МИНИСТЕРСТВО АВИАЦИОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ СОЮЗА ССР
ТРУДЫ № 152
РАСЧЕТНОЕ УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ДАВЛЕНИЯ
ВО ВСАСЫВАЮЩЕМ ТРУБОПРОВОДЕ ДВИГАТЕЛЯ
ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ
М. А. Хайлов
ИЗДАТЕЛЬСТВО БЮРО НОВОЙ ТЕХНИКИ
1948
РАСЧЕТНОЕ УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ДАВЛЕНИЯ ВО ВСАСЫВАЮЩЕМ
ТРУБОПРОВОДЕ ДВИГАТЕЛЯ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ
М. А. ХАЙЛОВ
F,
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
В работе дается вывод уравнения колебаний давления во всасывающем трубопроводе двигателя вну-
треннего сгорания на базе рассмотрения движения уединенных волн. Принятый метод получения расчетного
уравнения, отличаясь от метода проведения расчета с помощью диференциальных уравнений с частными
производными второго порядка более*ясным представлением развития и протекания колебаний давления
в трубопроводе, облегчает определение пограничных условий и в то же время устраняет трудоемкость
вычислительных операций, свойственную расчету „по точкам" (Пишингер, Муклов и др.). Выведенное урав-
нение охватывает весь период цикла колебаний в той же мере, как и уравнение, получаемое при использова-
нии диференциального уравнения с частными производными второго порядка (звуковое уравнение).
Сопоставление результатов расчета с действительными индикаторными диаграммами колебаний давле-
ния во всасывающем трубопроводе указывает на их удовлетворительную сходимость.
Колебания давления во всасывающем трубопроводе давно являются предметом научных исследований
[1 3]; [12—14]. Наряду с ними в последнее время был опубликован ряд статей по вопросу о колебаниях
давления в выхлопном трубопроводе н влиянии их на работу двигателя внутреннего сгорания.
Рассмотрение всех этих работ показывает значительную общность явлений, протекающих в системах
всасывающих и выхлопных трубопроводов, и методов их анализа.
Общность явлений позволяет вести разработку единого метода расчета колебаний давления во всасы
вающем и выхлопном трубопроводах.
В настоящей работе излагается примененный автором ранее [5] метод получения расчетного уравне-
ния колебаний давления во всасывающем трубопроводе, несколько отличный от известных из технической
периодической литературы [12], [14], [17], [18].
КРАТКИЙ ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ КОЛЕБАНИЙ ДАВЛЕНИЯ
ВО ВСАСЫВАЮЩИХ ТРУБОПРОВОДАХ
Первой датой проведения исследований колебаний давления во всасывающих трубо-
проводах можно считать 1893 г., когда были впервые произведены опыты по использо-
ванию колебаний давления для улучшения работы четырехтактного газового двигателя
Кросслей. Позже появляются работы: Фойселя [12], Деннисона [13], Литвинова и Живко-
вича [2] и др.
Все работы по исследованию колебаний давления в трубопроводах в зависимости от
метода анализа исследуемого явления можно разбить на три группы.
В работах первой группы колебания рассматриваются возникающими в результате
действия сил инерции одновременно во всей массе воздуха или газа, как в некотором
целом теле [13].
В работах второй группы процесс колебаний трактуется как явление стоячих воли
[1-4]; [12]; [14].
В работах третьей группы колебания давления рассматриваются в процессе их уста
новления в результате блуждания уединенных волн по трубопроводу [15]; [17].
Недостатком первого метода является допущение единовременного и одинакового
изменения скорости движения воздуха (газа) во всех сечениях по длине трубопровода.
Это допущение равносильно принятию бесконечно больших скоростей распространения
возмущений по трубопроводу, что противоречит действительности.
В условиях данного допущения более или менее верные результаты могут полу-
чаться лишь в случае периодов свободных колебаний давления в системе, во много раз
меньших периода действия возмущающих сил (тихоходный двигатель при умеренно
длинном трубопроводе или быстроходный двигатель при достаточно коротком трубо-
проводе).

1
Второй и третий методы при одинаковых условиях дают тождественные решения.
В обоих случаях основным вопросом при исследовании является определение начальных
и пограничных условий, которым должно удовлетворять рассматриваемое решение. Уста-
новление этих условий, часто представляющее большие трудности, в ряде случаев может
рассматриваться как самостоятельная задача.
Особенно большие затруднения в определении пограничных условий возникают при
втором методе исследования колебаний.
Обычные пограничные условия, принимаемые для облегчения решения при втором
методе (например, допущение пограничных условии для закрытого конца трубопровода,
общих для всех цилиндров многоцилиндрового двигателя), выполнить не всегда возможно
(в случае длинного впускного коллектора с последовательными ответвлениями по цилин-
драм).
Третий метод, дающий наиболее ясное представление о развитии и протекании
явления колебаний, значительно облегчает определение пограничных условий. Большим
минусом этого метода, в обычной его интерпретации (расчет по последовательно чере-
дующимся элементарным интервалам цикла [15]; [17]), является отсутствие решения в об-
щем виде и большая трудоемкость вычислительных операций.
Ниже сообщается использованное автором статьи в его диссертационной работе [5]
видоизменение третьего метода, дающее возможность подучить уравнение колебаний дав-
ления в трубопроводе в общем виде для всего периода цикла работы двигателя.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ВЫВОДА РАСЧЕТНОГО УРАВНЕНИЯ
КОЛЕБАНИЙ ДАВЛЕНИЯ
Вывод расчетного уравнения, приведенный ниже, базируется на использовании теории
уединенных волн. Разработкой теории уединенных волн занимались Н. Е. Жуковский
[7], [8], Б. С. Стечкин [9], Риман [19] и др.
Применительно к вопросу данной статьи теория уединенных волн дает следующее.
Пусть поршень К (фиг. I), находившийся неподвижным в трубопроводе Л в сечении
х — ось трубопровода, л'о — первоначальное
положение поршня, lFn — скорость поршня.
«fl, «j, «„—скорости распространения волны
Фиг. 1. Схема образования волны в трубопроводе
х0— хо, приобретает в какой-либо момент
ускоренное движение в направлении в левую
сторону от сечения трубопровода xf,— х0.
В результате начавшегося движения пе-
ред лобовой поверхностью поршня образуется
область измененного состояния воздуха. Пе-
ред этой областью воздух находится в состоя-
нии покоя, а внутри нее — в возмущенном
состоянии.
Граница, разделяющая указанные две
области, распространяется в сторону невоз-
мущенного состояния со скоростью звуковой
Фиг. 2. Искажение формы волны
при распространении
волны а0. Величина этой скорости зависит от температуры воздуха в области невозму-
щенного состояния.
Внутри области возмущенного состояния воздух имеет различные для отдельных
поперечных сечений трубопровода величины давления р, температуры Т, удельного веса
7 и скорости движения U7, отличные от их значений р0, То, и 1Уо = О для невозму-
щенной области (см. фиг. 1).
Распределение вызываемого движением поршня изменения состояния воздуха вдоль
оси трубопровода в возмущенной области образует так называемый фронт волны. В дан-
ном случае на фиг. 1 фронт волны давления характеризуется кривой p~f(x). Соот-
ветствующее изменение скорости среды, заполняющей трубопровод, указывается кри-
вой W — f(x).
Волну можно рассматривать состоящей из ряда элементарных волн, образовавшихся
2
как бы в результате ряда малых изменений скорости движения поршня, беспрерывно
следующих друг за другом по времени.
Такое представление позволяет считать, что отдельные элементарные волны (фазы),
составляющие данную волну, перемещаются по трубопроводу с различными скоро-
стями at, а2, . . . ап.
Обоснования этому заключаются в следующем.
Во-первых, в том, что перед каждой последующей фазой волны имеется воздух,
находящийся в движении (от действия предыдущего перемещения поршня), скорость
которого для каждой из фаз волны различна (ввиду переменной скорости движения
поршня).
Во-вторых, распространение междуфазовых границ (границ между смежными фазами)
происходит с различными скоростями, поскольку каждая последующая элементарная
волна распространяется в среде, имеющей в различных своих зонах состояния, отличные
от начального.
На этом основании для волны разрежения получаем:
1) скорость перемещения по трубопроводу первой фазы волны (первой по времени
возникновения) равна скорости звука в спокойной части среды;
2) последующие фазы перемещаются с последовательно уменьшающимися скоро-
стями (ввиду уменьшения температуры и встречного направления движения воздуха, вы-
званных действием предыдущих фаз).
Если скорость движения поршня в некоторый момент достигает своего максимума
и далее начинает уменьшаться, то скорость перемещения волны в тот же момент про-
цесса получается минимальной, а затем возрастает.
Если рассматривается выхлопная волна, образующаяся под действием толкающего
движения поршня, то в момент достижения максимальной скорости поршня скорость
перемещения волны максимальна.
Следствием различия скоростей перемещения отдельных фаз волны является под-
тверждаемое опытами искажение ее формы, последовательно проявляющееся по мере
продвижения волны по трубопроводу (см., например, показанные на фиг. 2 волны давле-
ния /; //; III).
Изложенное выше относилось к случаю первоначально спокойного состояния воздуха
в трубопроводе.
Рассматривая распространение волн во всасывающем трубопроводе работающего
двигателя, следует считаться с тем, что воздух в трубопроводе находится в движении,
вызванном затухающими колебаниями от волн предшествовавших циклов. Следовательно,
волна, идущая от поршня, проходит в этом случае участки трубопровода, в которых воз-
дух уже находится в возмущенном состоянии. Направление движения воздуха в этих
участках может как совпадать, так и быть противоположным направлению распростране-
ния волны, а плотность и температура—отличными от плотности и температуры окружаю-
щего воздуха;
При совпадении направлений распространения волны и движения воздуха скорость
перемещения волны по трубопроводу увеличивается, в противном случае получается
обратное. На скорость прохождения волны влияет также различие температур воздуха
в отдельных сечениях трубопровода, обусловленное процессом изменения давления.
Таким образом, в зависимости от мгновенного состояния воздуха и от взаимного
сочетания направлений движения воздуха и волны на отдельных участках трубопровода
скорость перемещения каждой фазы волны при ее перемещении по трубопроводу все
время изменяется. Это обстоятельство в значительной мере затрудняет расчет переме-
щения фаз волны по трубопроводу. Для облегчения расчета приходится в схеме рас-
сматриваемого явления принимать некоторые упрощения.
Предположим с этой целью, во-первых, что все фазы волны, независимо от знака
и величины несомых ими приращений давления, распространяются в среде, заполняющей
трубопровод, со скоростью, равной скорости звука в условиях среднего состояния воз-
духа в трубопроводе. В нашем случае (всасывающий трубопровод одноцилиндрового дви-
гателя, работающего без наддува) за такое состояние принимаем состояние воздуха
в окружающей атмосфере.
Во-вторых, допустим, что скорость перемещения фаз волны по трубопроводу равна
скорости ее распространения в среде и не изменяется при прохождении участков, отлич-
ных друг от друга по состоянию, скорости и направлению движения среды в них.
Как следствие второго допущения, получаем возможность принять, что фазы пере
мешающихся по трубопроводу волн пронизывают друг друга при встречах, не изменяя
ни скорости распространения, ни своей формы.
Необходимость второго предположения становится неизбежной, если учесть, что
волна при перемещении по трубопроводу проходит участки, направления движения среды
в которых могут быть взаимно-обратными, что значительно затрудняет проведение точ-
3
него расчета. То же обстоятельство одновременно обусловливает и возможность приня-
тия данного допущения. Последнее становится ясным, если учесть, что в этих условиях
влияние переменности направления движения среды на среднюю для всего трубопровода
скорость перемещения волны до известной степени аннулируется1.
В условиях принятых предположений считаем, что приращения давления dp, возни-
кающие у лобовой поверхности поршня, распространяются по трубопроводу со скоростью
а0 м сек, равной скорости звука в окружающей среде. Масса воздуха, охваченная за
единицу времени (1 сек) образовавшейся таким образом волной:
М = 10 ° а°
g
где т0 — удельный вес воздуха в трубопроводе (соответственно давлению р„ и темпера-
тур6 Л. воздуха в окружающей среде),
а — площадь поперечного сечения трубопровода в свету,
g— земное ускорение.
На основании теоремы о количестве движения — приращение количества движения
равно сумме импульсов сил за данное время,—секундное изменение количества движе-
ния (за 1 сек) можно написать для разбираемого случая в виде:
MdW= ^2- dW = odp,
g
откуда
dp = -^-dW.
g
При малых изменениях давления и скорости, допускающих возможность пренебре-
жения изменением плотности воздуха, последнее уравнение после интегрирования дает:
о
где U70 — начальная скорость движения воздуха в трубопроводе.
Согласно первоначальному предположению, воздух до начала движения поршня
находился в покое, поэтому П7о = О. На этом основании, обозначая разность давле-
ний р — р0 через Др и учитывая знаком минус характер изменения давления (разреже-
ние), находим:
g
Предположим, что имеется прямой длиною I м трубопровод постоянного сечения,
присоединенный с одной стороны к цилиндру двигателя, а с другой стороны сообщаю-
щийся с атмосферой (фиг. 3). Пусть впускной клапан открывается в начале и закрывается
в конце хода всасывания мгновенно.
Примем, что поршень К двигателя движется при синусоидальном законе изменения
скорости (что справедливо при достаточно большой длине шатуна).
Допустим также, что скорость воздуха в трубопроводе у клапана в период впуска
следует скорости поршня в пропорции отношения площадей лобовой поверхности поршня
Дп
и поперечного сечения трубопровода в свету " . В остальной части цикла работы
гтр
двигателя скорость воздуха в трубопроводе у клапана равна нулю.
На основании принятых предположений принудительное изменение давления воздуха
в трубопроводе у клапана в период впуска определится выражением:
= —sin (<р),	(1)
S	гтр
1 При значительных изменениях давления возможность второго допущения требует особого рассмотрения.
4
.	«/г	.	л
Где о» = —----угловая скорость вращения коленчатого вала при п обмин,
г—радиус кривошипа,
— угол поворота кривошипа, отмечаемый от ВМТ.
Для остальной части периода цикла Др = 0.
Принятая характеристика принудительного изменения давления у впускнэго клапана
под действием основной волны разрежения при всасывании имеет в этих условиях для
рассматриваемого одноцилиндрового четырехтакт-
ного двигателя вид, показанный на фиг. 4.
Уравнение основной волны всасывания мож-
но также вывести с учетом упругих свойств воз-
духа в цилиндре.
Как показывает фиг. 5, уточнение в форме
волны, вносимое этим вариантом расчета, весьма
невелико. Также невелико уточнение формы вол-
Фиг. 4. Изменение давления в трубопроводе у впускного
клапана под действием основной волны всасывания
Угол поворотаТгривошипа^'
а — по синусоиде, б— по уточненной кине-
матике, в — по уточненной кинематике
с учетом сжимаемости воздуха
Фиг. 5. Влияние условий расчета на вид
основной волны всасывания
практически возможно расчет основной
ны при учете конечной длины шатуна. Поэтому
волны всасывания в условиях принятых допущений производить при использовании при-
веденного выше уравнения без учета как конечной длины шатуна, так и влияния упру-
гости воздуха в цилиндре.
После того, как волна дойдет до открытого конца трубопровода, она претерпит там
отражение и затем вернется к месту своего возникновения.
Обозначая скорость распространения волны вдоль трубопровода через м)сек,
получаем, что время перемещения волны от места образования (закрытый конец трубо-
провода) к открытому концу трубопровода равно:
Д/1 = — ,
«о
где Z — длина трубопровода в м.
Время обратного движения волны — от открытого конца трубопровода к закрытому —
соответственно равно:
Д/, = ^- .
«о
Общее время двукратного перемещения волны вдоль трубопровода:
Д/= Д/, 4- Д/2 = 2— .
«о
За время Д/ сек фаза основной волны у закрытого трубопровода получит измене
ние, соответствующее повороту кривошипа на угол Дф, равный в радианах:
о I
ай ’
Д« — сиД/— w2---—
‘	а0 30
или в градусах:
til
9/
Дф = 6/z Д / = 6/г-= 12
«о
Если процесс изменения давления у закрытого
а0
_________ г___г конца трубопровода под действием
основной волны начался с момента 0 — О (см. фиг. 6), то до момента 1 — 1, определяю-
5
щего возвращение отраженной волны от открытого конца трубопровода к закрытому, ой
будет определяться лишь законом основной волны. После этого добавляется воздей-
ствие отраженной от открытого конца трубопровода волны совместно с воздействием ее
отражения от закрытого конца.
Таким образом, начиная с момента 1 — 1, у закрытого конца трубопровода будут
действовать; 1) основная волна, 2) волна, отраженная от открытого конца трубопровода
и 3) отражение последней от закрытого конца трубопровода.
Согласно этому в момент цикла, соответствующий на диаграмме фиг. 6 точке
линии A sin (ср)1, давление у закрытого конца трубопровода будет определяться суммой:
ордината точки ах плюс взятая с обратным знаком удвоенная ордината точки а.
Л—амплитуда волнового возмущения,
п — число оборотов коленчатого вала за минуту
Фиг. 6. Схема суммирования волн у закрытого конца трубопровода
Волна, вернувшаяся после отражения у открытого конца трубопровода к закры-
тому и претерпевшая здесь отражение, перемещается снова к его открытому концу.
У открытого конца она вновь отражается и к моменту 2 — 2 опять возвращается обратно
к цилиндру. Процесс вторичного блуждания волны по трубопроводу в оба его конца
тоже займет время Д/ = 2 — сек.
ао
Приведенное рассуждение можно продолжить по указанной схеме далее, распро-
страняя его на все последующие этапы отражения волны.
При перемещениях волны вдоль трубопровода и отражениях у обоих его концов
происходит последовательное уменьшение ее ординат, связанное с затратой энергии
на преодоление сил внешнего (о стенки трубопровода) и внутреннего трений и с рассеи-
ванием при отражениях.
Отмечающееся благодаря указанным обстоятельствам уменьшение ординат волны
характеризует ее постепенное затухание.
В диссертации автора [5] предполагалось, что рассеивание энергии, а стало быть,
и уменьшение амплитуды волны при отражении у открытого конца трубопровода значи-
тельно больше, чем у закрытого.
На этом основании, в отличие от довольно распространенного взгляда ([12]; [14]; [17]),
было принято, что отражение волн давления у открытого конца трубопровода характе-
ризуется не только переменой знака ординат, но и уменьшением их абсолютной величи-
ны. При этом отражение волны у закрытого конца считалось (с целью упрощения схемы
расчета) происходящим с сохранением как знака, так и величин ординат.
Следует отметить, что в работах, более поздних в сравнении с работой [5], умень-
шение ординат волны при отражении учитывается для обоих концов трубопровода.
Так, в работе Муклова [15] принято, что уменьшение ординат волны при отражении
у открытого конца трубопровода пропорционально коэфициенту k0 = 0,81 -г- 0,89 в зави-
симости от длины трубопровода. То же самое для закрытого конца трубопровода опре-
деляется соответственно коэфициентом kc — 0,96-:-0,97. При этом уменьшение ординат
волны при двукратном перемещении вдоль трубопровода (от закрытого конца к откры-
1 Характеризующей изменение давления у закрытого конца трубопровода под действием основной
ВОЛНЫ;
6
тому и обратно) оценивается величиной е~2*1, где х— коэфициент затухания, определяе-
мый выражением:
х — у
art
здесь 7 = 0,62 — постоянный коэфициент,
г—радиус окружности поперечного сечения трубопровода в свету,
т — период возбуждающего импульса.
Использование указанных коэфициентов потребовало, однако, от Муклова введения
еще одного поправочного коэфициента
х = 0,99----
(где D — диаметр трубопровода в свету в дм) для дополнительного уменьшения ординат
волны, вводимого при первом отражении основной волны у открытого конца трубопровода.
Без введения этой поправки результаты расчетов колебаний давления в трубопро-
воде не сходились с действительными индикаторными диаграммами.
Теоретическое обоснование введения поправочного коэфициента и сущность учиты-
ваемого им явления остались для Муклова, как он отмечает, неясными.
Причиной указанной неувязки следует считать использование коэфициентов: kn, kc
и х, значения которых получены в условиях, отличных от условий колебаний давления
в выхлопном трубопроводе двигателя.
Не входя в границах данной работы в большую подробность рассмотрения данного
вопроса, условимся в дальнейшем характеризовать уменьшение амплитуды колебаний
давления во всасывающем трубопроводе у его закрытого конца экспоненциальным зако-
ном: е~ш.
Величину коэфициента затухания k устанавливаем в соответствии с опытом, путем
обработки индикаторных диаграмм свободных затухающих колебаний давления в трубо-
проводе.
Определенный таким образом коэфициент затухания рассматривается как параметр,
учитывающий: 1) уменьшение ординат волны вследствие рассеивания энергии в резуль-
тате явлений трения при перемещении волны вдоль трубопровода в прямом и обратном
ее движениях и 2) уменьшение ординат волны при отражении у открытого конца трубо-
провода.
Проведенный в этом направлении в работе [5] анализ экспериментальных данных
дал вполне логически объяснимые итоги.
В частности, характеристика отражения волны у открытого конца трубопровода
оказалась зависимой от числа Рейнольдса, вычисленного по вызываемой волной скорости
движения воздуха.
На основании принятого можно написать, что ординаты волны, дошедшей после
отражения у открытого конца трубопровода обратно до его закрытого конца, будут
уменьшены в отношении где k—экспериментальный коэфициент затухания, численно
удовлетворяющий реальной характеристике затухания, выявленной индикаторной диа-
граммой; сек—время двукратного блуждания волны по трубопроводу.
Закон убывания ординат волны при затухании для последующих интервалов переме-
щения волны по трубопроводу примем определяемым одним и тем же коэфициентом
затухания k для всех ее отражений.
Таким образом, будем считать ординаты действующих у закрытого конца трубопро-
водов отражений волны уменьшенными, по сравнению с соответствующими ординатами
основной волны,
е~ш— дЛЯ
e-2kt>t — дл}1
e-3kM — дЛ5]
и т. д.
Данное предположение принимается для упрощения учета затухания. Более подроб-
ный анализ явления показывает (см. [5]), что каждая отраженная волна, определяя свой-
ственную ей скорость движения воздуха в волне, должна иметь свою особую характе-
ристику затухания. Большей скорости движения соответствует более интенсивное зату-
хание.
Аналогичные характеристики развития процесса и метод его анализа могут быть
установлены и для колебаний давления в выхлопном трубопроводе. Различие сводится
лишь к частным особенностям протекания явлений (величины давления и температуры
газов и скорости движения волн, закономерность возбуждения начального импульса).
в отношении:
ординат волны
ординат волны
ординат волны
первого отражения,
второго отражения,
третьего отражения
7
ВЫВОД РАСЧЕТНОГО УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ДАВЛЕНИЯ
Применяя приведенную выше схему рассмотрения процесса колебания давления
во всасывающем трубопроводе к выводу расчетного уравнения, будем считать, что в рас-
сматриваемом сечении трубопровода в каждый момент действуют основная для данного
цикла волна разрежения и все затухающие отражения как данной основной волны, так
и основных волн предшествовавших циклов.
Использование такой методики расчета значительно упрощается при задании функ-
ции, возбуждающей волну, в виде уравнения, справедливого для всего периода цикла.
Разлагая с этой целью указанную на фиг. 4 функцию основной волны разрежения
в ряд Фурье с периодом 4~ (четырехтактный цикл) имеем:
«о 4
g Frp 30
0,159-ф0,3sin ( у +	0,25 sin И)+- • •
(2)
где 0,159; 0,3; 0,25 и т. д. —постоянные коэфициенты, определяющие амплитуды гармоник
ряда Фурье.
Таким образом, основную волну разрежения, действующую только в интервале вса-
сывания, можно рассматривать как сумму частных основных волн:
Дп —____Jjl — го 159
Ро g 30 Ги,10У’
д» - __ а<'^> A ™ r0 3 sin 4- —')
g FTP3O 0,3	(^2	4 J’
Д/>2 = --^к	0,25 sin ^t)
и т. д., определяемых гармониками ряда Фурье от исходной основной волны разрежения,
данных в границах всего рассматриваемого цикла.
При рассмотрении колебания давления в трубопроводе под действием т-й гармо-
ники принятая выше схема представления процесса дает:
дРт = дРт„ + 2Дрст, + 2Дрт, + • • • + 2Ьрт.,	(4)
где Арт,—изменение давления, вызываемое основной волной от т-й гармоники ряда (2),
действующей беспрерывно во всем интервале данного цикла,
Арт,—изменение давления, вызываемое первым отражением от открытого конца трубо-
провода фазы основной волны т-й гармоники, предшествующей рассматриваемой
фазе основной волны на угол Д<рш,
Ьрт— то же для второго отражения фазы волны т-й гармоники, предшествующей рас-
сматриваемой фазе на угол 2Дфш,
Ьрт— то же для /-го отражения и т. д.
Коэфициент 2 у изменений давления Ьртп &рт, и т. д. учитывает принятое удвоение
величин ординат при отражении волн у закрытого конца трубопровода (см. выше).
Раскрывая значения величин, входящих в уравнение (4), и учитывая наложенную
закономерность затухания и изменение знака ординат волны при отражении у открытого
конца трубопровода, напишем:
а) для основной волны т-й гармоники:
а	Fп	я . /	। а	ФПо F п	я • (т -п „ . , \
Арто =------- 7r-“^msin(Tm + o„j=-----4-	sin -у	,
S г тр	S	' тр	у Z OU	J
где
гармоники ряда (2) (Ло = 0,159; Д1 = 0,3,
гармоники,
Ат — коэфициент для т-й
Л2 = 0,25 и т. д.),
t — текущая фаза для т-й
Л ОМ
HI \
1 —2~) ~ начальньн< сдвиг фазы (или начальная фаза) т-й гармоники,
t — время в сек-,
б) для первого отражения т-й гармоники:
°т 2
Дрт. = е-^1-^- <Ы-Ат sin (cpm + — Д<рт);
6	2 Тр
8
Ь) для второго отражения /w-й гармоники:
Дрт, = — е-‘^	шгАт sin (ф,„ + sm — 2Д?т);
S 1 тр
г) для третьего отражения /az-й гармоники:
^рт, = ~г *гАт sin (?m + 8,„ — ЗДфст)
S ‘ тр
и т. д.
,,	. ~п I	„ ~п I
Углы: Дгрт = т—--------для первого отражения; 2Д<р — 2т ----------для второго отра-
oU (2q	ok) а0
жеиия и т. д.,—определяют сдвиги фаз, связанные с длительностью периода блуждания
волны по трубопроводу от его закрытого конца к открытому и обратно.
В самом деле, Др,„, является текущей ординатой волны, дошедшей в данный момент
времени до рассматриваемого сечения трубопровода после первого рефлектирования у от-
крытого его конца. Следовательно, Ьрт, представляет собой не что иное, как ординату
основной волны (т й гармоники), фаза которой предшествует текущей фазе основной
волны (той же гармоники), на угол, равный
. т гл 2/ izti
Af« = T зо-«Г = "'зо
I
ав ’
На основании приведенного можно, распространяя уравнение (4) на все (т = сю)
гармоники ряда (2), написать для рассматриваемого случая, при учете у-го отражения
основной волны:
 ао7о
Д + У, Ат sin + ®m)
m = l
-|-2e-2W/
— 2б>-*д/
^msin(Tm4-8m -A?m) -ф
A> + £Лт81п(?т4-8от-2Д?т)
m=l
oo
+ У An Sin 4~ % —J A
m=l
Для упрощения написания введем обозначения:
s = -^L	Q = kM‘
g ’
тогда
cz?
Ai+	+
m 1
oo
Ло+ У. Am Sin (?m + ^т-Дфт)
гл=1
ОС
Aj + У An sin (Tm + —2Дфт)
т=1
+ (— 1)72е-Л>
00
А+ У Ал Sin (?т А
т— 1
Здесь /—число, определяющее порядковый номер последнего учитываемого отражения
ввлны.
Просуммируем отдельно постоянные и переменные члены уравнения (6);
Д/> = — а>г [Д, - 2е-<? А0 4- 2^?'2<? До - . , . 4- (--1)' 2е-^ Д] Д
GO	ОС
У sin %) - 2 у е-^Ат sin (?m Д -
т~1	т=1
Д?т) +
4-2 У е Ат sin 4- %-2 ATm)-. . . + (— 1)7’2 У е -JQ Ат sin ('fm Д — }ДТт)
/И—1	гп = 1
2
9
Или
L^p == ---(OS/?1
о [1 - 2е-«+ 2е~2<>	I)7' 2е~^ ] + £ Ат [sin (?m + §m) -
т~1
— 2e-(2sin(®m4-8m-A«m) + . . .-И- 1)'2б>-^ sinуД<М| .	(6')
При распространении указанного суммирования на бесконечно большое число отра-
жений (у = оо) выражение, стоящее в первых квадратных скобках уравнения, дает:
1__g-Q
1 -2г-«4-2е-2« —. . . +( — 1)'2е № = ^-р|зр.	(7)
Переходя к определению величины выражения, записанного в уравнении (6') во вто-
рых квадратных скобках, обозначим для сокращения письма:
Тогда
sin (?m + —y’A?m) = sin у’Д?,„) = Sin cos (уД«,„) - cos («/) sin (уд?т).
Производя соответствующие замены в выражении, стоящем во вторых квадратных
скобках уравнения (6'), получаем:
sin (<f>m + om) — 2е~<?sin	— Д ®m) + ..• + (— l)y 2e-№ sin (?,„ 4- Zm	=
= sin ('fQ — 2e~Q [sinC4)cos(A<pm)-~cos(Tjsin(A®m)] 4 2<?-2<4sin(«/)cos(2A®m)-
cos(4„)sin(2A-?m)[ —. . .+(—l)'2e-/<? [sin(<pj cos(y’A?m) — cos sin (yATm)[.
Перегруппировав члены в правой части полученного уравнения, найдем:
Sin (фт 4- 3m) — 2e-<?Sin 4- 8m — Д?т)+  • • +
+ (—I)7 2е~^ (sin 'fm 4	—y‘A®m) = sin (<pj[l — 2e Qcos(A<f>m)4-
+ 2f-2<?cos(2A'sm)— . . . 4-(—l)72^-yi3cos(yA®m)] 4-cos (f',) [2f?_<?sin (A?m)—
—2f>^29 sin (2A«m) 4-... — (—I)7 2e~X> sin (у’Д?т)].	(8)
Преобразуя выражения сумм, стоящих в квадратных скобках последнего уравнения,
заметим, что
cos (Д?ст) = ~ (е‘^ 4- еf4^);
sin (Д?т) = ~
Следовательно,
1—2e^cos(Д«т) j-2e~2^cos(2A'fm) —. . . [ (— l)72e--,<?cos(y'A<f>m) =
р1^т I р-'^т	p2i^m\p-^m	.	g^m ! р~№т
_ 1 -2e-Q ----±^~-------4 2е-ч ---------------... + (-1 )7 2e~fi ---------------
th
| ( | у	4- C
Введя для упрощения.
-Sm — 7 A ' Qj
Qt
10	'	~~
перепишем предыдущее уравнение в виде:
1 — 2g-<?cos (Д'рт) Ц- 2g~2c cos (2Дф,„) — . .	1 )7 2g' 7<? cos (/Д ?,„)
= 1 — eSm — eZm 4- е*т 4- e1Zm — . . . -J- (— 1 у (pis™ 4- e'Zm) =
= [I— eSm4-/’m —. . . 4-(— l)7g7'm] 4[1 —ег’п y-e2Zm— . . . 4~(— I)7 e'*m] - 1,	(9)
а так как:
_	.	_pism __1
1 — e ,n 4- e m —. , . 4- (—1 у eJSm =-----
—g'm 1
и, соответственно:
1 _eZm 4- eiz™ —. . 4- (— 1 )7 е'г,п —-----
то, произведя соответствующую замену в уравнении (9), находим:
1 — 2e-<?cos(Accm) 4-26’-2(?cos(2A-pm) — ... 4- ( -l)7 2g~7G cos (/Дтт)= —-g -~1~4-
—ет — 1
-—р7^ — 1	р7'т+гт	4 sm _j_ p)sm pizm gsm+zm j J
—eZm— 1	psm+zm psm _|_ pzm I |
что, согласно ранее принятым обозначениям, может быть написано в виде:
1—26’-<?cos (Л ет) 4-2e-2<?cos (2Д«т) —. . . 4-( —l)/2g~7<?cos(/A<cm) =
ei‘^m-/Q-i^ln-Q I e-ji^m-jQ+i^m-Q f	e	_ e-4Q J
~ e-2Q J.	1
__g-6'+1>g2 cos [(/—1) -f-e~jV cos (/Дфп) — g-2v 4~ 1
e~‘1Q 4- 2g~^cos (Д <pm) 4’ 1
Полученное уравнение принимает в пределе при/=освид:
1 —2е ^cos (Д?т) 4~ 2g-2<7 cos (2Д?т)—.. . 4~(—I)7 2g~7<? cos (уЛ'рот) =
1—g-2<?
e~2<?4”2g~Qcos (A'fm) 4~ 1 '
Аналогичным образом преобразовывается выражение, стоящее во второй квадратной
скобке уравнения (8).
Действительно,
2e_ysin (Д®,„) — 2c-2Qsin (2Дфш)4~ • • •—(—I)7 2g-7Q sin (/Д«т) =
р^т_р-^Чт	pi'^fm_ р-№т
= 2е~ «	--------2g^	----4-	1У 2^*	-------=
= Д-	e-'^m-Q — g2i‘i,fm-2Q_j_ e-^m-~4Q _j_ . .	(—}y ^ej^<fm-jQ —	X')],
что, при использовании ранее принятых обозначений, можно написать в виде:
2g~Gsin (Д®от) — 2g*2^ sin (2Дсрт) -4 . . . — (- l)72g~7<? sin (уДфт) =
= 4-{[1— gZm4-g2Zm —. .. 4-(—l)'g7>m]—41 --eSm-у e2s,n —. . . +(— l)' g7i",]| =
] gJzm~l~sm____gism~^zm _j_. g^tn_g74»'_gz"> | (Ут
1	eZm^'m - '--У'п 4- gZ/n 4- 1	’
откуда
2g Qsin (Д?т) — 2e~'iQsin (2 A?m) 4- .   —(—l)7 2g-7*3sin (]Дгрт) =
1 p-ii^rn -jQ+itym -F____gi’^m -jQ -	- Ч_уе-/‘^т -К _ei^4m~iQ
i	p—2Q _|_ gi^fm — Q _|1 p-'^m — Q.4 1
2g- (7 + И Q Sin [ (j — 1) Д?т] 4-2g-7<3 sin (у'Дфт) — 2e~Q sin (Д^т)
g-2<? 4- 2 g-9 cos (Д Тш) 4- 1	
11
Полученное выражение при j — оо переходит в
2 e Q sin (Д?т)— 2e~2Q sin (2 Acpm)-]—. . . —(— 1/ 2e~jQ sin (/Д?т) =
2 e 'Qsin	,
e-2Q 2 g-Q cos (A«m) 1
На основании уравнений (7), (10) и (11) уравнение (6') можно представить в виде:
= _ шЛ А о [1 _ 2	2	1)/ 2 е	] + £ Ат [sin (?,„ + 8m) -
I	m~\
— 2 £>-^sin (фи 4- 8,„ — A?m) 4- . . . 4-(— 1)/ 2e~iQ sin (<t>m4-8,n —	] | =
1 — e 2Qrn	. ,	,
e~^ 4- 2 e~Q cos (A ?OT) 4~ 1 Sin + 'J,n>
2e~Q sin(A«m)	,	]
4- 2 r-^cos (Д TJ 4- 1 C0S (Tm + °m) J •
(12)
Преобразуя выражение, написанное в квадратных скобках уравнения (12), получаем:
1—е-2<?	( ,	2e_<?sin (Дф,„)	,	, л .
2 е- <? cos (Д?,„) + 1 Sin ''т)	e~w 4- 2 &~Q cos (Дф,„) 4- 1 cos
. / оl2g~Qsin (Aym)]3
|/ ' [f-2<? Ц2С ВСО8(Дфт)4-1]3
Sin (?т + Л + '?т)>
где
,	.	2 e-^sin (Дф )	S1H (Дфт)
'Ь,„ = arctg-----Ч,-- = arctg —Г7тк~
‘т ь 1 — e~2(J	sh (Q)
Так как
/ (1_ P-2Q)2+ [2g^sin (Дфт)]3
[/	[p~2Q 4- 2 f-^cos (Дфт) 4-1]2
2 e~2(J 4- "4Q 4~ 4 e~'2Q sin3 (Д ®m)
[1 4-^-2Q4“2r_Qcos(A®m)]3
/1 — 2 e~2® 4~	+ 4e-2^—4 e~2Q cos3 (Д®т)
~~ у	[1 4-4-2f_<?cos (Д'рт)]2
1 / (l+g-29)a-[2e-gcos(A?ff,)]3
у [1 4~	2 f-^cos (Дфт)]‘
। / 1 + e~‘iQ — 2 £-ycos (Дфт)
|/ 1 4~ e~‘2Q 4~ 2 e~Q cos (д?т1
4-cos (Дсрт)
у (^+^’e)4-cos (Д?„,)
= 1 / ch(Q)-cos(A?m)
У ch(Q)4-cos(A®,„) ’
то уравнение (6) может быть окончательно написано в следующем виде:
Др — — юг
1 _p-Q	°°	f
T4- FQ А т I7
1 9
ch (Q) - cos (Дфт)
ch (Q) 4- cos (Д?,„)
Sin (<pm 4“ 4“
(13)
i' равнению (13) можно придать несколько иную форму. Вычитая и прибавляя с этой
целью к сумме, стоящей в квадратных скобках уравнения (13), величину
СО
L) == А0 4- 2 Ат sin (<pm 4“ М>
m=l
12
получаем:
00
Ло 4-£MCT sin(®m4-6m)
т = 1
2е~9
1 -фе Q
Ло +
Др — — сиг
______2п-Р ______
ch(Q)-f~cos(A®m)
S14 (?m Ч~ °m Д’ G/n)
(14)
где
при
— От —
Om = arctg
sin (Ac,,,) _
e^+cos(A'pm)
-|- сиг
Очевидно, что первый член полученного уравнения
Др' = — сиг
.ОС
А у -j- У , Ат sin (<р,и	8,„)
01=1
представляет собой основную волну разрежения, разложенную в ряд Фурье, а второй
член
Ар" = сиг
2e~Q______
ch (Q) 4-cos(Apm)
sin(cpm4-8„,4-6m)
выражает результат суммирования бесконечно большого числа ее затухающих отра-
жений.
Уравнение (13) и его видоизменение, представленное уравнением (14), позволяют
определять расчетную характеристику колебаний давления во всасывающем трубопроводе
одноцилиндрового двигателя за весь период его цикла, не прибегая для этого к методу
расчета „по точкам".
Уравнения (13) и (14) учитывают затухания колебаний. Структура уравнения (13)
аналогична структуре уравнения, получающегося при использовании метода стоячих волн.
Приведенный метод получения уравнения может быть легко применен и для иных,
отличных от рассмотренного случая, вариантов конфигураций трубопроводов, при сохра-
нении большей простоты обоснования пограничных условий в сравнении с методом,
использованным Фойселем [12].
РАСЧЕТНАЯ ДИАГРАММА КОЛЕБАНИЙ ДАВЛЕНИЯ
Диаграмма фиг. 7 представляет вычисленные по уравнению (13) при т =9 колебания дав-
ления во всасывающем трубопроводе одноцилиндрового четырехтактного двигателя Сименс.
Л.р[ммрт ст]
Фиг. 7. Колебания давления во всасывающем трубопроводе
одноцилиндрового двигателя Сименс по расчетам и по опыту
(и = 750 об/мин-, 1= 1,64 м)
13
Для выявления степени приближения расчетных результатов к действительности на
той же диаграмме показана индикаторная диаграмма колебаний давления, полученная
экспериментально. Необходимая для расчетов по уравнению (13) величина коэфициента
затухания k, определяющая значение
Q = k\t = kc2 — ,
«о
получена путем обработки оригинала экспериментальной индикаторной диаграммы. Зна-
чение коэфициента k по этой диаграмме оказалось равным 7,2.
На диаграмме фиг. 7, помимо того, представлены результаты расчета колебаний дав-
ления с помощью приведенного в работе Фойселя [12] уравнения:
Др = -0,3-^-отг^-^ tg
/ Тр
— 0,25	шг— р„ tg (—cos («^)ф- •  •
4 у Дтр а0 ь \а0 ) v 1
при учете четырех гармоник, как приведено в работе (12).
Здесь х — показатель адиабаты, а остальные величины те же, что и выше.
Рассмотрение кривых фиг. 7 указывает, что уравнение (13) довольно точно опреде-
ляет характеристику процесса колебаний давления в трубопроводе.
Наблюдающееся в интервале хода всасывания расхождение между кривыми, полу-
ченными расчетом по уравнению (13) и опытной, имеет в условиях работы двигателя,
Фиг. 8. Изменения давления в цилиндре
двигателя Сименс за ход всасывания
с которым производился эксперимент, следую-
щее объяснение.
При выводе уравнения (13) предпола-
галось, что во всасывающем трубопроводе
в начальный момент открытия впускного кла-
пана возникает разрежение, вызываемое дви-
жением поршня к НМТ. В действительно-
сти, в силу особенности установленной при
опытах регулировки фаз газораспределения
экспериментального двигателя (закрытие вы-
хлопного клапана до ВМТ), во всасывающий
трубопровод в начале всасывающего хода
проникает волна избыточного давления, что
и вызывает отличие в формах указанных
кривых.
Подтверждение наличия избыточного
давления в цилиндре двигателя в начале вса-
сывающего хода можно видеть на фиг. 8.
При отсутствии  избыточного давления
в цилиндре в начале всасывающего- хода
опытная диаграмма колебаний давления в
трубопроводе в интервале всасывания совпа-
дает с соответствующей частью расчетной
кривой (см. фиг. 9 и 10).
Экспериментальные кривые колебаний
давления, представленные на фиг. 9 и 10,
были получены при опытах с четырехтактным
дизелем Даймлер-Бенц. Двигатель имел четы-
ре цилиндра, из которых во время данных
опытов первая пара была объединена одним
(общим только для них) всасывающим трубопроводом. При экспериментах двигатель про-
кручивался от электромотора.
В серии рассматриваемых опытов с двигателем Даймлер-Бенц эксперименты прово-
дились в двух вариантах:
а)	при выключении одного из цилиндров данной пары (путем выключения из дей-
ствия его всасывающего клапана) (см. фиг. 9);
б)	при одновременном действии обоих цилиндров пары (см. фиг. 10).
Первый вариант давал условия всасывания, идентичные одноцилиндровому двша-
телю.
Расчетное уравнение колебаний давления для второго варианта опытов имеет вид
уравнения (13), отличаясь от него лишь значениями параметров ряда Фурье от основной
волны разрежения, специально определяемыми для данного случая. За недостатком места
вывод и конкретный вид этого уравнения здесь не приводятся.
14
Рассматривая кривые, показанные на фиг. 9 и 10, отмечаем в обоих случаях доста-
точно удовлетворительное совпадение результатов расчетов с индикаторными диаграм-
мами, снятыми при экспериментах.
Фиг. 9. Диаграммы колебаний давления во всасывающем трубопроводе
Фиг. 10. Диаграммы колебаний давления во всасывающем трубопроводе
автомобильного дизеля Даймлер-Бенц при общем для двух цилиндров
всасывающем трубопроводе
Полученный результат позволяет считать уравнение (13) достаточно близко харак-
теризующим явление колебаний давления во всасывающем трубопроводе двигателя.
ВЫВОДЫ
Выполненное на базе теории уединенных волн рассмотрение процесса колебаний
давления в прямом, постоянного сечения и открытом с одной стороны всасывающем
трубопроводе двигателя, как результата суммирования основной волны разрежения, воз-
никающей в период всасывающего хода, с бесконечно большим числом ее последова-
тельно затухающих отражений, приводит при использовании разложения основной волны
всасывания в ряд Фурье к уравнению, определяющему колебания давления во всасы-
вающем трубопроводе перед впускным клапаном за весь период цикла работы двигателя.
Сравнение кривой колебания давления, определенной по полученному уравнению
для одноцилиндрового двигателя, с индикаторной диаграммой, снятой со всасывающего
трубопровода двигателя при опытах, указывает на их взаимную удовлетворительную
сходимость. Сходимость сохранялась и в случае всасывающего трубопровода, общего
для двух цилиндров двигателя.
Полученные результаты показывают возможность применения изложенной мето-
дики к выводу расчетного уравнения колебаний давления в трубопроводах двигателя.
15
ЛИТЕРАТУРА
1.	Гухман А. А. К теории резонанса в трубопроводах поршневых двигате-
лей и компрессоров. Дизелестроение №№ 4-5, 1932 г.
2.	Литвинов А. Т. и Ж и в к о в и ч Д. А. Повышение мощности двигателя
дизеля в связи с явлением резонанса при всасывании. Труды ЛИИ Ж.-Д. Т. 1933 г.
3.	Боднер. Повышение мощности двигателей внутреннего сгорания. Дизеле-
строение №№ 9, 10, 11, 1939 г.
4.	Пугачев Н. С. Движение воздуха во всасывающей трубе одноцплиндро
вого четырехтактного двшателя. Труды Краснознаменной ордена Ленина военно-воз-
душной инженерной академии имени Н. Е. Жуковского, 1947 г.
5.	Хайлов М. А. Исследование колебаний давления во всасывающем трубо
проводе в связи с . Диссертация, 1936 г.
6.	X а й л о в М. А. К вопросу об исследовании колебаний во всасывающем
трубопроводе. Дизелестроение №№ 8, 9, 1940 г.
7.	Ж у к о в с к и й Н. Е. Движение волны со скоростью, большей скорости
звука. Полное собрание сочинений под ред. Котельникова, т. IV,#1937 г
8.	Жуковский Н. Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах.
Бюллетени Политехнического общества № 5, 1899 г.
9.	Стечкин Б. С. О скорости распространения взрывной волны. Техника
воздушного флота № 1, 1927 г.
10.	Э й х е и в а л ь д. Акустические волны большой амплитуды. Успехи физиче-
ских наук, т. XIV, вып. 6, 1931 г.
11.	Левин М. А. Исследование процесса всасывания четырехтактного дни
гателя внутреннего сгорания. Техника воздушного флота №№ 4 и 5, 1929 г.
12.	Voissel. Resonanzerscheinungen in den Saugleitungen von Kolbenmaschinen
nnd Gasmotoren. Mitteihingen iiber Forscbungsarbeiten. Heft 106.
Резонансные колебания во всасывающих трубопроводах поршневых машин и
газовых двигателей.
13.	Dennison. Inertia supercharging of engine cylinders. ASME 1933, Novenr
ber 30.
Инерционный наддув цилиндров двигателя.
14.	Morse, Boden, Schecter. Acoustic vibrations. J. Applied Physics, vol. 9,
№ 1, 1938.
Акустические вибрации.
15.	M u c k 1 о w G. F. Exhaust-pipe effects in a single cylinder four—stroke engine.
Proc. Inst, of Meeh. Engrs, vol. 143, № 2, May, 1940.
Явления в выхлопном трубопроводе одноцилиндрового четырехтактного дви-
гателя.
16.	Schweitzer. Improving engine performance by exhaust pipe tuning. Motor
Ship, № 295, 1944.
Увеличение мощности двигателя путем подбора выхлопного трубопровода.
17.	Pise hinge г. Bewegungsvorgange in Gassaulcn insbesondcre belm Auspuff-
iind Spiihlvorgang von Zweitaktmaschinen. Forsch. Ing. Wes. Bd. 6, №№ 5 — 6, 1935.
Процессы движения газовых масс в условиях выхлопа и продувки двухтакт-
ных двигателей.
18.	Lutz. Resonanzschwingungen in den Rohrlcitungcn von Kolbenmaschinen.
Berichte aus dem Laboratorium fur Verbreiiniingskraflmaschiiien der Techn. Hochschule
Stuttgart, Heft 3.
Резонансные колебания в трубопроводах поршневых машин.
19.	R i е ш a n и. Uber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlichcr Schwin-
gungsweite. Ges. Werke 2 Aufl. s. 157, 1892.
О распространении плоских воздушных волн давления конечной амплитуды.
Киевский .Институт ГВФ
1 у i 3 Х-- .	.	'
£ В / jUL-
..........-__
Отв. редактор Т. М. Мелькумов
Объем 2 печ. л., 42 880 зн. в печ. л.
Подписано к печати 9/V11 1948 г.
Учетно-авторских л. 2,1
Г-77156
Тип. изд-ва БНТ
Зак. № 132