Основы электродинамики и распространение радиоволн - Козлов В.Г.

Автор: Козлов В.Г.
Теги: электроника радиотехника радиоволны электродинамика издательство томск
Год: 2012
Похожие
Теория электромагнетизма
Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле
Введение в теоретическую физику
Постоянное электромагнитное поле
Текст
                    КИПР
ТУСУР
Кафедра конструирования
и производства радиоаппаратуры
В.Г. Козлов, В.С. Корогодов, А.С. Шостак
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
Учебный практикум для студентов специальности 160905 -
“Техническая эксплуатация транспортного
радиооборудования”
ТОМСК 2006
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
В.Г. Козлов, В.С. Корогодов, А.С. Шостак
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
Учебный практикум для студентов специальности 160905 -
“Техническая эксплуатация транспортного
радиооборудования”
2006
Рецензент: профессор кафедры КИПР, д.т.н. Татаринов В.Н.
Технический редактор: доцент кафедры КИПР ТУСУР, к.т.н. Озёркин Д.В.
Козлов В.Г., Корогодов В.С., Шостак А.С.
Основы электродинамики и распространение радиоволн. Учебный
практикум для студентов специальности 160905 - «Техническая эксплуатация
транспортного радиооборудования».
Томск: Томский государственный университет систем управления и ра-
диоэлектроники, 2006. - 172 с.
Приведены основные расчетные формулы, примеры решения типовых
задач и многовариантные задачи для самостоятельной работы. Рекомендуется
использовать решения типовых задач при изучении соответствующих разде-
лов лекционного курса. Даны многовариантные задания для самостоятельных
и контрольных работ. Учебный практикум составлен для студентов специ-
альности 160905, но может быть использован и студентами других специаль-
ностей радиотехнического профиля очной, заочной и дистанционной формы
обучения.
© Козлов В.Г., Корогодов В.С., Шостак А.С., 2006
© Кафедра КИПР Томского государственного
университета систем управления и
радиоэлектроники, 2006
3
СОДЕРЖАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ............................................3
ВВЕДЕНИЕ..............................................5
1	ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА.................8
1.1	Основные формулы векторного анализа.............8
1.2	Формулы с дифференциальными операциями первого
порядка........................................10
1.3	Дифференциальные операции второго порядка......10
1.4	Дифференциальные операции в некоторых ортогональных
системах координат.............................10
1.4.1 Обобщенная цилиндрическая система координат (и, v, z).. 10
1.4.2 Декартова прямоугольная система координат (х, у, z).И
1.4.3 Цилиндрическая система координат (r,\y,z)...И
1.4.4 Сферическая система координат (R, 0, у)....12
1.4.5 Свойства векторных полей............................12
1.4.6 Некоторые полезные на практике векторные тождества.... 13
1.5	Радиус-вектор..................................13
1.6	Примеры на различные элементарные действия с векторами . 14
1.7	Примеры решения типовых задач..................16
1.8	Задачи для самостоятельной работы..............26
2	ТЕМА 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА.....................29
2.1	Основные формулы электромагнетизма..............29
2.2	Примеры решения типовых задач...................32
2.3	Задачи для самостоятельной работы...............56
3	ТЕМА 3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА........................64
3.1	Основные формулы...............................64
3.2	Примеры решения типовых задач..................67
3.3	Задачи для самостоятельной работы.......................81
4	ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.....................85
4
4.1	Основные формулы..............................85
4.2	Примеры решения типовых задач.................90
4.3	Задачи для самостоятельной работы............102
5	ТЕМА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНЫ...................................109
5.1	Основные формулы.............................109
5.2	Примеры решения типовых задач................113
5.3	Задачи для самостоятельной работы............127
6	РАДИОВОЛНЫ В МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕДАХ.......................131
6.1	Основные формулы.............................131
6.2	Примеры решения типовых задач................134
6.3	Задачи для самостоятельного решения..........137
7	ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
РАЗЛИЧНЫХ ДИАПАЗОНОВ...............................141
7.1	Основные формулы.............................141
7.2	Примеры решения типовых задач................150
7.3	Задачи для самостоятельного решения..........156
8	КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ
РАДИОВОЛН................................................162
8.1 Тема 1. Элементы векторного анализа.................162
8.2 Тема 2. Основные положения теории электромагнетизма.163
8.3 Тема 3. Уравнения Максвелла...................164
8.4 Тема 4. Плоские электромагнитные волны........166
8.5 Тема 5. Граничные условия для векторов
электромагнитного поля........................167
8.6	Тема 6. Радиоволны в материальных средах.....168
8.7 Тема 7. Особенности распространения радиоволн
различных диапазонов..........................169
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ....................171
5
ВВЕДЕНИЕ
Учебный практикум по курсу «Основы электродинамики и распростра-
нение радиоволн» содержит разработанные варианты практических занятий,
построенных по единому принципу. В каждом его разделе вначале даются
краткие теоретические сведения, затем приводятся подробные решения типо-
вых задач и в заключение предлагаются многовариантные задания для само-
стоятельного решения каждым студентом. Цель данного практикума состоит
в оказании помощи студентам в освоении лекционного курса и в выполнении
контрольных работ. Для контроля знаний студентов составлены тесты по 7
темам лекционного курса.
Объем практических занятий предполагает 18 часов внеаудиторных
(самостоятельных) и 18 часов аудиторных занятий, в том числе 6 часов на
проведение 3- контрольных работ.
По курсу «Основы электродинамики и распространение радиоволн»
планируется 18 часов лабораторных и 36 часов лекционных занятий. Само-
стоятельная работа студентов по всем видам занятий составляет 68 часов.
Программа лекционного курса
Тема 1. Введение.
Цели и задачи дисциплины, организация обучения и самостоятельной
работы студентов.
Место электромагнетизма в современной физической картине мира.
Особенности диапазона СВЧ. Техника СВЧ и ее применение. Распростране-
ние радиоволн. Элементы векторной алгебры и векторного анализа.
Тема 2.Теория электромагнитного поля.
Электромагнитное поле и его математические модели. Плотность тока
проводимости. Дифференциальная форма закона Ома. Ток смещения. Закон
электромагнитной индукции. Материальные уравнения электромагнитного
поля. Поляризационные и сторонние токи.
Тема 3. Уравнения Максвелла.
Сводка уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла в интегральной
форме. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Уравнения Макс-
велла для гармонических колебаний. Монохроматические поля. Комплексные
амплитуды полей. Комплексная диэлектрическая проницаемость. Угол ди-
электрических потерь. Энергетические соотношения в электромагнитном по-
ле.
6
Тема 4. Распространение плоских однородных волн.
Плоские однородные электромагнитные волны. Волновой характер
переменного электромагнитного поля. Уравнение Гельмгольца. Плотность
потока мощности в плоской электромагнитной волны. Плоские волны с эл-
липтической поляризацией. Граничные условия для нормальных составляю-
щих векторов электромагнитного поля. Граничные условия для нормальных
составляющих векторов электромагнитного поля.
Тема 5. Падение плоских однородных электромагнитных волн на
плоскую границу раздела сред.
Нормальное падение плоской электромагнитной волны на диэлектриче-
ское полупространство. Нормальное падение плоской электромагнитной вол-
ны на диэлектрический слой конечной толщины.
Падение плоских однородных электромагнитных волн на плоскую гра-
ницу раздела сред под произвольным углом. Падение плоской электромаг-
нитной волны на диэлектрическое полупространство под произвольным уг-
лом. Угол Брюстера.
Распространение плоских электромагнитных волн в средах с частотной
дисперсией. Волны в диэлектриках и в проводящей среде. Плазма и ее элек-
тродинамические параметры. Распространение электромагнитных волн в
плазме. Распространение импульсов в средах с частотной дисперсией фазовой
скорости. Понятие групповой скорости.
Распространение плоских электромагнитных волн в анизотропных сре-
дах. Физический механизм анизотропии ферритов. Поперечное и продольное
распространение электромагнитных волн в намагниченном феррите. Эффек-
ты Коттона-Мутона и Фарадея.
Тема 6. Общие вопросы распространения радиоволн.
Классификация радиоволн по диапазону и способу распространения.
Формулы идеальной радиопередачи и множитель ослабления. Определение
области пространства, существенной при распространении радиоволн.
Распространение земных радиоволн. Расчет поля при поднятых антен-
нах в зоне прямой видимости. Интерференционная формула и квадратичная
формула Введенского. Диаграммы направленности поднятых антенн. Расчет
поля при низко расположенных антеннах. Структура поля вблизи поверхно-
сти Земли. Формула Шулейкина - Ван-дер-Поля.
Влияние тропосферы на распространение радиоволн. Строение тропо-
сферы, её электрические параметры. Явление рефракции. Сверхрефракция.
Тропосферные волноводы. Рассеяние радиоволн на тропосферных неодно-
родностях. Дальнее тропосферное распространение.
Влияние ионосферы на распространение радиоволн. Строение ионо-
сферы. Физические причины образования в ионосфере ионизированных сло-
ев. Критические и максимальные частоты. Влияние магнитного поля Земли на
7
распространение радиоволн в ионосфере. Особенности распространения в
ионосфере волн различных диапазонов.
Распространение радиоволн на космических линиях связи. Системы
спутниковой связи и их качественные показатели. Полосы частот в системах
спутниковой радиосвязи. Шумы атмосферы, космические шумы и шумы при-
емных систем. Примеры систем спутниковой связи в России и за рубежом
Тема 7. .Особенности распространение радиоволн различных диапазо-
нов.
Влияние электродинамических свойств земных покровов на распро-
странение сверхдлинных, длинных и средних радиоволн. Особенности рас-
пространения коротких волн (зона молчания, ночные волны и дневные вол-
ны). Особенности распространения ультракоротких волн (радиорелейные ли-
нии связи, космическая связь).
8
1 ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
1.1 Основные формулы векторного анализа
Понятие вектора как величины, характеризуемой (в отличие от скаляра)
не только количеством, но и направлением в пространстве, соответствует
многим физическим параметрам, например, сила, скорость и т.д.
Векторы А, В можно представить как А = А$- А и B = BQB, где Aq , Во
- единичные векторы (называемыми ортами), а А, В - абсолютные значения
(модули) векторов А, В. Орты, соответствующие направлениям осей декар-
товой системы координат, будут обозначаться х0, у0, z0. Таким образом, в
проекциях на эти оси вектор А запишется:
^ = *о-4+то-4+4-4>	0-1)
Проекции Ах, Ау, Az называются компонентами или составляющими век-
тора А.
Сложение в векторной алгебре означает алгебраическое сложение ком-
понентов векторов:
А + В = х()(Ах + Вх)+у0(Лу + By)+z0(Az + BZ),	(1.2)
Умножение вектора А на число (скаляр) т есть вектор С :
С = т • А = xQmAx + у^тАу + z0 m4,	(1.3)
с новым абсолютным значением С = I ml А (при т > 0 направление вектора С
совпадает с направлением вектора А ).
Скалярное произведение векторов А и В определяется как:
(а в)= А В - ABcosa = А- Вх+ A- Bv+ A- Bz, (1.4)
где а - угол между направлениями векторов. Как видно из (1.4), нулевое зна-
чение скалярного произведения имеет место и при неравных нулю исходных
векторах А и В. Тогда эти вектора называются ортогональными: они направ-
лены под прямым углом а = л/2.
Векторное произведение векторов А и В есть:
[А• в] = АхВ = Со • А • 2?sin а = xQ{AyBz - AzBy)+ yQ(AzBx - AXBZ)+
To 4
Ay 4
4 4
(1-5)
где Co - единичный вектор, направленный по нормали к плоскости векторов
А и В, причем так, что А, В и Со - образуют «правую тройку» векторов:
9
если смотреть вдоль Со, то кратчайшее угловое расстояние между векторами
А и В обозначенное а, будет соответствовать движению от А к В по часо-
вой стрелке. Векторное произведение - некоммутативно, то есть сомножите-
ли нельзя переставлять местами, имея в виду сохранение результата:
В-л]=-[л-в].	(1.6)
Под векторно-скалярным (смешанным) произведением векторов А, В и
С понимается скаляр А В • С . При этом:
л[5-с]=[лв]с = [сл]в,	(1.7)
то есть, важен циклический порядок следования перемножаемых векторов,
при сохранении которого безразлично, какие именно два вектора из трех об-
разуют векторное произведение. Коротко можно записать:
Двойное векторное произведение:
[а [д • с]=в(а • с)- с(а • в).
(1-9)
Скалярные произведения, выделенные при помощи круглых скобок, по
сути, являются числами (входят как числа), которые умножаются на вектор
вне этих скобок.
Теорема Остроградского-Гаусса. Если произвольный вектор А и его
первые частные производные однозначны и непрерывны в объеме V и на
ограничивающей этот замкнутый объем поверхности S, то:
f AdS = f divAdV.	(1.10)
S	V
Теорема Стокса. Если произвольный вектор А и его первые частные
производные однозначны и непрерывны на поверхности S и на ограничиваю-
щем ее замкнутом контуре L, то:
§Adl = \rotAdS,	(1.11)
L	S
причем направление обхода контура L и поверхности S образуют правовинто-
вую систему.
Оператор Гамильтона (набла-оператор). Сведение разнообразных диф-
ференциальных пространственных операций к простой и однотипной схеме
осуществляется при помощи дифференциального оператора Гамильтона. В
декартовой системе координат оператор Гамильтона раскрывается следую-
щим образом:
д	д	д
V = x0- + y0- + z0-,	(1.12)
ох	оу	OZ
где х0, у0, z0 - единичные векторы (орты) по осям х, у, z.
10
1.2 Формулы с дифференциальными операциями первого
порядка
grad cp = Vcp - вектор;
divA =	- скаляр;
rotA — [v.4 - вектор;
grad (cp + \|/) = grad cp + grad xp;
div\A + В) = divA + divB;
rot(A + B) — rotA + rotB;
grad (cpcp) = cp grad cp + cp grad \p;
div[(pA^= Agradcp + (pdivA;
div AB = BrotA — ArotB;
7 Г	~
rot\$>A)= grad^A +(protA.
1.3 Дифференциальные операции второго порядка
div grad ср = V (Vcp) = V2cp - оператор Лапласа (лапласиан) от скалярной
функции ср;
divrotA = WA =0;
rot grad ср = [ V Vcp] = 0;
rotrotA — v[v./4 = v(v^)— (w^) = graddivA — V2A;
V2 A = graddivA — rotrotA - лапласиан от векторной функции А.
= у(ул)- (wJ)= graddivA - V2A;
1.4 Дифференциальные операции в некоторых ортогональных
системах координат
1.4.1 Обобщенная цилиндрическая система координат (и, г, z)
_ a<p ,	_ a<p
= grad^ + z0 • —;
oz	dz
J аД - dA
A) +^ = div1A + ^-,
OZ	oz
Дм.)Д(мД
nh ou ov
gradq = Д — • —- + v0 — • -
hu dU hv c
d ,	\ d
— \h А )ч—
hh. dirv u> dr
_ ’ад 1 dA.
V0 ----------‘
-л 1
div А = —
1 - 1
rotA = ип —
•'u I-
ад ад
dz
z
dz hu du
о
V
. 1
о
i *и' "v
11
2	1
divgradg) = V ф =------
huhv
d (h d {h
du^hu du J dv\hv
32ф
a?
, а2ф
- div grad4-x- =
dz
V72 а2ф
= ^±Ф+-у;
dz
Здесь w0,v0,z0 - координатные орты в точке наблюдения; hu, hv, (hz= 1)
- коэффициенты Ламе; grad^p, div^p, div gradgy = Vjp - дифференциальные
операции по поперечным координатам и и v.
1.4.2 Декартова прямоугольная система координат (х,у, z)
,	_ ftp „ар _ йр
grady = Xq—l-l 11 —— •
yyQ — + zQ — ‘
оу OZ
div А =
rotA = х0
dAz дАу
dy dz
z .
dz
^(dAx dA7^
+ Уо
< dz
2 а2ф а2ф а2ф
divgrad<p = V Ф =	+	+
dx dy dz
У2А = х0У2Ах+у0У2Ау+^У2Аг.
dx
о
1.4.3 Цилиндрическая система координат (г, \|/, z)
-J ад.	1	.	1	dA	dAz
div А = —- +-Ar+-------+ —-;
dr	г	г	а(р	dz
т ,	г-,2	а2ф	1	аФ	1	а2ф	а2ф
divgradq =\ т-—-ч-----------н —---------
dr2	г	dr	г2	аф2	dz2
12
1.4.4 Сферическая система координат (R, 0, у)
gradv = R^.a 1 ap,.,
5 T	° 67?
- dAR 2 .
divA -	4---AR +
rotA = R()
1 6ф
?0------+Wo----------21;
R 60 R sin 0 д\\/
1	( • д л А ,	1
--к 	--------(sin0X)+-----------
dR R 7? sin 0 60	R sin 0 6ф
dAR d
1
A sin 0 50

6y J	R sin 0 |_ 6ф 67?
2	52ф 2 6ф 1	6 I	.
divgradg) = V ф = —v H---------1—;----------sin 9----+
dR2 R dR T?2sin0 60 1	60)
1	62ф
R2 sin2 0 6ф2
1.4.5 Свойства векторных полей
Будем полагать, что вектор А и его первые частные производные одно-
значны и непрерывны во всех точках поля. Тогда векторное поле А задано
однозначно, если известны его ротор и дивергенция, как функции простран-
ственных координат:
rotA — F(R),	div А — f (7?),
причем эти функции должны отличаться от нуля в ограниченной области
пространства.
Векторное поле называется потенциальным, если А = -gradty, где
функцию ф именуют скалярным потенциалом поля А. Введение знака минус
вызвано тем обстоятельством, что в физических задачах принято направлять
вектор А в сторону убывания потенциала ф.
Необходимым и достаточным условием потенциальности поля А явля-
ется равенство rotA = 0.
Векторное поле А называется со л еноид альным, если А = rotC, где
функцию С именуют векторным потенциалом поля А.
Необходимым и достаточным условием соленоидальности поля А яв-
ляется равенство divA = 0.
13
1.4.6 Некоторые полезные на практике векторные тождества
divrotA = 0;
rot gradt/= 0;
rotrotA = graddivA -V2A;
grad(t/-F) = U grad V - V grad £7,
где U и V скалярные функции;
div\U • a)= UdivA + AgradU;
rot
{u' A)= UrotA — \AgradU];
div A - В = BrotA — ArotB.
1.5	Радиус-вектор
Рассмотрим пример вектора, зависящего от точки пространства, в кото-
рой он рассматривается, то есть пример векторной функции г . Это радиус-
вектор:
г = хох + уоу + zoz,	(1.13)
который представляет собой направленный отрезок, соединяющий начало ко-
ординат 0(0, 0, 0) с некоторой «текущей» точкой М(х, у, z). Длина радиус-
вектора г = О М (его абсолютное значение) есть скалярная функция:
г = т]х2 +у2 +Z2 .
Отрезок, соединяющий точки Р(х', у', z') и М(х, у, z), изображается раз-
ностью их радиус-векторов:
г-г' = хо(х-х9 + То(т-У) + *о(*-^)-	(Ы4)
Абсолютное значение этого вектора выражает расстояние между точ-
ками Р и М:
|r - F| = 7(* “ х')2 + (у - у')2 + (z- z')2.	(1.15)
Векторный дифференциал длины вектора г из (1.13) запишется:
dr =XQdx + yQdy + ZQdz.	(1-16)
Пусть задана векторная функция v(x,y,z), и соответствующее вектор-
ное поле описывается силовыми линиями. Будем считать, что dl есть век-
торный дифференциал силовой линии. Тогда он везде параллелен вектору
v = xovv +yov^ +^ovz’ то есть dl =kv (к- коэффициент пропорциональности).
Сравнивая представления dl и v в декартовых координатах, получаем про-
порцию:
14
dx__dy__dz_
V V V
x у z
из которой следуют дифференциальные уравнения, характеризующие сило-
вые линии.
При изучении различных полей важную роль играет обратная величина
расстояния между точками, определяемая согласно (1.15) как:
у(г, г') = \|/(х, у, z, х', у', z') = 1—-—г = I	1	= • (1-18)
ГН Г-Г+Гг)2+ГГ
Фиксируя точку Р(х',у',z'), будем рассматривать эту величину как
функцию \у(х, у, z), и вычислим ее градиент. Находим:
(х-У)2Щ-У)2+(;-г')Т
ИЛИ
В
частности,
grad\\j =
г —г
когда точка Р(х', уz')
совпадает с началом координат
(1-19)
(9(0, 0, 0), то есть г' - 0, имеем:
, Г Го
gradxy =—у = —
г г
где г0 - орт радиального направления.
Если же фиксирована точка М(х, у, z), то ,——т есть функция
г — г'
/	\	г — г
\|/(х', j/,zj. В этом случае grad'\\) --или если М(х, у, z) совпадает с
|г-г'Г
началом координат (9(0, 0, 0), то есть г = 0, имеем:
гга^ = -(Г=_(Г.
1.6	Примеры на различные элементарные действия с векторами
Рассмотрим вектор A-3x + 4y + 5z.
а)	Найти длину вектора А.
Для квадрата вектора А справедливо равенство: А2 = А2Х + А2у + A2Z , где
А, — проекции вектора на соответствующие оси прямоугольной системы коор-
15
динат. Тогда А2 = A A cos а = 32 +42 +52,
откуда следует, что А = V50 - есть
длина вектора А.
б)	Какова длина проекции вектора А на плоскость хОу или z = О?
Вектор, являющийся проекцией А на плоскость хОу, это вектор
В = 3х + 4у- В2=ВВ;В = 5.
в)	Построить вектор, лежащий в плоскости хОу, и перпендикулярный
вектору А.
Запишем этот вектор в виде В - Вхх + Вуу и обладающий свойством
АВ = 0, или (Зх + 4у + 5z\Bxx + Вуу) = 0.
Скалярное произведение векторов:
AB = AxBx+AyBy+AzBz,
для нашего случая примет вид А • В = (Зх + 4 у + 5z)(Bxx + В у]= ЗВХ + 4Ву = О
или В IВх =-3/4. Последнее выражение есть уравнение прямой.
г)	Построить единичный вектор BQ.
Для этого вектора В2 + В2 = 1, или
ЗВ, = ^Ву- 9В~=\(-,В~.
откуда
R -S Л-
Bq - $XQ $ yQ.
д)	Найти скалярное произведение вектора А на вектор С = 2х0.
По определению А С - Ах Сх + Ау Су + Az Cz - Ах Сх - 6.
е)	Выразить вектор А и С в системе отсчета, полученной из системы х,
у, z поворотом на тг/2 по часовой стрелке, если смотреть вдоль положительно-
го направления оси z.
Новые единичные векторы х'о,у'о,г'о связаны со старыми х0,у0,50 сле-
дующими соотношениями: х’0= уу'(1 = -х0; z'o = z0.
Таким образом, все х заменяем на - у'; у заменяем на х', получим:
Л = 4х'-Зу' + 5Г;	С = -2у'.
ж)	Найти скалярное произведение векторов А и С в штрихованной си-
стеме координат.
По определению АС - Ау,Су' - (- 3)(- 2) = 6, точно такое же, как и в
нештрихованной системе координат.
з)	Найти векторное произведение А х С.
16
Образуя скалярное произведение, покажем, что новый вектор перпен-
дикулярен как к А, так и к С:
АВ = А В'+А-В + Л -5 =3-0 + 4-10-5-8 = 0;
С-5 = 2-0 = 0.
и)	Найти вектор В = А - С.
По определению:
А - С = (4 - С,)  X + (аг - Су ) у + (4 - С.)• Z =
= (3 - 2)- х + (4 - О)- у + (5 - О)- z = х + 4 у + 5z.
1.7	Примеры решения типовых задач
1.7.1 Два вектора единичной длины образуют угол ф = 30°. Найти их
скалярное произведение.
Решение'. По определению скалярного произведения двух векторов
имеем:
-	л/3
АВ -АВ cos a - cos30° - —
2
Ответ'.
1.7.2 Доказать, что векторы, имеющие начало в точке А(-1; 1), а концы в
точках 5(1; 2) и С(0; -1), соответственно, перпендикулярны.
Решение'. Предположим, что точки А, В и С лежат на плоскости хОу
прямоугольной системы координат.
Обозначим вектор АВ через В, а АС через С. Тогда:
В— 2х +у; С — х — 2у.
Условием ортогональности является равенство нулю скалярного произ-
ведения векторов В и С.
ВС = В С + 5 С =2-2 = 0.
.а	У У
Что и требовалось доказать.
1.7.3 В декартовой системе координат проекции векторного поля А по-
стоянны в любой точке пространства: Ах = Ао, Ау = Bq, Az = 0. Построить кар-
тину силовых линий векторного поля.
17
Решение: Поскольку одна из декартовых составляющих векторного по-
ля отсутствует, силовые линии должны представлять собой семейство плос-
ких кривых, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости хОу. Вектор по-
ля в любой точке касателен к силовой линии (см. (1.17)), откуда вытекает
дифференциальное уравнение силовых линий:
dx _ dy
являющееся следствием подобия двух прямоугольных треугольников с кате-
тами dx, dy и Ао, Во, соответственно. Откуда, общий интеграл уравнения сило-
вых линий имеет вид:
ух + С,
Л
где С - произвольная постоянная интегрирования.
Таким образом, силовые линии поля представляют собой однопарамет-
рическое семейство прямых с угловым коэффициентом наклона к оси X, рав-
Во
ним —
Л)
1.7.4 Вычислить дивергенцию векторного произведения полей В и А.
Решение: Воспользуемся краткой записью с помощью оператора Га-
мильтона:
л г
div А В = V А-В .
Оператор Гамильтона является дифференциальным оператором, поэто-
му к приведенному векторному произведению можно применить обычные
правила дифференцирования произведения:
у[л-в|=У JjTtfl+V .
L J Л L J 7э L J
Нижние индексы у оператора указывают поле, на которое он воздей-
ствует. Поле, на которое оператор не воздействует, должно быть вынесено за
знак оператора подобно константе. Учитывая все сказанное, имеем:
V А • В — В VaA • + А Vв • В — BrotA — ArotB.
Знак минус обусловлен некоммутативностью векторного произведения.
1.7.5 Вычислить лапласиан функции 2а In —, где г1 = х + у2, а = const.
г
Решение: Заданная функция есть вектор на плоскости хОу, то есть мы
имеем дело с лапласианом от векторной функции. Задачу решаем прямым
дифференцированием. При этом учтем, что г = хох + уоу и, следовательно,
а2 а2
производные —у и —у от г Равны нулю.
дх ду
18
1
Г
V2
2 £7 In —
к г)
= 2аУ2
=-2<r-^(v2r)= 0.
г2
1.7.6 В декартовой системе координат векторное поле А имеет един-
ственную составляющую Ау = 15л:2. Проверить, является ли поле: а) соленои-
дальным; б) потенциальным.
Решение'. Необходимым и достаточным условием потенциальности поля
А является равенство rotA = 0.
= xo(O-O)+yo(O-O)+zo(3Ox-O) = 3Ox Ф О,
то есть поле не потенциальное.
Необходимым и достаточным условием соленоидальности поля А яв-
ляется равенство div А = 0.
,. - дАх SA	дА	. а(15х2) _ _
сх	ду	dz	ду
следовательно, поле соленоидальное.
2
Ответ', поле Ау = 15х является соленоидальным.
1.7.7 Даны два векторных поля: А — Зх0 + 4у0 - 5z0; В - —xQ + 2у0 + 6z0.
Рассчитать:
а)	Длину каждого вектора.
б)	Скалярное произведение.
в)	Определить угол между векторами.
г)	Найти направляющие косинусы каждого из векторов.
д)	Найти А + В и разность А - В.
е)	Найти векторное поле С = [а • В . Показать, что вектор С ортогона-
лен векторам А и В.
Решение'.
а)	Вычислим длины векторов:
А - А - (л2 + А2 + А2У2 - л/з2 + 42 + 52 - 5V2 ;
\ А	у	Z /
В=В=(в2+В2+В2Т=л!\ + А + 36 = 4а\.
\ А	У	Z J
б)	Вычислим скалярное произведение:
А В + А В+ А В =-3 + 8-30 = -25.
\	/	Д/ Д/	у у	£	£
19
в)	Определим угол между векторами а. Так как по определению ска-
лярного произведения:
(а • в)= А • В = А • В cos а,
то
И
cos ос =
(л#)_ -25
АВ -V50-V41
-0.522
ос = arccos(-0.522) = 123.5°.
г) Вычислим направляющие косинусы каждого из векторов.
Для вектора А:
cos ос
А.
3
-----= 0.42;
7.071
cos ос
4
-----= 0.57;
7.071
cos ос
= -0.7071.
7.071
А
А
А
4	-5
А
Для вектора В:
В
cosp
—— = -0.156;
6.403
cosp
—^— = 0.312;
6.403
cosp
Bz
= 0.937.
В
В
В
6
д)	Вычислим сумму А + В и разность А - В. При сложении векторов
алгебраически складывают их компоненты:
А + В = х0(Ах +Ву)+ у0(Ау + Ву)+ z0(Az +Bz) =
= х0(3 -1)+То(4 + 2) + z0(- 5 + 6) = 2х0 + 6J^0 + z0;
3--в = х0(4 -я,)+л(л	~вг)=
= х0(3 +1)+у0(4 “ 2) + 2о(“ 5 “ 6) = 4*о + 2То -1
е)	Вычислим векторное произведение С - [А • В :
20
xo Jo zo
= x0(x0(24 +10)+JO(5-18)+z0(6 + 4)AyBz - AzBy)+ y0(AzBx - AXBZ)+
+ zo(AxBy -^А)=^о(24 + 1°) + Л(5-18) + ^о(6 + 4) = 34^о -13J’o + 1Ofo
и покажем, что вектор С ортогонален векторам А и В, то есть что (а • с)= 0
и что (в • с) - 0. Действительно:
(ас)=Ах.Сх+А С + Л -Сг =34-3 + (-13)-4 + 10-(-5) = 0
и
(вс)=ВСХ+В СV+Bz cz =34-(-1)+(-13)-2 + 10-6 = 0,
а при этом вектор С ортогонален векторам А и В.
1.7.8.	Две материальные точки 7 и 2 движутся вдоль осей х и у соответ-
ственно со скоростями V! = 2х0 см/с и v2 = Зу0 см/с. При t = 0 их координаты
равны Xi = -Зсм; yi = 0 см; х2 = 0 см; у2 = -3 см.
а)	Найдите вектор г = г2 - Я,, выражающий положение материальной
точки 2 относительно точки 7 как функции времени.
б)	Когда и где расстояние между этими точками является наименьшим?
Решение:
а)	Запишем выражение для радиусов-векторов точек 7 и 2 как функцию
времени:
(/) = i\ (t = О) + Vj • t = (- 3 + 2t)  х0,
где V; = 2x0, rx(t = 0) = -3x0;
r2(0= r2(t = 0)+v2-t = (-3 + 3/)-y0,
где v2 = 3y0, r2 =(r = 0)=-3y0.
б)	Расстояние между точками будет изменяться со временем, и его бу-
дет характеризовать длина вектора:
НО=f2 (0 - n (0=(3 - 2/Хо+(-3+30л>
которая равна
r(/) = \f(t) = 7(2Z-3)2 +(3/-3)2 = V13Z2 -30Z + 18 .
Чтобы найти в какой момент времени будет наименьшее расстояние
между точками, продифференцируем выражение для r(t) и приравняем его к
нулю:
М0 = о.5.	26?—30	=0
л/13я2-ЗОЯ +18
Откуда получим:
21
30
26
= 1.15с.
Ответ', г = [(3-2/}-х0 +(3/-3)-у0] см; t = 1.15 с.
1.7.9.	Докажите, что вектор а перпендикулярен к вектору
b , если
а + Ь = а-b .
Решение.
Из равенства а + b = а -Ь следует, что
то есть:
а + 2 • а • b + Ъ — а — 2 • а • b + b
Откуда следует, что скалярное произведение а • b = 0. Поскольку по
определению а -Ъ = а -Ъ • cos а, то в рассматриваемом случае cosoc = 0, а сам
угол между векторами а = 90°, то есть вектор а перпендикулярен к вектору
b .
1.7.10.	Начало вектора в точке А(2; 3); конец его в точке 5(-1; 4).
Разложить этот вектор по единичным векторам координатных осей.
Решение.
___ Л5 = (-1-2)хо+(4-3)^о =-Зх0+Л-
Ответ: А В = -Зх0+у0.
1.7.11.	Доказать, что векторы, имеющие начало в точке А(-1; 1), а кон-
цы в точках 5(1; 2) и С(0; -1) соответственно, ортогональны.
Решение.
Запишем выражения для векторов:
_ЛВ = (1 + 1)х0+(2-1)у0 =2х0+у0;
ЛС = (О + 1)хо+(-1-1}уо =х0-2у0.
Запишем выражение для скалярного произведения векторов:
(Й5-5с)=21 + 1(-2)=0.
Ответ', векторы ортогональны, так как их скалярное произведение
равно нулю.
1.7.12.	Найти угол, который составляет винтовая линия х = R cosco/, у =
R sinco/, z = vt с ее осью (ось z). Здесь величина v численно равна линейной
скорости вращательного движения v = со-г.
Решение.
Запишем выражение для вектора касательной dr :
dr = dx-xQ +dy-yQ +dz-zQ - -5-co-sin(co-/)-x0 +5-co-cos(co-/)-yQ +v-z0.
22
Запишем выражения для косинуса угла 0, который составляет винтовая
линия с осью z для |z0|, для (dr • z0) и для dr , а затем вычислим cos0 и 0:
a \dr • )
cos 0 -	—22;
tZr -|z0|
|^o|_ 1’
= v;
:o)2 • (cos2 (co • i) + sin 2 (co • ?))+ v
(dr • z0) v
cos 0 =
c/r -|z0|
’2 + v2 = vV2 ;
0 = arccos —= =45°.
]_
vV2 VF
Omeenr. 0 =45°.
1 T 13 D	ж	* 1 d(r2 -и}
1.7.13. Вычислить лапласиан функции-----xесли функция U =
г dr
U(x, у, z) - гармоническая, а г2 = x2 + у2 + z2.
Решение.
Запишем выражения для комплексной амплитуды гармонической
л.	тт ТТ( \	ж	1	’и)
функции U = U(x, у, z) и для лапласиана функции ср =-*---z:
г dr
Запишем выражения для векторов г и А; и для скалярного произведе-
ния (к -rj:
г =x-x0+y-y0+z-z0;
к =kx-x0+ky-y0+kz-z0;
\к -r)=kv -х + к', • у + к_ -z.
\	/ ЗУ	у •г Z.
С учётом последнего выражения формула для лапласиана V2cp примет
вид:
V2cp = UQ • V2{2 + j(kx -х + ку- y + kz-z)]-ехр(/• kx • %)• exp(y • ky • y\expQ • kz • z)}.
2
Лапласиан функции V ср в декартовой системе координат равен:
V2<p =
<Э2ср Э2ср Э2ср
дх2 ду2 dz2
Вычислим каждое слагаемое лапласиана функции отдельно:
23
с ф т т д (. ,	(. г Д Л . г Д .г (. г -Д1
—	^ = UQ — [j-kx-e^\j-k-r)-\l + j-k-r)+j-kx-e^\j-k-r)]=
C&Q	ОХ/
д (	/ — V — \)
=	и0 — V • кх • ехр|/ • к • г ДЗ + j • к • г JJ=
ОХ
=	О{(7 А)2 • ехр(/• к • Г)• (3 + j -к • г)+ (у • кх)2 • ехр(у • к • г)}=
=	-Uo • кх • ехр(/ • к • г )• (4 + j • к • г j
В силу симметрии функции относительно декартовой системы коорди-
нат, имеем:
д ф тт ,2 i  г — \ (л • г -Л
= -t/0-к -ехр^ -А>гД4 + j-к-г);
Sy
= Ч70-kz -ехр(/-Ъг)-(4 + у-к-г).
OZ
Вычислим лапласиан, суммируя три последних выражения для его сла-
гаемых:
1.7.14. В декартовой системе координат скалярное поле ф имеет вид
ф = ехр(- /-к -г), где j-4-i; к =kxx0+kyy0+kzz0; г - радиус-вектор;
х0,у0,Э0 - орты. Найти выражения для grad ф и У2ф.
Решение.
Запишем выражения для векторов г и к , для скалярного произведения
(г • к} и для скалярного поля ф:
r=x-x0+yy0+z-z0;
k=kx-x0+ky-y0+kz-z0;
\к -r]—kv -х + кл, • у + к7 • z;
\	/ х	у •/ Z J
ф — ехр(- j • к • г )= exp [- j-{kx-x + ky-y + kz- z)].
Найдём выражение для grad ф:
,	_ Эф _ Эф _ Эф
grad<p = х0 — + у0 — + z0 — =
ох оу OZ
= -j • кх • ехр(- j • к • г)- х0 - j • ку • ехр(- j • к • г)- у0 - j • kz • ехр(- j • к • г)- z0 =
= -7-exp(-7-^-r)-(^-x0+^-y0+^z •20)=-у-^-ф.
24
Вычислим лапласиан:
Ответ', gradty = -j -к • ф; V ф - -к • ф.
1.7.15.	В сферической системе координат векторное поле А имеет
единственную r-ю составляющую, причем Аг = Дг). Какова должна быть
функция Дг) чтобы дивергенция поля А обращалась тождественно в нуль?
Построить картину силовых линий поля.
Решение.
Запишем выражение для r-ой составляющей дивергенции поля А в
сферической системе координат и приравняем её к нулю:
- dAr 2	1 d(r2 • А )	1 dlr2 • /(г))
dr г г2 dr г2 dr
Откуда следует, что:
_ q , r2-flr) = const = а и /(г) - -Д.
dr	г
Другой вариант решения. Из выражения:
- dAr 2
divA =-----h — Ar = О
dr г
получим равенство:
dAr
4
интегрирование которого даёт:
2 • dr
г
In Аг = -2 In г + In С
или
= 0.
Это означает, что:
/W=4 =-^-.
Г
и
Картина силовых линий поля Ar изображена на рисунке 1.1.
Omeenv. f(r)=Ar = — , где С - константа.
г
25
Рисунок 1.1 — Картина силовых линий поля
1.7.16.	Определить дивергенцию и ротор векторного поля А, характе-
ризуемого следующими составляющими в цилиндрической системе коорди-
нат: Ar =	= О, Az = 0.
г
Решение.
Запишем выражение для дивергенции и ротора векторного поля А в
цилиндрической системе координат при Аг = —	= 0 и Az = 0:
г
-3-10 10	20
---1-+ —г =--г
rotA = г0
Ответ'. divA - —-, rotA = 0.
г4
1.7.17.	В сферической системе координат векторное поле A = r-rQ.
Определить скалярное поле divA. Качественно построить картину силовых
линий векторного поля.
Решение.
Запишем выражение для дивергенции векторного поля А в сфериче-
ской системе координат при А = г • rQ:
divA = ^ + -Ar = — + — = 1 + 2 = 3.
dr г dr г
26
Качественная картина силовых линий векторного поля А - г • rQ изоб-
ражена на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2 — Качественная картина силовых линий векторного поля
Ответ'. divA = 3.
1.8 Задачи для самостоятельной работы
1.8.1 В декартовой системе координат векторное поле А имеет един-
ственную составляющую Az. Установить является ли поле соленоидальным
или потенциальным.
Данные для решения задачи приведены в таблице 1.1 и зависят от но-
мера варианта.
Таблица 1.1 - Данные для решения задачи
Номер варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Az	5х+4	х+у2	61пх	sin2x	cos2y	3tgx	ctgy	x'-y	x-y	xy
Номер варианта	И	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Az	х-у3	1п(х/у)	1п(ху)	х3+у	ln(x3>)	d'		1 cosx	tg2x	£
Номер варианта	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Az	х2-у	tg(y/x)	tg(4)	cos2y	ln(x/y)	tgx	x2-3	x2-l X	ln3x	X У
1.8.2 Даны два векторных поля:
А = 4Л + АуУо + о; Я = Зх0 + 4у0 - 6z0.
27
Рассчитать:
а)	Длину каждого вектора.
б)	Скалярное произведение.
в)	Определить угол между векторами.
г)	Найти направляющие косинусы каждого из векторов.
д)	Найти А + В и разность А - В.
е)	Найти векторное поле С - А • В . Показать, что вектор С ортогона-
лен векторам А и В.
Данные для решения задачи приведены в таблице 1.2 и зависят от номе-
ра варианта, представляющего трёхзначное число.
Таблица 1.2 - Данные для решения задачи
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
ах	+3	+4	-5	-6	+7	-2	+5	-7	+2	-1
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	+5	+6	+7	-8	-1	-3	+3	+4	+5	-6
Третья цифра номе- ра варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Az	+5	-4	-3	+2	+1	-6	-4	-2	+3	-7
1.8.3 Начало вектора в точке В(2; 3); конец его в точке А(АХ; Ау; Az).
Разложить этот вектор по единичным векторам координатных осей.
Данные для решения задачи приведены таблице 1.2 и зависят от номера вари-
анта, представляющего трёхзначное число.
1.8.4 В декартовой системе координат скалярное поле ср задано выра-
жением ф = Az. Данные для решения задачи приведены в таблице 1.1 и зависят
от номера варианта. Найти выражения для grad ф и У2ф.
1.8.5 В декартовой системе координат проекции векторного поля А по-
стоянны в каждой точке пространства. Значения Ах и Ау приведены таблице
1.2 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число. Зна-
чение Az = 0 для всех вариантов. Построить картину силовых линий поля.
1.8.6 Определить дивергенцию и ротор векторного поля А, имеющего
единственную составляющую в цилиндрической системе координат:
(2 • С
. Значения постоянных а, с и N приведены в таблице 1.3 и зависят от
г
номера варианта, представляющего трёхзначное число.
28
1.8.7 Определить дивергенцию и ротор векторного поля А, имеющего
,	-	л а‘с
единственную составляющую в сферической системе координат: Аг = ——.
г
Значения постоянных а, с и N приведены в таблице 1.3 и зависят от номера
варианта, представляющего трёхзначное число.
Таблица 1.3 — Значения постоянных а, с и Л'
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
а	+3	+4	-5	-6	+7	-2	+5	-7	+2	-1
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
С	+5	+6	+7	-8	-1	-3	+3	+4	+5	-6
Третья цифра но- мера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
N	3	4	5	2.5	3.5	4.5	5.5	3.3	4.8	6
1.8.8 Задан потенциал ср - х -у. Найти градиент потенциала в точке с
координатами, значения которых (х = а, у = с, z = N) приведены в таблице 1.3
и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.
1.8.9 В декартовой системе координат плоское векторное поле описыва-
ется уравнением: А = -by -х0 +сх-у0. Найти уравнение силовых линий век-
торного поля и построить картину этого поля. Значения постоянных b и с
приведены в таблице 1.4 и зависят от номера варианта, представляющего
двухзначное число.
Таблица 1.4 - Значения постоянных b и с
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
b	3	4	5	6	7	2	5	7	2	1
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
С	5	6	7	8	1	3	3	4	5	6
29
2 ТЕМА 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА
2.1	Основные формулы электромагнетизма
-	F
1.	Е-----напряженность электрического поля [В/м],
Я о
где F - сила, действующая на единичный положительный заряд qQ.
2.	Ел =q-E + #|у • в] - сила Лоренца,
где v - скорость переноса заряда q, В - вектор магнитной индукции.
3.	F -	- закон Кулона,
4л ел 2
где Гн - расстояние между зарядами q\ и q2, &а - абсолютная диэлектрическая
проницаемость;
еа £•£<),
где Во - диэлектрическая проницаемость вакуума, а 8 - относительная диэлек-
трическая проницаемость.
. -	q _
4.	jnp = pv = ^v - плотность тока проводимости при переносе зарядов
в вакууме или в электролитах (плотность тока переноса),
где р = -t. - объёмная плотность заряда, v - скорость переноса заряда.
5.	jnp=<s-E - закон Ома в дифференциальной форме,
где ст - удельная проводимость среды (См/м); о = —-удельное сопротив-
Р пр
ление среды (Ом м).
r dq	п
6.	1- diyj = 0 - закон сохранения заряда.
dt р
7.	<f EdS = —; divE - —— закон Гаусса в интегральной и дифференци-
S
альной форме, соответственно.
8.	§Hdl j -dS = I; rotH - j - закон полного тока в интегральной и
L	S
дифференциальной форме, соответственно, где Н- вектор напряженности
магнитного поля.
Поток | j • dS вектора j плотности полного тока через замкнутую по-
s'
верхность S равен полному току I через поверхность, а также равен циркуля-
30
ции ^Hdl вектора Н по замкнутому контуру L, ограничивающему эту по-
L
верхность. Плотность j полного тока - это сумма плотностей токов прово-
димости jnp, смещения и плотности поляризационного тока jn.
о т дЁ
9.	jCM - 80---плотность тока смещения.
dt
\(\ Иг Л1 {дБ	- дБ
10.	ЬЕ-dl =------aS ; rotE--------- закон электромагнитной индук-
'	{ dt	dt
ции в интегральной и дифференциальной форме, соответственно.
Здесь ^Ё-dl - циркуляция вектора Ё по замкнутому контуру L, огра-
L
ничивающему замкнутую поверхность 5; | В • dS - поток вектора магнитной
индукции В через эту поверхность.
И. D-zaE‘, В —	- материальные уравнения для электрическо-
го и магнитного поля, соответственно,
где Ца и - тензоры абсолютной магнитной и абсолютной диэлектрической
проницаемостей для анизотропных тел.
12.	Для изотропных тел с линейной зависимостью между D и Ё и
между В и Н:
№а ~ На — Н ’ Но»	Sa — Sa — S'S0’
где Цо и £0 - магнитная и диэлектрическая проницаемости вакуума, а ц и 8 -
относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости вещества.
- dP
13.	jn =----плотность поляризационного тока,
dt
где Р — N -р - вектор поляризованности, то есть электрический дипольный
момент единицы объёма, N - концентрация молекулярных диполей p-q-l ;
I - вектор, направленный вдоль оси диполя от отрицательного заряда -q мо-
лекулярного диполя к положительному заряду +q\ длина I вектора I - это
расстояние между зарядами в диполе.
14.	Е = — gradty3 - связь электростатического поля со скалярным элек-
трическим потенциалом фэ.
2 Р
15.	V фэ=-—----уравнение Пуассона.
%
16.	У2фэ = 0 - уравнение Лапласа.
17.	фэ(г) - —----распределение потенциала точечного заряда в ваку-
4л£()Г
уме.
31
Здесь г = г • г0, г - расстояние между текущей координатой в простран-
стве и точечным зарядом q, а г0 - единичный вектор, совпадающий по
направлению с вектором напряженности электростатического поля Е в теку-
щей координате.
18. и-\
= — £ • D - объемная плотность энергии электростатического по-
ля.
пФ
19.	L = —--индуктивность катушки,
где п - число витков, Ф = | В • dS - поток вектора магнитной индукции В че-
рез поверхность S внутри сердечника катушки, ориентированную перпенди-
кулярно вектору магнитной индукции В.
20.	А - ——  ------векторный потенциал А линейного тока.
4л J г
Здесь интегрирование ведётся по контуру тока /; dl - это вектор, рав-
ный по величине длине бесконечно малого отрезка dl проводника с током и
ориентированный вдоль направления протекания тока I по участку dl', г - рас-
стояние от средины отрезка dl до точки, в которой вычисляется векторный
потенциал А.
21.	Вектор магнитной индукции В связан с векторным потенциалом А :
- т г; I • Щ, tdl I • u, Adi x г
В = rot А или В - rot А - —— rot — — —— —г—J.
4л J г 4л J г
„ 1 1
22.	R = р — = — - электрическое сопротивление проводящей про-
р S gS
слойки толщиной I между взаимно параллельными плоскими пластинами с
площадью S; рпр - удельное электрическое сопротивление; о - удельная элек-
трическая проводимость.
с dr 1 г dr
23.	R}2 = р • — = — • ------ - сопротивление между обкладками сфе-
*5 a Ja 4л -г
рического конденсатора,
где а - радиус внутренней обкладки; Ъ - радиус наружной обкладки.
24.	q = C U - зависимость величины заряда q от величины напряжения
U на обкладках конденсатора и от электрической ёмкости С конденсатора.
CU2
25.	W3Jl -—----энергия, накопленная конденсатором при приложении
постоянного напряжения U.
32
2.2	Примеры решения типовых задач
2.2.1 Точечный заряд +q находится на расстоянии d от бесконечного
водника, занимающего, условно, левое полупространство. Определить поле в
правом полупространстве и плотность зарядов, индуцированных зарядом +q
на поверхности проводника.
Решение.
Предположим, что на продолжении перпендикуляра, опущенного из +q
на поверхность проводника, находится на расстоянии d от этой поверхности
заряд -q, затем мысленно устраним сам проводник. Тогда плоскость, совпа-
давшая ранее с поверхностью проводника, будет обладать требуемым потен-
циалом нуль, ибо все точки этой плоскости будут равно отстоять от равных
по величине и противоположных по знаку зарядов +q и -q. Стало быть, поле
совокупности этих зарядов в правом полупространстве тождественно с неко-
торым полем заряда +q и зарядов, индуцированных им на поверхности беско-
нечного проводника.
Таким образом, задача сведена к простой задаче определения поля двух
точечных зарядов +q и -q. В этом заключается суть метода конформных
отображений.
Введем цилиндрическую систему координат, ось z которой направлена
вправо и проходит через заряд +q, а плоскость z = 0 совпадает с поверхностью
проводника. Расстояние произвольной точки Р с координатами г и z от заря-
дов +q и -q будет равно соответственно:
Tj - ^]r2 +(z-d)2 , г2 = д/г2 + (z + d)2 ,
что следует из рассмотрения прямоугольных треугольников. Потенциал в
правом полупространстве будет:
I I
ф =------.
П Г2
С другой стороны Е = -grad ср или, в нашем случае, Ez =-. При z = О
&
имеем:
С другой стороны, поскольку поле внутри проводника равно нулю, то:
Ez = 4 ла,
где а - плотность поверхностного заряда. Откуда:
qd
а--------Т-
2Л7?,3
33
Очевидно, что на поверхности проводника индуцирован заряд -q. В
этом можно убедиться непосредственным интегрированием q = j <jdV = -q.
v
2.2.2 Заряд равномерно распределен на шаровой поверхности произ-
вольного радиуса R. Определить скачок вектора Е при прохождении через
заряженную поверхность шара.
Решение.
Вследствие симметрии поверхности шара вектор Е параллелен (или ан-
типараллелен) R и является функцией лишь от R{). Для определенности,
пусть заряд е распределен на шаровой поверхности с R = а. По теореме Гаус-
са <j> EdS = —, при R меньше а имеем:
5	80
£г-4л-7?2 = 0.
При R больше а:
E,.-4kR2 = 4nq.
Скачок вектора Е при прохождении через поверхность сферы равен:
Ее-Et = -^- = 4тш;
а
q = а-4тш2,
где а — поверхностная плотность заряда.
2.2.3 По бесконечно прямому полому круглому цилиндру протекает па-
раллельно оси цилиндра постоянный ток, равномерно распределенный по его
поверхности. Показать, что поле тока внутри цилиндра равно нулю.
Решение.
Направим ось z декартовой системы координат вдоль оси цилиндра. То-
гда, в сечении z = const будем иметь круг, внутри которого выберем произ-
вольную точку Р. Проведем через точку Р две меридианные плоскости, рас-
секающие поверхность цилиндра на ряд прямоугольных полосок, параллель-
ных оси z. Ширина двух противоположных полосок равна соответственно:
dS\ = ty-dty и dS2 = r2-dq,
где Г1 и г2 расстояние от точки пересечения меридианные плоскостей до обра-
зующей цилиндра, а <7ср - угол между ними. Сила тока, протекающего по этим
полоскам, будет, очевидно, пропорциональна их ширине:
dJ\ = к dSi = к r^dty и dJ2 = к r2-d<p.
Напряженность магнитного поля бесконечного прямоугольного тока на
расстоянии г от его оси дается соотношением:
34
где С - некоторая постоянная, зависящая от системы единиц измерения. Под-
ставим токи, рассматриваемые в нашей задаче:
dH, = 2	= 2к =	= dH2.
1 С-гх С-г\ С-г2 2
Мы получили, что поля, возбуждаемые каждой из этих полосок тока в
точке Р, равны друг другу, но противоположно направлены. Следовательно,
результирующее поле внутри цилиндра равно нулю.
2.2.4 Внутри сферической области радиусом а распределен электриче-
ский заряд с объемной плотностью р. Предполагая, что абсолютная диэлек-
трическая проницаемость внутренней и внешней области одинакова и равна
8О, определить напряженность электрического поля и потенциал ф в заданной
области.
Решение.
Для решения поставленной задачи воспользуемся уравнением Пуассона
У2ф = -4лр, справедливое для внутренней области R < а, и уравнением
Лапласа для внешней области, У2ф = 0 при R>a.
С помощью этих уравнений задача приводится к интегрированию по
объему V. Вследствие сферически симметричного распределения заряда (по-
тенциал ф зависит только от расстояния 7?) в сферической системе координат
с началом в центре шара получим:
R dR\
- 4л р, если R<a;
= <
О, если R>a.
Рассмотрим сначала однородное уравнение:
^•^ = 0,
dR у dR )
откуда
_	t/ф _ G
---— Ci ИЛИ  — —-
dR 1 dR R2
где Ci - неизвестная пока постоянная.
Разделяя переменные и проводя интегрирование, получим:
фе = -сД + С2 при R > а,
К
где С2 - также пока неизвестная постоянная.
Теперь рассмотрим второе уравнение:
2 <7ф^
J_.A R<
R2 dR\
или
35
— R2- — = -4лрУ?2,
dR[ dR)
/у?2 .^| = -4лрК2аК.
\ dR)
Интегрируя слева, и справа, получим:
R^ = -^p.R>+Cy
dR 3	3
ИЛИ
(Уф _ 4л
dR ~ 3
4л
(Уф = - — р • RdR + C3dR,
4л R2 „ п ~ п
фг = - — р • — + C3R + С4 при R<a.
Следующим этапом решения является определение произвольных по-
стоянных Сп:
1) При R —> оо имеем ф9(оо) = 0, значит С3 = 0.
2) Потенциал в центре заряженной сферы должен быть конечным, по-
этому С3 = 0.
Из этих условий получаем:
г 1
Ф'“
3’
4лр R2
Ф/ ”	з’2
откуда:
,	/ ч 4лр R2
При R = а должны выполняться условия:
Ci = -R-^R);
Ц>(а)д = ^i(a) и
< dR )R_
v	/ К=(
к °" 7 R=a к °" J R=a
Второе условие означает, что нормальная составляющая вектора поля
Е не должна испытывать скачка при прохождении через поверхность шара,
так как поверхностная плотность заряда на поверхности шара равна нулю:
4лр а2
' ^4’
3	2
4л р
------а,
3
откуда:
2
С4 = 2лр-<я .
Таким образом:
_1
а
а
з
л Я
G = -4лр- —;
4 ’
2
36
4л р а3
Фе = —----~wpnR>a-,
5 К
срг = —(л2 - За2) при R<a.
Для определения электростатического поля ER воспользуемся соотно-
шением:
Er = -(grad ф)А,
откуда:
е 4лр а3 5	q ъ
Е„ = —- • —г •	= -v • R при R > а,
R 3 R2 ° R3
4тср з	г S	-	d
где q =	• а - полный заряд в объеме; Ао - единичный вектор вдоль R,
i 4лр	5 R r R
Er=~ -R-R^q — -RQ=q— при 7? < а.
3	а	а
2.2.5 Бесконечно протяженная полая призма, образованная металличе-
скими стенками, ориентированна вдоль оси z. Три стенки, образующие желоб,
заземлены и находятся под нулевым потенциалом. Оставшаяся, верхняя,
стенка изолирована и имеет потенциал фэ. Найти функцию распределения,
описывающую распределение потенциала внутри призмы.
Решение.
Данная задача сводится к интегрированию уравнения Лапласа:
Аз . ^ф
дх2 ду2
внутри прямоугольной области с граничными условиями:
фэ|х = а фэ|л = 0	ф>|. = 0	0, фэ|_у = /> Uq.
Воспользуемся методом разделения переменных, и будем искать реше-
ние в виде произведения двух функций:
Фэ(*> У) = X(x)-Y(y).
Подстановка решения в уравнение Лапласа дает:
х у
или
- = -к2, — = к2,
х	У
где к - постоянная разделения.
Решения этих уравнений могут быть записаны в виде:
Х(х) = A icos кх + ^2sin кх,
Y(y) = ЛзсЬ ку + ^4sh ку.
37
Из граничных условий при х = у = 0 следует, что А\ = А3 = 0. Граничные
условия при х = а, требуют выполнения равенства:
sin ка = 0
или
7	w’71	1 о
к =-----, п = 1,2, ...
а
Тогда решение запишется в виде:
00
Фэ(^Т) = ХС«
п=1
П71
.	П71	7
sin----xysn-----у
причем систему коэффициентов Сп следует выбрать таким образом, чтобы
Умножаем обе части этого равенства на функцию sin
удовлетворить оставшемуся граничному условию:
/ X VI • (пп > (пл
фэ(х,т) у=ь=ЪСп™-----x\'sh----У =ио-
н=1	< а ) V а )
тл А
---х с произ-
а )
вольным целым т и проинтегрируем их по х в пределах от 0 до а. При этом
воспользуемся свойством ортогональности системы тригонометрических
функций:
а
г . ( тл ]. пл 1, о ’
sin I-------х sm----------х dx = \£
о \ а )	\ а
если т = п.
О,
если тФп.
а
Кроме того:
а /	\
г . f тп 1 ,
I sm--------х \ах = <
о v а )
2а
—, если т
тл
нечетное,
О, если т четное.
Поэтому коэффициенты разложения потенциала:
4Ц)
, ( тл ,
тляп — b
если т нечетное.
О, если т четное.
Окончательная формула для потенциала имеет вид:
(2к + 1)лу
а
ЛТТ 00
Фэ(*>.У) = —
*=0
. ((2& + 1)лх
sm 1------—
//П7 14	’ где А:- 1,2, ...
zzx, А (2к + Г)лЬ\
(2к + 1>/г -------—
\ a J
т
а
38
2.2.6 В момент времени t = 0 скорость электрона V = 104.x м/с, а его ра-
диус-вектор г = уом. Определить радиус-вектор при t = 0.1 с. Внешние силы
отсутствуют.
Решение.
1) Воспроизведём условия задачи, представленные в виде текста, на ри-
сунке 2.1 в декартовой системе координат.
Рисунок 2.1 — Иллюстрация к решению задач 2.2.6
2) В общем виде радиус-вектор г = хх0 + уу() + zz() м, а в нашем случае:
z = 0; у = у0 не меняется во времени; х = Vt = 104х/ = 104 • 0.1х0 = 1 ОООхо.
С учётом этого:
г = УУо +1000 х0.
Ответ: г = уу0 +1000 х0.
2.2.7 Чему равна полная электростатическая сила, действующая на еди-
ницу положительного заряда +q0, помещенного в центре квадрата со стороной
а, если по углам квадрата расположены (по часовой стрелке) заряды q, 2q,
-4q и 2q.
Решение.
1)	Воспроизведём условия задачи, представленные в виде текста, на ри-
сунке 2.2.
q.=q a. =2q
ч4 =2Ч Ч3 =-4ч
Рисунок 2.2 — Иллюстрация к решению задач 2.2.7
39
2)	Сила F, действующая на единицу положительного заряда +q0, как из-
вестно, называется напряжённостью электрического поля Е. Сила F равна
алгебраической сумме векторов сил (F{ + F2 + F и F4) взаимодействия заря-
дов, расположенных по углам квадрата, и единичного положительного заряда
+<]о-
3)	Длину F вектора силы Fj можно определить по закону Кулона:
4лей(5-,о)Е- 2 ’
где &а - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, г, 0 _ расстояние
между единичным положительным зарядом +д0 и зарядом qr
С учётом того, что согласно рисунку 2.2 силы F, и Е направлены по од-
ной прямой, но в противоположные стороны, а также того, что qz = qj и г2,о =
г3,о, по закону Кулона получим:
= _ Д ’
Л+Л=о.
В этом случае выражение для вычисления вектора результирующей си-
лы F упростится:
4)	Из рисунка 2.2 видно, что силы Fj и F3 направлены вдоль одной и
той же прямой и в одну и ту же сторону. С учётом этого, выражение для вы-
числения длины F вектора результирующей силы F примет вид:
F = F\ + F3.
Из рисунка 2.2 также видно, что абсолютные величины /у0 расстояния
между единичным положительным зарядом +q$ и зарядами qj одинаковы и рав-
ны половине длины диагонали квадрата:
а41	/ ъ а2
В результате по закону Кулона получим значение силы в Ньютонах [77]:
F-F{+F3- Ч'Чч ^Ч'Чо 54^ [д].
. а . а 2игпа
4 л г,— 4 л г,—	а
(л	(л
5)	Длина вектора силы F, действующей на единицу положительного за-
ряда +д0, то есть величина Е вектора напряжённости электрического поля Е
равна в Вольтах на метр (В/м):
Е- — - 5q
qQ 2nsaa
40
Ответ'. Е- — - —[В/м].
qQ 2лЕаа
2.2.8 Заряженная частица движется в направлении х в пространстве,
где имеется электрическое поле Еу и перпендикулярное к нему магнитное по-
ле с индукцией Bz со скоростью vx. При каком условии результирующая сила
F, действующая на эту частицу равняется нулю. Показать векторы v,E,B на
рисунке. Какова должна быть величина vx, если Еу=3-103В/м, а Д = 3 • 102 Тл.
Решение.
1	) Запишем формулу для определения вектора силы Лоренца Ёл, дей-
ствующей на частицу с зарядом q, движущуюся со скоростью v при наличии
электрического поля Е и магнитного поля с индукцией В:
J'n=^E + q[vB\-
Покажем векторы v,E,B на рисунке 2.3.
Рисунок 2.3 - Иллюстрация к решению задач 2.2.8
2	) Запишем условие, при котором результирующая сила F, действую-
щая на частицу, равняется нулю:
Ёл = qE + <у[у2?] = 0 или [у#] = —Ё.
В матричной форме это условие для нашей задачи принимает вид:
о 1 1	1 1 tN > Qcq О	Ps > eq о > cq	—	О .—-	11 tt? ° ocq о о t* t> °	= ~Еу‘Уо
3) Раскрываем определитель и получаем:
-vx'Bz-yQ=-Ey-yQ.
Откуда получаем в простом виде условие, при котором результирую-
щая сила F, действующая на частицу, равняется нулю:
ЕУ 3103	1л5 /
VY = — =------7 = 10 МI С.
Bz 3-10“2
41
Ответ', условие, при котором результирующая сила F, действующая на
частицу, равняется нулю - vx = 105 м/с.
2	.2.9 Пусть плоское силовое поле имеет потенциал ф = соху (а - посто-
янная). Найти само поле и его силовые линии.
Решение.
Подставим заданное выражение для потенциала ф в формулу для опреде-
ления напряжённости электрического поля Е и произведём операцию диффе-
ренцирования:
w [ сф _ Эф, Эф _
£ = -Уф = - — х0+ —у0+ —z0
( ох оу OZ
= -а(ух0+ху0).
В полученном выражении имеются две проекции вектора напряжённости
электрического поля Е:
Е = -а • у и Е = а • х.
Подставим их в уравнение силовых линий Е для двухмерного поля:
dx dy
Тогда получим:
dx dy ,	,
----=-----или x-dx = y-dy.
уа ха
Проинтегрировав правую и левую части последнего выражения, нахо-
дим:
— = — + А или х2 = у2 + С,
2	2
где А и С = 2А - постоянные интегрирования.
Ответ', поле Е описывается выражением Е = —а(уХц + ху0), а его сило-
вые линии - гиперболы, описываемые выражением х2 = у2 + С.
2	.2.10 Бесконечно тонкий кольцевой проводник радиусом а несет полный
заряд q. Определить скалярный потенциал фэ и напряжённость электрическо-
го поля в точках на оси кольца. Исследовать характер зависимости напряжённо-
сти электрического поля от расстояния на оси кольца.
Решение.
Введем цилиндрическую систему координат, ось которой перпендику-
лярна плоскости кольца и проходит через центр окружности, образованной
кольцом. Квадрат расстояния между точкой i на оси z и любой точкой кольца
будет равен:
42
а элементарный заряд dq, расположенный вблизи этой точки на элементарном
отрезке в угловом секторе dtp равен:
, q -d(f)
dq=——.
2л
На рисунке 2.4 показано кольцо в разрезе и силы dF,, действующие на
единичный положительный заряд +qQ, находящийся в произвольной точке на
оси кольца, при взаимодействии с элементарными зарядами dq, расположенны-
ми в диаметрально противоположных точках кольца.
Рисунок 2.4 - Иллюстрация к решению задачи 2.2.10 для случая, когда электро-
статический заряд q на кольцевом проводнике является положительным (в
этом случае направления и численные значения силы F и напряжённости
электрического поля Е совпадают)
Величина силы dF, определяется по закону Кулона:
_ dq q()	.
4л8б/;2	8л28д(я2+z2)
Составляющие силы dF„ перпендикулярные оси z, при взаимодействии
с элементарными зарядами dq, расположенными в диаметрально противополож-
ных точках кольца, взаимно уничтожаются, так как они равны по величине и
противоположны по направлению, а составляющие dFz, параллельные оси z,
складываются. Из рисунка 2.4 видно, что:
dF. = dF,- . Z	= qz-dm —5———-.
'8n4(«2+z2)-12
Интегрируя последнее выражение в пределах от 0 до 2л, определяем
величину силы Fz, действующей на единичный положительный заряд +qQ,
находящийся в произвольной точке на оси кольца:
43
F — QZ •-----—---------
-- 9 4^+z2)32'
Отсюда находим величину Ez вектора напряжённости электрического
поля Е в Вольтах на метр [В/м]:
Е. = Ё =^ =---------<?'Z	.
<?о 4лео(я +z )
Потенциал в любой точке на оси кольце определяется следующим обра-
зом:
rn _ _f f _______Я f z ________________Я f d(a2 +z2) _ q____________1
Э •*	4леа J (tz2+z2)3/2	4л8д J (a2 + z2)3/2 4яеа (tz2+z2)1/2
Исследуем функцию Ez на экстремум, приравняв производную от неё к
нулю:
cZEz _ g[(a2 +z2)3/2 -3z2(a2 +^2)1/2]_q
dz	4леа(Д2+z2)3
Числитель этой производной также равен нулю, а значит:
(а + z2)1/2-[( а + z2) - 3z2] = 0.
Так как (я2 + z2) Ф 0, то (tz2 - 2z2) = 0.
Отсюда получим координаты точек экстремума:
z = ±а41.
Из рисунка 2.4 видно, что при z = 0 сила dFz = 0, а, следовательно, и
напряжённость электрического поля Е = 0. Для изображённого на рисунке
случая, когда электростатический заряд q на кольцевом проводнике является
положительным, направления и численные значения силы F и напряжённо-
сти электрического поля Е совпадают, вектор напряжённости электрическо-
го Е направлен параллельно оси z. При z < 0 вектор напряжённости электри-
ческого поля Е направлен антипараллельно оси z, то есть Е = Ez • z0 < 0. Таким
образом, из анализа рисунка 2.4 следует, что для случая, когда электростатиче-
ский заряд q на кольцевом проводнике является положительным, максимум
будет при z > 0 (z = йл/2), а минимум — при z < 0 (z = -йл/2). К такому же вы-
d2E
воду можно было бы прийти, исследовав вторую производную —в точках
dz
п	</2-Е= л	а'2£= п
экстремума. В точке максимума -----< 0, а в точке минимума -------> 0 •
dz2	dz2
График зависимости напряжённости электрического поля Е от расстояния Z
от центра кольца для случая, когда электростатический заряд q на кольцевом
проводнике является положительным, изображён на рисунке 2.5.
44
Рисунок 2.5 — Иллюстрация к решению задачи 2.2.10: график зависимости
напряжённости электрического поля Е от расстояния Z от центра кольца
для случая, когда электростатический заряд q на кольцевом проводнике явля-
ется положительным
Ответ', скалярный потенциал срэ - —--------—\	; напряжённость
4леа (a2+z2)1/2
77
электрического поля в точках на оси кольца Е„ =-------х——.
4tis6>2+z2)32
2.2.11 Постоянный ток I существует в бесконечно тонком линейном
проводнике, неограниченно простирающемся вдоль оси z. Найти электриче-
ский векторный потенциал А, удовлетворяющий соотношению В = rotA и
напряженность магнитного поля во всем пространстве.
Указание: Решение проводить удобно в цилиндрической системе коор-
динат, ось z которой совпадает с направлением тока.
Решение.
Первый вариант.
Запишем закон полного тока (первое уравнение Максвелла в интеграль-
ной форме):
В силу угловой симметрии силовых линий напряжённости магнитного
поля Н и их замкнутости, эти линии представляют собой окружности, распо-
ложенные в плоскостях, перпендикулярных оси z. По этой причине:
Нг = Н- = 0,	7/ф = const Ф 0,
а первое уравнения Максвелла приводится к выражению:
I _ и . I z77 — и . "Um —	1__
о
Откуда:
45

= (гоМ)ф +	-М. .
2nr	ф dz dr
Второй вариант.
Электрический векторный потенциал А линейного тока определяется
известным выражением:
4л J г
Вектор магнитной индукции В связан с векторным потенциалом А :
-	- /-цд	сdl	I • \х. Adi xr
4л J г 4л J r
Величина В вектора магнитной индукции В связана с величиной А век-
торного потенциала А выражением (см. рисунок 2.6):
Рисунок 2.6 - Геометрические построения в задаче 2.2.11
С учётом того, что:
R
г -------
sin ср
и
„ г • d<p R-dty
dl =---21 = —у2-,
sin ф sin ф
выражение для В примет окончательный вид:
В = fsm Ф'7? ^Ф = LEl(_cosф)71 = _LBl(_ 1 _ 1) = LEl.
4л •* sin2 ф • R3 4nR	0	4л7?	2 л/?
Здесь R - радиальная точка наблюдения.
Из окончательного вида выражения для величины В вектора магнитной
индукции В легко находим выражение для определения величины Н напря-
женности магнитного поля:
46
//= — = — .
p0 2nR
Ответ', величина напряжённости магнитного поля Н = ——. Выражения
2tiR
- - I-y.a edl dA	dA
для векторного потенциала А : А =--- — и В - — ----------.
4л J г ф dz dr
2.2.12 Индуктивная катушка представляет собой одиночный виток, раз-
мещенный на кольцевом сердечнике из ферромагнитного материала (ц » 1) с
размерами: внутренний диаметр равен 2а, внешний 2Ь, высота h (рисунок
2.7). Найти индуктивность катушки.
Рисунок 2.7 - Иллюстрация к решению задачи 2.2.12
Решение.
Согласно закону полного тока:
§H-dl =1.
Для длинного линейного провода в силу угловой симметрии силовых
линий напряжённости магнитного поля Я и их замкнутости, эти линии пред-
ставляют собой окружности. По этой причине:
Hr = Н- = 0,	77ф = const Ф 0 = Н,
а закон полного тока приводится к выражению:
H-2n-R = I и Я = —.
2nR
Поскольку ц » 1, то потоком рассеяния можно пренебречь, силовые
линии магнитного поля Н в кольцевом магнитопроводе близки по форме к
окружности, и можно считать, что последнее приведённое выражение для Н
применимо и к нашей задаче. Запишем выражения для величины В вектора маг-
нитной индукции В и для магнитного потока Ф (потока вектора магнитной индук-
ции) сквозь конечную поверхность S:
В Но ' Н' Н Но ' И' Д п ’
2tiR
47
. f3 лс I-h\dR	I-h , Ш
ф= |В-б75 = ц0-ц-—- I — = ц0-ц--—h - .
т,	2 л J R	2 л < а)
S	а	v у
Так как по условию виток один (и = 1), то индуктивность катушки L и
магнитный поток Ф витка связаны соотношением:
£ _ п&
""Г ”7' ‘ ,j *’ 2л
= Цо-Н — -h - •
2к \а J
Ответ: величина индуктивности L = ц0 • ц • L = ц0 • ц-In — .
2л \а)
2л
2.2.13 Пространство между двумя металлическими сферами с радиуса-
ми и = а и г2 = b заполнено однородным проводящим веществом с удельной
электрической проводимостью о (сферический конденсатор). Определить
электрическое сопротивление между обкладками такого конденсатора.
Решение.
Из закона Ома: когда площадь сечения тока S не зависит от длины пути
тока I:
^12 “ Р’ о “
О
а, когда площадь сечения тока S зависит от длины пути тока I, но при фиксирован-
ном значении I плотность тока постоянна на поверхности S, то:
п bcdl 1 bcdl
T?12 = р • — = — • —.
3 S q J S
а	а
В частности, сопротивление между обкладками сферического конденсато-
ра:
n \dr 1 г dr 1	1 b \la-\lb b-a
Rn = p I — = — I-----у =------=------------=---------.
J S a J 4лг	4л о г а 4ла 4лсу-<я7)
а	а
Ответ: сопротивление между обкладками конденсатора А|2 =———.
4л<5-й/>
2.2.14 Имеются два бесконечно длинных коаксиальных цилиндра с ра-
диусами 6/ = 2 см и Z) = 5 см, выполненные из металла (рисунок 2.8). Пространство
между цилиндрами заполнено воздухом. Потенциал внутреннего цилиндра со-
ставляет 5 В, потенциал наружного цилиндра равен нулю. Определить напря-
женность электрического поля на окружности г = 4 см.
Решение.
Напряженность электрического поля Е связана с потенциалом <р зависи-
мостью:
48
Рисунок 2.8 - Иллюстрация к решению задачи 2.2.14
В силу симметрии цилиндров величина Е вектора напряженности элек-
трического поля Е равна проекции Ег в цилиндрической системе координат, а
другие проекции равны нулю:
F
'	5г'
Интегрируя эту формулу, получаем выражение для напряжения U (раз-
ности потенциалов):
U - -JErdr + Cj.
Чтобы получить формулу для Е в явном виде, запишем закон Гаусса в ин-
тегральной форме:
§EdS = —.
S	£а
В силу симметрии цилиндров Ег не зависит от dS, поэтому:
{ EdS = ErS = 2nrlEr =	,
S
5.-^—- — .
2л£аг/ г
где С2 - постоянная:
2 2 л га1
Подставим полученное выражение для Ег в формулу для U:
U = -\Erdr + Cl = -\—dr + Cl = -C2-^r) + Cl.
j	j r
Используя начальные условия для U, найдём значение постоянной С|.
1) При г = 0.05 м и £7=0 В:
0 = -С24п(0.05) + Ci и Ci = С24п(0.05).
2) При г = 0.02 м и U = 5 В:
49
5 = -C24n(0.02) + Ci и 5 = -C24n(0.02) + С2 ln(0.05).
5 = С2 lnf—Kc2 ln(2.5); C2 = 5 =5.457;
^0.02)	ln(2.5)
Ci = C24n(0.05) = 5.4574n(0.05) = -16.347 B.
Запишем формулу для расчёта напряжения U и определим напря-
женность электрического поля Ег на окружности радиуса г = 0.04 м:
С 5 457
U= -5.4574п(г) -16.347 В; Е =	= 136.425 В/м.
г г 0.04
Ответ', напряженность электрического поля на окружности радиуса г =
0.04 м;Е/ = 136.425 В/м.
2	.2.15 Заряд q равномерно распределен по кольцу радиусом а. В центре
кольца находится электрон, обладающий зарядом е и массой т. Электрон
имеет возможность совершать малые колебания, перемещаясь вдоль оси
кольца. Доказать, что движение электрона будет периодическим. Определить
собственную частоту колебания электрона, считая, что его движение не сказыва-
ется на распределение зарядов по кольцу.
Решение.
В	задаче 2.2.10 была получена формула для расчёта величины Ех вектора
напряжённости электрического поля Ех в Вольтах на метр (В/м):
F = F q'X
Х 47Г8>2+Х2)3/2'
Применим её. Поскольку а » х, то можно пренебречь х по сравнению
с а1'.
Е <ГХ
х " 4леУ '
Выразим величину силы F, действующей на электрон, через величину
напряжённости электрического поля Ех:
F = -еЕ = е q Х , = -кх,
4леХ
где к = е----г.
4 л гаа
С другой стороны, величина силы F по второму закону Ньютона равна:
„	d2x
г — та — т—х-.
dt2
Приравняв правые части в найденных выражениях для величины силы
F, получим:
50
d2x	.	d2 x ,
m —г- - —kx	или	m —r- + kx - 0.
dt	dt
Введя обозначение:
eq
------— = co
47C8a(7
то есть:
z	X0.5
eq
получим дифференциальное уравнение:
d2x
dt2
+ огх = О,
описывающее гармонические колебания, решение которого имеет вид:
х = x-cos(co/ + ср).
Ответ', движение электрона будет периодическим и собственная частота
колебания электрона со равна:

2.2.16 По бесконечному цилиндрическому проводнику радиусом а про-
текает постоянный ток с плотностью j. Определить напряженность магнитного
поля внутри и вне проводника.
Решение.
Запишем закон полного тока (первое уравнение Максвелла в интеграль-
ной форме):
§H-dl = 1.
В силу угловой симметрии силовых линий напряжённости магнитного
поля Н и их замкнутости, эти линии представляют собой окружности, распо-
ложенные в плоскостях, перпендикулярных оси z. По этой причине:
Нг = Н- = 0, Др = const Ф 0,
а первое уравнения Максвелла приводится к выражению:
Др-2лг = I.
Выразив ток 1 как произведение плотности тока j на площадь попереч-
ного сечения проводника S, по которой течёт ток, получим:
51
С помощью полученного для напряжённости магнитного поля вы-
ражения найдём зависимость от кратчайшего расстояния г между точкой
наблюдения и осью симметрии цилиндрического проводника для двух случа-
ев.
1) Для напряжённости магнитного поля Н9 внутри проводника (г < а и S
2\
= лг ):
и f \ J'S j'™2 J'r
ф	2лг 2лг	2
2) Для напряжённости магнитного поля Н(? снаружи проводника (г > а и
S = ла2):
н {г) = Г1 = Г2± = Г±.
ф 2лг 2лг 2г
Л	/	тт j'r	тт J'а2
Ответ', при г < а имеем Яф = —^~, а при г > а имеем	.
2.2.17 По двум бесконечным прямолинейным проводникам, ориентиро-
ванным вдоль оси z, протекают равные противоположно направленные токи I.
Определить векторный потенциал магнитного поля А во всём пространстве.
Решение.
Вектор магнитной индукции В связан с векторным потенциалом маг-
нитного поля А с помощью выражения:
В = rotA.
В задаче 2.2.11 мы вывели формулу для определения величины В вектора
магнитной индукции В для одиночного проводника, ориентированного вдоль
ocnz:
Так как векторы В и rotA равны между собой, то равны и их проекции:
В == rotA =	.
ф 2лг	dz dr
Так проводники, ориентированные вдоль оси z, бесконечны, то произ-
дА
водная по координате z равна нулю —- = 0 и
dz
dAz
2лг dr
Откуда для двух бесконечных прямолинейных проводников, ориентиро-
ванных вдоль оси z, в которых протекают равные противоположно направ-
ленные токи I, получаем:
52
4=-И =
/•ц/^r = /-цд]пг2
2л J г 2л г,
г2	1
Здесь г\ и г2 — кратчайшие расстояния от точки наблюдения до соответ-
ствующего проводника.
Ответ', векторный потенциал магнитного поля А во всём пространстве
описывается формулой: Az - -I Л| = —— In —.
2л i\
2.2.18 На каждой из трех бесконечно больших плоскостей х = -а, х = О
и х = а находится поверхностный заряд q, распределённый с равномерной
плотностью (рисунок 2.9). Определить электрическое поле и потенциал для
всего пространства, принимая <р = 0 в точке х = 0.
Рисунок 2.9 - Иллюстрация к задаче 2.2.18
Решение.
Чтобы получить формулу для величины Е вектора напряженности элек-
трического поля Е в явном виде, запишем закон Гаусса в интегральной фор-
ме:
§EdS = — .
S
В этой задаче вектор напряженности электрического поля Е и вектор dS
направлены вдоль оси х. Для этого случая закон Гаусса примет вид:
E-S = — ,
откуда:
Е = —^—
%-s
53
На каждой стороне плоскости в создании напряженности электрического
поля Ё участвуют половина зарядов q = , так как суммарный заряд на обеих
сторонах плоскости равен q. Взаимная ориентация векторов напряженности
электрического поля Ё на разных полуплоскостях показана на рисунке 2.9.
1)	В области пространства, где координата х > а (рисунок 2.9), величина
Е вектора напряженности электрического поля Ё определится как величина ал-
гебраической суммы векторов:
Е = Е\+ Ez + Е3 = ЗЕ\.
При этом:
Е= 2(1 = ®
2гс,-3 2га‘
Здесь о - — - поверхностная плотность заряда.
S
Определим выражение для потенциала в этой области:
2eo-S 2ео
а
г „ а • ст
2ед
о
/\ Г / \ З-Q/ \ а-а а -а За-х
ф1(х) = -1£с// + ф(я) = —- (а-х)-—- ------—.
а	1 2^а	2^а	2^а
При определении выражения для потенциала мы учли, что вектора
напряженности электрического поля Ё и dl направлены вдоль оси х и поэто-
му вместо их скалярного произведения используем обычное произведение ве-
личин этих векторов: Е-1.
2)	В области пространства, где координата 0 <х < а (рисунок 2.9), вели-
чина Е вектора напряженности электрического поля Ё определится как вели-
чина алгебраической суммы векторов:
\+Е2-Е3= —4— = — -
1	2	3 28я-5' 2еа
(J-X
О	8 а
3)	В области пространства, где координата -а <х < 0 (рисунок 2.9), вели-
чина Е вектора напряженности электрического поля Ё определится как вели-
чина алгебраической суммы векторов:
1 ^2	~	~ о У ~ о ’
2вд • S 2га
54
о
Фз (х) = -1 Edl -
—х
G-X
4)	В области пространства, где координата х < -а (рисунок 2.9), величи-
на Е вектора напряженности электрического поля Е определится как величина
алгебраической суммы векторов:
Е = -Е,-Е2-Е. = -ЗЕ. =------;
—а	3 О'
Ф4(х) = - [ Edl + ф(- а) =---(- а + х)
J	2^п
-х	а
в-а
Ответ'. 1) электрическое поле и потенциал при х		
	Е = ——1— 2&a-s	~ 2&а ’
	/ \ в-а Ф1(х) =	Зст-х 28д ’
2) при 0 < х < а:	28й-5	”2е/
	Ф2(х) = -	G-X га
3) при -а <х < 0:	Е =		_	(5
	2ta-S	28/
	<Рз(х) = -	J-X
4) при х < -а\	Е =	~'Ч	
	2%‘s	2&а ’
	ф4(х) =	г Зст-х
2.2.19 Путём интегрирования уравнения Лапласа в сферических коор-
динатах, вычислить потенциал электростатического поля внутри и вне прово-
55
дящей сферы радиуса а, по поверхности которой равномерно распределён за-
ряд q.
Решение.
Чтобы получить формулу для величины Е вектора напряженности элек-
трического поля Е в явном виде, запишем закон Гаусса в интегральной фор-
ме:
EdS = —.
В этой задаче вектор напряженности электрического поля Е и вектор dS
в силу симметрии направлены вдоль оси г, причём поле Е не меняется по dS ,
так как заряд q равномерно распределён по поверхности сферы.
Для этого случая закон Гаусса примет вид:
§EdS = Er-4лг2 = и Er = q°xe ,
S	4Л8аГ
где <?охв - величина заряда, охваченная сферой радиуса г.
1) вычислим потенциал электростатического поля <рНар(О вне проводя-
щей сферы, когда г > а и g0XB = q:
^Hap^-^E^dr
2) вычислим потенциал электростатического поля (рвнугр внутри прово-
дящей сферы, когда r< a, qow = О, Ег = 0 и (р = const:
фвнутр О"
Ответ', потенциал электростатического поля равен:
приг>а: Ф„ф(г) = —
4 л гаг
при г < а'. фвнугр = 0.
2.2.20 Покажите, что квадрат разности потенциалов (ф2 - Ф1)2 прямо
пропорционален величине F силы, то есть порядок величины электростатиче-
ских сил, действующих между телами, можно оценить по разности потенциа-
лов. Найдите величину коэффициента пропорциональности к и его размер-
ность [к] в системе СИ.
Решение.
1)	Выразим размерность величины разности потенциалов [(ф2 - Ф1)] че-
рез размерность величины силы [F]:
[(ф2 "Ф1)] = [Я^]= — •
56
2)	Выразим размерность величины квадрата разности потенциалов [(<р2 -
<Р1)2] через размерность величины силы [F]:
(Ф2-Ф1)2]= — =[И-
L q J
3)	Из последнего выражения определим величину коэффициента про-
порциональности к и его размерность [к] в системе СИ:
4л£д
Абсолютная диэлектрическая проницаемость га в системе СИ имеет
размерность фарад на метр [Ф/м], поэтому, согласно последней формуле,
размерность [к]= [м/Ф].
Ответ', размерность [к]= [м/Ф], а величина £ находится из формулы:

2.	3 Задачи для самостоятельной работы
2.3.1 Чему равна полная электростатическая сила, действующая на еди-
ницу положительного заряда +qQ, помещенного в центре квадрата со стороной
а, если по углам квадрата расположены (по часовой стрелке) заряды q\, q2, qз
и ^4, причём: qx = q3, a q2 = nq4 (рисунок 2.10). Вариант задания для этой за-
дачи назначается преподавателем, и состоит из трёх цифр. Ниже приведена
таблица 2.1 с исходными данными согласно варианту задания.
Рисунок 2.10 - Иллюстрация к задаче 2.3.1
57
Таблица 2.1 - Исходные данные к задаче 2.3.1
Первая циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
41	^4	2q	4q	6g	5g	-2g	-4g	-7q	-5 g	-6g
Вторая циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
42	2q	З4	5q	74	4g	-3g	-7q	-4g	+5g	-2g
Третья циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
п	5	-4	3	-2	5	-5	-2	3	-4	5
2.3.2 Заряженная частица движется в направлении х в пространстве,
где имеется электрическое поле Еу и перпендикулярное к нему магнитное по-
ле с индукцией Bz со скоростью ух. При каком условии результирующая сила
F, действующая на эту частицу, равняется нулю. Какова должна быть величина
ух, если Еу и Bz известны. Данные для решения задачи приведены в таблице 2.2
и зависят от номера варианта.
Таблица 2.2 - Исходные данные к задаче 2.3.2
Первая циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Еу, кВ/м	1	1.5	2.2	3.4	5	1.6	4.7	2.8	3.6	3
Вторая циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Bz, мТл	10	12	15	17	20	22	24	25	28	29
2.3.3 Индуктивная катушка представляет собой одиночный виток, раз-
мещенный на кольцевом сердечнике из ферромагнитного материала (ц » 1) с
размерами: внутренний диаметр равен 2а, внешний 2Ъ, высота h. Найти ин-
дуктивность катушки (рисунок 2.11). Ниже приведена таблица 2.3 с исход-
ными данными согласно варианту задания.
58
Таблица 2.3 - Размеры сердечника и параметры магнитного материала
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Ц 100	20	32	53	34	15	26	17	28	35	40
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
(а = /?), мм	2.5	3.6	4	4.5	6	5.2	3.8	3.5	5	5.4
Третья цифра но- мера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Отношение Ь/а	3.6	3.3	3	2.8	2.6	2.4	2.2	2	2.5	3.45
Рисунок 2.11 — Иллюстрация к задаче 2.3.3
2.3.4 Имеются два бесконечно длинных коаксиальных цилиндра с ради-
усами а и Ъ, выполненные из металла. Пространство между цилиндрами за-
полнено воздухом. Потенциал внутреннего цилиндра составляет U, потенци-
ал наружного цилиндра равен нулю. Определить напряженность электриче-
ского поля на окружности радиуса R (рисунок 2.12). Ниже приведена таблица
2.4 с исходными данными согласно варианту задания.
Рисунок 2.12 - Иллюстрация к задаче 2.3.4
59
Таблица 2.4 - Исходные данные к задаче 2.3.4
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Ь, см	5.5	4.6	5.4	6.5	6	5.2	7.8	8.5	9.5	9.8
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
R, см	4.5	3.6	4	5.5	4.6	4.2	5.8	6.5	8	8.4
Третья цифра но- мера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
а. см	1.8	2	2.2	2.5	2.8	3	3.5	4	4.5	5
с/, в	8	12	22	25	28	32	35	24	15	18
2.3.5 Плоский конденсатор имеет размеры I и d и подключён к источни-
ку питания с напряжением U. В зазор конденсатора введена пластина с отно-
сительной диэлектрической проницаемостью 8. Пренебрегая краевыми эф-
фектами определить силу F, стремящуюся втянуть пластину внутрь конден-
сатора (рисунок 2.13). Вариант задания для этой задачи назначается препода-
вателем и состоит из трёх цифр. Ниже приведена таблица 2.5 с исходными
данными согласно варианту задания.
Примечание', система стремится к состоянию устойчивого равновесия,
при котором электрическая энергия, запасённая в конденсаторе, достигает
наибольшего значения, а свободная энергия системы «диэлектрик - обкладки
конденсатора» наименьшего значения. Для достижения такого состояния ди-
электрик втягивается между обкладками конденсатора до тех пор, пока элек-
трическая ёмкость конденсатора не достигнет максимального значения. Счи-
тать, что сила F не распределена по объёму, а полностью приложена к центру
тяжести диэлектрика.
Рисунок 2.13 — Иллюстрация к задаче 2.3.5
60
Таблица 2.5 - Исходные данные к задаче 2.3.5
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
7, мм	10	20	15	25	18	28	1.3	22	16	14
с7, мм	1.8	2.4	2	3	2.3	3.3	1.9	2.9	1.9	1.9
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
и, В	15	18	25	30	35	40	29	25	15	37
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
8	5	6	7	8	9	10	3	2	4	7
2.3.6 Коаксиальный конденсатор состоит из двух длинных коаксиаль-
ных цилиндров с диаметрами 2а и 2Ь, выполненных из металла. Длина кон-
денсатора I. Пространство между цилиндрами заполнено диэлектриком с от-
носительной диэлектрической проницаемостью 8. Вывести выражение для
определения электрической ёмкости коаксиального конденсатора и вычис-
лить численное значение этой ёмкости. Толщиной стенки наружного цилин-
дра и краевыми эффектами пренебречь. Вариант задания для этой задачи
назначается преподавателем, и состоит из трёх цифр. Ниже приведена табли-
ца 2.6 с исходными данными согласно варианту задания.
Таблица 2.6 - Исходные данные к задаче 2.3.6
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
а. мм	1	2	1.5	2.5	1.8	2.8	1.3	2.2	1.6	1.7
Ь, мм	1.8	2.4	2	3	2.3	3.3	1.9	2.9	1.9	2.1
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
8	5	6	7	8	9	10	3	2	4	7
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
7, мм	15	18	25	30	35	40	29	25	15	28
2.3.7 Коаксиальный конденсатор состоит из двух длинных коаксиаль-
ных цилиндров с диаметрами а и Ь, выполненных из металла. Длина конден-
сатора 7. В пространство между цилиндрами частично введена трубка из ди-
61
электрика с относительной диэлектрической проницаемостью 8 (рисунок
2.14). Используя выражение для определения электрической ёмкости коакси-
ального конденсатора, выведенное при решении задачи 2.3.6 и пренебрегая
краевыми эффектами, определить силу F, стремящуюся втянуть трубку
внутрь конденсатора. Толщиной наружной стенки пренебречь. При решении
использовать сведения, приведённые в примечании к задаче 2.3.5. Вариант
задания для этой задачи назначается преподавателем, и состоит из трёх цифр.
Исходные данные согласно варианту задания, соответствующие первой и
второй цифрам номера варианта задания взять из таблиц к задаче 2.3.6, а дан-
ные, соответствующие третьей цифре задания приведены ниже в таблице
2.3.7.
Рисунок 2.14 — Иллюстрация к задаче 2.3.7
Таблица 2.7 - Исходные данные к задаче 2.3.7
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Z, мм	15	18	25	30	35	40	29	40	27	25
и, В	15	18	25	30	35	40	29	35	40	29
2.3.8 Два одноимённых точечных заряда q и nq расположены на рассто-
янии I друг от друга. Найти на прямой, соединяющей эти заряды точку с ну-
левой напряжённостью и точку, в которой напряжённости создаваемые каж-
дым зарядом равны и одинаково направлены. Данные для решения задачи
приведены в таблице 2.8 и зависят от номера варианта.
Таблица 2.8 - Исходные данные к задаче 2.3.8
Первая цифра но- мера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
7, мм	15	18	25	30	35	40	29	25	15	22
Вторая цифра но- мера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
п	2.7	2.5	2.4	3.2	2.8	2.6	2.9	3.2	3.4	3.6
62
2.3.9 В пространство между обкладками заряженного конденсатора за-
ливается масло (е = и-8о). После заливки объём масла оказался в х раз меньше
объёма между обкладками конденсатора. Рассчитать, как изменится энергия
конденсатора после заливки, если конденсатор во время заполнения: а) оста-
ётся присоединённым к источнику энергии; б) отсоединён от него. Данные
для решения задачи приведены в таблице 2.9 и зависят от номера варианта.
Таблица 2.9 - Исходные данные к задаче 2.3.9
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
X	2	3	4	5	6	4	3	6	5	2
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
п	2.7	2.5	2.4	3.2	2.8	2.6	2.9	3.2	3.4	3.6
2.3.10 В данной точке под углом ср накладываются два электрических
поля, напряжённости которых п кВ/м и т кВ/м. Найти объёмную плотность
энергии при 8 =/?-80. Вариант задания для этой задачи назначается преподава-
телем и состоит из трёх цифр. Ниже приведена таблица 2.10 с исходными
данными согласно варианту задания.
Таблица 2.10 - Исходные данные к задаче 2.3.10
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
п	5.5	4.6	5.4	6.5	6	5.2	7.8	8.5	9.5	9.8
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
т	4.5	3.6	4	5.5	4.6	4.2	5.8	6.5	8	8.4
Третья цифра но- мера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Р	1.8	2	2.2	2.5	2.8	3	3.5	4	4.5	5
Ф, рад	0.5	0.6	0.4	1.3	0.3	1.2	0.8	0.7	0.9	0.8
2.3.11 Шарик из проводящего материала радиуса г = 3 см помещён в
начало декартовых координат. Шарик находится в воздухе и имеет заряд Q =
54О-10 Кл (рисунок 2.15). Потенциал поверхности шарика принят равным 50
В. Найти потенциал и напряжённость электрического поля в точках с коорди-
натами А(г, 0, 0), В(п-г, 0; 0), С(0; m-r; p-r), D(n-r; т-г; р-r). Координаты точек
заданы в сантиметрах. Вариант задания для этой задачи назначается препода-
63
вателем, и состоит из трёх цифр. Исходные данные согласно варианту зада-
ния приведены в таблице 2.10.
Рисунок 2.15 - Иллюстрация к задаче 2.3.11
2.3.12 По прямому цилиндрическому стальному проводу радиусом а
протекает постоянный ток с силой I. Магнитная проницаемость материала
провода ц. Определить напряженность магнитного поля и магнитную индук-
цию внутри и вне проводника. Вариант задания для этой задачи назначается
преподавателем, и состоит из трёх цифр. Ниже приведена таблица 2.11 с ис-
ходными данными согласно варианту задания.
Таблица 2.11 - Исходные данные к задаче 2.3.12
Первая циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
4 А	0.5	0.6	0.4	1.5	1.6	1.2	0.8	0.7	2.5	1.8
Вторая циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
н	155	206	254	135	146	1422	168	245	180	240
Третья циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
а. мм	1.8	2	2.	2.5	2.8	3	3.5	4	4.5	5
64
3 ТЕМА 3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
3.1 Основные формулы
Для вакуума напряженность электрического поля Е и напряженность
магнитного поля Н удовлетворяют системе уравнений Максвелла:
дЁ ~
rotH = zQ — + j
ot
- дН
rotE = -ц0	,
Ot
divE - —,
So
divH = 0,
которые в материальных средах должны быть дополнены материальными
уравнениями:
D = e„£; В = \1аН.
Выражения для проекций вектора электрической индукции D для ани-
зотропной среды в декартовой системе координат имеют вид:
Е>х ^a\vEx + ^а12’^у +
Е>у ^alvEx + ^all'Ey ^23*^z?
Dz — £a3i'Ex + ^a32'Ey + Sa33'Ez.
В эти выражения подставляют заданные значения компонентов тензора
относительной диэлектрической проницаемости 8.
В расчетах обычно используют относительные проницаемости:
8 = — ; ц = —,
8о	Но
10“9	_7
где 80 ------ Ф/м; Цо = 4л-10 Гн/м.
36-л
В материальных средах необходимо учитывать микроскопическую
структуру вещества, что приводит к возникновению тока проводимости с
объемной плотностью jnp - <зЁ, удовлетворяющей уравнению непрерывно-
сти:
ot
Здесь а - удельная объемная проводимость вещества, р - плотность
объемных зарядов.
65
Сумма плотностей тока смещения jCM = га---, тока проводимости j
dt
и стороннего тока jCT э образует плотность полного тока jnojIH.
Для материальной среды уравнения Максвелла имеют более сложный
вид, чем для вакуума из-за учёта явлений поляризации и намагничивания.
Если электромагнитное поле переменно во времени, то в материальной
г .	-Т дР
среде возникает ток поляризации с объемной плотностью jn = —.
dt
Здесь Р - вектор поляризованности, то есть электрический дипольный
момент единицы объёма:
Р = кэЁ,
где к'} = еа - 80 = бо(е_ 1) _ диэлектрическая восприимчивость, называемая
также поляризуемостью.
Вектор поляризованности Р можно определить также через концентра-
цию Nмолекулярных диполей p = q-l :
P = N-p,
где q — заряд, I - вектор, направленный вдоль оси диполя от отрицательного
заряда -q молекулярного диполя к положительному заряду +q, длина I векто-
ра Z - это расстояние между зарядами в диполе.
Электрический дипольный момент Pv области V можно выразить через
вектор поляризованности Р:
Pv=P-V.
В материальной среде вектор электрического смещения D и векторное
поле электрической поляризованности Р связаны соотношением
D = &0Е + Р, а первое уравнение Максвелла в переменном электромагнитном
поле приобретает вид:
Гт dD ~ ~
гош =-----1-0Е + JCT3.
dt
В этой же среде вектор намагниченности М, являющийся магнитным
моментом единицы объема вещества, и вектор магнитной индукции В связа-
ны соотношением В = \10(Н + М). Тогда векторное уравнение Максвелла в
материальной среде запишется в виде rotE ----.
dt
Третье и четвертое уравнение Максвелла имеют вид:
divD = р,	divB = 0.
Четвертое уравнение Максвелла свидетельствует о том, что в природе
не существует магнитных зарядов. Иногда полезно ввести фиктивный сто-
66
ронний магнитный ток jCT м, который придает симметричный вид уравнени-
ям Максвелла.
В интегральной форме уравнения Максвелла имеют вид:
г- -	г(д£)	~
~ +®Е + jcT.3
dt
dS,
L
L
~ + J ст.м
dt
dS,
S
V
L
где dl - вектор, равный по величине dl, и совпадающий с направлением об-
хода контура в окрестности участка dl', dS - вектор, равный по величине
площади dS, направленный от внутренней поверхности S к наружной перпен-
дикулярно площади S в окрестности dS.
Для гармонических электромагнитных полей уравнения Максвелла за-
писывают относительно комплексных амплитуд соответствующих полей:
rotk = -j(T>\iaH-jCTM,
divD - р,
divB — 0,
где еа = e'z - уе", ца = р4 - уц" есть величины комплексные.
Если потери энергии в среде связаны только с наличием токов прово-
димости, то:
=Ц«.
€0
В технике вещества принято характеризовать с помощью тангенсов уг-
лов диэлектрических и магнитных потерь:
8"	и"
На
Объемная плотность энергии в любой точке пространства есть
со = (Ё • D + Н • 5), удовлетворяющая закону сохранения энергии (теорема
Пойнтинга):
dt 2
\э + Jct.m ' Н •
Вектор Пойнтинга П = |е • /7] характеризует плотность потока мощно-
сти излучения.
67
• *
. Действительная часть этого
Для полей, изменяющихся по гармоническому закону, удобно ввести
комплексный вектор Пойнтинга П = ^Ё • Н
вектора равна среднему потоку мощности излучения за период.
ПКОл = ^Re^xH -exp(у2®/)^ - колеблющаяся часть Пкол вектора
Пойнтинга.
Электромагнитное поле должно удовлетворять лемме Лоренца:
div	• Н\ _ — div Ё2 • Нх — Ё2 • jcr.\3 ~ Ё\ • jcr.io •
Выражение для определения максимального удельного значения энер-
гии И'тахуд, запасаемой в сердечнике, при намагничивании его синусоидаль-
О ТЕГ
_ ^max^max _ 29 max
ним током - №тгкУД ------------ -----.
2	2ц-ц0
1 112
3.2 Примеры решения типовых задач
3.2.1 Показать, что уравнение непрерывности тока может быть получе-
но из первого и третьего уравнения Максвелла:
- дЁ
rotH = s{— + j
ot
divE - —
8о
Решение.
Применим операцию div к первому уравнению:
divrotH = 8П — divE + divL„.
0 dt	пр
Из векторного анализа известно, что divrotH = 0. Подставляя divE из
второго уравнения, получим:
5р -
—+	=0.
Ot
Ответ: уравнение непрерывности тока + divjnp - 0 может быть по-
лучено из первого и третьего уравнении Максвелла rotH - 80------h j	и
dt р
divE - —
so
3.2.2 Показать, что волновое уравнение электромагнитного поля следу-
ет из уравнений Максвелла.
Решение.
68
Выпишем первые два уравнения Максвелла, справедливых для вакуума
в отсутствие сторонних источников:
- сЁ
rotH = so 1Г ’
dt
rotE = -n„—.
dt
Применим операцию rot ко второму уравнению:
-* d / - \
rotrotE = —ц() —\rotH I.
dt
Из векторного анализа известно, что:
rotrotE - graddnH - У2Ё.
Поскольку по условию задачи заряды отсутствуют, то из третьего урав-
нения Максвелла dvHd = 0 и:
rotrotE = —V2E = -ц() — \rotH)
dt
Подставим rotH из первого уравнения:
„2 г 5 /	\ d\
-V Е = -ц0 — ^Я^-ц080 —
dt	dt
Окончательно получим:
2
V2E-ц080—^-= 0.
dt
Теперь применим операцию rot к первому уравнению
_	_	_	_	д2 Н
rotrotH = graddivH - V2H = 80 —rotE = -80ц0	2 = 0,
откуда V2 Я - ц080 —= ° •
dt
Ошвеиг. волновое уравнение электромагнитного поля
^2 тт
У2Я - ц080 —y = 0 может быть получено из первого и второго уравнений
dt
л,	Гт дЁ - dH
Максвелла rotH - 80 — и rotE - -ц0---.
dt	dt
3.2.3 Материальная среда характеризуется абсолютными проницаемо-
стями ea(x,y,z), ца = Цо- Получить дифференциальное уравнение второго по-
рядка, которому должно удовлетворять векторное поле Я в данной неодно-
родной среде, если электромагнитный процесс гармонически изменяется во
времени с частотой со.
Решение.
69
Выпишем два первых уравнения Максвелла относительно комплексных
амплитуд:
rotH - ](£>гаЁ', rotk--j(si\iQH
и применим операцию rot к первому уравнению:
rotrotH - graddivH -N2H - }ого^аЁ^.
Магнитная проницаемость среды неизменна в пространстве по условию
задачи, поэтому divH = 0. Кроме того:
го^ъаЁ^= gradza • Ё + га • го/Ё.
Из первого уравнения:
Ё - —• rotH -------• rotH,
тогда:
rot\za • Е1=
—^gradza - rotH + 7С08дц0Я.
С08д	J
Окончательно получим:
У2Я + усо8ац0Я +
• rotH = 0.
grad^q
К
Ответ', полученное из уравнений Максвелла дифференциальное
уравнение второго порядка, которому должно удовлетворять векторное поле
Я в данной неоднородной среде, если электромагнитный процесс гармони-
чески изменяется во времени с частотой со, имеет вид
grad£a
К
У2Я + /С08аЦ0Я +
• rotH = 0.
3.2.4 В вакууме существует электромагнитное поле, гармонически из-
меняющееся во времени. В некоторой точке пространства вектор
Е = 130cos2k • IO10 -t-rx. Определить плотность тока смещения в заданной
точке.
Решение.
По определению ток смещения:
1см = 8о -7- = -0.556-sin 2ТГ-1О10-tdx.
dt
Из решения видно, что в пространстве ток смещения и напряженность
электрического поля параллельны, однако ток опережает по фазе напряжен-
ность поля на 90°.
Ответ', плотность тока смещения jCM в заданной точке равна
jCM = -0.556 • sin 2л • 1010 • t • ix
70
3.2.5 В некоторой точке пространства заданы комплексные амплитуды
векторов поля: Ё' = 35е/6° -х0; Н = у4-103 • yQ. Найти мгновенные значения
векторов поля, а также среднее значение вектора Пойнтинга.
Решение.
Мгновенные значения связаны с комплексными амплитудами форму-
лами:
откуда:
Дг,/) = Refer)-e>z),
#(r,/) = Refe(r)-e7“z),
E(r,/) = 35cos(co/ + 60°)-x0 В/м,
Н(г, t) = -4 • 10-3 • sin со/ • y0 А/м.
Для полей, гармонически изменяющихся во времени:
1 h
П =—ВеЕН = 6.062-10
ср 2 L J
1 2 • z0 Вт/м2.
Ответ', мгновенные значения векторов равны для напряжённости элек-
трического поля E(r,/) = 35cos(co/ + 60°)-x0 В/м, для напряжённости магнит-
ного поля H(r,t)= -4-10“3 • sin со/ • у0 А/м, а среднее значение вектора Пойн-
тинга Пср равно 77ф =6.062-10-2 -zQ Вт/м2.
3.2.6 Покажите, что векторное поле Н, изменяющееся во времени и в
пространстве по закону Н = 6xcosco/ • х0 + 2е~2у sin со/ • х0 не может быть по-
лем магнитного вектора, который удовлетворяет уравнениям Максвелла.
Решение.
Запишем четвёртое уравнение Максвелла в дифференциальной форме:
divB = 0.
Учитывая, что В = цй • //получим:
,. й dH
divHt. =--= 0.
dx
-	.. - dH r
Для нашего же случая divHx  ------- 6 cos со/ Ф 0, то есть заданное век-
dx
торное поле Н не может быть полем магнитного вектора, так как не удовле-
творяет четвёртому уравнению Максвелла в дифференциальной форме.
Ответ', заданное векторное поле Н не может быть полем магнитного
вектора, так как не удовлетворяет четвёртому уравнению Максвелла в диф-
ференциальной форме.
3.2.7 Покажите, что из четвертого уравнения Максвелла divB = Q в не-
однородной среде, магнитная проницаемость которой есть функция про-
71
странственных координат, вытекает следующее уравнение относительно век-
тора напряженности магнитного поля: divH - (н • gradga )
Решение.
Запишем четвёртое уравнение Максвелла в дифференциальной форме:
divB = 0;
в^-н-
div(ga -Н^= 0.
Используем векторное тождество:
div(yia • н)= Hgrad\x.a + \iadivH.
Подставим в это тождество div{ga Н^=0 и получим искомое выраже-
ние:
divH — -ца-1 (н • grad\ia ).
Ответ', из четвертого уравнения Максвелла divB = 0 и тождества
div(y\.a • Н^ - Hgrad\xa + gadivH следует, что divH = -Цй”' (н • grad\xa).
3.2.8 Известно, что некоторый электромагнитный процесс характеризу-
ется тем, что все декартовы составляющие полей зависят лишь от координаты
z. Используя уравнения Максвелла, покажите, что при этом продольные про-
екции Ez и Н векторов электромагнитного поля будут отсутствовать.
Решение.
Запишем первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме в
декартовой системе координат:
	*о То *о							
	д д д		Г дН ВН		(дН дНЛ		1 дН SH )	dD
rotH =		=		Z	У	+ Уо			Z	”1” ^0		У_	JC	
	дх ду dz	и	ду dz у	У и	у dz	дх }	и	у дх ду ?	dt
	Нх Ну Hz							
Так как все декартовы составляющие полей зависят лишь от координа-
ты z, то:
и
Лая/
I 5г )
^нуу
(5Я А
rotH -xQ
'дНуУ
< dz >
dD
dt
Лая/
= 0
Из последнего выражения видно, что продольные проекции rotHz — 0 и
Dz = 0. В этом случае Ez = —- = 0, то есть отсутствует продольная проекция
&az
Ez.
72
Запишем второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме в
декартовой системе координат:
rotE -
x0
d
dx
E,
Уо
d
dy
_а
dz
Ez
= *o
dz
+ Уо д " д +Z°
\ oz ох )
^±_dE
dx dy
dB
dt
Так как все декартовы составляющие полей зависят лишь от координа-
ты z, то:
z
= 0
и
_ _ Г ад,
rotE - xQ
dz
+ j?0
dB
dt
V dz
Из последнего выражения видно, что продольные проекции rotEz — 0 и
В
Bz = 0. В этом случае Hz = —— = 0, то есть отсутствует продольная проекция
Ответ', продольные проекции Ez и Hz векторов электромагнитного поля
отсутствуют, то есть Ez = 0 и Hz = 0.
3.2.9 Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического
поля Ё = 28е/0'|6х0-105е-/|'2_у0 + 36e/2'3z0 (углы даны в радианах). Частота
колебаний f= 2МГц. Найдите мгновенное значение вектора Е в момент вре-
мени 0.1 мкс.
Решение.
Запишем выражение для круговой частоты:
со = 2л/= 2тг-2-106 = 4л • 106 рад/с.
Запишем выражение зависимости вектора Е от времени:
E(t) = Re(# • ej&t )= 28 cos(4tc • 106Z + 0.1б)х0 -105 cos(4tc • 106Z -1.2^0 +
+ 36cos(4tt • 106Z + 2.3^0.
Из последнего выражения найдём мгновенное значение вектора Е в
момент времени t = 0.1 мкс = 10”7 с:
E^t = 10“7)= 4.3х0 -104.83Д -32.9Д.
Ответ', мгновенное значение вектора Е в момент времени 0.1 мкс равно
= Ю"7)= 4.3Д -104.83 р0 -32.9Д.
\	/	U	\J	U
3.2.10 Покажите, что электромагнитное поле с компонентами
Ех = Еу = 0, Ву = В- = 0, Ez = cos(y - ct\ Вх = cos(y - cf) при определённом значе-
73
нии постоянной с удовлетворяет уравнениям Максвелла и определите это
значение постоянной с.
Решение.
Запишем второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме в
декартовой системе координат при Ех = Еу = 0:
	х0 а	Л д	д	(дЕ^	- (дЕ Л	__di[
rotE =				= х0	Уо	
	дх	ду	dz	1 dy J	У дх )	dt
	0	0	Ez			
Так как Ez = cos(y - ct) не зависит от х, то
= 0 и второе уравнение
Максвелла примет вид:
Вычислим левую часть полученного уравнения Максвелла:
6cos(y-c/V _ . / ч
хо =---------------------т----= ~х0 sm(j - ct),
I оу ) dy
а затем правую часть этого уравнения:
dB _ dcos(y — ct) _	. /	\
------ -xft---------- - -хп • с • sinl у - ct).
dt ° dt	0 v 7
Заданное по условию задачи поле удовлетворяет второму уравнению
Максвелла, если равны правые части двух последних выражений, то есть при
значении постоянной с равном единице (с = 1).
Запишем четвёртое уравнение Максвелла в дифференциальной форме
divB = 0 в декартовой системе координат при Ву = Bz = 0 и Вх = cos(y - ct)\
,. ъ дВ	д cos(у-ct) .
divB = —- =----—------= 0,
дх	дх
то есть заданное по условию задачи поле удовлетворяет четвёртому уравнению
Максвелла.
Ответ', заданное по условию задачи поле удовлетворяет уравнениям
Максвелла при значении постоянной с равном единице (с = 1).
3.2.11 В некоторой точке пространства вектор напряженности электри-
ческого поля £' = 20у0 В/м, в то время как вектор Пойнтинга 77 = 1Охо +30z0
Вт/м2. Определить вектор напряженности магнитного поля Н.
Решение.
Запишем выражение для вектора Пойнтинга П для случая, когда век-
тор напряженности электрического поля Е = 20у0:
74
х0
О
Уо
20
А)
0
= 20Я_хп - 20Я?п Вт/м2.
Z Xj	JC V7
С другой стороны, по условию задачи:
Я = 10х0 + 30z0 Вт/м2.
Приравняем между собой правые части двух последних выражений для
вектора Пойнтинга П:
Я — 10хо + 30z(1 — 20Я_хп - 20Я£.
Z \J	Jx, \J
и проекции на оси координат этого вектора:
10ло = 20Я7ха и 30zo = 20Я2().
V/	Z и	и
Из двух последних выражений получим искомые значения проекций
вектора напряженности магнитного поля:
Я = — = 0.5 А/м и Я- —--1.5А/М
20	-20
и формулу для вектора напряженности магнитного поля:
Я — -1.5х0 + 0.5z(l А/м.
Ответ', выражение для вектора напряженности магнитного поля имеет
вид Я = -1.5х0 +O.5zo А/м.
3.2.12 В фиксированной точке пространства известны мгновенные зна-
чения векторов поля Е- Ео со8(со/ + ф1), Я — Но соз(со/ + ф2), где Ео и Но -
постоянные векторы. Найти среднее значение Пср и колеблющуюся часть
Пкол вектора Пойнтинга.
Решение.
Запишем выражения для среднего значения Пср и колеблющейся части
Пкол вектора Пойнтинга П в общем виде:
Пср = |кеЕЯ*
• *
и
КОЛ —
Для условий, приведённых в задаче, в этих выражениях:
£ = £оехр(у(р1),
Я = Яо ехр(у’ф2),
Я* = Я0ехр(-уф2).
Запишем выражения для среднего значения ПСР и колеблющейся части
Пкол вектора Пойнтинга Я для условий, приведённых в задаче:
75
^ер = |Re[^o ехр(7Ф1)хЯ0ехр(-7ф2)] = |Re{E0 хЯ^-е^ф^ф! -ф2)]}=
Яо ] • со8(ф! - ф2) = z01 [Яо • Яо ] • cos((pj - <р2 )
и
= Ёо х Яо • cos(2co/L + ф! + ф2) =
кол ~ |Refe exp(j<p,)x /Л, ехрС/'фг)]’ехр(у'2<а/)} =
г0|[£0-т/0] • cos(2co/L + ф1 +ф2).
Ответ', среднее значение вектора Пойнтинга:
пСР = Д | ко • яо ] • со8(ф1 - ф2 );
колеблющаяся часть вектора Пойнтинга:
Пкол =	| ко • яо 1 • cos(2co/ + ф; + ф2).
3.2.13 В диэлектрике с относительной проницаемостью 8 = 2.4 создано
постоянное электрическое поле напряженностью Е = 200 кВ/м. Определить
электрический дипольный момент Pv области диэлектрика объемом V = 6
з
см .
Решение.
При решении задачи исходим из того, что электрический дипольный
момент области Д выражается через вектор поляризованности Р, а вектор
поляризованности связан с диэлектрической восприимчивостью кэ и с напря-
женностью электрического поля.
1)	Вначале определим диэлектрическую восприимчивость кэ, называе-
мую также поляризуемостью:
кэ =	- 8о = 80<8 - 1) = 8о(2.4 - 1) = 1.4-80.
Здесь 80= 8.842-10-12 Ф/м.
2)	Затем определим вектор поляризованности Р, то есть электрический
дипольный момент единицы объёма:
р = кэ • Ё = 1.4 • 8.842 • 10"12 • 200 • 103 = 2.475 • 10“6 В-Ф/м 2.
3)	В заключение находим электрический дипольный момент области
Д:
pv = Р-К = 2.475-10”6-6-10”6 = 1.485 10-11 Кл-м.
Ответ', электрический дипольный момент Д области диэлектрика
объемом V= 6 см3 равен 1.485-10-11 Кл-м.
76
• *
3.	2.14 Комплексные амплитуды векторов электромагнитного поля в не-
которой точке пространства задаются выражениями 77 = 4.2-10-3 -e”71’2z0,
Ё = 0.85-е7°’6х0 -1.3 -e~JQ'7y0. Определить комплексный вектор Пойнтинга 77
и его среднее значение.
Решение.
Запишем выражения для комплексного П и для среднего значения ffCP
вектора Пойнтинга П в общем виде:
2l
Пср = —Re|ExH ]=Re77.
Для условий, приведённых в задаче (77 = 4.2-10-3 -e-71'2z0 и
Ё = 0.85-в7°'6х0 -1.3-e_7°'7y0), выражения для комплексно сопряжённого зна-
чения комплексной амплитуды Н* вектора напряженности магнитного поля и
для комплексного вектора Пойнтинга 77 примут вид:
7Ё =4.2-103 exp(/1.2)-.z0;
Ё)	Уо
77 = —0.85ехр(у0.б) -1.3ехр(- /0.7)
0	0
1
0
4.2-10-3 ехр(;1.2)
“3 ехр[у(0.6 + 1.2)]]}=
= -х02.73 • 10“3 exp(j0.5)-у01.785 • 10“3 ехр(/1 .8).
Для условий, приведённых в задаче, найдём выражения для среднего
значения вектора Пойнтинга:
ПСР = Rq fl = -х0 2.73 • 10“3 cos(0.5) - у01.785 • 10“3 cos(l .8) =
= -х02.73• 10“3 • 0.8776-у01.785 • 10"3(-0.227) =
= -2.396 • 10“3 • х0 + 0.406 • 10“3 • у0.
Ответ, fl = -2.73 • 10“3 е/0'5х0 -1.785 • 10“3 е”7'18 • у0,
fl = -2.396 • 10“3 • х0 + 0.406 • 10“3 • у0.
2
1 ' '
= - 1х0 -
2 1 01
{х0 [-1.3- 4.2 • 10“3 ехр[у(1.2 - 0,7)]]- у0 [о.95 -4.2-10
3.	2.15 Некоторый анизотропный диэлектрик имеет тензор относитель-
ной диэлектрической проницаемости, который в декартовой системе коорди-
нат имеет компоненты 8ц = s22 = 8зз = 6.5,	= 0, z j. В диэлектрике создано
равномерное электрическое поле Ё = 2.51х0+1.7у0+9.2z0. Определить век-
77
тор электрической индукции D и угол в пространстве между векторами Е и
D.
Решение.
Запишем выражения для проекций вектора электрической индукции D
в общем виде в декартовой системе координат:
Dx &а11"Ех "Ь 8а12'-£у + ^al3‘Ez,
Dy &al\'Ex + ^aTl'Ey + ^al3'Ez^
Dz Za3\‘Ex + 8a32'7Ty + 8а33-^,.
Подставим в записанные выражения заданные значения компонентов
тензора относительной диэлектрической проницаемости 8:
8 = 811 = 822 = 833 = 6.5;
8у = 0; z *j.
В результате получим:
Dx = 8-80-£х = 6.5-80-£х;
Dy = ъ-ZQ-Ey = 6.5-80-£^;
Dz = 8-80-Д = 6.5-80-£2.
Для заданного электрического поля Е = 2.5 lx0 +1.7у0 +9.2z0 имеем:
Ех = 2.51 В/м; Еу =1.7 В/м; Ez = 9.2 В/м.
Поэтому:
Dx = 6.5-2.518о = 16.32s0;
Dy = 6.5-1.78о= П.О58О;
Dz = 6.5-9.280 = 59.8s0.
Такой же результат, но более коротким путём можно получить, исполь-
зуя матричное исчисление:
Ё) =	Dx Dy	- 8о ’	8п 0	0 8 22	0 0		Ех ЕУ	— 80 '	6.5 0	0 6.5	0 0		2.51 1.7	_ 8о ’	16.32 11.05
	Dz		0	0	8зз		Ez		0	0	6.5		9.2		59.8
Определим выражение для косинуса угла в пространстве (cos ф) между
векторами Е и D, используя формулу для скалярного произведения:
(е Е>)= \Ё\ |5| cos<p = Е, Dx + Е„ • Dy + Е.  D:.
Из этой формулы получим:
Для получения численного значения cos ф вычислим вначале модули
|е| и 2)| векторов Ё и D, а затем скалярное произведение (е • этих век-
торов:
Ё = Je2 + E2 + E: = V2.512 +1.72 +9.22 = 9.687 В/м;
у Л/	у	£	'
78
\Ь\ = ^D2+D2y+D2z = л/16.322 +11.052 +59.82 • £0 = 62.963s0 Кл/м2;
(ЁЬ)=Е -Dy +E -D +E -Dг = e0-(2.51-16.32 +1.7-11.05 + 9.2-59.8) =
= 6O9.896+o
м
[ё-d] (Ex-Dx + E,,-D +E:-D.)	6O9.896-eo
coscp =	=----------,2 । /---------=------------y— = 0.99996,
|£|-|£>|	|e|-|d|	9.687-62.963-e0
ф = arcos(0.9996) = 0.5949 °.
Ответ. ср = 0.5949 °;
£) = £0(16.32x0 +11.05jpo + 59.8z0) Кл/м2
или в матричной форме D -	Dx Dy	= so’	16.32 11.05	Кл/м2
	Dz		59.8	
p(x,y,z,/) = p0 - exp
3.2.16 В однородной проводящей среде с параметрами £ и су в момент
времени t = 0 создано начальное распределение плотности зарядов р(х, у, z).
Показать, что за счет токов проводимости в среде происходит экспоненци-
альное уменьшение плотности объемного заряда:
а/
££0_‘
Оценить т - характерное время релаксации этого процесса для типич-
ного металла, у которого сц = 107 См/м, а также для полупроводника, имею-
щего СУ2 = Ю-3 См/м.
Указание. Для решения используйте уравнение непрерывности тока.
Решение.
Запишем уравнение непрерывности тока:
5р -
~dt=~d'vjv'
Выразим вектор плотности тока проводимости jпр через вектор элек-
трической индукции D:
-т Z °D
Jnp=vE =-------
£-£0
и подставим полученное выражение для вектора плотности тока проводимо-
сти jnp в уравнение непрерывности тока:
— — -divjnp ---• divb.
dt	£•£0
Запишем третье уравнение Максвелла в дифференциальной форме:
79
divD = p
и, подставив выражение для divD в полученное уравнение непрерывности
тока, получим однородное дифференциальное уравнение:
sp + ^p=0.
dt £ • £0
Из математики известно, что решение такого уравнения имеет вид:
где т - постоянная времени, определяемая по формуле:

Для с?! = 107 См/м имеем:
г-8.85-1012
т, --------=----= 8.85-10 • £
107
а для а2 = Ю 3 См/м:
£-8.85-10“12	1П_9
т9 --------------- 8.85 -10 • £
10“3
£-£0
для од = 107 См/м: г, =8.85-10~19 •£ с,
для <т2 = 10-3 См/м: т2 =8.85-10“9 •£ с.
Ответ, р = р0 • ехр
I t
= р0-ехр —
< т
с,
с.
3.2.17 Сердечник трансформатора выполнен из стали с плотностью 7.7
г/см3 и имеет массу 2 кг. Амплитудное значение магнитной индукции 2.1 Тл,
относительная магнитная проницаемость стали ц = 200. Найти максимальное
значение энергии, запасаемой в сердечнике, при намагничивании его синусо-
идальным током.
Решение.
Запишем выражение для определения максимального удельного значе-
ния энергии И^тах.уд, запасаемой в сердечнике, при намагничивании его сину-
соидальным током:
О . Д/
ы/ _ ^шах *11 шах _ ^шах
"тах-ОД
Поскольку энергия JVmax, запасаемая в сердечнике, распределена по
объёму сердечника Vпрактически равномерно, то:
2	2ц-ц0‘
80
тэ2	q2
29max . рл _ 29max
2jl • Цд
W =W -V -
max max .УД ~
2Ц-Ho
m
P
2-2
--------------= 2 279
• 200-4-3.14-10-7 • 7.7-103
Дж.
Ответ', максимальное удельное значение энергии, запасаемой в сер-
дечнике, при намагничивании его синусоидальным током, FFmax.yfl равно 2.279
Дж.
81
3.3 Задачи для самостоятельной работы
3.3.1 Сердечник трансформатора выполнен из стали с плотностью р =
7.7-103 кг/м3 и имеет массу т. Амплитудное значение магнитной индукции Вт,
относительная магнитная проницаемость стали ц. Найти максимальное зна-
чение энергии, запасаемой в сердечнике, при намагничивании его синусои-
дальным током. Значения ц, т и Вт приведены в таблице 3.1 и зависят от но-
мера варианта, представляющего трёхзначное число.
Таблица 3.1 - Исходные данные к задаче 3.3.1
Первая цифра но- мера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Ц	150	200	300	400	500	600	700	800	900	950
Вторая цифра но- мера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
т. кг	2.2	1.8	1.6	1.5	1.4	1.2	0.7	0.6	0.8	1.3
Третья цифра но- мера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
£от,Тл	2	1.8	1.6	1.5	1.4	1.2	0.4	0.6	0.8	1
3.3.2 Некоторый анизотропный диэлектрик имеет тензор относительной
диэлектрической проницаемости, который в декартовой системе координат
имеет компоненты 8ц = 822 = езз = Ъу = 0, i Ф j. В диэлектрике создано рав-
номерное электрическое поле Е = Ех • х0 + Еу • у0 + Ez • z0. Определить вектор
электрической индукции D и угол в пространстве между векторами Е и D.
Значения 8, Ех, Еу и Ez приведены в таблице 3.2 и зависят от номера ва-
рианта, представляющего трёхзначное число.
82
Таблица 3.2 - Исходные данные к задаче 3.3.2
Первая цифра но- мера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Ех	1.5	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0	9.0	9.5
Вторая цифра но- мера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Еу	2.2	1.8	1.6	1.5	1.4	1.2	2.7	2.6	2.8	1.3
Третья цифра но- мера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Ez	9	8	7.6	6.5	3.4	4.2	5.4	3.6	2.8	4
8	4	5	6	7	2.8	6.2	7.6	6.5	4.2	3.4
3.3.3 В диэлектрике с относительной проницаемостью 8 создано посто-
янное электрическое поле напряженностью Е [кВ/м]. Определить электриче-
ский дипольный момент области диэлектрика объемом V [см3]. Значения Е
[кВ/м], £ и К [см3] приведены в таблице 3.3 и зависят от номера варианта,
представляющего трёхзначное число.
Таблица 3.3 - Исходные данные к задаче 3.3.3
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Е, кВ/м	150	200	300	400	500	600	700	800	900	950
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
V, см3	2.2	1.8	6	4.5	3.4	11.2	12.7	15.6	17.8	11.3
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
8	4	5	6	7	2.8	6.2	7.6	6.5	4.2	3.4
3.3.4 Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического
поля Ё - Ехе'{[>х • xQ + EyeJVy • yQ + EzeJ^z • z(j (углы даны в радианах). Частота
колебаний /[МГц]. Найдите мгновенное значение вектора Ё в момент време-
ни т [мкс]. Значения/ т, фх, ср^, (pz, Ех, Еу и Ez приведены в таблице 3.4 и зави-
сят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.
83
Таблица 3.4 - Исходные данные к задаче 3.3.4
Первая циф- ра номера ва- рианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Ех, В/м	15	20	30	40	50	60	70	80	90	95
Еу, В/м	-25	-40	-45	-28	-27	-37	-58	-28	-39	-36
Ez, В/м	55	70	100	74	84	49	37	95	20	42
Вторая циф- ра номера ва- рианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
т, мкс	0.1	0.08	0.16	0.12	0.04	0.12	0.07	0.06	0.05	0.03
мгц	0.25	1.8	1.6	1.5	1.4	1.2	2.7	2.6	2.8	1.3
Третья цифра номера вари- анта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Фл	-0.2	1.25	-1.4	-1.5	1.45	-1.2	-0.2	-1.0	-0.8	1.15
фу	0.28	0.25	-1.0	-1.2	0.45	-0.3	-1.0	-0.1	1.32	-0.3
Фг	-1.2	-1.1	0.45	0.55	-0.4	1.4	0.35	2.15	-0.4	0.65
3.3.5 Комплексные амплитуды векторов электромагнитного поля в не-
которой точке пространства задаются выражениями Н - Hze~J^z • f0
Ё = Ехе^х • х0 + EyeJV?y • у0. Определить комплексный вектор Пойнтинга и его
среднее значение. Значения Ех, Еу, фх, (ру, (pz, Hz и частоты /[МГц] приведены в
таблицах 3.4 и 3.5 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзнач-
ное число. Углы даны в радианах.
Таблица 3.5 - Исходные данные к задаче 3.3.5
Первая цифра номера вари- анта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Hz, мА/м	4	5	6	7	2.8	6.2	7.6	6.5	4.2	3.4
84
3.3.6 В фиксированной точке пространства известны мгновенные зна-
чения векторов поля Ё - Ё cos(co/ + (pv ), H — Hz cos(co/ + (pz), где Ё и Нz -
постоянные векторы. Найти среднее значение и колеблющуюся часть вектора
Пойнтинга. Значения Еу, Hz, ср^, cpz и частоты /[МГц] приведены в таблицах
3.4 и 3.5 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.
Углы даны в радианах.
3.3.7 В некоторой точке пространства вектор напряженности электриче-
ского поля Ё = Еу • у0 В/м, в то время как вектор Пойнтинга
EI = nx-XQ+nz-ZQ Вт/м2. Определить вектор напряженности магнитного по-
ля. Значения Е [В/м], Пх [Вт/м2] и IIZ [Вт/м2] приведены в таблице 3.6 и зави-
сят от номера варианта, представляющего трёхзначное число
Таблица 3.6 - Исходные данные к задаче 3.3.7
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Е, В/м	50	20	30	40	55	60	70	80	45	35
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Пх, Вт/м2	15	20	35	45	40	16	22	18	24	41
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
IIZ, Вт/м2	24	15	16	11	14	33	18	17	13	15
3.3.8 Комплексные амплитуды векторов электромагнитного поля в не-
которой точке пространства задаются выражениями Н - Hze~Jt^z • f0,
Ё - Ехе'{[>х • х0 + EyeJ<?y • y(j. Значения Ех, Еу, срЛ, ср^, cpz, Hz и частоты / [МГц]
приведены в таблицах 3.4 и 3.5 и зависят от номера варианта, представляю-
щего трёхзначное число. Углы даны в радианах. Записать выражение для ко-
леблющейся части Ё1КОЛ вектора Пойнтинга, построить график зависимости
Г1КОЛ(Ё) для участка времени t от 0 до у, определить среднее значение колеб-
лющейся части вектора Пойнтинга за период Т - —.
85
4 ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
4.1 Основные формулы
В случае полей, изменяющихся во времени по гармоническому закону,
комплексные амплитуды Е и Н удовлетворяют уравнениям Гельмгольца:
V2f+ y2f = 0;
У2Д + у2Д = 0,
где у =	= Р - /ос _ комплексный коэффициент распространения; Р -
коэффициент фазы, или волновое число; а - коэффициент ослабления.
Частное решение уравнения Гельмгольца описывает однородную плос-
кую волну:
Ё (z) = Д (0) • eJyz + Д (0) • e~Jyz.
Здесь временная зависимость Е'"1 опущена.
Если величины га и цй известны, то Р и ос находятся с помощью из-
вестных формул для комплексного числа:
r + a
2
г-a
2
где г - л1а2 +Ь2 - модуль комплексного числа; квадратные корни
и
Г — d
—-— следует считать положительными.
Поскольку га = г'а - jz"a = ss0(l - jtgl
а цй = ц0 - Для большинства ве-
ществ, то:
Y = Р - ja =	• аДЖ •
Величина тангенса угла диэлектрических потерь tg 8е:
а
2л/ -8
Условно считают, что если tg8 > 100, то среда является металлом, а если
tgS < 0.01, то она является диэлектриком.
Выражение для характеристического сопротивления Zc материальной
среды с малыми электрическими потерями при цй ц0 с учётом того, что при
tg 8е« 1 и 8g « 1 выполняются приближённые равенства:
1	(	8
tg8e«8e и .	«-1 + 7-М
имеет вид:
86
1
Z,
120тцР- 1 + 7 —
Vs I 2J-
Когда tg 5S > 1, то коэффициент ослабления а рассчитывают по форму-
ле для металлоподобной среды:
а=
V 2
Расстояние, на котором фаза изменяется на 2тг радиан, называется дли-
, 2л
нои волны А, = —.
Плоскость равных фаз или волновой фронт при любых t удовлетворяет
соотношению со/ - fiz = const.
Волновой фронт перемещается с фазовой скоростью:
d ((£>t-const\ со
_ dz
ф dt dt\ Р ) Р
Длина волны в материальной среде Хд может быть выражена через фа-
зовую скорость Уф и частоту /:
= 21
д г
Коэффициент фазы и коэффициент ослабления при ц = 1 могут быть
выражены следующими формулами:
О 8
2
Хо
а-----
Хо
е-1
2
откуда а - Р • tg\ I.
Формулы для вычисления фазовой скорости и длины волны в матери-
альной среде при ц = 1 имеют вид:
Отношение фазовой скорости в среде к скорости света называют коэф-
фициентом преломления п - —
87
Для плоской волны комплексные амплитуды векторов Ё и Н связаны
характеристическим сопротивлением среды:
У
так что E — ZCH.
При = |т0:
У 880	V8
Для вакуума: га = 80, ца = ц0, а = 0.
Тогда:
д
•е 2 Ом.
у = усо^/еД;
P = co7eoPo ’
Оф = .	= с = 3 • 108 м/с;
Z.
= 120л« 377Ом;
Для магнито диэлектрика (8 > 1, ц > 1):
„ _ 1	1 _ С .	7 _ ГЙЙо _19fW /Й
д/ец Л/еоМ'О л/8Н	V sso V 8
Диэлектрик с малыми потерями (ц = 1, tg 8g « 10-5... 10-3).
Поскольку tg 8е« 1, то yll~jtg8& = 1 -	j -у. Тогда:
Р «соДоНо Д = со * —,
С
л/8
а «со-----
2с
120 л Г
2 ’

£ <
2
Проводящие среды (za = 8Я - j--являются функцией частоты),
со
Если — » га. то среда называется металлоподобной:
со
~	. СУ
^ам ~ J
СО
7 м =	+ Ж =	= Yj® СМ -°-Van 
Так как главное значение квадратного корня из мнимой единицы:
88
y 4z
to:
Ум =	+
откуда:
n	/coll *(5
p =a = —.
• M	M Л1 ry
_ co _ I 2ш
^фм n Л	’
3л, Ж/0
a _ 271 _ о I	2
4l n 2л\/
Зц	-о
7 _ | Нам _ | J® Нам _ I® Нам . 7 4
^см л ~ Л	Л	&	•
У £ам V Q V Q
Расстояние, на котором волна затухает в е раз, называется скин-слоем:
d= /	2	.
V CDLL , - СУ
V г ам
Поскольку уравнения Максвелла линейны, любая комбинация их част-
ных решений также является решением. В частности, если Exix и Eyiy - ре-
шения исходных уравнений, то:
Ё = Ёх-х0+Ёу-у0
также есть решение уравнения Максвелла.
В зависимости от соотношения между фазами и амплитудами Ех и Ё в
каждой точке пространства конец вектора Е будет перемещаться по эллипсу
с различным отношением и ориентацией его полуосей.
Линейно поляризованная волна представляет собой один из предельных
случаев эллиптически поляризованной волны. Второй предельный случай
имеет место при равенстве амплитуд исходных полей и сдвиге фаз между ни-
ми, равном 90° - волна с круговой поляризацией, Ё - Ё(х0 ± j • у(}). Знак плюс
соответствует волне с правой круговой поляризацией, у которой вектор вра-
щается по часовой стрелке, если смотреть в направлении против распростра-
нения волны. Знак минус соответствует волне с левой круговой поляризаци-
ей, когда направление вращения обратное.
Любая волна с линейной поляризацией может быть представлена сум-
мой двух волн с круговой поляризацией. Например, при линейной поляриза-
ции вдоль оси х имеем:
Ё — Ёх-х$ — Ё++ Ё_,
89
где Ё+ =^(х0+7>), Ех = Ет=Е, Ё_=-^-(х0-jy).
При эллиптической поляризации комплексные амплитуды:
Ёх =Eqx ’ехр(/фЛ); Ёу =Е0<ехр(7ф^).
Ось эллипса повёрнута относительно оси х на угол а, который отсчиты-
вается против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора z0. Величину
угла а находят с помощью выражения:
12 _ £2
'Ох ^Оу
Отношение длины большой полуоси эллипса а к длине малой оси Ъ
называют коэффициентом эллиптичности кэл. Этот коэффициент можно рас-
считать по формуле:
tglCL =
1
к - —
эл Ъ 2 sin Аф
'Ох ,	0|'
'Оу ^Ох
'Ох
+ 4 cos2 Аф
Вектор Пойнтинга (среднюю плотность потока мощности)
1 Гг Г*1
Пср = —Re[EH ] удобно выражать через напряженность какого-либо одного
поля:
-	|Ё|2	( 1 V
=L-L.Re — -i
z\ 
2
'z •
cp 2
Для сред с потерями:
2
=101g 4©
/7СР = /7сР(0)-е-2“
Погонное затухание выражается в дБ/м:
А = 201g
которое связано с коэффициентом ослабления а соотношением:
А = 8.69а.
При распространении на расстояние 7 затухание волны в децибелах (дБ)
равно:
кль — A-l.
Для нахождения вида сигнала необходимо пользоваться спектральным
или операторным методом. Если известно Фурье-преобразование сигнала
QO
Д(со)=	e~J(}tdt в плоскости z = 0, то можно найти сигнал для любых
значений z, используя обратное преобразование:
5(/,z) = — Ь(ш)-е’Л= -e-^do.
90
При этом групповая скорость узкополосного сигнала S(t, z) дается соот-
ношением:
V гр
d&
4.2 Примеры решения типовых задач
4.2.1 Плоская электромагнитная волна с частотой 109Гц распространя-
ется в среде с параметрами е = 2.4, tg 58 = 10-1, р = 1. Определить фазовую
скорость, длину волны и коэффициент ослабления.
Решение.
Поскольку tg 5Е « 1, то:
Y =	д/1 -~+
2 о
Откуда:
₽ «	(1 + 0.125/g28t),
сс -	 tgdE - 1.622 м-1.
Фазовая скорость волны будет:

CD	С	C'	s /
— « —j=t-----------5—ч« —т= = 1.94 • 10 м/с.
Р Vs(l+ 0.125/g25E] ve
Теперь находим длину волны:
= 0.194 м.
Ответ', фазовая скорость уф = 1.94-108 м/с, длина волны Z = 0.194 м и
коэффициент ослабления а = 1.622 м-1.
4.2.2 Вычислить фазовую скорость, коэффициент ослабления и глубину
проникновения поля для плоской волны с частотой 10 МГц, распространяю-
щейся в металле с параметрами су = 5-107 См/м, р = 1.
Решение.
В реальных металлах плотность токов проводимости значительно
больше токов смещения, поэтому:
I 7	. СУ^ /co-d-ро / Л
Ро -j- = J-----—-^--(1-j),
V у	со 7 V 2
откуда:
Р = а =	= 44.43• 103 м’1,
V 2
91
v, = - = 1.414-IO3 м/с,
ф Р
d = - = 22.5 -10“6л/ = 22.5 мкм.
ОС
Ответ', фазовая скорость Уф = 1.414-103 м/с, глубина проникновения
поля d= 22.5 мкм и коэффициент ослабления а = 44.43-103 м-1.
4.2.3 Плоская электромагнитная волна с частотой 109Гц распространя-
ется в среде с параметрами 8 = 2.25, tg 8е = 0.01, ц = 1. Амплитуда электриче-
ского поля в плоскости z = 0 равна 100 В/м. Определить среднюю плотность
потока мощности в плоскости z = 1 м.
Решение.
Плотность потока мощности определяется выражением:
, ч |£|2 m 2
^(Z) = LJ-Re - -е .
2
Таким образом, необходимо вычислить Z( и а:
Z =	------!-----« 251.32 Ом.
VS8o 1-O.5y7g6£
а = O.ScD^/poS^ • tgb£ = 0.5	03 • /gS£ «0.157 м-1.
с
Подставляя 2( и а в 77cp(z) получим:
|Ё|2 /р
П W = — • —------e~2az = Пср(z = 1л/) =14.38 Вт/м2.
ср 7	2 120л	' J
Ответ', средняя плотность потока мощности в плоскости z = 1 м
77cp(z = 1 м) = 14.38 Вт/м2.
4.2.4 Считая заданными значения фазовых скоростей для левой ул и
правой упр круговой поляризации, определить угол поворота плоскости поля-
ризации волны на участке пути длиной L для электромагнитной волны с за-
данной частотой со.
Решение.
Линейно поляризованную волну, имеющую в плоскости z = 0 вид:
£ = ^0x4
можно представить как сумму двух волн с правой и левой поляризацией:
Волновое число 0 = —. Тогда:
92
_ • со • (|)
Ё„№= Е0,р-е Ч'/;	£,(z) = E<;,.e
В любой плоскости z Ф 0 сумма этих волн будет представлять собой
волну с линейной поляризацией. Координатные составляющие этих волн рав-
ны:
•Z
Ех(z) =	(e~J'Pnp 'z + е-у₽л'z),	Еу (z) = j'z _ e~^ z
Суммарный вектор E образует некоторый угол ср с осью х, который за-
висит от z:
или на отрезке длиной L:
tg(? = tg
<x>L v Пр v л
2 v • v
\ пр л у
Если различие скоростей vnp и ул мало, то:
(ё)Е v пр	л L £
ф«-------------= 71— -OV,
2 v2 Е
где v - среднее значение скорости; 5v - относительная разность распростра-
л V
нения; А, =----длина волны в среде.
Ответ', угол поворота плоскости поляризации волны на участке пути
L _
длиной L: ф = л —-ov.
Л.
4.2.5 Среднее значение плотности потока мощности плоской электро-
магнитной волны в вакууме составляет 5 Вт/м2. Определить амплитудные
значения х-й проекции вектора напряженности электрического поля и у-й
проекции вектора магнитного поля.
Решение.
Для среды без потерь:
где Zc = — = 120л. Откуда:
е = Jit -240п =61.4 в/м.
л V
Я = pi =0.16 А/м.
У N
93
Ответ', амплитудные значение х-й проекции вектора напряженности
электрического поля Ех = 61.4 В/м и у-й проекции вектора магнитного поля Ну
= 0.16 А/м.
4.2.6 Доказать принципиальную невозможность существования чисто
продольных электромагнитных волн, которые имели бы лишь нулевые про-
екции Ez и Hz, не зависящие от поперечных координат х и у.
Решение.
Задачу решим двумя способами.
Первый способ решения.
Непосредственно воспользуемся двумя первыми уравнениями Макс-
велла. Запишем первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме в
декартовой системе координат при Ez = 0 и Hz = 0:
	*о Уъ		*o У® A)					
—►	d d d		d d d		dH		( днУ	
rotH -		—		=		z	+ y0		z	= 7= 0
	dx dy dz		dx dy dz	и	L J	•s U	I dx )	
	Hx Hy Hz		0	0 Hz					
В полученном выражении плотность тока равна нулю (J = <зЁ ч-= 0),
dt
так как проекции Ez и Hz по условию задачи не зависят от поперечных коор-
динат х и у, и производные по этим координатам равны нулю. Значит вектор
напряженности электрического поля Е = 0 В/м.
Запишем второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме в
декартовой системе координат при Ez = 0 и Hz = 0:
	x0				x0
—►	d	d	d		d
rotE -				—	
	dx	dy	dz		dx
	Ex	Ey	Ez		0
— - 0 В/м2.
dt
В полученном выражении производная от вектора магнитной индукции
дВ
по времени равна нулю (----= 0 В/м2), то есть магнитное поле и связанное с
dt
ним электрическое поле не меняются во времени. Отсюда следует, что элек-
тромагнитная волна, которая всегда связана с изменением полей во времени,
отсутствует.
Второй способ решения.
Запишем выражение для вектора Пойнтинга П при Ez = 0 и Hz = 0:
П - [е х //] - |е| • |н| • sin а - Ez • Hz • sin 0 - 0 Вт/м2.
Равенство вектора Пойнтинга П нулю обозначает, что переноса энер-
гии чисто продольной электромагнитной волной нет, а значит, не может быть
и самой чисто продольной электромагнитной волны.
94
4.2.7 Плоская гармоническая волна с частотой/= 80 МГц, распростра-
няясь в некоторой материальной среде без потерь, имеет длину волны X = 0.5
м. Вычислите фазовую скорость этой волны.
Решение.
Запишем выражение для длины волны в материальной среде, содержа-
щее фазовую скорость и частоту/:
Из этого выражения получим:
уф = W= 0.5-80-106 = 4-107 м/с.
Ответ'. уф = 4-107 м/с.
4.2.8 Плоская волна, распространяющаяся в сторону увеличения коор-
динаты z, имеет комплексную амплитуду K+(z) = 200-e”yz В, где у = 0.8 + у’0.5
м’1. Частота волнового процесса f= 8-104 Гц. Вычислите мгновенное значение
функции V(z, t) В ПЛОСКОСТИ Z = 5 м при t = 10”4 с.
Решение.
Запишем выражение для плоской волны, распространяющейся в сторону
увеличения координаты z, и имеющей комплексную амплитуду
K+(z) = 200-e”YZ В:
r(z) = Vm - Pz)- exp(- az).
Так как:
у = a +jP = 0.8 + /0.5 m-1,
to:
a = 0.8 m”1; P = 0.5m-1.
С учётом этого в плоскости с координатой z = 5 м в момент времени t =
10”4 с имеем:
K(z) - Vm cos(co? - Pz)- ехр(- az) -
= 200 • cos(6.28 • 8 • 104 • 10”4 - 0.5 • б)- е?ф(0.8 • 5) = 2.461 В.
Ответ', в плоскости с координатой z = 5 м в момент времени t = 10”4 с
K(z) = 2.461 В.
4.2.9 Погонное затухание А однородной плоской волны составляет 45
дБ/м. Определите, на каком расстоянии z амплитуда волны уменьшится в к =
106 раз.
Решение.
Запишем выражения для затухания однородной плоской волны
клЪ = K-z',
кдЪ = 20-lg к = 20-lg 106 = 20-6 = 120 дБ.
95
Из этих выражений получим:
^ = 120
Л 45
= 2.66
м.
Ответ: амплитуда волны уменьшится в к = 106 раз при z = 2.66 м.
4.2.10 Найдите характеристическое сопротивление Zc материальной
среды с параметрами 8 = 4, tg 6Е = 10-10-3, ц = 7.
Решение.
Запишем выражение для характеристического сопротивления Zc мате-
риальной среды с электрическими потерями с учётом того, что при tg 6Е « 1
и 8е « 1 выполняются приближённые равенства tg 8е « 8е
Тогда получим:
Zc =120л
= 377.
= 498 + /2.49 Ом.
Z —
и
1
8
2
1	«120л
• 1 + у — -10“3
I 2
Ответ: характеристическое сопротивление среды при е = 4, tg 3Е =
10-10-3 и ц = 7 равно Zc = 498 + /2.49 Ом.
4.2.11 В среде с параметрами 8 = 4, <т = 0, ц=1 распространяется плос-
кая электромагнитная волна, комплексная амплитуда вектора напряженности
электрического поля которой в плоскости z = 0 Ё = (0.5х0 + О.2уо) В/м. Опре-
делить комплексную амплитуду вектора напряженности магнитного поля, ес-
ли волна распространяется в направлении возрастания координаты z.
Решение.
Вычислим характеристическое сопротивление среды для плоской элек-
тромагнитной волны при 8 = 4, <т = 0, ц=1:
Z . =120лЛ/— = Ц^ = 188.5 Ом.
V8 V4
Запишем второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме в
декартовой системе координат для плоской электромагнитной волны (Е- = 0,
сЕ	дЕ
Hz = 0,Bz = 0, -^ = 0, — = 0):
ду	дх
96
А	Уо	А)
д	д	д
дх	ду	dz
Ех	Еу	Ez
А Уо
д д
дх ду
Ех Еу
dB
dt
d(Bx^o+By-yo)
dt
Из равенства проекций векторного уравнения видно, что величины Вх =
\1а-Нх и Нх зависят от Еу, а Ву = \1а-Ну и Ну зависят от Ех. С учётом этого полу-
чим искомые значения проекций вектора напряженности магнитного поля:
Н =-— = —— = -1.06-10“3 А/м;
х Zc 188.5
Н =^ = —^- = 2.65-10“3 А/м
у Zc 188.5
и формулу для комплексной амплитуды напряжённости магнитного поля:
Й = Нх-х() + Ну -у0 =-1.06- 1О“3-56о + 2.65- 1О“3-^о А/м.
Ответ', комплексная амплитуда напряжённости магнитного поля
Н = -1.06-10 3 - 5с0 + 2.65-10-3 -у0 А/м.
4.2.12 Определить комплексную амплитуду вектора напряженности
электрического поля плоской электромагнитной волны в металле с парамет-
рами ц = 1, о = 6-107 См/м на частотах 10 кГц и 1 МГц, если в заданной точке
пространства комплексная амплитуда вектора напряженности магнитного по-
ля Н - 25yQ А/м.
Решение.
Запишем выражение для характеристического сопротивления в металле
zc.m-
ZCM = 12ta= Да •(! + ;) =	• (1 + j) Ом.
V o’ V 2о	V о
Определим величины этого сопротивления для частот 10 кГц (ZCm(104
Гц)) и 1 МГц (Zc.M(106 Гц)):
ZCM (104Гц)=	. (! + у) = 2.565  10-5  (1 + у) Ом,
V	О-10
г. (^бг^\	/э.14-106-4-3.14-Ю’7 Л Л	1Л_4 Л
zc.m^q Ец)= J-------------------(l + j) =2.565-10 -(1 + j) Ом.
97
По условиям нашей задачи Н - Ну • у0 - 25у() А/м, а в предыдущей за-
даче из равенства проекций векторов во втором уравнении Максвелла было
показано, что для плоской электромагнитной волны величина + Ех связана с
величиной -Н . С учётом этого запишем выражение для комплексной ам-
плитуды вектора напряженности электрического поля этой волны Е = Ex-xQ
и определим величины этой амплитуды для заданных частот:
E = tx-x.=-ZcHy-x..
Ё^Гц)=-7см^}ну -х0 =-2.565-10“5(1 + j)-25• х0 = -641.3-10“6(1 + j)-x0;
i(l О6 Гц) = -ZCM (106 )йу-х0 = -2.565-10’4 (1 + у)-25-х0 = -641.3-10’5(1 + j)-x0.
По формуле Эйлера:
(1 + j) = V2(cos45° + jsin 45°)=V2exp(j450)
С учётом этого:
Д104 Л/)= -906.9 • 10“6 ехр(/450)- х0 В/м;
Д106 Л/)= -906.9 • 10“5 ехр(/450)' х0 В/м.
Ответ', значения комплексной амплитуды вектора напряженности
электрического поля равны:
для частоты 10 кГц Ё’(104/1/)=-906.9-10”6 ехр(/450)-х0 В/м;
для частоты 1 МГц e(106F?/)=-906.9-10”5 ехр(/450)-х0 В/м.
4.2.13 Диэлектрический материал на частоте 10 ГГц обладает парамет-
рами 8 = 3.38, tg 8S = 10-4, ц = 1. Определить длину волны Z, коэффициент
ослабления а и характеристическое сопротивление такой среды Zc.
Решение.
Определим длину волны в диэлектрике:
у^Ф =	°	_	3-Ю8
f уЦГё-f V3.38-1-1O10
= 1.63-10“2
м.
Запишем выражения для характеристического сопротивления Zc и ко-
эффициента ослабления а материальной среды с электрическими потерями с
учётом того, что при tg 6Е « 1 и 6£ « 1 выполняются приближённые равен-
ства tg 8Е « 8£ и
1	(, -М
i	-	+ 7 — .
Д-Я I 2)
98
1	^120л
"УЖ
.10"
1 2
,_6.28.10'^.10-=к924 40_2м_,
4
= 377
1
3.38
= 204.9 + yl .024-10”2 Ом.
~	-	R
2с	2-3-108
Ответ: длина волны X = 1.63-10-2 м; характеристическое сопротивле-
ние Zc = 204.9 + j1.024-10-2 Ом, а коэффициент ослабления а = 1.924-10-2 м-1.
4.2.14 Во сколько раз уменьшится амплитуда плоской волны с частотой
2 МГц при распространении в среде с параметрами 8 = 2, ц = 1, а = 10-3 См/м
на пути в 1 м.
Решение.
Определим величину тангенса угла диэлектрических потерь tg 5£:
с a	IO’3	.
=--------=-----------т---------7j— = 4.98.
2л/-8а 6.28-2-106 • 0.885-10’11 -2
Так как tg 8е > 1, то коэффициент ослабления а рассчитываем по фор-
муле для металлоподобной среды:
/б.28  2  106  12.56  I (Г7  1 (Г3	2	,
ОС = л ------ = л ------------------------ = о.оо • 1 U М .
V 2 V	2
Вычисляем, во сколько раз уменьшится амплитуда плоской волны на
пути z = 1 м:
х = exp(ocz) = ехр(8.88-10”2 -1)= 1.093.
£(z)
Ответ: амплитуда плоской волны на пути z = 1 м уменьшится в 1.093
раза.
4.2.15 Определить толщину медного экрана, который обеспечивает
ослабление амплитуды электромагнитного поля в 104 раз на частотах 50 Гц и
50 МГц. Электрофизические характеристики меди о = 5.74 О7 См/м, цЛ =
4л 4 О-7 Гн/м.
Решение.
Уменьшение амплитуды плоской волны на пути z в п = 104 раз описыва-
ется выражением:
Ео
E(z)
= exp (az) = п = 104.
Подставляя в это выражение формулу для определения коэффициента
ослабления:

99
получим расчётное соотношение для определения толщины медного экрана,
который обеспечивает ослабление амплитуды электромагнитного поля в п =
104 раз:
_1п(л)_ h(zz)
а
На частоте 50 Гц:
з(50Л/) = .	Ь(10 )	= 0.0868л/ = 8.68см.
Л-50-4л-10“7-5.7-107
На частоте 50 МГц:
zfco • 106Гц) = . kfr0 )	= = 0.0868 10’3м = 86.8.мкм .
Л 50-106-4тс• IO’7 -5.7-107
Ответ'. Толщины медного экрана для заданных частот равны: z(50 Гц)
= 8.68 см; z(50-106 Гц) = 86.8 мкм.
4.2.16 Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического
поля плоской волны, распространяющейся вдоль оси z, в плоскости z = 0,
равна Ё -	+ е7ф • у0). Определить вид поляризации, если ф = 60°.
Решение.
Запишем выражение для компонент комплексной амплитуды вектора
напряженности заданного электрического поля Ё - -Ео(хо + е7ф • у0):
Ех = Ео; Еу = £0-ехр(/ф).
С другой стороны, при эллиптической поляризации:
Ех = £Ох-ехр(/фх); Еу = £0-ехр(/ф).
Сравнивая приведённые выражения, получаем:
ЕОх = ЕОу = Eq, фх = 0°; ф^ = 60°.
Определим ориентацию эллипса относительно оси х, используя форму-
лу:
tgla -
^ЕОхЕОу
^х-Е20у'
В этой формуле угол а отсчитывается против часовой стрелки, если
смотреть с конца вектора z0. В нашем случае вращение левое, так как
Ё = Е0(х0 + е7ф -у0), а в случае, когда в скобках подобного выражения вместо
знака «+» стоит «-» - вращение правое.
Вычислим tg 2а:
tgloi -
2EQxEQy
^X~E2Qy
ZEqEq
^о-Е2о
— оо.
При tg 2а = оо; 2а = 90°, а а = 45°.
100
Коэффициент эллиптичности, равный отношению осей эллипса а/Ъ,
находим по формуле:
_ а _	1 эл b 2 sin Аф —	1 + 1 + д/ 2 sin 60° L	Е0х |	| Е0у Е0х (1-1)2 +4 cos2	7	х2 	— +4со82Аф yE0y Е0х ) 60« _l + cos60'7<y J sin 60°	—
Ответ', поляризация эллиптическая с левым вращением вектора Е;
большая ось эллипса образует угол 45° с осью х, Кэл - л/з .
4.2.17 Две плоские электромагнитные волны с левой и правой круговой
поляризацией в плоскости z = 0 имеют векторы напряженности электрическо-
го поля: Ёл =Е0(х0 -; Ё =Е0(х0 + ЁУо]е^пр • Определить вид поляри-
зации суммарного поля, если разность фаз Дер = фл - Фпр = 45°.
Решение.
Запишем выражение для комплексной амплитуды напряженности элек-
трического поля при линейной поляризации вдоль оси поляризации х‘.
Ё = Ехх0=Ё++Ё_; Ех = Ет=Е,	(*)
где Е+ = yfe + jy), аЁ_=^(х0- jy).
В нашем случае:
= Д + К = Ео {ехр[у(фф + 45°)] + ехр(уфи/7)} = Ео ехр(уфи/7 )[ехр(у 45°)+1 .
Совместим ось х' с направлением 45°. Тогда:
Ё = Е0 exp(j(?np{ехр(/-Оо)+1] = 2Е0 exp(j<?np).
E = Re£ = 2E0cos^,J=£m.	(**)
Сравнивая выражения (*) и (**) видим, что поляризация линейная, век-
тор Ё образует угол 45° с осью х.
Ответ', поляризация линейная, вектор Ё образует угол 45° с осью х.
4.2.18 Однородная плоская электромагнитная волна распространяется в
вакууме. Вектор Пойнтинга волны лежит в плоскости х, z и образует угол ф с
осью z. Найти расстояние вдоль z, на котором фаза волны изменится на 360°,
если частота колебаний равна 100 МГц, а угол ф = 60°.
Решение.
Изобразим ориентацию вектора Пойнтинга в декартовой системе коор-
динат на рисунке 4.1.
101
Рисунок 4.1 - Иллюстрация к задаче 4.2.17
Вычислим длину волны в вакууме:
. с 3-108 „
/	108
Из рисунка 4.1 видно пересечение фронта волны, на котором фаза волны
изменится на 360°, с осью z С помощью этого рисунка находим выражение
для расстояния вдоль оси z, на котором фаза волны изменится на 360°:
Л	3	.
Az = —1—П = — = 6 м.
sin 30°	0.5
Ответ'. 6 м.
4.2.19 В среде с параметрами 8 = 2.25, ц = 1, а = 0 распространяется
плоская электромагнитная волна с амплитудой напряженности электрическо-
го поля 100 В/м. Определить плотность потока мощности, переносимой вол-
ной в направлении распространения.
Решение.
Запишем выражение для расчёта величины плотности потока мощности,
переносимой волной в направлении распространения:
( 1
Я = ^.Re — .
2	UJ
Определим величину характеристического сопротивления:
Zc = 1207cJ— = 377J— = 251.3 Ом.
с Vs V 2.25
Определим величину плотности потока мощности:
/^2	( 1
Я = ^.Re —
Z„
104	1
----------= 19.894 Вт/м2.
2 251.3
2
Ответ', величина плотности потока мощности 77= 19.894 Вт/м2.
4.2.20 В среде с показателем преломления, зависящим от частоты, рас-
пространяются два узкополосных радиоимпульса с несущими частотами 10 и
20 ГГц. Определить разность времен запаздывания импульсов на расстоянии
102
100 км от точки, где они совпадают по времени, если закон изменения пока-
зателя преломления записывается в виде лг(со) = 10-10ш.
Решение.
Определим зависимость скорости распространения от частоты для за-
кона изменения показателя преломления /?(со) = 10-10со:
v(co) = -
п
с
Ю“10€0
3-108
10-10 -6.28/
= 0.478-1018/’1 м/с.
Определим разность времён запаздывания импульсов на расстоянии 100
км от точки, где они совпадают по времени:
Дт = - т2
= Д-10“18
0.478
10ш
= 105 • 10-18---(2 -1) = 2.092Л4С.
0.478v 7
Ответ', импульс с несущей частотой 10 ГГц будет опережать второй
импульс с несущей частотой 20 ГГц на 2.092 мс.
4.3 Задачи для самостоятельной работы
4.3.1 Плоская волна, распространяющаяся в сторону увеличения коор-
динаты z, имеет комплексную амплитуду Г+(г) = 200e”YZ В, где у = а +	м-1.
Частота волнового процесса f = fa, кГц. Вычислите мгновенное значение
функции V(z, t) в плоскости z = z0 при t = to мс, погонное затухание А в дБ/м и
фазовую скорость. Значения ос[м-1], Р[м-1], fa, zoh to приведены в таблице 4.1 и
зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.
4.3.2 Определить толщину медного экрана, который обеспечивает
ослабление амплитуды электромагнитного поля в п раз на частотах fa [Гц] и/?
[МГц]. Значения п, /1 [Гц] и f2 [МГц] приведены в таблице 4.2 и зависят от
номера варианта, представляющего трёхзначное число.
103
Таблица 4.1 - Исходные данные к задаче 4.3.1
Первая цифра но- мера вари- анта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
ос, м-1	0.4	0.2	0.15	0.28	0.56	1.2	1.4	0.85	0.9	0.3
₽, М~'	0.3	0.6	0.4	0.35	0.48	0.4	1	1.3	0.6	0.8
Вторая цифра но- мера вари- анта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
/=/о, кГц	22	18	64	45	34	11	27	56	78	83
Третья цифра но- мера вари- анта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
z0, м	4	5	6	7	2.8	6.2	7.6	6.5	4.2	3.4
/о, МС	22	18	24	15	14	И	17	16	18	12
Таблица 4.2 - Исходные данные к задаче 4.3.2
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
п	1105	2T05	3T05	4105	5T05	2.6-Ю5	3.7-105	4.8T05	2.9-Ю5	6 то5
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Л Гц	22	18	64	45	34	И	27	56	78	83
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
/2, МГц	22	18	64	45	34	11	27	56	78	83
104
4.3.3 Плоская электромагнитная волна распространяется в среде с пара-
метрами 8, а = 0, ц = 1 и имеет в плоскости z = 0 комплексную амплитуду
вектора напряженности электрического поля Ё - (ех • х0 + Еу • у0 ) В/м. Опре-
делить характеристическое сопротивление среды и комплексную амплитуду
вектора напряженности магнитного поля, если волна распространяется в
направлении возрастания координаты z. Значения 8, Ех и Еу приведены в таб-
лице 4.3 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.
Таблица 4.3 - Исходные данные к задаче 4.3.3
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
8	2	8	6	5	3	4	2.7	5.6	7.8	8.3
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Ех, В/м	1.2	1.8	0.4	0.5	3.4	1.1	2.7	0.6	0.8	0.3
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Еу, В/м	2.2	0.8	0.6	0.4	1.4	2.1	0.7	0.5	1.8	1.3
4.3.4 Плоская электромагнитная волна распространяется вертикально
вниз и падает на водную поверхность с параметрами: 8Д [нФ/м], а [См/м], ц =
1. Длина волны в воздухе X. Определить: является ли среда металлоподобной
для данной частоты, длину волны в воде, а также изменённую скорость рас-
пространения волны в воде. На какую длину волны необходимо настроить
приёмник под водой для принятия сигнала, если шкала приёмника програду-
ирована в длинах волн: на длину волны в воздухе или длину волны в воде.
Значения га [нФ/м], а [См/м] и X [м] приведены в таблице 4.4 и зависят от но-
мера варианта, представляющего трёхзначное число.
4.3.5 Плоская электромагнитная волна распространяется в условиях за-
дачи 4.3.4. Величина напряжённости электрического поля Е [мкВ/м] на глу-
бине х [м] равна Е = Emcos В/м. Определить величину напряжённости маг-
нитного поля Н на поверхности воды. Значения 8а [нФ/м], <т [См/м] и X [м]
приведены в таблице 4.4 и зависят от номера варианта, представляющего
трёхзначное число, а значения Е (В/м) и х (м) в таблице 4.5.
105
Таблица 4.4 - Исходные данные к задаче 4.3.4
Первая циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
8О, НФ/М	0.6	0.78	0.65	0.7	0.58	0.64	0.73	0.56	0.68	0.71
Вторая циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
а, См/м	0.9	1.05	1.14	1.0	0.95	0.88	0.97	1.07	0.93	0.88
Третья циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
X, м	400	430	450	470	490	510	530	550	580	380
Таблица 4.5 - Исходные данные к задаче 4.3.5
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
X. м	1	2	3	4	3.5	1.4	2.7	1.6	1.8	2.3
Вторая цифра но- мера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Е, мкВ/м	1.2	1.8	0.4	0.5	3.4	1.1	2.7	0.6	0.8	0.3
4.3.6 Диэлектрический материал на частоте /[ГГц] обладает параметра-
ми 8, tg 5£, ц = 1. Определить длину волны, коэффициент ослабления и харак-
теристическое сопротивление такой среды. Значения s, tg 5е,/[ГГц] приведе-
ны в таблице 4.6 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное
число.
4.3.7 Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического
поля плоской волны эллиптической поляризации, распространяющейся вдоль
оси z, в плоскости z = 0, равна Ё = EQxej^x е7<₽у у0. По заданным значе-
ниям Е$х, ЕОу и Аф =	- фт определить параметры эллиптической поляриза-
ции: направление вращения вектора Ё, ориентацию осей эллипса и коэффи-
циент эллиптичности. Значения ЕОх [В/м], Ейу/Ейх и Лф = фу. — фл. приведены в
таблице 4.7 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное чис-
ло.
106
Таблица 4.6 - Исходные данные к задаче 4.3.6
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
£	2	8	6	5	3	4	2.7	5.6	7.8	8.3
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
10000	0.9	1.0	1.2	1.1	2.9	0.5	0. 7	1.6	0.3	0.8
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
f ГГц	16	13	15	17	19	12	20	23	11	8
Таблица 4.7 - Исходные данные к задаче 4.3.7
Первая циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Eqx, В/м	2	8	6	5	3	4	2.7	5.6	7.8	8.3
Вторая циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Е()х Е0у	0.9	1.05	1.14	1.3	0.95	0.88	0.97	1.07	0.93	0.88
Третья циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
А(р°	36	53	45	30	15	25	20	23	10	40
4.3.8 Найдите характеристическое сопротивление Zc материальной сре-
ды с параметрами 8, tg 5£, ц. Значения 8, tg б£ приведены в таблице 4.6 и зави-
сят от номера варианта, представляющего трёхзначное число. Значения ц
приведены в таблице 4.8.
107
Таблица 4.8 - Исходные данные к задаче 4.3.8
Третья циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
ц	16	13	15	17	10	12	20	23	И	8
4.3.9 Определить комплексную амплитуду вектора напряженности
электрического поля плоской электромагнитной волны в металле с парамет-
рами ц = 1, о = 6-107 См/м, на частотах и f2, если в заданной точке про-
странства комплексная амплитуда вектора напряженности магнитного поля
Н - Ну • у0 А/м. Значения Ну [А/м],/! [кГц] и//] приведены в таблице 4.9 и
зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.
Таблица 4.9 - Исходные данные к задаче 4.3.9
Первая циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Ну, А/м	2	8	6	5	3	4	2.7	5.6	7.8	8.3
Вторая циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
/ь кГц	36	53	45	30	15	25	20	23	10	40
Третья циф- ра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Л /1	80	50	45	90	75	25	20	65	70	60
4.3.10 Плоская электромагнитная волна распространяется в среде с от-
носительной диэлектрической проницаемостью в, с относительной магнитной
проницаемостью цис удельной проводимостью о. Определить параметры
волны: а, 0, у, Zc, Уф и X для значений частоты: 105 Гц, 108 Гц, 1О10 Гц. Услов-
но считая, что если tgS > 100, то среда является металлом, а если tg5 < 0.01, то
она является диэлектриком, определить для какой из указанных частот среду
можно считать металлом, а для какой диэлектриком. Значения £, ц и о приве-
дены в таблице 4.10 и зависят от номера варианта, представляющего трёх-
значное число.
108
Таблица 4.10 - Исходные данные к задаче 4.3.10
Первая цифра номера вариан- та	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
в	72	81	68	75	93	74	87	64	78	83
Вторая цифра номера вариан- та	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
н	1.6	1.5	1.4	1.3	1.55	1.25	1.2	1.6	1.0	1.45
Третья цифра номера вариан- та	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
о, См/м	0.2	0.3	45	0.1	0.09	0.2	0.3	0.06	0.07	0.08
109
5 ТЕМА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНЫ
5.1 Основные формулы
При распространении плоской электромагнитной волны в пространстве,
представляющем собой области с различным значением параметров е , ц , а
и границами раздела в виде плоскостей, возникают отраженные и преломлен-
ные волны.
Комплексные амплитуды этих волн связаны с комплексной амплитудой
падающей волны коэффициентом отражения:
F	Н
D отр .	D	отр
1\ 77   «	±Х- П  
lF	н Ff
^пад	11 пад
и коэффициентом преломления (прохождения):
27	гг
гр _	гр _ 11 пр
1e~~F	’	1н~~Н '
пад	11 пад
Для среднего значения плотности потока мощности:
D	Потр .	гр	Л пр
И ?	* / /	*
И	П
пад	пад
Если вектор Пойнтинга падающей волны перпендикулярен границе
раздела, то:
R _ (ZC2 — ZC1) .	_ 1ZC2
(ZC2 + ZC1)	(ZC1 + ZC2)
где Zc - характеристическое сопротивление среды, соответственно первой и
второй:
<7	__ I Eal .	rj ___ М*а2
^С1 ~ л ~ ’	ЛС2 ~ -J ~
\ Sal	V 8а2
Если в формулах для характеристического сопротивления учесть, что
для диэлектриков с потерями:
8 = s-s0(l-;7g8£),
то выражение для коэффициента отражения при нормальном падении волны
на такой диэлектрик примет вид
к = Zr,-Zr, =	_
ZC2 + ZCl 1 + Vs • (1 + jtgb& У/'1
Здесь tgbz =---------« 6£.
СО • 8 • 80
110
Плоскость, содержащая вектор Пойнтинга падающей волны и нормаль
к границе раздела, называют плоскостью падения.
Из граничных условий следует, что углы падения ф, отражения ф0 и
преломления срп связаны законом зеркального отражения ср = ср0 и законом
Снелля:
sin ф _ Р2
sin ф„ Pi ””” sin ф„ ад
Если вектор Е лежит в плоскости падения, то:
// _[ZC2 созфи- ZC1 СО8ф]
или
sin ф _ е2ц2
[ZC2 СО8фи + ZC1 СО8ф] ’
_ 2ZC2cosф
[ZC2 СО8ф„-^с1 СОБф] "
Если вектор Е перпендикулярен плоскости падения, то:
pl _[ZC2 СО8ф^с1 СОЗфД
^Е
[ZC2 СО8ф + ZC1 СО8фи]’
_ 2ZC2 cos ф
[ZC2 СОЗф + Zc! СОЗфД '
Для диэлектрических сред, у которых ц =
но представить в виде:
Ri ^-зт(ф-фи)
Е 8ш(ф + фи)
R"
1, коэффициенты R и Т удоб-
± _ 2зтф„СО8ф
*Е
з1п(ф + ф„) ’
гр II
1 Е
= -^(ф-фи).
^(ф + фи) ’
2 sin фп созф
з1п(ф + ф,г)соз(ф-ф„)
Е
Т
1 Е
тт	Л nil	т г
При ф + ф„= —, Re = 0. Угол падения, в этом случае называется углом
Брюстера:
Если при е2-ц2 < ej-pi угол падения ф будет равен или больше угла пол-
ного внутреннего отражения фпво, равного:
• ^2	• л/ М"2^2
Флво = arcsin — = arc sin .-,
то преломлённой волны в общепринятом смысле не существует (явление
полного внутреннего отражения). Коэффициенты отражения RE волн парал-
лельной поляризации (вектор Е лежит в плоскости падения) и RE волн пер-
пендикулярной поляризации (вектор Е перпендикулярен плоскости падения)
остаются равными единице, а будет изменяться только их фаза:
Ill
RP =-exp<
2j • arctg
J sin 2 cp -
£i
82
S2^2
< S1H1 7
coscp
Rp - exp<
2j • arctg
Hi
p2
Коэффициенты преломления ТР и ТР при явлении полного внутренне-
го отражения не равны нулю:
ФII _	2 cos ср
1Е ~	(7--
S2
— coscp -j
Si
• 2	^2^2
sm ср —^-А-
£iHi )
£2Н2 .
8iPi ’
Н2
E
2 cos ср
. 2	£2^2^ И1
sin ср—
£iHi )
-coscp-у
Hi
Ёпр, прошедшее во вторую среду, представляет со-
В этом случае поле
бой неоднородную плоскую волну, быстро убывающую при удалении от гра-
ницы раздела и называемую поверхностной волной:
EnP=t- ЁПАД ехр< 0! z sin2 ср -
£2Н2
< 81Н1 у
- jx • sin cp
где z и х - текущие координаты в плоскости падения: z — перпендикулярна, а
х - параллельна границе раздела.
Глубина проникновения поверхностной волны в менее плотную среду:
Р2сЛос ’
где:
с/га = sin \|/ = —	+ в
П2
«1 ’
ср - комплексный угол преломления, Р2 =----коэффициент фазы однород-
ной плоской волны в среде 2.
Фазовая скорость поверхностной волны находится из выражения:
112
_ со
V ф.пов ~ Q
г пов
77
гДе Р«ое = М7а = Р2 — = Pi •
«1
Для металлоподобных сред справедливо граничное условие Леонтови-
ча:
A=zJ-^] и™ |^|=|^
где in - единичный вектор нормали к поверхности металлоподобной среды,
направленный внутрь;
7 _ М®
^СМ ~ л
Нх - касательная к поверхности среды составляющая вектора напряженности
магнитного поля.
На границе раздела должны выполняться следующие граничные усло-
вия:
\^а\‘Н\п	\^a2'^2ni	&а\"Е\п	^,a2'-^‘2ni
для нормальных составляющих и
Н\х -^2т,	-^2т
для касательных составляющих электромагнитного поля.
Суммарная величина напряженности магнитного поля на границе раз-
дела металла и среды:
ЕЕ = 2/Тпад.
Амплитуда вектора плотности электрического тока на границе раздела
металла и среды:
j НОВ.') = ^ПОВ
где inoB - это единичный вектор, совпадающий с направлением вектора пер-
пендикулярного поверхности раздела.
Коэффициент отражения R плоской электромагнитной волны от пла-
стины из диэлектрика без потерь толщиной I при нормальном падении нахо-
дится из выражения:
R_ vQ-sygQ
2 Vs + j(l +	’
где выражение для угла 0:
2л/ _	_ 2nlf -Jep
Х2 А, с
Для электромагнитных волн, имеющих составляющую вектора напря-
женности электрического поля, параллельную направлению распространения
волны z (для Е-волн) амплитуда определяется из выражения:
Е = 2Ет sin фcos(gr) ехр(-/hz) • х0 + j2Em cosфsin( gx) Qxp(-jhz) • z0,
e = p2/ =
из
где h = Po-sin ср, g = p0-cos ср, p0 = —.
л0
Граничные условия для безграничных пластин из идеального металла:
Ех = 0; Нп = 0.
Выразим фазовую скорость Уф через продольное число h = Pepsin ср, ко-
торое играет роль коэффициента фазы:
_ со _ со _ с _ с
ф h 3O’sin<P sin(P д/1 -cos2ср "
„ n 2л
Здесь Po = — •
Ло
Для немагнитного диэлектрика без потерь формулы для коэффициента
отражения R имеют вид:
п _ д/е — sin2 ср - 8 • cos ср	± _ cos ср - д/е — sin2 ср
- I .	; кЕ - I . 2 •
д/8-Sin ср+ 8-coscp	coscp+ д/8-Sin Ср
Показатель преломления п при падении волны из вакуума:
п - д/ц-е .
5.2 Примеры решения типовых задач
5.2.1 Плоская электромагнитная волна падает нормально из вакуума на
границу раздела со средой, имеющей параметры: 8 = 81, ц=1,су = 0.1 См/м.
Определить комплексные коэффициенты отражения RE и преломления ТЕ на
частоте 100 МГц. Полагая, что амплитуда напряженности электрического по-
ля падающей волны в плоскости z = 0, совпадающей с границей раздела, рав-
на 1 В/м, записать выражение для мгновенного значения напряженности
электрического поля отраженной волны.
Решение.
Выражение для коэффициента отражения при нормальном падении
волны на такой диэлектрик с потерями имеет вид:
. _ZC2-Z(, _ 1-^-0
— —	| / *
ZC2+ZC1 l + V^.(l + 77g6s)/2
Воспользуемся приближением - при tg 5е« 1:
д/1-уЖ «1-0.5-jVg6e,
„ С 2	.
так как Zgog =---= — «1.
С0 8 80	9
Тогда для коэффициента отражения получим:
114
Л£=-^ = -О.8е-'0025 ,
IO-/
а
г =1-^ =_?_ = о.2еу01.
IO-/
Комплексная амплитуда напряженности электрического поля отражен-
ной волны будет:
Ё - R • Ё - -0 8е-/0'025e7P°z
потр ~ Ппад ~	е
Переходя от комплексных амплитуд к мгновенным значениям, найдем:
Еотр = -0.8 cos(2л • 108 • t - 0.025 + P0Z).
Ответ'. Комплексные коэффициенты отражения RE и преломления ТЕ
на частоте 100 МГц: RE = -О.8е”70’025 и tE = 0.2ej0A, выражение для мгновен-
ного значения напряженности электрического поля отраженной волны
ЕотР = "°-8 cos(2jc • 108 • t - 0.025 + ₽0Z).
5.2.2 Измерение комплексного коэффициента отражения RE от диэлек-
трика с неизвестными параметрами е и ц на частоте 1 ГГц дает величину
RE =-O.5e-7° 09. Определить параметры диэлектрика 8, tg 3£, а, если известно,
что ц = 1 и волна падает на диэлектрик нормально.
Решение.
Комплексный коэффициент отражения от границы раздела между ваку-
умом и диэлектриком с параметрами га = ss0(l - 7‘/g3g), ц = 1 запишется:
откуда
Ь|^.(!-7^) •
Поскольку RE задано через показательную функцию, то и правую часть
выразим через показательную функцию a+jb = ге^. Так как tg 3Е« 1, то tg 3Е
f 68	68
® о£, arctg\ -у I« у и
(1-- W-y ~(l + /g238>	'2 ~(1 + Zg28!;)ze 7 2 .
Приняв указанные приближённые равенства, получим:
^ = д/ё-(1-7Ж)^ = Vs-(l + /g238)z-е 2 .
115
С другой стороны Re = -|7?| -е J'w (17?| = 0.5; \|/ = 0.09), тогда:
1-Re 1 +1^| • e~l'w 1 +1• (cos - у sin у)
1 + Т?£ 1 - |Я| • e~l'w 1 -17?| • (cos \|J - j sin \|/)
1 +17?| • cos \|/ - j • 17?| • sin у (1 +17?| • cos \|/) - j • 17?| • sin у
1 -17?| • cos \|J - j • |7?| • sin \|/ (1 -17?| • cos \|j) - j' • |7?| • sin у
Приравнивая модули и фазы обеих частей, окончательно получим:
|^| sin \|/
l + |7?|cosy
— _1 + |л|2 + 2|л|созу
1 + |/?|2 -2|7?|cos\|/
|^| sin
l-p?|cos\|j
8е
= -arctg
+ arctg
Кроме того:
(***)
tg\ = — ~ se •
С0880
Подставляя \|/ = 0.09 и 17?| = 0.5, из соотношения (*) получим tg 3£ » 3£ =
0.12. Затем из соотношения (**) вычислим е = 9.0. В заключение из соотно-
шения (***) найдём а = 0.06 См/м.
Ответ', параметры диэлектрика: tg 3Е = 0.12, е = 9.0, а = 0.06 См/м.
5.2.3 Амплитудное значение напряженности электрического поля пада-
ющей из вакуума волны Е^.пад = 250 В/м. Относительная диэлектрическая
проницаемость материала е = 3.2. Найти модули усредненных значений век-
торов Пойнтинга падающей, отраженной и прошедшей волн.
Решение.
Модули усредненных векторов Пойнтинга (Вт/м2) будут:
р-
ГТ _ х пад rj
И пад ~	2	0 ’
где Zo - характеристическое сопротивление вакуума, Zo = 120л;
отр
О’
2
и
(Т ' Ех пад )
' -^С2>
пр
-^-=120л f.
880	V 8
2
где ZC2 =	=
V Sa2
Входящие в формулы R и Т для рассматриваемого случая будут:
116
Я = -*-2^ = -0.283;	Т -	- 0.717.
1 + л/е	1 + л/е
Тогда 77пад = 82.9 Вт/м2; 77отр = 6.6 Вт/м2; 77пр = 76.2 Вт/м2
Ответ', модули усредненных значений векторов Пойнтинга падающей,
отраженной и прошедшей волн равны 77пад = 82.9 Вт/м2; 77отр = 6.6 Вт/м2; 77пр =
76.2 Вт/м2.
5.2.4 Плоская электромагнитная волна с перпендикулярной поляриза-
цией падает из воздуха под углом ср = 60° на границу раздела с диэлектриком,
имеющим 8 = 3.8, ц = 1. Амплитуда вектора напряженности электрического
поля падающей волны Етл1ад = 0.4 В/м. Найти амплитуды векторов напряжен-
ности магнитного поля отраженной и преломленной волн.
Решение.
По определению, характеристическое сопротивление среды есть коэф-
фициент пропорциональности между Етл и Нт_у:
р
___ т.х
( Н
11 т-У
Для отраженной волны Zc = Zo = 120л, а для прошедшей:
7 _7 -Z» -12ОЯ
- Г ~ Г '
д/8	л/8
Тогда:
Т
ТТ — I D I т nad
т отр ~ |^±| у 5
Z0
jj — It I т nad
т пр ~г _L\ у
ZC2
В рассматриваемой задаче:
cos ф - д/е - sin 2 ф
 =	/	• 2	’
СО8ф + д/8 - Sin ф
_ 2-СО8ф
1 “ /----------•
СО8ф +д/8-Sin ф
Окончательно получим:
Ям,тр = 5.9-10“4 А/м;	Яот.пр = 9.2-10“4 А/м.
Ответ', амплитуды векторов напряженности магнитного поля отра-
женной и преломленной волн равны: Нт_т? = 5.9-10-4 А/м; НтЩ) = 9.2-10-4 А/м.
5.2.5 Найти фазовую скорость и глубину проникновения неоднородной
плоской волны при падении плоской волны из среды 1 с параметрами 8i = 3.4,
pi = 1 на границу раздела со средой 2, имеющей параметры s2 = 1, ц2 = 1-
Угол падения ф = 45°, частота поля /= 35 ГГц.
117
Решение.
По
условию задачи угол полного внутреннего отражения:
Упво =arcsin
- arcsin
= 32.8°.
Поскольку угол падения ф > фпво, неоднородные плоские волны в среде
2 действительно возникают.
тл	r	sin	ф я2	„
Из закона	Снелля	—--= —	комплексный	угол преломления будет
Sin ф И;
sin ф = 43Дsin ф = 1.3, откуда получаем уравнение относительно параметра а
(ф = 90° + уос). Учтем, что sin ф = ch ос и воспользуемся формулой Эйлера:
sin ф = cha = (еа + е~а) = 1.3.
Это трансцендентное уравнение относительно ос преобразуем к виду:
<?“2а - 2.6<?“а +1=0.
Это есть квадратное уравнение относительно е~а, имеющее два корня Xi
и х2, из которых выбираем больший, что следует из конечности решения при
71
ос —> 0. Таким образом ос = 0.756, или ф = — + у'0.756.
Коэффициент фазы однородной плоской волны в среде 2:
Р2 = - = 733 м’1.
с
Коэффициент фазы поверхностной волны:
Рпов = Рг-ch а = 952.9 м-1,
откуда фазовая скорость:
V,= 2.308-ю8 м/с.
Рпов
Глубина проникновения поля в менее плотную среду:
d =----!--= 1.64-10“3 м.
Р2 • cha
Ответ: фазовая скорость и глубина проникновения неоднородной
плоской волны равны: Уф.ПОв = 2.308-108 м/с и d= 1.64-10-3 м.
5.2.6 На идеально проводящую плоскость из воздуха по направлению
нормали падает плоская электромагнитная волна со средним значением пото-
ка мощности 230 Вт/м2. Вычислите амплитуду вектора плотности поверх-
ностного электрического тока на границе раздела.
Решение.
Для условий, приведённых в задаче, запишем выражения для вычисле-
ния величины среднего значения вектора Пойнтинга:
118
rr 2
nCP = ^-^zc.
Из этого выражения получим формулу для вычисления величины
напряженности магнитного поля Нпад падающей электромагнитной волны:
НПАД = Я=	=1.105 А/м.
ПАД у.т AjReZc \ 377
Вычислим суммарную величину напряженности магнитного поля на
границе раздела:
ЯЕ = 2Япад = 2-1.105 = 2.21 А/м.
Амплитуду вектора плотности поверхностного электрического тока на
границе раздела находим по формуле:
jпов.э = [i/7OB х	] = 1 • 2.21 = 2.21 А/м.
В последней формуле inoB - это единичный вектор, совпадающий с
направлением вектора перпендикулярного поверхности раздела. Взаимная
ориентация векторов показана на рисунке 5.1.
Рисунок 5.1 - Иллюстрация к задаче 5.2.6
Ответ', амплитуда вектора плотности поверхностного электрического
тока на границе разделаупов э = 2.21 А/м.
5.2.7 Плоская электромагнитная волна падает по нормали из воздуха на
диэлектрическое полупространство с параметрами 8 = 9.5, ц = 1. Плотность
потока мощности плоской волны составляет Япад = 30 Вт/м2. Найдите плот-
ность потока мощности плоской волны Япр, прошедшей внутрь диэлектрика.
Решение.
Запишем формулы для расчёта величин плотностей потока мощности
плоской волны, прошедшей внутрь диэлектрика, и падающей плоской волны:
Е2	Е2
77	_ ПР	ТЛ	/7	_ ^nad
пр 2Z^	nad 2Z^ •
Затем начнём вычислять численные значения величин, входящих в эти
формулы. Вначале для условий е = 9.5 и ц = 1, приведённых в задаче, опреде-
119
лим величину характеристического сопротивления идеального диэлектриче-
ского полупространства, у которого удельная проводимость а = 0:
7	377
7С1 =	= 122.4 Ом,
Те лШ
напряженности электрического поля падающей волны:
Ем =	= V2-377-30 = 150.4 В/м,
и коэффициента преломления (прохождения) плоской электромагнитной вол-
ны, падающей по нормали из воздуха на диэлектрическое полупространство:
/7	9	9
Г =	=----- =----- = 0.49.
А 1 + 4е 1 + л/9^
В заключение определим величины напряженности электрического по-
ля прошедшей волны:
Е||р = ТЕ-Епад = 0.49-150.4 = 73.7 В/м
и плотности потока мощности плоской волны 77пр, прошедшей внутрь диэлек-
трика:
Ппр
Епр _ 73.72
2Z;	2-122.4
= 22.2 Вт/м2.
Ответ', плотность потока мощности, прошедшей внутрь диэлектрика
77, |р = 22.2 Вт/м2.
5.2.8 На границу раздела между диэлектриком без потерь с параметра-
ми е2 = 4.6, ц2 = 1-1 и вакуумом падает плоская электромагнитная волна,
имеющая круговую поляризацию. Определите значение угла падения, при ко-
тором поляризация отраженной волны будет линейной.
Решение.
Представим падающую плоскую электромагнитную волну, имеющую
круговую поляризацию как сумму двух волн линейной поляризации. У одной
из этих волн вектор напряженности электрического поля лежит в плоскости
падения (параллельная поляризация), а у другой он перпендикулярен плоско-
сти падения (перпендикулярная поляризация). Если поляризация параллель-
ная, то при некотором значении угла падения, называемого углом Брюстера
фБ, коэффициент отражения RP равен нулю и отразятся лишь волны перпен-
дикулярной линейной поляризации. Таким образом, задача сводится к расчё-
ту угла Брюстера.
Приравняем выражение в виде дроби при ф = фБ для Rp к нулю:
Е
Zc^WStyriE ^C1COS(P£
^С2 C0S(P«5 + ^С1 С08Фл
Эта дробь равна нулю, когда равен нулю её числитель:
ZC2cos ф„Б - Zcicos срБ = 0.
С другой стороны, по формуле Спелля (при Si = 1, pi = 1) имеем:
120
sin УпБ _ ^2 _ л/£2М-2 _ VS2l^2
sin Ф5 пх 7^4 VT1
— д/82М-2 "
Преобразуя два последних выражения, получим равенства:
cos2
Ф«а =
^('1
C2 7
sin2<p«£ =
COS2 ФЛ =
sin2 ф/;
S2H2
Ц1е2 2 e2 2
COS фЛ=— COS Ф5.
£1|T2	1^2
Сложение левых и правых частей этих равенств позволяет исключить
угол преломления Брюстера фиБ и получить уравнение с одним неизвестным -
углом падения Брюстера фБ:
• 2	2
_ sin ф5 s2 cos Фа
е2^2	1^2
Подставив в это уравнение:
sin2 фБ = 1 - cos2 фБ,
находим выражение для определения косинуса угла падения Брюстера, вы-
числяем величину cos фБ, а затем и сам угол Брюстера фБ:
е2 • ц2 = sin 2 Ф5 + е|" c°s2 Фа » s2-ц2-1 = cos^a(e:1-1);
= °-448; Фб = arcos(0.448) = 63°20'.
Ответ: угол падения, при котором поляризация отраженной волны бу-
дет линейной: фБ = 63°20'.
/s9ll9 -1	/
СО8фд 22	=
V е2-1 V
5.2.9 Пластина толщиной d = 1.4 см выполнена из диэлектрика без по-
терь с параметрами е = 2.1, ц = 1. Найдите коэффициент отражения плоской
электромагнитной волны от этой пластины при нормальном падении, если
частота поля/= 12 ГГц.
Решение.
Коэффициент отражения R плоской электромагнитной волны от пла-
стины из диэлектрика без потерь при нормальном падении находится из вы-
ражения:
j(i-sXgQ
2 Vs + j(l + s)/g0
Вначале запишем выражение для угла 0 и вычислим этот угол, а затем
определим коэффициент отражения R и его модуль | R |:
121
2Til _ 2л/л/ЁМ' _ ^Tilfл/ёц
6.28-	1.4-10-2-12-109-Vm	. ooo ha aooc/io
=--------------------------= 5.096 pad = 292.116 = -67.854 .
3108
j(l-s)rge _	j(l-2.1)(-2.455)
’ 2л/ё + y(l + №	2д/2Л + /(1 + 2.1)- (-2.455)
=-----------=------—----= 2,72^^g0-38) = -0.33exp(-/20°).
2.89-7'7.61 7.61 + 7'2.89	V8.35 + 57.9
Модуль коэффициента отражения равен: | R | = 0.33.
Ответ: коэффициент отражения R = -0.33ехр(^/20°), а его модуль
Ш = 0.33.
5.2.10 Найти условия, при которых плоская электромагнитная волна бу-
дет распространяться путем отражений от двух безграничных пластин иде-
ального металла, расположенных в вакууме параллельно друг другу на рас-
стоянии а, если угол падения равен ср. Для каких значений Хо возможно рас-
пространение волны в такой структуре при заданном а?
Решение. Рассмотрим задачу (рисунок 5.2), например, для электромаг-
нитных волн, имеющих составляющую вектора напряженности электрическо-
го поля, параллельную направлению распространения волны z (для Е’-волн).
Для этих волн, комплексная амплитуда определяется из выражения:
Е = 2Ет sin (pcos(gr)exp(-7'/zz) • х() + j2Em cos<psin( <gx)exp(-7'7zz) • z0,
2л
где h = po-sin (p, g = p0-cos cp, Po = —.
A.o
“ X
Рисунок 5.2 - Иллюстрация к задаче 5.2.10
Из выражения для Е находим Ez:
Ez = 2E;„cos (p-sin(gx)exp(-/77z).
Запишем граничные условия для безграничных пластин из идеального
металла:
a)	Ez(x = 0) = Ет = 0;
122
6)	Ez(x = а) = Ez = 0.
Из условия б) получим:
Ez(x = а) = 2Emcos <p-sin(g«)exp(-//7z) = 0.
Откуда следует, что:
. , .	2лСО8ф-<7
sin(gcz) = 0; ga--------------1— - п • л,
Zo
где п может быть нулём или принимать любые целочисленные значения.
Из последнего выражения находим:
cos(p =
2а
Поскольку cos ф < 1, то и < 1, то есть:
2а
^<1;	К
2а
_	. 2A.cz
Ответ: Ло <---, где п - целое число.
п
2\а
о -
п
5.2.11 Определить скорость движения фазового фронта вдоль зазора
между двумя параллельными бесконечными пластинами идеального металла
(см. задачу 5.2.10). Изобразить зависимость фазовой скорости уф от длины
волны Хо для нескольких значений п. Объяснить полученный результат.
Решение.
Выразим фазовую скорость уф через продольное число h = p0-sin ф, ко-
торое играет (см. задачу 5.2.10) роль коэффициента фазы:
v _ со _ со _ с _ с
ф h ро sin ф sin ф д/1 —со82ф ’
!-Г	П 2я
При выводе выражения для уф использовались соотношения р0 = — и
со 2тгА0 = fc
Ро f
Подставив в формулу для фазовой скорости уф выражение для cos ф,
полученное в предыдущей задаче:
находим зависимость фазовой скорости уф от длины волны Aq:
с
123
Зависимости v® от Zo для п = 1, п = 2, и = 3 и и = 4 приведены на рисун-
ке 5.3.
Рисунок 5.3 - Иллюстрация к задаче 5.2.11
Согласно двум последним приведенным формулам, с ростом длины
волны Zo фазовая скорость V® и cos ф также возрастают, а угол падения ф
уменьшается. Когда длина волны Zo достигает некоторого значения, называе-
мого критической длиной волны Zrp, фазовая скорость V® устремляется к бес-
конечности, а угол падения ф становится равным нулю. Как видно из рисунка
5.3, при угле падения ф = 0, когда Zo > Zrp, распространение волны вдоль про-
дольной оси z прекращается.
Критическая длина волны Z«p с ростом п уменьшается.
Ответ: скорость движения фазового фронта у ф = . С =.
V I J
5.2.12 Плоская электромагнитная волна с круговой поляризацией падает
из вакуума на поверхность плавленого кварца (s « 3.75). Определить угол па-
дения, при котором, осуществляется преобразование круговой поляризации в
линейную.
Решение.
Углом падения, при котором, осуществляется преобразование круговой
поляризации в линейную, является угол падения Брюстера фБ, при котором
коэффициент отражения волн параллельной поляризации равен нулю и
отразятся лишь волны перпендикулярной линейной поляризации. Таким об-
разом, задача сводится к расчёту угла Брюстера. Для немагнитного диэлек-
трика без потерь этот угол определяют по формуле:
ф5 = arctgjz = arctg^3.15 = arctgl .936 = 62° 5 0'.
Ответ: угол падения, при котором поляризация отраженной волны бу-
дет линейной: фБ = 62° 50'.
5.2.13 Плоская электромагнитная волна с круговой поляризацией пада-
ет из вакуума под углом ф на границу раздела со средой, показатель прелом-
124
ления которой равен 1.531. Найти вид поляризации отраженной волны для
углов падения 0°, 45°, 56°5Г.
Решение. При решении этой задачи используем формулы для опреде-
ления коэффициентов отражения волн параллельной поляризации (вектор
Ё лежит в плоскости падения) и волн перпендикулярной поляризации
(вектор Ё перпендикулярен плоскости падения). Для немагнитного диэлек-
трика без потерь эти формулы имеют вид:
п д/s - sin 2 ф “ 8 ’ cosф
Re = /	• 2 =	’
у 8 —Sin (p + 8-COS(p
— /
COS(p +д/8-sin2 ф
Величину относительной диэлектрической проницаемости для подста-
новки в эти формулы определяем через показатель преломления п:
п-уЦлЁ = 71-8 = 7s;	8 = п2 = 1.5312 = 2.334.
1.	Для ф = 0°:
Ц д/s — sin2 ф — 8 • созф 7s-8 1-7ё	± 1-7ё
. ?=	_ ~т -: /= ’	: т= •
д/8-sin2 ф+8-СО8ф	л/8+8	1 + V 8	1 + д/8
Так как для ф = 0° R^ = R^, то отраженная волна при этих условиях бу-
дет с круговой поляризацией.
2)	Для ф = 45°:
rH _ д/е - sin2 ф - 8 • созф _ 72.344 - 0.5 - 2.344 • 0.707 _
д/s - sin 2 ф + 8 • cos ф 72.344-0.5 +2.344-0.707
_ со8ф-д/е-8П12ф _ 0.797-72.344-0.5 _
cos ф + д/е - sin 2 ф 0.797 + 72.344-0.5
Так как для ф = 45° R^ Ф R", то отраженная волна при этих условиях
будет иметь эллиптическую поляризацию с отношением длин осей эллипса:
Rf 0.315 „
—1- =-----= 3.42.
0.092
3.	Дляф = 56°5Г:
п _ д/е — sin 2 ф - 8 • cos ф _ 72.344-sin2 56°5Г - 2.344 • cos 56°5 Г _
д/е-sin 2 ф + е • cos ф 72.344-sin 2 56°5Г + 2.344 • cos 56°5 Г
72.344-sin2 56°51' + 2.344 • cos 56°5 Г
125
Поскольку для (р = 56°5Г	- 0, то отраженная плоская волна парал-
лельной поляризации отсутствует, а угол ф = 56°5Г является углом Брюстера.
При этом отразятся лишь волны перпендикулярной линейной поляризации.
Ответ: ф = 0° - поляризация круговая; ф = 45° - поляризация эллипти-
ческая с отношением осей 3.42; ф = 56°5Г - отразятся лишь волны перпенди-
кулярной линейной поляризации.
5.2.14 Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в среде с
параметрами £ = 2.25, ц = 1, а = 0, падает под углом 45° на границу раздела
между средой и вакуумом. Определить коэффициент отражения для волн, по-
ляризованных в плоскости падения и перпендикулярно ей.
Решение.
Вычислим показатель преломления щ для первой среды - пластины ди-
электрика с £пл = £ = 2.25 и ц = 1:
пх = д/ц£ = л/1 • е = л/2.25 =1.5.
Вычислим показатель преломления и2 для второй среды - вакуума с £ =
1 и ц =1:
Вычислим угол полного внутреннего отражения фпво-
77	1	1
Ф7750 = arcsin — = arcsin —= = arcsin — = arcsin 0.666 = 41.18'.
nx	y/s	1.5
Угол падения ср = 45° > фпво = 41.18'. В этом случае преломлённой вол-
ны в общепринятом смысле не существует. Падающая волна полностью от-
ражается внутрь среды. Коэффициенты отражения R^ волн параллельной
поляризации (вектор Е лежит в плоскости падения) и R^ волн перпендику-
лярной поляризации (вектор Е перпендикулярен плоскости падения) остают-
ся равными единице. Будет изменяться только фаза коэффициентов отраже-
ния:
С	[— _ ехр< 2 j • arctg 	1	(г .11 sm ср- 2	2 j	1 8Г Mi J 82	COSCp
Re - ехр< 2 j • arctg
J sin 2 ф -
Mi
М2
£2 * М2
< si" М-1 )
СО8ф
126
В нашем случае (si = 2.25, 82 = 1, Ц| = Ц2 = 1, ф = 45°) получим:
^sin2 45°
1-1 >
2.25-1J
cos45°
exp(j’73°40');
• 2	1,1
sin 45 - --------
U.25-1J
> = exp(j36°40').
cos 45°
Ответ: Коэффициенты отражения для волн, поляризованных в плос-
кости падения (R^) и перпендикулярно ей (R^) равны: R% = -ехр(/73°40');
-exp(j36°40').
5.2.15 Плоская электромагнитная волна распространяется в безгранич-
ной плоскопараллельной пластине диэлектрика с 8ПЛ под углом 0 к границе
раздела с вакуумом. При каких условиях волна не будет покидать пластину.
Решение.
Волна не будет покидать пластину, когда угол падения <р = 90° - 0 будет
равным или больше угла полного внутреннего отражения <р > фпво- Вычис-
лим показатель преломления П\ для первой среды - пластины диэлектрика с 8
= 8плиц=1:
Вычислим показатель преломления т?2 для второй среды - вакуума с 8 =
1 и ц =1:
П2 - д/ц8 - д/ПТ - 1.
Вычислим угол полного внутреннего отражения (рпво-
. .1
Флво = arcsin — = arcsin .— .
"1
Ответ: волна не будет покидать пластину при выполнении неравенств
90° - 0 > arcsin
или sin( 90° - 0) >
1
127
5.3 Задачи для самостоятельной работы
5.3.1 Плоская электромагнитная волна падает нормально из воздуха на
границу раздела со средой, имеющей параметры: ст, 8, ц = 1. Определить ком-
плексные коэффициенты отражения RE и преломления ТЕ на частоте f. Пола-
гая, что амплитуда магнитной индукции падающей волны в плоскости z = О,
совпадающей с границей раздела, равна Вт, записать выражения для мгно-
венного значения напряженности электрического поля отраженной волны.
Значения а, 8,/и Вт приведены в таблице 5.1 и зависят от номера варианта,
представляющего трёхзначное число.
Таблица 5.1 - Исходные данные к задаче 5.3.1
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
ст, См/м	0.15	0.2	0.3	0.04	0.5	0.6	0.03	0.08	0.09	0.07
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
8	32	18	26	15	24	12	47	36	28	13
мгц	32	48	56	45	64	72	77	96	68	83
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Тл	2	1.8	1.6	1.5	1.4	1.2	0.4	0.6	0.8	1
5.3.2 Плоская электромагнитная волна с перпендикулярной поляриза-
цией падает из воздуха под углом ср на границу раздела с диэлектриком, име-
ющим 8, ц = 1. Амплитуда вектора напряженности магнитного поля падаю-
щей волны равна Н. Найти амплитуды векторов напряженности магнитного
поля отраженной и преломленной волн. Значения <р, 8 и Н приведены в таб-
лице 5.2 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.
5.3.3 Найти фазовую скорость и глубину проникновения неоднородной
плоской волны при падении плоской волны из среды 1 с параметрами 81 Ф 1,
Pi = 1 на границу раздела со средой 2 имеющей параметры 82 = 1, Ц2 = 1.Угол
падения ф будет больше угла полного внутреннего отражения фпво в и раз,
частота поля f. Значения и, 8 и/приведены в таблице 5.3 и зависят от номера
варианта, представляющего трёхзначное число.
128
Таблица 5.2 - Исходные данные к задаче 5.3.2
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Ф, рад	0.15	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.3	0.8	0.9	0.7
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
8	32	18	26	15	24	12	47	36	28	13
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Я, А/м	2	1.8	1.6	1.5	1.4	1.2	0.4	0.6	0.8	1
Таблица 5.3 - Исходные данные к задаче 5.3.3
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
п	1.15	1.2	1.3	1.4	1.25	1.36	1.28	1.18	1.19	1.27
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
8	3.2	1.8	2.6	3.5	2.4	4.2	4.7	3.6	2.8	3.3
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Г, ГГц	22	18	26	35	24	32	24	26	38	30
5.3.4 Плоская электромагнитная волна падает по нормали к поверхно-
сти раздела из диэлектрического полупространства с параметрами 8i, ц = 1 на
диэлектрическое полупространство с параметрами s2, ц = 1. Плотность потока
мощности плоской волны составляет Ппйа. Найдите плотность потока мощно-
сти плоской волны Япр, прошедшей внутрь диэлектрика через поверхность
раздела. Значения 81, 82 и Япад приведены в таблице 5.4 и зависят от номера
варианта, представляющего трёхзначное число.
5.3.5 Пластина толщиной d выполнена из диэлектрика без потерь с па-
раметрами 8, ц = 1. Найдите коэффициент отражения плоской электромаг-
нитной волны от этой пластины при нормальном падении, если частота поля
f. Значения d, 8 и f приведены в таблице 5.5 и зависят от номера варианта,
представляющего трёхзначное число.
129
Таблица 5.4 - Исходные данные к задаче 5.3.4
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
£1	1.15	1.2	1.3	1.4	1.25	1.36	1.28	1.18	1.19	1.27
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
£2	3.2	3.8	2.6	3.5	2.4	4.2	4.7	3.6	2.8	3.3
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
77пад, Вт/м2	22	18	26	35	24	32	24	26	38	30
Таблица 5.5 - Исходные данные к задаче 5.3.5
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
d, см	1.25	1.45	1.3	1.4	1.5	1.6	1.8	1.9	1.35	1.7
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
8	3.2	1.8	2.6	3.5	2.4	4.2	4.7	3.6	2.8	3.3
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Г, ГГц	14	13	16	15	17	12.5	14	16	18	10
5.3.6 Из диэлектрической области 1 без потерь с параметрами 8i, Ц| в
диэлектрическую область 2 без потерь с параметрами s2, М-2 под углом к гра-
нице раздела падает плоская электромагнитная волна, имеющая круговую по-
ляризацию. Определите значение угла падения, при котором поляризация от-
раженной волны будет линейной. Значения 81, ръ 82 и ц2 приведены в таблице
5.6 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.
5.3.7 На идеально проводящую плоскость из диэлектрической области 1
без потерь с параметрами s,, ц, по направлению нормали падает плоская
электромагнитная волна со средним значением потока мощности /7Ср- Вычис-
лите амплитуду вектора плотности поверхностного электрического тока на
границе раздела. Значения 81 и Ц1 приведены в таблице 5.6 и зависят от номе-
ра варианта, представляющего трёхзначное число. Значения 77Ср приведены в
таблице 5.7.
130
Таблица 5.6 - Исходные данные к задаче 5.3.6
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
81	1.15	1.2	1.3	1.4	1.25	1.36	1.28	1.18	1.19	1.27
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
82	5.2	3.7	4.6	3.5	4.4	4.2	4.7	5.6	3.8	5.3
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Ц1	1.15	1.2	1.3	1.45	1.25	1.36	1.18	1.16	1.12	1.23
Ц2	1.1	1.25	1.35	1.4	1.15	1.26	1.28	1.28	1.19	1.1
Таблица 5.7 - Исходные данные к задаче 5.3.7
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
77ср, Вт/м2	5.2	3.7	4.6	3.5	4.4	4.2	4.7	5.6	3.8	5.3
5.3.8 Амплитуда вектора напряженности магнитного поля падающей
плоской электромагнитной волны равна Н. Волна падает из вакуума по
направлению нормали к поверхности раздела на границу раздела с металлом,
параметры которого равны а и ц = 1. Вычислите амплитуду вектора напря-
женности электрического поля на поверхности раздела, если частота поля f
Значения Н, а и f приведены в таблице 5.8 и зависят от номера варианта,
представляющего трёхзначное число.
Таблица 5.8 - Исходные данные к задаче 5.3.8
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Н, А/м	1.25	1.45	1.3	1.4	1.5	1.6	1.8	1.9	1.35	1.7
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
-Д, См/м 107	3.2	1.8	2.6	3.5	2.4	4.2	4.7	3.6	2.8	3.3
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
f ГГц	4	3	6	5	7	2.5	1.4	1.6	1.8	2
131
6 РАДИОВОЛНЫ В МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕДАХ
6.1	Основные формулы
Отношение плотностей тока смещения и тока проводимости в данной
среде, выраженное в комплексной форме:
jCM	(61)
jnp оЁ а
Комплексная диэлектрическая проницаемость среды:
8=8a-y-.	(6.2)
СО
Углы падения ср, отражения ср0 и преломления срп связаны следующими
зависимостями:
sin ср п.
ф = ф0;	-----=—,	(6.3)
sm сря пх
где п{ = — - показатель преломления первой среды; п2 = — - показатель
Ц	и2
преломления второй среды.
Концентрация молекул в тропосфере Nm падает с увеличением высоты.
Это приводит к снижению диэлектрической проницаемости воздуха 8, а зна-
чит, и его показателя преломления п = 4ъ. Показатель преломления воздуха в
пределах тропосферы мало отличается от единицы при любых условиях. В
инженерных расчетах применяют индекс преломления N:
N= (п -1)4 О6.	(6.4)
В среднем значение N колеблется в пределах от 250 до 450, в зависимо-
сти от пункта наблюдения на поверхности Земли. При увеличении высоты h
индекс преломления тропосферы падает практически по линейному закону со
dN ла -1
скоростью ---= -40 км . Формула справедлива в интервале высот, не пре-
dh
вышающих несколько километров.
Непостоянство показателя преломления с высотой вызывает искривле-
ние луча, это явление называется атмосферной рефракцией. Чертеж приве-
ден на рисунке 6.1. Слой неоднородного воздуха представлен в виде двух со-
прикасающихся однородных слоев 7 и 2 с показателями преломления п\ и и2
причем П2<П\. Углы падения ф и преломления фп связаны между собой фор-
мулой (6.3):
‘’"’-р =»- = К	(65)
sin (ря пх у 8!
132
О
Рисунок 6.1 - Атмосферная рефракция
Легко видеть, что в рассматриваемом случае ф > ф, т.е. луч в неодно-
родной по высоте тропосфере искривляется в сторону земной поверхности.
Относительная диэлектрическая проницаемость и показатель прелом-
ления слоя ионосферы, имеющего электронную концентрацию Ne при частоте
f, записываются в виде:
N	f
£' = 1-80.8—7 = 1-^-;
f	f
I f/ Y
п = J1-	,
v l/J
(6.6)
где fm = 8.98^ - плазменная частота в Гц; Ne в эл/м3;/в Гц.
Полубесконечный плазменный слой полностью отражает все электро-
магнитные волны, частоты которых не превосходят критической частоты f^,
численно совпадающей с плазменной частотой fnn.
При падении плоской волны на полубесконечную плазму под произ-
вольным углом ф, который отсчитывается от направления нормали к границе
раздела плазма-воздух. В общем случае в плазме возникает преломленная
волна, угол преломления ф может быть найден из закона Снелля:
sin ф
sin фя
(6-7)
Если f < fn}l, то правая часть равенства (6.7) становится мнимой, это
означает, что угол преломления фп оказывается комплексным. Вся мощность
падающей волны при этом отражается от границы раздела назад в воздушную
среду.
Если f> fn5l (плазма прозрачна для электромагнитных волн), то прелом-
ленная волна в плазме принципиально может существовать. Однако следует
учитывать, что показатель преломления плазмы и2 является действительным
числом, но всегда меньше единицы. Поэтому в данном случае (фп > ф) воз-
можно явление полного внутреннего отражения, когда фп = 90°, так как пре-
133
ломленная волна перестает быть обычной плоской волной [1]. Критическим
углом падения фкр плоской волны на однородный плазменный слой называют
такой угол падения ф, при котором возникает полное внутреннее отражение
от границы раздела (рисунок 6.2). В соответствие с формулой (6.7):
Рисунок 6.2 - Падение плоской волны на плазменное полупространство
под критическим углом
(6.8)
Если ф > фкр, то падающая из воздуха плоская волна целиком отражает-
ся от полубесконечного плазменного слоя; если же ф < фкр, то падающая вол-
на частично преломляется внутрь плазмы.
Минимально применимая волна:
^min ^Kp’Sin А,	(6.9)
где Хкр - критическая длина волны отражающего слоя; А - угол наклона луча
к земной поверхности.
Максимально применимая частота (МПЧ) в соответствии с (6.7) удо-
влетворяет уравнению:
sin ф = 1-
,2
пл
max 7
откуда:
f	J пл
Ушах —
coscp
При отсутствии потерь за счет среды распространения связь мощности,
излучаемой на одном конце радиолинии (Рпрд), и мощности, поступающую на
вход приемника (Рпр) на другом конце радиолинии, выражается формулой
идеальной радиосвязи:
2
пр 1 прд1^ прд1^ пр
(6.10)

134
где £)прд - коэффициент направленного действия передающей антенны (КНД);
£)пр - коэффициент направленного действия приемной антенны, R - расстоя-
ние между передатчиком и приемником.
д-п-С
Г)	= ^Пр(,Прд)	z6in
^пр(прд)	~2	5	^0.11J
Л
где 5пр(Прд) - эффективная площадь раскрыва приемной (передающей) антен-
ны.
В радиоканале на входе приемника неизбежно присутствует шум, эф-
фективная мощность которого:
Рш = кТшкр	(6.12)
где к — постоянная Больцмана, Тш — шумовая температура приемника, приве-
денная к его входу, А/*— полоса пропускания приемника.
Расстояние прямой видимости при отсутствии атмосферной рефракции
(геометрический горизонт):
R-гор = 3.57(7^/ +7^*2 ) км,	(6.13)
где hi, h2- высоты передающей и приемной антенн в м.
Расстояние прямой видимости при нормальной атмосферной рефракции
(радиогоризонт):
RPE<P =4.12(7^ + 7^2) км-	(6.14)
6.2	Примеры решения типовых задач
6.2.1 Определить значение частоты, при котором в сухой почве с пара-
метрами 8 = 5, о = 10-3 См/м действительная и мнимая части комплексной ди-
электрической проницаемости становятся одинаковыми.
Решение.
В соответствие с формулой (6.2):
5 • 10-9
Re 8_ = 880 =-----= 4.42 - КГ11 Ф/м.
а 0	36л
Отсюда искомая частота:
или
/=3.6 МГц.
Таким образом, на волнах длинноволнового и средневолнового диапа-
зонов сухая почва может рассматриваться как металлоподобная среда с поте-
рями.
135
6.2.2 Известно, что на уровне земной поверхности значение индекса
преломления No = 300. Найти относительную диэлектрическую проницае-
мость воздуха 8 на земле и на высоте h = 3 км.
Решение.
Формула для определения 8 в соответствие с (6.4):
Индекс преломления на высоте 3 км:
rdN
< dh
Подставляя в формулу для определения 8, находим, что:
8(Л = 0) = 1.0006 и 8(/г = 3 км) = 1.00036.
6.2.3 Оценить эффект атмосферной рефракции для конкретных усло-
вий, описанных в задаче 6.2.2. Реальный неоднородный слой заменить двумя
однородными слоями с диэлектрическими проницаемостями 8j = 1.0006 и 82 =
1.00036. Положить угол падения ср = 70°.
Решение.
Используя полученные в задаче 6.2.2 значения индексов преломления
No = 300 и N = 180, находим показатели преломления обоих слоев по форму-
ле:
п = 10"6#+ 1,
откуда /71 = 1.0003 и п2 = 1.00018.
Подставив эти результаты в формулу (6.5), находим угол преломления:
Если путь, проходимый волной в тропосфере достаточно протяжен (10
км), то угловая ошибка в 4' приведет к погрешности в определении координа-
ты цели около Им.
6.2.4 Плоская волна падает на слой Е ионосферы с электронной плотно-
стью Ne = 1011 м“3 под углом ср = 60°. Определить наибольшее значение часто-
ты Утах, при котором еще наблюдается полное внутреннее отражение от слоя.
Решение.
Для данного ионосферного слоя плазменная частота:
fm =8.98710" = 2.84-106 Гц = 2.84МГц.
Заданный угол падения станет критическим на частоте fmax, которая
удовлетворяет уравнению:
sin 60° = — = J1-
2	]
( 2.84-106?
\ J шах 7
136
Решив это уравнение, получаем/тга = 5.68 МГц.
Вывод', при наклонном падении плазменный слой способен отражать
колебания более высоких частот, чем при вертикальном зондировании.
6.2.5 Ионосферный слой F с концентрацией электронов Ne = 1012 м-3
располагается на высоте h = 400 км от поверхности Земли. Найти наивысшее
значение частоты поля которое еще обеспечивает полное отражение
электромагнитной волны от этого слоя.
Решение.
В соответствие с рисунком 6.3, можно заметить, что угол падения вол-
ны на слой ф будет наибольшим в том случае, когда луч падающей волны А С
направлен по касательной к земной поверхности, проведенной в точке А, где
размещен передатчик. Так как ОА = ОБ = азм = 6370 км (радиус Земли), то
ВС = h = 400 км (высота слоя F), а треугольник О АС прямоугольный, то:
sin ф =
ОА
ОС
6370
6770
= 0.941,
Ф = 70°.
Рисунок 6.3 - Иллюстрация к задаче 6.2.5
Плазменная частота слоя /пл = 8.98 МГц. Поэтому искомая частота есть
корень уравнения:
Г
= sin ф = 0.941,
из которого находим, что/max = 27 МГц. Все волны с более высокими часто-
тами ни при каких условиях не могут отражаться от ионосферы.
6.2.6 Космическая линия связи имеет протяженность 400 км. Мощность
передатчика 80 Вт, длина волны 3 см. Антенны передатчика и приемника
идентичны и представляют собой параболические зеркала диаметром 1 м.
Определить мощность, поступающую на вход приемника.
137
Решение.
Геометрическая площадь каждой антенны S = 0.785 м2, эффективная
площадь 5*эф = 0.545 = 0.424 м2. В соответствие с (6.11) значение КНД каждой
антенны:
12.56-0.424
0.032
= 5900.
Подставив полученные цифры в (6.10), получим мощность на входе
приемника радиолинии Рпр = 10-9 Вт.
6.2.7 Космическая радиолиния снабжена антеннами и передатчиком,
описанными в условиях задачи 6.2.6, используется приемник с шумовой тем-
пературой 150 К. Линия предназначена для передачи телевизионного изобра-
жения среднего качества и имеет полосу пропускания шириной 4 МГц. Вы-
числить длину трассы R, при которой мощность принятого сигнала в 10 раз
превышает мощность шума, т.е. отношение сигнал/шум Сс/ ш
Р
-^ = 10.
рт
Решение.
В рассматриваемой системе мощность шума, приведенная ко входу
приемника:
Рш = 1.38-1О-23-150-4-106 = 8.28-10-15 Вт.
Чтобы реализовать заданное отношение сигнал/шум, мощность приня-
того сигнала приемником Рпр должна составить 8.28-10-14 Вт.
Уравнение идеальной радиосвязи (6.10) можно разрешить относительно
искомой длины трассы R и получить:
; (	Р	Уг
R _ —	Ур
^прд-^пр-^прд j
Подставив в формулу соответствующие значения параметров, находим,
что R = 4.38-105 км. Рассматриваемая радиолиния способна обеспечить пере-
дачу телевизионных сигналов в пределах орбиты Луны.
6.3 Задачи для самостоятельного решения
6.3.1 Определить отношение плотности тока смещения к плотности то-
ка проводимости в морской воде (sa = 8Oso, цд = Цо, а = 8 См/м) для волн с ча-
стотами /= 104; 106; 108 Гц.
6.3.2 Сравните отношения плотностей токов смещения и проводимости
в морской воде (е„ = 8Oso, ца = Цо, ст = 8 См/м) и сухой почве (е„ = 4so, ца = Цо>
су = 0.001 См/м) при частоте f= 108 Гц.
6.3.3 Электромагнитные волны с амплитудой напряженности электри-
ческого поля Е/и.пад = 1 мВ/м, распространяясь в диэлектрике (е = 2.5, ц = ц0, ст
138
= 0), падают на плоскую поверхность идеального проводника. Определить
максимальные амплитуды напряженностей полей.
6.3.4 Выразить комплексную относительную диэлектрическую прони-
цаемость 8 через длину волны X, измеряемую в метрах.
6.3.5 Для частоты f= 600 МГц определить комплексную относительную
диэлектрическую проницаемость среды е, имеющую относительную прони-
цаемость 8 = 50 и удельную проводимость а = 4-10-3 См/м. Каково соотноше-
ние между токами смещения и проводимости в данной среде?
6.3.6 Покажите, что сухая почва на частоте 300 МГц может рассматри-
ваться как диэлектрическая среда с потерями.
6.3.7 Определить критическую длину волны слоя ионосферы с элек-
тронной концентрацией Ne = 2.5-109 м-3.
6.3.8 Слой ионосферы имеет концентрацию электронов Ne = 1.5-1012 м-3.
Каковы показатели преломления ионосферы п для частот f= 2 МГц и 7 МГц?
6.3.9 Какой электронной концентрации ионизированного слоя соответ-
ствует критическая длина волны 30 м?
6.3.10 На слой ионосферы F2 с критической длиной волны Хкр = 30 м
падают электромагнитные волны под различными углами. Определите мини-
мально применимую длину волны Xmm при отвесном падении (А = 90°) и при
углах наклона лучей Л = 60°, 30°, 10°.
6.3.11 Рассмотрите задачу об атмосферной рефракции в плоскослоистой
среде, образованной соприкасающимися слоями без потерь толщиной d каж-
дый. Слои имеют убывающие по высоте показатели преломления пх > п2 > п3
> .... Известным считается угол падения на первый слой из вакуума.
6.3.12 На полубесконечную плазменную среду падает плоская электро-
магнитная волна с частотой, в 1.5 раза превышающей плазменную частоту.
Найдите значение критического угла падения на такую среду.
6.3.13 Передающий конец космической радиолинии снабжен передат-
чиком мощностью 10 Вт и зеркальной параболической антенной с площадью
100 м2. Аналогичная по конструкции приемная антенна имеет площадь 30 м2.
Рабочая длина волны 7.5 см. Приемник с полосой пропускания 1 МГц имеет
шумовую температуру 120 К. Определите предельную длину радиолинии,
при которой отношение сигнал/шум на входе приемника будет не ниже 10 дБ.
6.3.14 На сколько сократится длина линии, рассмотренной в задаче
6.3.13, если полосу пропускания приемника расширить до 10 МГц?
6.3.15 Спроектируйте линию KB-связи длиной 1200 км, работающую за
счет отражения радиоволн от слоя F ионосферы. Концентрация электронов в
слое 1.5-1012 м“3, высота слоя 260 км.
6.3.16 Найдите предельную длину трассы с прямой видимостью между
антенной Останкинского телецентра (А = 500 м) и антенной коллективного
приема телевидения, расположенной на крыше жилого дома (h = 40 м).
139
6.3.17 Передающая и приемная антенны имеют высоты h\ = hz= 10 м.
Определить расстояние R прямой видимости при отсутствии атмосферной
рефракции и при наличии нормальной атмосферной рефракции.
6.3.18 Определить расстояние прямой видимости при отсутствии атмо-
сферной рефракции и наличии нормальной атмосферной рефракции, если вы-
сота передающей антенны hi = 100 м, а приемной — Т?2 = 10 м.
6.3.19 Высота расположения передающей телевизионной антенны равна
h\ [м], расстояние между телецентром и пунктом приема равно R [км]. Опре-
делите необходимую высоту расположения приемной антенны для обеспече-
ния приема телевизионного сигнала в случаях отсутствия и присутствия ат-
мосферной рефракции.
Значения hi и R приведены в таблице 6.1 и зависят от номера варианта,
представляющего двухзначное число.
Таблица 6.1 - Исходные данные к задаче 6.3.19
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
hi, м	50	60	70	80	90	100	ПО	120	130	140
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
R, км	40	43	46	49	52	55	58	62	66	70
6.3.20 Определить электронную концентрацию ионосферного слоя Ne
[м-3], при которой наблюдается отражение волны при зондировании на часто-
те /[МГц] при угле падения ф [°].
Значения /и ф приведены в таблице 6.2 и зависят от номера варианта,
представляющего двухзначное число.
6.3.21 Какова максимально применимая частота (МПЧ) при зондирова-
нии слоя ионосферы с электронной концентрацией Ne [м-3] при угле падения
луча ф [°].
Значения Ne [м-3] и ф приведены в таблице 6.3 и зависят от номера ва-
рианта, представляющего двухзначное число.
6.3.22 Передающий конец космической радиолинии снабжен параболи-
ческой антенной площадью 400 м2. Приемная параболическая антенна имеет
площадь 36 м2. Рабочая длина волны равна 10 см. Мощность передатчика со-
ставляет 10 Вт. Определите предельную длину радиолинии, при которой от-
ношение сигнал/шум на входе приемника будет не ниже 10 дБ, если прием-
ник имеет полосу пропускания А/, шумовую температуру Т.
140
Значения А/[МГц] и Т [К] приведены в таблице 6.4 и зависят от номера
варианта, представляющего двухзначное число.
Таблица 6.2 - Исходные данные к задаче 6.3.20
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
/МГц	0.1	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0	8.5
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
ф,°	0	9	18	27	38	45	54	63	72	80
Таблица 6.3 - Исходные данные к задаче 6.3.21
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Ne, М“3	108	5-Ю8	109	5-109	1010	5-Ю10	1011	5-Ю11	1012	2-Ю12
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Ф,°	80	72	63	54	45	36	27	18	9	0
Таблица 6.4 - Исходные данные к задаче 6.3.22
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
А/МГц	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Г, К	200	180	160	140	135	130	125	120	115	ПО
141
7 ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
РАЗЛИЧНЫХ ДИАПАЗОНОВ
7.1 Основные формулы
(7.1)
В свободном пространстве (8=1,ц=1,а = 0) амплитуда напряженно-
сти электрического поля в точке наблюдения (точке приема):
V60G,^'
^0 max
Г
где G) - коэффициент усиления передающей антенны относительно изотроп-
ного излучателя; Р( - мощность, подводимая к передающей антенне; R - рас-
стояние от точки передачи до точки приема.
При расчете радиолиний в диапазоне сверхдлинных (СДВ), длинных
(ДВ), средних (СВ) и коротких волн пользуются не амплитудным, а действу-
ющим значением напряженности поля, которое в условиях свободного про-
странства (7.1):
(7.2)
/7	_ ^0 шах _ v
од~ V2 ” R
Если к вертикальному электрическому вибратору, расположенному на
идеально проводящей плоскости (а = оо), подвести такую же мощность, как и
в случае его расположения в свободном пространстве, то за счет распределе-
ния излученной мощности только в верхнем полупространстве плотность по-
тока мощности возрастет в 2 раза, а напряженность поля в д/2 раз по сравне-
нию со свободным пространством, т.е. Е^д - 41Ецд или с учетом (7.2):
760G,/>'
R
Сверхдлинные и длинные волны до расстояний 300...400 км распро-
страняются преимущественно как поверхностные. При таких расстояниях
действующее значение напряженности поля, создаваемое вертикальным элек-
трическим вибратором, установленным на Земле, можно вычислять с помо-
щью формулы:
(7.3)
£3м.д кзм(р),	(7-4)
где Етд - действующее значение напряженности поля над идеально проводя-
щей плоскостью; Кзм(р) - модуль множителя ослабления, показывающий во
сколько раз напряженность поля над реальной Землей меньше напряженности
поля над идеально проводящей плоскостью, при прочих равных условиях.
Если Е выразить в мВ/м, Р{ в кВт, R в км, то формула (7.4) приобретает сле-
дующий вид:
142
Езм.д = 245^'G1 узм(р) [мВ/м].
Л
(7.5)
Формула для множителя ослабления Кзм(р) без вывода дается в [10]:
^ЗЛг(р)-
1 - j • д/лре р - 2е Р7р J ех dx
(7.6)
о
где р - параметр, называемый численным расстоянием (безразмерная вели-
чина):
TtR	_х
2р«	,	.	(7.7)
^х^зм + (60X.G ЗЛ/)
Формула (7.4), в которой Кзм(р) определяется формулой (7.6) с учетом
формулы (7.7) называется формулой Шулейкина - Ван-дер-Поля. Кривые за-
висимости множителя ослабления Кзм от численного расстояния р приведены
на рисунке 7.1.
Рисунок 7.1 - Зависимость множителя ослабления Кзм
от численного расстояния р
Кривая 1 относится к случаю 60А.стзм » 8зм, что характерно для длин-
ных (сверхдлинных волн) и хорошо проводящих почв. Кривая 2 соответству-
ет бОХсгзм « 8зм, что справедливо для коротких волн и плохо проводящих
волн.
Сравнение расчетов по формуле Шулейкина - Ван-дер-Поля, справед-
ливых для плоской Земли, и точной дифракционной формулы Фока показы-
вает, что приближение плоской Земли справедливо для расстояний:
7?<7-103-?Л.	(7.8)
При этом ошибка вычисления напряженности поля, связанная с неуче-
том сферичности Земли, не превышает 10%.
На расстояниях свыше 400 км в диапазонах СДВ и ДВ необходимо учи-
тывать влияние отраженной от ионосферы волны. Расчет напряженности поля
143
в этом случае сводится к решению распространения радиоволн в сфериче-
ском волноводе, образованном поверхностью земли и нижней границей ионо-
сферы. Так как формулы, полученные в результате строго решения, сложны,
то инженерный расчет напряженности поля в диапазоне СДВ и ДВ произво-
дят по эмпирическим формулам. Обычно ведут расчеты по формуле Остина:
ЕД
ЗООл/р _ 120л-/гд-/д
R ' СФЗМ~ X R
' ^СФ.ЗМ >
(7.9)
^СФ.ЗМ ~
где Р - излучаемая мощность, [кВт]; R - расстояние между передатчиком и
пунктом приема, [км]; /?д - действующая высота антенны, [м]; /д - действую-
щее значение тока у основания антенны, [А]; X - длина волны, [м]; Рсф.зм -
функция ослабления для сферической Земли, которая определяется выраже-
нием:
-----	0.0014А
— •в z°6 .	(7.10)
sin 0
В (7.10) X и R выражены в км, а центральный угол 0[/?tzd] =-, я3м -
азм
радиус Земли.
Для расчета напряженности поля средних волн днем (напряженность
поля поверхностной волны) широко применяются графики Международного
Консультативного Комитета по Радио (МККР), которые представляют ре-
зультат расчета напряженности поля по дифракционным формулам для раз-
ных проводимостей подстилающей поверхности. На рисунке 7.2 приведены
такие графики для почвы с параметрами: 8зМ = 4, азм = 10”3 См/м.
Значения напряженности поля, приведенные на графиках, соответству-
ют излученной мощности 1 кВт и короткой вертикальной передающей антен-
не (элементарному вибратору), стоящей на поверхности идеальной Земли. Ре-
ально напряженность поля, определенную из графика, следует умножить на
д/GjP/, где Р( - мощность, подводимая к передающей антенне, [кВт]; G\ -
коэффициент усиления передающей антенны в направлении вдоль Земли, вы-
численный по отношению к элементарному электрическому вибратору, рас-
положенному на идеальной Земле.
В ночное время кроме земной волны необходимо учитывать наличие
волны, отраженной от ионосферы. Напряженность поля ионосферной волны
Еи [мкВ/м] рекомендуют определять, используя результаты статистической
обработки измерений, проведенных на Европейском континенте [10]:
-ехр^-8.94-10 4-Г0’26  R^,	(7.11)
где Р/ выражена в киловаттах, а все длины - в километрах.
В [10] приводятся многочисленные графики, позволяющие внести по-
правку на время суток, уровень солнечной активности, ДН антенны и др.
144
Езн,дб
7ДО
до
ДО
ДО
lllllllllllllllllllll IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIIIIIIIIIIHIIIIIIIIIIII
lllllllllllllllllllll IIIIIIIIIIIIIIIIIII llllllll II lllllllllllir...........
iill'lilllllllllllli IIIIIIIIIIIIIIIIIII lllllllllllllllllllll
:MlllllliR!lllllll llllllllllllllllllll IIIIIIIIIII IIIIIIIIIII
:<l|k!<№!4lllllii;i!9IIIIIIIIHIIIIIIII llllllll II IIIIIIIIIIII
!lli!l|i:!lt:!l||||| lllllliilHIIllllllll llllllll II IIIIIIIIIII I________
UkN)i!'lk!llli!<l	llllllll II IIIIIIIIIII IIIIIIIIIHIHII
*i>!lli!!lbi!hk!!ll i;!!Uli:<it;№i:<<i;:'!!llll II IIIIIIIIIII Г...........
is!ii;*iii:iiti!iihi!iiii:<iiiti:<ii:!iiiiii:««i:!;:!!<!!iiiiiiiii
iiii*!::*iii!iii:!iiii:!Hi:iiii;!!iiii!iii:!iiiiii!!iti;:!h:c;:!iiL.
iiiiiHi;:!i:’i;!iiii:!Hii:4i:iiiii:4iih!’ik’iiiiiir;!!'iik’i;.'«ihi:!_________
llllilllllli:s:<li;!!i|ii!lli:!lii9Illi!i|lll>Hii!<llllllli2Uli;!ti:!ll№:^UI
iiiiiiiiiiiiiihis:iiii;!ii;Hih:ii:.'iiii;!iiii:!iii;:!iiiiiii:<iiii!ii;!iiiiii;L..................................
iiiiiiiiiiiiiiiiiii!h;s!4;Hiiisti»:«G:!iii:!iiiii;!uiii:i|iiiiii;iii»;iih^!;i!i);!M!^^^<iiiiiiiiiniftinr
iiiiiiiiiHiiiiiiiiiiiiiiik:s!iih!ik:4ii;!ii:4i)i:!iiiiikMG!iiiiiii:iii!i;^>:;i!iiiii!ii:iii>:‘<iiii:!!iiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiimiiiiiii:!i;9ik!iii:!!ii:!ii:!iiiiii!Hik!iii;!iiii!ii!;ih!ih:!iiiiiiiiii:!iii;!^!iiiiini;!iiii
HiiiiiiiiiHiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiK:!ii:!iik!iiii!iii;i<iii!iiii;!iik:iiiiiii2iiik!iiii;!iiiiiiiiii:<№$k;:!iiiiiiiiii
llllllllllllllll
llllllllllllllll
llllllllllllllll
llllllllllllllll
llllllllllllllll
llllllllllllllll
IIIIQ^III
llllliaHlli
го
-го
llliillllllll
llliillllllll
llliillllllll
1ИГ
Illi
Illi
Illi
III!
Ill
lit
III
inn
ini
IIHI
Hill
Hill
Hill
Hill
Illi Illi
Illi Illi
Esh.mxB/h
iiiiiini i iiiiiiiiiiiiiiii
i iiiniiii i iiiiiiiiiiiimii
ШП1П llllllllllllllll
I lllllllll I lllllllll Hint
mu_____________
jiiii циннии
iiiiiini iiiiiiiiiiii
llllllll iiiiiiiiiiii
Illi
11Ш11111111№1!11)
111111111И1!ШШ1
IlllllllllWmi
11111>;(Ш!Ш11Ш
IllifflOWSniil
ргдо’/хгдо'У
Lzw’fw;
Loo^sooo^
\/30”(ЮООО”)
llllllllll
lllllllll
llllllllll
llllllllll
llllllllll
llllllllll
llllllllll
llllllllll
llllllllll
llllllllll
Illi
Illi
Illi
Illi
Lw5
г
\ю4
kJ
IIHI
Hill
Hill
.......ЛП11
iiiniiiiiiiiiiii
iiiii:i!!iiiiiiii
Гг
(w5
UlHllffiJ ITIIIIIINI InJtmJIИIIIIlilllllIТГНнШ
ijii!:«!iii|ih;!!ii«’»:’i!;;’!h:’iii!uiii;iiiii,;i[ib4iiiiHii:iiiK’iik'’iiiiiii!iiiiiiiiiiii
!iiii!s^<»:ii!*:iiit»i!k<i!:<h:iii);MK<inii:iiiiiiMK4iii]iiiKqiii»^:iiiiiiiiiiiiiiiiii
!iiii!si!;oi:<i:!:i^ii;»ii:<b:iii:iiii£iiiMii№:iiiKUh'iiiiiiiii^iiiib4bViiiiiiiiiiiiiiii
i!'iii!si!iii!!i !:!<^i!iii:<ih:u!iii;!ii;<h:<iiiiii:ui?iiMii!iiiiii;iii»iK<iiiiiiiiiiiiiii
!:iii»n;ii!:ii!!hi^k!ik!iii:4HM:i|i^iik!iii«iiiiii4ihMii:iiiiiiiiiiMiMih44iiiiiiHii
i!iii!!n:ii!:niiiiiiiMi4i:4»M^i;Uk<ii№iiiiL4ii:iikiiiiiiiiii4ii'ih:<>4iiiifiii
||!1ши!»п iiiiiiiiii:<i;<k2(iiJiii<^ihMii:(ii;iiiKiiii<№iiiiniiiiMi miiimiihiii
iUiiiiiiiiii i iiiiiiiiiiih:i^um:iib4h«ifkM[K'iKiiibUih4iniiiiiiiiriiiifiiimiiiiii
llliillllllll I ll^llllllllll^nKMIi4№lh!llhlkllli:ilininilllllll!’llllh1lkMllll
।I! j uiHiiHiiiiiiiKiijijMiJiiMbMhiiikiniikiii^iniiiiiiiiLJiiiiKiiiknuiii
!!!	!!! >!!!!	n tiiliiiiiici^i^iHiPh’fi^ikJiHiih'iHiiHiiiiiiiiL’iiiiiinilJHlli
\7,5”(Ю1 И
/7ДОИ J
З’’/W”? J
Z"(t50”) J
Wiool J
Г (300”/ J
\7ШМГц(429”)\
\2
и
к
к

dlllitl
г
h# J

о
2	3 b 567 69 г J 4 5 6 7 89	2	3 Ъ 7'6'9'	2	5 '« У k ’zij’
1	10	100	1ШЮ
Рисунок 7.2 - Зависимость напряженности поля для почвы
OTP n
' ^OTP
(7-12)
Ослабление поля на коротковолновых (КВ) радиолиниях вызвано рас-
ходимостью волны, поглощением в ионосфере, отражением от поверхности
Земли и другими причинами.
Одним из основных методов расчета напряженности поля является
метод, предложенный А.Н. Казанцевым [10]. Наибольшую точность этот ме-
тод обеспечивает при расчете трасс, проходящих в средних широтах.
В соответствие с указанным методом действующее значение напряжен-
ности поля в точке приема:
узо/;у(л) 1 1+я,
Д Я 2	2
Поясним структуру этой формулы.
Первый множитель соответствует полю в свободном пространстве.
Здесь Р( - мощность, подводимая к передающей антенне; 6) (А) - коэффици-
ент усиления передающей антенны относительно изотропного излучателя с
учетом влияния Земли, т.е. G)(A) = G!imax7?2(A), где F(A) - нормированная ДН
передающей антенны в вертикальной плоскости с учетом влияния Земли; А -
угол возвышения траектории волны; R — путь, проходимый волной от точки
передачи до точки приема.
Второй множитель соответствует уменьшению поля (или мощно-
сти) на 6 дБ. Из них 3 дБ А.Н. Казанцев относит за счет того, что приемная
145
антенна имеет линейную поляризацию, а волна в процессе отражения от
ионосферы приобретает эллиптическую (а иногда и круговую) поляризацию.
Другие 3 дБ обусловлены тем, что волна в ионосфере расщепляется на обык-
новенную и необыкновенную; необыкновенная составляющая сильно погло-
щается, а для приема оказывается полезной только половина излученной
мощности.
Третий множитель + ^)П> (7?0ТР - коэффициент отражения) учитывает
влияние отраженной от Земли волны в месте расположения приемной антен-
ны. Если бы приемная антенна В (рисунок 7.3) находилась на оптимальной
высоте /ь над земной поверхностью, то волны 7 и 2 имели бы одинаковую фа-
зу в точке приема и результирующее поле (при горизонтальной поляризации)
имело бы значение (1 + 7?отр)^о, где Ео — поле прямой волны 1. В реальных
условиях вследствие колебаний высоты отражающего слоя обеспечить опти-
мальное сложение волн 7 и 2 не удается, и А.Н. Казанцев берет среднее зна-
чение коэффициента, учитывающего влияние отраженной от Земли волны, а
1 +
именно-----отр Обычно выбирают среднее значение 7?Отр порядка 0.8.
Рисунок 7.3 - Влияние отраженной от Земли волны
в месте расположения приемной антенны
Четвертый множитель R^P учитывает дополнительные потери при от-
ражении от Земли в промежуточных точках в случае многоскачкового рас-
пространения. Здесь п — число отражений от ионосферы. На односкачковых
линиях (с одним отражением от ионосферы) п = 1 и R'(yIP -1.
Наконец, пятый множитель ехр(-Ги) учитывает поглощение в ионосфе-
ре.
Полный интегральный коэффициент поглощения Ги определяется как
сумма поглощения в тех слоях ионосферы, которые волна проходит (неот-
клоняющее поглощение), и поглощения в отражающем слое ионосферы (от-
клоняющее поглощение). В литературе имеется обширная информация для
определения в зависимости от различных параметров радиотрассы.
При проектировании радиолинии необходимо учитывать не только
диапазонные особенности распространения радиоволн, но шумовые характе-
146
ристики радиотрасс и технические характеристики антенн, радиоприемных и
радиопередающих устройств. В качестве примеров рассмотрим расчет косми-
ческой радиолинии и наземной радиолинии декаметрового диапазона [11].
Первым шагом при проектировании космической системы радиосвязи
является расчет радиолинии: спутниковый ретранслятор - наземная станция
или абонентский терминал.
Исходными данными для такого расчета являются:
-	протяженность линии радиотрассы — прямого луча - между антеннами
спутника и наземной станцией, т.е. значения R;
-	выбор диапазона частот или длины волны X;
-	выбор типа антенн и определение их параметров (эффективной пло-
щади антенны SA, коэффициента усиления антенны G =
4^,
А2
-	определение затухания в атмосфере Земли _ВТР с помощью таблиц или
графиков в зависимости от длины волны X;
-	определение затухания в антенно-фидерных трактах спутниковой и
наземной радиостанций 5ФИд;
определение требуемой полосы пропускания радиоприемника по
промежуточной полосе Д/пр, исходя из заданной скорости передачи сообще-
ния, выбранного метода модуляции и нестабильности частоты сигналов не-
сущей и гетеродина;
-	определение требуемого соотношения сигнал-шум на входе блока об-
работки сигнала радиоприемника Сс/ць
-	расчет реальной чувствительности радиоприемника.
Реальная чувствительность радиоприемника, определяемая мощностью
радиосигнала на его входе для получения требуемого соотношения сигнал-
шум Сс/ш на выходе линейной части приемника с учетом шумов канала ра-
диосвязи и собственных шумов устройства, определяется в виде [11]:
Р„п, =kWCt,,ш 7'"' +	[Вт],	(7.13)
где кТо = 4-10-21 Вт/Гц - спектральная плотность шума при стандартной тем-
пературе То = 290 К;
Л	пл - эквивалентная температура шума линии связи;
Т	щ.прм - эквивалентная температура шума приемника, пересчитанная к
его входу;
А/пр - полоса пропускания тракта промежуточной частоты до блока об-
работки сигнала [Гц].
Та же чувствительность приемника, выпаженная в децибелах относи-
тельно мощности в 1 Вт:
Ли/.м = 101g Л™ = -174 + 101g 4/1^] +10 Ig Q1Ш +
Ч-lOlg +Tlll.lll'U [дБ Bmy
k ^0 J
(7.14)
147
В формулах (7.13) и (7.14) значение температуры шумов канала радио-
связи 7щл(/), обусловленной радиоизлучением Галактики и атмосферным по-
глощением, можно определить с помощью графиков, приведенных на рисун-
ке 7.4.
100	1000	10000
Рисунок 7.4 — Значение температуры шумов канала радиосвязи
Конечная цель расчета радиолинии состоит в определении мощности
радиопередатчика, обеспечивающей устойчивую радиосвязь при передаче
требуемого объема информации с заданной скоростью.
Предположим, что точечный источник равномерно излучает сигнал
мощностью Ризл по всей сфере. Тогда на расстоянии R на площадке размером
Sa мощность сигнал составит:
(7.15)
р _ 1 ИЗЛ^А
С 47гЯ2
Заменив Рс на реальную чувствительность радиоприемника Рпрм> а РИзл
на произведение Рпер^ант? получим из (7.15) с учетом коэффициентов потерь
в тропосфере и фидере (5Тр и Вфид) следующую формулу по определению
требуемой мощности радиопередатчика:
_ 4л7? РпрмВтрВФИд
*пер — г с
^ПЕР^ ПРМ
где £прм - площадь приемной антенны.
При неизменной площади передающей (£пер) и приемной (5прм) антенн
4л5'
(с учетом Ga- —2^") преобразуем (7.16) к виду:
(7.16)
148
р R1- РпрмВтрВфид	/7 17х
*ПЕР —	Q q	•	\'Л')
ПЕР ПРМ
При неизменном значении коэффициентов усиления антенн формула
(7.17) примет вид:
_ (4 л)2 R РПРМВтрВФИд
РпЕР -	•	(7-!о)
Л ^ПЕР^ ПРМ
Для проведения расчетов значения параметров, входящих в формулы
(7.16) - (7.18), целесообразнее выразить в децибелах. Тогда, например, фор-
мула (7.16) примет вид:
РПЕР.дБ = 101g РПЕР =
= 71 + 201g 7?[км] + 101g РПрм + 101§(5Тр5фИд) - 101g GnEp - 101g 5Прм- (7.19)
Перепишем формулу чувствительности радиоприемника в децибелах
относительно 1 Вт (7.14) в следующем виде:
Рпрм.дб = 101g Рпрм = -174 + 101g ДДкГц] + 101g Сс/Ш + 101g К? [дБ Вт], (7.20)
ту Рщл + Рш.ПРМ	-	1 1	Z
где Кт =--------------- - реальный коэффициент шума (с учетом шума ли-
Ро
нии радиосвязи).
При работе в декаметровом (КВ) диапазоне волн и использовании в ка-
честве антенн четвертьволновых вибраторов расчет проводится по мето-
дике, разработанной академиком Б.А. Введенским [11]. В основе такой мето-
дики лежат две формулы, позволяющие рассчитать линию УКВ радиосвязи
не только в пределах прямой видимости, но и за линией радиогоризонта. Рас-
стояние до линии радиогоризонта для идеальной модели Земли, т.е. шара ра-
диусом 6370 км:
Rrop =3.57(7^ + 7^) [км],	(7.21)
где h\, /ь - высота поднятия антенн в пунктах приема и передачи сигнала [м].
Напряженность электрического поля в точке приема при четвертьвол-
новом вертикальном вибраторе в месте излучения сигнала:
г г>/ -1	z-т 77ч
Е= v [мкВ/м],	(7.22)
А/V Jx^pjx^
где Pi - излучаемая мощность [Вт]; X - длина волны [м]; R - протяженность
радиолинии [км]; КР > 1 - коэффициент дополнительных потерь, учитываю-
щий затухание сигнала вдоль трассы распространения волны за счет атмо-
сферы и разного рода препятствий — зданий и иных сооружений; К3 - коэф-
фициент загоризонтной радиосвязи.
Значение КР определяется экспериментально для разных трасс распро-
странения радиоволн при определенной частоте сигнала. Согласно проведен-
ным измерениям в г. Москве при частоте 40 МГц значение КР колеблется в
пределах 5... 10.
149
При использовании декаметрового диапазона волн можно выделить три
зоны приема: ближнюю, среднюю и дальнюю.
Ближней будем называть зону приема в пределах прямой радиовидимо-
сти, т.е. в теоретической модели распространения радиоволн при R < 7?ГОР.
В средней зоне, лежащей за линией радиогоризонта и ориентировочно
ограниченной пределами 7?гор < R < (2...3)7?ГОР, прием сигнала возможен за
счет явлений дифракции и рефракции, приводящих к искривлению луча и
распространению поверхностной волны, огибающей Землю.
В дальней зоне, лежащей за пределами R » 7?гор, прием сигнала воз-
можен за счет пространственной волны и ионосферной рефракции, что поз-
воляет удлинить трассу радиоприема до 3000...4000 км.
В радиосвязи декаметрового диапазона используются ближняя и сред-
няя зоны приема, в загоризонтной радиолокации - средняя и дальняя. Следует
иметь в виду, что деление зон приема на ближнюю и среднюю зоны в реаль-
ных условиях достаточно условно, поскольку в ближней зоне (7? < 7?ГОР) из-за
рельефа местности и разного рода строений, особенно в условиях города, ра-
диовидимость между пунктами связи может отсутствовать, а прием основы-
ваться на явлении дифракции, т.е. огибании поверхностной радиоволной пре-
пятствий. Будем, однако, для определенности считать, что в формуле (7.22) в
ближней зоне, т.е. при R < 7?гор, коэффициент К3 = 1, а все дополнительные
потери в радиотрассе учитывать за счет коэффициента КР. В средней зоне, т.е.
при 7?гоР В < (2...3)/?гоь возникают дополнительные потери, учитываемые с
помощью коэффициента загоризонтной радиосвязи:
\ВГОР
(7.23)
где п > 1 - показатель степени, зависящий от многих факторов, в том числе,
рельефа местности, состояния атмосферы и частоты сигнала. Согласно экспе-
риментальным данным для диапазона частот 30...40 МГц значение п = 1.5...3.
Поскольку значение п возрастает с повышением частоты сигнала, то при за-
горизонтной радиосвязи более предпочтителен диапазон 27...58 МГц, чем
146... 174 МГц.
При вертикальном четвертьволновом вибраторе в месте приема мощ-
ность сигнала на входе радиоприемника с входным сопротивлением 50 Ом
[И]:
800
•10 12 [Вт].
(7.24)
к 7
Подставив (7.22) в (7.24), получим:
(7.25)
150
Согласно (7.25) при антеннах - вертикальных четвертьволновых вибра-
торах на обоих концах радиолинии - мощность принимаемого сигнала не за-
висит от длины волны и с расстоянием уменьшается по закону
Выразим (7.25) в децибелах относительно уровня в 1 Вт:
Т’пр.дб = -1Ю+ 104gA + 204g(/71/72) - 404g7? - 204gKP - 204g£3 [дБ Вт]. (7.26)
В частности, при мощности Р\ = 10 Вт и КР = 10 Вт из (7.26) имеем:
РПр.дБ = -120 + 204g(/z1/z2) - 404gP - 204g£3 [дБ Вт]. (7.27)
Значение Рпр.дб, вычисленное по (7.27), должно превышать реальную
чувствительность приемника £7Ч. пр [мкВ] при входном сопротивлении 50 Ом,
определяемую как:
Л.ПР.ДБ [дБ Вт] = -137 + 204gt74.np.	(7.27, а)
При чувствительности t/ч.пр = 1 мкВ значение Рч.пр.дб [дБ Вт] = -137 дБ
Вт.
При чувствительности Т/ц.пр = 0.1 мкВ значение Рц.пр.дб [дБ Вт] = -157
дБ Вт.
На линии радиогоризонта при Pi = 10 Вт, КР = 10 и К3 = 1 из (7.27) с
учетом (7.21) получим:
Л,,,.-142 + 401И .++ [дБ Вт].	(7.138)
yjh} + д/ h2
При получении (7.28) использовано очевидное соотношение:
20 • lg(hxh2) = 40 • 1g	.
Согласно (7.28), например, при hi = 10 м и Л2 = 20 м имеем: РПр дб =
131.3 дБ Вт, т.е. уровень сигнала в точке приема РГОр = 27.2 км соответствует
чувствительности приемника в 2 мкВ. Следовательно, при реально достижи-
мой чувствительности радиоприемника 0.1 мкВ запас уровня сигнала в точке
приема превышает 20 дБ. Такое превышение сигнала позволяет организовать
радиосвязь не только в области до радиогоризонта, но и за его пределами. Как
показали экспериментальные исследования, при частоте 40 МГц дальность
линии радиосвязи превышает значение Prop в 2...4 раза, т.е. при умеренной
высоте подъема антенн в 10...20 м может достигать 50... 100 км.
7.2 Примеры решения типовых задач
7.2.1 Найти действующее значение напряженности электрического по-
ля, создаваемого вертикальным электрическим диполем с излучаемой мощно-
стью Р{ = 25 кВт и коэффициентом усиления (коэффициентом направленного
действия) 1.5 на расстоянии R = 300 км от передающей антенны, если пере-
датчик работает на волне X = 3000 м. Расчет поля произвести для случая рас-
151
пространения радиоволн над почвой с параметрами 8 = 4, о = 10”2 См/м по
формуле (7.5) и графику (рисунок 7.1).
Решение.
По формуле (7.7) вычисляем численное расстояние 2р:
71 'Г	71-3-105
2р «	.	=-------.	«0.18
+ (60Х• п,,, )2 3• 103 VI6 + 602 • 3 106  0.012
Так как бОстХ » 8, то, воспользовавшись рисунком 7.1, находим Кзм(р)
0.95. Действующее значение поля найдем по формуле (7.5):
Ew,д = 245/^ . ки, (р) = 245	4,5  0.95 = 4.8 [мВ/м].
7.2.2 Вычислить напряженность поля на расстоянии R = 2000 км по
данным задачи 7.2.1, приняв радиус Земли <2ЗМ = 6370 км.
Решение.
Так как при распространении длинных (СДВ) волн в основном опреде-
ляется потерями при отражении от ионосферы и почти не зависит от свойств
земной поверхности, над которой распространяются волны, действующее
значение напряженности поля определяем по формуле Остина (7.9).
Для этого находим центральный угол 0:
м R 2000	п 100
0/,/« —=------= 0.314	или 0«18 .
а 6370
Находим множитель функции ослабления (7.10):
/0.314
V 0.309
= 1.008.
Вычисляем второй множитель функции ослабления:
0.0014
е *°б	=0.16.
Затем находим Рсф.зм = 1.008-0.16 «0.16.
Действующее значение напряженности поля находим по (7.9):
„ зооТв _300V25	.
Ед- r 'Есф.ум - 2000 ’6-16-0.12 [мВ/м].
7.2.3 Найти действующее значение напряженности электрического поля
в ночные часы, создаваемого вертикальным электрическим диполем с излуча-
емой мощностью Р[ = 12 кВт и коэффициентом усиления G\ = 1 на расстоя-
нии R = 1500 км от передающей антенны, если передатчик работает на волне
X = 900 м. Расчет поля произвести для случая распространения радиоволн над
почвой с параметрами 8 = 4, ст = 10-2 См/м.
152
Решение.
Расчет произведем по формуле (7.11), учитывающей земную и отра-
женную от ионосферы волну.
ЕИ д =	• ехр(- 8.94 • 10“4 • Г0'26
V R
^И.Д
10233
71500
7124-ехр(-8.94-10’4
О.9-0'26 • 15Оо)= 915.2 • 0.232 ® 230 мкВ/м.
7.2.4 Определить зависимости расстояния прямой видимости [км] при
отсутствии атмосферной рефракции (геометрический горизонт) и при нор-
мальной атмосферной рефракции (радиогоризонт) в зависимости от высоты
поднятия антенн в точках передачи и приема - hl, h2 [м]. Расчеты проводить
по формулам 6.13 и 6.14.
Решение.
Ниже приведен листинг программы расчета (MathCAD 2001) и графики
зависимости (рисунок 7.5) расстояний прямой видимости R [км] в случае от-
сутствия атмосферной рефракции. Расчеты проведены для трех значений вы-
соты /?2 (5, 15 и 30 м),	высота h\ изменялась в пределах 0... 100 км.
hl :=	0,10..	100	h2	:=	5	Rl(hl) := 3.57 • (Thl +	7^)
h2	:=	15	R2(hl) := 3.57 • (>/hT +	yjW2)
h2	:=	30	R3(hl) := 3.57 • (x/hl +	>/h2)
Рисунок 7.5 - Зависимости расстояний прямой видимости R [км] в случае
отсутствия атмосферной рефракции
Ниже приведен листинг программы расчета (MathCAD 2001) и графики
зависимости (рисунок 7.6) расстояний прямой видимости R [км] в случае от-
сутствия атмосферной рефракции (геометрический горизонт) R2(h\) и при
нормальной атмосферной рефракции (радиогоризонт) А1(/ц). Расчеты прове-
дены для высоты 7?2 = 15 м, высота h\ изменялась в пределах 0... 100 км.
153
hl := 0.10.. 100
Rl(hl) := 4.2 • (Vhl + 7^2)
112 := 15	R2(hl) := 3.57 • (>/KT + 7©
Рисунок 7.6 - Графики зависимости расстояний прямой видимости R [км]
в случае отсутствия атмосферной рефракции
и при нормальной атмосферной рефракции
7.2.5 Определить зависимости требуемой мощности радиопередатчика
на линии радиогоризонта в зависимости от высоты поднятия четвертьволно-
вых антенн над уровнем Земли при трех значениях РПр дб- При расчетах ис-
пользовать формулы (7.22 - 7.28).
Решение.
В составленной программе (нижеследующий листинг MathCAD 2001)
введены обозначения:
-	P(hl), P(h2), P(h3) - требуемая мощность радиопередатчика Р1, дБ Вт;
-	Кр — коэффициент дополнительных потерь КР;
-	Kz - коэффициент загоризонтной радиосвязи К3;
-	Рг - чувствительность радиоприемника Рпр.дб;
-	hl, h2 - высота поднятия антенны над уровнем Земли hi, h2, м;
-	R - протяженность радиотрассы R, км.
На рисунке 7.7 представлены графики зависимости мощности радиопе-
редатчика [дБ Вт] от высоты поднятия антенны hi при h2 = const = 20 м.
154
Kp:=10	Kz:= 1
/-13(Л
Pi:= -140
k-150;
, < Jhl + JhTj
F(hl) :=40-log N _ N
I.	Vhbh2 )
112 := 20
ORIGIN^ 1
hl := 0.10.. 100
P 1(111) := 132+ 20- log(Kp) + 20- log(Kz) + Pr + F(hl)
PXhl) := 132+ 20- log(Kp) + 20- log(Kz) + Pro + F(hl)
Рисунок 7.7 - Зависимости P\(h\) при Zr2 = 20 м для трех значений чув-
ствительности радиоприемника Рг\, Рг2, Ргз [дБ Вт]
7.2.6 Произвести расчет линии космической радиосвязи по формулам
(7.19) - (7.20) при следующих исходных условиях:
-	орбита спутника - низкоорбитальная...........R = 1000 км;
-	полоса пропускания радиоприемника............А/= 40 кГц;
-	температура шума радиолинии..................ТШл = 700 К;
-	температура шума радиоприемника..............Тш.прм = 500 К;
-	требуемое соотношение сигнал-шум.............Сс/ш =10;
-	коэффициент потерь в атмосфере...............7?Тр = 3 дБ;
-	коэффициент потерь в фидерах.................5ФИД = 2 дБ;
-	коэффициент усиления передающей антенны......Спер	= Ю;
2
-	площадь приемной антенны....................*5прм	= 0.1 м .
155
Решение.
Согласно (7.19) определим реальную чувствительность радиоприемни-
ка спутникового ретранслятора:
Т’прм = -174 + 104g 40 + 10-lgl0 + 104g 4 = -174 + 16 + 10 + 6 = -142 дБ Вт.
Согласно (7.20) мощность радиопередатчика наземного абонента:
/’пер = 71 + 204g 1000 - 142 + 2 + 3 - 104g 10 - 101g 0.1 = -6 дБ Вт
или РПер = 0.25 Вт.
Как видно из приведенного примера, для радиосвязи наземного абонен-
та со спутником в виду работы прямым лучом достаточна мощность радиопе-
редатчика с весьма малой мощностью в 250 мВт.
Листинг программы по расчету космической линии радиосвязи соглас-
но (7.19) приведен ниже. В программе приняты следующие обозначения:
-	P1(R), P2(R), P3(R) - требуемая мощность радиопередатчика Рпер, дБ
Вт;
-	Рг - чувствительность радиоприемника РПрм, дБ Вт;
-	R - протяженность радиотрассы R, км;
-	Bt - потери в тропосфере ЛТР, дБ;
-	Bf- потери в фидере ЛФИД, дБ;
-	Ga - коэффициент усиления передающей антенны Спер;
-	S - площадь приемной антенны S^pm, м2.
R := 500.750.. 20000 ORIGIN:= 1	< -137''
Рг:= -142
Bt:=3	S:=0.1 Bf:=2 Ga:= 10
y—15 ' J
P1(R) := 71 +	20 • log(R) +	Bt +	Bf -	101og(Ga) -	10 •	log(S) +	Pr
P2(R) := 71 +	20 • log(R) +	Bt +	Bf -	101og(Ga) -	10 •	log(S) +	Pr,
P3(R) := 71 +	20 • log(R) +	Bt +	Bf -	101og(Ga) -	10 •	log(S) +	Pi;
На рисунке 7.8	приведены	зависимости Рпер.дбСЮ	при трех значениях
чувствительности радиоприемника: -137, -142, -157 дБ Вт. Графики позво-
ляют проследить, как меняется требуемая мощность спутникового передатчи-
ка в зависимости от протяженности радиотрассы и параметров антенн, чув-
ствительности радиоприемника, затухания в атмосфере и за счет фидера.
156
Рисунок 7.8 - Зависимости /пер.дб(Я)
при трех значениях чувствительности радиоприемника
7.3 Задачи для самостоятельного решения
7.3.1 Найти действующее значение напряженности электрического по-
ля, создаваемого вертикальным электрическим диполем с излучаемой мощно-
стью Р{ = 25 кВт и коэффициентом усиления Ст, = 1.5 на расстоянии R = 300
км от передающей антенны, если передатчик работает на волне X [м]. Расчет
поля произвести для случая распространения радиоволн над почвой с пара-
метрами 8, а [См/м].
Значения Z, 8 и с приведены в таблице 7.1 и зависят от номера вариан-
та, представляющего трёхзначное число.
7.3.2 Вычислить напряженность поля на расстоянии R [км] по данным
задачи 7.2.1, приняв радиус Земли <язм = 6370 км.
Значения Р[, г и X приведены в таблице 7.2 и зависят от номера вариан-
та, представляющего трёхзначное число.
7.3.3 Вычислить действующее значение напряженности поля, создавае-
мое вертикальным электрическим диполем с излучаемой мощностью Р{ [кВт]
и коэффициентом направленного действия 1.5 на расстоянии R [км] от пере-
дающей антенны, если передатчик работает на волне X [км]. Принять радиус
Земли <язм = 6370 км.
Значения Р{, г и X приведены в таблице 7.3 и зависят от номера вариан-
та, представляющего трёхзначное число.
157
Таблица 7.1 - Исходные данные к задаче 7.3.1
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
X, м	1-Ю3	9-103	2-103	3-103	4-103	5-103	6-103	7-103	8-103	1.5103
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
в	25	20	15	10	9	8	7	6	5	4
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
о, См/м	2	0.6	0.2	0.8	0.06	0.4	0.2	0.08	0.02	0.01
Таблица 7.2 - Исходные данные к задаче 7.3.2
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
X, м	1-Ю3	9-103	2-103	з-ю3	4-103	5-103	6-103	7-103	8-103	1.5-103
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Р[, кВт	100	80	60	50	40	30	20	10	5	2
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
R, км	300	250	200	180	160	140	120	100	90	80
158
Таблица 7.3 - Исходные данные к задаче 7.3.3
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
X, м	1-Ю3	9-103	2-103	3-103	4-103	5-103	6-103	7-103	8-103	1.5-103
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Р[, кВт	100	80	60	50	40	30	20	10	5	2
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Л-1000, км	16	14	12	10	8	6	4	2	1.5	1
7.3.4 Найти действующее значение напряженности электрического поля
в ночные часы, создаваемое вертикальным электрическим диполем с излуча-
емой мощностью Р[ [кВт] и коэффициентом усиления Gi = 1 на расстоянии R
[км] от передающей антенны, если передатчик работает на волне X [м].
Значения Р[, R и X приведены в таблице 7.4 и зависят от номера вари-
анта, представляющего трёхзначное число.
Таблица 7.4 - Исходные данные к задаче 7.3.4
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
X, м	1-Ю3	9-102	8-102	7-102	6-102	5-102	4-102	3-102	2-102	1.1-102
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Р{, кВт	100	90	80	70	60	55	25	30	40	50
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
г-1000, км	1.1	1.3	1.5	1.7	2.0	1.8	1.6	1.4	1.2	1
159
7.3.5 Определить зависимость расстояния прямой видимости R [км] в
зависимости от высоты поднятия антенн в точках передачи и приема Л2
[м]: A = ^(a//zi2+/z22)-
Значения К, hi и /г2 приведены в таблице 7.5 и зависят от номера вари-
анта, представляющего трёхзначное число.
Таблица 7.5 - Исходные данные к задаче 7.3.5
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
к	3.57	3.6	3.7	3.8	3.9	4.0	4.05	4.1	4.15	4.2
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
hi, м	10	15	20	25	30	35	40	45	50	60
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
/г2, м	1 ...20	2...30	3...40	4..50	5...60	5...50	4...40	3...30	2...20	1...40
7.3.6 Определить зависимости требуемой мощности радиопередатчика
на линии радиогоризонта в зависимости от высоты поднятия четвертьволно-
вых антенн (hi, /?2) над уровнем Земли при чувствительности радиоприемника
РПрм [дБ Вт]. При расчетах считать, что коэффициент дополнительных потерь
КР = 10, а коэффициент загоризонтной радиосвязи К3 = 1. Для решения задачи
использовать формулы (7.13) - (7.18).
Значения РПрм, и /?2 приведены в таблице 7.6 и зависят от номера ва-
рианта, представляющего трёхзначное число.
7.3.7 Произвести расчет реальной чувствительности радиоприемника
спутникового ретранслятора линии при следующих исходных условиях:
-	орбита спутника - низкоорбитальная...........А, км;
-	полоса пропускания радиоприемника............А/ кГц;
-	температура шума радиолинии..................ГШл = 700 К;
-	температура шума радиоприемника.............Гш.прм	= 500 К;
-	требуемое соотношение сигнал-шум............Сс/ль
-	коэффициент потерь в атмосфере...............7?ТР = 3 дБ;
-	коэффициент потерь в фидерах.................5ФИД = 2 дБ;
-	коэффициент усиления передающей антенны......Спер	= Ю;
2
-	площадь приемной антенны....................*5прм	= 0.1 м .
160
Значения R, Afn Сели приведены в таблице 7.7 и зависят от номера ва-
рианта, представляющего трёхзначное число.
Таблица 7.6 - Исходные данные к задаче 7.3.6
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Рпрм, дБ Вт	120	125	130	135	140	145	150	152	154	156
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
/гь м	10	15	20	25	30	35	40	45	50	60
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
/г2, м	1...20	2...30	3...40	4..50	5...60	5...50	4...40	3...30	2...20	1...40
Таблица 7.7 - Исходные данные к задаче 7.3.7
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
R-103, км	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	6
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Л/ кГц	10	20	30	35	40	45	50	55	60	70
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Сс/ш	5	6	7	8	9	10	12	13	14	15
7.3.8 Определить требуемую мощность бортового спутникового радио-
передатчика в зависимости от протяженности радиотрассы, чувствительности
радиоприемника и коэффициенте потерь в атмосфере по следующим данным:
-	орбита спутника - низкоорбитальная.............R, км;
161
-	полоса пропускания радиоприемника...........А/= 40 кГц;
-	температура шума радиолинии.................Тшл = 700 К;
-	температура шума радиоприемника.............Тцгпрм = 500 К;
-	требуемое соотношение сигнал-шум............Сс/ш =10;
-	коэффициент потерь в атмосфере..............7?ТР, дБ;
-	коэффициент потерь в фидерах................5ФИД = 2 дБ;
-	коэффициент усиления передающей антенны.....Спер = 1;
-	площадь приемной антенны....................бпрм = 0.5 м2.
Значения R, Рпрм и 7?ТР приведены в таблице 7.8 и зависят от номера ва-
рианта, представляющего трёхзначное число.
Таблица 7.8 - Исходные данные к задаче 7.3.8
Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
R-103, км	1	1.5	2	3	4	5	6	8	10	12
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Рпрм, дБ Вт	120	125	129	132	134	137	140	143	146	153
Третья цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
#гр, дБ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
162
8 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
8.1 Тема 1. Элементы векторного анализа
1.1	Величина работы, которую совершает сила F на прямолинейном
пути S, есть: а) вектор; б) скаляр; в) не определена.
1.2	Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если вектора: а)
коллинеарны; б) ортогональны; в) единичные.
1.3	Векторное произведение двух векторов равно нулю, если вектора: а)
компланарны; б) ортогональны; в) единичные.
1.4	Производная от вектора A.(t) есть: а) отрезок соединяющий концы
векторов A(t) и A(t + dt); б) перпендикуляр к векторам A(t) и A(t + dt); в) ка-
сательная к линии L описываемой вектором Л(/);
1.5	Если вектор С постоянный (не зависит от t), то производная от век-
тора вида — [f(t)c] оказывается: а) перпендикулярна вектору Л = К(/)-С; б)
dt
параллельна вектору А; в) в общем случае ответ и не а), и не б).
1.6	Из второго закона Ньютона следует, что: а) работу производит лишь
тангенциальная составляющая силы; б) работу производит лишь нормальная
составляющая силы; в) обе составляющие силы искривляют траекторию.
1.7	Градиент скалярной функции всегда есть: а) вектор; б) скаляр; в) за-
висит от выбранной системы координат.
1.8	Дивергенция векторного поля всегда есть: а) вектор; б) скаляр; в)
зависит от выбранной системы координат.
1.9	Дивергенция векторного поля это: а) количество силовых линий,
начинающихся в бесконечно малом объеме; б) поток поля А через поверх-
ность этого объема; в) скорость изменения проекции вектора вдоль соответ-
ствующей координаты.
1.10	Ротор векторного поля есть: а) новое векторное поле; б) псевдовек-
тор; в) циркуляция поля по замкнутому контуру.
163
8.2 Тема 2. Основные положения теории электромагнетизма
2.1	Векторное поле A(x,y,z) задано однозначно, если: а) известна
divA(x,y,z); б) известен rotA(x,y,z); в) известны divA(x,y,z)n rotA(x,y,z).
2.2	Необходимым и достаточным условием потенциальности поля явля-
ется: a) divA(x,y,z)=0; б) rotA(x,y,z) = 0; в) divA(x,y,z) = 0 и rotA(x,y,z) = 0.
2.3	Необходимым и достаточным условием соленоидальности поля яв-
ляются: a) divA(x,y,z) = 0‘, б) rotA{x,y,z)-Q‘, в) divA(x,y,z) — 0 и
rotA(x,y,z) = 0.
2.4	Из формулы для силы Лоренца следует, что фокусировку пучка за-
ряженных частиц можно осуществить: а) электрическим полем; б) магнитным
полем; в) необходимо использовать оба поля.
2.5	Увеличить кинетическую энергию пучка заряженных частиц можно:
а) электрическим полем; б) магнитным полем; в) необходимо использовать
оба поля.
2.6	Собственными токами электромагнитного поля являются: а) ток
проводимости; б) ток смещения; в) поляризационный ток.
2.7	Ток генератора есть: а) сторонний ток; б) собственный ток; в) ток
проводимости.
2.8	Если в выбранной точке пространства div В = 0, то: а) магнитные
силовые линии замкнуты; б) векторное поле В нигде не имеет источников; в)
магнитные заряды в природе отсутствуют.
2.9	Электромагнитное поле в магнито диэлектрике определено, если из-
вестны: а) абсолютная диэлектрическая проницаемость; б) абсолютная маг-
нитная проницаемость; в) относительная диэлектрическая и магнитная про-
ницаемость.
2.10	В средах, в которых вектора D и Е, либо вектора В и Н являются
не коллинеарными, диэлектрическая, либо магнитная проницаемости являют-
ся: а) тензорами; б) функциями координат; в) независимыми от координат.
164
8.3	Тема 3. Уравнения Максвелла
3.1	Предпочтительнее пользоваться уравнениями Максвелла в инте-
гральной форме, если: а) известно в явном виде уравнение контура, охваты-
вающего электромагнитное поле; б) известны в явном виде уравнения конту-
ра и поверхности, через которую проходят силовые линии; в) известны в яв-
ном виде уравнения контура, поверхности и объема, содержащего электриче-
ские заряды.
3.2	Принцип суперпозиции электромагнитных полей заключается в том,
что: а) общее решение уравнений Максвелла есть сумма частных решений; б)
общее решение есть сумма частных решений помноженных на произвольные
постоянные коэффициенты аь где z - номер частного решения; в) общее ре-
шение есть произведение частных решений.
3.3	Мгновенное значение вектора, гармонически изменяющегося во
времени, есть: а) реальная часть от комплексной амплитуды; б) реальная
часть самого вектора; в) мнимая часть самого вектора.
3.4	Амплитуды двух гармонически изменяющихся во времени векторов
имеют вид Ех- Ео- ix и Ё2- jE0  ix. Из условия следует, что: а) вектора па-
раллельны орту ix; б) образуют в пространстве угол 90 °; в) вектор Ё2 опе-
режает вектор Ёх по фазе на четверть периода.
3.5	Вектор Пойнтинга для гармонического процесса имеет вид:
ej2(at
где: а) первое слагаемое есть колеблющаяся часть мощности, а второе -
усредненная за период плотность потока мощности; б) первое слагаемое есть
усредненная за период плотность потока мощности, а второе - колеблющаяся
часть мощности, среднее значение которой за период равно 0; в) оба слагае-
мых описывают плотность потока мощности переносимой электромагнитным
поле.
3.6	Из четвертого уравнения Максвелла divB = Q следует, что магнит-
ных зарядов в природе не существует. Однако при расчете, например, антенн
вводят сторонний магнитный токуст с целью: а) придания симметричного ви-
да первого и второго уравнений Максвелла; б) если известно решение для
вектора Е, то автоматическая запись решения для вектора Н осуществляется
путем простой замены е <-> ца, j^T jxr; в) доказательства дуальности
(двойственности) электромагнитного процесса.
3.7	Введение стороннего магнитного тока позволяет: а) доказать лемму
Лоренца; б) не позволяет доказать лемму Лоренца; в) лемма Лоренца не имеет
отношения к магнитному току.
165
3.8	Для того, чтобы найти мгновенное значение поля в методе ком-
плексных амплитуд, необходимо: а) домножить реальную часть на показа-
тельную функцию вида exp(-ycoZ); б) домножить реальную часть на показа-
тельную функцию вида ехр(/со/); в) поделить на показательную функцию вида
ехр(/оЦ).
3.9	Действительная часть диэлектрической проницаемости
(8Д = 8^ + уе") определяется: а) процессами поляризации в веществе; б) поте-
рями на Джоулево тепло; в) процессами распространения волны в веществе.
3.10	Тангенс угла диэлектрических потерь определяется только: а) ве-
личиной мнимой части диэлектрической проницаемости; б) величиной дей-
ствительной части диэлектрической проницаемости; в) отношением мнимой
части к действительной части диэлектрической проницаемости.
166
8.4	Тема 4. Плоские электромагнитные волны
4.1	Математической моделью однородной плоской волны является
функция: a) A(z, t) = Amcos(ort - fiz); 6) A(z, t) = R.e{AmQ~®ze!&t}', в) A(z, t) =
Re| A!ne№:}.
4.2	Мгновенные значения функции A(z, f) определяется аргументами: d)
(x, у, z, i); 6) (x, y, t); в) (z, t).
4.3	Колебания в точке с координатой Z > 0 запаздывает по фазе на вели-
чину: a) 0z радиан; б) (со/ - 0z) радиан; в) art радиан.
4.4	Плоскостью равных фаз или волновым фронтом называется плос-
кость: а) перпендикулярная оси Z; б) плоскость, удовлетворяющая при любых
t уравнению cot - 0z = const; в) плоскость XOY (волна распространяется вдоль
оси z).
4.5	Процесс распространения электромагнитной волны характеризуется
коэффициентом распространения у = а + /0, где а - коэффициент ослабления,
Р - коэффициент фазы. Волновой процесс осуществляется, если: а) у - ком-
плексное число; б) у - мнимое число; в) у - действительное число.
4.6	Электромагнитная волна является плоской однородной волной
только в случае, если: а) Ех Ф О, Еу = Ez = 0; б) отличная от нуля проекция Ех
дЕ дЕ
удовлетворяет уравнению -	= 0; в) Еу Ф 0, Ех = Ez = 0 и
ЗЕУ дЕУ 0
дХ д¥
4.7	В однородной плоской волне векторы Е и Н : а) перпендикулярны;
б) Е ± Н и перпендикулярны оси распространения Z; в) ориентированны про-
извольно.
4.8	Волна называется правополяризованной, если: а) Ех = Ewicos art; б)
Ех = Emicos art, Еу = Em2sin art; в) Ех = Emicos art, Еу = -Em2sm cot
4.9	Комплексный характер характеристического сопротивления среды
означает, что: а) среда с потерями на Джоулево тепло; б) среда с потерями,
вектора Е и Н колеблются не синфазно; в) имеется сдвиг фаз между векто-
рами Е и Н, пропорциональный тангенсу угла диэлектрических потерь.
4.10	Волновой вектор к плоской волны образует одинаковый угол 0 с
положительными направлениями осей х, у, z декартовой системы координат.
Каков этот угол? Ответ, а) 30°; б) 45°; в) 57.74°.
167
8.5	Тема 5. Граничные условия для векторов электромагнитного
поля
5.1	Нормальные составляющие вектора магнитной индукции на границе
раздела двух сред: а) претерпевают скачок; б) непрерывны; в) не определены.
5.2	Касательные составляющие векторов напряженности магнитного
поля: а) непрерывны; б) претерпевают скачок; в) непрерывны, если проводи-
мость су границы раздела конечна.
5.3	На границе раздела идеального проводника плотность поверхност-
ного электрического тока численно равна: а) касательной проекции вектора
напряженности магнитного поля; б) касательной проекции вектора магнитной
индукции; в) нормальной проекции вектора магнитной индукции.
5.4	Нормальные составляющие векторов электрического смещения на
границе раздела двух сред: а) непрерывны; б) претерпевают скачок; в) непре-
рывны, если на границе отсутствуют электрические заряды.
5.5	Нормальные составляющие векторов напряженности электрическо-
го поля на границе раздела: а) претерпевают скачок; б) непрерывны; в) пре-
терпевают скачок, если на границе отсутствуют электрические заряды.
5.6	Касательные составляющие векторов напряженности электрическо-
го поля на границе раздела двух сред: а) непрерывны; б) претерпевают ска-
чок; в) претерпевают скачок только на границе идеального проводника.
5.7	Силовые линии электрического вектора подходят к поверхности
идеального проводника: а) по нормали; б) по касательной; в) угол преломле-
ния всегда равен нулю.
5.8	Если диэлектрическая проницаемость второй среды стремится к
бесконечности то, независимо от ориентации электрического поля в первой
среде, на границе раздела двух сред имеет место только: а) нормальная; б) ка-
сательная; в) обе составляющие электрического поля.
5.9	Граничные условия имеют место только: а) в окрестности выделен-
ной точки на поверхности; б) на всей поверхности раздела; в) на всей поверх-
ности раздела, исключая особые точки.
5.10	Вектор нормали к границе раздела берется со знаком плюс, если: а)
восстановлен к внешней границе; б) восстановлен к внутренней границе; в)
всегда.
168
8.6	Тема 6. Радиоволны в материальных средах
6.1	Неоднородной изотропной средой являются среды с материальными
константами вида: а) ьа(х, у, z), цд = ц0; б) ьа(х, у, z), цДх, у, z); в) ъа = 80, у,
?)-
6.2	В земной атмосфере приближение геометрической оптики справед-
ливо для волн радио диапазона: а) диапазона ДВ; б) диапазона СВ; с) диапазо-
на УКВ.
6.3	Метод геометрической оптики не учитывает такого явления, как: а)
интерференцию; б) лучевую картину поля; в) дифракцию радиоволн.
6.4	Поверхностный слой Земли является: а) полупроводником; б) ди-
электриком; в) имеет электрические свойства металла.
6.5	Диэлектрическая проницаемость тропосферы претерпевает про-
странственные и временные изменения. Причиной таких изменений является:
а) магнитное поле Земли; б) гравитационное поле Земли; в) тепловое поле
Земли.
6.6	Какая часть атмосферы Земли является дисперсионной средой: а)
стратосфера; б) ионосфера; в) тропосфера.
6.7	Плотность атмосферы ростом высоты уменьшается, т.е. > n(z), где
По показатель преломления у поверхности Земли. Плоская волна, падающая
на границу слоя под углом 0О, будет: а) распространяться прямолинейно; б)
угол 0 будет уменьшаться с увеличением z; в) угол 0 будет увеличиваться.
6.8	Явление поворота луча имеет место, если: а) 0 = 0; б) n(zn) = nosin 0О;
71
в) 0О —> —, где 0О - угол падения волны на границу слоя, n(zn) - показатель
преломления на высоте zn, ty - показатель преломления у поверхности Земли.
6.9	Тропосферная волноводная рефракция - это: а) отрицательная ре-
фракция; б) критическая рефракция; в) положительная рефракция.
6.10	Критическая частота ионосферного слоя определяется: а) концен-
трацией ионов; б) концентрацией электронов; в) концентрацией нейтральных
молекул.
6.11	Максимально применимая частота (МПЧ) зависит от: а) мощности
излучения Ри; б) от критической (плазменной) частоты в) от угла падения
волны на границу слоя 0О.
6.12	Диэлектрическую проницаемость тропосферы можно рассчитать,
если известны: а) давление газа; б) давление водяных паров (абсолютная
влажность воздуха); в) температура.
169
8.7	Тема 7. Особенности распространения радиоволн различных
диапазонов
7.1	Для устойчивой КВ связи в зависимости от состояния ионосферы
возникает необходимость смены рабочих частот f?. При этом определяют
максимальную частоту (МЧ) /мч, максимально применимую частоту (МПЧ)
/мпч> наименьшую применимую частоту (НПЧ) /нпч и оптимально рабочую
частоту (ОРЧ)/орч- Рабочую частоту f? выбирают, исходя из условия: <а) /нпч
fp ^/мпч; б)/ццЧ ^fp ^Уорч; в)/р =УоРЧ-
7.2	Радиолинии УКВ работают в условиях прямой видимости. Опыт-
ным путем установлено, что длина радиотрассы несколько больше, причиной
тому является: а) дифракция; б) рефракция; в) интерференция.
7.3	В каких районах ионосферные магнитные бури вызывают наиболее
сильное нарушение КВ связи (от нескольких часов до нескольких суток):
а) в районе экватора; б) в приполярных районах; в) в районах низких
широт.
7.4	В диапазоне КВ прием сопровождается непрерывными изменениями
уровня сигнала во времени (замираниями). Самой эффективной мерой борьбы
с замираниями является: а) применение приемника с повышенным динамиче-
ским диапазоном; б) прием на разнесенные в пространстве антенны; в) ис-
пользование в приемнике системы АРУ.
7.5	По какой формуле ведется расчет радиолинии (СДВ, ДВ, СВ) при
низко расположенных антеннах: а) по интерференционной формуле Б.А. Вве-
денского; б) по квадратичной формуле Б.А. Введенского; в) по формуле Шу-
лейкина - Ван-дер-Поля.
7.6	Расчет КВ радиолинии земным лучом дает наибольшую дальность R
в случае, если радиолиния расположена: а) над почвой средней влажности
(поверхность гладкая); б) над пустыней; в) над морем.
7.7	Внутренний радиус мертвой зоны КВ радиолинии определяется
электрическими свойствами: а) подстилающей среды; б) тропосферы; в)
ионосферы.
7.8	В результате своеобразных вспышек активности Солнца происходят
нарушения КВ связи, причиной этому является воздействующие на атмосфе-
ру Земли: а) рентгеновское излучение; б) потоки заряженных частиц; в) уль-
трафиолетовое излучение.
7.9	В зоне приема ионосферных волн может наблюдаться явление пере-
крестной модуляции: при настройке приемника на частоту f может прослу-
шиваться передача другого, мощного передатчика, при этом несущая частота
мешающего передатчика/^ не входит в полосу пропускания приемника. Яв-
ление перекрестной модуляции характерно для радиоволн диапазона:
а) средних волн; б) коротких волн; в) длинных волн.
170
7.10	На космических радиолиниях, как правило, используются частоты
из диапазона 1...10 ГГц. Нижняя частота этого диапазона (1 ГГц) выбрана,
исходя из уровня шумов: а) космического происхождения; б) шумов нагретой
земной атмосферы; в) радиоизлучением земной поверхности.
7.11	На космических радиолиниях, как правило, используются частоты
из диапазона 1... 10 ГГц. Верхняя частота этого диапазона (10 ГГц) выбрана,
исходя из уровня шумов: а) космического происхождения; б) шумов нагретой
земной атмосферы; в) радиоизлучением земной поверхности.
7.12	Интенсивность радиоизлучения атмосферы при изменении угла
возвышения (угла места Л) радиолинии в пределах от 0 до 90°: а) увеличива-
ется; б) уменьшается; в) остается неизменным
7.13	Интенсивность радиоизлучения поверхности Земли при изменении
угла возвышения (угла места А) радиолинии в пределах от 0 до 90°: а) увели-
чивается; б) уменьшается; в) остается неизменным
171
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн. - М.:
Высшая школа, 1992.
2.	Никольский В.В. Математический аппарат электродинамики. Учебное
пособие. -М.: МИРЭА, 1973.
3.	Мисюркеев И.В. Сборник задач по методам математической физики. -
М.: Просвещение, 1975.
4.	Сборник задач по курсу «Электродинамика и распространение радио-
волн» / Под ред. С.И. Баскакова. - М.: Высшая школа, 1981.
5.	Зайцев И.А., Лурье А.Г. Задачник по теоретическим основам электро-
техники. -М.: ГЭИ, 1961.
6.	Говорков В.А., Купалян С.Д. Теория электромагнитного поля в упраж-
нениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1963.
7.	Фуско В. СВЧ цепи. Анализ и автоматизированное проектирование. -
М.: Радио и связь, 1990.
8.	Корогодов В.С. Техническая электродинамика. Сборник задач. - Томск:
ТУСУР, 2001.
9.	Грудинская Г.П. Распространение радиоволн. - М.: Высшая школа,
1967.
10.	Ерохин Г.А. Антенно - фидерные устройства и распространение радио-
волн. - М.: Горячая линия - Телеком, 2004.
И. Каганов В.И. Радиотехника+компьютер+MathCAD. -М.: Горячая линия
- Телеком, 2001.
12.	Шостак А.С. Основы электродинамики и распространение радиоволн.
Электромагнитные поля и волны. - Томск: ТУСУР, 2005.
13.	Шостак А.С. Основы электродинамики и распространение радиоволн.
Распространение радиоволн. - Томск: ТУСУР, 2005.