/
Автор: Фишер В. Грауэрт Г. Либ И.
Теги: анализ математика дифференциальное исчисление интегральные уравнения естественные науки
Год: 1971
Текст
Heidelberger Taschenbucher Band 26
DIFFERENTIAL-
UND INTEGRALRECHNUNG
I
Hans Grauert • Ingo Lieb
FUNKTIONEN EINER REELLEN VERANDERLICHEN
II
Hans Grauert • Wolfgang Fischer
DIFFERENTIALRECHNUNG IN MEHREREN VERANDERLICHEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
III
Hans Grauert • Ingo Lieb
INTEGRATIONSTHEORIE. KURVEN- UND
FLACHENINTEGRALE
SPRINGER-VERLAG
Berlin . Heidelberg . New York 1967—1968
ГАНС ГРАУЭРТ, ИНГО ЛИБ и ВОЛЬФГАНГ ФИШЕР
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Перевод с немецкого
И. А. ВАЙНШТЕЙНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1971
УДК 517.1
Эта книга представляет собой начальный курс математического
анализа, рассчитанный на математиков и физиков. В его основе
лежат лекции, читанные авторами в Гёттингенском университете.
Курс отличается строгостью и систематичностью построения.
Классический характер изложения удачно сочетается в нем с
новыми идеями и подходами. Наряду с теорией рассматривается много
приложений к геометрии и физике.
Авторы книги — активно работающие математики. Старший
из них Г. Грауэрт известен своими фундаментальными
исследованиями в области комплексного анализа.
В русском издании собраны в одну книгу три тома немецкого
издания. Первый том посвящен функциям одного переменного,
второй содержит дифференциальное исчисление функций нескольких
переменных и теорию дифференциальных уравнений, третий —
общую теорию интегрирования и физические приложения.
Книга очень полезна для всех, кто изучает, преподает или
применяет математический анализ. Она может служить учебным
пособием для студентов математических и физических
специальностей университетов и педагогических институтов, а также
высших технических учебных заведений с углубленным изучением
математики.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3
24—71
Г. Грауэрт, И. Либ, В. Фишер
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Редактор Н. И. Плужникова.
Художник А. В. Шипов. Художественный редактор В. И. Шаповалов.
Технические редакторы: Г. Белицкая, Ы. Грибова. Корректор О. К. Румянцева,
Сдано в набор 26/Ш 1971 г. Подписано к печати 5/Х 1971 г. Бумага № 2
60x901/16 = 21,25 бум. л., 42,5 печ. л. Уч.-изд. л. 38,91. Изд. М 1/5772. Цена 2 р. 92 к.
Зак. 832
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР». Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография JSfi 16 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете
Министров СССР. Москва, Трехпрудный пер., 9.
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Предлагаемый вниманию читателя курс дифференциального
и интегрального исчисления написан известным математиком,
профессором Геттингенского университета (ФРГ) Г. Грауэртом в
сотрудничестве с И. Либом и В. Фишером. В немецком издании он
составляет три небольших тома; первый и третий из них написаны Г.
Грауэртом и И. Либом, а второй — Г. Грауэртом и В. Фишером. При
переводе было решено для удобства читателей соединить их в одной
книге.
Первый том посвящен дифференциальному и интегральному
исчислению функций одной переменной, второй —
дифференциальному исчислению функций нескольких переменных и обыкновенным
дифференциальным уравнениям и третий — теории интегрирования
в Шп. Заключает третий том глава, в которой рассказывается о
приложениях теории интегрирования дифференциальных форм к
электродинамике. В предисловиях к каждому тому (эти предисловия
помещены непосредственно перед соответствующим томом) авторы
подробно говорят о содержании книги.
В последние годы происходит перестройка университетского
курса математического анализа. Особенно это относится к
преподаванию дифференциального и интегрального исчисления функций
нескольких переменных. Обсуждается и вопрос о разграничительной
линии между общим и специальным курсами анализа, в частности,
вопрос о том, к какому из них следует относить интеграл Лебега.
Поэтому очень велика потребность в новых хороших учебниках
анализа. Появившиеся в последнее время переводные учебники
(достаточно назвать книги У. Рудина и Ж. Дьедонне) рассчитаны
на подготовленных студентов, которые уже знакомы с основами
анализа и собираются лишь углубить свои знания. Для
начинающих они трудны.
В этой связи книга Г. Грауэрта, И. Либа и В. Фишера может
оказаться очень полезной. Это — современный серьезный учебник
математического анализа. Изложение отличается большой
систематичностью и последовательностью. От читателя не предполагается
никаких предварительных знаний анализа. Доказательства
проводятся обстоятельно, подробно, во всех деталях. Книга доступна
всякому студенту и вместе с тем охватывает большой материал.
Стоит, впрочем, отметить, что выбор разделов курса анализа,
включенных в книгу, не совсем совпадает с принятым у нас. Здесь, напри-
6 От переводчика
мер, имеются обыкновенные дифференциальные уравнения, но
отсутствуют ряды Фурье.
Многое в этой книге изложено своеобразно. Например,
определение дифференцируемой функции и производной опирается лишь
на понятие непрерывной функции и в нем непосредственно не
используется понятие предела. (Кстати говоря, и понятие
предела функции,— как это часто делают,— выводится из понятия
непрерывной функции.) Основные определения авторы стремятся
формулировать таким образом, чтобы их без дополнительных
трудностей можно было перенести на самые общие, далеко выходящие за
рамки этой книги случаи.
Можно не сомневаться, что этот курс, отражающий современный
уровень преподавания анализа в Геттингенском университете,—
одном из самых известных и выдающихся университетов мира,—
будет с большим интересом встречен советскими читателями.
И. Вайнштейк
ПОСВЯЩАЕТСЯ ГЕНРИХУ ВЕНКЕ
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
Этот трехтомный труд возник на основе лекций для студентов,
начинающих изучать математику и физику.
Первый его том посвящен функциям одной действительной
переменной, а в остальных рассматриваются функции нескольких
переменных, обыкновенные дифференциальные уравнения и теория
интегрирования. Вводный характер лекций позволяет читателям,
совсем не знающим высшей математики, познакомиться с возможно
более строгим и систематическим построением теории
действительных функций.
В соответствии с таким назначением книги все доказательства
в ней проведены очень подробно, а в первых параграфах специально
разъясняются некоторые важные методы доказательства. При этом,
однако, к логическим и теоретико-множественным основаниям
мы подходим с «наивной», т. е. неаксиоматической точки зрения.
Особенно это относится к принципу полной индукции, а также к
понятию натурального числа и последовательности.
Старший из авторов в первые годы своей студенческой жизни
слушал в высшей степени интересные и методически совершенные
лекции по дифференциальному и интегральному исчислению
профессора Г. Бенке. Это не раз воодушевляло нас в нашей работе.
Поэтому авторы с благодарностью посвящают Г. Бенке настоящую
книгу.
Том I
Г. Грауэрт и И. Либ
ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот том посвящен функциям одной действительной переменной-
Дадим обзор его содержания.
Основным в нем является понятие действительного числа. В
первой главе рассмотрены аксиомы действительных чисел и их
простейшие следствия; бесконечноудаленные точки +оо и — со вводятся
аксиоматически.
Две следующие главы посвящены понятию окрестности и
опирающимся на него понятиям предела последовательности и суммы
ряда. Так как в основу определения сходимости мы кладем
естественную (равномерную) топологию числовой прямой, то сходимость
к ±оо исключается. Понятия верхнего и нижнего предела
вводятся так, что они согласуются с определением полунепрерывных
функций.
В четвертой главе изучаются действительные функции. Прежде
чем перейти к непрерывным функциям, мы определяем
полунепрерывные функции. Этот класс функций важен для определения
в гл. VII окрестностей в пространстве функций и для введения
интеграла Лебега, который в этой книге приходит на смену интегралу
Римана, уже не могущему удовлетворить современным требованиям.
С помощью понятия непрерывности в гл. V удается определить
дифференцируемые функции, не пользуясь новым предельным
переходом. Благодаря этому достигается существенное упрощение при
выводе правил дифференцирования. Кроме того, такое определение
без изменения переносится на наиболее общие случаи (дифференци-
руемость для нескольких переменных, функции на топологических
векторных пространствах).
Отдельная глава посвящена разложениям в ряд и элементарным
функциям. Распространяя формулу Тейлора (с остаточным членом
в форме Лагранжа), мы получаем весьма общую интерполяционную
и экстраполяционную формулу, которая позже позволяет нам
обосновать оценку погрешности при численном интегрировании. Особое
значение мы придаем строгому определению и тщательному
обсуждению основных свойств элементарных функций. Представляется
целесообразным ввести их с помощью разложений в степенной ряд.
Так как понятия интегралов нашем распоряжении еще нет и потому
10
Том I
измерение углов и длин невозможно, связь тригонометрических
функций с геометрией в этом месте установить нельзя.
В гл. VII, наконец, совершенно элементарным образом с помощью
ступенчатых функций определяется интеграл; при этом мы не
пользуемся полной аддитивностью евклидовой меры. Определение
непосредственно может быть перенесено на функции со значениями
в локально выпуклом векторном пространстве. Несмотря на то,
что от более глубоких теорем теории интегрирования мы вынуждены
пока в этой части нашей книги отказаться, мы доказываем все
утверждения, встречающиеся при нормальном -изложении интеграла
Римана. Мы не оставляем без внимания и приближенные методы
вычисления интегралов.
Материал этого тома ограничен такими рамками, чтобы его можно
было уложить в пятичасовой курс лекций в летнем семестре или
в четырехчасовой — в зимнем.
Г. Грауэрт
И. Либ
Геттинген, декабрь 1966
Глава I
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
В этой главе действительные числа мы будем рассматривать как
данные. Наша задача — описать их основные свойства (аксиомы)
и вывести из этих основных все дальнейшие свойства чисел.
§ 1. ЧИСЛА И ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
Как известно, каждое действительное число можно представить
в виде бесконечной десятичной дроби, например 3,1415 . . . или
2,000 . . ., и, наоборот, всякая бесконечная десятичная дробь
± а_па_(п_1)... а-1а0, aia2a3ait... av ...,
где каждое av означает одну из цифр 0, 1, 2, . . ., 9, есть некоторое
действительное число. Однако иногда одно и то же число можно
Рис. 1. Числовая прямая.
задать в виде десятичной дроби различными способами. Например,
0,999 . . . = 1,000 . . .; вообще,
а_п . . . а*999 . . . 9,99 . . . = а_п . . . (а% + 1) 000 . . . 0,00 . . .
при at Ф 9. Если не считать этого соотношения, представление
действительного числа в виде десятичной дроби единственно. В
случае, когда десятичная дробь кончается сплошными нулями, нули,
стоящие после запятой, вообще говоря, не пишут: 4,00 . . . = 4.
Так проще.
Действительные числа можно наглядно изображать как точки
некоторой прямой. Выберем для этого какую-либо прямую L и на ней
точку Р (рис. 1). Около точки Р напишем число 0. Затем отложим
от Р на L вправо отрезок длины г см и у его конца напишем число г.
Такой же отрезок отложим от точки Р на L влево и у его конца
напишем число —г. Тем самым каждому действительному числу мы
поставили в соответствие некоторую точку прямой L (мы говорим: число
лежит в этой точке). Очевидно:
12
Том I
(1) Каждому числу соответствует одна и только одна точка
прямой L.
(2) Двум различным числам всегда соответствуют две
различные точки.
(3) Каждая точка прямой L соответствует по крайней мере
одному действительному числу.
Утверждения (1) — (3) означают, что каждая точка прямой L
соответствует в точности одному числу. Соответствие, обладающее
этим свойством, называется биективным. Между действительными
числами и точками прямой L установлено (описанным выше
способом) биективное соответствие.
Всякий раз, когда это нам потребуется, мы будем считать, что
между действительными числами и точками некоторой прямой
установлено такого рода соответствие. Каждую точку можно тогда
единственным образом обозначить числом, в ней лежащим. Мы будем
поэтому говорить о точке 0, точке 4 и т. д. Совокупность всех
действительных чисел образует тем самым числовую прямую.
Изображение действительных чисел в виде точек некоторой прямой окажется
чрезвычайно полезным.
Нужно ли нам теперь доказывать утверждения (1) — (3)?
Если бы мы и захотели это сделать, мы должны были бы очень
точно знать, что такое прямая и какими свойствами она обладает.
Однако у нас о прямой есть только некоторое наглядное
представление. Доказательство не имело бы к тому же и никакого смысла.
Отождествление действительных чисел с точками числовой прямой
служит как раз только эвристическим вспомогательным средством,
которое должно облегчать работу с числами и мотивировать введение
новых понятий. Теоремы о действительных числах всегда будут
выводиться из системы аксиом, которые нам еще предстоит
перечислить, лишь средствами логики, без всякой ссылки на наглядность.
§ 2. МНОЖЕСТВА
Совокупность объектов можно рассматривать как некоторый
новый объект. Этот новый объект называется множеством^ а объекты,
яз которых состоит множество, называются его элементами. Точное
объяснение понятия множества мы оставим логике; нам достаточно
познакомиться с некоторыми конкретными множествами и научиться
ими оперировать.
Все действительные числа образуют одно такое множество; мы
будем обозначать его буквой 01 и по большей части — в согласии
с предыдущим параграфом — называть числовой прямой. Если
мы соберем вместе не все действительные числа, а только какую-
либо их часть, то мы также получим некоторое множество.
Множество М действительных чисел задано тогда, но притом и только
Гл. I, Действительные числа
13
тогда, когда для каждого действительного числа установлено,
является оно элементом множества М или нет.
Теперь мы будем рассматривать множества действительных чисел.
Если М — такое множество, то мы введем следующие
обозначения:
а ем,
читается: «а есть элемент множества М» (или «а принадлежит
множеству М», «а лежит в М», «а —' число из множества М»);
а$М,
читается: «а не есть элемент множества М»;
М = {а, Ъ, . . .},
читается; «М есть множество, состоящее из элементов а, Ъ и т. д.»;
М = {а: а обладает свойством Е},
читается: «М есть множество всех чисел а, обладающих свойством Е,
и только эти числа лежат в М».
Примеры множеств
1. Натуральные числа 1, 2, 3, ... образуют множество N; если
п принадлежит множеству Ы, то ему принадлежит ил + 1.
Буквой Z обозначается множество
Z = {х: х £'N, или —х £ N, или х = 0};
Z есть множество целых чисел.
Множество всех действительных чисел, которые можно
представить в виде отношения двух целых чисел alb, где Ъ Ф 0, называется
множеством рациональных чисел; обычно оно обозначается буквой Ct.
2. Как уже было сказано, само 01 есть множество. Точно так же
имеется множество, совсем не содержащее элементов; это так
называемое пустое множество 0 тоже является множеством
действительных чисел: в самом деле, для каждого действительного числа
установлено, принадлежит оно 0 или нет (оно 0 не принадлежит).
3. Если а и Ъ — произвольные действительные числа, то либо
а меньше, чем Ъ, либо а = Ъ, либо Ъ меньше, чем а; имеет место в
точности одно из этих трех отношений. Условие «а меньше, чем Ы
мы записываем так:
а<Ъ.
Пусть теперь а < Ь. Множество
I = (а, Ъ) = {х: а < х < Ъ)
(причем а < х <. Ъ означает, что а < х и одновременно ж < Ь)
называется открытым промежутком (или интервалом) с концами
а и Ь. Если к нему присоединить и концы а и 6, то мы получим зале-
14 Том I
кнутый промежуток
I = [а, Ъ] = {х: а < х < 6, или х = а, или х = Ъ) г).
Рассматривают и полуоткрытые промежутки
[а, Ъ) = {х: х = а или а < я < &},
(а, 6] = {.г: # = Ь или а <С х <С Ь}.
Множества могут находиться в определенных отношениях, и над
ними можно производить некоторые операции.
0. Равенство
Два множества Mi и М2 называются равными, и мы пишем
Mt = М2,
в том и только в том случае, если они содержат одни и те же
элементы, т. е. если каждый элемент множества М\ принадлежит и ikf2,
а каждый элемент множества М2 принадлежит и Mt.
1. Включе нчд е
Множество Mi содержится в множестве М2, и мы пишем
Mi cz М2,
когда выполняется следующее условие: если х £ Mi, то и х £ ЛТ2;
ikfi называется в этом случае подмножеством множества М2. Вместо
ikfi с М2 часто пишут Af2 z> Af4.
2. Пересечение
Пересечение двух множеств М4 и М2 есть множество
Md П М2 = {я: а: 6 М4 и а; 6 М2),
т. е. множество всех чисел, принадлежащих как Ми так и -^2-
Если таких элементов нет, то Aft fl ^2 = 0 •
3. Объединение
Объединение двух множеств М4 и М2 есть множество
Mi U М2 = {ж: ж 6 Mi или я 6 М2}.
Таким образом, речь идет о множестве всех чисел, принадлежащих
хотя бы одному из двух данных множеств (в него входят и те числа,
которые принадлежат им обоим).
4. Разность
Разность множеств М4 и М2 есть множество
Mt — М2 = {х: х £ Mt n x $ M2).
Разность может оказаться и пустой (когда это бывает?).
х) Одноточечное множество /~= {а} также следует рассматривать как
замкнутый промежуток.
Гл. I, Действительные числа
15
При определении теоретико-множественных отношений и
операций мы пользовались словами «и», «или», «если . . . то», «не».
Так как употребление этих слов в обычной речи не всегда
однозначно, мы хотим объяснить, как мы будем понимать эти «логические
связки».
1. «не», «и». Оба эти слова употребляются в математике точно
в том же смысле, что и в обычной речи.
2. «или». Если р и q — какие-либо высказывания, то
высказывание «р или q» ложно в том и только в том случае, когда ложны оба
высказывания р и q. В частности, если ир, ид истинны, то и
высказывание «р или q» истинно (не исключающее «или»; в обычной речи
слово «или» наряду с этим употребляется и в исключающем смысле:
или . . . или).
3. «если . . . то». Эти слова в повседневной жизни применяются
в очень многих значениях. В математике установилось такое их
употребление. Пусть р и q — некоторые высказывания. Тогда
высказывание «если р, то q» ложно в том и только в том случае, когда р
истинно, a q ложно. Во всех других случаях высказывание «если р>
то q» истинно (см. в связи с этим доказательство правила 1.1 ниже).
Вместо «если р, то q» пишут также «из р следует q».
До сих пор теоретико-множественные операции мы
рассматривали только для подмножеств числовой прямой DI. Разумеется»
столь же просто они определяются и для подмножеств плоскости.
Операции над множествами особенно хорошо наглядно
иллюстрировать на примере плоских множеств.
1. Включение:
/ft/
Рис. 2.
2. Пересечение:»
16
Том I
3. Объединение:
Рис. 4.
4. Разность:
мгм2
'Ри с. 5.
В следующем примере мы даже образуем объединение числового
множества М\ и некоторого множества М2 вполне определенных,
но абстрактных объектов.
Пусть — оо и + оо — два различных символа, ни один из которых
не является действительным числом. Объединим множество Мх = Bl
с множеством М2 = {—со, +°°}-'
R = Щи {—оо, +оо}
и по определению положим — оо < г < + оо при г £ 01; кроме
того, пусть —оо < +оо.
Определение 2.1. Множество 01 называется замкнутой
числовой прямой, а —оо и +оо — бесконечноудаленными точками
прямой 01.
(Мы не хотим символы — оо и +оо называть числами, так как
не собираемся определять никаких операций, например сложения
и умножения, между действительными числами и точками ±оо.)
На числовой прямой условие г < s выполняется в том случае, если
число г лежит левее числа s. Поэтому — оо можно себе представлять
как точку, лежащую левее каждой точки прямой («в
бесконечности»), а +оо — как точку, лежащую правее каждой точки прямой
(«бесконечноудаленные точки»). Однако этим можно пользоваться
только как наглядной геометрической иллюстрацией. Вопрос, что же
такое —оо и +оо, математика не интересует: все, что ему нужно
знать о множестве 01, содержится в данном выше определении (и в том,
что мы знаем о 01). К математике относятся только указанные нами
Гл. I. Действительные числа 17
неравенства между —со и +°°имежду ними и точками из 01;
какова «сущность» бесконечноудаленных точек, ее не касается.
Правила действий над множествами
Рассматриваемые здесь множества являются подмножествами
прямой 111; некоторые правила будут иллюстрироваться на
множествах точек плоскости.
I. СВОЙСТВА ВКЛЮЧЕНИЯ
1. Для любого множества М всегда 0 с М.
Доказательство. Нам нужно показать, что если х £ 0,
то х 6 М. Однако высказывание х £ 0 всегда ложно, поэтому все
наше высказывание истинно.
2. М cz M, т. е. каждое множество содержится в себе
(рефлексивность включения).
Доказательство. Каждый элемент множества М,
естественно, принадлежит М.
3. Если Mi и М2 — два множества, для которых выполняются
включения Mi cz М2 и М2 cz М^ то Mi = М2 (закон тождества).
Доказательство. Если х £ Mi, то х £ М2, так как
множество Mi содержится в М2. Если, наоборот, х £ М2, то х £ Mt,
поскольку имеет место и включение M2czMt.
Таким образом, М{ и М2 содержат одни и те
же элементы и, значит, равны.
4. Если для трех множеств Mi, M2 и Мг
выполняются включения Mt с: М2 и М2 cz Mz,
то и Mi cz Мг (транзитивность включения).
Доказательство. Нужно показать,
что если х принадлежит Ми то х принадлежит
и Мг. Пусть, следовательно, х £ Mt. Так как
Mi cz М2, то отсюда следует, что х 6 М2. По- р и с. 6. Транзитив-
скольку, кроме того, М2 является подмноже- ность включения,
ством Мъ, то х £ Мг (рис. 6).
II. ПРАВИЛА ДЛЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ОБЪЕДИНЕНИЯ
Пусть Ми М2, . . ., Мп — множества. Тогда их объединением
называется множество
Mi U M2 U ... U Мп={х: х £ Ми или х £ М2, . . ., или х £ Мп},
т. е. множество всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из
множеств Mv.
Соответственно пересечение конечного числа множеств Miy . . .
. . ., Мп мы определим как множество всех элементов, принадлежа-
2-832
18
Том I
щих одновременно всем множествам Mv (v = 1, . . ., п):
Mt{\M2{] ... [\Мп = {х: х £ Mv для всех v}.
Используется следующая сокращенная запись:
AfiU.-.U Mn= U Mv, Mif]...(]Mn= П Afv
1. MiU(M2[)M3) = (Mi[)M2)[)Mz = Mi[jM2[)Mz.
Доказательство. Пусть х 6 Ш\ U М2) (J Mz. Это значит,
что
х £ Mi (J М2 или а; 6 ^ з-
ЭтЧ) равносильно тому, что
х £ Aflf или х £ М2, или а: £ М3,
т е
xgMiUMaUMs.
Следовательно, (Mt [} М2) [} Mz = Mi [} М2 [} Mz. Точно так же легко
показать, что Mt [] (М2 [} Mz) = Mt [) M2 [} М3, и утверждение II.1
доказано.
Первое равенство правила И.1 называется ассоциативным
законом для объединения; оно утверждает, что можно произвольно
расставлять или отбрасывать скобки.
2. Пересечение также ассоциативно:
Mi{\{M2{\Mz) = (Mi[]M2)(]Mz= Mi(]M2(]Mz.
Доказательство предоставляется читателю.
3. Коммутативные законы:
Mi[)M2 = M2[]MU Mi(]M2 = М2[\МХ
тривиальны.
4. Mi П (М2 U М3) = (Mi П М2) U (М{ П М3).
(Первый дистрибутивный закон: читатель заметит его сходство
с дистрибутивным законом арифметики чисел.)
Доказательство. Сначала мы докажем включение
(a) Mi П (М2 U Mz) с (Mi П М2) U (Mi П М3),
а затем включение
(b) (Mi П М2) U (МА п М3) <= Mi П (М2 U М3).
На основании закона тождества из (а) и (Ь) следует наше
утверждение.
Доказательство (а). Если х £ Mi П (М2 (J М 3), то # 6 Md
и одновременно х принадлежит М2 или М3. Следовательно, х £ Мх
т х £ М2 или я £ Mi и я 6 Mz, т. е. ж 6 Mi f] М2 или .г 6 Mt fl M3.
Поэтому, действительно, х £ (Afi П ^г) U (Mi П ^з)-
Гл. I. Действительные числа
19
Доказательство (Ъ). Если х £ (Md П М2) (J (Mi П М3), то
х € Mi[)M2 или я 6 М1 П Мд, значит, х £ Mt и х £ М2 или ж £ М3.
Таким образом, х 6 Mi и я 6 М2 U АГ3, т. е. ж g М4 П (М2 U Мг).
5. Второй дистрибутивный закон
М, U (М2 П М3) = {Mi U М2) П (МА U Mz)
доказывается аналогично.
III. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ
1. Включение Mi с: М2 имеет место в точности тогда, когда
Mil]M2 = М2.
Доказательство, а) Допустим сначала, что М4 с: М2.
Нам нужно показать, что при этом допущении имеет место равенство
Mi[)M2 = М2. Для этого мы снова воспользуемся законом
тождества.
Если х £ М2, то тем более х £ Mt [} М2, т. е. М2 a Mil) M2 (наше
допущение при этом даже не понадобилось).
Если, наоборот, х £ Mt (J М2, то возможны два случая: х £ Мi
или ж £ М2. Если элемент а: принадлежит множеству М4, то он
принадлежит и множеству М2, так как мы допустили, что Mi с: М2.
Итак, в обоих случаях х £ М2, откуда следует, что Мi |J М2 с: М2.
Ь) Теперь докажем обратное: если Mi (J M2 = М2, то Mi с: М2-
Пусть, следовательно, х 6 Mi. Тогда элемент ж тем более
принадлежит объединению Mt (J М2. Но по условию Mt (J M2 = М2
и, значит, х £ М2, т. е. М4 с= М2.
2. Включение Mi с: М2 имеет место в том и только в том случае,
если Mt(]M2 = Mi.
Доказательство этого утверждения читатель может попробовать
провести сам с помощью рис. 7.
2*
20 Том I
В правилах Ш.1 и III.2 утверждалась эквивалентность двух
высказываний р (в Ш.1 «М4 cz М2») и q (в Ш.1 «М4 UM2 = М2>>):
р и q имеют место одновременно, р имеет место в том и только
в том случае, когда имеет место q. Эти теоремы эквивалентности
распадаются на два утверждения^
a) Из р следует q.
b) Из q следует р.
Поэтому в каждом случае нужно доказать два соответствующих
утверждения. Такого рода доказательства нам придется проводить
еще не раз.
VI. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕДЫДУЩИХ ПРАВИЛ
(Если мы приводим какое-либо правило без доказательства,
то читатель должен придумать доказательство сам.)
1.- М(]М = М, М[)М = М,
М[)К = М, . М[}К = 01,
М(]0 = 0, М\]0 = М.
2. a) Mi П М2 cz Мь Ь) Mid Mt U М2,
Mi П М2 cz М2; М2 с: Mi U М2.
Доказательство.
(М4 П М2) П Mi = (М2 П МО П Mt = в силу П.З
= М2 П (Mi П Mi) = в силу П.2
= M2RMi = в силу IV.1
= Mi{\M2 в силу П.З.
Из правила Ш.2 теперь следует, что
MiflM2czMi.
Это утверждение мы доказали для произвольных множеств; в
частности, справедливо включение
М2 П Mi cz M2,
а потому, в силу П.З,
Mi П М2 cz М2,
и утверждение а) доказано; Ь) доказывается аналогично.
3. Если Mi cz М2 и М — произвольные множества, то
MiflM с=М2ПМ и MiUMcMzUM.
4. Если Mi cz М2 и Mi си М3, то Mt cz М2 П М3.
5. £с./ш множества Mt и М2 содержатся в М3, то и их
объединение Mi U М2 содержится в М3.
Гл. I, Действительные числа
21
В качестве примера пересечения рассмотрим пересечение двух
открытых промежутков. Пусть а, 6, с, d — действительные числа,
удовлетворяющие условиям а < 6 и с < d, и пусть
/i = {х 6 01: а<х< Ь},
h = {я € Ш: с < # < d}.
Тогда для произвольной точки х £ /4 П 1г выполняются неравенства
а < ж, с<ж, а: < й, х <d.
Определим максимум max (а, с) чисел а и с и минимум min (6, d)
чисел 6 и d условиями
, ч Га, если с<а или с=а,
max (а, с) = <
[с, если а<с;
если 6 < d или Ь = d,
minvv, „,— , , _ .
если d<Cb.
4n(b,d)={£
Таким образом, для # выполняются неравенства
max (а, с) < a: < min (6, d).
Конечно, каждая точка, удовлетворяющая этим неравенствам,
принадлежит пересечению 1Х f) ^2- Итак, пересечение
А П^2 = {#• max (я> с) < # <С min (6, d)}
есть открытый промежуток, если max (а, с) < min (6, d), и пусто
в противном случае.
В этом параграфе по большей части мы рассматривали только
подмножества из 01 или 01 и доказали наши теоремы для этого случая.
Однако ясно, что все правила и их доказательства справедливы и для
произвольных множеств,
§ 3. АКСИОМЫ ПОЛЯ
Теперь, после того как в предыдущем параграфе мы ввели
терминологию и обозначения, позволяющие делать точные формулировки,
приступим к осуществлению высказанного в начале этой главы
намерения и сформулируем аксиомы (основные свойства) действительных
чисел, возникающие из нашего представления о действительной
прямой т. При этом речь здесь будет идти только о R. Бесконечно-
удаленные точки еще не присоединены.
Аксиомы сложения
СО. Каждым двум элементам а, Ъ £ 01 однозначно соответствует
некоторый элемент множества R, называемый их суммой и
обозначаемый символом а + Ь.
22
Том I
С.1. а. Для всех a, b, с £ 01
(a+b) + c = a+(b + c)
(ассоциативный закон).
р. В К существует число, называемое нулем (и обозначаемое сим-
волом 0), обладающее следующим свойством: для всех а £ 01
'' а + 0 = а.
у. Для каждого а £ 01 существует такое число —а £ 01, что имеет
место равенство
а + (—а) = 0.
Число —а называется противоположным числу а.
б. Для всех а, Ь £ R
а + Ъ = Ъ + а
(коммутативный закон).
Аксиомы СО и С.1 выражают тот факт, что 01 по отношению к
сложению является абелевой группой. Вообще, можно дать следующее
Определение 3.1. Группа есть непустое множество G
вместе с правилом, ставящим каждым двум элементам a, b £G
в соответствие некоторый вполне определенный третий элемент
aob£G так, что выполняются следующие условия:
а. Операция о ассоциативна: для любых а, Ь, с £ G
а о (Ь о с) = (а ой) ос.
р. В G существует нейтральный элемент, т. е. такой элемент п,
что
аоп = а
для всех а £ G.
у. Для каждого а £ 6? существует такой элемент a' £ G, что
а о а! = п
(а' называется элементом, обратным элементу а).
Если, кроме того,
б. а о Ъ — b о а
для всех a, b £ <•?, то группа С? называется абелевой, или
коммутативной.
Правило о, ставящее в соответствие каждым двум элементам
некоторого множества М какой-либо определенный третий его
элемент, называется бинарной операцией (композицией) на М.
Следствия из аксиом
Следующие ниже утверждения, если дополнительно ничего
не сказано, справедливы для произвольных групп, абелевых или
нет. Тем не менее мы хотим формулировать их только для 01, но при
Гл. I. Действительные числа
23
их выводе не пользоваться коммутативным законом (даже если из-за
этого доказательство усложняется).
В аксиоме СО говорится, что каждым двум числам ставится
в соответствие в качестве их суммы некоторое третье число; какой
смысл имеет, скажем, выражение вида 3 + 4 + 7 + 2, пока еще
не объяснено. Теперь мы хотим определить сумму произвольного
(конечного) множества действительных чисел а4, . . ., ап. При п — 2
сумма at + а2 определена на основании СО. Предположим теперь,
что сумма <Zi + . . . + ар уже определена для всех натуральных
чисел р, где р = 2 или 2 < р < п. Тогда по определению положим
01 + 02 + • • • + ап = fai + • • • + Яп-i) + ап-
Прежде всего ясно, что теперь сумма действительно определена для
любого числа слагаемых. Например, at + а2 + 03 = (at + а2) + az
и, значит, сумма трех чисел полностью определена. Далее, 01 + 02 +
+ az + 04 — (ai + а2 + 0з) + ^4? и снова правая часть этого
равенства имеет смысл, так как сумма трех слагаемых уже была
определена ранее, и т. д.
Такой способ определения называется определением с помощью
полной индукции. Для того чтобы дать определение,
распространяющееся на все натуральные числа, не меньшие некоторого
фиксированного числа, скажем к, сначала это определение формулируют
для к (в нашем примере к = 2). Затем указывают, как его
сформулировать для п > к, считая, что для всех р, удовлетворяющих
условию р — к или к < р <Сп, оно уже известно. Тогда, как
показывают приведенные выше соображения, определение будет
распространяться на все натуральные числа к, к + 1, ... (возможность
определения с помощью полной индукции опирается на одно из
основных свойств натуральных чисел, так называемую аксиому индукции).
Сумму трех слагаемых мы могли бы ввести и иначе:
Ч + 02 + «3 = ai + (02 + 0з)-
Ассоциативный закон как раз и утверждает, что оба определения
ставят в соответствие тройке чисел {аи а2, 03) в качестве суммы
одно и то же число. Для более высокого числа слагаемых существует
куда больше возможностей расстановки скобок в последовательности
аи • • ., 0п> указывающих, в каком порядке нужно выполнить
сложение. Но простым следствием ассоциативного закона является
тот факт, что результат сложения п чисел от расположения скобок
не зависит. Тавдм образом, мы могли бы определить сумму п чисел
и с помощью какого-либо другого выбора скобок и все равно
получить тот же результат.
Теорема 3.1. Пусть аи . . ., ап — действительные числа,
п > 2. Тогда какое бы число а £ 01, полученное путем некоторой
расстановки скобок, мы ни приписали числам av в качестве их суммы,
24 Том I
всегда
а = di + . . . + ап.
Доказательство. В согласии с определением с помощью
индукции и доказательство мы проведем с помощью полной
индукции по числу п слагаемых. Для этого сначала убедимся в том, что
для п = 3 наше утверждение верно. Затем докажем, что если п
(где п > 3) — произвольное натуральное число и наше утверждение
верно для всех натуральных чисел р, удовлетворяющих условию
р = 3 или 3 < р < гс, то оно верно и для п. Тогда, поскольку оно
верно для п — 3, оно будет выполняться и для п — 4; поскольку
оно верно для п = 4, оно будет верно и для п — 5, и т. д.
1. Начальный шаг индукции (база индукции): п = 3.
В этом случае наше утверждение совпадает с ассоциативным
законом.
2. Предположение индукции: для всех р, где 2<р<Сгаитг>3,
теорема верна.
3. Заключение индукции.
Пусть задана произвольная расстановка скобок в выражении
#i + • • • + Дп. Если мы произведем все предписанные скобками
сложения, то в качестве последнего шага нам останется прибавить
сумму некоторых первых р членов ах + . . . + ар к сумме последних
п — р членов ар+1 + . . . + ап, причем р <п. Но обе эти суммы
состоят уже из меньшего, чем гс, числа слагаемых и потому
определены однозначно (по предположению индукции). Таким образом,
остается показать, что
(at + . . . + ар) + (ар+1 + . . . + ап) = at + . . . + ап.
При р = п — 1 это следует из определения суммы at + . . . + ап.
Пусть теперь р < и — 1. Тогда, несколько раз применяя
предположение индукции, получаем
(а,! + . . . + ар) + (ар+1 + . . . + ап) =
= («! + ... + ар) + (ар+1 + (ар+2 + . . . + ап)) =
= ((а4 + . . . + ар) + ар+1) + (ар+2 + - . . + ап) =
= (<Ч + . . . + ар+1) + (ар+2 + . . . + яп).
Если теперь р + 1 = п — 1, то последняя сумма снова равна
% + • • • + ап- В противном случае будем поступать точно так же
до тех пор, пока в правой скобке не останется одно лишь число ап г).
Тем самым все доказано.
Теорема 3.2. Сумма а^ + • • • + #n we зависит от порядка
слагаемых.
(Это утверждение, разумеется, справедливо только для абелевых
групп.)
х) И в этом случае нужно было бы применить полную индукцию. Но
доказательство очевидно.
Гл. I. Действительные числа 25
Доказательство. Поскольку любую перестановку чисел
а можно свести к последовательному выполнению нескольких
перестановок двух соседних членов*), достаточно доказать равенства
ai -F- . . . + «v + av+i + • • • + ап =
= а4 + . . . + «v+i + av + . . . + ап.
Но
а, + . . . + av + av+1 + . . . + ап =
= («! + ... + av_i) + (av + av+1) + (av+2 + . . . + an) =
= («!+... + «v-l) + (av+l + 0V) + (^v+2 + • • • + 0V) =
= a4 + . . . + av+1 + ^v + • • • + an- (аксиома С.1.6)
Теорема 3.3. Для всех а £ К имеет место равенство
(_а) + а = 0.
Доказательство. Имеем (—а) + (—(—а)) = 0 (ведь в
силу С. 1.7 число —а имеет противоположное). Следовательно,
(_а) + а = ((-а) + а) + 0 = (A.l.p)
= ((-а) + а) + ((-а) + (-(-а))) =
= ((-а) + (а + (-а))) + (-(-а)) = (теорема 3.1)
= ((-а) + 0) + (-(-а)) -
= (-а) + (-(-а)) =
= 0.
Теорема 3.4. Для всех а £ ft имеет место равенство
0 + а = а.
Доказательство.
0 + а = (а + (—а)) + а = а + ((—а) + а) = а + 0 = а.
Теорема 3.5. (—(-—а)) = а для всех а 6 01.
Доказательство. Имеем
a + (-a) + (-(-a)) = a + ((-a) + (-(-a))) - a + 0 - a.
С другой стороны,
"+ (-«) + (-(-a)) = (a + (-a)) + (-(-a)) -
= 0 + (-(-a)) =
= (—(—a)). (теорема 3.4)
Следовательно, а = (—(—a)).
Нулевой (нейтральный) элемент определяется сложением
однозначно. Именно, имеет место
*) См. примечание на предыдущей странице.
26
Том Г
Теорема 3.6. Если для г 6 Ш и каждого а £ 01
а + г = а,
то г = 0.
Доказательство. По условию 0 + г = 0. Но вместе
с тем по теореме 3.4 и 0 + г = г. Поэтому г = 0.
Следующая теорема показывает, что противоположный элемент
для каждого а £ 01 также определяется сложением однозначно.
Теорема 3.7. 2?&ш а, д;^Ииа + а: = 0, то х = —а.
Доказательство.
—а = —а + 0 = —а + (а + х) = (по предположению)
= (—а + а) + х = (аксиома)
= 0 + х = (теорема 3.3)
= х. (теорема 3.4)
Теорема 3.8. —0 = 0.
Доказательство. Так как 0 + 0 = 0, то наше
утверждение следует из теоремы 3.7.
Теорема 3.9. Уравнение а + х = 6, где а, 6 £ 01, имеет
s 01 одно и только одно -решение, именно х = —а + 6.
Доказательство, а) Число —а + 6 удовлетворяет этому
уравнению:
а + (—а + 6) = (а + (—а)) + 6 = 0 + 6 = 6.
Ь) Других решений нет. В самом деле, если х£Кпа-\-х = Ь,
то
—а + {а + х) = —а + 6,
(—а + а) + х = —а + 6,
0 + х = —а + 6,
# = —а + 6.
Определение 3.2. Пусть а и 6 — действительные числа;
мы полагаем а — 6 = а + (—6).
Пользуясь этим определением и коммутативным законом,
решение уравнения а + х = 6 можно записать в обычной форме х —
= 6 -— а.
Теперь мы перечислим вторую группу аксиом действительных
чисел.
Аксиомы умножения
У.0. На 01 задана бинарная операция, называемая умножением.
У.1. Множество 01* является по отношению к умножению абеле-
еой группой {где 01* = 01 — {0}).
Гл. I. Действительные числа
27
Число, которое умножение ставит в соответствие числам а и Ь,
называется произведением а и Ъ и обозначается символом аб или
а*Ъ. Таким образом, аксиома У.1 утверждает следующее:
а. (а&)с = а(Ьс) (для а, &, с £ R*).
б. Существует однозначно определенный элемент е £ 01*, об./ш-
дающий тем свойством, что ае = а для #се# а £ 01* (число е
называется единицей и обозначается 1).
-у. Для каждого а £ 01* существует однозначно определенный
элемент а"1 6 R-*» удовлетворяющий условию аа~г = 1 (а"1 называется
числом, обратным числу а).
6. яб = Ьа (где a, b £ 01*).
Мы предоставляем читателю получить теперь, заменив + на •,
О на 1 и т. д., из теорем 3.1—3.9 аналогичные теоремы для
умножения в 01*. Мы же здесь только упомянем, что, поскольку 01* —
группа, из соотношения аЪ = 0 следует, что а или 6 = 0. Говорят,
что 01 не содержит делителей нуля.
До сих пор группы аксиом С и У стоят еще почти изолированно
друг от друга (лишь в определении множества 01* предполагается,
что имеются аксиомы группы С). Теперь мы сформулируем две
аксиомы, устанавливающие связь между сложением и умножением.
Дистрибутивные законы
Д.1. а(Ъ + с) = аЪ + &с, а, 6, с £ 01.
Д.2. (Ъ + с)а = Ъа + са, а, Ъ, с £ 01.
Конечно, Д.2 следует из Д.1 и остальных аксиом. Несмотря
на это, так как в математике встречаются и структуры с
некоммутативным умножением, обычно Д.2 принимают за аксиому. Вопрос
о логической независимости введенных до этого аксиом здесь не
рассматривается.
Следствия
Теорема 3.10. а-0 = 0-а = 0 для всех а £ 01.
Доказательство.
а.О = а(0 + 0) = а-0 + я-О.
В силу теоремы 3.9
а.О = а-0 — а-0 = 0.
Точно так же можно показать, что 0-а = 0.
Эта теорема имеет важные следствия. Прежде всего, у числа 0 нет
обратного, ибо для каждого г £ 01 выполняется равенство О-г = О,
аО^=1, поскольку 1 £ 01*. Далее, умножение, которое определено
ведь на всем 01, является коммутативным и ассоциативным на всем 01
(в У.1 это утверждалось только для 01*). Докажем, например,
коммутативный закон. Если а, Ъ £ 01*, то аЪ = Ъа в силу аксиомы У. 1.6;
если же а или Ъ = 0, то аЪ = Ъа = 0. Вот еще одно следствие из
предыдущей теоремы:
28 Том I
Теорема 3.11. Уравнение ах = Ъ для а £ R* и Ъ £ К одно-
значно разрешимо.
Доказательство. Если Ъ Ф О, то применяем теорему 3.9,
Если же Ъ = 0, то х = 0 является в силу теоремы 3.10 решением
этого уравнения, и притом единственным решением, так как Ш
не содержит делителей нуля. В обоих случаях число а~~хЪ является
решением нашего уравнения.
Определение 3.3. Однозначно определенное решение
уравнения ах = 6, а Ф 0, обозначается символом Ыа.
Таким образом, Ыа = а~гЪ = Ьа"1. Из перечисленных до сих пор
аксиом следуют все правила действий с дробями. Докажем,
например, правило сокращения:
Ь-с Ъ Л
— = —, а, с Ф 0.
а-с а
Имеем: а-Ыа = 6, значит, (са) -Ь/а = сЬ, поэтому в силу теоремы 3.11
Ыа = Ьс/ас.
Теорема 3.12. —а = (—1) -а.
Доказательство.
1 + (-1)= 0,
а(1 + (—1)) = а-0 = 0 (теорема 3.10),
а Л + я(—1) = 0 (аксиома Д.1),
а + (—Л)а — 0 (аксиома У.1 или теорема 3.10).
Следовательно, по теореме 3.7
—а = (—1)-а.
Правила
(-1)2 = 1,
а*(—Ъ) = (_а). й = —(а-Ь)
следующим образом получаются теперь из теоремы 3.12:
(-1)2 = (_1)(_1) = _(-1) = 1,
а.(-Ь) = а(—1)Ъ = (—1)(а-Ь) = —(аЬ).
а-(—6) = а(—1)Ь = ((—1)а)Ь = (-а)Ь.
Аксиомы С, У и Д вместе называют аксиомами поля. Вообще,
можно дать
Определение 3.4. Поле (К, +» •)» короле обозначаемое
буквой К, есть непустое множество К вместе с двумя определенными
в К операциями + и • (называемыми сложением и умножением),
обладающими следующими свойствами:
Г л, I. Действительные числа 29
С (£? _[_) есть абелева группа (нейтральный элемент которой
обозначается символом 0).
Y. {К — {0}, • ) есть абелева группа.
Д. Для всех а, Ь, с £ К
а(Ь + с) = аЪ + ж?!
(6 + с)а = 6а + са.
Таким образом, 01 есть поле. Наряду с этим справедлива
Теорема 3.13. Множество рациональных чисел Q, есть поле
{причем сложение и умножение задаются соответствующими
операциями на
Доказательство. Нужно лишь проверить аксиомы СО,
УД C.l.p, У.1.р, С. 1.7 и У.1.7- Так как Q czR, и Dl — поле, то все
остальные аксиомы выполняются.
СО, У.О. Если а, 6 £ О,, то существуют такие целые числа аи
#2, 64 и 62, что а2> 62 =#= 0 и а = ^/«2, 6 = bjb2. Тогда по правилам
действий с дробями
e+b = «A±fA, а.Ьят*& {афгфО):
а2Ъ2 а2Ъ2
Сумма и произведение целых чисел являются целыми числами;
поэтому а + 6, аЪ 6 С
c.i.p, y.i.p. o e a, iea.
Cl.y и У.1.7 может проверить читатель.
Из аксиом поля вытекают все правила четырех основных действий
арифметики. Например,
{а + б)2 = (а + 6)(а + 6) = (определение степени)
= а(а + 6) + 6(а + 6) = (Д.2)
= а2 + #6 + 6а + б2 = (Д.1 и определение степени)
= а2 + а6(1 + 1) + б2 - (УЛ.6 и Д.1)
= а2 + 2а6 + б2. (У. 1.6)
Знак суммы
Сумма % + • • • + яп> гДе аь • • •» я?1 6 ft» была уже определена.
Введем удобный способ записи этой суммы:
п
а1 + ... + ап= 2 flv
v=l
п
(При тг = 1 полагаем 2 av = ai-) Тогда выполнены следующие
правила действий:
<*> 2>v + 2&v= 2(«v + bv).
V—1 V—1 V=l
30
Том I
Доказательство.
п п
2 av+ 2 <v= («i + ... + «„) + (6i +... + ь„) =
v=l v=l
= aj + ... + an -f bi + ... + bn = (теорема 3.1>
= <*i + h + ... + an + bn = (теорема 3.2)
n
= 2 («v + &v).
v=l
П 7
(2) a 2 av = 2 aa
V
v=l v—1
Доказательство.
n
a 2 <*v = a(a4 + ... + an) =
= a (a4 + (^2 + • • • + an)) = (ассоциативный закон)
= aa,i + л (a2 + • • • + an) = (дистрибутивный закон)
= acti -f- aa2 + • • • + aan —
n
= 2 aav
v=l
(3) i]flv- 2&v= S(^-*v)-
v—i v=l v—1
Доказательство.
2 av - 2 fev = 2 «v + (- 1) 2 fev = (теорема 3.12)
v=l v=l v=l v=l
= 2 flv + 2 (- 1) bv = (правило 2)
v=l v=l
n
= 2 (av + {— !) К) = (правило 1)
v=l
71
= 2 (av —■ &v)« (теорема 3.12)
v=l
Пусть теперь заданы П'тп действительных чисел aV[i, v = 1,
. . ., п, [г = 1, . . ., /и. Сумма этих чисел определена и не зависит
от их разбиения скобками и от их порядка. Обозначим эту сумму
Гл. I. Действительные числа
31
символом
2 «vji-
V=l, . . ., 71
ц=1, ..., го
Так, например,
2 «vn = «и + «12 + • • • + «im +
ад*-
+ «21 + • • • + «2т + • • • + «Ш + • •" - + «пго*
v=l, .. ., п
й=1, • • •» т
и вместе с тем эта сумма равна
«11 + «12 + «21 + «13 + «22 + «31 + • - • + «nrn-
При этом определении можно обобщить дистрибутивный закон*
получив формулу
п т
(4) (2«v)(2^)= 2 flvV
v=l |х=1 v-=l, ..., п
ц=1, ..., т
Доказательство.
п т т п
(2 ev) ( 2 М= S ( S flv)^= (правило 2)
v=l Ц=1 M-=l v—1
ro n
= 2 (Ьц 2 «v)= (коммутативный закон)
M.=l v=l
ro n
= 22 av^n = (правило '2 и коммут. закон)
ц=1 v=l
= 2 aA-
v=l, . . ., n
H=l, . . ., m
Переход от предпоследней строки к последней объясняется так:
т л
2 2 аА = («1&1 + «2^1 + ...' + «гА) + • . . + («l^m + • • • + dnbm) =
ц=1 v^l
= 2 aA>
V=l, ♦ . ., 71
H=l, ..., m
где последнее равенство следует из определения двойной суммы.
Применяя правила (1) — (3), следует обратить внимание на то,
что пределами суммирования во всех суммах, о которых идет в этих
правилах речь, служат (1; п); индексы суммирования v и \х можног
конечно, обозначить и иначе.
32 Том I
Часто бывает полезно начинать нумерацию слагаемых с какого-
либо целого числа к; тогда вводят сокращенную запись
i
a>k + ak+i + • • • + ai = 2 av> l = k или к<1.
При 1 <С к полагают
Например,
2
а_! + ао + ai + ^2 == 2 av-
v=—i
Легко проверить соотношение
I 1+г
2j #v = 2j (Zv—r,
v=ft v=fc+r
справедливое для каждого г £ Z. В частности,
2 av== 2 av+fe-i*
По аналогии со знаком суммы произведение п множителей at< . . .
. . ., ап обозначается символом
п
01 • . . . • #71 = Ц а\-
V=l
Рассмотренные выше условия и правила переносятся и на знак
произведения.
§ 4. АКСИОМЫ ПОРЯДКА
Уже в § 2 при определении промежутков нам понадобилось
упорядочение действительных чисел. Теперь мы хотим рассмотреть
свойства этого упорядочения. При этом целесообразно вместо отношения
а <С Ъ {а меньше, чем Ъ) говорить об отношении а ^ Ъ (а меньше,
чем 6, или равно Ь; короче: а меньше или равно Ь) и аксиоматически
охарактеризовать это последнее отношение. В отличие от
предыдущих параграфов теперь снова речь будет идти о 01 = Dl U {—оо, +°°}-
Список аксиом
П.О. В 01 задано отношение ^ т. е. для любых двух элементов
л, Ъ £К установлено, выполняется а ^.Ь или нет^
П.1. а ^.а для всех а 6 01 (рефлексивность отношения <!).
П.2. Если а ^. b и b ^ а, то а = b (закон тождества).
Гл. I. Действительные числа
33
П.З. Иза^ЬиЬ^с следует а ^.с (закон транзитивности).
П.4. Если а, Ъ £ 01, то а ^ Ъ или Ъ ^ а (или и то и другое)).
д 5. —со ^ а ^ + оо для всех а £ DI.
П.6. Аксиома полноты (аксиома о дедекиндовом
сечении). Пусть Мн и Мв — два подмножества 01, удовлетворяющие
условиям
а) Мяф0, МвФ0;
Р) МН\]МВ = 01;
у) если а £ Л/"н, Ъ £ ЛТВ, то а^^Ъ.
Тогда существует точка с 6 01, обладающая следующим свойством:
если а £ Мпи b £ Мъ, то а < с < Ъ.
ПП.1. ifo/ш а, Ь, с £ R и а ^.Ь, то а + с ^.Ь + с.
ПП.2. 1з 0 < а w 0 < Ь следует 0 < аЬ (а, 6 6 01).
Тем самым мы перечислили все аксиомы для 01 и 01. За
исключением аксиомы П.5, опирающейся на определение, они выражают
очевидные свойства действительных чисел.
Поговорим об аксиомах порядка!
Аксиомы П.О — П.З называются аксиомами частичной
упорядоченности; они выполняются, например, для
теоретико-множественного включения. Аксиомы П.О — П.4 говорят о том, что 01 есть
линейно упорядоченное множество. Аксиомы ПП.1 и 2 связывают
линейный порядок на 01 со структурой поля 01.
Введем некоторые обозначения:
(1) а^Ъ (а больше или равно Ъ) означает: Ъ ^ а;
(2) а < Ъ (а меньше Ъ) означает: а ^ Ъ и а Ф Ъ\
(3) а > Ъ (а больше Ъ) означает: Ъ <С а.
[(2) — это известное из § 2 отношение <.]
(4) Если Mi и М2 — непустые подмножества из 01, то пишут
Mi ^ М2, при условии, что для а £ Mi и Ъ £ М2 всегда выполняется
а ^ 6; подобным же образом определяются отношения Mi < Af2,
Ii > Af2 и Mi > М2. Если а £ К, то вместо Mt < {а} пишут
просто Mi < a.
Высказывание вида а ^ Ъ называется неравенством, а вида
а < 6 — строгим неравенством.
Теорема 4.1. Если а, Ъ £ 01, то выполняется в точности одно
из трех соотношений
(1) а < 6, (2) а = Ь, (3) а > 6.
Доказательство, а) Покажем сначала, что может
выполняться не более чем одно из этих трех соотношений. Как из а < Ь,
так и из а > 6 следует, что а Ф Ъ, поэтому равенство (2)
несовместимо ни с одним из неравенств (1) и (3). Пусть теперь имеет место (1).
Если бы, кроме того, выполнялось и неравенство а > 6, то тем более
3-832
34
Том I
было бы а !> Ь, а из (1) следовало бы, что а ^ Ь, и, значит, в силу
П.2, а = Ь. Но это, как мы только что заметили, невозможно.
Ь) Одно из трех соотношений (1) —(3) выполняется непременно!
Именно, в силу П.4 или а ^ Ь, или Ъ ^ а, т. е. а^Ъ (не
исключено, что и то и другое). Пусть, например, а ^.Ь. Если тогда а = Ъ,
то справедливо равенство (2), а если афЪ, то — неравенство (1).
Случай Ь ^ а рассматривается точно так же.
Отметим еще, что из а < Ъ следует а ^ Ь (например, 3 < 4
и потому тем более 3^4). Этим соображением мы воспользовались
в доказательстве.
Легко вывести следующие правила действий с неравенствами:
(1) а) если а < Ъ ^ с, то а < с;
Ь) из a ^.b <Z с следует а < с;
(2) а) из а> Ъ*^ с следует а> с;
Ь) из а^>Ъ> с следует а > с;
(3) а) если a^buc^d, moa + c^b + d;
b) ес/ш a ^.b и с < d, то а -\- с <Z b + d.
Мы докажем только некоторые из этих правил, причем будем
пользоваться аксиомами поля, не упоминая об этом каждый раз.
Доказательство (1а). а < 6, следовательно, a ^Lb.
Согласно П.З отсюда вытекает, что а ^ с. Теперь либо а < с, либо
а — с. Если a = с, то а ^ 5 и Ь ^ а и, значит, на основании П.2,
а = Ь. Но поскольку a < 6, то, кроме того, п а Ф Ь.
Предположение, что а равно с, приводит, таким образом, к двум взаимно
противоречащим высказываниям: а = b ж аф Ь, и потому неверно.
Следовательно, а < с.
Доказательство (ЗЬ). Из а ^ 6 в силу ПП.1 следует
a + с ^ Ъ + с; из с < d следует с ^ d и (снова в силу ПП.1) 6 + с ^
^ Ь + d. Поэтому, на основании аксиомы П.З, а + с ^ Ъ + d
Если бы было a + с = b + d, то выполнялись бы соотношения
6 + d = a + c<b + c<b + d,
следовательно, согласно П.2, Ъ + d = Ъ + с, и потому с — d.
Но по предположению с <С d и, значит, с Ф d. Таким образом,
высказывание a + с = 6 + d неверно. Итак, a + с < 6 + d.
Оба эти доказательства мы провели по принципу приведения
к противоречию: чтобы доказать какое-либо утверждение (например,
а < с), допускают, что оно неверно, т. е. что справедливо
утверждение, ему противоположное (в нашем примере: а ;> с). Затем из этого
допущения и из остальных предположений выводят, что должно
выполняться какое-либо определенное утверждение (например,
а — Ъ) и вместе с тем утверждение, ему противоположное (а Ф Ь).
Но это невозможно, и потому доказываемое утверждение правильно.
Гл. I. Действительные числа 35
Преимущество такого метода доказательства от противного
состоит в том, что в нашем распоряжении имеется на одно
предположение больше (именно, на противоположное утверждение).
Определение 4.1. Элемент а £ 01 называется
положительным, если а > О, и отрицательным, если а < 0.
При таком определении выполнены следующие правила:
(4) Элемент а является положительным (отрицательным) в том
и только в том случае, если элемент —а отрицателен (положителен).
(При этом мы полагаем: — (+оо) = —оо и —(—оо) = +оо.)
(5) Произведение положительных чисел положительно, как и
произведение отрицательных чисел. Если а положительно, а Ъ
отрицательно, то аЪ отрицательно.
Доказательство. Правило (4). Если а > 0, то в силу (ЗЬ)
а — а > О — я, следовательно, 0 > —а, т. е. —а отрицательно.
Если —а отрицательно, т. е. —а < О, то а — а < а + 0,
следовательно, 0 < а, т. е. а положительно.
Правило (5). Пусть а и Ь больше нуля. Тогда аЪ Ф О, так как 01
не содержит делителей нуля. Но, в силу ПП.2, аЪ >- 0, и потому
аЪ > 0. Если а и Ъ отрицательны, то —а и —6 положительны,
поэтому (-а) (-6) > 0. Но (-а) (-Ъ) = _(а.(-6)) = аЪ. Наконец,
если а > 0 и 6 < 0, то — 6> 0, откуда а (—6) > 0. Далее, а (—Ъ) =
= — (аб); поэтому аб < 0.
Правило (5) можно записать в виде обычной схемы действий
со знаками:
+ •+ = +, +•- = -. -•+ = -, = +.
(6) Из а < Ъ и О < с следует ас < 6с.
Доказательство. Имеем:
О < 6 — а, 0 < с,
Следовательно,
О < (6 — а)с, (правило (5))
О < Ъс — ас,
ас < 6с.
(7) Из а < b и с <С 0 следует ас > 6с.
Доказательство. Так как с < 0, то —-с > 0. Из
предыдущего правила получаем
а(-с) < 6(-с),
■—ас < —6с,
О <С ас — 6с,
Ьс < ас.
(8) 0<1.
36 Том I
Доказательство. Так как О Ф 1, то либо 0 < 1, либо
1 <С 0. Во втором случае по правилу (5) было бы 1 -1 > 0, и, значит,
1 > 0, что противоречит теореме 4.1.
(9) Из 0<а<Ь следует 0 < 1/Ь < 1/а.
Доказательство. Число 1/а положительно, ибо а(1/а) =;
= 1 и а > 0. Из а<6 вытекает, что 1 < Ыа, и, далее, 1/6 < 1/а
((правило 6).
Определение 4.2. Если а £ 01, то число
{а при а>0,
— а при а <! О,
называется абсолютной величиной, или модулем, числа а.
Число \а\ в точности равно «расстоянию» между 0 и а на
числовой прямой.
Теорема 4.2. (Свойства абсолютной величины.)
(а) Всегда \а\ ^> 0; \а\ — 0 в том и только в том случае, когда
а = 0.
(Р) \ab\ = 1*НЬ|.
(Y) (Неравенство треугольника) |а + Ь| ^ |а| + |Ь|. ;
Для векторов на плоскости неравенство (у) означает, что сумма
длин двух сторон треугольника не меньше длины третьей его сто-;
роны. Этим объясняется название. j
Доказательство теоремы 4.2. Свойство (а) немедленно]
^следует из определения величины \а\ и правила (4). Чтобы доказать]
(Р), прежде всего заметим, что всегда либо а — \а\, либо а = — |а|.1
Поэтому ab — \а\-\Ъ\ или = — |а|-|Ь|. В первом случае аЪ >- 0,1
и потому аЪ = \аЪ\\ во втором аЪ ^ 0, и, значит, \аЪ\ = —аЪ =1
= |а|*|Ь|. В обоих случаях требуемое равенство справедливо.!
Доказательство неравенства треугольника мы отложим на конещ
этого параграфа. 1
Теорема 4.3. Пусть г — положительное число. Тогда длм
х £ 01 эквивалентны следующие высказывания: I
a) |ж| < е; I
b) —8 ^ X <! 8. 1
Доказательство, а) Пусть \х\ ^ 8. Если х ;> 0, т<|
—8 <; х и, кроме того, х = \х\ ^ 8. Если х ^ 0, то х ^ 8 и вместе!
с тем \х\ = —х ^ s; следовательно, х ^> —8. 1
Ь) Пусть —8 ^ х ^ 8. Если х >■ 0, то \х\ = х ^ s; если ж|
я <! О, то поскольку — 8 ^ х, непременно 8 ^ —х — \х\. 1
Утверждение теоремы 4.3, конечно, останется в силе, если не!
строгие неравенства заменить строгими —8 <; .г < 8 и |я| < в
(для доказательства нужно воспользоваться правилом (1)). Вообще!
Гл. I. Действительные числа
37
если xQ е 01, то множество
Ue(x0) = {х: \х — х0\ < е}
совпадает с множеством (х0 — 8, х0 + 8). В самом деле, неравенство
\х — х0\ < в выполняется в точности тогда, когда — г <С х — х0 < е
—I 1 1—
U£(x0)
Рис. 8.
(теорема 4.3); но это имеет место в том и только в том случае, когда
х0 — г<х <х0 + е (см. рис. 8).
Из теоремы 4.3 теперь легко получить неравенство треугольника.
Мы можем считать, что \а\ + \Ь\ > 0. Тогда
— \а\ ^ а ^ |а|,
поэтому
-(N+ |Ь|)<а + Ь<|а| + \Ь\,
т. е. (по теореме 4.3)
|а+6|<Н+ \Ъ\.
Полной индукцией по числу слагаемых неравенство
треугольника можно обобщить и получить формулу
v=l| |
<*V€I
2 л
I v=l
Наконец, из теоремы 4.2 еще следует, что
\а - Ь\ > \а\ - \Ь\.
Именно,
\а\ = |Ь + а — Ь|< |Ь| + |а — 6|.
§ 5. АКСИОМА О ДЕДЕКИНДОВОМ СЕЧЕНИИ
Перейдем теперь к обсуждению аксиомы П.6, которую мы хотим
сначала еще раз сформулировать.
Определение 5.1. Дедекиндовым сечением называется пара
множеств (Мю Мв), являющихся подмножествами 01 и
обладающих следующими свойствами:
а) Мн, Мв=£0;
Р) МН[]МВ = К;
у) Мн < Мв.
38 Том I
Множество Мн называется нижним классом, а Мв — верхним щ
классом сечения. I
Аксиома о дедекиндовом сечении. Для каждого щ
дедекиндова сечения (Мн, Мв) существует такой элемент s 6 01, дамИ
Мн < s < Мв. 1
Пусть теперь (Мн, Мв) — дедекиндово сечение и su s2 — двая
элемента из R, удовлетворяющие неравенствам I
Мн < st < Мв, Мн < 52 < Мв. 1
Предположим, что s4 < s2. Тогда существует такое число t, что 1
$i < t < s2. В самом деле, если $4, s2 6 01, то полагаем £ — 1
= (si + s2)/2; если s4 = — оо, но s2 £ 01, то выберем t = s2 — 1; I
если Si 6 01, 52 = +oo, то возьмем t = 54 + 1, и, наконец, если!
st = — оо, 52 = +oo, то положим t = 0. Если бы число £ принадле-я
жало к Мн, то мы имели бы t ^ st в противоречии с неравенством И
$i < *; если бы t было элементом Мв, то выполнялось бы неравенство 1
s2 ^ *, в то время как t < s2. Следовательно, t (£ MHL)MB = m, I
а это также невозможно. Таким образом, если st < s2, то мы прихо-1
дим к противоречию; разумеется, то же самое будет и в случае s2 < 1
< st. Следовательно, $i = s2, и мы получаем такое утверждение: I
Для каждого дедекиндова сечения (Мн, Мв) существует не более щ
чем один (а потому, согласно аксиоме, ровно один) такой элемент s, I
что Мн ^ s ^ Мв. Число s называется секущим числом сечения I
(М„, Мв). 1
Далее, легко видеть, что пересечение МНПМВ может содержать!
самое большее лишь секущее число. 1
Теорема 5.1. Пусть (Мн, Мв) — дедекиндово сечение с секу-щ
щим числом s. Если а 6 тв и a <>, то а 6 Мн, а если а > s, то а 6 Мв. 1
Доказательство. Пусть а < 5. Тогда неравенство s ^ а 1
не выполняется, и потому а не принадлежит Мв. Так как а 6 Мн U 1
L)MB, то а 6 Мн. Точно так же доказывается и второе утверждение!
теоремы. 1
Теорема 5.2. (Теорема Архимеда.) Для каждого действи-%
тельного числа а существует натуральное число п, большее, чем а. I
Доказательство. Пусть I
Мн — {х £К; существует такое п 6 N, что х < п), i
Мв = {х 6 т: для каждого п 6 IN выполняется неравенство гс<;а:}. 1
Пара (Мн, Мв) является дедекиндовым сечением. В самом деле, I
—■ оо 6 Мн, + оо 6 Мв, следовательно, ни один из классов не пуст. I
Для каждого х 6 01 выполнено одно из следующих условий: либо!
некоторое натуральное число превосходит х, и тогда х принадле-1
Гл. I. Действительные числа
39
жит Мю либо х не меньше любого натурального числа, и тогда
х 6 Мъ- Следовательно, AThU^b = К. Далее, если х 6 AfH, У 6 Мв,
то существует такое и £ N, что ж < п. Но n<z/, значит, о: < тг<у,
и потому х<у. Таким образом, ATH<AfB (и даже Мн < ЛТВ).
По аксиоме о дедекиндовом сечении существует секущее число s.
Так как l<!s, то s >— оо. Допустим, что s принадлежит 01.
По теореме 5.1, s — 1 6 Мн и s + 1 £ MB. Поэтому существует
такое натуральное число л, что 5 — 1 < тг. Отсюда:
5 — 1 + 2 < ?г + 2,
5 + 1 < И + 2.
Однако, поскольку п + 2 — также натуральное число, по
определению Мв должно быть п + 2<5 + 1. Итак, s не принадлежит 01
и не равно — оо; значит, s = +oo и Мн = 01U {—оо}.
Следствие. Для каждого положительного числа & существует
такое натуральное число п0, что для всех натуральных чисел п ^ п0
выполняется неравенство
1
— <8.
П
Это следствие важнее для нас, чем теорема Архимеда. Оно показы-
л 1 1
вает, что последовательность чисел 1, -j,-^ , . . . содержит «сколь
угодно» малые элементы и что среди положительных чисел нет
наименьшего.
Доказательство следствия. По теореме 5.2 существует
такое число п0 £ N, что п0 > 1/е. Если п ;> п0, п £ N, то тем более
1/е < /г, и по правилу (9) из § 4 8 > 1/п.
Из аксиомы о сечении следует
Теорема 5.3, Существует такое положительное число s,
что s2 = 2.
Доказательство. Пусть
Мн ={£6 01: а; < 0} |J {^ 6 R: *>0 и я2<2},
ЛГВ ={же 01: я>0 и ^2>2}U {+<*>}.
Сначала мы покажем, что (7кГн, Мв) — дедекиндово сечение, а затем,
что квадрат секущего числа равен 2.
Очевидно, множества Мн и Мв не пусты и MH{JMB = R.
Пусть теперь а £ AfH, Ь 6 Мв, а,Ъф±оо. Если а отрицательно,
то а <Ь, так как 6 > 0. Если а > О, то а2<2<62, и, значит,
я2<62. Если бы было а > 6, то, поскольку Ь ]> 0, по правилу (6)
из § 4 мы имели бы а2 > Ь2. Таким образом, и в этом случае а<[6.
Конечно, это неравенство тем более справедливо при а = — оо
или Ъ = -f- оо. Поэтому (ЛТН, Мв) есть дедекиндово сечение.
40 Том I
Секущее число s во всяком случае ^1 (так как 1 £ Мк) и Ф + оо.
Если п — какое угодно натуральное число, то (ilrif < 2, и потому
1/тг < 5. Таким образом, для каждого п выполняются неравенства:
Is — — j ^2<(s+—J (теорема 5.1),
' *. , ^<2<S-2S ; \
s<-2 — + — <2<s^ + 2- + —,
иге ип
2 2s _ 2 3s /
s <2<s H I так как
п п \
s2-2 1 1 s2-2
<— и <
1 s\
— < —)•
п п /
2s n и 3s
Однако по следствию из теоремы Архимеда это возможно лишь в том
случае, если
25 3s
потому (ведь 5 положительно)
$2-2<0<s2-2,
откуда
s2 = 2.
Найденное нами положительное решение уравнения х2 = 2 —
мы обозначим его символом + |/~2 — однозначно определено.
В самом деле, если t > 0 — другое решение, то мы получаем
0 = 2 - 2 = s2 - *2 =(5 + t)(s - t),
и так как s + £ > 0, то $—•£ = ().
Как показывает следующая теорема, аксиома П.6 выполняется
не во всяком упорядоченном поле.
Теорема 5.4. Не существует рационального числа, квадрат
которого равен 2.
Доказательство. Мы проведем доказательство от
противного. Допустим, что г — рациональное число, для которого
г2 = 2. Тогда существуют такие целые числа р и g, q > 0, не
имеющие общего делителя, что г — р/g. Следовательно,
p2 = Zq\
Гл. I. Действительные числа
41
Поэтому р2, а значит, как сразу видно, и р являются четными
числами. Отсюда
р = 2р' (где р' g Z),
2д2 = р2 = 4р'2,
д2 = 2р'2.
Число q2, а значит ид,— четное! Таким образом, числа рид, вопреки
нашему допущению, имеют общий делитель.
Если положить <Q, = Q, |J {—оо, +оо}, то в Q, будут выполняться
все аксиомы из §§ 3, 4, за исключением аксиомы о сечении. Система
аксиом, состоящая из всех аксиом предыдущего параграфа за
вычетом П.6, имеет самые разнообразные модели, например Q,, 01 и многие
другие поля. Но существует ли отличное от 01 поле,
удовлетворяющее всем аксиомам, от С до ПП?
С помощью понятия изоморфизма не трудно этот вопрос сделать
точным, и тогда он получит следующий ответ: с точностью до
(сохраняющего порядок) изоморфизма К есть единственное поле, в котором
выполняются все указанные аксиомы.
Заключительное замечание
Вместо того чтобы рассматривать действительные числа как
данные, их можно построить из натуральных чисел. Если при этом
обращаться с множествами столь же свободно, как мы это делали,
то после долгого пути мы придем к тем же результатам. Если же
ограничить возможность определения множеств, то получатся
существенно другие результаты: аксиома о дедекиндовом сечении должна
быть тогда изменена, и, если основываться на таком
модифицированном понятии числа, многие из последующих теорем окажутся
неверными или по крайней мере потребуют более сложных доказательств.
Например, это произойдет в том случае, если запретить
использование множества всех подмножеств натуральных или рациональных
чисел (степенного множества).
Отношение между «наивной» теорией действительных чисел,
которую мы здесь изложили, и только что упомянутой
«конструктивной» теорией еще до конца не выяснено. Вопрос же, насколько
каждая из этих теорий «истинна», требует обращения к философии
и уже не относится к математике.
Глава II
МНОЖЕСТВА И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
Определение 1.1. Пусть М с: К — непустое множество.
Точка а £ 01 называется верхней границей множества Мь если М<а.
Очевидно +°° является верхней границей каждого множества,
однако, вообще говоря, существуют и меньшие верхние границы.
Определение 1.2. Точка s £ 01 называется верхней гранью
множества М, если она является наименьшей верхней границей
этого множества. Верхняя грань множества обозначается так:
s = sup M.
Каждое множество имеет не более одной верхней грани, которая,
конечно, может этому множеству и не принадлежать. Точка s
является верхней гранью множества М в том и только в том случае, если
каждая точка из М не превосходит s и если тем не менее для
каждого s' < s существует такая точка а £ М, что s' < а. Как мы знаем,
бесконечное множество действительных чисел может не содержать
наименьшего элемента. Таким образом, существование наименьшей
верхней границы некоторого множества М отнюдь не само собой
разумеется. Оно обеспечивается следующей теоремой, важнейшей
в этой главе.
Теорема 1.1. Каждое непустое множество М с: 01 имеет
верхнюю грань.
Доказательство. Пусть
Мк ={х £ 01: существует такое а £ М, что х ^ а},
Мв ={х £ R: М <ж}.
Как мы сейчас проверим, (Мн, Мв) — дедекиндово сечение. Так
как — оо £ Ми и +°° 6 Мв, ни одно из этих множеств не пусто
и, очевидно, каждая точка х £ 01 принадлежит одному из них. Если
х £ Мц и у 6 Мв, то существует такой элемент а £ М, что х ^ а;
но для этого а должно также выполняться и неравенство а ^.у
и, значит, х <! у.
Пусть s — определяемая сечением (Мк, Мв) точка множества 01.
Мы хотим показать, что s = sup М. Если х £ М, то х ^ х, т. е.
ikf с: Мк. Далее, Мк ^ s; поэтому s является верхней границей
Гл. II. Множества и после доеаргелъности 43
множества М. Допустим, что s' — какая-нибудь другая верхняя
граница множества М. Тогда s' принадлежит Мв, и потому не
меньше, чем s. Следовательно, s — наименьшая верхняя граница.
По аналогии с понятиями верхней границы и верхней грани
введем понятия нижней границы и нижней грани.
Определение 1.3. Нижней границей непустого множества
М с: 01 называется любая точка Ъ £ 01, удовлетворяющая условию
Ъ <! М. Нижней гранью множества М называется наибольшая
нижняя граница М; она обозначается символом inf M.
Таким образом, s является нижней гранью множества М в том
и только в том случае, если s ^ M и если для каждого s' > s
существует такая точка а £ М, что s' > а. В точности так же, как
теорему 1.1, можно доказать следующую теорему.
Теорема 1.2. Каждое непустое множество М имеет
(однозначно определенную) нижнюю грань.
Если Ъ — произвольная нижняя, а а — какая угодно верхняя
границы, то выполняются неравенства
—оо < Ъ < inf М < М < sup ЛГ < а < + оо.
Пусть снова М cz 01 — какое-либо непустое множество.
Положим тогда — М — {—х: х £ М}, где — (4-оо) = —оо и — (—оо) =
= +оо, и докажем две формулы:
(1) sup(-M) = -inf M,
(2) inf(—M) = —sup M.
Доказательство. Пусть sup(—М) = s. Тогда — М <! s,
и потому Л/^> —s; следовательно, —s есть одна из нижних границ
множества М. Если t — какая-нибудь нижняя граница
множества М, то t ^ М, значит, — t ;> —М, следовательно, — t ;> 5,
и потому t ^ —5. Тем самым формула (^доказана. Формула (2)
следует из (1):
—sup М = — (—inf(—ЛО) = inf(—M),
потому что — (—М) = М.
Определение 1.4. Множество М Ф 0 называется
ограниченным сверху (снизу), если sup М < + оо (inf M > —оо). Если
множество М ограничено сверху и снизу, то оно называется
ограниченным.
Множество N натуральных чисел ограничено снизу, но не сверху.
Очевидно, inf IN = 1, тогда как по теореме Архимеда sup N = +оо.
Так как Ы не ограничено сверху, множество —N не ограничено
снизу (правило (2)), а множество Z всех целых чисел не ограничено
ни сверху, ни снизу. Если а, Ъ £ 01, а] < 6, то промежуток / = (а, Ъ)
ограничен, и при этом inf I = a, sup / = Ъ.
44 Том I
Если множество М лежит в 01, то мы можем определить множества
\М\ = {\х\: х £ М}. Справедлива
Теорема 1.3. Множество М ограничено в том и только
в том случае, если существует такое г £ 01, что \М\ < г.
Доказательство. Если М ограничено, то существуют
такие числа а, Ъ £ 01, что а ^ М ^ Ь. Положив г = тах(|а|, |Ь|)+ 1,
получаем: \М\<г.
Пусть, напротив, существует такое число г, что \М\ < г. Тогда
—г < М < г, следовательно, —оо < —г ^ inf M ^ sup M ^
^ г <С +°°> т. е. М ограничено.
§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТОЧЕК
Пусть
(ау) = Яд, 02? #3> 04» • • •
— бесконечная последовательность элементов множества 01. Мы будем
называть 0V элементами последовательности; av есть v-й элемент.
Элементы av и а^ при различных индексах v и \i могут быть и равны.
Если все элементы последовательности принадлежат 01, то мы будем
называть (0V) числовой последовательностью; если же av —
произвольные элементы множества 01, то мы будем говорить о
последовательности точек.
Определение 2.1. Две последовательности (av) и (6V)
считаются равными в том и только в том случае, если при каждом
v £ Ы имеет место равенство 0V = bv.
Например, последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, ...
отличается от последовательности 2, 1, 3, 4, . . . .
Когда говорят о различных элементах какой-нибудь
последовательности, по большей части имеют в виду элементы с различными
индексами (стоящие в последовательности на различных местах),
иначе говоря, av и а^ при v Ф |л; при этом не утверждается, что
av Ф 0^. Аналогично, говорят, что бесконечное множество элементов
последовательности (0V) обладает некоторым свойством, если
существует бесконечное множество номеров v gN , для которых 0V
обладают этим свойством. Например, бесконечное множество элементов
последовательности —1, 1, —1, 1, . . . положительно. Такое
словоупотребление удобно, хотя иногда и может привести к
недоразумениям.
Каждая последовательность (0V) определяет некоторое
подмножество {0V} множества 01, именно
{а\} = {х 6 К*: существует такое v, что х = av}.
Различные последовательности могут, однако, определять одно и то
же множество. Так, каждая из последовательностей
Гл. II. Множества и последовательности
45
1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ,
2, 1, 4, 3, 6, 5, . . .
состоит из всех натуральных чисел. Несмотря на то, что по
определению последовательность точек всегда бесконечна, может случиться,
что соответствующее ей множество окажется конечным. Например,
множество, соответствующее постоянной последовательности
1, 1, 1, . . ., содержит только число 1.
Определение 2.2. Множество М а К называется
счетным, если существует последовательность точек (av), которой оно
соответствует1).
Каждое конечное множество счетно; счетны также множества
всех натуральных чисел и всех целых чисел. Справедлива даже
Теорема 2.1. Множество Q, всех рациональных чисел счетно.
Доказательство. Достаточно показать, что счетно
множество Q,+ всех положительных рациональных чисел. В самом деле,
если некоторая последовательность (av) определяет множество Q+,
то в последовательность
О» aU —а1ч a2i —а2ч аЪч —aZi • • •
войдет каждое рациональное число.
Так как каждое положительное рациональное число может быть
записано в виде дроби г = p/q, то в таблице
111 1 1 *
1 2^3 4 ~* 5 "•
I S / / /
1 1 1 1 —
1 2 3" 4 5 ""
/ / /
11111
1 2 3' 4 5 •"
\ / S
£ 4_ 4^ 4 4
1 2 3" Т 5" "•
11111
1 2 3 4" 5" "•
х) Обычно счетными называют только бесконечные множества, обладающие
этим свойством.—Прим. перев.
46
Том I
встретятся все положительные рациональные числа. Но элементы
этой таблицы можно выписать в одну последовательность, двигаясь
вдоль указанного на ней пути:
1 ' 1 ' 2 ' 3' 2 ' 1 ' 1 ' 2 * 3 ' 4' '" '
Тем самым теорема доказана.
Все действительные числа составляют несчетное множество»
Точнее, справедлива
Теорема 2.2. Открытый промежуток не является счетным.
Доказательство. Сразу видно, что наше утверждение
достаточно доказать лишь для открытого единичного промежутка
/ = (0, 1). Пусть (av) — произвольная последовательность
элементов промежутка /. Каждое число av можно записать в виде
бесконечной десятичной дроби
CCV = О, &vibV20V3&v4 ^v5 • • •»
где bV[X £ {О, 1, . . ., 9}. Определим теперь следующим образом
действительное число с £ I: пусть
с = 0, CiC2cz . . .,
если 611 = 1,
если Ьцф1,
если 622 = 1,
если 622 =7^=1»
f 2, если bvv = l,
v— \ 1, если bvv ф1,
и т. д.
Число с принадлежит промежутку J, но в последовательность
(ау) не входит: в самом деле, с отличается от любого av, так как на
v-м месте в их десятичном разложении стоят разные цифры. Таким
образом, никакая последовательность не может содержать все
элементы промежутка /, т. е. J — несчетное множество1).
Приведем теперь несколько примеров числовых
последовательностей.
1. (av) = (1/v). Речь, следовательно, идет о числовой
последовательности
1 1 1
*) Не трудно провести и доказательство, опирающееся лишь иа перечислен -
ные выше аксиомы. —Прим. перев.
с2 = {1
Гл. II. Множества и последовательности
47
Ей соответствует множество всех дробей, обратных натуральным
числам!
|#v} = {а: существует такое v £ N, что а = 1/v}.
Мы хотим найти inf {av} и sup {av}. Очевидно, sup {av} = 1. Так как
1/v > 0, то inf {av} ^ 0. Для каждого 8 > 0 существует такое
натуральное число v0, что l/v0 < 8. Поэтому inf {av} — 0.
2. (av) = ((—l)v (1/v)). Соседние члены этой последовательности
имеют противоположные знаки:
111
\а\)=== *» ' "2"' Я*' ' 4~ ' * '' '
Очевидно, inf {av} = — 1, sup {av} = -j -
3. Последовательность (bv) = (l/(2v + 1)) является
подпоследовательностью первой числовой последовательности:
, 1
0V = <hv+u гДе av = —.
v
4. Последовательность можно также определить индуктивно.
Например:
at = l; av-M = ~ при v>l.
Следуя этому правилу, получаем числовую последовательность 1^
JL.1.L
2 у 4 , 8 , . . . .
На основании этих примеров дадим несколько определений.
Определение 2.3. Последовательность точек (av)
называется подпоследовательностью последовательности (bv), если ее
можно получить из (6V), удалив некоторые элементы и сохранив
порядок остальных.
Определение 2.4. Последовательность (av) называется
ограниченной сверху (снизу, соответственно просто ограниченной),
если ограничено сверху (снизу, просто ограничено) множество {av}.
Точка а £ 01 называется верхней (нижней) границей
последовательности (av), если она является верхней (нижней) границей
множества {av}. Под верхней (нижней) гранью последовательности (av)
понимают верхнюю (нижнюю) грань множества {av}:
sup av = sup {av}; inf av = inf {av}.
Понятия последовательности и подпоследовательности мы не
определили в этом параграфе в явной форме, т. е. не свели их к уже
48 Том I
нам известным математическим понятиям, по той причине, что для 1
их понимания это не необходимо. Однако, было бы не трудно,— I
только довольно канительно —дать точные их определения. 1
§ 3. ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ 1
Определение 3.1. Пусть е ■— некоторое положительное I
число и х0 —- точка из 01. Под г-окрестностъю точки х0 понимают 1
множество 1
иг(х0) = {х £К: |о: — ^0| <: е}; 1
U&(x0) — это просто открытый промежуток длины 2е с центром х0. I
Пусть теперь Utl (х0) и UZi (х0) — две е-окрестности одной и той же 1
точки х0. Нумерацию мы можем выбрать так, чтобы min^, e2) = е^ I
Тогда Utl (xQ) содержится в UZi (x0), и потому I
Ul (x0) П Ue2 (x0) = U4 (x0) = Umm&it в8) (х0). |
Пересечение двух г-окрестностей снова есть г-окрестностъ. I
Определение 3.2. Множество U а К называется окре- ||
стностъю точки х0 6 К: U = U(xQ), если существует 8-окрестность II
точки х0, содержащаяся в U. ||
Каждая 8-окрестность точки х0, сколь бы мало ни было 8 > О, I
является окрестностью точки х0\ но окрестностью точки х0 является 1
и все К. (Окрестности не обязаны быть очень малыми. Они лишь I
во всяком случае должны в понятном смысле слова «окружать» 1
точку х0.) I
Теорема 3.1. Если U и V — окрестности одной и той же I
точки х0, то и пересечение U[\V есть окрестность точки х0. I
Доказательство. Окрестность U содержит какую-либо I
8Гокрестность Uet (х0) точки х0, а V содержит е2-окрестность V\г (х0). I
Тогда I
Uti(x0)[\Uti{xu)c=:U{\V
есть 8-окрестность, содержащаяся в U(]V. I
В качестве последней теоремы об окрестностях мы докажем I
следующее утверждение, называемое обычно аксиомой отделимости I
Хаусдорфа: I
Теорема 3.2. Для любых двух различных точек х и у
существуют окрестности U точки х и V точки у, имеющие пустое
пересечение.
Доказательство. По предположению число р = \у — х\
положительно. Если мы возьмем U = Z7p/2 (ж) и V = Vp/2 (x), то
U[\V = 0. В самом деле, если бы пересечение U[\V содержало }
j
Гл. II. Множества и последовательности 49
какую-нибудь точку, скажем z, то мы имели бы
р = \у — х\ = \у — z + z — я |<
<|у —z| + |z —*|<
а это невозможно.
Пользуясь понятием окрестности, можно ввести открытые
множества.
Определение 3.3. Множество U а К
называется*открытым, если оно является окрестностью каждой своей точки.
Некоторые промежутки мы уже и раньше называли открытыми.
Следующая теорема показывает, что это было оправдано.
Теорема 3.3. Открытый промежуток есть открытое
множество.
Доказательство. Пусть / = (а, Ъ) — открытый
промежуток и х0 — какая-либо его точка. Нам нужно показать, что
в / содержится некоторая s-окрестность точки х0. Выберем 0 < е —
= min (| Ъ — я0|, \а — х0\). Тогда
х0 — 8 = х0 — min (\b — #0|, |а — х0\) >
>.г0 — |а — х0\ =
~ хо — \хо — а) =
= а
и
х0 + 8 = х0 + min(|6 — #0|, |а — я0|) <
< х0 + \Ь — я0| =
== «^0 "Г* & — Xq> —
= Ъ.
Таким образом, если точка х принадлежит Ue (x0), то
а ^ х0 — г <С х <С х0 + & ^ &,
т. е. х лежит в промежутке /.
В частности, каждая 8-окрестность произвольной точки является
открытым множеством. Но не всякая окрестность открыта.
Примерами открытых множеств служат также полупрямые {х £01: х < а}
и {х £ 01: х > а}; открыто и само 01.
Определение 3.4. Пусть М и N — некоторые множества
действительных чисел и N а М. Говорят, что множество N плотно
в М, если для каждой точки х £ М и каждой окрестности Z7 = Z7(#)
4-832
50
Том I
Множество называется всюду плотным, если оно плотно в К.
Обозначим через / произвольный промежуток, причем
полупрямые и всю числовую прямую также следует рассматривать как
промежутки, и докажем следующую важную теорему:
Теорема 3.4. Если I содержит хотя бы две точки, то
множества I[)Ql и I — О, плотны в I.
Доказательство, а) Пусть г и s — два действительных
числа, удовлетворяющих условию 0 ^ г < s. По теореме Архимеда
существует такое натуральное число п, что \ln < s — г; по той же
теореме можно найти такое k £ N, что пг < к. При этом к можно
еще выбрать так, чтобы выполнялись неравенства к — 1 ^ пг < к.
Тогда
к ft-i,1^,1
п п п п
Рациональное число kin лежит, таким образом, в открытом
промежутке (г, s). Отсюда сразу следует, что каждый открытый
промежуток содержит хотя бы одно рациональное число. Если теперь х0 £ /
и U — произвольная окрестность точки х0, то при условии, что
8 > 0 выбрано достаточно малым, один из двух открытых
промежутков (х0 — &, х0) или (x0j х0 + 8) содержится в I (] U. Поэтому
пересечение / П U содержит хотя бы одну рациональную точку.
Следовательно, /ПО, плотно в /.
Ь) Так как рациональные точки любого открытого промежутка
образуют счетное множество, а сам открытый промежуток несчетен,
то каждый такой промежуток содержит и иррациональные (не
рациональные) числа. Как и в а), остюда следует, что / — О
плотно в /.
Теперь мы воспользуемся понятием окрестности, чтобы
определить предельные точки множества и последовательности.
Определение 3.5. Точка а £ DI называется предельной
точкой множества М а 01, если во всякой окрестности U точки а,
как бы мала она ни была, лежит бесконечное множество элементов
из М. Точка а £ К называется предельной точкой последовательности
точек (av), если в каждой окрестности точки а лежит бесконечное
множество элементов последовательности (av).
Примеры. (1) Из теоремы Архимеда вытекает, что последова-
1 1
тельность 1, ^ > т» • • • имеет предельную точку 0, потому что
во всякой 8-окрестности точки 0 лежат почти все элементы этой
последовательности (т. е. все, за исключением конечного числа).
Точно так же 0 является предельной точкой множества {1/v}.
Гл. II. Множества и последовательности
51
(2) Последовательность av = (—l)v, v = 1, 2, . . ., имеет две
предельные точки, именно -1 и +1. Соответствующее этой
последовательности множество {—1, +1} конечно, и потому у него вообще
нет предельных точек.
(3) Существуют и последовательности без предельных точек;
такова, например, последовательность (av) = (v). В самом деле,
если а — произвольное действительное число, то в окрестности
U =:1х: \х—а\ < ~о-\ лежит самое большее одно натуральное
число.
Пример (2) показывает, что предельная точка
последовательности (av) не обязана быть и предельной точкой множества {av}.
Но, очевидно, справедливо обратное:
Теорема 3.5. Пусть (av) — некоторая последовательность
и а — предельная точка множества {av}. Тогда а является предельной
точкой и последовательности (av).
Определение 3.6. Верхним пределом ограниченной сверху
последовательности точек (av) называется точка
х0 = lim sup av = inf {x £ 01: x < av лишь для конечного числа v}.
Если же последовательность сверху не ограничена, то у нее
верхнего предела нет х).
Вместо lim sup av пишут также lim av. Так как фигурирующее
в определении множество
М — {х £ 01: х < av лишь для конечного числа v}
для ограниченной сверху последовательности не пусто, то lim sup av
для такой последовательности действительно существует
(теорема 1.2) и притом, какова бы ни была верхняя граница Ъ £ 01
последовательности (av), имеет место неравенство
— оо ^ lim av ^ Ъ < +оо.
Следующая теорема позволяет охарактеризовать верхний предел
последовательности в случае, когда ни один из ее элементов не
равен +°°-
Теорема 3.6. Пусть (av) — последовательность точек, не
принимающая значения +оо. Для точки х0 £ 01 тогда равносильны
следующие высказывания:
(а) х0 = lim sup av;
(Р) #о Ф +°° и для каждого х>х0 существует лишь конечное
число элементов av, удовлетворяющих неравенству х ^ av, а для
каждого х <С х0 существует бесконечное множество av, удовлетворяю-
Щих неравенству х < av.
х) Это определение мы формулируем в таком виде для удобства: ниже будет
Установлена связь этого понятия со сходимостью.
4*
52 Том I
Доказательство, а) Пусть xQ = lim sup av и 1
M ={x £ R: x < av лишь для конечного числа v}, 1
и, значит, х0 = inf М. Если о: > #0, то существует такая точка I
о:' 6 Л^> что х' < х- Существует лишь конечное число номеров v, О
для которых х' < av; но только для этих v может выполняться |
неравенство х* ^ av. Если же о: < #0> то тем более # меньше, чем М; I
в частности, х не является элементом множества М, и потому беско- j
нечное множество элементов последовательности превосходят х. Л
Таким образом, точка х0 = lim av удовлетворяет условию ф). I
Ь) Пусть теперь х0 — точка множества 111, удовлетворяющая I
условию (Р). Сначала покажем, что последовательность (av) ограни- I
чена сверху, а затем, что х0 — ее верхний предел. I
По предположению х0 < +оо. Поэтому существует такая точка I
Xi 6 П» чт0 хо < #i* Пусть av , . . ., av — все элементы последова- I
тельности, для которых xt^C av^— веДь существует лишь конечное I
число таких элементов, и все они < + оо. Если тогда мы положим I
6=max(aVl, ..., aVfe, #*), I
то число Ъ будет конечной верхней границей последовательности (av). I
Если теперь х < ж0, то .г не может принадлежать множеству М, I
т. е. .г0 ^ М. Если же х > #0, то каждое число #', удовлетворяющее I
неравенствам х> х' > х0, меньше лишь конечного числа элементов 4
нашей последовательности и, значит, лежит в М. Поэтому х не яв- I
ляется нижней границей множества М. Тем самым мы показали, 1
что х0 есть наибольшая нижняя граница множества I
М = {х £ К: х < av лишь для конечного числа номеров}, I
и равенство х0 = lim sup av доказано. I
С помощью теоремы 3.6 легко может быть доказана I
Теорема 3.7. Если верхний предел последовательности (av) I
есть действительное число х0> то х0 является наибольшей предельной I
точкой данной последовательности. I
Доказательство. Неравенство х0 — s < av выпол- 1
няется для бесконечного множества номеров v, а неравенство |
х0 + £ ^ а\ — лишь для конечного их числа. Следовательно, како- J
во бы ни было е > 0, в е-окрестности Ue(xQ) лежит бесконечное мно- I
жество элементов av. Поэтому х0 является предельной точкой после- I
довательности (av). Если xt > х0 и ^ £ (R, то возьмем е = (^ — #0)/2. I
Если бы в Ue{xi) лежало бесконечное множество элементов последо- I
вательности (av), то для этих элементов av выполнялось бы нера- I
венство I
#о + 8 = хх — 8 < av 1
J
Гл. II, Множества и последовательности
53
в противоречии с теоремой 3.6. Таким образом, xt не является
предельной точкой последовательности (av).
Определение 3.7. Под нижним пределом ограниченной
снизу последовательности (av) понимают точку
х0 — lim av = lim inf av =
= sup {x £ Dl: av <C x лишь для конечного числа v}.
Неограниченная снизу последовательность нижнего предела не
имеет.
Для нижнего предела по аналогии с теоремами 3.6 и 3.7
справедливы следующие утверждения:
Теорема 3.8. Пусть (av) — последовательность точек
6 Dl U {+°°} и хо 6 Л. Тогда х0 = Km av в том и только в том
случае, если х0 >—оо и если для каждого х < х0 существует лишь
конечное множество элементов av, удовлетворяющих неравенству
av ^.х, а для каждого х > х0 существует бесконечное множество av,
удовлетворяющих неравенству av < х.
Теорема 3.9. Если х0 = lim av £ Dl, то х0 -— наименьшая
предельная точка последовательности (av).
Разумеется, если а > —со — нижняя граница
последовательности (av), то имеет место неравенство
—оо < a ^Km av ^ +°°-
Если же (av) — ограниченная последовательность с нижней
границей а и верхней Ъ (где а, 6 £ 01) и некоторой предельной точкой #0, то
— оо < а ^ lim av ^ «^о < Una #v ^ & < +°°-
Далее, мы имеем следующие правила:
1. lim(—-av) = —lim av,
2. hm(—av)= — lim av.
Мы докажем только первое из них — второе можно вывести из
первого.
Последовательность (av) ограничена снизу в точности тогда, когда
последовательность (—av) ограничена сверху. Кроме того,
Нщ (—av) = inf {x £ Dl: x < —av лишь для конечного числа v} =
= —sup {x 6 01: — х < —-av лишь для конечного числа v} =
= — sup {.r £ Dl: .г > av лишь для конечного числа v} =
= — lim av.
Для ограниченной бесконечной последовательности (av)
существуют lim av и lim av и оба они являются предельными точками.
Таким образом, справедлива
54 Том I
Теорема 3.10 (Больцано — Вейерштрасса). Всякая
ограниченная бесконечная последовательность имеет по крайней мере одну
предельную точку.
Существуют, разумеется, и неограниченные последовательности,
имеющие предельные точки Последовательность
a3v = °» a3v+i = v + 1, a3v+2 = — (v + 1),
т. е.
1, -1, 0, 2, -2, 0, 3, -3, . . .
имеет всего лишь одну предельную точку (являющуюся, таким
образом, одновременно и наибольшей и наименьшей), но у нее нет
ни верхнего, ни нижнего предела.
§ 4. СХОДИМОСТЬ
Теперь мы можем ввести важнейшее понятие анализа. Ц
Определение 4.1. Последовательность точек av, v =
= 1, 2, . . ., называется сходящейся к числу х0, если ее верхний
и нижний пределы Иш av и lim av существуют и если оба они
равны х0.
Таким образом, все элементы сходящейся последовательности
должны быть действительными числами. По этой причине мы будем
в настоящем параграфе рассматривать только числовые
последовательности. Если последовательность (av) сходится к х0, то число х0
называют пределом этой последовательности и пишут
lim av = xQ,
или короче
Если последовательность не сходится, то она называется
расходящейся.
С помощью теорем 3.7 и 3.9 легко убедиться, что
последовательность (av) сходится в том и только в том случае, если она ограничена
и имеет ровно одну предельную точку (непременно являющуюся
тогда пределом этой последовательности). Например,
последовательность av = 1/v, v = 1, 2, . . ., ограничена и имеет 0
единственной предельной точкой; поэтому
lim -! = 0.
Прежде чем привести дальнейшие примеры, мы хотим установить j
несколько критериев сходимости, которыми часто бывает легче?
пользоваться, чем самим определением сходимости.
Гл. II. Множества и последовательности 55
Теорема 4.1. Последовательность (av) сходится к х0 в том
и только в том случае, если в каждой окрестности точки х0 лежат
все элементы этой последовательности, за исключением конечного
их числа.
(Вместо «все, за исключением конечного числа» мы будем теперь
говорить «почти все».)
Доказательство, а) Пусть lim av = х0 и U — какая-
нибудь окрестность точки х0. Тогда U содержит некоторую е-окре-
стность Ue(x0). Так как
х0 = lim av = lim av,
по теоремам 3.6 и 3.8 существует лишь конечное число элементов av,
не удовлетворяющих неравенствам
х0 — 8 < av < х0 + е.
Таким образом, почти все av лежат в 11г(х0), а значит, и в U.
Ь) Пусть теперь х0 —- точка из 01, удовлетворяющая условию
нашей теоремы. Если 8 — произвольное положительное число, то
вне UB(x0) лежит, лишь конечное число элементов av, скажем
uVl, . . ., av , и все они принадлежат R. Тогда для каждого v
выполняется неравенство
|av| <тах(|#0| + е, |aVl|, . . ., |aVr|),
и потому последовательность (av) ограничена.
По предположению х0 является предельной точкой
последовательности (av). Если xt Ф х0 — какое-либо другое действительное
число, то на основании аксиомы отделимости Хаусдорфа мы можем
найти непересекающиеся окрестности U0, U± соответственно точек х0
и xi. Так как почти все элементы av лежат в Z70, то в С7"± содержится
лишь конечное их число. Поэтому х^ не может быть предельной
точкой нашей последовательности. Таким образом, х0 как единственная
предельная точка ограниченной последовательности (av) является
ее пределом.
Из этого критерия, в частности, вытекает, что сходимость
последовательности точек не нарушается при добавлении |]или удалении
конечного числа элементов ^=± оо и что каждая
подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому |же пределу.
Всего лишь другой формулировкой теоремы 4.1 является
Теорема 4.2. lim av = x0 в том и только в том случае,
если для каждого 8 > 0 существует такой номер v0, что для всех
номеров v ^> v0 выполняется неравенство \av — %q\ < г.
Доказательство, а) Допустим, что av —> х0 и задано
е ;> 0. Тогда существует лишь конечное число номеров v, для кото-
56 Том I
рых av (f Ue(x0). Поэтому если мы положим
v0 = max {v; av $ Ue(x0)} + 1,
то при v ^ v0 будет выполняться неравенство
|av —я0|<е.
b) Если для некоторой последовательности (av) и
действительного числа х0 выполняется условие нашей теоремы и если U —
произвольная окрестность точки х0, то выберем какую-нибудь е-окре-
стность Us(x0), содержащуюся в U. Существует такой номер v0,
i i iiTji i—i—
Рис. 9. Сходимость последовательности.
что все av при v ^- v0 принадлежат 11г(х0), т. е. почти все av лежат
в Ue(x0), а значит, и в U.
Обе предыдущие теоремы позволяют — несколько туманно —
говорить так: сходящаяся последовательность сколь угодно близко
(бесконечно близко) подходит к своему пределу (см. рис. 9).
Для одного важного класса последовательностей можно указать
особенно простой критерий сходимости.
Определение 4.2. Последовательность точек (av)
называется монотонно возрастающей, если для всех номеров v
выполняется неравенство av ^ av+i> и строго монотонно возрастающей,
если всегда av < av+1. Точно так же последовательность (av)
называется (строго) монотонно убывающей, если всегда av ^ av+1
(соответственно av > av+1).
Теорема 4.3. Монотонная (т. е. монотонно возрастающая
или монотонно убывающая) последовательность сходится в том
и только в том случае, если она ограничена.
Доказательство. Необходимость этого условия очевидна;
нам нужно только показать, что оно и достаточно. Пусть (av) —
некоторая монотонно возрастающая ограниченная
последовательность (для монотонно убывающей последовательности доказательство
проводится аналогично). Числа lim av и lim av существуют и х0 =
= lim av ^ lim av. Если бы нашелся какой-нибудь элемент
последовательности, скажем aVo, больший, чем х0, то для всех v ;> v0
выполнялось бы неравенство х0 < aVo ^ av. Так как тогда лишь
конечное число элементов av нашей последовательности было бы
меньше, чем aVo, то равенство х0 = Km av было бы невозможно.
Гл. II. Множества и последовательности
57
Таким образом, х0 есть верхняя граница последовательности
(av); поэтому х0 ;> lim av и, значит, lim av = lim av.
Установим теперь один общий критерий сходимости, который
можно применять, не зная предела рассматриваемой
последовательности.
Теорема 4.4. (Критерий сходимости Коши.) Числовая
последовательность (av) сходится в том и только в том случае, если для
каждого г > О существует такой номер v0, что для всех v ^> Vq,
выполняется неравенство
I av — <Ч I < s-
Доказательство, а) Условие необходимо. В самом деле,
пусть (av) — некоторая сходящаяся последовательность с пределом
х0 и 8 — произвольное положительное число. По теореме 4.2
существует такой номер v0 g N, что для всех v ^ v0
I <*v — яо I < J •
Поэтому
I 0v — <Ч I = I av — #0 + Я0 — «v0 К
< | av — х01 + | х0 — aVo | <
<в. .
Ь) Условие достаточно. Пусть (av) — последовательность,
удовлетворяющая критерию сходимости Коши. Нам нужно найти
точку х0 £ R,, являющуюся пределом этой последовательности.
Пусть задано е > О и v0 — такой номер, что |av — aVo | < &
при v ;> v0. Тогда
KI < 8 + KJ, V = V0, V0 + 1,
и потому для каждого номера v
|av|<max(|ai|, ..., |aVo-il» |avJ + e).
Таким образом, последовательность (av) ограничена. Положим
#! = lim av; #2 = lim av.
Очевидно ojj ^ x2. Допустим, что xt Ф x2> Тогда возьмем 8 =
= {x2 — Xi)/i и так выберем номер v0, чтобы для всех v ^ v0
выполнялось неравенство |av — aVo\ < 8. Так как и^и^- предельные
точки последовательности (av), то существует бесконечное
множество номеров v, для которых av 6 Uz{x^), и бесконечное множества
номеров, для которых av 6 Uz{x2). Выберем теперь по номеру vA >- Vq,
?|8 Том I
л v2;>v0 так, чтобы aVt £ иг(хх) и aV2 £ Uz(x2). Тогда
I 0v2 — aVl I = I ^2 — ^i — ((s2 — aV2) + (aVl — *i)) >
>l *2 — *i I — I te — aV2) + (aVl — *i)\>
>\x2 — xi\ — (\x2 — aX2\ + \aXi — xt |)>
> 4s — (s + e) = 2e.
Однако, с другой стороны, поскольку vb v2 ^> v0,
I aVl — aV21< | aVl — aVo | + | aV2 — aVo | < 2e.
Таким образом, предположение, что х^ Ф х2, было ошибочно,
т. е. Xi — х2 = lim av.
V->oo
Если последовательность (av) имеет предел х0, то ^0 является
-единственной предельной точкой этой последовательности. Своего
рода обратным утверждением служит
Теорема 4.5. Пусть х0 — предельная точка
последовательности точек (av), где av £ 01. Тогда существует
подпоследовательность последовательности (av), сходящаяся к х0.
Доказательство. Пусть ev = 1/v и Fv = Utv(x0). Тогда,
очевидно,
V, zd V2 zd У3 =э . . . => ^v =э Fv+1 =>....
Так как ^0 — предельная точка последовательности (av), в
окрестности Vt лежит некоторый элемент aVl нашей последовательности.
Положим &i = aVl. Пусть |л ^> 1 — натуральное число и
fyi = av , |* = 1, 2, ..., р,,
— точки, удовлетворяющие условиям:
(1) vM,<v|l+i, |А=1, ..., |Д, — 1,
(2) b^V», |i=l, ..., jl.
Тогда в окрестности V^+i найдется элемент последовательности
^vji+1» У которого v-+1 > v-, и мы положим Ь-+1 = av-+1. Этим
способом с помощью полной индукции мы построили
подпоследовательность (by) последовательности (av). Докажем теперь, что она
«сходится к х0. Если U — произвольная окрестность точки х0
и иг(х0) a U — некоторая s-окрестность, то найдется такой номер]!,
что У~ cz Uz(x0). Но при ii >. р, мы имеем Т^с: 7- и, значит,
Ьц (: V~ cz U. Таким образом, почти все Ъ^ принадлежат
окрестности U, и, кроме того, каждое Ъ^ конечно, т. е. х0 = lim Ъ^.
М-->-оо
J
Гл. II. Множества и последовательности
59
Точно так же доказывается
Теорема 4.6. Если х0 £ 01 — предельная точка некоторого
множества М а 01, то существует такая числовая
последовательность (av), что lim av = х0 и av £ Af — {х0}.
Применим теперь полученные нами результаты к исследованию
некоторых числовых последовательностей на сходимость.
<»> <*-№)■
Эта последовательность монотонна и ограничена, и потому
сходится. Так как lim av = 0, то и lim av = 0.
V-*-co
(2) av = (^i)vl, vs=lf 2, 3,
И для этой последовательности lim (—l)v(l/v) = 0. Вообще,
справедливо такое утверждение:
(3) lim av = 0 в том и только в том случае, если lim |av | = 0.
V-*oo V-voo
В самом деле, критерий сходимости 4.2 выполняется для первой
последовательности в том и только в том случае, если он
выполняется для второй.
(4) . (av) = (a).
Очевидно, lim av = a.
(5) Пусть — 1 < g <! 1 и av = qv. Тогда последовательность (av)
сходится к О при q Ф 1 и к 1 при q = 1.
Доказательство. Случаи g = 0 или g = 1 тривиальны.
Пусть 0 < g < 1. Так как qv >- g^1 ;> 0, то (av) — монотонная
ограниченная числовая последовательность, и потому по теореме 4.3
она сходится. Чтобы найти предел х0 = lim qv, рассмотрим после-
V-»-oo
довательность (bv) = (g^1). Очевидно, элементы 6V образуют
подпоследовательность последовательности (av) = (gv), и потому
х0 = lim gv = lim gv+1"
С другой стороны,
qv+i=q-q * limqv+i = lim (ggv).
Позднее мы покажем, что
lim (ggv) = q lim gv
60 Том I
Таким образом, имеет место равенство х0 = qx0, и из условия q Ф 1
вытекает, что х0 = 0.
На основании примера (3) lim f = 0 и при —1<#<0.
V-*oo
Легко понять, что во всех остальных случаях (т. е. при \q\ > 1
и при q — — 1) последовательность (qv) расходится.
В доказательстве предыдущей теоремы мы воспользовались
правилом
lim abv = a lim bv.
Докажем теперь это равенство и другие правила действий с
пределами.
Теорема 4.7. Пусть (av) и (bv) — числовые
последовательности.
(1) Если пределы lim av и lim bv существуют, то существует
V->oo v->oo
и предел lim (av -f- bv) w
lim (av + fev)=limav+limbv.
(2) При тех же предположениях существует и предел lim (axbv)r
и при этом
lim (av6v) = (lim av)-(lim bv).
(3) Пусть lim av ^= 0. Яри av Ф 0 положим cv = l/av, a при
V-*oo
av = 0 определим cv произвольным образом (но так, чтобы cv £ Dl).
Тогда предел lim cv существует и
lim cv = — .
v->«> lim av
Доказательство. Пусть lim av = a, lim bv = b и задано
V-*oo v->oo
произвольное 8 > 0.
(1) Ввиду сходимости av —> а и bv —^ b мы можем найти такой
номер v1? чтобы при всех v ;> v4 выполнялось неравенство \а — av| <
< е/2, и такой номер v2, чтобы при всех v ;> v2 выполнялось
неравенство \Ъ — bv\ < е/2. Тогда при v >- v0 = max(v4, v2)
\(a + b) - (av + bv)| < |a — av\ + \b - bv| < 8.
аким образом, последовательность (av + bv) сходится к а +
(2) Имеем:
ab — avbv = ab — abv -f- abv — avfcv = a(b — bv) ~\- (a — av)bv.
Гл. II, Множества и последовательности
61
Последовательность (bv) сходится, и потому ограничена. Пусть
|&v| <; А для каждого v и, кроме того, \а\ < Л. Тогда для каждого v
|ab — avbv| ^ А \Ъ — bv\ + А\а —- av\.
Поэтому выберем, что по предположению возможно, такой номер v4,
чтобы \Ъ — Ъх\ < г/(2А) при v ;> vt, и такой номер v2, чтобы
\а — av| < е/(2Л) при v > v2. Тогда при v > v0 = max(vb v2)
мы получим
\ab — avbv\ < 8.
(3) Пусть а Ф 0. Так как последовательность (av) сходится к а,
«го почти все av лежат в (|а|/2)-окрестности точки а, и потому отличны
от нуля. Так как для этих av выполняется неравенство |av | > |#|/2, то
1
kv
|a|| Ov|
a | 2 j av — a j
Mz
Существует такой номер v0, что при v ;> v0
(I Я I 8 . |2\
— t —l«l I-
Для этих номеров v
|а| 2
и утверждение (3) доказано. •
Учитывая, что почти все av Ф 0, третье правило записывают
короче:
lim —
v-*°°a*,
lim a^
V->oo
В качестве следствий из теоремы 4.7 получаются и некоторые
другие правила действий с пределами:
(а)
(Р)
<V)
(б)
lim (av + Ъ) = lim av + b;
<y->-oo v->*cx>
lim (fcav) = 6 lim av;
lim (av — 6V) = lim av — lim 6V;
если lim 6V =7^=0, /тго
lim —:
lim av
lim 6V
V—>*oo
62 Том I
Конечно, эти правила следует читать так: если существуют
пределы в правой части, то существует и предел в левой части и
выполняется соответствующее равенство. Для доказательства правил (а)
и (Р) нужно в правилах (1) и (2) взять постоянную
последовательность bv = Ь; правило (у) следует из (1) и (Р), а (б) — из (2) и (3).
Последнее важное правило вытекает из результатов, доказанных
в предыдущем параграфе:
(г) если для почти всех v выполняется неравенство av ^ fcvr
то lim av ^ lim bv l).
V-*oo v-*oo
В самом деле, на основании § 3 если cv ^ 0, то lim cv = lim cv ^
V->0O
;> 0. Поэтому (считая, что cv = bv — av) имеем 0 ^ lim (bv — av)~
V-»oo
Отсюда, в силу правила (7), 0 ^ lim bv — lim av.
V->oo v->-oo
) При условии, что пределы lim av и lim bv существуют.— Прим, перев*
Глава III
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
§ 1. СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ
С помощью понятия предела в некоторых случаях и бесконечному
множеству действительных чисел можно поставить в соответствие
в качестве суммы некоторое разумным образом определенное число►
Этим занимаются в теории бесконечных рядов.
Если аи ,а2, #з> • • •— некоторая числовая последовательность
и, значит, av £ Dl, то выражение
ах + а2 + а3 + . . . + av + av+1 + . . .,
или короче
оо
v=l
называют бесконечным рядом, a av — членом или слагаемым этого
ряда. При этом несущественно, что нумерация членов ряда
начинается с v = 1; можно рассматривать и бесконечный ряд вида
оо
2 «v = <*Ц + VH + аИ+2 + . . . .
Определение 1.1. Последовательностью частичных сумм
со
ряда 2 av называют последовательность
v=l
М-
Sp, = 2j #v» [i = l, Z, о, ... ;
v=l
Sp, называется \х-й частичной суммой ряда.
Таким образом,
st = at1 s2 = at + a2, s3 = at + a2 + аз
и т. д. По данной последовательности частичных сумм ряда можно
восстановить последовательность его членов по формулам
а1 = 51> ац == s[i — 5ц,-1»
со
Определение 1.2, Бесконечный ряд 2 а\ называется
v=l
сходящимся (расходящимся), если сходится (расходится) последова-
64 Том I
тельность его частичных сумм. Суммой сходящегося ряда называется щ
число
м-
s= lim 5^ = lim 2 av-
ц-юо Ц-^оо V=l
оо
Если 2 av — сходящийся ряд с суммой s, то вместо
v=l
s= lim 2 av
|А-»-оо v=l
лишут просто
оо
S= 2 Av-
v=l
Первое — к сожалению, только необходимое — условие
сходимости ряда дает
Теорема 1.1. Последовательность (av) членов сходящегося
ряда сходится к нулю.
оо
Доказательство. Пусть s = lim s^ = 2 av Поскольку
p,->oo v=l
и последовательность частичных сумм (s^) и последовательность
(s^+1) сходятся к 5, последовательность
ац-И == 5ц-И — SP>> [А = 1, 2, . • .,
а потому и (ац) сходятся к нулю.
Из теорем о числовых последовательностях можно получить
достаточные признаки сходимости рядов. Прежде всего из
теоремы 4.4 предыдущей главы следует
оо
Теорема 1.2. (Критерий сходимости Коши.) Ряд 2 av схо~
v=l
дится в том и только в том случае, если для каждого s > О
существует такой номер |Л0, что для всех \х > |Л0
2 av
<8.
I v=Ho+i
Доказательство. Очевидно,
и
2j #v ==: 5Ц — 5^,
v=Ho+l
а последовательность (s^) сходится в том и только в том случае,
если она удовлетворяет критерию Коши (глава II, теорема 4.4).
Гл. III. Бесконечные ряды 65
Отсюда легко выводится
оо
Теорема 1.3. Пусть 2 av — ряд и \х — некоторый номер.
v=l
Тогда высказывания
оо
(а) ряд 2 av сходится,
v=l
оо
(Р) р#<9 2 av сходится
v=M-"H
эквивалентны. В случае сходимости этих рядов имеет место
равенство
ОО (X ОО
2 av= I>v+ 2 av-
V=i V=l V=M-+1
Доказательство. Эквивалентность высказываний (а)
и (Р) следует из критерия сходимости Коши. Мы докажем еще только
последнее утверждение. По определению
2 av = 2 av+M.»
v=M,+l v=l
' А Я
и между частичными суммами s'i — 2 av+n и суммами 5Я = 2 av
v=l v=l
имеет место соотношение
Поэтому
оо
2 av+n = lim 5я = lim s^+к — s» =
оо ц
= 2 av — 2 av-
V—1 V==l
Рассмотрим теперь два особенно важных ряда.
Теорема 1.4. Геометрическая прогрессия
оо
v=0
ftpu |g| < 1 сходится к 1/(1 — g), a при \q\ ;> 1 расходится.
Доказательство, а) Если |g| ;> 1, то и |gv| >- 1, и
последовательность членов ряда не сходится к нулю.
5-832
66 Том I
b) Пусть \q\ < 1. Так как тогда 1 — q Ф О, то последователь-
м-
ность частичных сумм 2 Qv сходится в том и только в том случае. 1
v=o !
если сходится последовательность
(i-<?)2?v. !
v=0
Очевидно,
(1-g) 2^=(1+д + ...+?Д)-(? + ...+^+1) =
V=0
В предыдущей главе мы показали, что lim q^+1 = О (при
| q | < 1). Поэтому м.->°о
v=0 v=0
и теорема доказана.
Теорема 1.5. Гармонический ряд
/1 v
1_
v
v=i
расходится (несмотря на то, что последовательность его членов
сходится к нулю\).
Доказательство. Пусть s = V2 и |Л0 -— произвольное
натуральное число. Тогда
2Цо 2Ц.0
21 VI 1 _ 11
v=n0+* v=n0+l
Таким образом, этот ряд не удовлетворяет критерию сходимости
Коши и потому расходится.
Из правил действий с пределами вытекают аналогичные правила
для рядов.
оо оо f.
1. Если ряды 2 av и 2 ^v сходятся, то сходятся и ряды |
v~l v=l
оо оо
2 (av + bx) и 2 (av — £>v)> и при этом
v=l v=l
оо оо оо
2 («v ± К) = 2 av ± 2 Ьу
v=i v=l v=l
Гл. III. Бесконечные ряды
67
нее
2 Если ряд 2 av сходится и с — какое угодно действитель-
v= 1
00
число, то и ряд 2 cav сходится, и при этом
v=l
2 cav = с 2 «v
v=l v=l
Правила для пределов произведения и частного мы на случай
рядов не переносим.
3. Расставляя произвольным образом скобки в сходящемся
оо
ряде 2 av = ai + а2 + аг + • • •» мы снова получаем сходящийся
v=l
оо
ряд 2 ^v с т°й же суммой. В самом деле, частичные суммы ряда
v=l
00
2 bv составляют подпоследовательность последовательности частич-
v=l
со
ных сумм ряда 2 av
оо
4. Обобщим еще теорему 1.3. Пусть 2 а\ ~~ некоторый ряд
v=l
и 6i, . . ., Ьр — произвольные действительные числа. Удалим теперь
оо
из ряда 2 av члены avi, . . ., av и где угодно присоединим к нему
v=l
оо
члены Ьь . . ., Ьр, получив тем самым некоторый новый ряд 2 av*
v=l
Тогда существуют такие номера v0 и v1? что для каждого Я > О
и потому
Vq+Я Vi+A»
v=Vo+l v=Vi-M
Кроме того,
v0 Vt q p
2 av= 2 < + 2 av — 2 V
v=l v=l |Л=1 & M-=l
Поэтому если критерию сходимости Коши удовлетворяет один из
наших двух рядов, то ему удовлетворяет и другой. Предположим
теперь, что оба ряда сходятся, например
S — / [ Clyy S —— / | Qy
\—i v=l
Ъ*
68 Том I
Тогда
оо
S= 2 <*v =
v=l
v0 °°
v=l v=v0-H
Vi q P °°
= 2>v+ 2av - 2*v + 2 av=
v=l M.= i ^ Ц.—1 v=Vi+i
<? p
ц=1 М- |л=1
Итак, мы доказали следующую теорему:
с» оо
Теорема 1.6. Ряд 2 а\-> получающийся из ряда 2 а\ путем
v=l v—1
изменения конечного числа членов, сходится тогда и только тогда,
когда сходится первоначальный ряд, и в случае, если они сходятся
и их суммы соответственно равны sr и s, справедливо соотношение
я р
s=s + 2 «v — 2 V
М=1 М- ^=1
§ 2. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
В этом параграфе мы рассматриваем только ряды, все члены
которых неотрицательны. Последовательность частичных сумм
такого ряда монотонно возрастает, и потому она сходится в том и только
в том случае, если она ограничена.
оо оо
Определение 2.1. Если 2 av и 2 ^v — Два РяДа и если
v=> 1 v= 1
оо
для почти всех v выполняется неравенство av ^ bv, то ряд 2 av
v=l
оо оо
называется минорантой ряда 2 &v> а РЯД 2 ^v — мажорантой
v=l v=l
ряда 2 а
__ 'V
v=l
Сходимость или расходимость ряда часто можно установить,
сравнивая его с другим уже известным рядом. Именно, справедлива
Теорема 2.1. (Признак сравнения.) Каждая миноранта
сходящегося ряда сходится, а каждая мажоранта расходящегося
ряда расходится.
Гл. III. Бесконечные ряды
№
Доказательство. Так как эти два утверждения эквива-
со
лентны, то достаточно доказать первое. Пусть 2 av — РЯД> имею-
v=l
оо
щий сходящуюся мажоранту 2 &v Тогда, начиная с некоторого
v=l
номера, скажем v0, выполняется неравенство av ^ &v. Поэтому для
всех |я > v0
2 «v< 2 6V<*= 2fev
V=V0 + 1 V=Vo + l V=l
Таким образом, (монотонно возрастающая) последовательность 2 av
v=l
vo
ограничена сверху числом s + 2 av и потому сходится.
v=l
Сравнивая данный ряд с геометрической прогрессией, получаем
два особенно полезных признака.
Теорема 2.2. (Признак Даламбера.) Пусть 2 av — Ря&
v=l
с положительными членами. Если существует такое число q, 0 < q <
< 1, что для почти всех v
то ряд сходится. Если же для почти всех v
av
то ряд расходится.
Доказательство, а) Пусть q < 1 — такое число, что
для всех v ;> v0 выполняется неравенство av+i/av ^ q < 1. Тогда
для всякого Я ^> О
что можно доказать с помощью полной индукции. Таким образом,
Ряд 2 #Vo+A, имеет мажорантой сходящуюся по теореме 1.4 гео-
оо
метрическую прогрессию 2 av0Qh и потомУ сходится. Поэтому
*V0^
Я=1
сходится и ряд 2 av
70 Том I
b) Если для всех v ^ v0
£v±l>lt
oo
то последовательность (av) не сходится к нулю; поэтому ряд 2 а\
v=l
расходится.
II
Теорема 2.3. (Радикальный признак сходимости Коши.) я
Пусть 2 av — ряд с неотрицательными членами. Если суще- \
v=l
ствует такое число q, 0 < g < 1, что Зля почти всех v
у av < g,
иго ряд сходится. Если же для почти всех v
У av>l,
mo ряд расходится.
Доказательство, а) Если для почти всех v выполняется
неравенство у^а^ ;> 1, то для этих номеров vnav>l;
следовательно, ряд расходится.
Ь) Если существует такое число q<.l, что для почти всех v
выполняется неравенство y^av ^ q, то для этих номеров vnav^ gv,
oo
и потому геометрическая прогрессия 2 #v служит мажорантой
v=0
ОО
ряда 2 av
v=l
Установленные в теоремах 2.2 и 2.3 признаки являются только |
достаточными, но не необходимыми, как показывают следующие
примеры.
1. Гармонический ряд
2
v=l
расходится, но
av+i v . , v/"— 1
<1 и 1/av=-7=<l,
av v +1 i/ v
и из признаков Даламбера и Коши нельзя получить расходимость
этого ряда.
Гл. III, Бесконечные ряды 71
2. Сходимость ряда
00
Zj7
1
...2
v=l
также нельзя^ установить на основании признаков 2.2 и 2.3. Именно,
и оба эти выражения стремятся к 1 (ср. гл. V, § 5). Для
доказательства сходимости нужно непосредственно оценить частичные суммы:
v=l v=2
v=2
= i+bi--<
<2.
Отсюда следует сходимость ряда.
3. Пусть
О! = 1! = 1,
v! = 1-2-3- . . . -v, v>2,
и с>0. Ряд
V=0
сходится. При с = О это тривиально, а при с > О
flv+A_ cv4t1 v! _ с 1_
av _ (v + 1)! с* ~ v + 1 ^ 2
Для почти всех v. Поэтому сходимость вытекает из признака Далам-
бера.
72 Том I
§ 3. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ
Кроме рядов с положительными членами, существует еще один
класс рядов, для которого можно получить очень простой признак
сходимости.
Определение 3.1. Знакочередующимся рядом называется
ряд вида
2(-i)'
V + 1
av
v=l
где (av) — монотонно убывающая последовательность
положительных чисел *).
Таким образом, соседние члены знакочередующегося ряда имеют
противоположные знаки. Для такого ряда признак сходимости,
сформулированный в теореме 1.1, является не только необходимым,
но и достаточным.
Теорема 3.1. Знакочередующийся ряд
оо
2(-i)v+4
v=l
сходится в том и только в том случае, если последовательность его ||
членов сходится к нулю.
Доказательство. Необходимость условия очевидна. ||
Пусть, наоборот, последовательность ((—l)v+1 av), а значит, и после- ||
довательность (av) сходится к нулю. При |л ;> 1 ||
52ц + 1 — а1 — (а2 — Яз) — • • • — (а2[Х "" a2|j,+l)>
52ц — (й1 — а2) + (ЯЗ — ai) + • • • + (а2ц-1 — а2ц)-
Так как av образуют монотонно убывающую последовательность, то
О ^ $2ц ^ S2[i+2i " ц
а1 ^ 52ц+1 ^ 52ц+3>
О < s2[l < s2m,+i < at.
Поэтому последовательности (s2[i) и (s2[l+i) сходятся, и по
предположению
lim s2[l+i — lim s2[l = Hm (s2[i+i — $2ц) = Hm a2M,+i = 0.
x) Ряды вида 2 (—!)Vav мы также иногда будем называть знакочередую-1
щимися.
Гл. III. Бесконечные ряды ^^ 73*
Таким образом, сходится и последовательность (s^) частичных сумм;
5= lim Sy, = lim s2M,= l*m 52n+i-
(X->-oo Ц-**» (J.-*"00
Из доказательства вытекает также оценка
оо
о < ь. < s = 2 (- i)v+1 «v < %+i < «i;
v=l
частичные суммы «колеблются» вокруг s.
Только что доказанная теорема обеспечивает сходимость
знакочередующегося гармонического ряда
2
(- iy+1 -
v
v=l
и оценки для его суммы 5:
37 47
60^*^60
и т. д. Нужно довольно много частичных сумм, чтобы вычислить у
даже с небольшим числом десятичных знаков: сходимость не слишком
быстрая.
§ 4. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ
ОО
Определение 4.1. Ряд 2 av называется абсолютно сходя-
v=l
оэ
щимся, если сходится ряд 2 lavl-
Как показывает пример знакочередующегося гармонического
ряда, не всякий сходящийся ряд сходится абсолютно. Однако
справедлива обратная
Теорема 4.1. Абсолютно сходящийся ряд сходится в обычном
смысле слова.
оо
Доказательство. Так как ряд 2 lavl сходится, для
v=l
каждого 8 > 0 существует такой номер |л0 £ N, что для всех |х >> [До
2 Uvl<*.
v=M-o+l
74 Том I
Тогда тем более
2 av
v=n0-M
М-
; 2 i av I < е,
V=|i0+i
и, значит, по критерию сходимости Коши ряд 2 av сходится.
v=l
Абсолютно сходящиеся ряды выделяются одним примечательным
свойством:
оо
Теорема 4.2. Если 2 av — абсолютно сходящийся ряд
v=l
оо оо
с суммой s и если ряд 2 ^v получается из ряда 2 а\ путем пере-
v=l v=l
становки конечного или бесконечного множества членов, то и ряд
оо
2 frv сходится и имеет сумму s.
Ясно, что у сходящегося ряда можно переставить конечное
число членов, не нарушая характера сходимости и значения суммы
ряда. Но мы увидим, что в результате перестановки бесконечного
множества членов сходящийся ряд может получить другую сумму
или даже стать расходящимся. Коммутативный закон для сложения
нельзя, таким образом, перенести на бесконечные суммы.
Доказательство теоремы 4.2. Пусть (Ар) — последова-
оо оо
тельность частичных сумм ряда 2 av> а С^р) — ряда 2 &v Мы дока-
v=l v=l
жем, что lim (Ар —- В9) = 0. В самом деле, тогда существует
р->оо
и предел Km B9:
р-*оо
lim 5Р = lim Ар — lim (Ар — 2?р) = s.
р->-оо р-*°° р->-оо
Итак, нам остается еще оценить\А9—2?р|.
Если а0 — произвольное натуральное число, то можно выбрать
столь большое р0, чтобы каждый член суммы
сг0
v=l
входил и в частичную сумму
Ро
5Р0= 2 к
V—i
Пусть р ^ р0. Тогда существует такое аь что и каждый член bv |
при 1 ^ v ^ р входит в последовательность членов av при 1 ^ v ^
^ ot. Подсчитаем теперь
Гл. III. Бесконечные ряды 75
Все члены av с номерами v = 1, 2, . . ., а0 взаимно уничтожаются;
остаются только те av, номера которых лежат между о0 + 1 и а4.
Поэтому
|4р-Яр|< 2 l«vl.
v=a0+l
Пусть теперь задано положительное число 8. Применяя к ряду
оо
2 |av| критерий сходимости Коши, мы найдем такой номер a0 £ IN,
v=l
что при всех g > о0
а
S К1<8.
v=a0+i
Для этого сг0 выберем, как сказано выше, р0 и рассмотрим
произвольное р ^ р0. Для р мы можем,— снова в соответствии с описанными
выше соображениями,— найти такое а4, чтобы
Мр-ЯрК 53 l«vl<e.
v=a0-fl
Итак, при р ^> ро абсолютная величина \А9 — 2?р| < s, т.е.
lim (Ap-Bp) = 0.
р-*оо
Приведем теперь пример, показывающий, что для не абсолютно
сходящихся рядов эта теорема неверна. Пусть
оо
-2
v=l
v+l 1
(_ 1)V« _
Так как можно произвольным образом расставлять скобки, то имеем
также
2°° c_j *_+_* 1.)
V4v-3 4v-2 4v-l 4v/'
v=l
s=Zj12^tt_2;J'
V=l
76 Том I
Следовательно,
оо
2/ 1 11 1 1 1 \ _
\4v-3 4v-2 4v-l 4v 4v-2 4v/~~
s =
v=i
ZJ\4v-3 4v- 1 2v/'
v=i
т. e.
Но последовательности l/(4v — 3) и l/(4v — 1) сходятся к нулю;
поэтому и ряд.
, ^ 1 1^1,1 1 ,
(в котором раскрыты все скобки) также сходится к 3s/2. Однако
этот ряд есть просто знакочередующийся гармонический ряд, члены
которого записаны в другом порядке! Так как 5 положительно, то
значение суммы при перестановке членов ряда изменилось»
Легко показать, что при подходящей перестановке членов
не абсолютно сходящегося ряда можно получить и расходящийся
ряд. Верна и теорема, обратная теореме 4.2; в частности, при любой
перестановке членов абсолютно сходящегося ряда получается снова
абсолютно сходящийся ряд.
Глава IV
ФУНКЦИИ
§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
Определение 1.1. Функция f на (непустом) множестве
М cz IK есть соответствие, относящее каждому х £ М ровно один
элемент у = f(x) £ 01. При этом f(x) называют значением функции
в точке х. Две функции / и g на множестве М равны: f = g или / = g
в том и только в том случае, если для каждого х £ М имеет
место равенство f(x) = g(x).
Множество М называется областью определения или областью
существования функции /, а
f(M) = {f(x): х е М)
— множеством значений функции / или образом множества М.
Если f(M) cz 01, то / называется действительной функцией. Под
образом непустого множества N cz M понимают множество
f(N) = {f{x): x e N},
а под сужением (ограничением) функции / на N — функцию /|7V,
определенную на множестве N условием
(f\N)(x) = fix), x e N.
Вот примеры функций:
1. f(x) = с, где с — некоторое действительное число; функция /
определена на всем 01.
2. f(x) = х, х 6 01.
3. f{x) = х2. Областью определения функции / служит М = 01,
а множеством значений
f(M) = {х е R: х > 0}.
4. f(x) = + Ух. Здесь М = {.г 6 01: ж > 0} и /(М) = ЛГ.
5 /лл = 1 0 Для иррациональных .г,
^ ' 11 для рациональных #.
Здесь М = 01, f{M) = {О, 1}.
Во многих случаях функцию /, определенную на множестве М,
можно изобразить на плоскости (х, у). Возьмем для этого в плоско-
сти прямоугольную систему координат и нарисуем множество точек
78 Том I
с координатами (#, /(#)), х £ М\
Множество Gf называется графиком функции /. Графики рассмо- 1
тренных выше четырех функций изображены на рис. 10, а — d. 1
В этих четырех примерах график дает очень полезную информа- 1
цию о поведении функции; иначе обстоит дело с последней, пятой I
функцией. Так как в каждом сколь угодно малом промежутке лежат |
как рациональные, так и иррациональные числа, то в каждом таком 1
Рис. 10. Некоторые элементарные функции.
промежутке функция / бесконечно часто «скачет» вверх и вниз между i
значениями 0 и 1. Но это нельзя изобразить ни на каком чертеже. 1
Насколько, впрочем, полезен график при изучении некоторых 1
конкретных функций, настолько мало можно на него полагаться 1
при изучении произвольных функций. I
В заключение этого параграфа введем еще алгебраические опера- 1
ции над функциями. I
Пусть fug — две действительные функции с одной и той же 1
областью существования М. Их сумму f + g мы определяем равен- 1
ством I
(/ + g)(x) = f{x) + g(x). I
Гл. IV. Функции 79
Соответственно определяем:
Иё)(х) = f(x)g(x) (произведение),
(cf)(x) = cf(x), с em,
(J- J (x) = №- в М '= {x в M: g (x) фО} (частное).
\g' g(x)
Во многих случаях (например, в следующем параграфе) частное
fig подходящим образом продолжают на все множество М.
§ 2. ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Определение 2.1. Пусть М — множество в 01 и х0 —
некоторая его точка. Функция /, определенная на М, называется
полунепрерывной сверху в точке х0, если она обладает следующими
двумя свойствами:
(a) f(x0) < +oo;
(Р) для всякого числа г > f(x0) существует такая окрестность U
точки х0, что для всякой точки х £ Uf]M выполняется неравенство
fix) < г.
Если функция / полунепрерывна сверху в каждой точке х0 £ М,
то она называется полунепрерывной сверху на множестве М.
Особенно простые примеры полунепрерывных сверху функций
дают ступенчатые функции. Чтобы их определить, нужно ввести
понятие разбиения промежутка. Пусть 7 = [а, Ь], где а < Ъ —
некоторый замкнутый промежуток. Под разбиением промежутка 7
понимают набор из п + 1 точек
-О == \хО) х\.ч • • •> xn)t
где
а = s0 < xt < . . . < #„_! < zn = Ъ.
Открытый промежуток /v = (^v_i, .rv) называется v-м частичным
промежутком разбиения 3-
Определение 2.2. Пусть 3 = («^о» хи • • •> #п) —
разбиение замкнутого промежутка 7 на частичные промежутки /v.
Ступенчатой функцией t при разбиении 3 называется любая
действительная функция, определенная на / и постоянная на каждом
частичном промежутке /ух).
*) Если / — промежуток, состоящий всего лишь из одной точки, то каждую
Функцию, определенную на 7, мы считаем ступенчатой.
so
Том I
Относительно значений функции t в точках разбиения xv мы
не будем делать никаких дополнительных предположений (см.
рис. И).
Изменяя значения произвольной ступенчатой функции t в точках
разбиения, мы получим теперь ступенчатую функцию 1,
полунепрерывную сверху. Положим
U /v=*
71
U h
v=i
и, кроме того, пусть t(xv) равно максимальному из значений функции
t в примыкающих к точке xv частичных промежутках. Покажем,
что функция t на промежутке I полунепрерывна сверху.
х, хР
х3 Ь
о
Рис. 11. Ступенчатая функция»
Условие (а) в каждой точке х £ I выполняется по определению,
п
а условие ф), очевидно, выполняется во всех точках х £ (J Jv.
v=l
Пусть теперь х = xv и 1 ^ v ^ я — 1. Тогда
~t(xv) = max(*(Jv), t(Iv+i)).
Поэтому если г > 1{хх), то для каждой точки х открытого множества
/vU{*v}U'v+l_
t{x) < max(*(/v), t(Iv+i)) = *(sv) < г.
Таким образом, функция 7 удовлетворяет в точке .zv условию (Р).
Условие (Р) в точках х0 и #„, проверяем точно так же, учитывая,
что 1(х0) = *(/4) и *(*п) = t(In).
По аналогии с понятием полунепрерывности сверху введем
полунепрерывность снизу:
Определение 2.3. Функция /, определенная на множе-;
стве М, называется полунепрерывной снизу в точке х0 £ М, если
(а) /(я0) > — °°;
(Р) для каждого г < /(я0) существует такая окрестность U точки
#0, что
f(U{]M)>r. I
Гл. IV. Функции 81
Если функция / полунепрерывна снизу в каждой точке х £ М,
то она называется полунепрерывной снизу на множестве М.
Пусть снова t — некоторая ступенчатая функция,
соответствующая разбиению 3 замкнутого промежутка /. Новую ступенчатую
функцию t определим условиями
п
t = t на U Л»
*(.rv)==min(£(Jv), *(/v+i)) при 0<v<w,
t(Xe)=t(Iu,
t(xn)=t(In).
Как и выше, легко показать, что функция t полунепрерывна снизу.
Так как, очевидно, t = —(-—£), то это утверждение следует также
и из теоремы 2.1.
Пусть fug — две функции, полунепрерывные сверху на
множестве М, и с — положительное число. Определение суммы / + g
и произведений cf is. —/ мы можем распространить на случай, когда
функции принимают и не числовые значения. Именно, если f(x) =
= — оо, то положим (cf)(х) = —оо и (—f)(x) — +оо; если f(x)
или g(x) = —оо, то положим (/ + g)(x) = — оо. Для функций,
полунепрерывных снизу, поступим точно так же, только поменяем
ролями —оо и +оо. При таком определении справедливы
следующие теоремы.
Теорема 2.1. Функция f полунепрерывна сверху на
множестве М в том и только в том случае, если функция —/ на множестве
М полунепрерывна снизу.
Доказательство, а) Пусть функция / полунепрерывна
сверху в точке х0 £ М. Тогда так как f(x0) < + оо, то —f(x0) > — оо.
Если, далее, г < —f(x0), то —г > f(x0) и, поскольку функция /
полунепрерывна сверху, найдется такая окрестность U точки х0, что
Для всех х 6 V П М
fix) < -г
и, значит,
-f{x) > г.
Поэтому функция —/ в точке х0 полунепрерывна снизу.
Ь) Легко точно так же показать, что из полунепрерывности снизу
Функции —/ следует полунепрерывность сверху функции /.
На основании теоремы 2.1 из любых утверждений о функциях,
полунепрерывных сверху, сразу можно вывести подобные же
утверждения о функциях, полунепрерывных снизу. Этим замечанием
Мьг будем часто пользоваться.
6-832
82 Том I
Теорема 2.2. Пусть f —' полунепрерывная сверху (снизу)
функция на множестве М и с — положительное число. Тогда и функ- 1
ция cf полунепрерывна на множестве М сверху (снизу).
Доказательство. Нам нужно доказать теорему лишь
для функций, полунепрерывных сверху. Если х0 £ М, то f(x0),
а потому и (cf)(x0) не равно + °°. Пусть теперь
г > (cf) (х0).
Так как с >,0, то
и, значит, существует такая окрестность U точки х0, что для всех |
хеипм
r>c-f(x) = (cf)(x).
Таким образом, функция cf в точке х0 полунепрерывна сверху.
Теорема 2.3. Сумма f -f g двух функций, полунепрерывных
на множестве М сверху (снизу), также полунепрерывна на множестве
М сверху (снизу).
Доказательство. Пусть / и g полунепрерывны на
множестве М сверху. В точке х0 £ М, очевидно, (/ + #)(#<>) < +°°- Пусть
теперь
(f + g)(x0)<r.
Тогда выберем такие действительные числа г4 и г2, чтобы
/(*o) < П\ g(*o) < r2\ П + гг = г.
При (/ + g)(xo) = -"°° существование таких чисел очевидно. |
Если же
—оо < (/ + g)(x0) < г < +оо,
то положим
ri==/W + J^/(*o)-S(*o)
2
г — f (х0) — g (х0)
r2 = g(x0) +
Ввиду полунепрерывности сверху функций / и g существуют такие]
окрестности V и V точки х0, что
НиОМХп, g(V(]M)<r2
Гл. IV. Функции
83
Тогда для каждой точки х 6 W = U (] F, принадлежащей
множеству М,
(/ + g)W={/(l+i(")}<r1 + r2 = r,
что и требовалось доказать.
Определим минимум и максимум двух функций / и g на
множестве М формулами
min (/, g)(x) = min (/(#), g{x)),
max (/, g)(x) = max (/(#), #(#)).
Справедлива
Теорема 2.4. Пусть функции fug полунепрерывны на
множестве М сверху {снизу). Тогда и функции max (/, g) и min (/, g)
полунепрерывны на множестве М сверху {снизу).
Доказательство. Будем предполагать, что / и g
полунепрерывны сверху. Пусть х0 £ М и max (/(#о)> tffco)) < г- Тогда
/(s0) < max (f(x0), g{x0)) < г,
йГ(а?0) < max {f{x0), g(x0)) < г.
Поэтому существует такая окрестность U{x0), что для всех точек
хе и{х0)пм
/(*) < Г, *(*) < Г,
и потому
max (/(я), g{x)) < г.
Если же выполняется неравенство min {f{x0), g{x0)) < г, то,
скажем, f{x0) < г. Выберем такую окрестность £7 = Z7(#0), чтобы
для всех точек х £ U()M
f{x) < г.
Тогда для всех таких точек х
min {f{x), g{x)) </(s) < г.
Для функций, полунепрерывных снизу, теперь применяем
теорему 2.1.
Только что доказанные теоремы, разумеется, справедливы и в
случае, если рассматривать только полунепрерывность функций в одной
точке.
§ 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть / — функция, определенная на некотором множестве
М с т, и х0 — точка множества М.
Определение 3.1. Функция / называется непрерывной
в точке х01 если она полунепрерывна в точке х0 и сверху и снизу.
6*
84
Том I
Рис.
12. График непрерывной
функции.
Если функция непрерывна в каждой точке множества М, то она
называется непрерывной на множестве М.
Во всех тех точках, где функция непрерывна, она принимает
только конечные значения. Поэтому в настоящем параграфе мы будем
рассматривать только действительные функции.
Непрерывна функция / в точке х0, или нет, зависит только от ее
поведения в (сколь угодно малой) окрестности точки х0.
Непрерывность, как и полунепрерывность (сверху или снизу), является
локальным свойством.
Мы хотим теперь наглядно пояснить смысл понятия
«непрерывности». Пусть / — функция, определенная на некотором открытом
промежутке I и непрерывная в точ-,
ке х0 £ /. Тогда если точка р0 = ;
= (#о> /(#о)) ее графика G лежит
между двумя горизонтальными
прямыми
8х = {(*> У): У = г) и
g2 = {(*, у): У = 5},
т.е. если г < f(x0) < s, то эти не-;
равенства — по определению полу-|
непрерывности — должны выпол-^
няться и для всех точек х некоторой
полной окрестности U точки х0. Таким образом, вместе с точкой!
р0 £ 6г между прямыми gt и g2 лежит и целый кусок графика б,|
и это должно выполняться, каким бы малым мы ни выбрали рас-|
стояние между точкой р0 и прямыми gi и g2- Функция вблизи точки,!
в которой она непрерывна, не может колебаться сколь угодно сильной|
при малом изменении аргумента и значение функции может изме-|
няться лишь немного (см. рис. 12).
Чтобы можно было надежно судить о том, непрерывна ли функ-|
ция в какой-либо точке области ее определения, нужно высказать?
только что приведенные соображения в более точной форме. Мы сфор-^
мулируем поэтому следующий критерий непрерывности, выражаю*
щий описанную выше ситуацию.
Теорема 3.1. Функция /, определенная на множестве Mi
непрерывна в точке х0 £ М в том и только в том случае, если длЩ\
каждого г > О существует такая окрестность U точки х0, что дщ
всех х £ U П М
№ - /(*о)| < в.
Доказательство, а) Пусть функция / непрерывна в точя
х0 и е — произвольное положительное число. Так как функция
полунепрерывна в точке х0 сверху, то существует такая окрестное?
Гл. IV. Функции 85
jjl точки #0» что Для всех х 6 #i П -М"
fix) < /(*«>) + е.
Поскольку функция / полунепрерывна в х0 и снизу, то для всех
точек х некоторой окрестности U2 точки х0 (принадлежащих
множеству М) выполняется неравенство
fix о) - в </(*).
Положим U = Ui[)U2. Тогда для всех х £ U(]M
W*)-/(*o)|<e.
Ь) Пусть функция / удовлетворяет сформулированному в
теореме критерию. Если г £ 01 и /(#0) < г, то положим
8 = г — /(я0).
По предположению существует такая окрестность £7 точки #0, что
для всех х £ U[)M
\fix) - /М < е
и потому тем более
fix)<fix0)+ 8 = г.
Следовательно, функция / полунепрерывна в точке х0 сверху.
Так же легко доказать, что функция / полунепрерывна в точке х0
и снизу.
Критерий из теоремы 3.1 часто служит определением
непрерывности (причем в качестве окрестностей по большей части
рассматривают лишь б-окрестности).
Теорема 3.2. (Критерий с последовательностями1).)
Функция f непрерывна в точке х0 £ М в том и только в том случае, если
для каждой последовательности (#v) точек множества М, сходящейся
я х0, последовательность (fixx)) сходится к fix0).
Таким образом, для каждой такой последовательности (#v)
lim/(tfv) = /(lim;rv),
т. е. символы lim и / для непрерывных функций перестановочны.
Доказательство теоремы 3.2. а) Пусть функция /
непрерывна в точке х0 и (.rv) 6 М — последовательность точек, для кото-
Рой lim xv = х0. Пусть число 8 > 0 выбрано произвольно. По тео-
реме 3.1 существует такая окрестность U точки х0, что для всех
х £ U f| M выполняется неравенство \fix) — fix0)\ < 8. Так как,
*) Этот критерий часто называют теоремой об эквивалентности определения
^епрерывности по Коши (сформулированного в теореме 3.1) и по Гейне (условия
последовательностями, сформулированного в теореме 3.2).— Прим. перев.
86 Тем I
однако, последовательность (#v) сходится к #0, и потому почти все |
xv принадлежат С/, то для почти всех номеров v выполняется нера- 1
венство |/(#v) — fix0)\ < 8, т е. ]
•4
limf(xv) = f(x0). \
Ь) Пусть теперь, наоборот, функция / удовлетворяет критерию '
с последовательностями. Сначала мы покажем, что функция /
полунепрерывна в точке Xq сверху. Пусть г > f(x0) и
N = {х g M: f{x) > г}.
Точка х0 не может быть предельной точкой множества N. В самом
деле, в противном случае нашлась бы последовательность точек
xs £ iV, сходящаяся к х0 (гл. II, теорема 4.6). Так как, однако, для
всех номеров v
f(xv) > г > /(*0),
то последовательность f(xx) в противоречии с нашим предположе- I
нием не сходилась бы к f(x0). Поэтому существует окрестность U
точки #0, пересекающая множество N не более, чем по конечному
множеству точек. Точка х0 не принадлежит множеству N и даже
находится от него на некотором положительном расстоянии б; поэтому
окрестность V = U6(x0) содержится в U — N. Для каждой точки
х £ V П М выполняется неравенство f(x) < г и, значит, функция /,
полунепрерывна в точке х0 сверху.
Вместе с функцией / критерию с последовательностями
удовлетворяет и функция —/; поэтому и функция —/ полунепрерывна в
точке х0 сверху, а значит, функция / полунепрерывна в точке х0 снизу.
Тем самым теорема 3.2 доказана. I
В следующей теореме сформулировано одно особенно важное I
свойство непрерывных функций. I
Теорема 3.3. Пусть функции fug определены на множестве I
М и непрерывны в точке х0 £ М. Тогда если f(x0) > gix0), то сущест-1
вует такая окрестность U = U{x^), что для всех точек х 6 ^П^|
fix) > gix). I
Доказательство. Функция / в точке х0 полунепрерывна!
снизу, функция g — полунепрерывна сверху, поэтому функция — £1
полунепрерывна снизу (теорема 2.1) и, следовательно, по теореме 2.31
разность / — g также полунепрерывна в точке х0 снизу. Поскольку!
(f — g) (#o) > 0> отсюда следует, что существует такая окрестность!
U точки х0, что для всех х £ U П М I
(/ - 8) (*о) > 0»
т. е. fix) > gix), I
что и требовалось доказать. I
Та. IV. Функции 87
Если мы заменим в теореме 3.3 знак > на <С или =#=, то, конечно,
снова получим верное утверждение.
С помощью понятия непрерывности мы хотим теперь определить
предел функции в точке.
Пусть / — функция, определенная на некотором множестве
М а 01, и х0 — какая-либо предельная точка множества М. Точка
х0 не обязана принадлежать множеству Af.
Определение 3.2. Функция / имеет в точке х0 предел с:
lim / (х) = с,
если существует такая функция F, определенная на множестве
М[) {х0} и непрерывная в точке х01 что
F\M-{x0}=f,\M-{x0}
и F(x0) = с.
Если функция / имеет в точке х0 пределы с и d, то существуют две
функции F и G, определенные на множестве М\] {х0}, непрерывные
в точке xQ, совпадающие на множестве М — {х0} и принимающие
в точке xQ соответственно значения с и d. Если бы при этом с не
равнялось d, то по теореме 3.3 нашлась бы такая окрестность U точки
х0, что для всех х £U()M было бы F(x) Ф G(x). Но х0 есть
предельная точка множества М, и потому пересечению U [\М принадлежит
бесконечно много точек х, и в этих точках F(x) = f(x) = G(x). Таким
образом, предположение, что с отлично от d, приводит к
противоречию, и мы доказали следующую теорему:
Теорема 3.4. Предел функции f в точке х0 определен
однозначно.
Из критерия 3.2 немедленно получается
Теорема 3.5. lim f(x) = с в том и только в т<?м случае,
X-+XQ
если для каждой последовательности точек хх £ М — {х0},
удовлетворяющей условию lim xv = x0, выполняется и условие
V-»-oo
lim / (xv) = с.
В следующем параграфе мы встретимся еще с целым рядом
примеров непрерывных функций. Здесь же мы исследуем на
непрерывность только две функции.
1. Функция f(x)==x2 непрерывна на всем К.
Выберем для доказательства точки х0 и h £ 01 и оценим разность
1/(*о+Л)-/(*ь)|:
|/(*о + h) — f(xo)\ =|ЛИ2*Ь+Л|<
<|Л|(2|*0| + |А|).
88 Том I
Если задано е > 0, то положим
б = min I -
.21 Жо Ц- 1 /
Тогда для точек х £ Uв(ж0)
\f(*)-f(xo)\ = \f(xo + h)-f(x0)\< (\h\ = \x-x0\<d)
^\h\(2\x0\ + \h\)<
<ЩТТ7<2|*°|+1>=
= 8,
и из теоремы 3.1 следует непрерывность функции f(x).
2. Функция t, определяемая условиями
1
t (х) = 0 при 0 ^ х <с -к >
1
t (х) = 1 при — <; х ^ 1,
1
не является непрерывной в точке х0 = —. При этом £ = £, и потому
1
функция t полунепрерывна сверху. Но если г = -г-, то £(.г0) > г
и тем не менее в каждой окрестности U точки х0 лежат и точки х,
в которых t(x) ^ г. Поэтому функция t в точке х0 не полунепрерывна
снизу.
Легко видеть, что ступенчатая функция непрерывна в том и
только в том случае, если она постоянна.
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ
Рассмотрим функции /4 и /2, определенные на множестве М.
Из теоремы 2.3 сразу следует
Теорема 4.1. Если функции fi и /2 непрерывны в точке х^
то и сумма Д + /2 непрерывна в точке х0.
Очевидна (в силу критерия с последовательностями)
Теорема 4.2. Функции f(x) = 0, f(x) = 1 и f(x) == х
непрерывны на всем 01.
Теорема 4.3. Если с £ 01 и функция fi непрерывна в точке xQ, Л
то и функция cfi непрерывна в точке х0. .и
Гл. IV. Функции 89*
Доказательство. При с = О наше утверждение следует
из теоремы 4.2, а при с> О — из теоремы 2.2. Пусть теперь с <. 0.
Тогда, поскольку функция / в точке х0 полунепрерывна сверху,
функция —/ полунепрерывна снизу, значит, функция cf = (—с) (—-/)
также полунепрерывна снизу. В том, что функция cf полунепрерывна
и сверху, убеждаемся аналогично.
Теорема 4.4. Если функции /4 и /2 непрерывны в точке х0г
то и произведение ft »/2 непрерывно в точке х0.
Эта теорема является прямым следствием теоремы 3.2 и правил:
действий с пределами последовательностей.
Теорема 4.5. Если функции /4 и /2 непрерывны в точке х0
и если /20го) Ф 0» то и частное fjf2 непрерывно в точке х0.
Доказательство. По теоремам 3.3 и 4.2 существует такая^
окрестность U точки х0, что для всех х £ U 0 М значение f2(x) Ф 0.
Таким образом, частное fjf2 определено на пересечении U[\M.
Непрерывность fjf2 вытекает из критерия с последовательностями.
Если функция / определена на множестве М, а функция g —
на множестве Л", и если f(M) содержится в N, то каждой точке х £ М
можно поставить в соответствие значение
и тем самым получить некоторую новую функцию go/ на
множестве М, называемую композицией функций / и g. Относительно
непрерывности композиции двух функций справедлива
Теорема 4.6. Если функция f непрерывна в точке х0, а
функция g — в точке f(x0), то композиция gof непрерывна в точке х0.
Доказательство. Пусть (xv) — какая-нибудь
последовательность в М, сходящаяся к х0. Так как функция / непрерывна
в точке #0, то lim f(xv) = f(x0). Из непрерывности функции g
V-*oo
в точке f(x0) точно так же следует, что
lim g(yv) = g(y0),
где мы обозначили
yv = f(xv), v = 0, 1, 2, . . . .
Таким образом, если последовательность (xv) сходится к х0, то
последовательность g(yv) = (gof) (xv) сходится k (gof) (x0) = g(y0).
С помощью этих теорем мы можем теперь доказать непрерывность
Многочлена.
<90 Том I
Определение 4.1. Многочлен степени п^О с
коэффициентами av есть функция вида
п
f (*) = 2 avz\ av £01, а„ =#= 0.
v=0
Функция f(x) = 0 называется многочленом степени —оо.
Теорема 4.7. Многочлены являются функциями,
непрерывными на всем 01.
Доказательство. При v ^ О функция #v непрерывна
в силу теорем 4.2 и 4.4, а функция av#v — в силу теоремы 4.3. Поэто-
п
му на основании теоремы 4.1 непрерывна и сумма 2 0V#V-
Мы хотим отметить и некоторые другие свойства многочленов.
Прежде всего легко убедиться, что сумма и произведение двух
многочленов fi и /2 снова являются многочленами. При этом для степени у
выполняются соотношения
y(fi + /2) < max (y(/i), y(/2)),
Y(/i-/2)=Y(/i) + Y(/2).
{При /i или /2 == 0 полагаем y(/i) + т(/г) = — оо.)
В элементарной алгебре доказывают третье важное свойство
-многочленов; именно:
Теорема 4.8. (Алгоритм Евклида.) Пусть fug — многочлены
и g имеет степень y(g) ^ 0. Тогда существуют такие два однозначно
определенных многочлена q и г, что y(r) ^ y{g) и
f = qg + r.
Число xQ £ Dl, для которого f(x0) = О, называется нулем
многочлена / х). Если f(x0) =0, то мы можем применить к многочленам /
л S(x) = х — хо теорему 4.8:
f(x) = (х — x0)q(x) + r(x); у (г) < 1.
Таким образом, г — постоянный многочлен. Так как
О = f(x0) = (х0 — x0)q(xQ) + г(х0),
то г(х0) = 0, и потому г = 0. Тем самым доказана
Теорема 4.9. Если х0 — нуль многочлена /, wo существует
такой многочлен q, что f(x) = (х — x0)q{x).
х) Авторы называют нулями многочлена только действительные его корни.
Поэтому мы не будем пользоваться словом корень. См. также § 10 гл. VII.—
Прим. перев.
Гл. IV. Функции
91
Применяя эту теорему несколько раз, получаем дальнейший
результат:
Теорема 4.10. Многочлен f степени п ;> 0 имеет не более
п нулей. Пусть хи . . ., х8 — все различные его нули. Тогда
существует такой многочлен g, не имеющий нулей, и такие натуральные
числа Vi, . . ., vs, что
f(x) = (х — #0Vl ...(x — xj**g(z).
Числа Vi и многочлен g определены однозначно.
Число vt называется кратностью нуля xt.
Определение 4.2. Частное двух многочленов / и g, g ф 0,
называется рациональной функцией:
' г=1.
g
Функция г определена и непрерывна всюду, кроме множества
нулей многочлена g. Если х0 —- общий нуль многочленов / и g
соответственно кратности Vi и v2, то при х Ф х0 справедливо равенство
г (х) = f ® = (Х~~ Хо)У1 fi ^ _ {х ;QV'~V' fi (ж) .
g(x) {x — XQ)V2gi{x) ° gi{x) '
Если при этом Vi ^ v2, то функция в правой части этого равенства
непрерывна и в точке х0; поэтому
Г 0 при vi>v2,
limr(x)={ frfo)
Х^Х0
I 8i(xo)
при Vi = v2.
В этом случае функцию г можно продолжить и в точку х0 так, что
она будет непрерывна и в этой точке; нужно положить
r(x0)= lim r(x).
Х^Х0
§ 5. ФУНКЦИИ НА ЗАМКНУТЫХ ПРОМЕЖУТКАХ
В этом параграфе мы хотим установить дальнейшие свойства
непрерывных и полунепрерывных функций. Сначала нам нужно
ввести некоторые понятия.
Пусть / — произвольная функция, определенная на множестве
Определеннее.1. Верхней гранью sup / функции / на мно-
м
жестве М называется верхняя грань множества f(M). Нижней
92 Том I
гранью inf/ функции / на множестве М называется нижняя грань
м
множества /(М).
Определение 5.2. Функция / называется ограниченной
сверху {снизу) на множестве М, если ограничено сверху (снизу)
множество /(М).
Таким образом, функция / ограничена сверху (снизу) в том и
только в том случае, если sup/<+°° (соответственно inf/>—оо).
и и
Функция, ограниченная и сверху и снизу, называется (просто)
ограниченной.
Определение 5.3. Функция / принимает на множестве М
максимальное {минимальное) значение^ если существует такая точка
х^ £ М, что f{x0) = sup/ (f{xQ) = inf /). В этом случае мы будем
м м
также писать f{x0) = max/ f{x0)=minf).
м м
Функция f{x) = Их на промежутке (0, 1) не ограничена сверху;
хотя функция f{x) = х на этом промежутке ограничена, она не
принимает на нем ни максимального, ни минимального значения.
Прежде чем показать, что функция, непрерывная на замкнутом
промежутке, всегда принимает на нем максимальное и минимальное
значения, напомним одно важное свойство таких промежутков:
Лемма. Последовательность {xv) точек замкнутого
промежутка I = [а, Ь] имеет по крайней мере одну предельную точку,
и каждая ее предельная точка принадлежит промежутку I.
Первая часть этого утверждения есть не что иное, как теорема
Больцано — Вейерштрасса, а вторая тривиальна (но важна).
Символом / мы будем далее обозначать замкнутый промежуток
с концами а и Ь.
Теорема 5.1. Функция /, полунепрерывная сверху на
замкнутом промежутке /, ограничена на нем сверху и принимает на нем
максимальное значение.
Доказательство. Если/(.г) = —-оо, то доказывать нечего.
Пусть поэтому / — некоторая полунепрерывная сверху функция,
принимающая и конечные значения. Тогда для г = sup / выполняет-
I
ся неравенство —-оо < г ^ +оо. Мы можем подобрать такую
числовую последовательность (rv), что rv < г и lim rv = г; именно, просто
положим
1
rv — r , если г 6 01,
V
rv = v, если г= + оо.
Гл. IV. Функции 93
Так как г = sup f(M), то для каждого rv найдется такая точка
xv в М, что rv < f(xv) <! г. Последовательность (xv) имеет хотя бы
одну предельную точку х0, принадлежащую нашему промежутку.
Мы покажем, что f(x0) = г.
Во всяком случае f(x0) <! г. Если бы выполнялось неравенство
f(x0) < г, то нашлось бы число г*, удовлетворяющее условию
f(x0) < г* < г. Так как функция / полунепрерывна в точке х0
сверху, мы можем найти окрестность U точки х0, для которой
f(Uf)7)<r*.
Но для почти всех номеров v выполняются неравенства
г* <rv< f(xv) < г,
и бесконечное множество элементов xv принадлежат пересечению
U [) I. Таким образом, для бесконечного множества элементов xv
имеет место неравенство f(xv) > г* в противоречии с тем, что
f(u f)i)<r*.
Тем самым показано, что функция / принимает в точке х0
максимальное значение. По определению f(x0) < +00, и потому функция /
ограничена сверху.
Из формулы
inf/=-sup(— f)
1 1
следует аналогичная теорема о функциях, полунепрерывных снизу;
Теорема 5.2. Функция/, полунепрерывная снизу на замкнутом
промежутке I, ограничена на нем снизу и принимает на нем
минимальное значение.
Доказательство. Функция —/ на промежутке /
полунепрерывна сверху, и потому в некоторой точке х0 £ I принимает
(конечное) максимальное значение. Тогда сама функция / принимает
в этой точке минимальное значение, и f(x0) > — 00.
Из двух предыдущих теорем вытекает
Теорема 5.3. Функция, непрерывная на замкнутом
промежутке /, ограничена на нем и принимает на нем максимальное
и минимальное значения.
Теорема 5.4. (Теорема о промежуточном значений.) Пусть
f — функция, непрерывная на замкнутом промежутке I, и пусть с —
любое число, удовлетворяющее условиям
inf/^c^sup/.
1 1
Тогда существует такая точка х0 £ /, что f(x0) = с.
94 Том I
Доказательство. Пусть xi и х2 — две точки
промежутка /, в которых
/(*i) = inf/; f(x£ = sup/.
i i
Следовательно,
/fo) <*</(**).
He уменьшая общности, мы можем считать, что xt ^ х2. Пусть тогда
М = {х: xt ^ х ^ х2 и f(x) ^ с}
и х0 = sup M.
Очевидно, #! ^ #0 ^ #2- Допустим, что имеет место неравенство
t(x0) < с. Тогда #0 ¥= ^2» и по теореме 3.3 существует такая
окрестность U точки х0, что f(x) < с для всех # £ ^ГК- Выберем точку
#' 6 £Л удовлетворяющую условию ^0 < #' < #2- Поскольку f(x') ^
^сиж0<ж', точка #0 не может быть верхней гранью множества М,
и мы пришли к противоречию.
Таким образом, f(x0) ;> с. Если бы выполнялось неравенство
t(x0) > с, то мы имели бы х0 > #i, .и — снова по теореме 3.3 —
нашлась бы такая окрестность U точки х0, что f(U[\I) > с. Если
выбрать точку ж' £ £7, удовлетворяющую условию #4 < ж' < #0>
то точка ж' была бы одной из верхних границ множества М, и точка
х0 не могла бы быть верхней гранью М.
Следовательно, f(x0) — с, и наша теорема доказана.
Отметим один частный случай теоремы о промежуточном
значении: функция, непрерывная на замкнутом промежутке I и
принимающая в его концах значения разного знака, имеет на I по крайней
мере один нуль.
§ 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
Пусть М — некоторое множество в R, и (/v), v = 1, 2, . . .,—-
последовательность функций /v, определенных на М. Тогда для
каждой точки х0 £ М значения функций /v образуют
последовательность точек /v(#0), которую можно исследовать на сходимость.
Определение 6.1. Последовательность функций (/v)
называется сходящейся на множестве М (в обычном смысле, или поточечно),
если для каждой точки х £ М сходится последовательность точек
fv{x). Предельной функцией, или пределом,
/=lim/v
Гл. IV. Функции 95-
сходящейся последовательности функций называется функция /,.
определенная на множестве М условием
f(x)=limfv(x).
Разумеется, немедленно возникает вопрос: переносятся ли
известные свойства элементов последовательности /v на предельную
функцию? Например, будет ли предел сходящейся последовательности
непрерывных функций и сам непрерывен?
Рассмотрим на замкнутом единичном промежутке / = [0, 1]
последовательность функций fv(x) = xv. Последовательность (/v)
сходится на/к функции
/(■
*-{?
при
при
0<а?<1,
х=1.
Несмотря на то, что каждая функция /v непрерывна, предел lim /^
является разрывной функцией.
Чтобы из свойств элементов последовательности вытекали
соответствующие свойства предельной функции, понятие сходимости
нужно усилить.
Определение 6.2. Последовательность функций (/v)
равномерно сходится на множестве М к предельной функции /, если
для каждого 8 > 0 сущест- yi
вует такой номер v0 £ N, что
для всех номеров v ;> v0 и
для всех точек х £ М -
ых)-т\<ъ.
Таким образом, от
последовательности функций (/v),
равномерно сходящейся на
множестве М к функции /,
требуется, чтобы, как бы
мало ни было число 8 > 0, всякое значение функции /v(#), начиная
с некоторого номера v0 (т. е. при v ^ v0), лежало в е-окрестности
значения f{x). Иными словами, график функции /v при всех v > v0
Должен целиком лежать в е-полоске Ss вокруг графика функции /
(см. рис. 13).
Если имеет место только обычная сходимость, то, хотя для
каждой точки х £ М можно всегда найти такой номер v0, что при v ;> va
1Ш-/(*)1<в,
это неравенство не обязано выполняться в остальных точках
множества М: насколько большим должен быть* номер v0, зависит не только
м
Рис.
13.
96 ; Том I
от 8, но, в отличие от равномерной сходимости, и от точки х: v0 =
= v0(s, х).
Очевидно, равномерно сходящаяся последовательность функций
•сходится и в обычном смысле. Однако только что рассмотренная
последовательность fv(x) = xy представляет простой пример
неравномерно сходящейся последовательности функций. В самом деле,
если бы эта последовательность (/v) сходилась равномерно на замкну-
_ 1
том промежутке / = [0, 1], то, в частности, для числа 8 = ^-
нашелся бы такой номер v0, что при v ^ v0 и при всех х £ J выполнялось
«бы неравенство \fv(x) — f(x)\ < 8. Но в точке х = (у/Г2)'1
Г/ve (*)-/(*)! =
!-°
2
В случае равномерной сходимости непрерывность элементов
последовательности (/v) переносится и на предельную функцию:
Теорема 6.1. Если последовательность функций (/v)
равномерно сходится на множестве М к функции f и если все функции /v
мепрерывны в точке х0 £ М, то и функция f непрерывна в точке х0. !
Доказательств о.4 Пусть задано 8 > 0. По
предположению существует такой номер v0, что для всех номеров v ^ v0 и для ;
всех точек х £ М
|/V(*)-/(*)|<.J-.
Так как функция /v непрерывна в точке #0, то мы можем найти
такую окрестность U точки #0, что для всякой точки х £ U П М будет
выполняться неравенство
l/vo(^)—/v0(^o)l<^-
Тогда при х £ U f] M 4
\f(*)-f(*o)\ =\f(*) -fv0fr) + /v0(*) -/voW +/v0 (Xo) —/(*b)l <
<l/(^)-/v0(^)l + l/vo(^)-/vo(^o)l + l/v0W-/WI<
8 8 8
< 3" + 3" + 3" _
= 8. f
Таким образом, функция / непрерывна в точке х0. |
J
Гл. IV. Функции
97
В дальнейшем нам понадобится еще
Теорема 6.2. Пусть последовательность (/v) равномерно
сходится на множестве М к функции /, и пусть каждая функция
/v непрерывна в точке х0 £ М. Тогда для каждого s > О существуют
такая окрестность U точки х0 и такой номер v0 £ W, что при всех
х £ С/ П Af w пРи всех v ^ v0
|/v(*)-/(*o)l<e.
Доказательство. Как мы только что видели, функция /
непрерывна в точке х0. Поэтому существует такая окрестность U
точки х0, что для всех х £ U(\M
\f(*)-f(*U\<%-
Далее, в силу равномерной сходимости последовательности /v
существует такой номер v0, что для всех v ^ v0 и всех х £ М
IM*)-/WI<f
Тогда при а; 6 Uf\M nv^v0
l/»(*)-/WKI/»(»)-/(*)l + l/(*)-/WI<
е , 8-
<2-+2- = 8-
§ 7. РЯДЫ ФУНКЦИЙ
Теоремы и понятия, относящиеся к последовательностям
функций, легко можно перенести на ряды функций. Если /v —
действительные функции, определенные на множестве М, то, по аналогии
с гл. III, рассмотрим последовательность частичных сумм
м.
v=l
бесконечного ряда
оо
2/v
V=l
и дадим следующие определения:
00
Определение 7.1. Бесконечный ряд 2 /v функций /v
v = l
называется сходящимся на множестве М (поточечно, или в обычном
7-832
98 Том I
смысле), если на этом множестве поточечно сходится последователь-
м-
ность (Sp) = (2 /v) его частичных сумм. Функция
s = lim 5„
называется суммой ряда 2 /v
v=l
Определение 7.2. Ряд функций называется равномерно
сходящимся на множестве М, если на этом множестве равномерно
сходится последовательность его частичных сумм.
оо
Ряд 2 /v равномерно сходится на множестве М к сумме /
v=l
в том и только в том случае, если для каждого 8 >> О существует
такой номер |i0, что для |х ;> |Л0 и каждого х £ М
/(*)- 2М*) <в,
v=l
оо
т. е. если для каждой точки х £М остаток 2 /v(#) по абсолют-
v=H-i
ной величине меньше, чем 8.
В качестве первого примера мы хотим выяснить, сходится ли ряд
оо
2 #v на промежутке / = (—1, 1) равномерно. Во всяком случае,
v=0
он на этом промежутке сходится:
2-
v=0
1
1-Х
Пусть теперь е = ^- и [г0 — произвольный номер. Тогда
Если взять
оо оо
2 *v = a*»+12*v = *,l0+*-^—•
^=u0+l v=0
TO
х0 = 2 м-o+i,
оо
;2
%о — "Г~
i i
2 1— х0 2
Г л, IV. Функции
99
Таким образом, на промежутке / равномерной сходимости нет.
Ситуация полностью изменится, если мы рассмотрим наш ряд только
на промежутке /* = {х: \х\ ^ д}, где 0 < q < 1. Тогда для
каждого м>
IE
v=n-H
\&
+li
х+1
<
11 — о: | 1 — q
Так как последовательность
rjll+l
1-
- Сходится к нулю, остаток 2 х*
q v=p-+i
можно сделать независимо от х сколь угодно малым, выбрав номер (Л
достаточно большим.
С дальнейшими примерами бесконечных рядов функций мы
встретимся в следующем параграфе.
Из теоремы 6.1 следует
Теорема 7.1. Если ряд 2 /v равномерно сходится на множе-
v=l
стве М и если все члены /v этого ряда непрерывны в точке х0 £ Мf
оо
то и его сумма / = 2 /v непрерывна в точке х0.
v=l
Мы хотим теперь установить критерий Коши для равномерной
сходимости.
Теорема 7.2. Ряд 2 /v равномерно сходится на множестве
■ v=l
М в том и только в том случае, если для каждого г > О существует
такой номер |Л0 6 IN» что для всех номеров |л > |Л0 и всех точек х £ М
2 /v(*>
v=ii0+i
<8.
Доказательство, а) Пусть ряд 2 f\(x) равномерно схо-
v=l
Дится к своей сумме / и 8 — произвольное положительное число.
Тогда существует такой,номер |Л0, что для всякого номера \х ^ р0
и всякой точки х £ М
/(*)
-2fc
(*)
2 '
7*
100 Том I
При |л > |л0 отсюда следует:
И И Но
2 /Лж)г12/Ла;)~2
/vW
V=Ho+l
<
v=i v=l
М-
v=i
8,8
<2-+2- = e'
1*0
+l/(*)-2/v(x)
v=l
<
b) Пусть теперь, наоборот, выполняется критерий Коши. Тогда
ряд поточечно сходится на множестве М к некоторой сумме /, и нам
нужно еще только доказать, что он сходится на М равномерно. Для Л
данного 8>0 но предположению существует такой номер щ, что vf
для всех |л > |д,0 и всех х £ М
2 м*:
8
<з-
v=Ho+i
Тогда для каждого натурального числа X
<х(х)=| 2 /v(*)|< 2 /v(a:)|+| 2/v(a:)
<-зе-
v=n-M
V=|A0 + 1
v=M-o+i
Так как
lim 2 /»(*) = /(*)- S/v(«).
Л-*-оо v=sM-+i V—1
то в силу непрерывности функции h(y) = |г/| последовательность
£х(#) сходится, и
lim *x (ж):
/(
»-/j/v(*)
v=i
<-g8<8,
что и требовалось доказать.
Для рядов функций можно рассматривать и абсолютную сходи-
оо
мость. Ряд 2 v сходится абсолютно на множестве М, если для j
v=l
Гл. IV. Функции
№
всех точек х £ М сходится ряд 2 l/v(#)l- Из неравенства
v=l
м-
м-
2 /v^k S iM*)i
v=M-o+i I v=Ho+l
сразу следует
Теорема 7.3. Абсолютно {соответственно абсолютно и
равномерно) сходящийся ряд на множестве М сходится (соответственно
равномерно сходится) на множестве М.
В заключение мы приведем еще один важный признак
равномерной сходимости:
оо
Теорема 7.4. (Признак сравнения.) Пусть 2 а\ — сходя-
v—1
щийся ряд с неотрицательными членами, и пусть 2 /v — беско-
v=l
нечный ряд функциц /v> определенных на множестве М. Тогда если
\fv(x) | ^ av для каждой точки х £ М и для почти всех номеров v,
оо
то ряд 2 /v сходится на множестве М абсолютно и равномерно *).
v=l
Доказательство. Для любого 8 > 0 существует такой
номер |Л0 6 М,* что для всех |Л > |Л0
м.
2 0v<e, l/ii(s)Kv
v=m-o+1
Тогда при х £ М
(X М-
2 !/*(*) К 23 Av<e
v=Ho+1 v=m-o+1
и, значит, критерий равномерной сходимости Коши выполняется
для ряда 2 l/v(#)l> и тем более для ряда 2 /'
v= 1 v= 1
оо
V
§ 8. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Теперь мы изучим один особенно важный класс функциональных
Рядов. Пусть av, v = 0, 1, 2, . . .,— некоторая последовательность
Действительных чисел и х0 — точка множества К.
о ) Этот признак обычно называется признаком равномерной сходимости
г>еиерштрасса. Заметим, что слова «для почти всех номеров» в его формулировке
нужно понимать так: существует такой номер v0, что для всех v > v0 и
одновременно для всех точек х £ М выполняется неравенство | /v (x) |< av (т. е. номер
о не зависит от х). В противном случае утверждение, разумеется, неверно.-—
11 Рим. пеъев.
пер ев.
102
Том I
Определение 8.1 Бесконечный ряд вида 2 av(x — #o)v
называется степенным рядом с центром х0. Числа av называются
коэффициентами этого ряда.
оо
Например, геометрическая прогрессия 2 ^v> характер схо-
v=0
димости которой мы изучили в предыдущем параграфе, является
степенным рядом с центром 0, причем все коэффициенты этого ряда
равны 1. Как мы видели, этот ряд абсолютно сходится в промежутке
I = {х: |.г|<;1}, абсолютно и равномерно сходится на каждом
замкнутом промежутке, целиком лежащем в J, и расходится вне 7.
Мы хотим показать, что такое поведение типично для всех
степенных рядов.
Теорема 8.1. Если степенной ряд 2 аЛх — #o)v сходится
v=0
в некоторой точке хи то он сходится абсолютно во всякой точке х1
удовлетворяющей условию
\Х — Х0\ < \Xi — Zq\.
Кроме того, для каждой такой точки х существуют такие числа S
и q, что iS>0, 0 < # < 1 и для всех v справедливо неравенство
\av\\x-xS<Sq\
Число q (если х и xt не равны х0) можно выбрать так: q =
== \Х — Xq |/ \Х\ — Xq I. Число S не зависит от х.
Доказательство. Если xt = х0, то доказывать нечего.
Предположим поэтому, что дг4 Ф х0 и \х — х0\ < \xi —- х0\. Тогда
av (x — x0)v = av (xi — х0)х I — ] .
V Xi — Xq /
оо
По предположению ряд 2 a\(xi — xo)v сходится, и потому после-
довательность его членов ограничена. Выберем число S > 0 так,
чтобы |av(#i — x0)v\ ^ S для всех v. Тогда
II
| av (х — x0)v | = I Ov (art ■
Так как
■*оГ
X Xq
X — Хс\
\Х± — Xq
X i — Xq
= 9<1.
<S
X —— Xq
X\ — Xq
Гл. IV. Функции 103
ряд S *^V сходится. На основании признака сравнения поэтому
оо
сходится и ряд 2 \av(x — ^o)|v» что и требовалось доказать.
v=0
Отсюда немедленно следует
оо
Теорема 8.2. Если степенной ряд 2 av(x — xo)v в точке
х{ не сходится абсолютно (например, расходится), то он расходится
в каждой точке х, удовлетворяющей условию
\х — х0\ > |#i — х0\.
Пусть
оо
i? = sup {х — ж0 £ Ш : ряд 2 «v (^ — #o)v сходится}.
v=0
Так как ряд в своем центре х0 сходится, R определено и
неотрицательно. Положим
/ = {х: \х — x0\<R}.
Для всякой точки х £ / существует точка #1? удовлетворяющая
условию |^! — х0\ > |я — #0|, в которой ряд сходится. Поэтому
в силу теоремы 8.1 он абсолютно сходится в точке х. Если | X —~ Xq | J^~
> R, то ряд расходится в точке* х по предположению. В каждой
из точек х0 + R и х0 — Л, как показывают примеры, может иметь
место и сходимость, и расходимость.
Рассмотрим еще произвольный замкнутый промежуток /*,
содержащийся в /. Тогда существуют такие положительные г) числа
i?i < R2 < Л, что /* с: [х0 — Ль х0 + i?J. Так как ряд сходится
в точке х0 + i?2> в силу теоремы 8.1 существует такое
действительное число S (зависящее только от i?2)> что для всех точек х,
удовлетворяющих условию \х — х0\ < i?i, справедлива оценка
lovlls-sor^jf (где. ? = ^Z^^^-<l).
V R% R% /
оо
Поэтому по признаку сравнения (теорема 7.4) ряд 2 av(x — xo)v
сходится на /* абсолютно и равномерно.
Таким образом, мы получили полное представление о характере
сходимости степенного ряда.
) Тривиальный случай R = 0 можно в этом рассуждении оставить в стороне.
404
Том I
Теорема 8.3, Для каждого степенного ряда 2 av(x — xo)v
_v=0
существует однозначно определенный элемент R £ 01, где О ^ R ^
^ +оо, удовлетворяющий следующим условиям:
(а) в промежутке I = {х: \х -— х0\ < R} ряд сходится
абсолютно, а в каждом замкнутом промежутке, содержащемся в I, ряд
сходится абсолютно и равномерно;
(f$) вне замкнутого промежутка I = {х: \х — х0\ ^ R} ряд
расходится.
Кроме того, для каждого положительного Л* < R существует
такое число S > О, что если положить q = \х — x0\/R*, то для
всех точек х, удовлетворяющих условию \х — х0\ < R*, будут
выполняться неравенства
\av\\x-x0\v^Sq\ v = 0, l, 2, ... .
Определение 8.2. Введенная в теореме 8.3 величина R
00 i
называется радиусом сходимости степенного ряда 2 #v(«£ — хо)у*
v=0
а открытый промежуток I = {х: \х — х0\ < R} — интервалом
сходимости этого ряда *).
Если # £ /, то в некоторой окрестности точки х ряд сходится еще
и равномерно. Поэтому справедлива
Теорема 8.4. Сумма степенного ряда непрерывна в его
интервале сходимости.
Радиус сходимости степенного ряда иногда можно легко найти
с помощью одной формулы, установленной Адамаром.
оо
Теорема 8.5 (Адамара). Пусть 2 av(x — xo)v — степенной
v=0
ряд с радиусом сходимости R. Тогда
(а) если верхний предел lim y\a^\ существует и положителен, то
limy \av\
(Р) если lim y^\av\ = 0, то R *= + °°;
(у) если верхнего предела lim у^\ ах\ не существует, то R = 0.
Доказательство, а) Пусть р = lim y^\av\ и \х -— х0\ <С
<С 1/р. Тогда
lim (у |av| \x — ж0|)<1, lim к \av\ \x — #0Г<1,
*) При R = 0 интервал сходимости / есть пустое множество, а при R =
= + оо — это интервал / = 7 — (ft.
2) Эта формула обычно называется формулой Коши — Адамара; так мы
и будем ее называть в дальнейшем. См. также теорему 2.3 гл. III.-— Прим. перев*
Гл. IV. Функции 105
можно найти такое число q < 1, что для почти всех v
V\av\ \х — #оГ<д.
Но из этого неравенства следует, что геометрическая прогрессия
оо
V qv является сходящейся мажорантой ряда 2j \av(x — xo)v\,
v3) v=0
T. е. что \х — #01 < i?. T
Если, наоборот, точка х удовлетворяет условию \х — х0\ > 1/рг
то ^^
lim (к |av| |# — #0|)>1, lim/|av| |я — #0 Г> 1,
и потому для бесконечного множества номеров v
V\a,v(x — x0)v| > 1, | av (x — z0)v | > 1.
oo
Следовательно, ряд 21 lav(# — «ro)vl расходится, потому что его
v=0
члены не стремятся к нулю.
Р) Если lim y^|av| = 0, то для каждого х £ 01 последовательность
у | av (х — #0)v |
сходится к нулю. Тогда если выбрать число q между 0 и 1, то для
почти всех номеров v будет выполняться неравенство \ах(х —- x0)v\ <c
< qvj откуда, как ива), следует сходимость ряда в точке х.
у) Верхнего предела lim у \av | не существует в том и только в том
случае, если последовательность y^|av| неограничена. Если х Ф х0,
то тогда неограничена и последовательность y\av(x — x0)v\, а зн&~
оо
чит, и последовательность \av(x — х0)у\. Поэтому ряд 2 а\(х — xo)v
v=0
должен расходиться.
Теперь мы применим формулу Коши — Адамара к некоторым
примерам и заодно покажем, что о поведении степенного ряда в
концах его интервала сходимости нельзя сделать никаких общих
утверждений.
оо
1. Для геометрической прогрессии 2 xv
v=0
limy |av| = liml = 1,
значит, R = 1. В точках 1 и —1 ряд расходится; в интервале
сходимости он имеет сумму (1 — х)*1.
2. Если в предыдущем примере заменить х на — х2, то радиус
оо
Ходимости R не изменится. Суммой ряда 2 (—l)vx2v служит
Функция (1 + х2)'1, определенная на всем JL
v=0
106 Том I
3. Радиус сходимости ряда
оо
2
V
v=l
равен
limv7=
у v
При х = 1 ряд расходится, а при х — —1 сходится.
4. Радиус сходимости ряда
оо
2xv
V=l
равен 1. В самом деле, при х > 1 ряд расходится по признаку Далам-
оо
бера, а при \х\ < 1 сходится, так как ряд 2 Mv/v2 мажорируется
v=l
оо
геометрической прогрессией 2 Nv- В силу примера 2, § 2, гл. III,
в обоих концах интервала сходимости (—1, 1) имеет место
сходимость. Формула Коши — Адамара дает равенство
lim v v2= 1.
5. Так как
г lA v ! n
lim у—= lim — ==0,
V-*oo f v у-*-00 V
ряд
оо
2xv
v=l
сходится всюду.
6. Из примера 3, § 2, гл. III, следует сходимость ряда
2-
v!
v=0
во всем 01. Отсюда мы можем, таким образом, заключить, что
lim * =0
Глава V
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
К развитию дифференциального исчисления привела задача
проведения касательной к кривой на плоскости, например к графику
некоторой функции, в каждой ее точке. Чтобы эта задача вообще
имела смысл, область определения функции, естественно, не должна
быть произвольной. Она не может, скажем, состоять лишь из
изолированных точек. Поэтому мы дадим
Определение 1.1. Множество М с: 01 мы будем называть
допустимым, если каждая точка х £ М является его предельной
точкой*).
Важнейшими примерами допустимых множеств служат открытые
и замкнутые промежутки (последние — в случае, если они содержат
больше одной точки).
Определение 1.2. Пусть / — действительная функция,
определенная на некотором допустимом множестве М, и х0 — точка
этого множества. Функция / называется дифференцируемой в
точке х0, если на М существует функция А, обладающая следующими
свойствами:
(а) функция А непрерывна в точке х0;
(Р) на всем множестве М выполняется равенство
f(x)=f (х0) + (х — х0)А(х).
Если функция / дифференцируема в каждой точке множества М,
то она называется дифференцируемой на множестве М.
Пусть Aj и Д2 — две функции на множестве М, обладающие
свойствами (а) и (Р). Тогда для каждой точки х£ М
(х — x0)(Ai(x) — А2(х)) = (),
и потому Ai\M — {х0} = А2\М — {.£<)}• Так как функции At и А2
непрерывны в точке х0 и множество М допустимо, то отсюда следует,
что и Д^о) = А2(х0). Тем самым мы показали, что функция А
условиями (а) и (Р) определяется однозначно.
1) Такие множества называются плотными в себе,— Прим. перев.
108 Том I
Определение 1.3. Значение А(х0) функции Д в точке х0
называется производной функции f в точке х0 и обозначается символом
f'(x0) или ~(х0).
ах
Производной f функции /, дифференцируемой на всем множестве Му
называется функция, определяемая
в каждой точке х0 £ М условием
f(x0) = — (xo).
ах
Функция А, удовлетворяющая
одному лишь условию (Р),
очевидно, существует всегда; наиболее
важным требованием определения
1.2 является непрерывность
функции А в точке х0. Поэтому, как
непрерывность и
полунепрерывность, дифференцируемость
является локальным свойством: если две функции ft и /2 совпадают
в некоторой окрестности точки х0, то обе они одновременно или
не дифференцируемы, или дифференцируемы, и в последнем случае
/к*о)= /;(*«.).
Если функция А, обладающая свойствами (а) и (Р), существует,
то разностное отношение
4
/7
1 J
?0
^
Г X
Рис. 14.
Геометрический смысл
производной.
f(x)-f(x0)
X Xq
А (я), хфх01
при приближении точки х к х0 стремится к h(x0) = f(x0):
lim/(x)-/(x0)==rw
ХфХг.
X — Xf\
Это разностное отношение легко истолковать наглядно: если
функция / определена на промежутке / и х0 £ /, то отношение
X Xq
при хф Xq есть угловой коэффициент секущей, проходящей через
точки (ж0, f(xQ)) и (#, f(x)) (см. рис. 14). Поэтому если функция /
дифференцируема в точке х0, то эта секущая при приближении точки
х к х0 стремится к некоторой вполне определенной прямой, которая
Гл* V. Дифференцирование 109
проходит через точку (#0, f(x0)) графика Gf и имеет угловой
коэффициент f(x0); это и есть касательная.
В точке #0, в которой функция / имеет разрыв, очевидно,
касательной быть не может. Точнее, справедлива
Теорема 1.1. Пусть функция f определена на допустимом
множестве М и дифференцируема в точке х0 £ М. Тогда функция f
непрерывна в точке х0.
Доказательство. Имеет место равенство f(x) = f(x0) +
4- (х — х0)А(х), а функции, стоящие в правой части, непрерывны
в точке х0.
Утверждение, обратное теореме 1.1, неверно. Например, функция
f(x) — \х\ непрерывна в точке х0 = 0. Если бы она была в этой точке
и дифференцируема, то при х > 0 выполнялось бы равенство
f{x) = f(x0) + {х — xQ)A(x),
т. е. х = хА(х) и, значит, А(х) = 1. При ж<0мы имели бы \х\ =
= — х = хА(х), и потому А(х) = —1. Однако не существует
непрерывной в точке 0 функции, которая при всех х > 0 равнялась бы 1,
а при всех х < 0 имела бы значение —1.
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ
Пусть М всегда — некоторое допустимое множество, х0 —
какая-либо его точка, и пусть все встречающиеся нам функции /4,
/2 и т. д. определены на множестве М.
Теорема 2.1. Если функции /4 и /2 дифференцируемы в точке
х01 то и их сумма Д + /2 дифференцируема в этой точке и
Доказательство. Существуют такие функции Д4 и Д2
на множестве М, что для всех х £ М
/v(*) = /v(*o) + (я — *o)^v(#), v = 1, 2,
я функции Av непрерывны в точке х0. Тогда
(А + /2)(*) = (/i + /2)(*о) + (ж - «o)(Ai + Д2Х*),
где Д4 + Д2 — функция, непрерывная в точке х0. Это и требовалось
Доказать.
Теорема 2.2. Если с £ DI и функция f дифференцируема
•в точке х0, то и функция cf дифференцируема в точке х0 и
(cf)'(x0) = ef(x0).
Доказательство. Из соотношения
f(x) = f(x0) + (х — х0)А(х)
110 Том I
следует, что
(cf)(x) = (cf)(x0) + (х - х0)(сА)(х).
Вместе с А и функция сА непрерывна в точке х0.
Теорема 2.3. (Правило дифференцирования произведения.)
Если функции fi и /2 дифференцируемы в точке х0, то и их
произведение fif 2 дифференцируемо в точке х0 и для производной от fj2
справедлива формула
(hhY (*о) = /1 (*о) '/г (яо) + Л Ы -/г (*о).
Доказательство. При v = 1, 2 по предположению
существуют такие функции Av, непрерывные в точке #0, что
fx(x) = fv(xQ) + (* — ^o)Av(^)-
Тогда
(ШИ = (Ш(*о) + (*- х0Шх0)А2(х) + /»(*0)Ai(«) +
+ Ai(x)A2(x)(x — х0)].
Функция, стоящая в квадратных скобках, непрерывна в точке х0
и принимает в ней значение f'1(x0)f2(x0) + fi(x0)f2(x0).
Теорема 2.4. Пусть функция f дифференцируема в точке х0,
и пусть f{x0) Ф 0. Тогда функция iff дифференцируема в точке х0
и при этом
(уЬ)=
/Ы2
Доказательство. Функция / непрерывна в точке х0
и потому в некоторой ее окрестности, скажем в М* = Ut(x0) f| M,
отлична от нуля. Поэтому функция 1// определена в М*. Имеем
1 1 /(*>)-/(*)
1{х) f(x0) f(x)f(x0)
Так как функция / дифференцируема в точке хй,
/(*о) — /(*) = —(* — х0)А(х), !|
где А — некоторая функция, непрерывная в точке х0. Следовательно, |
+ (Х— Xq)-
fix) 1(x0) f(x)f(xo)
Функция
А
Гл. V. Дифференцирование
Ш
непрерывна в точке х0 и принимает в ней значение
Г (*о)
f{Xo? '
что и требовалось доказать.
Следствием теорем 2.3 и 2.4 является
Теорема 2.5. (Правило дифференцирования частного.) Если
функции /i и /2 дифференцируемы в точке х0 и если /2(#о) =#= 0> w<>
ц частное fjf2 дифференцируемо в точке х0 и
(АЛ (<г \ — f2fa)fito)—fi(*o)f2(*o)
\fJ{X0)- h(xf
Производную композиции g о / двух функций / и g тоже можно
получить из производных этих функций:
Теорема 2.6. (Цепное правило.) Пусть М U N — допустимые
множества, f — некоторая функция, определенная на М, причем
f(M) a N, и g — функция, определенная на N. Тогда если функция f
дифференцируема в точке х0 £ М, а функция g дифференцируема
в точке f(x0) £ TV, то композиция g о / дифференцируема в точке х0
и при этом
(*оЛЧ*о)=*'0(*о)) •/'(*<>)•
Доказательство. Существуют такие функции Л4 на
множестве М и Д2 на множестве N, непрерывные соответственно в точке
' х0 и в точке г/о = f(x0), что
f(x) = /(ж0) + (х — a?o)Ai(#) при ^1,
g(#) = #Ы + (У — Уо)^(у) при у 6 ЛГ.
Тогда
!?(/(*)) = g(f(*o)) + (/(*)-/(*о))Л2(/(*)) =
= £(/(*<>)) + (* - ж0)Д1(Ж)А2(/(ж)).
Если мы положим А(х) = Д4(;г)Д2(/(ж)), то получим функцию,
определенную на всем множестве М и непрерывную в точке х0, и для
этой функции будут выполняться равенства
(g ° Ж*) = (g ° Ж*о) + (* — х0)А(х),
Мхь) = f(x0)g'{f(xo)),
0ТкУДа и следует наше утверждение.
112 Том I
С помощью предыдущих теорем легко может быть доказана
п
Теорема 2.7. Каждый многочлен Р(х) = 2 avxV степени п
v=0
дифференцируем в 01; его производной служит опять-таки многочлен
Р'{х)= S ™v
-v-l
v=l
{степени п — 1, если гс >- 1; в противном же случае Р' = 0).
Рациональная функция дифференцируема в своей области опреде- ,
ления и имеет своей производной опять-таки рациональную функцию
с той же областью определения.
Производная /' дифференцируемой функции / может иногда снова
оказаться дифференцируемой. Вообще, мы определяем: *
/(0)=/,
"/(n)=(/(n-iy=:^/(„-i)j n>u
Функция /<п> называется п-й производной функции /; она существует
в том и только в том случае, если (п — 1)-я производная f^-V
существует и дифференцируема. Вместо /<п> пишут также
dnf
dxn
Функция / называется п раз (непрерывно) дифференцируемой, если
п-я производная /<п> существует (и непрерывна), и бесконечна диффе-%
ренцируемощ если производная /<п> существует при каждом п >> 0.|
Например, многочлены и рациональные функции бесконечно диффе-Л
ренцируемы в своей области определения. Однако существуют
функции, дифференцируемые точно га, но не (п + 1) раз. Приведем пример
такой функции при п = 2:
f(x) = И3.
Всюду, кроме точки х0 = 0, в силу теоремы 2.7 производная /'(#)
существует:
„. ч f Зх2 при я>0,
Ъх при х < 0.
Для точки х0 = 0 из разложения
N3 = 1#о I3 + (# ~ я0)#яф' J
вытекает, что /'(0) = 0,
Гл. V. Дифференцирование
113
Вторая производная также существует; как и выше, можно
показать, что
f 6# при х>0,
f (х) = я — 6я при ж <; О,
t 0 при #=0.
функция /", однако, уже не дифференцируема: /"(#) = 6|я|.
Мы хотим еще вычислить все производные функции хп. Для этого
соотношениями
fn\ п (п — 1) • ... • (п — (v — 1)) п\
\v/ v! v! (n — v)!'
(й-
1
определим биномиальные коэффициенты (") (где п £ N, v = 0, 1, ..'.).
Легко показать, что
Тогда
СМ.-.М"?1)-
/0) (*) = *",
fi)(x) = nxn~1
f\x) = n(n-l)x1--2,
/(v>(x) = n (n - 1).....(« - (v - 1)) arn-v = v! Г) xn~\
fn)(x) = n\,
/n+1>(x) = 0.
Теоремы 2.1—2.6 разумным образом переносятся и на высшие
производные. Мы здесь сформулируем только следующую теорему:
Теорема 2.8. Если функции f и g на множестве М
дифференцируемы п раз, mouf + guf-g дифференцируемы п раз и
v=0
8-832
п
<»"',=2(v)'",~v,•
114 Том I
Доказательство. Мы докажем утверждение, относящее*
ся к /g, индукцией по п. При п = 1 просто получаем правило
дифференцирования произведения. Если наше утверждение справедливо
для п, то
(fg)(n+i) = №fn)Y =
71
=20[/(n~v)*n==
v=0
n
= 7 II r/(n"v+1)o-(v) J- /n"~v><*(v+1>l =
i-v+1) (v) ,
Uv) , An-v) Jv+in _
\ V/
V—0
=/»+V0)+/Vn+1)+2(v)/(n
v=l
71 -1
20/(n"v)^v+i-
v=0
71
= ^(n+l)?(0) + ^(oyn+i)+ X1 M y(n-v+iyv) _j_
v=l
+2(v"i)/<"""+vv-
v=l
71
= /n+lV0) + /(0Vn+1)+ 2 [(j) + (v 2 J] /-V+1V
=2(rat1)/(n+1"vVv)-
v=0
Но это и есть формула для (п + 1)-й производной.
Теоремы о п-й производной частного и композиции двух функций
сложнее.
Остановимся еще на физическом смысле первой и второй произ-^
водных.
Если материальная точка движется вдоль некоторой прямой,
то соответствующая ей координата х является функцией времени t:
х = s(t). Средняя скорость этой точки за промежуток времени между
Гл. V. Дифференцирование 115
t и tu как известно, выражается формулой
s (tt) — s(t0)
Тогда производная
ds
at
очевидно, описывает мгновенную скорость точки в момент t0.
Соответственно, отношение
ti — t0
равно среднему ускорению, а производная
А
di
b(t0)=v(t0) = — (t0)
— мгновенному ускорению в момент t0.
Подавляющая часть движений, рассматриваемых в физике,
описывается функциями, имеющими по крайней мере две производные.
§ 3. ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ И ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
Насколько велик максимум некоторой функции / на множестве М
зависит как от функции /, так и от множества М. Если N с М,
то
Аналогично,
max /<; max/1).
N М
min/^min/.
JV М
В обоих случаях может иметь место и строгое неравенство. Но теперь
мы познакомимся с понятиями максимума и минимума,
выражаемыми свойствами самой функции /.
Определение 3.1. Пусть / — функция, определенная на
множестве М. Функция / имеет локальный максимум {локальный
минимум) в точке х0 £ Af, если существует такая окрестность U
) Если максимальные значения не принимаются, то такие же неравенства
верны для sup / и sup /.— Прим. перев.
N М
8*
116 Том I
точки х0, что
/ (х0) = max / (соответственно = min /).
Uf]M Uf]M
Локальный максимум или минимум называется локальным
экстремумом. Для локальных экстремумов дифференцируемых
функций имеет место
Теорема 3.1. Пусть / — функция, дифференцируемая
на открытом промежутке J, имеющая локальный экстремум в точ-
'Кб Д/Q • Тогда f(x0) = 0. (См. рис. 15.)
Доказательство. Пусть U а I — окрестность точки #0,
для которой f(x0) = max /. Так как функция / дифференцируема,
и
. /и*fix) существует такая функция А, непре-
* ™ рывная в точке #0, что f{x) = f(x0)+
+ (х — x0)k(x). Если А(^о) > 0, то
мы можем найти такую окрестность
V a U точки #о> что все е1Де Д(^)>0.
Тогда для х £Vj х> х0
_^ f(x) = f{x0) + (х — х0)Ь(х) > f(x0),
X
т. е. точка х0 не является точкой
Р и с. 15. Локальные экстремумы, локального максимума. Если
Мхо) < 0, то существует окрестность
W a U точки ж0, для которой Д(И0 < 0. Если взять x£W, х< х0,
то снова
/(ж) = f(x0) + (х - х0)Д(*) > /(*о).
что невозможно. Следовательно, f(x0) = Д(#0) = 0.
Если #0 — точка локального минимума функции /, функция —/
имеет в этой точке локальный максимум. Тогда по уже доказанному
(-/)'(*о) = 0
и, значит,
f(x0) = 0.
Отсюда легко получается
Теорема 3.2 (Ролля). Пусть / — функция, непрерывная
на замкнутом промежутке I = [a, b] и дифференцируемая на
открытом промежутке I = (а, 6), причем /(а) = f(b) = с. Тогда
существует такая точка | £ I, в которой /'(£) = 0.
Доказательство. Если f(x) = с, то наше утверждение |
тривиально. Поэтому пусть функция / не_ постоянна. Поскольку *
она непрерывна на замкнутом промежутке /, она принимает на нем
максимальное и минимальное значения, и хотя бы одно из них
I
Гл. V. Дифференцирование
117
У|
отлично от с. По крайней мере одно из этих экстремальных значений
функция / принимает в открытом промежутке I (именно, то, которое
отлично от с), скажем в точке g.
Таким образом, g является точкой
локального экстремума, и потому
Теорема 3.2 говорит о том, что
если секущая к графику функции /
горизонтальна, то должна
существовать горизонтальная касательная к
этому графику. В следующей
теореме утверждается более общий факт:
для каждой секущей можно найти
параллельную ей касательную к
графику (см. рис. 16).
Теорема 3.3. (Первая теорема
о среднем значении
дифференциального исчисления *).) Пусть функция f
непрерывна на замкнутом
промежутке I с концами аиЪ и дифференцируема на открытом промежутке I
Тогда существует такая точка £•£ /, что
f(b)-f(a)
а ч4 Ь х
Рис. 16. Геометрический смысл
теоремы о среднем значении.
6 — а
■ = П1).
Доказательство. Так как это разностное отношение при
перестановке а и Ъ не меняется, мы можем считать, что а < Ь.
Функция
F(x) = f(x)
f(b)-f(a)
b — а
(х — а)
удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Поэтому в некоторой точке
I 6 I ее производная обращается в нуль:
о — а
что и требовалось доказать.
Если положить Ъ = а + К то в предположениях теоремы 3.3
существует такое действительное число Э, что 0 < 9 < 1 и
f(a + h)= f(a) + hf(a + Oh)
(I = a + Qh). Эта формула является частным случаем формулы
Тейлора (ср. § 1 гл. VI).
*) Эту теорему обычно называют теоремой Лагранжа, а теорему
3.5—теоремой Коши.— Прим. перев.
118
Том I
Из теоремы о среднем значении немедленно следует
Тео р_е м а 3.4. Если функция f непрерывна на замкнутом
промежутке I = [а, Ь] и дифференцируема на открытом промежут*
ке I = (а, Ь) и если f = О на J, то функция f на промежутке!
постоянна.
Доказательство. Пусть xt и х2 — какие-нибудь точки
замкнутого промежутка I я xt <. х2- По теореме о среднем значении
существует такая точка | £ (%и хг)<> что
/(*2> = f(Xi) + (*2 - ХХ)Г(1).
Так как /'(£) = 0, то должно быть f{xt) = /(#2)-
Наконец, теорему о среднем значении можно еще обобщить:
Теорема 3.5. (Вторая теорема о среднем значении дифферен-*
циального "исчисления.) Пусть функции fug непрерывны на
замкнутом промежутке I и дифференцируемы на открытом
промежутке I. Пусть для каждой точки х £ / производная g'(x) Ф 0.
Тогда g(b) Ф g(a) и существует такая точка | £ /, что
f(b)-f(a) ПЕ)
g(b)-g(a) g(l)
При g(#) == я снова получаем первую теорему о среднем
значении.
Доказательство теоремы 3.5. Тот факт, что g(b) Ф g{a),
следует из первой теоремы о среднем значении. Положим
F(x) = f(x)- f^-f^(g(x)-g(a)).
g(b)-g(a)
Функция F удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Поэтому
существует такая точка \ 6 I, в которой F"(|) = 0. Но
g{b)-g(a)
и, значит,
f(I) _ f(b)-f(a) Чтд
g(l) *(Ь)-*(а)'
В заключение отметим, что обе теоремы о среднем значении при
а > Ъ остаются без изменений.
J
Гл. V. Дифференцирование 119
§ 4. ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ
Пусть М — полуоткрытый промежуток [а, Ь), где точка Ъ может
быть- равна +оо, и / — соответствующий открытый промежуток
(я, Ъ).
Пусть, далее, / и g — две функции, непрерывные на М и
удовлетворяющие следующим условиям:
(1) М = *(*) = 0;
(2) g(x) ф 0 при х 6 J.
Тогда отношение //g на промежутке / определено и непрерывно.
Мы хотим выяснить, при каких предположениях это отношение
может быть непрерывно продолжено на весь промежуток М; иными
словами: существует ли предел
и. ш..
х-+а g(x)
и как его можно было бы при соответствующих условиях вычислить?
Разберем сначала пример, показывающий, какие случаи нам
могут здесь встретиться.
Пусть а = 0, Ъ — +°°? /(#) = х2 и g(x) = х. На промежутке /
■ = х и lim# = 0.
g (ж) . *-м>
Таким образом, в этом случае непрерывное продолжение отношения
fig возможно.
Напротив, отношение glf на весь промежуток М непрерывно
продолжить нельзя, так как это отношение
g(x) 1
f(x) х
н& промежутке {х: 0<#^1} не ограничено.
Если / и g — дифференцируемые функции, то предел отношения
fig во многих случаях можно свести к вычислению более простого
пРедела:
Теорема 4.1. Пусть функции fug непрерывны на М, диффе-
Р€Щируемы на /, и пусть
f(a) = g(a) = 0, g'(x) =£0 при x£l.
огда если существует предел
х^а g (x)
120 Том J
то существует и предел
'(*)
iimiM.=limm
х-»а g (x) х-*а g (x)
Доказательство. В силу первой теоремы о среднем
значении g(x) Ф 0 при х £ /. По второй теореме о среднем значении
для каждой точки х £ / существует такое число 0(.г), 0 < Q(x) <C 1,
что
f(x) ^_ /(*)-/(<*) _ f(q + Q(x)(x-a)) ^
g(x) g{x)—g{a) g(a + Q(x)(x — a))'
Если (xv) — произвольная последовательность в J, сходящаяся
к а, то и последовательность а + Q(xv)(xv — а) сходится к а, и потому
ifaaifeUii* r(a + e(*v)(*v-a))=lim Щ_ ,
v^oo g (xv) V">oo g (a + 0 (#v) (#v — a)) x->a g (x)
что и требовалось доказать.
Если обе производные /' и gf непрерывны в точке а и g'{a) Ф О,
то справедлива более точная
fix)]
Теорема 4.2. Предел lim v, ' существует, и при этом
х-*а S Vе)
lim./(*) _./>)_
*а g{x) g(a)
Доказательство. В самом деле, имеем
limf(5um,
х^а g (x) g (a)
и теперь остается применить теорему 4.1.
Например, при а Ф 0
1. X —— d -. ПХ П п—'Ш
im = lim — =— a .
x-»a xm — am x^a mxm m
Часто бывает важно знать поведение функции при больших
значениях ее аргумента. Поэтому дадим следующее
Определение 4.1. Пусть h — функция, определенная
на полупрямой М = {х: х > Ъ). Предел
lim h (x)
Гл. V. Дифференцирование
121
существует и равен числу с £ 01, если для всякого 8 > О существует
такое число г ;> 6, что для всех х > г
|/(*) — с| < 8.
Если функция /г определена на полупрямой М, то функция
#(£/) = Hb + J/"1) определена для всех положительных у. Пусть
limh(x) = с. Тогда для каждого 8 > 0 существует такое г, что
при х > г выполняется неравенство \h(x) — с\ < 8. Если мы
положим
х = |-Ь,
то при всех #, удовлетворяющих условию
1
0<г/< -,
г — 6
будет выполняться неравенство
1*(У) — с|< е,
и мы видим, что lim g(y) = c.
2/->0
Точно так же легко проверить, что из существования предела
lim g(y) следует, что существует и предел lim h(x) is. что они равны.
у-* 0 х->оэ
Теперь может быть доказана
Теорема 4.3. Пусть функции fug дифференцируемы на
полупрямой М = {х: Ъ < х) и для' всех х £ М производная g'(x) Ф (К
Пусть, кроме того, lim f(x) = lim g(x) = 0. Тогда
*-*«> g (x) ^м g (x)
если предел в правой части равенства существует.
Доказательство. Из теоремы о среднем значении и на этог
раз следует, что функция g на множестве М не обращается в нуль.
Далее,
lii+b) „-Л\+ьУ
lim IM. = lim -±» L. = lim
Я-* 00
g (X) у-»0 , ( 1 Л у-М) ,( 1 \ -2
= hm у ;у е- = hm -4^ г- = lim
"*'(•? + ') "Ч1 + 6)
/(а?)
*-°о g(.r)
122
Том I
Для неограниченно возрастающих функций справедливо
следующее утверждение:
Теорема 4.4. Пусть функции fug полунепрерывны снизу
на полуоткрытом промежутке М — [а, Ъ) и дифференцируемы
на открытом промежутке I = (а, Ь), и пусть
g'(x) ф О при x£I, f(a) = g(a) = +00.
Тогда если существует предел lim , ' , то существует и предел
х-+а g \%)
lim ^— и
iimiw.=umm.
х^а g(x) x-+a g (х)
Доказывать эту теорему мы здесь не будем.
Только что доказанные теоремы называются правилами Лопи-
таля. Разумеется, справедливы и их аналоги для промежутков
вида (а, Ъ] и для аргумента, стремящегося к — оо. Их можно вывести
из сформулированных здесь правил с помощью преобразования
координат.
§ 5. ПЕРЕСТАНОВКА ПРЕДЕЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ
Предельная функция / поточечно сходящейся последовательности
{/v) дифференцируемых функций может уже оказаться не
непрерывной и тем более не дифференцируемой. Если последовательность
</v) сходится к / равномерно, то функция / во всяком случае будет
непрерывна; однако простые примеры показывают, что даже и при
этом условии функция / не обязана быть дифференцируемой. Чтобы
дифференцирование и предельный переход можно было переставить,
нужно наложить еще одно дополнительное требование на
последовательность производных.
Теорема 5.1. Пусть функции /v, v = 1, 2, . . ., на
открытом или замкнутом промежутке I дифференцируемы, а их
производные /v непрерывны. Тогда если последовательности (/v) и (f'v)
равномерно сходятся на промежутке I соответственно к функциям f
и}*, то функция f на I дифференцируема и при этом f = /*.
Иначе говоря:
d ,. , ,. d/v
— lim /v = lim »
dx v-*<» v-*°° dx
т. е. дифференцирование и переход к пределу перестановочны.
Гл. V. Дифференцирование
123
Доказательство теоремы 5.1. Пусть х0 £ /. Определим
яа промежутке / функцию А(х):
А(х) =
Тогда
1
■(/(*)—/(*<>)) ПРИ #¥=*о,
# — Xq
f*(x0) при # = #0.
/(а:) = f(x0) + (х — ж0)Д(*),
и нам остается лишь доказать непрерывность функции А в точке х0.
Последовательность функций
Av(x) = U(x)-U{Xo\ хфх0,
X — Xq
сходится на множестве / — {х0} к функции А(х) и
fv{x) = fv(x0) + (х — x0)Av(x).
С другой стороны, по теореме о среднем значении существуют такие
числа 0V, 0 < 9V < 1, v = 1, 2, . . ., что
/v (#) = U (*о) + (« — «о) /v (*о + 6V (* — *<>))•
Поэтому
Av (*) = /v («6 + 9v {x — я0)).
Пусть теперь задано s > 0. Выберем такой номер v0 и такую
6-окрестность U точки х0, чтобы для каждой точки х £ U П / и
каждого номера v ;> v0
(гл. IV, теорема 6.2; здесь мы пользуемся равномерной сходимостью
последовательности (/v)). Вместе с точкой x£U(\I пересечению
Up\I принадлежит и точка х0 + Qv(x — x0). Для фиксированной
точки х £ U [\1 — {х0} мы можем найти такой номер v4 ^ v0, чтобы
Для всех v >- Vi
|A(*)-AV(*)|<|-.
Имеем
|Д(*) - Д(*0)| < \А(х) - Av(*)| + \Av(x) - Д(*0)|,
124 Том I
где номер v ^> vlt а в остальном произволен. Следовательно,
| А(х) - A(*o)| <| А (х) - Ду(*)| + l/U^o+Qv^-^o)) -/*(«b)ls<
8 , 8
<2-+2- = 6-
Тем самым теорема доказана х).
Вот непосредственное следствие:
Теорема 5.2. Пусть функции /v имеют на открытом или
замкнутом промежутке I непрерывные производные /v, и пусть
оо оо
оба ряда 2 /v u 2 /v равномерно сходятся на 12). Гогда
v=l v=l
оо оо
V=l *v:=l
Мы хотим применить эту теорему к степенным рядам. Пусть
оо
2 «v & — *0)V
v=0
— степенной ряд с радиусом сходимости R > 0 и
оо
v=l
— ряд, получающийся из него почленным дифференцированием,
радиус сходимости которого мы обозначим R*. Конечно, Л* ^ R.
Если \х — х0\ < Л, то существуют такие числа S и {, где S >G
г) Мы воспользовались лишь обычной сходимостью последовательности
(/v). Равномерную сходимость этой последовательности можно из остальных
предположений теоремы исключить.
[Можно освободиться и от предположения о непрерывности производных
/v. Для этого нужно лишь несколько изменить доказательство. Именно,
определим функции А и Av, как и выше, и затем доопределим функции Av в точке яог
положив Av (x0) = /v {x0). Тогда, оценив разность Av (x) — Ар, (х) с помощью
теоремы Лагранжа и пользуясь критерием Коши для равномерной сходимости
последовательности, легко проверить, что последовательность Av равномерно
сходится на /,— очевидно, к функции А. Поскольку функции Av непрерывны
в точке х0, отсюда следует, что в этой точке непрерывна и функция А.
Кроме того, можно показать, что достаточно предполагать, что последовав
тельность (/v) сходится не на всем промежутке /, а только в какой-нибудь одной
его точке. Тогда — при наших условиях — она будет сходиться (и притом
равномерно) на всем этом промежутке.— Прим. перев.]
оо
2) От равномерной сходимости ряда ^ /v также можно отказаться. [Как и о*
v=l
некоторых других условий; см. предыдущее примечание.— Прим. перев.]
2jfv~ 2лГу'
Гл. V. Дифференцирование
125
0 0 < Q < 1> что для всякого номера v выполняются неравенства
\av\\x-x0\v^Sq\
Тогда для подходящим образом выбранного числа S*>0 и всех
номеров v
v|av||*-*6r~1<S*vgv-i.
оо
Ряд 2 ^*vgv~1 сходится по признаку Даламбера, потому что для
почти всех номеров v выполняются неравенства
-_,„_! -g(l+-W<i.
S q v V v /
5V(v + l)
Поэтому сходится и ряд 2 vav(# — •Zo)v~1- Итак, мы доказали,
v=l
что Л* = Д.
Степенной ряд равномерно сходится на каждом замкнутом
промежутке, лежащем в его интервале сходимости. Поэтому из
предыдущей теоремы следует
оо
Теорема 5.3. Сумма / степенного ряда 2 av(x — xo)v
v=0
является дифференцируемой функцией в его интервале сходимости
I = (х0 — R, х0 + R), и при этом
/'(*)= 2vav(* — *o)
v-l
v=l
Второй ряд, получающийся из первого почленным
дифференцированием, имеет тот же радиус сходимости R.
Функция /' снова представима степенным рядом, значит,
дифференцируема. С помощью полной индукции убеждаемся, что
функция / имеет производные любого порядка.
В качестве приложения предыдущих теорем докажем, что при
И < 1 и \и > О
оо
2
V=0
(v + l)(v + 2)...(v + n)*v = - ц!
(l-xf+r
° самом деле,
ZJ 1-х'
v=0
126 Том I
►Следовательно,
dx»Zj dx»l-x (1 - xf+i'
Но эту производную можно вычислить и почленным
дифференцированием геометрической прогрессии:
оо оо
S2-2S«-
v=0 v=0
■2
= >1v(v-^)...(v-|A + l)x,
.V-M-.
V=J1
==S(v+i)(v+2)""(v+ti)a:V'
Замечание. Из того, что R = 1, и из формулы Коши —
Адамара следует:
lim v^(v + 1) (v + 2)... (v + |i) = 1.
Так как все элементы этой последовательности не меньше, чем 1,
то она сходится к 1. Отсюда следует, что и lim yv = 1.
§ 6. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
Пусть / — действительная функция, определенная на некотором
множестве М а 01.
Определение 6.1. Функция / называется инъективной.
(взаимно однозначной), если для каждых двух различных точек
#!, х2 £ М значения функции f(xi) и f(x2) также различны.
Предположим теперь, что функция / инъективна, и рассмотрим
какую-нибудь точку у £ N = f{M). Для этой точки у можно найти
такую точку х 6 М, что у = f(x). Так как функция / инъективна,
то другой точки х' £ М, удовлетворяющей условию /(#') = г/, нет.
Поэтому если каждой точке у £ N мы поставим в соответствие ту
однозначно определенную точку х £ М, для которой у = f(x), то мы
определим на множестве N некоторую функцию.
Определение 6.2. Только что введенная функция назы-*
вается функцией, обратной функции /, и обозначается символом /~1.
Гл. V. Дифференцирование
127
Обратную функцию f"1 можно определить только для инъектив-
ной функции /. Функция /-1 определена на множестве f(M) и
отображает его на множество М. Из определения сразу следует
Теорема 6.1. Обратная функция f"1 инъективна; имеют
место равенства
Рассмотрим в качестве примера функцию f(x) = х2. Она не
инъективна, так как /(—х) = f(x). Но если мы будем рассматривать
функцию / только на множестве М = {х: х ^ 0}, то получим уже
взаимно однозначную функцию (которую мы снова будем обозначать
буквой /). Тогда f(M) = М; следовательно, обратная функция f"1
определена на всем М:
Г1 (if) = +Т/у.
(Обозначение аргумента функции / буквой х, а аргумента функции
/-1 буквой у целесообразно, но, разумеется, не существенно.)
Непрерывные взаимно однозначные функции на промежутках
можно очень легко охарактеризовать х).
Теорема 6.2. Функция /, непрерывная на замкнутом
промежутке I = [а, Ь], инъективна в том и только в том случае, если она
строго монотонна: из Xi <. х2 следует f(x^) </(#2). Образ /(/) есть
замкнутый промежуток J с концами f(a) и f(b). Открытый
промежуток I = (а, Ъ) отображается функцией f на соответствующий
промежутку J открытый промежуток J.
Доказательство, а) Если функция / строго монотонна,
то она, очевидно, инъективна.
Ь) Пусть теперь функция / инъективна. Предположим, что f(a) <C
< /(6), и покажем сначала, что для каждой точки х0 £ /
выполняются неравенства
В самом деле, если х0 £ I и, например, f(x0) <C /(a), то найдется
такая точка с £ Ш, что
f(x0)<c<f(a)<f(b).
По теореме о промежуточном значении на промежутке [а, х0]
найдется такая точка glt что /(^) = с, а на промежутке [х0, Ъ] — точка
h, для которой /(£2) = с. Поскольку с Ф /(#<))> должны выполняться
неравенства St < #о < £г- Таким образом, функция / в
противоречии с нашим предположением не инъективна.
Точно так же мы покажем, что невозможно и неравенство f(x0) >
^/(fr). Ввиду инъективности функции / для каждой точки х0 £ I
*) Мы рассматриваем только промежутки, содержащие более одной точки.
428 ' Том I
имеют место строгие неравенства
/(«)</(*о)</(*>)•
Если теперь хи х2 6 I и х^ < х2, то функция / на промежутке [а, х2]
взаимно однозначна и, как мы уже показали, f(a) <f(x2). Применяя
только что установленный результат еще раз, опять к промежутку
[а, х2], получаем
f(a)^f(xi)<f(x2).
Таким образом, функция / строго монотонно возрастает.
c) В случае, когда f(a) > /(b), уже доказанную часть теоремы
можно применить к функции —/; отсюда следует, что функция /
строго монотонно убывает.
d) Утверждения относительно образов промежутков I и / мы
доказали попутно L).
Теорема 6.3. Функция, обратная функции /, инъективной
и непрерывной на замкнутом промежутке Т, также непрерывна
на промежутке J = /(/).
Доказательство. Пусть yQ £ / и (yv) — некоторая
последовательность в /, сходящаяся к у0. Положим
f~x(Vv) = *v» /'%о) = «о-
Нам нужно показать, что последовательность (xv) сходится к х0. .
Поскольку промежуток / замкнут, на нем найдется хотя бы одна
предельная точка #* нашей последовательности. Пусть теперь (х*) —
некоторая подпоследовательность последовательности (xv),
сходящаяся к х*. Точки у* -= f(x*) образуют тогда подпоследовательность
последовательности (j/v), сходящуюся по этой причине к у0. Но из
непрерывности функции / следует, что
y0=limf(x*v) = f(x*)-
Так как и f(x0) = у0, то из инъективности функции / следует, что
х0 = ж*. Таким образом, последовательность (#v) имеет только
одну предельную точку, именно х0, и ограничена, т. е.
lim xv = х0.
На обратную функцию переносится и дифференцируемость
функции /.
Теорема 6.4. Пусть функция f на замкнутом промежутке 1
инъективна и непрерывна^-пусть она, кроме того, в точке х0 6 I \
х) Нужно только заметить, что для каждой точки у0 £ / по теореме о проме- I
жуточном значении найдется такая точка х0 6 /, что / (х0) = у0.— Прим. перев. I
^ Гл. V. Дифференцирование 129
дифференцируема. Если f'(x0) Ф О, то обратная функция /_1 в точке
У = f(x0) также дифференцируема и
(гуы=-4—.
/ (*о)
Доказательство. Существует такая функция Д,
определенная на 7 и непрерывная в точке х0, что
f(x) = f(x0) + (х — х0)А(х).
По предположению А(х0) — f(xo) Ф О- В силу инъективности
функции / функция Д не обращается в нуль и ни в одной другой точке.
Поэтому
Х-Х°+ А(х) '
а (Г1 (г/)) '
Так как функция Л ... непрерывна в точке у0 и принимает в ней зна-
Д°/
чение 1//'(#0), то этим наша теорема доказана.
Если некоторая функция / имеет на открытом промежутке /
не обращающуюся в нуль производную и непрерывна на
соответствующем замкнутом промежутке Г, то из первой теоремы о среднем
значении следует, что на / она инъективна. Тогда для каждой точки
у 6 /(/) на основании предыдущей теоремы
(Г) (у)--
где х = /"%).
До сих пор мы рассматривали только функции на замкнутых
промежутках. Но для открытых промежутков справедливы точно такие
же теоремы: для доказательства нужно только каждую точку х0
такого промежутка / окружить столь малым замкнутым
промежутком /, чтобы х0 £ / с / с /, и применить к / предыдущие теоремы.
Мы хотим теперь проиллюстрировать теоремы 6.3 и 6.4 на
примере функции f(x) = xs. Эта функция на К инъективна. В самом деле,
если х\ = х\, то
Поэтому либо
9-832
Х± — #2 == U,
(Xi — Х2) (х\ + XtX2 + #2) = 0.
Xi — Х2 = О,
130
Том I
либо
Во втором случае
следовательно,
Поэтому
и, значит,
#1 + х\х2 + #2=0.
Х^ -f* 2iX\X% -f~ X<i = #i#2»
0 ^ х\ ^ #1 + #i#2 + xl=0
%i == х2 === 0»
Таким образом, функция / инъективно отображает множество R
на /(R) = 01. Обратная функция
х = Г1(у) = Гу
непрерывна на всем 01. В точке у Ф О функция /-1 дифференцируема:
Как показывает следующая теорема, функция /_1 в точке нуль,
разумеется, не дифференцируема.
Теорема 6.5. Если функция f взаимно однозначна на
промежутке I и дифференцируема в точке х0 £ 1, и если, кроме того,
обратная функция /_1 дифференцируема в точке у0 = f(x0), то f(x0) Ф О*
Доказательство. Для всех точек х £ / имеет место
равенство (f~lof)(x) = х- Следовательно, по цепному правилу
и потому f(x0) Ф 0.
_а
Глава VI
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА
§ 1. РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕЙЛОРА
Мы хотим в этом параграфе как можно лучше аппроксимировать
функции многочленами. Эту задачу можно более точно поставить
многими способами; мы собираемся руководствоваться здесь
следующими соображениями.
Пусть М —- полуоткрытый промежуток:
М = {х: х0 < х < Ъ < + оо}
или
М = {х: —оо < Ъ < х <; х0),
и / — некоторая функция, непрерывная на М и дифференцируемая
в точке х0. Многочлен первой степени
р(х) = f(x0) + (х — x0)f(x0)
совпадает с функцией / в точке х0 и даже имеет в этой точке ту же
производную, что и /. Какую мы совершим ошибку, если заменим
функцию / многочленом /?? Имеем
f(x) = f(x0) + (х — х0)А(х),
где Д — некоторая функция, непрерывная в точке х0, и А(х0) —
= f(x0). Таким образом, если точка х лежит достаточно близко к
точке х0, разность
/(*)." Р(х) = (* — *о)(Д(я) — /'(*о))
очень мала: оба множителя в правой части стремятся к нулю, когда
х приближается к точке х0.
По аналогии с этим частным случаем мы можем надеяться, что
Функцию /, п раз дифференцируемую в точке х0, можно будет вблизи
этой точки еще лучше, чем только что построенной линейной
функцией, приблизить удачно подобранным многочленом степени п.
Определение 1.1. Функция /, определенная на
допустимом множестве -М, называется п раз дифференцируемой в точке
хо 6 М, если найдется такая окрестность U точки х0, что (п — 1)-я,
производная /<п-1> на пересечении U(]M существует и в точке х0
Дифференцируема.
Пусть теперь М — снова один из определенных выше
полуоткрытых промежутков. Сформулируем следу*ощие задачи:
9*
132 Том I
(1) Пусть функция / определена наМип раз дифференцируема
в точке х0. Отыскать такой многочлен рп степени не выше, чем и,
чтобы
P(n\xo) = fv)(Xo), v = 0, 1, .... п.
(2) Оценить при подходящих дополнительных условиях разность
/(*) — Рп{х)-
Пусть р — произвольный многочлен степени п. Удобно
записывать его в виде
v=0
Тогда
Р**Ы=°^ = <Ь.
Если теперь мы положим
<hi = fv')(xo)> t* = 0, 1, ..., га,
то
f»(x0) = pw(x0),
и, таким образом, наша первая задача решена.
Определение 1.2. п-м многочленом Тейлора с центром я©
функции /, дифференцируемой в точке х0 (по крайней мере) п раз,
называется многочлен
Pn{x)=^£^L(x-Xo)\
V=0
Чтобы исследовать разность g(x) = f(x) — рп(х)-> дополнительно
предположим, что функция / в точке х0 дифференцируема п + 1 раз.
Пусть U —- такая е-окрестность точки х0, что га-я производная g(n)
существует на пересечении U 0 М. Пусть х, начиная с этого
момента, — фиксированная точка, выбранная в этой окрестности. По
построению многочлена рп
g(x0) = g'(x0)=...=gM(x0) = 0.
К функции
(x-x0)n+i
Гл. VI. Элементарные функции и теорема Тейлора 133
мы можем применить вторую теорему о среднем значении: существует
такое число 0Ь 0 < 0i < 1, что для точки St = хо + ®i(x — хо)
имеет место равенство
g(z) _ g(x) — g(xo) _ g{li)
(х - x0)n+i (х - x0)n+i - (хо - x0)n+i (п + 1) (gt - х0)п '
Снова по второй теореме о среднем значении получаем:
g(x) _ g'di) _
(x-x0)n+i (n+ 1) (!,_*„)»
g{U
{п + \)п&2-х0)п-1
gM(ln)
(ra + l)!(gre-*0)'
где ln = x0 + вп(х — x0), причем 0 < 0n < 1.
Предположим сначала, что функция /, а с нею и разность g, n + 1
раз дифференцируемы во всем пересечении Uf\M. Тогда вторую
теорему о среднем значении можно применить еще раз:
g{x) _ g(n)(U _g(n+1)(l) *
(x-x0)n+i (n + l)!(gn_*e) (n+1)! '
1 = х0 + в(х-х0), 0<9<1.
Если (и + 1)-я производная /("+1) существует только в точке х0, то
найдется такая функция Д, непрерывная в точке х0, что
A(x0) = g'n+i)(x0)
и gw(x) = g(n)(x0) + (x-x0)A(x).
Так как g(") (#0) = 0, то мы получаем
*(*) _ g(n)qn) _ МЫ
(x-x0)n+i (л+1)!(5в-а^ (л+ 1)1'
Чтобы объединить две эти формы записи, введем еще функцию Д,
определенную в некоторой окрестности точки 0 условием
A(h)=A(x0 + Qnh).
134
Том I
Функция Д в точке h = О непрерывна: в самом деле, если
последовательность (hv) сходится к нулю, то к нулю сходится и
последовательность (Qnhv), поэтому последовательность А(х0 + Qnhv) сходится
к значению А(х0) = Д(0). Кроме того, Д(0) = g(n+1)(#o)-
Отметив еще в заключение, что g=f —- рп и gtn+i')(x)=fl'n+i>(x),
мы получаем в качестве решения второй нашей задачи формулу
Тейлора:
Л
Теорема1.1. Пусть / — функция, дифференцируемая п-\-1раз>
в точке х0 и
V=0
— ее п-й многочлен Тейлора с центром х0. Тогда существует такая
функция Д(й), определенная при всех /г, для которых х0 + h £ Af,
и непрерывная в точке нуль, что
(«) Д(0) = /(п+1)(*о),
ф) f(x)=pn(x) + A(x-x0){x-fnJ\
(п +1)!
Если, кроме того, производная /<п+1) существует для всех х £ М,
удовлетворяющих условию \х — х0\ < 8, то для этих х
(V) А (х - х0) = fn+i) (х0 + 6 (* - х0)),
где 0<Э < 1.
Функцию Д(й), разумеется, всегда можно определить
соотношениями (а) и (Р). Существенное утверждение этой теоремы Тейлора
состоит в том, что функция A(h) непрерывна в точке нуль, или что
ее можно записать в виде (у).
Функцию
Rn(x) = A(x-x0){X-*o)"+i
(п +1)!
называют п-м остаточным членом формулы Тейлора. Его
специальный вид
Rn (Х) = /<-"> (х0 + в(х- x0)) (*~f°>7
(п + 1)!
называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.
Число 0 в остаточном члене в форме Лагранжа, конечно, зависит от х.
Как и {п + 1)-я производная fn+x\ число 0, вообще говоря, является
Гл. VI. Элементарные функции ц теорема Тейлора 135
разрывной функцией от х г). Однако, как следует из нашей теоремы,
функция /(п+1)(#о + 9(# — хо)) непрерывна в точке х0.
В формулу Тейлора часто вводят в качестве новой переменной
приращение h = х — х0. В этом случае она выглядит так:
п
/(*0+A)=2i-^/iv+A(/i>-hn+1
v=0
Л (п + 1)!
где функция Д обладает перечисленными в теореме свойствами.
Мы можем теперь оценить погрешность, возникающую при
замене функции f(x) многочленом рп(х). Если, например, при х £ М
и \х — х0\ < s выполняется неравенство |/(n+1)(#)J < К, то
I ~ ~ 171 + 1 Л^ + 1
l/W-M*)feg' °' <*:
(л+1)! (л + 1)!
Остается еще выяснить, нельзя ли найти какой-нибудь другой
многочлен не выше п-ж степени, локально аппроксимирующий
функцию / с той же степенью точности, что и рп. Как утверждает
следующая теорема единственности, другого такого многочлена не
существует.
Теорема 1.2. Пусть функция f дифференцируема п раз
в точке х0; пусть N — подмножество множества М, имеющее х0
своей предельной точкой, и
п
q(x) = у^-У-^ — Хр)
— некоторый многочлен. Тогда если] существует такая функция
Щх) на множестве N, непрерывная в точке х0, что
Щх0) = О,
f(x) = q(x) + (x — xQ)nR(x) при x£N,
то bv = f(v)(x0) и, значит, q = рп.
Доказательство. Предположим сначала, что
/(v)0ro) = O, v = 0, 1, ..., п.
) Число 6 не определено однозначно и потому, без дополнительных ограни-
ений, оно вообще не является функцией от х. Это, конечно, не мешает тому,
то /<п+1) (Жо _|_ Q ^х __ х^ есть фуНКцИЯ от x<t непрерывная в точке х0.— Прим.
136 Том I
Пусть, кроме того, п > 1: при п = О теорема тривиальна. Тогда
в силу теоремы 1.1
f(x) = ^^A(x-x0),
Д(0) = /п)(*0) = 0.
Следовательно, при х £ N
п
п\ L-A v!
V=0
Поэтому на множестве N
п
2
\(x-xQy=F(x)(x-x0)n,
VI
V=0
где функция
F(x) = A{x~~Xo)-R(x)
и!
непрерывна в точке х0 и обращается в этой точке в нуль. Отсюда легко
получить, что все bv = 0. В самом деле, если \х > 0 и
b0=bi= ... = fyx-i = 0
(при \х = 0 эти условия отпадают), то
п
\{x-xQf + У, ^L(x-xoy = (x-xQ)nF(x),
u! Z~J v!
n
u! Z-J v!
v=n+l
где x g TV — {я0}.
Ввиду непрерывности эти соотношения выполняются и в точке х0;
поэтому Ъ^ = 0. Таким образом, все bv равны нулю.
Пусть теперь / — произвольная функция, удовлетворяющая
условиям теоремы. Тогда
*(*) = /(*) — Рп(*) =
п
= У, (^~С)(Хо)) (x-xoy + (x-x0)nR(x).
П
V!
v=0
Гл. VI. Элементарные функции и теорема Тейлора 137
По уже рассмотренному частному случаю
bv-/(v)(*o) = 0.
Теорема 1.2 доказана.
Если какая-либо функция бесконечно дифференцируема, то ее
многочлен Тейлора рп можно построить для каждого п > 0.
Определение 1.3. Пусть / — функция, бесконечно
дифференцируемая в точке х0 открытого промежутка /. Рядом Тейлора
функции / с центром х0 называют степенной ряд
^(*)=2^F"(*~x°)V-
v=0
Частичными суммами ряда р служат, таким образом, многочлены
Тейлора функции /. Примеры показывают, что ряд р может не
сходиться (при х Ф х0) и что из его сходимости в точке х не следует
равенство f(x)=p(x) *). Поэтому для класса функций, каждая из
которых является суммой своего ряда Тейлора, мы введем специальное
название.
Определение 1.4. Функция / (определенная на некотором
открытом множестве М) разложима в точке х0 в степенной рядг
если существует степенной ряд
оо
р(*)= 2'М* — *o)v»
V=0
сходящийся в некоторой окрестности точки х0 к функции /. Если:
функцию / можно разложить в степенной ряд в каждой точке х £ Mf
то она называется аналитической на множестве М.
Из теорем § 5 гл. V непосредственно следует
Теорема 1.3. Если в некоторой окрестности U точки х&
оо
V=0
то функция f в окрестности U бесконечно дифференцируема
оо
и 2 av(x — x0)v есть ряд Тейлора функции / с центром х0. Каждая,
v=0
г) Например, функция
/(ж) = |«р(-^) при хфО,
[ 0 при х = 0
бесконечно дифференцируема на всем R,, но ее ряд Тейлора с центром х0 = О
при х ф 0 имеет сумму 0, а не f(x) (определение функции ехря см. в § 4 этой
главы).— Прим. пер ев.
138 Том I
аналитическая функция бесконечно дифференцируема; все ее
производные также являются аналитическими функциями.
В процессе доказательства теоремы 1.1 мы установили, что
многочлены являются аналитическими функциями. С другими примерами
мы познакомимся позже.
Теорема 1.4. Пусть функция f бесконечно дифференцируема
на допустимом множестве М, и пусть х0 — точка множества М.
Пусть существуют такие два положительные числа К и 8, что для
ясех v > 0 и х £ #б(#о) П М
v!
Тогда ряд Тейлора функции f с центром х0 сходится на пересечении
М П Ub(x0) к функции /.
Доказательство. Пусть х £ U^(x0) f| M и г>> 0. Выберем
номер п0 столь большим, чтобы
1*-*оГ г
8П° К "
Тогда при п > п0
fW-^l^-ix-Xo)
v!
V=0
\x-x0\n+1
(n + 1)!
x-x0\n+i K-(n + l)\
(n +1)! ' 6n+1 " К
°-L-\fn+1)(x0 + Q(x-x0))\^
^-» • . jv. 071 + 1 *■-
Утверждение теоремы, конечно, останется в силе, если
предположить, что оценка для |/(v)(#)| выполняется только для почти всех
номеров v. Если |/(v)(#)| < К для всех v>0 и ж£ U6(x0){]M, то, ,
поскольку
lim(v!)~16v=0,
для достаточно больших v будет выполняться неравенство
v! v!
и, таким образом, теорема применима при любом^б > 0.
Мы можем теперь показать, что степенные ряды сходятся к
аналитическим функциям. Это вовсе не тривиально: если, например,
Гл. VI. Элементарные функции и теорема Тейлора
139
fix) = 2 #v#VnPH \x\ <R, то функция/по определению разложима
J v=o
а степенной ряд в точке нуль, но не известно, можно ли ее разложить
в какой-нибудь степенной ряд и в точках х0 Ф 0.
оо
Теорема 1.5. Пусть f(x) = 2 а\(х — xo)v — степенной ряд
с радиусом сходимости R > 0. Тогда функция / в интервале
сходимости I является аналитической функцией.
Доказательство. Мы можем считать, что х0 = 0. Для
точки xt £ I существует такое число i?', что \xt\ <C R' < R. По
теореме 8.3 гл. IV найдется такое положительное число S, что для всех
v > 0 и любой точки х, удовлетворяющей условию \х\ <; R',
выполняются неравенства
|Ov||*|v<Sffv,
где 9— в' <i-
R
Тогда при х Ф 0
\av+ll\\xr=\xr\a^\\xr+^\x\-liSqv^=(Rr,lSq\
Но ц-я производная функции / равна
/»>(*)= 2(v + l)(v + 2) ••• (v + n)«v+ty.
V=0
Если |#| < Д\ то (в том числе и при .г = 0)
оо
\f»\*)\<2}(v + l) ••• (v + l*)|av-H*ll*lv<
v=0
оо
^(!f2(v+i)---(v+^v=
•(RT
v=0
l*«
(дУ(1-?)ц+1"
(При этом мы воспользовались одной формулой из § 5 гл. V).
Следовательно,
1-,
140 Том I
1
Если теперь мы выберем б = -^ (R' — \xt\) и х £ Ub(xi), то
в = 1(Д'-|х1|)<Д'-|«| = Л#(1-9).
Далее, существует такое # >- 0, что для всех х £ U ь{х\)
5
1-?
Таким образом,
<К.
< —<*,
1-?
и потому ряд Тейлора функции / с центром xt сходится в U&fa).
Из теоремы единственности многочленов Тейлора следует теорема
единственности для степенных рядов.
Теорема 1.6. Пусть
оо оо
f(x)= ^]av(x — xoy и g(x)= 2 К(х — x0)v
v=0 v=0
— два степенных ряда, сходящихся в некоторой г-окрестности точки
Xq. Тогда если f = g на каком-либо множестве N cz Ut(x0), имеющем
х0 своей предельной точкой, то av = fcv для всех v>-0.
Доказательство. Поскольку функции / и g непрерывны,
мы можем считать, что xQ £N. Для каждого номера п>0 и каждой
точки х 6 N имеем
0 = /(*)-*(*)= 2(av-bv)(*-*o)v =
V—0
= 2 (av - bv) (х - х0У + (х- х0)п R (х),
V=o
где функция R{x) = S (av — bv)(x — x0)v-n непрерывна в точке х%
v=n+l ,
и обращается в этой точке в нуль'. Поэтому в силу теоремы \.& |
av — bv = 0 при v = 0, 1, . . ., п. Эти равенства выполняются при
любом выборе номера п, откуда и следует наше утверждение.
Гл. VI* Элементарные функции и теорема Тейлора 141
§ 2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
В этом параграфе мы собираемся аппроксимировать функцию /
многочленом р так, чтобы / и р совпадали в конечном числе данных
точек до некоторого данного порядка.
Определение 2.1. Функция / имеет в точке х0 нуль не менее
r-го порядка, если она дифференцируема в точке х0 по крайней мере
г — 1 раз и если выполняются равенства
f([x)(x0) = 0 при 0<ц<г-1.
Две функции / и g совпадают в точке х0 не менее чем до r-го порядка,
если разность / — g имеет в этой точке нуль не менее r-го порядка.
В основе наших дальнейших рассуждений лежит
Теорема 2.1. Пусть функция / определена на промежутке I
и в к попарно различных точках хх £ I имеет нули не менее rv-eo
порядка (npuv = 1, 2, . . ., к). Пусть г = (2 rv) — 1 *)• Если г-я
производная /<г> существует на всем промежутке I, то найдется такая
точка £ 6 J, что /(г)(£) = 0.
Доказательство. При г = 0 теорема тривиальна;
допустим, что она верна для г — 1 > 0. Мы можем считать, что
#1 < #2 < • • • < Sft-i < %k-
По теореме Ролля при v = 1, . . •., к — 1 найдутся такие точки £v,
что
*1 < £l < Я2<. • • <3fc-i < Sft-i < Я*
И
/'(У = о.
В точках #v производная /' имеет нули не менее (rv — 1)-го порядка.
Поэтому для суммы г' + 1 всех порядков нулей производной /'
в промежутке / имеет место неравенство
r> 2(rv-l) + (*-l)-l = r-l.
V=l
Следовательно, по предположению индукции найдется такая точка
£ 6 -Л что
/'°-«(g)=/fr>(D = o.
Теорема 2.2. Пусть функции fug имеют в попарно
различных точках xt, . . ., хп промежутка I нули не менее r^-го порядка
*) Обозначения выбраны так, чтобы в дальнейшем обеспечить согласование
л
с формулой Тейлора. По этой причине мы не положили г — 2 rv-
v=l
142 Том I
(v = 1, . . ., к). Пусть
к
г=(2М
v=l
Тогда если (г+1)-е производные /(Г~И) и g*r+i) существуют el и g<r+t>
не обращается на I в нуль, то для каждой точки х £ /, где х Ф xv>
найдется такая точка £, что
/(*) fr+i)£)
g(x)~g(r+1)tt)'
Доказательство. Пусть xQ $ {хи . . ., Xk}> Тогда
g(x0) Ф О, так как в противном случае по теореме 2.1 производная
g(H-i) имела бы на промежутке / нуль. Функция
имеет нуль в точке х0 и, кроме того, нули не менее rv-ro порядка
во всех точках xv, v = 1, . . ., к. Поэтому, по теореме 2.1, (г + 1)-я
производная ДОН-1) имеет в промежутке / нуль £;
gi*o) gir+i)tt) '
Рассмотрим теперь следующие задачи:
(1) Пусть функция / на промежутке I определена и п раз
дифференцируема. Пусть заданы точки хи . . ., хк 6 / и натуральные
числа г4, . . ., гь, причем max rv<^ -f- 1. Требуется построить
v=l ft
многочлен р, удовлетворяющий следующим условиям;
и
(а) степень у(р) не выше г = (2 rv) — U
v=l
(р) при 1 ^ v < к и 0<(x<rv — 1
p^(x,) = f^(xv).
(2) Оценить разность f — р.
Как мы вскоре увидим, многочлен р однозначно определяется
условиями (а) и (Р). Он называется интерполяционным многочленом
Эрмита функции /. Говорят, что многочлен р интерполирует
(соответственно экстраполирует) узловые значения (#v, yV[l), где i/vlA ^
Гл. VI. Элементарные функции и теорема Тейлора
14а
= fw(xv)*). В случае к = 1 мы уже решили обе наши задачи
теоремой Тейлора. Другой важный крайний случай характеризуется
условиями rv = 1, v = 1, . . ., к, и носит имя Ньютона.
Лемма 1. Пусть многочлен р степени у(р) ^ d имеет в
попарно различных точках хи . . ., xk нули не менее rv-ao порядка (v =
= 1, . . ., к). Тогда если
V=l
то р(х) = 0.
Доказательство. Мы проведем полную индукцию по cL
Если y(p)^Cd = 0, то многочлен р является постоянным и по
предположению имеет хотя бы один нуль. Поэтому он тождественно равен
нулю. Пусть теперь теорема верна для всех многочленов р степени
у(р) ^ d — 1, где d —- 1 > 0. Тогда если у(р) ^ d, то в
предположениях леммы d-я производная pW имеет по крайней мере один нуль.
Но p(d) есть постоянная, поэтому p(d> = 0; значит, у(р) ^ d — 1 и па
предположению индукции р(#) = 0 2).
Лемма 2. Пусть yVii(v = 1, . . ., к; \х = 0, . . ., rv — 1) —
произвольные действительные числа и х1ч . . ., Xk — различные
точки. Тогда существует такой многочлен р степени
т(р)<г=(2г,)-1,
v=l
что p№)(xv) = yvli при 1 ^ v <! /с и 0 <! ji ^ rv — 1.
Доказательство. Пусть pv — многочлен не выше г-ж
степени, удовлетворяющий условиям р^ (xv) = yV[l и р^ (хр) = 0 при:
Р ф v. Если мы положим
k
Р= JjPv*
V=l
то многочлен р будет удовлетворять условиям леммы. Поэтому нам
нужно только построить многочлен pv. Пусть
k
q(x)= [J {х — х9)гр.
p=i
) Если х 6 [nrin xv, max #v], то говорят, что] значение р(х) получено
п v=i, . . .,fe v=l,. . .,k
утем интерполяции узловых значений; если же точка х лежит вне этого про-
ежутка, то речь идет об экстраполяции. Многочлен Эрмита р дает
продолжение функции / на все R,.
2) Эта лемма доказывается в алгебре с помощью алгоритма Евклида.
144 Том I
Обозначим через р многочлен вида
Р (х) = (а0 + fli (х — xv) + ... + Orv-i (х — xv) )q (х).
Очевидно, р имеет в точках хр при р Ф v нули не менее гр-го порядка.
Поскольку q(xv) Ф О, мы можем выбрать число а0 так, чтобы
ЯоФч) = #vo.
Если уже построены такие числа а0, . . ., ах^, что при 0 ^ ц ^
^ т — 1
т-1
[q (х) 2 а>к (х — xv)x ]<*=* ) = 2/vn,
то число ах мы можем найти из уравнения
2/vt _
Я=0
т-1
vM(t)
: =[? (*) 2 % (« - ^v)"](?=,v) =
я=о
т-1
= x!g (sv) ах + [q (x) 2 ая (s — хх)1){^х >,
\=о v
в котором коэффициент при ах отличен от нуля *).
Теперь мы положим pv = р, где коэффициенты многочлена р
вычислены только что описанным методом. Тем самым многочлен
с требуемыми свойствами построен.
Из дйух наших лемм вытекает
Теорема 2.3. Для каждой функции /, п раз дифференцируемой
на промежутке I, при п + 1 ^> max rv существует однозначно
v=l h
определенный интерполяционный многочлен Эрмита р с узловыми
значениями
(xv1 /(ц)(^)) (при v= 1, ..., k; [i = О, ..., rv — 1).
Доказательство. Существование многочлена р следует
из леммы 2. Если р — какой-нибудь другой многочлен не выше
к
г-ж степени (где г = (2 rv) — 1), интерполирующий значения
(av, /W(*v)), то
В силу леммы 1 тогда р — р == 0, что и требовалось доказать.
*) Здесь и далее в сложных выражениях мы будем часто вместо F^' (#v)
писать (*)<£> ).
Гл. VI. Элементарные функции и теорема Тейлора 145
Теорема 2.3 дает теоретическое решение нашей первой задачи,
jjo для коэффициентов многочлена р можно вывести явные формулы,
а также указать рациональные методы вычисления этих
коэффициентов по узловым значениям. Для решения этой (весьма трудной!)
задачи нужно сначала произвести оценку погрешности (задача (2)).
Пусть р — определяемый теоремой 2.3 интерполяционный
многочлен и g — многочлен
A г*
g&)= U (* — *v) •
Если функция / дифференцируема (г + 1) раз, то к разности f — р
и функции g можно применить теорему 2.2. Таким образом, для
каждой точки х0 Ф xv промежутка / найдется такая точка £ £ /,
что
(frp)(xj> _ fr+i\i) _ /(r+1)(i)
g{x0) g<r+1)(i) (r + 1)! '
Для узла xv выполняется равенство f(xv) = p(xv). Итак, нами
доказана
Теорема 2.4. Если р — интерполяционный многочлен Эрми-
та для функции f с узловыми значениями (xv, f^(xv)) (при v = 1, ...
..., к и jut = 0, ..., rv — 1) и если функция f дифференцируема
г + 1 раз, то для каждой точки х £ I найдется такая точка]% £ J, что
Лг+1) /t\ h rv
(r+1)! ii
k
При этом г + 1 = 2 rv *
v=l
Нашей ближайшей целью является вывод формулы для
интерполяционного многочлена Ньютона. Для этого мы положим
Xi — Д?2
f{xu ..., Zk-d—ffa, ..., xk)
f{xu ..., xk) =
Zi — xk
где / — функция, определенная на промежутке /, и хи . . ., Xk
7~ попарно различные точки этого промежутка. Величины
* \хи- . ., xk) называются разделенными разностями функции /.
146 Том I
Лемма 3. Имеет место формула
и
/(*ь .... зО^^иГ^ .
v=l П (*v—*n)
В частности, разделенные разности функции / не зависят от
порядка расположения точек xv. Доказательство леммы 3 проводится
полной индукцией по А: и почти тривиально. Поэтому мы его здесь
опускаем.
Теорема 2.5. Пусть f — функция, определенная на
промежутке I, и хи . . ., Хи — попарно различные точки этого промежутка.
Тогда интерполяционный многочлен Ньютона с узловыми значениями
(xv, f(xv)) может быть записан в виде
k v-l
Р(х) = 2 /(*!»■••■» *v) П (* — *м)-
Доказательство. Пусть х Ф xi9 Тогда
f(x) = f(xt) + (х — xt) f(x, xt).
Если х Ф xu x2, то имеем, далее,
f(x) =.f(xx) + (x — Xi)f(xu x2) + {x — Xi)(x — x2)f(x, xu x2).
Вообще, при х Ф хи . . ., x^ для каждого |л получаем
М. V—i М-
l(x) = ^\f(XD ••'» ^v) П (* — Xp) + f(X> XU ••, хц) П (Ж — Яр),
v=l р=1 р=1
что можно показать с помощью полной индукции. Положим теперь
в этом равенстве .г = x^+i. Тогда
[X V—i
/ (Яц+l) = 2 f (^ • • •' ^v) 11 (#м-+1 ~~ Жр) +
v=l Р=1
М-
-\-f(x[i+ii хи • • •» #м) 11 (^ii+i—жр)#
р=1
С другой стороны,
М- V—1
Р («ii+i) = 2 / (*!» "4«v)Q («|i+i — *р) +
v=l р=1
М-
p=l
Гл. VI. Элементарные функции и теорема Тейлора 147
По лемме 3, f(xu . . ., х^ x^+i) = /(Жц+i, хи . . ., х^);
следовательно,
f(xv) = p(xv), v = 1, . . ., k.
Поэтому многочлен р интерполирует значения (xv, f(xv)), что и
требовалось доказать.
В процессе доказательства мы установили формулу
k
f(x)=p(x) + f(x, xu .... %h) П (* —«м)
(для х Ф х^, [г = 1, . . ., к). По теореме 2.4 в предположении, что
существует /<*>, имеет место также формула
f(z) = p(x) + £!^-Yl (x-xj.
Таким образом, нами доказана
Лемма 4. Если функция f дифференцируема к раз на
промежутке /, то для любых к + 1 различных точек хи . . ., #д+1 £ /
существует такая точка
£б{#: min #v^#^ max #v},
v=l £+1 v=l, . .., fe+1
что
k\
(Тот факт, что точку g можно выбрать в данном промежутке,
тривиален.)
Когда мы будем в дальнейшем применять лемму 4, нам
понадобится одно утверждение о последовательностях рациональных
Функций.
Определение 2.2. Последовательность многочленов вида
71
сходится к многочлену
71
ъ°коэффициентно, если для каждого v имеет место равенство
[^ fl;iv = av. (При этом степень п не должна зависеть от Я;
коэффициенты апХ и ап могут быть и равны нулю.) Последовательность
10*
148
Том I
рациональных функций г^ покоэффициентно сходится к
рациональной функции г, если функцию г и все функции Гх можно так
представить в виде отношения двух многочленов г = p/q, соответственно
гЛ = pjqi, что последовательности многочленов (рх) и (qx) буду?
покоэффициентно сходиться соответственно к р и q.
Лемма 5. Если последовательность (гх) покоэффициентно
сходится к г, то при каждом 5^-0 последовательность производных
ГхУ покоэффициентно сходится к r(S).
Это тривиально. Из этой леммы и из правил действий с пределами
следует
Лемма 6. Пусть (гх) = (рь/qi) — последовательность
рациональных функций, покоэффициентно сходящаяся к функции г = р/д,
и (£0 — последовательность точек, сходящаяся к точке |. Если
g(g) ф 0, то для каждого s>-0 последовательность (гх} (£0) сходится,
к гЩ1).
Рассмотрим теперь снова ситуацию, описанную в задаче (1), и,
сохранив те же обозначения, дополнительно предположим, что
функция f является многочленом. Выберем длят = 1, ..., &и|л = 1, ...
. . ., rv последовательности точек (xV[lx)i обладающие следующими
свойствами:
%V\ik^.-L'i V=l, . . ., К\ Ji=l, • . ., Tv5 А= 1, Z, .. . 5
J.1HL Xv^x ==: *^v> ^ == *» •' м •*> И* ^= » • • •» ^*v>
^^^ при (v» и)#Я i*).
Zv\ib¥=xK для всех (v, ^, Я) и x=l9 ...9 A.
Тогда разделенные разности
определены для всех X.
Лемма 7. Имеет место формула
Г 'V1 /
И I №
х-**, ZJ (rv — 1)!
v=l
li=l, ..., h
(p=V
Доказательство. В силу леммы 3
h
v=i
Гл. VI. Элементарные функции и теорема Тейлора 149
где
^-2—->«.
П (*v|iA, — SpaA.)
I*"1 p=l h
о=1 гр
(р, a)¥=(v, ц)
Если мы положим (при фиксированном v)
f(x)
&СФ
то будем иметь
Пусть еще
[] (х — храк)
р=1, ..., h
(7=1, . . ., Гр
p^v
«»- /w
П (*-*p)rp*
p-1,..., k
p¥=v
Последовательность (g^) покоэффициентно сходится к g. По лемме 4
для каждого Я существует такая точка
5л€£к min л:Ум.я<^< шах #vma},
»х=1, ..., rv ii=l, ..., rv
ЧТО
(г -1)
(rv — 1)!
Очевидно, lim %k = xv. Так как по лемме 6 отсюда следует, что
Л-*оо
(rv-l) (rv-l)
limg)l (S0_g (*v)
x— (rv - 1)! (rv - 1)! '
TO
(rv-D
lim,4v * ^,
я^оо (rv _ 1)!
что и требовалось доказать.
150 Том I
Лемма 7 наталкивает на следующее обобщение понятия
разделенной разности. Предположим, что имеет место в точности ситуация,
описанная в задаче (1). Положим
/(#!, ..., xh; ru ..., rk) =
h ч г dV1
=2
>v-l)!
V=l
/to
ci/v-i \\ (x-zJr»
^n=i ft
(x=x,
v>
и назовем это число разделенной разностью порядка (гь . . ., rk)
функции /. На основании леммы 3
f(xt, . . ., xk) = f(Xi, . . ., xk; 1, . . ., 1).
Кроме того, по определению
/Го-1)(*о)
f(x0; г0) =
(го-1)1
Теперь в качестве главного результата этого параграфа будет
доказана
Теорема 2.6. (Интерполяционная формула Ньютона — Эрми-
та.) Пусть f — функция, п раз дифференцируемая на промежутке I,
и хи . . ., Xk — попарно различные точки этого промежутка.
Пусть, далее, гь . . ., rk — натуральные числа, причем max rv ^
v=l ft
^ п + 1. Тогда многочлен
k rv v—1
Р(Х)= 2 2 /(*!' •'•' Xv> ri» •••' rv-l» V) П (X— Xpf9 (X — Xj11'1
v=l |1=1 P=l
совпадает с функцией f в точках xv не менее, чем до r^-го порядка,
ft
и его степень не превосходит числа г = (2 rv) —" 1- Этими двумя
v=l
свойствами многочлен р определяется однозначно. Если, кроме того,
п^г, то для каждой точки х £ / существует такая точка £ £ /, что
(г+1)! v=1
Доказательство. Нам нужно еще только показать, что
многочлен
р (*) = s 2 а^ В' (* - *Р)гр (* - *vr'
v=l м-=1 Р=1
Га» VI, Элементарные функции и теорема Тейлора 151
(где аХ[Х = /(#i, . . ., xv\ гь . . ,f rv_4, \i)) есть просто-напросто
интерполяционный многочлен Эрмита р, определенный теоремой 2.3.
Выберем для этой цели последовательность точек (#УцО> которой мы
лользовались в доказательстве леммы 7, и рассмотрим
интерполяционные многочлены Ньютона рк функции р с узловыми значениями
•у (хна, Р (#ыя)), • •., (Xkrkb, P (Xkrk\))
для Я = 1, 2, г . . в том виде, в каком их дает теорема 2.5. Тогда,
с одной стороны, рх — р> так как многочлен р интерполирует те же
значения, и значит, lim рх = Р- С другой стороны, на основании лем-
Я-voo А
мы 7 коэффициенты av[iX = P(*iu, . . ., xiT я, . . ., *vn» • • •> *vnO
многочленов
k rv v—1 Гр ц_!
РЯ («) = 2 2 avMA П П (^ — ^Рая) П {X — ZVT0
v=l ц=1 Р=1 о=1 т=1
сходятся к р(хи ..., xv; гь ..., rVM, ^) =/(0:4,..., xv; rlf..., rv_b ^) =.
= aVM>, и, по построению, точка жраЯ сходятся к хр.
Таким образом,
lim pl = p,
Я-+оо
и потому р = р, что и требовалось доказать.
При к = 1 формула из теоремы'2.6 совпадает с формулой
Тейлора (с остаточным членом в форме Лагранжа),
Наше определение разделенных разностей f(xu . . ., xk; ru ..., rk)
соответствует формуле из леммы 3, получающейся при
rv = 1, и не особенно полезно для вычислений. Можно, однако, путем
предельного перехода, как в лемме 7, получить из рекуррентных
формул для разделенных разностей f(xu . . ., xk) соответствующие
рекуррентные формулы для обобщенных разделенных разностей
{при этом нужно предполагать, что непрерывна тг-я производная /<п>).
Эти формулы позволяют производить эрмитову интерполяцию и
численно.
Результаты этого параграфа мы применим в разделе, посвященном
численному интегрированию.
§ 3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Перед доказательством теоремы Ролля мы определили локальные
экстремумы функции и установили необходимое условие их
появления (теорема 3.1 гл. V): первая производная должна в такой точке х0
обращаться в нуль. Как показывает пример функции f(x) = хг (х0 = 0),
это условие не является достаточным. Формула Тейлора позволяет
152 Том I
теперь высказать более точные утверждения об экстремальных
значениях. •
В этом параграфе / всегда обозначает некоторую функцию,
определенную на открытом промежутке I, а х0 — точку этого промежутка.
Теорема 3.1. Пусть функция / дифференцируема в некоторой
окрестности U6(x0). Пусть U' — (х0, х0 + 6) и U" = (х0 — б, х0).
Если f(x) ^ 0 в U' и f(x) ;> О в U", то в точке х0 функция f имеет
локальный максимум. Если же f(x) >0 б V и f(x) ^ 0 в U", то
в точке х0 функция f имеет локальный минимум.
Доказательство. Пусть \h\ < 6. По первой теореме
о среднем значении
f(x0 + h) =f(x0) + h.f(x0 + Qh).
Остаточный член
h-f'(x0 + Qh)
в первом случае не положителен, а во втором — не отрицателен, т. е.
f(x0 -\- h) ^ f(x0) (соответственно ^>/(#0))> что и требовалось доказать.
Если функция / дифференцируема в некоторой точке достаточное
число раз и не все ее производные обращаются в этой точке в нуль,
то появление экстремального значения можно обнаружить,
вычисляя дальнейшие ее производные. Именно, справедлива
Теорема 3.2. Пусть / — функция, п раз дифференцируемая
в точке х0. Пусть, далее,
/v>(*o) = 0, v=l, .... га-1,
Тогда если п — нечетное число, то точка х0 не является точкой
локального экстремума. Если же п — число четное, то при /(п)(#о) >
> 0 функция f имеет в точке х0 локальный минимум, а при АпЦх0) <С
< 0 — локальный максимум.
Доказательство. По формуле Тейлора
f(Xo + h) = f(x0) + hn^,
п\
где
Д(0) = /п)(*о).
Функция А непрерывна в точке 0, и потому знак А (К) при достаточна
малом \h\ совпадает со знаком fM(x0). Если п — нечетное число, то
Гл. VI, Элементарные функции и теорема Тейлора 15$
функция
Й(А) = ^.^
п\
при переходе h через 0 меняет знак (потому что hn при h > О
положительно, а при h < О отрицательно, а Д(/г) всегда имеет один и тот же
знак); поэтому точка х0 не является точкой локального экстремума.
Если п — четное число, то hn ;> 0 для всех h. Таким образом, в
случае, когда /(п)(#о) > 0, а потому при достаточно малых \h\ и Д(/г) > 0Г
в точке х0 функция имеет локальный минимум. В случае же, когда
/(п) (#о) < 0, а значит, при достаточно малых \h\ и A(h) < 0, в точке
х0 функция имеет локальный максимум.
Эта теорема уже не применима, если в какой-либо точке
обращаются в нуль все производные некоторой функции /. Однако локальные
экстремумы аналитической функции /^0 с помощью этой теоремы
можно определить всегда.
Примеры. 1. f(x) = х? — х. Здесь /' (х) = Зх2 — 1 и /" (х) =
= 6х. Первая производная обращается в нуль в точках х^ = -^V^
л
иж2 = о'КЗ. Так как /" (xi) >0и f (х2) < 0, то х{ есть точка
локального минимума, а х2 — локального максимума.
2. f(x) = х?. Мог бы оказаться локальный экстремум лишь в точке
х0 = 0. Так как, однако, /'(0) =7"(0) = 0 и /'(О) = 6^0, в точке
х0 функция / локального экстремума не имеет.
3. f{x) = #4. В точке х0 = 0 имеем f'(x0) = f"(x0) = f"(x0) = 0,
/(4)(#о) = 24 >> 0. Следовательно, в точке х0 функция имеет локаль-
ный минимум. Других экстремумов у этой функции нет.
§ 4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
В этом параграфе мы введем с помощью степенных рядов так
называемые элементарные функции и перечислим их важнейшие свойства.
1. Показательная функция
Определение 4.1. (Аналитическая) функция, определенная
на всем 01 равенством
*L
v! '
называется показательной функцией.
Сходимость этого ряда мы уже установили в третьей главе с
помощью признака Даламбера.
ехрх
=2
154
Том I
Теорема 4.1. -г- ехр х = ехр х.
Доказательство.
оо оо
d d S? xv S? 1 d , V4
— ещ>х = — / = ?. (#) =
dx dx/-J v! Z-J v! dx
v=0 v=0
oo oo
(v - 1)! _ ZA v! _
v=l v=0
= exp x.
Теперь мы можем выписать ряд Тейлора функции ехр х в
произвольной точке х0 £ 01:
ехр# = ехр(#0 + й) = (где h=x — x0)
_yexpw(a:o)feV_
v=0
оо
v=0
оо
v=0
= ехро:о-ехрЛ.
Поскольку производная ехрМ (х) = ехр х на каждом сколь угодно
«большом замкнутом промежутке / ограничена независимо от v, т. е.
|exp<v>(#) | < К для всех точек х £ / и всех номеров v, то по теореме
1.4 ряд Тейлора с центром х0 сходится к ехр х всюду. Поэтому
•справедлива
Теорема 4.2. (Теорема сложения для показательной функции).
exp(#i + х2) = ехр о?! -ехр х2.
Из двух этих теорем следует, что
1 = ехр 0 = ехр(# — х) = ехр а>ехр(—#).
ехр (—ж) = (ехр х)"1,
ехр х Ф 0 для всех #.
Гл. VI. Элементарные функции и теорема Тейлора 155
Отсюда, далее, вытекает:
(а) Для всех х имеет место неравенство ехр х > 0.
В самом деле, ехр 0 = 1 > 0 и функция ехр х не имеет ни одного
нуля. Поэтому по теореме о промежуточном значении она не может
принимать отрицательных значений.
(р) Показательная функция строго монотонно возрастает.
В самом деле, производная ехр' (х) = ехр х положительна.
(у) При х < 0 выполняются неравенства 0 < ехря < 1, а при
х >• 0 — неравенство ехр х > 1.
Определение 4.2. Значение показательной функции ехр х
в точке 1 обозначается буквой е:
е=ехр1=2^.
Довольно легко доказать, что число е иррационально. Намного
труднее доказать тот факт, что число е не является алгебраическим.
Это означает следующее: если р — любой многочлен с целыми
коэффициентами, не равный нулю тождественно, то р(е) Ф 0. Числа,
не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.
(8) Для каждого К > 0 существует такое число х0, что при
X ^ Xq
ехр х ;> К
(т. е. функция ехр х при неограниченном возрастании х стремится
к +°°)-
В самом деле, это следует из неравенства
ехр х >> 1 + х,
выполняющегося при х > О1).
(е) lim ехр х = 0 (следствие из (6)).
Применяя йравило Лопиталя, получаем следующую теорему:
Теорема 4.3. Если р — произвольный многочлен, то
1Ы[р(х).ехрх]=0, Ит_И_*)=0.
я->—оо я-»-+оо ехр х •
Функция —гт>
*) По формуле Тейлора ехр #=1 + я + -^-ехР (0#)> где 0< 6< 1, и потому
^равенство ехр я> 1+# выполняется при любом я =£ 0.— Прим перев.
156 Том *
определенная для достаточно больших х и р щк О, при неограниченно
возрастающем х стремится к +оо или к —оов зависимости от тогоу
стремится ли многочлен р(х) к +оо или к —оо.
-/ / х
Рис. 17. Показательная функция.
График показательной функции изображен на рис. 17.
2. Логарифм
Показательная функция взаимно однозначно отображает
действительную прямую в положительную полупрямую
R+ = {х б R: х > 0}.
Для каждой точки у £ Ш* существуют такие точки #1? #2 6 R» чт<>
ехр #! < у < ехр #2.
Поэтому по теореме о промежуточном значении существует такая
точка х £R, что ехр х = у.
Тем самым доказана
Теорема 4.4. Показательная функция биективно отображает
действительную прямую К на положительную полупрямую 01+.
Определение 4.3. Функция (определенная на Dl+), обратная
показательной функции, называется (натуральным) логарифмом
и обозначается символом In x.
Таким образом, *
ехр (In х) = х (при х > 0),
In (ехр х) = х.
Из свойств показательной функции ехр х получаем
соответствующие утверждения для логарифма. Прежде всего, имеет место
d 1
Теорема 4.5. -=- In х = — (при х > 0).
ах х
Гл. VL Элементарные функции и теорема Тейлора 157
Доказательство. Пусть х = ехр у. Тогда
d 1
in х —
dx
1
" d
ТуехрУ
1
ехр у
1
X
Таким образом, логарифм является строго монотонно
возрастающей функцией, биективно отображающей Ш+ на 01 (см. рис. 18).
Далее, справедлива
Рис. 18. Логарифм.
Теорема 4.6. (Теорема сложения для логарифма.)
In (XiX2) = lna?! + In #2 (где хи х2 > 0).
Нужно положить xv = expyv и применить теорему 4.2.
По определению
In 1 = О, In е = 1.
Чтобы разложить логарифм в степенной ряд, воспользуемся одним
приемом. При \h\ < 1 имеем
—— =^,(-l)vfcv
1 + й ZJV '
Положим
/(*)= S(-l)v+1v-'*'
V=l
тот ряд имеет радиус сходимости 1 и
v=0
158 Том I
Следовательно,
±an(i + h)-f(h))=-^-~T^-=o,
ah 1 + h 1 -f- h
In (1 + h) — / (h) =c (постоянная).
При h = О как In (1 + h), так и f(h) обращаются в нуль; поэтому с =
— 0. Таким образом, при \х —- 11 < 1 мы имеем разложение
Тейлора
1пж= /}(-
1ПХ= > (_ i)v+i (^ — !)V
v
v=l
По большей части его записывают в виде, встретившемся в нашем
доказательстве:
V=l
Тем же способом можно, разумеется, найти ряд Тейлора
логарифма с произвольным центром х0 £ 01+:
оо
- }- (х — X0f При | X — Х0 | < Х0 *).
v=l
Таким образом, логарифм является аналитической функцией на Ш+
(это следует и из общих соображений).
3. Степени
Пусть а > 0. Показательной функцией с основанием а по
определению называется функция
ехра (х) = exp (x In а).
В частности,
ехре (х) = ехр х,
ехр! (ж) = 1.
Из ранее доказанных теорем сразу следует, что
ехра(0) = 1,
ехра (1) = а,
ехра (xt + х2) = ехра (ж4) *ехра (х2),
ехра (д:) > О,
ехра(—х) = (ехра^))-1.
а) Эта формула сразу следует также из теоремы 4.6.— Прим. перев.
Гл. VI. Элементарные функции и теорема Тейлора
159
Важнейшее свойство общей показательной функции выражается
следующей теоремой:
Теорема 4.7. Если г — рациональное число, то
ехра (г) = аг.
При этом если г = plq, где р, q £ Z, то
Доказательство теоремы 4.7 опирается на
функциональное равенство
ехра(#) = а-ехра(# — 1).
Справедливость этого равенства очевидна:
ехра(я) = ехра(1 + х — 1) = ехра(1) -ехра(#— 1) = а-ехра(.г — 1).
Далее, ясно, что ехрагс = ап при п = 0. Если при п — 1 ;> 0 (и
ехра(га — i) = an"\
то
ехра(п) = а-ехра(гс — 1)== a-(an'~i) = an.
Таким образом, для целых чисел п^О наше утверждение верно.
Далее, для wf Z, w>0 имеем:
1 1 _
expa(_n) = —= — =а п.
ехра (п) а
Если теперь г G ^, г = plq, где g > 0, то
(ехра (г))9 = ехра г .., ехра г =
g множителей
= ехрадт =
= ехрар =
Следовательно, ехра(г) = +^ар, что и требовалось доказать.
На основании этой теоремы дадим следующее
Определение 4.4. Для а > 0 и любого действительного
числа х
ах=ехра(я)-
1 ем самым мы определили степени с любым действительным пока-
ателем, причем для рациональных показателей это определение
160 Том I
совпадает с обычным. В частности,
ех = ехрх,
„х лх In a
а = е
Обозначением ехр мы будем теперь пользоваться только очень редко,
,а символом ехра вообще не будем пользоваться.
Рассмотрим функцию, обратную показательной функции а*.
Д1ри а > 1 функция ах строго монотонно возрастает, а при а << 1
строго монотонно убывает. В обоих случаях функция ах биективно
отображает множество 01 на Ш+, что следует из этого же утверждения,
доказанного нами для частного случая а = е.
Определение 4.5. Функция (определенная на Ш+),
обратная показательной функции а*, называется логарифмом при
основании а и обозначается символом
logaz.
При этом а> 0 ж а Ф I.
Таким образом, если у = loga#, то
ау = х,
еуЫа = х.
Поэтому
у In а = In я,
ж мы получили соотношение
In а;
logax =
In a
Из этого равенства сразу следует теорема сложения!
bga (XiX2) = bga %t + foga#2-
С помощью таблиц Логарифмов, таким образом, можно умножение
сводить к сложению (и, разумеется, деление к вычитанию и т. д.).
Это свойство логарифмов имеет первостепенное значение для
приближенных вычислений. На практике, вообще говоря, составляют только
таблицы логарифмов при основании 10 (бригговы, или десятичные^
логарифмы). В самом деле,
loga (a8x) = $+ loga х.
Если теперь а = 10, то для любого числа s £ Z сразу можно
вычислить значение asx: последовательность цифр в десятичном разложе-^
нии этого числа asx та же, что и у #. Поэтому достаточно составить
таблицу логарифмической функции лишь для промежутка 1 ^ х <С
Гл. VI. Элементарные функции и теорема Тейлора 161
^ Ю, и тогда без дальнейших вычислений из этой таблицы можно
находить логарифмы любых положительных чисел.
Для обозначения различных логарифмов (натуральных,
десятичных и т. д.) существуют определенные соглашения, которые, однако,
соблюдаются не строго.
Мы хотим еще отметить обычные правила действий со степенями,
а затем указать ряд Тейлора функции ха.
(а)
(Р)
(у)
а*'+**=а**а*».
а =^'
а
(aXif2 = atX".
Доказательство. (a*i)*a = еХ21п <аЛ:1> = ех**1 in а = аХ1х2т
(б) 1*=1.
Теорема 4.8. Функция ха дифференцируема, и ее производная
равна
d а а—1
—. х =ах
ах
Доказательство, -^х0, = -у- еа1пх = — еа]пх = аха~г.
ах ах х
Для каждого числа а £ 01 определим биномиальные коэффициенты
(а\ а (а — 1) ... (a — v + 1)
v!
(где v£N),
(sH-
Как и в случае натуральных показателей, легко установить, что
dxv W
Справедлива следующая важная
Теорема 4.9. Функция ха (где х >> 0) является
аналитической в своей области существования. При \х\ < 1 ряд
оо
сходится к (I + х)а.
11—832
162 Том I
Доказательство. Достаточно доказать второе утвержде-
ние. Если а —натуральное, то этот результат уже известенх).
Поэтому мы будем предполагать, что а §Ы я афО.
Сначала докажем сходимость нашего ряда. При х Ф О
( ^**+i/(aV=—*=*(———)■
\v + l/ /W v + l Vv + 1 v + l/
Если \х\ < 1, то существует такое число q, что \х\ < q < 1 и для
почти всех номеров v
\х\.
v + l v+l
<?•
Таким образом, по признаку Даламбера ряд Т(х) сходится.
Как аналитическая функция Т дифференцируема, и при этом
оо
V«=0
у=0
Поэтому
<«+«»rW_.[2(«7iy+42(-7iH-
v=0 V—О
-•['+2{(-71M::i)H-
v=l
= аГ(я).
x) Это просто формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранзк*
для функции (1+s)».— Прим, перев.
Гл. VI. Элементарные функции и теорема Тейлора 163
функция
Т(х)
(1+х)а
при \х\ < 1 также дифференцируема:
d( Т(х) \_$+х)аГ(х)-Т{х)а(1 + х)а-*_ц
dx\(l+x)a) (l + *)2a
так как члены, стоящие в числителе, взаимно уничтожаются.
Следовательно, существует такая постоянная с £ 01, что
Т(х) = с(1+х)а.
Поскольку Г(О) = (1 + 0)а = 1, число с должно быть равно
единице. Итак, теорема доказана.
Ряд Т(х) называется биномиальным рядом. Для малых значений
\х\ он сходится очень хорошо и может служить для вычисления
корней:
■40-&)-
__з 1 _
— 2 12 ~
= 1,416... .
Таким образом, учитывая только первые два члена биномиального
ряда, мы уже получаем три верные цифры десятичного разложения
числа V2 (1,4142...).
4. Тригонометрические функции
Определение 4.6. Аналитические функции
2x2v+i
_ (~1)V(27+1J!'
sinx
\—0
оо
2x2v
(—l)v ,
(2v)!
v=0 x '
^пределенные на всем R, называются синусом и косинусом. Эти функ-
■ке/гап* Также все их рациональные комбинации, называются тпригоно-
рическими, или круговыми, функциями.
И*
164 Том I
Из определения сразу следует:
sin (—х) = —sin х,
cos (—х) = cos х.
Синус является нечетной, а косинус — четной функцией..
Почленно дифференцируя оба ряда, находим, что
d .
— sm# = cos#,
dx
d
-г-cos я = — sin x.
dx
Далее,
sin 0 = 0,
cosO = 1.
Поэтому cos x имеет в точке х — 0 локальный максимум.
Пусть теперь а — произвольное действительное число. Образуем
две функции
Fi(x) = sin (a -f x) — sin a -cos x — cos a -sin x,
F2(x) = cos (а + х) — cos a-cos .z + sin a-sin x.
Очевидно, Fi(0) = F2(0) = 0. Для производных имеем:
F\ (x) = cos (a + #) + sin а • sin # — cos a «cos # = F2(#),
F2(x) = —- sin(a + #) + cos a-sin a: + sina-cos#= — Fi{x).
Производная функции
0(x) = Fl(x) + Ft(x)
равна
Ф' (х) = 2FX (x) F\ (x) + 2F2 (x) F2 (x) =
= 2Fi(x)F2(x)-2F2(x)Fi(x) =
= 0.
Следовательно, функция Ф постоянна. Так как Ф(0) = 0, то Ф ss О,
и потому Fi(x) = F2(x) = 0- Тем самым мы установили теорему
сложения для тригонометрических функций:
Теорема 4.10.
sin (xt + #2) = sin ^i-cos ^2 + cos xt «sin x2\
cos(^i + x2) = cos ж4-cos #2 — sin #!-sin #2-
При xt = —x2 из второй формулы следует:
sin2.r + cos2# = 1.
В частности, |sin x\ ^ 1, |cos х\ ^ 1.
Гл. VI. Элементарные функции и теорема Тейлора 165
Теорема 4.11. Косинус имеет на промежутке [О, 2] ровно
один нуль.
Доказательство. Сначала покажем, что хотя бы один
нуль существует. Имеем
„2 4 6
Л XX X .
cos х=1 [-...==
2! 4! 6!
2! V 3-4/ 6! V 7-8/
/Л (4v 4- 2)! V (4v + 3) (4v + 4)/
(4v + 2)!\ (4v + 3)(4v + 4)>
■v—v
Так как 0 ^ х < 3, все члены ряда в правой части неотрицательны.
Поэтому
х2 ( х2 \
cos*<l-T^l-— j,
cos2<l-2(l-^) = -4,
cos 0=1.
Таким образом, по теореме о промежуточном значении косинус имеет
в рассматриваемом промежутке по крайней мере один нуль.
Для производной cos' х = —sin x имеем:
х , х х
sin х = х [-...=
3! 5! 7!
4v+i
v=0
!\ (4v + 2)(4v + 3)/
/J (4v + 1)! Vх (4v + 2) (4v + 3)
ри 0 <; x <; Y^Q все члены этого ряда положительны, т. е. sin x > О,
потому cos х в промежутке 0 ^ х ^ 2 строго монотонно убывает.
166 Том I
По этой причине косинус имеет на промежутке [0, 2] не более одного
нуля; наша теорема доказана.
Определение 4.7. Число я есть то действительное число,
для которого
0<£<2, cosj = 0.
Как и е, число я является трансцендентным. Теперь из теоремы
сложения легко следует
Теорема 4.12. Обе тригонометрические функции синус и
косинус имеют период 2я, т. е. для всех х
sin (х + 2я) = sin х,
cos (x + 2я) = cos х
и 2я есть наименьшее положительное число, для которого
выполняются эти соотношения.
Доказательство. Прежде всего,
sin2 - + cos2 - = sin2 - + 0=1.
В процессе доказательства теоремы 4.11 мы, кроме всего прочего,
я
установили, что sin -у > 0. Поэтому
Теорема сложения теперь дает:
(я \ . я я .
--— х I = sin у cos х — cos у sin x = cosx
. / я , \ .я я .
sin I —- + x I = sin -5- cos ж + cos it sin ^ = cos ^»
2 — "г—2
COS
COS
(я \ я , . я .
I - # I = cos у cos a: -f- sin у sin a: = sin x,
(л , \ я . я .
I у + X I == COS у COS # — Sin у Sin # = — Sin X.
Гл. VI, Элементарные функции и теорема Тейлора 167
Отсюда следует:
sin (я + х) = sin ( j + ( ~ + х\ \ = cos( ~ + А = — sin*,
cos (я + *) = cos f j + ( y + xj J = — sin ( ~ + x) = — cosz,
sin (2я + x) = sin (я + (я + #)) = — sin (я + х) = sin #,
cos (2я + x) = cos (я + (я + x)) = — cos (я + x) = cos x.
Наконец, если 0 < h < 2я и sin (# + й) = sin x для всех #, то
sin ^ = 0. Как легко видеть, отсюда следует, что h = я. Так как
sm у = 1 ^sin — я= — 1,
то число я не является периодом, и мы получаем противоречие. Ана-
У1
-/
>
„sin jt
cosz^
дЧ
</**
/ £
Ал
Рис. 19. Синус и косинус.
логично можно показать, что не существует числа h,
удовлетворяющего двум условиям:
0 < h < 2я и cos (ж + ^) = cos ж.
Укажем еще все нули синуса и косинуса:
sin^ — o в том и только в том случае, если # = А;я, к£Т,
cos£ = 0 в том и только в том случае, если x = lk + -~-j я, &£Z.
Доказательство этих утверждений предоставляется читателю.
Графики sin х и cos x изображены на рис. 19.
Наряду с только что рассмотренными тригонометрическими
функциями важную роль играют еще две функции: тангенс и котангенс.
168
Том I
Они определяются формулами
tg# = , хф\к-\ )я, &€z,
cos а: \ 2 /
ctgx--
Вот их производные:
cos х
хфкп,
k£Z.
sin х
d cos2 x + sin2 x
— tgx = -
dx
1
cos2 a:
= —-r-=l + tffx,
cos2 ж
— ctg# =
sin2 a:
= -(l+ctg2*).
Таким образом, tg x строго монотонно возрастает на промежутке
(■—я/2, я/2), а котангенс строго монотонно убывает на промежутке
(О, я). Обе эти функции в своей
области существования бесконечно
дифференцируем^ (и, как можно
показать, даже являются
аналитическими). Далее, легко видеть:
(a) tg # и ctg х — нечетные
1с функции.
ctg Л
Ал
lv
л\
г \
У
\ /,gJr
г \
4х/
Ас *
(р)
tg
я \
Ctg Ж,
Я
tgly + *)= — ctg ж.
Рис. 20. Тангенс и котангенс.
(у) tg # и ctg х имеют период я.
(8) Для каждого
действительного числа г > 0 существует такая точка #0, что 0 < #0 < я/2 и что
для всех точек #, удовлетворяющих условию х0 ^.х <С я/2,
tg X > Г,
tg (—я) < —г.
Соответствующее утверждение имеет место и для котангенса.
Как ведут себя эти функции, видно из чертежа (см. рис. 20).
5. Обратные тригонометрические функции
Мы хотим обратить тригонометрические функции. Глобально
(на всем 01) это невозможно. Положим
- I я я
1~ Г* 2".
Г=[0,л], 7' = (0,д).
'-(-*•!)•
Гл. VI. Элементарные функции и теорема Тейлора
169
Из известных нам свойств тригонометрических функций следует,
qTo функция sin х биективно отображает промежуток / на промежу-
тоК / = [—1, 1]; функция cos # биективно отображает промежуток
Т на Т\ функции tg х и ctg x осуществляют биективные отображения
соответственно промежутков / и /' на 01. Поэтому на промежутке
/ для sin х и cos х и на 01 для tg x и ctg x определены и непрерывны
функции, обратные этим четырем функциям. Они называются обрат-
ними тригонометрическими функциями (или арк-функциями) и —• в
указанном порядке — обозначаются так:
arc sin x, arc cos #, arc tg #, arc ctg x.
Таким образом,
sin о arc sin x = x; arc sin о sin у = у, у £ I;
cos о arc cos x = x\ arc cos о cos у = у, у £ Г\
tg о arc tg x = x; arc tgotg у = у, у £ I;
ctg о arc ctg x = x\ arc ctg о ctg у = у, у £•/'.
Мы хотим теперь более основательно изучить arc sin# и arc tg x^
Остальные две функции обладают, в сущности, теми же
свойствами.
Функция arc sin х на промежутке / = (—1, 1) дифференцируема
(в самом деле, на промежутке / производная -р sin х Ф 0), и при этом
их
d . 1 1 1 1
— arc sin #
dx Acini/ cos^ ^l-sin2^ Vl-x2'
dySUy
Так как sin # монотонно возрастает на /, функция arc sin x
монотонно возрастает на /. Поэтому корень должен быть взят со знаком
плюс *).
Если It — промежуток /, смещенный на я вправо, т. е. /4 =
_ [я 3 1
llT' IT п ' то ФУНКДИЮ s*n x можно обратить и на /4. Обратная
Функция обозначается символом arc sinj x и биективно отображает
промежуток / на /4. Аналогично определим промежутки Д, & 6 Z,
и функцию, обратную функции (sin|/fe)(^), будем обозначать символом
) Это, очевидно, также сразу следует из того, что cos у > 0 при у £ /• —
up им. перев.
170
Том I
arc sinfe x. Тогда
arc sin x = arc sin0 x (главное значение),
d 1
— arcsin2fc#= . на /,
dx +Vl-*2
d 1 j
— arc sin2ft-i x = . на /,
dx -Vl-x2
arc sinfe x = — arc sinfe-t a; + я (2& — 1).
Изучение функции arc cos x излишне, так как, очевидно,
п
arc cos x = -— arc sin ж.
Функция arc tg #, обратная тангенсу, определена на всем 01 и
биективно отображает множество Dl на промежуток /. Снова определяем
и другие обратные функции, отображающие множество 01 на Д. Для
производных всех этих функций получаем:
d 4 1
— arctgfe* = ——-.
а# 1 -\-х
Между arc ctg x и arc tg x имеет место соотношение
Кроме того,
arctg# = Tj- — arcctgz.
d * 1
— arc ctg x = 5.
dx 1 + x2
В заключение докажем еще одно несколько более трудное
утверждение:
Теорема 4.13. Для всех х, удовлетворяющих неравенствам
—1 <я<1,
2a?v+1
(-1)Vi^M"
В частности,
+
arctgl = T=l—j + -g—7+'"
Гл. VI. Элементарные функции и теорема Тейлора Ш
Доказательство теоремы 4.13. При \х\ < 1
оо
+' ,-
Степенной ряд
„2V+1
v=0
имеет радиус сходимости 1 и производную
г(*)=—L_2.
1 -\-Х
Таким образом, разность F (х) — arc tg x на промежутке {х: \х\ < 1}
постоянна и обращается в нуль в точке х = 0. Тем самым для этого
промежутка наше утверждение доказано.
Далее, функция F, как и arc tg х, определена и в точке х = 1.
Чтобы доказать, что обе эти функции равны и в этой точке, достаточно
установить, что функция F непрерывна в точке х — 1.
Пусть / = [0, 1]. Ряд F(x) является знакочередующимся.
Поэтому если мы обозначим его частичные суммы через s^x), \i = 1, 2, . . .,
то будем иметь
«2ц (*)< F (Я)< %-i (х).
Далее,
1**1-1 («) — *2М» | = ; 7 <7 7 •
4|Л — 1 4|л — 1
Для е >> 0 существует такой номер ц0, что для всех \i ^ \х0
1
<8.
4ji-l
Тогда для всех точек х £ / при [л >- р0
1*4*)—*2n-i(*)l<ef
I*»-** (*)1<е.
Следовательно, наш ряд сходится равномерно, и потому функция F
непрерывна в точке 1.
Функции, рассмотренные нами в п. 4 и 5, совпадают с известными
Из геометрии «угловыми функциями». Правда, сейчас это показать
ельзя, так как углы в анализе можно ввести только с помощью
нтегралов. Тем более мы не можем здесь доказать, что отношение
Длины окружности к диаметру этой окружности равно п.
172 Том I
6. Гиперболические функции
Формулами
sh я =-| (е*-<Г*),
определим две новые аналитические функции, гиперболический синус
и гиперболический косинус. Сразу убеждаемся, что
sh# = — sh(— x),
ch# = ch(—#),
-(shx) = chx,
-г- (ch х) = sh х.
У тригонометрических функций было cos' x = —sin x. Из этого
различия в знаке в последней формуле проистекают все отклонения
в поведении гиперболических функций от соответствующих
тригонометрических функций.
Из разложения в степенной ряд показательной функции следует:
оо
ch# = у. ,
ZJ (2v)!
V=0
оо
x2v+i
Sh#: X
ZJ(2v
v=0
(2v + l)!
Таким образом, всегда ch#^l, причем равенство здесь имеет
место лишь при х — 0. Поэтому гиперболический косинус не
является периодической функцией. Так как sh x = ch x — ехр (-—х), то для
всех х
sh х < ch #.
Далее,
lim =1—2 lim — — =1.
x->.+oocha: *->+oo е -\-е
Обе гиперболические функции при больших х неограниченно
возрастают.
HL
Гл. VI. Элементарные функции и теорема Тейлора 173
Как и ch х, функция sh x при положительных х положительна;
она имеет только один нуль при х = 0. Гиперболический синус также
не является периодической функцией (см. рис. 21).
Так как гиперболический синус биективно отображает
действительную прямую К на HI, его можно обратить. Обратная функция,
определенная на всем 01, обозначается
символом х)
ar sh х
(ареа-синус). Функцию ar sh x можно
выразить через натуральные логарифмы. Пусть
у = ar sh х. Тогда
sh y= х,
^{еУ-е-У) = х,
ey = x + Vl + x2
(корень нужно брать со знаком плюс, так
как ^>0),
у = ar sh х = In (x + У 1 + х2).
Гиперболический косинус можно обратить рис. 21. Гиперболиче-
лри х^О или же при х^.0. Обратная функция ские функции.
х = ar ch у
(ареа-косинус) определена при у ^> 1 и принимает значения либо
в множестве х ;> 0, либо в множестве х ^ 0. Имеет место формула
archy=ln (y±Vу2 — 1).
Связи между только что введенными функциями и гиперболой мы
здесь касаться не будем.
*) Вот полное название: area sinus hyperbolici.
Глава VII
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Одной из задач плоской геометрии является определение площади
рассматриваемых фигур. Перевод этой задачи на язык анализа
приводит к необходимости интегрировать возможно большее множество
действительных функций на произвольном промежутке / = [а, Ь]
и тем самым поставить каждой такой функции в соответствие
некоторое действительное число (ее интеграл). При этом определение
должно быть дано так, чтобы наглядно очевидная площадь
фигуры, ограниченной сверху графиком функции, а снизу ж-осью, была
равна интегралу от этой функции. Площадь же соответствующей
фигуры в случае, когда график лежит под я-осью, должна быть равна
интегралу, взятому с обратным знаком.
Только что сформулированную задачу можно решать разными
способами. Понятие интеграла, принадлежащее Лебегу, оказалось
более пригодным для этой цели, чем понятие интеграла Римана. ,
Поэтому мы введем здесь интеграл Лебега. Для этого сначала мы
определим интеграл от особенно простых,— ступенчатых,— функций,
и затем с помощью некоторого предельного перехода распространим
это определение на очень широкий класс функций, включающий,
в частности, все непрерывные функции.
§ 1. СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть / = [а, Ь] (где а < Ь) —^замкнутый промежуток, a 3>
3*, ... — разбиения промежутка / на открытые частичные
промежутки /v, /*»•••• Таким образом,
3 = (#о> • • •> хп)ч
где
а = х0 < xt < ... <xn-i < хп = Ь
(см. § 2 гл. IV).
Определение 1.1. Разбиение 3 называется более мелким,
чем разбиение 3* (или измельчением разбиения 3*)> если все точки
деления разбиения 3* принадлежат множеству точек деления
разбиения 3- Обозначается это так:
3<8*.
Г л, VII. Интегрирование 175-
Определение 1.2. Произведением 33* ДВУХ разбиений 3
й я* называется разбиение, множество точек деления которого
является объединением множеств точек деления разбиений 3 и 3**
Отсюда следует
Теорема 1.1. (а) 3 <3-
(Р) Из 3 < 3* и 3* < 3 следует 3 = 3*.
(у) Если 3i < 82 и Зг < Зз, ™<о 3i < Зз-
(6) Для любых двух разбиений 3i и Зг существует общее
измельчение (например, их произведение 3i32)-
Ступенчатые функции определяются так же, как в § 2 гл. IV.
Если t — ступенчатая функция при разбиении 3 и если 3' ^ 3» т°т
разумеется, t является ступенчатой функцией и при разбиении 3'»
Конечное число ступенчатых функций поэтому всегда можно
считать относящимися к одному и тому же общему разбиению
(теорема 1.1 (6)).
Ранее были также определены ступенчатые функции f и t;
функция t полунепрерывна сверху, a t —- снизу. В следующей теореме
мы сводим вместе ряд утверждений о ступенчатых функциях. При
этом буквой с мы обозначаем как действительное число с, так и
функцию f(x) == с.
Теорема 1.2. Вместе с функциями tt и t2 ступенчатыми
являются и функции ti ± t2 и tit2 (в частности, cti). Кроме того,
с + t =c+ t; с-f / = с + t
и при с > О
ct = ct; ct = ct.
Пусть теперь t — ступенчатая функция при разбиении
о = (^о» • • •> #n)•
Определение 1.3. Число
2^3)=2*(/v)(*v-*v-l)
называется римановой суммой функции t относительно разбиения Я
(см. рис. 22). I \,
Таким образом, если £> 0, сумма 2(£, 3) есть не что иное, как
площадь многоугольника, составленного из прямоугольников
и ограниченного сверху графиком функции t, а снизу — х-осыо.
Теорема 1.3. Если t — ступенчатая функция и при разбиении
о» и при разбиении 3*, то
2(t, 3) = 2(«, 3*).
176 Том I
Доказательство. Допустим сначала, что 3*^3 Пусть,
стало быть,
Iv=(sv-i, 3V), V=l, ..., И,
Для каждого v существует ровно один такой номер |iv, что xv — sjj ,
Отсюда следует, что
m
2(t,s*)=%t(i;)(xi-xU)=
H=l
= 2 2 *(/Й(^-^-1)=
v=l m-=|jiv_i+i
n
Hv
v=i
v=l
= 2 (*, 8).
Если разбиение З* не мельче, чем разбиение 3» то выберем какое-
либо общее их измельчение 3'
и получим
2(t, 8) = 2(*. В') = 2(«, 8*).
Тем самым все доказано.
Определение 1.4.
Число 2(£, 3) (не зависящее от
разбиения 3) мы будем называть
римановой суммой ступенчатой
функции t и обозначать
символом 2(f).
Если / и g — две произвола
Рис. 22. Риманова сумма ступенчатой ные фунКции на некотором мно-
ФУНКЦИИ. 71 jt y
w ^ жестве М, то говорят, что
функция / меньше, чем функция gi
если для каждой точки х £ М выполняется неравенство f(x) < g{x)-
Записывают это так: / < g. Аналогично определяются соотношения
/ < g* f > g и / > g.
В следующей теореме сформулированы важнейшие свойства рима-
новых сумм.
Гл. VII. Интегрирование 177
Теорема 1.4. (а) Для любых двух ступенчатых функций tt
U h 2(*i + « = ВД + ВД.
(р) ifo/ш с £ Dl, mo S(rft) = cS(^).
(у) Яз h < £2 следует S(^) < 2(*2).
(б) 2(1) = Ь - л.
Теорема утверждает, что 2 есть линейный монотонный
функционал на пространстве ступенчатых функций, нормированный
условием (8). Доказательство теоремы 1.4 тривиально.
Мы хотим еще установить, как ведет себя 2 при разбиении
промежутка 7. Пусть /4 и 12 — два замкнутых промежутка,
содержащихся в 7, и /i и /2 — соответствующие открытые промежутки,
причем __ __ _
/iU/2 = /, ЛП/2 = 0.
Пусть, далее, t — некоторая ступенчатая функция, определенная
на 7", и tt = t\It (при i = 1, 2). Очевидно, ^ является ступенчатой
функцией на /г-. Римановы суммы можно определять для каждого
промежутка, в частности, для /i и для /2- Мы будем во всех случаях
пользоваться одним и тем же символом 2. Очевидно, справедлива
Теорема 1.5. 2(£) = 2(^) + 2(*2).
Чтобы перенести понятия, введенные для ступенчатых функций,
на произвольные функции, нам понадобится еще понятие окрестности
для функций.
Определение 1.5. Пусть h — некоторая функция,
полунепрерывная сверху на промежутке /, a g — функция,
полунепрерывная на этом промежутке снизу. Пусть, кроме того, h < g.
Символом
U = Ч\К g]
мы будем тогда обозначать множество всех функций /, определенных
на / и удовлетворяющих неравенствам h < / < g. Множество °LL
называется функциональной областью над промежутком /.
Окрестностью произвольной функции /, определенной на /, мы будем
называть любую функциональную область над /, содержащую
функцию /1),
Пустое множество также должно рассматриваться как некоторая
Функциональная область.
Из теоремы 2.4 гл. IV следует
) Здесь мы не исключаем возможность, что промежуток / состоит всего лишь
Пз одной точки.
12-832
178
Том 1
Теорема 1.6. Вместе с 41 и Т функциональной областью
является и пересечение 41 О Т. Пересечение двух окрестностей функции
f снова есть окрестность функции /.
Доказательство. Пусть 41 = 41 [hu gJuT = 41 [h2, g2\m
Тогда пересечение 4i{\T либо пусто, либо равно
<Ц[\ Г = 41 [max(fclf A2), min(g1? g2)].
Если 41 — 41 [h, g] —- некоторая функциональная область над
промежутком / и / а I — замкнутый промежуток, содержащийся
. g в /, то символом 41 | / мы будем обозначать
множество всех функций / на промежутке 7,
удовлетворяющих условию
Я
Л|7</<*|/'
Вместо / £41 \J по большей части просто
-~ пишут f £41. Очевидно, 41 \ J есть некото-
р 23 Рая Функциональная область над /.
Определение 1.6. Ступенчатая
функция t на промежутке / целиком лежит в функциональной
области 41 = 41 [h, g], если.области 41 принадлежат обе функции! и t.
Обозначают это так:
tee4i.
Геометрически это означает следующее: график функции t
расположен между графиками функций h и g, нигде с ними не соприкасаясь
(см. рис. 23)1.
Теперь мы можем доказать единственную нетривиальную теорему
в этом параграфе.
Теорема 1.7. Для каждой непустой функциональной области
41 существует по крайней мере одна ступенчатая функция t £ £41.
Доказательство. Пусть 41 = 4l[h, g]. Для каждой точки
г £ / положим 1Т = [а, г]. Таким образом, 1а = {я} и 1Ъ = !•
Пусть, далее,
J = {г £ /: существует ступенчатая функция t £ £ 4l\IT}>
Очевидно, точка а лежит в /. Если точка г' принадлежит
множеству /, а точка г — промежутку /, и если г < г', то существует
ступенчатая функция t £ £ 4l\IT'. Тогда
«|/г66«|/„
и, значит, г £ /. Поэтому множество / есть некоторый промежуток.
!) Конечно, значения функции t в точках разбиения могут и не леясагь
между графиками функций hug. —Прим перев.
Гл. VII. Интегрирование 179
Положим
г0 = sup /.
Поскольку г0 £ /, определены h(r0) и g(r0). Пусть с — действитель-
н0е число, удовлетворяющее неравенствам
Цг0) <c<g(r0).
Так как функции h и g полунепрерывны, существуетГтакое б > О,
Рис. 24.
что для всех точек х £ #2б(го) ПI удовлетворяются неравенства
Щх) < с < g(s).
Пусть, далее,
С/ = (г0 - б, го + б], U = [г0 - б, г0 + бГс:^2б(г0),'
гА = max {ж: я £ {/Л/}.
Теперь мы определим на 1п некоторую ступенчатую функцию t
(см. рис. 24).
Если 1Г1— Цф_0% то точка г0 — б принадлежит множеству
«Л и потому на 1Г1 -— U = /rojj существует такая ступенчатая
Функция £ь что
Тогда мы полагаем
/лл—/*^*) ПРИ х^1г, — и,
ЦХ)-\ с при хб/Г1П«7.
Если же 7^_б =0, то пусть t(x) = с на 7Г1.
Теперь ясно, что функция t целиком лежит в 6H\ITv В самом деле,
если х <; г о — б, то в силу выбора функции tt
h(x) <t(x) = h(x) <74(:c) = 7(s) < g(x).
12*
180
Том I
Если х = r0 — б, то для t(x) и t{x) возможны лишь значения с,
*i(r<) — 6) и ti(r0 — 6), и все они лежат между й(#) и g(x). Наконец,
при х > г0 — б имеем
/г(я) < с =<£(ж) = 7(a) < g(x).
Тем самым мы показали, что точка rt принадлежит множеству /.
Значит, Ti ^ г0. С другой стороны, также rQ ^.rt (ибо r0 £ J7П-0-
Следовательно, г0 = г^ Если бы г0 < Ь, то правее г0 нашлись бы
точки пересечения U(]I9 и потому должно было бы выполняться
неравенство г0<гх. Таким образом,
г0 = п = ъ е /,
т. е. / = /, что и требовалось доказать.
§ 2. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
Пусть / — действительная функция на замкнутом промежутке
7 = [а, Ь].
Определение 2.1. Функция / называется интегрируемой
на промежутке /, если существуют такое число Ли— для каждого
е > 0 -— такая окрестность °\1 функции /, что для каждой ступен- *
чатой функции t £ £ % выполняется неравенство
|2(*) — Л| < е.
Вместо «интегрируемая функция» часто говорят точнее: «функция,
интегрируемая в смысле Лебега».
Теорема 2.1. Пусть f — интегрируемая функция и А, В —
числа, обладающие требуемыми в определении свойствами. Тогда
А =В.
Доказательство. Допустим, например, что А меньше,
1
чем В. Пусть е = -~- (В — Л), W, — такая окрестность функции /,
что для каждой ступенчатой функции t £ £41 выполняется
неравенство |2(£) —Л|<8, и Т — такая окрестность функции /, что.'
|2(£) — Б| < 8 для каждой ступенчатой функции t££T. Тогда
существует ступенчатая функция £, целиком содержащаяся в
пересечении 41П Т- Имеем
\А - J5| < \А - 2(*)| + | В - 2(01 < е + 8 = \А - Я|,
что невозможно.
Определение 2.2. Пусть функция / интегрируема на
промежутке /. Тогда число Л, удовлетворяющее условиям определения
Гл. VII. Интегрирование 181
2.1, называется интегралом от функции / по промежутку I ж
обозначается символами
A=[fdx=lf{x)dx=\f{x)dx.
ii a
Теорема 2.2. Пусть f — действительная функция,
полунепрерывная сверху на промежутке I. Пусть
__ оо < А = inf {2(0: t — такая ступенчатая^функция, что /<*}•
Тогда функция f интегрируема, и при этом
ъ
\f(x)dx=A.
а
Если действительная функция f полунепрерывна снизу и
-|-оо > А = sup {2(£): £ — такая ступенчатая функция, что t < /},
то функция f также интегрируема и
ъ
\f(x)dx=A.
а
Эта теорема гарантирует интегрируемость большого класса
функций. Например, если функция / ограничена, скажем \f{x)\ <c для
всех х g /, и t — такая ступенчатая функция что f <t, то
—оо <2(—с) <2(*).
Точно так же для ступенчатой функции t, удовлетворяющей
условию t <; /, имеем
2(0 < 2(c) < +оо.
Таким образом, критерий нашей теоремы выполнен, и справедлива
Теорема 2.3. Каждая ограниченная полунепрерывная, а
потому и каждая непрерывная функция интегрируема.
Доказательство теоремы 2.2. Мы докажем только
утверждение, относящееся к функциям, полунепрерывным сверху." Второе
Утверждение можно доказать аналогично, но это излишне ввиду одной
из теорем следующего параграфа.
Пусть задано s > 0. Выберем тогда ступенчатую функцию t так,
чтобы
/<£, 2(*) - А <8.
функция t полунепрерывна снизу. Пусть, далее,
2(6 —а)"
182 Том I
Вместе с функцией / полунепрерывна сверху и функция /*, причем
/*</<£.
Таким образом, "Ш/*, t] есть некоторая окрестность функции /.
Пусть теперь t* — произвольная ступенчатая функция, целиком
лежащая в 41. Тогда
2(**)-Л<2(г)-Л<е,
V 2{Ъ-а)) \2{Ъ-а))
V 2 (6-а)/ 2
о
Для ступенчатой функции £* + -^-тт г выполняется неравенство
t* + —&— = ** + —— >/* + ——=/•
2(Ь-а) - 2(Ь —а) 2(Ь —а)
Следовательно,
2(7 + -
\(Ь — а)
s(*4——)>ii.
т. е.
2(**)>4-|->4-в.
В результате мы доказали неравенство
|Л —2(**)|<в
и, таким образом, наша теорема доказана.
Для интегрируемости можно установить своего рода критерий
Коши. Для этого дадим
Определение 2.3. Пусть 8 — некоторое положительное
число; г-областъю мы будем называть функциональную область °11у
удовлетворяющую следующему условию: если tt и t2 — любые две
ступенчатые функции, целиком лежащие в %, то
|2(ti)-2(*2)|<e.
Всякая е-область, содержащая /, называется г-окрестностъю
функции /.
Если б ^ 8, то, конечно, 8-область является и б-областью.
Теорема 2.4. (Критерий Коши.) Функция f интегрируем
в том и только в том случае, если для каждого г > О существует e-ofr
рестностъ функции /.
Гл. VII, Интегрирование 483
Таким образом, можно — и это типично для критериев типа
Коши — судить об интегрируемости функции/, не зная ее интеграла.
Доказательство теоремы 2.4. а) Пусть функция /
интегрируема и 8>0- действительное число. Выберем тогда
окрестность U функции / так, чтобы для каждой ступенчатой функции
ъ
2(f)
— 1 / (х) dx
8 .
<2
Если *i, h£e<U, то
|2(*0-2(4)К
2(t,
ь
fdx\ +
ь
I
2 (к)~ \fdx\<
<2-+2- = 8'
и, таким образом, °U является е-окрестностью функции /•
Ь) Пусть теперь функция / удовлетворяет критерию Коши.
Выберем тогда числовую последовательность ev = 1/v, v = 1, 2, . . .,
и для каждого sv некоторую еу-окрестность °И% = °Ч [h%, g%]
функции /. Пусть
hv = max (/if, Щ, ..., /г*),
gv = min(gf, g%, ..., g*), v = l, 2,... .
Имеем:
/гА < h2 < /г3 < ... < /< . . .<£3 < g2 < ft-
Так как
«v=.«[ftv,gv]c:<f
то <?/v также является е^окрестностыо функции / и по определению
имеют место включения
°tii => %2 => °Иг => • • • => ^v => ^v+i
Выберем теперь из каждой функциональной области 41^ по
ступенчатой функции tv £ £ <2£v. Мы утверждаем, что числа 2(£v), v =
= 1, 2, . . . , образуют сходящуюся последовательность.
В самом деле, пусть задано 8 > 0. Пусть натуральное число v0
столь велико, что l/v0 < 8, и пусть v, \i >- v0. Тогда, так как
*v> ^ц 6 6 ^v0» имеем
|2(g-2(gi<l<8.
Таким образом, последовательность 2(£v) удовлетворяет критерию
сходимости Коши.
184 Том I
Теперь положим
А = lim 2 (ty)
и покажем, что
A=\j(x)dx.
а
Действительно, пусть задано 8 > 0. Найдется такое v1? что l/vt <;
< s/2. Пусть номер v>-Vi столь велик, что |2(£v) — А| < е/2,
и пусть t £ £ 41 v. Тогда
| 2 (t) - Л | <| 2 (0 - 2 (*v) | + | 2 (tv) - А |<
8 , 8
<2-+2;=е'
что и требовалось доказать.
§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Т е о р ef|M a 3.1. Пусть функция f интегрируема на промежутке
/, и пусть I* — замкнутый промежуток, содержащийся в /. Тогда
функция /* = f\I* интегрируема на /*.
Доказательство. Пусть задано 8 > 0, и пусть 41 —
некоторая 8-окрестность функции / (над /). Мы положим 41* =
= 41\Т* и покажем, что 41* является 8-окрестностью функции /*.
Пусть ti и t2 — произвольные ступенчатые функции, целиком
лежащие в 41* \ выберем какую-нибудь ступенчатую функцию t £ £ 41. s
Условиями
>ли_/ М*) ПРИ *€**»
lvW-\ t(x) при х£1-Г
определим две ступенчатые функции **, t* £ £ 41. Тогда
|S(«-S(«| = |S(0-2(4)|<e.
Определение 3.1. Пусть /* = [а*, Ь*] — замкнутый
промежуток, содержащийся в промежутке /, и / — функция,
определенная на 7. Тогда функция / называется интегрируемой на промежутке
7*, если на /* интегрируема функция /|/*. Интеграл от функции/
по /* по определению равен
$fdx= \l{x)dx=\(f\r)dx.
j* a* j*
Гл. VII. Интегрирование
185
В известном смысле обращением теоремы 3.1 является
Теорема 3.2. Пусть с — точка открытого промежутка
(а, Ъ) и f — функция, определенная на I = [а, Ь]. Если существуют
интегралы
с Ь
\f(x)dx и lf{x) dx,
а с
то функция f интегрируема на промежутке I и
ъ с ь
[f{x)dx=)f{x)dx+\l{x)dx.
а а с
Доказательство. Положим
с Ъ
A=\f{x)dx+lf{x)dx.
а с
Для любого 8 > 0 существуют такие окрестности ЭД4 функции /|/4
и °И2 функции f\I2, что Для каждой ступенчатой функции tv £ 6 ^v
-I
2 (*v)-./(*)<&
8
<2'
где Д = [a, d и /2 = [с, Ь]. Пусть ?ZV = *Ш/гу, gv]. Мы определим
на всем промежутке / две функции h и g условиями
h(x) = hv(x) при х £ /v ж хф с,
g(%) = gv(x) при ^Диж^с,
/г(с) = тах(/&!(с), /г2(с)),
g(c) = min(^(c), g2(c)).
Функция h полунепрерывна сверху в точке с, а потому и на всем
промежутке /. В самом деле, если г > /г(с), то тем более г > /г^с)
и r>h2(c). Поэтому в некоторой окрестности U точки с для всех
точек х £ U(]Ii — {с} выполняется неравенство h(x) = ht(x) < rr
а для всех точек х £ U[)I2 — {с} — неравенство /&(#) = h2(x) < г.
Отсюда следует, что h(U[)I) < г. Точно так же можно показать, что
Функция g на промежутке / полунепрерывна снизу. Поскольку
Л < / < g, V, lh, g] есть некоторая окрестность функции /.
Пусть теперь £ £ 6 *Ш/&, g] — какая-либо ступенчатая функция.
1огда в силу теоремы 1.5
2(0 = 2(417!) + 2(*|78);
186 Том I
поэтому
с Ь
|S(0 —^KIS^lJO —J /dxl + IS^I/a) —J/dcK
а с
8 , 8
<2-+2- = 8'
и теорема 3.2 доказана.
В качестве следствия получаем: если 3 = (хо> • • •> жп) —
некоторое разбиение промежутка /, то функция / интегрируема на /
в том и только в том случае, когда она интегрируема на каждом
жз промежутков [#v_i, #v]. Если интеграл существует, то
!/(*)<**= s I из**-
a v=l *v—1
Из монотонности 2 следует монотонность интеграла.
Теорема 3.3. Если для двух функций /4 и /2, интегрируемых
на промежутке I = [а, Ь], выполняется неравенство /4 ^ /2, то
ь ь
\h{x)dx^lf2{x)dx.
а а
Доказательство. Пусть
ь
Av= §fv(x)dx, v = l, 2.
а
Выберем произвольное положительное число 8 и окрестности <Jrv =
= °U[hv, gv] функций /v так, чтобы для каждой ступенчатой функции
(v = 1, 2). Из неравенств
hi < /i < /2 < £2
следует, что
«» = Ш|, min (gi, g2)] c= 7\
«сть окрестность функции Д, а
<г/2 = "Штах (hu h2), g2) <= Тг
— окрестность функции /2. Пусть
«а 66 «[max (*ь Д2), g2]c:%2.
Гл. VII. Интегрирование
187
|2(4)-Ла|<|-,
я, значит,
Л,<2(*0 + у,
2(*2)<42+|-.
Так как, далее, £t < £2, то из теоремы 1.4 вытекает, что
ВД < S(«a).
В результате мы получаем, что
Так как эти неравенства выполняются для каждого положительного
г, должно быть Ai ^ А2.
Перед тем как мы сможем установить дальнейшие свойства
интеграла, нам понадобятся две леммы о ступенчатых функциях.
Лемма 1. Пусть $ = (х0, х1ч . . ., хп) — разбиение
промежутка I и °Ц — некоторая функциональная область. Для каждого
промежутка Iv — [#v_4, xv] пусть задана ступенчатая функция tv££
(z(z<U\Iv. Пусть в точках х £ /v = (#v-i> xv) функция t(x) = tv(x),
а в точках разбиения xv функция t определена произвольно. Тогда
определенная таким образом на всем промежутке I ступенчатая
функция t удовлетворяет условию
tee<u.
Доказательство леммы 1 тривиально.
Лемма 2. Пусть <Ut = Ч [hu gt] и Ч2 = *U [h2, g2] — две
непустые функциональные области и %1 — функциональная область
^llhi + h2i gi + g2]. Тогда для каждой ступенчатой функции
*(:(:% существуют такие ступенчатые функции tv ££ ^v, что t =
= *i + h.
Доказательство. Пусть задана ступенчатая функция
* ПРИ разбиении 3 = (#о> •■• •» хп)- Пусть, далее, /„, — какой-либо
Тогда
188
Том I
промежуток разбиения, 1^ — соответствующий замкнутый
промежуток и t(Iy) = c^. Таким образом, на 1^
h + h2 < с» < ft + ft.
Отсюда следует:
Ы < Сц — ^2,
<V — ft < ft.
Так как, кроме того, /г4 <С gi и Ср, — ft < с^ — й2» то на /и выпол-
няется неравенство
max (hi9 cu — ft) < min(ft, c^ — h2).
Выберем теперь
*1°€€% [max (Ль сц — g2), min (ft, c^ — ftg)] = %,.;
%„, есть функциональная область над 1^, содержащаяся в ^tl/ц.
Пусть, далее,
h = с\л — h •
Из
следует, что
т. е.
На /ц по построению ^^> + £^> = t. На основании предыдущей
леммы ступенчатые функции, составленные из tp) и tM,
удовлетворяют тогда требуемым условиям.
Теперь легко может быть доказана
Теорема 3.4. Вместе с функциями Д и /2 на промежутке I =
= [а, Ъ] интегрируема и сумма /4 + /2, и при этом
ь ъ ъ
\{h + h)dx=[hdx+\hdx.
а а а
Доказательство. Для 8 > 0 выберем такие окрестности
4LV = % [uv> ft] функций /v, что для каждой ступенчатой функции
ъ
-I
2(t)-\fvdx
8
<2
(v = 1, 2). Пусть t — произвольная ступенчатая функция, целиком
лежащая в 41 = °И \h\ + /&2> ft + ftb В силу последней леммы
существуют ступенчатые функции tv ££<2/v, для которых £ = £4 + t2.
Г л, VII. Интегрирование 189
Поэтому по теореме 1.4
2(0
ъ ъ
hdx
2 (tt) + 2 (у •
Ja*-J
/2<& <
<
6 Ь
2 (*,)-]/!<& + UW-J /2*5
<
8 , 8
<2+2- = *-
Теорема 3.5. Пусть f — функция, интегрируемая на
промежутке I, и с — действительное число. Тогда функция cf
интегрируема на1 и при этом
j cf \х) dx== с j f(x) dx.
1 1
Доказательство. При с = 0 это очевидно, так как
непосредственная проверка показывает, что
$0dx=0.
Пусть с > 0. Выберем такую .окрестность 41 = 41 [h, g] функции
/, чтобы для всех t££°ll
ъ
-I
2(0- \fdx\<j.
Тогда 41* = 41 [ch, eg] является окрестностью функции cf. Если
tee 41*, то tic ее % и потому
2(t) — c \fdz\ = c\2(t/c)- J /
dx\<C.c — = 8.
При с < 0 вместо е/с нужно взять е/(— с), а вместо <?/ [ch, eg] —
окрестность 4l[cg, eh]. После этого доказательство проводится точно
так же.
В заключение отметим, что, как показывает прямая проверка,
ямеет место
Теорема 3.6. I 1 dx = Ъ — а.
190 Том I
Доказательство. Для 8 > 0 выберем
лв1__1_, g=i+.^: u=u[h,g\.
о — а о — а
Тогда при t^U
\Щ)— (Ь — а)\< (Ъ — а) + 8 — (Ь — а) = г.
Предыдущие теоремы показывают, что интеграл есть монотонный
линейный функционал на векторном пространстве интегрируемых
функций, нормированный условием из теоремы 3.6. Сравните это
с теоремой 1.4, где сформулированы аналогичные свойства 2.
(Мы могли бы давно установить, что для ступенчатых функций
ь
\t их = 2(£), но это равенство станет более понятным в другом месте
(§ 5).)
§ 4. СХОДИМОСТЬ В СМЫСЛЕ ЛЕБЕГА
Мы хотим указать условия, при которых перестановочны
интегрирование и предельный переход.
Пусть, поэтому, / = [а, Ь\ — некоторый замкнутый промежуток
и (/v) — последовательность функций на /.
Определение 4.1. Последовательность (/v) сходится
к предельной функции / в смысле Лебега, если для каждого 8 > О
существуют такая е-окрестность 41 функции / и такой номер v0 £ IN,
что для всех v ^> v0 функции /v принадлежат окрестности <U.
В этом случае функция / непременно интегрируема.
То, что мы дали вовсе не бессмысленное определение,
показывает
Теорема 4.1. Пусть (/v) — последовательность
интегрируемых функций, равномерно, сходящаяся к предельной функции /. Тогда
последовательность (fv) схрдится к функции f и в смысле Лебега.
Доказательство. Пусть задано 8 > 0. Положим
б = min I тг » I •
\6 З(Ь-а)/
Существует такой номер v0, что при всех v>v0na;^/,
l/v(*)-/(*)l<* и i/Ve(*)-/v(*)i<e
(второе неравенство следует из критерия сходимости Коши). Для
функций /vo выберем некоторую б-окрестность °Ц,£
Гл. VII. Интегрирование
191
Что возможно ввиду интегрируемости функций /v. Тогда
U = 41 [h - б, g + 8]
является окрестностью функции /, в которой лежат все функции /v
с номерами v>v0. Нам нужно еще только доказать, что 41 является
g-окрестностью функции /.
Для этого положим °И2 = 41 [—8, 8] и выберем две ступенчатые
функции t, t* ££41. По лемме 2 предыдущего параграфа найдутся
такие ступенчатые функции tfj, £v66%v> чт°
** = ** + **.
Теперь имеем:
| 2 (0- 2 (**)|<| 2 ft) - 2 ft*)| + | 2 ft) - 2 (g)|<
< б +26(6 — а)<
<
е
13"
+
зь_
(Ь-а) =
= 8
Теорема 4.2. Если последовательность функций /v,
интегрируемых на промежутке I = [а, Ь], сходится к функции f в смысле
Лебега, то
)f{x)dx= lim J /v (x) dz.
Доказательство. Для 8 > О выберем некоторую (е/3)-
окрестность 41 = 4l[h, g] функции / и номер v0 так, чтобы при v ;> v0
всегда /v £41. Пусть /v — какой-нибудь элемент нашей
последовательности с номером v ;> v0 и Щ = 41 [h*, g*] — такая
окрестность функции /v, что для каждой ступенчатой функции £66 41\
ь
-I
2 ft- fvdx
<3"
Пусть, далее, 41* = 41 [&*> g*] — такая окрестность функции /, что
Для каждой ступенчатой функции 166 41%
ъ
8
J
Положим
2ft- \fdx <
Ч1 = Ч{\ЧХ\ % = <U()<Ut;
192 Том I
4Li является окрестностью функции /v, a °U2 — функции /. Пусть
теперь ti 66 Ui и t2 66 %• Тогда
\]f*dx-\fdz\ =
а а
= | \ Udx- 2 (*,) + 2 (О - 2 (t2) + 2 (%)_ $/Лс|<
а а
<l!/vCfe-S(«| + |Sft)-2(«| + |2W-J/&|<
<3е/3 = е.
Тем самым сходимость последовательности I fy dx к J / dx доказана.
Конечно, установленные до сих пор результаты этого параграфа
можно перенести и на бесконечные ряды:
оо
Определение 4.2. Бесконечный ряд 2 /v функций /v,
_ v=i
определенных на промежутке /, сходится к сумме f в смысле Лебега,
если последовательность его частичных сумм сходится в смысле
Лебега к функции /.
Теорема 4.3. Равномерно сходящийся ряд интегрируемых
функций с суммой f сходится к сумме f в смысле Лебега.
оо
Теорема 4.4. Если функции /v интегрируемы и ряд 2 /v
v=l
сходится к сумме f в смысле Лебега, то
U(x)dx= j]\U(x)dx.
a v=l a
§ 5. НУЛЬ-МНОЖЕСТВА
Две ступенчатые функции при разбиении $ = (х0, хи . . ., хп),
отличающиеся только в точках деления xv, имеют равные римановы
суммы. В соответствии с этим можно ожидать, что, изменяя
интегрируемую функцию в небольшом числе точек, мы снова получим
интегрируемую функцию с тем же интегралом.
Определение 5.1. Подмножество N промежутка / = [а, Ъ]
называется нуль-множеством, если каждая действительная функция
У, обращающаяся в нуль на множестве I — N, интегрируема и всегда
ь
\f{x)dx=0.
Гл. VII. Интегрирование г 193
Пусть / и g — две функции, совпадающие вне некоторого
нульмножества. Тогда если интегрируема одна из них, то интегриру-
ъ ъ
емаидругаяи I f dx = I g dx. Это сразу следует из линейности инте-
а а
грала. _
Пусть теперь х0 — какая-либо точка промежутка / и %Хо —
функция, определяемая условиями
Х*о(*)={ J
при х = х0,
О при х Ф х0.
Так как функция %Хо полунепрерывна сверху и ограничена, она
интегрируема.^ Если х0Ф а, Ъ и 8 > О — достаточно малое число, то
Ъ х0-6 х0+6 b
0^$%Xodx= $ %Xodx+ j %Xodx+ 1
a a x0 —6 x0 + 6
лго+6 х0+Ь
= $ %Xodx^ $ ldx = 28.
Xq—6 x0—6
При х0 = а или b точно так же
ь
0^l%Xodx^28,
a
где б > 0 произвольно. Следовательно,
ъ
l%Xodx=Q.
а
Если теперь N = {хи х2, . . ., хп} ■— конечное подмножество
промежутка /, то для каждой] функции /, обращающейся в нуль на
множестве I — N, имеем:
Ъ Ъ п
У(х) dx= j 2 /(«v)X*v (*) dx =
a a v=l
n » b
= %f(*v)l%xv(*)dx =
v=l a
= 0.
Итак, доказана
Теорема 5.1. Конечные множества являются нулъ-множест-
12—832
194 Том I
Отсюда легко следует
Теорема 5.2. Каждая ступенчатая функция t интегрируема,
и при этом
ъ
\t{x)dx = ^{t).
а
Доказательство. Функция t полунепрерывна сверху
и ограничена; поэтому она интегрируема. Так как t = t вне
некоторого нуль-множества, то и функция t интегрируема и
a v=l Xy^i v=i Xy_i
= %t(IJ J ЛГ= 2*(/v)(«v-«v-i) =
v=l *v—1 v=1
= 2(*),
причем мы считали, что функция t задана при разбиении 3 = -
= (х0, Xi, . . ., хп) с частичными промежутками Jv.
В то время, как о теореме 5.1 можно было догадаться с самого
начала, следующее утверждение, которое мы здесь, однако, не
докажем, является неожиданным:
Теорема 5.3. Каждое счетное множество N а I является
нуль-множеством.
Множество рациональных чисел счетно (гл. II). Поэтому если
мы определим функцию / условиями
г, к f 0 для иррациональных х£7,
/ | j дЛЯ рацИОнальных х £ 7,
то функция / будет интегрируема на промежутке I:
ъ
]f(x)dx=0.
а
Позже мы приведем примеры неинтегрируемых (неограниченных)
функций. С помощью аксиомы выбора из теории множеств можно
показать, что существуют даже и ограниченные функции, не
являющиеся интегрируемыми.
§ 6. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ПО РИМАНУ
Пусть, как всегда, / = [а, Ъ] —- некоторый замкнутый
промежуток и / — какая-либо действительная функция на промежутке /•
Гл. VII. Интегрирование 195
Определение 6.1. Функция / называется R-интегрируе-
мой (интегрируемой по Риману), если существуют такое число А
н — для каждого 8 > 0 — такие две ступенчатые функции tt и £$,
что 7i</<*2 и для каждой ступенчатой функции £66 ^[£lf £г!
выполняется неравенство
|2(*)-Л|<е.
Число Л называется интегралом Римана от функции / по
промежутку /• Естественно, каждая Д-интегрируемая функция
интегрируема, и ее интеграл Римана равен ее интегралу. Так как ступенчатые
функции ограничены, Д-интегрируемыми могут быть только
ограниченные функции. Легко, однако, привести пример интегрируемой
ограниченной функции, не имеющей интеграла Римана:
,. ч ( 1 для рациональных х,
j (х) = < л
[О для иррациональных х.
Если £4 и £2 —- две ступенчатые функции, удовлетворяющие условию
7i < / < t2, то, поскольку в каждом промежутке, содержащемся
в J = [а, Ь], имеются как рациональные, так и иррациональные
точки,
"£i<0; _*2>1.
Поэтому в окрестности *2/ [£1? £2] функции / лежат обе ступенчатые
функции £ = 0 и £ = 1, римановы суммы которых отличаются на
число b — а. Отсюда сразу следует, что функция / не может иметь
интеграл Римана. Таким образом, интеграл Лебега имеет более
широкое применение, чем интеграл Римана.
Нужно еще установить связь с обычной задачей римановской
теории интегрирования и указать один класс Д-интегрируемых
Функций.
Обозначим через 3 = (#о» хи • • •» хп) какое-либо разбиение
промежутка /. Под мелкостью разбиения 3 мы будем понимать
максимум длин входящих в него частичных промежутков:
131= max (xv — sv-i).
v=l, ..., n
В каждом замкнутом частичном промежутке /v = [^v-i> #vl выберем
по точке £v« Пусть / — функция, определенная на промежутке /.
Тогда сумму
2(/, 6v,8)= S/(6v)(^-«v-i)
v=l
Называют римановой суммой функции f относительно разбиения 3
и промежуточных точек £v.
13*
196 Том I
Теорема 6.1. Пусть функция f на промежутке I интегрируем
ма по Риману:
ъ
А = j / (х) dx.
а
Тозда для каждого г > О существует такое б > 0, что для любого
разбиения 3 мелкости |31 <C 6 и любого выбора промежуточных точен
|v выполняется неравенство
|2(/, gv, 8)-^1<8.'
Доказательство. Пусть задано е > 0. Выберем сначала
две ступенчатые функции t{ и t2,
так, чтобы для каждой ступенчатой функции t^^UXt^ t2]
|2(*) -Л|<е/2.
Пусть функции tv заданы при разбиении 3* = (х*^ ж1» • • •» я»»)
с частичными промежутками /£. Пусть К > 0 — такое число, что
да всем промежутке /
М*)|. М*)!, №)1<«.
Оценим теперь разность |2(/, |v, 3) — 4|, где^ 3 = teo» *ь
, . ,, #п) — произвольное разбиение промежутка / с промежутками
разбиения Iv и точки £v выбраны в промежутках /v как угодно. Пусть
131 =7- Обозначим через IV1, /V2, . . .,- /v те частичные промежутки
разбиения 3> замыкания Iv. которых содержат какую-либо точку
деления х$ разбиения 3*- Так как каждая точка х$ может
принадлежать самое большее двум промежуткам /v., то q ^ 2т (точки х\
и Хт определенно лежат лишь в одном /v). Имеем
я я.
I 2/(^Ж-^-0К 2 i/(6v,)l-l^-^-i к
< 2тКу.
Рассмотрим теперь промежутки /v разбиения 3> не содержащие
точек Жц. Для каждого такого промежутка /v существует такой
цомер |л, что /v с: /J. Пусть при v =^= v* и я £ /v
гы(*) = /(у.
Так как
*i(7v)< Ш< *2(/v),
Гл. VII. Интегрирование
197
то _
*(v)€6#[*i, hi
На промежутках /v., i = 1, . . . , q, определим какие-либо
ступенчатые функции £(v*} 66 °U> [ti, <У и при х 6 /Vf положим t(x) = №0 (#);
значения t(xv) мы выберем произвольно. Тогда функция t целиком
лежит в %lti, £2l
Теперь мы имеем
|2(/,Sv,3)-^l<
<l s (/f Ev, 8) — s (о 1 +1 s (*) — л к
<|S(/,Ev,8)-S(0l + |- =
= /V (6v|) Кг — «v,-i) + /, / (Sv) (*v — *v-l) — 2
(0
z=l
<7
+ 2<
<
/j f (Svj) (*v* ~ Zvf-l) + \ / (gv) (^v — *v-l)
г=1 v=l
v=l
ii q
— У * (7V) (sv — *v-i) +1/1
v=l г=1
tilvJiZvi—Zvi-l)
e
+ 2"
V=l
По построению функции t разность во втором члене последнего
выражения равна нулю. Поэтому мы получаем
<| /j/tevjHSvf-Svt-l)
+ /, t(Ivi)(*vt—Xvt-i)
+
+ 1<
< 2тп^7 + 2тКу + 4- =
о
= 4m#v + j •
198 Том I
Если теперь мы возьмем б = 5—тр и |31 = у < б, то
|2(/,Sv, 8)-^l<e,
что и требовалось доказать.
Впрочем, как легко проверить, справедлива и теорема, обрат*
ная только что доказанной теореме.
Теорема 6.2. Непрерывная функция / интегрируема по Ри-
ману.
Доказательство. Во всяком случае функция /
интегрируема. Пусть
ь
А = J / (х) их.
a i
Для 8 > 0 выберем такую окрестность 41 [h, g] функции /, что для
каждой ступенчатой функции t ££ 41 [h, g]
|Л-2(*)|<е.-
Множества 411k, /] и 4l[f, g] также являются функциональными обла-
стями. Пусть
^еешл ч ее ад/, *ь
Тогда 4l[Tu tj] <= Ш, g]
есть некоторая окрестность функции /, и для каждой ступенчатой
функции t££i4L[ti, t2] выполняется неравенство
\Щ)-А\<г.
Таким образом, функция / интегрируема по Риману.
Можно доказать и такую теорему:
Теорема 6.3. Функция f интегрируема по Риману на
промежутке 1 в том и только в том случае, если она ограничена на I и
непрерывна вне некоторого нуль-множества.
§ 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Пусть / — замкнутый промежуток [а, Ъ] и / — некоторая фув£
ция, интегрируемая на /. Тогда для любых двух точек хи #2€^-
удовлетворяющих условию xt < x2, определен интеграл
\f(x)dx
х
Гл. VII. Интегрирование
199
(ср. § 3). Целесообразно следующим образом распространить это
0Пределение и на случай, когда xt = х2 или х± > х2:
г1
) f(x)dx=0,
Xi
Х2 Xi
lf(x)dx= — lf{x)dx.
Xt X2
Немедленно убеждаемся в справедливости установленных в § 3
правил и для этого более широкого определения интеграла. В
частности, формула
*2 #3 Хл
§ f (x) dx + $•7(#) dx=)f(x)dx
Xi X2 Xt
верна, как бы ни были расположены точки хи х2, хъ на промежутке /.
Функция / интегрируема и на всех частичных промежутках вида
[а, х], х £ I. Поэтому условием
*»=f/(i)di, Ее/,
а
мы определим по функции / некоторую новую функцию F.
Теперь нам нужно исследовать связь между функциями F и /.
Если от функции / потребовать только интегрируемости, то
изучение свойств функции F весьма затруднительно. Поэтому, начиная
с этого момента, мы будем предполагать, что функция f непрерывна.
Теорема 7.1. Функция
F(x)=]f(l)dl
а
непрерывна на всем промежутке I.
Доказательство. Сначала мы докажем лемму:
Лемма. Если функция f непрерывна на замкнутом промежутке
Л то существует такое число К, что при хи х2 £ I
\)f(x)dx\^K\x2 — xi\.
Доказательство леммы. Можно считать, что xi ^ х2.
Функция / непрерывна на замкнутом промежутке /, и потому огра-
н0чена. Пусть, следовательно, для всех х £ /
|/(я)|<Я<+оо.
200
Том I
По теореме 3.3
Х2 1 Х2 Х2
ас, Ж1 ж,
Но
act xt
и, значит,
— К (х2 — Xi) ^ j / (л:) dx^K (х2 — Xi),
Xi
что и требовалось доказать.
Теперь доказательство теоремы 7.1 проходит совсем просто. Пусть
х0 6 / и е > 0. Тогда
F(*)-j^=i/(6)«-$/(s>«==
о а
х " Q1
= $/(6)<$.
Если |/(я) | < i£ при х 6 /, то на основании леммы
i/>)-^(*o)l=i!/(£)<*ii<
Если б = &/./£ и |# — я0| < б, то отсюда следует, что
\F(x)-F(x0)\<K-^ = e,
К
что и требовалось доказать.
Столь же легко доказать более важную теорему:
Теорема 7.2. Функция
F(x)=]f(l)dl
а
дифференцируема на промежутке I, и при этом
F'(x) = f{x).
Доказательство. Так как
! U (5) - / (*о)] <% = F(x)-F (х0) - / (х0) (х -х0),
Х0
Гл. VII. Интегрирование
20f
то для точек х л х0 £ I имеет место равенство
F(x) = F(x0) + (х-х0) А(х),
где
А<*) = 1
/ (*о) ~\ [/ (!) — / (*о)] d£ ПРИ ^ Ф х0
X — Xq J
Xq
f(x0) при х=х0.
Для 8>0 существует такое б > О, что в пересечении U^(x0)f\I
выполняется неравенство
\f(x) -f(x0)\< 8,
откуда следует, что в точках этого промежутка U&(x0)f)I (при хфх0)
\А(х)-А(х0)\ = —— \\[fa)-f(xo)]dt
\x — x0\\J
х0
<е.
Поэтому функция Д непрерывна в точке х0, что и требовалось
доказать.
Эту теорему мы сформулируем теперь с помощью новых понятий.
Определение 7.1. Первробразной функции f называется
дифференцируемая функция F, для которой F' = /.
Определение 7.2. Функция F называется неопределенным
интегралом от интегрируемой функции /, если для любых двух точек
хи х2£1
]2fa)dl = F(x2)-F(xi).
Справедлива
Теорема 7.3. Если Fi и F2 — первообразные (неопределенные
интегралы) функции /, то разность F{ — F2 постоянна. Вместе
с Функцией F первообразной (неопределенным интегралом) является
и Функция F + с (где с £ R).
Доказательство. Из того, что F[ = F'2 = /, следует:
т- е.
Fi — F2 = с (постоянна).
202 Том I
Если F± и F2 — неопределенные интегралы от функции /, То
(Л (х) - F2 (х)) - (Л (а) - F2 (а)) =
= Fl (х) - Ft (a) - (F2 (x) - F2 (a)) =
= J/(i)di-f/(D^=
а а
= 0.
Доказательство второй части нашего утверждения тривиально.
Важнейшим результатом этого параграфа является
Теорема 7.4. (Основная теорема дифференциального и
интегрального исчисления.) Пусть / — непрерывная функция на
промежутке I = [а, Ь]. Тогда
(а) Каждый неопределенный интеграл от функции f является ее
первообразной.
(Р) Каждая первообразная функции f является неопределенным
интегралом от нее.
(у) Функция f имеет первообразную.
Доказательство. Пусть F — какой-либо
неопределенный интеграл от функции /. Так как и функция
а
является неопределенным интегралом от /, то существует такое число
с 6 DI, что
F(x) = ВД + с.
По теореме 7,2 функция Fi дифференцируема: F[ — f. Следовательно,
дифференцируема и функция F, и
F'(x) = F'i(x) + c' = F'i(x) = f(x).
Тем самым первое утверждение доказано.
Пусть теперь F — какая-либо первообразная функции /. По
теореме 7.2 этим свойством обладает и функция Fu т. е. (теорема 7.3)
F(x) = Ft(x) + с, с 6 т.
Так как, однако, функция Ft является и неопределенным
интегралом от /, то — снова по теореме 7.3 — таковым должна быть и
функция F.
£&$.!Наконец, функция / интегрируема, значит, имеет неопределенный
интеграл, и потому, в силу утверждения (а), — первообразную.
Только что доказанная основная теорема позволяет вычислять
интегралы путем отыскания первообразных. В самом деле, если F -*
Гл. VII. Интегрирование 203
акая-нибудь первообразная непрерывной функции /, то в каждом
замкнутом промежутке [а, Ь], в котором функция / (а также и F)
определена,
F (Ъ) — F (а) = ] f (x) dx = ] F' (х) dx.
а а
Укажем здесь первообразные некоторых элементарных функций.
Функция /
**,Л€М1М0}
**, Л= — 2, —3, ...
1
а:
*e, e6Rf аф — 1
1
1 + х2
1
Vi—~р
ех
sin а;
cos а;
1
sin2 а:
1
Cos2 a:
shx
chx
Первообразная F
xh+l
Л+1
xfc+l
Л+1
ln|*|
лто+1
e + 1
arc tg x
arc sin a:
ex
— cos a:
sin a:
— с tga;
tga:
cha;
sha:
Область определения
sem
хфО
хфО
x>0
*em
\x\<i
x£R
*6Dl
*€Di
хфкл, к£Х
хф(к+~)я, k£Z
x£R
*€0l
Из уже известных нам теорем о степенных рядах немедленно
следует, что первообразной степенного ряда
оо
2 av (х — x0)v
V=0
* вго интервале сходимости I является ряд
оо
— (*-*„) ,
v—0
веющий тот же интервал сходимости I.
204
Том I
В заключение этого параграфа мы хотим еще упомянуть
изменения, возникающие, если вместо непрерывности функции /
предполагать только ее интегрируемость.
Теорема 7.1 остается верной, только ее доказательство
незначительно усложняется. Теорема 7.2 становится неверной: если, например,
/ = [—1, 1] и функция / = 0 при ж<0и/=1 при х > 0, то
/•(*):- 1 </twt_ i ° ПРИ х<°>
i=J/(E)dE=J
х при х^О,
и функция F в точке х = 0 не дифференцируема. Вместо теоремы 7.2
теперь имеет место
Теорема 7.5. Если функция f интегрируема на промежутке 1У
то функция
F{x)=\f{l)dl
а
дифференцируема почти всюду (т. е. вне некоторого нуль-множества),
и почти всюду Ff(x) = f(x).
Эту теорему здесь еще доказать нельзя.
Теорема 7.4 остается верной только частично; например,
утверждение (у) оказывается неправильным. Но все еще справедлива
Теорема 7.6. Если (интегрируемая) функция f имеет перво-
образную F, то функция F является и неопределенным интегралом
от /.
Если предположить,— а это ввиду теоремы 7.5 вполне
естественно, — что функция F является первообразной функции / только почти
всюду, то и теорема 7.6 становится неверной: можно построить
непрерывную строго монотонную функцию, производная которой
почти всюду существует и равна нулю; таким образом,
неопределенными интегралами от этой производной служат постоянные.
§ 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Существуют непрерывные функции, первообразные которых не
не могут быть записаны в виде комбинации функций, перечисленных
в таблице из предыдущего параграфа. Одной из таких не
«элементарно интегрируемых» функций является функция
f(x)=7rL=
V\-xk
аналитическая на промежутке {х: \х\<С 1}. Таким образом, для
функций такого рода основная теорема не может облегчить вычисление
интегралов.
Гл. VII, Интегрирование 205
Мы хотим теперь указать ряд методов, с помощью которых можно
установить элементарную интегрируемость многих функций.
Из правила дифференцирования произведения сразу следует
Теорема 8.1. Если fug — функции, дифференцируемые на
промежутке /, и если F — первообразная произведения g'f, то
функция fg — F является первообразной произведения fg.
В самом деле,
jJJg -F) = f'g + g'f-g'f = fg.
Если еще предположить, что. производные /' и g' непрерывны
на промежутке /, то бсновная теорема 7.4 даст нам правило
интегрирования по частям: при а, Ъ £ /
]f(x)g(x)dx = f(b)g(b)-f(a)g(a)-$g'(x)f(x)dx.
а а
Приложения
1. Интегрирование логарифма In] х (при х > 0). Полагая f(x) = 1
и g(x) = In x, получаем
X X
j lnxdx= xlnx — х01ш0 — j dx =
Xq Xq
= x In x — x0 In x0 — x -\- x0 (x0, x > 0).
2. Для интегрирования функции х sin x берут
f(x) = sin x, f(x) = —cos x;
g(x) = я, g'(s) = 1;
X X
3 xsinxdx = — ,rcos.z + #ocosaro + 3 cos;zd.z =
= — .z cos x -\- x0 cos .z0 -(- sin x — sin x0.
X
3. Вычислим интеграл \ sin2x dx:
xo
f(x) = sin x, f(x) = —cos x;
g(x) = sin x, g'(x) = cos x\
x „
J sin ^^=- sinxcosя + sinx0cos«z0 + ( cos2xdx =
X X
= — sinarcosa: + sin£0cos.z0 -|- j d# — j sin2 a: da:.
206 Том I
Следовательно,
X
sinz x dx = -^ (— sin a: cos a: + x -+- sin#0cos#o — xo)-
x0
X
f
§ 9. ПРАВИЛО ПОДСТАНОВКИ
Теорема 9.1. (Правило подстановки.) Пусть функция f
непрерывна на промежутке I = [а, Ъ], а функция ф непрерывно
дифференцируема на промежутке /* = [а, р] и, кроме того, ф(/*) с Д
Тогда
J f(z)dz=lf(<p(u))ip'(u)du.
Ф(а) а
Доказательство. Пусть F — какая-либо первообразная
функции / на промежутке /• Тогда
(Лф)' == (^оф)-ф' = (/оф)-ф'.
Следовательно,
ф(Р)
J /(*)&=*(ф(Р))-*(ф(а)),
Ф(а)
11 (Ф (и)) Ф' (и) da = * (ф (Р)) - * (ф (а)).
а
Оба интеграла совпадают, что и требовалось доказать.
Эту теорему можно доказать и при следующих предположениях:
функция / интегрируема, а функция ф монотонно возрастает и
абсолютно непрерывна, т. е.
a
где "ф — некоторая интегрируемая функция.
Во многих случаях данную функцию можно записать в виде
/(ф(и))*ф'(и). Чтобы ее проинтегрировать, на основании предыдущей
теоремы нужно еще только найти какую-либо первообразную
функции /. Несколько примеров покажут полезность этого метода.
&
1. )(a+bu)n du (где ЬфО),
а
х = (р(и) = а + Ъи, f(x) = хп,
ф'(ы) = Ь;
Гл. VII. Интегрирование 207
0 Р
\(a+bu)ndu = j (a+bu)nbdu:
<р(3>
:1 J xndx =
Ф(а)
-[{а+Ъф)п^1 -{а+Ъа)^1].
1 г/ . ,лЧП + 1 /л , 1_\П+11
слим интеграл \ ■ , . aw:
Ь(ге + 1)'
2. Пусть функция g(u) > 0 непрерывно дифференцируема. Вычи-
" 8'(и)
g{u)
X = ф(«) = g{u),
ф'(и) = £'(«)>
J5 £(|3)
J #(и) J а; £(a)
a g(a)
3. - J— Inudu (0<a<P),
a
x = cp(u) = In w,
is mp
l--lnwdw = I xdx = -z[ln2$ — ln2a].
a In a
4. Иногда для того, чтобы можно было применить правило
подстановки, рассматриваемый интеграл нужно предварительно
преобразовать. Например,
-—i__ sinu sin и
siirw 1 — cos2 и
sin и 1 sinu 1 sinu
(1 — cosw)(l -fcosu) 2 1— cosw 2 1+cosu
208
Том I
Поэтому если 0 < а <С Р < я, то
f-jgj-^lf sin" ф + lf sin" du.
J sinu 2 J 1 —cosи 2 J 1 +cosu
a a a
В первом интеграле правой части положим
х = (р(и) = 1 — cos и,
ф'(ц) = sin и,
и получим
Р ' 1-cos 3
1 Г sin и du 1 Г <iz 1 1— cos Р
2 J 1 —cos u 2 J ж 2 1 —cos a
a| 1— cos a
Во втором интеграле сделаем подстановку
X = ф(и) = 1 + COS U,
q/(u) = — sin и,
Следовательно,
3 l+cos 3
1 Г sin и du 1 f <iz J_ 1 -f-cosp
2 J 1 -4- cos и 2 J x 2 1+ cos a
a l+cos a
Окончательно получаем
I-
du 1, (1 +cosa)(l — cos 6)
sinu 2 (1 +cosP)(l — cos a)
1
В качестве первообразной функции -г^— можно, например, взять
функцию
_ . ч 1,1 — cosu
F (и) = — In .
2 1 +cosu
§ 10. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
С помощью методов, развитых в двух последних параграфах, мН
можем показать, что рациональные функции элементарно
интегрируемы. Правда, для этого нам понадобятся некоторые предложения
Гл. VII, Интегрирование
209
относительно многочленов с действительными коэффициентами, часть
которых доказать трудно. Нам придется их здесь только
сформулировать.
Пусть Q(x) = х2 + ах + Ъ — квадратный трехчлен. Трехчлен Q
не имеет нулей г) в том и только в том случае, если его дискриминант
D = а2 — 4Ь
отрицателен. Это следует из формулы решения квадратных уравнений.
Теорема 10.1. (Основная теорема алгебры.) Каждый
многочлен степени п
Р(х)= |>v*v
можно записать в виде
При этом Qy являются квадратными трехчленами, не имеющими
нулещ a rv, s^ k и I — целыми числами, удовлетворяющими
следующим условиям:
о ^ к <; и, 1 <; rv <; п,
о ^ i ^ гс, 1 <; Sp ^ щ
k I
#рц Vi Ф v2, соответственно \ii Ф [х2,
¥ис/ш и, Z, rv и s^ и многочлены (х — #v) rv и фцОг)V определяются
многочленом Р однозначно (с точностью до порядка расположения).
о
Произведение вида fj av мы считаем при этом равным единице.
Существование такого разложения многочлена Р проще всего
доказывают в комплексном анализе; утверждение о единственности
следует из элементарных алгебраических теорем.
Пусть R = PJP — рациональная функция. Мы можем
предполагать, что Р есть нормированный многочлен, т. е. что он имеет вид
Р(х) = хп + ап^хп'1 + ... + во-
Обозначим через y(Pi) и у(Р) степени многочленов Pt и Р2 и назовем
степенью рациональной функции R разность
y(R) = y(Pi) - v(P)-
ц ) Речь идет лишь о действительных корнях многочлена; см. § 4 гл. IV.—
U-832
210
Том I
В алгебре, пользуясь предыдущей теоремой, доказывают
существование разложения дроби R на простейшие дроби:
Теорема 10.2. Пусть
р(х)= п (*-*v)rvri &(*)*
— описанное в теореме 10.1 разложение многочлена Р в произведение
линейных и квадратичных множителей. Тогда существуют такой
многочлен Р0(х), такие числа
и такие линейные двучлены
что
Яри этом если y{R) >- 0, то у(Р0) = т(^); * противном же случае
Р0 = 0. Многочлены Р0 и £цл и числа av4 определяются рациональной
функцией R однозначно.
Если теперь нам нужно проинтегрировать какую-нибудь
рациональную функцию i?, то мы всегда можем считать, что она уже
разложена на простейшие дроби. Тогда нам останется лишь найти
первообразные слагаемых, входящих в разложение из теоремы 10.2.
Всего нам нужно различать семь возможных случаев (буквой F мы
всякий раз обозначаем одну из первообразных рассматриваемой
функции).
(1) /(*)= 2<V*V,
v=o
m
1
(2) /(#) = > хфх^
X "— Xq
F (x) = In | x — x0|.
(3) /(*)= 1 4V> v>2, хфх0,
(X — Xq)
Гл. VII. Интегрирование 211
-1
(v-l)(*-:ror
П*) = г—— =i-
(4) /(g) = 2 , 1 , - , 46-a2>0.
яг -\-ax-\-b
Применим правило подстановки. Пусть
0 = -|У46-а2.
Тогда положим
так что
и, значит,
т. е. функция
а2(1 + у2) = я2 + ая + Ь,
J аЦ-V J
dx
+ i/ J о: + a# + 6
^(,)=iarctg[i(, + |)]
является первообразной функции 1/(;г2 + аа: + Ъ).
(5) /(^) = ,2_L ' , .„. V>1.
(xr + ах-\- by
Как
и выше, положим
yeM*+i)'
?/7°Г^а нам Д°статочно найти какую-либо первообразную функции
а/(1 + #2)v. Допустим, что функция Fv(y) удовлетворяет условиям
р'Лу)=1Л , ,v и л,(о) = о.
Та« как
1 + у2 - 2vj/2 + (2v - 1)(1 + у2) = 2v,
14*
212
Том I
то мы можем написать
.2
1 1 + JT — 2vi/2 , 2v —1 1
Но
(l + i/2)v+1 2v(l + j/T+ir 2v (l + j/2)v"
d у _ 2v (1 + y2)v - t/.2v2 (1 + i/V1.2y
<%2v(l + i/2)v (2v)2(l + ^)2v
l + ^-2v^
2v(l + ^)
и потому
,2\v+l '
Л,-н(у) = оу/, 2^ + ^г-^^(у) (v>l).
J/ 2v-l
2v(l + i/2)v 2v
Так как в силу (4)
Л(Л = arc tg у,
то по этой рекуррентной формуле можно вычислить все Fv.
(6) /(*): Х
х2 -\- ах-\-Ъ
Запишем
1 2х + а 1 <
/(*) = •
2 # + ах + & 2 я + а# + &
Второе слагаемое правой части уже было проинтегрировано, а к
первому можно применить правило подстановки: функция
1 а
F(x) = — In (х2 + ax+b) arc tg
U-f)].
2 2<j
где a ^-^-y^b — а2, служит первообразной функции f(x).
Чтобы найти первообразную функции
(7) /(*> = ЛП-^Т1^' v>2'
(х -\- ах-\- Ь)
в точности, как и выше, представим функцию / в виде разности :*
1 2х + a a l
/<*)=■
2 (а? + az + b)v 2 (я2 + «я + 6)v'
Гл. VII. Интегрирование
213
Второе слагаемое правой части мы уже рассмотрели, а функция
J^ 1 1
2 l-v(x2 + ax + ЪУ"1
является первообразной первого слагаемого.
Тем самым мы доказали следующую теорему:
Теорема 10.3. Рациональные функции элементарно
интегрируемы.
Таким образом, чтобы отыскать первообразную некоторой
заданной рациональной функции R = PJP, сначала нужно, в
соответствии с теоремой 10.1, разложить знаменатель на множители (это —
наиболее трудная задача). Затем, считая числа aVH и коэффициенты
двучленов Ь^% в разложении на простейшие дроби из теоремы 10.2
«неопределенными коэффициентами», мы получим для них систему
линейных уравнений, причем эта система однозначно разрешима.
После.этого можно проинтегрировать каждое слагаемое в отдельности.
Описанный метод мы хотим пояснить на двух примерах.
1. Требуется найти первообразную функции R(x) = 1/(х2 — 1).
Имеем
х2 - 1 = (х + 1)(х — 1).
Следовательно,
R(X):
#+1 х—1
1 а{х— l) + b(x + l)
х2-1~ х2-1
1 — а+ b + x(a-\-b)
~2
х •
1 х2 -1
Это равенство может выполняться лишь в том случае, если
многочлены, стоящие в числителе обеих его частей, равны, т. е. если их
коэффициенты совпадают. Таким образом,
1 = — а + Ь, 0 = а + Ь,
откуда
а первообразной данной функции служит функция
/»=~(1п|Х-1|-1п|* + 1|).
214
Том I
2. Пусть
Так как
то
откуда
Ж*) = - ГТ 7
X — X + X — 1
X3 — X2 + X — 1 = (х — l)(tf2 + 1)>
а Ь-{- сх
R(x) =
х-1^ х2 + 1 '
1 а(аД-|-1)-|-(б4-сз;)(д?-1),
хг — х2 + х — 1~, х3 — х2 + х — 1
1 = (а — Ь) + (Ь — ф + (а + с)х2,
1 = а — Ь,
О = b — с,
О = а + с.
Решая эту систему,, находим
и остается лишь вычислить интегралы, следуя случаям (2) и (4).
§ 11. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
В этом параграфе будут установлены некоторые признаки
интегрируемости неограниченных функций. Они соответствуют теоремам
о несобственных интегралах в теории интеграла Римана.
Пусть / — некоторая неотрицательная функция, определенная
на промежутке I = [а, 6], обращающаяся в нуль в точке а и
непрерывная на полуоткрытом промежутке М — (а, Ь]. Функция / не
обязана на промежутке I быть ограниченной. Так как она
полунепрерывна снизу, интеграл
ъ
\f{x)dx
существует в том и только в том случае, если
ъ
sup J t (х) dx <С + оо
l<f a
(t пробегает множество всех ступенчатых функций, удовлетворяющих
условию i<f).
Гл. VII. Интегрирование 215
Теорема 11.1. Пусть существуют такие два действительных
числа К > 0 и \х < 1, что при х^М
(х — af
Тогда функция f на промежутке I интегрируема.
Доказательство. На множестве М функция
F(x) = (JLzltl
1 — 1*
является первообразной функции 1/(х — а)*, функция F определена
и в точке х = а и непрерывна в ней; F(a) = 0. Выберем теперь такое
число С > 0, чтобы для всех х £ I
KF(x) < С,
и какую угодно^ ступенчатую функцию t, удовлетворяющую при всех
х 6 I условию t(x) < f{x). Функция 1 ограничена; пусть, например,
t(x) < Ci.
Для каждой точки а' £ М имеем:
b a* b
<
I t (х) dx = \ t(x)dx-\- I } (х) dx
а а а*
Ъ
<^Сх(а —а)+ f(x)dx^
а'
Ъ
К 'TJ (x-af
(х - af
и,*
= Ct(a -a) + K(F(b)-F(а')).
Ввиду непрерывности правой части как функции от а' получаем
ъ
l~t(x) dx^K(F (b) - F (a))<2C.
a
Следовательно,
ь
sup £ t{x)dx<z2C<z + oo,
t<f a
a потому функция / интегрируема на промежутке I.
216 Том I
Из доказательства немедленно следует, что для каждой точки
и G 1 выполняется неравенство
0^]f(x)dx^K(F(u)-F(a)).
а
Поэтому если G — какая-либо первообразная функции / на
промежутке М, так что при а! £ М
ъ
G(b)~G(a')=lf(x)dx =
а'
Ь а'
= \f(x)dx — \f{x)dx,
а а
то, устремляя точку а' к а, получаем
а'
0<lim lf(z)dx^K- lim (F (a') - F (a)) = 0.
Тем самым доказана
Теорема 11.2. Пусть G — какая-либо первообразная функции
f на промежутке М и функция f удовлетворяет условиям предыдущей
теоремы. Тогда существует предел lim G(x) и
х-+а
х£М
Ь
$/(*)dx=G{b) - lim G(x).
а х-+а
х£М
Теорема 11.3. Пусть существуют такие числа е > 0 и ft',
что а < ft' г^ ft и что для всех х £ (а, ft']
Тогда функция f на промежутке I не интегрируема.
Доказательство. Допустим, что функция / интегрируема.
Тогда для каждой точки а' 6 (я, ft')
Ъ' Ъ' Ь'
I f{x)dx^> \ f(x)dx^ 1 — = 6 In /"^a»
J J J x — a a — а
а а' а'
7/
Но функция In ~т = g(a') на промежутке между а и ft' не
ограничена: противоречие!
Чтобы распространить эти утверждения на функции
произвольного знака, сначала заметим, что вместе с функцией / должна быть
Гл. VII. Интегрирование 217
непрерывна и функция |/|, где
Если мы положим
ft*-{ *f
•) при /(а)>0,
' w { О при /(х)<0,
/ 0 при /(*)>(),
7 w-\ _/(ж) при /(а:)<о,
то будем иметь:
/+=4(/+ш), г=4(|/|_/)' f+-r=f-
Поэтому если непрерывна функция /, то непрерывны и функции f+
и/".
Теорема 11.4. Пусть функция f определена на промежутке
7 = [а, Ь], непрерывна на промежутке М = (а, Ь] и обращается
в нуль в точке а. Если существуют такие числа К > О и \х < 1, что
для всех х £ М выполняется неравенство
(# — а)^
то функция f на промежутке I интегрируема. Для каждой
первообразной G функции f на промежутке М в этом случае имеет место
формула
ь
\f{x)dx=G(b) - lim G(x) *).
а х-*а
x£M
Если существуют такие г > О и Ъ' £ М, что при всех х £ (а, Ъ']
х — а
то функция f на промежутке I не интегрируема.
Доказательство. В первом случае
о<Л(*)<1/(41< K
О ^ГИ <!/(*)!<
(z-af
к
{x-af
х) Для произвольных функций / из существования предела lim G (х) нельзя
сделать заключение, что функция / интегрируема.
218 Том I
Интегрируемость функций /+, /~ и / = /+ — /" следует из теоремы
11.1, а остающаяся часть утверждения — из теоремы 11.2.
Пусть теперь выполнено второе предположение. Так как функция
/ непрерывна на М и, по предположению, не имеет нулей на
промежутке (а, Ь']9 то она на этом промежутке сохраняет знак. Мы можем
лредположить, что / = /+. Тогда, применяя теорему 11.3 к
промежутку (а, 6'], получаем, что функция / не интегрируема.
В случае когда рассматриваемая функция становится неограни- -
ченной при приближении к точке 6, справедлива аналогичная
Теорема 11.5. Пусть функция f определена на промежутке
J = [а, Ь], непрерывна на промежутке М = [а, Ъ) и обращается в нуль
<в точке Ъ. Тогда если существуют такие числа К > О и |х < 1, что
1/(*)1<7Г^
(Ъ - xf
{для всех ж£М), то функция f интегрируема на промежутке 7.
При этом имеет место формула
ь
lf(x)dx= НшС(ж)-(т(а),
а х-*Ъ
х£М
где G — произвольная первообразная функции f на промежутке М.
Если же при всех х £ [а', Ъ) выполняется неравенство
О — X
{где а^.а'^Ъ и е > 0), то функция f на промежутке I не
интегрируема.
§ 12. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Достаточно часто дифференцируемую функцию можно
проинтегрировать приближенно, причем для этого нет необходимости знать
неопределенный интеграл от нее. Если / — такая функция, то ее
заменяют подходящим образом подобранной элементарно
интегрируемой функцией g и показывают, что для каждого 8 > 0 можно
найти такую функцию g, чтобы
\lf(x)dz—lg(x)dx\<:e.
i 1
Пользуясь этим приемом, интеграл \ f(x) dx можно вычислить с любой
7
степенью точности.
Гл. VII. Интегрирование
219
Б качестве первого из таких приближенных методов мы
расскажем про формулу трапеций.
Пусть функция / два раза дифференцируема на промежутке / =
= [я, Ы, и пусть на / имеет место
оценка
|Г(*)К*2<+°0.
'» + t
/
l»-t
Яр*
f+/
Выберем какое-либо разбиение Q =
= (^о» хи • • •' хп) промежутка 7 и
заменим функцию / функцией g,
графиком которой служит ломаная,
проходящая через точки (xv, f(zv)). Затем
вместо интеграла от функции/ мы вы- Рис. 25. Приближение ломаной,
числим интеграл от g, т. е. сумму
площадей трапеций Tv (см. рис. 25). Правдоподобно, что если 3 —
очень мелкое разбиение, то таким путем мы получим хорошее
приближение интеграла от функции /.
Итак, пусть при х £ Iv = Uv_i, #v]
g (x) = yv.t + U^-hzl {x _ *v_l)(
X<y X\ \
где
Положим, далее, Zv = xv
ь
Vv - f(xv)-
^v.i и получим
^g(x)dx=\ j g(x)dx= />} l%
a v=l х„—4 v=l
»v + Z/v-i
Разность
и и
[f(x)dx—lg(x)dx
a a
можно легко оценить с помощью интерполяционной формулы
Ньютона (теорема 2.4 гл. VI). Пусть h = f — g и hv = h\Ty. Тогда
IM*)K
f ю
2!
(х — я^-О (xv — a:)< (где £6/v)
17"
<-J (* — *v-i) (#v — X)>
220
Том 1
откуда
Ь Ъ п *v
jJ/(«)ic--Jg(«)Ap = 2 J ^^X)-S{x))dx
<
V=i Xyt-i
n x\
= У. \ hv(x)dx
V=l Xy—i
n xv
v=l xv^{
n *v
V=l 3CV_ j
71 XV
Интеграл
I (a: — #v--i) (#v ~-x)dx = \ fvu (1 —u)du =
v-i
l
= Zv 1 u(l —u)du =
-Ч2 з;-
Поэтому мы получаем
ъ
U/(*)cfa-j*(*)«fa|<-|*-2&
a a v=i
Пусть теперь все Zv = Z. Тогда
v=i v=i
Гл. VII. Интегрирование 221
Кроме того,
ь п
j,w*_|.2b^-l-(f + * + ... + l.-. + b).
a v-i
Итак, доказана
Теорема. 12.1. (Формула трапеций.) Пусть функция f два раза
Дифференцируема на промежутке I = [а, Ь], причем на I имеет
место неравенство \f"(х)\^К2 <С+°°- Пусть разбиение 3 =
= (#о» • • •> ^п) делит промежуток I на равные промежутки I
длины I. Пусть, далее, z/v = /(#v), v = 0, 1, . . ., п. Тогда
ъ
К,
V
jj/(*)<te-z(^ + ifi + ... + lf»-i + ^)
L2 /т, ч 72
<-=^-(6 —а)Г.
^ 12 V '
Приближение графика функции / ломаной является довольно
грубым. Значительно быстрее сходящееся приближение мы получим,
если заменим функцию / функцией, график которой состоит из
кусков парабол.
Предположим теперь, что функция / дифференцируема четыре
раза, причем ее четвертая производная ограничена:
Пусть ^нова 3 = (#0, #i, . • ., хп) — какое-либо разбиение
промежутка / на промежутки /v длины Zv. Пусть, далее,
1
Xv = -jj- (#v_i -f- Xv), V = l, . . ., П,
yv = f(xv), v = 0, ..., n,
»v = /&>). V = l, ..., И,
£ (#) = 2/v-l + ^v (^ — #v-i) + #v & — Xv-t) (Xv — X) ПрИ # G /v,
где мы положили
Ух — 2/v-l
Л„ = *
Zv
tf v = — Z ^ .
Ааким образом, функция ^|7; является интерполяционным
многочленом Ньютона с узловыми значениями (^v-i, J/v-i)> (#v> #v)
222 Том I
и {xvi Vv) (СР- с теоремой 2.5 гл. VI). Тогда
~V 1
J g(x)dx = — Zv J £(<р(и))йи,
*v-l
причем
x = ф (и) = -т 1уи + #v>
g (Ф (и)) д у v-t + У* YV" <* + »)- ^ ~ fV + Уу (1 + u) (1 - „).
Следовательно,
J g (x) dx = 1 Zv [ J yv-t du + Уг ~2yv"' J (1 + ») & -
v-i
1 1
2/v-i — 2#v + 2/v Г Л. , 2/v-i — 2#v + z/v
'vf du + '
I u2 du I =
~ 2 Zv
2»v-i + (tfv — 2/v-i) — (г/v-i — 2*/v + Уу) +
yv-t — 2yv + yJ _
"*" 3 J . •
= у lV I 2^v + "g (j^V-i — 2^v + l/v) I =
1
= -g- К [Ух-i + 4yv + Уv] =
= DV.
Таким образом,
b n n
\ g{x) dx= 2jDx = -^ 2j M*/v-i + 4j/v+. г/v).
a v=l v=l
Для оценки погрешности пусть снова gv = g\Iv. Интерполяции
онный многочлен Эрмита с четырьмя узловыми значениями
(*v-i> */v-i)> (*v> »v). (s"v> fW) и (xxt yv) выглядит тогда так:
Pv = gv + Cv (* — *v-l) (« — #v) (# — #v),
Гл. VII. Интегрирование 22$
где коэффициент Cv для дальнейшего не существен. Легко проверить,.
что
Поэтому
^ (х — xv-i) (х — хх) (х — xv)dx = 0.
I f(x)dx— I g(x)dx= I f(x)dx — I pv(x)dx.
Так как по интерполяционной формуле Эрмита (теорема 2.6 гл. VI)
для каждой точки х £ /v найдется такая точка £ 6 /v, что
/(4)(£)
/(*)—Pv(*)!
4!
(лг — ^v-i) (о: — #v) (a: — #v),
то мы получаем
1 f(x)dx — 1 g (#) dx ^—- I | (# — tfv-i) (a:— #v)2 (# — #v) | d#=
acv—1
xv-l
xv—1
1
-f^K-i)'*-1»
du =
Следователь.
.но,
ъ
I!
_ ^4 75 —^
_ 4! v120~
2880
/(•
П
»*-2ji>'|<^2«-
если еще выбрать все Zv = I и, значит, все точки деления отстоящими
ДРУГ от друга на одно и то же расстояние, то мы получим следующую
теорему:
Теорема 12.2. (Формула Симпсона.) Пусть функция f имеет
^а промежутке J = [а, Ь] ограниченную четвертую производную*
Ричем выполняется неравенство \fU)(x) |<^4 < +°°» и пусть 3 =
224 Том 1
= (х0, . . ., хп) — разбиение промежутка I на промежутки длины,
i. Пусть, далее,
— Ху—I -4— Хщл г / \ ~" е /"* \
xv = , yv = /(zv), y„ = f(xv).
'Тогда
ъ
J J / (*) dx — j l(y0 + 2j/t +... + 2yn_t + yn + 4J/4 + ... + 4z/„)
a
^2880V ; -
Мы хотим теперь применить обе только что доказанные теоремы.
Жмеём
1
Г da: . . п
\ ;= arc tg 1 = —.
Jl + z2 4
о
Поэтому вычисление интеграла даст нам приближенное значение
*числа п.
1
/(*) =
/» =
1 + *2'
6я2-2
(1+*2)3'
/«(;c) = 24.i=i^±^-4.
(1+*2)5
-Легко убедиться, что в промежутке интегрирования
|Г(*)|<Я8 = 2,
|/4>(*)|<Я*=24.
i
"Сначала вычислим интеграл по формуле трапеций. При I =*"£
(Погрешность меньше, чем
-^?-(b-a)Z2 = —= -<0,02.
12 12-16 96
Гл. VII. Интегрирование
225
113
В качестве точек деления выберем точки 0, -г» -«:» -г-» !•
/(0)= 1 = 1,00000,
/(lj~i?-0,94118,
>(4)=S=°'64oo°'
/(1)= 1 = 0,50000.
Следовательно,
i
я С dx i_(l_ 16 4 16 ,0_
4~J 1 + ж2 ^ 4 V 2 +17+5 +25+4/_
3 о
= 0,78 ± 0,02.
Формула Симпсона при тех же вычислительных затратах дает более
точный результат. Взяв I = -~-, мы получим для погрешности оценку
Тогда
2g^(&-a)Z4 = 2880-I6 = T920<0,0006.
4~~ Jl+tf2~12\ +17+5 25 2/~
.. +^
= 0,7854 ±0,0006.
А вот табличное значение (с четырьмя точными десятичными зна*
ками):
~ = 0,7854
4
15^832
Том II
Г. Грауэрт и В. Фишер
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вторая часть нашего трехтомного курса посвящена
дифференциальному исчислению функций нескольких действительных
переменных и обыкновенным дифференциальным уравнениям. Она
рассчитана на студентов второго — третьего семестра и в соответствии с этим
предполагает от читателя только знание существенных частей
материала тома I и, помимо этого, знакомство с понятием векторного
пространства.
Авторы снова заботились о строгом и систематическом
построении теории. При этом, стремясь избежать ненужных абстракций
и обобщений, они, тем не менее, в то же время старались излагать
определения и методы в такой форме, чтобы можно было
непосредственно перенести их на наиболее общие случаи. Например,
определение дифференцируемое™ (выраженное другими словами) звучит
так. Действительная функция /, определенная в некоторой открытой
окрестности U точки х0 в числовом пространстве Rn, называется
дифференцируемой в точке #0, если существует такое непрерывное в точке
х0 отображение х ->■ Д* окрестности U в сопряженное пространство
Нот([Цп, т), что f(x) = f(x0) + Ax(x — х0). Это определение
переносится на случай, когда х0 — точка некоторого сепарабельного
топологического векторного пространства £, а значения функции /
принадлежат другому такому же векторному пространству F.
Пространство Hom^, F) непрерывных линейных отображений
пространства Е в F нужно при этом рассматривать с некоторой
псевдотопологией г). Точнее, например, в качестве сходящегося к нулю
следует рассматривать фильтр £ в пространстве Hom(2?, F),
обладающий следующим^свойством: для каждого фильтра St в пространстве
«> Для которого УЬ «Я ->■ 0, выполняется условие £ (21) -* 0 в F.
«здесь Sft — это фильтр окрестностей нуля в DI, произведение 91 -81
урождается произведениями NA, где N 6 91 и А 6 И, a S (Щ —
Уединениями ЦА) =[}ЦА), где L £ S и А £ Я. Дифференцируе-
1С Г,
°сть можно теперь определить точно так, как мы это сделали выше,
топ ^^Рёлихер А., Бухер В., Дифференциальное исчисление в век-
Рных пространствах без нормы, М., «Мир», 1970.
15*
228 Том II
только под х -> Ах нужно на этот раз понимать непрерывное в точке
х0 отображение окрестности U в пространство Hom(£, F). Заметим,
что так как естественное отображение Hom(£, F) x Е -=^~F
непрерывно, то отображение Ах определено однозначно и его можно
назвать производной отображения / в точке х0. И в этом случае из
дифференцируемое™ следует непрерывность; справедливо цепное
правило. Чтобы доказать, что дифференцируемость есть локальное
свойство, нужно еще предположить, что в Е для каждого одномерного
подпространства существует замкнутое дополнительное пространство
(это, например, имеет место в случае локально выпуклых векторных
пространств). Псевдотопология в пространстве Hom(£, F)
превращается в топологию лишь в том случае, когда Е и F являются
нормированными векторными пространствами, и тогда в Hom(£, F)
получается сильная топология, т. е. топология, определяемая нормой.
В действительности класс банаховых пространств оказывается
наибольшим классом топологических векторных пространств, на
который можно распространить более глубокие теоремы
дифференциального исчисления.
Сделаем еще некоторые замечания о содержании тома. В первой
главе вводится тг-мерное пространство Шп. Затем изучаются пути
в Dln, в частности длина дуги и натуральный параметр, причем мы
делаем это так, чтобы в третьем томе можно было определить
криволинейный интеграл вдоль спрямляемого пути.
Во второй главе мы занимаемся топологией пространства Кп.
Основное понятие «окрестности» сформулировано таким образом, что
оно сохраняет смысл для общих топологических пространств.
Особенно мы подчеркиваем понятие компактного множества и различные
понятия сходимости последовательностей функций.
Глава III начинается с определения дифференцируемое™ и
приводит к формуле Тейлора и ряду Тейлора для функций нескольких
переменных.
В гл. IV сначала точным образом определяются контра- и ковари-
антные касательные векторы (дифференциалы), а также пфаффовы
формы. Требуемые для этого теоремы из линейной алгебры
приводятся без доказательства. Затем подробно рассматриваются регулярные
отображения и неявные функции. В заключение на языке
дифференциалов изложено нахождение локальных экстремумов с
дополнительными условиями по методу множителей Лагранжа.
При изучении обыкновенных дифференциальных уравнений во
второй половине тома, естественно, нет необходимости особенно
стремиться к полноте методов решения. Однако, с одной стороны,
мы обстоятельно и строго обсуждаем дифференциальные уравнения,
важные для физика, а с другой,— излагаем теоремы о существовании,
единственности и устойчивости решений, важные для математика.
В гл. V приводятся постановки вопроса и методы. Здесь подробно
изучается также уравнение колебаний.
Предисловие
229
В гл. VI доказана теорема существования Пеано. После этого
рассмотрены единственность и глобальное поведение решений на
основе (локального) условия Липшица. Заключают главу важнейшие
теоремы об устойчивости и теоремы об области определения и
дифференцируемое™ общего решения <р(х, |, ц), т. е. зависимости решения
от начальных условий.
В следующей главе мы изучаем связь между дифференциальными
уравнениями и пфаффовыми формами. Вследствие своей
независимости от координат эти формы оказываются подходящим средством
для геометрического исследования семейства интегральных кривых
дифференциального уравнения вблизи изолированной особенности.
В заключение изложены метод последовательных приближений
Пикара — Линделёфа и метод степенных рядов.
Восьмая глава содержит исследование систем обыкновенных
дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений высшего
порядка. За исключением теоремы о приведении матрицы к жорда-
новой нормальной форме, все необходимые факты о собственных
значениях и собственных векторах, как и о показательной функции от
матрицы, доказаны здесь. Глава и том заканчиваются решением
некоторых дифференциальных уравнений специального вида,
важных для приложений: уравнений Бесселя, Лежандра и Шредингера
(точнее, радиальных компонент уравнения Шредингера для атомов
водорода). Для этих уравнений мы рассматриваем краевые задачи;
здесь возникает интересное явление: решение, удовлетворяющее
граничным условиям, существует лишь для некоторой дискретной
последовательности значений параметра, характеризуемого
энергией,— это соответствует дискретной последовательности уровней
энергии атомов в квантовой теории.
Гёттинген, ноябрь 1967
Г. Грауэрт
В. Фишер
Глава I
ПУТИ В Dln
§ 1. м-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Пусть п — натуральное число. Под n-мерным действительным
числовым пространством Лп мы будем понимать множество всех
упорядоченных тг-наборов (#4, . . ., хп) действительных чисел:
Kn = {(Xi, ..., хп): xv£\& при v = l, ..., п}.
Элемент пространства Кп мы будем также называть точкой и
сокращенно обозначать так: (#i> . . .) хп) — ^*
В множестве Кп можно ввести алгебраическую структуру
векторного пространства над полем К (короче: действительного векторного
пространства); по определению суммой двух произвольных
элементов х == (хи . . ., хп) и у = (i/t, . . ., уп) называется элемент
х + У = (*i + 01, . . ., *п + Уп) 6 Я1п,
а произведением элемента х = (х{, . . ., хп) на действительное число
а — элемент
ах= (ахи ..., ахп) £ ^п-
С помощью аксиомы сложения для поля действительных чисел легко
проверить, что Шп с только что определенным сложением образует
коммутативную группу. Нулевым ее элементом служит тг-набор
(О, . . ., 0), «цуль-вектор» или «нуль-точка» пространства Кп; для
простоты, когда это не может привести к недоразумениям, мы будем этот |
элемент обозначать символом 0.
Точно так же, опираясь на аксиомы умножения и дистрибутивно- |
сти для поля 01, легко проверить для любых х, у £ Шп и а, Ъ £ 01 еле- -
дующие правила:
(а + Ь) х = ах + Ьх, а(х + у) = ах + ау,
а(Ьх) = (аЬ)х, 1 •х = х.
В тех случаях, когда при рассмотрении какого-либо вопроса
основную роль играет структура векторного пространства Лп,
элементы пространства Шп мы будем называть векторами.
Можно построить наглядную модель пространства 012,
аналогичную представлению множества действительных чисел DI в виде
числовой прямой. Рассмотрим на плоскости две взаимно перпендикуляр-
Гл. I. Пути в R,n 231
i
У-
1
0
хг
*2
ОСЬ
$
1
(xhx2)
— ~ -^
\ХгОСЬ
*1
яые прямые. Обозначим точку их пересечения буквой О. На одной
из этих прямых отложим точку Ei, а затем на другой — такую точку
Еъ, чтобы она отстояла от О на то же расстояние, что и 2?4, и чтобы
точки О, -Ei, E2 следовали одна за другой в «положительном»
направлении, т. е. против часовой стрелки. Прямая, проходящая через
точки О и Z?v, называется ху-осъю (v = 1, 2). Теперь на каждую из
этих осей нанесем действительные числа пропорционально их
величине так, чтобы число 0 лежало в точке О, число 1 — в точке Ev
и отрицательные числа — в точках луча
соответствующей оси, исходящего из О и
не содержащего точки Ev.
Каждому элементу (хи х2) 6 ^2
сопоставим теперь точку плоскости, в
проекции которой на #v-ocb лежит число a?v.
Тем самым между элементами
пространства Ш2 и всеми точками плоскости
установлено взаимно однозначное
соответствие (см. рис. 26).
Подобным же образом можно постро- Рис. 26. Координаты на
плоить наглядную модель пространства 013. скости.
Геометрические представления,
которыми мы воспользовались при этом построении, не были здесь
точно математически определены. Поэтому эти модели не могут
служить средством доказательства, хотя и могут доставить нам ценные
наводящие соображения.
Мы хотим теперь определить понятие расстояния между двумя
точками пространства Шп. Для этого необходима некоторая
подготовка.
Определение 1.1. Если х = (хи . . ., хп) и у = (уи . . .
• • • » Уп) — Два произвольных вектора из Шп, то действительное
п
число 2jXvyv называется скалярным произведением векторов х и у
v=l
и обозначается символом х-у.
С помощью аксиом поля 01 сразу убеждаемся, что справедлива
Теорема 1.1. Скалярное произведение подчиняется следующим
правилам:
(а) ху = ух * Л
(Ь) (х1 + х2).у = х1.у + х2.у I для всех х? Хи X2j У£йд а£Кф
(c) (ах).у —а(х-у) J
(d) х-х>-0; Х'Х = 0 в том и только в том случае, если х = 0.
Правило (Ь) доказывается, например, так: пусть х*, = (х[к\ . . .
. . , а£1}) при X = 1, 2 и у = (Уи . . ., уп). Тогда х, + х2 - (хф +
232 Том II
+ х™, . . ., агп" + х(п}), и потому
(Х1 + х2).у= ^(x^ + xf)yv= 2(4Ч + 42)^)=
v=l v=l
71 71
= 2 4'Vv + Ц 42Vv = Xi -у + X2.y.
v=l v=i
Правило (d) получается так: если х = (art, . . ., xn), то скалярное
n
произведение х-х = 2 xv как сумма квадратов неотрицательно
v=l
и равно нулю в том и только в том случае, если равны нулю все #v.
Вместо х -х мы будем также писать х2.
С помощью скалярного произведения мы определим теперь
отображение пространства Кп в Ш, называемое нормой, поставив
каждому вектору х 6 Кп в соответствие в качестве его нормы число
Теорема 1.2. Норма обладает следующими свойствами:
(1) ||х|| ^ 0; ||х|| = 0 в том и только в том случае, если х = 0;
(2).||а.х|| = |а|.|М|;
(3) ||х + у|| < ||х|| + ||у|| для всех х, у 6 Rn,- а £ 01.
Правило (1) является переводом правила (d) для скалярного
произведения, правило (2) сразу следует из правила (с). Чтобы
удостовериться в справедливости правила (3), докажем сначала
следующую теорему:
Теорема 1.3. (Неравенство Шварца.) Для любых двух векторов
х, у 6 Кп всегда выполняется неравенство (х-у)2 ^ х2-у2. Равенство
имеет здесь место в том и только в том случае, если^ векторы х и у
линейно зависимы.
Доказательство. Если у = 0, то х-0 = х(0 + 0) =
= х -0 + х-0, и потому х-0 = 0. В этом случае обе части требуемого
неравенства равны нулю.
Если у Ф 0, то в силу (1) и ||у|| Ф 0. Если еще учесть, что у2 =
= (||у||)2, то для произвольного t £R можно написать
0<(x + ^=(^ + ^||yJ|)Vx2^^2.
Ч1у11 / у
Теперь число t можно выбрать так, чтобы ir,—~ + ^ IIУII) =0. Тогда
(х-у)2
мы получим 0 ^ х2 — -—|-^ , а тем самым и требуемое неравенство.
Если векторы х и у линейно независимы, то сумма х + *У ни при
каком t не равна нуль-вектору. Поэтому всегда 0 < (х + ty)2, и,
значит, неравенство Шварца является строгим. Если же х и у линейно
Гл. I. Пути в R,n
233
зависимы, то, поскольку у Ф О, существует такое t0, что х + *оУ =
= 0. Но тогда y^j- + t0 II У || = —*о II УII + *о ||у||= 0, и
неравенство Шварца превращается в равенство.
■%
Следствие. |х-у| < ||х|| -||у|| при х, у £ Кп.
Нужно просто извлечь корень из обеих частей неравенства
Шварца.
Чтобы доказать свойство (3) в теореме 1.2, рассмотрим квадрат
нормы:
||х + у||2 =(х + у)2 =
= х2 + 2х'у + у2 ^ в силу (а) и (Ь)
<х2 + 2|х.у|+у2<
^ ||х2|| + 2||х|| -ЦуЦ + ||у||2 = в силу только что
доказанного следствия
= (||х+у||)2.
Извлекая квадратный корень, получим (3).
Если в пространстве Кп задана какая-либо действительная
функция, обладающая свойствами (1) — (3), то эта функция называется
нормой, и говорят о нормированном действительном векторном
пространстве. Функцию, определенную выше с помощью скалярного
произведения, мы будем называть евклидовой нормой.
В пространстве !Rn можно ввести и другие нормы. В дальнейшем
мы часто будем для вектора х = (хи . . ., хп) полагать
|х|= max |#v|.
v=l, . .., п
Свойства (1) и (2) легко проверяются, а свойство (3) доказывается
так:
| х + УI = max | xv + yv |< max (| xv | + | уу |)<
V V
< max | xv | -f- max | yv | = | x | + | у |.
V V
Теперь с помощью евклидовой нормы мы определим евклидово
расстояние между двумя точками пространства Кп. Для х, у £ Кп
положим
dist (х, у) = ||х - у||.
Теорема 1.4. Расстояние обладает следующими свойствами:
(Г) dist (x, у) ;> 0; dist (x, у) = 0 в том и только в том случае,
если х == у;
(2') dist (х, у) - dist (у, х);
(3') dist (x, z) ^ dist (х, у) + dist (у, z) для всех х, у, z £ Кп.
Свойство (1') является переводом свойства (1) нормы на язык
расстояния. Свойство (2') следует из (2) при а = —1. Свойство (3') еле-
I
234 < ; Том II - *И
дующим образом выводится из (3): I
dist (х? z) = ||z _ х|| = ||« - у + у -х|| < ||z - у|| + ||у - х|| = §!
= dist (у, z) + dist (х, у). М
Если х, у и z геометрически представить себе как вершины неко- "*'
торого треугольника, то свойство (3') будет выражать тот факт, что ,
длина одной из сторон треугольника не больше, чем сумма длин двух [
других его сторон. Поэтому неравенство (3'), а также и неравенство |
(3) называют «неравенством треугольника». .;
Если для произвольного множества X = {х, у, . . .} задана |
функция, ставящая каждой паре (х, у) элементов множества X в
соответствие некоторое действительное число dist (x, у), и если эта
функция обладает свойствами (1') — (3'), то говорят, что она
является метрикой на X, а множество X называют метрическим
пространством. I
Точно так же, как из евклидовой нормы в пространстве X мы
получили евклидово расстояние, из любой другой нормы в X можно
получить некоторую метрику (но не каждая метрика возникает из какой-
либо нормы).
§ 2. ПУТИ I
Пусть / — открытый или замкнутый промежуток в В1. Пусть ^]
на промежутке / заданы п действительных функций <р1? . . ., cpn. J
Тогда каждой точке t £ / можно поставить в соответствие точку
Ф(£) = (<Pi(£)> • • •» Фп(0) 6 W1- Такое соответствие называется
отображением Ф: /—> Hn. \*
Определение 2.1. Отображение Ф: / ->- Кп называется |
непрерывным, соответственно к раз дифференцируемым, соответствен- J
но к раз непрерывно дифференцируемым, если функции yt(t), ... I
• • •» фп(0 непрерывны, соответственно к раз дифференцируемы, |
соответственно к раз непрерывно дифференцируемы. I
Если отображение Ф дифференцируемо к раз, то для каждого нату- I
рального I, где 1^.к, мы будем вектор (q>[l)(t), . . ., <pW(£)) обозначать |
символом Ф<г>(£). ||
Определение 2.2. Непрерывное отображение Ф: I -> Кп |
любого промежутка / в пространство Кп называется параметризо- f
ванным путем; образ Ф(7) называется следом этого параметризован- I
ного пути. Если / — замкнутый промежуток [а, 6], то говорят i
о замкнутом параметризованном пути, и точку Ф(а) называют нача-
лом, а точку Ф(Ь) — концом этого пути.
Если / = {а, Ъ) или / = [а, Ъ\, то наглядно можно себе
представлять, что, когда t меняется от а до Ъ, точка Ф(£) пробегает «путь» Ф(7).
Однако нас интересует не столько «скорость пробегания» пути Ф(/)>
определяемая отображением Ф, сколько «направление обхода». Мы
Гл. I. Пути в Дп 235
хотим понятие пути определить ниже в такой форме, чтобы оно
не было стеснено специальным выбором параметризации Ф.
Определение 2.3. Пусть / и /* — два промежутка, причем
оба они открыты или оба замкнуты. Функция g: I* -+ I называется
преобразованием параметра (от /* к /), если
(a) функция g непрерывна,
(b) функция g монотонно возрастает,
(c) функция g отображает промежуток /* на / (g сюръективна).
Если g — преобразование параметра от [а*, 6*] к [а, 6], то, в силу
(Ь) и (с), g(a*) = а и g(b*) = 6.
Если g: I* -*-1 и h: /** -> /* — преобразования параметра,
то и композиция goh: /**->/ является преобразованием параметра.
Простое доказательство этого факта мы предоставляем читателю.
Если Ф: / —> Rn — какой-либо параметризованный путь
и g: J* —* / — преобразование параметра, то и отображение Ф* —
= фо#: /* —> Кп является параметризованным путем. В самом деле,
пусть Ф(*) = (ф1(*), • • ., <М0). Тогда Ф*(**) = (q>i<«(**), . . .
• . • » фт10£(**)) ПРИ ** 6 ^*> а каждая композиция qvg непрерывна.
Поскольку g(I*) = /, имеем: Ф*(/*) = Ф(#(/*)) = Ф(7). Если
/ = [а, Ъ] и /* = [а*, Ь*], то Ф*(а*) = Ф(#(а*)) =Ф(а) и Ф*(Ь*) =
= Ф(#(Ь*)) = Ф(Ь). Таким образом, как след, так и начало и конец
путей, параметризованных отображением Ф и отображением Ф* =
= Ф°#, совпадают.
Определение 2.4. Пусть Ф: / ->■ Кп и Ф*: /* -> 01п —
два параметризованных пути. Они называются сильно
эквивалентными, если существует преобразование параметра g: /*->•/ или
преобразование параметра g*: I -* I*, такое, что Ф* = Фо# или
соответственно Ф = Ф*о#*. Они называются эквивалентными, если
существуют такие параметризованные пути Ф0, . . ., Фг, что Ф0 = Ф
и Фг = ф* и что при Я = 1, . . ., I параметризованные пути Ф*,
и Фя__1 сильно эквивалентны.
Отношение, определяемое этим условием на множестве всех
параметризованных путей в 01п, и в самом деле является отношением
эквивалентности: оно, очевидно, рефлексивно (т. е. каждый
параметризованный путь Ф эквивалентен самому себе) и симметрично (т. е.
«ели параметризованный путь Ф! эквивалентен параметризованному
пути Ф2, то и Ф2 эквивалентен Ф^. Из определения сразу следует, что
это отношение и транзитивно (т. е. если параметризованный путь Ot
эквивалентен Ф2 и Ф2 эквивалентен Ф3, то и параметризованный
путь ф4 эквивалентен Ф3).
Это отношение эквивалентности разбивает множество всех
параметризованных путей на подмножества, называемые классами эквива-
236
Том II
леншности: классу эквивалентности произвольного
параметризованного пути принадлежат те и только те параметризованные пути,
которые ему эквивалентны. Таким образом, каждый
параметризованный путь принадлежит одному из классов эквивалентности, и
пересечение любых двух различных классов эквивалентности пусто.
Определение 2.5. Путь есть класс эквивалентности
параметризованных путей.
Понятие «след данного пути» определяется однозначно, так как
сильно эквивалентные параметризованные пути имеют один и тот же
след, а потому один и тот же след имеют и эквивалентные
параметризованные пути. Точно так же от параметризации не зависят и
понятия: «замкнутый путь», «начало» и «конец» пути.
В качестве примера рассмотрим множество
А = {(хих2): х\-\-я$=1, х2>0}
в пространстве В12, геометрически изображаемое верхней единичной
полуокружностью. Для / = [—1, 1] условием Ф(£) = (—t, ]/Ч — t2)y
t £1, определяется непрерывное отображение промежутка /
в D12, причем Ф(-1) = (1, 0), Ф(1) = (-1, 0) и Ф(/) = Л
(ср. § 5). Таким образом, отображение Ф позволяет рассматривать
А как параметризованный путь. Условием Ф*(£*) = (cos£*, sin£*),
t* £ /*, где /* = [0, я], задается другая параметризация А.
Параметризованные пути Ф и Ф* эквивалентны, именно, функция
g(t*) — —cost* является преобразованием параметра от Р к /
И Ф* = Фо£.
Путь имеет, наглядно говоря, некоторое «направление обхода»
(или «ориентацию»). Мы хотим теперь точно объяснить, что следует
понимать под «путем, пробегаемым в противоположном
направлении».
Для произвольного промежутка I определим промежуток —/ =
= {t 6 01: —t £ /}. Если Ф: / ->• Dln -— некоторый
параметризованный путь, то условием Ф~(£) = Ф(—t) определяется
параметризованный путь Ф~: — / ->- 01п. Имеем: Ф~(—J) = Ф(7), и потому
параметризованные пути Ф" и Ф имеют один и тот же след. Если / =
= [а, Ь], то -J = [—Ь, -а], и ф-(—Ь) = Ф(Ь), а ф-(—а) = Ф(а).
Таким образом, при переходе от Ф к Ф" начало и конец меняются
местами.
Если g: I* ->• Г— какое-либо преобразование параметра и Ф# =
= Фо^, то Ф;(£) = Q>°g(—t) = Q)-og-(t), где g~(t) = —g(—t) для
каждой точки t £ —-/*. Как легко проверить, отображение g~: —I* -►
->. —/ является преобразованием параметра. Следовательно,
параметризованные пути Ф~ и Ф~ сильно эквивалентны. Отсюда можно
заключить: если эквивалентны параметризованные пути Ф! и Фг,
то эквивалентны и параметризованные пути Ф^ и Ф^.
Гл. I. Пути в Rn
237
Если Ф пробегает какой-либо класс эквивалентности W
параметризованных путей, то все параметризованные пути Ф"* лежат в одном
и том же классе эквивалентности, который мы обозначим через —W.
Мы будем говорить: путь — W получается из пути W при перемене
ориентации.
Если конец одного пути И^ совпадает с началом другого пути
Ц/2, то интуитивно ясно, что точка может пробежать оба пути один
за другим. Мы хотим уточнить и это понятие. Пусть Ф^: 1^ -+Rn—
какая-нибудь параметризация пути W^ (\i = 1, 2), причем 1^ =
= [а\п bjJ. Пусть выполняется условие Ф^Ь^ = Ф2(а2). Положим
1'г = I&i» bi + (b2 — «2)] и формулой g(t) = t — bt + а2
определим преобразование параметра g: Г2 ->- /2. Пусть I — Ii\}I'2 =
= lau bi +(b2 — а2)]. Условиями
Ф/Л-/ °i{t) при П1и
K,~\^g(t) при ter2
определим параметризованный путь Ф: / -»- КЛ Отображение Ф
определено корректно, так как на пересечении Ii(]I'2 = {bi} по
предположению 02°g(bi) = Фг(^2) = ^i(^i)- Отображение Ф
непрерывно: это ясно при t £ [аи Ъх) и t £ (bu bt + (62 — #2)]» так как на этих
промежутках непрерывны отображения Ф1? соответственно Ф2°£.
Непрерывность же отображения Ф в точке Ь4 сразу следует из
непрерывности в этой точке отображений Ф4 и Ф2°£ и из равенства Oi(b4) =
Началом параметризованного пути Ф служит Ф^аО, т. е. начало
пути W^ Аналогично, концом'параметризованного пути Ф является
конец пути W2. След параметризованного пути Ф является
объединением следов Ф^Л) и Ф2(12) = Фг^СО-
Если заменить Ф4 и Ф2 эквивалентными параметризациями Ф\
и Ф*, то только что проведенное построение, примененное кФ*и Ф*,
приведет к некоторому параметризованному пути Ф*,
эквивалентному Ф. Доказательство мы предоставляем читателю. Таким образом,
класс эквивалентности параметризованного пути Ф зависит только
от путей Wi ж W2. Мы будем обозначать его символом Wi + W2
и называть суммой путей Wi и W2.
По индукции теперь можно определить сумму конечного числа
замкнутых путей Wi, . . ., Wi (I ^ 2) при условии, что для Я = 1, ...
• . . ., 1 — 1 конец пути W% совпадает с началом пути W^+i.
Допустим, что I ;> 3 и что сумма любых 1—1 таких путей уже определена.
Тогда мы положим Wit+ . . .+ Wi = (W{+ . . . + W/_t) + Wt.
Это сложение ассоциативно в следующем смысле: если сумма
Wi+ • • • + Wi определена при каком-нибудь выборе скобок, то
она определена и при любом другом их выборе, и каждый раз она
представляет один и тот же путь.
Теперь нам нужно ввести некоторые специальные классы путей,
которые будут встречаться в дальнейших рассмотрениях.
238 Том II
Определение 2.6. Замкнутый путь называется замкнутым,
контуром, если его конец совпадает с его началом.
Определение 2.7. Путь называется простим замкнутым
контуром, если он является замкнутым контуром и если
существует такая его параметризация Ф: [а, Ь\ ->• Dln, которая на
промежутке [а, Ъ) взаимно однозначна.
Определение 2.8. Путь W называется гладким, если
существует такая его непрерывно дифференцируемая параметризация
Ф: / ->- Шп, что для любой точки t £ / производная Ф'(£) Ф (X
Такая параметризация называется гладкой.
Не каждая непрерывно дифференцируемая параметризация
гладкого пути является гладкой. Например, отображение Ф(£) = (t, t),
где t £ [—1, 1] = /, является гладкой параметризацией пути {(х, у)ч
х = у, \х\ ^ 1}. Формула g(t) = t3 задает преобразование
параметра, отображающее промежуток / на себя, для которого
отображение Ф* = <3)°g не является гладким. В самом деле, Ф*(£) = (t3, tz)r
(ф*)'(*) = (З*2, З*2) и, значит, (Ф*)'(0) = (0, 0).
Определение 2.9. Путь называется кусочно гладкиму
если он может быть представлен в виде суммы конечного числа
гладких путей.
§ 3. ДЛИНА ДУГИ
Длина замкнутого пути будет определена как верхняя грань
евклидовых длин вписанных в этот путь ломаных. Скажем это более точно.
Пусть W — путь в Шп, отображение Ф: / ->• Кп — какая-либо
его параметризация, / = [а, Ь]. Разбиение 3 промежутка"/ есть
(Z + 1)-набор (*„, - . ., h)
действительных чисел (Z —
произвольное натуральное число),
причем а= t0<C. . . . <Cti = b. Если
задано разбиение 3> то мы
положим хх = Ф(*0 6 Ф(Л при
X = 0, . . ., Z. Длиной «ломаной»,.
^-лв определяемой точками х^, назы-
S/ вается тогда сумма (см. рис. 27)i
L(W,3>)= 2dist(xw,x0 =
i
= 2||хх —xx-i||.
Рис. 27. Путь с вписанной в него A,=i
ломаной. Если от разбиения 3 перейти
к более мелкому разбиению 3%
содержащему кроме точек деления t%, принадлежащих 3> еЩе °ДНУ
новую точку деления ?, удовлетворяющую, скажем, условию £u-i <
х^
х/>
Гл. /. Пути в Rn
239
L
(иг, 8)
Л=1
и-1
= 2НХ*-
л=1
H-1
< 2Н**-
-Хх-1
-хл-i
- *x-i
< £' < *|*, и если х' = Ф(*')» то
1 + 11^-^^11+ 2 .l|xx-xx-i||<
Х=|А+1
| + ||х'-х^1|| + ||х^х'|| +
+ 2 l|xx-x,i-i|| = Z(W,8').
Несколько раз применяя это неравенство, получаем: если 3' —
произвольное измельчение разбиения 3» то L(W, 3) ^ L(W, 3')»
Поэтому разумно дать следующее
Определение 3.1. Длиной замкнутого пути W называется
верхняя грань L(W) = sup L(W, 8)> которая берется по всем
разбиениям 3 промежутка /. Путь W называется спрямляемым, если;
L(W) <oo1).
Очевидно также, что достаточно брать верхнюю грань по всем
измельчениям какого-либо фиксированного разбиения.
Нам нужно, разумеется, еще показать, что так определенная длина
пути не зависит от выбора его параметризации. Если Ф*: /* ->• Кп
— какая-нибудь другая параметризация пути W, связанная с Ф
соотношением Ф* = Фо#, где g — некоторое подходящее
преобразование параметра, и если 3 = (*о> • • •» U) — разбиение
промежутка /, то в силу сюръективности отображения g найдутся такие числа
С ...,# 6 /*, что g(tt) = Н и а* = t* < *• < . . . < if = 6*.
Тогда если 3* — определяемое точками t* разбиение промежутка
/*, то
HW,S)= 2НФ(*0-Ф(«х-1)И =
= 21|Фв»(Й)-Фв»(Й-1)11-
Л—1
- 2IIф* ('0-ф* («-011= -
= L(W,&).
Наоборот, для каждого разбиения 3* промежутка /* можно найти
такое разбиение 3 промежутка /, что L(W, 3*) = L(W, 3)- Отсюда
и следует наше утверждение.
2) Вместо +оо мы часто пишем просто оо
240 Том II
Пусть теперь W — какой-либо путь, параметризованный
отображением Ф: I ->- DV\ и Г —- замкнутый промежуток, содержащийся
в /. Тогда сужение Ф' = Ф|Г: Г -*• Кп определяет некоторый путь
W, который мы будем называть подпутеж пути W. Если /' = [ti, t2],
то мы будем также писать W = Wtlt *2- Если же / = [а, Ъ\
и /' = [а, £0], то мы будем писать W = Wt0. В этих обозначениях
мы существенно пользуемся выбранной конкретной параметризацией.
Теорема 3.1. Если W — спрямляемый путь, то каждый его
подпушь W также спрямляем и L(W) ^ L(W).
Доказательство. Каждое разбиение 3' промежутка Г
продолжим до некоторого разбиения 3 промежутка /, добавив к 3'
концы /. Тогда, очевидно,
L(W, 3') < L(W, 3) < ЦЩ < oof
•откуда и следует наше утверждение.
Теорема 3.2. Если пути Wi и W2 спрямляемы и определена их
сумма Wi + W2, то путь Wi + W2 спрямляем и L(Wi + W2) —
= L(Wi) + L(W2).
Доказательство. Мы можем считать, что путь Wt
параметризован на промежутке /4 = [а, Ь], а путь W2 — на промежутке
1ч = [Ь, с]. Тогда суммма Wi + W2 параметризована на промежутке
J = /iU^2 = 1я> с]. Пусть 3 — какое-либо разбиение промежутка
/. Добавив, если потребуется, к разбиению 3 в качестве точки деления
точку Ь, мы получим измельчение 3' разбиения 3? которое можно
рассматривать как «объединение» некоторого разбиения 3i
промежутка /t и некоторого разбиения Зг промежутка 12. Напишем 3' =
= 8iUS2. Тогда
L(Wit + W2, 3) < L(Wt + W2, 3') = L{Wt, 3i) + L(W* З2) <
<L(TPt) + L(W2).
Отсюда уже следует спрямляемость пути Wi -{- W2 и неравенство
L{Wi + W2) < L(Wi) + L(W2).
Для произвольного 8 > 0 существуют такие разбиения 3v ПР°"
межутков /v, что 0 < L(WV) — L(WV, 3v) < е/2 (v = 1, 2). Тогда
для разбиения 3 = 8i U З2 промежутка /
L(W, + W2)>L(Wt + W2, ®=L(Wu 81) + L(W2, 82)
>
а потому должно выполняться и неравенство L (Wi + W2) ^
> L{WJ + L(W2).
Гл. I. Пути в Rn 241
Для одного класса путей, содержащего все гладкие пути, длину
дуги можно вычислить очень просто:
Теорема 3.3. Пусть путь W имеет непрерывно
дифференцируемую параметризацию Ф: [а, Ъ] ->• Шп. Тогда путь W спрямляем и
L{W)=\\\V{t)\\dt.
а
Для доказательства этой теоремы нам понадобится
Лемма. Пусть на промежутке [а, Ъ] заданы п непрерывных
действительных функций t|?i, . . ., tjv Положим
ъ ь ъ
^ = (ф!,...,Фп) и lxir(t)dt=(^i(t)dt,...J^n(t)dt).
а а а
Тогда
\\]^(t)dt\\^)\\W(t)\\dt
а а
Доказательство леммы. Пусть 3 = (*о> • • •» h) —
какое-либо разбиение промежутка la, b] и т^, £ t^-i» *J при X =
i
= 1, . . ., I. Тогда к римановой сумме 2 ¥(**)(**, —*a,-i) можно при-
менить неравенство треугольника:
II 2*(Жь-**-|)11< SHTfrOIK«x-fe-i).
Справа стоит риманова сумма функции ЦЧЧОЦ относительно
разбиения 3- Так как ввиду непрерывности 4х и \\W\\ эти римановы суммы
при измельчении разбиения стремятся к соответствующим
интегралам, то отсюда следует наше утверждение.
Доказательство теоремы 3.3. Пусть снова 3 = (^о» • • •
. . . ., tj) — какое-либо разбиение промежутка [а, 6]. Тогда
Ц W, 8) = 2 IIф СО ~ ф (Ь-д II=
1 *k
< 2 J \\Q>'(t)\\dt= (лемма)
= $||Ф'(*)||Л.
a
16-832
242 Том II
Таким образом, мы нашли для длины ломаной L(W, 3) верхнюю
границу, не зависящую от разбиения 3- Тем самым спрямляемость пути
W доказана.
Пусть теперь t0, t £ J и t > t0. Тогда по теореме 3.2
L(Wt)-L(Wto)=L(Wtott).
Из первой части доказательства вытекает правое из неравенств (а
левое неравенство тривиально):
11Ф(0-Ф(д||<х(^)-ь(^0)<$1|ф'(^)11Л-
Деля на t — t0, получаем
Ф (t) - Ф (t0)
t-t0
<и^,)-ь(.У„)<_^П|ф,(()||Д
t — tn
t
-Г7.1||ф''
Если мы устремим здесь t к t0i то обе крайние части будут стремиться
к || Ф'(*о) ||> потому к || Ф'(£0) || будет стремиться и средняя часть. Точно
такое же рассуждение можно провести и при t < t0. Таким образом,
мы показали, что L(Wt) как функция от t дифференцируема и имеет
производную ||Ф'(£)||. Поскольку L(Wa) = О, отсюда сразу следует
формула, утверждаемая в теореме.
§ 4. НАТУРАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР
В этом параграфе мы будем иметь дело только с замкнутыми
путями. Путь в Кп мы будем называть постоянным, если некоторая (а
потому и всякая) его параметризация постоянна, иными словами, если
его след состоит всего лишь из одной точки. Тогда он, очевидно, имеет
длину 0.
Если путь W не является постоянным, то L(W) > 0. В самом деле,
его след содержит по крайней мере две различные точки х4 и х2. Если
мы присоединим к ним еще начало ха и конец х& пути W, то точки
ха, xi5 х2, хъ определят разбиение 3 промежутка /, для которого
L(W, 3) > 0.
Параметризованный путь Ф: I -^ Кп мы будем называть нигде не
постоянным, если отображение Ф не постоянно ни на каком
промежутке, содержащемся в /.
Пусть теперь Ф: [а, Ь] -+> Шп — какая-либо параметризация
некоторого спрямляемого пути W. При t £ [а, Ь] положим s(t) = L(Wt)-
Эта функция называется длиной дуги параметризованного пути Ф.
Теорема 4.1. Определенная таким образом функция s(t)
на промежутке I = [а, Ъ] непрерывна и монотонно возрастает,
причем s(a) = 0 и s(b) = L(W). Существует такая нигде не постоян-
Гл. /. Пути в R,n
243
пая параметризация Ч?: [О, L(W)\ -*■ Кп пути W9 что Ф = Wos.
Этим условием параметризация W определяется однозначно.
Доказательство.1.В монотонности функции s убедиться
просто: если
я ^ h ^ h ^ Ь,
то
s{tJ = L{Wt} = L{Wti) + L(Wii,ti)>L{Wti) = s{ti).
Если параметризованный путь Ф нигде не постоянен, то функция s
даже строго монотонна. Утверждение, что s(a) = 0 и 5(6) = £,(W),
тривиально.
2. Для доказательства непрерывности функции s, например,
в точке £„ £ [а, Ь], нам нужно для каждого 8 > 0 построить такую
окрестность U точки £*, что s({7f)[a, b]) cz UE(s(t*)).
Сначала мы можем в силу непрерывности отображения Ф найти
такое б > 0, что из i£ U6(t*)Q[a, b] для v = 1, . . ., п будет
следовать |cpv(*) — q>v(**)l< е/(2(/* п). Тогда, очевидно, || Ф(£) — Ф(У ||<
< 8/2.
Выберем затем какое-нибудь разбиение 3 промежутка [а, Ь]у
содержащее точку £* в качестве одной из своих точек деления t%0
и удовлетворяющее условию L(W) — L(W, S) < е/2. Положим
U'{t*) = (^0_1? ^o+i)» гДе> если понадобится, мы считаем, что t^ =
= а — 1 и fy+1 = 6 + 1.
Тогда окрестность С/ = U'{t*)f\Ub(t*) обладает требуемым
свойством. Пусть t £ Uf][a, b] и, скажем, t > tm (в случае £ < ^
доказательство протекает аналогично). Пусть 3' —- разбиение,
возникающее из разбиения 3 при добавлении в число точек деления точки t.
Тогда
s/2>L(W)--L(W1S)>L(W)--L(W,3') =
= {L(Wu)-L(Wt„S-)} +
+ {HWt.b)-L(Witb,S')}>
>0.
Каждое из выражений, заключенных в фигурные скобки, здесь
неотрицательно, поэтому, в частности, среднее из них также меньше, чем
е/2. Но разбиение 3' имеет в промежутке [t„ t] только точки деления
*• и t. Следователъйо, по построению
Ь(И^(<,3') = 1|Ф(*)-Ф(ОН<е/2.
16*
244 Том II
Окончательно мы получаем
s(t)-s(Q = L(Wt)~L(Wt,) = L(WUtt) =
= {L(^ii)-L(^,1,3')} + b(Wf„ll3')<
е , 8
<2-+2-==е'
что и требовалось доказать.
3. Доказательство существования и непрерывности отображения
¥ тривиально, когда параметризованная кривая Ф нигде не
постоянна и, следовательно, функция s строго монотонна. Тогда существует
обратная функция s~l: [О, L(VF)] —> fa> &], которая точно так же
непрерывна и строго монотонно возрастает. И остается только положить
W = Фо*-1.
В общем случае доказательство несколько труднее. Определим
отображение W следующим образом: для s* £ Ю> L(W)] существует
(по крайней мере одна) такая точка £ £/, что s(t) = s*; тогда мы
положим ¥($*) = Ф(0- Это — корректное определение. В самом деле,
если s(ti) = s(t) = 5* и, скажем, t < tu то L(Wt,t^) = 0 и, значит,
Ф(^) = Ф(£). Из определения ¥ следует, что Ф = 4<>s, и этим
равенством отображение Ч определяется однозначно.
Пусть теперь su s2 6 [О, L(W)], например s^ = s(^), где t^ £ [л, b]
при |л = 1, 2, и ti ^ £2- Тогда для v = 1, ... ., п
I ^ fa) - ^v (52) к у 2 м>* (*) - ^ wf=
= ll*(«i)-*W)ll =
=||ф(«-ф(«||<
^L(Wti,t2) =
= U(*i)-*(*a)l =
= Ui —s2|-
Отсюда следует непрерывность функции ij)v в каждой точке s0 6
6 [О, L(H01: для 8 > 0 выберем б = е; тогда если s £ Ub(s0) (]
ПЮ,ДИ0], то
|l|3v(s) — ^V(S0)\ < \S — S0|< б = 8.
4. Таким образом, установлено, что s есть преобразование
параметра, а *F — параметризованный путь, эквивалентный
параметризованному пути Ф. Если Ws* — подпуть пути W, параметризованный
сужением ЧГ|[0, s*], to*L(Ws*) = s*\ это свойство является
характеристическим для \Р. Отсюда ;следует, что параметризованный путь *Р
нигде не постоянен. Тем самым теорема 4.1 полностью доказана.
Гл. I. Пути в R» 245
Только что построенную параметризацию W спрямляемого пути
W мы будем называть натуральной параметризацией пути W. Чтобы
оправдать такое определение, нужно еще показать, что
эквивалентные параметризации Ф^ 1^—>Rn и Ф2: /2—>111п приводят к одной
и той же натуральной параметризации. Для этого достаточно
доказать, что совпадают натуральные параметризации для Ф4 и Ф2 в
случае, когда Фх = Ф2°#1, где gt: /i—>/2т- некоторое преобразование
параметра. Но если обозначить соответственно через 54 и s2 длину
дуги параметризованных путей Ф4 и Ф2, то в этом случае в силу
одного из замечаний в § 3 при t £ It будет иметь место равенство Sj (t) =
= s2(gt(t)). Таким образом, если W — натуральная параметризация,
соответствующая Ф2, то Ф4 = <D2°£i = (xP°s2)ogi = yPo(s2ogi) =
= Wo Si. Наше утверждение следует теперь из однозначности
разложения Ф4 = "VoSi. Если, наоборот, два спрямляемых
параметризованных пути имеют одну и ту же натуральную параметризацию, то
они, очевидно, эквивалентны.
Пусть теперь W — гладкий путь с гладкой параметризацией Ф.
Тогда, в частности, параметризованный путь Ф нигде не постоянен:
для каждой точки 10 £ I существует такой номер v, 1 ^ v ^ тг,
что q)v(£o) Ф 0- Из непрерывности фу следует, что найдется такая е-
окрестность U точки t0, что при t £ U (] I производная (p'v(t) Ф О,
и потому функция cpv на пересечении U (] I биективна. Значит, на
U {] I биективно и отображение Ф, и путь W на U f| / не постоянен.
Так как точка t0 была выбрана произвольно, параметризованный
путь Ф нигде не постоянен и функция s(t) строго монотонно
возрастает. В силу теоремы 3.3 функция s(t) дифференцируема и s'(t) =
= ||Ф'(*)|| ф 0. Поэтому непрерывно дифференцируема и функция
t(s), обратная функции s(t), и
&w цф'(«(*))|Г
Наконец, очевидно, и натуральная параметризация ^(s) = 0(t(s))
является гладкой; имеем
rlf \
V (s) = Ф' (t («)) •—(«) = Ф' (t («)) Ф 0.
^ ||Ф'(*(*))П
Отсюда, в частности, следует, что |pF'(s)|| = 1-
Если, наоборот, какой-либо путь W имеет гладкую
параметризацию ф, удовлетворяющую условию ||Ф'|| = 1, то
*W=$lia>'ll*=/-af
а
и t с точностью'до переноса на число а уже является натуральным
параметром пути W. Таким. образом, если Ф: [а, Ь] -> Кп —
какая-нибудь гладкая параметризация гладкого пути W, то Ф
246 Том II
является натуральной параметризацией в том и только в том
случае, если а — О и ||Ф'|| = 1.
В заключение мы хотим еще привести без доказательства х) одно
обобщение теоремы 3.3. Отображение Ф = (фь . . ., фп): / -> Кп
называется абсолютно непрерывным, если каждая функция cpv на
промежутке / почти всюду дифференцируема и имеет интегрируемую
t
(в смысле Лебега) производную фС, для которой \ cpv dt = <pv(£) —
а
— <pv(a). Если ¥ — натуральная параметризация спрямляемого
нигде не постоянного пути W, то при su s2 6 [О, L{W)] и st < s2
выполняется неравенство
II* Ы - V («О II < L (WSu S2)= s2 - *,.
Отсюда можно вывести, что отображение *F абсолютно непрерывно.
Можно, далее, доказать следующее: пусть путь W имеет абсолютно
непрерывную параметризацию Ф; тогда путь W спрямляем и
L(W)=)\\<b'\\dt.
а
§ 5. НЕКОТОРЫЕ КРИВЫЕ
1. Пусть а = (аь . . ., ап), b == (bu . . ., bn) 6 Hn, a Ф 0.
Отображение Ф: [a, b] -»• Rn, где Ф(£) = £a + b, является
параметризацией отрезка W с началом х4 = аа + b и концом х2 = Ьа + Ь.
Очевидно, параметризация Ф является гладкой и
^(И0=$1|Ф#ЦЛ=$||а||Л=||а||(Ь-а).
а а
С другой стороны, и расстояние ||xi — х2|| = (Ь — а) ||а||. Таким
образом, наше определение длины приводит к ожидаемому
результату. Отсюда также следует, что среди путей, соединяющих точки Xj
и х2, отрезок имеет наименьшую длину.
2. Отображение Ф(£) = (cos £, sin £), где t £ I = [0, 2я], является
параметризацией единичной окружности S1 = {(хи х2): х\ + х\ = 1}.
Началом и концом задаваемого параметризацией Ф пути служит
точка (1, 0) 6 S1. Поскольку cos2 t + sin2 t = 1, след Ф(7) с: 51.
Теперь мы покажем, что для каждой точки х £ £\ х=^(1, 0),
существует ровно одна такая точка t £ / = (0, 2я), что Ф(£) = х.
Если х{ = —.1, то должно быть х2 = 0. Так как cos t = — 1 в /
лишь при £ = п и sin я = 0, то в этом случае единственным решением
является t = я. Если #4 =3*= —1» то \xi\ < 1 и х2 = ]/"l — #J или #2 ^
= — 1^1 — я*. Существуют ровно два числа ta\ tm £ 1, для которых |
1) Доказательство будет приведено в третьем томе, см. стр. 641.
Гл. I. Пути в [ft**
247
cos £(*,) = xi. Нумерацию можно выбрать так, чтобы 0 < ta) < я
и л < *(2) < 2я, и потому sin *<*> = У~\ — (cos t^J2 = Vi—x\>Q
и sin *<2) = — Kl — (cos *(2))2 = — Kl -- sj < 0. Смотря по тому,
будет ли хг > 0 или #2 < 0, единственным решением уравнения
х = ф(*) будет *<*> или *<2>.
Таким образом, параметризация Ф представляет окружность S1
как простой замкнутый контур. Отображение Ф, очевидно,
непрерывно дифференцируемо; имеем
||ф'(0|| = {(-81п*)2+(СО8*)2}1/а=1.
Следовательно, Ф есть натуральная параметризация.
Если х = (cos t, sin t) £ S1, то t — длина дуги окружности от точки
(1, 0) до х. Эта длина служит мерой угла между (положительно
ориентированной) #госью и
(ориентированной) прямой,
проходящей через точки 0 и х. В
элементарной геометрии
обычно функции sin и cos
определяют следующим
образом: для любого t £ [0, 2п]
находят такую точку х =
— (xii #2) 6 £\ чтобы длина
дуги окружности от точки
(1, 0) до точки х была в
точности равна £, и полагают
sin t = х2 и cos t = х{ (см.
рис. 28). Из проведенного
выше рассуждения следует, что
это определение равносильно
нашему (т. I, гл. VI,
определение 4.6). Так как, однако,
эл ементарно-г е о м е т рическое
определение нуждается в
длине дуги, а, значит,— в
теории интегрирования, оно в действительности
чем определение, данное по нашему методу.
3. Полярные координаты на плоскости. С помощью формул
Xi = r-cos а, хг — r-sin а,
зададим отображение множества пар чисел (г, а), где г 1> 0, 0 ^ а <
<С 2л, в пространство R2. Так как cos а и sin а одновременно не
обращаются в нуль, полным прообразом точки (хи х2) = (0, 0) является
множество {(г, а): г = 0, 0 ^ а < 2я}. Поэтому если образом пары
(г> ос) является точка (xt, x2) ф (0, 0), то непременно должно быть
г = у х\ -\- х\. Но если г принимает это (положительное) значение,
Рис. 28.
, К определению
тригонометрических функций.
менее элементарно,
248
Том II
xf=rcosa
Рис. 29. Полярные координаты на
плоскости.
то точка (xjr, x2/r) £ S1 и в силу 2 существует одно и только одно
такое а £ [0, 2я), что (xjr, x2lr) = (cos a, sin а). Мы будем называть
пару (г, а) полярными координатами точки (#1э хг). Таким образом,
множество {(г, а): г> О, 0 ^ а < 2л} отображается на D12 — {0}
взаимно однозначно. Однако целесообразно отказаться от взаимной
однозначности и разрешить а принимать любые действительные
значения. Тогда, очевидно,
**Т при г Ф 0 полным
прообразом точки (г cos a,
г sin а) будет множество
{(г, а + 2кп): к £ Z} (см.
рис. 29).
Если г ДО>0 и а ДО-
непрерывные,
определенные на некотором
промежутке / функции, то
соотношением ФДО =(гДО-
• cos а ДО, гДО-sin а ДО)
задается некоторый
параметризованный путь W на плоскости. Если функции гДО и а ДО вдобавок
и непрерывно дифференцируемы, то таким же будет и отображение
Ф, причем производные ф^ и ф2 вычисляются по формулам
q)J ДО = г ДО -cos а ДО — г ДО • а ДО • sin а ДО,
<p'2(t) = r' (t)-$ina(t) + r(t)-a (t)-co$a(t).
Если / = [а, 6], то длина пути W равна
Ц\¥)=]\\Ф' (t)\\dt=\-V(r')2 + r*.(a'fdt.
а а
4. Спираль Архимеда. Пусть гДО = c-t и аДО = t, где с —
постоянная и t >. 0 — переменная. Этими условиями в (#1? я2)-
плоскости задан путь, называемый «спиралью Архимеда». Если
ограничить значения t промежутком [0, t0], где t0 > 0 — произвольное
число, то мы получим гладкий подпуть Wto, длину которого можно
вычислить по формуле
L(Wto)= |Vc2 + c2t2dt= с jVl + fdt.
Пользуясь тем, что первообразной функции j/"l + £2 является
функция
*{уц~ё+Tin(*+VT+?),
2" * • ' ' 2;
длину пути jL(Wfe) можно выразить в замкнутой форме.
Гл. I. Пути в [frn 249
5. Логарифмическая спираль. Функции r(t) = с*еи >0и a(t) =
= t, где с>ОиЯ>0~ постоянные, определены на всей
действительной прямой 01. Соответствующий путь в (#1, #2)-елоскости
называется «логарифмической спиралью». Когда t меняется от 0 до — оог
b
Рис. 30. а — спираль Архимеда, Ъ —
логарифмическая спираль.
эта спираль бесконечное число раз обегает вокруг точки (0, 0),
навиваясь на нее и приближаясь к ней все теснее и теснее; когда же^
меняется от 0 до +оо, мы получаем бесконечное множество все более
широких витков.
250
Том II
Для каждого конечного промежутка [а, Ъ] изменения параметра
соответствующая часть логарифмической спирали является гладким
путем, и сразу можно вычислить, что
L( Wat ь) = с j Yi+¥(eKb - еы).
Любопытно, что при а ->- —оо это выражение стремится к некоторому
конечному пределу. Это, если угодно, означает, что часть спирали,
навивающаяся на точку (0, 0), имеет
конечную длину (см. рис. 30).
6. Примером «пространственной
кривой», т. е. пути в HI3, служит винтовая
линия, параметризованная отображением
Ф(£) = (a-cos t, а-sin t, bt), t £ К.
Точки винтовой линии, соответствующие
двум значениям параметра t0 и t0 + 2я,
отличаются только своей #3-координатой,
и при этом на 2лЬ. Это число называется
шагом винтовой линии, а число а — ее
радиусом. Из теоремы 3.3 сразу следует, что
каждый замкнутый подпуть Wtu t2
винтовой линии спрямляем и что
£Wllt2)=(*2-*i)V7+72
' (см.' рис. 31).
7. При £6(0, 1] положим r(t) = ty
<x(t) = lit. Функция a(t) при t -> 0 не имеет
предела. Если, однако, образовать Ф(£) =
= (r{t) • cos a(£), r(t) • sin а(£)), то
отображение Ф можно сделать непрерывным в точке
t = 0, доопределив его в этой точке
условием Ф(0) = 0. Тем самым на промежутке [0, 1] будет определен
параметризованный путь W. На промежутке (0, 1] отображение Ф
является даже гладким. Поэтому при 0 < tt ^ 1
1
Рис. 31. Винтовая
линия (спроектированная на
(xi, х3)-плоскость).
L(W)^L(Wi
t..i)-fV(r:
i
-J
f + r\(a)zdt:
t
dtr>>
Ji-ц*.
Однако если ti стремится к нулю, то — In tt становится сколь угодно
большим. Отсюда следует, что L(W) = оо, т. е. путь W не является
«спрямляемым.
%
Гл. I. Пути в R,n 251
§ 6. КАСАТЕЛЬНАЯ И КРИВИЗНА
Параметризованная прямая в Кп по определению есть некоторое
невырожденное линейное отображение Я: 01 -*■ Dln, т. е.
отображение вида K(t) = х0 + tr, где t £ 01, а х0, г — постоянные векторы,
причем г Ф 0. Параметризация X называется эквивалентной
параметризации Я*: 01 ->■ 01п, если Я* = tag, где g: 01 ->- 01 — некоторое
отображение вида g(t) = at -\- b и а — положительное число. Тогда
Я*(01) = ЦК), и если %*(t) = х* + £г*, то г* = аг, где а — также
положительное число. (Эти условия и достаточны.) Тем самым,
очевидно, определено некоторое отношение эквивалентности;
соответствующие классы эквивалентности называются ориентированными
прямыми.
Пусть теперь W — некоторый путь в 01п и х0 — какая-либо точка
его следа. Мы собираемся выяснить вопрос об (ориентированной)
прямой, «касающейся» пути W в точке х0. Чтобы получить простой
ответ, нужно предположить, что путь W является гладким.
Пусть, следовательно, Ф: / -*■ 01п — гладкая параметризация
пути W, t0 £ I и х0 = Ф(*о)- В силу рассуждений, проведенных
в § 4, существует такая окрестность U точки t0, что отображение
Ф\17 (] j взаимно однозначно. Пусть теперь х4 £ Ф(# П Л» например
Xi = <X>(fi)9 ti £ U П h и пусть Xi Ф х0, так что tt Ф t0. Тогда формула
X(t) = x0+ ~~ ° (xt—Xq)
• ц —10
определяет некоторую ориентированную прямую (секущую), причем
X(t0) = х0 и k(ti) = х4. Предел отношения
—Ц- (Xl - х0)=-J— (ф ы - ф (о)
ti — Tq h — Н
при tt -*- t0 существует и равен Ф'(^о) Ф 0- Определяемую
отображением
Я0(«) = х0 + (* - Ч) .ф'(*0)
ориентированную црямую можно поэтому рассматривать как
«предельное положение» упомянутой выше секущей. Она называется
касательной к пути W в точке х0.
Остается еще показать, что касательная не зависит от
параметризации. Для этого достаточно рассмотреть натуральную
параметризацию Т пути W. В силу § 4 параметризация W также является
гладкой, и имеет место соотношение Ф = Wcs, где s — дифференцируемая
и строго монотонно возрастающая длина дуги. Положим s0 = s(t0).
Касательная к пути W в точке х0 = ^(sq), определенная с помощью
252 Том II
параметризации \Р, задается линейным отображением
X*(s) = x0 + (s-s0).V'(s0).
При этом Y'(so)-s'(*o) = Ф'(*о) и s'(t0) = ||Ф'('о)|| > 0- Отсюда
следует наше утверждение.
Тем самым мы показали, что гладкий путь в каждой точке х0
своего следа имеет касательную. Если существует лишь одно
значение параметра t0, для которого Ф(*0) = хо» то касательная даже
определена однозначно. Если же существует несколько значений t^\
для которых Ф(ЭД*>) = х0, то в точке х0 может быть несколько
касательных.
Если некоторая ориентированная прямая определена линейным
отображением X(t) = х0 + £г, то отображение X(t) = х0 + t(—r)
определяет «противоположно ориентированную» прямую. Легко
видеть, что касательной к пути —W в точке г0 служит прямая,
ориентированная противоположно касательной к пути W в точке х0.
Теперь мы хотим определить кривизну пути W в некоторой точке
х0 его следа; при этом, говоря наглядно, она будет выражать
скорость изменения направления касательной.
Для простоты рассмотрим здесь только пути в D12. Будем
предполагать, что путь W является гладким и дважды непрерывно
дифференцируемым. Пусть Ф: / ->- D12 — гладкая, дважды непрерывно
дифференцируемая параметризация пути W. Направление касательной
к пути W в точке х0 = Ф(*о) определяется вектором Ф'(£0) =
= (9i(*o)> Фг(^о)) или же углом между касательной и (положительно
ориентированной) а^-осью, т. е. числом a(t0), однозначно
определяемым условием
1
(cosa(£0), sina(t0)) = Ф'(*о)> 0^a<2n.
Это число не зависит от (гладкой) параметризации пути W. Пусть
теперь
— натуральная параметризация пути W. Под кривизной пути W
в точке Ф(£0) мы будем понимать число
as at as
где, естественно, мы положили
So==s{t0) = L(Wtl)=\0\\<J)' (t)\\dt.
а
Гл. I. Пути в R,n 253
Разумеется, нам нужно еще доказать существование производной
da/dt. Заметим, что, как легко вычислить,
dt \\\
Имеем
d (wi)=if^(^-^)-
С08а(,)=_4^_) sina(*) = - *®
ЦФ'(*)Н ЦФ'(0Н
Если a(t0) Ф 0, то в некоторой окрестности точки a(t0) по крайней
мере одна из функций cos и sin имеет дифференцируемую обратную
функцию; следовательно, функция a(t) в точке t0 дифференцируема.
Если, например, ср^о) Ф 0> то
-sin a (*) — (<o) = f-2i-Y(«o),
W dtK J \||Ф'||/
lTWs=s ||Ф'Ц2 (o)' ()
Если бы ф^о) Ф 0» то аналогичным образом мы пришли бы к тому
же результату. Если a(t0) = 0, то будем считать а принадлежащим
промежутку [—л;, я]. Тогда с помощью подобного же рассуждения
мы снова придем к формуле (1). В силу § 4 обратная функция s~l
также дифференцируема и
— (*(*о)) =
ds \\Ф'(Ш\
Таким образом, в результате мы получаем
„,,4 Ф1ф2 ~ф1ф2/4Ч /9ч
(°)= ||ф'||3 (0)' ()
Из двукратной непрерывной дифференцируемости
параметризации ф вытекает таковая же для функции s(t), а потому, поскольку
s'(t) = || Ф'(£) || Ф 0, и для s*1. Поэтому дважды непрерывно
дифференцируемо и отображение \Р = фо$-1. Если провести проделанные выше
вычисления для *F вместо Ф и воспользоваться тем, что \\}Vf \\ = 1,
то окажется, что справедлива одна из формул
k(s)= xi_w_ или же х (s) = ■
^2(5) ф1(«)
смотря по тому, какая из правых частей имеет смысл. Отсюда, далее,
следует, что |x(s)| = Ц^'^Ц.
254
Том II
В качестве примера вычислим кривизну окружности с центром
z = (zu z2) и радиусом г > О, параметризованную отображением
Q(cp) = [zi + т cos— , z2 + г sin—J, 0 <; ф < 2ш\ Сразу
проверяем, что || Q' || =s 1; таким образом, Q является натуральной
параметризацией, и мы получаем^ х = 1/г. При параметризации Q
окружность обходится в
положительном направлении (по
определению). Отображение
0(ф) =
-(*
Ф
+ r-cos — , z2— г-sin
г
*)•
где 0^ф^2зхг, является
натуральной параметризацией той
же окружности, обегаемой в
отрицательном направлении. В
этом случае подсчет дает
к = —1/г.
Если W: /->■ И2 —
натуральная параметризация какого-
либо дважды непрерывно
дифференцируемого гладкого
пути W, и если s0 £ /, х0 —vvF(s0) и kw (s0) Ф О, то можно найти
одну и только одну ориентированную окружность, проходящую
через точку х0 и имеющую в точке х0 ту же касательную и ту же
кривизну (и та и другая берутся при значении параметра s0), что
и путь W. Если мы зададим искомую окружность в виде
Рис.
Касательная
визны.
круг кри-
Q (ф) = I Zi + r-cos — , z2 ± r*sin — J,
то нам нужно отыскать такие г, z и ф0, чтобы
0<ф<2пг, (3)
QM = Yfa), О'М = *'(*) и
и*(фо)=±—=="w(*o).
Выберем г > О так, чтобы удовлетворялось третье условие (если
бы kw (s0) = О, то это условие было бы не выполнимо; в этом случае
также говорят, что касательная имеет с путем W в точке х0 касание
второго порядка). В зависимости от того, положительна или
отрицательна кривизна Xw(5o)> мы будем в (3) и в следующих равенствах
выбирать верхний или нижний знак.
Поскольку || ^'(so) || = 1, существует ровно одно такое а0 6
6 [0, 2ах), что (— sina0, ± cos а0) = ЧГ^о) (ср. § 5, 2). Если положить
Фо = г<*о> то будет выполняться второе из написанных выше уело-
Гл. /. Пути в R,n 255
вий. После этого первое условие позволяет найти в качестве центра
окружности лишь одну единственную точку z, именно
;=y(5o)_(rCOS^\ ±rsin^°V
Если здесь положить г = ±(xw(s0))~\ то мы получим
Z=XP (So) - (KW (So))"1 ЩЗо) - ^(S0))
(см. рис. 32).
В качестве второго примера рассмотрим действительную функцию
/, определенную и непрерывную на замкнутом промежутке [a, b]czR.
Отображение Ф(х) = (х, f(x)) задает график Gf функции / как путь
в К2. Если функция / непрерывно дифференцируема,» то Ф'(х) =
= (1, f(x)) и, значит, график Gf является гладким. Мы получаем
L(Gf)=]Vl + (ffdx.
а
Если функция / дважды непрерывно дифференцируема, то таким
будет и ее график G/, и его кривизна равна
и/гу Ф1ф2-фГф2М f(x)
()~ HO'lf W~(i + (/'(-))2)3/2'
Глава II
ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВА Кп
§ 1. ОКРЕСТНОСТИ
Определение 1.1. Пусть х0 £ Шп и е — некоторое
положительное число;, е-окрестностью точки х0 называется множество
вида
£78(xo) = {x6Dln: |х-х0|<е}.
При этом |х| = max |zv|, ср. гл. I, § 1.
v=l, ...,п
Таким образом, е-окрестность Ue(x0) есть я-мерный куб с центром
х0 и ребрами длины 2е, параллельными координатным осям.
Очевидно, всегда х0 6 Ue(x0) H!^ei(xo) |С1 Ue2{x0) при 0 < е4 < е2.
Определение 1.2. Пусть М с: Кп. Точка х0 6 ^п
называется внутренней точкой множества М, если существует такое е>0,
что иг (х0) с: М.
В частности, в |этом случае х0 £ М.
Определение 1.3. Окрестностью точки х £ lftn мы называем
любое множество точек, содержащее х как внутреннюю точку.
Множество U а Кп является, таким образом, окрестностью точки
х в том и только в том случае, если оно содержит некоторую
е-окрестность точки х. В частности, всякая е-окрестность точки х является
и ее окрестностью. Окрестность точки х мы будем часто обозначать
символом U(x).
Определен иле 1.4. Пусть М с: Шп. Множество М
называется открытым множеством, или областью *), если каждая точка
множества М является его внутренней точкой.
Пример. Пусть al9 . . ., an, bi9 . . ., Ъп £ 01 и av < bv при
у = 1, . . ., п. Тогда
<?={(#!, ..., xn)eRn: av<a:v<bv; v = l, ..., п)
есть открытое множество (открытый параллелепипед). В самом деле,
для произвольной точки х0 = (х[°\ . . ., #п0)) 6 Q положим е =
= min {(^0) — av), (bv — x^))}. Тогда, очевидно, иг(х0) a Q.
v=l, ..., п
г) Областью обычно называют не всякое открытое, а лишь открытое
связное множество, т. е. открытое множество, непредставимое в виде объединения
двух непустых непересекающихся открытых подмножеств.— Пр им, пер ев.
Гл. II. Топология пространства Шп
257
Теорема 1.1. Система открытых множеств обладает
следующими свойствами:
(1) 0 и Кп являются открытыми множествами;
(2) объединение любого множества открытых множеств открыто;
(3) пересечение конечного числа открытых множеств открыто.
Доказательство. Свойство (1) тривиально. Свойство (2)
доказывают так: если UL, где i пробегает произвольное множество
индексов /,— открытые множества и точка х0 £ (J Uiy то х0 принад-
лежит по крайней мере одному множеству UlQ. Тогда существует
такое е>0, что UE(x0)czUiocz \J *7t.
Свойство (3) устанавливается следующим образом: если множе-
i
ства Uи . . ., Ui открыты и точка х0 £ f| V\, то для каждого Я суще-
ствует такое е*, > О, что UBAx0)czUx- Тогда 8= min 8Я>0
А я=1 i
и Ue(xo) с: Ue)(x0) cz U% при любом X = 1, . . ., I, и потому
иЕ(х0) а П U%.
Пересечение произвольного множества открытых множеств может
не быть открытым: множества Мх=\ х: | х| <-«- V при Я = 1, 2, 3, ...
оо
являются открытыми параллелепипедами, а пересечение (] Мх—{0},
Я=1
очевидно, не открыто.
Если в каком угодно множестве X задана система подмножеств,
обладающая свойствами (1) — (3) из теоремы 1.1 (причем в свойстве
(1) нужно заменить Кп на X), то эту систему называют топологией в X,
а отдельные множества этой системы —«открытыми множествами»
в этой топологии. Множество X вместе с некоторой топологией в X
называется топологическим пространством. В любом метрическом
пространстве дословно так, как мы это сделали здесь для Шп, можно
определить топологию (ср. гл. I, § 1).
Прежде чем продолжить изучение топологии пространства 01п,
отметим некоторые теоретико-множественные правила.
Если М a llin, то множество {х £ Dln: x <J M} называется
дополнением множества М\ мы будем обозначать его символом М'.
Тогда
(a) (М'У = М\
(b) из N а М следует М' a N';
(c) если {My,: i £ /} — некоторая система подмножеств
пространства 01п, где J — произвольное множество индексов, то
(U ML)'= П Ml и (П Мь)'= U Ml.
46/ i€/ i€/ t£/
17—832
258 Том Л
Утверждения (а) и (Ь) сразу следуют из определения. Первая
формула из (с) доказывается так. Условие х £ (U^t)' означает, что
х $ U Mt. Это значит, что для всех и £ / точка х $ Mt. Но
это — то же самое, что для всех i £ / точка х £ Af[, т. е. х£ П -WJ.
Вторая формула из (с) следует из первой, если воспользоваться (а).
Эти правила, разумеется, будут в такой же мере справедливы,
если мы будем рассматривать подмножества любого множества X
(вместо Кп).
Возвратимся теперь к топологическим понятиям.
Определение 1.5. Множество М cz Шп называется
замкнутым, если его дополнение М' открыто.
Теорема 1.2. Система замкнутых множеств пространства
Кп обладает следующими свойствами:
(1) 0 и Кп являются замкнутыми множествами;
(2) пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто;
(3) объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
Доказательство сразу следует из теоремы 1.1 и правила (с) о
дополнениях.
Определение 1.6. Если М с Шп, то под замыканием М
множества М мы понимаем пересечение всех замкнутых множеств
пространства И1п, содержащих множеством: М = П А.
Азамк.
В силу теоремы 1.2, (2) замыкание М замкнуто и, следовательног
является наименьшим (в смысле включения) замкнутым множеством,
содержащим множество М.
Теорема 1.3. Операция замыкания подчиняется следующим ||
правилам г):
(i) M cz M; _
(ii) из N cz M следует N cz M;
(Ш) Щ = М.
Доказательство тривиально.
Определение 1.7. Если М cz Шп, то под открытым ядром
о
М множества М мы понимаем объединение всех открытых множеств
о
пространства Шп, содержащихся в М: М = [} V. Таким образом,
VCM
УЪткр.
~п п
г) А также правилу U Mv = U MV1 которым авторы пользуются ниже.—
v= i v— l
Прим. перев.
Гл. II. Топология пространства Кп 259
о
открытое ядро М является наибольшим открытым множеством,
содержащимся в М.
Теорема 1.4. Операция перехода к открытому ядру
подчиняется следующим правилам:
(i') M cz М\
(ii') us N а М следует N cz М;
(Ш') (М)° = М.
Доказательство тривиально.
Каждая окрестность любой точки х £ Шп по определению
содержит некоторую открытую ее окрестность. Мы увидим (теорема 1.9),
что она содержит и некоторую замкнутую окрестность точки х.
Определение 1.8. Если М с: Шп, то под границей
множества М мы понимаем множество дМ = М — М.
о о
Множество (МУ замкнуто. Поэтому и граница дМ = М — М =
= М [\(МУ замкнута.
Теорема 1.5. Пусть М cz Кп и х £ КЛ Точка х принадлежит
границе дМ в том и только в том случае, если каждая окрестность
точки х содержит некоторую точку множества М и некоторую точку
его дополнения М''.
Доказательство, а) Если точка х £ В1п имеет окрестность
(7(х), не содержащую точек дополнения М\ то U(x) cz M.
Существует такая открытая окрестность £7*(х), что С/*(х) с U(x) czM. Зна-
о
чит, х £ М, и потому х $ дМ. Если существует окрестность U(x),
не содержащая точек множества М, то найдется открытая
окрестность U*(x), для которой имеют место включения С/*(х) cz U(x) cz
cz M\ и потому Mcz{U{x))' cz (U*(x)Y. Так как х $ (U*(x))' и
дополнение (U*(x)Y замкнуто, точка х <£ М cz (U*(x))' и, следовательно,
х (£ дМ. Таким образом, каждая окрестность любой точки границы
дМ обладает указанным в теореме свойством.
Ь) Пусть теперь каждая окрестность точки х £ 01п обладает
данным свойством. Если бы точка х $ М, то она содержалась бы в
открытом множестве (М)', и потому нашлась бы окрестность U(x), для
которой U(x) cz (My cz M', и, таким образом, пересечение U(x)f\M =
о
= 0. Если бы точка х £ М, то нашлась бы такая окрестность С/(х),
что U(x) cz М с М, и тогда U{x)[]Mf = 0. Итак, непременно
*еМ()(М)' = дМ.
Пример. Пусть
М = {(хи х2) б (Я2: х\ + а|< 1 или ж? + а| < 1, а^ > 0}.
17*
260 Том II
Как мы сразу убеждаемся,
М={(хи х2): Xi + #2< 1} («открытый круг»),
М = {(хи х2): х\ + xl ^ 1} («замкнутый круг»),
дМ = S1 = {(хи х2): х\ + х\ = 1}.
В этом случае не выполняется ни одно из включений дМ а М, дМ с:
с: М'.
Теорема 1.6. (Аксиома отделимости Хаусдорфа.) Пусть xt
и х2— различные точки пространства Кп. Тогда существуют такие
окрестности Ufa) и £/(х2), что С/(х4) f] U(x2) = 0.
1
Доказательство. Положим е = -у |х2 — х4| > 0
и £7(xv) = C/8(xv) при v = 1, 2. Если бы нашлась точка х 6 11е(х{){]
П Ue(x2), то в силу неравенства треугольника мы имели бы 2е =
= |х2 — хА| •< |х2 — х | + |х — хА| < 8 + e = 2е. Это —
бессмыслица.
Следствие. Множество {х0}, состоящее из одной точкщ
замкнуто.
В самом деле, у каждой точки х £ {х0}' существует, по теореме 1.6,
е-окрестность ?78(х), не содержащая точки х0 и, значит, целиком
лежащая в множестве {х0}\ Следовательно, множество {х0}' открыто.
Определение 1.9. Пусть М с: Кп. Точка х0 £ W1
называется предельной точкой множества М, если в каждой ее окрестности
содержится бесконечное множество точек множества М.
При этом достаточно рассматривать только открытые окрестности.
Теорема 1.7. Множество МсШп замкнуто в том и только
в том случае, если оно содержит все свои предельные точки.
Доказательство. Если множество М замкнуто, то
открытое множество М' является окрестностью каждой своей точки х £ М'.
Поэтому ни одна из точек дополнения М' не может быть предельной
точкой множества М.
Пусть теперь, наоборот, множество М содержит все свои
предельные точки. Тогда если точка х £ М\ то у нее найдется окрестность V,
для которой пересечение МП V конечно и, значит, замкнуто (по
следствию из теоремы 1.6). Если окрестность U = Ue{x) a V,to
пересечение U(]((MП V)') является открытой окрестностью точки х, не
содержащей точек множества М и потому лежащей в дополнении М'.
Таким образом, дополнение М' открыто, а само множество М
замкнуто.
Теорема 1.8. Пусть М а Шп и N — множество всех
предельных точек множества М. Тогда М = M[)N*
Гл. II. Топология пространства Rw 261
Доказательство. Так как М cz M, всякая предельная
точка множества М является и предельной точкой его замыкания М.
Но М замкнуто, и потому в силу теоремы 1.7 содержит все свои
предельные точки. Поэтому тем более NczM и, значит, M[}N cz M.
С другой стороны, множество М[}N замкнуто. В самом деле, если
х0 — его предельная точка, то произвольная открытая окрестность
U точки х0 содержит бесконечно много точек из M\]N.
Следовательно, она содержит либо бесконечно много точек из М, либо
бесконечно много точек из N. Если имеет место последнее и х 6 U(]N, то U
является окрестностью и точки х и, поскольку х £ N, U содержит
тогда бесконечно много точек из М. Итак, в любом случае
пересечение UflM содержит бесконечно много точек. Поэтому х0 является
предельной точкой множества М, т. е. х0 6 N. Из теоремы 1.7 тогда
следует, что множество M[)N замкнуто. Так как замыкание М есть
наименьшее замкнутое множество, содержащее М, то М cz M[)N и,
наконец, М = M[)N.
Если U — иг (х0) — некоторая е-окрестность точки х0 £ Шп,
то, как легко проверить, пользуясь определением 1.9, множеством
предельных точек окрестности £7 служит множество {х: |х — х0| ^
^ е}. Из теоремы 1.8 следует, что
U = {х: |х — х0| ^ г}.
Теорема 1.9. Если М cz Kn и х0 — внутренняя точка
множества М, то существует такое г > 0, что Ue (x0) cz M.
Доказательство. Так как х0 — внутренняя точка
множества М, то найдется такое 8* > 0, что Z78*(x0) cz M. Для каждого
е, удовлетворяющего условию 0 < 8 < 8*, на основании только что
сделанного замечания Ue(x0) cz C/8*(x0) cz M.
По аналогии с теоремой 1.8 справедлива
Теорема 1.10. Пусть М cz Кп. Тогда открытое ядро М есть
множество всех внутренних точек множества М.
Доказательство почти тривиально. Если х —
внутренняя точка множества Ж, то существует такая открытая окрестность
U(x), что U(x) cz М, и тогда х 6 U(x) cz U V = М. Если же точка
V откр.
VdM
о
х лежит в открытом множестве М, то она является внутренней точкой
о
М, а потому и множества М.
Все определения и теоремы, начиная с определения 1.5, дословно
переносятся на общие метрические пространства. Для произвольного
топологического пространства сохраняют смысл определения 1.5—
1.9 и остаются верными теоремы 1.2—1.4. Остается верной и теорема
1-5, если только под «окрестностью точки х», изменяя определение
262
Том II
1.3, понимать любое множество, содержащее некоторое открытое
множество, включающее точку х. Останется верной и теорема 1.10,
если в качестве «внутренней точки множества М» рассматривать
любую точку, окрестностью которой является множество М.
Теорема 1.6, напротив, для произвольного топологического пространства,
вообще говоря, неверна. Зато ее справедливость в некоторых
специальных случаях имеет большое значение. Теоремы 1.7—1.9
существенно опираются на теорему 1.6.
§ ?. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА
Определение 2.1. Пусть М — множество в пространстве
Кп. Система 41 = {U^ i 6 J} множеств пространства Dln (где
/ — произвольное множество индексов) называется открытым
покрытием множества М, если все Ut открыты и если- М с: |J Ul.
Особенно удобно рассматривать покрытия с конечным
множеством индексов, которые называются конечными покрытиями. Поэтому
исключительно важен определяемый
ниже класс множеств пространства Шп.
Определение 2.2. Множество
МсЕ" называется компактным, если
для каждого открытого покрытия 41 —
— {Ub: i £ /} множества М существует
такое конечное подмножество /0 cz/, что
уже система 4V = {Ut: i £/} образует
открытое покрытие множества М.
В этом случае короче говорят, что
каждое открытое покрытие множества М
содержит конечное подпокрытие.
Теорема 2.1. Пусть г —
некоторое положительное число. Тогда
«замкнутый куб» Qr = {х £ QV1: |x| ^r}
компактен.
С
Т Ъ
Рис.
33. К доказательству
теоремы 2.1.
Доказательство мы проведем от противного. Допустим,
что существует открытое покрытие 41 — {C/t: i£ /} куба Qr, не
содержащее никакого конечного подпокрытия. Разобьем куб Qr = ()(0>
на 2П равных кубов (см. рис. 33):
<?(+ +>={х: 0^*v<r; v = l, ..., гг},
<?(+ +,->={х: 0<*v<r; v = l, ..., лг — 1, -r<*n<0},
-)(0)
«°i -) = {х: -r<*v<0; v=lf
п).
Гл. II, Топология пространства Шп
263
Система °И является открытым покрытием и каждого из этих меньших
кубов. Если бы покрытие 41 содержало конечное покрытие каждого
из них, то оно содержало бы и конечное покрытие всего куба Qr.
Таким образом, по предположению по крайней мере один из этих
кубов не покрывается никакой конечной подсистемой покрытия °IL\
пусть <?(1) — один из таких кубов. Запишем
<?(i)={x: а^^х^Ь^; v = l, ..., п},
причем Ь{" — а™ — г при v = 1, . . ., п.
Допустим теперь, что для К = О, 1, . . ., /мы уже нашли подкуб
QW = {х: а^ ^ Ху <: b^; v = 1, . . ., п) куба Qr,
удовлетворяющий следующим условиям:
(1) куб (W не покрывается никакой конечной подсистемой
системы °11\
(2) <?<°> =э QWzd . . .zd <?«>, т. е. при v = 1, . . ., п
~r<ati)<at2)<...<4)<^)<...<bii)<r;
(3) (Ь™ - 4м) = г^т при v = 1, . . ., п.
Разобьем тогда куб QW подобно тому, как мы это сделали с кубом
(?(°\ на 2П равных кубов
Q?l +>={*: ^(аУ + Ъ^^ъ^ъУ; v=l, ..., п} ,
$>§...§-,= |ж: аУ^х^±(аУ+Ъ«); v = l, ..., и}.
В точности как и выше, заключаем, что хотя бы один из этих меньших
кубов не покрывается никакой конечной подсистемой покрытия °И\
в качестве куба @<Z+D выберем один из таких кубов. Для кубов (?(0\...
• • -, QV+U выполняются условия (1), (2) и (3). Из (2) сразу
следует, что при v = 1, . . . , п существуют пределы lim a^ и lim Ъ^.
Я->оо Л-»оо
Из (3) тогда следует, что lim а£Я) = lim b(v \ Положим х^0) = Пта^
и х0 == (х\°\. . ., х{^)\ получим
х0е П <?(Я)с:<?г.
А,=1
Таким образом, существует такой индекс i0 6 «Л что х0 £ UK .
Так как множество UiQ открыто, найдется такое е > О, что Ue(x0) cz
с: UiQU Далее, найдется такое число I £ N, что 21~'-г< е. Но тогда
264 Том II
QO) ^ £/е (Хо). действительно, для любой точки х £ @<0 на основании
(3) и того, что точка х0£ ()<*>, имеет место неравенство |х — х0| ^
^ 21-' -г <С е. Следовательно, тем более QW cz Ub , и куб ()(z> в
противоречии с (1) покрывается уже одним элементом покрытия 41.
Следует заметить, что это доказательство неконструктивно, т. е.
оно не описывает никакого метода, который позволил бы из
произвольного заданного покрытия куба QT выбрать какое-нибудь
конечное подпокрытие.
Пользуясь теоремой 2.1, можно просто охарактеризовать
компактные подмножества пространства Ип.
Определение 2.3. Множество М а Кп называется
ограниченным, если существует такое г > 0, что М cz Qr = {х: |х| ^ г}.
Теорема 2.2 (Гейне — Бореля). Множество М в
пространстве Шп компактно в том и только в том случае, если оно замкнуто
и ограничено.
Доказательство, а) Пусть множество М замкнуто и
ограничено, например М cz Qr- Обозначим через 4i = {Ub: i£ /} какое-
либо открытое покрытие множества М. Так как дополнение М'
открыто, то система 41* = 41{){М'} является открытым покрытием куба
Qr. На основании теоремы 2.1 41* содержит некоторое конечное
подпокрытие 4V куба Qr. Тогда элементы подпокрытия 4V,
принадлежащие 41, покрывают множество М.
Ь) Пусть теперь М — компактное множество. Докажем сначала,
что оно замкнуто. Для произвольной точки х £ М' рассмотрим
окрестности Uv = UBv(x), где ev = 1/v и v = 1, 2, 3,. . . . Очевидно,
оо
(7V+1 cz Uv ж (] Uv = {х}. Положим Vv = (Uv)'. Тогда множество
v=l
оо
Vv открыто, выполняется условие Vv+1 zd Vv и U Vv = Kn —
v=l
— {x} zd M. Открытое покрытие {Vv: v £ Ы} множества М по пред- f|
положению содержит некоторое конечное подпокрытие {Vv , Vv , . . .
. . . ., Vv } множества M. Если теперь k = max {v0, . . ., vm}r
т
то М с: U Vv = Vk и, следовательно, М' zd Vu = Uk zd Uu =
= Uek(x). Итак, мы установили, что дополнение М' открыто.
Покажем теперь, что множество М ограничено. Система открытых
о
кубов {Qv: v £ Ы} является открытым покрытием пространства В1п,
значит, тем более множества М. По предположению существует конеч- ||
° ° * i
ное подпокрытие {(?v0> • • •> Qvm} — множества М. Поскольку |
О О
Qv cz Qv+i, для к = max{v0, . . ., vm} имеет место включение М с
о
cz Qk cz Qk, т. е. множество М ограничено.
Гл. П. Топология пространства Rn 265
Теорема 2.3. Пусть Ki, . . ., К\ — конечное число компакт-
i
пых множеств в пространстве Dln. Тогда их объединение К = [} Кк
компактно.
Доказательство. Пусть °ll = {Ub: i£ /) — какое-нибудь
открытое покрытие множества К. Тогда Я1 является открытым
покрытием каждого из множеств К),. Поэтому при Я = 1, . . ., I
существуют такие конечные подмножества J\ cz /, что система {UL: i£ J^}
i
является покрытием множества Ку,. Но тогда объединение U Jx
i
также конечно, и система {£/t: ig [}J%] является покрытием мно-
жества К.
Определение 2.4. Пусть G — открытое множество в
пространстве 01п. Подмножество G* cz G называется относительно
компактным в G (или «лежащим целиком внутри множества G»), если
замыкание G* компактно и если G* cz G. В этом случае мы будем
писать G* czcz G.
Наглядно это означает, что множество G* ограничено и не
приближается к границе множества G.
Теорема 2.4. Пусть К cz G cz Hn, причем множество G
открыто, а К компактно. Тогда существует такое открытое
множество G*, что К с G* czzcz G.
Доказательство. Так как множество G открыто, у
каждой точки х 6 К существует такая е-окрестность U(x), что. U(x) cz G.
Тогда 41 = {U(x): x £ К} есть открытое покрытие множества К.
Так как К компактно, его покрывает уже некоторое конечное число
множеств из этого покрытия, например [/"(xj), . . ., Ufa). Положим
i i
G* = U U(xt). По теореме 2.3 замыкание G* = \jV(xx) компактно,
Я=1 Я=1
и по построению имеют место включения К с G* и G* cz G.
§ 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТОЧЕК
Если каждому натуральному числу I = 1, 2, 3, . . . поставлена
в соответствие некоторая точка хг £ Dln, то х15 х2, х3, ... называется
(бесконечной) последовательностью точек пространства Rn. Каждая
отдельная точка X; называется элементом этой последовательности.
Два элемента последовательности с различными индексами могут
совпадать как точки, но в качестве элементов последовательности
их следует рассматривать как различные. Последовательность точек
х1? х2, х3, ... короче будет обозначаться символом (хг).
266 Том II
Каждая последовательность точек (х;) пространства Кп
определяет некоторое множество в Шп: {х^: I £ IN} — {x £ Kn: существует
такое число I £ Ы, что х = х*}.
Многие теоремы о числовых последовательностях можно распро-
странить на последовательности точек в Кп. Это мы и собираемся
сделать.
Определение 3.1. Пусть (х^) — последовательность точек
пространства Шп. Точка х0 £ Dln называется предельной точкой
последовательности (xi), если в каждой окрестности точки х0 лежит беско-
лечное множество элементов последовательности (xi).
Предельная точка множества точек {х^: I £ IN}, очевидно, является
ж предельной точкой последовательности (х^). Обратное верно не
всегда, как показывает пример постоянной последовательности х^ = х0,
/ = 1, 2, 3, . . . .
Определение 3.2. Последовательность точек (xi)
пространства Кп называется ограниченной, если ограничено множество точек
ы-
Теорема 3.1 (Больцано — Вейерштрасса). Каждая
ограниченная бесконечная последовательность точек^ {xL} в Кп имеет по
крайней мере одну предельную точку.
Доказательство. Пусть г > О выбрано так, что {х^} cz
с Qr- Допустим, что последовательность (xt) не имеет в кубе Qr
предельных точек. Тогда у каждой точки у £ Qr найдется открытая
окрестность U(y), содержащая не более конечного числа элементов
последовательности (х^). Система 41 = {U(y): у £ Qr} является
открытым покрытием куба Qr; по теореме 2.1 существует конечное
число таких точек уь . . ., ym £ Qr, что куб Qr содержится уже
т
в объединении (J {/(у^). Так как в каждой окрестности U(yli) лежит
не более конечного числа элементов последовательности (у*), то и во
всем Qr может лежать лишь конечное их число. Но это —
противоречие.
Определение 3.3. Последовательность точек (х*) в 01п
называется сходящейся к точке х0 £ Dln, если в каждой окрестности
точки х0 содержатся почти все элементы этой последовательности
{т. е. все элементы, за исключением, быть может, конечного их числа).
В этом случае пишут lim xt = х0 или х* -+■ х0 и точку х0 называют
I -+ со
пределом данной последовательности. Высказывание: lim xi = х0
равносильно высказыванию: для каждой окрестности U точки х0
существует такой номер Z0 £ IN, что xi £ U для всех номеров I > 10.
Гл. 77. Топология пространства IRn
267
Предел сходящейся последовательности, очевидно, является и ее
предельной точкой. В силу аксиомы отделимости Хаусдорфа (теорема
1.6) последовательность имеет не более одного предела.
Теорема 3.2. Пусть х0 — предельная точка множества точек
М cz Rn. Тогда существует последовательность точек (xi) с попарно
различными лежащими в М элементами, сходящаяся к х0.
Доказательство. Положим е^ = 1/Я и U% = Uz%(x0)
при Я = 1, 2, 3, ... . Как угодно выберем точку xt £ U\[\M. Если
уже выбраны точки х*, £ U%{]M для Я = 1, . . ., I — 1, где I > 2,
причем все они попарно различны, то точку xt £ £7гП^ выберем так,
чтобы она была отлична от всех точек хи . . ., х/_4. Это возможно,
так как пересечение UiflM является бесконечным множеством.
Определенная таким образом по индукции последовательность (х;),-
очевидно, сходится к точке х0 (ср. т. I, гл. II, теоремы 4.5 и 4.6).
Аналогично доказывается
Теорема 3.3. Пусть х0 — предельная точка
последовательности (xi). Тогда существует подпоследовательность (х1;) последователь-
кости (х*), сходящаяся к точке х0.
Далее, справедлива
Теорема 3.4. Последовательность точек (xi) сходится в том
и только в том случае, если она ограничена и имеет только одну
предельную точку.
Доказательство, а)- Пусть xi ->• х0. Для 8-окрестности
£/е(х0), где е > 0 — произвольное число, существует такой номер
10, что лишь конечное число элементов х4, . . ., х/0 может не лежать
в Ue(x0). Если мы положим
r=max(|x0| + e, |х4|, ..., |xjj),
то, очевидно, {х;}с:(?г. Если бы последовательность (xi) имела еще
одну отличную от х0 предельную точку xj, то по теореме 1.6 нашлись
бы такие окрестности U(x0) и *7*(х*), что U(x0)f] U* (xj) = 0.
В U*(x*) должно лежать бесконечное множество элементов нашей
последовательности, а в U(x0) — почти все ее элементы. Это
невозможно.
Ь) Пусть х0 — единственная предельная точка последовательности
(*г), и пусть для подходящим образом выбранного г множество
{х/} cz Qr. Если бы нашлась 8-окрестность U = Ue(x0), содержащая
не почти все элементы последовательности, то в пересечении Uf fl Qr
лежало бы бесконечное множество ее элементов, т. е. некоторая ее
бесконечная подпоследовательность. По теореме 3.1 эта
подпоследовательность имела бы какую-нибудь предельную точку xj. Так как
пересечение U' {] Qr замкнуто, то х* £ £/' П (?r <= U' и, значит,
х0=£х*. Но тем более точка х* была бы предельной точкой
последовательности (х;), и мы пришли к противоречию.
268
Том II
Теорема 3.5. Пусть xi = (х[1\ ..., х^) при I = 1, 2,. 3, ...
и 1 = 0. Тогда lim xi = х0 в том и только в том случае, если.
lim а#> = х™ при v = 1, . . ., п.
f-юэ
Доказательство. Высказывание: xi £ Ue(x0) равносильна
высказыванию |Д1) — #v0)l< 8 при v = 1, . . ., п. Наше утверждение-
следует из теоремы 4.2 гл. II т. I.
Теорема 3.6. Пусть (xt) и (yt) — последовательности точек
в Кп и (ai) — числовая последовательность. Если существуют
пределы lim xj и lim yf, то существует и предел lim (xi + У/) и
1-*оо
1-*оо
1-+0О
lim (xi + Уг) = Hm xz + lim yz.
Если существуют пределы lim xi и lim az, /no существует и предел'
lim a/Xj w
lim a*X; = lim az • lim xt.
Доказательство. Ввиду теоремы 3.5 эти утверждения
сводятся к соответствующим утверждениям о числовых
последовательностях (см. т. I, гл. II, теорема 4.7).
§ 4. ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Если каждой точке х некоторого (непустого) множества М в
пространстве Шп однозначным образом поставлен в соответствие
определенный элемент /(х) £ Hi = RU {—°°> +°°Ь то говорят, что на
множестве М задана функция f со значениями в R. Множество М
называется в этом случае областью определения функции /. Функцию / назы- ;
вают также функцией п переменных и пишут /(х) = f{xu . . ., хл)г
если х = (хи . . ., хп). Если для всех точек х £ М всегда /(х) £ Rr
то / называется действительной функцией. Если N cz M, то
множество
{у 6 Ift: У = /(х) Для некоторой точки х £ iV} = f(N)
называется образом множества N. Далее, полагают max f(N) = ;
= sup / (N) и min f(N) = inf f(N) г). Наконец, сужением функции /;
на N называется функция, определенная на множестве N и ставящая \
каждой точке х £ N в соответствие значение /(х). Эта функция обо-Ц
значается символом f\N.
х) Символами max / (N) и min / (N) мы будем пользоваться лишь в случае,
когда функция / принимает эти значения.—.Прим. перев.
Гл. II. Топология пространства ft71
269
Многие понятия и теоремы, известные нам для функций одной
леременной, можно обобщить на случай функций нескольких
переменных. Это задача ближайших параграфов.
Определение 4.1. Пусть / — функция, определенная
ла множестве М cz Кп, причем f(M) a K\J {—оо}. Тогда функция /
лазывается полунепрерывной сверху в точке х0 6 М, если для
каждого действительного числа г, для которого /(х0) < г, существует такая
окрестность U точки х0, что f(Uf\M) < г. Если функция / полуне-
лрерывна сверху в каждой точке х0 £ М, то она называется
полунепрерывной сверху на множестве М.
Определение 4.2. Пусть функция / определена на
множестве М cz Кп и f(M) cz DIU {+°°}- Тогда функция / называется полу-
непрерывной снизу в точке х0 6 М, если для каждого г £ DI, для
которого /(х0) > г, существует такая окрестность U точки х0, что
f(Uf)M) > г. Если функция / полунепрерывна снизу в каждой точке
х0 6 М, то она называется полунепрерывной снизу на множестве М.
Теорема 4.1. (а) Если функция f полунепрерывна в точке х0
сверху (соответственно снизу), то функция —/ полунепрерывна
в точке х0 снизу (сверху), и наоборот.
(b) Если функции Д и /2 в точке х0 полунепрерывны сверху (снизу),
то это же верно и для функции ft -j- /2.
(c) Если c£Ruc > 0, и если функция f в точке х0 полунепрерывна
сверху (снизу), то это же верно и для функции cf.
При этом (-/)(х) = -/(х), (Л + /2)(х) = Л(х) + /2(х), (cf)(x) =
= c-f(x) и соблюдаются следующие соглашения: —(+оо) = —оо,
— (—оо) = +оо, а + (±о°) = (±°°) + а = ±оо при а £ К и
£•(+00) = ±оо при с > 0.
Доказательство аналогичных утверждений для случая одной
переменной (т. I, гл. IV, теоремы 2.1—2.3) дословно переносится на
доказательство этой теоремы.
Определение 4.3. Действительная функция /,
определенная на множестве М cz Кп, называется непрерывной в точке х0 £ М,
если функция / полунепрерывна в этой точке и сверху и снизу. Она
называется непрерывной на множестве М, если она непрерывна в
каждой точке множества М.
Для полунепрерывности и непрерывности функции / в некоторой
точке х0 существенно только поведение функции / в сколь угодно
малых окрестностях точки х0, поэтому их называют локальными
свойствами функции.
График можно определить и для действительных функций
нескольких переменных: Gf = {(х, у) £ (ftn+1: х £ М, у = /(х)}. В случае
п = 2 графики достаточно «хороших» функций можно себе наглядно
представлять как поверхности в Ш3.
270 Том II
Теперь мы сформулируем критерии непрерывности, уже
известные для случая п = 1.
Теорема 4.2. Действительная функция /, определенная,
на множестве М, непрерывна в точке х0 £ М в том и только в том
случае, если для каждого е > 0 существует такая окрестность U
точки Хо? что для всех точек х £ U(]M выполняется неравенство
|/(х)-/(х0)|<е.
Доказательство проводится дословно так же, как и
доказательство аналогичной теоремы 3.1 из гл. IV т. I.
Теорема 4.3. (Критерий с последовательностями.)
Действительная функция /, определенная на множестве М, непрерывна в точке
х0 £ М в том и только в том случае, если для каждой
последовательности (хх) точек множества М, сходящейся к х0, последовательность
/(ха,) сходится к /(х0).
Доказательство протекает почти дословно так же, как и для одной
переменной (т. I, гл. IV, теорема 3.2).
Пусть теперь / — действительная функция на множестве М и х0 —
предельная точка множества М. Точка х0 может и не принадлежать
М. Мы будем говорить, что функция /(х) имеет в точке х0 предел а
по множеству М, если функция F, определенная на множестве-
М\] {х0} условиями
F\(M - {х0}) = /|(М - {х0}), F(x0) = a,
непрерывна в точке х0. Мы будем обозначать это так: lim /(x) =
х->хо
х£М
= а. Если такое значение а существует, то оно единственно. Это
можно показать точно так же, как и в случае одной переменной
(т. I, гл. IV, теорема 3.4).
И при этих обстоятельствах можно высказать критерий с
последовательностями, сразу вытекающий из теоремы 4.3.
Теорема 4.4. Предел lim /(х) равен а в том и только в том слу- Ц
х-»х0
хем
чае, если для каждой последовательности (х^) точек множества М—
— {х0}> сходящейся к х0, последовательность f{xy) сходится к а
Пусть действительные функции / и g определены на множестве |]
М а Кп и непрерывны в точке х0 6 М. Тогда сумма / + g и разность |
/ — g, как можно показать, пользуясь теоремой 4.1 или теоремой 4.3,
непрерывны в точке х0. Как следует из теоремы 4.3, функция f-gr
определенная на множестве М условием (f-g)(x) = /(x)-g(x), также
непрерывна в точке х0. Нетрудно убедиться, что и функция fig, при Я
g(x0) Ф 0 определяемая на множестве {х£М: g(x) Ф 0} условием Я
I J-. J (х) = v ' , непрерывна в точке х0.
\g/ g(*)
Гл. II. Топология пространства Кп 27f
Постоянные функции /(х) = с определены и непрерывны на всем
пространстве Лп. Как видно из теорем 3.5 и 4.3, это же верно и для
функций fv(xt, . . ., хп) = xv, где v = 1, . . ., п. Если учесть
сделанные выше замечания, отсюда следует непрерывность на всем Е№
многочленов
Р(х) = Р(Ъ, ..., ^)=2^1,...,^4i ... 4П
(где суммирование производится по Л4 = 0, . . ., lt; . . .; Хп =-
- О, . . ., /„).
Если функция / определена и действительна на множестве М cz
cz Кп и если N cz М, то, как показывает критерий с
последовательностями, из непрерывности функции / в точке х0 £ N следует
непрерывность сужения f\N в этой точке. Обратное, вообще говоря,
неверно. Мы называем функцию / непрерывной на множестве N, если она
непрерывна в каждой точке множества N. Отсюда следует
непрерывность сужения /IN. Однако из непрерывности сужения f\N не
вытекает непрерывность функции / в каждой точке множества N.
Определение 4.4. Функция /, определенная на множестве*
М, называется ограниченной сверху (соответственно снизу), если
sup f(M) < + оо (соответственно inf f(M) > — оо). Она называется
ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.
Теорема 4.5. Пусть множество М cz Kn компактно и
функция f на множестве М полунепрерывна сверху. Тогда функция f на
множестве М ограничена сверху и принимает максимальное значение*.
Доказательство.' Положим г = sup f(M) ^ +oo и
допустим, что не существует такой точки х £ М, что /(х) = г. Тогда
для каждой точки х £ М выполняется неравенство /(х) < г. Выберем
для точки х такое действительное число г(х), что /(х) < г(х) < г.
Поскольку функция / полунепрерывна сверху, найдется целая
окрестность U(x) точки х (причем мы можем ее считать открытой), для
которой f(U(x)f\M) < r(x). Система Ч = {Щх): х £ М) является
открытым покрытием множества М\ ввиду компактности множества
М существует конечное число таких точек хь . . . , х^ в М, что
каждая точка х £ М содержится хотя бы в одной из окрестностей Z7(xi), . . -
• ., U(xi). Поэтому во всем М выполняется неравенство /(х) <С
< max (r(xj), . . . , r(xt)) <г, что невозможно, так как г = sup f(M).
Таким образом, функция / принимает на М максимальное значение
и, в частности, sup f(M) Ф + оо, что и требовалось доказать г).
Теорема 4.6. Пусть множество М cz Kn компактно и
функция f на множестве М полунепрерывна снизу. Тогда функция f на
множестве М ограничена снизу и принимает минимальное значение.
*) Тем самым заново доказана и теорема 5.1 из гл. IV т. I. Это
доказательство более прозрачно, так как в нем мы пользуемся понятием компактности^
272
Том II
Для доказательства нужно применить теорему 4.5 к функции —/.
Объединяя эти две теоремы, получаем:
Теорема 4.7. Функция, непрерывная на компактном
множестве, ограничена и принимает максимальное и минимальное значения.
Если х и у — две точки пространства Кп, то пару (х, у) можно
рассматривать как точку пространства R2n, а расстояние
Dist(x, y) = |x — y|= max \xv — ух\
v=l, ..., n
— как функцию, определенную на R2n. (Расстояние Dist — это вовсе
не расстояние dist, рассмотренное в § 1 гл. I.). В этом смысле нужно
понимать следующее утверждение.
Теорема 4.8. Функция Dist(x, у) непрерывна.
Доказательство. Пусть точка (х0, у0) £ В12п и задано
в > 0. Покажем, что если мы выберем число б = е/3, то для всех
точек (х, у) £ U& (х0, Уо) будет выполняться неравенство
|Dist(x, у) — Dist(x0, у0)| = ||х — у| — |х0 — у0||< е.
Это неравенство равносильно неравенствам
1*о — Уо1 — е < |х — у |< 1хо — Уо| + е,
а условие (х, у) £ U&(x0, у0) — неравенствам |х — х0| < 6 и
|у - у0| < б. Но
|х — у| =|х — х0 + х0 — Уо + Уо — У К
< |х - х0| + |х0 - у0| + |у0 - у| < 26 + |х0 - у0| <
< |х0 — Уо1 + е
и аналогично
|х0 — Уо1 < |х — у| + 8,
что и требовалось доказать.
Эта теорема основана на том, что топология в пространстве ШЛ
в конечном счете определяется метрикой Dist (x, у) (ср. § 1).
Определение 4.5. Пусть М и N — два непустых
множества в 1ИП. Положим Dist (М, JM) = inf Dist (x, у).
х£М, y£N
Теорема 4.9. Пусть множество М а Кп замкнуто, а
множество К а Кп компактно, причем М Ф 0 Ф К. Если М[)К = 0,
то Dist (M, К) > 0.
Доказательство. Если бы Dist (M, К) — 0, то нашлась
бы такая последовательность точек (хд,, у^) £ Dl2n, где хд, 6 М и у я, £
£ К при X = 1, 2, 3, . . ., что Dist (хх, уЛ)=. |хх — уя| ->- 0. Так как
множество К компактно, то последовательность (у^) точек множества
Гл. II. Топология пространства R<n 273
К имеет предельную точку у0 6 if г). Выберем подпоследовательность
(уа) последовательности у^), сходящуюся к у0, и образуем
соответствующую подпоследовательность (х^) последовательности (х^,).
Тогда |у±х — Уо1 -^ 0 и |х1Я, — у0| < |ха — у1г,\ + |у±х — Уо1.
а потому и |х1Я, — Уо1 -*■ 0» т. е. х1Я,->- у0. Так как множество М
замкнуто, точка lim х1А, = у0 должна принадлежать М. Но у0 6 ^Г
А,-*оо
и ЯПЛГ = 0, и мы пришли к противоречию.
§ 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
Точно так же, как и для функций одной переменной, мы можем
рассматривать последовательности (Д) действительных функций,
имеющих общую область определения М cz Dln.
Определение 5.1. Такая последовательность функций
называется сходящейся ( в обычном смысле или поточечно), если для
каждой точки х^М сходится числовая последовательность (Д(х)).
Соответствие х ->- lim f%(x) определяет на множестве М некото-
рую функцию F — предельную функцию последовательности (Д).
Мы будем писать /я ->• F.
Уже одномерный случай показывает, что, например, для
исследования на непрерывность предельной функции сходящейся
последовательности непрерывных функций введенного выше понятия
сходимости совершенно недостаточно. Поэтому мы дадим следующее
Определение 5.2. Последовательность (Д) действительных
функций, определенных на множестве М cz Шп, называется
равномерно сходящейся (на М) к функции F, если для каждого е > О
существует такой номер Я0 6 N, что для всех номеров Я ^ Я0 и всех точек
хЕМ выполняется неравенство |/а,(х) — F(x)\ < 8.
Из равномерной сходимости, очевидно, следует обычная.
Теорема 5.1. Пусть последовательность функций (/я)
равномерно сходится на множестве М к функции F, и пусть все функции Д
непрерывны в точке х0 6 М. Тогда и функция F непрерывна в точке х0.
Можно дословно перенести доказательство для одномерного
случая (т. I, гл. IV, теорема 6.1).
Известным нам образом можно ввести и понятие бесконечного ряда
00
функций. Ряд 2 /я функций Д, определенных на множестве М, назы-
А,= 1
вается поточечно, соответственно равномерно, сходящимся, если
поточечно, соответственно равномерно, сходится на множестве
i
М последовательность (si) его частичных сумм st= 2 /а,- Предел..
*) Это сразу следует из теорем 3.1 и 2.2.— Прим. перев.
*8-832 ,
274 Том II
F = lim Si называют в таком случае суммой этого ряда и пишут F =
1-+СО
оо
= 2 /я,. Теорема 5.1 переходит в такую теорему:
со J
Теорема 5.2. Если ряд 2 /а, сходится на множестве М рае-1
номерно и каждый его член /а, непрерывен в точке х0 £ Л/", то и сумма |
ряда F = 2 /я непрерывна в точке х0. |
я=1 |
Для равномерной сходимости и на этот раз имеет место признак |
Вейерштрасса: "|
Теорема 5.3. Пусть 2 а^ — сходящийся ряд действительных i
Я=1 Л
ОО ' ъ
чисел и 2 /а,(х) — бесконечный ряд действительных функций, опре- '
деленных на множестве М. Если для каждой точки х £ М и почти ■]
всех номеров Я £ Ы выполняется неравенство |/а,(х)| ^ ах, то ряд ?
2 /а,(х) сходится на множестве М равномерно.
1=1
Доказательство протекает точно так же, как и доказательство |
теоремы 7.4 в гл. IV т. I.
Понятие сходимости целесообразно детализировать еще дальше: |
Определение 5.3. Последовательность (/*,) действитель-]
ных функций, определенных на множестве М с: Кп, называется ■
равномерно сходящейся в точке х0 6 М, если существует такая окрест- j
ность U точки х0, что последовательность сужений (fx\M(]U) равно-]
мерно сходится на пересечении М{] U. Последовательность называет- 1
ся локально равномерно сходящейся на множестве М, если она равно- |
мерно сходится в каждой точке множества М.
Так как непрерывность является локальным свойством, мы можем
из теоремы 5.1 сделать такое заключение: если последовательность
функций, определенных на множестве М и непрерывных в точке
х0 6 М, равномерно сходится в точке х0 £ М, то и предельная функ- I
ция непрерывна в точке х0.
Определение 5.4. Последовательность (Д) действитель-1|
ных функций, определенных на множестве М с: [Rn, называется щ
компактно сходящейся на множестве М, если для каждого компакт- *
ного подмножества К а М последовательность сужений (f\\K)
равномергно сходится на К.
Теорема 5.4. Пусть последовательность функций (/^)
компактно сходится на множестве М и все функции /^ непрерывны в
точке х0 6 М. Тогда предельная функция F = lim Д непрерывна в точке х0*
А-*оо
Гл. II. Топология пространства Rn 275
Доказательство. Пусть (х^) — какая-нибудь
последовательность точек множества М, сходящаяся к х0. Множество К =
= {х^: Н> 6 ^}U {хо} с: М компактно,' потому что оно содержит все
свой предельные точки и, значит, замкнуто (теорема 1.7), и, кроме
того, оно ограничено (теорема 3.4). По предположению
последовательность (f%\K) равномерно сходится к функции F\K, и потому функция
F\K непрерывна в точке х0, т. е. lim ^(x^) = F(x0). Это справедливо
для каждой последовательности точек в ЛТ, сходящейся к х0. Из
критерия с последовательностями (теорема 4.3) следует непрерывность
функции F в точке х0.
В качестве примера рассмотрим множество М = {х: О < х <
< 1} cz Bl и последовательность функций f%(x) = х% при X = 1, 2,
3, . . . . Очевидно, /а, ->• 0. На стр. 96 было показано, что эта
сходимость не является на множестве М равномерной. Но на каждом
из множеств Mq = {х: 0 < х <! q) а М, где 0 < q < 1, наша
последовательность сходится равномерно (для данного е > 0 достаточно
выбрать номер К0 > maxlO, ^—]) . Отсюда следует, что
последовательность (/а,) локально равномерно сходится на множестве М: если
точка х0 g М, то можно, например, взять q = —^— ; тогда множество
Mq будет окрестностью точки х0, на которой последовательность (/а)
сходится равномерно. Отсюда также следует, что наша
последовательность компактно сходится на множестве М: если К — какое-
либо непустое компактное подмножество множества М, то sup К < 1
(в самом деле, так как 1 £ М' cz К' и дополнение К' открыто, то
найдется такое б > 0, что Z76(l) с: К', т. е. sup К ^ 1 — б).
Следовательно, К с: Mq, где q = sup К. Из равномерной сходимости
последовательности на Mq следует и равномерная сходимость ее на К.
Изучим связь между различными понятиями сходимости.
Теорема 5.5. Если множество М компактно, то из локальной
равномерной сходимости произвольной последовательности функций
на М следует ее равномерная сходимость на М.
Доказательство. Пусть F — предельная функция
локально равномерно сходящейся на М последовательности функций
(/0- Пусть задано 8 > 0. По предположению для каждой точки х* £
(; М существуют такой номер Я0(х*) £ Ы и такая окрестность Z7(x*),
что для всех точек х(Е U(x*) (] М и всех номеров Я>-Я0(х*)
выполняется неравенство \F(x) — /я(х)| < 8. Окрестности С/(х*) можно
считать открытыми. Тогда система
U = {U(x*): х* е М)
является открытым покрытием множества М. Так как М компактно,
найдется конечное число точек х*, . . . , х^^М, для которых уже
18*
276 Том II
окрестности U(x%)r . . ., и(х%) покрывают М. Положим
Я0 = тах(А,0(х?), ..., MxJJi)).
т
Тогда для каждой точки х 6 U Щх£) П М = М и каждого номера
I*—i
|F(X) - /Я(Х)| < 8,
откуда и следует наше утверждение.
Для компактного множества М из компактной сходимости
тривиально следует равномерная. Таким образом, на компактных
множествах понятия «равномерной сходимости», «локальной равномерной
сходимости» и «компактной сходимости» равносильны.
Для любого множества М справедлива
Теорема 5.6. Последовательность функций (/^), локально
равномерно сходящаяся на множестве М, сходится на М компактно. Ц
Доказательство. Пусть К с: М компактно. Последо
вательность сужений (fx\K) сходится на К локально равномерно. Ц
Поэтому по предыдущей теореме она сходится на К и равномерно.
Это и требовалось доказать.
Обратная теорема, вообще говоря, не верна: Она верна лишь при j
дополнительных предположениях относительно множества М.
Определение 5.5. Множество М a Rn называется лояалъ-||
но компактным, если у каждой его точки существует окрестность U,m
для которой пересечение U[)M компактно.
Компактные множества, очевиднр, и локально компактны (можно
взять U = Rn). Но локально компактны и открытые, и замкнутые
множества в Rn. Если множество М открыто и х £ М, то найдется|
такое 8 > 0, что Uz(x) cz М. Это — лежащая в М компактная
окрестность точки х. Если же множество М замкнуто, то пусть]
U(x) — какая-нибудь ограниченная и замкнутая окрестность точки
х £ М (скажем U(x) = Ue(x)). Тогда пересечение U(x)f\M
ограничено и замкнуто и потому компактно.
Множество
М = {хеК: О<я<1}-{яб01: - еЩ
не является локально компактным: каждая окрестность U нуля содер->
жит точки вида 1/v, v £ Ы. Они не входят в пересечение U[)M, ной
являются его предельными точками. Поэтому пересечение #П^§|
не замкнуто, а значит, и не компактно. f|
Теорема 5.7. Пусть множество М локально компактно*
Последовательность функций (Д), сходящаяся на М компактно, схог
дится на М и локально равномерно.
Гл. II. Топология пространства Шп 277
Доказательство. Пусть точка х0 6 М и U — окрестность
точки х0, для которой пересечение U[)M компактно. По
предположению последовательность (/*,) сходится на U(]M равномерно, но это
и значит, что она равномерно сходится в точке х0.
Таким образом, для локально компактного множества М поня-
тия «локальной равномерной сходимости» и «компактной сходимости»
равносильны. Понятие же «равномерной сходимости», как
показывает приведенный выше пример, действительно является более узким.
§ 6. ОТОБРАЖЕНИЯ
Если каждой точке х некоторого множества М cz Dln однозначным
образом поставлена в соответствие определенная точка у = F(x) £
£ R,m, то говорят, что задано отображение F множества М в
пространство Пт. Обозначают это так: F: М ->• Кт. В этом случае
отображение F можно разложить на компоненты: F(x) = (/i(x), . . ., /m(x)).
Определенные на множестве М действительные функции /^
называются компонентами отображения F.
Если, наоборот, на множестве М cz Шп заданы т действительных
функций Д, . . ., /m, то соответствие x-+F(x) = (/i(x), .. ., /m(x)) £
£ Кт определяет некоторое отображение F: М -> IRm,
компонентами которого служат как раз функции f^. В случае т = 1,
очевидно, отображение — это то же самое, что и одна
действительная функция.
Если задано некоторое отображение F: М -> Шт (где М cz Kny
и М* — подмножество множества М, то, как и для функции,
определен образ F(M*) = {у 6 lftm- У = ^(х) для некоторой точки х £ М*}.
Для любого множества N а Кт условием F-X(N) = {х £ М: F(x) £
6 N) определяется полный прообраз (короче, просто прообраз)
множества N при отображении F. Наконец, условием (F\M*) (х) = F(x)
при х £ М* определено сужение F\M* отображения F на М*.
Для отображений, как и для функций, можно образовать
композицию. Пусть М cz Кп и N cz Кт — множества, a F: М ->• Кт
и G: N-+- К1 — отображения. Если F(M) cz N, то каждой точке х£М
можно поставить в соответствие точку G(F(x)) = (GoF)(x). Тем самым
будет определено отображение GoF: M -> 01 , называемое
композицией отображений F и G.
Отображение F: М~*КШ называется инъективным (или взаимно
однозначным отображением в пространство Кш), если различные
точки множества М всегда имеют и различные образы, иными
словами, если из х1? х2 6 М и Xi Ф х2 следует F(x^) Ф F(x2). Это
равносильно условию, чтобы прообраз каждой точки множества F(M)
состоял ровно из одной точки.
Пусть М cz 51п и N cz 0lm; отображение F: М -> N называется
сЩъективным, если F(M) = N. Оно называется биективным, если
°но одновременно и инъективно, и сюръективно.
278 Том II
Если отображение F: М -> N биективно, то каждой точке у £ iV
можно поставить в соответствие однозначно определенную точку
х £ М, для которой F(x) = у. Определенное так отображение
множества N на М обозначается символом F'1 и называется
отображением, обратным F. Композиция F~xoF: М -> М есть тождественное
отображение id: М-*М, а композиция FoF'1 = id: N->- N. Эти
свойства являются характеристическими:
Теорема 6.1. Пусть MczKn и N cz Кт, и пусть F: M-+N—
некоторое отображение.
(a) Если существует такое отображение G: N -+• М, что GoF =»
*=: id: M -> М, то F инъективно, a G сюръективно.
(b) Если существует такое отображение G: N ->- М, что FoG =»
«s id: TV ->• iV, wo F сюръективно, a G инъективно.
(c) 2?о/ш существует такое отображение G: N -> Af, что .FoG =
= id: TV -> iV w Go.P = id: M ^ M, mo F и G биективны uG = F'\
F = G-1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Из Xt, x2 6 Af и ^(x^ = ^(x2)
следует x4 = GoF(xi) — GoF(x2) — x2. Поэтому F инъективно. Если х £ M,
то i^(x) £ TV и x = G(F(x)). Следовательно, G сюръективно.
(b) доказывается точно так же. Первое утверждение в (с) следует
щз (а) и (Ь), а последнее тривиально.
1} частности, отсюда следует, что если отображение F биективно,
то и F'1 биективно и имеет место равенство (F'1)"1 = F.
Если F: М -> N —- биективное отображение и iV* cz iV, то сим-
вол F-^N*), с одной стороны, означает образ множества N* при
отображении F'1: N -+ М, ас другой стороны,— прообраз множества
iV* при отображении F. Но сразу видно, что оба эти значения
совпадают: и то, и другое означает, что
F"1 (N*) = {х £ М: существует такая точка y£Af*, что y = jP(x)}.
Если F: М -> N биективно (соответственно инъективно или
сюръективно) и G: N -*- L биективно (соответственно инъективно или
сюръективно), то и композиция GoF: М -> L биективна
(соответственно инъективна или сюръективна). В биективном случае (GoF)"1—
re F^oG-1.
Теперь мы перенесем на отображения понятие непрерывности.
Определение 6.1. Пусть М — множество в Кп и F: M-+
-*> Кт — некоторое отображение. Отображение F называется
непрерывным в точке х0 6 М, если для каждой окрестности U точки F(x0)
существует такая окрестность V точки х0, что F(V(]M) cz U.
Отображение F называется непрерывным на множестве М, если оно
непрерывно в каждой точке множества М.
В случае т = 1 это всего лишь перефразировка теоремы 4.2.
Таким образом, старое определение 4.3 и это определение для дейст-
Гл. II. Топология пространства №>п
279
в0тельных функций равносильны. Определение 6.1 использует лишь
понятие окрестности, поэтому оно сохраняет смысл и для
отображений одного произвольного топологического пространства в другое.
Вместо слова «окрестность» в определении 6.1 всякий раз можно
говорить «открытая окрестность»; это приводит, очевидно, к тому
же понятию непрерывности отображения.
Теорема 6.2. (Критерий с последовательностями.) Пусть
д/ — множество в Кп и F: М ->• Шт — некоторое отображение.
Отображение F непрерывно в точке х0 6 М в том и только в том слу-
чае, если для каждой последовательности (хх) точек множества М,
сводящейся к х0, последовательность точек (F(x^)) сходится к F(x0).
Доказательство. В том, что из непрерывности следует
этот критерий, убеждаемся в точности так же, как и для функций
одной переменной: если U — произвольная окрестность точки F(x0)
и V — окрестность точки х0, для которой F(V(]M) cz U, то почти
все ха, лежат в V, а потому почти все F(xx) — в U; следовательно,
F(xx) -> F(x0).
Если же отображение F в точке х0 не непрерывно, то найдется
такая окрестность U точки F(x0), что для каждой окрестности V точки
х0 образ F(V[)M)<$i U. Последовательно возьмем окрестности V% =
= иек (х0), где 8а, = 1А при X = 1, 2, 3, . . ., и для каждой из них
по точке хь£У%[\М, для которой F(xx) $ U. Тогда хя,-^х0,
но F(xx) не стремится к F(x0), и, таким образом, условие критерия
не выполняется.
Теорема 6.3. Пусть М — множество в Кп и F = (Д, . . .
• . ., /m): M -»• Кт — некоторое отображение. Отображение F
непрерывно в точке х0 6 М в том и только в том случае, если в точке
х0 непрерывна каждая компонента f^.
Утверждение немедленно вытекает из критерия с
последовательностями и теоремы 3.5, примененной к последовательности F(x<)).
Параметризованные пути являются частным случаем непрерывных
отображений. Последняя теорема показывает, что данное в гл. I
определение 2.1 непрерывности отображения промежутка в пространство
"« находится в согласии с определенным здесь общим понятием
Непрерывности.
Теорема 6.4. Пусть М cz Шп и N cz Dlw; пусть, далее,
^ М ^ Rm и G: N -+R1 — отображения, для которых F(M) cz N.
1 огда если отображение F непрерывно в точке х0 6 М, aG непрерывно
в точке F(x0) £ N, то композиция GoF непрерывна в точке х0.
Это сразу следует из теоремы 6.2.
Ф Теорема 6.5. Пусть М cz Kn — открытое множество.
^ тображение F: M -*~Rm непрерывно в том и только в том случае,
с^ц для каждого открытого множества V cz Rm множество /~1(7) с:
^ М открыто.
280 Том II
Доказательство. Непрерывность отображения F на
множестве М равносильна следующему условию: для каждой точки
х £ М и каждой открытой окрестности V точки F(x) существует
такая открытая окрестность U cz M точки х, что F(U) с V. Пусть
теперь прообраз при F каждого множества, открытого в Шт, открыт.
Если точка х £ М и V — некоторая открытая окрестность образа
F(x), то прообраз F~\V) открыт и содержит точку х, значит, является
ее открытой окрестностью и F(F~1(V)) cz V. Следовательно,
отображение F непрерывно.
Пусть, наоборот, отображение F непрерывно и V cz Km —
открытое множество. Если прообраз F~X(V) пуст, то он открыт. Если
F'^V) Ф 0, то для каждой точки х £ F'^V) множество V служит
открытой окрестностью точки F(x). Поскольку F непрерывно, у
каждой точки х £ F'^V) существует такая открытая окрестность Z7(x),
что F(U(x)) cz V. Тогда F'^V) = [} U(x); но это — открытое
x£F-l(V)
множество.
Определение 6.2. Пусть М — открытое множество в Rn.
Отображение F: М ->- Кт называется открытым, если образ F(U)
каждого открытого множества U cz M снова есть открытое
множество.
Пусть М cz Кп и N cz Кт — открытые множества и F: М ->- N —
биективное отображение. На основании теоремы 6.5 отображение
F непрерывно в том и только в том случае, если обратное
отображение F'1 открыто, и F открыто в том и только в том случае, если F'1
непрерывно.
Поведение компактных множеств при непрерывных отображениях
описывает следующая важная
Теорема 6.6. Пусть К cz Kn — компактное множество
u F: К ->• Dlw — непрерывное отображение. Тогда образ F(K) есть
компактное множество.
Доказательство. Пусть <U = {Ub: i 6 J} —
произвольное открытое покрытие образа F(K). Для каждой точки х ^ К
выберем такой индекс i = i(x) 6 J\ чтобы F(x) £ C/t. Тогда Ub есть
открытая окрестность точки F(x). Поскольку отображение F непрерывно,
найдется открытая окрестность V(x) точки х, для которой
F(V(x)(]K) cz V\. Система {V(x): x £ К} является открытым
покрытием множества К. Так как К компактно, существует конечное число
таких точек х1? . . ., х^ £ Z, что уже окрестности V(xt), . . ., V(xi)
покрывают К. Если мы положим i*, = i(x^), то
F(K) = F(\j У (хх) П К)= U Р{УЫ П *)<= U Ux
Следовательно, {Ut : к = 1, . . ., 1} есть конечное покрытие образа |
F(K), содержащееся в °И. Тем самым теорема доказана.
t
Гл. II. Топология пространства Шп 281
Теперь мы собираемся рассмотреть один важный и особенно
простой класс отображений. Положим
п
U (*it • • -t xn)= 2 a^v + K при [х = 1, ..., т,
где a^v и 6ц — некоторые действительные числа. Если мы, далее,
положим f = (/i, . . ., /щ), то F будет непрерывным отображением
всего пространства Кп в пространство Кт. Такое отображение мы
будем называть линейным; в случае же, когда при jlx == 1, . . ., т
все Ъ^ = О, оно называется линейным однородным. Матричное
исчисление, известное из линейной алгебры, позволяет просто и ясно
описывать линейные отображения. Коэффициенты а^ вместе составляют
матрицу А с п столбцами и т строками; х записывают как вектор-
столбец с п компонентами, у — как вектор-столбец с т
компонентами; в такой же столбец объединяют и коэффициенты Ь^:
y=F(x)=[ : 1 =
кУт'
Тогда у = F(x) = Аох + Ь, где о — знак умножения матриц.
Линейные отображения переводят прямые в прямые или точки,
поэтому они и называются линейными.
Если А = (a^v) — какая-либо матрица с п столбцами и т
строками, то условиями a'ij = ац при i = 1, . . ., п и / == 1, . . ., т
определяется транспонированная матрица А1 = (а'ц); у нее т
столбцов и п строк. Если х — вектор-столбец, то х* — вектор-строка и
произведение х{ох2 есть не что иное, как введенное в § 1 гл. I скалярное
произведение векторов х4 и х2. Символом Е = (6^) мы будем
обозначать единичную матрицу; здесь
6 ={ * ПРИ Iх = v'
^ \ 0 при IXфу
есть «символ Кронекера».
Если F: Кп ->• Кп — линейное отображение, F(x) = Aox + Ьт
то F биективно в том и только в том случае, когда матрица А имеет
обратную Л"1, т.е. когда det А Ф 0. Тогда обратное
отображение F'1 задается формулой F'^x) = А'^х — А~гоЪ. Линейные
отображения непрерывны; поэтому если F биективно, то F'1 как
линейное отображение также непрерывно, и, значит, отображение
F и открыто.
282 Том II
Однородное линейное отображение F: Кп ->- 01п, где F(x) = А<>х,
называется ортогональным, если матрица А ортогональна, т. е. если
А1 о А — Е. В этом случае
1 = det Е = det (Л'о А) = det A <°det A = (det Л)2
и, таким образом, det Л = ±1. В случае, когда det A = +1*
мы будем называть F вращением, а в противном случае — вращением
с отражением.
Теорема 6.7. Однородное линейное отображение F: Шп -»• Шш
ортогонально в том и только в том случае, если для каждого вектора
х £ Кп имеет место равенство \\F(x)\\ = ||х||.
Доказательство. Пусть А — матрица отображения F.
Так как
\\Е(х)\\2 = (Р(х)УоР(х) = (АоХ)*°(АоХ) = х*оА*оАох
и ||х||2 = х*ох, то равенство ||^(х)Ц = ||х|| равносильно равенству
х'°х = хго(А*оА)ох. Если отображение F ортогонально, то это
равенство, очевидно, справедливо. Пусть теперь, наоборот, это равенство
верно для каждого вектора х. Запишем А1оА — В = (Ь^) и заметим,
что В1 = (АгоА)1 = А*о(А*У = А1оА =Ви, значит, Ъ^ = bxll при
v, \i = 1, . . . , п. В соотношение х'ох = х'<\Вох подставим вместо
х вектор ev = (6lv, . . ., 6nv)', где 6^v — символ Кронекера. Тогда
мы получим bvv = 1. Если вместо х подставить еще вектор ev + ец,
где v Ф |х, то мы будем иметь
2 = bVn + b^v + bvv + bw = 2bvll + 2,
следовательно, bvll = 0, и потому В — Е, что и требовалось доказать.
Эту теорему можно сформулировать и так: однородное линейное
отображение F ортогонально в том и только в том случае, если для
каждой пары точек х1? х2 расстояние dist {F{x^), F(x2)) = dist (xl5 x2).
В самом деле, dist (x4, x2) = ||x2 — Xi|| и
dist (Fix,), F(x2)) = \\F(x2) - F(xJ\\ = ||^(x2 - Xl)||.
Если Ф: I ->• Bln — параметризация какого-либо пути W в
пространстве Bln и F: mn ->- Dlw — непрерывное отображение, то композиция
Fo<D: I ->■ Rm параметризует некоторый путь F(W) в пространстве КтЛ
Теорема 6.8. Если W — какой-либо путь в Кп и F —
ортогональное отображение пространства Dln в себя, то L(W) = L(F(W)).
Доказательство. Пусть 3 = (*о> • • •> U) —
произвольное разбиение промежутка /, Ф(^) = х*, и FoO(tx) = у^. В силу
теоремы 6.7
II хл — хх-11| = || Ух — Ух-1 II при К =|1, . . ., I.
Г л, II. Топология пространства Rn
283
После суммирования получаем L(W, 3) = L(F(W),8)i откуда и
следует наше утверждение.
Линейное отображение пространства И1п в себя называется сдвигом,
если оно имеет вид y = F(x) = х + Ь, где b £ Шп — постоянный
вектор. Очевидно, F(x2) — F(xi) = х2 — хь и потому тем более
dist (^(х4), F(x2)) = dist (х1? х2).
Таким образом, сдвиги, совершенно так же, как и ортогональные
отображения, сохраняют длину. Вот общий вид сохраняющих длину
линейных отображений: у = Аох + Ь, где А — ортогональная
матрица. Ясно, что всякое такое отображение сохраняет евклидово
расстояние. Если же, наоборот, линейное отображение у = Аох + Ь
сохраняет длину, то этим свойством обладает и отображение
у(х) = (ЛоХ + Ь)-Ь,
так как сдвиг сохраняет длину. Но у(х) = Аох — однородное
линейное отображение, и по теореме 6.7 матрица А ортогональна.
Условие ортогональности в случае п = 2 можно истолковать еще
более наглядно. Пусть
Ч"Э
— ортогональная матрица. Условие А* о А = Е эквивалентно трем
условиям: а2 + с2 = 1» Ь2 -\- d2 = I и аЪ + cd = 0. Два первых
равенства говорят, что точки (а, с) и (Ь, d) лежат на единичной
окружности, и мы можем найти такие аир, что (а, с) = (cos а, sin а)
и (Ь, d) = (—sin p, cos P). Третье равенство утверждает, что
0 = — cos a sin р + sin a cos Р = sin (а — Р)
и, следовательно, Р = а + кп, где к £ Z. При четном к получаем
(cos a — sina\
sin а cos а/ '
и отображение F(x) = Аох в самом деле можно рассматривать как
вращение плоскости на угол а (в положительном направлении).
В этом случае det А = 1. Для нечетного к получаем
Л /cos a sina\ /cos a -—sina\ /l 0\
\sina — cosa/ \sina cosa/ \0 -—1/
и отображение F(x) = Аох можно представлять себе как зеркальное
отображение относительно действительной оси с последующим
вращением на угол а в положительном направлении. В этом случае
det Л = —1.
Глава III
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
При обсуждении непрерывности оказалось возможным перенести
яа функции нескольких переменных почти все из теории функций
одной переменной. Это же относится и ко многим определениям и
постановкам задач в дифференциальном исчислении, но в отдельных
случаях мы будем сталкиваться с ситуациями, более сложными, чем
в «одномерной» теории.
Как и для одной переменной, и здесь дифференцирование имеет
смысл определять лишь в том случае, когда область определения
допустима в некотором разумном смысле; во всяком случае открытые
множества должны быть допустимы.
Определение 1.1. Множество М в пространстве Кп
называется допустимым, если для каждой точки х0 = (#[0>, . . ., х(пу)
множества М выполняется следующее условие: пусть Д1? . . ., Дп—
определенные на М действительные функции, непрерывные в точке
х0 и удовлетворяющие на М соотношению
2(*v-*f)Av(x)^0;
V=l
тогда Av(x0) = 0 при v = 1, . . ., п.
Если п = 1, то на множестве М — {х0} соотношения
(х — х0) Д(я) = 0 и А(х) = 0 эквивалентны. В случае когда х0 £
6 М — предельная точка множества М, а функция А в точке х0
непрерывна, из условия Д|(М — {#о}) = 0 следует, что Д(-г0) = 0. В
случае же, когда х0 £ М не является предельной точкой множества М,
можно, например, положить А(х0) = 1 и А|(М — {#о}) = 0» и тогда
А будет функцией, непрерывной на М. Это показывает, что для п = 1
определение 1.1 совпадает со старым определением допустимого
множества (определение 1.1 гл. V т. I).
Если х0 6 01п — произвольная точка, то проходящую через нее
прямую, параллельную xv-och, мы будем обозначать символом
Gv(x0) = {x = (40), ..., 4°-i. *v, 4+ь ..., *»0))} при v = l, ..., п.
Определение 1.2. Множество М с: Кп называется вполне
допустимым, если любая точка х0 6 М является предельной точкой
каждого из множеств M(]Gv(x0) (v = 1, . . ., п).
/
Гл. III. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 285
Теорема 1.1. Вполне допустимое множество допустимо.
Доказательство. Пусть множество М^ вполне допустимо,
точка х0 6 М и А1? . . ., Ап — функции, описанные в определении 1.1,
Тогда при х 6 G^(xo)fW
v=l
Следовательно, на множестве G^x^^M — {х0} функция А^х) = 0.
Так как х0 — предельная точка пересечения GVi{xq){]M и функция
Д^ в точке х0 непрерывна, отсюда следует, что Д^Хо) = 0, что и
требовалось доказать.
Каждое открытое множество М вполне допустимо. В самом деле,
выберем для точки х0 6 М окрестность Ue(x0) cz M. Тогда
пересечение Ue(x0)[)Gv(x0) является промежутком на прямой Gv(x0), а х0,
очевидно,— предельной точкой этого промежутка
C/8(x0)nGv(x0)c:MnGv(xo).
Вполне допустим и замкнутый параллелепипед l) Q, потому что
для каждой точки х0 £ Q и каждого v £ {1, • • .» я} пересечение
Q{]Gv(x0) является промежутком на прямой Gv(x0), содержащим точку
х0 (которая, быть может, служит концом этого промежутка, но во
всяком случае является его предельной точкой)
Множества, содержащие изолированные точки, не допустимы.
Это сразу следует из определения 1.1.
В оставшейся части этой главы мы будем все рассматриваемые
области определения функций предполагать допустимыми.
Определение 1.3. Действительная функция /,
определенная на допустимом множестве М cz Dln, называется
дифференцируемой в точке х0^М, если существуют п действительных функций
Аь . . ., Дп, определенных на М и непрерывных в точке х0, которые
удовлетворяют на М равенству
/ (х) = / (х0) + 2 К - 40)) Av (х). (1)
v=l
Функция / называется дифференцируемой на всем множестве М,
«ели она дифференцируема в каждой его точке.
Дифференцируемость функции / в точке х0 зависит только от
поведения функции / в (сколь угодно малой) окрестности точки х0.
В самом деле, вне любой такой окрестности функции Дь . . ., Дп
всегда можно определить так, чтобы выполнялось условие (1),—
*) Замкнутый параллелепипед был определен как замыкание открытого
параллелепипеда и потому содержит внутренние точки.
286 Том II
ведь там никакой непрерывности не требуется. Таким образом»
дифференцируемость является локальным свойством.
Теорема 1.2. Пусть функция f определена на множестве М
и дифференцируема в точке х0 £ М. Тогда значения Ai(x0), . . ., Дп(х0)
функций Д4, . . ., Ап в точке х0 определены однозначно.
Разумеется, в целом функции Av определены не однозначно.
Доказательство. Пусть заданы два представления
вида (1):
/(х) = /(х0)+ 2(zv-4°VA^(x)> где Я=1, 2.
Вычитая, находим
2 (;rv - 40)) (<" (х) - А® (х)) т. О
v=l
на множестве М. Наше утверждение следует теперь из определения
допустимости.
Однозначно определенные таким образом числа Av(x0) называются
частными производными функции / по xv в точке х0 (или значениями
частных производных функции / по xv в точке х0). Пишут также
Av(x0) = ^ (х0) = /*v(x0) = /,v(x0).
Теорема 1.3. Пусть функция f определена на множестве М
и дифференцируема в точке х0 £ М. Тогда она непрерывна в точке х0.
Действительно, формула (1) представляет ее в виде суммы произ- ||
ведений функций, непрерывных в точке х0.
Пусть теперь действительная функция / определена на вполне
допустимом множестве М, и пусть х0 = (х[°\ . . ., #п0)) —
некоторая фиксированная точка множества М. Условиями
gy (xx) = /(40), ..., #v-i, *v, 4+i> • • •> xf) ПРИ v = 1, ..., n
определим п функций одной переменной. Областью определения
функции gx служит допустимое множество
{*veoi: (40),..., 4°-i. *v, 4+i,..., xf)eM(]Gv(xQ)}.
Таким образом, функция gv является в известном смысле сужением
функции / на Mf\Gv(x0), рассматриваемым как функция одной
действительной переменной. В частности, gv(^v0)) = /(хо)-
В следующей теореме мы пользуемся только что введенными
обозначениями.
Теорема 1.4. Если функция f дифференцируема в точке х0,
то каждая из функций gv(xv) дифференцируема в точке х^ и gv(#v0)) ^
Гл. III. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 287
Доказательство. Пусть функция / представлена по
формуле (1). Тогда при v = 1, . . ., п
gv (*,) = А ($) + (*v - xf) Av {xf, ..., xf-u xx, *(VV • • •, xfY
Последний множитель непрерывен в точке х(^ (ср. с замечанием на
стр. 271) и имеет в этой точке значение Av(x0) = fx (x0)» откуда
и следует наше утверждение.
Определение 1.4. Пусть / — действительная функция,
определенная на вполне допустимом множестве М. Тогда функция
/ называется дифференцируемой по xv в точке х0 £ М, если функция
gv(xv) дифференцируема в точке х§\ Функция / называется
дифференцируемой в точке х0 по каждой из переменных, если она в этой точке
дифференцируема по хи . . ., хп. Функция / дифференцируема по xv,
соответственно по каждой us переменных, на всем множестве М, если
она обладает этим свойством в каждой точке множества М.
В этом последнем случае частные производные функции /
являются функциями, определенными на всем множестве М.
Определение 1.5. Действительная функция / называется
непрерывно дифференцируемой на вполне допустимом множестве М,
если она на М дифференцируема, и если ее частные производные
непрерывны на М.
Как показывает следующий пример функции, дифференцируемой
в некоторой точке по каждой из переменных, но не дифференцируемой
(и даже не непрерывной) в этой точке, утверждение, обратное теореме
1.4, не верно. Возьмем множество М = D12 и точку х0 = 0 и
положим f(xu x2) = х&2{х\ + xl)-1 на Dl2 — {0} и /(0, 0) == 0 . Тогда
giM = f{x\, 0) = 0 и g2{x2) = /(0, х2) = 0, так что функция /
дифференцируема в точке 0 по каждой из переменных. Сужение функции
/ на проходящей через точку 0 прямой {х: xt = х2) вне этой точки
есть постоянная 1/2, а при х = 0 имеем /(х) = 0. Следовательно,
в этой точке не непрерывно сужение и тем более функция /.
Однако при дополнительном предположении теорему 1.4 можно
обратить:
Теорема 1.5. Пусть М = {х: av ^ xv ^ bv при v = 1, ...
• . ., п} — параллелепипед, a f — действительная функция,
дифференцируемая на всем М по каждой из переменных. Если все частные
производные fx , v = 1, . . ., п, непрерывны в точке х0 6 М, то
функция f в точке х0 дифференцируема.
Замечание. Теорема, очевидно, останется справедливой,
если множество М лишь содержит некоторую е-окрестность точки х0,
на которой все частные производные функции / существуют, и еслц
все эти частные производные непрерывны в точке х0.
288 • Том II
Доказательство. Пусть х £ М — произвольная точка
параллелепипеда М. Тогда, очевидно, можно написать
,/(х)-/(хо) =
П
= 2j \Т \х1 » • • •» х\ — i» *^v? • • •» *^n/ 7 v^l » • • •» xv > *^v+i> • • •» «^n//»
v-e слагаемое просто есть разность gv(xv) — g^x^), где функция g?
образована для / и точки (х[°\ . . ., х$\ £v+1, . . ., хп). Так как по
предположению функция gv дифференцируема, мы можем
применить первую теорему о среднем значении дифференциального
исчисления и написать
71
/Vх) — / (хо) — /j \Xv — xv ) /3CV \х1 , . . ., ^v —i» bv> #v+l» • • •> xn)i
v=i
где Ev — £v(x) — некоторое подходящее значение между #v0) и #v.
Положим Av(x) = /ocv O40), . . ., xv-u Ev> #v+i» • • •» *n)-
Доказательство будет закончено, если для v = 1, . . ., п мы докажем, что
функция Av(x) непрерывна в точке х0. Пусть (х^) — какая-нибудь
последовательность точек множества М, сходящаяся к х0. Тогда
последовательность значений £v(x7t)> лежащих между х™ и х^\ также
сходится к х™\ а аргументы частной производной fXv в Av(x^) =
== fxv{- • •) — к точке х0. Поскольку по предположению частная
производная fxv непрерывна в точке х0, ее значения при этих аргументах
сходятся к /xv(x0) = Av(x0). Тем самым установлено, что функция
Av непрерывна в точке х0.
§ 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРАВИЛА
К числу простейших функций на пространстве Dln относятся
многочлены
т
/(х)= 2 _ аи **& ••• х'
Ai ~An
Чтобы упростить запись, мы введем мулътииндежы. Мы будем писать
{К, . • ., K) = h> «ц , . . . , кп = а^ xix • • • хпп = х^ и положим
|^| = ?4 + • • • + А,П. Число |А,| является, таким образом, степенью
одночлена хЧ Тогда многочлен можно записать в виде /(х) =
i
= 2 аьх\ и I есть степень многочлена /, если не равен нулю хотя бы
1М=о
один коэффициент а^ с |А,| = I.
Гл. III* Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 289
Теорема 2.1. Многочлены дифференцируемы на всем
пространстве Кп. Если
т
/(*) = 2 а%и ..., %пх\* ... х'
*Ч. • ♦ ., ^71=0
Л1 ~Л?1
то
Л4 ^v-1 „Ч-1 ^v+1 „л
/ \ VI Л Л| /V'V * ftV * /v'V~r
/f v (x) = Zj ^v^b . . ., a,^!1 - • • #v-l -*v "Sv+i
Д>и
^71=0
Доказательство. Многочлен, очевидно, имеет частные
производные, записываемые в указанном выше виде. Таким образом,
все они снова являются многочленами, и потому непрерывны.
Следовательно, по теореме 1.5 многочлен / дифференцируем всюду.
Определение 2.1. Отображение F = (Д, . . ., fm)
допустимого множества М а Кп в пространство Кт называется
дифференцируемым в точке х0 6 М, если все компоненты /^
дифференцируемы в точке х0. Оно называется (непрерывно) дифференцируемым
на множестве М, если все компоненты /^ (непрерывно)
дифференцируемы на М.
Если F отображает допустимое множество М а Кп в допустимое
множество iVcz 0lm, и если g — некоторая действительная функция,
определенная на ЛГ, то композиция goF является действительной
функцией, определенной на М, и справедлива важная
|Т е о р е м а 2.2. (Цепное, правило.) Если отображение F =
= if и • • •» fm) дифференцируемо в точке х0 £ М, а функция g
дифференцируема в точке у о = F(x0) £ N, то и композиция goF
дифференцируема в точке х0 и
т
(g° F)*v Ы = 2 8У# (F Ы)•& К W'
или в других обозначениях
т
21Cfiw_5!|t('W»-Jb.W.
дху, Z-J дуц дху
Доказательство. По предположению мы можем написать
то
s(y) = £(y„)+ SGfc-^My)'
H=i
/и (х) = /ц Ы + S (*» - ^0)) А^ W; Ц = 1, • •., т,
v—1
где Д^ — функции на множестве N, непрерывные в точке у0, а
Д^г) — функции на множестве М, непрерывные в точке х0. Отсюда
19-832
290 Том II
следует:
m
go F (x) = г» F (x0) + £ {U (x) - U (xo))• (V *" (x)) =
m n
= goJF(x0)+ 2 S(a;v-^v0))A<vU)W-(A(i°JP'(x)) =
M,=i v=l
n m
= r?W+ S(*v-^) SA?)(x).(A|toF(x)),
v=i M,=i
причем внутренняя сумма по \i при каждом v непрерывна в точке Щ
х0 (как сумма произведений непрерывных в этой точке функций) §
и принимает в этой точке значение
т т
2 Д^(х0).(А11о,Р(х0))= 2 (UK(*o)-gytl(F(xo)),
11=1 M.=i
что и требовалось доказать.
С помощью цепного правила легко доказать диффереицируемость ||
арифметических комбинаций дифференцируемых функций.
Теорема 2.3. Пусть функции /4 и /2 дифференцируемы в точке Щ
х0 6 М а Кп. Тогда и функции /4 + /2, /4 — /2 и /i -/2
дифференцируемы в точке х0 w при v = 1, . . ., га
(/i ± /a)«v W = /i*v (x0) ± hxv (x0),
(Л -/2)*v (хо) = /i*v (хо) -//(хо) + Л (х0)./2xv (х0).
Доказательство. Отображение .F = (Д, /2): М ->• Л2
дифференцируемо в точке х0, а функции
f(»i. Уг) =2/i + 1/2, i(»i, у2) = Vi — Уг и g(i/i, у2) = у^у2
дифференцируемы во всей плоскости (теорема 2.1). Применяя цепное f
правило к композициям goF, goF и goF, получаем наше утверждение.
Теорема 2.4. Пусть функции fi и /2 дифференцируемы в точке
х0 6 М а Кп и /2(х0) ф 0.- Тогда функция fjf2 дифференцируема |
в точке х0 и
(■7-) (*о) = — 7777^ »p«v = lf ..., п.
\hj*v (/г(хо))
Доказательство. При наших предположениях функция >
/2 непрерывна в точке я0. Поэтому существует такая окрестность U щ
точки х0, что /2 на пересечении U[\M не обращается в нуль. Вместе Ж
Гл. HI» Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 291
с множеством М, очевидно, допустимо и это пересечение. Функция
g{yn У2) — У\!Уъ определена на множестве
N = R*-{(Vi, у2):у2 = 0}.
Множество N открыто, значит, допустимо; функция g имеет на N
непрерывные частные производные. Следовательно, функция g на
множестве N дифференцируема. Применяя цепное правило к
композиции goF, где F = (Д, /2) — отображение множества UflM в N9
получаем наше утверждение.
§ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Если функция /, определенная на допустимом множестве М а В1П,
на всем этом множестве дифференцируема, то можно задать вопрос,
не будут ли п ее частных производных fXyf = /, v в некоторой точке
х0 6 М дифференцируемы (полностью или по каждому xv). Если
это так, то получающиеся тем самым вторые частные производные
функции f в точке х0 обозначают таким образом:
(/ху)*д (хо) = /х^ (хо) = /, v, |* (хо) = — (Хо)-
ОССн ОХу
Если эти вторые частные производные существуют на всем множестве
ЛТ, то можно затем выяснить вопрос и об их дифференцируемое™,
и т. д.
Так можно при соответствующих условиях определить частные
производные сколь угодно высокого порядка (в некоторой точке
или на всем множестве М); г-ю частную производную функции /
мы будем обозначать так:
drf
/*Vl*v2... *Vr (х) = /, Vl vr (x) = ^ (x).
Дадим индуктивное определение. Функция / называется г раз
дифференцируемой в точке х0 (г = 2, 3, . . .), если существует такая
открытая окрестность U этой точки, что функция / на пересечении
U[\M дифференцируема г -— 1 раз и все ее (г — 1)-е частные
производные дифференцируемы в точке х0. Функция / называется г раз
дифференцируемой на множестве М, если она г раз дифференцируема
в каждой точке множества М.
Так как частные производные многочленов снова являются
многочленами, то- многочлены дифференцируемы на всем пространстве Rn
любое число раз.
19*
292 Том II
Вычислим для примера частные производные высших порядков
функции /(#!, х2) = х\ + х\ + Xix\. Имеем
/, 1 (#1> х2/ == "^1 "Г ^2» /, 2 (#1> ^2) == "*^2 \ 2*Х\Х2,
/, 1,1 fa, «z) = 2, /t 2> 2 (a?i, #2) = 6х2 + 2хи
/, i, 2 (#1» #2) = 2#2> /» 2, i (ж1» #2) = 2#2?
/, l, 2,2 (#i» #г) = 2, ft 2,2, i (#i> #2) = 2,
/, 2,1,2(^1» #2) = 2,
/, 2, 2,2(^1» XW — 6,
а все невыписанные производные тождественно равны нулю. Мы
видим, что те из частных производных одного и того же порядка,
индексы которых переходят друг в друга при некоторой перестановке,
равны:
/, 1, 2 = /, 2, 1» /, 1, 2, 2 = /, 2, 1, 2 = /, 2, 2, 1-
Возникающее из таких примеров общее предположение, что
частные производные высшего порядка не Зависят от
последовательности выполнения требуемых дифференцирований, к сожалению,
вообще говоря, не верно.
В самом деле, рассмотрим на R2 функцию
xl +
ХА- ПрИ (хих2)ф(0,0),
+ #2
при (хи #2) = (0, 0).
Если мы положим Ai(x) = х\*(х\ + aj)-1 ПРИ х Ф 0 и Д^О, 0) =
= 0, а Аг(х) = 0, то функции Ai и А2 будут в точке 0 непрерывны,
и всюду будет выполняться равенство /(х) = #iAi(x) + х2А2(х).
Следовательно, функция / в точке 0 дифференцируема и fXl (0, 0) =
= /х4(0» 0) = 0. Дифференцируемость функции / на IR2 -— {0}
очевидна. Для каждого хг и xt находим /Ж1(0, х2) = х2 и fXt (xu 0) = 0.
В точке хо = 0 частные производные fXl и fX2 дифференцируемы
соответственно ПО Х2 И Х1ч НО fXli Х2 (0, 0) = 1 ф 0 = /ос2, 3ci (0, 0).
Если, напротив, предположить, что х0 — внутренняя точка
множества М, а функция / в точке х0 дважды дифференцируема, то
перестановочность порядка дифференцирований можно доказать. Для Я
этого необходима некоторая предварительная подготовка.
Теорема 3.1. Пусть М —• параллелепипед в Кп и f (х) = ||
i '
= Sa^x^ — многочлен, тождественно равный нулю на множестве
|М=о
М. Тогда все коэффициенты а^ многочлена f равны нулю.
А
Гл. HI* Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 293
Доказательство. Проведем индукцию по п. При п — 1
утверждение следует из теоремы 4.10 гл. IV т. I. Допустим теперь,
Что наше утверждение уже доказано для параллелепипедов в Dln— *
(п > 2). Тогда если М = {х G i^n: cv < ^v < dv; v = 1, . . . , n},
то мы напишем
/(X)= 2 aox2..an42...4n + ^i 2 «u2...*n42...*nn-f-
Я2, . .., A,n %2t • • •» ^n
+ . . . + Xi. CLi0 , . . о =
= /o (#2* • • •» xn) + xlfl(x2i • • •» #n) + • • • + #l/l (#2» • • •> #n)*
Для каждого фиксированного (п — 1)-набора (x2l . . . , яп) из
(п — 1)-мерного параллелепипеда ЛГ = {(х2, . . . , #п) 6 И1п_1:
cv ^ %v ^ dv; v = 2, . . . , п} это — многочлен относительно xir
тождественно равный нулю на промежутке {х^. с4 ^ xt ^ dj}.
Поэтому в силу нашей теоремы для гг = 1 каждый коэффициент
/х(#2> • • •» #п) равен нулю для всякого набора (х2, . . . , хп) £ М\
х = 0, . . . , Z. Тогда отсюда следует по предположению индукции,
что и все коэффициенты каждого из многочленов /н при х = 0, . . ., I
равны нулю, и теорема доказана.
Теорема 3.2. Пусть М — параллелепипед в Шп, х0 — точка
в М и i?^(x) — действительные функции на М, непрерывные в точке
х0 и обращающиеся в этой точке в нуль, причем А, пробегает все
п-местные мулътииндекеы, у которых |Х,| = I. Если тогда на М
2 <иУч- 2 х^(х)=о,
где а^ — постоянные коэффициенты, то все а% равны нулю.
Доказательство. Для простоты предположим, что х0 = 0.
Если xt — некоторая фиксированная точка параллелепипеда М,
отличная от 0, то отрезок {х: х = txi4 0 ^ t <! 1}, соединяющий точки
0 и xt, целиком лежит в!,и при t £ [0, 1] мы имеем
0^ 2 a^t^+t1 2 #M*Xi).
При этом последняя сумма непрерывна в точке t = 0 и принимает
в ней значение 0, а первая является многочленом относительно t.
Поэтому мы можем применить аналогичную теорему для случая
одной переменной (теорема 1.2 гл. VI т. I, где нужно положить/ = 0,
^о^О, М = N = [0, 1]) и получить, что сумма 2 яь^'х^ как мно-
гочлен относительно t является нулевым многочленом. В частности,
i
при t = 1 она обращается в нуль и, значит, 2 аьх1 = 0. Так как точка
|Я,|=0
294 Том II
Xi была выбрана произвольно (Ф 0), мы можем теперь на основании
теоремы 3.1 заключить, что все а^ равны нулю.
Теперь мы можем доказать обещанную теорему о перестановке
порядка дифференцирований.
Теорема 3.3. Пусть f — функция, дифференцируемая в
параллелепипеде М с: Кп, и пусть в некоторой точке х0 £ М
дифференцируема каждая частная производная fXv функции /. Тогда
fxVLxv (х0) = fxyxp (х0) при н,, v = 1, . . . , п.
Доказательство. Для упрощения записи будем считать,
что х0 = 0.
a) Достаточно доказать теорему для функций двух переменных.
При п = 1 она ничего не утверждает. Пусть поэтому w>2 и [ahv
— фиксированные индексы. Пусть Е^ = {x g IRn : x% = 0 при
и ф (х, v} — плоскость координат х^ xv. Из дифференцируемости
функции / в параллелепипеде М и двукратной ее
дифференцируемости в точке х0 вытекают соответствующие свойства для сужения
f\M{]E в двумерном «параллелепипеде» М(]Е. Далее, вычисление
частных производных по х^ или xv в точках пересечения MflE
перестановочно с сужением на М(]Е, так как при вычислении этих
частных производных переменные ях, где к Ф jx, v, мы считаем равными
нулю (= х™). Поэтому (f\E()M)Xlx = fX[l\E[\M и (f\E[]M)XlxXv(0) =
= /*n*v(0) и т. д., и достаточно показать, что (f\Ef]M)(0)XyLXv(0) = |
= (f\Ef]M)XvXlx(0).
b) Пусть, следовательно, М■— прямоугольник на плоскости
со сторонами, параллельными осям координат, содержащий точку
(0, 0). Рассмотрим на М функцию
g(x) =/(*!, 0)+/(0, *2)-/(0, 0).
Очевидно, g(xu 0) = f(xu 0) и g(0, х2) = f (0, х2). Кроме того, сразу
проверяем, что функция g дифференцируема в М и что
g (0, 0) = / (0, 0); gt i fo, x2) = /, t fo, 0); gt 2 (хи х2) = /, 2 (0, *2).
В точке (0, 0) функция g даже дифференцируема дважды, и при этом
g|ltl(0,0) = />lfl(0,0); g,2,2(0,0) = /f2j2(0,0);
ftif2(0,0)-giM(0f0) = 0.
Таким образом, функция h = f — g имеет те же свойства
дифференцируемости, что и /; далее, hlit2 (0, 0) = f,i,2(0,0) и hf2fi (0, 0) =
= /,2,i(0, 0) и вдобавок Л(0, 0) = Afl(0, 0) = Л,2(0, 0) = КЛЛ (0, 0) =
= ^,2,2(0, 0) = 0, а также h(xu 0) == h (0, я2) = 0. Наше
утверждение достаточно доказать для функции h.
c) Пусть х = (хи х2) £ М. Применим к h, рассматриваемой как
функция от хи первую теорему о среднем значении дифференциаль-
1
Гл. Ш* Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 295
ного исчисления:
h (хи х2) = h (0, х2) + XihXi фхц х2) = XihXi (0^, х2), (1)
где 0 — некоторое число между 0 и 1, зависящее от х. (Следует
отметить, что все точки, выступающие в качестве аргументов,
действительно лежат в М. При этом существенно, что М — прямоугольник!)
Ввиду того что производная hXl дифференцируема в точке 0 и
АЛ1(0, 0) = 0, мы можем написать
hXi (Qxu x2) = Qxx - А4 (Qxu x2) + x2 • A2 (Qxu x2),
причем функции At и А2 непрерывны в точке 0, Ai(0,0) = hXlXl(0,0) =
= 0 и А2 (0, 0) = hXlX2 (0, 0). Если мы подставим это в (1), то получим
h (#!, х2) = х\ -0 (х) • Aj (0^!, х2) + Xix2h2 (Qxu x2).
Обозначим jR2,o(x) = 6(х) -&{(вхих2) и i?i,i(x) = k2(Qxux2) — hXlX2(0, 0).
Тогда
h (х^ х2) = xtx2 • ht 4j 2 (0, 0) + x\• i?2> о (x) + #i#2i?i, i (*)• (2)
Функции Riti и i?2f0 непрерывны в точке х0 = 0. В самом деле,
пусть (x^) — какая-нибудь последовательность точек в М,
сходящаяся к 0. Поскольку 0< 0(х) < 1, имеем (0(хя,) -х[^, а#°) -> (0, 0).
Из непрерывности функции Av (v = 1, 2) в точке (0, 0) следует, что
Ду(9(хО-4Я)» 4Я))~>^(0, 0). Наконец, так как А^О, 0) = 0,
то, вновь учитывая, что 0 < 0(х^) < 1, получаем также
е(хя)-А1(0(хя)^), ^))->0. Очевидно, i?2,0 (0, 0) = Д1§1(0,0) = 0.
Если теперь провести точно такое же рассуждение, поменяв
ролями Xi и я2, то мы получим на М разложение
h (хи х2) = х&2\ 2i i (0, 0) + XiX2Rl t (x) + x%R^ 2 (x), (3)
где i?*}1 и R0t2 — непрерывные в точке 0 функции, обращающиеся
в ней в нуль. Из (2) и (3) находим
0вжЛ(Л1|2(0,0)-Л2|1(0,0))+
+ X\R2t 0 + ^1#2 (i?i} i — i?*, i) — X2R0y 2.
Применяя к этому выражению теорему 3.2, приходим к желаемому
равенству h, 1>2 (0,0) - A, 2fl(0,0).
§ 4. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Формулу Тейлора, известную из теории функций одной
переменяй, можно без большого труда перенести на функции нескольких
переменных. Чтобы сделать записи менее громоздкими, мы хотим
296 Том II
расширить употребление мультииндексов. Если / — функция,
дифференцируемая к раз в точке х0 области ее определения М cz Лп,
и если %, = (Хи . . . , Хп) — некоторый мультииндекс, причем |Х,| ^
^ к, то мы будем писать
/, b(xo) = Т^ Ткг (хо) = ^1 /, l^^l, ^^2, . .., ti^^tx-
1 A,t раз А,2раз Яп раз
Кроме того, мы будем писать (Vj\ = A,i!X2! . . . , Яп!.
Предположим теперь, что действительная функция / определена
на некотором параллелепипеде М cz Шп и к раз дифференцируема
в точке х0 £ М. Для простоты пока будем считать, что х0 = 0.
Сначала найдем многочлен, производные которого до к-то
порядка в точке 0 совпадают с соответствующими производными функции /.
Положим
1М=0
(*,)!
В производную р,ц,(0) вносит вклад только слагаемое в (1) с индексом
\л\ остальные слагаемые либо содержат некоторое xv в степени,
меньшей чем |[xv, так что они исчезают при р^-кратном
дифференцировании по #v, либо же содержат некоторое xv в степени, большей чем
(xv, так что после дифференцирования в них еще входит по крайней
мере один множитель #v, и они обращаются в нуль в точке 0.
Напротив, очевидно, получаем (х^),^ (0) = (}*)! и потому ptVL(0) = /,ц(0) при
Будем называть р многочленом Тейлора порядка к функции /.
Рассмотрим теперь отклонение g = f — р. Во всяком случае
£, л(0) = 0 при 0< |h| ^/с. Выберем такую окрестность ?78(0)»
чтобы функция/, а значит, и g, была в Ue(0)f]M дифференцируема
по крайней мере (к — 1) раз. Чтобы свести нашу задачу к уже решенной
одномерной задаче, рассмотрим для произвольной точки х £ 17г(0)(]М
сужение функции g на отрезке {tx: 0 ^ t ^ 1}, соединяющем точки 0
и х. Точнее говоря, рассмотрим функцию o(t) =■ g(tx), определенную
на промежутке / = [0, 1]. Сначала будет доказана
Лемма. Если функция о дифференцируема к — 1 раз на
промежутке I и k pas в точке 0 £ I, то на промежутке I при fjt = 1, ...
. . .,^k — ,1, а в точке t = 0 и при jut = Л: имеет место формула
п
а00 (0 = 2 «v, • • • *v • g, Vl>..., v (tx).
Vi v„=i
J
Гл. III- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 297
Доказательство проведем индукцией по \i. При \i = 1
по цепному правилу имеем
71
vt=i
поскольку d(xvt)/dt = xv. Если формула уже доказана до порядка
ц _ 1 (1 < jx - 1 < & - 1), то
0^ (£) = —-Г ^/j ^vt^v2 ••• ^Vn-^vt, .... Vn-tV^) 1 =
vlf ..., ^_4
= ^/j xvixv2 • • • ^v^^i ""Г-" (£, vt v^-! (^X)) =
vb . .., v^-i
= ^/j #Vl£v2 • • • ^_4 У^/j Х*уМ* vlf . . ., v^-i,^ (**) J =
vlf . .., v^-t vM,=l
= y^j xvtxv2 • • • хЧу8* vb ..., v^ (^X)
vi, . •., Vy,
на всем промежутке / при jx < А, а в точке £ = 0 и при \х = к, что
и требовалось доказать.
Из леммы, в частности, следует, что аМ(0) = 0 при 0 ^ \i ^ к,
так как соответствующие производные функции g в точке 0
обращаются в нуль.
Выберем теперь \х = к — 1 и применим к а одномерную формулу
Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (теорема 1.1 гл. VI
т. I). Поскольку при и = О, . . . , к — 2 производные а(*>(0) = О,
имеем
o(t) = -LJ-y>-»(pf)t
где 9 — некоторое число между 0 и 1 (зависящее от х и t).
При t = 1 на основании леммы получаем
о (1) = в (х)=_L_. 2 **••■ **-A v.. • ■., vft-, (в*). (2)
Vi, .... Vfc-i
298 Том II
По предположению производная g, Vb ..., Vft-1 дифференцируема
в точке 0 и принимает в ней значение 0. Поэтому мы можем написать
п
8t vb ..., vfe_t (9x) = 2 дхч' Avi... vfe_lVfc (6x),
где Av . . . v — функции, непрерывные в точке 0. При этом
AVl. .. Vft(0) = glVl,.. ., vfe(0) = 0. Подставляя это в (2), находим
8 (Х) = (к - 1)! X J XviXv2 ''" х^вК ■ • • v&(6x)- (3>
Функции 0(x)-Av .. .Vft (0(x)«x) непрерывны в точке 0 и принимают
в ней значение 0,— в этом можно убедиться точно так же, как в
доказательстве теоремы 3.3.
Если мы расположим сумму в (3) по степеням zv, то получим
выражение вида
/(x)-p(X) = g(x)= Д] хх.Лх(х), (4)
причем функции Да, непрерывны в точке 0 и обращаются в ней в нуль Ч
{заметим, что входящий в (3) коэффициент ((к — I)!)"1 мы включили |[
в Дх).
Соотношение (4) и есть искомая формула Тейлора, а правая его fj
часть — остаточный член к-го порядка. При более сильных
предположениях относительно функции / остаточный член можно записать ч
в более явной форме.
Пусть теперь функция / во всем параллелепипеде М
дифференцируема к + 1 раз. Тогда формула из леммы справедлива во всем
промежутке / даже при \i = к + 1 и аналогично (2) мы получаем
формулу ;
1 ^vl ц
g(X) = (fc 1}! /Л «vi ■•• ^ + А^....,уЛ + 1(вх), (5) I
где 0 < 9 = 6(х) < 1
Чтобы записать эту сумму в более обозримом виде, подсчитаем, ||
для скольких систем индексов v4, . . . , v^+1 произведение ^
xVi. . . zVk+i Дает некоторый фиксированный одночлен х^где |Х,| = !
= к + 1). Если мы напишем
X =Xj .. . Xj-X2 .. . Х2 ... Хп ... Хп (6)^
\4 раз А,2 Раз А,п раз
и выполним над к + 1 множителями этого произведения все (к + 1)11|
возможных перестановок, то всякий раз мы получим некоторое выра-
Гл. Ш* Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 299
доение вида xVi . . . #vA+1- Однако произведение (6) сохраняет свой
вид при перестановках, только перетасовывающих между собой
первые Я4 множителей хи затем — между собой же — вторые Я2
множителей #2 ит- Д- Число таких перестановок равно Я^ *К21 • • -^J = W-
В результате мы можем, таким образом, записать х^ в виде
#v *xv • •'• xvh+i различными (к + 1)!/(Х)! способами. Поэтому
ft
2 ^...^+1=(*+1)! 2 ж
vlf ..., vk + l=l |M=fe+l v '
Мы хотим еще в качестве примера произвести подсчеты в случае
п = 2, & + 1 = 3:
2
} . £Vi;rV2;rV8 = #!#!#! + #^#2 + a^a^i + ^1^2-^2 +
Vi, V2, V8=i
"T" X^XiXi -J- #2^1 ^2 ~T" •^2*^2*^1 "T" X^X^X^ =
3! з 3! 2 3! 2 3! s
~ ШXi + Ш Xl*2 + Ш XlX2 + 0!3! *2'
Заметим, далее, что при наших предположениях производная
£' vi vft+1не зависит от последовательности, в которой совершаются
дифференцирования. Поэтому каждый раз, когда zVl • • • xvk±.i =
= Xх-, мы также имеем
8, * vk+i(0x) = gA(ex).
Если еще учесть, что (к + 1)-е производные многочлена р равны
нулю, и потому gtx =/д при \Х\ = А + 1, то мы, наконец, получим
из (5) формулу
/(х)-/>(*)= 2 ~^з^х*' где о<0<1-
Сумма в правой части, записанная в таком виде, называется
остаточным членом к-го порядка в форме Лагранжа формулы Тейлора
функции /.
Сведем эти результаты в теорему, освободившись при этом от
предположения, что х0 = 0.
Теорема 4.1. Пусть f — действительная функция,
дифференцируемая А: — 1 pas в параллелепипеде М a Rn и к раз в точке х0 £
£ М. Тогда при \к\ = к существуют функции Нь(х), определенные
в Af, непрерывные в точке х0 и обращающиеся в этой точке в нуль.
300 Том II
такие, что для всех точек х £ М
k
/(х)= 2 Ч^(х-~хо)"+ 2 л*(хих-х<))*-
Если функция f в параллелепипеде М дифференцируема к + 1 раз,
то в М имеет место даже формула
IM=o v '" IM=*+i v '
где 9 = 9(х) — некоторое подходящее число между Owl.
Если в качестве новой переменной ввести «приращение» h = х —
— х0, то формулы Тейлора примут вид
(для точки х0 + h £ M, причем функции jRjJ непрерывны в точке
h = 0и обращаются в ней в нуль) и соответственно
IM=o v '" |M=fc+i v '
Теорема 4.2. Многочлен Тейлора к-го порядка р(х) функции
/(х) определен однозначно.
В самом деле, еслир — какой-либо многочлен степени &, удовлет- |
воряющий уравнению
/(х)=р(х) + 2 (х-Хо)^.Лх(х),
где i?x — функции, непрерывные в точке х0 и обращающиеся в ней i
в нуль, то
0 = р(х)-р(х)+ 2 (x-Xo)x.(i?x(x)-^(x))
и из теоремы 3.2 следует, что коэффициенты многочленов р и р
совпадают.
Отметим еще отдельно частный случай к = 0 второй формулы
из теоремы 4.1:
Теорема 4.3. Если функция f дифференцируема в
параллелепипеде М а Кп и точка Xq £ М, то в М имеет место
Гл III» Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 301
формула
/ (х) - / (х0) = J] (*v - 4°) /, v (хо + 6h),
v=i
где h - х — х0 и 6 6 (О, 1).
Это, очевидно,— обобщение первой теоремы о среднем значении
дифференциального исчисления на функции нескольких переменных.
§ 5. РЯД ТЕЙЛОРА
Если функция / дифференцируема в некотором параллелепипеде
М сколько угодно раз, то для нее можно написать бесконечный ряд
Тейлора:
2
1>М (х-х/; х,х06М, (1)
IM=o v '
и выяснить, при каких условиях этот ряд сходится и представляет
функцию /.
Правда, не ясно, как понимать суммирование в (1), поскольку
мультииндексы X = (Я4, . . ., Яп), по которым производится
суммирование, при п > 1 не расположены ни в каком естественном
порядке. А сходимость или расходимость ряда
xlt..., я71==о
— а в случае сходимости и значение его суммы,— могут зависеть
от способа суммирования. Поэтому нам нужно сначала позаботиться
о подходящем понятии сходимости для бесконечных рядов, индексы
суммирования которых заранее не линейно упорядочены.
Пусть / — произвольное счетное множество индексов; для
каждого i £ / пусть задано некоторое действительное число ах.
Определение 5.1. Ряд 2 <h называется сходящимся к числу
а, если для каждого 8 > 0 существует такое конечное подмножество
' о с: /, что для каждого конечного подмножества I cz J, для
которого /о сг /, выполняется неравенство
| 2Х — а|<8.
Мы пишем в этом случае 2 at = a-
от полезный критерий сходимости:
302 Том II
Теорема 5.1. Ряд 2 ai сходится в том и только в том случае, ,1
если множество конечных сумм 2 К1> зде I — произвольное конечное
подмножество множества индексов /, ограничено.
Доказательство, а) Если для всех конечных
подмножеств I cz J сумма 2 \аЛ ^ М, и если / = { ц, i2, 13, ...}♦—
произвольная нумерация элементов множества /, то неравенство
i
2 К» |^ М выполняется и для каждого I £ IN. Отсюда следует абсо-
оо
лютная сходимость ряда 2 ai\- Обозначим сумму этого ряда буквой Ц
а. Для данного е > 0 можно найти такое К0 £ N, что [2 <hx — а \ <
< е/2 и что, кроме того, для всех Xt и Я2, где Я2 ;> Я4 > Я0, выпол-
няется неравенство 2 lat J < 8^ф Тогда положим /0 = {ц, . . ., i^0}.
Если / — конечное множество и I0 cz / cz /, то
<I Л at — a + X |aL|<
ieio tei-io
8 , 8
<2- + У==е'
и сходимость ряда 2 ai в смысле определения 5.1 доказана.
b) Пусть ряд 2 а\ сходится к а. Покажем сначала, что ограничено
множество конечных сумм 2 ai- Выберем некоторое 8 > 0 и по
нему — множество /0 в соответствии с определением 5.1. Если тогда
1{ — конечное подмножество множества /, для которого 10 ПЛ = 0>
то
| 2«il = l 2 «I-*-03 *i-«)l<
<l 2 at —a| + | 2^-a|<
iGioU^i iei<>
< 2e.
Гл. Ш- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 303
Если же I cz J — произвольное конечное подмножество, то
<
< 2 Kl + I 2 «J
< 21^1 + 28=^4.
Если теперь взять М = 2Mi, то для произвольного конечного /
будет выполняться неравенство 2 |яь| ^ Af. В самом деле, обозначим
/4 = {i 6 /: <h > 0} и /2 = {il6/: at < 0}. Тогда
2laJ=| 23*1 + 1 2«tl<2M1 = M.
Тем самым теорема 5.1 доказана.
Следствие. Если ряд 2 аь сходится и К — некоторое беско-
печное подмножество множества индексов /, то сходится и ряд 2 #i-
сю
Теорема 5.1 показывает также, что бесконечный ряд 2 а% сходит-
Я=1
ся в смысле определения 5.1 в том и только в том случае, если он
абсолютно сходится в смысле определения 4.1 гл. III т. I.
Если, например, / = {(Я, \х): X £ N, fi 6 N}, то можно задать
вопрос о сходимости и значениях сумм рядов
оо оо оо оо
2(2аМ*)' соответственно 2 (2а^)-
В то время как, вообще говоря, эти двойные ряды ведут себя совсем
по-разному, их поведение в смысле определения 5.1 очень просто.
Это находит свое выражение в следующей большой теореме о
перестановке членов ряда:
Теорема 5.2. Пусть ряд 2 ai сходится к а. Пусть множества
индексов J разбито на счетное число непустых подмножеств К%+
л £ L, с пустим попарным пересечением. Если тогда положить Ъ% =
^ zj 01, то и ряд 2 Ьа, будет сходиться к а.
Доказательство. В силу следствия из теоремы 5.1 числа
х определены корректно. Пусть задано некоторое г > 0. Поскольку
РЯД Zj 0t сходится, существует такое конечное подмножество 10 с: /,
что Для каждого конечного /, удовлетворяющего условию I0 cz / cz Jy
304 Том II
выполняется неравенство 2 ai — а\ < 8/2. Положим L0 =
= {X £ L: ЛГ^П^о =7^= 0}; это — конечное множество. Пусть теперь
Li — произвольное конечное подмножество множества L, для
которого L0 cz Li, и пусть I — число его элементов. Для каждого X £ Lt
существует такое конечное подмножество К'% а К^, что К% zd /0 П -К л
л IS «I — ьх| < e/2Z. Тогда /0 cz U #1 = К' и
S^"aH2(&*-2ai)+2ai"'
ЛбХ/i 16К'Л 1бК'
Srx~Sail+l2ai_a
KZLi i6K^ i€K'
,8,8
<Z h — = e.
21 2
<
<
Тем самым теорема доказана.
Примером ряда служит «кратная геометрическая
прогрессия». Пусть qu . . ., qn £ Ш, причем |gv| < 1. Обозначим q =
= (?i> • • • » ?п) 6 И^п и образуем выражение
2 <£' ... д^=2ч"- (2)
^ь • • •» ^п—0 Я,
где суммирование справа производится по всем и-местным мульти-
индексам. Множество таких мультииндексов счетно. В самом деле,
при п = 1 это ясно. Если для какого-либо п все тг-местные
мультииндексы уже упорядочены в виде некоторой последовательности A,l5
Х2, Х»3, . . ., то каждый (п + 1)-местный мультииндекс можно
записать как пару (hv, jx), а затем все эти мультииндексы перенумеровать
тем же способом, как мы это сделали с рациональными числами
(см. т. I, стр. 45), расположив их в виде таблицы.
На основании теоремы 5.1 ряд (2) сходится. Действительно, если
J0 — какое-нибудь конечное множество мультииндексов, то найдутся
такие li9 . . ., ln 6 М, что J0 cz Jt = {k: 0 ^ Xv ^ Zv; v = 1, . . ., ri).
Тогда
h£j0 X£jt Я1==0 Я,2=0 ^п=0
1—lftl «-l»»l
Гл. III. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 305
По теореме 5.2
а,п=о
оо
=2
% ЛЛ4 лЯт]
Z-J 1 — qn
А,±=0 Я,71-1=0
= 1 1
1 — ?i '" 1— 9т/
Пусть теперь {/t(x): i£ /} — счетное множество функций,
определенных на М с Dln. На основании определения 5.1 ясно, что такое
(обычная) сходимость ряда 2 Л(х)> причем фигурирующее в этом
определении множество /0, вообще говоря, зависит от точки х £ М.
Мы получаем равномерную сходимость этого ряда на множестве ЛТ,
если множество /0 можно выбрать независимо от х £ ЛТ. Как и для
рядов в обычном смысле, справедлив признак Вейерштрасса: если
существуют такие числа аь, что для всех i £ / выполняется
неравенство |Д(М)| ^ аь, и если ряд 2 at сходится, то ряд 2 Л(х) сходится
на множестве М равномерно. Понятие компактной сходимости из
гл. III, § 5 переносится дословно.
Теперь мы в состоянии рассмотреть вопрос о сходимости
степенных рядов от нескольких переменных. Такой ряд имеет вид
00
р(х)= 2 Мх-*о)\ <fc€R| x,Xo6Bln. (3)
Теорема 5.3. Пусть существуют такая точка х4 = х0 + с,
где с = (q, . . ., сп) и cv > 0 при v = 1, . . ., п, и такое число R,
что для всех мулътииндексов % выполняется неравенство \а%\с% < R.
Тогда степенной ряд (3) сходится в каждой точке х открытого
параллелепипеда М = {х: \xv — х(У\ < cv; v — 1, . . ., п}. Он компактно
сходится в параллелепипеде М.
Теорема, разумеется, останется справедливой, если слова «все
мультииндексы X» заменить словами «почти все».
Доказательство. Для простоты положим х0 = 0. Для
точки х £' М обозначим gv = \xv\c^ < 1 и q = {qu . . . , qn). Тогда
для любого конечного множества /0 мулътииндексов
gi-^i-S'*'v^<i,2't<(i-rt.*(t-fc)-
k&o ье Jo ^о
откуда и следует сходимость.
20-832
306 Том II
Если К — компактное подмножество параллелепипеда М, то
mincv>dist(Z, Шп — M)=d>0
(ср. с теоремой 4.9 гл. II). Множество К лежит в компактном
параллелепипеде Mi — {х: |zv| < cv — d/2}, содержащемся в М, и
кратная геометрическая прогрессия со «знаменателями» 1 — dl2cv служит
сходящейся, независимой от точек х £ К мажорантой степенного
ряда р(х)\К. Отсюда следует компактная сходимость.
Из теоремы 5.3 вытекает непрерывность функции р(х) на М.
Теорема 5.4. Если степенной ряд (3) сходится в
параллелепипеде М = {х: \xv — х^ | < cv}, где cv > 0, то функция р(х) в этом
параллелепипеде дифференцируема сколько угодно раз и ее
производные можно вычислять с помощью «почленного дифференцирования».
При этом
Р, м.(хо) = (f*)!*ii.
Доказательство. Будем считать, что х0 = 0. Если мы
фиксируем х2, . . ., #п, где \xv\ < cv при v = 2, . . ., п, то ввиду
сходимости можно написать
ОО ОО 00
W=2( 2 ^...л* ••• 4n)*il.
|£у=0 Я,4=0 А,2, . . ., ^=0
Выражение в правой части является при \х^ | <С ct сходящимся
степенным рядом относительно хи и мы знаем из т. I, что при \xt\ <С с4
его сумма непрерывно дифференцируема, а ее производная является
суммой также сходящегося при \Xi | < с4 степенного ряда
ОО 00
• 2 Я1 2 _ «*,*,... *»4* ••• «J?1-^'1.
Aj—i Л-2, . . ., Ал—О
Тем самым непрерывная дифференцируемость функции р(х) по х{
доказана; точно так же доказывается и непрерывная
дифференцируемость по всем остальным переменным. В силу теоремы 1.5 функция р
дифференцируема в М. Так как частные производные функции р
снова являются суммами сходящихся в М степенных рядов х), то
отсюда совершенно так же вытекает их дифференцируемость. С помо-
мощью индукции получаем оба первых утверждения теоремы.
Последнее утверждение проверяется точно так же, как для многочленов
(см. стр. 296).
Следствие. Если степенной ряд
ОО
|Ь|=0
х) Доказательство сходимости ряда для производных мы предоставляем
читателю; можно, например, воспользоваться теоремой 5.3.
Гл. III. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 307
сходится в некотором открытом параллелепипеде, то он совпадает
в этом параллелепипеде с рядом Тейлора функции р(х) для точки х0.
Теперь мы можем высказать достаточный признак для того, чтобы
некоторую функцию можно было разложить в ее ряд Тейлора.
Теорема 5.5. Пусть х0 £ Кп и с £ 01п —■ такая точка, что
сх>0 при v = 1,
в открытом параллелепипеде
п. Пусть функция /(х) дифференцируема
Jo)
М = {х: | xv — 4 | < cv; v = 1, ..., п)
сколько угодно раз. Пусть существует такое число R, что для каждой
точки х 6 М и каждого мультииндекса 'к
Тогда ряд Тейлора
l/.xWI
ся<#.
00
2
|Ь|=0
А±М(х_Х(/
(Ь)!
(4)
сходится в параллелепипеде М к функции /.
Доказательство. Снова положим х0 = 0. Условия (4)г
примененные к точке х = 0, гарантируют вместе с теоремой 5.3
сходимость ряда -Тейлора в параллелепипеде М.
Если I £ Ы выбрано произвольно, то по формуле Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа
i-i
|Х|=1
Но последняя сумма является куском кратной геометрической про-
\х I
грессии со знаменателями qv = —— < 1. Как в доказательстве теоре-
с<у
мы 5.1, для данного 8 > 0 можно выбрать такой номер Z0, чтобы для
20*
308 Том II
любого I !> 10
откуда и следует наше утверждение.
Разумеется, достаточно, чтобы условие (4) выполнялось для почти
всех X. Если все производные /д ограничены в М одним и тем же
числом, то это условие выполняется.
§ 6. ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ
В этом параграфе М — некоторое открытое множество в
пространстве Шп, а / — действительная функция, определенная на М. Мы
хотим исследовать, когда функция / имеет в некоторой точке х0 6 М
локальный максимум или минимум. Как и для функций одной
переменной, очень быстро получаем необходимое условие. Можно
перенести на функции нескольких переменных и достаточное условие для
одномерного случая, использующее знак второй производной, но оно
будет давать только более слабое утверждение.
Определение 6.1. Говорят, что функция / имеет в точке
х0 6 М локальный максимум (соответственно локальный минимум),
если существует такая окрестность U точки х0, содержащаяся в М,
что /(х0) = max f(U) (соответственно/(х0) = min/(£/)). Говорят, что
функция / имеет в точке х0 локальный экстремум, если она имеет
в этой точке локальный максимум или минимум.
Теорема 6.1. Пусть функция f дифференцируема в точке
х0 и имеет в ней локальный экстремум. Тогда /,v(xo) = 0 при v =
= 1, . . ., п.
Доказательство. Допустим, что функция / имеет в точке
х0 локальный максимум. Тогда каждая из функций
&v v^v/ ==: 7 v^i » • • •» •Z'v—i» %v> ^?v+l» • • •> %n )
имеет в точке #v0) локальный максимум. Поэтому
/>v(x0) = ^(^(v0)) = 0 при v = l, ..., п.
dxv
Условие, высказанное в теореме, ни в коем случае не является
достаточным, как показывает следующий пример. Пусть М = Л2,
х0 = 0 и /(#!, х2) = я? — х1- ТогДа /*i(°> °) = /*«(0» 0) = 0 и вместе
с тем функция gi(#i) имеет в точке х^ = 0 локальный минимум,
а функция g2(x2) в точке х2 = 0 — локальный максимум. Таким
образом, функция / не может в точке 0 иметь экстремум. В этом и подоб-
Гл. III. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 309
ных случаях говорят, что х0 является «седловой точкой» функции /;
на такое название этой точки наталкивает вид графика функции /
в ее окрестности (гиперболический параболоид).
Чтобы можно было сформулировать достаточный признак наличия
локального максимума, нам нужно сделать несколько замечаний
относительно однородных многочленов второй степени, так
называемых квадратичных форм.
Квадратичная форма задается выражением вида
п
<?(Ь)= Ц Я|иАА.
М-, v=l
где a^v — действительные числа, (х, v = 1, . . ., п, a hu . . ., hn —
переменные, вместе составляющие некоторый вектор h. Мы будем
всегда требовать, чтобы матрица коэффициентов (а^) квадратичной
формы Q была симметрической, т. е. чтобы а^ — aVVL при (х, v =
= 1, . . ., п.
Если h = 0, то, очевидно, Q(b) = 0. Форма Q называется
положительно {отрицательно) определенной, если для каждого вектора h =^0
значение Q(b) > 0 (соответственно (?(h)<0); обозначается это так;
Q > 0 (соответственно Q < 0). Она называется положительно
(отрицательно) полуопределенной (это обозначают так: Q ^ 0 и Q ^ 0), если
для каждого h значение Q(b) ^ 0 (соответственно Q(ft) ^ 0). Если
существуют как векторы, в которых она принимает положительное
значение, так и векторы, в которых ее значения отрицательны, то
форма Q называется неопределенной.
В качестве простейшего примера рассмотрим квадратичную форму
Q(h) = апк\ + a22h\ в пространстве R2. Сразу видим, что если оба
коэффициента ап и а22 положительны (отрицательны), то и форма Q
является положительно (отрицательно) определенной. Если оба
коэффициента аи и а22 неотрицательны (неположительны), то форма
Q является положительно (отрицательно) полу определенной.
Наконец, если один из этих коэффициентов отрицателен, а другой
положителен, то форма Q является неопределенной.
Рассмотрим теперь общую квадратичную форму
Q (h) = anhl + 2a12ftiU2 + «22^2
в пространстве Dl2. Если ап Ф 0, то ее можно также записать в виде
Q (h) = оц Ы + —hУ + — (aiiaz2 - а\2) й|.
V яи ) an
Если ап > 0 и апа22 — а\2 > 0, то, очевидно, Q(h) > 0 для каждого
вектора h ф 0. Если, наоборот, Q — положительно определенная
форма, то из неравенства (?(1, 0) > 0 следует, что коэффициент аи
310 Том II
должен быть положительным, а затем из неравенства Q{—а12, #и) >>
> 0,— что должно быть положительным и а11а22 — я?2- Итак, мы
доказали следующее: форма Q является положительно определенной
в том и только в том случае, если ап > 0 и det (a^v) = о,ца>гг — а\г >
>0.
Для квадратичных форм от более, чем двух, переменных можно
вывести аналогичный критерий: форма
71
<?(h) = 2 «livMv
М>, v==l
является положительно определенной в том и только в том случае,
если для I = 1, . . ., п выполняются неравенства det((a^v)1^IblfV^;>
>0.
Так как, очевидно, форма Q является отрицательно определенной
лишь тогда, когда форма — Q является положительно определенной,
тем самым мы имеем критерий и для «отрицательной определенности».
Если Qi и (?2 — квадратичные формы, то вместо Qi — Q2 > 0
мы будем также писать Qi > Q2.
Сначала будет доказана
Лемма. Если для всех векторов h £ i&n, удовлетворяющих
условию |h| = 1, выполняется неравенство Qi{h) > (Mh), mo Qi > (?2-
Доказательство. Если h Ф 0 —- произвольный вектор,
то Mhl^.hl = 1 и
ft(h)==|h|^ft(j^-b)>|b|8-ft(j^
Теперь мы можем доказать обещанную теорему о локальных
экстремумах. Если функция / на множестве Icf
дифференцируема, а в точке х0 6 М дифференцируема даже дважды, то
0(h) = S /,*,v(xo)V>v
есть квадратичная форма (в силу теоремы 3.3, /fM,,v(xo) = /,v,n(xo))-
При этих обозначениях справедлива
Теорема 6.2. Пусть /,v(x0) = 0 при v = 1, . . ., п. Если
Q > 0 {соответственно Q < 0), то функция f имеет в точке х0
локальный минимум {соответственно максимум). Если Q —
неопределенная форма, то функция f в точке х0 локального экстремума
не имеет.
Гл. III* Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 311
Доказательство. Выберем такую е-окрестность U точки
х0, чтобы U cz M. В параллелепипеде U мы можем для функции /
написать формулу Тейлора (первую формулу из теоремы 4.1):
где точка х = х0 + h лежит в U, а функции R^ непрерывны в точке
х0 и обращаются в ней в нуль. В первой сумме по условию пропадают
члены с |ji| = 1. В результате получаем
71
/(х) = /(х0) + ~2 Уг /,v,vЫК + \ ftVL%v(х0)h^K +
V—1 1<H<V<71
|Ц=2
n n
= /(«о) + "2 Xj Au.v(«o)AhAv + -2 Xj ^iwW*A»
p., v=i p,, v=i
если мы должным образом переименуем функции i?^ (должно
выполняться условие i?^v = i?v^; функции i?^v также непрерывны в точке
х0 и обращаются в ней в нуль). Итак, мы имеем
/(x) = /(xo) + -|(<?(h)+ 2 Rv»V)KK)-
Jl, V=i
Отвлечемся на минуту от того, что h = х — х0, и рассмотрим h
как переменный вектор в Шп. Тогда, в частности, последняя сумма
Для каждой фиксированной точки х £ U является некоторой
квадратичной формой i?x от h; при х = х0 она становится нуль-формой.
Пусть Q > 0. Тогда т = min Q(h) > 0. (Непрерывная функция
л/и\ ,h,=:sl
VW принимает на компактном множестве {h: |h| = 1} свое
минимальное значение.) Так как все функции i?M,v(x) непрерывны в точке
хо и обращаются в ней в нуль, мы можем найти такую окрестность V
этой точки, содержащуюся в U, что при х £ У и jx, v = 1, ..., п
312 Том II
будет выполняться неравенство |йцУ(х)| <;/га/и2. Тогда при |h| = 1
и хб V
|2i?"»AAv|<2|i?|w|,|A|i|,|Avl<5"SIA|il'l*vl =
p., v M-» v p., v
=^(SiJ»i)!=",(7SiJ»|)2<"'<e<h)-
В силу леммы отсюда следует, что Q(h) > |i?x(h) | и тем более Q(h) +
+ Rx(h) > 0 для любых х £V иЬ £Кп — {0}, а в частности и для
Ь=т^0 и х = х0 + h £ F. Таким образом, для точек х £ У — {х0}
имеет место неравенство /(х) > /(х<>); функция / имеет в точке х0
локальный минимум и вблизи точки х0 ее значения даже строго
больше, чем в самой точке х0.
Если Q < 0, то —Q > 0, и, как выше, мы убеждаемся, что
функция —/ имеет в точке х0 локальный минимум. Следовательно,
функция / имеет в этой точке локальный максимум.
Если, наконец, Q — неопределенная форма, то выберем такие
векторы hl9 h2 6 ^п» что ()(hi) > 0 > (>(Ь2). При малом \t\ точки
х0 + thx 6 М и определены функции gx(t) = /(х0 + Яи); эти
функции при таком условии дифференцируемы, а в точке t = 0 даже
дифференцируемы дважды. С помощью цепного правила находим
dg^t)=y.ftV(x0 + tbx).h«\
dt Z-J
v=i
следовательно, g^(0) =: 0, и
n
-^r (0) = 2 '• •*•v (Xo) ^=Q {K)'
Ц, V=l
Таким образом, функция gi имеет в точке t — 0 локальный минимум,
а функция g2 — локальный максимум. Поэтому функция / не может
иметь в точке х0 локального .экстремума. Сужение функции/ на
плоскости, проходящей через точки х0, х0 + hi и х0 + h2, имеет в точке
х0 седло. Тем самым доказательство теоремы закончено.
В то время как аналогичная теорема для функций одной
переменной оставляет открытым лишь случай, когда вторая производная
равна нулю, здесь также не охватывается возможность, когда Q —
полуопределенная (но не определенная) форма. Приведем один
пример. Возьмем М = D12 и
fk (х) = х\ + (*i + х2)2 при к = 0, 3, 4.
Гл. III. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 313
Имеем: fh, i(x) = kx\~x + 2{хх + х2) и fk> 2(x) = 2{хх + х2). Таким
образом, Д, i(x) = fk% 2(x) = 0 при к = 3 и при & = 4 лишь в точке
х = 0, a /0,i(x) = /о,г(х) = 0 во всех точках
х 6 {(#i, х2): xi + х2 = 0}.
форма фм образованная для функции Д и точки х0 = 0, имеет вид
(7ft(h) = 2(А4 + h2)2 и, следовательно, является полуопределенной
и не зависит от к. Между тем легко убедиться, что функция /0 имеет
в точке 0 локальный минимум, причем значение этой функции равно
/0(0) на всей прямой xi + х2 = 0; функция /3 в точке 0 локального
экстремума не имеет, а функция /4 имеет в точке 0 минимум, и ее
значения во всех остальных точках строго больше, чем А(0).
S
Глава IV
КАСАТЕЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ И РЕГУЛЯРНЫЕ
ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 0. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
В этой главе нам понадобятся некоторые простые понятия и
теоремы из теории векторных пространств. Для удобства читателя мы
сделаем здесь самую краткую сводку всего необходимого, а за
доказательствами отошлем его к учебникам по аналитической геометрии
и линейной алгебре.
Напомним понятие векторного пространства над полем К.
Векторное пространство V над полем К — это абелева группа (см.
определение 3.1, гл. I т. I) вместе с правилом, ставящим каждой паре (а, X),
где а^и!6 7, в соответствие некоторый элемент аХ £ V
(«произведение X на а»), причем выполняются следующие условия:
a(Xi + Х2) = aXi + аХ2,
(а4 + а2)Х = atX + а2Х,
(а^2)Х = ai(a2X) и 1-Х — X
для всех X, Xi, X2 £ V и а, а1? а2 6 К.
Все векторные пространства, встречающиеся в этой главе,
являются векторными пространствами над полем действительных чисел.
Определение 0.1. Элементы Хи . . ., Хт векторного
пространства называются линейно независимыми, если из того, что
т
аи • • • » ат 6 Ift и 2 ац^м- = 0> всегда следует, что а{ = . . . =ат = 0.
Определение 0.2. Система {Хи . . ., Хп} элементов
векторного пространства V называется базисом этого пространства, если
Xi, . . ., Хп линейно независимы и если каждый элемент X £ V
можно представить в виде линейной комбинации элементов Хи ...
п
. . ., Хп: X = 2 avXv, где av £ 01.
v=l
Теорема 0.1. Если векторное пространство V имеет базис
из п элементов, то и каждый базис пространства V состоит из п
элементов.
В этом случае говорят, что пространство V имеет размерность га,
и пишут dim V = п.
Гл. IV. Касательные векторы и регулярные отображения 315
Определение 0.3. Пусть F4 и V2 — векторные
пространства, a F: Vi ->- V2 — некоторое отображение. Отображение F
называется гомоморфизмом (векторных пространств), если для всех
Хн Х2 6 Vi и си с2£К
Fic.X, + с2Х2) = ^(Х,) + c2i?(X2).
Отображения, обладающие этим свойством, называются также
линейными.
Теорема 0.2. Пусть F1? V2u Vz — векторные пространства,
a F: Fi -> V2 и G: V2 ->• V3 — гомоморфизмы. Тогда и композиция
GoF: Vi ->• V3 является гомоморфизмом.
Пусть F: Vi ->- V2 — гомоморфизм, и пусть {Хи . . ., Х^} —
некоторый базис пространства Vi9 а {У4, . . ., Ут} — некоторый
базис пространства V2. Тогда для каждого v = 1, . . ., п имеет место
равенство
т
F(xv)= 2 «Л (1)
где a^v 6DI — некоторые однозначно определенные коэффициенты.
Говорят, ч^ро матрица
(an ... aln \
;
ат1 • • • %7i/
есть матрица гомоморфизма F относительно данных базисов.
Если, наоборот, задана такая матрица А с т строками и п
столбцами, то формулами (1) можно определить некоторый гомоморфизм
F:Vi ->■ V2, имеющий относительно данных базисов матрицу А.
Если G: V2 ->• Vz — еще какой-либо гомоморфизм, {Zl7 . . ., Z{)
— базис пространства V3 и гомоморфизм G имеет относительно бази-
сов {^ц} и {Z%} матрицу J?, то гомоморфизм GoF: Vi ->■ V3 имеет
относительно базисов {Хх} и {Zx} матрицу ВоА.
Если F: Vi ->• V2 — некоторый гомоморфизм, то множество
{X е Vi.F{X) = 0} = KerF
(ядро гомоморфизма F) является векторным подпространством
пространства V^ Точно так же, образ F(Vi) является векторным
подпространством пространства V2. Если конечную размерность имеет
пространство Vu то конечную же размерность имеют F(Vi) и Кег F
п выполняется равенство
dim Vi = dim (Кег F) + dim F(Vi).
Само Dl можно рассматривать как одномерное векторное
пространство над полем 01. Если V — некоторое 01-векторное пространство,
316 Том II
то множество всех гомоморфизмов У -> 01 можно наделить
структурой векторного пространства. Это множество мы будем обозначать
символом Н6т(У, HI), а его элементы называть линейными формами.
Сумма двух линейных форм со4, со2 6 Нот(У, Bl) определяется
условием
(coi + со2)(Х) = cOi(Z) + со2(Х) для всех X £ У,
а произведение формы со £ Нот (У, 01) на число с £ 01 — условием
(ссо)(Х) = с-со(Х) для всех X £ V.
Легко проверить, что сумма со4 + со2 и произведение ссо снова
являются линейными формами и что Нот(У, Л) с такими операциями есть
векторное пространство. Это пространство называется сопряженным
с пространством У и обозначается также символом У*.
Все рассматриваемые ниже векторные пространства должны иметь
конечную размерность.
Линейная форма со £ У*, как и каждый гомоморфизм векторных
пространств, определяется уже своими значениями со(Х4), . . ., со(Хп)
на произвольном базисе {Х4, . . ., Хп} пространства У, и для
произвольных заданных чисел а4, . . ., ап £ К существует такая линейная
форма со £У*, что со (Xv) = av при v = 1, ..., п. В частности, существуют
линейные формы соь . . ., соп, удовлетворяющие условиям co^Xv) =
= 6^ при 1 ^ (х, v <! га, где 6^v — символ Кронекера, т. е. 6^ =
= 1 и 6^v = 0, если |л =^= v. Построенные таким образом линейные
формы составляют базис пространства У, называемый сопряженным
с базисом {Х1? . . ., Хп}.
Если F: Vi -+- У2 — гомоморфизм векторных пространств, то для
него можно естественным образом определить «сопряженный
гомоморфизм» F*: V* -*• V*; именно, для каждой линейной формы со £ У*
линейная форма i?*co 6 V* определяется условием: (i^*co)(X) =
= ®(F(X)) для всех X £ У4. Если гомоморфизм F имеет относительно
базисов {Xi, . . ., Хп} пространства У4 и {УА, . . ., Ут}
пространства У2 матрицу Л, то сопряженный гомоморфизм F* имеет
относительно сопряженных с ними базисов матрицу Л*, транспонированную
из матрицы А.
Пусть G:V2 ->- V3 — еще один гомоморфизм векторных
пространств. Для гомоморфизма, сопряженного с композицией
G*F: У4 -> У3, имеем: (G<>F)* = F*oG*; У* ->- V*.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Пусть х0 £ Rn — некоторая фиксированная точка. Символом
<0Р = «^(xq) мы будем обозначать множество всех действительных
функций /, определенных в некоторой (зависящей от /) открытой
окрестности М = Mf точки х0 и непрерывных в этой точке. Символом
ЗЬ = £8{х0) мы будем обозначать множество тех функций из <0Р{хо)>
которые дифференцируемы в точке х0. Если функция / £ tf (соответ-
Гл. IV. Касательные векторы и регулярные отображения 317
ственно / 6 3S) определена в окрестности Mf, а функция g £ &
(соответственно g £ 3) — в окрестности Mg, то сумма f + g ш
произведение f>g определены в пересечении М = Mff]Mg, и как / + g", так
и/'g принадлежат tf (соответственно 3). Кроме того, справедлива
Теорема 1.1. Если g £ о?(х0), f £ <2*(х0) и /(х0) = 0, то
Доказательство. Поскольку функция / диференцируема
в точке х0 и /(х0) = 0, мы можем ее записать в виде
/(х)= 2(^v-40))Av(x),
где Av — действительные функции, непрерывные в точке х0.
Умножая на g(x), получаем
(*•/)« = 2(a:v-40))(?-Av)(x).
V—1
Но функции gAv непрерывны в точке х0, так как в ней непрерывны
и g, и Av. Если еще учесть, что (gf)(x0) = g(x0)f(x0) = 0, то дифферен-
цируемость произведения gf в точке х0 тем самым доказана. Кроме
того, имеем: (g/)tV(x0)= g(x0)ftV(x0).
Теперь мы хотим рассмотреть на множестве 3 операцию,
обобщающую операцию частного дифференцирования.
Определение 1.1. Соответствие D: S(x0) -►■ HI (которое,
таким образом, каждой функции, дифференцируемой в точке х0,
относит некоторое действительное число) называется
дифференцированием г) в точке х0, если оно обладает следующими свойствами:
(1) оно R-линейно, т.е. D(cJi + ^2/2) = CiD(fi) + c2D(f2) для всех
Л, /2 6 ^(х0) и с4, с2 е R;
(2) D(l) = 0;
(3) D(gfl = 0, если g е ^(хо), / € ^(х0) и g(x0) = f(x0) = 0.
При этом на основании теоремы 1.1 условие (3) корректно.
Из свойств (1) — (3) можно вывести дальнейшие правила для
дифференцирований D в точке х0:
(4) D(c) = 0 для каждой константы с.
В самом деле, D(c) = D(c-l) = c-D(l) = 0 в силу (1) и (2).
(5) D(fg) = f(x0).D(g) + D(f).g(x0) при /, g e Щх0).
В самом деле, напишем
fg = (f- f(x0))(g - g(x0)) + /(х0) .g + /-g(xo) - /(xo) -g(x0).
Чтобы получить D(fg), мы можем по отдельности применить D к
каждому слагаемому правой части этого равенства. На первом слагаемом
D равно нулю в силу (3), а на последнем — в силу (4). Тогда из (1)
следует наше утверждение.
*) В оригинале Derivation, а дифференцирование в смысле вычисления
производной — Differentiation.— Прим. перев.
318
Том II
В качестве примеров дифференцирований можно рассмотреть диф-
ференциальные операторы г— , где v = 1, . . ., п. При этом диффе-
ОЗБу
ft ft
ренцирование -— : £8(х0) -»• 01 определяется условием ^— (/) =
= /,v(x0). Эти операторы, очевидно, обладают свойствами (1) и (2);
доказательство теоремы 1.1 показывает, что они обладают и
свойством (3).
На множестве дифференцирований в точке х0 можно
естественным образом ввести операции сложения и умножения на число. Если
D4 и D2 — дифференцирования в точке х0, то под их суммой Dt + D2
мы понимаем отображение 35 (х0) -> 01, которое каждой функции
/ 6 <^(х0) ставит в соответствие число Di(f) + D2(/); иначе говоря,
{Dt + D2)(f) = D4(/) + D2(f).
Под произведением дифференцирования D на действительное число
с мы понимаем отображение 35 (х0) -> 01, ставящее каждой функции
/ £ 3)(х0) в соответствие число с•£)(/): (cD) (/) = c*D(f).
Вместе с D1? D2 и D дифференцированиями являются сумма Di +
+ D2 и произведение с D. Они линейны как сумма линейных
отображений, соответственно произведение линейного отображения на число.
Проверка свойства (2) тривиальна. Проверим еще (3):
Если g е ^(х0), / 6 ^(х0) и g(x0) = /(х0) = 0, то
(Dt + D2)(gf) = Dx(gf) + D2(gf) = 0 + 0 = 0,
(cD)(gf) = o(D(gf))= с-0 = 0.
Теорема 1.2. Множество дифференцирований в точке х0
с только что определенными операциями является векторным
пространством.
Доказательство. Начнем с установления
ассоциативности сложения. Пусть /)1? D2 и D3 — дифференцирования в точке х0.
Для произвольной функции / £ ЗЬ имеем
({Dt + D2) + DM = (Di + D2)(f) + D3(f) =
= Di(f)+D2(f) + D3(f) =
= Di(/) + (D2 + D3)(/) =
= (Di + (Da + D3))(/j.
Следовательно, дифференцирования (Di + D2) + D3 и Dt + (D2 +
+ D3) равны, так как каждой функции они ставят в соответствие
одно и то же число. ^
Аналогично доказывается и коммутативность. Нулевым
элементом служит дифференцирование, которое каждой функции ставит
в соответствие число 0, а элементом, обратным (по отношению к ело-
Гл. IV. Касательные векторы и регулярные отображения 319
ясению) дифференцированию D, служит (—1) D:
ф + (-1) •£)(/) = D(f) + ((-1) -D)(fi =
= D(f) + (—1) 'D(f) = О для каждой функции/ 6&•
Из правил умножения проверим, например, (а + b)D = aD -\-bD.
Для / € ^ (х0) имеем
((а + b)D){f) = (а + b)D(f) = а •/)(/) + Ь-Д(/) =
= (aD)(f) + (bD)(f).
Так как функция / произвольна, отсюда следует наше утверждение.
Правила a(Di + D2) = aDi + aD2, a(bD) = (ab)D и 1 -D = Z>
без труда проверяются по той же схеме.
Определение 1.2. Векторное пространство
дифференцирований в точке х0 называется касательным пространством (к Кп)
в точке х0. Мы будем обозначать его символом ГХо. Вместо
«дифференцирование в точке х0» мы будем также говорить «касательный
вектор в точке х0».
Теорема 1.3. Дифференцирования ^— в точке х0 при v =
= 1, . . . , п образуют базис пространства Тхо.
Доказательство. Покажем сначала, что дифференциро-
вания ^— линейно независимы. Если 2а ^я— = О» Т(>
п
0={\av — \(xll) = all при M"=1» •••> и,
v=i
поскольку^—(я^) = 6^v. Пусть теперь D £ ТХо — произвольное
ОХу
дифференцирование, и пусть D(xv) = av при v == 1, . . ., п. Тогда
D = 2 av ~— . В самом деле, для функции / 6 S (х0) напишем
v=i 0#v
/ (х) = / (х0) + 23 (ж» - 40)) Av (х) =
v=l
= /(х0)+ 2(^v-40))(Av(x)-Av(xo)) +
^ — ~(0)^
v~l
v=i v=l
^сли теперь мы применим D к обеим частям этого равенства, то
первый и последний члены правой части дадут 0 в силу (4), а второй —
320
Том II
в силу (3). Останется
71 71 71
Л (/) = °\У\ xvAv (*о)) = /1 avAv (хо) = /■ «v -^- W =
=1 v=i v=i
=(2а^)
(Л-
v=i
Так как функция/ произвольна, отсюда и следует наше утверждение.
Название «касательный вектор» мотивируется следующим
рассуждением.
Пусть Ф: / -> Шп — гладкий параметризованный путь в
пространстве Rn, проходящий через точку х0; пусть, скажем, х0 = Ф(£<>)-
Касательная к пути Ф в точке х0 имеет уравнение х = х0 +
+ (t — ^)Ф'(У; ?г-набор
Ф'(« = (ф1(«о). •-.. ф'»(«о))
называется направляющим вектором касательной. Если теперь / —
некоторая действительная функция, определенная на следе пути Ф
и дифференцируемая в точке х0, то композиция /оф является
функцией, определенной на промежутке / и дифференцируемой в точке t0.
По цепному правилу
71
(/о Ф)' {to) = У Ф; (^ -?- (Ф (t0)).
дх„
Если пути Ф или, вернее, направляющему вектору Ф'(*о)
касательной к этому пути мы поставим в соответствие дифференцирование
D = 2 9v(*o) з— в точке х0, то D будет характеризоваться уело-
вием D(f) = (/°Ф)'(*о)- В том же самом смысле, в каком частную
производную функции / можно рассматривать как производную сужения
функции / на прямой, параллельной некоторой координатной оси, это
дифференцирование D можно понимать, как производную сужения
функции / на пути Ф, иными словами как производную функции /
в направлении (касательной к) пути Ф (производную фукции f в данном
направлении).
Таким образом, параметризованному пути Ф естественным
образом ставится в соответствие некоторый касательный вектор в точке
х0. Этим способом можно получить каждый касательный вектор
D = 2 av о— в точке х0: этот касательный вектор соответствует
проходящему через точку х0 отрезку с направляющим вектором
(аи . . ., ап).
Гл. IV. Касательные векторы и регулярные отображения 321
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ ВЕКТОРОВ
Пусть М — открытая окрестность точки х0 6 Dln и F: М -►■ Кт
— некоторое отображение, причем F(x0) = у0. Если отображение
F дифференцируемо в точке х0, то посредством F каждый
касательный вектор к пространству Шп в точке х0 переводится в некоторый
касательный вектор к пространству Rw в точке у0.
Именно, если функция / £ «^(Уо) определена, например, в
окрестности N точки уо, то ввиду непрерывности отображения F найдется
такая окрестность М* а М точки х0, что F (М*) с= N. Тогда
композиция foF является функцией, определенной на М* и
дифференцируемой в точке х0, так что foF £ S(x0). Соответствие f -* foF
линейно, переводит 1 в 1 и сохраняет произведение.
Пусть, далее, D £ Т%0* Тогда условием
(FJ))(f) = DtfoF) для всех / £ 0(уо)
мы можем определить некоторый касательный вектор FJD £ ТУо.
Нужно проверить, что FJ) действительно является
дифференцированием. Для доказательства правила (1) пусть /1? /2 6 <®(Уо) и си сг 6
£Dl. Тогда
(FJD)(eJ± + C2/2)= D{{aft + c^)oF) =
= i)(c1.(/io^) + c2(/2oJF)) =
= cJHfpF) + c2D(f2oF) =
= ct(FJ)m + cz(F.D)(f2).
Доказательство правил (2) и (3) проходит без труда по той же схеме,
причем нужно воспользоваться тем, что loF = 1 и (gf)°F =
= (g°F).(foF). Справедлива даже
Теорема 2.1. F+ есть гомоморфизм векторного пространства
ТХо в векторное пространство Туо.
Доказательство. Для произвольных Z?l5 D2 G TXo
и си с2 £ К нужно показать, что F^CiDt + c2D2) = ct 'FJDi + c2 -FJD2.
Для этой цели применим обе части этого равенства, которые
являются элементами пространства ГУо, к произвольной функции / 6 <^(Уо)-
Получим
(F*(ciDi + c2D2))(f) = № + c2D2)(f*F) =
= (ctDMoF) + (c2D2)(foF) =
= CfDtfoF) + c2.D2(foF) =
= Ct-FJDM + c2-FJD2(f) =
= (ciFJDi + c2F*D2)(f),
что и требовалось доказать.
21-832
322
Том II
Если в дополнение к тому, что у нас было раньше, задано еще
отображение G некоторой открытой окрестности N точки у0 в
пространство ml, и если G дифференцируемо в точке у0 и z0 = &(Уо)>
то мы имеем и гомоморфизм G#: Гуо -> TZQ. Последовательно
производя гомоморфизмы ^ и G#, мы получаем гомоморфизм G^oF^i TXQ -*.
->■ TZo. С другой стороны, в некоторой открытой окрестности М* с: М
точки х0 определено отображение G°F: M*-*»Rl. Оно
дифференцируемо в точке х0 и индуцирует некоторый гомоморфизм векторных Ц
пространств
(GoF)*: TXo-+TZo.
Теорема 2.2. При введенных выше обозначениях (GoF)# =
Доказательство. Нужно показать, что для любого
касательного вектора D £ ТХо
(GoF),D = GsFm(D).
Для этого нужно убедиться, что обе части этого равенства,
являющиеся элементами пространства Г2о, принимают на каждой функции
f£$ (z0) одно и то же значение. И в самом деле,
{{GoF)m{D))(f) = D(fo(GoF)) =
= D({foG)oF) =
= (F*D)(foG) =
= (G*(F*Dm =
= G*oF*D(f).
Если координаты в пространстве Dlm мы обозначим уи . . ., i/m,
то д/дуи . • ., д/дут, рассматриваемые как касательные векторы
в точке у0, образуют базис пространства ГУо. Тогда при v = 1, . . , п
касательный вектор FJdldx^ можно выразить как линейную комби- fj
m
нацию / ianv^— " ^Ри этом в СИЛУ Д°казательства теоремы 1.3, если !
F = (/ГГ.'. • , /«), ТО
*-('--sr)w-s:<fc,')-
«ь-w
'V
и, значит,
i?*-^- = y,K(xo)
Гл. IV. Касательные векторы и регулярные отображения 323
Матрица гомоморфизма F+ относительно рассматриваемых базисов
имеет, таким образом, вид
(fix, (Х0) - • • fixn (X0) \
fmxi (хо) • • • fmxn (хо) '
Она называется функциональной матрицей (или также матрицей
Якоби) отображения F в точке х0.
Если G имеет тот же смысл, что и выше, то из теоремы 2.2 и одного
замечания в § 0 следует, что
bFW = b('W)-b(4
Пусть снова Ф: / ->- М — некоторый гладкий
параметризованный путь, и пусть Ф(£0) = х0. Касательное пространство к В11 в точке
t0 порождается касательным вектором d/dt, и только что выведенная
формула в применении к Ф и d/dt дает
п
*-*-2*«-£Г
V=l
Но это как раз есть касательный вектор в точке #0, который мы
поставили в § 1 в соответствие параметризации Ф. Если мы предположим,
что и путь /^оф: I -> N является гладким, то из предыдущего мы
получим равенство
(,.ф,,А=,.(ф.-£.),
которое можно интерпретировать следующим образом: касательный
вектор, соответствующий образу Р(Ф) в точке у0, возникает путем
переноса посредством отображения F из касательного вектора,
соответствующего пути Ф в точке х0.
Замечание. Если М — некоторое допустимое множество
в пространстве 01п, содержащее точку х0, то для каждой функции
/6^(х0)
oxyj dxv
Это же верно и для любой линейной комбинации д/дхх. Если теперь
F:M ->. R,m — дифференцируемое отображение и ^(х0) = у0, то для
каждого D £ ТХо и каждой функции / £ 3 (у0) определено поэтому
tr \f°F)- Таким образом, в § 2 и 3 достаточно требовать, чтобы М и N
были допустимыми множествами.
21*
324 Том II
§ 3. ПФАФФОВЫ ФОРМЫ
Пусть снова х0 £ Кп — некоторая фиксированная точка.
Образуем для касательного пространства ГХо сопряженное векторное
пространство Гхо = Нот (ГХо, 01). Базис этого пространства,
сопряженный с базисом d/dxi, . . ., д/дхп пространства ГХо, мы будем
обозначать dxi, . . ., dxn. Он характеризуется условием dx^d/dx^) = 6„v
(см. § 0).
Векторное пространство ТХо мы будем также называть ковариант-
ным касательным пространством в точке х0, а его элементы — ковек-
торами в точке х0. Векторное пространство ТХо в таком случае
называется также контравариантным касательным пространством.
Пусть теперь М — открытая окрестность точки х0 и F: М -> Rm—-
некоторое отображение, причем ^(х0) = у0. Если отображение F
дифференцируемо в точке х0, то определен гомоморфизм F#: TXo ->- ГУо
и можно образовать сопряженный гомоморфизм F*: Ту0 -> TXQ.
Если со 6 ^уо и D £ ТХо, то (F*u>)(D) = со (FJ)), и потому /?*со =
= cooF^; мы будем вместо этого также писать jF*cd = cooF.
Если, далее, N — открытая окрестность точки у0 и G: N ->• К1 —
дифференцируемое в точке у0 отображение, причем G(y0) = z0, то
в достаточно малой окрестности М* с: М точки х0 определено
отображение GoF: M* ->- R1, дифференцируемое в точке х0. Поэтому
определен гомоморфизм (GoF)*: TtQ ->• Т%0. В силу теоремы 2.2 и одного
замечания в § 0, (GoF)* = F*oG*. Для со 6 Г«о» следовательно, Ц
имеем ((&oG)oF = coo(GoF).
Пусть снова i/i, . . ., ym — координаты в пространстве Dlm. При
(Л = 1, . . ., wi ковектор Р*ду^ = dy^oF можно выразить в виде
линейной комбинации 2 avn dx-v- Если F = (fi, . . ., /m), то
v=l
n
m
Следовательно,
dylx°F= 2/^v(xo)^v (1)1
v=i
Это также сразу следует из замечания в § 0 о матрице сопряженного|
гомоморфизма.
Гл. IV. Касательные векторы и регулярные отображения 325
Пусть / — определенная в М и дифференцируемая в точке х0
действительная функция. Положим
df = df (x0) = 2 fXv (x0) dxv е Т*0.
v=i
Этот ковектор мы будем называть полным дифференциалом функции /
в точке х0. В этих обозначениях соотношение (1) запишется проще:
dy^oF = df^ при fx = 1, . . ., т.
Имеем
п
v=i
при Я= 1, ..., п.
Так как ковектор df действует на пространстве ТХо линейно, то,
значит, и для каждого касательного вектора D £ Тхо
df(D) = D{f).
Отсюда вытекают некоторые правила вычислений для нахождения
полных дифференциалов. Если /1? /2 6 ^(х0) и си с2 6 Ш, то
*(сА + c^){D) = D(cJt + c2f2) = cMU) + c2D(f2) =
= (cidh + c2df2)(D)
для каждого касательного вектора D £ ГХо, и потому
d(Cifi + с^2) = ci dfi + c2 df2.
Далее, для /, g 6 &(х0)
d(fg)(D) = D(fg) = D(f) .g(x0) + /(x0) -Dig) =
= (g(x0) df + /(x0) dg)(D).
Следовательно,
d(fg)=g(x0).df + f(x0)-dg.
И, наконец, для постоянной функции с
(dc)(D) = D(c) = 0 и, значит, dc = 0.
Эти правила можно также непосредственно вывести из определения
полного дифференциала.
Если F имеет тот же смысл, что и выше, то для g £ <2*(уо) и
каждого касательного вектора D £ ТХо
(dgoF)(D) = dg{F*D) = FJ){g) = D(goF) = d(goF)(D).
Следовательно,
dgoF = d(goF).
326 Том II
До сих пор мы рассматривали контравариантное и ковариантное
касательные пространства только в одной фиксированной точке
х0 6 lftn- Если рассмотреть касательные пространства во всех точках
некоторого множества М, то в каждой точке х £ М касательные век-
Л I Л I
торы -д— , определяемые условием ^— (/) = /х (х), будут образо-
ОХу, |х OXv |x v
вывать базис пространства Тх. Обозначим на минуту сопряженный
с ним базис пространства Т% через dxi(x)1 . . ., dxn(x). Задать в
каждой точке множества М некоторый ковектор — это то же самое, что
п
задать выражение вида 2 /v(x)^v(x)> где /v — действительные функ-
ции, определенные на множестве М. Когда это не может привести
п
к недоразумениям, мы будем просто писать 2 /v(x) dxv. Такие выра-
v=t
жения называются пфаффовыми формами. Ими целесообразно
пользоваться в теории дифференциальных уравнений. Если функции /v
п
в пфаффовой форме i|) = 2 /v(x) dxv (непрерывно) дифференцируемы
к раз, то и я|) называется к раз (непрерывно) дифференцируемой
пфаффовой формой.
§ 4. РЕГУЛЯРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
При изучении функций одной переменной оказалось, что если §|
производная функции /, дифференцируемой на некотором промежут- /
ке /, нигде на этом промежутке не обращается в нуль, то функция /
на / взаимно однозначна. В этом случае /(/) есть промежуток,
и обратная функция /-1 дифференцируема на /(/). Если / — открытый
промежуток, то отображение /:/->- 01 открыто.
Если мы попытаемся установить аналогичные результаты для ч
отображений многомерных областей,— место производной в этом *
случае занимает функциональная матрица,— то мы получим сначала s
только локальные утверждения. Дело в том, что многомерные обла- |
сти могут иметь значительно более сложный вид, чем промежутки |
или параллелепипеды.
Целесообразно ввести и локальную разновидность понятия инъек- |
тивности.
Определение 4.1. Пусть F — отображение открытого
множества М а Кп в пространство 0lw. Отображение F называется
взаимно однозначным (инъективным) в точке х0 (Е М, если существует
такая окрестность U cz М точки х0, что сужение F\U инъективно.^
Если отображение F инъективно на открытом множестве М, то оно
инъективно и в каждой точке множества М. Обратное, вообще говорЯ|
неверно. Например, отображение, задаваемое на множестве
М = {(г, а) 6 В12: г > 0} С Bl2 I
J
Гл. IV. Касательные векторы и регулярные отображения 327
условиями F(r, а) = (г cos a, r sin а) (полярные координаты), инъ-
ективно в каждой точке множества М, но в целом не взаимно
однозначно.
Пусть теперь отображение F = (fu . . ., fm): M -> Blm
дифференцируемо в точке х0 6 М и
^ F (xq) = / (/RXv (xo))i^<m\
— функциональная матрица отображения F в точке х0. В частности,
если т = я, то j^> (x0) является квадратной матрицей; ее
определитель
^((/^(Хо))!^^*)
называется функциональным определителем (или якобианом)
отображения 2? в точке х0; мы будем его обозначать символом JF(x0).
Определение 4.2. Пусть F — отображение открытого
множества М CZ И1п в пространство Dln. Отображение F называется
регулярным в точке х0 6 М, если оно непрерывно дифференцируемо
в некоторой содержащейся в М окрестности точки х0 и если /*(х0) Ф
Ф 0. Отображение F называется регулярным в М, если оно регулярно
в каждой точке множества М.
Регулярность непрерывно дифференцируемого отображения F
в точке х0 равносильна тому, что гомоморфизм F#: TXQ -> 2V<x0)
биективен.
Если F(M) d N cz 0lm и N открыто, a G: N ->• Dln — еще одно
отображение, дифференцируемое в некоторой окрестности точки
F(x0) = у0, то композиция GoF: М -> 01п регулярна в точке х0 в том
и только в том случае, когда отображение F регулярно в точке х0,
а отображение G регулярно в точке у0. В самом деле,
и, значит,
Jg*f (*о) — Jg (F (х0)) -Jf (х0).
Обе следующие теоремы чрезвычайно важны.
Теорема 4.1. Пусть F — отображение открытого множества
М с: Кп в пространство Rn. Если отображение F регулярно в точке
хо 6 М, то оно в точке х0 и взаимно однозначно.
Теорема 4.2. Пусть F — отображение открытого множест-
ва М с: Кп в пространство Кп. Если отображение F регулярно в точ-
ке х0 £ М, то существует такая окрестность W точки у0 = ^(х0),
что W с: F(M).
328 Том II
При доказательстве этих теорем можно без уменьшения общности
считать, что отображение F непрерывно дифференцируемо на всем
множестве М.
Доказательство теоремы 4.1. Пусть F = (/1? . . ., /п).
Выберем какую-нибудь окрестность Ue(x0) с: М и для п точек
х1? . ^ ., xn 6 Ue(x0)
рассмотрим матрицу
fflxi (xi) • • • flxn (xl)
a (x4,..,, xn)=| : : i = (fv,Xv (x^)).
v/n3Ci\X7i/ • • • Tnxn \xn/
)
Так как отображение F непрерывно дифференцируемо, то
определитель det (А) является непрерывной [функцией от п точек х4, . . ., хп
или, иными словами, от точки
(Xi, ..., xn) £111 .
Областью определения этой функции служит е-окрестность
С7е((х0, . . ., х0)) С Rn2, потому что условие: xv £ иг(х0) при v =
= 1, . . ., п эквивалентно условию:
(#i, . . ., хп) 6 Ue((x0, • • •> хо))-
Далее, det А(х0, . . ., х0) = ^(хо) Ф О- Поэтому в силу
непрерывности существует целая окрестность точки (х0, . . ., х0) 6 lftn2> в
которой определитель det (А) не обращается в нуль. Мы можем
считать, что это — окрестность вида С/б((хо> • • •> хо)) ^ ^п2» ГДе 0 <
< б < 8. _
Положим 7 = ?7б(хо) с: М и покажем теперь, что сужение F\V
инъективно. Если х(1>, х(2>£ 7, то по теореме о среднем значении
(гл. III, теорема 5.3) при \i = 1, . . ., п
/,l(x<2))-/,(x<1))=SK(x(1) + 0,(x(2)-x(1>))-(^)-a:v)),
v=l
где 9^ — некоторое подходящее число между 0 и 1. Эти п уравнений
можно записать в виде одного матричного уравнения
F (х(2)) - F (x(i)) = A (Xl, ..., хп)о (х(2) - х(1)),
где мы еще положили х(1> + 0м,(х(2)— х(1>) = х^. Так как вместе ^
с точками х(1) и х(2) в V лежат и точки х^ (\i = 1, . . ., га), то точка
(х4, . . ., хп) принадлежит ?76((х0, . . ., х0)). Поэтому матрица А
является невырожденной, а это означает, что из F(x™) — F(xa)) = 0 |
следует х(а) — х(1> = 0, что и требовалось доказать.
Гл. IV. Касательные векторы и регулярные отображения 329*
Доказательство теоремы 4.2. Воспользуемся теми же
обозначениями, что_и в предыдущем доказательстве.
Рассмотрим на V функцию g(x) = \\F(x) — F(x0)\\. Она непре-
рывна на V и при х £ dV выполняется неравенство g(x) > 0, потому
что из равенства g(x) = О вытекает, что F(x) = F(x0) и, следователь-
но, по только что доказанному, х = х0. Так как граница 0V
компактна! то функция g принимает на ней минимальное значение (теорема
4.7 гл. II). Поскольку функция g принимает на 6V только
положительные значения, ее минимум также положителен. Мы обозначим его-
через т|.
Пусть теперь W = {у £ lftn: ||у — Уо|| < V2}- Это — открытый
евклидов шар с центром у0 и радиусом т)/2 и, значит, окрестность»
точки у0.
Пусть yi 6 W. Нужно показать, что найдется такая точка х £ Vf
qrpQ F(x) = yi,. Для этого рассмотрим на V функцию
A(X) = ||JP(x)-y1||2.
Так как функция h непрерывна, то на компактном множестве V она*
принимает минимальное значение, скажем в точке х4 £ V.
При х £ 8V имеем
г, <.||>(х) — Уо || = II *(х) - У1 + Л - Уо|| <
<Ц^(х)-У1|1 + ||У1-Уо||,
и потому
11^(х)-У1||>Л-||У1-УоН>т1-^ = -|.
1
С другой cTopoHHL || F(x0) — у* II = II У1 — Уо II < У2- Поэтому*
минимум функции y~hj а значит, и минимум функции h не может
приниматься на границе 5F, т. е. Xi £ V. В частности, функция h имеет
тогда в точке Xi локальный минимум в смысле § 6 гл. III.
п
Так как функция h(x) = 2 (/v(x) — У™)2 дифференцируема, все*
v=l
ее частные производные должны в точке Xi обращаться в нуль:
71
0=2 2J(Mxl) — yv)fvxA*l) при [1=1, ..., 71.
эти уравнения снова можно объединить в одно матричное уравнение
0 = 2ftF(xi)o{F(x1)-yl). (1>
ак как *i £ V, функциональная матрица f-F (х{) = А(хц . . ., х^
является невырожденной. Поэтому из (1) следует F(xt) — yt = 0r
что и завершает доказательство.
330 Том II
Это доказательство не является конструктивным, т. е. оно не
указывает метода, который позволял бы для данной точки yt вблизи у0
действительно находить путем вычислений точку х1? для которой
F(x4) = у4. В самом деле, в соответствии с нашим доказательством,
для этого нужно было бы фактически находить локальные минимумы
функции h. Но теорема 4.7 гл. II не дает для этого никаких средств,
потому что она в свою очередь опирается на неконструктивное
доказательство теоремы 2.1 гл. II. Искомая точка xt должна при этом
находиться среди точек, удовлетворяющих уравнениям (1), н(У это
■означает, что точка xt должна быть прообразом точки 0 при
отображении х ->- 2f-F(x)o(F(x) — yi).A нахождение прообразов и
составляло нашу задачу. Поэтому представляется желательным привести
•еще одно доказательство теоремы 4.2, которое — по крайней мере
в принципе — позволяет найти прообраз точки у4*
Второе доказательство теоремы 4.2. Рассмотрим
«начала линейное отображение L: ЛЛ -> Шп, задаваемое формулой
Ь (х) = (tMxo))"1» (х - Уо) + у„,
*"Де Уо = ^(хо)- Имеем
fb(yo) = (fF^)ri и £(у0) = уо.
Отображение L биективно; в частности, обратное отображение L"1
открыто и переводит окрестности точки у0 в окрестности же точки у0.
Если мы положим G = LoF: M ->- Dln, то получим G(x0) = y0 и
1М*о) = ?ь(Уо)°1Ы*о) = Я.
Мы решим ниже упрощенную задачу: для произвольной точки у*
из некоторой определенной окрестности U точки у0 построить такую
точку х4 6 М, что G(xi) = у*, т. е. Xi =G-1(y#). Тогда мы будем иметь
Ffa) = L_1(y#). Тем самым для каждой точки yt из окрестности
L^lU) точки у0 мы получим также такую точку х1? что F(Xi) = у^.
достаточно взять Xi = G~1(L(y1)).
Пусть отображение Н: М -»» Кп определяется условием
G(x) - G(xo) = х - х0 + Я(х).
Тогда, очевидно, отображение Н на множестве М непрерывно
дифференцируемо и Я(х0) = 0. Далее, имеем
a,v = ^(xo) = ^(x„) + ^(xo) = 6,v + ^(x0)
OXv OXy, oxv OXv
я, значит, /&ц* (х0) = 0 при \i, v = 1, . . ., п, где, как обычно, мы
положили
G = (£i, . . ., gn) и Н = (hu . . ., hn).
Гл. IV. Касательные векторы и регулярные отображения 331
На основании непрерывности производных К^х мы можем выбрать
такое 8 > 0, что U = U2z{xQ) czcz Ми max sup \hViX(U)\ < 1/2л.
И, V
Если х £ U, то по теореме о среднем значении (теорема 4.3 гл. III)
| hv (x) | = | К (х) — К (х0) I =
71
/1 Къ (х0 + 9V (х — хо)). (^ - 40))
И=1
<^jl^(x0+ev(x-x0))|.|^-^0)i<
ц=1
^n-maxsuplAvjc (C7) j-max | ж^ ^^0)| ^
М,, v
1
^-^■•|х —х0| при v = l, ..., л.
Следовательно,
|#(х)|<1|х-Хо|<в. (1)
Пусть теперь у* £ UB(y0). По индукции определим некоторую
последовательность точек (х*), лежащих в U. Пусть точка xt задается
условием
У* — У о = xi — x0. (2i)
Точка xi, очевидно, лежит в U и даже
|Xi — Х0| = |у* — Уо1<6.
Допустим, что I > 1 и что для Я = 1, . . ., I — 1 точки хя, удовлет-
2^ — 1
воряющие неравенствам |хх — х0[^ л_1 е < 2е, уже определены.
Тогда определим точку х* условием
У* — У о = х* — х0 + Н(хг^). (2/)
Имеем
| xz — х01 = | у* — уо — Н (xi-t) | <
<ly*-yol + l^(xI-i)|<
1
<8 + у | Xz_i — Хо К В СИЛУ (1)
<
Л , 1 2м-i\ 2<-i
332 Том II
Таким образом, точка х* лежит в С/, и условием
У* — Уо = х/+1 — х0 + H(xi) (2i+i)
можно определить точку х*+1.
Покажем теперь, что последовательность (xi) сходится. Вычитая
из (2i+i) равенство (2/), при I ^ 1 получаем
xi+i — хг = H(xi^) — H{xi),
и, значит,
I *ж — хг| = | Я (Х|) — Н (х^) | = max | hv (хг) — hv (xz_4),.
v
К последней разности снова применим теорему о среднем значении:
п I
| К (хг) - К (xz-01 = 12 Кх» (Xi~i + Gv {Xl ~ ^'{X» ~~ ^"1>} I ^
n=l
</i-maxsup | hvx (U) |-max| xf — ^_1>/!<
Ц.» V
1
<y I *i — xz-i I при v = 1, ..., n.
Итак, мы получаем, что
l»i+i — XiK-s-l'xi —хм|
J.
2
Отсюда сразу с помощью полной индукции следует, что
1 1
|Хг+1—XZ|< —|Х!—ХоК—р-8.
со
Это, однако, показывает, что бесконечный ряд 2 (ха, — x^-i) имеет
со
сходящуюся (к 2е) мажоранту У\ 21~я<-е, а потому и сам сходится.
JU=1
Обозначим его сумму через х# — х0. Таким образом,
i
х* = хо + lim 2 (х* — xx-j) = х0 + lim (xz — Xq) = lim xu
и точка х* лежит в замкнутом множестве U.
Гл. IV. Касательные векторы и регулярные отображения 333
Наконец (учитывая непрерывность отображения Я), в формуле
(2j) можно перейти к пределу:
У* — Уо = Hnixz — Хо + lim# (x^) =
= lim хг — Хо + Н (lim хг_4) =
= X* — Хо + Н (X*).
Следовательно,
У* = G(xJ.
Тем самым наша задача решена.
В последней части доказательства мы воспользовались
бесконечным рядом векторов из пространства Ип. Это понятие до сих пор не
обсуждалось. Можно просто понимать этот ряд как сокращение,
которым мы заменяем тг-набор, состоящий из бесконечных рядов
действительных чисел, являющихся компонентами рассматриваемых
векторов.
Из только что доказанной теоремы легко следует
Теорема 4.3. Если множество М cz Kn открыто и
отображение F: М ->- Dln регулярно, то отображение F открыто.
Доказательство. Пусть U cz M — открытое множество
и у 6 P{U) — произвольная точка, например у = F(x), где х £ U.
По теореме 4.2, примененной к множеству U вместо М, найдется такая
окрестность W точки у, что W cz F(U). Таким образом, у является
внутренней точкой множества F(U). Значит, F(U) — открытое
множество, что и требовалось доказать.
§ 5. ОБРАТНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Выясним теперь вопрос о дифференцируемости и регулярности
отображения, обратного некоторому биективному регулярному
отображению.
Если множество М cz Кп открыто и отображение F: М ->• Шп
регулярно, то в силу теоремы 4.3 множество F(M) = N открыто
и F: М ->• N — открытое сюръективное отображение. Если
отображение F, кроме того, и биективно, то обратное отображение F*1
непрерывно (см. стр. 280). Справедлива даже
Теорема 5.1. Если множество М cz Кп открыто и
отображение F: М -*■ N cz Кп биективно и регулярно, то и обратное
отображение F"1: N ->• М биективно и регулярно.
Доказательство. Пусть F= (/4, . . ., fn) nF~1 = (gi, . . .
• . ., gn). Пусть, далее, х,х0^1иу = ^(х), у0 = ^(х0). Поскольку
отображение F дифференцируемо в точке х0, мы можем при \i =
334 Том II
= 1, . . ., п написать
№ - yf=U (х) - и Ы = 2 К - 40)) a^v (x), (1)
v—i
где функции Д^у непрерывны в точке х0.
Тогда и определитель det ((A^v(x))i <с ^} v^n) непрерывен в точке
х0. Но det (Alxv(x0)) = JF (х0) Ф 0. Поэтому определитель det (Д ^ (х))
отличен от нуля в некоторой окрестности точки х0, и матрица
(Дм,г(х)) имеет в этой окрестности обратную матрицу (вЛ/М,(х)).
Функции в^м,(х) мы получаем, разделив некоторые определенные
многочлены от A^v на определитель det (Д^)> поэтому и они непрерывны
в точке х0. Далее, очевидно, det (вхц(х0)) Ф 0.
Если мы умножим равенства (1) на в^м,(х) и произведем сумми-
п
рование по |д,, то, учитывая, что 2 ©а,ц(х) 'Ahv(x) = 8a,v и х = ^^(у),
ц=1
получим
2 Gfc - yf) в^о F-i (у) = х% - xf = gK (у) - fo (Уо). (2)
Так как функции @ьц°Р-1 в точке у0 непрерывны, тем самым диффе-
ренцируемость обратного отображения F'1 в точке у0 доказана.
Кроме того, из (2) следует равенство f-F-i = f-tfoF-1 (для
произвольной точки у0 £ N). Так как точка х = ^_1(у) непрерывно
зависит от у и, как мы уже выше видели, элементы матрицы, обратной
невырожденной матрице непрерывных функций, снова являются
непрерывными функциями, отсюда вытекает непрерывность матрицы
^f-i на множестве N, т. е. непрерывность всех частных производных
компонент gy. Наконец,
JF-i = det(fF-i) = de%(fp°F-l) = (JFoF~ir\
и, значит, /pr-i (у) Ф 0. Итак, отображение F'1 на множестве N
непрерывно дифференцируемо и якобиан его нигде не обращается
в нуль, что и требовалось доказать.
Теорема 5.2. Если множество М с: Кп открыто и
отображение F: М ->■ N с; Лп биективно, регулярно и к раз (непрерывно)
дифференцируемо, то и обратное отображение F*1: N -> М также
к раз (непрерывно) дифференцируемо.
Доказательство проведем индукцией по /с. При к = 1
утверждение содержится в теореме 5.1. Пусть к > 1 и для к — 1
утверждение уже доказано. Как видно из доказательства теоремы 5.1,
каждая производная gvy (у) является частным от деления некоторого
многочлена от fxxjfF'Ky) на не обращающийся в нуль многочлен
/Fo^-1(y) от тех же элементов. По предположению производные
/и*я по крайней мере (к — 1) раз (непрерывно) дифференцируемы,
1
Гл. IV. Касательные векторы и регулярные отображения 335
а по предположению индукции это же верно и для F'1. Тогда в силу
цепного правила по крайней мере (к — 1) раз (непрерывно)
дифференцируемы, композиции /ххя°^-1, а потому и производные gVI/.
Но это значит, что функции gv, а с ними и отображение F'1 по
крайней мере к раз (непрерывно) дифференцируемы.
§ 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть функции /4, . . ., fm определены на некотором открытом
множестве М пространства 01п, причем т ^.п. Рассмотрим вопрос
о тех точках множества М, которые удовлетворяют системе уравнений
Д(х) = 0, . . ., /т(х) = 0. (1)
Известный из аналитической геометрии частный случай системы
линейных уравнений наталкивает на некоторые гипотезы. Если
решения вообще существуют, то они заполняют некоторую не менее,
чем (п — яг)-мерную, поверхность; если ее размерность равна точна
п — т, то поверхность решений можно описать так: из переменных
Хи . . ., хп можно подходящим образом выбрать п — т, например
xm+i, . . ., хп, взять их в качестве «независимых переменных»
и систему (1) «разрешить» относительно остальных переменных,
например х^ . . ., хт; иными словами, можно найти такие функции
SlWrn+li • • •» ^п)ч • • •» Smv^m+U • • •» **W?
что система (1) эквивалентна системе
xi == ^flv^m+i» • • •» xn)i • • •» %т ~ emWrn + li • • •» %п)*
Так как в линейном случае эти результаты существенно зависят
от строения матрицы коэффициентов, следует ожидать, что в общем
случае (при дифференцируемых /^) при исследовании этих гипотез
важнейшуюТ'роль будет играть функциональная матрица
отображения (Д, . . .7 /то).
Заметим еще, что система уравнений вида
Л(х) = с±, . . ., /w(x) = ст
только кажется более общей, чем система (1). *В самом деле, числа
с^ можно перенести в левую часть равенства, и вместо /^ — с^ снова
написать /ц,— тогда мы восстановим систему вида (1).
Вначале мы хотим исследовать разрешимость системы (1)
относительно хи . . ., хт. Для этого целесообразно каждой точке х =
^ (#ь . . ., хп) £Rn поставить в соответствие, с одной стороны,
точку х' = (Xi, . . ., хт) е Лте, а с другой,- точку х" = (хт+и . . .
• ■ -. хп) £ Rn-m. Если, наоборот, х' £ Rm и х" 6 Rn"m -
произвольные точки, то х = (х\ х") есть некоторая точка пространства 0W
Далее, целесообразно построить из функций /4, . . ., fm
отображение F = (Д, . . ., /m): M -> Кт; изучение множества решений
-336
Том II
системы (1) означает не что иное, как изучение полного прообраза
Если функции /^ дифференцируемы, то функциональная матрица
j^gr отображения F имеет ровно п столбцов и т строк. Квадратную
матрицу, образуемую первыми ее т столбцами, мы будем обозначать
символом Hj.
Теорема 6.1. Пусть М с: Кп
т ^ п и F = (fi, .
мое отображение.
= det((/|lxv(xo))i^|4l
Если х0 6 М,
,<т)ФЬ
открытое множество,
— непрерывно дифференцируе-
F(x0) =0 u det (Яу(х0)) =
то существуют
окрестность U
такая открытая
z M точки х0 и
такая открытая окрестность V
точки х'о в пространстве Кп~т, а
также непрерывно
дифференцируемое отображение G =
= (*!, . . ;gmY-V-»RM, Что
U(]{xeM:F(x) = 0} =
= {х = (G(x"), х"): х" 6 V).
Таким образом, в
предположениях этой теоремы систему (1)
можно однозначно разрешить
относительно #i, . . ., хт, во всяком
случае, в некоторой окрестности точки х0. Точки, являющиеся
решениями системы (1) и лежащие в этой окрестности, в точности
заполняют график отображения G. Это изображено на рис. 34.
Доказательство. «Дополним» отображение F до
отображения
F={h, .... /m. «m+i. •••> *пУ- М-+Кп.
Тогда первые т строк функциональной матрицы f-p совпадают с
такими же строками матрицы fp, а при т + 1 <С (х <С п [х-я строка
матрицы J^f содержит одну единицу на jji-m месте, а в остальном —
лишь нули:
Рис. 34. К теореме 6.1.
ъ
о
о
В частности, /F(x0) = det fF (x„) = det Нр(х0) Ф 0, и потому
отображение F в точке хс регулярно. По теореме 4.1 существует, такая
Гл. IV. Касательные векторы и регулярные отображения 337
открытая окрестность U точки х0, что сужение F\U биективно.
Выберем окрестность U вдобавок столь малой, чтобы непрерывная
функция /f(x) не обращалась в U в нуль. Тогда сужение F\U будет
регулярным и, в силу теоремы 4.3, открытым. В частности, множество
ц? = F(U) является открытой окрестностью точки у0 = ^(х0) =
= (^(х0), х0) = (0, xj). Множество
является тогда открытой окрестностью точки х£ в пространстве
j^n-w. если ^ g у, то найдется такое е > О, что Z78(0, xj) с: W;
но тогда и UB(xl) cz V.
Рассмотрим теперь обратное отображение F'1: W-+- U. Так как
отображение F не меняет последние п — т координат, то это же
верно и для отображения F'1. Следовательно, отображение F—*
имеет вид
F~*(х) = (А(х), ..., /m(x), xm+i9 ..., хп),
где /^ — функции, непрерывно дифференцируемые в окрестности W
(см. теорему 5.1). Положим теперь
fii(*m+i» • • •> #7i)=/n(0, • ••> 0, #m+1, ..., хп) при fx=l, ..., т
и б = (ft, . . ., gm). Тогда G есть определенное на множестве V
непрерывно дифференцируемое отображение. Имеем
U n F"1 (0) = F~l (W П {у: • у' = 0}) = {х: х" £ 7, х' = G (*")},
что и требовалось доказать.
Теорема 6.2. J5 обозначениях и предположениях теоремы 6.1
для частных производных имеют место равенства
GXv (х) = - (Ну (G(х-), х'))"1 с Р^ (G (х), х')
при v = m-f-1, ..., п.
При этом под Gxv, соответственно Fx^ мы понимаем
вектор-столбец, состоящий из g^Xv, соответственно из f^Xv, а под о — умножение
матриц.
Доказательство. Для точек х" £ V и (х = 1, ... ., т
имеем 0 == /^(G(x"), х"), а потому также и 0 == Л-(/^(х"), х")) при
v = т + 1, . . ., п. По цепному правилу
m
Я»—1
22-832 '
338 Том II
Если объединить это в матричное уравнение, то мы получим 0 = Ш
= HpoGXv+FXv, поскольку % = ((/^Ji^, ^<m). Так как, |
наконец, (G(x"), х") £ U и матрица Нъ по построению обратима, мы 1
получаем наше утверждение. Щ
Ц
Теорема 6.1 позволяет разрешить систему (1) относительно хи . . ,
. . ., хт. Если не равный нулю определитель имеет квадратная
подматрица матрицы f-p(x0) размера т X т, образованная vrM, v2-m, ...
. . ., vm-M столбцами матрицы f- j;(x0), то при условии, что выполнены
остальные предположения, совершенно аналогичным образом в
некоторой окрестности точки х0 систему (1) можно разрешить
относительно xVi, . . ., xVm. Сохраняет силу и теорема 6.2. Таким образом,
однозначная разрешимость системы (1) в некоторой окрестности
точки х0, являющейся ее решением, гарантируется, как только ранг
матрицы j^(x0) в точности равен т, т. е. максимален. Это, впрочем,
означает, что гомоморфизм F% : T{xo)-*-Tf,x ч сюръективен. В случае
немаксимального ранга задача становится существенно более
трудной. Здесь мы на ней останавливаться не будем.
Поясним еще доказанные выше теоремы в случае т = 1. Пусть,
следовательно, функция / непрерывно дифференцируема на открытом
множестве М а Кп и в некоторой точке х0£М выполняется
равенство /(х0) = 0. Матрица Н^ (х) имеет лишь один элемент /Х1(х).
Если /^(хо) Ф 0, то по теореме 6.1 найдется такая окрестность U
точки х0, что при х 6 U соотношение /(х) = 0 равносильно
соотношению Xi = g(x2, . . ., хп), причем g — непрерывно
дифференцируемая функция, определенная в некоторой окрестности V точки
хо = (40>» • • •» Яп0))- Таким образом, f(g(x2, . . ., хп), х2, . . ., хп) = 0.
Кроме того, gXv = — (1//^) •/* в окрестности V при v = 2, . . ., п.
Если /я2(х0) Ф 0, то в некоторой окрестности точки х0 уравнение
/(х) = 0 можно разрешить относительно х2: существует такая
функция g*(Xi, x3, . . ., хп)у что/(хь g*(zt, хъ, . . ., хп)у я3, . . ., хп) = 0.
И только для точек х, в которых /(х) =0и df(x) = 0, наша теорема
не дает никакой информации о разрешимости.
Если уравнение /(х) = 0 разрешимо, скажем, относительно хи
то также говорят, что это уравнение определяет х± как неявную
функцию от ж2, . . ., хп. Поэтому теорему 6.1 называют также основной
теоремой о неявных функциях.
Разберем еще один простой пример. Пусть М '= R2, т = 1,
/(#!, х2) = х\ + х\ — 1. Производная fXl = 2х i; следовательно,
{х: /(х) = 0} П{х: /я, (х) = 0} = {(0, 1), (0,-1)}'.
Если х0 — произвольная точка, отличная от этих двух, но /(х0) =
= 0, то уравнение / = 0 можно разрешить относительно хи причем i:
в качестве U можно даже взять всю правую (соответственно левую '%
Гл. IV. Касательные векторы и регулярные отображения 339
открытую полуплоскость. Окрестность V всякий раз есть открытый
промежуток (—1, 1). В этом случае такое разрешение можно сразу
осуществить в явном виде (в общем случае это может оказаться
трудным):
Xi = g (х2) = У1 — х\ или g = — VI — х\
в зависимости от того, лежит точка х0 в правой или в левой
полуплоскости. Таким образом, разрешение относительно х± локально
однозначно (если вообще возможно), но глобально не однозначно: одна
неявная функция может определять несколько различных явных
функций. Аналогично обстоит дело и с разрешением относительно х2.
Мы видим, что уравнение /(х) = 0 в каждой точке можно разрешить
по крайней мере относительно одной из переменных.
Пример невозможности разрешения дает функция f(xi4 х2) —
= х\ — х\ в точке х0 = (0, 0). Производные /Х1(х0) = /я2(хо) = 0
и, значит, теорема 6.1 не годится. Множество N = {х: /(х) = 0}
состоит из двух прямых, пересекающихся в точке 0. Ясно, что ни
в какой окрестности U точки 0 пересечение N[)U нельзя представить
как график некоторой функции от xt или от х2.
Для /(#!, х2) = х\ и точки х0 = (0, 0) теорема 6.1 также не
применима; тем не менее, уравнение }(х) = 0 можно разрешить
относительно Xi. Именно, мы получаем: xt = 0.
§ 7. ЭКСТРЕМУМЫ ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ
Пусть в пространстве Шп задана некоторая поверхность Е. Еслв
/ — функция, определенная на каком-нибудь открытом множестве
М, для которого Е cz M, то можно спросить, в каких точках
поверхности Е имеет максимумы и минимумы сужение f\E. Прежде чем мы
выведем для этого необходимое условие, которое явится обобщением
теоремы 7.1 гл. III на наш случай, нужно более точно определить
эти понятия.
Пусть М а Кп — открытое множество. Подмножество Е cz M
называется регулярным куском поверхности размерности к в М, если
существует такое непрерывно дифференцируемое отображение
p=z(fi> • • •> fm):M-*Rm (где т = п — к > 0), функциональная
матрица f-F которого во всем М имеет ранг т, что Е =.
= {х 6 М: F(x) = 0}.
Подмножество Е cz M называется А-мерной регулярной
поверхностью в М, если оно замкнуто в М, т. е. Е[\М = Е, и если каждая
точка х0 £ Е имеет такую открытую окрестность U(x0) cz M, что
пересечение Е{] U(x0) является /с-мерным регулярным куском
поверхности в Щх0).
Пусть / — действительная функция на М и Е — регулярная
поверхность в М\ мы будем говорить, что сужение f\E имеет в точке
22*
340 Том II _^
х0 £ Е локальный максимум (минимум), если существует такая окре*
стность U а М точки х0, что /(х0) = sup f(U[)E) (соответственно
f(x0)=mif(U(\E))-
Пусть теперь Е — некоторая fc-мерная регулярная поверхность
и W — открытая окрестность точки х0 £ Е, в которой поверхность Е
описывается непрерывно дифференцируемыми функциями /4, . . ., /т,
причем их функциональная матрица f^F во всей окрестности W имеет
максимальный ранг. Будем считать, что координаты в Кп
перенумерованы таким образом, что первые т столбцов матрицы /F линейно
независимы и, следовательно,
det HF (x0) = det ((/^v (xo))i<llt v<m) Ф 0.
m
В силу теоремы 6.1 существует такая окрестность U = U(x0) с: W,
что пересечение Е(] U является образом некоторой области V a Dln
при инъективном дифференцируемом отображении G: V ->• Кп.
В самом деле, достаточно,— сохраняя обозначения из теоремы 6.1,—
положить G(x") = (G(x"), х"). Отображением, обратным отображению
G, служит p2\{E()U), где р2: Шп -* Пп"т определяется условием
р2(х) = х\ Таким образом, оно тоже непрерывно.
Функция /, дифференцируемая на некотором открытом множестве
пространства 01п, содержащем поверхность Е, очевидно, имеет в точ- |
ке х0 6 Е локальный экстремум сужения /1 Е в том и только в том |
случае, если композиция /©G имеет локальный экстремум в точке 1
хо. По теореме 7.1 гл. III для этого необходимо, чтобъ* (f°G)x (\) = 0 "■:
при v = т + 1, . . ., п\ или, иными словами, чтобы d(f<>G) = 0. <?
Но d(foG) = dfoG = G*(d/), где G*: Г*0 -» Г% — индуцированный |
отображением G гомоморфизм ковариантных касательных про- Т
странств. Таким образом, для того, чтобы сужение f\E имело в точке ;
х0 локальный^экстремум, необходимо, чтобы df(x0) £ Ker G*. |
Чтобы можно было применять это условие, ядро Ker G* нужно *
описать с помощью функций /4, . . ., /т. Стандартный базис прост- ;
ранства Г*" обозначим через dx'm+u • • .» d#n» а пространства Гх0 —
через dxu . . ., dxn. Формула преобразования из § 3 дает: G*(dxv) =
== dx% при v = т + 1, . . ., гг. Следовательно, гомоморфизм G*
сюръективен. По построению отображения G при \i = 1, . . ., m
имеем f^o G == 0, откуда
0=d(UoG) = dflloG = G*(dfli),
и потому d/ц £ Ker G*. Далее, d/p, линейно независимы: если мы выра- |
зим их через dxu . . ., dxn, то матрицей коэффициентов будет как
Гл. IV. Касательные векторы и регулярные отображения 341
з f-F(x0), а она по предположению имеет ранг т. Но
dim Ker G* = dim Г*0 - dim G* (Т$0) = dim Т*0 - dim ТЦ =
= n — (n — m) = m.
Поэтому dfu • • •> dfm образуют даже базис ядра Ker G*.
Таким образом, условие df(x0) 6 Ker G* равносильно тому, что
полный дифференциал df(x0) является линейной комбинацией
dfi(x0), • • •» dfm(x0). Так как dfu . . ., dfm линейно независимы, то
это эквивалентно утверждению, что d/(x0), d/i(x0), . . ., dfm(x0)
линейно зависимы.
Соберем все это вместе:
Теорема 7.1. Пусть М a Dln — открытое множество, Е —
регулярная k-мерная поверхность в М и f — дифференцируемая
функция на М. Сужение f\E может иметь в точке х0 £ Е локальный
экстремум лишь в том случае, если существуют такие действительные
числа Я4, . . ., Яп_д, для которых в точке х0 выполняется соотноше-
n—k
ние df-\- 2 V df]L = 0. При этом Д, . . ., /п_А есть система непре-
рывно дифференцируемых функций, описывающих в некоторой
окрестности точки х0 поверхность Е, функциональная, матрица которых
имеет в точке х0 ранг п — к.
Это условие не зависит от специального выбора функций /^.
Такой метод нахождения локальных экстремумов функции при
«дополнительных условиях»,, требующих рассматривать лишь ее
сужение на некоторой поверхности, восходит к Лагранжу;
коэффициенты Я^ называют поэтому в его честь множителями Лагранжа.
Вопрос о том, достигается ли в некоторой точке и в самом деле
локальный экстремум, и будет это максимум или минимум, можно
исследовать, например, с помощью достаточного признака из
теоремы 7.2 гл. III, применив его к композиции f°G. Мы не хотим на этом
больше останавливаться.
В качестве примера найдем еще локальные экстремумы функции
/(х) = Xi + хг + хъ
на единичной сфере в пространстве D13, задаваемой уравнением
/i(x) = *i + #! + 4--l = 0.
Условие df + X dfi = О равносильно условию
dxt -j- dx2 + dxs + 2Я(я1 dXi + #2 dx% + x3 dx3) = 0
и» значит, условиям 2Xxv + 1=0 при v = 1, 2, 3. Кроме того, в
разыскиваемых точках должно удовлетворяться соотношение Д(х) = 0.
342 Том II
Из этих четырех уравнений относительно хи х2, х3, к находим, что
локальные экстремумы сужения f\E могут достигаться только в точках
ko=(i71'W i?s) MXi=(~W ~W ~# Таккакс*еРа£
компактна, то функция f\E принимает на ней максимальное и
минимальное значения. Поэтому в точках х0 и х4 функцияJ\E действитель-
но должна иметь (локальные) экстремумы. Очевидно, в точке х0
она имеет максимум, а в точке х4 — минимум.
Подобным же образом можно рассмотреть и более общую задачу,
возникающую, когда задана не одна поверхность, а целое семейство
поверхностей или кусков поверхностей. Как ставится задача,
поясним сначала на одном физическом примере.
«Материальная точка» х массы \i > 0 в пространстве [R,8 имеет
потенциальную энергию и(х) — \igx3, где g — положительная константа. Функция и, оче- Ц
видно, не имеет в R,3 минимума. Но можно ограничить свободу передвижения |
материальной точки, наложив на нее следующее дополнительное условие: если
материальная точка находится на параболоиде вращения х3 — х\ — х\ — с = О Ц
(где с — фиксированное число; каждая точка пространства [R,3 лежит на некото- Ц
ром таком параболоиде), то она не может покинуть эту поверхность. (Такое щ
условие встречается, например, при вращении жидкости.) Разумно поставить
вопрос о (локальных) экстремумах потенциальной энергии при этом дополни-;
тельном условии. Сразу видно, что потенциальная энергия материальной точки,\
скользящей по поверхности а?3 — х\ — х\ — с = 0, имеет минимум в точке*
(О, 0, с). \
Щ
Дополнительное условие в нашем примере отличается тем, что*'
заданы глобально определенные поверхности (голономные связи).]!
Встречаются, однако, и такие ситуации, когда всюду заданы только||
локальные куски поверхностей, которые нельзя объединить в семей-1
ство глобальных поверхностей (неголономные связи). Мы хотим сейчао|
рассмотреть эту общую ситуацию.
Пусть, следовательно, М с f - открытое множество, и пустЦ,
для каждой точки х £ М заданы открытая окрестность Щх) с: Л#|
и некоторый регулярный кусок поверхности Е(х) cz W(x), причем
х £ Е(х). Размерность к куска поверхности Е(х) пусть не завис! ^
от х. Мы будем говорить, что действительная функция /, определен^
ная на множестве М, имеет в точке Xq6 М локальный экстремум прг
дополнительном условии {Е(х): х£М}, если сужение f\E(x0) име<
в точке х0 локальный экстремум. Это зависит, таким образом, только
от поведения функции / на регулярном куске поверхности Е(х0) в ок*
рестности Щх0). Применяя теорему 7.1, получаем следующую те*
рему:
Теорема 7.2. Для того чтобы дифференцируемая функция
имела в точке х0 локальный экстремум при дополнительном условие
{Е(х): х 6 М},
Гл. IV. Касательные векторы и регулярные отображения 343
необходимо, чтобы существовали такие действительные числа ki4 ...
Ят, для которых в точке х0 выполняется соотношение df +
т
+ S V ^ = ®' ^Ри этом (/*' • • •» /т) всть система функций,
^ 17/ \
задающих Е(х0) как регулярный кусок поверхности.
Применим эту теорему к описанному выше примеру. Мы имели
М = IR*3, т = 1, /(х) == к (х) = \igx3, /d(x) = а?3 — х\ — х\ — с.
Уравнение d/ + Я dfi = 0 в явном виде выглядит так:
(\ig + X)dx3 — 2Я(я1 dx± + х2 dx2) = 0.
Так как dxi4 dx2 и dz3 линейно независимы и \ig Ф 0, оно удовлетворяется лишь
при Xi = х2 = 0; тогда условие /i = 0 дает еще х3 = с. Локальные экстремумы
потенциальной энергии могут, таким образом, достигаться лишь в точках
(0, 0, с). Легко видеть, что в этих точках действительно достигаются ее
минимумы.
Глава V
НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В этой главе мы приступаем к изучению обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Пусть G — множество в пространстве 012, координаты в котором
мы будем обозначать буквами х и у, и / — действительная функция,
определенная на множестве G. Если IcR — допустимое
множество (в смысле дифференциального исчисления) и у = у(х) —
некоторая действительная функция, определенная на М, то говорят, что
функция ф является (на множестве М) решением дифференциального
уравнения
У' = /(*, У), (1)
если
(a) функция <р на множестве М дифференцируема;
(b) график функции ф лежит в G, т. е. {(#, <р(х)): х 6 М} a G;
(c) <v'(x)=f(x, ф)).
Уравнение у' = /(#, у) называется обыкновенным дифференциала
ным уравнением первого порядка, разрешенным относительно
производной. При этом «дифференциальным уравнением» оно называется
потому, что в него входит производная «искомой функции» у;
«обыкновенным»— потому, что искомая функция зависит лишь от одной
переменной и, таким образом, уравнение не содержит частных
производных; «первого порядка»— потому, что наивысший порядок
входящих в уравнение производных функции у равен 1; и «разрешенным
относительно производной»— потому, что оно разрешено
относительно у',— в отличие, например, от дифференциального уравнения в
неявном виде g(x, у, у') == 0.
Главной задачей при изучении дифференциальных уравнений,
естественно, является доказательство того, что они имеют решения,
а затем — обзор всех решений, а также установление условий, при
которых решение определяется однозначно.
Часто оказывается невозможным получить решения
дифференциального уравнения в явном виде. Поэтому утверждения о поведении
решений дифференциального уравнения необходимо выводить только
из самого этого уравнения. Наконец, для приложений важны утверж-
Гл. V» Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 345
пения об устойчивости: если правую часть уравнения (1) заменить
функцией /*, очень мало отличающейся от функции /, то хотелось
бы знать, не будут ли и решения измененного уравнения тоже лишь
мало отличаться от решений первоначального.
В этой главе задачи, возможные случаи и методы мы изучим на
некоторых примерах. В следующих главах мы установим общие
теоремы о существовании, единственности и устойчивости решений и
изложим дальнейшие методы
решения.
Если областью определения
некоторого решения ф(я)
дифференциального уравнения у' =
s=f(x, у) служит какой-либо
промежуток М, то график функции
ф является гладким путем в G,
параметризованным
отображением Ф(0 = (t, ф(*)), t e М (ср.
§ 6 гл. I). В каждой своей точке
р0 = Ф(£0) он имеет
касательную, задаваемую уравнениями
x = t, у = ф(*„) + (*—*о)ф'(*о)-
Число ф'(*о) равно при этом
угловому коэффициенту
касательной, т. е. тангенсу угла,
образованного ориентированной
касательной и положительно
ориентированной #-осью. Так как,
однако, функция ф должна
удовлетворять уравнению y'=f(x, у),
то <р'(*0)=/(*0, <р(*о))=/(Ф('о)).
Таким образом, решение <р уравнения у' = f(x, у) на некотором
промежутке обладает тем свойством, что в каждой точке его графика
Сф угловой коэффициент касательной к этому графику равен
значению функции / в этой точке. Это свойство является
характеристическим.
Если каждой точке Р0 — (х0, у0) £ G мы поставим в соответствие
прямую, проходящую через Р0 и имеющую угловой коэффициент
A#o> */о)> то тем самым на множестве G будет задано «поле прямых».
Нас здесь интересуют не сами эти прямые, как множества точек,
а только их направления. Поэтому мы будем говорить о поле
направлений. Результат предыдущего абзаца можно тогда сформулировать
и так; дифференцируемая функция ф является решением
дифференциального уравнения у' = /(#, у) в том и только в том случае, если
е© график лежит в G и «следует» определяемому функцией / полю
направлений, т. е. в каждой своей точке Р имеет касательной прямую,
соответствующую точке Р (рис. 35).
—- —--- о- *" ^- У ^ / У
Рис. 35. Поле направлений и
интегральная кривая дифференциального
уравнения.
346 Том II
График ^любого решения уравнения у' = f(x, у) называется
интегральной кривой этого уравнения. Мы будем для краткости
просто говорить, что решение проходит через некоторую данную
точку, если эта точка лежит на графике этого решения.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
Теперь мы хотим изучить простейший нетривиальный класс
дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных
относительно производной, называемых линейными дифференциальными
уравнениями. Это уравнения вида
у' =А(х).у + В{х), (1)
где функция f(x, у) = А(х) -у + В(х) линейна относительно у.
Пусть / — некоторый промежуток, не обязательно являющийся
конечным, пусть г) G = I X Ш = {{х, у): х £ I, у £ 01}, и пусть
функции А(х) и В(х) определены и непрерывны на промежутке /.
Тогда функция f(x, у) = А(х)>у + В(х) непрерывна в) G. Так как
график каждой действительной функции ср, определенной на
промежутке /, содержится в G, функция ф является решением уравнения
{1) в том и только в том случае, если она дифференцируема и если
<р'(х)==А(х)-ф) + В{х).
Рассмотрим сначала случай В = 0. Тогда уравнение имеет вид
у'=А(х).у (2)
и называется линейным однородным дифференциальным уравнением
первого порядка.
Если А = 0, то оно сводится к уравнению у' = 0, и из
дифференциального исчисления известно, что его решениями являются
постоянные функции и только они. Если {х0, у0) £ G —
произвольная точка, то существует ровно одно решение уравнения у' = 0,
график которого проходит через точку (i0, у0), именно, у(х) = у0.
Если А ф. 0, то во всяком случае функция <р(х) = 0 является
решением уравнения (2). Если же, ср — решение уравнения (2),
не тождественно равное нулю, то существует такая точка х0 £ /,
что ф(#0) Ф 0, и функция ф не обращается в нуль даже в целом
промежутке /* d /, содержащем точку х0. Если <р(х0) >0 и потому I
<р|7* > 0, то рассмотрим на /* функцию ij) = In ф (в противном слу- ^
чае — функцию о|? = In (—ф)). Имеем я|/ = <p'/q> = А и, значит,
X
•ty{x)= J A(f)dt + ty(x0) при x£I*.
*о
г) Если М d [Rm и TV С R,n» то под декартовым произведением М X N
понимают множество {(х, у) £ Кп+т : х £ M, у £ Щ. Этим обозначением мы будем
в дальнейшем часто пользоваться.
Гл. У. Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 347
Отсюда следует, что
X X
ф (х) = ехр (J A (t) dt + -ф (х0) )= ф (х0) ехр (J Л (t) dt) при я g /*.
Xq Xq
Если, наоборот, формулой
х
ф(я) = с-ехр (£ Л (£)d*),
х0
где ж0 6 / и с ^ R — произвольное число, определить на промежутке
/ функцию ф, то эта функция будет дифференцируема и, очевидно,
будет удовлетворять уравнению (2). Для произвольного заданного
Уо 6 ft единственным образом можно найти такую константу с, что
ф(я0) — Уо- нужно просто взять с = у0.
Таким образом, через каждую точку (х0, у0) £ G проходит ровно
х
одна интегральная кривая вида у(х) = с* ехр I I A(t) dt\
уравнено
ния (2). Позже мы покажем, что при некоторых, в этом случае
выполняющихся, условиях через каждую точку множества G проходит одна
и только одна интегральная кривая. Отсюда следует, что решениями
вида с-ехр I 1 A{t)dt\ , где c£R, исчерпываются все решения.
*0
Мы хотим, тем не менее, доказать здесь эти утверждения
непосредственно. Для этого достаточно показать, что решение ф, не равное
тождественно нулю, не принимает нулевого значения. Допустим, что
существуют две такие точки #0, xt £ /, что ф(я0) Ф О И 4>{xi) = О-
Пусть, например, Xi>x0. Тогда существует х2 = inf {х £ I: x*^>
;> х0 и ф(#) = 0}. Из непрерывности функции ф следует, что ф(#2) =
= 0. В силу выбора числа х2 функция ф в промежутке /* = [х0, #2)
не имеет нулей. Таким образом, в промежутке /* функция ц>(х) —
X
= ф(^о) ехР ( 1 A (t) dt\. Правая часть этого равенства является ре-
Хо
шением уравнения (2), определенным на всем промежутке /. Ввиду
непрерывности мы должны иметь
х2
0 ф ф (х0) ехр ($ A (t) dt) = lim ф (х) = ф (х2) = 0,
Хл Х—*Хо
и мы пришли к противоречию.
Заметим, далее, что сумма двух решений уравнения (2) снова
является его решением: если ф^ = А «ф! и у'2 = А «ф2, то
(ф! + ф2)' = ф! + ф2 = А^ + Лф2 = А -(ф! + ф2).
348 Том II
Кроме того, произведение решения ф уравнения (2) на
действительное число с 6 R снова является решением^
(сер)' = с*ф' = с*Лф = А •(су).
На основании этих двух утверждений множество решений
уравнения (2) (на промежутке /) образует векторное пространство. В
самом деле, множество всех определенных на промежутке /
действительных функций образует векторное пространство; для того чтобы
некоторое непустое его подмножество было его векторным
подпространством, необходимо и достаточно, чтобы вместе с любыми двумя
функциями этому подмножеству принадлежала их сумма и чтобы
вместе с любой функцией ему принадлежали все произведения этой
функции на числа.
Сведем эти результаты вместе:
Теорема 2.1. Пусть А(х) — функция, непрерывная на
промежутке I. Решения линейного однородного дифференциального
уравнения
У' =А(х)-у, (2)
определенные на промежутке I, образуют одномерное векторное
пространство, порождаемое функцией
X
Ф(я) = ехр (I A(t)dt),
Xq
где х0 £ / — произвольная точка. Через каждую точку (хи yt)
декартова произведения / X 81 проходит ровно одно решение уравнения (2)г
именно
X
Ф (ж) = У\ ехр (I A (t) dt).
Обратимся теперь к неоднородному дифференциальному
уравнению
у' = А(х) -у + В(х), где ВфО. (3>
Если ф — некоторое решение уравнения (3), а ф — решение
соответствующего однородного уравнения у' = А(х)*у, то
(ф + <р)' = ф' + ф' = Лф + В + Лф = Л(ф + ф) + В.
Таким образом, функция я|) + ф также является решением
уравнения (3). Если фи х- решения уравнения (3), то
(Ф - X)' = ¥ - X' = А$ + В - (А% + В)= Л(ф - X),
и, значит, разность ф — % является решением соответствующего^
однородного уравнения. Тем самым доказана
Гл. Г. Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 349
Теорема 2.2. Множество всех решений неоднородного
линейного дифференциального уравнения
у9 = А(х)-у + В(х) (3)
можно получить следующим образом: к какому-нибудь одному
решению уравнения (3) нужно прибавлять всевозможные решения
соответствующего однородного уравнения у' = А(х)*у.
Пользуясь геометрическим языком, говорят, что решения
уравнения (3) образуют аффинное пространство, а пространство решений
уравнения (2) является связанным с ним векторным пространством.
Для полного решения уравнения (3), таким образом, достаточно,—
так как уравнение (2) решено полностью,— найти одно единственное
решение уравнения (3) — так называемое частное решение. К этой
цели приводит метод вариации постоянной, принадлежащий
Иоганну Бернулли. Именно, будем отыскивать решения уравнения (3)
в виде ty(x) — с(х)*(р(х), где у(х) — некоторое решение
соответствующего однородного уравнения, а с{х) — подлежащая определению
дифференцируемая функция. Тогда
г|/(.г) = с'(х) *Ц)(х) + с(х) *ф'(#) =
= с'(х)*ц(х) + c(x)*A(x)*(f(x) =
= с'(х)*у(х) + A(x)*ty(x).
Оказалось, что для того, чтобы функция я|) была решением уравнения
(3), необходимо и достаточно, чтобы функция с(х) удовлетворяла
уравнению
с'{х)-ф) = В(х). (4)
Функцию ф можно выбрать всюду отличной от нуля. Тогда формула
х
c(x)=\^-dt + y>
Xq
где х0 — фиксированная точка промежутка I ж у — произвольная
постоянная, дает все решения уравнения (4). Поэтому
X
q(x) = <p(x) \^~dt + y^(x). (5)
J ф(*)
х0
В силу теоремы 2.2 это — общий вид решений. Так как через каждую
точку множества G проходит ровно одна интегральная кривая
уравнения (2), то на основании теоремы 2.2 это же верно и для
интегральных кривых уравнения (3). Интегральная кривая, проходящая через
350 Том II
точку (xiy jh), соответствует решению
х
J ф(0 ф(^)
xt
где ф — произвольное фиксированное не обращающееся в нуль
решение уравнения (2).
В качестве примера рассмотрим линейное дифференциальное
уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:
У' =ау + Ъ (6)
на промежутке 7 = 01. В силу теоремы 2.1 не обращающимся в нуль
решением соответствующего однородного уравнения у' = ау служит
функция
х
ф (х) = ехр ( J a dt)= ea
aai)= r
о
По формуле (5) общее решение уравнения (6) тогда имеет вид
X
^(х) = еах(\ be'atdt+c] =
Нс'-е0*, если афО,
Ъх + с, если а = 0.
Интегралы, входящие в формулы решения уравнений (2), (3) или
же каких-либо других дифференциальных уравнений, часто бывает
невозможно выразить в замкнутой форме, даже если функции,
фигурирующие в этих уравнениях, являются элементарными. Однако
в теории дифференциальных уравнений такие дифференциальные
уравнения обычно имеет смысл рассматривать как решенные.
§ 3. ДАЛЬНЕЙШИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
При отыскании решений конкретных дифференциальных
уравнений иногда к цели ведет подход, который лишь с трудом можно
мотивировать. Мы хотим теперь решить дифференциальное уравнение
Бернулли
у' = А(х)у + В(х).уа (1)
с помощью одного искусственного приема, являющегося, впрочем,
частным случаем важного метода замены переменных.
Пусть, следовательно, / —- некоторый промежуток и G =
= {(х» УУ- х 6 I, У > 0}- Если А и В — непрерывные функции на про-
Гл. V. Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 351
межутке / и а — произвольное действительное число, то (1) есть
дифференциальное уравнение, определенное на множестве G. При
а = 1 оно превращается в линейное однородное дифференциальное
уравнение. Поэтому мы будем считать, что а Ф 1.
Если ф — решение уравнения (1), то по определению у(х) > 0.
Поэтому функция я|)(я) = (ф(#))1~а определена и дифференцируема
яа промежутке / и
ф'в (1 _ а) Ф"а.ф' = (1 - а) ф"а (Ац> +5Фа) = (1 - а) (4ф + Д).
Следовательно, функция я|) является решением линейного
дифференциального уравнения
у' = (1 - a)(4z/ + В).
Если, наоборот, задано решение этого линейного уравнения if,
положительное на всем промежутке /, то можно определить функцию ф =
~ xjji/d-a). Тогда, очевидно, функция ф будет решением уравнения (1).
Таким образом дифференциальное уравнение Бернулли сведено
к некоторому линейному дифференциальному уравнению, и потому
его можно рассматривать как решенное.
Пусть теперь /4, /2 и /*, I* ~~ некоторые промежутки (не
обязательно конечные). Далее, пусть G = /4 X 1г = {(#, #)• # € Л»
^/2}hG*=/1*x/* = {(u, ф u 6 /?, г; 6 /J}. Пусть, наконец,
g: I* -*- It и h: I* ->• I2 — биективные, взаимно непрерывно
дифференцируемые *) отображения; мы будем писать х = g(u) и у = &(р).
Тогда условием i^(w, у) = (^г(ц), /&(*;)) определяется биективное
регулярное отображение F: G* -*- G. Если у = у(х) — функция,
определенная на промежутке /1? график которой лежит в G, то
ty(u) = А~1офо^(^) есть функция, определенная на промежутке /J,
график которой лежит в G* и имеет своим образом при отображении
F график функции ф. Если, наоборот, г|? — функция, определенная
на промежутке /*, график которой лежит в G*, то функция ф =
= hoypog-1 определена на Ii4 а график ее лежит в G и является
образом графика функции я|) при отображении F. Таким образом, мы
имеем биективное соответствие между функциями ф и функциями -ф. ^
Функция г|) дифференцируема в том и только в том случае, если
дифференцируема функция ф.
Пусть теперь на множестве G задано дифференциальное уравнение
У' = /(*, У)- (2)
Если мы чисто формально напишем dy = f(x, у) dx и подставим х =
^ g(u) и у = h(v), то мы получим h'(u) dv = /(#(и), h{v))g'(u) du. Это
наводит на мысль поставить дифференциальному уравнению (2)
) Биективное отображение g: /* ->- / мы будем называть взаимно непре-
р-ь*/ ди$ФеРеЩируемым, если и оно само, и обратное к нему отображение
g :/-^/* непрерывно дифференцируемы.
352 Том II
в соответствие дифференциальное уравнение
v' = £r-f(g(u)> h(v))9 (3)
h (v)
определенное на множестве G*. Правая часть уравнения (3)
определена, поскольку Ь! как производная взаимно дифференцируемой
функции не обращается в нуль; если функция / непрерывна, то непрерывна
и правая часть уравнения (3) Будет доказана
Теорема 3.1. Если функция ф является решением, уравнения ч
(2) на промежутке 1и то функция h'^tpog является решением
уравнения (3) на промежутке I*. Если функция г|) — решение уравнения
(3) на /*, то функция hotyog-1 — решение уравнения (2) на /4.
Доказательство. Если ср — решение уравнения (2) и
точка и0 £ /*, то функция г|) = h'^cpog дифференцируема в точке щ ||
и по цепному правилу
я|/ (щ) = (/Г1)' (ф о g (щ)) • ф' (g (щ)) • g (щ) =
1
К (h 1оФ°?Ы)
•/teM, ф(#Ы))-£'М =
Л'(ФЫ)
/teM, МФЫ));
таким образом, функция я|) является решением уравнения (3). Второе
утверждение теоремы доказывается аналогично.
На основании теоремы 3.1 решения двух различных дифферен-11
циальных уравнений находятся во взаимно однозначном соответствии.,
Отсюда видно, что удачный выбор замены переменных позволяет
иногда свести одно дифференциальное уравнение к другому, уже |
решенному.
Рассматривая уравнение Бернулли, мы воспользовались в случае
а Ф 1 заменой переменных х = g(u) = и, у — h(v) = vl№-*)<<
При этом мы подразумевали, что It = I* = J, 'j
12 = {у: у>0} и $ = {v: v>0}, I
Преобразованное дифференциальное уравнение оказалось линейным* J
В качестве второго примера на этот метод рассмотрим
дифференциальное уравнение 1
h (У)
Гл. V. Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 353
причем предполагается, что функция ft непрерывна на промежутке
/1? а функция /2 на промежутке 12 непрерывна и .отлична от нуля,
функция f2(y) имеет на промежутке /а первообразную F2(y), и эта
первообразная взаимно непрерывно дифференцируема, так как ее
производная /2 не обращается в нуль. Пусть функция, обратная
функции F2, как обычно, обозначается символом F^1. Тогда положим
/* = 1и х = и, Ц = F2(I2), h = F-1: Ц ->- 12 и, значит, у = F?(v).
Преобразованное уравнение имеет вид
ь,_ 1 h(u)
(F?)'(v) Ы*Г»)
= F'2{F?{v)). Ш —
h(F?(v))
= h(u).
Его решением, очевидно, служит функция v — F^u) + с, где Ft —
некоторая фиксированная первообразная функции /j и с —
произвольная постоянная. Итак, общим решением уравнения (4) является
функция
y=F^(Ft(x)-\-c).
Этот способ решения уравнения (4) называется разделением
переменных, а уравнение (4) — уравнением с разделяющимися
переменными. Основание для таких терминов станет понятно, если чисто
формально переписать уравнение (4) в виде
/2(*/) dy = fi(x) dx.
В качестве конкретного примера решим, скажем, уравнение у' =
= х2/уп])и у > 0. Можно выбрать Fi(x) = х3/3 и F2(y) = #2/2, так
что Fi\v) = ]/*2z;. Все решения уравнения у9 = х2/у дает, таким
образом, формула
У= y^xZ + c,
где с — произвольная постоянная. Решение, соответствующее
постоянной с, определено лишь при х > (—^- с\
§ 4, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РИККАТИ
Пусть / —некоторый промежуток, А(х), В(х) и С(х) —
непрерывные функции на промежутке / и G = I X 01. Уравнение
у' =А(х) + В(х)*у + С(х)-у* (1)
23-832
354 Том II
называется общим дифференциальным уравнением Риккати. Если
С ==• 1, В = О, А(х) = $*ха, где а, Р^ШиР^О (чтобы это имело
смысл, промежуток / должен лежать справа от точки нуль), то из (1)
цолучаем специальное дифференциальное уравнение Риккати
у' = у2 + $.ха. (2)
В отличие от ранее рассмотренных примеров, уравнение Риккати,
вообще говоря, нельзя решить в явном виде. Напротив, если известно
хотя бы одно его решение, то можно получить и все остальные.
Теорема 4.1. Пусть г|)(я) — частное решение уравнения
Риккати (1), и пусть ф(я) — функция, дифференцируемая на
промежутке I и такая, что у(х) Ф я|)(я) при всех х £ I- Тогда функция ф является
решением уравнения (1) в том и только в том случае, если функция
1
т] = j является решением линейного дифференциального
уравнения
у1 = -у{2С(х) .#с) + В(х)} - С(х). (3)
Доказательство. Имеем ц' = ^ ^ 2 . Поэтому
если функция т] является решением уравнения (3), то
Ф' - ф' = (Ф - ф)2 (-!_ (2Сф + В) + с) =
= (Ф -*)(2С* +В) + (Ф -г|))2С =
= Л -f ф5 + ф2С — (А + я|)Я + я|)2С).
Поскольку я|/ = Л + ^В + *ф2£» отсюда следует, что ф' = А + фБ +
+ Ф2С и, значит, функция ф является решением уравнения (1). Это. У
рассуждение можно провести и в обратном направлении. Таким обра- ||
зом, теорема полностью доказана. ||
Позже будет показано, что если два решения уравнения (1) имеют ||
одинаковые значения всего лишь в одной точке промежутка /, то они
тождественно совпадают на /. Следовательно, теорема 4.1 на самом
деле утверждает, что, зная одно решение уравнения (1), мы можем
получить все его решения с помощью интегрирования линейного
дифференциального уравнения (3). .
Теперь мы хотим еще в некоторых случаях решить специальное
уравнение Риккати (2). Пусть сначала а = 0. Тогда уравнение (2)
принимает вид |1
if = Р + У\ (4>*|
Это — уравнение с разделяющимися переменными; такого рода
уравнения мы рассмотрели в предыдущем параграфе. Положим 1^ = R
Гл. У* Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 355
и ft(x) в 1; в случае Р > О положим 12 = 01 и f2(y) = (Р + у^)-г.
Находим первообразные F^x) = # и F2(y) = (l/Kp) arc tg у V§ и,
наконец, решение
y=Fri(Fi(x) + c) =
-VF-tg(VF(*+*))-
В случае Р < 0 двучлен у2 -j- P = (у — КйЖу + KHW имеет
два действительных корня У"—Р и —К—р. Исследование нужно
провести отдельно для промежутков /£1} = (— оо, — Y—Р)> Аа) =
= (—К—Р» К—Р) и /$ю = (К —Р> +°°)- В каждом из этих
промежутков положим
1 1 / 1 1 \
Му) =
у2 + Р 2Т/^рЧг/ —V—р у +
Первообразной функции /2(i/) в каждом из этих промежутков служит
функция
Fz(y) = - i
2У^р
В Ц х /"* и /i X /г3' имеем
In
у-У^Р
V+"
•р
*/ + У=Р'
1у + У=р1
и потому в качестве решения в этих областях получаем функцию
f--/"p 1+ехр(2т/^(^ + 0)_т/^1 + ^ехр(2У^р^)
У--
1-ехр(2У=Р(* + 0)"
1 — сехр (2у — $х)
кривые определены при
где с = ехр (2]/"—рс') > 0.
Соответствующие интегральные
— 1 —1
Х ^ о 1/—a In с и при х > .,/—^ In с, и в первом случае лежат
А у —р 2 у —р
в Л X 1%\ а во втором — в Ii x Г
В Л X /(!\ поскольку
у-У^
ф
ly + V^I у + У^Р'
мы получаем решение, определенное для всех х:
и==Л^А -exvJZY^ix + с'))_ r-^i + сеху (2У=$х)
1+взр(2У=Р(ж + 0) 1-сехр(2-|/нРа;)'
23*
356
Том II
где с = —ехр (2]/"—рс') < 0. Наконец, решениями уравнения (4)
являются и функции у = —Y — Р и у = V—Р; соответствующими
интегральными кривыми служат прямые, отделяющие
рассматриваемые области друг от друга. Они являются асимптотами семейств
интегральных кривых в примыкающих к ним областях (см. рис. 36).
В случае р = 0 дело обстоит аналогично, но проще. Положим
/(£ = {У- У < 0} и /Т = {у: у > 0}; f2(y) = 1/у2. В качестве реше-
u-L bell
У 2 1-ех\
/ l-ex/> —-««__
- У г f+ex - " ^^
У
1
/ У-2 1-ех
Рис. 36. Интегральные кривые уравнения у'
»>-±.
ний в /i X /(2 получаем* функции у = — 1/(х + с) при ж > — с
Решения в /4 X /Т описываются той же формулой, но здесь нужно ||
брать х < —с. Наконец, решением является и функция i/ == 0.
Мы хотим, далее, рассказать, как можно решить специальное
уравнение Риккати при а = —2. Оно выглядит так:
У
4 + гА
(5)
Мы рассмотрим его в четверти G = {(х, у): х > 0, у > 0}. После
замены переменных х = и, у = 1/v область G переходит в себя,
а уравнение (5) — в уравнение
V*
*'—p.^V-1
<6)
Гл. V. Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 357
Это — уравнение вида
(7)
'-'Ш-
где (непрерывная) функция /* зависит только от отношения v/u.
Уравнения вида (7), где, например, v > 0, и > 0 и функция /*
предполагается непрерывной на открытом промежутке от 0 до +оо,
можно решить, руководствуясь следующим замечанием. Если Ц)(и) —
решение уравнения (7), то функция я|?(и) = у(и)/и удовлетворяет
уравнению
u(f(^(u)\ Ф(ЦЛ
d^_u-(p'(u) — q)(u)_ V V и ) и ) _ f{^(u))—^(u)
du и2 и2 и
*=ГМ-°. (8)
ИЛИ
/*(<ф) —<ф
Если, наоборот, я|/ = —— - , то функция ф(и) = и -ty(u)
удовлетворяет уравнению (7). Таким образом, достаточно решить уравнение
(8), а это можно сделать путем разделения переменных. При этом,
конечно, нужно учесть, что разность f*(v) — v может иметь нули.
Упомянем еще, что специальное уравнение Риккати всегда можно
решить в явном виде с помощью элементарных функций, если
показатель степени а имеет вид
а= Где nfZ.
2п-\
Однако, как показал Лиувилль еще в 1841 г., такие а, а также а =
= —2, являются единственными показателями, при которых
уравнение (2) имеет решения, выражающиеся с помощью конечного числа
алгебраических, тригонометрических и показательных функций.
§ 5. ОБЩИЕ КЛАССЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
До сих пор мы рассматривали только обыкновенные
дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно
производной. Теперь мы хотим сделать обзор дальнейших типов
дифференциальных уравнений.
А) Пусть / — функция, определенная на каком-либо множестве
^ 01п+2, а ф — функция, определенная на некотором допустимом
множестве МсИ. Функция ф называется решением дифферен-
358 Том II
циального уравнения
1{х,у,у\у{г\...,у{п)) = ^ (1)
если
(a) функция ф дифференцируема п раз;
(b) {(х0, 2/о» Уп • • ., УпУ- *о € М, z/v = Ф(у)(я0); 0 < v < п} с= G;
(c) /(я, <р(я), ф'^)» • • •» Ф(п)(^)) = 0 на множестве М.
При этом уравнение (1) называется дифференциальным уравнением
п-го порядка в неявном виде. Дифференциальным уравнением п-по-
рядка, разрешенным относительно старшей производной, называется
уравнение вида
ум = 8(х,у,у',...,уы-% (2)
где g — действительная функция, определенная на некотором
множестве в пространстве Шп+1.
Уравнение вида (1), вообще говоря, нельзя разрешить
относительно i/(n> (ср. § 6 гл. IV). Примером служит уравнение (г/')2 + х = 0,
где, таким образом, f(x, у, у{) = у\ + х. В точках (х, у, t/t), у
которых х = 0, уравнение f(x, у, г/4) = 0 нельзя разрешить
относительно ft.
B) Если дифференциальными уравнениями связаны несколько
функций одной переменной, то говорят о системе обыкновенных
дифференциальных уравнений. Системой самого простого вида является
система уравнений первого порядка, разрешенных относительно
производных. Пусть заданы некоторое множество G в пространстве Dln+1,
координаты в котором мы обозначаем х, ft, . . ., уп, я п
действительных функций /4, , . ., fn на множестве G. Тогда на G мЬжно составить
систему
01 = /l(*. 01. •••» Уп),
: (3)
y'n = fnfa У и •-., Уп)-
Решением системы (3) на некотором допустимом множестве М cz К
называется система ф4, . . ., фп определенных на множестве М
дифференцируемых функций, удовлетворяющая условиям
{(*, ft, ...,2/тг)6^п+1: х£М, yv = yv(x); v= 1, ..., n}cz G,
y'v(x) = fv(x, yiix), ..., yn(x)) при v=l, ...,n.
Теперь должно быть понятно, что понимают под системой
дифференциальных уравнений высшего порядка и под системой
дифференциальных уравнений в неявном виде.
C) Если М — допустимое множество в пространстве Кп и
требуется отыскать такую функцию у, определенную и дифференцируемую
на множестве М, которая удовлетворяет на М некоторому заданному
соотношению между нею и ее частными производными, то говорят
~\
Гл. V. Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 359
о дифференциальном уравнении с частными производными. Оно
называется уравнением тп-го порядка, если т — наивысший порядок
входящих в него производных искомой функции.
Важным примером уравнения с частными производными второго
порядка (линейного с постоянными коэффициентами) служит
уравнение Лапласа
дх\ dxl
Для произвольной области В а К2 имеет смысл вопрос о решениях
уравнения (4), определенных в В; они называются гармоническими
функциями в области В. На уравнении (4) можно проиллюстрировать
некоторые особенности уравнений с частными производными.
Если граница дБ является гладкой кривой, то для области В
всегда разрешима задача Дирихле: для каждой непрерывной^функции
g на границе дБ существует одна и только одна функция А,
определенная и непрерывная на замыкании В, удовлетворяющая условию
h\dB = g и являющаяся в В решением уравнения (4).
Таким образом, при решении дифференциального уравнения
с частными производными в общем случае можно довольно
произвольно задать некоторую функцию (здесь функцию g на границе дБ).
Для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка,
напротив, мы можем в общем случае распорядиться лишь некоторой
постоянной (например, значением функции в некоторой точке), а для
обыкновенного дифференциального уравнения тг-го порядка решение
в большинстве случаев определяется заданием п постоянных
(например, значений функции и ее первых лг — 1 производных в некоторой
точке).
Решение уравнения (4) по определению является дважды
дифференцируемым. Однако можно показать, опираясь лишь на тот факт,
что это решение удовлетворяет уравнению (4), что оно
дифференцируемо сколько угодно раз и что оно даже может быть в окрестности
любой точки области В разложено в степенной ряд. В этом случае
говорят о регуляризации решения.
D) Если между частными производными одной или нескольких
«искомых функций» (определенных на одном и том же множестве)
нескольких переменных имеется несколько соотношений, то говорят
о системе уравнений с частными производными.
Простейший класс таких систем получают следующим образом.
Пусть G d Kn — некоторая область; переменные, как обычно, мы
будем обозначать хи . . ., хп. Пусть Аи . . ., Ап — действительные
Функции на G. Тогда
yXi = Ai (x), ..., уХп = Ап (х) (5)
есть система линейных уравнений с частными производными первого
порядка для одной функции у, разрешенных относительно производ-
360 Том II
ных. Функция / называется решением системы (5), если она в области
G дифференцируема и если в G при v = 1, . . ., п удовлетворяются
соотношения /xv(x) = Av(x). Если все функции Av дифференцируемы,
то решение / системы (5) является в области G дважды
дифференцируемым. В частности, тогда (см. теорему 3.3 гл. Ill) /* *v(x) = fxvXll(x)
при х £ G и всех \i, v. Таким образом, для того, чтобы система (5)
имела решение, необходимо, чтобы выполнялись условия
интегрируемости AVX]it = Av.xv при [i, v = 1, . . ., п. Легко показать, что
для локальной разрешимости системы (5), т. е. для существования
решения этой системы в малых подобластях области 6?, эти условия
и достаточны.
В последней главе этого тома мы довольно подробно рассмотрим
системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка. Мы покажем также, что дифференциальное уравнение
высшего порядка, разрешенное относительно старшей производной,
сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка.
Это же верно и для системы дифференциальных уравнений высшего
порядка, разрешенных относительно старших производных.
Напротив, изучение уравнений с частными производными выходит за рамки
этой книги.
§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, в
частности линейных, иногда упрощается, если в качестве их решений
рассматривать и функции, принимающие комплексные значения.
Поэтому мы установим ниже необходимые факты, касающиеся таких
функций. Понятие комплексного числа мы будем при этом предполагать
известным. Перечислим только некоторые основные понятия и
утверждения.
Комплексные числа образуют поле, которое мы будем обозначать
символом С. Оно содержит в качестве подполя поле действительных
чисел. В поле С существует элемент £, удовлетворяющий
соотношению i2 = —1, и каждое комплексное число можно единственным
образом записать в виде z = и + iv, где- и и v — действительные
числа. Эти числа и и и называются соответственно действительной
частью (Re z) и мнимой частью (Im z) числа z. Комплексное число z,
у которого Im z = 0, является действительным, т. е. принадлежит
подполю 01 поля С. Комплексное число z, у которого Re z = О,
называется чисто мнимым. Каждый непостоянный многочлен с
комплексными коэффициентами имеет в С по крайней мере один корень.
Если z = и + iv 6 С, то формулой \z\ = + ~\fu2 + v2 £ Dl мы
определяем модуль числа z. Легко проверить, что, в точности как
и для действительных чисел, справедливы следующие правила:
(a) \z\ ;> 0; \z\ = 0 в том и только в том случае, если z = 0;
Гл. V. Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 361
(b) |*1-*2| = l*i |-Ы;
(c) \zx + z2\ < \zt\ + \z2\.
Правило (с) является частным случаем неравенства Шварца
(гл. I, теорема 2.3). Если Im z = О, т. е. z = и — действительное
число, то \z\ = У^и2 = \и\ и, таким образом, на К новое определение
модуля числа совпадает со старым (модуль действительного числа —
это его абсолютная величина).
оо
Бесконечный ряд 2 zv комплексных чисел сходится в том и толь-
v=0
оо
ко в том случае, если сходятся действительные ряды 2 ^е zv
v=0
оо оо оо оо
и 2 'm zv В этом случае 2 z\ ~ 2 Re zv + г 2 Im zv (это можно
v=0 v=0 v=0 v=0
oo
рассматривать как определение). Если сходится ряд 2 lzvl> T0 ввиду
v=0
оо
того, что |Re zv\ ^ |zv| и |Im zv| ^ |zv|, сходятся и ряды 2 Re zv
? » ' v=0
оо со -
И 2 Im Zv» a ПОТОМУ И РЯД 2 z\-
v=0 v=0
Мы хотим теперь продолжить показательную функцию на
комплексные значения аргумента. При z = и + iv положим
ez=eu-(cos v -f- isin z;),
где еи, разумеется, есть уже известная показательная функция от
действительного аргумента щ точно так же cos г; и sin г; определяются,
как в т. I. Из того, что cos 0 = 1 и sin 0 = О сразу следует, что
показательная функция для действительных z, т. е. в случае, когда v —
= Im z = 0, совпадает с действительной показательной функцией.
Так как е° = 1, то для чисто мнимого z = iv имеем
elD = cosz;+ г sin v.
При vu v2 £R находим
e — cos (vt + v2) + г sin (vt + v2) =
= cos iv cos v2— sin'Vi> sin v2-\- i(sin ivcos v2 -f- cos vx • sin z^)3
= (cos i?! -f- i sin i?i) (cos i>2 + * sin уг) =
= eiVi.eiV2.
Если z4 = ^ -f- щ и z2 = u2 + ^2 6 С, то на основании этого
равенства и теоремы сложения для действительной показательной функ-
362 Том II
ции получаем
zt+z2 p(Ui + iVi)+(u2+iv2) Iui+U2)+i(vi-\-v2) __
= eUi-eiVi.eU2.eiV2=:
_ eui-¥ivi ш eu2+iv2 __ ezy e ez2l
Таким образом, теорема сложения для показательной функции
остается справедливой и в области комплексных чисел. В частности, |
для произвольного числа z £ С :
10 z—z z —z
= е = е — е - е j
я, следовательно, ег отлично от нуля при любом z. \
Мы хотим еще показать, что комплексная показательная функ- %
<ция представляется рядом 2 т zV- Обозначим £u-cosz; = /(u, v) Щ
v=o v! I
и eu-sin г; = g(u, v). Функции / и g дифференцируемы в Bl2 сколько j|
угодно раз, и все их частные производные имеют вид ±eu-cos v или
rb£u*sin v. В каждом квадрате {(и, v): \и\ ^ К, \v\ ^ К} эти произ- |
водные ограничены, и по теореме 5.5 гл. III ряды Тейлора |
оо оо
-ШШ?1^0)»v .» 2j 1мШЭ^0)uV I
k, 1=0 k, 1=0 I
в каждом таком квадрате, а значит, и во всей плоскости сходятся
«соответственно к / и g. Сразу вычисляем |
duhdvllx ' ' ' dukdvl"v ' ' I
Поэтому при (и, у) £ Dl2 получаем
eu+iv = f (и, v) + fc (и, v)=^A-uk (tv)\
k,l=0
Далее, большая теорема о перестановке членов ряда (теорема 5.2
гл. III), как и ее доказательство, справедлива и для рядов
комплексных чисел. Поэтому допустима следующая перестановка членов;
k, 1=0 v=0 k+l=v v=0
°° 1
Тем самым формула ez = 2 ~т zV Доказана для каждого z £ С J
v=0 V!
Гл. V. Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 363
Если Jlf сШ, то комплексная функция f на множестве М есть
ае что иное, как соответствие, которое каждой точке х £ М
однозначным образом относит некоторое комплексное число f(x). Условиями
а/х) = Re f(x) и Нх) = Ini / (#) определяются две действительные
функции g и h на множестве Af. Можно писать / = g + iA, а также
о = Re / и A = Im /. Комплексные функции на множестве М можно
складывать и умножать на комплексные числа: по аналогии с
действительным случаем полагают
(ft + Ш*) = ft(x) + f2(x), (*/)(*) = z.f(x).
Если М а К — допустимое множество и /: М ->• С —
комплексная функция на М, то функция / называется дифференцируемой в
точке х0 6 М, если в точке х0. дифференцируемы функции g = Re /
и А = Im/; в этом случае полагают /'(#о) = ^'(^о) + ih'(x0). Если
функция / дифференцируема в каждой точке множества Af, то она
называется дифференцируемой в М. Подобным же образом вводятся
производные более высокого порядка.
Пользуясь этим определением, сразу можно проверить, что для
комплексных функций сохраняются элементарные правила
дифференцирования: если функции /4 и /2 дифференцируемы в точке #0, то
и сумма Д + /2 дифференцируема в точке х0 и (ft + /гУС^о) ==
= /i(#o) + /2(^0)» Для каждого числа z 6 С функция z-/i
дифференцируема в точке х0 и (z/i)'(^o) = *mfi(xo)'
Если /: Af -»- С — комплексная функция, то соответствие
М 3 # ->• е/(а:) определяет некоторую новую комплексную функцию
ef на множестве АГ. Если функция / дифференцируема в точке х0 £
€ Af, то в точке х0 дифференцируема и функция ё и (ef)'(x0) =
= efl*o)f(x0). В самом деле, обозначая /=g+ ^ и учитывая, что е*=
= e#(cos h + г sin А), имеем в точке гс0
ef-f = e§-(cosh-{- isinh)-(g' + &')==
= ^ • (g' cos h — V sin /г) + ieg • (g' sin h-\-K cos /г) =
= (eg-cosky + j(^-sinA)' =
§ 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Теперь в качестве простого примера обыкновенного
дифференциального уравнения высшего порядка мы собираемся изучить
Уравнение
у" + 2ау' + by = 0, где а, Ъ £ К. (1)
364 Том II
Оно имеет фундаментальное значение для многих" физических
процессов. Например, функции, описывающие прямолинейное движение
свободно колеблющейся материальной точки в случае, когда
действующая на эту точку сила пропорциональна отклонению от
положения равновесия и направлена в сторону, противоположную
отклонению, а сопротивление (трения) пропорционально скорости,,
являются решениями уравнения (1). Уравнение (1) поэтому
называется также уравнением колебаний. Мы хотим подробно исследовать
поведение его решений, в особенности при х ->• +оо г).
Уравнение (1) определено на всей плоскости В12. Однако целесооб- ||
разно допустить и комплексные решения, т. е. дважды
дифференцируемые комплексные функции <р на DI, для которых выполняется
тождество ф"(я) + 2ац'{х) + Ьу(х) = 0.
Из линейности и однородности уравнения сразу следует
I
Теорема 7.1. Комплексные (соответственно действительные)
решения уравнения (1) образуют комплексное (соответственно дей- ||
ствителъное) векторное пространство Fq (соответственно F^). J
Доказательство. Так как 0 £ V^ cz Vq, to V^ Ф 0 Ф
Ф Fq. Если ф1 и ф2 — комплексные (соответственно действительные) II
решения, то
(ф1 + ФгГ + 2а (ф4 + ф2)' + Ъ (ф! + ф2) =
= (ф! + 2аф1 + Ьщ) + (фг + 2аф2 + Ьу2) = 0.
Если с £ С (соответственно с £ 01), то
(«Pi)" + 2а (cyi)' + Ъ (сфО = с (ф! + 2aq>[ + %) = 0.
Очевидно, V^cz V^. Если ф £ Vq, to Re ф £ V^ и Im ф £ V^.
В самом деле,
О = ф" + 2аф' + Ьф =
= (Re ф)" + i (Im ф)" + 2а ((Re ф)' + i (Im ф)') +
+ Ъ (Re ф + i Im ф) =
= ((Re фУ + 2а (Re ф)' + Ь Re ф) +
+ i ((Im ф)" + 2а (Im ф)' + Ыт ф).
Это соотношение может выполняться, лишь если и действительная,
и мнцмая части справа равны нулю; но в этом и состоит наше
утверждение.
*) В физических вопросах нашей переменной х, вообще говоря,
соответствует время.
рЛш V. Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 365
Если {^i, • • •» *Фт} — система линейно независимых в DI
действительных функций, то эта система линейно независима и в С.
т
В самом деле, допустим, что z^ = а^ + ib^ £ С и что 0 = 2 ^Л-
ц=1
Тогда
т т тп
о= 2K + *Wn= 2аЛ + * 2 Vlv
Снова и действительная, и мнимая части должны быть равны нулю,
откуда и следует наше утверждение.
Если ф 6 Vq — произвольное комплексное решение уравнения
(1) и {i|?i, . . ., i|>m} — базис пространства F^, то <р является
линейной комбинацией функций я|)^ с комплексными коэффициентами.
m
В самом деле, так как] Re ф 6 V^ то Re ф = 2 а\$\ч гДе аи ~~
m
действительные числа. Точно так же и 1тф = 2^ Ai c
Действительна
ными Ьд. Поэтому
m
ф = Re ф + г Im ф = 2 (ам< + *bi*) *IV
Таким образом, {%, . . ., г|)т} является базисом и пространства
Vq. Подобным же образом убеждаемся, что если {ф4, . . ., фт} —
базис пространства F<n, состоящий не обязательно из действительных
функций, то система функций {Re<pi, . . ., Re фт, Im ф1? . . .
. . ., 1тфт} порождает векторное пространство 7^ над R, и потому
эта система действительных функций содержит некоторый базис
пространства 7^. Тем самым среди других утверждений нами
Доказана
Теорема 7.2. dim^ V^ = dimQ Vq.
Позднее мы покажем, что dim^ V^ = 2. Если мы допустим, что
это уже доказано, то для отыскания полного решения уравнения (1)
нам будет достаточно найти два (комплексно) линейно независимых
(комплексных) решения.
Напрашивается попытка искать решение уравнения (1) в виде
<р(я) = е^х с еще не определенным коэффициентом X 6 С. Тогда
<р* (х) + 2аФ' (х) + Ьф (х) = е%х(к2+ 2аХ + Ъ).
'ак как функция е*>х всегда отлична от нуля, то функция ф(ж) =&*
°УДет решением уравнения (1) в том и только в том случае, если X
366 Том II
удовлетворяет квадратному уравнению
К2 + 2ак + Ь = 0. ' (2)
При решении уравнения (2) в зависимости от того, какой знак
имеет дискриминант А = а2 — 6, нужно различать три случая.
I. Д = 0. Тогда уравнение Я2 + 2аК + Ъ = (К + а)2 = 0 имеет!
лишь одно решение Я .= —а. В качестве одного из решений
уравнения (1) мы получаем функцию ф^я) = е"ах. Остается отыскать еще
одно решение, линейно независимое от найденного. Убедимся, что:
решением уравнения (1) будет и функция у2(х) = Х'ё~ах:
Ф2 (х) + 2аф2 (х) + а2ф2 (я) =
= (а2х - 2а) е'ах + 2а(1— ах) е~ах + а2хе'ах = 0.
Функции ф! и ф2 являются действительными; поэтому достаточна
доказать их линейную независимость над 01. Если при си с2 6 ^ мы
имеем
О = С!ф4 (х) + с2ф2 (х) = (Ci + хс2) е~ах,
то, так как е'ах Ф О, отсюда следует, что ct + #с2 = 0. При х — О
получаем q = 0, и тогда при я = 1 находим с2 = 0.
Таким образом, при А = 0 каждое решение ф уравнения (1) имеет
вид ф(я) = (^ + с2х)е~аХ. Если #0, i/0> 2/i 6Д — произвольные
числа, то можно единственным образом определить такие с4 и с2,1
что ф(#0) = ?/о и <р'(яо) = У\- В самом деле, для этого нужно решить^
уравнения |
(ci + с2х0) е"ах° = г/о» ,*Л
(- «1 + *(1 - «ь» <та*° = Vi. ^!
■ II
Определитель матрицы этой системы уравнений равен
в х$е —2ах0 1 #0
— ае~ахо (1-ах0)е~аХо\е \ - а 1 - ах0
Следовательно, система (3) однозначно разрешима относительно cl5 c2*
То же самое рассуждение позволяет, впрочем, дать другое
доказательство линейной независимости функций фА и ф2; если бы мы
имели с4ф4 + с2ф2 = 0, то было бы и с^[ + С2Ф2 = 0. Эти два урав- f
нения при фиксированном х0 приводят как раз к однородной системе
уравнений, соответствующей системе (3) (т. е. к системе,
получающейся из (3) при у0 = iji = 0). Поскольку определитель этой системы [
нигде не обращается в нуль, она имеет только тривиальное решение*
Ci = с2 = 0.
II. А > 0. Тогда уравнение (2) имеет два различных
действительных решения kt = —а + V я2 — b ж Х2 = —а — ]/^a2 — Ъ. В
соответствии с этим мы получаем два решения q>i{x) = е^х и у2(х) ^
= е
-2ах0 ф q^
Гл. V. Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 367
__ екус дифференциального уравнения (1). Эти действительные
решения линейно независимы над полем DI. В самом деле, если
О а фх + с2е^х = (с, + с2е^'^)х) е^х,
где си с2 6 R-» то» поскольку ек^х^=0, мы имеем и q + c2e(X2-^>* = CL
При о? = 0 отсюда следует, что с4 + с2 = О и, значит, ^(1 —
_ е(Ь2-Ьг)х) = 0. Так как Я2 — Л4 =^= 0 и Л2 — л^ £ DI, то прв
д-^Ои 1 фе^Х2~^х. Итак, мы получаем, что q =± 0 и с2 = 0.
Таким образом, каждое действительное (комплексное) решение
уравнения (1) в этом случае имеет вид ф(х) = с^1* + с2е%*х,
где Ci, с2 6 R (соответственно £ С)- Если заданы х0, у0, yi £ Dl, то
опять можно единственным образом найти такие числа с4 и с2, что
ф(£0) = у0 и ф'(^о) == 2/i- В самом деле, система уравнений
ciex^ + c2ex^=y0j
ciXie^XQ + c2X2e^Xo=yi
имеет единственное решение, так как ее определитель
\ = (Х2-К1)еа^2)х°фО.
£^1*0 £^2*0
%^Х° Х2ек2Хо
И снова из этого обстоятельства можно вывести линейную
независимость решений ф! и ф2.
III. A < 0. Теперь уравнение (2) не имеет действительных
решений. Положим
СО:
:УГ7=УбЗ^.
Тогда уравнение (2) имеет два комплексных решения Х{ = —а + £о>
и Х2 = —а — ш. В соответствии с этим мы получаем два
комплексных решения ф!(х) = £*** и ф2(х) = е^х дифференциального
уравнения (1). Эти решения линейно независимы над полем С.
Доказательство проходит почти дословно так же, как и в случае II; нуждается
в особом рассмотрении только соотношение 1 — £<^2-*i) хф0, так
как теперь разность Я2 — А,4 = —2ico больше не является
действительной. Но
е-2Ых = cog (__ 2ах) + i sin (— 2сох) = 1
в том и только в том случае, если cos (—2сох) = 1 и sin (—2сох) =
^ 0, т. е. если сох = &я при & 6 Z, и снова число х можно выбрать
так, чтобы это равенство не соблюдалось.
Таким образом, каждое комплексное решение имеет вид ф(х) =
= zteKix -j- z2e%*x, где zu z2 (E С. Чтобы получить действительные
Решения, возьмем, например, функции % (х) = Re ф4 (х) =
— e~a*.cos сох и я|)2 = 1тф! = £_a*-sin сох. Сразу устанавливаем,
Что Ф2 = i|5± — h|)2 и что {^t, я|)2} есть базис действительных реше-
368 Том II
ний. Заметим, далее, что решение I
ф (х) = (щ + ivt) е^х + {щ + iv2) ех*х =
= (Щ + и2)Ь + (V2 — Vi)lfa+ t{(Vi + !%)lh + (щ—и2)Щ
является действительным в том и только в том случае, если щ = и
и vx = —1;2.
Наконец, снова для произвольных х0, у0, yi £ 01 можно найти
единственное решение ф, для которого у(х0) = у0 и ф'(#0) = у1в Это
можно показать, либо положив ф = 21ф1 -|- z2y2 и проделав те же й
вычисления, что и в случае II, и после этого установив, что найден- Щ
ное решение ф является действительным, либо же взяв ф = с1ур1 -{- |
+ с2я|)2, гДе си с2 6 HI- Система уравнений для ct и с2
^1^1 («о) + С2^2 (#о) = 01 ' Щ
имеет тогда определитель (ое~2ахо Ф 0.
Изучим теперь поведение только что построенных действительных I
решений при х ^ 0, в частности при х ->■ + оо. I
В случае I мы имели решения yi(x) = е~ах и ф2(я) = хе~ах. Если I
а > 0, то решение ф4 очець быстро убывает от значения ф!(0) = 1, I
стремясь к нулю быстрее, чем любая степень х~п при п £ N. Если I
& < 0, то ф! очень быстро возрастает, стремясь к +оо. Значение I
ф2(0) = 0. Если а > 0, то решение ф2 при х = 1/а принимает свое I
максимальное значение (а-е)-1, а затем убывает, стремясь к нулю I
почти столь же быстро, как и ф4. Если а < 0, то и ф2 возрастает, I
строго монотонно стремясь к +°°- Вместе с ф4 и ф2 при а > 0 (соот- I
ветственно а < 0) стремится к нулю (соответственно к +оо или — оо, I
если только она не равна тождественно нулю) и всякая линейная I
комбинация c^i + с2ф2. I
В случае II мы имели решения q>j(x) = g*** и у2(х) = е^х, где Л4 = I
= —а + j/^2 — Ъ и А,2 = —а — l/V — 6. То, что в случае I было I
сказано про решение ф1? с очевидными изменениями справедливо I
здесь для ф! и ф2. Легко заметить, что корень Я4 положителен в том I
и только в том случае, если а < 0, или жеа>0иЬ<0, а корень Яг I
положителен в том и только в том случае, если а < 0 и Ь > 0. Лишь I
тогда, когда и а, и Ь положительны, оба корня ^ и Я2 являются отри- I
цательными, и в этом только случае каждое решение с^ + с№ I
стремится к нулю. I
В случае III мы имели решения tyi(x) = е~ах c°s соя и я|)2 (х) ** I
= е~ах sin соя, где со = УЬ — а2. Если а = 0, то каждое решена6 I
с{$1 + с2я|)2 имеет своим графиком некоторую синусоиду с периодом» I
или «длиной волны», 2л;/со = 2л/УЬ (идущую вдоль я-оси). Эт° I
следует из того, что, поскольку с\ + с\ ф 0, мы можем взять А** I
щ
А
Глш У* Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 369
^Т/72 + с% иу = (l/co)-arc sin {с J А) = (1/со) arc cos (c2IA) х). Тогда
c4cos (ux + c2sin cox = A sin ®(x + у).
Если а Ф 0, то мы всегда можем написать
<ф (#) = d£~a*cos соя + c2£~a* sin ®х = ЛбГах sin со (х + т)-
Последний множитель имеет своим графиком синусоиду с периодом
£?, максимумы («гребни волны») которой находятся в точках х =
^1—i-^ 7* & £ Z. Если a > О, то множитель £~а* приводит
2(0
к тому, что график функции я|э является волнообразной линией,
амплитуда которой (высота гребней) экспоненциально убывает. В этом
случае говорят о затухающем колебании, а коэффициент а называют
логарифмическим декрементом затухания. Если а < 0, то график
функции г|) является волнообразной линией с экспоненциально
возрастающей амплитудой.
Наконец, разберем еще решение уравнения (1) при начальных
условиях ф(0) = 1, ф'(0) = 0. При этом для простоты будем считать,
что Ъ — 1, и ограничимся интересным с точки зрения физики
случаем а > 0.
Очевидно, при а — 1 мы получаем случай I, при а > 1 —
случай II и при 0 < а < 1 — случай III.
Методом, описанным на стр. 366, мы находим при а = 1 решение
ф(я) = (1 + х)е~х. Производная ф'(#) = —хе~х на промежутке
(0, +оо) всегда отрицательна; функция ф(#), монотонно убывая,
стремится к нулю. Если 0 < q < 1 (соответственно q > 1), то
отношение у(х)/е~4х == (1 -[- х) еСз-1)* стремится к нулю (соответственно
к + оо), т. е. функция ф убывает быстрее, чем е~^х при 0 < q < 1
(соответственно медленнее, чем е-*х при q> 1). Мы можем поэтому
сказать, что функция ф(я) стремится к нулю столь же быстро, как и
В случаях II и III положим у(х) = qe*** + с2еКгх и подсчитаем:
gl = _J*_ = * + Vfl2-l _ -Ъ _-а + Уа2-1
**-*i 2"l/a2-l ' C2~X2~^~ 2Va2-l ' *
не так И ^°РМУЛЫ годятся лишь в случае, когда с4 > 0 и с2 > 0. Если это
взять Т^.(?0РМУЛЫ нужно заменить. Например, если с4 < 0 и с2 > 0, то можно
ственно "V1'03) агс sin (cdA) = —(1/©) arc cos с2/Л, и т. д. Но это не суще-
и cos <ov ■—° в,сяком случае всегда можно подобрать такое у» чт0 sin ^Y == cdA
г — с21А.— Прим. пер ев.
24-832 »
370 Том II ,
В случае II числа с4 и с2 являются действительными. Имеем
к \2Уг^л 2/ Wa2-i 2У
V V2y7^i 2/v Ч
г а 1 -Л
Так как a > у а2 — 1, то .w- 2 , —^-> 0. Точно так же, для поло- Ц
жительных х и 1 —£~2Va8~lx > 0. Далее, поскольку а>1, то <)
(а — I)2 = а2 — 2а + 1 < а2—1, следовательно, а — 1 < ]/^а2 — 1
и а — Ка2 — 1 < 1. Итак,
Ф (х) > е("а+ V^Z'i)x = <T(a~ Va2~i)x > в'*.
Таким образом, решение ц>(х) убывает при х ->- +°° медленнее, чем
с?
а эта функция, со своей стороны, убывает существенно медленнее,
чем е~*. г
Если а очень велико, то в разности a —l/^a2—1 = a(l —j^l —a"2)
выражение ]/1 — а~2 можно хорошо аппроксимировать
первыми двумя членами его разложения в степенной ряд, а именно,
1 jr- a"2. Таким образом, разность а — j/^a2 — 1 приближенно
равна очень маленькому числу 1/(2а). Решение <р(х) убывает тогда
еще медленнее, чем медленно стремящаяся к нулю функция е~хМ2аК
В случае III с4 и с2 — комплексные числа. Преобразуя формулу
для решения <$(х) к действительному виду, получаем у(х) = $1
— e-a*(cos ых + (а/со) sin соя). Это — затухающее колебание с мак- ||
2кл . ^ _ _
симумами при х = — , где к £ Z. Если в точке #0 находится один
из максимумов, то ф(#о) = е~ах° > £~"*°» т- е-> поскольку a < 1,
амплитуды убывают медленнее, чем функция е~*.
Если мы имеем физическую систему, описываемую уравнением
у" + 2ш/' + у = 0, то в случае II, в особенности при больших а,
то говорят, что решение ф «ползет» к нулю. Случай I в этой
связи называют апериодическим предельным случаем — это в наших
рассуждениях тот случай, когда решение убывает быстрее всего
(см. рис. 37).
Теперь нужно еще кратко рассказать о неоднородном линейном
дифференциальном уравнении второго порядка с постоянными коэф-
1*л. V. Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 371
фициентами, т. е. об уравнении
/ + 2а»' + Ьу = f(x);
а, 6 6
(4)
е j __ некоторая функция, определенная и непрерывная на К.
Можно, не вдаваясь в обсуждение, разрешить / быть комплексной
функцией; под решением тогда следует понимать дважды
дифференцируемую комплексную функцию ф, удовлетворяющую
соотношению ф" + 2#ф' + Ьф = /. Если ф — решение уравнения (4), то,
очевидно, действительная часть Re ф является решением уравнения
Рис. 37. Интегральные кривые уравнения у" + 2ау§ + у = О
(начальные условия ф(0) = 1 иф'(0) = 0).
у" + 2ау' + by = Re /, а мнимая Im ф — уравнения у" + lay9 +
+ by = Im /. Для совокупности всех решении уравнения (4)
справедлива
Теорема 7.3. Все решения уравнения (4) можно получить
следующим образом: к какому-нибудь частному решению уравнения (4)
нужно прибавлять всевозможные решения соответствующего
однородного уравнения у" + 2ау; + by = 0.
Доказательство протекает точно так же, как для аналогичной
теоремы 2.2.
Ввиду важной роли, которую оно играет при исследовании
вынужденных, колебаний с периодической возмущающей силой, мы хотим
еще решить дифференциальное уравнение специального вида
у" + 2ау' + Ъу = сеЫх, (5)
гДе с, о) g R, и (о ф о. Положив ф(я) = С *еШх, находдм, исключая
тот случай, когда а = 0 и со2 = Ь, частное решение
_ (Ь~(о2)-2ш ,юя
(6)
24*
372 Том И
Если а = 0 и со2 = Ь, уравнение (5) принимает вид у" + со2# ==
= c*ei(ux. В качестве частного решения в этом случае находим
Ф(я)= —хеЫх. I
2со '*
Для физической интерпретации достаточно исследовать действи- I
тельную часть решения ф. Из (6) следует, что
Recp(x) = c7; 2 2cosах + с-- 2 2sinco;r =
Ь — со2 2асо
(6 _(o2)2 + 4aVC°S "* + С(Ь-о2)Ч 4а*ш
= Л -cos со (я — 6).
При этом амплитуда А и сдвиг ^базы б равны (см. стр. 368—369)
А= . С =,
У(Ь_со2)2 + 4а2со2
1 Ъ — (о2 1 2асо
б = — arc cos , = — arc sin , . s
со У(Ь_со2)2 + 4а2(о2 со У(fc - со2)2 + 4aV |
График функции Re ф является, таким образом, косинусоидой
с периодом 2я/со и амплитудой А. Но он сдвинут на б по отношению
к графику возмущающей силы Re (cei<ox) = с-cos coo:.
При математическом описании физических процессов с помощью
уравнения (5) число Ъ > О часто считают постоянным, в то время как 1
а и со, при условии что а>0и со > О, можно изменять. Без ограни- ц
чения общности можно считать, что с = 1. Тогда, как мы видели, |
решения соответствующего однородного уравнения при возрастании
х стремятся к нулю. При больших х ими можно поэтому пренебречь
и рассматривать функцию (6) как решение уравнения (5). Теперь
представляет интерес изучить Л и б как функции от а и со.
Мы видим, что при фиксированном а, где 0 < а <; У 6/2,
амплитуда А принимает свое максимальное значение только в точке со =
= Y Ь — 2а2; это максимальное значение равно
2aVb-az
Это значение частоты со называют резонансной частотой, а число |
АШАХ — резонансной амплитудой. При очень малых а резонансная Ц
частота лежит вблизи Кб, а резонансная амплитуда очень велика. |
Гл. V. Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 373
Когда а, возрастая, приближается к V~b/2, резонансная частота,
монотонно убывая, стремится к нулю, а резонансная амплитуда,
также монотонно убывая, приближается к 1/6. При а ;> 1^6/2
резонансной частоты не существует. В этом случае амплитуда при
Рис. 38. Амплитуда как функция от о и а.
постоянном а является монотонно убывающей функцией от со. Она
убывает тем быстрее, чем больше а (см. рис. 38).
Подобным образом можно провести и исследование сдвига фазы б.
Это исследование, как и очень простые доказательства утверждений
относительно амплитуды, мы оставляем в качестве упражнения
читателю.
Глава VI
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
В этой главе мы хотим рассмотреть вопрос о существовании и
единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
Однако теоремы, гарантирующие существование, не всегда годятся
для фактического нахождения решений.
§ 1. РАВНОСТЕПЕННО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Иногда решение дифференциального уравнения получают как §
предел сходящейся последовательности, выделенной из множества I
аппроксимирующих это решение функций. Нам нужно поэтому еще |
предварительно установить несколько утверждений относительно 1
множеств функций. I
Определение 1.1. Пусть М cz R — произвольное мно- ||
жество и jF = {A:i 6 J) — некоторое множество действительных |
функций, определенных на М (где / — произвольное множество |
индексов). Тогда $р называется равностепенно непрерывным на М> I
если для каждого s > О существует такое б > 0, что для всех индек- |
сов i £ / и всех точек я, х* £ М, для которых \х — х* | < 6, выпол- I]
няется неравенство |Д(#) —Д(#*)| <С е. !
Если вр — равностепенно непрерывное множество функций |
на М, то каждая функция Д £ JF непрерывна на М. Это сразу еле- А
дует из определения, если фиксировать индекс i. 1
Определение 1.2. Пусть М cz R — произвольное мно- Щ
жество и JT = {Д : i£ /} — некоторое множество действительных I
функций, определенных на М. Тогда jF называется равномерно огра- I
ничейным (на М), если существует такое число Л, что для всех индек- I
сов i £ / и всех точек х £ М выполняется неравенство |Д (х) \ ^ R- I
Справедлива важная I
Теорема 1.1. Пусть М = [а, Ъ] — замкнутый промежуток I
и 3F — {/v:v6^}— равностепенно непрерывная и равномерно огрог"\
ничейная последовательность функций, определенных на М. ТогдлЦ
ер содержит равномерно сходящуюся на М подпоследовательность» щ
Доказательство, (а) Так как множество Ct рациональных I
чисел счетно, то счетно и пересечение М* = М П CL. Будем представ- I
4
Гл. VI. Теоремы существования
375
лять себе элементы множества М* каким-либо образом
занумерованными в виде последовательности
М* = {#i, х2, xz, . . .}.
(b) Так как последовательность $р равномерно ограничена, то
ограничена и числовая последовательность (/v(#i)). Поэтому она имеет
хотя бы одну предельную точку. Обозначим одну из ее предельных
точек через а4. Из последовательности (/v(#i)) можно выделить
подпоследовательность, сходящуюся к а4; мы ее обозначим через /(iv(#i))-
Последовательность функций (/lv), как подмножество из J^,
равномерно ограничена; поэтому ограничена и числовая
последовательность (fiv(x2)). Значит, она имеет предельную точку а2 и сходящуюся
к а2 подпоследовательность, которую мы обозначим через (f2v(x2)).
Таким же образом мы будем поступать и дальше. Если для X =
= 1, ..., Z^>2 из $р уже выбраны подпоследовательности (Av)
со следующими свойствами:
(Av) является подпоследовательностью последовательности (/vv)
для всех X' при 1 ^ X' ^ X,
(/xv(^O) сходится к некоторому числу а^
то (ограниченная) числовая последовательность (fiv(xi+i)) имеет
предельную точку, скажем а/+1, и мы можем из (fiv) выделить такую
подпоследовательность (/*+ifV), чтобы (/j+i,v(#z+i)) сходилась к a*+1.
Мы построили систему, состоящую из счетного множества
последовательностей
/ll» /l2> /13» /l4 » • • •
/21» /221 /23» /24 ? • • • /44
/з!> /з2> /33? /34 ? • • •
При Xt ^ Х2 всегда (h2v) является подпоследовательностью
последовательности (jhlV). Так как hiV{x^ ->. а^, то и Д^ (я^) -> ак±%
Образуем теперь, из системы (1) «диагональную
последовательность», т. е. положим gy = /vv при v = 1, 2, 3, ... и рассмотрим
содержащуюся в $? последовательность функций (gv).
Для каждого X элементы gx, gx+i9 gx+2, ... из (gv) образуют
подпоследовательность последовательности (/a,v)- Поэтому числовая
последовательность gv(#0 сходится к а%, так как первые X — 1
элементов на сходимость не влияют.
(с) Покажем теперь с помощью критерия Коши, что
последовательность (gv) сходится на промежутке М равномерно. Поскольку,
как подпоследовательность ^, она равностепенно непрерывна, мы
можем по заданному е > О найти такое б > О, что для всех
номеров v
Itfvfr) — £v(**)l < e/З. если \х — х*\< б и х, х* 6 М. (2)
/
376 Том II
Для произвольной точки х £ М рассмотрим пересечение U6(x) f| M.
Это — некоторый промежуток. Так как множество CL плотно в 01
(т. е. каждое множество, открытое в 01, содержит рациональные точки),
то Ub{x)[\M содержит хотя бы один элемент множества ЛТ*,
например х^. Тогда также х £ U^(х^). Мы положим U^x^) — V(x). Точно
таким же образом мы получим для каждой точки х £ М некоторую
открытую окрестность V(x). Система °Г = {V(x): х £ М) образует
открытое покрытие промежутка М. Поскольку М, как ограниченный
замкнутый промежуток, компактен, промежуток М покрыт уже
конечным числом окрестностей V(x), скажем V(x^), . . ., V(x№).
Но каждая из этих У(#<°>) имеет вид U^(x\Q) при подходящем выборе
точки x%Q.
Так как gv(xxa) -*• а^, то по критерию Коши существует такой
номер v0(a), что при v, \x ;> v0(a) выполняется неравенство \gv(xba) —
— gn(xka)\ < s/З. Выберем v0 = max (v0(l), . . ., v0(s)). Тогда
\gv(*xa) — £n(*ia)l < е/З для a = 1, . . ., s и v, \i > v0. (3)
Пусть теперь х £ M — произвольная точка, номер a выбран так,
что х 6 U6(xio), и v, ц > v0. Тогда
l*v(*)—*n(*)l =
= I ?v («) — £v («О + £v (**,a) — fti (*Xa) + ^ («O — gn (*) I <
<J gv (*) - £v (*01 + I gv («O - «Гц fa\) I + I «i faa) - gu. (x) |.
Первое и третье слагаемые меньше,, чем е/З, в силу (2), а второе в силу
(3). Таким образом, мы получаем
Ы*) — gn(x) К * ПРИ vf |i > v0.
Так как номер v0 не зависит от х, то отсюда следует наше
утверждение.
Понятия равностепенной непрерывности и равномерной
ограниченности мы хотим проиллюстрировать на нескольких примерах.
Пусть М = (О, 1] и & состоит из одной лишь функции f(x) =
= Их. Тогда jp не равномерно ограничено, так как функция /
не ограничена. Кроме того, JF и не равностепенно непрерывно: если
8 = 1 и б > 0 произвольно, то выберем, например, х = min (1, б)
1
и х* = -х-х. Тогда | х — х* | < б и
X X
=7==тах(1'{)>1 = 1
Пусть М = [О, 2я] и ер = {fv(x) = sin vx: v 6 N}. Множество &
равномерно ограничено, ибо 1 является границей для всех /v. Каждое
j
Гл. VI. Теоремы существования 377
подмножество множества If, состоящее лишь из одного элемента,
равностепенно непрерывно на М: по 8 > 0 и /v ^ ,f выберем б —
= e/v; тогда при \х -— х* | < б и х, х* £ М
тах(лг, #*)
vjcosvJdJ^v I \cosvt\dt^Z
т1п(зс, я*)
|sinv# — sinvz | =
0|# —tf*|<v-8 = 8.
Однако множество функций $f не равностепенно непрерывно: па
е = 1 и произвольному б > 0 выберем х = 0 и столь большой
номер v, чтобы л; < 2v6; тогда для х* = jt/(2v) будет |х — х*\ < &
и вместе с тем | sin vx — sin vx* \ = 1 ^ г.
ПустьМ = [0, 1] и & = {/v (я) = v: v £ N }. Множество^,
очевидно, не равномерно ограничено. Но оно равностепенно непрерывно:
для произвольных 8 > 0, v £ N и х, х* £ М имеем 0 = \fv(x) —
-/v(**)l<e.
Примеры равностепенно непрерывных и равномерно
ограниченных множеств функций мы встретим в следующем параграфе.
§ 2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЕАНО
Пусть /(#, у) — функция, непрерывная в некоторой облает
tr £ D12, и (#0, i/o) — точка этой области. Требуется отыскать решение
ф(я) уравнения у' = f(x, у), удовлетворяющее условию <р(х0) = у0.
Идея излагаемого ниже доказательства теоремы существования
Пеано состоит в приближении искомой интегральной кривой
ломаными, которые следующим образом строятся с помощью
определяемого функцией / поля направлений. Пройдем от точки (х0, у0)
(небольшой) кусок соответствующей этой точке прямой поля до некоторой
точки (#!, i/j) £ G. Затем снова пройдем от точки (х^ yt) (небольшой)
кусок соответствующей уже ей прямой поля до некоторой точки
(хг?У2) 6 G, и т. д. Таким путем мы получим некоторую ломаную в G,
и можно надеяться, что последовательность таких ломаных, когда
длина их звеньев стремится к нулю, будет сходиться к некоторой
интегральной кривой (см. рис. 39).
Сначала мы докажем два утверждения относительно ломаных.
Пусть / == [х0, х0 -\- а] — замкнутый промежуток и 3 = (#о> • • •
. . ., xi) — его разбиение. Положим 1% = [#a,-i> x^l при 1 ^ К ^ I.
Ломаная для разбиения $ есть график некоторой функции ф,
непрерывной на промежутке /, определяемой условиями
Ф (*) = Ф (xx-i) + mx-i (х — xx-t) на 1к при 1^Я</,
гДе т0, . . #5 гаг^ — некоторые заданные действительные числа.
378
Том II
Если х, х* £ /, х «< х* и точки деления #v и а^ разбиения 3 выбра*
еы так, что xv ^ x ^ a:v+1 и^^з;*^ #ц+1» то v ^ ц и
<р (**) - Ф (ж) = {Ф (я*) - ф faO} +
+ {ф Ы — ф fai-i)} + •••■+ {ф («»+i) — Ф (*)} =
= л^ (аг* — ж,*) + tfV-i (а^ — ^-i) + ... + mv (жу+1 — а:) =
\а; —х х — х
а: —а: /
если v < (Л, и <р(ж*) — ф(а:) = (ж* — a;) «ffiv, если v = (х.
&о№
Рис. 39. К методу Пеано.
Если коэффициенты при числах т% мы обозначим через д*, где vj^ т
^х^|х, то, очевидно, справедлива *"
Лемма 1. Имеет место формула
и
q>(x*) — q>(x) = (x* — x) 2 Я*т*>
еде дх ;> О и 2 2* ^ * WPU v ^ М"
X—V
Эта формула остается верной для х* = а:, а также и для а; > х*.
В последнем случае нужно только поменять ролями [лиг.
Гл. VI. Теоремы существования
379
Если угловые коэффициенты т^ ограничены, например
sup \mx-i\ ^K, то из леммы 1 следует:
л=1 i
и
| ф (х*) — ф (х) | = | х* — х | .| У! q^m* | <
2 ?*т*
>c=v
Итак, имеет место
Лемма 2. |ф (ж*) — ф(ж)| ^ £-|я* — ж|.
Теперь мы можем сформулировать и доказать обещанную теорему.
Теорема 2.1. Пусть (х0, у0) £ 012, а и г — положительные
числа и G = {(х, у): х0^х <я0 + а-, |г/ — у0\ < г} с: К2. Пусть,
далее, f — функция, непрерывная в прямоугольнике G, и пусть
выполняется неравенство а*К ^ г, где К = sup \f(G)\. Тогда на
промежутке [х0, х0 + а] существует решение <р(х) дифференциального
уравнения у' = f(x, у), удовлетворяющее условию у(х0) = у0.
Замечание. Так как прямоугольник G компактен, верхняя
грань К конечна. Если G' с G, то К' = sup|/(G')| ^ К. Поэтому
всегда можно обеспечить выполнение неравенства а*К ^ г, перейдя
в случае необходимости от G к прямоугольнику с меньшим а.
Доказательство, а) Для произвольного разбиения 3 =
= (х0, . . ., xi) промежутка [х0, х0 + а] = I построим по индукции
функцию ф(я)ш — ф(#; 8)» графиком которой служит ломаная. Для
этой цели обозначим /*, = [х0, я J при К — 1, . . ., I. На /i пусть
9i(*) = У о + /fro» Уо)(* — ^о). При х eJi
Щх) — г/о I === 1/(#о> У о) I • \х — я0К К -а ^ г.
Следовательно, график функции ф4 лежит в G.
Если на промежутках /* при 1 ^ х ^ % для некоторого Я < I
уже определены функции фк, графиками которых являются
ломаные, лежащие в G, и которые удовлетворяют условию фх |/x-i =
= фх-i (для 2^х^Я), то функцию фа-н на промежутке /a,+i
определим формулами
Фх+1 te) = [ Щ ®' еСЛИ * ^ /ь
I Фа, Ы + / (#*,, Фа, Ы) • {х — хх), если х б /x+i — /я,-
Таким образом, в использованных выше обозначениях т% =
^/(^к* ф *,(#*)) при и = 0, . . ., Я. Заметим, что и график функции
Фя,+1 лежит в G: по лемме 2 при я £ «^я+i
1фЯлн(я) — z/ol < k — Хо\'К < a-.fi: < г.
380 Том II
Положив, наконец, у(х) — ф*(#), мы получаем функцию,
определенную на /, графиком которой служит лежащая в G ломаная для
разбиения 3-
b) Пусть ер — множество всех функций ц>(х\ 3)> гДе 3 пробегает
все разбиения промежутка /. Множество $р равномерно ограничено,
потому что, поскольку графики всех 'функций ф(я; 3) лежат в G,
выполняется неравенство \q>(x; 3)1 ^г+ \Уо\- Кроме того,
множество ер и равностепенно непрерывно, потому что к каждой функции
ф(я; 3) можно применить лемму 2:
1ф(*; 3)-ф(**; 8)1<*-1*-**1.
и для заданного е > 0, чтобы было выполнено требование из
определения 1.1, достаточно взять б = г/К.
c) Для любого разбиения 8 = (#о> • • •» xi) промежутка /
обозначим |81 = max \хк — xx-i\- Пусть теперь (За) — некоторая после-
ь=1 i
довательность разбиений промежутка /, для которой |8а\ стремится
к нулю, и пусть фа — достроенная для разбиения 3 функция фа(#) =
= ф(#» За) (см. а)), графиком которой служит ломаная. Тогда
последовательность (фа) содержится в ер и потому равностепенно
непрерывна и равномерно ограничена. В силу теоремы 1.1 она содержит
равномерно сходящуюся на промежутке / подпоследовательность
(ф!а), предельную функцию которой мы обозначим буквой ф. Имеем
ф(#0) = lim ф1а(#о) = У о и Для любой точки х £ I из неравенства
а-*оо
1фкт(я) — Уо\ ^ т следует, что и |ф (х) — у0\ ^ г. Таким образом,
график функции ф лежит в G. Мы покажем, что функция ф
дифференцируема на / и что выполняется соотношение ф'(#) = f(x, ф(#)).
d) Пусть х* —г произвольная точка промежутка /. Положим
у* = <р(х*). Условиями
h(x)^4'{x)-\{x*)-f(x*,y*) при *€/-{**},
X — X
h(x*) = 0
определим для функции ф и точки х* функцию h на промежутке /.
Тогда при х 6 /
<р(х) = <р(х*) + (х — x*)f(x*9 у*) + (х — x*)h(x),
и нам нужно только показать, что функция h непрерывна в точке х*.
При х £ / — {х*} имеем
* (*) = Пш (Ф!а(»)-Ф|а(0 _ , ^ у*Л .
а-*°о \ х — X /
Мы покажем, что для каждого 8 > 0 существуют такое число б > 0
и такой номер а0 6 ^> что для всех х 6 U6(x*)(}(I — {x*}) и всех
Гл. VI. Теоремы существования
381
О > <Т0
фю(Д?) — ф1с(0
а: —а:
-/(Л if)
<е/2.
Тогда и в пределе при а ->- оо
|Л(ж) - Л(**)1 = Н*)\ < е/2 < 8,
и это в точности означает непрерывность функции h в точке х*.
е) Пусть, следовательно, задано 8 > 0. Так как функция /
непрерывна, найдется такое т)>0, что для всех точек (х, у) £ U-ц (х*, у*){]
[}G выполняется неравенство \f(x, y)—f(x*, y*)\ < е/2. Выберем
6 = min (-^- , 2gj_i) • Так как l3ia|->-0 и Ф1а(^*)-^ г/*,
существует такой номер а0, что |3ю1 < б и что |фкт(я*) — #*| < б при
а> а0.
Пусть теперь а ^ а0 — фиксированный номер и а: 6 #б(я*)П ^-
На основании леммы 1 мы можем написать
и
ф1а (*) — Ф1а (О = (« — **) 2 ?*/ foe ft).
где #x — точки деления разбиения 31а, Ун = фкт(#и) и границы
суммирования выбраны так же, как и при выводе леммы 1. Таким
образом, если х ^ X*, для входящих в сумму точек деления хн имеем
х* — I8ia I ^ хк ^ xi И ПОТОМУ
1*1 - «*1 < I * - «*1 + I8ial < 26 < TJ.
Это неравенство, очевидно, выполняется и для #^#*. Далее/
по лемме 2
1Ум -»'1<1й«- фкг(я*)| + 1фкт(**) — У* К
< Я.|як — я*| + б < (2К + 1)6 < г\.
Следовательно, точка (х^ ун) лежит в Ux\(x*, y*)f\G. Поэтому, учи-
и
тывая, что qK ;> 0 и 2 Ч* = 1» ПРИ х Ф х* получаем
Фкт (*) — ф!а (#*)
X — X
-f{x\y*)\
q*(f(x«,yK)-f(x*,y*))
<
И
<
\q*\f («х, уи) — /(а?*, у*)
и доказательство закончено.
Ее е
382 Том II
Вообще говоря, последовательность фа, рассмотренная в пункте
с), сама не сходится. Дело в том, что может существовать несколько
решений уравнения у' = /(#, у), проходящих через точку (х0, у0).
Однако справедлива
Теорема 2.2. Пусть предположения и обозначения будут
такими же, как в теореме 2.1 и в первых трех пунктах ее
доказательства. Если уравнение у' = /(я, у) имеет единственное решение ф,
удовлетворяющее условию ф(#0) = Усь т<> для каждой
последовательности (За) разбиений промежутка /, для которой |$а| ->■ 0,
соответствующая последовательность функций (фа) равномерно сходится
на промежутке I к ф.
Доказательство. Допустим, что последовательность
(фа) не сходится равномерно к функции ф. Тогда найдется такое е > О,
что для бесконечного множества номеров а неравенство |фа(я) —
— ф(я) | <; 8 выполняется не для всех точек х £ L Тогда из (фа)
можно выделить такую подпоследовательность (ф1а), это для каждой
функции ф1а неравенство |ф1а(#) — ф(#) I < £ будет выполняться
не для всех z. В силу доказательства теоремы 2.1, (ф1а) содержит
некоторую подпоследовательность (ф2<т)? равномерно сходящуюся
к какому-либо решению я|э уравнения у1 = f(x, у),
удовлетворяющему условию i|)(#o) = i/o- Так как по предположению такое решение
единственно, г|) == ф и подпоследовательность (ф2<т) равномерно
сходится к ф. Но это противоречит выбору последовательности (ф!а).
Таким образом, если решение уравнения у' = /(#, у),
проходящее через точку (#0, z/0), определено однозначно, доказательство
теоремы существования Пеано дает и средство для его отыскания.
Поэтому представляет интерес установление признаков
единственности решения дифференциальных уравнений. Это мы сделаем в
следующем параграфе.
Теорема 2.1 останется справедливой, если заменить
прямоугольник G прямоугольником
<?* = {(#, 1/)ейА ^6[#о — а, я0], \у— ft К г}»
лежащим слева от прямой х = х0. В самом деле, замена переменных
х = 2х0 — х, у = у отображает прямоугольник G* на G.
Определенное на G* дифференциальное уравнение у' = f(x, у) при этом
отображении переходит в дифференциальное уравнение у' = f(x, у),
определенное на G, причем f{x, у) = —f{x, ^). Очевидно, Sup |/(G*)| =
= sup|/(G)|. Построенное по теореме 2.1 решение ф уравнения у' =
= f(x, у) на промежутке [х0, х0 + о] дает решение у(х) = ц>(2х0 —х)
уравнения у' = f(x, у) на промежутке [х0 — а, х0].
Гл. VI. Теоремы существования 38$
§ 3. УСЛОВИЕ ЛИПШИЦА
Определение. 3.1. Пусть / — действительная функцияг
определенная на множестве G а К2. Говорят, что функция /
удовлетворяет в G условию Липшица, если существует такое число R ;> 0Г
что всегда
\f{x, у)-f(x, y*)\^R\y-y*\,
если только (х, у) £ G, и (х, у*) £ G.
Число R называется в этом случае константой Липшица для
функции /.
Теорема 3.1. Если действительная функция f в замкнутом
прямоугольнике G непрерывно дифференцируема по у, то она
удовлетворяет в G условию Липшица.
Доказательство. Пусть (х, у) и (х, у*) — точки
прямоугольника G. По теореме о среднем значении
/(*. У) — /to У*) = (У — y*)'fyfa л)»
где rj — подходящим образом выбранная точка между ужу*.
Очевидно, (х, т|) £ G. Так как прямоугольник G компактен и частная
производная fy непрерывна в G, верхняя грань R = sup \fy{G) |
конечна и
\f(x,y)-f(x,y*)\^R\y-y*\.
Теорема 3.2. Пусть (х0, у0) £ В12 и а > 0, г > 0. Положим
G = {(х, у): х0 ^ х ^ х0 + а, \у — у0\ ^ г} с Ш2. Пусть
действительная функция f определена в прямоугольнике G и удовлетворяет
в нем условию Липшица. Если тогда q>! и ф2 — решения
дифференциального уравнения у' = /(#, у) на промежутке [х0, х0 + а] и если
щ(х0) = ф2(^0) = Уо> ™>о ф1 = ф2.
Доказательство. Рассмотрим функцию г|) = ф4 —• ф2#.
Тогда я|)(я0) = 0 и при х £ [х0, х0 + а]
№'(*)! = №(*) - ФЙ*)! = 1Я*. <Pi(*)) -Я*, Ф2И)|<
<*|q>i(*)-q>2(*)l = ДЖ«)|.
Наше утверждение вытекает из следующей леммы:
Лемма. Пусть действительная функция ty(x) дифференцируема
на промежутке I = [х0, х0 + а]. Пусть ур(х^) = 0 и \ty'(x)\ <[
^ Д|ф(ж)|» где R ;> О — некоторое число. Тогда ty = 0 на I.
Доказательство. Выберем натуральное число п так,
чтобы Ra <п, и разобьем I на п частичных промежутков
1
384 Том II
v-1
Г V— 1 V "I
/v = hz0H a, x0 H a , где v = l, . . ., п. Положим 10={х0}т
L. /Z lb Л
По предположению я|)|/0 = 0- Допустим, что для некоторого v,
где 0 <: v < п, уже доказано, что я|) ( U /^) = 0. Тогда, в частности,
ty (х0 -\ a ) = 0. Вместе с функцией г|э и функция | (я|э |/v+1) |
непрерывна и принимает на компактном промежутке /v+1
максимальное значение, т. е. существует такая точка #v+i G Jv+ь что
#v+1 = sup|i|)(/v+1) |= |#rv+1)|. Тогда
#v+l = I 'Ф (*v+l) I = I Ф (*v+i) — Ф ( #0 + "J «J =
= (*v+1 -(*o + % «))•!*' (Б) I <
П
V
где !• — некоторая точка между х0 -\ а и #v+1. Так как
То
О ^ — Л < 1, отсюда следует, что 2£v+i = 0. Таким образом» 4.|
i])|/v+1 = 0, и потому я|) ( (J /,Л = 0. По индукции мы получаем,
что г|) s-a 0, что и требовалось доказать.
Приведем еще пример дифференциального уравнения, у которого
решение не определяется однозначно начальными значениями.
Пусть 'G={(s, у):0<*<1, -1<у<1}, (*о. Уо) = (0, 0)
и /(#» У) — У2/з- Очевидно, функция / непрерывна в G. По теореме 2.1
существует хотя бы одно решение уравнения у' = f(x, у) = уг/$,
проходящее через точку (0, 0). Легко убедиться, что ср(;г)=зО
1
и г|)(я) =т=ж3- два решения с начальным значением (0, 0). Функция
& §
/ив самом деле не удовлетворяет в G условию Липшица.
Действительно, при 0 < у* < I/
I / <*, У) - / <*, У*) I = IУ2/3 - (Л2/31 - § | J r\~i/S A||
1>
у*
>|(у-лг1/3.
Гл. VI. Теоремы существования 385
Но множитель у1/з неограниченно возрастает, когда у приближается
к значению 0. Поэтому для функции / константы Липшица не
существует.
Разумеется, условие Липшица не является необходимым
условием единственности решения. Можно также установить и более
слабые достаточные условия, чем условие Липшица; однако последнее
отличается своей простотой.
§ 4. ВИД ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ В ЦЕЛОМ
Если G а 012 — открытое множество и / — непрерывная функция,
то по теореме Пеано для каждой точки (х0, у0) £ G существует
решение дифференциального уравнения у' — f(x, у), определенное на
некотором промежутке вида [х0, х0 + а] и удовлетворяющее условию
ф(я0) = г/0. В_самом деле, можно выбрать такое число е > 0, что
иг(х0, Уо) — U cz G. Так как замыкание U компактно, верхняя
грань К = sup|/(£7)| конечна. Выберем число г = 8, а затем такое
число а, что аК ^ г и 0 < а ^ г. Тогда теорема 2.1 гарантирует
существование решения ср на промежутке [х0, х0 + а\.
Точно так же, существует и решение <р уравнения у' — /(#, #),
удовлетворяющее условию ф(#0) = У о и определенное на промежутке
[х0 — а, х0]. Теперь можно задать такие вопросы: 1) Какова область
определения некоторого решения, проходящего через точку (#0, у0)?
2) При каких условиях одно из таких решений однозначно
определено во всем G? Чтобы ответить на второй вопрос, мы воспользуемся
локальным вариантом условия Липшица.
Определение 4.1. Пусть G cz HI2 — открытое множество
и / — действительная функция, определенная на G. Говорят, что
функция / локально удовлетворяет в G условию Липшица, если у
каждой точки (#0, у0) £ G существует такая лежащая в G окрестность
U = Щх0, г/0), что сужение f\U удовлетворяет условию Липшица.
Если функция / непрерывно дифференцируема в G по у, то она
локально удовлетворяет в G условию Липшица. В самом деле, для
точки (х0, у0) £G можно выбрать такое число е > 0, что^ U =
^ иг(х0, у0) содержится в G. В силу теоремы 3.1 сужение f\U
удовлетворяет условию Липшица.
Теорема 4.1. Пусть множество G cz R2 открыто и функция
I локально удовлетворяет в G условию Липшица. Пусть (х0, у0) £ G
Т ^°' Х° ^ а^ или * ~ ^°' ^о + а)- Если тогда ф4 и ф2 —
определенные на промежутке I решения уравнения у' = f(x, у),
У ометворяющие условию у0 = q>t(x0) = ф2(#о)' то Ф1 = Фг на I.
I _ ?орема в^рна также и для промежутков / — 1х0 — а, х0] или
(*о — а, х0].
25-832
386 Тем II
Доказательство. Допустим, что множество N ={# £
£ /: ф^а:) Ф фг(^)} не пусто. Тогда существует ху = inf JV, и при
этом #i £ /. Если ф1(^1) Ф q>2(xi)i т<> х\ > хо и ВВИДУ непрерывности
функций ф! и ф2 найдется такая окрестность иъ(х^), что у\[х) Ф фг(#)
для всех х g CfgfoJn/. Следовательно, Vz(x^[\I а N ж точка #t
не может быть нижней границей множества N в противоречии с
предположением. Отсюда также вытекает, что #4 < #0 + а. Если
<Pi(£i) = фг(^1) = У и то найдется лежащая в G окрестность Uz{xu i/i) =
= С/, для которой сужение f\U удовлетворяет условию Липшица.
Если мы положим е4 = mini е, -^- (х0 + а — ^H, то к
прямоугольнику
{(х, у): х{ < я; < xt + et, |i/ — ^|< е}
можно будет применить теорему 3.2. Таким образом, q>i(x) = фг(^)
при ^ ^ х <1 ^ + 8i, и это противоречит предположению, что xt =
= inf N. Поэтому множество N должно быть пусто, что и
требовалось доказать.
Тем самым теорема единственности, упоминавшаяся в § 2 гл. V при
решении линейного уравнения и в § 4 гл. V при решении уравнения Риккати,
доказана.
Пусть множество G, точка (х0, у0) ж функция / — такие же, как
и в теореме, и пусть функция /, кроме того, непрерывна. Рассмотрим
множество А всех чисел а > 0, для которых на промежутке 1а =
= [#о> хо + а1 существует решение фа уравнения у' = /(#, у),
удовлетворяющее условию уа(хо) = Уо- Как мы заметили в начале
этого параграфа, множество А Ф 0. Положим Ъ = sup А ж I =
= 1#о» хо + Ь) или I — l^o» + °°)> если Ь — +°°. Тогда условием
ф|/а = фа1 где a g Л, можно определить функцию ф на промежутке
/, потому что в силу теоремы 4.1 если 0 < а' < а и а 6 -4, то фа|/«' =
= фа'. Очевидно, функция ф является решением уравнения у' =
= /(#, у) и удовлетворяет условию ф(#0) = У о- Если Ъ — +оо, то
определяемая решением ф интегральная кривая не «кончается» (во
всяком случае справа от точки х0). Если Ъ < +оо, то интегральная
кривая не может кончиться внутри множества G; ее точка (х, ф(#))
при х -> Ь стремится к границе множества G или к бесконечности.
В этом и заключается содержание следующей теоремы.
Теорема 4.2. Пусть множество G а К2 открыто и функция f
в G непрерывна и локально удовлетворяет условию Липшица. Пусть,
далее, точка (х0, у0) £ G и fe^+оо — максимальный элемент
множества DI, обладающий тем свойством, что на промежутке I =* «*\
= [х0, х0 + Ь) существует решение ф уравнения у' — f(x, у),
удовлетворяющее условию ф(я0) = У о- Тогда Ъ= + оо или же Ь<+°°^
{(х, Ф(х)): х6/} П{(*, У): х = х0+Ъ} [)G = 0.
Гл. VI. Теоремы существования 387
Доказательство. Допустим, что Ъ < -f °°> но указанное
пересечение не пусто. Пусть (хи yt) — какая-нибудь точка этого
пересечения. Тогда^ = х0 + Ъ и (art, г/4) 6 G. Поэтому существует
такое е > 0, что U = Ut{xu y^ cz G. Положим
tf = sup|/(£/)|< + oo и 6=-min(e, — )>0
(см. рис. 40). Так как точка (хи г/А) принадлежит замыканию графика
функции ф, то мы можем в окрестности Uь(хи у^ выбрать такую
точку (х2, Уг) на графике функции ф, что х0 < х2<х0 + Ь. Положим,
далее,
>={(*,*/):
х2^х^х2-\-8, \у — 1/2К
*}■
Тогда Q с= U, потому что из xt — б < х2 ^ х ^ х2 + б < xt + б
и б < е следует, что я £ #e(^i)i и если \у
Уг\ <-у» то
*■<*>={ ;г
I г/ - Vi КI*/ - г/21 +1 г/г — У1К у + в < е.
Кроме того, 8К <! е/2. Поэтому в силу теоремы 2.1 на промежутке
h ~ [#2> #2 + б] существует решение я|) уравнения у' — f(x, у),
удовлетворяющее условию
Мх2) = 2/2? график которого
лежит в Q. Наконец, положим
при х £ /,
»(х) при # £ /2.
Тогда ф^а:) — однозначно
определенная функция на
промежутке / у /2 - [х0, х2 + б],
потому что ввиду условия
ф(#г) = ty(x2) = у2 и теоремы
^•1 на пересечении /f|^2 =
^ *-х2, #0 + Ь) имеет место
тождество ф=г|). Кроме того,
функция ф4 является решением
уравнения у' = /(#, ^
удовлетворяющим УСЛОВИЮ ф^Яо) = Уо,
х2 + 8 > xt — 8-{-8 = Х1 = х0 + Ь в противоречии с выбором
исла Ъ. Тем самым теорема доказана.
ви гЧ?° такое же рассуждение можно провести и для промежутков
0 ^ *!** ~~~~ а' х*^ где снова (х*> У*) 6 £• Находим максимальное &*,
у^у(х)^.
^
W/.У/)
0
£
[2
Ut&f4i\
Рис. 40. К доказательству теоремы 4.2.
для которого на промежутке /*
(а* - 6*, *:i
25*
388
Том II
существует решение ф* уравнения у' = f(x, у), удовлетворяющее
условию ф*(#*) = Vt (пРи Ь* == +оо полагаем J* = (—оо, х*]).
График решения ф* не кончается в G (слева от точки х*).
Выберем теперь х0 <С х* < х0 + Ъ и положим у* = ф(я£).
Условиями
Ф(*. *о, у0)-|ф(:с) при ^>;Го
на промежутке JU-T* = (xt — &> хо + ь) = /(з0, у0) определена
тогда действительная функция, график которой лежит в G. В самом
деле, на пересечении /|V* = [s0, ^ Функции ф и ф* по теореме
единственности 4.1 совпадают, поскольку ф(я*) = ф*(я*). Таким
образом, функция ф(ж; rc0, i/0) удовлетворяет дифференциальному
уравнению i/' = /(ж, у) на всем промежутке 1(х0, у0). На основании
теоремы 4.2 можно сказать, что график решения ф(я; я0, i/0)
проходит в G «от границы до границы».
Мы можем теперь — все время в предположении, что множество
G открыто, а функция / в G непрерывна и локально удовлетворяет
условию Липшица,— для каждой точки (£, т)) £ G построить, как
выше, максимальный промежуток J(|, г\), на котором определено
решение ф(ж; £, т]) уравнения у' = /(#, у), удовлетворяющее
условию ф(£; £, ч) = tj. Множество ' Б = {(ж; £, т|): (£, tj) 6 G,
з? 6 ДЕ» ч)} можно рассматривать как некоторое подмножество
пространства D13, а у(х, |, т)) — как функцию, определенную на В.
Эту функцию называют общим решением дифференциального
уравнения у' =/(з, у).
В следующих параграфах мы собираемся изучить общее решение
подробнее. Для этого, в частности, нужно выяснить, как изменится
частное решение, если немножко сдвинуть начальную точку (£, г\).
§ 5. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ
Теорема 5.1. Пусть G{, G2 cz К2 и (ж0, У о) € GiflGg. Пусть,
далее, fug — непрерывные функции соответственно на множествах
(?i и G2. Пусть, наконец, ц>(х) и г|)(я) — решения на промежутке I =
= [х0 — а, х0 + Ь] соответственно уравнений у' = f(x, у) и у' =
= #(#, i/), удовлетворяющие условию ц>(х0) = я|)(;г0) = у0. Тогда если
на пересечении
{(х, у) е Gt: х е /, У = ф(*)}П {(*, у) 6 G2: * £ Л у = ф(*)>
графиков функций ф и г|з всегда выполняется неравенство f(x, у) У*
> ё(х, у)> то ф(#) ^ *КЖ) WPW * ^ ^о м- ф(&) !> 'Ф(я) яри « > #о
/ Доказательство. Достаточно доказать наше утвержДЭ"
ете для х^ х0. Допустим, что теорема не верна и, таким образом»
Гл. VI. Теоремы существования
389
множество
N = {х: х0 < х ^ х0 + Ь, <р(х) < я|)(л:)}
яе пусто. Тогда существует xt = inf iV, причем #4 £ [#0, х0 + Ы = /1в
Если бы теперь было cp(#i) < ^(^i)» то ввиду непрерывности функций
ф и г|? это неравенство выполнялось бы и на пересечении промежутка
1{ с некоторой е-окрестностью точки xt и, кроме того, мы имели бы
Xi > #0- Следовательно, точка л^ не могла бы быть нижней гранью
множества N. Если бы, однако, было q)(#i) > i|>(#i), то это
неравенство снова выполнялось бы на пересечении промежутка /4 с
некоторой е-окрестностью точки хи и опять точка х^ не могла бы быть
нижней гранью множества N. Поэтому должно выполняться
равенство q)(#i) = ty(xi)- Положим i/t ■= q)(#i). Точка (хи yt) лежит на
пересечении наших графиков. По предположению
(ф — yy(xi) = <p'(#i)-^'(*i) = /0*i. Vi) — S(xu Vi) > °-
Ввиду непрерывности существует такое г > 0, что неравенство
(ф — ty)'(x) > 0 выполняется для всех точек х £ Ue(xi)flli. Теперь
по теореме о среднем значении
для произвольной точки х этого
пересечения при х > х{
(ф - Ф)(*) =
= (^_^)((Ф —-Ф)'(^)),
где I — некоторая точка между
#i и #. Но оба множителя в
правой части положительны.
Поэтому <р(#) > i|)(#), т. е. ж { ЛГ, и
точка Zj не является нижней
гранью множества N.
В каждом из случаев мы при- р и с- 41- к теоРеме 5-2-,
шли к противоречию.
Следовательно, множество N должно быть пусто, и теорема доказана.
Теорема 5.2. Пусть G а К2 — открытое множество,
(ж<ь У о) 6 G — произвольная точка и f — функция, непрерывная
па множестве G, причем \f(G)\ ^ К. Если тогда у(х) — решение
уравнения у' = f (x, у) на некотором промежутке I, содержащем точку
хо, удовлетворяющее условию у(х0) = #0, то для всех х £ I
Ых) — Уо\ < К\х — х0\.
Эта теорема, говоря наглядно, утверждает, что интегральная
кРивая, проходящая через точку (х0, у0), расположена между двумя
прямыми с угловыми коэффициентами К и — К, проведенными через
*0ЧкУ (*0, Уо) (см. рис. 41). Отсюда становится ясно, почему в теореме
сУЩествования Пеано нужно было предполагать, что аК ^ г.
390 Том II |
Доказательство совсем простое. Положим G4 = ^г
и G2 = G. По предположению на пересечении Gi{]G2 для каждого *
Е>0
-{К + е)< / < К + е.
Заметив, что уравнение у' = ±(2£ + е) имеет проходящее через
точку (х0, у0) решение у0 ± (К + &){х — х0), применим теорему 5.1
сначала к / и постоянной функции К + 8, а затем — к -—(К + е) и /.
Мы получим при х ;> х0
у0 — (К + г)(х — #0) < <р(х) ^у0+ (К + г) (х — х0),
или
|ф(*) — Уо1 < (Я + 8)(* — *о).
Переходя к пределу при е -> 0, получаем наше утверждение при
х ^ х0. Для х ^ х0 доказательство проводится аналогично.
В качестве подготовки к центральной оценке в теореме 5.4 теперь
будет доказана
Теорема 5.3. Пусть функция ф непрерывно дифференцируема
на промежутке I = [а, Ь], и пусть |ф'(^)1 ^ Л/"1ф(гг) I + N в /, где
М > 0 u iV ^> 0 — некоторые числа. Тогда для всех точек х, х0 £1
| Ф (*) | < | Ф (х0) | ем '*-*°' + -^ (ем '*-*•' - 1).
Доказательство, а) Из предположения следует, что для
каждого числа N' = iV + 8, где е > 0, выполняется строгое
неравенство |<р'(я)| < АГ|ф(ж)| + N'. В пунктах b) — d) мы докажем
требуемое неравенство с N' вместо N. Тогда можно перейти к
пределу при е ->- 0, и мы получим неравенство с N.
Ь) Пусть, следовательно, |ф'(#)1 < М|ф(я)| + N. Рассмотрим
промежуток /4 = [х0, Ь] и предположим сначала, что у0 — у(х0) ^ 0.
Функция ty(x) = i/0eM(*--*o) -\- — (еМ(*-я0) __ 1) удовлетворяет
условию ty{x0) = у0 и служит решением дифференциального уравне-.
ния у' = Му + N на /1в Так как у0 > 0 и на промежутке /4, кроме
того, ЛГ(я — х0) !> 0, то и г|)(я) ;> 0. Таким образом, функция я|?
является на /4 решением и уравнения у' = М \у\ + iV.
Если мы положим А(х, у) = ф'(я) на / X R, то функция ф буде*
на промежутке / решением дифференциального уравнения у' **
= Л (ж, г/), и по предположению на графике функции ф всегда
выполняется неравенство А ^ \А | < Af |у| + N. Поэтому по
теореме 5.1 мы получаем на промежутке J4
ф (*)< *(х) = Ф (х0) ем (ж-^+ -£ (е*^ - 1).
J
Гл. VI. Теоремы существования 391
Если мы положим В(х, у) = — у'(х) на / X 01, то функция —<р
будет решением дифференциального уравнения у' = В(х, у) и на ее
графике будет выполняться неравенство В ^ \В\ < М\у\ + N.
Поэтому на промежутке It мы получим —у(х) ^ ty(x). Вместе с
установленным выше неравенством, поскольку ф(я0) <> 0 и х — х0 1> О,
это доказывает наше утверждение.
c) Рассмотрим теперь тот же промежуток 1и но на этот раз
допустим, что г/о — ф(^о) ^ 0- Тогда мы получим наше утверждение,
перейдя к функции —ф.
d) Нужно еще рассмотреть промежуток [а, х0]. В этом случае
нашу задачу можно свести к уже решенной путем замены переменной
х = 2х0 — х. Производная функции у(х) = у(2х0 — х) на
промежутке х0 ^х ^ 2х0 — а имеет вид ф'(#) = —ф'(2.г0 — х). Поэтому
|ф'(^| = |ф(2^~^|<М|ф(2^0-^)| + ^=М|$Й1+^.
В силу Ь) и с) наше утверждение справедливо для функции ф на
промежутке {х: х0 ^ х ^ 2х0 — а}. Поэтому для функции ф и любой
точки х £ [я, х0] имеем
1ф'(*)1 = 1?(2^-*)К1ф WkM|^01 + *L(e^*-*o\ _i)a
м
Поскольку ф(^0) == ф(#о)> теорема 5.3 полностью доказана.
Теорема 5.4. Пусть G cz IR2— открытое множество и f —
функция, непрерывная на G и удовлетворяющая в G условию Липшица
с положительной константой R и неравенству |/(&)| ^ М. Пусть,
далее, I — замкнутый промежуток, а ф и я|) — непрерывно
дифференцируемые функции на I, графики которых лежат в G. Пусть, наконец,
для всех точек х £ I выполняются неравенства
I Ф' (#) —/(*» Ф(*)) Ю4 U |Я|/ (X) — f(x, ф(*)) |<82,
где 8t и е2 — некоторые неотрицательные числа. Тогда для всех точек
х, xt, х2 £ I имеет место неравенство
!Ф (*) - Ф (*) К^^(е R lx'Xil- l) +
R
+ {\У2-уЛ + (М + г2)\х2-х,\)е*\х-х>\
гд* Vi = cpfo) и у2 = Ц(х2).
Это очень широкое утверждение, позволяющее количественно
оценивать зависимость решения от различных условий. Прежде чем мы
его докажем, поясним его значение на двух частных случаях.
, 1. Пусть е4 = е2 = 0, т. е. пусть ф и а|) — решения уравнения
^ ^ /(#» у), проходящие соответственно через точки (#4, i/i) и (х2, у2).
392 Том II
В этом случае теорема 5.4 дает оценку ,(
\*ix)-<pix)\^Qy2-yi\ + M\xz-xi\)e*1^**.
В частности, она утверждает, что если мало отличаются начальные
значения (а^, у^ и (х2, 1/2)» то мало отличаются и соответствующие
решения <р и я|).
2. Пусть ^t = #2, г/i = 1/2 и, кроме того, е4 = 0, т. е. функция
Ф является решением уравнения у' — f(x, у). Если тогда я|) — реше- \
ние уравнения i/' = g(x, у), удовлетворяющее условию ty(xi) = уи
и если |/(я, у) — g(s, у)| < е2 в G, то |-ф'(аг) — fix, -ф(ж))| =
= |£(*» ФС^)) — /(#» ^(^))l ^ 82» и теорема дает
| ф (я) _ <р (я) | ^ iL (eR |ж"я*1 - 1).
i?
Таким образом, если во всем G мы мало изменим правую часть
дифференциального уравнения у' = fix, у), то и интегральная кривая,
проходящая через фиксированную точку (хи yt) £ G, изменится мало
(во всяком случае вблизи xt). Утверждения такого рода называются
теоремами устойчивости для рассматриваемого дифференциального
уравнения. Они играют важную роль, например, при изучении
дифференциальных уравнений (с частными производными),
встречающихся в гидродинамике или в небесной механике, а также при численном й1
решении дифференциальных уравнений. Иногда этим частным
случаем теоремы 5.4 пользуются для приближения такого решения урав- I
нения у' —fix, у), которое с трудом или совсем не выражается через
элементарные функции: выбирают такую функцию g, приближающую
функцию /, чтобы уравнение у' = g(x, у) легко решалось.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 5.4. Определим'
на промежутке / функцию %(х) = ty(x) — <p(#). Так как функция /
удовлетворяет условию Липшица, при х £ I имеем
\f(xy $(*)) - /(*. Ф))\ < Д№(*) - <р(*)1 = Д 1х(*)|.
Далее, на промежутке /
\Х'{х)\ = №'(*)-ф'(*)1 =
= №'(*) - /(*■ Ф))+Кх, Ф)) - /(*. Ф)) + fix, Ф)) -ф'(*)1 <
< W(x) - f{xt ф))\ + \Цх, *(*)) - f{x9 ф))\ +
+ \Цх, ф))-№)\<
<84+ 82 + R\%ix)\.
Тогда по теореме 5.3
1х(*)1<5^(вв|я"я,|-1) + 1х(«0ка|я"Я11,
■ 4
Гл. VI. Теоремы существования
393
и нам нужно лишь еще показать, что
lx(*i)l < \У2 — ft I + (М + г2)\х2 — xi\.
Но
\%(*i)\=\$(*d — <P(*i) 1 = 1^(^2) — <p(*i) + 1>(si) -*WK
< I 'Ф fe) — Ф (*i) I + I ♦ Ы — Ф fa) I =
I °c2 I
= ll/2 — 0il+ J tf (x)dx <
I *i I
< I 1/2 — Hi I + (M + 82) I X2 — Xi I,
потому что, поскольку |я|/(я) — /fa ty(x))\ ^б2и 1|/| ^*M» максимум
функции |я|/ | не превышает М + е2. Тем самым доказательство
закончено.
§ 6. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ
Прежде чем мы продолжим изучение введенного в конце § 4
«общего решения» дифференциального уравнения у' '= /fa у), нам нужно
доказать одну вспомогательную теорему.
Теорема 6.1. Пусть множество G a Dl2 открыто и функция f
на G непрерывна и локально удовлетворяет условию Липшица. Если
тогда К — некоторое компактное подмножество G, то сужение f\K
удовлетворяет условию Липшица {глобально на К).
Доказательство. На множестве
А = {fa I/, у*) е 013: fa У) 6 К, (х, у*) {К, уфу*}
определим функцию
\f(x,y)-f(x,y*)\
R{X,y,y*):
*
у — у
Нам нужно показать, что функция i?fa у, г/*) ограничена. В самом
деле, если R — какая-нибудь верхняя граница этой функции, то
Для всех точек fa у), fa у*) £ К будет выполняться неравенство
l/fa У) — /fa у*) | ^ R\y — у* |, поскольку при у =у* это
неравенство тривиально.
Допустим, что функция i?fa у, у*) не ограничена. Тогда в А
найдется последовательность точек fa, yx, г/$), для которых
7*fa» 2/v, г/^-^Ч-00- В таком случае последовательность точек
J^vi yv) лежит в К и, так как К компактно, имеет предельную точку
|?<ь У о) G К. Выберем подпоследовательность fav, yiv) ->• fa, у0).
последовательность fav, i/*v) также лежит в К, и потому имеет
предельную точку (я0, yt) 6^- Ввиду того что xix ->• х0, имеем: -г0 = х0.
оэтому мы можем, наконец, выделить подпоследовательность
2v' У 2^ ?/2v), сходящуюся к точке (х0, у0, у*) £ А. Вместе с последо-
394 Том II
вательностью R(xv, i/v, у*) и последовательность R(x2v, y2v, U*v)
неограниченно возрастает.
Если у0 Ф у*, то найдется такое 8 > 0, что для почти всех
номеров v выполняется неравенство |z/2v — ^/*vl ^> е. Далее, в силу
компактности множества К верхняя грань М = sup|/(Z)| < +00.
Следовательно, для почти всех v
.2М
•й (X2vi #2v» 2/2v) =
/ fev у #2v) '— / (%j #2v)
#2v — #2v
и последовательность R(x2v, y2v, y£v) ограничена в противоречии
с нашим допущением.
Если у0 = i/J, то можно выбрать такую окрестность U cz G точки
(х0, г/0), чтобы сужение f\U удовлетворяло условию Липшица с
некоторой константой i?*. Но для почти всех номеров v точки (x2v, y2v) 6
6 U и (#2V, У2 v) 6 #, и для почти всех v мы получаем i?(^2v» */2v» #2 v)^
^ i?* в противоречии с нашим допущением. Таким образом, функция
R{x, у, у*) на множестве А должна быть ограничена, и теорема
доказана.
Теперь мы можем провести обещанное обсуждение общего
решения. Опять будем предполагать, что множество G a D12 открыто,
а функция / локально удовлетворяет в G условию Липшица и
непрерывна. Для точки (£, г\) (Е G промежуток 1(1, г\) является
максимальным открытым промежутком, на котором существует проходящее
через точку (£, т)) решение ф(я, £, г\) уравнения у' = f(x, у).
Областью определения общего решения ф(#, £, г\) является множество
В = {(х, g, т|):(Б, T|)6G, хеЦ1, Л)Ь
Теорема 6.2. На множестве В имеют место тождества
ф(£, £, т)) в т| и <р(Б, ж, ф(а?, 6, л)) = т|.
Доказательство. Первое тождество сразу следует из
определения общего решения. Чтобы доказать второе, заметим
следующее: если (#0, I, г\) 6 В, то (х0, ф(#о> £> Л)) 6 С, как точка
интегральной кривой я|)(я) = <р(х, £, т)). Поскольку I £ /(£, т]) =
= I(x0, ty(x0)), точка (£, #0, Ф (я<ь 6» Л)) = (£> я<ь ^o)) 6 5. Имеем
ф(ж, д?о» #*о)) == ф(#> I, Л)> а потому и ф(£, #0, #*о))=ф(£» S» Л) =
= Т), Ч. Т. Д.
Теорема 6.3. Область определения В общего решения у(х, £, л)
дифференциального уравнения у' = f(x, у) открыта и функция
ф(я, |, т)) непрерывна в В.
Доказательство, а) Тот факт, что множество В открыто,
означает, что для каждой точки (х0, |0, т)0) £ J5 существует лежащая
в В окрестность U6(x0, g0, т)0). Поскольку С/6(^0, £0, tj0) ^
= ^б(^о) X иь(10, т|о), это значит, что из (£, т|) 6 # б(£о> Ло) и
# 6 U6(xQ) следует, что а; 6 Д£» л)- Иными словами: (максимальная)
Гл. VI. Теоремы существования 395
интегральная кривая, проходящая через точку (£, г\) 6 U6(l0, r\0),
определена еще в окрестности U6(x0) точки х0. Таким образом, грубо
говоря, нам нужно показать, что для очень малого б интегральная
кривая, проходящая через точку (£, r\) £ U6(l0, т]0), отдаляется от
интегральной кривой, проходящей через точку (£0> Ло)> лишь
настолько мало, что она может достигнуть границы множества G
только после того, как она
пройдет над некоторой окре^
стностью точки х0 (см. рис. 42).
Ь) Допустим, что х0 < £0;
в противном случае
доказательство проходит
аналогично. Так как Щ0, ч\0) —
открытый промежуток, существует
такое а
> о,
что
= [х0— а, 10 + a] cz Що, т]о).
Пусть у = ц(х)= <р(х; g0, т|0) —
интегральная кривая,
проходящая через точку (£0, т)0).
Множество
Рис. 42. К теореме 6.3.
является образом компактного промежутка /а при непрерывном
отображении х ->■ (х, (р(х)). В силу теоремы 6.6 гл. II множество К
компактно. На основании теоремы 2.4 гл. II мы можем тогда найти
такое открытое множество G*, что К a G* czcz G. По теореме 6.1
сужение /|G*, а потому тем более и сужение f\G* глобально
удовлетворяет условию Липшица; константу Липшица для функции f\G*
обозначим букой R. Наконец, М = sup|/(G*)| < оо.
Выберем теперь число f$ > О так, чтобы замкнутый квадрат
^э(£(ь Ло) еЩе лежал в G*, а затем — такое число б, что
0<6<mi
V з ъм )
Для данной точки (£, r\) £ U6(l0, т)0) образуем прямоугольник
Q=Qa,4)={(x,y): |*-||<2в, |»-ч|<|р}.
Тогда
Ub (Ь,, т,0) с О (£, ч) с: Щ (go, %) cz G*.
В самом деле, если Dist ((х, у), (i0, т}о))<6, то Dist ((х, у), (|, т])) <
< Dist ({х, у), (10, т)0)) + Dist ((g0, Ло). (Е. Ч)) < 26, и потому,
396 Том II
поскольку 26 < у Р, и точка (я, у) £ <?(£, *])• Если же (х> У) 6 <?(£, *)),
то
Dist((х, у), (|,t,))<|p
и, следовательно,
Dist ((ж, у), (lo, %))<Dist((a;, у), (£, л)) + Dist ((I, Ti), (£0, %)) <
<|р + б<р.
Разобьем теперь прямоугольник Q = ()(£, rj) на два прямоугольника
Qi = {(*, У) е Q: х < 1} и <?2 = {(я, у) 6 0: * > 6}
2
(см. рис. 43). Так как \f(Q) |<Ми 28М < т Р, и в ft и в (?2 выпол-
о
нены предположения теоремы 2.1 (теоремы существования Пеано).
Поэтому существует
интегральная кривая уравнения у' —
— f{x, у), определенная на
промежутке [I — 26, g + 26], т. е.
йЩ) cz /g, л). Так как
U6(lo, -По) <= <?(£, Л), то для
каждой точки (£, т)) 6 # б(£о> По)
J = £7^) с: иТЖ) с= /(Б, Л).
Следовательно, каждая
интегральная кривая ср(;г; £, т|)
определена по меньшей мере на /;
Рис. 43. К доказательству теоремы 6.3. над / она проходит в
множестве G*.
с) Будем теперь все время предполагать, что (£, т)) 6 ^б(£о> Ло)-
Мы хотим показать, что каждая интегральная кривая ф(#, £, rj)
определена даже на промежутке / = [х0 — 6, £0 + в] и над /
проходит в множестве G*. Тогда она, в частности, определена и в
окрестности lf6(x0), а это мы и утверждали.
По теореме 4.9 гл. II расстояние Dist (К, К2 — G*) > 0, потому
что множество В12 — G* замкнуто и пересечение Kf){R2.— G*) пусто,
так как К cz G*. Поэтому мы можем выбрать такое число е, что
О < 8 < 2 Dist (К, К2 - G*). Положим N = (1 + М) sup e* l«-W
и число 6 из Ь) подчиним еще и условию 6 < -^ .
Если тогда /4 — промежуток, содержащийся в / и содержащий
точки Бо и S» на котором определены обе интегральные кривые
Гл. VI, Теоремы существования
397
<р(я, £о> Ло) = ф(ж) и ф(ж» S» л)3^*)» причем обе эти кривые над/4
проходят вб*, то по теореме 5.4 (частный случай е4 = е2 = 0) при х £ It
|Ф(х) -ф(*)|<(|4 -Чо| + Jlf|E - !о1)ей|*"Ы<
<6(l + J0)supeHl*-|(>l<
<мг<|-. (1)
Если мы обозначим через /*(£, tj) максимальный промежуток
определения интегральной кривой суженного на G*
дифференциального уравнения у' = /К?*, проходящей через точку (£, tj), то в силу Ь)
имеет место включение / с /*(£, tj), и мы можем взять промежуток
1{ = /f]/*(g, tj). Утверждение, что /! = /, означает, что /*(£, tj) id /,
но именно это и требуется доказать.
d) Допустим, что 1Х =5^ /. Так как /*(£, tj) — открытый
промежуток, то Л имеет тогда вид (а, £0 + 6], где а:0 — б < а. Пусть теперь
(xv) — некоторая монотонно убывающая последовательность точек
промежутка /1? сходящаяся к а. Последовательность точек (xv) =
= (xv, ty(xv)) тогда лежит на графике функции я|э и по теореме 4.2
не имеет предельных точек в множестве G*. Но так как замыкание G*
компактно, она должна иметь некоторую предельную точку х0,
которая должна в таком случае принадлежать границе dG* a R2 —
— G*. Выберем подпоследовательность (xlv), сходящуюся к х0.
Последовательность точек yv = (#lv, y(xix)) лежит в К и сходится
к точке у0 = (а, ф(а)) £ К. Тогда
Dist (R,2 — <?*, К) <Dist (х0, у0) = lim Dist (xlv, yv) =
= lim | ф (*lv) — Ф (xlv) | < |- < Dist (0l2 - G*, K)
в силу (1) и выбора числа 8. Но это абсурдно.
Таким образом, должно быть 1Х = /, и тем самым установлено,
нто множество В открыто.
e) Теперь легко доказать непрерывность общего решения ф(#, £, т))
в В. Фиксируем точку (#0, £0, ч\0) £ В и воспользуемся обозначениями
пунктов Ь) — d). Выберем такое число у, чтобы 0 < у ^ б и
|ф(*. Ь.Ла) —ф(*Ь. 5о»Чо)1<|-
при a: £ Uy(x0). Это возможно в силу непрерывности функции у(х).
Тогда для любой точки (х, £, tj) 6 t^fao» £о> Ло) н& основании (1)
398 Том II
/
имеем
I ф (#, 5, Л) — Ф (*о, So, Ло) I <
< I Ф (я, S, Л) — Ф (*, Sot Ло) I + I Ф (#, So, Ло) — Ф (#о, So, Ло) I <
<2-+2- = е-
Здесь число 8 подчинено лишь условию 0< 8 < 2-Dist (К, 0l2 — G*).
Если же задано е' ;> 2-Dist (К, Dl2 — G*), то выберем 8 и у, как
выше. Тогда для любой точки (х, £, rj) £ Z7v(a:0, £0, Ло) тем более
|ф(з, S, Л) — ф(*о» So, Ло)1 < &',
и, значит, непрерывность функции ф в произвольной точке (х0, So, Ло) 6
£ В установлена. Тем самым доказательство теоремы 6.3 закончено.
Теперь мы хотим показать, что при одном дополнительном
предположении относительно функции / общее решение ф(я, £, т)) даже
непрерывно дифференцируемо. Сначала будет доказана
Теорема 6.4. Общее решение ф(я, S, л) непрерывно
дифференцируемо по х.
Доказательство. Функция ф(#, S, л) ПРИ фиксированной
точке (S, л) является решением уравнения у' = /(я, у). Поэтому
функция ф дифференцируема по х и -^ (х, £, т)) = /(#, ф(S, л))- Так
как, однако, / (по предположению) и ф (по теореме 6.3) непрерывны,
Зф
то непрерывна и частная производная — .
Теорема 6.5. Пусть функция f(x, у) непрерывно
дифференцируема по у. Тогда общее решение q>(x, S, л) непрерывно
дифференцируемо по л-
Для доказательства этой теоремы нам понадобится одна теорема
об интегралах, которая в сущности утверждает, что интеграл от
функции, непрерывно зависящей от каких-либо параметров, и сам
непрерывно зависит от этих параметров. Но доказательство этого
факта мы отложим на конец параграфа. Точку (хи . . ., хп) £ Dln мы
запишем в виде (хи х'), где х' = (х2, . . ., хп) £ Dl71"1. Если тогда
g — функция, непрерывная на некотором множестве М cz Kn, то
функция
ъ
F(a, b,x')= lg(xi9x')dxt
а
определена в том и только в том случае, если а ^ Ъ и [а, Ъ\ х {х'} с
с= М, или же если &<аи[М1х{х'}с М. Область определения
функции F в пространстве Лп+1 обозначим буквой А.
Гл. VI. Теоремы существования 399
6.6. Если функция g непрерывна на множестве М, то
ъ
F(a, Ь, х') = IgtotX^dXi
а
непрерывна на множестве А.
Доказательство теоремы 6.5. а) Пусть сначала
(#0, £о> Ло) 6 В — фиксированная точка. Существует промежуток
/ сс=/(£(ъ Ло)> Для которого х0, g0 6 /• Тогда множество / х {10} X
X {Ло} относительно компактно в В и, так как J5 открыто, можно
найти такое 8 > 0, что / X {l0} X Ue(r\0) cz В. Тогда при
т] £ #е(Ло) функция ф(х, £0, т)) определена на промежутке /. Мы будем
короче обозначать эту функцию <р(х; rj).
b) Так как функция / дифференцируема по у, то по теореме о
среднем значении при х £ / и rj £ *78(Ло) имеем
/(*, ф(я; л)) — /(*» ф(«; чо)) = (ф(*; л) — ф(*; Ло)) •/»(*» х(*. л))» (2)
где х(*> Л) — подходящее число между ф(ж; л) и <р(а?; т)0). Пусть
Х(ж» Ло) = ф(*; Ло)- Положим Л(я, л) = /»(*> х(ж» Л)) и докажем, что
функция h непрерывна в / х #е(Ло)- При т) Ф tj0 мы можем, на
основании (2), представить h как отношение двух непрерывных функций;
в силу теоремы единственности 4.1 знаменатель ф(я; rj) — ф(я; г|0)
не обращается в нуль.
Чтобы установить непрерывность функции h в точке (х, v\0),
выберем в / х #е(Ло) последовательность точек (#v, tjv), сходящуюся
к (х, г)о). Из непрерывности общего решения следует, что <р(хх; tjv) ->•
-* ф(ж5 Л о) и ф(^у"» Л о) -* ф(я; Ло)- Поэтому и последовательность
чисел %(xv, Tjv), лежащих между <р(ху\ t\v) и у(ху; Ло)> сходится
к у(х; т]0). Так как частная производная fy по предположению
непрерывна, то тогда и
M*v> Лу) = /tf(«v. X(*v> Лу)) -*/*(*, ф(*5 Ло)) = М*> Ло).
c) Если мы положим я|)(я, rj) = ф(я; т]) — ф(#; tj0), то при х £ /
будем иметь
— (ж, л) = / (*. ф (*; л)) — / (*, ф (*; Ло)) = л (*, л) Ф (*, л)-
Следовательно, функция г|)(я, т]) для каждого rj £ £78(Ло) является
решением линейного однородного дифференциального уравнения
У' = h(x, ц)-у. Если еще учесть, что я|э(|0, т]) = т) — т)0, то мы
получим формулу
х
ф (#; л) — ф (*; Ло) = (л - Ло) exp (J а (г, ч) dt). (3)
So
Теорема
функция
400 Том II
Так как функция h непрерывна на множестве J x CfeOlo)» то п<> теоре-
X , X
ме 6.6 интеграл \ h(t, tj) ей, а вместе с ним и функция ехр (J h(t, tj) df)
lo lo
непрерывны на множестве / х Ue(r\0) и> в частности, в точке (я0, tj0).
Таким образом, из (3) вытекает дифференцируемость функции
у(х; tj) по г\ в точке (х0, 101 tj0). Так как h(t, tj0) = fy(t, ф(£; t]0)), то
Y~ fa, Ёо> Щ) = ехр ( J fy (t, Ф (t, go» Ло)) * J • (4)
d) Если теперь рассматривать (я0, |0> Ло) как переменную точку
в J5, то по нашим предположениям и по теореме 6.6 правая часть
формулы (4) является непрерывной функцией в 5. Тем самым теорема 6.5
доказана.
Теорема 6.7. Пусть функция f непрерывно дифференцируема
по у. Тогда общее решение ф(#, |, tj) непрерывно дифференцируемо по £.
Доказательство. Пусть (ж0, £0» Ло) 6 5. Положим <р(£, #0, tj) =
= g(£, т|) и <р(я0, 6, т|0) = Щ). По теореме 6.2, <р(£, х, <p(s, £, т))) =
== т), откуда следует, что g(£, Л(£)) = т)0. Таким образом, функция
т| = Щ) в некоторой окрестности точки (£0, fe(£0)) является решением
уравнения g(%, tj) — tj0 = 0. Согласно теоремам 6.4 и 6.5, функция g
непрерывно дифференцируема по £ и по tj; поэтому в силу теоремы
1.5 гл. III она дифференцируема. На основании доказательства тео-
dg
ремы 6.5 частная производная ^— положительна и, в частности, =^=0.
Но при этих обстоятельствах уравнение g{\, rj) — т|0 = 0 можно
локально однозначно разрешить относительно г\ (см. § 6 гл. IV),
и получающаяся в результате функция,— следовательно, функция
h(Q,— непрерывно дифференцируема и
i,wt \ 5(Р ,„. £ „ ч 8ь (So* Ло) Ф*(Ео»Д1»Т1о)
п ^о) = -гт- №ь So» %; = — г = — : •
dl g^do, Ло) Фл(бо, Яо.Чо)
Итак, мы показали, что если функция / непрерывно
дифференцируема по I/, то общее решение ф непрерывно дифференцируемо
по всем трем переменным. Из теоремы 1.5 гл. III тогда следует
Теорема 6.8. Пусть функция f(x, у) в открытом множестве
GcR2 непрерывна и непрерывно дифференцируема по у. Тогда общее
решение у(х, |, tj) дифференциального уравнения у' = f(x, у)
непрерывно дифференцируемо в своей области определения.
Поясним понятие «общего решения» еще на двух примерах.
1. Пусть / = (а, Ь) — открытый, не обязательно конечный
промежуток, G= I X К ж А(х) и В(х) — функции, непрерывные на /•
Гл. VI. Теоремы существования 401
Тогда функция f(x, у) = А(х)-у + В(х) в G непрерывна и непрерывно
дифференцируема по у. Таким образом, к линейному
дифференциальному уравнению у' = А(х)у + В(х) можно применить предыдущие
х
теоремы. В однородном случае В = 0 функция т) ехр ( \ A(t) dtj
является решением уравнения, проходящим через точку (£, г)).
х
Поэтому общее решение имеет здесь вид ф(#, g, r\) = г\ ехр ( \ A(t) dtj,
l
а его областью определения служит множество / х / X И. Его
дифференцируемость видна и невооруженному глазу.
2. Пусть G = R,2 и /(#, г/) = |j/|. Эта функция глобально
удовлетворяет условию Липшица, потому что при г/, #* £ R, в силу
неравенства треугольника всегда Ы < |у — у*| + |»*| и |у*| < \у* — #| +
+ \у\ и, значит, |(|у| — \у*\)\ < |у — #*|. Однако она не всюду
дифференцируема по у. Решением уравнения у' = \у\, проходящим
через точку (£, г]), при т) ;> 0, очевидно, будет г/ = Tj0*—S, а при
г] ^ 0 — функция у = T)e"^~S>. Общим решением, определенным
в Л3, будет, таким образом, <р(#, g, г)) = т| ехр ((sgn г))-(# — £)), а эта
функция *) и в самом деле не всюду дифференцируема по г\: при
постоянных (#0, g0), где х0 Ф g0, график функции ф(х0, ёо/л) ПРИ
г] = 0 имеет излом.
Нам нужно,еще провести
Доказательство теоремы 6.6. а) Пусть а<Ьи xj, —> х£,
где (a, fe, Xv) £ А при v = 0, 1, 2, . . . . Тогда последовательность
функций hv(Xi) — g(xi1 Xy) сходится на промежутке [а, Ъ] равномерно
к функции h0(xi) = g{xu x'0). В самом деле, если бы это было не так,
то нашлось бы такое число у >> 0, что для бесконечного множества
номеров v неравенство |/fcv(#i) — K(xi) I < У выполняется не для всех
точек х{ £ [а, Ь]. Тогда мы могли бы выбрать такую
подпоследовательность (hiv) последовательности (hx) и такие точки xiv 6 [#» &Ь что
l^iv(^iv) — h0(xiv)\ ;> у. Так как промежуток [а, Ь] компактен, то
(xiv) содержит сходящуюся подпоследовательность (x2v); пусть
точка х* £ [а, Ь] является ее пределом. Тогда
У < I fhv (a?2v) — К (x2v) \ = \g (x2v, x2v) — g (x2v, xQ |.
Но ввиду того что. lim (#2v, x£v) = lim (#2v, x£) = (#*, x^) и в силу
V-юо V->oo
непрерывности функции g в точке (#J, х'0) при достаточно больших
номерах v разность \g(x2v, x'2V) — g(x2vi х'0)\ должна быть сколь
Угодно мала, в частности, меньше, чем у, в противоречии с
предположением.
_х) Функция sgn r\ определяется так: sgn r\ = 1 при г\ > 0, sgn r\ = 0 при
1 — 0 и sgn т] = —1 при г\ < 0.
26-832
402 Том II
Тогда вследствие теоремы 4.2 гл. VII т. I
ь
| l(g{xux'v) — g(slfxJ))dri|-*0 при v-*+°°
а
и F(a, Ь, х£) -* F(a, 6, х'0).
Это предложение слабее, чем теорема 6.6, потому что в ней
утверждалось, что функция F непрерывна относительно всех трех
переменных а, Ъ и х' одновременно. Оставшаяся часть доказательства
Рис. 44. К теореме 6.6.
является при этом хотя и неглубокой, но довольно длинной, так как
мы не сделали о геометрической ситуации никаких предположений
(см. рис. 44!).
b) Пусть (а0, Ь(ь Хо) € А. Чтобы доказать непрерывность функции
F в этой точке, воспользуемся критерием с последовательностями.
Без ограничения общности мы можем считать, что а0 ^ Ь0, и
рассмотреть сначала случай, когда а0 < Ъ0.
Так как функция g в точках (а0, х£) и (Ь0, х'0) непрерывна,
найдется такое б > 0, что при х 6 U&(a0, xJ)f|Af и при х 6 Ub(b0, х^)(\М
соответственно выполняются неравенства \g(x) — g(a0l х'0) | < 1
и \g(x) — g(b0, xj)|<l. Положим
Z=l + max{|g(a0, Xo)|, \g(b0,x^)\}.
Тогда \g(x)\ < if при х £ {Ub(a0, x'0)[j U6(b0, i$)[\M.
c) Пусть теперь (av, bv, Xv) — какая-нибудь последовательность
точек из А, сходящаяся к (а0, Ь0, х'0). Положим с^ = sup av и ^ ^
= inf bv при \i = 1, 2, 3, ... . Для каждого 8 > 0 почти все #v
Гл. VI. Теоремы существования 403
лежат в Ue(a0); поэтому почти все с^ лежат в Ue(a0). Кроме того,
1 = sup av ^ sup av = с^. Таким образом, последовательность
(с ), монотонно убывая, сходится к а0. Точно так же убеждаемся,
что' последовательность (d^), монотонно возрастая, сходится к Ь0.
Поскольку а0 < Ь0, существует такой номер ц0, что при (li > |г0
выполняются неравенства а0 ^ S < d» ^ &о- При v ^> \i^> \iQ
имеем av < Ср, < d^ ^ bv. Тогда также имеем
[с», dj X {xv}cz[av, bv] X {x^jczjlf.
Так как с^ -> а0, av -»- а0, с?й -> Ь0, 6V -> Ь0 и xj -> xj,
существует такой номер \ii > [Л,0> что при \i, v > ^± точки с^, av £ С/6(ао)
и d^, bv € ^б(&о)? а также х^ 6 ^бЮ-
d) Пусть теперь задано 8 > 0. Мы можем по нему выбрать такой
номер [г* !> jii, что
О р
I V — во I <^ » I ^i* — Ь01 < —;-,
оА оА
и при v ;> (я*
iav — aol<—> I bv — Ьо1<— •
ОЛ ОЛ
Тогда при v ^ (а* будет также
о р
k-vK;;» I &v — ^*К-—•
4л 4л
Наконец, по доказанному в пункте а) мы можем найти такой номер
vo ^ (А*> что ПРИ v ^ vo
V V
e) Теперь при v ;> v0 имеем
c *
| } g(xu jQdxil^K-lc^ — av|<e/4,
потому что [av, cu#] x {xv} на основании с) лежит в U6(a0, х^), а в этой
окрестности в силу Ь) функция g по абсолютной величине меньше,
чем К. Точно так же получаем
I j g0*i> *v) dr, КК-\ bv — d^* | < e/4,
26*
d *
404
Том II
а также
| I g(xi9 iQdXil^K^c»* — а0|<е/8,
а0
| ) g{xux^) d^KZ.Id^ — fc0|<e/8.
Поэтому мы, наконец, имеем при v ^> v0
|F (av, fev, x;) — /? (oq, fe0> xo) | =
= \\ 8 (*i. Xv) ^1 — J g {*u Xo) dxx
% a0
V bv V
= j g(xuxv)dxi+ \ g(xux'v)dxi— 1 gixux^dxi —
a d a0
v ц*
— J g (xi9 Xo) dXi + ( I g (xu xv) dXi — J g (xu x^)dxA\
d[L* V V*
Тем самым непрерывность функции F в точке (a0, b0, x0) доказана.
Главная трудность в этом доказательстве состояла в том, чтобы
найти промежуток [с^*, dp,* ] с: [а0, Ь0Ь на котором определены
функция ft0(#i) = S(xu xj) и почти все функции fev(#i) = #(#ь xv).
f) Нужно еще рассмотреть случай а0 = Ьо- Пусть (av, bv, xv) ->■
-* (ao» ^o? xj). Поскольку F(a0, a0> x£) = 0, нужно показать, что
b*
J g(#!, Xv) dxi -»- 0. Как и в b), выберем такие числа б > 0 и К, что
<ч
при х £ ?76(a0, xJ)f|M выполняется неравенство |g(x)|<;2£. Тогда
для почти всех номеров v множество [av, bv] X {х^1} или
соответственно [bv, av] x {xv} лежит в U6(a0, х£). Поэтому для почти всех v
\
интеграл | J gfo, xv) dxi\ ^. К- \bv — av|.
av
Так как |bv — av| -> 0, отсюда следует наше утверждение. Тем
самым теорема 6.6 полностью доказана.
<
Гл. VI. Теоремы существования 405
§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Пусть, как в § 6, G обозначает открытое множество, а / —
функцию, непрерывную на множестве G и локально удовлетворяющую
условию Липшица.
Система {Мь: i 6 /} множеств пространства Шп называется
локально конечной, если у каждой точки х 6 Кп имеется такая
окрестность С/(х), что лишь для конечного числа индексов i £ /
пересечение Mi П U(x) не пусто.
Определение 7.1. Функция F(x, */), определенная и
непрерывная на множестве G, называется первообразной
дифференциального уравнения у' = /(#, у), если для каждого с £ 01 множество
{(#> У) € G: F(x, у) = с} является объединением локально конечного
множества интегральных кривых дифференциального уравнения у' =
= К*, У)*
Множество {(я, у) £ G: F(x, у) = с} называется линией уровня
функции F. Условие локальной конечности в определении 7.1
существенно: так как через каждую точку множества G проходит одна
интегральная кривая, то функция F = 0 обладает тем свойством,
что G = {(#, у) 6 G: F(x, у) = 0} является объединением
интегральных кривых. Но это не интересно.
Пусть F — какая-либо первообразная уравнения у1 = /(#, у)
и <р(#) — решение этого уравнения, удовлетворяющее условию
ф(#о) = У о- Тогда линия уровня {{х, у): F(x, у) = F(x0, yQ)}
содержит точку (х0\ у0), а потому и график некоторого решения ф,
проходящего через точку (#0, у0). На основании теоремы единственности
это решение должно совпадать с ср.
Если бы мы знали какую-нибудь первообразную F уравнения
у' — /(#, */), то, разрешая уравнение F(x, у) = с, где с £ 01,
относительно у, мы могли бы получить все решения рассматриваемого
дифференциального уравнения.
При указанных в начале этого параграфа предположениях имеет
место
Теорема 7.1. Дифференциальное уравнение у' — /(#, у)
локально всегда имеет первообразную.
Это означает следующее: для каждой точки (#0, у0) £ G существуют
окрестность U точки (#0, г/0)> содержащаяся вб, и определенная
в окрестности U функция F, которая является первообразной
суженного на U дифференциального уравнения у' = (f\U)(x, у).
Доказательство. В обозначениях § 6 для точки (х0, у0) £
6 G положим U = {(#, у) 6 G: (x0l x, у) £ В}. Очевидно, (х0, у0) £
6 U с: G и множество U открыто, так как в силу теоремы 6.3
множество В открыто. Далее, на U положим F(x, у) — у(х01 х, у) и
покажем, что именно множества {(#, у) 6 U: F(x, у) = с} и только они,
406 Том II
если они не пусты, являются интегральными кривыми уравнения
у' =№.
Множество U состоит из всех таких точек (#, у) £ (?, что
проходящая через (#, у) интегральная кривая определена при х0. Если г|) —
какое-либо решение уравнения у' = /(#, у) в U, удовлетворяющее,
например, условию я|э(#0) = у и то по теореме единственности а|з(#) =
= ф(я, я0, г/i). В силу теоремы 6.2, yi = ф(я0, я, <р(я, г0, j^)) =
= <р(#0, ж, я|э(#)) = F(x, г|5(я)). Таким образом, функция F на графике
функции г|) является постоянной.
Если, наоборот,
(6, Л) € {(ж, £/) € 17: F(z, у) = yi}f
то <р(#о> £» Л) = #i- По теореме единственности точка (£, г]) лежит
на графике проходящего через точку (#0, yt) решения ф(#, х0, i/i).
Поэтому соотношение ^(^, у) = г/i описывает график проходящего
через точку (#0, i/ц) решения. Это завершает доказательство.
Заметим еще, что метод разделения переменных (§ 3 гл. V)
фактически дает первообразную дифференциального уравнения у' =
= fi(x)/f2(y), именно, F(x, у) — F2(y) — F^x) (в обозначениях,
принятых в упомянутом параграфе).
Глава VII
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
§ 1. ПФАФФОВЫ ФОРМЫ
Уже в гл. V мы заметили, что может оказаться целесообразным
формально записать дифференциальное уравнение у1 — /(#, у) в виде
dy = /(#, у) dx. Тогда мы не придали этим символам какого-либо
определенного смысла. Однако на основании того, что было сказано
в § 3 гл. IV, выражения вида /(#, у) dx — dy мы можем рассматривать
как пфаффовы формы, заданные в некоторой области G a RA
В следующих параграфах мы собираемся изучить намеченную
здесь связь между обыкновенными дифференциальными уравнениями
первого порядка и пфаффовыми формами. Это позволит нам не только
разумным образом истолковать «формальные вычисления» из гл. V,
но и просто сформулировать дальнейшие методы решения
дифференциальных уравнений первого порядка. К тому же оказывается, что
при рассмотрении геометрических задач (семейства кривых) язык
пфаффовых форм уместнее, чем язык дифференциальных уравнений:
дело в том, что в пфаффову форму координаты входят равноправно.
Прежде всего нам нужно как следует определить понятие кривой,
являющейся решением уравнения а — О, где а — некоторая
пфаффова форма. Гладкой параметризованной кривой в R,2 называется
непрерывно дифференцируемое отображение Ф: 7 —> 012 открытого
промежутка I в пространство Л2, производная Ф' которого ни в одной
точке промежутка I не обращается в нуль. Две гладкие
параметризации Ф: I —> 012 и Ф*: /* —>К2 мы будем называть эквивалентными,
если существует такое взаимно непрерывно дифференцируемое
отображение h: I* —> 7, что Ф* = Фо/г. Мы здесь не требуем, чтобы
преобразование параметра было монотонно возрастающим; это
значит, что кривые мы рассматриваем как неориентированные.
Пусть теперь GcH2- открытое множество и а — А(х, у) dx +
+ В(х, y)dy — некоторая непрерывная пфаффова форма на
множестве G.
Определение 1.1. Гладкая кривая W называется решением
или интегральной кривой уравнения а = 0, если существует такая
гладкая параметризация Ф: / —> Л2 кривой W, что
(a) Ф(7) cz G,
(b) аоф = О1).
х) В соответствии с этим определением вместе с W интегральной кривой
Уравнения а = 0 будет и всякая кривая W\ имеющая параметризацию Ф|/',
гДе промежуток I' CZl'—Прим. перев.
408 Том II
Запишем соотношение (Ь) более подробно. Если Ф = (ф4, ф2)
и параметр на промежутке / обозначается буквой t, то по правилам
§ 3 гл. IV
а о ф = (A dx + В dy)° Ф == (A dx)° Ф + (В dy)° Ф =
= (А о ф) d (х о ф) + (В о ф) d (у о ф) =
= (А о Ф) Жр! + (Во ф) ^ф2 =
= {(Лоф)ф; + (Воф)ф2}^.
Поэтому соотношение аоф = 0 выглядит так: .
^(<Pi(0, <b№)-Vi№+B(<Pt(t), Ф2(*))-фИ*)и0.
Утверждение, что некоторая гладкая кривая W является
решением уравнения а = 0, не зависит от параметризации кривой W.
В самом деле, если J* — открытый промежуток и /г: /* —> / —
взаимно непрерывно дифференцируемое отображение, то из аоф = 0
следует, что 0 === (а о ф) о h = а о (Ф о /г), a из а о (ф о Ь) = 0, — что 0 =
= (аофо/г) о/г-1 = аоф.
Мы будем говорить, что решение W уравнения а = 0 проходит
через точку (х0, у0) £ G, если эта точка лежит на следе кривой W.
Дифференциальному уравнению у' = /(#, у) с непрерывной
правой частью /, определенному в области G, можно поставить в
соответствие непрерывную пфаффову форму а = dy — /(#, у) dx.
Определение 1.1 оправдывает следующая
.Теорема 1.1. Дифференциальное уравнение у' = /(я, у) и
уравнение а = 0, где а = dy — /(#, у) dx — соответствующая пфаффова
форма, имеют одни и те же решения.
Теорема сформулирована не точно, так как решениями
дифференциального уравнения являются функции, а уравнения а = 0 —
кривые. Но из доказательства видно, как здесь соответствуют друг
другу кривые и функции.
Доказательство, а) Пусть функция я|э(#) является
решением уравнения у' = /(#, у) на некотором (открытом) промежутке /.
Условием Ф(£) = (J, г|)(£)) при t £ I определим отображение Ф: I -*■ G.
Тогда параметризация Ф задает некоторую гладкую кривую W
и арф = (ф'(*) — /(*, ty(t))) dt а 0. Таким образом, кривая W
является решением уравнения а = 0.
Ь) Пусть гладкая кривая, определяемая отображением Ф =
= (ф1? ф2): I—>G, является решением уравнения а = 0. Это означает,
что 0 = фа — (/оф) ср[. Если бы ф[ (t) = 0 в какой-либо точке t £ I,
то из этого соотношения следовало бы, что и ф^(^) = 0, а потому
и Ф'(0 = 0, в противоречии с тем, что Ф — гладкая
параметризация. Поэтому функция ф^: / ->-<р\(1) = /* взаимно непрерывно
Гл. VII. Методы решения
40£
дифференцируема. В соответствии со сказанным выше тогда и дл»
параметризации
ф* = фоф1"1 = (1с1, ф2*): /*-><?
выполняется равенство аоф* = 0. Следовательно, ((фг)' —
__ (/оф*)) dt = 0, т. е. функция ф* = Ф2 ° ФГ1? определенная на
промежутке /*, является решением уравнения у' = /(#, у).
Можно спросить, нельзя ли и, наоборот, каждой пфаффовой
форме поставить в соответствие такое дифференциальное уравнение,,
чтобы множества их решений совпадали? Что это, вообще говоряг
не так, показывает следующий пример. Пусть G = R,2 —• {0} и а =
= х dq + у dy. Решениями уравнения а = 0 служат окружности
с центром в начале координат. В самом деле, если параметризованная
кривая Ф: R,2 ->• R,2 — {0} определяется при постоянном г £ 01,
г > 0, условием Ф(£) = (г cos tb r sin £), то а о ф = {г2 cos t- (—sin t)+
+ г2 sin t cos t) dt = 0. Но эти кривые не могут быть интегральными
кривыми никакого дифференциального уравнения, определенного*
на G, потому что последние должны были бы проходить в G от
границы до границы г).
§ 2. РЕГУЛЯРНЫЕ ТОЧКИ ПФАФФОВОЙ ФОРМЫ
Определение 2.1. Пусть a=AdxJrBdy — пфаффова
форма, непрерывная в области G с D12. Она называется
регулярной в точке (#0, у0) £ G, если хотя бы одно из значений А(х0, у0)
и В(х0, У о) отлично от нуля. Она называется регулярной на множестве-
IcG, если она регулярна в каждой точке множества М. Точка,
в которой форма а не регулярна, называется особой точкой формы а.
Таким образом, регулярность пфаффовой формы а в точке (#0, у0)
означает, что определяемый формой а ковариантный касательный
вектор в этой точке не является нулевым.
Теорема 2.1. Пусть а — пфаффова форма, непрерывная в
области G cz B12, и h —- функция, непрерывная в области G и ни в одной
ее точке не обращающаяся в нуль. Тогда уравнения а = 0 и ha = 0s
имеют одни и те же решения.
Доказательство. Пусть Ф: / —> G —- решение уравнения
а == 0, т. е. пусть аоф = 0. Тогда и (йа)оф = (Аоф) . (аоф) = 0.
*) Так как Ф — лишь одна из параметризаций окружности, тот факт, что-
окружность нельзя продолжить в кривую, проходящую от границы до границы,
еЩе нуждается в доказательстве. Впрочем, то, что окружность не может быть
интегральной кривой никакого уравнения вида у' = /(#, у), очевиден: у нее есть
вертикальные касательные, да она и вообще не является графиком никакой)
Функции.— Прим. перев.
410 Том II
Если, наоборот, (й-а)оф == 0, то и
аоф = (~./га)оф==(1оф).((^а)оф) = 0.
Теорема 2.2. Пусть пфаффова форма а, непрерывная в
области G cz Л2, регулярна в точке (х01 у0) £ G. Тогда существуют такая
окрестность U cz G точки (x0l y0) и такое дифференциальное
уравнение у' = /(#, у), определенное в U, или же такое дифференциальное
уравнение х' =g(x, у), определенное в 17, которое имеет те же
решения, что и уравнение a\U = 0.
Доказательство. Пусть а = A dx + В dy. Если
В(х0, У о) Ф 0» то» поскольку функция В непрерывна, найдется
окрестность U czG точки (х0, у0), в которой функция В не обращается в нуль.
По теореме 2.1 в окрестности U уравнения а = 0 и (1/В) а = (А/В) dx -f-
+ di/ = 0 имеют одни и те же решения. Но последняя пфаффова
•форма соответствует дифференциальному уравнению у' = —А/В.
Наше утверждение следует теперь из теоремы 1.1. Если же В(х0, у0) =
= 0, то должно быть А'(х0, у0) Ф 0. В этом случае окрестность U
нужно выбрать так, чтобы в ней не обращалась в нуль функция А.
Тогда нашу задачу будет решать дифференциальное уравнение
х' = — В/А.
Теорема 2.3. Пусть пфаффова форма а непрерывно
дифференцируема в области G cz R,2 и регулярна в точке (х0, у0) 6 G. Тогда
существует такая окрестность U cz G точки (х0, у0), через каждую
точку которой проходит ровно одно решение уравнения a\U = О1).
Доказательство. Пусть, например, В(х0, у0) Ф 0 и U —
такая окрестность точки (х01 у0), что функция В не обращается в ней
в нуль. По предыдущей теореме уравнение a\U = 0 имеет те же реше-
А(х i/^
ния, что и уравнение у' = — р) [. Но правая часть этого диффе-
**\#» У)
ренциального уравнения непрерывно дифференцируема; в частности,
она непрерывна и локально удовлетворяет условию Липшица.
Теорема 2.3 следует теперь из соответствующей теоремы о
дифференциальных уравнениях. В случае А(х0, у0) Ф 0 рассуждение аналогично.
Теперь мы хотим перенести на пфаффовы формы понятие поля
направлений дифференциального уравнения. Пусть а = Adx + Bdy —
некоторая пфаффова форма, непрерывная и регулярная в
области G cz R2. Каждой точке (£, г\) 6 G поставим в соответствие
множество точек
{(*, у) 6 HI2: 4(6, ч).(* - £) + B(g, Ч).(0 - ч) = 0}, ,
*) В такой форме утверждение не совсем точно; см. примечание на стр. 407.—
Прим. перев.
*Щ
Гл. VII. Методы решения 411
т. е. прямую, проходящую через точку (£, г\) перпендикулярно
«вектору» (4(|, tj), B(%, т))). Так как функции А я В непрерывны, то
направление прямой, соответствующей точке (£, г\), непрерывно
зависят от точки (g, т)); поэтому мы называем это соответствие непрерывным
полем направлений. Поле направлений пфаффовой формы, в отличие
оТ поля направлений дифференциального уравнения, может
содержать и прямые, параллельные у-оси. По аналогии с тем, как обстоит
дело в случае дифференциальных уравнений (§ 1, гл. V), справедлива
Теорема 2.4. Пусть а — пфаффова форма, непрерывная и
регулярная в области G а Л2, и Ф: / —> G — гладкая
параметризованная кривая. Кривая Ф в том и только в том случае является
интегральной кривой уравнения а = 0, если касательной к этой кривой
в каждой ее точке (£, г\) = Ф(£0) 6 Ф(Л служит как pas прямая поля
направлений пфаффовой формы а, соответствующая точке (£, ч\).
Доказательство. В силу § 6 гл. I касательная к кривой,
задаваемой отображением Ф, имеет в точке Ф(£0) = (£» ц)
параметризацию
(х — |, у — т|) = (т — *0).(q>; (to), фа (to)). (1)
Прямая рассматриваемого поля направлений, соответствующая точке
(£, rj), состоит из точек (х, у), для которых
.4(6, ц)(х -1)+ ВЦ, п)(у - л) = 0. (2)
Наконец, условие аоф = 0 эквивалентно условию
А (Ф1 (*), Ф2 (*)) • ф! (*) + В (ф1 (0, Ф2 (*)) • Ф2 (0 ^0 при tei. (3)
Если Ф — решение уравнения а = 0, то, умножая (1) скалярно
на вектор (4(£, т]), В(1, т))), в силу (3) получаем (2), т. е. наша
касательная совпадает с соответствующей прямой поля направлений.
Если, наоборот, прямые, определяемые условиями (1) и (2),
совпадают для всех точек (£, т|) 6 Ф(Л» то> подставляя (1) в (2), находим
(т - to) (A (g, т|) Ф; (*0) + В (|, т|) Ф2 (*<>)) = 0
Для всех т 6 IR, *0 € /, (Б, Л) = ф(*о) и, значит, (.Доф) ф£ +
+ (Воф) ф^ — о, что и требовалось доказать.
§ 3. МНОЖИТЕЛЬ ЭЙЛЕРА
Определение 3.1. Непрерывная пфаффова форма а,
определенная в области G a R,2, называется полной, или точной, если
сУЩествует такая непрерывно дифференцируемая функция g в
облаян G, что а __ flgt
g Если а = A dx + В dy = dg, то непременно А = gx л В = gy.
сли форма а непрерывно дифференцируема, то функция g дважды
пРерывно дифференцируема и gxy — gyx. Таким образом, для того,
412 Том II
чтобы непрерывно дифференцируемая форма а = A dx + В dy была
полной, необходимо, чтобы выполнялось равенство Ау = Вх. Это
равенство называется условием интегрируемости. В т. III будет
показано, что условие интегрируемости локально и достаточно для
того, чтобы непрерывно дифференцируемая пфаффова форма была
полной.
Определение 3.2. Пусть а — непрерывная пфаффова
форма в области G cz HI2 и h — непрерывная функция, не обращающаяся
в области G в нуль. Если ha — полная пфаффова форма, то функция
h называется множителем Эйлера, или интегрирующим множителем^
для формы а.
Значение полных пфаффовых форм, а потому и множителей
Эйлера, объясняет следующая
Теорема 3.1. Пусть пфаффова форма а непрерывна и
регулярна в области G a HI2. Если а = dg, то функция g является
первообразной уравнения а = 0.
Выражение «первообразная уравнения а = 0» нужно здесь
понимать точно так же, как в § 7 гл. VI: функция g является
первообразной уравнения а = 0, если каждая линия уровня функции g есть
локально конечное объединение (следов) интегральных кривых
уравнения а = 0.
Доказательство, а) Пусть Ф: I —»G — гладкая
параметризованная кривая, являющаяся решением уравнения а = 0.
Из а = dg следует, что 0 = аоф = dg°<$) = d(goф). Поэтому
композиция #оф постоянна, т. е. функция g на следе интегральной кривой
уравнения а = 0 постоянна.
Ь) Пусть а = dg и (g, r\) 6 {{х, у) € G: g(x, у) = с}. Так как
пфаффова форма а = dg регулярна, хотя бы одна из частных производных
функции g в точке (£, т|) отлична от нуля; пусть, например,
gy(%i Л) Ф 0. Тогда в силу § 6 гл. IV найдутся такая открытая
окрестность U cz G точки (g, т)) и такая открытая окрестность I точки |,.
что уравнение (g\U)(x, у) — с = 0 можно на / разрешить
относительно у. Иными словами, существует непрерывно
дифференцируемая функция ф в /, для которой {(#, у) £ U: g(x, у) = с} =*
= {(х> У)'- х € -Л У = 4>(х)}- Окрестность U, очевидно, можно
выбрать так, чтобы окрестность / была открытым промежутком.
Если мы определим параметризованную кривую Ф: / —> U условием
Ф(£) = (£, ф(£))> * € I, то мы будем иметь goф = си аоф = dgoф =
== й(^оф) = 0. Но это означает, что рассматриваемая линия уровня
в окрестности U является следом интегральной кривой уравнения
а = 0. Так как точка (#, у) £ G, в которой g(x, у) Ф с, имеет
окрестность, где функция g не принимает значения с, то этим показано, что
линия уровня {(#, у): g(x, у) = с} есть локально конечное
объединение следов интегральных кривых уравнения а = 0, причем кажда*
Гл. VII, Методы решения 413
связная часть линии уровня сама является следом интегральной
кривой х).
Примеры, а) В § 1 мы рассмотрели пфаффову форму а =
= х dx + ydy. Очевидно, а = d yir{x2 + У2))- Следовательно,
форма а является полной и все интегральные кривые уравнения а = О
1
описываются линиями уровня -тг(х2 + У2) = с, т. е.
концентрическими окружностями с центром в начале координат.
Ь) Рассмотрим в G = Л2 регулярную пфаффову форму а = (Ъх +
+ у) dx — xdy, где Ъ — произвольная постоянная. Так как ^-(for +
-\- у) — 1 ф —1 = — (—х), форма а не может быть полной.
Попытаемся найти для нее множитель Эйлера h. Условия интегрируемости
для формы ha выглядят так:
. щ{Нх,у)-(Ы + у))=^(-хЩх,у)).
Поэтому функция h должна удовлетворять дифференциальному
уравнению с частными производными
{Ъх + y)hy + xhx + 2h = 0.
Попытаемся подобрать функцию ft, не зависящую от у. Тогда hy = 0
и функция h(x) должна удовлетворять обыкновенному
дифференциальному уравнению xh' + 2/г = 0. Это уравнение имеет решение
h(x) = х"2, определенное в R, — {0}.
В области
G* = D12 — {(х, у): * = 0}
мы имеем
V х х / х
dy.
г) На самом деле это еще не показано и, таким образом, доказательство не
доведено до конца. См. также в этой связи Шварц Дж., Дифференциальная
геометрия и топология, М., 1970, стр. 18 и 25—28.
Доказано же, что всякая линия уровня функции g является объединением
некоторого множества следов интегральных кривых уравнения а = 0, причем
У каждой точки такой линии уровня есть окрестность, пересечение которой с этой
линией уровня само есть след некоторой интегральной кривой уравнения а = 0.
Для приложений теоремы 3.1, которые встречаются ниже, этого достаточно.
Множество М С1^п называется связным, если его нельзя представить
в виде объединения двух непустых непересекающихся множеств вида U± О M
и U2 П -^» где Ui и V2 открыты в Шп. След всякой кривой, в том числе и
интегральной кривой уравнения а = 0, связен.—Яр иле. перев.
414
Том II
Если ha = dg, то должно выполняться равенство gy =
х у
откуда следует, что g(x, у) = — — + /(#), где / — зависящая только
от х функция, которую еще. нужно определить. Из того, что gx =
= —Ь —» следует, что функция / должна удовлетворять дифферен-
h
циальному уравнению /' = —. Поэтому (например) f{x) = Ъ In \x\
Рис. 45. Узел с одним направлением входа.
и, значит, g(x, у) = —— + bin \x\. Теперь легко проверить, что
dg — /га, и, таким образом, функция h и в самом деле является
множителем Эйлера для формы а.
Форма а в области G* регулярна; по теоремам 2.1 и 3.1
интегральные кривые уравнения а = 0 в области 6?* описываются линиями
уровня — — + Ь 1п|#| = с. Последнее уравнение сразу можно
разрешить относительно у. Таким образом, интегральными кривыми
уравнения а = 0 в области G* являются кривые
у = Ьх 1п[#| — сх, (1)
где с £ К — фиксированное число и х £ 01 — {0}.
Воспользовавшись множителем Эйлера, мы были вынуждены
предположить, что х Ф 0. Если мы положим Ф(£) = (0, t) при t 6 R»
то задаваемая параметризацией Ф кривая также, очевидно, будет
решением уравнения а = 0 в области G. Выражаясь не совсем точнсь
Гл. VII. Методы решения 415-
можно сказать, что интегральной кривой уравнения а = 0 является
и 1/-ОСЬ.
Мы хотим еще изучить поведение интегральных кривых
уравнения а = О вблизи начала координат. Имеем: lim x In \x\ =0.
(При х > 0 положим # = е*; тогда х In # = tel и предельный пере-
ход х ->■ 0 соответствует переходу £-»•— оо. Но, как известно,
lim te* = 0.) Поэтому для каждого решения вида (1) имеет место-
t-+—°°
равенство lim у(х) = 0. Таким образом, положив у (0) = 0, эти функ-
Г х->0
ции можно непрерывно продолжить в точку х = 0. Далее, г/' =
= 6(1 + 1п|#|) — с при ж Ф 0, и это выражение при х ->- 0 стремится
к + °°> если Ь < 0, и к — оо, если b > 0. Касательная к кривой своим
предельным положением при х ->- 0 имеет г/-ось. Семейство кривых (1)*
изображено (при Ъ > 0) на рис. 45. При Ь = 0 в качестве решений
мы получаем семейство прямых, проходящих через начало координат.
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Известный из гл. V метод решения дифференциальных уравнений
с помощью замены переменных теперь нам нужно перенести на
пфаффовы формы. В этих условиях можно рассмотреть более общие
преобразования, чем ранее.
Пусть G и С*- открытые множества в R,2. Если F: G* -+ G —
биективное регулярное отображение, то каждой (непрерывной)
пфаффовой форме а на G соответствует некоторая (непрерывная) пфаффова
форма aoF на G*. Кроме того, и каждой параметризованной кривой:
Ф*: I-+G* соответствует кривая Ф = Роф*: I ->- G. Если ф*—
гладкая кривая, то и Ф — гладкая кривая. В самом деле,
отображение Ф непрерывно дифференцируемо, так как этим свойством
обладают отображения Ф* и F. Если
--'(9 - '-(Й- - -(£$•
и потому по цепному правилу
V/2./J \Ф2*7
Возникшая здесь матрица является функциональной матрицей
отображения F; так как F регулярно, ее определитель в G не обращается
в нуль. Поэтому из Ф*' Ф 0 следует, что и Ф' Ф 0.
Далее, справедлива
Теорема 4.1. Гладкая кривая Ф = ^оф*: I'-i-G является
решением уравнения а = 0 в том и только в том случае, если кривая
ф является решением уравнения aoF = 0.
416
Том II
Доказательство тривиально, потому что
ссоф = ao(FoO*) = (ао.Р)оф*.
В § 3 гл. V мы рассматривали преобразования вида F(u, v) =
= {g{u), h(v)). Если a = dy— /(#, y)dx, то aoF = Ы dv —
—(f°F)-gf du, и этой форме можно поставить в соответствие
дифференциальное уравнение z/ = {g'lh')-(J°F) на G*, так как в силу
регулярности отображения F всегда hf Ф 0. Поэтому теорема 3.1 из гл. V
является частным случаем последней теоремы.
§ 5. ОСОБЕННОСТИ ПФАФФОВЫХ ФОРМ
Пусть в области G cz Л2 задана пфаффова форма a = A dx -\- В dy.
Вот множество ее особых точек:
S = {(*, у) £ G: А(х, у) = В(х, у) - 0}.
Мы хотим здесь исследовать поведение семейства интегральных
кривых уравнения а = 0 вблизи множества S. Если А и В —
действительные аналитические функции в G (т. е. в некоторой окрестности
каждой точки множества G они могут быть разложены в степенной
ряд), и если множество S не содержит никакого открытого множества,
то, вообще говоря, S состоит из нескольких кривых и изолированных
точек,— это один из результатов теории аналитических функций
нескольких переменных. Эта теория учит также, что локально, т. е.
в некоторой подходящим образом выбранной окрестности U каждой
точки множества £, всегда существует такая действительная
аналитическая функция С, что и отношения А = А/С и В = В1С еще
остаются действительными аналитическими функциями в U, и что
множество
{(*, У) € U: С(х, у) = 0}
в точности совпадает с содержащимися в £("] U (не вырождающимися
в одну точку) кривыми, и что, наконец, действительная
аналитическая пфаффова форма С"1 а = A dx + В dy в U имеет уже только
изолированные особенности. Поэтому без существенного ограничения
общности мы можем рассматривать лишь одну изолированную
особую точку и, кроме того, считать, что ею является начало координат.
Мы хотим даже ограничиться лишь случаем, когда А(#, у) = ах +
+ by и В(х, у) — сх + gy, где а, Ь, с и g —- действительные числа,
ибо можно показать, что в общем случае картина по существу зависит
лишь от линейных членов тейлоровского разложения функций А и В
в окрестности особой точки. Это верно даже в том случае, когда
функции А и В являются не аналитическими, а только непрерывно
дифференцируемыми.
Так как нас здесь интересует лишь качественная геометрическая
картина семейства интегральных кривых, мы можем еще подвергнуть
Гл. VII. Методы решения
417
координаты в R2 невырожденному однородному линейному
преобразованию. Помимо этого, на основании теоремы 2.1 мы можем заменить
форму а формой уа, где у — некоторое число, не равное нулю.
Пусть, следовательно, задана пфаффова форма а = (ах +
-f- by)dx + {сх И- gy)dy. Начало координат, очевидно, в том и
только в том случае является изолированной особенностью формы а,
(а Ь\
если матрица А = I I, составленная из коэффициентов формы
а, является невырожденной. Чтобы изучить действие на форму а
аффинного преобразования координат, целесообразно записать форму
а в виде произведения матриц:
a=(dx,dy)oy* Jo^J = (dx)*o,4°x.
Если х -vx = Г"1 ох — невырожденное линейное преобразование,
то dx = T^o&x, и в новых координатах форма а запишется в виде
a = (dH)toTtoAoTo^
Таким образом, матрица А заменяется матрицей А =Т1°АоТ.
Если же умножить форму а на число у Ф О, то матрица А заменится
матрицей А = уА.
Теперь мы утверждаем, что данную невырожденную матрицу А
с помощью эггих операций всегда можно привести к одной и только
одной из «нормальных форм»:. *
<*Ч-г1)' <">:4JJ); »Ч-1-.)'
где b ;> 0. При этом в случае (II) постоянйую Ъ можно еще сделать
равной +1 или 0, а в остальных случаях она определяется однозначно.
Для доказательства мы воспользуемся известной из линейной
алгебры теоремой о том, что для симметрической матрицы А8 всегда
существует такая ортогональная матрица Ти что матрица А"} =
Ai 0\
= T[oA8oTi имеет вид I ~ . L причем числа Я4 и Я2 с точностью
до порядка их записи определены однозначно. Запишем нашу матри-
цу 4 в виде суммы симметрической матрицы As = ~^-{А + А1)
1
и кососимметрической матрицы Аа = -у (А — А1). Матрица Аа име-
( ° ъл t
етвид I . ~ I, поэтому Аа = —А 0, и для произвольной матрицы
Т имеем (Т1сАаоТУ = РоА^Т = — Т1оАаоТ, и потому матрица
27-832
418 Том П
ТгоАа°Т также является кососимметрической. Точно так же косо-
симметрической будет и матрица уАа.
Выберем матрицу Т1ч как сказано выше. Если оба диагональных
(К о\
элемента в матрице А™ = I ~ .1 отличны от нуля и имеют один
и тот же знак, то, умножив, если нужно, эту матрицу на —1, можно
добиться, чтобы оба они были положительны. Если тогда
преобразовать матрицу А™ с помощью матрицы
то мы получим
Т2-\ о (VhV)'
Если теперь число Ъ2 в матрице
^>=(Г1оГ2)'оЛ0о(Г1о7'2) = (_^ *2)
отрицательно, то преобразуем еще матрицу Л(2) = А™ + Л(02) с по-
/1 0\
мощью матрицы Г3 = I ^ - 1. При этом матрица А™ не изменится,
а число Ъ2 перейдет в число — Ъ2 > 0. Тем самым мы привели
матрицу А к нормальной форме (I).
Если оба диагональных элемента матрицы А™ отличны от нуля,
но имеют разные знаки, то, действуя, как и в первом случае, можно
привести ее к нормальной форме (III).
. Если один из диагональных элементов матрицы А£у равен нулюг
/0 1\
то можно, преобразовав ее, если нужно, с помощью матрицы I n I ,
добиться, чтобы именно Х2 = 0. Если соответствующему
преобразованию подвергнуть матрицу Аа, то мы получим некоторую матрицу
* / 0 Ь2\ / К{ ЬЛ
А{а = 1 l л )' ^аким образом, А{2)— I ^ л I» причем так как
det А ф0, то и det Л(а) = Ь| Ф 0. Пользуясь, если нужно, преобразо-
U-i)'
ванием с матрицей Тг = I ~ . 1 , при Я,4 Ф 0 можно еще добиться,
чтобы Xt и Ъ2 имели один и тот же знак. Наконец, умножая матрицу
на Ь^"1, приводим ее к нормальной форме (II).
Это рассуждение доказывает и то, что нормальные формы
определены однозначно. Если классификацию провести не по собственным
Гл. VII'. Методы решения 419
значениям Л± и Х2 матрицы Л3, как мы это только что сделали, а по
элементам матрицы А, то она будет выглядеть так: форма (I) получает-
СЯу когда det А8 = ag — -^ (Ь + с)2 > 0, форма (II), — когда
det Лв = 0, и форма (III),— когда det As < 0.
При исследовании семейства интегральных кривых уравнения
а, = (dx)foAox = 0 мы отдельно рассмотрим три нормальные формы
3; вместо А и Ъ мы вновь будем писать А и Ь.
Случай (I). Целесообразно ввести на плоскости D12 — {0}
полярные координаты. Подставляя х = г cos t и у = г sin t, а также
dx = cos £-tir — г sin £-d£ и йу = sin £-dr + r-cos *-cfa
в уравнение 0 = a — (x + by) dx + (—for + #) dy, получаем
dr — br dt = 0 или d In r = b <#.
(1.1) Если b = 0, то интегральными кривыми будут In г = const,
т. е. г = const. Семейство интегральных кривых состоит из всех
Рис.
Центр
Фокус.
окружностей с центром в начале координат. В этом случае говорят,
что начало координат является центром семейства интегральных
кривых (см. рис. 46).
(1.2) Если Ъ > 0, то интегральные кривые описываются
функциями г = сеы (где с — положительная постоянная). Эти кривые
являются известными из § 5 гл. I логарифмическими спиралями. Особая
координат носит в этом случае название фокуса.
спираль все больше и больше распрямляется
в начале
точка
Когда Ъ растет,
<см. рис. 47).
27*
420 Том II
(1.3) Если форму а умножить на Ь"1 и затем устремить Ъ к +оо,
то уравнение
перейдет в уравнение у dx —■ х dy = 0. Семейство его интегральных
кривых состоит из всех прямых, проходящих через начало
координат. По мере возрастания Ъ семейство спиралей из (1.2) все больше
приближается (вне начала координат)
к семейству интегральных кривых
предельного уравнения (см. рис. 48).
Случай (II). Уравнение имеет вид
а = (Ьх + у) dx — х dy = 0. Оно
подробно разобрано в § 3 в качестве
примера Ь). При Ъ > 0 особая точка
называется узлом с одним направлением входа
(см. рис. 45).
Случай Ъ = 0 совпадает со случаем
(1.3). И здесь при 6-^0 семейство
интегральных кривых переходит в
семейство интегральных кривых для случая
Рис. 48. Семейство прямых ~~^ ' g>
(дикритический узел). Если> наконец, снова образовать
форму Ь~ха и устремить Ъ к-f оо, то
уравнение примет вид 0=х dx = d l-^ x2\ . По теореме 3.1 его
интегральными кривыми являются прямые, параллельные у-оси.
Случай (III). Уравнение выглядит так:
(х + by)dx- (bx + y)dy = 0. (1)
Умножив его на 2, можем записать его в виде
(1 _ Ъ)(х - у) d(x + у) + (1 + Ь)(х + у) d(x - у) = 0.
Сразу видим, что его интегральными кривыми являются обе прямые
х — у = 0ях-{-у = 0. В оставшейся области
R,2 — {(#, у): х = у или х = —у}
мы можем разделить уравнение на (х + у)(х — у). Получим
0={l-b)d(ln\x + y\) + (l+b)d(ln\x-y\) =
= *1п(\х + у\*-ь-\х-у\1+ь).
Таким образом, интегральные кривые, отличные от упомянутых
выше прямых, описываются уравнениями
\х + уГЬ'\*-У\1+Ь = О0 или \x-y\ = c\x + y\q.
При этом q = (Ъ — 1)/(Ь + 1), и потому \q\ < 1.
Гл. VII. Методы решения 421
(III. 1) 6=0. Интегральными кривыми служат гиперболы х2—у2=
= с (с может быть и отрицательным) и прямые х ± у = 0. В этом
случае особую точку называют седлом, потому что семейство инте-
Р и с. 49. Седла.
тральных кривых похоже на семейство линий уровня горной
седловины или седла для верховой езды (см. рис. 49).
(II 1.2) 0 < 6 < 1. Интегральные кривые получаются из гипербол
(Ш.1) с помощью незначительной деформации. И в этом случае
особая точка называется седлом. * i£S
(III.3) 6 = 1. Этот случай, собственно говоря, не допустим, потому
что при 6 = 1 определитель det A — 0 и из особых точек состоит вся
422 Том II
прямая х + У = 0. Уравнение а = 0 становится совсем простым:
{х + у) d (х — у) = 0.
Семейство его интегральных кривых состоит из прямой х + г/ = 0
и всех прямых х — у = const. Его можно рассматривать как
предельное положение семейств интегральных кривых в случаях (III.2)
и (Ш.4) при Ъ ->• 1.
(III.4) 1 < Ь. Семейство интегральных кривых состоит из
похожих на параболы кривых, а также из прямой х — у = 0, общей оси
всех этих «парабол», и прямой х + у = 0, являющейся общей
касательной всех этих «парабол» в начале координат. При Ъ = 3,
очевидно, получаются параболы в классическом смысле слова. Такая
особая точка называется узлом с двумя направлениями входа
(см. рис. 50).
(III.5) Если мы запишем уравнение (1) в виде
(Ь-гх + у) dx — (х + Ъ-гу) dy = 0
и совершим предельный переход Ъ -v+oo, то эти «параболы» будут
все больше приближаться к прямым, проходящим через начало
координат. В пределе мы снова получим уравнение ydx — х dy = 0,
интегральными кривыми которого являются все прямые, проходящие
через начало координат.
Гл. VII. Методы решения 423
Наши результаты можно свести в следующую наглядную схему:
4--0t
Случай п
0<£<=°
Параллельные прямые
Узел с одним направлением
входа
Прямые, проходящие
через начало /roopdi
(дикритичеспий
узел)
Случай
Случай Mi
0<Ь<
Ь^ 0 + Центр
Ь = 1: Параллельные
w прямые
Ь=0:
Гиперболы
§ 6. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ПИКАРА
И ЛИНДЕЛЁФА
Теперь мы опишем метод, который даст нам не только новое дока-
зательство4 существования решений дифференциального уравнения,
но и возможность с успехом находить простым способом
приближенные решения. При этом, правда, придется предполагать, что функция
/ удовлетворяет условию Липшица.
Пусть, как в теореме существования Пеано, G — прямоугольник:
G = {(я» у): Xq < х < х0 + а, \у — у0\ < г}, / — функция,
непрерывная вб, и выполняются неравенства |/(G) | ^ К и аК ^ г, где
К — некоторое число. Положим еще / = [#0, #о + #1 и обозначим
буквой ер множество всех непрерывных на промежутке / функций,
график которых лежит в G и которые принимают в точке х0 значение
У о- Каждой функции я|) £ ер по формуле
m)(x)=y0+lfa, мыт
(i)
х0
424 Том II
мы поставим в соответствие некоторую новую функцию 7\|>. Интеграл
в формуле (1) определен, так как по предположению точки (£, 1|з(£))
лежат в области определения функции /. Кроме того, Г-ф —
непрерывная функция. Очевидно, (Т^)(х0) = у0 и \(ТЩх) — у0 |<
^\х—х0\К^аК^г. Следовательно, функция Га|з также принадлежит
множеству jF, т. е. Т есть отображение множества $р в ^.
Отображение ТоТ мы будем обозначать символом Г2, отображение ToTof—
символом Т3 и т. д.
Теорема 6.1. Пусть функция f непрерывна и удовлетворяет
условию Липшица в прямоугольнике G. Если для произвольной функции
'Фо € 3F образовать последовательность функций г|)0, \|?i = 7\f)0, "ф2 ==
= T2ty0l г|?3 = У3,Фо> . . - , то эта последовательность будет на
промежутке I равномерно сходиться к решению <р уравнения у1 = /(я, у),
удовлетворяющему условию ф(^0) = #о-
При наших предположениях определено «общее решение»
дифференциального уравнения у1 = /(#, у). В обозначениях § 6 гл. VI
последовательность (i|)v) = (Гг,фо) сходится к функции <р(#, х0, у0).
Доказательство. Сначала с помощью полной индукции
покажем, что при х £ / и v = 0, 1, 2, . . .
И^ф-Ъ (*)!<*#
(*-*o)v+1
(v + 1)!
+ rR
v!
(2)
где Д > 0 — константа Липшица для функции / в прямоугольнике G.
В самом деле, при v = О
1*1 (»)— %(*)\ —
«г:
г/о
+ 1/(6, *о(6))#-*о(*) <
«о
j/(6,*o(6))d6
*0
+ I У о — Ь (х) К
<! Я" (х — #0) + г.
Если неравенство (2) уже доказано для некоторого индекса v —1 >0,
то
|ф
.v+1 (*) - г|>, (х) | = 11 (/(i, *v (D) - /(l, Ъ-л (I))) dl
<
*0
<
*J|iMD-1»v-i(6)|d&<
в силу условия Липшица
Гл. VII. Методы решения 425
х
R [ lKR*-i&-xoy + rj?v-i(S-*o)v~°) дг
J V v! (v-1)! /
— KBv I- r/?v **"
— (v + 1)! "*" v!
Тем самым неравенство (2) полностью доказано.
Образуем теперь ряд
по предположению индукции
v+i
Ы*)+ S(*v+iW-tvW) (3>
v=o
и покажем, что он равномерно сходится на промежутке J. В самом
со
деле, в силу (2) ряд 2 hfv+i ix) — ty\(x)\ имеет мажоранту
v=0
оо
2(KRv(x^Xo)V"'i + rRv(x~Xo)V),
V (v + 1)! v! /
v=0 \ i /
которая в свою очередь имеет не*зависящую от х сходящуюся
мажоранту
ZJ\ (v + 1)! v! /
v=0 ч '
Таким образом, равномерная сходимость ряда (3) обеспечена. Обо-
п
значим его сумму буквой ф. Поскольку г|)о + 2 (^v+i — ^v) ===
= i|)n+1, то и последовательность (i|)v) равномерно сходится к
функции ф на промежутке /. Так как все функции \|)v непрерывны,
непрерывна и функция ф. Из равенства tyv(x0) — у0 следует
равенство ф(#0) = Уоч а из неравенства \tyv(x) —- у0\ ^ г — неравенство
\ц(х) — у0\ ^ г. Следовательно, ф 6 J^-
Покажем, наконец, что функция ф является решением
рассматриваемого дифференциального уравнения. В силу равномерной
сходимости последовательности (\f>v) для всякого 8 > 0 существует такой
номер v0, что для всех номеров v ;> v0 и всех точек х £ / выполняется
неравенство \tyv(x) — <р(х)\ <С e/R. Отсюда на основании условия
Липшица
1/(з, яК(я)) — f(z, ф))\ < R\^v(x) — ф)\ < е,
426 Том II
м, значит, последовательность функций (/(#, tyv(x))) равномерно
сходится на промежутке / к функции /(#, ф(#)). Поэтому
$/(!, <р(6))_#=Нт]/(Е, ф¥(6))Я =
= lim (%+i (х) — у0) = ф (ж) — у0. (4)
V-*-oo
Левая часть этого равенства дифференцируема, как интеграл от
непрерывной функции. Значит, дифференцируема и правая часть, и мы
лмеем /(#, <р(х)) = ф'(#)> что и требовалось доказать.
Формула (4) утверждает, что Гф = ф; таким образом, ф является
неподвижной точкой отображения Т: $р ->- Jf. Это отображение
устроено так, что утверждение, что некоторая функция у является
его неподвижной точкой, равносильно утверждению, что эта
функция является решением уравнения у' = /(#, у), удовлетворяющим
начальному условию у(х0) = у0.
§ 7. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Можно надеяться, что если функция /(#, у) вблизи точки (x0l y0)
разложима в степенной ряд, то и решение дифференциального
уравнения у' = /(#, у), проходящее через точку (х0,у0), разложимо вблизи
тючки #0 в степенной ряд, и что это решение можно найти путем
сравнения коэффициентов. Мы собираемся теперь рассмотреть эту идею.
Пусть, следовательно, точка (#0, у0) £ R2 и Q — прямоугольник
{(я, у): \х — х0\ < а, \у — у0\ < г}.
^Функция / разлагается в Q в сходящийся степенной ряд
оо
f(z,y)= S <Vv(* — x0f(y — у0У. (1)
lit V=0
Тогда, в частности, этот ряд должен сходиться при х = х0 + а,
У = У о + r B смысле § 5 гл. III. Поэтому по теореме 5.1 гл. III суще-
оо
ствует такое число К, что 2 l#nvlttMrV ^ К. Очевидно, \f(Q)\ <J #•
|i, v=0
Предположим еще, что аК <; г; как и в доказательстве теоремы
существования Пеано, этого можно добиться, в случае необходимости
уменьшив число а.
Из равномерной сходимости ряда (1) следует, что функция /
непрерывна и что при каждом фиксированном х она сколько угодно раз
дифференцируема по г/. В частности, она удовлетворяет в
прямоугольнике Q условию Липшица. Поэтому на промежутке / = [х0 — я>
~х0 + #1 существует решение у(х) = ф(#, х0, у0) дифференциального
уравнения у' = f(x, у), проходящее через точку (х0, г/0), и это
решение определено однозначно.
Гл. VII. Методы решения
427
Теорема 7.1. При наших предположениях решение
<р(х, %о, У о) разложимо в сходящийся на промежутке I степенной ряд
слцентром х0.
Доказательство. Сначала с помощью сравнения
коэффициентов мы найдем степенной ряд для решения <р(#), а затем
покажем, что этот степенной ряд действительно сходится на
промежутке /. Для упрощения записи положим (х0, у0) = (0, 0).
оо
а) Допустим, что у(х) = 2 с%х%, причем этот ряд сходится на /.
Тогда при х £ / и v ^ 1 находим
(ф(*)Г= 2 <Vc*i ••• СКХ
1 v
Я4+ . . .+A,V=H
Ai + .-• +4
Положим
<4V)= S ^ ••• ск при v>*> *>°; 40)=i.
<40>=0' при х>1.
Тогда при v ;> 0
(ф(*)Г=кЩ4Г^.
Заметим еще, что в формулу (2) для коэффициентов с^могут входить
лишь те сь, у которых Я ^ х.
оо
Если, кроме того, |<р(#)|^2 |ся|аЛ^г, то можно образовать
/(#» ф(#)), и мы получим
/(*,ф(*))= J W(q>(*))v= S «^(21^х)=
ц» v=0 ц, v=0 и=0
= 2 ( 2 чЛ')х\
А,=0 и.ц,, v^O
причем перемена порядка суммирования, которую мы проделали
на последнем шаге, законна, так как ряды для / и ф абсолютно
сходятся.
428 Том II
С другой стороны, ф'(#) = 2 (^ + l)cA,+i^« Поэтому в предпо-
оо
ложении, что 2 texl^^r, условия
я=о
Ф(0) = 0, <р'(х) = /(ж, фИ)
на промежутке I равносильны условиям
с0 = 0, (Я + 1)сх+1= 2 a^v) при Я, = 0, 1, 2, ..., (3)
где коэффициенты d^ определяются по формулам (2). В правую часть
формулы (3) входят лишь те d(£\ у которых и ^ А,, а они в свою очередь
содержат лишь те ср, у которых р ^ Я. Кроме того, так как с0 = 0t
то при x<vh коэффициенты d(^ = 0, так что сумма в (3) в
действительности конечна: достаточно произвести суммирование по 0 ^
^[i + x=A,h0^v^X,. Таким образом, если уже известны
коэффициенты с0, . . ., сх, по рекуррентной формуле (3) можно
однозначно вычислить коэффициент с^+х- Поэтому формулой (3) рднозначно
определяются все коэффициенты с^. Например,
с1 == #00^0 ==: #00»
сг = -| (а0о40) + Ooidi0 + uj*) =
1 1
= ~2 Ki^i + ^ю) = ~2 (^oi^oo + аю)«
Ь) Нужно еще только показать, что для коэффициентов с^,
определяемых рекуррентной формулой (3), выполняется неравенство
оо
2 (сь\аХ ^ г- Эта часть доказательства упростится, если мы будем
А,=0
иметь дело лишь с рядами с неотрицательными коэффициентами.
Поэтому положим A^v = Ifl^vl и построим числа С\ и D^,
удовлетворяющие соотношениям
С0 = 0, (%+l)Cx+i= 2 А^\ (3')
0<х> |Х
#*v)= S_CXf...C4 при v>i;x>0;
Л$0) = 1, В?' = 0 при к>1.
(2')
Гл. VII. Методы решения 429
С помощью полной индукции сразу проверяем, что |ся,|^С\
п
и \d{V\ ^ &V- Положим теперь Фп(х) = 2 С%РК- Мы покажем, что
п-1
2 А^х*{®п-Лх)У>Ф'п{х) при 0<я<а и и>1. (4)
v, |J.=0
В самом деле,
п—1 л—1 v(n—1)
2 а^ф1-,{х)= 2 ^W( S *х 2 cKl... cK),
A,t+ . . .+ A,v=k
причем при v = 0 под выражением, стоящим справа в скобках,
нужно понимать число 1. Но в силу (2')
2 CXi ... CK = D™ при х<п-1.
0<Xj, .. ., A,v<n—l
А,4+ ... +Av=k
Отбрасывая некоторые неотрицательные члены, получаем оценку
v, |х=0 II, v=0 к=0
= П2(Х + 1)С*+,^ = Ф'п(я;),
где мы еще воспользовались тем, что D(^ = О при к < v.
С помощью (4) докажем теперь полной индукцией, что Фп(#) ^ г
при 0 ^ х ^а. При тг == 1 имеем: Ф^х) = С^ = Л00^ ^ А00а ^
^ Za ^ г. Если п > 1, то
Фп (*) = Jo; (g) dg < f J1 Л^Б^п-й (6) dg < в силу (4)
О 0 |l, V=0
X 71—1
^ I S ^v?1^ d£ ^ по предположению индукции
О |l, V=0
п-1
<л> 2 А^аГ^^а-К^г.
430 Том II
Отсюда мы получаем, наконец, при х £ /
S ЪЯ* < 2 С^Х = lim Ф" (а) < г'
А,=0 I А,=0 71->оо
что и требовалось доказать.
Это доказательство можно, между прочим, также рассматривать
как доказательство существования решения дифференциального
уравнения у' = /(#, у) для действительной аналитической функции /„
Глава VIII
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО
ПОРЯДКА
§ 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА*
РАЗРЕШЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНЫХ, ТЕОРЕМЫ
СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
При изучении систем дифференциальных уравнений удобно
пользоваться векторной записью. Координаты в пространстве Шп+1 мы
будем в этой связи обозначать буквами х, уи . . ., уп, а^, . . ., уп
объединять в вектор у, так что точки пространства Dln+1 мы будем
записывать в виде {х, у).
Пусть заданы множество G cz Bln+1 и отображение f: G ->- Л1П.
Вектор Ф = {фь • • -» ФтЛ? компоненты <pv которого являются
функциями, определенными на некотором промежутке /, называется
решением системы дифференциальных уравнений у' = f(#, у), если
a) вектор-функция Ф на промежутке / дифференцируема;
b) график вектор-функции Ф, т. е. множество {(#, у) £ Dln+1:
х£ /, у = Ф(#)} лежит в G;
c) Ф'{х) = Цх, Ф(#)) при х £1.
Теоремы существования и единственности, установленные нами
в гл. VI и VII для решений дифференциальных уравнений первога
порядка, разрешенных относительно производной, вместе с их
доказательствами можно перенести на системы дифференциальных
уравнений. Мы приведем здесь только важнейшие из них.
Прежде всего, на этот случай можно перенести попятие поля
направлений. Каждой точке (#0, у0) £ G поставим в соответствие
прямую
{(*.y)€Rn+1: (*,у)=(*ь,Уо) + /(1, »fa>,yo)), ^Щ.
Вектор-функция Ф = (<р4, . . ., <рп), дифференцируемая на
промежутке /, является решением уравнения у' = 1{х, у) в том и только
в том случае, если ее график лежит в G и если для каждой точки х0 £ /
касательная к этому графику в точке (х0, Ф(х0)) совпадает с прямой
поля направлений, соответствующей этой точке.
Затем опять справедлива теорема существования Пеано:
Теорема 1.1. Пусть заданы точка (х0, у0) £ Dln+1, числа г > О
цО0 w параллелепипед
G = {(х, у): х0 < х < х0 + а, |у — у0| < г}.
Пусть f: G ->- 01п — непрерывное отображение, причем для всех
Ъочек (х, у) £ G выполняются неравенства \1(х, у)| ^ К < г 1а, где
К •— некоторое число. Тогда существует решение Ф системы
432
Том П
у' = 1(х, у), определенное на промежутке 1= [х0, х0+а] и
удовлетворяющее условию Ф(х0) = у0.
Доказательство протекает дословно так же, как в § 2 гл. VI;
нужно только заменить j/, / и <р па у, f и Ф. Остаются справедливыми
и сделанное после формулировки теоремы 2.1 гл. VI замечание и
теорема 2.2. Доказательство теоремы можно провести, опираясь на
теорему 1.1 гл. VI, но можно дословно так же, как и в § 2 гл. VI,
сформулировать и доказать ее для вектор-функций.
Достаточным условием единственности решения снова является
условие Липшица.
Определение 1.1. Пусть на множестве G cz Rn+1
определено отображение f: G -+-Rn. Говорят, что отображение i
удовлетворяет на множестве G условию Липшица, если существует такая
константа R ;> 0, что для всех точек (я, у) 6 G и (х, у*) 6 G выполняется
неравенство
|f(*. y)-t(x, y*)|<i?|y-y*|.
Если G — открытое множество, то говорят, что отображение t
локально удовлетворяет на G условию Липшица, если у каждой точки
множества G существует такая лежащая в G окрестность £/, что
сужение l\U удовлетворяет условию Липшица.
Теорема 1.2. Если множество G cz 0ln+1 открыто и
отображение I: G ->• 01п непрерывно дифференцируемо по у, то отображение
i локально удовлетворяет в G условию Липшица.
При этом требование «отображение i непрерывно
дифференцируемо по у» означает, что каждая из компонент Д, . . ., fn непрерывно
дифференцируема по у1} . . ., уп.
Доказательство. Пусть (х0, у0) 6 G и U = Ue(x0, y0) с:
cz G для подходящим образом выбранного 8 > 0. Тогда все частные
производные fvy на замыкании U ограничены. Пусть Rln — их
общая верхняя граница. Если тогда (х, у) и (я, у*) — произвольные
точки из £/, то по теореме о среднем значении
|f(^y)-f(^y*)| = max|/v(^,y)-/v(^y*)| =
= max \У\(у*-у$^(х9у+ву(у*-у))\<С
v IZJ дур I
ц.=0
<Itt-max ( max | y^ — i/£|-maxsup —-^-(ET) )<:
<Д-1у-у*1, '
где 8V — некоторые числа между 0 и 1.
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений 433
Как и в § 3 гл. VI, доказывается
Теорема 1.3. Пусть G = {(#, у0): х0 ^ х ^ х0 + а,
| у— Уо!| ^ r} ^ ^n+1 и i: G -*-Rn—отображение, удовлетворяющее в G
условию Липшица. Если тогда Ф4 и Ф2 — решения системы у' =
= f(#> У) на промежутке [х0, х0 + а], удовлетворяющие условию
Oi(*o) = Фг(^о) = У<ь ™о Ф1 = Фг-
Можно дословно перенести на системы и § 4 гл. VI. Отметим такую
теорему:
Теорема 1.4. Пусть G CZ !ftn+1 -— открытое множество
и f: 6? ->• 01п — непрерывное отображение, локально удовлетворяющее
условию Липшица. Тогда для каждой точки (х0, у0) £ G существует
одно и только одно решение Ф(х; х01 у0) системы у' = 1(х, у),
определенное на некотором максимальном открытом промежутке 1(х0, у0)
и удовлетворяющее условию Ф(х0; x0l y0) = у0. Оно проходит в
множестве G от границы до границы.
Последнее выражение нужно понимать в смысле теоремы
4.2 гл. VI.
Для систем дифференциальных уравнений, удовлетворяющих
предположениям теоремы 1.4, можно определить и понятие общего
решения. Областью определения общего решения Ф(#, #, у) служит
множество
В = {(х, *, y)€Bln+2: &, y)6Gf xeifc у)}.
Теми же методами, что и в гл. VI, можно показать, что множества
В открыто и общее решение Ф непрерывно на 5, а также, что Ф
непрерывно дифференцируемо, если отображение f непрерывно
дифференцируемо по у.
С небольшими изменениями можно перенести и теорему 5.4 из
гл. VI о количественной оценке зависимости.
Точно так же, на системы дифференциальных уравнений можно
перенести и метод последовательных приближений Пикара —- Лин-
делёфа. Сделаем те же предположения, что и в теореме 1.1, и
дополнительно предположим, что отображение f удовлетворяет в G условию
Липшица. Обозначим через $р множество всех непрерывных вектор-
функций Ф, определенных на промежутке / и удовлетворяющих
условиям Ф(х0) = Уо и |Ф(#) — Уо | ^ г ПРИ х € I- Затем формулой
ТФ = Уо + 1т, Ф(Б))<*6
определим отображение Т: ер ->■ ^, причем интеграл в прайой части
по определению вычисляется покомпонентно. Дословно как в § 6
гл. VII, можно показать, что если i|}0 £ JF — произвольная вектор-
функция, то последовательность (i|>v) = (Т^фо) равномерно сходится
на промежутке / к некоторой вектор-функции Ф £ JT. При этом
2 8-832
434 Том II
ТФ = Ф и Ф является решением системы у' = f(#, у),
удовлетворяющим условию Ф(х0) = У о-
Наконец, на случай систем дифференциальных уравнений можно
обобщить и теорему о степенных рядах. Снова мы будем исходить
из замкнутого параллелепипеда
<? = {(*, у): |*-*0|<а, |y-y0|<r}c=Dln+1
и отображения f = (Д, . . ., /n): Q ->■ Лп, компоненты которого
разложимы в Q в степенные ряды с центром (х0, у0). Эти п степенных *|
рядов можно записать в виде одного степенного ряда, коэффициенты
которого являются постоянными w-мерными векторами a^v'
' (*. у) = 2 *■« (*—х^ (у - y°)v*
а индекс v пробегает все w-местные мультииндексы с
неотрицательными компонентами. Предположим теперь, что существует такое число
К, для которого
Тогда можно показать, что существует решение Ф(х) системы у' = ч
= i{x, у), удорлетворяющее условию Ф(х0) = у0 и разложимое в
степенной ряд с центром х0, сходящийся в промежутке [xQ — а, х0 + а].
Доказательство в принципе протекает точно так же, как и в § 7 гл. VII.
I
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим область вида G = J х В1п, где / — некоторый проме- '4.1
жуток, не обязательно конечный. Система обыкновенных дифферен- fl
циальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно ||
производных, у' = f(#, у), определенная в области G, называется Ц
линейной, если отображение i для каждой точки х б I линейно отно-# j
сительно у. Тогда отображение I можно записать в виде ц
1{х, у) = Цх)-уи + . . .+ tn(x)-yn + h(x),
где I1} . . ., fn, h —вектор-функции с п компонентами. Отображение
f непрерывно в области G в том и только в том случае, если вектор-
функции fi, . . ., fn, h непрерывны на промежутке '/. Если у* fv
и h рассматривать как векторы-столбцы, то эту систему
дифференциальных уравнений можно записать в виде одного матричного уравне-
ния. В самом деле, если мы образуем из fv квадратную матрицу А =. *
= (f1? . . ., fn) размера п х п, то будем иметь ;
у' = А{х)оу + Цх). |
Гл. VIII, Системы дифференциальных уравнений
435
Для линейных систем с непрерывной матрицей коэффициентов
Мх) и непрерывной вектор-функцией h можно развить очень далеко
йдущую теорию. Прежде всего заметим, что в этом случае, очевидно,
вектор-функция А{х)оу -f- Ъ(х) непрерывно дифференцируема по у.
Поэтому в силу теоремы 1.2 это отображение локально удовлетворяет
условию Липшица и, в частности, применима теорема 1.4.
Рассмотрим сначала линейную однородную систему первого
порядка, т. е. случай, когда h = 0. В отличие от теоремы существования
Пеано имеет место более сильное утверждение:
Теорема 2.1. Пусть I — открытий промежуток, и пусть
матрица А(х) непрерывна в I. Если точка (х0, у0) £ / X Шп, то
решение Ф(х; х0, у0) системы дифференциальных уравнений
у' = Л(*)оу, (1)
проходящее через точку (х0, у0), определено на всем промежутке I.
Доказательство. Очевидно, вектор-функция Ф(х) === 0
является решением уравнения (1), определенным на всем промежутке
/. Если решение Ф(х; х0, у0) имеет хотя бы один нуль, то по теореме
единственности Ф(х; х0, у0) е= 0. Это имеет место в том и только в том
случае, если у0 = 0.
Рассмотрим множество Н = {у £ &п: У*°У = 1}. Это —
евклидова единичная сфера; в частности, множество Н замкнуто. Пусть 1± —-
некоторый компактный промежуток, содержащийся в /. Множество
/j хЯс/ X Шп ограничено и замкнуто, и потому__компактно.
Поэтому функция у1оА{х)°у принимает на множестве It x H свое
максимальное значение. Таким образом, существует такое число К,
что 0 ^ К < оо и у*°А(х)оу ^ К при (#, у) 6 Л X Н. Если теперь
1
У 6 Ог — произвольный вектор, только ф 0, то Л г t у 6 Я, и пото-
му 7^Щу'оА{х)оу'7уЩ<Кш y(°^)°y<#y'°y-
Переходя к транспонированным матрицам, получаем, кроме того,
ЧТО у'о^'оу < Ку'оу.
Допустим теперь, что 1(х0, у0) ФI; пусть, например, Ь0 =
" S*P I(*o, Уо)< Ъ = sup /.
По теореме 1.4 решение Ф(х, х0, у0) должно в «полосе» / х IIIе
проходить от границы до границы. Ввиду того что Ь0 < Ь, «правая
гР&ница» достигаться не может; поэтому по крайней мере одна из
компонент вектор-функции Ф при х ->■ Ь0 не ограничена.
Следовательно, не может быть ограничена и композиция Ф* о ф. С другой
стогны, если мы выберем промежуток It = [a, fe0], у которого а >
в*ах {inf/, inf I(xQ, y0)}, и, как указано выше, определим для
28*
436
Том II
него число i£, то мы будем иметь
(ф'оф)' = (Ф<)'оф + ф'оф' =
= Ф*°Л*оф + Ф*оЛ<^Ф<
<2£(Ф*оф).
Поэтому (1п(Ф' о ф))' ^ 2К, и, значит, In (Фг о ф) ^ 2Кх + с*
и ф' оф ^ с-е2Кх, где с > 0 — некоторая постоянная. Таким обра-
зом, функция Ф' оф, ас нею и вектор-функция Ф при х ->• Ь0
остается ограниченными, и мы пришли к противоречию.
Итак, каждое решение системы (1) определено на всем помежут-
ке /. Как и для одного линейного дифференциального уравнения,
справедлива
Теорема 2.2. Множество решений системы (1) образует
действительное векторное пространство V.
Доказательство. Вместе с соотношениями Ф^ = А о ф^
и Фг2 — Аоф2 выполняется и соотношение
(фг + Ф2)' = Ф[ + ф2 = Л ° Ф{ + А о Ф2 — А о (Ф1 + Фг)»
а вместе сФ' = Лофис6В1-— соотношение
(сФ)' = с-Ф' = сА оф == Л о(сф).
Далее, имеет место замечательная
Теорема 2.3. Пусть Фи . . ., Ф/ — элементы векторного
пространства V решений системы (1). Пусть точка х0 £ /, и пусть i
векторы Ф^х0), • • •» Ф* (хо) линейно зависимы. Тогда и
вектор-функции Фь . .., Ф/ «а промежутке I линейно зависимы.
i
Доказательство. Выполняется равенство 2 са/Фя,(яо) =
А,= 1 I
а= 0, где не все коэффициенты с^ равны нулю. По теореме 2.2 линей- I
i I
ная комбинация 2 сх$>\ является решением системы (1). В точке So I
Х,=1 I
она принимает значение 0; поэтому в силу теоремы единственности I
она тождественно равна нулю: I
i I
2схфхво,
Я,=1 I
что и требовалось доказать. I
Отсюда сразу следует, что dim^ V ^ п. В действительности здесь I
имеет место равенство: I
Теорема 2.4. Размерность пространства решений V систем* \
уА = А(х)&у над полем К равна п. I
Доказательство. Пусть х0 £ I — произвольная точк* I
и ev = (0, . . ., 1, . . ., 0) — вектор с компонентами 6lv, . . ., 8nv* I
.„J
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений
437
Тогда
(:r0,ev)€/X Кп и Ov(s) = 0(*,3b,ev)e7 при v=l, ...,л.
п
Вектор-функции Ov линейно независимы. В самом деле, из 2 ^v^v sl
22 0 следует, что
п п
0=2 ММ^о)= 2 с^>
v=l v=l
но отсюда вытекает, Фго ct= ... = сп =0. Поэтому dim V ;> п.
Обратное неравенство было доказано выше.
Определение 2.1. Базис Ф4, . . ., Фп пространства V
называется фундаментальной системой (решений) системы (1).
Вектор-функции, составляющие некоторую фундаментальную
систему решений системы (1), можно соединить в квадратную
матрицу Ф = (Ф4, . . ., Фп) размера п х п. Всякую такую матрицу мы
будем называть фундаментальной матрицей системы (1).
Если Ф — фундаментальная матрица системы (1), то ее
определитель det Ф отличен от нуля во всем промежутке I. В самом деле, если
бы det Ф(х0) = 0, то векторы Ф^о)? • • .,®nW были бы линейно
зависимы. Тогда по теореме 2.3 были бы линейно зависимы и вектор-
функции Ф1? . . ., Фп, и они не могли бы составлять
фундаментальную систему решений.
Теорема 2.5. Если Ф — какая-либо фундаментальная матри*
ца системы (1), то для каждой квадратной невырожденной матрицы
С размера п X п произведение Ф = фоС также является фундамент
шальной матрицей системы (1), и каждую фундаментальную матри*
ЦУ системы (1) можно записать в виде такого произведения.
Доказательство, а) Если Ф = (Ф4, . . ., Фп), Ф =*
= (Фь . . ., фп) и С = (c^v), то условие Ф = фоС означает, что
фу= 2 wiv при v=i> •••> п.
Так как Ov^7 при v = 1, . . ., тг, то и <5V 6 V при v = 1, . . ., /г.
Из того, что det Ф Ф 0 и det С Ф 0, следует, что и det Ф(х) Ф 0
£ри х £ /. Если Ф — фундаментальная матрица, то вектор-функции
5v линейно независимы и образуют базис пространства V. Поэтому
Ф есть фундаментальная матрица.
Ь) Если Ф — фундаментальная матрица и ф1? . . ., Фп £ F, то
Каждая вектор-функция Ф^ является линейной комбинацией вектор-
438
Том II
функций Фр,:
п „
ФУ= 2 с^Фц, где ^V6R.
Эти соотношения можно записать в виде матричного равенства Фоб 4»
= Ф, где С = (c^v). Если предположить, что и Ф —
фундаментальная матрица, то матрицы Ф и Ф будут невырожденными; поэтому
невырожденной должна быть и матрица С. Положив С = С"1, полу,
чаем Ф = ФоС, что и требовалось доказать.
Теперь нужно рассмотреть неоднородный случай, т. е. систему
У' = А(х)оу + h(z), (2) I
где h — вектор-функция, которая может быть и не равна нулю. Мы
будем предполагать, что матрица А и вектор-функция h непрерывны
в открытом промежутке /. J
Для системы (2) можно написать «соответствующую однородную %\
систему» у' = Аоу. Как и для одного линейного дифференциального/Г
уравнения, справедлива
Теорема 2.6. Множество всех решений неоднородной линейной ||
системы (2) равно W + V» где W — какое-нибудь решение системы щ
(2), а V — пространство решений соответствующей однородной ||
системы. щ
Доказательство столь же тривиально, как и доказательство теоре- ?|
мы 2.2 гл. V. I
Таким образом, если известны решения соответствующей одно- I
родной системы, то чтобы получить общее решение системы (2), J
нужно лишь отыскать одно частное решение системы (2). Это и на I
этот раз удается сделать с помощью вариации постоянных. I
Пусть ф = (Ф4, . . ., Фп) — фундаментальная матрица однород- I
ной системы, соответствующей системе (2). Будем разыскивать реше- I
ние системы (2) в виде I
*(*)= 2М*)-<м*).
v=i I
где требуется подобрать такие дифференцируемые функции cv(x) I
или, что то же самое, такую вектор-функцию с(х), чтобы вектор- I
функция W(x) = Ф(х)ос(х) была решением системы (2). Но мы имеем I
(Ф(я)°фг))' = Ф'(х)ое{х) + Ф(х)ос'(х) =
= А(х)оф(х)ос(х) + Ф(х)ос'(х).
Таким образом, вектор-функция ЧГ является решением системы (2) I
в том и только в том случае, если Ф(я)ос'(#) = h(#). Но матрица I
Ф(х) невырожденна, так что последнее условие можно записать I
и в виде е'(х) = Ф'^Ь. Очевидно, оно выполняется для каждой пер- I
У
1
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений
439
вообразнои
с (х) = j (ф (ж))"1 о h (х) dx.
Заметим еще, что первообразная с(#), а вместе с ней и частное
решение Ч? = Ф°с определено на всем промежутке /. Поэтому
на основании теорем 2.1 и 2.6 на всем промежутке I определены и все
решения системы (2), т. е. и для неоднородной линейной системы
справедлива усиленная теорема существования.
В то время как частное решение W системы (2) для известной
фундаментальной матрицы Ф системы (1), очевидно, можно найти без
принципиальных затруднений, фундаментальную систему решений
системы (1), вообще говоря, нельзя выразить в явном виде через более
или менее элементарные функции.
§ 3. ЛИНЕЙНАЯ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Если задана система
У' = Аоу (1)
линейных дифференциальных уравнений первого порядка с
постоянной матрицей коэффициентов Л, то нахождение фундаментальной
системы решений системы (1) можно свести к одной алгебраической
задаче.
Мы видели, что при решении линейных дифференциальных
уравнений первого и второго порядка важную роль играла показательная
функция (от комплексного аргумента). Для решения системы (1)
целесообразно обобщить показательную функцию на случай матриц
(с комплексными элементами).
Пусть А = (аХ11) — произвольная квадратная матрица размера
п X п, причем axli £ К или аХ[1 £ С. Положим \А\ — n-su^\ax[l\.
Тогда \сА\ = \с\- \А\, где с £ R, или с £ С. Далее, если В = (6Хц)*
то
\А + В | = n-sup | axlL + Ьщь | <ra.(sup | aX[l\ + sup | bX]L |) = | А | + |В |
X, |Л X, |Х X, |Л
и
\A°B\ = n-suv\ 2a*iAv
X, V I |A=1
^^SUpl^M^vK
X, IX, V
< п• sup | aXVi | -n-sup I fe^ I = IA I-IВ |.
X, |X II, V
Отсюда, в частности, с помощью полной индукции получаем, что
т 1
Ww|^|4|w. При т 6 Ы сумма sm(A) = 2 -т^1* снова является
м,=о V"
квадратной матрицей (причем мы полагаем А° = Е). Предельный
440 Том II
переход lim sm(A) понимается покомпонентно. Из неравенства
7П->00
\sq(A) — sp(A) 1^2 —f 1^4.1»* вытекает существование предела у каж-
дой компоненты. Поэтому мы можем определить показательную
функцию формулой
оо
ехрЛ = 2^,^- (2)
|Х=0 *
Если матрица А является действительной, то, разумеется,
действительной будет и матрица ехр А. Очевидно, ехр 0 = Е, где 0 —
квадратная нуль-матрица размера п х п.
Матрицу А мы можем умножить на действительное число х. Тогда
каждая компонента матрицы
оо оо
будет представлять собой степенной ряд, сходящийся во всем R,.
В частности матричная функция ехр Ах дифференцируема сколько
угодно раз. Имеем
оо оо
|х=1 чг ' М-=1
-(З^Ь
(ехр Ах)' = А ° (ехр Ах) = (ехр Ах) ° А, (3)
и с помощью полной индукции можно показать, что
(ехр А х)м = Ато(ех$Ах) = (ехр А х) ° Ат.
Если разложить функцию ехр Ах в ряд Тейлора с центром в
произвольной точке Xi 6 R, то мы получим
оо
ехр Ах = у. -—~ (х — Xif1 = (ехр Ахх) о (ехр А (х — #i)).
|Х=0 ^
Вместо х — «i напишем хг. Тогда
ехр А(хх + х2) = (ехр Ла^Иехр Л#2)-
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений
441
При Xi = 1 и х2 = —1 сразу получаем отсюда, что
Е = ехр 0 = (ехр Л)о(ехр (—А)).
Таким образом, матрица ехр А является невырожденной и
(ехр А)"1 = ехр (—А).
Возвратимся теперь к системе дифференциальных уравнений
у' = Аоу с постоянной матрицей коэффициентов А. В силу (3) нигде
не вырожденная матрица Ф(х) = ехр (Ах) удовлетворяет
соотношению Ф'=Аоф. Поэтому если мы разобьем матрицу Ф на столбцы;
Ф = (Фь . . ., ФЛ), то получим Ф^ = A<^v при v = 1, . . ., п.
Тем самым доказана
Теорема 3.1. Матрица Ф(х) = ехр Ах является
фундаментальной матрицей системы дифференциальных уравнений у' = Аоу.
При этом, естественно, матрица коэффициентов А может быть
и комплексной.
Предыдущая теорема позволяет дать простое доказательства
теоремы сложения для матричной показательной функции:
Теорема 3.2. Пусть А и В — квадратные матрицы размера
п х га, причем АоВ = ВоА. Тогда ехр (А + В) = (ехр Л)о(ехр 2?).
Доказательство. Из АоВ = ВоА следует, что А^оВ =■
= ВоА*, и потому
оо • оо
|Х=0 |А=0
Рассмотрим матрицу
Ф(х) = ехр (А + В)х — (ехр Л#)о(ехр Вх).
Имеем
ф\х) = (А + В)оехр (А + В)х — Ло(ехр Ах)о(ех$ Вх) —
— (ехр Ах)оВо(ех\) Вх) =
= (А + Б)оехр (А + В)х — Ло(ехр Ах)оех$ Вх —
— i?o(exp Ax)oexj) Bx =
= (А + В)оф(х).
Таким образом, столбцы матрицы Ф являются решениями системы
у' = (АоВ)оу. Но Ф(0) = Е — ЕоЕ = О, и по теореме
единственности Ф = 0. Равенство Ф(1) = 0и есть наше утверждение.
Разумеется, теорему 3.2 можно доказать и с помощью
элементарных выкладок.
442
Том II
Теперь мы хотим подробнее рассмотреть вопрос о вычислении
фундаментальной матрицы Ф(х) = ехр Ах. Мы покажем, что в
действительности нет необходимости составлять бесконечный ряд
00 1
2 —т (Ах)*, а можно обойтись некоторыми алгебраическими опера-
циями.
Прежде всего заметим, что если Р — произвольная
невырожденная матрица размера п х п, то (Р^оАоР)» = Р~гоА*оР при \ь =»
= 0, 1, 2, . . ., и потому
<х>
AJ* и!
ц=0
= р-*оГу ^уаАоР = Р^о(ехрАх)<>Р
|1=0
а соответственно
ехр Ах = Ро ехр (P-^AoPxjoP-1.
Мы постараемся отыскать такую матрицу Р, чтобы матрицу
ехр (Р^оАоРх) можно было вычислить без труда.
В качестве первого шага рассмотрим один более простой частный
-случай, который послужит нам моделью для общего случая:
предположим, что матрицу Р можно выбрать так, что матрица А* =
=Р~гоАоР окажется диагональной (допускаются и комплексные
диагональные элементы); „
'Л* 0
А* =
А/2
•о
Сокращенно мы будем писать А* = [Л,|, . . ., Я„]. Тогда, очевидно,
(А*)» = [Xf, . . ., Я£], в потому f
-"-2^-2 ft* ■■-*']-
|Л=0 Ц=0
оо оо
42^ 2H=[e" *-*
На основании теоремы 2.5 вместе с матрицей Ро(ех-рА*х)оР'1 и
матрица Роехр А*х является фундаментальной матрицей системы
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений 443
(1). Если мы обозначим столбцы матрицы Р через у1? . . ., уп, то
столбцы матрицы Роехр А*х будут иметь вид у1-е^х ,. . . уП'вКпХ.
Остается еще определить числа kv и векторы yv. Заметим, что
числа Яу в точности являются нулями многочлена
П (%v — x) = det(A*-Ex).
v=i
Для произвольной матрицы А можно образовать
характеристический многочлен %а(я) = det (A — Ех). Разлагая этот определитель,
видим, что %а{х) = (—1)пхп+ . . . есть многочлен тг-й степени
относительно х. Поэтому он имеет п (необязательно различных)
комплексных корней, так называемых собственных значений матрицы А.
Если Р — какая угодно невырожденная матрица, то
Хр-1 •аор(х) = det (Р"1* А о Р — Ех) =
= det (P_1o (А —Ех)оР) =
= detP~i.det(A—Ex)-detP =
= det (-4 — Ex) = %А (х).
Таким образом, собственные значения матриц А и Р~гоАоР
совпадают. Отсюда мы делаем такое заключение: если матрицу Р можно
выбрать так, чтобы матрица Р'^АоР была диагональной, [Я19 . . .
. . ., Яп], то числа %v являются собственными значениями матрицы А.
С точностью до порядка, в котором они записаны, эти числа
определены однозначно.
Обозначим через ev столбец с компонентами 6vi, . . ., 8V7l. При
нашем предположении, очевидно, ^4*oev = evA,v и, значит,
P"roiloPoev = evA,v и Ao(Poev) = (Poev)A,v. Но Poev = yv, и потому
мы должны иметь Aoyv = yvA,v, т. е.
(А — EKv)oyv — О при v = 1, . . ., л. (4)
Решения уравнения (4) называются собственными векторами
матрицы А, соответствующими собственному значению A,v.
Если, наоборот, мы имеем собственный вектор yv,
соответствующий собственному значению Xv при v = 1, . . ., тг, и если мы
положим Р = (у1г . . ., уп), то будет выполняться соотношение АоР =
- Ро[Хи . . ., AJ.
Так как det (A — EXV) = %a(^v) = 0> Для каждого собственного
значения матрицы А существуют соответствующие ему отличные
от нуля собственные векторы. Остается выяснить вопрос, нельзя ли
эти векторы выбрать так, чтобы матрица Р — (у4, . . ., уп) была
невырожденной. Вообще говоря, этого сделать нельзя, но
справедливо следующее утверждение:
444 Том II
Если все собственные значения Я»1} . . ., Кп матрицы А попарно
различны, и если yv — какой-либо не равный нулю собственный
вектор, соответствующий собственному значению %у при v = 1, ...
. . ., п, то векторы у1? . . ., уп линейно независимы, и потому
матрица Р = (уь . . ., уп) является невырожденной.
Это мы докажем по индукции. Вектор у4 линейно независим, так
как у! ф 0. Пусть мы уже знаем, что векторы уь . . ., ут, где 1 ^
^ т < га, линейно независимы. Если бы тогда выполнялось равен-
7П+1
ство 2 ^цУц = 0, то мы имели бы также
m+i m+1 m+1
|Х=1 Ц.=1 |Х=1
m+1
я 0= 2 С|Ап+1Уц-
m
Вычитая, находим 2 сц(^ц — ^т+ОУц = 0» откуда по
предположена 1
нию индукции следует, что cjfcn — Kn+t) = 0 при (х = 1, . . ., т.
Так как А^ =#= ^m+i> Т0 си == 0 ПРИ ^ = 1» • • •» т- Но тогда
cm+1ym+1 = 0 и, поскольку ут+1 Ф 0, мы, наконец, получаем,
что и cm+i = 0.
Подведем итог предыдущему рассуждению в виде следующей
теоремы:
Теорема 3.3. Пусть собственные значения ht, . . ., Яп
матрицы А попарно различны. Если yv — какой-либо отличный от нуля
собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному
значению Kv при v = 1, . . ., п, то вектор-функции
\r.e%iX v рХп*
образуют фундаментальную систему решений системы
дифференциальных уравнений у' = А ° у.
Эта фундаментальная система, вообще говоря, не является
действительной, даже если сама матрица А — действительная. Чтобы
получить действительную фундаментальную систему, поступим так
же, как и в § 7 гл. V: образуем систему вектор-функций
Ке(У1^*), 1т(У1Л*), ..., Re(yy»*), Im(y^V-).
Это 2п действительных решений, среди которых можно найти п
линейно независимых.
Если собственные значения матрицы А не являются попарно
различными, т. е. если характеристический многочлен имеет кратные
корни, то, вообще говоря, матрицу А больше уже нельзя привести
к диагональному виду. В этом случае мы воспользуемся теоремой
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений
445
о жордановои нормальной форме матрицы, доказательство которой
можно дайти в учебниках по линейной алгебре *).
Теорема. Пусть А — квадратная матрица размера п х п
(действительная или комплексная). Пусть матрица А имеет
различные собственные значения %и . . ., Kk с кратностями тг1? . . ., щ.
Тогда существует такая невырожденная матрица Р размера п X Щ
что матрица А* = Р~1 о А оР имеет следующий вид:
l%i * О V
О
Л* =
\о , о %k/
При этом звездочки означают, что в указанных местах этой схемы,
возможно, стоят отличные от нуля элементы; в действительности
всегда можно добиться, чтобы все элементы, не стоящие на главной
диагонали, были равны нулю, -за исключением некоторых элементов
с индексами вида (v, v + 1), которые могут быть равны 1.
Теперь мы хотим вычислить матрицу ехр А*х. Мы будем
сокращенно писать А* = [А±, . . ., Ak\, где под А* мы понимаем матрицу
(К
\0 К'
размера тгх X n„. Легко проверить, что (A*)v = [А*, . . ., At\
при [1 = 0, 1, 2, . . ., и потому ехр А*х = [ехр А&, . . .
. . ., ехр Akx\. Таким образом, нам остается только вычислить
матрицу ехр Вх для матрицы В вида
/А,
В=\
<0
г) См., например, Reichardt H., Vorlesungen uber Vektor- und Ten-
sorrechnung, Berlin, 1957, или Lang S., Linear algebra, Reading, 1966.
Жорданова нормальная форма впервые была найдена Вейерштрассом.
(См. также Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, М., 1960. —
Прим. перее.]
446 Том II
Имеем Вх = ЕКх + (В — ЕХ)х. Матрицы Екх и (В — ЕХ)х, очевидно,
перестановочны, и потому в силу теоремы 3.2
ехр Вх = exp(2?tac)o exp (В — ЕХ)х.
У матрицы В — ЕХ на главной диагонали и под нею стоят только
нули. Но tfi-я степень такой матрицы есть нуль-матрица, где т —
число ее строк. В этом можно убедиться с помощью полной индукции.
Если
-г
то в матрице С& равны нулю все элементы С{%1, у которых v < и + ц.
Это верно при (х = 1, и если это уже установлено для некоторого
\i > 1, то
m v—М-
е>+1)= 2 c*p4v= 2 c*p4v = 0 при v<x+ji + l,
р=1 р=к+1
и, значит, это верно и для fi + 1. При fi = m, таким образом, все
элементы матрицы Ст равны нулю, что и требовалось доказать.
Из этого утверждения следует, что ряд для ехр (В — Е%)х
обрывается самое позднее на (т — 1)-м члене; матрица
т—1
|х=0 ^"
является многочленом не выше, чем (т — 1)-й степени.
Наконец, сразу видим, что ехр Екх = Е-еКх, и потому
т—1
Ц=0
В результате матрица ехр А*х имеет, таким образом, вид
'eXiXQt 0>
e^xQ2
ехр А*х= г
^0 «***&<
гДе Qx — Qk(x) есть матрица размера пх X гах вида
1
• •
<?х(я)=| -л (к)
1
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений 447
а g£v = q*v(x) — некоторый многочлен степени ^ v — [л^тг^ — 1.
Матрица Роехр А*х является фундаментальной матрицей
системы у' = А о у. Если мы снова обозначим столбцы матрицы Р через
yi, • - -1 Уп? то, например, первые щ столбцов матрицы Р ©ехр А*х
будут выглядеть так:
у/1*, (y. + fl8(*)yi)^ ....
(У», + $1-1, щ (*) -yni-i + •. • + ЯЙ1, (х) yi) ^'*.
Резюмируем эти рассуждения:
Теорема 3.4. Пусть Я1} . . ., Я^ — различные собственные
значения матрицы А и пи . . ., п& — их кратности. Тогда
существует фундаментальная система решений системы у' = А ©у,
причем каждому собственному значению %х при и — 1, . . ., к
соответствует пх элементов этой системы, и эти пх решений можно
записать вместе в виде q(x) • еК*х, гдец[х) — вектор, компоненты
которого являются многочленами степени ^ тгх — 1.
При нахождения решений системы у' = А<>у можно обойтись
и без вычисления матрицы Р, приводящей матрицу А к жордановой
нормальной форме. Именно, многочлены, фигурирующие в решении,
можно записать с неопределенными коэффициентами и затем
отыскать их путем сравнения коэффициентов. Это сводится к решению
системы линейных алгебраических уравнений. Впрочем, и
вычисление матрицы Р — задача не более трудная.
В качестве примера рассмотрим систему у' = А о у с матрицей
А-( ° ' )
Л-\-Ь-2а)-
Характеристический многочлен имеет в этом случае вид
det (A— Ex)=x2-\-2ax+b. Поэтому матрица А имеет собственные
значения %i = — а -\- У^а2 — Ъ и Я2 = —а — ]/ а2 — Ь. Для ^v сразу
получаем собственный вектор yv= (л ]. Если дискриминант А =
= а2 — Ь^Ои, значит, А,4 Ф Х2, то мы имеем оба линейно
независимых решения
ф, (*) = (* J/'* и Ф2(*) = (*J Л*.
Если же, напротив, А = 0 и, следовательно, Л4 = Я2 = —а, то
пространство решений линейного уравнения (А + аЕ)оу = 0 одномерно
(оно порождается вектором yi = (_a)). В этом случае не существует
невырожденной матрицы Р, столбцы которой являются
собственными векторами матрицы А. Иными словами, матрицу А нельзя
привести к диагональному виду. Жорданова нормальная форма матрицы
448 Том II
А в этом случае имеет вид
Легко проверить, что матрица
удовлетворяет соотношению Р~гоАоР = 4*. Имеем
и
РоехрЛ**=( 4 . * %-"*.
г \— a 1 —ax/
Мы получаем фундаментальную систему
| 4. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО
ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ
Обозначим координаты пространства Лп+1 через х, г/0, . . ., г/п_4
и рассмотрим функцию /(#, г/0, . . ., yn-i), непрерывную в некото-
ром открытом множестве G a Bln+1. В § 5, А гл. V было сказано, что
следует понимать под решением ф(#) дифференциального уравнения
п-то порядка
y(n) = f(x, у, y(i\ ..., у<*-»). (1)
Рассмотрим сначала два примера; первым будет
дифференциальное уравнение второго порядка
у"=х. (2)
Правая часть f(x, у0, у{) = х определена во всем пространстве В13.
Очевидно, функция ср(х) является решением уравнения (2) в том
и только в том случае, если производная (р'(х) является
первообразной функции х, т. е. если <р'(#) = -«- + #> где а — произвольная
постоянная. Но условие ф'(#) = -«- + а равносильно условию ф(#) =
—-д- -\- ах -{- Ь, где Ъ — произвольная постоянная. Таким образом,
множество решений уравнения (2) (все они, очевидно, определены
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений 449
на всем 01) совпадает с множеством функций
хг
ф (х) = 1- ах + Ь, я, Ъ £ 01.
6
Это множество является «семейством функций, зависящим от двух
параметров», так как двумя параметрами а и Ъ мы можем свободно
распоряжаться. Заметим, что, хотя через каждую точку (х0, у0) £
£ К2 проходит бесконечно много решений, через точку (х0, у0, yt) £
£ [Я3 проходит ровно одно решение уравнения (2) в том смысле, что
это решение удовлетворяет условиям <р(х0) = у0 и ф'(#о) — У\.
В качестве несколько более общего примера рассмотрим
дифференциальное уравнение п-vo порядка
0(Л) ='/(*). (3)
где функция / предполагается непрерывной в некотором промежутке
/. Множеством G тогда служит декартово произведение I X Кп.
Как и в случае уравнения (2), мы получим решение уравнения (3),
определенное в промежутке /, если п раз последовательно
проинтегрируем функцию /. Это означает следующее. Для фиксированной
точки х0 £ / положим
X #71—1 #2 #i
Фо(*)•= И 1 (• • • I б /(D<^)da;i • • • •)<fe„-»)<fe»-i.
Этот тг-кратный интеграл существует, потому что самая внутренняя
подинтегральная функция / непрерывна, а вместе с ней непрерывны
и все следующие подинтегральные функции как интегралы от
непрерывной функции. Кроме того, функция ф0 дифференцируема п раз.
х
В самом деле, функция \ f(%)dl дифференцируема как интеграл
X XI
от непрерывной функции, функция \ I /(£) d^dxi дважды ДИфференЦИ-
руема как интеграл от дифференцируемой функции и т. д.
Вместе с функцией ф0(#) решением уравнения (3) будет и сумма
Фо(^) + р(я), где р(х) — произвольный многочлен степени <! п — 1,
потому что р(п\х) = 0. Если ф — какое-нибудь решение уравнения
(3), то (ф — ф0)(п) = / — / = 0- Поскольку все производные функции
Ф — ф0 порядка ^ п тождественно равны нулю, ряд Тейлора для
Ф — Фо (написанный, например, с центром в точке х0) сходится
к Ф — фо и представляет собой многочлен не выше (п — 1)-й степени.
Тем самым мы доказали, что множество всех решений уравнения (3)
совпадает с множеством функций вида ф = ф0 + р, где р —
произвольный многочлен степени ^ п — 1. Таким образом, эти решения
образуют семейство, зависящее от п параметров.
29—832
450 Том II
Для любой точки (х0, Уо> • • •> Уп-i) € J X lftn можно
единственным образом определить решение ф уравнения (3), удовлетворяющее
условиям ф(Л7)(#о) = j/v при v = 0, ..., п — 1. В самом деле, если
ф^) = av? то, например, с помощью формулы Тейлора можно найти
такой многочлен р0 не выше (п — 1)-й степени, что p£v)(#o) =
= У\ —' а\ при v = 0, . . ., п — 1. Тогда функция ф0 + Ро
удовлетворяет требуемым условиям.
При рассмотрении вопроса о существовании и единственности
решения дифференциальных уравнений высшего порядка,— а иногда
и при отыскании их решений,— целесообразно перейти от такого
уравнения к системе дифференциальных уравнений первого порядка.
Дифференциальному уравнению тг-го порядка
yM = f(x,y,...,y(n-1)), (1)
определенному в открытом множестве G a Dln+1, поставим в
соответствие следующую определенную на множестве G систему п
дифференциальных уравнений первого порядка:
Уо = Уи
»п-2=Уп-1> (4)
Тогда имеет место
Теорема 4.1. Пусть ф0(я) — действительная функция,
определенная на некотором промежутке I. Следующие утверждения
равносильны:
(a) Функция ф0 является решением дифференциального уравнения (1).
(b) Существуют п — 1 таких действительных функций
ф1, . . ., фп_1 на промежутке /, что вектор-функция Ф =
= (ф(и Фь • • ч Фп-i) является решением системы (4).
Доказательство. Из (а) следует (Ь). В самом деле, пусть
функция ф0 на промежутке / дифференцируема п раз, множество
{(я, Уъ, •♦., Уп-iY x£I, 2/v = 9ov)(*) при v = 0, ...,n — l}czG
и
Положим фv = ф<0г> при v = 1, ..., га — 1. Тогда функции фу
дифференцируемы, множество
{(*, Ро» • •> 2/n-i): «6/, J/v = Фv(^) при v = 0, ...,и — l}c=G
и, наконец, по построению вектор-функция Ф — (ф0, . . ., Фп-i)
является решением системы (4).
Из (Ь) следует (а). Действительно, пусть вектор-функция
(ф0, . . . , фп-i) является решением системы (4) на промежутке 7".
\
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений 451
Из условия <pv = <Pv+i ПРИ v = 0, . . ., п — 2 и из дифференцируемости
функции фп_1 вытекают тг-кратная дифференцируемость функции ф0
и условие фу — <p£v> при v = 1, . . ., п — 1. Утверждение о графике
получается, как в первой части доказательства. Последнее из
соотношений (4) означает, что <р<п> = /(#, ф0, . . ., ф^"1^, т. е. что
функция ф0 является решением уравнения (1).
Условие Липшица для дифференциального уравнения высшего
порядка формулируется следующим образом:
Определение 4.1. Действительная функция f(x, у),
определенная на множестве G cz Ol^1, удовлетворяет условию Липшица,
если существует такая константа /?, что для любых двух точек (#, у)
и (х< у*) множества G выполняется неравенство
|/(*. у)-Я*, у*)|<Д|у-у*|.
Понятие: «функция f локально удовлетворяет на множестве G
условию Липшица» можно определить, как обычно. Здесь мы положили
У = (*/о> • • -1 J/n-i).
Теорема 4.2. Дифференциальное уравнение (1) удовлетворяет
(локально) условию Липшица на множестве G в том и только в том
случае, если соответствующая система (4) удовлетворяет (локально)
условию Липшица на множестве G.
Доказательство. Отображение, определяемое системой
(4), имеет вид
'=(»!, •-., Уп-1, /): G-+Rn.
Пусть функция /из (1) удовлетворяет на множестве G условию
Липшица с константой R. Тогда при (i, у), (х, у*) £ G имеем
|f(z,y)-f(*,y*)| =
= sup{|i/1-i/1*|, ..., \yn-i-vl-il, |/(*,у)-/(*,у*)1}<
^supd^-yfl, .... |0B-t-0»-i|, Д|У-У*|}<
<тах(1,Д)-|у-уЧ
Таким образом, отображение I удовлетворяет условию Липшица
с константой max (1, R).
Предположим, наоборот, что отображение / удовлетворяет на
множестве G условию Липшица с константой R. Тогда
1/(*,У)-/(*,У*)К
^ sup {| yt - уЦ ..., \yn-i-y*n-i\, \f(x, y)-/(s, у*)|} =
= |f(*,y)-f(*,y*)|<
<Д|у-у*|.
«Локальная» часть нашего утверждения теперь тривиальна.
29*
452
Том II
Эта теорема позволяет перенести на дифференциальные уравнения
высшего порядка теорему 1.4:
Теорема 4.3. Пусть G cz R,7^1 — открытое множество и
и /: G -> (R — непрерывная функция, локально удовлетворяющая
условию Липшица. Тогда для каждой точки (х$, У од, ^i ,09 • • • » Уп-ito) £
£ G существует одно и только одно решение <р(х)
дифференциального уравнения г/<п> = f(x, у, . . ., i/n-1), удовлетворяющее
условиям (p(v)(#o) = #v,o nPu v = 0, . . ., тг — 1 и определенное
на некотором максимальном открытом промежутке I. График этого
решения проходит в G от границы до границы.
Следует подчеркнуть, что здесь речь идет о графике в G, т. е.
о множестве {(х, у0, . . ., уп^): х £ Д z/v=--<P(v)(^)> v = 0, . . ., и —1}.
График функции ф в (х, у)-плоскости, т. е. множество
{(я, у): х £ /, у = <р(я)}, в проекции
G = {х, у) 6 R,2: существуют такие уи . . ., уп_и что
(ж, У. Уп - - ., »n-i) € &}
множества 6? на (х, г/)-плоскость we обязан проходить от границы
до границы. Примером этого служит дифференциальное уравнение
и'
у" = — (1 + {у')2), определенное на множестве G = (0, оо) х Л2.
Здесь G = (0, оо) х IFL и решение г/ = |/"1 — а:2 максимально
определено на промежутке {х : 0 < # < 1}. Но его график в G при # —►• 1
стремится к внутренней точке (1, 0) множества G.
Если мы применим проведенные выше рассмотрения к линейному
однородному дифференциальному уравнению второго порядка с
постоянными коэффициентами
у" + lay1 + by = 0,
то в качестве соответствующей системы мы получим
Уо = Уп
У[= — by0 — 2ayt.
Эта система была разобрана в предыдущем параграфе в качестве
примера.
Мы хотим теперь еще рассмотреть два типа дифференциальных
уравнений тг-го порядка, являющихся частными случаями общего
уравнения (п > 1).
А) Допустим, что функция f(x, у0, . . ., yn-i) не зависит от у0.
Тогда мы можем писать /(я, у0, . . ., уп^) = g(x, z0, . . ., 2Л_2),
где zv = yv+1 при v = 0, . . ., п — 2.
Если ф(# ) — решение дифференциального уравнения
»W = /(^,!/ /"Л (5)
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений 453
то, очевидно, производная ф'(#) является решением
дифференциального уравнения
^-°=8(х, z, ..., £п~\ (6)
Если, наоборот, функция ty(x) — решение уравнения (6) на некотором
промежутке /, то каждая ее первообразная на промежутке / будет
решением уравнения (5).
В предположении, что правая часть дифференциального
уравнения тг-го порядка (1) в явной форме не зависит от функции z/, это
уравнение можно свести к дифференциальному уравнению (п — 1)-го
порядка. Часто бывает, что это последнее уравнение решить проще.
В) Допустим, что функция f(x, y0l . . ., Уп-i) не зависит от х.
Напишем f(z, у о, . . ., Уп-i) = gti/o, - • ., Уп-i)- Если функция у = <р(я)
является решением уравнения
yM = g(y, :.., у(п-1) (7)
на некотором промежутке / и если ф'(^) ¥= 0 на всем J, то функция ф
имеет обратную функцию х = i|?(*/), определенную на промежутке
/* = ф(7). Функция я|) дифференцируема на промежутке J* и
* (ф(*))
Из n-кратной дифференцируемости функции ф вытекает тг-кратная
дифференцируемость и функции*г|) (ср. с теоремой 5.2 гл. IV). Из (8)
по цепному правилу получаем
W(y)f (Y(y))k W(y))'
С помощью полной индукции убеждаемся, что при v = 2, . . ., п
имеет место равенство
= - (f,)(?L+ К to™(У), ■ ■.,♦' (У)), О)
где hv — рациональная функция, знаменатель которой является
некоторой степенью производной \|/. При этом всякий раз мы
полагаем у = у(х).
Если мы подставим выражение (9) в (7), то мы получим
^р-1+^(^(п"1),..., *')=*(»,_ мча • •., An-id)01-0, • •., л
454
Том II
Это уравнение можно еще разрешить относительно я|)(п). Тогда мы
получим уравнение вида
tfn) = ~g(y, г|>', ....У*"0),
т. е. функция я|) удовлетворяет уравнению вида
xM = ~g(y, x\ ..., гс(л-1)), (10)
в котором у занимает место «независимой переменной». Но уравнение
(10) принадлежит к типу уравнений, рассмотренному в А). Поэтому
мы можем свести его к некоторому дифференциальному уравнению
(п —- 1)-го порядка.
Проводя проделанное нами выше рассуждение в обратном
порядке, легко убедиться, что обратимое решение х = ty(y) уравнения
(10) на промежутке J* дает решение у = <р(х) уравнения (7) на
промежутке / = 1|з(7*).
В заключение этого параграфа рассмотрим в качестве примера
дифференциальное уравнение
у" = (уГПу) + g(y), (И)
причем будем предполагать, что функции / и g непрерывны на
некотором промежутке {у: а < у <С Ь}. Это уравнение относится к тому
типу, который был рассмотрен в В). Описанный там метод приводит
к уравнению
(х) \ х /
аГ = -х9-М-{*9?8{у)-
Следуя А), положим х'{у) = z(y); мы придем к дифференциальному
уравнению первого порядка
z' = - zf(y) - z*g(y). (12)
Но это — уравнение Бернулли (ср. § 3 гл. V). Следовательно, его
можно решить в явном виде. Поэтому мы получим обратимые
решения уравнения (11), если найдем функции, обратные первообразным
решений уравнения (12), при условии, что эти обратные функции
существуют и дифференцируемы.
§ 5. НЕКОТОРЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
В этом параграфе мы хотим рассмотреть три линейных
дифференциальных уравнения второго порядка, возникающих при решении
многих физических задач.
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений 455
А. Уравнение Бесселя
Исследование собственных колебаний круглой мембраны
приводит для радиальной компоненты колебания к дифференциальному
уравнению Бесселя
*Y + ху' + (я2 - п*) у = О, (1)
где п — неотрицательное целое число. Уравнение (1) на промежутке
{х: 0< х< +оо}
можно переписать как линейное дифференциальное уравнение с
действительными аналитическими коэффициентами, разрешенное
относительно старшей производной. Следовательно, на этом промежутке
заведомо существуют два линейно независимых действительных
аналитических решения уравнения (1). В связи с упомянутым
физическим вопросом имеют смысл только те решения, которые определены
и при х = 0. Ниже мы увидим, что существует даже такое решение,
которое разложимо во всюду сходящийся степенной ряд с центром
в точке х = 0.
со
Сумма степенного ряда у(х) = 2 av#v, очевидно, удовлетворяет
v=0
в интервале сходимости этого ряда уравнению (1) в том и только
в том случае, если в этом интервале выполняется соотношение
оо оо оо оо
2 v (v — 1) avxv + 2 vav#v — и2 2 а^ + 2 av-2#v = 0.
V=0 V=0 V=0 V=2
Это условие равносильно тому, что коэффициенты av удовлетворяют
следующей системе уравнений:
— п а0 = 0»
(l-rcVi = 0, (2)
(v2 — п2) av + flv-2 = 0 при v = 2, 3, 4, ... .
Отсюда сразу следует, что а0 = ... = an_i = 0. Уравнение для
ап выглядит так: 0-ап + 0 = 0; таким образом, на коэффициент ап
не налагается никаких ограничений. После этого с помощью полной
индукции находим единственное решение системы (2):
ап+2\1-1 = 0 При [1=1, 2, 3, .. . ,
(-1Гап _ {-Wan
П ((п + 2к)2-п2) 2V П (п + х)
«тг+2ц = ^Г—" — = V J При 11=1,2,3,... .
х=1 х=1
456 Том II
О
Если мы положим Д (п -\- у) = 1, то последняя формула останется
справедливой и при \и = 0. Мы показали, что сумма степенного ряда
оо
<р(х) = ахп V, — (-1)^ (3)
ZJ 22V! (n + 1) (п + 2) ... (п + ц)
где вместо ап мы написали а, в интервале сходимости этого ряда
удовлетворяет дифференциальному уравнению (1), и к тому же, если
этот ряд вообще сходится, она является единственным
действительным аналитическим решением уравнения (1) в точке х = 0. Но оче-
видно, что экспоненциальный ряд 2j т ( ~7~ ) является сходящейся
мажорантой ряда (3). Поэтому ряд (3) сходится при всех х.
1
Обычно получающуюся в (3) при а = ^—г функцию обозначают
ш ТЫ
символом Jn(x) и называют функцией Бесселя (первого рода):
j (x) Х-У (-!)»«» (4)
1Л=0
Линейно независимое от Jn решение уравнения Бесселя на
промежутке (0, +°°) можно получить в виде
Yn (х) = — Jn (x) • In I — ) + — - (степенной ряд от х).
я \ 2 / х
Очевидно, это решение при х -*■ 0 не имеет предела.
Функции Бесселя во многих приложениях столь же важны, как
и тригонометрические функции. Поэтому они основательно изучены
и протабулированы. Однако за дальнейшими сведениями мы
вынуждены отослать читателя к специальной литературе.
В. Уравнение Лежандра
Это уравнение выглядит так:
(1 - х2)у" - 2ху' + п(п + 1)у = 0, (5)
где п — натуральное число или нуль.
В открытом промежутке / = {х: — 1 < х < 1} это уравнение
можно разрешить относительно у". Правая часть получающегося
при этом уравнения является действительной аналитической
функцией на этом промежутке, так что уравнение (5) имеет на / два
линейно независимых действительных аналитических решения.
Подобно тому как мы поступили в случае уравнения Бесселя, мы
будем разыскивать решения, которые определены и на всем замкну-
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений
457
том промежутке /. Таким образом, мы и на этот раз налагаем на
решения некоторое граничное условие. Существование таких решений
заранее не гарантируется.
Мы снова воспользуемся теоремой о степенных рядах г Сумма сте-
оо
пенного ряда ф(#) = 2 av xV удовлетворяет в интервале сходимости
v=0
этого ряда дифференциальному уравнению (5) в том и только в том
случае, если
оо
2 ((v + 1) (v + 2) av+2 — v (v — 1) av — 2vav + n (n + 1) av) xv = 0.
V=0
Это условие равносильно тому, что коэффициенты av удовлетворяют
следующей систему уравнений:
(v + l)(v + 2) av+2 = (v(v + 1) - п(п + l))av (6)
при v = 0, 1, 2, ....
При произвольных заданных а0 и ац все остальные коэффициенты av,
определяются рекуррентной формулой (6) однозначно. Пользуясь
тем, что
v(v + 1) — п(п + 1) = (v — n)(v + 1 + п)\
11=1,2,3, ... . (7)
Взяв а0 = 1 и «! = 0, или же а0 *= 0 и а4 = 1, убеждаемся, что
сумма каждого из рядов
^{X) = ^7hy (П (2к-п)(2к + 1+»))**.
ф2(ж)=2?27^(п(2х+1-")(2х+2+"))а:2,г+1
является в интервале сходимости соответствующего ряда решением
Уравнения (5). При этом в случае \i — 0 «пустому» произведению []
мы приписываем значение 1.
из (6)
#2|1
^2ц+1 -
получаем
a—I
(2fi)!x=o
«1
(2|i+l)!
(2к
ц-1
п
-и)(2х +
(2к + 1 —
1+»), |
п)(2х+2 + «)
458 Том II
Если теперь п — четное число, то из (7) мы видим, что а2[х = О
при 2\i> п. В этом случае функция <pi(#) является многочленом п-ш
степени, в то время как ряд для <р2 не обрывается. Если, напротив,
п — нечетное число, то «2ц+1 = 0 при 2jx + 1 ^> 7г, так что функция
<р2 является многочленом п-ш степени, а ряд для <р4 не обрывается.
Таким образом, при каждом п мы получаем некоторый многочлен
/г-й степени, являющийся решением дифференциального уравнения
Лежандра (5) на всем Л. Этот многочлен с точностью до постоянного
множителя совпадает с тг-м многочленом Лежандра
Это можно доказать так. Очевидно, (х2 — 1) -=— (х2 — 1)п =
= 2пх(х2 -— 1)п. Дифференцируя это равенство п + 1 раз, пользуясь
правилом Лейбница (теорема 2.8 гл. V т. I), получаем
2(г)^-<>-|^->"=
v=0
71 + 1
-aerte-s^-*-
v=0
При этом в левую часть отличные от нуля члены входят лишь при
v = 0, 1, 2, а в правую — лишь при v = 0, 1. Поэтому остается
J71+2 Л71"*"1
(х2- 1) ^-д (х2 - 1)" + (п + l).2z.-f-rj (з? - 1)" +
+
("Г)-^-*-
= 2nx-^-r, (х2 - l)n + (n + 1)• 2n — (x2 - 1)".
dxn+1- dxn
После умножения на (2nn!)_1 получаем
(x2- 1)P"n(x) + 2xP'n(x) -n(n + l)Pn(x)a0.
Как мы уже видели, векторное пространство полиномиальных
решений уравнения (5) одномерно, откуда и следует наше утверждение.
Исследуем теперь необрывающийся степенной ряд, т. е. при
четных п ряд для функции фг(^) из (8). Для нечетного п рассуждение
протекает точно так же, и этот случай мы предоставляем читателю.
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений 459
Положим X = п/2. Тогда все #2ц+1 при \к^% имеют один и тот
же знак. Кроме того, из (7) при jli > Я следует, что
Я2ц+1= П (2х + 1—п)(2х + 2 + и)-( Д х) •a2ji+i =
IV 2Л. + 1/\ 2Л + 2/ V 2ц— 1/ V т2цЛ
Х(2^ + 1Г1.(2Я+1)о2^+1 =
_/Л п(п + 1) \ Л »(п + 1) \\
IV (2Я+1)(2Х + 2)/ " V (2|i —1)(2ц)Л
Х(2ц + 1)-1(2Я + 1)а2Х+1 =
й-1
П (1- Ьк).(2^+ 1)~1.(2Х + 1)^+,,
где мы обозначили Ьк = .-*—, .чТо . оч • Ввиду выбора числа Я
^ (Zx + 1) (^и + Z)
при к ;> Я выполняется неравенство 0 < fex < 1. Ниже мы покажем,
что существуют такой номер (lx0^^ и такие числа с^ и с2, что при
всех fi > ji0 выполняется неравенство
0<*!<П (1-Ъх)^с2. (9)
Поэтому
1
•ct (2Я + 1) | a2A,+i I < I Я2ц+11 <
2^+1
<——c2(2K+l)\a2X+i\. (10)
2ц+1
00 1
Так как известно, что сумма ряда 2 о—П х^ ПРИ х^ стремящемся
Ц=И0+1 4х+ 1
справа к —1 или слева к +1, неограниченно возрастает, то в силу
оо
левого из неравенств (10) это же верно и для суммы ряда 2 a2|i+i#2,S
оо
а потому и для функции фг(#) = х 2а2ц+1^2м'* С помощью неравен-
Ц=0
460 Том II
ства (10) по формуле Коши — Адамара находим, что радиус сходи- ж
мости степенного ряда для ф2 равен 1. Таким образом, этот степенной
ряд сходится в открытом промежутке (—1, 1), и функция ф2 является
в этом промежутке решением дифференциального уравнения Лежанд-
ра, но она не остается ограниченной при приближении к границам
этого промежутка.
Тем самым показано, что п-Ш многочлен Лежандра с точностью
до постоянного множителя является единственным решением
уравнения (5), определенным на замкнутом промежутке [—1, 1].
Остается доказать неравенство (9). Так как 0 < 1 — 6Х<1,
то наша последовательность ограничена сверху числом с2 = 1. Чтобы
показать, что она имеет и положительную нижнюю границу,
и-1
достаточно найти верхнюю границу для — In [] (1 — Ьх) =
|Х-1
= — 2 1п (1 — Ьк). Имеем
оо оо
2ЬХ = п (п + 1) >. — <
АЛ (2х + 1) (2х + 2)
оо
^п(п + 1) >. -<+оо.
^ V ^ ;ZJ(2x + l)2
Далее, при и ^ Я,
оо оо
v ZJv ZJ i - ък l - ъ%
v=l v=l
так как bK ^ Ъ^ Следовательно,
|Х— 1 оо
х=А к—А.
и неравенство (9) доказано.
С. Уравнение Шредингера
Квантово-механическая теория атома водорода учит, что в
некотором стационарном состоянии с энергией Е < 0 не зависящая от
времени амплитуда и волновой функции *Р(х, t) = u(x)er~i(i)t
удовлетворяет дифференциальному уравнению с частными производными г)
Au + 2£(e + -^-)u==0. (11)
ft \ 4лг0г/
г) Здесь Л — оператор Лапласа в пространстве Ov*: Ди = utUi + и,2,2 +
+ и, з, з-
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений 461
Здесь т — масса электрона, h — (деленная на 2я) постоянная План-
ка^ 6о — заряд электрона, е0 — диэлектрическая постоянная и
г .— расстояние от центра ядра. В теории дифференциальных уравнений
с частными производными доказывают, что каждое решение и
уравнения (И) вне начала координат может быть записано в виде и =
оо П
= 2 2 Фп,цУп,ц- При этом функция Уп>м> на каждом луче, выходя-
п=0 м,=-п
щем из начала координат, постоянна; она удовлетворяет уравнению
с частными производными
r2AYntli=-n(n + l)Yn^
где п = 0, 1, 2, . . . и \х = —- га, . . ., га. Эти функции можно задать
в явном виде. Это — так называемые сферические функции. Они тесно
связаны с многочленами Лежандра. Функция фп>М/ зависит только
от г = ||х|| и удовлетворяет обыкновенному дифференциальному
уравнению
2 d2y t о dy , { </1тЕ , 2т£ , , ЛЛ ^ ,л^
и. л/-1тЕ
Если мы заменим здесь г на ж = г I/ —rg— и введем обозначение
4яе0й #
то уравнение (12) примет вид
х2у" + 2ху' — (х2 — ах + п(п + \))у = 0. (13)
Это уравнение мы собираемся ниже решить на промежутке / =
= (0, + °°)« Физический смысл имеют только такие р.ешения, которые
при х -»■ оо стремятся к нулю, а при х —> 0 остаются ограниченными.
Уравнение (13) заведомо имеет на I два линейно независимых
действительных аналитических решения. Одно из решений <р1?
определенное даже на всем 01, мы получим с помощью теоремы о степенных
рядах. Но оно удовлетворяет граничному условию в +оо только для
дискретной последовательности значений параметра а. Затем мы
покажем, что существует второе решение ф2, бесконечное при х ->- 0.
Тогда решения q>i и ф2 линейно независимы. Каждое решение Сцф! +
+ ^2ф2> где с2 ф 0, также бесконечно в нуле. Таким образом, имеют
физический смысл только решения вида од^ для специальным
образом выбранных значений а. Это означает, что энергия Е может
принимать лишь дискретную последовательность значений.
Перед тем как мы применим теорему о степенных рядах, удобно
сделать в уравнении (13) замену переменных. Положим х = и
462 Том II
и у — хпе~х v на множестве {(#, у): х > 0, у £ R,}. Тогда
г/' = xn~ie~~x ((п — #) v + #z/),
у" = zn-V* ((л:2 — 2га + п (п — 1)) г; + 2 (тг — ж) xv + Л").
После замены переменных уравнение будет выглядеть так:
xv" + 2((п + 1) - s)i/ + (а — 2(п + i))v = О (14) .
(вместо и мы пишем х). Сначала мы попытаемся найти решения
уравнения (14), которые можно записать в виде
-J-0O ОО ОО
v=—оо v=l v=0
Если мы подставим ty(x) в (14), то получим соотношение
2 ((v + l)(v + 2(n + iy)a,+i + (a-2(n + l)-2v)av)xv = 0,
V= — оо
из которого находим уравнения для коэффициентов
(v + l)(v + 2(n + l))flv+; = 2(п + 1 + v - b)avt v 6Z, (15)
где мы положили а = 26. Запишем эти уравнения короче в виде
avav+i = pvav и заметим, что av равно нулю лишь при v = —1
и v = — 2п — 2, а pv — лишь при v = Ъ — п — 1 при условии, чта
b — целое число.
а) Если Ъ — не целое число, то из (15) при v = —1 следует
равенство а^ = 0. Так как pv Ф 0 при всех v, из (15)
последовательно получаем а_2 = 0, а_3 = 0 и т. д. Для коэффициента а0 из (15)
не вытекает никакого условия. Коэффициенты с положительными
индексами можно снова один за другим выразить через а0. Мы
получим
av+i = Pv ' " Ро oq при v = 0, l, 2, ... .
av ... a0
Таким образом, в этом случае сумма ряда х)
оо V—1
ty(x) = a0 У! (П РяоьГ1)^» гДе «о€^—произвольное число, (16)
в интервале сходимости этого ряда является единственным решением*
которое можно представить в требуемом виде. Ниже мы покажем, что
этот ряд сходится всюду, но его сумма при #->+оо возрастает
не менее быстро, чем функция е*. Поэтому соответствующее решение
<Pi(#) = xne~xty(x) уравнения (13) в бесконечности не стремится
к нулю и с физической точки зрения не представляет интереса.
г) Пустое произведение снова считаем равным 1.
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений 463
b) Пусть теперь Ъ — некоторое целое число и Ъ ^ п + 1. Тогда,
при v<0 во всяком случае pv Ф 0. Как и выше, заключаем, что
а = 0 при v < 0. Напротив, pv = 0 при v = Ъ — п — 1, и из (15)
мы видим, что 0 = аь_п — а&_п+1 = #ь-п+2 = . . . . Остальные
коэффициенты вычисляем, как выше. Единственным решением
требуемого вида оказывается поэтому многочлен
^(х) = Оо 2\VfflW)zv. (17)
v=0 A,=0
c) Пусть, наконец, fe — целое и 0 ^ Ъ ^ п. Тогда при v < — 2тг — 2
во всяком случае pv Ф 0. Так как а_2Л-2 = 0, отсюда следует,
что 0 = Я-2П-2 = а-2п-з = . . . . Поскольку а_! = 0, из уравнений
(15) с индексами v = —1, . . ., Ъ — п вытекает, что и 0 = а^ =
= а_2 = • • • = аъ-т так как Для этих индексов pv ф 0. Но
уравнение с индексом — 2п —2 теперь уже больше не налагает на
коэффициент a_2n-i никакого ограничения; поэтому его можно выбрать
произвольно, и мы получаем
о о
gv+i= ' " Pofl-2n-i при v= —2и —1, ..., б—и —2. (18)
av ... a0
Для неотрицательных индексов v сохраняет силу рассуждение в а).
Таким образом, решениями требуемого вида в этом случае являются
сумма а|з(#) степенного ряда (16) и многочлен относительно х"1
гЫ*) = «-2п-1 J] ( If htf)**- (19>
v=-27i-l A,= -27i-l
Следует заметить, что функция <рг(#) = хпе~х^2{^)->
соответствующая функции г|)2(#), при х -»■ 0 не остается ограниченной, так как
п < 2п + 1 • Поэтому с физической точки зрения она интереса
не представляет.
Выписывая решение <pi(#) = хпе~х^(х) уравнения (13),
соответствующее многочлену (17), убеждаемся, что оно определено на всем 01
и благодаря множителю е~х стремится к нулю при х -*■ + оо. Таким
образом, оно удовлетворяет нашим граничным условиям.
Теперь мы хотим записать многочлен (17) в явном виде, а затем
Доказать упомянутые выше утверждения относительно ряда (16).
При v ^ 1 получаем
io v!(2rc + 2)(2n + 3)...(2ra + v + l)
Oq_ 2n + 2 — a 2n + 4 — a 2n + 2v — a (<,^
~ v! 2rc + 2 2rc + 3 '" 2w + v + l
464 Том II
Если Ъ — целое число, большее, чем га, и v<b — п.— 1, то
а _ а° ( l)v2V (b-n- W (2п + !)!
v v! (2w + v + l)!(b —n —1—v)l'
Положим еще а"1 = (b — n — i)\-(2n + 1)!. Тогда многочлен из (17) |
примет вид
Ъ-п-1
2vxv
Lnt2b(x)= У (-1Г
Z-J v! (2п + v
V=0
(2n + v + l)\(b — n —1 — v)!
Многочлены Lnt2b(x) по сути дела являются многочленами Лагерра,
которые можно иногда встретить в литературе.
Чтобы убедиться в сходимости ряда (16), воспользуемся
признаком Даламбера. Пусть х фиксировано. Тогда
/v.V + 1
av+iX
V
avx
=
Pv
av
j 2тг + 2 + 2v — g
(v + l)(2rc + 2 + v)'
-О при v-> + oo.
Таким образом, ряд г|>(#) = 2 av#v сходится при каждом х.
v=o
Чтобы оценить скорость убывания функции г|э, прежде всего
заметим, что для каждого \i £ IN, удовлетворяющего условию \i ^ а + 2,
2ra+2u — а , „
выполняется неравенство -=-—-1—-—г > 1. Поэтому на основании
2n+\i+l
формулы (20) при v^a + 2 найдется такое отличное от нуля
1 _ 1
число с, что — av > —, если только а не есть целое число,
превосходящее 2п. Тогда
7*«~ 2 (7-5|)*'>'"
0<v<a+2
1 1
— ф4 (х) = — #пё *i|> (х) >хп + е*- (многочлен),
с с
"Таким образом, функция <pi(z) в бесконечности не стремится
к нулю.
Остается еще отыскать второе решение w(x) уравнения (14),
линейно независимое от определяемого формулами (16) и (17)
решения i|>(#); до сих пор его удалось найти лишь при Ъ = а/2 £ Z, 0 ^
^Ь^Сп. Предположим теперь, что Ъ не является целым числом,
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений 465
лежащим между 0 и га, и будем искать решение w{x) в виде г)
w(x) = %(х) + ф(я)-1п з. (21)
функция н?(#) является решением дифференциального уравнения
(14) в том и только в том случае, если функция %(х) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
xv* + 2 ({п + 1) — х) v + {а - 2 (тг + 1)) * =
в2(фф-ф>))-5^ф(*). (22)
а:
Это легко проверить, если подставить (21) в (14) и принять во
внимание, что я|? является решением уравнения (14). Уравнение (22)
является линейным неоднородным дифференциальным уравнением, а
соответствующим ему однородным уравнением как раз служит (14).
Снова будем решать уравнение (22) с помощью степенных рядов.
Выберем в (16), соответственно в (17), константу а0 = 1 и напишем
00
2(^(х)-^(х))-^±^^(х)=^учх\
Тогда Y-i = —2гг + 3 и при v ^-0 имеем Yv = 2av —(2w + 2v 4-5)av+1.
Положим %(x) = 2 bvxv и подставим эту функцию в (22). Тогда
V=—со
мы получим для коэффициентов bv систему уравнений
«А-м — РА = 0 при — oo<v< —2,
avbv+1 —-pvftv = Yv при v> —1. ^ '
В точности, как и раньше, из а_2п~2 = 0 следует, что 0 = Ь-2п-2 =
— ^-2п-з = . . - . Так как а^ = 0, то уравнение с индексом v = —1
дает
p-i
После этого из уравнений с индексами v = —2, . . 1, — 2п — 1
получаем
6v=_b*JbL ... ibL при _2rc-l<v<-2.
Р-1 Р-2 Pv
В частности, b_2n-i =^= 0.
*) Формула такого вида для w (#), как и аналогичная формула для функции
Бесселя Yn, обосновывается в теории дифференциальных уравнений в
комплексной области.
30-832
466 Том II
Так как а_! = 0, уравнения (23) не налагают на Ь0 никаких
ограничений; таким образом, Ь0 можно выбирать совершенно свободно.
Дело здесь в том, что функция w определена только с точностью
до прибавления функции г|э, умноженной на произвольное число (ср.
с теоремой 2.6). Выберем Ь0 — 0; тогда получим из (23)
&1==^-, fc2 = lL+J!Lfc1 = J_(7iao + plVo)
a0 ccj ad a4a0
и, вообще,
bv+i = (avav-i • • • ao)_1 (Yv«v-i • • • «o +
+ PvVv-i«v-2 • • • ao + • • • + PvPv-i • • • PiYo) при v>l.
Ho
Vn = 2an — (2n + 2ji + 5) Оц+1 =
= 2 ^ ••• Po -(2» + 2ц + 5) PA~* •'• Po =
a^—i ... a0
PA»
где 8^ - 2РЛ1 -(2n + 2^ + b)*$.
Подставляя это в формулу для fcv+i, находим
bv+i==h ••• Ро(6о+ _ +6v) =
av ... a0
= «v+i (So + • • • + Sv).
Отсюда с помощью формулы Коши — Адамара легко следует, что
со со
ряд 2 ^v#v сходится во всем К. В самом деле, ряд 2 #v#v> как мы уже
v=i v=o
видели, сходится всюду; поэтому lim у \av\ = 0. Последовательность
V-
(8V), очевидно, сходится к нулю. Значит, она ограничена; например,
|SV| <; К для всех v > 0. Тогда |fev| < \av\-vK. Поскольку
lim^/vif = 1, мы получаем lim У \bv\ = 0, откуда и следует наше
V-*co V->co
утверждение.
со
Таким образом, функция %(%)= S ^v^v c только что найденны-
v=—2п—1
ми коэффициентами bv определена на 01 — {0}, и функция w(x) = %(#) +
+ i|)(x) • In х удовлетворяет на промежутке / = (0, +оо) дифферен-
Гл. VIII. Системы дифференциальных уравнений
467
циальному уравнению (14). Функция
со
4>2(x) = xne~xw(x) = e~x- J) K-nxv+xnlnx-^(x).e~x
V= — 71— 1
является соответствующим решением уравнения (13). Мы можем
написать
ф2 (х) = аГ"-1 (&_,„_, + П (х) + x*n+i In x) + h (*),
где /i — некоторый многочлен степени п относительно х и /2 —
степенной ряд относительно х. (Эту формулу мы получим, если
подставим в выражение для ф2 (х) степенные ряды е~х = 1 — х + . . .
и ty(x) — 1 + #i#+ . . . .) При # -> 0 функции Д и /2 стремятся
к некоторым конечным пределам и, кроме того, Нт(я-1п #) = 0.
Таким образом, в целом функция фг(#) при # -» 0 неограниченно
возрастает с той же скоростью, что и ar*1-1.
Итак, мы нашли фундаментальную систему решений уравнения
(13) и, кроме того, установили, что она имеет решение,
удовлетворяющее заданным граничным условиям *), в том и только в том случае,
если параметр а имеет вид 2(п + I), где I £ N. Такое решение с
точностью до постоянного множителя определено однозначно. В
соответствии с определением а это означает, что атом водорода находится
в стационарном состоянии в том и только в том случае, если энергия
Е принимает одно из значений
Е_ _ тео 1 ' rne\ ^ 1
~ 32еУй2' (п + If ~ 8е2А2 " (п + Z)2 '
где п = 0, 1, 2, . . . и I = 1, 2, 3, . . . .
х) В физике требуют, чтобы решение ф(я) удовлетворяло условию
Г (<p(#))2d# < -J- со. Легко убедиться, что это условие приводит к тем же
о
решениям, что и граничное условие, использованное нами.
30*
Том III
Г. Грауэрт и И. Либ
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Третья и последняя часть нашего курса посвящена теории
интегрирования в пространстве Dln. Она предназначена для студентов
математиков и физиков третьего и четвертого семестров. Для
понимания этой теории нужно знать материал тома I и меньшую часть
материала тома II.
1. Мы начинаем (в гл. I) с интеграла Лебега в Лп. Вместо очень
специальной евклидовой меры мы сразу кладем в основу изложения
общие меры Радона и таким образом включаем в нашу теорию
интеграл Лебега — Стильтьеса и б-меру Дирака. Чтобы избежать
окольного пути через интеграл Римана, мы вводим меры Радона как
(непрерывные) линейные формы в векторном пространстве ступенчатых
функций, а не в пространстве непрерывных функций с компактным
носителем, как это делают обычно. Разумеется, и таким путем мы
приходим к обычному понятию интеграла.
Определение интеграла в § 2 мы снова высказываем в такой форме,
что оно без изменений переносится на наиболее общие случаи,
например на функции со значениями в некотором топологическом
векторном пространстве V. Само собой понятно, что при желании сохранить
существенные результаты нужно предполагать V локально выпуклым
хаусдорфовым пространством. В этом случае функциональные
области определяются следующим образом. Пусть W cz Kn X V —такое
открытое множество, что для каждой точки х £ Кп пересечение
({х} X ТОП ^ не пусто и выпукло и что, кроме того, существует
компактное множество К cz Dln, для которого (В1п — К) X {0} cz W.
Тогда все функции /: Кп -> V, график которых лежит в W, образуют
определяемую множеством W функциональную область JT.
Векторное пространство ЗГ ступенчатых функций (со значениями в V) можно
определить, как в § 1. Высказывание t 66^ теперь означает (мы
пользуемся обозначениями из § 1), что все множества £7* X U t(Ujc)
KCZJ
лежат в W. Определение 2.5 годится после этого для интеграла
от функции /: Кп -> V относительно некоторой меры \i: $p ->• V; таким
образом, значение А = J/ d\x является элементом х) пространства V.
(Естественно, фигурирующие в определении 2.5 е-окрестности
нужно заменить произвольными окрестностями элемента А.)
Выбор Кп в качестве основного пространства также не является
существенным: вся теория переносится на локально компактные
*) У Н. Бурбаки А .является элементом второго сопряженного
пространства к V.
470 Том III
топологические пространства (потому что мы не ограничиваемся
параллелепипедными покрытиями!). Так как в абстрактной теории
меры по Н. Бурбаки для каждого пространства Y с мерой можно
найти такое локально компактное топологическое пространство X
и такую меру Радона \i в X (в смысле Бурбаки), что пространство
L1 классов ^-интегрируемых функций на X изоморфно
соответствующему пространству L1 на Y (ср. [8] г), гл. IV, § 4, упражнение 10),
то и в этом отношении мы достигаем большой общности.
В § 4 меры Радона исследуются более точно. Следующие
параграфы содержат систематическое изложение свойств интеграла (теоремы
о сходимости, кратное интегрирование). На
функционально-аналитическом построении понятий (пространства Lv) мы, разумеется,
больше не останавливаемся.
При выбранном нами построении теории интегрирования нет
необходимости развивать теорию меры во всех деталях. Мы
довольствуемся доказательством того, что измеримые множества образуют
а-алгебру, на которой мера действует как а-аддитивная функция,
и что каждое открытое множество измеримо.
2. Во второй главе мы переходим к понятию внешней
дифференциальной формы. Мультилинейную алгебру мы рассматриваем лишь
в том объеме, в котором она нам нужна. Дифференциальные формы
представляют собой естественные подинтегральные выражения
поверхностных интегралов, изучаемых в гл. III. Здесь
доказываются также важная формула преобразования интегралов в случае п
переменных и теорема Стокса. Интегрирование производится 1
по (компактным) поверхностям, допускающим клеточное разбиение;
при этом интеграл оказывается не зависящим от разбиения. Так
как каждая гладкая поверхность jjF допускает естественное
клеточное разбиение, то интегрирование по в? всегда возможно. Подобным :
же образом, клеточным разбиением обладает каждое компактное Д
полу аналитическое множество (с особенностями!).
Оба последних параграфа третьей главы посвящены
криволинейным интегралам по произвольным спрямляемым путям. Чтобы
получить интеграл в такой общности, необходимо уделить некоторое
внимание абсолютно непрерывным функциям. При этом будут дока- л
заны и упомянутые в томе I теоремы о замене переменной в интегра- >
ле Лебега и о связи между дифференцированием и интегрирова- ц
нием.
3. Дифференциальные формы и поверхностные интегралы
заменяют неудовлетворительный со структурной точки зрения
векторный анализ, формулы которого — совершенно напрасно —
используют метрику пространства Шп, и потому лишь в малой степени
проявляют свойства инвариантности. Если, например, а = (аь а2, а3) —
векторное поле в (R3, то в векторном анализе криволинейный инте- Л
1) Числа в квадратных скобках отсылают к списку литературы.
Предисловие
471
трал записывают в виде \ а(х) ds. При этом ds = <f)'(s)ds и O(s) —
натуральная параметризация пути W. Далее, пользуются
скалярным произведением а и ds, и потому — уже второй раз! — метрикой
пространства R,3. В нашей теории вектор а заменяется пфаффовой
формой ф = ctidxi + a2dx2 + a3dx3l а криволинейный интеграл I ф
не зависит от мероопределения и потому инвариантен
относительно произвольного дифференцируемого преобразования координат.
Подобные же соображения справедливы и для интеграла по гладкой
двумерной поверхности в Л3. В векторном анализе для векторного
поля b = (Ь1? Ь2> Ь3) образуют поверхностный интеграл I b(x) do.,
где do= n do, n — нормальный вектор к поверхности jF и do
обозначает римановский элемент поверхности ^\ В нашей теории вместо
этого мы просто имеем интеграл I а|з от 2-формы
я|) =. hi dx2 Д dx3 + b2 dx3 Д dxi + Ъ3 dx^ Д dx2.
Верная для всех размерностей теорема Стокса заменяет как
интегральную формулу Гаусса — Остроградского, так и теорему Стокса,
встречающуюся в учебниках физики (которая связывает интеграл
по поверхности с интегралом по ограничивающему ее* контуру),
а также соответствующие формулы для пространственно-временного
континуума. Именно,
^ф = d(di dXi + #2 d%2 + аз dx3) =
= Ci dx2 Д dx3 + c2 dx3 Д dxi + c3dxi Д dx2,
где с = rot а; далее,
di|) = d(bi dx2 Д dx3 + b2 dx3 Д dxi + b3 dxt Д dx2) =
= с dxi Д dx2 Д dx3,
зде с = div b. Поэтому, как легко проверить, формулы
I a ds= $ (rot a) do и J b do = J (div b) da^ dtf2 ^з
равносильны формулам
J <p = J(i(p и $ я|)= Jd-ф.
дф & dG G
Подобным же образом обстоит дело и в случае пространства (Я4.
Теория внешних дифференциальных форм предпочтительнее
векторного анализа и с практической точки зрения. Очень простые
правила действий из §§ 4 и 5 гл. II делают некоторые сложные
Доказательства излишними и избавляют от запоминания некоторых
с трудом удерживаемых в памяти формул (вспомните, например,
определение rot a).
472
Том III
4. Многие физические величины, как это показывает их
измерение, описываются дифференциальными формами, а вовсе не, скажем, *;
(контравариантными) векторами. В частности, это имеет место в
электродинамике. Поэтому в гл. IV мы формулируем уравнения
Максвелла на языке дифференциальных форм. Например, физик определяет
измерением поток индукции магнитного поля 38 через двумерный i
кусок поверхности, т. е. он определяет значение интеграла от
некоторой 2-формы. Поэтому имеет смысл писать "=/ f
38 = Вi dx2 Д dx3-\-B2 dx3 Д dxt + B3 dxi Д dx2 . }
вместо 38 = {Bu B2l Въ). Соответствие между 2-формой 38 и
векторным полем {Ви i?2, В3) инвариантно только при ортогональных
преобразованиях, которые, кроме того, сохраняют и ориентацию х),
таким образом и на этот раз оно существенно опирается на метрику .
пространства Ш2. щ
Напряженность электрического поля также является некоторой I
(одномерной) дифференциальной формой (потому что, как известно f
из теории относительности, таковой является сила как градиент Ч
энергии). В нашей формулировке вторая группа уравнений Мак- А
• if-1
свелла (div 38 =0\ rot % — —98) инвариантна относительно произ- |
вольных дифференцируемых отображений,—и это имеет фйзиче- f
ский смысл! М
Первая группа уравнений Максвелла имеет меньше свойств ;
инвариантности. Именно, для ее формулировки нужно ввести ;
существенно зависящий от метрики пространственно-временного
континуума *-оператор. Он переводит дифференциальные формы в токи —
объекты, которые преобразуются как дифференциальные формы при
сохраняющих ориентацию отображениях (и потому при таких ото- I
бражениях не отличаются от дифференциальных форм). При более -
общих преобразованиях координат F они дополнительно умножают- • 1
ся на знак функционального определителя преобразования F. Пол- \
ная система уравнений Максвелла тогда инвариантна относительно I
преобразований Лоренца (по крайней мере относительно всех соб- М
ственных преобразований Лоренца и отражений пространства).
Чтобы облегчить применение новых понятий для практика, мы
придаем особое значение наглядному пояснению дифференциальных ; I
форм и токов в R,3. Здесь также получается отличающееся от до сих i
пор принятого употребление «силовых линий». , I
Мы хотели бы выразить здесь благодарность профессору I
Г. И. Борхерсу (электродинамика) и доктору В. Егеру (теория инте- I
грирования) за дружескую помощь. I
Г. Грауэрт, И. Либ • I
Гёттинген, март 1968 |
х) На этом основании ЗЬ во многих современных к нигах по физике называют I
также псевдовектором (аксиальным вектором). I
Глава I
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Развитая в последней главе первого тома теория интегрирования!
во многих отношениях является неполной. Прежде всего, в качестве
области определения рассматриваемых функций мы допускали только-
замкнутые ограниченные промежутки, однако для приложений
особенно важны интегралы, распространенные на всю действительную
ось. Далее, мы только коснулись важных теорем сходимости теории
интегрирования (перестановка интегрирования с другими
предельными процессами), хотя именно они и отличают интеграл Лебега
от других понятий интеграла. Наконец, связь между
интегрированием и дифференцированием была рассмотрена только в очень узких
рамках.
Мы изложим теперь более полную теорию интегрирования и
притом сразу для функций нескольких переменных. Результаты пер-
вого тома можно получить заново как частный случай этой теории.
При этом понятия будут сформулированы в такой общности, что бе&
дальнейших трудностей их можно перенести с Шп на произвольные
локально компактные пространства.
Как и в случае одной переменной, наш путь ведет от ступенчатых
функций через функциональные области к интегрируемым функциям^
§ 1. СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
Прежде всего мы хотим установить некоторые обозначения. С по-
мощью максимум-нормы |х| = max |#v| мы вводим в n-мерном
числовом пространстве Кп = {х = (хи . . ., xn):xv £ R<} открытые
и замкнутые множества, а также окрестности и е-окрестности
(см. т. II, гл. I, § 1 и гл. II, §§ 1 и 2); е-окрестность точки х0 £ Кт
есть открытый тг-мерный куб ч
^е(х0) = {х: |х — х0|< е}.
Покрытием множества М а Кп называется такое семейство-
™ = {Ui: i 6 1} множеств Ul в пространстве Dln, снабженных
индексами, что М cz {j Uh; при этом / — совершенно произволь-
яое множество индексов. В случае когда множество индексов
конечно, покрытие называется конечным. Покрытие °И называется откры-
474 Том III
тым, если все f7t открыты, и замкнутым, если все Uh замкнуты.
Множество А а Кп называется компактным, если каждое его
открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Множество А
компактно в том и только в том случае, если оно замкнуто и ограничено.
Важными примерами таких множеств служат замкнутые кубы QT =
= {x:|x|<r}, r>0.
Дадим теперь определение ступенчатой функции одной
переменной в такой форме г), чтобы его сразу можно было перенести
.на случай нескольких переменных. Пусть
я = #i < #2 < аз <. • • • < #s-i <С #в = Ь
— точки промежутка [а, Ь]; кроме того, положим а0 = —с» и а,+1 =
= +°°. Пусть и^ = {ж 6 R: Лц ^ ^ ^ #n+i} при [г = 0, 1, . . ., $.
Промежутки U^ \i = 0, . . ., 5, образуют конечное замкнутое
покрытие пространства 01, которое, очевидно, однозначно
определяется разбиением
8 = (ai, а2, . . ., ав),
а ступенчатой функцией £ на промежутке [а, Ь], соответствующей
разбиению 8» называется действительная функция, определенная
на этом промежутке и постоянная на каждом из открытых
промежутков
S
£/* = {*: a]i<x<a]i+i}=Uli — U UH.
Если мы еще положим t(х) — О при х (£ [а, Ь], то мы получим функцию
^(которую мы снова будем обозначать буквой t), обладающую теми же
свойствами и, кроме того, отличную от нуля самое большее лишь
на ограниченных промежутках Z7J. Будем также называть функцию
£ ступенчатой функцией, соответствующей покрытию
пространства R, промежутками, и обобщим это понятие на случай
функций нескольких переменных.
Пусть 41 — {#i}iei "~ конечное замкнутое покрытие
пространства 01п. Для каждого непустого множества индексов / = {i0, . . .
. . .,ir} cz / положим
Uj=u{4 lr,= n uu
^=^l0,..,lr> = ^- и ин.
Множества Uj не обязательно замкнуты. Семейство всех таких
множеств для всевозможных J cz I обладает следующими свойствами:
(0) Щ*. .... ^ с= Ul0, UH, . . ., Ulr;
) Мы пользуемся обозначениями и понятиями, введенными в гл. VII ч. I.
Гл. I. Интегрирование в n-мерном пространстве 475
(1) при J Ф К пересечение Uj{\U% = 0;f
(2) C/t0= U Щ, т. е. при фиксированном i0 множества U*l0t llt ,,.t lry
образуют покрытие множества Z7l0.
Свойство (0) очевидно. Чтобы проверить (1), положим/= {i0, . . .
^ . ., ir} и К = {к01 • • •» ^s} и допустим, что к0 $/. Тогда, согласно
определению, ни одна из точек множества ищ не принадлежит
множеству J7J; в частности, множество *7*Хо Xs} с {7Ко имеет с t/* пустое
пересечение. Столь же легко проверить и (2). Если, например, х£ UlQ,
<го обозначим через ip, р = 1, . . ., г, все остальные индексы, для
но
'to
которых х е и10. следовательно, х 6 Ul0 f] Utl f]. . . П Ulr,
х (J U Uk, т. е. х £ f fto,.... ir>- Тем самым включение J7,
с U ^ доказано. Обратное включение следует из (0)»
Так как множества Ul покрывают все пространство, то на
основании свойства (2) и множества £7*, где / с: /, образуют некоторое
покрытие °И* пространства Шп, причем ввиду (1) элементы покрытия
41* попарно не пересекаются.
Мы будем называть покрытие
4L* разбиением
пространства Шп.
Особенно важный класс
конечных замкнутых
покрытий пространства Кп
составляют параллелепипедные
покрытия. Пусть для v =
= 1, . . ., п заданы
действительные числа a*v> < a<v> <
< . . . <a(v>. Положим еще
«<v> =
введем обозначение
Яоц ■*>-<* 6 Иж: <><
оо и a<v> 4 = +оои
%♦;
%^
Ulofi |
Чм'
-г
0
и <
им $\
i
I
! им
и№
2
- %)
U(W) '
I иМ
ит
>
*л»
^
^
<^v<4Vv+i' v=1» •••. nY
Рис. 51.
Параллелепипедное(прямоугольное) покрытие плоскости.
Очевидно, U(nu ...jM> ) — замкнутые множества, ограниченные
кусками гиперплоскостей (параллельных координатным
гиперплоскостям). Если ни один из индексов jliv не равен нулю или sv, то
множество U^u ##.>)1Х ) является компактным прямоугольным
параллелепипедом. Покрытие °li = {U^1% ...f [i )} мы будем называть параллелепипед-
ным покрытием пространства 01п, определяемым числами а^
(множеством индексов служит совокупность всех w-наборов ([х1? . . . , \in) 6
€ Zn, у которых 0 ^ \iv ^ sv). На рис. 51 показано одно из паралле-
лепипедных покрытий плоскости при s4 = 3 и s2 = 4.
476
Том III
Ясно, что Ufat.,.ilx ) есть в точности открытое ядро множества
tfoii. ...,.*V (He пУтайте обозначений Ufa ^> и Ufa ^.>!) При
п = 1 «параллелепипедное цокрытие» просто является покрытием
прямой конечным числом смыкающихся концами замкнутых
промежутков и двумя замкнутыми полупрямыми, которое мы
рассматривали выше.
Определение 1.1. Действительная функция t в
пространстве Кп называется ступенчатой функцией при конечном замкнутом
покрытии 41 = {Ut: i £ /}, если
1) на всех множествах 17*, где / с: /, функция t постоянна:
2) если множество Е7"{1(Ь ..., lry = Ul0 f] • • • П C\r не компактно, то
*U0l..., ir> = °-
Первое требование этого определения уже знакомо нам по теории '
интегрирования для функций одной переменной. Второе требование
в первом томе отсутствовало, так как там мы рассматривали только
функции на компактных промежутках.
Как и в случае одной переменной, соответствующим образом
изменяя значения ступенчатой функции £, мы можем получить из нее две
полунепрерывные ступенчатые функции. Пусть, например, функция
t определена при покрытии °И = {Ub: i £ /}. Мы полагаем:
t JU7= mint (U1),
~t\Uj = mbXt(UK).
W KCJ
Разумеется, при нахождении максимума и минимума принимаются
во внимание только непустые множества U&. Очевидно, t<% и ~t% —
ступенчатые функции при покрытии °И и % ^ ^ ^ %. Чтобы
доказать, что функции % и tqi полунепрерывны, нам нужна
Лемма 1. Для каждого J с / множество JJ' = (J UK открыто.
k<zj
Доказательство. Множество А = [} Ut как конечное
объединение замкнутых множеств снова замкнуто и, кроме того,
имеет с U' пустое пересечение. Если х$А, то х£ J7£, где LaJ>
и потому х £ U'. Таким образом, множество U' является
дополнением множества А и, значит, оно открыто.
Лемма 2. Функция t% полунепрерывна снизу, а функция %
полунепрерывна сверху.
Гл. I. Интегрирование в п-мернол пространстве
477
Доказательство. Пусть х0 £ И1П, например х0 6 Uj,
я с — число, удовлетворяющее условию c<Ct^(x0). В силу леммы
1 множество U' = (J ?7к является окрестностью точки х0, и если
KCZJ
х — произвольная точка этой окрестности, скажем х £ U£ (где L cz
сг /), то
с < * (хо) = min * (ITS:) < min * (U*K) = t(x).
-U KXZJ KCZL ~*и>
Поэтому функция tgi в точке х0 полунепрерывна снизу. Точно так
же можно доказать, что функция t% полунепрерывна сверху.
Если ступенчатая функция t определена как при покрытии Ч,
так и при покрытии f*, то функции ty и tcyo (соответственно Ьец и t<yo)
могут и не совпадать. Связь между функциями t и £, о которой мы
говорили в первом томе, будет объяснена позже.
Множество всех ступенчатых функций при некотором
фиксированном покрытии Ч, очевидно, образует действительное векторное
пространство, которое мы будем обозначать через £Г(Ч). Так как
покрытие Ч конечно, пространство S*(4) конечномерно. Чтобы
иметь в своем распоряжении достаточно много ступенчатых функций,
нельзя обойтись одним единственным покрытием пространства Кп,
а нужно переходить ко все более «мелким» покрытиям.
Определение 1.2. Говорят, что покрытие Ч = {UL: i £ /}
вписано в покрытие °JT — {Vx: х*£ К}, если для каждого i 6 /
существует такой индекс х £ К, что Ut cz UK. В этом случае пишут:
Как и для разбиений промежутка, для данных конечных
замкнутых покрытий Ч — {{/,,: i 6 1} и f* = {VH: х 6 К} можно построить
покрытие, вписанное и в Ч и в ТТ. Положим W^X) = U^V^.
Тогда W = {W(it и/, (i, x) £ / X К) снова является конечным
замкнутым покрытием пространства 01п, и так как W^ K) cz £/t, FK,
то W* ^.Ч, Т. Покрытие W мы будем называть произведением
покрытий Ч и Т и писать W = Я1-Т или, короче, W = ЧТ.
Для произвольного подмножества индексов
J = {(hi *o). • • •» (lr, xr)} cz I X К
положим /i = {i0, ц, . . ., ir} и докажем формулы
WV<= 17,,; T^c Vfi.
Имеем
Wj=Ulof)V„0{)...{)Ulrr}V„rc=Ulo()...()Ulr= fl ffi,
i£Jt
478 Том III
откуда следует первая формула. Далее, если i* (J Ju то для каждого
индекса % £ К пара (i*, и) (J /. Поэтому
U^ = U #i* П V„= U <7i* fl VKcz U ^а,х)>
хек хек (I, х)егхк
a*,x)$j" a, x)$/
U C/tc= U Wa,x),
ie/1 d,x)eixK
(i,x)$J
откуда
WJ=W>— U ^.„c^,- U Ux = WJx.
d,x)eixK i$j"t
(t,x)$/
В качестве следствия получаем:
Лемма 3. Если t £ &(Я1), то и t £ ^(U-T).
Лемма 4. Если t 6^"(%) u °}Г — произвольное конечное
замкнутое покрытие, то t<%^ ^.^ ^ %.^^ %•
Доказательство. Пусть снова %-Т — {W(ltK)}.
Допустим, что точка х содержится, скажем, в W* cz [/jj (где Ji имеет
тот же смысл, что и раньше).'Тогда
t (х) = min t(W*K).
Каждое Wk является подмножеством некоторого Ukv где К^ cz /lr
и если W* Ф 0, то выполняется равенство £(И^) = t{U^. Так
как из [/&! = 0 следует, что и Wk = 0, то мы в самом деле имеем
* (х) = min t {W& > min t(U^ = t (x).
-Wlr* kc/ KidJi -w
Доказательство для функции t проводится аналогично.
Определение 1.3. Система Л = {11} конечных замкну*
тых покрытий пространства В1п называется допустимой, если
1) Вместе с покрытиями °IL{ и Я12 системе Jh принадлежит и их
произведение ЯЬ^Иъ-
2) Пусть Т = {Vx: и = 0, . . ., к} — произвольное конечное
открытое покрытие пространства Шп, обладающее тем свойством»
что для подходящим образом выбранного г ^ 0 множество Кп —
о
— QT= {х: |х| ^ г} целиком содержится в некотором Ую
например в V0. Тогда существует такое покрытие ЯЬ 6 Jk, что Я1 ^ Т*
Из второго условия, к примеру, следует, что допустимая система
всегда содержит бесконечное множество покрытий.
Лемма 5. Система (£ всех параллелепипедных покрытий допуг
стима.
Гл. /. Интегрирование в n-мерном пространстве 47Э
Доказательство. Очевидно, система $ удовлетворяет
первому требованию. Пусть теперь JT = {V0, . . ., Vk} —
конечное открытое покрытие пространства Шп, для которого Кп — Qr a
cz V0- Каждая точка х £ QT принадлежит некоторому Fx и, так как
у% открыто, найдется такое (зависящее от х) число е(х) > 0, чта
U2e{s) (x) c V*' Множества W(x) = Ue(x) (х), x £ <?г, образуют
открытое покрытие 5F куба Qr. Ввиду компактности куба Qr
покрытие W содержит конечное подпокрытие {W(xt): i = 1, . . ., s}+
Поэтому для каждого i и соответствующим образом выбранного*
х(0 имеют место включения
W(xt)cz U2e{Xi)(Xi)cz Vm).
Положим б = min б(х^), выберем настолько большое натураль-
i=l,...,s
ное число £, чтобы -—j< б, и для v = 1, . . ., п определим
а£2== —r+- -(|iv — 1) при pv=l, ..., t.
t — 1
Таким образом,
«i = — r, at = + r, a,. — a» _! == — < о.
г — 1
Соответствующее числам а[^ параллелепипедное покрытие 4L про-
2Г
странства Кп состоит из кубов с длиной ребра -—j <6и некоторых
t —— 1
неограниченных множеств. Мы покажем, что °И ^ ТГ. Пусть
сначала множество i7(nlf... t(ln) £ % компактно, т. е. 1 ^ [iv ^ £ — 1.
Тогда выполняются неравенства |а£^| ^г и |a£*Vil ^ г> и потому
^0*i.... ,ил) <= (?г- Пусть (для некоторого определенного индекса ъ)
пересечение [7(W йп) f|^(x<) Ф 0 и хо — какая-либо точка этого*
пересечения, а точка х £ {7(Jllf... t ^ произвольна. Из оценки
|х - х,| < |х — х0| + |х0 - х*|< б + е(х,) < 2е(Х|)
следует, что х £ С^х^х*)- Поэтому
^<Hi. • • •> йп)^ ^2e(xf) (Xj) CI V^ty
Если множество {/(щ,..., цп) не компактно, то для всех точек
х ^ ^(Mi,..., чп) выполняется неравенство |х| ^ г. Поэтому
1-т О
°(ui |цп) cz Kn — <?r cz F0- Тем самым наше утверждение
доказано.
480
Том III
Пусть теперь Jk — какая-нибудь допустимая система покрытий*
мы положим
*Г(А)= U Г СИ),
ж элементы множества £Г{Л) будем называть ступенчатыми
функциями при системе Jk.
Теорема 1.1. Множество всех ступенчатых функций при
^допустимой системе Jk является действительным векторным
пространством. Если пространству &*{А) принадлежит функция t,
то ему принадлежит и функция \t\.
Доказательство. Нам нужно доказать, что 1) вместе
« *i, h 6 S^(Jk)^u ti + t2 6 &{<&) и 2) если с £ 01 и t£ *f(Jk), то
ct £ S*{<A). Остальные аксиомы векторного пространства получают»
<,я автоматически, так как все действительные функции на Кп
образуют векторное пространство и, кроме того, 0 6 2Г{А).
Доказательство свойства 2) тривиально. Докажем свойство 1). Пусть,
например, tt £ &(%) и t2 6 &Щ2), где Чи °И2 € <А. Тогда
%-Щ26^ив силу леммы 3 функции tu t2 6 «У^ЭДг^г)» а потому
*i + h 6 У(%г%2) сг ЗГ(<4). Последнее утверждение теоремы опять
тривиально.
Так как
1
max ft, t2) = -g («1 + Ь +1 <8 — *il),
minft, *2) = -max(-^, —£2)> *i, *2 £ ^(^)»
пространство ^(*^) замкнуто и относительно взятия максимума
и минимума.
Укажем еще, как связаны операции t —> t<% и t —> ^ с
операциями в векторном пространстве. Пусть £, £1? £2 — ступенчатые
•функции, которые можно считать заданными при покрытиях %
Лемма 6.
(1) И^= c{tn), (c?)^= c{tn) при с > 0;
(2) Ы)^ —(*я). М)«= -(%);
(3) (^1 + fiOffj-ffp, ^ *1^4 + *Sff2'
(4) (ti + t2)%i.<%2 < ^1 + *2^2;
(5) (fr — *2)ff|.ff», > *i^t — *2^2"'
(6) (*4 — h)^^^ ^ ?1^1 — ^2^2*
Гл. /. Интегрирование в n-мерном пространстве
481
Доказательство. Правила (1) и (2) тривиальны. Вот
доказательство правила (3): по лемме 4
{к + к) > (ti) + (t2) > ti +t2 -
Остальные правила доказываются по той же схеме.
§ 2. МЕРЫ РАДОНА
Определение 2.1. Пусть of — некоторое векторное
пространство действительных функций, определенных в R/1. Линейная
форма 2 в пространстве <У называется положительной, если для
каждой функции / £ &, удовлетворяющей условию / ^ О, т. е.
/(х) !> О Для всех х 6 П^п» выполняется неравенство 2(/) ^ 0.
Таким образом, положительная линейная форма 2
характеризуется следующими четырьмя свойствами:
1)2(/)еШ, ч
2) 2(/ + g)=2(/) + 2(£),
3) 2(с/) = с2(/),
4) из />0 следует 2 (/) >0, J
f/, S€^, ^€^.
Из этих свойств сразу вытекает
4') из /4 </2 следует 2 (Л) < 2(/2).
В самом деле, так как /з — Л ^ 0, то 2(/2) — 2(/0 =
- 2(/2 - Л) > 0.
Чтобы построить положительные линейные формы в
пространствах ступенчатых функций, дадим следующее
Определение 2.2. Пусть Q — компактный параллелепипед
{(*„ ..., хп): xve[aM, Ьм], v = l п}.
Объемом (евклидовым) параллелепипеда Q называется число
/(<?)= П (6(v)-«(v)).
v=i
Пусть теперь °IL — некоторое параллелепипедно^ покрытие
и <ИГ(°11) — соответствующее векторное пространство ступенчатых
Функций. Если t — произвольный элемент пространства UTifW),
то мы положим
0<M-v<sv
При этом если покрытие % определяется числами а(^\ И ^ jliv ^ sv,
1 ^ v ^ ?г, то /(» ц ) обозначает объем компактного параллеле-
31—832
482 Том III
пипеда U^v . . . t »пъ так что
п
/(!*„ . .., И») = П («Ц+i - «Э ПРИ ° < ^v < «».
v=l
Очевидно, 2(£, %) есть положительная линейная форма в
пространстве 3~(°11). На пространстве J~($), соответствующем системе $ всех
параллелепипедных покрытий, мы по определению положим
Щ) = 2(t, Я), если 1£*Г{Ч).
Теорема 2.1. 2 есть положительная линейная форма в
пространстве £T((ji).
Доказательство1) (ср. с теоремой 1.3 гл. VII т. I).
Нам нужно показать, что форма 2 определена независимо от выбора
покрытия. Это имеет место в том и только в том случае, если для
t 6 3~{°11\) и произвольного покрытия °Иг
2(£, <Ui) = 2(*r <Ui-U2).
Если покрытие 41^ определяется числами щ?\ а покрытие <?/2 —
числами fepV), где 1 ^ \xv ^ sv, 1 ^ pv ^ rv и v = 1, . . ., п, и если
1(и , ..., ц ), (р , ..., р ) — объем компактного параллелепипеда
u(nlt ...,iin), (рг ..-,рп)' то
2 (t, UrU^= 2 * (U<Ll, . . ., Hn). <Pl. • • m PH>) Allf • • M H7l), (Pi. • . м Pit)"
Pi, • ♦, Pti
0<|iv<sv
0<pv<rv
При этом суммирование производится лишь по тем индексам, для
которых
Utu .♦.. M-n), (Pi. -.., Рп)=^ &•
Для этих индексов
t (tf(*nlf . . ., цп), (plt . . ., pn)) = * (U&,u . . ., |in)),
и остается показать, что
2j Ань . . ., M<n). (Pi. • • •» Pn) = ■* (Hi. . • •. Vn>
Pi, • .., On
0<pv<rv
Если мы обозначим числа bpV\ удовлетворяющие условию а^ <С
< bpV) < a^,v в порядке возрастания через c<v>, c<v> , . . ., c/jii
х) Доказательство тривиально; не тривиальны только обозначения.
Гл. I. Интегрирование в n-мерном пространстве
483
я положим ср) = а™ и СС} = а™+*> T0 будем ИМеТЬ
п
v=i
п
2j ^(щ, . . ., Hn>, (Pi, . . ., Pn) == 2j 11 \Cov ^v-1''
Pi, . . ., Ртг аь • • •, ?n v==l
0<pv<rv l<av^v
Тогда
п (^ - ^) = й <<*? - <'-*+<*:}-i - ^+• • •+& - &) «
v=l v=l
= П 2 (<>-<>-<) =
v=l av=l
= S П (<}-«SJ-O.
Это и требовалось доказать.
После того, как мы указали особенно важную положительную
линейную форму (2(£) в случае п — 1 есть риманова сумма функции
t), мы введем теперь с помощью функциональных областей
интегралы относительно произвольных линейных форм. Хотя снова тот
факт, что наша основная область не компактна, делает определение
этих понятий более сложным, все же можно заметить аналогию
с конструкциями из т. I.
Определение 2.3 (см. определение 1.5 гл. VII т. I)1).
Пусть h и g — две функции, определенные в пространстве Лп,
обладающие следующими свойствами:
1) функция h полунепрерывна сверху, а функция g
полунепрерывна снизу;
2) для всех х £ Rn выполняется неравенство h(x) < g(x);
3) существует такой куб Qr, что для всех точек х £ Rn — Qr
выполняется неравенство Цх) ^ 0 < g(x), или для всех точек
х £ Щп — (?г выполняется неравенство h(x) < 0 ^ g(x).
Множество всех функций / (со значениями в замкнутой числовой
прямой 01 = Ши^00, — °°}), удовлетворяющих во всех точках
х £ 01п неравенствам h(x) ^/(x) ^g(x), а во всех точках х, в
которых /(х) Ф ± оо, неравенствам h(x) < /(х) < #(х), называется
псевдофункциональной областью, определяемой функциями hug. Это
*) Основным является понятие функциональной области.
Псевдофункциональные области мы рассматриваем из-за технических соображений, связанных
с Доказательствами.
31*
484
Том III
Рис. 52. Функциональная область над R,.
множество мы будем обозначать символом jFl/i, g]- Если существует
такой куб Qr, вне которого всегда h(x) < 0 < g(x), то множество
jH/i, g] называется определяемой функциями h и g функциональной
областью. Окрестностью функции / называется любая
функциональная область, содержащая функцию /.
Грубо говоря, функциональная область, соответственно
псевдофункциональная область, состоит из всех функций, лежащих между
h я g. Свойства 1) — 3) гарантируют, что в функциональной области
всегда содержатся
ступенчатые функции. Каждая
функциональная область,
естественно, является и
псевдофункциональной областью.
Из теорем о максимуме и
минимуме полунепрерывных
функций (теорема 2.4 гл. IV
т. I), которые, разумеется,
справедливы и для функций
нескольких переменных,
сразу следует, что пересечение двух окрестностей функции / снова
является окрестностью этой функции. На рис. 52 изображена
функциональная область в случае одной переменной.
Буквой Л мы будем ниже всегда обозначать некоторую
допустимую систему покрытий, а символом 3~{&) — соответствующее
векторное пространство ступенчатых функций. Имеет место
Теорема 2.2. Пусть ер = ep\h, g] — некоторая псевдофунк-
о
циональная область. Пусть вне заданного куба Qr = {х: |х|<г}
выполняются неравенства h(x) ^ О <С g(x). Тогда существует такая
ступенчатая функция
t 6 S*(U) cz £T{Jk),
что
1) если х £ Qr, то h(x) < t%(x) ^ %(x) < £(x)'»
2) если x 6 Dln — <?r, mo 0 < %(x) < %(x) < g(x).
о
Если вне куба Qr выполняются неравенства h(x) < О ^ g{x), то можно
найти такую функцию t £ S'ftl) cz ЗГ{А), которая наряду с
условием 1) удовлетворяет условию
2') если х G 01п — Qr, то h(x) < %(x) < %(х) < 0.
Доказательство. Достаточно доказать первое
утверждение.
Функция fe*, определяемая условиями: А*(х) = h(x) при |х| <С
и /г*(х) = 0 при |х| ;> г, также полунепрерывна сверху и удовле- j
творяет неравенствам h ^ h* <С g.
Гл. I. Интегрирование в n-мерном пространстве 485
Поставим теперь каждой точке х0 £ QT в соответствие такое число
с(х0) 6 ft» что ^*(хо) <с(хо) <g (хо)- В силу полунепрерывности обеих
функций А* и g у точки х0 существует такая открытая ограниченная
окрестность V = F(x0), что Л*(У) < с(х0) < g(V). Система
окрестностей V(x0) для всех точек х0 £ (?г образует открытое покрытие
куба QT, из которого ввиду компактности этого куба можно
выделить конечное подпокрытие F4 = F(x4), . . ., Vk = V(xk). Положим
c% = c(xx), x = 1, . . ., А, и, кроме того, V0 = Kn —• QT и с0 = 0.
Тем самым мы получили конечное открытое покрытие f =
= {^х: х = 0, . . ., &} пространства Кп и такие числа с0, . . ., ск,
что при x£Vx и х=й=0 непременно fe*(x) < сх < ^f(x). Если же
о
х £ F0, то /г*(х) ^ с0 < g(x). Так как множество Кп — Qr+i
содержится в V0, то по определению допустимой системы покрытий
найдется покрытие 41 = {UL: t £ /} из системы А, вписанное в ТГ.
Для каждого индекса i 6 / всегда можно выбрать такой индекс
<p(i) £ {0, . . ., /с}, что J7t cz FV(t). Пусть теперь / cz / — непустое
множество индексов. Выберем число dj £ 01, удовлетворяющее
неравенствам
min сф(1) ^ dj ^ max сф(1)
и положим при х £ U*
t(x) = aj.
Мы покажем, что функция t удовлетворяет требованиям нашей
теоремы.
По определению функция t на каждом множестве U* постоянна.
Далее, Uj cz f) V^y. Поэтому если замкнутое множество Uj
не компактно и, значит, не ограничено, то не может быть
ограниченным ни одно из множеств V^). Следовательно, Тф(1) = V0
для всех i 6 /, и потому ctj = с0 = 0. Мы видим, что t £ f(4l).
Если К —непустое подмножество множества /, то имеют место
включения U* с: Uj cz UK. Для каждой точки х £ UK, поскольку
UK cz (] ^ф(1), по определению чисел ак выполняются неравенства
h (x) < h* (x) < min сф) < ак < max сч<1) < g (x).
Эти неравенства тем более верны и в Uj. Таким образом, при х £ Щ
Для произвольного множества К cz / мы получаем: h(x) ^ /г*(х) ^
^ ак = HUk) < g(x). Далее, отсюда следует, что
h (х) < h* (х) < min t {U*K) =t (x)< £ (x) = max * (£/£) < £ (x).
KCJ" "^ # K(ZJ
Тем самым'доказаны неравенства 2) и одно из неравенств 1).
Пусть теперь х0 £ (?г. Если тогда точка х0 принадлежит Щ
и 1 6 «Л то множество Ub не содержится в V0 = Rn — (?г, и потому
486 Том III
cp(i) ф 0. Следовательно, на V\p(L) выполняется строгое неравенство I
й*(х) < сф(1) < g(x) и для произвольного К cz / и всех точек I
х £ Uк (в частности, и для х = х0) имеем
h (х) < й* (х) < min сф(1) < ая.
Отсюда, как и выше, заключаем, что
й (х0) < h* (х0) < min I (U*K) = t (x0).
KCJ" "»
Тем самым и первое из неравенств, утверждаемых в теореме,
полностью доказано.
Определение 2.4. Мы будем говорить, что ступенчатая
функция t £ £Г(А) целиком содержится в функциональной области
IF = JF\h, g], и писать
если существует такое покрытие °И £ Jk, что
term, t ер, t e&.
Пусть ер = ^[й, g] — какая-нибудь функциональная область
о
и QT — такой куб, что на множестве Bln — QT выполняется
неравенство Й< 0 < g. Если тогда t — ступенчатая функция,
удовлетворяющая условиям теоремы 2.2, то £ 6 6 JF- Таким образом (по
аналогии с соответствующим утверждением из первого тома),
справедлива фундаментальная
Теорема 2.3. Для каждой функциональной области Jp
существует такая ступенчатая функция t £ 3~(А), что t £ 6 3F*
В дальнейшем нам понадобится еще
Теорема 2.4. Пусть jF = JFlh, g] — некоторая
функциональная область и t £ £T(Jt) — ступенчатая функция,
удовлетворяющая для подходящим образом выбранного покрытия °ll (i Jh
неравенству t<u <C g (соответственно t<u> й). Тогда существует такая
ступенчатая функция т £ £ IFi чт<> t ^ т (соответственно ^ t).
Доказательство.. Выберем произвольную ступенчатую
функцию т* 6 6 3F и положим т = тах(£, т*) (соответственно х =
= min(£, т*)).
Теперь представим себе, что задана произвольная (не
обязательно положительная) линейная форма 2 в £Г(<&)*
Определение 2.5. Функция / в пространстве В1п называется
интегрируемой относительно линейной формы 2 (короче:
^-интегрируемой, или же, если ясно, о какой форме идет речь, просто
интегрируемой), если существуют такое действительное число А-
J
Гл. I. Интегрирование в п-мерном пространстве 487
и для каждого 8 > 0 такая окрестность Jf = J^[A, g] функции /,
что для каждой ступенчатой функции £66^ выполняется
неравенство \I»(t) — А\ < е.
Если линейная форма 2 произвольна, то может случиться, что
не существует ни одной функции, интегрируемой относительно 2.
Поэтому мы сформулируем
Определение 2.6. Линейная форма 2 в пространстве
У(Jk) ступенчатых функций называется мерой Радона, если функция
дх) == 0 является 2-интегрируемой.
Линейные формы и, в частности, меры Радона по большей части
обозначают в литературе малыми греческими буквами X, \i, v, т, . . .;
мы примем это условие. Если \i — некоторая линейная форма и / —
функция, являющаяся fi-интегрируемой, то существует ровно одно
число А, обладающее требуемыми в определении 2.5 свойствами;
доказательство этого факта проводится дословно так же, как в т. I,
см. теорему 2.1 гл. VII. Число А называется интегралом от
функции / по пространству Rn относительно линейной формы \х (или
jn-интегралом) и обозначается символами
А= £ /(х)ф, A=$fd\i.
Вместо «|л-интеграл» чаще всего не точно говорят «интеграл».
Теперь нам нужно привести примеры мер Радона. Прежде всего
уясним себе, в чем состоит требование определения 2.6. Пусть \i —
какая-нибудь мера Радона и А = | 0 d\i. Так как функция 0 и сама
является ступенчатой функцией, целиком содержащейся во всякой
своей окрестности, для каждого 8 > 0 должно выполняться
неравенство J|jt(0) — А | < 8. Поскольку (li(0) = 0, отсюда следует, что
А = 0. Поэтому линейная форма \i является мерой Радона в том
и только в том случае, если для каждого 8 > 0 существует такая
окрестность ер функции нуль, что для каждой ступенчатой функции
t 6 6 JF выполняется неравенство \\i(t)\ < 8. Это — некоторое
условие непрерывности, налагаемое на линейную форму \i.
Теперь будет доказана важная
Теорема 2.5. Каждая положительная линейная форма
\i является мерой Радона.
Доказательство. Окрестность функции 0, которую мы
Должны найти по заданному 8 > 0, будет иметь вид $р\—г), т]],
где т] — некоторая функция, полунепрерывная снизу. Эту функцию
мы построим следующим образом. Выберем для X = 0, 1, 2, ...
неотрицательную ступенчатую функцию tx, носитель которой, т. е.
множество {х: £д,(х) Ф 0}, целиком лежит вне некоторого
компактного куба Q\-2\ при этом мы будем предполагать, что кубы <?я-2
при X = 2, 3, 4, ... образуют монотонно возрастающую последо-
488 Том III
вательность множеств, исчерпывающую все пространство. Тогда щ
оо
для произвольных с я > 0 можно образовать сумму 2 с^%- При
должным образом подобранных коэффициентах с^ эта сумма и даст
нам искомую функцию т|. Обратимся теперь к деталям
доказательства.
Пусть, как всегда, Qv = {х: |х| ^ v} — куб с длиной ребра 2v
о
с центром в точке 0 и Qv = {х: |х| < v} — открытое ядро куба Qv,
Мы положим еще Q_t = 0. Пусть теперь при v = 0, 1, 2, . . .
V, = <?v+i - <?v-i, Wv = Dln - &_,.
Тогда для каждого целого числа X^>0 система Т*х—{^оч ...
. . ., V\, PFa,+i} является конечным открытым покрытием простран-
о
ства Rn. Для покрытия Т\ существует такой открытый куб Qr (напри-
о о
мер, Q\+i), дополнение R,n — Qr которого содержится в И^+1.
Поэтому ввиду допустимости системы Л найдется покрытие °11^ 6 Ж
вписанное в покрытие ТГ%- Пусть °И\ = {Ut: i 6 1} (для простоты
индекс Я, мы в правой части не пишем). Тогда положим
г 1, если U ^cFxUFx-i,
J I 0 в противном случае1).
Таким образом, tx есть ступенчатая функция при покрытии ЭД^.
В самом деле, на множествах £/#, где К а J, функция ^ по
определению постоянна, и если множество Uk не компактно, то непременно
th{U*K) = 0, потому что в таком случае множество Uk не может
содержаться в ограниченном множестве V\U^jl-i- Очевидно также, что
tb(U*j) = mintx(U*K),
k<zj
т. е. t% = {ty)qi ; отметим еще, что
(1) Функция tx полунепрерывна снизу.
Далее, имеем1):
(2) «хЮл-2 3зО,
(3) «хЮх-^x-i-l.
Доказательство утверждения (2) тривиально: так как фя-гП
fH^JtU^JL-i) = 0) то ни одна точка х 6 Qk-2 не может содержаться
в таком множестве U*, для которого U Uh cz V^U^n-i- Утвержде-
ние (3) следует из соотношения х)
*) При этом нужно считать, что V^ — F_2 = Q-2 — 0*
А
Гл. I. Интегрирование в n-мерном пространстве 489
Так как каждое множество Ut содержится в некотором Уф(о, то
в силу этого соотношения те множества Uu которые содержат точки
о
из(?я __ Q%_u должны лежать в V^ или в F^. Поэтому при х £
^q% ___ Qx_t функция tx имеет значение ^(х) = 1.
Выберем теперь такую последовательность (с^) положительных
оо
чисел, где Я = 0, 1, . . ., что 2 сх^х) < е, где е — данное
оо
положительное число. Пусть тогда г) = 2 с^\- В силу свойства (2)
этот ряд сходится в каждой точке, потому что всякая точка х при
достаточно большом Я0 лежит в кубе (?а,0-2, так что лишь при Я< Я<>
значение t%(x) может быть отлично от нуля. В силу (1) функция ц
в каждой точке х £ Dln полунепрерывна снизу, а в силу (3) всегда
yj(x) >0. Поэтому функциональная область jr = JF[—r\, ^1
является окрестностью функции нуль. Пусть теперь £ 6 € JF —
произвольная ступенчатая функция. Так как для подходящим образом
выбранного Я0 функция i на Кп — Qx0-i равна нулю, имеют место
неравенства
А, А,
- 2Jcfc*x<*< fiCxh-
А,=0 А,=0
Поскольку линейная форма \i предполагается положительной,
отсюда далее следует, что
А-о А-о
-е<- J схц (<0 < ц (*)< ScMl(*0<8»
А.=0 А,=0
т. е. И*) К б,
что и требовалось доказать.
На основании этой теоремы положительные линейные формы
мы будем также называть положительными мерами.
В заключение извлечем еще из теоремы 2.4 одно полезное
следствие.
Теорема 2.6. Пусть \i — положительная мера, s > 0 —
произвольное число и ер — JTlh, g] — такая окрестность функции
нуль, что для каждой ступенчатой функции t £ £ JF выполняется
неравенство \\i(t)\ < 8. Если тогда т — какая угодно ступенчатая
Функция, для которой т < g, то \i(%) <i е; если же т > А, то [г(т) >
> -8.
Для доказательства выберем, согласно теореме 2.4, такую
ступенчатую функцию т* 6 £ JT, что т ^ т*. Тогда (ы(т) ^ ц(т*) < 8.
Аналогично доказывается и второе утверждение.
490 Том III
§ 3. НЕКОТОРЫЕ МЕРЫ РАДОНА
Наше определение интеграла является очень общим. При
подходящем выборе основного пространства £Г{А) и меры Радона \i
можно получить все понятия интеграла, играющие в анализе важную
роль.
1. Интеграл Лебега
В качестве основного пространства возьмем векторное
пространство JT($) ступенчатых функций, соответствующее системе $) иарал-
лелепипедных покрытий. Уже в предыдущем параграфе мы
построили некоторую положительную меру 2 в этом пространстве. Мера
2 называется евклидовой мерой, или мерой Лебега, в JT($) и иногда
обозначается символом dx. Соответствующий интеграл обозначают
так:
5 /(x)dx
Кп
и называют интегралом Лебега от функции /. При исследовании всех
•более тонких вопросов анализа (ряды Фурье, интегральные
уравнения, гармонические интегралы) в основе всегда лежит интеграл
Лебега.
2. Интеграл Лебега—Стильтьеса для одной переменной
Мы снова исходим из пространства £Г{&), но на этот раз только
над пространством R,1. Таким образом, элементами системы $
являются покрытия Я1 = {Uh: i = 0, . . ., г}, состоящие из
промежутков Ub = [аь, al+i], причем точки —оо = а0 <ai < ■ • ■■
. . . <С аг < аг+1 = +оо заданы как угодно. Пусть, далее, выбрана
фиксированная функция g на действительной прямой К. Для t £
(Е У (Ю положим
1=1
Легко показать, что значение 2g(£) не зависит от покрытия 41,
относительно которого определена ступенчатая функция t (для
случая g(x) = х это доказательство мы уже провели в т. Г, см. гл. VII,
теорема 1.3). Поэтому 2g определена в пространстве £Г(&)
корректно и, очевидно, является линейной формой в этом пространстве.
Если мы положим g{x) = x, то 2g в точности совпадет с
рассмотренной выше мерой Лебега 2 в пространстве R,1. Для произвольной
функции g линейная форма 2g, естественно, может больше не быть
положительной (например, если g(x) = — х), да и вообще может
Гл. I, Интегрирование в n-мерном пространстве 491
оказаться не мерой Радона. Вот пример: пусть
#sin— при хфО,
х
О при х = 0.
функция g всюду непрерывна (непрерывность в нуле следует из
неравенства \g(x)\ ^ \х\, справедливого для всех х), и тем не менее, как
мы сейчас покажем, линейная форма 2g не является мерой Радона.
Пусть задано 8 > 0, и пусть $? — JP[h*, g*] — произвольная
окрестность функции нуль. Выберем компактный промежуток [а, 6],
содержащий единичный промежуток [0, 1] и такой, что при х $ [а, Ъ]
выполняются неравенства h*(x) < 0 < g*(x). Так как функция А*
принимает на промежутке [а, Ъ] максимальное, а функция g*- —
минимальное значение, то существует число б > 0, обладающее
следующим свойством: каждая такая ступенчатая функция t £ JT((2),
что \t\ ^ б на промежутке [а, Ъ] и t = 0 вне [а, Ь], целиком
содержится в ер. Ввиду расходимости гармонического ряда найдется
такой номер v0£N, что
vo
>8.
v-1 V+T
Если теперь мы положим
t (х) = б при х 6 /v =
v0>
t (x) = 0 в противном случае,
то мы получим ступенчатую функцию £ 6 6 ^, для которой
Vo
I 2,(1)1-
v=l \
- -g
VQ
>
^и+4
492 Том III
Итак, для каждой окрестности JF функции нули существует такая
ступенчатая функция £ 6 € ^\ что |2g(£)| ;> 8, т. е. 2g не является
мерой Радона.
Если функция g определяет меру Радона 2g, то меру 2g
называют мерой Лебега — Стилыпъеса с интегрирующей функцией g,
а соответствующий интеграл от произвольной функции /
записывают в виде
Ifdg.
К
Этот интеграл Лебега — Стилыпъеса играет важную роль во многих
физических приложениях теории интегрирования, например при
вычислении моментов инерции. Легко показать, что всякая (не
строго) монотонно возрастающая функция g всегда определяет
положительную меру Лебега — Стильтьеса.
3. Мера Дирака
Выберем какую-нибудь фиксированную точку х0 f Ип и
определим в пространстве $*((§) ступенчатых функций при параллелепи-
педных покрытиях (очевидно, положительную) меру бх условием
бх (t) — t(x0) при t g JT($). Линейная форма 6Xq называется мерой
Дирака в точке х0. В электродинамике с помощью этой меры
определяют плотность точечного заряда, находящегося в точке х0. Так
как плотность непрерывно распределенного заряда в физике
привыкли описывать функцией, то и бх рассматривают как некоторую
функцию {Ь-фунщию Дирака). Вместо бх (t) в таком случае всегда
пишут
*(хо)= I *(х)6(х, Xo)dx,
где dx обозначает тг-мерную меру Лебега. Следует иметь в виду, что
действительной функции б(х, х0), удовлетворяющей этому
соотношению для всех ступенчатых функций t £ JT($), не существует.
В самом деле, сразу видно, что функция %, определяемая условиями:
Х(х) = 1 при х = х0 и %(х) = 0 в остальных точках, интегрируема
по Лебегу и что интеграл от нее равен нулю. Поскольку X € £Г{&)->
мы должны иметь (см. § 6)
1 = X W = I X (х) S (х, х0) dx= 8 (х0, х0) J х (*) dx = 0,
что абсурдно. Конечно, существуют (даже бесконечно
дифференцируемые) функции, для которых написанное выше соотношение
выполняется приближенно. Для этого достаточно взять функцию б8(х, х0),
положительную в некоторой е-окрестности Ue(x0) точки х0, равную
Гл. I. Интегрирование в n-мерном пространстве
493
нулю всюду вне этой окрестности и удовлетворяющую соотношению
\ 6g(x, x0)dx = 1. Тогда для всех ступенчатых функций £,
постоянных в окрестности J78(x0), в у
самом деле
J t(x)8s(x,x0)dx =
= * (х0) J Se (х, x0) dx = t (x0)
(см. § 6). Чем меньше е, и чем
большие значения принимает
поэтому функция б8 на все
более узкой области, тем больше
становится ступенчатых
функций, постоянных в ?78(х0), и
тем шире область, в которой
справедливо наше
соотношение. В некотором (с трудом
поддающемся уточнению)
смысле меру Дирака бХо можно
рассматривать как предел
таких функций 6Е(х, х0) (при
8-^0). Графики этих функций
имеют форму «пика» (см. рис.
53). Однако гораздо проще с
самого начала пользоваться
прямым определением бХо как
меры Радона.
| 4. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ МЕРЫ
Множество всех линейных
форм в векторном
пространстве £T{Ji), где Jk — произвольная допустимая система покрытий, снова*
образует некоторое векторное пространство, сопряженное
пространство IT (Л). Сложение и умножение на скаляры определяется при этом
формулами
(** + а,2)(*) = ш + ы*)> к, ъ е s"{Jt)>
(ck)(t) = сщ, t е *г{Л), с е R-
Меры Радона являются линейными формами, обладающими
некоторым дополнительным свойством. Мы покажем, что они образуют
векторное подпространство 2Г*(Л) пространства У'(*4). Пусть,
например, Kt и Я2 — меры Радона и задано 8 > 0. Тогда найдутся
такие окрестности jFi и jF2 функции нуль, что при £ 6 6 Jfi
выполняется неравенство \Xt(t)\ < е/2 (где i = 1, 2). Для каждой
ступенчатой функции t £ £ JF = J^i П J^2 тогда будет выполняться нера-
-ш -//« а т 1/2 / х
Рис. 53. Функции Дирака.
494 ' Том III •
венство
1(Я1 + я2)(*)|< Mt)\+ IM*)l<e,
а значит, и сумм^ kt + к2 является мерой Радона. Точно так же
убеждаемся, что если с £ 01 и к £ JT* («?#), то и линейная форма ск
принадлежит £Г*(Л).
Все положительные меры принадлежат подпространству JT* (*?#).
С помощью следующей теоремы любые утверждения о произвольных
мерах Радона можно сводить к соответствующим утверждениям
о положительных мерах.
Теорема 4.1. Каждая мера Радона \i является разностью
двух положительных мер.
Доказательство. Положим & +(d) = {t £ 3\А)\ t ;> 0}
и в качестве первого шага покажем, что для каждой функции
t 6 JT+(«7#) множество {\i(t'): 0 ^ t' ^ i) ограничено сверху. Для
доказательства выберем такую окрестность ер = ep\h, g] функции
нуль, чтобы для каждой ступенчатой функции t £ £ ер
выполнялось неравенство |ja(£)|^1, и сначала допустим, что £ £ 6 ^~
(и t £ JT+(«?#)). Пусть тогда 0 ^ f ^ t. При подходящем выборе
покрытия °И 6 Л
Отсюда сразу следует, что 7^< g, и потому £' 6 € J^. Таким
образом, ||л(0| ^ 1» т- е- множество {\ь{?)\ 0 ^ t' ^ t} (при этом
специальном выборе ступенчатой функции t) и в самом деле ограничено.
Если t — произвольная ступенчатая функция, принадлежащая
jT+(.?#), то найдется компактное множество М cz 0ln, вне которого
функция t равна нулю. Так как полунепрерывная снизу на
множестве М функция g принимает на этом множестве (положительное)
минимальное значение, то существует такое действительное число г,
что g(x) > г > 0 для всех х £ М. Пусть с0 — число, большее, чем
максимум функции t. Так как — t ^ r <C g, ступенчатая функция
£о
— £ тогда целиком лежит в ^. Для произвольной ступенчатой
Со
функции £' 6 jT+(«?#), удовлетворяющей условию 0 ^ t' ^ £, имеют
место неравенства
— *'< —*<r<g,
и потому в силу уже рассмотренного частного случая мл (— £') ^ 1,
и, значит, \\i{t')\ ^ —• Поэтому множество {\i(t'): 0 ^ t' ^ £} огра-
^о
ничено сверху числом —.
Г л, I. Интегрирование в n-мерном пространстве 495
Мы можем теперь для ступенчатой функции t £ У +(<d)
определить
ix+(t)= sup ^(0-
Тогда 0 < \i+(t) < + оо; кроме того, всегда ix(t) ^ \i+(t). Проверим
затем, что справедливы следующие правила:
(1) \i+(ct) = c\i+(t), где с — неотрицательное число и t £ ^+(^);
(2) И*1 + t2) = ji+ft) + ji+(*2) при tu t2 6 JT+M).
Доказательство (1). Случай с = О тривиален. Пусть
с > 0. Для произвольного е>0 выберем в jT+(.?#) такую
ступенчатую функцию t' ^ ct, что fi+(c£) < (li(^) + е. Тогда, пользуясь
тем, что 0 ^ — ^ t, получим
с
[i+ (Ct) < \i I С J + 8 = C\l I —J + 8 < ф+ (t) + 8.
Так как 8 произвольно, отсюда следует, что \i+(ct) ^ c\i+(t). Заменяя
в этом неравенстве с на 1/с, a i на ct, находим
|i+W=|i+(ytf)<y|i+(ct);
значит, c\i+(t) ^ \i+(ct), и правило (1) доказано.
Доказательство (2).- Пусть t[, t'2 £ ^+(^), где t'v ^ tv
и (li+(^v) < (Lt(^v) + в (при v = 1, 2). Тогда, поскольку ^ + t'2 ^
^ *i + hi имеем
^+(^l + ^2)>^a; + /2)=^(^) + ^(^)>^+(^) + fX+(fe)--28.
Так как е > О произвольно, отсюда следует, что \i+(ti + h) ^>
Чтобы доказать обратное неравенство, выберем по данному
8 > 0 такую ступенчатую функцию £', что О ^L t' ^Z ^ + t2
И jLl(£') + 8 > |А+(^± + £2), И ПОЛОЖИМ
tl = min(£', ti), t'2=t' — t[.
Тогда
О < t[ < *t, 0 < t'2 < *2, *J + t2 = *'.
(В справедливости неравенства £j ^ £2 проще всего убедиться,
отдельно рассмотрев случаи, когда t[(x) = t'(x) и когда ^(х) =
= £i(x); все остальные неравенства тривиальны.) Следовательно,
^ (h + t2)< \i (f) + 8 = \l (t[ + t2) + 8 = (1 (t[) + IX (Q + 8 <
<^+ (tt) + Jl+ (t2) + 8,
496 Том III
и потому
H+(*i + h) < ц+(*4) + tx+(t2).
Если теперь t — произвольная ступенчатая функция из £Г{А),
то ее можно многими способами представить в виде разности двух
функций из *Г+{<ЛУ, например, так: t = max (t, 0) — (—min(£, 0)).
Если ti — t2 = t3 — *4, где tv 6 ЗГ+(Л), то
= |l+(*l) + Jl+(*3) - Ц+(*2 + *3) =
= J*+(*l) + V+(h) - Ц+(*1 + h) =
= \l+(ts) - tl+(h).
Поэтому если мы положим при £ 6 JT (Л)
где t+ ж t~ — какие угодно функции из $~+(Jb), для которых t =
= t+ — t~, то функция ц.+ будет этой формулой продолжена с
множества jT+(«5#) на все пространство &{А). Очевидно, \i*(t)^>0
при t £ J~+(d>). Далее, если tu t2 £ У(Л), то
ц+ (^ + h) = Ц+ (*i+ - *Г + к+ - к) =
(где **6^ + И) и ^ — ^ = *»)
= Ц+ (*i+ + *2+ - (*Г + £")) =
= ц+ (** + *г") — ^+ (*Г + *2~) = (определение!)
= ^+ (*i+) + ^+ (*2+) - |Л(*Г) - И+ GD =
= ^+ (*,+) - [г+ («Г) + V+ (tf) - ]i+ (£") =
= V+(h) + li+(t2).
Столь же просто получаем, что при с £ К
\x+(ct) = c\i+(t).
Поэтому \i+ есть положительная мера в ^(Л). Положим теперь
\i~ = |Jt+ — \i.
Так как \i(t) ^ )х+(£) в jT+(.?#), то и [i~ является положительной
мерой, и (j, = (ы+ — \i~ — требуемое представление меры Радона (Л.
Прежде чем мы продолжим изучение связи между \i, \i+ и |дЛ
было бы удобно иметь в своем распоряжении критерий
интегрируемости Коши.
Определение 4.1. Пусть задано 8 > 0. Функциональная
область $р называется г-областью (относительно линейной формы ji),
Гл. I. Интегрирование в n-мерном пространстве 497
если для любых двух ступенчатых функций tu t2 £(zJF выполняется
неравенство |fi(^) — \x(t2)\ ^ 8 *). Всякая е-область, содержащая
функцию /, называется г-окрестностъю функции /.
Дословно как в т. I (гл. VII, теорема 2.4), доказывается
Теорема 4.2. (Критерий Коши.) Функция f является
^-интегрируемой в том и только в том случае, если для каждого г > О
существует г-окрестностъ функции f относительно \к.
Пусть теперь \л — произвольная мера Радона и \i = \i+ — jli~ —
построенное в теореме 4.1 ее представление в виде разности двух
положительных мер.
Теоремл 4.3. Функция f является ^-интегрируемой в том
и только в том случае, если она ^-интегрируема и
^"-интегрируема.
Одна часть доказательства вытекает из следующей теоремы:
Теорема 4.4. Пусть X и \i — произвольные меры Радона
в 2Г(<А). Если тогда функция f как Х-, так и ^-интегрируема, то она
и (Я + ^-интегрируема. Если функция f является ^-интегрируемой,
то она и (—^-интегрируема. Имеют место формулы
Доказательство. Пусть A = lfdknB= \fd\i. Тогда
для каждого 8 > 0 существуют такие окрестности ^ и $?2
функции /, что соответственно при £ £ € ^ и при £ 6 € £F2 выполняются
о о
неравенства \X(t) — А | < -=- и \\i(t) — В\ < —. Если мы положим
J^ = J^ifl 1F2, то при t 6 6 IF будем иметь
|(Я + ii)(t) - (Л + В)\ < \k(t) -А\+ \ii(t) - Д|< 8.
Тем самым первое утверждение доказано. Второе проверяется
аналогично.
Теперь мы проведем
Доказательство теоремы 4.3. Остается показать, что
из ^-интегрируемости любой функции / следует ее
^"""-интегрируемость. Для этого по произвольному наперед заданному 8 > 0 мы
построим некоторую 8-окрестность функции / относительно ц,+.
Ввиду [л-интегрируемости функции / существует (е/2)-окрестность
S^ — jFih, g] функции / относительно (ш. Пусть ступенчатые
функции ti и t2 целиком содержатся в ер. Пусть, далее, t* = min (tu t2)
и t* = max (tu t2). Очевидно, что и t*, t* £ £ $p. Так как мера \i +
положительна, из неравенства
— (t2 — ti) ^.t2 — ti ^ t2 — ti
x) В т. I мы требовали, чтобы ||J,(*i) — \*>(h)\<. &. Новым определением
легче пользоваться, как мы покажем уже в следующем параграфе.
32-832
L
498
Том III
вытекает оценка
Пусть теперь выбрана ступенчатая функция f £ $~{<Л),
удовлетворяющая условиям 0 ^ f ^ ^* — t* и
Положим £* = t* + t'. Тогда t* ^ £* ^ £*, и потому £| £ € ^\
Так как ||л(£*) — ii(tl)\ = \\i(t')\, отсюда следует:
0<|i+(*2*-*i)<y + l*(O<
<|- + |ц(01 =
= |- + 1|*(«)"1*(01<
= 8.
Поэтому JF есть е-окрестность функции / относительно fi+.
Теорема 4.3 доказана.
§ 5. ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Во всех нижеследующих рассмотрениях мы будем исходить
из некоторой положительной меры \i в пространстве ступенчатых
функций 3*{А). В конце одного из параграфов мы укажем, какие
из доказанных теорем переносятся (с помощью теоремы 4.3) на
произвольные меры Радона.
Так как мы допускаем и функции с бесконечными значениями,
мы хотим здесь установить, как нужно производить арифметические
действия на расширенной числовой прямой 01 (вместо +оо мы иногда
пишем оо):
оо + а = а+оо = оо при а Ф — оо,
— оо -\- а = а + (—оо) = — оо при а Ф + оо,
оо-а = а-оо = оо, \ где а > О — действи-
(—оо)-а = а(—оо) = — оо, } тельное число,
оо-О = О-оо = 0, (—оо).О = 0-(—«>) = О,
Гл. I. Интегрирование в n-мерном пространстве
499
оо-а = а-оо = — оо, л где а < 0 — действи-
(_ оо)-а = а-(— оо) == + оо, | тельное число,
а — Ъ — а + (—l)fc при а, b £ Л.
Де определены выражения оо + (—°°)> —оо + °о (поэтому
й оо — оо и (—оо) — (—оо)), а также произведения, в которых
0ба множителя равны ±оо.
Изменяя некоторые определения из первого тома, мы введем
для упрощения терминологии понятие сходимости и для
неограниченных последовательностей. Аналогично, верхний и нижний
пределы мы также определим для произвольных
последовательностей. Вместе с тем мы с полной ясностью подчеркнем, что новые
понятия относятся к Л, а не к Л. Нашим исходным пунктом служат
формулы
lim av = inf (sup av),
lim av = sup (inf av),
справедливые для каждой ограниченной числовой
последовательности. Но правые их части имеют смысл для произвольной
последовательности точек в Л; поэтому указанными формулами мы и
определим верхний и нижний пределы любой последовательности.
Последовательность точек (av) в Л мы будем называть сходящейся, если
lim av = lim av. Как и в Л, в этом случае положим
lim av = lim av = lim av.
Например, каждая монотонная последовательность сходится.
Поэтому сходится и каждый ряд с неотрицательными (неположительными)
членами.
Теперь можно поточечно определить произведение функции /
со значениями в Л на действительное число:
(cf)(x) = с-/(х), ^Л. _
Функция / называется суммой функций Д и /2 со значениями в Л,
если во всех точках х, в которых определена сумма значений
/i(x) -f /2(x), выполняется равенство
/(х) = Л(х) + /8(х).
Сумма функций Д и /2 обозначается символом / = Д + Д. Если обе
Функции Д и /2 полунепрерывны снизу или обе они полунепрерывны
сверху, то сумма Д(х) + /2(х) определена всегда. Заметим, что
Функции со значениями в Л не образуют векторного пространства,
Так как, например, операция сложения определена не всегда.
32*
500 Том III
Наконец, для последовательностей функций выражения вида
lim /v, lim /v, lim /v, inf /v и sup /v определяются поточечно-
V-*oo
(lim/v)(x)==lim/v(x), (inf/v)(x) = inf {/v(x): v £ Щ и т. д.
Подобным же образом мы определяем соответствующие выражения ддя
рядов функций.
Следующая теорема гарантирует интегрируемость большого
класса функций.
Теорема 5.1. Пусть функция f полунепрерывна снизу. Пусть
вне некоторого куба Qr = {х: |х| ^ г} функция f неотрицательна.
Тогда функция f интегрируема в том и только в том случае, если
А — sup {\i(t): t £ 3^(А) и t<y ^ / для некоторого 41 6 *d} < оо,
и в этом случае имеет место равенство
Дополнение. Если функция f вне некоторого куба QT
положительна, то достаточно верхнюю грань брать только по тем t,
для которых t% < /:
I fd\i = sup{[i(£): t<u<ij для некоторого 41 £ Ji}.
Доказательство теоремы 5.1. а) Допустим сначала,
что А < оо. Пусть задано 8 > 0. Выберем такую ступенчатую,
функцию £* = Щ, что t* ^ / (соответственно в предположениях
о
дополнения, что t* < /) и А — \i(t*) < —. Пусть, далее, $р* =
= jF^*, g*] — такая окрестность функции нуль, что из t £ € ^*
о
следует ||Л$)1 < IT* Теперь положим
g = / + g*. h = t*+h*
и непосредственно проверим, что при /(х) =^ °о выполняются
следующие условия г):
1) h = t* + /г* < ** < / < g* + f = g;
2) вне некоторого достаточно большого куба h = /г* < 0 ^
Так как, кроме того, функция /i полунепрерывна сверху, а
функция g полунепрерывна снизу, то $F = ^[A, g] есть окрестность
функции /. Теперь мы докажем следующее утверждение:
Для каждой ступенчатой функции t £ £ jF выполняется
неравенство \\l(t) — А\ < 8.
) При /(х) = оо неравенства будут не строгими.
Гл. /. Интегрирование в n-мерном пространстве 501
a) Так как имеет место неравенство t — /<Cg*» где ступенча-
я функция t = tcj/э соответствует некоторому подходящим образом
выбранному покрытию, то функциями t — f и g* определяется
псевдофункциональная область $ = jp[t — /, g*]; в предположениях
пополнения & даже является функциональной областью. По
теореме 2.2 существует такая ступенчатая функция т, что
*"-/<*< т<£*,
а в случае, когда § — функциональная область,— что т £ € ^? т- е-
*" — /<т<т<£*.
(Здесь и ниже операции т -> т, т производятся для подходящим
образом выбранных покрытий.) Поэтому, как следует из § 1, для
ступенчатой функции t — т имеют место неравенства
t — т ^ ^— ^^А соответственно < /.
Отсюда по предположению в каждом из двух наших случаев
следует, что \i(t — т) ^ А. Таким образом,
о
поскольку, в силу теоремы 2.6, \i(x) < -г-.
Z
Р) Так как* > Л = ** + А* и ** = **, то *--**> * — ** > А*;
о
следовательно, в силу теоремы 2.6, [i(£ — t*)> ^- и потому
]x(t)>]x{t*)-^>A-~-^ = A-B.
Тем самым первая часть теоремы, включая дополнение, доказана.
b) Пусть теперь, наоборот, функция / интегрируема. Верхняя
грань А определена корректно, так как по теореме 2.2 существуют
ступенчатые функции £, удовлетворяющие условию f^/,
соответственно t < /. Если i ^ /, то выберем такую окрестность $р
функции /, что при т g £ J£~ будет выполняться неравенство
||l(T)-J/dji|<lf
и в соответствии с теоремой 2.4 такую ступенчатую функцию т* 6 £ jF,
что * ^ т*. Тогда
й> следовательно, Л < + °°> что и требовалось доказать.
502 Том III
Для функций, полунепрерывных сверху, справедлива точно
такая же
Теорема 5.2. Полунепрерывная сверху и неотрицательная
вне некоторого куба Qr функция f интегрируема в том и только
в том случае, если
А = inf {\i(t): t £ £Г{<£) и* tqi^j для некоторого °И^:Л}> ■— оо.
В этом случае
Дополнение. Если функция^ вне куба Qr отрицательна, то
§ f d\i = inf {|Л (t): t > / для некоторого Щ.
Теперь с помощью этих теорем мы охарактеризуем е-области.
Теорема 5.3. Функциональная область ер — Jp[h, g]
является е-областъю в том и только в том случае, если функции hug
интегрируемы и имеет место неравенство
I gd\i — ^hd\i^E.
Доказательство, а) Пусть $р — некоторая е-область.
В силу теоремы 2.4 для ступенчатой функции t, у которой % < g>
можно найти такую ступенчатую функцию т £ 6 ^, что t ^ т,
и потому \i(t) ^ (Lx(-r). Следовательно,
А = sup {\i(t): t<g} = sup {^(т): т £ £ J^}.
Аналогично,
В = inf {\x(t): I > h} = inf {^(т): т е € ^}.
Так как |[х(т4) — [г(т2)| ^ е при ть т2 ^ ,f, то 4 и В конечны
и Л — В ^ г. Но на основании дополнения к теореме 5.1 и
соответственно к теореме 5.2
А = J g d\i и jB = $ & rf|i.
b) Если Jg d\i — I h d\i ^ 8, то согласно теоремам 5.1 и 5.2
при tu t2 £ £ JF имеем
Ihdii^iiiti)^^ gd\i (где i=l, 2).
Поэтому |(li(^) — (li(£2)I ^ s, т. e. Jplh, g] есть е-область.
Особенно полезна
Теорема 5.4. Пусть Jf = Jplh, g] — некоторая е-окреспг-
ностъ интегрируемой функции /. Тогда
Гл. /. Интегрирование в n-мерном пространстве 503
Доказательство. Возьмем произвольное положительное
яисло б и выберем такую окрестность jF* функции /, чтобы при
t £ 6 IF* выполнялось неравенство | \i(t) — f / d\i |<C б. Положим
^г** = ^ П ^*- Тогда при t ££ ^** имеем \i(t) ^ I g d\i, и потому
б> J/Ф — Ц(*)>$/<*Ц — S#^.
Так как число б было выбрано произвольно,
Второе неравенство доказывается аналогично.
§ 6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
В этом параграфе мы покажем, что действительные
интегрируемые функции образуют векторное пространство над полем 01, а
интеграл действует на этом пространстве как положительный линейный
функционал. Естественно, мы формулируем все теоремы только для
функций со значениями в HI, а упомянутое выше утверждение
получается в том частном случае, когда функции являются
действительными.
Доказательства проводятся в два этапа: сначала мы
доказываем линейность интеграла только для полунепрерывных функций,
и лишь затем с помощью теорем из предыдущего параграфа мы
переходим к произвольным интегрируемым функциям. Все
доказательства можно было бы провести, и не пользуясь полунепрерывными
функциями, а исходя из определения интеграла, однако это было бы
значительно сложнее.
Лемма 1. Пусть функции fi и /2 интегрируемы,
полунепрерывны снизу и вне некоторого компактного куба QT положительны.
Тогда сумма /4 + /г интегрируема и
I (h + f2)d\i= Uid\i+ S/гф.
Доказательство, а) Пусть t — произвольная
ступенчатая функция, для которой t < Д + /2. Тогда ер = ^li — Д, Д>]
является функциональной областью, и потому в ней целиком
содержится некоторая ступенчатая функция £2- Положим *i = t — t2
и получим неравенства
гДе операции т -^ т, т производятся на подходящим образом
выбранном покрытии. Таким образом,
t = 11+ t2, *i < Д» h < /2»
504 Том III
и потому в силу теоремы 5.1
\i(t) = \i fa) + ix (t2) < $ U d\i + J /2 d\i < + oo.
Следовательно, по той же теореме функция Д + /г интегрируема и
b) Пусть теперь ti, t2 6 £Г(<Л) — такие ступенчатые функции,
что t± </i и t2 < /2, а также I ft d\i < |л(£г) + 6 при i = 1, 2.
Тогда *4 + t2 < 74 + h < /1 + /2. и потому
J /1 dji + I /2ф< |*(*i) + |i(« + 26 =
= H(*i+*2) + 26<
<И/1 + /2)Ф + 2б.
Отсюда следует, что
Лемма 2. Пусть функция f интегрируема, полунепрерывна
снизу (сверху) и вне некоторого куба QT положительна
(отрицательна). Тогда если с — любое действительное число, то функция cf
интегрируема, и при этом
J cf d\i = с $ / ф.
Доказательство. При с = 0 утверждение тривиально.
Если с > 0, то и функция cf полунепрерывна снизу и утверждение
следует из того, что высказывания t < / и ct <Z cf равносильны.
При с<0 функция cf полунепрерывна сверху, вне куба Qr
отрицательна и
inf (И*): £> с/} = — sup {|i (0: t<-cf} =
= -$(-')/Ф =
Утверждение о функциях, полунепрерывных сверху,
эквивалентно утверждению о функциях, полунепрерывных снизу.
Из этой леммы сразу следует, что лемма 1 верна и для функций,
полунепрерывных сверху и отрицательных при |х| > г. Точную
формулировку мы опускаем.
Лемма 3. Пусть функция f интегрируема, полунепрерывна
снизу, неотрицательна, а при |х| > г даже положительна. Тогда
Гл. /. Интегрирование в n-мерном пространстве . 505
В самом деле, так как 0 6 3~(А) и 0^/, то jlx(0) = 0 ^ \ fd\i.
Соответствующее утверждение верно и для неположительных
функций, полунепрерывных сверху.
Наконец, из теорем 5.1 и 5.2 следует еще
Лемма 4. Пусть функция f полунепрерывна снизу и вне куба
Qr положительна. Тогда вместе с функцией f интегрируемы и
функции /+ = max (/, 0) и /" = — min( /, 0).
Доказательство, а) Функция /+ полунепрерывна снизу
и положительна вне куба QT. В силу теоремы 2.2 существует такая
ступенчатая функция
что т = % и т ^ min(/, 0). Пусть теперь t £ У(Т) cz ЗГ{А)
и 1суэ < /+. Тогда
(t + %)<цсуо < Тсуэ + хп < /+ + т < /,
и потому \i(t + т) ^ \fd\k, т. е. \i(t) ^ J/dji — |л(т). Справа стоит
число, не зависящее от t\ поэтому функция /+ интегрируема.
Ь) Интегрируемость функции /"" непосредственно следует из
теоремы 5.2, потому что функция /~ полунепрерывна сверху, не
отрицательна и равна нулю вне QT.
Для функций, полунепрерывных сверху, справедлива
аналогичная теорема.
Теперь с помощью результатов из предыдущего параграфа мы
перенесем только что доказанные теоремы на произвольные
интегрируемые функции.
Теорема 6.1. Вместе с функциями fi и /2 интегрируема и их
сумма /i + /г и
Uh+f2)d\i= Uid\i+ J/гф.
Доказательство. Пусть задано е > 0. По
предположению у функции fi существует (е/2)-окрестность $?% = £F\ht, gt]
(где i = 1, 2). Тогда
JTlhi + h2, gt + g2]
есть некоторая окрестность г) функции fi + /г- Поскольку
$ (ft + 82) d\i— $ (h + hz) d\i= I (gi — h^ d\i + J (g2 — Ag) dfx <e,
она является, в силу теоремы 5.3, е-областью. (Мы воспользовались
Здесь леммами 1 и 2.) Тем самым интегрируемость функции fi + /2
*) Там, где сумма /i(x) + /2(х) не определена, нужно считать, что /г4(х) +
г h2 (х) = —с» и gi (х) + g2 (х) = +°о- Сравните это с определениями,
которые мы дали в начале § 5.
506 , Том III
доказана. На основании теоремы 5.4
X h dp < X U dp < J g4 d|x,
J Аг <fy < J /2 dji < J g2 dfi.
В силу леммы 1 поэтому имеют место и неравенства
X (hi + йа) dp < J /t dfi + $ /2 dfx < J (& + ft) dp
и, следовательно,
\Ufi + /2) ф-1/1ф-!/2ф|<е.
Так как е было произвольным положительным числом, то равенство,
утверждавшееся в теореме, доказано.
Теорема 6.2. Если функция f интегрируема, то
интегрируема и функция cf (где с £ 01), и при этом
lcfd\i=cUd\i.
Доказательство. Пусть с > 0. Если epXh, g] —
некоторая (е/с)-окрестность функции /, то ^[ch, eg] является е-окрест-
ностью функции cf. Кроме того (лемма 2),
с X hd\i = J chdp ^ J cf dp,^ X CSdp— с J gdp,
Ihdp^ If dp <X gdp,
а потому и на этот раз
| [cfdp — c^fdpl^e,
откуда следует равенство этих интегралов. При с = 0 все
тривиально, а при с < 0 нужно поменять ролями g и h.
Теорема 6.3. Интеграл от неотрицательной
интегрируемой функции неотрицателен.
Доказательство. Пусть $р = ер [h, g] — некоторая
г-окрестность функции /. Так как g > 0, по лемме 3 имеем \ g dp ^ 0.
Поэтому в силу теорем 5.3 и 5.4
X / dp > X g dp — е > — 8.
Это неравенство может выполняться при каждом положительном е
лишь в том случае, если J fdp ^> 0.
Разумеется, из теорем 6.1—6.3 следует, что если функции Д
гг /2 интегрируемы и Д ^ /2, иго X /i^M* ^ J1/2^(1.
Для того чтобы обобщить лемму 4, нам понадобится еще один
критерий интегрируемости.
Гл. I. Интегрирование в n-мерном пространстве . 507
Теорема 6.4. Функция f интегрируема в том и только в том
случае, если для каждого г > 0 существуют такие интегрируемые
функции Л и /2, что А < / < /2 и J /2 d\x — I Д ф < е.
Доказательство. Необходимость этого условия
тривиальна. Допустим теперь, что это условие выполнено, и пусть е —
фиксированное положительное число. Выберем интегрируемые
функции U и /г» Для которых Л < / < /2 и
J/гф — $ЛФ<е/3,
а также (е/3)-окрестности ^[/гг-, gj функций/г- (при i = 1, 2). Тогда
jr=: ^г[/гь g2] есть окрестность функции / и по теоремам 5.3 и 5.4
lg2d\^ — lhid\k= lg2d\i— £/2ф + Ihdp— lhd\i +
+ Uid\i— $Aid|i<e.
Следовательно, ер является е-областью, и теорема доказана.
Теорема 6.5. Вместе с функцией / интегрируемы и функции
Доказательство. Достаточно установить
интегрируемость функции /+. Выберем по заданному е > О некоторую е-окрест-
ность ^[А, g] функции /. Сразу видим, что функции А+, g+ и /+
удовлетворяют предположениям предыдущей теоремы. В самом деле,
h+ ^ /+ ^ g+, функции h+ и g+ интегрируемы в силу леммы 4 и, так
как g+ — h+ ^ g — /г,
$ g+ ф — J /г+ djx < lgd\x — J У|А<8.
Поэтому функция /+ интегрируема.
Из сделанного нами после доказательства теоремы 1.1 замечания
теперь следует, что вместе с функциями Д и /2 интегрируемы и
функции тах(Д, /2) и mintfi, /2).
В заключение заметим, что теоремы 6.1, 6.2 и 6.5 справедливы
для любых (не обязательно положительных) мер Радона.
§ 7. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Теперь мы подходим к важным теоремам теории интегрирования,
именно, теоремам сходимости (перестановка интегрирования с
другими предельными процессами). Основная работа будет проделана
в этом параграфе,— все теоремы следующих параграфов (за
исключением теоремы Фубини из § 12) являются простыми приложениями
результата, сформулированного в теореме 7.1.
Снова мы исходим из некоторой положительной меры (х.
508 Том III
Теорема 7.1 (Б. Леви). Пусть f — 2 /v — сумма веско-
v=l
печного ряда неотрицательных интегрируемых функций /v. Если
оо
^ = S S/vWd|i<oo
v=l
(иг. е. если ряд из интегралов сходится к числу A £R), то функция f
интегрируема и
$/(х)ф = А
Короче можно написать так:
оо оо
v=l v=l
Доказательство. Как и раньше, мы проведем
доказательство сначала для полунепрерывных функций, а затем
полученный результат перенесем на произвольные интегрируемые
функции.
а) Итак, дополнительно потребуем, чтобы каждая функция /v
(при v = 1, 2, . . .) была полунепрерывна снизу и вне некоторого
оо
куба Qr положительна. Тогда, очевидно, функция / = 2 /v
положительна вне куба Qri\ мы покажем, что она и
полунепрерывна снизу. В самом деле, для числа а < /(х0) можно найти такой
номер v0, что
a</v0(xo)= 2/vW,
v=l
и ввиду полунепрерывности снизу функции /? это неравенства
будет справедливо и для всех точек х некоторой полной окрестности
точки х0. Так как, однако, всегда f% (x) ^/(х), то тем более для
всех таких точек х будет выполняться неравенство а </(х); но это
и означает, что функция / полунепрерывна снизу в точке х0.
Чтобы установить интегрируемость функции /, воспользуемся
теоремой 5.1. Пусть t — ступенчатая функция, у которой £</>
и К — такое компактное множество, что ЦК11 — К = 0 и вместе .
с тем /ц |ЩП — К > 0. Для точки х 6 К выберем такой номер v (x) 6 ^г
что
v(x)
*Ю< 2/vW</W-
Гл. 7. Интегрирование в n-мерном пространстве
509
_ v(x)
Ввиду полунепрерывности функций t и 2 /v найдется такая откры-
тая окрестность U(x), что эти неравенства будут выполняться для
всех точек х' £ &(*)• Уже некоторое конечное число таких
окрестностей £7(х), где х £ К, покрывает множество К. Пусть, например,
tfc= U U{xt) и
г=1
Так как все функции /v ;> 0, то
v0= max v(xt).
г=1, ..., г
v0 v(xf)
/ v0 == 2j fv ^ 2j -»v>
v=l v=l
и потому на множестве i£ выполняется неравенство £ <; /*0. Так
как t\Kn — К = 0 и /*0 |1ПЛ — i£ > 0, это неравенство, очевидно,
выполняется на всем пространстве 01п. Теперь из теоремы 5.1 и из
предположения вытекает, что
v=l
Снова из теоремы 5.1 следует, что функция / интегрируема и что
г г
I fd\i ^ А. Так как / ^- 2 /v ПРИ любом г, то J /dji ;> 2 1 /v ^>
v=l * v=l
оо
а потому в пределе и lfd\i^ 2 J/V/d[x = -4. Таким образом,
справедливо и утверждавшееся в теореме равенство.
Ь) Освободимся теперь от дополнительного требования,
сделанного нами в пункте а). Итак, предположим лишь, что функции /v
интегрируемы и неотрицательны. Сначала нужно доказать, что
функция / интегрируема. Мы построим по данному е > 0 некоторую
е-окрестность функции /.
Пусть (ev) — какая-нибудь последовательность положительных
оо
чисел, для которой 2 8v — ~r- Так как все функции /v интегри-
руемы, мы можем для каждого v найти некоторую еу-окрестность
JF[hv, gv] функции /v. Выберем, далее, столь большой номер v0,
чтобы
оо
v=v0+i
V0
Затем положим /* = 2 /v и выберем некоторую (е/2)-окрестность
J^IA*, g*] функции /*. В пункте а) мы удостоверились, что сумма
510 Том III
бесконечного ряда полунепрерывных снизу функций и сама является
оо
полунепрерывной снизу. Поэтому сумма ряда 2 Sv полунепре-
v=v0+l
рывна снизу и
сю
jF = jF[fc*, g*+ 2 *v]
v=v0+l
есть функциональная область, очевидно, являющаяся окрестностью
функции /. Из теорем 5.3 и 5.4 следует, что
$ gv d\i < $ /v d\i + ev,
и потому
сю оо оо
/j J^vdfi< 2j J^^+ 2j 8v<t+t=|"-
v==v0+l v=v0+l v=v0+i
ею
Поэтому в силу доказательства пункта а) функция 2 £v инте-
v=v0+l
грируема и
оо оо
v=v0+l v=v0+l
Теперь из теоремы 5.3 сразу вытекает, что ер является е-областью:
v=v0+i v=v0+i
с) По определению функций gv и g*, далее, имеем
<W + J + T<
<Л +8.
Поэтому, так как е произвольно, I f d\i ^.A. Обратное неравенство
г
можно доказать, как в пункте а): так как lfd\i^ 2 fvd\i при
Гл. 7. Интегрирование в n-мерном пространстве 511
любом г, то j/dfx> 2 S/v d\i = А. В результате получаем
v=l
§fd\i = A,
что и требовалось доказать.
Всего лишь другой формулировкой предыдущей теоремы является
Теорема 7.2. (Теорема об интегрировании монотонной
последовательности.) Пусть (/v) — монотонно возрастающая
последовательность интегрируемых функций и / = lim /v. Тогда если
V-юо
последовательность интегралов Av = I fv d\i сходится к числу А <С
< оо, то функция f интегрируема и
Иначе говоря, при предположениях этой теоремы
J (lim /v) d\i= lim J /v dj*.
Для доказательства нужно применить теорему 7.1 к ряду г)
оо
/l+ 2(/v+l-/v)-
v=l
Разумеется, для монотонно . убывающих последовательностей
справедлива аналогичная теорема.
§ 8. ТЕОРЕМА СХОДИМОСТИ ЛЕБЕГА
В этом параграфе мы выведем из теоремы об интегрировании
монотонной последовательности важные следствия.
Определение 8.1. Некоторое множество <М функций
называется L-ограниченным (ограниченным по Лебегу) сверху
(соответственно снизу), если существует такая интегрируемая функция s,
что для каждой функции / £ о$ выполняется неравенство / ^ s
(соответственно / ;> s). Множество о/И называется L-ограниченным,
если оно L-ограничено и сверху и снизу. Под L-ограниченной (сверху,
снизу) последовательностью функций понимают последовательность,
элементы которой образуют L-ограниченное (сверху, снизу)
множество.
Например, каждая е-область L-ограничена (см. § 5).
1) Разности /v+1 — /v являются неотрицательными функциями. Из
соотношения /v+1 = /v + (/v+i — /v) (см- определения в § 5) следует, что частичными
суммами нашего ряда служат функции /v.
512
Том III
Теорема 8.1. Пусть (/v) — некоторая L-ограниченная сверху
последовательность интегрируемых функций и f — функция,
определяемая условием /(х) = sup/v(x). Тогда функция f интегрируема.
Аналогично, если последовательность (/v) является L-ограниченной
снизу, то g = inf /v — интегрируемая функция.
Доказательство. Пусть /v ^ s при всех v и функция s
интегрируема. Если мы положим Fv = sup(/i, . . ., /v), то получим
монотонно возрастающую последовательность F^ ^ F2 ^ ^з ^ • • •
интегрируемых функций, причем Fv ^ s. Поэтому
$ Fv d\x ^ J s d\i.
В силу теоремы об интегрировании монотонной последовательности
функция F = lim Fv интегрируема. Но F = sup /v.
V-»-oo
Если /v ;> s для всех v, то мы рассмотрим монотонно убывающую
последовательность функций Gv = inf^, . . ., /v). Как и выше,
видим, что функция G — lim Gv = inf /v интегрируема. Теоре-
V-+oo
ма 8Л доказана.
Теорема 8.2. (Лемма Фату.) Если для L-ограниченной снизу
последовательности (/v) интегрируемых функций последовательность
интегралов Ах = I fvd\i ограничена сверху г), то функция f =
= lim /v интегрируема и
I lim/v d\i ^ lim $ /v d\i.
Доказательство. Функции
Fv = inf(/v, /v+1, . . .)
по теореме 8.1 интегрируемы. Очевидно, имеют место неравенства
Fv ^ ^v+i; Fv ^ /v.
Поэтому если А — какая-нибудь конечная верхняя граница
последовательности (Av), то и lFvd\i^A. Следовательно, по теореме
об интегрировании монотонной последовательности функция
lim /v = lim Fx интегрируема и
V~»oo
I lim/v d\i = lim $ Fv d\i ^lim J /v d\i,
что и требовалось доказать.
х) Это заведомо будет выполнено, если последовательность (/v) ^-ограничена
сверху.
Гл. I. Интегрирование в n-мерном пространстве 513
Для L-ограниченной сверху последовательности (/v), у которой
(Ы|а^^> —°°» мы получаем соответствующее утверждение
J lim /v d\i >- lim J /v d\i.
Важнейшим результатом в этом параграфе является
Теорема 8.3. (Теорема сходимости Лебега.) Пусть (/v) —
некоторая L-ограниченная последовательность интегрируемых
функций. Тогда функции lim /v и lim /v также интегрируемы и
§ lim/vrffi^lim J/Vdfx,
J lim /v dfx ;> lim J /v ф.
ifa/ш рассматриваемая последовательность сходится поточечно, то
и функция f = lim /v интегрируема и
5 /dfx= lim J/V<fyi.
V->oo
Первая часть теоремы следует из теоремы 8.2, предположения
которой в нашем случае выполнены. Кроме того, в случае
поточечной сходимости . первое утверждение (поскольку lim /v =
V-*oo
= lim /v = lim /v) можно записать в виде
I lim /v d\i ^ lim J /v ф ^ lim J /v d\k ^ J lim /v ф.
Тем самым доказано и второе утверждение.
Значение теоремы сходимости Лебега, прежде всего, состоит
в том, что от последовательности (/v) мы не требуем никакой
равномерной сходимости. Как раз в наиболее важных приложениях
интегрального исчисления, например в теории преобразования Фурье,
мы редко имеем дело с равномерно сходящимися
последовательностями. Но почти всегда удовлетворяются предположения
теоремы 8.3.
Заметим еще, что равномерно сходящаяся последовательность
интегрируемых функций не обязательно является L-ограниченной.
Это всегда выполняется лишь в том случае, если общей областью
определения всех функций, на которой последовательность
сходится равномерно, служит, как и в т. I, компактное множество.
В заключение отметим одно следствие из теоремы
сходимости Лебега, которое нам понадобится позже.
Теорема 8.4. Пусть f = lim/v, и пусть все функции /v
V-*oo
интегрируемы. Если множество {/} является L-ограни енным (т. е.
если |/| 4; g, где g — некоторая интегрируемая функция) то и
функция f интегрируема.
33-832
514
Том III
Правда, мы не можем в этом случае больше надеяться, что будет
If d\i = lim \ /v d\i. Для доказательства теоремы положим
gv = max(min(/v, g), — g).
Тогда gv образуют L-ограниченную последовательность
интегрируемых функций, которая, очевидно, также сходится к /. Поэтому
функция / интегрируема.
§ 9. ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Пусть, как всегда, \i — некоторая положительная мера. Если
/ — какая-нибудь функция, определенная на непустом множестве
М a IRn, то мы будем символом / обозначать функцию,
определенную на всем пространстве В1п условиями f\M = / и /|ШП — М = О,
и называть ее тривиальным продолжением функции / на
пространство Шп. Тривиальное продолжение функции / = 1 мы будем
обозначать символом %м и называть характеристической функцией
множества М. Таким образом, %м(х) =1 при х £ М и %м (х) = О
при х $ М. Эти обозначения мы будем в дальнейшем употреблять
только в таком смысле.
Определение 9.1. Функция /, определенная на
множестве М, называется интегрируемой (точнее, ^-интегрируемой), если
Л.
интегрируемо ее тривиальное продолжение /. Интегралом от
функции f называется число j / d\i; оно обозначается символом
Функция /, определенная в пространстве Шп, называется
интегрируемой на множестве М, если интегрируемо сужение f\M. Вместо
\ (f\M)d\i мы просто пишем \ / d\i и называем это число интегралом
id м
от функции f no множеству М.
Определение 9.2. Множество М cz Rn называется
измеримым (точнее, ^-измеримым), если на множестве М существует
интегрируемая функция /, не обращающаяся в нуль, Множество М
называется конечно измеримым, если на М интегрируема функция
/ = 1. Пустое множество также называется измеримым и конечно
измеримым.
Таким образом, множество М конечно измеримо в том и только
в том случае, если существует интеграл \ d\i = \ %м^|л. Крои*
М Rn
того, ясно, что на непустом измеримом множестве всегда существует
положительная интегрируемая функция, потому что вместе с фуя**
Гл. /. Интегрирование в n-мерном пространстве
515
ей j на множестве М интегрируема и функция |/| (так как |/| =
- 1/1).'
Теорема 9.1. Если функция f интегрируема на пространстве
юп и м ф 0 — измеримое множество в Шп, то функция f
интегрируема и на множестве М.
Доказательство. Нам нужно только доказать, что на
множестве М интегрируемы функции /+ и /-; поэтому без
ограничения общности можно считать, что / !> 0. По предположению
существует функция g, интегрируемая на пространстве Rn, для которой
g\M > 0 и g|0ln — М = 0. Как легко проверить,
f\M= sup min(/, mg).
Так как функции
min(/, mg), m — 1, 2, . . .,
образуют L-ограниченное множество (поскольку всегда 0 ^
^ min(/, mg) ^ /) и все элементы этой последовательности
интегрируемы, из теоремы 8.1 вытекает, что интегрируема ее верхняя
грань. Тем самым теорема доказана.
Следующая теорема гарантирует существование нетривиальных
конечно измеримых множеств.
Теорема 9.2. Каждое компактное множество М конечно
измеримо.
Для доказательства заметим, что характеристическая функция
%м полунепрерывна сверху и вне некоторого куба Qr равна нулю.
Так как, далее, для каждой ступенчатой функции t, у которой t >.
^ Хм, выполняется неравенство \i(t) ;> 0, то из теоремы 5.2 следует
интегрируемость функции %м.
Определение 9.3. Для каждого измеримого множества М
положим
{
0, если М = 0,
7^(М)= ) § d\i, если М конечно измеримо и не пусто,
м
+ оо во всех остальных случаях;
ЛМ) называется объемом г) множества М (относительно меры и).
Ь двух следующих теоремах перечисляются некоторые свойства
измеримых множеств и их объемов.
) В литературе /ц часто называют мерой множества М.
33*
516 Том III
Теорема 9.3. а) Пустое множество измеримо.
Ъ) Если А, В и Av, где v = 1, 2, . . .,— измеримые множества,
то измеримы и следующие множества
а) А' = Кп-А, РМПЯ, у) U Л
v=l
V
Теорема 9.4. Пусть множества А и Av (где v = 1, 2, . . .)
измеримы и А у, попарно не пересекаются. Тогда
a) 0 < 1ц(А) < + оо;
b) 1^0) = 0;
с) ми-л)= S Wv).
v=i v=l
Утверждения 9.3а), 9.4а) и 9.4Ь) верны на основании
определений. Чтобы доказать 9.3Ь),а), рассмотрим произвольную е-окрест-
ность функции нуль, например Jflh, g]. По теореме 5.3 функция g
интегрируема и, значит, пространство Кп измеримо. Но сужение
g\A также интегрируемо (теорема 9.1), и потому существует интеграл
j (g — g\A)d\i. Поскольку функция g — g\A на множестве А'
положительна, а в остальных точках равна нулю, тем самым
измеримость множества А' доказана. Утверждение 9.3Ь),Р) получается
так. По предположению существуют интегрируемые функции / > 0
на А и g > 0 на В. Если мы положим h = min(/, g) на А [\В, то
функция h = min(/, g) будет интегрируема на В1п и на пересечении
А{\В положительна, т. е. А(]В измеримо.
Доказательство 9.3Ь), у). По предположению для
каждого номера v существует интегрируемая функция /v,
положительная на 4V и тождественно равная нулю вне Av. Пусть g — какая-
нибудь положительная функция, интегрируемая на Кп. Тогда мы
положим hv — min(/v, g). Так как 0 ^ hv ^ g, последовательность
(hv) является L-ограниченной; поэтому в силу теоремы 8.1 ее
верхняя грань h интегрируема. Но, очевидно, функция h на множестве
А — \}Av положительна, а в остальных точках равна нулю, т. е.
V
множество А измеримо.
Доказательство 9.4с). На основании теоремы 9.3 обе
части этого равенства определены. Мы будем различать два случая:
а) Хотя бы для одного номера v0 объем I^A^) = + оо.' Тогда
5]/ЛЛ) = + оо.
v=l
оо
Если бы множество А = U Ах имело конечный объем и, значит,
характеристическая функция %а была бы интегрируема, то по тео-
Гл. /. Интегрирование в n-мерном пространстве 517
реме 9.1 она была бы интегрируема и на множестве AVQ. Однако,
поскольку Avo cz А, в этом случае мы имели бы
+ оо> $ %Adli= $ ^=/ц (AVq)
Av0 Av0
в противоречии с предположением. Таким образом, Ili( \j\rAv) =
= +00.
b) Для всех номеров v объем I^Ay) < + °°- Так как множества
Av попарно не пересекаются, то
оо
%А =: 2л Xav>
V=l -j
ОО л
где А — U Av. Если интеграл I Xa d\a существует, то для каж-
Кп
дого номера v0
v0 v0
v==imn Dinv===1 кп
с»
т. е. ряд ^ I Xav^ сходится в Dl. Тогда по теореме 7.1
m71 v==:1iRn ' v==1
Наоборот, из сходимости этого ряда к некоторому действительному
числу (снова по теореме 7.1) следует интегрируемость функции
ос
5U, т. е. из 1^{А) = + оо вытекает, что 2 ^u(^v) = + °°- Тем
v = l
самым все доказано.
Мы хотим еще вывести из двух предыдущих теорем некоторые
простые следствия. При этом мы будем пользоваться только
свойствами объемов и измеримых множеств, сформулированными в этих
теоремах, и не будем ссылаться на их определения: можно, приняв
теоремы 9.3 и 9.4 за определения, построить теорию меры (теорию
измеримых множеств и их объемов) аксиоматически и положить ее
в основание теории интегрирования. Этим путем пошли, например,
Лебег и Каратеодори. Но по одной важной теореме Рисса таким
способом мы не получим новой теории интегрирования.
1) Пространство Кп измеримо (так как Кп = Кп — 0).
2) Вместе с множествами А и В измеримо и их объединение
-4 UВ. (Частный случай теоремы 9.3.)
518 Том III
3) Вместе с множествами А и В измерима и разность А -— В.
(В самом деле, А — В = А[\В'.)
4) Если измеримы все множества A v, где v = 1, 2, . . ., то изме-
со оо
римо и пересечение А = П ^v (потому что Л = Шп — U A'v).
5) Если множества А и В измеримы и не пересекаются, то
I^A\}В) = 1ц(А) + IyiB). (Частный случай теоремы 9.4с),
получающийся, если Av — 0 при v ;> 3.)
6) Если множества А и В измеримы и А а В, то 1^{А) ^
^ IJiB). (В самом деле, В = А[)(В — А), и потому IJJ3) =
= I^A) + /,(В - А) > /№(Л).)
7) Ясли множества Av измеримы, то
оо оо
Ми 4v)< SWv).
v=l v=l
Для доказательства положим В^ — Аи В2 = А2 — А^ Bz ~
= Аъ — (А1[)А2) и т. д. и применим к множествам Bv теорему 9.4с).
со со
Так как [) Av = [) Bv, то
v=l v=l
Ми А- = Ми bv)= ij/^BvX 2/„(^).
v=i v=l v=i v=i
8) Непосредственно из определений следует еще формула
ft
в предположении, что функция / интегрируема, М = U Мк,
АТкП^я. = 0 ПРИ и^А, и все эти множества измеримы.
Определение 9.4. Множество М cz Dln называется
нульмножеством (относительно меры \i), если каждая функция /,
определенная на М, интегрируема и
м
Теорема 9.5. Множество М является нуль-множеством
в том и только в том случае, если на М существует положительная
интегрируемая функция /, для которой
М
Доказательство. Остается только показать, что это
условие достаточно. Пусть, следовательно, / — функция,
удовлетворяющая указанным предположениям, и g — произвольная функ-
Гл. I. Интегрирование в n-мерном пространстве 519
пия, определенная на множестве М. Не уменьшая общности, можно
считать, что g 1> 0. Последовательность функций v/ (где v £ N),
монотонно возрастая, сходится к некоторой интегрируемой функции
/о, и ПРИ этом ^о(х) = 0 ПРИ х $ М и /0(х) = +°° при х 6 М. Так
как 0<g^/o и V /0 djx = 0, интегрируемость функции g следует
из теоремы 6.4. После этого равенство I g d\i = 0 тривиально.
В качестве непосредственного следствия получаем:
Теорема 9.6. Класс нуль-множеств совпадает с классом
множеств объема нуль.
Почти тривиальна (но не является следствием теорем 9.3 и 9.4)
Теорема 9.7. Каждое подмножество нуль-множества снова
является нуль-множеством.
В самом деле, если A cz В и 1^{В) = 0, то
J %Ad\i= $%Ad\i + J ХаФ = 0.
Наконец, из теорем 9.3 и 9.4 следует еще
Теорема 9.8. Счетное объединение нуль-множеств является
нуль-множеством.
Во многих случаях нуль-множества не играют никакой роли;
поэтому вводят следующую терминологию. Говорят, что некоторое
утверждение о точках пространства ШЛ справедливо почти всюду,
если оно справедливо вне некоторого нуль-множества. Так, говорят,
например, о почти всюду сходящейся последовательности функций,
функциях, почти всюду равных нулю, и т. д. По теореме 9.5
неотрицательная функция / равна нулю почти всюду в том и только в том
случае, если I / dji = 0.
Каждая интегрируемая функция почти всюду конечна. В самом
деле, если М — множество всех точек, в которых функция /
принимает бесконечные значения, то последовательность функций
/v = v"1' |/|, монотонно убывая, сходится к функции g,
принимающей в каждой точке х £ М значение +оо, а вне М равной нулю.
По теореме 7.2
J gd\i = lim — J |/|d(i = 0.
Поэтому М есть нуль-множество.
Далее, если функция f интегрируема и почти всюду g = /, то
Функция g также интегрируема и
I gd\i=$fd\L.
f 0, если /(x) = g(x),
520 Том III
Для доказательства условиями
h(x)— , х
( g(x)-/(x) в противном случае
определим функцию h. По предположению функция h интегрируема
и V h d\i = 0. Кроме того, g = / + К т. е. во всех точках, в которых
сумма /(х) + Мх) определена, имеет место равенство g(x) = /(х) +
+ h(x). Поэтому интегрируемость функции g и равенство
следуют из теоремы 6.1.
Рассмотрим теперь вновь теорему об интегрировании
монотонной последовательности (теорема 7.2). Если последовательность
(/v), монотонно возрастая, сходится к функции / только почти всюду,
то множество
М = {х: (/v(x)) не является монотонной последовательностью
или lim /v(x) Ф /(х)}
V-*oo
имеет объем нуль. Положим gv(x) = /v(x) при х $ М и gv\M = 0
и подобным же образом определим функцию g условиями g = f
на Шп — М и g\M s 0. Тогда функции g и gv будут удовлетворять
предположениям теоремы 7.2. Поэтому функция g, а значит, и
функция / интегрируемы и
$ / d\i = J g d\i = lim I gv d\i = lim J /v ф.
С помощью совершенно таких же рассуждений получаем:
Теоремы сходимости из § 7 и 8 останутся верными, если вместо
поточечной сходимости требовать лишь сходимость почти всюду.
§ 10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СТУПЕНЧАТЫХ ФУНКЦИЙ
Во многих случаях интеграл дает продолжение рассматриваемой
положительной меры на класс интегрируемых функций. Нужно
указать условия, при которых для ступенчатых функций \\ t d\i =
Пусть снова \i — некоторая положительная мера на
пространстве ^T{Jb) ступенчатых функций. Пусть % £ Jk — какое-нибудь
покрытие, например °ll = {Ut: i £ /}, и t £ ^(U). Тогда если
t(Uj) Ф 0, то множество Uj непременно является компактным,
а множество
U}=Uj- U U^Uj-iUjf] U U,)
Гл. /. Интегрирование в n-мерном пространстве 521
— разностью двух компактных множеств. В силу теоремы 9.2
множество Щ поэтому конечно измеримо, т. е. функция %и* интегри-
j
руема. Так как, кроме того, имеет место равенство г)
Jdl J
то нами доказана
Теорема 10.1. Каждая ступенчатая функция t £ ^(V)
интегрируема. При этом г)
J tdli= s *(*£>/*(0J)-
Rn J<zi
Вообще говоря, J t d\x ф \i(t). Приведем пример. Пусть \i =
= 2g — мера Лебега — Стильтьеса, определяемая функцией
g(x)-t ° при *^0'
8{Х}~ [1 при х>0.
Как сразу вытекает из определения меры dg в § 3, для ступенчатой
функции £, задаваемой условиями £(0) = 1 и t(x) = 0 при х ф 0Г
значение \i(t) = 0. С другой стороны, функция t полунепрерывна
сверху, и потому
J tdg=ini{ii(i:): т>*}.
К
Так как функция т полунепрерывна снизу, из того, что т(0) ^ 1
и, значит, т(0) > 1 — б для любого положительного б, следует,
что для всех точек х некоторой окрестности точки 0 выполняется
неравенство х{х) > 1 — б. Поэтому тем более х(х) > 1 — б, и потому
по определению меры \л
ji(t) > 1 - б,
и мы видим, что
I tdg>iфll(t).
01
Чтобы установить практический признак равенства \i(t) и
интеграла I t d\i, сначала мы докажем следующую лемму.
Лемма 1. Пусть для некоторого покрытия °11 £ Л
[1 da = С t d\i.
1) Суммирование производится по тем множествам J CZ I, для которых мно^
Жество Uj компактно.
522 Том III
Тогда
\i(t)=ltdii.
Доказательство. Обозначим t<% — t и ty = t. Если т —
ступенчатая функция, для которой т ^ t, то \i(%) ^ \i(t). На
основании теоремы 5.1 получаем оценку J ld\x ^i \i(t). Аналогично,
из теоремы 5.2 следует, что \i(t) ^ $ t d\i. В силу монотонности
интеграла, имеем также
J t d\x ^ I t d\i ^ J £ ф.
Если оба крайних интеграла совпадают, то мы и в самом деле
получаем, что \i(t) = I t d\i, что и требовалось доказать.
Если t — ступенчатая функция при покрытии °ll = {J7t: i £ /},
то функции % и % на множествах Щ непременно совпадают. Если
мы предположим, что для каждого г ;> 1 все компактные
пересечения Uи , ,,m1j являются нуль-множествами, а потому
соответствующие множества Щь , . . ., iri имеют объем нуль, то мы будем
иметь
$ (%|- У d\i = 2f И^ -У ty =J£ £ ('«, - У *Р = °-
Тем самым нами доказана
Теорема 10.2. Пусть для каждого цокрытия V, £ Л (где
Я1 = {Ui: i g /}) выполняется следующее условие: если r^l u
множество Uи , ..., i j компактно, то оно является нуль-множеством.
Тогда для произвольной ступенчатой функции t £ 3^(<А)
ix(t)=l td\i.
Применим теперь эту теорему к мере Лебега 2.
Пусть сначала Q — произвольный компактный параллелепипед,
ребра которого параллельны осям координат, и t £ £Г(Ш) —
ступенчатая функция, для которой t ^ %q. Тогда на основании § 2
2 (O>/(0.inf *>/(<?),
Q "
. где I(Q) — евклидов объем параллелепипеда Q. С другой стороны,
/ О является пересечением всех открытых параллелепипедов Р с
ребрами, параллельными осям координат, содержащих (), т. е. нижняя
грань значений 2(t) для t ;> %Q равна I(Q). Таким образом,
/*№)=S&=/№)
Q
и мы можем сформулировать следующую теорему:
Гл. I. Ицтегрирование е n-мерном пространстве
523
Теорема 10.3. Объем, определяемый мерой Лебега dx,
является продолжением евклидова объема на класс множеств, измеримых
по Лебегу.
Эта теорема показывает, что среди многих возможных мер мера
Лебега имеет следующий геометрический смысл: объем более общих
тел (шар, цилиндр) она определяет так, что это понятие объема
охватывает и простейшие тела, объем которых очевиден из
наглядных соображений. (В случае меры Дирака объем каждого тела равен
единице или нулю; для геометрии это никакого интереса не
представляет.)
Теорема 10.4. Каждое компактное подмножество К
гиперплоскости пространства Кп, параллельной осям координат, является
лебеговским нуль-множеством.
Доказательство. Пусть Н — гиперплоскость {х: xv = с}.
Пусть, далее, куб Q = {х: |х|^г} настолько велик, что К cz
d Q{]H. Пусть, наконец, Qe = {Q[\H) X [с — 8, с + в]. Тогда
К cz Qe и I(Qe) = А-2е, где А есть (п — 1)-мерный объем (п — 1)-
мерного куба Q[)H. Поэтому
1{К) ^А-2г
для каждого е > 0, т. е. ЦК) = 0.
В частности, для меры Лебега каждая точка является
нульмножеством. Поэтому лебеговскими нуль-множествами на
основании теоремы 9.8 являются и счетные множества (например,
множество Qn с= 01п). Этот факт мы упоминали в первом томе. Кроме
того, из теоремы 10.2 следует, что
2(t)=$tdx.
В заключение этого параграфа усилим еще теорему 9.5.
Теорема 10.5. Пусть f — некоторая ^-интегрируемая
функция, где \х — положительная мера в пространстве £T{Jh). Тогда
если для каждого покрытия 41 = {Ut: i £ /} £ А и каждого
множества индексов J a I
V*J
то функция f почти всюду равна нулю.
Доказательство. Достаточно доказать, что J /+ d\i = 0.
В самом деле, в таком случае и
$ ГФ= 5 (/+-У)ф= $ /+ф- I /ф = 0;
524 Том III
в силу теоремы 9.5 функции /+ и /" почти всюду равны нулю, и
потому почти всюду равна нулю и функция /.
Выберем некоторую е-окрестность & = JF\h, g] функции / и сту- "|
пенчатую функцию t £ £ ^. Пусть, например, t £ J~(°U), где Ч =
= {J7t : i 6 /} и J a I — подмножество, для которого t(Uj) > 0.
Обозначим буквой М объединение всех таких множеств Щ. Имеем
J hd\i^ I td\i, J fd\i^l gd\i,
м м м м j
J gdyi— I hd\i= J (g-h)d\i^ J (g-&)djx<8.
M M M Kn II
Поэтому
I J £ dfi — J / d\i I ^ 8.
I м м I
Следовательно, по предположению I J £ d\i\ ^ e, т. е. I t+ d\i ^ 8. il
Имеют место также неравенства
Поэтому
Dln Kn Kn Kn
Так как g+ — h+ ^ g — h, получаем
откуда
и, следовательно,
| J /+^|<28.
Таким образом, и в самом деле J /+ d\i = 0, что и требовалось дока-
зать.
§11. ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
1. Непрерывные функции
Теорема 11.1. Непрерывные функции на компактных
множествах интегрируемы.
В самом деле, если функция / на компактном множестве М
непрерывна, то мы можем найти такое число с £ R, что / + с ^ 0. Доста-
Гл. I. Интегрирование в n-мерном пространстве 525
точно доказать интегрируемость функции g = / + с. Но функция g
полунепрерывна сверху, и потому в силу теоремы 5.2 интегрируема.
Теорема 11.2. Пусть М — открытое и ограниченное
множество в пространстве Кп, a f — непрерывная ограниченная функция
на множестве М. Тогда интеграл \ f d\i существует.
м
Доказательство. Мы снова можем считать, что / ^> О,
я, кроме того, путем умножения на некоторое число добиться, чтобы
4 ^ 1. Тогда тривиальное продолжение / функции / на все
пространство Шп полунепрерывно снизу. Пусть теперь М cz Qr, где Qr —
достаточно большой компактный куб, и т — ступенчатая функция,
принимающая на всем кубе QT значение 1. Из £^/, разумеется,
следует, что t ^ т, и потому \i(t) ^ (и(т). Следовательно, по
теореме 5.1 функция J интегрируема.
Из этой теоремы следует, что каждое открытое ограниченное
множество конечно измеримо. Так как каждое открытое множество
можно представить в виде счетного объединения открытых
ограниченных множеств, то вообще каждое открытое множество (а потому
и каждое замкнутое множество) измеримо.
2. Интегрирование по компактному промежутку
числовой прямой
Теперь мы хотим установить связь с первым томом. Пусть
поэтому 2 = dx — мера Лебега на пространстве jT = У ($)
ступенчатых функций при параллелепипедных покрытиях пространства Л1.
Пусть, далее, I = [а, Ъ] — конечный замкнутый промежуток и JT* —
векторное пространство ступенчатых функций на промежутке [а, Ъ].
Обозначим через 2* риманову сумму ступенчатых функций из JT*.
Чтобы иметь в своем распоряжении удобный язык, мы будем
функцию /, определенную на промежутке /, называть конечно
интегрируемой, если она интегрируема в смысле первого тома. Функция /
называется интегрируемой, если существует интеграл \ / dx, определен-
Т
ный в § 9. Интеграл в смысле первого тома мы будем обозначать
символом
1
Теорема 11.3. Следующие высказывания о действительной
-функции f на промежутке I эквивалентны:
1) Функция f интегрируема.
2) Функция f конечно интегрируема.
526
Том III
Если оба эти утверждения справедливы, то 1
* И
[fdx=lfdx. 1
/7 Щ
Иными словами: теория интегрирования из первого тома является 1
частным случаем нашей общей теории.
Мы предпошлем доказательству несколько замечаний. Если т — I
произвольная ступенчатая функция в JT, например т £ JT^?/), J
то сразу можно проверить, что ступенчатые функции %<ц и т^, опре-1
деленные согласно § 1, не зависят от покрытия °И\ поэтому мы будем J
их обозначать просто через тит. Ступенчатые функции t и t, вве-1|
денные в § 2 гл. IV т. I (где t £ JT*), мы будем теперь обозначать^
символами tut. Пусть т — тривиальное продолжение функции ty ■.
так что т 6 JT. Тогда, очевидно, 2*(£) = 2(т). К сожалению,
равенства т|7 = t и т|/ = t, вообще говоря, не имеют места, потому что
при нахождении минимума для т и соответственно максимума для т
нужно учитывать больше значений, чем для функций t и t. На про- ,
межутке / выполняются неравенства т^£^£ = т^£^т.
По этой причине доказательство не совсем тривиально. Правда,
если t = t или t = t, то из определений сразу следует, что т = t
и т = t на открытом промежутке / (в концах не обязательно).
Доказательство теоремы 11.3. а) Допустим сначала, что
функция / интегрируема и А = I f dx. Так как конечные множества
7
являются нуль-множествами (как в смысле § 9, так и в смысле
первого тома), мы можем считать, что f(a) — f(b) = 0. Пусть теперь
^[А, g] — такая окрестность функции / (тривиального
продолжения функции / на все пространство И), что для каждой ступенчатой
функции t 6 £Г{0), удовлетворяющей условию £ 6 6 ^> выполняется
неравенство ]2(£) — А \ < е (ведь по определению А = I f dx =
= I f dx). Положив А* = h\I и g* = g\I, мы получаем окрестность
К
$р* = <U[h*, g*] функции / в смысле первого тома. Пусть t £ J^*
и t g £ ^*. Мы докажем, что |2*(£) — А\ < е. Во всяком случае*
2*(£)=2*(£). Поэтому мы можем с самого начала считать, что
t = L Пусть теперь т = t £ JT. Проверим, что т 6 6 ^lA» g]> т. е.
что имеют место неравенства h < т ^ т < g. Так как на /, согласно*
Гл. I. Интегрирование в п-лерном пространстве 527
сделанному выше замечанию, т = t и т = t, то на / эти неравенства
справедливы. Очевидно, они верны и на т — /. Наконец, в концах
а и Ъ имеем
х(а) = min (0, t(a)) > h{a), так как h(a) < О,
х(а) = max (0, t(a)) < g(a), так как g{a) > О,
и соответствующие неравенства в точке Ъ. Итак,
*
|Л — 2*(*)| = |Л — 2(т)|<е, и потому A=lfdx.
i
b) Предположим теперь, что функция / конечно интегрируема и
А= \fdx.
Снова можно считать, что f(a) = f(b) = 0. Прежде всего выберем
по данному е > 0 такую окрестность & — ^[h, g] функции нуль
о
над Л, что |2(*)|<-=- для всех t £ £ &. Пусть, далее, J^* =
= <Ш&*, g1*] — такая окрестность функции / над I, что для каждой
ступенчатой функции t £ jT*, удовлетворяющей условию £ 6 € ^"*,
|2*(9-41<|-.
Умножая в случае необходимости функции h и g на достаточно малые
положительные числа, мы можем добиться, чтобы выполнялись
неравенства
h*(a) < Ца) < 0 < *(а) < g*(a),
Л*(Ь) < Л(Ь) < 0 < *(Ь) < **(Ь)
(при этом нужно еще в качестве h и g выбрать действительные
функции). Функций hug, определяемые на К условиями
h(x)=i h^ ПрИ *^(а' Ь)'
{ } \ h*(x) при #6 (я, Ь),
f g(x) при я£(а, Ь),
£ (х) = \ g* (x) при х 6 (а, Ь),
заведомо полунепрерывны. Поэтому ер =^[h, g] есть окрестность
Функции /. Если ступенчатая функция £ € € 3^» то
528 Том III
Так как, однако, t\I £ £ J£"*, то, учитывая, что 2(*Ю =2*(£|7),
сразу получаем
\2(t\I)-A\<j,
и, далее, так как t\K—I^^^lh, g],
\2W-A\^\2(W-l)\ + \2(l\I)-A\<l + ± = B.
Тем самым интегрируемость функции / на промежутке I и равенство -\
A=[fdx
1
доказаны.
*
Начиная с этого момента, мы снова можем вместо I f dx cno-
койно писать \ f dx.
1
3. Несобственные интегралы1)
Мы собираемся установить для функций одной переменной про-
■стые признаки интегрируемости. При этом мы будем исходить из
одномерной меры Лебега.
Пусть / — полупрямая {х: х ;> а}, где мы для удобства еще ?|
будем считать, что а > 0, и пусть Iv — промежуток [a, v] (при
v £ Ы и v ;> а). Интегралы от функции / соответственно по проме-
оо V
жуткам I ж Iv мы будем обозначать символами J / dx и $ / d#.
а а
Теорема 11.4. Функция f интегрируема на промежутке I
<в том и только в том случае, если она интегрируема на каждом про-
V
межутке 1Х и последовательность A v = \ \f(x) \ dx сходится в К.
а
v
В этом случае существует предел lim $ f(x)dx и
V-»oo a
оо V
J / (x) dx = lim J / (#) dx.
a v-*°° a
oo
Доказательство. Из существования интеграла J f(x)dx
a
вытекают интегрируемость функций /и |/| на Iv и функции |/| на />
*) Термин «несобственные» идет из римановской теории интегрирования»
Гл. /. Интегрирование в n-мерном пространстве 529
я также неравенства Av ^ -4v+i ^ J \f{x)\dx < + оо. Поэтому наше
а
условие необходимо.
Допустим, теперь, наоборот, что это условие выполнено.
Положим /v ^/'Xv Тогда последовательность |/v|, монотонно возрастая,
сходится к функции |/|. Так как по предположению последователь-
оо
ность интегралов J \fv(x) \dx сходится к некоторому действительному
а
числу, функция |/| в силу теоремы 7.2 интегрируема на
промежутке /. Поэтому, ввиду того что |/v| ^ |/|, функции/v образуют L-orpa-
ниченную последовательность, сходящуюся к /. Таким образом,
наше утверждение следует из теоремы 8.3.
Простым частным случаем теоремы 11.4 является
Теорема 11.5. Пусть функция f интегрируема на каждом
промежутке /v. Если существуют такие числа Ъ ^> а, г ;>0 и б > О,
что при х^>Ъ
|/(*)|<рт.
то функция f интегрируема на промежутке I и
оо V
I f (x) dx = lim \f{x) dx.
a v-*00 a
Если же при х^> Ъ выполняется неравенство \f{x) \ ^ r/х, то
функция f на промежутке I не интегрируема.
В самом деле, в первом случае
v Ъ v Ь
а
а во втором
V
J !/(*)№> )!/(*)№> \ ^dx=r- (lnv-ln&),
abb
и эта последовательность расходится.
Формулировку соответствующих теорем для интегралов вида
а
J / dx мы предоставляем читателю.
--оо
§ 12. КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
До сих пор у нас не было средств для фактического вычисления
Интеграла от какой-либо функции. В этом параграфе мы собираемся
доказать, как интеграл по пространству Я1п можно свести к п инте-
34—832
530 Том III
,Й
грированиям по действительной оси. Для функций одной переменной^,
в нашем распоряжении имеется эффективный метод интегрирования: 11
его дает основная теорема дифференциального и интегрального f
исчисления.
Мы будем пользоваться ступенчатыми функциями при параллеле-1
пипедных покрытиях пространства Шп. Вначале будет доказана |
Теорема 12.1. Пусть g — полунепрерывная снизу функция,||
которая вне некоторого компактного куба Q положительна. Тогда I
существует монотонно возрастающая последовательность (t^) сту-Л
пенчатых функций, сходящаяся Kg. ||
Доказательство. Мы будем основываться на том факте,Я
что рациональные точки, т. е. точки х = (хи . . ., хп) £ Лп с рацио-||
нальными координатами xv, образуют счетное всюду плотное мно-Ц
жество. ;1
Пусть х0 — произвольная точка пространства В1Л и а — число, I
удовлетворяющее условию а < g(x0). Выберем такое рациональное!
число д, что а < q < g(xo)- Тогда найдется такая окрестность U = |
= С7(хв) точки х0, что во всех ее точках q < g, и без ограничениям
общности можно считать, что U есть компактный куб с рациональ-||
ными вершинами. Для куба U мы можем найти такой куб Qr =•;<[
= {х: |х| ^ г} с рациональным г, что U cz Qr и что, кроме того/
g|Rn — (?г > 0- Теперь следующим образом по заданным точке х0
и числу а < g(x0) построим ступенчатую функцию т = т(д, ?7, г);
Т(Х):
{•'
при
при
при
хеи,
xeQr-u,
x£Rn — QT
где q' — произвольное фиксированное число, меньшее, чем минимум
функции g на кубе Qr. Тем самым каждой тройке (q, U, г)
указанного вида мы поставили в соответствие некоторую ступенчатую
функцию, а так как множество всех таких троек (q, U, г) счетно,;
мы получили счетное множество ступенчатых функций. Запишем
их в виде последовательности т4, т2, т3, . . . . Очевидно, всегда
Тц, < g. Пусть теперь
fIi=max(T1, ..., Тц), |i=l, 2, ...'•
Ступенчатые функции t^ образуют монотонно возрастающую после*
довательность, причем tVL<g. Мы покажем, что lim t^ = g.
Для числа а < g(x0) существует такая ступенчатая функция V i
что а < т^(х0), и потому тем более а -О^ (х0). Поэтому для всякого
Гл. /. Интегрирование в n-мерном пространстве
531
сла а <. g"(x0) нижний предел lim ^(x0) !> а и, следовательно
lim ^ц(хо) > #(хо)- Так как Мхо) < #(хо) при всех \к, то здесь долж-
^о"иметь место равенство, что и требовалось доказать.
Мы будем ниже рассматривать декартово произведение Кп+т =
= Щп X Rm ДВУХ числовых пространств Кп и Dlm. Каждую точку
х f Bln+m можно тогда одним и только одним способом записать
в виде х = (х', х"), где х' £ Кп и х" £ Шт. На всех этих
пространствах мы будем рассматривать меру Лебега 2 = dx, 2' = dx'
и Ъ" = dx". Если заданы два параллелепипедных покрытия 41'
и U" соответственно пространств Кп и fllm, то по ним можно
следующим образом построить некоторое параллелепипедное покрытие
U пространства Dln+m. Пусть
"<V|# • • Ч Vn, Щ, . . .* |Xm) = "(Vi, . . ., Vn) X U(\Ltt . . ., |lm)>
где J7(vi, ..., vn, € ^'» #on »m) £ ^" и мы пользуемся
обозначениями из первого параграфа. Пусть, далее,
Очевидно, для объемов наших параллелепипедов выполняется
соотношение
mvj, . .., vn, щ Ит)==^(^ь ...* vn§ щ* ..., Hm)) =
= J (Щ*ц ..., vn>) • / ( #0ц \im)) =
= -4yi# ..., vn) * -4|ilt ..., |im)-
Пусть теперь t £ .У($0 — какая-нибудь ступенчатая функция.
Тогда для каждой точки х" 6 W1
tx-(x) = t(x\x")
есть ступенчатая функция при покрытии °IV, и потому в
пространстве Rm функция
Г(х")=2'(*х„)
определена корректно. По построению покрытия У1 для всех точек
х одного и того же элемента Uj* разбиения ?/"*, соответствующего
покрытию 4L", ступенчатая функция tx» является одной и той же.
Поэтому функция f на Щ* постоянна. Если множество Uj не
компактно, то функция tj» при х" g U'j* равна нулю. Мы видим, что
* € JT (<?/"), и можем теперь сформулировать следующее утвержде-
Пйе:
Теорема 12.2. 2(f) = 2" (О-
34*
532
Том III
Доказательство. Имеем
о
2 (t) = 2j t (^(Vi, ..., Vft, Щ, ..., |im)) J(vlt ..., \n* M>i. •.., \hn> =
vi, •.., vn
l*i. • • -. I*m
о
= 2 'to, ,m) 2 HU[Vl vn)X
M-i V>m vi. •••. vn
о
X ^(Hi Urn) ^(vlt ..., v^).
о
Если точка x" £ Uff^lt..., p,m), то по определению
2 «(U*. v„) X {x'}) /(V1 Vn) = 2' (^) = f (х-),
Vi Vn
и потому
О О О
2 l Wvi vn) X J75ilf ..., цт)) /<Vlf ..., vn) = f (U(\Lit ..., \im))t
Vi, • • ., Vn
откуда следует наше утверждение:
о
2 (0 = 2 V, ..., Ит>' *" (^i Vim)) =
= 2" (Г).
Пользуясь тем, что 2(£) = $ * dx, установленную в теореме 12.2
формулу можно записать в следующем легко запоминающемся видез
$ t(x)dx= $ [ $ *x*(x')dx] dx\
Kn+m Km Kn
Так как x' и х" в этом рассуждении можно поменять ролями, в
результате мы можем написать
$ *(x)dx=$ [J *(x',x")dx']dx" = $ [J *(x',x")dx"]dx\
Наша цель состоит в том, чтобы заменить в этой формуле
ступенчатую функцию t произвольной функцией, интегрируемой на
пространстве R,n+m. Сначала мы перейдем к полунепрерывным
функциям.
Лемма 1. Пусть f — полунепрерывная снизу интегрируемая
функция в пространстве Лп+т, являющаяся положительной вне
некоторого куба Qr. Тогда для почти всех точек х" £ В1т функция f%*,
определяемая в пространстве Кп условием /х*(х') = f(x\ х"), инте~
Гл. 7. Интегрирование в n-мерном пространстве 533
грируема. Кроме того, если мы положим
[ у /х» (х ) dx , когда этот интеграл существует
{ IRn
^ 0 в противном случае,
то функция f будет интегрируема на пространстве Кт и
\ f(x)dx=l f(x")dx\
f(x) =
>п+т
Доказательство. Выберем какую-нибудь монотонно
возрастающую последовательность ступенчатых функций tv, для
которой Hm tv = /. Тогда (теорема 7.2)
lim J tvdx = j fdx,
v-*°° о n+m ro 7i+m
lim /Vfx* = /x">
V~>oo
*v, x* ^ *v+i, x*.
Пусть
%(х")= $ tVt%»(x')dx'.
Тогда (£j) также есть монотонно возрастающая последовательность
ступенчатых функций. Если мы положим /" (х") = lim £у(х")> то
V-юо
из теоремы 12.2 и теоремы 7.2 будет следовать, что
+ оо > lim J tv (x) dx = lim J t% {x) dx =
= J (klim % (х")) dx =
= J /V)&*.
Поэтому существует некоторое нуль-множество М, вне которого
/*(х") < + °°- Таким образом, при х" (£ М мы получаем
lim £ £Vj х- (х') dx' = lim % (х") = /" (х") < + оо,
а снова из теоремы об интегрировании монотонно сходящейся
последовательности вытекают интегрируемость функции /х» = lim £v,x
534 Том III
и равенство
limj *v,X"(x')dx=$ fx»(x')dx.
В левой части этого равенства стоит /" (х"), а в правой /" (х"). Поэтому
интегрируема и функция /", так как вне нуль-множества М она
совпадает с функцией /", и мы имеем j
J / (x) dx == lim I tv (x) dx = lim J t% (x") dx = f
ro n+m v-*°° jd n+m v-*°° ro m }
= J ~r(x)dx"=l f{x*)dx.
mm кщ :
В качестве главного результата этого параграфа теперь будет
доказана
Теорема 12.3 (Фубини). Если f — интегрируемая функция
на пространстве Rn+m, то для почти всех точек х" £ Шт функция
/х'(х') = /(х', х") интегрируема на пространстве Кп, и для почти
всех точек х' 6 W* функция /х> (х") = /(х\ х") интегрируема на
пространстве Кт. Кроме того, существуют интегралы от функций г)
f (х") = $ /х»(х)dx, f (x) = J h>{хя)dx"
и имеют место равенства
l f(x)dx = l /(x)dx = $ f(x)dx,
m. e.
J [$ f(x\x")dx"]dx'=\ f(x)dx= J [$ /(x'^Vx-ldx*. '
Доказательство. Так как функция / интегрируема, мн
можем найти такие последовательности полунепрерывных сверху
и соответственно снизу функций hv и gv, что hv < gv и
^i < h < &3 < - • • < / < • ■ • < 8s < £2 < gi
и что для каждого номера v функциональная область ^[hv, gj
является ev-OKpecTHocTbio функции /; при этом числа ev > 0 обра*'
зуют монотонно убывающую последовательность, сходящуюся к нУ"
лю. Поэтому, так как для полунепрерывных функций наше утвер*
х) В точках, в которых эти интегралы не существуют, мы считаем функц^
/' и /" равными нулю.
Гл. I. Интегрирование в n-мерном пространстве 535
ждение уже доказано в лемме 1,
f [ J (*v (x'> x") - fev (х , х")) dx]dx = J fo, (x) - К (x)) dx <ev.
В силу леммы 1 вне некоторого нуль-множества Мс Rm все
функции gvX и /^,х» интегрируемы на пространстве КЛ Положим
{$ gv (х\ х") dx при х" $М,
о при х ем,
\ § К (х', х") dx при х" ($М,
^(хйг)=< Dln
[ 0 при х"6^".
Тогда (снова по лемме 1) функции gy и h"v интегрируемы на
пространстве Dlm. Последовательность Fv = g% — h^ монотонно убывает
и, значит, поскольку все ее элементы интегрируемы и
неотрицательны, сходится к некоторой интегрируемой предельной
функции F. По предположению
I F(x")dx"=lim I Fv(x")dx"=limev = 0.
Поэтому вне некоторого нуль-множества N а Кт функция ^(х") =
= 0. Для любой точки х" $ M[)N по произвольному е > 0 можно
найти такой номер v, что
/v(x") = J gv (х', x") dx' — J hv(x, x")dx'<e.
Так как, очевидно, hVtX» ^ /х* ^ gv,x"> из теоремы 6.4 вытекает,
что функция /Х" интегрируема.
Таким образом, условиями
I fx" (*') dx' при х р/ U А",
Г(х-)= ; -
О в противном случае
Мы можем определить некоторую функцию /". Вне объединения
M{JN выполняются неравенства К(х") < f"(x") < gy(xn), и
Нщ (g;(x") - /^(х")) = 0. Поэтому
v-vco
lim g* (х*) = lim /£ (х*) = f (х").
536 Том III
Так как hi ^ h"v ^ gt, ^ g[, последовательности (/$ и (gnv) являются
L-ограниченными. Поэтому функция f интегрируема и
J f (х") dx" = lim J &v (х") dx" =
= lim J fev(x)dx<
<'$ /(x)dx<
< lim J gv(x)dx =
v-*«> id n+m
= lim $ . gv (x*) ^x" =
= 5 Г(х-)л'.
Следовательно,
Остающиеся утверждения теоремы получаются из уже
доказанных, если поменять обозначения.
Теорема Фубини позволяет свести интегрирование функции
п + т переменных к двум последовательным интегрированиям
более простых функций; при этом порядок, в котором производятся
интегрирования, не имеет значения. Предположение о том, что
функция /(х\ х") интегрируема на пространстве Rn+m, отбросить
нельзя. Даже в случае равенства повторных интегралов
J [ J /(x'.x-)&']&*= $ [J /(x\x")dx"]dx,
0lm 01n - Kn Km
несмотря на то, что функции /х* и /Х' интегрируемы, функция /
не обязана быть интегрируемой. Однако при дополнительных пред*
положениях можно сделать заключение об интегрируемости
функции /:
Теорема 12.4 (Тонелли). Пусть функция f неотрицательна
и почти всюду в Кп+т является пределом последовательности
ступенчатых функций. Если тогда существует один из следующих трех
Гл. I. Интегрирование в n-мерном пространстве 537
интегралов:
Г /(х',х")А, I [ $ f{x\x)dx]dx\ I [J /(x; x') &']&',
то существуют и остальные, и все они равны.
Доказательство. Без ограничения общности будем
считать, что существует второй интеграл, и прежде всего выберем
последовательность
K{czK2cz...c=Kn+m
компактных множеств, объединение которых равно всему
пространству. Функции /v = min(v, f-%Kv) по теореме 8.4 интегрируемы
и образуют монотонную последовательность, очевидно, сходящуюся
к функции /.
Из неравенства /v ^ / по теореме Фубини следует, что
I fv(x)dx= $ [ I /v(x',x")dx']dx*<
Rn+m кт Кп
Поэтому в силу теоремы 7.2 функция / интегрируема, и снова на
основании теоремы Фубини мы получаем наше утверждение.
Приложения
Меру Лебега в пространстве Кп мы будем теперь по большей части,
обозначать dx{ . . . dxn.
1. Пусть / — интегрируемая функция на пространстве Кп. Если
мы положим х' = (#i, . . ., xn„i) и х" = хп, то получим
I f(xif...,xn)dx = J I f{xu ...,xn)dx']dxn.
Повторяя эту операцию, мы приходим к равенству
$ f(x)dx= J ... [Ill f(zi9...fzn)dxi]dzz]... dxn.
Интегрирование функции п переменных можно заменить п
интегрированиями по одной переменной. Порядок, в котором
производятся эти интегрирования, при этом безразличен. Так как для функций
°Дной переменной нам известен хороший метод интегрирования
(том I,), то теперь мы можем вычислять и интегралы от функций
нескольких переменных.
538 Том III
2. Если Q = {х: av ^ xv ^ bv, v = 1, . . ., n) —
параллелепипед и / — функция, непрерывная на Q, то легко убедиться, что
справедливо равенство
J / (х) dx = ) ... J j / (#!, ..., #„) d#i <£r2 • • • dxn.
{Скобки в кратных интегралах мы будем теперь в большинстве
случаев опускать*)
3. Пусть 7 = [а, Ь] — некоторый промежуток и <рь <р2 — две
функции, непрерывные на / и удовлетворяющие неравенству cpi <
<С ф2. Тогда, как легко проверить, множество
М = {(ж1? ж2) € Ш2: ^i € 7, ф^) < я2 < ф2(^)}
*>А
О a b х,
Рис. 54. К примеру 3.
ь
и
\f M
1 /
А^
г
J*
Рис. 55. К примеру 4.
компактно, и потому каждая непрерывная функция f(xi9 х2) на
множестве М интегрируема. Имеем (см. рис. 54)
I f(xi9 x2) dXi dx2 = ^f {xu х2) dx{ dx2 =
М id 2
= 1 [J f(xu x2)dx2\dxi =
К К
= И J ffafZd^dXi.
4. В качестве частного случая примера 3 вычислим площадь
области
М = {(я, у): 0 < х < г, i/2 < ж},
Гл. I. Интегрирование в n-мерном пространстве 539
ограниченной параболой (см. рис. 55). Находим
г + Ух г
I{M)=\dxdy=\ \ dydx=\2y^dx=^r3/\
м о -Vx °
5. По той же схеме можно вычислять объемы и площади
элементарно-геометрических фигур. Разумеется, встречающиеся при этом
функции не обязаны быть элементарно интегрируемыми.
§ 13. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
Мы рассмотрим интегралы, зависящие от некоторых параметров,
и исследуем эти функции на непрерывность и дифференцируемость.
Хотя устанавливаемые здесь теоремы и являются почти прямыми
следствиями из теоремы сходимости Лебега, все же они заслуживают
подробной формулировки ввиду их важности для приложений
интегрального исчисления.
Пусть сначала |л = \х(х) — какая-нибудь положительная мера
в lRn и А — непустое [л-измеримое множество. Мы будем
рассматривать функции, определенные на декартовом произведении 4x1,
где М Ф 0 — произвольное множество в Лт. Такая функция /
называется равномерно L-ограниченнощ если существует такая
^-интегрируемая функция g, определенная на множестве А, что |/| ^ g,
т. е. |/(х, у)| ^ g(x) для всех (х, у) 6 А X М. Если, например,
множество А имеет конечный объем, то каждая ограниченная
функция на А X М равномерно L-ограничена.
Теперь дополнительно предположим, что для каждой точки у £ М
функция /у (х) = /(х, у) интегрируема на множестве А (в этом случае
мы будем называть функцию / интегрируемой на множестве А).
Тогда на множестве М определена функция
*Чу)=!/(х,у)^(х).
А
Теорема 13.1. Пусть у0 £ М. Если функции /х(у) = /(х, у)
для каждой точки х непрерывны в точке у0 и если функция f
равномерно L-ограничена на множестве А X М, то функция F непрерывна
в точке у0.
Таким образом, в этом случае
lim \ /(х, у) ф (х) = \ lim /(x, у) d\i (x).
У-*Уо Л А у-»-у0
Этот результат является частичным обобщением теоремы 6.6 гл. VI
т. П. Правда, геометрическая ситуация здесь другая.
Доказательство теоремы 13.1. Выберем какую-нибудь
последовательность точек yv £ М, сходящуюся к у0, и положим
540 Том III
/v(x) = /(x, yv) (при v = 1, 2, . . .). По предположению существует
такая интегрируемая на множестве А функция g, что для всех v
имеет место неравенство |/v(x)| ^ g(x). Кроме того, так как функция
/х(у) непрерывна в точке у0, последовательность (/v) сходится к
функции /о = /Уо. Теперь на основании теоремы 8.3 получаем
F(y0)=lf0(x)dli(x)=lim $Д,(х)ф(х)= lim *(yv)
A V-*°° A V->oo
и, значит, функция F в точке у0 непрерывна.
В следующей теореме мы будем предполагать, что множество М
является некоторым промежутком в R,1 (не вырождающимся в точку).
Теорема 13.2. Пусть снова функция F(y) = J/(x, y)d\i(x)
А
определена для каждой точки у £ М, и пусть у0 — некоторая точка
множества М. Пусть, далее, функция f имеет равномерно L-огра-
ничейную интегрируемую на множестве А частную производную
df/dy. Тогда функция F дифференцируема в точке у0 и
F'(y0)=\^(x,y0)d»(x).
J ду
А
Доказательство. Пусть у £ М. Имеем
F(y)-F(y0)=S(f(x,y)-f(x,y0))dtL(x) =
А
= 1(У~Уо)А(х. У)dP(х)-
А.
Функция А(х, у) интегрируема на множестве А и непрерывна по у
в точке у0. Далее, по теореме о среднем значении
А (х, У) = — (х, Уо + 9 (У ~ Уо)),
ду
где 0 < 6 < 1, и, значит, функция А равномерно L-ограничена.
Поэтому в силу предыдущей теоремы функция А, определяемая
формулой
A(y)=lA(x,y)d\i(x),
А
непрерывна в точке у0 и удовлетворяет соотношениям
F(y)^F(y0) = (y-y0)A(y),
А (Уо) = I ~f- (x, Уо) d\i (x).
J ду
А
Гл. U Интегрирование в n-мерном пространстве 541
Предположения только что доказанных теорем являются очень
слабыми. Они, например, выполняются в следующем важном для
дальнейшего случае:
Теорема 13.3. Пусть множество А компактно, множество
М cz Кт открыто и функция
/(х, у) = f(xu . . ., хп, уи . . ., ут)
интегрируема на множестве А и имеет на А X М непрерывные
частные производные dfldyt. Тогда функция F(y) непрерывно
дифференцируема и
дуг J dyt
А
В самом деле, если у фиксированной точки у £ М мы выберем
компактную окрестность U cz M, то частная производная dfldyt
будет на А X U ограничена, и потому (поскольку IJ.A) < оо)
равномерно L-ограничена. Поэтому из теоремы 13.2 следует дифферен-
цируемость функции F по всем yt, а из теоремы 13.1 — непрерывность
частных производных.
До сих пор мы все время предполагали, что область
интегрирования не зависит от параметров. Для функций двух переменных,
если пользоваться мерой Лебега, легко можно рассмотреть более
общую ситуацию. у
Пусть ф и i|) — две непрерывные функции, определенные на
промежутке {у: а ^.у ^ Ь} и удовлетворяющие неравенству ср < я|э.
Пусть на компактном множестве К = {(х, у): <р(у) ^ х ^ г|)(#), а ^
^У^Ъ} задана непрерывная функция /. Рассмотрим функцию
Ш
Р{У)= $ f{*,v)dx.
Чу)
Сначала будетчдоказана
Теорема 13.4. Функция F на промежутке [а, Ь] непрерывна г).
Для доказательства положим х = q>(y) + £(г|)(*/) — ф(г/)). Тогда
по правилу подстановки, выведенному в томе I, мы получим
1
F (У) = № (У) - Ф (У)) U(<P(y) + t W> (У) - Ф (У)), У) dt.
о
В силу теоремы 13.1 эта функция непрерывна.
Теперь дополнительно предположим, что функция / имеет на
множестве К' = {(х, у): а < у < Ъ, ц(у) < х < Ц(у)} ограниченную
частную производную dfldy, которая для каждой точки у интегри-
1) Очевидно, это частный случай теоремы 6.6 гл. VI т. II.
542 Том III
руема на промежутке {х: <р(*/) ^ х ^ Му)}- (Мы продолжим df/dp
на концы промежутка, положив ее в них равной нулю.) Пусть,
кроме того, функции ф и я|) непрерывно дифференцируемы.
Теорема 13.5. При перечисленных выше, предположениях: i
функция F на промежутке [а, Ъ] дифференцируема и имеет
производную
r {y)= \ ir (x> y)dx+f (+ ДО. у) *' (у) - / (ф (»). у) ф' ДО-
ф(у)
Доказательство, а) Допустим сначала, что все
предположения теоремы выполняются на множестве
U = {(я, у): у £[а, Ъ] и ср(г/) — 8 < х < -ф(у) + е}
при достаточно малом 8 > 0. Пусть г/0 £ [а, Ь]. Выберем тако&
положительное число б, чтобы при \у -— у0\ < б и г/ 6 [#> Ы
выполнялись неравенства
1фДО — ФЫ1<8 и №(») — ф(»о)|<е.
Тогда при этих у
^ДО = J f{x,y)dx =
ф(у)
ччы0> vw) mu0)
= J f{z,y)dx+ ) f(x,y)dx — ) f(x,y)dx =
Ч<Уо) Ч>(У) <PW
'Ш 4»to) ф<#)
J f(z,y)dx + J f(z,y)dx— ) f(x,y)dx,
г/о) Ф(уо) ф(уо)
ф(г/о
причем все встретившиеся здесь интегралы в силу нашего выбора б
существуют. Первый интеграл по теореме 13.3 дифференцируем:
'"Г" I f(x>y)dx= \ -—(x1y0)dx
ay J J ду
<р(Уо) ф(^о)
при г/ = у0. Положим
ч><»>
ОД = J f(x,y)dx,
♦(»о)
и, значит, 6?(г/0) = 0, и покажем, что функция G дифференцируема
в точке г/0. Чтобы упростить обозначения, будем еще считать, что
Гл. I. Интегрирование в n-мерном пространстве 543
фо)< *(»)• Имеем
< max /(»,у)№(у)-1|)У.
По теореме о промежуточном значении найдется такое число £ £
еИ>(Уо). *(»)!. что
/(6,У)№(Й-*Ы)= ) /(*.*)**■
Поэтому
G(y)-G(y0)= J f(x,y)dx =
Ф(у0>
= (*ftf)-*ftffl))/(6.Jf) =
= (» — г/о) ♦' (и» + 9 (^ — ifo» / (Е. г/)»
гдеО<0<;1и££ Г'ф(Уо)» Ф(у)Ь При наших предположениях
функция А(у) = Ц'(у0 + в(у — УоШЪ, У) в точке у0 непрерывна и
принимает в ней значение
Afro) = G'(vo) = ФЧ»о)/(Ф(Уо). 0а).
Равенство
ф J f{x%y)dx=y (г/о) / (ф Ы, Ро) (при у = у0)
доказывается аналогично. Тем самым теорема при дополнительном
предположении доказана.
Ь) В общем случае выберем такое число б0, чтобы 0 < б0 <
< min (г]р — ф), и для каждого положительного б ^ б0/2 положим
?Ь(У)= J f{*,y)dx.
#Ф(у)+6
■Тогда в силу уже доказанного
Of
-.«- j
ф(у)+6
Пусть (6V) — последовательность чисел, удовлетворяющих условию
О <С 6V < б0/2, сходящаяся к нулю. Как в доказательстве
теоремы 6.6 гл. VI т. II (см. стр. 401), из непрерывности функций
544 Том III
/, ф' и \|/ заключаем, что имеет место равномерная сходимость
ДфЫ + 6V, y)<f'(y) -*/(<p(tf), yW{y) и f(y(y) — 8V, »)ф'(у) ^
-^/СФЫ» #№'(?)• Далее, функция |9//9у| на множестве /Г
ограничена, скажем, числом С < оо. Поэтому
<р(и)+6.,
ф(у)
cp(y)+6v
*(у)
I J ay J ду
ид?
<28VC.
Таким образом, последовательность FG^ равномерно сходится
к функции
3/
J.
ф(у)
%
(ж, у) Лг + / (ф ftf), у) ф' (у) — / (Ф (if), I/) ф' (у).
Аналогично доказывается и равномерная сходимость F^ -*■ F.
Наше утверждение следует теперь из теоремы 5.1 гл. V т. I.
Глава II
ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Во многих математических и физических приложениях теории
интегрирования не достаточно интегрировать функции по всему
пространству или по его измеримым подмножествам; необходимо
определить интегралы вдоль путей {криволинейные интегралы)
и по кускам поверхностей. Так, например, чтобы вычислить работу,
совершаемую при движении точки в силовом поле, нужно
«просуммировать силу вдоль линии», т. е. рассмотреть некоторый
криволинейный интеграл вдоль пройденного этой точкой пути. Подобным
же образом, количество электричества, протекающее через кривую
поверхность, выражается поверхностным интегралом и т. д. Попытка
свести эти физические и аналогичные математические вопросы
в систему понятий, с которой можно было бы легко оперировать,
приводит к определению понятия внешней (или альтернированной)
дифференциальной формы: объекты, которые мы интегрируем по
р-мерному куску поверхности в Лп, являются дифференциальными
формами порядка р, а вовсе не функциями. Векторный анализ с его
многочисленными дифференциальными операторами (grad /, rot a,
div a, Grad /, Div a, Rot е?) и интегральными формулами является
вряд ли целесообразным, но часто очень запутанным переводом
исчисления внешних дифференциальных форм.
В этой главе сначала мы вводим дифференциальные формы и
показываем, что с ними можно производить вычисления по обозримым
правилам. Затем будет определен дифференциальный оператор d,
к которому можно свести дифференциальные операторы векторного
анализа, и будет доказана важная теорема об этом операторе.
Интегрированием дифференциальных форм мы будем заниматься
только в следующей главе.
§ 1. ГРАССМАНОВЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА
Буквой Т мы будем обозначать некоторое действительное вектор-
ное пространство, а символом Т* — пространство, сопряженное
с Т, т. е. векторное пространство линейных форм в пространстве 7\
Символом Тр мы будем обозначать р-кратное декартово произведение
пространства Т на себя, т. е. множество всех р-наборов (£1? . . ., £р)
элементов пространства Т.
33—832
546 Том III
Определение 1.1. р-линейной формой (где р ^ 1) в про-
странстве Т называется отображение
обладающее следующими свойствами:
1) для каждого v, удовлетворяющего условию 1 ^ v ^ р,
ф(Ь. • ••» Sv + Sv> •••» 5р)==ф(5ь . ••, Sv> •••» Sp) +
+ ф(?1, -.., Sv> ..., 6р);
2) при l^v^pna^Dl
<p(Si, . . ., a|v, . . ., gp) = a<p(Si, . . ., Ev, . . ., Sp)",
0-линейной формой называется действительное число.
Таким образом, р-линейная форма <р есть функция от р векторов,
линейная относительно каждой отдельной переменной; 1-линейные
формы просто являются элементами сопряженного пространства Т7*.
Точно так же, как и в случае 1-линейных форм, можно показать, что
р-линейные формы образуют действительное векторное
пространство. Число р называется порядком формы <р, а <р называется поли-
линейной формой порядка р.
Иногда требуется более общее понятие:
Определение 1.2. (р, ц)-линейной формой в пространстве
Т (где р и g > 1) называется отображение
<р: Тр X Г**->01,
линейное относительно каждой отдельной переменной; р-формы
в пространстве Т называют также (р, 0)-линейными формами,
а g-формы в пространстве Т* называют (0, д)-линейными формами
в пространстве Г.
Таким образом, при а, Ъ £ R,, S*» Sv> Sv € Т и т)х, T]v, t)v € ^*
имеем
ф (Si, ..., al'v + ЬЦ, . .., Ер, %, ..., T)g) =
= яф (Si, • • -, Sv, • • -, Sp, Ль . - •, Лд) +
+ &Ф (Si, • - -, Sv» • • •> Sp, %» • •., Лд)»
9(Si, -.-, Ep,T]i, ••., aTiv+&nv. . .-,Л«) =
= a<p(Si, ..., Sp,%, • • •> *lv, • • м%) +
+ Ьф(Si, ■. -, Sp, %,..., t|v, • • м л«)-
Векторное пространство, образованное (р, д)-формами, мы будем
обозначать символом Гр» q.
В дальнейшем нам будут почти исключительно встречаться
р-формы.
Гл. II. Внешние дифференциальные формы 547
Определение 1.3. р-линейная форма ф называется
внешней р-формой, если для каждого v, удовлетворяющего условию
1 < v <Р — !>
ф(?1» • • •» 5v» fev+ь • • ч ър) == ф(ь1? • • •> bv+i» Sv> • • ч ьр)«
При р = 1 требование этого определения пусто, т. е. каждая
1-линейная форма является внешней. Внешними 0-формами мы
до определению считаем действительные числа. Вместо «внешняя»
часто говорят «альтернированная» или «кососимметрическая»; все
эти термины означают одно и то же.
Теорема 1.1. Для каждого р внешние р-формы образуют
действительное векторное пространство Ер, называемое р-кратным
грассмановым произведением над пространством Т. При этом Е° =
UR и Е*= Т*.
В самом деле, вместе с формами фц и ф2 и форма ф£ + фг является
внешней; если ф £ Ev и а £ DI, то а-ф 6 Ер.
В качестве первых следствий определения отметим:
1) Если ф 6 Ер и v Ф [л, то
ф(ь1* • • •» bv> " • ■ ч Ьц,» • • ч Ър/ ~
= — ф(ёь • • ч £v-i> Ьц> bv + 1* • • ч 5ц-1» £v> £ц+1» • • ч £р)«
2) Если £v = gp, при v Ф \i, то
4>(h, - . Ч £V9 - • Ч £», . . Ч |р) = 0.
Доказательство. Чтобы перевести р-набор векторов
(£ь . . ., Ev, - - ч Бц, • • •> 5р) в р-набор (£4, . . ., ^ . . ., £v, ...
. . ., §р), нужно сначала последовательно поменять местами вектор
Ер, с векторами g^, £^2, . . ч Ev+i» 6v» т- & произвести (j, — v N
транспозиций. Так как при каждой отдельной транспозиции знак
меняется, в результате мы получаем
ф(?1» • • ч Ivi • • ч Ец> • • ч Sp) =
= ( 1) Ф (bl> • • •» £v~l» £|Л> £v> iv + 1» • • Ч Ец-i» £|i + i» • • Ч £р)'
Затем нужно последовательно поменять местами вектор £v с
векторами £v+i, Sv+2^ • • ч in-i- Следовательно, нужно произвести
М- — v — 1 транспозиций. Поэтому
т Vbl» • • ., gv, . . ., fejx» . • ч Ър) ==
= ( 1) V ф (£i, • • ч £v-l> ijX» Ъ\м £v + l» • • 4 S|l-1» S|l+i» • ••! £p) =
= (- irv (- 1Гv_1 ф (g„ ....S,»,..., iv, • •., gp) -
^ ~~"фСъЧ* • • ч £ц» • • ч £v> • • ч lp)-
35*
548 ; Том III __^
Тем самым правило 1) доказано. Правило 2) очевидно:
ф(£ь ..., £v» ■ ••» £ц, -.., Ер) = Ф(Ei. •• •» Е»х,..., Ev» • •, lp) =
так как Ev = Е|а»
== Ф (bi» • • •» Ьц» • # *' bv» • ■ ■> bp)
по правилу 1);
следовательно,
ф(Еь . . ., Evi • • ., En» . • .» 5p) = 0.
Чтобы установить дальнейшие свойства внешних р-форм, мы
введем обобщенный символ Кронекера.
Определение 1.4. Для любых двух натуральных чисел
ii и %ч положим
{1, если ц < i2,
0, если ц = i2,
— 1, если i2>4-
Еслир ^. 2 и (ц, . . ., ip) — какой-либо р-набор натуральных чисел,
то положим
6(it, ..., tp)= П 6(iv, у.
V, |Х=1, . . ., Р
V<|1
Функция 6(i4, . . ., 1р) называется символом Кронекера. Кроме того,
для каждого натурального числа i положим 8(i) = 1.
Таким образом, символ Кронекера 6(14, . . ., ip) принимает
только значения —1, 0 или +1. Очевидно, 6(&i, . . ., ip) = 0 в том
и только в том случае, если два различных аргумента, например zv
ж ^ при v Ф [л, совпадают. Далее, справедлива
Л е м м а 1.
0(Ц, . . ., 1Х, ^х + 1» • • •» гр) = 0\Ч» • • ., &х+1? гх? • • •» ^р)-
Доказательство. По определению
о (ti, ..., iK, £х+ь • • •» 1р) =
= П 6(iv, У =
V<|X
= П б (*v, ip) • б (**, ix+1) • П б (ix, у X
V<|A |1>X+1
х П б(ц, £*)• П б(^+1, у. П 6(jv, ix+i).
Если мы положим /v = iv при v Ф к, к + 1 и /и = iK+i, /к+i = **'
то для 6(ii, . . ., ix+i» 1ю • • м *р) => S(/i, . . ., ;и, y^+i» • • •> 7р)
Гл- Н- Внешние дифференциальные формы 549
мы получим ту же самую формулу
б (Л, • • •. h) = П « (/v. /и) • б (/н, /х+1) • П б (/„, /„) X
х П б (/V) /н). П б (/„+!, W. П б (/V) /K+l).
Но мы имеем
П 6(/v,7V)= П 6(ц,, у,
_*<»* v<n *
6 (/*> /x+i) = S (jx+1, у = — 8 (г*, ix+i),
П[б (;„;;)= П в(1н+1, у,
И>Х+1 11>Х + 1
П в (/„,/„) = Пб(гУ)гн+1),
v<k v<x
u>P+16(7Wi'/,i)= П б('н- V)'
1*>и+1 ц>х+1
П б (/v, /H+1) = П б (jv, у.
Поэтому и в самом деле
*('i. • • •, **, tH+i, . . ., ip) = - 6(4, . . ., tH+i; iw . . ., ip)t
что и требовалось доказать.
КОп? иТ°Й Л6ММЫ вытекает простая интерпретация символа Кроне-
Z™JreHH°' 6СЛИ СреДИ.ЧИСел '*' • • " **> К0Т°Рые мы считаем
попарно различными, мы будем производить транспозиции до тех
mm'.™» ЧИСЛа *?' * * м 1р не окажутся записанными в естественном
2£ии %**"*'* </•<••.< /р. то при каждой отдельной транс-
SSEL °ИМВ0Ла б изменится- Есл* поэтому а - число всех
произведенных транспозиций, то
б(*ь . . ., ip) = (_i). e(/lf . . #f /j>)t
и, значит, поскольку 6(ju . . ., jp) = 1,
б(г„ . . ., ip) = (_i)«.
Разумеется, р-набором (iu . . ., jp) определяется не само число а,
числа а Показывает это Рассуждение, число (-1)а, т. е. «четность»
проЙ»лВ?Л КРонекеРа служит для того, чтобы «альтернировать»
объекВ^ЬНуЮ ^-линейнУИ> Форму. Как известно, множество из р
«бпачтГ М0ЖН° Уп0РяД0чить ровно р\ различными способами. Таким
«еняя 'Р,тааЖД0МУ Р"наб°РУ векторов (|„ . . ., g,) € jp M05KH0j
»я местами векторы gv, поставить в соответствие р\ элементов
550 Том III
{\i1 > • • • » h )• Разумеется, все эти элементы отличаются друг
от друга лишь в том случае, если £v Ф \^ при v Ф \i.
Определение 1.5. Пусть ф — некоторая р-линейная
форма. Под альтернированной частью формы ф мы понимаем
р-линейную форму [ф], определяемую формулой
[<p](Ei. .... 1р) = — \ б(*1, .... *р)ф(Ец, .... 6ip).
1<1Ь .... ip^P
Если p = 0, то мы полагаем [ф] = ф.
Например, при р = 2
[ф](5, Л) = М (Еь Е*) = (где Ei = Е и £2 = Л)
1
= ~2 (ф (Еь Е2) — ф (Ег, ЕО) =
1
= "2 (ф(Е.ч)-ф(л. Е)).
В случае р = 1, естественно, [ф] = ф. То, что форма [ф] является
р-линейной, легко проверяется. Далее, имеет место
Лемма 2. Если ф — внешняя р-форма, то ф = [ф].
Доказательство. Не ограничивая общности, можно
считать, что р >- 2. Имеем
[ф]
(Ei,..., Бр) = —/.6(Jlf..., tpMEi,,-.., Е«р).
(Часто мы будем опускать индексы под знаком суммы, й'ли же
обозначать их сокращенно (i), (у) вместо iu . . ., ip или;*!, . . ., jq.) Но
выражение б(ц, . . ., ip)(p(h , . . ., Eip) инвариантно относительно
транспозиции двух iv, поскольку при такой транспозиции меняют
знак как б, так и ф; поэтому значение этого произведения остается
неизменным при любой перестановке чисел iv. Таким образом,
б (ilf ..., ip) ф (gflf ..., hp) = б (1, ..., р) ф (Elf ..., Ер).
Следовательно, так как 6(1, . . ., р) = 1,
1
[<p](Ei. .... Ер) = —р!ф(Еь-.., Ер =Ф(Еь .... Ер).
Лемма 3. Форма [ф] является кососимметрической.
Гл. II. Внешние дифференциальные формы 551
Доказательство. Пусть ; — перестановка, меняющая
местами индексы v и (i, а все остальные индексы оставляющая
на месте, и пусть \х < v. Тогда
[<p](Ei9 • • ■» Evi • • •» £ц» • • •» lp) = [(P](ljii • • •> l/p,* • • -» Ejv» •. •, l/p) =
= — ^j 6 (i4, ..., tp) Ф (Ц, ..., lJip) =
= —-2j8^'"4 W'^"" Sip).
что и требовалось доказать.
В качестве следствия из двух последних лемм получается
Лемма 4. [[ф]] = [ф].
Имеет место тривиальная
Лемма 5. Если ф и -ф — две р-линейные формы, то [ф + я|)] =
= [ф] + 1ф]. Для каждого а £ 01 имеет место равенство [а-ф] =
= я-[ф].
Теперь мы определим произведение полилинейных форм. Пусть
Ф — некоторая р-линейная форма, а я|) — некоторая д-линейная
форма. Полошим
(фчр)(5ь • • •, Ер, Ли • • •> Л«) = <P(£i. • - •. Sp)-*(4i» ■ • .•» Л«)»
где £* и г)./1— векторы из Т. Эта формула определяет (р +
^-линейное отображение
которое мы будем называть произведением форм ф и я|). Сразу
проверяем следующие правила:
1) (ф-ф)-х - ф-«-х);
2) (Ф +ф)-х = ф-х + *-х;
3) ф-Сф + х) = ф-ф + фх;
4) а(ф-г|)) = (flKp)-i|) = ф-(яя|?), где а 6 R.
Несколько труднее установить связь между умножением и
альтернированием. Будет доказана
Лемма 6. [ф-о|з] = [[ф]«[-ф]].
552 Том III
Доказательство. Пусть форма <р имеет порядок pf
а форма я|) — порядок q. Сначала мы докажем формулу
[ф-Гф]] = [ф-я])].
Имеем
1ф-№Шь---> lp+q) =
= ( у /1 S (iu ..., ip+q) (ф.[# (Eilf ..., hp+q) =
i<*lf ..., ip+q^p + q
^ф1\1 °РИ чф&
.V
S (*lf..., iP+q) ф(Ei|f..., Eip)№](Б, . ,.. „ Б, , ) =
(р + g)! ZJ '' *' *' " м р р+1
(«
— ^j 8(/p+i. ..., /р+д)*(Б|Ур+1, • •., Si,p+fl).
(О
X
p<jv^p+q
При вычислении Гф] мы воспользовались тривиальным равенством
б(/р+1 — Р» • • ■» h+q — Р) = ОДр+Ь ■ • ч Jp+«)'
Пусть теперь (ц, . . ., ip+g) — какое-нибудь фиксированное
упорядочение чисел 1, . . ., р + q. Для каждой перестановки (y'p+i, . . .
. . ., jp+q) существует одна и только одна такая перестановка
(ii, . . ., iP+q), что
(Ч> • • •> lp+g) = Vll» • • •> lp> Ь'р+i» • • •» ljp+q)'
Таким образом, это равенство выполняется ровно в q\ случаях.
Учитывая необходимые транспозиции, мы убеждаемся, что имеет
место соотношение
б(ц, . . ., ip+g) = S(ii, . . ., ip+g)6(/p+i, . . ., 7p+g)-
Поэтому мы получаем
(p + q)lql[q>-W](lu • •., lP+q) =
= S ?!S (li, • • ., Ьр+g) Ф (6it. • • •» Sip) Ф (Eip+1, • • •» 5ip+g) *
i^i^ при v^ii
= (p + ?)l?l[<p-t](Ei» ••-. Ep+e)-
Гл. II. Внешние дифференциальные формы 553
Точно так же можно показать, что [[ф]-ф] = [ф-ф]. В результате
получаем
[[фЫф]] = НфЬф] = [ф-ф],
что и требовалось доказать.
Для внешних форм мы определим теперь новое произведение.
Определение 1.6. Пусть ф — внешняя р-форма и ф —
внешняя g-форма. Внешним произведением форм ф и ф называется
форма
p\q\
Таким образом, ф Д ф есть внешняя (р + д)-форма.
Внешнее умножение не является умножением в 2?р, так как
при р > 0 произведение двух р-форм не лежит в Ер. Внешнее
умножение отображает декартово произведение Ер X Eq в
пространство Ер+9.
Теорема 1.2. а) (ф + ф) Д X = ф Л X + Ф Л X» *#* Ф> 'Ф €
b) X Д (Ф + Ф) = X Д Ф + X Л Ф, где Ф, ф € Я*, X € Яр;
c) Ф Д (Ф Д X) = (ф Л Ф) Л'Х, г0* Ф 6 £р, Ф € ^ X G ^г;
d) а(ф Л Ф) = («ф) Л Ф = Ф Л Н>), где а £ R, Ф € #р, ф € Я9.
Доказательство.
а) (Ф + Ю ЛХ = ^тГ-1К<Р + *)-х1 =
р!д!
р!?1
(в силу леммы 5) = ^-±f: ([ф • х] + [гр • х]) =
р!д! p\q\
= Ч>Л% + ЦЛ%-
554 Том III
Ь) Второй дистрибутивный закон доказывается точно так же.
с) (фЛ1>)ЛХ!
(p + q)\rl
:[faA^)-x]=
(P + q + r))Up + q)\
' (P + ?)Ir! L p\q\
(P + q+r)\
[ф-^]-х
p\q\r\
(P + q + r)\
p\q\r\
(P + q + r)\
p\q\r\
(P + q + r)\
p\q\r\
[[<P-^]-X]= (лемма 5)
ff<P-*]-[xD = (лемма 2)
[M)'X] =
[ф-'Ф-Х]-
(лемма 6)
То же самое выражение мы получим, подсчитывая ф Д (я|) Д %).
Таким образом, (ф Д а|>) Д % = <р Д (г|гД %)•
d) Утверждение тривиально.
Как видно уже из тривиальных примеров, внешнее умножение
не коммутативно. Что происходит при перемене мест сомножителей,
проще всего исследовать, воспользовавшись базисом пространства Г.
Однако это рассуждение мы проведем не в такой общей ситуации,
как до сих пор, а для случая, когда векторное пространство Т
является касательным пространством в некоторой фиксированной
точке пространства 01п.
§ 2. ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Прежде всего напомним введенное во втором томе понятие
касательного пространства. Пусть х0 £ Лп. Обозначим через ^(xq)
множество всех функций /, определенных в некоторой (зависящей
от /) окрестности U точки х0 и непрерывных в точке х0, и через
3) (х0) множество тех функций / £ <^(х0), которые, кроме того,
дифференцируемы в точке х0. В пространствах <!F(x0) и S(x0)
определены следующие операции: сложение, умножение и умножение на
действительное число. Из g 6 <®(х0), / 6 <^(х0) и #(хо) == 0 следует, что
gf £ i$(x0). Касательным вектором в точке х0 называется линейное
Гл. II. Внешние дифференциальные формы
555
отображение £: S(x0) -*• HI, обладающее следующими
дополнительными свойствами:
a) Е(1) = 0;
b) если f 6 <^(х0), g € #(х0) w /(хо) = £(хо) = 0, mo \{gf) = 0.
Легко доказать правило для произведения:
c) №) = /(xo)l(g) + l(/)g(x0) при /, g 6 S(x0).
Касательные векторы в точке х0 образуют тг-мерное векторное
пространство ГХо, которое порождается частными производными
д л тт д ' « ■
-—, v = 1, . . ., п. При этом •?— есть касательный вектор, опре-
dxv , ftrv
деляемый условием /->-j^-(x0). Пространство ГХо называется каш-
тельным пространством в точке х0.
Определение 2.1. Внешние р-линейные формы в
касательном пространстве ТХо называются (внешними)
дифференциальными формами порядка р в точке х0 (или, короче, внешними р-фор-
мами)\ (р, д)-формы в пространстве ТХо называются р раз ковариант-
ными и q раз контравариантными тензорами.
В частности, Е1 = Т*0 есть векторное пространство пфаффовых
форм в точке х0. Это пространство порождается формами dxVi v =
= 1, . . ., п, где
dxv(l) = l(xv).
Формы dxx образуют базис, сопряженный с базисом^—, v = 1, ...
. . ., п, пространства ГХо.
Нижеследующие рассуждения снова. являются чисто
алгебраическими. Исходя из базиса {dxv} пространства Е1, мы построим
некоторые базисы специального вида в пространствах Ev и
подсчитаем размерность этих пространств.
Лемма 1. а) При р> п каждая дифференциальная р-форма
Ф равна нулю.
Ь) Если внешняя р-форма ф принимает нулевые значения на всех
р-наборах вида
(-^, ..., -М, где 1<«!
\dxit dxip/
то ф = 0.
Доказательство. Пусть
< ... <h^n,
п
Б*= /| «Я—б^хо При /=1, .... р.
г=1
556 Том III
В силу р-линейности формы ф имеем
ф(ь,...,6,)- 2 aii>---apiA-£;r'"£)
Слагаемые, у которых в качестве аргумента формы ф дважды
встречается один и тот же касательный вектор, равны здесь нулю; при
р > п такими будут все слагаемые. Так как, далее, значение
\dxi. ' dxij
д
при перестановках касательных векторов -— , если вае индексы гх
<dxh
ьных
различны, может лишь изменить знак, то в случае Ь)
\dxti' ' dxtJ \dxti' ' дх1у/
где 1<Ч< ... <ip<w,
причем множества {ц, . . ., ip} и {ц, . . ., ip} должны совпадать.
Следовательно, в этом случае и ф(^1? . . ., £р) = 0.
Вычислим теперь выражение
dxh/\.../\dxt ( — , ..., — ),
где индексы iv предполагаются попарно различными. Для упрощения
записи обозначим £v = -— . Имеем
dxJv
dxh/\... Adxh(li, ..., lv)=p\[dxh... dxip](li9..., lP) =
= 2S(4, .... ^)dxh ... dxt (i4, ..., £t ) =
= 2fi (ч. • • -. 1p) Ь4 tet)... tij> (**,).
(о
При этом
dxj{
Если /i, . . ., 7p не является перестановкой чисел ii9 . . ., *р, то эта
сумма равна нулю. В противном случае отлично от нуля в точности
одно слагаемое, именно, слагаемое, у которого iv — д при всех v.
Гл. И. Внешние дифференциальные формы
557
При этом предположении мы получаем
*р*йЛ...Л**«р( —. •••> -—1 = 6(4, ..., 1р),
где б(ц, • • • > ij>) = (■— 1)а и а — число транспозиций, необходимых,
дтобы перевести набор (ц, . . ., ip) в набор (1, . . ., р) и, значит,
набор (h, . . ., ip) = (/4, • • ., Лр) в набор (/4, . . ., /D). Таким
образом, справедлива
Лемма 2. Имеют место равенства
™*h dxhJ
- 0, если {/!, ..., /p}^={ti, ..., ip},
+ 1, если набор (ц, ..., £р) получается
из набора (/ц, ..., /р) с помощью
= 1 четного числа транспозиций,
— 1, если это число транспозиций
нечетно.
Теперь может быть доказана
Теорема 2.1. Для каждого р ^> 0 размерность dim i?p =
~ ( ) > р-формы специального вида
dZii Л • • • Л ^*р» г#* 1 < Ч < . . . < 1р < Л,
яри р ^ 1 образуют базис пространства Ер. Поэтому каждую
р-форму ф можно единственным образом записать в виде ^
Ф = 2 я*»... ip &*, Л ... Л йхй -
Доказательство. Случаи р = 0 и р > п тривиальны.
Пусть поэтому l^p^ra и ф 6 Ер. Для 1 < ^ < . . . < ip ^ п
положим
р V^i4' ' dxip/
а рассмотрим форму
♦ = 2 аи... «Р d^f л... л ^р.
1<ц< .. . <гр<п
558 Том III
При 1 ^ /i < . . . < /р ^ л в силу леммы 2
♦ (т— > •••> — ) = ^i...v
и потому, по лемме 1, ф — г|> = 0. Таким образом, формы dxt Д . . „
. . . Д dzjp, где 1 ^ ii < . . . < ip ^ п, порождают пространство
Ер. Коэффициенты at . . ,t по построению определяются формой ф
однозначно. Поэтому формы dxt Л • • • Л dxt образуют базис
пространства Ер. Так как число всех таких р-форм равно Iп) , то все
доказано.
Представление р-формы ф в виде
Ф = S ач • • - h dxh Л ... Л dxt
называется нормальным, или каноническим, видом формы ф.
Лемма 3. Имеет место равенство dxt Д d#f =~ — dxx Д d#j.
Доказательство. dxt /\dxA —, — J =
\dxj дхъ,/
= dxrdxl(-— ,— \-dxrdxA —, — ):
dxt дхг dxt dxi
dxj dxk dxk dxj
Если поменять местами i и Z, то это выражение изменит знак. Это
и требовалось доказать.
В частности, всегда dxt Д dxj = 0.
Из леммы 3 следует
Теорема 2.2. Если ф 6 2?р и я|) 6 #g» ™<>
фДя|) = (-1)^г|)Дф.
Этот так называемый знакопеременный закон заменяет обычный
коммутативный закон.
Доказательство теоремы 2.2. Так как формы ф и ф
являются линейными комбинациями форм вида dxt /\ . . . /\ dxip
и соответственно dx^ /\ . . . /\ dxj , то наше утверждение
достаточно доказать для таких дифференциальных форм. Но в силу леммы 3
Гл. II, Внешние дифференциальные формы
559
и в самом деле
dxh Л • • ■ Л dxip Л dxh Л ... Л dxjq =
= (— 1)Р ^ Л dxtl Л ... Л **«р Л dxh Л ... Л 4% =
= (— !)2Р <**;, Л ^ Л dxti Л ... Л Л?«р Л <&* Л ... Л Л^ =
= (— l)*qdzh Л ... Л Ж% Л dxti Л ... Л Acfp.
Следствие. Если р — нечетное число и ср £ Ер, то ф Л Ф = 0.
В заключение вычислим произведение п пфаффовых форм:
<Pl Л • • • Л Фтг = 2flivi dx«i Л . . . Л Tianvn dxvn =
= ( 2 flivi • • • flnvn6(vi, ..., vn))da?i Л ... Л &?n =
Vi, • .-, Vn
= det((Он,v=i,.... n)• ^i Л ... Л ^7i.
Таким образом, произведение q>t Д . . . Д фп равно нулю в том
и только в том случае, если пфаффовы формы ф^ линейно зависимы.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Пусть F: U -* Кт — отображение, дифференцируемое в точке
х0 допустимого множества U с КЛ Тогда условием
F* (I) (g)=Z(g°F) при 16 ТХо, g 6 Syo
отображение F определяет гомоморфизм касательных пространств
Fm: ГХо^ГУо, где y0 = F(x0).
(Мы пользуемся замечанием в § 2 гл. IV т. II, см. стр. 323.) Если
Ф — произвольная р-форма в точке у0 (которая может быть и ке
кососимметрической) и р ^> 1, то условием
(Ч>°Ши ■ • ., Ы = ф(^Ль • • м РЛр) (при Ь €/*„)
мы определяем некоторую новую р-форму cpoF в точке х0. Для
0-форм, т. е. для чисел, мы полагаем ф oF = ф. Сразу проверяем, что
р-форма qx>F всегда является р-линейной. Вместе суй форма
4>°F является кососимметрической (т. е. дифференциальной формой).
Пусть, далее, F — отображение U -> (Rm, дифференцируемое
в точке х0 £ U, V — допустимое множество, содержащее точку
560
Том III
у0 = .F(x0), и G — отображение V -►■ Л\ дифференцируемое в
точке у0. Тогда для р-формы ф в точке z0 == G(y0) имеет место равенство
q>o(GoF) = (<poG)oF.
В самом деле, это следует из доказанной во втором томе формулы
(GoF), =G«oF*.
Наконец, отметим еще, что
<poid = ф.
Теорема 3.1. Отображение ф ->- ф<^ обладает следующими
свойствами:
1) (аф + bty)oF = а(фо^) + b(^oF) (где а, Ъ £ Ш, Ф, "ф £ ££о);
2) (Ф Д Ч>) °^ = (ф°^) Л №°F) {где Ф 6 £?„ » Ч» € Я£0).
Доказательство. Случай, когда р или g = 0, тривиален.
si) ((оф + Ьф) о F){\u ..., БР) =
= (оф + H>)(^6i, ..., FJP) =
- аф(^Дь . . ., ^|р) + WFmlu . . ., F.lp) =
= a(Vo/7(gi, • • -, Ip) + *>(«(&!, . . ., g,).
2) ((фЛФ)»Л(1ь • ••> 6р, 4i, ••-,%) =
= (ф Л *) (F&,..., F£p, Fj\i Fj\q) =
= ^.
plql
Теперь имеем
L La) (ф-ф)°-^ = (<poF)-(ipoF), потому что
((ф-*)°*)(&!, • • •, 1р, %, • • м Л«) =
= (ф-ф)(^*&1, • • •. f.tfc) =
= <p(F0lit . . ., F.gpM*"*T|i ^»4g) =
= (фо^(Б», . . ., gp)(*oF)(T|lf . . ., 1),) =
= ((фоЛ-(*«^))(б1, • .м Ч,)-
Далее,
Ь) [<р°Л = [<p]oF. В самом деле,
[фвЛ(Ь ip)=^"26(il *р)(Ф°^(Е|..--м6«р) =
= — ^j § (iu ..., ip) ф (F^h, ..., FJJp)
= [ф](^Л1.--..ЛЕр) =
= (№*)(£.,..., Ер).
Гл. II. Внешние дифференциальные формы 561
Поэтому
/>!д!
-(р + д),[(Ф^)в^(Е|,..мЧа)-
(P + ff)>
[(ф-*)•(*• *)](6i чв)«
p\q\
:((ф-/)Л(*в^))(Е1,..мЧв).
Теорема 3.1 доказана.
Полезна еще
Теорема 3.2. £Ъш
Ф= S «it... «р ^ Л ... Л Ф*р €#у0
w еа/ш, кроме того, отображение F задается функциями fif
. . ., /те, то
фо f= 2 ач... 1Р d/«i л... л <*лр.
l<*i< ... <«p<n
Для доказательства нужно только проверить формулу
dytoF = dft.
Но эта формула была уже доказана во втором томе.
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
НА ДОПУСТИМЫХ МНОЖЕСТВАХ
Пусть М — множество в Кп. Символами Гх, Е% и T%,q мы будем
соответственно обозначать касательное пространство, пространство
Дифференциальных форм порядка р и пространство (р, д)-тензоров
в точке xfAf.
Определение 4.1. Дифференциальной р-формой
(аналогично (р, ф-тенгорным полем) на множестве М называется правило,
Которое ставит каждой точке х £ М в соответствие некоторый
определенный элемент фх £ 2?£ (аналогично 6Г£'9).
36-832
562 Том III
С помощью операций над формами в точке очевидным образом
определяем сложение и умножение дифференциальных форм на
множестве М:
(ф + 1|>)х=фх+^х,
(яф)х=Я-фх,
(ф Л 1|>)х = фх Л Фх-
При таком определении дифференциальные р-формы на М образуют
векторное пространство. Подобным же образом вводятся
пространства тензорных полей. Эти пространства конечномерны лишь для
конечных множеств. Например, пространство 0-форм является
векторным пространством всех действительных функций на
множестве М.
Если каждой точке х £ М мы поставим в соответствие
дифференциальную р-форму
то мы получим некоторую определенную дифференциальную форму
на множестве М, которую мы снова будем обозначать символом
dxt Л • • • Л dxiP- Всякую дифференциальную форму <р порядка р
можно единственным способом записать в каноническом виде
ф= 2 ati..a t (x)dxilA'"Adxi 9
l<ii< . . . <.ip^n
где «i1#..ip —некоторые действительные функции, определенные
на множестве М. Поэтому разумно следующее
Определение 4.2. Дифференциальная р-форма ф на
множестве М называется непрерывной в точке х0 £ М, если
коэффициенты формы ф, записанной в каноническом виде, непрерывны
в точке х0. Если множество М допустимо, то форма ф называется
дифференцируемой (соответственно непрерывно дифференцируемой,
п раз непрерывно дифференцируемой, бесконечно дифференцируемой),
если этим свойством обладают функции ait_,ir
Точно такие же определения можно дать и для тензорных полей.
На векторных пространствах дифференцируемых р-форм вводят
дифференциальный оператор, представляющий собой обобщение
понятия полного дифференциала функции. Напомним сначала это
последнее понятие.
Если функция / дифференцируема в точке х0 и | 6 ТХ01 то условие
d№) = Uf)
определяет некоторую пфаффову форму df 6 Е{0 — полный диффс
ренциал функции /. Справедливо правило Лейбница
d(fg) = f(x0)dg + g(x0)df, /, g 6 Щх0).
Гл. II. Внешние дифференциальные формы
563
Вот канонический вид формы df:
п
d/=2"£r(xo)^"
Если функция / дифференцируема в каждой точке множества М,-
то df является дифференциальной 1-формой на множестве М. Теперь
мы дадим
Определение 4.3. Пусть
Ф = 2 ан ... iP dxhA . • • Л dxt
— некоторая р-форма, определенная на допустимом множестве М
и дифференцируемая в точке х0 £ М. Под внешним дифференциалом
формы ф в точке х0 понимают дифференциальную форму порядка
р+1
(Жр)»о= 2 (daii . • • ip)*o Л dxh Л ... Л dXt
определенную в точке х0.
Форму (^ф)Хо называют также внешней производной формы ф.
По большей части мы будем писать короче: йф.
Таким образом,
Жр = 2j /j Чдх ' lP (xo) dxi Л dxh Л ... Л dxip.
Если форма ф дифференцируема на всем множестве М, то
соответствие х -> (йф)х есть определенная на множестве М (р + 1)-форма
Ар. Очевидно, d является R-линейным оператором:
d(acp + Ьгр) = а йф + Ъ dty.
Теорема 4.1. Если фиф — дифференциальные формы
соответственно порядка р и д, определенные на допустимом множестве
М и дифференцируемые в точке х0 £ М, то
<* (Ф Л Ф)х0 = (Лр А ф)ж0 + (- 1)р (Ф Л #)х0.
Доказательство. Рассмотрим сначала
дифференциальную форму % вида
% = fdxh/\*../\dxiv,
ГДе функция / дифференцируема s точке х0, и вычислим d%. При
этом мы не предполагаем, что i^ < . . . < £р. Если при v ^= |jt имеет
36*
564
Том III
место равенство iv = i^, то мы получаем
dx=d(0) = 0=dfAdxil Л ... Л dxiv,
так как dxtl Д . . . Д dxip = 0. Пусть теперь все индексы iv
попарно различны, и пусть /i < 7г < • • • < ]р — их расположение
в естественном порядке. Имеем
d%=d(f-dxii Л ... Л dxip) =
= d((-l)af.dxhA...Adxjp) =
= (- l)ad/A dxh Л ... Л <fcjp =
= (- 1)а (- 1)° d/ Д dxh Л . • • Л dxip =
= df /\dxh/\... /\dxip,
где a — число транспозиций, которые надо произвести, чтобы числа
ц, . . ., ip оказались расположенными в порядке ju . . ., jp.
Теперь можно сразу проверить наше утверждение. Пусть
Ф = 2 <к%... ivdxh Л ... Л dxt ,
Ф= 2 ЬЧ ••• *а ^ Л • • • Л ^.
Тогда
A<vAty)*0 = d 2 «ii...ipfyi...je<kiiA--.
i<4< ...<ip<7i *
1^7i< . . . <7g<n
... Лd*,DЛ^Л-.Л*»ie=
= 2 й(ач... iPfeJi ...;>i,A...
(0, Ф
Л d^ip Л Л?л Л ... Л dxja) =
ip / \ ***Ji
= 2 dK - • *pbJt • • • Jq) Л ^!4 Л • • •
(г), (J)
... Л A*ip Л &ъ Л . •. Л dx,q*~
= .2. (<*K ... Ip) bii ... igW + «ft ... IpfoJ <*(** ...,,)) A
Л <&*, Л • • • Лdxip AdxhA--- A3xjq =
= (%dail,..ipAdxilA.--Adxip)A
Гл. II. Внешние дифференциальные формы 565
Л (2&л ... sAxo) d*h Л ... Л dxj ) +
(Л q Ч
+ (- i)p QX... h w dxh л... л л?1Р)л
(О
Л (%dbh ... 7. л л?л Л... Л <*%)=
(Л *
= (^ФЛФ)Хо + (-1)р(фЛ^)Хо.
Теорема 4.2. Пусть f — функция1 дифференцируемая на
компактном кубе М с ребрами, параллельными осям координат, и
дважды дифференцируемая в точке х0 £ М. Тогда ddf = 0 в точке х0.
Доказательство.
та та
2g a/
dtf/ dxi
(x0) dxj Л ^
В этой сумме все слагаемые, у которых i = /, равны нулю. Поэтому
ddf== у j_±_ JL (Хо) _ J—?L (х0)} <ь, л dxt.
Z-J I га* dxt dxt dxj )
Так как вторые частные производные, отличающиеся лишь
порядком, в котором производится дифференцирование, совпадают, ddf =
= 0. J
В качестве следствия из теоремы 4.2 получается
Теорема 4.3. Если ф — дифференциальная форма,
дифференцируемая на компактном кубе М с ребрами, параллельными осям
координат, и дважды дифференцируемая в точке х0 6[М, то в этой
точке dd(p = 0.
Доказательство. Пусть
ф = 2 ah ... | £fefl Л • • • Л Л**р.
l<f1<...<fp<7l
Тогда
<*dq>= d 2***i ... *р Л Ati, Л ..- Л <*р*р =
. = 2(dda4... 1Р л ^it л •.. л <fcip —
(О
- dafl... ip Л ^(^ Л ... Л dxh))--
566
Том III
Введем следующую терминологию:
Определение 4.4. Дифференцируемая (в точке х0)
дифференциальная форма ф называется замкнутой {в точке х0), если
<2ф = 0 (соответственно (йф)хо = 0). Дифференцируемая форма <р
называется точной (в точке х0), если существует дифференцируемая
(в точке х0) дифференциальная форма -ф, для которой $ф = ф
(соответственно (d\|))Xo = Фхо)-
Из теоремы 4.3 следует
/Теорема 4.4. Если дифференциальная форма ф на открытом
множестве М является точной, то она замкнута.
В заключение рассмотрим еще поведение дифференциальных
форм и внешнего дифференциала при дифференцируемых
отображениях. Пусть М — допустимое множество в Кп и N а Кт —
произвольное множество. Пусть, далее, F: М -> N — дифференцируемое
отображение. Если отображение F задается функциями Д, . . ., /т и
Ф = 2 ah ... | (у) dyit Л • • • Л dyip
— некоторая дифференциальная форма порядка р на множестве N,
то условие
х-^фуо.Р (где у = F(x))
определяет на множестве М дифференциальную р-форму ф о F,
которая на основании теоремы 3.2 может быть записана в виде
ф=,р= 2 «11...1Р(*Ю)#|4л...л#.р.
1<Ч< ... <ip^m
Если отображение F бесконечно дифференцируемо и множество N
допустимо, то форма qx>F обладает теми же свойствами
дифференцируемое™, что и форма ф. Имеет место
Теорема 4.5. Пусть форма ф дифференцируема в точке у0 6 N
(в частности, множество N должно быть допустимым), и пусть
отображение F дважды дифференцируемо в точке х0, для которой
у0 = F(x0). Пусть, кроме того, существует такой компактный
куб U с ребрами, параллельными осям координат, что х0
Тогда
Доказательство. Для функций эта теорема была у#е
доказана во втором томе. Пусть
Ф = 2 ati ... г (у) dytl Л • • • Л dyip.
l<ii< . . . <.ip=m
Гл. II. Внешние дифференциальные формы
567
Тогда
d(^^0=(d^(ail...ipoF)dfiiA^.Adfip)Xo =
(г)
= 2 d К ...ip^xoA^A.-.A dftp +
О)
+ 2К ... ip° *) W d(dfi% Л ... Л rf/fp).
Последняя сумма равна нулю, что по индукции следует из
теоремы 4.2, а первая сумма, поскольку d(at .ip о F) = dat . ,ip о F,
в точности равна (<2<р)у °F.
§ 5. ПРИМЕРЫ И ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ
Внешние дифференциальные формы порядка р задаются
выражениями вида
2 ан •. • iP dxh Л - • • Л dxt , где fl,t ... | 6 R.
1<Ч< . . . <Sp<7i
Сложение таких выражений производится покоэффициентно: нужно
сложить коэффициенты с одинаковыми индексами &4 . . . ip. Таким
образом, если
Ф = а12 dxi Л dx2 + «2i d#2 Л dxu
я|) = Ь12 d#i Л dx2,
то
ф + "Ф = («12 + biz)dX'i Л ^2 + «21 d#2 Л <&1»
Аналогично производится умножение на действительные числа
Кроме того, всякое выражение вида
dxh Л .. - Л dxiyf Л • • • Л dxiyL Л • • • Л dxip +
+ dxh Л ... Л *% Л ... Л dxix Л ... Л dxip (R)
при v Ф \х представляет собой нулевую форму, и дифференциальная
форма ф равна нулю в том и только в том случае, если она является
линейной комбинацией выражений такого вида. Поэтому
приведенную выше 2-форму ф можно записать в виде ^
ф = («12 — d2i)dxi Л dz2.
Из указанных соображений вытекают следующие правила:
1) Равенство dxt Л • • • Л dxt — 0 имеет место в том и только
в том случае, если iv = i^ для некоторых v Ф \i.
2) При р > п всегда dx. /\ . . . /\ dxt = 0.
3) dxti Л ••• Л dxt = (—\)adxj Д . . . Л dxj , если все индек-
сы iv попарно различны и набор ju . . ., jp является перестановкой
набора iu . . ., i
568
Том III
При этом а обозначает число транспозиций, необходимых, чтобы
перевести набор ц, . . ., ip в набор /4, . . ., ;р.
Чтобы перемножить два «одночлена» dxii /\ . . . /\ dxip
и dxj Д . . . Д dxj , нужно записать их друг за другом и между
ними поставить знак Д:
Л?14 Л • • - Л ^р Л dfy Д ... Д dc;g-
Внешнее произведение произвольных дифференциальных форм
вычисляется по дистрибутивному закону. Например, в R,5:
(a dxi Д dxz Д дхг + Ъ dxk Д dxb Д dx^) Д с Лг2 Л dx3 =
= ас da?! Д dz3 Л da?2 Л dx2 Д d#3 +
+ be dz4 Д d#5 Д dxl Д dz2 Л dar3 =
= 0 + be dx± Д da?6 Д da^ Д dr2 Д d#3.
Порядок, в котором записаны множители, является существенным.
Теперь действия над дифференциальными формами можно
производить, не ссылаясь на определение. Нужно только учитывать
указанные выше правила вместе с их следствиями (строго
придерживаясь правила, что выражения вида (R) равны нулю).
Сейчас мы хотим привести примеры дифференциальных форм
в пространствах (R2 и IR3, причем нас будут особенно интересовать
условия, при которых рассматриваемая форма является замкнутой
или точной.
п = 2, р = 1. Пусть a~Adx-\-Bdy — дифференцируемая
1-форма на плоскости. Она является точной в том и только в том
случае, если существует такая дважды дифференцируемая функция
f(x, у), что
дх ду
На основании теоремы 4.4 в этом случае форма а должна быть
замкнутой: da = О, т. е.
0= dA Adx + dB Д dy =
ЗА . А , , SB,
= dy /\dx-\ dx /\dy =
ду дх
( дВ дА\„А,
Гл. II. Внешние дифференциальные формы 569"
Поэтому в качестве необходимого условия точности формы а мы
получаем:
дВ дА _
дх ду
Это — известное из второго тома условие интегрируемости (§ 3*
гл. VII). Впрочем, приведенное здесь доказательство отличается
от старого только обозначениями.
Пфаффовы формы в пространстве 012 давно применяются в
термодинамике. Простая термодинамическая система (например,
идеальный газ) характеризуется, скажем, объемом V и температурой Т.
Этой системе соответствуют и некоторые другие физические
величины, одни из которых описываются функциями от V и Г, а
другие — дифференциальными формами: давление р, внутренняя
энергия Е, существование которой следует из первого закона
термодинамики, и, кроме того, две дифференциальные формы: бесконечно»
малая работа а = — р dV и бесконечно малое количество тепла
со = dE — а. В книгах по физике а обозначают символом 8А, а со —
символом 8Q. Уравнения состояния системы задают вид функций
р и Е:
I. p = p(V, Т).
II. Е = E(V, T).
Так как dE — точная форма, то
III. ME = 0.
Наконец, из второго закона термодинамики следует соотношение-
так как -=- есть дифференциал энтропии.
Написанные выше четыре уравнения установлены на основании
физических соображений. Изучение следствий, которые можно^
из них вывести, естественно, является задачей чисто
математической. В качестве простого приложения правила dd = 0 мы покажем,,
что между двумя уравнениями состояния системы выполняется
важное соотношение. Имеем
0
=d{^)=d{dE^dvy
-dEAd(±) + *JEp_pdVAd(±)..
ddE
570 Том III
,„ л dT , dp Л dV , _. . dT
.^dFA —+ —-^-
dV T2 T dT ' ' '2е
T\T\dV ) dT)
Следовательно,
v. °b=t°L-p.
dV dT
Например, у газа ван дер Ваальса, который подчиняется
уравнению состояния
[р + ^2) (V-b) = cT, где а, Ь, с Ф 0,
В самом деле, если бы -^ = 0, то мы имели бы р = Т -^=. Но
энергия на основании уравнения V должна зависеть от объема.
р + ^Т**-.
^ V2 дТ
дЕ
Тот факт, что —ф0, можно, например, установить с помощью
опыта Джоуля — Томсона продавливания газа через пористую
перегородку и, таким образом, проконтролировать справедливость
рассматриваемого уравнения состояния.
п = 2, р = 2. Каждая дифференцируемая 2-форма в R2 является
замкнутой, так как ее внешний дифференциал, будучи 3-формой,
равен нулю. Если форма <р = A dx Д dy точная, т. е. ф = di|), где
я|) = a dx + Ъ dy, то для коэффициентов.а и Ь мы получаем
дифференциальное уравнение с частными производными
дЪ да А
дх ду
Вопросом о разрешимости этого уравнения мы будем заниматься
ъ следующем параграфе.
Гл. II. Внещние дифференциальные формы 571
п = 3, р — 1. Пфаффова форма в В13
з
ф = 2 av dxv
v=l
является точной в том и только в том случае, если существует
дважды дифференцируемая функция /, у которой -^- = av. Например,
ОХу
для формы
где у, т и М —
ф = — утМ > -у- dxv,
V=l
3
постоянные и г = (2 ^v)1/2, имеем
v=l
Л4 4 УШМ
q>=df, где / = ■* .
г
Форма ф (при правильном выборе постоянных) описывает
ньютоновскую силу гравитации, а функция —/ является гравитационным
потенциалом. Вместо ф = df физики пишут &С = — grad(—/), где
&С — векторное поле, определяемое вектором с проекциями av г).
Для того чтобы 1-форма ф могла быть точной (на физическом
языке,— чтобы векторное поле. Ж было потенциальным), должно
выполняться равенство dtp = 0. Это условие приводит к следующим
трем уравнениям:
dai да2 0
дх2 dXi
да2 das л
дх3 дх2
да3 dai __ q
dxi дх3
Если &С снова обозначает векторное поле (аи а2, а3), то в физике
эти три уравнения записывают в виде одного векторного rot &C = 0.
Мы видим здесь и увидим ниже, что в векторном анализе
употребляют слишком много символов.
п = 3,, р = 2. Форма
Ф = ai dx2 Д dx3 + #2 dx3 Д dx^ + #з dxi Л dx2
г) По поводу векторного анализа см. [1], 16].
572 Том III
является внешним дифференциалом пфаффовой формы "ф =
— bi dXi + b2 dx2 + b3 dx3 в том и только в том случае, если
5Ьз__5б2_
дх2 дх3
dbi дЪъ
дхъ дх^
дЪ2 dbi
dXi дх2
иначе говоря, если а = rot b, где а = (а1} а2, аг) и b — (Ь4, Ь2, Ь3)-
При этом b называется векторным потенциалом поля а. Условие
интегрируемости dcp = 0, т. е.
doi да2 das q
dXi дх2 дхв
в физике записывают в виде div а = 0.
и = 3, р = 3. Утверждение, что &|> = ф для
Ц) = a dXi /\ dx2 Д d#3
и г|) = b4 da?2 Л dxz + b2 dxz Д dzi + bz dx^ Д dx2
приводит к уравнению с частными производными
дЪ± , дЪ2 дЪъ
1 1 =а,
dxi дх2 дхъ
т. е. div b = a.
§ 6. ЛЕММА ПУАНКАРЕ
Как мы выяснили в § 4, каждая точная дифференциальная форма
является замкнутой. Теперь мы хотим заняться обращением этого
утверждения. Без дополнительных ограничений обратное
утверждение не верно. Это показывает следующий пример.
Пусть на множестве К2 — {(0, 0)} задана пфаффова форма
xdy — у dx
а— ~, 2 *
ж +У
Гл. II. Внешние дифференциальные формы 573
Очевидно, форма а дифференцируема сколько угодно раз. Ее
внешний дифференциал
da=d(-2——i\f\(xdy — у dx) + -2——2d(xdy — у dx) =
\х* + уЧ * +У
= Г %ХГг1 УAfrdy -ydx) + 2(dx Л dy - dy Л dz) =
-2{x2 + y2)dx/\dy , 2
(*2 + i/2)2 *4*/!
dx/\dy =
= 0.
Поэтому форма a замкнута. Если / — функция на множестве
R2 — {(0, 0)}, для которой a = df, и потому
в/ У „ df х
дх х2 + у2 ду х2 + у2'
то мы рассмотрим сколько угодно раз дифференцируемое
отображение
определяемое формулами
л: = cos t, у = sin £.
Функция g(£) = (f°F)(t) является в К непрерывной и
периодической; поэтому в некоторой точке t0 £ HI она принимает свое
максимальное значение. Следовательно, g'(t0) = 0. С другой стороны,
дх dt ay dt
^^—2(F(t))sint + -^—2(F(t))cost =
** + У* *f + !f
sin21 + cos21
= 1.
sin t + cos t
Таким образом, допущение, что a — точная форма, мы привели
к противоречию.
Теперь мы хотим показать, что для некоторого класса областей
в В1п каждая замкнутая непрерывно дифференцируемая форма
является точной.
574 Том III
Определение 6.1. Множество М cz Kn называется
звездным (точнее, звездным относительно точки х0), если существует такая
точка х0 £ М, что для всякой точки х £ М множеству М принадле-
жат и все точки у вида
у = х0 + *(х - х0), 0 < t < 1.
Например, каждое выпуклое множество звездно относительно
каждой своей точки. Если М — звездное множество относительно
Рис. 56. Звездное множество.
точки х0, то мы обозначим символом М множество М X I. =
= {(х, t)\ х £ М, 0^£^1} и буквой F отображение множества
М на М, определяемое формулой
F(x, t) = х0 + *(х - х0).
Очевидно, F(x, 0) = х0 и F(x, 1) = х. Отображение F можно
наглядно интерпретировать как стягивание множества М в точку х0 (см.
рис. 56).
Теорема 6.1. (Лемма Пуанкаре.) Пусть у — непрерывно
дифференцируемая замкнутая дифференциальная форма порядка
р > 0 на открытом звездном множестве U в Кп. Тогда ф —
точная форма.
Эта теорема, например, показывает, что приведенные в
предыдущем параграфе условия существования потенциала или
векторного потенциала для встречающихся в физике областей являются
и достаточными. Кроме того, она дает для разрешимости чисто
аналитической задачи — построения дифференциальной формы с
заданным внешним дифференциалом — геометрическое условие и тем
самым связывает друг с другом две различные математические
дисциплины. Теоремы этого типа занимают в математике важное место.
Так как каждая точка пространства Кп имеет сколь угодно
малую звездную открытую окрестность, из теоремы 6.1 немедленно
вытекает
Гл. II. Внешние дифференциальные формы
57S
Теорема 6.2. Каждая замкнутая непрерывно
дифференцируемая р-форма ф (при р > 0) на открытом множестве является
локально точной (т. е. у каждой точки существуют такая
окрестность V и такая определенная в этой окрестности (р — \)-форма о|),.
что Фр = Ф в V).
Для доказательства леммы Пуанкаре нужно ввести некоторые
обозначения. Пусть
& = U х I = {(х, *): х 6 17, 0 < t< 1}
—«цилиндр» над множеством U. Если g — дифференцируемая
функция на £/, то запишем dg в виде
п
dg= 7, — <&v + — dt.
ZJdxv dt
v=l
Положим
n
dxg
v=l
8 dt '
Тогда dg = dxg + g dt. Пусть теперь х)
V(x, t)= ^ yii...ip(x,f)dxiiA---AdXip
— некоторая не зависящая от dt непрерывно дифференцируемая
р-форма на множестве U. Тогда
dy = 2 dyiluuu tpAdxtiA---Adxt =
= 2 d*4h ...tpAdxtiA---A dxip + dtAy,
где
У = 2 Уг± ... ip dxh A ... Л dxip
1<4< . . . <гр^7г
— некоторая не зависящая от dt дифференциальная форма порядка р.
Если вместо первой суммы мы еще напишем dxy, то получим
формулу
dy = dxy + dt А у.
1) Здесь и ниже вместо yx или у(х ^ мы будем иногда писать у (х) ti у (х, t).
576 Том III
Наконец, следующим образом поставим форме у в соответствие
некоторую определенную форму на множестве U:
1 1
$ &Л Y= S (J Ун ... !р(х. *) Л} Лг,, Л • • • Л Лс|р.
О l^*i< • • • <*р<п О
Сразу проверяем соотношения
1 1 1
I dt Л (Ti + Та) = J Л Л Yi + J Л Л Y2
О .0 О
1
$ЛЛт(х, 0 = Y(x, 1)-,т(х,0).
о
Более важна следующая
Лемма 1. Если форма
У= 2 Yit... ip^ii Л • • • Л dxip
1
непрерывно дифференцируема, то это же верно и для формы I dt Д у,
о
и при этом
1 1
d\dt/\y=ldi/\d%y.
о о
Доказательство. Прежде всего из теоремы 13.3 гл. I
«следуют существование и непрерывность производных
о о
Поэтому
d\dtAy = dl У. IJ yil.,.ip(x,t)dt\dxtlA---AdXipJ=
о 1<г!<...<ip<n о
= ^j d^yii,..ip(x,t)dtJAdxhA-"Adxil)=
i<e,<.. .<ip<n о
п I
= ^ ^j\£;J Vh...ipdtjdxiAdxtiA.'.Adxtp =
l<ii< . . .<tp<n i=i * О
71 1
= 2 2{l"ftoj£<ft}dr,A<te'4A"*Adcipe
1<г4< ... < ip^n i=l 0 г
Гл. II. Внешние дифференциальные формы 577
1
-J
4
1 п
dtA /j /j Ha"lvaxi/\dxil/\.../\dxh =
О 1<г!< . . .<ip<7i г=1
1
dt Л /, dxyii... ip Л *Pit Л • • • Л A^ip =
О l<ft< . . .<ip^7i
1
= J dt A dxy.
о
Теперь мы проведем
Доказательство теоремы 6.1. Идея доказательства
является очень простой 1). Возьмем рассмотренное выше стягивание
F: U -*■ J7, образуем форму ф = ф о F и представим форму ф в виде
суммы
ф = ф1 + dt Л ф2,
где ф! и ф2 — дифференциальные формы соответственно порядка р
и р — 1 на U, не зависящие от dt. Тогда, пользуясь предположением,
что dq> = 0, убеждаемся, что
1
г|)=$^Лф2
о
есть (р — 1)-форма на множестве U, для которой di|) = ф. Проведем
теперь доказательство подробно.
Стягивание F: U -> U задается функциями
U (х, t) = xf+t (xv - xf) (где xo = (40), ..., Л0))),
и потому дифференцируемо сколько угодно раз. Имеем
dfv = t dxx + (xv — х(®) dt.
Следовательно, dxfv = t dxv и, в частности, dxfv = 0 при t = О
и dxfv = dxv при t = 1.
Если форма ф имеет вид
ф= 2 ф|1...1р(х)л?||л...л*1?*р.
ТО
ф=Фо^= 2 (Ф11...1рв^)^/|1л..-л^р=
1<Ч< ... <ip<n v У
= S (Ф<1 ...tPoF) Ыи Л ... Л 4/|р + Л Л ф2.
х) См. Weil A., Sur les theoremes de de Rham, Comm. math. helv. 26 (1952),
119—145.
37-832
578 Том III
Обозначим сумму через ф! = <j>i(x, t). Тогда
Ф = ф4 + dt Д ф2; <Pi(x,' 0) = 0; ср^х, 1) = Ф.
Теперь воспользуемся предположением. Имеем
d<p = й(ф о F) = dф о F = 0.
С другой стороны,
^ф = dф1 + d(dt Л Фг) =
= йфц — dt Д йф2 =
= dx<pi + d* Д ф! — dt Д (^хф2 + ^ЛФ2) =
= Йхф! + d* Д (ф! — Йхф2).
Отсюда следует
«V Л
Ф1 = Йхф2-
Теперь положим
ty=)dt&y2
и покажем, что dip = ф.
В самом деле, на основании доказанной выше леммы
1
dip = d j d£ Д ф2 =
о
1
= $ЛЛ4хф2 =
= )ЛЛф1 =
о
= ф4 (X, 1) — ф! (X, 0) =
= ф.
Тем самым лемма Пуанкаре полностью доказана.
Глава III
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. ЦЕПИ
Прежде чем мы перейдем к интегрированию дифференциальных
форм, нам нужно сделать некоторые формальные приготовления.
Сначала мы рассмотрим несколько алгебраических понятий.
Пусть М — какое-нибудь непустое множество и F(M) —
совокупность всех тех отображений / множества М в множество всех целых
чисел Z, которые отличны от нуля лишь не более, чем в конечном
числе элементов множества М. Если, как обычно, определить сумму
и разность таких отображений:
(/ ± g)(x) = f(x) ± g{x) при х е М и /, g £ F(M),
то множество F(M) превратится в некоторую абелеву группу —
свободную абелеву группу, порожденную множеством М. Каждый
элемент / £ F(M) однозначно определяет линейную комбинацию
/= 2 пх[х]= 2 ИЛ
где пх £ Z и пх Ф О для конечного числа элементов х £ М. При этом
символом [х], или просто #, мы обозначаем функцию /г,
определяемую условиями h(x) = 1 и h(y) = 0 при у Ф х. Имеем: f{x) = пх.
Наоборот, каждая линейная комбинация
2 пхх, где nx£TL и пхфО для конечного числа элементов х£М,
Х£М
определяет некоторый элемент / £ F(M). Таким образом, F(M)
можно рассматривать как множество всех конечных линейных
комбинаций элементов множества М с целочисленными коэффициентами
(члены ПхХ с пх = 0 можно по желанию добавлять или
отбрасывать). Сложение производится покомпонентно:
к к k
2Л*** + ^miXi = 2! (Ui + mi) Xi*
i=i i=l i=l
В дальнейшем символом Qn мы будем всегда обозначать тг-мерный
компактный параллелепипед в Кп с ребрами, параллельными осям
координат, и с непустым открытым ядром:
Qn = {t£fcn: fl,</|<6| при г=1, ..., п).
37*
580 Том III
xik
Если ясно, о какой размерности идет речь, вместо Qn мы буде^
писать короче: Q. При п = 0 мы будем считать, что Dl0 = Q° есть
единственная точка —«нуль-точка». Каждое отображение К0 в Цп
мы будем рассматривать как бесконечно дифференцируемое. По
большей части нульмерный случай требует некоторых изменений в обо*
значениях, которые читатель может произвести самостоятельно.
Определение 1.1. n-мерной параметризованной клеткой1)
в пространстве Dlm мы будем называть дважды непрерывно диффе.
ренцируемое отображение Ф: Qn ->■ Dlm.
Компактное множество Ф(фп) называется следом клетки ф?
и мы будем его обозначать символом |Ф|. Если т^> п, ранг
функциональной матрицы отображения Ф всюду равен п и отображение
Ф инъективно, то мы будем назы-
гХг вать клетку регулярной.
Одномерная параметризованная клетка
есть дважды непрерывно
дифференцируемый параметризованный путь
(т. II, гл. I, § 2).
Пусть Qn (где п ^ 1) —
некоторый параллелепипед. Множества
diQn = {teQn: tt = bt} и
dlHQn = {teQn: h = ai)
мы будем соответственно называть
i-й верхней и i-й нижней гранями
параллелепипеда Qn. Таким образом, Qn имеет 2п граней. Вообще,
мы определяем к-мерные грани параллелепипеда Qn при 0 ^ к ^
^ п — 1, полагая какие-нибудь п — к координат равными at или Ь*.
Каждую А-мерную грань можно представить в виде пересечения
(п — 1)-мерных граней dlBQn или d^Q71 (см. рис. 57).
Определение 1.2. Преобразованием' параметров
называется взаимно однозначное дважды непрерывно дифференцируемое
отображение F: Q™ ->■ Qn, обратное отображение к которому также
дважды непрерывно дифференцируемо и которое при каждом i ото*
бражает грань dlQn на грань d\Qn и грань dlQi на грань dlRQ%.
Таким образом, F должно отображать друг на друга
соответствующие грани каждой размерности.
Определение 1.3. Две параметризованные клеткЯ
ф1: Qn __^ ^т и ф2. Qn _^ [Rm называются эквивалентными, если
существует такое преобразование параметров F: Qn ->■ Qn, чт&
ф4 = C[)2oF; n-мерной клеткой & в пространстве Лт называете*
класс эквивалентности параметризованных тг-мерных клеток; ка#~
ЗвОпа^п^о
Рис. 57. Грани параллелепипеда.
!) См. примечание на стр. 604#-«#р^ле. перев.
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 531
я параметризованная клетка, входящая в класс <9\ называется
параметризацией клетки <9\
Доказательство того, что указанным образом действительно
определяется отношение эквивалентности, тривиально. Если 8 —
1етка, параметризуемая, например, отображением Ф: Qn -> Dlm,
то компактное множество |Ф| = <D(Qn) мы будем называть следом
клетки & и обозначать символом |eF|. Очевидно, след не зависит
от выбора параметризации.
Каждая тг-мерная клетка сГ> имеет параметризации, определенные
на единичном кубе
In = {teRn: 0<*i<l}.
Чтобы в этом убедиться, выберем произвольную параметризацию
ф: Qn -> Km и условием
U ->■ ai + Фг — at)ti
определим преобразование параметров F: Iй ->• Qn\ при этом мы
считаем, что Qn = {t: at ^tt ^ fej. Параметризация Q)°F
удовлетворяет нужным требованиям. Если это окажется целесообразным,
мы будем поэтому пользоваться параметризацией, определенной
на кубе 1п. Вместо того чтобы говорить о клетке <9\ представляемой
параметризацией Ф: Iй -> Лт, мы будем в таком случае короче
говорить о клетке 8* = Ф.
Определение 1.4. Свободная абелева группа Сп =
= Сп(Кт), порожденная w-мерными клетками, называется группой
n-мерных цепей пространства Dlm, а ее элементы называются п-цепями.
Таким образом, тг-цепь &С есть конечная целочисленная линейная
комбинация тг-мерных клеток:
Нулевую цепь (нулевой элемент группы Сп) мы будем просто
обозначать 0.
Следом нулевой цепи мы по определению считаем пустое
множество. След произвольной цепи &£ Ф 0 определяется следующим
образом. Пусть
SF=2»^, где п*^°»
т
однозначно определенное представление цепи &С в виде линейной
комбинации попарно различных клеток. Тогда следом цепи Ж
называется множество
l«4=U|flU
Q Я,
обидно, след \$К\ определяется цепью йГ однозначно.
Последней в этом параграфе мы определим границу цепи. Пусть
я,: Кп^Кп^
582 Том III
при i = l, . . ., пии^-1 есть проекция
jt^i, . . ., tn) — (£ц, . . ., ^_1? tt + u . . ., tn)
(л0: HI1 -> 01° — постоянное отображение). Естественно, проекция
nt бесконечно дифференцируема и взаимно однозначно и регулярно
отображает грани d\Qn и d^Qn параллелепипеда Qn на (п — 1)-мер-
ный параллелепипед Q*'1 = ni(dlBQn) = пь(д^п) cz IR71"1. При этом
<?Г_1 = {(«!, ..., en-i): ty<ty<ty при 1</<*
и aJ+1 ^ 5^ ^ Ь;-+1 при i^lj ^.п — 1}.
Выберем теперь произвольный фиксированный параллелепипед Qn.
Положим
ф^ = (яг|^Т1.
Ф^ = (яг|^п)-1.
Мы получили, таким образом, два бесконечно дифференцируемых
отображения
Фн: СГ1-*-^,
причем
Ф^(^?_1) = ^п и Ф4(<??_1) = ^(?п.
Отображения Фв и Фн легко задать в явном виде:
Фв ($ц, . . ., 5n_1) = (5i, . . ., S$-i, btl Si, . . ., Sn-i),
Фн \sli • • •» 5n-l) = (5Ь • • •» 5г-1» aii sii • • •» 5?i-l)-
Если теперь Ф: Qn ->• (Rm — некоторая n-мерная
параметризованная клетка, то отображения
фоф£: £5Г1_>01т
и
Ф°ФН: Q^-^R™
являются двумя параметризованными (п — 1)-мерными клетками
в Кт. Таким образом, с помощью описанного только что построения
каждой такой параметризованной клетке Ф мы ставим в
соответствие 2п параметризованных (п — 1)-мерных клеток. Если мы
перейдем от Ф к какой-нибудь эквивалентной параметризованной клетке
ф*. Q*n ^ дт (где Q*n = {£. а| ^ ti ^ эд и к соОТВеТСТВуЮЩИМ
параметризованным (п — 1)-мерным клеткам Ф*оф*г и Ф*офн\
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 583
то получим
(здесь F: Q*n -*- Qn — преобразование параметров, для которого
ф*,= фо/?). Рассмотрим
G = (OiB)-ioFo(b*Bi;
это — взаимно однозначное и в обе стороны дважды непрерывно
дифференцируемое отображение параллелепипеда
Фп~! = {(*!. •••> Sii-i): fl*<^<b; при 1</<*
и a*+i ^ 5;- ^ fc*+1 при i ^ / ^ п — 1}
на параллелепипед ф?""1. Произвольная (га — 2):мерная грань А
параллелепипеда Q*71'1 отображается при OJ* на некоторую
(п — 2)-мерную грань параллелепипеда (?*п, затем эта последняя
грань при F отображается на соответствующую (п — 2)-мерную
грань параллелепипеда Qn, которая в свою очередь отображается
при (Фв)"1 на ту (п — 2)-мерную грань параллелепипеда ф?""1,
которая при отображении G соответствует грани А. Таким образом,
G есть преобразование параметров, и мы видим, что (п — 1)-мерная
клетка, параметризуемая отображением Фофв, зависит только
от класса эквивалентности <Э\ которому принадлежит Ф, а не от
специального выбора параметризации. Точно такое же утверждение
верно и для Фофд. Поэтому приобретает смысл следующее
Определение 1.5. Пусть Ф: Qn -> Blm — какая-нибудь
параметризация га-мерной клетки <9\ причем тг ;> 1. Тогда (п — 1)-
мерные клетки д\& и #н<9\ задаваемые соответственно
параметризациями
и
Ф°Фн: <??~1-*0lmf
называются соответственно i-й верхней и i-й нижней гранями
клетки cf>.
Чтобы определить границу клетки так, как это целесообразно
Для теории интегрирования, нам понадобится
Определение 1.6. тг-мерная клетка сР называется
вырожденной, если у нее есть параметризация Ф, зависящая не более,
чем от w — 1 переменных пространства Шп.
Например, клетка, представляемая параметризацией Ф: Р -> Л2,
Где ф(х, у) = х, является вырожденной.
584 Том III
*2k
vbn
4
u Й?8П ' a
Рис. 58. Граница клетки.
Определение 1.7. Границей n-мерной клетки & (при
п ^> 1) называется (тг — 1)-цепь
ав> = - 2 (-1)4^-^).
в которой еще должны быть опущены вырожденные клетки.
На рис. 58 изображен след \д$\
границы тривиальной клетки J=id в КЛ
Стрелки, направленные вправо или
вверх, означают, что соответствующие
стороны входят в дJ со знаком + , а
противоположно направленные
стрелки указывают стороны, входящие в
дJ со знаком —. Таким образом, в
простых случаях след \д&\ границы
клетки сТ> является геометрической
границей следа |<9*|.
Вычислим теперь границу
вырожденной клетки. Пусть, например, Ф — параметризация, не
зависящая от ti. Тогда
Ф°Ф£(*. ..., *„-!) = <D(blf su ..., *n-i) =
= Ф(а4, su- ..., *n-i) =
= фоф*(в1> ..., sn-i),
и потому д\& — дур = 0. При i Ф 1 параметризации Фоф*
и фофд не зависят от s1# Поэтому все клетки дУР и дУР при i > 1
вырождаются и в д& должны быть опущены. Таким образом,
граница вырожденной клетки равна нулю (т. е. является нулевой
цепью).
Определение 1.8. Под границей п-цепи $К — 2 п\&%
х
(при п ;> 1) мы будем понимать (п — 1)-цепь
dSK= %nkd&h.
а,
Очевидно,
d(&?i + ST2) = d&Si + dS%2.
При n ^> 2 имеет место равенство dde/? = 0. Однако этим фактом
мы в дальнейшем пользоваться не будем, а потому не станем его
и доказывать.
§ 2. ТЕОРЕМА СТОКСА
Пусть М — измеримое множество в (Rnl) и ф — определенная
на множестве М дифференциальная форма порядка п. Мы можем
*) Теперь мы все время будем пользоваться мерой Лебега.
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 585
однозначно записать форму ф в виде
Ф = a(x)dxi Л • • • Л ^п>
где функция а определяется формой ф и порядком расположения
координат.
Определение 2.1. Дифференциальная тг-форма ф
называется интегрируемой на множестве М, если функция а на
множестве М интегрируема по Лебегу. Мы полагаем
$ Ф= $ a(x)dx.
м м
Этим определением мы еще не отходим от интегрирования
функций, так как после того, как мы выбрали некоторый определенный
порядок расположения координат в (Rn, функции и тг-формы
взаимнооднозначно соответствуют друг другу. Поэтому мы рассмотрим
теперь тг-мерную клетку eif\ представляемую параметризацией:
Ф: Qn -> Шп, и дифференциальную форму ф порядка п,
определенную на |аР| = Ф((?п), и дадим следующее
Определение 2.2. Дифференциальная n-форма ф
называется интегрируемой на n-мерной клетке <9\ если тг-форма фоф
интегрируема на параллелепипеде Qn. Под интегралом от формы ф<
по клетке gf> понимает число
I Ф=$ фоф.
Ж> Л71
3°
Чтобы это определение было корректным, значение интеграла
не должно зависеть от выбора параметризации клетки of*, т. е. для
каждого преобразования параметров F: Q*n -> Qn должно
выполняться равенство
J фоф^ J фофо F.
QU Q*n
Мы сформулируем это утверждение в виде следующей теоремы:
Теорема 2.1. (Специальная формула преобразования.)
Пусть ф — дифференциальная п-форма, интегрируемая на
параллелепипеде Qn, и пусть F: Q*n -?■ Qn — некоторое преобразование
параметров. Тогда
I Ф= J q>°F.
QU Q*Tl
Эта теорема вместе с рядом более общих теорем будет доказана
в следующем параграфе, хотя мы воспользуемся ею уже теперь.
Тем не менее уже здесь можно установить, что для вырожденной;
586 Том III
клетки & интеграл J <p = 0. В самом деле, пусть
Ф = Ъап • • • in teh Л -.. Л dzin,
5S. ПуСТЬ
Ф = (Л, • • -, 1т)
— параметризация клетки 5\ не зависящая, например, от tt. В таком
случае пфаффовы формы dft всегда лежат в (п — 1)-мерном
подпространстве пространства Е\ , порождаемом dt2l . . ., dtn. Поэтому
п форм dfi , . . ., dfin в каждой точке t0 £ Qn линейно зависимы,
т. е. dfi /\ . . . /\ dfin = 0. Следовательно,
фоф=2^1...,п^1Л...Л^д = 0.
Определение 2.3. Под интегралом от дифференциальной
м-формы ф по n-мерной цепи <УС = 2j n^% в пространстве Кт
.мы понимаем число
$ Ф= 2^ $ Ф-
Во всех этих определениях мы молчаливо подразумевали, что
л;>1. Интегралом от нуль-формы (=функции) / по нульмерной
клетке 0* мы будем называть число /(\& |) (ведь сдед \Ф | есть в этом
случае одна единственная точка). Тогда определение 2.3 сохраняет
смысл и в случае п = 0. Наконец, интеграл от произвольной тг-фор-
мы по тг-цепи 0 £ Сп пусть по определению также равняется нулю.
Теорема 2.2. (Теорема Стокса для куба.) Пусть ф —
непрерывно дифференцируемая дифференциальная форма порядка (п — 1)
ла кубе 1п. Если J — тривиальная клетка г) J — id в Dln, то
$ Ф=1 Ар.
Эта теорема позволяет свести интеграл по гс-мерному множеству
•к некоторому интегралу по (п — 1)-мерному множеству.
Доказательство теоремы 2.2. Форму ф мы можем
однозначно записать в виде
п ^
Ф=— 2 (-l)vav(x)dxiA--- AdxvA--- Adzn.
V=l
ч<Крышка» ^ над dxv означает, что dxv в данный одночлен не входят.
Поэтому утверждение достаточно доказать только для дифферен-
*) Мы пользуемся обозначением 3° = Ф, введенным после определения 1.&
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 587
циальной формы вида
-«-"■-^
<р = (— l)v_1 a (x) dxt Л ... Л dxv Л ... Л dxn.
Имеем
I йф= — 1 (— l)v da Л d*i Л • • • Л dxx Д ... Д йяЛ =
_ Г да ^
= (— *)V * I — ^v Л d*i Л • •. Л dxv Л • • • Л dxn =
J oxv
СГ
= \ --^dxi Л • • • Л dxv A • • • Л dxn =
J oxv
J
= [£■«*-
l
= 11 — dxv \ dxi... d^v ... dxn =
Jn-i 0
= I a {xu ..., 1, ..., xn)dxiA.--AdxvA--Adxn-
Jn-i
— J a (xu ..., 0, ..., xn) dxt Л • • • Л dxx /\ ... /\ dxn.
J71-1
Ho
Ф°Ф* = (—l)v *а(х1, ..., 1, ..., xn)dxiA---AdxvA-"Adxn,
Ф° Фн = (— l)v_1 а (ж,, ..., 0, ..., arn) <b, Л • - • Л dxy A ■ • • Л dxn,
и потому
$Лр = (-1У»[$ Ф- I Ф]-
Так как ф^о ф£) = д,{х^ ф£) = 0, то при ц # v
$ Ф= I Ф = 0.
в&7 а£.7
588 Том III
Поэтому мы можем добавить слагаемые такого вида и получить
$d<p = (-ir4J ф- \ ф]=
= -2(-D4j ф- I ф]=
-J».
Теорема 2.3. (Теорема Стокса для цепей.) Пусть ц> —
непрерывно дифференцируемая дифференциальная форма порядка (п — 1)
на допустимом множестве М в пространстве Кш и Ж — некоторая
n-мерная цепь в пространстве Кт, след которой \&С\ cz M. Тогда
I Ар= $ Ф-
$С догС
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать цепь Ж клеткой Ш = Ф. Имеем
I dy= § Лр°Ф= I d((p°0)= $ <2(<р°Ф),
&С Jn jn у
где J — снова тривиальная клетка J = id в Rn. Из предыдущей
теоремы теперь следует, что
Jd(q>o(D)= $ фоф =
J dCf
= - 2(-i)4$ ф°ф- J Фоф]=
*=1 a*J д\р
1=1
71
" =--2(-1)М I ф- \ ф!=
= i ф.
потому что интеграл по вырожденным клеткам (которые ведь
выбрасываются из границы) равен нулю. Это и требовалось доказать.
Эта теорема в § 4 будет еще существенно обобщена. Однако перед
этим мы должны провести доказательство формулы преобразования,
пропущенное выше.
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 589
§ 3. ФОРМУЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В первом томе было доказано следующее правило подстановки:
если / — функция, непрерывная на промежутке [а, Ъ], и Ф —
нецрерывно дифференцируемое отображение промежутка [а, 0]
на промежуток [а, Ъ], причем Ф(а) = а и Ф(Р) = Ъ, то
]f(x)dx=]f[<b(t)]<I>'tt)dt.
а а
Если эту теорему сформулировать с помощью дифференциальных
форм, сделав замену ф = f(x)dx, то она примет вид
С ф= [ ф°Ф.
[а,Ъ] [а,(3]
Наша цель состоит в том, чтобы перенести эту формулу на
дифференциальные формы от нескольких переменных. Доказательство
является очень сложным, так как образ куба при взаимно
однозначном дифференцируемом отображении, вообще говоря, может сильно
искривиться, в то время как в случае одной переменной мы имеем
дело только с промежутками. Сначала будет доказана
Теорема 3.1. Пусть Q = {х £ Кп: ах ^ xv ^ bv} —
компактный параллелепипед с открытым ядром Q Ф 0 и U —
открытое множество, содержащее параллелепипед Q. Пусть, далее,
F: U -> В1п — непрерывно дифференцируемое взаимно однозначное
отображение, якобиан JF которого не обращается на множестве U
в нуль. Тогда если ф — интегрируемая дифференциальная форма
порядка п на множестве К = F(Q), то форма ф oft интегрируема
на Q и
$<p=sgnJF-l<poF.
К Q
Якобиан Jp отображения F сохраняет на параллелепипеде Q
постоянный знак. Действительно, если JF (х0) > 0 и х — какая-
нибудь другая точка в Q, то точки х0 и х можно соединить в Q
непрерывным путем Ф: [0, l]-*~Q. Так как функция /роф на
промежутке [0, 1] непрерывна и отлична от нуля и так как JF (Ф(0)) =
= JF (х0) > 0, то непременно и JF (Ф(1)) == JF (x) > 0. Поэтому
знак sgn JF определен однозначно. Посде этого предварительного
замечания мы перейдем к доказательству.
Доказательство теоремы 3.1. Доказательство мы
проведем в несколько этапов, причем вначале наложим очень сильные
ограничения, а затем будем от них постепенно отказываться. Пусть
Ф = a(y)dyi f\ . . . /\ dyn,
590 Том III
где а — некоторая функция, интегрируемая на множестве К,
1. Пусть сначала п = 1 и а(у) = t(y) — ступенчатая функция
на промежутке К = F(Q) и, таким образом, ф = t(y)dy.
В этом случае якобиан JF = F'. Выберем такое разбиение
промежутка К на замкнутые промежутки Kv = [#v-i> #vL что функция
о
t на Kv постоянна, t(Kv) = cv, и вычислим интеграл
К К v
Пусть xv = Р-Цу,,). Тогда
5ф=2^(^(^)-^(Жу-1))=53^ J F (*)&:.
К v v xv_1
Если F' > 0, то ^v_! < xv\ в противном случае имеет место обратное
неравенство. Поэтому если мы положим
Qv = {x: minfjrv-i, xv) ^^^max(^v-i, #v)},
то в первом случае получим
I F'(x)dx= I F*(x)dx,
x
а во втором
*v-i Q«
J F(x)dx= — J F(x)dx.
x . Q
v-i ^v
Следовательно,
Jq>=2cv-sgnF J F'(x)dx =
К v Qv
= sgn Г 2 $ * (^(*))Г № dxz
= sgnF' l(toF)F*dz =
= SgnJF* J фо /\
Q
Таким образом, в этом простом частном случае формула
преобразования справедлива.
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 591
2. Докажем затем интегрируемость формы ф о F в случае, когда
ф = t(y)dyi Д . . . Л dj/n есть w-форма, коэффициентом которой
служит ступенчатая функция, заданная при некотором параллелепипед-
ном покрытии. Мы можем при этом предполагать, что функция t
отлична от нуля и постоянна лишь на одном элементе разбиения 11%
а на всех остальных равна нулю. В самом деле, каждую ступенчатую
функцию можно представить в виде конечной суммы таких простых
ступенчатых функций.
Пусть t\KQUj = с. Функция c-JF интегрируема на
параллелепипеде Q. Поскольку, кроме того, вместе с КП Щ и полный прообраз
р'г(К[] U*) является разностью двух компактных множеств, та
F'l(Kf\Uj) имеет конечный объем и функция c-JF интегрируема
яа F-^KOU}). Теперь
J cJFdx = ](t° F)JFdx =
V-Чкпи}) Q
= \{toF)dU/\.../\dfn =
Q
(где F (*) = &(*), ..., /n(x))
Q
Тем самым интегрируемость формы ф о F доказана.
3. Теперь мы докажем формулу преобразования при
дополнительных предположениях: пусть а — t — снова некоторая
ступенчатая функция ж F — примитивное отображение, т. е. отображение
вида
У а = *ц при \i ф v,
У\ — /(^Ь • • •» хп)*
Следовательно, JF — df/dxx. Вычисляя интеграл J ф, сначала
к
находим
к к
= I *dy
= I [^dyv]dy{ ... dyv ... dyn.
*) Символом / мы всегда будем обозначать тривиальное продолжение
функции / на все пространство.
(щех^ЦК)1)
592 Том III
«Крышка» над dyv, как и раньше, означает, что dyv отсутствуем
Пусть 1Х> (где х' = (a?i, . . ., xv.u zy+i, . . ., znj) — образ цро;
межутка [av, bv] при отображении xv-+ffa, . . ., а?п). Для вву*
треннего интеграла при фиксированном (уи . . ., */v_1? yv+i, . #
• . ., уп), в силу пункта 1, получаем
J тdyv = \ т (j/i, ..., j/n) cfyv =
= sgn/F. I %{xu ..., /(a?i, . .., sn), ..., xn) ——dxv.
J OXy,
av
При этом, естественно, при \i Ф v должны выполняться неравенства
аи ^Уи ^ *V Если эти неравенства не выполняются, то т = О,
и потому последний интеграл можно заменить интегралом
sgn JF- $ (т° F) JFdxv,
К
где имеется в виду тривиальное продолжение на все пространство Е,
и получить:
^ = sgn/F. J [li^°F)JFdxx]dyi ... di/v ... d*/n.
к К71"1 К
Так как i/u = а;^ при |л Ф v, то вместо последнего выражения мы
можем написать
sgn/F- \ [] (%° F)JFdxv]dxi ... drv ... dxn.
К71"1 К
Отсюда
J <p = sgn /F• $ [^ (т° jP) /F d#v ] d^i ... dxv ... dz^ =
к К71"1 К
= sgnJF- J (t° F)JFdx= (по теореме Фубини1))
= sgn/F- J (t° F)JFdx =
Q
= sgnJF-[y<>F.
г) В этом месте мы пользуемся интегрируемостью функции (toF) Jf. Мозкй°
было бы также вывести интегрируемость этой функции из теоремы 12.4 гл. I *»
таким образом, сэкономить на доказательстве пункта 2, но от этого наше дока*
зательство не стало бы короче.
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 593
4. Допустим теперь, что утверждение теоремы 3.1 уже доказано
яля К71""1- Мы покажем, что тогда оно верно для дифференциальных
форм ф = *(У)&У1 Л • • • Л йУп порядка п в случае, когда
отображение F имеет специальный вид г)
Ук = f*(xu • • -> *п) при к ф v,
z/v = я^
й £ — снова некоторая ступенчатая функция.
Для доказательства положим у' = (уи . . ., */v_1? yv+i, . . .
...» #п) и обозначим через JF> следующий функциональный
определитель:
\\ дх% /х,x=i, ...,7i/
Тогда J F — ± /р*. Имеем
Ь=Ф«г= Г^У=1 I I Hy)dy]dyv.
к к Кп 01 'К71"1
При постоянном yv £ [а^, Ъу} к внутреннему интегралу, подинте-
гральная функция которого зависит только от п — 1 переменных,
можно по предположению применить формулу преобразования:
I i(y)dy' = sgnJF>. I t(fi, ..., yv, ...y /»)./> dy ,
где х' = (#ь . . ., Яц,-!, ^ц+i, . . ., хп) и (?п"х — параллелепипед
. {х': at -^ Xi^bt\ гф \i}. Поэтому точно так же, как и на
предыдущем шаге доказательства, получаем
j<P= $ sgn/F-. [ J t(fu ..., yvf ..., fn)JF>d*']dyv =
K K- Ft71"1
= ^sgn/F-[ j (t°F)JFdx']dyv =
К Ol71"1
= ^sgn/i?-[ j (*° /^ /F dx']dxVi =
К К71"1
*) В оставшейся части доказательства такого рода отображения мы будем
Называть специальными.
8-832
594 Том III
= sgn/F- £ (t° F)JFdx= (по теореме Фубини1)у
= sgn/F. I (t° F)JFdx =
QU
ч =Sgn/F. J фо/^.
Q71
5. Пусть теперь формула преобразования справедлива для
дифференциальных форм, коэффициенты которых являются ступенчатыми
функциями. Мы выведем из этого предположения, что наше
утверждение верно для произвольных интегрируемых тг-форм.
Пусть сначала ср = g(y)di/i Д . . . Д dyn, где g —
интегрируемая функция, полунепрерывная снизу и, кроме того, вне некоторого
параллелепипеда положительная. По теореме 12.1 гл. I функцию g
можно представить как предел монотонно возрастающей
последовательности ступенчатых функций:
g= lim tv; tv ^ tv+i.
V->oo
Тогда
(goF)JF=lim(tvoF)JF,
где последовательность (tvof)JF возрастает или убывает в
зависимости от того, положительным или отрицательным является якобиан
JF. По предположению
sgn JF $ (*vo F) JF dx = [tv dy < J g dy.
q к к
Из теоремы об интегрировании монотонно сходящейся
последовательности вытекают интегрируемость функции (g о F)JF и равенство
sgn/F \ (go F)JFdx=sgnJF J lim (tv° F)JFdx =
Q Q v->«>
= lim sgn/F J (tv° F)JFdx —
V-VOO Q
= lim I tvdy =
v->oo x
= J lim tvdy =
= ledy.
к
Поэтому и в самом деле
$<p = sgn/J,.J<poJ'.
К Q
х) См. примечание на стр. 592.
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 595
Для полунепрерывных сверху интегрируемых функций мы
получаем формулу преобразования точно таким же образом.
Пусть, наконец, <р = a(y)dyi Д . . . Д dyn — некоторая гс-форма
с каким угодно интегрируемым коэффициентом а. Предположим, что
/F> 0, и выберем (1Л>)-окрестности ^[Av, gv] функции а —
тривиального продолжения функции а, причем
hi < h2 < . . . < а < . . . < g2 < gt.
Так как J hvdy < I a dy < J gv dy и J (gv — Av)dy < 1/v, мы
должны иметь
j a dy= lim J ftv dy = lim J gv dy.
Далее, на Q выполняются неравенства
(hvo F) JF < (ao F) JF < (gvo F) JF
и по формуле преобразования для полунепрерывных функций
U(8v-K)oF)JFdx=$(gv-hv)dy^l/v.
Из теоремы 6.4 гл. I теперь следует интегрируемость функции
(aoF)JF и, как и выше, получаем
l(d°F)JFdx= lim J (gv° F)JFdx =
а потому и
= lim$gvdy =
V-»oo К
= \ady,
что д требовалось доказать. Случай, когда JF < 0, рассматривается
аналогично.
6. Пусть F: U ->■ Кп — произвольное отображение,
удовлетворяющее предположениям теоремы, и х0 — точка параллелепипеда Q.
Так как JF (х0) Ф О, то существует хотя бы один минор (п — 1)-го
порядка определителя JF, отличный от нуля, скажем
ы((МЛ ),
\\ дх\ /к,х=1, ...,7i/
причем мы считаем, что отображение F задается функциями Д, ...
• • •? /п- Условиями
z* = /н(х) при и =£ v,
Zv = Хц
38*
596 Том III
определим теперь некоторое отображение F^ По теореме о неявных
функциях существуют такие открытые окрестности V точки х0 и W
точки z0 = ^i(x0), что Fi взаимно однозначно и в обе стороны
непрерывно дифференцируемо отображает V на W. Поэтому на W
определено отображение F2 = FoF^1. Это отображение на W является
непрерывно дифференцируемым, а на F имеет место разложение
F — F2°Fi. Исследуем отображение F2 более точно. При
отображении Fj"1 точка z 6 W переходит в такую точку х = (хи . . ., хп) £ V,
что zx = /х(х) при и Ф v, а при F точка х отображается в такую
точку у, что г/х = /к(х) при всех х и, значит, ух = zx при к Ф v.
Поэтому отображение F2 задается условиями
- Ух=Ьс При X^=V,
Тем самым локально мы разложили отображение F на два
отображения рассмотренного в пунктах 3 и 4 типа.
7. Допустим теперь, что утверждение теоремы справедливо для
примитивных и для специальных преобразований, и покажем, что
тогда оно верно и для каждого преобразования F.
Для точки х0 6 Q выберем сначала окрестность V(x0) и
разложение F = F2 oFt описанного в пункте 6 вида. Пусть W(z0) = Fi(V(x0))
и W'(z0) cz W(zQ) — некоторый компактный куб с ребрами,
параллельными осям координат, содержащий внутри себя точку /^(xq),
и пусть V'(x0) = F^(W'(z^i). Пусть, далее, число е(х0) > 0 столь
мало, что *72e(x0) (x0)czVf(x0). Система.(?7e(x0) (х0): х0 6 Q)
является открытым покрытием параллелепипеда Q, из которого можно
выделить конечное подпокрытие Ue (х4), . . ., Uz (хг). Пусть 8 =
= min 8Р. Для |Л = 1, . . ., п разобьем промежуток [а^ Ь^]
р=1, . . . ,г)
на промежутки [а^ а^), [а^и а^), . . ., [аМд-1, 6J длины <8
и тем самым получим разбиение параллелепипеда Q на попарно
не пересекающиеся «полуоткрытые» параллелепипеды Qv. Если
Х0 etfv'fl ^бр(Хр) И XG(?V, TO
|х — хр1 < |х — х0| + |х0 -хр|<8+8р< 2ер,
и потому Qv cz и2е*(х9) cz Т^'(хр). Таким образом, каждый
параллелепипед Qv, а, значит, и параллелепипед Qv содержится в некотором
компактном множестве F'(xp).
Пусть теперь Kv = F(QV). Множества Kv измеримы и образуют
разбиение множества К. Если мы еще положим cpv = ф|ЛГу» т0
получим
К V Kv v F(QV) v F2 о Fj(Qv)
(Индекс v у f! и F2 мы опускаем.)
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 597
Если Qvcz V'(x0) = Fv и W'y — F^Vy), то, далее, имеем (cpv —
тривиальное продолжение формы <pv):
= ^sgnJF2 j фуо ^2= (по предположению)
v ^;
= 2 sSn J f2 • sgn /Fl £ <pv ° ^2 ° Л- (по предположению)
Qv
Ho Jf2-JFi = «^f» и потому sgn /j?2-sgn /Fi = sgn JF.
Следовательно,
^ = sgn /f2J <Pv°F =
к
= sgnJF I q>° F.
%
8. Теперь мы можем склеить из проведенных до сих пор
рассуждений доказательство по индукции.
п = 1. В силу пункта 1 формула преобразования верна, если
ф = t dy и t — ступенчатая функция, а тогда в силу пункта 5 и для
любой интегрируемой формы ф.
Пусть теперь наше утверждение уже доказано для п — 1^1.
Тогда в силу пунктов 4 и 5 оно верно B>[Rn для специальных
отображений, а в силу пунктов 3 и 5 — для примитивных отображений.
Наконец, пункт 7 показывает, что формула преобразования верна
в Лп без дополнительных ограничений.
Теорема 3.1 доказана.
Чтобы вывести формулу преобразования, которой мы
воспользовались в предыдущем параграфе, нам нужно еще обобщить только
что доказанную теорему: надо освободиться от предположения, что
отображение F определено на некотором открытом множестве J7,
содержащем параллелепипед Q. Для доказательства более общей
формулы преобразования необходимы некоторые предварительные
рассмотрения из теории меры.
Для р =-0, 1, 2,* . ... и каждого тг-набора (jii, . . ., \in) из целых
чисел положим
и^...,»п)={х€&п: ^.2-р<^<(^ + 1)2~р; v=l, ..., п).
Множество всех э>тих кубов U9 при фиксированном р
образует бесконечное покрытие &р пространства (Rn. Каждое
ограниченное множество М, очевидно, имеет непустое пересечение только
598 Том III
с конечным.числом элементов покрытия $. Положим
где суммирование производится только по тем кубам, для которых
..,*«> Г\ м¥= 0, и дока-
(иъ
жем следующую лемму:
Лемма 1. Для любого
компактного множества К cz Кп
J (Я) = inf /р (К) = lim /p (К).
р-*оо
Это утверждение интуитивно
очевидно: лебеговский объем
ЦК) множества К можно
вычислить приближенно, покрыв
множество К объединением
маленьких кубов и подсчитав
общий объем этих кубов (рис. 59).
Д о к азательство
леммы 1. Непосредственно из
определения вытекают неравенства
ЦК) ^ /Р+1(Я) < /Р(Я), и потому lim IР{К) = inf IР(К) > ЦК).
Пусть теперь К = {х: av ^ xv ^ bv при v = 1, . . ., п} —
компактный параллелепипед. Число промежутков [[iv-2~P, (fiv + 1)2-р},
пересекающихся с [av, bv], не превосходит (fev — av)2P + 2. Поэтому
IHTTN
ml in
! kf Kl
Им \
L<T t
и 1
и 1 J
МЛ
i/ f
/Ml
( \
1
1 > M/
К МММ L{'
1 Т4Ци^Н J111 IK"1
Рис. 59. Геометрический смысл лебе-
говского объема.
/р (К) < 2"пр П ((6V - av) 2P + 2) = П ((bv - av) + 2-p+1).
v—i v=l
При р ->• oo второе слагаемое в множителях этого произведения
стремится к нулю. Следовательно, lim IР(К) ^ ЦК). В результате
р-»-оо
мы получаем lim 1Р(К) = ЦК).
р-юо
Пусть теперь К — произвольное компактное множество и %к —
его характеристическая функция. Имеем
/(*)=Jfcc<b=inf{2(<): 1>%к}.
Выберем по заданному е > 0 такую ступенчатую функцию t £ У (ОД,
что 2(£) — ЦК) < 8 и £ > %я- Каждая точка х 6 ^п принадлежит
хотя бы одному параллелепипеду UL 6 ^. Если точка х принадлежит
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 599
пересечению К f| #i» то должно выполняться неравенство t(x) ^ 1 =
=%я(х)» так как *(^*) ^ *(х)' Т0ГДа и *(#?) ^> 1- Мы видим, что
Ка U Ul9
я потому
*(t7*)^i
Таким образом, для каждого е > О мы построили конечное
объединение параллелепипедов UV1 обладающее следующими свойствами:
Kcz\jU, и %I(Ub)-I(E)<e.
Так как для Ut наше утверждение уже доказано, отсюда следует, что
lim /p (К) < 2lim 7р (^) = 2 ' W <17 (*) + е-
Следовательно, неравенство lim /p(jBT) ^ Д#)> а потому и утвер-
р-*оо
ждение леммы, справедливо и для любого компактного множества К.
Замечание. Это доказательство обнаруживает, что интеграл
Лебега можно определить и с помощью кубических покрытий
пространства В1п *).
В следующей теореме мы установим, что лебеговский объем
множества не может сильно увеличиться при непрерывно
дифференцируемом отображении.
Теорема 3.2. Пусть F: Qn -»• Кп — непрерывно
дифференцируемое отображение. Тогда существует такое положительное число
а, что для каждого компактного множества К с Qn выполняется
неравенство I(F(K)) ^a-I(K).
Доказательство. Пусть F(x) = (А(х), . . ., /п(х)) и R —
Константа Липшица на Qn для каждой функции /v и каждого х^, т. е.
l/vfa, . . -, Хц . . ., хп) — fv(xu . . ., у^ . . ., хп)\ ^Щху, — уу\.
Существование R следует из теоремы 3.1 гл. VI т. И. Если
х) Кубическое покрытие — это параллелепипедное покрытие, все компакт-
вые элементы которого являются кубами.
600
Том III
х, у € <?п, то
'/vW"/v(y)KI/v(^ ...^Я)-М«И • .м *п-1. Уп)\ +
+ l/v№» -..» #п-1» Уп)— /v (#1» • • •» хп-2ч Уп-U Уп) | +
+ ... +
+ I U fa, »2, • - •> J/n) — /v (*/l> • • •» Уп) \<
<Д. SI^-VvKfl-nlx-yl.
Таким образом, если мы положим Р = n-R, то для любых двух точек
параллелепипеда ()п будет выполняться неравенство |F(x) — -F(y)| ^
<Р1х-у|.
Пусть теперь Р cz Шп — куб с ребрами, параллельными осям
координат, и с длиной ребра I. Для v = 1, . . ., п положим
av= inf /v(x), bv= sup /v(x).
xGPf)Qn x£Pf]Qn
Очевидно, bv — av ^ f}-Z. Поэтому образ пересечения Р f] Qn при
отображении F содержится в некотором кубе с длиной ребра |$- Z, т. е.
Если Z — произвольное компактное подмножество параллелепипеда
Qn, то покроем множество К конечным числом кубов Qx с ребрами,
параллельными осям координат, для которых 2Д(?0 ~~ НЮ < 8
(см. лемму 1). Тогда
/(F(К))< 27(*"«?*п <?"))< 2Рп'Ш<Рп(/W + е).
Так как е > 0 было выбрано произвольно, наше утверждение
следует отсюда при а = рп.
В качестве следствия из этой теоремы получаем:
Теорема 3.3. Образ компактного нуль-множества при
непрерывно дифференцируемом отображении F: Qn ->■ Кп снова является
компактным нуль-множеством.
Теперь мы перейдем к главному результату этого параграфа.
Теорема 3.4. (Общая формула преобразования.) Пусть
Qn = {x: ai^xi^bi; J=l, ..., п}
— компактный параллелепипед в Кп с непустым открытым ядром Qn
и F: Qn -»■ Dln — непрерывно дифференцируемое отображение, кото-
о о
рое на Qn взаимно однозначно и якобиан которого на Qn не обращается
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы
601
в нулъг Тогда если ф = а(у) dyt Д ... Д dyn — интегрируемая
п-форма на множестве К — F(Qn), то форма cpoF интегрируема
на Qn и
l<p = sgn(JF\Qn)- I cpoF.
К Qn
Доказательство. Пусть Q" — параллелепипед
|х: аг + — <**<&$ — — ; i=l, ..., п\.
Очевидно, @v содержится в Qn и U Qv = Qn. Положим av = alFiQ")
e
и допустим сначала, что а !> 0. Так как F(Qn) — F(Qn) в силу
теоремы 3.3 есть нуль-множество, имеем
$Ф= [ Ф= { a(y)dy.
К F(Q*) F(Q*)
Поскольку функции av, монотонно возрастая, сходятся к функции
a\F(Qn) и эта функция интегрируема, из теоремы об интегрировании
монотонной последовательности следует, что
I a(y)dy=limlav(y)dy =
= lim. $ a(y)dy =
^°°F(Q^
(по теореме 3.1}
= limsgn/if. j (a° F)JFdx —
Qn
= limsgn/F J (av°F)JFdx.
v-»-oo ° ^
Qn
Последовательность (avoF)JF на Qn монотонно (возрастая или
убывая) сходится к ({aoF) - J F)\§n) а интегралы от элементов этой
последовательности равномерно ограничены. Поэтому на основании теоремы,
об интегрировании монотонной последовательности получаем
limsgn/F [ (av° F)JFdx = sgnJF* ) (а° F)JFdx =
Q» Qn
= sgn(JF\Qn) J (aoF)JFdx =
Qn
= sgn(/F|£n) $<f>°F.
£02
Том III
Если а — функция произвольного знака, то представим ее в виде
разности двух положительных интегрируемых функций а — а+ —.
— а" и применим предыдущий результат к а+ и а~. Теорема 3.4
доказана.
Чтобы вывести специальную формулу преобразования (теорема 2.1)
лз общей, нам нужно еще убедиться, что якобиан преобразования
параметров F: Qn -> Q*n положителен. При этом мы можем считать,
что Qn = Q*n = 7П, потому что приведенное в § 1 (стр. 581) аффинное
преобразование параметров, отображающее куб Гп на Qn или
соответственно на @*п, имеет положительный якобиан. Так как при F нуль-
точка переходит в себя, отображение F индуцирует изоморфизм
^*: Т$ ->- Т0 касательного пространства в точке 0. Ребро куба
К% = {х g7n: Xj = 0 при 7 ф i} при F также отображается в себя.
Если Kt рассматривать как путь, то при надлежащей параметриза-
ции — есть в точности касательный вектор в точке 0 к этому пути.
OXi
(Я \ Я
—-) = а -£—. Так как функция F\Kt моно-
тонно возрастает, то ct =-~~(xt of)> 0. Мы видим, что JF(0) =
OXf
-= Ci . . . сп > 0, и, следовательно, JF > 0 на всем Qn.
Теорема 3.5. (Формула преобразования для открытых
множеств.) Пусть U u V — открытые множества в Кп u F — взаимно
однозначное и в обе стороны непрерывно дифференцируемое
отображение множества U на множество V, якобиан которого сохраняет
знак. Тогда если
Ф = a(y)'dyi Д • • • Л dVn
— интегрируемая п-форма на V, то дифференциальная форма (poF
интегрируема на U и
$q>=:SgnJF-l<p°F.
V U
Доказательство. Пусть 41^ °11<1, °11г, ... —
последовательность конечных замкнутых кубических покрытий х),
обладающая следующими свойствами:
1. Каждый компактный куб из %v, является объединением
компактных кубов из ^v+i.
2. Объединение всех компактных кубов, входящих в покрытие
4lv, равно всему пространству.
3. Если Zv — длина ребра кубов покрытия °UV1 то lim Zv = 0.
V-*oo
) См. примечание на стр. 599.
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 603
*zh
Для v = 1, 2, ... обозначим кубы покрытия Ч1Х, содержащиеся
в £/, через <?vl, <?V2, . . ., Qvrv. Пусть, далее, Qv = |J <?v|l. В силу
n=i,... ,rv
свойства 1, (?v cz @v+1 (см. рис. 60). Кроме того, U Qv — U. Чтобы
V
в этом убедиться, рассмотрим точку х0 6 U, выберем ее е-окрест-
ность Ue(xQ) cz U, а затем такое покрытие %v, что точка х0
принадлежит некоторому компактному
кубу Q 6 ^v и одновременно
/v < 8. Тогда Q cz U. Поэтому Q
находится среди кубов QVVL.
Следовательно, х0 6 U Qw как и утвер-
V
ждалось. Наконец, при
фиксированном v два различных куба в Qv
имеют не более одной общей грани.
Допустим теперь, не
ограничивая общности, что aQ> О» и
положим
av = a\ U F(Qvll) = a\F(Qv).
Тогда последовательность (av),
монотонно возрастая, сходится
к интегрируемой функции а. Кроме того, так как пересечение двух
различных кубов QVVi есть нуль-мцошество,
javdy= $ ady =
F(QV)
Рис. 60. К доказательству теоремы
3.5: Qv С Qv+i CZ U (множество Qv+i
обведено жирной линией).
= 23 I "dy =
U=l F(QVU.)
-у
= sgnJF- 2 I (a° F)JFdx =
Поэтому
= sgn/i?'^ (a°F)JFdx.
Qv
= lim j avdy =
V->-oo
= lim sgn JF J (a° F)JFdx =
V~»;<» Qv
I
604 Том III I
= sgn/F I (a° F)JFdx —
и I
= sgn/F $(p°F.
и
При этом мы дважды воспользовались теоремой об интегрирование
монотонной последовательности и один раз теоремой 3.1. Наше утвер-
ждение доказано.
В качестве следствия получаем: если форма cpoF интегрируема I
на параллелепипеде Qn, где отображение F: Qn -> Кп удовлетворяет
предположениям теоремы 3.4, то форма ф интегрируема и имеет место
формула преобразования. В самом деле, F отображает открытый
о °
параллелепипед Qn на некоторое открытое множество F(Qn). Теперь
остается применить теорему 3.5 к форме cpoF и отображению F-*
и учесть, что F(dQn) есть нуль-множество.
§ 4. ПОЛУРЕГУЛЯРНЫЕ КЛЕТОЧНЫЕ РАЗБИЕНИЯ
Когда мы вводили дифференциальные формы, мы ставили себе
цель определить и исследовать криволинейные и поверхностные I
интегралы. Мы осуществим эту цель в настоящем параграфе и, таким
образом, оправдаем сложную систему понятий второй и третьей глав.
Под регулярным в точке t0 6 Qn отображением Ф: Qn ->- Кт мы
понимаем непрерывно дифференцируемое отображение,
функциональная матрица которого имеет в точке t0 ранг п\ мы предполагаем,
что т ^ п.
Определение 4.1. и-мерную клетку & в пространстве Кт
мы будем называть полу регулярной, если она имеет параметризацию
о I
Ф: Qn ->- Blm, которая на Qn инъективна и регулярна.
Разумеется, тогда и каждая параметризация клетки & обладает
этим свойством.
Если & — произвольная клетка, представляемая параметриза-
о
цией Ф: Qn ->- Шт, то образ Ф(()п) мы будем обозначать символом
о о
|cF|. Вообще говоря, |сГ>| — не открытое множество! При п = О
о о
пусть |сР| = |cF|. Очевидно, множество \&\ не зависит от выбора
параметризации.
Определение 4.2. Полу регулярным клеточным
разбиением г) компактного множества К с= Dlm мы будем называть тг-мернуя>
цепь ЗГ, обладающую следующими свойствами:
1) 1*1 = К; . j
*) Слова Pflaster и Pflasterung мы переводим соответственно «клетка»
и «клеточное разбиение». Эта терминология отличается от принятой в тополе* ,
гии.— Прим. перев.
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 605
2) цепь &С имеет представление &С = 2 8л<^л» гДе е* = ± 1 и все
^. являются полурегулярными клетками;
3) 'l^vlfll^iil = 0 при v=#= п.;
4) если (2 — произвольная грань клетки <9\, то
|в|П Ul*xl = 0.
я
Так как все клетки о^% различны, представление &С = 2 8a,<^4
определено однозначно; имеет место равенство
Z=|e^|=Ul^|.
Рассмотрим несколько примеров и контрпримеров.
Рис. 61. К примеру 1. Рис. 62. К примеру 2.
1) Так как у цепи Ж = ^ + ^2 на рис. 61 нарушается условие
3), она не является полурегулярным клеточным разбиением
множества |е/Г|.
2) У 2-цепи в пространстве
S13, изображенной на рис. 62,
нарушается условие 4)
определения, и потому она также
не является полурегулярным
клеточным разбиением своего
следа.
3) Цепь &С = &i U <^2 на Рис. 63. К примеру 3.
рис. 63 является
полурегулярным клеточным разбиением множества |3?|. При этом,
разумеется, &*t и <9*2 должны быть полурегулярными клетками с
изображенными на рисунке следами.
606
Том III
Понятие полурегулярного клеточного разбиения должно еще
быть усилено. Прежде всего п-цеиъ &С = 0 мы будем рассматривать
как полурегулярное клеточное разбиение пустого множества. Далее
мы дадим
Определение 4.3. Пусть К — компактное множество
и дК с К — его компактное подмножество. Полу регулярным
клеточным разбиением пары множеств (К, дК) мы будем называть
такую тг-мерную цепь &Су которая
является полурегулярным
клеточным разбиением множества К
и граница д&С которой является
полурегулярным клеточным
разбиением множества дК.
Некоторые из возникающих
граничных клеток вполне могут
Рис. 64. К примеру 4. оказаться вырожденными или не
полурегулярными.
Вырожденные клетки все равно будут исключены, и требуется, чтобы не
полурегулярные граничные клетки в д&С взаимно уничтожались. Мы снова
t
1 я
|5}1
I5JI
1 j»
Рис. 65. Примеры полурегулярных клеточных разбиений.
поясним определение на нескольких примерах, но нетривиальные
примеры мы приведем лишь в заключение этого параграфа.
Если для цепи, рассмотренной в третьем примере, мы положим
К - l^tlUI^I, дК = IWUIW,-
то хотя и \д&С | = дК, тем не менее цепь &С не будет полурегулярным
клеточным разбиением пары (К, дК). В самом деле, граница дК
не удовлетворяет условию 3) определения 4.2.
4) Цепь &С = <^1 + #>2 на рис. 64, очевидно, представляет
полурегулярное клеточное разбиение множества |5?|, но не пары множеств
(|S?|, \д&С\)\ хотя для границы Ш выполняется условие 3), для нее
не выполняется условие 4).
5) Тривиальная клетка J в Кп является полурегулярным
клеточным разбиением пары (7П, \дУ\).
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 607
6) Пусть <0\ = J, 3*2 = Ф, где <D(*lf *2) = (*, + 1, *2) ив =
= <9\ + &2 6 С2(Ш2). Следом цепи &£ является выделенный
на рис. 65, а прямоугольник К. Сразу видно, что &С есть
полурегулярное клеточное разбиение пары (К; дК), где дК —- множество всех
граничных точек прямоугольника К. В самом деле, стороны di^i
и д^&2 взаимно уничтожаются, а остальные стороны удовлетворяют
всем условиям определения. Цепь &С' =
= <^i — &2 хотя и является еще
полурегулярным клеточным разбиением
прямоугольника К, но уже не пары
Я, дК), так как \дК' | Ф д&С. Не является
она и полурегулярным клеточным
разбиением пары (К, \д$%'\), потому что
клетка dj<9*4= д^2 входит в границу
д&С' с коэффициентом 2.
7) При правильном выборе знаков
каждое разбиение прямоугольника на
частичные прямоугольники (как то, ко- Рис. 66. Полурегулярноекле-
торое изображено на рис. 65, Ъ) можно точное разбиение,
рассматривать как полурегулярное
клеточное разбиение этого прямоугольника, включая его границу. Все
другие примеры можно считать обобщением этого стандартного примера.
8) 1-цепь S? = &i + сР2 + <^з + ^4 на Рис- 66 является
полурегулярным клеточным разбиением пары (|е/Г|, \д&£\), если точка р
не принадлежит следу \д&С |.
Вопрос о том, какие множества обладают полурегулярным
клеточным разбиением, приводит к трудной топологической задаче.
Недавно было показано, что каждое полуаналитическое компактное
множество имеет полурегулярное клеточное разбиение *). При этом
множество К называется полу аналитическим, если существует
конечное число таких действительных аналитических функций gu ...
. . ., gr, ht, . . ., hs, что
# = {xeOlw: gp(x) = 0, M*)<0, l<P<r, l<a<*}.
Правда, в основе этого доказательства лежит несколько более
слабое понятие полурегулярности, но можно предполагать, что это же
утверждение справедливо и для понятия, применяемого нами.
Если (по крайней мере одномерное) множество К вообще имеет
полурегулярное клеточное разбиение, то оно имеет и бесконечное
множество таких разбиений. Однако кажется разумным, например,
клеточное разбиение квадрата /2, определяемое тривиальной клет-
1)Giesecke В., Simpliziale Zerlegung abzahlbarer analytischer Raume,
Matz. Z., 83 (1964), 177—213.
Lojasiewicz S., Triangulation of a semianalytic set, Ann. Scuola Norm*.
Sup. Pisa, 18 (1964), 449—474.
608 Том III
кой J, рассматривать как эквивалентное клеточному разбиению
на четыре частичных квадрата. Мы собираемся уточнить эти
соображения, но перед этим нужно убрать с нашего пути ряд технических
трудностей.
Лемма 1. Пусть аР = Ф — клетка из некоторого полурегуляр-
о
ного клеточного разбиения и U cz Iй — открытое множество. Тогда
существует такое открытое множество V cz В1т, что множество U
при Ф биективно отображается на Ff||cF|. В частности, опреде-
о
ленное на множестве |<9*| обратное отображение Ф-1 непрерывно.
о
Доказательство. Так как сужение Ф|/п биективно и,
_ о
кроме того, Ф(д1п) П Ф(/п) = 0, то имеет место равенство Ф(/п — U) ~
= Ф(7П) — Ф(С7). Поэтому множество Ф(ГП) — ф(0) = |Я>| —
— ф\и) компактно и, значит, множество V = Dlm —(1<9^| — Ф(#))
открыто. Но Ф{Щ = V(] |gP|, что и требовалось доказать.
Проекцию пространства Кт на пространство Шп, определяемую
условием (#i, . . ., хт) -> (#i, . . ., хп), мы будем обозначать буквой
п. Вместо я(х) мы будем! также писать х\
Лемма 2. Пусть & = Ф — клетка из некоторого полурегу-
о
лярного клеточного разбиения и х0 6 1<^1- Тогда при подходящим
образом выбранной нумерации координат пространства Кт существуют
такая открытая окрестность V точки х0 и такие определенные
на множестве W = n(Vfl |aP|) дважды непрерывно дифференцируемые
функции /ц, [д, = п -+- 1, . . ., ттг, что
Иными словами, локально след |сР| является графиком»
Доказательство леммы 2. Пусть отображение Ф
определяется функциями <р15 . . ., фт. Так как по предположению
функциональная матрица отображения Ф имеет в точке t0 = ф-^Хо) ранг п,
мы можем с помощью перенумерации координат хи . . ., #w добиться,
чтобы в точке t0
***((&*) Uo.
\\ dtv /|i—i,..., n/
v=l, ».., n
На основании §§ 4 и 5 гл. IV т. II существует открытая окрестность
о
U cz 1п точки t0, которая при Ф4 = (фь . . ., фп) взаимно дважды
непрерывно дифференцируемо отображается на некоторое открытое
множество W cz Kn. С другой стороны, по предыдущей лемме
множество Ф(£/) имеет вид V(] |сЯ|, где V cz Кщ открыто. Так как, далее,
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 609
ф4 == яоф, то W = Ji(Ffl |^|). Положим теперь для х' £ W
U (х') = (qv° ФГ1) (х'), |i = и + 1, ..., ттг,
й проверим наше утверждение.
По построению V[)\&\ = Q)(U) = (Фоф-1)^. Так как точки
х £ (фоф]-1)^) являются в точности точками вида
х = (х\ /п+1 (х'), ..., /т (х')), где х' 6 W,
то лемма доказана.
Исследуем теперь связь между двумя различными
полурегулярными клеточными разбиениями <%* и <2Г* одного и того же компакт-
Р и с, 67. Согласование между полурегулярными клетками.
ного множества К. Пусть & — Ф — клетка из разбиения е/Г,
#>* = ф* _ клетка из разбиения <%**, и пусть |^|f] |<9**|'=^ 0.
Положим
т7=ф^(1^1П |^*|), и^=Ф*"1(|^щ 1^*1)
и рассмотрим на W* отображение F = Ф~хоф*, переводящее W*
в W. Так как отображения Ф* и Ф"1 непрерывны, то и отображение
F непрерывно (см. рис. 67).
Лемма 3. Множество W* допустимо и отображение F дважды
непрерывно дифференцируемо.
Доказательство, а) Пусть t* 6 W* и х0 = Ф*(ф £
6 |<§Р|П М^*|. Если мы обозначим через g^v клетки полурегулярного
клеточного разбиения &С, отличные от $*, и через д\&\ объединение
следов всех,? граней клетки g7\ to точка х0 не будет принадлежать
39—832
610 Том III
множеству
К? = д\&\\] U 1041-
Множество К* компактно, поэтому его дополнение V = Dlm — К*
открыто и в силу непрерывности отображения Ф* в точке t*
существует такая е-окрестность Z78(t*) cz 01п, что O*(Uz(t*0){]ln) cz V\
Так как, однако, К = \&\{}К*, то
Ф*(ЕШП/п)с:|<П
и потому U,,(tl)(]In cz W*. Тем самым допустимость множества W*
доказана. Прежде чем мы продолжим доказательство леммы 3,
отметим следующее утверждение:
Лемма 4. Множество W* является счетным объединением
замкнутых параллелепипедов.
Доказательство. Как мы только что доказали, у точки
t* б W* существует е-окрестность Uz(t*), для которой Ue(tl)[)In cz
cz W*. В этом множестве найдется замкнутый параллелепипед U
с рациональными вершинами, все еще содержащий точку t*.
Множество всех таких параллелепипедов U счетно, а их объединение
по построению равно РР*.
Доказательство леммы 3 (продолжение). Ь) Снова
выберем точку t* 6 W* и положим t0 = F(t*0), x0 = O(t0) = <D*(t*)-
Пусть отображение Ф задается функциями <р4, . . ., <рт, и пусть Ф4 —
отображение, определяемое функциями <р4, . . ., <pn. При
подходящим образом выбранной нумерации координат х^ мы можем найти
такие открытые окрестности U точки t0 в 1п и W точки я(х0) в 01п, что
отображение Ф4: U ->- W взаимно дважды непрерывно дифференци-
о
руемо и что образ Ф(11) cz \&\ есть график некоторого дважды
непрерывно дифференцируемого отображения на множестве W (лемма 2);
я есть проекция пространства 0lm на пространство первых п
координат. Положим U* = Ф*~1(Ф(С/)) = F-X(U). В силу непрерывности
отображения F, существует такая е-окрестность ?78(Ч)» что иъ(Ь*)()1п a
cz U*.
с) Чтобы убедиться в дифференцируемости отображения F в
точке t*, нам нужно теперь только рассмотреть сужение отображения
F на U*. На этом множестве F = ф-хоф* = Ф^ояоф*, и так как
эти три отображения дважды непрерывно дифференцируемы, это же
верно и для F. Лемма 3 доказана.
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 611
Положим теперь
Й^ = Ф*-1(|^|П \fr*\)=W*{] In.
у точки t* существует такая открытая окрестность Z7e(to), что
UE(t*0)()In c= W* (см. выше), и потому Uz(t*0)()In c= W*(]In = W*.
Таким образом, W* есть открытое множество в КЛ Так как в этом
рассуждении клетки & и &* можно поменять ролями, то и
множество W открыто; F: W* -+ W есть дважды непрерывно
дифференцируемое отображение, и обратное отображение F'1 =^= ф*-1©^ на множе-
о
стве W также дважды непрерывно дифференцируемо. Подведем
итоги этим рассуждениям:
Лемма 5. Если ^ = Фи сГ>* = Ф* — клетки из
полурегулярных клеточных разбиений компактного множества К, причем
о о
|$&|Г1 |^*| ф 0, то F = ф_1оф* биективно, дважды непрерывно
о
дифференцируемо и регулярно отображает множество W* =
= Ф*-1(]^Щ |<^*|) на множество W =* Ф-^^ЧП 1<^Н
Отображением, обратным F, является Ф*-1© ф.
Сохраним применявшиеся до сих пор обозначения.
о
Лемма 6. Прообраз Ф~г{\Ф\{\д\Ф*\) является
нуль-множеством в 1п.
(д |сГ>*| снова обозначает объединение следов всех граней клетки
cf>*; вообще говоря, оно не является следом границы 9<^*.)
Доказательство. Имеем Ф-х(1 ^1П^1 <^* I) = F(dIh(]W*).
В соответствии с леммой 4 представим множество W* в виде счетного
объединения замкнутых параллелепипедов: W* — |J Ut. Тогда
г
F(dfn() W*) = F(dfnf] UUi) = F([J (dln0 Ut)) =
i t
= и F{dln[\ U,).
i
Так как, согласно § 3, компактные нуль-множества dInf]Ui при F
отображаются на такие же множества, то и образ F(dIn()W*), как
счетное объединение нуль-множеств, имеет объем нуль.
Если &С = 2 8я$Ч — какое-нибудь полурегулярное клеточное
х
разбиение, то слагаемые г%8*% (где г% = ±1) мы будем называть
элементарными цепями разбиения &С.
39*
612 . Том III
.Определение 4.4. Пусть &С = 2 вя<94 и 5Г* = 2 c^J —
я - я
два полурегулярных клеточных разбиения некоторого
компактного множества К, Пусть /^ для каждой пары клеток <9\ = ф
* о о
и cT>v = Ф*> У которых |<9\1П |^*1 Ф 01 есть якобиан отображения
Две элементарные цепи г^х разбиения &С и г%®% разбиения &С*
о о
называются согласованными между собой, если либо | <ЗЧ1Г| 1^*1 = 0,
* О О
либо на всем множестве Ф~г(\&ь,\ П \&**\) выполняется неравенство
e^vAv > 0.
Таким образом, якобиан J\v должен быть положительным в том
и только в том случае, если клетки ^^и^{ входят соответственно
в &С и в <ЗТ* с одним и тем же знаком. Это условие не зависит от
выбора параметризации. Если мы, например, положим Ф(*1, t2) =
= (1 — tu t2), то цепь — & = Ф будет согласована с тривиальной
клеткой j в D12. Согласованность является рефлексивным и
симметричным отношением, определенным для элементарных цепей.
Определение 4.5. Два полурегулярных клеточных
разбиения еЖ* и &С* компактного множества К называются эквивалентными,
если каждая элементарная цепь из &С согласована с каждой
элементарной цепью из <2/?*. Это мы будем записывать так: &С ~ 5Г*. Два
полурегулярных клеточных разбиения &С и ffi* пары множеств
(К, дК) называются эквивалентными, если &С — ЗГ* и д&С ~ д£%*.
Очевидно, мы определили рефлексивное и симметричное
отношение. Докажем еще его транзитивность. Пусть &Сv = 2 elv)^2t при
v = 1, 2, 3 — полурегулярные клеточные разбиения множества К,
и пусть &СХ ~ &С2 и SK2 ~ ST3. Пусть, далее, е*1)^1 и е(3)#>3 __ эле_
о о
ментарные цепи из ё/С1 и Sf3, для которых \&1\ fl |^3I Ф 0. Если
мы обозначим через К2 объединение следов всех граней клеток &\,
о
то в силу леммы 6 множество Ф^( ffi1 | П К2) будет иметь объем нуль;
при этом Ф4 —- некоторая параметризация клетки сР1. Выберем точку
t0 6ФГ4(1 ^ IП I ®г1) - ФГ1 (I &1 IП К2)=м
и положим х0 = Oi(t0). Так как \&С2\ = К, существует элементарная
цепь г&)ф2 из 5Г2, для которой х0 6 1<^21- В силу выбора точки t0
точка х0 6 1^2|. Если Ф2 и Ф3 — какие-нибудь параметризации кле-
о о
ток сР2 и <^3, то ввиду того, что t0 £ ФГ1(1^,11П 1<^21) и полурегуляр-
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 613
ные клеточные разбиения о/С^ и &С2 эквивалентны, в точке t0
e(1)e<2)/ _t >0.
Ф2 1<5 Ф1
Так как точка Ф~з(хо) принадлежит множеству Ф;1 (|<^2|П 1<^з1)>
из предположения снова следует, что
е(2)8(3)/Ф51еФ2(ф2_1(хо))>0.
В результате мы получаем
eaV3)/ _х (t0)=e(2)e(3>/ х (Ф^1 (*<,)) е(1)е<2)/ _, (У>0.
Фз б ф1 Ф^1еф2 ч * v и// Ф *о Ф! v 0/
Так как множество М плотно в Oj^dcPin 1^31)? то доказанное выше
неравенство выполняется и в каждой точке множества Ф^О^ЧП 1<^31)>
т. е. элементарные цепи е(1) &1 и е<3) еР между собой согласованы.
Следовательно, S&1 ~ с/?3, что и требовалось доказать.
Теорема 4.1. Пусть Ж = 2ея#Ч и Ж* = 2 8? 0$— 0*а
Я, v
эквивалентных n-мерных полурегулярных клеточных разбиения
компактного множества К и ф — определенная на множестве К и
интегрируемая на цепи &С дифференциальная п-форма. Тогда форма <р
интегрируема и на цепи &С* и
\ Ф= 1ф.
Q/l/ Q/i/
Доказательство. Обозначим через К\ (соответственно
через К1) объединение следов всех граней клеток сРЛ (соответственно
#*£). Далее, если \ФМ 1^*1 Ф 0, положим
^ = ФГ(|^Щ|^|),
»fev=o;"1(i^xin i^;d,
^=фГоф:|^.
При этом Фх и Ф£, естественно, снова обозначают параметризации
клеток cJ4 и сР*, определенные на 7П.
Множества
Л! = ФГ1(|Й|П JCi) U дГ
614 Том III
для каждого % являются нуль-множествами (лемма 6) и
In-Rx=[j Wkv,
V
V
Теперь мы можем доказать равенство, утверждаемое в теореме;
I ф=2ех $ Ф =
= 28^Ф°Фя =
= 2e* J Ф°ОЧ =
= ^]Ч { ф°Фя =
" U ^v
v
Я, V
V
-2«:
V
V
V
V
A,v
2 i <?<
Л О #
U ж?
A, *v
1 <Р°
In-H*
$<роф* =
Jn
>ф*=
>Ф^ =
ф;="
ф.
Определение 4.6. Кусочно гладкой поверхностью
размерности п с кусочно гладкой границей называется пара множеств (К, дК)
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 615
вместе с некоторым классом эквивалентных полурегулярных п-
мерных клеточных разбиений пары (К, дК). В случае, когда дК = 0,
поверхность К называется замкнутой.
Обычно вместо того, чтобы говорить о поверхности (К, дК, &С),
просто говорят о поверхности К\ в таком случае из контекста должно
быть ясно, о каком полурегулярном клеточном разбиении идет
речь. Два полурегулярных клеточных разбиения с одним и тем же
следом отнюдь не обязаны быть эквивалентными; поверхность К
однозначно определена только в том случае, если задано какое-нибудь
ее полурегулярное клеточное разбиение. Множество дК называется
границей поверхности К.
Определение 4.7. Пусть (К, дК) — некоторая,—
например, заданная полурегулярным клеточным разбиением <%*,—
п-мерная поверхность в пространстве Кт. Дифференциальная тг-форма <р
называется интегрируемой на поверхности К, если существует
интеграл i ф. Это число в таком случае обозначается символом ) Ф и на-
зывается интегралом от формы ф по поверхности К. Аналогично,
если (п — 1)-форма яр, определенная на множестве дК, интегрируема
на цепи 95Г, то мы полагаем
дК д&С
В силу теоремы 4.1 интеграл \ ф зависит только от поверхности,
к
т. е. только от класса эквивалентных <%* полу регулярных клеточных
разбиений, а не от выбора некоторого определенного
полурегулярного клеточного разбиения. В случае т = п интеграл I ф был уже
к
определен во втором параграфе. Можно показать, что эти два
определения отличаются только знаком. Если, например, цепь о% состоит
из одной единственной клетки gP = Ф, то
^ = sgn/0 £ ф°ф=^п/ф j ф.
к jn *fc
Для цепей, имеющих несколько слагаемых, доказательство
получается путем сложения, если знак /ф не зависит от Ф.
В качестве главного результата этой главы теперь будет доказана
Те о р е м а 4.2. (Общая [формула Стокса.) Пусть (К, дК) —-
кусочно гладкая n-мерная поверхность с кусочно гладкой границей
и ф — непрерывно дифференцируемая дифференциальная форма
порядка п — 1 на некотором допустимом множестве, содержащем К. Тогда
ок к
616
Том III
Доказательство. Пусть поверхность (К, дК)
определяется полурегулярным клеточным разбиением <%*. В силу
теоремы 2.3
I Ф = I Ф= I dq>=$ Ар,
дк д&с &С к
что и требовалось доказать.
Мы приведем в заключение этого параграфа несколько примеров
кусочно гладких поверхностей.
1) Пусть К = S1 = {(х, у) £ 012: х2 + у2 = 1} — окружность
и дК = 0. Мы укажем некоторое полурегулярное клеточное
разбиение пары (5\ 0).
Пусть Ф(£) = (cos 2nt, sin 2nt) при £ £ 71 и сР = Ф.
Функциональная матрица отображения Ф всегда имеет ранг 1, и при 0 < t <;
о •
< 1 отображение Ф взаимно однозначно. Далее, \&\ = S1 и |<£Р| =
= S1 - (1, 0). Так как Фоф»(0) = Фоф^(0) = (1,0), то \д&\ = 0.
Таким образом, цепь & является полурегулярным клеточным
разбиением пары (S1, 0), и S1 действительно есть кусочно гладкая
замкнутая поверхность. Чтобы в этом убедиться, разумеется, не было
необходимости развивать такую сложную теорию. Однако этот факт
можно истолковать и иначе: наша теория в простых случаях
приводит к наглядно очевидным результатам и этим доказывает свою
разумность. В запутанных ситуациях, возникающих в случае более
высоких размерностей, нужно опираться на построенную нами, хотя
и тяжеловесную, но зато надежную систему понятий.
Из теоремы Стокса, например, следует, что если ф = df —
некоторая точная 1-форма, определенная в окрестности окружности S1,
то I Ф — 0. В самом деле,
J„-J# = ji/.-o.
Sl S1 0
Соответствующее утверждение верно и для всех замкнутых
поверхностей.
2) Укажем теперь полурегулярное клеточное разбиение шара
в Л3 вместе с его границей:
# = {х(Е013: ||х||2<1},
d# = S2={xeOl3: ||X||2=J}.
Пусть
Q* = {(г, <р, 0): 0 < г < 1, 0 < q> < 2я, —я/2 < 9 < я/2}
и Ф — отображение параллелепипеда Q3 в пространство 013,
определяемое формулами
х = г cos ф cos 0,
у = г sin ф cos 0,
z = r sin 0.
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 617
(Г.Ц.2)
Очевидно, Ф(<?3) cz К. Пусть теперь х = (х, у, z) — произвольная
точка нашего шара; она находится от начала координат 0 на вполне
определенном расстоянии г, причем 0 ^ г ^ 1. Если мы
спроектируем ее на (х, 1/)-плоскость, то в случае, когда г > О, получим
некоторый (быть может, вырожденный) треугольник с вершинами
О, х и (х, I/, 0). Сторона этого треугольника, противоположная
началу, имеет длину z. Поэтому z = r sin 0,
где —я/2 ^ 0 <; я/2 и 0 — угол этого
треугольника при вершине 0. В случае, когда
9 ф ± я/2, т. е. когда точка х не лежит
на z-оси, при проектировании точки
(х, у, 0) на #-ось мы снова получаем
треугольник с вершинами 0, (х, 0, 0) и (#, у, 0),
угол которого с вершиной в 0 мы
обозначим буквой ф. При у Ф 0, т. е. ф Ф 0, 2я,
угол ф однозначно определяется
точкой х. Стороны только что построенного
треугольника имеют длину г cos 0, у =
= г cos 0 sin ф и х = г cos 0 cos ф, где
0 ^ ф ^ 2я. Тем самым мы показали, что
отображение Ф внутри параллелепипеда
Q3 взаимно однозначно и отображает Q3 на
шар К. Тройка (г, ф, 0) называется
сферическими координатами точки х (см. рис.
68). Ясно, что отображение Ф непрерывно
дифференцируемо сколько угодно раз. Так как якобиан /ф = г2 cosQ
обращается в нуль только на границе параллелепипеда Q3, то
отображение Ф : Q3 ->• R3 определяет полурегулярную клетку <£Г> со
следом К. Остается исследовать границу д&.
Очевидно, грань д\<& представляется отображением Ф о ф\ : Q\ ->.
->- HI3, где
$={(ф,0): 0<ф<2я, — я/2<0<я/2}
и Ф оф! (ф, 0) = (cos ф cos 0, sin ф cos 0, sin 0). Поэтому |d£eP| =
= S2. Поскольку Ф(0, ф, 0) = 0, грань d^if* вырожденна и в границу
не входит. Далее, отображение фоф| : Q* ->• Щ3, где
Ql={(r,Q): 0<г<1, -я/2<0<я/2}
и Фоф|(г, 0) = (г cos 0, 0, г sin 0) является представителем клетки
д\&. Для днеТ* мы получаем точно такое же выражение, т. е. д%& —
— д%& = 0. Аналогично устанавливаем, что, поскольку cos я/2 —
= cos(—я/2) = 0, граничные клетки д%& и д\оР зависят только от г,
и потому вырождаются. Следовательно,
1) i^muawu W) = 0,
г
2) д® = d£fl>,
Рис. 68. Сферические
координаты.
618 Том III
и, как легко проверить, эта цепь является полурегулярным
клеточным разбиением сферы S2. Таким образом, К является кусочно
гладкой поверхностью с кусочно гладкой границей дК = S2.
Значение этого утверждения снова основано на теореме Стокса.
Чтобы точную 3-форму а = еф, определенную на шаре К,
проинтегрировать по К, нужно только образовать интеграл от 2-формы р
по сфере S2. Наоборот, поверхностный интеграл по S2 можно свести
к пространственному интегралу по К.
Наконец, отображение Ф позволяет перейти в интеграле к
сферическим координатам: в силу §3
[ a (x) dx = \ (ао Ф) г2cosG dr dw dQ.
§ 5. АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Трудности при доказательстве формулы преобразования в
сущности связаны со сложной геометрической ситуацией, возникающей
в тг-мерном пространстве при п^2. Так как в одномерном случае
мы всегда имеем дело только с отображениями одного промежутка
на другой, не следует удивляться, что в этих условиях формулу
преобразования можно доказать для более широкого класса
отображений. Чтобы охарактеризовать преобразования, допустимые в этом
случае, нам нужно тщательно изучить связь между
дифференцированием и интегрированием. Это исследование является
непосредственным продолжением §§ 7 и 9 гл. VII т. I, но мы будем
пользоваться теоремами сходимости, установленными в первой главе
настоящего тома.
Символ / все время будет обозначать замкнутый промежуток
числовой прямой: 7= [а, Ъ]\ мы будем рассматривать функции,
определенные на промежутке 7.
Определение 5.1. Действительная функция Fназывается
абсолютно непрерывной, если существуют такая интегрируемая
(по Лебегу) на промежутке / функция / и такое число с £ Ш, что
F(x)=c+]fa)dt
а
Справедлива следующая теорема, являющаяся обобщением
теоремы 7.1 гл. VII т. I:
Теорема 5.1. Абсолютно непрерывная функция непрерывна.
Доказательство. Пусть задано произвольное е > 0.
Пусть
F(x) = c+lf(t)dt
а .
Гл. III, Криволинейные и поверхностные интегралы 619
и $р = ^[А, g] — некоторая (е/3)-окрестность интегрируемой
функции /. Выберем какую-нибудь ступенчатую функцию t ££ ер и
рассмотрим функцию 2\ определяемую формулой
T{x) = c+]t{l)dl.
а
Пусть х0 £ I — фиксированная точка. Так как функция 7\
очевидно, непрерывна на всем промежутке /, существует такое б > 0, что
для всех точек x^U^(x0)(]I выполняется неравенство \Т(х) —
— T(xq)\ < е/3. В силу выбора окрестности & (так как h ^/, £ ^
^ #) имеем
а а а а
л: л: л: Ъ
^g(l)di-\h{l)di=^(g-h){\)di^(g-h)(l)di^-
и, значит,
# X
41) ft
X X
<f
a a
Поэтому при x .£ J7e(#o) ПI
\F(x) - ^0)| < |F(z) - Г(*)| + |Г(*) - Г(*0)| +
+ |Г(х0) — ^(х0)| < е.
Таким образом, функция F непрерывна в точке х0, что и
требовалось доказать.
Теперь мы собираемся доказать, что абсолютно непрерывные
функции почти всюду дифференцируемы. Для этого необходимы
некоторые приготовления.
Лемма 1. Для каждой интегрируемой функции f и каждого
оо
г > О существует ряд 2 *v ступенчатых функций, обладающий сле-
v=o
дующими свойствами:
1) этот ряд почти всюду сходится к /;
V-
2) последовательность его частичных сумм 2 ^v является
v=0
L-ограниченнощ
ъ 8
3) I \tv\ dxz^-Tj при v>l.
a ^»
620 Том III
Доказательство. Выберем такие две последовательности
функций {hy) и (g^), полунепрерывных соответственно сверху и
снизу, что h^ < g^
К < h < h2 < ...</<...< g2 < gt < go
и
a
и положим h = lim h^, g = lim g^. По теореме об интегрировании
JA->co |1->оо
монотонной последовательности функции hug интегрируемы и,
поскольку
ъ
lim $(gli — hll)dx = 0,
почти всюду имеет место равенство h = / = g. Для каждого |х
возьмем теперь ступенчатую функцию t^ 66 ^Flhy,, gy}- Тогда
последовательность (т^) почти всюду сходится к / и является
//-ограниченной. Кроме того, для каждого |х имеют место неравенства
и потому
ъ ъ
11Ч — Tn-i I dx < J (fti-i — *n-i) й* < в-4""^.
а а
со
Если мы положим £0 = т0 и £ц = т^ — т^^ при |х >• 1, то ряд 2 *и
будет обладать требуемыми свойствами.
Следующая лемма значительно сложнее. Рассмотрим
ступенчатую функцию t на промежутке ^1 = [а, Ъ] при разбиении
8 = (ао> «ч, • • •» О»
у которой
ь
$|*(s)|dr<e.
а
Положим
r(*)=J*(S)dE
а
и обозначим через Д(#, х0) разностное отношение функции Т:
А/ , Г(*)-Г(*0)
А ^#, Xq) = , Х"=р=- #0.
«С #0
Кроме того, для фиксированной точки х0 положим
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 621
S+ (х0) = sup IA (x, x0) I (при x0 ф b),
x>x0
S" fa) = sup | A (z, x0) I (при х0 ф a),
X<.Xq
K+(t) = {x0ei: 5+(x0)>l},
K-(t) = {x0eJ: S-(x0)>l).
Лемма 2. Существуют такие два измеримых подмножества
К+ и К~ промежутка /, что 1(К+), 1(К~) ^ г и K+(t) а К+,
K'(t) с K-.
Доказательство. Обозначим через /v открытые
промежутки (av_!, av). Сначала мы докажем, что
a) S+(x0) = sup |A(av, x0)\.
Очевидно, S+(xQ) не меньше числа, стоящего справа. Чтобы
доказать равенство, выберем произвольную точку х £ / при условии,
что х> х0ш х Ф av при любом v, и покажем, что найдется такая
точка av > х0, у которой |Д(я, х0)\ < |A(av, х0)\.
Ввиду тождества
T(av) — T(x0) T(av) — T(x) av — x Т(х) — Т(х0) х — х0
&у ^~ Xq tty ~~" X Cty ~~~ Xq X ~— Xq tty ~~~ Xq
A(av, x0) можно записать в виде
A(av, х0) = H»iA(av> х) + |х2А(^, х0),
где [Xi + \i2 = 1 и |х2 > 0.
Точка # принадлежит одному из промежутков разбиения,
например /р, так что ар_! <ж<ар. Допустим сначала, что Д(я, #0) ;> 0
и рассмотрим два возможных случая.
Случай 1. Пусть Д(#, я0) ^ *(^р). Тогда
Д(ар, х0) = |iiA(ap, о:) + |АгД(я, #0) =
= |Х!^(/Р) + |Л2-Д(^, #о) >
^ |ii А(х, aJ0) + |^2^(^ х0) = (т^к как |хА > 0)
= Д(Я, Xq).
Случай 2. Пусть А (я, х0) > t(I9). Тогда должно выполняться не-
#o-i— х л
равенство ж0 < арЧ; далее, |х1 = — =—-|х<0, и мы полу-
#р—1—Xq
чаем
Д(Яр-1> #о) = |AlA(«p-i, X) + |Х2А(Х, Х0) =
= —|iA(ap_1, х) + (1 + М>)д(^ х0) =
= —|х*(7р) + (1 +.(х)Д(х, х0) =
= Д(я, х0) + |а(Д(я, я0) — *(/Р)) >
>Д(я, *о)-
622 Тол III
Если Д(#, х0) <С 0, то рассмотрим ступенчатую функцию t* — —t
и соответствующее разностное отношение А*. В силу уже
доказанной части утверждения
О < Д*(х, х0) < тах(Д*(ар, х0), Д*(ар_1, х0))
и, значит,
О > Д(х, х0) > min(A(ap, x0), A(ap-i, s0))«
Итак, в любом случае имеет место оценка
|Д(х, х0)\ <тах(|Д(ар, х0)|, |A(ap-i, я0|),
что и требовалось доказать.
b) Из пункта а) доказательства вытекает, что
т _
K+(t)= U {*£/: \T(av)-T(x)\^av—x и x<av}.
v=l
Из этого представления множества K+(t) мы хотим вывести, что это
множество либо пусто, либо содержит наименьший элемент. Чтобы
в этом убедиться, достаточно для каждой точки х0 £ 7 — K+(t) — {b}
найти такое е > О, что промежуток [х0, xQ + el не имеет с
множеством K+(t) общих точек. Так как функции Tv(x) = \T(av) — Т(х)\ —
— av + х в точке х0 непрерывны, из того, что Tv(x0) < 0, следует,
что и для всех точек х некоторой окрестности 17г(х0) (лежащих на
промежутке [а, Ь] ) должны выполняться неравенства Tv(x) <C 0. Если
мы выберем число 8 настолько малым, чтобы для всех номеров v,
для которых xQ <C av, выполцялось неравенство х0 + в < av, то для
#о ^ # ^ хо + е и каждой точки av > л; будем иметь
|A(av, s)|< 1,
т. е.
[*о. *о + *][\K+(t) = 0,
как мы и утверждали.
c) Пусть Xi — наименьший элемент множества K+(t). Выберем точку
avi > ж4, для которой ^(avO —r(^i)|^avi —ж4, и рассмотрим теперь
пересечение #+(£)0[avl, Ь]. Из пункта Ь) доказательства следует,
что и это множество либо пусто, либо содержит наименьший элемент,
скажем хг. Для точки х2 можно найти такую точку aV2 > x2, что
l^V2) — Т(х2)\ > aV2 — х2. Пересечение Z+(£) fl IaV2, Ы. точно так
же содержит наименьший элемент, скажем хъ, или пусто и т. д.
После конечного числа шагов этот процесс должен оборваться, так как
в нашем распоряжении имеется лишь конечное число точек деления
av. Следовательно,
K+(t)a U [xk,avJ = K+.
а.=1
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 623
Теперь легко оценить объем множества К+:
I(K+)=^(avx-xk)^^y(aVk)-T(xx)\ =
= 21 J t(x)dx\^ 2 I \t(x)\dx^
ь
<$|*(x)|dr<e.
а
Тем самым утверждения, касающиеся множества K+(f),
доказаны.* Доказательство для множества K~{t) протекает аналогично.
X
Теорема 5.2. Пусть Е(х) = с + J/(£) d£ — абсолютно не-
а
прерывная функция на промежутке I. Тогда функция F имеет почти
всюду производную /.
Доказательство. Не ограничивая общности, будем
считать, что с = 0. Выберем L-ограниченный ряд ступенчатых функций
оо Ь
tv, для которого/ = 2 *v (почти всюду) и I \tv\ dx <; 4"v при v ;> 1.
v=0 a
Пусть К% и ^v — рассмотренные в лемме 2 измеримые множества
для ступенчатой функции 2V£V, v ;> 1. Если мы положим Kv =
= .K"v U ^v> то» поскольку
^|2%|^<2V4"V = 2"V,
а
в силу леммы 2 объем 7(ZV) ^ 2~v+1. Далее, положим
Tv(x) = ]tv(l)dl
а
и для каждого \i образуем функцию
0„(х) = Р(х)-^Тч(х)-
V=0
По теореме сходимости Лебега
F(x) = J\Tv{x),
v=0
и потому
F(x)-^Tv(x) = j\T-v(x).
V=0 V=|l
624
Том III
Для чисел
\2*(Tv(x)-Tv(x0))
Sv (x0) = sup
хФх0
R^ (x0) = sup
хФх0
X Xq
Gy (x) — Gy (x0)
X Xq
мы получаем неравенства
RA*X S2"V5v(*).
oo
Пусть L^ = (J Kv. Вне множества L^, таким образом, Sv(x) <; 1
oo
при v >• (x, и потому R^x) ^ 2 2"v = 2"^+1. Кроме того, 1(Ь^ ^
< 2-^+2 Поэтому
L= fl Ai
есть нуль-множество, обладающее следующим свойством: при # $ L
последовательность RJI^x) сходится к нулю. Обозначим буквой Z
множество всех точек разрыва ступенчатых функций tv. Множество Z
счетно, и потому также имеет объем нуль. Наконец, пусть М — мно-
оо
жество тех точек х, в которых ряд 2 *ЛХ) не сходится к /(#), и N =
v=0
= L[)M\JZ. Теперь легко видеть, что вне нуль-множества N
функция F должна быть дифференцируемой. Для точки х0 £ I — N
запишем функцию F в виде
F(x) -F(x0) = (ж-Хо)-А(х),
причем по определению Д(#0) = f(x0), и покажем, что функция Д
непрерывна в точке х0. В самом деле, так как х0 $ Z, то функции
Tv(x) дифференцируемы в точке х0. Пусть
2 Tv(x)- 2 Tv(x0) = (x-x0)All(x),
V=0 V=0
где функция Д^ непрерывна в точке х0 и принимает в ней значение
2 tv(xo)- Так как х0 <£ М,
v=0
oo
lim A,, (x0) = 2 *v (*o) = / (*ь).
Поскольку х0 $ L и
|Дц(#) — Д(Х) | < Дц^о) При X ф Xq,
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 625
последовательность Д^ равномерно сходится на множестве / — {х0}
к функции А, и непрерывность функции А в точке х0 вытекает из
непрерывности в этой точке функций Дц,. Теорема 5.2 доказана.
Определение 5.2. Абсолютно непрерывным
преобразованием параметра мы будем называть абсолютно непрерывное
монотонно возрастающее отображение F какого-либо промежутка 1\ =
= [а, Ь] на некоторый промежуток /2 = lc, d].
Теперь мы можем доказать улучшенное правило подстановки,
о котором мы уже говорили выше.
Теорема 5.3. (Правило подстановки для интеграла Лебега.)
Если р — функция, интегрируемая на Промежутке 12 = [с, d],
и F : /4 = [а, Ъ] ->■ 12 — абсолютно непрерывное преобразование
параметра, то функция (poF)-F' (в точках, где производная F' не
существует, мы полагаем ее равной нулю) интегрируема на
промежутке ?i U
lp{y)dy=]p{F{x))F'{x)dx.
с а
Доказательство, а) Допустим сначала, что р —
ступенчатая функция при некотором разбиении 3 = (Уо> • • •» У к)
промежутка 1г. Обозначим через 3* разбиение промежутка It вида
(х0, zi9 . . ., xk), где F(xv) = yv. Тогда
d ft У\
lp{y)dy= 2 \ P(y)dy =
ft У\
♦ = 2?W I dy= (где /v = (yv-i.»v))
ft
= 2р(А)(Уу—0v-l) =
v=l
= 2Jp(/v) f Г(Я)Лг =
= S f (P°F)-F'dz=
&
a
b) Теперь мы докажем нашу формулу для полунепрерывной
снизу интегрируемой функции р. По теореме 12.1 гл. I существует
монотонно возрастающая последовательность ступенчатых функций tv,
40—832
626 Том III
сходящаяся к р. Тогда по теореме об интегрировании монотонной
последовательности
d d d b
$Р(у)йу= $ lim tv(y)dy = lim J tv(y)dy = lim \ (%° F) F' dx.
c с v-*-°° v-*00 с v-*00 a
Если функция Z7 дифференцируема в точке х0, то
F(x) = F(s0) + (* - х0)Д(ж),
где функция А непрерывна в точке х01 и в силу монотонности
функции F при х Ф х0 должно выполняться неравенство А(х) ;> 0. Но
тогда и А(х0) ^ 0, т. е. F'(x0) ;> 0, и потому последовательность
(tvoF)-Ff, монотонно возрастая, сходится к (poF)-F'. Из теоремы
об интегрировании монотонной последовательности следуют
интегрируемость функции (p<>F)-Ff и соотношение
d Ъ
$p(y)dy=liml(tvoF).F'dx= •
с v-*00 a
Ь Ъ
= $ lim(^voJP).FAr= $(ро*)ГЛг.
а v-*«> а
с) Переход от полунепрерывных функций к интегрируемым
производится по обычной схеме *). Выберем полунепрерывные сверху
функции hv и полунепрерывные снизу функции gv, удовлетворяющие
условиям:
h < h2 < .'. . <р < . . . < g2 < gi
и
С
Последовательности (hv°F)F' и (gv°F)F\ соответственно монотонно
возрастая и монотонно убывая, сходятся к двум интегрируемым
функциям hug, для которых
h(x)^p(F(z)).F'(z)^g(z),
ъ ъ
$ (g(x)—h(x)) dx= J lim ((gv — hv)° F) F' dx =
b
= lim J ({gv - hv)o F) F' dx =
d
= lu*Ll(gv(y)—K(y))dy =
=0.
г) Мы применяем теорему об интегрировании монотонной
последовательности. Конечно, можно поступить, как в пункте 5 доказательства теоремы 3.1,
и сослаться на теорему 6.4 гл. I. Тогда мы обошлись бы несколько меньшими
сведениями из теории интегрирования.
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 627
Поэтому почти всюду имеет место равенство k = g = (poF)F' и,
следовательно,
](poF)F'dx=lim ]{h^F)F dx =
a v-*°° a
d
= lim j kvdy=z
= ]p(y)dy.
с
Последнее равенство справедливо потому, что [последовательность
(Av) почти всюду монотонно сходится к р. Теорема 5.3 доказана.
В доказательстве мы существенно воспользовались тем, что F' ^
^0. Ив самом деле, теорема не останется верной, если производная
F' часто меняет знак. Мы хотим это показать контрпримером.
1 1
6 ' 2
жутке /2 функция \у\~^2 (ср. с теоремой 11.1 гл. VII т. I). Для
построения абсолютно [непрерывного отображения F: It ->■ /2
представим промежуток 74 в виде
Пусть А = [0, 1], /2 =
и / — интегрируемая на проме-
Л = {0} U . U АГЛ,
71^1
где Mi =
вием
i<
яМп =
1 11
—I—ПГ\ > —i T\ (при п>2), и уело-
п(п + 1) п(п—1)1 v г
*(*) =
I
— тг, если ж£Мп и и четное,
п, если х£Мп и тг нечетное,
0 в остальных случаях
определим на /А интегрируемую функцию g. Так как функция #
является пределом последовательности ступенчатых функций, для
доказательства ее интегрируемости нам нужно в силу теоремы 8.4
1
гл. I лишь убедиться в существовании интеграла J \g(x)\ dx. Но ряд
о
2 I \g\ dx сходится. В самом деле,
n^i мп
ZJ J ZJ Vn(n-1) (П+1)П/ ZJrf-i
<oo.
. __v_ _, v. , _,._. rt — 1
n^2 Mn n^2 ti^2
Поэтому интегрируемость функции \g\ следует из теоремы Б. Леви.
40*
[
628 Том III
Положим теперь
F{x)=\g(\)db
X
Функция F обладает требуемыми свойствами. Абсолютно
непрерывна она по определению. Далее, сразу проверяем, что
F( > Г пх — 1/п, если п четно и х£Мп,
\ — пх-\-\.1п, если п нечетно и х£Мп.
Так как всегда ^(а:)!^ \х\ и F уже отображает промежуток -^-, 1
Hai fi' 9Г то тем ^олее ^Vi)^^- Теперь мы утверждаем, что
функция
(foF)(x)F{x)= *j±_
~V\F{x)\
не интегрируема на промежутке 1и и потому правило подстановки
для F не верно.
Если бы эта функция была интегрируема, то должно было бы
выполняться соотношение
f l8{x)l dx-У [MMLdx
и, следовательно, ряд, стоящий справа, должен был бы иметь
конечную сумму. Но при п ;> 2 и Мп — [an, bn]
[ 10Ld*= [ -jJ^x
J V\F(r\\ J V\nx.
k.ViTwi . £nY\nx-i/n\
\dx
f ndx Г ndx
J vl/n — nx . J , Vraa: —
1/n,..~ -1/n
,2(i/_i_+vcx:)>
V Г п(Л+1) Г W(R-1)/
и, значит, наш ряд расходится.
_J
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы $29
Обсудим теперь дальнейшие свойства абсолютно непрерывных
преобразований параметра.
Теорема 5.4. Если Ft: 7t -> Т2 и F2: 12 -»- /3 — д*я
абсолютно непрерывных преобразования параметра, то этим свойством
обладает и композиция F2oFl.
Доказательство. Нам нужно только доказать
абсолютную непрерывность функции F2°Ft. По предположению существуют
такие интегрируемые неотрицательные функции /4 на промежутке
Jj и /2 на промежутке 12, что выполняются соотношения
Fi(x)=lfi(l)dt + Fi(a),
а
F2(y)=lk(r\)dn + Fz(c)
(при этом 74 = [а, Ь] и 72 = [с, d]). Тогда по правилу подстановки
Fz (у) = (F2° Ft) (х) = F2 (Ft (a)) + f (/2° Л)-/i #,
а
т. е. функция F2°Fi абсолютно непрерывна.
Теорема 5.5. Если F — абсолютно непрерывное
преобразование параметра, производная которого почти всюду отлична от нуля,
то и функция F"x абсолютно непрерывна.
Доказательство. Прежде всего нам нужно выяснить,
что функция F'1 вообще существует, иными словами, что функция F
строго монотонна. Если F(xi) = F(x2) и s4 < х2, то функция F
на промежутке [х±, х2] постоянна. Поэтому на нем F' = 0, что
по предположению исключено. Теперь перейдем непосредственно
к доказательству.
Как и в предыдущих рассуждениях, если
F(x)=F(a)+]f(l)dl,
а
то можно найти последовательность интегрируемых
полунепрерывных снизу функций gv, которая, монотонно убывая, почти всюду
сходится к /. В каждой точке £, где /(g) > 0 и lim gv(Q = /(£), предел
V-x»
1 1
lim —т^т = тг£7 • По предположению точки |, в которых эти усло-
v->oo gv(s) AS)
вия не выполняются, составляют нуль-множество. Поэтому
последовательность l/gv, монотонно возрастая, почти всюду сходится
к 1//.
630 Том III
Рассмотрим функции r^i • Каждую функцию gv можно
представить как предел некоторой монотонно возрастающей
последовательности (tV[l) положительных ступенчатых функций. Поэтому
на всем промежутке Т2 = [с, d]
1 ,. 1
:= lim-
и так как последовательность --—тог при фиксированном v моно-
тонно убывает и имеет только положительные элементы, функция
1 *
тг^- по теореме об интегрировании монотонной
последовательности должна быть интегрируемой. Пользуясь теоремой 5.3, полу-
* чаем оценку
у
г «, _fjffljL<f)fe
J e,(F~'(<\)) J jr. (В J
a
1
и потому последовательность ^-г , монотонно возрастая, сходит-
gvoJi
ся к некоторой предельной функции g. Из теоремы 5.3 теперь
следует, что
У
с
г(л)*1
У
= lim f -
С
= lim f -
а
?v(i)
Тем самым абсолютная непрерывность функции F"1 доказана. (Из
правила подстановки для F~\ кроме того, вытекает, что почти всюду
1 1
£ = , ст.! , и потому последовательность ^г почти всюду
сходится к -j-p-f .)
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 631
Предположение, что производная F' должна быть почти всюду
положительна, ослабить нельзя. Чтобы в этом убедиться, мы
построим абсолютно непрерывную строго монотонную функцию F на
единичном промежутке I, обратная функция к которой не абсолютно
непрерывна. Выберем для этого произвольное число Л,
удовлетворяющее условию 0 < А <С 1, и образуем следующие измеримые
множества:
Е0 =
О, 1
1-А
Таким образом,
1-Ц^</(Яо)<1.
Допустим, что для всех целых чисел 0 ^ т ^ п уже построены
измеримые множества Ет1 обладающие следующими свойствами:
1) ЕтсЕт^;
т
2)1-^'2й/(£™)<1;
м-=о
3) если IVfl
[v — 1 v 1
2m ' 2™ J '
то при v== 1,
I(Em(]IVtTn)<—.
Тогда разобьем единичный промежуток на 2n+1 промежутков
fv — 1 v
А, 71 + 1 =
L2
П+1 ' ОП+1
1
2n+i
Mv'tn+i =
1 4 2n+1 v } 7
\ 2n+i ' 2n+i/CZ 'n+i
и рассмотрим множество
Mn+i= U MVtn+i.
v=l
632 Том III
Множество Еп+1 = Еп — Mn+i обладает требуемыми свойствами:
1) En+icEn;
2) 1 > / (En+i) > / (Еп) -ЦМп+1) =
= ЦЕп)-2
4 >+г
l-A 1
4 'T
«/(*„) ---^>
>Х 4 lZj2^ + 2"+1J~
|i=0
n+l
1-Л\1 1
4 Zj2»;
11 А \
3) / (Еп+1 П /V) n+i) <^+{ рт- < 7^+1 • так как 7 (7v. n+i) =
= 2~<п+1) и /(Mv> n+1) = (1 - A) 4~(n+2).
Пересечение
oo
E= П £n
является измеримым множеством1), объем которого заключен
между А и 1:
I(E)=limI(En)>
^ t /J2»
= i_Lzi._JL_=iJii>A
4,12
х) i£ является множеством «канторова типа». Можно пользоваться
различными вариантами этой конструкции, и она приводит к измеримым множествам
с интересными свойствами.
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 63&
Если / — произвольный замкнутый промежуток положительной
длины, содержащийся в /, то найдутся такие п и v, что /v,n cz /.
Так как _/(2?n fl/V,J < I(IVtn), то в таком случае I(E(\IVtn)^.
< 1{Еп П Кп) < /(/v.n)L и потому 1{Е П /)< /(/).
Пусть теперь Е' = I — Е и / — характеристическая функция
множества £". Так как множество £" измеримо, функция /
интегрируема, и мы положим
F{x)=]f(\)d\.
О
Эта функция по определению абсолютно непрерывна и мойотонно
возрастает. Допустим, что при х± <С х2 имеет место равенство
F(Xi) = F(x2). Тогда функция F на промежутке [хи х2] постоянна,
и потому имеет на нем производную F' = 0. Но в таком случае
функция / должна на промежутке [#4, х2] почти всюду равняться нулю,
т. е. мы должны иметь ЦЕ{] [хи х2]) = х2 — хи что, как мы толька
что видели, невозможно. Поэтому функция F даже строго
монотонна. Если бы и обратная функция F"1 была абсолютно непрерывна, то
мы имели бы
F~i(y)=U(n)dr\ (при у€*"(/)).
о
Поэтому
F^(F(x))= $ g(F£))fa)dt,
о
x=]g{F{l))f{l)dl.
1 о
Но отсюда следует, что почти всюду g(F(Q)f(Q = 1. С другой
стороны, функция / на множестве Е равна нулю. Поэтому на нем
g(F(l))f(Q — 0. Поскольку 1(E) > 0, мы пришли к противоречию.
В следующей теореме мы указываем один полезный признак
абсолютной непрерывности некоторой функции F. При этом под кусочно*
линейной функцией Т для функции / при некотором разбиении 3 —
= (#о, х\-> • • •» хп) промежутка Л а, Ь] мы будем понимать функцию,
графиком которой служит ломаная с вершинами (#v, F(xv)). Функция
Т на промежутке / почти всюду дифференцируема; производная Т7',
если ее как-нибудь доопределить в точках деления, будет некоторой
ступенчатой функцией. Мелкостью 131 разбиения 3 называется
максимум длин промежутков разбиения (#v_i, xv).
Теорема 5.6. Пусть F — функция на промежутке I с равно-
мерно ограниченным разностным отношением. Это значит, что суще-
634 Том III
>ствует такое число Л, что для любых двух точек х, х0 £ / при х Ф #0
F(x)-F(x0)\
I А (х, х0) | =
X —— Xq
<Д.
Тогдсь[функция F абсолютно непрерывна. Если ($v) —
последовательность разбиений промежутка /, у которой 8v+i ^ 8v и 1*ш 18vl =
V -► оо
= 0, и если Tv — кусочно линейная функция для функции F при
разбиении 3v» mo существует такая подпоследовательность (TVJ
последовательности (2\)> что последовательность производных Ту
является L-ограниченной и почти всюду сходится к F'.
Доказательство. Выберем последовательность 3i ^>
^8г ^> ••• разбиений, у которой lim | 8vl = О» и положим tv =
= Tv (и tv(x) =0в точках деления). Нам нужно построить
некоторую Ь-огращсченную почти всюду сходящуюся
подпоследовательность последовательности (£v).
Так как значение tv(x) всегда есть некоторое разностное
отношение функции F (или равно нулю), то по предположению имеет место
неравенство \tv(x)\ ^ -R. Пусть tv = tv+i — tv и 1% — какой-нибудь
промежуток разбиения 8v Имеем
\ t%+i (х) dx=l *v (х) dx + 2 j tv (x)Tv (x) dx + J Tv (x) dx.^
Л А Л Л
Положим ?л = [а, |3] и, кроме того, обозначим точки деления раз-
убиения 8v+i> лежащие в 7Л, через а0, . . ., аг (так что а0 = а
и аг = Р). Тогда
г Рг
J £v(#)tv(#) d# = ty(Ij)- ] %y(x)dx =
• ™1
= MA)*I] 1 rv(x)dx=
= *»(/*)-2 t (tv+1(x)-tv(*))dx =
= tv (h) • 2 (П+1 («0 - ^v+i («i-i) - T4 (at) + Tv (a,_!)) =
= *v (Д) • (Tv+t (or) - Tv+i (a0) - Tv (or) + Tv (oo)) =
= 0.
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 635
Поэтому если мы еще сложим интегралы по всем промежуткам 1^,
то получим
ъ ъ ъ ь
I tl+i (х) dx = J t\ (х) dx + J %\ (х) dx^^t\ (x) dx.
, a a a a
Таким образом, последовательность этих интегралов монотонно
возрастает. Так как \tv\ ^ R, она ограничена числом R2(b — а), и
потому сходится в 01. Пусть
ъ
А = lim J 4 (х) dx-
Мы можем найти такую подпоследовательность (£v )
последовательности (£v), что lim 13v I = 0 и что для всех \х выполняются нера-
венства
ъ
-К
(x)dx
<Т**-
а
Обозначим эту подпоследовательность снова через (tv). На
основании написанной выше формулы в таком случае
ъ
$i*(x)dx^4r\
а
Ь
Отсюда можно вывести оценку для интеграла UTv|d#. Для этого
а
обозначим через Iv (где X = 1, . . ., пг) промежутки разбиения
3v+i» а через (Хя их длины и положим а% = xv(I%) и
а = (|а1|^/2, ..., \ап\]№),
е = (ц|/2, ..., [Л
Тогда из неравенства Шварца следует *), что
Ъ тп
l\nv(x)\dx= 2 1**1 И* =
= а-е ^
<1|а||-||в|| =
тп тп
2, \1/2 / VI II \1/2-
= (S«M1/2(S/01/2=
Л^=1 Л—1
ь
= (lxl{x)dx)in-\/b-a =
= 2"v.y&-a.
1) Здесь а-е—скалярное произведение, а ||а||—евклидова норма.
636 Том III
Теперь положим g^ = 2 lTvl (следовательно, g^ix) ^ oo)
и тем самым получим монотонно убывающую последовательность
неотрицательных функций. Оценка
оо Ъ
Ь
показывает, что все функции g^ интегрируемы и что lim [ g^dx =
= 0. Поэтому последовательность (g^) почти всюду сходится к нулю.
Пусть \i > О —- произвольный фиксированный номер. Тогда при
V>|X
v-l
Таким образом, последовательность (tx) сходится почти всюду к
некоторой предельной функции /, которая ввиду L-ограниченности
последовательности (tv) должна быть интегрируемой. Поэтому
]f(l)dl= lim I tv(l)dl= lim Tv(z)-F(a).
Чтобы завершить доказательство, нам нужно еще только доказать
равенство lim Tv(x) = F(x). Во всех точках х0, являющихся точками
V-*oo
деления какого-либо из разбиений 3v>. это равенство выполняется
тривиально. Пусть поэтому х0 £ / —- такая точка, что для каждого
номера v существует промежуток разбиения Iv = (av, fcv) из 3v»
содержащий эту точку. По предположению lim (bv — av) = 0r
V->oo
и потому lim av = lim bv = x0. Так как Tv(x0) всегда лежит меж-
V—voo v-»oo
ду F(av) и F(bv) и lim F(av) = lim F(bv) = F(xQ) (поскольку функ-
V->oo V->oo
ция F, очевидно, непрерывна), то и последовательность^t(Tv(x0))
сходится к F(x0). Теорема 5.6 доказана.
§ 6. СПРЯМЛЯЕМЫЕ ПУТИ
Понятие пути и параметризованного пути было подробно изучено
в гл. I т. II. Мы будем пользоваться установленными там
результатами и обозначениями. Все пути, которые мы будем рассматривать,
будут замкнутыми, т. е. они будут определены на замкнутых
промежутках. Пусть W — путь, параметризованный отображением
Ф: [а, Ь] -»• 01п, и 3 — (хо> хи • • •» хт) — разбиение промежутка
[а, Ь]. Ломаная с вершинами (xv, Ф(л^)) является графиком
некоторого однозначно определенного кусочно линейного отображения
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 637
Т: [я* &] "*" "^П' это отображение мы будем называть ломаной,
вписанной в параметризованный путь Ф при разбиении 3- Кроме того,
т m
мы положим',1) L (Г) = 2 II Ф(*Л - ф(^-1) II = 2 II W - ^v-i) II
V—1 V=l
{следовательно, L(T) = L(W, 3) в обозначениях т. II) и будем
называть L(T) длиной ломаной Т. Если путь W спрямляем, т. е. если
верхняя грань длин всех ломаных, вписанных в Ф, конечна, то диаграмма
[а, 6] Л [О, L(W)]
где s(x) = L(WX) (=длине параметризованного отображением
Ф: [а, х]->-Кп подпути), определяет некоторую параметризацию W,
эквивалентную Ф, называемую натуральной параметризацией пути
W (ср. § 4 гл. I т. II).
Определение 6.1. Путь, имеющий абсолютно непрерывную
параметризацию, называется абсолютно непрерывным.
При этом, как обычно, под абсолютно непрерывной
параметризацией мы понимаем отображение Ф = (ф4, . . ., фп) с абсолютно
непрерывными компонентами <pv.
Теорема 6.1. Пусть W — путь, параметризованный
отображением Ф: [а, Ь] ->• Кп. Если существует такое число R, что для
всех точек xt, х2 6 [я, Ъ]
||Ф(х2)-0(^)11 <^2-*t|,
то параметризация Ф абсолютно непрерывна, функция || Ф' |[
интегрируема, путь W спрямляем и имеет место формула
L(W)=\w{x)\\dx.
а
Доказательство. Пусть 3 = (х0, . . ., хт) — разбиение
промежутка [а, Ь] и Т — ломаная, вписанная в Ф при разбиении 3«
По предположению
m m
L(T)= ZUTixJ-Tixv-JU^R- 21«»-х»-11 = Д-(Ь-а).
v=l v=l
Тем самым спрямляемость пути W доказана. Если, далее,
отображение Ф задается функциями ф1? . . ., фп, то для любых двух точек
хи х2 6 [я> Ъ] и любого номера v, удовлетворяющего условию
г) Мы пользуемся в этом параграфе евклидовой нормой в R . Евклидова
п
норма вектора а = (аи . . ., ап) равна ||а|| = ( 2 aiY^2'
i = l
638 Том III
1 < v < и,
\4>Ax2)-4>AXl)\<\\®(Z2)-®(Xl)\\<R-\x2--Xi\.
Поэтому в силу теоремы 5.6 функции <pv абсолютно непрерывны.
Выберем теперь такую последовательность разбиений (За,), что Зя+i ^
^Зл и lim 13я I = О? И обозначим соответствующие вписанные
ломаные через 7\. Таким образом, каждое отображение Ту, является -
и-набором {Тц,, . . ., Тпь) ломаных ТУх, вписанных в <pv. По
теореме 5.6, переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно
добиться, чтобы последовательность функций tv^ = Т'^х ПРИ v =
= 1, . . ., п была L-ограничена и почти всюду сходилась к ср^.
Кроме того, естественно, мы можем считать, что lim L(T^) = L(W).
Я->-оо
При этих предположениях почти всюду
lim || Щ| = IIФ'II,
Л-*оо
и, поскольку
imiKl/S max |^|,"
v=i, . .., п
функции || Т || тоже образуют L-ограниченную последовательность.
Поэтому ее предельная функция || Ф' || интегрируема и
$ || Ф1 d* = lim $ || ГУ dr = lim L (Гя) = L (W0,,
что и требовалось доказать.
Применим этот результат к спрямляемому пути W длины L.
Положим s(x) = L(WX), где Wx — подпуть от Ф(а) до Ф(х) и путь W
задан отображением Ф: [а, Ъ] -»■ Шп, и обозначим через W: [О, L] ^
-> Кп натуральную параметризацию пути W. Тогда для любых двух
точек si9 s2 6 Ю, L], для которых хи х2 6 [я> Ь\ и s(xt) = st,
|| W(s2) - Yfa) || = || Ф(х2) - Ф(х,) || < \s(x2) - фО | = |*2 - *t |.
Тем самым доказана
Теорема 6.2. Натуральная параметризация W спрямляемого
пути W абсолютно непрерывна, и для длины пути W справедлива
формула
L(W) = ]\\V'(s)\\ds.
О
Теперь мы собираемся доказать, что каждый абсолютно
непрерывный путь должен быть спрямляемым и что написанная выше
формула верна для произвольной параметризации. Если мы попытаемся
перенести доказательство соответствующего утверждения для
гладких путей, которое мы провели в т. II (теорема 3.3 гл. I), то натолк-
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 639s
немся на затруднение: нужно доказать абсолютную непрерывность
длины дуги s(x). Тогда этот факт доказывался просто, так как
функция [| Ф'ОО II была непрерывна.
Теорема 6.3. Пусть W — путь с абсолютно непрерывной
параметризацией Ф: [а, Ь] -*■ Кп. Тогда путь W спрямляем,
функция || Ф' || интегрируема и
L(W)^]\\(b'(x)\\dx.
а
Доказательство. Пусть Ф = (ф1? . . ., фп). Поскольку
функции 9v интегрируемы, можно найти //-ограниченную
последовательность (tvX) ступенчатых функций на промежутке [а, Ь], почти
всюду сходящуюся к cpv (v = 1, . . ., п). Если мы положим t^ =
— (*1Ъ • • ч tnx)i то последовательность \\t^\\ будет L-ограничена
и почти всюду будет сходиться к ЦФ'.Ц. Поэтому функция || Ф' ||
интегрируема. Пусть теперь xt и х2 — две произвольные точки
промежутка [а, Ь] и х1 < #2. Мы проверим, что имеет место неравенства
||Ф(^-Ф(*011<ЙФ>>11&.
*i
из которого немедленно следует наша теорема.
На основании теоремы сходимости Лебега последовательность
функций г)
7\(*) = Ф(а) + !^(Е)<*1
а
сходится к функции
Ф(х) = Ф(а)+1ф'£)<11. .
а
Выберем произвольное 8>0и такой номер Х0 £ IN, чтобы при X ^
^ Я0 выполнялись неравенства
||Ф(*1)-Гх(*|)||<е,
II Ф(*а) - ?ЧЫ || < е,
|^|ФЧ*)11&-?11М*)11Н<*
^1 *1
х) При а = (<*1, . . ., ап) по определению полагаем J a dx = (^ аА dz, . . .
1 1
• . . , J andx). Отображения в пространство Ш мы здесь просто называем функ-
I
Циями.
h
«40 Том III
Тогда при Я, ^ Х0 получаем, что
|| Ф (xg) - Ф (*,) ||<2е + II П (xz) - Тх (*t) II =
*2
= 2е + || J **(*)<** IK
<2в+$||*х(*)||Лг<
ос2
<^3е+ J || Ф'(ж) || da?.
*i
Так как 8 > О было выбрано произвольно, отсюда следует наше
утверждение.
Рассмотрим теперь абсолютно непрерывное преобразование
параметра, определяемое формулой
о-(*)=|||Ф'(£)||<*£;
а
лусть а(Ь) = с. Если для двух точек xt Ф х2 6 1я> Ь] и Ф(х^ Ф
Ф Ф(х2), то, как мы только что видели, a(^4) Ф о(х2). Поэтому
условием ^(а) = Ф(х), если а = о(х), можно определить однозначное
отображение W: [0, с] -> В1п, при котором образом промежутка
[0, с] служит след \W\. Обозначим через s длину дуги. Тогда, как
и раньше, при а4, а2 6 Ю, с]
II ЧЧа2) - T(at) || = || Ф(х2) - Ф(х,) || < |*2 - *tl < |ст2 - at|.
Поэтому функция 4я абсолютно непрерывна и из теоремы 6.1
следует, что
L(W)=]\\V\\do.
о
В этом интеграле мы можем сделать подстановку a = g(x):
£(И0=$(11^>о-)11Ф'11^.
a
Если мы положим Ч** = (%, . . -, -фп), то получим
<11^Ч.1°ог)||Ф'||=(2(^оа)2)1/2-а' =
l2vl/2_ / ^ ГЛ|, ft /т\п2\1/2_
v=l
= (S[(t;^)-af),/2= (SK^va)']2)1
v=l v=l
(так как (a|)v о а) (#) + const = J (i|)v ° a)' (£) d| = J (г|)у ° cr) a' dl)
(2ф;2)1/2=ИФ'11-
v—1
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 641
Таким образом, если о(х) = о, то
5||Т-(о)||Ат=5ЦФ'(6)||^ = а,
О а
и мы получили соотношение
s(x) = L(Wx) = L(Wa)=]\\y(o)\\do=]\\<b'a)\\dl- = o(x).
О а
Поэтому а является длиной дуги для Ф, a ¥- натуральной
параметризацией пути W.
В качестве результата наших рассуждений сформулируем такую
теорему:
Теорема 6.4. Следующие высказывания о пути W
эквивалентные
1) Путь W является спрямляемым.
2) Путь W является абсолютно непрерывным.
3) Натуральная параметризация пути W абсолютно непрерывна.
Если Ф: [а, Ъ] —> R,n — произвольная абсолютно непрерывная
параметризация пути W и Т — натуральная параметризация, то
имеет место формула Ф = Wos, где s — абсолютно непрерывное
преобразование параметра*.
8{х)=]\\Ф'{\)\\й\.
а
В частности^
L{W)=lW{x)\\dx.
а
Теперь мы можем определить интеграл по спрямляемому пути.
Определение 6.2. Пусть \W — спрямляемый путь в Шп
с натуральной параметризацией W |и длиной L. Пфаффова форма
п
Ф = 2 av dyv называется интегрируемой на \гути W, если она
V=:l
определена на следе \W\ и существует интеграл
А = I фоТ= 2 )(avo4)^ds.
[О, L] v=i О
Это записывают короче:
W
и называют число А интегралом от формы ф вдоль пути W. Если
Ф — какая-нибудь другая абсолютно непрерывная параметризация
41-832
642 Том III
пути W, то Ф = ^Fos, где s — абсолютно непрерывное
преобразование параметра. Поэтому
W [0,L]
= 2 S («*• *)***=
V=i О
71 Ь
= 2 I (^v°4fos)(lJ)^oS)S'd# =
v=l a
п Ь
v-lc
= ? фоФ.
[а,Ь]
Таким образом, интеграл от интегрируемой формы можно вычислять
с помощью произвольной абсолютно непрерывной параметризации.
п
Теорема 6.5. Если форма ф = 2 а\ dyv интегрируема на еле-
де \W\ и путь W является спрямляемым, то интеграл $ ф суще-
w
ствует.
Доказательство. Пусть снова ¥: [О, L] ^* Rn —
натуральная параметризация, *Р = (i|)i, . . ., г|эп). Для каждого v
выберем L-ограниченную последовательность (£v3l) ступенчатых функций,
почти всюду сходящуюся к i|)v. Тогда последовательность (avo^)tvX
почти всюду сходится к (а^оЧ?)^, а в силу непрерывности функции
avo4? эта последовательность и L-ограничена. Поэтому интеграл
L
о
существует, что и требовалось доказать»
В заключение будет доказана
Теорема 6.6. Пусть Ф: [а, Ъ] -»- Шп — абсолютно
непрерывная параметризация спрямляемого пути W и F — непрерывно
дифференцируемое отображение некоторого открытого множества
U, содержащего след |РР|, в пространство Кт. Тогда
параметризованный путь F(W), определяемый отображением Роф;[а, Ь] -> Шт,
абсолютно непрерывен.
Для доказательства мы можем в качестве Ф выбрать натуральную
параметризацию пути W. Как и в теореме 3.2, можно показать, что
Гл. III. Криволинейные и поверхностные интегралы 643
существует такое число р > 0, что при yt, y2 6 W\
1^(У|)-^(У2)|.<Р1У2-У||.
Если мы положим R = $-У~т, то получим
1№) - ?Ы\\ < Щ\7г ~ yi||-
Следовательно,
\\(Роф)(х2) - (FoO)(Xi)\\ < Д||Ф(х2) - Ф(Ж1)|| < Л|«2 - xd.
В силу теоремы 5.6 композиция ^оф абсолютно непрерывна.
41*
Глава IV
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Физические величины определяют путем измерения относительно
некоторой фиксированной системы координат (так называемой
системы отсчета). Это касается, например, компонент скорости, а также
компонент напряженности электрического или магнитного поля. Если
изменить координаты посредством какого-либо преобразования, то
некоторому преобразованию подвергнутся и измеряемые физические
значения. Для каждой величины пытаются подыскать подходящий
математический объект, который по своей математической природе
преобразуется так же, как и измеряемая физическая величина.
Например, в качестве такого математического объекта можно
выбрать дифференциальные формы порядка д, если физические
значения преобразуются как коэффициенты этих форм.
Естественно, имеют смысл только те системы отсчета,
относительно которых возможно измерение. К ним прежде всего принадлежат
инерциальные системы. Однако во многих случаях имеют смысл
и очень общие системы. Это верно, например, для величин,
измеряющих энергию, импульс, а также электромагнитное поле. В других
случаях возможные системы координат, а потому, естественно,
и группа преобразований, являются более узкими. Так как при более
узкой группе преобразований одинаково преобразуется несколько
различных математических объектов, не всегда можно установить,
какой из них соответствует данной физической величине.
§ 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Пусть U с IRn — открытое множество и ф — непрерывная
дифференциальная форма порядка к на множестве U. Для каждой
регулярной ^-мерной клетки <9\ след которой | ^ | cz C7, положим
Jp(^) = I ф и, таким образом, получим некоторую функцию F
на множестве всех таких клеток.
Лемма 1. Форма ф определяется функцией F однозначно.
Доказательство. Пусть ф = 2 а it • • • ik dxix Л • • • Л ^v
Чтобы выразить коэффициенты формы ф через функцию F, выберем
какую-нибудь точку х0 = (х[, . . ., х%) 6 U и /с-набор (il9 . . ., ik)
Гл. IV. Приложения к электродинамике 645
индексов и рассмотрим плоскость Е = {х : xj = х] при j Ф iu ...
. ., ^а}. Функцию atl . . . t \E [\ U можно записать в виде
*ii... ifc(x) = a,t ... <fc(xb) + *(*').
где h — некоторая непрерывная функция на пересечении Е f] U,
обращающаяся в нуль в точке xj, и через х' мы обозначаем
координаты в плоскости Е. Пусть Qe — замкнутая fc-мерная е-окрест-
ность точки х0в Е{\ U и I(Qe)—ее /с-мерный объем. Множество ()е
можно рассматривать как А-клетку, и при подходящей
параметризации
I 4>=\aii...ik(x)dx\
где dx' обозначает fc-мерную меру Лебега в Е. Поэтому
ф = —^^- = ait £ь (х0) Н 1 /их) ах .
/«?*) J /(<?e) ' ' Щ)
Так как функция h непрерывна и h(x0) = О, отсюда следует, что
If,,
lim • 1 h (х') dx = О,
~о/(&) J
Qe
и потому
aJle..<fc(xo) = lim-l-^f
что и требовалось доказать.
При введении электромагнитных величин мы будем при случае
опираться на эту лемму.
1. Напряженность электрического поля
Введем некоторую систему координат и отождествим точки
трехмерного физического пространства с точками пространства R3.
Таким образом, все явления происходят в В13.
Пусть заряд е в момент времени t находится в точке х. Тогда,
если имеется электрическое поле, на этот заряд в направлении конт-
равариантного касательного вектора £ Ф 0 действует сила *), про-
х) Пусть ds — элемент длины в Ш3. Тогда для дифференциала работы при
перемещении заряда е в направлении rrjj имеет место формула dA = К ds. Ею
и определяется сила в направлении тт|^т. Таким образом, это определение основано
на понятии энергии, как и должно быть в соответствии с результатами теории
относительности, а не на понятии движения.
646
Том III
порциональная заряду е:
V|| 6II / VII6II /
Функция || HI"^Cfrfrf' х' О лине™а относительно i (по правилу
параллелограмма) и, значит, является некоторой пфаффовой формой
.3
% = 2 Еч (x, t) dxv
в пространстве R3. Она называется напряженностью электрического
поля. Таким образом, по построению коэффициент Z?v(x, t) равен
той силе, которая действует на единичный заряд в направлении
v-й оси координат.
2. Магнитная индукция
Простейшие магнитные явления мы считаем известными; в част-
ности, имеется способ проверки, есть в данном месте магнитное поле
или нет. Речь теперь идет о том, чтобы найти математическое
описание этих ощытов. Исходным пунктом служит следующий
эксперимент.
Замкнутый (кусочно гладкий) проводящий контур L за
промежуток времени от tQ до £4 удаляют из магнитного поля без
деформации. При этом в проводнике наблюдают электродвижущую силу
и устанавливают, что S зависит не от способа, которым движется
проводящий контур, а только от места, в котором он находился в
момент t0. В этот момент проводник заполнял некоторый замкнутый
контур W. Таким образом, рассматриваемый эксперимент ставит
в соответствие замкнутому контуру W вполне определенную
электродвижущую силу S = B*(W). Заданную тем самым на множестве
всех замкнутых (регулярных) контуров функцию S можно записать
в виде
где ф — некоторая подходящая пфаффова форма (мы это не
доказываем, а предоставляем обоснование физикам). Но форма ф не
определена однозначно, так как функция J5* определена только на
замкнутых контурах, а не на всех путях.
Если Ф — произвольная регулярная 2-клетка, у которой д& =
= W, и если мы положим В(&>) = В*(<91Р), то получим функцию J?,
Гл. IV. Приложения к электродинамике
647
определенную на множестве всех этих клеток, для которой по
теореме Стокса имеет место равенство
Дифференциальная форма 2-го порядка d(p однозначно определена
этим соотношением, а значит, и нашим экспериментом. Мы будем
называть ее магнитной индукцией и обозначать так:
38 = Bi2 dxt Д dx2 + В23 dx2 Л dxs + Bsi dx3 Д dx{.
(В книгах по физике 38 рассматривают как вектор &} — (Ви В2, В3)
с компонентами Bt = В23, В2 = Bzi, Вг = Bi2.) Из определения
вытекает соотношение
d3B =0,
являющееся одним из четырех уравнений Максвелла (старая его
запись div 38 = 0).
3. Электромагнитное поле
По определению напряженность электрического поля имеет
физическую размерность
гЛ>1 сила энергия действие
[а] = длина = - —
заряд заряд з аряд • время
а магнитная индукция — размерность
rasi \<ел действие
В теории относительности показывают, что заряд и действие,
в отличие от длины и времени, являются (скалярными) величинами,
не зависящими от системы отсчета. Таким образом, данное
определение размерности напряженности электрического поля имеет изъян.
Что делать? Физические явления происходят в пространстве
и времени. Таким образом, трем пространственным координатам хи
х2, хг и одной временной координате t соответствует точка в
пространстве R*. Коэффициенты у % и 38 являются функциями в R4. Поэтому
% и $8 мы можем также понимать как дифференциальные формы
в R,4. Если мы напишем % — % Д dt, то мы получим форму,
имеющую ту же размерность, что и 38. Следовательно, ее физическая
действие ^ ,,
размерность есть , и она имеет абсолютное значение. Далее,
в теории относительности энергия есть не скаляр, а первая
компонента дифференциальной формы E-dt + рх dxi + Рг dx2 + р3 dxz,
в которой ри р2 и рг обозначают компоненты импульса. Работа,
совершаемая при перемещении единичного заряда вдоль пути W,
является, собственно говоря, формой Е dt. Такую форму мы
получаем в результате интегрирования формы Щ = % Д dt. Это также
648 Том III
показывает, что правильно вместо % пользоваться формой %. Если
мы положим, кроме того,
£? = $ + &,
то, как мы покажем в следующем пункте, справедливо важное
равенство
d& = 0.
Форма ер имеет 6 компонент, и потому физики называют ее 6-векто-
ром1).
4. Второе уравнение Максвелла
Пусть д* — двумерная] регулярная клетка с регулярной
границей д&. Попробуем удалять д& (представляя себе д& как
проводящий контур) двумя способами из магнитного поля 3&: в первом
случае прямо уберем д& в момент £0» а во втором на время от t0 до ti >
> t0 оставим д& в занимаемом им положении и только после этого
удалим его. Оба раза возникнет одна и та же электродвижущая сила
S. Поэтому
to вЗ°
-*idtlMW = S(td-S(t),
to д@
Так как деформации границы д$* мы не допускаем, отсюда, далее,
следует (точка обозначает производную по времени), что
Поскольку это соотношение справедливо для каждой клетки, мы
получаем, таким образом, искомое уравнение
—&% = Я
(закон индукции или второе уравнение Максвелла).
Из уравнений
dSf = 0, d% = - Я
х) 2F заведомо ведет себя как дифференциальная форма порядка 2 при
преобразованиях пространственных координат и, кроме того, по отношению ко всем
преобразованиям Лоренца. Тем не менее можно указать систему координат,
в которой & нельзя разумно определить.
Гл. IV. Приложения к электродинамике 649
находим, что
= d($Adt) + d& =
= d% Л dt + ASS =
= d& Л dt + d^ + i* Л dt,
причем d означает внешний дифференциал в ft4, a dx —
дифференциал по пространственным координатам хи я2, #з- Следов ате л ьног
d%&= 0, dxg = — $>, и потому
d& = 0.
Обратно, из равенства d^ = 0 снова следуют написанные выше
уравнения Максвелла.
5. Общий закон индукции
Исследуем теперь закон индукции при движении и деформации
проводника. Для этого потребуем, чтобы форма ер имела физический
смысл при произвольных пространственных дифференцируемых
отображениях (и, значит, не только при преобразованиях Лоренца!).
Это свойство имеет большое физическое значение.
Проводящий контур L в момент времени t0 заполняет след пути
W0 и за время от t0 до tt переходит в путь W\. В каждый момент
t 6 [*о» *d проводящий контур L представляет некоторый путь W%\
пусть для него промежутком изменения параметра служит 0 ^ s ^
^ Ъ. Тогда путь Wt задается отображением Ф* : [0, Ъ] -> (R3.
Условием <D(s, t) = (Oj(s), t) при 0<;$<;Ь и t0 ^.t ^.ti определяется
некоторая двумерная клетка & в пространстве R,4. Это —
математическое описание движения.
Пусть К0 и Ki — поверхности в (R3, для которых dKt = Wb
при i — 0, 1. Положим Kt = Kt X {tt} и обозначим буквой К
трехмерную поверхность, ограниченную тремя двумерными
поверхностями К*, К* и |сР|. Она лежит в R*.
В силу пункта 4 этого параграфа"'$SF = 0. Поэтому
0= \d&= \ &.
К дк
Чтобы интерпретировать это равенство, допустим, что ер •= 98»
Интеграл слева запишется в виде
\&= l98=\dt\A{s,t)ds
0> 3° U 0 -
650
Том III
и, таким образом, он выражает некоторую электродвижущую силу
S. И в самом деле, в проводящем контуре наблюдают
электродвижущую силу такой величины. Следовательно,
L Ki к0 J
т. е. индуцированная электродвижущая сила с точностью до знака
равна разности интегралов от SB no произвольным поверхностям,
натянутым на контуры Wf.
Таким образом, общий закон индукции можно чисто формально
и — в отличие от старых методов — без предельных переходов
вывести из уравнений Максвелла. Здесь обнаруживается, что и из
практических соображений новая форма лучше.
§ 2. ТОКИ
Для описания плотности тока и плотности заряда нам
потребуется одно новое математическое понятие.
Пусть G — область в В1п, т — дифференциальная форма порядка
к в области G, непрерывная на некотором (зависящем от т)
компактном множестве К с G и вне К равная нулю. Формы этого вида мы
будем называть пробными формами. Очевидно, пробные формы
порядка к образуют векторное пространство @ft.
Определение 2.1. Линейная форма а на пространстве <gft
называется к-мерным непрерывным током, если существует такая
непрерывная дифференциальная форма ф на множестве G^ порядка
п — к, что для каждой &-формы т g <Bk
G
Так как сумма двух непрерывных токов и произведение
непрерывного тока ва действительное число также является непрерывным
током, то множество всех непрерывных А-мерных токов снова
является некоторым векторным пространством @£, которое на основании
следующей теоремы изоморфно пространству Шп-к непрерывных
(п — &)-форм. ,
Теорема 2.1. Из условия $ <р Д т = 0 для всех т следует,
G
что ф = 0.
Доказательство. Пусть <р = 2 аьг... in_ft ^д^Д • • • Л ^хЫ-к'
Пусть К с G — произвольное компактное множество и {ч, . . .
- . ., in} — дополнительный набор к {ц, . . ., in-k} в {1, . . ., п}.
Гл. IV. Приложения к электродинамике 651
Тогда, если мы положим
( dxh Л ... Л dxtk на К,
I 0 на G-K,
то
Если бы теперь в какой-нибудь точке х0 6 G значение а. . ь (х0)
было положительно, то неравенство аь t . > О должно было
бы выполняться и в некоторой компактной окрестности К точки х0.
Но тогда последний интеграл был бы отличен от нуля: противоречие!
Если ф — форма, соответствующая току а, то мы будем писать
Ф = (о).
Пусть теперь F : G -►■ G* — взаимно непрерывно
дифференцируемое отображение и о — какой-либо ток в области G. Условие
^*(т(т) = o(t*F)
(т — пробная форма в G*) определяет некоторый ток F+o в области
G*. В самом деле, вместе с т и форма toF имеет компактный носитель.
Далее, если (а) = ф, то
= $epA(T°F) = .
G
= f W>» F) Л (т- F) = (где г)) = фо i?"1)
G
G
= sgn/F J г|)Лт.
G*
Следовательно,
(^a> = 4gn/F-(<or>o^-1).
Было бы нецелесообразно отождествлять &-ме{шые токи с
дифференциальными формами порядка (п — к): как показывает
написанная выше формула, при отображениях токи преобразуются не так,
как формы. Диаграмма
©»(G>-^ SHG')
в которой вертикальные стрелки обозначают изоморфизмы о ->■ (а)
и а* ->• (а*), а нижняя горизонтальная стрелка — изоморфизм
Ф ->• cpoF"1, при /F < 0 не коммутативна.
652 Том III
Особенно наглядный смысл имеют нулъ-токи. Общая масса тела
К с плотностью массы а находится по формуле
M=lo=U(x)dx.
К К
В другой системе координат F : U ->■ Ш3 имеем
М=[о= [ sgnJF.(foF).JFdy.
К F-ЦК)
Поэтому плотность а преобразуется, как нуль-ток, т. е. плотности
описываются нуль-токами (а не тг-формами).
В заключение формулами
(о Л Ф> = (°) Л Ф>
(da) = d(a)
мы определим внешнее произведение а Д ф тока а и
дифференциальной формы ф и внешний дифференциал da дифференцируемого тока.
При этом ток а называется дифференцируемым, если
дифференцируема форма (а). Таким образом, произведение и внешний
дифференциал снова являются токами.
§ 3. ОРИЕНТАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
В этом параграфе мы введем ориентированные клетки, исходя
из наглядных соображений; математические определения потребовали
бы слишком больших подробностей. Все рассматриваемые клетки
предполагаются регулярными.
У каждой клетки мы будем различать внутреннюю и внешнюю
ориентации. Внутренняя ориентация является свойством, которым
клетка обладает совершенно независимо от ее погружения в
пространство HI3. Внешняя ориентация, напротив, определяется
способом погружения клетки в пространство В13.
Каждый промежуток / = [а, Ь] можно пройти в двух
направлениях; направление от а к Ъ будем считать положительным. Выберем
на / какое-нибудь направление. Оно переносится на след каждого
пути W в пространстве R,3, имеющего / промежутком изменения
параметра. При преобразовании параметра оно не меняется.
Мы будем говорить, что путь W внутренне ориентирован, и будем
указывать ориентацию стрелкой на его следе. Противоположно
ориентированный путь —W получается из W обращением стрелки.
Таким образом, путь с внутренней ориентацией — это путь, как он был
определен раньше (см. рис. 69, а).
Как на промежутке можно указать направление, в котором он
проходится, так и каждому квадрату Q можно поставить в
соответствие некоторое направление вращения, задав его вершины в опре-
Г л, IV. Приложения к электродинамике
653
деленном порядке, причем это можно сделать ровно двумя
способами: против часовой стрелки и по часовой стрелке. С помощью
отображения ф : Q ->■ R3 каждое направление вращения переносится с Q
а
T~i
Рис. 69. Пути и 2-клетка fc внутренней ориентацией
на кусок поверхности 0(Q). Таким образом, 2-клетка в D13 с
внутренней ориентацией — это клетка <9* в старом смысле, определяемая
Рис. 70. Трансверсально ориентированная клетка в [R,3.
отображением Ф : Q -+• R3 (см. рис. 69, Ъ). При преобразовании
параметров ориентация клетки & не меняется.
Пусть теперь снова задан некоторый регулярный путь W. Транс-
версалъная (внешняя) ориентация есть задание направления
вращения вокруг пути (см. рис. 70).
Каждый путь можно трансверсально ориентировать ровно двумя
способами. Представим себе, что путь W является осью колеса.
h
654 Том III
Трансверсальной ориентацией пути W мы устанавливаем, в каком
направлении должно вращаться колесо.
К двумерной регулярной клетке & можно провести нормальные
векторы п; трансверсальная ориентация клетки сГ> означает
«когерентное» задание одного из двух направлений нормали во
внутренних точках следа |<§Р|. Трансверсальной ориентацией мы
устанавливаем, какая из двух сторон следа |сР| находится сверху, а какая
снизу: нормальный вектор п должен указывать направление снизу вверх.
Каждому трансверсально ориентированному пути W1 можно
поставить в соответствие некоторый внутренне ориентированный путь
Рис. 71. Согласование между внутренней
и трансверсальной ориентацией.
W1 с помощью следующего соглашения: выберем на W ту однозначно
определенную внутреннюю ориентацию, которая вместе с данной
трансверсальной ориентацией пути W образует правую систему
(см. рис. 71). Это соответствие между трансверсальной и внутренней
ориентациями взаимно однозначно. Несмотря на это, нельзя обойтись
ни без одной из этих двух ориентации. В самом деле, если мы
зеркально отобразим пространство относительно плоскости, в которой
происходит вращение вокруг W, то трансверсальная ориентация
не изменитсй, а внутренняя ориентация заменится противоположной,
и теперь вместе с данной трансверсальной ориентацией она будет
образовывать левую систему. Таким образом, связь между этими
двумя видами ориентации не инвариантна относительно зеркального
отражения. Та же ситуация (математически строго) получилась
у нас при исследовании токов. Так как изоморфизм между токами
и дифференциальными формами не был инвариантен относительно
зеркального отражения, мы встретились с необходимостью
различать токи и дифференциальные формы.
Трансверсально ориентированной 2-клетке также можно
поставить в соответствие некоторую внутреннюю ориентацию. Правило
остается прежним: внутренняя и трансверсальная ориентации
должны образовывать правую систему в пространстве Ft. И на этот раз
согласование ориентации не инвариантно относительно зеркального
отражения.
Определим теперь интеграл от тока по трансверсально
ориентированной клетке. Если &* — трансверсально ориентированная клет-
Гл. IV. Приложения к электродинамике 655
ка, то обозначим через 8*1 ту же клетку с соответствующей
внутренней ориентацией. Для 2-тока а и трансверсально ориентированнога
пути Wt положим
Это определение не зависит от ориентации
зеркальном отражении W% переходит в
ма (or) переходит в форму — (а), и,
значит, интеграл не меняется.
Аналогично интегрируют 1-ток по
трансверсально ориентированной 2-клетке:
пространства D13: при
но одновременно фор-
\ \ \ \
J,t° j>t
\ \
\
\
\ \ \\
\ х
\
X
^
\
Рис.
^
72. Электрическое
поле.
И это определение инвариантно
относительно зеркальных отражений.
В заключение мы хотим наглядно
пояснить, какой смысл имеют формы % и ^.
Поставим каждой точке Р £ R,3 в
соответствие некоторый (бесконечно малый)
трансверсально ориентированный кусок
плоскости, проходящий через точку Р (см.
рис. 72). Если W — какой-либо путь, то
можно рассмотреть число F(W)
пересекающих путь W кусков плоскости (мы считаем, что куски плоскости
проведены очень плотно, но дискретно). По данному
электрическому полю % можно (приближенно) найти такое распределение кусков
плоскости, чтобы в некоторой подходящей
системе единиц для напряженности электрического
поля имело место равенство F(W) = \%. Таким
w
образом, электрическое поле можно понимать как
распределение таких кусков плоскости. Особенно
наглядной будет ситуация, когда бесконечно
малые куски плоскости соединяются в гладкие
поверхности (что, к сожалению, случается не
всегда). Однако, это имеет место в случае
статического поля; эти поверхности являются ^тогда'
эквипотенциальными поверхностями.
Чтобы интерпретировать ^, поставим каждому внутренне
ориентированному куску поверхности 8* в соответствие интеграл ) $&
и назовем это число количеством проходящих через & линий поля
(см. рис. 73). Если это число отрицательно, то линии поля
(трансверсально ориентированные пути) должны иметь трансверсальную
ориентацию, противоположную внутренней ориентации сР. Ввиду того
Рис. 73.
поля
Линия
656 Том III
что d^ = 0, существует одно и только одно такое семейство транс-
версально ориентированных замкнутых контуров, что такая
интерпретация интеграла J 3& правильна, и форма $& этим семейством
определяется однозначно. Эти замкнутые контуры называются
линиями поля $?\ там, где %? особенно велико, они лежат очень плотно.
Очевидно, что линии магнитного поля нельзя снабдить
внутренней ориентацией. Это означает, между прочим, что если мы
переменим ориентацию пространства HI3 на обратную (правая система
переходит в левую систему), то у магнитов нужно переименовать
северный полюс в южный, а южный — в северный, чтобы получить такую
же электродинамику, как и перед переменой ориентации.
§ 4. ПЛОТНОСТЬ ТОКА И НАПРЯЖЕННОСТЬ
Полный заряд е(К), содержащийся в компактном множестве
К с R3, можно записать в виде
е(*)=$р.
К
Во втором параграфе при обсуждении вопроса о плотности массы мы
уже видели, что р есть плотность (т. е. нуль-ток). Плотность р
представляется в пространстве В13 некоторой 3-формой
<Р> = р12з(х, t) dxi Д dx2 Д ^з-
Плотность р имеет физическую размерность
[р] = заряд,
а коэффициент р123 — заряд/длина3.
Наряду с зарядом в учении об электричестве известна и другая
основная величина: ток I (измеряемый, например, в амперах).
Можно определить ток, проходящий через трансверсально
ориентированный кусок поверхности S6', и таким образом получить функцию
/(<ьР')> которую, как и раньше, можно записать в виде интеграла
где под знаком интеграла стоит некоторый одномерный ток j (отсюда
и название); (j) есть 2-форма в пространстве Ш3:
<J> = /аз dx2 Д dx* + hi dxz Л dxi + /i2 dxt Д dx2.
Три функции 7nV в книгах по физике обычно объединяют в векторное
поле (/i, /г» /з)« Однако закон преобразования здесь не такой, как
у контравариантного вектора.
Как показывает опыт, между зарядом и током имеется связь: ток
есть движущийся заряд. В соответствии с этим / и j имеют физиче-
Гл. IV. Приложения к электродинамике 657
скую размерность заряд/время; кроме того, имеет место уравнение
непрерывности
е + 1=0,
Где е __ заряд, содержащийся в некотором теле, а /- ток,
вытекающий наружу через поверхность этого тела. Следовательно,
_ ^ р -}- ^ j = 0, и потому на основании теоремы Стокса (с учетом
dt к ж
ориентации)
р +dj = 0.
Будем теперь понимать р как одномерный ток в пространстве R4
с координатами хи хъ хъ и t и образуем с помощью j 1-ток j = j Д dt.
Далее, по определению положим Q = — р + j; тогда Q есть так
называемый А-ток. Из уравнения непрерывности следует соотношение
dQ = О
(здесь d — внешний дифференциал в И14).
Ниже мы будем (для простоты) рассматривать электромагнитные
явления в вакууме. Для описания таких явлений удобнее вместо t
выбрать в качестве четвертой координаты х0 = ct (с — скорость
света). В специальной теории относительности переход от одной
физически допустимой системы отсчета (допустимой = инерциальной)
к какой-нибудь другой допустимой системе описывается
преобразованиями Лоренца. Группа этих преобразований состоит из всех
линейных отображений пространства HI4 на себя, оставляющих инва-
риантной метрику Минковского
2 2 2 2 2]
S — Xq — Х± —— #2 —— *^3*
С помощью этой метрики можно установить изоморфизм между р-фор-
мами и р-токами, который, естественно, инвариантен только
относительно преобразований Лоренца, а не относительно произвольных
преобразований координат.
Целесообразно разрешить рассматривать в пространстве Л4 комплексные
дифференциальные формы и токи. Комплексная р-форма <р есть линейная
комбинация одночленов dxai /\ . . . Д dxa с комплексными коэффициентами;
ф = 2 а«1 ••• аР dx<*l Л • • • Л d*ap\ ««1 ... ар €
Содействия над такими формами производятся так, как описано в § 5 гл. II (с учетом
правил действий с комплексными числами), и мы получаем ( ) -мерное
комплексное векторное пространство. Пользуясь этими указаниями, читатель даст
определение.
Положим теперь
2/о = #о> Ух = ixv ГДв v = 1, 2, 3 и i2 = — 1.
4l 42-832
658 Том III
з
Следовательно, s2= 2 У^-
v=0
Тогда каждую р-форму ф можно записать в виде линейной
комбинации одночленов dyai Д . . . Д dyap. Тот р-ток, который соответствует
(4 — р)-форме ф, обозначим символом {ф}. Изоморфизм ф ->• *фэ
о котором мы говорили выше, определим теперь условиями
* 1 = {dyQ Л dyt Л dy2 Л <й/зК
* (dyai Л ... Л dyap) = {г dyPl Л ... Л <*Ур4-Р}»
где е = ±1 задано так, что
в dyai Л • • • Л <fyap Л */Pl Л ... Л dy^_p = dy0 Л dy4 Л 4/г Л dy%
и {Pi, . . ., Р4-р} —- набор, дополнительный к набору {а4, . . ., ар}
в {0, 1, 2, 3}. Тем самым ^оператор определен на всех одночленах
Ауах Л • • • Д ^ар; на произвольные формы он продолжается
линейно. Например,
* dxi = — i * dyi =i {dy0 Д dy2 /\ dyz} =
= — i {dx0 Л dx2 Л dxz),
*dx0= * dy0 = {dyt Л dy2 /\ dyz) =
= — i {dxt Д dx2 Д da:3}
* (dx0 /\dx2)= — i* (dy0 Л di/2) = i {dyt Л */3} = — i {dxi Л dxz).
Если, наоборот, a — какой-либо р-ток в (R4, то, полагая
*a = <* <a»,
мы получаем некоторую вполне определенную р-форму.
Отметим следующее правило действий с *-оператором:
*(/ф + gtf) = /*ф + g*ty,
где / и g —- функции.
С помощью *-оператора мы получим теперь из Ш и 38 две новые
электродинамические величины. Пусть е0 > 0 — некоторое число,
которое нам еще нужно будет подходящим образом выбрать позже.
Тогда
*(с80|) = *(e0g Д dx0) =
= e0*(2?i<izi Д dx0 + Е2 dx2 Д dx0 + Ez dxz Д dxQ) =
= — ieQ{Ei dx2 Д dxz + E2 dxz Д dxi + Ezdxt Д dx2).
Этот ток (1-ток в Dl3 и соответственно 2-ток в 014) мы обозначим через
—Ш и будем называть 3) плотностью электрического смещения»
Гл. IV. Приложения к электродинамике
659
Вопрос о физической размерности 3) мы пока оставим открытым.
Таким образом, *(e0cg /\ dt) = — i3).
Так же как и 38, плотность электрического смещения 3 можно
наглядно пояснить с помощью линий поля в R3. Пусть & — транс-
версально ориентированная 2-клетка.
Число I 3) назовем количеством линий поля,
проходящих через клетку $>. Снова
существует некоторое распределение
путей, на этот раз с внутренней
ориентацией, для которого такая интерпретация
интеграла имеет смысл. Так как, однако,
вообще говоря, d3) Ф О (как мы установим *~~~J~
ниже, d3) = p), то линии поля не
являются замкнутыми контурами. Если, напри- р и с- 74- Лшши поля 35•
мер, е+ — положительный, аг-
отрицательный заряды, то линии поля выходят из е+ или кончаются в е~
(см. рис. 74).
Вычислим, далее, *(е0с$):
*(г0с&) = *(s0c(Bi2 dxt Д dx2 + BZi dxz Д dxt + B2Z dx2 Д dxz)) »
= — ieQc{Bi2 dx0 Д dx3 + Bzi dx0 Д dx2 + B2Z dxQ Д dxx) =
= isQc2{Bl2 dxz + Bzi dx2 + B2Z dx^} Д dt.
Ток, стоящий справа, мы запишем.в виде iSB f\dt и будем называть
SB напряженностью магнитного поля:
— и(г0сЯ?) = SB Д dt.
Точно так же, как для % Д dt и 38, можно 3 и SB Д dt соединить
в один ток в пространстве R,4:
g = — i*e0<\F = — 3D + SB Д dt.
В следующих абзацах мы исследуем связь между 13 и Q.
С помощью эксперимента можно показать, что в каждой точке из
Й = 0 следует равенство d& — О («отсутствие источников» в
вакууме — ввиду лоренцевой инвариантности нам нужно знать это
только для d3)). Далее, Q можно приближенно представить в виде суммы
Точечных токов; это токи, у которых коэффициенты тока Q отличны
от нуля только на некоторой кривой х = Ф(£) (эти коэффициенты,
конечно, являются уже не функциями, а мерами Радона). Рассмотрим
сначала такой точечный ток. Он порождает некоторое поле & =
= — 3) + SB Д dt. Интегрируя d3) по пространству К3 в моменты
времени t0 и tu получаем
С dS= [ d3f.
42*
660
Том III
В самом деле, интегрирование по пространству R3 можно заменить
интегрированием по некоторой конечной области G в R,3 (см. рис. 75)>
которая содержит заряд (так как вне этой области р == Q = 0, а
потому и d£ft = 0) и, не делая ошибки, можно (по той же причине)
Рис. 75. К выводу первого уравнения
Максвелла.
еще добавить интегралы по остальным граничным поверхностям
изображенного на рисунке четырехмерного тела К = G X [t0, tt].
Следовательно,
I d3- \ d3= $ 63 — $ d3 =
t=tt t=t0 GX{ti) GX{t0)
= С d2> =
dK
= \dd3 =
к
= 0.
Поэтому интеграл i dS (без указания времени) вполне определен
и не зависит от времени. То же самое верно и для интеграла по Q.
Мы получаем не зависящий от времени заряд е и будем называть его
зарядом точечного тока. Теперь экспериментально показывают, что
поле пропорционально е. Таким образом,
\ d26 = ae.
Л3
При этом а есть универсальная константа, которая не зависит и от
вида пути заряда. Ведь интеграл не изменится, если мы, например,
при i ^ t0 путь сделаем постоянным.
Мы воспользовались тем, что интеграл [ d3), образованный для момента
t — t0, не зависит от Q при t > t0 и ПРИ t < *о- Это следует из
пропорциональности заряду е (также и при отрицательных зарядах) и из отмеченного ниже прин-
Гл. IV. Приложения к электродинамике 661
ципа сложения — значит, из так называемого, принципа суперпозиции,-^
аотому что лишь там, где Q Ф О, может выполняться условие d& Ф 0.
Таким образом, достаточно потребовать пропорциональности поля
заряду е и лишь для покоящихся зарядов.
Число 80 мы можем выбрать так, чтобы а = 1. Тогда
- J дЭ = $ d3 = e.
m3 m3
Тем самым устанавливаются размерности 3 и Ш\
[<$]= заряд,
1 время
Как можно показать экспериментально, поля нескольких
точечных зарядов еи . . ., еп складываются. Если теперь мы
произведем интегрирование по компактному множеству М, внутри которого
содержатся точечные заряды еи . . ., ет, а остальные лежат в его
(открытом) дополнении, то получим
\d3>i = ei при l^i<m,
м
J &Sb% = 0 при т + 1 <; i ^ п.
м
' т
Если мы обозначим через е (М)= 2 ег полный заряд, содержащийся
п
в множестве М, и через 3 = J\ 3t полное поле, порождаемое
г=1
точечными зарядами еи то будет выполняться соотношение
— \ <%= l d3 = e{M)= I р= - I Q.
м Л м - м/* м
Теперь мы перенесем эти рассуждения на случай гиперплоскостей
Я, не обязательно параллельных пространству HI3; см. рис. 75. Для
точечных токов имеем
[Q = J Q,
я t=t0
потому что и dy, и Q — замкнутые токи, к которым применимы
вычисления, только что проведенные для 3 (гиперплоскость Н
не должна идти круче, чем путь заряда е; если Н является образом
пространства Q13 при каком-либо преобразовании Лоренца, то это
662
Том III
условие выполняется автоматически). Следовательно,
Если мы рассмотрим несколько движущихся зарядов et, . . ., еп и
обозначим порождаемые ими токи через Qh а поля через ^и то, как
и выше, получим
м м
где мы положили Q = ^ йг и ^ = 2 ^' а ^ есть произвольная
г г
компактная трехмерная плоская область. Отсюда следует первое
уравнение Максвелла
d$ = Q.
В результате мы получили уравнения поля
d$ = Й,
d& = 0.
Это — уравнения Максвелла в их наиболее короткой и наиболее
общей формулировке. Если от jF и & мы снова возвратимся к
четырем полям %, 28, 2Ь, $ё, то мы получим (где d<p = dx(p + ф Л dt):
— d26 + dSB A dt= — p + j Л dt,
— d^Sf — 26 Adt + dbSe A dt= — p + j Л dt,
и потому, если снова заменить dx на d:
d2E> = р,
dse = j + я.
Наоборот, из этих двух уравнений снова следует, что dS = Q.
Уже в первом параграфе из d^ = 0 мы вывели уравнения
d# =0,
d% = _ Я.
Последние четыре уравнения — это уравнения Максвелла в обычной
(релятивистски не инвариантной!) форме. Мы видели, что величины
2Ь, Зв, Ш и SS существенно отличаются друг от друга по своему
поведению при преобразованиях. При произвольных (пространственных)
дифференцируемых преобразованиях они заведомо преобразуются
не как векторы.
Наряду с введенными до сих пор полями важную роль в физике
играет еще так называемый тензор энергии-импульса Т. Он является
Гл. IV. Приложения к электродинамике
663
током (тензорной плотностью)*), который представляется уже не
дифференциальной формой, а следующей полилинейной формой^
(T)(to,tu I2, Ез) =
=к 2 s (l"l2' l3)*[JF (l°' ^li) {s) (|ц'liz)+
+ <3>(£o, i4)^(il2, Et,)J;
(Г) является кососимметрическим относительно £4, £2> £3 и,
естественно, 4 раза контравариантным тензором. Очевидно, Т можно
представить в виде 1-тока с 1-формами в качестве коэффициентов:
Т= 2 Ti% li2i dxi • dxti Л dxl2 Л dx4.
i
Ц<1*<1»
Интегрирование Г по трехмерной поверхности В дает вектор
энергии-импульса поля, содержащегося в В.
Можно с помощью обратного *-оператора перейти от Г к
некоторому ковариантному тензору второго ранга
Т = *~*Т = 2 Ти dxt • dxj.
Тогда мы получаем важный физический результат, состоящий в том,
что матрица коэффициентов Ttj является симметрической (Эйнштейн:
равенство импульса и потока энергии). Эти коэффициенты во всех
инерциальных системах просто связаны с коэффициентами Tit lll2l3.
Например, Т00 — ±Г0|12з- Если произвести произвольное
дифференцируемое преобразование координат, то, естественно, Т можно
преобразовать как 2 раза ковариантный тензор. Но простая связь
между Ги Г тогда уже больше не сохранится, т. е. коэффициенты Т
могут не иметь физического смысла. Они больше не имеют к
измеряемым значениям прямого отношения. (Ср. Max von L a u e, Die
Relativitatstheorie, 2. Band, 5. Aufl., S. 90 f., Braunschweig, 1965.)
г) Мы пользуемся понятием, которое не будет определено в явной форме,
но смысл которого очевиден.
!
ЛИТЕРАТУРА
Литература к тому I и гл. _Г—IV тома II
1. Барнер (Вагпег М.), Differential- und Integralrechnung, Sammlung
Goschen., Berlin, 1963.
2. Б а р т л ( В а г 11 e R. G.), The Elements of Real Analysis, New York,
John Wiley, 1964.
3. Бибербах (Bieberbach L.)* Differential- und Integralrechnung
(2B.), Leipzig—Berlin, Teubner, 1917/18.
4. Гольдберг (Goldberg R. R.), Methods of Real Analysis, New
York, Blaisdell, 1964.
5. Душек (Duschek A.), Vorlesungen tiber hohere Mathematik (4 В.),
Wien, Springer, 1949—1961 *).
6. Ковалевский (Kowalewski G.), Grundzuge der Differential-
und Integralrechnung, Leipzig, Teubner, 1932.
7. К у р а н т Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления
(2 тома), М., 1967, 1968 х).
8. Курант и Джон (Courant R., John F.), Introduction
to Calculus and Analysis (2 v.), New York, Interscience, 1965 x).
9. Лайтстоун (Lightstone A. H.), Concepts of Calculus, New
York, Harper & Row, 1965.
10. M а а к (М a a k W.), Differential- und Integralrechnung, Gottingen, Van-
denhoeck & Ruprecht, 1959.
11. Мангольдт и Кноп (Mangoldt H. v., Knopp К.), Ein-
fuhrung in die hohere Mathematik (3 В.), Leipzig, Hirzel. 1956—1958.
12. Островский (Ostrowski A.), Vorlesungen uber Differential-
und Integralrechnung (3 В.), Basel, Birkhauser, 1952—1954.
13. Рудин У., Основы математического анализа, М., 1966.
14. Рэнкин (Rankin R. A.), An Introduction to Mathematical Analysis,
Oxford, Pergamon Press, 1963.
15. Смирнов В. И., Курс высшей математики (5 томов) *).
16. Филлипс (Phillips E. G.),A Course of Analysis, Cambridge,
Cambridge University Press, 1950.
17. Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального
исчисления (3 тома), М., 1960.
18. X а р д и Г. X., Курс чистой математики, М., 1949.
19. Хил л е (Hi lie Е.), Analysis (2 v.), New York, Blaisdell, 1964—1966.
20. Штрубекер (Strubecker К.), Einfurung in die hohere
Mathematik, Munchen, Oldenbourg, 1956.
21. Эрве (Erwe F.), Differential- und Integralrechnung (2 В.), Mannheim,
Bibliographisches Institut, 1962.
Сборники задач
22. Гюнтер Н. М. иКузьмин Р. О., Сборник задач по высшей мате*-
матике (2 тома), М., 1969.
23» Островский (Ostrowski A.), Aufgabensammlung zur Infinite-
si malrechnung, Basel, Birkhauser, 1964.
г) Особенно полезна для физиков.
Литература 665
Дополнительная литература
и численный анализ
24. Апостол (Apostol Т. М.), Mathematical Analysis, Reading (Mass.),
Addison & Wesley, 1960.
25. Березин И. С. и Жидков Н. П., Методы вычислений (2 тома),
М., Физматгпз, 1961.
26. Б у р б а к и Н., Интегрирование, М., «Наука», 1967.
27. Б у р б а к и Н., Функции действительного переменного, М., «Наука»,
1965.
28. Дьедонне Ж., Основы современного анализа, М., «Мир», 1964.
29. К е с т ел ь м а н (К е s t е 1 m a n H.), Modern Theories of Integration,
New York, Dover Publ., 1960.
30. Ковалевский (Kowalewski G.), Interpolation und genaherte
Quadratur, Leipzig, Teubner, 1932.
.31. Копал (К о р а 1 Z.), Numerical Analysis, London, Chapman & Hall,
1961.
32. К у н ц м а и ii (K u n t z m a n n J.), Methodes numeriques, Paris, Dunod,
1959.
33. P о й д е н (R о у d e n H. L.), Real Analysis, New York, MacMillan, 1963.
34. X а у п т. Ay манн и П а у к (H a u p t 0.,Aumann G., P a uc C),
Differential- und Integralrechnung (3 В.), Berlin, de Gruyter, 1945—1955.
35. Ill и л о в Г. Е., Математический анализ, специальный курс, М., 1961.
Конструктивная математика
36. Лоренце н (Lorenzen P.), Differential und Integral, Frankfurt
a. M., Akademische Verlagsgesellschaft, 1965.
Литература к главам V—VIII тома II
Бибербах (Bieberbach L.), Einfurung in die Theorie der
Differentialgleichungen im reellen Gebiet, Berlin, Springer, 1956.
Бибербах (Bieberbach L.), Theorie der gewohnlichen
Differentialgleichungen. Auf funktionentheoretischer Grundlage dargcstellt, Berlin,
Springer, 1965.
Вайзе (Weise К. Н.), Differentialgleichungen, Gottingen, Vandenhoeck
u. Ruprecht, 1966.
Гогейзель Г., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.—Л.,
ОНТИ, 1937.
Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных
уравнений, М., 1950.
Инке (Ince E. L.), Die Integration gewohnlicher Differentialgleichungen,
Mannheim, Bibliographisches Institut, 1965.
Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям,
М., «Наука», 1965.
Камке (Kamke E.), Differentialgleichungen, Losungsmethoden und Losun-
gen. Band 1: Gewohnliche Differentialgleichungen, Leipzig, Akad.
Verlagsgesellschaft Geest u. Portig, 1964.
К о л л а т ц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений,
М., ИЛ, 1958.
Коллатц (Collatz L.), Differentialgleichungen. Eine Einfuhrung unter
besonderer Beriicksichtigung der Anwendungen, Stuttgart, Teubner, 1967.
Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, М., «Наука», 1964.
43-832
666 Литература
Понтрягин Л. С, Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.,
«Наука», 1965.
Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, М., «Наука», 1966.
Хорн и Виттих (Horn J. und W i 11 i с h H.), Gewohnliche Diffe-
rentialgleichungen, Berlin, de Gruyter, 1960.
Эр ве (E r w e F.), Gewohnliche Differentialgleichungen, Mannheim, Biblio-
graphisches Institut, 1961.
Литература к тому III
1. Апостол (Apostol Т. M.), Mathematical Analysis, Reading, Mass.,
Addison-Wesley, 1957.
2. Венке (Behnke H.) (редактор), Grundzuge der Mathematik. 3.
Analysis, Gottingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1962.
3. Гелбаум Б.и Олмс^гед Дж., Контрпримеры в анализе, М., «Мир»,
1967.
4. Джеймс (James R. С), Advanced Calculus, Belmont, Calif., Wads-
worth, 1966.
5. Мунро (Munroe M. E.), Modern Multidimensional Calculus, Reading,
Mass., Addison-Wesley, 1963.
6. X у Сы-цзян (Ни S.-T.), Elements of Real Analysis, San Francisco,
Holden-Day, 1967.
Кроме того, книги [7], [10], [11], [12], [15], [17], [21] списка литературы
к первому тому.
К теории интегрирования
7. Бербериан (Berberian S. К.), Measure and Integration, New
York, MacMillan; London, Collier-Macmillan, 1965.
8. Бурбаки Н., Интегрирование, М., «Наука», 1967.
9. 3 а а н е н (Z a a n e n A. C), Integration, Amsterdam, North-Holland
Publ. Co., 1967.
10. Мак-Шейн (McShane E. J.), Integration, Princeton, N. J.,
Princeton University Press, 1947.
И. Мунро (Munroe M. E.), Introduction to Measure and Integration,
Reading, Mass., Addison-Wesley, 1953.
12. P у д и н (R u d i n W.), Real and Complex Analysis, .New York, McGraw-
• Hill, 1966.
13. Секефальви-Надь (Sz.-N a g у В.), Introduction to Real
Functions and Orthogonal Expansions, New York, Oxford University Press, 1965.
14. T э й л о р (Taylor A. E.), General Theory of Functions and Integration,
New York, Blaisdell, 1965.
15. Уильямсон (Williamson J. H.), Lebesgue Integration, New
York, Holt, Rinehart and Winston, 1962.
16. X а л м о ш П., Теория меры, М., 1953.
17. Хартманн и Микусинский (HartmannS. and М i k u -
sin ski J.), The Theory of Lebesgue Measure and Integration, Oxford,
Pergamon, 1961.
18. Хильдебрандт (Hildebrandt Т. Н.), Introduction to the
Theory of Integration, New York, Academic Press, 1963.
19. Хьюитт и Штромберг (HewittE. and Stromberg K.),
Real and Abstract Analysis, Berlin, Springer, 1965.
20. in и л о в Г. Е. и Г у р е в и ч Б. Л., Интеграл, мера и производная, М.,
«Наука», 1964.
Кроме того, книги [29], [34], [35] списка литературы к первому тому.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
f°g
Г1
i\N
г
t
f
t
t
%
t
%
r
dx
dnf
dxn
fm
Z(*)
2
ь -
\ f(x)dx
a
J/Ф
J/(x)c&
J*
G%?
89
126
77
505
505
514
79
81, 476
476
80,476
476
108
108
112
112
176
481
181
487, 51
490
586
43»
ее
{a, b, ...}
U
и mv
v=l
n
n mv
cz
cz cz
ZD
0
N
a
z
31
m*
R
Rn
С
[a, 6}
(a, 6)
(а,Ы
[a,b)
n
v=l
13
13
178, 486
13
14
18
14
18
14
265
14
13
13
13
13
12
26
16
230
360
14
13
14
14
29
n
П «v
v=l
v!
/n\
\v/
ю
max
min
sup
inf
lim sup
lim
lim inf
lim
lim av
V->oo
U(x)
и s(x)
US(X)
U*j
U in
<u<r
<U-T
<U [h, g)
JF lb g]
8
/-*
32
71
113,161
44
21
21
42
43
51
51
53
53
54
48"
48
256
474
iin) 475
477
477
177
484
79
77
668 Указатель обозначений
ехрж
ехр0ж
In ж
loga*
sin ж
cos ж
Xgx
ctgz
arc sin ж
arc cos x
arc tg x
arc ctg x
shx
спя
arshx
arch a;
xy
11*11
1*1
w
И1
№
153
158
156
160
163
163
468
168
169
169
169
169
172
172
173
173
231
232
233
360
439
581
о
1*1
M'
M
о
M
дм
dlfr
d&
d&C
dist
Dist
Horn (V, R)
Imz
Rez
KerF
EL
dxy,
/,v
/xv
drf
dxVl ... dxVr
xk
14
604
257
258
528
,259
583
583
584
233
272
316
360
360
315
286
286
286
291
288
288
(X)!
f.x
fp
J F
Qr
г
/(<?)
i AM)
%M
dx
d<p
Tx
!*•<
Ev
El
фДф
(foi?
*ф
[ф]
{ф}
(о)
б(ч, ...,
296
296
323
327
474
581
481
515
514
490
563
555
561
547
561
553
559
658
550
658
651
ip) 543
УКАЗАТЕЛЬ
Абелева группа 22
— — свободная 579
Абель (Abel N. Н., 1802—1829) 22
Абсолютная величина числа 36
Абсолютно непрерывная функция 206,
618
— непрерывное преобразование
параметра 625
— непрерывный путь 637
— сходящийся ряд 73-"
функций 100
Адамар (Hadamard J., 1865—1963)
104
Аксиома выбора 194
— индукции 23
— о дедекиндовом сечении 33, 38
— отделимости Хаусдорфа 48, 260
Аксиомы порядка 32
— сложения 21
— умножения 26
Алгебраическое число 155
Алгоритм Евклида 90
Альтернированная часть формы 550
Амплитуда 372
Аналитическая функция 137
Апериодический предельный случай
370
Ареакосинус 173
Ареасинус 173
Архимед (Archimedes, 3 в. до н. э.)
38, 248
Базис векторного пространства 314
Бернулли (Bernoulli Johann, 1667—
1748) 349, 350
Бесконечно дифференцируемая
функция 112
р-форма 562
Бесконечноудаленные точки 16
Бесконечный ряд 63
Бессель (BesselF.W., 1784—1846) 455
Биективное отображение 277
— соответствие 12
Бинарная операция 22
Биномиальные коэффициенты 113,
161
Биномиальный ряд 163
Больцано (Bolzano В., 1781—1848)
54, 266
Большая теорема о перестановке
членов ряда 303
Борель (Borel E., 1871-1956) 264
Бригговы (десятичные) логарифмы 160
Бригг (Briggs H., 1561—1630) 160
Вариация постоянной 349, 438
Вейерштрасс (Weierstrass К., 1815—
1897) 54, 266
Векторное пространство 230
— — над полем 314
Векторы 230
Верхний класс 38
— предел 51, 499
Верхняя граница множества 42
— — последовательности 47
— грань клетки 583
— — множества 42
— — параллелепипеда 580
— — последовательности 47
функции 91
Взаимно непрерывно
дифференцируемое отображение 351
— однозначная функция 126
— однозначное отображение 277
— в точке 326
Винтовая линия 250
Включение 14
Внешнее произведение тока и
дифференциальной формы 652
— — форм 553
Внешний дифференциал 563
— — тока 652
Внешняя ориентация 653
— производная 563
— форма 547
Внутренняя ориентация 653
— точка 256
Вписанное покрытие 477
Вполне допустимое множество 284
Вращение 282
— с отражением 282
Всюду плотное множество 50
670
Указатель
Вторая теорема о среднем значении
дифференциального исчисления
(теорема Коши) 118
Второе уравнение Максвелла 648
Вырожденная клетка 583
Гармонические функции 359
Гармонический ряд 66
— — знакочередующийся 72
Гейне (Heine Е., 1821—1882) 264
Геометрическая прогрессия 65, 102
Гиперболические функции 172
Гладкая параметризация 238
Гладкий путь 238
Голономные связи 342
Гомоморфизм 315
Граница 259
4— клетки 584
— поверхности 615
— цепи 584
Граничное условие 457
Грассман (Grassman H., 1809—1877)
547
Грассманово произведение 547
График 78, 269
Групп* 22
— тг-мерных цепей 581
Дедекинд (Dedekind R., 1831—1916)
33, 37, 38
Дедекиндово сечение 37
Действительная функция 77, 268
— часть 360
Действительное га-мерное числовое
пространство 230
Декарт (Descartes R., 1596—1650) 346
Декартово произведение 346
Десятичные логарифмы 160
Дирак (Dirac P. A. M., род. 1902) 492
Дирихле (Dirichlet P. G. L., 1805—
1859) 359
Дистрибутивные законы 27
Дифференциальная форма 555
• бесконечно дифференцируемая
562
— — дифференцируемая 562
— — — замкнутая 566
— — — точная 566
— — интегрируемая на клетке 585
— — — — множестве 585
— — — — поверхности 615
— — комплексная 657
— — на множестве 561
— — непрерывная 562
— — непрерывно дифференцируемая
562
Дифференциальное уравнение Бер-
нулли 350
— — в неявном виде 344
— — высшего порядка 358
— — — — разрешенное
относительно старшей производной 358
Риккати 357
— — с частными производными 359
Дифференцирование 317
Дифференцируемая функция 107, 112,
285
Дифференцируемое отображение 289
Длина дуги 242
— ломаной 637
— пути 239
Доказательство от противного 35
Дополнение множества 257
Допустимая система покрытий 478
Допустимое множество 107, 284
Евклид (Euklid, 4 в. до н. э.) 90
Евклидова мера 490
Евклидово расстояние 233
Единичная матрица 281
Жордан (Jordan С, 1838-1922) 445
Жорданова нормальная форма 445
Задача Дирихле 359
Закон индукции 648
Замкнутая дифференциальная форма
566
— поверхность 615
— числовая прямая 16
Замкнутое множество 258
Замкнутый контур 238
— параметризованный путь 234
— промежуток 14
Замыкание 258
Заряд точечного тока 660
Затухающее колебание 369
Звездное множество 574
1 Знакопеременный закон 558
Знакочередующийся гармонический
ряд 73
— ряд 72
Измельчение разбиения 174
Измеримое множество 514
Интеграл Лебега 490
— Лебега — Стильтьеса 492
— неопределенный 201
— от пфаффовой формы вдоль пути
641
Указатель ,
671
Интеграл от тока по трансверсально
ориентированной клетке 654
— — формы по клетке 585
— — — — поверхности 615
— — — — цепи 586
— — функции 514
— — — по множеству 514
промежутку 181
— Римана 195
Интегральная кривая 346, 407
Интегрирование по частям 205
Интегрируемая дифференциальная
форма 585, 615
— пфаффова форма 641
— функция 180, 514
— — на множестве 514
— — относительно линейной формы
486
по Риману 195
Интегрирующий множитель 412
Интервал 13
— сходимости степенного ряда 104
Интерполяционная формула
Ньютона — Эрмита 150
Интерполяционный многочлен
Ньютона 145 ---
— —- Эрмита 142
Инъективная функция 126
Инъективное отображение 277
— — в точке 326
Канонический вид р-формы 562
Кантор (Cantor G., 1845-1918) 632
Каратеодори (Caratheodory С, 1873—
1950) 517
Касательная к пути 251
Касательное пространство 319, 555
Касательный вектор 319, 554
Квадратичная форма 309
Классы эквивалентности 235
Клетка 580
Ковариантное касательное
пространство 324
Ковектор 324
Компактное множество 262, 474
Компактно сходящаяся
последовательность функций 274
Комплексная дифференцируемая
форма 657
— функция 363
Комплексное число 360
Комплексный ток 657
Композиция отображений 277
— функций 277
Компоненты отображения 277
Конечное покрытие 473
Конечно измеримое множество 514
Конечно интегрируемая функция 525
Конец пути 234
Константа Липшица 383
Контравариантное касательное
пространство 324
Косинус 163
Котангенс 167
Коши (Cauchy A. L., 1789—1857) 57,
64, 182, 497
Кратность нуля 91
Кривизна пути 252
Критерий Коши для интегрируемости
182
— — — jx-интегрируемости 497
— непрерывности 84
— с последовательностями 85, 270,
279
— сходимости Коши 57
— — — для рядов 64
Кронекер (Kronecker L., 1823—1891)
281
Кусочно гладкая поверхность с
кусочно гладкой границей 614
— гладкий путь 238
— линейная функция 633
Лагерр (Laguerre E., 1834—1886) 464
Лагранж (Lagrange J, L., 1736—1813)
134, 298
Лаплас (Laplace P. S., 1749—1827) 359
Лебег (Lebesgue H., 1875—1941) 180,
190 517
Леви'^еу1 В.) 508
Лежандр (Legendre A. M., 1752—1833)
456, 458
Лемма Пуанкаре 574
— Фату 512
Линделёф (Lindelof E., 1870—1946)
423, 433
Линейное дифференциальное
уравнение 346
— отображение 281
Линейно независимые элементы 314
— упорядоченное множество 33
Линейные формы 316
Липшиц (Lipschitz R., 1832—1903)
383
Лиувилль (Liouville J., 1809—1882)
357
Логарифм 156
— при основании а 160
Логарифмическая спираль 249
Логарифмический декремент
затухания 369
Логические связки 15
Локально компактное множество 276
— конечная система множеств 405
672 Указатель
Локально равномерно сходящаяся
последовательность функций 274
Локальный максимум 115, 308, 340
— минимум 115, 308, 340
— экстремум 116, 308
Ломаная 377
— вписанная в параметризованный
путь 637
Лопиталь (L'Hospital G. F. A. de,
1661—1704) 122
Лоренц (Lorentz H. А., 1853—1928)
657
Магнитная индукция 647
Мажоранта 68
Максвелл (Maxwell J. С, 1831—1879)
647, 648
Максимум 21, 83
Максимум норма 473
Матрица Якоби 323
Мелкость разбиения 195, 633
Мера Дирака 492
— евклидова 490
— Лебега 490
— Лебега — Стильтьеса 492
— положительная 489
— Радона 487
Метод вариации постоянной 349
— замены переменных 350
— последовательных приближений
Пикара — Линделёфа 423, 433
Метрика 234
— Минковского 657
Метрическое пространство 234
Минимум 21, 83
Минковский (Minkowski H., 1864—
1909) 657
Миноранта 68
Мнимая часть 360
Многочлен 90
— Лагерра 464
— Лежандра 458
— Тейлора 132, 296
Множество канторова типа 632
Множители Лагранжа 341
Множитель Эйлера 412
Модуль 360
Монотонно возрастающая
последовательность 56
— убывающая последовательность 56
Мультииндексы 288
Напряженность магнитного поля 659
— электрического поля 646
Натуральная параметризация 245, 637
Натуральное число 13
Натуральный логарифм 156
Начало пути 234
Нейтральный элемент 22
Неопределенная форма 309
Неопределенный интеграл 201
Непрерывная дифференциальная р-
форма 562
— функция 83, 269
Непрерывно дифференцируемая
форма 562
функция 112, 287
— дифференцируемое отображение
234, 289
Непрерывное отображение 234, 278
— поле направлений 411
Непрерывный ток 650
Неравенство 33
— треугольника 234
— Шварца 232
Несобственные интегралы 528
Неявная функция 338
Нигде не постоянный путь 242
Нижний класс 38
— предел 53, 499
Нижняя граница множества 43
— — последовательности 47
— грань клетки 583
— — множества 43
— — параллелепипеда 580
— — последовательности 47
— — функции 91
Норма 232
— евклидова 233
Нормальный (канонический) вид
формы 558
Нормированное действительное
векторное пространство 233
Нормированный многочлен 209
Нулевая цепь 581
Нуль многочлена 90
— не менее r-го порядка 141
Нуль-множество 192, 518
Нуль-ток 652
Ньютон (Newton I., 1643—1727) 145,
150
Область определения (существования)
77, 268
Образ множества 268, 277
Обратная функция 126
Обратное отображение 278
Обратные тригонометрические
функции 169
Общая формула преобразования 600
— — Стокса 615
Общее решение 388, 433
Общий закон индукции 650
Указатель
673
Объединение 14
Объем измеримого множества 515
— параллелепипеда 481
Обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка,
разрешенное относительно производной
344
Ограниченная по Лебегу
последовательность функций 511
— последовательность 47
— — точек пространства Шп 266
— функция 92
Ограниченное множество 43, 264
— по Лебегу множество функций 511
Одномерный ток 656
Однородное линейное
дифференциальное уравнение 346
— — отображение 281
Окрестность 48, 256
— функции 177, 484
Определение с помощью полной
индукции 23
Ориентация пути 236, 237
Ориентированные прямые 251
Ортогональное отображение 282
Основная теорема алгебры 209
— — дифференциального и
интегрального исчисления 202
Особая точка пфаффовой формы 409
Остаток ряда 98
Остаточный член формулы Тейлора
134, 298
— в форме Лаграыжа 134,
299
Открытое множество 49, 256
— отображение 280
— покрытие 262, 474
— ядро 258
Открытый промежуток 13
Относительно компактное
подмножество 265
Отношение эквивалентности 235
Отображение 234, 277
Отрицательно определенная форма 309
— полуопределенная форма 309
Параллелепипед 256
Параллелепипедные покрытия 475
Параметризация клетки 580
Параметризованная тг-мерная клетка
580
Параметризованный путь 234
Пеано (Peano G. 1858—1932) 377
Первая теорема о среднем значении
дифференциального исчисления
(теорема Лагранжа) 117
Первое уравнение Максвелла 662
Первообразная 201
— дифференциального уравнения 405
Пересечение 14
Пикар (Picard E., 1856—1941) 423
Плотность 656
— электрического смещения 658
Подпоследовательность 47
Показательная функция 153
— — с основанием а 158
Покоэффициентно сходящаяся
последовательность 147
Покрытие 472
Поле 28
— направлений 345, 431
Полилинейная форма порядка р (р-ли-
нейная форма) 546
Полная индукция 24
— (точная) пфаффова форма 411
Полный дифференциал 325, 562
— прообраз 277
Положительная линейная форма 481
— мера 489
Положительно определенная форма
309
— — полуопределенная форма 309
Полуаналитическое множество 607
Полунепрерывная (сверху, снизу)
функция 79, 80, 269
Полуоткрытый промежуток 14
Полурегулярная клетка 604
Полурегулярное клеточное разбиение
604
__ __ _ пары 606
Полярные координаты 247
Последовательность точек 44, 265
Постоянная последовательность 45
Постоянный путь 242
Правила Лопиталя 122
Правило дифференцирования
произведения НО
— — частного 111
— подстановки 206
— — для интеграла Лебега 625
Предел последовательности 54, 266
— — функций 94
— функции в точке 87
Предельная точка 50, 260, 266
Преобразование параметра 235, 580
Преобразования Лоренца 657
Признак Даламбера 69
— сравнения 68, 101
— сходимости Коши радикальный 70
Примитивное отображение 591
Приращение 135
Пробные формы 650
Произведение 27
674
Указатель
Произведение покрытий 477
— разбиений 175
— форм 551 _
— функции со значениями в К
на действительное число 499
Производная 108, 112
Промежуток 13, 14 ,
Прообраз 277
Простой замкнутый контур 238
Псевдофункциональная область 483
Пуанкаре (Poincare H., 1854—1912)
574
Пустое множество 13
Путь 236
Пфафф (Piaff J. F., 1765-1825) 326
Пфаффова форма 326
интегрируемая на пути 641
— — полная (точная) 411
— — регулярная 409
Равномерно ограниченная по Лебегу
функция 539
— ограниченное множество функций
374
— сходящаяся последовательность
функций 95, 273, 274
— сходящийся ряд функций 98
Равностепенно непрерывное
множество функций 374
Радикальный признак сходимости Ко-
ши 70
Радиус сходимости степенного ряда
104
Радон (Radon J., 1887—1956)
Разбиение промежутка 79
— пространства Лп 475
Разделение переменных 353
Разделенные разности 145, 150
Разложение на простейшие дроби 210
Разность 14
Расстояние 233, 272
Расходящаяся последовательность 54
Расходящийся ряд 63
Рациональная функция 91
Рациональное число 13
Регуляризация решений 359
Регулярная клетка 580
— поверхность 339
— пфаффова форма 409
Регулярное отображение 327, 604
Регулярный кусок поверхности 339
Резонансная амплитуда 372
— частота 372
Рефлексивность отношения
эквивалентности 235
Решение дифференциального
уравнения 345
Риккати (Riccati J. F., 1676—1754)
354
Риман (Riemann G. F. В., 1826—
1866) 175, 176, 195
Риманова сумма 175, 195
— — ступенчатой функции 176
Рисе (Riesz F., 1880—1956) 517
Ролль (Rolle M., 1652—1719) 116
Ряд 63
— биномиальный 163
— гармонический 66
— знакочередующийся 72
— — гармонический 73
— расходящийся 63
— с положительными членами 68
— степенной 102
— сходящийся 63
— Тейлора 137, 301
— функций 97
Свободная абелева группа 579
Седло 421
Секущее число 38
Сдвиг 283
— фазы 372
Сильно эквивалентные
параметризованные пути 235
Символ Кронекера 281
— — обобщенный 548
Симметричность отношения
эквивалентности 235
Симпсон (Simpson Th., 1710—1761)
223
Синус 163
Система обыкновенных
дифференциальных уравнений 358
— уравнений с частными
производными 359
Скалярное произведение 231
След клетки 581
— параметризованного пути 234
— параметризованной клетки 580
— цепи 581
Собственные векторы 443
— значения 443
Согласованные элементарные цепи 612
Сопряженное пространство 316
Сопряженный базис 313
Специальная формула
преобразования 585
Специальное дифференциальное
уравнение Риккати 354
Специальные отображения 593
Спираль Архимеда 248
Спрямляемый путь 239, 637
Степенное множество 41
Степенной ряд 102
Указатель 675
Степень рациональной функции 209
Стильтьес (Stieltjes T. J., 1856—1894)
Стоке (Stokes G. G., 1819—1903) 586,
588
Строгое неравенство 33
Ступенчатая функция 79, 476
Сужение отображения 277
— функции 77, 268
Сумма путей 237
— ряда 64
функций 98, 274
— функций со значениями в Dl 499
Сферические координаты 617
Сходимость в смысле Лебега 190, 192
Сходящаяся последовательность 54,
266
— поточечно последовательность
функций 94, 273
Сходящийся поточечно ряд функций
97
— ряд 63, 301
Счетное множество 45
Сюръективное отображение 277
Тангенс 167
Тейлор (Taylor В., 1685—1731) 134,
298
Тензор энергии-импульса 662
Теорема Адамара 104
— Архимеда 38
— Б. Леви 508
— Больцано — Вейерштрасса 54, 266
— Гейне — Бореля 264
— единственности для многочлена
Тейлора 135
— __ — степенных рядов 140
— Коши 118
— Лагранжа 117
— об интегрировании монотонной
последовательности 511
— о промежуточном значении 93
— Ролля 116
— сложения для логарифма 157
__ — — показательной функции 154
— — — тригонометрических
функций 164
— Стокса для куба 586
— — — цепей 588
— существования Пеано 379, 431
— сходимости Лебега 513
— Тонелли 536
— фубини 534
Теоремы устойчивости 392
Ток 650, 656
Тонелли (Tonelli L., 1885—1946) 536
Топологическое пространство 257
Топология 257
Точечные токи 659
Точная дифференциальная форма 566
Транзитивность отношения
эквивалентности 235
Трансверсальная ориентация 653, 654
Трансцендентное число 155
Тривиальное продолжение 514
Тригонометрические функции 163
Узел с двумя направлениями входа 422
одним направлением входа 420
Упорядочение 32
Уравнение Бесселя 455
— Лапласа 359
— Лежандра 456
— непрерывности 657
— Шредингера 460
Уравнения Максвелла
Условие интегрируемости 412
— Липшица 383, 385, 432, 451
Фату (Fatou P., 1878—1929) 512
Фокус 419
Форма альтернированная 547
— внешняя 547
— дифференциальная, см.
дифференциальная форма
— квадратичная 309
— кососимметрическая 547
— линейная 316
— — положительная 481
— неопределенная 309
— полилинейная порядка р (р-линей-
ная) 546
— положительно (отрицательно)
определенная 309
полуопределенная 309
— пробная 650
— пфаффова, см. пфаффова форма
— (р, д)-линейная 546
Формула Коши — Адамара 104
— Симпсона 223
— преобразования для открытых
множеств 602
— Тейлора 134, 298
— трапеций 219, 221
фубпни (Fubini G., 1879—1943) 534
Фундаментальная матрица 437
— система решений 437
Функциональная матрица 323
— область 177, 484
Функциональный определитель 327
Функция 77, 268
— аналитическая 137
676
Указатель
Функция Бесселя 456
— гиперболическая 172
— действительная 77
— дифференцируемая 107, 131
— интегрируемая, см. интегрируемая
функция
— инъективная 126
— непрерывная 83
— обратная 126
— ограниченная 92
— показательная 153, 158
— полунепрерывная 79, 80
— рациональная 91
— ступенчатая 79
— тригонометрическая 163
— элементарная 153
Характеристическая функция
множества 514
Характеристический многочлен 443
Хаусдорф (Hausdorff F., 1868-1942)
48, 260
Целое число 13
Центр 419
епное правило 111, 289
епь 581
Частичная сумма ряда 63
— упорядоченность 33
Частичный промежуток разбиения 79
Частная производная 286
— — порядка г 291
Частное решение 349
Число 11
— алгебраическое 155
— действительное И
Число комплексное 360
— натуральное 13
— отрицательное 35
— положительное 35
— рациональное 13
— трансцендентное 155
— целое 13
— е 155
— л 166
Числовая последовательность 44
— прямая 12
замкнутая 16
Шаг винтовой линии 250
Шварц (Schwartz H. А., 1843—1921)
232
Эйнштейн (Einstein A., 1879—1955)
663
Эквивалентность высказываний 20
Эквивалентные параметризованные
клетки 580
— — пути 235
— полурегулярные клеточные
разбиения 612
Эквипотенциальные поверхности 655
Эйлер (Euler L., 1707—1783) 412
Элемент 12
— последовательности 265
Элементарная цепь 611
Эрмит (Hermite Ch., 1822—1901) 142,
150
Якоби (Jacobi С. G. J., 1804—1851)
323
Якобиан 327
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика 5
Из предисловия авторов 7
Т о м I. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 8
Предисловие 9
Глава I. Действительные числа * 11
§ 1. Числа и числовая прямая 11
§ 2. Множества . . 12
§ 3. Аксиомы поля 21
§ 4. Аксиомы порядка 32
§ 5. Аксиома о дедекиндовом сечении 37
Глава II. Множества и последовательности 42
§ 1. Ограниченные множества 42
§ 2. Последовательности точек 44
§ 3. Понятие окрестности 48
§ 4. Сходимость 54
Глава III. Бесконечные ряды 63
§ 1. Сходимость и расходимость 63
§ 2. Ряды с положительными членами 68
§ 3. Знакочередующиеся ряды 72
§ 4. Абсолютная сходимость 73-
Глава IV. Функции 77
§ 1. Понятие функции 77
§ 2. Полунепрерывные функции 79
§ 3. Непрерывные функции 83
§ 4. Рациональные операции 88
§ 5. Функции на замкнутых промежутках 91
§ 6. Последовательности функций 94
§ 7. Ряды функций 97
§ 8. Степенные ряды 101
Глава V. Дифференцирование 108
§ 1. Дифференцируемость 108
§ 2. Рациональные операции 109
§ 3. Локальные экстремумы и теоремы о среднем значении . . . 115
§ 4. Правила Лопиталя 119
§ 5. Перестановка предельных переходов 122
§ 6. Обратная функция 126
678 Оглавление
Глава VI. Элементарные функции и теорема Тейлора . 131
§ 1. Разложение Тейлора 131
§ 2. Интерполяция 141
§ 3. Экстремальные значения 151
§ 4. Элементарные функции 153
Глава VII. Интегрирование 174
§ 1. Ступенчатые функции 174
§ 2. Интегрируемость 180
§ 3. Элементарные правила интегрирования 184
§ 4. Сходимость в смысле Лебега 190
§ 5. Нуль-множества 192
§ 6. Интегрируемость по Риману 194
§ 7. Дифференцирование и интегрирование 198
§ 8. Интегрирование по частям 204
§ 9. Правило подстановки 206
§ 10. Рациональные функции 208
§ И. Неограниченные функции 214
§ 12. Численное интегрирование 218
Том П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ 226
Предисловие 227
Глава I. Пути в Rn . 230
§ 1. тг-мерное пространство 230
§ 2. Пути 234
§ 3. Длина дуги 238
§ 4. Натуральный параметр 242
§^ 5. Некоторые кривые 246
§ 6. Касательная и кривизна 251
Глава II. Топология пространства |R,n 256
§ 1. Окрестности 256
§ 2. Компактные множества 262
§ 3. Последовательности точек 265
§ 4. Функции. Непрерывность 268
§ 5. Последовательности функций 273
§ 6. Отображения 277
Глава III. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 284
§ 1. Дифференцируемость 284
§ 2. Элементарные правила 288
§ 3. Производные высшего порядка 291
§ 4. Формула Тейлора " 295
§ 5. Ряд .Тейлора 301
§ 6. Локальные экстремумы 308
Глава IV. Касательные векторы и регулярные отображения 314
§ 0. Некоторые сведения из линейной алгебры 314
§ 1. Дифференцирования 316
Оглавление 679
§ 2. Преобразование касательных векторов 321
§ 3. Пфаффовы формы 324
§ 4. Регулярные отображения 326 -
§ 5. Обратные отображения 333
§ 6. Системы уравнений и неявные функции 335
§ 7. Экстремумы при дополнительных условиях 339
Глава V. Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 344
§ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка 344
§ 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 346
§ 3. Дальнейшие методы решения 350
§ 4. Дифференциальное уравнение Риккати 353
§ 5. Общие классы дифференциальных уравнений 357
§ 6. Комплексные функции . 360
§ 7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами 363
Глава VI. Теоремы существования 374
§ 1. Равностепенно непрерывные функции 374
§ 2. Теорема существования Пеано' 377
§ 3. Условие Липшица 383
§ 4. Вид интегральных кривых в целом 385
§ 5. Зависимость решений от начальных условий 388
§ 6. Общее решение 393
§ 7. Первообразная дифференциального уравнения 405
Глава VII. Методы решения 407
§ 1. Пфаффовы формы 407
§ 2. Регулярные точки пфаффовой формы 409
§ 3. Множитель Эйлера 411
§ 4. Дифференцируемые преобразования 415
§ 5. Особенности пфаффовых форм 416
§ 6. Метод последовательных приближений Пикара и Линделёфа 423
§ 7. Решение с помощью степенных рядов 426
Глава VIII. Системы дифференциальных уравнений, дифференциальные
уравнения высшего порядка 431
§ 1. Системы дифференциальных уравнений первого порядка,
разрешенных относительно производных, теоремы
существования и единственности 431
§ 2. Линейные системы первого порядка 434
§ 3. Линейная однородная система с постоянными коэффициентами 439
§ 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения высшего
порядка, разрешенные относительно производной 448
§ 5. Некоторые дифференциальные уравнения второго порядка . . 454
Том III. ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 468
Предисловие 469
Глава I. Интегрирование в w-мерном пространстве 473
§ 1. Ступенчатые функции 473
§ 2. Меры Радона '. 481
§ 3. Некоторые меры Радона 490
680 *" Оглавление
§ 4. Положительные меры 493
§ 5. Полунепрерывные функции 498
§ 6. Элементарные правила интегрирования 503
§ 7. Монотонные последовательности 507
§ 8. Теорема сходимости Лебега 511
§ 9. Измеримые множества 514
§ 10. Интегрирование ступенчатых функций 520
§ 11. Примеры интегрируемых функций 524
§ 12. Кратное интегрирование 529
§ 13. Предельные переходы под знаком интеграла 539
Глава II. Внешние дифференциальные формы 545
§ 1. Грассмановы произведения векторного пространства .... 545
§ 2. Внешние дифференциальные формы 554
§ 3. Дифференцируемые отображения 559
§ 4. Дифференпиальные формы на допустимых множествах . . . 561
§ 5. Примеры и правила действий 567
§ 6. Лемма Пуанкаре л 572
Глава III. Криволинейные и поверхностные интеграды 579
§ 1. Цепи 579
§ 2. Теорема Стокса 584
§ 3. Формула преобразования 589
§ 4. Полурегулярные клеточные разбиения 604
§ 5. Абсолютно непрерывные функции 618
§ 6. Спрямляемые пути 636
Глава IV. Приложения к электродинамике 644
§ 1. Электрическое и магнитное поле 644
§ 2. Токи . . . 650
§ 3. Ориентации в пространстве 652
§ 4. Плотность тока и напряженность 656
Литература [664
Указатель обозначений 667
Указатель 669
Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие просим
присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер.,
д. 2, издательство «Мир».