
через точки Л(1; 1), В(—2; 3).
Ответ: а) -|; б) |; в) -§; г) 2; д) 3.
19. При каком значении параметра р система уравнений
b-tg2z + log3y = 5,
не имеет решений?
Ответ: а) 1; б) 3,5; в) 2: г) 3; д) 5.
20. Вычислить без компьютера и без таблиц
+ 91og43-6)log2v/3 + log2 ^з.
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 2,8.
Тест 86
1. Вычислить /' (3), если / (х) = х4 - Зх3 - Зх2 +11х - 6.
Ответ: а) 12; б) -1; в) 13; г) 4; д) 20.
2. Раскрыть модули в выражении f(x) = \\2х—5\+х\+х
при условии х < —2.
Ответ: а) 2х — 5; б) х\ в) — х; г) 5; д) —5.
3. Разделить многочлен Рь(х) = 6хь — 7х* + Их3 — 2х2 —
— 2х + 6 на многочлен Qs{x) = Зхг — 2х2 +2 и указать
значение частного при х = 3.
Ответ: а) 8; б) 1; в) 0; г) 12; д) 18.
198

4. Найти ближайший к началу координат корень
уравнения ||2 4- Зж| - 5х\ = 14.
Ответ: а) 8; б) 2; в) 1; г) 3; д) -2
5. На сколько процентов изменится площадь
параллелограмма, если его сторону увеличить на 60%, а
высоту, опущенную на эту сторону, уменьшить на 15%
Ответ: а) -5%; б) +11%; в) +9%: г) h36%.
Д) +1%.
6. Найти меньший корень уравнения
8ж + 3 8 __ ,
х3 + 27 х2 - Зх + 9 "
Ответ: а) -3; б) -2; в) -4; г) 0; д) 4.
7. Вычислить ( - -рЛ— + —Z-== + vTi ) • %/[8
Ответ: а) у/\А\ б) \/18; в) 18: г) 4,8; д) 10.
8. Грузоподъемность двух машин типа А и пяти машин
гипа В равна 25 т, а производительность пяти машин
типа А и одной машины типа В равна 28 т. Какова
грузоподъемность одной машины типа В.
Ответ: а) 10; б) 2; в) 3: г) 4; д) 5.
9. Определить значения а, при которых уравнение
(а - 2)я4 - 2(а + 3)х2 -+- а - 1 = 0
имеет четыре действительных корня, отличных от
нуля. В ответе указать меньшее целое значение а.
Ответ: а) 2; б) 4: в) 25; г> 1: д) 3.
10. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде
стороны основания равны 8 и 2, а высота 4. Найти
площадь боковой поверхности усеченной пирамиды
Ответ: а) 16; б) 100; в) 168; г) 164, д) 64.
199

11. Решить систему уравнений
Ь-2У+1+2х = 12,
и указать произведение х • у, где (#, у) — решение
системы.
Ответ: а) 5; б) 4; в) 2; г) —4,5; д) 6.
12. Решить уравнение
и указать число его корней на отрезке [0; 2тг].
Ответ: а) 4; б) 2; в) 5; г) 3; д) 1.
13. Решить уравнение Iog2(l — х) = Iog4(7 — х).
Ответ: а) 0; б) -1; в) -2; г) -2,5; д) -3,6.
14. Найти /'(6), если f(x) = ^^Зх-2- f^.
о хо
Ответ: а) 0; б) 2; в) -3; г) 5; д) -4.
15. Найти наименьшее натуральное число,
удовлетворяющее неравенству
,6-х 1
Ответ: а) 3; б) 1; в) 6; г) 4; д) 2.
16. Решить уравнение 2 + log^ — Iog4#2 = Iog5x25#2.
Указать больший корень.
Ответ: а) 1: б) 4; в) 2; г) 5; д) 3.
17. Найти наибольшее целое отрицательное решение
неравенства х2 — Ах9 < 4 — х11.
Ответ: а) 2; б) 0; в) -1; г) -2; д) -3.
18. Дано Ъа = 8, с€ = 49, Ьс = 64. Найти са.
Ответ: а) 9; б) 81; в) 7; г) 12; д) 4.
200

19. При каком значении а сумма квадратов корней
уравнения х2 — 8х + а = 0 равна 82.
Ответ: а) 4; б) 3; в) -7; г) -9; д) 1.
20. Длины сторон оснований правильной усеченной
четырехугольной пирамиды равны 10 см и 2 см.
Найти высоту усеченной пирамиды, если боковое ребро
равно 9 см.
Ответ: а) 8; б) 1; в) 5; г) 7; д) 6.
Тест 87
1. Упростить выражение
+ с)(а-с))2.(асГ1.
<*-cJ J 2[а2+с2]
Ответ: а) 3; б) -4; в) 2; г) 1; д) 0.
2. Найти больший корень уравнения
х - 19 , За; -f 22 о_п
Ответ: а) 2; б) -2; в) -1; г) 0; д) -5.
3. Найти остаток от деления многочлена 2х3 — Зх2
- Ъх + 8 на х + 2.
Ответ: а) 0; б) 8; в) 9; г) -10; д) 7.
4. Решить систему уравнений
{х - у + ху = 7,
су су
х у — ху = о
и указать пару иррациональных решений.
Ответ: а) ( 3 + v^, —Ц:); б) (3,2);
\ 3 + VO/
в) П - л/5, -^=); г) (3 + л/10,-3 + \/1б):
д) (3 - л/ТО, -3 -
201

5. Прямая, проходящая через точку пересечения
диагоналей трапеции параллельно основаниям,
пересекает боковые стороны в точках М и N. Найти MN.
если длины оснований равны 2 и 3.
Ответ: а) 2,4; б) 3,2; в) 2; г) 5; д) 4.
6. Две окружности касаются внутренним образом.
Прямая, проходящая через центр меньшей
окружности, пересекает большую окружность в точках А
иДа меньшую — в В и С. причем
АВ : ВС : CD = 2 : 4 : 3.
Найти отношение радиуса большой окружности к
радиусу меньшей окружности.
Ответ: а) 3; б) 2; в) 1.5; г) 2.5; д) 4.
7. Решить неравенство
3 2 4- 12 ) ( )3
Ответ: а) (-оо; -8) U (-2,1) U (1; 5):
б) (-оо;-8) U [-2; 1) U (1; 5]:
в) (-oo;-8)u[-§;l)j(l;+oc); г) (-8;-2]U[5;-foo):
д) (-8;-2]U(l;5].
8. Решить уравнение
х Зх
х2 4- 3 х2 - 2х 4- 3 4
и указать произведение всех его корней.
Ответ: а) |; б) -3: в) 1; г) 9; д) 3.
9. Решить уравнение 2 Iog2(—2x) -\- Iog2(x2 -t- 2x + 1) =4.
Ответ: а) -4; б) -2; в) -3,5: г) -4,5; д) -1.
202

10. Решить уравнение
х2 • 2х - 7х • 2х = ж2 • 2^^Ь2 _ 7
и указать меньший корень.
Ответ: а) -2; б) 10; в) 7; г) 0; д) 2.
11. Найти угол между скрещивающимися диагоналями
двух смежных граней куба.
Ответ: а) 45°; б) 31°; в) 90°; г) 60°; д) 30°.
12. Площадь правильного треугольника равна -^. Най-
v3
ти длину его биссектрисы.
Ответ: а) 5; б) 1; в) 4; г) 2; д) 3.
13. Боковая поверхность цилиндра в развертке
представляет собой прямоугольник с диагональю \/4тг,
составляющей с основанием прямоугольника угол
30°. Найти объем цилиндра.
Ответ: а) 0,3; б) 0,7; в) 0,75; г) 0,375; д) 0,5.
14. Найти/'(f), если
f(x) = | cos3 x . tg2z + 2
f) .
Ответ: а) тг; б) 0; в) Зтг; г) 2тг; д) 6.
15. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
2/=(ж-1)2 + |, яг = -1, я? = 3, у = 0.
Ответ: а) 10; б) 4; в) 8; г) 5; д) 7.
16. Найти координаты четвертой вершины D
прямоугольника ABCD, если А(1;1), 5(4; 5), С(8;2).
Вычислить площадь прямоугольника и в ответе указать
эту площадь.
Ответ: а) 22; б) 18; в) 10; г) 15; д) 25.
203

17. Решить уравнение
cos(170° + 2х) - cos(50° 4- 2х) = ^
и указать корень, принадлежащий интервалу
(-90°; 0°).
Ответ: а) -90°: б) -10°: в) -70°; г) -45°; д) -60°.
18. Найти наибольшее значение функции
f(x) = х2 + Зх - 5
на отрезке [1,4].
Ответ: а) 30; б) 16; в) 22; г) 23; д) 10.
19. Вычислить \/(1о8з 2 + 4 log2 3-4) log2 3 - 21og2 3.
Ответ: а) 0; б) -1: в) 4; г) 2; д) Iog23
20. При каких значениях р уравнение
(р - 2)х2 - 2(р - 2)х + 3 = 0
имеет единственное решение?
Ответ: а) 1: б) 0: в) 5: г) 4; д) 2.
Тест 88
1. Упростить выражение
ill 11
+ 62) - (а2 . Ьб)3 • (ab)-\
Ответ: а) 2; б) 0; в) 1; г) —1; д) а.
2. Вычислить 2—S2 +з* если C*S2 а"" 3 ctg а — 10 = 0 и
«б(0:£).
Ответ: а) 13; б) 1: в) 2; г) -2: д) 0.
204

3. Решить уравнение
3 5 14
(2 - я)2 (х + 2)2 х2 - 4
и указать больший корень.
Ответ: а) 0; б) -1; в) 3; г) -2,5; д) 1.
4. Моторная лодка прошла 28 км по течению реки и
25 км против течения, затратив на весь путь столько
же времени, сколько ей понадобилось бы на
прохождение 54 км в стоячей воде. Найти скорость лодки
в стоячей воде, если скорость течения равна 2 км/ч.
Ответ: а) И; б) 4; в) 12; г) 8; д) 3.
5. Решить уравнение л/5 — х2 — х — 1.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 1,9; г) 0; д) -2.
6. Решить неравенство х — 3 < у/х — 2 и указать
наименьшее целое его решение.
Ответ: а) 4; б) 5; в) 3; г) 2; д) 7.
7. Вычислить 125 • sin(a + /3), если
sina = —77^, cos/3 = —0,6
со
и y < а < 2тг, | < /3 < тг.
Ответ: а) 9; б) 7; в) 117; г) 14; д) 25.
8. Решить уравнение 2cos[7r(a; - 1)] = л/3 и указать
корень, принадлежащий интервалу ( ~; 1) •
Ответ: а) |; б) |; в) |; г) Щ; д) ^.
9. Найти наименьшее целое решение неравенства
\х2 - 25| < 5.
Ответ: а) -4; б) 3; в) -5; г) 4; д) -6.
205

10. Решить неравенство * _ - < 6 и указать наибольшее
целое значение х, не удовлетворяющее ему.
Ответ: а) 0; б) 4; в) 2; г) 3; д) -1.
11. Решить уравнение 2х -6х~2>5 — 1(Ц/2 и указать
больший корень.
Ответ: а) 1; б) 7: в) -1; г) -2; д) 3.
12. Найти девятый член возрастающей арифметической
прогрессии, если он в пять раз больше второго, а
сложенный со вторым дает в сумме 42.
Ответ: а) 12; б) 26; в) 19; г) 35; д) 24.
13. Найти \/5cos |, если sin а = -0,8 и а е (-£;2
Ответ: а) -2; б) 0; в) 1; г) -1; д) 3.
л л о /^ tg72°-ctg48°
14. Вычислить v3—- л о —=■•
l + tg42octgl8°
Ответ: а) 2: б) 0.8: в) у/%\ г) 1; д) 0.
15. Решить уравнение tg2x — 7tg# + 10 = 0 и указать
число корней в интервале (0; f 1.
Ответ: а) 3: б) 2; в) 0; г) 4: д) 1.
16. Найти первый член геометрической прогрессии, у
которой &2 — h = 18, а 64 — &з = 162.
Ответ: а) -10; б) 8: в) 9; г) 14; д) 3.
IT. Биссектриса прямого угла разделила гипотенузу
прямоугольного треугольника на отрезки 3 см и 4 см.
Найти площадь треугольника.
Ответ: а) 11,76 см2: б) 7 см2; в) 12 см2; г) 15 см2;
д) 22 см2.
18. Две касательные к окружности пересекаются под
углом 60°. Найти расстояние от точки их пересечения
до центра окружности, если ее радиус равен 2 см.
Ответ: а) 1,1: б) 4; в) 3; г) 6; д) 2,2.
206

19. Основание пирамиды прямоугольник со сторонами 9
и 12, а все боковые ребра равны 12,5. Найти объем
пирамиды.
Ответ: а) 240; б) 360; в) 36; г) 18; д) 180.
20. Найти угловой коэффициент касательной к кривой
у = х1 — | в точке с абсциссой х = 1.
Ответ: а) 0; б) 5; в) 1; г) 3; д) 2.
Тест 89
1. Упростить выражение
()( )
Ответ: а) 0; б) —1; в) 1; г) а; д) 2.
2. Упростить выражение — Н — • (49)~i.
|_5Н- 2л/б 5-2л/б]
Ответ: а) 4л/б; б) 0; в) 2; г) -1; д) -2.
3. Решить уравнение
1 | 1 = 3
и указать меньший корень.
Ответ: а) -1; б) 4; в) 1; г) 2; д) 3.
4. Два мотоциклиста выезжают одновременно в город
из пункта, отстоящего от него на 160 км. Скорость
одного из них на 8 км/ч больше скорости другого,
поэтому он приезжает к месту назначения на 40 мин
раньше. Найти меньшую из скоростей
мотоциклистов.
Ответ: а) 36; б) 40; в) 48; г) 15; д) 8.
207

5. Решить уравнение
и в ответе указать больший корень.
Ответ: а) 10; б) 1(Г3; в) 102; г) 50; д) 1.
6. Решить неравенство у/2х + 14 > х + 3 и указать
длину промежутка, на котором оно имеет место.
Ответ: а) 8; б) 7: в) 14; г) 3; д) 2.
7. Решить систему уравнений
Jrr + y = 4,
и в ответе указать х + у3, где (ж, у) решение
исходной системы.
Ответ: а) -2: б) 3; в) 4; г) 8; д) 6.
8. Найти наибольшее целое решение неравенства
Ответ: а) 0: б) -1; в) 1; г) 4: д) 3.
2
9. Решить неравенство log2 х < г — и указать
наименьшее натуральное значение х. не
удовлетворяющее ему.
Ответ: а) 5. б) 3: в) i. г) 2. д) 4.
10. Решить уравнение Зж"3 •+• 3х"2 + 3х"1 = 13.
Ответ, а) 0; б) 3, в) -3, г; 2; д) 1
11# Найти площадь фигуры, заданной на плоскости
неравенствами |у| н-2г < 16 и х ^ 0.
Ответ: а) И; б) 48, в) 16: г) 10; д) 9.
208

12. Бригада рабочих должна изготовить 20 изделий.
Изготовляя ежедневно на 4 детали больше, чем
предполагалось по плану, бригада выполнила задание на
один день раньше срока. Сколько дней затратила
бригада на выполнение задания?
Ответ: а) 5; б) 2; в) 4; г) 3; д) 9.
13. Найти площадь параллелограмма ABCD, если
1;2), В(5;2), С(7;6), С(3;6).
Ответ: а) 7; б) 11; в) 4; г) 3; д) 16.
4
14. Вычислить f (х2 — 2х — 8) dx.
-2
Ответ: а) -36; б) 24; в) 30; г) -28; д) -16.
15. Секущая ABC отсекает дугу ВС, содержащую 112°.
Касательная AD точкой касания D делит эту дугу
в отношении 7 : 9. Определить угол BAD.
Ответ: а) 11°; б) 19°; в) 7°; г) 14°; д) 20°.
16. Объем правильной четырехугольной пирамиды
равен 1,5, а сторона основания равна л/3. Найти
величину двугранного угла при основании пирамиды (в
градусах).
Ответ: а) 45°; б) 30°; в) 90°; г) 60°; д) 15°.
17. Найти /'(1), если f(x) = \{х - 1)7cos2ttx - |cos |ж.
Ответ: а) 3; б) 2; в) |; г) 0; д) -1.
18. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей
через точки (1;2) и (0; —1).
Ответ: а) 0; б) 1; в) 3; г) 2; д) -1.
19. Найти длину области определения функции
у= у/7х -х2- 12.
Ответ: а) -1,5; б) 0; в) 1; г) 2; д) 3.
209

20. Найти наименьшее значение суммы трех сторон
прямоугольника заданной площади 5 = 8.
Ответ: а) 6; б) 4; в) 16; г) 8; д) 7.
Tea 90
1. Упростить выражение (уал/Ь)6 : (ay/a-
Ответ: а) у/а] б) 1; в) у/Ь; г) 0; д) 2.
2. Решить уравнение и указать сумму его корней
237я2 + 391я - 628 = 0.
Ответ: а) 628; б) -391; в) 237; г) -1; д) -§|i.
3. Выражение у = Зх — \2х — 7\ + \5х — 1| записать без
модулей при х < т-
Ответ: а) —х; б) —6; в) —4; г) 3; д) 2.
4. Вычислить х\ + #2? если ^iHi2 — корни уравнения
2ж2 - ж - 13 = 0.
Ответ: а) 3; б) 7; в) ^; г) 8; д) 19.
5. Вычислить —J— + --1 _ + --1 _ - 2л/3.
л/Тон-з vlT vTo /i2 + vTT
Ответ: а) VTO; б) л/ТТ; в) -9; г) |; д) л/3.
6. Вычислить log2 3 • log3 2 • log5 3 • log3 5.
Ответ: а) 4; б) -1; в) 1; г) 2; д) 3.
9 Ч
7. Решить уравнение ——г -; = -2и указать дробный
корень.
Ответ: а) |; б) -|; в) -|; г) ±; д) |.
8. Решить неравенство у/х + 3 + \/гс + 2 > ^/2дг + 4 и
указать наименьшее положительное решение.
Ответ: а) |; б) 3; в) 1; г) ±; д) \.
210

9. Решить систему уравнений < ' и указать
х2 + у2, где (гг, у) — решение системы.
Ответ: а) 6; б) 5; в) 4; г) 3; д) 8.
10. Найти точки пересечения окружности радиуса у/Е с
центром в точке (1; —2) и прямой у +1 = 0. В ответе
указать меньшую из абсцисс.
Ответ: а) 4; б) -1; в) 3; г) 2; д) 0.
11. Найти число корней уравнения
х — тг I • cos (7% + \ ) = 0
6 / \ о/
в интервале (0°;180°).
Ответ: а) 2; б) 3; в) 5; г) 9; д) 8.
12. Решить неравенство Iog2(2a; — 1) < 3 и указать
наибольшее целое его решение.
Ответ: а) нет решений; б) —1; в) 4; г) 0; д) —3.
13. Найги /'(1), если f(x) = Щ^-- + |(х - l)3sin2*.
Ответ: а) 0; б) -2; в) 3; г) -0,5; д) 2.
14. Найти значение функции f(x) в точке максимума,
если f{x) = \x4- \х2 + Ь.
Ответ: а) 4; б) 3; в) 5; г) 1; д) 10.
15. Сколько имеется двузначных натуральных чисел,
кратных 6 ?
Ответ: а) 12; б) 10; в) 8; г) 15; д) 11.
16. Из одной точки вне окружности проведены
касательная и секущая к этой окружности. Касательная
больше внутреннего и внешнего отрезков секущей
соответственно на 2 см и 4 см. Найти длину секущей.
Ответ: а) 12; б) 11; в) 18; г) 16; д) 14.
211

17. Объем правильной треугольной призмы равен 162, а
высота призмы равна 6\/3. Найти стороны
основания.
Ответ: а) 16; б) 62; в) 6; г) 26; д) 8.
18. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у = 2х2 - х - 7 и у = х2 + Зж - 2.
Ответ: а) 9; б) 8; в) 36; г) И; д) 7.
19. При каком значении х векторы
8(4;2ж;-1) и Ь(—1; 1;я?)
перпендикулярны?
Ответ: а) 4; б) 1; в) 2; г) 0; д) -3.
20. В трапеции ABCD с основаниями AD = 12 и ВС = 8
на луче ВС взята точка М так, что AM делит
трапецию на две равновеликие фигуры. Найти СМ.
Ответ: а) 2,4; б) 2; в) 3,5; г) 1; д) 2,5.
Tea 91
1. Решить уравнение
Iog2*+i(5 + 8я - 4#2) + 1оё5_2ж(1 + Ах + 4я2) = 4.
Ответ: а) 2; б) 1; в) -2; г) 0,5; д) 3.
2* Решить уравнение
- 30а: + 25 - 2х = лЛ2 + 4я
Ответ: а) J; б) 0; в) |; г) |; д) -2.
212

3. Решить систему уравнений
12 , 5 _
Пх-Ъ \А/-1
и в ответе указать значение у.
Ответ: а) 2; б) |§; в) ^; г) ||; д) 5.
4. Решить уравнение sin x- sin 7# = sin3x-sin5x и в
ответе указать число корней, принадлежащих интервалу
Ответ: а) 5; б) 7; в) 4; г) 8; д) 9.
5. Из А в В и В в А одновременно отправляются два
пешехода. Когда первый (вышедший из А) прошел
половину пути, второму осталось пройти до А еще
24 км. Когда второй прошел половину пути, первому
осталось — только 15 км. Сколько осталось пройти
второму пешеходу, когда первый закончил весь свой
путь?
Ответ: а) 12 км; б) 8 км; в) 3 км; г) 7 км; д) 10 км.
6. Найти х, если 16 • yO,255~f = 2
Ответ: а) 15; б) 17; в) 16,2; г) 0; д) 24.
7. Вычислить tg ( 2 arccos -~= — arcsin — I.
Ответ: а) -Щ; б) g; в) -1; г) 4; д) 2.
8. Упростить
\-3 VT5-1
Ответ: а) 18; б) л/Тб; в) 14; г) 12; д) 21.
213

9. Решить уравнение -т— Ь -7— = -Л-.
Jy x2-x~2 *2 + 2s + 2 10a:
Ответ: а) 1 и 2; б) 3 и -1; в) 1 и 4; г) 2 и 4; д) 0,5
и 2.
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = \х\(х—З)2 на отрезке [—5; 10]. В ответе указать
разНОСТЬ /наиб ~ /наим-
Ответ: а) 10; б) 12; в) 200; г) 490; д) 58.
11. Решить уравнение
(х - 1)(х - 16)
и указать число его корней.
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4.
12. Решить уравнение 9х + 2у/х • 3х = 10 • V^ + 25.
Ответ: а) 0; б) \/5; в) 5; г) log9 5; д) log3 5.
21og^2-logj»18-log32.1og3l8
13. ВЫЧИСЛИТЬ г^ г—; гт •
21og32 + log318
Ответ: a) Iog23; б) Iog32; в) 1; г) 3; д) -2.
14. Две стороны треугольника равны 12у/Е и 16л/5.
Медианы к этим сторонам взаимно перпендикулярны.
Найти третью сторону треугольника.
Ответ: а) 20; б) 15; в) 22,5; г) 17; д) 20,5.
15. Решить уравнение (х2 — Зх — 5)2 + 5х(х2 — 3# — 5) —
— 14#2 = 0 и в ответе указать меньший корень.
Ответ: а) ^|^; б) 1; в) ^±М; г) 0; д) -5.
16. Найти длину области определения функции
f(x) = д/2|д? + 1|-ж-4 + ]g(A/6a?-a?2-5 - 8 + 2s).
Ответ: а) 1; б) 3; в) оо; г) 4; д) 2.
214

17. Вычислить #3 + Згг + 2 при х = у/
Ответ: а) >/2; б) у/2 - 1; в) \/2 + 1; г) 1; д) 0.
18. Дано logarr = |, log6x = |, logcz = |. Вычислить
logo*.*-
Ответ: а) 1; б) 2; в) 0,5; г) 0,1; д) 1,6.
19. Найти площадь фигуры, ограниченной линией
|а?-1| + |у + 2|=5.
Ответ: а) 50; б) 10; в) 25; г) 41; д) 45.
20. В правильной четырехугольной пирамиде тангенс
угла между апофемами двух противоположных
граней равен 2л/2. Найти величину плоского угла при
вершине грани пирамиды.
Ответ: а) 25°; б) 30°; в) 45°; г) 60°; д) 75°.
Тест 92
1. Упростить выражение
46
26-
1
12
26 +
/
1 1
r 46
С Ah2 - 1
26
66
+ 1
-3
+
26-1
46 + 2
Ответ: а) 0; б) -2; в) 2; г) -1; д) 3.
2. Решить уравнение х4 — 7х2 + 12 = 0 и указать
больший корень.
Ответ: а) ->/3; б) л/3; в) -2; г) 2; д) уД.
3. Решить уравнение у/х2 — 6х + 13+у/х2 — 6х + 18 = 5.
Ответ; а) -1; б) 3; в) 2; г) 1; д) 0.
4. Решить неравенство у/х + 20 < £ + 2 и указать
наименьшее целое его решение.
Ответ: а) 4; б) 3; в) 0; г) 1; д) 2.
215

5. Найти длину интервала значений а?, удовлетворяю-
щих неравенству > 1.
Ответ: а) |; б) 1; в) 2; г) 2,5; д) 1,6.
6. Моторная лодка задержалась на 36 мин на пристани
и затем наверстала опоздание, увеличив скорость на
3 км/ч на участке в 14 км. Какова была ее
первоначальная скорость?
Ответ: а) 5; б) 7; в) 6; г) 4; д) 3.
7. Найти ж, если 2Х~1 • 3х = 0,5 • б4"*.
Ответ: а) 4; б) -1; в) 2; г) 0; д) 3.
8. Найти tg2 2а, если cos а = —-*-•
Ответ: а) 0; б) |§; в) -1; г) -2; д) 3.
9. Высота конуса равна диаметру его основания. Найти
отношение площади его основания к боковой
поверхности.
Ответ: а) л/3; б) у/Ъ\ в) 5; г) -^=; д) 2.
v5
10. Найти наименьшее целое решение неравенства
log3(z2 + Ах + 13) + Iog5(4*2 + 16а? + 17) > 2.
Ответ: а) 0; б) 1; в) -2; г) 3; д) 8.
^ Л, 1 -cos2 a + tgacos2a .
11. Упростить выражение г-2 ctga.
sin a
Ответ: а) 0; б) tga; в) 2; г) — 1; д) 1.
12. Решить уравнение
Ответ: а) 1; б) -1; в) 0; г) 2; д) -2.
13. Найти меньший корень уравнения 3 • 16~х — 7 •
+ 4 • 9~* = 0.
Ответ: а) 1; б) -1; в) 0; г) 2; д) -2.
216

14. Решить уравнение
4,5(л/3я + 5 - у/Ъх + 1) = 3{V3x + 17 - у/Зх + 2).
Ответ: а) 1; б) -|; в) 3; г) 2; д) -1.
15. Решить уравнение
9 • 3х = 5*1Г
и указать целый корень.
Ответ: а) 1; б) —2; в) Iog25; г) 2; д) — Iog25.
16. Решить уравнение (2 sin 2x + cos#)(\/2 — cosx) = 0 и
указать число корней на —?;7Г •
Ответ: а) 1; б) 4; в) 2; г) 3; д) 0.
17. На двух смежных сторонах квадрата в его внешности
построены два полукруга и к ним касательные,
параллельные своим диаметрам. Найти радиус круга,
касающегося этих полукругов и построенных
касательных, если сторона квадрата равна 2 + л/3.
Ответ: а) 10; б) тг; в) 48; г) 2; д) 50тг.
18. Решить уравнение
9х За? = _4
х2 + 2я + 1 х2 - 2х + 1
и указать его иррациональные корни.
Ответ: а) ±у/Ъ\ б) -2 ± \/3; в) 3 ± л/2; г) 2 ± л/3;
д) 3 + v/2.
19. Найти высоту параллелограмма, опущенную из
вершины С(7;6) на сторону АВ, если Л(3;2), i?(8;l),
(;)
Ответ: a) f; б) ^; в) 0; г) J,; д) -М.
217

20. Найти частное от деления многочлена
бгг4 + 9я3 - Ъх2 - 7х + 2
на многочлен
Зх2 + 3х - 1.
Ответ: а)2з;2-ж; б)ж2 + 3; в)2х
д) я? + 2.
Тест 93
1. Найти число целых чисел, удовлетворяющих
неравенству (0,5)хЧ3* > 0,125 ■ 2"х.
Ответ: а) 0; б) 1; в) 3; г) -2; д) 5.
2. Написать выражение у = \3х + 4| + |2яг + 4] + # без
знаков модуля при х G —2; — « г
Ответ: а) Зж + 4; б) 0; в) 2х + 4; г) ж; д) х - 2.
3. Вычислить ж3 + ж3? если a;i и Ж2 корни уравнения
Ъх2 + 2х - 13 = 0.
4. Вычислить у/тОЩ : v^9 • З3 • у/3.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 1; г) 3; д) 2.
5. Вычислить —^ 1——— - +
л/з'
Ответ: а) 3; б) 1; в) у/2\ г) \/3; д) 2.
6. Решить уравнение
и указать отрицательный корень.
Ответ: а) 3; б) -5; в) 1; г) 2; д) -4.
213

7. Решить уравнение |3# + 2| = 4 и указать целый
корень.
Ответ: а) -4; б) 2; в) -2; г) -1; д) 3.
8. Решить систему уравнений
(2х - 5у = -1,
Зя 4- у = 7
и в ответе указать Iog3(rr + у), где (#,у) — решение
системы.
Ответ: а) -1; б) 1; в) 0; г) 2; д) 3.
9. Найти угол наклона прямой у = у/3 • х — 5 к оси О#.
Ответ: а) 60°; б) 135°; в) 90°; г) 45°; д) 30°.
10. Найти корень уравнения sin # cos # = j в интервале
(-10°; 40°).
Ответ: а) 25°; б) 0°; в) 10°; г) 15°; д) 30°.
11. Решить неравенство Iog3(# + 2) < 2 и указать
наибольшее целое его решение.
Ответ: а) 2; б) 6; в) 4; г) 3; д) 1.
12. Найти значение функции в точке минимума, если
Ответ: а) 0; б) 12; в) -12; г) -§; д) -f.
13. Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел
не больше 200, которые при делении на 5 дают
остаток, равный 1.
Ответ: а) 2358; б) 8523; в) 8952; г) 5893; д) 2970.
14. Две хорды, равные 9 см и 6 см, пересекаются. Най;ги
больший отрезок первой хорды, если вторая делит
ее в отношении 1 : 2.
Ответ: а) 4 - у/2\ б) 4 - 2\/2; в) 8; г) 2\/2; д) 5.
219

15. Решить систему уравнений
и в ответе указать минимальное значение х + у, где
(я, у) — решение системы.
Ответ: а) -1; б) 1; в) 2; г) -2; д) 3.
16. Вычислить площадь фигуры, заключенной между
параболами у = 2х2 + 2х — 1 и у = х2 + Ъх + 3.
•Ответ: а) 6; б) i|^; в) 34; г) 36; д) 22.
17. Найти неизвестную координату z четвертой
вершины D(3; — 1; z) параллелограмма ABCD, если
А(0;2;-3), В(-1;1;1),
Ответ: а) -4; б) 6; в) 8; г) -3; д) 2.
18. Из какого количества (в килограммах) молока
жирностью 3,5% можно получить 189 кг сметаны
жирностью 20%?
Ответ: а) 214; б) 376; в) 1080; г) 0; д) 398.
19. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро
образует с основанием угол 30°, сторона основания
равна 2 • y/l. Найти площадь боковой поверхности
пирамиды.
Ответ, а) 5; б) \/7; в) 6; г) 49: д) 7.
20. Решить уравнение
1
125>/ 625
В ответе указать сумму корней.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 6.
220

Тест 94
1. Вычислить 2 • , f Щ- - 3,5.
0,5 (li + 4,1)
Ответ: а) 4; б) 0; в) 4,5; г) 2,2; д) 3.
2. Найти больший корень уравнения |5 — 3#| = 1.
Ответ: а) -2; б) 2; в) |; г) 1; д) -1.
3. Вычислить
-у/У) | 2у
при х = \/39, у —
Ответ: a) V%; б) \A7l5; в) 1; г) л/44; д) 0.
Л о
4. Найти наименьшее целое решение ^ 1.
\1х - 3|
Ответ: а) 1; б) 3; в) 4; г) 2; д) 5.
5. Решить уравнение у/х — 9 + у/7~^~х = 1.
Ответ: а) 0; б) 7; в) 9; г) 0; д) 5.
6. При каком значении а для уравнения х2 — Зх + а = 0
имеет место х\ + х\ = 29.
Ответ: а) 7; б) -10; в) 9; г) 8; д) -5.
7. Найти меньшее значение х + у, если
Ответ: а) 0; б) 2; в) 1; г) -1; д) 3.
8. Найти сумму целых значений ж, для которых
1 ^ 2
ж - 4 ^ 2х-Ы'
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) 6; д) 3.
221

9. Найти log^ -д + logo b, если loga b = -^.
Ответ: а) ^; 6) 0; в) --Ь г) v/З; д) -1.
10. Найти cos2 (<* ~ f)i если *ёа = —h=-
Ответ: а) \; б) 0; в) -^; г) ^; д) |.
11. Решить уравнение
2 sin | • cos Зх = cos 3#
и указать корень, принадлежащий интервалу (0; j).
Ответ: а) ^; б) ff; в) 0; г) |; д) \.
12. Решить уравнение 3х ~6х~2>5 = 81-\/3 и указать
меньший корень.
Ответ: а) -2; б) -1; в) 0; г) 1; д) 2.
13. Найти >/2f' (|), если
f(x) = sin | + sin2 x.
Ответ: а) —1; б) |; в) 0,5; г) 0; д) sin я.
о
14. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
у = 2х — х
и осью Ох.
Ответ: а) 1; б) |; в) 6; г) |; д) |.
15. Сумма третьего и седьмого членов арифметической
прогрессии равна 4, а отношение седьмого к
третьему равно —1,4. Найти сумму первых одиннадцати
членов этой прогрессии.
Ответ: а) 44; б) 33; в) 22; г) 80; д) 88.
222

16. Решить уравнение
sin2rr = О
и в ответе указать число корней, принадлежащих
интервалу (0;2тг).
Ответ: а) 0; б) 2; в) 4; г) 1; д) 3.
17. Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на
отрезки, пропорциональные числам 3 и 8. Найти
большее основание, если средняя линия равна 33.
Ответ: а) 32; б) 35; в) 48; г) 40; д) 16.
18. Два велосипедиста выехали из пунктов А и В.
Первый делал на 2 км в час больше, чем второй, и
прибыл в пункт В на 10 мин раньше. Найти скорость (в
км/час) второго велосипедиста, если расстояние от
А до В равно 30 км.
Ответ: а) 20; б) 18; в) 16; г) 22; д) 15.
19. Углы треугольника пропорциональны числам 3, 7, 8.
Найти меньший угол треугольника.
Ответ: а) 25°; б) 35°; в) 45°; г) 30°; д) 60°.
20. Найти середину интервала, на котором функция у =
= х3 + Зх2 — 9х + 5 убывает.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 0,5; г) -0,5; д) 2.
Тест 95
1. На изготовление одного изделия один рабочий
затрачивает на 6 мин меньше, чем другой. За 7 ч
первый рабочий изготавливает на 8 изделий больше,
чем второй. Сколько изделий изготавливает первый
рабочий за час?
Ответ: а) 6; 6) 5; в) 4; г) 3; д) 7.
223

2. Вычислить без таблиц sin 18°.
Ответ: a) -j|; б) ^; в) ^-; г) -^; д)
3. Решить неравенство /'(я) < д'(х), если /(ж) = ^-j—,
Ответ: а) (-оо;0) U ((); |); б) (3;8); в) (18; 21);
г) (22;+оо); д) (-оо;|).
4. Решить неравенство | \х\ — 11 < 1 — х.
Ответ: а) (-оо;0); 6) (0; 11); в) (1;2); г) (2; 5);
д) (-5;0).
5. Решить двойное неравенство Ъх — 6 ^ х2 < 8х.
Ответ: а) (-10;-7); б) [—6; —1]; в) (0;2] U [3;8);
г) [9; 11]; д)(2;3).
6. Площадь параллелограмма равна 96 см2, а высоты
его равны 6 см и 8 см. Найти периметр
параллелограмма.
Ответ: а) 13; б) 44; в) 56; г) 48; д) 29.
7. Упростить выражение ctg а — tg а — 2 tg 2а — 4 tg 4а —
- 8 ctg 8а.
Ответ: а) 4; б) -3; в) 0; г) -1; д) 2.
,1 2 !
л5 ) = ( Т )
17/ \ о /
Ответ: а) 6; б) 9; в) 8; г) 7; д) -5.
9. Решить неравенство ^og^x_^\(x — 1) < 2.
Ответ: а) (3; 4) 11(5; 8); б) (3;4); в) (5; 9); г) (3;8);
д)(4;8).
10. Решить уравнение
Ответ: а) -2; б) -1; в) -3; г) 2; д) 1.
224

11. Две окружности радиусов 9 см и 3 см касаются
внешним образом. Определить расстояние от точки
касания этих окружностей до их общих касательных.
Ответ: а) 2,3; б) 3; в) 4; г) 5; д) 4,5.
12. Решить уравнение
ж + 2
652 3
+5 = О
и указать меньший корень.
Ответ: а) 1; б) -2: в) -1; г) 3; д) 4; 2.
13. Десятый член арифметической прогрессии в 13 раз
больше первого ее числа, а сумма этих членов равна
42. Найти разность прогрессии.
Ответ: а) 3; б) 8; в) 4; г) 1; д) 5.
14. Между числами 243 и 1 поместить четыре числа,
которые вместе с данными составили бы
геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель.
Ответ: а) |; б) 2; в) |; г) 3; д) 1.
15. Решить уравнение sin4 х + cos4 х — sin2a; и в ответе
указать число его корней в интервале (О; |J.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 0; г) 3; д) 4.
16. Составить уравнение касательной к графику
функции f(x) = х2 — Зх — 3 в точке пересечения графика
с осью координат. В ответе указать абсциссу точки
пересечения касательной с осью абсцисс.
Ответ: а) 2; б) 1; в) -1; г) 0; д) 3.
17. Около равнобочной трапеции, основания которой 6
и 8 и высота 7, описана окружность. Найти площадь
круга.
Ответ: а) 90; б) 12тг; в) 75; г) 25тг; д) 80.
8-1731 225

18. В трехгранном угле два плоских угла имеют по 45°,
а третий 60°. Найти двугранный угол,
противолежащий третьему плоскому углу.
Ответ: а) 75°; б) 60°; в) 55°; г) 90°: д) 45°.
19. Ромб со стороной 5 и острым углом 60° вращается
вокруг оси, проведенной через вершины этого угла
перпендикулярно к стороне. Найти поверхность
полученного тела.
Ответ: а) 300; б) 15тг: в) 250; г) 150тг; д) 400.
20. Найти косинус угла между векторами
5(1; 2) и 6(1;-2).
Ответ: а, |* б) |; в) —0,6; г) -£-; д) |.
Тест 96
1. Упростить
,о_ оч , 3(2*+ 3)
Ответ: а) 1; б) 0; в) х\ г) 3; д) — 1.
2. Решить уравнение 2х — у/2х + 1 = 5.
Ответ: а) 8; б) 4; в) 5; г) 0; д) 0.
3. Решить неравенство | > J2A — Ц- и указать его
наибольшее целое решение.
Ответ: а) 4; б) 3; в) 9; г) 1; д) 5.
4. Найти минимальное целое отрицательное
значение а, при котором уравнение (а2 — 1) -х2 — 16а;+ 3 = 0
имеет два корня.
Ответ: а) -4; б) -2; в) -5; г) -3; д) -1.
226

5. Сумма двух чисел равна 190. Найти большее из них.
если меньшее составляет 90% другого.
Ответ: а) 50; б) 60; в) 100; г) 44; д| 38.
6. Найти наименьшее целое решение неравенства
"гТ^У < *•
Ответ: а) -15; б) -2; ь) 3; г) 5; д) -7.
7. Решить уравнение logx(3§ f 10) = 2.
2 z
Ответ: а) 5; б) 8; в) 12; г) 10; д) 1.
8. Найти разность арифметической прогрессии, если
сумма первого и пятого ее членов равна 10, а сумма
второго и шестого членов равна 14.
Ответ: а) -2; б) 1; в) 4; г) 3; д) 2.
9. Найти наибольшее целое решение неравенства
bgo,i25(4tf2+8a; + 3) >-1.
Ответ: а) 4; б) 3; в) -1; г) 2; д) -2.
10. Упростить — rn~^
(cos х + ctg x) (tg x — cos x)
Ответ: a) —1; 6) 2; в) 1; г) З; д) tgrz.
11. Найти произведение всех корней уравнения
Ответ: а) 2; б) 4; в) 3; г) 5; д) -1.
12. Два туриста отправились одновременно из пункта А
в пункт В, отстоящий от А на 24 км. Найти скорость
первого туриста, если он делал на 2 км в час больше
первого и пришел в В на 2 часа раньше.
Ответ: а) 5; б) 6; в) 3; г) 14; д) 7.
?27

13. Двое рабочих, работая вместе, выполняют
некоторую работу за 10 дней. Если первый рабочий
проработает 2 дня, а второй 7 дней, то они выполнят 40%
всей работы. За сколько дней, работая отдельно,
выполнит работу второй рабочий?
Ответ: а) 25; б) 17: в^ 19; г) 20; д) 28.
14. Решить уравнение ctg2rz - 7ctgrz + 12 = 0 и указать
число корней, принадлежащих интервалу (0; |-).
О-пвет: aN 2: б) 0: в) 1; г) 3; д) 4.
15. Биссектриса прямого угла разделила гипотенузу на
отрезки 6 см и 8 см. Найти площадь треугольника.
Ответ: а) 11^6; б) 100; в) 47; г) 50; д) 47,04.
16. Вычислить ч/З
l + tgl3° -ctg47°
Ответ: а) 1; б) у/3: в) 4=5 г) 3; д) 2-
л/3
17. Найти угловой коэффициент касательной к кривой
у — Ах2 + | в точке с абсциссой х = 1.
Ответ: а) 5; б) -1; в) 4, г) 3; д) 8.
18. Найти угол между векторами 3(3; —2; —1) и 6(2; 3; 0).
Ответ: а) 90°; б) 45°; в) 60°: г) 0°; д) 30°.
19. Найти наибольшее значение функции
Ответ: а) 2; б) \/15; в) л/30; г) 15- д) 14.
20. В основании пирамиды лежит прямоугольник со
сторонами 12 и 9. Найти косинус угла наклона бокового
ребра к основанию, если все ее боковые ребра равны
12,5.
Ответ: а) 0,8; б) 0,15; в) 0,28; г) 0,5; д) 0,6.
228

Тест 97
1, Найти больший корень уравнения 8х6 — 35а;3+27 = 0.
Ответ: а) 1; б) 0; в) 1,5; г) ^; д) ^.
2. Выражение у = \2х + 301 + \х + 2| + 3# записать без
знаков модулей при £ < —15.
Ответ: а) 1; б) х; в) 2х + 30; г) -32; д) Зт.
3. Вычислить (Щ±1 + £±=±) • 3
Ответ: а) 2; б) 35; в) \/3; г) 11; д) L
4. Найти больший корень уравнения
х - 6 _ ж - 12 _ 5
ж- 12 а; -6 "" б'
Ответ: а) 3; б) 8; в) 4; г) 24; д) 9; 10.
5. Решить уравнение
-Ах -х2 = (х +
Ответ: а) -2 - л/Ш; б) 0; в) -2 + л/Ш; г) 3;. д) 5.
6. Решить неравенство
и указать наибольшее целое решение.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 1; г) -2; д) 3.
7. Найти х — у, если
- 8У = 7.
Ответ: а) 9: б) 2; в) 3; г) 4; д) 0.
229

8. Найти наименьшее целое решение неравенства
з у <
Ответ: а) 5; б) 1: в) 0: г) -4; д) 3.
9. Найти ж, если Ig3(5a? + 4) = 8.
Ответ: а) 19,2: б) 1; в) 3: г) 5'; д) 20.
10. Найти наибольшее значение ж, не удовлетворяющее
неравенству < 1.
ЭХ — 2
Ответ: а) 5; б) 0; в) 1; г) 3; д) 2.
11. Найти х из уравнения 16 • yjQ,2bb~x = 2у/**+*
Ответ: а) 24; б) 8; в) 11; г) -5; д) 6.
12 Найти меньший корень уравнения
1 , 1 _ 11
lg2z + 4 lg2z + 5 30*
Ответ: а) 1,9; б) 10; в) ОД; г) 5; д) 10.
13, Бригада рабочих должна изготовить 24
комплекта деталей. Изготовляя ежедневно на 2 комплекта
больше, чем предполагалось по плану, бригада
выполнила задание на два дня раньше срока. Сколько
дней фактически бригада затратила на выполнение
задания?
Ответ: а) 4; б) 5; в) 6: г) 3: д) 7.
14, Найти площадь параллелограмма ABCD, если
известны координаты его вершин: Л(1;—2), Б(5;—2),
С(7;-4),£>(3;-4).
Ответ: а) 8; б) 12; в) 16; г) 10; д) 11.
15, Найти угловой коэффициент прямой, проходящей
через точки А(3;4) и J5(2; 1).
Ответ: а) -5; б) 2; в) 3; г) -3; д) 4.
230

16. Найти /'(9), если
f(x) = у(я - 9)7 • cos27rrr - \ cos2 jx.
Ответ: а) 0,5; б) -2; в) -3; г) тг; д) 0,25.
17. Секущая ABC отсекает дугу ВС, содержащую 112°
Касательная AD точкой касания D делит дугу в
отношении 3 : 4. Определить угол BAD
Ответ: а) 14°; б) 10°; в) 12°; г) 8°; д) 6°.
4
18. Вычислить интервал f (х2 + 2х — 8) dx.
-2
Ответ: а) -36; б) 20: в) 25; г) 0; д) 16.
19. Найти длину промежутка, на котором определена
функция у = \/1х + х2 + 12.
Ответ: а) 1: б) 0; в) 2; г) 4; д) 5.
20. Объем правильной четырехугольной пирамиды
равен 1,5. Найти сторону основания, если двугранный
угол при основании равен 60°.
Ответ: а) 6; б) 4; в) 2; г) 3; д) 5.
Тест 98
1. Вычислить
Ответ: а) 4,5; б) 9; в) 10; г) 19,5; д) 25.
2. Найти больший корень уравнения |5 — 3#2| = 22.
Ответ: а) 2; б) 3; в) -3; г) 4; д) 0.
231

3. Вычислит^
2у
при х = л/39 и у =
Ответ: з) 1: б) 0: в) у'гг + у; г) 3; д) 4.
4. Найти наименьшее значение ж, если \4х2 — 17| < 19.
Ответ: а) -6: б) 0: в) 1; г) 3; д) -3.
5. Найти наименьшее целое значение х< если
2x2 "3
Ответ: а) 2; б) 0: в) \/2; г) 1; д) 3.
6. Решить уравнение у/2х + 3 + >/гг — 2 = 2\/# + 1.
Ответ: а) 0: б) 4: в) 2: г) 5: д) 3.
7. При каком значении параметра а корни уравнения
х2 — Зх + а — 0 удовлетворяют условию х\ + х\ = 5.
Ответ: а) 2: б) 1: в) 0; г) 3; д) 4.
8. Найти наименьшее значение х + у, если
\х* + у* = 9.
Ответ: а) -1: б) 2; в) 1: г) 3; д) 4.
9. Найти сумму целых решений неравенства . ^
> 2
Ответ: а) 6; б) 5: в) 4; г) 3; д) -6.
уа 2 25
10. Вычислить log ^ — — д loga о + ^, если log2 a = 2,
log2 6 = 9.
Ответ: aj --—; б) 2: в) 3; г) 0; д) 1.
3
232

11. Найти sin2 (а - |V если tga = —yz.
Ответ: а) -§; б) |, в) |, г) J, д) ^
12. Найти число корней уравнения
2 cos Згг • sin2 Ах = cos Зх,
принадлежащих отрезку [0; тг]
Ответ: а) 3; б) 4; в) 5; г) 9, д) 6.
13. Решить уравнение
2*2-6z-2,5 = (128Л/2)~1
и указать меньший корень.
Ответ: а) —1; б) 5; в; 2; г) 3; д) 1.
14. Найти у/2 • /' (|), если /(я) = sin3 | + sin2 x • cos3 л
Ответ: а) 0,5; б) 1; в) 1,5; г) 0,75: д) 0.
15. Сумма третьего и седьмого членов арифметической
прогрессии равна 42, а отношение седьмого члена к
третьему равно |i. Найти сумму первых
одиннадцати членов прогрессии.
Ответ: а) 88; б) 100: в) 215; г) 286; д) 360.
16. Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на
части пропорционально числам 3 и 2. Найти большее
основание трапеции, если меньшее основание равно
24 м.
Ответ: а) 48; б) 30; в) 26; г) 36; д) 40.
17. Два велосипедиста выехали одновременно из
пункта Л в пункт J5, отстоящего от А на 45 км. Первый
проезжал в час на 3 км больше и поэтому прибыл в
В на 45 мин раньше. Найти скорость первого
велосипедиста.
Ответ: а) 20; б) 14; в) 15; г) 12; д) 25.
233

18. Найти длину интервала убывания функции
у = хг - Зх2 - 9х + 5.
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
19. Найти тангенс угла между векторами
5(1;-2) и 6(3; 4).
Ответ: а) -|; б) |; в) £; г) -2; д) 6.
20. В шар вписана прямая призма, в основании которой
лежит прямоугольный треугольник со сторонами 6
и 8. Найти объем шара, если высота призмы
равна 24.
Ответ: а) 576; б) 288тп в) 169тг; г) 225тг; д) ЮОтг.
1. Вычислить 5 •
Тест 99
sin 43° + sin 17°
2 cos 13° 4-3 sin 77°'
Ответ: а) 1; 6) ±; в) sin 13°; г) -1; д) cos 13°.
о
2. Вычислить [(v^5 - \/Ш)2 + 5] [(^5 + ^125)2 - 5].
Ответ: а) 47; б) 50; в) 25; г) 100; д) 155.
I
/ j_ tog^ \ 2
s3 - 3loSs3
3. Вычислить I 5loss3 - 3loSs3 + eiog625
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
4. Вычислить
at4t2a 2а) ' 4 V а)
при а = ^
Ответ: а) 0; б) а; в) \\ г) ^ТбЗ; д) 163.
234

5. Решить уравнение у/—х — 11 + у/—х - 37 — 8
Ответ: а) -22; б) -30; в) 0; г) -12. д)~40
6. Найти меньшее значение х, при котором
ж2 - 15| = 3.
Ответ: а) 3, б) -у/3\ в) V3; г) -Ц*-: д)
7. Решить неравенство
к2х2
(§)■
6,25*
и указать длину интервала, на котором оно
выполняется.
Ответ: а) 0; б) 2; в) 5; г) 4; д) неравенство не
имеет решений.
8. Решить уравнение
100
и указать произведение его корней.
Ответ: а) 100; б) 1000; в) 0,01; г) 0,001: д) 1.
9. Найти сумму корней уравнения sin 2a; + cos а: = 0
принадлежащих интервалу (180°; 360°).
Ответ: а) 500°; б) 480°; в) 600°; г) 540°; д) 810°
10. Определить наибольшее целое значение из области
определения функции
Ответ: а) -3; б) -2; в) 3; г) 4; д) 5.
11. Площади трех граней прямой треугольной призмы
равны 24, 32 и 40. Найти объем призмы.
Ответ: а) 6; б) 16; в) 36; г) 48; д) 56.
235

12. Вычислить выражение —^— • sin(a+£), если
sin a = -0,6; 180° < a < 270°.
Ответ: а) 1; б) 0,5; в) \\ г) 2; д) -1.
13. Определить число точек с целыми координатами,
принадлежащих области
4 < х < 25, 10 < у < Iog2(z + 2).
Ответ: а) 98; б) 90; в) 100: г) ПО; д) 91.
14. Найти наименьшее положительное значение а, при
котором уравнение х2 — 2х tg a — 2 tg a — 1 = 0 имеет
один корень (в градусах).
Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 60°; г) 135°; д) 200°.
15. Площадь равнобедренного треугольника равна 192.
а основание относится к боковой стороне как 6 : 5.
Найти периметр треугольника.
Ответ: а) 48; б) 50; в) 32; г) 64; д) 70.
16. Первый член бесконечно убывающей
геометрической прогрессии равен 3, а ее сумма равна 5. Найти
сумму прогрессии, составленной из квадратов
членов исходной.
Ответ: а) 6,25;' б) Ц-: в) Ц^\ г) 20: д) 10.
17. Найти угловой коэффициент касательной к кривой
у = За;2 + х + 20 в точке с абсциссой х — 0,5.
Ответ: а) 2; б) 3: в) 4: г) 5; д) -2.
18. Найти период функции у — sin (-у — 2j.
Ответ: а) ^: б) |; в) 2тг: г) ^; д) тг.
19. Найти площадь параллелограмма, построенного на
векторах 5(1:2) и Ь(-3:2).
Ответ: а) 8; б) 5: в) у/п; г) v"65: д)
236

20. Диагональное сечение правильной
четырехугольной пирамиды представляет собой правильный
треугольник. Найти сторону основания пирамиды, если
ее объем равен 1.
Ответ: а) 1; б) 2; в) у/3; г) \/б; д) \/Ъ.
Тест 100
1. Вычислить ^ [(±л/39 - \Щ -*=
Ответ: а) 1; б) 0; в) 2; г) -3; д) Iog23.
2. Решить уравнение 4+\/26 — х2 = 9х2 и указать
меньший корень.
Ответ: а) 1; б) -1: в) 3; г) 4; д) 2.
3. Решить уравнение (х + 2)2 -t- —2 — 18 и указать
больший корень.
Ответ: а) -5; б) 2; в) -2 + л/б; г) -2-\/б; д) -6
4. Из пункта Л в пункт В, расстояние от которого
130 км, выехал велосипедист, а через час навстречу
ему из В в Л со скоростью, превышающей скорость
велосипедиста на 40 км/ч, выехал мотоциклист.
Найти скорость велосипедиста, зная, что они
встретились на расстоянии в 30 км от пункта А.
Ответ: а) 12; б) 15; в) 10; г) 11; д) 50.
5. Найти наибольшее целое отрицательное решение
неравенства х + 3 < у/Ъ + х.
Ответ: а) -2; б) 0; в) -1; г) -3; д) -4.
— -з —+1
6. Решить уравнение (т^)^ =fyjv^ и указать
сумму его корней.
Ответ: а) 3; б) 15; в) 25; г) 16; д) 36.
237

7. Решить уравнение logx(2rr2 — 2х) = 2.
Ответ: а) 1,5; б) 0; в) 2; г) 3; д) 1.
8. Найти наибольшее целое отрицательное решение
неравенства -£—— < 2.
Ответ: а) -1; б) 0; в) -3; г) -4; д) -2.
9. Найти х, если 7Х+2 - 14 - 7*"1 = ± - 7*+1 - 2 • 7х + 48.
Ответ: а) 1; б) 2: в) 3; г) -1; д) 0.
10. Один корень уравнения х2 + тх — 7 = 0 равен —7.
Найти другой корень.
Ответ: а) 1; б) 0; в) 2; г) 6; д) -1.
11. Найти точку пересечения прямых Зх + Зу — 13 = 0
и Зж- у + 11 = 0 и указать сумму координат этой
точки.
Ответ; а) -1; б) 2; в) -|; г) 6; д) ^.
12. Найти косинус угла между векторами
Й(2;2;1) и 5(6; -2; -3).
Ответ: a) g; б) ±; в) g; г) |; д) |.
2
13. Вычислить интеграл J(x2 + 2х — 6) cfa;.
о
Ответ: a) -f; б) 16; в) -±$; г) 5; д) 6.
14. Найти площадь параллелограмма ABCD, зная
координаты его вершин
Л(1;2), В(б;2), С(7;-4), D(3;-4).
Ответ: а) 8; б) 16; в) 20; г) 24; д) 30.
15. Найти площадь ромба 3\х — 3| + \у + 2| < 9.
Ответ: а) 36; б) 27; в) 18; г) 35; д) 54.
238

16. Секущая ABC отсекает дугу ^ ВС, содержащую
140°. Касательная AD точкой касания D делит эту
дугу на части в отношении 3 : 4. Найти /.BAD.
Ответ: а) 140°; б) 60°; в) 80°; г) 20°; д) 10°.
17. Найти /'(1), если
f(x) = |(x- l)7
|x-tg £ -х.
Ответ: а) |; б) 0; в) 1; г) тг: д) |
18. Найти объем правильной четырехугольной
пирамиды, если сторона основания равна 3, а величина
двугранного угла при основании пирамиды равна 60°.
Ответ: а) 3; б) 6; в) 5; г) 2: д) 1,5.
19. Составить уравнение прямой, проходящей через
точки Л(1; —2) и В(0\ 1), и найти ординату точки этой
прямой, соответствующей абсциссе х = 8.
Ответ: а) 3; б) -25: в) 1; г) -23; д) -|.
о
20. Найти центр промежутка области определения
функции
у= у/х - х2 + 12.
Ответ: а) 1; б) -3; в) 4; г) 0; д) 0,5.
Тест 101
1. При каких значениях параметра т уравнение
(т - 12)я2 + 2(т - 12)ж 4-2 = 0
не имеет корней?
Ответ: a) m € (-оо;12); б) m E (14;+оо);
в) т = 14; г) m € [12; 14); д) m £ [12; 14).
239

2. При каких значениях параметра т уравнение
х2 - 2(т + \)х + 9т - 5 = О
имеет два положительных корня?
Ответ: a)m€(—oo:|j; б)тЕ(1;6);
в) те (6: +оо); г) т Е (§: l) U (6: +оо);
д) те (-°°-§) U (1:6).
3. В скольких точках пересекаются кривые у = Зх — х2
и у = -х.
Ответ: а) 0: б) 1; в) 2; г) 3; д) 4.
л Лг (х + у)3 - Зху(х + у)
4. Упростить выражение ъ z—, а затем
х3 - х2у + ху2
17 34
вычислить его значение при х = -~- и 2/ = -«-.
о о
Ответ: а) 17: б) ^: в) 1; г) 2; д) 3.
5. Решить систему уравнений
х Л-у — г = 6,
я - у + z = -3,
и в ответе указать значение х + у + z.
Ответ: а) 1: б) 2: в) 3; г) 0: д) -3.
6. При каких а уравнение а = ах~ имеет один
отрицательный корень? В ответе указать целое
значение а.
Ответ: а) 1: б) -2; в) 0; г) 3; д) 4.
7. Решить неравенство lg Ъх "J"^""17 ^ lg(-2a? + 3) и
J. X
указать наибольшее целое решение.
Ответ: а) 0; б) -4: в) 2; г) -5; д) -6.
240

8. Детский подарок состоит из вафель, печенья и
конфет. По весу конфеты составили 60% от количества
вафель, а вафли составили 45% от веса печенья.
Сколько весит весь подарок, если конфеты в этом
подарке весят 108 г?
Ответ: а) 580 г, б) 388 г; в) 408 г, г) 688 г; д) 700 г.
9. Даны координаты трех точек плоскости
5(4; 2), С(2;5). Описать внутренность треугольника
ABC системой линейных неравенств.
{х - Зу - 2 < 0, (х - Зу + 2 > 0,
Зх + 2у - 16 > 0, б) 1 Зх + 2у - 16 > 0,
Ах - у - 3 > 0; [х - Ау + 3 < 0;
{Зх - у + 2 < 0, (х - Зу + 2 < 0,
2х + Зу + 16 < 0, г) < Зх + 2у - 16 < 0,
4z - у - 3 > 0; [4х - у - 3 > 0;
{я + Зу - 2 < 0,
2я + Зу - 16 > 0,
Ах - у - 3 > 0.
10. Составить уравнения касательных к графику
функции у = х2 + Ах + 17, проходящих через точку (4; 0).
Ответ: а) у = -2а?+8; б) у = 25ж-104; в) у = 2ж-8;
г) у = 26# - 104; д) у = -25я + 104.
11. Решить уравнение (ж-4)(ж + 5)(ж + 10)(ж-2) = 18ж2.
В ответе указать меньший корень.
Ответ: а) -4; б) 5; в) -5-Зл/5; г) -6; д) -5+3\/5.
12. В равнобедренном треугольнике угол при основании
равен 30°, радиус вписанного круга равен у/Е — у/Е.
Через вершину угла при основании и центр
вписанного круга проведена прямая. Найти отрезок этой
прямой, заключенной внутри треугольника.
Ответ: а) 2; б) у/2 + <Д\ в) >/8; г) 3,2; д) 1,5.
241

13. Длины сторон АВ, ВС, АС треугольника ABC
относятся как 2:3:4. Известно, что расстояния от
некоторой точки О до сторон АВ, ВС, АС равны
соответственно Зл/8 см, 2\/8 см, л/8 см. Найти стороны
треугольника и в ответе указать его периметр.
^ ч 256\/2 ^ 128\/2 v 64>/2 ч О1 ч 192\/2
Ответ: а) —-=■; б) —-£=-; в) —-£=г; г) 21; д) J. .
' Зл/15 ' 3>/15 >/15 7 л/15
14. Найти область определения функции
у=
и указать наибольшее значение х из этой области.
2.
3'
Ответ: а) 4; б) 5; в) 9; г) |; д) 2.
15. Решить уравнение
Ответ: а) ж = 4тг + (2Л + 1)тг; б) гг = —4тг + 12тг&;
в) ж = ±4тг + (2* - 1)тг; г) х = ±4тг + 12(2* + 1)тг;
д) бтгА; (во всех ответах к G Z).
16. Решить уравнение
{х2 + 2ж + З)2 - 9я(я2 + 2ж + 3) + 18я2 = 0.
Ответ: а) 2; б) 4; в) 1; г) 3; д) -1.
17. Водоем может быть опорожнен через три трубы. При
совместном действии первой и второй труб водоем
опорожняется за 2 ч, через первую и третью — за
1 ч 12 мин, а через вторую и третью — за 1 ч 30 мин.
За сколько часов опорожнит бассейн каждая труба
в отдельности? (Время указано соответственно для
1-й, 2-й и 3-й труб.)
Ответ: а) 4 ч, 5 ч, 3 ч; б) 2 ч, 5 ч, 3 ч; в) 3 ч, 6 ч.
2 ч; г) 3 ч, 5 ч, 4 ч; д) 5 ч, 6 ч, 4 ч.
242

18. Найти #, если
log8 х + log| х + log|х + * * * = |-
Ответ: а) ±; б) |; в) 3; г) 2; д) 8.
19. Бак цилиндрической формы должен вмещать V
литров воды. Какими должны быть его размеры, т. е.
радиус Л и высота Я, чтобы поверхность без
крышки была наименьшей?
Ответ: a) Л = W, Я = ^2F; б) Л =
Я = У|; в) Л = #57, Я = #^7; г) Л = Я =
20. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде
стороны основания равны 10 и 22, а диагональ равна
24. Найти площадь боковой поверхности усеченной
пирамиды.
Ответ: а) 640; б) 644: в) 480: г) 240; д) 160.
Тест 102
1. Найти больший корень уравнения 5х2 — 79# + 74 = 0.
Ответ: а) 14,8; 6)1; в) -1; г)-74; д) -79.
2. Выражение
у = \2х + 3| - \3х - 4| - ж
записать без модулей при ж Е f — оо; — ^ •
Ответ: а) Зж; б) —7; в) ж; г) Зх — 4; д) 2х + 3.
3. Вычислить #i + #2, ^ли #i и #2 корни уравнения
5ж2 - 12я - 3 = 0.
Ответ: а) ||; б) 5; в) 12; г) 3; д) Щ.
243

Ответ: а) |; б) |; в) |; г) |; д) §.
5. Найти целый корень уравнения
За? , 2х = 28
2я2-4а; + 1 2я2 - 6х 4-1 153'
Ответ: а) 1; б) 2; в) 6; г) -3; д) 4.
6. Найти больший корень уравнения
Ответ: а) -1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
7. Найти \х + у|, если
[у2 + ху = 10.
Ответ: а) 2; б) 3; в) 1; г) 5; д) -5.
8. Найти координаты точки пересечения
диагоналей параллелограмма ABCD с вершинами А(7;6),
В(2;7), С(3;2), D(8;l). В ответе указать сумму
координат этой точки.
Ответ: а) 4; б) 5; в) 9; г) 11; д) 13.
9. Вычислить log12 18 • log24 54 + 5(log12 18 — log24 54).
Ответ: а) —1; б) 2; в) log2 3; г) log3 12; д) 1.
10. Вычислить tga, если cos a = 0,8 и 0 < а < ^.
Ответ: а) -0,75; б) 0,75; в) -|; г) |; д) 0,48.
11. Найти корень уравнения 2 sin2 х + tg2 x = 2,
принадлежащий интервалу (§;§)•
Ответ: а) f; б) f; в) Ц; г) ff; д) f.
244

12. Найти наибольшее целое решение неравенства
logi(7x-3a;2) < -1.
2
Ответ: а) 1; б) 0; в) 2: г) 7; д) 3.
13. Найти /'(1), если f(x) = ^3- + cos2 тгя.
у/Х
Ответ: а) 1,5; б) 2; в) 0; г) 3; д) -0,5.
14. Найти наименьшее значение функции у = т^4 —2#2 +
+ Зж на отрезке [—1; 3].
Ответ: а) 0; б) 4; в) -3; г) -2; д) 4.
15. В арифметической прогрессии пятый член равен 92.
Найти сумму первых десяти членов прогрессии, если
ее разность равна —8.
Ответ: а) 300; б) 360; в) 400; г) 560; д) 880.
16. Касательная и секущая, выходящие из одной точки,
соответственно равны 20 см и 40 см. Найти
расстояние от центра окружности до секущей, если радиус
окружности равен 17 см.
Ответ: а) 17 см; б) 6 см; в) 12 см; г) 8 см; д) 14 см.
17. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро
образует с основанием угол 60°, а сторона основания
равна у у- Найти площадь боковой поверхности
пирамиды.
Ответ: а) 28; б) 14; в) 13; г) ±р; д) ^.
18. Решить систему уравнений
и указать сумму всех значений х и у.
Ответ: а) 5; б) -10; в) 12; г) 14; д) 18.
245

19. Найти сумму координат вершины D
параллелограмма ABCD, если Л(-1; 1; 1), J5(2; 2; -1), С(3; 1; 5).
Ответ: а) -1; б) 4; в) 5; г) 6; д) -5.
20. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у = -х2 + я - 2 и у = Зх-2.
Ответ: а) |; б) 2; в) 5; г) 4; д) 6.
Тест 103
1. Вычислить
( 3 , _3_Л . У9а~2 • Ъ-1
XV Г~ L i Г~ I ' —2 —It —2
\о — у/а Ъ-Уу/о.) а —а о
при а = л/7, Ь = v^3.
Ответ: а) |; б) 2; в) -1; г) 3; д) 4.
о
о о log45 + 31og16625-log2\/5
2. Вычислить —2 — = .
log5 64 log125 8
Ответ: а) 1; б) -2; в) 3; г) -3; д) 2.
3. Найти х, если Iog3(32* - 72) = ж.
Ответ: а) 1; б) -2; в) 3; г) 2; д) 4.
4. Найти меньшее значение ж, такое, что
Ответ: а) -2; б) 3; в) 4; г) 5; д) -4.
5. Найти правый конец интервала, на котором имеет
место неравенство 4х + 10 • 2х — 144 < 0.
Ответ: а) 2; б) -4; в) 0; г) 3; д) 5.
246

6. Решить уравнение
2а+ 8 2а+ 6
За + 2 _3* + 2 -54 = 0.
Ответ: а) 0,2; б) 0,3; в) 1; г) 0; д) -1.
7. Найти меньшее целое решение неравенства
Iog9(2 + z2)<l,5.
Ответ: а) -1; б) -2; в) -3; г) -4; д) -5.
8. Найти длину промежутка, на котором имеет место
неравенство
х_±2
л/27.
Ответ: а) 0,5; б) 0,2; в) 1; г) 2; ц) 3.
9. Найти меньший корень уравнения
л/13 - х2 + 2х2 = 11.
Ответ: а) -2; б) 1; в) 0; г) -3; д) 2.
10. Найти #2 + у2, если
(log2 я + 2 log4 у = 0,
Ответ: а) 2; б) 5; в) 3; г) 4; д) 8.
11. Найти второй член арифметической прогрессии, у
которой сумма первого и четвертого членов равна
20, а девятый член в 7 раз больше второго.
Ответ: а) 7; б) 6; в) 0; г) 49; д) 25.
12. Вычислить 2 arctg -г + arcsin y=.
Ответ: а) ^~] б) 3; в) 5; г) тг; д) ~.
247

13. Сумма третьего и шестого членов убывающей геоме-
28
трйческой прогрессии равна ^f, а произведение этих
же членов равно -^=. Найти знаменатель прогрессии
Ответ: а) 0,5; б) 0,3; в) ±; г) |; д) 3.
14. Найти tg2a, если sina = -у= и a E (|;тг).
Ответ: а) -0,6; б) -0,75; в) 0,8; г) 0,75: д) 1.
15. Решить уравнение cos2х + cos2# = sina; и указать
число его корней, принадлежащих отрезку [О;тг].
Ответ: а) 3; б) 1; в) 0; г) 2; д) 4.
16. Стороны треугольника пропорциональны числам 3.
4, 5. Найти длину меньшей стороны, если площадь
треугольника равна 24.
Ответ: а^ 6; б) 5; в) 8; г) 4; д) 12.
17. Найти /'(2), если
f(x) = ху/х2 - 3 + | sin2 nx • у/х2 + 5.
Ответ: а) 5; б) тг; в) \/5; г) <у/тг; д) 0.
18. Вектор а(—6;—13) разложить по векторам /i(2;— 3)
и /2(3; 1) и указать сумму коэффициентов
разложения.
Ответ: а) -1; б) 3; в) —4; г) 2; д) 5.
19. Найти наименьшее значение функции
у = ЗхА + Ах3 - Ylx2
на отрезке [—3;2].
Ответ: а) -32; б) 27; в) 0; г) -5; д) 32.
20. Объем правильной треугольной пирамиды равен
3\/3
—j-, а высота образует с боковым ребром угол 60°.
Найти сторону основания пирамиды.
Ответ: а) 2; б) \/3; в) 3; г) 1,5; д) 4.
248

1. Вычислить
Тест 104
cos2°(l+tg2l°)
4(l-tg2l°) *
Ответ, а) \; б) 1; в) 2: г) 0,25; д) 4.
3
2. Вычислить
Ответ: а) 1; б) л/2; в) 2; г) ^2; д) 4.
3. Найти целое значение ж, если —'-z—- = 19,2 + 2—
о о
Ответ: а) 17; б) 14; в) 0; г) -5; д) -8.
4. Найти наименьшее значение #, удовлетворяющее
неравенству у/2х2 — Зх — 5 < гг — 1.
Ответ: а) 7; б) 2; в) 1; г) 2,5; д) 3.
с о Iog256 Iog2448
5. ВЫЧИСЛИТЬ : : —.
log:i24 2 log28 2
Ответ: а) -2; б) 1; в) 4; г) 3; д) Iog23.
6. Найти больший корень уравнения 9х ~Ьх-2Ь = 9^-17
Ответ: а) -1; б) 7; в) 8; г) 9; д) 4.
7. При каком значении параметра а корни уравнения
х2 — Зх + а — 0 удовлетворяют условию ^f + гг^ = 5.
Ответ: а) 2; б) 3; в) -4; г) 5; д) -3.
8. Решить уравнение yj\3x — 30 — 2у/х — 3 = Зу/х - 2.
Ответ: а) 15; б) 4; в) 8; г) 5; д) 3.
9. Решить уравнение
и указать меньший корень.
г\ \ о *\ 1 \ —4 — л/10 ч -4 + л/То ч с
Ответ: а) 2; б) 1; в) ^—; г) ^—: д) -5.
249

10. Найти наибольшее целое решение уравнения
|я-6|2*2-3*-5 = 1.
Ответ: а) -4; б) 5; в) -1; г) 7; д) 2.
11. Найти расстояние между корнями уравнения
\Ах + 15| = 6
Ответ: а) 3; б) 2; в) 0; г) 1; д) 5.
12. Вычислить значение выражения
(я2 - у2)2 - (х2 + у2)2 + |(2*4 • V^)4
при х = sin 2° и у = lg 7.
Ответ: а) 0; б) 1; в) sin2 2°; г) lg2 7; д) 9.
13. Решить уравнение
Iog2(z2 + 6х + 11) + Iog3(x2 + 6rr + 18) = 3.
Ответ: а) 5; б) -2; в) 3; г) -4; д) -3.
14. Найти первый член арифметической прогрессии,
если ее разность равна 16, а сумма первых пяти ее
членов равна 185.
Ответ: а) 5; б) 4; в) 3; г) —1; д) 6.
15. Найти большую медиану треугольника, стороны
которого равны 7, 11 и 12.
Ответ: а) 7; б) 11; в) 12; г) 20; д) у/Ш.
16. Вычислить sin4 a + cos4 а, если
л/2
sin а + cos а = -г-.
Ответ: а) 0,5; б) 2,7; в) 0,4; г) 0,35; д) 0,875.
250

17. При каком значении х векторы
перпендикулярны?
Ответ: а) 2; б) 1; в) -1; г) -2; д) 0.
18. Площадь боковой поверхности правильной
шестиугольной призмы со стороной основания 6 равна 288.
Найти диагональ боковой грани.
Ответ: а) 6; б) 10; в) 8; г) 14; д) 12.
19. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у = х2 + Зж — 2 и у — Ъх + 6.
Ответ: а) 36; б) 25; в) 30; г) 40; д) 15.
20. Решить уравнение
sin 6я+ 2 sin у ж cos ! = 0
и указать число корней в интервале (О;тг).
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 6; д) 5.
Tea 105
1. Решить уравнение (х2+х+1)2—Зх2 —Зх — 3 и указать
произведение корней.
Ответ: а) 1; б) 2; в) -3; г) 4; д) -2.
2. Найти больший корень уравнения
ж 4-1 2х- 1
2*-i -3-2*-i +16 = 0.
Ответ: а) -1; б) ±; в) 2; г) 0; д) |.
251

3. При каких значениях а система уравнений
не имеет решений? В ответе указать большее
значение а.
Ответ: а) -9: б) 0; в) 2; г) 3; д) 1.
4. Вычислить —^ Ь ,— 1 г- + * _ - 2>/7.
/26 5 /27 /26 /28 + /27
Ответ: а) -5; б) \/26; в) л/28; г) 2>/7; д) 0.
1
5. Вычислить З21оез 2+1обз 5 . (^^ 49 . 3 iog7 з в
Ответ: а) 20; б) 49: в) 7: г) 5; д) 15.
6. Найти целый корень уравнения т h 2ж = 2.
Ответ: а) 1; б) -|; в) -2; г) -1; д) 4.
7. Найти положительный корень уравнения
Ответ: а) 1,5; б) 2; в) 1; г) 3; д) 4.
8. Решить систему
и указать £ + у, если (я, у) — решение системы.
Ответ: а) 20; б) 50; в) 36; г) 25; д) 61.
9. Найти расстояние между точками А(8; 5) и J5(2: —3).
Ответ: а) 10; б) 12; в) 9; г) 8; д) 16.
10. Вычислить 2 arctg 10 + arcsin ^-.
Ответ: а) 5; б) 4; в) |; г) —тг; д) —1.
252

11. Найти корень уравнения sin3# + sin re — sin 2x в
интервале (0;90°).
Ответ: а) 80°; б) 45°; в) 30°; г) 60°; д) 10°
12. Найти наибольшее целое решение неравенства
Ответ: а) 3; б) 2; в) 1; г) -1; д) -2.
13. Найти /'(-1), если
f{x) =
Ответ: а) -2; б) 3; в) 7; г) 14; д) -5.
14. Найти значение функции
в точке минимума.
Ответ: а) 0; б) — 1; в) 2; г) -5; д) 7.
15. Найти сумму бесконечно убывающей прогрессии,
если первый член равен 2, а шестой —.
Ответ: а) 16; б) 18; в) 5; г) |; д) |.
16. Стороны параллелограмма равны 23 см и 11 см, а
диагонали относятся как 2:3. Найти длину большей
диагонали.
Ответ: а) 10; б) 20; в) 30; г) 25; д) 15.
17. Найти неизвестные координаты четвертой
вершины D параллелограмма ABCD, если
Найти также площадь ABCD и в ответе указать эту
площадь.
Ответ: а) -1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
253

18. Решить систему
(хх+у = 24
и указать максимальное значение произведения ху,
где (ж, у) — решение системы.
Ответ: а) 1; б) 12; в) -64; г) 50; д) 27.
19. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у — х1 — # + 2иу = 2 + 5ж.
Ответ: а) 36; б) 25; в) 30; г) 20; д) 50.
20. В правильной треугольной пирамиде двугранный
угол при основании равен 30°, а стороны основания
равны itfb. Найти площадь боковой поверхности
пирамиды.
Ответ: а) 32; б) 20; в) 10; г) \[Ъ\ д) 8.
Тест 106
1. Найти произведение корней уравнения
Ответ: а) -|; б) 5; в) -2; г) -|; д) -1.
2. Решить неравенство \3х — 5| — \5х + 3| + 8ж < 2 и
в ответе указать наибольшее целое отрицательное
решение.
Ответ: а) -5; б) -4; в) -3; г) -2; д) —1.
3. Найти значение а, если корни уравнения Зх2 + 2# +
-)- а = 0 удовлетворяют условию а^ + х\ = — ^7.
Ответ: а) -5; б) 2; в) 3; г) 4; д) —1.
254

4. Вычислить f l + l - л/8) л/б.
Ответ: а) -2; б) л/8; в) л/б; г) -6; д) 0.
Iog72-log4f l^
5. Вычислить ——=—- • 31о£259.
log3 15 - log3 5
Ответ: а) 1; б) 2; в) -2; г) 3; д) 5.
6. Найти отрицательный корень уравнения
5д?2 - 6а? - 17 __ о , Q
—j — ZX -г о»
Ответ: а) -2; б) -5; в) -|; г) 0; д) -1.
7. Найти положительный корень уравнения
j Х- _ уХ # g £-Ж ^
Ответ: а) 0,4; 6)log5i; в) 3; г) 2; д) 1.
8. Найти Iog2(# • у), если
{log2 х + log4 у = 4,
log4 x + log2 2/ = 5.
Ответ: а) 2; б) 4; в) 6; г) 64; д) 20.
9. Найти угловой коэффициент касательной прямой к
графику функции у — у/2х2 + Зх + 4, проходящей
через точку с абсциссой ж = 1.
Ответ: а) 1,5; б) |; в) |; г) |; д) 2.
10. Вычислить без калькулятора и без таблиц
при а = л/17, Ь = ^5.
Ответ: а) л/17; б) ^5; в) 12; г) \/22; д) -1.
255

11. Найти корень уравнения cos2 х + | cos x = 1,
принадлежащий отрезку [0; 90°].
Ответ: а) 90°; б) 45°; в) 15°; г) 30°; д) 60°.
12. Найти наибольшее целое отрицательное решение не-
х2 + х — 2
равенства - h х — 1 < 0.
Ответ: а) 12; б) -1; в) -2; г) -5; д) -3.
13. Найти /'(1), если f(x) = x+1 + \ cos7 |я • sin2z.
Ответ: а) -2,5; б) 2; в) тг; г) |; д) 7.
14. Найти значение функции f(x) = д в точке
максимума.
Ответ: а) 0; б) -^; в) 12; г) -12; д) 4.
15. Найти сумму всех трехзначных чисел, не
превосходящих 200, которые при делении на 5 дают в
остатке 3.
Ответ: а) 5 940; б) 6000; в) 10000; г) 6020- д) 7018.
16. В треугольнике со сторонами 21, 17 и 10 см вписан
прямоугольник так, что две его вершины находятся
на одной стороне треугольника, а две другие
вершины — на двух других сторонах. Найти квадрат
длины диагонали прямоугольника, если его периметр
равен 22,5 см.
Ответ: а) 50; б) 70; в) 57,25; г) 63,5625; д) 80,5625.
17. Решить систему уравнений
IV2 + 3v/=y = 25,
\2*2.^ = 48
и в ответе указать наименьшее значение х + у, если
(гг, у) — решение системы.
Ответ: а) -1; б) -9; в) -2; г) -11; д) 10.
256

18. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро
образует с основанием угол 30°, а площадь боковой
поверхности равна 7. Найти сторону основания
пирамиды.
Ответ: а) 7; б) 2; в) у/7; г) 2^; д) 5.
19. Две хорды, равные 17 см и 18 см, пересекаются.
Найти больший отрезок первой хорды, если вторая
делится точкой их пересечения в отношении 1:2.
Ответ: а) 8; б) 2; в) 10; г) 9; д) 7.
20. Определить площадь фигуры, ограниченной
параболами у — 2х2 + 2х + 3 и у = х2 + Ъх + 3.
Ответ: а) ^; б) 5; в) 4; г) §; д) 10.
Тест 107
1. Найти jp- + jp, где xi, #2 ~~ корни уравнения
Ах2 + Зж - 8 = 0
Ответ: а) ^; б) -|; в) ±§; г) ^ д] -|.
2. Решить неравенство |2з; + 5| + \3х — 7| > 4х + 1 и
указать наименьшее целое положительное решение.
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4.
3. Вычислить х\ + Х2л если х\ и Х2 корни уравнения
(*f-s) (""-§)-•■
принадлежащие интервалу (О; 5 ).
Ответ: а) тг; б) |; в) |; г) |; д) 2тг
9-1731 257

4. Сумма четырех первых членов арифметической
прогрессии равна 62, а сумма четырех последних ее
членов равна 110. Найти число членов прогрессии, если
ее первый член равен 11.
Ответ: а) 11; б) 8; в) 12; г) 13; д) 9.
Е та (%/ТТ-л/5)(л/33 + \/15-%/22-л/10)
5. Вычислить — — .
y/lb-y/bto
Ответ: а) 1; б) 1,2; в) 2; г) -1; д) 3.
6. Вычислить З^1^ • 31оез8 - v/7 • 831°ез2 + (уД)1о&29.
Ответ: а) 3; б) 1; в) 2; г) -1; д) 5.
7. Найти меньший корень уравнения ~ J0 + -? =
я — 2 аг — 3#
_ 5
2*
Ответ а) 5; б) 1; в) 4; г) ^^; д) 1±
8. Найти целый корень уравнения |Зж + 2| = А—12 — 5х\.
Ответ: а) -2; б) 3; в) 1; г) 0; д) 2.
9. Найти выражение Iog6(#y), если
Ответ: а) 1; б) log6 3; в) Iog62; г) Iog65; д) 2.
10. Найти угол наклона прямой у = —~ "~ 5 к оси Ох.
V3
Ответ: а) 45°; б) 60°; в) -30°; г) 100°; д) 150°.
11. Решить уравнение Iog8(22a; + 2х + 8х - 6) = х.
Ответ: а) 0; б) -1; в) 2; г) -2; д) 1.
12. Найти наибольшее целое решение неравенства
logi(7-s) >-2.
з
Ответ: а) 6; б) 5; в) -1; г) 2; д) 3

13. Вычислить arcsin т* + 2 arctg |
Ответ: а) 2; б) 1; в) тг; г) Зтг; д) -£.
14. Вычислить Ml5log«rr4 - 341°68i16 J . 810^4.
Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) -1; д) -0,125.
15. Сумма второго и пятого членов убывающей
геометрической прогрессии равна 5,04, а сумма третьего
и четвертого ее членов равна 1,2. Найти сумму всех
членов прогрессии.
Ответ: а) 25; б) 0,2; в) 0,05; г) 31.25; д) 10.
16. Решить уравнение
cos 2х — cos Rx + cos Qx = 1
и указать число корней, принадлежащих интервалу
(-14
Ответ: а) 1: б) 2; в) 3; г) 4: д) 0.
17. .Длины сторон треугольника пропорциональны
числам 51, 58, 41. Найти его площадь, если периметр
треугольника равен 300.
Ответ: а) 4 800; 6)3000; в) 4080; г) 5000; д)3 296
18. Найти 3 • /' (тг\ если fix) = -Д-(2сов2ж - sin За;)
V о / " sin х
Ответ: а) -2; б) 6л/3; в) -4, г) 2(3л/3 - 2),
д)2(Зл/3-5).
19. Найти наибольшее значение функции
f(-x) = x2 • s/x-20x
ла отрезке [1;9].
Ответ: а) 63; б) 54; в) 64. г) 80; д) 25.
9*
259

20. Сторона основания правильной треугольной призмы
равна 6. Найти объем призмы, если ее высота в у/3
раз больше стороны основания.
Ответ: а) 98; б) 100; в) 150; г) 162; д) 180.
Тест 108
1. Найти х\ + х\ + х\, если х\, х<2, #з корни уравнения
2х3 + 6х2 - 7х = 0.
Ответ: а) 16; б) |; в) 2; г) 12,5; д) 20.
2. Раскрыть модули в выражении
если х > -z.
Ответ: а) 5; б) х\ в) 2х + 3; г) Зх - 2; д) 19.
3. Точка, взятая на гипотенузе прямоугольного
треугольника, одинаково удалена от его катетов и делит
гипотенузу на отрезки 3 см и 4 см. Найти площадь
треугольника (в см2).
Ответ: а) 12; б) 20; в) 11,76; г) 15; д) 13,76.
4. Вычислить * _ + * _ + * _ + \/б - 2.
/7 + Vb /8 + /7 /9 + /8
Ответ: а) 1; б) 2; в) у/Ь; г) у/7; д) \/б-
5. Вычислить ^t+i + 521°Sv^3 ~ 3l°g925 + 2-
Ответ: а) |; б) Ig2; в) Ig3; г) Ig36; д) lg 6.
6. Решить уравнение
В ответе указать целый корень.
Ответ: а) -1: б) 2; в) 5; г) 0; д) -2.
260

7. Решить уравнение \2х + 3| = 2 и указать сумму его
корней.
Ответ: а) 3; б) |; в) §; г) -3; д) -§.
8. Решить систему уравнений
и указать у3х, где (ж, у) — решение системы.
Ответ: а) 1; б) 8; в) 3; г) -3; д) 9.
9. Найти cos 2а, где а угол наклона прямой у = —
к оси Ох.
Ответ: а) -0,6; б) 1; в) ±; г) 0,8; д) 0,6.
о
10. Найти положительную ординату точки пересечения
окружности (х — I)2 + (у + I)2 = 5 с осью Оу
Ответ: а) 1; б) 0; в) 1,5; г) 2; д) 3.
11. Найти число корней уравнения cos x = 2 sin2 2x cos x
на отрезке [30°; 90°].
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5
12. Решить неравенство
2а:2 - х + 1
- Зж + 2 > 0
и указать наибольшее целое решение.
Ответ: а) 0; б) -2; в) -4; г) -5: д) - 7
13. Найти 2 arctg | + arctg ± - arctg ||.
Ответ: а) -|; б) 0; в) |; г) 3: д) /г
14. Найти значение функции f(x) =%--н^-— 2х+-в
точке минимума.
Ответ: а) -б; б) 2: в) 1,5: г) 6,5: д) 0
261

15. Третий член арифметической прогрессии равен 9,
а разность прогрессии равна 3. Найти сумму шести
первых ее членов.
Ответ: а) 81; б) 75; в) 59; г) 63; д) 18.
16. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами
у = х2 — 2х + 2, у = х2 + Ах + 5 и прямой у = 1.
Ответ: а) |; б) 5; в) 4; г) |; д) 10.
17. Решить уравнение log7 ^— = log7 , fi.
Ответ, а) 1; б) 0; в) 3; г) 4; д) 6.
18. Вектор й(—4; —9) разложить по векторам /i(l; —3) и
/2(2; 1) и в ответе указать произведение
коэффициентов разложения.
Ответ: а) -6; б) 5; в) 4; г) 6; д) 8.
19. Гипотенуза прямоугольного треугольника на 8 см
больше катета. Найти площадь треугольника, если
его периметр равен 30 см.
Ответ: а) 15 см2; б) 26 см2; в) 28 см2; г) 30 см2;
д) 32 см2.
20. В правильную шестиугольную пирамиду вписан
прямой конус и около нее описан прямой конус.
Даны высота пирамиды Н = 10 и радиус основания,
описанного конуса R = 6. Найти разность объемов
описанного и вписанного конусов.
Ответ: а) тг; б) ЗОтг; в) 12тг; г) 14тг; д) 15тг.

Решения и ответы
Решение теста 1
Задача 1. Фиксируем ОДЗ: — 3 < х ^ 2. Обе части
уравнения возводим в квадрат. Получаем равносильное
уравнение на ОДЗ:
2 - х + 2^/(2 - х)(х + 3) + х + 3 = 9.
Приводим подобные и уединяем радикал. Получаем
у/{2-х)(х + 3) =2
Обе части возводим в квадрат и решаем полученное
квадратное уравнение. Имеем последовательно — х2 -х+6 =
= 4, т. е. х2 Л-х — 2 = 0, откуда х\ — 1. Х2 = —2. Оба корня
удовлетворяют ОДЗ, а их cvMMa равна х\ Л x<i = — 1.
Ответ: —1.
Задача 2. Исходное неравенство заменим системой
неравенств (см. п. 1 из 1.12]
)Х _ з| > - 5 - 4х.
Первое неравенство системы заменим системой
неравенств, по аналогии с исходным неравенством.
а)|5х-3| <5
Решение этой системы есть пересечения полученных
лучей, т. е. х Е (-2; |)
Второе неравенство системы заменим совокупностью
неравенств (см ... 2 из 1.12)
263

[Ъх - 3 < 5 + Ах х < 8.
Решение этой совокупности состоит из объединения
полученных лучей. Получаем х G (—оо;+оо).
Наконец, решением исходного неравенства получаем
в результате пересечения множеств неравенств а) и б),
т.е.яе(-2;§).
Наименьшее целое число этого интервала — это —1.
Ответ: — 1
Задача 3. Данное дробное уравнение может быть
приведено к целому уравнению четвертой степени, но это
не эффективно. Целесообразна в этом случае подстанов-
ка 2х + - =; t. Чтобы это заметить, перепишем исходное
уравнение в виде 6 ( 2х + - J + Ах2Л- — = 47. После возве-
дения в квадрат подстановки получаем Ах2 + — + 8 = t2.
X
Отсюда Ах2 Н—т = t2 — 8. Этими заменами приводим
х
исходное уравнение к виду t + Ы — 55 = 0. Отсюда
t = -3 ± 8, т. е. ti = -11, t2 = 5.
Возвращаемся к неизвестной х:
а) 2х + | = -11, или 2х2 + 11а? + 2=0. Отсюда
_ -п±у/Ш
б) 2х + | = 5, или 2х2 - Ъх + 2 = 0. Отсюда ж3 = 2,
Среди полученных корней только один целый #з-
Ответ: 2.
Задача 4. Прологарифмируем обе части уравнения
по основанию 2: 3^—Ь ж log2 3 = log2 3. После
преобразований получим
264

О
Отсюда x\ = 1, X2 = —, = — 31og32. Нецелым явля-
IOg2 о
ется корень Х2-
Ответ: х = — 3 log3 2.
Задача 5. Разделим первое уравнение на второе.
Получим ^ = 3, т. е. х = Зу. Это равенство используем в
у
любом уравнении, например в первом: 18у2 = 18.
Отсюда получаем у\ = 1, j/2 = ~1? & тогда х\ — 3, #2 = ~3.
Оба решения удовлетворяют системе. Для любого
решения х2 + 2/2 = 10, а так как система имеет два решения,
то п(х2 + у2) = 20.
Ответ: 20.
Задача 6. Зафиксируем ОДЗ: |-^| > 0, ||^ > 0.
Приводим второй логарифм к основанию 2:
, 2я -1 , 2х -1
Уравнение перепишем в виде равенства
„ ж - 2 2я - 1
Потенцируем и приходим к пропорции ——г = , т. е.
(ж—2)(6#+7) = (2д:—1)(ж+2). Отсюда несложно получить
уравнение ж2 — 2х — 3 = 0 с корнями х — — 1, х = 3. ОДЗ
удовлетворяет только а; = 3.
Ответ: 3.
Задача 7. Воспользуемся сначала формулой
тангенса суммы двух углов:
1-tgf-tgf 1-tgf
Эту дробь преобразуем заменой
2 -f
265

а второй множитель исходного выражения тоже
приводим к «половинному аргументу». Исходное выражение
обозначим буквой А. По формулам из 2.2 получаем
1 +
А
i
Ответ:
sin
cos
sin
cos
1
a
2
a
2
a
2
a
2
cos
COS
sin
a
2
a
2
2f fcos2
cos2
-fsinf
-sin|
a
2
a
2
fcos
2sin|
sin2|
fcos
|+sin
•cosf
f-sh,
f)2
f)(cos|-
sin f)
= 1.
Задача 8. Действия с обратными
тригонометрическими величинами сводим к действиям с прямыми
величинами следующим образом. Слагаемые исходного
выражения, которое обозначим буквой В, являются
углами а = arctg | и в = arctg ^, тогда tgа = |, tg/3 = ^
и нам надо вычислить В = 4а — /3. Возьмем тангенс от
обеих частей этого равенства:
(воспользуемся формулой тангенса разности)
Вычислим
для чего сначала найдем
о I
25
а затем
^5_ 119
144
266

Таким образом
120
t* Я ш
IgjD 1.120
"*" 119
А если tg В = 1, то
Ответ: т-
4
1
239
239
В =
239-
119-
120 -
239 +
119
120
28561
28561
Задача 9. Найдем корни исходного уравнения.
Непосредственная проверка показывает, что число х\ = — 1
удовлетворяет уравнению: —2 + 11 — 19 + 10 = 0.
Разделив в столбик многочлен 2х3 + Их2 + 19х + 10 на х + 1
получим 2хг + Их2 + 19kr + 10 = (х + 1)(2ж2 + 9х + 10)
Уравнение 2#2+9#+10 = 0 имеет два корня #2,3 = —^—•
т. е. Х2 = — | и жз = —2, следовательно, 2ж2 + 9х + 10 =
= (2я + 5)(я + 2).
Ответ: (х + 1)(х + 2)(2ж + 5).
Задача 10. Объем работы принимаем за единицу.
Неизвестными a:i, гг2, ^з? #4 и #5 обозначим производи
тельности труда работающих.
Из условия задачи (с учетом, что при совместной
работе производительности складываются) составим
систему уравнений
7,5(a?i + х2
+ Хз + Х$ = |,
__ 1.
6 J
+ #4 + #5 = ~л
Требуется найти такое * (время), что
t(xi + хг + xz + 24 + #5) = 1,
или что то же самое * =
267

Заметим, что составленная система состоит из
четырех уравнений и пятью неизвестными, поэтому найти
каждую из неизвестных нельзя. Но найти их сумму можно,
составляя различные комбинации уравнений системы.
Сложим все уравнения системы:
3xi + 2х2 + Зх3 + 2х4 + 2я5 = f •
Используем теперь равенство 2(х2 + х± + х$) = ^.
получаемое из четвертого уравнения системы домножением
обеих частей на 2. Получаем 3(х\ + х$) + ± — |.
Отсюда х\ -t- #з — То* К четвертому уравнению системы
прибавим это последнее уравнение. Приходим к
равенству ri -t- X2 + #з + #4 + #5 = о • Этим искомая величина
о
i найдена, t = 3.
Ответ: 3 часа.
Решение теста 11
Задача 1. Воспользуемся формулами
l-tg22<*=|2
Ictg2a |
и писле подстановок выполним соответствующие
действия. Получаем
1 _^ sin 2а
cos2 2а cos 2о> _ 1 -*- sin 2а cos 2а sin2 2а _
1 _^_ cos 2а cos2 2а 1 + sin 2а cos 2а
sin
2 2а * sm 2а
COS
Ответ: tg2 2ot.
Задача 2.Обозначим 2х = у > 0. Тогда
21"* = 2 2~х = | > 0
268
= tg2 2а.

и исходное неравенство заменим (так как у > 0)
квадратным: у2 — Зу + 2 < 0. Разложим на множители:
Применим метод интервалов. Получим 1 < у < 2.
Возвращаемся к двойному показательному
неравенству 1 < 2х < 2. Отсюда следует, что 0 < х < 1.
Серединой этого промежутка является число ■=.
Ответ: ^.
Задача 3. Обозначим через Ь и q соответственно
первый член и знаменатель геометрической прогрессии.
Данные задачи можно записать в виде уравнения Ь +
-\-bq-\- bq2 = 78, где Ъ = 54. После подстановки получаем
уравнение 9q2 + 9q — 4 = 0. Отсюда q\ = — «, q<i = |.
Задача имеет два решения. В ответе укажем q\ + 92 = — 1.
Ответ: —1.
Задача 4. Потенцируем исходное неравенство и
получаем двойное квадратное неравенство 0 < х2 —
^ 8 или равносильную систему
Метод интервалов дает а £ [— 1; 1) U (3; 5].
Наибольшее положительное решение — это число 5.
Ответ: 5.
Задача 5. Замена tfx = 2/^0, \f% = у2 приводит к
квадратному уравнению у2 Л-у — 12 = 0с корнями у = 3
и у = —4 (не удовлетворяет условию у ^ 0). Из yfx = 3
получаем а; = 81.
Ответ: 81.
Задача 6. Перепишем уравнение в виде 4 • 22х —
- 2Ж • 3х — 18 • 32х = 0, перейдя от трех оснований к двум.
269

Разделив почленно на 32х = 3х • 3*, переходим к одному
основанию: 4 - Г§) ~ (§)* - 18 = 0. Отсюда (|V =
1 i 17 f i\x
= —g—. Уравнение ( « J = — 2 корней не имеет, а из
^3 J = 4 = V3/ получаем х = -2.
Ответ: х — —2.
Задача 7. Преобразуем исходную систему
следующим образом. Второе уравнение умножим на 2 (2ху — 16)
и прибавим к первому: х2+2ху+у2 — 36. Отсюда следует,
что х 4- у = 6 или ж + у = —6. Системы
или
интерпретируем как формулы Виета для некоторых
квадратных уравнений и решим их подбором решений.
Получаем
для первой системы и
для второй системы.
Все четыре решения удовлетворяют исходной
системе. Величина х4 + у4 = 272 не зависит от выбранной
«тары решений. Всего имеется 4 пары решений, поэтому
искомая величина равна 272 • 4 = 1080.
Ответ: 1080.
Задача 8. Воспользуемся чертежом (рис. 26), на
котором АВ — данная хорда.
270

Дано ^ АтВ : w АпВ = 3:7. Поскольку
+ ^ АпВ = 360°, то с учетом того, что ^ АтВ соста
вляет 3 части, а ^ АпВ составляет 7 частей, то 10
частей составляют 360°. Следовательно, 1 часть равна 36°,
w АтВ = 108°, ^АпВ = 252°. Угол AM В,
опирающийся на меньшую дугу ^ АтВ, имеет 54°.
Ответ: 54°.
Задача 9. Дано f{x) = я\/16 - 2х - Ьх2. В
области определения этой функции по формуле производной
произведения находим
-2 - Юя
f'(x) = л/16 - 2а? - 5ж2 + а?
2^16 - 2х - Ъх2
Так как /(1) = 3, то уравнение ff{x) —
имеет вид
/(1)
-2х- Ьх2
= = л/16 - 2х - Ьх2 -
х(Ьх + 1)
- 2а: -
\/16 - 2х -
откуда 3 = 16 — 2х — Ьх2 — х(5х + 1), или Юх2Л-Зх —13 = О
Отсюда х\ = 1, #2 = — Tq- Оба корня принадлежат ОДЗ
функции и уравнения. Больший корень — это х\ = 1.
Ответ: 1.
Рис. 26
Рис. 21
Задача 10. Условиям задачи удовлетворяет
построенный чертеж (рис. 27).
271

Дано: АЕ = DO, ААВС — правильный (АВ =
= АС = ВС), DE — апофема, (BE = ЕС) и DE = \/30.
НаЙТИ V = Упирамиды-
1. Обозначим АЕ = х. Тогда ОЕ = §. Из ADOE
о
определим х при помощи теоремы Пифагора. Имеем
ОЕ2 + OD2 = DE2. или (f )2 + х2 = 30. Отсюда 10s2 =
= 270. а х = Зл/3.
2. В ААВС имеем АЕ = 3\/3 и ZABE = 60°. Тогда
3. Воспользуемся формулой площади правильного
а а2\/3 т-т
треугольника Ь — —.—, где а его сторона. Получаем
Saabc = —j- = 9>/3.
4. Вычислим объем пирамиды
V = |5Осн. • Я = | • 9л/3 • 3\/3 = 27.
Ответ: 27.
Решение теста 21
Задача 1. Сделаем общее замечание: упрощение
громоздких иррациональных выражений по отдельным
действиям иногда не оправдано, потому мы и привели
весь справочный материал в начале книги — хорошо бы
знать его основные формулы наизусть. В данном
примере мы определяем порядок действия и выполняем их
одновременно.
Обозначим значение выражения буквой А.
Выполним сначала вычитание из круглых скобок (приведя к
общему знаменателю), разложим третью дробь:
л _ 49~ »\/Q + 3)(^-h3) Уа(а + 27) f 40 - у^
272

Сократим (а+27) в числителе и знаменателе первой
дроби и сложим ее со второй:
^(49 #? - 6^ - 9) + (40 - #о*)(4 - ffa) _
^(40--8^-6^5)+ 160-43^0*-40 $G +a
Ю(16 - Vtf)
16 - V^7 16 -
Ответ: 1.
Задача 2. Вид уравнения подсказывает подстановку
(замену): За; — 2 = z. Получаем z2 + bz — 6 = 0 =» 21 = 1,
£2 = —6. Остается решить еще два простых уравнения:
а) Зз - 2 = 1 =» ж = 1;
б) Зж-2 = -6=» ж = -|.
В примере требуется указать больший корень.
Ответ: 1.
Задача 3. Так как cos x = 0 не удовлетворяет
исходному уравнению, то, деля обе части на cos2 #, получаем
уравнение
(5 + л/3) tg2 ж + (5л/3 - 1) tgх = 5(tg2 x + 1).
Заменой t = tg x получаем квадратное уравнение
Vst2 - Ц - 5л/3)* -5 = 0
с корнями ti = — и *? = —5. Следовательно, из уравне-
v3
ния tg а: = — получаем х = ^+тгп (n E N), а из tg x = —5
получаем гг = — arctg 5 + тгт (т € N). На отрезке 0; — |
лежат только 2 корня (х\ = | и Х2 = тг — arctg 5).
Ответ: 2.
273

Задача 4. При х +1 ф О переходим к равносильному
уравнению у/Ь — х2 = х +1. При х +1 > 0 обе части
уравнения возводим в квадрат. Получаем 5 — х2 = х2 + 2х +1,
я2 + ж — 2 = 0. Отсюда а? = 1 (допустимый), а х = —2 не
удовлетворяет условию х + 1 > 0.
Ответ: х = 1.
Задача 5. Подобные неравенства решаем
стандартными методами (см. 1.13 и 1.11), сводя их к равносильной
совокупности рациональных систем, к которым
применяем метод интервалов. Имеем
-2х> 1-
X2
1-
1-
X2
-2х
-х <
-х>
-2х
х(х
х>
х^
0>
0,
о,
>
—
1,
1,
1
о,
(1
2)
- 2х + х2)
>о,
2 < х < оо,
х е 0.
Решением неравенства является полуинтервал [2; +оо).
Наименьшим целым числом этого луча является
число 2.
Ответ: 2.
Задача 6. Простейшие показательные неравенства
надо лишь привести к одинаковым основаниям и
применить табл. 3 (см. п. 1.14). Лучше пойти таким путем:
5.«-
Методом интервалов находим х € (о
274

Целого решения в интервале (|;2j нет.
Ответ: 0.
Задача 7. Формулами преобразования логарифмов
сводим уравнение к равенству двух логарифмов.
Фиксируем сначала ОДЗ:
10 > 0,
- 20 > 0,
Перепишем исходное уравнение в виде
lg 5 + lg(2a? - 1) + \g{x + 10) = lg(21a? - 20) + lg 10,
или lg5(2s-l)(s + 10) = lg(21a-20)-10. Отсюда следует,
что 5(2ж2+ 19^-10^ = 10(21ж-20), т. е. 2я2-23ж+30 = 0.
О
Корнями этого уравнения являются х\ = ~ и Х2 =
= 10, и оба эти числа удовлетворяют системе ОДЗ;
произведение х\Х2 равно 15.
Ответ: 15.
Задача 8. Область определения данной функции,
состоящей из двух слагаемых, получается как решение
системы неравенств
Второе неравенство заменим равносильной системой
(см. 1.12):
'(4а? - 3){х + 7) > 0, ({Ах - Щх + 7) > 0,
19, <=> 1х^ у,
-19 [х^ -7.
Применим метод интервалов.
275

/3 17
4 Т
Внимательный анализ чертежа (см. рис. 28)
показывает, что решение системы содержит изолированную
точку х = — 7.
Ответ: ж Е т; -г- U {—7}, а меньшее решение —7.
Задача 9. При решении логарифмических
неравенств с переменным основанием а(х) надо исследовать
два случая а(х) > 1 и 0 < а(х) < 1 (см. 1.15). ОДЗ
рассматриваем отдельно:
'а?2-10а? + 24>0, Г(а?-4)(а?-6) > О,
х2 - 9 > О, «М (я - 3)(я? + 3) > О,
^х - 3 > 0, х - 3 ^ 1, (# > 3, ж ^ 4;
откуда ОДЗ имеет вид: х G (3; 4) U (6; +оо). Переходим к
решению неравенства на ОДЗ.
1) < ~ ' о <*
[2х2 - 20а; + 48^ х2 -9
О < . ' . . . . . (см. рис. 29).
\(x-(10-V53))(x-(10 + V43))>0 V V '
Получили частичный ответ х ^ 10 + л/43-
2) (0<ж-3<1,
(см. рис. 30).
V
276

10-л/43 410 + V53
Рис. 29
Получим второй частичный ответ 10 — %/43
Частичные ответы объединяем в общий:
х < 4.
х е [10 -
Ответ: 10 - л/43.
; 4) U [10 + л/43; +оо).
Задача 10. Чертеж, удовлетворяющий условиям
задачи, построен на рис. 31. Пусть D — вершина
пирамиды, а ААВС — ее основание. Из условия задачи
вытекает, что ААВС равносторонний, а пирамида —
правильная. Для объема имеем формулу V = «^осн • OD (где
о
О — центр основания, совпадающий с проекцией
вершины D на плоскость основания). Для полной поверхности
имеем S = S^0K-{-S0CH. Итак, нужно найти площадь
основания, площадь боковой грани и длину высоты OD.
40°
Рис. 31
1) Так как ААВС — правильный и ВС -= 4, то
5ОСН = ВС2 • ^ = 4л/3.
2) По условию ADBC — равнобедренный и
= 80°. поэтому Z.DBC = /.DCВ = 50°. Пусть
277

DE — высота боковой грани, тогда DE = BE • tg 50° =
= 2tg50°.
3) SABdc = \BC • DE = 4tg50°.
4) Из треугольника ABC имеем (О — точка
пересечения медиан) ОЕ = | • АЕ = | - АВ - cos 30° = ^.
5) Треугольник DOE прямоугольный, поэтому по
теореме Пифагора
50° - |= -W3tg2 50° - 1.
** v3
6) Находим объем V = \SOCU • OD = \ • 4уД • -^-x
6 6 V3
Xv/3tg250° - 1 = |v/3tg250° - 1.
7) Находим площадь поверхности
S = Soch + 3SABdc = 4л/3 + 12 tg 50°.
Ответ: V = |v/3tg250a - 1, S = 4л/3 + 12tg50°.
Решение теста 31
Задача 1. Сложим дроби в круглых скобках,
разлагая их знаменатели на линейные множители. Обозначим
выражение буквой А. Получаем последовательно
v" ' A/ x(ar + l)(x-4) x-\
— s2 - 4x + 4s -f 4 - 5s = x2 - Ьх + 4 __ .
(при x фЪ,х ф \,хф ±1/.
Ответ: 1.
278

Задача 2. При х — 1 ^ 0 обе части уравнения можно
возвести в квадрат и получить равносильное уравнение
1 ~н 4х — х2 = х2 — 2х + 1, т. е. гг2 — Зж = 0. Отсюда х = 0
(не удовлетворяет условию а; - 1 ^ 0) и а; = 3.
Ответ: 3.
Задача 3. Пусть q — знаменатель геометрической
прогрессии, Ь — ее первый член и S — сумма ее членов
(см. 4.3).
Поскольку S = т-^—, то получаем уравнение относи-
тельно q: j-^-— = 110 или 6 = 10(1 — q). Отсюда 1 — q = 0,6
и q = 0,4.
Ответ: 0,4.
Задача 4. Основание логарифма в левой части
неравенства переменное. Воспользуемся табл. 4 из 1.15 и
заменим данное неравенство равносильной совокупностью
систем, которые решим параллельно
О <х < 1,
.т3 - х2 - 2х > хъ\
X > 1,
х3 — х2 — 2х < х3
х3 - х2 - 2х > 0;
0 < х < 1,
х{х + 2) < 0;
х > 1,
U>2.
Из обеих систем получим х е (2;+оо).
Наименьшим положительным целым числом этого луча является
х = 3.
Ответ: 3.
Задача 5. В данной системе произведем замены
2Т9

Получим линейную систему
{2u-3v = 15,
и + v — 15.
Второе уравнение, умноженное на 3, сложим с первым
Ъи = 60. Отсюда и = 12, а из второго уравнения находщ
v = 3. Возвращаемся к первой системе:
ху = 12,
т. е.
Отсюда I У ~ ±2'
[ж = ±6.
Ответ: (±6, ±2).
Задача 6. Воспользуемся чертежом (рис. 32), на
котором AD = 24, ВС = 10, BE = 17 (BE _L AD),
AB = DC.
Проводим отрезок MiV через
центр описанной окружности
перпендикулярно основаниям
трапеции, (очевидно, М и N — середины
оснований) и обозначим ON = х.
Тогда ОМ = 17 — гг. Запишем
теоремы Пифагора для
треугольников ONC и OMD, где ОС = OD =
= Д — неизвестный радиус окруж-
Рис. 32
ности. Получаем систему уравнений
Гя2 + 52 = Д2,
\(17-я)2 + 122 = Д2.
Сначала определим х из уравнения (приравниваем
левые части уравнений системы) х2 + 52 = 172 — 34а? +
+ х2 + 122. Отсюда & = 17 +^ ~5 = М = 12. Радиус
280

R находим из первого уравнения системы. Имеем R? =
- 122 + 52 = 132. Отсюда R = 13.
Ответ: 13.
Задача 7. Для того, чтобы найти наименьшее (или
наибольшее) значение функции, на данном отрезке
выполним следующие действия:
1. найдем производную функции и преобразуем ее;
2. исследуем знак производной на данном отрезке;
3. воспользуемся утверждением: если производная
сохраняет знак в некотором промежутке, то в этом
промежутке функция монотонна;
4. вычислим значения функции f(x) в критических
точках и на концах отрезка.
1) Воспользуемся правилом дифференцирования
дроби. Находим
,, _ (-2а? + 7)(х2 - 2х + 2) - (2а? - 2)(-х2 + 7х - 7) _
_ -5а?(а? - 2)
~ (х2 - 2х + 2)2 "
0/ Н
J
0 у
' 2
\
аг
Рис. 33
2) Знаки ff(x) изображены на рис. 33. На второй
числовой прямой показано поведение функции f(x) по
признаку возрастания-убывания. Точки минимума х = 0 и
максимума х = 2 лежат на отрезке [—1;4]-
3) Вычислим /(0), /(2), а также /(—1) и /(4) и
сравним полученные значения. Имеем /(—1) = —3; /(0) =
- -3,5; /(2) = 1,5; /(4) = 0,5.
281

4) Наибольшее значение f{x) достигается в точке
х = 2 и /(2) = 1,5, а наименьшее — в точке х = 0 и
/(0) = -3,5. Разность /(2) - /(0) = 1,5 + 3,5 = 5.
Ответ: 5.
Задача 8. Фиксируем ОДЗ: х > 0, х ф 1. Про
логарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
lg Tjr- = log^ £ • lg -^. Переходим к основанию 10 и
получаем квадратное уравнение относительно lg#. Имеем
¥*1 = о.
1 fl
Из равенства lg -^ + lg § = lg -^ = — lg ^ следует, что
о о о 1U
последнее уравнение может быть записано в виде
-igf • ig | = о.
Теперь по теореме Виета можнп заключить, что корнями
этого уравнения являются (lg#)i = —l£ "^ и (lg ^7)2 =
о О О
= — lgo. Отсюда aii = тт и а?2 = п. Меньший корень
это х\.
Ответ: 0,3.
Задача 9. Перепишем данное неравенство в виде
у/2х + 5 ^ | — 4, применим алгоритм решения из 1.13.
Неравенство заменим совокупностью систем неравенств:
2ж + 5>0,
2х
5 > ^- -
16
гге[2;22].
282

Объединяя решения обеих систем этой совокупности,
получаем х Е — |; 22 . Сумма наибольшего и наименьшего
значений равна 22 — 2,5 = 19,5.
Ответ: 19,5.
Задача 10. Условию задачи удовлетворяет
построенный чертеж (рис. 34).
Треугольник А2В2С2
представляет собой сечение призмы,
плоскостью перпендикулярной
ее ребрам.
Дано: А2С2 = 26, А2В2 =
= 25, В2С2 = 17, ААг = ВВг =
= ССХ = 15.
Объем призмы равен V =
= Saa2b2c2 * AAi- Площадь
ДЛ2-В2С2 вычислим по
формулам Герона: р = | (26+25+17) =
= 34, тогда Saa2b2c2 = л/34 -8-9-17 = 204. Наконец,
V = 204 • 15 = 3060.
Ответ: 3060.
Решение теста 51
Задача 1. Используя формулы (a — b)(a+b) = сг —о"
или
= (80 + 20Vrf)(VU - 4) = 20
Ответ: 20.
+ 4)(\/l7 - 4) = 20.
283

Задача 2. Подставим х = Ц- в уравнение: 5 • Щ- -
— ^- + а = 0, — + а = 0, а — —11. Подставим а = —Ц
в исходное уравнение, тогда оно примет вид Ъх2 — 6х —
— И = 0. Один из его корней равен х\ = —1, другой
Ответ: —1.
Задача 3. Используя формулу общего члена
арифметической прогрессии (см. 4.3, а — первый чле«, d —-
разность прогрессии), составляем следующие уравнения:
ад = а + 8d, аз = а + 2d, значит, ад — аз = 6d = 30, т. е.
Л =z о.
С другой стороны:
с, _ _ а* +Qi5 1 г _ а + а + Ш -I г _ / , 7 j\ 1 к _ <™г
Oi5 — о * -1-Э — ^ ю — ^а ~т" • о>) 10 — zzo.
Z Z
Отсюда а + 35 = 15, а = —20. Наконец,
а8 = а + Id = -20 + 35 = 15.
Ответ: 15.
Задача 4. Преобразуем разность косинусов в
произведение (см. п.5 из 2.2). Имеем sin47ra? • sm-кх = 0.
Корни этого уравнения находятся среди корней
уравнения sin47ra; = 0, т. е. х = ^, п G Z. ^ G [—1:2] при
п = —4, —3,..., 8, т. е. 13 корней.
Ответ: 13 корней.
fi^, _ -н = u
Задача 5. Полагая < r—J ' получим линейную
систему
{2u + v = -a+ 2,
u-2v = -За + 1.
^ , с* = ж - 1 = -а + 1 > 0,
Отсюда < ' ' '
284

Пояснение. Условия < ' ' соответственно
обеспечивают разрешимость системы
(|а?-1| = -а + 1
(если t ^ 0, то 2* > 1).
Ответ: х = 1, 2/ = 2 при а = 1; при а ^ 1 система
решений не имеет.
Задача 6. Формулы из 2.2 приводят данное
выражение последовательно к
cos 2а _ cos 2а __ cos 2а __ \
4 cos 2а 4"
8sin(£-a>) / ч 4яп(тг-2а)
V4 / __2 /тг _Л V2 /
со.
I-a)
•cos2!--.
Ответ: ±
4
Задача 7. Данное неравенство заменим
равносильной системой неравенств (см. 1.12) и решим ее. Имеем
последовательно
г ^ [4-2^^12;
, L<3
\
Этому промежутку принадлежат целые числа 2 и 3, а их
сумма равна 5.
Ответ: 5.
Задача 8. Воспользуемся чертежом (рис. 35). Эта
задача практически сводится к преобразованию
тригонометрических функций и решению прямоугольных
треугольников.
285

1) В прямоугольном треугольнике АО К дано АО =
= 20, ОК = 12. Пусть /.КАО = f.
Тогда sinf = g} = |, cos f =
-i . a _ 3 t a _ 4
~ 5' tg2 ~4'Ctg2 ~ 3-
2) since = 2sin|cosf = 2 • |
- sin2 f, cos § =
| = ||, cosa =
O Zo
= ^, tga= y, ctga = ^.
= \/l - sin2 a, cosa ^ y ^
3) Из Л ЛОХ имеем: АК = OK • ctg f, AFT = 12 • | =
- 16, AD = 2AK = 32.
4) Из ААВЕ получаем AE = BE-ctga = 12- ^ = |
5) Теперь можно найти £?Х: £7Х = ЛХ - АЕ =
= 16 - | = ^ = ВО, ВС = 2ВО = 25.
Ответ: ВС = 25.
Задача 9. Область определения данной функции
задается условием 2xlo^x - 3log3* - 1 > 0. Имеем (см. 1.6)
цепочку равносильных неравенств
После логарифмирования по основанию 3 обеих частей
последнего неравенства получаем log^x > 0, откуда
Ответ: х Е (0; 1) U (1; +оо).
286

Задача 10. Воспользуемся чертежом (рис. 36).
Выберем такой путь решения. Сначала найдем
площадь S = S&ABCi затем Si = S&bek, £2 = Saadk, S3 =
= Sacde и, наконец, Saedk = S&abc — Si ~~ ^2 — S3.
1) AC = 6, £C = 8, AB = 10 (по теореме Пифагора:
= AC2 + ВС2).
2) 5дЛВС = \АС ■ БС = 24, рАЛВС = |(6 + 8 + 10) =
= 12, г = ^ = 2, где г — радиус вписанной окружности,
r = OE = OD = OK = EC = CD.
3) Находим отрезки касательных: СЕ = CD = 2,
Л£> = ЛЯ" = АС - DC = 6 - 2 = 4, БЕ = ВК =
= ВС ^ ЕС = 8 - 2 = 6.
4) Находим синусы острых углов:
5) Находим площади «угловых» треугольников
5з по формулам S = ^ * л • Ь • sin (a, 6):
Аналогично,
г2
#2 = SAKDK =2*4'4'5 = "5"' ^3 = Т = 2#
6) Si + S2 + S3 = у + f + 2 = f.
Ответ: 4,8.
Задача 11. 1) Построим изображения трех линий:
окружности радиуса г (а;2 + у2 = г2) и прямых у = 2аг,
у = — |а;, а? = 0 и х = Зг (рис. 37).
2) А теперь обратимся к неравенствам: ж2 4-у2 > г2 —
внешность круга. Неравенство (у — 2х)(х + 2у) ^ 0 имеет
место во всех точках вертикальных углов, образованных
287

Е
в(3г;6г)
Рис. 36
прямыми у = 2х и у = — |и содержащих ось Ох (один
из этих углов отмечен дужкой).
Прямые у = 2х и у — — -х перпендикулярны.
Неравенство 0 ^ х ^ Зг определяет вертикальную полосу,
заключенную между осью Оу и прямой х = Зг. Ее
ширина равна Зг. Учитывая сказанное, фигура, о которой
идет речь, заштрихована (рис. 37).
3) Площадь S заштрихованной фигуры равна разно-
2
сти S&abo и площади четверти круга S\ = -т-.
Поскольку АВ и ОС легко вычислить, то площадь треугольника
АОВ находим по формуле S^aob = о^^ ' СС. Длина
С А равна абсолютной величине ординаты точки А,
которую получаем из уравнения прямой у = — | при х = Зг:
С А = -у. Длина С В равна ординате точки В, т.е.
значению у = 2х при х = Зг, СВ = 6г. Следовательно,
- I1UZL. ъг — 45г
4) Окончательно, S = -^ ^- = ^(45 —тг). Отсюда
2
и из условия задачи ^-(45 — тг) = 45 — тт. Это равенство
имеет место при г = 2.
Ответ: г = 2.
288

Задача 12. Данное уравнение равносильно
совокупности
|я? — 2| = а — 1,
х2 - Ах — а + 1 = О
я = 2 ±
Первое уравнение имеет два корня при а > 1, один
корень при а = 1 и не имеет корней при а < 1. Второе
уравнение имеет два корня при а > — 3, один корень при
а = —3 и не имеет корней при а < —3. Изобразим это
геометрически так (рис. 38)
I уравнение
0 1
II уравнение
0
-3
корень
1
2
корень
1
корня
2
корня
Рис. 38
Значит, ровно три корня имеет исходное уравнение
при а = X (первое уравнение имеет один корень х = 2, а
второе — два корня х = 2 ± 2, т. е, х = 0, х = 4).
Ответ: а = 1.
Задача 13. Исходя из рисунка (рис. 39), имеем
(см. 4.2)
AC = a + b = 6p-q, DB = а - Ь = 4р + 5q.
Отдельно находимp-q = pq- cos(j5,q) = 2\/2 • 3• -у = 6.
Следовательно,
AC = V AC2 = yf(6p-q)2 =
= n/288 -72 + 9 = 15,
Ю-1731 289

/„2 I
DB = V DB = yj{4p + 5q)2 =
Ответ: АС = 15, J5D = \/593.
+ 40p ■ £ + 25g2 = л/593.
39
Рис. 40
Задача 14. Пояснение к чертежу (рис. 40).
Пирамида SABC вписана в шар, вершины 5, Л, J5, С лежат на
сфере радиуса Д с центром в точке О. Основание ААВС
вписано в окружность. Центр О этой окружности
расположен в середине гипотенузы ВС, так как ААВС —
прямоугольный, О\А, О\С, О\В — радиусы этой
окружности — являются проекциями ребер SA, SC, SB на
плоскость основания пирамиды. Значит, SA = SC = SB, a
тогда ZSAOi = ZSCOi = Z.SBO\. Проведем OD J_ SC.
По условию АВ = 6, AC = 8, SOi = 10. Найдем 05 = R*
1. A ABC (теорема Пифагора): ВС = 10, O\C = Ь.
2. ASOiC (теорема Пифагора): SC2 = SO\ + OXC2,
SC = 5y/E.
3. AOSD - ACSOi. Отсюда 50 = SD'SC, где
Теперь SO = ^ • Щ = 6,25.
Ответ: 6,25.
290

Решение теста 73
Задача 1. Деление многочлена на многочлен
выполняется в столбик
6х5
6ж5
—
+8х4
—
+х3
+3х3
—2*х
2х*
+х*
-За;2
+4х2
+Ах2
-5аг+1
—Ах
-х +1
-х +1
2х3+х -1
Зж2+4а;-1
О
Итак, имеем (2х3 + х - 1)(3ж2 - Ах - 1) = 6#5 + 8ж4 +
+ х3 + х2 — 5х + 1, деление выполнено нацело, остаток
равен 0.
Ответ: 0.
Задача 2. Фиксируем ОДЗ: | -6 > 0, х + 3>0.
Воспользуемся равенством 3 = log2 8 и логарифмическими
формулами из 1.6. Напишем исходное уравнение в виде
log2 8 (| - 6) = log2(^ + 3). Потенцируем 2(х - 12)2 =
= х + 3. Отсюда получаем уравнение 2гг2 — 49а: + 285 = 0,
т. е. х = 15 и х = -^. Первый корень удовлетворяет ОДЗ,
второй — нет.
Ответ: 15.
Задача 3. В исходном уравнении целесообразна
подстановка ох ~ о = 2/. Получаем 8у2 — 27у + 9 = 0, у\ 2 =
оХ -г
27 ±21
_ [
~ 3
Из шгъ =3
х = -
а из
= I полу-
чаем х = +2 и выбираем меньший корень.
Ответ: х = — 1.
10
291

Задача 4. Первое уравнение сократим на 7 и
обозначим х1 — и, у2 = v. Получим линейную систему
{u + 3v = 30,
8и + av = 240.
Система имеет бесконечно много решений, когда
коэффициенты системы образуют сложную пропорцию:
1 = | = ^-. Отсюда а = 24. В качестве решения можно
взять х = 0, у = ±\/Ш.
Ответ: 24.
Задача 5. Центр окружности равноудален от точек
окружности. Значит, если М(хо\Уо) — координаты
центра, то АМо = BMq = CMq. Из этих равенств можно
составить систему уравнений:
[ {х0 - 5)2 + (уо - I)2 = (хо - б)2 + (2/о - б)2,
\ (хо - 5)2 + (уо - I)2 = (хо - I)2 + (2/о - I)2.
После упрощений получаем линейную систему
+ Юуо = 46
= 24,
из которой хо = 3, 2/о = 4. Уравнение окружности имеет
вид (см. п.2 из 4.1) (х — 3)2 + (у — 4)2 = 13 (действительно,
R2 = (х0 - 5)2 + (2/о - I)2 = 4 + 9 = 13).
Ответ: (х - З)2 + (у - 4)2 = 13.
X
Задача 6. Положив 5з = i, получим квадратное
уравнение \/bt2 + 4t — \/b = 0, откуда t = —, t\ =
/- i - 1 я
= —v5, ^2 = -7=. Из 5з = — получаем х = —^, а из
V5 v5 1
5з = — V5 получаем жЕ0.
Ответ: —\.
292

Задача 7. Первое уравнение системы |-2^-1=0
называется однородным и подстановкой t = - решается
относительно этого отношения: t2 — t — 2 = 0, t\ = —1,
^2 = 2. Отсюда - = — 1, - = 2. Система сводится к
совокупности двух систем:
^ Г у = ±2,
= 24, \rr = -tl.
Следовательно, х + у = 3 или ж + 2/ = — 3.
Ответ: Наибольшая сумма х + у равна 3.
Задача 8. Для полного и правильного решения
следует раскрыть модуль и решить соответствующие
квадратные неравенства
Гбя-З^О, ^ Гж ^ 0,6,
\х2 - 6х + К 0, (3 - \/8 < ж < 3 4- л/8.
Этой системе удовлетворяют целые числа 1, 2, 3, 4, 5.
^ -5 < 0, |-5 < х < 1.
Этой системе удовлетворяют целые числа —4, —3,
-2, -1, 0.
Итак, исходному неравенству удовлетворяют 10
точек с целыми координатами —4 — 3, —2,..., 3,4,5.
Ответ: 10.
Задача 9. Имеем
Перепишем уравнение в следующем виде:
293

/ /~\ ~"*^ / г~\ ~~*^
Отсюда ( -у) = 2 ' . т.е. (-у) = 1 и х\ = О
или ( -о" J = 2 • Логарифмируем по основанию 10.
Получаем
lgX
Ответ: 0. -^=
16 X
Задача 10. В уравнении
необходимо следить за ОДЗ: 8—ж^Оигг—8^0=^гг = 8.
Если х — 8 удовлетворит данному уравнению, то это
число - корень, в противном случае корней нет. При
х = 8 в левой части уравнения имеем \/\1 -8 + 3 =
а в правой у/9 • 8 + 7 = л/79. Уравнение корней не имеет.
Ответ: 0.
Задача 11. «Подстроим» выражение, которое
обозначим буквой Л, под формулу 2 sin a-cos a = sin 2а.
Воспользуемся сначала формулами приведения: sin 10° =
= cos 80°, sin 50° = cos 40°, sin 70° = cos 20°. Получаем
A = 2(8 cos 80° • cos 40° • cos 20°)2 =
= 2 f-^br * sin 20° * cos 20° • cos 40° ■ cos 80o>) =
\ sin 20 /
= 2 • (iasgl • cos40° • cos80°)2 = 2 . (2sin8^2
V sin 20° / V sin 20
так как sin 160° = sin20°.
Ответ: 2.
294

Задача 12. Данные точки легко строить по
координатам (рис. 41).
Рус. U
Один из способов найти высоту AD основан на
использовании формулы Герона. При этом длины сторон
треугольника вычислим по формуле расстояния между
двумя точками (см. 4.1).
1) АВ = л/52 + I2 = v/26, АС = л/42 + 42 = 4л/2.
ВС = л/1 + 52 = л/26, р = л/26 + 2л/2 = у —
полупериметр.
2) р - о = 2л/2, р - Ь = л/26 - 2л/2, р - г = 2 л/2.
- с) =
= V (л/26 + 2л/2)(л/26 - 2л/2) ■ 2л/2 • 2 л/2 = л/18-8 = 12.
3) С другой стороны, Saabc — 2^^ ' ^^' ОТС1°Да
2 ♦ 5длвс _ 24
Ответ: -^==.
n/26
Задача 13. Данное уравнение равносильно
совокупности
[cos Ъх = О, Г
cos3s = -I. из которой получаем _ - А^
L л/9 ' ^ ^1О Т О •
10 ' 10
:12 ' 3
295

На отрезке — т^: тА имеем два корня, это х = ±-р>.
Ответ: 2.
Задача 14. Эту задачу можно решить так.
Неравенство — 4- — ^ 1 изображает на плоскости ромб (см.
риг. 42).
Чтобы в этом убедиться, достаточно построить одну
из прямых f + т = 1- проходящую через точки (0;4)
и (7;0). Наличие модулей, т.е. -=- + -г- = 1,
означает, что это уравнение определяет и прямые,
проходящие через точки (0;4) и (-7;0), (-7;0) и (0;-4), (0;-4)
и (7;0). Данное неравенство изображает ограниченную
этими прямыми фигуру, содержащую начало
координат О(0; 0). Площадь ромба равна S = \d\d2, т. е. S =
= \ • 14 • 8 = 56.
Ответ: 56.
Задача 15. Имеем
&тг)| = |sina;cosA:7r
= |sina;|
при к ^ 1, a tg 2(х + тг) = tg(2rz + 2тг) = tg 2x.
Минимальный период функции равен тг.
Ответ: тг.
296

Задача 16. Обозначим через and- первый член
и разность арифметической прогрессии. Из условия
задачи можно составить следующее уравнение (см. 4.3)
^1±2± . 5 = 55 или 2a + 4d = 11, а + 2d = 11. Так как
d = 4, то находим а = 3. Значит, а\ = 3, а^ = 7, аз = 11
Ответ: 11.
Задача 17. Воспользуемся чертежом (рис. 43). Если
меньшее основание обозначить через х, то большее —
равно Зх. В трапецию можно вписать окружность,
поэтому AB + CD = AD + BC = Ах. Следовательно, АВ = 2х
Тогда А = 60°, Я = В£ = хл/3 (из ААВЕ). Вернемся к
условию задачи S = 2х • хл/3 = \/3- Значит, х = —.
Ответ: \/2.
Задача 18. Дано 2/ = Зх2 — х + 2, хо = 0,5. Уравнение
касательной прямой к графику у = /(х), проходящей
через точку (хо;уо)« имеет вид у — у о = fc(x — xo)< где
к = /'(х0). Находим уо = 2/(0,5) = 3 • 0,25 - 0,5 + 2 = 2,25.
у' — 6х — 1, 2/'(О,5) = 2 = fc. Таким образом, угловой
коэффициент касательной к графику у — Зх2 — х + 2 в
точке А(0,5; 2,25) равен к = 2, а уравнение касательной
имеет вид 2/ = уо + fc(# — #о)> т.е. у = 2,25 + 2(х — 0,5).
Ответ: к = 2, у = 2х + 1,25.
Задача 19. Воспользуемся формулой скалярного
произведения векторов: а • 6 = а • bcoscp, где у? = (а, 6).
Отсюда cos<£> = ^--r- Если 2(ai;a2), 6(61562), то a • b =
= ai&i + a2&2- Имеем 2(1:2), 6(—3:2), a = \/l + 4 =
= v%, 6 = л/9П = vT3, 2 • 6 = -1-3 + 2-2 = 1,
cos(a, b) = —=L= = cos<z>. Далее, sin^ = yjl — cos2 u> =
__ /- _ _i_ _ /U=JL tgL:r— sin<^ ^ q
V 65 "~ V65 65' cos^
Ответ: 8.
297

В х С
X
D
Рис. 43
Рис. 44
Задача 20. Дано АС = АЕ = ЕС, АВ = v"6
(рис. 44).
1) Из ААВС: АС = VAB2 + АВ2 = ^6 • \/2.
3) Из прямоугольного треугольника ОЕС имеем
Н = ОЕ = ОС ■ tg6O° = ^ • v/3.
4) Объем пирамиды равен
= 1.
Ответ: 1.
Решение теста 81
Задача 1. Дискриминант уравнения D = 5822 +
+ 4-361 • 943 положителен, поэтому уравнени имеет два
различных корня ii и а;2. Из-за громоздкости D
обратимся к формулам Виета х\ + Х2 — — д, х\ - x<i = £.
Находим х\ + Х2 = — HI.
Ответ: -|§f
361
298

Задача 2. Перепишем уравнение в виде
х> + 2х -3
(,-8)=
При х+1 ^Оиж- 3^0 исходное уравнение равносильно
уравнению а;2 + 2х — 3 = 0 с корнями xi = 1 и Х2 - -3
Оба корня удовлетворяют поставленным ограничениям
Ответ: —3 и 1.
Задача 3. Выражение х\ + х*. значение которого
надо вычислить, преобразуем при помощи формулы
сокращенного умножения с тем, чтобы в нем использовать
формулы Виета. Имеем
х\ + х\ = (х\ + х\)2 - 2х\х\ =
= [{хг + х2)2 - 2tfix2] - 2(Х1Х2)2
Данное уравнение имеет корни, т. к. его дискриминант
D = З2 + 4 - 2 - 15 = 129 > 0.
О -1 Г
По формулам Виета х\ +Х2 = — | = —1,5, х\ -x<i = —у =
= —7,5. Подставляем эти числа в последнее равенство.
Получаем
= 297,5625 - 112,5 = 185.0625.
Замечание. Этот пример можно было решить не-
—3 — "s/l39
посредственной подстановкой корней xi = j и
Х2 = 2 в выражении х\ + х\. При этом
вычисления были бы более громоздкими.
Ответ: 185,0625.
Задача 4. Если х Е [-2; 2], то |ж + 2| = х + 2, |х-2| =
= — (х — 2). Поэтому у = х Л- 2 — ж + 2-5 = —1 при
х б [-2; 2].
Ответ: — 1.
299

Задача 5. Используя свойства степеней (см. 1.1 и
1.3), можем написать
2 / 1ч \ 3 / 1ч \ 2,1 3,1 5 10 п
23 . (22 у : 24 . (23 J4 = 23 + 6 : 24 + 12 = 2б~12 = 2° = 1.
Ответ: 1.
Задача 6. По формулам преобразования
логарифмов (см. 1.6) имеем
l16
lgl6-lg4 ^
= Ii = 1о5в44 = |log44 = 1.
Ответ: -г.
о
Задача 7. Используем формулы преобразования
произведения в сумму, понижения степени и приведения
(см. 2.2). Получаем
= | 11 - cos 4a + cos 4а - I] = |.
Ответ: 0,25.
Задача 8. Известно (см. 1.12), что уравнение
|А(#)| = В(х) равносильно системе
\А(х) = В(х),
Следовательно,
2х - 3| + 5| = 7х «» { \\2х - 3| + 5 = 7х,
\2х - 3| + 5 = -7х
300

или
[\2х - 3| = 7х - 5,
\2х - 3| = -7а: - 5.
Решим отдельно каждое уравнение совокупности с
учетом ограничения х ^ 0, используя ту же равносильную
замену:
2х - 3 = -7ж + 5,
Условию х ^ = удовлетворяет только корень а; = |;
б) \2х — 3| = —7а; — 5. При rr ^ 0 (ограничение
первоначального уравнения) имеем — 7х — 5 < 0, поэтому
решаемое уравнение корней не имеет.
о
Ответ: х = -г.
Задача 9. Выразим данное условие sin а - cos а = |
через tg j- при помощи универсальных формул (см. п.4
из 2.2)
2tg| 1 - tg2 f
с последующей заменой tg | = t. Получаем уравнение
относительно неизвестной величины t = tg ^:
2* _ 1-t* _ 7
+ *2 1 + t2 ~ 5
или t2 - 5t + 6 = 0. Отсюда *i = 2, t2 = 3, т. e. tg | = 2
или tg | = 3. Таким образом, задача имеет два решения.
Ответ: tg | = 2, tg | = 3.
301

Задача 10. Ясно, что параметр к должен быть
неотрицательным: к ^ 0. Удобнее всего
анализировать ситуацию геометрически. Построим график
функции у =\х2 — 6|а;| + 8|в следующей последовательности.
Сначала строим график у = х2 — 6я+8 при х ^ 0. Это
парабола с вершиной в точке (3; —1). Она пересекает ось
Ох в точках (2; 0) и (4; 0), а ось Оу в точке (0; 8) (рис. 45).
Затем строим график у = х2 — 6|я| + 8. К
построенному графику присоединим график у = х2 + 6х + 8, при
х < 0 (он симметричен с предыдущим относительно оси
Оу), рис. 46. Наконец, график у = \х2 — &\х\ + 8|
получаем из последнего отражением (относительно оси Ох)
той части графика, которая расположена под осью Ох
(рис. 47).
= ж2-6|а;]+8
Рис. 45
Корни уравнения \х2 — 6|rr| + 8| = к представляют
собой абсциссы точек пересечения построенного графика
с горизонтальной прямой у = к (к ^ 0). На рис. 47 видно,
что изучаемое уравнение может иметь: 2 корня (к > 8),
3 корня (к = 8), 4 корня (1 < к < 8 и к = 0), 6 корней
(к = 1), 8 корней (0 < к < 1) или вовсе не имеет корней
(к < 0).
Ответ: к = 0 или к G (1; 8).
302

-II
Рис. 4?
Задача 11. Подстановки
{х~1 = и,
приводят данную систему к системе
{и + v = 7,
и2 + v2 = 25.
Подстановка v = 7 — и из первого уравнения во
второе приводит к уравнению и2 + (7 — и)2 = 25, т. е.
и2 — 7и + 12 = 0. Отсюда и\ = 3, U2 = 4, а тогда v\ = 4,
v2 = 3. Остается решить две простенькие системы
i-3
И
П олучаем
или
i = 3'
й
303

Задача 12. Строим чертеж (рис. 48).
Точка А графика у = х2 + 2х + 5 с
/
8
у
абсциссой х = 1 имеет ординату у =
-1
= 8, т.е. А(1;8). Уравнение
касательной, проходящей через точку А(1;8),
имеет вид у — 8 = к(х — 1), где к =
В/ ~ = y'(i). Так как у' = (х2 + 2х + 5)' =
= 2а; + 2, то к = у'(\) = 4.
Следовательно, уравнение касательной имеет
^ V х вид у — 8 = А(х — 1) или у = Ах + 4.
Рис. 48 Эта прямая пересекает ось Оу в точке
В(0; 4), а ось Оат — в точке (—1;0). Нам нужно
определить SAboc = \-ОС- ОВ. Получаем 5 = | • 4 • 1 = 2.
Ответ: 2.
Задача 13. Воспользуемся формулами двойного
угла sin 6а; = 2 sin За? cos За;, cos 6а; = 1 — 2 sin2 За;. После
подстановки в данное уравнение получаем
2 sin За; • cos За; - 2 sin2 За; + 2 sin За; = О
или sin За?(cos За; — sin За; + 1) = 0. Отсюда sin За; = 0, т. е.
x=y,nEZ или cos За; — sin За; + 1 = 0. Используя
формулу cos а — sin а = у/2 cos (а + j J , приходим к
уравнению cos f За; + f) = —-7=- Отсюда Зх + ^ = ±~^ + 2тгт,
т.е.
Интервалу (0; 2тг) принадлежит 5 корней первой серии
(f, f, тг, f, f); 3 корня второй серии (|, тг, 3») и
3 корня третьей серии (^, ^, ^). Поскольку часть
корней совпадает, то различных корней в интервале (0; 2тг)
будет 8.
Ответ: 8.
304

Задача 14* Представим данное неравенство в виде
2~3 2~ > 22. Отсюда -З^^"1 > 2, т.е. lga; - 1 < -|
или lgrr < —|. Тем самым (см. 1.15), 0 < гг < 10" з.
Ответ: х Е
Задача 15. Задачу решим при помощи производной.
Имеем f{x) = |(д;)' + Цх~г)' + (1)' = \-\ = ^^- =
(я?-3)(я? + 3)
Зх2
Л»)
"\-3
-3
0
— J^
\
0
Рис.
—
1
3Г
J
3
+ х
4
/ ^
4
На рис. 49 изображены знаки производной ff(x) в
соответствующих интервалах оси Ох и возрастание (/*)
или убывание (\) функции f(x) в этих интервалах.
Поскольку нас интересует функция f(x) на отрезке [1;4],
то на этом отрезке имеем: х = 3 — точка минимума с
/(3) = 3. Имеем также /(1) = 4± и /(4) = ||. Ответ к
задаче вытекает из сравнения полученных чисел.
1 Q
Ответ: /наиб. = /(1) = у> /наим. = /min = /(3) = 3.
Задача 16. Условие перпендикулярности векторов а
и b равносильно равенству нулю их скалярного
произведения: а • b = 0. Если векторы заданы своими
координатами 5(а1;а2;аз), &(&i;^2;63)? то a- b = а\Ъ\ +а2&2 + ^363.
Таким образом, а А. 6, если За2 + 18 — 15а = 0, т.е.
сх2 — Ъа + 6 = 0. Отсюда находим а = 2, а = 3.
Ответ: а\ = 2, <У2 = 3.
305

Задача 17. Обозначения: v км/ч, (v + 12) км/ч -—
скорость второго и первого поездов соответственно, ^ ч%
* ° ч — время, за которое второй и первый поезда
преодолели 96 км.
Разность времени равна 40 мин = - ч. Это условие
о
приводит к уравнению Щ ^^ = г или v2 + 12v —
— 1278 = 0. Отсюда v = 36 или v = —48 (скорость не
может быть отрицательным числом).
Ответ: 36 км/ч.
Задача 18. Воспользуемся теоремой 3 о
пропорциональности элементов подобных треугольников (см. 3.1)
Построим чертеж (рис* 5Q).
1) Из ААВС ~ AACD следует пропорция 4§ = т^-
Отсюда АС = уАВ.
2) Из ААВС ~ ACBD следует пропорция j^ = ±
Отсюда ВС = ^-
3) По теореме Пифагора АС2 4- ВС2 = АВ2 или
после соответствующих подстановок {^-АВ) + №-АВ)
г2 г2
= АВ2, т.е. -\ + -| = 1. Отсюда, г2 = г\ + т\ и г =
Г2'
Ответ: г =
Задача 19. Находим абсциссы точек пересечения
параболы у = 2х — х2 и прямой у = —х (рис. 51).
Имеем 2х — х2 = — #, х2 — Zx = 0r х\ — 0, х*ь = 3.
Площадь соответствующей фигуры вычислим по формуле
з з
= f(2x -x2 + x)dx= f(3x - x2)dx =
Ответ: 4,5.

Рис. 50
Рис. 51
Задача 20. Строим чертеж (рис. 52).
Расстояние rf, о котором
идет речь в условиях
задачи, — это длина отрезка KL.
Он перпендикулярен ребрам
AD и ВС, причем К —
середина ВС. При этом АК —
медиана ААВС, DK — апофема
пирамиды.
Обозначим сторону
основания пирамиды через а, АВ = ВС = АС = а.
Сначала составим уравнение для определения а, затем найдем
высоту DH и объем V пирамиды. Стандартные
формулы планиметрии будем использовать без ссылки на
соответствующие разделы.
1) Из правильного ААКС имеем АК = ^тр, НК =
= - • АК - -2-
Рис. 52
2) Из прямоугольного ADKB находим
:£, DB =
307

3) Из ADHK по теореме Пифагора
DH = y/DK2 - НК2У DH =-^y/3ctg2% - 1.
4) А теперь определим а исходя из двух формул для
площади AADK:
Saadk = \DH • АК = \AD • KL.
После соответствующих подстановок получаем
a -I ad
4sin|
Отсюда
а =
sin I • ^3ctg2|-l
5) Наконец, V = ^-Soch • HD, где 50СН = ^4"-
Получаем
d3
j3
Ответ:
3sin3f (3ctg2f-l)'
Решение теста 91
Задача 1. Зафиксируем ОДЗ:
2х + 1 > 0, 2ж + 1 ф 1, 5 - 2я > 0, 5 - 2х ф 1.
Заметим, что
5 + 8х - 4гг2 = (2гг + 1)(5 - 2ж), а 1 + 4гг + 4гг2 = (2х + I)2.
308

Перепишем уравнение:
bg2*+Л2х + !)(5 ~ 2х) + Iog5-2x(2^ + I)2 = 4
или
1) = 3
(использовали Iog2x+i(2a? + 1) = 1).
Замена
- 2*) = У, Iog5_2x(2a: + 1) =
Iog2x+1(5-2x) У
приводит к уравнению у2 — Зу + 2 = 0 с корнями у = 2 и
а) Из Iog2a.+i(5 - 2я) = 2 получаем 5 - 2х = (2а: + I)2
или 2х2 + Зх - 2 = 0, т. е. rri = -2 (-2 £ ОДЗ) иа;2 = 0,5
(0,5 G ОДЗ);
б) Из log2x+i(5 — 2х) = 1 получаем 5 — 2х = 2х + 1,
т. е. гг = 1 входит в ОДЗ.
Ответ: {1; 0,5}.
Задача 2. Задача облегчается тем, что под
радикалами имеем полные квадраты и, следовательно,
уравнение можно переписать в виде |3гг — 5| — 2гг = |# + 2| или
(ж + 2| — |3гг — 5| = —2гг. Это уравнение решается методом
промежутков (рис. 53).
х<-2 ! |
Y -X
—9 5 X
1) 2) 3 3)
Рис. 53
1) Если х < -2, то \х + 2| = -(х + 2), \3х - 5| =
= —(Зге — 5) и приходим к уравнению —х — 2 + Зх — 5 =
= —2гг. Отсюда х = | — посторонний корень, так как он
не удовлетворяет условию | < — 2.
309

2) — 2 < х < f. При этом условии получаем уравне-
ние ж + 2 + За: — 5 = — 2х. Отсюда х = ^ — корень, так
как
2 Е [ ^'зу'
3) х ^ ^. Имеем х + 2 — За:+ 5 = —2а:, т. е. О • х = 7
Это уравнение не имеет корней.
Ответ: х = -.
Задача 3. Подобные системы нужно решать мето-
^== = и*
дом введения новых неизвестных. Замены
= v
„ л I Зг/ + v = 5, ^
приводят к линейной системе < Отсюда и =
[2и + 3г> = 8.
= 1, v = 2. Неизвестные х и у найдем из системы
или
— 2 i v^.v1 — 2•
in уц
Получаем а: = у, у = ^.
Ответ: jr.
Задача 4. При помощи формул преобразования
произведения в сумму переходим к уравнению
|(cos 6a; — cos 8a:) = |(cos 2a; — cos 8a;)
или cos 6а; — cos 2а: = 0. Обратно преобразуем сумму в
произведение: —2 sin 2а; • sin 4а; = 0. Отсюда следует, что
sin 2а; = 0 или sin 4а; = 0. Корни первого уравнения
находятся среди корней второго: х = ^р, п G Z.
Интервалу (—^г;я") принадлежат корни —-г-, — тг,
—т-, —тг, — т, 0, Ti тг^ ^г- Всего таких корней — 9.
424424
Ответ: 9.
310

Задача 5. На чертеже (рис. 54) изображены точки,
в которых находились пешеходы в одни и те же
фиксированные моменты времени.
А
X
*2
*2
fit
В
и
А С% С'{ В
Рис. 54
При этом АС[ = \АВ, АС'{ = 24, С'2В = 15,
Идея решения: «отношение путей равно отношению
скоростей». Обозначая через v\ и V2 скорости
пешеходов, приходим к сложной пропорции (цепочка равенств,
показывающая, что пройденные пути за определенное
время пропорциональны скоростям):
(г)-
2АВ АЯ-15 АВ
АВ-24 1АВ АВ-х'
где х искомая величина. Перепишем среднюю
пропорцию, заменяя АВ на S, в виде
Получаем уравнение \S2 - 395 + 360 = 0, откуда 5 = 40
и 5 = 12. S = 12 не удовлетворяет условию задачи, так
как 5 = АВ > 24 км. Подставляем АВ = 40 во вторую
пропорцию —^— = 4п_ и находим х = 8.
Ответ: 8 км.
311

Задача 6. Данное уравнение решим способом лога*
рифмирования обеих частей по основанию 2:
log216 . V 0,255"f = log2 2V*+1.
Используя свойства степеней и логарифмов, получаем
последовательно (0,25 = j = 2~2):
4— (5 — j) = у/х + 1. — 1 + f = л/#~+~Г, гг—4 = 4\Лг + 1.
Это равенство можно возвести в квадрат при х — 4 ^ 0
Тогда я2 - 8х + 16 = (х + 1), т. е. х2 - 24а; = 0. Отсюда
х = 24 (х = 0 не удовлетворяет условию а; — 4 ^ 0).
Ответ: 24.
Задача 7. Обозначим а = arccos -j=, /3 = arcsin^.
Из определения обратных тригонометрических функций
следует, что
а б [0; f) , /3 G [о; |)
и cos а = -т=, sin/5 = ^о- Нам надо вычислить
m_ tg2a-tg^
Вычисляем отдельно tg2a и tg/5.
1) Имеем
i I
sin a 1 .„,> 2tga "5
cos a 5'
^ "6" '"25
2) sin^S = g, cos^S = л/1sm^ = ,
12
5 *
312

3) Полученные числа подставляем в выражение для
tg(2a — /3). Находим
12
* 25 - 144
m -12 — _
Р; j_ 12 2-60 120*
о 119 12 ' 5
Ответ: -щ.
Задача 8. Надо освободиться от иррациональности
в знаменателях, для чего домножим числитель и
знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное
знаменателю. Затем раскроем скобки и приведем подобные
Получаем последовательно
= (72 + 18л/15)(4 - л/15) = 18(4 + л/15) (4 - л/15) = 18.
Ответ: 18.
Задача 9. После следующего преобразования
исходного уравнения
х , х = 7 1 1 _ 7
применяют подстановку # + - = *. Приходим к
уравнению
Г^Т + 7+2 = То
или 7£2 — Ш — 24 = 0 при t — 1т^Ои£ + 2^0. Отсюда
13 i 29 Я
£ = —Гд—, т. е. t\ = 3 и ^2 = —=. Возвращаемся к гг.
а) Из гг + | = 3 получаем гг2 — Зх + 2 = 0, т. е. х\ = 1.
б) Уравнение х + | = -|, т. е. 7гг2 + 8х + 14 = 0 —
корней не имеет.
Ответ: х\ = 1, #2 = 2.
313

Задача 10. Из-за наличия |х| приходится
рассматривать на экстремум две функции: f(x) = х(х — З)2 при
х е [0; 10] и f(x) = -х(х - З)2 при х G [-5; 0].
1) х Е [0; 10]. Имеем f(x) = х(х - З)2 и
f'(x) = (ж-3)2+2ж(ж-3) = (а?-3)(3ж-3) = 3(ж-
0
/
0
л
max
1
4min y
3
Рис. 55
10
10
X
X
Из рис. 55 усматриваем, что на отрезке [0; 10] наша
функция имеет максимум в точке х = 1 и минимум в
точке х = 3. При этом /тах = /(1) = 4, /min = /(3) = 0.
Вычислим еще /(0) = 0 и /(10) = 490.
2) х е [-5,0]. Имеем f(x) = -х(х - З)2 и
f'(x) = -(х - З)2 - 2х{х - 3) = -3(ж - 1)(х - 3).
Стационарные точки # = 1и# = 3не лежат на
рассматриваемом промежутке. На нем функция f(x) убывает,
ибо f'(x) < 0 при х < 0. При этом /(0) = 0 и /(-5) = 320.
Из полученных чисел выбираем наибольшее и
наименьшее и из них составляем ответ.
Ответ: /наиб = /(10) = 490, /наим = /(0) = /(3) = 0,
/наиб ~ /наим = 491).
Задача 11. Рассматривая данное уравнение как
дробное, заключаем, что его корни должны находиться
среди корней числителя и при этом не обращать в нуль
знаменатель.
1) 1 + у/х в ноль не обращается.
314

2) х2 + Зх + 2 = 0 при х = -1 и х = -2.
3) х2 - 7х + 12 = О при х = 3 и я = 4.
Корень гг = 4 — посторонний, поскольку при этом
гг2 — 16 = 0. Так как уравнение содержит радикалы, то
найденные корни должны принадлежать области
определения этих радикалов. Корни х = — 1 и а; = -2 не
удовлетворяют условию х ^ 0, т. е. у/х не определен при
этих значениях х.
Остался один корень х = 3.
Ответ: 1 корень.
Задача 12. Это уравнение следует решить методом
разложения на множители. К обеим частям уравнения
прибавим х и выделим полные квадраты. Имеем
Из первого уравнения получаем х — log3 5, а второе не
имеет корней (левая часть положительна, а правая
отрицательна).
Ответ: log3 5.
Задача 13. Наличие одного основания 3
логарифмов обязывает разложить числа, стоящие под знаками
логарифмов, и использовать формулу логарифма
произведения. Имеем log3 18 = log3 2 • З2 = log3 2 + 2, log2 18 =
= (log3 2 + 2)2. Обозначим log3 2 = а. Данное выражение
приводим к виду
2а2 - (а + 2)2 - а(а + 2) _ 2а2 - а2 - 4а - 4 - а2 - 2а _
2а + а + 2 ~~ За+ 2 ~~
За+ 2
Ответ: —2.
315

Задача 14. Строим чертеж (рис. 56). Известно, что
точка пересечения медиан делит каждую из них на
отрезки, пропорциональные числам 2 и 1. Обозначим ОЕ =
= я, OD = у. Тогда ОС = 2х, ОВ = 2у.
D
Рис. 56
По условию В А = 12л/5, BE = 6%/5, С А = 16л/5,
CD = 8л/5.
Запишем теоремы Пифагора для прямоугольных
треугольников ВОЕ, COD и ВОС. Имеем
1) АВОЕ : х2 + 4у2 = 180,
2) ACOD : у2 + Ах2 = 320.
Складывая эти равенства, получаем 5(х2+у2) = 500,
х2 + у2 = 100.
3) АВОС : Ах2 + Ау2 = ВС2,
Отсюда и из предыдущего равенства находим
ВС2 = Цх2 + у2) = 400, ВС = 20.
Ответ: ВС = 20.
Задача 15. Это уравнение напоминает однородное
уравнение Аи2 + Ви • v + Cv2 = 0 относительно
переменных и и v. Оно решается относительно отношения ^ = t
после почленного деления на v2 (или и2).
316

Вернемся к нашему уравнению и разделим его
почленно на х2. Получим
(2 о к \ ^
Подстановкой
х2 - Зх - 5
получаем уравнение у2 + Ъу — 14 = 0 с корнями у = — 7 и
х2 — Зге — 5 о
у = 2. Из уравнения j—— = -7, т. е. яг + Ах - 5 = О,
находим х\ = 1, #2 = —5.
х""
Из уравнения х
5±л/45
= 2, т. е. гг2 — 5гг — 5 = О,
находим а:з,4 =
. Нашли четыре корня. Сравнивая
их величины, обнаруживаем, что Х2 = —5 меньший.
Ответ: —5.
Задача 16. Область определения данной функции
является решением системы неравенств
f 2 \х + 1| - ж - О 0, или Г2 |я + 1| ^ х + 4,
\л/6гг~гг2-5- 8 + 2х > О ИЛИ \л/6а:-:г2-5 > 8 - 2гг.
Неравенства с модулем и радикалом решим согласно
алгоритму из 1.12 и 1.13:
' ' ' [2(аг +1) <-ж - 4 [ж<-2.
Это неравенство имеет место при х G (—оо; —2] U [2; +оо).
2)
ж - х2 - 5 > 8 - 2а; =*•
8 - 2ж < О,
6ж - ж2 - 5 ^ О
8 - 2х ^ О,
6ж - х2 - 5 > (8 - 2ж)2;
317

Из первой системы совокупности получаем х G (4; 5],
а из второй — х Е (3;4], тогда неравенство этого пункта
имеет место на отрезке (3; 5].
3) Область определения данной функции
определяется пересечением лучей (—оо; — 2] U [2; +оо] с
промежутком (3; 5], т. е. х Е (3; 5]. Длина этого промежутка равна
5-3 = 2.
Ответ: 2.
Задача 17. Для нахождения гг3 воспользуемся
формулой (а-Ь)3 = а3-Ь3-За6(а-Ь), в которой а = \Л/2 - 1
и b = у л/2 + 1. Имеем (так как а — Ь = х):
Тогда это равенство принимает вид я3 = —2—3- s/I-rr, т. е.
хг = — 2 — Зх. Оно равносильно равенству х3 + За; + 2 = О,
если только а: = у у/2 — 1 — у л/2 + 1. Значит, требуемое
выражение равно нулю.
Ответ: 0.
Задача 18. Потенцируем каждое из трех данных
равенств. Получаем
III
х = а2, х = Ьз, о: = с5.
Отсюда а = гг2, Ь = гг3, с = хь. Перемножим между собой
эти равенства: а-bc = х2-х3-хь = х10. Определим теперь
loga6c х. Имеем
х = loS*10 ж = То
Ответ:
Задача 19. Обозначим и = х — 1, v = у + 2.
Тогда данная линия в системе координат Огш имеет вид
\и\ + \v\ = 5.
313

Для построения геометрического изображения этой
линии заметим, что из данного уравнения вытекают
ограничения \и\ ^ 5, \v\ ^ 5.
Пусть и ^ 0, v ^ 0. Тогда уравнение принимает вид
u + v = 5 (и < 5, v ^ 5). Оно изображает отрезок АВ
прямой линии (рис. 57), соединяющий точки А(Ъ\ 0) и 5(0; 5).
Наличие модулей \и\ и |г?| в уравнении \и\ + \v\ = 5
означает симметричность его графического изображения
относительно координатных осей. Получим ромб (квадрат)
ABCD.
Площадь этой фигуры равна
5 = 4- SAOAB = 4 • | - 5 = 50.
Линия \х — 1| + |у + 2| = 5в плоскости Оху имеет
вид квадрата ABCD с центром в точке (1; —2). Площадь
фигуры не изменяется при параллельном переносе.
Ответ: S = 50.
В. 5
Рис. 58
Задача 20. Сделаем чертеж (рис. 58). Угол а из
условия задачи — это Z.MSN = а, где М и N середины
AD и ВС соответственно. Искомый угол обозначим /?,
3 = ZBSC.
319

Обозначим ON = BN = а, где О — проекция
вершины S на основание (центр квадрата ABCD).
1) Из условия tga = 2\/2 находим
coea = —Ц= = i sinf =
v/1 + tg2 a 3 2
2) Из прямоугольного AOSN (в нем Z.OSN = тг)
находим SN = -^тг, т. е. SN = а\/3.
sin-
3) Из прямоугольного ABSN находим
т.е.
Следовательно, | = 30°, а р = 60°.
Ответ: 60°.
Решение теста 101
Задача 1.1) При т = 12 данное уравнение не
имеет корней, так как оно принимает вид 2 = 0 (неверное
равенство).
2) При т Ф 12 уравнение не имеет корней, если его
дискриминант D < 0 или -г < 0. Имеем
~ = (т - 12)2 - 2(т - 12) = (т - 12)(т - 14) < 0
при 12 < т < 14.
Ответ: т G [12; 14).
Задача 2. Уравнение ая2 + Ьх + с = 0 имеет два
положительных корня, если график соответствующего
квадратного трехчлена у = f(x) = ах2 + Ьх + с имеет
вид, изображенный на рис. 59. Для этого необходимо и
320

а>0
а<0
Рис. 59
достаточно выполнения условий:
Ь
где
хо > О,
/(О) • f(x0) < О,
= — к- абсцисса вершины параболы. При условии
/(0) • f(xo) < 0 левая ветвь параболы пересечет ось Ож,
а тогда, в силу симметрии параболы относительно
прямой х = хо, ее правая ветвь также пересечет ось Ох.
Имеем хо = (т +1), /(0) = 9т — 5 и /(ж^) = /(т + 1) =
= (т + I)2 - 2(т + I)2 + 9т - 5 = -т2 + 7т - б.Итак,
нам надлежит решить систему неравенств
{т + 1 > 0,
(9т - 5)(-т2 + 7т - 6> < 0
или
{т > -1,
(9т-5)(т-1)(т-6) > 0.
Применим метод интервалов (рис. 60) к последней
системе.
-1
Рис. 60
Ответ: т G (|; l) U (6; +оо).
11-1731
321

Задача 3. Кривые у = Зх — х2 и у = —х
пересекаются, если система, составленная из уравнений этих
у = Зх — х2,
кривых
у = -х,
имеет решение. Итак,
[х2 -4ж = 0,
\у = -х
х = 0,
1/ = 0,
х = 4,
У = -4.
Ответ: В двух точках (0;0) и (4; —4).
Задача 4. В числителе выносим за скобки х + у,
затем после возведения в квадрат и приведения подобных
получаем неполный квадрат разности. Этот же
неполный квадрат обнаруживаем в знаменателе после
вынесения за скобки множителя х. Таким образом,
(х + у)3 - Зху(х + у) __ {х + у)[х2 + 2ху + у2 - Зху] _
х3 - х2у + ху2 х(х2 - ху + у2)
(х + у)(х2 — ху + У ) х + у л у
х(х2-ху + у2) ~~*~~ +^'
При х = ~- и у = Щ- значение последнего выражения
О о
равно 1 + Ц • j= = 3.
Ответ: 3.
Задача 5. Если сложить первые два уравнения
почленно, то получаем Зх = 3, т. е. х = 1. Подставим х = 1
во второе и третье уравнения:
у
= -5,
= -2.
Умножим первое уравнение на 2 и результат прибавим
ко второму уравнению. Получаем Az = —12, т. е. z = —3.
322

Из первого уравнения предыдущей системы после
подстановки х = 1 и z = — 3 находим у — 2. Итак х = 1,
у = 2, z = —3, аж + у + ^ = 0.
Ответ: 0.
Задача 6. Решая данную пропорцию относительно
8а + 3 тт
х, легко находим а; = т? г- Используя метод интерва-
loft — 4
8а + 3 ^
лов, получим, что неравенство _ < 0 справедливо
на промежутке ( —-; ^?) ? а в нем только одно целое
число 0.
Ответ: 0.
Задача 7. Используя табл. 4 из 1.15, данное
неравенство заменим системой
Эту систему приводим к виду
-5
Методом интервалов (рис. 61) получаем, что
s6(-oo;-5]u(l;f].
Наибольшее целое число этого множества равно х = — 5.
Ответ: —5.
11* 32S

Задача 8, Конфеты весят 108 г. Конфет имеем на
40% меньше, чем вафель, значит, конфеты составляют
60% от количества вафель, т.е. 108 = 60% (вафель).
Отсюда, количество вафель равно -г-^- = 180 г. Вафли
составляют 45% от веса печенья х. Это приводит к
равенству 180 = 0,45гг. Отсюда количество печенья равно
Итого 400 + 180 + 108 = 688 (г). Вес подарка 688 г.
Ответ: 688 г.
Задача 9. Сделаем символический чертеж (рис. 62)»
1) Составим уравнения сторон треугольника,
используя (см. 4.1) уравнение прямой, проходящей через
две данные точки Mi{x\;yi) и
Получаем последовательно.
(АВ) : У~1 = |zt(s-1), т.е. х-Зу + 2 = 0.
{ВС) : у - 2 = Yzi(x ~ 4)> т- е- Зя + 2у - 16 = 0.
{АС) : у - 1 = §5у(я - 1), т. е. Ах - у - 3 = 0.
2) Прямая АВ разбивает плоскость Оху на две
полуплоскости, в одной из которых расположен ААВС и,
в частности точка С. Эта полуплоскость обозначена
двумя стрелочками, идущими от АВ (рис. 62).
Подставляем координаты точки С в левой части
уравнения АВ. Получаем неравенство 2 — 3-5 + 2 <0.
Следовательно, координаты всех точек отмеченной
полуплоскости удовлетворяют неравенству х — Зу + 2 < 0.
3) Действуем по аналогии с другими уравнениями.
В левую часть уравнения прямой ВС подставляем
координаты точки А. Получаем неравенство 3 + 2 — 16 <0.
324

Следовательно, координаты точек той полуплоскости,
в которой лежит ААВС, удовлетворяют неравенству
Зх + 2у - 16 < 0.
4) Аналогичный вывод сделаем по отношению к
последней прямой. Координаты точек треугольника ABC
удовлетворяют неравенству Ах — у — 3 > 0.
5) Окончательно заключаем, что координаты точек,
принадлежащих внутренности ААВС* удовлетворяют
системе из трех полученных неравенств
{х - Зу + 2 < 0,
Зх + 2у - 16 < 0,
Ах - у - 3 > 0.
\ у
у. у
\
-2 0
L
i
i
13 /
1
1
\/ .
А х
Рис. 62
Рис. 63
Задача 10. Сделаем символический чертеж
(рис. 63).
Уравнение у = х2 + Ах -г 17 изображает параболу
у = (х + 2)2 + 13 с вершиной в точке (—2; 13). Данная в
условии точка А(4; 0) не лежит на параболе.
Пусть Мо(жо;уо) точка касания искомой
касательной AMq с паработой. Так как Мо(хо\уо) лежит на
параболе, то уо = х\ + 4хо + 17.
325

С другой стороны, уравнение касательной имеет вид
У - Уо = к(х - хо), где к = у'{хо). Имеем у'(х) = 2х + 4,
к = у'(хо) = 2жо + 4, а уравнение касательной имеет вид
у — (xq + 4#о + 17) = (2гго + 4)(х — хо). Эта касательная
должна проходить через точку А(А; 0). Подставляем в ее
уравнение х = 4 и у = 0. Тогда
0 - {xl + 4х0 + 17) = {2х0 + 4) - (4 - х0).
Из этого уравнения определим неизвестную
координату хо. Получаем последовательно:
-xl - 4х0 - 17 = 8гг0 + 16 - 2x1 ~ 4^0, ^о ~ 8хо - 33 = 0.
Отсюда хо = — 3 или хо = 11. Таким образом
получаем две точки касания и две касательные к
параболе, проходящие через точку А(4;0). Одна точка
касания М0(-3;14) (уо = Xq + 4#0 + 17, см. выше),
другая — Mq(11; 182). При этом уравнения касательной
имеют вид:
(АМо) : у—14 = -2(ж+3); (AMJ) : у-182 = 26(я?-11).
(При #0 = 11, находим &о = 26, уо = 182, АМ$: у — 182 =
= 26 (а: — 11).)- На рис. 63 вторая касательная
обозначена пунктиром, а точка Mq(11;182) не умещается на
рисунке.
Ответ: у = -2х + 8, у = 2Qx - 104.
Задача 11. Сгруппируем (х — 4) (х + 5) = х2 — 20 + х
и (х + 10) (х — 2) = х2 — 20 + 8гг. После подстановок этих
произведений в данное уравнение и деления обеих частей
на х2 получаем равносильное уравнение
х2 - 20 + х х2
ИЛИ
326

Сделаем замену х - Щ- + 1 = t. Получаем t(t + 7) = 18
или t2 + It - 18 = 0. Отсюда t\ = 2, t2 = -9. Остается
решить два квадратных уравнения.
1) Х-Ц- + 1 = 2, т.е. х2-х-20 = 0. Отсюда jci = -4,
х2 = 5.
2) Из уравнения х - Щ- +1 = -9, т. е. х2 + 10ж - 20 = 0.
находим #3,4 = — 5 ± \/45.
Сравнение полученных корней показывает, что
меньший из них —5 — 3\/5.
Ответ,: —5 — 3\/5.
Задача 12. Сделаем схематический чертеж
фис. 64).
Центр О окружности, вписанной в треугольник,
лежит на биссектрисе АЕ, т. е. искомый отрезок -
биссектриса АЕ.
Найдем биссектрису АЕ по теореме косинусов из
ААСЕ: АЕ2 = AC2+CE2-2АС СЕ cos 120°, ZC = 120°
1) В AAOD дано: О1> = г = л/8 - л/б и ZOAD = 15°.
Находим AD = rctg 15°, a ctg 15° = * ^^Оо°° = 2 + >/3.
Значит, AD = (\/8-\/б)(2 + \/3) = л/2<2 — л/3)(2 н- \/3) =
2) Из ДАС£> находим АС = ^, т. е. АС = 2уД =
= ВС.
3) Согласно свойству биссектрисы
СГЕ _ AC „_w СЕ
BE AB '* ВС-СЕ 2AD'
т.е.
СЕ _
•л-
Отсюда i
327

4) Остается подставить полученные величины в
формулу теоремы косинусов:
Ответ: АЕ = 2.
С
8.8
3 "*" 3
К М Q
Рис. 65
= 2.
Задача 13. Сделаем чертеж и дополнительные по-
строения (рис. 65).
При этом OP ± AB, ON J_ ВС, ОМ 1 АС и ОР =
= 3>Д ОЛГ = 2>/8, ОМ = л/8. Из точки О проведем
ОК || AB, OQ || ВС. Поэтому AKOQ - ЛАБС.
Согласно условию задачи АВ : ВС : АС = 2:3:4,
поэтому можно принимать АВ = 2т, ВС = Зт, АС =
= 4т, где т — неизвестный пока коэффициент, который
впоследствии определим.
1) Найдем S&abc ПРИ помощи формулы Герона.
Имеем
р = I(2m + 3m 4- 4m) = |m,
5 = t/fm (|m - 2m) (|m - 3m) (|m ~ 4m) =
Нашли 5= f\/i5
4
m2
328

2) Найдем радиус круга, описанного около ААВС*
по формуле R = ^§. Получаем R = -^= — радиус опи-
4<э \/15
санного круга.
3) По теореме синусов
Ь с о ту
sin ZA sin ZB sin ZC
определим синусы всех углов ААВС.
_ л/15
4) Из АО КМ находим
= ОМ • ctg ZA = л/8 • - 1
6) Из AALK находим
7) Из AQCT находим
or - ®т - ^- - 16v^
3>/l5
5) Из AOMQ находим
8) Воспользуемся теперь тем, что
АС = АК + KM + MQ + QC = AC.
Значит,
л _ 16\/8 , \ЪД , 7л/8 , 16^ _ 256V2
у/1Ъ ЗуДЬ л/15 л/15 Зл/15
329

Отсюда т =
64л/2
Зл/15*
9) Стороны ААВС равны:
АВ =
128л/2
64ч/2
256л/2
3VT5 '
Зл/15 *
Ответ: Периметр АВ + ВС + АС =
Задача 14. Область определения характеризуется
системой неравенств
Первое неравенство равносильно совокупности систем
х-4 < 0.
Зх - 2 > 0.
х - 4 ^ 0.
Зх — 2 ^ х2 — 8х -t-16
_XG[4:9].
Отсюда следует, что х Е х: 9 . Второе неравенство
приводим к виду < 0. Отсюда следует, что х G (3:5).
X — о
Область определения состоит из пересечения
полученных промежутков. Это интервал (3: 5). и наибольшее его
целое значение равно 4.
Ответ: 4.
Задача 15. При условии cos f ^ 0 обе части
исходного уравнения возводим квадрат:
Сократим это уравнение на 3 и используем формулы
приведения, понижения степени и преобразования
произведения в сумму. Получаем последовательно
330

|(l + cos f) = I - cos f + i (cos f + cos f)
Отсюда § = ±-^ + 2тгп, т. e. x = ±4тг + 12тгп. Получен-
ные корни следует проверить условием cos - ^ 0. Имеем
| = ±тг + Зтгп,
cos j = cos(±7r + Зтгп) = cos(±7r + 2тгп + тгп) =
= COs(±TT + ТГП) = 1,
если только п = 2к+1 — нечетное число. Таким образом,
х = ±4тг + 12тг(2& + 1), к Е Z.
Ответ: х = ±4тг + 12(2fc + 1)тг, fc G Z.
Задача 16. Разделим почленно на 9а;2 и представим
результат в виде
"3
) 3^
Обозначим
_ ж2 + 2х + 3
и из квадратного уравнения t2 — 3t + 2 = 0 находим £ = 1,
t = 2. Из -—г-^ = 2 получаем а; = 1, х = 3, а из
х2 + 2х + 3 т ^_ _
3^ = 1, Ж G 0.
Ответ: х\ = 1, а?2 = 3.
Задача 17. Принимаем объем водоема за 1 (единицу
объема) и обозначим производительность первой, второй
и третьей труб за ж, у, z (это доля водоема, которую
опорожняет труба за 1 ч).
При совместной работе производительности
складываются. Если за 2 ч первая и вторая труба опорожняют
бассейн, то 2(х + у) = 1. Аналогично рассуждая,
получаем еще два уравнения: ^{х + z) = I, (^ = 1ч12 мин)
331

и 1.5(х + у) = 1. Объединяем эти уравнения в систему,
несколько преобразовав их
После их почленного сложения получаем 2x+2y+2z = 2
или х + у + z = 1.
Подставив в это уравнение х + у = ^, найдем z = -,
а затем х -*- z = ^ — получим у = ^. Остается заменить
y-*-z=-zHx=\. Система решена: х = |, у = \, z = ^
Производительность и время работы взаимно обрат-
ны. Потому t\ = 3 ч. ^2 = 6 ч. £з = 2 ч.
Ответ: 3 ч. 6 ч. 2 ч.
Задача 18. Левая часть данного равенства
представляет собой бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию (см. 1.13) с первым членом Ь = log8rr и
знаменателем q = log8a;, причем |log8rr| < 1. Сумма такой
прогрессии равна -—р— = ^ (по условию). Отсюда
1 — log8 х i
Iog8:r = |. ах = 2.
Ответ: 2
Задача 19. Пусть R и Н — радиус основания и
высота цилиндра (рис. 66). Тогда величина kR2H = V
известна. Поверхность цилиндра без крышки, равная
5 = 2nRH 4- *Д2,
должна быть минимальной. Из предыдущего равенства
находим Н = -^г и это значение Н подставим в выра-
жение для S. Получаем
332

Исследуем на экстремум полученную функцию
переменной R при R > 0. Имеем
Знак S" и поведение 5 указаны на рис. 67, где i?o
определяется из равенства tt-Rq — V = 0, т. е. До = у -^- При
таком значении R = Ro функция 5 имеет минимум,
равный
= 2V • л3/£ + 7м3/^г =
Значение iJ получаем из равенства
Ответ: R = H= ?/*-.
Н
S' -
R
Рис. 66
Pwc. £7
Задача 20. Построим чертеж (рис. 68).
Пояснения. Основание усеченной пирамиды —
квадраты ABCD и A\B\C\Di) со сторонами АВ = 22,
А\В\ = 10, боковые ребра одинаковы, боковые грани —
равные равнобедренные трапеции, диагональное
сечение — равнобедренная трапеция АА\С\С (она
заштрихована), ^2 и Сг — проекции вершин А\ и С\ на
нижнее основание, Ач и Сг расположены на диагонали АС,
А\С — диагональ усеченной пирамиды. А\С == 24.
333

Большинство вычислений основывается на теореме
Пифагора для прямоугольных треугольников,
обозначенных в соответствующих действиях, поэтому огдельно
указывать это не будем.
1) Из ААВС находим АС = 22\/2, а из AA
А1С1 = Юл/2.
2) А2С2 = АхСи AAi = С2С, АА2 = \{АС -
АА2 - 6 А А2С = АС- AM = 16л/2.
3) &АгА2С: АХА2 = ^242 - (16у^)2 = 8.
4) В АА2АЕ имеем А2Е ± АЕ, АЕ = ЕА2,
5)
SAAiBlB = \(22 + 10) -10 = 160.
7) Збок. = 4 • SaaiBiB, -5бок = 640.
Ответ: 640.
= 4ф., АЕ = А2Е = 6.
л/2
: АХЕ2 = АУА\ + А2Е'г, АХЕ = 10.

Указания к некоторым задачам
Тест 2
Задача 6. Сначала зафиксируем ОДЗ: х > 0, х Ф 2,
х ф 4, х ф 16. Переходим к основанию 2 (см. формулы
из 1.6):
+ 2
log2 х - 4 log2 x - 1 log2 x - 2
Обозначив log2 x = у, приводим дробное уравнение к
квадратному: у2 — у — 6 = 0. Отсюда у\ = —2 и ?/2 = 3.
Возвращаясь к неизвестной гг, получаем #1 = -, Х2 = 8.
Произведение #i#2 равно 2.
Тест 36
Задача 6. При х < 0 данное уравнение можно
переписать в виде 6 lg(—а:) — Ig2(—x) = 0. Отсюда заключаем,
что lg(—х) = 0 (а тогда х\ = — 1) или lg(—x) = 6 (а тогда
Х2 = —1000000). Больший модуль имеет второй корень.
Тест 46
Задача 3. Легко обнаруживаем, что левая часть
уравнения обращается в нуль при: х = 1, х = — 1ио"= ^*
Но при х = — 1 выражение у/2(—1) — 1 не имеет смысла,
поэтому х = — 1 — корень посторонний. Остается
выбирать меньший корейь х = ^.
Тест 23
Задача 7. Воспользуемся чертежом (рис. 69J. Из
условий задачи можно записать: AM = 4га, МС = 5га,
АС = 9m, BJV = п, ВС = 4п, ЛГС = Зп, где тип —
некоторые масштабные неизвестные величины. Дано еще
PN =10. Требуется найти АР.
335

Через точку N проводим отрезок NQ |] ВМ.
1. Согласно геореме Фалеса (см. Т-4 в 3.1)
тр MQ
QC NC QC 3*
Следовательно, можно считать,
N что MQ =p,QC = 3p, MC = 4р,
где р — некоторая величина. Но
так как МС = 5т, то 4р = 5т
и р — jm (этим величину р вы-
g ^f» разили через т). Следовательно,
Рис. 69 MQ=p=lm.
2. Согласно той же теореме
Фалеса
АР = АМ_
PN MQ'
После подстановок получаем
АР 4т
10 Ът
Отсюда АР = 32.
Тест 35
Задача 1. Обозначая
1
:
= и.
приходим к линейной системе
и 4- v = За = 3,
и — 4v = —2а + 7.
336

Отсюда находим
v = а - 2, [siny = а - 2.
l
Поскольку х > О, то 2 v^ > 15 кроме того, | siny| ^ 1 при
любом у.
Следовательно, последняя система имеет смысл (и
разрешима), если
' 2а - 1 > 1,
т. е. 1 < а ^ 3. Длина этого промежутка равна 2.
Добавим, что если a G (1;3], то
Iog2(2a-1)'
= (-l)n arcsin(a - 2) + тгп, п G Z.
Тест 49
Задача 10. Данные неравенства в виде
Оно равносильно неравенству х2 — 9 < 0, т. к.
2 + cos5 х > 0.
Тест 50
Задача 7. Подстановками
tg 2x = и,
= v
337

переходим к линейной системе
которая несовместна (неразрешима) при условиях у =
= ! # § (см. п. 4 из 4.1).
Исходная система неразрешима, если а2 = 9, т. е. при
а = ±3.
Tea 61
Задача 11. 1. На рис. 70,а изображена трапеция
ABCD. В ней AD = Зга, ВС = га, а точки if и L
таковы, что ЛХ = п, XI? = Зп, АВ = 4п и DL = Зр,
LC = 2р, DC = Ър (р, га, п — некоторые масштабные
коэффициенты). Отрезки KD ц AL пересекаются в
точке О. Требуется найти DK, если О К = 1.
2. На рис. 70,# трапеция ABCD достроена до AASD.
При этом
AASA-ABSA и || = gf = 3.
Кроме этого, легко определить, что AS = 6n, DS = 7,5р,
CS = 2,5р.
3. На рис. 70, в в AASD восстановлены точки К5 L, О
и проведен отрезок KQ || ЛЬ. Согласно теореме Фалеса
имеем пропорцию
DO _ PL
OK ~ LQ'
4. Определим LQ из пропорции ^ = "Щ; (это тоже
где OK = lyDL = 3p.
4. Определим LQ
теорема Фалеса). Сначала заметим, что
LS = DS-DL = 7,5p- Зр = 4,5р.
338

в
Значит,
LQ = __
QS AS-AK 5"
AK
С другой стороны, LQ + QS = LS = 4,5р. Из последних
двух равенств находим LQ = jp.
5. Из пропорции п. 3 находим DO = j^ • OK = 4.
Следовательно, DK = 5.
Тест 78
Задача 11. Подстановками
339

переходим к линейной системе
2u + v = 2-a,
-u + 2v = 3a-l.
Из нее
и = 1 — а,
v = а,
{ух + 5 = 1 — а,
2^-31 = а.
Разрешимость этой системы определяется условиями
О, I 1 - О О,
т. е. < <^а = 1.
l2l»-3l>l, (а^1
При а = 1 находим гг = —5 и у = 3.
Тест 79
Задача 3. Положим
а = arctg 3, /3 = arctg |, 7 = arctg |, £ = arctg |.
Каждый из этих углов принадлежит интервалу f 0; ^ ) и
tga= |, *-*- * *-.-.. _ 1
Нам надо вычислить сумму (p = a + /3 + j-\-8, а затем
произведе
формулу
произведение -у?. Определим сначала a + /3, используя
Вычисления приводят к
tg(a + /3) = =, т. е. а + /3 = axctg = G (0; тП .
340

Аналогично находим
tg(7+ *) = £' т-е' 7 + <* £
Затем, совершенно аналогично, получаем
Тест 95
Задача 18. Используя условия задачи, строим
треугольную пирамиду SABC так, чтобы: /LASB = 45°,
ZBSC = 45°, ZASC = 60° и ZABS = 90°, ZCBS = 90°
(рис. 71).
Пусть BS = а, тогда ВС =
= ВА = a, SC = SA = ау/2,
т. к. AABS и ABCS —
прямоугольные, равнобедренные с углом 45°.
Треугольник AS С равносторонний,
поэтому АС = у/2а. Поскольку
ААВС — равнобедренный со
сторонами АВ = ВС = а и АС =
= \/2а, то он прямоугольный, а
значит, ZABC = 90°.

Ответы
Номер
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Номер теста
1
а
г
а
а
б
а
в
б
в
в
2
в
а
б
г
б, г
б
д
в
а
д
3
б
а
в
б
г
д
а
в
д
б
4
а
г
в
а
в
г
б
г
а
д
5
в
б
б
г
д
б
в
а
в
в
6
а
а
д
б
д
г
г
б
в
г
7
а
б
г
б
б
б
д
г
в
в
8
а
б
д
г
б
в
д
б
б
г
9
б
в
а
б
в
а
а
г
в
г
10
г ,
б
г
б
б
а
д
а
а
г
Номер
вопроса
1
2
3
4
■5
6
7
8
9
10
Номер теста
11
а
в
г
г
а
а
г
в
в
г
12
г
б
а
в
д
в
г
б
а
а
13
а
а
д
д
б
г :
г
а
д
а
14
д
б
г
а
г
б
в
в
а
г
15
б
г
а
а
а
г
а
б
д
16
а
в
б
б
г
а
г
г
б
б
17
в
б
Д
в
б
Д
В,
а
в
б
18
г
а
г
а
в
г
б
в
б
а
19
а
г
д
а
г
в
а
в
б
а
20
а
д
а
б
б
г
в
г
г
Д

Номер
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Номер теста
21
б
в
б
в
г
а
д
б
а
а
22
б
г
в
б
а
а
д
а
а
б
23
в
г
а
б
а, д
а
д
г
а
б
24
г
б
б
г
а
б
б
в
г
б
25
г
а
г
д
б
а
а
г
а
г
26
в
а
в
а
д
в
б
в
а
а
27
а
б
г
г
б
а
б
б
г
д
28
в
в
Д
б
г
а
г
г
б
29
б
а
г
а
а
в
д
в
в
30
б
в
в
г
в
г
б
б
а
д
Номер
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Номер теста
31
б
д
б
б
а
в
г
г
а
а
32
в
б
б
б
г
а, в
в
б
а
33
в
в
а
а
в
б
д
б
д
в
, 34
г
б
а
б
а
в
д
г
в
а
35
б
в
б
в
г
а, г
г
г
а
б
36
б
г
а
а
а
б
г
г
б
г
37
б
б
б
г
г
б
а
д
д
в
38
г
г
б
б
в
в
в
б
а
в
39
д
д
а
г
б
б
б
в
б
г
40
б
в
а
г
г
б
г
г
б
а

Номер
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Номер теста
41
б
в
а
д
г
а
а
в
б
д
42
б
в
в
в
д
г
а
б
в
г
43
а
а
д
б
в
в
г
б
Д
а
44
а
д
а
в, г
а, г
б
б
а, в
г
б
45
б
г
а
а
б
в
а
в
д
д
46
а
а
б
в
а
в
б
б
в
г
47
б
а
в
б, в
а, г
в
а
в
а
д
48
б
г
а
а
б
д
а
д
в
в
49
а
б
в
д
в
а
г
г
а
в
50
а
д
б
г
б
д
б
в
Д
а
Номер
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Номер теста
51
в
д
г
д
б
а
б
б
в
д
в
д
д
в
52
б
б
б
б
в
в
б
г
Д
б
г
а
в
д
53
в
г
Д
в
г
г
а
д
г
а
в
д
д.
в
54
г
г
б
Д
г
г
в
б
б
а
д
а
а
в
55
в
б
б
а
б
а
г
б
б
г
б
г
а
б
56
в
б
б
г
а
в
д
б
а
б
б
а
б
б
57
а
г
б
б
в
в
в
а
в
г
а
б
г
б
58
а
б
б
а
а
б
в
а
а
а
а
а
а
а
59
г
г
б
г
б
б
в
б
в
в
б
б
б
а
60
г
б
а
б
б
а
д
б
а
б
б
б
в
в
61
д
а
а
а
в
а
в
а
в
б
б
д
б
в

Номер
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Номер
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20.
Номер теста
62
б
а
в
а
б
б
б
в
в
в
а
в
б
б
63
а
б
а
а
д
б
в
в
в
в
в
б
а
д
64
в
б
Д
б
б
Д
б
б
в
в
б
Д
в
в
65
в
в
б
в
б
в
г
в
а
г
б
в
б
в
66
г
д
в
б
а
д
в
а
в
б
б
б
а
г
67
б
д
б
в
б
б
д
а
а
в
а
а
а
в
68
б
в
а
а
а
а
в
б
а
б
б
б
а
б
69
в
г
г
г
в
д
б
в
в
в
в
г
г
а
70
б
г
а
б
б
б
б
д
д
в
в
б
д
д
71
а
а
б
б
а
б
а
а
д
б
д
в
г
Д
72
б
в
а
д
б
д
а
г
в
д
в
б
Д
б
Номер теста
73
а
а
г
а
в
в
а
а
д
а
г
а
а
а
а
а
а
д
г
а
74
д
в
в
б
б
а
а
б
д
в
в
в
б
д
в
б
в
б
в
в
75
в
в
в
в
в
г
г
в
в
г
г
в
в
в
г
в
в
в
в
б
76
г
в
в
в
в
в
в
в
в
в
в
г
в
в
б
д
в
в
г
г
77
в
в
в
в
в
б
в
в
в
в
б
б
а
в
д
в
г
д
в
д
78
б
а
б
б
б
Д
б
г
г
в
б
б
в
г, Д
в
в
в
в
д
г
79
г
в
в
в
в
б
Д
б
б
в
в
в
б
б
г
в
б
г
г
б
80
д
б
в
а
а
б
в
в
а
а
д
а
г
б
в
г
VO
б
в
г
81
в
г, Д
г
г
Д
г
д
г
г, Д
в, д
в, д
б
в
д
г
б, г
д
г
в
г
82
в
в
г
б
б
б
в
б
в
а
б
б
б
г
б
г
г
в
б
в
83
в
Д
в
в
в
д
б
в
в
в
б
в
а
д
В
В
в
в
в
Д
84
г
г
в
в
г
г
в
г
б
в
в
в
б
а
в
д
д
д
в
в
445

Номер
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Номер теста
85
г
в
а
в
г
в
в
в
д
в
в
в
в
в
д
г
б
в
б
в
86
д
г
д
д
г
в
в
в
д
б
г
в
в
д
в
в
Д
в
г
г
87
б
б
г
Г, Д
а
а
б
д
б
г
г
в
г
д
в
д
в
г
б
в
88
в
а
в
в
б
г
в
б
в
б
б
г
а
г
б
в
а
б
б
б
89
в
в
г
б
в
а
в
д
г
б
б
в
д
а
в
F
в
в
в
г
90
б
д
б
в
в
в
в
в
б
б
д
в
г
в
г
в
в
в
а
а
91
б, г
в
г
Д
б
Д
а
а
а
г
б
д
д
а
д
д
д
г
а
г
92
в
г
б
б
б
б
в
б
г
в
д
б
б
б
б
б
г
б
г
в
93
д
б
в
в
а
б
в
б
а
г
б
а
д
в
г
б
г
в
Д
в
94
в
б
в
г
а
б
г
г
в
в
г
б
в
б
д
г
в
б
г
а
95
в
г
а
а
в
в
в
б
а
в
д
б
в
в
б
в
г
г
г
в
96
а
б
в
а
в
д
г
д
г
в
в
б
а
а
д
а
а
а
а
д

Номер
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Номер теста
97
в
г
д
г
б, в
а
г
а
а
в
д
в
а
а
в
д
г
д
а
г
98
г
б
а
д
а
д
а
г
д
г
а
г
д
г
г
г
в
г
г
в
99
а
д
д
а
г
г
г
д
д
в
г
д
д
г
г
б
в
г
а
д
100
а
б
б
в
а
д
в
а
д '
д
д
б
в
г
д
д
д
д
г
д
101
г
г
в
Д
г
в
г
г
г
а, г
в
а
д
а
г
в, г
в
г
Д
а
102
а
б
д
д
д
б
г
в
д
б
а
в
д
а
д
а
д
д
д
а
103
б
д
г
Д
г
г
д
г
а
а
а
д
г
г
г
д
а
а
а
в
104
г
а
а
г
г
в
а
д
д
г
а
а
д
а
д
г
а
б
а
г
105
д
в
д
а
а
г
г
д
а
г
г
в
а
а
г
в
г
д
а
а
106
в
д
а
г
д
в
в
в
г
д
д
б
а
а
г
г
г
г
г
г
107
д
б
г
д
б
а
г
г
а
д
д
а
д
д
г
в
в
д
а
г
108
а
д
в
а
а
а
г
д
а
а
б
а
б
в
г
г
г
а
г
б

Содержание
Предисловие 3
Справочный теоретический материал 5
1. Алгебра 5
2. Тригонометрия 16
3. Геометрия 23
4. Векторная алгебра. Элементы математического
анализа 35
Раздел первый. Тесты типа А 43
Раздел второй. Тесты типа В 113
Раздел третий. Тесты типа В 162
Решения и ответы 263
Указания к некоторым задачам 335
Ответы 342

По вопросам оптовых закупок обращаться:
тел./факс: (095) 785-15-30, e-mail: trade@airis.ru
Адрес: Москва, пр. Мира, 106
Наш сайт: www.airis.ru
Вы можете приобрести наши книги
с II00 до 1730, кроме субботы, воскресенья,
в киоске по адресу: пр. Мира, д. 106, тел.: 785-15-30
Адрес редакции: 129626, Москва, а/я 66
Издательство «Айрис-пресс» приглашает к сотрудничеству
авторов образовательной и развивающей литературы.
По всем вопросам обращаться
по тел.: (095) 785-15-33, e-mail: editor@airis.ru
Учебное издание
Лунгу Константин Никитович
ТЕСТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ
Ведущий редактор В. В. Черпоруцкий
Редактор Е. Д. Куланин
Художественный редактор А. М. Драговой
Оформление обложки Ю. Б. Курганова
Иллюстрации Н. Г. Рысъева, А. Ю. Терская
Технический редактор С. С. Коломеец
Компьютерная верстка Е. Г. Иванов
Корректор 3. А. Тихонова
Подписано в печать 20.09.2002. Формат 84x108/32.
Печать высокая. Печ. л. 11. Усл.-печ. л. 18,48.
Тираж 10 000 экз. Заказ № 1731.
ООО «Издательство "Айрис-пресс"»
113184, Москва, ул. Б. Полянка, д. 50, стр. 3.
Текст отпечатан с готовых диапозитивов
в ФГУП Владимирская книжная типография.
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7.
Качество печати соответствует качеству представленных диапозитивов.

ДОМАШНИЙ \% РЕПЕТИТОР
О. Ю. Черкасову А. Г. Якушев
Математика:
интенсивный курс подготовки к экзамену
Книга написана преподавателями
механико-математического факультета МГУ на основе многолетнего опыта
очной и заочной подготовки абитуриентов и приема
конкурсных экзаменов.
Пособие содержит ключевые моменты решения
стандартных задач и задач повышенной трудности, анализ
характерных ошибок, упражнения для самостоятельной
работы, справочник, тесты для оценки текущего
уровня подготовки, варианты выпускных и вступительных
экзаменов различного уровня сложности.
420 с, с им., обложка
ИЗДАТЕЛЬСТВО АЙРИС-ПРЕСС

ДОМАШНИЙ \% РЕПЕТИТОР
Д. Т. Письменный
Готовимся к экзамену по математике
Пособие содержит ответы на 55 вопросов,
предлагаемых на устных вступительных экзаменах по математике
практически в любом вузе.
Здесь в краткой форме представлены основные методы
решения примеров и задач, наиболее часто
встречающихся на письменных вступительных экзаменах по 14
разделам математики.
По каждому из разделов приведены от 20 до 40
упражнений с контрольными ответами для самостоятельной
работы.
Пособие может быть полезным для всех, желающих в
кратчайшие сроки систематизировать свои знания по
основным вопросам математики.
320 с, обложка
ИЗДАТЕЛЬСТВО АЙРИС-ПРЕСС

НАШИ РЕГИОНАЛЬНЫЕ ДИЛЕРЫ
Воронеж
Екатеринбург
Иркутск
Казань
Красноярск
Краснодар
Минск
Новосибирск
Пермь
Ростов-на-Дону
Санкт- Петербург
Тюмень
Хабаровск
Челябинск
Южно-Сахалинск
♦ ООО «Амиталь»
(0732) 23-63-26 e-mail: mail@amital.vrn.ru
Воронеж, ул. 25-го января, д. 28
♦ ООО «Алис»
(3432) 55-10-06 e-mail: alis@mail.ur.ru
Екатеринбург, ул. Мамина-Сибиряка, д. 137
♦ ООО «ПродаЛитЪ»
(3952) 59-13-80 e-mail: prodalit@irk.ru
Иркутск, ул. Байкальская, д. 172
♦ ООО «Аист-Пресс»
(8432) 43-60-31 e-mail: astp@kai.ru
Казань, ул. Декабристов, д. 182
♦ ООО«Таис»
(8432) 72-27-82, 72-34-55 e-mail: tais@bancorp.ru
Казань, ул. Гвардейская, д. 9а
♦ ООО«Литэкс»
(3912) 55-50-35/36/37 e-mail: mail@litex.ru
Красноярск, ул. Дудинская, д. За
♦ ООО «Букпресс»
(8612) 62-55-48 e-mail: dges@mail.kuban.ru
Краснодар, ул. Товарная, 5
♦ ООО «Современное слово»
(10-375-172) 42-07-52, 38-38-52 e-mail: newbook@tut.by
Минск, ул. Центральная, 14
♦ ООО «Топ-книга»
(3832) 36-10-28, 26-62-39 e-mail: ofrice@top-kniga.ru
Новосибирск, ул. Арбузова, д. 1/1
♦ ООО «Азбука*»
(3422) 64-12-26 e-mail: azb_plus@perm.raid.ru
Пермь, ул. Героев Хасана, д. 10
♦ ООО «Алтай»
(8632) 44-10-92, 62-37-95 e-mail: altay@info-don,ru
Ростов-на-Дону, ул. Соборная, д. 26
♦ ООО«Оникс-С»
(812) 520-61-57 e-mail: onyx@mail.axon.ru
Санкт-Петербург, пр. Передовиков, 13/2
♦ ООО «Фолиант»
(3452) 27-36-06, 27-36-11 e-mail: foliant@tyumen.ru
Тюмень, ул. Харьковская, д. 83а
♦ ООО «Мире»
(4212) 23-54-47 e-mail: sale_book@bookmirs.khv.ru
Хабаровск, ул. Ким Ю Чена, д. 21
♦ ООО «ИнтерСервис ЛТД»
(3512) 21-33-74 e-mail: intser@chel.surnet.ru
Челябинск, Свердловский тракт, д. 14
♦ ООО «Эврика-Трейд»
(4242) 79-64-33
Южно-Сахалинск, НПР Новоалександровск,
ул. Советская, д. 104

ДОМАШНИЙ i РЕПЕТИТОР
Лунгу
Более 100 тестов
трех уровней сложности
Справочный материал
Разбор типичных задач
Отличный тренинг
перед экзаменом
в школе и вузе
ISBN 5-8112-0040-4
l"78581 1 "200405'