С.И.Баскаков
Электродинамика
и распространение
радиоволн
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию в качестве учебного пособия
для студентов радиотехнических специальностей вузов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1992

ББК 32.842-5
Ъ2ТЗ
УДК 621.396
Рецензенты: кафедра теоретических основ радиотехники
Ленинградского электротехнического института им. В. И. Ульянова
(Ленина) (зав. кафедрой — д-р техн. наук, проф. Ю. В. Егоров);
кафедра радиоэлектронных систем и устройств Московского госу-
государственного технического университета им. Н. Э. Баумана (зав.
кафедрой — д-р техн. наук, проф. Б. А. Розанов).
Баскаков С. И.
Б27 Электродинамика и распространение радиоволн:
Учеб. пособие для вузов по спец. «Радиотехника». — М.:
Высш. шк., 1992.— 416 с: ил.
ISBN 5-06-002037-1
Излагаются основы макроскопической электродинамики, теория плоских
электромагнитных волн в различных средах, методы расчетов волноводных
и колебательных систем, а также устройств излучения и приема электро-
электромагнитных волн. Рассмотрены вопросы компьютерного анализа электродина-
электродинамических систем.
Материал книги разбит на два раздела, один из которых содержит
основную часть курса, а второй предназначен для факультативной работы
читателя. Имеется большое число задач с образцами решений.
„ 2302020100D309000000)-054 _ л4 ББК 32.842-5
Б — 156—91
001@1)— 92 6Ф2
ISBN 5-06-002037-1 © С. И. Баскаков, 1992

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ- ОСНОВНОЙ КУРС 9
Глава первая. Основные положения теории электромагнетизма 10
1.1. Электромагнитное поле и его математические модели 10
1.2. Плотность тока проводимости. Дифференциальная форма закона Ома 12
1.3. Закон сохранения заряда 15
1.4. Закон Гаусса / . .....' 16
1.5. Закон неразрывности магнитных силовых линий 17
1.6. Закон полного тока 18
1.7. Ток смещения 20
1.8. Закон электромагнитной индукции 21
1.9. Материальные уравнения электромагнитного поля 23
1.10. Поляризационные и сторонние токи 31
Задачи 32
Глава вторая. Уравнения Максвелла 34
2.1. Сводка уравнений Максвелла 34
2.2. Уравнения Максвелла для гармонических колебаний. Комплексные
амплитуды полей 36
2.3. Комплексная диэлектрическая проницаемость. Угол диэлектрических
потерь 38
2.4. Энергетические соотношения в электромагнитном поле. Вектор Пойн-
тинга 39
2.5. Магнитный ток. Принцип перестановочной двойственности 45
2.6. Лемма Лоренца 47
Задачи 48
Глава третья. Плоские электромагнитные волны 49
3.1. Понятие волнового процесса. Продольные и поперечные волны ... 50
3.2. Плоские волны и их характеристики 51
3.3. Затухание волн в материальных средах. Коэффициент распростране-
распространения 53
3.4. Волновой характер переменного электромагнитного поля. Уравнение
Гельмгольца 55
3.5. Понятие характеристического сопротивления. Плотность потока мощ-
мощности в плоской электромагнитной волне . . . 58
3.6. Некоторые частные случаи 60
3.7. Плоские электромагнитные волны с эллиптической поляризацией . . 64
3.8. Плоские волны, распространяющиеся в произвольном направлении 67
Задачи - • 69
Глава четвертая. Граничные условия для векторов электромагнитного поля 70
4.1. Постановка задачи 71
4.2. Граничные условия для нормальных составляющих векторов магнит-
магнитного поля • • • 72

4 Оглавление
4.3. Граничные условия для нормальных составляющих векторов электри-
электрического поля 73
4.4. Граничные условия для касательных составляющих векторов магнит-
магнитного поля 74
4.5. Граничные условия для касательных составляющих векторов электри-
электрического поля 77
Задачи 79
Глава пятая. Электромагнитные волны в средах с частотной дисперсией 79
5.1. Волны в хорошо проводящей среде 80
5.2. Плазма и ее электродинамические параметры 83
5.3. Распространение электромагнитных волн в бесстолкновительной плаз-
плазме 85
5.4. Учет влияния столкновений в плазме 89
5.5. Распространение импульсов в средах с частотной дисперсией фазо-
фазовой скорости. Понятие групповой скорости 92
5.6. Электромагнитные волны в сверхпроводниках 99
Задачи 105
Глава шестая. Падение плоских электромагнитных волн на границу раз-
раздела двух сред 106
6.1. Нормальное падение плоской электромагнитной волны на идеально
проводящую плоскость 107
6.2. Нормальное падение плоской электромагнитной волны на диэлектри-
диэлектрическое полупространство 108
6.3. Нормальное падение плоской электромагнитной волны на диэлектри-
диэлектрический слой конечной толщины Ш
6.4. К вопросу о создании неотражающих сред 112
6.5. Падение плоской электромагнитной волны на диэлектрическое полу-
полупространство под произвольным углом ПЗ
6.6. Угол Брюстера 119
6.7. Полное внутреннее отражение . 120
6.8. Неоднородные плоские волны 121
6.9. Приближенные граничные условия Леонтовича 124
Задачи 127
Глава седьмая. Основы теории направляемых электромагнитных волн . . 128
7.1. Падение плоской волны с параллельной поляризацией 128
7.2. Падение плоской волны с перпендикулярной поляризацией 131
7.3. Структура электромагнитного поля Е- и Н-волн 133
7.4. Некоторые характеристики электромагнитного поля Е- и Н-волн ... 141
7.5. Связь между продольными и поперечными составляющими векторов
поля направляемых волн 145
Задачи 148
Глава восьмая. Прямоугольный металлический волновод 149
8.1. Постановка задачи 149
8.2. Волны типа Е в прямоугольном волноводе 150
8.3. Критическая длина волны. Дисперсионная характеристика волновода 157
8.4. Волны типа Н в прямоугольном волноводе 160
8.5. Волна типа Ню • 163
8.6. Характеристическое сопротивление волновода 170
8.7. Основы применения прямоугольных волноводов 172
Задачи 181
Глава девятая. Круглый металлический волновод 182
9.1. Постановка задачи 182

Оглавление 5
9.2. Волны типа Е в круглом волноводе 185
9.3. Волны типа Н в круглом волноводе 194
9.4. Основы применения круглых волноводов 198
Задачи 201
Глава десятая. Волноводы с волнами типа Т 201
10.1. Некоторые общие свойства волн типа Т 201
10.2. Коаксиальный волновод 206
10.3. Некоторые применения коаксиальных волноводов 211
10.4. Полосковые волноводы 212
10.5. Отрезок волновода с Т-волной как четырехполюсник 215
Задачи 218
Глава одиннадцатая. Затухание волн в полых металлических волноводах 219
11.1. Источники потерь в волноводах 219
11.2. Коэффициент затухания волн в волноводе 220
11.3. Общее выражение для коэффициента затухания 221
11.4. Анализ некоторых частных случаев 224
Задачи 230
Глава двенадцатая. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы 231
12.1. Эволюция электромагнитных колебательных систем при повышении
рабочей частоты 231
12.2. Прямоугольный объемный резонатор 234
12.3. Общая задача о собственных колебаниях в прямоугольном объемном
резонаторе. Классификация типов колебаний 237
12.4. Круглый объемный резонатор . 243
12.5. Некоторые способы возбуждения и включения объемных резонаторов 246
12.6. Добротность объемных резонаторов 249
12J. Некоторые другие типы объемных резонаторов 253
Задачи 255
Глава тринадцатая. Неоднородные уравнения Максвелла. Элементарные
излучатели . 256
13.1. Постановка задачи 256
13.2. Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля .... 257
13.3. Калибровка потенциалов. Неоднородное уравнение Гельмгольца . . 259
13.4. Решение неоднородного уравнения Гельмгольца. Функция Грина . . 260
13.5. Элементарный электрический излучатель 265
13.6. Структура поля элементарного электрического излучателя 267
13.7. Диаграмма направленности элементарного электрического излучателя 270
13.8. Сопротивление излучения. Коэффициент направленного действия эле-
элементарного излучателя 271
13.9. Элементарный излучатель в режиме приема 274
13.10. Элементарный щелевой излучатель 276
13.11. Элементарный рамочный излучатель 280
Задачи 282
Глава четырнадцатая. Распространение радиоволн в земных условиях . . 283
14.1. Общие характеристики диапазонов радиоволн 283
14.2. Электродинамические свойства земной поверхности и атмосферы
Земли 285
14.3. Влияние тропосферы и ионос?еэы на распространение радиоволн 290

6 Оглавление
14.4. Формула идеальной радиосвязи. Множитель ослабления 296
14.5. Особенности распространения радиоволн различных диапазонов . . 298
Задачи 307
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС 309
Глава пятнадцатая. Поверхностные электромагнитные волны и замедляю-
замедляющие системы 310
15.1. Замедление электромагнитных волн диэлектрической пластиной. По-
Поверхностные волны 310
15.2. Гребенчатая замедляющая система 320
15.3. Некоторые другие замедляющие системы 324
Задачи 326
Глава шестнадцатая. Распространение электромагнитных волн в анизо-
анизотропной среде 327
16.1. Физический механизм анизотропии ферритов. Уравнение движения
намагниченности 328
16.2. Тензор магнитной проницаемости намагниченного феррига 334
16.3. Уравнения Максвелла в гиротропной среде 337
16.4. Поперечное распространение электромагнитных волн в намагничен-
намагниченном феррите 338
16.5. Продольное распространение электромагнитных волн в намагничен-
намагниченном феррите 341
Задачи 346
Глава семнадцатая. Интерференция и дифракция электромагнитных волн 347
17.1. Условие излучения. Принцип предельного поглощения 348
17.2. Возбуждение пространства нитью электрического тока. Цилиндри-
Цилиндрические волны 351
.17.3. Метод физической оптики. Дифракция плоской волны на щели в
идеально проводящем экране 355
17.4. Принцип Гюйгенса. Формула Кирхгофа 359
17.5. Дифракция плоской волны на прямоугольном отверстии в идеально
проводящем экране 362
17.6. Дифракция плоской электромагнитной волны на идеально проводя-
проводящем цилиндре 369
17.7. Уравнения Максвелла в неоднородной среде 373
17.8. Метод геометрической оптики 375
17.9. Теорема эквивалентности 384
Задачи '. 386
Глава восемнадцатая. Компьютерные методы решения задач электродина-
электродинамики 387
18.1. Прямоугольный волновод с неоднородным заполнением 388
18.2. Метод сеток 389
18.3. Метод Бубнова — Галеркина 393
18.4. Метод интегральных уравнений 397
Задачи 406
Заключение 407
Приложение А. Выражения основных операций векторного анализа в раз-
различных координатных системах 409
Приложение Б. Некоторые полезные векторные тождества 410
Список рекомендуемой литературы 411
Предметный указатель 413

ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга, предлагаемая вниманию читателя, является учебным по-
пособием по курсу «Электродинамика и распространение радиоволн»,
читаемому на радиотехнических факультетах вузов. Данный курс
относится к числу базовых дисциплин, закладывающих основы про-
профессиональной подготовки радиоинженера. На его основе строится
ряд последующих инженерных дисциплин. В свою очередь, этот
курс опирается на такие общенаучные дисциплины, как высшая
математика, физика и теория цепей.
За последние десятилетия в радиотехнике сверхвысоких частот
(СВЧ) и в антенной технике — в областях, теснее всего соприкаса-
соприкасающихся с данным курсом, — произошли заметные изменения, свя-
связанные с освоением новых частотных диапазонов, с совершенство-
совершенствованием элементной базы радиоустройств, с неуклонным внедрением
компьютерных методов расчета и проектирования. Однако научный
фундамент этой технической области — теория электромагнетизма
и физика волновых явлений — остался прежним.
Книга состоит из двух частей. Первая часть «Основной курс»
посвящена изложению основ прикладной электродинамики, вклю-
включая уравнения Максвелла, теорию плоских электромагнитных волн,
принципы анализа явлений в направляющих и колебательных си-
системах СВЧ-диапазона. Рассматривается теория элементарных из-
излучателей, изучаются особенности распространения радиоволн в
земных условиях.
Вторая часть «Факультативный курс» адресована в основном
тем читателям, которые желают углубить свои знания в области
физики и техники волновых электромагнитных явлений. Здесь уча-
учащийся найдет изложение основ теории поверхностных волн и замед-
замедляющих систем, познакомится с методами анализа распростране-
распространения электромагнитных волн в анизотропных средах, а также полу-
получит представление о некоторых наиболее важных, по мнению
автора, приемах решения задач дифракции электромагнитных волн.
Кратко обсуждаются компьютерные способы решения электродина-
электродинамических задач.
Главы книги снабжены примерами практических расчетов, до-
доведенными до числовых результатов. Кроме того, в конце каждой
главы приведены учебные задачи в количестве, достаточном для
проведения упражнений по курсу.

8 Предисловие
Стиль изложения, а также степень подробности математиче-
математических выкладок выбраны такими, чтобы студент смог при некоторой
настойчивости самостоятельно изучить любой вопрос. В перечень
рекомендуемой литературы, отнюдь не претендующий на полноту,
включены книги по прикладной электродинамике, распростране-
распространению радиоволн, математике и смежным вопросам. Эти источники
помогут читателю при необходимости навести справки и углубить
знания по некоторым частным проблемам.
С момента выхода в свет нашего пособия «Основы электродина-
электродинамики» (М.: Советское радио, 19?3) прошло уже немало лет. Пред-
Предлагаемая книга развивает избранные нами ранее педагогические
принципы, а также в некоторой степени обобщает опыт преподава-
преподавания дисциплины «Электродинамика и распространение радиоволн»
на радиотехническом факультете Московского энергетического ин-
института. Хочу поблагодарить своих коллег за ценные обсуждения
и неизменную поддержку. Выражаю искреннюю признательность
рецензентам рукописи — профессорам Н. А. Бею, Ю. В. Егорову и
Б. А. Розанову, доцентам Н. С. Голубевой и В. Н. Митрохину. Их
квалифицированная оценка, советы и замечания действенно помог-
помогли на заключительном этапе работы над книгой.
Москва, 1991 г. С. Я. Баскаков

Часть первая
Нет лучшего метода со-
сообщения уму знаний,
чем метод преподнесе-
преподнесения их в возможно бо-
более разнообразных фор-
формах
Максвелл
Основной
курс

Глава первая
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА
1.1. Электромагнитное поле
и его математические модели
В физике принято разграничивать окружающие нас объекты
материального мира на два больших самостоятельных класса.
Один из них называют веществом, а другой — полем. В основе
принципа, позволяющего проводить такое деление, лежит тот факт,
что вещество в отличие от поля обладает инертной массой в обыч-
обычном механическом смысле. Движение макроскопических объектов,
состоящих из вещества, описывается известными законами меха-
механики Ньютона.
Разновидность материи, называемая полем, не имеет инертной
массы. Говоря о полях, можно назвать прежде всего хорошо из-
известные из повседневного опыта электромагнитное и гравитацион-
гравитационное поля.
Электродинамика — наука, занимающаяся изучением электро-
электромагнитного поля. Это поле проявляет себя посредством силового
взаимодействия с теми частицами вещества, которые имеют элек-
электрический заряд. Заряд частицы может быть как положительным,
так и отрицательным. Экспериментально установлено, что заряд дис-
дискретен: величины любых зарядов, встречающихся в природе, с точ-
точностью до знака кратны элементарному заряду е> равному прибли-
приблизительно 1.602-10~19 Кл; заряд электрона равен —е.
Так как силы, действующие на заряженные частицы со стороны
электромагнитного поля, являются векторными величинами, име-
имеется возможность описать электромагнитное поле с помощью абс-
абстрактных математических моделей — векторных полей.
Напомним, что в математике векторное поле А, заданное в трех-
трехмерном пространстве с декартовыми координатами х, у, z, описыва-
описывается тремя проекциями на выбранные оси:
А (х, у, z) = Ax (х, у, z) \х-\-Ау (л:, у, z) \у-\-Аг (*, у, z) \zy A.1)
где \ху \Уу \z — единичные векторы (орты) вдоль указанных осей.
Графически векторные поля удобно изображать с помощью картин
силовых линий — пространственных кривых, обладающих тем свой-
свойством, что в каждой их точке вектор поля направлен вдоль каса-
касательной. В тех областях пространства, где длина вектора поля
больше, силовые линии проводят гуще, и наоборот (рис. 1.1).
Всю совокупность электромагнитных явлений принято разде-
разделять на две группы: электрические и магнитные явления. В соот-

/./. Электромагнитное поле и его модели 11
ветствии с этим выделяют две частные разновидности электромаг-
электромагнитного поля, носящие название электрического и магнитного по-
полей. Из дальнейшего изложения станет ясно, что представление
электромагнитного поля в виде объединения электрического и
магнитного полей означает признание их внутреннего единства и
взаимообусловленности.
Электрическому полю свойственно силовое взаимодействие как
с неподвижными, так и с движущимися зарядами. В результате
такого взаимодействия кинетическая
энергия движущейся заряженной части-
частицы вещества изменяется. Математиче-
Математической моделью электрического поля в ва-
вакууме служит векторное поле Е — напря-
напряженность электрического поля, опреде- ^
ляемая формулой "
где F(r) — вектор силы, действующей
на пробный заряд q в некоторой точке ^иУовыеТнГ
пространства с радиусом-вектором г.
Если ограничиться только исследованием электромагнитных
процессов в вакууме, то для описания электрического поля в каж-
каждой точке пространства достаточно задать единственный вектор Е.
Однако, как будет показано в дальнейшем, для описания электри-
электрического поля в материальной среде, например в диэлектрике, тре-
требуется ввести еще одно векторное поле D, называемое полем элек-
электрического смещения (или электрической индукции). Вектор D в
вакууме связан с вектором ё соотношением
D = s0E, A.3)
где 8о — фундаментальная физическая константа, называемая
электрической постоянной. Эта константа имеет размерность ем-
емкости, отнесенной к единице длины. Значение электрической посто-
постоянной найдено экспериментально; с точностью, вполне достаточной
для инженерных расчетов ео= 10~9/C6я) =8.842 щЮ~12 Ф/м.
В СИ напряженность электрического поля имеет размерность
В/м, а электрическое смещение — размерность Кл/м2.
Часто на практике приходится рассматривать электромагнитные
процессы в атмосферном воздухе, который по своим электродина-
электродинамическим параметрам весьма незначительно отличается от ваку-
вакуума. При этом, как уже говорилось, для описания электрического
поля достаточно использовать лишь вектор Е, который для крат-
краткости можно назвать электрическим вектором.
Магнитное поле в отличие от электрического взаимодействует
лишь с движущимися заряженными частицами. В вакууме его мож-

12 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма
но описать с помощью единственного векторного поля магнитной
индукции В. Принцип его определения основан на том, что точеч-
точечный заряд qy движущийся в электромагнитном поле со скоростью
v, испытывает действие так называемой силы Лоренца
B]. A.4)
Первое слагаемое в правой части равенства A.4) является уже из-
известной силой, которая обусловлена электрическим полем. Второе
слагаемое описывает силу, вызванную магнитным полем. Заметим,
что магнитная часть силы Лоренца, пропорциональная векторному
произведению В и v, всегда перпендикулярна траектории движения.
Поэтому магнитное поле не влияет на кинетическую энергию час-
частицы, а лишь изменяет ее траекторию. Это свойство магнитного
поля широко используется в электронике для фокусировки пучков
заряженных частиц.
Известен обширный класс веществ, внутри которых происходит
существенное изменение приложенного магнитного поля. Такие ве-
вещества принято называть магнетиками. К ним относятся железо,
никель, кобальт, сплавы этих металлов, некоторые редкоземельные
элементы и др. Для описания явлений в магнетиках кроме вектор-
векторного поля В дополнительно вводят векторное поле Н, называемое
напряженностью магнитного поля. В вакууме векторы В и Н ока-
оказываются пропорциональными:
A.5)
Здесь (xo=4jt • 10~7= 1.257-10~6 Гн/м — размерная константа, на-
называемая магнитной постоянной. В СИ величину В выражают
в теслах (Тл); величина Н имеет размерность А/м.
По традиции в прикладной электродинамике для описания маг-
магнитного поля в вакууме чаще используют не поле В, а поле Н.
В дальнейшем вектор Н для краткости часто будем называть прос-
просто магнитным вектором.
1.2. Плотность тока проводимости.
Дифференциальная форма закона Ома
Током проводимости называют коллективное (упорядоченное
или хаотическое) движение заряженных частиц в материальных
средах или в вакууме.
Предположим, что к границе раздела между вакуумом и прово-
проводящим веществом подведены два электрода, соединенные с источ-
источником ЭДС (рис. 1.2). Линии тока внутри вещества распределяют-
распределяются таким образом, что наибольшая их часть проходит по области,
представляющей для тока малое сопротивление; лишь незначитель-
незначительная часть тока ответвляется в глубь проводящей среды. Очевидно,

1.2. Плотность тока проводимости. Закон Ома
13
что для подробного описания данной системы недостаточно изме-
измерить только значение тока во внешней цепи. Здесь необходимо
располагать сведениями об интенсивности и направлении движения
носителей заряда в каждой точке проводящего тела. С этой целью
вводят понятие векторного поля плотности тока проводимости Jnp,
определяя его следующим образом:
Jnp=^v, A.6)
где N — концентрация носителей заряда, т. е. число носителей в
единице объема вещества; q — заряд одного носителя; v — скорость
носителей в рассматриваемой точке пространства.
Jnp'.'.' ••.' ••'• •;;"'•
Рис. 1.2. К определению поня-
понятия плотности тока проводимо-
проводимости
Рис. 1.3. К формулиров-
формулировке закона Ома
Легко проверить, что в соответствии с формулой A.6) величина
Jnp имеет размерность А/м2 и действительно характеризует силу
тока через единичную площадку, перпендикулярную вектору ско-
скорости заряженных частиц.
Найдем связь между векторами плотности тока проводимости и
напряженности электрического поля, существующими в некоторой
точке пространства. С точки зрения классической физики носители
заряда, перемещаясь внутри кристаллической решетки вещества,
испытывают силы, подобные силам трения. Скорость носителей, а
следовательно, и плотность тока проводимости в установившемся
режиме должна быть пропорциональна действующей силе, т. е. на-
напряженности электрического поля. Таким образом,
Jnp=*E, A.7)
где а — размерная постоянная, называемая удельной проводимо-
проводимостью данного вещества.

14 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма
Докажем, что равенство A.7) является одной из форм закона
Ома для участка резистивной цепи. Для этого рассмотрим куб с
ребром длиной I, выполненный из исследуемого вещества (рис. 1.3).
Предположим, что две противоположные грани куба покрыты сло-
слоем идеального проводника и к ним приложено напряжение и. Под
действием этого напряжения во внешней цепи протекает некоторый
ток ?. Очевидно, что ?= |JnP|/2; |Е|=м//, откуда, используя A.7),
получим i = olu. Последнюю фор-
Т а блица 1.1. Удельные проводи- мулу можно рассматривать как
мости металлов запись закона Ома, если поло-
положить, что ol=l/R, где R — со-
Металл °> См/М противление, измеренное между
противоположными гранями куба.
Серебро 6.Ы07 Равенство A.7) иногда назы-
Медь 5.7-107 вают дифференциальной формой
Цинк 1.7-107 закона Ома, поскольку оно уста-
Латунь 1.4-107 навливает прямую пропорцио-
. нальность между плотностью то-
тока проводимости и напряженно-
напряженностью электрического поля в пределах малой окрестности точки
наблюдения. Легко убедиться, что в СИ удельная проводимость а
имеет размерность См/м.
Металлы являются хорошими проводниками электрического то-
тока, и для них характерны высокие значения удельной проводимо-
проводимости. Приведем для справок небольшую таблицу значений а, изме-
измеренных на постоянном токе.
Прямым расчетом легко убедиться, что для возникновения тока
в доли ампера достаточно создать в металле электрическое поле
весьма малой напряженности.
Пример 1.1. По круглому медному проводнику диаметром d=
= 0.6 мм протекает постоянный ток ?=1.5 А. Найти напряженность
электрического поля внутри проводника.
Сечение проводника s = nd2/4 = 2.83-10~7 м2; плотность тока
/np = ?/s = 5.3- Ю6 А/м2. Модуль вектора напряженности электриче-
электрического поля ? = /Пр/ог=0.093 В/м. Из физических соображений ясно,
что вектор Ё направлен вдоль оси проводника.
Удельная проводимость полупроводников и диэлектриков на
несколько порядков ниже, чем металлов. Для описания электро-
электропроводящих свойств этих материалов удобно использовать другую
числовую характеристику — угол диэлектрических потерь, речь о
которой пойдет в дальнейшем.

1.3. Закон сохранения заряда 15
1.3. Закон сохранения заряда
Одно из фундаментальных положений теории электромагнетиз-
электромагнетизма состоит в том, что ни при каких условиях электрический заряд
не может ни зарождаться, ни исчезать. Этот факт, многократно
проверенный экспериментально, лежит в основе закона сохранения
заряда К
Предположим, что внутри произвольного замкнутого объема V,
ограниченного поверхностью 5, содержится некоторый электриче-
электрический заряд Q, распределенный в пространстве с объемной плотно-
плотностью р (Кл/м3). Ясно, что при этом
p A.8)
Если с течением времени значение Q изменяется, то на основании
закона сохранения заряда это связано с тем, что либо часть заря-
заряда покидает границы объема, либо заряд поступает извне. Как
следствие, в пространстве возникает ток проводимости с некоторой
плотностью Jnp. Интегрируя функцию Jnp по замкнутой поверхно-
поверхности S, находим результирующий ток проводимости в рассматрива-
рассматриваемой системе:
По определению, понятия тока, в данном случае i =—dQ/dt (ток
считаем положительным, если заряд внутри объема уменьшается).
Отсюда с учетом равенств A.8) и A.9) будем иметь
V S
Преобразовав правую часть последней формулы по теореме Остро-
Остроградского — Гаусса, получим
Это равенство будет выполняться тождественно при любой форме
объема V лишь в том случае, когда подынтегральные выражения
левой и правой частей одинаковы. Отсюда приходим к закону со-
сохранения заряда в дифференциальной форме
^ Jnp = 0. A.10)
1 Из физики элементарных частиц известны явления «рождения» и «гибе-
«гибели» электронно-поз|итронных пар. Это не противоречит закону сохранения заря-
заряда, так как суммарный заряд пары равен нулю.

16
Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма
Это равенство часто называют уравнением непрерывности тока
проводимости. По физическому смыслу оно эквивалентно первому
закону Кирхгофа, известному из теории электрических цепей.
1.4. Закон Гаусса
Данный закон, найденный экспериментально, устанавливает
связь между векторным полем Е и величиной заряда Q, порождаю-
порождающего это электрическое поле,
Рассмотрим некоторый объем V, ограниченный замкнутой по-
поверхностью S (рис. 1.4). Пусть внутри
объема произвольным образом разме-
размещен электрический заряд Q. По зако-
закону Гаусса, поток векторного поля Е,
порожденного зарядом, через замкну-
замкнутую поверхность S численно равен ве-
величине заряда, деленной на электри-
электрическую постоянн. ю:
= Q/e0.
A.11)
Рис. 1.4. Закон Гаусса
Если рассматривают точечные за-
заряды, то значение Q находят алгеб-
алгебраическим суммированием. Если же
заряд распределен по объему непре-
непрерывно, то Q определяют интегрируя плотность заряда р по объ-
объему V.
Говорят, что формула A.11) выражает закон Гаусса в интег-
интегральной форме. Этот закон в ряде случаев позволяет с успехом на-
находить напряженность электрического поля при достаточно прос-
простой конфигурации заряженной области.
Пример 1.2. Внутри сферической области радиусом а равно-
равномерно распределен заряд с объемной плотностью р. Средой явля-
является вакуум. Определить напряженность электрического поля во
внутренней (г<Са) и внешней (г^а) областях.
Рассмотрим воображаемую сферическую поверхность радиусом
г, концентричную с заряженной .областью. Заряд, заключенный
внутри этой поверхности, вычисляется по-разному в зависимости
от соотношения между г и а:
Q=J pdK=
при г<а,
при г>а.

1.4. Закон Гаусса 17
Ввиду симметрии сферической области вектор Е имеет един-
единственную составляющую Ег\г, направленную вдоль радлуса. По-
Поэтому
откуда на основании закона Гаусса
при г<а>
при г>а.
Е _ / Рг/Cго) ПРИ
Пользуясь приемами векторного анализа, можно из интеграль-
интегральной формы закона Гаусса получить дифференциальную форму. Для
этого заметим, что, по теореме Остроградского — Гаусса,
следовательно,
JdivEdl/= J -i-dV. A.12)
V V %
Поскольку объем V совершенно произволен, это равенство возмож-
возможно лишь в том случае, если подынтегральные выражения тождест-
тождественно совпадают. Таким образом,
div Е=р/в0. , A.13)
Равенство A.13) называют законом Гаусса в дифференциаль-
дифференциальной форме. В соответствии с определением понятия дивергенции
это соотношение означает, что силовые линии векторного поля Е
имеют источники и стоки в тех точках пространства, где располо-
расположены электрические заряды.
1.5. Закон неразрывности магнитных силовых линий
Экспериментально было обнаружено, что силовые линии век-
векторного поля магнитной индукции В всегда замкнуты в простран-
пространстве (рис. 1.5) независимо от того, создается ли поле постоянными
магнитами или катушками с током.
Для математического описания этого факта удобно, как это де-
делается в векторном анализе, представить себе силовые линии маг-
магнитного поля как воображаемые линии скоростей движения частиц
несжимаемой жидкости. Расположим внутри области существова-
существования магнитного поля произвольный объем V, ограниченный по-
поверхностью S. Если силовые линии замкнуты, то поток втекающей

18
Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма
Рис. 1.5. Силовые линии маг-
магнитного поля в катушке с то-
током
жидкости в точности равен потоку, вытекающему из объема. Таким
образом,
ldS = O. (j 14y
Проводя выкладки, аналогичные изложенным в предыдущем
параграфе, получим соотношение, относящееся к бесконечно малой
окрестности выбранной точки прост-
пространства:
divB=0. A.15)
Формулы A.14) и A.15) математи-
математически выражают закон неразрывности
магнитных силовых линий в интеграль-
интегральной и дифференциальной форме соот-
соответственно.
Эквивалентной формулировкой рас-
рассмотренного закона служит утвержде-
утверждение о том, что векторное поле В нигде
не имеет источников. Другими слова-
словами, никаких магнитных зарядов в при-
природе не существует. Если, по анало-
аналогии с электрическим током, мысленно
допустить существование некоторого магнитного тока, то такой
гипотетический ток не имеет прямого физического смысла, хотя
иногда может оказаться весьма полезным при проведении расчетов
(см. §2.5).
Векторные поля без источников, т. е. с нулевой дивергенцией, в
физике и математике называют соленоидальными полями.
1.6. Закон полного тока
В начале XIX в. датский физик Эрстед экспериментально от-
открыл принципиально важный факт: протекание электрического то-
тока по проводнику сопровождается возникновением в окружающем
пространстве магнитного поля. Опыты Эрстеда позволили фран-
французскому ученому Амперу сформулировать теоретическое положе-
положение, которое называют законом полного тока или законом Ампера.
Пусть имеется воображаемый замкнутый контур L, на который
опирается кусок гладкой поверхности S. Зададим на этом контуре
направление обхода таким образом, чтобы с конца вектора элемен-
элементарной площадки dS движение вдоль контура наблюдалось в на-
направлении против стрелки часов (рис. 1.6).
Предположим далее, что поверхность S пронизывается некото-
некоторой системой токов. Эти токи могут быть дискретными (совокуп-

1.6. Закон полного тока
19
ность отдельных проводников) или распределенными непрерывно
(подобно электронному потоку). Не указывая заранее физической
природы этих токов, будем для определенности полагать, что они
распределены в пространстве непрерывно с некоторой плот-
плотностью J. Тогда полный ток, пронизывающий контур,
/= f JdS.
A.16)
Закон полного тока формулируется так: циркуляция вектора
напряженности магнитного поля Н по
контуру L равна полному току, т. е.
Hdl =
A.17)
Соотношение A.17) выражает за-
закон полного тока в интегральной фор-
форме. Чтобы получить дифференциаль-
дифференциальную форму этого закона, т. е. локаль-
локальным образом связать плотность пол-
полного тока с напряженностью магнит-
магнитного поля, следует воспользоваться
известной из векторного анализа тео-
теоремой Стокса. Воспользовавшись этой
теоремой и преобразовав с ее помощью
выражение A.17), будем иметь
Рис. 1.6. К формулировке за-
закона полного тока
= Jrot HdS= j
JdS,
откуда ввиду произвольности выбранного контура получаем ра-
равенство
rot H =
A.18)
которое представляет закон полного тока в дифференциальной
форме.
Используя интегральную формулировку закона полного тока,
можно решать некоторые простые задачи, связанные с нахождени-
нахождением магнитного поля заданных токов.
Пример 1.3. По бесконечному цилиндрическому проводнику
радиусом а протекает постоянный ток /0. Определить напряжен-
напряженность магнитного поля внутри и вне проводника.
Конфигурация силовых линий магнитного вектора, известная
из курса физики, изображена на рис. 1.7. В цилиндрической систе-

20
Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма
ме координат, ось z которой совпадает с осью проводника, вектор
Н имеет лишь азимутальную проекцию Яф. В точках воображае-
воображаемой окружности радиусом г, центр которой лежит на оси провод-
проводника, значение Яф постоянно в силу полной симметрии поля. По-
Поэтому в формуле A.17) интегрирование можно заменить умноже-
умножением Яф на длину окружности.
Если г^а, то весь ток пронизывает поверхность, ограничен-
ограниченную воображаемым контуром, и поэтому
#,(г)=/0/Bяг).
Если же г<а, то внутри контура течет ток /=/0г2/а2, так что
1
Рис. 1.7. Магнитное поле
цилиндрического проводни-
проводника с током
Рис. 1.8. Эскиз силовых ли-
линий электрического поля в
плоском конденсаторе
1.7. Ток смещения
Из практики известно, что переменный электрический ток спо-
способен протекать по замкнутой цепи, содержащей конденсатор, не-
несмотря на то что в пространстве между обкладками отсутствуют
какие-либо носители электрического заряда. Можно предположить,
что в этой области протекает некий ток, по своей природе принци-
принципиально отличный от рассмотренного ранее тока проводимости.
Этот ток называют током смещения.
Рассмотрим цепь с конденсатором, изображенную на рис. 1.8.
Одна из обкладок конденсатора окружена воображаемой замкну-
замкнутой поверхностью S. Будем считать, что между обкладками нахо-
находится вакуум.

1.8. Закон электромагнитной индукции 21
По закону Гаусса,
Ток в цепи i связан с зарядом Q выделенной обкладки:
, s^d.
dt s dt
Из последнего выражения видно, что величина годЕ/dt имеет раз-
размерность плотности тока, который и должен быть назван током
смещения. Итак, плотность этого тока
К^цдЕ/dt. A.19)
Максвелл предложил ввести величину JCM в правую часть фор-
формулы закона полного тока A.18) наряду с плотностью тока прово-
проводимости. Эта мысль имела принципиальное значение для электро-
электродинамики, поскольку при этом устанавливалась внутренняя взаи-
взаимосвязь электрического и магнитного полей. Действительно, изме-
менение во времени электрического поля в какой-либо точке
пространства приводит к возникновению тока смещения в окрестно-
окрестности этой точки. Ток смещения, в свою очередь, вызывает появление
переменного магнитного поля.
1.8. Закон электромагнитной индукции
Картина динамики электромагнитного поля станет более яркой,
если допустить, что изменение во времени магнитного поля ведет
к возникновению электрического поля. Такое свойство электромаг-
электромагнитного поля действительно имеет место. В 1831 г. Фарадей экспе-
экспериментально обнаружил, что на зажимах проводящей катушки,
помещенной в переменное магнитное поле, возникает разность
электрических потенциалов. Основываясь на этом открытии, Макс-
Максвелл сформулировал один из основных законов теории электромаг-
электромагнетизма, получивший название закона электромагнитной индук-
индукции.
Пусть в некоторой области пространства существует переменное
магнитное поле. Силовые линии магнитной индукции В в фиксиро-
фиксированный момент времени изображены на рис. 1.9. Рассмотрим вооб-
воображаемый замкнутый контур L, направление обхода которого
выбрано против движения стрелки часов, если смотреть с конца
вектора В.
Пусть Е — вектор напряженности возникающего электрического
поля. Закон электромагнитной индукции в интегральной форме ма-
математически выражается так:

22 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма
ф Edl=-- ^— f
l ' д* s
BdS. A.20)
Циркуляцию векторного поля Е по контуру L, стоящую в левой
части формулы A.20), называют электродвижущей силой (ЭДС)
электромагнитной индукции в данном контуре.
Итак, закон электромагнитной индукции не только констатиру-
констатирует факт возникновения электрического поля под действием пере-
переменного магнитного поля, но и устанавли-
вает количественную меру данного явления.
Если на месте воображаемого контура
разместить реальный контур, выполненный
из проводника, то наличие ЭДС приведет
к протеканию в нем электрического тока в
направлении вектора Е.
Скалярную величину
\
\
/ /
/
Рис
\
Л
\ \
А—I
*1 '
/
/
/
1
1
1
!
¦
i
i
. 1.9.
/
/
j j
\
\
\
К
электрической
/v
I /
\ \
\
закону
[ индук-
принято называть магнитным потоком, про-
низывающим контур L. Поскольку поле В
ции . не имеет источников, значение магнитного
потока не зависит от выбора поверхности
S, опирающейся на контур.
Воспользовавшись теоремой Стокса и внеся операцию диффе-
дифференцирования по времени под знак поверхностного интеграла, что
всегда допустимо, получим
f
S
dt
Отсюда непосредственно следует дифференциальная форма запи-
записи закона электромагнитной индукции
ratE=—<JB/(W. A.21)
Отметим в заключение, что электрическое поле, возникающее
под действием переменного во времени магнитного поля, имеет в
каждой точке пространства отличный от нуля ротор (вихрь). По-
Подобные векторные поля в математике и физике называют вихревы-
вихревыми полями. Если а и Ь — две произвольные точки в пространстве,
а Е — вихревое векторное поле, то криволинейный интеграл
Л = J Edl

1.9. Материальные уравнения 23
зависит не только от положения концевых точек, но и от выбора
пути интегрирования. Действительно, перемещаясь от а к b вдоль
кривой L\ и возвращаясь от Ъ к а вдоль кривой L2, имеем
JEdl+ fEdl/O.
Это означает, что работа сил поля Е, индуцированного в простран-
пространстве переменным магнитным потоком, при обходе замкнутого кон-
контура не равна нулю. По терминологии, принятой в физике, такое
поле Е не является потенциальным и в этом отношении качествен-
качественно отличается от электрического поля в системе неподвижных и по-
постоянных во времени зарядов.
Однако во многих практически важных случаях магнитное поле
меняется достаточно медленно, так что правую часть формулы
A.21) можно приближенно считать равной нулю. При этом элек-
электрическое поле близко по своим свойствам к безвихревому и рабо-
работа сил поля не зависит от пути интегрирования. Именно в этих
условиях становится возможным приближенный анализ электроди-
электродинамических систем методами теории цепей, в частности с исполь-
использованием второго закона Кирхгофа, физическая сущность которого
как раз связана с независимостью работы сил поля от геометриче-
геометрической конфигурации контура.
1.9. Материальные уравнения электромагнитного поля
Для описания электромагнитных явлений в материальных сре-
средах необходимо располагать соотношениями, которые связывали
бы попарно векторные поля Е и D, В и Н. Уравнения подобных свя-
связей принято называть материальными уравнениями. Их вывод
должен опираться на микроскопическую (атомно-молекулярную)
картину процессов, которые происходят в веществе под действием
сил электромагнитного поля.
Свойства диэлектриков. Имеются многочисленные диэлектри-
диэлектрики— вещества, которые не проводят электрический ток. Диэлек-
Диэлектрики способны специфическим образом изменять свое состояние,
будучи помещенными в электрическое поле. Рассмотрим вкратце
сущность этого явления.
Как известно из физики, молекулы и атомы вещества представ-
представляют собой объединение электрически заряженных частиц. В неио-
низированном состоянии суммарный заряд молекулы (атома) ра-
равен нулю. Для диэлектриков характерны прочные связи электронов
с атомами, т. е. высокие значения энергии связи. Поэтому при
помещении образца диэлектрика в электрическое поле сквозного

24 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма
дрейфового движения носителей заряда в толще материала не на-
наблюдается, по крайней мере в не слишком сильных полях.
Однако при этом молекула диэлектрика деформируется таким
образом, что ее можно представить совокупностью двух разноимен-
разноименных зарядов +q и —q, смещенных в пространстве на некоторое
расстояние /. Такую систему из двух зарядов называют электриче-
электрическим диполем. Очевидно, что величина I тем больше, чем выше на-
^ пряженность приложенного эле-
ктрического поля.
^ jq -^ Сказанное иллюстрируется уп-
/ 0 ] ^\ ni * рощенной картиной, изображен-
\ J —\^^ 2^У ^ ной на Рис- 1-Ю- Здесь показана
J ^ 2^
\^ у —*- модель атома водорода, состоя-
^ щего из протона и электрона. С
а) 6) точки зрения классических, т. е.
неквантовых, представлений эле-
Рис. 1.10. Процесс поляризации ктрон в-отсутствие внешнего эле-
Г-орбГтТэлек'грона в отсутствие КТрИЧвСКОГО ПОЛЯ ВраЩавТСЯ ПО
внешнего пол^; б — то же после при- КруГОВОИ ОрОИТе. ЬСЛИ НабЛЮДаТЬ
ложения постоянного электрического ^ аТ0М()М fi течение 0Трезка ВРе-
мени, значительно превышающего
период обращения, то в среднем центр «эффективного» отрица-
отрицательного заряда совпадает с центром ядра. Алюм не проявляет
дипольных свойств.
После приложения электрического поля орбита электрона вытя-
вытягивается. Центры положительного и отрицательного зарядов пере-
перестают совпадать в пространстве, и атом водорода начинает вести
себя подобно электрическому диполю. Описанное явление называ-,
ют электронной поляризацией вещества.
> Электронная поляризация свойственна диэлектрикам, молекулы
(атомы) которых в отсутствие внешнего поля не обладают собст-
собственными дипольными свойствами. Такие вещества относят к клас-
классу неполярцых диэлектриков. Примерами служат большинство га-
газов и многие твердые диэлектрики, как естественные, так и
искусственные (кварц, оксид алюминия, полиэтилен и т. д.).
Однако известно много веществ, молекулы которых проявляют
дипольные свойства и без внешнего электрического поля. Такие
вещества называют полярными диэлектриками. К ним относятся
многие непроводящие жидкости (химически чистая вода, спирты),
а также некоторые твердые диэлектрики, например полихлорвинил.
Процесс поляризации веществ данного класса изображен на рис.
1.11. В отсутствие внешнего поля Е молекулярные диполи ориенти-
ориентированы в пространстве хаотично. Под действием приложенного по-
поля происходит ориентация молекулярных диполей. Очевидно, что
степень выраженности этой ориентации тем меньше, чем выше тем-

1.9. Материальные уравнения
25
пература, поскольку хаотическое тепловое движение нарушает по-
порядок расположения молекул :\ прострав&гве.
Для количественного описания степени поляризованности от-
отдельной молекулы вводят в рассмотрение ее дипольный момент
P=glit, A.22)
который представляет собой вектор, коллинеарный единичному
вектору и, направленному вдоль оси диполя от отрицательного за-
заряда к положительному.
е-<э . э
э-©
©-©
о-® _е—©
о-©
е-©
е-©. ©-@
Рис. 1.11. Явления в полярном диэлектрике:
а —в отсутствие внешнего поля; б—после приложения постоянного эле-
электрического поля; в — то же в случае более интенсивного электрическо-
электрического поля
Пусть в единице объема г.ещества находится N молекулярных
диполей. Как меру поляризации диэлектрика в каждой точке про-
пространства принято вводить вектор поляризованности
P = Np. * A.23).
Конфигурация силовых линий векторного поля поляризованности
зависит как от концентрации молекулярных диполей, так и от на-
направлений векторов электрического поля внутри вещества.
Поляризационные заряды. Образец диэлектрика, бывший перво-
первоначально электрически нейтральным, остается таковым и в процес-
процессе поляризации. Однако если векторное поле Р пространственно
неоднородно, то внутри диэлектрика возникает некоторая отличная
от нуля объемная плотность электрического заряда, обусловленная
перемещением носителей в пространстве.
Рассмотрим бесконечно протяженную плоскую область толщи-
толщиной Ах внутри диэлектрика, поляризованного вдоль оси х (рис.
1.12). При этом будем считать, что по тем или иным причинам по-
ляризованность диэлектрика неоднородна вдоль выделенной оси,
так что
>=/>x(*)l, •
A.24)

26
Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма
В отсутствие внешнего поля Е внутри рассматриваемой области
положительные и отрицательные заряды, входящие в молекулы,
компенсируют друг друга, поэтому плотность электрического заряда
р = 0. При поляризации диэлектрика внутрь указанной области че-
через единицу поверхности левой границы входит положительный
заряд
Q"T / у \ Л/ {у \ /7 / ( V* ^ г= Р ( Y \ llQSl
\ О/ —" \ 0/ ~/ \ 0/ — X \ 0/* \ ^ •^<-'у
Отрицательный заряд, поступающий через правую границу,
Q- (х0 + Ах) = - N (х0 + Ах) ql (х0 + Ах) = - Рх (х0 + Ах). A.26)
В общем случае величины Рх(х0) и Рх(х0 + Ах) не равны. Поэтому
............:| в пространстве между воображаемыми плос-
q_4^q:V;-;Qii^—Q^ костями будет обнаружен так называемый
О j/:©''1::?7^! *" поляризационный электрический заряд с объ-
r\ !:-!vs':/^-! /тч емной плотностью
Дл-->0 Ax dx
A.27)
........ ^- Можно рассмотреть данную задачу и в бо-
1^/'-:;'V;! лее общей постановке, предполагая, что поля-
ризованность неоднородна по всем трем про-
[:-':[\::У:-:/:ц странственным координатам, т. е. Р = Р(х, у,
х0 хо+лх z). Пусть dS — элементарная площадка. Ве-
^ , 1Г| „ личина положительного заряда, пересекающе-
Рис. 1.12. Возникно- г ' г •
вение плотности поля- го ЭТУ площадку в процессе поляризации, рав-
ризационных зарядов на произведению модулей векторов Р и dS,
умноженному на косинус угла между ними,
т. е. скалярному произведению PdS. Тогда положительный заряд,
вышедший за пределы ограниченного объема V с поверхностью S,
Внутри объема V обнаруживается равный по величине заряд про-
противоположного знака
Воспользовавшись теоремой Остроградского — Гаусса, будем иметь
Q-=-Jdiv PdV, A.28)

1.9. Материальные уравнения 21
откуда, переходя к дифференциальной форме записи, получим
Рп= —div P. A.29)
Материальное уравнение электрического поля в диэлектрике.
Поляризационные заряды являются «истинными» и наряду со сво-
свободными зарядами, имеющими объемную плотность рсв, должны
учитываться при записи закона Гаусса:
5 V и
Подставив сюда величину рп из A.29), будем иметь
:.(НЛ A.30)
При описании электродинамических явлений в диэлектриках
принято вводить векторное поле
A.31)
о котором уже говорилось в ^§ 1.1 и которое называют полем элек-
электрического смещения. Легко проверить, что закон Гаусса относи-
относительно поля D принимает вид
div D = PcB. A.32)
Следует заметить, что в эту формулу входит лишь объемная плот-
плотность свободных зарядов рсв, в то время как поляризационные за-
заряды учитываются как бы автоматически.
Во многих диэлектриках при не слишком сильных внешних по-
полях наблюдается прямая пропорциональность между векторами Е
и Р в каждой точке пространства:
Р = ?ЭЕ. A.33)
Это равенство справедливо при условии, что вектор Е меняется
во времени достаточно медленно и поэтому вектор Р успевает
«следить» за вектором Е. Коэффициент k9 называют диэлектриче-
диэлектрической восприимчивостью вещества. У разных диэлектриков значе-
значения k3 могут сильно отличаться. Физический смысл формулы
A.33) состоит в том, что она устанавливает некоторую аналогию
между поляризуемой молекулой и упругой пружиной, удлинение
которой пропорционально приложенной силе.
Подставив A.33) в A.31), получаем универсальную характери-
характеристику поляризуемого вещества — абсолютную диэлектрическую
проницаемость

28 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма
такую, что
D = eaE. A.35)
Последняя формула представляет собой искомое материальное
уравнение для электрического поля в диэлектрике.
В инженерных расчетах часто используют безразмерную харак-
характеристику материала — относительную диэлектрическую проница-
проницаемость
е = *а/е0. A.36)
Приведем для справок небольшую таблицу, содержащую сведе-
сведения о диэлектриках, часто используемых в радиоэлектронных уст-
устройствах.
Таблица 1.2. Относительные диэлектрические
проницаемости некоторых диэлектриков
Материал
Фторопласт-4 2.08
Полиэтилен 2.25
Полистирол 2.56
Плавленый кварц 3.80
Поликор (А12О3) 9.60
Свойства магнетиков. Рассмотрим кратко в рамках классиче-
классической физики явления в магнетиках, наблюдаемые под действием
внешнего магнитного поля.
Еще в прошлом веке, до возникновения атомно-молекулярной
теории в ее современном обличий, Ампер высказал гипотезу о том,
что молекулы магнетиков несут в себе замкнутые токи и в этом
смысле подобны микроскопически малым магнитам. Согласно этой
гипотезе, магнитные свойства отдельной молекулы описываются
следующим образом. Пусть /м — круговой молекулярный ток, А5 —
площадь круга, обтекаемого этим током. Обозначим символом AS
вектор элементарной площадки (рис. 1.13), ориентированный таким
образом, что с его конца ток представляется направленным против
движения стрелки часов. Тогда магнитный момент отдельного мо-
молекулярного тока есть вектор
m=/MAS. A.37)
Будучи помещенными во внешнее магнитное поле Н, молекулы
магнетиков частично ориентируются (рис. 1.14). Возможны два
случая:
• Направления молекулярных токов таковы, что магнитные мо-
моменты молекул ориентированы против внешнего поля. Присутствие

1.9. Материальные уравнения 29
молекулярных токов уменьшает результирующее поле в среде. По-
Подобные вещества называют диамагнетиками. К ним относится боль-
большинство веществ, однако эффект диамагнетизма выражен крайне
слабо.
• Магнитные моменты отдельных молекул ориентированы по на-
направлению внешнего поля. Действие молекулярных токов ведет к
росту магнитного поля внутри вещества, Такие среды называют
о
О- От (Ь д
(Ь 0- н
а) 5)
Рис. 1.13. Вектор Рис. 1.14. Ориентация молекулярных токов в
магнитного момен- веществе:
Та молекулярного а __ при отсутствии внешнего магнитного поля; б —
ТОКа после приложения постоянного магнитного поля
парамагнетиками. С точки зрения квантовой механики молекулы
или атомы парамагнитных веществ обязательно должны иметь от-
отличную от нуля сумму орбитальных и спиновых магнитных мо-
моментов электронов. Парамагнитные свойства проявляют ионы не-
некоторых металлов, а также молекулы многих газов — кислорода,
азота и др.
Пусть задана величина N— концентрация молекулярных токов
в веществе. Тогда в каждой точке среды можно ввести векторное
поле намагниченности
A.38)
а магнитную индукцию определить по формуле
В = р.0(Н-|-Л1). A.39)
Таким образом, по крайней мере качественно можно усмотреть
аналогию между поведением поляризуемых диэлектриков в элек-
электрическом поле и магнетиков, помещенных во внешнее магнитное
поле.
Экспериментально установлено, что в не слишком сильных и не
слишком быстро меняющихся внешних полях связь между векто-
векторами М и Н линейная:
М=*МН, A.40)
где йм —так называемая магнитная восприимчивость вещества.

30 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма
На основании формул A.39) и A.40) получаем материальное
уравнение для магнитного поля:
B = Ml + ?M)H = i*aH. A.41)
Величину |аа называют абсолютной магнитной проницаемостью
вещества. По аналогии с A.36) можно ввести также относитель-
относительную магнитную проницаемость, определив ее формулой
P = tVft>. О-42)
Относительная магнитная проницаемость всех диамагнитных и
большинства парамагнитных веществ весьма мало отличается от
единицы. Поэтому в практических расчетах эффектами диа- и пара-
парамагнетизма обычно пренебрегают, считая, что \х& = \ю.
Особый класс веществ представляют кристаллические среды,
парамагнитные свойства которых выражены чрезвычайно сильно,
так что \i^>\. Такие вещества называют ферромагнетиками. Фер-
Ферромагнетизм возможен при температурах не выше так называемой
температуры Кюри, которая обычно составляет несколько сотен
кельвин. Физические явления в ферромагнетиках очень сложны и
могут быть адекватно описаны лишь языком квантовой механики
[14,27]. •¦
Нелинейные и анизотропные среды. До сих пор речь шла о сре-
средах, для которых материальные уравнения представляли собой со-
соотношения прямой пропорциональности. Такие вещества принято
называть линейными средами. Однако существуют и нелинейные
среды. Примерами могут служить многие ферромагнетики, напри-
например трансформаторная сталь. Из электротехники известно, что при
напряженности поля Н выше 100 А/м так называемая кривая на-
намагничивания стали, т. е. кривая зависимости В(Н), становится
весьма нелинейной.
В диэлектриках нелинейная зависимость D(E) наблюдается вся-
всякий раз, когда напряженность электрического поля становится очень
высокой и в веществе возникает электрический пробой. В обычных
условиях нелинейные свойства по отношению к электрическому
полю проявляют сегнетодиэлектрики — вещества с исключительно
высокой диэлектрической проницаемостью (параметр е достигает
десятков тысяч и более).
Весьма интересны в теоретическом плане и важны в приклад-
прикладном отношении такие материальные среды, в которых векторы D
и Е отказываются неколлинеарными. Если ограничиться линейным
случаем, то материальное уравнение A.35) для такой среды при-
приобретает вид
^лг — Sall^Jtr~T ?al2*^/ Геа1зДгэ
А/ = га21^х + ?а22^ + еа23^, A-43)
&z = еа31^дт ~Ь sa32^*/ I еа33^>

1.10. Поляризационные и сторонние токи 31
т. е. каждая проекция вектора D записывается в виде линейной
комбинации всех трех декартовых проекций вектора Е.
Квадратная таблица (матрица) из девяти чисел еа;/ (i, /= 1, 2,3)
представляет так называемый тензор абсолютной диэлектрической
проницаемости еа; при этом равенства A.43) в сокращенном виде
записываются так: D = eaE.
Существуют также материальные среды, в которых неколлине-
арными оказываются векторы В и Н, так что
По аналогии с предыдущим девять величин jxa*7 образуют тензор
абсолютной магнитной проницаемости jia-
Вещества с тензорными характеристиками называют анизотроп-
анизотропными средами. Анизотропия диэлектрических или магнитных
свойств веществ всегда связана с тем, что в них существует некото-
некоторое-преимущественное пространственное направление. Таким на-
направлением может служить какая-либо специфическая ось кристал-
кристаллической решетки или направление, в котором приложено постоян-
постоянное внешнее поле.
1.10. Поляризационные и сторонние токи
Эффект поляризации диэлектриков, рассмотренный в § 1.9, свя-
связан с перемещением в пространстве заряженных частиц. Это равно-
равносильно тому, что в области, занятой диэлектриком, протекают
некоторые токи, называемые поляризационными. Следует подчерк-
подчеркнуть, что между токами проводимости и поляризационными токами
нет принципиальной разницы с точки зрения их способности созда-
создавать магнитное поле.
Запишем уравнение непрерывности относительно плотностей по-
поляризационного заряда рп и поляризационного тока Jn:
-^! div К. A.45)
Одновременно с этим, дифференцируя по времени обе части фор-
формулы A.29), будем иметь
.J^^div^L. (Мб)""
dt dt
Сравнивая выражения A.45) и A.46), приходим к выводу, что в
каждой точке пространства плотность поляризационного тока есть
производная по времени от вектора поляризованности:

32 . Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма
J.= ^-. A-47)
Теперь можно, наконец, расшифровать физический смысл тех
составляющих, из которых складывается вектор плотности суммар-
суммарного тока J, входящий в формулу A.18). Два первых слагаемых
уже известны — это плотность тока смещения годЕ/dt и плотность
тока проводимости аЕ. Процесс поляризации диэлектрической сре-
среды добавляет плотность поляризационного тока dP/dt.
Общность всех трех перечисленных здесь токов состоит в том,
что их плотности зависят от состояния самого исследуемого элек-
электромагнитного поля в выбранной точке пространства. В этом смыс-
смысле упомянутые токи можно назвать «внутренними» или «собствен-
«собственными».
Обширный ряд инженерных задач связан с нахождением элек-
электромагнитных полей, создаваемых внешними источниками. Сюда
относятся, например, проблемы расчета и проектирования антенн,
которые возбуждают в пространстве электромагнитные волны. При
этом, как правило, полагают, что токи в антенне вызываются внеш-
внешними источниками (генераторами) и никак не зависят от возбуж-
возбуждаемого ими электромагнитного поля. Подобные токи принято на-
называть сторонними. Векторное поле плотности сторонних токов JCT
ларяду с уже упоминавшимися плотностями должно фигурировать
как заранее заданная функция в правой части закона полного тока
A.18).
Итак, дифференциальная форма закона полного тока принима-
принимает развернутый вид:
rot H=eo-^- + -^-+*E + Ja. A.48)
Поскольку D = 8oE+P, первый и второй члены в правой части
A.48) можно объединить и получить эквивалентную форму
rot H=-^-+aE-fJCI, A.49)
которая обычно встречается в литературе.
ЗАДАЧИ
1.1. Изобразите графически картины силовых линий следую-
следующих векторных полей: а) А= (#+10) ь, б) B = 3z2iy.
1.2. Найдите ротор и дивергенцию следующих векторных полей,
заданных в декартовой системе координат:
а) А = 2 cos axix+3 sm2bziy>
б) B =

Задачи 33
1.3. Вычислите напряженность электрического поля в латунной
ленте толщиной 0.12 мм и шириной 10 мм, по которой протекает
постоянный ток 150 мА.
1.4. Бесконечно длинный цилиндр радиусом 50 мм равномерно
заряжен с поверхностной плотностью 10~5 Кл/м2. Цилиндр нахо-
находится в воздухе. Определите напряженность электрического поля,
создаваемого цилиндром, на расстоянии 10 м от оси.
1.5. Постоянный ток 2.5 А протекает по проводнику, сечение ко-
которого представляет квадрат со стороной 8 мм. Найдите прибли-
приближенное значение напряженности магнитного поля на поверхности
проводника.
1.6. Покажите, что в системе из двух коаксиальных проводни-
проводников диаметрами а и Ъ (а<&), по которым протекают равные, но
противоположно направленные токи, магнитное поле будет отсут-
отсутствовать на любых расстояниях от оси, превышающих радиус внеш-
внешнего цилиндра.
1.7. В вакууме создано электромагнитное поле, гармонически
изменяющееся во времени; в некоторой точке пространства вектор
Е= 130 cos Bя- 1010/)i* В/м. Найдите вектор электрического смеще-
смещения D в данной точке.
1.8. В вакууме создано однородное магнитное поле H=Hz(t)iz.
Проекция Hz(t) меняется во времени по гармоническому закону с
частотой 600 Гц и амплитудой 25 А/м. Найдите амплитуду ЭДС,
наводимой данным полем в проводящей рамке площадью 0.3 м2.
Плоскость рамки совпадает с плоскостью XOY декартовой системы
координат.
1.9. В диэлектрике с относительной проницаемостью 8 = 3.5 соз-
создано однородное электрическое поле, напряженность которого рав-
равна 800 В/м. Найдите модуль вектора электрической поляризован-
ности.
1.10. Некоторый анизотропный диэлектрик имеет тензор отно-
относительной диэлектрической проницаемости, который в декартовой
системе координат имеет следующий вид:
F.5 0 о
0 6.5 0
0 0 6.65
В диэлектрике создано однородное электрическое поле Е=2.5!л+1
+ 1.7 iy+9.2 \z В/м. Определите вектор электрического смещения D.
1.11. Применительно к условиям задачи 1.10 вычислите компо-
компоненты тензора е рассматриваемого анизотропного материала в но-
новой декартовой системе координат, полученной из исходной систе-
2—1379

34 Глава 2. Уравнения Максвелла
мы путем вращения вокруг оси х на угол 60° в направлении по
часовой стрелке. Указание: примените известные из линейной
алгебры формулы, связывающие проекции вектора в повернутых
системах координат.
Глава вторая
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
В 1873 г. вышла в свет выдающаяся работа Дж. Кларка Макс-
Максвелла A831—1879) «Трактат об электричестве и магнетизме».
В этой книге были окончательно сформулированы уравнения, кото-
которые обобщили все открытые к тому времени свойства электриче-
электрических зарядов, токов и электромагнитных полей. Несмотря на то что
за истекшее столетие физика продвинулась далеко вперед в пони-
понимании природы электромагнетизма, уравнения Максвелла по-преж-
по-прежнему служат прочным фундаментом тех областей науки, которые
связаны с практическим использованием электромагнитных явле-
явлений.
В оригинальной работе Максвелла применялась сложная форма
записи основных уравнений, что затрудняло их понимание. Урав-
Уравнения Максвелла приобрели современный вид в трудах Г. Герца
A857—1894), Г. Лоренца A853—1928) и О. Хевисайда A850—
1925).
2.1. Сводка уравнений Максвелла
Ниже со справочными целями приведена система уравнений
Максвелла, каждое из которых по отдельности обсуждалось в гл. 1.
Уравнения Максвелла в интегральной форме
2. (j)Edl= — f BdS.
1 to i
. (j)DdS=J
3. Cp»dS= )puV. B.1)
v
4. CpBdS=O.
s
5. D^=saE.

2.1. Сводка уравнений Максвелла 35
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
1. . rot H = -^
2. rot E= —
dt
3. div D=P. B.2)
4. . div B = 0.
5. D = eaE.
6. B=^aH.
В этих системах основными являются уравнения 1 и 2, первое
из которых отображает закон полного тока, а второе — закон элек-
электромагнитной индукции. Часто говорят, что соотношения 1 и 2 об-
образуют первую группу уравнений Максвелла.
Во вторую группу входят уравнение 3, являющееся записью за-
закона Гаусса, и уравнение 4, которое отображает закон неразрыв-
неразрывности силовых линий магнитного поля.
Наконец, третью группу образуют материальные уравнения 5 и
6, которые характеризуют электродинамические свойства матери-
материальной среды.
Чаще всего при решении задач электродинамики используют
уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Входящие в них
операции rot и div представляют собой некоторые комбинации
частных производных первого порядка от проекций векторных по-
полей; конкретные формы записи зависят от выбранной координат-
координатной системы (см. Приложение А).
Отметим, что достаточно найти один электрический вектор, на-
например Е, и один магнитный вектор, например Н. Оставшиеся два
вектора можно получить, воспользовавшись материальными урав-
уравнениями.
Таким образом, уравнения Максвелла представляют собой си-
систему дифференциальных уравнений в частных производных пер-
первого порядка относительно шести неизвестных функций (например,
Ех, Еу, Ez, Нх, Ну, #2), которые зависят в общем случае от трех
пространственных координат х} у, z и от времени t.
В большинстве практически интересных случаев можно обос-
обоснованно считать, что рассматриваемые материальные среды явля-
являются линейными (см. § 1.9). В подобных средах имеет место фун-
фундаментальный принцип суперпозиции электромагнитных полей: ес-
если (Ei, Hi) и (Е2, Н2)—частные решения уравнений Максвелла,
то решением будет и сумма вида (а^ + ЯгЕг, aiHi + a2H2) с произ-
произвольными постоянными коэффициентами а\ и а2. Принцип супер-

36 Глава 2. Уравнения Максвелла
позиции непосредственно следует из того, что операция дифферен-
дифференцирования по времени d/dt и векторные дифференциальные
операции rot и div являются линейными.
Отмеченное здесь свойство линейности существенно облегчает
анализ многих электродинамических задач. Тем не менее решить
систему шести уравнений Максвелла в ситуациях, достаточно при-
приближенных к реальным, зачастую весьма сложно. Прикладная
электродинамика вынуждена прибегать к всевозможным прибли-
приближенным методам, а также использовать приемы численного анали-
анализа, реализуемые с помощью компьютеров.
2.2. Уравнения Максвелла для гармонических колебаний.
Комплексные амплитуды полей
В систему уравнений Максвелла входят частные производные по
четырем аргументам: х, у, z и t. Процедура решения несомненно
упростится, если из уравнений удастся исключить временную пере-
переменную t. Этого легко добиться, если рассматриваемый электро-
электромагнитный процесс протекает во времени по гармоническому зако-
закону с некоторой постоянной частотой со. Такие процессы часто встре-
встречаются на практике. К тому же, зная поведение поля на всех
частотах, можно воссоздать поле с любым законом изменения во
времени, воспользовавшись методом преобразования Фурье [2].
В наиболее общем случае вектор какого-либо поля, например
Е, изменяющегося во времени по гармоническому закону, в некото-
некоторой заданной точке пространства записывается так:
Е (/) = Етх cos Ы + ъ) lx + Ету cos (со/ + Ь) iy + Em2 cos (со/ + Ъ) \г.
B.3)
Здесь EmXt Ету, Emz—амплитуды отдельных составляющих поля;
фх, Фу» Ц>г — соответствующие начальные фазы. Все шесть перечис-
перечисленных величин являются действительными числами.
Эквивалентная запись формулы B.3) такова:
Е а)=Ы(Ет*е"*1*+ EmyeJfyiy + Em2eJ42) e'"']. B.4)
Вектор
* !ь'Чг, B.5)
принимающий в общем случае комплексные значения, принято на-
называть комплексной амплитудой поля Е в заданной точке прост-
пространства. При этом считается, что частота со изменения поля во
времени известна. В дальнейшем все комплексные амплитуды бу-
будут помечаться точками сверху.

2.2. Уравнения Максвелла для гармонических колебаний 37
Метод комплексных амплитуд широко применяют в теории
электрических цепей. Однако следует указать на весьма сущест-
существенное обстоятельство: в электродинамических задачах комплекс-
комплексные амплитуды выступают как пространственные, в общем случае
трехмерные, векторы. Поэтому изобразить их в виде некоторых
вспомогательных векторов, вращающихся на комплексной плоско-
плоскости, принципиально невозможно. Экспоненциальные множители с
мнимыми показателями, входящие в комплексные амплитуды от-
отдельных проекций поля, характеризуют исключительно фазовые
соотношения- между проекциями. Например, если комплексные
амплитуды двух гармонически изменяющихся во времени векторов
имеют вид Ei=?oix и Е2 = /?'оЬ, то это отнюдь не означает, что эти
два вектора образуют в пространстве угол 90° (в действительности
оба вектора параллельны орту i*), а лишь говорит о том, что при
изменении во времени вектор Е2 опережает вектор Ei на четверть
периода.
Мгновенное значение вектора, гармонически изменяющегося во
времени, выражается через комплексную амплитуду следующим
образом:
E(O = Re(Ee'"'). B.6)
Пример 2.1. Вектор поля Н изменяется по грамоническому за-
закону с частотой f = 2 ГГц=2-109 Гц, имея в некоторой фиксирован-
фиксированной точке пространства комплексную амплитуду Н = 120 е/30° ix+
+ 50 е^'45* i^ + 75 e~^60°iz. Найти мгновенное значение данного векто-
вектора как функцию времени.
Применив формулу B.6), получаем
Н @ = 120 cos Dя.109/ +30°) i
+ 75 cosDrt.l09^-60o)iz.
Комплексные амплитуды легко ввести в уравнения Максвелла,
полагая, что величины Ё(лг, у, z), H (х, г/, г) и т. д. зависят от про-
пространственных координат. Возьмем, например, первое уравнение
Максвелла из системы B.2) и подставим в него соответствующие
векторные поля, выраженные через комплексные амплитуды:
rot Re(He/m0=—— Re (be'*') +aRe(Eey"l+Re(JCTe/a>/)- B.7)
Изменяя порядок следования дифференциальных операций и опе-
операции взятия действительной части, что всегда допустимо, а затем

38 Глава 2. Уравнения Максвелла
сокращая на общий экспоненциальный множитель, получаем
rotH = ycoU + oE + JCT. B.8)
Таким образом, переход к комплексным амплитудам полей со-
совершается по тем же правилам, что и в теории цепей, — оператор
дифференцирования по времени, действующий на мгновенное зна-
значение поля, заменяется множителем /со при соответствующей комп-
комплексной амплитуде.
Аналогично преобразуются остальные уравнения Максвелла.
Приведем их окончательную сводку:
1. rot H = >
2. rotE=— >B.
3. divD=p. B.9)
4. divB=0.
5. D=saE.
6. В=цД
Именно такая форма записи уравнений Максвелла обычно встре-
встречается в прикладных исследованиях и расчетах.
2.3. Комплексная диэлектрическая проницаемость.
Угол диэлектрических потерь
Рассмотрим электромагнитный процесс в материальной среде с
конечным значением удельной проводимости or. Объединив уравне-
уравнения 1 и 5 из системы B.9), получим
rot H = y<oeaE + JCT> B.10)
где величина
4= ва-/«/<«> BЛ1)
представляет собой комплексную диэлектрическую проницаемость
данного вещества.
Введя этот параметр, можно одновременно учесть как поляри-
поляризационные, так и проводящие свойства вещества. Значение дейст-
действительной части комплексной диэлектрической проницаемости опи-
описывает интенсивность процесса поляризации, в то время как мни-
мнимая часть учитывает плотность токов проводимости.

2.4. Энергетические соотношения. Вектор Пойнтинга
39
Пример 2.2. Морская вода характеризуется параметрами е = 75,
а=4 См/м. Частота поля /=100 кГц. Сравнить степень выражен-
выраженности процессов поляризации и электропроводности в этой среде на
указанной частоте.
По формуле B,11) находим комплексную диэлектрическую про-
проницаемость:
е~ = 75A0-9/C6л))-у4/Bя.105)=б.63.10-1°-76.36.10-6 Ф/м.
Отсюда следует, что при заданной частоте плотность тока прово-
проводимости в морской воде на четыре порядка превосходит суммарную
плотность токов смещения и поляризации.
Изображая число еа в виде вектора на комплексной плоскости
(рис. 2.1), можно описывать соотношение между действительной и
мнимой частями комплексной проницаемо-
проницаемости при помощи угла б, который называют
углом диэлектрических потерь. Чем больше
этот угол, тем значительнее доля электро-
электромагнитной энергии, рассеиваемой в виде
теплоты при протекании токов проводимо-
проводимости. В справочных таблицах обычно при-
приводят значения тангенса этого угла:
tg 8=°/(«>ea). B.12)
Рис. 2.1. Угол диэлектри-
Тангенс угла потерь хороших диэлект- ческих потерь
риков на частотах СВЧ-диапазона лежит
в пределах от 10~5 до 10~4; если tg6>10~3, то такой диэлектрик
принято считать плохим.
2.4. Энергетические соотношения
в электромагнитном поле.
Вектор Пойнтинга
Электромагнитное поле способно накапливать и переносить энер-
энергию. Законы движения энергии в электромагнитном поле вытекают
из уравнений Максвелла.
Предположим, что внутри замкнутого объема У, ограниченного
поверхностью 5 (рис. 2.2), существует электромагнитное поле с не-
некоторым запасом энергии W. Будем считать, что внутри этого объ-
объема часть энергии поля необратимо превращается в теплоту, и
пусть Рдот — мгновенное значение мощности тепловых потерь. Энер-
Энергия злектоомагнитного поля может также изменяться во времени

40
Глава 2. Уравнения Максвелла
за счет действия сторонних токов, сосредоточенных внутри объема.
Обозначим символом Рст мгновенную мощность этих источников;
величину Рст будем считать отрицательной, если сторонние источ-
источники (генераторы) увеличивают энергию поля, и положительной,
если сторонние источники отбирают энергию из электромагнитного
поля,, действуя подобно внешним нагруз-
нагрузкам.
Наконец, предположим, что в каждой
точке поверхности задан некоторый век-
вектор П, своим модулем и направлением
характеризующий плотность потока мощ-
мощности. Вектор П имеет размерность Вт/
м2; если этот вектор ориентирован по
направлению от поверхности, это озна-
означает, что в точке задания данного векто-
вектора энергия покидает объем V.
На основании закона сохранения
энергии естественно полагать, что пере-
перечисленные выше физические величины
связаны между собой соотношением
Рис. 2.2. К доказатель-
доказательству теоремы Пойнтинга
Ф
dt
*пот *с
B.13)
В 1884 г. английский ученый Дж. Пойнтинг, развивая идеи
Максвелла, показал, что вектор плотности потока мощности элек-
электромагнитного поля
П=[ЕН].
B.14)
Данный вектор называют вектором Пойнтинга.
Для вывода формулы B.14) возьмем два первых уравнения
Максвелла
rotH=
dt
,_ dB
rotE = -—'
умножим скалярно первое уравнение на вектор Е, второе на вектор
Н, а затем почленно вычтем первое равенство из второго. В резуль-
результате получим
Н rotE-E rotH= -H-
дВ
ИГ
-Е
др
dt
B.15)

2.4. Энергетические соотношения. Вектор Пойнтинга 41
Левую часть этого уравнения можно преобразовать на основа-
основании известного тождества векторного анализа:
Н rotE-E rotH = div [EH].
Далее, так как В = |хаН, D = saE, то
»?»
Воспользовавшись этим, представим равенство B.15) в виде
лг ГРН1 д /BH+DE\ _2
div [ЕН]=—-^-^ J-gE2-JctE,
откуда, по теореме Остроградского — Гаусса,
д fBH + D
dS J
Г
J
V
V
f
J
V
B.16)
Сравнивая формулы B.13) и B.16), следует отождествить величи-
величину [ЕН] с плотностью потока мощности П, что и подтверждает
формулу B.14).
Наряду с этим интеграл
Г BH4-DE л
IF=J g dV B.17)
v
представляет собой полный запас энергии электромагнитного поля
внутри объема V в фиксированный момент времени. Энергия поля
распределена в пространстве непрерывно с объемной плотностью
(Дж/м3)
(BH + DE) ^ + ^. B.18)
Мощность тепловых потерь в объеме всегда положительна:
B.19)
Объемная плотность мощности тепловых потерь пропорциональ-
пропорциональна квадрату модуля вектора напряженности электрического поля:
°E'. B.20)

42 Глава 2. Уравнения Максвелла
Наконец, мощность сторонних источников
/>ст= jjCTEdl/ B.21)
V
распределена в пространстве с объемной плотностью
/?cx=JCTE, B.22)
которая может быть как положительной, так и отрицательной в за-
зависимости от взаимной ориентации векторов, фигурирующих в пра-
правой части последней формулы.
Пример 2.3. Пусть в некоторой точке пространства заданы не-
неизменные во времени векторы
А/м2,
16iz В/м.
На основании формулы B.22) плотность мощности сторонних
источников в данной точке рст = —30-25—80-40 + 45-16 = —3230
Вт/м3. Отрицательный знак данной величины свидетельствует о
том, что сторонние токи, существующие в малой окрестности рас-
рассматриваемой точки, совершают работу против сил поля и увеличи-
увеличивают его энергию.
Если электромагнитное поле изменяется во времени гармони-
гармонически, то вектор Пойнтинга можно выразить через комплексные
амплитуды Ё и Н соответствующих полей, поскольку действитель-
действительная часть любого комплексного числа есть полусумма комплексно-
сопряженных чисел, так что
-^/), B.23)
-/00'). B.24)
Подставляя данные выражения в формулу B.14), находим
4/2l0<}. B.25)
Здесь первое слагаемое в правой части неизменно во времени,
а второе изменяется с удвоенной частотой. Таким образом, процесс

2.4. Энергетические соотношения. Вектор Пойнтинга 43
переноса энергии в гармоническом электромагнитном поле харак-
характеризуется, с одной стороны, действительным вектором
г
^[E] B.26)
равным плотности потока мощности, усредненной за период, и, с
другой стороны, действительным вектором
Пкол=уКе([ёН]е/2ш'}, B.27)
который представляет собой колеблющуюся составляющую векто-
вектора Пойнтинга. Следует иметь в виду, что среднее за период значе-
значение вектора ПКОл равно нулю.
При анализе гармонических электромагнитных полей часто вво-
вводят комплексный вектор Пойнтинга
П= -1- [ЁН], B.28)
обладающий тем свойством, что
ncp=RelT. B.29)
Легко видеть, что имеется полная аналогия между комплексным
вектором Пойнтинга и известной из теории цепей комплексной
мощностью гармонического колебания. Если комплексный вектор
Пойнтинга оказывается мнимым, то это значит, что рассматривае-
рассматриваемый электромагнитный процесс в среднем за период не переносит
мощности. Принято говорить, что чисто мнимому значению комп-
комплексного вектора Пойнтинга отвечает перенос электромагнитным
полем реактивной мощности.
Пример 2.4. В некоторой точке пространства заданы комплекс-
комплексные амплитуды полей
Ё=51х-у81,+ 12е'80ж В/м,
Н=0.4е/45Х +1.6е-у45\ -0.75e~y6°eiz А/м.
Найти комплексный вектор Пойнтинга П и его действительную
часть Нср в данной точке.
Сопряженная комплексная амплитуда магнитного вектора

44
Глава 2. Уравнения Максвелла
Раскрывая векторное произведение в декартовой системе коорди-
координат, получим
— /8
-0.75е'"б0°
Преобразуя экспоненты с мнимыми показателями по формуле Эй-
Эйлера, находим, что
+ C.960+у'3.960) I, Вт/м2,
Пср= — 5.0831х+3.306!„ + 3.9601г Вт/м2.
Рис. 2.3. Передача энергии электромагнитного поля от источника к
нагрузке:
а — принципиальная схема цепи; б — конфигурация силовых линий поля в по-
поперечном сечении
Концепция вектора Пойнтинга позволяет правильно описывать
любые процессы передачи энергии электромагнитным полем. В ка-
качестве примера на рис. 2.3 представлен эскиз двухпроводной линии
передачи, вдоль которой энергия от источника постоянной ЭДС
передается резистивной нагрузке. Здесь же изображена примерная
картина силовых линий полей Е и Н. В каждой точке пространст-

2.5. Магнитный ток. Принцип двойственности
45
ва существует отличный от нуля вектор Пойнтинга, ориентирован-
ориентированный вдоль линии от генератора к нагрузке. Переносимая мощность
равна интегралу от вектора Пойнтинга по поперечной плоскости,
взятому в бесконечных пределах. Анализируя данную систему,
приходим к несколько неожиданному выводу — энергия переносит-
переносится не токами в проводниках, а электромагнитным полем в окружа-
окружающем пространстве. Наличие проводников и токов в них служит
лишь условием существования полей требуе-
требуемой конфигурации.
Другой интересный пример — система из
постоянного магнита и заряженного конден-
конденсатора, которые ориентированы так, как по-
показано на рис. 2.4. Здесь поля Е и Н не па-
параллельны, и поэтому в каждой точке прост-
пространства существует отличный от нуля вектор °
Пойнтинга П=[ЕН]. Однако никакого пере-
переноса энергии в данной системе нет. Дело в
том, что рассматриваемые поля статические,
токи проводимости отсутствуют и в соответ-
соответствии с уравнениями Максвелла
rot H = 0; rot E = 0,
Рис. 2.4. Система из
заряженного конден-
конденсатора и постоянного
магнита
откуда divII=0, а это означает, что в этой
физической системе векторное поле П не име-
имеет источников. Поток такого поля через замк-
замкнутую поверхность равен нулю, и поэтому
энергия электромагнитного поля внутри любого ограниченного объ-
объема постоянна.
2.5. Магнитный ток.
Принцип перестановочной двойственности
Рассмотрим картину магнитных силовых линий, возникающую
вблизи тонкой проводящей полоски шириной А, по которой проте-
протекает электрический ток /э (рис. 2.5, а). В непосредственной близо-
близости от проводника магнитные силовые линии в значительной мере
повторяют его контур. На самой поверхности проводника магнит-
магнитный вектор, касателен к плоскости полоски, отмеченной сплошной
линией. С удалением от полоски силовые линии, постепенно дефор-
деформируясь, превращаются в окружности.
На рис. 2.5, б изображена картина силовых линий электрическо-
электрического вектора в системе из двух заряженных металлических полу-
полуплоскостей, которые разделены зазором шириной А. С точностью
до направления стрелок в верхнем и нижнем полупространствах
эта картина тождественна той, которая рассматривалась ранее.

46
Глава 2. Уравнения Максвелла
Сходство картин данных полей позволяет чисто формально
предположить, что в щели параллельно кромкам протекает неко-
некоторый гипотетический ток /м, называемый магнитным током.
Подчеркнем, что в силу соленоидального характера магнитно-
магнитного поля (см. гл. 1) физических носителей магнитного тока не су-
существует. Понятие магнитного тока играет вспомогательную роль,
позволяя в ряде случаев значительно упростить расчеты.
rM
Рис. 2.5. Картина силовых линий поля:
а — магнитное поле вблизи проводящей полоски;
б — электрическое поле вблизи зазора между
двумя заряженными плоскостями
Геометрическое сходство полей на рис. 2.5, а, б есть следствие
симметрии двух основных уравнений Максвелла
rot Н = /«>еаЁ; rot Ё= — >
B.30)
которые переходят одно в другое при следующих перестановках:
Ё< >Н; еа« >-ца. B.31)
Если в правой части первого уравнения Максвелла фигурирует
плотность стороннего электрического тока JCT.3, то для сохранения
симметрии уравнений в правую часть второго уравнения следует
ввести гипотетическую плотность стороннего магнитного тока Jct.m,
такую, что
•'ст.э* * **ст.м.* B.62)
В этом случае система уравнений Максвелла принимает вид
rot H = >txaE + JCT.M,
B.33)
rot Ё= — >|iaH — JCT.M.
Соотношения B.31) и B.32) отображают принцип перестано-
перестановочной двойственности для электромагнитного поля. В соответст-

2.6. Лемма Лоренца 47
вии с этим принципом, если известно решение какой-либо электро-
электродинамической задачи, простая перестановка позволяет сразу полу-
получить решение двойственной (дуальной) задачи, в которой
конфигурация силовых линий магнитного поля повторяет конфигу-
конфигурацию силовых линий электрического поля в исходном процессе.
При этом, поскольку уравнения Максвелла не меняют своего вида,
дуальный электромагнитный процесс заведомо существует.
2.6. Лемма Лоренца
В теоретических вопросах важную роль играет соотношение,
называемое леммой Лоренца, которое устанавливает связь между
полями, возбуждаемыми в пространстве двумя независимыми си-
системами сторонних токов.
Пусть некоторая совокупность гармонических сторонних токов
(Jc(t?3, Jct!m) создает электромагнитное поле с комплексными
амплитудами (Ёь Hi), которое удовлетворяет системе уравнений
Максвелла
rot Н1Уа1 + ,
B.34)
rot Е^-уаПхД-J^M.
Наряду с этим рассмотрим другую систему сторонних токов
(Jct.^, Jc?!m) , имеющих ту же самую частоту. Эти токи возбужда-
возбуждают поле с комплексными амплитудами (Ё2, Н2), удовлетворяющи-
удовлетворяющими уравнениям
rot H2=>safe2+j^3,
B.35)
rot Ё23= — у^аН2 — Л-г?м.
Этапы вывода леммы Лоренца схожи с теми, которые исполь-
использовались при выводе формулы для вектора Пойнтинга. Умножим
скалярно первое уравнение из B.34) на вектор Е2, затем второе
уравнение из B.35) на вектор Hi и вычтем второе равенство из
первого. В результате получим
— div [Ё2НХ] = уа>еаЁ1Ё2 + ycoPaHitife + j?sE2 + j?MHi. B.36)
Теперь умножим скалярно второе уравнение из системы B.34) на
вектор Н2, первое уравнение из системы B.35) на вектор Ei и
вычтем второе уравнение из первого. При этом будем иметь
div[E!H2] = - ушеаЁ1Ё2 - /«VaHiHa - j?!sEi - J&mH2. B.37)

48 Глава 2. Уравнения Максвелла
Складывая почленно равенства B.36) и B.37), приходим к соот-
соотношению
di V [Ё1Н2] - di v[E2rii] = Ц\1%Е2 + HV.MUI - JcxlaE! - j ?MH2, B.38)
которое выражает лемму Лоренца в дифференциальной форме»
Векторные произведения [EiH2] и [E2Hi] в левой части можно
трактовать как взаимные векторы Пойнтинга двух независимых
электромагнитных процессов.
Возможна также интегральная формулировка рассматривае-
рассматриваемой леммы. Чтобы получить ее, допустим, что имеется конечный
объем V, ограниченный поверхностью 5. Применив теорему Ост-
Остроградского— Гаусса к формуле B.38), находим
f
S
- f ( J
V
-W.uH2)<lV. B.39)
Лемма Лоренца в форме B.38) или B.39) является полезным
инструментом решения многих задач электродинамики, особенно
связанных с расчетом антенн. Этот круг вопросов будет рассмот-
рассмотрен в гл. 17.
ЗАДАЧИ
2.1. Покажите, что векторное поле Н, изменяющееся во време-
времени и в пространстве по закону
H = 6* cos i&t\x-\-2 exp ( — 2y) sin Ы12,
не может быть полем магнитного вектора, который удовлетворяет
уравнениям Максвелла.
2.2. Покажите, что из четвертого уравнения Максвелла в не-
неоднородной среде, магнитная проницаемость которой есть функция
пространственных координат, вытекает следующее уравнение от-
относительно вектора напряженности магнитного поля:
div H=- — (H grad ца).
2.3. Известно, что некоторый электромагнитный процесс ха-
характеризуется тем, что все декартовы составляющие полей зави-
зависят лишь от координаты z. Используя уравнения Максвелла, по-
покажите, что при этом продольные проекции Ег и Hz векторов эле-
электромагнитного поля будут отсутствовать.
2.4. В некоторой точке материальной среды с параметрами 8=
=3.5 и а=6.2-10~1 См/м создано электрическое поле с частотой
600 МГц и амплитудой напряженности 15 В/м. Определите ампли-

Задачи 49
тудное значение и фазовый угол вектора плотности полного тока
в данной точке пространства.
2.5. Грозовая туча площадью 5 км2 располагается на высоте
2 км над поверхностью земли. Между тучей и землей образуется
постоянное электрическое поле с напряженностью 2-Ю5 В/м; оди-
одинаковое во всех точках. Оцените энергию этого поля.
2.6. Сердечник трансформатора массой 2 кг выполнен из ста-
стали плотностью 7.7 г/см3. Амплитуда вектора магнитной индук-
индукции в сердечнике 2.1 Тл. Найдите максимальное значение энергии,
запасаемой в сердечнике, если относительная магнитная прони-
проницаемость стали равна 200.
2.7. Комплексная амплитуда вектора напряженности электри-
электрического поля
(углы даны в радианах). Частота колебаний 2 МГц. Найдите
мгновенное значение вектора Е в момент времени 0.1 мкс.
2.8. При описании частотных свойств полярных диэлектриков
используют математическую модель, которая уподобляет молеку-
молекулярные диполи воображаемым твердым частицам, испытывающим
при движении вязкое сопротивление окружающей жидкости, При
этом связь между вектором поляризованности Р и вектором на-
напряженности электрического поля Е устанавливается дифферен-
дифференциальным уравнением
dt * Т
где а — некоторая постоянная, Г —так называемое время релак-
релаксации процесса поляризации. Получите формулу, описывающую
частотную зависимость комплексной диэлектрической проницае-
проницаемости подобной среды.
2.9. В некоторой точке пространства заданы вектор напряжен-
напряженности электрического поля YL=2Q\y В/м и вектор Пойнтинга П=
= 10iA;+30izBT/M2. Определите вектор напряженности магнитного
поля в данной точке, если известно, что Е_1_Н.
Глава третья
ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Основополагающие исследования Максвелла показали, что пе-
переменное во времени электромагнитное поле имеет волновой ха-
характер. В дальнейшем Герц подтвердил теоретическое предска-
предсказание Максвелла прямым экспериментом.

50 Глава 3. Плоские электромагнитные волны
В данной главе будет изучен простейший, но очень важный
вид волнового движения электромагнитного поля, называемый од-
однородными плоскими волнами.
3.1. Понятие волнового процесса.
Продольные и поперечные волны
Волнами в физике называют колебательные движения непре-
непрерывных сред. Существует принципиальная разница между волно-
волновыми процессами в сплошных средах и колебаниями токов и на-
напряжений в электрических цепях. Если в теории цепей состояние
системы полностью определяется конечным числом токов и на-
напряжений в отдельных ветвях, то для задания волнового процес-
процесса требуется знать его состояние в бесконечном множестве точек
пространства. Поэтому "говорят, что среда, в которой распростра-
распространяются волны, является распределенной физической системой.
а)
Рис. 3.1. Некоторые примеры волновых процессов:
а — звуковые волны в воздухе; б — волны на поверхности воды
Природа волновых явлений может быть самой разнообразной.
Так, известны электромагнитные волны, механические волны в
твердых, жидких и газообразных средах, волны на поверхности
моря и т. д.
Сравним два хорошо известных и легко представимых волновых
процесса — звуковые волны в воздухе и волны на поверхности во-
воды (рис. 3.1, а, б). Пусть эти волны распространяются в направ-
направлении слева направо или справа налево. Звуковые волны связаны
с перемещением в пространстве областей сжатия и разрежения
газа. Каждая отдельная частица газа колеблется вдоль направ-
направления распространения волны. Такие волны принято называть
продольными. В литературе можно встретить также термины аку-
акустические или скалярные волны.

3.2. Плоские волны и их характеристики 51
Совсем иной характер волн на поверхности воды. Здесь колеб-
колеблющиеся частицы перемещаются перпендикулярно направлению
распространения волны (строго говоря, предмет, плавшощий на
поверхности, описывает некоторую замкнутую кривую, однако
продольные перемещения значительно меньше поперечных)./Для
волн такого вида следует указывать ту плоскость, в которой про-
происходят колебания частиц. Эту плоскость называют плоскостью
поляризации, а сами волны — поперечными, поляризованными или
векторными. Нетрудно понять, что математическая теория попе-
поперечных волн сложнее теории продольных волн. Поэтому следует
ожидать, что в поперечных волнах наблюдается большее число
различных физических эффектов.
3.2. Плоские волны и их характеристики
Предположим, что в каждой точке пространства с декартовой
системой координат (х, у, г) определена некоторая величина v
(физическая природа ее на данном этапе безразлична), описывае-
описываемая формулой
v(z, t) = Vn cos (*t-$z)9 C.1)
где Vm, со, р— действительные числа. Говорят, что данная зависи-
зависимость является математической моделью однородной плоской
волны.
Рассматривая характер изменения величины v(z, t) в прост-
пространстве и во времени, заметИхМ прежде всего, что значения v по-
постоянны в любой плоскости, перпендикулярной оси z. Иными сло-
словами, мгновенные значения однородной плоской волны не зависят
от поперечных координат х и у.
Далее обратим внимание на то, что как временная, так и про-
пространственная зависимости величины v(z, t) описываются гармо-
гармоническими функциями. Действительно, зафиксировав точку z=0,
получим и@, t) = Vmcos(ut. Колебания в точке с координатой z>
>0 имеют вид v(z, t) =Vm cos (со/—pz), т. е. характеризуются те-
теми же амплитудой Vm и частотой со, однако запаздывают по фазе
на рг радиан. Сказанное поясняется кривыми на рис. 3.2, а.
Рассмотрим теперь «мгновенную фотографию» процесса v (z, t)
в начальный момент времени / = 0 (рис. 3.2, б). Данная зависи-
зависимость описывается гармонической функцией v (z, 0) = Vmcospz.
Параметр р играет роль «пространственной частоты» процесса и
называется коэффициентом фазы плоской волны. Величина р име-
имеет размерность рад/м или, короче, м.
Функция v(z, 0) периодична; ее период X называют длиной
волны. Между величинами р и X существует очевидная связь
. C.2)

52
Глава 3. Плоские электромагнитные волны
Чтобы изобразить график функции v(z, t) при />0, формулу
C.1) удобно записать в виде v (z, t) = VmCOs(^z—a)t). При этом
видно, что с ростом t фазовый сдвиг (ot увеличивается, так что ис-
исходная кривая v(z, 0) сдвигается вдоль оси вправо, т. е. в сторо-
сторону увеличения координаты z (рис. 3.2, б).
pz/cj
cot/a
Рис. 3.2. Однородная плоская волна:
а — изменение поля во времени; б — изменение поля в прост-
пространстве
Назовем плоскостью равных фаз или волновым фронтом вооб-
воображаемую бесконечно протяженную плоскость, перпендикулярную
оси г; координата z этой плоскости при любых t удовлетворяет
соотношению
— $z — const.
C.3)
Волновой фронт данной плоской волны перемещается вдоль оси
z с так называемой фазовой скоростью
dz d / u>t—const
Ф Л 4- Л ^ I О
at at \ p
Формулу C.4) можно представить и по-иному:
*Ф = Х/, C.5)
где /=со/Bя) —частота процесса, выраженная в герцах.
Итак, из трех параметров Уф, со, р лишь два можно выбирать
произвольно; третий параметр подчиняется соотношению C.4).
Пример 3.1. Электромагнитная волна распространяется в ва-
вакууме с фазовой скоростью Уф = с=3-108 м/с. Частота поля /=
=400 МГц. Определить длину волны X и коэффициент фазы р.
В данном случае X=cJf=0.75 м; р=2я/Я=6.28/0.75=8.378 м-1.

3.3. Затухание волн. Коэффициент распространения
53
Рассмотрим теперь однородную плоскую волну с математиче-
математической моделью вида
v (z; t)=rVm cos (urf-f jfe). C.6)
Все сказанное ранее применимо и к этому случаю, за исключени-
исключением того, что из уравнения волнового фронта co/+pz=const выте-
вытекает следующая формула для нахождения фазовой скорости:
Сравнивая выражения C.4) и C.7), убеждаемся, что плоская
волна, описываемая форму-
формулой C.6), распространяется <^joo%
- ° 81%
'/770
exp(-<xz)
влево, т. е. в сторону умень-
уменьшения координаты z. Y^-J~ 7г,9%
3.3. Затухание волн
в материальных средах.
Коэффициент
распространения
В любой реальной среде
амплитуда волнового про-
процесса неизбежно уменьшает-
уменьшается по мере распространения,
например за счет тепловых
потерь. Закон ослабления
амплитуды легко найти из следующих соображений. Предполо-
Предположим, что в начальной плоскости z=0 амплитуда имеет исходное
значение Vmo, принимаемое за 100% (рис. 3.3). Положим для
конкретности, что при прохождении одного метра пути амплитуда
волны уменьшается на 10%, т. е. Fmi = O.9l/mo = 9O%. Легко ви-
видеть, что l/m2 = 0.9Vmi = 81%, Vm3=0.9Vm2 = 72.9% и т. д. Общая
закономерность такова:
У то Ут\ VmN-\
0 12 3 4 5 z,n
Рис. 3.3. Уменьшение амплитуды плоской
волны при распространении в среде с по-
потерями
У т\ v ml
Из элементарной алгебры известно, что именно таким свойством
обладает показательная функция. Поэтому закон изменения амп-
амплитуды вдоль оси распространения в общем виде можно записать
так:
Vm(z) = VmOe , w-")
где а — коэффициент ослабления плоской волны в среде. Эта дей-
действительная величина имеет, подобно коэффициенту фазы, размер-
размерность м~!.

54
Глава 3. Плоские электромагнитные волны
В технических расчетах часто используют особую логарифми-
логарифмическую единицу — погонное затухание ДПОг, которое измеряют в
децибелах на метр (дБ/м) и определяют по формуле
Апог = 20 lg (VmdVml)'=20 lg(e") = 8.686a. C.9)
Чтобы оценить удобство пользования логарифмическими еди-
единицами затухания, рассмотрим следующий пример.
Пример 3.2. В начальной плоскости z=0 амплитуда вектора
напряженности электрического поля плоской электромагнитной
волны Em(Q) =700 В/м. Погонное затухание АПОг=0.2 дБ/м. Вы-
Вычислить амплитуду Ет D00) в плоскости с координатой г=400м.
Очевидно, что полное затухание волны вдоль пути распростра-
распространения составит 0.2-400 = 80 дБ, откуда lg[?m@)/?mD00)] =
= 80/20=4. Вычисляя антилогарифм, получаем ЕтD00) =Ет@)/
/104=0.07 В/м. Следует обратить внимание на существенное (в
10 000 раз) уменьшение амплитуды поля.
Объединив формулы C.1) и C.8), можно записать общее вы-
выражение для пространственно-временного распределения мгновен-
мгновенных значений поля однородной
плоской волны в среде с зату-
затуханием:
v (zy t) = 1/mQ&~az cos (со/ — р<г).
C.10)
Соответствующие кривые для
значений /=0 и />0 изобра-
изображены на рис. 3.4. График функ-
функции УтОехр(—аг), выполняю-
выполняющей роль огибающей кривых,
показан штриховой линией.
Так как зависимость вида
C.10) является гармонической
относительно аргумента t, мож-
можно воспользоваться методом
комплексных амплитуд. Оче-
Очевидно, что комплексная амп-
C.11)
Рис. 3.4. Распределение мгновенных зна-
значений волнового процесса в среде с по-
потерями
литуда данного поля
V (z) = l/mOe-"e-^=
поскольку
v(zt t) = Re[V(z)ef<i>t

ЗА. Волновой характер переменного поля 55
Коэффициент фазы р и коэффициент ослабления а объединя-
объединяют в единую комплексную величину — так называемый коэффи-
коэффициент распространения
C.12)
такой, что комплексная амплитуда поля плоской волны, распро-
распространяющейся в сторону возрастания координаты z, имеет вид
VmQe-u. C.13)
Соответственно комплексная амплитуда волны, распространяю-
распространяющейся или, как часто говорят, бегущей в сторону уменьшения ко-
координаты z, такова:
V(^(z) = VmOe<2. C.14)
В частном случае, когда потери отсутствуют и амплитуда поля
постоянна вдоль z, коэффициент распространения y=j$ оказыва-
оказывается чисто мнимым. Возможен и другой частный случай, когда
коэффициент распространения чисто действительный: 7 = <*. При
этом волновой процесс, по сути, не существует; колебания v(z, t)
во всех точках пространства происходят с одной и той же фазой,
отличаясь лишь амплитудами.
3.4. Волновой характер
переменного электромагнитного поля.
Уравнение Гельмгольца
Проведенное выше исследование свойств волновых процессов
носило несколько абстрактный характер и не было связано с кон-
конкретными физическими явлениями. Обращаясь к интересующим
нас электромагнитным полям, докажем, что одним из частных ре-
решений уравнений Максвелла в неограниченном пространстве слу-
служат однородные плоские волны.
Рассмотрим бесконечное трехмерное пространство с заданными
электродинамическими параметрами еа, \ia, одинаковыми во всех
точках. Предположим, что свободные электрические заряды отсут-
отсутствуют, так что их объемная плотность р=0. Электромагнитный
процесс, гармонически изменяющийся во времени с частотой со,
характеризуется комплексными амплитудами полей Ё и Н, кото-
которые удовлетворяют системе уравнений Максвелла
1. rot Н = уо)ГаЕ. 2. rot Ё=— >[хаН.
C.15)
3. div Ё = 0. 4. div H=0.

56 Глава 3. Плоские электромагнитные волны
Преобразуем систему C.15) таким образом, чтобы свести ее
к эквивалентному уравнению относительно комплексной амплиту-
амплитуды Ё вектора напряженности электрического поля. Для этого
применим дифференциальную операцию rot к обеим частям урав-
уравнения 2, а затем воспользуемся выражением rot H из левой ча-
части уравнения 1:
rotrot Ё=—/со|*а rot Н=со2га[хаЁ. C.16)
Примем во внимание (см. Приложение Б), что
rotrot E=grad div Ё — v2E,
или в силу уравнения 3
rotrot Ё=— V2E.
Тогда уравнение C.16) преобразуется к виду
V2E + aJs>aE=0. C.17)
В теории волновых процессов равенство C.17) получило название
уравнения Гельмгольца в честь немецкого ученого Германа Гельм-
Гельмгольца A821—1894).
Введем параметр у, в общем случае комплексный, удовлетво-
удовлетворяющий соотношению
Y2=-tV C.18)
Будет показано, что у представляет собой коэффициент распро-
распространения плоской волны, изучавшийся в § 3.3. Уравнение Гельм-
Гельмгольца приобретает при этом вид
0. C.19)
Очевидно, что таким же окажется уравнение относительно комп-
комплексной амплитуды вектора напряженности магнитного поля
0. C.20)
Уравнения C.19) и C.20) являются однородными (с нулевой
правой частью) векторными дифференциальными уравнениями
второго порядка. Каждое из них эквивалентно трем дифферен-
дифференциальным уравнениям в частных производных относительно де-
декартовых проекций комплексных амплитуд векторов поля. На-
Например, представив (ЗЛ9) в развернутой форме, получаем систе-
систему уравнений

ЗА. Волновой характер переменного поля
57
Ох*
У
Г"
C.21)
Ill u*c* I
.9 i ^77" +
_v2/7 о
Решение данной системы относительно трех неизвестных функ-
функций Ёх, Ёу, Ёг, каждая из которых в
свою очередь зависит от трех простран-
пространственных координат х, у, г, описывает в
общем случае поле с весьма сложной
пространственной конфигурацией. Пре-
Предельно упрощая задачу, будем считать,
что:
1) проекция Ёхф0, в то время как
Ёу=?г=0;
2) отличная от нуля проекция ?х за-
зависит лишь от координаты г (для кон-
конкретности), так что d/dx=d/dy=0.
В данном частном случае система
C.21) сводится к одному дифференци-
дифференциальному уравнению второго порядка уже
не в частных, а в обыкновенных произ-
производных, поскольку на основании предпо-
предположения 2 производную d2/dz2 следует
заменить на d2/dz2:
Рис 3 5 Нахождение коэф-
коэффициентов распространения
плоской волны
C.22)
Общее решение этого линейного уравнения с постоянными ко-
коэффициентами представляет собой сумму двух экспоненциальных
слагаемых:
ТЛ C.23)
где 7i,2 — корни уравнения C.18).
Изучим расположение этих корней на комплексной плоскости.
Для этого заметим, что величина
имеет отрицательную действительную и положительную мнимую
части, т.е. отображается вектором во II квадранте (рис. 3.5).
Квадратный корень из этого комплексного числа имеет два значе-
значения. Одно из них, главное, обозначается здесь как 7ь имеет ар-
аргумент arg7i = 72arg72 и лежит в I квадранте. Второе значение

58 Глава 3. Плоские электромагнитные волны
квадратного корня уъ=—Yi- Это число отображается вектором в
III квадранте.
В дальнейшем будем считать, что число
C.24)
представляет собой главное значение квадратного корня из у2,
т.е. 7=уь Тогда формулу C.23) можно переписать так:
C.25)
Сравнивая эту формулу с выражениями C.13) и C.14), при-
приходим к выводу о том, что полученное здесь частное решение
уравнения Гельмгольца описывает однородные плоские волны.
Первому слагаемому правой' части отвечает плоская электромаг-
электромагнитная волна, распространяющаяся в сторону уменьшения г. Вто-
Второе слагаемое описывает такую же волну, бегущую в сторону
возрастания координаты г. Эти волны никак не связаны между
собой, так как им соответствуют два линейно независимых реше-
решения дифференциального уравнения C.22).
3.5. Понятие характеристического сопротивления.
Плотность потока мощности
в плоской электромагнитной волне
Найдя комплексную амплитуду вектора напряженности элек-
электрического поля в виде C.25), можно определить комплексную
амплитуду вектора напряженности магнитного поля, воспользо-
воспользовавшись уравнением 2 из системы C.15):
H=-^-rot Ё. C.26)
O)fX
Рассмотрим электромагнитную волну, которая распространя-
распространяется в сторону z>0 и характеризуется комплексной амплитудой
Ё=?*ехр (—yz)ix. Представив дифференциальную векторную
операцию rot в развернутой форме, имеем
Н =
j
дх ду dz
•xe~U 0 О
C.27)
Раскрывая символический определитель по элементам первой
строки, убеждаемся, что

3.5. Понятие характеристического сопротивления 59
или, подставив величину у из выражения C.24),
^— ?>~~т\. C.28)
Отсюда можно сделать ряд существенных выводов:
Ф Если вектор Е ориентирован вдоль оси х, то вектор Н направ-
направлен вдоль оси у, т. е. в однородной плоской волне векторы Е
и Н перпендикулярны.
# Оба вектора, Е и Н, перпендикулярны оси распространения,
поэтому однородная плоская электромагнитная волна являет-
является поперечной волной.
0 Значения комплексных амплитуд векторов Е и Н в любой
. точке пространства связаны некоторым коэффициентом про-
пропорциональности.
На основании последнего из перечисленных свойств в электро-
электродинамике вводят понятие характеристического (волнового) сопро-
сопротивления той физической среды, в которой распространяются од-
однородные плоские волны. По определению, характеристическое
сопротивление Zc равно отношению комплексных амплитуд соот-
соответствующих проекций векторов напряженности электрического
и магнитного поля. В данном случае
Zc=EjHy. C.29).
Так как вектор Е имеет размерность В/м, а вектор Н — размер-
размерность А/м, то характеристическое сопротивление выражается в
омах. На основании равенства C.28) получаем формулу, выра-
выражающую характеристическое сопротивление через параметры
среды:
** • C.30)
Пользуясь понятием характеристического сопротивления, мож-
можно существенно упростить практические расчеты. ^Например, с
помощью формулы C.29) по известным величинам Ёх и Zc удает-
удается сразу вычислить комплексную амплитуду Ну, не решая заново
уравнений Максвелла.
Подчеркнем, что сопротивление Zc есть коэффициент •пропор-
•пропорциональности, не связанный в общем случае с тепловыми потеря-
потерями энергии в среде.
Плотность потока мощности плоской электромагнитной волны
равна среднему за период значению вектора Пойнтинга
eU=V2Re [EH]=V2Re (ЁХНУ) ll,y=VaRe (ДД,) К- C.31)
Этот вектор, как видно из последней формулы, ориентирован
вдоль оси распространения волны.

60 Глава 3. Плоские электромагнитные волны
Плотность потока мощности в однородной плоской волне
можно выразить не через обе полевые величины Ёх и Ну, а толь-
только через одну из них. Для этого следует воспользоваться соотно-
соотношением C.29), что приводит к выражению
^(^) C.32)
или
h^ ReZc. C.33)
В прикладных расчетах эти выражения часто оказываются более
удобными, нежели общая формула C.31).
Изучаемые нами электромагнитные процессы происходят в
безграничном изотропном физическом пространстве, свойства ко-
которого одинаковы для волн, распространяющихся в любых на-
направлениях. Введя в этом пространстве правовинтовую декарто-
ву систему координат (в этой системе кратчайшее вращение век-
вектора \у до совпадения с вектором iz представляется в направле-
направлении против движения стрелки часов, если смотреть с конца век-
вектора 1*), мы наделили пространство определенной геометрической
структурой и можем различать волны, движущиеся в противопо-
противоположных направлениях вдоль оси z. Так, повторяя приведенные
ранее выкладки, убеждаемся, что для электромагнитной волны,
распространяющейся в сторону z<0 и имеющей комплексную
амплитуду вектора напряженности электрического поля Ё =
= ?^ехр (уг)\х, комплексная амплитуда у-й проекции вектора на-
напряженности магнитного поля
Йу= - V S>a Ex ехр(уг), C.34)
откуда [ср. с формулой C.29)]
Bx/Hy^-Zc. C.35)
Отрицательный знак в этом выражении связан с тем, что дан-
данная волна переносит энергию в сторону уменьшения координа-
координаты z. Соответственно отрицательными оказываются и правые ча-
части формул C.32) и C.33).
3.6. Некоторые частные случаи
Далее в качестве примеров будут исследованы характеристики
однородных плоских электромагнитных волн, распространяющих-
распространяющихся в некоторых важных для практики физических средах.

3.6. Некоторые частные случаи 61
Вакуум. Данная идеальная среда имеет параметры еа=е0,
|Ха = [х0, а=0. Коэффициент распространения плоских волн в ва-
вакууме
y = JuV ?(^0 C.36)
оказывается мнимым, что свидетельствует об отсутствии затуха-
затухания волн (а=0).
Коэффициент фазы плоской волны в вакууме
C.37)
откуда на основании формулы C.4) фазовая скорость
с. C.38)
Таким образом подтвержден один из основных результатов тео-
теории Максвелла — фазовая скорость однородной плоской волны в
вакууме равна скорости света независимо от частоты. В физике
среды с такими свойствами называют средами без частотной дис-
дисперсии фазовой скорости.
Характеристическое сопротивление вакуума принято обозна-
обозначать символом Zq\ при этом
Ом. C.39)
проек-
проекC.40)
На основании выражения C.32) среднее значение 2-й проек-
проекции вектора Пойнтинга плоской волны в вакууме
Пример 3.3. Среднее значение плотности потока мощности пло-
плоской электромагнитной волны в вакууме составляет 5 Вт/м2. Оп-
Определить амплитудное значение х-й проекции вектора напряжен-
напряженности электрического поля и у-й проекции вектора напряженности
магнитного поля.
По формуле C.40),
Exm=V 240дПср2 =61.4 В/м.
Воспользовавшись понятием характеристического сопротивления
вакуума, получаем
Hym=Exm/ZQ=0A6 А/м.
Величина Zo действительная, а это означает, что гармониче-
гармонические поля Е и Н колеблются в фазе. Этот факт принято иллю-

62
Глава 3. Плоские электромагнитные волны
стрировать, изображая пространственные распределения векторов
электромагнитного поля в фиксированный момент времени (рис.
3.6).
Отметим, что атмосферный воздух при нормальных условиях
настолько схож по своим электродинамическим свойствам с ва-
вакуумом, что в подавляющем боль-
большинстве случаев для расчетов
электромагнитных полей в возду-
воздухе можно использовать формулы
C.38) —C.40).
Магнитодиэлектрическая сре-
среда без потерь. В подобной среде
относительная диэлектрическая
проницаемость е, либо относи-
Рис. 3.6. Эскиз векторов плоской тельная магнитная проницаемость
электромагнитной волны, распрост- ji, либо обе перечисленные вели-
раняющейся в вакууме чины удовлетворяют неравенст-
неравенствам е>1, ji>1. Удельная прово-
проводимость а, обусловливающая тепловые потери, равна нулю. Фазо-
Фазовая скорость однородных плоских волн в такой среде
I 1 с
C.41)
в ]/^|х раз меньше скорости распространения электромагнитных
волн в вакууме.
Пример 3.4. Найти длину волны Я в среде без потерь, имею-
имеющей параметры 8=5, [i=7 на частоте /=200 МГц.
Фазовая скорость иф = 3- 108/У5^~7=5.07-107 м/с. Отсюда длина
волны А,= 0ф//=0.2535 м.
Характеристическое сопротивление магнитодиэлектрической
среды
C.42)
увеличивается с ростом магнитной и уменьшается с ростом ди-
диэлектрической проницаемости.
Диэлектрик с малыми потерями. В радиотехнических устрой-
устройствах часто используют немагнитные (jut= 1) диэлектрики, угол
потерь у которых весьма мал _(tg6« 10~3-4-10~5). Выведем при-

3.6. Некоторые частные случаи ¦ 63
ближенные формулы для расчета основных характеристик пло-
плоских электромагнитных волн в таких материалах, основываясь на
том, что абсолютная комплексная диэлектрическая проницае-
проницаемость 8а = 8аA / tg 6) .
По общей формуле C.24), коэффициент распространения
>0 =/а>КГ V^o V 1-ytg 8. C.43)
Поскольку tg6<Cl, радикал можно разложить в ряд Тейлора и
с точностью до величин порядка (tg бJ получить
V 1-У tg 5~ 1 - У tg Ь/2^ 1 — у 8/2.
Подставив этот результат в формулу C.43), приходим к следую-
следующим приближенным выражениям для коэффициента фазы и ко-
коэффициента затухания:
Р^о)]/е0(х0 ]/Т=о>]Ле /С,
C.44)
Пример 3.5. Найти коэффициент фазы р, длину волны X и по-
погонное затухание АП0г однородной плоской электромагнитной вол-
волны с частотой /=40 ГГц, которая распространяется в полистиро-
полистироле. Этот широко применяемый диэлектрик имеет следующие па-
параметры: 6 = 2.56, tg5 = 3-10-4.
На основании формулы C.44) коэффициент фазы
Длина волны в полистироле
Х = 2л/?=:6.28/1340=4.69.10-3 м=4.69 мм.
Коэффициент затухания
а= 1340-3-10-4/2=0.201 M-if
откуда погонное затухание
Диог = 8.686а = 1.75 дБ/м.
Итак, в диэлектрике с малыми потерями коэффициент фазы
оказывается таким же, как и в диэлектрике без потерь. Согласно
формулам C.44), коэффициент затухания прямо пропорционален
частоте волны, а также углу диэлектрических потерь.

64 Глава 3. Плоские электромагнитные волны
Нетрудно получить формулу для расчета характеристического
сопротивления немагнитного диэлектрика с малыми потерями:
j tg 5) yr Vi-Jtgb У7
C.45)
При выводе данного соотношения было использовано то, что при
любых х, в общем случае комплексных, таких, что |*|<Cl, спра-
справедливо приближенное равенство 1/A—х)ж1+х.
Комплексный характер сопротивления Zc означает, что в сре-
среде с потерями поля Е и Н колеблются не синфазно. Однако, со-
согласно формуле C.45), угол сдвига фаз приблизительно равен
6/2 радиан, т. е. настолько мал, что им на практике обычно пре-
пренебрегают.
3.7. Плоские электромагнитные волны
с эллиптической поляризацией
Все рассмотренные до сих пор электромагнитные волны обла-
обладали тем свойством, что в них вектор Е имел единственную про-
проекцию, например Ех, и совершал колебания в определенной пло-
плоскости, которая, как уже говорилось, называется плоскостью по-
поляризации электромагнитной волны. Про однородную плоскую
волну с фиксированной плоскостью поляризации говорят, что она
имеет линейную поляризацию.
В общем случае плоскость поляризации может занимать про-
произвольное положение. Чтобы убедиться в этом, допустим, что не-
некоторый волновой процесс является суммой двух гармонических
плоских волн одинаковой частоты, причем одна волна поляризо-
поляризована в плоскости XOZ, а другая — в плоскости YOZ. Пусть коле-
колебания обеих волн происходят синфазно. При этом результирую-
результирующая волна в фиксированной точке пространства будет иметь сле-
следующие проекции вектора напряженности электрического поля:
Ex=Eml cos о)/; Ey = Em2 cos at C.46)
Легко видеть, что суммарный вектор Е будет перемещаться вдоль
диагонали прямоугольника со сторонами 2Emi и 2Ет2 (рис. 3.7).
Плоскость поляризации результирующей волны образует с осью
х угол -ф, такой, что tg<p = Em2/Emi.
Совсем иной характер волновой процесс приобретает в том
случае, если две составляющие вектора Е, описываемые форму-
формулой вида C.46), будут \не только ортогональны в пространстве,
но и сдвинуты по фазе во времени. Конкретно рассмотрим слу-,
чай, когда

3.7. Плоские волны с эллиптической поляризацией
65
Ex=Eml coscd/;
Ey=Em2
C.47)
Найдем уравнение кривой, которая служит геометрическим
местом концов вектора Е суммарного процесса. Для этого пере-
перепишем формулу C.47) в виде
C.48)
затем возведем оба равенства в квадрат и сложим:
(Ex/Eml)*-\- {Ey!Em2?= 1.
Получено уравнение эллипса, располагающегося в плоскости
XOY и вписанного в прямоугольник со сторонами 2Emi и 2Ет2
У:
Рис. 3.7. Синфазное сложение двух Рис. 3.8. Образование плоской
плоских электромагнитных волн электромагнитной волны с эллип-
эллиптической поляризацией
(рис. 3.8). Поэтому говорят, что рассмотренная нами электромаг-
электромагнитная волна имеет эллиптическую поляризацию. Результирую-
Результирующий вектор Е будет вращаться с частотой со, причем, как это
легко заметить из формул C.47), если смотреть с конца единич-
единичного вектора продольного направления i2, то вращение вектора
Е будет представляться в направлении против стрелки часов. По
установившейся в физике традиции такую волну называют лево-
поляризованной.
Очевидно, что электромагнитный волновой процесс, для ко-
которого
Ex = Eml cos <о/; Ey= —Em2 sin < C.49)
является правополяризованнои волной.
На основании формул C.47) можно записать выражение комп-
комплексной амплитуды вектора напряженности электрического поля
эллиптически поляризованной волны с левым направлением вра-
вращения, распространяющейся в сторону увеличения координаты z:
? = (Emlix-jEmjy)e-m, C.50).
3—1379

66
Глава 3. Плоские электромагнитные волны
откуда, используя понятие характеристического сопротивления,
получаем
-ml
-№
C.51)
На основании двух последних выражений находим
2Ze
C.52)
т. е. среднее значение вектора Пойнтинга эллиптически поляризо-
поляризованной волны равно сумме средних плотностей мощности двух
ортогональных компонентов с линейной поляризацией.
Важный частный случай — волна с круговой поляризацией,
характерная тем, что в ней Emi = Em2 = Em. При этом поляриза-
поляризационный эллипс, описываемый формулой C.48), превращается в
окружность радиусом Ет.
Рис. 3.9. Ориентация электрического вектора в плоской
волне с круговой поляризацией
Наглядно представить волны с эллиптической поляризацией
довольно трудно. Некоторую пользу здесь может принести чер-
чертеж, изображенный на рис. 3.9, на котором волна с круговой по-
поляризацией условно показана в виде последовательности волно-
волновых фронтов. По мере распространения волны направление век-
векторов Е, одинаковое на каждом фронте, изменяется. Векторы со-
совершают полный оборот на участке пути длиной К.
Волны с эллиптической или круговой поляризацией были по-
получены нами путем сложения линейно поляризованных волн.

3.8. Волны в произвольном направлении
67
В свою очередь, линейно поляризованную волну можно рассмат-
рассматривать как сумму волн с эллиптической поляризацией. В кйчест-
ве примера на рис. ЗЛО изображено сложение двух волн с^мпли-
тудами Ет/2 каждая, поляризованных по кругу с противополож-
противоположными направлениями вращения. Из построения видно, что резуль-
результирующая волна оказывается линейно поляризованной. Плоскость
поляризации ориентирована вертикально; амплитуда, равная Ет,
в два раза превышает ампли-
амплитуду слагаемых, поляризован- -1 yi
ных по кругу.
Поляризационные свойства
плоских электромагнитных
волн имеют большое значение
для практической радиотехни-
радиотехники. Так, если в поле волны с
линейной поляризацией разме-
разместить штыревую антенну, ори-
ориентированную перпендикуляр-
перпендикулярно плоскости поляризации, то
на заряды в проводниках ан-
антенны не действуют никакие
силы со стороны электромаг-
электромагнитного поля. Как следствие,
сигнал на выходе такой при-
приемной антенны отсутствует. За
счет этого появляется возмож-
возможность создать два независимых Рис. ЗЛО. Сложение двух волн с кру-
радиоканала, совмещенных в говой поляризацией:
пппртпянртдр пттияи-п пячия а — г — отдельные этапы процесса, развиваю-
пространстве, однако развя- щегося во времени
занных друг от друга благода-
благодаря поляризационным свойствам поля.
С другой стороны, такая же штыревая антенна, размещенная
в поле волны с круговой поляризацией перпендикулярно оси рас-
распространения, будет создавать выходной сигнал неизменной амп-
амплитуды независимо от ориентации в поперечной плоскости. Это
обстоятельство делает волны с круговой поляризацией предпочти-
предпочтительными для организации радиосвязи с подвижными объектами,
которые могут занимать в пространстве любые, заранее не пред-
предсказуемые положения.
3.8. Плоские волны, распространяющиеся
в произвольном направлении
В заключение рассмотрим достаточно общий случай, когда
плоская электромагнитная волна распространяется вдоль некото-
3*

68
Глава 3. Плоские'электромагнитные волны
i
Г N
Л
Рис. .11. Распространение плоской
волны в произвольном направлении
рой произвольной оси z', не совпадающей с осью z (рис. 3.11).
Относительно новой оси распространения можно записать сле-
следующее соотношение пропорциональности:
Ё~ехр(—ург'). C.53)
Волновые фронты в данном случае имеют вид бесконечных пло-
плоскостей, удовлетворяющих
уравнению вида z' = const.
Требуется выразить величину
z' через исходные координаты
х, у, z. Для этого заметим, что
zr является проекцией на ось
распространения любого ра-
радиуса-вектора т, который про-
проведен из начала координат, а
его конец расположен на вол-
волновом фронте. Математически
это записывается так:
г' = г1ж>. C.54)
Используя координаты х, у,
z, имеем
C.55)
где g=cos (z\ x)\ r) = cos (z'y у); ?=cos (z\ z) —направляющие
косинусы единичного вектора \2,. Отсюда, используя формулу
C.54), представим зависимость C.53) следующим образом:
Ё ~ ехр [—j p (x% -\-yy\ -\-zQ\. C.56)
Легко проверить, что все использованные ранее выражения
комплексных амплитуд векторов поля, соответствующих однород-
однородным плоским волнам в материальных средах без потерь, являют-
являются частными случаями формулы C.56).
В теоретических исследованиях часто используют лаконичную
векторную запись соотношения вида C.56). Для этого вводят
так называемый волновой вектор к, определяя его следующим об-
образом:
к = ра^+-г]^ + Си. C.57)
Так как, по определению, l2 + r\2 + ?>2=h то модуль волнового
вектора равен коэффициенту фазы плоской волны: [к|=р = 2яД.
Непосредственно видно, что вектор к ориентирован вдоль оси

Задачи 69
распространения zr. Формула C.56) приобретает, таким образом,
следующий вид:
Ё~ехр(—укг). C.58)
В физике модуль волнового вектора однородной плоской вол-
волны называют также волновым числом.
ЗАДАЧИ
3.1. Докажите принципиальную невозможность существования
чисто продольных электромагнитных волн, которые имели бы
лишь ненулевые проекции Ег и HZi не зависящие от поперечных
координат х и у. Указание: непосредственно воспользуйтесь
двумя первыми уравнениями Максвелла, записанными в декарто-
декартовой системе координат.
3.2. Плоская гармоническая волна с частотой /=80 МГц, рас-
распространяясь в некоторой материальной среде без потерь, имеет
длину волны А,=0.7 м. Вычислите фазовую скорость этой волны.
3.3. Плоская волна, распространяющаяся в сторону увеличе-
увеличения координаты ?, имеет комплексную амплитуду У+(г)==
= 200 ехр (—уг)у где у=0.3 + /0.5 m. Частота волнового процес-
процесса со = 8-104 с. Вычислите мгновенное значение функции v{z, t)
в плоскости г=5 м при t=10~4 с.
3.4. Погонное затухание однородной плоской волны составляет
0.45 дБ/м. Определите, на каком расстоянии амплитуда волны
уменьшится в 106 раз по сравнению с исходным уровнем.
3.5. Электрический пробой атмосферного воздуха при нор-
нормальных условиях наблюдается в том случае, когда напряжен-
напряженность электрического поля достигает значения 3-Ю6 В/м. Опреде-
Определите предельно допустимое среднее значение модуля вектора
Пойнтинга плоской электромагнитной волны, распространяющей-
распространяющейся в воздухе.
3.6. Однородная плоская электромагнитная волна, гармониче-
гармонически изменяющаяся во' времени, распространяется в среде без по-
потерь с параметрами |х=1, е = 4.5. Амплитуда вектора напряжен-
напряженности электрического поля Ет = 30 В/м. Вычислите амплитуду
вектора напряженности магнитного поля и модуль среднего зна/
чения вектора Пойнтинга.
3.7S Плоская гармоническая электромагнитная волна распро-
распространяется в вакууме, имея модуль среднего значения вектора
Пойнтинга ПСр=0.8 Вт/м2. Вычислите .амплитудные значения век-
вектора электрического смещения Dm и магнитной индукции Вт дан-
данной волны.
3.8. Найдите характеристическое сопротивление Zc материаль-
материальной среды с параметрами е=4, fi==7, tg6=3-10~3.

70 Глава 4. Граничные условия для векторов поля
3.9. Плоская волна, распространяющаяся в среде с потерями,
имеет коэффициент ослабления а=0.015 м~!. Волна распростра-
распространяется в сторону z>0. При z=0 модуль среднего значения век-
вектора Пойнтинга ПсР@) =60 Вт/м2. Вычислите значение Пср в пло-
плоскости с координатой z= 100 м.
ЗЛО. Найдите коэффициент фазы C и коэффициент ослабле-
ослабления а плоской электромагнитной волны в материальной среде с
параметрами е=2, }х=3, а=2-10~5 См/м при частоте со =
= 106 с.
3.11. Найдите коэффициент ослабления а плоских электромаг-
электромагнитных волн в диэлектрике с параметрами 8 = 2.1, \i=l, tg б =
= 4-10~4 на частоте /=3 ГГц.
3.12. Плоская электромагнитная волна с правой эллиптической
поляризацией распространяется в вакууме в сторону уменьшения
координаты z. Волна имеет комплексную амплитуду вектора на-
напряженности электрического поля (В/м) Ё= A301*+/40^) X
Хехр (/Cz). Найдите комплексную амплитуду вектора Н данной
волны.
3.13. Пусть волновой вектор к некоторой плоской волны обра-
образует одинаковый угол 9 с положительными направлениями осей
х, у, z декартовой системы координат. Каков этот угол?
3.14. Волновой вектор к плоской волны в декартовой системе
координат образует угол 45° с единичным вектором \z, Угол ф
между векторами к и \х равен углу между векторами к и \у. Най-
Найдите значение угла <р.
3.15. Плоская электромагнитная волна с частотой /=800 МГц
распространяется в вакууме. Волновой вектор к образует угол
30° с вектором \х и угол 80° с вектором \у. Вычислите вектор к
данного волнового процесса.
Глава четвертая
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Однородные плоские волны, изучавшиеся в гл. 3, являются
весьма идеализированными объектами, поскольку имеют неогра-
неограниченно протяженные волновые фронты. В любой реальной си-
ситуации электромагнитное поле тем или иным способом ограниче-
ограничено в пространстве. Естественными ограничителями областей су-
существования поля служат границы раздела между материальны-
материальными средами с различными параметрами. Если характеристики
сред на границе раздела изменяются скачкообразно, то в общем

4.1. Постановка задачи
71
случае составляющие векторов поля в точках границы претерпе-
претерпевают разрывы. В данной главе будет найдена связь между век-
векторами электромагнитного поля на границе раздела, удовлетво-
удовлетворяющая уравнениям Максвелла.
4.1. Постановка задачи
Задача о граничных условиях для векторов электромагнитного
поля выглядит следующим образом. Пусть имеется некоторая
граница раздела S (рис. 4.1) между средой 1 с электродинамиче-
электродинамическими параметрами eai, .[iai, O\ и средой 2, у которой соответст-
соответствующие параметры равны еа2, р>а2, G2- Выделим на поверхности 5
Рис. 4.1. Точка на границе
раздела двух материальных
сред
Рис. 4.2. Разложение одно-
одного из векторов поля на нор-
нормальную и касательную со-
составляющие
произвольную точку Р, предполагая, что в некоторой физически
малой окрестности этой точки, относящейся к области 1, электро-
электромагнитное поле задано. Требуется отыскать поле в такой же
окрестности выделенной точки, которая принадлежит области 2.
Для решения поставленной задачи векторы электромагнитного
поля в окрестности точки Р принято разлагать на касательные
(тангенциальные) и нормальные составляющие. Например, век-
вектор Е на границе раздела (рис. 4.2) можно представить в виде
п. D.1)
Здесь iT, \п — единичные векторы (орты) касательного и нормаль-
нормального направлений. Эти векторы лежат в плоскости, образованной
вектором Е и нормалью к границе раздела, проведенной в точ-
точке Р.
Далее свойства касательных и нормальных составляющих век-
векторов поля на границе раздела будут рассмотрены по отдель-
отдельности.

72
Глава 4. Граничные условия для векторов поля
В
1
4.2. Граничные условия для нормальных составляющих
векторов магнитного поля
Обозначим через Bi и В2 векторные поля магнитной индукции
в средах 1 и 2 соответственно. Выделим в окрестности точки Р
цилиндрический объем (рис. 4.3) с основаниями площадью AS и
с высотой образующей Ah. Пусть этот
объем настолько мал, что поля Bi и В2
можно считать неизменными в пределах
оснований цилиндра.
Обратим внимание на то, что единич-
единичный вектор нормали к границе раздела
параллелен вектору элементарной пло-
площадки на верхнем основании цилиндра
и антипараллелен такому же вектору на
нижнем основании. Тогда поток вектора
магнитной индукции через полную по-
поверхность цилиндра запишется следую-
следующим образом:
Л А С у—-• О J а С D
DQo .—' Dil«ZXo — Do
Рис. 4.3. К выводу гра-
граничных условий для нор-
нормальных составляющих
векторов электромагнит-
электромагнитного поля
D.2)
+ поток через боковую поверхность.
Это приближенное равенство в пределе становится точным, если
AS стремится к нулю. Если же одновременно устремить к нулю
высоту воображаемого цилиндра Л/г, то поток вектора магнитной
индукции через боковую поверхность окажется бесконечно ма-
малым. Следовательно,
lim
D.3)
Так как имеет место закон неразрывности магнитных силовых
линий, то левая часть равенства D.3) всегда обращается в нуль.
Отсюда следует, что
В11Л — B2i^ = 0, D.4)
или, что то же самое,
D.5)
Полученный результат формулируется следующим образом:
нормальные составляющие вектора магнитной индукции на гра-
границе раздела двух сред непрерывны. Используя материальное
уравнение В = |яаН, соотношение D.5) можно записать относи-

4.3. Нормальные составляющие электрических векторов 73
тельно нормальных составляющих векторов напряженности маг-
магнитного поля:
Ы^Ы = ^2Н2п- D.6)
Итак, если магнитные проницаемости граничащих сред не
одинаковы, то нормальные составляющие векторов Н на границе
раздела претерпевают некоторый скачок.
4.3. Граничные условия для нормальных составляющих
векторов электрического поля
Методика вывода данных граничных условий и соответствую-
соответствующий рисунок полностью аналогичны тем, которые использовались
в § 4.2. Однако если для магнитного поля всегда выполнялось
равенство divB = 0, то в случае электрического поля справедливо
уравнение divD = p. Поэтому возможны два случая.
1) Поверхностный электрический заряд на границе раздела от-
отсутствует.
Суммарный заряд внутри малой цилиндрической области (рис.
4.3) при этом равен нулю. В соответствии с теоремой Гаусса
O, D.7)
откуда следует, что
Dm=D.2n D.8)
и соответственно
Таким образом, при отсутствии поверхностных электрических
зарядов нормальные составляющие векторов электрического сме-
смещения на границе раздела двух сред непрерывны вне зависимо-
зависимости от параметров этих сред. В то же время нормальные состав-
составляющие векторов напряженности электрического поля на грани-
границе раздела претерпевают скачок, величина которого зависит от
отношения диэлектрических проницаемостей.
2) На границе раздела сред равномерно распределен электри-
электрический поверхностный заряд с удельной плотностью сгПОв.
Несомненно, что в этом случае уменьшение высоты воображае-
воображаемого цилиндра ДА (рис. 4.3) никак не влияет на величину заря-
заряда, заключенного внутри этой области. Применив интегральную
формулировку закона Гаусса, можно записать формулу, аналогич-
аналогичную соотношению D.3):
lira (К DdS = DlirtA5-D2irtAS = aII0BA5, D.10)
дл >о -/
6

74
Глава 4. Граничные условия для векторов поля
откуда
D
In'
D.11)
Из выражения D.11) следует, что при наличии на границе
электрических зарядов нормальная составляющая вектора элек-
электрического смещения испытывает скачок на величину плотности
поверхностного электрического заряда. Физически это обусловле-
обусловлено тем, что заряд, располагающийся на поверхности, создает соб-
собственное электрическое поле, ориентированное в пространстве та-
таким образом, что по одну сторону границы это поле складывается
с внешним полем, а по другую — вычитается.
4.4. Граничные условия для касательных составляющих
векторов магнитного поля
Задача о взаимосвязи касательных составляющих вектора маг-
магнитной индукции на границе раздела двух сред решается на осно-
основе интегральной формулировки за-
закона полного тока для некоторого
малого контура L (рис. 4.4), прове-
проведенного в окрестности точки Р та-
таким образом, что одна его полови-
половина проходит в среде /, а другая —
в среде 2.
Введем в точке Р три взаимно
ортогональных единичных вектора:
iT, \Пу \k. Два первых по-прежнему
Рис. 4.4. К выводу граничных ус- являются ортами касательного и
^ГХхДв^ТоТовТэлГрХомагТ„а„?: нормального направлений. Вектор
ного поля ik направлен по нормали к плоско-
плоскости, образованной векторами и и \п,
будучи параллелен границе раздела.
Выделим в окрестности точки Р малый прямоугольный контур
L со сторонами А/ и ДА. Будем считать, что на контуре задано
такое направление обхода, что с конца единичного вектора Ц
движение наблюдается против хода стрелки часов.
Вообще говоря, в обеих областях пространства, разделяемых
границей S, протекают некоторые токи, в частности токи проводи-
проводимости и токи смещения с объемными плотностями Jnp и JCM соот-
соответственно. Применим к рассматриваемому контуру закон полно-
полного тока, причем, как и в § 4.2, будем считать, что длины сторон
контура столь малы, что в его пределах векторы поля Н неиз-
неизменны. В результате получим

4.4. Касательные составляющие магнитных векторов
75
+ интегралы по боковым сторонам—
D.12)
Здесь следует по отдельности рассмотреть два случая.
1) Числовые значения электродинамических параметров обеих
граничащих сред конечны. Из данного условия непосредственно
следует вывод о конечности значе-
значений векторов плотности токов про-
проводимости и смещения. Выполним
предельный переход, устремляя вы-
высоту контура Ah к нулю. Очевидно,
что при этом линейный интеграл от
поля Н по боковым сторонам конту-
контура будет стремиться к нулю. Из-за
конечности векторов плотности то-
токов проводимости и смещения бу-
будем иметь
llm
D.13)
Рис. 4.5. К введению понятия
плотности поверхностного элект-
электрического тока
Обращение в нуль правой части равенства D.12) означает, что
lim ? Hdl = H1LA/—H2ixA/, D-14)
или
Ни = Н2х. D.15)
Таким образом, на границе раздела двух сред с конечными
значениями электродинамических параметров касательные состав-
составляющие векторов напряженности магнитного поля непрерывны.
Однако касательные составляющие векторов магнитной индукции
на границе раздела в общем случае претерпевают разрыв:
2) Проводимость одной из граничащих сред неограниченно
велика. Положим для определенности, чтохб2=ъо. Это предполо-
предположение делает формулу D.13) неприменимой. ДелоЖтом, что при
бесконечно большой проводимости среды электромагнитное поле
в.ней должно отсутствовать; наличие сколь угодно малого поля
Е приводило бы к протеканию тока проводимости с бесконечно
большой плотностью [см. формулу A.7)], а это физически невоз-

76 Глава 4. Граничные условия для векторов поля
можно. В данном случае токи проводимости могут протекать
лишь по поверхностной «пленке» исчезающе малой толщины, так
что предельный переход вида D.13) все же дает отличный от ну-
нуля результат.
Для математического описания явлений на поверхности иде-
идеального проводника вводят понятие вектора плотности поверхност-
поверхностного электрического тока. Принцип введения этого векторного
поля показан на рис. 4.5. Прежде всего проводят единичный век-
вектор 1Л, касательный к линиям тока в выбранной точке поверхно-
поверхности. Затем находят ток Д?, протекающий поперек отрезка А/,
перпендикулярного вектору ц. Тогда вектор плотности поверхно-
поверхностного электрического тока можно определить посредством ра-
равенства
B.3 4f V
Д/-*0 А/
Теперь формулу D.12) можно записать в виде
lini <? Hdl = Jn0B.3iVU. D.18)
ДА->0 J
Далее следует учесть, что в силу уравнений Максвелла внут-
внутри идеального проводника обращается в нуль не только электри-
электрическое, но и магнитное поле. Иными словами, Н2 = 0 и из форму-
формулы D.18) следует, что
Щ,=КЮЛ- D.19)
Равенство D.19) позволяет решить важную для практики за-
задачу— определить плотность поверхностного тока JnOB.3 по задан-
заданной напряженности магнитного поля Hi на границе раздела меж-
между обычной средой, например воздухом, и идеальным проводни-
проводником. Для удобства несколько преобразуем формулу D.19), учтя,
что тройка единичных векторов iT, in, ik связана очевидным соот-
соотношением
I* = -IW*1- D.20)
Подставив это равенство в D.19), получим
Ко*, = \КЩ. D.21)
Таким образом, поверхностный электрический ток на границе
идеального проводника протекает в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном вектору Нь который существует в обычной среде. Плотность
поверхностного электрического тока численйо равна касательной
проекции вектора напряженности магнитного поля.

4.5. Касательные составляющие электрических векторов '¦ 77
4,5. Граничные условия для касательных составляющих
векторов электрического поля
Методика решения данной задачи полностью совпадает с той,
которая применялась в § 4.4. Отличие состоит лишь в том, что
здесь вместо закона полного тока следует воспользоваться зако-
законом электромагнитной индукции. Соответственно для контура L,
изображенного на рис. 4.4, будем иметь
+ интегралы по боковым сторонам==
=—{dH/dt)ikMLh. D.22)
Функция dB/dt в правой части последней формулы при любых
электродинамических параметрах граничащих сред принимает ко-
конечные значения. Поэтому предельный переход при ДЛ-^0 дает
lim (f EdI = E1i,A/ —E2ixA/=0, D.23)
откуда
Dj4i=DJ*a2. D.24)
Таким образом, касательные составляющие векторов напря-
напряженности электрического поля на границе раздела двух сред не-
непрерывны. В то же самое время касательные составляющие век-
векторов электрического смещения в общем случае претерпевают
скачок.
Пример 4.1. Имеется плоская граница раздела двух сред с от-
относительными диэлектрическими проницаемостями ei и е2 (рис.
4.6). В первой среде силовые линии вектора Е образуют угол 6i
с направлением нормали. Найти ориентацию силовых линий поля
Е во второй среде.
Воспользуемся граничными условиями
или
Ег sin81-=?>2 sin82,
гхЕх cos 0Х = г2Е2 cos 82.

78 Глава 4. Граничные условия для векторов поля
Разделив одно уравнение на другое, получим
откуда
62=arctg[(s2/s1)tgei].
Отметим, что если е2-^оо, то 02-^я/2 йезависимо от ориента-
ориентации электрического поля в первой среде.
Рассмотрим отдельно частный случай, когда средой 2 (см.
рис. 4.4) является идеальный проводник. Здесь, как уже указыва-
указывалось, всегда Е2=0. Поэтому на осно-
основании равенства D.24) граничное ус-
условие для касательной составляющей
вектора напряженности электрического
поля на поверхности идеального про-
проводника принимает вид
Ех = 0. D.25)
В соответствии с этим условием си-
силовые линии электрического вектора
должны подходить к поверхности иде-
идеального проводника по направлению
нормали.
Понятие «идеальный проводник»
есть результат абстракции. На поверх-
поверхности реального проводника (напри-
(например, металла) некоторая касательная составляющая электрическо-
электрического вектора, безусловно, имеется. Однако она весьма мала по срав-
сравнению с нормальной составляющей и, как будет показано в даль-
дальнейшем, в ряде практически значимых случаев эту составляющую
можно с полным основанием не учитывать.
. В заключение отметим, что принцип перестановочной двойст-
двойственности электромагнитных полей, описанный в § 2.4, позволяет
обобщить формулу D.21) на тот случай, когда вдоль границы
раздела протекает воображаемый поверхностный магнитный ток
с плотностью Лпов.м (В/м). Легко видеть, что при этом
Лпо..м = -[1ЯЕ11 = [Е11Я1. D.26)
Данным соотношением часто пользуются в теории антенн, мыс-
мысленно заменяя распределение напряженности поля Е вдоль излу-
излучающей поверхности эквивалентным распределением поверхност-
поверхностного магнитного тока. Подробнее этот вопрос будет рассмотрен
в гл. 17.
Рис. 4.6. Явление «преломле-
«преломления» силовых линий электриче-
электрического вектора на границе раз-
раздела двух сред

Задачи 79
ЗАДАЧИ
4.1. В каждой точке плоскости XOY декартовой системы коор-
координат задан вектор E=7iA; + 4i1/ + 3i2. Найдите нормальную Еп и
касательную Ех составляющие этого вектора.
4.2. Применительно к условиям предыдущей задачи-получите
формулу разложения единичного вектора касательного направле-
направления \х по ортам системы координат х, у, г.
4.3. В пространстве с декартовой системой координат полу-
полупространство г>0 заполнено воздухом, а полупространство <г<
<0 — проводящим веществом с параметром а=2-107 См/м. В воз-
воздушной среде создано постоянное и однородное электрическое по-
поле, вектор напряженности которого Ei = Ю"!^ В/м. Определите:
а) модуль вектора плотности тока проводимости JnP2 в веществе;
б) удельную плотность мощности тепловых потерь.
4.4. Полупространство г>0 (среда 1) заполнено воздухом
(е=1), а полупространство z<0 (среда 2)—диэлектриком с от-
относительной проницаемостью 8 = 5. Вектор напряженности элек-
электрического поля в первой среде Ei=20i2 В/м, во второй среде
Е2 = —4i2 В/м. Найдите плотность поверхностного электрического
заряда 0пов в плоскости z=0.
4.5. Вдоль идеально проводящего цилиндра радиусом 12 мм
протекает переменный ток, имеющий амплитуду 2 А. Найдите ам-
амплитудное значение вектора плотности поверхностного тока.
4.6. В плоскости раздела г=0 между воздухом (среда 1) и
идеальным проводником (среда 2) существует постоянное маг-
магнитное поле с вектором напряженности Hi = 0.75ix—3.251,, А/м.
Найдите вектор плотности поверхностного тока ЛПОв.э.
4.7. Покажите, что формулу D.21), определяющую вектор
плотности поверхностного электрического тока, можно записать в
следующей эквивалентной форме:
Указание: примите во внимание, что i/z=[iri&], и воспользуй-
воспользуйтесь формулой двойного векторного произведения.
Глава пятая
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ
С ЧАСТОТНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ
Как указывалось в гл. 3, частотная дисперсия имеет место в
тех случаях, когда фазовая скорость, а вообще говоря, и коэффи-
коэффициент ослабления волны зависят от частоты. В данной главе изу-

80 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией
чаются некоторые практически важные диспергирующие среды.
Показано, что частотная дисперсия фазовой скорости ведет к ря-
ряду интересных физических эффектов, наблюдаемых при распро-
распространении электромагнитных волн со сложным спектральным со-
составом.
5.1. Волны в хорошо проводящей среде
В соответствии с формулой C.24) частотная дисперсия при
распространении волн наблюдается всякий раз, когда хотя бы
один из электродинамических параметров еа, м-а зависит от ча-
частоты. Действительно, в этом случае коэффициент распростране-
распространения у связан с частотой нелинейным образом и поэтому фазовая
скорость Уф = со/р оказывается частотно-зависимой. По этой при-
причине частотная дисперсия фазовой скорости свойственна любой
проводящей среде, у которой даже при постоянстве абсолютной
магнитной проницаемости \ха абсолютная диэлектрическая прони-
проницаемость еа = ?а—/а/со является функцией частоты.
Говорят, что на заданной частоте со материальная среда явля-
является хорошо проводящей (металлоподобной), если выполняется
неравенство
<V«*»a- E.1)
Физически это означает, что в такой среде плотность токов про-
проводимости значительно превышает плотность как токов смеще-
смещения, так и поляризационных токов.
На частотах радиодиапазона условие E.1) с большим запасом
выполняется для любых металлов. Так, известно, что медь имеет
параметры 8а = 80= 10-9/C6я) =8.84-10~12 Ф/м; а=5.7-10т См/м.
На частоте 30 ГГц (^=1 см) абсолютная диэлектрическая про-
проницаемость меди 8а = 8.84-10~12—/3.02-10~ Ф/м. Видно, что мни-
мнимая часть диэлектрической проницаемости меди на восемь де-
десятичных порядков превосходит действительную.
Очевидно, что чем ниже частота, тем ближе проводящая сре-
среда по своим электродинамическим свойствам к идеальному про-
проводнику. На достаточно низких частотах многие неидеальные ди-
диэлектрики, а также полупроводники становятся металлоподоб-
ными. Например, для сухой почвы с параметрами е = 4, а=
= 2-Ю-3 См/м на частоте 1 МГц имеем е1 = 3.54-lO1 —/3.18X
Х10~10 Ф/м. Таким образом, в радиовещательном диапазоне ча-
частот сухая почва ведет себя как хорошо проводящая среда. Это
свойство позволяет в ряде случаев значительно упростить расчет
полей электромагнитных волн, распространяющихся над поверх-
поверхностью Земли.

5.1. Волны в хорошо проводящей среде 81
Итак, комплексную диэлектрическую проницаемость хорошо
проводящей среды можно приближенно считать чисто мнимой:
е*м = — /°К E.2)
Найдем коэффициент распространения однородных плоских
электромагнитных волн в такой среде. По общему правилу [см.
формулу C.24)],
Лш°- E.3)
Так как главное значение квадратного корня из мнимой единицы
то формула E.3) приобретает вид
°/2 A+У). E.4)
Таким образом, в металлоподобной среде коэффициенты фазы и
ослабления численно равны:
W2. E.5)
Зависимость этих величин от частоты говорит о том, что в хоро-
хорошо проводящей среде имеется ярко выраженная частотная дис-
дисперсия.
На основании формулы E.5) находим фазовую скорость
V E.6)
и длину волны в металлоподобной среде
а). E.7)
Пример 5.1. Найти фазовую скорость и длину волны в меди
па частоте 100 МГц, полагая, что а=5.7-107 См/м, |Лам = [Хо =
= 4л-10-7 Гн/м.
Воспользовавшись формулами E.6) и E.7), получаем
^фм=-1/10^577 = 4188.5 м/с,
-108 = 4.19.10-S м.
Следует обратить внимание на то, что на частотах радиодиа-
радиодиапазона фазовая скорость плоских волн в металле существенно
меньше, чем в вакууме.

82 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией
С ростом частоты фазовая скорость однородных плоских волн
в хорошо проводящей среде увеличивается.
Чтобы найти характеристическое сопротивление металлоподоб-
ной среды, следует воспользоваться общей формулой C.30):
^M=^iw^7=K7^ E.8)
Комплексность характеристического сопротивления указывает
на то, что в хорошо проводящей среде вектор напряженности
электрического поля сдвинут по фазе относительно вектора на-
напряженности магнитного поля на угол 45°. Видно также, что в
данном случае характеристическое сопротивление зависит от ча-
частоты.
Конкретный расчет показывает, что модуль сопротивления
ZCM в практически интересных случаях намного меньше характе-
характеристического сопротивления вакуума Z0 = 377 Ом. Так, для типич-
типичного металла с параметрами jiaM=^0, a=3-107 См/м на частоте
1 МГц величина ZCM=5.13-10~4 ехр (/45°) Ом.
Как известно, в среде с потерями амплитуда плоских электро-
электромагнитных волн изменяется вдоль координаты распространения
z по закону ехр(—ог). Расстояние d, на котором амплитуда пло-
плоских волн уменьшается в е=2.718... раза по сравнению с на-
начальной, называют глубиной проникновения или толщиной поверх-
поверхностного слоя. В рассматриваемом нами случае эта величина
удовлетворяет очевидному соотношению aMd=l. Отсюда, вос-
воспользовавшись формулой E.5), получаем d= 1/ам=Ям/Bл;). Та-
Таким образом, приходим к еще одному определению: материаль-
материальная среда является металлоподобной, если поле однородной пло-
плоской волны затухает в ней на расстоянии, меньшем длины волны.
Формула для вычисления толщины поверхностного слоя та-
такова:
rf=l/-^_ . E.9)
Глубина проникновения электромагнитных волн в хорошо прово-
проводящую среду уменьшается с ростом частоты и удельной проводи-
проводимости.
Расчет по формуле E.9) показывает, что для металлов на ча-
частотах СВЧ-диапазона величина d весьма мала. Так, для меди
(су=5.7-107 См/м) на частоте 10 ГГц (Х=3 см) имеем d=
=0.6 мкм. Отсюда следует практически важный вывод о том,
что на токоведущие поверхности целесообразно наносить тонкий
(толщиной 10—20 мкм) слой хорошо проводящего металла, обыч-
обычно серебра. Такое покрытие позволяет просто и сравнительно де-
дешево уменьшать тепловые потери в элементах СВЧ-устройств.

5.2. Плазма и ее параметры 83
5.2. Плазма и ее электродинамические параметры
К числу материальных сред, в которых распространение элек-
электромагнитных волн сопровождается частотной дисперсией, отно-
относится плазма. В узком смысле так называют ионизированный
газ, состоящий из положительно и отрицательно заряженных ча-
частиц, а также из нейтральных атомов и молекул.
Плазму часто встречается в природе и технике. В частности,
Земля окружена плазменной оболочкой — ионосферой, распола-
располагающейся на высотах 100—500 км. Ионосфера решающим обра-
образом влияет на распространение радиоволн в земных условиях.
Плазменные свойства присущи межпланетной и межзвездной
среде. В разнообразных приборах и устройствах приходится иметь
дело с плазмой газового разряда, а также с плазмой, образуемой
носителями заряда в металлах и полупроводниках.
Одно из основных свойств плазмы заключается в ее квази-
квазинейтральности— если в плазме мысленно выделить некоторую
замкнутую область, то электрический заряд внутри нее в среднем
всегда равен нулю, несмотря на то что из-за теплового движения
заряженных частиц наблюдаются быстрые флуктуации суммар-
суммарного заряда вокруг среднего значения. Таким образом, локаль-
локальную плотность плазмы можно описывать одним параметром—-
электронной концентрацией Ne (м~3), которая равна среднему
числу электронов в единице объема. Данный параметр сущест-
существенно варьируется в средах различной физической природы. На-
Например, для земной ионосферы типично значение Л^~1012 м~3.
Концентрация электронов в плазме проводящих твердых тел зна-
значительно выше, здесь Ne~1026 м~3.
Заряженные частицы плазмы движутся под действием сил
электромагнитного поля. Это приводит к поляризации среды, так
что диэлектрическая проницаемость плазмы отличается от нрони-.
цаемости вакуума (см. гл. 1). Рассматривая электронно-ионную
плазму, следует учитывать, что масса иона на несколько поряд-
порядков превышает массу электрона. Поэтому ионы практически не-
неподвижны и в первом приближении не влияют на электродинами-
электродинамические свойства такой среды.
Простейший способ анализа свойств плазмы основан на том,
что составляют и решают дифференциальное уравнение, описы-
описывающее движение в пространстве некоторого отдельно взятого
типичного электрона. Это уравнение, записанное на основании
второго закона Ньютона, имеет вид
d2r « dr -т-е—-^ /г 1Л\
m-^-+m"^eE' ^\ E10)

84 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией
где г — радиус-вектор отклонения электрона от того положения в
пространстве, которое он занимал при отсутствии поля; е, m —
заряд и масса электрона; v — так называемая частота соударе-
соударений электрона с нейтральными частицами, с1.
Первое слагаемое в левой части представляет собой силу инер-
инерции. Второе слагаемое в рамках выбранного нами модельного
(феноменологического) подхода характеризует силу «внутренне-
«внутреннего трения», которая действует на электрон. Действительно, при
неупругих соударениях с нейтральными частицами электрон v раз
в секунду теряет порции импульса по mdr/dt каждая. Наконец,
правая часть уравнения E.10) описывает силу, действующую на
электрон со стороны внешнего электрического поля.
Скорости, приобретаемые электроном, полагают достаточно
малыми, чтобы можно было пренебречь силой, возникающей под
действием магнитного поля.
Предположим, что внешнее поле Е изменяется во времени по
гармоническому закону с частотой со. Тогда, подставив в уравне-
уравнение E.10) функции г и Е, выраженные через соответствующие
комплексные амплитуды, т. е.
r=Re[rexp(/o>/)], E = Re[Eexp(/urf)],
получаем
m (—-(
или
г = — . E.11)
m (u2 4 y'o3v)
Отсюда находим комплексную амплитуду вектора поляризован-
ности
P=Neer
и вектора электрического смещения
которая описывается выражением
b fNf2 Ife. E Л 2)
На основании последней формулы находим относительную ди-
диэлектрическую проницаемость плазменной среды:
е = 1 —^ . E.13)
ms(w2 y<ov)

5.3. Распространение волн в плазме 85
В соответствии с формулами E.12) и E.13) диэлектрическая
проницаемость плазмы существенным образом зависит от часто-
частоты приложенного электромагнитного поля. Как следствие, процесс
распространения электромагнитных волн в плазме сопровождает-
сопровождается частотной дисперсией. Физическая причина дисперсии — инер-
инерционность процесса перемещения электронов плазмы под дейст-
действием переменного поля.
5.3. Распространение электромагнитных волн
в бесстолкновительной плазме
Расчет частоты соударений в плазменной среде — сложная
задача, решаемая методами кинетической теории газов. Анализ
показывает, что во многих интересных для радиотехники ситуа-
ситуациях основные параметры, определяющие частоту соударений, та-
такие, как температура электронного газа и средняя длина пробега
электрона между двумя последовательными столкновениями, ока-
оказываются такими, что на рабочей частоте со выполняется неравен-
неравенство
o)>v. E.14)
Это позволяет приближенно считать, что в формулах E.12) и
E.13) v=0. Если такая упрощенная модель справедлива, то го-
говорят о бесстолкновительной плазме, относительная диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость которой
?==l__^??i_ E.15)
действительна и меньше единицы на любых частотах.
Из равенства E.15) непосредственно следует, что величина
8 обращается в нуль на так называемой плазменной частоте
aW-l/-^, E.16)
которую иногда называют также ленгмюровск&й частотой по име-
имени американского физика И. Ленгмюра A881—1957).
Подставив в E.16) числовые значения т = 8.Ы0~31 кг, е=
= 1.6-10~19 Кл, 8о = 8.84-10~12 Ф/м, получаем формулу для прак-
практических расчетов
<опл=54.41)/лГв с-1 E.17)
или
Гц. E.18)

86
Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией
Часто на практике концентрация электронов такова, что плаз-
плазменная частота лежит в радиодиапазоне. Так, для земной ионо-
ионосферы с типичным значением Ne~ 1012 м~3 частота /пл~9 МГц.
Изучая распространение плоских электромагнитных волн в
бесстолкновительной плазме, следует по отдельности рассмотреть
два случая:
• Концентрация электронов Ne сравнительно невелика, так что
выполняется неравенство со>соПл- Го-
Говорят, что при этом имеет место рас-
распространение волн в докритической
плазме.
Параметр Ne велик настолько, что
имеет место обратное неравенство
со<сопл. В данном случае принято го-
говорить об электромагнитных процес-
процессах в закритической плазме.
Докритическая плазма. Представив
выражение E.15) в виде
J О)/Ь)пл
Рис. 5.1. Частотная за-
зависимость фазовой ско-
скорости плоской волны в
докритической плазме
электромагнитной волны:
на основании формулы C.24) находим
коэффициент распространения плоской
/
где ?0 = а> V^oft) —коэффициент фазы плоской волны в вакууме.
Ясно, что в рассматриваемом случае коэффициент ослабления
а=0, в то время как коэффициент фазы
E.19)
Отсюда непосредственно вытекает формула для расчета фазовой
скорости плоской электромагнитной волны в бесстолкновительной
плазме
- (сопл/соJ
E.20)
Кривая, характеризующая частотную дисперсию фазовой ско-
скорости в докритической плазме, изображена на рис. 5.1. Следует
отметить, что здесь фазовая скорость плоских электромагнитных
волн всегда больше скорости волн в вакууме, причем иф-*оо,
если со->сопл.

5.3. Распространение волн в плазме 87
Характеристическое сопротивление докритической бесстолкно-
вительной плазмы также зависит от частоты. Действительно,
здесь
^ Z; , E.21)
где Z0 = 377 Ом. В плазме рассматриваемого вида характеристи-
характеристическое сопротивление Zc действительно (векторы Е и Н изменя-
изменяются во времени синфазно) и превышает величину Zo.
Пример 5.2. Концентрация электронов в бесстолкновительной
плазме Л/е = 2-10п м~3. Найти частоту f электромагнитного поля,
при которой характеристическое сопротивление данной плазмы
составляет 600 Ом.
Уравнение относительно частоты
600=377//1-Кл/«>J
имеет положительный корень
Отсюда со = 3.128-107 с или /=4.978 МГц.
Вывод о том, что в бесстолкновительной плазме Vф>c, требует
некоторого пояснения, поскольку, согласно теории относительно-
относительности, скорость света в вакууме с является предельно возможной в
природе. Однако при этом имеется в виду скорость движения ма-
материальных объектов, измеренная в некоторой инерциальной си-
системе координат. Рассматриваемая же нами фазовая скорость
представляет собой скорость перемещения в пространстве вооб-
воображаемых математических объектов — волновых фронтов (см.
гл. 3). Естественно, что ограничения, налагаемые принципом от-
относительности, не распространяются на величину фазовой скоро-
скорости, которая может быть сколь угодно велика.
Закритическая плазма. Если (о<сопл, то коэффициент распро-
распространения плоской электромагнитной волны в плазме оказывается
действительным:
а И = % У к»* - 1; р (<о)=0. E.22)
Амплитуда поля вдоль произвольно выбранной оси z уменьша-
уменьшается по мере распространения в соответствии с законом
ехр(—az). Поскольку коэффициент фазы р в закритической плаз-
плазме равен нулю, волновой процесс в данной среде фактически от-

Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией
сутствует — начальные фазы колебаний при любых z одинаковы
в каждый момент времени. Формально это означает, что фазовая
скорость плоских электромагнитных волн в закритической плазме
неограниченно велика.
Ослабление амплитуды поля в плазме рассматриваемого вида
обусловлено не переходом части энергии
в теплоту, а чисто фазовым эффектом:
колеблющиеся электроны плазмы воз-
возбуждают вторичные волны, которые, ин-
интерферируя с полем падающей волны,
стремятся его компенсировать.
График частотной зависимости нор-
нормированного коэффициента ослабления,
рассчитанный по формуле E.22), изобра-
изображен на рис. 5.2. Обращает на себя вни-
внимание резкое увеличение коэффициента
О 0.25 0.5 0.75 а)/а)пл ослабления при уменьшении рабочей час-
частоты.
Рис. 5.2. Частотная зависи- Ослабление амплитуды электромаг-
эМф%УеГИРОВаослОаГбОленК„Оя нитных во.лн в закритической плазме во
плоской волны в бесстолк- многих случаях оказывает существенное
новотельной плазме влияние на работу земных и космических
радиолиний.
Пример 5.3. Вычислить ослабление электромагнитных волн в
плазменной оболочке толщиной d=0.03 м при концентрации элек-
электронов А^=1018 м~3 на частоте f=15 МГц.
Здесь плазменная частота /пл = 8.98 VNe = 8.98 ГГц. Отноше-
Отношение fnjl/f=600y т.е. закритический режим распространения выра-
выражен достаточно резко. Коэффициент фазы плоской волны с ука-
указанной частотой в вакууме ро = О.314 м. Коэффициент ослабле-
ослабления волны в плазме
а = Р0К(/Пл//J-1 = 188.5 м-'.
В логарифмических единицах погонное ослабление
Дпог = 8.686а =1637 дБ/м.
Отсюда ослабление волн в плазменном слое
ДСл = -Дпог^ = -49.2 дБ.
Таким образом, если Етвх и ?тВых — амплитуды напряженно-
напряженности электрического поля на входе и выходе слоя, то
F IF 1П49.2/20 _ ОЯЯ

5.4. Учет влияния столкновений 89
Проведенный ориентировочный расчет свидетельствует о воз-
возможности существенного ослабления амплитуды волн в слое за-
критической плазмы.
Поскольку диэлектрическая проницаемость закритической плаз-
плазмы отрицательна, характеристическое сопротивление подобной
среды оказывается чисто мнимым:
E.23)
а /КЛ/о)J_1
Знак правой части последнего равенства указывает на то, что ха-
характеристическое сопротивление закритической плазменной среды
является емкостным.
Подводя итог, можно констатировать, что слой бесстолкнови-
тельной плазмы ведет себя подобно фильтру верхних частот, про-
пропуская на выход колебания с частотами (о>соПл и эффективно ос-
ослабляя спектральные составляющие с частотами со<о)Пл.
5.4. Учет влияния столкновений в плазме
Изученная выше модель бесстолкновительной плазмы является,
по сути дела, результатом абстракции. Более точное представле-
представление об электромагнитных явлениях в реальной плазме можно по-
получить, учтя влияние столкновений электронов с нейтральными
молекулами газа. Для оценки частоты соударений v можно вос-
воспользоваться приближенной формулой [18]
E.24)
где Р — давление газа, Па; Т — температура, К.
В том случае, когда частота со гармонического электромагнит-
электромагнитного поля становится сравнимой с параметром v, электродинами-
электродинамические свойства плазменной среды описываются комплексной ди-
диэлектрической проницаемостью [см. формулу C.13)]
N е
Последнюю формулу следует преобразовать так, чтобы она
приобрела вид, характерный для диэлектрической проницаемости
среды с потерями:
Нетрудно заметить, что действительная часть комплексной диэлек-
диэлектрической проницаемости еа и удельная проводимость плазмы a

90
Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией
зависят от параметров соПл и v, а также существенным образом
связаны с частотой поля со:
E.25)
е„ = гп 1 —
E.26)
-2
"
У
/
У/
l\b-°
I
V0.25
Г*
1.0
^"-
OJ/COnn
1.5
w
0.75
0.5
0.25
V\
t\\\
\ \
"
0.5
1.0
1.5 co/conn
Рис. 5.З. Дисперсионные зависи-
зависимости вещественной части комп-
комплексной диэлектрической прони-
проницаемости плазмы при различных
значениях частоты соударений
Рис. 5.4. Дисперсионные зависимо-
зависимости нормированной удельной про-
проводимости плазмы при различных
значениях частоты соударений
Для анализа зависимостей еа(со) и а (со) удобно ввести норми-
нормированную частоту со/сопл, а также безразмерный параметр Ь =
= v/coim, характеризующий темп соударений электронов с ней-
нейтральными молекулами. На рис. 5.3 и 5.4 представлены серии дис-
дисперсионных кривых, рассчитанных по формулам
ео
1~шч^"' E'27)
^= №J + 62 > E.28)
непосредственно вытекающим из выражений E.25) и E.26).
Анализируя графики, полезно обратить внимание на то,, что при
Ь<С1 действительная часть комплексной диэлектрической проница-
проницаемости плазмы меняет знак вблизи плазменной частоты.

5.4. Учет влияния столкновений 91
Комплексный коэффициент распространения плоских электро-
электромагнитных волн в плазме с учетом соударений определяют по фор-
формуле C.24):
Ksa-/*/<«>) ft)-. E.29)
Следует иметь в виду, что волна, распространяющаяся в сторо-
сторону увеличения координаты вдоль произвольно выбранной оси, долж-
должна иметь параметр у, лежащий в I квадранте комплексной плоско-
плоскости (а>0, р>0). Этим следует руководствоваться, находя явные
выражения для величин а и р в соответствии с формулой E.29).
Прежде всего заметим, что комплексное число еа = еа—/а/со при
любой частоте со имеет отрицательную мнимую часть; действитель-
действительная часть может быть как положительной, так и отрицательной. Та-
Таким образом, число еа располагается либо в IV, либо в III квад-
квадрантах комплексной плоскости. Аргумент этого числа
= ^- + arctg^. E.30)
Z а
Отсюда видно, что квадратный корень в формуле E.29) имеет два
возможных значения с аргументами
E.31)
В самом деле, удваивая эти аргументы, мы получаем значение,
определяемое формулой E.30), с точностью до периода 2jt.
Заметим далее, что первое из двух возможных значение квад-
квадратного корня]/ва^о располагается во II квадранте, а второе зна-
значение— в IV квадранте. Благодаря наличию в формуле E.29) мно-
множителя /со, увеличивающего аргумент комплексного числа на я/2
радиан, подходящим окажется лишь второе значение квадратного
корня, при котором
^L -^i- E.32)
отвечает комплексному числу 7, лежащему в I квадранте.
Итак, коэффициент распространения однородной плоской волны
в плазме с учетом столкновений определяется по формуле
E.33)
Введя параметры $0 = (дУ eojio и е = еа/ео, отсюда находим

92 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией
E.35)
Пример 5.4. Давление газа 103 Па, температура 2• 103 К. Под
действием некоторых внешних факторов, например фотохимических
реакций, происходит ионизация части молекул; концентрация сво-
свободных электронов равна 3-Ю16 м~3. Найти коэффициент ослабле-
ослабления а и коэффициент фазы C плоской электромагнитной волны с
частотой со = 109 с.
По формуле E.24) вычисляем частоту соударений электронов с
нейтральными молекулами:
v=5-10M03//2^=Lbl09 с-1.
Определяем плазменную частоту:
оI1л=54.41/3-1016=9.42.108 с-1.
Применив формулы E.25) и E.26), находим безразмерные пара-
параметры:
е=1
(о2
0J _i» y2
—=0.442.
<ое0 ш (о>2 -j-
Коэффициент фазы плоской волны в вакууме
ро=ю/с = 3.33 м-1.
В соответствии, с формулами E.34) и E.35) получаем а =
= 0.899 м, р = 2.726 м. Ослабление электромагнитных волн в
такой плазме оказывается весьма существенным. Действительно,
здесь погонное затухание АПОг= 8.686а = 7.81 дБ/м. Пройдя путь
длиной 10 м, плоская волна уменьшает амплитуду в 1078Л/2-°«
«8000 раз.
5.5. Распространение импульсов в средах
с частотной дисперсией фазовой скорости.
Понятие групповой скорости
Зависимость фазовой скорости плоских электромагнитных волн
от частбты служит причиной ряда явлений, наблюдаемых при рас-
распространении колебаний в диспергирующих средах.

5.5. Распространение импульсов. Групповая скорость 93
Для того чтобы упростить анализ и сделать его результаты бо-
более наглядными, будем рассматривать материальные среды без
затухания, подобные бесстолкновительной плазме на частотах вы-
выше плазменной. Предположим, что в плоскости z = 0, которая рас-
рассматривается как «вход» волновой системы, некоторые внешние
источники возбуждают однородную плоскую электромагнитную
волну. Данная волна распространяется в материальной среде с из-
известным законом дисперсии р (со) в сторону увеличения координа-
координаты 2. Будем считать, что электрический вектор данной волны имеет
единственную отличную от нуля проекцию Ех.
Ранее изучались волны с гармоническим (синусодиальным или
косинусоидальным) законом изменения мгновенных значений по-
поля во времени. Теперь обратимся к более общему случаю, когда
сигнал Ех{0, t) на входе волновой системы представляет собой им-
импульсное колебание, существующее лишь на конечном отрезке вре-
времени, называемом длительностью импульса ти.
Разложим сигнал Ех@у t) на элементарные гармонические ко-
колебания, представив его интегралом Фурье [2]
оо
Ех@, 0)=^ J SHe'-'do), E.36)
— оо
в который входит спектральная плотность
S (ш) = J Ех @, /) е->' dt. E.37)
— оо
Среда, в которой распространяются волны, считается линей-
линейной. Поэтому на основании принципа суперпозиции частные ре-
решения уравнений Максвелла могут любым образом складываться,
вновь образуя в совокупности некоторое решение уравнений элек-
электромагнитного поля. В рассматриваемом нами случае такими част-
частными решениями служат гармонические волны со всевозможными
частотами со и исчезающе малыми амплитудами; уровни этих амп-
амплитуд пропорциональны функции jS(co) |. Спектральная плотность,
вообще говоря, принимает комплексные значения; ее аргумент
описывает частотную зависимость начального фазового сдвига от-
отдельных элементарных волн.
Каждая элементарная волна, распространяясь в среде без за-
затухания и с частотной дисперсией, характеризуется тем, что мгно-
мгновенные значения гармонических колебаний в плоскости с коорди-
координатой z запаздывают на Р(соJ радиан по отношению к колебани-
колебаниям на входе, т. е. при 2 = 0. Другими словами, функция
/С(М=ехр[--ур (<¦>)*! E.38)

94
Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией
должна рассматриваться как частотный коэффициент передачи не-
некоторого воображаемого линейного четырехполюсника, который
преобразует входной сигнал Ех@, t) в выходной сигнал Ex(z, t).
Итак, мгновенное значение выбранной проекции электрическо-
электрического вектора в плоскости с фиксированной координатой z дается вы-
выражением
Ex(z,
=— f
2л J
E.39)
п
п
-CJ
о
O)Q
CO
В равной мере аналогичные выражения можно записать и для
других проекций векторов по-
ля, например для Hy(z, t).
Распространение узкопо-
узкополосных сигналов. Формула
E.39) служит полным и од-
однозначным решением, однако
конкретное вычисление интег-
интеграла может оказаться весьма
трудным из-за того, что пере-
переменная интегрирования входит
в аргумент экспоненциальной
функции нелинейным образом.
Задача существенно упрощает-
упрощается в том случае, когда колеба-
колебание Ех{0, t) на входе среды
оказывается узкополосным сиг-
сигналом. Как известно, спект-
спектральная плотность такого сиг-
сигнала концентрируется в ок-
окрестности некоторой централь-
центральной частоты coo, так что если
П — ширина спектра сигнала,
измеренная на каком-либо про-
произвольном уровне, то отноше-
отношение П/соо<С1 (рис. 5.5, а).
Временная диаграмма типичного узкополосного сигнала (рис.
5.5, б) имеет вид квазигармонической кривой, у которой текущая
амплитуда и начальная фаза изменяются гораздо медленнее, чем
высокочастотное заполнение вида cos соо^.
Простейшим сигналом рассматриваемого класса, на примере
которого удается тем не менее изучить ряд важных явлений, яв-
является узкополосная группа
Ех @, t) =. Em cos uj + Em cos a>2/, E.40)
Рис. 5.5. Узкополосный сигнал:
с — частотная зависимость модуля спектраль-
спектральной плотности; б — временная диаграмма
сигнала

5.5. Распространение импульсов. Групповая скорость 95
т. е. сумма двух гармонических колебаний с одинаковыми ампли-
амплитудами; частоты этих колебаний
(o1 = cD0—Лео; ¦ (о2 = (о0-[-Ди> E.41)
расположены симметрично относительно центральной частоты соо.
Безусловно, считается, что Aco/co0<Cl. >.
По аналогии с формулой E.39) запишем математическую мо-
модель сигнала в плоскости <г>0, возникающего при подаче на вход
волновой системы узкополосной группы:
Ех (z, /) = Em cos К* - р (о)х) z] + Ет cos К* - Р W *1 • E.42)
В дальнейшем будем предполагать, что имеет место случай
так называемой слабой дисперсии, когда в пределах малой (в от-
относительном смысле) окрестности частоты соо дисперсионная ха-
характеристика среды р (со) достаточно точно описывается двумя
первыми членами разложения в ряд Тейлора:
р (<о) = р (со0) + Л- (со - оH). E.43)
асо
Производную dp/dco следует вычислять при (о = соо; обозначим эту
производную для краткости как Ро'-
Используя представление E.43), перепишем формулу E.42) в
следующем виде:
Ех (z, t) = Ет cos [К - Аш) / - р (со0) z +*РоДо>4+
+ Ет cos [(d0 + Aco) t - р К) 2 - ЙДад]. E.44)
Воспользовавшись известным тождеством
, /о # — ? . ¦ а + ?
cos a -\- cos 6? = 2 cos cos ,
отсюда находим
Ех (z, t) = 2Ет cos [Да> (/ - $z)\ cos К/ - р К) г]. E.45)
Понятие групповой скорости. Займемся анализом полученной
формулы. При фиксированном z мгновенные значения поля изме-
изменяются во времени как квазигармонический сигнал вида
2?mcos(A(o?+(p) cos (соо^+'Ф) • Здесь <р и г|э — некоторые постоянные
числа. Сомножитель cos(Aco?+(p) определяет закон изменения мед-
медленной огибающей процесса; сомножитель cos(o)o^+^) описыва-
описывает быстрое высокочастотное заполнение. Подобные процессы в
физике принято называть биениями.
Из формулы E.45) можно сделать вывод о том, что как мед-
медленная огибающая узкополосной группы, так и быстрое заполне-

96
Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией
t=0
ние распространяются в пространстве волнообразно (рис. 5.6). При
этом скорость распространения высокочастотного заполнения рав-
равна фазовой скорости гармонической плоской волны с централь-
центральной частотой соо:
*,ф = аH/р(иH). E.46)
Однако скорость перемещения в пространстве медленной оги-
огибающей, получившая название
групповой скорости
^гр= l/Po=d<o/dp, E.47)
в диспергирующей среде, как пра-
правило, не равна фазовой скорости.
Если обратиться конкретно к
случаю бесстолкновительной
плазмы, для которой закон час-
частотной дисперсии задан форму-
формулой E.19), то, вычислив произ-
производную dp/dco, на основании вы-
выражения E.47) получаем прос-
простую формулу для групповой ско-
скорости
^р = с/1-Кл/о)J. E.48)
Прибегая к понятию группо-
групповой скорости, удается приемлемо
точно рассчитать скорость волно-
волнообразного распространения в дис-
диспергирующей среде любого до-
достаточно узкополосного импуль-
импульсного колебания. Более опреде-
определенно, групповая скорость слу-
служит хорошей приближенной оцен-
оценкой скорости распространения ра-
радиоимпульса, спектр которого отличен от нуля лишь в пределах
частотного интервала, где производная dp/dco может считаться
постоянной.
Рис. 5.6. Пространственное распре-
распределение поля узкополосной группы
в три последовательных момента вре-
времени
Пример 5.5. В бесстолкновительной плазме (ионосфере) с элек-
электронной концентрацией Ne = 2-1012 м~3 одну и ту же трассу длиной
L = 150 км проходят два прямоугольных радиоимпульса одинако-
одинаковой длительности ти=100 мкс. Несущие частоты импульсов fOi =
= 15 МГц и /о2 = 28 МГц соответственно. Определить величину At —
разность воемен прохождения этой трассы данными импульсами.

5.5. Распространение импульсов. Групповая скорость
97
Спектральная плотность первого радиоимпульса концентриру-
концентрируется в окрестности частоты 15 МГц. Ширина спектра этого им-
импульса, оцениваемая как частотный интервал между первыми ну-
нулями спектральной диаграммы, Д/^2/ти=20 кГц [2]. Второй им-
импульс имеет спектр такой же ширины, сосредоточенный в окрест-
окрестности частоты 28 МГц. Достаточная малость относительной ши-
ширины спектра (A//f0i,2~ Ю~3) позволяет считать, что скорости рас-
распространения импульсов равны соответствующим групповым ско-
скоростям. Вычислив предварительно ленгмюровскую частоту /пл =
= 12.7 МГц, на основании E.48) получаем
2=: 1.596.
м/с,
2 = сУ\- (/пл//о2J = 2.674.10» м/с.
а)
Рис. 5.7. Процесс «расплывания» импульсного сигнала в диспергирующей
среде:
а —колебание на входе; б — колебание на выходе при слабых искажениях; в — то же
при сильных искажениях
Отсюда
A/ = Z.(t?pl— ч^рУ) = 378 мкс, что почти в четыре раза превышает
длительность импульсов.
Искажения импульсных сигналов при распространении в дис-
диспергирующей среде. Используя понятие групповой скорости, мож-
можно в ряде случаев ответить на вопрос о том, сколь ощутимы ис-
искажения импульсного сигнала из-за частотной зависимости скоро-
скоростей распространения отдельных спектральных составляющих.
Реальный импульсный сигнал не является простой узкополос-
ной группой, а состоит из целого набора таких групп, каждая из
которых распространяется в пространстве со своей групповой ско-
скоростью. Пока длина трассы распространения L достаточно мала,
разность времен прихода этих групп в точку приема существенно
меньше длительности импульса ти, так что искажения принятого
сигнала невелики (рис. 5.7). С ростом длины L эта разность воз-
возрастает, что ведет к заметному «расплыванию» импульса на вы-
выходе.
4—1379

98 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией
Пусть fB и /н — соответственно верхняя и нижняя частота в пре-
пределах спектральной полосы передаваемого радиоимпульса. Дан-
Данным частотам отвечают скорости высокочастотной и низкочастот-
низкочастотной групп Угр.в и 0гр.н- Эффект «расплывания» импульса проявля-
проявляется ярко в том случае, когда одна из упомянутых групп запазды-
запаздывает относительно другой на время порядка ти-
Пример 5.6. В бесстолкновительной плазме с параметром /Пл =
= 6.5 МГц распространяется радиоимпульс, имеющий несущую час-
частоту /о = 32 МГц и эффективную ширину спектра А/=1.6 МГц. Ка-
Качественно сравнить дисперсионные искажения данного колебания,
наблюдаемые при длинах трассы L=l км и L = 100 км.
Как и ранее, будем приближенно полагать, что энергия радио-
радиоимпульса сосредоточена в пределах главного лепестка спектраль-
спектральной диаграмы. Поэтому в данном случае /в=/о+Л//2 = 32.8 МГц,
/н=Д>—А//2 = 31.2МГц.
По формуле E.48) находим
F.5/32.8J=0.980
*VpjI=*/l-F.5/31.2J = 0.978 с.
Длительность импульса, оцениваемая по ширине спектра,
*я=1/Д/=0.625 мкс.
Разность времен распространения двух крайних групп
составляет 7.3 не, если L=\ км, и 0.73 мкс, если L=100 км. Так
как в первом случае Д/<Сти, то дисперсионными искажениями при
короткой трассе можно обоснованно пренебречь. При длинной трас-
трассе Д/^Ти, так что эффект «расплывания» импульса будет вполне
заметным.
Отметим в заключение, что дисперсия фазовой скорости волн
наблюдается не только в плазменной среде, но и в разнообразных
искусственных электродинамических системах, таких, как волно-
волноводы. Некоторые задачи, возникающие при изучении распростра-
распространения импульсных колебаний по волноводам, будут рассмотрены
в гл. 8.
Более строгий подход к введению и физическому истолкованию
понятия групповой скорости читатель найдет в книге [3].

5.6. Электромагнитные волны в сверхпроводниках 99
5.6. Электромагнитные волны в сверхпроводниках
Явление сверхпроводимости открыл в 1911 г. голландский фи-
физик X. Камерлинг-Оннес, изучая свойства жидкого гелия. Оказа-
Оказалось, что при температурах ниже 4.15 К электрическое сопротивле-
сопротивление образца ртути исчезающе мало. Постоянный ток, возбужден-
возбужденный в сверхпроводящем кольце, циркулирует по нему без каких-
либо сторонних источников ЭДС в течение многих месяцев. Изме-
Измерить сопротивление сверхпроводника традиционными методами
крайне трудно. Полагают, что оно по крайней мере в 1018 раз мень-
меньше сопротивления меди, серебра и других обычных металлов.
Если температура сверхпроводника становится выше так на-
называемой критической температуры 7С, то явление сверхпроводи-
сверхпроводимости скачкообразно исчезает и вещество из сверхпроводящего пе-
переходит в нормальное состояние.
Сверхпроводящие свойства присущи многим неферромагнит-
неферромагнитным металлам, у которых значения Тс различны. Так, для алю-
алюминия критическая температура равна 1.2 К, для свинца 7.2 К и
для ниобия 9.2 К- Интерметаллическое соединение Nb3Ge имеет
значение Гс = 23 К. В 1986 г. был открыт целый класс редкоземель-
редкоземельных керамических материалов с добавкой ионов меди, у которых
критические температуры весьма высоки. Например, для керами-
керамики YBa2Cu307 значение ГС = 92 К, что выше температуры кипения
жидкого азота G7 К)- Это обстоятельство, коренным образом уп-
упрощающее техническое использование явления сверхпроводимости,
послужило отправной точкой живого интереса к этой области фи-
физики, резко усилившегося в последние годы.
Уравнение Лондонов. Первую успешную попытку создания тео-
теории сверхпроводимости предприняли в 1935 г. немецкие физики
Ф. и Г. Лондоны. Согласно их модельным представлениям, вещест-
вещество в сверхпроводящем состоянии содержит носители заряда двух
типов: нормальные носители, которые подчиняются обычным за-
законам классической электродинамики, и сверхпроводящие носите-
носители, способные перемещаться в кристаллической решетке вещества
без какого-либо сопротивления. Соответственно вектор плотности
полного тока J в каждой точке сверхпроводника представляется
суммой двух составляющих:
J = Jn + Js, E.49)
где индексы п и s относятся к нормальной и сверхпроводящей
компонентам соответственно.
Ясно, что

100 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией
где Ob — нормальная удельная проводимость вещества. Тогда сис-
система двух первых уравнений Максвелла для сверхпроводящей сре-
среды запишется в виде
dt E.50)
хж? дВ
rotE= — .
dt
Пусть Ns — концентрация, qs— заряд, vs-—вектор скорости
сверхпроводящих носителей. Тогда, по общему правилу,
J.=W.?tvif E.51)
причем входящая сюда скорость подчиняется закону Ньютона
ms-^-=qsE. E.52)
Объединив равенства E.51) и E.52), находим, что
Ъ-=Л«±-Е. E.53)
dt ms
Затем, применив операцию rot к обеим частям равенства E.53) и
воспользовавшись вторым уравнением из системы E.50), получаем
E.54)
V dt ) га* ms dt
Ф. и Г. Лондоны предположили, что последнее уравнение мож-
можно проинтегрировать по t, положив возникающую при этом про-
произвольную постоянную равной нулю. Выполнив это действие, из
E.54) находим
rotJs = —^-B. E.55)
m
Удобно ввести параметр с размерностью длины
^j/т-^Ь-' E-56)
получившей название лондоновской длины, и переписать равенст-
равенство E.55) следующим образом:
rotJ=——т-В. E.57)
В физике эту формулу называют уравнением Лондонов. Интерес-
Интересно отметить, что, согласно этому уравнению, плотность сверхпро-

5.6. Электромагнитные волны в сверхпроводниках 101
водящего тока связана не с электрическим, а с магнитным полем.
Чтобы получить представление о характерных особенностях
распределения электромагнитного поля в толще сверхпроводника,
воспользуемся системой уравнений Максвелла E.50), дополнив ее
уравнением Лондонов E.57), которое играет роль материального
уравнения. Вычисляя ротор от обеих частей первого уравнения из
E.50), имеем
rot rot f
или
rot rot
—We. — rotE-4-anrotE
/ В \ д*В дВ I o /r -o4
— = _?a_ an— -2-B. E.58
\ н J °t2 dt v-oK
Так как
rotrotf—Wgraddivf—)-V2(—
причем div B = 0, то уравнение E.58) упрощается:
В \ д^в , дВ . 1
На нулевой частоте, когда д/д/ = 0, отсюда имеем
v2B = AAl)B. E.60)
Отметим существенное обстоятельство — в уравнение E.60) не вхо-
входит удельная проводимость ап, обусловленная нормальными носи-
носителями. Поэтому постоянный ток создается лишь за счет движе-
движения сверхпроводящих носителей; этот ток течет в сверхпроводни-
сверхпроводнике, не испытывая никакого сопротивления. Естественно, что элек-
электрическое поле в материале при этом равно нулю. Магнитное же
поле вытесняется из толщи сверхпроводника на его поверхность
и существует в слое толщиной порядка лондоновской длины. Что-
Чтобы доказать это, запишем уравнение E.60) для одномерного слу-
случая:
где х — координата, отсчитываемая по нормали в глубь сверхпро-
сверхпроводника.
Легко проверить, что решением уравнения E.61) служит функ-
функция
В (*) = В @) exp (-x/XL), E.62)

102 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией
где В@)—магнитная индукция на границе раздела воздух —
сверхпроводник. Второе из возможных решений, пропорцио-
пропорциональное exp (xJKjj), должно быть отброшено как не имеющее
физического смысла из-за экспоненциального роста поля при
Итак, лондоновская длина есть оценка глубины проникновения
постоянного магнитного поля, а значит, и постоянного тока в сверх-
сверхпроводник. «Поверхностный эффект» в сверхпроводниках и явле-
явление вытеснения высокочастотного поля на поверхность хорошо про-
проводящего обычного металла с физической точки зрения — прояв-
проявление одного и того же фундаментального принципа — закона
Фарадея — Ленца, согласно которому за счет электромагнитной
индукции в проводящей системе возникают наведенные токи, пре-
препятствующие изменению первоначального магнитного потока. Раз-
Разница лишь в том, что из-за бесконечно высокой подвижности
сверхпроводящих носителей этот эффект в сверхпроводниках на-
наблюдается на нулевой частоте.
В теории Лондонов считается, что носителями, ответственными
за явление сверхпроводимости, служат электроны. При этом пол-
полностью игнорируется вопрос о том, почему один электрон оказы-
оказывается нормальным, а другой — сверхпроводящим. Так или иначе,
если для оценки положить, что ^3= 1.6-10~19 Кл, ms = 9.1-10~31 кг
(масса электрона) и jVs=1029 м~3 (типичная концентрация свобод-
свободных электронов в металле), то на основании формулы E.56) име-
имеем Xl=16 hm. Именно на такой глубине магнитная индукция умень-
уменьшается в е раз по сравнению с начальным значением. Поэто-
Поэтому есть все основания считать, что внутри сверхпроводника
магнитное поле отсутствует. Явление «выталкивания» магнит-
магнитного поля из толщи сверхпроводника было экспериментально от-
открыто в 1933 г. В. Мейсснером и Р. Ошенфельдом (эффект
Мейсснера).
Высокочастотные свойства сверхпроводников. Если частота
электромагнитного поля не равна нулю, то уже нет оснований
пренебрегать вторым слагаемым в правой части уравнения E.59).
Поэтому начинает существенно сказываться проводимость, обус-
обусловленная нормальными электронами, и в сверхпроводнике воз-
возникают некоторые тепловые потери.
Будем рассматривать электромагнитный процесс, изменяющий-
изменяющийся во времени по гармоническому закону с частотой со. В соответ-
соответствии с равенством E.53) комплексные амплитуды сверхпроводя-
сверхпроводящей компоненты тока и напряженности электрического поля свя-
связаны соотношением

5.6. Электромагнитные волны в сверхпроводниках 103
Поскольку для нормальной компоненты тока аналогичная связь
имеет вид
а током смещения в хорошо проводящей среде можно с полным ос-
основанием пренебречь, приходим к следующей формулировке за-
закона Ома для сверхпроводника в переменном электромагнитном
поле:
, ¦ С5-63)
где as=l/(a)txox5.
Таким образом, сверхпроводящая среда характеризуется комп-
комплексной удельной проводимостью
o = aa — JGSJ E.64)
действительная часть которой обусловлена нормальными, а мни-
мнимая— сверхпроводящими носителями.
Прямым расчетом легко убедиться, что практически всегда
os>an. Так, положив f = 10 ГГц, A,L = 50 нм (типичное значение для
большинства сверхпроводников), находим, что as = 5-109 См/м.
В то же время an~107 См/м, как и для большинства металлов.
Можно усмотреть принципиальную разницу между сверхпро-
сверхпроводником и гипотетическим идеальным проводником: удельная про-
проводимость сверхпроводника, стремясь по модулю к бесконечности,
является практически мнимой величиной, в то время как у идеаль-
идеального проводника она описывается бесконечно большим действи-
действительным числом. Мнимый характер проводимости связан с тем, что
в соответствии с E.53) между током и вызывающим его электри-
электрическим полем имеется фазовый сдвиг на 90°.
В качестве величины, характеризующей плотность потока мощ-
мощности тепловых потерь, удобно воспользоваться действительной
частью характеристического сопротивления сверхпроводящей среды
ReZ
=Rel/—^-=
Если учесть, что нормальная часть удельной проводимости на-
намного меньше сверхпроводящей, то отсюда получаем
Eб5)
Воспользовавшись приведенными выше числовыми оценками,
находим, что у типичного сверхпроводника на частоте 10 ГГц зна-

1,04 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией
чение ReZc=4-10~6 Ом. Для сравнения заметим, что нормальный
металл, у которого сг=107 См/м, при тех же условиях имеет ReZc=
=]/(D|WB(i) =6-10~2 Ом. Несомненно, что на частотах СВЧ-диа-
пазона сверхпроводники существенно лучше нормальных металлов
с точки зрения малости тепловых потерь.
Как видно из равенства E.65), величина ReZc снижается по ме-
мере уменьшения параметра ап, который, в свою очередь, монотонно
зависит от температуры по закону оп~ (Т/ТсL. Поэтому в тех слу-
случаях, когда требуются исключительно малые тепловые потери, же-
желательно предельно уменьшать абсолютную температуру устрой-
устройства, помещая его в криостат с жидким гелием. К тому же при
низких температурах уменьшаются собственные тепловые шумы,
что важно при создании высокочувствительных приемников. Тем
не менее новейшие высокотемпературные сверхпроводники, не-
несколько уступая «классическим» материалам, таким, как Nb илл
РЬ, способны обеспечить отличные характеристики приборов.
Механизм сверхпроводимости. Как указывалось, теория Лон-
донов является чисто феноменологическим построением, пригод-
пригодным для количественного описания наблюдаемых фактов, но не
способным ответить на вопрос о внутренней причине сверхпрово-
сверхпроводимости. Строгую квантово-механическую теорию сверхпроводимо-
сверхпроводимости создали в 1957 г. американские ученые Д. Бардин, Л. Купер и
Д. Шриффер (теория БКШ). Независимо от них акад. Н. Н., Бого-
Боголюбов в 1958 г. предложил более обоснованный вариант такой
теории.
Оказалось, что электроны в металле помимо сил кулоновского
отталкивания испытывают особые силы притяжения. Если темпе-
температура вещества становится меньше критической, то силы притя-
притяжения начинают доминировать и часть электронов попарно объе-
объединяется. В результате возникают так называемые куперовские
пары электронов, способные двигаться между узлами кристалли-
кристаллической решетки вещества подобно сверхтекучей жидкости. Зна-
Значит, истинными носителями сверхпрводящего тока служат не элек-
электроны, а куперовские пары, что (это замечательно!) отнюдь не
дискредитирует теорию Лондонов, так как параметр Яь в соот-
соответствии с E.56) остается неизменным.
Физические явления в сверхпроводниках весьма многообразны.
С точки зрения технических приложений -большой интерес пред-
представляет эффект Джозефсона — протекание туннельного тока че-
через очень тонкий (около 1 нм) слой диэлектрика, разделяющий
две сверхпроводящие области. Эффект Джозефсона позволяет
строить высокоточные измерительные приборы, создавать элемен-
элементы логических устройств для суперкомпьютеров и др. В последние
годы возникла новая научно-техническая область, получившая на-
название сверхпроводниковой электроники [25].

Задачи 105
ЗАДАЧИ
5.1. Как указывалось, для уменьшения омических потерь токо-
ведущие поверхности СВЧ-устройств покрывают тонким слоем се-
серебра. Определите толщину серебряного слоя, при которой напря-
напряженность электрического поля на его внутренней поверхности сок-
сокращается в 200 раз по сравнению с напряженностью поля на гра-
границе раздела металл — воздух. Частота колебаний 30 ГГц.
5.2. Морская вода имеет относительную диэлектрическую про-
проницаемость е = 75, относительную магнитную проницаемость \х=\
и удельную проводимость о " = 2 См/м (данные получены путем ус-
усреднения по многим точкам Мирового океана). Покажите, что на
частотах меньше 300 МГц в такой среде можно пренебречь тока-
токами смещения по сравнению с токами проводимости. Вычислите глу-
глубину проникновения электромагнитных волн в морскую воду на
частотах 100 кГц и 30 МГц.
5.3. Ленгмюровская частота бесстолкновительной плазмы соПл =
= 8 -107 с~1. Плоская линейно поляризованная электромагнитная
волна с частотой со = 3• 107 с~1 в некоторой точке пространства име-
имеет комплексную амплитуду х-й проекции электрического вектора
Ёх=180 ехр (/ 60°) В/м. Найдите комплексную амплитуду у-п про-
проекции магнитного вектора поля в данной точке.
5.4. Определите частоту со, при которой действительная часть
абсолютной диэлектрической проницаемости электронной плазмы
с параметрами Ne = 3-l017 м~3, v = 5-109 с обращается в нуль.
5.5. Плоская электромагнитная волна распространяется в плаз-
плазме с ленгмюровской частотой соПл = 7-108 с и частотой соударе-
соударений v = 3.5-108 с. Вычислите значение частоты поля со, при ко-
которой угол диэлектрических потерь б плазменной среды равен 45°.
5.6. Найдите фазовую скорость плоской электромагнитной вол-
волны, которая распространяется в однородной ионизированной среде
с параметрами 7Ve = 5-1018 м~3, v = 3-1010 с. Частота колебаний
поля / = 22 ГГц.
5.7. Электронная концентрация бесстолкновительной плазмы
Ne=2-l0]6 м~3. Определите частоту / электромагнитного поля, при
которой фазовая скорость плоской волны в 10 раз превышает груп-
групповую скорость.
5.8. Узкополосный импульсный радиосигнал, имеющий несу-
несущую частоту 20 МГц, распространяется в бесстолкновительной
плазме с концентрацией свободных электронов Ne=3.5-1012 м~3.
Найдите время прохождения данным сигналом трассы длиной
120 км.
5.9. Покажите, что на частотах, значительно превышающих
плазменную, групповую скорость электромагнитных волн в плаз-
плазме можно приближенно вычислить по формуле 1>гр=сA—¦
— 1480ЛУсо2).

106 Глава 6. Падение плоских еолн на границу раздела
5.10. В 60-х годах были открыты удаленные космические источ-
источники радиоизлучения, так называемые пульсары. Сигналы пуль-
пульсаров представляют собой широкополосные радиоимпульсы дли-
длительностью порядка долей секунды. Определить расстояние до
пульсаров стало возможным потому, что межзвездная плазма яв-
является дисперсионной средой.
На рис. 5.8 изображенькосциллограммы сигналов щ и и% кото-
которые представляют собой чогибающие радиоимпульсов от одного и
того же пульсара при различных
частотах настройки приемника ра-
радиотелескопа: fi=400 МГц для сиг-
сигнала щ и /2 == 1000 МГц для сигна-
сигнала «2. Как видно из рисунка, сдвиг
во времени данных сигналов At=
At
= 0.62 с.
Оцените расстояние от Земли до
пульсара, предположив, что меж-
Рис. 5.8. Примерные формы оги- звездное пространство заполнено
бающих при двух значениях час- r r
тоты настройки приемника атомами водорода с концентрацией
1 атом/см3, причем ионизирован в
среднем один атом из десяти. Указание: воспользуйтесь ре-
результатом из задачи 5.9.
5.11. Определите глубину проникновения постоянного магнитно-
магнитного поля в толщу сверхпроводника, взяв в качестве критерия деся-
десятикратное сокращение магнитной индукции на внутренней сторо-
стороне слоя по сравнению с индукцией на внешней стороне. Считайте,
что сверхпроводящими носителями заряда являются куперовские
пары электронов, для которых qs = S.2-10~19 Кл, ms= 1.82-10~30 кг.
Положите, что концентрация куперовских пар iVs^lO^7 м~3.
5.12. Измерения показали, что сверхпроводник имеет значение
лондоновской длины A,l=300 нм, в то время как нормальная часть
удельной проводимости о»п = 3-107 См/м. Определите характери-
характеристическое сопротивление сверхпроводника на частоте 45 ГГц.
Глава шестая
ПАДЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
В данной главе рассматриваются явления, наблюдаемые при
падении, однородных плоских электромагнитных волн на беско-
бесконечно протяженную границу раздела двух сред с различающимися
электродинамическими параметрами. Существенным образом ис-
используются граничные условия, изученные в гл. 4.

6.1. Нормальное падение на проводящую плоскость
107
6.1. Нормальное падение плоской электромагнитной волны
на идеально проводящую плоскость
Рассмотрим следующую простейшую ситуацию. Пусть на бес-
бесконечную идеально проводящую плоскость по направлению нор-
нормали падает плоская электромагнитная волна, распространяюща-
распространяющаяся вдоль оси z декартовой системы координат (рис. 6.1). Из ри-
рисунка видно, что присутствие на поверхности идеального провод-
проводника лишь поля падающей волны
с вектором напряженности элект-
электрического поля Епад не может обе-
обеспечить выполнения граничного ус-
условия ?т=0. Для выполнения этого
условия необходимо, чтобы в полу-
полупространстве z<0 существовала от-
отраженная волна с амплитудой, в
точности равной амплитуде падаю-
падающей волны. При 2 = 0 должно иметь
место равенство
Епад + Еотр = 0. F.1)
Чтобы определить суммарное
магнитное поле на поверхности иде-
идеального проводника, следует учесть,
что вектор Пойнтинга отраженной волны Потр ориентирован вдоль
отрицательного направления оси г. Поскольку модули векторов
Нпад и НОТр равны, в плоскости z = 0 модуль суммарного вектора
напряженности магнитного поля
Н2 = Н11ад-[-Н0Тр
в два раза больше модуля каждого слагаемого. Таким образом,
получен существенный результат — на поверхности идеального
проводника напряженность суммарного магнитного поля в два ра-
раза превышает напряженность магнитного поля падающей электро-
электромагнитной волны:
На = 2Нпая. F.2)
Зная модуль и ориентацию вектора суммарной напряженно-
напряженности магнитного поля, можно определить вектор плотности поверх-
поверхностного электрического тока по формуле
Jno-., = Ii«HE]. F.3)
Из рис. 6.1 видно, что поверхностный электрический ток проте-
протекает в направлении вектора Е падающей волны, а его амплитуда
равна удвоенной амплитуде вектора напряженности магнитного
поля этой волны.
П
Рис. 6.1. Векторы поля при
нормальном падении плоской
волны на идеально проводя-
проводящую плоскость

108
Глава 6. Падение плоских волн на границу раздела
Понятно, что идеально проводящая плоскость полностью экра-
экранирует одно полупространство от другого. Поэтому при z>0 все
составляющие векторов электромагнитного поля обращаются
в нуль.
6.2. Нормальное падение
плоской электромагнитной волны
на диэлектрическое полупространство
Предположим, что полупространство <г<0 прямоугольной де-
декартовой системы координат (область /) представляет собой ва-
вакуум (еа = ео, jia=Uo,.. <т=0), в то
время как полупространство z>Q—
произвольный магнитодиэлектрик с
1 параметрами еа, |яа, а (область 2 на
отр . Т рис. 6.2).
I • Пусть в области 1 вдоль поло-
> О ffi1 ""у"" ^ жительного направления оси zрас-
zраспространяется плоская гармониче-
гармоническая волна, которая называется па-
падающей. Для данной волны счита-
считаются известными комплексные амп-
амплитуды ВеКТОрОВ Епад И Нпад, СфИ-
ентированные в пространстве так,
как это показано на рис. 6.2:
Нотр Нпад
П
лад
Рис. 6.2. Векторы поля при нор-
нормальном падении плоской волны
на диэлектрическое полупрост-
полупространство
' х пад4-
F.4)
Нп
в^^
ЛУ
Здесь Pi = col/eofxo — коэффициент фазы плоской волны* с заданной
частотой в вакууме, Z0 = 377 Ом — характеристическое сопротив-
сопротивление вакуума.
Естественно предположить, что в рассматриваемой электроди-
электродинамической системе помимо падающей существуют еще две волны:
отраженная волна, комплексные амплитуды векторов по-
поля которой имеют вид
F р
F.5)
**отр —
^^огр

6.2. Нормальное падение на диэлектрическое полупространство 109
Знак вектора Н0Тр обусловлен тем, что вектор Пойнтинга отра-
отраженной Волны Потр направлен в сторону уменьшения координа-
координаты z\ \
прогйедшая (преломленная) волна, характеризуемая
комплексными амплитудами векторов
¦-'irp *-* х прс 1х1
F.6)
пр
Здесь р2 = со]Л еа|ла и Z,2=Wa/?a — соответственно коэффициент
фазы и характеристическое сопротивление плоской электромагнит-
электромагнитной волны в среде 2.
При записи формулы F.6) предполагается, что область 2 прос-
простирается неограниченно вдоль полуоси z>0. Кроме того, считает-
считается, что электромагнитные волны, распространяясь в области 2, ис-
испытывают некоторое затухание. В соответствии с этими предполо-
предположениями в области 2 отсутствует отраженная волна, распростра-
распространяющаяся в отрицательном направлении оси г.
Поставим задачу найти соотношения между комплексными
амплитудами векторов электромагнитного поля падающей, отра-
отраженной и прошедшей волн. Для этого воспользуемся тем, что на
границе раздела, т. е. в плоскости z = 0, обязаны выполняться гра-
граничные условия: касательные составляющие суммарных векторов
напряженности электрического и магнитного полей должны быть
непрерывны:
?и=Ё2х; Ни=Н2х. F.7)
На основании формул F.4) — F.6) последние соотношения запи-
записываются следующим образом:
^х пад ~| ? jc отр ==z Eх пр>
F.8)
Ех пад &х отр Ех пр
Zq Zq Zc2
Введем коэффициент отражения по электрическому полю R и
коэффициент прохождения по электрическому полю Т, определив
данные величины как отношения комплексных амплитуд соответ-
соответствующих электрических полей к комплексной амплитуде векто-
вектора напряженности электрического поля падающей волны на гра-
границе раздела:
п Ехотр . гр ЕХпр ,~ q\
Ех пал Ех пад

110 Глава 6. Падение плоских волн на границ^ раздела
I
Разделив левые и правые части равенств F.8) на величину ?%Пад,
приходим к системе двух линейных алгебраических уравнений от-
относительно неизвестных R и Т: (
7\ I
1 F.10)
1 R Т
Zo Zo ZC2
откуда
п ZC2 — Zp
ZC2 + q
F.11)
Таким образом, коэффициенты отражения и прохождения элек-
электромагнитной волны при нормальном падении на диэлектрическое
полупространство полностью определяются характеристическими
сопротивлениями граничащих сред.
Важный частный случай — нормальное падение плоской волны
на немагнитный диэлектрик без потерь (|i=l, а = 0). Из формулы
F.11) следует, что в этом случае коэффициенты R и Т действи-
действительны:
/?=(i--/T)/(l+VT)f
F.12)
Г = 2/A+Ке )•
Следует обратить внимание на то, что если е>1, то R<C0. Это
означает, что на границе раздела комплексная амплитуда элек-
электрического вектора отраженной волны сдвинута по фазе на 180°
относительно комплексной амплитуды электрического вектора па-
падающей волны.
Пример 6.1. Амплитудное значение напряженности электричес-
электрического поля падающей волны ?л;пад = 250 В/м. Относительная ди-
диэлектрическая проницаемость материала е = 3.2. Найти модули ус-
усредненных значений векторов Пойнтинга падающей, отраженной
и прошедшей волн.
Применив формулу F.12), имеем 7? = —0.283, 7=0.717. Харак-
Характеристическое сопротивление диэлектрика Zc2=Zo/j/re = 211 Ом. Мо-
Модули усредненных векторов Пойнтинга (Вт/м2)
Ппад = ^ПаД/B^о) = 82.9; Потр = (REXпадJ/
/BZ0) = 6.6; nnp=

6.3. Нормальное падение на диэлектрический слой
111
Легко заметить, что в рассматриваемом случае почти вся мощность
электромагнитной волны поступает из вакуума в диэлектрик.
Ппод
П отр
1
1
г
1
6.3. Нормальное падение
плоской {электромагнитной волны
на диэлектрический слой конечной толщины
Интересно отметить, что формулы вида F.11) встречаются в
теории распределенных радиотехнических цепей [3] при решении
задачи об отражении волн от
стыка двух линий передачи с
волновыми сопротивлениями
Zo и Zc2 в условиях, когда вто-
вторая линия нагружена на свое
волновое сопротивление и по-
поэтому находится в согласован-
согласованном режиме.
Отсюда, как следствие, вы-
вытекает возможность рассчитать
коэффициент отражения плос-
плоской электромагнитной волны
ОТ диэлектрического СЛОЯ ТОЛ- Рис- 6-3' Нормальное падение плоской
„ 1 г волны на диэлектрический слои:
ЩИНОИ / При НОрмаЛЬНОМ Па- а _ геометрия зад„я; 6 _ эквивалентная
ДеНИИ (рИС. 6.3, CL) . схема из отрезков линий передачи
Моделью такой электроди-
электродинамической системы служит сочленение полубесконечной линии пе-
передачи, имеющей волновое сопротивление ZOj с отрезком линии
длиной /, имеющим волновое сопротивление Zc2 (рис. 6.3, б).
Справа данный отрезок нагружен на сопротивление Zo, которое
учитывает влияние полубесконечного пространства правее ди-
диэлектрического слоя.
Будем полагать, что слой выполнен из диэлектрика без потерь
с заданным параметром е. Воспользуемся тем [3], что входное со-
сопротивление в сечении а — аг для волны, распространяющейся сле-
слева направо,
Z___
=Zn
Zo + jZci
14-7 Z°
tg»
tgi)
tg»:
tga
F.13)

112
Глава 6. Падение плоских волн на границу /раздела
где /&=Р2^=2я//Я2 — электрическая толщина слоя на рабочей час-
частоте, измеряемая в радианах. Тогда, используя формулу
/? ^
после несложных преобразований находим выражение для коэф-
^_^__^__^__^__^__^__^__^ фициента отражения рт плас-
06
0.2
//
/
г
/
'/
**-
——»».
\
N
У
тины
/?==
о
в, рад
1 F.14)
На рис. 6.4 изображены
графики зависимости модуля
коэффициента отражения
R\ =-
-1)|
+ ( I
F.15)
Рис. 6.4. Зависимость модуля коэффи-
коэффициента отражения от электрической тол-
толщины слоя:
1 — при 8=2.56; 2 — при е=3.8
от параметра Ф при двух раз-
различных значениях диэлектрической проницаемости слоя. Следует
обратить внимание на то, что коэффициент отражения плоских
волн от диэлектрического слоя является частотно-зависимым.
С этим обстоятельством приходится считаться, например, при соз-
создании радиопрозрачных диэлектрических укрытий для антенных
систем.
6.4. К вопросу о создании неотражающих сред
Практическая радиотехника настойчиво выдвигает проблему
разработки таких искусственных материальных сред, которые не
отражали бы электромагнитных волн. Такими материалами, на-
например, покрывают стены безэховых камер — замкнутых помеще-
помещений, в которых испытывают антенны СВЧ-диапазона.
Формула F.11) устанавливает, что коэффициент отражения от
границы раздела равен нулю только в том случае, когда Zc2=20.
Данное равенство эквивалентно условию
№а = Ы*0- F.16)
До сих пор нет эффективного метода синтеза таких сред, для ко-
которых соотношение F.16) выполнялось бы в достаточно широком
диапазоне частот.

С).5. Падете волны под произвольным углом
113
Л
Говоря о создании неотражающих покрытий, следует иметь в
виду, что \увеличение меры затухания волн в среде, т. е. рост угла
потерь б, ведет не к уменьшению, а к возрастанию модуля коэф-
коэффициента отражения. Действительно, чем больше значение угла
6 = arctg[o/(coea)], тем значительнее модуль комплексной диэлек-
диэлектрической1 проницаемости среды. Поэтому при 6-^90° имеем
limZC2=0. Следовательно, lim R =
= —1, т. е. среда с бесконечно вы-
высоким затуханием ведет себя как
идеальный отражатель.
Практический способ создания
неотражающих покрытий заключа-
заключается в использовании эффекта мно-
многократных отражений. Рассмотрим,
например, среду со значительными - \
потерями, поверхность которой вы-
выполнена ребристой (рис. 6.5). При Рис- 6-5; Неотражающее покры-
r r vr о ' v тие с ребристой поверхностью
наклонном падении плоской элект- v
ромагнитной волны внутри пазов структуры происходят много-
многократные отражения, каждое из которых сопровождается рассея-
рассеянием части энергии волны. В результате амплитуда отраженной
волны оказывается значительно меньше амплитуды падающего
поля.
Безусловно, такому способу компенсации отражений присущ
ряд недостатков. Так, коэффициент отражения в той или иной сте-
степени зависит от угла падения и от рабочей частоты.
6.5. Падение плоской электромагнитной волны
на диэлектрическое полупространство
под произвольным углом
Рассмотрим общий случай, когда плоская электромагнитная
волна, распространяясь в среде /, падает на границу раздела со
средой 2 под некоторым углом падения ф, который лежит в преде-
пределах 0^ф^90°. Геометрия данной задачи и ориентация координат-
координатных осей показаны на рис. 6.6.
Анализируя электромагнитные поля в данной системе, естест-
естественно ввести три волны — падающую, отраженную и преломлен-
преломленную. Векторы Пойнтинга всех перечисленных волн лежат в одной
плоскости, называемой плоскостью падения.
Чтобы записать выражения комплексных амплитуд векторов со-
соответствующих электромагнитных полей, следует воспользоваться
результатами § 3.8. Из рис. 6.6 следует, что вектор ППад образует
с положительными направлениями осей у и z углы 90° — ф и ф со-
соответственно. Поскольку cos(90°—ф)=зтф, комплексная ампли-

114
Глава 6. Падение плоских волн на границу раздела
туда вектора напряженности электрического поля падающей вол-
волны может быть представлена следующим образом: /
i
F.17)
где Втпад — произвольный амплитудный множитель.
Если через q/ и г|э обозначить углы, показанные на рис. 6.6 и
называемые соответственно углами
отражения и преломления} то комп-
комплексные амплитуды любых составляю-
составляющих векторов Е отражённой и прелом-
преломленной волн можно записать так:
—/р, {у sin <р'—z cos
отр
V-/P2 (У sin
F.18)
F.19)
Рис. 6.6, Падение плоской эле-
электромагнитной волны под про-
произвольным углом
На границе раздела, т. е. в плоско-
плоскости 2=0, должны выполняться усло-
условия непрерывности касательных со-
составляющих векторов Е и Н:
т
F.20)
Из формул F.17) — F.19) получаем, например,
b e~J^y sin ?]p- e-/Pi</ sin cp'_ p e~J?*y sin ф ГВ9П
.Поскольку все точки на границе раздела равноправны, соотноше-
соотношение F.21) должно выполняться тождественно относительно пере-
переменной у. Для этого необходимо, чтобы показатели всех экспонен-
экспоненциальных функций, входящих в формулу F.21), были одинаковы-
одинаковыми при всех значениях у. Отсюда вытекают два тождества:
• .".л : F.22)
Г-= ?'
F.23)
Равенство F.22) ^это известный из элементарной физики за-
закон, согласно которому угол падения волны равен углу отражения.
Соотношение F.23), также доказываемое в элементарной теории
волновых процессов, называют законом Снелля.,
Естественно, что при стремлении угла падения ф к нулю угол
преломления /ф стремится к такому же пределу. Поэтому, если па-
падение волны близко к нормальному, закон Снелля следует пони-
понимать в предельном смысле.

6.5. Падение волны под произвольным углом
115
Поскольку коэффициенты фазы плоских волн в обеих средах
вычисляются по одной и той же формуле вида р = ыУггфг, соотно-
соотношение F.23) можно записать так, что в него войдут лишь электро-
электродинамические параметры граничащих сред, а рабочая частота со
будет исключена. Для этого введем безразмерную величину п =
= ]/"eji, называемую показателем преломления физической среды.
Если, например, п2>пи то говорят, что оптическая плотность вто-
второй среды больше, чем первой. Введя показатели преломления гра-
граничащих сред в формулу закона Снелля, получим
sin <р
sin <|/
F.24)
Рассмотренные выше закономерности справедливы безотноси-
безотносительно к ориентации векторов поля по отношению к плоскости па-
падения. Более тщательный анализ по-
показывает, что из-за векторного харак-
характера электромагнитного поля ряд яв-
явлений, возникающих при падении
плоской электромагнитной волны на
границу раздела, существенно связан
с взаимной ориентацией плоскости по-
поляризации и плоскости падения. По-
Поэтому рассмотрим два основных слу-
случая.
Перпендикулярная поля-
поляризация характерна тем, что плос-
плоскость поляризации, содержащая на-
направление вектора Е, перпендикуляр-
перпендикулярна плоскости падения (рис. 6.7).
У
пр
пр
Рис. 6.7. Случай перпендику-»
лярной поляризации
Пусть ?Пад, ?отр и ?Пр — комплексные амплитуды векторов на-
напряженности электрического поля падающей, отраженной и пре-
преломленной волн, существующие в плоскости z = 0 при произволь-
произвольном фиксированном значении координаты у. Граничные условия
относительно электрических векторов запишутся весьма просто:
^пад + ^отр^^пр- F.25)
При записи граничных условий относительно векторов напря-
напряженности магнитного поля следует учесть прежде всего, что их
касательные составляющие получаются путем умножения модулей
векторов Н на косинусы соответствующих углов (рис. 6.7). Далее,
удобно выразить векторы Н через векторы Е, используя понятие
характеристического сопротивления среды. Таким образом, условие
непрерывности касательных составляющих векторов напряженности
магнитного поля в плоскости 2=0 принимает вид

116 Глава 6. Падение плоских, волн на границу раздела
собф E
(?пад- ?\>тр) = —— cos ф. F.26)
Введем в рассмотрение коэффициент отражения R± и коэффи-
коэффициент преломления Т± по электрическому полю (нижний значок
указывает, что эти величины относятся к случаю перпендикуляр-
перпендикулярной поляризации):
F.27)
Теперь формулы F.25) и F.26) можно объединить, получив в ре-
результате систему двух линейных алгебраических уравнений отно-
относительно неизвестных R± и Т±:
F.28)
Решение системы F.28) имеет следующий вид:
ZC4 cos <p
2C2 cos <f
2ZC
-Zcx
+ zn
2 COS <p
COS Ф
COS ф
7± F.30)
Zq2 COS «p -j- Z^ COS ^
Чтобы пользоваться формулами F.29) и F.30), необходимо,
задавшись некоторым значением угла падения ф, предварительно
вычислить угол преломления -ф на основании закона Снелля.
На практике часто приходится вычислять коэффициенты отра-
отражения и преломления плоских волн для частного случая, когда
средой / служит вакуум или воздух (е=1, ji=l), а средой 2 —
немагнитный (ji=l) диэлектрик без потерь с относительной ди-
диэлектрической проницаемостью е. При этом формулы F.29) и
F.30) удается объединить с законом Снелля, записав их в виде
j? = cosy/«-sing у F31)
9
F.32)
cosf -J- 'У г — sin2f

6.5. Падение волны под произвольным углом
1.17
Пример 6.2. Плоская электромагнитная волна с перпендику-
перпендикулярной поляризацией падает из воздуха под углом ф = 60° на гра-
границу раздела с диэлектриком, имеющим параметры 8 = 3.8, \i=l.
Амплитуда вектора напряженности электрического поля падаю-
падающей волны ?'тпад = 0.4 В/м. Найти амплитуды векторов напряжен-
напряженности магнитного поля отраженной и преломленной волн.
0.8
0.6
ом
о.г
о
-о.г
-оа
-0.6
-о.з
Рис. 6.8. Зависимости коэффици-
коэффициентов отражения и преломления
от угла падения для случая пер-
перпендикулярной поляризации при
значении е = 2.56
1
1 1
—-
20
—*
40
1—^
60
«г
\
<
\
еру град
\
\
'•:¦:¦ У
Рис. 6.9. Случай параллельной по-
поляризации
По формулам F.31) — F.32) находим, что
^=-0.555, Т± =0.455.
Характеристическое сопротивление диэлектрика
Тогда
= I /?jl I EmTljZ0=5.9Л0-* А/м,
=9.2.10-* А/м.
Графики зависимостей R± (ф) и Т± (ф), рассчитанные для не-
некоторого конкретного значения е, изображены на рис. 6.8. Следует
обратить внимание на то, что при ф-^90° величина Тх монотонно
стремится к нулю, в то время как коэффициент отражения Rx,
отрицательный при любом угле падения, стремится к значению—1.

118
Глава 6. Падение плоских волн на границу раздела
Параллельная поляризация характеризуется тем, что
векторы Е всех трех волн—падающей, отраженной и преломлен-
преломленной— параллельны плоскости падения (рис. 6.9).
По аналогии со случаем перпендикулярной поляризации мож-
можно записать граничные условия непрерывности касательных состав-
составляющих векторов электромагнитно-
электромагнитного поля. Данные условия принима-
принимают вид
2
1
——-.
7//
1
1
1
\
с?,?рад
0.6
0.6
ол
0.2
о
-0.2
-ОМ
Рис. 6.10. Зависимости коэффици-
коэффициентов отражения и преломления
от угла падения для случая па-
параллельной поляризации при зна-
значении 8 = 2.56
COS ср =
COS
у
нений относительно неизвестных i?D и Гц:
= rD cost,
F.33)
(?пад - E0^)lZcl = Enp/Zc2. F.34)
Введем коэффициент отражения
/?и и коэффициент преломления Т t
по электрическому полю (нижний
значок указывает на то, что данные
величины относятся к случаю па-
параллельной поляризации). Разделив
обе части равенств F.33) и F.34)
на комплексную амплитуду ?пад,
получаем следующую систему урав-
F.35)
откуда
г> ZC2 COS
Zcl COS
ZC2 COS ф -f- ZC\ COS
*р 2Z^2 COS <p
cos ф -}-
cos <p
F.36)
F.37)
Если средой 2 служит немагнитный диэлектрик с относитель-
относительной проницаемостью 8, формулы F.36) и F.37) приводятся к ви-
виду, более удобному для инженерных расчетов:
у г — sin^cp — ? COS <p
T =
Ул— sin2<p -|- s cos
2|/s cos 9
— sin2 Ф 4- e cos
F.38)
F.39)

6.6. Угол Брюстера 1.19
Конкретные графики зависимостей R й (ф) и Т й (ф), получен-
полученные в соответствии с данными формулами, изображены на рис.
6.10. Сравнивая их с аналогичными зависимостями, изображен-
изображенными на рис. 6.8, можно отметить, что характер кривых Т 1( (ф) и
Т± (ф) практически один и тот же. Однако кривые R й (ф) и R± (ф)
принципиально различны — монотонно возрастающая функция
/?и (ф) при некотором значении угла падения изменяет знак, про-
проходя через нуль.
6.6. Угол Брюстера
Так принято называть угол падения, при котором падающая
волна полностью, без отражения, переходит через границу раздела
двух материальных сред.
Из выражений F.29) и F.36) следует, что угол Брюстера фБ
удовлетворяет одному из двух уравнений:
Zc2cos срБ — Zclcos ЦБ = 0 F.40)
при перпендикулярной поляризации, либо
Zc2 cos фБ — Zcl cos <рБ=0 F.41)
х при параллельной поляризации. Здесь под i|)B подразумевается
угол преломления, соответствующий углу падения фБ .
Рассмотрим типичный случай, когда обе граничащие среды яв-
являются немагнитными диэлектриками (juli = fX2= 1), причем оптиче-
оптическая плотность второй среды больше, чем первой (e2>ei). Из этих
предположений следует, что Zci>ZC2- Кроме того, в силу закона
Снелля имеет место неравенство ф>г|?, т. е. со5ф<созг|).
ОбраЧцаясь к уравнениям F.40) и F.41), видим, что первое
из этих уравнений в рамках сделанных предположений не имеет
решений. Таким образом, явление Брюстера при падении плоской
электромагнитной волны на немагнитный диэлектрик может на-
наблюдаться лишь при параллельной поляризации падающей волны.
Удобную формулу для вычисления угла Брюстера можно по-
получить из соотношения F.38). Действительно, угол фБ служит кор-
корнем уравнения
в cos ?Б=У s — sin2 <рБ,
откуда легко находим
?B=arctg |/"ё". F.42)
Явление Брюстера используется в технике. Так, пластина из
диэлектрика, установленная под углом Брюстера по отношению
к направлению распространения падающей волны, при правильном

120
Глава 6. Падение плоских волн на границу раздела
выборе поляризации не создает отражений. В то же время эта
пластина может играть роль конструктивного элемента какого-ли-
какого-либо прибора, обеспечивая, например, его вакуумное уплотнение.
Важно отметить, что при падении плоских воли из вакуума на
диэлектрическое полупространство (е>1) знаки действительных
коэффициентов отражения R± и R п совпадают при ф<срБ и ока-
оказываются противоположными, если ф>фБ (см. рис. 6.8 и 6.10).
Эта дает возможность преобразовывать
направление вращения векторов в вол-
волнах с круговой или эллиптической поля-
поляризацией. Чтобы убедиться в этом, вве-
введем единичные векторы перпендикуляр-
перпендикулярного i х и параллельного i H направлений
(рис. 6.11) и представим электрический
вектор падающей волны, поляризованной
по кругу с левым направлением враще-
вращения, в форме
Еп? (\ :\ \ о— 7'Pi (У sin V+z cos <p)
(ОЛо)
[ср. С формулой C.50), приняв ВО ВНИ-
мание, что векторы i ¦ и i j. ориентирова-
ориентированы по отношению к вектору ППаД так же, как и векторы \х и \у по
отношению к iz]. Тогда комплексная амплитуда электрического
вектора отраженной волны
t,rp=Em(Rlil _y7?xije-'M'SIn*--'C08*) ' F.44)
при ф>фБ будет, очевидно, соответствовать эллиптически поля-
поляризованной волне с правым направлением вращения. Действитель-
Действительно, здесь два взаимно перпендикулярных компонента, поляризо-
поляризованных линейно, имеют разность фаз, отличающуюся на 180° от
той, которая наблюдается в падающей волне.
\
z'
[¦'¦¦¦:-y^}::::- 4
Рис. 6.11. Единичные век-
6.7. Полное внутреннее отражение
Обратившись вновь к формулировке закона Снелля
заметим, что могут -представиться два случая:
1. Оптическая плотность среды 2 превосходит оптическую плот-
плотность среды 1, т. е. я2>Яь При этом всегда г|?<ф, а поскольку
угол падение ф лежит в интервале О^Сф^ЭО0, преломленная вол-
волна существует при любом угле падения.

6.8. Неоднородные плоские волны
12.1
2. Среда 2 оптически менее плотна по сравнению со средой 1,
т. е. n2<in\. В этом случае всегда я|)>ф и поэтому найдется такое
значение угла падения, при котором преломленная волна будет
распространяться параллельно границе раздела под углом г|) = 90°.
Данное критическое значение угла падения называют углом пол-
полного внутреннего отражения:
<рпво = агс sin (ti2ln^. F.45)
При углах падения ф>фпво преломленной волны в обычном
смысле не существует; энергия падающей волны полностью отра-
отражается внутрь среды с большей оптической плотностью,
Явление полного внутреннего отражения
широко используется в оптике, например
для изменения направления пучка лучей при
помощи призмы (рис. 6.12). Подобные же уст-
устройства находят применение в коротковолно-
коротковолновой части СВЧ-диапазона (на частотах выше
50 ГГц).
6.8. Неоднородные плоские волны
г
j
ч
\
:¦:.:•.
Ч
\
ч
п
ным внутренним от-
отражением
Приведенный анализ явления полного Рис б j2 Диэлектри-
внутреннего отражения является неполным, ческая призма с иол-
поскольку не позволяет ответить на вопрос о.
том, что происходит при углах падения ф,
превышающих угол фпво.
Обратимся к формуле F.24), предполагая, что п2<п\. Можно
заметить, что в этом случае при ф>фпво величина sin i|? должна
быть больше единицы. Если угол преломления является действи-
действительным, такая ситуация невозможна. Однако известно, что синус,
рассматриваемый как функция комплексного аргумента, может
принимать любые, в том числе сколь угодно большие, действитель-
действительные значения. В соответствии с этим формально будем считать,
что при ф>фпво угол преломления -ф, достигший значения 90° при
Ф=Фпво, получает мнимые приращения, так что i|) = 90° + /а. Лег-
Легко проверить, что при этом
sin ф = сЬа; cos ф= —/sha. F.46)
Итак, концепция комплексного угла преломления позволяет
удовлетворить закону Снелля в области углов падения, превышаю-
превышающих угол полного внутреннего отражения. Подставив выражения
F.46) в формулу F.19), находим зависимость комплексной амп-
амплитуды электрического вектора преломленной волны от простран-
пространственных координат:
Ёпу(у, z)=^Emn?e~J^ychae^%zsha. F.47)

122 Глава 6. Падение плоских волн на границу раздела
По математической форме данное соотношение весьма напо-
напоминает выражение для комплексной амплитуды плоской волны,
распространяющейся в среде с потерями (см. гл. 5). Однако име-
имеется и принципиальная разница, так как в соответствии с выра-
выражением F,47) волна распространяется вдоль координаты у, в то
время как экспоненциальное уменьшение амплитуды волны проис-
происходит вдоль координаты г. Подобные процессы называют неодно-
неоднородными плоскими волнами.
С физической точки зрения рассматриваемая неоднородная
плоская волна распространяется вдоль границы раздела, как бы
«прилипая» к ней, т. е. с резким уменьшением амплитуды при уда-
удалении точки наблюдения от границы раздела по направлению нор-
нормали. Указанная особенность дает основание называть такие вол-
волновые процессы поверхностными волнами.
На первый взгляд может показаться, что понятие плоской вол-
волны, распространяющейся под комплексным углом по отношению
к некоторой выбранной оси, довольно искусственно. Однако, по су-
существу, такая расширенная трактовка математической модели вол-
волнового процесса совершенно правомерна/Дело в том, что функция
вида F.47) является одним из частных решений уравнения Гельм-
гольца .
д2Е &Е
В этом можно убедиться прямой подстановкой, приняв во вни-
внимание, что sh2a=ch2 a— 1.
Поскольку cha>l, коэффициент фазы поверхностной волны
PnoB = P2cha всегда больше коэффициента фазы однородной плос-
плоской волны с той же частотой. Так как коэффициент фазы непо-
непосредственно связан с фазовой скоростью соотношением ^ф=со/C,
приходим к выводу о том, что неоднородные поверхностные волны
имеют меньшую скорость по сравнению с однородными плоскими
волнами. По этой причине поверхностные волны называют также
замедленными волнами. Наибольшее замедление фазовой скоро-
скорости наблюдается в том случае, когда волна в среде / распростра-
распространяется параллельно границе раздела, т. е. когда ф = 90°. При этом
Таким образом, фазовая скорость волн в оптически менее плот-
плотной среде стремится к величине, свойственной более плотной среде.
Остановимся, наконец, на вопросе о глубине проникновения
волн в среду 2 при полном внутреннем отражении. Из формулы
F.47) следует, что расстояние вдоль координаты z, на котором ам-
амплитуда поля уменьшается в е = 2.718...раза, есть

6.8. Неоднородные плоские волны 123
Таким образом, электромагнитное поле в менее плотной среде 2
практически существует лишь в поверхностном слое, толщина кото-
которого порядка одной длины волны. Существенно, что с ростом угла
падения ф замедление становится более интенсивным, а. глубина
проникновения поля в менее плотную среду сокращается.
Пример 6.3. Найти фазовую скорость и глубину проникновения
неоднородной плоской волны, возникающей при падении плоской
электромагнитной волны из среды / с параметрами ei = 3.4, jjti = 1
на границу раздела со средой 2, имеющей параметры 82=1, pi2=l-
Угол падения ф = 45°, частота поля / = 35 ГГц.
В данном случае угол полного внутреннего отражения
Поскольку ф>фпво, неоднородные плоские волны в среде 2 дейст-
действительно возникают.
Для определения комплексного угла преломления воспользуем-
воспользуемся законом Снелля
sin^=]/3.4 sincp=1.3,
откуда получаем уравнение относительно параметра а:
Чтобы численно решить это трансцендентное уравнение, преоб-
преобразуем его следующим образом:
a = lnB.6 —е-°).
Взяв в качестве нулевого приближения к корню значение а = 0 и
проведя на микрокалькуляторе ряд последовательных итераций,
получаем приближенное значение корня а = 0.756 (все знаки вер-
верные) .
Таким образом, угол преломления
Коэффициент фазы однородной плоской волны в среде 2
р2=ы/с = 733 м-1.
Коэффициент фазы поверхностной волны
= 952.9 м-',
откуда фазовая скорость
*>Ф нов = «>/Рпов = 2.308-108 м/с.

124 Глава 6. Падение плоских волн на границу раздела
Глубина проникновения поля в менее плотную среду
ha) = 1.64-10-3 м=1.64 мм.
В дальнейшем свойства поверхностных электромагнитных волн
будут изучены более подробно (см. гл. 15).
6.9. Приближенные граничные условия Леонтозича
В данном параграфе будут рассмотрены приближенные гранич-
граничные условия для векторов электромагнитного поля, имеющие мес-
место в том случае, когда среда 2 является хорошим проводником.
Впервые этот вопрос был исследован известным советским физи-
физиком М. А. Леонтовичем в связи с его работами 40-х годов по тео-
теории распространения радиоволн вокруг Земли.
Пусть плоская электромагнитная волна падает из воздуха (сре-
(среда 1) под углом ф на границу раздела с немагнитной (^ = 1) хо-
хорошо проводящей средой 2, характеризуемой удельной проводи-
проводимостью а. Такая материальная среда имеет комплексный показа-
показатель преломления
Здесь использовано то, что
По закону Снелля,
A-У), F.48)
откуда видно, что в хорошо проводящей среде преломленная вол-
волна распространяется под комплексным углом и поэтому является
неоднородной плоской волной.
Перепишем формулу F.48) в виде
sin ^=|/-^-(sincp) A+у) F.49)
и примем во внимание, что соео/а<С1. Тогда синус в левой части
равенства F.49) можно приближенно заменить аргументом и счи-
считать, что
2а
(sin <?)(! + /).

6.9. Граничные условия Леонтовича 125
В пределе при ог-^оо имеем ф-^-О, откуда
si-пф—»0; "cos<|>—»1 F.50)
7 независимо от значения угла падения ф.
Комплексную амплитуду вектора напряженности электрическо-
электрического поля в среде 2, задавамую равенством F.19), следует предста-
представить в виде
f.pGf, г) = ?-явре-т'('§|п*+—«, F.51)
где Y2 — комплексный коэффициент распространения однородной
плоской волны в среде с потерями. Объединив выражения F.50)
и F.51), приходим к выводу о том, что в предельном случае хо-
хорошо проводящей среды
Ё„р(г)=Ётпре~^. F.52)
В соответствии с этой формулой преломленная волна проникает
внутрь среды 2 практически по направлению нормали к границе
раздела при любом угле падения. В этом состоит наглядный Лшсл
приближенных граничных условий Леонтовича.
Согласно сказанному, эквивалентная схема металлоподобной
среды имеет вид полубесконечного отрезка однородной- линии пе-
передачи с характеристическим сопротивлением, вычисляемым по об-
общей формуле
F.53)
В начале линии, т. е. на границе раздела, касательные состав-
составляющие электрического и магнитного векторов должны удовлет-
удовлетворять очевидному соотношению, которое вытекает из понятия ха-
характеристического сопротивления:
ZZ* = EXJHW F.54)'
Как известно, на поверхности идеального проводника ?т = 0.
В случае большой, но конечной проводимости на границе раздела
возникает отличная от нуля касательная проекция Ёхм. Хотя эта
величина мала (поскольку ZCM~^0 при о-^оо), она обусловливает
поток мощности электромагнитного поля внутрь проводящей сре-
среды, идущей на ее нагрев.
Если граница раздела совпадает с плоскостью XOY, а ось z на-
направлена внутрь среды 2, то на границе должны выполняться сле-
следующие условия:
-4?-=ZCM; _E!L3*-ZCM. F,55)
Ни Hjc

126 Глава 6. Падение плоских волн на границу раздела
Читатель легко проверит, что при таком выборе знаков средний
поток вектора Пойнтинга всегда будет направлен вдоль положи-
положительного направления оси г.
Чтобы использовать граничные условия Леонтовича в форме
F.54) или F.55), нужно знать касательную проекцию #Тм. При-
Приближенно полагают, что эта величина равна аналогичной проекции,
которая существует на поверхности идеального проводника. Ошиб-
Ошибка от такого допущения будет весьма мала, поскольку в случае
реального металла модуль коэффициента отражения близок к еди-
единице.
Пример 6.4. Плоская волна с частотой / = 2 ГГц имеет ампли-
амплитуду электрического вектора ?тпад = 350 В/м и падает из воздуха
по направлению нормали на границу раздела с металлом, имею-
имеющим параметры [i=l, а=2-1б7 См/м. Найти амплитуду касатель-
касательной проекции электрического вектора на границе раздела, а так-
также среднее значение вектора Пойнтинга прошедшей волны.
Амплитуда магнитного вектора падающей волны
=0.93 А/м.
По формуле F.53) находим характеристическое сопротивление
металла на заданной частоте:
Zcli = 0.02(l + y) Ом.
В соответствии с формулой F.2) амплитуда касательной про-
проекции магнитного вектора на поверхности металла
ЯтМ = 2Ятпад=1.86 А/м,
откуда
E^ = ZCUH^ = 0.0372A + j) В/м.
Среднее значение вектора Пойнтинга прошедшей волны
ncp.rTp = V2Re(?TM//,J = 3.4.10-2 Вт/м2.
Следует заметить, что мощность, идущая на нагрев металла,
относительно невелика, поскольку плотность потока мощности па-
падающей волны
Условия Леонтовича будут использованы в гл. 11 для решения
практически важных задач о потерях в СВЧ-устройствах, вызван-
вызванных конечной проводимостью металлических стенок.

Задачи . 127
ЗАДАЧИ
6.1. На идеально проводящую плоскость из воздуха по направ-
направлению нормали падает плоская электромагнитная волна со сред-
средним значением плотности потока мощности 230 Вт/м2. Вычислите
амплитуду вектора плотности поверхностного электрического тока
на границе раздела.
6.2. Плоская электромагнитная волна падает по нормали из
воздуха на диэлектрическое полупространство с параметрами е =
= 9.5, jlx = 1. Плотность потока мощности падающей волны состав-
составляет 30 Вт/м2. Найдите плотность потока мощности плоской волны,
прошедшей внутрь диэлектрика.
6.3. Плоская электромагнитная волна, существующая в среде
без потерь с параметрами е = 3.8, \i= 1,-падает- под некоторым уг-
углом на границу раздела с вакуумом. Определите углы падения,
при которых: а) мощность падающей волны целиком переходит из,
диэлектрика в вакуум; б) вся мощность отражается назад в ди-
диэлектрик. Обратите внимание на характер поляризации падающей
волны.
6.4. На границу раздела между диэлектриком без потерь с па-,
раметрами pi=l.l, 8 = 4.6 и вакуумом падает плоская электромаг-
электромагнитная волна, имеющая круговую поляризацию. Определите зна-
значение угла падения, при котором поляризация отраженной волны
будет линейной.
6.5. Пластина толщиной d=\A см выполнена из диэлектрика
без потерь с параметрами & = 2Л, |х = 1. Найдите коэффициент от-
отражения плоской электромагнитной волны от этой пластины при
нормальном падении, если частота поля /=12 ГГц.
6.6. Из теории линий передачи с распределенными параметра-
параметрами известно [3], что для обеспечения согласованного режима в си-
системе из двух состыкованных линий с различными волновыми со-
сопротивлениями можно применить четвертьволновый трансформа-
трансформатор. Основываясь на аналогии, вычислите толщину и относитель-
относительную диэлектрическую проницаемость слоя диэлектрика, который
позволяет компенсировать отражение от границы раздела возду-
воздуха со средой, у которой е = 3.8, |li = 2.2. Частота поля /=3 ГГц.
6.7. Амплитуда магнитного вектора плоской электромагнитной
волны составляет 60 А/м. Волна падает по нормали из воздуха на
границу раздела с металлом, у которого jx=l,. <т=3-107 См/м.
Найдите амплитуду электрического вектора на границе раздела,
если частота поля 5 ГГц.
6.8. Применительно к условию предыдущей задачи найдите чис-
числовое значение коэффициента отражения мощности, а также мо-
модуль вектора Поййтинга в точках, непосредственно прилегающих к
границе раздела.

128
Глава 7. Основы теории направляемых волн
Глава седьмая
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРАВЛЯЕМЫХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Важными компонентами радиотехнических систем сверхвысоких
частот являются волноводы — устройства для передачи энергии
электромагнитных колебаний от генератора к нагрузке. Любой вол-
волновод независимо от особен-
особенностей конструкции должен
обеспечить локализацию обла-
области, в которой распространя-
распространяются электромагнитные волны.
Простейшей идеализированной
структурой, которая дает воз-
возможность ограничить прост-
пространственную область сущест-
существования поля, является беско-
бесконечная металлическая плос-
плоскость. С ее помощью можно
отделить (экранировать) одно
Sirup
б=
•остр
О пад
Рис. 7.1. Падение плоской волны с па-
параллельной поляризацией на идеально
проводящую плоскость
полупространство от другого.
В данной главе рассмотре-
рассмотрены явления при наклонном па-
падении однородной плоской эле-
электромагнитной волны на идеально проводящую плоскость. Анали-
Анализируется интерференция падающей и отраженной волн с учетом
векторного характера электромагнитного поля. Показано, что сум-
суммарное электромагнитное поле представляет собой неоднородную
плоскую волну, которая распространяется вдоль направляющей
плоскости.
7.1. Падение плоской волны
с параллельной поляризацией
Пусть на идеально проводящую плоскость под некоторым уг-
углом ф падает однородная плоская электромагнитная волна (рис.
7.1), электрический вектор которой лежит в плоскости XOZ, По
терминологии, принятой в гл. 6, при этом наблюдается параллель-
параллельная поляризация падающей волны. Считается, что полупростран-
полупространство х>0 имеет электродинамические параметры ео, \io (вакуум).
Предполагается также, что падающая волна гармонически изме-
изменяется с частотой со; коэффициент фазы этой волны $о=(о/с.
Введем волновой вектор падающей волны кпад, который имеет
модуль р0 и совпадает по направлению с вектором Пойнтинга па-

7.1. Падение волны с параллельной поляризацией 129
дающей волны Ппад (см. гл. 3). Из рис. 7.1 видно, что данный
волновой вектор образует угол 180°—ср с осью х, 90°—ср с осью z и
90° с осью у (имеются в виду положительные направления осей).
Так как cos A80°—ср) =—coscp, cos (90°—<p) = sincp, то волновой
вектор падающей волны имеет следующее координатное представ-
представление:
G.1)
Тогда комплексная амплитуда вектора напряженности электри-
электрического поля падающей волны
sin?)
где векторный амплитудный коэффициент Е0Пад связан с физиче-
физической амплитудой электрического вектора Ет следующим образом:
- G.3)
Заметим, что начальная фаза в выражении G.2) может вы-
выбираться произвольно и поэтому допустимо считать, что вектор
ЕОпад имеет чисто действительные проекции, что удобно для по-
последующего анализа.
При падении плоской электромагнитной волны на идеально
проводящую плоскость возникает однородная плоская отраженная
волна с волновым вектором
sin<pi2), G.4)
который в соответствии с законами отражения (см. гл. 6) направ-
направлен под углом ф к положительному направлению оси х. Комплекс-
Комплексная амплитуда электрического вектора отраженной волны
должна иметь такой векторный амплитудный коэффициент Е0Отр,
чтобы суммарное электромагнитное поле на границе раздела при
х=0 удовлетворяло граничному условию: г~я проекция вектора на-
напряженности электрического поля должна быть равна нулю. Ины-
Иными словами, отраженная волна должна скомпенсировать касатель-
касательную составляющую электрического вектора поля падающей вол-
волны на границе раздела. Как следует из рис. 7.1, для этого требу-
требуется, чтобы
EQoTp=Emsm<fix — Emcos<?\z. G.6)
Структура электрического поля над плоскостью. Не составит
труда записать общее выражение для комплексной амплитуды
электрического вектора суммарного электромагнитного поля в по-
полупространстве

.130 , Глава 7. Основы теории направляемых волн
I e-/Po {x cos <р+г sin <p)l. _J_ ??m CQS jp Ге-/Ро С-* cos v+z sin <p)
__ e~/Po (* cos cf+^r sin <p)l j
Полученное равенство целесообразно преобразовать, вынеся за
скобки общие множители в обоих слагаемых правой части, а за-
затем воспользовавшись формулами Эйлера:
Ё*=Ет sincp
-J- 2? coscpe—-^0* sin z
= 2Ет sin 9 cos (pox cos ср)е-^р»л 8in ^-|-
+ j2Em cos cp sin (pox cos <р)е-^«г sin Чу. G.8)
Структура магнитного поля над плоскостью. Поскольку элек-
электрический вектор падающей волны лежит в плоскости XOZ, пер-
перпендикулярный ему вектор напряженности магнитного поля име-
имеет единственную составляющую, ориентированную вдоль оси у.
Комплексная амплитуда у-й проекции магнитного вектора падаю-
падающей волны должна зависеть от пространственных координат х и z
таким же образом, как и комплексная амплитуда электрического
вектора [см. формулу G.2)]:
xj Ет А—/Ро (—х cosy+z sin<p). ,„ Q4
"пад— .7 c ly* v-y/
z0
где Z0=377 Ом — характеристическое сопротивление вакуума.
Так как вектор Пойнтинга отраженной волны направлен вдоль
волнового вектора котр, необходимо (рис. 7.1), чтобы магнитный
вектор отраженной волны Н0Тр на границе раздела был направлен
в ту же сторону, что и вектор Нпад. Тогда соответствующая комп-
комплексная амплитуда
Й _^гп_ о—/Рэ (х соар+г sincp)
п— е
потр—— е V \'-ш)
zo
Складывая выражения G.9) и G.10), получаем формулу, ко-
которая описывает пространственную зависимость комплексной амп-
амплитуды магнитного вектора суммарного поля:
ур
Н*=Нпад+Нотр= -f|2- cos{%x cos?) e-^•»"»!,. G.11)
Zo
Сводка результатов. Итак, задача о поле над идеально прово-
проводящей плоскостью при наклонном падении плоской электромагнит-

7.L Падение волны с параллельной поляризацией 131
ной волны с параллельной поляризацией решена полностью. Окон-
Окончательные формулы G.8) и G.11) дают возможность сделать ряд
принципиальных выводов:
• При любых значениях угла падения ф из интервала 0<ф<90°
результирующее поле представляет собой волну, которая распро-
распространяется в положительном направлении оси г. Об этом свиде-
свидетельствует характерный фазовый множитель вида ехр(—/Po^sincp)»
Так как фаза поля неизменна в любой плоскости z = const, данный
электромагнитный процесс является плоской волной.
• В отличие от изучавшихся ранее однородных плоских волн
здесь амплитуды составляющих векторов электромагнитного поля
в пределах плоского волнового фронта не постоянны, а
зависят от поперечной координаты х по закону cos(|3o#cosq))
или sin(p0*cos<p). Такие процессы являются неоднородными плос-
плоскими волнами. С физической точки зрения в поперечной плоскости
за счет интерференции падающей и отраженной волн возникает
стоячая электромагнитная волна.
• Структуры полей электрического и магнитного векторов прин-
принципиально различны. Магнитный вектор с единственной проекцией
Ну чисто поперечен, в то время как электрический вектор имеет
и поперечную проекцию Ех, и продольную проекцию Ez. Неодно-
Неоднородные плоские волны такой структуры принято называть Е-вол-
нами. В литературе встречается также термин ТЖ-волны (от англ.
Transverse Magnetic Waves — поперечные магнитные волны).
® Возможен частный случай <р = 90°, когда падающая волна рас-
распространяется параллельно границе раздела, так что отраженная
волна фактически отсутствует. Поле в полупространстве х>0 яв-
является при этом однородной плоской волной; векторы электромаг-
электромагнитного поля не имеют составляющих вдоль оси распространения.
Такие электромагнитные волны принято называть Т-волнами (от
англ. Transverse Waves — поперечные волны).
7.2. Падение плоеной волны
с перпендикулярной поляризацией
Метод анализа электромагнитного поля над идеально прово-
проводящей плоскостью, развитый в предыдущем параграфе, можно без
труда распространить на случай, когда падающая плоская волна
имеет перпендикулярную поляризацию, т. е, электрический вектор
поля в каждой точке полупространства х>0 перпендикулярен
плоскости падения.
Соответствующий чертеж, поясняющий ориентацию векторов
поля, приведен на рис. 7.2. Не повторяя в деталях ход выкладок,
запишем комплексную амплитуду вектора напряженности электри-
электрического поля падающей волны в виде
5*

.132
Глава 7. Основы теории направляемых волн
_р 0—/Ро(--* cos
sin?).
/7 1
где Еш — произвольный действительный коэффициент.
Для того чтобы выполнялось граничное условие Ех = 0 при х=0,
необходимо, чтобы в полупространстве х>0 существовала плос-
плоская отраженная волна с комплекс-
комплексной амплитудой электрического век-
вектора
Л
^отр— J
^—J$Q {X COS
sln
G.13)
Тогда результирующее электро-
электромагнитное поле в верхней полуплос-
полуплоскости имеет комплексную амплиту-
амплитуду вектора напряженности электри-
электрического поля
—j?ox cos «?\Л— ]$о* sin <p
Рис. 7.2. Падение плоской вол-
ны • с перпендикулярной поля-
поляризацией на идеально прово-
дящую плоскость
—е
= j2Em sin {%x
zk—j80z sin <p|
G.14)
Чтобы выяснить пространствен-
пространственную зависимость магнитного векто-
вектора, следует обратиться к рис. 7.2, заметис, что векторы Пойнтин-
га Ппад и Потр будут действительно направлены вдоль волновых
векторов кпад и кОТр соответственно, если амплитудные коэффици-
коэффициенты векторов напряженности магнитного поля таковы:
"Опад— —"
sin«p ix —
Err
иидр z0 л z0
Тогда комплексная амплитуда суммарного магнитного вектора
ЙЕ=Ниад-|-Н0Тр=— -1—— sin cp.sin(pox cos
G.15)
G.16)
sin Чх —
2Е„
cos cp-cos
sin
G.17)
Анализируя формулы G.14) и G.17), приходим к следующему
выводу: рассматриваемый электромагнитный процесс представляет
собой неоднородную плоскую волну, распространяющуюся в сто-

7.3. Структура поля Е- и Н-волн 133
рону увеличения координаты 2, т. е. вдоль границы раздела. В по-
поперечном направлении поле имеет характер стоячей волны.
Принципиальное отличие от случая, изучавшегося ранее в-§ 7.1,
состоит в том, что здесь электрическое поле имеет единственную
отличную от нуля проекцию Еу и является чисто поперечным. Век-
Вектор напряженности магнитного поля, напротив, кроме поперечной
проекции Нх имеет также продольную проекцию Hz. По этой при-
причине такие направляемые волны принято называть Н-волнами или
IE-волнами (от англ. Transverse Electric Waves — поперечно-элек-
поперечно-электрические волны).
В заключение отметим, что при падении плоской волны с пер-
перпендикулярной поляризацией на границу раздела с идеальным про-
проводником чисто поперечных Т-волн возникнуть не может. Действи-
Действительно, проекция Hz тождественно равна нулю лишь при ф=90°,
когда со$ф = 0. Однако на основании формулы G.14) при этом од-
одновременно Еу = 0, т. е. такая электромагнитная волна не сущест-
существует.
7.3. Структура электромагнитного поля Е- и Н-волн
В предыдущих пунктах были получены формулы G.8), G.11),
G.14) и G.17), которые определяют законы изменения в простран-
пространстве комплексных амплитуд электрического и магнитного векторов
для волн Е- и Н-типов. Займемся теперь анализом этих выражений,
с тем чтобы найти такие важные характеристики направляемых
волн, как фазовая скорость, среднее значение потока мощности
и т. д. Поскольку аналитическая форма представления векторов
поля через пространственные зависимости соответствующих про-
проекций зачастую лишена наглядности, полезно также построить
картины распределения в пространстве силовых линий электриче-
электрического и магнитного полей.
Продольное и поперечное волновые числа. Как уже упомина-
упоминалось, характер зависимостей проекций векторов электромагнит-
электромагнитного поля волн Е- и Н-типов вдоль продольной координаты z и
поперечной координаты х совершенно различен: по оси z устанав-
устанавливается бегущая, а по оси х— стоячая волна. Чтобы учесть эту
особенность рассматриваемого волнового процесса, вводят два па-
параметра: продольное волновое число
/г = р0 sincp G.18)
и поперечное волновое число х
g = %cos<?, G.19)
такие, что
$ G.20)
при любом угле падения <р.

134 Глава 7. Основы теории направляемых волн
Формулы G.18) и G.19) дают возможность существенно уп-
упростить выражения для проекций векторов поля (нижний индекс
2 опущен, так как здесь и в дальнейшем речь идет только о сум-
суммарном поле):
Е-волны
Ё = 2Ет sin<?-cosgx-e--Jhzix-{-j2Emcos4-smgx-e-Jhziz, G.21)
о г?
G.22)
G.23)
—cosy-cosgx-e-jhz\z. G.24)
H - в о л н ы
H=—j
Фазовая скорость Е- и Н-волн. Характерный вид зависимости
функций, представляемых формулами G.21) — G.24), от коорди-
координаты z указывает на то, что про-
*-,, ч*г' ^ ' - ;" \, ***-ч_ ч, в; '; дольное волновое число h играет
роль коэффициента фазы направ-
направляемых волн над проводящей
плоскостью. Тогда, по определе-
определению, фазовая скорость волново-
волнового процесса
6) а> С
У/ Q ~ _
sin <р
G.25)
Рис. 7.3. Структура волновых фрон-
фронтов падающей и отраженной волн
Видно, что при любом угле
падения ф, отличном от 90°, имеет место неравенство
v*>c G.26)
Поэтому Е- и Н-волны часто называют быстрыми волнами.
Физический смысл неравенства G.26) легко понять, обратив-
обратившись к рис. 7.3, где изображена хорошо известная из повседнев-
повседневного опыта структура волновых фронтов падающей и отраженной
волн, наблюдаемая на поверхности воды вблизи непроницаемой
стенки (берега). Пусть иф0 — фазовая скорость падающей волны,
Ф — угол падения. Если в треугольнике ОАВ мысленно зафикси-
зафиксировать точку В, а точке А дать возможность перемещаться вместе
с волновым фронтом, то, очевидно,
d

7.3. Структура поля Е- и Н-волн 135
Однако точка О, в которой пересекаются стенка и волновой фронт,
будет двигаться быстрее:
~-
что полностью соответствует формуле G.25). Читатель, безуслов-
безусловно, не раз обращал на это внимание, наблюдая за тем, как волны
набегают на берег водоема.
Заметим, что если ф = 0, то колебания во всех точках линии,
параллельной стенке, происходят с одинаковой фазой. Поэтому
формально можно говорить о том, что фазовая скорость волнового
процесса вдоль оси z обращается в бесконечность.
Продольная и поперечная длины волн. Несмотря на существен-
существенные различия, структуры полей электромагнитных волн Е-и Н-ти-
пов имеют общую черту: проекцшПзекторов поля описываются пе-
периодическими функциями как продольной координаты г, так и
поперечной координаты х.
Пространственный период поля ЛпрОд вдоль оси распростране-
распространения z будем называть продольной длиной волны. Очевидно, что
^ *L_^-, G.27)
sin <p
h Posin ? sin <p
где Хо — длина однородной плоской волны в свободном простран-
пространстве. Отметим, что всегда ЛПрод^А,0, так как v^^-c.
Аналогично, пространственный период стоячей волны вдоль по-
поперечной оси х будем называть поперечной длиной волны:
Лпопер=— =-*>-. G.28)
р g cos<?
Параметры Яо, ЛПрод и Лщшер связаны очевидным соотношением
Lp = 2X^ G.29)
Пример 7.1. Плоская электромагнитная волна с параллельной
поляризацией, имеющая частоту /=5 ГГц, падает из вакуума под
углом ф = 40° на границу раздела с идеальным проводником, об-
образуя в верхнем полупространстве волну Е-типа. Найти продоль-
продольное волновое число Л, поперечное волновое число g, фазовую ско-
скорость Е-волны иф, а также длины волн ЛПрод и Лпопер.
Прежде всего определяем коэффициент фазы в свободном про-
пространстве:
;.10$/C-108)= 104.72 м-1.

136
Глава 7. Основы теории направляемых волн
Затем по формулам G.18) и G.19) находим
/z = ?0sin40°=67.31 м-1; g* = p0cos40°=80.22 м-1.
На основании соотношения G.25) фазовая скорость Е-волны
^==r/sin40°=4.667.108 м/с.
Наконец, в соответствии с выражениями G.27) и G.28) имеем
Апрод=2л/Л = 0.093 м —9.3 см,
Л
попер"
= 7.8 см.
Структура силовых линий электрического и магнитного полей.
Чтобы наглядно представить электромагнитный процесс, который
возникает при падении плоской вол-
ны на идеально проводящую плос-
плоскость, целесообразно построить си-
силовые линии электрического и маг-
магнитного полей. Такое построение
можно выполнить на основании
формул G.21) — G.22) и G.23) —
G.24).
Рассмотрим вначале данную за-
задачу в общем виде. Пусть кривая
MN на рис. 7.4 является некоторой
силовой линией поля Е, наблюдае-
наблюдаемой в фиксированный момент вре-
времени /о- Вектор Е, определенный в
точке А и имеющий проекции Ех и
А
D
'dz
F
7
в
Ex
с
Рис. 7.4. К выводу дифференци-
дифференциальных уравнений силовых линий
электромагнитного поля
Ez, изображен отрезком АВ. Согласно определению, этот отрезок
направлен по касательной к силовой линии.
Если координата z в точке А получает приращение dz, то, пере-
перемещаясь вдоль силовой линии, мы из точки А переходим в точ-
точку /), при этом координата х получает приращение на величину Ах.
Пренебрегая бесконечно малыми величинами порядка (dxJ и
(dzJ, можно заменить дифференциал дуги отрезком касательной
и считать, что «треугольник» ADF подобен прямоугольному тре-
треугольнику ABC. Отсюда следует, что
dx dz
у z, tQ)
Ez(x, z, tQ)
ИЛИ
dx _ Ex(xf z, t0)
dz E2(x,ztt0)
G.30)

7.3. Структура поля Е- и Н-волн 1.37
Равенство G.30) представляет собой дифференциальное урав-
уравнение силовой линии рассматриваемого поля. Помимо уравнения
необходимо задать также начальное условие, указав некоторую
точку пространства с координатами (х0, 2о)> через которую должна
проходить эта силовая линия. Из теории дифференциальных урав-
уравнений известно, что если в окрестности выбранной точки правая
часть уравнения вида G.30) имеет непрерывную частную произ-
производную по аргументу х, то такая точка является неособенной и
через нее проходит единственная силовая линия (интегральная
кривая).
Продемонстрируем описанную методику на примере построе-
построения силовых линий поля электрического вектора для Е-волны [фор-
[формула G.21)]. Прежде всего, переходя от комплексных амплитуд
к мгновенным значениям поля, запишем
Е(х, г, /)=2fm sincp-cosgvc-cos (<&t — hz)\x —
— 2?mcoscp-singvc-sin Ы — hz) iz. G.31)
Здесь принято во внимание, что z-я проекция опережает по фазе
х-ю проекцию на я/2 радиан и поэтому
cos (id/ — hz-\- л/2) = — sin (to/ — hz).
Условимся строить силовые линии поля в момент времени /=0.
Тогда на основании выражений G.30) и G.31) имеем дифферен-
дифференциальное уравнение
dx sin ф-cos gx-cos hz . , , f tn OO4
—— = ^— ——--=tg<f-ctggx-ctg hz. G.32)
az cos <p- sin gX' sin hz
Анализируя данное уравнение, приходим к следующим выво-
выводам:
1) На границе раздела при х = 0 производная dx/dz неограни-
неограниченно велика. Значит, силовые линии поля Е в полном соответ-
соответствии с граничными условиями подходят к поверхности идеального
проводника по нормали.
2) Картина силовых линий поля является периодической с пе-
периодами Лдрод и Лпопер по осям z и х соответственно [см. форму-
формулы G.27) и G.28)]. Поэтому силовые линии электрического век-
вектора волны типа Е представляют собой замкнутые кривые, лежа-
лежащие в плоскости XOZ. Исключение составляют лишь те линии,
которые «входят» в идеальный проводник или «выходят» из него.
На рис. 7.5 изображена группа кривых, построенных путем чис-
численного интегрирования на компьютере уравнения G.32) для част-
частного случая ф = 45°, когда волновые числа hug совпадают. В це-
целях удобства построения по координатным осям отложены без-
безразмерные аргументы hz и gx. Кривые построены в пределах квад-

138
Глава 7. Основы теории направляемых воля
рата, внутренние точки которого удовлетворяют неравенствам
/2Л 0/2
Требования к точности графического построения картины поля
не слишком высоки. Поэтому использовался простейший числен-
численный способ решения дифференциального уравнения —метод Эйле-
Эйлера первого порядка, согласно которому уравнение G.32) прибли-
приближенно заменяют уравнением в конечных разностях
Ах=tg ср • ctg gx • ct g hz • Дг.
Вычисления начинают с некоторой начальной точки (х0, <г0).
Далее определяют координаты очередной точки х{ = Хо-\-Аху Z\ =
= Zo-{-Az, где Az — фиксирован-
фиксированный шаг. Эту операцию цикличе-
циклически повторяют до тех пор, пока
текущая точка на кривой не до-
достигнет границы области.
Кривые на рис. 7.5 построены
для шести начальных точек, у ко-
которых координата hzo = n/2 одна
и та же, а координаты gx0 при-
принимают значения 0.25, 0.5, 0.75,
/? 1.0, 1.25 и 1.5.
Теперь не представляет труда
Рис. 7.5. Результат численного ин- изобразить полную картину СИ-
тегрирования дифференциального r J r j
уравнения силовых линий электри-НЛОВЫХ ЛИНИИ электрического век-
ческого вектора ?тора (рис. 7.6). Для этого доста-
достаточно «повторить» картину, при-
приведенную на рис. 7.5, должное число раз. Необходимо лишь сле-
следить за тем, чтобы направления стрелок на силовых линиях чере-
чередовались в силу пространственной периодичности поля.
На этом же рисунке построены силовые линии магнитного век-
вектора Е-волны. Из формулы G.22) вытекает зависимость напря-
напряженности магнитного поля от пространственных координат при
/ 0
с, z, 0) = -
-cos
G.33)
Силовые линии такого поля представляют собой «нити», парал-
параллельные оси у. Направление вектора Н периодически изменяется
в пространстве. Вектор, ориентированный от наблюдателя к плос-
плоскости чертежа, обозначен сплошным кружком; вектор противопо-
противоположного направления обозначен кружком с точкой.
Как принято в электродинамике, силовые линии проведены ча-
чаще там, где напряженность поля больше. Полезно заметить, что
магнитное поле Е-волны, будучи поперечным, концентрируется

7.3. Структура поля Е- и Н-волн
139
именно в тех областях пространства, где велика поперечная про-
проекция Ех напряженности электрического поля. Наоборот, там, где
продольная проекция Ez достигает максимума, проекция Ну обра-
обращается в нуль.
Структура поля волны типа Т. Поперечные электромагнитные
волны (Т-волны) существуют в полупространстве над идеально
проводящей плоскостью в частном случае, когда угол падения
плоской волны с параллельной поляризацией равен 90° . При этом
поперечное волновое число g = 0, а продольное волновое число
Рис, 7.6. Структура силовых линий волны типа Е над идеаль-
идеально проводящей плоскостью
Соответствующие проекции комплексных амплитуд векторов
электромагнитного поля прямо вытекают из формул G.21) и
G.22), в которых следует опустить коэффициент 2, так как от-
отраженная волна отсутствует:
Ё=Ете-^Чх, G.34)
G.35)
Шу.
Отсюда мгновенные значения векторов
E(z, /)=?"„, cos (a>/- $Qz)ix,
Н (z, t) =--??- cos (ш/ - %z) ly.
G.36)
G.37)

140
Глава 7. Основы теории направляемых волн
В момент времени ?=0 имеем
Е(г, 0) = ?m cos
G.38)
G.39)
Картина распределения векторов поля в плоскости XOZ, по-
построенная на основании формул G.38) и G.39), приведена на рис.
7.7. Заметим, что она ничем не отличается от картины поля одно-
однородной плоской волны.
Рис. 7.7. Структура силовых линий направляемой Т-волны
Структура поля волны типа Н. Исследование пространственной
структуры силовых линий электромагнитного поля воды типа Н,
возникающей над идеально проводящей плоскостью, можно про-
провести аналогичным образом. Не останавливаясь на подробностях,
запишем с помощью формул G.23) и G.24) выражения мгновенных
значений векторов поля волны типа Н в момент времени ^ = 0:
Е (х, z, 0) = 2Em singx- sin hz • \у, G.40)
2Е
Н(х, z, 0) = — sin<p-sing"a*- sin hz-\x —
z
¦ cos <p • cos gx• cos hz • \z.
G.41)
Дифференциальное уравнение силовых линий магнитного век-
вектора в соответствии с выражением G.41) имеет вид
G.42)

7А. Характеристики поля Е- и Н-волн 141
Картина силовых линий вектора Н, построенная путем числен-
численного интегрирования этого уравнения для частного случая ф = 45°,
приведена на рис. 7.8. Здесь же изображен эскиз пространствен-
пространственного распределения силовых линий вектора Е, построенный на ос-
основании выражения G.40).
; «; ;;
|«;0 •! (J ;«!*;«j (J
^ I®!
|©|
•l©l«| (J ;•;•!•¦ ( ) |®|©|®i (J >•>•;•; ij ;• ©;•
(•(•if I®l0®lf i®i#l )||©|( j •!
» . . t . . « >
Рис. 7.8. Структура силовых линий волны типа Н над идеально
проводящей плоскостью
Следует обратить внимание на то, что в силу граничных усло-
условий при х = 0 нормальная составляющая магнитного вектора и ка-
касательная составляющая электрического вектора обращаются в
нуль. В остальном картины полей волн Е- и Н-типов идентичны
с точностью до перестановки векторов Ей Н.
7.4. Некоторые характеристики электромагнитного поля
Е- м Н-волн
Получив аналитические выражения G.21) — G.24) и построив
картины силовых линий векторных полей Ей Н, перейдем к изу-
изучению некоторых частных характеристик электромагнитного поля
направляемых волн над проводящей плоскостью.
Плотность потока мощности направляемых волн. Обратясь к
случаю волн Е-типа, запишем выражение комплексного вектора
Пойнтинга [см. формулу B.28)], определенного в каждой точке по-
полупространства 0

142
Глава 7. Основы теории направляемых волн
О
Ни
Слагаемые в правой части последнего равенства принципи-
принципиально различны. Действительно, приняв во внимание выражения
G.21) и G,22), легко заметить, что произведение ЁХНУ, образо-
образованное поперечными проекциями векторов поля, является чисто
*
вещественным числом, в то время как произведение EzHy чисто
мнимое. Поэтому вектор Пойнтинга, усредненный за период коле-
колебания, ориентирован вдоль направления распространения волны:
G.44)
Мнимую составляющую комплексного вектора Пойнтинга, ори-
ориентированную вдоль поперечной координаты х и физически связан-
связанную с возникновением в пространстве стоячей волны, по терми-
терминологии из теории цепей уместно назвать реактивной составляю-
составляющей:
Ег
Пр =—— cos cp- sin Bgx) ix. G.45)
Ясно, что в волне типа Т, для которой ф = 90°, реактивная состав-
составляющая вектора Пойнтинга отсутствует.
Совершенно аналогично из выражений G.23) и G.24) выводят-
выводятся формулы для составляющих вектора Пойнтинга в волне
Н~типа:
¦ sin ср. sin2gxlz,
G.46)
=V2Re (EyHz) 1Х = —~~ cos <p. sin
z0
G.47)
Следует обратить внимание на то, что в волнах Е- и Н-типов
обе составляющие комплексного вектора Пойнтинга распределены
вдоль поперечной координаты х неравномерно.
Распределение тока на идеально проводящей плоскости. Чтобы
найти векторное поле плотности поверхностного электрического то-
тока на направляющей идеально проводящей плоскости, следует вос-
воспользоваться формулой D.21) s в которой под ортом нормали \п

7.4. Характеристики поля ?"- и Н-волн
143
следует\ понимать единичный вектор \х. При этом убеждаемся, что
для волр типа Е комплексная амплитуда
U-o=-2§*-e-'**i, G.48)
описывает бегущую волну, которая распространяется в продоль-
продольном направлении и имеет единственную z-ю составляющую (рис.
7.9, а). |
Ч
" J поВ. ¦
9
0
z
Рис. 7.9. Распределение вектора плотности поверхностного тока на иде-
идеально проводящей плоскости:
а — для волн типа Е; б — для волн типа Н
По-иному выглядит структура поверхностного тока Н-волны.
Здесь, согласно формуле G.24), на границе раздела вектор Н име-
имеет единственную составляющую с комплексной амплитудой
Тогда
G.49)
Соответствующий эскиз картины силовых линий тока показан
на рис. 7.9, б. Здесь поверхностный ток протекает уже не в про-
продольном, а в поперечном направлении.
Из сказанного следует важный для антенной техники вывод о
том, что при заранее известной поляризации падающего поля
сплошной металлический отражатель можно с успехом заменить
системой параллельных проводящих стержней, пластин и т. д. Эти
проводники должны размещаться достаточно часто, например с
шагом Х/10 или менее, и быть ориентированными вдоль линий по-
поверхностного тока.
Удельная мощность потерь. Реальная плоскость, на которую
падает волна, выполнена из металла, т. е. материала с высокой, но

144 Глава 7. Основы теории направляемых волн
все же конечной электрической проводимостью. В соответствии с
приближенными граничными условиями Леонтовича F.54)/ на по-
поверхности металла будет возникать касательная составляющая
вектора Е, комплексная амплитуда которой
Вектор касательной составляющей Етм должен быть ориентиро-
ориентирован так, чтобы совместно с величиной Нтм порождать вектор
Пойнтинга, направленный в глубь металла; среднее значение этого
вектора характеризует удельную (на единицу площади) мощность
потерь:
fiU. G.50)
Для волн типа Е '
и, значит,
хм —
Отсюда на основании равенства G.50)
2 /^
П.- m Pq v fill m I / ' °
F2 /~^ ~
fill m I / ' °
Zo y a
Отрицательный знак в этой формуле указывает на то, что поток
энергии потерь действительно направлен в глубь проводящей
среды.
Для волн Н-типа
Р _ 2ZCuEm c .p-z/tgj
откуда
^/^^«V G-52)
Zq
Сравнивая выражения G.51) и G.52), интересно отметить, что
потери в металле для случая Е-волн не зависят от угла падения,
в то время как для случая Н-волн эти потери стремятся к нулю,
если угол падения ф приближается к 90°.

7.5. Свкзь между составляющими векторов поля 145
Поляризационные характеристики Е- и Н-волн. В гл. 3 было
показано, что наиболее общим видом однородной плоской элек-
электромагнитной волны является волна с эллиптической поляриза-
поляризацией. Рассматриваемые здесь неоднородные Е- ^ Н-волны имеют
несколько иную, более сложную поляризационную структуру.
Действительно, в волне типа Е, согласно формуле G.22), поле
магнитного вектора поляризовано линейно. Поле же электрическое
го вектора в соответствии с формулой G.21) имеет две взаимно
перпендикулярные декартовы составляющие, которые колеблются
во времени со сдвигом фаз 90° (об этом свидетельствует коэффи-
коэффициент / в комплексной амплитуде Ez). Поэтому можно утверж-
утверждать, что электрический вектор Е-волны в общем случае поляризо-
поляризован по эллипсу, причем эксцентриситет поляризационного эллип-
эллипса в разных точках пространства неодинаков.
Пример 7.2. Волна типа Е возникает при падении однородной
плоской волны на идеально проводящую плоскость под углом ф =
= 50°. Длина падающей волны ^0 = 0.4 м. Определить, на каком
минимальном расстоянии от границы раздела вектор напряженно-
напряженности электрического поля окажется поляризованным по кругу.
Для возникновения круговой поляризации необходимо, чтобы
обе взаимно перпендикулярные составляющие вектора имели оди-
одинаковые амплитуды. Поэтому искомая координата х является наи-
наименьшим положительным корнем уравнения
sin cp-cos gx = cos cp- sin gx,
откуда
cos cp)=0.086 м.
Аналогично выглядит поляризационная структура поля волны
Н-типа. Однако здесь в соответствии с формулами G.23) и G.24)
электрический вектор линейно поляризован в поперечной плоско-
плоскости, в то время как магнитный вектор имеет эллиптическую поля-
поляризацию. Соотношением между осями поляризационного эллипса
зависит от угла падения плоской волны и непрерывно меняется
вдоль поперечной координаты.
7.5. Связь между продольными
и поперечными составляющими векторов поля
направляемых волн
Рассмотренные в этой главе Е- и Н-волны, возникающие в по-
полупространстве над идеально проводящей плоскостью, являются
предельно идеализированными моделями направляемых электро-

146 Глава 7. Основы теории направляемых волн
магнитных волн. Теория некоторых практически важных волново-
волноводов будет развита в гл. 8, 9 и 10. Однако на основе уравнений
Максвелла можно заранее вывести ряд существенных свойств по-
подобных волн, относящихся к любым направляющим системам.
Эта возможность обусловлена тем, что любая направляемая
плоская волна, распространяющаяся, скажем, вдоль оси /г, пред-
представляет собой неоднородную волну особого вида: комплексная
амплитуда каждой из шести проекций векторов Е и Н т^кой вол-
волны зависит от пространственных координат по закону /
Начальную фазу волны всегда можно подобрать так, чтобы амп-
амплитудная функция V0(x, у) была действительной. Производные по
z от проекций векторов поля вычисляются весьма просто:
dV/dz = -jhV и т. д. G.54)
Пусть электромагнитный процесс в некоторой области прост-
пространства, свободной от источников, описывается уравнениями Макс-
Максвелла
В развернутой координатной форме эти уравнения выглядят
так:
дЙг дНу
ду
дНх
дг
дЙу
дх
дЁ2
ду
дг
дНг
дх
дЙх
<>У
дЁу
дг
дЁх
дх

7.5. Скязь между составляющими векторов поля 147
Если теперь выразить производные по z в соответствии с ра-
равенством G.54), то системы G.55) и G.56) упростятся:
G.57)
дх ду
дЁг
G.58)
дх ду
Принципиально важно то, что в уравнениях G.57) и G.58) по-
поперечные проекции Ёх, Ёу, Йх и Ну представляются в виде линей-
линейных комбинаций из производных от продольных проекций Ёг и Н2
по поперечным координатам х и у. Действительно, рассматривая,
например, совместно первое уравнение из системы G.57)* и вто-
второе уравнение из системы G.58), получаем систему двух линей-
линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Ёх и НУ9
причем в правой части этой системы окажутся производные
дЁг/дх и дЙг/ду. Аналогично составляется вторая система уравне-
уравнений относительно неизвестных Ёу и Нх.
Решая эти две системы уравнений, приходим к следующему
результату:
dHz
<7-и)
ду дх

/
148 Глава 7. Основы теории направляемых волн
Здесь g — поперечное волновое число исследуемого процесса, оп-
определяемое, как известно, следующим образом: /
/
Равенства G.59) могут рассматриваться как формуль/ перехо-
перехода от продольных к поперечным проекциям векторов н/аправля-
емого электромагнитного поля. Роль их состоит в том, ^то доста-
достаточно найти лишь две функции Ez(x1 у) и Hz{x><, y)\ оста^ные про-
проекции определяются через них простым дифференцированием.
ЗАДАЧИ
7.1. Под каким углом должна падать плоская электромагнит-
электромагнитная волна на поверхность идеального проводника для того, чтобы
фазовая скорость процесса, полученного суперпозицией падающей
и отраженной волн, составляла 5с? Среда распространения — воз-
воздух.
7.2. Вычислите продольное и поперечное волновые числа для
волны типа Е, если известно, что частота поля /=200 МГц, а угол
падения ф=70°.
7.3. Найдите частоту f и угол падения ф плоской электромаг-
электромагнитной волны, падающей на идеально проводящую плоскость, если
продольная длина волны ЛпроД=85 мм, а поперечная длина волны
ЛПопер=60 мм. Среда распространения — вакуум.
7.4. Направляемая волна Е-типа имеет фазовую скорость v<% =
— Зс, амплитудный коэффициент ?т=250 В/м и частоту /=
= 1.5 ГГц. Вычислите усредненный вектор Пойнтинга Пср, а также
реактивную составляющую вектора Пойнтинга Преак в точках вооб-
воображаемой плоскости, параллельной границе раздела и отстоящей
от нее на расстоянии х=0.05 м.
7.5. Волна типа Е образуется в вакууме над идеально прово-
проводящей плоскостью при падении плоской волны, имеющей среднее
значение вектора Пойнтинга Пср.пад = 800 Вт/м2. Вычислите ампли-
амплитуду продольной составляющей вектора плотности поверхностного
.тока на границе раздела.
7.6. Решите предыдущую задачу применительно к случаю, ког-
когда падающая электромагнитная волна имеет перпендикулярную
поляризацию и в полупространстве х>0 образуется направляе-
направляемая волна Н-типа. Угол падения плоской волны ф = 30°.
7.7. Направляемая волна Е-типа, имеющая амплитудный коэф-
коэффициент ?°т=500 В/м, существует над плоской границей раздела
с хорошо проводящей немагнитной (ji=l) средой. Удельная про-
проводимость среды 0=5-107 См/м, частота поля f=l ГГц, Опреде-
Определите величину Пср.пот — модуль составляющей вектора Пойнтинга,
которая описывает плотность потока мощности потерь.

8,1. Постановка задачи
149
Глава восьмая
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД
В данной главе будет рассматриваться полый металлический
волновод прямоугольного сечения — линия передачи, находящая
в настоящее время, пожалуй, наибольшее применение в технике
СВЧ. Задача об электромагнитных волнах в трубе с хорошо про-
проводящими стенками представляет большой самостоятельный ин-
интерес и требует математических методов, более общих по сравне-
сравнению с теми, которые использовались при изучении волн над про-
проводящей плоскостью.
8.1. Постановка задачи
Анализируемая здесь линия передачи представляет собой тру-
трубу с поперечным сечением прямоугольной формы (рис. 8.1). Счи-
Считается, что стенки трубы выполнены
из идеального проводника (о=оо).
Размер сечения вдоль широкой стен-
стенки всегда в дальнейшем будем обо-
обозначать через а, размер вдоль уз-
узкой стенки — через Ь. Данный вол-
волновод помещен в декартову систему
координат х, yt z так, как показа-
показано на рисунке. Волновод неограни-
неограниченно протяжен вдоль оси z, кото-
которая принимается за ось распрост-
распространения электромагнитных волн. Рис. 8L Прямоугольный метал-
Будем считать также, что внутри лический волновод
волновода находится воздух или ва-
вакуум, т. е. среда с электродинамическими параметрами еа = во,
jxa = [xo. Такая ситуация чаще всего встречается на практике.
Поставим цель найти всю совокупность электромагнитных
волн, которые описываются решениями уравнений Максвелла и
могут существовать внутри волновода на всем протяжении оси.
При этом мы не станем интересоваться тем, каким именно обра-
образом те или иные источники (антенны, электронные пучки и т. д.)
возбуждают эти колебания в волноводе. Можно сказать, что здесь
будут рассматриваться свободные колебания в волноводе (ср. со
свободными колебаниями в резонансном LC-контуре).

150 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
8.2. волны типа Е в прямоугольном волноводе
Как уже известно, волны типа Е отличаются присутствием про-
продольной составляющей вектора напряженности электрического по-
поля, в то время как магнитное поле этих волн чисто поперечно, т. е.
ЁЙ
Этот несколько особый характер проекции Ez позволяет выра-
выразить все поперечные проекции векторов электромагнитного поля
любой волны типа Е через частные производные от Ez по попереч-
поперечным координатам на основании формул G.59). Поскольку здесь
#2 = 0, формулы перехода принимают весьма простой вид:
г- —jh dEz j\ у'оЕр dEz
дх х g* ду
^У g2 ду ' ПУ gl дх •
Если удастся найти проекцию Ez во всех внутренних точках попе-
поперечного сечения волновода, задача будет полностью решена.
Чтобы получить функцию Ёг(х, у, z), следует воспользоваться
уравнением Гельмгольца, которому удовлетворяет любая проек-
проекция векторов поля, в том числе и Ez, при некотором фиксирован-
фиксированном значении частоты:
= 0. (8.2)
Решение этого уравнения будем искать в риде, общем для всех
волноводных задач, рассматриваемых в дальнейшем:
Ёг1х, У, z) = Ez{x, y)e~J'hz. (8.3)
Здесь Ег(х, у)—подлежащая определению действительная функ-
функция, описывающая распределение продольной составляющей элек-
электрического поля в поперечном сечении волновода. Амплитудное
значение поля не зависит от координаты z, так как, по исходному
предположению, потери в волноводе отсутствуют. Изменение фазы
колебаний вдоль оси распространения учитывает экспоненциаль-
экспоненциальный множитель вида ехр(—jhz). Знак показателя экспоненты ука-
указывает на то, что решение вида (8.3) соответствует бегущей волне,
которая распространяется в положительном направлении оси z.
Продольное волновое число h нужно найти исходя из геометриче-
геометрических размеров а и Ь, а также длины волны возбуждающего гене-
генератора Яо.
Вид решения, принятый выше,4 дает возможность несколько уп-
упростить исходное уравнение (8.2). Действительно, подставив (8.3)
в (8.2) и воспользовавшись правилом дифференцирования экспо-

8.2. Волны типа Е в прямоугольном волноводе 151
ненты, будем иметь следующее уравнение относительно неизвест-
неизвестной амплитуды Ё2(х, у):
=0. (8.4)
Здесь Vх = d2fdx2 + д2/ду2 — так называемый поперечный опера-
оператор Лапласа, действующий на неизвестную функцию лишь по ко-
координатам х и у, g=V$2—h2 — поперечное волновое число.
Граничные условия на стенках волновода. Наша конкретная
задача — найти такое частное решение уравнения Гельм-
гольца(8.4), которое обеспечивало бы выполнение граничного ус-
условия Ех = 0 на идеально проводящем контуре сечения волновода.
В общем случае следует предполагать, что вектор напряжен-
напряженности электрического поля имеет все три декартовы составляю-
составляющие. При этом г-я составляющая Ez\z является касательной ко всем
четырем стенкам волновода. Поэтому на стенках эта составляю-
составляющая должна обращаться в нуль:
х=0, х=а,
Ez=0 при
#=0, у=Ь. (8.5)
Проекция Ех, определяющая х-ю составляющую электрическо-
электрического вектора, должна обратиться в нуль лишь на широких стенках
волновода, параллельных оси х:
Ех = 0 при z/=0, у=Ь. (8.6)
Наконец, на узких стенках волновода следует потребовать об-
обращения в нуль проекции Еу:
Еу = 0 при х=0, х=а. (8.7)
Однако легко убедиться в том, что граничные условия (8.5) —
(8.7) связаны друг с другом. Действительно, согласно формулам
перехода (8.1), в случае волн Е-типа проекции поперечных состав-
составляющих электрического вектора Ёх и Ёу пропорциональны част-
частным производным dEz/dx и дЁ2/ду соответственно. Поэтому приве-
приведенную систему граничных условий можно записать через Ёг и ее
производные по поперечным координатам:
EZ=Q при (а)
-^- = 0 при у = 0, у = Ь9 (б) (8.8)
—^-=0 при л:=0, х—а. (в)

152 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
Очевидно, что условие (а) обеспечивает постоянство Ez на конту-
контуре сечения волновода и автоматическое выполнение граничных ус-
условий (б) и (в).
Краевая задача и ее решение. Мы убедились, что для исследо-
исследования волн типа Е в прямоугольном волноводе необходимо решить
уравнение Гельмгольца относительно амплитуды проекции Ez вме-
вместе с соответствующим граничным условием на контуре попереч-
поперечного сечения:
* = 0, (8.9)
х=0, х = а,
/Гг=0 при
у = 0, у = Ь.
В математике подобную совокупность уравнения в частных про-
производных и некоторых граничных условий называют краевой за-
задачей. Конкретно краевая задача (8.9), согласно которой искомая
функция должна обратиться в нуль на границе области, носит на-
название однородной краевой задачи Дирихле.
Интересно отметить, что рассматриваемая электродинамиче-
электродинамическая задача допускает наглядную механическую аналогию. Ока-
Оказывается, краевая задача вида (8.9) возникает при изучении коле-
колебаний однородной жесткой мембраны прямоугольной формы с раз-
размерами сторон а и Ь. Искомая функция описывает смещение точек
мембраны относительно положения равновесия в направлении, пер-
перпендикулярном ее плоскости. Нулевые граничные условия указы-
указывают на то, что края мембраны жестко закреплены.
Среди известных в математике способов решения дифференци-
дифференциальных уравнений в частных производных одно из центральных
мест занимает метод разделения переменных, иногда называемый
также методом Фурье (что никак не связано с рядами или ин-
интегралами Фурье). Сущность метода разделения переменных со-
состоит в том, что решение уравнения в частных производных
отыскивается в виде произведения функций, каждая из которых
зависит лишь от одной координаты. Применительно к краевой
задаче (8.9) имеем
(8.10)
Подставив искомую функцию вида (8.10) в уравнение Гельм-
Гельмгольца из задачи (8.9), получаем уравнение
X"V + XV"+g*XV=0, (8.11)
в котором двойным штрихом обозначена обыкновенная (не част-
частная) производная по соответствующей координате.

8.2. Волны типа Е в прямоугольном волноводе 153
Далее, разделив почленно обе части уравнения (8.11) на неиз-
неизвестное решение в форме (8.10), будем иметь
Xf//X + yvr = -g2. ' . (8.12)
Заметим, что левая часть уравнения (8.12) есть сумма двух
функций, каждая из которых зависит только от одной переменной,
х или у. В правой же части располагается число —g2y не завися-
зависящее ни от х, ни от у. Поэтому для того, чтобы (8.12) выполнялось,
тождественно при всех х и у, необходимо потребовать, чтобы
X''lX = -gl, (8.13)
Y"/r = -gl (8.14)
где gx, gy—некоторые числа, удовлетворяющие в силу (8.12) оче-
очевидному соотношению
Теперь смысл метода разделения переменных становится яс-
ясным: сложную задачу — поиск решения дифференциального урав-
уравнения в частных производных удается свести к более простой —
интегрированию уравнений вида (8.13) и (8.14) в обыкновенных
производных. Эти два уравнения с постоянными коэффициентами
можно записать в привычном виде:
= 09 (8.16)
= 0. (8.17)
Общие решения уравнений (8.16) и (8.17) выражаются через
гармонические функции пространственных координат и содержат
четыре произвольных амплитудных коэффициента Л, В, С и D:
X (х)=А sin gxx-\-B cos gxx, (8.18)
Y (y) = C sin gyy + D cos gyy, (8.19)
отсюда
Ez (x, y) = (A sin gxx + Bcos gxx) (C sin gyy + D cos gyy). (8.20)
Итак, общее решение уравнения Гельмгольца, входящего в рас-
рассматриваемую краевую задачу, получено. Остается выбрать шесть
величин — Л, В, С, D, gx, gy — таким образом, чтобы выполнялись
граничные условия на стенках волновода.
Прежде всего заметим, что из условия Ez=0 при х = 0 и у = 0
следует обращение в нуль коэффициентов при косинусоидальных
слагаемых, т. е. B = D = 0. Тогда произведение двух оставшихся

154 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
амплитудных коэффициентов можно обозначить через Ео и запи-
записать
Ez (х, y)=EQ sin gxx sin gyy. (8.21)
Теперь остается подобрать должным образом величины gx и
gy. Из граничного условия ?2=0 при х=а следует, что
singxa=0. (8.22)
Аналогичным образом граничное условие Ez=0 при у = Ь приво-
приводит к равенству
sin ^6=0. (8.23)
Легко видеть, что равенства (8.22) и (8.23) будут тождест-
тождественно выполняться лишь в том случае, если
ё*=^> Sy=-f, (8.24)
где my n — любые целые положительные числа. Отметим, что для
рассматриваемых здесь волн Е-типа ни одно из этих чисел не
может быть нулевым. В противном случае проекция Ё2, а следо-
следовательно, и все другие проекции векторов электромагнитного поля
тождественно обратились бы в нуль в каждой точке поперечного
сечения волновода.
Итак, выражение
Е2 (х, у) = Е, sin [^- х) sin [^~ yj , (8.25)
в которое входят два целочисленных параметра тип, является
решением краевой задачи (8.9).
Собственные значения и собственные функции. Проведенный
анализ позволяет сделать вывод: краевая задача вида (8.9) имеет
отличные от нуля решения не при любых значениях параметра g",
а лишь при таких, которые связаны с геометрическими размерами
стенок волновода соотношением
<8-26>
которое непосредственно вытекает из формул (8.15) и (8.24). Дан-
Данная величина g", отвечающая паре чисел тип, носит название
собственного значения рассматриваемой краевой задачи для урав-
уравнения Гельмгольца .
Каждому собственному значению отвечает функция вида (8.25),
называемая собственной функцией краевой задачи. Такая собст-
собственная функция описывает одно из бесконечного множества ре-

8.2. Волны типа Е в прямоугольном волноводе 155
шений уравнений Максвелла, которое в данном случае называют
волной типа Етп. Числа тип называют индексами волны данно-
данного типа. Физически они означают количества стоячих полуволн,
возникающих внутри волновода вдоль координатных осей х и у
соответственно. Поскольку индексы могут быть любыми, в прямо-
прямоугольном металлическом волноводе возможно раздельное сущест-
существование сколь угодно большого числа волн типа Етп. Однако из
сказанного ранее следует, что волн типа ЕОп и Ето не существует.
Структура электромагнитного поля волны типа Етп. Решение
краевой задачи, даваемое формулой (8.25), позволяет непосредст-
непосредственно написать выражение проекции Ez комплексной амплитуды
вектора напряженности электрического поля. Все остальные про-
проекции векторов электромагнитного поля волны типа Етп в прямо-
прямоугольном волноводе получаются дифференцированием на основа-
основании формул перехода (8.1):
^ . Ктл _, / тл \ . ( пл \ ;Л,
E jEcos[ х) sin — 0]е-'Л*,
\ а ) \ Ь )
Еу= -J
g2a
hnzt
у
/ тк \ ( пл
(— х) cos (—
= Е0 sin (-^-x) sin
)
тл ~ / тл \ . ( пл \ ,hy
= —усое0 /?0cos х] sm — е~;Лг,
g2a \ a J \ b )
Пример 8el. В заполненном воздухом прямоугольном волново-
волноводе с размерами стенок а = 50 мм, 6 = 25 мм возбуждена волна ти-
типа Еп. Вектор напряженности электрического поля в центре вол-
волновода при х = а/2, у = Ь/2 имеет амплитуду ?0 = 200 В/м. Опреде-
Определить комплексную амплитуду вектцда Н вдоль прямой линии, па-
параллельной оси z и пересекающей поперечное сечение в точке с
координатами л:=15мм, у =10 мм. Длина волны возбуждающего
генератора Хо = 35 мм.
Коэффициент фазы в свободном пространстве
Р=2я/Хо = 6.2832/0.035= 179.5 м-1.
Поперечное волновое число, соответствующее волне типа Ец,
находим по формуле (8.26):
g=Y (л/аJ + {ф? = И0.5 м-1.

156
Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
Продольное волновое число
м
-1
Подставляя эти числа вместе с исходными данными в форму-
формулы (8.27), получаем зависимость комплексной амплитуды Н (А/м)
от продольной координаты г вдоль выбранной линии:
H(z)=/0.151exp(—}\\\Лг)\х — /0.199ехр(—/11
Система формул (8.27), содержащая исчерпывающую инфор-
информацию об электромагнитном поле волн типа Ет/г, не позволяет,
однако, наглядно представить себе пространственную структуру
И
А-А
Рис. 8.2. Структура силовых линий векторов электромагнитного поля для
волны типа Ец в прямоугольном металлическом волноводе
такого поля. Для этой цели в прикладной электродинамике при-
принято строить картины силовых линий электрического и магнитного
полей. Не останавливаясь на деталях построения, описанных в
гл. 7, приведем картину мгновенного распределения силовых ли-
линий векторов Е и Н в простейшей волне типа Еп (рис. 8.2). Видно,
что линии поля Е представляют собой «скобки», которые под-
подходят к поверхности металла под прямым углом. Линии поля Н
являются замкнутыми кривыми и лежат в поперечной плоскости.
Картина поля периодична вдоль оси г; пространственным перио-
периодом служит длина волны в волноводе XB = 2n/h.
С течением времени данная картина поля как единое целое пе-
перемещается вдоль оси z с некоторой фазовой скоростью v$. На-
Направления векторов Е и Н, обозначенные стрелками на силовых
линиях, таковы, что усредненный вектор Пойнтинга Пср ориенти-
ориентирован вдоль положительного направления оси г.
Для любой более сложной волны типа Е картину, изображен-
изображенную на рис. 8.2, следует «повторить» столько раз, каково значе-
значение индекса волны по той или иной координатной оси. В качестве

8.3. Критическая длина волны. Дисперсионная характеристика
157
примера на рис. 8.3 приведена картина распределения силовых ли-
линий полей для волны типа Е22.
По причинам, которые станут ясными при дальнейшем изложе-
изложении, волны типа Е в прямоугольном металлическом волноводе на
практике используются довольно редко.
8.3. Критическая длина волны.
Дисперсионная характеристика волновода
Найдем связь между продольным волновым числом Л, двумя
геометрическими параметрами волновода — размерами сечения а
и Ь, а также длиной волны воз-
возбуждающего генератора Яо.
Как указывалось в § 8.2, про-
продольное волновое число связано
с коэффициентом фазы р плос-
плоской волны в свободном простран-
пространстве и с поперечным волновым
числом g:
-g2. (8.28)
В свою очередь, поперечное вол-
волновое число, определяемое фор-
формулой (8.26), зависит от разме- х
ров поперечного сечения и от ин-
индексов выбранного типа ВОЛНЫ, Рйс- 83' Распределение силовых
р
линий электромагнитного поля в
поперечном сечении для волны
типа Е22
но никак не связано с частотой.
Формула (8.28) вскрывает
важнейшую особенность работы
волновода как линии передачи электромагнитных колебаний. Если
рабочая длина волны Яо мала настолько, что &>g, то продольное
волновое число h оказывается действительным, а это, как извест-
известно, означает распространение колебаний в виде бегущих волн по-
постоянной амплитуды.
Если же длина волны генератора Яо увеличена настолько, что
P<g", то вместо бегущих волн в волноводе могут существовать
лишь нераспространяющиеся колебания. Амплитуда этих колеба-
колебаний экспоненциально уменьшается вдоль координаты z, а фаза во
всех поперечных сечениях постоянна. Об этом свидетельствует
мнимый характер продольного волнового числа. Говорят, что при
этом волновод с рассматриваемым типом волны работает в режи-
режиме отсечки.
Пограничный случай возникает на такой рабочей частоте, ког-
когда р=и. При этом /t = 0 и, как следствие, длина волны в волново-
волноводе Яв=сю. Принято говорить, что волновод с выбранным типом

158 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
волны оказывается в критическом режиме. Длину волны генера-
генератора, соответствующую случаю p = g", называют критической дли-
длиной волны данного типа и обозначают ХКр-
Из приведенных рассуждений следует, что в критическом ре-
режиме коэффициент фазы
Отсюда получается формула для вычисления критической длины
волны
X кр = — = 2 =-. (8.29)
Анализ этого выражения показывает, что при не слишком боль-
больших значениях индексов тип критическая длина волны по по-
порядку величин совпадает с характерным размером поперечного
сечения прямоугольного волновода. Так, для волны типа Е\2 при
а = 40 мм и 6 = 15 мм имеем Якр= 14.74 мм.
Наряду с критической длиной волны можно говорить также о
критической частоте
Связь между параметрами ft, p и g на основании формул
(8.28) и (8.29) можно выразить через срответствующие длины
волн:
(8.31)
Это равенство показывает, что при изменении длины волны гене-
генератора Хо длина волны в волноводе А,в изменяется не пропорци-
пропорционально ей. Закон зависимости длины волны в волноводе от дли-
длины волны в свободном пространстве называют дисперсионной ха-
характеристикой волновода. В явном виде эта характеристика опи-
описывается формулой, вытекающей из выражения (8.31):
Х.= г Х° (8.32)
Заметим, что вывод формулы (8.32) основан лишь на двух
предпосылках — на пропорциональности комплексных амплитуд
бегущих волн множителю ехр(—jhz) и на существовании режима
отсечки. Поскольку обе предпосылки относятся к волне любого
типа в полом металлическом волноводе с произвольной формой

8.3. Критическая длина волны. Дисперсионная характеристика
159
поперечного сечения, полученный здесь результат оказывается уни-
универсальным и может быть применим к любому волноводу. Отли-
Отличия будут состоять лишь в различных способах вычисления крити-
критической длины волны.
Дисперсионную характеристику волновода удобно изобразить
графически (рис. 8.4). Вся область
длин волн, меньших ХКр, является
областью «прозрачности» данного
волновода на рассматриваемом ти-
типе волны. При этом если Ко<^ККр,
то длина волны в волноводе лишь
в малой степени отличается от дли-
Ш^
Область
прозрачности
{область
I- отсечки
V •¦'•:¦': ¦'::•:¦/¦
«кр
Яо
ны волны в свободном пространст-
пространстве, всегда превосходя ее. Если па-
параметр Ко на графике рис. 8.4 стре-
стремится к ХКр слева, то длина волны
в волноводе стремится к бесконеч-
бесконечности. При переходе Ко через гра-
граничное значение ККр в волноводе су-
существуют уже не бегущие волны,
а колебания, экспоненциально затухающие вдоль продольной оси г.
Всю область длин волн, которой соответствуют значения К0ЖКр,
называют областью «непрозрачности» или областью отсечки. *
Рис. 8.4. Дисперсионная характе-
характеристика волновода
Пример 8.2. Прямоугольный волновод с размерами попереч-
поперечного сечения а = 60 мм, Ь = 35 мм работает на волне типа Еи. Оп-
Определить коэффициент ослабления а в данном волноводе, если
частота fo=O.8/Kp.
По формуле (8.30), критическая частота
/кр =
3-108
( 1/0.06J + A/0.035J=4.96-109 Гц.
На частоте /0 коэффициент фазы в свободном пространстве
оз0/с = 2я/0/?= 103.88 м.
Поперечное волновое число
g-=VC.14/0.06J-f- C.14/0.035J= 103.91 м.
Здесь p<g, так что продольное волновое число мнимое:
h=±j"Kg2 —P2= ±У2.497 м-1.

160 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
Если в последнем равенстве выбрать отрицательный знак, то за-
зависимость комплексных амплитуд от координаты г вида ехр(—jhz)
превращается в ехр(—аг), где вещественный коэффициент ослаб-
ослабления d = 2.497 м.
То, что на частотах /о>/кр длина волны в волноводе больше
длины волны в свободном пространстве, говорит о том, что волны
в волноводах распространяются с фазовыми скоростями, больши-
большими скорости света в вакууме. Поскольку фазовая скорость, длина
волны и частота связаны между собой очевидным соотношением,
то из формулы (8.32) следует, что фазовая скорость
уЛ = f _ (8.33)
Поскольку волновод является системой с дисперсией, группо-
групповая скорость 1>гр в нем не равна фазовой скорости (см. гл. 5), По
общему правилу,
*= — = ! . (8.34)
гр dh (dA/dX0) (dX0/do))
После несложных преобразований отсюда получаем
*. (8.35)
Видно, что групповая скорость всегда меньше фазовой скоро-
скорости и скорости света. Интересно отметить также, что фазовая и
групповая скорости волны одного и того же типа связаны равен-
равенством
•VrP = c2 (8-36)
на любой рабочей частоте.
8.4. Волны типа Н в прямоугольном волноводе
В данном параграфе будет изучен еще один класс типов волн
в прямоугольном металлическом волноводе. Эти волны, называ-
называемые волнами типа Н, характеризуются тем, что в них магнитный
вектор имеет продольную составляющую с проекцией Hz, в то вре-
время как электрическое поле поперечно, т. е. Ez = 0.
Будем считать, что геометрические и физические параметры
волновода те же, что и при рассмотрении волн^гипа Е. Комплекс-
Комплексные амплитуды всех проекций векторов электромагнитного поля
можно выразить через функцию Нг по формулам перехода, выте-
вытекающим из равенств G.59): "

8.4. Волны типа Н в прямоугольном волноводе 161
Р —У^Р-о дНz fj —jh дНz
(8.37)
о j^V-o dHz /у —jh дНz
ПУ g2 dX ' Пу g* dy •
Функция Hz является решением уравнения Гельмгольца и дол-
должна отыскиваться в виде
Н2(х, у, z) = Hz{x, y)z-ihz. (8.38)
При этом амплитудная функция Н2(х, у) удовлетворяет двумер-
двумерному уравнению Гельмгольца
2 = 0, (8.39)
в котором, как и ранее, g=y$2 — h2 — поперечное волновое число.
Уравнение (8.39) следует дополнить граничными условиями,
которые обеспечивают обращение в нуль касательных составляю-
составляющих электрического вектора на идеально проводящих стенках вол«
новода:
?•^=0 при у = 0, у = Ь,
(8.40)
Еу=0 при х = 0, х = а.
Формулы перехода позволяют записать данные условия через ис-
искомую функцию Hz\
—-?-=0 при у = 0, у = Ь,
дУ
—=0 при х=0, х=а.
дх
Таким образом, исследование распространения волн типа Н
в прямоугольном металлическом волноводе сводится к решению
краевой задачи (8.39) — (8.41) для поперечного уравнения Гельм-
Гельмгольца.
Данная краевая задача отличается от той, которая описывает
распространение волн типа Е, так как здесь на границе раздела
воздух — металл обращается в нуль не сама неизвестная функция,
а ее производная по нормали. В математике такие краевые задачи
называют однородными краевыми задачами Неймана. Проблема,
полностью аналогичная рассматриваемой, возникает в механике
при изучении колебаний упругой мембраны прямоугольной фор-
формы со свободными краями. Равенство нулю нормальной производ-
производной на краях означает отсутствие внутренних напряжений в этих
точках мембраны.

162 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
Рассматриваемая краевая задача решается методом разделения
переменных.. Отсылая за подробностями к § 8.2, запишем общее
решение поперечного уравнения Гельмгольца в виде
HZ = (A sin gxx-\-B cos gxx) (С sin gyy-\-D cos gyy). (8.42)
Граничные условия (8.41) при х = 0, у = 0 будут выполняться
лишь в том случае, если Л = С=0. Далее, обозначая BD как Яо, бу-
будем иметь
Нг С*. У)=--Но cos gxx cos gyy. (8.43)
Из граничных условий при x = at y = b следует, что
gx=mn/a, gy = nn/b, (8.44)
где m, n — целые положительные числа, не равные нулю одновре-
одновременно.
Как и ранее, поперечное волновое число g" определяется соотно-
соотношением
(8.45)
Каждой паре индексов m, n соответствует волна Н-типа, обо-
обозначаемая как Hmn. Критическая длина волны находится по фор-
формуле, совпадающей с (8.30):
1 = , 2 (8.46)
Для волн типа Н справедливы полученные ранее формулы,
позволяющие находить длину волны в волноводе
Х (8.47)
и фазовую скорость
Уь= г - (8.48)
Ф /1-(Х0/ХкрJ
Выясним вопрос о том, какой тип волны в прямоугольном вол-
волноводе является низшим, т. е. имеет наибольшую критическую дли-
длину волны. В соответствии с формулой (8.46) низшим окажется тот
тип волны, которому соответствуют наименьшие индексы. Так как
для волн Н-типа
Нг=Я0 cos (-5JL *) cos {Jf у) , (8.49)
то в данном случае один из индексов (но не оба вместе) может
быть равен нулю. В то же время известно, что для волн Е-типа ни

8.5. Волна типа Ню 163
один из индексов не может обратиться в нуль. Из сказанного
следует, что низший (основной) тип волны в прямоугольном вол-
волноводе относится к классу волн Н-типа.
Если условиться считать, что а>&, то из двух волн с наимень-
наименьшими значениями индексов, а именно Ню и НОь наибольшую кри-
критическую длину волны будет иметь волна типа Ню, у которой
вдоль широкой стенки укладывается одна стоячая полуволна, а
вдоль узкой стенки поле неизменно.
Приведем в заключение сводку формул, определяющих прост-
пространственные зависимости комплексных амплитуд проекций векто-
векторов электромагнитного поля волны типа Hm/l с произвольными зна-
значениями индексов тип. Формулы получены подстановкой выра-
выражения (8.49) в систему (8.37):
^ . пл
jj ( тл \ . / пл \ ¦«,„
"о cos \— *) sin (— r/j е-'*,
ТТ . / пгл \ f пл \ .•
Яо sin \— л-J cos {— у) е^
(8.50)
7*=> i^T Ho sin ("T- •*)cos ("T y)e '
, I тл \ . f пл \ ihr
o cos ("T" *)sin ("T y) e"; '
. кпл
J
8.5. Волна типа Н10
Рассмотрим этот тип волны в прямоугольном волноводе более
подробно как по причине его широкого практического использо-
использования, так и из-за наглядности построений и результатов.
Начнем с картины силовых линий электромагнитного поля.
В качестве исходной можно взять структуру поля волны типа Н
над идеально проводящей плоскостью, которая изучалась в гл. 7.
Обращаясь к формуле G.23), следует заметить, что в плоскости с
координатой х = а, удовлетворяющей равенству ga = n, напряжен-
напряженность электрического поля обращается в нуль. Поэтому здесь мож-
можно разместить вторую отражающую плоскость и тем самым лока-
локализовать электромагнитное поле в пределах бесконечного плос-
плоского слоя 0^.х^.а (рис. 8.5), размер которого в точности равен
половине поперечной длины волны:
6*

164
Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
Далее, поскольку силовые линии электрического вектора здесь
параллельны поперечной оси г/, во внутренней области волновода
можно установить две идеально проводящие перегородки, парал-
параллельные оси х и отстоящие на некотором расстоянии Ъ. В силу
перпендикулярности векторов поля Е к этим перегородкам гранич-
граничные условия на них будут выполняться автоматически. Таким
образом, можно рассматривать лишь поле во внутренней области,
ограниченной прямоугольным контуром поперечного сечения (две
плоскости и две перегородки). Из приведенного рисунка видно,
что количество полуволн вдоль осей х и у как раз таково, чтобы на-
назвать рассматриваемый электромагнитный процесс волной типа Ню.
Рис. 8.5. Построение картины силовых линий векторов электро-
электромагнитного поля волны типа Ню
Важно отметить, что характер картины поля не зависит от вы-
выбора расстояния Ь между перегородками. Отсюда следует, что
размер Ь (длина узкой стенки волновода) не должен входить в
выражение, определяющее критическую длину волны, Действи-
Действительно, из равенства (8.45) при m=l, n=0 следует, что
*кРн10=2а. (8.51)
Так как волна типа Ню в прямоугольном металлическом вол-
волноводе является основной, то полученный результат формулирует-
формулируется следующим образом: по прямоугольному волноводу можно пе-
передавать колебания, у которых длина волны в свободном прост-
пространстве не превышает удвоенного размера широкой стенки волно-
волновода. Более длинноволновые колебания экспоненциально затухают
по амплитуде вдоль оси распространения.
Приведем выражения, определяющие пространственную зави-
зависимость комплексных амплитуд декартовых проекций векторов
электромагнитного поля для волны типа Ню:

8.5. Волна типа Hi0
Sr . ha
л
//0 sin
. / лх \ 1hT
165
(8.52)
=Нь cos
Формулы получены из выражений (8.50); учтено, что в данном
случае g=2лДкр=я/а.
Л
E
/
J.-H
—
r-4
•I 4
h
1
I
кУ
i
}
0
y\
с
? H
jf »-^
—*— ii
z
i
(
H
/
, ^_
i j( ^\\\
в
E
/frp^l;(?p l
I'hc. 8.6. Структура силовых линий векторов электромагнитного
поля волны типа Ню в прямоугольном волноводе
Иногда бывает удобным несколько преобразовать систему ра-
равенств (8.52), выразив все комплексные амплитуды через ?Шах —
максимальную амплитуду напряженности электрического по-
поля, наблюдаемую в центре широкой стенки волновода:
Ёх=0,
(8.53)

J66 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
Структура силовых линий векторов электромагнитного поля
волны типа Ню представлена на рис. 8.6.
Пример 8.3. Волна типа Ню в волноводе с размерами стенок
а=40 мм, 6 = 20 мм имеет амплитудное значение ?'тах = 3-104 В/м.
Длина волны генератора Аю = 55 мм. Найти длину волны в волно-
волноводе Яв, а также величину Hzm&x — амплитуду напряженности маг-
магнитного поля на узких стенках волновода.
Здесь Якр = 2а=80 мм, откуда
ХВ=55/)Л -E5/80J=75.7 мм.
Частота поля со = 2яс/Я0 = 3.427-1010 с. Так как на узких стен-
стенках волновода cos(nxla) =±1, то в соответствии с (8.52) имеем
— 54.71 А/м.
Плотность потока мощности в волноводе. Как видно из формул
(8.52) или (8.53), поперечные проекции Еу и —Нх изменяются во
времени синфазно. Если теперь образовать комплексный вектор
Пойнтинга III из у-й составляющей вектора Е и х-й составляющей
вектора Н, то этот вектор окажется направленным вдоль оси z и
чисто действительным:
(-7-) ¦«•
(8-54)
Плотность потока мощности вдоль оси распространения будет мак-
максимальной в центре поперечного сечения волновода.
Если же образовать вектор Пойнтинга П2 из проекций Ёу и HZr
то этот вектор окажется направленным вдоль оси х и мнимым:
. (8.55)
Итак, мощность электромагнитного поля в волноводе с волной
типа Ню состоит из двух частей: активной мощности, переносимой
вдоль оси 2, и реактивной (колеблющейся) мощности, которая свя-
связана с образованием стоячих волн вдоль поперечной оси х.
Поляризационная структура поля. В гл. 3 мы познакомились
с поляризационными характеристиками плоских электромагнит-
электромагнитных волн в свободном пространстве. С таких же позиций можно
изучать поляризацию векторов поля волны типа Ню в прямоуголь-
прямоугольном металлическом волноводе, хотя ситуация здесь несколько
сложнее.

8.5. Волна типа Ню " 167
В соответствии с формулами (8.53) электрический вектор Ё=
— Ёу\у имеет единственную декартову проекцию и поэтому в лю-
любой точке поперечного сечения волновода поляризован линейно.
Магнитный вектор с комплексной амплитудой H — Hxix + Hzh име-
имеет в общем случае эллиптическую поляризацию, поскольку проек-
проекции Нх и Hz в соответствии с формулами (8.52) и (8.53) всегда
сдвинуты по фазе на я/2 радиан; при этом они по-разному зави-
зависят как от рабочей частоты со, так и от координаты х в попереч-
поперечной плоскости. В результате отношение осей поляризационного эл-
эллипса будет различным в разных точках.
Нетрудно заметить, что на отрезке О^х^а всегда найдутся
две такие точки х\ и х2, в которых вектор напряженности магнит-
магнитного поля будет поляризован по кругу с левым и правым направ-
направлением вращения соответственно. Координаты этих точек должны
удовлетворять уравнениям
или
(8 5?)
sin —- ) = — cos —- .
л \ а I \ а )
Решения этих уравнений очевидны:
(8.58)
Таким образом, точки Х\ и х2 располагаются симметрично от-
относительно центра широкой стенки волновода.
Пример 8.4. Волновод сечением 23X10 мм работает на волне
типа Ню. Найти координаты точек х\ и х2, в которых магнитное
поле поляризовано по кругу, если рабочая длина волны Х0 = 35 мм.
Находя последовательно параметры Хв = 53.94 мм, /г = 0.116 мм-1,
/ш = 2.679 и используя формулы (8.58), получаем jci = 6.33 мм, х2=
= 16.67 мм.
Вращающийся характер поляризации магнитного поля волны
типа Ню имеет существенное значение для практики, определяя
принцип работы некоторых волноводных СВЧ-устройств.

168
Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
Токи на стенках волновода с волной типа Ню. Чтобы найти
ллотность поверхностного электрического тока на идеально про-
проводящих стенках волновода, следует воспользоваться полученной
ранее формулой D.21). Поскольку картина распределения сило-
силовых линий вектора Н в волне рассматриваемого типа известна, по-
построение линий тока на стенках не представляет затруднений: эти
линии образуют семейство кривых, ортогональных семейству сило-
силовых линий напряженности маг-
магнитного поля (рис. 8.7). Под-
Подчеркнем еще раз, что здесь
изображена картина мгновен-
мгновенного распределения токов; во
времени она перемещается
вдоль оси волновода с фазо-
фазовой скоростью.
Наглядно можно предста-
представить себе, что поверхностный
ток, растекаясь, например, из
центральной области нижней
широкой стенки в радиальном
направлении, огибает затем
два нижних ребра и, пройдя
по узким стенкам, вновь соби-
Рис. 8.7. Распределение векторов плот-
плотности поверхностного электрического то-
тока на стенках прямоугольного волново-
волновода с волной типа Ню
рается в центральную область
верхней широкой стенки. Через половину длины волны в волново-
волноводе направления линий поверхностного тока меняются на обрат-
обратные.
Из представленного чертежа видно, что точки схождения и рас-
расхождения линий тока расположены как раз там, где напряжен-
напряженность электрического поля равна нулю. Этот факт имеет, следую-
следующее физическое объяснение. Известно (см. гл. 1), что линии пол-
полного тока, рассматриваемого как совокупность токов смещения и
проводимости, всегда должны быть замкнутыми. В данном случае
токи проводимости на стенках волновода замыкаются токами сме-
смещения, которые существуют внутри волновода, будучи ориенти-
ориентированы вдоль оси у. Плотность тока смещения связана с напря-
напряженностью электрического поля известным соотношением JCM =
= zodE/dt. Поскольку в бегущей волне вектор напряженности элек-
электрического поля
Е(х, у, z, t) = E(x9 у) cos (at — hz),
получаем
sin (со/ —

8.5. Волна типа Ню
169
Таким образом, ток смещения максимален не там, где напря-
напряженность электрического поля достигает максимума, а в точках,
отстоящих на четверть пространственного периода, т. е. на Лв/4.
Излучающие и неизлучающие щели. Зная распределение по-
поверхностных токов на стенках волновода с волной типа Ню, мож-
можно на качественном уровне решить практически важную задачу о
связи волновода с окружаю-
окружающим пространством через
щели, прорезанные в его
стенках.
В волноводной технике
щелью называют прямо-
прямоугольное отверстие, длина
которого значительно пре-
превосходит ширину. Предпо-
Предположим, что в узкой стенке
волновода прорезаны две
щели, одна из которых ори-
ориентирована в продольном, а Рис. 8.8. Излучающая (/) и неизлучающая
Другая — в поперечном на- B) щели на стенках прямоугольного вол-
правлении (рис. 8.8). Пер- повода с волной типа Ню
вая щель перерезает линии
поверхностного тока под углом 90°. Ток, притекающий к нижней
кромке такой щели, вызовет избыток положительных зарядов
(имеется в виду техническое направление тока). Очевидно, что
на верхней кромке будет наведен равный по абсолютной величи-
величине отрицательный заряд. Заряды на кромках щели будут изме-
изменяться во времени в такт с колебаниями возбуждающего генера-
генератора, и подобная щель будет служить излучателем электромаг-
электромагнитных волн (с количественных позиций этот вопрос подробно
рассмотрен в гл. 13).
Совсем по-иному ведет себя щель, прорезанная параллельно
линиям поверхностного тока. Из-за узости щели наведенный заряд
будет сравнительно мал, так что излучение из такой щели ока-
оказывается незначительным.
Итак, можно сформулировать принцип: щель в стенке волно-
волновода эффективно излучает электромагнитную энергию в том слу-
случае, если она перерезает линии поверхностного тока.
Излучающие щели широко применяют при создании так назы-
называемых щелевых антенн в диапазоне сантиметровых волн.
В ряде случаев требуются неизлучающие щели, позволяющие
вводить внутрь волновода различные устройства, не искажая струк-
структуру поля. В качестве примера на рис. 8.9 показана щелевая из-
измерительная линия — один из самых распространенных измери-
измерительных приборов в СВЧ-диапазоне. Здесь имеется так называе-

170 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
мый зонд, который представляет собой миниатюрную антенну, со-
соединенную с высокочастотным детектором. Зонд перемещается
вдоль узкой щели, прорезанной точно посередине широкой стенки
прямоугольного волновода с волной типа Ню- При таком разме-
размещении щели излучение из нее практически отсутствует. Измеряя
ток детектора в различных точках оси волновода, можно экспери-
экспериментально изучать картины стоячих волн и находить входные со-
сопротивления, а также другие
параметры нагрузок, подклю-
подключаемых к волноводу [3].
j^ 7 ^
8.6. Характеристическое
сопротивление волновода
По физическому смыслу ха-
характеристическое сопротивле-
сопротивление линии передачи — это от-
Рис. 8.9. Эскиз конструкции волновод- ношение некоторой электриче-
ной измерительной линии: ской характеристики волнового
1 — волновод с волной типа Hi0; 2 — про- ттПпттргтя к иъисли-пи^лсл мягипт
дольная щель; 3 - зонд; 4 - полупровод Процесса К КаКОИ ЛИОО МаГНИТ-
никовый диод: 5 — измерительный прибор ной характеристике. Так, в
теории радиотехнических це-
цепей с распределенными параметрами [3] принято вводить волно-
волновое сопротивление линии
(8.59)
где О и / — комплексные амплитуды напряжения и тока в бегу-
бегущей волне.
Ранее в гл. 3 было введено характеристическое сопротивление
среды для однородной плоской электромагнитной волны
В теории волноводов также целесообразно воспользоваться поня-
понятием характеристического сопротивления, определив его как отно-
отношение модулей поперечных составляющих векторов Ё и Н:
у ЕХЕХ -\-ЕиЕи
Zr = У У . (8.60)
1 X1 1 X
В дальнейшем рассмотрим волны Е- и Н-типов по отдельности.
Волны типа Emn. Здесь на основании формул перехода
(8.27) имеют место следующие соотношения пропорциональности:
Ех= Ну, Ёу = Нх.
х.

8.6. Характеристическое сопротивление волновода 171
Подставив эти равенства в выражение (8.60), приходим к просто-
простому результату:
ZcE = h/(*e0). (8.61)
Данную формулу полезно несколько преобразовать, воспользо-
воспользовавшись тем, что
Учитывая это, получим окончательно
\ (8.62)
где Z0 = 377 Ом — характеристическое сопротивление вакуума.
Следует обратить внимание на то, что характеристическое со-
сопротивление прямоугольного волно-
волновода, работающего на волнах Е-ти-
па, зависит от рабочей длины вол-
волны, обращаясь в нуль при Ло=ЯКр
и стремясь к величине Zo, когда
Волны типа Нтп. Здесь все
выкладки полностью аналогичны рис 8Ш Волноводный излу.
тем, которые только что проведены чатель и его эквивалентная
для волн типа Етп. Поэтому приве- схема
дем окончательный результат:
Zcli = , Z° =-. (8.63)
Понятие характеристического сопротивления оказывается по-
полезным при расчетах СВЧ-устройств. Так, удается с точностью 10—
15% оценить коэффициент отражения от открытого конца волно-
волновода, излучающего в свободное пространство. Эскиз такого вол-
новодного излучателя приведен на рис. 8Л0; здесь же изображена
приближенная эквивалентная схема данного устройства, состоя-
состоящая из полубесконечной линии передачи с волновым сопротивлени-
сопротивлением Zen и двухполюсника нагрузки с сопротивлением Zo. Как из-
известно [3], при этом коэффициент отражения по напряжению
р= ^-^н_а ^ (864)
Zq + Zc н
Подчеркнем, что данный результат является приближенным, при
его выводе никак не учитывалось бесконечное множество нераспро-
страняющихся волноводных волн высших типов, возникающих в
непосредственной близости от открытого конца волновода.

172 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
Пример 8.5. Найти коэффициент отражения р от открытого кон-
конца и коэффициент стоячей волны (КСВ), имеющие место в волно-
волноводе сечением 72X34 мм, который работает на длине волны Ло=
= 120 мм (fo = 2.5 ГГц). Используется волна типа Ню.
На основании формулы (8.63) характеристическое сопротивле-
сопротивление волновода
- A20/144J= 1.809Z0.
Тогда коэффициент отражения от открытого конца
р=A —1.809)/A +1.809) = —0.288.
Коэффициент стоячей волны
'| р|) = 1.89.
Проведенный здесь ориентировочный расчет убеждает в том,
что коэффициент отражения от открытого конца волновода срав-
сравнительно невелик, поэтому такой элемент может оказаться доста-
достаточно эффективной антенной в СВЧ-диапазоне.
8.7. Основы применения прямоугольных волноводов
Полые металлические волноводы используют в диапазоне рабо-
рабочих длин волн приблизительно от 50 см до 1 мм. Если говорить
о радиочастотных линиях передачи — наиболее типичной области
применения волноводов, то на волнах дециметрового диапазона
волноводы используются лишь в мощных устройствах, а начиная с
длины волны приблизительно 6 см — повсеместно. Широкое приме-
применение полых металлических волноводов обусловлено рядом их до-
достоинств — высокой технологичностью волноводных конструкций,
достаточно малыми потерями, отличной защищенностью от внешних
помех, способностью передавать огромные импульсные мощности.
Чаще всего волноводные тракты строят на основе прямоуголь-
прямоугольных металлических волноводов, по которым распространя-
распространяются волны низшего типа Ню. Причины этого состоят в следую-
следующем: 1) поперечные габариты волновода оказываются минималь-
минимальными; 2) структура поля волны низшего типа устойчива по отно-
отношению к введению внутрь волновода каких-либо неоднородностей.
Первая из перечисленных здесь причин не требует пояснений,
в то время как на второй следует остановиться особо. Реальный
волноводныи тракт не может представлять собой регулярный вол-
волновод. В практических конструкциях всегда имеются оконечные
устройства, изгибы оси, регулировочные элементы и т. д. Жела-

8.7. Основы применения прямоугольных волноводов 173
тельно, чтобы \все эти неоднородности по возможности меньше ска-
сказывались на качестве работы волноводного тракта во всем ра-
рабочем диапазоне частот. В качестве примера рассмотрим прямо-
прямоугольный волновод с волной типа Ню, часть сечения которого пе-
перекрыта металлической диафрагмой, обеспечивающей согласова-
согласование линии передачи с оконечной нагрузкой (рис. 8.11). Из рисун-
рисунка видно, что одни лишь падающие и отраженные волны основ-
основного типа не могут удовлетворить граничным условиям на поверх-
поверхности диафрагмы. Поэтому в
волноводе возникает бесконеч- генератора к нагрузке
ная в общем случае последо- г г
вательность Е- и Н-волн выс-
высших типов. Амплитуды и на-
начальные фазы этих волн уста-
устанавливаются такими, чтобы
ВЫПОЛНЯЛИСЬ граничные уело- Рис. 8Л1. Картина силовых линий элект-
ВИЯ в ПЛОСКОСТИ диафрагмы. рического поля вблизи диафрагмы, по-
Могут представиться два мещенной внутрь волновода
случая.
1) Поперечное сечение волновода достаточно велико, так что
некоторые волны высших типов оказываются распространяющи-
распространяющимися. Подобный волновод принято называть многоволновым. Элек-
Электромагнитное поле справа от диафрагмы (рис. 8.11) будет являть-
являться суммой волн высших типов и прошедшей части основной вол-
волны типа Ню. Естественно, что это суммарное поле может весьма
существенно отличаться от исходного поля падающей волны.
2) Поперечные размеры волновода выбраны таким образом,
что все типы волн, кроме основного, являются нераспространя-
ющимися. Такой волновод называют одноволновым. Ясно, что
здесь энергия волн высших типов будет сконцентрирована лишь в
непосредственной близости от диафрагмы. Уже на расстояниях по-
порядка одной длины волны справа и слева от препятствия структу-
структура поля окажется практически такой же, как и в падающей волне.
В подавляющем большинстве случаев на практике используют
прямоугольные волноводы, работающие в одноволновом режиме.
Одной из причин этого является необходимость обеспечения эф-
эффективной работы оконечных устройств, которые служат для свя-
связи волновода с внешними цепями. В качестве примера рассмотрим
эскиз часто применяемого оконечного устройства — волноводно-
коаксиального перехода, который служит для сочленения прямо-
прямоугольного волновода с коаксиальным кабелем (рис. 8.12). Здесь
внутренний проводник коаксиального кабеля вводится внутрь вол-
волновода через отверстие в широкой стенке, образуя штыревую ан-
антенну. Расстояние между штырем и короткозамыкающей торцевой
стенкой выбирают близким к Яв/4. Эпюры распределения напря-

174
Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
женности электрического поля (даны внизу на рис. 8.12) показы-
показывают, что штырь оказывается вблизи пучностей стоячих волн по
обеим осям. Именно это обеспечивает эффективную связь между
кабелем и волноводом.
а х
Рис. 8.12. Волноводно-коаксиальный переход
Если допустить, что по волноводу наряду с основной волной
распространяется одна из волн высших типов, например Н2о, то
мощность, переносимая волной высшего типа, не будет поступать
в коаксиальный кабель, поскольку штырь волноводно-коаксиаль-
ього перехода окажется в минимуме электри-
электрического поля для волны типа Н2о (рис. 8.13).
Другим явлением, наблюдаемым в много-
многоволновом волноводе, является интерференция
волн различных типов, которые распространя-
распространяются по волноводу с различными фазовыми
скоростями. Так, если на входе волновода при
2 = 0 две волны различных типов, условно
Рис. 8.13. Распре- обозначаемые номерами 1 и 2, синфазны, то
деление электри- при z>0 суммарное поле имеет комплексную
ческого поля в амплитуду
волноводно - ко-
коаксиальном пере-
переходе с волной ти-
типа Н2о
динатой
Еъ (г) = f^e-^i* + ?2е~/м- (8.65)
Отсюда следует, что в точке на оси z с коор-
(8.66)
поля рассматриваемых двух волн будут противофазны; как следст-
следствие, амплитуда суммарного поля существенно уменьшится. Явле-

8.7. Основы применения прямоугольных волноводов
175
ние интерференции усугубляется еще и тем, что фазовые скоро-
скорости волн различных типов по-разному зависят от частоты. Из-за
этого амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) устройства, вы-
выполненного на базе многоволнового волновода, может оказаться
весьма нерегулярной (рис. 8.14).
О)
Рис. 8.14. Амплитудно-частотные
характеристики четырехполюсни-
четырехполюсника, образованного отрезком вол-
волновода:
/ — одноволновый волновод; 2 — мно-
говолновый волновод
2а
W
га л0
Рис. 8.15. Диаграмма типов волн
в прямоугольном металлическом
волноводе при Ь/а=\/2
Диаграмма типов волн в прямоугольном волноводе. Выбирая
геометрические размеры сечения волновода, исходят из того, что
для волн как Е-, так и Н-типов критическая длина волны опреде-
определяется одной и той же формулой
причем А,кр тем меньше, чем больше индексы волны тип.
Рассмотрим совокупность типов волн с наибольшими значения-
значениями Якр. Непосредственные вычисления дают
Будем полагать, что 6 = а/2; такое соотношение примерно соот-
соответствует волноводам, применяемым на практике. Тогда
^крНю = 2а, ХкрНо1 = а,
На основе этих вычислений построим так называемую диаг-
диаграмму типов волн прямоугольного волновода, изображенную на
рис. 8.15. Принцип построения такой диаграммы весьма прост:
на горизонтальной оси, вдоль которой откладывают длины волн
генератора, вертикальными штрихами обозначают значения Якр в
порядке убывания. Можно выделить три характерные области:

176
Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
• Область отсечки (Х0>2а), в пределах которой распространяю-
распространяющихся типов волн не существует вообще.
Ф Область од но во лно во ста (а^Яо^2а), в пределах которой мо-
может распространяться лишь волна основного типа Ню.
Ф Область многоволновости (^о<^), в которой помимо волны ос-
основного типа по волноводу могут распространяться волны высших
типов. Например, если рабочая длина волны лежит в интервале от
а до 2а/]/5, то в волноводе могут одновременно распространяться
волны типа Ню, Н20 и НОь Если длина волны становится меньше,
чем 2ajyr5, то к ним добавляются волны типа Еи, Ни и т. д. Ра-
^ зумеется, в области многовол-
I |?| i?| ^**~ | новости существует бесконеч-
I /^"^Х \ шяя ное множество волн высших
I/ . \ ^^^ 1 типов, не обозначенных на рис.
К 1 J ' ^' 8.15.
Подчеркнем важное обстоя-
обстоятельство — сам факт много-
многоволновости какого-либо волно-
волновода на выбранной рабочей
б)
Рис. 8.16. Возможность селективно-
селективного возбуждения различных типов
волн в прямоугольном волноводе:
а — возбуждение волны типа Н[0; б —
возбуждение волны типа Hoi
частоте еще не означает авто-
автоматически, что все эти типы
волн действительно существу-
существуют. Можно так возбудить волновод, что будет существовать толь-
только один, причем не обязательно низший, тип волны. Пусть, на-
например, Хо<Са, так что по волноводу могут распространяться вол-
волны типа Ню и Hoi. На рис. 8.16 показаны два способа возбужде-
возбуждения волновода при помощи штыревой антенны. При первом спо-
способе штырь параллелен вектору Е волны Ню и перпендикулярен
вектору Е волны НОь В соответствии с принципом, речь о котором
шла ранее, при таком возбудителе в рассматриваемом многовол-
многоволновом волноводе возникнет лишь волна типа Ню, в то время как
амплитуда волны типа HOi будет равна нулю. При втором спосо-
способе возбуждения ситуация диаметрально противоположна — воз-
возбуждена будет лишь волна типа НОь
Несмотря на принципиальную возможность селективного воз-
возбуждения волны низшего типа в многоволновом волноводе, прак-
практическое использование таких линий передачи затрудняется из-за
неизбежного возникновения волн высших типов в нерегулярных
участках волноводного тракта.
Стандартные сечения волноводов. Прямоугольный металличе-
металлический волновод с отношением сторон 2 : 1 может обеспечить одно-
волновый режим работы в интервале длин волн от Xomin=a до
Яотах = 2а. Однако на практике весь этот интервал никогда не ис-
используют по двум причинам. Во-первых, приближать длину волны

8.7. Основы применения прямоугольных волноводов 177
генератора к значению Хо = а нежелательно из-за возможности слу-
случайной перестройки генератора в область многоволновости. Во-
зторых, как будет показано в гл. 11, в окрестности критической
длины для основного типа волны, т. е. при Х0ж2а, резко возрас-
возрастают омические потери в стенках волновода.
На практике рекомендуется следующее использование допус-
допустимой полосы длин волн:
*отЗп=1-О5а; Х0тах=1.6а. (8.67)
Для всех участков СВЧ-диапазона промышленно выпускаются
прямоугольные волноводы стандартных сечений. Некоторые часто
используемые сечения приведены в нижеследующей таблице.
Таблица 8.1. Стандартные сечения волноводов
3.6
7.2
23
72
1.8
3.4
10
34
Диапазон длин волн Сечение
волновода
а, мм 6, мм
4 ММ
8 ММ
3 см
10 см
Мощность, переносимая по прямоугольному волноводу волной
типа Ню. Усредненная за период колебаний мощность, переноси-
переносимая вдоль оси z волной любого типа, определяется как интеграл
от продольной проекции действительной частц комплексного век-
вектора Пойнтинга, вычисленный по поперечному сечению волновода:
п Ъ
Рср = j dx f Пср, (х, у) dy. (8.68)
о 6
Пространственная зависимость функции ПСР2 для волны типа
Ню задается формулой (8.54). Однако здесь удобнее выразить
данную величину через максимальное значение напряженности
электрического поля в центре волновода и записать
Е1
тт max
Интегрируя эту функцию с учетом того, что
а
\ sin2 (лх/а) dx=a/2y
5
получаем
ср
480л
(8JO)

178 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
Пример 8,6. Средняя мощность, переносимая волной типа Ню
по стандартному прямоугольному волноводу сечением 23X10 мм
на рабочей длине волны 3.2 см, равна 40 кВт. Найти величину Еш
E.75) — амплитуду напряженности электрического поля, которое
существует в точках поперечного сечения волновода с координа-
координатой х = 5.75 мм, т. е. на расстоянии четверти ширины волновода
от узкой стенки.
По формуле (8.70) находим амплитуду электрического векто-
вектора в центре волновода:
1
480яРср
1/2
-[-.-
480-3.14-4-104 у„ 604105
0.023-0.01 У \ —C2/46J
Тогда
7.\0s В/м.
Электрическая прочность волновода. Равенство (8.70) дает воз-
возможность ответить на существенный для практики вопрос о пре-
предельно допустимой мощности, передаваемой по прямоугольному
волноводу. Дело в том, что наибольшая амплитуда ?тах не долж-
должна превосходить некоторого вполне определенного уровня, выше
которого наступает электрический пробой среды, заполняющей вол-
волновод. Так, для сухого атмосферного воздуха при нормальном дав-
давлении принято считать, что ?тах прб = 30 кВ/см. Следует иметь в ви-
виду, что эта цифра характеризует пробивной градиент электриче-
электрического потенциала применительно к постоянному или достаточно
медленно меняющемуся напряжению. Электрический пробой в га-
газе на высоких частотах является весьма сложным физическим
процессом, протекание которого существенно зависит от инерцион-
инерционности носителей заряда. Поэтому приводимые здесь результаты
могут рассматриваться не более как приближенные оценки.
Выделим в формуле (8.70) сомножитель
(8J1>
характеризующий удельную мощность, переносимую через пло-
площадку единичной площади. Если положить, что на центральной
частоте рабочего диапазона волновода Яо/Bа)=О.7, и подставить

8.7. Основы применения прямоугольных волноводов 179
в выражение (8.71) предельно допустимую напряженность элек-
электрического поля, то для волны типа Ню получим
Руд ДОП=420 кВт/см2.
При проектировании волноводных трактов с высоким уровнем мощ-
мощности из-за возможности отражений обычно вводят трехкратный
запас, снижая указанный уровень до 150 кВт/см2.
Отметим, что столь высокие значения предельно допустимой
плотности потока мощности относятся исключительно к импульс-
импульсному режиму работы устройств, характерному, например, для ра-
радиолокации или систем многоканальной широкополосной связи.
В непрерывном режиме лимитирующим фактором выступает теп-
тепловой пробой волновода из-за неидеальности контактов в местах
сочленения отдельных секций.
Для повышения электрической прочности волноводы гермети-
герметизируют и заполняют сухим воздухом под давлением 0.3—0.5 МПа.
Передача импульсных колебаний. В современных радиотехни-
радиотехнических системах возникает потребность передавать по волноводам
весьма короткие радиоимпульсы, длительность которых может со-
составлять единицы и даже доли наносекунды. Требуется теорети-
теоретически оценить искажения таких импульсов из-за дисперсионных
свойств волновода.
В принципе данную задачу можно успешно решить спектраль-
спектральным методом (см. гл. 5), поскольку для отрезка волноводной ли-
линии длиной / известен частотный коэффициент передачи
/С (уш) = ехр [—уА (со) /J, (8.72)
позволяющий связать сигналы на входе sBX@ и на выходе sBbIX(t)
при помощи интеграла Фурье
Здесь Sbx(co)—спектральная плотность входного сигнала; функ-
функциям sBX@ и 5вых(/) могут отвечать любые проекции векторов Е
или Н.
Точный расчет сигнала на выходе волноводной линии передачи,
как правило, затруднителен из-за сложности вычисления интегра-
интеграла. Однако можно получить достаточно простые и надежные оцен-
оценки степени искажения сигналов, воспользовавшись понятием груп-
групповой скорости.
При этом следует иметь в виду, что в соответствии с формулой
(8.35) групповая скорость волн в волноводе зависит от частоты.
Частотная дисперсия групповой скорости может приводить к тому,
что для изучения распространения радиоимпульса с весьма широ-

180
Глава 8. Прямоугольный металлический волновод
ким спектром приходится выделять отдельные узкополосные груп-
группы, каждая из которых распространяется со своей собственной
групповой скоростью. В определенных случаях интерференция та-
таких групп на выходе может существенно искажать импульсные
колебания.
Приведем решение конкретной задачи, иллюстрирующее вы-
высказанные здесь положения. Пусть линия передачи длиной /= .
= 10 м представляет собой прямоугольный волновод сечением 23Х
ХЮ мм с воздушным заполне-
заполнением. По линии передачи рас-
распространяется радиоимпульс с
огибающей прямоугольной фор-
формы, имеющий следующие пара-
параметры; несущая частота /0 = Ю
ГГц (А,о=3 см), длительность им-
лульса ти=1 нс=10~9 с. Требу-
Требуется на качественном уровне про-
проанализировать, существенны ли
искажения импульса на выходе
линии, обусловленных частотной
дисперсией групповой скорости.
Как показано в курсе теоретической радиотехники [2], модуль
спектральной плотности входного импульса будет иметь вид, пред-
представленный на рис. 8.17. При этом основная доля энергии сигнала
заключена в пределах центрального лепестка спектральной диаг-
диаграммы, т. е. между частотами
СО и (*Уп &Jr ^
Рис. 8.17. Частотная зависимость
модуля спектральной плотности
прямоугольного радиоимпульса
а>н=а>0 — 2я/ти=5.65.1010 с-1.
Легко проверить, что по данному волноводу в пределах най-
найденного частотного интервала может распространяться лишь волна
низшего типа Ню, для которой Якр = 46 мм, о)Кр=4.1 • 1010 с1.
Формулу для расчета групповой скорости можно записать в
виде, эквивалентном (8.35):
Таким образом, низкочастотная часть спектра импульса образует
группу, распространяющуюся со скоростью
«rp.H=<?"|/l-D.1/5.65J=0.688 с.
Аналогичным образом находим групповую скорость для высоко-
высокочастотной части спектра:
vrpJt=cVi-D.1/6.91J=0.805 с.

Задачи 181
Можно убедиться, что при заданной длине волноводного тракта
низкочастотная группа волн «отстанет» от высокочастотной на от-
отрезок времени длительностью Д^ = 7.04-10~9 с. Импульс на выходе,
несомненно, будет существенно искажен по сравнению с входным
колебанием, поскольку найденная величина запаздывания значи-
значительно превышает длительность передаваемого импульса.
При больших длинах волноводного тракта явление «расплыва-
ния» радиоимпульса может послужить серьезным препятствием к
реализации импульсных систем. Естественный путь, позволяющий
избежать этого, заключен в переходе к линиям передачи с Т-вол-
нами, в которых дисперсионные эффекты выражены слабо (см.
гл. 10).
ЗАДАЧИ
8.1. Решите задачу о волнах типа Е в прямоугольном метал-
металлическом волноводе, заполненном магнитодиэлектриком без по-
потерь и имеющем электродинамические параметры еа и |ха, отлич-
отличные от аналогичных параметров вакуума. Найдите, во сколько раз
сократятся критические длины волн различных типов под влия-
влиянием материала заполнения.
8.2. Определите критическую длину волны, критическую часто-
частоту и длину волны в прямоугольном волноводе, работающем на
волне типа Еп. Волновод имеет сечение 4X3 см и заполнен возду-
воздухом; частота колебаний 10 ГГц.
8.3. Какую максимальную мощность можно передать по прямо-
прямоугольному волноводу сечением 23X10 мм, работающему на часто-
частоте 11 ГГц? Волновод заполнен сухим воздухом при нормальном
атмосферном давлении, предельно допустимое значение напряжен-
напряженности электрического поля составляет 30 кВ/см. Предусмотрите
двукратный запас по электрической прочности.
8.4. Определите, какие типы волн могут распространяться в
прямоугольном волноводе сечением 10x5 см, если частота коле-
колебаний /=5 ГГц. Волновод имеет воздушное заполнение. /
8.5. Вычислите размеры поперечного сечения квадратного волно-
волновода с воздушным заполнением, если известно, что фазовая ско-
скорость волны типа Еп равна 6-Ю8 м/с. Частота передаваемых ко-
колебаний 5 ГГц. •
8.6. Вдоль прямоугольного волновода сечением 50X25 мм, рабо-
работающего на волне типа Ню, передается средняя^мощность 10 кВт.
Частота колебаний 5.5 ГГц. Определите амплитуду вектора напря-
напряженности электрического поля на оси волновода, а также макси-
максимальное значение поверхностной плотности тока на стенках.
8.7. Амплитуда продольной проекции вектора напряженности
электрического поля на оси прямоугольного волновода сечением

182 Глава 9. Круглый металлический волновод
50X25 мм составляет 105 В/м. Частота поля 7.5 ГГц. Диэлектрик —
воздух, тип волны — Ец. Вычислите максимальные значения амп-
амплитуд плотности поверхностного тока на стенках и плотности то-
тока смещения во внутренней области.
8.8. Размеры стенок прямоугольного металлического волновода
удовлетворяют системе неравенств а^>Я, Ь^>1, согласно чему по
данному волноводу одновременно могут распространяться волны
всевозможных типов. Докажите, что число распространяющихся
типов волн можно вычислить по асимптотической формуле N^
Глава девятая
КРУГЛЫЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД
Данная глава посвящена решению уравнений Максвелла, кото-
которые описывают волны электрического и магнитного типов в бес-
бесконечно протяженном металлическом волноводе с круговой фор-
формулой поперечного сечения. Обсуждаются некоторые технические
применения круглых металлических волноводов.
9.1. Постановка задачи
Круглый металлический волновод представляет собой трубу с
внутренним радиусом а (рис. 9.1). Исходные предпосылки оста-
остаются теми же, что и при исследовании прямоугольного металли-
металлического волновода. Так, считается, что проводимость стенок вол-
волновода бесконечно велика, волновод неограниченно протяжен и
однороден вдоль оси г, а внутренней средой является воздух или
вакуум. Требуется проанализировать всю совокупность волн Е- и
Н-типов в подобной системе.
Некоторое качественное представление о структуре электро-
электромагнитного поля в круглом волноводе можно получить, воспользо-
воспользовавшись результатами, которые получены в гл. 8 применительно к
волноводу с прямоугольной формой сечения. Например, структу-
структура поля волны типа Ню в прямоугольном волноводе известна
(рис. 9.2, а). Контур сечения волновода можно преобразовать из
прямоугольного в круглый путем последовательных деформаций.
На рис. 9.2, б изображен один из первоначальных этапов такого
преобразования. Картину поля в волноводе следует строить исхо-
исходя из того, что силовые линии электрического вектора всегда под-
подходят к металлическим стенкам по направлению нормали. В ко-
конечном итоге получаем картину одного из типов волн в круглом
волноводе, изображенную на рис. 9.2, в. Есть основание полагать,

9.1. Постановка задачи
183
что эта картина соответствует основной волне круглого волновода.
В дальнейшем этот факт будет строго доказан.
Несмотря на кажущуюся простоту, метод, основанный на не-
непрерывной деформации контура поперечного сечения волновода,
имеет малую практическую ценность, так как не позволяет нахо-
находить числовые характеристики процессов в круглом волноводе. По-
Поэтому нам потребуются строгие матема-
тические методы решения электродина-
электродинамических задач о полях в круглых вол-
волноводах.
Уравнения Максвелла в цилиндриче-
цилиндрических координатах. Легко видеть, что
стенка круглого волновода совпадает с
координатной поверхностью г = а ци-
цилиндрической системы координат (г, ф, г). Поэтому данная систе-
система очень удобна для решения поставленных задач.
Е Е
Рис. 9.1. Круглый металли-
металлический волновод
J
i 1
, 1
[ J
а) 6) в)
Рис. 9.2. Последовательные этапы деформации пря-
прямоугольного волновода
Первые два уравнения Максвелла
rot Н=/о)е0Ё,
(9.1)
в цилиндрической системе координат принимают следующий вид
(см. Приложение А):
дН<р
dz
дНг dHz
dz
дг
1 д , гт ч 1
— (гИ,)
г дг г
(9.2)
dz

184 Глава 9. Круглый, металлический волновод
дЁГ dEz . /.
г дг г аср
Направляемые волны в цилиндрических координатах. Среди
всевозможных решений системы уравнений (9.2) особо рассмотрим
направляемые волны, распространяющиеся вдоль оси z. Комплекс-
Комплексные амплитуды векторов напряженности электрического и маг-
магнитного полей направляемых волн запишем в виде
(У .о)
Н(г, ср, г) = Н(г, cp)e~^z.
Характерный вид зависимостей (9.3) позволяет, как это уже было
сделано в гл. 7, выразить поперечные проекции векторов Ё и Н че-
через частные производные от продольных проекций Ez и Нг по ко-
координатам г и ф. В результате получаем следующие формулы
перехода:
дг )
(9.4)
Г
Из этих формул непосредственно вытекает возможность сущест-
существования в круглом металлическом волноводе волн Е- и Н-типов.
Чтобы исследовать эти волны, необходимо решить уравнения
Гельмгольца относительно продольных проекций Ez и Hz\
(9.5)
Воспользуемся выражением оператора Лапласа в цилиндричес-
цилиндрической системе координат и перепишем уравнения (9.5) в развернутой
форме:
>?* , 1 dEz . \_
дг* 'г дг * г2 а«2 d-г*
(9.6)
дН2 1_ dW dW
дг ' г2

9.2. Волны типа Е в круглом волноводе 1,85
Специфический вид зависимостей комплексных амплитуд Ё и
Н от продольной координаты z, устанавливаемый формулами (9.3),
дает возможность избавиться от частных производных по г, введя
поперечное волновое число g=ifi2 — Л2. В результате приходим к
поперечным уравнениям Гельмгольца в цилиндрической системе
координат
дГ2 i Г дг + Г2 д? +^^2-^
дг* г дг Г г2 д^
Разумеется, для получения физически содержательного решения
каждое из этих уравнений следует дополнить соответствующими
граничными условиями на стенке волновода.
9.2. Волны типа Е в круглом волноводе
Задача о волнах электрического типа в круглом металлическом
волноводе сводится к решению поперечного уравнения Гельм-
Гельмгольца
при граничных условиях, согласно которым касательная состав-
составляющая электрического вектора на стенке волновода обращается
в нуль. Очевидно, что из трех возможных проекций комплексной
амплитуды Ё, а именно Ёг, ?Ф и Ёг, касательным составляющим к
стенкам могут отвечать лишь проекции Ё2 и ?ф. Поэтому необходи-
необходимо потребовать, чтобы
Ег=0 при г = а, (9.9)
?^ = 0 при г = а. (9.10)
Из формул перехода (9.4) с очевидностью следует, что эти два
условия не являются независимыми. Действительно, проекция ?ф,
пропорциональная в случае волн Е-типа частной производной
dEz/ду, обращается в нуль, если проекция Ё2 постоянна на конту-
контуре поперечного сечения волновода. Таким образом, достаточно,
чтобы на идеально проводящей стенке волновода выполнялось гра-
граничное условие (9.9). Вместе с уравнением Гельмгольца (9.8) оно
образует требуемую краевую задачу.
Метод разделения переменных в цилиндрических координатах.
Будем решать задачу (9.8) — (9.9) методом разделения перемен-
переменных, который уже использовался ранее при изучении электромаг-

186 * Глава 9. Круглый металлический волновод
нитных колебаний в прямоугольном волноводе. Положим, что ис-
искомое решение Е2 есть произведение двух функций:
Ег(П ?)=/?(г)Ф0р), v (9.11)
одна из которых зависит только от г, а другая — только от ср. Под-
Подставив выражение (9.11) в уравнение (9.8), приходим к равенству,
не содержащему частных производных по поперечным координа-
координатам:
0. (9.12)
Теперь преобразуем уравнение (9.12) таким образом, чтобы в ле-
левой части располагались функции только от г, а в правой —толь-
—только от ф. Для этого разделим левую и правую части на произведе-
произведение ЯФ, предполагая заранее, что это произведение не обращается
в нуль тождественно (нулевое решение было бы, конечно, физиче-
физически бессодержательным):
r*R''/R+rR'IR+g2r*=-<!>"№. (9.13)
Чтобы уравнение (9.13) удовлетворялось при всех значениях г
и ф, левая и правая части должны быть некоторым постоянным
числом, например
-ф"/Ф=лЛ (9.14)
Равенство (9.14) является дифференциальным уравнением вто-
второго порядка с постоянными коэффициентами. Решениями такого
уравнения служат функции
(?), (9.15)
cos
а также их любая линейная комбинация (Со — произвольный по-
постоянный коэффициент). Из-за симметрии волновода по угловой
координате ф выбор функции не имеет принципиального значения;
для конкретности будем считать, что
Ф(<р)=:С0СО8/Я<р. (9.16)
Чтобы выполнялось физически очевидное требование периодич-
периодичности решения по углу <р с периодом 2я, параметр пг должен быть
положительным целым числом или нулем. Число m является од-
одним из индексов волны Е-типа в круглом волноводе.
Рассмотрим теперь левую часть уравнения (9.13) и постараем-
постараемся вывести дифференциальное уравнение, описывающее распреде-
распределение поля вдоль радиальной координаты г. Из (9.13) и (9.14)
имеем
?C)-0- (917)

9.2. Волны типа Е в круглом волноводе 187
Целесообразно несколько преобразовать уравнение (9.17), введя
безразмерную независимую переменную
x = gr. (9.18)
Тогда вместо (9.17) получаем уравнение
Данное дифференциальное уравнение второго порядка с пере-
переменными коэффициентами хорошо изучено в математике и носит
название уравнения Бесселя.
Цилиндрические функции. Так принято называть частные ре-
решения уравнения (9.19). К ним относятся:
Jm(x)—функция Бесселя или цилиндрическая функция перво-
первого рода га-го порядка;
Nm(x)—функция Неймана или цилиндрическая функция вто-
второго рода m-го порядка.
Аналитически функции Бесселя и Неймана выражаются посред-
посредством бесконечных сходящихся рядов достаточно сложной струк-
структуры. Так, если m — целое положительное число или нуль, то
-f, ¦ (9.20)
2 / V '
т)\ \ 2 J
1 / Х\т ^ (~\)k ( X V
— > i —
я \ 2 / ы k\(k -\-т)\ \ 2 /
где С=0.5772... — постоянная Эйлера.
Функции Бесселя и Неймана линейно независимы, поэтому об-
общее решение уравнения (9.19) имеет вид
R {x)=AxJm (х) +A2Nm (xl (9.22)
где Аи А2 — некоторые произвольные коэффициенты.
В цилиндрической системе координат функции Бесселя и Ней-
Неймана играют такую же роль, как синусоидальная и косинусоидаль-
ная функции в прямоугольной декартовой системе. Взглянув на
графики (рис. 9.3), можно заметить, что эти функции отчасти схо-
схожи с гармоническими, однако имеются и существенные отличия:
• цилиндрические функции в отличие от гармонических не явля-
являются периодическими;
• «амплитуда» цилиндрических функций не постоянна, а умень-
уменьшается с ростом аргумента;

188
Глава 9. Круглый металлический волновод
Ф при малых значениях аргумента функции Неймана неограни-
неограниченно велики: lim Nm(x) =—оо.
В силу последнего свойства при решении задач об электро-
электромагнитных полях в круглых волноводах коэффициент при функции
Неймана в формуле (9.22) дол-
должен быть равен нулю, поскольку
бесконечно большие амплитуды
полей на оси волновода (при г=
=0) физически нереальны.
В задачах, интересных с точ-
точки зрения радиотехнической
практики, чаще всего приходится
Рис. 9.3. Типичные графики цилинд- иметь Дело с простейшими^ ЦИ-
рических функций
линдрическими функциями Jo(x)
и J\(x). В математике доказано,
что между ними имеется соотношение
^(х) = -<ио(х)/йх, (9.23)
которое вытекает из общей формулы дифференцирования цилинд-
цилиндрических функций
(9.24)
справедливой при любых т.
Соответствующие графики
представлены на рис. 9.4. Как
будет видно из дальнейшего,
особый интерес представляют
те значения аргумента, при ко-
которых обращаются в нуль ли-
либо сами функции Бесселя, ли-
либо их производные. Введем
следующие обозначения: утп—
п-й по счету корень уравнения
Jm(x)=0; limn — п-й по счету
корень уравнения }т'(х) = 0.
Можно заметить, что функция
J0(x) первый раз пересекает
ось абсцисс в точке с коорди-
координатой, приблизительно равной
2.4. По принятой договоренности данную точку будем обозначать
символом voi. Аналогично, первый по счету максимум функции
Ji(x) имеет место в точке с координатой х».1.8; данное значение
должно быть обозначено как |лц.
-05
Рис. 9.4. Функции Бесселя J0(x) и Ji(x)

9.2. Волны типа Е в круглом волноводе 189
В нижеследующих таблицах со справочными целями приведены
значения некоторых корней функций Бесселя и их первой произ-
производной
Таблица
п
1
2
3
9.1. Корни
т=0
2.405
5.520
8.654
Vmn ФУНКЦИИ
т==1
3.832
7.016
10.714
Бесселя
5.135
8.417
11.620
В математической литературе имеются весьма подробные таб-
таблицы таких корней. Кроме того, практически все компьютерные па-
пакеты прикладных программ предоставляют богатые возможности
вычислений с цилиндрическими функциями.
Та
ций
п
1
2
3
блица 9.2.
Бесселя
Корни \imn
пг=0
3.832
7.016
10.174
первой производной функ-
m = l
1.841
5.335
8.536
m=2
3.052
6.705
9.965
Критическая длина волны. После краткого знакомства с тео-
теорией цилиндрических функций вернемся вновь к исследованию ха-
характеристик волн типа Е. В соответствии с идеей метода разделе-
разделения переменных запишем амплитуду продольной проекции векто-
вектора напряженности электрического поля в виде
E2=EQJm{gr)cosmy. (9.25)
Поперечное волновое число g пока еще не определено. Чтобы
найти его, заметим, что граничное условие Е2=0 при г=а будет
выполнено лишь в том случае, если аргумент цилиндрической функ-
функции в формуле (9.25) при г=а окажется равным одному из кор-
корней Vmn функции Бесселя. Это означает, что поперечное волновое
число g должно принадлежать бесконечной последовательности
gmn, удовлетворяющей соотношению
gmJ* = *mn> (9.26)
откуда
?«л=*«лА*. (9.27)

190 Глава 9. Круглый металлический волновод
Номер корня п является вторым индексом волны типа Етп в круг-
круглом металлическом волноводе.
Физический смысл индексов тип прост и нагляден: т озна-
означает число вариаций поля по угловой координате ф, а п — число ва-
вариаций по радиальной координате г. В частном случае т = 0 амп-
амплитуды векторов электромагнитного поля не зависят от угловой
координаты; подобные типы волн в круглом волноводе называют
симметричными.
Критические длины волн Е-типа в круглом волноводе находят
на основании того же принципа, что и в случае прямоугольного
волновода:
(9.28)
Формулы для вычисления длины волны в волноводе и фазовой
скорости совершенно аналогичны тем, которые были получены при-
применительно к прямоугольному волноводу:
Х . (9.29)
Пример 9.1. Круглый металлический волновод диаметром
50.8 мм возбуждается генератором с частотой /0=14 ГГц (А,о=
= 21.4 мм). Проверить возможность распространения волны типа
Ej2. Вычислить длину волны и фазовую скорость.
Из табл. 9.1 находим, что волне типа Ei2 соответствует второй
по счету корень функции Бесселя 1-го порядка vi2 = 7.016. Крити-
Критическая длина волны
Хкре11=6.28.25.4/7.016 = 22.75 мм.
Поскольку Яо<А,кР, волна типа Е12 в рассматриваемом волноводе
является распространяющейся.
Длина волны в волноводе
ч 21.4 ~о
Хв =—, =63 мм.
У\ —B1.4/22.75J
Фазовая скорость волны типа Ei2
гь 3>1QS =8.84-103 м/с.
/1 -B1.4/22.75J
Анализируя формулу (9.28) совместно с табл. 9.1, убеждаемся,
что среди волн Е-типа в круглом волноводе наибольшую крити-
критическую длину имеет волна типа EOi
ХкрЕ#1 = 2яа/2.405 = 2.61а, (9.30)

9.2. Волны типа Е в круглом волноводе 191
так как корень vOi является наименьшим из всех корней функций
Бесселя любого порядка.
Структура поля волны типа Етп в круглом волноводе. Ампли-
Амплитуда продольной проекции электрического вектора волны типа Emn
в круглом волноводе на основании выражений (9.25) и (9.27) име-
имеет следующий вид:
E,=EQJm(^^)cosmv. (9.31)
\ а )
Отсюда, используя формулы перехода (9.4), в которых, по опре-
определению, Hz = 0, легко находим совокупность выражений, описы-
описывающих пространственные зависимости проекций векторов элек-
электромагнитного поля волны типа Етп:
jhEQ -??- Jm [2jmL ) sin /mpe-^, (9.32)
cos
h h
При выводе формул (9.32) учитывалось правило дифференциро-
дифференцирования цилиндрических функций (9.24), а также равенство (9.27).
Подобно тому как это было сделано в теории прямоугольного
волновода [см. формулу (8.60)], здесь также можно ввести полез-
полезный числовой параметр — характеристическое сопротивление
(9.33)
Рассмотрим некоторые конкретные задачи расчета полей в
круглом волноводе.
Пример 9.2. Радиус круглого волновода а=15 мм, длина волны
возбуждающего генератора в свободном пространстве Хо = 32 мм,
тип волны Еоь Амплитуда продольной проекции вектора напряжен-
напряженности электрического поля на оси волновода ?"о = 7-103 В/м. Най-
Найти величину Егт(а) —амплитудное значение радиальной проекции
электрического вектора на стенке волновода.

192 Глава 9. Круглый металлический волновод
В данном случае критическая длина волны
39Л5 мм>Х0,
так что процесс имеет характер распространяющейся волны.
Из формул (9.32) при m = Qy n=l находим аналитическое вы-
выражение комплексной амплитуды радиальной проекции электри-
электрического вектора при г = а:
откуда амплитудное значение искомой проекции
По таблицам функций Бесселя [19] находим ]\ B.405) =0.520.
Безразмерный параметр
ha=-^-= 6'28'15 ТЛ-C2/39.15)*= 1.697.
К 32
Отсюда окончательно
М03-0.520/2.405 = 2570 В/м.
Пример 9.3. Используя данные из примера 9.2, вычислить ве-
величину Нут (а) —амплитуду азимутальной проекции вектора на-
напряженности магнитного поля на стенке рассматриваемого круг-
круглого волновода.
Найдя характеристическое сопротивление
Z,E = 377 У"\ - C2/39.15J—217 Ом,
получаем искомое амплитудное значение
=U.S2 А/м.
Поскольку в волне типа EOi магнитный вектор имеет единст-
единственную составляющую Яф1ф) амплитуда вектора плотности поверх-
поверхностного тока на стенке JnoBm=11.82iz А/м.
Формулы (9.32) позволяют рассчитать и построить картины
мгновенного распределения силовых линий электромагнитного по-
поля любой волны типа Етп в круглом волноводе. В качестве приме-
примера на рис. 9.5 изображена структура поля простейшей симметрич-
симметричной волны типа Е01. Нетрудно заметить, что данное распределение
есть результат непрерывной деформации картины силовых линий
поля волны типа Еп в прямоугольном волноводе. Несколько слож-
сложнее выглядят картины поля тех типов волн в круглом волноводе,
у которых индекс т^=0. Примером может служить несимметрич-

9.2. Волны типа Е в круглом волноводе
193
ная волна типа Еп, эскиз силовых линий которой приведен на
рис. 9.6.
Средняя мощность, переносимая по круглому волноводу вол-
волной типа ЕОь Чтобы найти среднюю мощность Рср, переносимую
электромагнитным полем волны типа EOi по круглому волноводу,
следует прежде всего в каждой точке вычислить z-ю проекцию ус-
Рис. 9.5. Поперечное рас-
распределение силовых ли-
линий электромагнитного
поля волны типа Eoi в
круглом волноводе
Рис. 9.6. Поперечное рас-
распределение силовых ли-
линий поля волны типа Ец
в круглом волноводе
редненного вектора Пойнтинга ПСрг, а затем выполнить интегри-
интегрирование по поперечному сечению волновода:
о о
(г, :p)rdr.
(9.34)
Продемонстрируем методику вычислений на примере поля вол-
волны типа Eoi. Здесь в соответствии с формулами (9.32) электромаг-
электромагнитное поле имеет лишь две поперечные составляющие с проек-
проекциями
Ё — i
v01
Г ( Voir \
К a J
/о ок\
(9.35)
которые изменяются во времени синфазно.
Усредненный вектор Пойнтинга направлен вдоль оси z и имеет
проекцию
!
хсря -
E\ll
2 ?v" "V а
Подставив этот результат в формулу (9.34), находим, что
(9.36)
ср-
)
a J
п t ото

194 Глава 9, Круглый металлический волновод
Входящий сюда интеграл в теории цилиндрических функций назы-
называют интегралом Ломмеля. Показано [9], что
Отсюда получаем окончательное выражение средней мощности, пе-
переносимой волной типа Е01 в круглом волноводе:
EoJl <voi)- (9-37)
Пример 9.4. Определить предельно допустимую мощность, пе-
переносимую волной типа Eoi в круглом волноводе радиусом а =
— 25 мм, работающем на длине волны %о= 40 мм. Максимально
допустимая напряженность электрического поля на оси волновода
?1о = 3-1О6 В/м.
Используя исходные данные, находим числовые значения ко-
коэффициентов, входящих в формулу (9.37): Хкр = 2.61а = 65.25 мм,
Яв=50.63 мм, /г=2яДв=124 м~2, /i(vOi) — 0.52. Подставив эти чис-
числа в формулу (9.37), получим Рср = 8.5 МВт. Удельная плотность
потока мощности Рср.уд=«Рср/(яа2) =433 кВт/см2, что весьма близко
к цифре, полученной ранее для волны типа Ню в прямоугольном
волноводе (см. гл. 8).
9.3. Волны типа Н в круглом волноводе
При исследовании волн Н-типа в круглом волноводе следует
исходить из уравнения Гельмгольца относительно проекции Hz в
цилиндрической системе координат
*=<). (9-38)
+ + +
Представляя решение этого уравнения в виде
Иг (г, Ъ 2) = Нг (г, ср) ъ-ih* (9.39)
и вводя поперечное волновое число g=]/p2—Л2, приходим к урав-
уравнению
В случае волн Н-типа электрический вектор может иметь лишь
поперечные составляющие с комплексными амплитудами проекций

9.3. Волны типа Н в круглом волноводе 195
Ёг и 22<р. При этом только азимутальная составляющая с проекцией
?ф касательна к стенке волновода. Поскольку для волн Н-типа
? ja*LjffILt (941)
g2 дг
граничное условие принимает вид
дНг/дг=0 при г=а. (9.42)
Итак, проблема исследования волн Н-типа в круглом металли-
металлическом волноводе с идеально проводящими стенками сводится к
решению однородной краевой задачи (9.40) —(9.42) для попереч-
поперечного уравнения Гельмгольца.
Как и ранее, данную задачу будем решать методом разделения
переменных. Частное решение с т вариациями по азимутальной
координате ф запишем в виде
Hz (г, o)=HQJm (gr) cos m<?. (9.43)
Чтобы найти не известное пока поперечное волновое число g, обес-
обеспечивающее существование нетривиального решения, вычислим
частную производную
dHz ' dfm(x) тлл\
—=zHQg—т cosmo, (9.44)
дг dx
где x = gr — безразмерная переменная. Граничное условие (9.42)
будет выполнено, если
= 0 при x=ga. (9.45)
dx
Равенство (9.45), рассматриваемое как уравнение относитель-
относительно х, имеет неограниченное число корней, обозначаемых jjtmn. Та-
Таким образом, краевая задача, описывающая распространение волн
Н-типа в круглом металлическом волноводе, допускает бесконеч-
бесконечное множество нетривиальных решений (собственных функций),
причем для каждого решения должно выполняться равенство
gmna = Vmn, (9.46)
откуда соответствующее собственное значение
Итак, 2-я проекция вектора напряженности магнитного поля в
волне Н-типа описывается выражением
Hz=HQJm [^f^ cos тЪ (9.48)

196 Глава 9. Круглый металлический волновод
Отсюда можно получить всю совокупность комплексных амплитуд
проекций векторов электромагнитного поля, применив формулы пе-
перехода (9.4), в которых, естественно, следует положить EZ=Q:
Er=j *T HQJm[¦zsz- sinmcpe
(9.49)
// *_ k ft
Hz=HuJ
Основные расчетные формулы остаются теми же, что и для
волн электрического типа:
, (9.50)
Хв= *° (9.51)
К1(Х/ХJ
. (9.52)
Среди всевозможных Н-волн круглого волновода наибольшее
практическое применение нашла волна типа Нц, у которой
cos? е-/^, (9.53)
4 x\
v-ur \ а
h
Картина силовых линий поля, построенная с помощью соотно-
соотношений (9.53), изображена на рис. 9.7. Она полностью совпадает
с той, которая была получена в § 9.1 путем непрерывной дефор-
деформации поля волны типа Ню прямоугольного волновода.

9.3. Волны типа Н в круглом волноводе
197
Определенный интерес представляет также волна типа Hoi —
простейшая симметричная Н-волна в круглом волноводе. Проек-
Проекции векторов электромагнитного поля этой волны имеют следую-
следующие комплексные амплитуды:
?=—J-
Hi
¦ a F
(9.54)
Рис. 9.7. Силовые линии волны типа Ни в круглом волноводе
Соответствующая картина поля изображена на рис. 9.8.
Диаграмма типов волн в круглом волноводе. Основываясь на
материале §§ 9.2 и 9.3, построим диаграмму типов волн в круглом
металлическом волноводе. Располагая такой диаграммой, можно
указать низший тип волны и определить область одноволновости
данного волновода.
Обратимся к табл. 9.1 и 9:2, в которых приведены корни функ-
функций Бесселя и их производных, и выделим прежде всего группу
самых малых корней, поскольку именно таким корням отвечают
типы волн с наибольшими критическими длинами. Наименьшим
из всех корней оказывается первый корень производной функции
Бесселя 1-го порядка jin = 1.841, которому соответствует волна ти-
типа Нц. Подставив этот корень в формулу (9.50), получаем
Хкрн11 = 2яа/1.841 = 3.41а. (9.55)
Итак, как и следовало ожидать, волна типа Ни, получаемая
непрерывной деформацией поля основной волны прямоугольного
волновода, оказывается волной низшего типа в круглом волно-
волноводе.

198
Глава 9. Круглый металлический волновод
Далее последовательно находим:
(9.56)
Построив диаграмму типов волн (рис. 9.9), отметим, что в
круглом волноводе не могут распространяться электромагнитные
п01
Е/7
Высшие
типы
Рис. 9.8. Поперечное рас-
распределение поля волны ти-
типа Hoi в круглом металли-
металлическом волноводе
О Ша 2.06о 2.61а ЗМа Ло
Рис. 9.9. Диаграмма типов волн
в круглом волноводе
колебания с длиной волны Я0>3.41а. Волновод при этом-оказы-
вается в режиме отсечки. В интервале длин волн 3.41а>Я01>2.61а
волновод работает в одноволновом режиме, т. е. пропускает лишь
основной тип волны Нц. Если же 10<2.61а, то в круглом волно-
волноводе может наблюдаться уже многоволновый режим. На практике
ширина области одноволновости должна быть несколько сокраще-
сокращена по причинам, речь о которых шла в гл. 8.
9.4. Основы применения круглых волноводов
Несмотря на очевидные конструктивные и технологические дос-
достоинства, круглые волноводы используют значительно реже, чем
прямоугольные. Это обусловлено так называемой поляризацион-
поляризационной неустойчивостью основной волны типа Нц в круглом волново-
волноводе. Поляризационная неустойчивость — прямое следствие совер-
совершенной симметрии круглого волновода. Например, если на входе
некоторой волноводной системы волна типа Нц поляризована так,
как показано на рис. 9.10, то под влиянием различных случайных

9.4. Основы применения круглых волноводов
199
или преднамеренных деформаций волноводной линии колебания на
выходе имеют уже другое направление плоскости поляризации.
Поскольку возбуждающие устройства работают, как правило, лишь
с колебаниями вполне определенной поляризации, описанный здесь
эффект часто препятствует использованию круглых волноводов в
качестве линии передачи СВЧ-сигналов.
Вход
Выход
Рис. 9.10. Поляризационная неустой-
неустойчивость волны типа Ни в круглом
волноводе
Рис. 9.11. Вращающееся
волноводное сочленение
В практическом отношении весьма ценно, что в круглом волно-
волноводе могут существовать симметричные типы волн. На основе этих
волн работает ряд устройств СВЧ. В качестве примера на рис. 9.11
изображен эскиз так называемого вращающегося волноводного со-
сочленения. Этот элемент тракта СВЧ необходим для подключения
передатчика (или приемника) радиолокационной станции к вра-
вращающейся антенне. Энергия из неподвижного прямоугольного вол-
волновода 1 отбирается с помощью штыревой антенны 2, которая, в
свою очередь, возбуждает волну типа EOi в круглом волноводе 3.
Этот волновод имеет поперечный разрез, снабженный контактны-
контактными пластинами. Аналогично устроен верхний волноводный узел 4,
который может свободно вращаться. Ввиду симметричной струк-
структуры поля волны типа EOi коэффициент передачи мощности данно-
данного устройства не зависит от угла поворота.
Наконец, следует остановиться на одном уникальном свойстве
круглого волновода, связанном с частотными характеристиками
затухания симметричных Н-волн, прежде всего волны типа НОь
Теоретически и экспериментально было показано, что затухание
таких волн падает с ростом частоты в отличие от волн других ти-

200 Глава 9. Круглый металлический волновод
пов как в круглом, так и в прямоугольном волноводах, у которых
с ростом частоты затухание увеличивается. Это свойство позволя-
позволяет в принципе строить дальние волноводные линии связи на базе
круглого волновода с волной типа Ноь Такие линии способны в
полной мере реализовать огромную информационную емкость СВЧ-
диапазона. Для того чтобы читатель имел представление о реаль-
реальных цифрах, можно указать, что на волнах миллиметрового диа-
диапазона затухание волны типа Hoi в километровом отрезке медной
трубы диаметром 50.8 мм состав-
ляет лишь несколько децибел.
Однако на пути практического
использования линий передачи с
волной типа Hoi встает ряд труд-
трудностей, как принципиальных, так
и технических. Они связаны с
тем, что волна типа HOi не явля-
Рис. 9.12. Поверхностные элект- ется В0ЛН0Й низшего типа в круг-
рические токи на стенках круг- лом волноводе. Ьсли волна типа
лого волновода с волной типа HOi Hoi может распространяться, то
способны распространяться и
другие типы волн, число которых на достаточно высоких часто-
частотах значительно.. Расчеты показывают, что в уже упомянутой тру-
трубе диаметром 50.8 мм при длине волны генератора 4 мм одновре-
одновременно распространяются примерно 770 типов волн. Полезная вол-
волна типа Hoi имеет тенденцию перерождаться в паразитные типы
волн на случайных изгибах и неоднородностях волноводного трак-
тракта. В результате затухание оказывается существенно вышеТ^еоре-
тического предела.
Наиболее эффективная мера борьбы с паразитными типами
волн основана на использовании характерной структуры электро-
электромагнитного поля волны Ноь Дело в том, что, как видно из формул
(9.54), магнитный вектор на стенке волновода при г = а имеет лишь
продольную проекцию Hz, Линии поверхностного тока всегда пер-
перпендикулярны силовым линиям вектора Н, так что поверхностный
ток, отвечающий волне типа Ноь протекает лишь в азимутальном
направлении, как показано на рис. 9.12. Поэтому волновод, снаб-
снабженный большим числом поперечных щелей или даже выполнен-
выполненный из проводящих колец, изолированных друг от друга, будет ус-
успешно обеспечивать распространение волны желаемого типа. В то
же время щели окажутся излучающими для волн паразитных ти-
типов и будут обеспечивать их фильтрацию.
Практический опыт показал, что на сегодняшний день дальние
линии связи с волной типа Ноь по-видимому, существенно уступа-
уступают более эффективным системам, прежде всего волоконным лини-
линиям оптического диапазона.

10.1. Некоторые общие свойства волн типа Т 201
ЗАДАЧИ
9.1. Определите, какие типы волн являются распространяющи-
распространяющимися в круглом волноводе с воздушным заполнением; волновод
имеет радиус 15 мм и работает на частоте 7.5 ГГц.
9.2. Определите диапазон частот, в пределах которого в круг-
круглом волноводе диаметром 4 см может распространяться только
волна основного типа.
9.3. В круглом волноводе, заполненном диэлектриком и имею-
имеющем диаметр 5 см, распространяется волна типа Нц. Известно,
что частота колебаний поля равна 5 ГГц. Найдите диэлектрическую
проницаемость заполняющего диэлектрика, если известно, что фа-
фазовая скорость волны в точности равна скорости света.
9.4. Волна типа HOi распространяется в круглом волноводе с
некоторым радиусом а. Определите, на каком расстоянии от оси
волновода напряженность электрического поля максимальна.
9.5. В круглом волноводе диаметром 3 см распространяется
волна типа Нц. Частота колебаний 7.5 ГГц, среднее значение пе-
передаваемой мощности 50 кВт. Определите максимальное значение
напряженности электрического вектора в данном волноводе.
9.6. Волны типов Нц и EOi возбуждены в круглом волноводе
диаметром 5 см. Известно, что в сечении z = Q оба колебания син-
фазны. Определите, на каком расстоянии от этого сечения разность
фаз между данными волнами составит 180°.
Глава десятая
ВОЛНОВОДЫ С ВОЛНАМИ ТИПА Т
В гл. 7 при классификации направляемых волн указывалось,
что существует особый класс решений уравнений Максвелла, для
которого характерно отсутствие продольных проекций как электри-
электрического, так и магнитного векторов. Волны такого вида принято на-
называть поперечными электромагнитными волнами или, короче, вол-
волнами типа Т. Во многих радиотехнических устройствах работают
волноводы с волнами этого типа.
10.1. Некоторые общие свойства волн типа Т
Пусть гармоническая электромагнитная волна Т-типа распро-
распространяется в пространстве, заполненном однородной средой с по-
постоянными, не зависящими от частоты электродинамическими па-
параметрами 8а, p,a. Волна распространяется вдоль оси z прямоуголь-
прямоугольной декартовой системы координат. Поскольку, по определению,

202 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т
Ё2=Й2=0, первые два уравнения Максвелла
rot Н=>ааЁ, rotE=— /<
принимают следующий вид:
A0.1)
=0,
дНу
дЙх
dz
дх
дЁх
дВу
j
дЁх
A0.2)
дх ду
Выведем дифференциальное уравнение, которому должна удов-
удовлетворять каждая из проекций векторов такого электромагнитного
поля в силу уравнений A0.1) и A0.2). Для этого возьмем, напри-
например, второе уравнение из системы A0.2), продифференцируем обе
его части по z, а затем подставим в них величину дНу/дг из пер-
первого уравнения системы A0.1). В результате получим
dz
Иными словами, х-я проекция комплексной амплитуды Е(х, у, z)
удовлетворяет уравнению Гельмгольца
J^=Q, A0.3)
в котором p^coj/^eajia — коэффициент фазы однородной плоское
волны с частотой со, которая распространяется в рассматриваемой
среде. Несомненно, что такими же окажутся уравнения относи-
относительно других проекций, а именно ЁУ9 Нх и Ну.
Путем прямой подстановки убеждаемся, что общее решение
уравнения вида A0.3) имеет вид
?*(*, У, г)=Ех{х, У)е±^Р*. A0.4)

10.1. Некоторые общие свойства волн типа Т 203
Данная функция описывает волновой процесс, который распрост-
распространяется вдоль положительного или отрицательного направления
оси z с постоянной, не зависящей от частоты фазовой скоростью
0ф = со/Р= l/l/eafxa, равной скорости света в заполняющей среде.
Итак, получен принципиальный результат — волны типа Т в
отличие от изученных ранее Е- и Н-волн не имеют частотной дис-
дисперсии фазовой скорости. Для волн типа Т продольное волновое
число h совпадает с коэффициентом фазы |3, а поэтому поперечное
волновое число g= V§2—/х2 = 0. Отсюда непосредственно следует,
что критическая длина Т-волн ЯКрт = 2я/?=оо. Следовательно, вол-
волновод с волной типа Т в равной мере пропускает колебания любых
частот начиная с постоянного тока (со = 0).
Распределение поля в поперечном сечении. Скалярный электри-
электрический потенциал. Задача об электромагнитном поле Т-волны бу-
будет полностью решена, если тем или иным способом найти функ-
функции Ех(х, у) и Еу(х9 у), описывающие распределение амплитуды
вектора напряженности электрического поля в поперечной плоско-
плоскости волновода. Аналогичные функции Нх{х, у) и Ну(х, у) получа-
получаются при этом автоматически из уравнений Максвелла.
Обратимся к третьему уравнению из системы A0.2) и заметим,
что оно будет удовлетворяться, если положить
3(x, у). A0.5)
Здесь фэ(#, у) —вспомогательная функция, называемая скалярным
электрическим потенциалом. Значения этой функции измеряют в
вольтах. Смысл отрицательного знака в правой части равенства
A0.5) будет пояснен несколько позднее.
Действительно, по правилам вычисления градиента в декарто-
декартовой системе координат
дх ' у ду '
и поэтому равенство
№у дЕх _Q
дх ду ~
будет иметь место при любом выборе функции фэ(#, у). Однако сле-
следует принять во внимание, что в однородной материальной среде
без свободных зарядов электрический вектор должен удовлетворять
уравнению divE=0, которое в координатной форме записывается
так:
дх л ду

204 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т
Отсюда, воспользовавшись равенствами A0.6), получаем диффе-
дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка
относительно скалярного электрического потенциала:
Найденное уравнение в математике носит название уравнения Лап-
Лапласа.
Проведенный здесь вывод относился к прямоугольной декарто-
декартовой системе координат. Однако его можно применить к любой дру-
той системе, так как во всех случаях должно выполняться равен-
равенство
divgrad<p3=vl<P3=0. A0.8)
Конкретная запись оператора Лапласа Vj_, действующего по по-
поперечным координатам, зависит от выбора координатной системы.
Разность потенциалов и напряжение. Уравнение Лапласа часто
встречается в самых разнообразных физических и технических за-
задачах, описывая всевозможные состояния равновесия в пространст-
пространственных структурах. В частности, уравнение Лапласа служит основ-
основным уравнением электростатики.
Действительно, любое электростатическое поле неизменно во
времени и поэтому в силу уравнений Максвелла должно удовлет-
удовлетворять системе векторных дифференциальных уравнений
rotE=0, divE = 0. (lB.9)
Если положить, что Е=—gradcp3, то первое уравнение из A0.9) ока-
оказывается выполненным на основании тождества rot grad = 0, извест-
известного из векторного анализа. Второе уравнение выполняется в силу
того, что электрический потенциал фэ служит решением уравнения
Лапласа A0.8) по предположению.
Отрицательный знак в формуле A0.5) связан с установившейся
в физике традицией ориентировать вектор Е в сторону уменьшения
электрического потенциала. Другими словами, силовые линии век-
вектора Е условно начинаются на проводниках, несущих положитель-
положительные заряды.
Таким образом, картина силовых линий электрического векто-
вектора в поперечной плоскости регулярного волновода с Т-волной це-
целиком совпадает с картиной силовых линий вектора Е в заряжен-
заряженном цилиндрическом конденсаторе, конфигурация обкладок кото-
которого такая же, как и токонесущих поверхностей волновода.
Статический характер поперечного распределения электриче-
электрического поля в волноводе с Т-волнами позволяет ввести удобную ха-
характеристику электромагнитного процесса — разность потенциалов
между проводниками (рис. 10.1, а)

10.1. Некоторые общие свойства волн типа Т
ЦА,В)
205
A0.10)
Важно подчеркнуть, что из-за потенциального (безвихревого)
характера поперечного распределения электрического поля вели-
величина UAB не зависит ни от расположения точек Л и В на провод-
проводниках, ни от выбора пути интегрированиях в поперечной плоско-
плоскости волновода.
1
1
1 1
1
1
— -ее
? i
В
5)
Рис. 10.1. К введению понятий разности потенциалов и на-
напряжения:
а — в волноводе с Т-волной; б — в прямоугольном волноводе с волной
типа Ню
Отметим, что применительно к волнам Е- и Н-типов в изучен-
изученных ранее полых металлических волноводах ввести понятие раз-
разности потенциалов невозможно. Чтобы убедиться в этом, рассмот-
рассмотрим поле Е в поперечном сечении прямоугольного волновода с вол-
волной типа Ню (рис. 10.1, б). Здесь, очевидно,
j Edl^O,
так как на всем пути интегрирования векторы Е и dl образуют ост-
острый угол, так что скалярное произведение Edl положительно. Если
же взять контур интегрирования L2, проходящий по стенкам волно-
волновода, то
Edl=0,
поскольку на широких стенках вектор Е перпендикулярен элемен-
элементарному вектору пути dl, а на узкой стенке вектор Е равен нулю
в силу граничного условия.
Этот пример убеждает в том, что применительно к прямоуголь-
прямоугольным и круглым металлическим волноводам можно говорить не о
разности потенциалов, а лишь о напряжении между отдельными
точками пространства с обязательным указанием выбранного пути
интегрирования. Последнее обстоятельство делает малоэффектив-

206 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т
ным прямое использование понятия напряжения при анализе полых
металлических волноводов.
Можно строго показать, что в металлическом волноводе с замк-
замкнутой односвязной формой поперечного сечения волна типа Т су-
существовать не может. Для этого заметим, что во всех точках кон-
контура сечения Г такого волновода скалярный электрический потенци-
потенциал фэ должен быть постоянным. Поэтому функция фэ во внутренней
области сечения является решением следующей краевой задачи
для уравнения Лапласа:
A0.11)
Т9|г=const.
В теории дифференциальных уравнений с частными производны-
производными доказывается следующее легко запоминающееся свойство функ-
функции, удовлетворяющей уравнению
Лапласа: такая функция принимает
минимальные и максимальные зна-
значения не внутри, а на границе об-
области своего существования. Отсю-
Отсюда в силу краевого условия из
A0.11) приходим к выводу, что
единственным подходящим решени-
Рис. 10.2. Коаксиальный волновод ем уравнения Лапласа ео внутрен-
внутренней области служит постоянная ве-
величина фэ(л:, y) = const. Но при этом, как легко видеть из форму-
формулы A0.5), поле в волноводе тождественно равно нулк^
Итак, волны типа Т могут, распространяться лишь в таких вол-
волноводах, где имеются по крайней мере два изолированных друг от
друга токонесущих проводника, между которыми устанавливает-
устанавливается разность потенциалов.
10.2. Коаксиальный волновод
Данный волновод, широко применяемый в радиотехнических
устройствах, представляет собой два соосных металлических ци-
цилиндра радиусами а и Ь, разделенных диэлектриком (рис. 10.2).
Для анализа структуры электромагнитного поля в таком волно-
волноводе целесообразно ввести цилиндрическую систему координат г,
Ф, г, продольная ось которой совпадает с осью системы проводя-
проводящих цилиндров.
Пространственное распределение векторов поля. По причине
полной симметрии поперечного сечения рассматриваемого волно-
волновода функции, описывающие пространственные зависимости векто-

10.2. Коаксиальный волновод 207
ров электромагнитного поля, очевидно, не зависят от угловой ко-
координаты ф, т. е. д/дф = 0.
Ранее было показано, что распределение напряженности элек-
электрического поля Т-волны в поперечной плоскости волновода цели-
целиком повторяет электростатическое поле в цилиндрическом кон-
конденсаторе тех же размеров. Пусть электрический потенциал внут-
внутреннего проводника равен U, в то время как наружный проводник
волновода находится под нулевым потенциалом. Тогда функция
фэ, описывающая распределение электрического потенциала в об-
области a^r^b, должна быть решением следующей краевой за-
задачи:
A0.12)
Двумерное уравнение Лапласа в полярной системе координат с
учетом симметрии по углу ф имеет вид
=А. A0.13)
Общее решение этого уравнения
срэ(г) = Л1п г-\-В A0.14)
содержит две произвольные постоянные Л и В, которые следует по-
подобрать так, чтобы выполнялись краевые условия на внутреннем
и внешнем проводниках:
A \n
A In
Решив эту систему линейных алгебраических уравнений, получаем
А= U- , В=~иЫЬ
In a — In b In а — In b
откуда находим окончательно закон распределения скалярного
электрического потенциала во внутренней области волновода:
In
Полученная формула устанавливает, что при увеличении ра-
радиальной координаты от а до Ъ потенциал уменьшается по логариф-

208 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т
мическому закону. Амплитуда вектора напряженности электриче-
электрического поля в поперечной плоскости
grad ?(r)^i U
43 dr' \n(bja)r '
уменьшается обратно пропорционально координате точки наблю-
наблюдения и имеет единственную проекцию вдоль единичного векто-
вектора ir.
Предположим, что пространство между проводящими цилинд-
цилиндрами заполнено средой без потерь (сг=0) с заданными электроди-
электродинамическими параметрами еа, [ха. Тогда в соответствии с формулой
A0.4) комплексная амплитуда вектора Е волны типа Т, распростра-
распространяющейся в сторону возрастания координаты z, есть
Ё(г, z)= — e"ypzir. A0.15)
ln(b/a)r г К ;
Чтобы найти комплексную амплитуду Н(г, z) магнитного вектора,
следует воспользоваться уравнением Максвелла
rot Е= —/a)U<aH,
записав операцию rot в цилиндрической системе координат (см.
Приложение А):
Н(г,г)=—^-rot Ё=-^- -^-19 = V^>u e~'\. A0.16)
a)fxa (ofia dz ln(b/a)r
Вектор Н имеет единственную азимутальную проекцию; силовые ли-
линии этого векторного поля представляют собой концентрические
окружности, которые охватывают внутренний проводник волно-
волновода.
Эскиз распределения силовых линий векторов электромагнит-
электромагнитного поля Т-волны в коаксиальном волноводе, построенный в со-
соответствии с формулами A0.15) — A0.16), изображен на рис. 10.3.
Видно, что данное поле представляет собой неоднородную плос-
плоскую волну, область существования которой ограничена металли-
металлическими стенками. Интересно отметить, что в каждой точке внут-
внутренней области отношение модулей комплексных амплитуд векто-
векторов Е и Н постоянно и равно характеристическому сопротивлению
заполняющей среды:
A0.17)
Токи на стенках волновода. Магнитный вектор Т-волны, на-
направленный вдоль единичного вектора i<p, оказывается касатель-

10.2. Коаксиальный волновод
209
ным к токонесущим поверхностям, на которых возникают поверх-
поверхностные электпические токи с плотностями
A0.18)
Различие в знаках связано с тем, что единичным вектором внеш-
внешней нормали к внутреннему цилиндру служит вектор ir, а к наруж-
наружному — вектор — ir.
А-А
I J
©
1 © j
©
©
©
(
f ]
•
•
•
T" H
Рис. 10.3. Структура силовых линий электромагнитного поля Т-волны в
коаксиальном волноводе
Векторы ir, 1Ф, \z образуют правую тройку. Отсюда на основа-
основании равенств A0.18) приходим к выводу о том, что вдоль провод-
проводников распространяются бегущие волны плотности поверхностно-
поверхностного тока
e J? i
B,3(b, z) =
ln(h/a)a
A0.19)
'u
ln(b/a)b
Амплитуду суммарного тока / на проводниках найдем, умно-
умножив амплитуды плотностей поверхностного тока на величины 2яа
и 2nh соответственно, равные длинам контуров сечений внутрен-
внутреннего и внешнего проводников. Легко видеть, что
= 2я|Л?а/^а U. A0.20)
In (b/a)

210 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т
Токи оказываются равными по модулю и противоположными по
знаку. Это указывает на то, что по одному из проводников ток от
генератора поступает в нагрузку, а по другому вновь возвращает-
возвращается в генератор.
Понятие волнового сопротивления. По определению, отноше-
отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока бегущей волны на-
называют волновым сопротивлением ZB линии передачи с волной ти-
типа Т. В данном случае
ZB = y=—;=^ = 60l/-^ln^j A0.21)
Пример 10.1. Коаксиальный волновод имеет размеры а = 2 мм,
Ь = 6 мм. Заполняющей средой является диэлектрик с параметра-
параметрами jlx = 1, е = 2.4. Найти амплитуду напряжения в бегущей волне,
если известно, что амплитуда тока составляет 0.4 А.
По формуле A0.21) находим
ZB=60 1пЗ/[/Х-=42.5 Ом.
Тогда
?/=/ZB=0.4.42,5 = 17 В.
Волновое сопротивление служит важнейшей технической ха-
характеристикой линии передачи с волной типа Т. Это объясняется
тем, что при каскадном включении двух отрезков волноводов с
различными параметрами, например с разными диаметрами про-
проводников, мощность из одной линии целиком, без отражений, бу-
будет передана в другую, если выполнено условие согласования
ZBl=ZB2. A0.22)
Эта формула во многих случаях служит критерием согласования
коаксиальных волноводов, обеспечивая точность, достаточную для
инженерных целей [3]. Приближенность формулы состоит в том,
что она не учитывает изменение структуры поля в непосредствен-
непосредственной близости от плоскости скачка геометрических размеров, при-
приводящее к небольшому добавочному отражению волн.
Подчеркнем, что волновое сопротивление, измеряемое, как и
сопротивление резистора, в омах, никак не связано с превращени-
превращением энергии электромагнитного поля в теплоту, а выступает лишь
как коэффициент пропорциональности.
Переносимая мощность. Зная комплексные амплитуды напря-
женностей электрического и магнитного полей в коаксиальном вол-

10.3. Некоторые применения коаксильных волноводов 2.1 \
поводе, можно вычислить мощность электромагнитного поля, пе-
переносимую вдоль оси распространения бегущей волны:
Подставив сюда выражения A0.15) и A0.16), находим
- A0-24)
Формулу A0.24) можно рассматривать как выражение мощности^
Р, выделяемой в некотором воображаемом резисторе с сопротив-
сопротивлением ZB, на который подано гар-
гармоническое напряжение с амплиту- 1 ?
Й U. I /
10.3. Некоторые применения
коаксиальных волноводов
Используемые в радиотехнике Рис. 10.4. Эскиз конструкции ко-
коаксиальные волноводы чаще все- аксиального кабеля:
го имеют вид коаксиальных кабе- ?иэ~кт*еинк7Т-1ЙоплРе°тка*н17:-* нГ-
Лей — ГИбкИХ ЛИНИЙ Передачи, КОН- ружное защитное покрытие'
струкция которых изображена на
рис. 10.4. Чтобы обеспечить гибкость, в качестве диэлектрика при-
применяют полимерные материалы, такие, как полиэтилен, фторо-
пласт-4 и др. Для этой же цели наружный проводник коаксиаль-
коаксиального кабеля выполняют в виде оплетки, состоящей из большого
числа тонких медных проводников.
Промышленность выпускает разнообразные кабели, отличаю-
отличающиеся своей конструкцией и областями применения. Однако но-
номинальные значения волновых сопротивлений кабелей стандарти-
стандартизованы. Чаще всего используют коаксиальные линии передачи с
волновым сопротивлением 50, 75, 100, 150 и 200 Ом. Стандарти-
Стандартизация волновых сопротивлений облегчает создание унифицирован-
унифицированных узлов и компонентов радиоэлектронной аппаратуры.
Как правило, коаксиальные кабели —это линии передачи для
сравнительно небольших мощностей (до сотен ватт) в диапазоне
частот от постоянного тока приблизительно до 10 ГГц. На более
высоких частотах поперечные размеры кабеля оказываются срав-
сравнимыми с рабочей длиной волны, и по кабелю помимо основной
Т-волны могут распространяться волны высших Е- и Н-типов, что
обычно нежелательно.

,212
Глава 10. Волноводы с волнами типа Т
Важной областью применения коаксиальных кабелей является
техника многоканальных линий дальней связи, работающих в от-
относительно низкочастотном диапазоне (единицы или десятки ме-
мегагерц).
10,4. Полосковые волноводы
За последние десятилетия в технику СВЧ прочно вошел осо-
особый класс линий передачи с волнами типа Т, называемых полос-
ковыма волноводами, В этих волноводах токонесущие проводники
h
tttiisisii
Q) б)
Рис. 10.5. Полосковые волноводы:
а— симметричный; б — несимметричный
представляют собой тонкие полоски металла, между которыми на-
находится подложка— плоский слой диэлектрика с малыми потеря-
потерями. Полосковые волноводы бывают симметричными и несимметрич-
несимметричными; поперечные сечения их изображены на рис. 10.5. По многим
конструктивным и технологическим соображениям на практике
предпочитают несимметричные полосковые волноводы. Чтобы обес-
обеспечить высокие электрические и механические характеристики, в
качестве материалов для подложки часто используют твердые ди-
диэлектрики на основе оксида алюминия — поликор (е = 9.6) и лей-
косапфир (е=1К4). Высокая диэлектрическая проницаемость этих
материалов позволяет существенно уменьшить поперечные габа-
габариты волноводов. В технической литературе несимметричные по-
лосховые волноводы для сантиметрового и миллиметрового диапа-
диапазонов часто называют микрополосковыми волноводами, подчерки-
подчеркивая этим термином миниатюрность конструкций.
Квази»Т~в©лны. Строгий электродинамический анализ полей в
несимметричном полосковом волноводе является достаточно слож-
сложной задачей и проводится в основном численными методами. Это
связано с тем, что в отличие от коаксиального волновода здесь па-
параметры заполняющей среды неоднородны по сечению. Как след-
следствие, векторы электромагнитного поля в таком волноводе име-
имеют все шесть декартовых проекций Ех, Еу, Ег, Нх, Ну, HZf и поэто-
поэтому, строго говоря, волн Т-типа здесь не существует. Однако на прак-
практике обычно применяют волноводы, у которых толщина подложки
h существенно меньше ширины верхнего проводника Ь. Поэтому

10.4. Полосковые волноводы
213
электрическое поле в поперечном сечении волновода распределе-
распределено примерно так же, как и электростатическое поле в плоском кон-
конденсаторе. Достаточно высокое значение относительной диэлектри-
диэлектрической проницаемости подложки снижает роль краевых эффектов,
так что поле во внутренней области оказывается приблизительно
однородным.
Таким образом, при Л/6<С1 и е^>1 можно обоснованно пренеб-
пренебречь сравнительно малыми продольными проекциями Ег и Hz. Низ-
Низший тип волны в таком микрополосковом волноводе, имеющий ну-
нулевое значение критической
частоты, принято называть
квази-1-волной.
Строгий анализ показывает,
что фазовая скорость квази-Т-
волны зависит от частоты.
Дисперсионные явления выра-
выражены тем резче, чем выше от-
относительная диэлектрическая
проницаемость материала под-
подложки. Все это приходится
учитывать при автоматизиро-
автоматизированном проектировании широ-
широкополосных СВЧ-устройств, когда точность компьютерных вычис-
вычислений должна быть достаточной для того, чтобы изготавливать
изделия, не требующие трудоемких и дорогих операций доводки
и настройки.
Волновое сопротивление. Рассмотрим картину силовых линий
векторов электромагнитного поля в микрополосковом волноводе,
изображенную на рис. 10.6. Если между верхним проводником и
металлическим основанием имеется гармоническая во времени раз-
разность потенциалов О, то амплитуда у-й проекции вектора напря-
напряженности электрического поля вычисляется по формуле плоского
конденсатора
Ey=U/h.
Вектор напряженности магнитного поля будет иметь попереч-
поперечную х-ю проекцию, которая в каждой точке связана с Еу посред-
посредством характеристического сопротивления заполняющей среды [см.
формулу A0.17)]:
Ей U
Рис. 10.6. Силовые линии векторов эле-
электромагнитного поля в микрополоско-
микрополосковом волноводе
Х Zc 120л&]/>/е
Проекция вектора плотности поверхностного электрического то-
тока на ось z численно совпадает с поперечной проекцией магнитно-

214 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т
го вектора. Следует учесть также, что электрическое и магнитное
поля сосредоточены в основном внутри прямоугольной области се-
сечением by^h, которая непосредственно прилегает к проводящей по-
полоске; ток протекает практически лишь по внутренней стороне
полоски. Тогда амплитуда тока в линии будет прямо пропорцио-
пропорциональна ширине полоски:
Отсюда находим волновое сопротивление микрополоскового волно-
волновода:
?- — . A0.25)
е Ь
Данная формула устанавливает, что волновое сопротивление
падает с уменьшением толщины подложки и с ростом ширины
верхнего проводника волновода.
Сравнение с данными эксперимента показывает, что точность
расчетов по формуле A0.25/ недостаточна и поэтому данное соот-
соотношение можно применять лишь для грубых оценок. Гораздо луч-
лучшие результаты дает формула
188.5 ( Ь /е— 1 \
= -— -+0.441 + 0.082 U
справедливая при условии, что/г/6<1, pi=
Пример 10.2. Микрополосковый волновод имеет размеры по-
поперечного сечения й = 2 мм, ft = 0.25 мм. Электродинамические па-
параметры подложки |х=1, 8 = 9. Сравнить результаты расчета вол-
волнового сопротивления по приближенной и уточненной формулам.
Применив приближенную формулу A0.25), находим
ZB=377.0.25/C.2) = 15.7 Ом.
Более точная формула A0.26) дает значение ZB=12.6 Ом. Таким
образом, относительная погрешность грубой формулы составляет
около 25%, что в ряде случаев недопустимо.
Микрополосковые линии передачи, обычно применяемые в со-
современных интегральных устройствах СВЧ-диапазона, имеют вол-
волновые сопротивления в пределах от 10 до 100 Ом. При этом дос-

10.5. Отрезок волновода с Т-волной как четырехполюсник 215
тигается компромисс между требованиями к потерям в волново-
волноводе, его пробивной прочности, а также к удобству сочленения вол-
волновода с узлами и приборами.
10.5. Отрезок волновода с Т-волной как четырехполюсник
Рассмотрим отрезок регулярного волновода без потерь, по ко-
которому распространяются волны Т-типа. Считаются известными
волновое сопротивление ZB и длина от-
отрезка / (рис. 10.7). Совместим начало
отсчета координаты z с левыми зажима-
зажимами отрезка, на которых определим вход-
входные комплексные амплитуды напряже- -I ^ L
ния О\ и тока 1\. Аналогично, на пра- fI & 1 2
вых зажимах будем считать известными
выходные величины О2 и /2. Данная си- V ?
стема представляет собой линейный ста- _] [_
ционарный четырехполюсник. о I z
В теории цепей для описания четы- рис 1QJ Схематическое
рехполюсников используют аппарат изображение отрезка ли-
матричного анализа [2]. Будем характе- Нии передачи
ризовать изучаемый распределенный че-
четырехполюсник его матрицей передачи (Л-матрицей). При этом
независимыми переменными служат величины О2 и /2, связанные
с напряжением и током на входе двумя равенствами:
/х=A2yU2 -j- А22?2*
Зная матрицу передачи
ТА] \Ац ^
можно найти любые внешние характеристики четырехполюсника.
Например, если к выходным зажимам подключен линейный двух-
двухполюсник нагрузки с комплексным сопротивлением ZH, так что
#2//2 = 2н, то из A0.27) следует формула для входного сопротив-
сопротивления со стороны левых зажимов:
A0.28)
Аналогично находим комплексный коэффициент передачи напря-
напряжения:
^^A0.29)
Ux

216 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т
Поставим задачу определить элементы А-матрицы отрезка ре-
регулярного волновода с Т-волной. Воспользуемся тем, что общее ре-
решение уравнения Гельмгольца, записанное относительно комплек-
комплексных амплитуд напряжения и тока, имеет вид суммы двух волн,
падающей и отраженной, бегущих в противоположных направле-
направлениях:
Здесь Ci и С2— не известные пока коэффициенты, относящиеся
соответственно к падающей и отраженной волнам. Отрицательный
знак во втором равенстве связан с тем, что отраженная волна пе-
переносит мощность в сторону уменьшения координаты z.
Выразим эти коэффициенты через выходные комплексные амп-
амплитуды О2 и /2, получаемые из предыдущих формул подстановкой
z = l. При этом имеем систему^линейных алгебраических уравнений
С e~J9l—C em — f 7
решение которой элементарно:
2
Таким образом, комплексные амплитуды напряжения и тока
в произвольном сечении выражаются через величины ??2 и 12:
„( 0,hZ. t_z)
T 2
2 T 2
2ZB 2ZB
Входные напряжение и ток, соответствующие значению z=0,
' U2-'l2Ztt
e'fi

10.5. Отрезок волновода с Т-волной как четырехполюсник 217
или
U1 = iJ2 cos $l + JI2ZB sin p/,
(Ю.30)
Сравнивая A0.30) и A0.27), видим, что матрица передачи отрез-
отрезка волновода с волной Т-типа выражается следующим образом:
cos p/ JZB sin
A0.31)
sin p/ cos
1
Входное сопротивление нагруженного отрезка волновода. На
основании формул A0.28) и A0.31)
z _ ZH cos p/ + JZB sin p/ = ZH + yZB tg p/ A0 32)
у -|^- sin p/ +cos p/ I 4-/-^- tg p/
^в -^в
Если ввести безразмерные нормированные сопротивления
то последнее равенство примет вид
На основании данной формулы можно утверждать, что в общем
случае входное сопротивление отрезка, к выходным зажимам ко-
которого подключен двухполюсник нагрузки, не совпадает с комп-
комплексным сопротивлением этого двухполюсника. Поэтому отрезок
линии передачи выполняет роль трансформатора сопротивления.
Это свойство отрезка служит основой многочисленных технических
применений. .
Следует отметить, что в режиме согласования (при ^ZH'=1)
входное сопротивление любого отрезка равно волновому сопро-
сопротивлению линии передачи независимо от его длины и от частоты.
Если отрезок линии на выходе закорочен, так что ZH/==0, то
Z'n = JtgV. A0.34)
При холостом ходе на выходе ZH/=co и поэтому нормированное
входное сопротивление отрезка
Z'BK=-jctgV. A0.35)
В-соответствии с формулами A0.34) и A0.35) входные сопро-
сопротивления подобных отрезков волноводов всегда чисто реактивны
и являются периодическими функциями безразмерного параметра
f$/. Например, отрезок короткозамкнутой линии длиной /<Я/4 име-

218 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т
ет индуктивное входное сопротивление, модуль которого неогра-
неограниченно возрастает с приближением длины отрезка к значению Я/4.
В интервале %jA </<V2 входное сопротивление носит емкостный
характер.
Короткозамкнутый отрезок линии передачи часто использует-
используется в технике СВЧ. Изменяя его длину при помощи передвижного
короткозамыкателя, так называемого поршня, можно осущест-
осуществлять настройку и регулировку элементов волноводного тракта.
ЗАДАЧИ
10.1. Коаксиальный волновод имеет параметры: а = 0.5 мм, 6 =
= 2 мм, 8 = 2, [х=1. Между проводниками создана разность потен-
потенциалов ?/=300 В. Найдите напряженность электрического поля на
окружности радиусом го = 0.75 мм.
10.2. Диэлектриком коаксиального кабеля служит полиэтилен
(е = 2.25, fx= 1). Размеры поперечного сечения: а = 0.75 мм, Ь =
= 2.5 мм. Бегущая электромагнитная волна переносит вдоль ка-
кабеля мощность Р=1.5 кВт. Определите амплитуду напряжения U
между проводниками кабеля.
10.3. Коаксиальный волновод имеет воздушное заполнение и
проводники радиусами а = 5 мм, Ь=15 мм. Напряженность элек-
электрического поля бегущей электромагнитной волны на поверхности
внутреннего проводника равна 6-Ю4 В/м. Вычислите амплитуд-
амплитудные значения плотности поверхностного электрического тока
•1пов.э(#) и Лпов.э(Ь) на внутреннем и внешнем проводниках.
10.4. Микрополосковый волновод имеет параметры: 6=1 мм,
h = 0.25 мм, 8 = 9.6. Предельно допустимая напряженность элек-
электрического поля в диэлектрике подложки составляет 8-Ю6 В/м.
Определите максимальную мощность, которую можно передавать
по этому волноводу на границе режима электрического пробоя.
10.5. Между проводниками микрополоскового волновода созда-
создано гармоническое напряжение с амплитудой [/=250 В. Парамет-
Параметры линии: Ь = 4 мм, /t=l мм, 8 = 2.1. Вычислите амплитуду векто-
вектора плотности поверхностного электрического тока на проводящей
полоске.
10.6. Отрезок линии передачи длиной 0.17Я нагружен на ли-
линейный двухполюсник с нормированным сопротивлением ZH' =
= 4.5—/0.8. Найдите нормированное входное сопротивление от-
отрезка.
10.7. Гармонический источник ЭДС с амплитудой 70 В подклю-
подключен к короткозамкнутому отрезку линии передачи, имеющей вол-
волновое сопротивление 150 Ом. Частота источника 90 МГц, длина
отрезка 0.8 м, диэлектрик — воздух. Определите амплитуду тока
в короткозамыкающей перемычке.

//./. Источники потерь в волноводах 219
Глава одиннадцатая
ЗАТУХАНИЕ ВОЛН
В ПОЛЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ
До сих пор процесс распространения электромагнитных волн
по волноводам рассматривался в предположении, что источники
потерь в них отсутствуют. Однако на практике любые волноводы
обладают затуханием, выраженным в той или иной степени. Иног-
Иногда, например при конструировании линий передачи для питания
антенн или при создании дальних линий связи, затухание стано-
становится характеристикой, определяющей
ВЫбор ТОЙ ИЛИ ИНОЙ ВОЛНОВОДНОЙ СИ-
стемы.
11.1. Источники потерь в волноводах
Можно выделить два основных ис-
точника потерь, присущих полым ме- ^„й^рГиГряжеГос™
таллическим волноводам: I) конечное электрического поля в волно-
значение проводимости металла, из воде с потерями из-за конечной
которого изготовлены стенки волново- проводимости стенок
да; 2) небольшие токи проводимости
в диэлектрике, заполняющем волновод.
Первый из этих источников потерь приводит к тому, что на по-
поверхности реального металла с конечной проводимостью касатель-
касательная составляющая вектора напряженности электрического поля
не обращается в нуль, а принимает некоторое конечное значение.
Структура электромагнитного поля в волноводе становится такой,
что силовые линии вектора Е слегка изгибаются (рис. ll.l). Как
следствие, возникает составляющая усредненного вектора Пойн-
тинга, направленная внутрь металла. Данная составляющая ха-
характеризует плотность потока мощности, идущей на нагрев стенок
волновода. Следует заметить, что приведенная картина силовых
линий изображена в утрированном виде, поскольку из-за высокого
значения удельной проводимости металла касательная составля-
составляющая вектора Е гораздо меньше нормальной.
Потери энергии, связанные с неидеальностью диэлектрических
свойств заполняющего вещества, имеют, как правило, второсте-
второстепенное значение, поскольку чаще всего внутри волновода находит-
находится столь совершенный диэлектрик, как воздух. В данной главе
этот источник потерь не рассматривается, однако его влияние не-
нетрудно учесть развиваемыми здесь методами.

220 Глава 11. Затухание волн в волноводах
11.2. Коэффициент затухания волн в волноводе
Как известно, комплексные амплитуды векторов электромаг-
электромагнитного, поля, распространяющегося в сторону ?>0, при работе
на некотором типе волны записываются следующим образом:
у, z) = E(x, y)e~ihz,
A1.1)
где Е(х, у)у И(х, у) —векторные функции поперечных координат,
зависящие от выбранного типа волны; А —продольное волновое
число.
Отрезок регулярного волновода можно представить в виде кас-
каскадного соединения отрезков меньшей длины. Если каждому от-
отрезку присуще некоторое затухание, то общее затухание должно
быть экспоненциальной функцией суммарной длины (см. гл. 3).
Поэтому амплитуды векторов электромагнитного поля экспонен-
экспоненциально уменьшаются с ростом длины отрезка волновода. Анало-
Аналогичная ситуация уже встречалась ранее при изучении затухания
плоской электромагнитной волны, распространяющейся в неидеаль-
неидеальной среде. Таким образом, следует считать, что в волноводе с по-
потерями продольное волновое число является комплексной вели-
величиной:
h=h' — jhn. A1.2)
При этом комплексные амплитуды векторов поля в волноводе бу-
будут зависеть от декартовых координат следующим образом:
уу z) =
A1.3)
Из вида формул A1.3) следует, что И! является коэффициентом
фазы, в то время как А" является коэффициентом затухания волны
рассматриваемого типа. Следует помнить, что величины А/ и Л" за-
зависят от частоты колебаний.
Смысл коэффициента затухания волн в волноводе можно по-
пояснить с помощью следующего мысленного эксперимента. Поло-
Положим, например, что на входе регулярного отрезка волновода дли-
длиной 1 м амплитуда напряженности электрического поля равна Евх,
в то время кйк на выходе за счет потерь амплитуда уменьшается
до уровня EBhlx<zEBX. В соответствии с формулами A1.3) числовое
значение коэффициента затухания
А"=1п (EBjEBbiX). . A1.4)

11.3. Общее выражение для коэффициента затухания 221
Говорят, что величина h" является погонным затуханием рассмат-
рассматриваемой линии передачи, выраженным в неперах на метр (Нп/м).
В радиотехнике погонное затухание чаще выражают в децибе-
децибелах на метр (дБ/м), пользуясь формулой
Легко проверить, что между параметрами h" и Дпог существует
связь:
Д„Ог=8.68бА". (Ц.6)
Экспоненциальный характер ослабления амплитуды поля при-
приводит к тому, что в волноводных трактах, длина которых L удов-
удовлетворяет неравенству /i"L>l, практически вся поданная на вход
мощность рассеивается в стенках. Это обстоятельство серьезно за-
затрудняет создание протяженных линий передачи.
Пример 11.1. Известно, что некоторый волновод имеет погонное
затухание 0.3 дБ/м. Определить отношения напряженностей поля
на входе и выходе при длинах волновода Ьг=2 м и L2 = 60 м.
В первом случае затухание в отрезке волновода составит 2Х
Х0.3=0.6 дБ. В соответствии с определением понятия затухания
отношение ?вых/?вх=10~°-6/20=0.933, т. е. амплитуда колебаний
на выходе снижается примерно на 7%.
Во втором случае затухание будет равно 60-0.3=18 дБ. При
этом ^вых/^вх^Ю"8/20 ==0,126. Из-за потерь в стенках наблюда-
наблюдается примерно восьмикратное уменьшение амплитуды на выходе.
В технике СВЧ при проведении измерений чаще приходится
иметь дело не с напряженностями полей, а с мощностяхми. Если
Рвх и Рвых—-мощности бегущей волны на входе и выходе метро-
метрового отрезка регулярного волновода с потерями, то погонное за-
затухание
An'or=10 1g(PBX/PBblx). A1.7)
Различие между формулами A1-5) и A1.7) обусловлено тем; что
мощность пропорциональна квадрату напряженности поля.
11.3. Общее выражение для коэффициента затужания
Рассмотрим произвольный регулярный волновод с потерями,
ось которого совпадает с осью г. Так как векторы электромагнит-
электромагнитного поля в волноводе зависят от г в соответствии с формулами
A1.3), то средняя мощность» переносимая волной заданного типа

222
Глава 11. Затухание волн в волноводах
в любом фиксированном сечении, определяется следующим обра-
образом:
Р (г) = PQ ехр (— 2h"z), A1.8)
где Ро — средняя мощность в сечении z=0 (по поводу вида пока-
показателя экспоненциальной функции см. замечание в конце преды-
предыдущего параграфа).
Будем считать проводимость стенок волновода достаточно вы-
высокой для того, чтобы можно было использовать приближенные
граничные условия Леонтовича, рассмотренные в гл. 6. При этом
структура силовых линий электромагнитного поля в волноводе
практически остается такой же, как в идеализированной линии пе-
передачи с бесконечно высокой про-
проводимостью стенок.
Дифференцируя формулу A1.8),
получаем
dP/dz=—2h"P,
откуда выводим коэффициент зату-
затухания:
1Г=-Ц!?. A1.9)
Л,
ср
Рис. 11.2. К определению коэффи-
коэффициента затухания волн в волно-
волноводе
Входящая сюда величина dP с
точностью до знака равна средней
мощности потерь в элементарном отрезке волновода длиной dz
(рис. 11.2). Плотность средней мощности потерь характеризуется
вектором Пойнтинга ПСр. пот, которой всегда перпендикулярен по
отношению к стенкам волновода. Поэтому
Ц
ср.пот
d/,
A1.10)
где интегрирование проводится вдоль контура L поперечного сече-
сечения линии передачи.
С другой стороны, мощность Р, переносимая через какое-ни-
какое-нибудь сечение волновода, находится путем интегрирования среднего
значения вектора Пойнтинга Пср по поперечному сечению волно-
волновода:
/>=JncpdS. (ll.il)
о
Подставив выражения A1.10) и A1.11) в формулу A1.9), по-
получим

11.3. Общее выражение для коэффициента затухания 223
Пср.пот | 61
2 \ ncpdS
A1.12)
По определению,
ncp.nor=V2Re[ETMHTM], A1.13)
где Ётм и Нтм — комплексные амплитуды составляющих электриче-
электрического и магнитного векторов, касательных к поверхности металла.
Приближенно будем считать, что касательная составляющая век-
вектора напряженности магнитного поля на стенке реального волно-
волновода с малыми потерями равна аналогичной составляющей маг-
магнитного вектора на стенке идеальногб волновода без потерь:
Нтм = Нтм(а = оо).
Чтобы найти комплексную амплитуду касательной составляю-
составляющей вектора^папряженности электрического поля на стенке реаль-
реального волновода, обратимся к условиям Леонтовича, согласно кото-
которым
|ETM|=ZCM|H,M|. A1.14)
Характеристическое сопротивление металла ZCM зависит от его
удельной проводимости и от частоты следующим образом:
(предполагается, что металл не имеет собственных магнитных
свойств и его относительная магнитная проницаемость равна еди-
единице).
Если учесть, что HTM_LEXKb то
\ I пср.пот | d/=i/_^ jj нтм |2d/
и формула A1.12) приобретает окончательный вид
|H,M|2d/
й= 8q L - —. A1.16)
Re f [ЕЙ] dS
s . ' •
Таким образом, чтобы вычислить погонное затухание в волно-
волноводе, необходимо знать рабочую частоту, удельную проводимость

22,4 Глава 11. Затухание волн в волноводах
материала стенок и располагать сведениями о структуре силовых
линий векторов электромагнитного поля волны рассматриваемого
типа в волноводе без потерь с теми же геометрическими характе-
характеристиками.
11.4. Анализ некоторых частных случаев
В данном параграфе будет рассмотрена методика вывода фор-
формул для расчета коэффициента затухания применительно к неко-
некоторым линиям передачи, часто используемым в радиотехнических
устройствах.
Коаксиальный волновод. Данная линия передачи анализиро-
анализировалась в § 10.2. Напомним использованные обозначения: а и b —
радиусы внутреннего и внешнего проводников соответственно, е—
относительная диэлектрическая проницаемость заполняющего ди-
диэлектрика. Будем полагать, что диэлектрик немагнитный (ji = l)
и что омические потери в нем отсутствуют (tg 6 = 0).
Комплексные амплитуды проекций векторов электромагнитного
поля Т-волны в коаксиальном волноводе без потерь имеют вид
^ ^-*., A1.17)
где А — произвольная постоянная с размерностью напряжения,
p = a)]/"eso[i.o —коэффициент фазы (продольное волновое число).
Отсюда мощность, переносимая вдоль оси z в кольцевой области
между проводниками,
Находя числитель из формулы A1.16), следует принять во вни-
внимание, что в коаксиальном волноводе магнитный вектор имеет
единственную составляющую, которая касательна к поверхностям
как внутреннего, так и внешнего проводников. Полагая для кон-
конкретности в равенствах A1.17) 2 = 0, непосредственно получаем
Подставив A1.18) и A1.19) в выражение A1.16), приходим к
формуле для практического расчета коэффициента затухания
(Нп/м) Т-волны в коаксиальном волноводе без учета омических
потерь в диэлектрике
V
у г
120л 1а (Ь/а)

11.4. Анализ некоторых частных случаев 225
Отсюда погонное затухание коаксиального волновода (дБ/м)
Лпог = -
43.4 In (b/a)
A1.20)
Пример 11.2. Коаксиальный кабель марки РК-50-3-13 имеет
полиэтиленовую изоляцию (е=2.25) и следующие размеры в по-
поперечном сечении: а=0.45 мм, 6 = 1.5 мм. Найти погонное затуха-
затухание Т-волны в данном кабеле при частоте сигнала /=750 МГц,
считая, что i(x=5.7-107 См/м.
Здесь значение параметра ]Аоц0/(&з) =3.6-10~3 Ом. Тогда в
соответствии с формулой A1.20)
пог
3.6.10-3.103A^5
=02 Б
43.4 In A.5/0.45)
Итак, погонное затухание типичного коаксиального кабеля на
частотах около 1 ГГц составляет несколько десятых долей деци-
децибел на метр.
Зафиксировав диаметр внешнего проводника коаксиального
волновода, можно так подобрать диаметр внутреннего проводни-
проводника, чтобы погонное затухание ока-
оказалось минимальным. Действитель- [1+(ь/а)]/1п(Ь/а)
но, зависящую от а, Ь составляю-
составляющую правой части формулы A1.20)
можно представить так:
\\а
\n(b/a)
J_ 1 + (b/a)
b In (b/a)
1
I
\
V
1
1
1
,—**•
0 3.6 5
10
15 b/a
На рис. 11.3 изображен график за-
зависимости второго сомножителя
данной формулы от безразмерного
отношения b/а. Можно видеть, что
кривая имеет пологий минимум при
Ь/а=3.6. Такая конструкция коак-
коаксиальной линии оптимальна с точ-
точки зрения наименьших потерь в металле; при 8=2.25 волновое
сопротивление оптимизированного волновода
Рис. 11.3. К определению погон-
погонного затухания Т-волны в коак-
коаксиальном волноводе
138
lg 3.6=51 Ом.
A1.21)
8 — 1379

226 Глава 11. Затухание волн в волноводах
Физическая причина существования оптимального соотношения
радиусов такова: при чрезмерном сокращении радиуса внутрен-
внутреннего проводника потери в нем возрастают вследствие увеличения
плотности тока; если же отношение радиусов стремится к едини-
единице, то погонные потери также растут из-за сокращения площади
той части поперечного сечения волновода, по которой переносится
электромагнитная энергия.
В заключение отметим, что в коротковолновой части СВЧ-диа-
пазона погонное затухание коаксиальных волноводов обусловлено
главным образом рассеянием мощности в неидеальном диэлектри-
диэлектрике, а не влиянием конечной проводимости материала стенок.
Прямоугольный металлический волновод. Вычислим погонное
затухание волны типа Ню, чаще всего применяемой на практике.
Воспользуемся формулами (8.53), которые связывают проекции
векторов электромагнитного поля с величиной ?Шах — максималь-
максимальной амплитудой напряженности электрического поля, наблюдаемой
в центре широких стенок при х=а/2.
Знаменатель формулы A1.16) численно равен удвоенному зна-
значению мощности, переносимой бегущей волной типа Ню; в соот-
соответствии с выражением (8.70) имеем
Re I [EH] dS = E™*ab i / i -р«-Л2. (Н.22)
5 240я \ \ 1а )
Чтобы вычислить числитель формулы A1.16), следует заметить,
что обе составляющие напряженности магнитного поля с комп-
комплексными амплитудами проекций
а
= -J — Emax cos
a
касательны к стенкам волновода; на узких стенках при х=0 и
х=а проекция Нх обращается в нуль. При этом
[\U%
+ ЬНг{а)НЛа) = 2[-±-JРтЛ sin
*
(П-23)

11.4. Анализ некоторых частных случаев
227
Нетрудно убедиться, что
h V 1 - [Хо/Bа)]2
120я
A1.24)
\ ha ) 1 — [Л*Д2а)р
Подставив эти выражения в A1.23) и воспользовавшись равенст-
равенством A1.22), на основании A1.16) после несложных алгебраиче-
алгебраических преобразований получаем ^ ^
следующую формулу для расче- 005 поп
та погонного затухания (дБ/м)
волны типа Ню в прямоугольном
металлическом волноводе с воз-
воздушным заполнением:
г
0.793[l
2а
0.03
0.01
0.01
\
\
Г;":
^—Р
|;.:
'::•'::'¦'• :М
-:.-:-;::'.-.\:\
:•::'¦¦¦¦:.'г'Л
•: - ....•.•:)
1Щ
•:::::.-:.-..1
I
1
*кр
ПО Ло,мм
Рис. 11.4. Зависимость погонного за-
затухания колебания типа Ню от
рабочей длины волны в прямо-
прямоугольном волноводе сечением 72 X
Х34 мм, выполненном из меди (а=
= 5.7-107 Си/и)
Via Ь V 1 - [Х<ЛBа)р
A1.25)
График зависимости погонно-
погонного затухания от рабочей длины
волны Ко для конкретного волно-
волновода показан на рис. 11.4. Видно,
что погонное затухание неограни-
неограниченно возрастает как при стрем-
стремлении длины волны к нулю, так
и вблизи критической длины вол-
волны Рост затухания на высоких частотах объясняется уменьшени-
уменьшением толщины поверхностного слоя, что ведет к повышению сопро-
сопротивления металлических стенок. С другой стороны, если частота
стремится к критической, то плоские волны, из которых склады-
складывается поле в волноводе, испытывают все большее число отраже-
отражений от стенок, что также ведет к росту погонных потерь.
Рассматривая представленный график, можно понять, в част-
частности почему нецелесообразно использовать прямоугольные вол-
волноводы стандартного сечения на волнах, длины которыхXo>l.bo.
Для волноводов с отношением сторон 2:1 минимум погонного
затухания наблюдается в точке *««0.8а. Данное значение лежит
вне области одноволновости, однако по причине весьма плавного
характера кривой увеличение затухания в рабочей полосе частот
по сравнению с минимальным уровнем невелико.
Переход от одного частотного диапазона к другому сопряжен
с выбоРроТнового стандартного сечения волновода. Интересно вы-

22S Глава П. Затухание волн в волноводах
яснить, как при этом меняется погонное затухание. Для всех стан-
стандартных волноводов отношение b/а практически постоянно; на
средних частотах диапазонов отношение К0/а также остается не-
неизменным. Поэтому числитель в формуле A1.25) не зависит от
рабочей длины волны, в то время как в знаменатель входит квад-
квадратный корень из длины волны, а также параметр 6, пропорцио-
пропорциональный первой степени Хо. В результате имеем
Адог-Хо-3/2. A1.26)
Проиллюстрируем смысл формулы A1.26) на конкретном при-
примере. Известно, что у стандартного волновода сечением 23ХЮмм,
изготовленного из меди, на длине волны Я0=3 см погонное зату-
затухание равно 0.1 дБ/м. Перейдя на длину волны Хо=3 мм, следу-
следует воспользоваться волноводом с десятикратно уменьшенным сече-
сечением, т. е. 2.3X1 мм (весьма миниатюрная конструкция!). Погон-
Погонное затухание в таком волноводе будет в 103/2 раз больше, т. е.
составит примерно 3 дБ/м. Резкое возрастание потерь в прямо-
прямоугольных волноводах стандартных сечений значительно усложняет
создание устройств для коротковолновой части миллиметрового
диапазона волн.
Частотные зависимости погонного затухания волн высших ти-
типов в прямоугольном волноводе имеют такой же экстремальный
характер; с ростом индексов погонное затухание волн как Е-, так
и Н-типов возрастает.
Круглый металлический волновод. Выведем формулу для рас-
расчета погонного затухания волны типа EOi в круглом металлическом
волноводе радиусом а. Ранее было получени выражение (9.37), оп-
определяющее среднюю мощность, переносимую волной данного типа
вдоль оси волновода. Воспользовавшись ею, запишем
ReJ[EH]dS= -^f^Eyi^). A1.27)
s voi
Вычисление криволинейного интеграла от квадрата касатель-
касательной составляющей вектора напряженности магнитного поля вдоль
контура сечения волновода оказывается очень простым. Дело в
том, что, согласно формуле (9.35), имеется единственная проек-
проекция Яф, которая к тому же не зависит от азимутального угла, и
поэтому
1| Н,м|2<1/=2яа| Н9 1= 2ЯЯЗ(;8°J ?g/»(v01). A1.28)
L V01
Если теперь подставить A1.27) и A1.28) в формулу .A1.16), то
непосредственно получаем
Aff _
ah

11.4. Анализ некоторых частных случаев
229
После несложных преобразований отсюда находим окончательное
выражение, связывающее погонное затухание (дБ/м) волны типа
Eoi в круглом волноводе с рабочей длиной волны Яо:
0.793
А . A1.29)
Пример И.З. Вычислить погонное затухание волны типа Eoi в-
круглом металлическом волноводе диаметром 50 мм на рабочей
частоте /=7.5 ГГц. Материал стенок —медь (а=5.7-107 См/м).
Рабочая длина волны Xo=c/f=4 см. На основании формулы
A1.29) имеем
0.793
Дпог=- — — =0.027 дБ/м.
2.5-10-2/4-10-2.5.7.107 У 1 — [4/B.6Ь2.5)Р
Эта цифра сравнима с погонным затуханием волны типа Ню в
прямоугольном волноводе с таким же габаритом поперечного се-
сечения.
Аналогичным образом получаются формулы для расчета погон-
погонного затухания волн Н-типов в круглом волноводе. Для справок
приведем некоторые из них:
волна типа Ни
0.793 {0.418 + PWC.41a)P}
"лог —
aVh° У l—[*o/C.4l0)P
A1.30)
волна типа Hoi
0.793 [Хо/A.64а)Р
0. ОЦ
0.03
0.02
0.01
Дпог,
ав/м
\
\
Л
\
\
ч
/
I
I
I
/
/
у
\
1
Г
5 7 10 10
V 1~[Х0/A.б4а)]2
A1.31)
На рис. 11.5 изображены кри-
кривые зависимостей погонного за-
затухания волн типов Ни и Hoi от
рабочей длины волны примени-
применительно к типичному круглому
волноводу сантиметрового диапа- Рис п 5 зависимость погонного за-
зона. гчак уже упоминалось в гл. тухания некоторых типов волн в круг-
9, для волны типа Hoi характер- лом волноводе от рабочей длины вол-
но неограниченное уменьшение ны:
T7r>rrnjuiaY пптрпт, п плртлм пяртп- ^ — волна типа Нц; 2 — волна типа Нм.
ПО1ОННЫХ потерь С рОСТОМ 4dCIО- диаметр волновода 50 мм, материал ете-
ТЫ КОЛебаНИЙ. нок —медь <а=5.7Х107 См/м)
50 А0,мм

230 Глава 11. Затухание волн в волноводах
ЗАДАЧИ
11.1. Отрезок волновода длиной 50 м имеет КПД, равный 70%.
Найдите погонное затухание в данном волноводе.
11.2. Коаксиальный кабель для дальней линии связи имеет
диаметр внешнего проводника 50 мм и волновое сопротивление
75 Ом. Проводники выполнены из меди. Вычислите погонное за-
затухание Т-волны в данном кабеле на рабочей частоте 1 МГц.
11.3. Выведите приближенную формулу для расчета погонного
затухания Т-волны в микрополосковом волноводе, подложка ко-
которого выполнена из диэлектрика без потерь с известным значе-
значением относительной диэлектрической проницаемости е. Обозначе-
Обозначения геометрических параметров поперечного сечения волновода
указаны на рис. 10.5.
11.4. Основываясь на формуле, полученной в задаче 11.3, вы-
вычислите погонное затухание волны, распространяющейся в микро-
микрополосковом волноводе с параметрами е = 9, А = 0.1 мм, ,0=5.7Х
ХЮ7 См/м на частоте 10 ГГц. Можно ли применять такой микро-
полосковый волновод для создания интегральных СВЧ-устройств,
содержащих отрезки линий длиной в несколько сантиметров?
11.5. Выведите формулу для расчета дополнительного погон-
погонного затухания Т-волны в коаксиальном волноводе, обусловленно-
обусловленного конечным значением параметра tg 6 заполняющего диэлект-
диэлектрика.
Указание: примите во внимание, что среднее значение век-
вектора Пойнтинга, характеризующего потери в диэлектрике, соста-
составит <т?2/2; кроме того, tg6=a/(a>eeo).
11.6. Измерения показали, что прямоугольный волновод стан-
стандартного сечения 7.2X3.4 мм, работающий на волне основного ти-
типа, при частоте генератора /=33.3 ГГц имеет погонное затухание
Дпог=1.4 дБ/м. Определите удельную проводимость материала
стенок волновода.
11.7. При разработке конструкции антенны трехсантиметрово-
трехсантиметрового диапазона оказалось, что массогабаритные показатели стан-
стандартного волновода сечением 23ХЮ мм не удовлетворяют требо-
требованиям технического задания. Поэтому было решено использовать
волновод сечением 23X3 мм с резко сокращенным размером уз-
узкой стенки. Определите, во сколько раз увеличится при этом по-
погонное затухание, если A,q=3.2 cm.
11.8. Выведите формулу A1.31), используя выражения (9.54),
описывающие комплексные амплитуды проекций векторов электро-
электромагнитного поля волны типа Hoi в круглом волноводе.

12Л. Эволюция колебательных систем 231
Глава двенадцатая
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СВЧ.
ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
В настоящей главе исследуются электродинамические процес-
процессы в колебательных системах СВЧ. Подобные устройства играют
роль линейных частотно-избирательных фильтров, служат основ-
основными узлами систем стабилизации частоты и т. д.
12.1. Эволюция электромагнитных колебательных систем
при повышении рабочей частоты
В радиотехнических устройствах, работающих на умеренно вы-
высоких частотах (до нескольких сотен мегагерц), повсеместно ис-
используются колебательные контуры, образованные сосредоточен-
сосредоточенными конденсаторами и индуктивными катушками. Общей чертой
подобных контуров является то, что их геометрические размеры
значительно меньше рабочей длины волны. Электродинамические
системы, для которых выполняется это условие, в физике принято
называть квазистационарными цепями.
В)
Рис. 12.1. Переход от колебательного контура с сосредо-
сосредоточенными элементами к тороидальному резонатору
На опыте было отмечено, что добротность колебательных си-
систем с резонансными частотами в сотни мегагерц заметно снижа-
снижается по сравнению с добротностью более низкочастотных цепей.
Причина этого явления состоит в следующем. Как известно, для
повышения резонансной частоты приходится уменьшать индуктив-
индуктивность и емкость элементов колебательного контура. В пределе
обычный контур превращается в систему, у которой конденсатор
имеет лишь две пластины, а роль индуктивной катушки играет
одиночный виток (рис. 12.1, а, б). При этом существенно умень-
уменьшается энергия, которая может быть запасена в контуре. Кроме
того, возрастает относительная доля активных потерь, что связа-
связано, например, с увеличением омического сопротивления проводни-
проводников на высоких частотах из-за поверхностного эффекта. Дополни-
Дополнительным фактором, снижающим добротность колебательной си-

232
Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы
z
z
1
л
I
л
1
1
Ао/г
-«—=».
v
стемы, является неизбежное излучение электромагнитной энергии
открытыми проводниками.
Мера, позволяющая отчасти избежать снижения добротности,
а значит, и расширения полосы пропускания контура, состоит в
том, что индуктивный виток заменяют сплошной металлической
поверхностью (рис. 12.1, в), которую можно рассматривать как
предельный случай параллельного
включения большого числа отдель-
отдельных витков. При этом, с одной сто-
стороны, уменьшается индуктивность
системы, что благоприятно для про-
продвижения в высокочастотные обла-
области спектра электромагнитных ко-
колебаний. С другой стороны, энергия
поля внутри такой тороидальной по-
полости значительно больше энергии
в одиночном витке.
Электромагнитные колебатель-
колебательные системы, представляющие со-
собой полностью или частично замк-
Рис. 12.2. Распределение напря- нутые объемы с проводящими стен-
жения и тока в короткозамкнутой ками, называют объемными резона-
линии передачи торами. К ним относится, в частно-
частности, рассмотренный здесь торо-
тороидальный резонатор, который часто используют в качестве колеба-
колебательной системы для электровакуумных приборов СВЧ, например
для отражательных клистронов.
Однако даже переход к замкнутым конструкциям тороидаль-
тороидального типа не позволяет успешно разрешить все трудности/Дело в
том, что тороидальный объемный резонатор является прямым ана-
аналогом обычного колебательного контура, в котором электрическое
и магнитное поля четко локализованы в пространстве. С повыше-
повышением резонансной частоты приходится уменьшать размеры торо-
тороидальной полости, а это неизбежно сопровождается уменьшением
запасаемой энергии и сокращением добротности.
Принципиально другой, более многообещающий путь создания
колебательных систем СВЧ состоит в использовании резонансных
свойств отрезков распределенных линий передачи с малыми по-
потерями.
Рассмотрим полубесконечную двухпроводную линию передачи,
короткозамкнутую на конце (рис. 12.2), в которой тем или иным
способом возбуждены гармонические колебания. Как известно [3],
в такой линии устанавливается стоячая волна, представляющая
собой сумму падающей и отраженной волн. Комплексная ампли-

12.1. Эволюция колебательных систем 233
туда напряжения стоячей волны О должна удовлетворять гранич-
граничному условию в точке короткого замыкания:
= 0. A2.1)
Если Ко — длина волны в линии, то комплексная амплитуда на-
напряжения зависит от продольной координаты z следующим обра-
образом:
U{z) = Um sinBnz/X0). A2.2)
Отсюда видно, что граничное условие A2.1) выполняется в мно-
множестве точек оси z, удовлетво-
удовлетворяющих соотношению
*=/Ло/2э A2.3)
где р —1, 2, 3,... — положи-
положительное целое число.
Таким образом, если взять
замкнутый с обоих концов от- }
резок линии длиной 1=рКо/2, ^ )
то получим электромагнитную Рис. 12.3. Колебательная система, об-
СИСТему, колебания в которой разованная отрезком линии передачи
при отсутствии потерь могут су- (а)' и ее эквивалентная схема (б):
1 J А / — отрезок линии, замкнутый с обеих сто-
ЩеСТВОВаТЬ Неограниченно ДОЛ- рон; 2 - элемент индуктивной связи
го без какого-либо воздействия
со стороны внешних источников энергии. В курсе теории цепей
показано, что частотная характеристика такой системы вблизи
резонансной частоты в точности соответствует частотной характе-
характеристике обычного колебательного контура с сосредоточенными эле-
элементами. Эскиз конструкции распределенной колебательной систе-
системы и ее эквивалентная схема представлены на рис. 12.3.
Из формулы A2.3) следует, что замкнутый с двух сторон от-
отрезок линии передачи в отличие от обычного колебательного кон-
контура имеет бесконечное множество резонансных длин волн, опре-
определяемых по формуле
Чоез = 2///7. A2.4)
Физически такая множественность резонансов соответствует тому,
что вдоль линии могут укладываться одна, две, три и т. д. стоячие
полуволны.
Пользуясь описанным принципом, можно создавать объемные
резонаторы в виде отрезков прямоугольного или круглого метал-
металлического волновода с короткозамыкающими стенками с обоих
концов. Явления в таких резонаторах несколько сложнее, чем в
короткозамкнутом отрезке двухпроводной линии, поскольку стоя-
стоячие волны могут устанавливаться по всем треАм координатным
осям.

234
Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы
12.2. Прямоугольный объемный резонатор
Здесь на простейшем примере будет рассмотрен метод, позво-
позволяющий рассчитать резонансную длину волны и структуру элект-
электромагнитного поля в объемном резонаторе, образованном отрез-
отрезком прямоугольного волновода.
Рассмотрим отрезок прямоугольного волновода сечением
ограниченный двумя металлическими торцевыми поверхностями,
которые располагаются в сече-
сечениях z=Q и z = l (рис. 12.4). По-
Подобная замкнутая металлическая
полость представляет собой пря-
прямоугольный объемный резонатор.
Исследуем один из частных ви-
видов собственных колебаний дан-
данного резонатора, руководствуясь
следующими соображениями.
Пусть по неограниченно протя-
протяженному прямоугольному волно-
волноводу распространяется основная
Рис. 12.4. Прямоугольный объемный
резонатор
волна типа Ню, которую условно будем называть падающей. Эта
волна движется в сторону возрастания координаты z и характери-
характеризуется единственной у-й составляющей вектора напряженности
электрического поля с комплексной амплитудой
Е па =Ет sin (Kx/a)e~Jhz- A2.5)
Наличие торцевых плоскостей приводит к возникновению отражен-
отраженной волны, для которой
Ёуогр=АЕтах sin (jxx/a)eJhz, A2.6)
где А — не известный пока амплитудный коэффициент.
Если учесть, что при 2=0 суммарное электрическое поле с про-
проекцией Ёу=Ёу пад + Ёу отр должно обратиться в нуль из-за гранич-
граничного условия на идеальном проводнике, то, как нетрудно видеть,
А=—1. Отсюда, используя формулу Эйлера для суммы двух экс-
экспоненциальных функций с мнимыми показателями, получим
Ey=—j2Ema7isin(nx/a) slnhz. A2.7)
Согласно данному равенству, рассматриваемый электромагнитный
процесс является двумерной стоячей волной, которая существует
как по оси х, так и по оси z; вдоль координаты у напряженность
электрического поля постоянна. Однако длина стоячей волны по
оси z пока не определена, поскольку никаких требований по от-
отношению к продольному волновому числу h пока не предъявлено.

12.2. Прямоугольный объемный резонатор 235
Эти требования естественным образом вытекают из граничных ус-
условий на другой торцевой плоскости:
Ey=Q при *=/, A2.8)
откуда
hl=pn, A2.9)
где по-прежнему р — любое целое положительное число, исклю-
исключая нуль.
Значение продольного волнового числа, удовлетворяющее ра-
равенству A2.9), будем называть резонансным значением.
hp&3=pn/l. A2.10)
Отсюда легко перейти к резонансному значению длины волны в
волноводе
b.Pes = 2*/Apes = 2///;, A2.11)
а затем, воспользовавшись дисперсионным соотношением для вол-
волны типа Ню в прямоугольном волноводе
вычислить резонансное значение длины волны генератора:
A2.12)
Пример 12.1. Определить, какова должна быть длина I зако-
закороченного с обоих концов отрезка прямоугольного волновода се-
сечением 23ХЮ мм, если известно, что при резонансной длине вол-
волны Хо рез=3.4 см вдоль его оси укладываются три стоячие полу-
полуволны, т. е. р = 3.
Равенство A2.12) можно разрешить относительно / и полу-
получить
Подставляя сюда исходные числовые данные, находим 1=7.57 см.
Подведем некоторые предварительные итоги.
• Для прямоугольной полости с идеально проводящими стенка-
стенками решения уравнения Гельмгольца вида A2.7) существуют не
при любом значении длины волны возбуждающего источника, а
лишь при таких длинах волн, которые удовлетворяют резонанс-
резонансному условию A2.12).

236 Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы
• Каждому допустимому значению целочисленного индекса р
соответствуют своя резонансная длина волны и своя характерная
структура пространственного распределения векторов электромаг-
электромагнитного поля, представляющая собой тип колебаний в прямоуголь-
прямоугольном объемном резонаторе. В физике типы колебаний в резонато-
резонаторах, как, впрочем, и типы волн в волноводах часто называют мо-
модами соответствующих распределенных систем (от латин. modus —
образ).
• Типы колебаний в прямоугольном объемном резонаторе можно
классифицировать. Далее этот вопрос будет подробно изучен в
§ 12.3. Здесь укажем лишь, что рассмотренная совокупность мод
может быть обозначена как Ню*. Такая символика показывает,
что поле в объемном резонаторе порождается волноводной волной
типа Ню, а вдоль оси z укладывается р стоячих полуволн.
Структура электромагнитного поля. Удобнее всего проследить
структуру поля в резонаторе на примере простейшей моды Нюь
Здесь, очевидно, пространственное распределение напряженности
электрического поля описывается формулой
By=EQ sin (nx/a) sin (nz/l), A2.13)
где EQ — произвольный амплитудный множитель. Магнитное поле
в резонаторе находим непосредственно на основании второго урав-
уравнения Максвелла
rot Ё= — yo)(i.0H,
из которого после подстановки A2.13) вытекают формулы для
всех трех проекций:
cos (nz/l),
A2.14)
Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоя-
обстоятельство: комплексные амплитуды обеих проекций магнитного век-
вектора содержат мнимые единицы, в то время как комплексная амп-
амплитуда единственной отличной от нуля проекции электрического
вектора чисто действительна. Это говорит о том, что между мгно-
мгновенными значениями напряженностей электрического и магнитно-
магнитного полей в резонаторе существует сдвиг фаз по времени на угол
90°. Поэтому в объемном резонаторе, как и в любой другой элект-
электромагнитной колебательной системе, происходит непрерывный об-
обмен энергией между электрическим и магнитным полями. Дваж-

12.3. Общая задача о собственных колебаниях
237
ды за период собственных колебаний "вся энергия электрического
поля переходит в энергию магнитного поля и наоборот. Сказанное
иллюстрируется мгновенными картинами распределения силовых
линий электромагнитного поля в объемном резонаторе с типом ко-
колебаний Hioi (рис. 12.5). Картины построены для различных мо-
моментов времени в пределах половины периода.
©
©
о
о
©
0
©
©
?
©
©
©
?=0
t-sr/s
t=T/2
t=5T/8
Рис. 12.5. Структура электромагнитного поля для ко-
колебания типа Hioi в последовательные моменты вре-
времени
Отметим также, что среднее значение вектора Пойнтинга, обра-
образованного полями вида A2.13) и A2.14), тождественно равно ну-
нулю. Отсутствие усредненного потока энергии через идеальный ре-
резонатор говорит об автономном, не зависящем от параметров внеш-
внешних устройств характере собственных колебаний в такой электро-
электродинамической системе. На языке теории электрических цепей энер-
энергию, запасенную в резонаторе, можно назвать реактивной энер-
энергией.
123» Общая задача о собственных колебаниях
в прямоугольном объемном резонаторе.
Классификации типов колебаний
Рассмотрим всю совокупность собственных колебаний различ-
различных типов в замкнутой полости прямоугольной формы с идеаль-
идеально проводящими стенками. Для этого вновь обратимся к рис. 12.4
и положим, что ось z является осью стоячей волны, а в попереч-

238 Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы
ной плоскости XOY устанавливается распределение поля, отве-
отвечающее волне типа Етп прямоугольного волновода. Как уже го^
ворилось, резонансное значение длины волны в волноводе зави-
зависит от целочисленного параметра р — числа стоячих полуволн
вдоль продольной оси резонатора: ^врез = 2//р. С другой стороны,
величины Яврез и Хорез связаны общим дисперсионным соотноше-
соотношением
1А*рез-ИЛ;2Р- A2.15)
Поскольку волна типа Етп имеет критическую длину
6J, A2.16)
из равенства A2.15) получаем формулу для расчета резонансной
длины волны колебания типа Етпр в прямоугольном объемном ре-
резонаторе
Че»= , A2.17)
У [mi of- + (n/byn +(p/W
В практических расчетах часто используют также соответст-
соответствующую резонансную частоту
l^=TV (т) +Ы +(f) •
Если допустить, что по прямоугольному волноводу распростра-
распространяется волна типа Нтп, то аналогичным образом в замкнутой по-
полости возникают колебания типа Нтпр. Совершенно очевидно, что
их резонансные длины волн и резонансные частоты определяются
выражениями A2.17) и A2.18).
Пример 12.2. Прямоугольный объемный резонатор заполнен
воздухом и имеет следующие размеры: а=36 мм, 6=22 мм, /=
= 65 мм. Определить резонансную длину волны для колебания
типа Ец2.
В данном случае m=l, /i=l, p = 2. Подставив эти числа вмес-
вместе с заданными размерами ребер в формулу A2.17), получаем
2
^ь=-==========- =32.5 мм.
/A/36J+ A/22J+B/65J
Следует отметить, что в выражения A2.17) и A2.18) размеры
а, Ь и I, относящиеся к осям х, у и z соответственно, входят со-
совершенно равноправно. Поскольку известно, что некоторые индек-

12.3. Общая задача о собственных колебаниях 239
сы типов волн в волноводе могут быть равны нулю, возникает
вопрос о том, существуют ли резонаторные моды с индексом р =
=0.
Если р = 0, то поле в резонаторе не меняется вдоль оси z.
Обратимся к волноводной волне типа Етп. Здесь силовые линии
электрического вектора в продольном разрезе имеют конфигура-
конфигурацию, показанную на рис. 12.6, а для случая л=1. Данный рису-
рисунок отвечает случаю, когда рассматриваемый тип волны является
распространяющимся, т. е. Х0<Якр. Если же значение Яо стремится
к Ккр, то длина волны в волноводе стремится к бесконечности и
а) б)
Рис. 12.6. К вопросу о существовании колебаний
типа Етпо
силовые линии вектора напряженности электрического поля при-
приобретают вид «нитей», параллельных оси z (рис. 12.6, б). В пре-
пределе при А,=Якр электрический вектор имеет лишь 2-ю составляю-
составляющую и граничные условия на двух идеально проводящих торце-
торцевых стенках резонатора выполняются автоматически независимо
от расстояния I между ними. Таким образом, моды типа Етяо в
прямоугольном объемном резонаторе возможны.
Обратимся теперь к колебаниям Н-типа. Здесь исходная волна
типа Нтп в волноводе, по определению, имеет электрические век-
векторы, лежащие лишь в поперечной плоскости. Если все составляю-
составляющие векторов поля не будут меняться вдоль оси г, как это долж-
должно быть в случае резонаторной моды типа Нтпо, то поле в любой
точке резонатора должно обратиться в нуль, поскольку граничные
условия на стенках с координатами z=0 и z=l выполняться не
могут. Таким образом, в прямоугольном объемном резонаторе ко-
колебания типа Нттшо физически не существуют.
Итак, классификация типов колебаний в прямоугольном объ-
объемном резонаторе включает в себя следующие этапы:
• одна из осей резонатора принимается за продольную ось ре-
регулярного прямоугольного волновода;
• устанавливается, какой тип волны, Етп или Нтя, существует в
таком волноводе;
• определяется значение индекса р — число стоячих полуволн,
которые укладываются между торцевыми стенками.
Следует заметить, что такой принцип классификации в значи-
значительной степени условен, так как связан с произвольным выбором

240
Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы
продольной оси регулярного прямоугольного'волновода. Чтобы уяс-
уяснить это, обратимся к рис. 12.7, а, на котором изображена уже
знакомая картина силовых линий векторов электромагнитного по-
поля для колебания типа Нюь Если теперь резонатор повернуть в
пространстве таким образом, чтобы ребро с размером / было ори-
ориентировано вдоль оси у (рис. 12.7, б), то этот же самый электро-
электромагнитный процесс должен быть назван колебанием типа Ено.'
Легко проверить, что резонансные длины волн для обоих назван-
названных типов колебаний одинаковы.
X
а 0
у
;
X/
Рис. 12.7. К вопросу об условном характере клас-
классификации типов колебаний в прямоугольном объ-
объемном резонаторе
Понятие основного типа колебаний. На практике обычно стре-
стремятся к тому, чтобы при заданной резонансной частоте геометри-
геометрические размеры колебательной системы были минимальными. Это-
Этого удается достичь возбудив в резонаторе колебание основного
{низшего) типа. Так принято называть моду с наибольшей резо-
резонансной длиной волны при фиксированных размерах резонансной
полости.
Индексы m, n, p для основного типа колебаний, очевидно,
должны подбираться так, чтобы предельно уменьшить знамена-
знаменатель в формуле A2.7). Ясно, что один из индексов при этом
должен быть равен нулю, а два оставшихся — единице. Нулевой
индекс соответствует той декартовой оси, вдоль которой ориенти-
ориентировано ребро с наименьшей длиной.
Пример 12.3. Прямоугольный объемный резонатор размещен в
декартовой системе координат так, как показано на рис. 12.4. Ре-
Резонатор имеет размеры: а=40 мм, Ь = 25 мм, /=15 мм. Опреде-

12.3. Общая задача о собственных колебаниях 241
лить, какая мода является основной, и вычислить соответствую-
соответствующую резонансную длину волны.
В соответствии со сказанным индекс р = 0 должен соответст-
соответствовать самому короткому ребру длиной 15 мм. Поэтому основным
будет колебание типа Еио, для которого
мм.
Следует отметить, что в объемных резонаторах могут сущест-
существовать вырожденные моды, у которых резонансные длины волн
совпадают, несмотря на то что структуры поля совершенно раз-
различны. Примером могут служить колебания типов E35i и Hi3s в
резонаторе кубической формы.
Структура электромагнитного поля в прямоугольном резона-
резонаторе. Строгий подход к проблеме собственных колебаний электро-
электромагнитного поля в замкнутой полости прямоугольной формы с
идеально проводящими стенками основан на поиске комплексно-
значной функции Ё(х, у, г), которая удовлетворяет однородному
уравнению Гельмгольца
2 = 0 A2.19)
во всех внутренних точках резонатора. Это векторное уравнение
есть сокращенная форма записи трех скалярных уравнений отно-
относительно декартовых проекций Ёа (символом а обозначены х, у
или z):
дъЁ д^Е д2Е
=О. A2.20)
дх*
Проведенное ранее исследование наводит на мысль о том, что
среди всевозможных решений таких уравнений должны быть осо-
особо выделены функции вида трехмерных стоячих волн
Е^ sin (JEL_X\ sin (Л*-у\ sin (_?!L- z\ A2.21)
cos \ a ) cos \ b u I cos \ / /
со всевозможными комбинациями трех гармонических сомножите-
сомножителей. Прямая подстановка выражения A2.21) в уравнение A2.20)
приводит к следующему выводу: уравнение Гельмгольца для резо-
резонатора имеет решение не при любом значении коэффициента фазы
р0, а лишь в том случае, когда этот параметр принадлежит дис-
дискретной совокупности, определяемой выражением
A2.22)

242 Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы
где m, n, p — положительные целые числа, не равные нулю одно-
одновременно. Отсюда естественным образом вытекает полученное ра-
ранее соотношение для расчета резонансных длин волн вида A2.17).
Теперь учтем, что на идеально проводящих стенках резонатора
касательные составляющие электрического вектора должны обра-
обратиться в нуль. В развернутой форме это требование означает, что
Ёх=0 при у=0, y=b, z=0, z==l;
Ёу=0 при x=0, х=а, z=0, z=l\ A2.23)
Ez=0 при jc=O, х=а, y=0, y = b.
Равенства A2.23) позволяют конкретизировать допустимые реше-
решения и записать их так:
ЕХ=А cosf——xjsm \—у-г/Jsin ( -^—z),
A2.24)
) si
x) sin(-^-</) cos
где А, В, С—не известные пока коэффициенты.
Далее следует принять во внимание то, что проекции электри-
электрического вектора внутри резонатора обязаны не только удовлетво-
удовлетворять уравнению Гельмгольца A2.20), но и соответствовать вектор-
векторному полю без источников, для которого
divE=^- + -^-+-§2_=0. A2.25)
дх ду дг
Подставив выражения A2.24) в формулу A2.25), приходим к вы-
выводу о том, что между амплитудными коэффициентами должна су-
существовать линейная связь
AJLa-B—+C-?-=0. A2.26)
а Ь I
Будем рассматривать поле колебания типа ЕтпР, для которого
jiz—0 или в соответствии со вторым уравнением Максвелла
дх ду
Отсюда получаем еще одно уравнение связи
d т л п с\ /19 971*
Л Л— =и. (L2.Z/)

12.4. Круглый объемный резонатор 243
Решая систему алгебраических уравнении A2.26) и A2.27) отно-
относительно неизвестных А и В, получаем
с
рт
~{nim A2.28)
рп
Ы\
Итак, комплексные амплитуды проекций вектора напряженно-
напряженности электрического поля для колебания типа Етпр в прямоуголь-
прямоугольном объемном резонаторе имеют вид
h г» Рт I тл \ . f ПК \ . / рК \
Ех= — С——JL . cos— х) sin -— у] sm \^~~ z) ,
A2.29)
^ ^ pn . / тк \ l пк \ • [ рк \
Eu=—-C—~—-~^-~ — sinf——x cos — y\ sinf-^-— z) ,
;-« •-» • / тл \ . / пк \ ( рк \
EZ=C sinf—- x sm I— y) cos M-— z),
\ a I \ b 1 \ I j
где С—произвольный амплитудный коэффициент.
Комплексные амплитуды декартовых проекций магнитного век-
вектора
Hx^jC~-~ —— sin — х cos j — у) cos —— z), A2.30)
b я \ a j \ b j \ I j
г> .^ т ^рез^о / тк \ . f пл \ ( рк \
Иu— —/C— —--cos — x I sm [— tf\ cosl-^~~ z),
Проекции векторов электромагнитного поля для резонаторных
мод типа НтПр находят аналогичным способом.
НА» Круглый объемный резонатор
Рассмотрим цилиндрический объем, образованный отрезком
круглой металлической трубы радиусом а; отрезок имеет длину
/ и ограничен с. обеих сторон проводящими торцевыми стенками
(рис. 12.8). Такая система представляет собой круглый объемный
резонатор. Поставим задачу найти полную совокупность резонан-
резонансных частот данной колебательной системы.
Внутри регулярного круглого волновода могут распространять-
распространяться волны типа Етп и Нтя. Длина волны в волноводе К связана с

244
Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы
длиной волны в свободном пространстве Яо посредством диспер-
дисперсионного уравнения
которое справедливо для волны любого типа. Как известно, кри-
критические длины волн связаны с радиусом волновода и с корнями
функций Бесселя или их производной:
На каждой резонансной частоте вдоль оси колебательной си-
системы должно укладываться целое число стоячих полуволн, т. е.
обязано выполняться равенство
• Яврез=-2///?, где р=1, 2, 3,... —це-
—целое положительное число. При
анализе прямоугольного объемного
резонатора было, кроме того, по-
показано, что возможны моды с ин-
индексом р=0, у которых амплиту-
амплитуды полей неизменны вдоль оси z,
а стоячие волны возникают в по-
Рис. 12,8. Круглый объемный ре- перечном сечении. Таким образом,
зонатор из дисперсионного уравнения вы-
вытекают следующие формулы для
расчета резонансных длин волн в круглом резонаторе:
крлебания типа Етпр
*0рез—~
A2.31)
2па ) +\W
колебания типа \1тпр
1
Орез ¦
A2.32)
. .Ответ на вопрос о возможности существования мод с нулевым
значением индекса р таков же, как и в случае прямоугольного
объемного резонатора: типы колебаний Етяо возможны, а типов
Нтяо не существует»
Основной тип колебаний. Из формул A2.31) и A2.32) видно,
что резонансная длина волны тем больше, чем меньше корень vmn
(или iimn) и индекс р. Поэтому основной (низшей) модой в круг-
круглом объемном резонаторе может оказаться либо тип колебаний
Нш (|i= 1.841, р=1), либо тип Еою (v0i=2.405, р = 0). Резо-

12.4. Круглый объемный резонатор 245
нансные длины волн указанных типов колебаний становятся оди-
одинаковыми при длине /, которая служит корнем уравнения
2
2ш ) \ 2ла J х \ 21
т. е. при /=2.03а. В более «длинных» резонаторах основной мо-
модой оказывается Ниь а в более «коротких» — Еою-
Структура электромагнитного поля. Чтобы определить прост-
пространственное распределение векторов поля внутри круглого резо-
резонатора, требуется решить краевую задачу для векторного уравне-
уравнения Гельмгольца
V2E + poE=:O A2.33)
с очевидным граничным условием Ет=0 на идеально проводящих
стенках резонатора при дополнительном условии divE=0.
Действуя так же, как и ранее, приходим к выводу о том, что
данная краевая задача имеет ненулевые решения не при любых
значениях р0, а лишь при таких, которые вытекают из формул
A2.31) или A2.32).
Приведем окончательные формулы, по которым рассчитывают
пространственные распределения комплексных амплитуд проекций
векторов поля:
колебания типа ЕтПр
A2.34)
//,=0;
колебания типа Hmnp
A2.35)

246
Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы
н
Ч С У-тп PR jr ( №тпг
at \ a
cos/mp cos
z ,
трл
7"
Jn
cos m<? sin
z\.
11
©J
©
©
©
©
©
А-А
9
•
•
В формулах A2.34) и A2.35) коэффициент С является произ-
произвольным амплитудным мио-
'-°10 - жителем.
На рис. 12.9, а, б, в изо-
изображены >картины силовых
линий векторов поля для
некоторых часто применяе-
© © &t^n X^L~^-^\ и мых типов колебаний в круг-
круглом объемном резонаторе.
Силовые линии электриче-
электрического вектора в моде ЕОю
имеют вид «пучка» с макси-
максимумом интенсивности на оси;
силовые линии магнитного
вектора имеют вид концент-
концентрических колец. Структура
полей типов колебаний Нщ
\\011 А ' и НОц такова, что вдоль оси
резонатора укладывается
одна стоячая полуволна.
Следует еще раз под-
подчеркнуть, что приведенные
здесь картины полей отно-
относятся к некоторому фикси-
g\ рованному моменту време-
времени, в который электрическое
Рис. 12.9. Структура электромагнитного и магнитное поля не равны
поля для некоторых типов колебаний в нулю.
круглом объемном резонаторе:
а — для колебания Еою; б — для колебания
Н|ц; в — для колебания Нои
12.5. Некоторые способы возбуждения
и включении объемных резонаторов
а)
Е
б)
-н
Объемный резонатор на практике всегда должен быть тем или
иным образом связан с внешними устройствами. При этом особые
конструктивные элементы связи осуществляют возбуждение резо-

12.5. Некоторые способы возбуждения резонаторов
247
натора. Среди разнообразных способов возбуждения выделим три,
чаще всего применяемые в радиотехнике сверхвысоких частот.
Возбуждение при помощи штыря. При данном способе внутрь
резонатора через отверстие в стенке вводят миниатюрную штыре-
штыревую антенну, длина которой существенно меньше рабочей длины
волны. Такой антенной может служить, например, отрезок внут-
внутреннего проводника коаксиального кабеля (рис. 12.10). Для эф-
эффективного возбуждения резонатора необходимо, зная структуру
Рис. 12.10. Возбуждение Рис. 12.11. Возбуждение Рис. 12.12. Излучающая
объемного резонатора объемного резонатора щель на стенках кругло-
при помощи штыря: при помощи петли: го резонатора с колеба-
/ — резонатор; 2 — воз- 1 -г- резонатор; 2 — петля нием типа Еою
буждающий Штырь; 3 —
коаксиальный кабель
электромагнитного поля возбуждаемой моды, расположить штырь
так, чтобы он был параллелен силовым линиям вектора напря-
напряженности электрического поля. Подбирая местоположение штыря
и его ориентацию, можно добиться максимума скалярного произ-
произведения JCT. эЁ, где JCT. э — комплексная амплитуда вектора плот-
плотности стороннего электрического тока в штыревой антенне. При
этом в соответствии с энергетическими свойствами электромагнит-
электромагнитного поля (см. гл. 2) поток мощности от внешнего источника ко-
колебаний внутрь резонатора будет наибольшим.
Необходимо заметить, что процесс возбуждения резонатора
всегда является взаимным — мощность можно с равным успехом
как подводить к резонатору извне, так и отбирать из него во внеш-
внешние цепи.
Возбуждение при помощи петли. Другим элементом возбужде-
возбуждения резонатора молдет быть небольшая петля, по которой протека-
протекает переменный ток (рис. 12.11). Амплитуда колебаний, возбужден-
возбужденных в резонаторе, будет наибольшей в том случае, когда плоскость
петли в максимальной степени пронизывается магнитным потоком
поля резонатора. Возбуждающую петлю следует располагать там,
где силовые линии вектора напряженности магнитного поля имеют
наибольшую «густоту».

248
Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы
Возбуждение при помощи щели. Если в стенке резонатора име-
имеется узкая щель, перерезающая линии поверхностного тока, то
такая щель излучает электромагнитные волны. Она может слу-
служить элементом связи между объемным резонатором и внешними
устройствами, например волноводными линиями передачи. На рис.
12.12 изображена одна из возможных излучающих щелей, проре-
прорезанная в стенке объемного резонатора с колебанием типа Еою.
Крк
Рв*
КР
а)
"рез
В)
со
СО
б)
г)
\ Рис. 12.13. Два способа включения объемного резонатора в
волноводный тракт:
1 — резонатор; 2 — отверстие связи
Такие вопросы теории возбуждения электродинамических ко-
колебательных систем, как учет влияния возбуждающего элемента
.на частоту собственных колебаний или построение эквивалентной
схемы нагруженного резонатора, математически достаточно слож-
сложны и здесь не рассматриваются. Читатель, желающий углубленно
изучить этот раздел прикладной электродинамики, может обра-
обратиться к литературным источникам [5, 13].
Способы включения объемных резонаторов. Выделим два ти-
типичных способа соединения объемного резонатора с внешними
СВЧ-цепями. При первом, так называемом адсорбционном, спосо-
способе (рис. 12.13, а) в окрестности резонансной частоты происходит
более или менее интенсивный отбор мощности из той линии пере-
передачи, к которой, подобно двухполюснику, подсоединен резонатор.
Как следствие, на резонансной частоте коэффициент передачи
мощности Кр{®)= Рвых/Рвх имеет четко выраженный минимум (в).

12.6. Добротность объемных резонаторов 249
Второй способ включения объемного резонатора называют про-
проходным (рис. 12.13, б). Здесь резонатор имеет два элемента связи
с внешними цепями и используется как четырехполюсник. На ре-
резонансной частоте используемого типа колебаний коэффициент пе-
передачи мощности проходного резонатора максимален (г). В ра-
радиотехнических устройствах резонатор, включенный по проходной
схеме, выполняет роль полосового частотного фильтра.
12.6. Добротность объемных резонаторов
Частотная селекция сигналов — одна из важнейших техниче-
технических функций объемного резонатора. Качество частотно-избира-
частотно-избирательных систем, которые с точки зрения формы АЧХ в окрестно-
окрестности резонансной частоты схожи с простым колебательным конту-
контуром, принято характеризовать особым параметром — так называе-
называемой добротностью
7. . A2.36)
Здесь По.707 — полоса пропускания по уровню 0.707=1/^2 от
максимального значения АЧХ, которое наблюдается на резонанс-
резонансной частоте /рез.
Выведем общую формулу для расчета добротности объемного
резонатора, работающего на некотором заданном типе колебаний.
Будем исходить из того, что в соответствии с общефизическим
принципом после того, как в момент времени /=0 возбуждающий
источник отключается, амплитуда собственных колебаний в резо-
резонаторе будет уменьшаться во времени по экспоненциальному за-
закону. При этом, например,
?(/)=?0e^/*cosa>pe3/, О2-37)
где E(t)—любая из трех декартовых проекций вектора напря-
напряженности электрического поля, Ео — амплитуда колебаний в на-
начальный момент времени, т — так называемая постоянная времени
колебательной системы. Известно [2], что между параметрами t
и (Срез существует связь
Пусть W3an — начальный запас энергии в резонаторе при t=0.
Спустя один период собственных колебаний, т. е. при /=2я/(орез,
амплитуда поля уменьшится до уровня
Так как запасенная энергия пропорциональна квадрату амплитуд
векторов поля, то вследствие потерь за один период собственных
колебаний в резонаторе будет рассеяна энергия
^зап [1 -exp (-2*/Q)l. .A2.39)

250 Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы
Данную формулу можно упростить, заметив, что применяемые
в радиотехнике резонаторы высокодобротны (Q>1) и поэтому
ехр(—2n/Q)ttl—2jt/Q. Тогда с достаточной для практики точно-
точностью
откуда
Q = 2nW3aJWnoTT. A2.40)
Энергию потерь за один период собственных колебаний удобно
связать со средней мощностью потерь
Подставив это выражение в A2.40), получим
Q-VsWW^cp.nor. A2.41)
Следует отметить, что данная формула относится не только к мо-
моменту времени /=0, но и к любому моменту времени.
Конкретизируем равенство A2.41) для наиболее распростра-
распространенного частного случая, когда объемный резонатор заполнен воз-
воздухом, а единственным источником потерь является неидеальность
проводимости металлических стенок. Энергию, запасенную в ре-
резонаторе, можно найти проинтегрировав по объему квадраты амп-
амплитудных значений электрического или магнитного векторов:
H78an=iL f E2dV = ^- f #2dV\ A2.42)
V V
Мощность потерь, приходящаяся на 1 м2 поверхности металли-
металлических стенок, была определена ранее в гл. 11 при расчете зату-
затухания в волноводах. Численно эта мощность совпадает с модулем
усредненного вектора Пойнтинга потерь [см. формулу A1.13)]:
I Пср.пот, | =72 Re ZeM \HxJi*=V^J<fc) |HTMj2,
откуда
I A2.43)
где интегрирование ведется по замкнутой поверхности металличе-
металлических стенок резонатора. На основании равенств A2.42) и A2.43)
формулу A2.41) можно записать следующим образом:
f
q= Y. A2.44)
|KJ2dS " ¦ . " .
Здесь ©рез — резонансная частота рассматриваемой моды.

12.6. Добротность объемных резонаторов 251
Некоторые частные случаи. Выведем формулу для расчета доб-
добротности колебания типа Еою в круглом объемном резонаторе,
который имеет радиус а и осевую длину /. Будем исходить из то-
того, что здесь магнитный вектор имеет лишь азимутальную состав-
составляющую с комплексной амплитудой
H9(r)^HQJx(v0lr/a), , A2.45)
где Но — произвольный множитель.
Электромагнитное поле колебания типа ЕОю неизменно вдоль
оси z, так что интеграл, входящий в числитель формулы A2.44),
сводится к интегралу Ломмеля (см. гл. 9):
v
С j\L^y&r = nla?HlA{\l). A2.46)
о
В то же время числитель указанной формулы представляет собой
сумму интеграла по боковой поверхности резонатора и двух оди-
одинаковых интегралов по торцевым стенкам:
J |HtM|2 uS=HlA (v01) 2nal+H%/l (v01) 2ла2=
s
=2яа(/ + а)ЯоЛ(%). A2.47)
Подставив эти промежуточные результаты в( A2.44), имеем
A2-48)
При практических расчетах целесообразно воспользоваться
тем, что для моды Еою в круглом резонаторе ко рез:=::=2.61а, шрез^
= 2ясДорез —2.405с/а. С учетом этого формула A2.48) запишется
так:
^4, A2.49)
4,
где все размеры даны в метрах.
Пример 12.4. Круглый резонатор с колебанием типа Еою вы-
выполнен из меди, заполнен воздухом и имеет размеры а=38.4 мм,
/=40 мм. Вычислить ширину полосы пропускания по уровню 0.707
от максимального значения АЧХ.
Данная колебательная система имеет резонансную частоту
[Рез = ^Дорез = бУ B.61а) =3-109 Гц=3 ГГц. На основании форму-
формулы A2.49) добротность

252 Глава 12. Колебательные системы СЕЧ. Объемные резонаторы
Отсюда полоса пропускания резонатора
П0в707=3.109/16080ж 187 кГц.
Как видно из приведенного примера, добротность объемного ре-
резонатора может составлять несколько десятков тысяч, в то время
как добротность обычных колебательных контуров из сосредото-
сосредоточенных элементов в,диапазоне умеренно высоких частот не пре-
превышает нескольких сотен. Большая добротность объемных резо-
резонаторов обусловлена тем, что при типичных значениях удельной
проводимости материала стенок за каждый период собственных
колебаний рассеивается лишь весьма незначительная часть запа-
запасенной энергии. Добротность резонатора, очевидно, растет с уве-
увеличением его геометрических размеров, так как запасенная энер-
энергия пропорциональна третьей, а рассеиваемая мощность — второй
степени характерного геометрического размера, например радиу-
радиуса резонатора.
В справочной литературе приводятся формулы для расчета доб-
добротности многих резонаторов, используемых в радиотехнике. На-
Например, прямоугольный объемный резонатор с модой Hioi или,
что то же самое, Ецо имеет добротность
1 1 \з/2
A2.50)
1/1 2 \ 1/1
В заключение следует указать, что, во-первых, реально дости-
достижимые значения добротностей, как правило, несколько ниже тех,
которые теоретически предсказываются формулой A2.44). Причи-
Причиной этого явления могут быть, например, дополнительные потери
в трущихся контактах между боковой поверхностью резонатора и
одной из его торцевых стенок, которую перемещают вдоль оси в
целях перестройки по частоте. Во-вторых, проведенные здесь рас-
расчеты не учитывают поглощения части мощности во внешних уст-
устройствах, с которыми связан резонатор. Поэтому добротность ре-
резонатора, найденную описанным здесь способом, принято называть
собственной или ненагруженной добротностью в отличие от на-
нагруженной добротности, которая оказывается тем ниже, чем силь-
сильнее связь резонатора с внешними цепями.

12.7. Некоторые другие типы резонаторов 253
12.7. Некоторые другие типы объемные резонаторов
Помимо уже рассмотренных прямоугольных и круглых объем-
объемных резонаторов в технике СВЧ применяют резонаторы других
конструкций. В первую очередь следует назвать коаксиальный
объемный резонатор, представляющий собой закороченный с обо-
обоих концов отрезок коаксиального волновода (рис. 12.14). Такой
резонатор, как правило, работает на волнах типа Т, и поэтому
его поперечные размеры могут быть любыми независимо от значе-
значения резонансной частоты. Это обстоятельство благоприятствует
А-Л
1
Ф
::,
0
i I
' j
i
©
1 !
•
1
~H
Рис. 12.14. Колебание типа Tooi в коаксиальном объемном резона-
резонаторе
использованию коаксиальных объемных резонаторов на волнах
дециметрового диапазона, где аналогичные прямоугольные или
круглые резонаторы имели бы недопустимо большие габариты.
Моды в коаксиальном резонаторе можно обозначить как Тоор (ну-
(нулевые значения двух первых индексов указывают на отсутствие
стоячих волн вдоль координатных направлений г и <р, последний
индекс равен числу стоячих полуволн вдоль координаты г). Так,
на рис. 12.14 изображена структура силовых линий векторов эле-
электромагнитного поля для колебания типа Тооь Наличие внутрен-
внутреннего проводника увеличивает поверхность стенок резонатора. По-
Поэтому добротность коаксиального резонатора несколько ниже доб-
добротности аналогичной колебательной системы, построенной на ба-
базе полого металлического волновода.
Наилучшее соотношение между объемом и поверхностью, а зна-
значит, и наивысшую добротность можно получить в сферическом
объемном резонаторе. Эта колебательная система представляет
собой металлическую сферу, радиус которой близок к резонансной
длине волны. Однако сферические резонаторы трудно перестраи-
перестраивать по частоте, и поэтому их редко применяют на практике.

254
Глава 12. Колебательные системы СЕЧ. Объемные резонаторы
Ранее в данной главе упоминалось, что в электронных при-
приборах СВЧ используют тороидальные объемные резонаторы (рис.
12.15), которые по своей конструкции не сводятся к закороченно-
закороченному с двух концов отрезку регулярного волновода. Для такого ре-
резонатора можно приближенно считать, что энергия электрическо-
электрического поля локализуется в малой цилиндри-
ческой области зазора с осевым разме-
размером d9 причем обычно d<^h. Энергия же
магнитного поля в основном концентри-
концентрируется в тороидальной области с наруж-
наружным диаметром 2Ь и внутренним диамет-
диаметром 2а.
Найдем приближенное выражение
резонансной частоты данной колеба-
колебательной системы. Для этого будем счи-
считать, что в области
резонатора
:с
Ф2а
I
Г7
ф т
Ф Ф
ф Ф
Ф2Ь
зазора вдоль оси
протекает некоторый ток
Рис. 12.15. Тороидальный смещения с комплексной амплитудой /.
объемный резонатор За счет этого по закону Ампера в торои-
тороидальной области на расстоянии г от
оси возникает магнитное поле с единственной азимутальной про-
проекцией вектора напряженности
Я9=7/Bяг).
A2.51)
Полагая приближенно, что магнитное поле в резонаторе однород-
однородно вдоль оси z, находим магнитный поток, сцепленный с током
смещения:
(r)dr = _n^_ _ =
О а а
откуда эквивалентная индуктивность тороидального резонатора
эк~~ / 2л
In
(т)
A2.52)
Эквивалентную емкость тороидального резонатора найдем по
приближенной формуле плоского конденсатора
A2.53)
ной си-
A2.54)
Таким образом, резонансная частота данной колебательной си-
системы

12.7. Некоторые другие типы резонаторов 255
Пример 12.5. Найти резонансную частоту тороидального резо-
резонатора с размерами а=5 мм, Ь=15 мм, d=\ мм, й=10 мм. Ре-
Резонатор заполнен воздухом.
В данном случае
^4я-10-7.10-* 13 2210-9ГН
^1п3 2.210ГН)
10-9я.25-10-6==
э 36 л: • Ю-з
откуда по формуле A2.54) получаем /рез=4.08 ГГц.
Рассмотренный здесь тороидальный объемный резонатор явля-
является, по сути дела, квазистационарной колебательной системой, у
которой в отличие от распределенных систем имеется лишь одна
резонансная частота. Его преимущество заключается в сравни-
сравнительно небольших геометрических размерах. Однако добротность
тороидального резонатора, как правило, значительно меньше, чем
у резонаторов, получаемых закорачиванием отрезков регулярных
волноводов.
Существует множество других конструкций объемных резона-
резонаторов, которые изучаются в последующих радиотехнических кур-
курсах.
ЗАДАЧИ
12.1. Кубический объемный резонатор имеет воздушное запол-
заполнение и идеально проводящие стенки с размером 20 мм. Вычис-
Вычислите резонансную длину волны для основной моды.
12.2. Прямоугольный объемный резонатор, заполненный возду-
воздухом, имеет размеры а=2 см, Ь=4 см, /=3 см. Определите, ка-
какой тип колебаний в данном резонаторе является основным; ка-
какова его резонансная частота; какая мода является ближайшей
высшей.
12.3. Перестраиваемый объемный резонатор выполнен на ос-
основе прямоугольного металлического волновода сечением 23Х
ХЮ мм. Для перестройки резонатора одну из торцевых стенок
(поршень) перемещают вдоль оси волновода. Вычислите, в каких
пределах следует перемещать поршень, чтобы резонатор перестра-
перестраивался в диапазоне частот от 10 до 12 ГГц.
12.4. Круглый объемный резонатор с воздушным заполнением
имеет диаметр 5 см и длину 7.5 см. Определите резонансные дли-
длины волн для мод Еою и ЕОц в данном резонаторе.

256 Глава 13. Неоднородные уравнения Масквелла
12.5. Круглый объемный резонатор имеет идеально проводя-
проводящие стенки и воздушное заполнение. Измерения показали, что
колебание типа Е010 имеет резонансную частоту 3.5 ГГц, а коле-
колебание типа Нш — резонансную частоту 5.8 ГГц. Определите ради-
радиус резонатора и его длину.
12.6. Вычислите добротность круглого объемного резонатора,
выполненного из меди, имеющего радиус 3 см, длину 4 см и ра-
работающего на типе колебаний Еою.
12.7. Имеется кубический объемный резонатор с длиной ребра
а. В резонаторе возбуждена мода Нюь Докажите, что добротность
такой колебательной системы Q — a/Bd), где d — толщина по-
поверхностного слоя в материале стенок на резонансной частоте.
12.8. Определите добротность коаксиального объемного резо-
резонатора, работающего на основной Т-моде. Радиус внешнего про-
проводника 6=20 мм, радиус внутреннего проводника а=10 мм,
длина резонатора /=80 мм. Стенки резонатора выполнены из ла-
латуни.
12.9. Круглый объемный резонатор заполнен воздухом и рабо-
работает на типе колебаний Еою. Резонатор имеет диаметр 10 см и
длину 5 см. Известно, что в резонаторе запасена энергия 0.001 Дж.
Вычислите амплитуду напряженности электрического поля на оси
резонатора.
Глава тринадцатая
НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИЗЛУЧАТЕЛИ
До сих пор рассматривались так называемые однородные за-
задачи электродинамики, в рамках которых источники электромаг-
электромагнитного поля предполагались достаточно удаленными от той про-
пространственной области, в которой требуется найти векторы элект-
электромагнитного поля. Однако на практике, например при расчете
антенн, нужно найти непосредственную связь сторонних электри-
электрических токов, являющихся источниками электромагнитного поля,
с векторами Е и Н во всех точках пространства. Подобные же
задачи приходится решать, исследуя возбуждение волноводов или
объемных резонаторов с помощью штыря, щели, модулированного
во времени электронного потока, и т. д.
13.1. Постановка задачи
С математической точки зрения решение всех перечисленных
задач связано с неоднородной системой уравнений Максвелла, ко-
которая записывается следующим образом:

13.2. Векторный и скалярный потенциалы ч 257
Гot Н —- усоеаЁ = JCT,
=0, A3.1)
divB=0,
divD=0.
Для простоты считается, что во всех точках пространства объем-
объемная плотность электрического заряда р равна нулю.
В правой части первого уравнения из системы A3.1) фигури-
фигурирует плотность стороннего электрического тока JCT, которая явля-
является заданной функцией пространственных координат. В этом
смысле имеется прямая аналогия между неоднородной задачей
теории электромагнитного поля и гораздо более простой задачей
о токах и напряжениях в электрической цепи, которая возбужда-
возбуждается известными сторонними источниками ЭДС. При записи си-
системы A3.1) предполагается, что мгновенные значения физиче-
физических величин изменяются во времени по гармоническому закону с
постоянной угловой частотой со. Решив такую базовую задачу,
можно, по крайней мере теоретически, исследовать возбуждение
однородного неограниченного пространства системой электриче-
электрических токов со сложным спектральным составом, воспользовав-
воспользовавшись методом преобразования Фурье [2].
13.2. Векторный и скалярный потенциалы
электромагнитного поля
Непосредственно решить систему уравнений A3.1), как прави-
правило, весьма трудно хотя бы потому, что нужно определить все
шесть неизвестных проекций векторов Ё и Н. Поэтому целесооб-
целесообразно попытаться найти некоторые вспомогательные функции, од-
однозначно связанные с векторами напряженности электрического и
магнитного полей и обладающие тем свойством, что переход к ним
позволяет упростить процедуру решения неоднородных уравнений
Максвелла. Такие вспомогательные функции в электродинамике
называют потенциалами электромагнитного поля.
Отметим прежде всего, что третьему уравнению из системы
A3.1) автоматически удовлетворяет векторное поле В, определяе-
определяемое по формуле
B=rotA3. A3.2)
Здесь Аэ — некоторая векторная функция пространственных коор-
координат, которую называют электрическим векторным потенциалом.
Q __ 1 Q7Q

258 Глава 13. Неоднородные уравнения Максвелла
Термин обусловлен тем, что эта функция естественно возникает в
задачах о возбуждении электромагнитного поля сторонними элект-
электрическими токами. Таким же образом можно выразить векторное
поле напряженности магнитного поля:
Н=— rotA3. A3.3)
Соотношения A3.2) и A3.3) весьма неопределенны в том
смысле, что единственное условие, налагаемое на функцию
Аэ(г), — это дифференцируемость, обеспечивающая существование
ротора этого векторного поля. Более того, приведенные равенства
сохраняют силу, если к полю Аэ добавить еще одно векторное по-
поле F = grad и (г), где и(г) —произвольная гладкая функция радиу-
радиуса-вектора. Это свойство непосредственно вытекает из тождества,
доказываемого в векторном анализе,
rotgrad#=0. A3.4)
Попытаемся связать электрический векторный потенциал с на-
напряженностью электрического поля. Для этого подставим вектор
Н из формулы A3.3) во второе уравнение из системы A3.1):
rotE + /a>rotA8 = 0, A3.5)
т. е.
rot(E + yu)A9) = 0. A3.6)
В силу тождества A3.4) уравнение A3.6) будет выполняться
всегда, если
t3=—grad<p3.
Здесь фэ — некоторая функция координат, называемая скалярным
электрическим потенциалом. Знак правой части последней фор-
формулы обусловлен тем, что, как указывалось в гл. 10, для не зави-
зависящего от времени электростатического поля должно быть спра-
справедливо равенство
Ё =—grad<p3.
При этом сохраняется традиционное направление стрелок на си-
силовых линиях электрического поля, при котором истоками поля
служат положительные заряды.
Итак, мы нашли способ выразить напряженности электрическо-
электрического и магнитного полей через векторный и скалярный электрические
потенциалы:
3 —уа)Аэ, Н = — rotA9. A3.7)

13.3. Калибровка потенциалов 259
При этом достигнуто некоторое упрощение исходной задачи —
вместо двух векторных функций ищется одна векторная и одна
скалярная.
13.3. Калибровка потенциалов.
Неоднородное уравнение Гельмгольца
Подставим соотношения A3.7) в первое уравнение Максвелла
из системы A3.1):
— rotrotA84-ya)eagrad?9 + ya)raya)A8 = JCT. A3.8)
гЗ
Раскрывая векторную операцию rot rot, отсюда получаем
grad(divАв4-у«№ар.афв) ~V2A9 + Y2A9 = McT, A3.9)
где Y=/co"j/eaM>a — комплексный коэффициент распространения од-
однородной плоской волны в неограниченном пространстве.
До сих пор никаких ограничений на функции Аэ и фэ не на-
накладывалось. Потребуем теперь, чтобы оба эти потенциала сов-
совместно удовлетворяли соотношению
a|irfe=O. A3.10)
Формулу A3.10) называют соотношением калибровки потен-
потенциалов или условием Лоренца по имени голландского физика
Г. Лоренца A853—1928), внесшего большой вклад в развитие идей
Максвелла. Поскольку функции Аэ и фэ выбираются в значитель-
значительной степени произвольно, калибровочное соотношение A3.10) мо-
может быть удовлетворено всегда.
Используя условие Лоренца, можно существенно упростить
уравнение A3.9) и записать его так:
V2A3-Y2A3 = -!viCT. A3.11)
Полученное равенство представляет собой неоднородное уравне-
уравнение Гельмгольца относительно векторного электрического потен-
потенциала. Правой частью этого уравнения служит известная функ-
функция, которая описывает распределение в пространстве плотности
стороннего электрического тока.
Проведя операцию калибровки, удается выразить комплексные
амплитуды обоих векторов напряженности электромагнитного по-
поля через единственную функцию — электрический векторный по-
потенциал. Действительно, воспользовавшись равенством A3.10),
можно записать формулы перехода A3.7) следующим образом:

260 Глава 13, Неоднородные уравнения Максвелла
Ё^(graddivA9-Y2A3),
Н=—rotA9. A3.12)
Итак, если решение неоднородного уравнения Гельмгольца
A3.11) тем или иным образом получено, то окончательное нахож-
нахождение векторов электромагнитногр поля, возбужденного заданной
системой сторонних источников, сводится к простым дифферен-
дифференциальным операциям.
13.4. Решение неоднородного уравнения Гельмгольца.
Функция Грина
Приступая к поиску строгого решения задачи о возбуждении
неограниченного однородного пространства заданной системой сто-
сторонних источников, ограничимсянаиболее важным частным слу-
случаем, когда потери в среде распространения отсутствуют. При
этом комплексный коэффициент распространения у=/р и уравне-
уравнение A3.11) приобретает вид
= -MCT. A3.13)
Это неоднородное векторное дифференциальное уравнение естест-
естественным образом распадается на три независимых уравнения от-
относительно проекций искомой функции Аэ(#, у, z) на оси декарто-
декартовой системы координат:
Все три уравнения из системы A3.14) совершенно идентичны.
Поэтому задачу о возбуждении электромагнитных волн в свобод-
свободном пространстве без потерь можно свести к решению неодно-
неоднородного скалярного уравнения Гельмгольца вида
v*C/ + pU = F A3.15)
относительно некоторой неизвестной функции О (г) при заданной
правой части Р(г).
Функция Грина. Способ решения уравнения A3.15) существен-
существенным образом опирается на то, что это уравнение линейное, а зна-
значит, подчиняется принципу суперпозиции. Рассмотрим некоторую
точку пространства Q, имеющую радиус-вектор г0. Пусть /"(го) —

13.4. Решение неоднородного уравнения Гельмгольца 26,1
значение правой части уравнения A3.15) в этой точке. Окружим
точку Q физически малой окрестностью с объемом AV и назовем
величину F(ro)AV интенсивностью источников в данной точке.
Если функция Р{г0) всюду принимает лишь конечные значе-
значения, то эта интенсивность стремится к нулю при AV-И). Принято
говорить, что в этом случае источники распределены в простран-
пространстве непрерывно. Однако теоретически возможна и другая ситуа-
ситуация, когда в точке Q размещен источник конечной интенсивности,
которая остается неизменной при сколь угодно малом значении
AV. Говорят, что при этом в точке пространства с радиусом-векто-
радиусом-вектором Го расположен дискретный источник. Если интенсивность ис-
источника равна единице, то правая часть уравнения A3.15) запи-
записывается в виде
А (г) = 8 (г-Го), A3.16)
где б (г—Го)—трехмерная дельта-функция, которую можно фор-
формально представить в виде произведения трех одномерных дельта-
функций: б (г—Го) =б (х—хо) б (у—У о) 6 (z—Zq) .
Свойства дельта-функции излагаются, например, в курсе тео-
теоретической радиотехники [2]. Укажем, в частности, на следующее:
при всех г=7^=г0 функция 6 (г—г0) равна нулю, однако
— ro)dl/ = jjj Ъ(х — хо)Ь(у — yQ)b(z — zQ)dxdydz=
— уо)Ъ (z — zQ) dx0 dyQ dzQ = 1
при интегрировании по любому объему, содержащему точку Q; в
последней формуле х, yf z — координаты точки наблюдения, а Хо,
У о, Zq — координаты точки источника.
По определению, функцией Грина (/(г, г0) уравнения Гельм-
Гельмгольца A3.15) называют решение неоднородного уравнения
V2G(r, ro) + p2G(r, го) = 8(г-го), A3Л7)
которое описывает гармонический волновой процесс, распростра-
распространяющийся по всем направлениям из точки размещения источника.
Покажем, что, располагая функцией Грина, можно до конца
решить задачу о возбуждении свободного пространства произволь-
произвольной совокупностью сторонних источников, как непрерывных, ?ак
и дискретных, причем на основании принципа суперпозиции про-
процедура решения сведется к вычислению некоторого интеграла. Для
этого сначала умножим обе части уравнения A3.17) на неизвест-
неизвестную функцию О, а затем обе части уравнения A3.15)—на функ-
функцию Q. Вычитая преобразованные равенства почленно, будем
иметь
A3.18)

262 Глава 13. Неоднородные уравнения Максвелла
Возьмем некоторый достаточно большой объем V с поверхностью
S, содержащий точку Q, и проинтегрируем по нему обе части фор-
формулы A3.18). При этом объемный интеграл от левой части молено
заменить поверхностным интегралом, воспользовавшись известной*
из векторного анализа формулой Грина
f (U\2G-Gs/2U)dV = § (UgradG-GgradLJ)dS==
v s
= \[Ub(r-rQ)-GF\dV. A3.19)
v
Физически ясно, что при достаточном удалении точек поверхности
5 от точки размещения источника Q значения функций О и G на
5 могут быть сделаны сколь угодно малыми, так что поверхност-
поверхностный интеграл в A3.19) обратится в нуль. Отсюда приходим к со-
соотношению, которому должно удовлетворять искомое решение
О (г):
A3.20)
J
Обе функции, б (г—Го) и G(r, г0) симметричны относительно
своих аргументов, т. е.
8(г-го) = 8(Го-г), 6 (г, ro) = G(ro, r).
На этом основании интегрирование в формуле A3.20) можно в
равной мере проводить как по координатам точек наблюдения,
так и по координатам точек источников. Интегрируя по координа-
координатам точек источников xOj y0, z0 и используя фильтрующее свойст-
свойство дельта-функции [2], получаем общее решение неоднородного
скалярного уравнения Гельмгольца с произвольной правой частью:
U(r) = \ О (г, ro)F(rQ)dxQdyQdzo. A3.21)
v
Физический смысл этого решения прост и нагляден — резуль-
результирующее возмущение, наблюдаемое в точке с радиусом-вектором
г, есть взвешенная сумма элементарных возмущений от всех ис-
источников; роль весовой функции играет при этом функция Грина
уравнения Гельмгольца.
Отметим, что полученная формула применима к любым диф-
дифференциальным уравнениям в частных производных, которые опи-
описывают разнообразные процессы в пространственно распределен-
распределенных системах — диффузию, распространение теплоты и т. д. Раз-
Различными окажутся лишь конкретные формы функций Грина. В ли-
литературе функцию Грина часто называют фундаментальным рейхе-

13.4. Решение неоднородного уравнения Гельмгольца 263
нием соответствующего уравнения, подчеркивая этим значимость
данного понятия.
Явное выражение функции Грина для уравнения Гельмгольца.
Однородное трехмерное пространство является изотропным — ха-
характеристики волн никак не связаны с направлением их распрост-
распространения. Поэтому можно заранее утверждать, что функция Грина
G(r, Го) фактически зависит лишь от одного аргумента /?=|г—
—Го |—длины радиуса-вектора, проведенного из точки размеще-
размещения источника в точку наблюдения.
Очевидно, что при всех R=?0 функция G(R) является решени-
решением однородного уравнения Гельмгольца
или, раскрывая оператор Лапласа в сферически симметричном
случае (d/dQ = d/dy=0),
il!^—l_J_ ^2. -4-p2^=o. A3.22)
d/?2 ' r dR ' v 7
Из данного уравнения можно исключить слагаемое с первой про-
производной, если воспользоваться подстановкой^ф=/?й. Тогда, как
^нетрудно убедиться, относительно новой неизвестной функции *ф
имеем уравнение
= 0 A3.23)
с двумя очевидными решениями: ty\,2{R) =exp(±/p/?). Каждое та-
такое решение описывает комплексную амплитуду бегущей гармони-
гармонической волны, распространяющейся вдоль радиальной координаты.
Одна из этих волн движется в направлении из бесконечности к
источнику, а другая — от источника на бесконечность. Поскольку
физический смысл может иметь лишь последняя из упомянутых
волн, приемлемым решением оказывается только функция ty (R) =
= ехр(—j$R), которая приводит к следующему выражению функ-
функции Грина:
A-?^-9 A3.24)
R
где А — некоторая постоянная.
Принято говорить, что формула A3.24) описывает однородную
сферическую волну. Амплитуда этой волны убывает обратно про-
пропорционально первой степени радиуса-вектора.
Чтобы найти числовое значение постоянной А, следует обра-
обратиться к уравнению A3.17), записав его в виде
A3.25)

264 Глава 13. Неоднородные уравнения Максвелла
Опишем вокруг точки размещения источника малый шар D ра-
радиуса ?; пусть Г — поверхность этого шара. Проинтегрировав обе
части уравнения A3.25) по объему D, имеем
Г v2G dD +p2 f G dD = С В (/?) dD = 1.
Ъ Ъ Ъ
Если ?->0, то в левой части последнего равенства следует сохра-
сохранить только первое слагаемое, поскольку вблизи точечного источ-
источника модуль функции, определяемой равенством A3.24), изменя-
изменяется весьма резко и значение дифференциального выражения V2(/
существенно превышает значение самой функции О. Таким обра-
образом,
= f divgrad(/dD=J gradOdr = l. A3.26)
D Ь Г
Примем во внимание, что градиент сферически-симметричной
функции (а именно такой, как указывалось, обязана быть функ-
функция Грина) численно равен проиводной по радиальной координате:
grad 0= (dO/dR)ir. Тогда равенство A3.26) приобретает вид
откуда
dG/d/?=l/Dn/?2),
Решив это вспомогательное дифференциальное уравнение, нахо-
находим, что в непосредственной близости от источника функция Грина
Значит, постоянная, входящая в выражение A3.24), А=—1/Dя).
Окончательный вид искомой функции Грина таков:
ИЛИ
Данная формула на основании равенства A3.21) позволяет
записать решение неоднородного скалярного уравнения Гельмголь-
ца A3.15):
= -J- Г F
4я J
I г - го I

13.5. Элементарный электрический излучатель
265
Этот результат естественным образом обобщается на случай век-
векторного уравнения A3.13):
-/Plr-r.l
э (г) = i^- JCT (г0) ~
4я J I г — г0
dxQ
A3.28)
13.5. Элементарный электрический излучатель
Элементарным электрическим излучателем (вибратором) на-
называют идеализированную излучающую систему, в которой пере-
переменный электрический ток протекает вдоль отрезка прямой линии
при исчезающе малой площади поперечного сечения. Считается,
что длина излучающей области / значительно меньше длины эле-
электромагнитной волны Я в окружающей среде.
Рис. 13.1. Элементарный
электрический излуча-
излучатель
Рис. 13.2. К нахождению
разности хода волн от двух
крайних точек излучателя
Физическая картина протекания тока по элементарному элект-
электрическому излучателю такова. Пусть, например, в раарыв излу-
излучающего отрезка проводника включен источник гармонической
ЭДС. Тогда ток проводимости проходит по одному плечу излуча-
излучателя, создает в пространстве ток смещения и через другое плечо
возвращается в источник (рис. 13.1).
Малость длины излучателя по сравнению с длиной волны поз-
позволяет рассматривать его как точечный источник электромагнит-
электромагнитных волн. Действительно, в произвольным образом расположен-
расположенную точку наблюдения Р приходят сферические волны, возбуж-
возбуждаемые всеми участками излучающего проводника. Наибольшая
геометрическая разность хода (рис. 13.2) для двух волн с радиу-
радиусами-векторами п и г2 составит при этом
д=/ sin a,
A3.29)

266
Глава 13. Неоднородные уравнения Максвелла
откуда разность фаз возбужденных колебаний, выраженная в ра-
радианах,
2л/
о л 2л/ .
= [ЗД = sin a.
A3.30)
Согласно формуле A3:30), при /Д<С1 система излучает как бы
единую сферическую волну и в этом смысле может считаться то-
точечным источником электромагнитных волн.
Будем считать, что элементарный излучатель расположен в на-
начальной точке сферической системы координат (г, 0, ф), причем
для определенности излучатель
ориентирован параллельно поляр-
полярной оси z (рис. 13.3). Благодаря
малости геометрических размеров
излучателя по сравнению с длиной
волны формулу A3.28) можно не-
несколько упростить, вынеся за знак
интеграла те сомножители, вид ко-
которых определяется характером
функции Грина; при этом считаем,
что го = О и jia = pto (среда распро-
распространения— воздух или вакуум):
Рис. 13.3. Определение сфериче-
ских проекций векторного потен-
циала
4я г J
V
A3.31)
Чтобы вычислить входящий сю-
сюда интеграл, воспользуемся тем, что комплексная амплитуда век-
вектора плотности стороннего электрического тока выражается сле-
следующим образом:
Действительно, каждая из дельта-функций имеет размерность
1/м, так что размерность плотности тока оказывается равной
А/и2. Вдоль элементарного излучателя плотность тока считается
неизменной и поэтому, используя фильтрующее свойство дельта-
функции, находим
J JC
V
= iz j dz j"J h(xQ)b(yQ)dxodyQ=Iliz.
Подставляя этот результат в формулу A3.31), имеем
4л
A3.32)
A3.33)

13.6. Структура поля элементарного излучателя 267
Из полученного выражения следует, что векторный электрический
потенциал электромагнитного поля, возбуждаемого элементарным
вибратором, описывается функцией вида однородной сферической
волны, которая распространяется вдоль радиальной координаты
г со скоростью света.
Для дальнейшего анализа необходимо разложить вектор Аэ в
каждой точке пространства по единичным векторам сферической
системы координат. Такое разложение показано на рис. 13.3. Мож-
Можно заметить, что в данном случае электрический векторный потен-
потенциал имеет лишь две отличные от нуля проекции:
e~~^ cos 6,
г
4я
А4 = —Аэ s\nB=—™±--± sinG, A3.34)
Азимутальная проекция потенциала ЛЭф обращается в нуль из-за
того, что в каждой точке пространства вектор Аэ ориентирован
вдоль полярной оси сферической системы координат.
13.6. Структура поля элементарного
электрического излучателя
Элементарный электрический излучатель представляет собой
простейшую антенну, возбуждающую в пространстве электромаг-
электромагнитные колебания. Изучим законы пространственного распределе-
распределения напряженностей электрического и магнитного полей, созда-
создаваемых таким излучателем. Для этого воспользуемся формулой
Н=—rotA3,
1*0
которая связывает магнитный вектор поля с электрическим век-
векторным потенциалом. Целесообразно вычислять ротор в сфериче-
сферической системе координат, используя проекции, задаваемые форму-
формулами A3.34). Следует иметь в виду, что, с одной стороны, проек-
проекция ЛэФ=0, а с другой — отличные от нуля проекции АЭГ и ЛЭ0 не
зависят от азимутального угла ф, так что <3/дф = 0. Это обстоя-
обстоятельство значительно упрощает выкладки:
=о,
sin 6
—J-(-L (гЛэ?)I=0, A3.35)
г \ дг эу /J

268 Глава 13. Неоднородные уравнения Максвелла
j Г i д(гЛэВ) , дЛ9Г]_ 1 1
4ЯГ2
Как правило, на практике интересуются полями на расстоя-
расстояниях гот излучающего источника, значительно превышающих дли-
длину волны X. При этом безразмерный параметр (Зг^> 1, и точка на-
наблюдения находится в так называемой дальней зоне излучателя.
На основании равенств A3.35) приходим к выводу, что в дальней
зоне магнитный вектор излучаемого электромагнитного поля име-
имеет лишь единственную проекцию вдоль азимутальной координаты;
приближенно эта проекция вьГчисляется по формуле
/fy = ^Lsin6- е~~;РГ . A3.36)
4я г
Электрический вектор поля, возбуждаемого излучателем, мож-
можно найти на основании первого равенства из системы A3.12), од-
однако проще воспользоваться уравнением Максвелла
Ё rotH,
в правую часть которого следует подставить уже найденную про-
проекцию магнитного вектора. Вычислив в сферической системе ко-
координат ротор векторного поля Н с единственной отличной от нуля
проекцией вида A3.36), находим проекции электрического вектора
в дальней зоне:
^iH^^^bwr00596"'''' A3'37)
Следует отметить, что модуль проекции Ёг убывает с ростом
радиуса пропорционально множителю 1/г2, в то время как модуль
проекции Ее изменяется по закону 1/г, т. е. гораздо медленнее.
Это дает основание полагать, что в дальней зоне проекцией Ёг
можно пренебречь и единственной отличной от нуля проекцией
электрического вектора оказывается
Ё% sin 0 е/РГ ^-AZoSlnO^-, A3.38)
4яо)е0 г 4л г
где 70=120я=377 Ом —характеристическое сопротивление ва-
вакуума.

13 А Структура поля элементарного излучателя ч 269
\
Рассматривая формулы A3.36) и A3.38) совместно, приходим
к следующим выводам:
® электромагнитное поле, возбуждаемое в пространстве элемен-
элементарным^ электрическим излучателем, представляет собой сфериче-
сферическую волну [ср. с выражением A3.24)];
Ф в каждой точке пространства отношение комплексных ампли-'
туд ?е//?<р=2о, что характерно для однородной плоской волны в
неограниченном свободном пространстве;
Ф возбуждаемая сферическая волна является неоднородной, по-
поскольку амплитуды полей зависят от полярного угла;
Ф вектор Пойнтинга в дальней зоне направлен вдоль единично-
единичного вектора \г, т. е. волна переносит мощность в радиальном на-
направлении.
Пример 13.1. Электрический излучатель имеет длину /=0.2 м
и возбуждается от источника с частотой /=15 МГц. Амплитуда
тока в излучателе /т = 4 А.
Найти амплитудные значе-
значения проекций Нут и Евт на
расстоянии г=5 км от дан-
данного вибратора, полагая,
что радиус-вектор, прове-
проведенный в точку наблюде-
наблюдения, образует угол 9 = 60°
с осью излучателя. Средой
распространения является
вакуум.
В данном случае К=
= ?//=20 м, так что отно-
отношение /Д=0,01 и поэтому
излучатель можно считать
элементарным источником.
1
Рис, 13.4. Структура силовых линий век-
вектора напряженности электрического поля
вблизи элементарного излучателя.
р Коэффициент фазы р = 2яД=
= 0.314 м, параметр рг= 1570; следовательно, точка наблюдения
находится в дальней зоне. По формуле A3.36),
// =
4л.г
отсюда
sin 8 = 3.46- Ю-6 А/м,
В/м.
На рис. 13.4 приведен эскиз мгновенного распределения сило-
силовых линий электрического вектора в дальней зоне элементарного

270)
Глава 13. Неоднородные уравнения Максвелла
электрического излучателя. В общих чертах этот эскиз повтс/ряет
оригинальный рисунок, приведенный в свое время Г. Герце?/. Так
как проекции векторов электромагнитного поля не зависят/от уг-
угла ф, картина силовых линий одна и та же в любой плрскости,
которая включает в себя полярную ось. Силовые линии вектора
напряженности электрического поля имеют вид искривленных
замкнутых фигур. На достаточном удалении от источника кривиз-
кривизной силовых линий в малой окрестности точки наблюдения можно
пренебречь и считать, что изучаемое поле представляет собой ло-
локально плоскую волну.
13J. Диаграмма направленности элементарного
электрического излучателя
В теории антенн исключительно важную роль играет функция,
которая описывает зависимость комплексных амплитуд полей, воз-
возбуждаемых в пространстве некоторой излучающей системой, от
углов наблюдения Э и ср. Такую функцию называют диаграммой
направленности антенны.
Ев(в)/Ев(*/2)
л/г
ж в
Рис. 13.5. Нормированная
диаграмма направленности
элементарного излучателя
Рис. 13.6. Построение диаграммы на-
направленности элементарного электриче-
электрического излучателя в полярной системе
координат
В случае элементарного электрического излучателя угловая
зависимость амплитуды излучаемого поля имеет вид sin 6; от угла
Ф амплитуда поля не зависит. Начальные фазы проекций векто-
векторов поля, как это видно из формул A3.36) и A3.38), вообще не
связаны с угловыми координатами, т. е. волновые фронты (поверх-
(поверхности равных фаз) образуют семейство концентрических сфер.
Максимум излучения наблюдается при 8=я/2, т. е. в экватори-
экваториальной плоскости сферической системы координат; вдоль оси виб-
вибратора (9=0 или п) излучение отсутствует.
На практике обычно пользуются нормированными диаграмма-
диаграммами направленности. При этом по оси ординат откладывают модуль

/д#. Сопротивление излучения 271
напряженности поля при заданном угле наблюдения, отнесенный
к максимальному значению напряженности поля. Нормированная
диаграмма направленности элементарного электрического излуча-
излучателя Урис. 13.5) представляет собой синусоидальную функцию,
построенную на отрезке значений аргумента от 0 до я/2.
Для \наглядности нормированную диаграмму направленности
часто изображают в полярной системе координат. Принцип по-
построения \такой диаграммы заключается в том, что на каждом лу-
луче, проведенном из начала координат под заданным углом 8, от-
откладывают нормированное значение модуля напряженности поля;
масштаб рисунка может быть любым. Нетрудно убедиться, что
геометрическим местом точек диаграммы направленности эле-
элементарного электрического излучателя будет окружность (рис.
13.6), так как
ОА = ОВ sin0. A3.39)
Несмотря на то что истинной областью изменения угла явля-
является отрезок [0, я], диаграмму направленности часто изображают
в обеих полуплоскостях, подчеркивая этим, что вибратор равно-
равномерно (изотропно) излучает по всем углам ср. Именно таким об-
образом построена диаграмма направленности на рис. 13.6.
13.8» Сопротивление излучения.
Коэффициент направленного действия
элементарного излучателя
Вычислим мощность, излучаемую элементарным вибратором в
среднем за один период колебаний. Для этого мысленно окружим
излучатель замкнутой поверхностью S произвольной формы. Зна-
Значение излученной мощности Р2 найдем, проинтегрировав среднее
значение вектора Пойнтинга ПСр по поверхности S:
Ps=fncpdS. A3.40)
$
Ясно, что результат не зависит от конкретного выбора поверхно-
поверхности интегрирования. Поэтому проще всего взять S в виде сферы
некоторого радиуса г, такого, что |3г^>1, так что точки сферы рас-
располагаются в дальней зоне излучателя.
Используя проекции векторов электромагнитного поля, описы-
описываемые формулами A3.36) и A3.38), находим радиальную про-
проекцию среднего вектора Пойнтинга в дальней зоне, которая из-за
синфазности величин Ёе и Яф оказывается чисто действительной:

272 Глава 13. Неоднородные уравнения Максвелла
При интегрировании по поверхности сферы учтем, что дифферен-
дифференциал площади dS = r2sin0d0d(p. Отсюда получаем
2тс тс
A3.42)
Если воспользоваться табличным интегралом
1С
f sin30 d6=— ,
J з
о
то выражение A3.42) можно привести к следующему виду:
Ps= ^2jfZ° - A3.43)
Согласно данной формуле, мощность излучения пропорциональ-
пропорциональна квадрату амплитуды тока, протекающего по излучателю.
В этом смысле есть прямая аналогия между выражением A3.43)
и формулой из теории цепей, которая выражает мощность пере-
переменного тока в некотором резистивном двухполюснике. Другими
словами,
где
^D) °м <13-44)
— так называемое сопротивление излучения элементарного элект-
электрического излучателя. Данная величина характеризует излучатель-
ную способность антенны. Действительно, при одной и той же
амплитуде тока в излучателе значение излученной мощности тем
больше, чем выше сопротивление излучения.
Пример 13.2. Используя условия, сформулированные в приме-
примере 13.1, найти амплитуду тока в элементарном электрическом из-
излучателе, если известно, что мощность Р2 = 2.5 Вт.
Сопротивление излучения рассматриваемой антенны
/?а = 80 • C.14J • @.01 J = 0.079 Ом.
Амплитуда тока в антенне
^"a=]/2.2.5/0.079 = 7.95 А.
Данный пример показывает, что для изучения даже умеренной
мощности могут потребоваться весьма значительные токи в ан-

1<к8. Сопротивление излучения 273
тенне. С этой трудностью приходится сталкиваться при создании
передающих антенн с приемлемыми в практическом отношении га-
габаритами для диапазонов километровых и гектометровых волн.
В соответствии с формулой A3.41) максимальное значение мо-
модуля вектора Пойнтинга имеет место при 9 = я/2 и составляет
^?^. A3.45)
Если же Мысленно допустить, что мощность излучается по всем
направлениям изотропно, то в соответствии с равенством A3.43)
плотность потока мощности на удалении г о\ источника
• A3.46)
Принято вводить обобщающую числовую характеристику антен-
антенного устройства
которую называют коэффициентом направленного действия (KHJX)
антенны. Подчеркнем, что этот коэффициент относится к направ-
направлению максимума излучения. -Для элементарного электрического
излучателя на основании выражений A3.45) и A3.46) находим,
что /)=1.5. Столь небольшой КНД свидетельствует о том, что
элементарный вибратор слабо концентрирует излучение в прост-
пространстве. Современные сложные антенны, например антенные ре-
решетки, состоящие из множества отдельных излучателей, имеют
значения КНД, достигающие сотен и даже тысяч.
Пример 13.3. Некоторая антенна имеет КНД, равный 500.
Мощность излучения составляет 30 кВт. Найти значение ПСр max
в направлении максимума излучения на расстоянии 80 км от ан-
антенны.
Если бы антенна излучала по всем направлениям изотропно,
то плотность потока мощности на заданном расстоянии должна
равняться частному от деления значения излучаемой мощности на
площадь сферы:
Псомвн=-^- = tlOl = 3.73-10~7 Вт/м2.
ср.равн 4яг2 4.3,14.(8.104J
Отсюда получаем максимальную плотность потока мощности для
заданной антенны:
Псртах=^Пср.равн=500.3.73.10-7=1.87.10-4 Вт/м2.

274
Глава 13. Неоднородные уравнения МаксвеЛла
13.9. Элементарный излучатель
в режиме приема
/
k
Любая антенна может с равным успехом работать как /ka пе-
передачу, так и на прием колебаний. Изучим общие закономерности
работы приемной антенны на примере элементарного электриче-
электрического излучателя длиной /, который облучается плоской /электро-
/электромагнитной волной, у которой вектор Е параллелен оси излучателя.
Если зажимы антенны разомкнуты, то под действие^ поля на
них возникает переменное напряжение,
комплексная амплитуда которого в первом
приближении
U=El.
A3.47)
лена пунктиром)
Данная формула, достаточно ясная интуи-
интуитивно, может быть доказана строго, на
чем мы здесь не останавливаемся. В тео-
Рис. 13.7. Эквивалентная рии антенн она отображает важный прин-
схема элементарного эле- цип нпводпМЫХ ЭДС.
' Чтобы извлечь мощность из вибратора,
его следует нагрузить на некоторое, в об-
общем случае комплексное, сопротивление
ZH. Обычно таким двухполюсником нагрузки служат входные це-
цепи приемника. При этом в замкнутой цепи будет возникать на-
наведенный ток и антенна будет переизлучать (рассеивать) падаю-
падающее поле. Это обстоятельство является принципиальным — любая
антенна неизбежно рассеивает часть мощности в окружающее
пространство.
На рис. 13.7 изображена эквивалентная схема элементарного
излучателя, работающего в режиме приема. Из-за эффекта пере-
переизлучения внутреннее сопротивление эквивалентного генератора
обязательно содержит действительную (активную) часть, числен-
численно равную сопротивлению излучения 7?2. Кроме того, данная ан-
антенна, похожая в сущности на небольшой конденсатор с двумя
обкладками, имеет некоторое реактивное сопротивление, для уче-
учета которого на эквивалентной схеме предусмотрен емкостный эле-
элемент Са.
Мощность, передаваемая из антенны в нагрузку, будет макси-
максимальной в режиме согласования, при котором абсолютные значе-
значения реактивных сопротивлений элементов Са и LH на рабочей ча-
частоте одинаковы. Это означает, что цепь антенны должна быть
настроена в резонанс. Кроме того, в режиме согласования обеспе-
обеспечивается равенство действительных частей полных сопротивлений
антенны и нагрузки:
ЯН=Я2. A3.48)

1^.9. Элементарный излучатель в режиме приема 275
Ilpii этом ток в антенне будет иметь комплексную амплитуду /==
= шB/?2), а мощность, выделяемая в нагрузке, примет макси-
максимально достижимое значение
^Х^
A3-49)
Если подставить сюда величину Um в соответствии с равенством
A3,47) и использовать выражение i?s—20(р/J [см. формулу
A3.44)], то окажется, что
причем, и это довольно неожиданно, мощность р нагрузке не за-
зависит от длины антенны. Причина состоит в том, что с ростом дли-
длины антенны наведенное напряжение увеличивается, однако вместе
с этим растет действительная часть ее внутреннего сопротивления.
Если теперь учесть, что среднее значение вектора Пойнтинга
падающей волны в точке размещения антенны
то формулу A3.50) можно записать так:
^нтах-ПсрЛэф, A3.51)
где
Лэф=ЗХ2/(8я)=0.119X2 A3.52)
представляет собой так называемую эффективную площадь эле-
элементарного излучателя в режиме приема.
Таким образом, элементарный электрический излучатель спосо-
способен извлечь из падающей плоской электромагнитной волны и пе-
передать в согласованную нагрузку всю мощность, переносимую в
пределах участка волнового фронта площадью 0.I19X2.
В диапазонах декаметровых и метровых волн действительная
часть входного сопротивления приемника, как правило, существен-
существенно превосходит сопротивление излучения обычно применяемых
штыревых антенн, коротких по сравнению с длиной волны. К тому
же добиться резонансного режима в антенной цепи технически до-
довольно сложно. Поэтому для повышения уровня полезного сигнала
целесообразно по возможности увеличивать длину штыревой ан-
антенны. ;
Для надежного и высококачественного приёма необходимо,
чтобы мощность сигнала в нагрузке антенны Рп ощутимо, скажем,
в 5—10 раз превышала мощность Рш собственных шумов прием-
приемника, которую вычисляют по формуле [2]
РШ = АГШД/. ' A3.53)

276 Глава 13. Неоднородные уравнения Максвелла
Здесь &=1.38-10~23 Вт/(Гц-К)—постоянная Больцмана; Тщ —
параметр, называемый приведенной шумовой температурой йри-
емиика, К; Af — ширина полосы пропускания приемника, Гц.
Пример 13.4. Элементарный вибратор длиной / = 0.5 м ориен-
ориентирован параллельно электрическому вектору плоской электромаг-
электромагнитной волны с напряженностью Ет = 5 мкВ/м. Длина волны К=
= 6 м (частота /=50 МГц). Вычислить мощность Рнтах в на-
нагрузке, согласованной с антенной, а также мощность Рн в нагрузке
с активным сопротивлением /?„ —600 Ом. В обоих случаях считать,
что реактивные составляющие сопротивлений антенны и нагрузки
(приемника) взаимно скомпенсированы. Для второго из рассмат-
рассматриваемых случаев найти числовое значение так называемого отно-
отношения сигнал/шум q=PnlPmy характеризующего уровень полезно-
полезного сигнала на входе приемника по отношешнию к уровню собствен-
собственного шума. Положить Гш=300 К (комнатная температура), Д/=
= 100 кГц.
Эффективная площадь данной антенны ЛЭф=0.119Я2=4.284 м2.
Среднее значение вектора Пойнтинга падающей волны ПСР=
= ?т2/B40л) =3.3-10~14 Вт/м2. Мощность сигнала в нагрузке, со-
согласованной с антенной, Рнтах=ПСрЛЭф= 1.414-10~13 Вт.
Сопротивление излучения рассматриваемого вибратора /?2=
=80л2(/ДJ=5.48 Ом значительно меньше активной части вход-
входного сопротивления приемника F00 Ом) во втором случае. Это
значит, что приближенно данную антенну можно рассматривать
как источник ЭДС с пренебрежимо малым внутренним сопротив-
сопротивлением. Амплитуда напряжения источника сигнала на входе при-
приемника Um = Eml=2.5-l0~6 В; при этом мощность в нагрузке Рн=
= Um2l B#„) =6.25-102/ B • 600) =5.2-10~15 Вт, что примерно
в 25 раз меньше мощности в согласованной нагрузке.
Мощность шума, приведенная ко входу приемника, Рш=
=^ГшД/=1.38.10-23.3.102-105=4.14.10-16 Вт. Тогда отношение
сигнал/шум q—PnlPm= 12.56. Такая цифра свидетельствует о воз-
возможности уверенного приема заданного сигнала.
13.10. Элементарный щелевой излучатель
Данная излучающая система представляет собой бесконечную
идеально проводящую плоскость, в которой прорезана щель дли-
длиной / и шириной А (рис. 13.8). Если поперек щели создать пере-
переменное электрическое поле, то, как известно, такая щель стано-
становится элементом, по которому протекает гипотетический магнит-
магнитный ток в направлении, параллельном длинным кромкам щели.

13.10. Элементарный щелевой излучатель
277
В соответствии с принципом перестановочной двойственности ще-
щелевой излучатель дуален по отношению к изученному ранее элект-
электрическому излучателю и поэтому может называться также магнит-
магнитным излучателем.
Возбуждение щели осуществляют различными способами. Мож-
Можно, например, к длинным кромкам щели непосредственно подклю-
подключить источник высокочастотного напряжения (рис. 13.8, а). При
этом возникает двустороннее возбуждение щели, так как энергия
электромагнитного поля излучается в оба полупространства. Одна-
Однако чаще прибегают к одностороннему возбуждению щелевого из-
излучателя, например, при помощи прямоугольного волновода с вол-
волной типа Ню (рис. 13.8, б). Здесь переменные во времени электри-
электрические заряды на кромках щели наводятся за счет протекания
поверхностных токов по тому участку металлической плоскости,
который закорачивает волновод.
Kv.iiV:::^/^;;.:;.^.
•:-::.W.-::.+V.+ :,:: +
•• • (¦]
ЩИ
531 л;
1
Рис. 13.8. Элементарный щелевой излучатель:
а — с двусторонним излучением; б — с односторонним излуче-
Для того чтобы рассматриваемая щель могла считаться эле-
элементарным излучателем, необходимо потребовать выполнения не-
неравенства /<СЯ; при этом щель обычно является узкой, т. е. А<С/.
Не ограничивая общности, будем изучать щелевой излучатель
с двусторонним возбуждением. При этом нет нужды решать ка-
какую-либо новую электродинамическую задачу, поскольку достаточ-
достаточно применить принцип перестановочной двойственности к найден-
найденным ранее проекциям векторов поля элементарного электрическо-
электрического излучателя. Выпишем формулы, описывающие поля обоих из-
излучателей в дальней зоне.
Электрический излучатель
JIdL
ы
4л
sin0
A3.54)

278 Глава 13. Неоднородные уравнения Максвелла
Щелевой излучатель
Ef= ~;/м/р sin 8 е~;РГ , A3.55)
4я г
н — /''Р е~УЗг
/7q=
При переходе от A3.54) к A3.55) выполнена замена Z0-*->l/Z0.
Общий характер такого соотношения вытекает из формул B.31);
знак в правой части обусловлен тем, что векторы Пойнтинга ис-
исходного и двойственного электромагнитных полей должны быть
ориентированы в одну сторону.
Заметим, что в дальней зоне элементарный щелевой излуча-
излучатель имеет электрический вектор с единственной составляющей,
направленной вдоль орта азимутальной координаты. Это означает,
что силовые линии вектора напряженности электрического поля,
выходя из щели, на некотором расстоянии приобретают форму
окружностей (см. рис. 2.5, б).
На практике в качестве величины, характеризующей возбуж-
возбуждающий источник, вместо довольно абстрактной амплитуды сто-
стороннего магнитного тока /м гораздо удобнее использовать комп-
комплексную амплитуду ищ напряжения в щели, измеряемую непосред-
непосредственно в вольтах. Свяжем между собой эти две величины, для
чего вновь обратимся к рис. 2.5, а, б. Касательную проекцию маг-
магнитного вектора на поверхности идеально проводящей полоски
можно найти, совместив путь интегрирования с контуром попереч-
поперечного сечения проводника, а затем воспользовавшись законом пол-
полного тока:
/}Т=/Э/BД). A3.56)
Здесь предполагается, что толщина полоски равна нулю.
Применив элементарную формулу электростатики и считая при-
приближенно, что напряженность электрического поля поперек щели
неизменна, находим
EX = UJL. A3.57)
Поскольку в силу принципа перестановочной двойственности элек-
электрический и магнитный векторы взаимозаменяемы, последняя фор-
формула должна соответствовать равенству A3.56) и записываться
в виде
A3.58)
откуда
К = %ищв1 A3.59)

13.10. Элементарный щелевой излучатель 279
Итак, комплексная амплитуда стороннего магнитного тока, про-
протекающего по щелевому излучателю, численно равна удвоенной
комплексной амплитуде напряжения в щели. Окончательные фор-
формулы для расчета проекций векторов электромагнитного поля в
дальней зоне щелевого излучателя таковы:
/ e-^r A3'60)
e"" 2nZ0 Sm ~~~r
Сопротивление излучения щелевого излучателя. В соответствии
с равенствами A3.60) усредненный за период колебаний вектор
Пойнтинга имеет единственную составляющую, направленную
вдоль орта радиального направления (обратите внимание на знак
в правой части):
Дер, —У,*,//.- -lUzo ¦ A3-61)
Мощность, излучаемую элементарным щелевым вибратором,
находим путем интегрирования радиальной проекции усредненно-
усредненного вектора Пойнтинга по поверхности S сферы достаточно боль-
большого радиуса, точки которой расположены в дальней зоне излу-
излучателя:
Поскольку мощность излучения оказывается пропорциональной,
квадрату напряжения в щели, формулу A3.62) можно записать
в следующем виде:
pi, = U2uimK2R^)i A3.63)
где /?2щ —величина, измеряемая в омах и называемая сопротив-
сопротивлением излучения щелевого излучателя. В теории цепей доказы-
доказывается, что именно такой оказывается активная мощность, выде-
выделяемая в резисторе под действием гармонического напряжения.
Сопоставляя выражения A3.62) и A3.63), убеждаемся, что
<13-64)
Чем меньше длина волны по сравнению с рабочей длиной волны,
тем больше сопротивление излучения и тем меньше излученная
мощность.

280
Глава 13. Неоднородные уравнения Максвелла
В заключение сравним эффективность рассмотренных элемен-
элементарных излучателей, электрического и щелевого. Предположим,
что имеются два совершенно одинаковых по конфигурации излу-
излучателя разных типов. Пусть по электрическому излучателю про-
протекает ток с амплитудой 1т. Спрашивается, какова должна быть
амплитуда ищт напряжения в щели для того, чтобы оба вибра-
вибратора излучали одинаковую мощность, т. е. выполнялось равенство
//?/2 ?/^
Положим для определенности, что /т=1 А. Тогда в соответ-
соответствии с формулами A3.45) и A3.64) получаем [/щт=188 В. Этот
результат в известном смысле го-
У\ 1э?*<Ро
Рис. 13.9. Элементарный рамоч-
рамочный излучатель
ворит о недостатке щелевого излу-
излучателя, так как напряжение в ще-
щели существенно ограничено воз-
возможностью электрического пробоя
между близко расположенными
кромками.
13.11. Элементарный рамочный
излучатель
Так принято называть круговой
виток из проводника радиусом а<С
<СА,, по которому протекает пере-
переменный электрический ток с комп-
комплексной амплитудой /э, одинаковой
во всех точках проводящей рамки.
Предположим, что рамка располагается в экваториальной
плоскости сферической системы координат; точка начала коорди-
координат совпадает с центром излучающего элемента (рис. 13.9). Рас-
Рассмотрим два элемента тока величиной по 1эа d ф0, расположенные
симметрично по отношению к оси х в точках с координатами ±фо-
Каждый такой элемент ведет себя подобно элементарному элек-
электрическому излучателю и на основании принципа суперпозиции
может быть представлен в виде двух составляющих по осям х и у.
При этом, как легко заметить, х-составляющие взаимно компен-
компенсируются, а у-составляющие, складываясь, удваиваются. Значит,
каждая пара таких элементов тока создает в пространстве элект-
электрический векторный потенциал с единственной проекцией вдоль
азимутальной координаты ф.
Будем считать, что точка наблюдения Р лежит в плоскости
XOZ, имеет полярную координату 8 и располагается в дальней
зоне, т. е. на расстоянии не менее нескольких длин волн от излу-

13.11. Элементарный рамочный излучатель 281
чающей рамки. Как следует из рис. 13.9, геометрическая разность
хода до точки наблюдения из центра рамки и из выделенных эле-
элементов равна a sin 8 cos ф0. Эту величину необходимо учесть
в быстроосциллирующем экспоненциальном множителе, входящем
в формулу A3.33). В то же время длина радиуса-вектора, фигу-
фигурирующая в знаменателе этой формулы, с большой точностью мо-
может считаться одинаковой и равной г для всех точек излучающей
рамки. На основании сказанного по аналогии с A3.28) имеем
2я J
о
ЗГ Г coscpoe'Pflsin0cos<p°dcpo. A3.65)
г J
о
Так как размер рамки намного меньше длины волны, т. е. |3a<Cl,
то подынтегральную функцию в A3.65) можно существенно упро-
упростить, воспользовавшись двумя первыми членами разложения экс-
экспоненты в ряд Тейлора
е№ sin 9 cos <Fo ~ 1 _|_ jp# sin 0 COS <p0.
Тогда
2л
тс
f A +/рл sin 0 cos cp0) cos <р0 d'fo =
A3.66)
где Sp — площадь рамки. Отсюда в соответствии с формулой
Н= A/jxo) rot Аэ находим проекции вектора напряженности маг-
магнитного поля, возбуждаемого в пространстве элементарным рамоч-
рамочным излучателем:
Hr = ? — (sin 6ЛэУ)= P cosQ— , A3.67}
(r^) —i^Lsine^^l . A3.68)
p.or or 2k г
Следует обратить внимание на то, что амплитуда проекции Йг
уменьшается с ростом радиуса по закону 1/г2, т. е. гораздо быст-
быстрее, чем амплитуда проекции Я0. Поэтому можно обоснованно счи-
считать, что в дальней зоне магнитный вектор имеет лишь одну про-
проекцию Я0.
Электромагнитное поле, создаваемое рамочным излучателем,
в дальней зоне представляет собой сферическую (локально-плос-
(локально-плоскую) волну, переносящую мощность в радиальном направлении.

282 Глава 13. Неоднородные уравнения Максвелла
Поэтому на основании равенства A3.68) единственная отличная
от нуля проекция электрического вектора
fy = -Z0//e= ZoIf^ sin 6 *~т . A3.69)
Сравнивая формулы A3.68) и A3.69) с аналогичными выра-
выражениями A3.60), найденными ранее для элементарного щелевого
излучателя, убеждаемся в том, что рамка, малая по сравнению
с длиной волны, может рассматриваться как элементарный маг-
магнитный излучатель, у которого воображаемый магнитный ток про-
протекает перпендикулярно плоскости рамки. Диаграмма направлен-
направленности рамки описывается функцией sin 9, и поэтому такой элемент
не излучает (а значит, и не принимает) волн в осевом направле-
направлении.
Не останавливаясь на подробностях вычислений, приведем
окончательную формулу для сопротивления излучения рамки (Ом):
4. A3.70)
Например, если 5p=10~2 м2, Я=30 м, то 7?2 = 3.85-10~4 Ом. Столь
малое значение сопротивления излучения серьезно затрудняет соз-
создание эффективных рамочных антенн для работы в передающем
режиме. Действительно, в рассматриваемом случае при протека-
протекании тока с амплитудой /рт = 2А рамка излучает лишь мощность
Pz=I2pmRz/2=7.7-l0~*- Вт. Чтобы увеличить сопротивление излу-
излучения, прибегают к многовитковым рамкам. Нетрудно показать,
что их сопротивление излучения растет пропорционально множи-
множителю N2, где N — число витков.
Рамочные антенны часто применяют в радиоприемной технике,
например в радиокомпасах для пеленгации угла прихода волн.
В портативных приемниках повсеместно используют многовитко-
вые рамочные антенны, намотанные на ферритовых стержнях. Та-
Такие антенны выгодно отличаются малыми габаритами.
ЗАДАЧИ
13.1. Вычислите проекции векторов электромагнитного поля,
возбуждаемого в воздухе элементарным электрическим излучате-
излучателем длиной 10 см на расстоянии 100 м в экваториальной плоско-
плоскости (9 = 90°). Частота колебаний 100 МГц, амплитуда тока в ан-
антенне 2 А.
13.2. Применительно к условиям, сформулированным в зада-
задаче 13.1, определите сопротивление излучения, а также излучаемую
мощность.
1.3.3. Антенна передающей станции длинноволнового радиове-
радиовещательного диапазона представляет собой вертикальную мачту

14.1. Общие характеристики диапазонов радиоволн 283
высотой 120 м. Предположив, что амплитуда неизменна в каждом
сечении мачты, найдите ток в антенне, если излучаемая мощность
равна 75 кВт.
13.4. Элементарный щелевой излучатель имеет двустороннее
возбуждение и работает на частоте 600 МГц. Длина излучателя
4 см. Известно, что в точке свободного пространства с координа-
координатами г=800 м, 6 = 30° данный излучатель создает электрическое
поле, имеющее азимутальную проекцию ?фт=10 мкВ/м. Опреде-
Определите амплитуду напряжения между кромками щели.
13.5. Приемный электрический вибратор имеет длину, малую
по сравнению с длиной волны принимаемых колебаний. Ось виб-
вибратора ориентирована параллельно вектору напряженности элект-
электрического поля падающей плоской электромагнитной волны. Най-
Найдите мощность, поступающую во входные цепи радиоприемного
устройства в согласованном режиме, если известно, что частота
поля равна 40 МГц, а напряженность электрического поля падаю-
падающей волны составляет 200 мкВ/м.
13.6. Одновитковый рамочный излучатель имеет диаметр 0.5 м
и работает на частоте 25 МГц. По излучателю протекает пере-
переменный гармонический ток с амплитудой 0.3 А. Найдите ампли-
амплитуду вектора напряженности магнитного поля, создаваемого таким
излучателем в экваториальной плоскости (9 = 90°) на расстоянии
10 км от излучателя.
Глава четырнадцатая
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
В ЗЕМНЫХ УСЛОВИЯХ
В настоящей главе обсуждаются особенности работы реальных
радиолиний, у которых приемная и передающая антенны распола-
располагаются в непосредственной близости от земной поверхности. По-
Показано, что условия распространения электромагнитных волн су-
существенно зависят от физических параметров как земной поверх-
поверхности, так и атмосферы, причем эти влияния оказываются различ-
различными в разных частотных диапазонах.
14.1. Общие характеристики диапазонов радиоволн
Как правило, термин «радиоволны» обозначает электромагнит-
электромагнитные волны, принадлежащие тому или иному диапазону частот,
применяемому в радиотехнике. Специальным решением Междуна
родного союза электросвязи (МСЭ) и Международной электротех-

284 Глава 14. Распространение радиоволн в земных условиях
нической комиссии (МЭК) принято различать следующие диапа-
диапазоны радиочастот и соответствующих длин радиоволн:
О очень низкие частоты (ОНЧ) — от 3 до 30 кГц, или мириамет-
ровые волны (длина волны от 100 до 10 км);
• низкие частоты (НЧ)—от 30 до 300 кГц, или километровые
волны (длина волны от 10 до 1 км);
• средние частоты (СЧ) — от 300 кГц до 3 МГц, или гектомет-
ровые волны (длина волны от 1 км до 100 м);
• высокие частоты (ВЧ) — от 3 до 30 МГц, или декаметровые
волны (длина волны от 100 до 10 м);
• очень высокие частоты (ОВЧ) — от 30 до 300 МГц, или мет-
метровые волны (длина волны от 10 до 1 м);
• ультравысокие частоты (УВЧ) — от 300 МГц до 3 ГГц, или де-
дециметровые волны (длина волны от 1 м до 10 см);
О сверхвысокие частоты (СВЧ) —от 3 до 30 ГГц, или сантимет-
сантиметровые волны (длина волны от 10 до 1 см);
• крайне высокие частоты (КВЧ) — от 30 до 300 ГГц, или милли-
миллиметровые волны (длина волны от 1 см до 1 мм).
Радиотехника исторически развивалась с неуклонной тенденци-
тенденцией к освоению все более высокочастотных диапазонов. Это было
связано прежде всего с необходимостью создавать высокоэффек-
высокоэффективные антенные системы, концентрирующие энергию в пределах
узких телесных углов. Дело в том, что антенна с узкой диаграм-
диаграммой направленности обязательно должна иметь поперечные раз-
размеры, существенно превышающие рабочую длину волны. Такое
условие легко выполнить в метровом, а тем более в сантиметровом
диапазоне, в то время как остронаправленная антенна для мириа-
метровых волн имела бы совершенно неприемлемые габариты.
Вторым фактором, определяющим ценные свойства высокочас-
высокочастотных диапазонов, служит то обстоятельство, что здесь удается
реализовать большое число радиоканалов со взаимно не пересекаю-
пересекающимися полосами частот. Это дает возможность, с одной стороны,
широко использовать принцип частотного разделения каналов [2],
а с другой — применять широкополосные системы модуляции, на-
например частотную модуляцию. При определенных условиях такие
системы модуляции способны обеспечить высокую помехоустойчи-
помехоустойчивость работы радиоканала.
В практике радиовещания и телевидения сложилась также не-
несколько упрощенная классификация диапазонов радиоволн. Со-
Согласно ей, мириаметровые волны называют сверхдлинными волна-
волнами (СДВ), километровые — длинными волнами (ДВ), гектомет-
ровые — средними волнами (СВ), декаметровые — короткими вол-
волнами (KB), а все более высокочастотные колебания с длинами
волн короче 10 м относят к ультракоротким волнам (УКВ). Вол-

Морская вода
Пресная вода
Влажная почва
Сухая почва
Лед
Снег
Лес
75
80
20—30
3—5
4—5
1.2
1.04
14.2. Свойства земной поверхности и атмосферы Земли 285
ны сантиметрового и длинноволновой части миллиметрового диа-
диапазонов иногда называют также микроволнами (англ. microwa-
microwaves).
14.2. Электродинамические свойства
земной поверхности и атмосферы Земли
Земной шар представляет собой тело почти сферической формы
радиусом около 6370 км. В большинстве радиолиний, исключая
космические, приемные и передающие антенны приподняты над
земной поверхностью на высоты, существенно меньшие радиуса
Таблица 14.1. Электродинамические параметры подстилающих сред
Среда е о, См/м
1—6
ю-2—з-ю-2
2. Ю-2—0.1
10—2-10-3
j о-2—0.10-2-0Л
ю-6
Ю-6—10-*
Земли. В то же время длина трассы, т. е. расстояние между пере-
передатчиком и приемником, измеренное вдоль земной поверхности,
может изменяться в очень широких пределах, колеблясь от не-
нескольких километров (телевидение, ближняя радиосвязь) до не-
нескольких тысяч километров (радиовещание, радионавигация). По
этой причине при расчете технических характеристик приземных
радиоканалов используются различные модели формы земной по-
поверхности. В простейшем случае короткой трассы кривизной по-
поверхности Земли обычно пренебрегают и считают, что граница раз-
раздела этой поверхности с атмосферой является плоской. Если же
длина трассы сравнима с радиусом Земли, то приходится учиты-
учитывать реальную форму границы раздела, поскольку прямая види-
видимость между начальной и конечной точками трассы отсутствует.
Затеняющее действие земной поверхности приводит к известному
из физики явлению дифракции радиоволн. Как следствие, приня-
принятая волна оказывается существенно ослабленной.
Электродинамические параметры земной поверхности. В земных
условиях волны распространяются над той или иной подстилаю-
подстилающей поверхностью (почва, скальный грунт, лес, пресная или мор-
морская вода, лед и т. д.). Все эти материальные среды являются
практически немагнитными, и их относительная магнитная прони-
проницаемость \i с достаточной для практики точностью может считать-

286 Глава 14. Распространение радиоволн в земных условиях
ся равной единице. Основными параметрами материала подсти-
подстилающей поверхности оказываются относительная диэлектрическая
проницаемость е и удельная электрическая проводимость а. Как
показывают эксперименты, оба эти параметра подвержены частот-
частотной дисперсии, которая, однако, выражена достаточно слабо.
В табл. 14.1 приводятся числовые данные для наиболее распро-
распространенных сред применительно к частотам ниже 300 МГц.
Нужно заметить, что подобные параметры, часто встречающие-
встречающиеся в литературе по распространению радиоволн и по радиолока-
радиолокации, описывают усредненные характеристики, получаемые на осно-
основе многочисленных измерений, проводимых в различных географи-
географических и метеорологических условиях. Достоверность таких цифр
применительно к отдельно взятому конкретному эксперименту не
слишком высока и дает возможность проводить лишь ориентиро-
ориентировочные расчеты, которые тем не менее во многих случаях удовлет-
удовлетворяют практическим запросам.
Как указывалось в § 2.3, обобщающей числовой характеристи-
характеристикой немагнитной материальной среды с омическими потерями слу-
служит комплексная диэлектрическая проницаемость
еа = ??о—УаЯ A4.1)
Вещественная часть этого комплексного числа пропорциональна
суммарной плотности тока смещения и тока поляризации, в то вре-
время как мнимая часть характеризует объемную плотность токов
проводимости. Можно заметить, что с понижением рабочей часто-
частоты со относительная доля токов проводимости непрерывно возра-
возрастает, и при со—>-0 материальная среда с потерями становится ме-
таллоподобной.
Пример 14.1. Определить значение частоты, при которой в су-
сухой почве с параметрами е=5, а=10~3 См/м действительная и
мнимая части комплексной диэлектрической проницаемости стано-
становятся одинаковыми.
В соответствии с формулой A4.1) Re еа = еео=5- 10~9/C6я) =
=4.42-101 Ф/м. Отсюда искомая частота со = а/(еео) =
= 10-3/D.42- Ю-11) =2.26-107 с или f=3.6 МГц.
Таким образом, на волнах длинноволнового и средневолнового
диапазонов сухая почва может рассматриваться как металлопо-
добная среда с потерями. Еще в большей степени это относится
к такой распространенной подстилающей поверхности, как мор-
морская вода, занимающая большую часть поверхности Земного шара.

14.2. Свойства земной поверхности и атмосферы Земли 287
В грубом приближении при расчете радиолиний низкочастот-
низкочастотных диапазонов (с частотами менее 1 МГц) земную поверхность
можно приближенно считать идеально проводящей, что существен-
существенно упрощает решение любых задач о распространении радиоволн.
С ростом рабочей частоты омические потери начинают сказывать-
сказываться все в большей степени. Это обстоятельство приводит к допол-
дополнительному ослаблению радиоволн. В диапазоне УКВ большинство
материальных сред, из которых сложена земная поверхность, мо-
могут рассматриваться как несовершенные диэлектрики, у которых
действительная часть комплексной диэлектрической проницаемости
существенно превосходит мнимую часть.
Атмосфера Земли и ее строение. Химический состав земной ат-
атмосферы в настоящее время изучен весьма тщательно. Атмосфера
Земли представляет собой смесь молекулярного азота G8 %) и
молекулярного кислорода B1 %). На долю прочих компонентов,
главным образом водяного пара и некоторых инертных газов, при-
приходится лишь 1 %.
Физические параметры атмосферы Земли весьма сильно зави-
зависят от высоты. По этой причине общепринято рассматривать ат-
атмосферу как объединение двух областей: нижней атмосферы —
области с высотами от нуля до 60 км, и верхней атмосферы, кото-
которая располагается в интервале высот от 60 до 20 000 км. В свою
очередь, нижняя атмосфера делится на тропосферу (высоты до
15 км) и стратосферу (высоты от 15 до 60 км).
Физические процессы в тропосфере и стратосфере определяют
собой погодные и климатические явления на Земле. Они связаны
с интенсивным массо- и теплообменом, а также переносом боль-
больших воздушных масс.
Верхняя атмосфера Земли, чаще называемая ионосферой, под-
подвергается интенсивному облучению Солнца и других космических
источников. За счет этого происходит ионизация атомов газов, что
существенным образом влияет на характер распространения ра-
радиоволн в ионосфере.
Следует заметить, что деление атмосферы на различные обла-
области носит условный характер и проводится лишь с тем, чтобы
упростить раздельное изучение тех или иных физических явлений.
Какие-либо четко очерченные границы между областями атмосфе-
атмосферы, безусловно, отсутствуют.
Атмосфера удерживается за счет действия гравитационного по-
поля Земли. Внутри атмосферы существует гидростатическое давле-
давление р, которое в средних широтах на уровне Мирового океана со-
составляет около 0.1 МПа. С увеличением высоты в тропосфере дав-
давление воздуха падает приблизительно по линейному закону со ско-
скоростью 12 кПа/км. В ионосфере давление воздуха с ростом высоты
падает по экспоненциальному закону, т. е. еще более резко.

288
Глава 14. Распространение радиоволн в земных условиях
Вторым физическим параметром атмосферного воздуха служит
его абсолютная температура Т. Измерения показывают, что тем-
температура воздуха на поверхности Земли составляет в среднем
300 К. При увеличении высоты температура меняется по сложно-
сложному немонотонному закону, падая до 200 К на верхней границе
стратосферы. В ионосфере температура газа непрерывно растет,
достигая 1200 К на высотах порядка
1000 км.
Зная параметры р и Т, можно рас-
рассчитать концентрацию молекул газа
Л/м, воспользовавшись формулой из
курса физики
Л, км
5000
2000
1000
500
200
100
50
\
i N
4.
-is
? Г
E
1
Nu=p/(kT),
A4.2)
10г 1O3
10s 106 см'5
Рис. 14.1. Распределение эле-
электронной концентрации в ио-
ионосфере по высоте:
1 — днем; 2 — ночью
где Aj=1.38-10-23 Дж/К— постоянная
Больцмана. Задавшись, например,
Ne цифрами р=105 Па, 7=300 К, нахо-
находим оценочное значение концентра-
концентрации молекул на поверхности Земли:
Мм = 2.4Ы025 м = 2.4Ы019 см-3.
Как уже указывалось, исключи-
исключительно важную роль в формировании
условий распространения радиоволн
играет ионосфера Земли. Плотность
газа в ионосфере очень мала, и поэтому жесткое электромагнит-
электромагнитное излучение Солнца (в основном ультрафиолетовое и рентге-
рентгеновское) оказывается здесь весьма интенсивным. Энергия кван-
квантов этого излучения достаточна не только для диссоциации моле-
молекул, приводящей к образованию атомарных газов, но и для отры-
отрыва электронов от атомов. В результате ионизации части атомов
газ превращается в хаотическую смесь ионов, свободных электро-
электронов, нейтральных атомов, а также нейтральных молекул, не пре-
претерпевших диссоциации. Электродинамические свойства такой
ионизированной среды, называемой газовой плазмой, рассматри-
рассматривались в гл. 5.
Следует заметить, что фотохимический процесс ионизации
в плазме является обратимым — наряду с ним постоянно идет про-
процесс рекомбинации ионов и свободных электронов, приводящий
к возникновению нейтральных атомов газа. В стационарных усло-
условиях между процессами ионизации и рекомбинации устанавлива-
устанавливается динамическое равновесие, уровень которого определяется
главным образом интенсивностью ионизирующего излучения.
Как подчеркивалось в гл. 5, важнейшим физическим парамет-
параметром ионизированной газовой среды служит электронная концент-

14.2. Свойства земной поверхности и атмосферы Земли 289
рация Ne$ определяющая число свободных электронов в единице
объема. Характерные графики распределения электронной кон-
концентрации в зависимости от высоты h точки наблюдения представ-
представлены на рис. 14.1. Одна из кривых относится к дневным, а дру-
другая — к ночным часам. Принципиально. важно, что обе кривые
имеют немонотонный характер; на некоторой высоте значение Ne
оказывается максимальным. Причина этого состоит в следующем.
На больших высотах плотность потока солнечного излучения ве-
лищ, однако атмосфера здесь весьма разрежена и поэтому значе-
значения Ne сравнительно малы. Вблизи земной поверхности, наоборот,
плотность газа велика, однако поток ионизирующего излучения
сильно ослаблен толщей атмосферы, что также приводит к малым
значениям электронной концентрации.
В высотном профиле распределения электронной концентрации
принято выделять ряд более или менее выраженных слоев, полу-
получивших специальные буквенные символы (рис. 14.1):
• Слой D. Так называют самый нижний слой ионосферы, лежа-
лежащий на высотах от 60 до 90 км. Слой D существует
только днем. Электронная концентрация в нем изме-
изменяется во времени пропорционально угловой высоте
Солнца над горизонтом и не превышает 103—104 см~3.
Ночью этот слой исчезает под действием рекомбина-
рекомбинации.
• Слой Е. Располагается на высотах порядка ПО км. Днем зна-
значение Ne в данном слое достигает 1.5-105 см~3, а ночью
падает до 5-103 см~3.
• Слой F. Существует на высотах порядка 250 км днем и 320 км
ночью. Данный слой характеризуется наивысшей элек-
электронной концентрацией, которая достигает 2-Ю6 см~3
в полуденные часы. Ночью значения Ne в слое F не
превышают 2-Ю5 см~3. Днем слой F разделяется на
два подслоя Fi и F2, которые ночью сливаются в еди-
единый слой.
Заметим, что кривые, приведенные на рис. 14.1, имеют усред-
усредненный характер и могут существенно варьироваться в зависимо-
зависимости от выбора географических координат точки наблюдения. Кро-
Кроме того, числовые значения электронной концентрации во всех
ионосферных слоях существенным образом зависят от уровня сол-
солнечной активности, которая, в свою очередь, испытывает как регу-
регулярные изменения с периодом в 11 лет, так и случайные колеба-
колебания. Имеется специальная международная служба, занимающая-
занимающаяся прогнозом состояния ионосферы. Использование таких прогно-
прогнозов дает возможность существенно повысить надежность работы
радиоканалов в земных условиях.
1 П _ 1 37Q

290 Глава 14. Распространение радиоволн в земных условиях
14.3. Влияние тропосферы и ионосферы
на распространение радиоволн
В соответствии с формулой A4.2) концентрация молекул в тро-
тропосфере Nu падает при увеличении высоты. Это, в свою очередь,
приводит к снижению диэлектрической проницаемости воздуха е,
а значит, и его показателя преломления п=Уг. Фактически пока-
показатель преломления воздуха в пределах тропосферы весьма мало
отличается от единицы при любых условиях. Поэтому в инженер-
инженерных расчетах для удобства применяют так называемый индекс
преломления
ДГ = (/г_1).1Об. A4.3)
Это безразмерное число зависит от метеорологических условий и
от выбора пункта наблюдения на поверхности Земли. В среднем
значение N колеблется в пределах от 250 до 450.
При увеличении высоты h индекс преломления тропосферы па-
падает практически по линейному закону со скоростью dyV/dA=
— —40 км. Формула справедлива в интервале высот, не превы-
превышающих нескольких километров.
Пример 14.2. Известно, что на уровне земной поверхности зна-
значение индекса преломления А^=300. Найти относительную ди-
диэлектрическую проницаемость воздуха е на земле и на высоте Л=
= 3 км.
Формула, определяющая параметр е, непосредственно вытека-
вытекает из A4.3):
? =
106
Индекс преломления на высоте 3 км N=N0— (dN/dh)h=300—
¦—40-3=180. Подставляя соответствующие цифры, находим, что
е(А=0) = 1.0006, в то время как е(А=3 км) = 1.00036.
Рассмотренный пример убеждает, что абсолютные изменения
оптической плотности атмосферного воздуха при увеличении высо-
высоты оказываются незначительными. В большинстве случаев они не
оказывают существенного влияния на процесс распространения
радиоволн, например, в радиовещательных каналах длинноволно-
длинноволнового и средневолнового диапазонов. Однако встречаются ситуации,
когда важнейшей информацией служит угол прихода радиоволн,
поступающих в приемную антенну. В частности, с этим приходится

14.3. Влияние тропосферы и ионосферы 291
сталкиваться при создании высокоточных радиолокаторов и си-
систем радионавигации. Здесь необходимо учитывать даже неболь-
небольшое искривление луча из-за непостоянства коэффициента прелом-
преломления атмосферного воздуха вдоль вертикальной координаты. Это
явление получило название атмосферной рефракции. Соответ-
Соответствующий чертеж приведен на рис. 14.2. Слой неоднородного воз-
воздуха упрощенно представлен в виде двух соприкасающихся одно-
однородных слоев 1 и 2 с показателями
преломления щ и /22, причем п2</?ь ./?,
Углы падения ф и преломления -ф свя-
связаны между собой формулой F.24): 2
sin <
Легко видеть, что в рассматриваемом v/77v///////yz/////////////////////////.
случае всегда я|?>ф, т. е. луч в неод-
неоднородной ПО высоте Тропосфере UCK- Рис- 14.2. Атмосферная рефрак-
ривляется в сторону земной поверх- ция
ности.
Пример 14.3. Оценить эффект атмосферной рефракции для кон-
конкретных условий, описанных в примере 14.2. Реальный неодно-
неоднородный слой заменить двумя однородными слоями с диэлектри-
диэлектрическими проницаемостями ei = 1.0006 и 82=1.00036. Положить
угол падения ф = 70°.
Используя найденные в примере 14.2 значения индексов пре-
преломления iVo = 3QO и N=180, находим показатели преломления
обоих слоев по формуле п=10 N -\- 1, откуда ni= 1.0003 и п2 =
= 1.00018. Подставив эти результаты в формулу A4.4), находим
угол преломления:
f sin7°°
V 0.99958
Таким образом, искривление траектории луча под действием
атмосферной рефракции оказывается небольшим. Однако если
путь, проходимый волной в тропосфере, достаточно протяжен и
составляет, скажем, 10 км, то угловая ошибка в 4' или 1.16Х
ХЮ~3 рад приведет к погрешности в определении координаты це-
цели по поперечной координате около 11 м. В ряде случаев такая
ошибка может оказаться существенной. К тому же следует иметь
в виду, что выше рассматривалась атмосферная рефракция в
стандартных условиях. Если же под действием метеорологических
факторов возникают большие градиенты температуры и плотно-
плотности воздуха, то эффект рефракции может существенно возрасти.
10*
= arcsinf sin7° W704'.
V 099958 /

295
Глава 14. Распространение радиоволн в земных условиях
Обратимся теперь к вопросу о затухании радиоволн в тропо-
тропосфере. Эксперименты показывают, что на частотах ниже 1000 МГц
затухание в чистом воздухе пренебрежимо мало. На более высо-
высоких частотах начинает сказываться резонансное поглощение ра-
радиоволн молекулами тех газов, из которых состоит атмосфера.
Особенно сильно этот эффект проявляется в коротковолновой ча-
части сантиметрового и в миллиметровом диапазоне. На рис, 14.3
приведены кривые, описывающие вклады в общее затухание двух
наиболее существенных компо-
компонентов — молекулярного кисло-
кислорода О2 и водяного пара НгО.
Особенно ярко выраженными
оказываются резонансные пики
поглощения в кислороде на дли-
длине волны 5 мм и в водяном па-
паре на длине волны 12.5 мм. Су-
Существуют и «окна прозрачности»
атмосферы, например в окрестно-
окрестности длины волны А,=8 мм.
Наконец, необходимо указать
на тот вклад в ослабление ра-
радиоволн СВЧ-диапазона, кото-
тухания радиоволн в атмосферном Рый МОГУТ вносить туман и ат-
атмосферные осадки. Особенно
сильно их влияние проявляется
на волнах короче 3 см. Здесь до-
дополнительное ослабление из-за сильного дождя может достигать
1 дБ/км и даже более. Это обстоятельство серьезно осложняет
работу систем ближней радиолокации, а также лимитирует наи-
наивысшие частоты, применяемые в радиорелейных линиях связи.
Что же касается наземных лазерных линий связи оптического
диапазона, то для них потери энергии сигнала из-за рассеяния
на водяных каплях служат основным фактором, лимитирующим
дальность связи.
Отражение радиоволн от ионосферных слоев. Как известно, бес-
столкновительная плазма представляет собой диспергирующую
среду, показатель преломления которой зависит от частоты поля
f и в соответствии с формулой E.15) записывается в виде
0.01
0.001
0.1 о.г о.5 1 г 5 см
Рис. 14.3. Зависимости погонного за-
кислороде и в водяном паре от дли-
длины волны
-(/ил//J, A4.5)
где /iw=8.98lWe — плазменная частота, Гц; электронная кон-
концентрация Ne имеет размерность м~3.
Предположим, что плоская электромагнитная волна падает из
вакуума по направлению нормали на однородную полубесконеч-

14.3. Влияние тропосферы и ионосферы 293
ную плазменную среду. Характеристическое сопротивление плаз-
плазмы
Zc=\/ JS-г- -о A4.6)
обращается в бесконечность при /=/пл; на частотах, превышаю-
превышающих плазменную частоту, это сопротивление действительно, а при
/</пл характеристическое сопротивление плазмы оказывается чи-
чисто мнимым. Если теперь обратиться к формуле F.11) и запи-
записать коэффициент отражения от границы раздела плазма — воз-
воздух в виде
A4.7)
то можно заметить, что величина \R\ равна единице при /=/пл;
это равенство сохраняется и на всех частотах, более низких, чем
плазменная, т. е. в условиях непрозрачности плазмы для радио-
радиоволн.
Итак, полубесконечный плазменный слой полностью отражает
все электромагнитные волны, частоты которых не превосходят
критической частоты /Кр, численно совпадающей с плазменной ча-
частотой /пл. Как уже говорилось, наибольшая электронная кон-
концентрация наблюдается в слое F ионосферы. Если принять, что
для этого слоя Л^тах=2-1012 м~3 в дневные часы и Л^тах=2Х
ХЮ11 м~3 ночью, то значение частоты /Кр составит 12.7 МГц днем
и 4 МГц ночью.
Рассмотрим теперь падение плоской волны на полубесконеч-
полубесконечную бесстолкновительную плазму под произвольным углом <р, ко-
который отсчитывается от направления нормали к границе разде-
раздела плазма — воздух. В общем случае в плазме будет возникать
преломленная волна; угол преломления г[) может быть найден из
закона Снелля
-2?±-=n=V\-{f*Jf?. A4.8)
sin ^
Если /</пл, то правая часть равенства A4.8) оказывается
мнимой, а это, в свою очередь, означает, что угол преломления
i|> становится комплексным. Как указывалось в § 6.8, вся мощ-
мощность падающей волны при этом отражается от границы раздела
назад в воздушную среду.
Если же f>/пл, т. е. плазма как таковая прозрачна для элек-
электромагнитных волн, то преломленная волна в плазме принципи-
принципиально может существовать. Однако здесь следует учитывать, что
показатель преломления плазмы п является действительным чис-

294
Глава 14. Распространение радиоволн в земных условиях
лом, но всегда меньше единицы. Поэтому в данном случае
и возможно явление полного внутреннего отражения, когда г|> =
= 90°, так что преломленная волна перестает быть обычной одно-
однородной плоской волной (см. § 6.7). Критическим углом падения
<ркр плоской волны на однородный плаз-
плазменный слой называют такой угол паде-
падения ф, при котором возникает полное внут-
внутреннее отражение от границы раздела
(рис. 14.4). В соответствии с формулой
A4.8)
= агсзт]Л-(/пл//J.
A4.9)
Рис. 14.4. Падение
плоской волны на
плазменное полупро-
странство под крити-
ческим углом
Если ф^фкр, то падающая из воздуха пло-
екая волна целиком отражается от полу-
полубесконечного плазменного слоя; если же
ф<фкР, то падающая волна частично пре-
ломляется внутрь плазмы.
Пример 14.4. Плоская волна падает на
слой Е ионосферы
под углом ф = 60°.
с электронной концентрацией Ne=l0n м
Определить наибольшее значение частоты /max, при котором еще
наблюдается полное отражение от слоя.
Для данного ионосферного слоя плазменная частота /пл =
= 8.98/Го7Т= 2.84-106 Гц=2.84 МГц. Заданный угол падения
станет критическим на частоте /тах, которая удовлетворяет урав-
уравнению
sin 60°=yr3/2--="|/"l-B.84
Решив это уравнение, получаем /тах=5.68 МГц.
Заметим еще раз, что при наклонном падении плазменный
слой способен отражать колебания более высоких частот по срав-
сравнению с теми, которые полностью отражаются при нормальном
падении.
Пример 14.5. Ионосферный слой F с концентрацией электронов
jVe=1012 м~3 располагается на высоте /1 = 400 км от поверхности
Земли. Найти наивысшее значение частоты поля /тах, которое
еще обеспечивает полное отражение электромагнитной волны от
этого слоя.
Обращаясь к чертежу, представленному на рис. 14.5, можно
заметить, что угол падения волны на слой ф будет наибольшим
в том случае, когда луч падающей волны АС направлен по каса-
касательной к земной поверхности, проведенной в точке Л, где раз-

14.3. Влияние тропосферы и ионосферы
295
мещен передатчик. Так как ОА = ОВ=6370 км (радиус Земли),
5С=Л = 400 км (высота слоя F), а треугольник ОАС прямо-
прямоугольный, то
sincp—-
О А
6370
ОС ~ 6770
откуда ф = 70°.
=0.941,
Ионосфера
Рис. 14.5.
14.5
К примеру
//////////////////////////////////////////¦
Рис. 14.6. Реальные траектории
лучей в неоднородной ионосфере
Плазменная частота слоя /пл=8.98 МГц. Поэтому искомая ча-
частота есть корень уравнения
]Л-(8.98//тахJ=0.941,
из которого легко находим, что /тах=27 МГц. Все волны с более
высокими частотами ни при каких условиях не смогут отражать-
отражаться от ионосферы.
Итак, ионосфера Земли представляет собой природное «зерка-
«зеркало», полностью возвращающее в приземное пространство все ра-
радиоволны с частотами ниже 15—20 МГц. Отражение радиоволн от
ионосферы было теоретически предсказано в 20-х годах Хевисай-
дом и Кенелли. Практическое использование этого явления дало
возможность в последующие десятилетия широко развить сети ра-
радиовещания и радиосвязи.
В заключение отметим, что использованная нами модель ионо-
ионосферного отражения, в рамках которой реальный ионизированный
слой с плавным изменением электронной концентрации условно
заменяется полубесконечной однородной плазменной средой, яв-
является весьма упрощенной. На самом деле траектории лучей
в ионосфере выглядят приблизительно так, как это показано на
рис. 14.6, т. е. представляют собой гладкие кривые. Методы по-
построения лучевых траекторий в неоднородной среде подробно изу-
изучаются в гл. 17.

296 Глава 14. Распространение радиоволн в земных условиях
Укажем также на то, что процесс распространения радиоволн
в ионосфере сопровождается затуханием из-за соударений элект-
электронов с нейтральными атомами и молекулами. Этот вопрос рас-
рассматривался нами в гл. 5. Если длина ионосферного участка трас-
трассы распространения радиоволн оказывается значительной, то до-
дополнительный вклад в общее затухание может составить единицы
и даже десятки децибел.
14.4. Формула идеальной радиосвязи.
Множитель ослабления
В данном параграфе изучаются общие закономерности, позво-
позволяющие связать между собой мощность, излучаемую передатчиком
на одном конце радиолинии, и мощ-
^~ г (fij\ ность, поступающую на вход приемни-
(Ш *~~- ~~Щ/ ка на другом ее конце.
А в Пусть А и В —точки размещения
передатчика и приемника соответст-
Рис. 14.7. Идеальная радио- венно (рис. 14.7). Символом г обозна-
линия чим длину отрезка АВ. Передатчик
излучает гармонические колебания с
заданной длиной волны %. Известна также эффективная (дейст-
(действующая) мощность РПрд, развиваемая передатчиком на зажимах
своей антенны. Считается, что средой распространения служит
вакуум (или воздух) с параметрами ео, \io, так что омические по-
потери на трассе распространения радиоволн отсутствуют. Ставит-
Ставится задача определить мощность РПР, поступающую в приемник.
Первым шагом на пути решения этой базовой задачи будет
следующий мысленный эксперимент. Предположим, что передаю-
передающая антенна представляет собой гипотетический изотропный излу-
излучатель, создающий однородные сферические волны с одинаковым
значением амплитуды в пределах каждого волнового фронта. Та-
Такой подход уже использовался нами в § 13.8 при изучении на-
направленных свойств элементарного электрического излучателя.
Модуль вектора Пойнтинга на удалении г от передатчика при этом
составит
^ (НЛО)
Естественно считать, что передающая антенна ориентирована
в пространстве таким образом, что максимум ее излучения наблю-
наблюдается в направлении на точку размещения приемной антенны.
Тогда фактическое значение плотности потока мощности от пере-
передатчика вблизи антенны приемника составит

14.4. Формула идеальной радиосвязи
где /)прд — коэффициент направленного действия (КНД) передаю-
передающей антенны.
Мощность, поступающую в приемник, проще всего вычислить,
предположив, что приемная антенна принадлежит к классу так
называемых апертурных антенн. Так в радиотехнике называют ан-
антенны, у которых можно четко выделить конечную поверхность,
которая ориентирована перпендикулярно вектору Пойнтинга па-
падающей волны и «собирает» энергию волнового электромагнитно-
электромагнитного поля. Именно так выглядят наиболее распространенные в СВЧ-
диапазоне зеркальные, линзовые и рупорные антенны.
Пусть Лпр — площадь поверхности приемной антенны, назы-
называемая также площадью ее раскрыва. Строгий анализ, проводи-
проводимый в курсе антенных устройств [15], показывает, что «сбор» всей
мощности, проходящей через раскрыв, принципиально невозможен
и так называемая эффективная площадь раскрыва Лпр. эф всегда
меньше, чем Лпр. Например, для весьма распространенных на прак-
практике зеркальных параболических антенн обычно считают, что
Лпр. Эф=0.54 Лпр.
Оказывается, что КНД приемной антенны Dnp связан с ее эф-
эффективной площадью соотношением
Совершенно аналогично вычисляют параметр /)прд, поскольку ан-
антенные устройства являются обратимыми системами и с одинако-
одинаковой эффективностью работают как на прием, так и на пере-
передачу.
Мощность, поступающая в приемник,
-^ггр=11СрЛПр4Эф. A4.13)
Воспользовавшись соотношениями A4.11) и A4.12), предста-
представим формулу A4.13) так:
О4-14)
Равенство A4.14) получило название формулы идеальной ра-
радиосвязи. Эта формула достаточно хорошо описывает энергетиче-
энергетические соотношения в радиоканале при отсутствии дополнительных
потерь за счет среды распространения.

298 Глава 14. Распространение радиоволн в земных условиях
Пример 14.6. Космическая линия связи имеет протяженность
400 км. Мощность передатчика 80 Вт, длина волны 3 см. Антенны
приемника и передатчика идентичны и представляют собой пара-
параболические зеркала диаметром 1 м. Определить мощность, посту-
поступающую на вход приемника.
Геометрическая площадь каждой антенны Л = 0.785 м2, эффек-
эффективная площадь ЛЭф=0.54А = 0.424 м2. В соответствии с A4.12)
значение КНД каждой антенны ?=12.56-0.424/@.03J=5900.
Подставив полученные цифры в формулу A4.14), находим, что
мощность сигнала на входе приемника радиолинии РПр=Ю~9 Вт.
Оценивая реальное качество работы радиоканала, следует
иметь в виду, что на входе приемника неизбежно присутствует
шум, эффективная мощность которого [см. формулу A3.58)]
пропорциональна шумовой температуре приемника 7Ш, приведен-
приведенной к его входу, а также полосе пропускания приемника А/. Число-
Числовое значение параметра Тш зависит как от конструкции входных
цепей приемника, так и от уровня шумового сигнала, поступаю-
поступающего в антенну. В СВЧ-диапазоне основную роль играют шумы от
радиозвезд, радиогалактик и других внеземных источников. Совре-
Современные приемники сантиметрового диапазона имеют шумовую тем-
температуру от нескольких десятков до нескольких сотен кельвин.
В диапазонах гектометровых и декаметровых волн основную роль
играют шумы промышленного происхождения, а также импульс-
импульсные помехи из-за грозовых разрядов в атмосфере. Соответствую-
Соответствующая шумовая температура в неблагоприятных условиях может до-
достигать уровня нескольких миллионов кельвин и даже более.
Пример 14.7. Космическая радиолиния снабжена антеннами
и передатчиком, описанными в условиях примера 14.6. Использует-
Используется приемник с шумовой температурой 150 К.. Линия предназначена
для передачи телевизионного изображения среднего качества и
имеет полосу пропускания шириной 4 МГц. Вычислить длину трас-
трассы г, при которой мощность принятого сигнала в 10 раз превы-
превышает мощность шума, т. е. отношение сигнал/шум q==Pnp/Pm=l0.
В рассматриваемой системе мощность шума, приведенная ко
входу приемника, Рш= 1.38-10~23.150-4-106=8.28-10~15 Вт. Чтобы
реализовать заданное отношение сигнал/шум, мощность принятого
сигнала Рпр должна составить 8.28-10~14 Вт.

14.5. Распространение радиоволн различных диапазонов 299
Уравнение идеальной радиосвязи A4.14) можно разрешить от-
относительно искомой длины трассы г и получить
_ X
~~ 4л
Подставляя сюда соответствующие числовые значения парамет-
параметров, находим, что г=4.38-105 км. Таким образом, рассматривае-
рассматриваемая радиолиния способна обеспечить передачу телевизионных изо-
изображений в пределах орбиты Луны.
Чтобы учитывать влияние среды распространения, в формулу
A4.14) принято вводить так называемый множитель ослабления F
и записывать ее так:
27. A4.15)
Если, например, распространение радиоволн происходит в среде
с погонным затуханием А, дБ/км, то, очевидно, множитель ослаб-
ослабления
A4.16)
где г — длина трассы, км. Если, например, А = 0.3 дБ/км (типич-
(типичное погонное затухание сантиметровых волн в дожде средней ин-
интенсивности), г=50 км, то в соответствии с формулой A4.16) F=
= 0.031, что свидетельствует о достаточно сильном ослаблении
амплитуды сигнала в точке приема.
Понятие множителя ослабления широко используется при ин-
инженерном расчете самых разнообразных радиолиний. В частности,
с помощью такого множителя принято описывать потери не только
за счет поглощения радиоволн, но и за счет дифракции волн на
разнообразных препятствиях.
14.5. Особенности распространения
радиоволн различных диапазонов
В данном параграфе кратко обсуждаются особенности построе-
построения радиолиний различных диапазонов, связанные со специфиче-
специфическими условиями распространения радиоволн различных частот.
Более подробно эти вопросы изложены в книгах, специально по-
посвященных проблемам распространения радиоволн [7, 8].
Распространение сверхдлинных волн. Как отмечалось ранее,
сверхдлинные (мириаметровые) волны имеют частоты менее
30 кГц. В этом диапазоне практически любые природные среды,
образующие подстилающую поверхность, хорошо отражают радио-

300 Глава 14. Распространение радиоволн в земных условиях
волны, приближаясь по своим свойствам к идеальному проводни-
проводнику. С другой стороны, сравнительно низкая частота колебайий об-
обусловливает практически полное отражение сверхдлинных волн
даже от самых нижних, наименее плотных ионосферных слоев D
и Е. В результате эти волны распространяются в сферическом
приземном «волноводе» Земля — ионосфера. При современной тех-
технике генерирования и приема радиоволн дальность сверхдлинно-
сверхдлинноволновых радиолиний может составлять несколько тысяч километ-
километров.
Распространение сверхдлинных волн выгодно отличается посто-
постоянством уровня сигнала в разное время суток и в различные се-
сезоны года. Из-за весьма большой длины волны глубина поверх-
поверхностного слоя в почве и в морской воде составляет десятки мет-
метров, что позволяет создавать системы подземной и подводной ра-
радиосвязи. Однако передающие антенны рассматриваемого диапа-
диапазона получаются громоздкими, и, что самое главное, из-за низко-
низкого значения несущей частоты здесь не удается осуществить моду-
модуляцию достаточно высокими частотами. Как следствие, подобные
радиоканалы имеют очень малую скорость передачи информации
и пригодны в основном для работы в телеграфном режиме. Основ-
Основная область применения сверхдлинных волн — создание систем
устойчивой дальней навигации для вождения кораблей и самоле-
самолетов.
Распространение длинных волн. Условия распространения длин-
длинных (километровых) волн приближаются к тем, которые были
описаны выше применительно к сверхдлинным волнам. Сравни-
Сравнительно низкая частота длинных волн приводит к тому, что они хо-
хорошо отражаются ионосферой как в дневные, так и в ночные часы.
С этим обстоятельством связана высокая устойчивость работы
длинноволновых радиоканалов.
Структура электромагнитного поля длинноволнового диапазо-
диапазона в приземном пространстве на расстояниях в несколько сотен
километров от передатчика оказывается весьма сложной, так как
одновременно существуют земная (поверхностная) и ионосферная
(пространственная) волны, которые складываются друг с другом.
Распространение длинных волн сопровождается потерями за счет
конечной проводимости подстилающей поверхности, а также за
счет дифракции.
Для расчета напряженности поля в длинноволновом диапазоне
пользуются эмпирической формулой Остина, согласно которой мно-
множитель ослабления, входящий в выражение A4.15), имеет вид
~ 1 / 0.0014г \ ПЛ 17Ч
F=—ехр| р^—J, A4.17)

14.5. Распространение радиоволн различных диапазонов 301
где расстояние г и длина волны % выражены в километрах. Дан-
Данная формула была получена еще в 20-х годах на основе статисти-
статистической ^обработки данных о работе радиовещательных каналов
длинноволнового диапазона. Добавочное ослабление поля порой
оказывается значительным. Так, если г=5000 км и Х=2 км, то
/7=0.005.
Основные области применения длинных волн — радиовещание,
служебная телеграфная связь и навигация. Большой недостаток
длинноволнового диапазона — его относительная узкополосность.
Здесь полная ширина всего диапазона частот не превышает
270 кГц; Это обстоятельство ограничивает число радиоканалов,
способных одновременно работать в длинноволновом диапазоне без
взаимных помех.
Распространение средних волн. Условия распространения сред-
средних (гектометровых) волн оказываются различными в дневные и
в ночные часы. Дело в том, что днем эти радиоволны сильно по-
поглощаются в низколежащем слое D ионосферы. Поэтому они мо-
могут распространяться лишь в форме земных волн на сравнительно
короткие расстояния до 1000 км. Ночью слой D исчезает, и сред-
средние волны могут распространяться на несколько тысяч километров
за счет отражения от ионосферных слоев Е и F.
Средние волны используют в основном для создания радиове-
радиовещательных каналов.
Работа средневолновых радиоканалов осложняется так назы-
называемыми замираниями. Сущность этого явления заключается в сле-
следующем. Ионосферные слои всегда неоднородны, т. е. представля-
представляют собой хаотические чередования пространственных областей с
повышенной и пониженной электронной концентрацией. Эти обла-
области перемещаются под действием сильных ветров, постоянно при-
присутствующих на больших высотах. Если передающая антенна име-
имеет невысокую направленность и излучает волны в широком интер-
интервале углов, то возможна ситуация, когда в точку приема одновре-
одновременно приходят несколько лучей, отраженных от разных неодно-
родностей. Фазы приходящих сигналов случайны, поэтому при
сложении колебаний возникают беспорядочные изменения ампли-
амплитуды напряжения на входе приемника с характерным временным
интервалом в десятки секунд. Глубина замираний может быть
. весьма значительной. Частично ликвидировать замирания удается
в том случае, если приемник имеет достаточный запас усиления
до детектора и снабжен системой автоматической регулировки уси-
усиления (АРУ). Радикальным способом борьбы с замираниями слу-
служит прием на несколько одинаковых антенн, разнесенных в про-
пространстве на несколько длин волн, с последующим сложением сиг-
сигналов.

302
Глава 14. Распространение радиоволн в земных условиях
Распространение коротких волн. Широкое применение коротких
волн в практике радиосвязи и радиовещания обусловлено прежде
всего тем, что в этом диапазоне удается создать передающие ан-
антенны приемлемых габаритов с достаточно высокой направлен-
направленностью излучения. Это позволяет в полной мере использовать от-
отражающие свойства ионосферного слоя Земли и осуществлять до-
достаточно надежные радиоканалы протяженностью в несколько ты-
тысяч и даже десятков тысяч километров при весьма огра
Ионосфера
мощности перед атчи]
й
/777.
1200
Too'
^иченнои
а, порой
Рис. 14.8. Радиолиния КВ-диапазона
(размеры указаны в километрах)
составляющей лишь Несколько
ватт. Влияние земные волн в
коротковолновом диапазоне,
как правило, незначительно.
Проектирование радиоли-
радиолинии КВ-диапазона требует
сведений о характере распре-
распределения электронной концен-
концентрации в ионосфере примени-
применительно к конкретному време-
времени суток и к известным географическим координатам точек раз-
размещения передатчика и приемника. Пусть, например, требуется
создать радиолинию между пунктами А и В, удаленными друг от
друга на 1200 км. Так как длина трассы невелика по сравнению
с длиной земного экватора, поверхность Земли в данном случае
можно приближенно рассматривать как плоскость (рис. 14.8).
Связь осуществляется в ночные часы. В качестве отражателя ис-
используется ионосферный слой Е с электронной концентрацией
Лгв=5-109 м~3, располагающийся на высоте /г = 110 км.
Из чертежа следует, что точка отражения от ионосферы разме-
размещается посередине трассы. Луч передатчика должен быть направ-
направлен под углом a=arctg A10/600) = 10° по отношению к горизон-
горизонту; при этом угол падения волны на слой ф = 80°. Волны будут
отражаться от ионосферы на частотах, не превышающих некоторо-
некоторого значения /max. Эта частота, называемая максимально примени-
применимой частотой (МПЧ), в соответствии с A4.8) должна удовлетво-
удовлетворять уравнению
откуда
A4.18)
В данном случае /пл=0.635 МГц и, значит, fmax=3.52 МГц.
Фактически рабочая частота должна быть несколько ниже и со-
составлять примерно 80 % от максимально применимой частоты.

14.5. Распространение радиоволн различных диапазонов 303
Связь между теми же самыми пунктами А к В можно осу*
ществить, используя отражение от более высокого и более плот-
плотного слоя F, который существует как днем, так и ночью. Для этого
придется несколько увеличить угол а, под которым волна излу-
излучается \на передающем конце линии, а также взять большую ра-
рабочую
зрачньп
астоту, чтобы расположенный ниже слой Е оказался про-
продля радиоволн. Однако, как правило, поглощение волн
I достаточно интенсивно, так что общие потери в высоко-
>м радиоканале могут оказаться выше, чем в низкочастот-
актика показывает, что высокочастотный участок КВ-диа-
(Х,= 15^-30 м) целесообразно использовать в дневные ча-
работы в ночное время более пригоден низкочастотный
диапазона (А,=40~100 м).
в слое
частотн
ном. П
пазона
сы. Дл
участок
Важ^о отметить, что чисто ионосферный механизм распростра-
распространения коротких волн приводит к тому, что лучи принципиально не
могут попасть в точки земной поверхности, находящиеся пример-
примерно под областью отражения. Как следствие, электромагнитное по-
поле здесь отсутствует. Такие участки вдоль трассы называют зонами
молчания.
Электромагнитные волны КВ-диапазона могут испытывать це-
целый ряд скачков, т. е. последовательных отражений от ионосферы
и от поверхности Земли. Это дает возможность существенно уве-
увеличивать протяженность канала, а при благоприятных условиях
даже поддерживать радиосвязь между антиподами, т. е. коррес-
корреспондентами, располагающимися на одной прямой, проходящей че-
через центр Земли.
Отметим в заключение, что распространение волн КВ-диапазо-
КВ-диапазона на большие расстояния обычно сопровождается глубокими за-
замираниями, которые серьезно осложняют работу радиоканалов и
наряду с интенсивными помехами препятствуют высококачествен-
высококачественному радиовещанию на волнах этого диапазона. Большие сложно-
сложности возникают также из-за исключительно высокой плотности раз-
размещения передатчиков в этом участке спектра.
Распространение ультракоротких волн. Электромагнитные вол-
волны с частотами выше 30 МГц практически не отражаются от ионо-
ионосферных слоев в обычных условиях. С другой стороны, малость
длины волны таких колебаний по сравнению с радиусом Земли
приводит к тому, что дифракционные эффекты в этих диапазонах
выражены слабо. Если приемная антенна размещается ниже уров-
уровня горизонта, т. е. попадает в область геометрической «тени», то
поле в точке приема будет, как правило, весьма слабым. Поэтому
радиолинии УКВ работают обычно в условиях прямой види-
видимости.
Эти условия естественно выполняются в космических линиях
связи. Если же приемник и передатчик размещены вблизи земной

304
Глава 14. Распространение радиоволн в земных условиях
поверхности, то факторами, ограничивающими протяженность
УКВ-радиолинии, служат высоты подъема антенн над землей.
Обратимся к рис. 14.9, на котором условно изображены/антен-
изображены/антенны, приподнятые над земной поверхностью на отрезки hi и Л2. Пре-
Предельно возможная длина трассы распространения с прямой види-
видимостью будет получена в том случае, когда луч АВ касается по-
поверхности Земли в точке С. Примем во внимание, что 0G=R3=
р р
=6370 км, а также то, что обычно /ii/i?3<Cl,
симальная длина трассы
. То
Пренебрегая квадратами малых величин, отсюда получим
да мак-
мак| A4.19)
все входящие сюда величины выражены в метрах.
Рис. 14.9. Вычисление
предельной длины трас-
трассы с прямой видимо-
видимостью (масштаб чертежа
условный)
Рис. 14.10. Интерференция
прямой и отраженной волн
Рассмотрим, например, УКВ-радиолинию между диспетчерской
службой аэропорта и командиром воздушного лайнера. Пусть h\ =
= 50 м — высота антенны аэропорта, /г2= 10 000 м-—высота поле-
полета самолета. В соответствии с формулой A4.19) предельная длина
трассы с прямой видимостью L=540 км, что обычно вполне до-
достаточно для оперативного управления воздушным движением в
зоне аэропорта. Заметим, что фактически длина трассы даже не-
несколько больше из-за атмосферной рефракции радиоволн.
Если направленные свойства применяемых антенн недостаточно
совершенны, то часть энергии излучается передающей антенной
по направлению к земной поверхности, отражается от нее и попа-
попадает на вход приемника наряду с энергией прямой волны. Описан-
Описанное явление представляет собой интерференцию падающей и от-

14.5. Распространение радиоволн различных диапазонов 305
раженной волн, которая может оказывать существенное влияние
на работу радиолинии УКВ-диапазона.
На рис. 14.10 схематически изображена подобная радиолиния
с передатчиком в точке А и приемником в точке В. Геометриче-
Геометрическая длина пути отраженной волны равна сумме длин отрезков
АО и ОВ, Из построения видно, что эта сумма равна длине от-
отрезка ОВ, соединяющего «зеркальное изображение» передающей
й й
антенны
Если
сти, то
с точкой размещения приемной антенны.
d — длина трассы, измеренная вдоль земной поверхно-
поверхноРазность} геометрических длин двух путей
b=CB-AB=d [j/l +(A±*i_J_ j/i +p-^j] .. A4.20)
На практике обычно fti/d<Cl; hjd^l, т. е. относительные высоты
подъема антенн невелики. Это дает основание воспользоваться
приближенным равенством yi + хж1 + х/2, справедливым при
х<С1. Выполнив элементарные преобразования, убеждаемся, что
формулу A4.20) можно представить следующим образом:
Z^2hlh2/d. A4.21)
Предположим для простоты, что передающая антенна излучает
волны с одной и той же интенсивностью по всем направлениям.
Тогда в точке приема амплитуды колебаний, обусловленных дря-
мой и отраженной волнами, будут одинаковыми. Фазы же этих
колебаний окажутся различными: во-первых, при достаточно на-
наклонном падении на земную поверхность фаза отраженного колеба-
колебания получит дополнительный сдвиг на угол, близкий к 180° (см.
гл. 6); во-вторых, отраженный луч длиннее прямого луча на вели-
величину б, которая устанавливается формулой A4.21). В результате
комплексная амплитуда сигнала на входе приемной антенны при-
приобретает вид
(J№)] A4.22)
где Ёо — некоторая амплитуда, относящаяся к прямому лучу (ее
конкретное значение не играет роли); р = 2лД — коэффициент фа-
фазы плоской волны в свободном пространстве.
Назовем величину
) A4.23)

306
Глава 14. Распространение радиоволн в земных условиях
интерференционным множителем. Амплитуда сигнала на/ входе
приемника пропорциональна модулю этого комплексного ч^сла:
i/i=i-
sm
A4.24)
Рис. 14.11. Тропосферное рас-
рассеяние радиоволн:
1 — передатчик; 2 — приемник;
3 — рассеива?)щий объем
Данное равенство представляет собой интерференционную фор-
формулу для расчета УКВ-радиолинии, полученную в свое вр^мя акад.
Б. А. Введенским. Как сл!едует из
A4.24), если изменять высоту при-
приемной антенны Л2, оставив другие
параметры системы неизменными,
то амплитуда принимаемого сигна-
сигнала будет изменяться по немонотон-
немонотонному закону. В частности, если
$hih2/d=n, то отраженный луч
«гасит» прямой и сигнал на входе
приемника исчезает.
Чтобы бороться с интерферен-
интерференционными явлениями, следует су-
сужать диаграммы направленности применяемых антенн.
В УКВ-диапазоне нашел практическое применение интересный
механизм дальнего распространения, получивший название тропо-
тропосферного рассеяния (рис. 14.11). Здесь для создания поля в точке
приема, находящейся глубоко за горизонтом, используется рассея-
рассеяние падающей волны на турбулентных неоднородностях тропосфе-
тропосферы, которые всегда присутствуют на высотах 10—20 км. Этот спо-
способ связи требует применения остронаправленных антенн и пере-
передатчиков значительной мощности (от единиц до сотен киловатт).
Однако в большинстве случаев тропосферные линии дальней УКВ-
связи экономически выгодны, так как не требуют никаких проме-
промежуточных сооружений вдоль трассы.
- Используются также линии связи на УКВ с рассеянием от ме-
метеорных следов, время от времени возникающих в атмосфере на
высотах 60—100 км. Эти высокоионизированные плазменные обра-
образования существуют всего несколько секунд, но имеют большую
отражательную способность и дают возможность отдельными «пор-
«порциями» передавать значительные объемы цифровой информации
на расстояния в несколько сотен километров.
Отметим в заключение, что волны УКВ-диапазона часто ис-
используются для организации связи между подвижными объекта-
объектами, например между автомобилями в условиях больших городов.
Условия распространения волн оказываются здесь весьма сложны-

14.5. распространение радиоволн различных диапазонов 307
ми из1за' дифракции на местных предметах. Расчет и проектиро-
проектирование \таких радиолиний ведется на основе сбора статистической
информации об условиях' приема радиосигналов в различных ус-
ловия^
Экологические проблемы. Заканчивая главу, кратко остановим-
остановимся на важном вопросе который хотя и не связан непосредственно
с распространением радиоволн, но приобрел в* наши дни особое
значение. Дело в том, что технологическое развитие общества со-
сопровождается непрерывным возрастанием интенсивности электро-
электромагнитных полей искусственного происхождения, которые окружа-
окружают человека на производстве и в быту. Как следствие, актуаль-
актуальной становится защита здоровья человека от вредного влияния
мощных полей, длительно воздействующих на организм.
Упомнутая здесь проблема относится к компетенции радиаци-.
онной биологии, которая среди прочего занимается комплексным
изучением влияния электромагнитного поля на живое вещество.
Установлено, что наиболее опасными для человека оказываются
ионизирующие излучения, энергия квантов которых достаточна
для отрыва электронов от атома. Такими свойствами обладают
ультрафиолетовая радиация и все другие более коротковолновые
излучения, например электромагнитные волны рентгеновского диа-
диапазона.
Биологический эффект поглощенного ионизирующего излучения
выражают в особых единицах — грэях (Гр). Одному грэю соот-
соответствует поглощение энергии в 1 Дж на 1 кг массы вещества.
Важнейшее средство защиты человека — ограничение дозы по-
поглощенного излучения. По нормам, принятым в США, для лиц, под-
подвергающихся облучению на производстве, предельно допустимая
годовая доза составляет 50 мГр. Индивидуальная доза для осталь-
остального населения не должна превышать 50 мГр за 30 лет без учета
естественного радиационного фона [41].
На радиочастотах энергия квантов (фотонов) недостаточна
для ионизации атомов вещества. Падающее электромагнитное по-
поле переводит атомы или молекулы в возбужденное состояние.
Вслед за этим атомы или молекулы возвращаются в исходное со-
состояние, излучая новые кванты той же самой частоты. В конечном
итоге вся энергия радиоволн, поглощаемая организмом, переходит
в теплоту. Этим часто пользуются в медицине для прогревания
внутренних органов. Однако длительное воздействие на человека
СВЧ-полей с плотностью потока мощности в несколько мВт/см2
приводит к болезненным явлениям, прежде всего к помутнению
хрусталика глаза. Не исключается возможность генетических из-
изменений в организме. Поэтому при эксплуатации соответствующе-
соответствующего оборудования следует неукоснительно соблюдать научно об-
обоснованные нормы радиочастотного облучения персонала [42].

308 Глава 14. Распространение радиоволн в земных условиях
ЗАДАЧИ /
/
14.1. Покажите, что сухая почва на частоте 300 МГц'может
рассматриваться как диэлектрическая среда с потерями.
14.2. Рассмотрите задачу об атмосферной рефракции в Плоско-
слоистой среде, образованной соприкасающимися слоями (без по-
потерь толщиной d каждый. Слои имеют убывающие по высоте пока-
показатели преломления П\>Пг>пъ> .... Известным считается угол
падения qp на первый слой из вакуума.
14.3. На полубесконечную плазменную среду падает плоская
электромагнитная волна с частотой, в 1.5 раза превышающей плаз-
плазменную частоту. Найдите'значение критического угла падения на
такую среду.
14.4. Передающий конец космической радиолинии снабжен зер-
зеркальной параболической антенной с площадью 1000 м2. Аналогич-
Аналогичная по конструкции приемная антенна имеет площадь 30 м2. Рабо-
Рабочая длина волны 7.5 см. Приемник с полосой пропускания 15 кГц
имеет шумовую температуру 120 К. Определите предельную длину
радиолинии, при которой отношение сигнал/шум на входе прием-
приемника будет не ниже 3 дБ.
14.5. На сколько сократится длина линии, рассмотренной в за-
задаче 14.4, если полосу пропускания приемника расширить до
1 МГц?
14.6. Спроектируйте линию КВ-связи длиной 1200 км, работаю-
работающую за счет отражения радиоволн от слоя F ионосферы. Концент-
Концентрация электронов в слое 1.5-1012 м~3, высота слоя 260 км.
14.7. Найдите предельную длину трассы с прямой видимостью
между антенной Останкинского телецентра (Л=500 м) и антенной
коллективного приема телевидения, расположенной на крыше жи-
жилого дома (Л—40 м).

309
Но кто введет меня в
еще более скрытую об-
область^ где Мысль соче-
сочетается с Фактом, где мы
видим умственную ра-
работу математика и фи-
физическое действие мо-
молекул в их истинном
соотношении?
Максвелл
Часть вторая
Факультативный
курс

Глава пятнадцатая
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
И ЗАМЕДЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ
ТВЗХ РассматРивались волноводные линии пе-
н^сис^вкоР^ Р°Р0В СВЧтр:буюТс?Глновод
была быТаяня РЫХ фа30ВЗЯ СК°РОСТЬ электромагнитных волн
?™ л" Р ск°Р°с™ пучка электронов. Очевидно, что при
этом фазовая скорость волн должна удовлетворять неравенству
cwktu^Z Т В°ЛН0В0Дные системы называв замедляющими
структурами. Эти структуры находят применение и в других об-
Настоящая глава посвящена исследованию основных свойств
сЛныТРнаМибоНлИТНЫХ ПР°ЦеСС0В В ЭТИХ вол«оводах. Будут также опи-
описаны наиболее распространенные виды замедляющих структур.
15.1. Замедление электромагнитных волн
диэлектрической пластиной.
Поверхностные волны
процессы в системе, состоящей из
пластины толщиной а и идеально проводящего
основания (рис. 15.1). Материал
1 пластины имеет относительную ди-
диэлектрическую проницаемость е;
для простоты будем считать, что
диэлектрик немагнитный (jxa = |i0)
-ee и без потерь (сг=0). Будет показа-
; 0=°° но, что такая пластина может иг-
Рис. 15.1. Диэлектрическая рать Роль волновода замедленных
пластина на идеально прово- ВОЛН.
дящем основании Наша основная цель —найти
-_,о „ структуру электромагнитного поля
замедленной волны и определить степень ее замедления Будем
решать поставленную задачу, рассматривая отдельно полупро-
полупространство, заполненное воздухом или вакуумом (область Л и
ограниченную область 2 внутри пластины. Проекции векторов
электромагнитного поля в каждой области будут снабжаться со-
соответствующими индексами.

15.1. Замедление волн диэлектрической пластиной 311
1) рассматриваются замедленные волны, поэтому длина волны
в волноводе удовлетворяет неравенству Яв<А<ь которое, будучи
записанным относительно продольного волнового числа h, приоб-
приобретает вид ft>Po;
2) система имеет неограниченную протяженность вдоль коор-
координатных осей у и z, показанных на рис. 15.1;
3) изучаемое электромагнитное поле представляет собой гар-
гармоническую волну, распространяющуюся вдоль оси z. Магнитный
вектор волны имеет единственную составляющую, направленную по
координате у. Все проекции векторов поля вдоль этой координаты
считаются неизменными. На основании предыдущего условия от-
отсюда вытекает, что 'силовые линии магнитного поля имеют вид
бесконечных «нитей», параллельных поверхности пластины. Так
как при этом дНу/ду=0, то уравнение divH = 0 выполняется ав-
автоматически. ,
Рассмотрим электромагнитное поле в области /. Комплексная
амплитуда Ну\ единственной отличной от нуля проекции магнит-
магнитного вектора здесь удовлетворяет уравнению Гельмгольца
^/Z^O. A5.1)
Решение этого уравнения будем искать в виде бегущей волны,
распространяющейся вдоль оси z с не известным пока продоль-
продольным волновым числом h и амплитудным множителем, ко-
который зависит лишь от поперечной координаты х:
Uyl(x,z) = Hgl(x)e-j'h*. A5.2)
Подставив формулу A5.2) в уравнение A5.1), приняв во внима-
внимание условие д/ду=0, а также сокращая результат на общий для
всей левой части экспоненциальный множитель ехр(—jhz), при-
приходим к дифференциальному уравнению второго порядка в обык-
обыкновенных производных относительно амплитудного коэффициента
искомой" проекции вектора напряженности магнитного поля:
^
Входящий сюда параметр Р—у ti2 — ро является прямым ана-
аналогом поперечного волнового числа в теории полых металлических
волноводов. Отметим, что для замедленных волн, у которых Хв<.
о, число р всегда действительно.
Общее решение уравнения A5.3) находится элементарно:
A5.4)
где А, В — произвольные постоянные. Из физических соображений
ясно, что Я=0, так как в противном случае амплитуда поля не-

312 Глава 15. Поверхностные волны и замедляющие системы
ограниченно увеличивалась бы при удалении от пластины, что не-
невозможно.
Итак, с точностью до произвольной амплитудной постоянной
НУх(х, *)=Ле-**е-'А*. A5.5)
Формула A5.5) дает возможность сделать принципиально важный
вывод о том, что замедленная волна одновременно является по-
поверхностной. Действительно, с удалением точки наблюдения от
пластины вдоль поперечной оси х амплитуда поля уменьшается
по экспоненциальному закону. Чем меньше фазовая скорость вол-
волны аф по сравнению со скоростью света с, тем короче длина вол-
волны в волноводе Хв, а значит, тем больше продольное волновое
число й = 2яДв по сравнению с коэффициентом фазы |Зо=2яДо
колебаний той же частоты в свободном пространстве. Сокращение
фазовой скорости приводит к росту параметра р, который входит
в показатель действительного экспоненциального выражения. Как
следствие, поле сильнее «прижимается» к направляющей поверх-
поверхности диэлектрической пластины. Сделанный вывод имеет боль-
большую общность и справедлив применительно к любым замедляю-
замедляющим системам.
Проекции вектора напряженности электрического поля в обла-
области 1 легко найти, подставив выражение A5.5) в первое уравне-
уравнение Максвелла:
rotH1=ya)e0E1.
Вычисления существенно упрощаются благодаря тому, что у маг-
магнитного вектора имеется лишь одна проекция и, кроме того, все
проекции векторов поля не зависят от поперечной координаты.
Вычисляя ротор в прямоугольной декартовой системе координат,
имеем:
Ё = —L_ i^_=_A_ Ae-P*e-jb2j A5.6)
/w?0 dz coeo
?„=0, A5.7)
•=_j_ J^L = J^Ae_pXe_/4 A58)
Поскольку продольная проекция электрического вектора Ёг\Ф
=7^=0, в то время как магнитное поле чисто поперечно, рассматри-
рассматриваемые здесь колебания в соответствии с принятой нами класси-
классификацией должны быть причислены к Е-волнам или волнам элект-
электрического типа.
Следует обратить внимание на то, что аргументы комплексных
амплитуд Ёх\ и Ну\ оказываются одинаковыми, а значит, соответ-

15.1. Замедление волн диэлектрической пластиной 313
ствующие проекции колеблются в фазе. Поэтому z-я проекция
комплексного вектора Пойнтинга является чисто действительной
и электромагнитный процесс переносит вдоль указанной оси дей-
действительную мощность. В то же время аргументы комплексных
амплитуд Ёг\ и НУ1 отличаются на я/2, о чем свидетельствует до-
дополнительный множитель / в формуле A5.8). Как следствие, про-
проекция комплексного вектора Пойнтинга вдоль поперечной коорди-
координаты х оказывается чисто мнимой. Это свидетельствует о том, что
никакого переноса активной мощности вдоль данной оси не про-
происходит.
Пример 15.1. Поверхностная электромагнитная волна имеет
частоту /=15 ГГц (длина волны А,о=2О мм) и распространяется
над диэлектрической пластиной толщиной а=12 мм, имеющей ме-
металлическое основание. Измерения показали, что длина волны в
замедляющей системе Хв= 14 мм; амплитуда вектора напряжен-
напряженности магнитного поля на поверхности пластины при х=а со-
составляет 80 А/м. Определить, на каком расстоянии х от идеаль-
идеально проводящей плоскости амплитуда магнитного вектора умень-
уменьшится в 100 раз.
В данном случае продольное волновое число h = 2яДв =
=0.449 мм, в то время как коэффициент фазы гармонической
волны заданной частоты в свободном пространстве Ро=2Д
= 0.314 мм. Это означает, что параметр
=0.321 мм-1.
В соответствии с равенством A5.5) искомое значение коорди-
координаты х входит в систему двух уравнений
Лехр(-0.321а) = 80,
Лехр(—0.321л;) = 0.8.
Исключив отсюда произвольную постоянную А, находим
In 100 . о- о
х= )-а — 26.3 мм.
0.321 к
Проведенный расчет показывает, что поверхностная волна дей-
действительно может оказаться сконцентрированной в пределах срав-
сравнительно тонкого слоя с поперечным размером порядка одной дли-
длины волны.
Обратимся теперь к исследованию электромагнитного поля в
области 2, которая заполнена диэлектриком. Здесь • комплексная

314 Глава 15. Поверхностные волны и замедляющие системы
амплитуда поперечной проекции вектора напряженности магнит-
магнитного поля удовлетворяет уравнению Гельмгольца
V2/^2 + e$//,2 = 0, A5.9)
которое отличается от уравнения A5.1) лишь наличием множите-
множителя е во втором слагаемом левой части. Решение этого уравнения
будем искать в виде
Ну2 (х, z) = Ну2 (х) е-'**. A5.10)
Отметим, что продольное волновое число h, входящее в фор-
формулы A5.2) и A5.10), должно быть одним и тем же, поскольку
поле в обеих областях представляет собой единый волновой про-
процесс с некоторой общей фазовой скоростью.
Тем же способом, что и ранее, находим дифференциальное
уравнение относительно амплитудного коэффициента
^ =0, • - A5.11)
в которое входит параметр q=y epo — /г2. Ранее (см. гл. 6) уже
говорилось о том, что фазовая скорость волн в подобных систе-
системах не может стать меньше фазовой скорости волны в неограни-
неограниченном однородном диэлектрике. Отсюда непосредственно вытека-
вытекает, что величина Y еРо, равная коэффициенту фазы однородной
плоской волны в безграничном диэлектрике, превышает продоль-
продольное волновое число h, и поэтому величина q всегда действительна.
Уравнение A5.11) внешне напоминает уравнение гармониче-
гармонического осциллятора. Разница состоит лишь в том, что здесь роль
независимой переменной играет не время, а пространственная ко-
координата. Общее решение такого уравнения целесообразно искать
в виде
НУч (х) = С cos qx -\- D sin qx. A5.12)
Выбор значений произвольных постоянных С и D должен осуще-
осуществляться исходя из граничных условий на поверхности идеально-
идеального проводника при #=0 и на поверхности раздела вакуум — ди-
диэлектрик при х=а.
На поверхности проводника касательной оказывается z-я со-
составляющая вектора напряженности электрического поля с комп-
комплексной амплитудой [см. выражение A5.8)]
E^^L-JpL. A5.13)
ycoes0 их
Вторая из возможных касательных составляющих электрического
вектора, направленная вдоль оси у, тождественно обращается в

15.1. Замедление волн диэлектрической пластиной 315
нуль в силу выбранного направления поляризации магнитного по-
поля поверхностной волны.
Подстановка A5.10) в равенство A5.13) показывает, что си-
синусоидальное слагаемое в выражении A5.12) не обеспечивает об-
обращения в нуль проекции Ёг2 при х=0. Поэтому в формуле A5.12)
необходимо положить D = 0. Таким образом,
hz, A5.14)
откуда с помощью первого уравнения Максвелла находим комп-
комплексные амплитуды проекций электрического вектора в диэлект-
диэлектрике:
Ex2=—Ccosqxz-ihz, A5.15)
O)??q
?„2=0, A5.16)
Ёг2 = -^~ С sin О5*7)
2
0>??q
Дисперсионное уравнение замедляющей системы. Выше на ос-
основе общих соображений получены функциональные зависимости,
которые описывают проекции векторов электромагнитного поля в
вакууме и диэлектрике. Тем не менее вопрос о связи коэффициен-
коэффициентов фазы Ро и /г, от которой зависят замедляющие свойства си-
системы, остается открытым. Не найдена пока и зависимость между
амплитудными коэффициентами Л и С. Чтобы ответить на эти
вопросы, воспользуемся условиями непрерывности касательных со-
составляющих векторов электромагнитного поля на границе раз-
раздела при х=а. Эти условия имеют вид
Ezl = Ez2; Hyl = Hy2. A5.18)
Подставив в данные равенства конкретные выражения проекций
векторов из A5.5), A5.8), A5.14) и A5.17), а также сокращая
на общие множители, получаем
—рАетра-\—— с sin <7&=0,
A5.19)
А е~ра — С cos qa=0.
Равенства A5.19) образуют систему двух однородных линей-
линейных уравнений относительно неизвестных амплитудных коэффици-
коэффициентов Л и С. Из алгебры известно, что такая система уравнений
является совместной и имеет отличные от нуля решения лишь в
том случае, когда ее определитель обращается в нуль. Отсюда не-

516
Глава 15. Поверхностные волны и замедляющие системы
посредственно получаем соотношение, устанавливающее взаимную
связь между параметрами р и q:
р cos qa — — sin qa = О,
или в безразмерном виде
ра = — qa tg qa.
A5.20)
A5.21)
Равенство A5.21) называют дисперсионным уравнением рас-
рассматриваемой замедляющей системы, поскольку оно дает возмож-
возможность построить дисперсионную
характеристику — зависимость
длины волны в волноводе от
длины волны в свободном про-
пространстве. В данное уравнение
входят две неизвестные величи-
величины ра и qa. Чтобы определить их
однозначно, уравнение A5.21)
нужно дополнить еще одним со-
соотношением
ра
2.9
1.12
1
0.1
/Ею
Л
т
\
\/
1
Рис. 15.2. Графический способ ре-
решения дисперсионного уравнения
поверхностных волн в диэлектри-
диэлектрической пластине
A5.22)
которое непосредственно вытека-
вытекает из определения величин р и q.
Равенства A5.21) и A5.22)
следует рассматривать как си-
систему двух уравнений относительно неизвестных ра и qa. Первое
из этих уравнений трансцендентное, а второе—алгебраическое
второй степени. Такие системы уравнений целесообразно решать
численными методами на компьютере, используя многочисленные
стандартные подпрограммы. Можно также воспользоваться весь-
весьма наглядным графическим методом, точность которого вполне
достаточна для инженерных целей.
Проиллюстрируем графический метод решения на конкретном
призере, приняв следующие исходные данные: е=2.56 (диэлект-
(диэлектрик—полистирол), толщина пластины а=10 мм, длина волны в
свободном пространстве Я0=4.8 см (частота /=j6.25 ГГц). Требу-
Требуется определить длину волны Хв поверхностной электромагнитной
волны Е-типа над такой замедляющей структурой.
На рис. 15.2 построены две кривые из бесконечногб множест-
множества, описываемого уравнением A5.21). Кривые рассчитаны с уче-
учетом заданного значения диэлектрической проницаемости пласта-

15.L Замедление волн диэлектрической пластиной 317
ны. Заметим, что для решения дисперсионного уравнения доста-
достаточно строить кривые только при ра>0, так как всегда р>0.
Искомые решения определяются точками пересечения пост-
построенных кривых с геометрическим местом точек, соответствующих
уравнению A5.22). Нетрудно видеть, что данное равенство опи-
описывает семейство концентрических окружностей, радиусы которых
зависят от диэлектрической проницаемости материала пластины,
ее толщины и рабочей длины волны:
Подставив сюда числовые данные, находим, что в данном случае
/?=1.63. Эта окружность построена на рисунке. Снося точку пе-
пересечения окружности и кривой, которая описывается дисперсион-
дисперсионным уравнением, получаем значение безразмерного параметра
ра= 1.12, откуда р = 0Л12 мм. Значит, продольное волновое чис-
число поверхностной волны /z = ]//?2-}-p?o=O.172 мм, а длина волны
в волноводе Яв=2я/А=3.65 см.
В инженерной практике эффективность работы замедляющей
системы оценивают, вводя безразмерный коэффициент замедления
A5.23)
Для рассмотренного случая /С3ам=4.8/3.65 =1.315, т. е. фазовая
скорость волны примерно на 30% меньше скорости света.
Отметим, что при выбранных параметрах замедляющей систе-
системы точка пересечения окружности и дисперсионной кривой оказа-
оказалась единственной. Это свидетельствует о том, что на заданной час-
частоте может распространяться поверхностная волна лишь одного
типа. Данную волну (замедленную моду) целесообразно обозна-
обозначить как Е!0. Первый индекс представляет собой порядковый но-
номер корня дисперсионного уравнения, а второй указывает на то,
что поле такой волны неизменно в поперечном направлении. Вол-
Волна типа Ею является низшей модой в рассматриваемой замедляю-
замедляющей структуре и существует при любой частоте. Чтобы убедить-у
ся в этом, достаточно заметить, что точка пересечения окружности
и кривой будет иметь место всегда, независимо от радиуса окруж-
окружности.
Одноволновый режим работы замедляющей структуры сохраня-
сохраняется вплоть до значения R—я, т. е, на длинах волн, удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенству
Х0>2а]/"?~=Л, A5.24)
При более высоких частотах в системе потенциально могут су-
существовать поверхностные волны высших типов, такие, как Его,
Е3о и т. д. В частности, на рис. 15.2 изображена окружность радиу-

318
Глава 15. Поверхностные волны и замедляющие системы
сом 7? = 3.22, которая соответствует колебаниям с длиной волны в
свободном пространстве Яо=2.44 см (частота /=12.3 ГГц). Точке
пересечения этой окружности со второй ветвью дисперсионной
кривой соответствует волна типа Е2о, замедление которой весьма
невелико (ра = 0А, К3гы= 1.0008). Наряду с этой высшей модой в
замедляющей системе может быть возбуждена и основая мода
Ею, испытывающая достаточно сильное замедление (ра = 2.9,
Волна Е10
Волна Ezo
Л'ЛЛ
Рис. 15.3. Эскизы силовых линий электромагнитного поля волн типов Ею и
Е2о в диэлектрической пластине
/Сзам= 1.50). По причинам, излагавшимся ранее, волноводные кон-
конструкции следует строить так, чтобы обеспечить одноволновый ре-
режим работы линии передачи.
Эскизы распределения силовых линий векторов электромагнит-
электромагнитного поля для мод Ею и Его приведены на рис. 15.3. Картины си-
силовых линий для волн с более высоким значением первого индекса
могут быть построены по аналогии. Данные рисунки наглядно ил-
иллюстрируют факт экспоненциального уменьшения амплитуды по-
поля при удалении точки наблюдения от замедляющей структуры.
Поверхностные волны Н-типа. В системе из диэлектрической
пластины и идеально проводящей подстилающей плоскости поми-
помимо уже изученных Е-волн могут существовать волны Н-типа. Крат-
Кратко рассмотрим свойства таких волн, опуская некоторые промежу-
промежуточные выкладки; смысл параметров р и q остается прежним.
Предположим, что в области 1 (см. рис. 15.1) распространя-
распространяется замедленная волна, у которой комплексная амплитуда векто-
вектора напряженности электрического поля имеет единственную про-
проекцию
Еу1 (х, z) = Eyl (х) е-'Ч A5.25)
Функция вида A5.25) в указанной области является решением
уравнения Гельмгольца

15.1. Замедление волн диэлектрической пластиной 319
и по аналогии с A5.5) может быть представлена следующим об-
образом:
?yi(x, 2)=Ле-^е-^'Ч A5.26)
Отсюда, воспользовавшись вторым уравнением Максвелла, нахо-
находим магнитный вектор поля в области 1, который имеет отличную
от нуля продольную проекцию с комплексной амплитудой
д^ -Р— Ле-^е-^'Ч A5.27)
у'о)}Х0 дх ju>lLQ
Таким образом, рассматриваемый электромагнитный процесс
действительно является волной Н-типа.
В области 2 электрический вектор поверхностной волны имеет
лишь составляющую, направленную вдоль оси у; комплексная
амплитуда соответствующей проекции удовлетворяет уравнению
решение которого имеет вид
Еу2 (х, z) = B sin qx z~jhz, A5.28)
где В — произвольная постоянная. Заметим, что в формуле A5.28)
оставлен лишь член с синусоидальным амплитудным множителем,
чтобы выполнялось граничное условие на идеально проводящей
плоскости при х = 0.
Продольная проекция магнитного вектора в области 2 имеет
комплексную амплитуду
^ ^ ^ os qxe-J'h*. A5.29)
дх /(ор.0
Теперь воспользуемся условиями на границе раздела вакуум —
диэлектрик
Ёу1=Ёу2; Hzl=Hz2 при х=а. A5.30)
Подставив сюда выражения A5.26) — A5.29), приходим к одно-
родной системе линейных алгебраических уравнений относительно
амплитудных коэффициентов А и В:
Ае~ра — В sin qa = 0,
Ар z-Pa-{-Bq cos qa=0. A5.31)
Очевидное условие разрешимости этой системы приводит к дие*
персионному уравнению для Н-волн
da~—qao\gqa, A5.32)

320
Глава 15. Поверхностные волны и замедляющие системы
которое следует дополнять соотношением A5.22), связывающим
переменные ра и qa.
Методика графического решения полученного дисперсионного
уравнения показана на рис. 15.4. Построение в принципе не отли-
отличается от того, которое использовалось при анализе Е-волн. Од-
Однако следует заметить, что первая ветвь дисперсионной кривой, от-
отвечающая низшей моде Ню, начина-
Ра1 ется не из начала координат, как бы-
было ранее, а из точки на оси абсцисс
с координатой qa=л/2. Отсюда сле-
следует, что при достаточно низких ча-
частотах, когда выполняется неравенст-
неравенство R<n/2, поверхностных волн Н-типа
в данной системе существовать не
может. Критическую длину волны Хкр
для моды Нш можно найти из усло-
условия
о f
5тг 2тг 5ж
Т 2
Рис. 15.4. Решение дисперси-
дисперсионного уравнения для волн
магнитного типа в диэлектри-
диэлектрической пластине
—1 ркРя=я/2. Так как ркр=
Кр, то
A5.33)
Таким образом, критические длины волн для мод Н-типов по
порядку величин совпадают с толщиной пластины.
Пример 15.2. Найти критическую длину волны для моды типа
Н3о, если известны параметры диэлектрической пластины: а =
= 0.5 мм, 8=9 (пластина выполнена из оксида алюминия).
Волне типа Н3о отвечает третья ветвь дисперсионной кривой,
как это показано на рис. 15.4. Данная ветвь начинается из точки
с абсциссой qa = 5n/2. Значит, У е—1ркра = 5я/2, откуда А,Кр —
= 4]/~е—1 а/5 = 1.13 мм, т. е. такую моду можно возбудить
лишь в коротковолновой части миллиметрового диапазона.
15.2. Гребенчатая замедляющая система
Чертеж этой замедляющей структуры, весьма распространенной
в технике СВЧ, представлен на рис. 15.5. Система представляет
собой периодическую последовательность канавок прямоугольного
профиля, прорезанных в металлическом основании и ориентиро-
ориентированных параллельно оси у. На рисунке обозначены геометрические
размеры — глубина канавок I, ширина а, а также толщина межка-
навочных гребней Ь.

15.2. Гребенчатая замедляющая система
321
Оказывается, что при определенных условиях в области / над
гребенчатой структурой может быть возбуждена поверхностная
электромагнитная волна, которая распространяется в направлении
продольной оси г, т. е. поперек канавок. Напряженность поля
этой волны с ростом поперечной координаты х уменьшается по
экспоненциальному закону.
Сделаем существенное предположение — будем считать, что
пространственный период структуры а+Ь значительно меньше ра-
рабочей длины волны Яо. Как будет видно из дальнейшего, это до-
дополнительное условие облегчает
поиск решений уравнений Макс-
Максвелла, которые описывают элек-
электромагнитное поле в гребенчатой
структуре.
Будем изучать волны Е-типа,
у которых магнитный вектор
имеет единственную отличную от
нуля составляющую, направлен-
направленную вдоль оси у. Тогда, считая,
что область 1 над гребенкой за-
заполнена воздухом, а вся струк-
структура является бесконечно протяженной по координате у, можно
непосредственно воспользоваться полученными ранее формулами
A5.5) и A5.8), записав
'**, A5.34)
Рис. 15.5. Гребенчатая замедляю-
замедляющая система
О)?0
A5.35)
Рассмотрим теперь поле в области 2, которая представляет
собой совокупность канавок, заполненных воздухом. Если принять
во внимание предположение, согласно которому ширина канавки
значительно меньше длины волны, то можно заключить, что в
пределах отдельно взятой канавки поле практически неизменно
вдоль координаты г. Поэтому решением уравнений Максвелла в
области 2 может быть лишь стоячая Т-волна с единственной' от-
отличной от нуля проекцией электрического вектора
A5.36)
где В — некоторый произвольный амплитудный множитель. Легко
убедиться, что формула A5.36) действительно описывает электри-
электрическое поле, удовлетворяющее уравнениям
V'E + tfE-O, .
divE-0.
A537)
11 1О7П

322 Глава 15. Поверхностные волны и замедляющие системы
В равной мере такое поле удовлетворяет граничным условиям как
на дне канавки при х=0, так и на ее боковых стенках.
Чтобы найти напряженность магнитного поля в области 2, сле-
следует воспользоваться вторым уравнением Максвелла
rotE2=—у
Учитывая, что, по предположению, Ёх2=Ёу2 = 0, имеем
д д д
дх ду дг
О О Е7,
дх
откуда с учетом равенства A5.36)
Hy2=-^—Bcos$Qx. A5.38)
.Wo
На границе раздела областей 1 и 2 касательные составляющие
векторов электромагнитного поля должны быть непрерывны. Та-
Такое ..представление, в сущности, является приближенным. Оно обу-
обусловлено малостью пространственного периода структуры по срав-
сравнению с рабочей длиной волны, вследствие чего можно не счи-
считаться с конечной толщиной металлических гребней и рассматри-
рассматривать всю область 2 как некоторую «искусственную среду», элект-
электродинамические свойства которой зависят лишь от соотношения
между длиной волны и глубиной канавки.
Так как фактические значения амплитудных множителей А и
В несущественны, подойдем к проблеме граничных условий при
х=1 несколько по-иному, введя в рассмотрение вспомогательные
величины
Ztioal = Exl/flyl\x=h A5.39)
ZnoB2=Ez/Hy2\x=h A5.40)
которые имеют размерность сопротивления и называются поверх-
поверхностными импедансами соответствующих областей1. Очевидно, что
обычные граничные условия, согласно которым при х = 1 касатель-
касательные составляющие векторов поля должны быть непрерывны, с
точностью до несущественного общего множителя можно заменить
так называемым импедансным граничным условием
Z —Z A5.41)
1 Термин «импеданс», повсеместно принятый в электродинамике СВЧ, яв-
является синонимом термина «комплексное сопротивление» из теории электриче-
электрических цепей.

15.2. Гребенчатая замедляющая система . 323
Обратившись к формулам A5.34) и A5.35), убеждаемся, что
поверхностный импеданс среды 1
Zuobi=JP/i^o), A5.42)
причем эта величина оказывается даже неизменной во всех точках
верхнего полупространства. Так как для замедленной волны па-
параметр р>0, то поверхностный импеданс должен быть чисто ре-
реактивным и носить индуктивный характер по аналогии с известной
формулой ZL=ja)L.
Поверхностный импеданс для поля в области 2 найдем, вос-
воспользовавшись равенствами A5.36) и A5.38):
^ A5.43)
где Zo— характеристическое сопротивление вакуума.
Приравнивая эти два импеданса и учитывая, что соео2о = Ро,
получаем дисперсионное уравнение гребенчатой замедляющей си-
системы
/7 = potgpo/. A5.44)
Как уже указывалось, левая часть этого уравнения должна быть
положительной. Поэтому поверхностная волна может существо-
существовать не при любом соотношении между параметрами / и Ао, а
лишь тогда, когда tg|V>0. Действительно, в соответствии с.
A5.43) только в этом случае поверхностный импеданс области 2
будет иметь индуктивный характер. В частности, допустимыми
оказываются значения I, удовлетворяющие неравенствам
0</<W4, W2</OW4 и т. д.
Дисперсионное уравнение гребенчатой замедляющей системы
A5.44) несколько проще уравнений A5.21) — A5.22), которые опи-
описывают свойства поверхностных волн в системе с диэлектрической
пластиной. Дело в том, что равенство A5.44) выражает параметр
р в явном виде, так что из него непосредственно следует формула
для расчета коэффициента замедления гребенчатой структуры.
Действительно, так как /Сзам=^оАв==^/Ро, то
A5.45)
Отсюда видно, что если глубина канавки приближается к Я0/4, то
длина замедленной волны Хв, а значит, и ее фазовая скорость стре-
стремятся к нулю,
п*

324 Глава 15. Поверхностные волны и замедляющие системы
Пример 15.3. Подобрать минимальную глубину канавок гре-
гребенчатой замедляющей структуры таким образом, чтобы при дли-
длине волны генератора Хо=3.2 см фазовая скорость поверхностной
волны составляла 1.8-108 м/с.
В данном случае параметр /Сзам = 3/1.8= 1.66. Отсюда в соот-
соответствии с формулой A5.45) находим po/=arc cos A/1.66) =0.924,
а так как коэффициент фазы плоской волны в свободном прост-
пространстве Ро=6.28/3.2 = 1.963 см, то требуемая глубина канавок
/=0.47 см = 4.7 мм.
На практике фазовая скорость поверхностной волны всегда
имеет некоторое ненулевое значение, хотя из формулы A5.45) и
следует, что эта скорость стремится к нулю при $01-+л/2. Такое
противоречие между теорией и экспериментом объясняется тем,
что наш анализ является приближенным, поскольку не учитывает
в явном виде параметров а и Ъ структуры. Строгое решение за-
задачи о волнах в гребенчатой структуре достаточно сложно и вы-
выходит за рамки настоящей книги.
Гребенчатая замедляющая структура не имеет диэлектрических
элементов конструкции и поэтому удобна для использования в
мощных электронных приборах и малогабаритных антеннах СВЧ-
диапазона.
15.3. Некоторые другие замедляющие системы
Одной из первых замедляющих структур, нашедших примене-
применение на практике, явился спиральный волновод, схематически изоб-
изображенный на рис. 15.6. Такой волновод представляет собой доста-
достаточно тонкий проводник, навитый на круглый цилиндр радиусом
а по винтовой линии с некоторым постоянным шагом d. Замед-
Замедляющее действие спирального волновода можно упрощенно объ-
объяснить следующим образом. При возбуждении такого волновода
вдоль проводника распространяется бегущая волна тока, причем
скорость этой волны весьма близка к скорости света в вакууме.
Поскольку путь тока вдоль проводника значительно превышает
проекцию этого пути на ось волновода, фактическая скорость рас-
распространения колебаний вдоль волновода оказывается меньше
скорости света.
Чтобы найти коэффициент замедления спирального волновода,
рассмотрим развертку одного витка спирали (рис. 15.7). Очевид-
Очевидно, что коэффициент замедления равен отношению длин путей
вдоль проводника и вдоль оси волновода, т. е.

15.3. Некоторые другие замедляющие системы 325
/C3aM=l/sin а, A5.46)
где а — угол намотки спирали.
Таким образом, в первом приближении фазовая скорость за-
замедленной электромагнитной волны в спиральном волноводе опре-
определяется лишь геометрией спирали и не зависит от частоты. Это
Рис. 15.6. Спиральный вол-
волновод
Рис. 15.7. Развертка одного
витка спирали
простое, на первый взгляд, свойство объясняет высокую широко-
полосность лампы бегущей волны (ЛБВ), которая используется в
качестве усилителя СВЧ-колебаний. Работа ЛБВ (рис. 15.8) ос-
основана на том, что при условии синхронизма между электронным
V.,..../.....,
Рис. 15.8. Конструкция лампы бе- Рис. 15.9. Диафрагмированный
гущей волны: волновод
1 — спираль; 2 — электронный пучок;
3 — вход энергии СВЧ; 4 — выход
усиленного сигнала; 5 — катод; 6 —
коллектор электронов
потоком и распространяющейся волной часть кинетической энер-
энергии пучка электронов может быть передана электромагнитной
волне. За счет этого амплитуда колебаний на выходе прибора су-
существенно превосходит амплитуду колебаний на входе. Очевидно,
что отсутствие частотной дисперсии (зависимости фазовой скоро-
скорости волн от частоты) благоприятствует работе ЛБВ в широкой
полосе частот.
Строгая теория распространения электромагнитных волн^ в спи-
спиральном волноводе довольно сложна с математической точки зре-
зрения и здесь не рассматривается Отметим лишь, что формула
A5,46) справедлива только при условии %o<d. В противном слу-

326 Глава 15. Поверхностные волны и замедляющие системы
чае волна «перескакивает» с витка на виток, в результате чего
коэффициент замедления спирали становится функцией рабочей
частоты.
Интересной модификацией гребенчатой структуры, имеющей
практическое применение, является диафрагмированный волновод
(рис. 15.9), представляющий собой круглую металлическую тру-
трубу, внутри которой с одинаковым шагом размещены диафрагмы.
Подобную систему можно рассматривать как гребенчатую струк-
структуру, свернутую в кольцо по направлению канавок. Диафрагми-
Диафрагмированный волновод особенно удобен для применения в линейных
ускорителях заряженных частиц. Это объясняется конструктивной
особенностью данного волновода — наличием отверстий в диаф-
диафрагмах, сквозь которые проходит сфокусированный и сгруппиро-
сгруппированный поток частиц.
ЗАДАЧИ
15.1. Замедляющая система представляет собой бесконечную
диэлектрическую пластину с параметрами еа = ее0, iaa = [Xo*, толщи-
толщина пластины равна 2а. Пластина расположена параллельно плос-
плоскости ZOY декартовой системы координат таким образом, что ее
плоские поверхности имеют координаты х=±а. Электромагнитная
волна распространяется вдоль оси г. Покажите, что в данной за-
замедляющей системе могут распространяться волны Е-типа, при-
причем существуют как четные волны, у которых поперечные проек-
проекции векторов поля представляют собой четные функции коорди-
координаты х, так и нечетные волны, у которых эти проекции описыва-
описываются нечетными функциями. Выведите дисперсионные уравнения
для волн четных и нечетных типов.
15.2. Замедляющая структура с плоской границей раздела (на-
(например, пластина диэлектрика на металлическом основании) воз-
возбуждается колебаниями с частотой 7.5 ГГц. Известно, что на
расстоянии 6 см от границы раздела амплитуда вектора напря-
напряженности магнитного поля уменьшается в 8 раз по сравнению с
амплитудой этого вектора на границе раздела. Определите длину
волны в данной замедляющей структуре.
15.3. Найдите фазовую скорость и длину поверхностной волны,
распространяющейся вдоль гребенчатой замедляющей структу-
структуры с глубиной пазов 5 мм при частоте поля 10 ГГц.
15.4. Известно, что поверхностный импеданс некоторой гребен-
гребенчатой замедляющей структуры равен /650 Ом. Вычислите фазо-
фазовую скорость волны, распространяющейся вдоль системы.
15.5. Спиральная замедляющая система имеет радиус а=4мм
и шаг d=0.6 мм. Определите приближенное значение длины вол-
волны в этой спирали на частоте 2.8 ГГц. Каков должен быть поря-

Задачи 327
док скорости электронного пучка, эффективно взаимодействующе-
взаимодействующего с такой замедляющей системой?
15.6. Составьте дисперсионное уравнение, описывающее харак-
характеристики поверхностной волны, которая распространяется в си-
системе, состоящей из гребенки и идеально проводящей плоскости,
параллельной границе гребенчатой структуры. Расстояние между
гребенкой и плоскостью равно d, глубина паза гребенки равна /.
Указание: приравняйте поверхностные импедансы полей на
границе гребенчатой структуры.
Глава шестнадцатая
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Ранее в гл. 1 указывалось, что некоторые материальные среды
обладают анизотропией электромагнитных свойств. Это находит
отражение в том, что материальные уравнения таких сред в са-
самом общем виде имеют следующий вид:
где*е! и^и — тензоры абсолютной диэлектрической и абсолютной
магнитной проницаемостей соответственно. В частных случаях мо-
может проявляться только электрическая или только магнитная ани-
анизотропия. Например, для магнитно-анизотропной среды абсолют-
абсолютная магнитная проницаемость представляет собой тензор, в то
время как абсолютная диэлектрическая проницаемость является
скалярной величиной.
Внутренней причиной анизотропии является особенность атом-
но-молекулярного строения вещества, в частности упорядоченное
пространственное расположение атомов в узлах кристаллической
решетки. Любые монокристаллы (кварц, кремний, оксид алюми-
алюминия и т. д.) анизотропны, различия состоят лишь в степени выра-
выраженности анизотропных свойств. Анизотропными становятся также
аморфные вещества, помещенные в достаточно сильные постоян-
постоянные электрические или магнитные поля.
Изучением распространения электромагнитных волн в анизо-
анизотропных средах занимаются специальные разделы физики, в част-
частности кристаллооптика. Общая теория оказывается достаточно
сложной и громоздкой в математическом отношении. Поэтому в
дальнейшем мы сосредоточим внимание на изучении лишь одного
класса анизотропных веществ — намагниченных ферритов, полу-
получивших за последние десятилетия широкое применение при конст-

328
Глава 16. Распространение волн в анизотропной среде
Li
m
жения
руироцании волноводных СВЧ-устройств. Несмотря на такую ог-
ограниченность объекта исследования, нам удастся познакомиться
с рядом важнейших свойств, присущих любым анизотропным сре-
средам.,
16.1. Физический механизм анизотропии ферритов.
Уравнение движения намагниченности
Ферриты представляют собой твердые вещества, подобные ке-
керамике. Их получают искусственно, проводя высокотемпературное
спекание оксида железа с соединением како-
какого-либо двухвалентного металла, например
Zn, Ba, Sr и т. д. Условная химическая
_ формула феррита имеет вид M/i(Fe2O3)«, где
С^Г N символом М обозначен ион двухвалентного
i^n^^^f металла.
При комнатной температуре электроны
всех атомов, входящих в кристаллическую
решетку феррита, прочно удерживаются об-
Рис. 16.1. Вектор мо- менными силами. Поэтому концентрация
мента количества дви- электронов в зоне проводимости весьма мала
и ферриты в отличие от металлов проявляют
четко выраженные свойства изолятора. На
частотах СВЧ-диапазона относительная диэлектрическая прони-
проницаемость ферритов в среднем составляет 10—20; диэлектрические
потери соответствуют значению tg6^10~~3.
Классические представления, основанные на понятии молеку-
молекулярных токов (см. гл. 1), недостаточны для объяснения электро-
электромагнитных явлений в ферритах. Приходится использовать кванто-
во-механические понятия. Квантовая теория магнетизма веществ
основана на том факте, что последний электрон в оболочке иона
двухвалентного металла обладает собственными механическим и
магнитным моментами, или, как говорят в физике, такой электрон
имеет спин. Обсудим этот вопрос несколько подробнее, опираясь
на материал вузовского курса физики [14].
Как известно, характеристикой тела, находящегося во враща-
вращательном движении, служит момент импульса. Рассмотрим вращаю-
вращающуюся материальную точку массой т, имеющую скорость v (рис.
16.1). Если через г обозначить радиус-вектор точки относительно
центра вращения, то, по определению, момент импульса данной
точки относительно центра вращения
A6.1)
Ясно, что вектор L перпендикулярен плоскости орбиты точки.

16.1. Физический механизм анизотропии ферритов 329
Если на точку действует некоторая сила F, то справедлив за-
закон Ньютона
F = -^-(/rcv). A6.2)
Векторно умножив левую и правую части равенства A6.2) на ра-
радиус-вектор г, получим
[r(/?zv)]. A6.3)
Величину
K = [rFl A6.4)
называют моментом силы F относительно выбранной оси враще-
вращения. Воспользовавшись этим понятием, можно переписать урав-
уравнение A6.3) таким образом:
K = -?-L. A6.5)
Пусть имеется некоторое материальное тело конечных разме-
размеров. Если это тело может силовым образом взаимодействовать с
постоянным магнитным полем, то говорят, что оно обладает не-
некоторым магнитным моментом т. Данный вектор имеет физиче-
физическую размерность А-м2 и перпендикулярен плоскости воображае-
воображаемого элементарного витка с током (см. гл. 1). В квантовой меха-
механике установлена числовая связь между магнитным моментом
электрона m и его моментом импульса L. Теоретически и экспе-
экспериментально показано, что
m = -YL, A6.6)
где Y = e/tfi=l-76-1011 Кл/кг — величина, равная отношению заря-
заряда электрона к его массе и называемая гиромагнитным отношени-
отношением электрона. Отрицательный знак в формуле A6.6) указывает
на то, что в пространстве векторы m и L антипараллельны.
Уравнения движения намагниченности. Предположим теперь,
что образец феррита помещен в постоянное магнитное поле Но,
ориентированное произвольным образом и называемое подмагни-
чивающим полем. В курсе физики доказывается, что любая систе-
система, обладающая магнитным моментом, стремится при этом занять
такое положение, чтобы векторы m и Но стали параллельными.
При таком положении потенциальная энергия магнитной системы
оказывается минимальной. Можно показать, что момент силы,
действующей на систему в магнитном поле,
A6.7)

330 Глава 16. Распространение волн в анизотропной среде
Подставив это выражение з формулу A6.5) и учитывая соотноше-
соотношение A6.6), приходим к дифференциальному уравнению, которое
описывает динамику вектора магнитного момента электрона:
^ A6.8)
Предположим, что в единице объема феррита содержится N
элементарных магнитных систем (валентных электронов). Тогда,
введя вектор намагниченности M=mAf, из A6.8) получаем у рае-
пение движения намагниченности
dM ptYlMH] A6.9)
dt
Частота ферромагнитного резонанса. Пусть для определенно-
определенности постоянное подмагничивающее поле Но ориентировано вдоль
оси z декартовой системы координат, так что Н0 = Я012. Вектор
намагниченности является суммой составляющих по трем прост-
пространственным осям:
m=Mx\x-\-My\y-\-Mz\z. A6.10)
Подставив это разложение в A6.9), получаем систему трех диф-
дифференциальных уравнений первого порядка
dt
\м..
= ^уИ0Мх, A6.11)
=0,
dt
dM2
dt
которая описывает свободное движение вектора намагниченности
в феррите, происходящее без внешних возбуждающих сил.
Следует заметить, что в системе A6.11) третье уравнение, по
сути дела, никак не связано с первыми двумя и просто означает,
что Afz=const. В теории ферритов часто приближенно считают,
что продольная (вдоль поля Но) проекция Mz равна так называе-
называемой намагниченности насыщения Ms (от англ. saturation — насы-
насыщение). Это означает, что все элементарные магнитные моменты
ионов ориентированы вдоль направления подмагничивающего
поля. Значения Ms оказываются различными у ферритов разных
марок и приводятся в справочниках по радиотехническим мате-
материалам.

16.1. Физический механизм анизотропии ферритов 331
Обращаясь теперь к системе двух первых уравнений кз A6.11),
дополним ее некоторыми начальными условиями:
Мх\м = Мх0; Муи-*=Муь A6.12)
где Мх0 и Муо — произвольные постоянные величины, характери-
характеризующие состояние вещества при ^=0. Совокупность уравнений
A6.11) и начальных условий A6.12) образует так называемую за-
задачу Коши для рассматриваемых линейных дифференциальных
уравнений. Подобные задачи встречаются в теории цепей, где они
описывают процессы собственных колебаний.
Продифференцировав первое уравнение из A6.11) по времени
и воспользовавшись вторым уравнением, можно исключить неиз-
неизвестную Му и получить уравнение второго порядка относительно
проекции Мх:
4Мх = 0. A6.13)
d/2 ' y
Входящий сюда параметр cop = |ioY^o называют частотой ферро-
ферромагнитного резонанса.
Уравнение A6.13) представляет собой хорошо известное урав-
уравнение гармонического осциллятора, которое в физике описывает
свободные колебания в динамических системах второго порядка
без потерь. Будем искать решение этого уравнения как сумму двух
гармонических слагаемых с не известными пока амплитудными
коэффициентами:
Мх (/) = A cos (Op/ -f В sin (Op/. A6.14)
Прямая подстановка убеждает в том, что выражение A6.14) дей-
действительно служит решением уравнения A6.13).
В соответствии с первым уравнением из системы A6.11)
М„= l--^-=Asm^-Bcosyt. A6.15)
сор at
Подставив значение /=0 в равенства A6.14) и A6.15), а также
используя начальные условия A6.12), находим, что А=Мх0, В =
=—Муо и поэтому
(шло)
Му = Мх0 sin a)p/ -j- MyQ cos (op/.
Чтобы уяснить физический смысл полученного результата, за-
заметим, что
A6.17)

332
Глава 16. Распространение волн в анизотропной среде
т. е. при свободных колебаниях вектор М перемещается в прост-
пространстве таким образом, что его конец описывает окружность по-
постоянного радиуса (рис. 16.2). Из рисунка видно, что вектор М
всегда параллелен образующей конуса с высотой Ms\ вращение
вектора происходит с резонансной частотой, а направление вра-
вращения зависит от начальных условий.
Движения такого вида часто встречаются в природе. Приме-
Примерами могут служить круговое движение грузика, подвешенного на
нерастяжимой нити, а также вращательное
движение оси волчка, наблюдаемое в том
случае, если внезапно возникает сила, дейст-
действующая перпендикулярно оси вращения.
В теории гироскопов такое движение волчка
называют прецессией. По аналогии говорят,
что рассмотренное явление в намагниченном
феррите является свободной прецессией век-
вектора намагниченности.
Частота соР зависит от напряженности под-
' магничивающего поля Яо и может оказаться
весьма высокой. Например, если индукция
подмагничивающего поля В0=1.5 Тл (такое
„ Лп п „ ^ поле можно создать с помощью мощного по-
Рис. 16.2. Свободное ч гт г%
движение вектора на- СТОЯННОГО магнита), ТО щ=^уН0 = уВ0^
магниченности в фер- =2.64-1011 С ИЛИ fp = 4.2-1010 Гц = 42 ГГц.
рите Этой частоте соответствует длина волны Яо =
= 7.14 мм, т.е. собственные колебания векто-
вектора намагниченности происходят в миллиметровом диапазоне.
Влияние затухания. Физически ясно, что амплитуда свободных
колебаний вектора намагниченности с течением времени должна
уменьшаться из-за неизбежных потерь. Было предложено описы-
описывать потери в намагниченной среде, введя дополнительные члены
в уравнения движения:
dt
dMy
dt
A6.18)
Уравнения вида A6.18) называют уравнениями Блоха. Входя-
Входящий в них параметр Т представляет собой время релаксации сво-
свободных колебаний вектора намагниченности. Значения Т находят
экспериментально, изучая, например, отклик среды на внешнее
воздействие вида короткого импульса или снимая амплитудно-час-
амплитудно-частотную характеристику системы.

16.L Физический механизм анизотропии ферритов ' 333
Покажем, что уравнения Блоха действительно описывают сво-
свободные колебания вектора намагниченности при наличии потерь.
Для этого будем искать решения системы A6.18) в виде экспо-
экспоненциальных функций времени с не известными заранее коэффи-
коэффициентами:
Мх=АеР'; МУ = В&*. A6.19)
Подставив A6.19) в A6.18), убеждаемся, что коэффициенты А и
В должны удовлетворять системе однород-
однородных линейных уравнений
Эта система будет совместной, если ее опре-
определитель равен нулю, т. е. параметр р явля-
является корнем квадратного уравнения
1 р~'"' Рис. 16.3. Влияние
потерь на характер
откуда движения вектора на-
« магниченности
Pb2=-y±J«>r A6.20)
Подставляя эти значения корней в A6.19), приходим к выводу,
что общий вид зависимостей поперечных проекций вектора намаг-
намагниченности от времени таков:
Мхи — е-'/т sin coj. A6.21)
cos
Эта формула очень напоминает ту, которая описывает свободный
процесс в колебательном контуре без потерь [2]. Легко сообра-
сообразить, что конец вектора М перемещается теперь не по окружно-
окружности, как это было в случае среды без потерь, а по спирали (рис.
16.3); при t->-oo этот вектор стремится стать параллельным под-
магничивающему полю. Время релаксации Т служит оценкой дли-
длительности процесса установления равновесия в данной системе.
Как правило, на практике выполняется неравенство сорГ^>1, т. е.
прецессирующий вектор намагниченности успевает совершить мно-
много оборотов вокруг оси, прежде чем процесс собственных колеба-
колебаний закончится.
Недостаток уравнений Блоха состоит в том, что они введены
чисто феноменологически, без обсуждения физического механизма

334 Глава 16. Распространение волн в анизотропной среде
возникновения потерь в феррите. Более последовательным оказы-
оказывается подход, основанный на векторном уравнении движения на-
намагниченности в форме Ландау — Лифшица
Второе слагаемое правой части обычно называют диссипативным
членом уравнения; параметр а определяют экспериментально.
16.2. Тензор магнитной проницаемости намагниченного феррита
Рассмотрим случай, когда в однородной бесконечно протяжен-
протяженной ферритовой среде помимо постоянного магнитного поля с век-
вектором напряженности Но существует высокочастотное магнитное
поле Нь гармонически изменяющееся во времени с частотой со.
Полагая, что вектор Но ориентирован вдоль оси z, запишем сум-
суммарное магнитное поле:
H = //Oi2 + H1. A6.23)
Если феррит находится в режиме насыщения, то соответствующий
вектор намагниченности будет иметь вид
M^Af^ + Mx, A6.24)
где Mi — переменная составляющая вектора намагниченности, выз-
вызванная наличием высокочастотного магнитного поля.
В дальнейшем будем рассматривать часто встречающийся на
практике случай малого высокочастотного сигнала, когда выпол-
выполняются следующие неравенства:
Я,/Я0С1; MJMU<^\. A6.25)
Ставится задача на основе уравнения движения вектора намагни-
намагниченности A6.9) найти связь между векторами Hi и Мь Чтобы уп-
упростить решение, воспользуемся приближением малого сигнала,
пренебрегая в правой части уравнения движения произведением
малых величин вида М\НЬ которое имеет второй порядок малости.
Подставив соотношения A6.23) и A6.24) в правую часть исход-
исходного уравнения A6.9) и используя комплексную форму представ-
представления гармонических полей, будем иметь*
Aui]- A6-26)
Если записать векторные произведения в координатном виде и
произвести упомянутое выше упрощение, то векторное уравнение
A6.26) окажется эквивалентным системе двух скалярных уравне-
уравнений

16.2. Тензор магнитной проницаемости феррита 335
Здесь введены следующие обозначения: (Ор=\10уН0 — уже встре-
встречавшаяся ранее частота ферромагнитного резонанса (частота сво-
свободной прецессии вектора намагниченности феррита); (ds=ixoyMs—
вспомогательный расчетный параметр, имеющий размерность час-
частоты. Отметим, что система A6.27) содержит только два уравне-
уравнения, так как из A6.26) следует, что в первом приближении высо-
высокочастотная часть продольной проекции вектора намагниченности
M\z обращается в нуль.
Предположим, что проекции переменного магнитного вектора
Н\х и Н\у тем или иным образом заданы. Тогда равенства A6.27)
становятся системой линейных алгебраических уравнений относи-
относительно неизвестных комплексных амплитуд М\х и М\у. Решение
этой системы имеет следующий вид:
A6.28)
0J
Безразмерные коэффициенты в правых частях равенств A6.28)
по своему физическому смыслу соответствуют введенной ранее маг-
магнитной восприимчивости (см. гл. 1). Используя обозначения
запишем полную систему уравнений, связывающих между собой
проекции высокочастотного магнитного поля Hi и высокочастот-
высокочастотной намагниченности Мь возбуждаемой этим полем:
A6.30)
Система уравнений A6.30) дает возможность образовать таблицу
из девяти чисел (отличными от нуля оказываются лишь четыре)
jk'u -К о , A6.31)
L 0 0 0-

336 Глава 16. Распространение волн в анизотропной среде
которую называют тензором магнитной восприимчивости намагни-
намагниченного феррита. С математической точки зрения таблица A6.31)
представляет собой матрицу: закон образования декартовых про-
проекций вектора Mi соответствует обычным правилам умножения
матрицы кж на вектор-столбец Нь
Воспользовавшись введенным ранее определением, можно вы-
выразить вектор высокочастотной магнитной индукции Bi через на-
напряженность магнитного поля Hi и намагниченность Mi:
A6.32)
Учитывая, что комплексные амплитуды Mi и Hi связаны между со-
собой тензором магнитной восприимчивости kM, соотношение A6.32)
можно также представить в тензорном виде:
Bi = lAo Iх Н1э A6.33)
где [х — тензор относительной магнитной проницаемости намагни-
намагниченного феррита, представляемый следующей матрицей:
" р -у>' 0 1
у>' [х 0 . . A6.34)
.0 0 1 J
Связь между компонентами обоих тензоров такова:
1Х=1_^м; |х'=^. A6.35)
Материальные среды с тензором магнитной проницаемости ви-
вида A6.34) называют гиротропными средами. Данный термин под-
подчеркивает связь механизма возникновения анизотропии магнитных
свойств с прецессией вектора намагниченности. В литературе тен-
тензор вида A6.34) часто называют тензором Полдера. Перечислим
его основные свойства.
в При отсутствии потерь в веществе диагональные компоненты
тензора Полдера действительные, а внедиагональные — чисто мни-
мнимые, причем всегда [xt-/= !¦**//•
О Отличные от нуля компоненты зависят от напряженности под-
магничивающего поля и от частоты колебаний. Последнее означа-
означает, что намагниченный феррит является материальной средой с
частотной дисперсией фазовой скорости.
Ш На частоте ферромагнитного резонанса компоненты тензора
Полдера испытывают разрыв. Это связано с тем, что примененная
нами модель не учитывает эффекта затухания прецессии из-за по-
потерь. Поэтому, строго говоря, полученные результаты справедливы
лишь на частотах, не слишком близких к частоте ферромагнитно-
ферромагнитного резонанса.

16.3. Уравнения Максвелла в гиротропной среде 337
Пример 16.1. Некоторый феррит, имеющий намагниченность
насыщения Afs=3.6-104 А/м, помещен в подмагничивающее поле
с напряженностью Я0=9-104 А/м. Найти числовые значения ком-
компонентов тензора Полдера для данного феррита на частоте со =
= 1.5-1010 с.
В данном случае частота ферромагнитного резонанса сор=?
— \1оуНо = 2-1О10 с, т. е. возбуждение феррита происходит на
частоте, далекой от резонансной, и формулой A6.34) можно поль-
пользоваться достаточно обоснованно. Параметр <?s=\xoyMs=8- 109c~1.
Применив выражение A6.29), находим компоненты тензора маг-
магнитной восприимчивости: kM=—0.914, kM/=—0.686. Отсюда в со-
соответствии с равенством A6.35) получаем компоненты тензора
Полдера: $л= 1.914, /=—0.686.
16.3. Уравнения Максвелла в гиротропной среде
Проследим, как изменяется форма записи уравнений Максвелла,
описывающих электромагнитные процессы в материальной среде
с гиротропными свойствами. Как уже отмечалось, будем полагать,
что относительная диэлектрическая проницаемость вещества е —
обычная скалярная величина, в то время как относительная маг-
магнитная проницаемость \х — тензор, задаваемый формулой A6.34).
Запишем систему из двух первых уравнений Максвелла отно-
относительно комплексных амплитуд напряженностей полей:
гоШ=уа>еаЁ, A6.36)
rotE=—/сьроТн. A6.37)
Здесь для простоты считается, что сторонние электрические и маг-
магнитные токи отсутствуют, т. е. данные уравнения описывают сво-
свободные колебания поля в магнитно-анизотропной среде.
Переходя к координатной форме записи, отсюда имеет сле-
следующие системы дифференциальных уравнений в частных произ-
производных первого порядка:
дН, дНу
ду dz
дН? дНr . A /t?QQ\
~=—^ЧЕу* A5-38)
дх dz ¦
их иу

338 Глава 16. Распространение волн в анизотропной среде
" 7 ——JwY'QYtiJx—Ш1*о1*/7ы>
UZ
A6.39)
ду
дЁг
дх
дВу
dz
дйх
дг
дЁх
дх ЩГ
Достаточно беглого взгляда на эти уравнения, чтобы понять,
что конфигурация электромагнитного поля в гиротропнои среде
может оказаться весьма сложной. Поэтому сделаем в дальнейшем
ряд упрощающих предположений относительно геометрических осо-
особенностей решаемых задач. Это прежде всего касается вцбора на-
направления распространения волн по отношению к ориентации век-
вектора постоянного подмагничивающего поля. Будет показано, что
в гиротропнои среде наблюдаются специфические волновые эффек-
эффекты, не свойственные простым изотропным средам и делающие ги-
ротропныё материалы весьма ценными с точки зрения возможно-
возможности создания важных технических устройств СВЧ-диапазона.
16.4. Поперечное распространение
электромагнитных волн
в намагниченном феррите
Рассмотрим идеализированную задачу о распространении од-
однородной плоской электромагнитной волны в неограниченной ги-
гиротропнои среде при условии, что волна распространяется в на-
направлении, перпендикулярном вектору постоянного подмагничи-
подмагничивающего поля Но. Для краткости будем говорить, что при этом
происходит поперечное распространение волны.
Пусть по-прежнему вектор Но ориентирован вдоль положи-
положительного направления оси г. Предположим, что плоская электро-
электромагнитная волна распространяется вдоль оси х, так что все про-
проекции векторов поля имеют комплексные амплитуды, пропорцио-
пропорциональные множителю ехр(—j$x), где C — некоторый коэффициент
фазы (продольное волновое число). Будем считать также, что
электромагнитное поле однородно в любой плоскости, параллель-
параллельной плоскости YOZ, и поэтому д/ду=д/дг=0.
Предположим вначале, что магнитный вектор плоской волны
имеет единственную отличную от нуля проекцию Hz, в то время
как Йх=Ну=0. Тогда из первого уравнения системы A6.38) сле-
следует, что Ёх=0у а из третьего уравнения той же системы выте-
вытекает, что Ez=0. Таким образом, волновой процесс характеризует-
характеризуется лишь двумя комплексными амплитудами Hz и Ёу, которые удов-
удовлетворяют системе двух уравнений

16.4, Поперечное распространение волн в феррите 339
dx
A6.40)
Заметим, что здесь использованы символы не частных, а обык-
обыкновенных производных, так как векторы поля зависят лишь от
координаты х.
Если теперь из уравнений A6.40) исключить одно неизвестное,
скажем Ёу, продифференцировав первое уравнение по х, то при-
приходим к уравнению Гельмгольца
+ ^а^г = 0. A6.41)
Одно из линейно независимых решений такого уравнения описы-
описывает однородную плоскую волну, которая распространяется в сто-
сторону увеличения координаты х:
Нх=Нпе-Н*, A6.42)
где Нт — произвольный амплитудный коэффициент, р = соУлеам<о —
коэффициент фазы. Такую волну, ничем не отличающуюся от плос-
плоской электромагнитной волны в однородной изотропной среде с
электродинамическими параметрами еа и [Хо, называют обыкно-
обыкновенной волной.
Рассмотрим теперь другую электромагнитную волну, также
распространяющуюся в поперечном направлении вдоль координа-
координаты х, но с иной поляризацией, а именно будем считать, что элект-
электрический вектор такой волны имеет единственную отличную от ну-
нуля проекцию Ez. В этом случае из третьего уравнения системы
A6.39) следует, что Hz = 0. Кроме того, в соответствии с первым
уравнением данной системы проекции Нх и Ну связаны линейным
соотношением
т. е.
Hx=j^-Hy. A6.43)
м-
Обратившись ко второму уравнению из A6.39), с учетом равенст-
равенства A6.43) имеем
^tf. A6.44)

340 Глава 16. Распространение волн в анизотропной среде
В то же время третье уравнение из системы A6.38) при сделанных
предположениях можно записать так:
d// . A6.45)
dx
Объединяя формулы A6.44; и <^о.4о), приходим к уравнению
Гельмгольца
решение которого описывает однородную плоскую волну, распро-
распространяющуюся в положительном на-
направлении оси х. Коэффициент фазы
данной волны
^— A6.46)
определяется числовыми значениями
Рис. 16.4. Эффект Коттон— компонентов тензора Полдера. Такая
утона волна помимо поперечной составляю-
составляющей магнитного вектора с проекцией
Ну имеет продольную составляющую с проекцией Нх и поэтому
в соответствии с нашей классификацией является волной Н-типа.
Ее принято называть необыкновенной волной.
Фазовые скорости обыкновенной и необыкновенной волн в об-
общем случае различны, что приводит к интересной особенности вол-
Нового процесса в гиротропной среде. Предположим, что на слой
Намагниченного феррита толщиной / из вакуума падает плоская
электромагнитная волна в направлении, перпендикулярном на-
направлению подмагничивающего поля (рис. 16.4). Если плоскость
поляризации волны ориентирована произвольным образом, то в
общем случае вектор Е падающей волны имеет составляющую Ei,
перпендикулярную подмагничивающему полю, и составляющую
Е2, которая направлена вдоль вектора Но. На основании вышеиз-
вышеизложенного ясно, что составляющая Ei возбуждает в феррите обык-
обыкновенную, а составляющая Е2 — необыкновенную волну. Фазовые
скорости этих двух пространственно-ортогональных волн различ-
различны. Поэтому в полупространстве за пластиной обыкновенная и не-
необыкновенная волны оказываются сдвинутыми по фазе. Склады-
Складываясь, эти две волны образуют однородную плоскую волну с вра-
вращающейся эллиптической поляризацией. В частном случае, когда
фазовый сдвиг составляет 90°, а амплитуды обеих волн равны, по-
поляризация прошедшей волны будет круговой.

16.5. Продольное распространение волн в феррите 341
Описанное здесь явление преобразования поляризационных ха-
характеристик плоской волны в слое гиротропной среды при попе-
поперечном распространении получило название эффекта Коттон —
Мутона.
Пример 16.2. Намагниченный феррит имеет параметры, приве-
приведенные в условиях примера 16.1. Относительная диэлектрическая
проницаемость феррита 8=10, частота поля со = 1.5-1010 с1. Оп-
Определить толщину ферритовой пластины /, при которой фазовый
сдвиг между обыкновенной и необыкновенной волнами на выходе
составляет 90°.
Коэффициент фазы обыкновенной волны
== 158.1 м-*.
На основании формулы A6.46) коэффициент фазы необыкновен-
необыкновенной волны
Рноб = Роб 1/1* — = 158.1]/ 1.914 —@,686J/1.914 = 204.2 м-1.
V ^
В соответствии с условием задачи получаем уравнение
откуда
/=-0.034 м = 34 мм.
16.5. Продольное распространение
электромагнитных волн
в намагниченном феррите
Рассмотрим теперь другой случай, когда плоская электромаг-
электромагнитная волна распространяется в неограниченной гиротропной
среде вдоль направления постоянного подмагничивающего поля.
При этом все проекции векторов поля будут зависеть от продоль-
продольной координаты z по закону exp(=F/p2); выбор знака аргумента
комплексной экспоненты диктуется выбором одного из двух воз-
возможных направлений движения волновых факторов.
Будем по-прежнему считать, что волны однородны в попереч-
поперечной плоскости и поэтому д/дх=д/ду=0. Отсюда в соответствии с
последними уравнениями из систем A6.38) и A6.39) находим, что

342 Глава 16. Распространение волн в анизотропной среде
?Z = HZ = O, т. е. рассматриваемые решения уравнений Максвелла
обязательно являются чисто поперечными Т-волнами.
Воспользуемся общей системой уравнений Максвелла A6.38)
и A6.39) для гиротропной среды и перепишем е.е с учетом отме-
отмеченных здесь особенностей:
A6,47)
dz
dEx
dz
Данная система содержит не два, а четыре независимых уравнения
и непосредственно свести ее к уравнению Гельмгольца не удает-
удается. Поэтому попытаемся сократить число искомых переменных, про-
продифференцировав почленно первую строку и объединив ее с чет-
четвертой, а затем продифференцировав вторую строку и выразив
производную dEy/dz через правую часть равенства в третьей стро-
строке. В результате приходим к эквивалентной системе двух диффе-
дифференциальных уравнений второго порядка, которую, введя обозна-
чение Рф2 = со28а|1о, можно записать в виде
A6.48)
Будем искать решения этих уравнений в виде произведений не-
некоторых постоянных комплексных чисел и функций вида
ехр(±/рг), где р — пока не известный коэффициент фазы:
A6.49)
Верхние знаки соответствуют плоской волне, распространяющейся
вдоль положительного направления вектора Но, а нижние —волне
противоположного направления. Воспользовавшись правилом диф-
дифференцирования экспоненциальных функций, из A6,48) получаем
систему двух однородных алгебраических уравнений относитель-

16.5. Продольное распространение волн в феррите 343
но амплитудных коэффициентов составляющих магнитного векто-
вектора по двум взаимно ортогональным поперечным осям:
/,о=0- A6.50)
Чтобы эти уравнения были совместными, необходимо потребовать
обращения в нуль определителя данной системы:
^^ A6.51)
Получено алгебраическое уравнение четвертой степени относи-
относительно неизвестного коэффициента фазы р, которое имеет четыре
корня. Процедура решения элементарна — извлекая квадратный
корень, имеем ±р2ф|л/=р2ф|1 — р2,
откуда
ФП^ A6.52)
Выбрав для определенности знак «-{-» перед правой частью
последнего равенства, который соответствует волнам, распростра-
распространяющимся в сторону возрастания координаты 2, подставим вели-
величину р в любое, скажем первое, уравнение из системы A6.50).
Сократив на общие множители, получим
или
Hy^+jH^. A6.53)
Как известно (см. гл. 3), плоская электромагнитная волна с
двумя ортогональными пространственными компонентами, сдвину-
сдвинутыми по фазе на угол 90°, представляет собой волну, поляризо-
поляризованную, по кругу. Таким образом установлено, что при продольном
распространении волн в намагниченном феррите существуют две
независимые моды:
1) поляризованная по кругу волна с левым направлением вра-
вращения, у которой Йуо = —]'Йхо и коэффициент фазы
фГ^7; A6.54)
2) аналогичная волна с правым направлением вращения, у ко-
которой Hyo=jHxo и коэффициенты фазы
р ф A6.55)
Теперь предположим, что в какой-либо плоскости, скажем при
2=0, одновременно возбуждены обе моды с одинаковыми ампли-

344
Глава 16. Распространение волн в анизотропной среде
тудами. Тогда в этой плоскости комплексная амплитуда суммар-
суммарного магнитного вектора
ориентирована вдоль оси х и отвечает линейно поляризованной
волне.
О х О х
Рис. 16.5. Эффект Фарадея
Учтем, что обе моды с круговой поляризацией, из которых скла-
складывается такая волна, распространяются с разными фаговыми ско-
скоростями, и поэтому в поперечной плоскости с произвольной коор-
координатой z магнитный вектор имеет комплексную амплитуду
Н{z) =
I,).
Правую часть данного равенства можно преобразовать с помощью
формул Эйлера и получить
Н (z) = 2Hxq exp
f — у J
zx
X
Рпр - Рл
РпР — Рл
A6.56)
Отсюда следует, во-первых, что коэффициент фазы результирую-
результирующей плоской волны равен среднеарифметическому значению коэф-
коэффициентов фазы обеих мод с круговой поляризацией:
2. A6.57)
Во-вторых, обе декартовы проекции результирующего магнитного
вектора колеблются во времени синфазно, так что при любом z
суммарная волна имеет линейную поляризацию. Если в началь-
начальной плоскости с координатой 2 = 0 магнитный вектор волны ориен-
ориентирован вдоль оси-*, то при z = l окажется повернутым относитель-
относительно оси х на угол
Ф(/) = (РпР-Рл)*/2. A6.58)
Соответствующий чертеж представлен на рис. 16.5.

16.5. Продольное распространение волн в феррите 345
Явление поворота плоскости поляризации электромагнитной
волны в гиротропной среде при ее распространении вдоль постоян-
постоянного подмагничивающего поля называют эффектом Фарадея.
Пример 16.3. Параметры намагниченного феррита указаны в
условиях примера 16.2. Частота колебаний со= 1.5-1010 с. Вычис-
Вычислить угол Ф поворота плоскости поляризации при прохождении
волной расстояния / = 50 мм вдоль направления подмагничиваю-
подмагничивающего поля. Определить длину волны X в данной среде.
При заданной частоте значение |3ф=158.1 м~~!. На основании
выражений A6.54) и A6.55) имеем
Рд= 158.11/1.914 + 0.686 = 254.9 M-i,
рпр= 158.1 Kl-914 —0,686=175.2 м-1.
Используя формулу A6.58), получаем
Ф = A75.2 —254.9).0.05/2 = —2 рад.
Отрицательное значение угла поворота плоскости поляриза-
поляризации связано с тем, что в рассматриваемом случае параметр |х>0,
в то время как |и'<<0, и, как следствие, (Зл>Рпр. Если же увели-
увеличить рабочую частоту, сделав ее выше частоты ферромагнитного
резонанса, то в соответствии с формулой A6.35) компонент \i' тен-
тензора Полдера станет положительным и плоскость поляризации
будет поворачиваться в другую сторону.
На основании равенства A6.57) коэффициент фазы волны с
линейной поляризацией
р=B54.9+175.2)/2 = 215.05 м-1,
откуда Я = 2я/р = 2.92 см.
Интересной и практически важной особенностью процесса про-
продольного распространения электромагнитных волн в намагничен-
намагниченном феррите является невзаимный характер поворота плоскости
поляризации. Дело в том, что знак угла Ф, вычисляемого по фор-
формуле A6.58), будет одним и тем же для волн, распространяющих-
распространяющихся в противоположных направлениях, поскольку правополяризо-
ванная прямая волна полностью эквивалентна левополяризован-
ной обратной, и наоборот. Таким образом, если, например, вектор
Е при распространении вдоль подмагничивающего поля поворачи-
поворачивается против движения стрелки часов, то при обратном распро-
распространении этот вектор будет поворачиваться в таком же самом
направлении (рис. 16.6, а).

346
Глава 16. Распространение волн в анизотропной среде
В противоположность этому отрезок скрученного прямоуголь-
прямоугольного волновода (рис. 16.6, б) осуществляет взаимный (обратимый)
поворот плоскости поляризации. При распространении волн от вхо-
входа 1 к выходу 2 и в обратном направлении вектор поворачивает-
поворачивается в разные стороны.
Указанная особенность волновых процессов в продольно намаг-
намагниченном феррите позволяет создавать волноводные вентили — не-
взаимые развязывающие устройства, которые практически без ос-
ослабления пропускают волны от генератора к нагрузке и эффектив-
эффективно поглощают отраженные волны.
Но
Рис. 16.6. Вращение плоскости поляризации электромаг-
электромагнитного поля:
а — в продольно намагниченном феррите; б — в скрученном пря-
прямоугольном волноводе
Отметим в заключение, что анизотропия электродинамических
свойств наблюдается не только в намагниченных ферритах, но и
в ионосферной плазме [7], находящейся в постоянном магнитном
поле Земли, напряженность которого в среднем составляет около
40А/м. Это приводит к ряду физических эффектов (вращение плос-
плоскости поляризации, расщепление падающей волны на обыкновен-
обыкновенную и необыкновенную и т. д.). Такие эффекты существенно влия-
влияют на распространение радиоволн КВ-диапазона, особенно во вре-
время ионосферно-магнитных бурь, часто происходящих в приполяр-
приполярных областях.
ЗАДАЧИ
16.1. Две плоские линейно поляризованные волны распростра-
распространяются вдоль оси х в монокристалле корунда (А12О3), который
имеет тензор относительной диэлектрической проницаемости вида
*хх О О
6 =
О гуу О
L 0 0 ег

Задачи 347
Частоты колебаний обеих волн одинаковы и равны 10 ГГц. Значе-
Значения диагональных компонентов тензора е таковы: в** = еУ1/= 13.2,
82г=Н.4. Определите разность фаз этих волн, возникающую при
прохождении пути в 1 см, если электрический вектор первой вол-
волны ориентирован вдоль оси г/, а второй — вдоль оси г.
16.2. Плоская электромагнитная волна падает из воздуха по
направлению нормали на кристалл корунда, параметры которого
указаны в условиях предыдущей задачи. Граница раздела воз-
воздух— твердое тело параллельна оси г. Найдите коэффициенты от-
отражения обыкновенной и необыкновенной волн при частоте 10 ГГц.
16.3. Найдите коэффициенты фазы обыкновенной и необыкно-
необыкновенной волн в безграничном ферритовом образце с намагничен-
намагниченностью насыщения Ms = 3.6-104 А/м, который помещен в постоян-
постоянное магнитное поле, имеющее напряженность 105 А/м. Частота ко-
колебаний поля 12 ГГц.
16.4. Плоская электромагнитная волна с линейной поляриза-
поляризацией распространяется вдоль постоянного подмагничивающего
поля в толще однородного феррита с намагниченностью насыще-
насыщения Afs = 5-104 А/м и относительной диэлектрической проницаемо-
проницаемостью 8=16. Частота поля равна 7.4 ГГц. Найдите напряженность
подмагничивающего поля, если известно, что при прохождении от-
отрезка пути длиной 60 мм плоскость поляризации волны повора-
поворачивается на угол 120°.
Глава семнадцатая
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЙ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Многие задачи прикладной электродинамики сводятся к нахож-
нахождению полей, возбуждаемых в окружающем пространстве различ-
различными системами излучателей. Примерами таких систем могут
служить, например, разнообразные сложные антенны, имеющие
высокую пространственную направленность характеристик излу-
излучения и приема. Явление сложения волн, приходящих в точку наб-
наблюдения из нескольких источников, в физике называют интерфе-
интерференцией волн.
Если электромагнитная волна определенного вида, например
плоская или сферическая, падает на объект, отличающийся элек-
электродинамическими свойствами от окружающей среды, то имеет
место дифракция волны на этом объекте.
Между интерференцией и дифракцией волн много общего, но
существуют и некоторые различия. Когда говорят об интерферен-

348 Глава 17. Интерференция и дифракция волн
ции, обычно полагают, что амплитуды возбуждающих источников
заранее заданы. В теории дифракции ситуация иная — падающая
волна возбуждает на поверхности или в объеме рассеивающего
тела некоторые токи, которые, в свою очередь, служат вторичны-
вторичными источниками электромагнитных волн. Амплитуды вторичных
источников заранее не известны, и, строго говоря, их можно най-
найти лишь на основе решения дифракционной задачи в целом. Ска-
Сказанное здесь подчеркивает сложность теории дифракции электро-
электромагнитных волн.
К задачам дифракции тесно примыкает теория распространения
электромагнитных волн в пространственно неоднородных матери-
материальных средах, например в земной атмосфере с турбулентными
возмущениями плотности воздуха.
Решение задач об интерференции и дифракции электромагнит-
, ных волн, как правило, -сопряжено с серьезными математическими
трудностями. Поэтому в настоящей главе не ставится цель изло-
изложить основы всеобъемлющей теории. Предпринята гораздо более
скромная попытка познакомить читателя с ведущими принципами
этой области электродинамики и с приемами решения некоторых
частных проблем, важных в прикладном отношении. Желающие
глубже вникнуть в современную теорию дифракции могут обра-
обратиться к обширной литературе по этой тематике, например к мо-
монографии [4].
17.1. Условие излучения.
Принцип предельного поглощения
Рассмотренные в предыдущих главах задачи об электромагнит-
электромагнитных полях в замкнутых системах, таких, как волноводы или объ-
объемные резонаторы, характерны тем, что при их постановке область
существования поля пространственно ограниченна хотя бы по не-
некоторым координатам. Если же требуется найти поле излучения
системы сторонних токов в свободном пространстве или в неогра-
неограниченной материальной среде, то задача осложняется тем, что воп-
вопрос о поведении векторов поля на достаточном удалении от источ-
источников не может быть разрешен заранее и требует дополнительного
исследования.
Предположим, что точечный источник гармонических электро-
электромагнитных волн (элементарный излучатель) помещен в начало
сферической системы координат. Среда, в которой распространя-
распространяются волны, считается однородной и обладающей свойствами ва-
вакуума: 8а = 8о, ^ = 1^0, ог=0. Обозначим через -ф комплексную ска-
скалярную функцию, представляющую собой комплексную амплиту-
амплитуду произвольно взятой проекции одного из векторов электромаг-

17.1. Условие излучения 349
нитного поля. Всюду, за исключением точки /* = 0, функция *ф удов-
удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца
Va* + Po*=0, A7.1)
где Po = 2ttA=(o]/eoiAo — коэффициент фазы волнового процесса
при заданной частоте источника.
Для простоты будем считать, что функция г?> обладает сфери-
сферической симметрией, т. е. не зависит от угловых координат 9 и ср.
Тогда, используя выражение оператора Лапласа в сферической
системе координат, запишем уравнение A7.1) следующим обра-
образом:
Ji+AA+ft = 0. (,7.2,
Применив непосредственную подстановку, легко проверить, что
A7.2) эквивалентно уравнению
^ О, A7.3)
не содержащему первой производной. Равенство A7.3) представ-
представляет собой классическое уравнение гармонического осциллятора.
Система его фундаментальных решений состоит из двух функций
вида exp(=F/po^)- Полагая, что соответствующие амплитудные ко-
коэффициенты равны единице, отсюда находим два линейно незави-
независимых решения уравнения A7.2):
, A7.4)
A7.5)
С подобными функциями мы уже встречались в гл. 13, изучая
теорию элементарных излучателей. Разные знаки аргументов экс-
экспоненциальных функций означают, что первому из найденных ре-
решений соответствует сферическая волна, уходящая от источника
на бесконечность. Второе решение описывает аналогичную сфери-
сферическую волну с противоположным направлением фазовой скоро-
скорости, т. е. волну, которая приходит из удаленных областей прост-
пространства в точку начала координат.
Повседневный опыт убедительно говорит о том, что волны, воз-
возбужденные источником и ушедшие в свободное пространство, на-
когда не возвращаются назад. Поэтому решения вида A7.5) не со-
соответствуют реальному волновому процессу и должны быть иск-
исключены из рассмотрения.
Если речь идет о простейших сферических волнах, то здесь
принцип отбора физически обоснованных решений весьма прост и

350 Глава 17. Интерференция и дифракция волн
сводится лишь к выбору правильного знака в экспоненциальном
фазовом множителе. Однако, как правило, поле, возбуждаемое
сложной системой излучателей, описывается функциями всех трех
сферических координат г, 8, ср, причем по своему виду эти функции
могут и не напоминать внешне простейших решений A7.4) и A7.5).
Требуется аналитический критерий, который позволил бы отли-
отличать волны, уходящие на бесконечность, от физически нереализу-
нереализуемых волновых процессов, приходящих из бесконечности к источ-
источнику. Этот критерий был найден в начале XX в. немецким физи-
физиком А. Зоммерфельдом, который показал, что любое решение урав-
уравнения Гельмгольца, обладающее свойством волны, уходящей на
бесконечность, должно при г—>-оо удовлетворять предельному ус-
условию вида
ПшгС^г+уМ) = 0. A7.6)
В теории волновых процессов формулу A7.6) называют усло-
условием излучения или условием Зоммерфельда. В качестве упраж-
упражнения читателю предлагается показать, что уходящая сфериче-
сферическая волна вида A7.4) удовлетворяет, а приходящая волна вида
A7.5) не удовлетворяет условию излучения.
Изложенные положения дают возможность уяснить роль комп-
комплексного характера решений уравнения Гельмгольца в свободном
пространстве. Дело в том, что наряду с комплексными можно по-
построить и действительные решения уравнения A7.2), выполнив
суперпозицию функций A7.4) и A7.5). Форма их записи такова:
ti==Ios^_. W2= Sin^r . A7.7)
Легко проверить, что ни одна из этих функций не удовлетворяет
условию излучения. Это связано с тем, что решения вида A7.7)
отображают стоячие сферические волны, которые возникают при
наложении двух бегущих волн с противоположными направлени-
направлениями распространения, подобно колебаниям в замкнутых объемных
резонаторах. Понятно, что для возникновения таких стоячих волн
в бесконечно удаленной области пространства должна существо-
существовать идеально проводящая сферическая оболочка. Физическая аб-
абсурдность такого предположения несомненна. Однако даже су-
существование такого сферического отражателя не смогло бы обес-
обеспечить возникновения во всем пространстве стоячих волн. Это свя-
связано с тем, что любая материальная среда, сколь бы ни была со-
совершенной в электродинамическом отношении, обязательно погло-
поглощает энергию распространяющихся электромагнитных волн за счет
необратимого взаимодействия поля и вещества. Поэтому вся энер-
энергия, излученная источником, будет обязательно рассеяна в прост-

17.2. Возбуждение пространства нитью тока
351
ранстве. Это качественное соображение лежит в основе важной
концепции, которую называют принципом предельного поглоще-
поглощения. Данный принцип устанавливает содержательный физический
смысл условия Зоммерфельда, которое внешне выступает как чис-
чисто математическое утверждение.
17.2. Возбуждение пространства
нитью электрического тока.
Цилиндрические волны
Как пример расчета интерференции волн рассмотрим задачу
об электромагнитном поле, которое создается бесконечно тонкой
нитью электрического тока, ориентированной вдоль оси z цилин-
цилиндрической системы координат. Ток изменяется во времени по гар-
гармоническому закону с частотой со; комплексная амплитуда тока /
в каждой точке оси z считается неизменной.
Электродинамические свойства безграничной
среды заданы параметрами е0 и ji0-
Поле на больших расстояниях от нити. Об-
Обратимся к случаю, когда расстояние г от точ-
точки наблюдения до оси достаточно велико в
волновом масштабе, т. е. выполняется нера-
неравенство рг^>1. Если мысленно разбить излу-
излучающую нить на бесконечно малые отрезки
длиной dz, то каждый из них будет представ-
представлять собой элементарный электрический из-
излучатель (диполь). Пусть z — текущая коор-
координата вдоль нити тока, а точка наблюдения
Р лежит в плоскости z=0 (рис. 17.1). Длина
отрезка, соединяющего выделенный элемент
тока и точку наблюдения, i? = j/V2 + z2. Ази-
Азимутальная координата ф в цилиндрической системе координат и
в локальной сферической системе, связанной с излучающим эле-
элементом тока, оказывается одной и той же. Поэтому бесконечно
малый вклад d//<p в комплексную амплитуду магнитного вектора
можно определить, воспользовавшись известной формулой A3.36)
из теории элементарного электрического излучателя, справедли-
справедливой для дальней зоны,
Рис. 17.1. Вычис-
Вычисление поля на
больших расстоя-
расстояниях от нити тока
4я
R
¦&Z,
A7.8)
поскольку, как видно из чертежа, sin6 = r/yrr2-f-z2. На основании
принципа суперпозиции находим комплексную амплитуду напря-

352 Глава 17. Интерференция и дифракция волн
женности результирующего магнитного поля, интегрируя все эле-
элементарные вклады вида A7.8):
dz. A7.9)
Подобные выражения, называемые интерференционными интегра-
интегралами, часто встречаются в теории дифракции волн. Отличительная
черта таких интегралов, осложняющая их вычисление, состоит в
следующем. Мнимый показатель экспоненты под знаком интеграла
содержит безразмерный «большой параметр» рг>1. Поэтому дей-
действительная и мнимая части этой функции быстро осциллируют с
изменением переменной z и вклады обеих частей в интеграл ока-
зывакЗтся знакопеременными.
Метод стационарной фазы. Так называют один из наиболее рас-
распространенных приемов приближенной оценки интерференцион-
интерференционных интегралов. Сущность метода состоит в том, что основной
вклад в интеграл вносит лишь малый участок оси z вокруг так
называемой точки стационарной фазы, в которой производная от
фазовой функции обращается в нуль. Вклады от остальных участ-
участков оси взаимно компенсируются из-за знакопеременного харак-
характера подынтегрального выражения.
Рассмотрим интеграл
A7.10)
где g{t, g)—медленная функция формальной переменной t, ?—
большой параметр задачи. Пусть /0 — единственный действитель-
действительный корень уравнения df/dt = O (рассуждения легко обобщить на
случай нескольких корней). Тогда вблизи этой точки разложение
функции f(t, g) в ряд Тейлора
/(/, » =/(*„, о +V4<o. mt-tof + ... A7.11)
с точностью до величин высшего порядка малости представляет
собой квадратичную функцию аргумента t—/0. Предположим так-
также, что экстремум функции f(t, ?) в точке t0 является достаточно
резким и поэтому в разложении A7.11) можно ограничиться лишь
выписанными членами. Тогда, подставляя A7.11) в A7.10), при-
приходим к приближенному равенству
J exp[-/Y"(*o, EM'-Affid/. A7.12)

17.2. Возбуждение пространства нитью тока 353
Имеются табличные интегралы, справедливые при любых зна-
значениях а>0:
Г cos {ay2) dy= \ sin (ay2) dy= l/ — .
Тогда, представив экспоненциальную функцию в подынтеграль-
подынтегральном выражении из A7.12) как сумму действительной и мнимой
частей, получим приближенно
ехр[-ЛГ(/0, VV-
V fVo. 6) .
Подставляя этот результат в формулу A7.12) и считая, что
Г (to, ?)>0, находим окончательно
' тгт-ЧгЖ'о. ?)е-я/с«н^1. A7.13)
Применим метод стационарной фазы к оценке интерференци-
интерференционного интеграла A7.9). Здесь
/ (г, г) = р 1/7Н7?, /' (^ г) = Pz/K^M1^,
поэтому точка стационарной фазы имеет координату z=0. Вычис-
Вычислив вторую производную, находим, что /"@, г)=р/г>0. Следо-
Следовательно,
Г
J
Г2
откуда цолучаем комплексную амплитуду единственной отличной
ат нуля проекции магнитного вектора:
И,(г)ж / l/-i- е-'«г—/4>. A7.14)
Чтобы определить вектор напряженности электрического поля,
следует воспользоваться первым уравнением Максвелла rotH =
=/со8оЁ. Учтем, что в данном случае д/дг = д/дф = 0 в силу геомет-
геометрических особенностей задачи. Кроме того, в данном случае Нг=
= #z = 0. Тогда
JL^hZ) A7.15)
г дг
12—1379

354 Глава 17, Интерференция и дифракция волн
откуда следует, что во всем пространстве электрический вектор
имеет единственную отличную от нуля проекцию вдоль оси z с
комплексной амплитудой
F I
JL (гН \=_ 7^М/7С/4 Г
r V'F
Так как нас интересует поле на расстояниях от возбуждающей
нити, значительно превышающих длину волны, т. е. при значениях
рг^>1, первым слагаемым в квадратных скобках можно пренеб-
пренебречь по сравнению со вторым и получить
A7.16)
Формулы A7.14) и A7.16) описывают однородную цилиндри-
цилиндрическую волну. Поверхности равных фаз такой волны представляют
собой концентрические цилиндры, перемещающиеся в радиальном
направлении с фазовой скоростью иф = о)/р = с. Для рассматривае-
рассматриваемой задачи специфичен дополнительный фазовый сдвиг на 45° меж-
между возбуждающим током и напряженностью поля.
На большом удалении от нити тока цилиндрическая волна яв-
является локально-плоской. Действительно, здесь |?2|/|/?ф| =Z0=
= 377 Ом. Легко убедиться в том, что знаки проекций Ez и Яф та-
таковы, что вектор ПСр ориентирован в радиальном направлении. Ин-
Интересно отметить также, что амплитуды векторов Ё и Н в цилинд-
цилиндрической волне уменьшаются с ростом радиуса не по закону 1/г,
как в сферической волне, а пропорционально множителю l/]/V,
т. е. значительно медленнее.
Строгое решение задачи о возбуждении свободного простран-
пространства нитью синфазного тока [11] приводит к следующему резуль-
результату:
Т 1 / \ Т Р ТJ(^) /Q»\ /17 1 7\
/7«(Г)=/ П\ (рГ), A/.1Л
4 /
где Н^2Цх) =Ji(x) —№\{х) —функция Ганкеля второго рода
1-го порядка, которая при больших значениях аргумента имеет
следующее асимптотическое представление:
l/JL-
V ПХ
A7.18)
Подставив это выражение в A7.17), сразу приходим к формуле
A7.14).

17.3. Метод физической оптики 355
Пример 17.1. Цилиндрическая волна возбуждается нитью тока
с амплитудой /т=5 А, частота колебаний /=300 МГц (длина вол-
волны К=1 м). Определить амплитуду напряженности магнитного по-
поля Яф7П на расстоянии г=4 м от оси. Сравнить полученный резуль-
результат с напряженностью Яо магнитного поля, создаваемого нитью
постоянного тока /0=5 А.
В данном случае коэффициент фазы C = 2лД=6.283 м. Ис-
Используя формулу A7.14), находим
,F) = 2.b А/м.
На основании закона Ампера находим напряженность магнитного
поля, создаваемого нитью постоянного тока:
#0=/0/Bяг)==5/(8л)=0.2 А/м.
Таким образом, напряженность магнитного поля в цилиндрической
волне примерно в десять раз больше напряженности магнитного
поля, создаваемого стационарным током.
17.3. Метод физической оптики.
Дифракция плоской волны на щели
в идеально проводящем экране
Основная трудность решения задач дифракции волн заключает-
заключается в том, что полное поле во всем пространстве есть сумма пада-
падающего и рассеянного полей:
При этом токи, наводимые в препятствии и являющиеся физиче-
физической причиной возникновения рассеянного поля, сами зависят'от
напряженностей этого поля.
Процедура решения дифракционных задач существенно упро-
упрощается в рамках метода физической оптики. Этот приближенный
метод основан на допущении, согласно которому причиной возник-
возникновения рассеянных волн служит только падающее поле, причем
значения векторов этого поля не зависят от наличия или отсут-
отсутствия рассеивающего препятствия.
Как пример, иллюстрирующий метод физической оптики, рас-
рассмотрим задачу о дифракции плоской электромагнитной волны на
идеально проводящем экране, в котором имеется щель шириной 2а,
бесконечно протяженная вдоль оси у (рис. 17.2). Поляризация па-
падающей волны такова, что в выбранной системе координат комп-
комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля
12*

356
Глава 17. Интерференция и дифракция волн
имеет вид Еоехр(—/pz)ix, т. е. электрический вектор перпендику-
перпендикулярен кромкам щели. Падающая волна перемещается слева на-
направо, существуя в полупространстве 2<0. Требуется определить
рассеянное (дифрагированное) электромагнитное поле в полупро-
полупространстве z>0 за препятствием.
Как известно, электромагнитное волновое поле в однородной
среде без источников является соленоидальным, т. е.
divE=0, divH=0,
и подчиняется векторным уравнениям Гельмгольца
A7.19)
Применительно к поставленной задаче из физических сообра-
соображений ясно, что на достаточно большом удалении от возбуждаю-
возбуждающей щели силовые линии электрического
вектора в полупространстве z>0 по
форме будут напоминать дуги окружно-
окружностей с центрами в точке (х=0, у=0).
Поэтому у вектора Ё имеются две отлич-
отличные от нуля проекции Ёх и ?г, а третья
возможная проекция Ёу заведомо от-
отсутствует. Однако если интересоваться
волновым процессом лишь в области
пространства вблизи оси z, то можно
предположить, что поляризационная
структура дифрагированного поля та-
такая же, как и у падающей волны. По-
Поэтому приближенно в указанной области
пространства электрический вектор будет иметь единственную от-
отличную от нуля проекцию Ёх(х, г). Такое предположение, по сути
дела, сводит векторную задачу к скалярной и тем самым суще-
существенно упрощает выкладки.
Итак, нам нужно найти решение скалярного уравнения Гельм-
Гельмгольца
У
-а
Рис. 17.2. Дифракция плос-
плоской волны на щели в про-
проводящем экране
дх*
A7.20)
в полупространстве z>0, удовлетворяющее определенным гранич-
граничным условиям на плоскости z = 0. В соответствии с принципом фи-
физической оптики потребуем, чтобы значение поля обращалось в
нуль на участках поверхности, закрытых идеальным проводником,
а в щели равнялось невозмущенной напряженности падающего по-

17.3. Метод физической оптики 357
ля Ео. Таким образом, граничные условия для искомого поля та-
таковы:
*>*'•*<*> A7.21)
?0 при — а <;?<; а
Применим к уравнению метод разделения переменных и будем
искать его решение в виде
Ёх(*> z) = X(x)Z(z).
С подобными задачами мы неоднократно встречались ранее. Лег-
Легко проверить, что частным решением уравнения Гельмгольца
A7.20), имеющим вид произведения двух функций, является
Ех(х9 z) = Ae* (**+* YW^) A7.22)
при любых значениях амплитудного коэффициента А и параметра
х. Выбирая этот параметр тем или иным образом, можно описы-
описывать различные волновые процессы. Так, если значение х действи-
действительно и х2<Р2, то формула A7.22) описывает однородную плос-
плоскую волну с постоянной амплитудой. Волна распространяется под
некоторым углом к оси г, который зависит от соотношения между
х и р. При х2>р2 это выражение описывает неоднородную плос-
плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х со скоростью, мень-
меньшей скорости света; амплитуда волны экспоненциально убывает с
ростом координаты z.
Из частных решений вида A7.22) можно построить общий ин-
интеграл
Ёх(х, *)=— f Л(х)е^^+^РП1^)Aх A7.23)
2л J
с не известной пока весовой функцией Л(х), которую нужно по-
подобрать так, чтобы удовлетворить граничным условиям A7.21).
Подставив в формулу A7.23) значение z = 0, находим, что
tx{x, O)=-rJ- f Л(х)е'**<1>е. A7.24)
2я J
Видно, что функция А (к) есть преобразование Фурье [2] от рас-
распределения поля в плоскости экрана. Чтобы найти эту функцию,
следует обратить формулу A7.24) по Фурье:
Л(х)= \ Ех(х, О)?-**хйх. A7.25)

358 Глава 17. Интерференция и дифракция волн
В рассматриваемом случае
а
Л(х)= \
J
а
ГcosKxdx=2EQa s'm™ .
J
Таким образом, получено интегральное представление волно-
волнового поля в полупространстве за экраном:
Ёх(х, z) = -^- Г J™^-eJ(**+*Ve*=*)dK. A7.26)
я J ха
— оо
Данный интеграл удобно вычислить методом стационарной фазы.
Введем полярную систему координат x=rsin(p, z=r cos ср. Тогда
Ех (г, <р) =J&L Г smKa efr (* sm 9+/р*-н» cos cp) dK# A7.27)
я J на
— оо
Точка.стационарной фазы хст служит корнем уравнения
— (xsincp+VP2 — >с2собф) = 0, A7 28)
откуда
xCT= *igg_ =Mincp, A7.29)
Как отмечалось ранее, ограничимся наиболее важным случаем так
называемой малоугловой дифракции, когда поля вычисляются в
непосредственной близости от оси и поэтому ср<С1. Выполнив пре-
предельный переход в формуле A7.29), убеждаемся, что при сделан-
сделанном предположении точка стационарной фазы приближенно имеет
координату Хст^Рф. Вторая производная от показателя экспонен-
экспоненциальной функции, входящей в подынтегральное выражение фор-
формулы A7.26), равна
Воспользовавшись формулой A7.13), окончательно получаем
Ёх(г, <?)~Еоа ]/-%- ^^-е~П?г-г./4К A730)
Данное выражение описывает цилиндрическую волну (об этом
свидетельствует убывание амплитуды поля по закону 1/Уг), кото-
которая уже не является однородной, а имеет угловую зависимость
амплитуды поля, выраженную тем сильнее, чем больше безразмер-

17А. Принцип Гюйгенса. Формула Кирхгофа
359
ный параметр Eа, т. е. чем больше отношение ширины щели к дли-
длине волны. Интентивность излучения щели максимальна в направ-
направлении ф = 0; первый дифракционный нуль излучения наблюдается
под углами ф0, которые удовлетворяют равенствам рафо = ±я.
Угловая зависимость дифракционного поля щели имеет лепест-
лепестковый характер (рис. 17.3).
Вокруг направления ф=0 |/Гх|
формируется основной лепе-
лепесток, по обе стороны от кото-
которого возникают симметричные
боковые лепестки рассеянного
поля.
17.4. Принцип Гюйгенса.
Формула Кирхгофа
При анализе И Проектиро- Рис. 17.3. Диаграмма направленности
вании антенн СВЧ-диапазона дифракционного поля за щелью
часто требуется определить
электромагнитное поле, возбуждаемое в свободном пространстве
не дискретной системой элементарных излучателей, а непрерывной
излучающей системой с конечной площадью. В качестве примера
на рис. 17.4 изображен эскиз широко распространенной рупорной
антенны, представляющей собой отрезок прямоугольного волно-
Рис. 17.4. Рупорная ан-
антенна
Рис. 17.5. Принцип Гюйгенса:
/ — фиктивные источники поля; 2 —
истинные источники
вода с плавно увеличивающейся площадью сечения. Широкий
конец рупора, излучающий электромагнитное поле в пространст-
пространство, называют апертурой или раскрывом этой антенны. При рас-
расчете подобных антенн, а к их числу относят также линзовые,
зеркальные и прочие так называемые апертурные антенны, тре-
требуется найти векторы электромагнитного поля во всем простран-
пространстве при условии, что возбуждающее поле в раскрыве задано.
Основой приближенного инженерного анализа апертурных ан-
антенн служит известный из физики принцип Гюйгенса [14], согласно

360
Глава 17. Интерференция и дифракция волн
которому каждая точка на волновом фронте служит фиктивным ис-
источником воображаемой сферической волны. Полное поле в области
впереди волнового фронта есть результат интерференции сфериче-
сферических волн, излучаемых фиктивными источниками. Такие источники
обычно называют вторичными, чтобы отличить их от первичных,
или истинных, источников, которыми являются токи в проводниках
или движущиеся заряды (рис. 17.5).
В дальнейшем будем рассматривать такие задачи дифракции,
которые при разумной идеализации допускают скалярную постанов-
постановку. Это возможно всегда, если из физи-
физических соображений заранее ясно, что
одна из трех возможных проекций ка-
какого-либо вектора поля значительно
больше двух других. Пример антенной
системы, для которой допустима такая
идеализация, приведен в § 17.3.
Формула Кирхгофа. Рассмотрим про-
произвольный объем V, ограниченный по-
поверхностью 5 (рис. 17.6). Считается, что
эта поверхность достаточно гладкая, по-
поэтому в каждой ее точке можно одно-
однозначно построить единичный вектор нор-
нормали in, направленный внутрь объема.
Требуется найти такую скалярную функцию ij;, которая в области
V удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца
Рис. 17.6. К выводу фор-
формулы Кирхгофа
при условии, что значения функции ф и ее нормальной производ-
производной dty/dn в каждой точке поверхности 5 заранее заданы. Таким
образом, речь идет о поиске волнового поля, возбуждаемого из-
известными поверхностными источниками.
В середине прошлого века немецкий физик Г. Кирхгоф A824—
1887) доказал, что решение поставленной задачи дается формулой
4л
да
где г — расстояние между текущей точкой на поверхности и точ-
точкой наблюдения Р.
Доказательство формулы Кирхгофа основывается на известной
из курса математики теореме Грина, согласно которой дважды
дифференцируемые функции -ф и ф пространственных координат
удовлетворяют тождеству _

17.4. Принцип Гюйгенса. Формула Кирхгофа 361
A_<j,-|LW. A7.32)
Предположим, что как искомая функция гр, так и вспомогатель-
вспомогательная функция ф в области V являются решениями одного и того же
уравнения Гельмгольца
A7.33)
Очевидно, что в силу уравнений A7.33) левая часть формулы
A7.32) обращается в нуль:
dS=O. A7.34)
_ i vn ип )
Будем считать, что вспомогательной функцией ф служит уже
известное решение скалярного уравнения Гельмгольца
A7.35)
описывающее расходящуюся сферическую волну. Здесь под г под-
подразумевается длина отрезка между выбранной точкой наблюдения
Р и произвольной точкой внутри объема V.
Поскольку функция ф в точке Р имеет особенность, исключим
из области V малый шар радиусом а с центром в точке Р. Обозна-
Обозначив символом S' поверхность этого шара, на основании A7.34)
можно записать
J У дп
5'
дп) .) V дп Т дп
Следующим этапом вычислим подынтегральное выражение в
левой части формулы A7.36). Так как перемещение по направ-
направлению нормали к поверхности S' означает увеличение координаты
г, то
A=A = _(JL + JJ\e-yPr. A7.37)
дп дг \ г ~ г* ) V '
Поэтому левую часть равенства A7.36) можно представить в виде
• A7-38)
Теперь устремим к нулю радиус вспомогательной сферы, учиты-
учитывая, что искомое поле if, по предположению, внутри V не имеет

362
Глава 17. Интерференция и дифракция волн
источников и поэтому всюду ограниченно и непрерывно. В подын-
подынтегральное выражение A7.38) входят слагаемые, обратно пропор-
пропорциональные как правой степени, так и квадрату текущего радиуса.
Легко проверить, что вклад слагаемых первого рода равен нулю:
Urn Г
A7.39)
поскольку площадь сферы, равная Ana2, стремится к нулю быст-
быстрее, нежели ее радиус. В то же время
Нш
Г dS' Л
\ =4я.
A7.40)
На основании изложенного из равенства A7.36) получаем выра-
выражение для расчета искомого поля
в точке Р
совпадающее с формулой Кирхго-
Кирхгофа A7.31).
17.5. Дифракция плоской волны
Рис. 17.7. Прямоугольное от- на прямоугольном отверстии
верстие в экране возбужден- в идеально проводящем экране
ное плоской волной " г " г
Простейшей моделью апертур-
ной антенны является бесконечный идеально проводящий экран
с отверстием, через которое осуществляется электромагнитная
связь между двумя полупространствами. Будем считать, что это
отверстие имеет форму прямоугольника со сторонами а и Ъ (рис.
17.7). Предположим, что отверстие возбуждается однородной пло-
плоской волной, которая движется в левом полупространстве z<0
по направлению нормали к плоскости экрана и имеет единствен-
единственную отличную от нуля проекцию электрического вектора Ёу.
Пусть отверстие достаточно велико в волновом масштабе, т. е.
#>Я, Ь^Х. Предположим, что поле в отверстии совпадает с полем
возбуждающей плоской волны при отсутствии экрана. Иными сло-
словами, будем считать, что в плоскости раскрыва
A7.41)

17.5. Дифракция волны на прямоугольном отверстии 363
Данное равенство имеет место в прямоугольной области, грани-
границы которой устанавливаются неравенствами — a/2^Zx^a/2,
—fr/2^t/<c;b/2; вне раскрыва возбуждающее поле обращается в
нуль. Такие предположения характерны для метода физической
оптики, в рамках которой приходится задавать возбуждающее по-
поле, прибегая к тем или иным интуитивным соображениям. Приб-
Приближенный характер подхода физической оптики очевиден уже по-
потому, что поле вида A7.41) не удовлетворяет граничным условиям
на кромках отверстия при х = ±а/2.
Обратившись к рис. 17.7, видим, что здесь д/дп = д/дг, откуда
на основании формулы Кирхгофа находим напряженность электри-
электрического поля в произвольной точке наблюдения Р, расположенной
в полупространстве
ЕЛР)= — Г Еи — [— \dS. A7.42)
уУ Ы J L г dz у дг\ г ) J V ;
Интегрирование проводится по площади раскрыва; все производ-
производные вычисляются в плоскости отверстия при 2 = 0. Радиус-век-
Радиус-вектор г, соединяющий точку Q на раскрыве с координатами х, у, 0 и
точку наблюдения Р, имеющую координаты g, т), ^, характеризу-
характеризуется длиной
A7.43)
Вычислим обе производные, входящие в подынтегральное вы-
выражение формулы Кирхгофа A7.42):
дЕ A7.44)
l^(^^=^(^!L\l!L = ^A.(^l!!L)JlL. A7.45)
dz \ г ) dr \ r j dz дг \ r J dl
Принимая во внимание, что
где 6 — угол между нормалью к раскрыву и радиусом-вектором,
а также используя формулу A7.37), будем иметь
С учетом равенств A7.44) и A7.46), запишем формулу A7.42)
следующим образом:
f [
A7.47)

364 Глава 17. Интерференция и дифракция волн
Данное выражение дает формальное решение поставленной за-
задачи.
Дифракция Фраунгофера. Если точка наблюдения Р отстоит
от излучающего раскрыва на расстоянии, исчисляемом многими
длинами волн (случай, наиболее типичный для радиотехники), то
р/г==2я/(Яг) ^>1/г2 и поэтому формулу A7.47) можно упростить,
отбросив слагаемое с множителем 1/г2:
(i-j-cosG) е"УРГ dS. A7.48)
4Л i r
При анализе антенных систем обычно приходится находить по-
поле на расстоянии г, значительно превышающем размеры раскры-
раскрыва а и Ъ. При этом угол 8 можно считать одинаковым для всех то-
точек раскрыва, а расстойние г, фигурирующее в знаменателе подын-
подынтегрального выражения формулы A7.48),— равным расстоянию
г0 от точки наблюдения до центра раскрыва. Величину г, входя-
входящую в аргумент экспоненциальной функции, на основании сделан-
сделанных предположений можно приближенно представить следующим
образом:
ru—?- И. . A7.49)
го го
Случай, когда оказывается справедливой формула A7.49), при-
принято называть дифракцией Фраунгофера. При этом на большом
расстоянии от излучающей апертуры
.all
-а/2 -Ъ/2
sin 117") sin
4nr0
' . A7.50)
2r0 2r0
Подробное обсуждение полученного выражения не входит в
круг задач настоящей книги и относится скорее к курсу антенных
устройств. Отметим лишь, что формула A7.50) дает возможность
построить диаграммы направленности апертурной антенны. Если
через 8i обозначить угол между вектором г0 и осью х, а через 02 —
угол между г0 и осью г/, то угловая зависимость поля будет выра-
выражаться множителем вида

17.5. Дифракция волны на прямоугольном отверстии
I № \ ( № Л\
in —r- cos 8i 1 sin ( -—cos 021
sin
365
A7.51)
COS I
cos 8
Здесь принято во внимание, что при больших значениях безраз-
безразмерных параметров pa и рб множитель A7.51) оказывается более
быстрой функцией угловых координат, чем множитель (l-f-cos8),
входящий в формулу A7.50).
-27Г -JT
Рис. 17.8. Диаграмма направ-
направленности прямоугольного от-
отверстия
Р Z
Рис. 17.9. Вычисление
поля в точке на оси си-
системы
Если 02 = я/2, т. е. точка наблюдения перемещается в плоскости
XOZ, то нормированная диаграмма направленности прямоуголь-
прямоугольного раскрыва, равномерно возбужденного синфазными источни-
источниками, согласно формуле A7.51), запишется в виде
sin
(¦?-¦¦)
A7.52)
— cos et
Типичная диаграмма направленности, построенная по данной
формуле, изображена на рис. 17.8.
Обратим внимание на то, что ширина диаграммы направленно-
направленности полностью определяется отношением размера апертуры к дли-
длине волны и может быть сделана весьма малой с ростом этого от-
отношения. Например, если аД= 100, то первый дифракционный нуль
диаграммы направленности будет характеризоваться равенством
100ncos8i = tt, откуда ширина основного лепестка диаграммы на-
направленности, измеренная по нулям, составит 2A8i = 0.02
-1.15°.

366
Глава 17. Интерференция и дифракция волн
Дифракция Френеля. До сих: пор речь шла о вычислении поля
в точках пространства, удаление которых от излучающего отвер-
отверстия значительно превышает его геометрические размеры. При этом
если требовалось найти поле в точке Р, лежащей на оси системы
(рис. 17.9), то в соответствии с принципом дифракции Фраунгофе-
ра элементарные колебания, поступающие из всех точек апертуры,
считались синфазными. Однако фактически это не так, поскольку
длины путей от точек апертуры до точки наблюдения не одинако-
одинаковы; максимальная геометрическая разность хода
соответствует фазовому сдвигу между колебаниями
омД = л
A7.53)
Дифракция Фраунгофера имеет место в том случае, если точ-
точка наблюдения Р столь удалена от
излучающей системы, что Дф^я/8
(последняя цифра во многом ус-
условна и принята для конкретности
оценок). Говорят, что при этом точ-
точка наблюдения находится в даль-
дальней зоне апертурной антенны. В со-
соответствии с формулой A7.50) по-
поле в дальней зоне имеет вид неод-
неоднородной сферической волны.
Если приблизить точку наблю-
*ения к излучающей апертуре, то
1аг/Х
ill
Рис. 17.10. Характер распределе-
турноГантеннбыИЖНеЙ 3°Не ^'
/-лучевая трубка; 2 - сферическая МаКСИМаЛЬНЫЙ фаЗОВЫЙ СДВИГ
волна ду элементарными колебаниями
становится больше я/8. Говорят,
что при этом точка наблюдения располагается в ближней зоне
антенны. Условной границей между ближней и дальней зонами
служит плоскость с координатой
zQ = 2a2/X, A7.54)
что вытекает из равенства A7.53). Анализ показывает, что для
ближней зоны характерна локализация энергии электромагнитно-
электромагнитного поля в пределах «лучевой трубки» (рис. 17.10), поперечник ко-
которой сравним с размерами апертуры.
Пример 17.2. Оптический прожектор с размером апертуры а=
= 200 мм возбуждается монохроматическим лазерным излучением,
имеющем длину волны А, = 62.8 нм, соответствующую красной части

17.5. Дифракция волны на прямоугольном отверстии 367
спектра видимого диапазона. Определить длину «лучевой трубки»,
создаваемой данной апертурной антенной.
В соответствии с формулой A7.54) ближняя зона прожектора
простирается на расстояние
zQ = =— ——1274 км.
0 X 6.28-10-8
Столь большая протяженность ближней зоны позволяет создавать
высокоэффективные лазерные линии связи с высокой концентра-
концентрацией энергии в канале и с малым взаимным влиянием соседних
каналов.
Чтобы вычислить дифракционное поле в ближней зоне, исполь-
используем вместо равенства A7.49) выражение для расстояния г меж-
между точками источника и наблюдения, учитывающее квадратичные
члены:
Принято говорить, что волновая картина, рассматриваемая в дан-
данном приближении, соответствует дифракции Френеля.
Будем, как это обычно принято, интересоваться полем вбли-
вблизи оси излучающей системы, когда (l+cos0)^2. Подставив
A7.55) в выражение A7.48) получим
ЕЛР)-
a/2 b/2
2л С
—а/2
- Г йх Г е 2С dC. A7.56)
В последней формуле зависимость поля от координат ? и rj выра-
выражается как произведение интегралов одинаковой структуры. Рас-
Рассмотрим один из них:
/= f
Ли
Используя подстановку
запишем этот интеграл в виде
/5Г ^/(«(/б)
=1/ -j- i exp(-ya2)d«.
l7

368
Глава 17. Интерференция и дифракция волн
Такие интегралы принято выражать через неэлементарные функ-
функции— интегралы Френеля [9]:
-VI)
C(w)
w
2- Г sin и2 da,
о
так что
то .
J ехр (-/й2) d« = у -j [С (w) - JS (w)\.
Воспользовавшись последним равенством, получим
J = j/ -у- {С \g (a/2 -t)]-C[g (a/2 + D]-jS[g (а/2 -
A7.56)
где введен параметр g=Vfi/{2Q-
ui2j
Рис. 17.11. Характер распределе-
распределения интенсивности поля вблизи
границы между освещенной об-
областью и областью тени
Рис. 17.12. Конфокальный откры-
открытый резонатор:
/ — зеркало; 2 — область поля; 3,
4 — волноводы
Обычно интересуются не самой величиной /, а квадратом мо-
модуля |/|2, который пропорционален среднему значению вектора
Пойнтинга. Расчеты показывают, что при дифракции Френеля со-
сохраняются многие черты чисто лучевой оптики. Так, значения | =
= ±а/2 и т) = ±Ь/2 служат условными границами областей света
и тени. Интенсивность поля в освещенной области оказывается не-
немонотонной функцией пространственных координат (рис. 17.11).
Область прикладной электродинамики, занимающаяся постро-
построением устройств, работающих на принципах дифракции Френеля,

17.6. Дифракция плоской волны на цилиндре 369
носит название квазиоптики. К числу важнейших квазиоптических
приборов светового, инфракрасного и СВЧ-диапазонов относятся
открытые объемные резонаторы. На рис. 17.12 приведен эскиз от-
открытого резонатора конфокального типа. Этот резонатор представ-
представляет собой систему из двух металлических зеркал сферического
профиля; фокусные расстояния зеркал равны длине резонатора.
Принципиально важно, что радиусы зеркал а и расстояние между
ними L значительно превышают длину волны %.
Теоретически и экспериментально показано, что в конфокаль-
конфокальном резонаторе существует бесконечная последовательность собст-
собственных типов колебаний (резонаторных мод), отличающихся как
структурой электромагнитного поля, так и резонансными частота-
частотами. Простейшей модой является колебание типа Т00п, где п — чис-
число стоячих полуволн, укладывающихся вдоль оси резонатора. У та-
такой моды структура поля в поперечном сечении близка к обычной
Т-волне, однако напряженности поля убывают при удалении от оси
резонатора по закону квадратичной экспоненты (гауссовской функ-
функции). Поэтому говорят, что моды открытого объемного резонато-
резонатора представляют собой гауссовские волновые пучки. Резонанс-
Резонансную длину волны для моды типа ТОоп вычисляют по приближенной
формуле
\es=2L/n. A7.57)
Квазиоптическим объемным резонаторам присущи специфиче-
специфические дифракционные потери, связанные с утечкой части энергии за
края зеркал. Чтобы сделать эти потери приемлемо малыми, стре-
стремятся так выбрать геометрические размеры резонатора, чтобы од-
одно из зеркал полностью перекрывало «лучевую трубку», созданную
другим зеркалом. Для оценки величины дифракционных потерь
принято вводить так называемый дифракционный параметр
c = $a2/L. A7.58)
Было показано, что дифракционные потери чрезвычайно быстро
уменьшаются с ростом дифракционного параметра. Так, при с>2я
добротность конфокального резонатора может быть сделана по-
порядка 106 и даже более. Это обстоятельство имеет важное значе-
значение в лазерной технике, использующей конфокальные открытые
резонаторы как высокодобротные колебательные системы оптиче-
оптического и инфракрасного диапазонов.
17.6. Дифракция плоской электромагнитной волны
на идеально проводящем цилиндре
В настоящем параграфе рассмотрен пример строгого решения
задачи о дифракции плоской волны на идеально проводящем теле.
Пусть имеется круговой цилиндр радиусом а, ось которого ориен-

370
Глава 17. Интерференция и дифракция волн
Ео
тирована вдоль оси z декартовой системы координат (рис. 17.13).
Считается, что данный цилиндр, выполненный из идеального про-
проводника (а = оо), бесконечно протяжен в осевом направлении.
Плоская электромагнитная волна с линейной поляризацией пада-
падает на цилиндр слева направо в положительном направлении оси х,
как показано на рисунке. Плоскость поляризации падающей вол-
волны выбрана таким образом, что со-
соответствующий вектор напряженности
электрического поля имеет единствен-
единственную отличную от нуля проекцию
?2паД, которая считается известной.
—©-*¦—\['^/ЩЮ-У^Щ ' » Требуется вычислить пространствен-
Ппад \^-y-^:^\:::yrJ ное распределение комплексной амп-
Ў Нл ^b)):?'w^i/ литуды электрического вектора рас-
рассеянной волны во всем пространстве.
Решая поставленную задачу в
строгой постановке, будем ч избегать
каких-либо упрощающих предполо-
предположений, основываясь исключительно на
уравнениях Максвелла. Для этого
введем цилиндрическую систему координат (г, ф, z) и запишем
комплексную амплитуду вектора напряженности электрического
поля падающей волны в следующем виде:
F F.P-/P-*? /^р—УРгсад?; l\7 W\
Проекция этого вектора на ось z является периодической функ-
функцией угловой координаты ф с периодом 2я, поэтому можно вос-
воспользоваться разложением в ряд Фурье; коэффициентами такого
ряда служат функции Бесселя /П(Р/*)- Здесь можно усмотреть пря-
прямую аналогию со спектральным представлением ЧМ-сигнала [2].
В результате будем иметь
A7.60)
Рис. 17.13. Падение плоской
волны на идеально прово-
проводящий цилиндр
Очевидно, что при выбранной поляризации поле рассеянной
волны будет иметь единственную отличную от нуля проекцию
Дграс вектора напряженности электрического поля. При этом на
поверхности идеально проводящего цилиндра должно выполняться
очевидное граничное условие
(^паА+^расIг-в = 0. A7.61)
Рассеянное поле должно являться решением однородного урав-
уравнения Гельмгольца

17.6. Дифракция плоской волны на цилиндре 371
которое в данном случае приобретает вид
г дг \ дг ¦) г* дуЪ v
Рассеянное поле существует в бесконечной области г>а, при-
причем при г->оо должно выполняться условие излучения Зоммер-
фельда. Решение уравнения A7.62) представляет собой периоди-
периодическую функцию аргумента ф с периодом 2я, которую можно ис-
искать в виде ряда Фурье, совпадающего по форме с A7.60)
= 2
A7.63)
с не известными пока амплитудными коэффициентами ап (г) от-
отдельных угловых гармоник. Поскольку
каждый из этих коэффициентов должен быть решением дифферен-
дифференциального уравнения второго порядка
которое заменой переменной | = рг сводится к обычному уравнению
Бесселя
J^L. + ± -^- + (l ~}ая=0. A7.64)
Подходящей системой линейно независимых решений уравнения
A7.64) служат функции Ганкеля #пA)(?) и #пB)(?) первого и вто-
второго рода соответственно [9]. При больших значениях аргумента
справедливы следующие асимптотические формулы:
Ясно, что цилиндрическую волну, уходящую на бесконечность, опи-
описывает функция Нп{2) (I). Таким образом,
«= 2
A7.65)

372
Глава 17. Интерференция и дифракция волн
причем в соответствии с A7.60) для выполнения граничного ус-
условия на поверхности цилиндра необходимо потребовать, чтобы
A7.66)
г— ™~^0"
Итак, комплексная амплитуда электрического вектора рассеян-
рассеянного поля выражается бесконечным рядом Фурье
A7.67)
На большом удалении от цилиндра (при рг-^оо) это поле имеет
вид цилиндрической волны с неоднородным угловым распределе-
распределением амплитуды:
\ 17.68)
Полученный ряд быстро сходится только при ра<СЗ; расчет
дифракционного поля в случае достаточно толстых цилиндров
представляет известные труд-
120е 90° 60° зо° ности, даже если использует-
используется быстродействующий ком-
компьютер. Численный анализ по-
показывает, что:
Ф цилиндры малых радиусов
(аД<0.1) рассеивают энер-
энергию практически изотропно
по всем углам;
Ф более толстые цилиндры
(a/X^l—3) имеют резко вы-
выраженный максимум рассея-
рассеяния «вперед», т. е. в область
углов ф, близких к нулю;
Ф если аД^>1, то рассеяние
происходит в основном «на-
«назад», а вокруг направления
Ф = 0 располагается область
геометрической тени.
240° 210° зоо°
330°
Рис. 17.14. Диаграммы углового рас-
распределения рассеянного поля при
дифракции плоской волны на иде-
идеально проводящем цилиндре:
/ — при а/А,—1.28; 2 — при аД--=0.24;
2 — при а/А.^0.08
На рис. 17.14 представлены почерпнутые из [24] графики угло-
углового распределения амплитуды рассеянного поля при некоторых
значениях отношения а/Х; кривые построены в условном масштабе.
Интересное и до некоторой степени неожиданное явление рас-
рассеяния «вперед» связано с тем, что токи на поверхности цилиндра
при определенных условиях существуют не только в освещенной

17.7. Уравнения Максвелла в неоднородной среде 373
области при —я/2^ф^я/2, как это принимается в рамках мето-
метода физической оптики, но и могут затекать на теневую сторону.
17.7. Уравнения Максвелла в неоднородной среде
Электродинамика неоднородных сред в настоящее время явля-
является обширной научной областью с многочисленными и важными
инженерными приложениями. В данном параграфе выведены диф-
дифференциальные уравнения, которые описывают распространение
гармонических электромагнитных волн в неограниченной неодно-
неоднородной среде.
Будем считать, что в каждой точке такой среды между комп-
комплексными амплитудами векторов поля существует линейная связь,
устанавливаемая материальными уравнениями
D = eaE, В = !*Д A7.69)
Здесь г&(х, у, г) и [яа (а:, У, z)—абсолютные диэлектрическая и
магнитная проницаемости соответственно, являющиеся произволь-
произвольными заданными функциями координат. Для простоты величины еа
и jia являются не тензорами, а скалярами, т. е. речь будет идти о
распространении волн в неоднородной изотропной среде.
Будем рассматривать гармонический волновой процесс с час-
частотой о, существующий в неоднородной среде без сторонних ис-
источников. Система четырех уравнений Максвелла в данном слу-
случае имеет вид
rot Ё = —уа>р.аН, - A7.70)
divE = 0,
divB=0.
Поставим задачу получить векторное дифференциальное урав-
уравнение относительно комплексной амплитуды Н магнитного векто-
вектора, которое было бы эквивалентным полной системе A7.70). Нач-
Начнем с того, что несколько преобразуем четвертую строку:
откуда
divH=- (gfad^>H. A7.71)
Н-а
Отметим,, что в магнитно неоднородной среде вектор grad jbta от-
отличен от нуля, поэтому поле Н здесь не является соленоидальным.

374 Глава 17. Интерференция и дифракция волн
Теперь вычислим ротор от обеих частей первого уравнения из
системы A7.70):
rotrotH=/corot(saE). A7.72)
Воспользуемся известными формулами векторного анализа и за-
запишем
rotrotH=graddivH-v2H, A7.73)
E E rotE. A7.74)
Поле Ё, входящее в равенство A7.74), можно выразить через по-
поле Н, воспользовавшись первой строкой из A7.70), а затем найти
rot Ё из второй строки. Подставляя все эти промежуточные резуль-
результаты в A7.72), приходим к следующему результату:
— [(gradej rot H]=,0.
A7.75)
Данное векторное дифференциальное уравнение второго поряд-
порядка в общем случае оказывается весьма сложным. Существенного
упрощения можно добиться лишь в том случае, если заранее из
физической постановки задачи известно, что пространственная не-
неоднородность среды является плавной. Чтобы придать этому пред-
предположению количественную формулировку, введем характерные
размеры пространственных областей с переменными диэлектриче-
диэлектрической и магнитной проницаемостями. Обозначим эти величины как
/э и /м соответственно. Будем говорить, что пространственная не-
неоднородность среды является плавной, если оба характерных раз-
размера значительно превышают длину волны:
A7.76)
К плавно-неоднородным средам часто можно отнести ионо-
ионосферу Земли, в которой характерный размер неоднородностей рас-
распределения электронной концентрации имеет порядок сотен мет-
метров. Условия A7.76) будут выполняться на волнах метрового и
декаметрового диапазонов. Разнообразные естественные среды,
в которых распространяются волны оптического и инфракрасного
диапазонов, практически всегда можно считать плавно-неоднород-
плавно-неоднородными.
Неравенства A7.76) дают основание отбросить в основном
уравнения A7.75) несколько пренебрежимо малых слагаемых.
Чтобы оценить порядки величин слагаемых, входящих в это урав-
уравнение, следует прежде всего заметить, что вычисление ротора сво-
сводится к нахождению некоторой определенной комбинации прост-

17.8. Метод геометрической оптики 375
ранственных производных первого порядка. При этом роль харак-
характерного масштаба пространственного изменения любых полевых
величин играет длина волны. Поэтому справедлива оценка
I rot H \*VHJ\.
В равной мере
| V2H I *о#тЛ2; I «>2sauaH [ Оо//Ш/Х2.
Так как
| grad[xa | oo(V/M; I gradea | ооеа//э,
то имеют место оценки
grad/—(grad i*a) H)j I
— [(grade.) rot ft]
Отсюда, учитывая неравенства A7.76), приходим к выводу о том,
что в плавно-неоднородной среде третье и четвертое слагаемые ле-
левой части уравнения A7.75) пренебрежимо малы по сравнению с
первым и вторым. Поэтому данное уравнение можно упростить, за-
записав его в виде
?2Н + <АЛН = 0. A7.77)
Полученное равенство является уравнением Гельмгольца с пе-
переменным коэффициентом, который зависит от пространственных
координат. Данное уравнение является основой для построения
теории распространения электромагнитных волн в материальных
средах с плавными неоднородностями. Отметим попутно, что если
Еа = const, jia^const, т. е. в случае однородной среды, уравнение
A7.77) переходит в обычное уравнение Гельмгольца, причем такое
уравнение становится уже не приближенной, а точной математи-
математической моделью изучаемых волновых явлений.
17.8. Метод геометрической оптики
В данном параграфе рассмотрены основы метода приближен-
приближенного решения волнового уравнения, который применяют в том слу-
случае, когда длина волны % пренебрежимо мала по сравнению с лю-
любыми характерными размерами неоднородностей материальной
среды. При этом уравнение A7.77) считается заведомо справед-
справедливым. Термин «геометрическая оптика» обусловлен тем, что опи-
описанная ситуация типична прежде всего для оптического диапазо-

376 Глава 17. Интерференция и дифракция волн
на волн. Однако этим методом удается эффективно решать мно-
многие задачи, связанные, например, с распространением радиоволн
в ионосфере и тропосфере Земли, а также исследовать такие не-
неэлектромагнитные волновые процессы, как распространение зву-
звуковых волн в Океане и движение сейсмических волн в земной коре.
Считая, что потери в среде отсутствуют, запишем скалярный
аналог уравнения A7.77) следующим образом:
^ 0, A7.78)
где п(т) =j/^(r)p,(r)—локальное значение коэффициента прелом-
преломления неоднородной среды.
В основе метода геометрической оптики лежит интуитивное
представление о том, что в пределах малой окрестности любой точ-
точки наблюдения волновой процесс представляет собой локально-
плоскую волну, которая может быть описана выражением
ф(г) = ехр[-уро?(г)]. 'A7.79)
Здесь L(r)—не известная пока функция пространственных коор-
координат, которую называют эйконалом (от греч. eixcov — изображе-
изображение). Заметим, что эйконал имеет физическую размерность длины.
Уравнение эйконала. Чтобы найти функцию L(x, у, г), подста-
подставим выражение A7.79) в уравнение A7.78), учтя при этом, что
V2\f) = div gradip. По обычным правилам вычисления производной
от сложной функции находим
grad ф = — ур0 (grad L) v-K*L. A7.80)
Как известно из векторного анализа,
div (<pA) = (grad <р) А -|-<р div A,
где скалярное поле <р и векторное поле А — произвольные гладкие
функции координат. Воспользовавшись этой формулой, получим
div grad ф — — pg (grad Z.J e-'^ — урое-^ div grad L. A7.81)
Подставляя выражение A7.81) в уравнение Гельмгольца A7.78),
находим
-^(gradZJe-^o^__yp0e~/WdivgradZ, + Po^2e-^^=0, A7.82)
Теперь учтем, что в рамках метода геометрической оптики дли-
длина волны К->-0 и поэтому коэффициент фазы ро-^°°- Это дает воз-
возможность пренебречь вторым слагаемым в левой части равенства
A7.82) по сравнению с двумя другими. После сокращения на об-
общий множитель приходим к эквивалентному уравнению
(gradZ,J=#2(r); A7.83)

17.8. Метод геометрической оптики 377
A7-84)
или в развернутом виде
/dL
(it
Данное нелинейное дифференциальное уравнение в частных
производных первого порядка называют уравнением эйконала. Это.
уравнение, допускающее разнообразные обобщения, является ос-
основным соотношением геометрической оптики пространственно не-
неоднородной среды. Отметим следующие важные факты:
• В уравнение эйконала не входит длина волны. Поэтому метод
геометрической оптики не учитывает каких-либо дифракционных
эффектов и явлений интерференции волн.
• Метод геометрической оптики справедлив лишь в том случае,
когда я(г)>>0 во всех точках пространства. Дело в том, что урав-
уравнение Гельмгольца с отрицательным вторым слагаемым левой час-
части принципиально не может иметь решений вида локально-плоских
волн с постоянной амплитудой.
Нормальное падение волны на плоскослоистую среду. В качест-
качестве простейшего примера использования уравнения A7.84) рассмот-
рассмотрим задачу о волновом процессе в плоскослоистой среде без по-
потерь, у которой показатель преломления n(z) зависит лишь от де-
декартовой координаты г. Будем считать, что волны распространя-
распространяются вдоль оси z, т. е. по направлению нормали к слоям. В дан-
данном случае из A7.84) получаем
6L/dz=±n(z), A7.85)
откуда
| A7.86)
где С — произвольная постоянная интегрирования. Отсюда полу-
получаем общую формулу, описывающую геометрооптическую струк-
структуру волнового поля в плоскослоистой среде:
i(z)=A1exp
где Ах и А2 — некоторые амплитудные коэффициенты. Первое сла-
слагаемое правой части описывает прямую волну, распространяющу-
распространяющуюся в сторону увеличения координаты z, а второе соответствует
обратной волне.
Особой является ситуация, когда в некоторой точке г0 выпол-
выполняется равенство n(zo)=O. Пусть, например, при z<z0 показатель
преломления п положителен, а при 2>г0 отрицателен. В самой
[—уРо j /ittJdC + cJ-f Л2ехр[/Ро J "

378
Глава 17. Интерференция и дифракция волн
фронты; 2 —
точке z0 и в ее малой окрестности метод геометрической оптики
теряет силу, однако ясно, что правее точки г0 волновой процесс бу-
будет отсутствовать. Поскольку в среде нет потерь, падающая волна
целиком отражается назад. Рассмотренную здесь точку принято
называть точкой поворота.
Отметим, что существуют математические методы, позволяю-
позволяющие уточнить картину волнового поля вблизи точки поворота [10].
Анализ показывает, что поле проникает за
точку поворота на глубину порядка одной
длины волны, затухая вдоль координаты
z по экспоненциальному закону.
Уравнение лучей. Чтобы описать волно-
волновой процесс в приближении геометрической
оптики, достаточно располагать семейст-
семейством поверхностей постоянных фаз
L(x, у, 2) —const, A7.87)
которое образовано решениями уравнения
эйконала A7.84). При этом можно задать-
Рис. 17.15. Лучевая кар- ся какой-либо начальной поверхностью ви-
вида A7.87), а затем, интегрируя уравнение
эйконала, построить другие поверхности.
На практике предпочитают вместо со-
совокупности эквифазных поверхностей строить лучевую картину
поля, более традиционную и наглядную. Как известно из физики,
лучи образуют семейство линий, ортогональных к волновым фрон-
фронтам (рис. 17.15). Вектор, касательный к лучу в некоторой точке
пространства, указывает направление перемещения волнового
фронта локально-плоской волны. Отсюда следует, что касатель-
касательная к лучу ориентирована вдоль вектора grad L, указывающего
направление наибыстрейшего изменения эйконала в пространстве.
Рассмотрим какой-нибудь конкретный луч. Пусть г — радиус-
вектор выбранной точки на луче, a s(r) —длина кривой, отсчитыва-
отсчитываемая вдоль луча в одном из двух возможных направлений. Исходя
из уравнения эйконала, запишем единичный вектор is (лучевой орт)
в некоторой произвольной точке:
J5 — —graab. (l/.oo)
В прямоугольной декартовой системе координат этот единичный
вектор имеет направляющие косинусы dxjds, dy/ds и dz/ds, т. е.
имеет место разложение вида
• йх • ' Аи ¦ ' dziz. A7.89)
тина поля:
1 — волновые
лучи
ds
ds
us

17.8. Метод геометрической оптики 379
Приравняв правые части формул A7.88) и A7.89), приходим к
дифференциальному уравнению лучей
^, A7.90)
ds
которое эквивалентно системе трех скалярных дифференциальных
уравнений
dx dL dif dL dz dL /i-тгмч
n—=—-, п—У- = -—¦, n-—=—. A7.91)
ds dx ds dy ds dz
Некоторое неудобство уравнений A7.90) и A7.91) состоит в
том, что их правые части содержат эйконал L, который приходит-
приходится находить каким-нибудь независимым способом. Однако эти
уравнения можно преобразовать таким образом, чтобы в правые
части входило только пространственное распределение показате-
показателя преломления п(г), известное заранее. Действительно, произ-
производная от любой функции ф пространственных координат вдоль
локального направления некоторой кривой 5 (г) есть скалярное
произведение орта \s и вектора gradqp:
ijgradp = -^ gradcp. A7.92)
ds ds
Дифференцируя обе части уравнения A7.90) по переменной s, при-
применяя равенство A7.92), а также используя уравнение эйконала
A7.84), получаем
I i / /4Г\ Л I Л Т \
ds \ ds ) ds ds
=—gradZ,-grad | gradZ, | =— grad (gradZ,J=— grad#2=grad/z.
n 2n 2n
A7.93)
Итак, получено уравнение лучей
-j-(n-%-)=gradn, A7.94)
ds \ ds /
которое эквивалентно системе трех дифференциальных уравнений
в координатной записи:
d / dx \ дп d ( dy \ дп d / dz \ дп
I ТЬ 1 = , ( ft I = ¦ , ТЬ \= »
ds \ ds ) дх ds \ ds ] ду ds \ ds ) dz
A7.95)
Уравнения A7.94) или A7.95) дают возможность решить ос-
основную задачу геометрической оптики — построить лучевые тра-
траектории. Для этого необходимо прежде всего задаться точкой

380
Глава 17. Интерференция и дифракция волн
входа луча (х0, у0, г0) и начальным направлением лучевого векто-
вектора, т. е. тремя производными (dx/ds, dy/ds, dz/ds), которые пред-
представляют собой направляющие косинусы лучевого вектора в ис-
исходной точке. Строя шаг за шагом интегральную кривую уравне-
уравнения A7.94), приходим в точку выхода луча, имеющую некоторые
координаты (х\, у\, z\).
Таким образом, создав в одной точке пространства плоскую
волну с заданным направлением
лучевого вектора, мы получаем
в другой точке пространства
также плоскую волну, у которой
направление распространения
будет, вообще говоря, уже дру-
другим. Построив лишь один луч,
мы не получаем никаких сведе-
сведений об амплитудах волн на вхо-
входе и выходе.
Простейший случай — распро-
распространение плоских волн в одно-
однолучи в
Рис. 17.16. Наклонные
плоско-слоистой среде:
/ — при n(z)>n(zQ); 2 — при п(г)<
<n(z0)
A7.94) следует, что здесь
родной среде, для которой п=
= const и поэтому gradtt=0. Из
откуда r = sa+b, где а и b — некоторые постоянные векторы. Та-
Таким образом, в однородной среде лучи представляют собой пря-
прямые линии; луч направлен вдоль вектора г=а и проходит через
точку с радиусом-вектором г = Ь.
Наклонные лучи в плоскослоистой среде. Простейшая матема-
математическая модель распространения достаточно коротких электро-
электромагнитных волн в неоднородной атмосфере Земли в рамках мето-
метода геометрической оптики сводится к решению уравнений лучей
A7.95) при условии, что показатель преломления среды я зависит
только от вертикальной координаты г. Будем считать, что распро-
распространение происходит в плоскости XOZ, причем х — расстояние,
отделяющее точку наблюдения от источника волн, которое изме-
измеряется вдоль горизонтальной поверхности (рис. 17.16). При этом
dy/ds = 0 и первое уравнение из системы A7.95) приобретает вид
d
ds
Отсюда следует, что
dx _ А
ds n
A7.96)
A7.97)

17.8. Метод геометрической оптика 381
где А — некоторая постоянная величина, которую можно опреде-
определить исходя из того, что производная dx/ds является направляю-
направляющим косинусом лучевого вектора но отношению к оси х. Если ис-
источник волн расположен в точке с координатами х — 0, z=zq и луч
в точке входа образует угол Во с осью z, то, очевидно,
A/n(zQ) = sin QQ.
Чтобы получить уравнение траектории луча в явном виде, сле-
следует учесть, что второй из направляющих косинусов
— = ± VT-(dx/dsJ= ± УГ-(А/пJ. A7.98)
ds
Здесь положительный знак отвечает восходящей, а отрицатель-
отрицательный— нисходящей ветви луча. Объединяя выражения A7.97) и
A7.98), получаем требуемое дифференциальное уравнение
dx
которое интегрируется непосредственно:
A7.99)
Х(г)=
= Г . -^- _. . A7.100)
При вычислениях по этой формуле следует в необходимых случа-
случаях изменять знак перед корнем, переходя с восходящей на нисхо-
нисходящую ветвь луча.
Так как формула A7.97) справедлива при любых значениях г,
то имеет место равенство
л(г0) sin 60 = я(г) sin 9. ' A7.101)
Если показатель преломления с ростом координаты z увеличива-
увеличивается, т. е. n(z)>n{zo)f то в соответствии с A7.101) угол 8<Оо и,
значит, луч искривляется вверх, стремясь стать более вертикаль-
вертикальным. Наоборот, если n(z) <Cn(z0), то 0>Эо и луч искривляется
вниз. В физике искривление траектории луча из-за изменения по-
показателя преломления называют рефракцией. Общее правило та-
таково: луч рефрагирует в ту сторону, где оптическая плотность сре-
среды выше.
Если показатель преломления с ростом высоты уменьшается,
то возможна ситуация, когда 0 —я/2, т. е. происходит поворот лу-
луча, эквивалентный отражению волны от идеально проводящей плос-
плоскости. Точка поворота располагается на высоте zU9 которая удов-
удовлетворяет равенству
п (zkl)=n(zQ) sin 6в. A7.102)

382 Глава 17. Интерференция и дифракция волн
Если значение 90 близко к я/2, т. е. луч входит в неоднородную
среду почти горизонтально, достаточно весьма небольшого умень-
уменьшения показателя преломления с высотой, чтобы произошел пово-
поворот луча.
Описанные здесь явления играют существенную роль в распро-
распространении радиоволн вблизи поверхности Земли, о чем шла речь в
гл. 14.
Лучевое распространение волн в волоконных оптических линиях
передачи. Одной из наиболее перспективных линий передачи элек-
электромагнитных сигналов в настоящее время, по-видимому, явля-
является волоконный световод, представляющий собой тонкую (диа-
(диаметром несколько микрометров) нить из особо чистого кварца или
искусственого полимера. Погонные потери света в такой линии не
превышают нескольких децибел на километр. Несущая частота в
оптическом диапазоне исключительно высока, что позволяет иметь
очень широкую полосу пропускания и обеспечивать за счет этого
скорость передачи информации в сотни и даже тысячи Мбит/с.
Среди разнообразных волоконных световодов известны так на-
называемые градиентные волокна, у которых показатель преломления
п(г) максимален на оси и плавно уменьшается к периферии. Рас-
Рассмотрим упрощенную лучевую трактовку явлений в таком волокне.
Будем основываться на уравнении лучей вида A7.94), которое за-
запишем в параксиальном приближении, согласно которому лучи рас-
распространяются почти параллельно оси г, и поэтому дифференциал
ds можно приближенно заменить на dz:
i*-=-L*L. A7.103)
d*2 n dr K )
Речь будет идти только о меридиональных лучах, которые лежат в
плоскостях, содержащих ось z.
Зададимся так называемым параболическим профилем показа-
показателя преломления (рис. 17.17, а):
при г<а, A
поA—Ь) при г>а,
где а — радиус сердцевины волокна; п0 — показатель преломления
при г=0, т. е. на оси .световода; Ь — параметр, характеризующий
скорость убывания показателя преломления вдоль радиальной ко-
координаты.
Если считать, что относительное изменение показателя прелом-
ления от центра к периферии волокна невелико, то
\__ _dn__ 2b
п dr & f

17.8. Метод геометрической оптики
383
откуда вытекает дифференциальное уравнение, описывающее траек-
траекторию меридионального луча:
A7.105)
Если /*о и го' — начальные условия для этого уравнения, задаваемые
при z = 0, характеризующие начальный радиус в точке входа и на-
п 1
а) в)
Рис. 17.17. Градиентный волоконный световод:
а — конструкция световода (/ — оптическое волокно; 2 — однородная среда);
б, в — траектории лучей при разных начальных условиях
чальный угол наклона луча, то решение уравнения A7.105) имеет
следующий вид:
r=
sin qz,
A7.106)
где q= У 2b I a.
Видно, что траектории лучей представляют собой знакопере-
знакопеременные гармонические функции продольной координаты. Если при
всех значениях г0 производные г0/ = 0, т. е. лучи входят в волокно
параллельно оси, то независимо от г0 лучи пересекают ось свето-
световода в одних и тех же точках (рис. 17.17, б). Таким же свойством
будут обладать лучи, входящие в волокно при го = О под разными
начальными углами (рис. 17.17, в). Говорят, что при сделанных
предположениях в волокне отсутствует так называемая межмодо-
вая дисперсия, т. е. различие времен распространения сигналов

384 Глава 17. Интерференция и дифракция волн
под разными углами (термин «мода» здесь трактуется несколько
по-иному, нежели в теории обычных волноводов и резонаторов).
Фактически картина явлений гораздо сложнее из-за того, что
вдоль световода могут распространяться не только меридиональ-
меридиональные, но и косые (винтовые) лучи, для которых межмодовая дис-
дисперсия неизбежна. Разница времен запаздывания сигналов, рас-
распространяющихся по разным путям, может составлять несколько
наносекунд на километр, что существенно ограничивает пропуск-
пропускную способность волоконно-оптической линии связи. Подробные
сведения о характеристиках современных световодов читатель мо-
может найти в литературе, например [6].
17.9. Теорема эквивалентности
Заканчивая главу, посвященную методам решения дифракци-
дифракционных задач, рассмотрим широко распространенный прием, позво-
позволяющий регулярным образом ставить краевые задачи для уравне-
уравнений Максвелла.
Предположим, что имеется произвольный объем V с гладкой
замкнутой поверхностью S. Внутри объема некоторым образом
распределены возбуждающие источники, характеризуемые объем-
объемными плотностями сторонних электрических JCT.9 и магнитных Jct.m
токов. Кроме того, будем считать, что на поверхности 5 заданы ка-
касательные составляющие векторов искомого поля, возникающего
как под действием источников внутри объема, так и в результате
наличия тех или иных внешних источников.
Докажем, что на основании этих данных можно однозначно вы-
чиблить векторы электромагнитного поля во всех внутренних точ-
кях указанной пространственной области. Для этого рассмотрим в
объеме V две системы векторов. Одна из них. обозначаемая как
{Ё, Н}, отображает искомое поле. Другая, {Ёв, Нв}, представляет
собой совокупность векторов вспомогательного поля, которое соз-
создается воображаемым элементарным электрическим излучателем,
размещенным внутри V в произвольно выбранной точке наблюде-
наблюдения Р. Будем считать, что ось излучателя ориентирована вдоль не-
некоторого единичного вектора и. Для простоты записи предполо-
предположим, что амплитуда тока в излучателе /э и его длина I таковы, что
/э/=1. Тогда соответствующая плотность тока имеет комплексную
амплитуду JCT.9=i/S(r—г0), где г0 — радиус-вектор точки Р относи-
относительно произвольно выбираемой точки начала координат.
Обратимся к лемме Лоренца в форме B.39), полагая, что ин-
индекс 1 относится к искомому полю и порождающим его токам,
а индедс 2— к вспомогательному полю. На основании фильтрую-
фильтрующего свойства дельта-функции имеем

17.9. Теорема эквивалентности 385
}dS. A7.107)
Теперь учтем, что dS = SndS, где \п — единичный вектор внешней
нормали на поверхности 5. Воспользовавшись известным прави-
правилом перестановки членов в векторно-скалярном произведении, пе-
перепишем A7.107) следующим образом:
i,E(P)= \ (JCT.eEB-Lj f ЁЁ
Далее введем формально плотности эквивалентных поверхност-
поверхностных электрических и магнитных токов на S [ср. с F.3)]:
В этом случае формула A7.107) принимает окончательный вид
1/Е(Я)= f ()СТ.ЭЁВ- JcT.MHB)dl/+ Г (Jn0B.3EB-JnoB-AOdS. A7.109)
v 2
Найдя указанным способом поле Е(Р), можно вычислить магнит-
магнитный вектор Н(Р)? непосредственно воспользовавшись вторым урав-
уравнением Максвелла.
Формула A7.109) выражает принцип, получивший название
теоремы эквивалентности. Полученный результат приобретает осо-
особенно простой вид в том случае, когда источники внутри V отсут-
отсутствуют:
1/Е(Я) = { 0nm&-iuoBMK)dS. A7.110)
s
Согласно данному выражению, действие источников поля, нахо-
находящихся вне V, эквивалентно некоторому распределению поверх-
поверхностных электрических и магнитных токов на S.
Равенство A7.110) часто используют для расчета апертурных
антенн, задавая в том или ином виде распределение эквивалент-
эквивалентных поверхностных токов на раскрыве. При этом обычно руковод-
руководствуются интуитивными соображениями, как это принято в мето-
методе физической оптики, Заметим, что в" рамках такого подхода не
удается радикально снизить сложность решения поставленной за-
дачи, поскольку так или иначе приходится находить векторы вспо-
вспомогательного электромагнитного поля.
13—1379

386 Глава 17. Интерференция и дифракция волн
ЗАДАЧИ
17.1. Элементарный электрический излучатель расположен на
высоте d над бесконечной идеально проводящей плоскостью. Ось
излучателя ориентирована по нормали к плоскости. Найдите диаг-
диаграмму направленности данной излучающей системы, т. е. функ-
функцию, описывающую зависимость напряженности электрического
поля от полярного угла 9 на расстояниях, достаточно больших по
сравнению с длиной волны.
Указание: воспользуйтесь граничным условием на поверх-
поверхности идеального проводника.
17.2. Каково должно быть расстояние d (см. условие предыду-
предыдущей задачи) для того, чтобы под углом 9 = 60° излучение полно-
полностью отсутствовало?
17.3. Покажите, что при малой высоте расположения излуча-
излучателя над идеально проводящей плоскостью, т. е. при pd<Cl, мак-
максимум излучения будет иметь место под углом 9 = 45°.
17.4. Найдите диаграмму направленности излучателя, представ-
представляющего собой отрезок прямолинейного проводника длиной 2/,
в котором существует переменный гармонический ток с известной
частотой со. Амплитуда и фаза тока одинаковы во всех точках про-
проводника. Вычислите ширину основного лепестка диаграммы на-
направленности при следующих параметрах: /-=250 МГц, / = 0.8 м.
Границами основного лепестка считайте те точки, в которых функ-
функция, описывающая диаграмму направленности, первый раз обра-
обращается в нуль.
17.5. Решите задачу 17.4 при условии, что вдоль излучающего
проводника распространяется бегущая волна тока вида /(г) =
=/оехр(—jkz) с известным значением модуля волнового вектора
k. Под каким углом к оси будет наблюдаться максимум излучения,
если волна тока распространяется вдоль проводника с фазовой ско-
скоростью Уф= 1.7с?
17.6. Решите задачу о дифракции Фраунгофера при падении
плоской линейно поляризованной электромагнитной волны на бес-
бесконечный идеально проводящий экран с круглым отверстием ра-
радиуса а. Волна падает на экран по направлению нормали, длина
волны Хо счр!тается известной.
Указание: введите цилиндрическую систему координат с
осью г, проходящей через центр отверстия вдоль нормали к экрану.
17.7. Апертура антенны СВЧ-диапазона имеет форму круга
диаметром 1.2 м. Источник с частотой 9 ГГц создает на апертуре
эквифазное распределение электромагнитного поля. Оцените рас-
расстояние, вплоть до которого ближнее поле антенны имеет вид «лу-
«лучевой трубки».

Глава восемнадцатая
КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Материал предшествующих глав убеждает в том, что получить
точное решение электродинамической задачи возможно лишь в
том случае, когда исходная физическая проблема радикально уп-
упрощена за счет целого ряда идеализации. Это касается прежде
всего выбора предельно простых геометрических форм тех прост»
ранственных областей, в которых существует электромагнитное
поле. Приходится также пренебрегать неоднородностями матери-
материальных сред, не учитывать конечной проводимости стенок и т. дв
На сегодняшний день единственный способ получить интерес-
интересные в прикладном отношении данные об электродинамических си-
системах заключается в использовании численных методов анализа,
реализуемых на быстродействующих компьютерах. В последние го-
годы вычислительные методы решения электродинамических задач
прочно заняли одно из ведущих мест в арсенале разработчиков
СВЧ-устройств. Есть все основания ожидать, что тенденция расши-
расширения сферы их применения сохранится и в обозримом будущем.
Вообще говоря, численные методы можно использовать для ре-
решения любой задачи, если мы располагаем соответствующей мате-
математической моделью. Так, компьютер может потребоваться и для
расчета полей в волноводе со сложной формой сечения, и для ре-
решения дисперсионных уравнений замедляющих структур, и для
поиска лучевых траекторий в пространственно неоднородной среде,
например в ионосфере Земли. Ясно, что численные подходы к
столь разнородным проблемам будут совершенно различными. Из-
за ограниченного объема книги сосредоточим внимание лишь на
тех специфических для электродинамики задачах, которые связа-
связаны с численным решением уравнений Максвелла в замкнутых сис-
системах с идеально проводящими стенками. Более того, чтобы сде-
сделать изложение конкретным и содержательным, ограничимся ана-
анализом лишь одной системы — прямоугольного металлического вол-
волновода с неоднородным диэлектрическим заполнением. Конечно,
при этом не удастся представить развернутую картину современ-
современных методов вычислительной электродинамики. Однако, совершив
этот предварительный экскурс, заинтересованный читатель сможет
работать самостоятельно, используя многочисленные литературные
источники, например [20, 21].
Последний параграф главы, стоящий несколько особняком, по-
посвящен использованию интегральных уравнений для * численного
решения электродинамических задач. Так как в стандартном ву-
вузовском курсе математики интегральным уравнениям уделено очень
скромное место, здесь приводятся некоторые математические све-
сведения для первоначального ознакомления с предметом.
13*

388
Глава 18. Компьютерные методы решения задач электродинамики
18.1, Прямоугольный волновод
€ неоднородным заполнением
Основным объектом, рассматриваемым в данной главе, явля-
является прямоугольный металлический волновод (рис. 18.1), который
отличается от аналогичной линии передачи, изучавшейся в гл. 8,
тем, что относительная диэлектрическая проницаемость заполняю-
ющей среды е(х) является произвольной функцией поперечной ко-
координаты х. Если сторонние источники внутри волновода отсут-
отсутствуют, то электромагнитный процесс внутри волновода должен
подчиняться однородной системе урав-
У\ нений Максвелла
A8.1)
rotE^-,
divE=0,
divH=0.
Рис. 18.1. Поперечное сече-
сечение прямоугольного волно-
волновода с неоднородным ди-
диэлектрическим заполнением
Среди всевозможных мод, кото-
которые могут существовать внутри тако-
такого волновода, будем интересоваться
типом волны, напоминающим в осноз-
ных чертах моду Ню в прямоугольном волноводе с однородным
заполнением. Будем считать, что электрический вектор поля име-
имеет лишь проекцию на ось у с комплексной амплитудой Ёу(х, г),
которая к тому же не зависит от у. Таким образом, для интере-
интересующего нас поля
причем как продольное волновое число Л, так и функция Еу(х) за-
заранее не известны.
Чтобы получить дифференциальное уравнение относительно
Еу(х), вычислим ротор от обеих частей второй строки из A8.1),
а затем воспользуемся первой строкой:
rqt ГО! Ё = уа)(л0 rot
0? (X) Ё = рое (JC) Ё,
где р0 — коэффициент фазы плоской волны в вакууме. Отсюда,
приняв во внимание третью строку из A8.1), получаем дифферен-
дифференциальное уравнение
A8.3)

18.2. Метод сеток 389
которое в интересующем нас случае приобретает вид
=0. A8.4)
Подставив сюда функцию Ёу в форме A8.2), приходим к диффе-
дифференциальному уравнению относительно действительной функции
=0, A8.5)
которое следует дополнить очевидными граничными условиями
Еу@) = Еу(а)=0. A8.6)
Из теории дифференциальных уравнений известно, что полу-
полученная здесь краевая задача (в математике ее часто называют за-
задачей Штурма — Лиувилля) имеет нетривиальные, т. е. не равные
нулю тождественно, решения лишь в том случае, когда параметр
h принадлежит счетному множеству {h\, h2, ...} так называемых
собственных значений. Как правило, каждому такому значению от-
отвечает одно решение Еу(х), называемое собственной функцией дан-
данной краевой задачи. Если же таких функций несколько, то имеет
место вырождение.
С понятиями собственных значений и собственных функций мы
познакомились ранее в гл. 8 и 9, изучая колебания в прямоуголь-
прямоугольных и круглых волноводах. При этом удалось довести анализ до
конца, поскольку известны аналитические решения соответствую-
соответствующих дифференциальных уравнений. Применительно к краевой за-
задаче A8.5) — A8.6) сделать это в общем случае не представляет-
представляется возможным, так как не существует метода получения общего ре-
решения уравнения вида A8.5) при любой функции е(х). Именно, по-
поэтому здесь на первый план выступают приближенные численные
подходы.
Заметим попутно, что уравнение A8.5) по характеру полностью
совпадает с одномерным уравнением Шрёдингера, которое в кван-
квантовой механике описывает движение электрона в потенциальной
яме с заранее заданным распределением потенциала, роль кото-
которого играет функция е(х).
18.2. Метод сеток
Среди разнообразных численных способов решения дифферен-
дифференциальных уравнений одно из ведущих мест занимают так называ-
называемые прямые методы, в основе которых лежит идея сведения диф-
дифференциального уравнения к системе алгебраических уравнений.

390 Глава 18. Компьютерные методы решения задач электродинамики
Сюда относятся, в частности, широко распространенный и хорошо
изученный метод сеток. Сущность этого приема заключается в дис-
дискретизации дифференциального уравнения, т. е. в замене всех ис-
искомых и заданных гладких функций счетными совокупностями
дискретных отсчетов, взятых с некоторым достаточно малым ша-
шагом, а также в переходе от дифференциальных операторов к их
разностным аналогам.
Изучим метод сеток на примере краевой задачи A8.5) — A8.6).
Для простоты записи будем обозначать неизвестную функцию
Еу(х) символом и(х). Разобьем отрезок [0, а] на N равных частей;
длина каждой такой части А служит шагом такой одномерной сет-
сетки. Концы интервалов дискретизации хо = О, #i=A, ^2 = 2Д, ..., Xn =
=jVA=a образуют множество узлов сетки, в которых определяют-
определяются значения искомой функции uq, п\> ..., им и заданной относитель-
относительной диэлектрической проницаемости ео, si, •., ?#.
Воспользуемся разностным аналогом первой производной
йи _„. и(дг + Д)— а(х) ип+1—ип
где п — текущий номер узла сетки, из которого следует прибли-
приближенное разностное выражение оператора второй производной
(х + А) — а (х) и (х) —и (х — А)
Г а
[
их* ~ Л [ Д Д
и (х 4- А) 4- « (х — А) — 2а (х) ип+1 + ип_х —2ап
Д2 Д2
Принимая во внимание, что в силу краевых условий A8.6) и0 —
= Un = Q, преобразуем дифференциальное уравнение A8.5) в систе-
систему из N— 1 однородных алгебраических уравнений относительно
значений искомой функции в узлах сетки:
-А2)Й1==О,
Д2
-J?-J-tu.— h2)tt2 = 09 (i^7)
Данная система уравнений будет совместной в том и только в том
случае, если ее определитель равен нулю. Отсюда приходим к ал-
алгебраическому уравнению относительно неизвестной величины hy
корни которого {hu h2i ...) служат приближенными собственными

18.2. Метод сеток 391
значениями для различных мод, которые могут существовать в
прямоугольном волноводе с неоднородным диэлектрическим за-
заполнением. Понятно, что с уменыпеним шага сетки Д число анали-
анализируемых мод увеличивается.
Как пример, иллюстрирующий описанный подход, рассмотрим
краевую задачу, соответствующую прямоугольному волноводу с
однородным заполнением:
= 0' A8.8)
и@)=и(а) = 0.
Разобьем отрезок [0, а] на четыре равные части, положив А=а/4.
Тогда в соответствии с A8.7) будем иметь систему линейных урав-
уравнений
ИЛИ
A8.9)
A8.10)
Условие разрешимости системы имеет вид
A2g2-2 1
1 Д2#2—2
Один из положительных корней данного уравнения определяется
равенством A2g2—2 = 0, откуда g= )/~2/Д = 4]/2/а^5.66/а. Это чис-
число служит грубым приближением к точному собственному 'значе-
'значению g=7ifaf которое отвечает моде HOi (см. гл. 8). Другой поло-
положительный корень должен удовлетворять уравнению (A2g-—2J —
— 2 = 0, откуда
Соответствующее точное значение g = 2n/a отвечает моде

392
Глава 18. Компьютерные методы решения задач электродинамики
2
Можно заметить, что погрешности определения собственных
значений довольно значительны. Это связано с очень грубым раз-
разбиением отрезка [0, а], на котором ищутся функции. Если перейти
к существенно более мелкому шагу Д, то расчеты станут гораздо
точнее, однако для реализации метода обязательно потребуется
компьютер.
Методу сеток свойственна высокая универсальность. Так, с его
помощью можно решить двумерное
уравнение Лапласа V2w=0 при
однородных краевых условиях, со-
согласно которым на контуре Г,
ограничивающем замкнутую об-
область й, искомая функция и при-
принимает известные значения. Вычис-
Вычислительная схема должна быть орга-
организована следующим образом. На
плоскости XOY изображается до-
достаточно мелкая квадратная сетка
с шагом А (рис. 18.2). Из отдель-
отдельных сторон квадратов строится
контур Гд, аппроксимирующий ис-
исходный гладкий контур Г. Дискрет-
Дискретная функция, приближенно заме-
заменяющая решение, определяется на счетном множестве QA узлов
сетки, которые лежат внутри Q.
Выразим вторые производные, входящие в оператор Лапласа,
через конечные разности:
д^и _^ и (х -f А, у) + и (х — А, у) — 2и (х, у)
~ Д2
A8.11)
Рис. 18.2. Сеточная аппроксима-
аппроксимация двумерной области
х, у
+и(х, у — Ь)—
, у)
Д2
ду* ~
Тогда в окрестности любой внутренней точки Р уравнение Лапла-
Лапласа сведется к алгебраическому равенству
A8.12)
Если все точки, соседние с Р, являются внутренними, то уравнение
A8.12). будет однородным. Если же некоторые из этих точек при-
принадлежат граничному множеству Гд, то в A8.12) появится задан-
заданная правая часть. Таким образом, метод сеток сводит решение
уравнения в частных производных к гораздо более простой (по
крайней мере в принципиальном отношении) задаче — отысканию

18.3. Метод Бубнова — Галеркина 393
многомерного вектора, который служит корнем большой системы
линейных алгебраических уравнений.
Несмотря на очевидные достоинства, метод сеток имеет и не-
недостатки, главный из которых — огромный объем вычислений, су-
существенно сказывающийся при решении сложных электродинами-
электродинамических задач, особенно в трехмерной постановке.
183, Метод Бубнова — Галеркина
В 1913—1915 гг. русские ученые И. Г. Бубнов и Б. Г. Галеркин,
специалисты в области теории упругости, предложили оригиналь-
оригинальный прямой способ решения задач математической физики, наз-
названный в последующем их именами. Метод Бубнова — Галеркина
в наши дни занимает одно из центральных мест в вычислительной
электродинамике.
Сущность метода. Предположим, что имеется краевая задача,
представленная в общей операторной форме
Lu-f(P)=0. A8.13)
Здесь и(Р)—искомая функция пространственных координат,
f(P)—заданная функция точки Р, определяющая наличие внеш-
внешних источников, L — линейный дифференциальный оператор. Мно-
Множество точек Р принадлежит некоторой замкнутой области й, на
границе Г которой решение и(Р) удовлетворяет заданным краевым
условиям.
Предположим, что в области Q построена некоторая, вообще
говоря бесконечная, система функций {ф,-} = ф1(Р), ф2(Р),..в
..., фл (Р), ..., каждая из которых на Г удовлетворяет тем же усло-
условиям, что и искомое решение и(Р), например обращается на Г
в нуль. Функции из системы {ф,} полагаются линейно независи-
независимыми, т. е. равенство
возможно лишь в том случае, когда все числовые коэффициенты
ai, a2, ..., ап, ... одновременно равны нулю. Принято говорить, что
{ф/} представляет собой систему координатных функций.
Будем искать приближенное решение краевой задачи A8.13) в
виде конечного отрезка ряда из функций, принадлежащих {(pi},
с некоторыми не известными заранее постоянными коэффициен-
коэффициентами
2
= 2 «*?*- A8.14)

394 Глава 18. Компьютерные методы решения задач электродинамики
Если бы при этом было получено точное решение задачи, обраща-
обращающее в нуль левую часть равенства A8.13), то, очевидно, для лю-
любой координатной функции выполнялось бы соотношение ортого-
ортогональности вида
((Lu-f), ъ) =
Однако функция uN из A8.14) в общем случае не является точ-
точным решением, поэтому при ее подстановке в A8.13) возникает
так называемая невязка
В основе метода Бубнова — Галеркина лежит следующее по-
положение: множество коэффициентов {а,}, входящих в формулу
A8.14), следует выбирать так, чтобы невязка оказалась ортого-
ортогональной ко всем координатным функциям <рь ф2, ..., флг, т. е. ска-
скалярное произведение (о,- фт)=0 при т=1, 2, ..., N. Отсюда выте-
вытекает система линейных алгебраических уравнений относительно
коэффициентов аи #2> ..., ##:
N
m=h2,...,N. A8.15)
При выводе этой формулы использовано свойство линейности опе-
оператора L, в соответствии с которым действие оператора на сумму
функций равно сумме действий на отдельные слагаемые.
На интуитивном уровне ясно, что при наилучшем выборе коэф-
коэффициентов из A8.14) невязка должна быть предельно «не похо-
похожей» на все использованные координатные функции. Именно так
можно трактовать смысл понятия ортогональности двух функ-
функций [2].
Метод Бубнова — Галеркина в равной мере применим и к крае-
краевой задаче на собственные значения
Lu-l2u = 0. A8.16)
Повторяя предыдущие рассуждения, приходим к системе линейных
уравнений
n
2 **
A8.17)

18.3. Метод Бубнова — Галеркина 395
которая будет разрешимой относительно коэффициентов п\, #2, ...
..., aN, если определитель, составленный из выражений в квадрат-
квадратных скобках, равен нулю. Отсюда получаем алгебраическое урав-
уравнение для нахождения собственных значений Хи Л2, *•- Я-дг, рассмат-
рассматриваемой краевой задачи.
Адекватность метода Бубнова— Галеркина была с успехом про-
проверена на многих частных задачах из разных областей физики и
техники. Тем не менее математически доказать сходимость сумм
вида A8.14) к истинному решению довольно сложно [23], Поэтому
данный вопрос здесь не рассматривается.
Простейший пример. Чтобы получить представлена.- J высокой
эффективности метода Бубнова — Галеркина, обратимся вновь к
краевой задаче A8.8), которая позволяет находить допустимые
пространственные распределения электрического вектора в пря-
прямоугольном металлическом волноводе с однородным заполнением.
Согласно принятым обозначениям, здесь L = —d2/dx2, >- = g". Поста-
Поставим цель получить приближенное собственное *н„'" *' те _»
новной (низшей) моды в такой системе. Ограничимся .-vritv. ^v-
да координатная система состоят из единственной фу1 'чии и.. ) -=
= х(х—а)=х2—ах, удовлетворяющей краевым ускг^нгм при х = 0
и х = а. Важно подчеркнуть, что такая квадратичная функция за-
заведомо «похожа» на истинную собственную функцию вида sin (тис/а),
получаемую в результате строгого решения задачи.
Легко проверить, что при таком выборе координатной ф ¦ акции
невязка v (x) = 2-\-g2(x2—ах). Требование ортого): с лености i¦ [х) и
(pi(x) означает, что
6
откуда
е2 = о = J 2_
2 Uxtax)dx
a2 1 J_ 1 a2
T~~ 2 "^T
Значит, наименьшее собственное значение в данном случае соста-
составит ^г«3.162/а, что лишь на 0.658% превышает истинную вели ::шу
g^=n/a. Учет координатных функций более высокого порядка ве-
ведет к дальнейшему улучшению точности расчета.
Волновод с линейным законом изменения диэлектрической про-
проницаемости. В качестве еще одного примера использования метода
Бубнова — Галеркина рассмотрим задачу о прямоугольном метал»
лическом волноводе, заполненном неоднородной диэлектрической

396 Глава 18. Компьютерные методы решения задач электродинамики
средой, у которой г(х) —q~\-wxy т. е. относительная диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость линейно йзм-еняется вдоль координаты х, на-
начиная от значения q при х=0 и кончая q+wa при х = а. Проблема
сводится к решению краевой задачи [см. формулу A8.5)]
"J—"' A8.18)
u(O)=u(a)=O.
Зададимся целью найти дисперсионную характеристику тако-
такого волновода с неоднородным заполнением, т. е. свяжем собствен-
собственные значения h (продольные волновые числа) с коэффициентом
фазы Ро плоской волны в свободном пространстве, имеющей ту же
частоту.
Удобно воспользоваться системой координатных функций
пх
которая соответствует последовательности мод Н-типа в однород-
однородно заполненном волноводе с теми же размерами. Первое прибли-
приближение к искомому решению будет состоять лишь из единственной
координатной функции: щ (х) =sin(nx/a). Подставив это выраже-
выражение в дифференциальное уравнение в A8.18), получим невязку
которая в соответствии с принципом метода Бубнова — Галеркина
должна быть ортогональной к координатной функции ерь
Отсюда находим выражение для квадрата продольного волнового
числа основной моды в первом приближении:
•i l a ' 118.19)
m
dx

18.4. Метод интегральных уравнений 397
При вычислениях был использован табличный интеграл
х% х . 1
У С1 П 2 у п у . с 1 тл */ *• , рпс / У*
4 4 8
Формула A8.19) допускает простую и ясную интерпретацию.
Действительно, если бы волновод был заполнен однородным ди-
диэлектриком с относительной проницаемостью ?, — q, то основная мо-
мода Ню имела бы квадрат продольного волнового числа h2 = $Q2q—~
— (л/аJ, Неоднородный диэлектрик в соответствии с выражением
A8.19) эквивалентен некоторой однородной диэлектрической сре-
среде с эффективным значением диэлектрической проницаемости еЭф =
= q4-(wa/2), которая имеет место в центре широкой стенки вол-
волновода.
Отметим в заключение, что успех применения метода Бубно-
Бубнова— Галеркина к сложным волноводным задачам зависит не толь-
только от быстродействия и объема памяти компьютера, но и от пра-
правильности выбора системы координатных функций, которые долж-
должны по возможности полно, учитывать априорные сведения об ана-
анализируемых электромагнитных полях.
18.4. Метод интегральных уравнений
Все изучавшиеся нами до сих пор задачи прикладной электро-
электродинамики опирались тем или иным образом на дифференциаль-
дифференциальные уравнения, прежде всего на уравнения Максвелла в диффе-
дифференциальной форме. Будучи безупречными в логическом отноше-
отношении, такие уравнения могут оказаться весьма сложными, как толь-
только дело доходит до реализации численного алгоритма. Дело в том,
что дифференциальное уравнение устанавливает локальную связь
между значениями искомой функции в бесконечно близких точках
пространства (или времени). Решая такое уравнение численно, мы
шаг за шагом движемся в некоторой области и получаем тот или
инрй результат, который называем приближенным решением. При
этом возникают два существенных обстоятельства. Во-первых, ре-
решение должно удовлетворять некоторым дополнительным услови-
условиям в граничных точках. Во-вторых, при пошаговой реализации ал-
алгоритма неизбежно накапливаются ошибки, например за счет огра-
ограниченной разрядности чисел, обрабатываемых компьютером. В ре-
результате найденное «решение» может недопустимо отклониться от
истинного результата, причем такая интуитивно оправданная мера,
как сокращение шага дискретизации, не только не исправляет,
а, наоборот, ухудшает ситуацию.
Радикальным способом, дающим возможность строить эффек-
эффективные численные алгоритмы для электродинамических задач, ав-

398 Глава 18. Компьютерные методы решения задач электродинамики
тематически учитывая граничные условия, является переход от
дифференциальных к интегральным уравнениям. В настоящее вре-
время метод интегральных уравнений стал одним из ведущих приемов
численного исследования инженерных и научных проблем техниче-
технической электродинамики, В рамках нашего изложения мы сосредо-
сосредоточим основное внимание на принципиальных вопросах и проде-
продемонстрируем вывод интегральных уравнений на конкретных при-
примерах. Практическая реализация алгоритмов численного решения
интегральных уравнений относится к области вычислительной ма-
математики и подробно описана в литературе [20, 40].
Классификация интегральных уравнений. Интегральными при-
принято называть такие уравнения, в которых функция, являющаяся
искомым решением, входит под знак интеграла. Если это решение
фигурирует в первой степени, то соответствующее интегральное
уравнение называют линейным. Многие практически значимые за-
задачи сводятся именно к линейным интегральным уравнениям.
Для наглядности ограничимся случаем, когда решение ф(х) яв-
является функцией одной переменной х, размерность и физический
смысл которой могут быть любыми.
Интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода называют
уравнение вида
ь
К(х, y)<?(y)dy = f(x), A8.20)
где у — формальная переменная интегрирования; f(x) —известная
функция; К(хУ у) —так называемое ядро уравнения.
Существуют также интегральные уравнения Фредгольма
2-го рода
§К(х, y)?(y)dy=f(x), A8.21)
а
в которые входит числовой параметр Я.
Если в A8.21) положить f(x)=O, то получаем однородное ин-
интегральное уравнение, у которого заведомо есть тривиальное ре-
решение ф(х)=0. Тем не менее возможны исключительные, так на-
называемые собственные значения параметра X, при которых данное
уравнение допускает нетривиальные решения, называемые соб-
собственными функциями интегрального уравнения Фредгольма,
Особый класс представляют интегральные уравнения Вольтер-
ра, у которых в отличие от уравнений Фредгольма верхний предел
интегрирования оказывается переменной величиной. Соответствую-
Соответствующие формы уравнений Вольтерра 1-го и 2-го рода получаются из
равенств A8.20) и A8.21) заменой постоянной величины Ь на пе-
переменную х.

18.4. Метод интегральных уравнений ^ • 399
Сведение интегрального уравнения к алгебраическому. Возь-
Возьмем для определенности уравнение A8.21) и приближенно заме-
заменим входящий в него интеграл конечной суммой, как это принято
при численном интегрировании:
п
?(*)-* 2 аьК{х, xk)y{xk)=f{x). A8.22)
Здесь Xk — совокупность заранее отмеченных внутренних точек на
отрезке [а, Ь]; аи — постоянные числа, выбор которых диктуется
примененной квадратурной формулой (прямоугольников, трапеций
и т. п.). Если теперь в A8.22) последовательно подставлять х=
¦ =Х\, Х2,...,хп, то получаем следующую систему из п линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных ф(#/):
п
где i=l, 2,..., п. Решив эту систему стандартным методом, мы по-
получаем некоторую совокупность точек, которые могут служить уз-
узлами аппроксимации для получения гладкого решения на отрезке
[а, Ь].
Если же исходное интегральное уравнение однородное и пра-
правые части в системе A8.23) равны нулю, то нетривиальное реше-
решение возможно лишь при нулевом определителе системы. Отсюда
естественным образом приходим к алгебраическому уравнению
п-й степени относительно собственных значений.
Уравнение Поклингтона. Как пример использования метода
интегральных уравнений рассмотрим классическую задачу о рас-
распределении тока вдоль тонкой проволочной антенны, возбуждае-
возбуждаемой заданным внешним источником. Будем считать, что такая ан-
антенна представляет собой идеально проводящий круговой цилиндр
радиуса а и длины /, причем а<С/ и а<СЯ, в то время как отноше-
отношение /Д может быть любым. Здесь % — длина волны возбуждаю-
возбуждающего гармонического источника. Пусть центральная точка антен-
антенны размещена в начале прямоугольной декартовой системы коор-
координат (х, у, г), а ось антенны параллельна оси z (см. рис. 13.3).
Предположим, что возбужадющии генератор включен в разрыв
проводника, как это условно показано на рис. 13.1. Если б — тол-
толщина зазора между двумя частями антенны, a U — комплексная
амплитуда напряжения источника, то очевидно, что z-я проекция
электрического вектора в области зазора ?2=(У/6, в то время как
на идеально проводящей поверхности антенны эта проекция будет
равна нулю.
Сделаем одно упрощающее предположение: будем мысленно

400 Глава 18. Компьютерные методы решения задач электродинамики
считать, что ток в антенне существует не на поверхности цилиндра
радиуса ау а лишь строго на оси z в пределах отрезка [—1/2, 1/2],
т. е. представляет собой отрезок бесконечно тонкой нити. Такой
приближенный подход вполне оправдан, так как диаметр антенны
существенно меньше длины волны. В соответствии с формулой
A3.28) упомянутый ток с комплексной амплитудой 1 (г) будет соз-
создавать в вакууме электромагнитное поле, электрический вектор-
векторный потенциал которого имеет единственную отличную от нуля
проекцию
]
Отсюда с помощью первого уравнения из системы A3,12) можно
определить распределение в пространстве комплексной амплитуды
электрического вектора:
i9)t A8-25)
Если теперь с помощью этой формулы вычислить напряженность
электрического поля на цилиндрической поверхности антенны, то
она должна оказаться в точности такой, как это диктуется гранич-
граничными условиями, речь о которых шла выше. Таким образом, зада-
задача становится самосогласованной -— возникающий ток должен рас-
распределяться по антенне так, чтобы граничные условия на ее по-
поверхности удовлетворялись автоматически.
Примем во внимание, что расстояние между бесконечно малым
элементом тока, который находится в точке с координатой z0, и
произвольной точкой наблюдения на поверхности цилиндра, у ко-
которой координата равна z} вычисляется так:
r-rol-^^l/^TC^11^ A8,26)
Далее, так как электрический векторный потенциал имеет лишь
единственную отличную от нуля составляющую, ориентированную
вдоль оси <г, то для вычисления г-й проекции электрического век-
вектора на цилиндрической поверхности антенны формулу A8.25)
следует представить так:
Подставляя сюда выражение A8.24), находим, что
/ (Т72 ]

18.4. Метод интегральных уравнений 401
где дифференцирование под знаком интеграла проводится по ко-
координате z, отвечающей точке наблюдения на поверхности ан-
антенны.
Получено интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода отно-
относительно неизвестного распределения тока вдоль антенны. Впер-
Впервые оно было выведено еще в 1897 г. английским физиком
Поклингтоном и носит с тех пор его имя.
Решить уравнение Поклингтона аналитически не удается, так
что приходится прибегнуть к численному анализу. Для этого отре-
отрезок [—-//2, 1/2] мысленно разбивают на N равных частей и считают,
что в пределах каждой части соответствующий ток из набора /|,
/г, ..., In неизменен. Далее по описанной выше методике получают
и решают систему линейных алгебраических уравнений относитель-
относительно неизвестных токов.
Найдя распределение тока вдоль антенны, удается проанали-
проанализировать такие важные технические характеристики, как диаграм-
диаграмма направленности антенны и ее комплексное входное сопротив-
сопротивление.
Уравнение A8.28) без труда обобщается на случай, когда про-
происходит не возбуждение проволочной антенны сосредоточенным
источником, а рассеяние падающей плоской волны прямолинейным
отрезком проводника. Для этого достаточно потребовать, чтобы
функция Ёг из левой части уравнения в сумме с соответствующей
проекцией падающего поля обращалась в нуль.
В 30-х и 40-х годах интегральное уравнение Поклингтона было
подробно исследовано многими учеными, среди которых можно
особо назвать Э. Халлена (Швеция) и Р. Кинга (США). Некото-
Некоторые результаты расчетов распределения тока вдоль тонких антенн
содержатся в [15].
Интегральное уравнение для задачи рассеяния. Попытаемся
применить метод интегральных уравнений к строгому решению за-
задачи о дифракции гармонической электромагнитной волны на хо-
хорошо проводящем теле (рассеивателе) произвольной формы.
С такой проблемой приходится часто сталкиваться при расчете
рассеяния радиоволн радиолокационными целями.
Как известно, электромагнитная волна, падая на проводящее
тело, создает на его поверхности электрический ток. Этот ток,
в свою очередь, выступает источником вторичного (рассеянного)
¦поля? которое складывается в пространстве с первичным полем,
Распределение токов на поверхности рассеивателя заранее не из-
известно, однако можно утверждать, что в любом случае касатель-
касательная составляющая результирующего электрического вектора, рав-
равного сумме электрических векторов первичного и вторичного по-
полей, должна быть равна нулю в каждой точке поверхности. Имен-
Именно это соображение служит основой для вывода интегрального

402 Глава 18. Компьютерные методы решения задач электродинамики
уравнения относительно поверхностной плотности тока.
Ранее в гл. 13 было показано, что электрический векторный
потенциал поля в вакууме, возбуждаемого системой сторонних
электрических токов с плотностью JCT, подчиняется неоднородному
уравнению Гельмгольца
A8.29)
При этом следует заметить, что ток в правой части этого уравне-
уравнения совсем не обязан быть именно сторонним током, а может на-
наводиться в проводящем теле самим электромагнитным процессом,
т. е. быть «собственным» током.
Будем считать, что имеется падающее (первичное) поле, опи-
описываемое векторными функциями Епад, Нпад, и, кроме того, рассе-
рассеянное (вторичное) поле с векторами Ерас, Нрас.
Мы знаем, что частное решение векторного уравнения A8.29)
находится простым интегрированием, если предварительно опреде-
определена функция Грина G(r, r0) соответствующего скалярного урав-
уравнения. Решение вида A3.28) содержит интеграл по объему У, за-
занятому токами. Если рассеивающее тело является идеальным про-
проводником, то вместо объемной плотности токов следует опериро-
оперировать плотностью поверхностного электрического тока JnOB. э, так что
электрический векторный потенциал рассеянного поля в любой
точке пространства с радиусом-вектором г вычисляется по формуле
r,ro)d5, A8.30)
где, как и ранее, г0 — радиус-вектор точки на поверхности рассей-
вателя, в которой сосредоточен элемент наведенного тока.
Данный потенциал нужен нам не сам по себе, а как средство
выразить через него магнитный вектор рассеянного поля:
= ^rotApac.3=^-{rot(JIIOB.3(r0N(r,r0))d5. A8.31)
го го s
Теперь воспользуемся известной формулой векторного анализа,
приведенной в Приложении Б, согласно которой ротор от произве-
произведения векторной функции на скалярную вычисляют так:
rot (]пов.э (г0) О (г, г0)) =0 (г, r0) rot Апов.э(г0) —
- [4в.э (Го) grad О (г, г0)]. A8.32)
Заметим при этом, что операции rot и grad, входящие в A8.32),
должны находиться путем дифференцирования соответствующих

18.4. Метод интегральных уравнений 403
аргументов по координатам точки наблюдения. В то же самое вре-
время функция JnoB. э зависит лишь от положения точки с радиусом-
вектором Го, в которой располагается вторичный источник поля.
По этой причине имеем rot АПОв э(го)=О, и поэтому в соответствии
с A8.31)
НРас= - ^ I [ JnoB.8 (ro) grad О (г, г0)] d S. A8.33)
Теперь прибавим к обеим частям полученного равенства вектор-
векторное поле Нпад, которое считается заданным. В левой части при
этом будет фигурировать суммарное магнитное поле Н2—Нпад +
+ Нрас, которое на идеально проводящей поверхности рассеивате-
ля однозначно связано с плотностью поверхностного электрическо-
электрического тока формулой F.3):
где in—-единичный вектор внешней нормали к поверхности. Таким
образом, выполнив векторное перемножение обеих частей преоб-
преобразованного равенства на irt, получаем окончательно
4в*=[1яНрас]- ~ 1Ф'пов.э(г0) gradG(r, г0) ]dS. A8.34)
Данное равенство является искомым интегральным уравнением
относительно плотности электрического тока, наведенного на по-
поверхности рассеивателя падающей электромагнитной волной. В от-
отличие от уравнения Поклингтона оно является интегральным урав-
уравнением Фредгольма 2-го рода, причем уже не одномерным, а дву-
двумерным. Если его решение тем или иным способом получено, мы
без принципиальных затруднений простым интегрированием и
элементарными дифференциальными операциями находим рассе*
янное электромагнитное поле во всех точках пространства.
Полезно отметить, что в соответствии с A8.34) связь между
магнитным вектором падающего поля и плотностью наведенного
тока оказывается в общем случае нелокальной. Тем не менее, если
длина волны падающего излучения значительно меньше радиусов
кривизны рассеивающей поверхности, из-за быстро осциллирую-
осциллирующего характера функции 0 (г, г0) в подынтегральном выражении
происходит частичная компенсация влияния достаточно удаленных
участков токонесущей поверхности. Как следствие, связь между
поверхностным током и магнитным вектором падающего поля ста-
становится приближенно локальной. Именно это обстоятельство дает
возможность использовать принцип физической оптики при иссле-
исследовании явлений дифракции электромагнитных волн на проводя-
проводящих телах, достаточно больших по сравнению с длиной волны.

404 Глава 18. Компьютерные методы решения задач электродинамика
Реализация численного алгоритма решения интегрального урав-
уравнения A8.34) может оказаться весьма трудоемкой. Это связано
прежде всего с высоким порядом той системы линейных алгебраи-
алгебраических уравнений, которая приближенно заменяет исходное инте-
интегральное уравнение. Реально удается проводить расчеты лишь для
тел с размерами не более нескольких длин волн. Существенного
упрощения можно достичь в тех случаях, когда рассеивающий
объект представляет собой тело вращения [38].
Интегральное уравнение В. А. Фока. Интересной и важной
в прикладном отношении является задача о так называемой бере-
береговой рефракции радиоволн. Это явление состоит в том, что радио-
радиоволны, распространяясь в воздухе над морской поверхностью, не-
несколько изменяют направление своего движения, встречая на пути
береговую линию суши. Хотя в абсолютных цифрах эффект бере-
береговой рефракции невелик, он может оказаться существенным при
проектировании точных радионавигационных систем.
В 40-х голах акад. В. А. Фок детально исследовал это.явление
в самой общей постановке. Согласно Фоку, задача о береговой
рефракции сводится к изучению распространения электромагнит-
электромагнитных волн в однородном полупространстве, заполненном'воздухом
и ограниченном бесконечной плоскостью (подстилающей средой),
электродинамические параметры которой являются функциями
координат. Оказалось, что адекватной математической моделью
данной задачи служит некоторое интегральное уравнение. Вывод
эгого уравнения, повторяющий в основных чертах оригинальную
работу [37], представлен ниже.
Будем считать, что имеется декартова система координат (х, у,
г), ориентированная таким образом, что ось z направлена в сре-
среду 1 (воздух), а плоскость .XOY служит границей раздела между
воздухом и хорошо проводящей средой 2. Параметры этой сре-
среды — относительная диэлектрическая проницаемость е и удельная
проводимость сг-—являются произвольными функциями попереч-
поперечных координат х, у.
Будем изучать случай, когда электрический вектор распростра-
распространяющейся волны поляризован практически вертикально, т. е. основ-
основную роль играют проекции Ёг\ и Ez2 в средах 1 и 2 соответственно,
в то время к-гк две остальные проекции этого вектора существенно
малы.
Если на рабочей частоте среда 2 может считаться хорошо про-
проводящей, то в плоскости XOY векторы полей должны подчиняться
приближенным граничным условиям Леонтовича. Однако в данном
случае удобнее сформулировать граничные условия таким обра-
образом, чтобы j? них непосредственно входили нормальные проекции
Ёг\ и Ё22. Первое из этих условий должно отражать физически

18.4. Метод интегральных уравнений 405
ясное требование непрерывности нормальной составляющей пол-
полного тока J = /coeaE на границе. Отсюда, как легко видеть,
z2 при * = 0. A8.35)
Далее, на границе раздела малые касательные проекции Ёх\ и ЁХ2,
Ёу\ и Ёу2 должны быть непрерывны и, кроме того, в обеих средах
должно выполняться уравнение Максвелла div Е = 0. Поэтому
%?§ = 0. A836)
Условия A8.35) и A8.36) можно объединить, воспользовавшись
тем, что волны в среде 2 движутся практически по нормали к гра-
границе раздела, т. е. в отрицательном направлении оси z (см. гл. 6).
В соответствии с этим
Ez2 = (Ez2)z=o exp (y2z),
где 72=аг +/Рг — комплексный коэффициент распространения
плоской волны заданной частоты в хорошо проводящей среде. От-
Отсюда следует, что
Н.-*№->„.•
На основании этого, воспользовавшись равенствами A8,35) и
A8.36), приходим к граничному условию относительно нормаль-
нормальной проекции электрического вектора:
?1Г
—уа/(с
A8.37)
Теперь рассмотрим волновой процесс в среде /, который описы*
вается решением неоднородного уравнения Гельмгольца
r/2/7 _1_B?F — 4я/7г и z) П8 381
где pi — коэффициент фазы плоских волн в воздухе; f — некото-
некоторая известная функция координат, определяющая интенсивность
источников; коэффициент 4я использован для удобства.
Уравнение A8.38) является линейным, и, по принципу супер-
суперпозиции, его решение есть сумма двух составляющих. Одна из них
есть «первичное» поле, которое возникает в пространстве под дей-
действием источника / в предположении, что граница раздела отсут-
отсутствует и все пространство равномерно заполнено воздухом. Другая
составляющая — «вторичное» поле, наводимое лишь теми токами,
которые протекают в среде 2.

406 Глава 18. Компьютерные методы решения задач электродинамики
Очевидно, что выражение %ля первичного поля в некоторой точ-
точке наблюдения Р записывается как интеграл от плотности сторон-
сторонних источников, умноженных на функцию Грина скалярного урав-
уравнения Гельмгольца:
где интегрирование проводится по объему У, в котором сосредо-
сосредоточены источники.
Чтобы найти вторичное поле, следует воспользоваться форму-
формулой Кирхгофа, полученной в § 17.4:
4я s I г дп zl дп
Интегрирование здесь проводится по границе области, ограничен-
ограниченной плоскостью XOY и полусферой, которая располагается при
?>0 и имеет радиус, стремящийся к бесконечности. Очевидно, что
в пределе интеграл по полусфере обратится в нуль, так что под 5
в A8.39) следует подразумевать лишь указанную полуплоскость.
Далее учтем, что на граничной плоскости следует полагать
д/дп = —djdz, поскольку ось z направлена внутрь области L
Тогда, воспользовавшись равенствами A8.37) и A8.39), получаем
интегральное уравнение рассматриваемой задачи
1 Г •
ы \ Е
Y2
которое по своей структуре близко к уравнению A8.34).
ЗАДАЧИ
18.1. Используя метод сеток, найдите наименьшее собственное
значение для краевой задачи A8.8) при разбиении отрезка [0, а]
на три и на пять частей. Сравните полученные результаты с точ-
точным значением.
18.2. Составьте разностный аналог уравнения Лапласа V2w = 0
для трехмерной пространственной области с декартовой системой
координат. Шаг сетки А по всем трем осям выберите одинаковым.
18.3. Применив метод Бубнова-—-Галеркина, получите прибли-
приближенное собственное значение для основной моды краевой задачи
A8.8). Используйте единственную координатную функцию «треу-
«треугольной формы»
<р (;с) = (*/я при
12[1 — (х/а] при а/

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теперь, когда читатель готов перевернуть последнюю страни-
страницу книги, можно подвести итог и попытаться ответить на вопрос:
чем же занимается научная дисциплина, именуемая в учебных
планах радиотехнических факультетов наших вузов как «Электро-
«Электродинамика и распространение радиоволн»? Автор надеется, что вни-
внимательный читатель ответит примерно так: эта наука занята сис-
систематическим анализом и разработкой математических моделей
волновых процессов в интересах радиотехники и радиоэлектрони-
радиоэлектроники. Основой таких моделей служит система уравнений Максвелла.
В математическом плане все сводится к решению этой внешне
простой и в то же время исключительно богатой по физическому
содержанию системы при различном выборе возбуждающих источ-
источников, при разных начальных и граничных условиях. Можно лишь
поражаться, сколь велико разнообразие следствий, вытекающих
из небольшого числа исходных предпосылок.
Подчеркнем, что на протяжении всей книги мы имели дело иск-
исключительно с классической нерелятивистской электродинамикой.
Физики, произнося такие слова, имеют в виду частную версию тео-
теории электромагнетизма, которая отличается прежде всего тем, что
ее основные понятия — напряженности полей, заряды и токи — не
выводятся из чего-либо, а постулируются. Кроме того, методы
этой науки справедливы лишь в условиях, когда скорости движу-
движущихся тел существенно меньше скорости света.
Первая успешная попытка преодолеть формальный характер
основных законов и выйти за рамки максвелловского описания
электромагнитного поля была предпринята в -самом начале XX в.
Планк, а вслед за ним Эйнштейн показали, что электромагнитные
волны на самом деле представляют собой потоки частиц особого
рода — фотонов-, энергия каждого фотона W=hf, где /г = 6.62Х
ХЮ~34 Дж/Гц — постоянная Планка, f — частота, Гц. Концепция
фотона легла в основу мощней ветви современной физики — кван-
квантовой электродинамики. Но почему же в нашем курсе о фотонах
не было сказано ни слова? Да потому, что в радиодиапазоне их
энергии, исключительно малы. Если даже положить, что f=
= 100 ГГц=10и Гц (а это, по меркам радиоинженеров, очень вы-
высокая частота), то 1^=6.62-10~~23 Дж. Чтобы создать поток мощ-
мощности, скажем, 1 мкВт/м2, нужно через площадку в 1 м2 ежесе-
ежесекундно «пропускать» примерно 1017 фотонов. Несмотря на полную

408 Заключение
хаотичность, фотонный поток столь плотен, что в эксперименте мы
всегда наблюдаем классическую волновую картину без сколь-ли-
бо ощутимых флуктуации.
Из-за исключительно высокой скорости распространения элек-
электромагнитных волн мы в подавляющем большинстве практических
ситуаций не сталкиваемся с необходимостью учитывать релятивис-
релятивистские поправки, предписываемые теорией относительности. Дело
в том, что скорости большинства материальных объектов на не-
несколько порядков меньше скорости света. Иное дело — расчет,
скажем, ускорителей элементарных частиц, но в этой области и
методы анализа, естественно, свои.
Наконец, мы ни разу не приоткрыли завесу некоторой таинст-
таинственности, которая скрывает внутреннее устройство заряженных
частиц, прежде всего электрона. Жаль, конечно, но с этим придет-
придется смириться — такими вопросами занимается авангардная область
науки —физика элементарных частиц. Там у специалистов масса
трудностей, и ждать скорого разрешения всех противоречий не.
приходится.
Затратив много времени и сил на изучение нашего далеко не
простого курса, мы, во-первых, приобрели ценный капитал (ско-
(скорее психологического характера) —получили прочную интеллекту-
интеллектуальную уверенность в том, что все электромагнитные процессы,
представляющие интерес для радиотехники, происходят именно
так, как это следует из теории Максвелла. Второе приобретение
не менее существенно — мы овладели основами того «языка», кото-
которым пользуются и в рамках которого мыслят специалисты, зани-
занимающиеся волновыми процессами.
Конечно, далеко не все студенты, сдавшие экзамен по этому
курсу, в дальнейшем станут работать над электродинамической
проблематикой (это вполне естественно, иначе возникла бы нехват-
нехватка инженеров по системам связи или по схемотехнике). И все же
всем будущим радиоинженерам полезно овладеть основами теории
волновых процессов. В наши дни принципы этой теории проникли
в те области радиотехники, где ранее безраздельно господствова-
господствовала методология традиционной теории цепей. За примерами не на-
надо ходить далеко — современная акустоэлектроника, основанная
на использовании звуковых волн в твердом теле, позволила соз-
создать весьма совершенные частотные фильтры и даже законченные
функциональные блоки для обработки сложных сигналов. Влияние
методов волновой теории прослеживается даже в такой, казалось
бы, далекой от электродинамики и техники СВЧ-области, как кон-
конструирование матричных сигнальных процессоров, которые, по-ви-
по-видимому, станут важнейшей для радиотехники разновидностью
сверхбольших интегральных схем.

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложние А
Выражения основных операций векторного анализа
в различных координатных системах
/. Прямоугольные декартовы координаты
dU , dU . dU
grad U = —— lx -Ь " 1ц ~Ь " г ' iz,
дх dy dz
dAx- dAu dAz
div A =
dx dy dz
]Ag dAx
дЩ дЩ дЩ
]4-
дх* dy'2
2. Цилиндрические координаты
dU . 1 dU . dU .
grad U = — ir + —i -h —-— tZ9
dr r dy r dz
Id 1 dA<? dAr
div A = — — i
r dr r dy dz
dAz dA \ ( dAr dA2
rot A= —-—-— i
\ d d I
r dy dz J \ dz dr
d{rA?) I dAr \
1 d (
~~ r dr \
dm
r
dr j+r2 dy2 + dz* '
3. Сферические координаты
dlf 1 dU . 1 dU
Or r r sin 8 <?? f r dd
L 6r r \
Г д 1
— (sin ЬА ) ,
r sin 6
I_ Г д . .1
r sin
дх ду

rot A =
[т
г sin 8
^7(sin
2 dU
Прилож
6An
^^
1
г дг /-2 sin2 8
dU
Приложение Б
Некоторые полезные векторные тождества
div rot A = 0,
rot grad U = 0,
rot rot A = grad div A — v2A,
grad (UV)^U grad V-Vgrad U,
div (UK) = U div A + A grad f/,
rot (UA) = U rot A —[A grad I/],
div [AB]=B rot A —A rot B.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература
.1. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров: Пер. с франц./
Под ред. К. С. Шифрина. — М.: Наука. Главная редакция физико-математиче-
физико-математической литературы, 1965.
2. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.: Высшая школа,
1988.
3. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи с распределенными параметра-
параметрами.— М.: Высшая школа, 1980.
4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики: Пер. с англ. / Под ред. Г. П. Моту-
левич. — М.: Наука, 1970.
5. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. — М.: Радио и связь, 1988.
6. Гауэр Дж. Оптические линии связи: Пер. с англ. / Под ред. А. И. Лар-
кина. — М.: Радио и связь, 1989.
7. Грудинская Г. П. Распространение радиоволн. — М.: Высшая школа,
1975.
8. Калинин А. И. Распространение радиоволн на трассах наземных и кос-
космических радиолиний. — М.: Связь, 1979.
9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров: Пер. с англ. / Под ред. И. Г. Арамановича. — М.: Наука, 1970 и
последующ, изд.
10. Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных
сред. — М.: Наука, 1980.
11. Марков Г. Т., Петров Б. М., Грудинская Г. П. Электродинамика и рас-
распространение радиоволн. — М.: Советское радио, 1979.
12. Микаэлян А. Л. Теория и применение ферритов на сверхвысоких час-
частотах.— М.: Госэнергоиздат, 1963.
13. Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение
радиоволн. — М.: Наука, 1989.
14. Савельев И* В. Курс общей физики, Т. 2.— 2-е изд. перераб.— М.: Нау-
Наука, 1982.
15. Сазонов Д. М. Антенны и устройства СВЧ. — М.: Высшая школа, 1988.
16. Сборник задач по курсу «Электродинамика и распространение радио-
радиоволн» / Под ред. С. И. Баскакова. — М.: Высшая школа, 1981.
17. Федоров Н. Н. Основы электродинамики. — М.: Высшая школа, 1980.
18. Энергетические характеристики космических радиолиний/Под ред.
О. А. Зенкевича. — М.: Советское радио, 1972.
19. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики,
таблицы: Пер с нем./Под ред. Л. И. Седова. — М.: Наука, 1977.
Дополнительная литература
20/ Вычислительные методы в электродинамике: Под ред. Р. Митры/Пер.
с англ. под ред. Э. Л. Бурштейна. — М.: Мир, 1977.
21. Завадский В. Ю. Вычисление волновых полей в открытых областях и
волноводах,-—М.: Наука, 1972.
2% Менцер Дж. Р. Дифракция и рассеяние радиоволн: Пер. с англ./-
Под ред.-Л. А. Вайнштейна. — М»: Советское радио, 1958.
23.--Михлин С. Г. Вариационные- методы в математической физике. ¦—М.:
-Наука, 1970,

412 Список рекомендуемой литературы
24. Потехин А. И. Некоторые задачи дифракции электромагнитных волн.—
М.: Советское радио, 1948.
25. Hinken J» H. Superconductor Electronics, Sprlnger-Verlag, 1989.
26. Robinson F. N. H. Macroscopic Eiectromagnetism, Pergamon Press 1973.
27. Солимар Л., Уолш Д. Лекции по электрическим свойствам материалов:
Пер. с англ./Под ред. С. И. Баскакова, —М.: Мир, 1991.
28. Schelkunoff $. A. Electromagnetic Waves, D. Van Nostrand, N. Y., 1943.
29. Луи де-Бройль. Электромагнитные волны в волноводах и полых резона-
резонаторах: Пер. с франц./Под ред. В. Т. Овчарова. — М.: ИЛ, 1948.
30. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма: Пер. с англ./Под ред.
С. М. Рытова. — М. — Л.: Гостехиздат, 1948.
31. "Кисунько Г. В. Электродинамика полых систем. —Л.: ВКАС, 1949.
32. Каценеленбаум Б. 3. Высокочастотная электродинамика.-—М.: Наука,
1966.
33. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. — М.:
Наука, 1%7.
34. Хёнл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции: Пер. с нем./Под
ред. Г. Д. Малюжинца.— М.: Мир, 1964.
35. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. — М.:
Энергия, 1967.
36. Марков Г. Т., Васильев Е. Н. Математические методы прикладной элект-
электродинамики.— М.: Советское радио, 1970.
37. Фок В. А. Проблемы диффракции и распространения электромагнитных
волн. — М.: Советское радио, 1970.
38. Васильев Е. Н. Возбуждение тел вращения. — М.: Радио и связь, 1987.
39. Сильвестр П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинжене-
радиоинженеров и инженеров-электриков: Пер. с англ./Под ред. Ф. Ф. Дубровки. — М.: Мир,
1986.
40. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анали-
анализа. — М. — Л.: ГИФМЛ, 1962.
41. Дэвинс Д. Энергия: Пер. с англ./Под ред. Д. Б. Вольфберга. — М.: Энер-
гоатомиздат, 1985.
42. ГОСТ 12.1.006—84. Электромагнитные поля радиочастот. Допустимые
уровни на рабочих местах и требования к проведению контроля.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ампера закон 18
Амплитуды комплексные векторов по-
поля 36
Антенна рупорная 359
Апертура антенны 359
Атмосфера Земли 287
Бесселя функции 187, 370
Биения 95
Блоха уравнения 332
Брюстера угол 119
Бубнова -— Галеркина метод, 393
Вектор волновой 68
— поляризованности 25
Векторный потенциал электрический
257
Вентиль волноводный 346
Включение объемного резонатора 248
Возбуждение волновода 174—176
— объемного резонатора 246, 249
Волна
— земная 300
— ионосферная 300
— необыкновенная 340
— обыкновенная 339
— поперечная 51
— скалярная 50
— сферическая однородная 263
— типа Е 131
— типа Н 133, 140
— типа Т 131, 139
— цилиндрическая однородная 354
Волновод
— диафрагмированный 326
— коаксиальный 206
— круглый 182
— микрополосковый 212
— одноволновый 173
— прямоугольный 149
Волновое число 69
поперечное 133
— — продольное 133
Волновой пучок гауссовский 369
Волокно оптическое градиентное 382
Восприимчивость диэлектрическая 27
— магнитная 29
Время релаксации 332
Ганкеля функции 354, 371
Гаусса закон 16
Гельмгольца уравнение 56
неоднородное 259
Градиент пробивной потенциала 178
Грина формула 360
— функция 260
Группа узкополосная 94
Гюйгенса принцип 359
Дельта-функция трехмерная 261
Джозефсона эффект 104
Диаграмма
— направленности антенны 270
элементарного излучателя 271
— типов волн в волноводе 175, 197
Диполь электрический 24
Дифракция волн
•— на идеально проводящем цилинд-
цилиндре 370
— определение 347
— Фраунгофера 364
-- Френеля 366, 367
Диэлектрик кеполярный 24
Длина
— волны 51
-в волноводе 156
— поперечная 135
продольная 135
— лондоновская в сверхпроводнике
100
Добротность объемного резонатора
249, 252
Закон электромагнитной индукции 21
Замирания в радиоканале 301
Заряд электрический 10
Затухание погонное
— — плоской волны 54
— —- волновода 221
Значение собственное 154
Зоммерфсльда условие 350

414
Предметный указатель
Зона
— ближняя апертурной антенны 366
— дальняя элементарного излучателя
268
— молчания 303
Излучатель элементарный
рамочный 280
щелевой 276
электрический 265
Индекс преломления атмосферы 290
Индукция магнитная 12
Интеграл интерференционный 352
Интегральное уравнение линейное 398
Интерференция волн 347
Ионосфера Земли 287
Кабель коаксиальный 211
Калибровка потенциалов 259
Картина лучевая поля 378
Квазиоптика 369
Квази-Т-волны 212
Кирхгофа формула 360
Коттон — Мутона эффект 341
Коэффициент
— замедления 317, 325
— направленного .действия (КНД)
273
— ослабления 53
— отражения 109, 116, 171
•— прохождения 109, 116
— распространения 55
в плазме 91
в хорошо проводящей среде 84
— стоячей волны (КСВ) 172
— фазы плоской волны 51
Краевая задача для уравнения Гельм-
гольца 152, 161
Критическая длина волны
-в круглом волноводе 189
¦ в прямоугольном волноводе
158, 162
Лампа бегущей волны (ЛБВ) 325
Леонтовича граничные условия 124
Лепестки диаграммы направленности
359
Линии силовые 10
Линия волноводная измерительная
170
Лондонов уравнение 99
Лоренца лемма 47
— сила 12
— условие 259
Луч, определение 378
— меридиональный 382
Магнитная постоянная 12
Магнитный излучатель элементарный
282
Магнитный момент молекулы (атома)
29
Максвелла уравнения 34, 35
Матрица передачи четырехполюсника
215
Мейсснера эффект 102
Метод
— геометрической оптики 375
— разделения переменных 152
— сеток 389
— физической оптики 355
Множитель интерференционный 306
— ослабления 299
Моды объемного резонатора 236
— вырожденные 241
Намагниченность 29
— насыщения феррита 330
Напряженность магнитного поля 12
¦— электрического поля 11
Невязка вычислительная 394
Неймана функции 187
Неоднородная плоская волна 121, 131
Неустойчивость поляризационная 198
Остина формула 300
Отношение гиромагнитное электрона
329
Отсечки режим в волноводе 157
Параксиальное приближение 382
Параметр дифракционный 369
Переход волноводно-коаксиальный
174
Плазма 83
— бесстолкновительная 85
— закритическая 87
Плоскость падения 113
Плотность тока проводимости 13
Площадь эффективная
— антенны 275
раскрыва 297
Поверхностная волна
определение 122
— — типа Е 310
типа Н 318
Поверхностный импеданс 322
Пойнтинга вектор 40
комплексный 43
Показатель преломления 115
Поклингтона уравнение 399
Полдера тензор 336
Поле
— векторное 10

Предметный указатель
415
— вихревое 22
— магнитное 11
— подмагничивающее 329
«— соленоидальное 18
— электрическое 11
(— электромагнитное 10
Полного тока закон 18
Полное внутреннее отражение 120
Поляризация
— диэлектрика 24
— электромагнитных волн
круговая 66, 67
— линейная 64
—, эллиптическая 65
Постоянная времени колебательной
системы 249
Потенциал электрический
векторный 257
скалярный 203, 258
Поток магнитный 22
Прецессия намагниченности 332
Принцип
— наводимых ЭДС 274
— перестановочной двойственности 46
— предельного поглощения 351
Проводимость удельная 13
Прозрачности окна в атмосфере 292
Проницаемость
— диэлектрическая
абсолютная 27
комплексная 38
относительная 28
— магнитная
абсолютная 30
относительная 30
— лучей в неоднородной среде 381
Решение фундаментальное уравнения
Гельмгольца 262
Сверхпроводимость 99
Световод волоконный 382
межмодовая дисперсия 383
Сечения волноводов стандартные 177
Сигнал узкополосный 94
Скорость
— групповая 96, 160
— фазовая 52, 134
Следы метеорные 306
Слои ионосферные 289
Смещения ток 20
Снелля закон 114
Сопротивление
— волновое 210, 213
— характеристическое волновода
для Е-волн 170, 191
для Н-волн 171
Сохранения заряда закон 15
Сочленение волноводное вращающе-
вращающееся 199
Среда
— анизотропная 31
— гиротропная 336
— нелинейная 30
— подстилающая 285
— хорошо проводящая (металлопо-
добная) 80
Стационарной фазы метод 352, 358
Структура замедляющая 310
гребенчатая 320
Суперпозиции принцип 35
Радиоволны 283
Радиочастоты (диапазоны) 284
Разделения переменных метод 152,
185
Разность потенциалов 204
Раскрыв антенны 297
Рассеяние тропосферное 306
Режим согласования антенны с на-
нагрузкой 274
Резонатор
— объемный
¦ • коаксиальный 253
• круглый 243
определение 232
¦ прямоугольный 234
тороидальный 254
— открытый конфокальный 369
Рефракция
— атмосферная 291
— береговая 404
Температура критическая сверхпро-
сверхпроводника 99
Тензор абсолютной магнитной прони-
проницаемости 31
Теорема эквивалентности 384
Теория БКШ 104
Тип колебаний в резонаторе 23,6
основной 240. 244
Ток
— магнитный 46
— поляризационный 31
— сторонний 32
— электрический поверхностный 76
Толщина
— поверхностного слоя 82
— электрическая слоя диэлектрика
112
Точка поворота луча 378
Тропосфера 287
Трубка лучевая 366

416
Предметный указателе
Угол
— диэлектрических потерь 39
— падения критический 294
Уравнение
— Гельмгольца 56
неоднородное 259
— движения намагниченности 329
в форме Ландау — Лифшица
334
— дисперсионное замедляющей систе-
системы 315
— дифференциальное силовых линий
136
— лучей 378
-— непрерывности тока 15, 16
Фарадея эффект 345
Феррит 328
Ферромагнетик 30
Фока интегральное уравнение 404
Формула
— идеальной радиосвязи 297
-— интерференционная 306
Френеля интегралы 368
Функции
— координатные 393
— собственные 154
Фурье
— интеграл 93
— ряды 370, 372
Характеристика дисперсионная волно
вода 158
Цепь квазистационарная 231
Частота
— ленгмюровская 85
— максимально применимая (МПЧ)
302
— соударений в плазме 89
— ферромагнитного резонанса 331
Частотная дисперсия фазовой скоро-
скорости 61
Число волновое 69
Штурма — Лиувилля задача 389
Шум собственный приемника 275
Щель в волноводе излучающая 169
Эйконал 376
— уравнение 377
Эквивалентности теорема 384
Электрическая постоянная 11
Электрического смещения (индукции)
поле 11
Элементарный излучатель электриче-
электрический 265
сопротивление излучения 272
Учебное издание
Баскаков Святослав Иванович
Электродинамика
и распространение радиоволн
Зав. редакцией В. И. Трефилов. Редактор С. И. Баскаков. Художественный редактоо
Т. М. Скворцова. Технический редактор А. К. Нестерова. Корректор Г. И* Кострикова.
И Б № 9098
Изд. № ЭР—546. Сдано в набор 26.02.91. Подп. в печать-26.11.91. Формат 6OX88V16. Бум.
офсетная №2. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Объем 25,48 усл. печ. л. 25,48 усл.
кр.-отт, 23,82 уч.-изд. л. Тираж 5000 экз. Зак. № 1379.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.
Московская типография №8 Министерства печати и информации РФ, 101898, Москва,
Хохловский пер., 7.