/
Автор: Бугров Я.С. Никольский С.М.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика дифференциальное исчисление высшая математика естественные науки интегральное исчисление точные науки
ISBN: 5-222-00217-9
Год: 1997
Текст
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
. и. «. Ы Г nk^i ЛЖ- . * f- 1 .« f n-ft ‘I ШИ.
Я,С. Бугров, С.М. Никольский
Дифференциальное
и интегральное
исчисление
ДЛЯ СТУДЕНТОВ
ВУЗОВ
Высшая математика
Я. С. Бугров
С. М. Никольский
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Рекомендовано Министерством общего
и профессионального образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов инженерно-технических
специальностей высших учебных заведений
Ростов-на-Дону
«Феникс»
1997
ББК 22.161.1
Б 90
УДК 517 (075.8)
В серию учебников по высшей математике авторов Я. С. Буг-
рова, С. М. Никольского вошли книги:
1. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы.Ряды. Функ-
ции комплексного переменного
2. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
3. Дифференциальное и интегральное исчисление
4. Сборник задач по высшей математике
Данная серия получила высокое признание в нашей стране и за
рубежом, была удостоена государственной премии в 1987 году.
Все книги серии переведены на английский, французский, испан-
ский и португальский языки.
За короткий срок эти книги выдержали три издания и сегод-
ня пользуются огромным спросом и популярностью у студен-
тов вузов России.
Бугров Я. С., Никольский С. М.
Б 90 Высшая математика. Дифференциальное и интегральное
исчисление: Учебник для вузов. — 4-е изд., перераб. и доп. —
Ростов н/Д: изд-во «Феникс», 1997. — 512 с.
Учебник вместе с тремя другими книгами тех же авторов
«Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии»,
«Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Фун-
кции комплексного переменного» и «Сборник задач по высшей
математике » соответствует программе по высшей математике для
инженерно-технических специальностей вузов.
Книга содержит следующие разделы: Введение в анализ. Диф-
ференциальное и интегральное исчисление функций одной
переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких
переменных. Ряды. 1-е издание выходило в 1980 г. , 2-е изда-
ние — в 1984 г., 3-е издание — 1998 г.
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.
ББК 22.161.1
ISBN 5-222-002,17-^
© БугройЯ. С., Никольский С. М.
'®*Оформ|(ение, изд-во «Феникс»,
Содержание
Предисловие...................................9
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ............................. 11
§ 1.1. Предмет математики. Переменные
и постоянные величины, множества ......... 11
§ 1.2. Операции над множествами ........... 13
§1.3. Символика математической логики..... 15
§1.4. Действительные числа................ 16
§1.5. Определение равенства и неравенства. 20
§ 1.6. Определение арифметических действий. 22
§ 1.7. Основные свойства действительных чисел... 29
§ 1.8. Аксиоматический подход к понятию
действительного числа..................... 31
§ 1.9. Неравенства для абсолютных величин . 33
§ 1.10. Отрезок, интервал, ограниченное
множество................................. 34
§ 1.11. Счетное множество. Счетность множества
рациональных чисел. Несчетность
множества действительных чисел............ 35
Глава 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ............ 39
§2.1. Понятие предела последовательности.. 39
§ 2.2. Арифметические действия с переменными,
имеющими предел....................... 47
§ 2.3. Бесконечно малая и бесконечно большая
величины.............................. 50
§ 2.4. Неопределенные выражения ........... 52
§ 2.5. Монотонные последовательности....... 54
§ 2.6. Число е............................. 58
§ 2.7. Принцип вложенных отрезков.......... 59
§ 2.8. Точные верхняя и нижняя грани
множества................................. 61
§ 2.9. Теорема Больцано—Вейерштрасса....... 66
4
§ 2.10. Верхний и нижний пределы............. 68
§ 2.11. Условие Коши сходимости
последовательности....................... 71
§ 2.12. Полнота и непрерывность множества
действительных чисел..................... 73
Глава 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ............... 75
§3.1. Функция............................... 75
§ 3.2. Предел функции........................ 88
§ 3.3. Непрерывность функции ................ 98
§ 3.4. Разрывы первого и второго рода........106
§ 3.5. Функции, непрерывные на отрезке....110
§ 3.6. Обратная непрерывная функция..........115
§ 3.7. Равномерная непрерывность функции..118
§ 3.8. Элементарные функции .................121
§ 3.9. Замечательные пределы.................136
§ 3.10. Порядок переменной. Эквивалентность .139
Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ...................144
§4.1. Производная...........................144
§ 4.2. Геометрический смысл производной......148
§ 4.3. Производные элементарных функций......156
§ 4.4. Производная сложной функции...........158
§ 4.5. Производная обратной функции .........160
§ 4.6. Производные элементарных функций
(продолжение) ...........................161
§4.7. Дифференциал функции..................164
§ 4.8. Другое определение касательной........168
§4.9. Производная высшего порядка...........169
§ 4.10. Дифференциал высшего порядка.
Инвариантное свойство дифференциала
первого порядка..........................171
§ 4.11. Дифференцирование параметрически
заданных функций.........................174
5
§ 4.12. Теоремы о среднем значении........174
§ 4.13. Раскрытие неопределенностей.......182
§ 4.14. Формула Тейлора...................186
§4.15. Ряд Тейлора........................192
§4.16. Формулы и ряды Тейлора элементарных
функций..................................195
§ 4.17. Локальный экстремум функции.......200
§ 4.18. Экстремальные значения функции
на отрезке...............................205
§ 4.19. Выпуклость кривой. Точка перегиба.207
§ 4.20. Асимптота графика функции.........212
§4.21. Непрерывная и гладкая кривая.......215
§4.22. Схема построения графика функции...217
§ 4.23. Вектор-функция. Векторы касательной и
нормали..................................222
Глава 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ............227
§ 5.1. Неопределенный интеграл. Таблица
интегралов ..............................227
§ 5.2. Методы интегрирования..............232
§ 5.3. Комплексные числа..................239
§ 5.4. Теория многочлена n-й степени......244
§ 5.5. Действительный многочлен n-й степени ....247
§ 5.6. Интегрирование рациональных
выражений................................250
§ 5.7. Интегрирование иррациональных
функций .................................254
Глава 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ...............259
§ 6.1. Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла, и его
определение..............................259
§ 6.2. Свойства определенных интегралов ..267
§ 6.3. Интеграл как функция верхнего предела ..275
§ 6.4. Формула Ньютона-Лейбница...........278
6
§ 6.5. Остаток формулы Тейлора
в интегральной форме ...............284
§ 6.6. Суммы Дарбу. Условия существования
интеграла...........................286
§ 6.7. Интегрируемость непрерывных и
монотонных функций.................289
§ 6.8. Несобственные интегралы............291
§ 6.9. Несобственные интегралы
от неотрицательных функций .........296
§ 6.10. Интегрирование по частям несобственных
интегралов ...............................300
§ 6.11. Несобственный интеграл с особенностями в
нескольких точках.........................302
Глава 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ.................305
§ 7.1. Площадь в полярных координатах ....305
§ 7.2. Объем тела вращения................306
§ 7.3. Гладкая кривая в пространстве.
Длина дуги..........................307
§ 7.4. Кривизна и радиус кривизны кривой.
Эволюта и эвольвента................316
§ 7.5. Площадь поверхности вращения.......321
§7.6. Интерполяционная формула Лагранжа..323
§ 7.7. Квадратурные формулы прямоугольников
и трапеций................................326
§ 7.8. Формула Симпсона ..................330
Глава 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ...................335
§8.1. Предварительные сведения............335
§8.2. Предел функции......................338
§ 8.3. Непрерывная функция................345
§ 8.4. Частные производные и производная по
направлению...............................350
7
§8.5. Дифференцируемые функции..............356
§ 8.6. Применение дифференциала в
приближенных вычислениях ..................360
§ 8.7. Касательная плоскость. Геометрический
смысл дифференциала........................364
§ 8.8. Производная сложной функции.
Производная по направлению. Градиент ...366
§ 8.9. Дифференциал функции. Дифференциал
высшего порядка ..........................372
§ 8.10. Формула Тейлора.....................378
§8.11. Замкнутое множество.................380
§ 8.12. Непрерывная функция
на замкнутом ограниченном множестве ....386
§ 8.13. Экстремумы .........................391
§ 8.14. Нахождение наибольших
и наименьших значений функции ............397
§ 8.15. Теорема существования неявной функции.399
§ 8.16. Карательная плоскость и нормаль.....404
§ 8.17. Системы функций, заданных неявно....407
§ 8.18. Отображения.........................414
§ 8.19. Условный (относительный) экстремум .416
Глава 9. РЯДЫ.................................425
§9. 1. Понятие ряда .......................425
§ 9.2. Несобственный интеграл и ряд.........428
§ 9.3. Действия с рядами....................430
§ 9.4. Ряды с неотрицательными членами......432
§ 9.5. Ряд Лейбница.........................438
§ 9.6. Абсолютно сходящиеся ряды ...........439
§ 9.7. Условно сходящиеся ряды с
действительными членами...................441
§ 9.8. Последовательности и ряды функций.
Равномерная сходимость ....................442
§ 9.9. Интегрирование и дифференцирование
равномерно сходящихся рядов................451
8
§ 9.10. Перемножение абсолютно сходящихся
рядов....................................458
§9.11. Степенные ряды...................462
§ 9.12. Дифференцирование и интегрирование
степенных рядов..........................467
§ 9.13. Функции sin z, cos z от комплексного
переменного .......................474
§9.14. Ряды в приближенных вычислениях....478
§ 9.15. Понятие кратного ряда............487
§ 9.16. Суммирование рядов и
последовательностей......................496
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ........................502
Предисловие
Эта книга входит в серию под названием «Высшая ма-
тематика» , состоящую из четырех книг:
а) Элементы линейной алгебры и аналитической гео-
метрии.
б) Дифференциальное и интегральное исчисление.
в) Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы.
Ряды. Функции комплексного переменного.
г) Задачник.
Авторы думают, что эта серия* может быть учебником
для студентов втузов, изучающих математику по программе
500 часов или по программе меньшего объема при соответ-
ствующих сокращениях. При необходимости делаются ссыл-
ки из одной книги на другую.
Авторы при написании этих книг придерживались про-
граммы курса «Высшая математика для инженерно-техни-
ческих специальностей высших учебных заведений», утвер-
жденной Учебно-методическим управлением по высшему
образованию Министерства высшего и среднего специаль-
ного образования СССР.
Авторы учли, что в наших школах сейчас изучаются
начала аналитической геометрии и математического анализа.
В главе 1 несколько параграфов посвящено «действи-
тельному числу», хотя явно этого в программе нет — эти
вопросы излагаются в IX и X классах средней школы. Мы
думаем, что эти вопросы следует повторить во вводных лек-
циях. Студент должен знать, что действительное число мож-
но рассматривать как десятичное разложение. Доказатель-
ство леммы 2 о неубывающей ограниченной последователь-
ности десятичных дробей надо считать весьма желательным.
Но при изложении этих вопросов можно Ограничиться толь-
ко § 1. 7 и 1. 8.
Конечно, данную книгу и книгу «Элементы линейной
алгебры и аналитической геометрии» надо изучать парал-
лельно. Нет нужды давать советы, в какой последователь-
* Однако серия не охватывает раздел этой программы «Теория веро-
ятностей» и не полностью охватывает раздел «Численные методы».
10
ности должно происходить изучение. Отметим только, что
перед главой 8 о функциях многих переменных читатель
должен ознакомиться с понятием m-мерного пространства.
В свою очередь, для изучения самосопряженного опе-
ратора и квадратичных форм понадобятся свойства функ-
ций, непрерывных на замкнутом множестве (§ 8.12 данной
книги). А потом, параграф, посвященный экстремумам фун-
кций многих переменных, потребует знания квадратичных
форм. В условном экстремуме серьезно используется пред-
ставление об ортогональных подпространствах т-мерного
пространства.
Второе и третье издания отличаются от первого рядом
изменений и дополнений.
Более подробно изложен вопрос о применении поня-
тия дифференциала в приближенных вычислениях. Приве-
дены доказательства свойств непрерывных функций мно-
гих переменных на замкнутых множествах. Введен пункт
об однородных функциях. В главе 9 добавлен материал по
теории кратных рядов и теории суммируемости.
Выражаем благодарность секции технических вузов
научно-методического совета по математике при Минвузе
СССР под руководством профессора Л. Д. Кудрявцева, кол-
лективу кафедры высшей математики № 2 Ленинградского
политехнического института, профессору А. И. Прилепко
и руководимой им кафедре высшей математики Московс-
кого инженерно-физического института за обсуждение на-
ших учебников и ценные замечания и предложения, кото-
рые, несомненно, способствовали улучшению содержания
учебников.
Мы также выражаем благодарность Ю. И. Волкову,
М. Ш. Коссу, А. М. Полосуеву, Я. М. Тобольцеву, А. Ф.
Шапкину и ряду других читателей за ценные кон-
структивные предложения, которые мы старались учесть
при работе над учебником.
В 1984 г. комплекс наших учебников по высшей мате-
матике, состоящий из трех книг и задачника, удостоен пре-
мии МВ и ССО СССР, а в 1986 г. — диплома почета ВДНХ
СССР.
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1.1. Предмет математики. Переменные
и постоянные величины, множества
Среди всех наук математика занимает особое место.
Математика определяется как наука о пространственных
формах и количественных отношениях реального мира.
Конечно, если учесть современное состояние математики и
разнообразие изучаемых ею структур, то пространственные
формы и количественные отношения необходимо понимать
в самом общем виде.
Математика дает другим наукам язык чисел и симво-
лов для выражения различного рода отношений между явле-
ниями природы. Но прежде чем применять математику,
биолог, физик или экономист должны глубоко понять суть
изучаемого явления, расчленить его на части, поддающиеся
математической обработке.
Объектами изучения в самой математике являются ло-
гические модели, построенные для описания явлений при-
роды и общества. Математика изучает соотношения между
элементами этих моделей. Если математическая модель вер-
но отражает суть данного явления, то она позволяет вскры-
вать и необнаруженные вначале закономерности, т. е. мате-
матика способна вскрывать и качественную сторону явле-
ния.
12
ГЛАВА 1. ВВВДЕНИЕ
В силу большой абстрактности одна и та же матема-
тическая модель может описывать различные процессы.
Например, одно и то же дифференциальное уравнение опи-
сывает и характер радиоактивного распада, и изменение
температуры тела.
При изучении явлений природы и общества мы на каж-
дом шагу сталкиваемся с изменением величин, с зависи-
мостью одной из величин от другой. Поэтому понятие о пе-
ременной величине является основным в математическом
анализе.
Под переменной величиной мы будем понимать вели-
чину, которая в процессе изучения какого-либо явления
принимает хотя бы два различных значения. Величина,
которая при исследовании данного вопроса принимает толь-
ко одно значение, называется постоянной.
Ф. Энгельс отмечал, что введение декартовой перемен-
ной величины внесло в математику движение и диалекти-
ку.
Если все значения, принимаемые переменной величи-
ной, объединить, то мы получнммножество значений этой
величины.
Понятие множества также является основным в мате-
матике, это простое, первичное понятие, которое мы не бу-
дем пытаться определить через другие простые понятия.
Множество — это совокупность, собрание каких-либо
объектов произвольной природы.
Так можно говорить о множестве студентов института,
о множестве молекул в данном теле, о множестве телеви-
зоров с цветным изображением в данной аудитории и т. д.
Объекты, входящие в данное множество, будем называть
элементами множества.
Мы будем обычно обозначать множества большими
буквами А, В,..., X, Y,..., а их элементы малыми буквами
а, Ъ,..., х, у, ... .
Если элементх принадлежит множеству^, то этот факт
обозначают так: х G А. Если же х не входит в множество А,
§ 1.2. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
13
то пишут: х~е А. Символом А G В (множество А включено в
множество!?) обозначают тот факт, что еслих е А, то х G В.
Множество А в этом случае называется подмножест-
вом множества В. Употребляется также равносильная за-
пись ВэА (множество В включает в себя множество А).
Символы с, Z) называются знаками включения.
Если множество не содержит ни одного элемента, то
его называют пустым и обозначают символом 0. Ясно, что
0 G А, где А — любое множество.
Для обозначения множеств широко употребляют фи-
гурные скобки, внутри которых тем или иным способом
описываются элементы, из которых эти множества состоят.
Выражение N = {1, 2, 3, ...} обозначает множество на-
туральных чисел, {0, 1, 2, ...} — множество целых не-
отрицательных чисел, aZ = {... , -2, —1, 0, 1, 2, ...} — мно-
жество всех целых чисел. Вот еще пример: А = {1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 0} — множество, состоящее из цифр десятичной
системы счисления. Очевидно 2 е А, ~ е А.
Говорят, что множества А и В равны, и пишут А = В,
если А с В и В с А На вопрос о том, равны ли данные
множества, далеко не всегда легко ответить. Например, если
А= {6, 8, 10, ...}, В = {р + q} есть множество сумм простых
чисел р и q, больших чем 2, то ясно, что В с А. Однако до
настоящего времени не установлено, верно ли, что А с В,
т. е. можно ли любое четное число > 6 представить в виде
суммы двух простых чисел, больших двух. В данном курсе
мы в основном будем иметь дело с числовыми множества-
ми, т. е. элементами их будут числа.
§ 1.2. Операции над множествами
Для множеств можно ввести арифметические опера-
ции сложения и умножения, которые обладают свойства-
ми, во многом аналогичными соответствующим свойствам
операций сложения и умножения чисел.
Пусть даны два произвольных множестваА и В. Сум-
14
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
мой или объединением множеств А и
В называется множество С, состоящее
из элементов множеств А и В; при
этом пишут: С =А + В или С = A U В
(рис. 1). Легко видеть, что А +А=А.
Произведением или пересечени-
ем множеств А и В называется мно-
жество, состоящее из элементов,
одновременно принадлежащих мно-
жеству А и множеству В. Пересече-
ние множеств обозначается черезАВ
илиА П В (рис. 2). Очевидно, чтоА П
П А = А. Если АВ — 0, то говорят, что множестваА и В не
пересекаются. Используя понятие равенства множеств,
можно доказать, что: 1)А + В = В + А, 2) (А + В) С = АС +
+ ВС, 3) (АВ) С = А (ВС), 4) (А + В) + С = А + (В + С). Дока-
жем, например, 2). Если х G (А + В) С, то, согласно опре-
делению произведения, х еА + Вих еС. Из определения
суммы следует, чтох G А илих G В. Пусть для определен-
ности х G А. Тогда х G АС, а следовательно, х G АС + ВС.
Значит, (А +В) С cz АС + ВС.Если теперь элементх G АС +
+ ВС, то выполняется по крайней мере одно из соотноше-
ний х g АС, х g ВС, для определенности пусть х g АС.
Тогда х G А + В и х G С, т. е. х G (А + В) С. Отсюда АС +
+ ВС cz (А + В) С. Этим равенство 2) доказано.
Разностью множеств А и В на-
зывается множество R = А X В, со-
стоящее из элементов А, которых нет
в В.
Заметим, что в общем случае
(А X В) + В^ А (рис. 3). Но еслиВ cz
с А, то (А X В) + В = А (рис. 4).
Множества с введенными опера-
циями сложения и умножения обра-
зуют своеобразную алгебру, где нет
коэффициентов и степеней.
Рис. 4
§ 1.3. СИМВОЛИКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
15
§ 1. 3. Символика математической логики
Для сокращения записи в дальнейшем мы будем употреб-
лять некоторые простейшие логические символы. Если нас ин-
тересует не сущность какого-либо предложения, а его связь с
другими, то это предложение будем обозначать одной из букв
а, Р...Запись а => Р означает: «из предложения а следует
предложение Р». Знаком а <=> Р будем обозначать тот факт,
что предложения аир эквивалентны, т. е. из а следует Р и из
Р следует а.
Запись Vx е А: а означает: «для всякого элемента х е А
имеет место предложение а». Символ V называется кванто-
ром всеобщности.
ЗаписьЗу е В: Р означает: «существует элемент у е В, для
которого имеет место предложение Р». Символ 3 называется
квантором существования.
Символ а будем понимать как отрицание предложения а
или, коротко, «не а».
Построим отрицание утверждения Vx е А: а.
Если данное утверждение не имеет места, то предложение
а имеет место не для всех х G А, т. е. существует элемент х G
е А, для которого а не имеет места: Vx е А: а <=> Зх G А: а .
Совершенно аналогично Vy е В: 0 <=> Vy g В: р .
Таким образом, чтобы построить отрицание данной логи-
ческой формулы, содержащей знаки V иЗ, необходимо знак V
заменить наЗ, а знак 3 на V и отрицание (черту) перенести на
свойство, стоящее после двоеточия. Например, отрицание пред-
ложения
ЗМ Vx g А: /(х) =$ М
имеет вид
ЗМ Vx е А: /(х) < М <=> VM Зх g А:
/(х) < М <=> VM Зх G А: /(х) > М.
16
ГЛАВА 1, ВВЕДЕНИЕ
§ 1.4. Действительные числа
Понятие числа является первичным и основным в ма-
тематике. Это понятие прошло длительный путь истори-
ческого развития. Множество натуральных чисел
N= {1, 2, 3..п, ...}
появилось в связи со счетом предметов. Затем под влия-
нием потребностей практики и развития самой математики
были введены целые числа
Z= {...,-3, -2,-1, 0, 1, 2, 3, ...}
и рациональные числа
Q = {т/п}, где т, п 6 Z, п Ф 0.
Для однозначности записи рационального числа бу-
дем считать, что дробь т/п несократима, если не будет де-
латься оговорки на этот счет.
Введение рациональных чисел, однако, полностью не
решило важной практической задачи об измерении отрез-
ков. Ведь существует отрезок, длина которого не является
рациональным числом. Примером может служить диаго-
наль квадрата, сторона которого равна единице.
В связи с этим возникла необходимость введения, кро-
ме рациональных чисел, и других чисел — иррациональ-
ных. Произвольные числа — рациональные или иррацио-
нальные — называются действительными иливеществен-
ными. Множество действительных чисел обозначают через
R. Существуют различные способы введения (определения)
действительных чисел. Мы остановимся на способе пред-
ставления их в виде бесконечных десятичных дробей
а = + а0, . (1)
Здесь а0 — целое неотрицательное число, ак при k > 0 —
десятичные цифры. Таким образом, ак может принимать
только одно из значений 0, 1, 2, ... , 9. Знак + часто в этих
записях опускают.
Чтобы представить не равное нулю рациональное чис-
ло ± т/п (т > 0, п > 0) в виде десятичной дроби, производим
процесс деления т/ на п по известному способу, которому
нас учили в школе:
§ 1.4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
17
m| п (2)
0^,0^...
Заметим, что если этот способ применить к другой за-
писи дроби ±тр/пр - +т/п (р > 0), то получим тот же ре-
зультат.
Полагаем
± п = ± а0, а^Оз-.. (3)
и правую часть (3) называем десятичным разложением чис-
ла ± т/п.
Если знаменатель дроби имеет вид п = 2s 5*, где s, I —
целые неотрицательные числа, то процесс (2) заканчивается
после конечного числа шагов и получается конечная деся-
тичная дробь
=±ао>а1—ам <ам> °)- (4)
Конечную десятичную дробь мы будем записывать так-
же в виде бесконечной дроби:
±а0, а, ... ам=±а0, а1 ... ам00 ... = ±а0, at... aM(0). (5)
Но пользуются также и другой записью:
±я0, а1... ам = ±я0, Я]... a,M_l (ам — 1) 99 ... =
= ± а0, Oj... ам_х {ам - 1) (9) (ам > 0), (5')
хотя она не возникает из процесса (2).
Итак, имеют место равенства
± а0, ах... ам = ± а0, аг... ам (0) = ± а0, а,... (ам- 1)(9)
(ам > 0).
Дроби ± а0, а, ... ам (0) и ± а0, Oj ... ам_х (ам- 1) (9)
могут служить примерами периодических дробей. Первая
из них после цифры ам имеет период 0, а вторая после циф-
ры ам - 1 имеет период 9.
Пусть теперь знаменатель несократимой дроби не име-
ет вид 2S5/. Тогда процесс (2) бесконечный — на любом шаге
возникает положительный остаток. Каждый остаток мень-
ше п, и потому (после того, как цифры числа т снесены)
18
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
уже среди первых п остатков окажутся по крайней мере
два, равные между собой. Но как только возникает остаток,
который уже был прежде, процесс становится повторяю-
щимся — периодическим. Поэтому десятичное разложение
произвольного рационального числа имеет вид
.Ш . К К К К
=±а0> а1 ••• “лД - - =
= ±а0, аг ... ам ... bs) (s < п). (6)
Разложения (5) и (5') можно рассматривать как част-
ные случаи (6).
Примеры:
| = 0,166... = 0,1 (6),
1 = 0,(142857),
| = 0,22... = 0,(2),
— = 0,0707 ... = 0,(07),
7
7—77 = 0, 00707... = 0,0(07).
УУО
(7)
Разложение вида (6) называется бесконечной десятич-
ной периодической дробью.
Итак, каждое не равное нулю рациональное число мож-
но разложить с помощью процесса (2), а в случае (4) и про-
цесса (5) — в бесконечную десятичную периодическую дробь
с периодом, отличным от 9. При этом можно доказать, что
разным рациональным числам соответствуют разные бес-
конечные десятичные разложения. Но и обратно: любая бес-
конечная периодическая дробь (6), с периодом, отличным
от 9, порождается при помощи указанных процессов (2), (5)
некоторым рациональным числом, которое вычисляется по
формуле
±^ = ± а^а^.-.а,
1д. + Р1"'Р‘’10~м
м 9...9
§ 1.4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
19
Здесь мы позволили себе через pj ... ps и 9 ...9 обозна-
«раз
чить целое число, записанное соответственно цифрами
Pi. ...,р,и9...9.
«раз
Например,
1,237 (06) = 1,237 + 0,000 (06) =
= 1,237+ 061СГ3 =
99
1,237 +
6
99000
Кроме периодических десятичных дробей, существуют
непериодические, например 0,1010010001...;
0,121122111222... .
Вот еще пример: если извлекать корень квадратный из
2 по известному правилу, то получим определенную беско-
нечную непериодическую десятичную дробь -72 = 1,41... .
Она определена в том смысле, что любому натуральному
числу k соответствует определенная цифра ak, стоящая на
k-м. месте после запятой и однозначно вычисляемая соглас-
но правилу извлечения квадратного корня.
Математический анализ дает много путей вычисления
числа тг с любой наперед заданной точностью. Это приводит
к вполне определенному бесконечному десятичному разло-
жению п, которое, как оказывается, не является смешан-
ной периодической десятичной дробью.
Дадим теперь определение иррационального числа,
пока чисто формальное. Иррациональным числом назы-
вается произвольная бесконечная непериодическая дробь
а = ±а0,ща2а3... , (8)
где а0 — целое неотрицательное число, a aft (k = 1,2,...) —
цифры, знак же равенства « = » выражает, что мы обо-
значили правую часть (8) через а. Впрочем, удобно гово-
рить, что правая часть (8) есть десятичное разложение чис-
ла а.
Рациональные и иррациональные числа называются
действительными {или вещественными) числами.
Из сказанного следует, чтовсякое не равное нулю дей-
20
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
ствительное число может быть записано в виде бесконеч-
ной десятичной дроби (8). Если оно рациональное, то его
десятичное разложение есть бесконечная периодическая
десятичная дробь. В противном случае, согласно нашему
определению, выражение (8) само определяет иррациональ-
ное число.
Не равная нулю десятичная дробь может быть конеч-
ной, но она не определяет нового рационального числа: в
силу соглашений, выраженных равенствами (5), (5'), она
может быть заменена указанными в этих равенствах беско-
нечными периодическими дробями.
Число а, где не все ah k = 0,1,2,.. .равны нулю, положи-
тельно или отрицательно в зависимости от того, будет ли
в (8) фигурировать «+ » или «-»; при этом, как обычно, «+»
будем опускать.
Число 0 тоже может быть записано бесконечной деся-
тичной дробью одного из следующих видов:
О = + 0, 00... = 0, 00... = -0, 00... .
Действительные числа определены пока формально,
надо еще определить арифметические операции над ними,
ввести для них понятие «>»и проверить, что эти операции и
понятие «>» согласуются с уже имеющимися соответствую-
щими операциями и понятием «>» для рациональных чи-
сел, а также удовлетворяют свойствам, которые мы предъяв-
ляем к числам.
§ 1. 5. Определение равенства и неравенства
Зададим два числа а = Ь = ±Р0, PiP2... , опре-
деляемых бесконечными десятичными дробями, не имею-
щими период 9. Будем считать, что ониравны между собой
тогда и только тогда, когда их знаки одинаковы и
«* = ₽* (fe = 0, 1, 2, ... ).
Пусть а и Ь — положительные числа. По определению
а <Ъ, или, что все равно,Ъ >а, еслиа0 <Р0 или, если найдет-
6 1.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА
21
ся такой индекс (целое неотрицательное число) I, чтоаА =pfc
(* = 0.1...Оиаы <р1+1.
Подчеркнем, что если мы хотим сравнивать десятич-
ные дроби, одна из которых имеет период 9, то ее надо заме-
нить дробью с периодом 0 и затем уже применить указан-
ные правила сравнения.
По определению а > 0 или а < 0 в зависимости от
того, будет ли а положительным или отрицательным;
далее, по определению а < Ъ, если а < 0, Ь > 0, или если а,
Ь < 0 и |а| > |Ь|.
Еслиа=±а<), сцс^..., то по определению-а ==+а0, а1а2...
и абсолютная величина |а| = +а0, aja2 ... = а0, aja2 ... .
Таким образом,
|-a| = |a| =
a(a>0),
-a(a<0).
Как мы знаем из школьного курса математики, между
действительными числами и точками некоторой прямой
можно установить взаимно однозначное соответствие (—)
по следующему правилу. Чис-
n -tt О *8 +6
лу О приводится в соответ- ; .____,____•—»-
ствие произвольная точка О # Л
на прямой, называемая нуле- рис 5
вой точкой, и наоборот. Дли-
на некоторого отрезка принимается за единицу. Каждому
действительному числу ± а (а > 0) приводится в соответ-
ствие точка прямой, отстоящая от нулевой точки на рассто-
янии, равном а, справа от точки О для числа +а и слева от
точки О для числа-a (рис. 5). Наоборот, если А — произволь-
ная точка прямой, находящаяся на расстоянии а справа от
0, то считают, что она соответствует действительному чис-
лу +а (бесконечной десятичной дроби). Если же точка А
находится слева от точки О, то она соответствует числу -а.
Рассматриваемую прямую будем называтьчисловой прямой
или действительной осью. В дальнейшем точки числовой
прямой будем отождествлять с действительными числами,
которые им соответствуют, т. е. сами точки будем называть
22
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
соответствующими числами. Отметим, что расстояние меж-
ду точками а и Ь равно |а — (определение разности см.
§ 1.6).
§ 1. 6. Определение арифметических
действий
1.6.1. Общие соображения . Для действитель-
ных чисел можно определить арифметические действия —
сложение, вычитание, умножение и деление. Как это дела-
ется, можно узнать из приводимых ниже мелким шрифтом
рассуждений. Читатель, который найдет нужным познако-
миться с этими рассуждениями, увидит, что арифметиче-
ские действия над бесконечными дробями сопряжены с не-
обходимостью совершать некоторые бесконечные процессы.
На практике арифметические действия над действительны-
ми числами производятся приближенно.
На этом пути возможны и формальные определения
этих действий. Об этом будет идти речь в § 1.8.
В следующем параграфе перечисляются свойства дей-
ствительных чисел, вытекающие из сделанных определе-
ний. Мы формулируем эти свойства. Их можно доказать,
но мы доказываем их лишь в отдельных случаях (полное
доказательство см., например, в учебнике С. М. Николь-
ского «Математический анализ», т. I, гл. 2). Эти свойства
собраны в пять групп (I—V). Первые три из них содержат
элементарные свойства, которыми мы руководствуемся при
арифметических вычислениях и решении неравенств. Груп-
па IV составляет одно свойство (Архимеда). Наконец, груп-
naV также состоит из одного свойства. Это свойство форму-
лируется на языке пределов. Оно будет доказано, но поз-
же — в § 2.5.
1.6.2. Стабилизирующиеся последова-
тельности. Пусть каждому неотрицательному целому
числу (индексу) п в силу некоторого закона приведено в соот-
ветствие число хп. Совокупность
§ 1.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
23
Хо, Хр Х2,... (1)
называется последовательностью (чисел). Отдельные чис-
ла хп последовательности (1) называются ее элементами.
Элементы хп и хт при т п считаются отличными как эле-
менты последовательности, хотя не исключено, что как
числа они равны между собой (xn = хт).
Последовательность называется неубывающей
(невозрастающей), если хк < хЛ)1 (хк хл+1) для всех k = О,
1, 2, ... .
Будем говорить, что последовательность (^ограниче-
на сверху (числом М), если существует число М такое, что
хк < М для всех k -- 0, 1, 2, ... .
Последовательность (1)ограничена снизу(числом т),
если существует число т такое, что xft > zn для всех k = О,
1, 2, ... .
Если числа хк последовательности (1) целые, то будем
говорить, что она стабилизируется к числу если най-
дется такое Ао, что хк = Е, для всех k > k0, и писать хк =:
Лемма 1. Если последовательность целых
неотрицательных чисел не убывает и ограничена сверху
числом М, то она стабилизируется к некоторому целому
числу < М.
Доказательство. Хотя количество элементов у на-
шей последовательности бесконечно, но она пробегает конеч-
ное число целых чисел. Ведь эти числа не превышают^. Пусть
— наибольшее среди этих чисел. Таким образом, Е, < М и
существует такое натуральное s, при котором xs = %. Но
наша последовательность не убывает, и потому хк = xs для
всех k > s, т. е. наша последовательность стабилизируется
к числу Е, (хп =: Е, < М).
Рассмотрим теперь последовательность неотрицательных
десятичных дробей, не имеющих период 9:
ai = а1о» а11а12а13 •••>
а2 ~ а20’ а21а22а23
аз ~ ^зо> ^31^32^33
(2)
24
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
Правые части в (2) образуют таблицу (бесконечную матри-
цу)-
Будем говорить, чтопоследователъность (2) стабили-
зируется к числу а = у0, YjY2"-> и писать
ап =; а, (3)
если k-й столбец таблицы (2) стабилизируется к yk, како-
во бы ни было k = 0, 1, 2, ... , т. е. asf! =: yk для любого
фиксированного k.
Лемма 2. Если неубывающая последовательность
(2) десятичных дробей, не имеющих период 9, ограничена
сверху числом М, то она заведомо стабилизируется к не-
которому числу а, удовлетворяющему неравенствам
ап^а^М (п=1, 2, ... ). (4)
В самом деле, считаем, что дробь М = т0, трп.2 ... не имеет
период 9. Целые числа нулевого столбца матрицы (2)
«ю
«20
«зо
также не убывают и ограничены сверху числом М, поэтому,
согласно лемме 1, они стабилизируются к некоторому целому
неотрицательному числу y0 < М. Пусть эта стабилизация име-
ет место, начиная с номерап0, т. е. ап =Y0, «п1«„2... < М, п0.
Докажем теперь, что первый столбец в (2)
«и
«21
«31
также стабилизируется к некоторой цифре у и имеет место
неравенство
Yo> Yi < М.
В самом деле, раз десятичные разложения чисел ап при
n 2s п0 имеют вид
Yd. «п1«п2«пЗ- < М (п > п0)
$ 1.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
25
и, кроме того, ап не убывает, то для указанных п цифры пер-
вого столбца ап1 (< 9) тоже не убывают и, следовательно, по
лемме 1 стабилизируются к некоторой цифре у,. Пусть эта
вторая стабилизация наступает, начиная с номера п, > nQ,
т. е. при п > п1
ап = ¥оЛ1ап2ап3...«М
При этом очевидно, что
Yo»Yi < ап < М(п> П1).
Рассуждая теперь по индукции, допустим, что уже доказа-
но, что столбцы матрицы (2) с номерами, не превышающими
k, стабилизируются соответственно к у0,у,, ... , ук и
Yo» Yi Y* < М (ур ..., ук — цифры). (5)
Докажем, что (fe + 1)-й столбец в (2) также стабилизируется к
некоторой цифре yft+1 и имеет место неравенство
Ye» Yi - Y*Y*+i < М. (6)
В самом деле, раз десятичные разложения чисел ап при
п пк имеют вид
“n = Yo’ Y1 - Yka„, fc+1, а„ к+2... < М
и, кроме того, ап не убывает, то для указанныхп цифрыап (< 9)
не убывают и, следовательно, стабилизируются при п < пА+1,
где пА+] достаточно велико, к некоторой цифре yfc+1. При этом
очевидно, что
Yo’Yi - 7к+1 < М (n > пк+1),
и мы доказали неравенство (6). Положим а =у0,у1у2... .Очевид-
но, что а„ =5 Уо»У1Уг-" •
Докажем первое неравенство (4). Сравним числа
ап ~ ал0’ ап1ал2алЗ"’’
a = Yo>YiY2Y3--
Если все соответствующие компоненты обоих разложений
равны (ans = ys, s = 0, 1, 2,...), тоап = а.В противном случае при
некотором s
26
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
% = у> (/ = 0, 1, ... ,8- 1Ц
<*„><'» J
При этом, если s = 0, то равенства в (7) надо опустить. Но тогда
ап Уо> Ур — УЛ Ми мы доказали первое неравенство (4).
Остается доказать второе неравенство (4). Еслиа=у0,у1 ...yN —
конечная десятичная дробь, то оно следует из (5) при k = N.
Пусть теперь
«=Уо»У1У2- (8)
— бесконечная десятичная дробь и как условились М =
= . Если допустить, что доказываемое неравенство
неверно, то найдется такое k, что
у.= т^ = О, 1, ..., fe-1), |
Уа > тк- J
Если/г = 0, то равенства в (9) опускаются. Так как разложение
(8) бесконечно, то найдется такое s, чтоу^ > 0. Поэтому
Уо»У1 - Ул-1У* - Ул+s >Уо’У1 - У*-1У*= mo>mi - "Ч-1У* >
> пг0,т, ... тк^(ук + 1) = т0,тх ... ткЛтк 99... >
> т0,тхт2... = М,
и получилось противоречие с неравенством (5).
1.6.3. Определение арифметических дей-
ствий. Теперь у нас есть возможность дать определение ариф-
метических действий над действительными числами.
Для произвольного числа a =a0,aja2 введем егоп-ю срез-
ку а(п) = ап,а, ... а„ — конечную десятичную дробь. Мы счита-
ем, что операции с конечными десятичными дробями читате-
лю известны.
Зададим два положительных числа
a = a0,a1a2 ...,& = P0,pjP2 ... ,
разложенные в бесконечные десятичные дроби. Введем
последовательность чисел
+ &<"’ = a0,a,... a„+ Р„=
(п = 1, 2, ...).
$ 1.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
27
Очевидно, эта последовательность не убывает, кроме того, она
ограничена сверху:
а(п) + Ь<л) < (аи+1) + (Ри+1) (п=1,2,...).
Но тогда на основании леммы 2 десятичные разложения на-
шей последовательности стабилизируются к некоторой деся-
тичной дроби — действительному числу — Yo’ViУг •• • Это чис-
ло и называется по определению суммой, чисел аиЬ:
а + Ь = ... .
Итак, мы определяем сумму а 4- b как число, к которому
стабилизируется а(п> + Ь(п>:
а(пу + Ъ<п} а + Ъ. (10)
Чтобы определить произведение положительных чисел а
и Ь, вводим срезку
(а^П) = p'V’-X"’ (П)
— конечную десятичную дробь. Последовательность этих сре-
зок, очевидно, не убывает (при возрастании п) и ограничена
сверху:
(а(")ь("))(п) < (а<) + (ро + 1} (га = 1, 2,...).
Поэтому по лемме 2 выражение (11) стабилизируется к некото-
рому числу, которое и называется произведением ab:
аЪ.
Отметим неравенства
а(п> = ...а„< ...ап... < с^.а.! ... а„99... =
= a0,aj ... а„_! (а„ + 1) = ... ап+ 10*",
а(п) < а < а("’+ 10*п.
Величина а(") приближается к а (при возрастании п), не
убывая. Что же касается величины а(п) + 10*", то она прибли-
жается к а, не возрастая:
a(n) +10*"=a0,aj... an99... > a0,ar.. a„an+J99... = </"*1 ’+10*("+n.
28
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
Это обстоятельство будет использовано при определении
разности и частного положительных чисел.
Если а > Ь > 0, то разность а-Ь определяется как десятич-
ная дробь (число), к которой стабилизируется последователь-
ность конечных десятичных дробей:
а,л)- (Ь(л) + 10"”) =: (а - Ь); (12)
ес л и a, Ь > 0, то частное а/Ъ определяется как десятичная дробь,
к которой стабилизируется последовательность конечных дро-
бей:
Надо учесть, что aw при возрастании п не убывает, a bw +
+ 10-л не возрастает, и потому выражения слева в (12), (13) не
убывают. Кроме того, они ограничены сверху:
а<">-(&<">+ 10’л) < а0+ 1,
( а&) а0+1
U(n) + 10’nJ " Pfl’Pl-Ps ’
где s таково, что ps > 0. Поэтому по лемме 2 выражения слева
в (12) и (13) действительно стабилизируются.
Положим еще
0 + а = а±0 = а, а-0 = 0 = а--а = Р- (а > 0, Ъ > 0). (14)
Мы определили для неотрицательных чисела, b их сумму,
разность, произведение и частное, предполагая в случае разно-
сти, что а > Ъ, и в случае частного, чтоб > 0. Эти определения
распространяются обычными способами на числа а и Ь про-
извольных знаков. Например, если а, 0, то полагаем а + Ъ=Ь +
+ а = -(|а| + |Ь|). Если же а и Ъ — числа разных знаков и |а| > |Ь|,
то полагаем a+b=b+a= ±(|а| - |Ь|), где выбирается знак,
одинаковый со знаком а. В частности, имеет место
а + (-а) = 0
для любого а.
Подобные правила можно было бы привести для осталь-
ных арифметических действий, но в этом нет необходимости —
они хорошо известны из курса алгебры.
§ 1. 7. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
29
§ 1. 7. Основные свойства действительных
чисел
I. Свойства порядка.
I, . Для каждой пары действительных чисел а и Ъ име-
ет место одно и только одно соотношение:
а = Ь, а > Ъ, а < Ъ.
12. Из а < Ь и b < с следует а < с (транзитивное свойство
знака «<»).
13. Если а < Ь, то найдется такое число с, что а < с < Ъ.
II. Свойства действий сложения и вычи-
тания.
Пр а + Ь = Ь + а (переместительное или коммутативное
свойство).
П2. (а + Ъ) + с = а + (Ъ + с) (сочетательное или ассоциа-
тивное свойство).
П3. а + 0 = а.
П4. а + (-а) = 0.
П5. Из а < b следует, что а + с < Ъ + с для любого с.
Число а + (—Ь) естественно назвать разностью а - Ъ,
т. е. писать а — Ъ - а + (—Ъ), потому что, если его добавить к
Ь, то получим а:
[а + (-&)] + Ь = а + [(-&) + Ь] = а + 0 = а.
Из приведенных свойств легко следует, что разность
единственна. Можно доказать, что так определенная раз-
ность совпадает с разностью, определенной формулой (12)
§ 1-6.
III. Свойства действий умножения и де-
ления.
Шр ab - Ъа (переместительное или коммутативное свой-
ство).
Ш2. (аЪ)с = а(Ьс) (сочетательное или ассоциативное свой-
ство).
П13. а • 1 = а.
Ш4.а |=1(а*0).
30
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
Ш5. (а + Ъ) с = ас + Ьс (распределительный или дистри-
бутивный закон).
Ш6. Из а < Ъ, с > 0 следует ас < Ьс.
Число а • (Ь О') естественно назвать частным
= апотому что, если его умножить на Ь, то полу-
чим я:
(а1)ь=а(ьь)=а1ьь)^а1 = а-
Из приведенных свойств легко следует, что частное от
деления я над единственно. Можно доказать, что так опре-
деленное частное совпадает с частным, определенным фор-
мулой (13) § 1.6.
IV. Архимедово свойство. Каково бы ни было
число с > О, существует натуральное п > с. В самом деле,
если с = a0,aja2... , то можно взять п = сер + 2.
Из архимедова свойства и некоторых предыдущих
свойств следует, что, каково бы ни было положительное
число £, всегда можно указать такое натуральное п, что
выполняется неравенство ± < Е.
В самом деле, согласно IV для числа 1/е можно ука-
зать натуральное п такое, что 1/е < п, что в силуШ6 влечет
нужное неравенство.
Заметим, что для данного числа с > 0 в ряду 0, 1, 2,...
целых неотрицательных чисел, очевидно, имеется единст-
венное т, для которого выполняются неравенства m < с <
< m + 1.
Свойство V. Если последовательность действи-
тельных чисел а^а^аз, ... не убывает и ограничена сверху
числом М (ап < М), то существует число а < М, к кото-
рому эта последовательность стремится как к своему
пределу:
1нпя„ = а < М.
S 1.8. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПОНЯТИЮ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА 31
Это значит, что для всякого как угодно малого поло-
жительного числа £ > 0 найдется натуральное число п0, та-
кое, что
\а — ап\ = а — ап < е для всех п > п0.
Доказательство свойства V мы нёбудем считать обязатель-
ным, но оно приведено (см. далее § 2.5, теорема 1). Как мы
увидим, свойство V есть непосредственное следствие леммы 2
§ 1.6, в которой, в частности, утверждалось, что неубывающая
ограниченная сверху числом М последовательность бесконеч-
ных десятичных дробей стабилизируется к некоторой десятич-
ной дроби а < М (ап щ а).
Дело в том, что из того, что ап стабилизируется к а, следу-
ет, что ап стремится к а как к своему пределу.
§ 1.8. Аксиоматический подход к понятию
действительного числа
Мы назвали бесконечные десятичные дроби действи-
тельными числами, ввели для них понятия 0,1, >, = и ариф-
метические операции, и сформулировали их основные свой-
ства I—V, которые могут быть доказаны.
Нужно сказать, что свойства I—V подобраны эконом-
но и полно, настолько, что из них можно получить логичес-
ки все остальные свойства чисел.
Существует аксиоматический подход к определению
действительного числа, заключающийся в том, что действи-
тельными числами называются некоторые объекты (вещи)
а, Ь, с, ... , удовлетворяющие свойствам I—V. При таком
подходе свойства I—V называются аксиомами числа.
При аксиоматическом подходе формулировки свойств
(теперь аксиом) должны быть несколько видоизменены.
Аксиомы П теперь уже формулируются так: каждой паре
чисел в силу некоторого закона соответствует число а + Ъ,
называемое их суммой, при этом выполняются аксиомыПу—
П5. Аксиома П3 должна быть сформулирована в виде: суще-
32
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
ствует число О (нуль) такое, что а + 0 =а для всеха. Аксиома
П4 формулируется так: для любого числа а существует чис-
ло, обозначаемое через -а такое, что а + (-а) = 0. Наконец,
аксиома Ш3 принимает вид: существует число 1 (единица),
отличное от 0, такое, что а - 1 = а для всех а.
Обозначим через R множество всех действительных
чисел, т. е. всех вещей, подчиняющихся аксиомам I—V.
Тогда в R имеется нуль 0 и единица 1. С помощью аксиом
можно доказать, что 0 < 1 и имеют смысл числа 2=1 + 1,
3 = 2 + 1, ... и числа -1, -2, -3, ... . В результате получим
множество всех целых чисел (различных между собой!)
... , -2, -1, 0, 1, 2, ... .
На основании аксиом эти числа можно делить друг на
друга, исключая деление на 0. Поэтому в R есть рацио-
нальные числа ±/п/и =±mp/np (п > 0,/п > 0, 0). Но тогда
в R имеются также и конечные десятичные дроби. Из пос-
ледних можно построить ограниченные сверху неубываю-
щие последовательности. На основании аксиомы V в R
должны существовать пределы таких последовательнос-
тей. Некоторые из этих пределов не являются конечными
десятичными дробями — это числа, отличные от конеч-
ных десятичных дробей. Их удобно записывать в виде бес-
конечных десятичных дробей. В результате от аксиом с
помощью логических рассуждений можно прийти к бес-
конечным десятичным дробям. Конечно, мы здесь приве-
ли только схему рассуждений, которая не претендует на
доказательство.
Из сказанного следует, что с формальной точки зрения
все равно, исходим ли мы при определении действительных
чисел из бесконечных десятичных дробей или из аксиома-
тического подхода.
Конечно, с философской точки зрения второй подход
более приемлем: числа суть абстракции, выражающие коли-
чественные отношения реального мира, а десятичные дро-
би — формальные символы, их представляющие.
§ 1.9. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ АБСОЛЮТНЫХ ВЕЛИЧИН
33
§ 1.9. Неравенства для абсолютных величин
Неравенство
|п| < £ (1)
эквивалентно двум неравенствам
—£ < а Отсюда неравенство < £. (!')
|a-fe| эквивалентно неравенствам < £ (2)
Ь - £ < а « Аналогично неравенство ; & + £. (2')
\а -fe| ; эквивалентно неравенствам < £ (3)
а -£ < b - »а+£.
Справедливы также неравенства
\а + < |а| + |Ь|, (4)
\а- &| > ||а|-|Ь||. (5)
Неравенство (4) можно получить, рассмотрев отдельно че-
тыре случая: 1) а, Ь > 0, 2) а, 0, 3) 0 < Ь, 4) Ь < 0 <
< а. Например, в случае 2)
а + Ь < Ъ < 0, + fe| = - (а + b) = -а - b = |а| 4- |fe|,
а в случае 3), если допустить, что |Ь| > |а|,
\а + Ь| = Ь + а < |а| + |fe[.
Случай 3) при допущении |b| < |п| читатель разберет сам, так
же, как случай 1). Случай 4) сводится к случаю 3). Далее, в
силу (4)
|а| < |fe| + |а - fe|, |Ь| «£ |а| + |а - &|,
т. е.
|а| - |а - fe| < |b| < |а| + |а - fe|,
но тогда верно (5).
2. Заказ 704
34
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
§ 1.10. Отрезок, интервал, ограниченное
множество
Пусть числа (точки) а и Ь удовлетворяют неравенству
а < Ъ.
Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам
а < х < Ь, называется отрезком (с концами а, Ь) или сег-
ментом и обозначается так: [а, &].
Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам
а < х < Ь, называется интервалом (с концами а, Ъ) или от-
крытым отрезком и обозначается так: (а, Ь).
Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам
а < х < Ь или а < х < Ь, обозначаются соответственно [а, Ь),
(а, Ь] и называются полуоткрытыми отрезками или по-
луинтервалами. Первый, например, закрыт слева и от-
крыт справа.
Часто рассматривают еще множества, называемые бес-
конечными интервалами н полуинтервалами: 1) (-сю, сю),
2) (-оо, о], 3) (-сю, а), 4) (а, сю), 5) [а, оо).
Первое из них есть множество всех действительных
чисел (действительная прямая); остальные состоят из всех
чисел, для которых соответственно: 2) х < а, 3) х < а,
4) а < х, 5) а < х.
Символы - сю и+сю удобно называть бесконечными чис-
лами, а обычные числа — конечными числами.
Отметим, что, назвав символы +оо и-сю бесконечными
числами, мы вовсе не считаем их числами.
Подчеркнем, что у отрезка [а, Ь] концы — конечные
числа, у интервала же (а, Ъ) его «концы» могут быть
конечными и бесконечными. У полуинтервала [а, Ь) чис-
ло а всегда конечное, а Ь может быть конечным и беско-
нечным (Ь < сю). Аналогично у полуинтервала (а, &] число
а конечное или бесконечное (—сю < a), а b всегда конеч-
ное.
Еслиа иЬ конечны и а <Ъ, то Ь-а называетсядлпкой
сегмента [о, fe], или интервала (а, Ь), или полуинтервалов
(а, Ь], [а, &).
§ 1.11. СЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО
35
Если а и Ъ — произвольные точки действительной оси,
то число |а — b| называется расстоянием между точками а
и Ь.
Произвольный интервал (а, &), содержащий точку
с(а<с <Ь), мы будем назыаатъокрестностью точки с.В
частности, интервал (с — Е, с + е) (£ > 0) называют {.-окре-
стностью точки с.
Пусть X = {ж} есть произвольное множество действи-
тельных чисел. Говорят, что множествоХ ограничено сверху,
еслиЗ (действительное) числоМ такое, чтоХ/х е X: х < М;
ограничено снизу, еслиЗ числот такое, чтоХ/х G X: х > т;
и ограничено, если оно ограничено как сверху, так и снизу.
Число М (т) называется верхней, (нижней) границей мно-
жествах. ЧислоМ называется такжемажорантой множе-
ства X.
Можно еще, очевидно, сказать, что множествоХ огра-
ничено, если 3 число М > 0 такое, что Х/х е Х:|х| < М, так
как неравенство |х| < М эквивалентно двум неравенствам-
М < х < М.
Если множество X не является ограниченным, то его
называют неограниченным. Его можно определить следую-
щим образом: множество X действительных чисел неогра-
ниченно, если X/ М > 0 3 х0 е X: |х0| >М. К этой формули-
ровке можно прийти, исходя из правила построения отри-
цания данной логической формулы.
Примеры. Отрезок [а, Ь] есть ограниченное мно-
жество. Интервал (а, Ь) есть ограниченное множество, если
а и & конечны, и неограниченное, если а = —оо или Ъ = оо.
§ 1.11. Счетное множество.
Счетность множества рациональных чисел.
Несчетность множества действительных
чисел
Выше мы определили понятие равенства множеств.
Для характеристики степени насыщенности бесконечных
36
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
множеств элементами удобным является понятие эквива-
лентности множеств. Множество X называется бесконеч-
ным, если Vne N: в множестве^ имеются элементы, коли-
чество которых больше п. Два множества АиВ называют
эквивалентными, и при этом пишутА ~ В, если между их
элементами можно установить взаимно однозначное соот-
ветствие (—*), т. е. существует такое правило, закон, по ко-
торому Vo G А соответствует вполне определенный элемент
b е В. При этом в силу этого правила двум разным элемен-
там av а2 g А соответствуют два разных элемента Ь1; Ъ2 е В
и каждый элемент & G В соответствует некоторому элемен-
ту a G А.
Например, если А — множество точек на окружности
радиуса г, В — множество точек на концентрической окруж-
ности радиуса R > г, то очевидно, что А ~ В (рис. 6).
Очевидно, что если А = В, то А ~ В.
Если X = {*} ~ N = {п}, то множество X называется
счетным. Естественно, что само множество натуральных
чисел N является счетным (соответ-
ствие устанавливается по схеме
п -» н). Множество всех четных
натуральных чисел N4 = {2п} экви-
валентно всему множеству N, при-
чем соответствие устанавливается по
схемеп --> 2п. Отметим, чтоздесь^*
£ N, N4cN. Таким образом, истин-
ное подмножество (часть) множества
оказалось эквивалентным всему множеству. Это свойство
присуще только бесконечным множествам (его можно при-
нять за определение бесконечного множества).
Из определения счетности множества вытекает, что его
элементы можно перенумеровать с помощью натуральных
чисел, поэтому счетное множество мы часто будем записы-
вать в виде последовательности его элементов:
Х={хр х2, — ,хп, ...}.
Счетная (теоретико-множественная) сумма
Рис. 6
S 1.11. СЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО
37
Е~ U Е* = Е1 + Е2 + ...
А=1
счетных (или конечных) множеств Ek есть счетное мно-
жество ЕЬ самом деле, запишем элементы х* еЕк(/=1,2, ... )
в виде таблицы:
Е — |xj, х2, х3, ...},
„2 Г 2 2 2 1
Е ={х,, х2, х3, ...},
_з Г з з з 1
Е — |xj, х2, х3, ...|,
Перенумеруем их в следующем порядке:
выбрасывая, однако, на каждом этапе нумерации те эле-
менты, которые уже были занумерованы на предыдущем
этапе: ведь может случиться, что Ек и Е1 имеют общие эле-
менты. В результате получим бесконечную последова-
тельность элементов {ур у2, у3, ...}, очевидно, исчерпы-
вающих множествоЕ.Это доказывает, чтоЕ — счетное мно-
жество.
Аналогично доказывается, что конечная сумма Е =
= Е1 + ... + En счетных или конечных множеств, среди
которых есть хотя бы одно счетное, счетна.
Теорема 1. Множество всех рациональных чисел
счетно.
Доказательство. Рассмотрим сначала положи-
тельные рациональные числа Q+ — {p/q}. Назовем нату-
ральное число p + q высотой рационального числа р / q. Пусть
А — множество всех рациональных чисел с высотой, рав-
ной п. Множества Ап состоят из конечного числа элементов
(рациональных чисел), например
..........................................
38
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
Легко видеть, что Q+ = U Ап.
Перенумеруем числа, записанные в фигурных скобках
слева направо, выпуская, впрочем, на каждом этапе ну-
мерации те, которые были уже занумерованы на более ран-
нем этапе. В результате получим последовательность
г. = 1, r„ = 1, г, = 2, г. = i, г. = 3, ... .
Так как рациональных положительных чисел бесконечно
много, то мы используем все натуральные числа. Значит,
Q+ счетно. Далее, очевидно, что Q_ = {-p/q} счетно. Поэтому
все множество рациональных чисел Q = Qt U Q U {0} так-
же счетно.
Теорема 2 . Множество всех действительных чисел
несчетно.
Доказательство. Для доказательства достаточно
установить, что множество действительных чисел интервала
(0,1) образует несчетное множество. Допустим противное, что
интервал (0,1) есть счетное множество, т. е. все его точки мож-
но перенумеровать:
«.-(UV ....
Но это предположение противоречиво. В самом деле, пост-
роим вещественное число х = 0, а1а2 ..., где цифры ап подобра-
ны так, чтобы 0 < ап < 9 и ап Ф . Ясно, что х g (0, 1), однако
х не совпадает ни с одним из чисел а„ , так как иначе должно
было бы быть а = а<л°\ что не имеет места.
ГЛАВА 2
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 2.1. Понятие предела последовательности
Пусть каждому натуральному числу п= 1, 2, 3, ... по
некоторому закону поставлено в соответствие действитель-
ное или комплексное число хп.
Тогда говорят, что этим определена последователь-
ность чисел хг, х2, х3, ... или, короче, последовательность
{*„}= Up xv хз> •••}
Говорят еще, что переменная хп пробегает значения
последовательности {х„}-
Отдельные числа хп последовательности {хп} называ-
ются ее элементами. Надо иметь в виду, что хп и хт при
п т считаются отличными как элементы последователь-
ности, хотя не исключено, что как числа они равны меж-
ду собой, т. е. может быть хп = хт.
Если положить хп = уп_}, то последовательность
{хр х2, х3, ...}
превратится во множество
Uo’ У1>Уг> -Ь
которое в § 1.6 тоже было названо последовательностью.
В этой главе мы будем рассматривать последователь-
40
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ности действительных чисел и это обстоятельство не бу-
дем оговаривать особо.
Примеры последовательностей:
Пример 1. {1, •••} = {-}
12 3 J w
„ „ J1 9 1 „ 1 U-1H
Пример 2. , 2, —, 2, ...> = <2 >.
£ £ J L J
Пример 3. (1, 2, 1, 4, 1,...! - W .
I 3 5 1 I J
Пример 4. (О,
P P l 2 3 4 J l n J
Пример 5. {2, 5, 10, ...} = {nz + 1}.
Пример 6. {-1, 2, -3, 4, ...} = {(-l)"n}.
В примере 2 переменная xn для четных п принимает
одно и то же значение:
2 = х2 = х4 = хс= ... .
Тем не менее мы считаем, что элементы х2, х4, ... раз-
личны.
Если все элементы последовательности {хп} равны од-
ному и тому же числу а, то ее называют постоянной.
Легко видеть, что последовательности в примерах 1, 2
и ^ограничены (см. § 1.6). В этом случае говорят также, что
соответствующие переменные, пробегающие эти по-
следовательности, ограничены. Что касается последова-
тельностей в примерах 3, 5 и 6, то они неограничены. Одна-
ко последовательность в примере 3, очевидно, ограничена
снизу числом 0, а последовательность в примере 5 ограни-
чена снизу числом 2. Что касается последовательности в
примере 6, то она неограничена как снизу, так и сверху.
Введем понятие предела последовательности.
Определение 1. Число а называется пределом по-
следовательности {хп}, если для всякого Е > 0 найдется
(зависящее от £) число п0 = п0(е) такое, что выполняется
неравенство
§ 2.1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
41
|xn-a|<£ (1)
для всех (натуральных) п > п0.
В этом случае пишут
limx =limxn =а или хп —• а
п—>аэ
и говорят, что переменная хп или последовательность {хп}
имеет предел, равный числу а, или стремится к а. Говорят
также, что переменная хп или последовательность {хл} схо-
дится к числу а.
Если хп = а \/п е N, то, очевидно, lim х = lim а = а.
Замечание. Если lim хп = а, то lim хЛ41 = а; и об-
ратно. Это следует из того факта, что если
|хп - а| < £ Vn > п0,
то
К+1 - al < е Vn > п0 - 1,
и обратно.
Переменная примера 1 имеет предел, равный 0:
lim 1=0. (2)
П -->00 П
В самом деле, зададим произвольное £ > 0 и решим не-
равенство:
1 — 0 = - <£ или — <п.
n I П Е
Этим для всякого £ > 0 найдено число п0 = п0 (£) = 1/е такое,
что неравенство
|1-0|=1<£
In In
выполняется для всех п > п0, и мы доказали равенство (2).
Пример 7. Переменная примера 4 стремится к 1:
lim^l=l. (3)
П-»оо И
42
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В самом деле, составим неравенство
|1_ZkJL|=i<E.
I п I п
Оно, как мы видели, выполняется для любого£> 0, если п >
> п0= 1/е. Это доказывает равенство (3).
Пример 8. Если |g| < 1, то
lim qn - 0. (4)
n—>00
В самом деле, пусть пока q Ф 0. Неравенство
kn-о| = И <£
верно,если
п 1g |<?| < 1g £,
т. е. если
Iff £
" > = "о(£) •
Мы доказали (4) при О < |д| < 1. Если q = О, то равенство
(4) тривиально. Ведь в этом случае переменная qn есть по-
стоянная,‘равная нулю:
{О, О, О,
Пример 9. Разложим положительное число а в бес-
конечную десятичную дробь:
CL — Oq, * * •
Для его n-й срезки
(л)
а =00,^ ... ап
имеет место равенство
lim а(п,= а. (5)
п—>00
В самом деле,
|а - а(п)| = О, О ...О ап+1ап+2 ... « ЮЛ
л раз
§ 2.1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
43
Но если задать £ > О, то всегда найдется такое п0, что
10 " <£ Vn>n0,
(см. предыдущий пример, где надо считать q = 10-1). Поэто-
му
|а-а(п,|<£ Vn > п0,
и мы доказали (5).
Замечание. Срезки ам(п = 1,2, ...) — рациональ-
ные числа. Из (5) следует, что всякое действительное чис-
ло является пределом последовательности рациональных чи-
сел.
Таким образом, всякое иррациональное число можно
приблизить рациональным числом с любой наперед задан-
ной степенью точности.
В силу этого свойства про множество Q рациональных
чисел говорят, что оно всюду плотно в множестве R всех
действительных чисел.
Неравенство
\х - а\ < £
эквивалентно двум неравенствам
—£ < хп - а < £ или а-г<хп<а + Е,
что эквивалентно тому факту, что точка хп принадлежит к
£-окрестности точки а:
хп е (а - £, а + £) (см. § 1.10).
Тогда определение предела можно выразить следую-
щими словами: число (точка) а есть предел переменной хп,
если, каково бы ни было £ > 0, найдется такое число п0, что
все точки хп с индексами п > п0 попадут в £-окрестность
точки а'.
хп е (а - £, а + £) (п > п0).
Очевидно, какова бы ни была окрестность (с, d) точки а,
найдется такое £ > 0, что интервал {а - £, а + £) содержится
в (с, d), т. е. (а - £, а + £) cz (с, d) (рис. 7).
Поэтому тот факт, что хп — а, можно выразить еще и
так: какова бы ни была окрестность (c,d) точкиа, все точки
хп, начиная с некоторого номера п, должны попасть в эту
окрестность, т. е. должно существовать такое число п0, что
а
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
хп g (с, d) (п > п0). Что же касается точек хп с индексами
п < п0, то они могут принадлежать и могут не принадле-
жать к (с, d). Таким образом, если вне (с, d) имеются точки
хп, то их конечное число.
С другой стороны, если известно, что вне (с, d) имеется
только конечное число точек х , х , ..., х , то, обозначив
k = max {пр п2, ... , ns},
т. е. максимум среди индексов пх, ... , п5, мы можем ска-
зать, что точки хп с индексом п >k попадут в интервал (с, d).
Поэтому понятие предела можно сформулировать и так:
переменная хп имеет своим пределом точку а, если вне лю-
бой окрестности этой точки имеется конечное или пус-
тое множество точек хп.
Пример 10. Переменная
{(-1)п+1} = {1,-1, 1,-1, ...} (6)
ни к какому пределу не стремится.
В самом деле, допустим, что эта переменная имеет пре-
дел, равный числу а. Рассмотрим окрестность этой точки
(a-i, а+Д.
' 3 3>
Длина ее равна 2/3. Очевидно, что эта окрестность
не может содержать в себе одновременно и точку 1, и точку
-1, потому что расстояние между этими точками равно
2 (2 > 2/3). Для определенности будем считать, что точка 1
не принадлежит к нашей окрестности. Но хп = 1 для п = 1,
3, 5, ... , т. е. вне нашей окрестности имеется бесконечное
число элементов последовательности.
а-е а*б f У ? .Т
с a tf х а b л
Рис. 7 Рис. 8
Таким образом, точка а не может быть пределом на-
шей последовательности, и так как эта точка произвольна,
то последовательность (6) не имеет предела.
S 2.1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
45
Теорема 1. Если переменная хп имеет предел, то
он единственный.
В самом деле, допустим, вопреки теореме, что хп имеет
два различных предела а и Ь. Покроем точки а, b соот-
ветственно интервалами (с, d), (е, f) настолько малой дли-
ны, чтобы эти интервалы не пересекались (рис. 8). Так как
хп -* а, то в интервале (с, d) находятся все элементы хп, за
исключением конечного их числа, но тогда интервал (е, f)
не может содержать в себе бесконечное число элементов хп
и хп не может стремиться к Ь. Мы пришли к противоречию.
Теорема доказана.
Теорема 2. Если последовательность {хп} сходит-
ся (имеет предел), то она ограничена.
Доказательство. Пустьlimxn = а. Зададим £ = 1
и подберем натуральное п0 = п0(1) так, чтобы
1>|х„-а| (п>п0),
но тогда 1 > |хп| - |а| и выполняется неравенство
1 +1«1 > |хп|
для всех п > п0. Пусть М — наибольшее среди чисел
1 + |п|, IxJ, |х2|.|xj.
Тогда, очевидно,
М > |xj Vn g N.
Теорема доказана.
Замечание. Ограниченность последовательности
является необходимым условием сходимости последова-
тельности, но не достаточным, как показывает пример 10.
Теорема 3. Если переменная хп имеет не равный
нулю предел а, то найдется такое п0, что
|хп| > |а|/2 для п > п0.
Больше того, для указанных п, если а > 0, то хп > а/2,
если же а < 0, то хп < п/2. Таким образом, начиная с неко-
торого номера, хп сохраняет знак а.
46
ГЛАВА 2. ПРВДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Доказательство. Пустьхп — а.Тогда для£ = |а| /2
должно найтись число п0 такое, что
|а|/2 > \а - хп| > |а| - |хп| (п > п0),
, , . . |а| |а!
откуда |хп| > |п| - — = —, и первое утверждение теоремы
2 2
доказано. С другой стороны, неравенство |а|/2 >|а - хп| экви-
валентно следующим двум:
а-^<хп<а + ^1 (п > п0).
Тогда, если а > О, то
хп > -- = а - (п > п0) ,
п 2 2 °
а если а < О, то
Хп < а + V = а - J = f > По)>
/2 Си
и этим второе утверждение теоремы доказано.
Теорема 4.Еслихп а,уп — buxn ^упдлявсех п =
= 1, 2, ... , то а < Ь.
Доказательство. Допустим, что Ъ < а. Зададим
О < £ < (а - Ь)/2 и подберем числа?/j и N2 так, чтобы а - £ < хп
(n >Nj), уп< b + £ (n >N2): это возможно, потому чтохп а,
&Уп^Ъ-
Если п0=max {Л\, N2}, то, очевидно, уп<Ь+Е<а-Е<хп
(п >п0), и мы пришли к противоречию, так как по условию
Хп « уп для всех п.
Следствие. Если элементы сходящейся последова-
тельности {хп} принадлежат [а, Ь], то ее предел также
принадлежит [а, &].
Доказательство. В самом деле, а < хп < Ь. Если
lim хп = с, то по теореме 4 а < с < Ь, что и требовалось дока-
зать.
Замечание. Для интервала (а, Ь) для конечных а
и Ъ можно утверждать только, что если хп 6 (а, Ь), то
lim хп = с G [а, Ь]. Таким образом, неравенства в пределе
S 2.2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ, ИМЕЮЩИМИ ПРЕДЕЛ
47
сохраняются или обращаются в равенство. Например,
хп = l/(n + 1) 6 (О, 1), но с = 0 е [0, 1].
Теорема 5. Если переменные хп и уп стремятся к
одному и тому же пределу а и хп < zn уп(п =1,2,...), то
переменная zn также стремится к а.
Доказательство. Задав £ > 0, можно найти Nx и
N2, такие, что
а-£<хп (n>Nj), уп<а + к (n>N2),
откуда для п > п0 = max{Nj, N2}
а - £ < х„< z„^y<a + £
л п
И
кп - а|< £ (п > п0),
что и требовалось доказать.
Теорема 6. Если хп -» а, то |хп| — |а|.
Доказательство следует из неравенства | |хп| - |п| | <
« |х„-а|.
§ 2.2. Арифметические действия с
переменными, имеющими предел
Пусть хп и уп обозначают переменные, пробегающие
соответственно последовательности {хп} и {уп}. По опре-
делению сумма хп + уп, разность хп - уп, произведение хпуп
и частное х„/уп суть переменные, пробегающие соот-
ветственно последовательности {xn + уп}, {хп - уп}, {хпуп},
{хп/уп}. В случае частного предполагается, что уп Ф 0 для
всех п = 1, 2.
Если хп = с для п = 1, 2, ... , то в этом случае пишут
с ± Уп> сУп> С/Уп вместо хп ± уп, хпуп, xjyn.
Справедливы следующие утверждения:
1101 (хп±Уп) = Ет *„±Hmj/n, (1)
Нт (хпУп) = Нт xn - lim уп (2)
48
ГЛАВА 2, ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
limu limy , если lim * О. (3)
Уп ши9п
Эти утверждения надо понимать в том смысле, чтоесли
существуют конечные пределы хП и уп, то существуют
также и пределы их суммы, разности, произведения и ча-
стного (с указанной оговоркой ) и выполняются равенства
(1)-(3).
Доказательство. Пусть хп -* аи уП —* ^.Зададим
£ > О и подберем п0 так, чтобы
|х„ - а\ < £/2, |у„ - Ь| < £/2 (и > п0).
Тогда
К*„± Уп) - (“ ± Ъ)\ « | хп - а\ + |у„ - &| < j + j = £
с.
(и > п0),
и мы доказали (1).
Чтобы доказать (2), заметим, что
\хпУП ~ = Iх ~ аУп + аУп ~ аЬ\ <
<|хпуп - ауп\ + \ау„ - ab\ = п| |хл - а\ + |а| |у„ - Ь|. (4)
Так как уп имеет предел, то (по теореме 2 предыдущего па-
раграфа) существует положительное число М такое, что
|yj < Af (n= 1, 2,... ),
|а| < М.
Подберем число п0 так, чтобы
lx -al < ——, |у - Ь| <
1 " 1 ОЛ/Г’ 1
£
2М
(п > п0)
(5)
(6)
(7)
Тогда из (4) — (7) следует, что
Me Me
2М 2М
(п > п0).
= £
Этим доказано равенство (2).
Пусть теперь к условию, что хп -» а и уп — Ь, доба-
вляется условие, что Ь Ф О. Тогда
§ 2.2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ, ИМЕЮЩИМИ ПРЕДЕЛ
49
= xnb-yna \(xn-a)b+(b-yn)a\
Уп ь УпЬ 1//п1|Ь|
, |Ь-У„Ца|
|уп1 МИ
(8)
Теперь уже удобно использовать теорему 3 предыду-
щего параграфа, в силу которой
\уп\>\Ь\/2 (п>^) (9)
для достаточно большого Зададим £ > 0 и подберем N2 к
N3 такие, чтобы
\хп - а\ < £|Ь|/4 (n>N2), (10)
\a\\yn-b\<Eb2/4 (n>N3). (И)
Тогда, положив п0 = max {Nlt N2, N3}, будем в силу
(8)— (11) иметь
- £ lbl 2.+ £=£
Уп b 4 |Ь| 2
(п > п0),
что доказывает равенство (3).
Заметим, что пределы переменных, стоящие в левых
частях равенств (1)—(3), могут существовать без того, что-
бы существовали отдельно пределы хп и уп. Например, если
хп = (-1)", уп = (-1)п+1, то хп и уп не имеют пределов, в то
время как lim (хП + уп) = 0, lim x„yn = -1.
Теоремы о пределах суммы, разности, произведения и
частного во многих случаях дают возможность узнать, име-
ет ли переменная предел и чему он равен, если она есть
результат конечного числа арифметических действий над
несколькими другими переменными, существование и ве-
личина пределов которых известны.
Однако часто встречаются случаи, выходящие за гра-
ницы применимости доказанных теорем, и здесь остается
большое поле для инициативы математика.
Пример 1. Пусть хп - 1 + q + ... + q1, |?| < 1.
Доказать, что
limx =-
П->оо 1 — Q
50
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Имеем
ч п+1 „ п+1
х =1-9 = 1________
1-g 1-g 1-q-
Так как lim q“ = 0 при |</| < 1, то, применяя формулы
(1), (2), получаем
limxn = lim—----— limgn+1 = —----------—0=—.
п-><» n+zl-q 1— q п-><» q—1 g—1 q—1
В дальнейшем под символом
1 + g + ... + дп + ... = 1У'
п-0
« К
будем понимать lim £g .Таким образом,
«-*,ofc=0
fgn = limx =—!— (|g| < 1).
п=о п“>°°
§ 2.3. Бесконечно малая и бесконечно
большая величины
Переменнаяап, имеющая предел, равный нулю, назы-
вается бесконечно малой величиной или, короче, бесконеч-
но малой.
Таким образом, переменная ап есть бесконечно малая,
если для любого £ > 0 найдется п0 такое, что |ап| < е (и > н0).
Нетрудно видеть, что для того, чтобы переменная хп
имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы х„=а +ап,
где ап есть бесконечно малая.
Переменная Рл называется бесконечно большой величи-
ной или просто бесконечно большой, если для любого М > 0
найдется такое п0, что |Р„| > М (п > и0). При этом пишут
lim Рп = оо, или Рп — оо (1)
и говорят, что Рп стремится к бесконечности.
Если бесконечно большая Рп, начиная с некоторого п0,
принимает только положительные значения или только
отрицательные значения, то пишут
§ 2.3. БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ВЕЛИЧИНЫ
51
lim = +оо, или Рп +оо, (2)
соответственно
lim Р„ = -со, или Р„ — -со. (3)
Таким образом, из (2), так же как и из (3), следует (1).
Пример переменной {(-1)пи} показывает, что может иметь
место соотношение (1), в то время как не имеет места ни (2),
ни (3).
Отметим следующие очевидные свойства:
1. Если переменная хп ограничена, а уп бесконечно боль-
шая, то хп/уп — 0.
2. Если абсолютная величина хп ограничена снизу по-
ложительным числом, а уп — не равная нулю бесконечно
малая, то xjyn -* <х>.
Докажем только второе свойство. Дано, что для неко-
торого числа а > 0 имеет место неравенство |хп| > а (п = 1,
2, ...) и для всякого £ > О существует п0 такое, что
W > е (« > По)- (4)
Тогда
= М (п > пп).
Уп е
Зададим произвольное положительное число М и под-
берем по нему £ так, чтобы М = а/Е, а по £ подберем такое
п0, чтобы имело место свойство (4). Тогда |хп/уп| >М(п> п0),
что и требовалось доказать.
Из высказанных двух утверждений получаются
следующие следствия:
lim—= 0, lim—= оо (с^О).
Отметим, что если последовательность {хп} неограни-
чена, то она не обязательно бесконечно большая. Напри-
мер, последовательность
неограничена, но она не является бесконечно большой, так
как в ней имеются как угодно малые члены с каким угодно
большим (нечетным) номером.
52
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Замечание. Любая не равная нулю постоянная ве-
личина (последовательность) не является бесконечно малой.
Из всех постоянных величин бесконечно малой является
только одна — равная нулю. Если про некоторую величину
известно, что она постоянна и ее абсолютная величина мень-
ше любого положительного числа Е, то она равна нулю.
Теорема 1. Произведение бесконечно малой
последовательности на ограниченную является беско-
нечно малой последовательностью, т. е. если lim хп = 0 и
|у„| < М Vn g N, то lim хПуп = 0.
В самом деле, зададим Е > 0 и подберем п0 так, чтобы
W< м ^п> п°'
Тогда
\хпУп~ 01 = 1*„11У„1 < = £ Vn > п0 ,
что и требовалось доказать.
если х= — ,
п ж- -
п
§ 2.4. Неопределенные выражения
1. Пусть lim хп = lim уп = 0 (уп * 0).
Рассмотрим последовательность {хп/уп}. О пределе этой
последовательности заранее ничего определенного сказать
нельзя, как это показывают конкретные примеры.
1 Хп
Уп = ~2, то — = п —< -ко при п —> со;
п Уп
1 X 1
У„ = —, то ~ =---► 0 при п со;
" п Уп п
1 Хп
у =—, то — = а -* а при п —► со;
п Уп
у = 1, то = (-1)" и предел этой по-
п Уп
если хп = -1,
п
если х„ = —,
п
(-1)
если хп - ±,
следовательности не существует.
§ 2.4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
53
Таким образом, для нахождения предела {хп/уп} не-
достаточно знать, что хп —- 0, уп —- 0. Нужны еще допол-
нительные сведения о характере изменения хп и уп. Для
нахождения этого предела в каждом конкретном случае
требуются специальные приемы.
Говорят, что выражениеxjyn прихп -» 0,уп -* 0 пред-
ставляет собой неопределенность вида .
2. Если хп —• оо, уп —► оо, то выражение хп/уп также
представляет собой неопределенность и ее называют не-
определенностью вида (—].
'оо'
3. Если хп -* 0,уп -* оо, то для выражения хпуп полу-
чаем неопределенность вида (0- оо).
4. Если хп — +оо, уп — -оо, то выражение хп + уп пред-
ставляет неопределенность вида (со — со).
Для каждого из отмеченных случаев можно привести
примеры.
Раскрыть соответствующую неопределенность — это
значит найти предел (если он существует) соответствующего
выражения, что, однако, не всегда просто.
Пр имер 1. Если
хп = аппт + ... + aYn + а0,
Уп = + + &in + &о> * 0, т > О, I > 0),
то при тг —» оо для выражения xjyn мы имеем неопреде-
ленность вида!—). Раскроем эту неопределенность.
'СО'
а) Если I = т, то, деля числитель и знаменатель натг"1,
получаем
при тг — оо, т. е. lim (хп/уп) = ат/Ьт — отношению коэф-
54
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
фициентов при старших степенях п в выражениях дляхл и
Уп-
б) Аналогично можно показать, что при т > I Иш (хл/
/Уп) = °°> а при т < I lim (хл/ул) = 0.
Пример 2. Если хп = Vn+1, уп = Jn, то при п -* оо
для выражения хл - уп имеем неопределенность вида (оо -
-оо).
Раскроем эту неопределенность:
Хп~Уп
Jn + 1+y/n
при п — со. Значит, lim(Vn+l -Vn) = O.
§ 2.5. Монотонные последовательности
Определение. Последовательность {хл)называет-
ся неубывающей (невозрастающей), если Vn g N справед-
ливо неравенство
Хп^ Хп+1 (Хп^ Хп+1)-
Если на самом деле выполняются строгие неравенства
хл < хп+1 (х„ > хл+1), то последовательность {х„} называется
строго возрастающей (строго убывающей) или просто воз-
растающей (убывающей). Последовательности убывающие
и возрастающие, неубывающие и невозрастающие назы-
ваются монотонными.
Элементы монотонных последовательностей можно рас-
положить в цепочки Xj < х2 < ... < хп < хл+1 < ... (хг > х2 >
> ... > хл > хл+] > ...), откуда видно, что неубывающая
последовательность ограничена снизу, а невозрастающая —
сверху.
Примеры:
1) (1, 1, —, —,..., i, —, ...) — невозрастающая последо-
I 2 2 п п J
вательность.
§ 2.5. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
55
2) {и2} — возрастающая последовательность.
Ниже мы доказываем важную теорему, утверждаю-
щую, что монотонная ограниченная последовательность
чисел всегда имеет предел. В нашем изложении (в § 1.7) эта
теорема фигурировала как одно из основных свойств — свой-
ство V — множества действительных чисел.
Теорема 1.Если последовательность действитель-
ных чисел
®2> ®3’ *" (1)
не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу)
числом М (соответственно т), то существует действи-
тельное число а, не превышающее М (не меньшее т), к ко-
торому эта последовательность стремится как к своему
пределу:
liman = а < М (2)
П->со
(соответственно lima = a > т).
Доказательство. Пусть последовательность (1) не убы-
вает и пусть пока at > 0, тогда и все ап > 0 (п = 1, 2, 3, ... ).
Каждый элемент последовательности разложим в бесконечную
десятичную дробь:
«„ = «„о- «П1«П2апЗ - (п = 2’ - ) (3)
Так как последовательность {ап} ограничена сверху числомМ
(ап < М) и не убывает, то на основании леммы 2 § 1.6 десятич-
ные дроби (3) стабилизируются к некоторому числу а < М:
an^a = Yo>YiY2-.
но тогда ап стремится к а как к своему пределу:
liman = а.
Л-»ОО
В самом деле, для любогое найдется натуральное т такое,
что 10~т < £. Так как аП стабилизируется к а, то
ап = Yo’ Y1-" Yman,m+lan,m+2”‘
для всех п > п0, где п0 достаточно велико, но тогда
56
ГЛАВА2Л1РВДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1“ ~ ап\ = “ - «п < 0, 0™0ут+1у,„+2 ... < 1О-“ < Е (71 > Пд),
траз
т. е. ап — а при п— со.
Если 0, то прибавим к аг число с настолько большое,
что а, + с > 0, и положим bn = ап + с (n = 1, 2, ... ).
Последовательность {Ьп} не убывает, ограничена сверху чис-
лом М + с и ее элементы положительны. Поэтому по доказан-
ному выше существует предел lim bn = b < М + с, но тогда
П—>00
существует также предел Итап = lim (Ъп - с) = Ь - с < М, и
П->00 п—>сс
теорема доказана для произвольной неубывающей последова-
тельности.
Если теперь последовательность {ап} не возрастает и огра-
ничена снизу числом т, то последовательность чисел {-ап} не
убывает и ограничена сверху числом — т, и на основании уже
доказанного существует предел lim(-an) - -а < -т, который
П->00
мы обозначили через -а. Следовательно, существует также
liman = lim(-a„) = -(-a) = а > т. Теорема доказана.
п—>«> п—>оо
Замечание. Если последовательность действительных
чисел {ап} сходится, то их десятичные разложения не обяза-
тельно стабилизируются. Например, если
a2k = 1,0...011... , а2М = 0,9... 911... (А = 1, 2, ... ),
где после запятой стоят k нулей или А девяток, то последователь-
ность {ал} имеет предел, равный 1 (an — 1), однако, как легко
видеть, эта последовательность не стабилизируется.
Пример 1. Приведем новое доказательство равен-
ства (ср. пример 8 § 2.1)
limg" = 0(М < 1), (4)
Л—>О0
Пусть пока q > 0. Тогда переменная q\n - 1, 2, ... ) не
возрастает и ограничена снизу числом 0. Но тогда по теоре-
ме 1 существует число А > 0, к которому стремится д":
limg" = А.
п—
§ 2.5. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
57
Имеем также
А = limQn+1 = q limg" = qA,
П—>00 n->o0
откуда A (1 - q) = 0 и A = 0, потому что q < 1.
Если теперь q < 0, то на основании уже доказанного
|q"| = |q"| — 0, п —► со. Равенство (4) доказано полностью. Это
доказательство (4), пожалуй, более элегантное, чем то, ко-
торое было приведено в примере 8 § 2.1, но оно не дает
возможности судить о скорости стремления q1 к нулю —
не дается эффективно число п0 = п0 (е), начиная с которого
|9"| < £.
Пример 2. Справедливо равенство
lim — =0,
П—>оо п!
(5)
где а — произвольное число.
При |а| < 1 оно очевидно. Пусть а > 1. Положим
Тогда =
нп тг + 1
0 (п — со). Отсюда следует, чтонп+1 < ип
Vn > п0, где п0 достаточно велико.
Таким образом, переменная ип дляп > п0, убывает. Кро-
ме того, она ограничена снизу числом 0. Но тогда существу-
ет предел
limun = А > 0.
П—>00
Но также
А = lim un+] = lim (ип~) = Alim = А 0 = 0,
п-^п п—>со' П.4-1' п—>оо П + 1
и мы доказали равенство (5) для любого а > 0. Но оно верно
и для любого а < 0, потому что
ап _ |оГ
п! п!
0 При 71—00.
58
ГЛАВА 2. предал ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 2.6. Число е
Рассмотрим последовательность
Покажем, что эта последовательность возрастающая и ог-
раничена сверху. На основании формулы бинома Ньютона
, _ у n(n-1)-(n7.L+1)
(a + b) k! а Ь
имеем
п(п-1) 1 п(п-1)(и-2)
+ ЗГ“
Из данного равенства видно, что последовательность хп > 2
Х/n. Докажем, что последовательность {хп} ограничена
сверху. Из равенства (1) имеем
Покажем, что последовательность {хп} возрастающая.
По аналогии с (1) имеем
= 2 +
Сравнивая (1) и (2), видим, что хп < хп+1 X/n е N (в (2)
каждое слагаемое больше, чем соответствующее слагаемое
в (1), и, кроме того, имеется на одно положительное ела-
6 2.7. ПРИНЦИП ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ
59
гаемое больше). По теореме 1 § 2.5 последовательность {хп}
сходится. Обозначим ее предел буквой е, как это предло-
жил впервые Л. Эйлер*
Иш(1 + Д = е.
71—>оА Ц'
Из сказанного ясно, что 2 < е < 3. Более точное значение
е = 2,718281 ... .
В будущем (в § 4.16) будет доказана формула, из которой
следует, что
(п > 2), (3)
£оМ п!
где 0 — некоторое зависящее от п число, удовлетворяющее
неравенствам 0 < 0 < 1. С помощью этой формулы нетрудно
доказать, что е есть число иррациональное. Допустим, что
e=pfq, г дер ид натуральные. Тогда, положив в (3)n = g, будем
иметь
q qV
Умножая над!, получаем
р (д - 1)! - I = 0, (4)
9 1
где / = д! £ —-натуральное число. Мы получили противоре-
чие — левая часть (4) есть целое число, а правая, равная0, есть
правильная дробь.
§ 2.7. Принцип вложенных отрезков
Теорема 1 (принцип вложенных отрезков).
Пусть задана последовательность отрезков (сегментов)
= (71=1,2,...),
вложенных друг в друга, т. е. таких, что оп+1 с оп (п = 1,
2, ...), с длинами, стремящимися к нулю-.
* Л. Эйлер (1707—1783) — великий математик, академик Российской
академии наук, швейцарец по происхождению.
60
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
dn = Ъп - ап -* О (л - 00).
Тогда существует и притом единственная точка
с (число), одновременно принадлежащая всем отрезкам
(с е оп, п = 1, 2, ... ).
Доказательство. Очевидно, что
«1<«2<а3 - ^Ьт
при любом заданном натуральном т. Это показывает, что
числа ап не убывают и ограничены сверху числом Ьт при
любом т и, согласно теореме 1 § 2.5, существует число с,
к которому стремится переменная an(lim ап = с). При этом
ап < с < Ьт. Так как в этих неравенствах натуральные п и
т произвольные, то, в частности, ап < с < bn (п = 1, 2, ...).
Следовательно, с е о„, каково бы ни было п с N.
Найденная точкас — единственная. Допустим, что су-
ществует другая точка Cj е оп Х/п. Тогда ап < с, Cj < Ьп,
откуда
bn-an>lc~cil>0 Vn»
но это противоречит тому, что Ьп - ап —► О.
Замечание.В теореме 1 существенно, что в ней рас-
сматриваются отрезки [ап, Ьп], а не интервалы, как показы-
вает следующий пример. Интервалы (О, 1/п)(п = 1,2, ...)
вложены друг в друга, их длина d = ~ - 0 = — — О, но нет
п п
ни одной точки, принадлежащей одновременно ко всем этим
интервалам.
В самом деле, любая точка с < 0 не принадлежит к
любому из интервалов (О, 1/п). Если же с > 0, то найдется
такое л, что 1 /л < с и с G (О, 1/п).
§ 2.8. ТОЧНЫЕ ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ МНОЖЕСТВА
61
§ 2. 8. Точные верхняя и нижняя грани
множества
Рассмотрим произвольное множество Е действитель-
ных чисел х. Может случиться, что в нем имеется наиболь-
шее (максимальное) число, которое мы обозначим черезМ.
В этом случае пишут
М --- max Е = max х.
х G.E
Может случиться также, что среди чиселх с Е имеет-
ся наименьшее (минимальное), равное числу т. Тогда пи-
шут
т - min Е - min х.
хсЕ
Если множество Е конечно, т. е. состоит из конечного
числа чисел
Xj, х2, ... , хр,
то среди них всегда есть наибольшее и наименьшее.
Однако это не всегда так, если Е — бесконечное мно-
жество.
Приведем примеры:
1) Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...},
2)N= (1, 2, 3, ...},
3) N_ ={...,-2,-1},
4) [а, b],
5) [а, Ь),
6) (а, Ь).
Множество Z не имеет наибольшего и наименьшего
чисел. Интервал (а, Ь) тоже не имеет наибольшего и наи-
меньшего чисел. При этом здесь не имеет значения, будут
ли числа а, Ь конечными или бесконечными. Каково бы ни
было число с с (а,Ь), т. е. число, удовлетворяющее неравен-
ствам а < с <Ъ, всегда найдутся числас1г с2; такие, что а<сг<
<с<с2<Ъ.
Множество N не имеет наибольшего элемента, но име-
ет наименьший х = 1. Множество же N_ имеет наибольший
элемент х = -1, но не имеет наименьшего.
62
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Очевидно такжепйп [a,fc] = a, max [a, b] = b,min [а, Ь) =
= а, однако максимального числа в [а, Ь) нет.
Возникает вопрос о введении для произвольного мно-
жества Е чисел, которые по возможности заменяли бы
max Е и min Е. Такими числами (конечными или беско-
нечными) являются точная верхняя грань
supE ~ supx = М
хеЕ
и точная нижняя грань
inf Е = inf х = т
хеЕ
множества.
Пусть множество Е ограничено сверху.
Число М (конечное) называется точной верхней гра-
нью множества#, если для него выполняются два условия:
1) х < М \/х<=Е,
2) для любого Е > О существует точка хг е Е такая, что
выполняются неравенства
М - Е < X; < М.
Говоря другими словами, sup Е = М есть наименьшая
из верхних границ (мажорант).
Пусть множество Е ограничено снизу.
Число т (конечное) называется точной нижней гра-
нью множества#, если для него выполняются два условия:
1) т < х Vx е #,
2) для любого Е > О существует точка хх е Е такая, что
т Xj < т + е.
т. е. inf Е = т есть наибольшая из нижних границ.
Очевидно, если в множестве Е действительных чисел
имеется наибольшее (наименьшее) число, т. е. существует
max Е (min Е), то
sup Е = max Е (inf Е ~ min Е).
sup, inf — сокращения латинских слов supremum —
§ 2. 8. ТОЧНЫЕ ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ МНОЖЕСТВА
63
наивысший, infimum— наинизший. Эта терминология не
совсем удачна, потому что, например, sup Е не всегда есть
наивысший элемент в множестве Е.
Пример 1. Множество
П 2 3 ]f п 1
12* 3* 4* **1 In+lJ
имеет наименьшее число, равное 1/2 (min Е = 1/2). Однако
оно не имеет наибольшего, потому что 1< <^ < ••• • Все
же оно ограничено сверху числом 1 или любым числом, боль-
шим 1. Но число 1 играет исключительную роль — оно есть
точная верхняя грань Е (sup Е = 1).
В самом деле:
1) -^7 <1 Vn G N,
' п+1
"1
2) для Ve > О Bnj е N: 1 - £ < < 1.
Мы дали определение точной верхней (нижней) грани
для множества, ограниченного сверху (снизу).
Если множество^ не ограничено сверху (снизу), то его
точной верхней (нижней) гранью естественно назвать сим-
вол +со (-оо): sup Е - +оо (соответственно inf Е - -оо).
Иногда, когда нет опасности путаницы, вместо +оо пи-
шут оо.
Примеры. Для множеств 1)—6), приведенных выше,
имеет место
sup Z = +оо, inf Z = -со,
supN = co, inf N = min N = 1,
sup N_ = max N_ =-1, infN_ = -oo,
sup (a, b) = b, inf (a, b) = a,
где а и b могут быть конечными и бесконечными числами.
Можно дать общее определение точной верхней (ниж-
ней) грани множества, которое годится для любого мно-
жества (ограниченного и неограниченного).
64
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Число М (соответственно т), конечное или бесконеч-
ное, называется точной верхней (нижней) гранью множе-
ства £ (рис. 9 и 10), если выполняются условия:
1) х (т < х) Vx g Е;
2) для любого (конечного!) М, < М (тх > т) существует
х, е Е такое, что Мг < х, < М (т < хг< тг).
В этой формулировке не приходится употреблять раз-
ность М - Е (сумму т + е), это не имеет смысла при М = +со
(т = -оо).
Справедлива теорема принципиального значения.
Теорема 1. Если не пустое множество Е действи-
тельных чисел ограничено сверху(снизу) конечным числом
К (соответственно k), то существует число М < К(т
>fe), являющееся точной верхней (нижней) гранью Е.
Доказательство. Так как Е — не пустое множество,
то оно содержит в себе по крайней мере одну точку х0. Рассмот-
рим отрезок ст0 = [а, Ь], где а < х0, Ь = К.
По условию правее ст0 нет точек Е. Разделим ст0 на две
равные части (два отрезка) и обозначим через cij самую пра-
вую половину, содержащую в себе хотя бы одну точкуЕ. Это
надо понимать в том смысле, что если обе половины содер-
жат в себе точки Е, то ст, есть правая из них, а если только
одна из них содержит точки Е, то именно она обозначается
через Oj.
Обозначим через xt какую-либо точку из Е, принадле-
жащую кстг Таким образом, хг е ст,, но правее ст, нет точек
Е. Делим теперь ст, на два равных отрезка и обозначаем че-
рез ст2 самый правый из них, содержащий в себе хотя бы
одну точку Е, которую обозначим через х2. Правее ст2 нет
точек Е.
Продолжив этот процесс по индукции, получим
§ 2. 8. ТОЧНЫЕ ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ МНОЖЕСТВА
65
последовательность вложенных отрезков = [а„, Ьп](о„ zj сп+)),
длины которых
b - а = b-а 0, п - оо.
2"
При этом при любом ne N правееоп нет точекЕ, нов,, содер-
жит в себе некоторую точку хп е Е.
На основании принципа вложенных отрезков существует
единственная точка, которую мы обозначим через М, принад-
лежащая ко всем отрезкам ол (М е сгп, Vn).
Докажем, что
М = sup Е. (1)
В самом деле:
1) имеет место неравенство х < М, Vx е Е, потому что для
любой точки х > М найдется отрезок оп длины меньшей, чем
х - М. Так как он содержит в себе точку М, то точка х необхо-
димо находится правееол, но тогда х g Е, потому что правееС5л
нет точек Е.
2) для любого £ > 0 Зх'е Е
М - £ < х' < М. (2)
Ведь любой отрезокоп длины меньшей, чемЕ, расположен
правее точки М — Е и содержит в себе точку xn 6 Е, которую и
можно считать точкой х1 (хп = х').
Соответствующая теорема, утверждающая существование
точной нижней грани у ограниченного снизу множества Е, до-
казывается аналогично, отправляясь от сегмента о = [а, &],
содержащего в себе некоторую точку х0 е Е такого, что а = к
и х0<Ь. Делим на два равных отрезка и через о ] обозначаем
теперь самую левую половинку, содержащую в себе точки Е,
находим в с> j точку X! е Е и продолжаем далее этот процесс по
индукции.
Сказанное выше приводит нас к следующему утверж-
дению: всякое множество Е имеет точные верхнюю и ниж-
нюю грани. Если Е ограничено сверху, то sup Е < оо, если
же Е не ограничено сверху, то sup Е = со. Аналогично, если
3. Зпклз 704
66
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Е ограничено снизу, то inf Е > -со, и если Е не ограничено
снизу, то inf Е = —оо.
Задачи
1. Пусть даны множества действительных чисел X = {х},
У = {«/}- Под множеством {х+у} будем понимать всевозможные
суммы чисел х е X и у е У. Доказать, что
sup {x+i/}=sup {х} +sup {*/}, inf {x + j/}=inf {x} +inf {y}.
2. Под множеством {xy} будем понимать всевозможные
произведения неотрицательных чиселх 6 X тлу G У. Доказать,
что
sup {xy} =sup {х} sup {у}, inf {xy} =inf {х} inf {у} (х> 0,у > 0).
3. Доказать, что
sup(-x) = -infx, inf(-x) = -supx,
хеА хеА хеА хеА
§ 2. 9. Теорема Больцано—Вейерштрасса*
Пусть задана произвольная последовательность дейст-
вительных чисел {хп}. Выберем из нее бесконечное мно-
жество элементов с номерами п1 < п2 < ... . Тогда получим
новую последовательность {хп*}, которая называется под-
последовательностью последовательности {хп}. Таких под-
последовательностей можно выделить из данной по-
следовательности бесконечное множество.
Если последовательность {хп} сходится (к конечному
числу, -ню или -оо), то очевидно, что и любая ее подпоследо-
вательность тоже сходится и притом к тому же числу (ко-
нечному, -ню или -оо).
Последовательность
{1,-1, 1,-1,...} 4(1)
может служить примером не сходящейся последователь-
* Б. Больцано (1781—1848) — чешский математик, К. Вейерштрасс
(1815—1897) — немецкий математик.
§ 2. 9. ТЕОРЕМ А БОЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА
67
ности чисел. Все же мы видим, что эта последовательность
содержит в себе подпоследовательность
{1,1, 1,-.},
сходящуюся (к 1). Возникает вопрос, всегда ли это так, вся-
кая ли последовательность действительных чисел содержит
в себе подпоследовательность, сходящуюся к некоторому
числу (конечному, -ню, —со). Положительный ответ на этот
вопрос дает
Теорема 1. Из всякой последовательности
действительных чисел {хп} можно выделить подпоследова-
тельность {хп^}, сходящуюся к конечному числу, или к + оо,
или к —оо.
В случае, когда последовательность {хп} не ограничена
сверху (снизу), она, очевидно, содержит в себе подпосле-
довательность, стремящуюся к -ню (к -со), что доказывает
теорему. Если же последовательность ограничена, то теоре-
ма 1 сводится к следующей теореме.
Теорема 2 (Больцано — Вейерштрасса).
Из всякой ограниченной последовательности {хп} можно
выделить подпоследовательность {х„4}» сходящуюся к
некоторому числу.
Доказательство. Так как последовательность то-
чек {хп} ограничена, то все они принадлежат к некоторому
отрезку [а, &], который обозначим через ст0. Разделим су0 на
два равных отрезка и обозначим через CTj самый правый из
них, содержащий в себе бесконечное число элементов хп.
Один из этих элементов обозначим черезхп. Правее стр если
есть, то конечное число точенхп. Разделима! на два равных
отрезка и обозначим через ст2 самый правый из них, содер-
жащий в себе бесконечное число элементов хп. Выберем
среди этих элементов один хп с номером л2 > пг. Правее ст2,
если есть точки хп, то их конечное число.
Продолжим этот процесс по индукции. В результате
получим последовательность вложенных друг в друга от-
резков <5k = [ak, bk], длины которых bk - ak -* О, k — оо, и
68
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
подпоследовательность точек нашей последовательности та-
ких, что хп* с (щ < п2 < ...). При этом правее каждого из
отрезков имеется не более чем конечное число элементов хп.
На основании принципа вложенных отрезков сущест-
вует точка с, принадлежащая к любому из отрезковст,,. Оче-
видно, что подпоследовательность {хп*} имеет своим преде-
лом с (хп4 ~” с). и мы доказали теорему.
§ 2.10. Верхний и нижний пределы
Если задана произвольная последовательность действитель-
ных чисел {хп}, то, согласно теореме 1 § 2.9, возможно рас-
сматривать порождаемые ею различные сходящиеся подпо-
следовательности.
Пределы этих подпоследовательностей принято называть
частичными пределами последовательности {*„}.
По определению верхним пределом последовательности
{хп} (или переменной хп) называется число М (конечное, +со
или -оо), обладающее следующими двумя свойствами.
1) Существует подпоследовательность {х } последователь-
ности {хп}, сходящаяся кМ:
limx„ =М.
k-+a> *
2) Для любой сходящейся подпоследовательности {х } пос-
ледовательности {хп}
limx„ < М.
k->«,
Верхний предел последовательности {хп} обозначают од-
ним из символов
М = limx„ = lim х„ - lim supxfc.
" П—" П >СС k>n K
Если последовательность {xn} не ограничена сверху, то,
очевидно,
limxn = +°°-
Переменная хп = (~1)пимеет limxn = 1.
Вот ег.-' пример:
8 2.10. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ
69
{^4.2. 1.4.1....}.
Эта последовательность (переменная) не ограничена сверху.
Следовательно, ее верхний предел
--- (-1)"
lim/г =+оо.
Для ограниченной сверху последовательности {хп} ее верх-
ний предел М может быть определен также следующим обра-
зом: для всякогое > 0 правееМ + е имеется разве что конечное
число точек хп, правее же М — е заведомо имеется бесконечное
число точек хп.
Отметим, что если последовательность {хп} имеет обычный
(конечный) предел lim хп = М, то, как мы знаем, для любого
Е> 0 неравенстваМ - £<xn<M + Евыполняются для всехх ,
за исключением их конечного числа. Таким образом, правее
М + £ имеется не более чем конечное число элементов хп, а
правее М — Е — заведомо бесконечное их число.
Это показывает также, что М = limхп.
Итак, если М = lim хп, то и lim xn = lim xn = М.
Но разница между обычным пределом и верхним пределом
заключается в том, что в случае предела левееМ - Е имеется не
более чем конечное число точек хп, а в случае верхнего предела
левее М - е может быть и бесконечное число точек хп.
По определению нижним пределом последовательности
{хп} (или переменной хп) называется число т (конечное, +эо
или -ос), обладающее следующими двумя свойствами:
1) Существует подпоследовательность {х } последователь-
ности {хп}, сходящаяся к т:
limx = т.
П-КЯ *
2) Для любой сходящейся подпоследовательности {х } пос-
пь
ледовательности {хп}
lim х i" т.
Нижний предел переменной хп обозначают одним из сим-
волов
т, = limx_ = limx„ = lim inf x, -
П->ао Л->ао k>n
70
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Если последовательность {хп} не ограничена снизу, то, оче-
видно,
lim хч = -оо.
Для ограниченной снизу последовательности нижний пре-
дел т можно определить также следующим образом: для вся-
кого Е > 0 левее т - Е имеется разве что конечное число точек
(элементов) хп, левее же т + Е заведомо имеется бесконечное
число точек (элементов) хп.
Очевидно, что
limxn<lim хп. (1)
Теорема 1. Для того чтобы последовательность {хп}
имела предел (конечный, +х> или-<х>), необходимо и достаточ-
но, чтобы limxn = limxn. и тогда lim хп = limxn = limxn.
Заметим, что если limxn = -оо, то в силу (1) limxn = -оо, и по
теореме 1
lim хп = -оо.
Очевидно также, что из равенства limxn = +оо вытекает,
что
limxn = lim xn = +со.
Замечание. Можно показать, что число с, которое мы
получили при доказательстве теоремы Больцано—Вейерштрас-
са, является верхним пределом хп:
limxn = с.
Это вытекает из того, что правее каждого отрезкастп имеет-
ся не больше чем конечное число точек хп.
С другой стороны, если бы мы видоизменили процесс, вы-
бирая на каждом этапе деления стп на два равных отрезка не
самый правый, а самый левый из них, содержащий бесконеч-
ное число точек хп, то мы бы получили, возможно, другую
точку с', содержащуюся во всех стп, и эта точка была бы ниж-
ним пределом xn(limxn = с').
Если переменная хл не имеет предела, то заведомо с' < с,
если же предел хп существует, то оба процесса необходимо при-
ведут к одному и тому же числу с = с'.
§ 2.11. УСЛОВИЕ КОШИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
71
§ 2.11. Условие Коши сходимости
последовательности
Пусть задана последовательность действительных чи-
сел {хп}, сходящаяся к конечному пределу а:
limx„ = а.
П-»ОО П
Это значит, что для всякого е > 0 найдется число п0 - п0 (е)
такое, что
1*П - «I < f Vn > п0.
Наряду с натуральным числом п > п0, можно подставить в
это неравенство другое натуральное число т > п0:
К - «I < f Vm > n0.
Тогда
K-^ml = K-fl + a-Xml « + +f =Е
Vn, m > n0.
Мы получили следующее утверждение: если перемен-
ная хп имеет конечный предел, то для нее выполняется
условие (Коши*): для любого е > 0 найдется п0 = п0 (е) та-
кое, что
\хт - *nl < Е Vn, т > п0.
Последовательность чисел, удовлетворяющая условию
Коши, называют еще фундаментальной последователь-
ностью.
Оказывается, что имеет место также обратное утверж-
дение: если последовательность действительных чисел
{хп} фундаментальная, т. е. удовлетворяет условию Коши,
то она имеет предел, т. е. существует число а (конечное)
такое, что хп — а, п — оо.
Доказательство. Начнем с того, что докажем, что фун-
* О.Л. Коши (1789—1857) — французский математик. В его трудах
впервые определены основные понятия математического анализа
(предел, непрерывность, интеграл, ...) так, как это принято в со-
временной математике.
72
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
даментальная последовательность ограничена. В самом деле,
положимЕ = 1 и подберем, согласно условию Коши, число п0 =
= n0 (1) так, что
К - хт\ < 1 Vn> т > п0,
откуда
1 > К - XJ > KI - KI
или
l + |xm|>|x„| Vn, m > n0. (1)
Зафиксируем m > n0 и обозначим
M= max {1+KJ, |x„|},
т. e. максимум чисел |xn|, где n < n0, и числа 1 + |xm|. Тогда в
силу (1)
М > |хи| Vn е N,
и ограниченность последовательности {хп} доказана.
По теореме Больцано—Вейерштрасса из ограниченной
последовательности {хп} можно выделить подпоследовательность
{х }, сходящуюся к некоторому (конечному) числу а, т. е.
limx„ =а.
п—>00 А
Покажем, что в данном случае не только эта
подпоследовательность, но и вся последовательность имеет пре-
дел а:
limxn = а.
В самом деле, согласно условию Коши, которому удовлет-
воряет наша последовательность, для любого е > 0 найдется п0
такое, что
К " хт\ < £/2 т > «О- (2)
С другой стороны, в силу того что х — a,k — оо, можно ука-
зать такое k0, что
Iх»*,, ~ “I < е/2
^>гао- (3)
§ 2.12. ПОЛНОТА МНОЖЕСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
73
В силу (2), где надо положить т = пк , и (3) имеем
|х„ - а\ = |х„ - хп + х„ - al < lx„ - х„ I + 1х„ -а|< — + — = £
' п I I п 1 1 п nk’ ' nk '2 2
V п > п0,
и мы доказали, что последовательность {хп} имеет предел, рав-
ный а.
Итак, доказана
Теорема 1 (критерий Коши существова-
ния предела). Для того чтобы последовательность
действительных чисел{хп} имела конечный предел, необхо-
димо и достаточно, чтобы она была фундаментальной
(удовлетворяла условию Коши).
§ 2.12. Полнота и непрерывность множества
действительных чисел
В предыдущих параграфах мы доказали ряд свойств
действительных чисел, важнейшие из которых мы пере-
числяем:
1) Существование предела у ограниченной монотонной
последовательности (§ 2.5, теорема 1).
2) Принцип вложенных отрезков (§ 2.7, теорема 1).
3) Существование точной верхней грани у произволь-
ного ограниченного множества (§ 2.8, теорема 1).
4) Сходимость фундаментальной последовательности
к пределу (критерий Коши, § 2.11, теорема 1).
Хотя перечисленные свойства и выглядят различно,
на самом деле между ними имеется глубокая внутренняя
связь. Не так уж трудно показать, что утверждения 1)—4)
(при наличии свойств I — IV числа) эквивалентны между
собой, т. е. из любого из них следуют три остальные. В этой
книге было показано, что из 1) (или, что все равно, свойства
V, см. § 1.6) и свойств I— IV следуют 2), 3), 4).
Свойства 1) — 4) называются еще свойствами
непрерывности нлмполноты множества всех действитель-
ных чисел.
74
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Чтобы уяснить их роль, рассмотрим множество только
рациональных чисел, которое обозначим через Q.
Свойства 1—IV для рациональных чисел выполняются. Од-
нако свойство V и, следовательно, любое из свойств 1)—4) для
рациональных чисел, вообще говоря, не выполняются.
Поясним это на примере. Для этого нам будет удобно
оперировать также и множеством всех действительных чисел,
которое обозначим через R.
Зададим бесконечную непериодическую десятичную дробь
а<п} - а0, а^а^... .
Таким образом, а — иррациональное число, т. е.а е R, но а е Q.
Дробь а порождает последовательность срезок
a(n) = а0, at... ал (п = 1, 2,... )
— рациональных чисел, — не убывающую и ограниченную
сверху целым числом aQ + 1. Не существует рационального чис-
ла, к которому наша последовательность рациональных чисел
{а(п)} сходится. В самом деле, мы знаем, что переменная а(п)
сходится к а (см. пример 9 § 2.1), т. е. к иррациональному чис-
лу, а к другому числу она сходиться не может.
Мы показали, что свойство 1) в Q, вообще говоря, не
выполняется.
Нетрудно показать, что и свойства 2), 3), 4) в Q, вообще
говоря, не выполняются.
Множество действительных чисел называетсяполныл
в силу того, что для него выполняется свойство 4), заклю-
чающееся в том, что любая фундаментальная последова-
тельность чисел сходится к некоторому действительному
числу.
Множество Q рациональных чисел не является пол-
ным. Оно содержит фундаментальные последовательности,
не сходящиеся к рациональным числам. Добавляя к Q ирра-
циональные числа, мы получаем пространство действи-
тельных чисел, уже полное.
ГЛАВА 3
ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 3.1. Функция
3.1.1. Функция от одной переменной.
Пусть Е — множество чисел и пусть в силу некоторого
вполне определенного закона каждому числу х из Е при-
ведено в соответствие (одно) число у, тогда говорят, что на
Е задана функция, которую записывают так:
У = f (*) (х 6 Е). (1)
Говорят еще, что у есть функция одной переменной х,
заданная на Е, потому что можно, как мы увидим ниже,
рассматривать функции многих переменных. Это определе-
ние функции предложено Н. И. Лобачевским и Дирихле*).
Множество £ называют областью задания или определения
функции f(x). Говорят также, что задана независимая пере-
менная х, которая может принимать частные значениях из
множества Е, и каждому х G Е в силу упомянутого закона
приведено в соответствие определенное значение (число)
другой переменнойу, называемой функцией или зависимой
переменной. Независимую переменную называют аргумен-
том.
Для выражения понятия функции употребляют геомет-
рический язык. Говорят, что задано множество Е точек х
* Н. И. Лобачевский (1792—1856) — великий русский математик, со-
здатель неевклидовой геометрии. Лежен Дирихле (1805—1859) —
немецкий математик.
76
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
действительной прямой — область определения или зада-
ния функции — и закон, в силу которого каждой точке х е
еЕ приводится в соответствие число у = fix).
Если мы хотим говорить о функции как о некотором за-
коне, приводящем в соответствие каждому ч и слух е Е неко-
торое число у, то достаточно ее обозначить одной буквой f.
Символ f (х) обозначает числом, которое в силу закона/ соот-
ветствует значению х е Е. Если, например, число 1 принад-
лежит области Е задания функции /, то / (1) есть значение
функции / в точке х = 1. Если 1 не принадлежит Е (16 Е), то
говорят, что функция / не определена в точке х = 1.
Множество Ех всех значений у = f(x), где х е Е, назы-
вается образом множества Е при помощи функции /. Иног-
да пишут в таком случае Ег = f(E). Но это обозначение надо
употреблять с осторожностью, по возможности разъясняя
его всякий раз, когда оно употребляется, чтобы не было пу-
таницы с обозначением у = f(x), где х есть произвольная
точка (число), принадлежащая множеству!?, а у — соответ-
ствующая ей при помощи функции (закона f) точка множе-
ства Ег. Говорят еще, что функция / отображает множе-
ство Е на множество Ех.
Если образ Е\ = f (Е) с А, где А — множество чисел,
вообще не совпадающее с Е1г то говорят, что функция /
отображает Е в А.
Для функций / и ф, заданных на одном и том же мно-
жестве Е, определяются сумма f + ф, разность f— ф, произ-
ведение /ф, частное f/<p. Это новые функции, значения ко-
торых выражаются соответствующими формулами
/(х) + ф(х), /(х) - ф(х), / (х) ф(х), (х G Е), (2)
<р(х)
где в случае частного предполагается, что ф(х) Ф 0 на Е.
Для обозначения функции употребляют и любые дру-
гие буквы: Е, Ф, 'Р, ... , так же как вместо х, у можно
писать z, и, о...
Если функция / отображает множество Е в Ер а функ-
ция F отображает множество Ех в множество Ег, то функ-
цию z = F(f (х)) называютфг/нкцией от функции, или с лож-
§ 3.1. ФУНКЦИЯ
77
ной функцией, или суперпозицией f vlF. Она определена на
множестве Е и отображает Е в Ег.
Возможна сложная функция, в образовании которой
участвует п функций: г = F1(F2(F3 (... (F„(x)) ... ))).
Практика доставляет нам много примеров функций.
Например, площадь S круга есть функция его радиуса г,
выражаемая формулой S = лг2. Эта функция определена,
очевидно, на множестве всех положительных чисел г.
Можно, не связывая вопрос с площадью круга, гово-
рить о зависимости между переменными S и г, выражен-
ной формулой S = лг2. Функция S = ф(г), заданная этой
формулой, определена на всей действительной оси, т. е.
для всех действительных чисел г, не обязательно только
положительных.
Ниже приводятся примеры функций, заданных
формулами:
1) У = 'Jl-x2, 2) у = 1g (1 + х),
2 1
3)j/ = x-l, 4)j/=^—1,
х-1
5) у = arcsin х.
Мы имеем в виду действительные функции, принимающие
действительные значения у для действительных значений
аргумента х. Нетрудно видеть, что областями определения
приведенных функций являются соответственно:
1) отрезок [-1, 1] = {-1 < х < 1};
2) множество х > -1;
3) вся действительная ось;
4) вся действительная ось, из которой исключена точ-
ка х = 1;
5) отрезок [-1, 1].
Функции, определяемые в примерах 1) и 2), можно рас-
сматривать как функции от функции: 1) у = -Ju , и = 1 - v,
v = х2; 2) у — 1g и, и = 1 + х.
Важным средством задания функции является график.
Зададим прямоугольную систему координат х, у (рис. 11), на
78
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
осих отметим отрезок [a, Ь] и изобразим
любую кривую Г, обладающую следую-
щим свойством: какова бы ни была точ-
ках е [а, &], прямая, проходящая через
нее параллельно оси у, пересекает кри-
вую Г в одной точкеА. Такую заданную
х в прямоугольной (декартовой) системе
координат кривую Г мы будем называть
графиком. График определяет функцию
на отрезке [а, &] следующим образом. Еслих есть про-
извольная точка отрезка [а, &], то соответствующее значение
y = f(x) определяется как ордината точкиА (см. рис. 11). Сле-
довательно, при помощи графика дается вполне определен-
ный закон соответствия между хну = f (х).
Мы задали функцию при помощи графика на множе-
стве Е, являющемся отрезком [а, &]. В других случаях Е
может быть интервалом, полуинтервалом, всей действитель-
ной осью, множеством рациональных точек, принад-
лежащих к данному интервалу, и т. д.
Зададим на некотором интервале (а, Ь) функцию/ (х) и
произвольное (постоянное) число а 0. С помощью а и f
можно сконструировать ряд функций: 1) af (х), 2) f (х) + а;
3) f (х - а); 4) f (ах). Функции 1) и 2) определены на том же
интервале (а, Ь). Ординаты графика функции 1) увеличены
в а раз сравнительно с соответствующими ординатами/ (х).
График функции 2) получается из графика / поднятием пос-
леднего на величинуа, если а > 0, и опусканием на |а|, если
а < 0; график же функции 3) получается из графика / путем
сдвига последнего вправо на величинуа, еслиа > 0, и влево
на |а|, если а < 0. Наконец, функция 4) при а > 0 определе-
на, очевидно, на интервале (а/а, b/а); график ее получает-
ся из графика / путем равномерного его сжатия в а раз.
Функцию / называют четной или нечетной, если она
определена на множестве, симметричном относительно ну-
левой точки, и обладает на нем свойством / (-х) = / (х) или
свойством / (—х) = -/ (х).
График четной функции, очевидно, симметричен отно-
§3.1. ФУНКЦИЯ
79
сительно оси у, а график нечетной функции симметричен
относительно начала координат. Например, х2Л (k — нату-
ральное), cos х, 1g |лс|, Vl + x2, f (|х|) — четные функции, а
x2ft+1 (k > 0 — целое), sin х, х>11+х2 , xf (|Лх|) — нечетные
функции.
Нетрудно видеть, что произведение двух четных или
двух нечетных функций есть функция четная, а произве-
дение четной функции на нечетную есть нечетная функ-
ция.
Конечно, большинство функций не четны и не нечетны.
График функции у = f (х), хе Е, можно определить
еще как совокупность точек (х, f (х)) с абсциссой х и ор-
динатой f (х), где х е Е.
Функция f называется строго возрастающей или
возрастающей (неубывающей) на Е, если для любых х1г
х2 е Е, для которых хх < х2, имеет место f (xj < f (х2)
(ZUi) « f(x2)).
Функция f называется строго убывающей или убыва-
ющей (невозрастающей) на Е, если для любых xlt х2 е Е,
для которыхXj <х2, имеет место/ (xj > f (х2) (f (хх) > f (х2).
Функция f называется ограниченной (неограничен-
ной) на Е, если ее образ E^—f (Е) есть ограниченное (нео-
граниченное) множество.
Например, функция у = 1/х убывает и не ограничена
на (0, ео), но ограничена на [1, ео).
Функция f, определенная на всей вещественной оси,
называется периодической с
периодом Т > 0, если f (х) =
= f (х + Т) Vx.
Можно говорить также о
функции, периодической с пе-
риодом Т на интервале (а, Ь)
(сегменте [а, &]), если ра-
венство
f(x) = f(x+T)
80
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
верно для всех таких х е (а, Ь) (или [а, Ь]), для которых
х + Т е (а, 6) ([а, &])
Например, функция sin х периода 2л. Функция sin тх,
где т е N, тоже периода 2л, но она также имеет меньший
период Т = 2л/т.
Пример 6. Функция (сигнум х или знак х)
1, х>0,
y = signx = ) 0, х = 0
—1, х<0
задана на бесконечном интервале (-°°, °°). Она нечетная.
Образ ее есть множество, состоящее из трех точек: 1, 0, -1.
Пример 7. Функция
lx2 + l, x*s0,
0 = 1 • л
[sinx, х>0,
имеет график, изображенный на рис. 12. Она убывает на
(-оо, 0) и имеет период 2л на (0, оо). Эта функция на раз-
личных частях области ее определения задана различными
формулами.
Функция может быть задана в виде таблицы. На-
пример, мы могли бы измерять температуру?1 воздуха че-
рез каждый час. Тогда каждому моменту времени t = 0,
1,2,..., 24 соответствовало бы определенное число Т в виде
таблицы:
t 0 1 ... 24
т т 0 71, ... т 24
Таким образом, мы получили бы функцию Т — f (t),
определенную на множестве целых чисел от 0 до 24, задан-
ную таблицей.
Если функция y=f(x) задана на некотором множестве
Е формулой, то всегда можно считать, что ей соответствует
§ 3.1. ФУНКЦИЯ
81
вполне определенный график, определяющий геометричес-
ки эту функцию. Обратное совсем не ясно: если функция
задана произвольным графиком, то может ли она быть вы-
ражена некоторой формулой? Это очень сложный вопрос.
Чтобы ответить на него, надо отдать себе отчет в том, какой
смысл мы вкладываем в слово формула. Выше, когда мы
говорили, что данная функция у = f (х) выражается форму-
лой, мы молчаливо считали, что при этому получается изх
при помощи конечного числа таких операций, как сложе-
ние, вычитание, умножение, деление, извлечение корня той
или иной степени, логарифмирование, взятие операции sin,
cos, arcsin и других алгебраических и тригонометрических
операций.
Математический анализ дает средства для значитель-
ного расширения понятия формулы. Весьма важным таким
средством является разложение функции в бесконечный ряд
по элементарным функциям.
Многие, а может быть и все, встречающиеся на прак-
тике функции могут быть изображены формулой, пред-
ставляющей собой некоторый бесконечный ряд, членами
которого являются элементарные функции, которые будут
определены ниже. Но сейчас об этом говорить не время. Мы
еще не готовы к этому.
Так или иначе, задана ли функция / (х) формулой или
же другим каким-либо способом, например при помощи
графика, она уже может служить объектом изучения сред-
ствами математического анализа, если она удовлетворяет
некоторым дополнительным общим свойствам, таким, как
непрерывность, монотонность, выпуклость, дифференциру-
емость и др. Но об этом будет идти речь впереди.
Важнейшим средством изучения функции является
понятие предела, являющееся основным понятием матема-
тического анализа. Данная глава посвящена этому понятию.
Если каждому числу х, принадлежащему данному мно-
жеству Е чисел, в силу некоторого закона соответствует
определенное множество ех чисел у, то говорят, что этим
законом определена многозначная функция у = f (х). Если
82
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
окажется, что ех для каждого х множество ех состоит из
одного числа у, то мы получим однозначную функцию.
Однозначную функцию называют просто «функцией»
без добавления прилагательного «однозначная», если толь-
ко это не приводит к недоразумениям.
Алгебра и тригонометрия доставляют нам примеры
многозначных функций; такими являются функции ±Vx,
Arcsin х, Arctg х, ....
Функция ±Vx определена для х > 0. Она двузначна
длях > 0: каждому положительному х соответствует два
действительных числа (отличающихся друг от друга
знаками), квадраты которых равных. Впрочем, символ
Vx(k = 2, 3, ...) мы будем понимать всюду, если это не
оговорено особо, как арифметическое значение корня/г-н
степени изх> 0, т.е. как неотрицательное число, й-я сте-
пень которого равна х (см. § 3.8). Что же касается функ-
ции Arcsin х, то она бесконечнозначная. Она приводит в
соответствие каждому значению х из отрезка [-1, 1] бес-
конечное множество значений у, которые могут быть за-
писаны по формуле
у = (~l)*arcsin х + kn (k = 0, +1, ±2, ...).
3.1.2.Фу нкции многих переменных .Выше
мы говорили о функциях от одной переменной. Но можно
говорить также о функциях двух, трех и вообще п пере-
менных.
Функция от двух переменных определяется следующим
образом. Рассматривается множество^ пар чисел (х, у). При
этом имеются в виду упорядоченные пары. Это значит, что
две пары (хр уг) и (х2, z/2) считаются равными (совпадающи-
ми) тогда и только тогда, когдах, = х2 и уг = у2. Если в силу
некоторого закона каждой паре (х, у) е Е приведено в соот-
ветствие число z, то говорят, что этим определена на мно-
жестве Е функция г = f (х, у) от двух переменных х и у.
Так как каждой паре чисел {х, у) соответствует на плос-
кости, где введена декартова система координат, точка с
§ 3.1. ФУНКЦИЯ
83
абсциссой х и ординатой у, и, наоборот, каждой точке, та-
ким образом, соответствует пара (х, у), то можно говорить,
что наша функция/ (х, у) задана на множестве^ точек плос-
кости.
Функцию z = f (х, у) от двух переменных изображают
в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная сис-
тема координат х, у, г, в виде геометрического места точек
(х, у, f (х, у)), проекции которых (х, у) принадлежат множе-
ству Е определения /.
Например, таким геометрическим местом для функции
2 = V1-X -у (X + у « 1),
является верхняя половина шаровой поверхности радиуса
1 с центром в нулевой точке.
В этом же духе можно определить функцию трех пере-
менных. Областью ее определения может теперь служить
некоторое множество упорядоченных троек чисел (х, у, г)
или, что все равно, соответствующих им точек трехмерного
пространства, где введена декартова система координат.
Если каждой тройке чисел (точке трехмерного прост-
ранства) (х, у, z) g Е в силу некоторого закона соответствует
число и, то говорят, что этим наЕ определена функция и =
= F (х, у, г).
Аналогично можно рассматривать множество^ упоря-
доченных систем (хр ..., хп) из п чисел, где п — заданное
натуральное число. Опять, если каждой такой системе, при-
надлежащей Е, соответствует в силу некоторого закона чис-
ло z, то говорят, что z есть функция от переменных хр...,
хп, определенная на множестве^, и записывается эта функ-
ция в виде z = F (хр ..., xzl).
В случае п > 3 в нашем распоряжении уже нет реаль-
ного n-мерного пространства, чтобы использовать его для
изображения систем (х,,..., хп) в виде принадлежащих ему
точек. Но математики выдумали n-мерное пространство, и
оно им благополучно служит, и притом не хуже, чем реаль-
ное трехмерное пространство. Именно, п-м£рным простран-
84
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
ством называется множество всевозможных систем п чи-
сел (хр хп).
Если две функции / и <р от и переменных заданы на
одном и том же множестве Е систем (хр хп) — точек
«-мерного пространства, — то можно определить сумму
f + (р, разность f - (р, произведение /(р и частное //(р как
функции, определенные на Е при помощи равенств, ана-
логичных равенствам (2), где надо только числа х заме-
нить системами (xlf..., хп). Естественным образом опреде-
ляются также сложные функции, такие, как f (<р (х, у),
Т (х, у, z)) = F (х, у, z), где (х, у, z) — тройки чисел, при-
надлежащих некоторому множеству троек.
Ниже приводится несколько примеров функций мно-
гих переменных, заданных посредством элементарных фор-
мул.
Пример 8.и =Ах + By +Cz +D, гдеА, В, С, D — задан-
ные постоянные действительные числа, есть линейная функ-
ция от трех переменных (х, у, г). Она задана на всем трехмер-
ном пространстве. Более общая линейная функция от п пере-
п
менных (Хр ..., хп) задается формулой и = 2L а,-Х( + Ь, гдегг, ...,
i=l
ап,Ь — заданные постоянные числа. Эта функция определена
в любой точке (Xj,..., хп) «-мерного пространства, или, как еще
говорят, на всем «-мерном пространстве.
Пример 9. z = lg-J\—x2 — y2 . Эта действительная функ-
ция задана на области, представляющей собой круг радиуса 1
с центром в (0, 0), из которого удалены все граничные точки,
т. е. точки окружности радиуса 1 с центром (0, 0). Для этих
точек наша функция не определена, потому что 1g 0 не имеет
смысла.
Пример 10. Функция
. [0 для у>0,
z = f(x,y) = l у
[1 для у<0,
геометрически изображается двумя параллельными полуплос-
костями, не связанными между собой. Расположение их по
отношению к системе координат х, у, г очевидно.
S 3.1. ФУНКЦИЯ
85
Функция от одной переменной может быть задана не-
явным образом при помощи равенства
F (х, у) = 0, (3)
где F есть функция от двух переменных х и у.
Пусть на некотором множестве G точек (х, у) задана
функция F. Равенство (3) определяет некоторое подмно-
жествоП множестваG, на котором функция F равна нулю.
Конечно, в частности, Q может быть пустым множеством.
Пусть Q — непустое множество, и пусть Е — множество
(очевидно, непустое) таких значенийх (чисел), которым со-
ответствует хотя бы одно у так, что пара х, у принадлежит
Q. Таким образом,£ есть множество всех чиселх, каждому
из которых соответствует непустое множество ех чисел у
так, что (х, у) е Q, или, что все равно, так, что для указан-
ной пары (х, у) выполняется равенство (3). Этим определена
на множестве Е некоторая функция у = ф (х) от х, вообще
говоря, многозначная. В таком случае говорят, что функ-
ция ф определена неявно при помощи равенства (3). Для
нее, очевидно, выполняется тождество
F (х, ф (х)) = 0 для всех х е£.
По аналогии можно также определить функцию х =
= ф (у) от переменной!/, определяемую неявно при помощи
равенства (3). Для нее выполняется тождество
F ОИ 0/)> У) = 0 для всех у е Ер
rfleEj — некоторое множество чисел. Говорят еще, что фун-
кция у = ф (х) (или х = ф{у)) удовлетворяет уравнению (3).
Функцию х = ф (у) называют обратной по отношению к
функции у = ф (х).
Пример 11. Уравнение
х2+у2 = г2, (4)
где г > О, неявно определяет двузначную функцию от одной
переменной:
у = ±Vr2-x2 (-г « х < г);
впрочем, при х = ±г она однозначна. Естественно считать,
что эта двузначная функция распадается на две непрерыв-
, /~2 2 Г~2 2 ,
ные однозначные функции у =+vг -х ну =-у!г -х (—
86
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
< х < г). Графики их (полуокружности) в совокупности дают
окружность радиуса г с центром в начале координат. Эта
окружность есть геометрическое место точек, координаты
(х, у) которых удовлетворяют уравнению (4). Но можно,
пользуясь формулой (4), конструировать различные одно-
значные (разрывные) функции, удовлетворяющие уравне-
нию (4). Например, такой является функция
2
— х
2
-X
3.1.3.Полярная система координат.Впло-
скости зададим луч OL (полярную ось), выходящий из точ-
ки О — полюса полярной системы координат (рис. 13, а).
Положение произвольной точкиА (отличной от точки
О) плоскости однозначно определяется парой чисел (0, р) —
Рис. 13
§ 3.1. ФУНКЦИЯ
87
ее полярными координатами, где р — расстояние А до О, а
0 — выраженный в радианах угол между О А к OL. Если
угол 0 отсчитывается против часовой стрелки от прямой
OL, то он считается положительным к может изменяться
от 0 до +оо. Если угол 0 отсчитывается по часовой стрелке,
то он считается отрицательным к может изменяться от
-оо до 0. ТочкаО исключительная. Она определяется парой
(0, 0), где 0 — произвольное число.
Пусть в плоскости, наряду с прямоугольной системой
координат х, у с началом в точке О, введена полярная сис-
тема координат 0, р, так что полярная ось и положительная
ось х совпадают. Тогда полярные координаты (0, р) произ-
вольной точкиА плоскости преобразуются в декартовы ко-
ординаты (х, у) этой точки по формулам (рис. 13, б)
х = р cos 0, у = р sin 0. (5)
Равенства (5) называют формулами преобразования по-
лярных координат в декартовы.
Функциональную зависимость р = /(0), заданную на
некотором множестве Е значений 0, можно интерпретиро-
вать как множество точек (0, р) плоскости в полярной сис-
теме координат, где 0 g Е, р = f(0).
Многие кривые на плоскости могут быть описаны в
полярных координатах соответствующими функциями
Р = f (6) (многозначными или однозначными). Ясно, что в
область определения функции р = /(0) входят только те зна-
чения угла 0, при которых f (0) > 0.
Построение графика функции р = f (0) можно осущест-
вить по точкам. При данном© проводим луч из точки О под
углом 0 к полярной оси и затем на этом луче отмечаем точ-
ку А = (0, f (0)) графика функции, находящуюся на рассто-
янии р = f (0) от точки О.
Простейшей функцией в полярной системе координат
является постоянная функция р = с. Очевидно, что ее гра-
фиком является окружность радиуса с с центром в точкеО.
Другой пример р = 0 (0< 0 < оо) (рис. 13, в). Это спи-
раль, раскручивающаяся из полюса О.
88
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Функция р = 2е(-оо<0<оо) описывает в полярных
координатах спираль Архимеда (рис. 13, г). Отметим, что
здесь при 0 —- -оо р —► 0. Стрелка на графике указывает
направление движения точки графика при увеличении
угла 0.
Функция р = 2 cos 0 ( 2 '° ® 2) описываетокРУжность
радиуса единица с центром в точке Ог = (0, 1) (см. рис. 13,
д). Наконец, функция
р = Й------- f0e(0o-^, 0оч-А) р>0^
н cos(0-0o) \ ( о 2’ 0 2/ н )
описывает такую прямую, что опущенный на нее из по-
люсаО перпендикуляр имеет длинур0 и образует с поляр-
ной осью угол 0О (рис. 13, е).
§ 3.2. Предел функции
Число А называется пределом функции f в точке а,
если она определена на некоторой окрестности а, т. е. на
некотором интервале (с, d), где с < а < d, за исключением,
быть может, самой точки а, и если для всякогое > 0 можно
указать зависящее от него 5 > 0 такое, что для всех х, для
которых 0 < |х — а| < 5, имеет место неравенство
I/ (х)-А| <£.
Тот факт, чтоА есть предел f в точке а, принято записывать
следующим образом:
lim Дх) = А или f (х) — А (х — а).
х->а
Другое определение предела функции в точке может
быть высказано в терминах пределов последовательностей.
Число А называется пределам функции в точке а,
если она определена на некоторой окрестности точки а,
за исключением, быть может, самой точки а, и если пре-
§ 3.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
89
дел последовательности {f (*„)} существует и равен А,
какова бы ни была последовательность {хп}, сходящаяся
к а и такая, что хп * а для всех п. Таким образом,
limf(x) =А.
V"
Здесь считается, как и в других подобных случаях, само
собой разумеющимся, что сходящаяся к а переменная хп
пробегает значения, для которых f (х) определена.
Высказанные определения эквивалентны. В самом
деле, пусть функция f имеет предел в смысле первого опреде-
ления, и пусть задана переменная хп, не равная ни при ка-
ком п числу а и стремящаяся к а. Зададим 8 и подберем б
так, как это сказано в первом определении. Затем подберем
натуральное п0 так, чтобы |хп - а| < 8 для п > п0. Но тогда
IHxJ-AI <8 для п > п0,
а это значит, что последовательность чисел {f (хп)} стремится
к А, и так как это свойство верно для любой сходящейся к
а последовательности {хп}, лишь бы хп Ф а и все хп принад-
лежали к области определения функции, то доказано, что
из первого определения предела следует второе.
Наоборот, пусть функция f (х) имеет предел в смысле
второго определения. Допустим, что при этом она не имеет
предела в смысле первого определения. Это значит, что су-
ществует хотя бы одно 8, которое мы обозначим через 80,
для которого нельзя подобрать нужное S, т. е. для любого 5
среди х, удовлетворяющих соотношениям 0 < |х - а] < 6,
должно найтись хотя бы одно х = х(й) такое, что для него
|/(х(8))-А|»80.
В качестве 8 мы берем все числа видай = l/k(k= 1,2,...)
и для каждого из них найдем точку хк = х(8), для которой
0< |хл - а| < 1/fe (хк Ф а)
и
|/(xfe)-A| >80 (fe = l,2,...).
Из этих соотношений видно, что хк -* а (хк Ф а), в то
время как f (xh) заведомо не стремится к числу А. Таким
90
ГЛАВА 3- ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
образом, допущение, что из второго определения предела не
следует первое, приводит к противоречию.
Эквивалентность двух определений доказана.
Выражение предел функции в точке а часто заменя-
ют выражением предел функции при х, стремящемся к а
или, короче, предел функции при х— а. Если угодно, это
выражение больше соответствует духу понятия предела
потому, что выражение lim f (х) говорит о поведении фун-
х—а
кции в малой окрестности точки<z, из которой выбрасыва-
ется точка а. Оно говорит о том, что если х приближается
к а по любому закону, оставаясь не равным а, то соот-
ветствующее значение f (х) в свою очередь приближается
к А, т. е. делается как угодно близким к А.
Пример 1. Рассмотрим функцию/ (х) = (х2 - 4)/(х -
— 2). Она определена для всех х Ф 2. Попробуем найти ее
предел прих -* 2. Для любого х Ф 2
х2-4
---— = х +2, атак как
х-2
при определении предела прих 2 совсем не принимаются
во внимание значения / в точке х = 2, то
х2—4
lim——— = lim(x + 2).
х->2 Х-2 а:->2
Это равенство пока написано в том смысле, что если один из
пределов существует, то существует и второй и равен ему.
Таким образом, вместо того чтобы вычислять предел более
сложной функции (х2 — 4)/(х — 2), достаточно вычислить
предел более простой функции х + 2. Этот последний при
х —* 2, очевидно, равен 4. Ведь если подставить в х + 2 вме-
сто х произвольную переменную хп, стремящуюся к 2, то
независимо от способа стремления ее к 2
lim (хп + 2) = 2 + 2 = 4.
Вычисления, связанные с нахождением данного пре-
дела, обычно располагают следующим образом:
т2 —4
lim ---5 = lim (х + 2) = lim х + 2 = 4.
х—>2 X — 2 х->2 х->2
S 3.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
91
Подчеркнем, что функции f (х) = (х2 — 4)/(х — 2) и(р (х) =
= х + 2 являются разными функциями. Первая из них опре-
делена для х# 2, в то время как вторая определена для всех
х. Однако при вычислении предела функций прих —► 2 нас
совершенно не интересует, определены или не определены
эти функции в самой точке х = 2, и так как f (х) = <р (х) для
х Ф 2, то
lim /(х) = lim<p(x) = <р(2).
х->2 х->2
Пример 2. Очевидно, что lim х2 = 1, потомучто, если
х—>1
хп~* 1, хп Ф 1 то limx2 - limxn- limxn =11 = 1. Этот факт
можно доказать и на языке £ и 8. Определим какой-либо
интервал, содержащий точку 1, например (1/2, 3/2). Для
любогох, принадлежащего ему, очевидно, выполняется не-
равенство
|х2-1| = |х+1| |х-1|« ||х-1|.
Зададим теперь произвольное £ > О и положим 5 =
= min .Тогда для всех х, удовлетворяющих не-
равенству |х -11 <5, будет иметь место соотношение
|x2-n<|.fE = £.
Пример 3. Функция sin (1/х) определена для всех зна-
чений х Ф 0 и является нечетной (график ее для х > 0 изо-
бражен на рис. 14). Она опре-
делена, таким образом, в окре-
стности точки х = 0, за исклю-
чением самой точки х — 0. Эта
функция не имеет предела при
х —♦ 0, потому что последова-
тельность отличных от нуля
значений хк - 2/л (2А + 1) (k = 0,
1,2,...) стремится к нулю и в то
же время
/(х*) =(-!)*
92
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
не стремится при fc - со ни к какому пределу.
Введем еще следующее определение. Будем писать
А — lim fix)
Х~-tx>
и говорить, что число А есть предел функции f (х) при х,
стремящемся к бесконечности, если f определена для
всех х, удовлетворяющих неравенству |х| > К при неко-
тором К > 0, и для любого £ > 0 можно найти число М>К
такое, что \f (х) — А| < £ для всех х, удовлетворяющих
неравенству |х| > М.
Можно доказать, что это определение эквивалентно
следующему.
Число А есть предел функции f(x) при х -> оо, если
функция f (х) определена для всех х с |х| > М при некотором
М и
lim f(xn) = A
X—ТО
для любой сходящейся к оо последовательности {хп}.
Доказательство эквивалентности этих двух определе-
ний проводится по той же схеме, что и в разобранном выше
случае предела f в конечной точке а.
Вообще, многие свойства пределов f (х) при х -» а, где
а — конечное число, и при х —► оо являются аналогичными.
Можно изложить эти свойства единым образом, так что из-
ложение будет одновременно относиться как к случаюх~*а,
где а — конечное число, так и к случаю х —- оо. Для этого
под буквой а надо понимать либо число (конечное), либо
символ оо. Если а есть число, то под окрестностью точки а
понимается любой интервал (с, d), содержащий в себе точ-
ку а. Таким образом, окрестность(конечной) точки а есть
множество всех точек х, удовлетворяющих неравенствам
с < х < d. Если же а = оо (или + оо, или -оо), то под окрест-
ностью а мы условимся понимать множество всех х, удов-
летворяющих неравенству
|х| > М (или х > М, или х < —М, М > 0).
§ 3.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
93
Мы будем писать
lim /(х) = А,
х-*а
где а может быть конечным числом или со (или + оо, или
-оо), если функция / (х) определена на некоторой окрест-
ности а, за исключением, быть может, самой точки а (эта
оговорка нужна только в случае конечной точки а), и если
для любого £ > 0 найдется такая окрестность точки а, что
для всехх, принадлежащих к ней и отличных от а, имеет
место неравенство
|/(х)-А|<е.
Это определение объединяет в себе, очевидно, оба ра-
зобранных выше случая предела f: когда х стремится к ко-
нечному числу а и когда х стремится к со, + со, -со.
Функция f, для которой lim /(х) =0, называетсябеско-
х-*а
нечно малой при х -> а.
Приступим к изложению свойств функции/ (х), имею-
щей пределы при х —* а, где а есть число или со, +оо, —оо.
Условимся произвольную окрестность а обозначать симво-
лом 17 (а). Легко проверить, что пересечение двух окрестно-
стей Ux (а) и U2 (а) есть снова некоторая окрестность U (а).
Теорема 1. Если lim /(х) = А, где А — конечное
х—а
число, то на некоторой окрестности U (а) функция f (х)
ограничена, т. е. существует положительное числоМ та-
кое, что
|/ (х)| < М для всех xeU (а), хФ а.
Доказательство. Из условия теоремы следует су-
ществование окрестности U (а), такой, что
1 > |/(х)-А| > |/ (х)| - |А| (хе U (а), х*а).
Отсюда для указанных х
|/(х)| < 1 + |А|,
где надо считать М = 1 + |Д|. Теорема доказана.
Теорема 2. Если lim /(х) = А и А 0 — конечное
х—а
число, то существует окрестность U (а) такая, что
94
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
|/ (х)| > |А|/2 (х е и (а), х Ф а).
Более того, для указанных х
f (х) > А/2, если А > О,
и
f (х) < А/2, если А < О.
Доказательство. Из условия теоремы следует су-
ществование для £ = |А|/2 окрестности U (а) такой, что
|А|/2 > |4 - f (х)| > |А| - |Дх)| (х е U (а), х Ф а),
откуда |/ (х)| > [А|/2 для указанных х. Первое из этих нера-
венств можно заменить следующими:
. |А| .. . . |А|
А-1—1 </(x)<A + L-
При А > 0 отсюда следует
А=а_И1</(х)>
&
а при А < 0 следует
/(x)<A + ^ = f,
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Если
lim /1(х)=А1, lim /2(х)=А2,
х-^а х—а
и на некоторой окрестности U (а), х а,
/1(х)</2(х),
то А, <А2.
Доказательство. Пусть х„ -* а, хл * а; тогда для
достаточно большого п0 имеет место неравенство
А (х„) < А (хп) (п > по)
и после перехода к пределу неравенство Аг < А2.
Теорема 4. Если
lim f1(x) = A, lim /2(х)=А (1)
х-*а х-*а
и на некоторой окрестности U (а), хФа,
fi (х) < <р (х) < /2 (х), (2)
то
lim <р(х) = А (3)
х^а
<i 3.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
95
Доказательство. Пусть хп —► а, хпФ а\ тогда при
достаточно большом п0 для п > п0
А (*л) < <Р(*П) f2 Ю
и в силу (1) существует предел <р (хп), равный А, а так как
{хп} есть произвольная сходящаяся к а последовательность,
то имеет место (3).
Теорема 5 (критерий Коши существова-
ния предела). Для того чтобы существовал предел
(конечный) lim f (х),необходимо и достаточно, чтобы фун-
х—а
кция f (х) была определена в окрестности а, за исключе-
нием, быть может, самой точки а, и для всякого £ > О
существовала такая окрестность U (а), что, каковы бы
ни были точки х', х" 6 U (а), х', х" Ф а,
|/(X')-/(X")|<£.
Доказательство. Пусть lim f(x)=A, гдеА — конеч-
х-*а
ное число; тогда существует окрестность а, где f (х) опреде-
лена, за исключением, быть может, самой точки а. Кроме
того, для любого Е > 0 найдется такая окрестность U (а), что
если х е U (а), х Ф а, то \f (х) - А| < е/2. Пусть х', х" е U (а)
и х', х" Ф а-, тогда
|/ (х') - f (х")| « |/ (х') - А| + |А - f (х")| < | | = 8,
и мы получили, что условие теоремы необходимо.
Докажем достаточность этого условия. Пусть функция/ (х)
определена в некоторой окрестности а, за исключением, быть
может, самой точки а, и пусть для любого Е > 0 можно ука-
зать окрестность U (а) такую, что |/ (х') — / (х") | < £ для всех
х', х" е U (а), х', х" Ф а. Зададим произвольную последова-
тельность {хп}, хп Ф а(п = 1, 2, ...), стремящуюся к а. Тогда,
согласно критерию Коши, для последовательности, стремя-
щейся к пределу, найдется число п0 такое, что для п, т> п0
будет хл, хт е U (а). Но тогда
|/ (х„) - / (хт)| < £ (п, т > п0),
96
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
и последовательность {/ (хп)} удовлетворяет критерию Коши
и, следовательно, имеет предел.
Мы доказали следующее свойство рассматриваемой фун-
кции/: для любой сходящейся к а последовательности чисел
хп^а существует lim f (xrl). Из этого свойства автоматически
следует, что пределы lim f (хи), соответствующие разным схо-
дящимся к а последовательностям, равны между собой. Но
тогда существует lim/(г). В самом деле, пустьхп -» а, х'п -* а;
х-*а
хп, х'п а (п = 1, 2, ...). Тогда по доказанному существуют
числа А и А' такие, что f (хп) — А и f (х'п) — А'. Составим
новую последовательность: {хп х\, х2, х'2, х3 ...}. Она сходит-
ся к числу а. По доказанному выше должна сходиться к не-
которому числу и соответствующая последовательность {f (х,),
f (x't), f (х2), Но это возможно, только если А = А’.
Таким образом, А = А!. Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть
lim/fx) = A, limq>(x) = В,
х^а * -°
где Au В — конечные числа. Тогда
lim [f (х) ± ф (х)] = А ± В, lim [У (х) ф (х)] = АВ
х-*а х^а
и при условии, что В & О,
lim^ = A
ф(х) В
Докажем для примера второе равенство. Пустьхл —> а,
хп* а (п = 1, 2, ...); тогда
lim f (xn) = A, lim <р (xn) = В,
но так как предел произведения двух переменных, про-
бегающих последовательности, равен произведению их пре-
делов, то
lim [/ (х„) ф (хп)] = lim f (х„) lim ф (х„) = АВ.
Это равенство доказано для любой переменной хп — а,
хп^ а, поэтому Ит[/(х)ф(х)] = АВ.
§ 3.2. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ 97
По определению lim f (х) = оо, если функция f (х) опре-
х—а
делена на некоторой окрестности а, за исключением, быть
может, самой точки а, и если для всякого положительного
числа М найдется такая окрестность U (а) точки а, что
(х)| > М (х е U (а), х * а).
Функцию, для которой lim f (х) = со, называют беско-
х—а
нечно большой при х -> а.
Если lim f (х) = со и в некоторой окрестности точки а
х~*а
функция f (х) > 0 (соответственно f (х) < 0), то еще пишут
lim f (х) = +оо ( соответственно lim f (х) = -оо).
х—а х-*а
Легко доказать следующие теоремы.
Теорема 7. Если функция f (х) удовлетворяет на
некоторой окрестности а неравенству
|/(х)|>м>0,
а для функции ф (х) имеет место
lim ф (х) = 0 (ф (х) Ф 0 для х Ф а),
х^а
то
т Я»
hm23-- = оо.
х-а ф(х)
Теорема 8. Если lim f (х) = A, lim ф (х) = оо (Д —
х—а х-*а
число), то
lim^^ = 0.
х—а ф(х)
Следствие. Если ф (х) -► 0 (х —- а, ф (х) Ф 0), то
lim—— = оо,
х-а ф(х)
и если ф (х) — оо (х -> а, ф (х) Ф 0), то
lim^L = о
х—а ф(х)
Можно еще определить предел функции / в точке а
(конечной) справа (слева).
4. Заказ 704
98
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
По определению число А называется пределом функ-
ции f в точке а справа(слева), если она определена на некото-
ром полуинтервале (а, &] ([&, а)) и для нее существует
limfix') = А (соответственно limf{xА = А)
х„>а хп<а
для любой указанной последовательности {хп}.
Предел справа (слева) функции f в точке а принято обо-
значать так:
f(a + O) = lim/(x), (4)
х—>а
х>а
/(а - 0) = lim/(x). (5)
х—* а
х<а
Если f определена на интервале (а, Ъ), то в точке а мо-
жет иметь смысл только число/ (а + 0), а в точке Ъ — только
число f (Ъ - 0).
Замечание. Равенства
f(a + 0) = /(а-0)=А (6)
эквивалентны существованию предела
lim/(x)=A. (7)
х^а
В самом деле, (6) можно выразить так: Ve > 0 36 > 0:
|/ (х) - А| <е, Vx: 0< |х - а|< 6, х > а; |/ (х) - А| < е, Vx: 0 < |х -
— а| < 6, х < а. Но это можно выразить более кратко: Ve > 0
36 > 0: |/ (х) - А| <е, Vx: 0 < |х — а| <6, что эквивалентно (7).
§ 3.3. Непрерывность функции
На рис. 15, а изображен график функции у = f (х)
(а < х < Ь). Его естественно назвать непрерывным графиком,
потому что он может быть нарисован одним движением ка-
рандаша без отрыва от бумаги. Зададим произвольную точ-
ку (число) х е [а, Ь]. Близкая к ней другая точка х' е [а, 5]
§ 3.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
99
Рис. 15
может быть записана в виде х' = х + Ах, где Ах есть число
положительное или отрицательное, называемое прираще-
нием х. Разность
А/ = Д г/ = f (х + Дх) - / (х)
называется приращением функции f в точке х, соответ-
ствующим приращению Ах. Здесь имеется в виду Ах такое,
чтох+Дх е [а, Ь]. На рис. 15, а Лу равно длине отрезка ВС.
Будем стремить Ах к нулю; тогда для рассматривае-
мой функции, очевидно, и Аг/ будет стремиться к нулю:
Аг/ — 0 (Ах — 0). (1)
Рассмотрим теперь трафик на рис. 15,6. Он состоит из
двух непрерывных кусков РА и QR. Однако эти куски не
соединены непрерывно, и потому график естественно на-
звать разрывным. Чтобы график изображал однозначную
функцию у = F (х) в точке х0, условимся, что F (х0) равно
длине отрезка, соединяющего А и х0; в знак этого точка А
изображена на графике кружком, в то время как у точки Q
нарисована стрелка, указывающая, что Q не принадлежит
графику. Если бы точка Q принадлежала графику, то фун-
кция F была бы двузначной в точке х0.
Придадим теперь х0 приращение Ах() и определим со-
ответствующее приращение функции:
AF = F (х0 + Дх) — F (х0).
Если мы будем Дх0 стремить к нулю, то теперь уже нельзя
100
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛФУНКЦИИ
сказать, что AF будет стремиться к нулю. Для отрица-
тельных Ах0, стремящихся к нулю, это так, но для поло-
жительных вовсе не так: из рисунка видно, что если Ах0,
оставаясь положительным, стремится к нулю, то соответ-
ствующее приращение AF при этом стремится к положи-
тельному числу, равному длине отрезка AQ.
После этих рассмотрений естественно функцию f, за-
данную на отрезке\а, &], называть непрерывной в точке х
этого отрезка, если приращение ее в этой точке, соот-
ветствующее приращению Ах, стремится к нулю при лю-
бом способе стремления Ах к нулю. Это (свойство непрерыв-
ности f в х) записывается в виде соотношения (1) или еще
так:
lim Ay = 0. (2)
Ах—0
Запись (2) читается так: предел Ау равен нулю, когда Ах
стремится к нулю по любому закону. Впрочем, выражение
«по любому закону» обычно опускают, подразумевая его.
Если определенная на [а, Ь] функция f не является не-
прерывной в точкех G [а, &], т.е. если для нее не выполняется
свойство (2) хотя бы при одном способе стремления Ах к
нулю, то она называется разрывной в точке х.
Функция, изображенная на рис. 15, а, непрерывна в
любой точкех G [а, Ь], функция же, изображенная на рис.
15, б, очевидно, непрерывна в любой точке х G [а, &], за
исключением точки х0, потому что для последней со-
отношение (2) не выполняется, когда Ах —► 0, оставаясь по-
ложительным.
Функция, непрерывная в любой точке отрезка (интер-
вала), называется непрерывной на этом отрезке (интерва-
ле).
Непрерывная функция математически выражает свой-
ство, с которым нам приходится часто встречаться на прак-
тике, заключающееся в том, что малому приращению неза-
висимой переменной соответствует малое же приращение
зависимой от нее переменной (функции). Прекрасными при-
мерами непрерывной функции могут служить различные
§ 3.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
101
законы движения тел s = / (/), выражающие зависимости
пути s, пройденного телом, от временив Время и простран-
ство непрерывны. Тот или иной закон движения s = f (t)
устанавливает между ними определенную непрерывную
связь, характеризующуюся тем, что малому приращению
времени соответствует малое приращение пути.
К абстракции непрерывности человек пришел, наблю-
дая окружающие его так называемые сплошные среды —
твердые, жидкие или газообразные, например металлы,
воду, воздух. На самом деле, всякая физическая среда пред-
ставляет собой скопление большого числа отделенных друг
от друга движущихся частиц. Однако эти частицы и рас-
стояния между ними настолько малы по сравнению с объ-
емами сред, с которыми приходится иметь дело в макро-
скопических физических явлениях, что многие такие явле-
ния можно достаточно хорошо изучать, если считать прибли-
женно массу изучаемой среды непрерывно распределенной
без всяких просветов в занятом ею пространстве. На таком
допущении базируются многие физические дисциплины,
например гидродинамика, аэродинамика, теория упругос-
ти. Математическое понятие непрерывности, естественно,
играет в этих дисциплинах, как и во многих других, боль-
шую роль.
Непрерывные функции образуют основной класс функ-
ций, с которым оперирует математический анализ.
Примерами непрерывных функций могут служить эле-
ментарные функции (см. ниже § 3.8). Они непрерывны на
интервалах изменения х, где они определены.
Разрывные функции в математике отражают скачко-
образные процессы, встречающиеся в природе. При ударе,
например, величина скорости тела меняется скачкообраз-
но. Многие качественные переходы сопровождаются скач-
ками. Например, зависимость© = / (/) между температурой
одного грамма воды (льда) и количеством Q калорий
находящегося в ней тепла, когда/ изменяется между—10° и
+30°, если принять условно, что при —10° величина Q = 0,
выражается следующими формулами:
102
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Q(t) =
|0,5*+5,
7+85,
-10«*<0,
0 <*«30.
Мы считаем, что теплоемкость льда равна 0,5. При * = 0 эта
функция оказывается неопределенной — многозначной;
можно для удобства условиться, что при * = 0 она принимает
вполне определенное значение, например f (0) = 45. Функ-
ция Q = f(t), очевидно, разрывная при * - 0, изображена на
рис. 16.
Дадим определение непрерывности функции f в точке.
Функция f (х) называется непрерывной в точке х0, если
она определена в некоторой окрестности этой точки, в
том числе в самой точке х0, и если ее приращение в этой
-Ю 0 30 i
Рис. 16
точке, соответствующее приращению ар-
гумента Ах, стремится к нулю при Ах —• 0:
lim Дг/ = Ит[Д^ + Дх)-/(^)] = 0. (3)
ааХ 4J ДХ—HJ
Если положить х = х0 + Дх, то получим
следующее эквивалентное определение не-
прерывности f в х0: функция f непрерывна в
точке х0, если она определена в некоторой
окрестности этой точки, в том числе в
самой точке х0, и если
lim / (х) = / (х0); (4)
или еще на языке е, 5: если для всякого^ > 0 найдется?» > 0
такое, что
\f (х) ~ f(x0)\ < £ Vx: |х - х0| < 5.
Равенство (4) можно еще записать следующим обра-
зом:
lim f (х) = f f lim x\ (4')
x-ab j
Оно показывает, что под знаком непрерывной функции
можно переходить к пределу.
Пример 1. Постоянная у = С есть функция, непре-
рывная в любой точке х. В самом деле, точке х соответ-
ствует значение функции у — С, точке х + Дх соответствует
§ 3.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
103
то же значение у (х + Ах) = С. Поэтому Ау = у (х + Ах) —
-у (х) = С - С = 0 и
lim Ay = lim 0 = 0.
Лх~0 Дх—0
Пример 2. Функция у = х непрерывна для любого
значения х, потому что Ау = Ах и, следовательно, Ау -» 0
при Ах -» 0.
Пример 3. Функция у — sin х непрерывна для лю-
бого х. В самом деле,
|Ау| = |sin (х + Ах) - sin х| = 2sin-^cos(x+-^j
<2 |sin (Дх/2)|.
Но для любого а имеет место неравенство
|sin а| < |а|.
Если 0 < а < л/2, то это
следует из рис. 17, где изобра-
жена окружность радиуса 1
(дуга длины 2а больше стяги-
ваемой ею хорды, имеющей
длину 2 sin а). При а = 0 не-
равенство (6) обращается в ра-
венство. Если же 0 < |а| < л/2,
то |sin а| = sin |а| < |а|. Нако-
нец, если |а| > л/2,то |sin а| <
<1 <л/2 |а|. Из (5) на осно-
вании (6) следует
(5)
(6)
|Ау| < 2|sin^| < 2^1 = |Ах|,
I La I La
т. е.
|Ду| < |Дх|.
Но тогда, очевидно,
lim Ду = 0.
Дх—0
Можно еще сказать, что для всякого Де > 0 можно
найти 5 > 0, именно 5 = £ такое, что
|Ду| < £ VAx:|Ax| < 5 = Е.
Отметим важную теорему.
104
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Теорема 1. Если функции f и(р непрерывны в точ-
ке х = а, то непрерывны также в этой точке их сумма,
разность, произведение и частное (при ф (а) Ф 0).
Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы 6
§ 3.2, если учесть, что в данном случае
/(а) = limftx), ф(а) = Итф(х).
х-уа х->а
Справедлива также важная теорема о непрерывности
функции от функции (сложной функции).
Теорема 2. Пусть задана функция f (и), непрерыв-
ная в точке и = А, и еще другая функция и = (р (х), не-
прерывная в точке х = а, и пустьф (а) = А. Тогда сложная
функция F (х) = f [ф (х)] непрерывна в точке х = а.
Доказательство. Заметим, что по определению
непрерывности функции f в точке А следует, что она опре-
делена в некоторой окрестности этой точки. Поэтому
lim F (х) = lim f [ф (х)] = lim f (и) = f (А) = / [ф (а)] = F (а).
х~>а х—>а и-+А
Здесь введена подстановка и = ф (х) и учтена непре-
рывность ф в точке х = а: ф (х) — ф(а)=А.
х-»в
Пример 4. Функция
Р (х) = аохп + ajx"-1 + . . . + ап,
где ап — постоянные коэффициенты, называется многочле-
ном степени п. Она непрерывна для любого х. Ведь чтобы
получитьР (х), надо, исходя из постоянных чисел а0,..., ап
и функции х, произвести конечное число арифметических
действий — сложения, вычитания и умножения. Но посто-
янная есть непрерывная функция (см. пример 1), а функ-
ция у = х тоже непрерывна (см. пример 2), поэтому непре-
рывность Р (х) следует из теоремы 1.
Пример 5. Функция у = cos х непрерывна. Она яв-
ляется композицией двух непрерывных функций:!/ =sin и,
§ 3.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬФУНКЦИИ
105
Пример 6. Функция
y=tgx=s^ (x*£+fat, k = 0, ±1,±2,...),
cosx 2
непрерывна для указанных х, потому что (см. теорему 1)
она равна частному от деления непрерывных функций и
при этом делитель не равен нулю (при указанных х).
Пример 7. Функция
. 3 5
у = Sin X
непрерывна для любого х, потому что она является ком-
позицией непрерывных функций: у = и3, и = sin у, v = х5
(см. теорему 2).
Пример 8. Функция у = |х| непрерывна Vx, потому
что
|Дг/| = | |х + Дх| - [х| | < [х + Дх - х| = |Ах| — 0
при Дх — 0.
Пример 9. Если функция f (х) непрерывна в точке
х0, то непрерывна также в этой точке и функция |/ (х)|.
Это следует из теоремы 2 и примера 8, потому что
функция (х)| есть композиция двух непрерывных функ-
ций: у = |п|, и = f (х).
Отметим еще две теоремы, которые непосредственно
следуют из соответствующих теорем 1 и 2 § 3.2 для предела
функции.
Теорема 3. Если функция f непрерывна в точке а,
то существует окрестность U (а) этой точки, на кото-
рой f ограничена.
Теорема 4. Если функция f непрерывна в точке а и
f(a) * 0, то существует окрестность U (а) точки а, на
которой
\f(x)\>\f(d)\/2.
Больше того, если f (а) > 0, то
f (а)/2 < f (х) (xeU(a)),
а если f (а) < 0, то
f (х) < / (а)/2 (хе U (а)).
106
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 3.4. Разрывы первого и второго рода
По определению функция f непрерывна в точке х = а
справа (слева), если
f (а) = f (а + 0) (соответственно f (а) = f (а - 0))
(см. конец § 3.2).
Непрерывность f в точке а можно определить также
следующим образом: функция f непрерывна в точке х = а,
если она определена в некоторой окрестности этой точ-
ки, в том числе и в самой точке х — а,и существуют пре-
делы f (а + 0) iz f (а - 0) такие, что
f (а) = f (а + 0) = f (а - 0). (1)
Если функция/такова, что для нее существуют преде-
лы f (а + 0), f (а- 0), однако равенства (1) не выполняются,
то, очевидно, она разрывна (не непрерывна) в точке а. В
этом случае говорят, что функция f в точке а имеет разрыв
первого рода.
На рис. 18—23 приведены шесть графиков функций,
имеющих разрыв первого рода в точке а. Буква А обо-
значает точку А = (a, f (а)) графика функций. Стрелка на
конце куска кривой обозначает, что концевая точка, где
находится стрелка, выброшена.
На рис. 18 — 21 даны графики функций, для которых
все три числа f (a), f (а+0), f (а - 0) имеют смысл. На рис. 18
три числа/ (а), / (а +0), / (а -0) попарно различны — функ-
ция не только разрывна в а, но разрывна также справа и
6 3.4, РАЗРЫВЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
107
слева. На рис. 19 функция непрерывна слева в а, но раз-
рывна справа. На рис. 21 f (а + 0) = / (а - 0) Ф f (а). В этом
случае говорят, что функция f имеет в точке а устрани-
мый разрыв — ведь ее можно видоизменить в точке а, по-
ложив f (а) = f (а + 0) = f (а - 0), и она сделается непрерыв-
ной в этой точке. На рис. 22 функция не определена в точ-
ке а. На рис. 23 функция тоже не определена в точке а, но
f (а + 0) = f (а — 0), поэтому, если доопределить f в этой точке,
положив f (а) - f (а + 0) = f (а — 0), то функция f станет
непрерывной в точке а.
Рис 21
Рис. 22
Рис 23
В случаях рис. 22 и 23 функция f определена в окрест-
ности точки, за исключением самой точки а. В таких слу-
чаях часто говорят, что f разрывна в а, хотя идея непре-
рывности и разрывности в точке а есть идея сопоставления
f (а) с f (х) при х, близких к а.
Если у функции f не существует правого предела или
левого предела в точке а, или не существует как правого,
так и левого предела, или же эти пределы бесконечны, то
говорят, что она имеет разрыв второго рода в этой точке.
Пример 1. Функция
/(х) =
sin-,
х
0,
х^0,
х=0
в точке х = 0 не имеет правого и левого пределов (см. при-
мер 3 § 3.2). Следовательно, она имеет разрыв второго рода
в точке х = 0.
108
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Пример 2. Функция
0
sign х
х>0,
х = 0,
х<0,
очевидно, непрерывна для х Ф 0, а в точке х = 0 имеет раз-
рыв первого рода. При этом sign (0 + 0) = 1, sign (0 — 0) = -1.
Пример 3. Функция [х] — целая часть х — для х >
>0 имеет график, изображенный на рис. 24. Она непрерыв-
на для нецелых х, а если х целое,
то [х + 0] = х = [х] и [х — 0] = х - 1,
и, следовательно, имеет место раз-
рыв первого рода.
Пример 4. Функция
fsinl/х, х^0,
У [ 2, х=0
непрерывна для х Ф 0. Правый и
левый пределы в точке х = 0 рав-
ны бесконечности, поэтому функция имеет разрыв второго
рода в этой точке. В этом случае также говорят, что функ-
ция имеет бесконечный разрыв в этой точке.
Теорема 1. Если функция f не убывает на отрез-
ке [а, Ъ], то существуют пределы f (а + 0) > f (а) и f(b-
- 0) < f(b).
Доказательство. Из условия следует, что
f (х) < f (b) Xfx е [а, Ь),
т. e.f ограничена сверху числом f (b) на полуинтервале {а,
Ь). Но тогда существует точная верхняя грань f на этом по-
луинтервале:
sup f(x) = M^f(b).
xe[a,b)
В силу свойства точной верхней грани для всякого
£ > 0 найдется х0 е [а, Ь) такое, что
М -E<f (х0) < М, (2)
§ 3,4. РАЗРЫВЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
109
а в силу того, что f не убывает, имеет место
f (х0) < f (х) Х/х: х0<х<Ъ. (3)
Из (2) и (3) следует, что
M-£<f(x)<M Vx: х0< х <Ъ,
и мы доказали, что существует левый предел f в точке Ь:
lim/ (х) = f (b - 0) = М < f (Ъ).
х—Ъ
х<Ь
Аналогично, рассматривая неравенство/ (а) < / (х) для
х е (а, &], докажем существование
/ (а + 0) = inf /(х) > / (а).
Следствие. Если функция / не убывает на отрез-
ке [а, Ь], то в любой точке х е [а, Ь) существует правый
предел / (х + 0) > / (х) и в любой точке х с (а, Ь] сущест-
вует левый предел / (х - 0) < / (х).
В самом деле, для точек х = а, Ъ это утверждение до-
казано в теореме 1. Пусть х G (а, &). На отрезках [а, х] и [х,
функция / не убывает, поэтому по теореме 1 существуют
пределы / (х - 0), /(х + 0) и / (х - 0)< / (х) ^ / (х + 0).
В данном случае, очевидно, что для того чтобы функ-
ция/была непрерывной в точкех, необходимо и достаточно,
чтобы / (х - 0) = / (х + 0).
Если / (х - 0) </ (х + 0), то функция / имеет в точке х
разрыв первого рода.
Теорема 2. Множество точек разрыва функции f,
неубывающей на отрезке [а, Ь], не более чем счетно.
Доказательство. Пусть функция/ имеет больше чем
одну точку разрыва, и пусть х' и х" (х* < х") — две какие-либо
из них. Так как
f(x' + 0) = inf / (х), / (х" - 0) = sup / (х),
х е ex', х”) х е (х', х")
ТО
fix' +0)< f(x" -0)
и интервалы (/ (х' - 0), / (х' + 0)), (/ (х" - 0), (/ (х" + 0)) оси у не
пересекаются.
110
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Каждой точке х' разрыва функции f соответствует интер-
вал (/ (х' — 0), / (х' + 0)). Внутри его выберем одну рациональ-
ную точку ах.. После сказанного ясно, что разным точкам раз-
рыва х' соответствуют разные точки ах,. Но множество всех
рациональных чисел счетно. Поэтому множество всех точек
ах,, так же как и множество всех точек х' (разрыва f), не более
чем счетно. Теорема доказана.
§ 3.5. Функции, непрерывные на отрезке
Функция f называется непрерывной на отрезке [а, Ь],
если она непрерывна во всех точках интервала (а, Ь), не-
прерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ь.
Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом
замечательных свойств, к изложению которых мы сейчас
приступим.
Сначала мы сформулируем теоремы, выражающие эти
свойства, и разъясним их на графиках и примерах, а затем
докажем их формально.
Теорема 1. Если функция f непрерывна на отрезке
[а, &], то она ограничена на нем, т. е. существует кон-
станта К> 0 такая, что выполняется неравенство
\f(x)\^K Vxe[a, &].
На рис. 25 изображен график Г непрерывной функ-
ции f на отрезке [а, &]. Очевидно, существует число К > 0
такое, что Г находится ниже прямой// = К, но выше прямой
у = —К. В этом и заключается
теорема 1.
Заметим, что если функ-
ция непрерывна на интервале
(а, Ь) или на полуинтервале [а,
Ь) или (а, Ь], то она не обяза-
тельно ограничена на нем. На-
пример, функция 1/х непре-
рывна на полуинтервале (0,1],
но не ограничена на нем.
Рис. 25
§ 3.5. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ НА ОТРЕЗКЕ
111
Если эту функцию доопределить, положив / (0) = 0, то
она будет конечной в любой точке отрезка [0,1], однако, не
ограниченной на нем.
Теорема 2 (Вейерштрасса). Если функция f
непрерывна на [а, 6], то существует ее минимум и макси-
мум на [а, &], т. е. существуют точки а., Р G [а, Ь] такие,
что f (а) < / (х) < f (Р) для всех хе [а, &]. Иначе говоря,
min f (х) = f (а), max f (х) = f (Р).
Непрерывная функция у = f (х), изображенная на рис.
25, достигает своего минимума на [а, Ь] в точке х = а и
максимума в точке х = р. В данном случае обе точки а и 0
принадлежат к интервалу (а, Ъ) (а, 0 е (а, &)). Непрерывная
функция у = f (х), изображенная на рис. 26, достигает ми-
нимума на отрезке [a, fe] на левом его конце и максимума —
в некоторой внутренней точке 0 этого отрезка.
Замечание 1. По теореме 1 непрерывная на отрез-
ке [а, Ь] функция ограничена на нем. Следовательно, суще-
ствуют конечные точные нижняя и верхняя грани f на этом
отрезке:
inf f (х) < sup f (х).
xeja,b) xe[a,t>]
Теорема 2 утверждает, что эти грани на [а, Ь] дости-
гаются, т. е. здесь inf и sup можно заменить соответственно
на min и max (минимум и максимум).
Замечание 2. Функция у = х непрерывна на ин-
тервале (0, 1) и ограничена на нем; верхняя ее грань
sup х = 1 не достигается, т.е. нет такого х0 е (0, 1), для
хе(0,1)
которого эта функция равна 1. Таким образом, в тео-
реме 2 условие непрерывности f на замкнутом
(содержащем в себе оба его конца а и t>) отрезке суще-
ственно.
Очевидно, что sup arctg х = л/2. Однако нет такого х
х>0
112
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
на луче х > О, для которого функция arctg х принимает
значение л/2, и она не достигает максимума на х > О.
В данном случае условия теоремы не выполняются:
область задания непрерывной функции arctg х неограни-
чена.
Если функция f разрывна на [а, Ь], то она не обяза-
тельно достигает своей точной верхней грани. Примером
может служить функция
= 0«*<1/2
[0, 1/2 «х«1.
Теорема 3. Если функция f непрерывна на отрезке
[а, Ь] и числа f (а) и f (b) не равны нулю и имеют разные
знаки, то на интервале (а, Ь) имеется по крайней мере
одна точка с такая, что f (с) = 0.
Функция, график Г которой изображен на рис. 27, удов-
летворяет условиям теоремы 3. Она непрерывна на [а, Ь] и
f (а) < 0, f (Ь) > 0. Из геометрических соображений очевидно,
что график Г должен пересечь ось х по крайней мере в од-
ной точке с е (а, Ъ). Это и утверждает теорема 3.
Следствие 1. Если функция f непрерывна на [а, &],
f (a) =A,f (Ъ) =В (А* Б) и С — произвольное число,.находящееся
между числами А и В, то на интервале (а, Ь) найдется по
крайней мере одна точка с, для которой f (с) = С.
Это следствие можно сформулировать и так: непрерыв-
ная на отрезке [а, Ь] функция принимает все промежуточные
значения между ее значениями на концах отрезка [а, Ь].
S 3.5. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ НА ОТРЕЗКЕ
113
Доказательство. Определим новую функцию
F (х) = / (х) - С, где С — константа — число, находящееся
междуА и В. Так как f — непрерывная на [a, t>] функция, то
nF — непрерывная на [а, &] функция. При этом, очевидно,
F принимает на концах отрезка [а, Ь] значения разных зна-
ков. Тогда по теореме 3 должна найтись на (а, Ь) такая точ-
ка с, чтоВ (с) = 0 или f (с)- С = 0, т.е. f (с) = С. Это и требо-
валось доказать.
Следствие 2. Непрерывная на отрезке [a, fc] функ-
ция принимает все промежуточные значения между ее наи-
меньшим и наибольшим значениями (которые существуют
по теореме 2).
Для доказательства достаточно применить следствие 1
к [Ct, Р], где а, Р — точки, в которых функция f (х) дости-
гает свое наименьшее и наибольшее значение.
Пример 1. Уравнениех -cos х = 0 имеет корень на
интервале (0, л)
В самом деле, функция f (х) — х - cos х непрерывна на
отрезке [0, л] и на концах его принимает значения разных
знаков: f (0) = -1, f (л) = л + 1.
Ниже мы доказываем теоремы 1—3 формально.
Доказательство теоремы 1. Допустим, что
f не ограничена на [а, Ь]. Тогда для каждого натурального
числа п найдется точка хп е [а, Ь] такая, что
|/(Х„)|> 71(1! = 1,2,...). (1)
Последовательность {х„} ограничена (а и Ъ — конеч-
ные!) и из нее можно выделить подпоследовательность {хп>},
сходящуюся к некоторому числуа G [а, Ь] (см. следствие из
теоремы 4 § 2.1). Но в точке а функция /непрерывна (если
а = а (а = Ъ), то в этой точке / непрерывна справа (слева)), и
потому
Ит/(х„) =/(а). (2)
f П-»оо '
Свойство (2) противоречит свойству (1). Поэтому / мо-
жет быть только ограниченной на [а, Ь].
114
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Доказательство теоремы 2. По предыдущей
теореме непрерывная на [а, Ь] функция ограничена, сле-
довательно, она ограничена сверху некоторым числом К:
f (х) < К (х е [а, &]).
Но тогда существует точная верхняя грань f на [а, &]:
sup f (х) = М. (3)
Число М обладает следующим свойством: для любого нату-
рального числа п найдется на [а, Ь] точка хп такая, что
М-1 </(х„) <М (п = 1,2,...).
Последовательность {хп}, как принадлежащая к [а, Ь],
ограничена, и потому из нее можно выделить подпосле-
довательность х^, сходящуюся к некоторому числу р, ко-
торое заведомо принадлежит [а, &]. Но функция f не-
прерывна в точке р, и потому
lim/fxj-,(₽).
С другой стороны, М - — < /(х ) < М (k = 1, 2,...)
lim/fx„) = М.
k-юо <
Но так как/ (х^) может стремиться только к одному преде-
лу, тоМ = f (Р). Верхняя грань (3), таким образом, достига-
ется в точке р, т. е., как говорят, функция f достигает в
точке р своего максимума на отрезке [а, &]. Мы доказали,
что существует точка р е [а, &], для которой
max / (х) = / (Р).
«4я.ь]
Доказательство другой части теоремы о минимуме ана-
логично, но его можно свести к доказательству первой час-
ти теоремы, учитывая, что
min f О) = - max {-f (х)}.
§ 3.6. ОБРАТНАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ
115
Доказательство теоремы 3. Обозначим отре-
зок [а, Ь] через ст0. Разделим сг0 на две равные части. Если
в середине сг0 функция равна нулю, то теорема доказана;
если этого нет, то одна из половинок о0 такова, что на кон-
цах ее наша функция принимает значения разных знаков.
Обозначим именно эту половинку через и разделим ее
на две равные части. Может случиться, что в середине Oj
наша функция равна нулю, и тогда теорема доказана. Если
нет, то обозначим через ст2 ту из половинок, на концах
которой f принимает значения разных знаков. Рассуждая
так по индукции, мы либо наткнемся на очередном этапе
рассуждений на точку с е (а, &), для которой f (с) = О, и
тогда теорема доказана, либо получим последовательность
(бесконечную) вложенных друг в друга отрезков о0 ZD сто id
id о0 id ..., на каждом из которых/ имеет значения разных
знаков. Тогда существует точка с, принадлежащая всем
о„, следовательно, и [а, Ь]. Очевидно, / (с) = 0, потому что,
если допустить, например, что / (с) > 0, то нашлась бы ок-
рестность U (с) точки с такая, что для всехх из [а, &], при-
надлежащих 17 (с), функция/(с) была бы положительной,
но этого не может быть, потому что при достаточно боль-
шом п отрезок стп с J7 (с), а / не сохраняет знак на стп.
Теорема доказана.
§ 3.6. Обратная непрерывная функция
Рассмотрим непрерывную строго возрастающую на от-
резке [а, Ь] функцию у = / (х) (рис. 28). Пусть
/(а) = а, /(Ь) = р.
График этой функции есть непрерывная кривая. Из
его рассмотрения видно, что еслих непрерывно возраста-
ет от а до Ь, то у при этом тоже непрерывно возрастает от
116
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
а Р- пробегая вое значения на отрезке [а, Р] по одному
разу. Но
тогда каждому значению у е [а, Р]
соответствует единственное значе-
ние х G [а, Ь] такое, что у = f (х).
j Этим определена на отрезке [а, Р]
а х0-ё b функция
х = g (у), у е [а, Р],
Рис. 28
называемая функцией, обратной к
функции y = f(x).
Очевидно, функция х = g {у) строго возрастает на от-
резке [а, Р], отображает этот отрезок на [а, Ь] и выполняют-
ся тождества
f[g (</)] = У Vz/e[a, Р],
g U (*)] = х Vx с- [a, &],
График функции х = g (у) можно получить, повернув
на 180° рассматриваемую плоскость вокруг биссектрисы пер-
вого координатного угла системых, у. Так как в результате
поворота график остается непрерывным, то это показыва-
ет, что функция х = g (у) непрерывна на [а, Р].
Таким образом, пользуясь чисто геометрическими сооб-
ражениями, мы установили справедливость следующей те-
оремы.
Теорема 1. Пусть функция f непрерывна на отрезке
[а, Ъ], строго возрастает на немиа = f (а), Р = /(Ь).
Тогда: 1) образ отрезка [а, Ь] при помощи / есть от-
резок [а, р], 2) существует обратная к f функция х =
=ig (У)> однозначная, строго возрастающая и непрерывная
на [а, р].
Доказательство. Пусть Y = f([a, b]) есть образ[а, Ь]
при помощи функции f. Так как a, Р G Y и функция f не-
прерывна на [а, &], то функция f пробегает все значения
§ 3.6. ОБРАТНАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ
117
между числами а и Р и других значений принимать не мо-
жет, ведь по условию она возрастает на [а, Ь] и а = /(а), р =
= f(b). Поэтому [а, Р] = у, т. е. отрезок [а, Р] есть образ отрез-
ка [а, Ь] при помощи функции f. Отсюда следует, что каждо-
му у е [а, Р] соответствует и при том единственное значение
х е [а, Ь] такое, что у = f(x). Единственность следует из того,
что / на [а, Ь] возрастает.
Этим на [а, Р] определена обратная к f функция
х = W) у е [а, Р].
Графиком ее можно считать график f (рис. 28), если
считать, что ось у есть ось независимой переменной.
Функция непрерывна. Пусть пока у0 е. (а, Ь] и х0 =
= VQ/O). Зададим £ > 0 так, чтобы.а < х0 - £ < х0 + е <Ь и
положим уА = f(x0 - Е), у2 = f(x0 + е). Тогда d <у1<у0<у2<
< р. Отсюда с лед ует вследствие монотонности и непрерыв-
ности f, что для заданного нами£ > 0 нашлась окрестность
(ух, у2) С [а, Р] точки у0 такая, что все ее точки у(у е (z/j,
z/2)) переходят при помощи функции \|/ в Е-окрестность (х0 -
- £, х0 + £) точки х0. А это значит, что функция \|/ непре-
рывна в точке у0.
Доказательство для точек z/0 = а и у0 = р аналогично,
оперируя полуинтервалами вместо интервалов.
Незначительно изменяя приведенные выше рассужде-
ния, можно доказать следующий аналог теоремы 1.
Теорема 1'. Пусть функция f непрерывна и строго
возрастает на (а, Ь) (или на [а, Ь), или (а, Ь]) и
а= inf f(x), p=sup/(x).
Тогда образ интервала(а, Ъ) (соответственно^, Ъ),
(а, Ь]) есть инт.ервал(а, Р) (соответственно [а, Р), (а, Р])
и обратная к f функция х = g (у) однозначна, строго воз-
растает и непрерывна на (а, Р) ([а, Р), (а, Р]).
118
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Замечание. Строго убывающая непрерывная на
[а, Ь] функция f (х) имеет обратную строго убывающую не-
прерывную функцию на [р, а], где а = f{a), Р = / (Ь). Это
легко устанавливается, если рассмотреть функцию -
f (х) или же функцию / (-х).
Если же непрерывная на [а, Ь] функция у = f (х) не
является строго монотонной на [а, &], то можно определить
для нее обратную функцию, но эта последняя уже будет
многозначной во всяком случае для некоторых у.
Пример. Функция
у = sinх (хе (-оо, оо)),
непрерывна, но не монотонна. Множество ее значений!/ за-
полняет отрезок [-1, 1]. Каждому у из этого отрезка соот-
ветствует бесконечное число значений х, для которых у =
= sin х.
Впрочем, например, на отрезке [-л/2, л/2] функция
у = sin х непрерывна и строго возрастает и имеет обрат-
ную непрерывную функцию, которая, как мы знаем, обо-
значается так:
х = arcsin у (—1 < у < 1).
§ 3.7. Равномерная непрерывность функции
Пусть функция f непрерывна на отрезке [а, Ь] (или
интервале, полуинтервале). Тогда для каждой точки х0 это-
го отрезка (интервала, полуинтервала) по заданному е > О
найдется 5 > 0 такое, что
|/(х) — / (х0)| < е,
как только
|х - х0| < 5, х е [а, Ь] (или (а, Ь), [а, Ь), (а, Ь]).
§ 3.7. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
119
При изменении х0 при по-
стоянном Е число 5, вообще гово-
ря, изменяется — оно зависит не
только отЕ, но и от х0. Как видно
из рис. 29, число8, пригодное на
участке с пологим графиком,
может оказаться слишком боль-
шим для участка с круто подни-
мающимся графиком.
В связи с этим естественно
выделить те непрерывные функции, для которых при дан-
ном £ > 0 можно указать 5 > 0, пригодное сразу для всехх,
принадлежащих тому множеству, где задана функция.
Начнем с определения.
Определение 1. Функция f, определенная на мно-
жестве X, называется равномерно непрерывной на этом
множестве, если для всякого е > 0 найдется 5 > 0, зави-
сящее только от е, такое, что
\f(x')-f(x")\<E
для всех х', х" е X, удовлетворяющих неравенству
|х' - х"| < 8.
Легко видеть, что если функция равномерно непре-
рывна на множестве X, то тем более она равномерно не-
прерывна на любом его подмножестве X (X' с X). Обрат-
ное, вообще говоря, неверно.
Теорема 1. Если функция f определена и непрерыв-
на на отрезке [а, Ь],то она равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. Допустим, что теорема невер-
на. Тогда существует такое е > 0, что для любого 8 > 0 най-
дется пара точек х', х" е [а, Ь], удовлетворяющих не-
равенству |х' - х"| < 8, для которых
|Г(х')-/(х")| > Е.
Зададим стремящуюся к нулю последовательность по-
120
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
ложительных чисел 8П (п = 1,2,...). Для каждого 8П най-
дутся точки х^, х" е [а, &] такие, что
1<-<1 < 5„> но 1ЛО-ЛО1 > £• (1)
Так как точки последовательности {х^} принадлежат
к [а, Ь], то эта последовательность ограничена и из нее по
теореме Больцано—Вейерштрасса можно выделить подпос-
ледовательность |х' }, сходящуюся к некоторой точке х0 6
е [«, Ь]. Так как х' —► 0, k —► оо, то подпоследователь-
ность {х" } тоже сходится к точке х0. По условию функция
f непрерывна на [а, Ь] и, следовательно, непрерывна в точке
х0. Конечно, если х0 = а или х0 = Ь, то надо считать, что f
непрерывна в х0 справа или соответственно слева. Поэтому
Ит/(х; ) = Ит/(х") = f (х0).
Я->со « к—>со Я
После перехода к пределу в (1) при h — оо получим
е < Ит|/(х;)- Дх;)| = |/(х0) - Дх0)| = 0, (2)
и мы пришли к противоречию: £ < 0.
Заметим, что в (2) мы воспользовались непрерывнос-
тью функции |и| (см. § 3.3, пример 8). Теорема доказана.
Пример 1. Функция
у = sin (1/х)
непрерывна на отрезке [5,1] VS > 0, поэтому на основании
теоремы 1 она равномерно непрерывна на этом отрезке.
С другой стороны, на полуинтервале (0,1] эта функция
хотя и непрерывна, но не является равномерно непрерывной.
Это показывает, что требование в теореме 1, чтобы непре-
рывная функция была задана на отрезке, а не на интервале,
существенно.
Убедимся в том, что наша функция яе является равно-
мерно непрерывной на (0, 1]. Точки хк =
п (* = 0, 1,
л(2Л+1)
§ 3.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
121
2,...), очевидно, принадлежат полуинтервалу (0, 1], и для
них
... . , | . л(2/г + 3) . n(2fe+l)
\f (*ft+i) - f (**)l = I sin 2 - sin -- 2 =
= |(-l)ft+1 - = 2.
Если задать £ = 1, то при любом 5 > 0 найдется такое k, что
1хл+1 - xkl = „(2Л+ЗХ2Л+1) < 5’
между тем как
\f (xk+l) - f (xft)| = 2 > £ = 1.
Из сказанного следует, что ня ту функцию нельзя про-
должить на отрезок [0,1], доопределив ее в точке х = 0 так,
чтобы она стала непрерывной на [0, 1], потому что тогда,
согласно теореме 1, она была бы равномерно непрерывной
на [0, 1], а следовательно, и на (0, 1], чего быть не может.
§ 3.8. Элементарные функции
Функции С (постоянная), хп, ах, log0 х, sin х, cos х, tg х.
Arcsin x.Arccos x.Arctg х мы будем называтьпростейшплш
элементарными функциями.
Применяя к этим функциям арифметические действия
или операции функции от функции (суперпозиции) в ко-
нечном числе, мы будем получать новые более сложные фун-
кции, которые называются элементарными функциями.
Например, у =ln (ех +sin2 х + 1) — элементарная функ-
ция.
Элементарные функции нам известны из школьной
математики. Там уделялось большое внимание их свойст-
вам, но определялись они не всегда строго, полагаясь на
интуицию учащегося.
Нам будет полезно уделить некоторое внимание этим
вопросам с точки зрения общих фактов математического
анализа, которыми мы уже успели овладеть.
а)Постоянная функция С. Каждому действи-
тельному числу (точке) х она приводит в соответствие одно
122
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
и то же число С. График ее есть прямая, параллельная оси
х, отстоящая от этой оси на расстояние |С| выше этой оси,
еслиС > 0, и ниже, еслиС < 0. Это непрерывная функция на
всей действительной оси (см. § 3.3, пример 1).
б) Степенная функция хп (п — постоянная).
При натуральном п 6 N эта функция определена на всей
действительной оси. Чтобы вычислить ее (теоретически!),
разлагаем х в десятичную дробь (х = ±(10, а,а2...) и пере-
множаем эту дробь саму на себя п раз, применяя каждый
раз правило умножения десятичных дробей (см. § 1.6, (11))
и правило знаков.
Функция хп непрерывна, потому что она есть произве-
дение непрерывных функций (у = х), взятых в конечном
числе. Она строго возрастает на [0, сю), что видно из соотно-
шений
х£ - х" ~ (Х2 - х1Хх2 1 + х2 2д:1 + + Х1-1) > 0
при Xj < х2. Кроме того, она стремится к + оо при х —• + со.
В самом деле, если х> 1, тох" = х 'х > х (п > 1) и прих ->
—♦ ОО, х —* оо, хп —* ОО .
Итак функция <р (х) = х" при натуральном п непрерыв-
на, строго возрастает на [0, оо) и для нее <р (0) = 0, sup <р(х) =
xeIO.po)
= + оо. Но тогда на основании теоремы Г § 3.6 функция у=х”
отображает полуинтервал X = [0, оо) на полуинтервал Y = [О,
оо) и существует обратная к ней однозначная непрерывная
строго возрастающая функция. Эту функцию обозначают так:
X = у,п = ^у (у > 0)
и н&зываютарифметическим значением корня п-й степени
из у.
Отметим, что при у >1 (n > 1)
& > V1 = 1. (1)
Подчеркнем, что если а есть произвольное неотрица-
тельное число (0 < а < оо), то для него на основании ска-
§ 3.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕФУНКЦИИ
123
зонного существует и притом единственное неотрица-
тельное число Ь — а/п (арифметическое значение корня п-й
степени из а) такое, что Ьп = а.
Мы сейчас доказали существование корня п-й степе-
ни из а (а > 0).
Этого утверждения в школьной математике не хвата-
ло. Там вводилось понятие корня п-й степени из а (а > 0) и
изучались свойства корней п-й степени, однако не дока-
зывалось, что такие корни существуют — факт существо-
вания считался само собой разумеющимся.
Отметим, что еслип = 2k +1 — число нечетное (k = 0,1,
2,...), то функция у = хл нечетная ((-х)п = -хп). Она непре-
рывна, очевидно, строго возрастает на (-оо, оо) и обладает
свойствами
inf хп = —оо, sup хп = +оо.
Поэтому на основании теоремы 1' § 3.6 функция у = x2fc+1
отображает (—оо, сю) на (-оо, оо) и имеет на (— оо, оо) обрат-
ную непрерывную строго возрастающую функцию
х = у/у (у G (-00, оо), n = 2ft + 1).
Здесь выражение л/у при у > О понимается как арифме-
тическое значение корня п-й степени из у, т. е. как поло-
жительное число, n-я степень которого есть у. Если же
у < 0, то
a/у =-з/Ы,
где в правой части корень понимается в смысле арифме-
тического значения.
Для четного п = 2ft (ft = 1, 2, ...) у = хп есть четная
непрерывная функция. Она отображает интервал (—оо, +оо)
на полуинтервал [0, оо). Но она не монотонна на (-оо, +оо) и
обратная к ней функция двузначна:
х = ±^У (у е 0).
Значение у = 0 единственное, для которого она одно-
значна.
124
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПИДЕЛ ФУНКЦИИ
В школьной математике функция х1 определяется и
для рациональных п. Пусть р, q е N. Полагают для х > О
x₽/9=V7
и доказывают, что
x/’/’ = xsp/s9=(V^₽ (х>0).
Полагают также
(х>0)
О 1
х = 1
и еще
При этом доказывают для любого рационального п
свойство, характерное для степенной функции:
(ху)п = х V (х, у > 0).
Отметим, что функция у = х₽/9 (р, q е N), как это не-
трудно установить, непрерывна и строго возрастает на по-
луинтервале [0, сю) и отображает [0, оо) на [0, оо), поэтому
$ 3.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
125
она имеет обратную непрерывную строго возрастающую фун-
кцию, определяемую, очевидно, равенством
х = yq/p (0 « I/ < оо).
Что же касается функции у = xp/q (р, q g N), то она
строго убывает и непрерывна на интервале (0, оо) и отоб-
ражает (0, оо) на (0, оо). Поэтому она имеет на (0, оо) обрат-
ную строго убывающую непрерывную функцию, определя-
емую равенством
x = yp,q (у>0).
Очевидно,
Iimx,/'1 = +оо, limy^//, = +oo.
х—О S-0
х>0 у>0
Степенная функция хп может быть определена (для
х > 0, а при п > 0 и длях = 0) также и для иррациональных
п, но это лучше сделать при помощи показательной функ-
ции ах (см. ниже в)).
Отметим, что нас интересовали только действительные
корни уравнения у = х". Но если бы мы искали комплекс-
ные корни, то для каждого у Ф О нашли бы п различных
корней (см. ниже § 5.3).
Пример 1. Покажем, что
Ишл/п = 1.
(2)
В самом деле, функция х — у1/п, у G [0, сю) непрерывна
и возрастает. Ведь она есть обратная к непрерывной возрас-
тающей функции у = хп, х е [0, оо). Поэтому для у > 1, у1/п >
>l1/n= 1.
Положим теперь
S/n = 1+ е„,
126
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
где, в силу сказанного, еп > <о. Имеем
хп , и(п-1) 2
П = (1 + Е„) = 1 + ПЕ + -— £„ + ... >
, п(п-1) 2
>1+ 21-
Откуда
Е
п
что и требовалось доказать.
в) Показательная функция а* (а > 0, гк* 1). В
дальнейшем будем рациональные числа обозначать гре-
ческими буквами а, Р, у, ... . Пусть пока а > 1.
Что такое ах при х рациональном, нам известно из
школьной математики (см. еще б)).
Нам известно также из школьного курса математики,
что:
1!)а“>0,
3J а“ < цР (а < р, а > 1),
4J (аа)Р = а“Р.
Добавим еще
5j) а" — +оо, ап — +оо, а > 1.
Свойство 5j) мы сейчас докажем. Запишем а в виде
а = 1 + k (X > 0!). Тогда
ап = (1 + X)" = 1 + пК + ... > 1 + пХ,
Правая часть этого неравенства стремится к бесконечности
при /1 — оо, следовательно, и левая. Далее, считая, что [ап]
есть целая часть ап, будем иметь
ап > alaJ,
и если ап — +оо, то [ап] — +оо, следовательно, aIa“! — +00-
Но тогда аа" — +оо.
Пусть х — произвольное рациональное число. Дока-
§ 3.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
127
жем, что число ах можно определить как точную верхнюю
грань
supa“ = ах (4)
<х<х
чисел аа, распространенную на все рациональные числа
а < х.
В самом деле, на основании 3J
аа <ах Va < х, (5)
т. е. выполняется первое свойство точной верхней грани. С
другой стороны, построим какую-либо строго возрастающую
последовательность рациональных чисел ап, стремящуюся
к х (ап — х). Для нее аа" —► ах, п— оо. Это свойство доказы-
вается ниже (см. (8)). Поэтому для любого £ > 0 можно най-
ти такое п, что
ах - £ < а“" < ах, (6)
т. е. выполнено второе свойство точной верхней грани. Из
(5) и (6) следует (4).
Пусть теперь х — произвольное иррациональное чис-
ло, и пусть т — натуральное число, большее х (т > х).
Имеет место очевидное неравенство <
а т
а <а ,
а<х
т. е. множество чисел aa, распространенное на рациональ-
ные числа a < х, ограничено. Но тогда существует точная
верхняя грань этого множества
supa“
a<x
Это есть вполне определенное число, которое мы обозначим
через ах:
ах = supa“. (7)
Ot<x
Этим функция ах определена для всех действительных
х (х е (-°°, °0))- Она называется показательной функ-
цией.
Итак, функция ах определяется как точная верхняя
грань чисел а“, распространенная на рациональные a < х.
128
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Если х — рациональное, то это определение совпадает
со старым (дает одно и то же число), при иррациональных
же х оно дает новые числа ах.
Можно доказать, что функция ах, определенная при
помощи равенства (7), обладает следующими важными свой-
ствами:
1) ах > О,
2) ахау = ах+у,
3) ах < ау (х < у, а > 1),
4) ах -► 1, х -» О,
5) ах —► оо, х —- 00 (а > 1),
6) ах—► 0, х —► -оо (а > 1),
7)аху = (аУ.
Отметим, что из свойств 2) и 4) следует непрерывность
функции ах для любого значения х0 е (-оо, оо);
|ах-ах”|=|ах!’(ах х”-1|—0 при х- х 0 (8)
В дальнейшем будем считать, что а > 1.
Доказательство 1). Для любого х существует а0 < х,
и потому
О < аа" < supa” = ах, т. е. О < ах.
а<х
Доказательство 2). Пустьа < х и р < у, тогдаа + Р <
< х + у. С другой стороны, пусть у есть произвольное рацио-
нальное число, удовлетворяющее неравенству
У < х 4- у. (9)
Покажем, что у можно записать в виде
у = a + р, где а < х, р < у.
Из (9) следует, что
y-i/<x.
Подберем рациональное а, для которого
y-j/<a<x, (11)
и положим
р=у-а.
(12)
§ 3.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
129
Тогда из первого неравенства (11) следует, что
Р<У- (13)
Таким образом, множество всех сумм а + р, где а < х, р < у,
равно множеству всех у < х + у:
{а + Р}= {у}
а<х Y<x+j>
₽<»
Поэтому
ах+у = sup ат = supa“+P = sup[a“a₽) = supaosupa₽ = ахау
у<х+у а<х асх ' а<х p<j»
P<1Z Р<»
(см. § 2.8, задача 2).
Доказательство 3). Пустьх < у и Р, и Р2, — какие-
либо рациональные числа, для которых х < Р, < Р2 < у. Тогда
х а а Р1
a =supa <supa =а <а < supa = а ,
а<х а<Р) р<</
и мы доказали, что
ах < ау.
Доказательство 4). Для натурального п > а (а > 1!)
1<а',п<П'/п _ 1
П—то
(см. пример 1 п.б)) и мы доказали пока, что
lima1/n = l. (14)
п—оо
Зададим теперь произвольную последовательность положи-
тельных чисел xn < 1, стремящуюся к нулю (хп — О, хп > 0).
Пусть kn = [1/хп] — целая часть 1/хп. Тогда 0 < хп < 1/йп и
1 = а°<ах"«а1^.
Поэтому в силу (14)
limax" = 1.
П—зэо
В силу произвольности последовательности {хп}, где хп > 0,
этим доказано, что существует правый предел
limax= 1; (15)
х>0
5. Заказ 704
130
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
но тогда существует и левый предел
х 1
lima
z-0
*<O -х>0
-i-=l=l
lim au 1
u—0
u>0
(16)
Из (15) и (16) следует, что limax = l (см. § 3.2, (6), (7)). Этим
х—0
свойство 4) доказано полностью.
Доказательство 5). Зададим как угодно большое
числоМ > 0. Существует рациональное число а такое, чтоа“ >
> М, поэтому
М <аа <ах Vx > а.
Следовательно, а —• оо при х — оо.
Доказательство 6).
limax = lim -^ = —- = 0.
*—<х> -х-+оо0 lima
и -’+00
Доказательство 7). Отметим, что при натуральном
т, в силу 2),
р
Для рационального числа > О
Далее, если у — произвольное положительное число и
а„ -» у, где an — рациональные числа, то в силу непрерыв-
ности показательной функции
аху = limaxa" = limfa1)"3” = (a*/,
П—со П-’СО' '
и мы доказали 7) для у > 0.
§ 3.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
131
Если у < О, то (у = -|у|)
аху = у 1 = —1 = = (а}у
/ x\l«l 1 1 "
а (а)
Если 0 < а < 1, то полагаем
а' = ^—.
(W
Свойства 1), 2), 4) при этом сохраняются. Свойство 3)
имеет вид ах >ау (х < у).
Свойство 5): ах -> 0, х -» + со.
Свойство же 6) имеет вид ах —• + со, х —* — оо.
г) Функция logax. Будем считать a > 1. Так как фун-
кция у = ах непрерывна и строго возрастает на (—со, оо) и
отображает интервал (—со, оо) на интервал (0, оо), то суще-
ствует обратная к ней функция, непрерывная и строго воз-
растающая на (0, со). Ее называют логарифмом у при осно-
вании а и обозначают символом
*=logoy, у е (0, оо).
Из сказанного следует, что (мы заменяем у на х)
lim log„х = ч-co, Ит log„x = -oo.
n—+CO n—0
n>0
При a < 1 рассуждения аналогичны. Функция ax так-
же отображает действительную ось (-оо, оо) на полуось (О,
со), но строго убывая. Обратная функция logQ х, опре-
деленная на (0, со), также будет строго убывать, и теперь
lim log. х = -со, Ит log„ х = +оо.
л-’+оо п—О
п>0
Имеют место тождества (см. § 3.6)
й'°г“'= х (0 < х< +ео), loga ах = х (-со < х < +оо) (17)
(a 1). Отсюда на основании свойств функции ах при х, у >
> 0 имеем
loga(xy) _ _ log„x к>Вл!/ _ log^+log.,»
U- — Л-у — U LL — И
132
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
И
loga(xy)=logax + logaj/.
Если в этом равенстве заменить х на х/у, то получим
loga х - loga у = logu (х/р).
Далее (см. 7))
a1'*’*' =х* = (а1ое“ху = ау1ое“х (х > 0),
поэтому
logaxi'= у loga х (а*1,х>0). (18)
Наконец, отметим, что для положительных не равных
1 чисел а и b имеет место
. alog„Hog|,o _ (alc«oьу°гь° _ ^logftO _ а
и, следовательно,
loga Ъ logfc а = 1.
Логарифм числа а при основании е называется натпр-
pajibHWJ^O2apu0.MO.M4Hcaaano6o3Ha4aeTCHTaK:log(,a =1п а.
д) Вернемся к степенной функции
у = х (0 < х < оо).
После изложенного выше мы можем сказать, что эта
функция имеет смысл не только для рациональных и, но и
для иррациональных. Ее можно записать (см. (17) и (18))
так:
п п In X
х ~е , (19)
откуда видно, что она непрерывна, как суперпозиция не-
прерывных функций.
При и > 0 она строго возрастает и обладает свойствами
limx" = 0, limx" = +оо.
«—О п—+ъ
п>0
При п > 0 естественно считать, что 0" = 0, тогда функ-
ция делается непрерывной справа в точке х = 0.
§ 3.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
133
При п < 0 функциях" непрерывна и строго убывает на
положительной полуоси и обладает свойствами
1ппх" = +оо, limx" = 0.
л—0 п—+сс
и>0
Из формулы (19) следует характерное свойство степен-
ной функции
(ху)п = еп ln (чд = еп ln хеп ln у = х V
(х, у > 0).
е) Функция у = и (х)1^. Пусть функции и (х) и v (х)
заданы в окрестности точки а, за исключением, быть может,
самой этой точки, и (х) > 0 и lim и (х) =А > 0, lim и (х) = В
п—а п—а
(А и В — конечные числа). Тогда
Um u(x)v(x)=AB. (20)
х—а
В самом деле (см. (17), (18)),
lim u(x)pW = lim ev<x)ltluM
х—а х—а
lim[v(x)ln u(x)]
limu(x)limlnu(x)
,x—о x—a __________ &В In A дВ
Во втором равенстве этой цепи использована непрерывность
функции е , а в четвертом — непрерывность функции Ln г.
Если и (х) и v (х) непрерывны в точке х = а и и (а) > 0,
то в некоторой окрестности этой точки и (х) > 0 (см. § 3.3,
теорема 4) и А = и (а), В = v (а). Поэтому в силу (20)
lim u(x)*’w=u(a)v(“).
х —О
Отметим интересные случаи, не предусмотренные
равенством (20), когда (при х —»а, u> 0)и — + оо, и — 0;
v — оо, и — 1; v -* 0, и -* 0.
В этих случаях не действует теорема о пределе и In и.
Заранее, не имея более точной информации о характере
стремления и и v к указанным пределам, невозможно дать
формулу для lim uv. Эти случаи дают для выражения и1 в
х—а
_________________________________________О . со
окрестности точки а неопределенности вида оо , 1 , 0 -
134
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
ж) Тригонометрические функции sin х,
cos х, tg х и др. известны читателю из курса тригономет-
рии. Они определяются там из геометрических соображе-
ний. Мы будем тоже базироваться на этих определениях.
Можно было бы дать чисто аналитическое определе-
ние тригонометрических функций, но мы этого делать не
будем.
Отметим, что функция^ =sin х непрерывна (см. § 3.3,
пример 3) и строго возрастает на отрезке [ -л/2, л/2], ото-
бражая этот отрезок на отрезок [-1, 1]. Но тогда она имеет
обратную однозначную непрерывную функцию
х = arcsin у (у е [-1, 1]).
Однако функция у = sin х, рассматриваемая на всей оси
(—со, оо), имеет многозначную, даже бесконечнозначную,
обратную функцию Arcsin у, все значения которой вычис-
ляются по формуле
х = Arcsin у = (-1)* arcsin у + kn (k = 0, ±1, ±2,...), (21)
т. е. каждому у е [-1, 1] соответствует множество еу зна-
чений х, определяемых формулой (21).
Подобным образом для функций
у =COS X (0< X < Л),
у = tg х (-л/2 < х < л/2)
обратными будут функции
х = arccos у (у е [-1, 1]),
х = arctg у (у е (-со, оо)),
а для этих же функций, рассматриваемых на действитель-
ной оси, обратные функции имеют соответственно вид
х = Arccos у — ±arccos у + 2fen,
х = Arctg у = arctg у + fen
(fe =0, ±1,±2, ...).
з)Гиперболические функции. Функции
sh х = е ~~ , ch х = -+е , th х = cth х =
2 2 chx shx
§ 3.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
135
называются соответственно гиперболическим синусом, ко-
синусом, тангенсом и котангенсом. Начертим их графики
(рис. 32 и 33). Функцииsh х, ch х, th х определены на (-со,
со), acth х — на этом же интервале, за исключением точки
х = 0.
Легко проверить, что для этих функций имеют место
формулы, подобные формулам обычной тригонометрии (но
не всегда совпадающие). Например,
sh (х + у) = sh х ch у + sh у ch х,
ch (х + у) = ch х ch у + sh х sh у.
Полагая в последнем равенстве у = —х, получим
ch2x — sh2 х= 1.
Отметим, что все рассмотренные здесь функции непре-
рывны в своих областях определения. Для sh х, th х суще-
ствуют обратные функции ареасинус гиперболический х =
= Arsh у и ареатангенс гиперболический х - Arth у, кото-
рые однозначны. Обратная функция длясЬ х прих > 0 так-
же однозначна.
136
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 3.9. Замечательные пределы
Теорема 1.
lim^- = l.
х-0 х
Доказательство. Так как функция у = sin х яв-
ляется непрерывной, Tosin х —
— sin 0 = 0 прих — 0. Поэтому
выражение-* 1-^- представляет
х
собой неопределенность вида
(q) • Раскроем эту неопреде-
ленность. Из определения три-
а тонометрических функций и
геометрических соображений
имеем (рис. 34)
0 < sin х < х < tg х
при 0 < х < л/2 (MN = sin х, AM ± ОМ, AM = tg х, ОМ = 1.
Сравните площади треугольникаОМ/V, сектора ОМ1 и тре-
угольника ОМА). Отсюда, деля на sin х > 0, получаем
1<—^—< 1— или 1>^®—>cosx
sinx cosx х
(1)
Неравенства (1) верны и для -л/2 < х < 0, так как фун-
кции cos х и slft— четные. Далее функция cos х непрерыв-
х
на, поэтому
lim cos х = cos 0=1,
х—0
и, следовательно, переходя к пределу в (1), в силу теоремы
4 § 3.2 получим, что
limsinx = 1.
х—0 X
§ 3.9. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
137
Пример 1.
2sin2 —
lim —“ = lim---у2, =
х_0 х2
=ilim
2 »-о
sin
=1 lim
2
X
sin ~
2
x-0 x
2 )
= 1-1 =
2
2 ;
1
2
Теорема 2.
= е.
(2)
Доказательство. В силу определения предела
функции мы должны показать, что
Vx„ — со
(3)
Если хп = п — натуральное, то это уже доказано. Что-
бы доказать (2), достаточно убедиться в том, что (2) верно в
двух случаях: когда хп —» +оо и когда хп -* -со, пробегая не
обязательно целые значения (см. замечание в конце § 3.2).
Пусть хп — произвольная переменная, стремящаяся к
+с0 (*„ +°°)> и пусть [xn] = kn — целая часть числа хп.
Тогда kn < хп< kn+ 1 < хп + 1 < kn + 2 и
При хп -► +оо [xn] = kn~* +оо, откуда первый и послед-
ний члены цепочки неравенств стремятся к е. Поэтому
и так как при этом 1 + — -* 1, то мы доказали (3) для
+ 00.
138
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Если теперь хп — -со, то х'п = —хп
lim|l+—
—<4 х„
л
= lim 1—1
хп
= lim
1
= lim 11+,.
хй"’+я: I х — 1
х п
1
х'-1
= е,
т. е. (2) доказано.
Пример 2.
lim(l+u)1/u = е.
Получается из (2) заменой 1 /х = и.
Пример 3.
limfl+—Г = еа, lim(l+аа)1/и = еа Va.
х-аА X' и—О
При а = 0 это выражение сводится к пределу lim Iх =
Х-’со
= 1 = е°, потому что по определению считается, что Iх = 1.
Пусть теперь а Ф 0. Если х -* со, то — — со и
Надо учесть, что степенная функция иа непрерывна в точке
и = е (см. § 3.8, д)).
Пример 4.
1п(1+х) , log„(l+x) , 1
hm—ь-----*=1, hm—------- = log е = -^.
х-о х *-о х Ina
Так как In и есть непрерывная функция на (0, со), то
(см. пример 2)
lim = lim In (1+x)1/x = In lim (1+x)1/x = In e = 1.
x-0 X x—0
§ 3.10, ПОРЯДОК ПЕРЕМЕННОЙ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
139
Пример 5.
lim——i-lna (а>0), lim-—- = 1.
х-0 X х-0 х
В самом деле, положим ах ~ 1 = и. В силу непрерыв-
ности показательной функции и — 0 при х—0. Далее,
х In а = In (1 + и), поэтому (см. пример 4)
lim——- = Иш——-1па=1па-lim———- — 1™ а
х-о х «-о ln(l + u) u-°in(l+u) ~ша-
§ 3.10. Порядок переменной.
Эквивалентность
Будем рассматривать две функцииф (х) и ф (х), задан-
ные в некоторой окрестности U (а) точки а, за исключе-
нием, быть может, самой точки а. Точка а может быть
конечная или бесконечная ( +оо, -оо, или со). Будем счи-
тать еще, что ф (х) * 0 на U (а). Если
lim^ = 0, (1)
х-а v(x)
то будем этот факт записывать так:
Ф (х) = о(ф(х)), х — а, (1')
и говорить, что ф (х) есть о-малое от ф (х) при х — а.
Например:
X = о (х), х — 0;
х" = о(хт), х — 0, если т < п;
х" = о (хт), х — со, если т > п;
(х— а)4 = о ((х - а)3), х — а;
1 - cos х = о (х), х — 0, потому что lim — cosx = 0. х-0 X
Выражение о (1), х — а, обозначает бесконечно ма-
лую при х — а, т.е. некоторую функцию ф (х), которая
стремится к нулю при х — а (ф (х)— 0, х — а). Например,
ф (х) = -J— = о(1), х — +00.
1пх
Свойство (1), очевидно, выражает тот факт, что функ-
140
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
циюср (х) можно записать в виде ср (х) =Е (х) ср (х), где£ (х) —
— О при х — а.
Если функции ср и ср, участвующие в соотношении (1)
(или, что все равно, в (1')), суть бесконечно малые прих — а,
то говорят еще, употребляя более старинную тер-
минологию, что ср (х) при х —> а есть бесконечно малая
высшего порядка по отношению к (бесконечно малой) ср (х).
Если же ср и у в (1) бесконечно большие при х — а, то
говорят, что ср (х) при х —- а есть бесконечно большая бо-
лее низкого порядка, чем ср (х), или еще что ср (х) есть бес-
конечно большая более высокого порядка, чем ср (х)).
Будем еще писать
(р (х) ~ ср (х), х -» а (2)
и называть функции ср (х) и ср (х) эквивалентными (асим-
птотически равными) при х —> а, если выполняется свой-
ство
Например,
sin х ~ х, х -* О, (3)
или еще (см. примеры 1, 4, 5 § 3.9)
1- cos х « х2/2, х —* 0, (4)
In (1 + х)~ X, х —* 0, (5)
е — 1« х, х-* 0, (6)
ах - 1» х In а, х — 0. (7)
Отметим, что если
lim f (х) = А 0,
х—а
то это эквивалентно факту
1- 1
lim = 1,
х-о Д
что мы условились обозначать также так:
f(x)~A, х-а (А^О). (8)
§ 3.10. ПОРЯДОК ПЕРЕМЕННОЙ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
141
Терминология, которую мы здесь ввели, нужна для того
чтобы упрощать вычисления и сокращать записи формул.
Важно при этом усвоить несколько простых свойств асимп-
тотически равных (эквивалентных) функций, которые вы-
ражены в теоремах ниже.
Теорема 1. Если
ср (х) ~ ср (х), х — а
то
V (х) ~ ср (х),
а.
(10)
Доказательство. Дело в том, что если ср (х) Ф 0
на U (а) и выполняется (9), то, очевидно, и ср (х) .0, быть
может, на несколько уменьшенной окрестности. Но тогда
lim = lim
<р(х) *-<>
1 =1
ф(*) 1
ф(х)
Теорема 2. Для выполнения свойства (9)необходи-
мо и достаточно, чтобы
ср (х) = ср (х) + о (ср (х)), х — а. (11)
Равенство (11) надо читать следующим образом: сла-
гаемое, которое добавляется к ср (х), чтобы получить ср (х),
обладает следующим свойством: если разделить его на ср (х),
то полученное частное будет стремиться к нулю, если устре-
мить х к а.
Доказательство. Пусть имеет место (9). Тогда
<р(х)
-~г~ = 1 + £ (х), где е (х) — 0 при х — а.
V(x)
Следовательно,
ср (х) = ср (х) + Е (х) ср (х) = ср (х) + о (ср (х)), х — а,
и мы доказали (11).
Обратно, если верно (11), то
ср (х) = ср (х) + о (хр (X)) = V (X) + Е (х) ср (х),
142
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
где £ (х) —* 0 при х — а. Поэтому
= 1+е(х) - 1
V(x) 1+eWx-/’
и мы получили (9).
Теорема 3.Если
ф (х) »фт (х), х — а
то
lim[ ф (х) ф (х)] = lim[ ф (х) фх (х)],
х~*а х—а
ф(х) х-а ф/х)
(12)
(13)
Эти равенства надо понимать в том смысле, что если
существует в них предел справа, то существует предел и
слева, и они равны, и обратно.
Отсюда следует, что если какой-либо из этих пределов
не существует, то не существует и второй.
Доказательство. Приведем только одно из этих
рассуждений. Пусть существует предел справа в (12).
Тогда
lim[<p(x)V(x)] = lim ф(х) Ф,(*)^М =
х-fl u Л х-а I VJ/ДХ)
= lim [<р(х) ф,(х)] lim-^^ = lim [<р(х) ф (х)] • 1 =
х~а ь Л х~а х~а ь
= lim[tp(x) Vj (х)].
Пример 1. tg х ~ х, х —* О, потому что
lim tgx=lim(sinx._L_l = L
х-0 х х-0 X х COSX'
Пример 2.
, 3 3
limlglx_=lim_x^
х-0 х +х х +х
= lim—— =0.
х—0 х2 + 1 1
§ 3.10. ПОРЯДОК ПЕРЕМЕННОЙ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
143
Определение. Если для функции ф (х) можно по-
добрать числа А и т, где А* О, такие, что
(р (х) ® А (х — а)т, х — а,
то говорят, что функция А (х — а)т есть главный, степенной
член функции ф (х) в окрестности точки а.
Правые части соотношений (3)—(7) суть, очевидно,
главные степенные члены левых частей при х — 0.
Будем говорить, что/- на множестве Е имеет порядок ср
или еще f естьО-большое от ф иаЕ и при этом будем писать
f (х) = О (ср (х)) на Е, (14)
если
|f(x)| « С |ф(х)| VxeE,
где С — не зависящая от х положительная константа.
В частности, равенство
/г(х) = О(1)наЕ
обозначает тот факт, что f ограничена на Е.
Примеры:
1) sin х = О (1), sin х = О (х) на (-оо, оо);
2) х = О (х2) на [1, оо);
3) х2 = О (х) на [0, 1].
ГЛАВА 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
§ 4.1. Производная
Понятие производной — важнейшее понятие математи-
ческого анализа наряду с понятием интеграла.
Производной от функции f в точке х называется пре-
дел отношения ее приращения Ду в этой точке к соот-
ветствующему приращению аргумента Дх, когда послед-
нее стремимся к нулю.
Производную принято обозначать так:
(1)
д*-о Дх дх-о Дх
Но широко употребляются и другие обозначения: у',
df(x) dy
——, -7—. Удобство того или иного из них читатель впос-
dx dx
ледствии оценит сам.
„ Ду
При фиксированном х величина есть функция от
ф (Аг) = (Дх Ф 0).
Дх
14.1. ПРОИЗВОДНАЯ
145
Для существования производной от f в точке х необ-
ходимо, чтобы функция f была определена в некоторой
окрестности точки х, в том числе в самой точке х. Тогда
функция ф (Дх) определена для достаточно малых не рав-
ных нулюДх, т. е. дляДх, удовлетворяющих неравенствам
О < |Дх| < 5, где 5 достаточно мало.
Конечно, не для всякой функции f, определенной в ок-
рестности точки х, существует предел (1). Обычно, когда
говорят, что функция f имеет в точке х производную f (х),
подразумевают, что она конечна, т. е. предел (1) конечный.
Однако может случиться, что существует бесконечный пре-
дел (1), равный +оо, -оо, или оо. В этих случаях полезно
говорить, что функция f имеет в точке х бесконечную про-
изводную (равную +оо, —оо, или оо).
Если в формуле (1) предполагается, что Дх—► 0, при-
нимая только положительные значения (Дх > 0), то соот-
ветствующий предел (если он существует) называется пра-
вой производной от f в точке х. Его можно обозначить так:
CW)-
Аналогично предел (1), когдаДх — О, пробегая отрица-
тельные значения (Дх < 0), называется левой производной
от f в х (£,(х)).
Конечно, для вычисления f (х) (соответственно (х))
необходимо только, чтобы f была задана в точке х и справа
от нее в некоторой ее окрестности (соответственно вх и сле-
ва от х).
Типичным является случай, когда f задана на отрезке
[а, Ь] и имеет во всех внутренних точках этого отрезка, т. е.
в точках интервала (а, Ь), производную, в точке же а имеет
правую производную, а в точкеЬ — левую. В таких случаях
говорят, что функция f имеет производную на отрезке [а,
Ь], не оговаривая, что на самом деле в точке а она имеет
только правую производную, а в точке Ь — только левую.
Нетрудно видеть, что если функция f имеет правую и
левую производные в точке х и они равны, то / имеет про-
изводную в х:
Гпр(*)= Гя (*) = Г (*)-
146 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Но если правая и левая производные в х существуют и
не равны между собой (f (х) & fn (х)), то производная в хне
существует.
Пример. Рассмотрим
функцию у = |х| (рис. 35).
Для нее
Ду _|х+Ах|-|х|
Дх Ах
Если х > 0, то х + Ах > 0 для до-
статочно малых Ах и
Ду _ х гАх-х _
Ах Дх Ах
(х>0).
Если х < 0, то х + Ах < 0 для достаточно малых Ах и
(х<0).
Ах Ах . Ах
Таким образом,
|xf =
Ди Г 1, если х>1,
lim—= < „
^-оДх [-1, если х<1.
Пусть теперь х = О. Тогда
А 'У*
= sign Ах = sign Ах=
Ах
1, если Дх>1,
L— 1, если Дх<1.
Ау = | Дх|
Ах Дх
Поэтому
lim—= 1, lim—= -1.
Д*-0 Ах Ах-0 Дх
Дг>0 Дх<0
Таким образом, функция |х| имеет в точкех = 0 правую
производную, равную 1, и левую — равную -1, что показы-
вает, что в точке х = 0 функция |х| производной не имеет.
Мы знаем (см. § 3.3, пример 8), что|х| есть непрерывная
функция для всех значений х, в том числе и в точке х = О,
поэтому она может служить примером непрерывной всюду
функции, не имеющей в некоторой точке производной. В
§ 4.1. ПРОИЗВОДНАЯ
147
математике известны примеры функций, непрерывных на
всей действительной оси и не имеющих в любой точке оси
производной.
С другой стороны, всякая функция, имеющая производ-
ную (конечную!) в точке х, непрерывна в этой точке.
В самом деле, пусть предел (1) существует в точке х и
конечен. Этот факт можно записать следующим образом.
^=Г(х) + е(Дх),
Ах
(2)
гдее (Дх) -► 0 при Дх — 0, т.е. е (Дх) есть бесконечно малая
при Дх — 0. Из (2) следует:
Ду = /*(х)Дх + Дх • е (Дх).
Переходя в этом равенстве к пределу, когдаДх -► 0,по-
лучим
lim Ду = 0,
Лх—0
что показывает, что f непрерывна в точке х.
Отметим некоторые важные приложения производной.
Мгновенная скорость.Пустьфункцияз = f(t)
выражает закон движения точки на прямой, которая рас-
сматривается как координатная ось з. Здесь з — коорди-
ната движущейся точки в момент времени t. Путь, прой-
денный точкой за промежуток времени [t, t + At], равен
ks = f(t+M)-f (t).
148 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Сила тока. Пусть Q = f (f) есть количество элект-
ричества, проходящее через сечение провода за время t. Тог-
да
AQ
At At
есть средняя сила тока за промежуток времени [t,t + At]. А
предел
lim^® =Q' I
М-0 At
есть сила тока в момент времени t.
Плотность распределения массы.Пусть
(рис. 36) на отрезке [а, Ь] оси х распределена масса вообще
неравномерно, так что количество массы, нагруженной на
отрезок [а, х], равно
М - F (х) (а< х < Ь).
Это количество пропорционально площади фигуры
аАВх. Таким образом, М есть функция от х (М = F (х)).
Количество массы, приходящееся на отрезок [х, х + Ах],
очевидно, равно
AF = F (х + Ах) - F (х).
г. AF
Средняя ее плотность на этом отрезке равна , а пре-
дел
Az-О Дх
= F(x)=p
есть истинная плотность распределения массы в точке х.
§ 4.2. Геометрический смысл производной
Пусть на интервале (а, Ь) задана непрерывная функ-
ция у = f (х). Ее график называется непрерывной кривой.
Обозначим его черезГ. Зададим наГ точкуА= (х, f (х)) (рис.
37 и 38) и поставим целью определить касательную к Г в
этой точке. Для этого введем наГ другую точку В = (х + Ах,
§ 4.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
149
f (х + Дх)), где Дх О (на рис. 37 изображен случай Дх > О,
а на рис. 38 — случаи Дх < 0). Прямую, проходящую через
точки А и В, направленную в сторону возрастания х (отме-
ченную стрелкой), назовем секущей и обозначим через S.
Угол, который S образует с положительным направлением
оси х, обозначим через р. Мы считаем, что -л/2 < Р < л/2.
При р > 0 угол отсчитывается от оси х против часовой стрел-
ки, а при р < 0 — по часовой стрелке. На данных рисунках
р>0. На рис. 37Дх = АС, Ау = СВ, а на рис. 38Дх =-АС, Ду =
= -СВ. В обоих случаях Ду/Дх = tg р.
Если Дх —0, то Ау — 0 и точка В, двигаясь поГ, стре-
мится к А. Если при этом угол р стремится к некоторому
значениюа, отличному оттг/2 и -л/2, то существует предел
" limtg Р = tg а’ С1)
Дх ₽-«
равный производной (конечной) от f в точке х:
f (х) = tg а.
(2)
Обратно, если существует (конечная) производная f (х),
то р — а = arctg f (х).
При стремлении р к а секущая S стремится занять
положение направленной прямойТ, проходящей через точ-
ку А и образующей угол а с положительным направлением
оси х.
Направленная прямая Т называется касательной к
кривой Г в ее точке А.
150 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Определение. Касательной к кривой T(y = f (х)) в
ее точке А=(х, f (х))называется направленная прямая Т,
к которой стремится секущая S(направленная в сторону
возрастания х прямая), проходящая через А и точку В =(х +
+ Дх, f (х + Дх)) е Г, когда Ах -» 0.
Мы доказали, что если непрерывная функция y = f(x)
имеет конечную производную f (х) в точке х, то ее график
Г в соответствующей точке имеет касательную с угло-
вым коэффициентом tga =f (х) (-л/2 <сх < л/2). Обратно,
существование предела
lim Р = а (-л/2. < а < л/2)
влечет за собой существование конечной производной f (х)
и справедливость равенств (1), (2).
Может случиться, что f имеет в точке х правую и ле-
вую производные, отличные между собой:
Л W * 4, (*)•
Тогда А есть угловая точка Г. В этом случае касатель-
ная к Г в А не существует, но можно говорить, что суще-
0
Рис. 39
ствуют правая и левая каса-
тельные с разными угловыми
коэффициентами:
tga. = lim — = Л (х),
6 1 2 * Дх-ОДх п
Дх<0
tga, = lim— = f’ (х).
2 дх-одх пр 7
Дх>0
На рис. 39 приведен пример
такого случая.
Пусть теперь производная от f в точке х бесконечна:
f (х) = lim— = оо.
' Лх-ОДх
Отметим четыре важных случая:
1) f (х) = lim^ = +оо, Р % (РИС‘ 4 * *°)’
5 4.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
151
3)/' (х) = lim ^ =-00,
Дх<0
Р (рис. 41).
/' (х) = lim— =+оо,
' “Р V ' дх-0 Дх
В---,
р 2’
р 2
Левая касательная перпендикулярна оси х и направ-
лена вниз. Правая касательная перпендикулярна оси х и
направлена вверх (рис. 42).
4) Л (х) = lim 4^ =+оо, р —
7 л' ’ дх-оДх к 2
Г (х) = lim— = -оо
’ Дх—о Дх
Дх>0
р-1-
Левая и правая касательные направлены параллельно
оси у, первая вверх, вторая вниз (рис. 43).
Рис. 42
Рис. 43
152 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Примечание. Обычное определение касательной к
кривой Г следующее: касательная?1 к кривой Г в ее точкеА
есть прямая, к которой стремится секущая S, проходящая
через точку А и другую точку В 6 Г, когда последняя, дви-
гаясь по Г, стремится кА.
В этом определении не предполагается, что S и Т —
направленные прямые. Это определение вполне корректно
в случае касательной не параллельной оси у. Однако если
применить его, например, к случаю 4) (см. рис. 43, гдеА —
угловая точка), то получим, что данная кривая имеет в точ-
ке А единственную касательную. Это не вяжется с нашим
представлением о гладкости кривой, имеющей касательную.
Приведенное нами определение дает в точкеА две ка-
сательные (сливающиеся), имеющие противоположные на-
правления. Угол между ними равен л.
Из аналитической геометрии известно, что уравнение
прямой (в плоскости), проходящей через точку (х0, у0) под
углом а к положительному направлению оси х (-Л/2 < а <
< л/2), имеет вид* у - у0 = пг (х - х0) (тп = tg а). Отсюда
уравнение касательной к кривой у = f (х) в точке (х0, у0)
имеет вид
У ~ У о = Г0(х “ х0), (3)
где y0 = f(x0),f0 = f (х0).
Прямая, проходящая через точку А 6 Г перпендику-
лярно к касательной к Гв этой точке, называется нормалью
к Г в точке А. Ее уравнение, очевидно, имеет вид
У - Уо = (х - хь). (4)
Уо
Пример 1**.
Найти уравнение касательной к кривой
* См. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгебры
и аналитической геометрии», § 8.
** Примеры 1. 2, 3 можно рассмотреть в § 4.8 после овладения техни-
кой дифференцирования.
§ 4.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
153
х }У. =1
2^.2 А
а b
(-а < х а)
(5)
2
2 2
X 11
в некоторой ее точке (х0, у0), т. е. -у+ г = 1-
а Ь
Кривая (5) называется эллипсом. Очевидно, что эл-
липс расположен симметрично относительно осей коор-
динат, так как его уравнение не меняется при заменен на
(-х) и у на (-у). При выводе уравнения касательной бу-
дем считать, что — а < х < а, 0 < у < Ь. Из (5) имеем
Ь / 2 2
у = — >1а -х
а
(5’)
Отсюда у' = —т=^—=
ad а —х
Вычислим функцию у и производную у' в точке х0:
У о = У (*о) = Z V«2-Xo > У' (*о) = ~ / 2^ 2 ’
а ау]а -х^
У(У' (Х0) = - ~2 Х0- (6)
а
Уравнение касательной к эллипсу в точке (х0, у0):
У-% = у'(х0ХХ-х0). (7)
Умножая (7) на у0/ Ь2, в силу (6) будем иметь
Yy0 _ Уо_ _ I, ч ( Ху0 _ УУр _ Уо_ _ _ *4 ,
,2 , 2 “У НоД ,2 ,2 > ,2 ,2“ 2 2 ’
Ъ Ь \ Ь Ь } Ь Ъ а а
2 2
ХО Уп
Так как у нас 2+2 ~ 1> то уравнение касательной
а Ь
запишется:
, Yy0
2 ,2
(8)
154 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Таким образом, чтобы получить уравнение касательной к
эллипсу в его точке (х0, j/0), нужно в уравнении эллипса (5)
заменить х2 на Хх0, и у на Yp0.
Рис. 44
При отрицательных значениях у (-Ь < у < 0) рассуж-
дения те же самые и (8) будет уравнением касательной в
любой точке эллипса (х0, у0). Из уравнения (8) видно, что
касательная к эллипсу в его точке (х0, у0) пересекает ось
х в точке с абсциссой а /хй, т. е. при х0 > 0 эта точка
пересечения находится правее эллипса, а при х0 < 0 —
левее (рис. 44).
Пример 2. Найти уравнение касательной к кривой
2 2
^-^=1 (|х|>а)
а b
(9)
в некоторой ее точке (х0, у0)
' 2 2
2 ,2
а b
= 1
Кривая (9) называется гиперболой. Эта кривая также
симметрична относительно осей координат.
Проводя рассуждения, как в примере 1, получим урав-
нение касательной к гиперболе в виде
*•4) »о _ I
2 ,2 ~ 1
а b
(|х| > а).
Точка пересечения этой касательной с осью х имеет
5 4.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
155
( 2 1
абсциссу а2/х0 О <,—; а , т. е. эта точка пересечения На-
V. Р"01 7
ходится в (0, а] для х0 > а и в [-а, 0) для х0 < -а (рис. 45).
Рис. 45 Рис. 46
Пример 3 . Найти уравнение касательной к кривой
у2 = 2рх (х>0,р>0) (10)
в некоторой ее точке (х0, р0) (р2 = 2рх0).
Данная кривая называется параболой. Она расположе-
на симметрично относительно оси х (т.е. в (10) х является
четной функцией от у). В силу этого достаточно рассмот-
реть верхнюю половину параболы (р > 0). Из (10) имеем
р = ^2рх . (10')
Отсюда
У=-£—, Уо = V2Pxo , у'хо= )/ - =
V2px у}2рх0 у0
Уравнение касательной к параболе в точке (х0, р0):
У~Уо= “ хо)
ИЛИ
у - Уо = Р (X - х0), Ур0 - Уо = рХ-рх0.
Уо
Так как р„ = 2рх0, то
Ур0=р(Х + х0). (И)
Таким образом, чтобы получить уравнение касатель-
156 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ной к параболе в ее точке (х0> у0), нужно в уравнении пара-
болы (10) заменить у2 на Yy0, а 2х на X + х0.
Касательная (11) к параболе (10') в ее точке (х0, у0)
пересекает ось х в точке с абсциссой (—х0) (рис. 46) незави-
симо от величины/?, т. е. касательные к любым параболам
у2 = 2рх в точке (х0, -j2px0 ) пересекают оси в одной и той
же точке (—х0).
§ 4.3. Производные элементарных функций
Постоянная С — каждому х соответствует одно и то
же значение у = С. Таким образом, значению х + Дх со-
ответствует значение функции у + Ду = С. Следовательно,
С' = lim^=^ = lim-^- = lim0 = 0. (1)
Дх Дх—0 Дх Дх-0
Степенная функция хп (n = 1, 2, ...).
(хп)' = пх"”1, (2)
потому что
-1 Г(х+Лх)',-х,‘1-
Лх^ J
1 л л-1 . п(п 1) л-2. 2 А л л
= х +пх Ах+—----------—х t\x + ...+Ах -х =
AxL 2! J
n-1 n(n~ 1) n-2* . n-1 „ n-1
= nx +—------x Ax+... + Ax nx .
2! Ax-0
Справедливы формулы
(и ± и)' = и' ± v', (3)
(uv)' = uv' + u'v, (4)
М'=]Лцш/ (u#0). (5)
'v> V
Здесь предполагается, что и = и (х), v = v (х) — функ-
ции от х, имеющие производную в точке х. В случае (5)
дополнительно предполагается, чтоv (х)^ 0. Утверждается,
что в таком случае в точкех существуют производные, сто-
ящие слева в равенствах (3), (4), (5), и эти равенства верны.
§ 4.3. ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
157
В самом деле, зададим Дх. Новому значению х + Дх
аргумента соответствуют новые значения наших функций
и + Ди, v + Ди и
Д (и ± и) = [(и + Ди) ± (и +Ди)] - (и ± и) = Ди ± Ди,
(и + и)' = Иш ^u~v) - цт ДУ +ijm Д£ = ы' + и'.
Дх-0 Дх Дх-0 Дх Дх-0 Дх
Далее (пояснения ниже),
Д(ии) = (и + Ди) (у + Ди) - uv = иДи г иДи + ДиДи,
(ии)' = lim^=lim «ДР+иАи+ДиДи =
Дх-0 Дх Дх-0 Дх
= ulim-^ + vlim^+limAulim — =
Дх-0 Дх Дх-0 Дх Дх-0 Дх-0 Дх
= ии' + ии' + Ои' = ии' + ии'.
Надо учесть, что функция и, как имеющая производную,
непрерывна, и потому Ди — 0 при Дх -* 0.
Наконец,
(У)'=ит(У+А«_У-)А_ = Ип1^^ =
\и' Дх-оХу+Ди V' Дх Дх-о(и+ Ди) и Ах
= lim ______Дг. =
дх-о (и+Ди)и v
Снова надо учесть, что Ди —* 0 при Дх —- 0, потому что
функция и, как имеющая производную, непрерывна.
Рассмотрим функцию sin х.
(sin х)' = cos х,
(6)
потому что
ч, sin(x + Дх) —smx
(sm х) = hm —-д----------------
дх-о Дх
= lim
Дх—0
2sin—cos(x+
____2 " 22 _
Дх
= lim —т—- lim cos (х + = 1 cos х = cos х.
Дх—0 Дх Дх-0 V 2 '
2
Надо учесть, что функция cos х непрерывна.
158 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Аналогично доказывается, что
(cos х)' = -sin х, (7)
(tg х)' - sec2 х - —(8)
cos х
2 __~|
(ctg х) = —cosec х =---2~. (9)
sin х
В самом деле, например,
(tgx)' =(«“*)'=
'спят/
cosx(sinx)'-sinx(cosx)'
2
cos X
2 . 2
_ COS X + Sin X _ 1 _ 2
2 2
COS X COS X
Для функции у = loga x (x > 0) имеем
Ay _ logB(x + Ax)-Iogax = Iog(1+ x ) _ 1 Iog(1+ x )
Ax Ax Ax x Ax
x
Используя замечательный предел
log(l + u)
lim---°----= log„e,
u-0 и a
получаем
(log» *)' = ilogae = —1—. (10)
x xlna
В частности,
(1ПХ)'=Д. (10')
§ 4.4. Производная сложной функции
Теорема 1. Если функция х =<p (t) имеет производ-
ную в точке t, а функция у = f (х) имеет производную в
точке х, то сложная функция
y=F(t)=f[^(t)} (1)
имеет производную (по t) в точке t и справедливо равен-
ство
§ 4.4. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
159
F'(t) = f (х)ф'(П (2)
или
y't = Ух x't- (3)
Доказательство. Зададим t, ему соответствует
значение х =<р (t). Придадим t приращение At # 0, это вызо-
вет приращение Ах = ф (t + At) - ф (t). Так как функция у =
= f (х) имеет производную в точкех, то на основании равен-
ства (2) § 4.1, имеем
Ду = f (х) Дх + £ (Дх) Дх, (4)
где £ (Дх) -» 0 при Дх — 0.
Будем считать, что £ (0) = 0. Равенство (4) при этом
соглашении выполняется, т. к. если подставить в него Дх =
= 0, то получится 0 = 0.
Разделим теперь равенство (4) на At Ф 0:
= • (5)
At At At
Пусть At стремится к нулю. Тогда Дх -» 0, потому что
функция х (t) = ф (t) имеет производную в точке t и, следо-
вательно, непрерывна.
Переходим в равенстве (5) к пределу при At — 0. Тогда
Ах — 0 и £ (Ах) —• 0, поэтому получим
y't = f (х) х' (t) + 0 х' (t) = f (х) х' (t) = у'х х'г
Теорема доказана.
Формула (1) может быть усложнена. Например, если
z = f (у), у = ф (х), х = ф (^) и все три функции имеют про-
изводные в соответствующих точках, то = г'у у'хх\.
Пример 1 . у = In sin2 х (х Ал, k — целое).
Полагаем у = In и, и = и2, v — sin х. Тогда
, , , , 1 „ 2sinxcosx „ .
д' = у' и' и' = — 2ucosx =-5---= 2ctgx.
и sin х
Пример 2.i/ = sin (х2 + 2х - 1).
Полагаем и = х + 2х — 1. Тогда
i/t = у'и и'х = cos и (2х + 2) = 2(х + 1) cos (х2 + 2х - 1).
160 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Обычно при вычислениях вспомогательные перемен-
ные и, V, ... не вводят, а только подразумевают их.
В случае примера 1 вычисления выглядят так:
у'х = —К, (sin2x) =—L_2sinx (sinx) =—— cosx = 2ctgx.
sin xv ' sin x sinx
Или еще короче
у' = —^2~ 2 sin х cos х = 2 ctg х.
sin X
§ 4.5. Производная обратной функции
Пусть функция у = f (х) строго возрастает, непре-
рывна на интервале (а, Ь) и имеет конечную не равную
нулю производную f (х) в некоторой точке х е (а, Ь). Тогда
обратная для f функция х = f ~\у) = g (у) также имеет
производную в соответствующей точке, определяемуюра-
венством
или х' = 1 (Г) * Ух
Доказательство. Как нам известно, обратная
функция х = g(y) строго возрастает и непрерывна на ин-
тервале (А, В), где
А= inf Дх), B=supf(x)
Xifa.b) х^а.Ь)
(см. § 3.6, теорема 1')-
Дадим рассматриваемому у приращение Ду Ф 0. Ему
соответствует приращение Дх обратной функции, также не
равное нулю в силу строгой монотонности f. Поэтому
Ах _ 1
Ау Ду '
Ах
S 4.6. ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
161
Если теперь Лу — О, то в силу непрерывности g (у) при-
ращение Дх также -» 0; но при Дх -» 0 — -» f (х) 0,
Дх
следовательно, существует предел
lim—=
Лу-О Ду
1-1
lim-^
Лх-0 Дх
Этим формула (1) доказана.
Примечание. Если f (х)^ 0 непрерывна на (а, Ъ),
то g' (у) непрерывна на (А, В).
Это следует из (1), где можно положить х = g (у):
= Й (’6ЛВ)-
Ведь сложная функция f [g (у)], состоящая из непрерыв-
ных функций f ng, непрерывна.
§ 4.6. Производные элементарных функций
(продолжение)
1. у = ах. Отсюда х = log0 у — обратная функция. По-
этому
у'х - = —j— = у In а = ах In а, т. е. (ах)' = ах In а.
F у Inn
В частности,
(ех)' = ех, (е~х)' = -е“х.
2. у =arcsin х (|х| < 1, -л/2 < у <л/2),х =sin у —обрат-
ная функция. Поэтому
у' - 1 : : 1 1 - 1
* Ч cosy 71-sin2у 71-х2 ’
т. е.
(arcsin х)' = - .
VI-х2
6- Заказ 704
162 ГЛАВА 4, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Перед корнем поставлен знак + , потому что cos у > 0 на
(-л/2, л/2).
3. (arccos х)' = arcsin х) = —
1___
L 2 '
1-х
4. у = arctg х, х = tg у — обратная функция (-оо < х <
< оо, -л/2 < у < л/2). Тогда
(arctg х)' - , = cos2 у =---- —i-5- ,
(tg!/) * 1 + tg 2у 1+х2
т. е.
(arctg х)' = —Ц.
1 + х
5. Совершенно аналогично доказывается, что
(arcctg х)' =--L-j.
1+х
6. Производная от степенной функции х“ (х > 0, а —
произвольное действительное число). Имеем
а а!п х
х = е
Так как функции еи и a In х имеют производную, то по те-
ореме о производной сложной функции получим
(х“)' = (еа|пжу = еа1пх ^=а^- =ах“-1.
х х
Таким образом,
(х“)') = ах“-1.
Этот результат согласуется с формулой (2) § 4.3 для
производной от функции х” (х 6 (-оо, оо)), где п — нату-
ральное число.
7. Функция у = и (x)v w (u > 0). Еслии (х) и v (х) имеют
производную, то этим же свойством обладает функция
uv = eviau (1)
£ 4.6. ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
163
(uv)' = eulnu(ii In и)' = uv(— u' + v'lnu). (2)
Выражение
[ln/(x))]' = ® (3)
Л*)
называется логарифмической производной функции f.
Так как
In uv = v In и,
то в силу формулы (3)
=(и In и) = v' In и+>
и и
откуда следует (2).
8. Гиперболические функции.
(X -х\г X —X
e^] = e+^ = chx
2)2
(chx)'=+е 1 = -—— - shx,
I 2 J 2
2 2
(thx)'=tehs) = ch *~sh x=-1-
'chx' ch2x ch2x
(cthx)'= sh2*-**2*
'shx7 sh x
-1
sh2x
(x^O).
9. у = Arsh x — обратная функция для функции х =
= sh у. Отсюда
(Arshx)' = 1 = -А- = —)—1 -у-±—
(shy/ chy ^Jl^slFy у11+х2
(см. далее § 4.12, пример 2).
164 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 4.7. Дифференциал функции
4.7 .1.Дифференциру емые функции .Пусть
функция f имеет производную в точке х (конечную):
lim™ = /'(*).
Д*-0 Дх
Тогда для достаточно малых Ах можно записать в
Дх
виде суммы f (х) и некоторой функции, которую мы обо-
значим через £ (Ах) и которая обладает тем свойством, что
она стремится к нулю вместе с Дх:
= f (х) + £ (Ах) (£ (Дх) -0, Ах -» 0)
Дх
и приращение f в точке х может быть записано в виде
Ay = f(x) Ах + Ах-е (Ах) (£ (Ах) — 0, Ах — 0)
или
Ay = f (х) Ах + о(Дх). (1)
Дх-0
Ведь выражение о(Дх) понимается как функция от Ах
Дх—0
такая, что ее отношение к Ах стремится к нулю вместе с Ах.
Определение. Функция f называется дифференци-
руемой в точке х, если ее приращение Ау в этой точке
может быть представлено в виде
Ау = А-Ах + о(Дх), (2)
Дх-0
где А не зависит от Ах, но вообще зависит от х.
Теорема 1. Для того, чтобы функция f была диф-
ференцируемой в точке х, т. е. чтобы ее приращение в этой
точке представлялось по формуле (2),необходимо и доста-
точно, чтобы она имела конечную производную в этой
точке. И тогда А= f (х).
Таким образом, сказать, что f имеет производную в
§ 4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
165
точке х или f дифференцируема в точке х — это одно и то
же. Поэтому процесс нахождения производной называют
еще дифференцированием функции.
Доказательство теоремы 1. Достаточность
условия доказана выше: из существования конечной про-
изводной f (х) следовала возможность представления Ду в
виде (1), где можно положить f (х) = А.
Необходимость условия. Пусть функция
/дифференцируема в точкех. Тогда из (2), предполагая
Дх О, получаем
^ = А + ^^ = А + о(Дх).
Ах Ах Ах—о
Предел правой части при Ах -* 0 существует и равен А:
Игп^ = А.
a*-° Дх
Это означает, что существует производная
f (х) =А.
4.7 .2.Дифференциал функции. Пусть функ-
ция у = f (х) дифференцируема в точкех: т. е. для ее прира-
щения Ду в этой точке выполняется равенство (2). Тогда Ду
есть сумма двух слагаемых. Первое из них АДх про-
порционально Дх, а в таких случаях говорят, что оно есть
линейная однородная функция от Дх. Второе — о(Дх) яв-
Дх—О
ляется бесконечно малой функцией высшего порядка ма-
лости сравнительно с Дх. Если А 0, то второе слагаемое
стремится к нулю при Дх — 0 быстрее, чем первое. В свя-
зи с этим первое слагаемое А Ах — f (х) Дх называется глав-
ным членом приращенияАу (приДх — 0!. См. определение
в конце § 3.10). Это слагаемое называют дифференциалом
функции и обозначают символомdy. Итак, по определению
dy-df=f (х)Дх.
На рис. 47 изображен график Г функции у = f (х);
166 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Т — касательная к Г в точке А,
имеющей абсциссу х; f (х) =tga,
где a — угол, образованный ка-
сательной с осью х;
dy = f (х)Дх = tg а Ах = CD,
DB = Ay-dy = о(Дх).
Дх^О
Таким образом, дифференци-
ал функции у в точке х, соответ-
ствующий приращению Ах, есть
приращение ординаты точки, лежащей на касательной
(dy = CD).
Вообще говоря, dy Ау, ибо Ay = dy + о(Дх), а второй
Дх-0
член этой суммы, вообще говоря, не равен нулю. Только
для линейной функции у = Ах + В имеет место равенство
Ay = ААх = dy для любого х. В частности, для у - х, dy = dx=
= Дх, т. е. дифференциал и приращение независимой пере-
менной равны между собой (dx = Дх). Поэтому дифферен-
циал произвольной функции f обычно записывают так:
dy = f (х) dx,
откуда
f(x) =
dy
dx ’
т. e. производная функции f в точке x равна отношению
дифференциала функции в этой точке к дифференциалу
независимой переменной х.
Это объясняет, что выражение dy/dx (дэ игрек по дэ
икс) употребляется как символ для обозначения произ-
водной.
Надо иметь в виду,что дифференциал dx независимой
переменной не зависит от х, он равен Ах — произвольному
приращению аргумента х. Что же касается дифферен-
циала dy функции у (отличной от х), то он зависит от х
и dx.
8 4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
167
Отметим формулы
d (и ± v) = du ± dv,
d(u • о) = и dv 4- v du,
d (си) = с du (с — постоянная),
(3)
(4)
(5)
^uyvdu^udv (и*0)>
(6)
где предполагается, что и и и — дифференцируемые функ-
ции в рассматриваемой точке х.
Например, формула (6) доказывается так:
jи_(иХ_ vu' dx-uv'dx _ vdu-udv
X~ V ~ V
4.7 .3. Приближенное выражение
приращения функции. Если функция у = f (х)
дифференцируема в точке х, то на основании формулы (1)
ее приращение, соответствующее приращениюДх, можно
записать следующим образом:
Ду = dy + о(Ах).
Ах-О
Отсюда следует, что дифференциал функции при доста-
точно малых Дх может служить хорошим приближением
приращения функции. В этом смысле пишут приближен-
ное равенство
Лу ~ dy = f (х) dx,
(7)
которым широко пользуются.
Пусть надо вычислить значение функции f в точке х,
т. е. число f (х). Однако появилась необходимость заменить
х его приближенным значением х 4- Дх:
х » х 4- Дх.
Возникает приближенное равенство
f (х) ® / (х 4- Дх).
168 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Его абсолютная погрешность равна
|Ду| = !/(* + ~ f С^-
Если функция f дифференцируема в точке х, то из фор-
мулы (7) следует, что при малых Ах можно считать, что
абсолютная погрешность рассматриваемого приближения
равна приближенно абсолютной величине дифференциала
функции:
|Ду| ~ \<№,
вычисленного для соответствующего приращения Ах.
Относительная же погрешность приближенно выра-
жается следующим образом:
Ау
У
dy
У
(у = / (х) 0).
Пример 1 . Если считать, что
V8,001«V8=2,
то погрешность приближенно равна дифференциалу функ-
ции у = х1/3 в точке х = 8, соответствующему приращению
Ах =0,001:
dy = 1 х'2/3Ах = -18’2/3- 0,001= -1—
3 3 12000
Вопрос о том, насколько точны эти наши рассужде-
ния, может быть решен методами, которые мы будем еще
изучать (см. § 4.14).
§ 4.8. Другое определение касательной
В случае, когда производная /' (х0) конечна, возможно дать
другое, эквивалентное определение касательной.
Зададим произвольную прямую L, у — у0 = т (х - х0),
проходящую через точкуА=(х0, f (х0)) кривой Г:у = f (х). Пусть
В = (х, f (х)) — другая точка кривой Г. Расстояние от В до L в
направлении оси у равно
S 4.9. ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
169
р (х) = \f (х) - у0 - т (х - х0)|. (1)
На рис. 48 р (х) =BD.
Прямая L называется
касательной к Г в точке А, если
р(х)= о (х-х0). (2)
Если прямая L есть касатель-
ная к Г в точке А в смысле перво-
го определения, тот = f (х0). Так
как f дифференцируема, то
f (х) - f (х0) = f (х0) (х - х0) + о (х - х0), х — х0,
откуда
Р (х) = |/ (х) - f (Хо) - f (х0)(х - х0)| = о (X - х0), X - х0,
т. е. прямая L является касательной в смысле второго опреде-
ления.
Обратно, пусть L является касательной в смысле второго
определения. Тогда (см. (1) в (2))
Р (х) = If (х) - /(х0) - т (х — х0)| = о (х - х0), х — х0,
или, что все равно,
f(x) - f (х0) = т (х - х0) + о (х - х0) при х — х0.
Это показывает, что функция /дифференцируема в точке
х0 и т - f (х0). Но тогда L есть касательная в смысле первого
определения и ее уравнение имеет вид
У - Уо = f (хо <х “ хо)-
Замечание. Из сказанного следует, что кривая y = f(x)
имеет касательную в точке (х0, f (х0)) тогда и только тогда, когда
функция / дифференцируема в точке х0.
§ 4.9. Производная высшего порядка
Пусть на интервале (а, Ь) задана функция /. Ее про-
изводная, если она существует на интервале (а, Ь), есть не-
которая функция f (х). Мы ее будем еще называть первой
170 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
производной. Но может случиться, что первая производная
имеет в свою очередь производную на интервале (а, Ь). Эта
последняя называется второй производной от f или произ-
водной от f второго порядка и обозначается так:
Г (х) = f (2)(х) = (Г (X))' или у" = (уУ.
Вообще, производной от функции f порядка п назы-
вается первая производная от производной от f порядка
п - 1 и обозначается так:
f<п) (х) = (/(п-1) (х))' или так: у(п) = (j/(n-1))'.
Если речь идет об определенном фиксированном зна-
чении х, то символ (х) обЬзначает производную n-го по-
рядка от f в точке х. Для ее существования необходимо су-
ществование производной не только в х, но и в некото-
рой окрестности х.
Примеры.
1°. (ех)(п) = ех.
2°. (ах)' = ах In а, (ах)" = ах In2 а, ..., (ах^ >= (ах) In" а.
3°. (xm)' = znx”*’1, (хт)" = т (т - 1) хт~2,...
..., (х”Уп) = т (т - 1)... (т - п + 1) хт-п.
Если т натуральное, то, очевидно,
(xm)(m) = ml и (xm)(n) = 0 (n > m).
4°. (sin x)' = cos x = sin(x+ —
(sin x)(n) = sin(x+n
2/
5°. (cos x)<n) = cos(x+
Однако далеко не для всякой функции удается найти
общие формулы для их n-х производных.
§ 4.10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
171
Упражнение. Используя метод математической
индукции, доказать формулу (Лейбница) для производной
n-го порядка от произведения двух функций;
(ии)(п) = ^С*и(пЛ(к),
fe=0
где и и v имеют производные до порядка и включительно,
" А! А!(п-А)!’ °' Е
§ 4.10. Дифференциал высшего порядка.
Инвариантное свойство дифференциала
первого порядка
Если на интервале (а, &) задана функция у = f (х), то
ее, очевидно, можно представить бесконечным числом
способов как сложную функцию
y = <p(z), z = y(x).
Таким образом, у можно рассматривать как функцию от х
(y = f (х)) и как функцию отз (у =<р (з)), где з в свою очередь
есть функция от х (з = (х)).
Аргумент х мы будем называть независимым, подчер-
кивая этим, что на протяжении наших рассуждений х не
будет рассматриваться как функция какой-то переменной.
Аргумент же з будем называть зависимым (от х!).
Дифференциал от функции у = f (х) в точке х есть,
как мы знаем, произведение производной от f в этой точке
на дифференциал независимого переменного:
dy = f (х) dx.
Qp,ecb dx есиъ произвольное число. Оно не зависит от х.
Это сказывается в том, что производная от dx по х равна нулю:
(dx)' = 0.
Дифференциал от функции называют еще первым
дифференциалом.
По определению вторым дифференциалом от функ-
172 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ции y = f(x)e точке х называется дифференциал от перво-
го дифференциала в этой точке и обозначается так:
d2y = d (dy).
Чтобы вычислить второй дифференциал, надо взять
производную по х от произведения f (х) dx = dy, считая,
что dx есть постоянная (не зависящая от х!), и результат
помножить на dx:
dfy = d[f (х) dx] = dx (f'(x)dx)' = f (x) dx2.
Вообще, по определению дифференциалом порядка п
функции у = f (х) называется первый дифференциал от
дифференциала (п — 1)-го порядка этой функции и обозна-
чается через
dny = d(dnly).
Очевидно,
dny = /n)(x)dxn, (1)
потому что эта формула верна при п = 1, а если допустить,
что она верна для п - 1, то
dny = d [/" v (х) dx"’1] = dxn’d [/n l) (x)] = /л) (х) dx”.
Конечно, для существования дифференциала порядка
п функции у = f (х) в точке х необходимо, чтобы она имела
производную /п) (х) порядка п в этой точке.
В силу (1) имеем
»Г=А«)=^, (2>
dx
т. е. производная п-го порядка от функции у по независимой
переменной х равна частному от деления п-го диф-
ференциала у на dx? = (dx)n.
В дальнейшем мы узнаем, что формула (2) неверна,
если в ней независимую переменную х заменить на зави-
симую z (см. далее (4)).
Мы определили дифференциалы первого и, вообще го-
воря, высшего порядка от функции y=f(x), гдех есть неза-
§ 4.10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
173
висимая переменная. Но функцию у, как это было отмече-
но выше, можно еще записать в виде
У = <Р (z),
где z есть некоторая функция от х (z =<р (х), f (х) = (р [\р (х)]).
Возникает вопрос, как выражаются введенные нами диффе-
ренциалы на языке (зависимой) переменной z. Для первого
дифференциала этот вопрос решается следующим образом:
dy = y'xdx = y'zz'x dx = y'z(z'x dx) = y’zdz.
Мы видим, что дифференциал функции у равен произве-
дению ее производной y'z на dz:
dy = y'jdz, (3)
т. е. первый дифференциал функции у выражается по од-
ной и той же формуле независимо от того, будет ли у
рассматриваться как функция от независимой перемен-
ной х или от зависимой переменной г.
Форма первого дифференциала (см. (3)) сохраняется,
поэтому говорят, что первый дифференциал имеет инва-
риантную форму или еще имеет инвариантное свойство.
С дифференциалом высшего порядка дело обстоит уже
не так. В самом деле, если рассматривать у как функцию
от г (у = (р (z)), то получим (см. § 4.7, (4))
d2j/ = d (dy) = d [<p'(z) dz] = dzd (<p' (z)) + <p' (z) d (dz) =
= <p" (z) dz2 + <p' (z)d2z. (4)
В последнем равенстве мы применили инвариантное свой-
ство первого дифференциала, в силу которого d (<р' (z)) =
= <р" (z) dz. Кроме того, учтено что d (dz) = d2z. Величиной
d2z, вообще говоря, нельзя пренебрегать, ведь она опре-
деляется равенством d2z = ip" (х) dx2. Правая его часть рав-
на нулю (для всех х!) только, если!)/ (х) есть линейная фун-
кция (vp (х) =Ах + В).
Мы видим, что (выраженная через z) форма второго
дифференциала не сохранилась — к числу <р" (z) dz2 доба-
вилось слагаемое <р' (z)d2z, вообще говоря, не равное нулю.
174 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 4.11. Дифференцирование параметрически
заданных функций
Пусть зависимость у от х выражена через параметр t:
X = 4S, te(a,b). (1)
j/=vWJ
Это надо понимать в том смысле, что существует обрат-
ная функция для функции х = <р (t) и можно написать яв-
ную форму зависимости у от х:
j/=y[<p-1(x)]. (2)
Будем искать производную от у по х через производ-
ные от х и у по t. Будем употреблять обозначения у'х, у", x't,
..., х", у", где буква внизу означает, по какой переменной
берется производная. В силу инвариантности формы диф-
ференциала первого порядка у'х = dy/dx. Но dy = y’tdt,
dx = x\dt. Поэтому
(x;*o). (3)
Для производной второго порядка получаем
=-4-(A fdt = x;y't'-y'txt'
x dxUx dx^x'J dt^x'Jdx (x'tf ’ ' '
Подобным образом можно получить формулы для про-
(п) о
изводных у х по х порядка п > 2 через производные отх и у
по /.
§ 4.12. Теоремы о среднем значении
По определению функция f достигает в точке х = с
локального максимума {минимума), если существует ок-
рестность этой точки U (с) = (с - 8, с + 8), на которой
выполняется неравенство
f(c)>f(x) VxeU{c) (1)
(соответственно f (х) > f(c) Vx g U (с)). (Г)
Локальный максимум или минимум называется ло-
кальным экстремумом. Точка с называется точкой ло-
кального экстремума.
§ 4.12. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
175
Замечание 1. Если функция f непрерывна на от-
резке [а, &] и достигает на нем максимума (минимума) в
точке с G (а, &), то, очевидно, с является в то же время точ-
кой локального максимума (минимума) f. Другое дело, если
максимум (минимум) f на [а, &] достигается в одной из кон-
цевых точек отрезка. Такая точка не является точкой ло-
кального максимума (минимума)
f, потому что f не определена в
полной ее окрестности (справа от
нее и слева).
На рис. 49 изображен гра-
фик функции y = f (х), непрерыв-
ной на [а, &]. Точки х2 и х4 — это
точки локального минимума f, а
хр х3, — точки локального мак-
симума f. Конечно, можно ска-
0-
О
Рис. 49
зать, что b есть точка локального одностороннего макси-
мума f,&a — локального одностороннего минимума f. Но
а не есть точка локального минимума, а & не есть точка
локального максимума.
Теорема 1 (Фе р м а *).Еслифункция/имеет про-
изводную в точке с и достигает в этой точке локального
экстремума, то f (с) = 0.
Доказательство. Для определенности будем опи-
рать, что f имеет в точке с локальный максимум. По оп-
ределению производной имеем
f(c)=lim^c+Ax)-^.
V ' Дг-0 Av
Так как у нас f (с) > f (х) Vx G U (с), то для достаточно ма-
лых Дх > 0
Дс+Дх)-/(с)
Дх
откуда в пределе при Дх -* 0 получим, что
f (с) « 0.
(2)
* П. Ферма (1601—1665) — французский математик.
176 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Если же Дх < 0, то
/(с+Дх)-/(<?) >0
Дх "
поэтому, переходя к пределу приДх — 0 в этом неравенстве,
получаем, что
Г(е) >0. (3)
Из соотношений (2) и (3) вытекает, что f (с) = 0.
Теорема 2 (Ролля*).
Если функция у = f (х) непрерывна на [а, Ь], диффе-
ренцируема на (а, Ъ) uf(a)= f( Ь), то существует точка
Е, 6 (а, Ъ), такая, что f = 0.
Доказательство. Если f постоянна на [а, &], то
для всех Е, 6 (а, Ъ) производная f (£,) = 0.
Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, Ь]. Так
как / непрерывна на [а, Ь], то существует точка х, е [а, &],
в которой/достигает максимума на [а, &] (см. § 3.5, теорема
2), и существует точка х2 е [а, Ь], в которой / достигает
минимума на [а, &]. Обе точки не могут быть концевыми
точками отрезка [а, &], потому что иначе
max/(x) = min/(x) = 0
и / была бы постоянной на [а, &]. Следовательно, одна из
точек хр х2 принадлежит к интервалу (а, Ь). Обозначим
ее черезВ ней достигается локальный экстремум. Кро-
ме того, /' (Е,) существует, потому что по условию /' (х)
существует для всехх G (а, &). Поэтому по теореме Ферма
Г (О = 0.
Замечание 2. Теорема Ролля сохраняет силу так-
же для интервала (а, Ь), лишь бы выполнялось соотноше-
ние
lim/(x)=lim/(x).
jc—a x~-b
х>а x<b
* М. Ролль (1652—1719) — французский математик, доказавший эту
теорему для многочленов.
§ 4.12. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
177
Замечание 3. Теорема
Ролля теряет силу, если хотя бы в
одной точке (а, &) f (х) не суще-
ствует. Пример: у = |х| на {-1, 1 ]. В
теореме также нельзя заменить
непрерывность на [а, Ь] на непре-
рывность на (а, Ъ). Примером яв-
ляется функция
fl, х = 0,
[х, 0<х<1.
Точка х = 0 — точка разрыва.
Замечание 4. Теорема Ролля имеет простой
геометрический смысл. Если выполнены условия теоремы,
то на графике (рис. 50) функции у = f (х) существует точка
(£,, f (^)), касательная в которой параллельна оси х.
Теорема 3 (Кош и). Если функции f(x)u g(x) не-
прерывны на [а, Ь] и дифференцируемы на(а, b), ug'(x)? 0
в (а, Ъ), то существует точка g (а, Ъ) такая, что
g(b)-g(a) g'&- 1 >
Доказательство. Отметим, что g (b) - g (а) Ф 0,
так как в противном случае, по теореме Ролля, нашлась бы
точка такая, что £ (£,) — 0, чего быть не может по условию
теоремы. Составим вспомогательную функцию
F (х) = / (х) - f (а) - [ff (х) - g (а)].
g(b)-g(a)
В силу условия теоремы эта функция F непрерывна
на [а, 6], дифференцируема на (а, Ь) и F (а) = 0, F (Ь) = 0.
Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка
Е, g (а, Ь), в которой F' (%) = 0. Но
Г(х) = Г (х)-^-^^(х),
178 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
поэтому, подставляя вместо х точку получаем утверж-
дение теоремы.
Замечание 5.В формуле (4) Коши, как нетрудно
видеть, не обязательно считать а < Ь. Но тогда [а, Ь] и (а, Ь)
обозначают соответственно множества точек х, для кото-
рых b х а, Ь<х < а.
Как следствие из теоремы Коши, при g (х) = х полу-
чим теорему Лагранжа.
Теорема 4 (о среднем Лагранжа*).Пусть
функция f (х) непрерывна на отрезке [а, &] и имеет про-
изводную на интервале (а, &). Тогда существует на ин-
тервале (а, Ь) точка с, для которой выполняется равен-
ство
f(b)-f(a)=(b-a)f(c) (а<с<Ь). (5)
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический
смысл, если записать ее в виде
о—а
(а< с < Ь).
Левая часть этого равенства есть тангенс угла накло-
на к оси х хорды, стягивающей точки (a, f (а)) и (&, f (&))
графика функции у = f (х), а правая часть есть тангенс
Рис. 51
тельная к кривой в
угла наклона касательной к графику
в некоторой промежуточной точке с
абсциссой с е (а, Ь). Теорема Лагран-
жа утверждает, что если кривая (рис.
51) есть график непрерывной на [а, б]
функции, имеющей производную на
(а, &), то на этой кривой существует
точка, соответствующая некоторой
абсциссе с (а < с < Ь) такая, что каса-
этой точке параллельна хорде, стяги-
вающей концы кривой (а, / (а)) и (Ь, /(&)).
Равенство (5) называется формулой (Лагранжа)
* Ж. А. Лагранж (1736—1813) — французский математик.
§ 4.12. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ 1ЗНАЧЕНИИ
179
конечных приращений. Промежуточное значение с удоб-
но записывать в виде
с = а + 6 (Ь - а),
где 6 есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам
О < 0 < 1. Тогда формула Лагранжа примет вид
f(b)-f (а) = (b - a)f (а +0 (& - а)) (0 < 0 < 1). (6)
Она верна, очевидно, не только для а <Ь, но и для а > &.
Теорема 5. Функция, непрерывная на отрезке
[а, &], где а <Ъ, и имеющая неотрицательную (положи-
тельную) производную на интервале {а, Ь), не убывает
{строго возрастает) на [а, &].
Действительно, пусть а < Xj < х2 < Ъ, тогда на отрезке
[хр х2] выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому
найдется на интервале (хр х2) точка с, для которой
f (хг) - f (xj = (х2 - X,) f (с) (хг < с < х2).
Если по условию f > О на (о, Ь), то f (с) > 0 и
f(x2)-f(X1) >0; (7)
если же f > 0 на (а, Ь), то f (с) > 0 и
/(х2)-/(х1)>0. (8)
Так как неравенства (7) и (8) имеют место, каковы бы ни
были хх, х2, где а < х, < х2 < Ь, то в первом случае f не
убывает, а во втором f строго возрастает на отрезке [а, &].
Пример 1 . Возвратимся к примеру 1 § 4.7, где надо
было оценить величину k = V8,001 -у/8. Применим форму-
лу Лагранжа к функции у (х) - х1/3. Имеем
X = у (8,001) - у (8) = 0,001 - v' (с) = 0.001 |х"2/3|1=с =
о
=—1 с~2/3 < 1 8~2/3 = 1
3000 3000 12 000 '
В примере 1 § 4.7 мы получили такой же результат, но
сейчас он получил полное обоснование.
180 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Пример 2 . Функция у = sh х = 1(ех - е х) имеет
непрерывную производную
(sh х)' = i(e* + е х) = ch х > О Х/х е (-оо, оо),
Ci
и обладает свойствами
limshx=-oo, limshx=+oo.
X—оа X —+оо
Следовательно, она строго возрастает и непрерывно диф-
ференцируема на (—оо, оо) и отображает интервал (-оо, оо)
на (—оо, оо). Поэтому она имеет обратную однозначную не-
прерывно дифференцируемую функцию, обозначаемую так:
х = Arsh у, у е (— оо, оо).
Теорема 6. Если функция имеет на интервале (а,
Ь) производную, равную нулю, то она постоянна на (а, Ь).
В самом деле, на основании теоремы Лагранжа имеет
место равенство
f(x)-f (Xj) = (х - х,) f (с),
где Xj — фиксированная точка интервала (а, Ь), х — про-
извольная его точка (она может находиться справа и слева
от Xj)и с — некоторая, зависящая от х, их точка, находя-
щаяся междух, и х. Так как по условию [' (х) = 0 на (а, Ь),
то f (с) = 0 и f (х) = f (х,) = С для всех х е (а, Ь).
Заметим, что в приведенных теоремах ослабление на-
лагаемых в них условий может привести к неверности ут-
верждений (см. замечания 1, 2 к теореме Ролля).
Определение. Будем говорить, что функция у =
= f (х) возрастает (убывает) в точке х0, если существу-
ет число 5 > 0 такое, что
приО<|Дх|<5
Ах <Ах 7
Очевидно, что если функция f (х) возрастает (убывает)
на (а, Ь), то она возрастает (убывает) в каждой точкех е (а, Ь).
Теорема 7. Если f (х0) > О (< 0), то функция у =
= f (х) возрастает (убывает) в точке х0.
§ 4.12. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
181
Доказательство. Так как f (х0) = lim , то, задав
£ > О, можно найти такое б > 0, что f (xG) — £ < ~~ < f (х0) + £
при |Ах| < б. Пусть f (х0) > 0. Взяв £ < f (х0), получаем, что
А- > 0 при |Дх| < б, т. е. функция f возрастает в точке х0.
Лх
Замечание 6. Если функция f имеет производ-
ную и не убывает на (а, Ь), то f (х) > 0 на этом интервале.
При сказанных условиях невозможно, чтобы в какой-либо
точкех е (а, Ь) производная от /былаотрицательной — это
бы противоречило теореме 7.
Если f имеет производную и строго возрастает на (а, Ь)
и если у нас других сведений об f нет, то все равно придется
заключить, что f (х) > 0 на (а, Ъ), потому что строго возра-
стающая функция в отдельных точках (а, Ь) может иметь
производную, равную нулю. Такой, например, является
функция х3, строго возрастающая на (-со, оо) и имеющая
при х = 0 производную, равную нулю.
Замечание 7. Если функция возрастает в точке х0,
то она не обязательно возрастает в некоторой окрестности
точки х0.
Примером может служить функция
0,
^(х) = -{ X 2-1
—-X sin2-,
2 х
х = 0,
х*0.
Очевидно, что
X 2-1
X sm1
F* (0) = lim—-|,
х 2
и F (х) возрастает в точке х = 0. Однако эта функция немоно-
тонна, так как производная F' (х) - 2xsin J- +cos— в любой
2 хх
малой окрестности нуля принимает как положительные, так и
отрицательные значения (см. теорему 5). Для хк = l/fen (Л = 1,
2,...) при k четном она равна 3/2, а при k нечетном она равна
-1/2.
182 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Теорема 8. Если функция f (х) четная (нечетная)
и дифференцируема на [-а, а], то f (х) нечетная (четная)
функция.
Доказательство. Так как/ (х) е f (—х) Vx е [-а,
а], то производные левой и правой части также совпадают:
f (х) = —f (~х), т. е. f (х) — нечетная функция. (Этот же
факт можно доказать, исходя из определения производной.)
§ 4.13. Раскрытие неопределенностей
„ ЛХ)
Будем говорить, что отношение представляет со-
S{x)
бой неопределенность вида — при х —► а, если Ит/(х) =
О х~а
= lim я (х) = 0. Раскрыть эту неопределенность — это зна-
х—а
г /(*)
чит наити lim —7^, если он существует.
g-(x)
Теорема 1. Пусть f (х) и g(х) определены и диф-
ференцируемы в окрестности точки х = а, за исключени-
ем, быть может, самой точки а, Ит/(х) =Итя(х)=0, g (х)
х^а х-^а
и £ (х) 0 в этой окрестности. Тогда, если существует
.. f(x) ,. f(x)
lim ,. <, то существует lim—77 и имеет месторавен-
х~а g (х) х-° g(x)
ство
х~а g(x) х~а g (X)
(1)
Доказательство. Будем считать, что а — конеч-
ное число. (В случае а = оо см. ниже замечание 3.) До-
определим функции f м. gн точкех = а, полагая / (а) = g (а) =
= 0. Тогда эти функции будут непрерывны в точке а. Рас-
смотрим отрезок [а, х], где х > а или х < а (см. замечание 5
§ 4.12). На [а, х] функции / и g непрерывны, а на (а, х)
S 4.13. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
183
дифференцируемы, поэтому по теореме Коши существует
точка такая, что
g(x)-g(a) g(Q g(x) g(g)
Когда x -» а, то и£, -* а, поэтому в силу условия теоре-
мы имеем
lim
f(x)
g(x)
= ИтД® =lim
(2)
Ж
Ж
при условии, что предел в правой части равенства суще-
ствует.
Этим теорема доказана.
Замечание 1. Если предел справа в (1) не сущест-
вует, то предел слева может существовать.
Пример 1 . Так как sin х » х, то
2 . 1
X Б1пф ..
lim-----= limxsin—=0.
х-о sinx »-о х
Однако
(xzsinl) 2xsinl-cos—
lim^----=lim---------&---x
x-o (smx) x—о cosx
не существует.
Замечание 2. Если выражение ' / ' представляет
неопределенность вида й и функции f (х), д’ (х) удовлет-
воряют условию теоремы 1, то
г Лх) 1- ?(х) г Г'(х)
lim = lim = lim ? '
g\X) g (x) x-a g’ (x) '
При этом эти равенства надо понимать в том смысле,
что если существует третий предел, то существует и второй
и первый.
184 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Теорема 2 . Пусть fug определены и диффе-
Ял)
£(*)
ренцируемы в окрестности точки х = а, lim/ (х) = limg (х) =
х—а х—а
= оо, g (х) iz g* (х)^ 0 в этой окрестности, тогда, если
3 Птф, тоЭ цт
g (х)
и
/(х) f(x)
lim“^ = Inn -v ' .
х-а g(x) х-п g (Х)
Доказательство этой теоремы мы не приводим.
Замечание 3. Если а = оо, то замена х= 1/t сводит
дело к а = 0:
/(х)
Ит-ул=lim ;
g(x) «-о g(l /1)
=ШпМ
‘-° (g(l/t))
lim-----—7----xr
g (x)
Выражаемые теоремами 1, 2 правила, в силу которых
вычисление предела отношения функций может быть све-
дено к вычислению предела отношения их производных,
называют правилом Лопиталя, но имени математика, ко-
торый сформулировал это правило, правда, для весьма про-
стых случаев. Впрочем, это правило было известно И. Бер-
нулли до Лопиталя*.
Пример 2.
limxx = 0 Va>0, а>1.
х-~ а
Здесь мы имеем неопределенность вида При-
меняя правило Лопиталя k раз (k > а, при а натураль-
ном k = а), получим
* Г. Ф. Лопиталь (1661—1704)— французский математик. И. Бернул-
ли (1667—1748)—швейцарский математик.
f 4.13. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
185
а
Ит~^
X—» а
a~k
= lim—
х~“ а (Ina)*
= 0.
Пример 3.
КтЦ^ = 0 Va > 0.
Х
Функции ха и In х удовлетворяют всем условиям
теоремы 2, поэтому
Ит—* = Ит = Ит —Ц-=0.
*•“ х х—» ах ах
Кроме рассмотренных неопределенностей, встречают-
ся неопределенности вида 0 • 00, 0°, °°G, 00 - оо, 1 °°, опреде-
ление которых очевидно. Эти неопределенности сводятся к
неопределенностям
— или — алгебраическими преобра-
0 оо
зованиями.
&. Неопределенность^ • оо (f(x)g(x), f(x) —• 0,g(x) —• оо
при х -» а). Ясно, что
Г(Х) g(x) = ^(g) или f. g = .
Пример 4.
lim ха In х = 0 Va > 0;
х-0
lim ха In х = lim^^ = (—) = lim—, = -ilimxa = 0.
x-o x—o x \caj x-o _дх a x~0
б. Неопределенности вида 1°° , 0°, oo° для выражения
fe сводятся к неопределенности 0 • оо. Согласно определе-
нию этой функции fg =eehl 1 (f > 0).
Если
lim g In f = k,
x—a
TO
lim f = e.
x—a
186 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
в. Неопределенность оо -оо (/(х) - g(x), / — +оо, g -> +со
при х —► а). Легко видеть, что
' g 1 1 l.ilor
f g f g
§ 4.14. Формула Тейлора*
Рассмотрим произвольный многочлен степени п:
рп(х) = bo +bix + - +ЬпхП = Е ььх>
*=0
где, таким образом, Ьк — постоянные числа — коэффициен-
ты многочлена. Пусть х0 —любое фиксированное число. По-
лагая х = (х — х0) + х0, получим
рп&) = 1Lbk [(х - хо) + xot> (!)
k=O
откуда, возводя в степени квадратные скобки и приводя
подобные по степеням х - х0, получим выражение для Рп(х)
в следующей форме:
№ = «О "* а1(.Х ~ Хо) + ••• + &п(Х ~ Х0> = E®fc(X — Х0> ’ (2)
*=о
называемое разложением многочлена Рп(х) по степеням
(х - х0). Здесь а0, at,..., ап — числа, зависящие от bt и х0 —
коэффициенты разложения Рп по степеням х - х0. Напри-
мер, а0 = Ьо + Ьгх0 + ... + Ь„Хд. Из (1) очевидно, что Р„(х) на
самом деле от х0 не зависит.
Найдем последовательные производные Рп(х):
Р’п(х) = а, + 2а2(х - х0) + ... + па„(х - х0)""\
рп(х) = 1 • 2а2 + 3 - 2а3(х - х0) + ... + п(п - 1)а„(х - х0)" 2,
Б. Тейлор (1685—1731)—английский математик.
§ 4.14. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
187
Р(„(х) = 12... kak + ... + п(п - 1) ...
... (n-k + l)a„(x-x0)"“fc,
............................................ (3)
Р(:)(х)= 1 2 ... пап.
Производные порядка выше п равны нулю. Полагая в
формулах (2) и (3) х — х0, получаем
•Рп(хо) = °о> -Рп(хо) ~ °1>
Фо) = 1 2а2, ...» Р®(х0) = *!afc, .... Р(;>(х0) = ^ап,
или
Р(к\хЛ
(* = °’г’(4)
где мы считаем 0! = 1, Р(„\х) = Рп(х).
Формулы (4) показывают, что многочлен Р„(х) степени
п можно разложить по степеням х - х0 единственным обра-
зом, т. е. если для всех значений х верно равенство
Ф) = - хо)к = Ё₽КХ ~ хо)к>
к=0 Л=0
гдерл ир; — постоянные, торА = Р^(й = 0, 1,..., п). Ведь как
числа pfc , так и Р^ вычисляются по одной и той же формуле
(4).
В силу (4) формулу (2) можно переписать так:
Рп (») = ₽. W + (* - *о) + ~ + (* - *о)" *
Формула (2').называется формулой Тейлора для много-
члена Р„(х) по степеням (х - х0). Отметим, что правая часть
(2') фактически не зависит от х0.
Пример 1 . Пусть Рп (х) = (а + х)" и х0 = 0. Тогда в
силу (2')
188 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
где в данном случае
Р™ = п(п 1) ... (п -к + 1) (а + х)"*,
Р<к\0) = п (п - 1) ... (п - k + 1) а к,
и мы получили известную формулу бинома Ньютона
(а + х)" = £ а«‘х*. (5)
k=o k-
Рассмотрим теперь любую функцию f (х), которая имеет
непрерывные производные всех порядков до (п + 1)-го в не-
которой окрестности точки х0. Мы можем формально соста-
вить многочлен
Qn(x) = (ж-ж0)*, (6)
fc=O
который называется-многочленолг Тейлора п й степени или
п-м многочленом Тейлора функции f по степеням х - х0.
Многочлен Qn (х) совпадает с функцией f (х) в точке х0,
но для всех х он не равен f (х) (если f (х) не является много-
членом степени п). К(юме того,
Q„(x0) = f (х0), = f (х0)...Q<n)(xc) = f М (ХО). (7)
Положим
f(x) = Qn(x) + r„(x). (8)
Формула (8) носит назвгашеформулы Тейлора для функции
f (х); гп(х) называется остаточным членом формулы Тей-
лора, — подробнее, п-м остаточным членом формулы Тей-
лора функции/по степенямх- х0. Функция г„ (х) показы-
вает, какую погрешность мы допускаем при замене f (х) на
многочлен Тейлора (6).
Найдем выражение для гп (х) через производную
/(п+1)(х).
В силу (7) и (8) гп(х0) = г/ (х0) = ... = ^п) (х0) = О.„ Поло-
жим<р (х)=(хх0)"+1. Ясно, что <р (х0) =<р' (х0) = ... =ф<П1 (х0) =
§ 4.14. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
189
= 0. Применяя теорему Коши к функциям гп (х) и ф (х), бу-
дем иметь
rn(x) = r(x)-rn(x(J) = гДх,) = rn'(Xt)-<(x0) = <'(х>) =
<р(х) ф(х)-ф(х0) ф'(Х]) ф'(х1)-ф'(х0) ф"(х2)
= ГпП)Ю = ^\Хг)-Г^\хй) = Г^\хп+Х)
<р(л)(^„) Ф(п)(х„)-Ф(п)(хо) ф(п+1)(х„+1)
(Xj е (х0, х) и xk+1 е (х0, xfc), k = 1, 2, ... n).
Но ф(п+1) (х) = (n + 1)!, ^п+1) (х) = /п+1)(х) - 0 = f<п+1) (х).
Следовательно,
/ \n+i
где с = хп+1 — некоторая точка, лежащая между х0 и х. Та-
ким образом, формулу (8) можно записать в виде
(1-1“)‘+ М! (Х’Х‘Г'- (8’’
Формула (8') называется формулой Тейлора с остаточ-
ным членом в форме Лагранжа.
Мы доказали важную теорему.
Теорема 1. Если функция f имеет в окрестности
точки х0 непрерывную производную (х), то для любого
х из этой окрестности найдется точка с е (х^ х) такая,
что f (х) можно записать по формуле (S')-
Здесь с зависит от х и п.
Если точка х0 = 0, то формулу (8) называют формулой
Макларена.
Известны и другие формы остаточного члена формулы
Тейлора. Так, большое значение имеет форма Коши
Г. (X) = ,< -»(Хо+е (х _ Хо)), (10)
где 0 (0 < 0 < 1) зависит от п и х. Вывод этой формулы будет
дан в §6.5.
190 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Уменьшая окрестность точки х0, получим, что произ-
водная /п+1>(х) есть непрерывная функция от х на замкнутом
отрезке [х0 - 8, х0 + 8]. Но тогда она ограничена на этом
отрезке:
|/п+1) (х)| < Мп (х0 - 8 « х < х0 + 8) (11)
(см. §3.5, теорема 1). Здесь Мп — положительное число, не
зависящее от указанных х, но, вообще говоря, зависящее от
и. Тогда
К (x)l < (^! Iх - *ol < > I* - *ol < 8- (12)
Неравенство (12) можно использовать в двух целях:
для того чтобы исследовать поведение гп (х) при фиксиро-
ванном п в окрестности точки х0 и для того, чтобы иссле-
довать поведение гп (х) при п — оо.
Из (12), например, следует, что при фиксированном п
имеет место свойство
гп (х) = о ((х - х0)п), х -* х0, (13)
показывающее, что если гп (х) разделить на (х - х0)п, то по-
лученное частное будет продолжать стремиться к нулю при
х -> х0.
В силу (13) из (8') следует:
f (*) = Е - хо)* + ° ((*“ *b)") (14)
*=° х-х.
Эта формула называется формулой Тейлора с оста-
точным членом в смысле Пеано*.
Она приспособлена для изучения функции f в окрест-
ности точки х0.
Теорема 2 (единственности). Пусть одна и та
же функция f из различных соображений оказалась представ-
ленной в окрестности точки х0 в виде
* Д. Пеано (1858 — 1932) — итальянский математик.
§ 4.14. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
191
fix) = с% + а/х - Хд) +...+ап(х - х^ + о (х - х^
к *-**©
fix) = b0 + Ъ^х-Xq) +...+Ьп(х-xtf + о (х- х^п
к «-»<> ,
Тогда
ak = bk (fe = 0, 1,.... п).
(15)
(16)
Доказательство. Если приравнять правые части (15)
и перейти к пределу при х — х0, то получим а0 = Ъо. Теперь в
этом равенстве можно сократить на (х - х0) (х Ф х0) и опять
перейти к пределу при х— х0. Тогда получим aj = Ьг . И так
продолжаем до тех пор, пока получим ап = Ьп.
Пример 2 . Мы знаем, что
£х*=1=£1
л=о
(X* 1).
Поэтому
1 п Л+1 п L
V(*) = 7^- = Xх +т---------= +01
1 х А=0 1 х А=0
(17)
С другой стороны, функция \|/ имеет в окрестности точки
х = 0 производные любого порядка, поэтому для нее имеет ме-
сто формула Тейлора с остатком в форме Пеано
i 1 V- V^(0) * ( п\
v(*) = Z + °(х ). (18)
fc=0 х-4)
Сопоставляя формулы (17) и (18), на основании теоремы
единственности получим
1=У_@) (fe = 0, 1,.... п). (19)
Поведению остаточного члена формулы Тейлора при
п -» со посвящен следующий параграф.
192 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§4.15. Ряд Тейлора*
Выражение
00 + 0, + ... (1)
или еще
ОО
SA, (Г)
л=о
где ак — числа, зависящие от индекса k, называетсярядом.
Конечные суммы
Sn=E«* (n = 0, 1, 2,...)
л-о
называются частичными суммамиряда (1) (или (1'))- Если
существует конечный предел
limSn = S, (2)
п—со
то говорят, что ряд (1) сходится к числу S и называют S
суммой ряда. При этом пишут
S = = alt + ai + a2 + ...
fc-0
Если предел частичных сумм Sn (при п — оо) ряда (1)
не существует или равен оо, то ряд (1) называется расходя-
щимся.
Пусть теперь функция f имеет производные любого
порядка в окрестности точки х0. Для такой функции мож-
но составить ряд следующего вида:
/ (хо) + ~ хо) +-Цр (х-х0)2+... (3)
или короче
f^^(x-x0)‘. (3')
*=0 Я!
* И. Бернулли получил ряды, которые мы связываем с именем Тейло-
ра, в 1694 г., а Тейлор получил их позднее — в 1715 г. (см. Известия
ИМИ АН, 1896, VH, № 4, Н. Я. Сонин).
§4.15. РЯД ТЕЙЛОРА
193
Для каждого отдельного значения х этот ряд может
сходиться или расходиться. Множество точек х, для которых
ряд (3) сходится, называется областью сходимости этого
ряда. Независимо от того, сходится или расходится этот ряд,
он называетсярлдсии Тейлора функции f по степеням х-х0.
Если х0 = 0, то соответствующий ряд называют иногда ря-
дом Маклорена.
Особый интерес представляет тот случай, когда ряд
Тейлора функции f по степеням (х - х0) сходится в некоторой
окрестности точки х0 и притом к самой функции f (х). Если
это имеет место, то
/ (*) = Е (х ~ хо)* (х е (хо - 8, х0 + 8)),
А=0 «I
т. е. функция f (х) есть сумма ее ряда Тейлора в некоторой
окрестности точки х0, иначе говоря, для любого значения
хе (х-8, х0 + 8). В этом случае говорят, что функция f (х)
разлагается в ряд Тейлора по степеням (х — х0), сходя-
щийся к ней.
Теорема 1. Если функция f имеет на отрезке[ха— 8,
х0 + 8] производные любого порядка и остаток ее формулы
Тейлора стремится к нулю при и — оо
lim rn(x)=0 (х е [х0 - 8, х0 + 8]) (4)
п—оо
на этом отрезке, то /разлагается в сходящийся к ней ряд
Тейлора на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция f имеет на от-
резке [х0 -8, х0 +8] производные любого порядка. Тогда эти
производные непрерывны на [х0 — 8, х0 + 8], потому что,
если f имеет производную/w на [х0 - 8, х0 + 8], то производ-
ная /(*-1> непрерывна на [х0 - 8, х0 + 8].
Поэтому для нашей функции имеет смысл формула
Тейлора
f <х) = Е ~ (х ~ жо)* + гп (*) х 6 [х0 - 5. хо + 8]-
7. Заказ 704
194 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Тогда в силу (4)
lim £ (х - x0)k = lim [f (х) - rn (х)] =
П—OO^=Q R l П~^СО
= f(x)~ limrn(x) = f (x),
n—OO
т. e. в этом случае многочлен Тейлора функции f (х) (по сте-
пеням х - х0) стремится при п — со к самой функции:
Нт £ (Х _ х0)* = f (Х) (х е [х0 - 8, х0 + 8]). (5)
А это означает, что ряд Тейлора функции f (х) сходится на
[х0 - 8, х0 + 8] и имеет своей суммой f (х):
f (х) = £ (х ~ хо)* (х е [*о - 8, х0 + 6]).
k=o
Теорема доказана.
Следующая теорема дает простой достаточный крите-
рий сходимости остатка формулы Тейлора к нулю.
Теорема 2. Если функция f имеет на отрезке [х0 -8,
х0 + 8] производные любого порядка, ограниченные одним и
тем же числомQfn\x)\ < М, п = 0,1, 2 х0 -8 < х < х0 + 8),
то остаток ее формулы Тейлора на этом отрезке стремит-
ся при и — со к нулю:
limr(x)=O. (6)
П—ОО
Доказательство. Воспользовавшись формулой
Лагранжа остаточного члена, получим
го
(с е (х0, х), М > I /”+1)(х)| Vn и [х- х0) < 8).
Так как правая часть (7) стремится к нулю при п -► со
(см. §2.5, (5)), то имеет место (6).
§4.16. ФОРМУЛЫ И РЯДЫ ТЕЙЛОРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
195
§4.16. Формулы и ряды Тейлора
элементарных функций
1. f (х) = ех. Эта функция бесконечно дифференцируе-
ма (имеет производные любого порядка) на (-со, со). При
этом
f w(x) = ех, /*>(0) = 1 (k = 0, 1, ...), f(п+1> (с) = е.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лаг-
ранжа имеет вид
п k с п+1
+ G. (*). гп(*) = £гЬпг се(°’х)> П)
*=о «I (п+1)!
где х может быть положительным и отрицательным. На
отрезке [-А, А], А > О,
А д п+1
|Г" (Х)| ^п+1)! ’ °’ п 00 • (2)
Это показывает (см. теорему 1 §4.15), что функция ех разла-
гается на [-А, А] в сходящийся к ней ряд Тейлора по степе-
ням х (ряд Маклорена):
со k
(3)
i=fcK!
Но А > 0 — произвольное число, поэтому это равенство
имеет место на всей действительной оси (х G (—со, оо)). В
данном случае |f w(x) = |ех| < (k = 0, 1, 2, ...) на отрезке
[-А, А], и чтобы получить равенство (3), можно было бы
воспользоваться теоремой 2 §4.15.
Вычислим число е с точностью до 0,001. Имеем (см. (1))
е= Ev; + г„(1), (4)
где
Надо подобрать п настолько большим, чтобы
196 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
rn(i)=Ff«°,001 (0<с<1).
(п + 1)!
Так как е < 3, то для этого достаточно решить неравенство
3/(п +1)! < 0,001. Оно выполняется при п = 6.Следовательно,
е « 2 + 1 + 1 + ... + -L = 2,718
2! 3! 6!
с точностью до 0,001.
Примечание. Так как 1 < ес < 3 при 0 < с < 1, то при
п > 2 ec/(n + 1) = 0, где 0 < 0 < 1. Поэтому равенство (4) можно
записать в следующем виде:
V 1 . 0
е = 2. Т7+—7
ft=ofe! п!
Эта формула была использована (в §2.6, формула (3)) для
доказательства иррациональности числа е.
2. у = sin х. Данная функция имеет производную лю-
бого порядка и
| (sin x)w | = |sin (х+ < 1 \/k.
Поэтому по теореме 2 §4.15 функция sin х разлагается в
сходящийся к ней на (-©о, оо) ряд Тейлора по степеням х:
sin х = х -
3! + 5!
(,^2^1
(2А+1)! '
Надо учесть, что
ттп Г 0
(sin х)<п>| ж = 0 = sin—=
при n = 2fe,
при n = 2k+l.
Формула Тейлора функции sin х по степеням х имеет
вид
sin х = х - + ... + (-l)v+1 + r2v(x), (6)
где
М-16. ФОРМУЛЫ И РЯДЫ ТЕЙЛОРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
197
2v-l
r2v(*) = 7^—sm(ex+(2v+l)^) (0 < e < 1).
(Zv—1)! ' Z'
Отсюда следует, что
r2v(x) = o(x2v)
х—0
И
з 2v-l ,
sm х = х - ~у + ... + (-1) ^2v lp о(* )•
' х-0
3. у = cos х. Совершенно аналогично можно получить,
что
2 4 со . 2k
cosx=l-^ + ^--...= E(-lM-.
2! 4! (2k)'-
Пример 1. Найти lim .
х-00
Имеем
X3 3
sin х = х — — + о (х ),
О I
(7)
поэтому
sinx-x _
X3
т. е.
Um sinx^x = _1
х—о X 6
На самом деле в (7) остаток имеет вид о(х4). Но для наших
х-0
целей достаточно o^x3j • Надо иметь в виду, что если некото-
х—О
рая функция от х есть °(х4), то она есть также о^х3) (но во-
х-0
обще не наоборот!).
198 ГЛАВА 4, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
4. Функция f (х) = ln (1 + х) определена и сколько угод-
но раз дифференцируема для х > -1. Поэтому для нее фор-
мулу Тейлора можно написать для любого n = 1, 2, ... при
х > -1. Так как
fln> (*) = Ц" 1(”?- . f М (°) = (-1Г1 (« - 1)!,
(1+х)
то формула Тейлора имеет вид
2 п
In (1 + х) = X - + ... + (-l)n+1 — + rn(x).
Ь п
Используя формы Лагранжа и Коши остаточного члена,
можно показать, что
lim г_(х) = 0 при -1 < х < 1.
п—со
В самом деле, используя форму Лагранжа остаточного чле-
на, имеем для О х < 1:
1 Л+1 1
X - 1
(l+6x)n+1 " П+1 iy Коши остаточно х<0: ( 11"хп+1 ~ U П — ОО, го члена (см. । 1п+1 / < и (
1 } (l+6x)n+1 < l*r+1 " 1-|х| ( -*0 ( п
М-16. ФОРМУЛЫ И РЯДЫ ТЕЙЛОРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
199
Формула Тейлора по степеням х имеет вид
(1 + x)m= 1 + тх + х2
и!
Можно доказать, что при любом т
lim rn(x) = 0 (-1 < х < 1).
П—со
Поэтому для любого действительного т имеет место раз-
ложение функции (1 + х)т в ряд Тейлора по степеням х
(1 + х) = 1 + 2,—---------------х (-1 < х < 1). (8)
*=1 «!
Если т натуральное, то функция (1 + х)т есть много-
член. В этом случае гп (х) = 0 для п > т, и ряд справа в (8)
представляет собой конечную сумму — многочлен Тейлора
(см. §4.14).
При х = ±1 исследование поведения остаточного члена (в
форме Коши или Лагранжа) требует больших усилий. Отме-
тим лишь, что при х = 1 ряд Тейлора (8) сходится при т > -1,
а при х = -1 для т > 0.
Приведем частные случаи ряда (8) при т = -1; т = :
di
:~ = 1-х-х2 - ...+(-1)" xn + ... (-1 < X < 1)
— обыкновенная геометрическая прогрессия, расходящаяся
при х = ±1;
•Л+х = 1+—х-—х2 + —х3-
2 8 16
54 , 14„-i(2n-3)!! п
—— х +... + (-1) -------X +...
128 ' 1 2п!1
1):
здесь ряд справа сходится при х = ±1.
200 ГЛАВА 4, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Пример 2 . Вычислить предел (т Ф п, т Ф 0, п 0)
.. r 1+i+°W-(1+^+°W)
lim ——-т • = lim---------------
х—>0 X х>0 X
Пример 3 .
.. 1п(1 + х)-х(1 + х)“ х-^ + о(х2)-х(1+ах+о(х))
hm —*------------>— = Нт---------------------------
§ 4.17. Локальный экстремум функции
Определение локального экстремума было дано в на-
чале §4.12. Очевидно, ему можно придать и следующую
форму.
Функция y — f (х)достигает в точке с локального мак-
симума(минимума), если можно указать такое? > 0, что
ее приращение &у в точке с удовлетворяет неравенству
Ду = f (х) — f (с) < 0 Vxe(c-8, с +8)
(соответственно Ду = f (х) - f (с) > 0 Vx п (с - 8, с + 8)).
По теореме Ферма (см. §4.12), если функция f дости-
гает в точке х0 локального экстремума и в этой точке произ-
водная f (х0 ) существует, то она равна нулю:
Г (хо) = 0.
По определению точка х, называется стационарной
для функции f, если в ней производная от f существует и
равна нулю (f (х0) = 0).
Если задана на некотором интервале (а, (?) функция / и
надо найти все ее точки локального экстремума, то их, оче-
§ 4.17. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
201
видно, надо искать среди, во-первых, стационарных точек,
т. е. таких, в которых производная /' существует и равна
нулю и, во-вторых, среди точек, где / не имеет производной,
если таковые на самом деле имеются. Стационарные точки
находятся из уравнения
ГО0)=°, (1)
которое надо решить. Конечно, не всякая стационарная точ-
ка функции / есть точка локального экстремума /.
Условие (1) является необходимым для того, чтобы
дифференцируемая функция / имела в точке х локальный
экстремум, но недостаточным. Например, х = 0 есть ста-
ционарная точка функции х3, но в ней эта функция воз-
растает.
Очевидно также, что не всякая точка, где / не имеет
производной, есть точка локального экстремума /.
Так или иначе, если нам уже известно, что х0 есть ста-
ционарная точка или точка, где производная от / не суще-
ствует, нам нужны критерии распознавания, будет ли дей-
ствительно эта точка точкой локального экстремума, а если
будет, то какого — максимума или минимума.
Ниже мы приводим достаточные критерии локального
экстремума.
Теорема 1. Пустьх0 — стационарная точка функ-
ции/ (т. е. /' (х0) = 0) и /имеет вторую непрерывную произ-
водную в окрестности х0. Тогда:
если f (х0) < 0, то х0 есть точка локального макси-
мума /;
если же f (х0) > 0, то х0 есть точка локального ми-
нимума /.
Доказательство. Разложим /по формуле Тейлора
по степеням (х - х0) при п = 1. Так как /' (х0), то формула
Тейлора функции / в окрестности точки х0 имеет вид
f(x) = /(x0)+<*^rf/"(c) (с е (х0, х)). (2)
В этой формуле может быть х^ х0.
202 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Пусть f (х0) < 0. Так как производная f по условию
непрерывна в окрестности х0, то найдется 8 > 0 такое, что
Г (х) < 0 Vx е (х0 - 8, х0 + 8).
Но тогда остаточный член в формуле (2)
Vx е (х0 - 8, х0 + 8),
что показывает, что
Лу = f (х) - f (х0) < 0 Vx е (х0 - 8, х0 + 8).
т. е. f имеет в х0 локальный максимум.
Аналогично, если f (х0) > 0, то f (х) > 0 в некоторой
окрестности х0 и f (с) > 0. Поэтому остаточный член фор-
мулы (2) в окрестности х0 неотрицательный, а вместе с ним
w.&y =f (х) — f (х0) > 0, т. е. f имеет в х0 локальный мини-
мум.
Пример 1. у = х2 + 5, у' = 2х, х = 0 — стационарная
точка; у" = 2 > 0 для всех х, следовательно, и в точке х = 0.
Значит, в точке х = 0 — локальный минимум.
Замечание 1. Если
f(xo) = O и Г(хо) = О, (3)
то функция f может иметь и не иметь экстремума в х0. На-
пример, функции х3 и х4 удовлетворяют условиям (3) в точ-
ке х0 = 0, но первая из них не имеет экстремума в этой точ-
ке, а вторая — имеет, а именно, минимум.
Теорема 2.Пустьf (x0) = f (х0) =... = /n)(х0) = Qu
/п+1> (х0)*0 , и непрерывна в окрестности точки х0, тогда-
если (n + 1) — четное и /п+1) (х0) < 0, то f имеет в х0
локальный максимум-,
если (п + 1) — четное и fn+1} (х0) > 0, то f имеет в х0
локальный минимум-,
если (п + 1) — нечетное и f<п+1) (х0) Ф 0, то f заведомо
не имеет в х0 локального экстремума.
Доказательство этой теоремы снова основано на при-
менении формулы Тейлора. Имеем
§ 4.17. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
203
f (*) - f Оо) = <с G О0> *))• (4)
В случае, если (n + 1) — четное, рассуждаем в точности так
же, как в случае формулы (2). Пусть теперь (и + 1) — нечет-
ное, и пусть, как было предположено, /п+1) (х0) Ф 0. Вслед-
ствие непрерывности /п+1) в окрестности х0 существует ин-
тервал (х0 — 8, х0 + 8), на котором /п+1,(х) сохраняет знак
/п+1) (х0). Если х будет возрастать в окрестности х0 слева на-
право, то (х - х0)"+1 при переходе через х0 переменит знак, а
/л+1) (с) будет сохранять один и тот же знак. Это показыва-
ет, что правая часть (4) и, следовательно, Ду = / (х) — / (х0)
при переходе х через х0 меняет знак и экстремум в х0 невоз-
можен.
Теорема 3. Пусть функция f непрерывна на от-
резке[х0 -8, х0 + 8] и имеет производную/ (х) отдельно на
интервалах (х0 - 8, х0) и (х0, х0 + 8). При этом
f (х) 0 (<0) на (х0 - 8, х0), (5)
f (х) < 0 (За=О) на (х0, х0 + 8) . (6)
Тогда х0 есть точка локального максимума (миниму-
ма) функции f.
Здесь не обязательно предполагается, что f (х0) су-
ществует.
Доказательство. Из непрерывности f на отрезке
[х0 - 8, х0] и свойства (5) следует (см. теорему 5 §4.12), что f
не убывает (не возрастает) на этом отрезке и, следовательно,
Нх0)-/(х)>0 (<0) длях е [х0-8, х0]. (7)
А из непрерывности f на [х0, х0 + 8] и свойства (6) сле-
дует (см. ту же теорему 5 §4.12)
/(х)-/(х0)<0 (>0) для х е [х0, х0 + 8]. (8)
Но тогда из (7) и (8) следует:
f (х) < f (х0) (/ (х) > f (х0)) Vx е [х0 - 8, х0 + 8],
и мы доказали теорему 3.
204 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Теорема 3 утверждает, что если первая производная
функции f при переходе через точку х0 меняет знак, то f
имеет в точке х0 минимум (рис. 52), если знак меняется
(при возрастании х!) с - на + , и максимум (рис. 53), если он
меняется с + на -. При этом не обязательно, чтобы f (х0)
существовала. Но требуется, чтобы f была непрерывна в
точке х0
рассмотреть функцию f(x) =
'1+х, х<0Л
Ll-x, х>0 /
Рис. 53
1 — 2х
Пример 2 . Функция у -------; у'=----,. Мы ви-
1 + * (1 + х2)
дим, что у' > 0 при х < 0, У < 0 при х > 0 и, кроме того, у
непрерывна в точке х = 0, поэтому по теореме 3 функция у
имеет локальный максимум в точке х = 0. Других локаль-
ных экстремумов функция не имеет.
Пример 3 . Функция у= 2-х2(1-sin i) (х^О), у (0) =
х
= 2, непрерывна в точке х = 0 и имеет локальный максимум:
у (х) < 2 = у (0), Vx. Однако нельзя выделить окрестность
точки х = 0 так, чтобы в ней при х < 0 функция возрастала, а
при х > 0 убывала.
В самом деле,
у' = -2х(1 -sin ~) -cos (Х5*О),
2-x2(l-sin—) — 2
j/ (0) = lim-----------——- - -limxll - sin-) = 0.
x><J X x-rt) ' X>
§ 4.18. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ
205
При малых х слагаемое 2х ( 1 - sin как угодно мало,
поэтому знак производной у’ зависит от cos При х -► 0
cos ~ принимает значения ±1 сколько угодно раз. Значит, во
всякой окрестности точки х = 0 функция колеблющаяся.
Теорема 4. Пусть функция/удовлетворяет усло-
виям f(x0) = 0 и f (х0) > 0 (<0). Тогда f в точке х0 имеет
локальный минимум (максимум).
Доказательство. Так как
г ( j=u„ т-гщ=Um №) > о,
Х-Х() х^ХцХ — Xq
/' (х)
то на основании теоремы 2 §3.2 —> 0 в достаточно ма-
х-х0
лой окрестности точки х0, т. е. f (х) < 0 для х < х0 и f (х) > 0
для х > х0. По теореме 3 заключаем, что в точке х0 локаль-
ный минимум. Случай f (х0) < 0 исследуется аналогично.
Замечание 1. Теорема 4 содержит в себе теорему 1
как частный случай, потому что в ней не предполагается,
что f (х) непрерывна в окрестности точки х0. Требуется лишь
существование f (х0).
§ 4.18. Экстремальные значения функции
на отрезке
Пусть надо найти максимум (минимум) функции /,
непрерывной на отрезке [а, &]. Тот факт, что f достигает
максимума (минимума) на [а, Ь] в некоторой точке х0 е [а,
Ь], доказан в теореме 2 §3.5.
Могут быть только три возможности: 1) х0 = а, 2) х0 = Ь,
3) х0 е (а, Ь).
Если х0 е (а, Ь), то, согласно сказанному в предыду-
щем §4.17, точка х0 будет точкой локального экстремума, и
206 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ее следует искать либо среди стационарных точек, либо сре-
ди точек, где производная не существует.
Если указанные точки образуют конечное множество
X. , •••, то
max fix)=max{/(a), fib), fix^fixm)}
f = min ......................'
Отметим, что нет необходимости выяснять характер
стационарных точек, если мы поставили себе только задачу
найти максимум (минимум) функции f на [а, &].
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значе-
ния функции
\|/ (х) = sin х + cos х на [0, я].
- Находим производную: \р' (х) =cos х -sin х. Приравни-
ваем ее нулю:
cos х - sin х = 0.
Это уравнение имеет на отрезке [0, л] единственное
решение х = л/4. Так как (0) = 1, (л/4) = V2, (л) = -1,
то
max у(х) = -J2, min у(х) = -1.
xq0,nj х^О.п]
Пример 2 . Пусть электрическая лампа может пере-
двигаться по вертикали ОВ (оси Л). На плоскости, пер-
пендикулярной ОВ, возьмем точку А
я (на оси х). На какой высоте надо подве-
X. сить лампу, чтобы в точке А была наи-
X. р лучшая освещенность (рис. 54).
h X. Решение. Поместим лампу в
уХ. точку В, и пусть АВ = г, ОВ = h, ОА = а,
—--------► Z.OAB = <р. Известно, что освещен-
ность I в точке А определяется по за-
Рис. 54
§ 4.19. ВЫПУКЛОСТЬ КРИВОЙ. ТОЧКА ПЕРЕГИБА
207
кону I = с s1?*? , где с — коэффициент пропорциональнос-
г
ти. Примем h за аргумент функции f. Так как г2 = Л2 + а2,
sin ф = —, то 1(h) = с--h
г (.2 2\3'2
lh + а 1
По смыслу задачи О < h < оо. Найдем наибольшее зна-
чение этой функции. I (0) = 1(со) = О*.
Далее
2 2
J,W = C Д ~^5/2=0 приЛ = а/^.
(й+а2)
Так как I (цД/2) = 2с/3-^3 а2 > 0, то наибольшее зна-
чение функция I (Л) принимает в точке h = а/^2 .
Таким образом, лампу надо подвесить на высоте h =
= а/^.
§ 4.19. Выпуклость кривой. Точка перегиба
Говорят, что кривая у = f (х) обращена в точке х0 вы-
пуклостью кверху (книзу), если существует окрестность
х0 такая, что для всех точек этой окрестности касательная
к кривой в точке х0 (т. е. в точке, имеющей абсциссу х0)
расположена выше (ниже) самой кривой (на рис. 55 в точ-
ке Xj кривая обращена выпуклос-
тью книзу, в точке х2 — кверху).
Вместо слов «выпукла кверху
(книзу)» употребляются слова
«вогнута книзу (кверху)*.
Говорят, что точка х0 есть точ-
ка перегиба кривойу=/ (х), если при
переходе х через х0 точка кривой
(имеющая абсциссу х) переходит с
* В данном случае I (оо) = lim 1(h).
Л->-н©
208 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
одной стороны касательной на другую (на рис. 55 точка Xj —
точка перегиба). Иначе говоря, существует достаточно малое
8 > 0 такое, что для всех хе (х0 - 8, Хо) кривая находится с
одной стороны касательной в х0, а для всех х е (х0, х0 +8) — с
другой.
Указанные определения выделяют возможные
расположения кривой относительно касательной к ней в
достаточно малой окрестности точки касания. Но не нужно
думать, что эти определения исчерпывают все возможные
случаи такого расположения. Для функции
0,
4 ' X sin~,
xz
х = 0,
х*0,
ось х пересекает и касается графика функции в точке х = 0
и х = 0 не есть точка перегиба.
Теорема 1. Если функция f имеет в точкех0вто-
рую непрерывную производную uf" (х0) > 0 (< 0), то кривая
у = f (х) обращена в х0 выпуклостью книзу {кверху}.
Доказательство. Разлагаем f в окрестности
х = х0 по формуле Тейлора
f (х) = f (х0) + f (х0)(х - х0) + Tj (х),
Г1 (*) = Г (х0 + 6 (х - х0)) (0 < 6 < 1).
Запишем уравнение касательной к нашей кривой в точ-
ке, имеющей абсциссу х0:
Y=f{x0) + f (х0)(х-х0).
Тогда превышение кривой f над касательной к ней в
точке х0 равно
/(Х)-У=Г! (х).
Таким образом, остаток г, (х) равен величине превы-
шения кривой f над касательной к ней в точке xrj . В силу
непрерывности f", если f" (х0) > 0, то и f (х0 + 0 (х - х0)) > 0
§ 4.19. ВЫПУКЛОСТЬ КРИВОЙ. ТОЧКА ПЕРЕГИБА
209
для х, принадлежащих достаточно малой окрестности точ-
ки х0, а потому, очевидно, и т\ (х) > 0 для любого отлично-
го от х0 значения х, принадлежащего к указанной окрест-
ности.
Значит, график функции лежит выше касательной и
кривая обращена в точке х0 выпуклостью книзу.
Аналогично, если f (х0) < 0, то г\ (х) < 0 для любого
отличного от х0 значения х, принадлежащего к некоторой
окрестности точки х0, т. е. график функции лежит ниже
касательной и кривая обращена в х0 выпуклостью кверху.
Следствие. Если х0 есть точка перегиба кривой
y = f(x)ue ней существует вторая производная f" (х0),
то последняя необходимо равна нулю (f" (х0) = 0).
Этим пользуются на практике: при нахождении точек
перегиба дважды дифференцируемой кривой y = f(x) ищут
их среди корней уравнения f"(x) = 0.
Достаточное условие для существования точки пере-
гиба у кривой дается следующей теоремой.
Теорема 2. Если функция/ такова, что производ-
ная f" непрерывна в х0, a f (х0) -Quf" (х0 0, то кривая
У-f (х) имеет в х0 точку перегиба.
Доказательство. В этом случае
f (х) = f (х0) + f (х0)(х - х0) + г2 (х),
г2(х)=^^-/"' (х + 6 (х - х0)).
В силу непрерывности/'" в х0 и того факта, что/'" (х0) Ф
Ф 0, следует, что f" (х0 + 0 (х - х0)) сохраняет знак в некото-
рой окрестности точки х0; он один и тот же справа и слева
от точки х0. С другой стороны, множитель (х - х0)3 меняет
знак при переходе х через х0, а вместе с ним и величина г2(х)
(равная превышению точки кривой над касательной в х0)
меняет знак при переходе х через х0. Это доказывает теоре-
му.
Сформулируем более общую теорему:
210 ГЛАВА + ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Теорема 3. Пусть функция f обладает следующи-
ми свойствами:
Г (хо) = ... = /п)(х0) = 0,
/п+1) (х0) непрерывна в окрестности х0 и /”+1)(х0) Ф 0.
Тогда, если п — нечетное число, то кривая у = f(x)
обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от
того, будет ли /п+1) (х0) < 0 или /п+,) (х0) > 0, а если п —
четное, то х0 есть точка перегиба кривой.
Доказательство основано на том, что при указанных
условиях имеет место разложение по формуле Тейлора
f (х) = / (х0) + (х - х0) f (х0 ) + f (П+1) (Х° + 6 ' *b))-
\П т
В заключение заметим, что говорят также, что кривая
y = f(x) имеет точку перегиба в точке х, где производная f
равна +оо или -оо (см. рис. 40 и 41 §4.2).
По определению кривая y = f(x) называется выпуклой
кверху (книзу) на отрезке [а, Ь], если любая дуга этой кри-
вой с концами в точках с абсциссами хр х2 (а < хг < х2 < Ь)
расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды (рис.
56 и 57).
Замечание. Если f дифференцируема на [н, Ь], то
приведенное определение выпуклости на отрезке эквива-
лентно следующему: кривая у-f (х) называется выпуклой
кверху (книзу) на отрезке [а, 6], если она выпукла кверху
(книзу) в каждой точке х интервала (а, Ь).
Рис. 56
Рис. 57
§ 4.19. ВЫПУКЛОСТЬ КРИВОЙ. ТОЧКА ПЕРЕГИБА
211
Теорема 4 . Пусть функция f непрерывна на [а, б]
и имеет вторую производную на {а, Ь).
Для того чтобы кривая у = f (х) была выпуклой
кверху (книзу) на [а, Ь], необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось неравенство f" (х) < 0 (f (х) > 0)
для всех х е (а, Ь).
Эту теорему мы не будем доказывать.
Пример 1. Функция у =sin х имеет непрерывную пер-
вую производную и вторую производную (sin х)"=-sin х < 0 на
[О, л/2]. Поэтому хорда ОА, стягивающая дугу кривой i/=sin х
на [0, л/2], ниже синусоиды (рис. 58). Так как уравнение хор-
ды у = (2/л) х, то мы получили неравенство
— X SH1 X
л
(0 < х « л/2),
часто употребляемое в математическом анализе.
Пример 2 . у = х3 + Зх2 = х2(х + 3);у' = Зх2 + 6х, if = 0
при х = 0, х = -2, у" = 6х + 6, р"(0) = 6 > 0, у"(-2) = -6 < 0,
у" - 0 при х = -1, у'" = 6 Ф 0. Так как у"' (х) = 6 Ф 0, то в
точке х = -1 — перегиб. Далее у" (х) > 0 при х > -1, у"(х) < 0
при х < -1. Значит, график функции (рис. 59) выпуклый
кверху на (-оо, -1) и выпуклый книзу на (-1, оо); х = 0 —
точка минимума, х = -2 — точка максимума.
212 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 4.20. Асимптота графика функции
Говорят, что прямая х = а является вертикальной
асимптотой графика непрерывной функции у = / (х), если
хотя бы один из пределов
lim /(х) или lim /(х)
х->а хм
х>а х<а
равен оо.
Если функция у - f (х) задана для х > М (х < М), то
говорят, что прямая Y=kx + b является наклонной асимп-
тотой непрерывной кривой y = f (х) при х -» +оо (х -► -оо),
если f (х) = kx + Ь + а (х), где lim а(х) = 0, т. е. |/ (х) - kx -
х-»+оо
(згс-оо)
- Ь\ — бесконечно малая функция при х — оо (х -* -оо )).
Пример 1 .у =\/х (рис. 60); х = 0 — вертикальная
асимптота, так как
lim1 = +оо, lim—=—со.
х>0 X х-Ю х
х>0 х<0
Пример 2 . у = х +-^n- (x?t0). Так какlim -О,
X х-»со х
то прямая У = х (рис. 61) есть наклонная асимптота при х -> +оо
(и при х -» -оо).
Пример 3 .у = Vx (х > 0). Ясно, что Vx - kx - Ь не
стремится к нулю при х -► +оо ни при каких k и Ь, значит,
функция у = Vx наклонных асимптот не имеет.
Рис. 60
Рис. 61
§ 4.20. АСИМПТОТА ГРАФИКА ФУНКЦИИ
213
lim ^-= lim
Х-4-+00 X
Теорема. Для того чтобы график функции у = f (х)
имел прих —► +оо (х —► -оо) наклонную асимптоту, необхо-
димо и достаточно, чтобы существовали конечные преде-
лы
lim = lim[/(x)-fex]=b, (1)
х~>+оо X J
и тогда прямая Y = kx + Ь есть асимптота.
Доказательство. 1) Пусть функция f (х) име-
ет наклонную асимптоту при х —> +со, Y = kx + Ь. Тогда
У(х) = kx + Ь + а (х), где а (х) -* 0, х — +оо. Отсюда
. b а(х)1
fe+— + —— =k,
х X
lim [/(x)-fex]= lim[fe + ct(x)] = fe.
X—>+co
2) Пусть указанные в теореме пределы при х -► +оо
существуют, тогда из второго равенства, по определению
предела, имеем
/(х) - kx - Ь = а (х), где а (х)-» 0 при х —+оо,
т. е. / (х) = kx + Ь +а (х). Значит, прямая Y = kx + b —
наклонная асимптота при х -► +оо. Такое же рассуждение
и при х -» -00.
Если k = 0, то асимптота называется горизонталь^
ной.
Замечание. Существование двух конечных преде-
лов (1) существенно, ибо для функции у = -Jx (х > 0),
lim — = 0 = k, но lim R/x-O-xl = °°, т. е. b = оо, и эта
*->+=° X x-»+ool *
функция асимптот не имеет.
Можно дать также следующее эквивалентное определение
наклонной асимптоты.
Если расстояние р (х)от точки А (х, f (х)) непрерывной
кривой у = f (х) до прямой y = kx + b стремится к нулю при
х — +оо (х —* -оо), то данная прямая называется наклон-
ной асимптотой этой кривой при х —* +оо (х —* -оо).
214 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В самом деле, из аналитической геометрии известно, что
расстояние от точки (х, / (х)) до прямой y = kx + b выражается
формулой
Р (х) = If (х) -kx- t>|/Vl + fe2,
откуда из того, что |f (х) - kx - -Ь| — 0, следует, что р (х) — 0, и
наоборот.
Пример 4 . Выяснить, имеются ли асимптоты у ги-
перболы
2 2
*2-^ = 1 (|х| > а, а>Ь>0).
а Ь
Разрешая данное уравнение относительно у, будем
иметь
Отсюда lim ~ = х->+оо % а Далее, lim Гг/ —(±—)xj = x->-h»L ' a' J = ±— lim [Vx2 /\\ * Рис. 62 /22 , lim ~g- = ±^. x—»-ko X CL -a -x] = ±— lim । a =0. J a*->+«>Vx2-a +x Таким образом, на основа- нии доказанной теоремы прямые у = +—X а являются асимптотами нашей гиперболы, причем знак + отно- сится к правой верхней полови- не гиперболы, а знак - относит- ся к правой нижней половине гиперболы.
§4.21. НЕПРЕРЫВНАЯ И ГЛАДКАЯ КРИВАЯ
215
В силу симметрии ясно, что эти прямые являются асим-
птотами и при х —* —оо. В этом случае знак + отвечает части
гиперболы, находящейся в третьей четверти, а знак - отно-
сится к части гиперболы, находящейся во второй четверти
(рис. 62).
§4.21. Непрерывная и гладкая кривая
Уравнения
x=<p(t),l
t/ = ip(f)J (a<t<b), (1)
где ф и ip — непрерывные функции на (а, Ь), определяют
непрерывную кривую, заданную при помощи параметра^
т. е. геометрическое место точек (ср (t), ip (£)), упорядочен-
ных при помощи параметра t е (а, Ъ). При возрастании t
точка (ф (f), \р (£)) движется по плоскости. Не исключено,
что разным t (ij и i2) — соответствует одна и та же точка
плоскости: (ср (/,), \р (/J) = (ср (t2), ip (*2)).
Непрерывная кривая (1) называется гладкой на (а, Ь)
(на [а, б]), если функции ф (Z) и ip (t) имеют непрерывную
производную на (а, Ь) (на [а, Ь]) и выполняется неравенство
ф' (О2 + ф' (tf> О V* 6 (a, b) (X/t е [а, Ь]). (2)
Обозначим кривую (1) через Г. Пусть #ое (а, Ь). В силу
условия (2) одно из чисел ф' (t0), ip' (t0) отлично от нуля.
Пусть для определенностиф' (<0) Ф 0. Но тогда в силу непре-
рывности ф' (Z) существует интервал (t0 - 5, t0 + 5), на кото-
ром ф' (£) сохраняет знак ф' (t0). Следовательно, ф (f) строго
монотонна на [£0 - 5, tQ + б] и, кроме того, как мы знаем,
непрерывно дифференцируема. В таком случае функция
х = ф (t) имеет обратную
t = фл(х) = g (х) (х е (с, d)), (3)
строго монотонную и непрерывно дифференцируемую на
некотором интервале (с, d) — окрестности точки х0 = ф (t0).
216 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Подставляя выражение для t
во второе уравнение (1), получим,
чтокусоку нашей кривой Г, соответ-
ствующий интервалу (t0 - 6, t0 + б),
описывается непрерывно диф-
ференцируемой функцией (см. §4.4,
теорема 1)
у = F (х) = ф [<р-1(х)] (х е (с, d)), (4)
и потому в любой точке у существует касательная, не
параллельная оси у. Очевидно, точки у взаимно однозначно
проектируются на ось х.
Если теперь ф' (f0) 0, то, рассуждая аналогично, по-
лучим, что кусоку1 кривой Г, соответствующий достаточно
малому интервалу (f0 - 5, t0 + 5), описывается непрерывно
дифференцируемой функцией
х = Ф (у) = ф [ф1^)] (у е (с,, d,)). (5)
Отсюда следует, что и в этом случае в любой точке yt
существует касательная, но теперь она не параллельна оси х.
Таким образом, в любой точке гладкой кривой Г су-
ществует касательная, которая может быть параллельной
одной из осей координат.
Пример. Уравнения
x = acost,
y-bsint
(-со < t <оо)
определяют в параметрической форме кривую — эллипс с
полуосями а и Ь (рис. 63).
Это гладкая кривая, потому что функции х = a cos t и
у = b sin t имеют непрерывные производные, одновременно
не равные нулю:
(х' (t))2 + (у' (t))2 = (a sin t)2 + (b cos tf >
> b2 (sin21 + cos2 t) = b2> 0 (0 < b < a).
Точки А, В, C, D (см. рис. 63) делят эллипс на четыре
§4.22. СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
217
гладких куска, каждый из них проектируется взаимно од-
нозначно либо на ось х, либо на ось у.
§4.22. Схема построения графика функции
Если нужно в общих чертах представить себе график
функции y-f (х), могут помочь следующие указания.
1. Найти область Q значений х, где функция / опре-
делена.
2. Найти точки X], х2,.... где f (х) = 0 или производная
не существует, в частности равна оо. Вычислить значения /
в этих точках: / (xj, / (х2),.... если они существуют, и опре-
делить, не являются ли они точками максимума, миниму-
ма. Если / не определена в какой-либо из точек хк, то важно
знать пределы f (хк - 0), f (хк + 0), важно также определить
пределы
f (-оо) = lim /(х), f (+оо) = lim Дх),
Х-^-ОО X—>4-00
если они имеют смысл.
3. Область Q разделяется точками хк на интервалы (а,
Ь), на каждом из которых f (х) Ф 0. Среди них могут быть
бесконечные интервалы (вида (—оо, с) или (d, оо)).
Будем считать, что производная f (х) непрерывна на
каждом таком интервале (а, Ь). Тогда f (х) на (а, Ь) сохраняет
знак. Важно выяснить этот знак, тогда будет известно, бу-
дет ли f возрастать или убывать на (а, &).
4. Важно отметить на каждом интервале (а, Ь) точки
хь. 1» хь. 2» ••• (fe = 0, 1, 2, ...),
где f (х) — 0, и определить соответствующие значения фун-
кции
/(ХА,1)./(ХЛ,2)..
В этих точках могут быть точки перегиба кривой у =
= f (х). Эти точки в свою очередь делят (а, Ь) на интервалы,
218 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
на которых вторая производная, если она существует, сохра-
няет знак.
Выяснение знака f (х) дает -возможность узнать на-
правление выпуклости кривой (вверх или вниз).
5. Если возможно, надо решить уравнение f (х) = 0 и
выяснить интервалы, на которых f сохраняет знак (f (х) > О
или f (х) < 0).
6. Выяснить вопрос о существовании асимптот, т. е.
найти пределы
X
limR(x)-fexl=d.
X—>±сО
если они существуют.
На основе этих сведений желательно составить таблицу,
примерно следующего вида:
X (-оо, -2) -2 (-2, -1) -1 (-1.0) 0 (0, ОО)
у' > 0 0 < 0 — < 0 0 > 0
У возрастает, асимптота у = х - 1 —4 убывает верти- кальная асимп- тота убывает 0 возрастает, асимптота у = х — 1
у" < 0 < 0 < 0 — > 0 > 0 > 0
У выпукла кверху max выпукла кверху выпукла книзу min выпукла книзу
2
X
Эта таблица составлена для функции y=f (х) =
На основании данных этой таблицы график функции
у -f (х) имеет вид, как на рис. 64.
И.22. СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
219
Пример. Построить кри-
вую, заданную параметрически:
у zz 1
Ч (-00<i<O0). (1)
У = te 'J
Решение. Построим снача-
ла график функции х=t е . &га функ-
ция задана на всей оси, неограни-
ченная, непрерывная и дифферен-
цируемая на (-со, оо); х > 0 при t > 0;
х < 0 при t < 0; х= 0 при t = 0. Далее
х' = (1 + t) е‘. Уравнение х' (t) - 0 „
„ ’ Рис. 64
имеет единственный корень t = -1.
При этом, очевидно, х’ > 0 при t >-1; х' < 0 при t < -1. Таким
образом, функция х (t) возрастает при t > -1 и убывает при
t < -1. В точке t = -1 функция х (t) имеет локальный мини-
мум, х (-1) = -е-1. На самом деле это, очевидно, минимум на
(-00, оо).
Исследуем функцию на выпуклость: х" = (2 + t) е‘; х" > О
при t > -2; х" < 0 при t < -2;х"(-2) = 0. Значит, на (-оо, -2)
график выпуклый кверху, а на (-2, оо) выпуклый книзу,
t = -2 — точка перегиба.
Далее,
Шп*4- = 0, lim|fe*-ol=O.
f—> оо £ ( 4 -да. J
т. е. х = 0 — горизонтальная асимптота.
На основании этого график функции имеет вид как на
рис. 65. Область значений функции X = [-е \ оо].
Совершенно аналогично можно построить график
функции у = te‘ (рис. 66). Область значений этой функции
220 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
У = (-оо, е ’). На (-оо, 1) функция у =tel строго возрастает
от -оо до у = е1 в точке t = 1 достигает максимума (локаль-
ного и на (-оо, оо)). На интервале (t, оо) она строго убывает
к нулю при t -» +оо ц имеет, таким образом, асимптоту у = 0
при t —► +оо. Отмечена еще точка t = 2, в которой кривая
имеет перегиб. На (—оо, 2) кривая обращена выпуклостью
кверху и на (2, оо) — книзу.
Теперь мы переходим к более трудной задаче — начер-
тить схематический график кривой (1). Обозначим ее через
Г. Функции, определяющие Г, непрерывно диффе-
ренцируемы сколько угодно раз. Мы используем только тот
факт, что эти функции дважды непрерывно диффе-
ренцируемы. Отметим, что Г гладкая кривая, потому что
производные (по Z) от функций х = ср (t) = te и у = \|/ (t) = te‘
одновременно не равны нулю.
Обозначим через и Г2 ветви Г, на которых соот-
ветственно х\ < 0 и х\ > О. Таким образом (см. рис. 65 и 66),
Г\ соответствует изменению t е (-оо, —1),
Г2 соответствует изменению t е (-1, оо).
Рис 67
§4.22. СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
221
На Tj функция х = <р (Л строго убывает от <р (-оо) = О
до (р (—1) = -е-1, и ее можно обратить, а функция у = (t)
строго возрастает от ( -оо) = -оо до (-1) = —е. Отсюда
следует, что ветвь описывается явной функцией
1/=\/[ср1 (х)] (*е(-е4,О)).
Она изображена на рис. 67 — ниже точки А. Когда t возрастает
от-оо до-1, абсциссах точки Г, убываетотОдо-е1, а ордината
у возрастает от -оо до -е. Так как х' (-1) = 0 и у' (-1) Ф 0, то
касательная в точкеА параллельна оси у. К тому же Г рас-
положена правее касательной — ведь из рис. 65 видно, что
все точки Г имеют абсциссу х > —е1.
В любой точке t кривой Г, отличной от А, т.е. при t Ф — 1
производная х' (t) 0 и
у'=^1^-е
H-t -аУ
„ - = аУ* = H + t ' = о t2-2
х dx (l + t>* (1 + t)3
(2)
(3)
(4)
Отсюда
Нас сейчас интересует значение t = —J2 , которому со-
ответствует точка В = G Г] .
Из (3) видно, что если t < —J2 (т. е. на части 1\ ниже
точки В), то!/х" < 0 и Г, обращена выпуклостью кверху. Если
же -х/2 < t < -1 (т. е. на дуге АВ), то Ух"> 0 и rt обращена
выпуклостью книзу. Таким образом, В есть точка перегиба
Гр
Переходим теперь к Г2 (-1 < t < оо). Как видно из рис. 65
и 66, на интервале -1 < t < 1 функции х = <р (t) и у = у (#)
строго возрастают, но тогда и функция от х
У = V [<Р-1 (*)] (-е1 < х < е)
222 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
строго возрастает. К тому же ее график на этом интервале
обращен выпуклостью кверху (см. (3)). Это изображено ду-
гой AC cz Г2. Что же касается точки С, то в ней ух' = О
^х'(в) =
У(1)^ 0
х'(1) х-(1) )’
и так как в ней к тому же график
обращен выпуклостью кверху, то С есть точка локального
максимума функции у (х). При х > е (т. е. t > 1) х (#) возра-
стает, а у (t) убывает к нулю. Это показывает, что у (х) -* О
убывая. При этом х (-72) = -J2e^ — точка перегиба графика
у (х). Слева от этой точки график обращен выпуклостью
кверху, а справа — книзу (см. (3)).
§ 4.23. Вектор-функция. Векторы
касательной и нормали
В плоскости зададим прямоугольную систему коорди-
нат (х, у). Уравнения
х = x(f),l
y=y(t) J
(а < t < b),
(1)
где x (t) и у (t) — непрерывные функции на интервале (а, Ъ)
определяют непрерывную кривую Г — геометрическое мно-
жество точек (х (t), у (/)) плоскости, где t G (а, Ъ). Говорят
еще, что кривая Г задана при помощи параметра t. Ее урав-
нение можно задать в векторной форме
г (t) = х (t) i + у (t)j (a<t< b),
(1')
где i, j — единичные орты соответственно осей х, у, а г —
-г (t) — радиус-вектор точки Г, соответствующей значению
t параметра (рис. 68).
Вектор г (t) называют вектор-фу нкцие.й (определен-
ной для t е (а, Ь)).
Говорят в связи с этим, что кривая Г есть годограф
вектор-функции г (t) — геометрическое место концов век-
торов г (t), выходящих из нулевой точки О.
§ 4.23. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ. ВЕКТОРЫ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ
223
Рис. 68
Кривая Г называется гладкой на (а, Ъ), если функции
х (f) и у (£) имеют непрерывные производные на (а, Ь), одно-
временно не равные нулю.
Если t придать приращение At, то вектор г получит
приращение (рис. 69)
Ar = г (t + At) -г (t) = [х (t + At) -x(t)]i + [y (t + At) - у (t)]j =
= Axi + Ayj,
откуда, деля на скаляр At, получим
Ar = Axi+Ay
At At At
Для гладкой кривой
lim^=x', lim4f=y'.
л;- >o At &t->0 At
Вектор x'i + y'j называют производной от г (в точке t) и
записывают так:
г = x'i + y'j.
Можно производную г определить также как такой
вектор, для которого
l^y-rl-O, AZ-O.
I I
В самом деле,
4,-°-
Пишут
Г = Кт
Л(->0 At
224 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
и говорят, что векторг есть предел вектора Аг/At при At — 0.
Из рис. 69 видно, что векторг направлен по касательной к
Г в точке t в сторону возрастания I.
Векторг называют вектором касательнойкГ. Длина
его равна
Единичный вектор касательной есть
Т= 77- = cosa i+sin a j
(H>o),
cosa -г 7— ,
Vx' +y'
(2)
где a — угол междуТ и положительным направлением оси х.
Единичный вектор нормали к Г, т. е. единичный век-
тор перпендикулярный к Т, определяется равенством
v (vv v2)
v,=+sina, v2=+cosa (3)
T1 T2
V1 V2
Определитель
cosa sina
+sina ±cosa
Верхние знаки соответствуют случаю, когда пара век-
торов (Т, v) ориентирована так же, как оси (i, /) (рис. 70), а
нижние — когда пара (Т, v) ориентирована противопо-
ложным образом (рис. 71).
Рис. 70
Рис. 71
j 4.23. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ. ВЕКТОРЫ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ
225
Вторая производная от вектор-функции г (t) (см. (1'))
определяется как предел
г (t) = = х" (t)i + у" (t)j.
Д»-о At
На рис. 72 изображена кривая Г; точкаА соответствует
значению t, а точка В — значению t + At. К этим точкам
приложены касательные векторы г (t) и г (t + At). Второй
вектор мы перенесли так, чтобы он был приложен к точкеА.
На рисунке обозначена разность
Аг - г (t +At) -г (t) и вектор Ar/At,
имеющий то же направление, что
и Аг. Наконец, отмечен предель-
ный вектор г = г (t). Вектор г
направлен в сторону вогнутости
Г. Точно эти слова надо понимать
следующим образом: вектор г об-
разует острый угол с вектором v
нормали к Г, направленной в сторону вогнутости Г.
Пример. В векторной форме уравнение (см. § 4.21)
эллипса имеет вид
г = ia cos t +jb sin t (-00 < t < co).
Соответственно вектор касательной
f = -ia sin t +jb cos t,
а вектор нормали
n = +ib cos t + ja sin t.
В данном случаен., вообще говоря, не единичный век-
тор.
Вектор-функцию г = r(t) в окрестности точки t0 можно
разложить по формуле Тейлора (или разложить в векторный
ряд Тейлора). Пусть
r(t) = x(f)i + y(t)j,
где х (t) и у (t) имеют необходимое число производных в окре-
стности точки t0. Тогда, разлагая эти функции по формуле
Тейлора, получаем
Рис. 72
8. Заказ 704
226 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
x(t) = x(t0) + (t - t0) + ... + (t - t0)n + Rn(t),
(4)
ИО = !/(*о)+^ (t-tJ + ... + ^(t-t0)n + Rn(t), (5)
где Rn (t), Rn (t) — остаточные члены в какой-либо форме (Лаг-
ранжа, Коши и т. д.). Умножая (4) на£, а (5) на/ и складывая,
получим формулу Тейлора для вектор-функцииг (t):
Г (t) = Г (t0) + (t -10) + ... + (t -t0)" + гп (О,
где остаток
r„(t) = R„(t)i+Rn(t) j.
Отметим, что если остатки R„ (t) и Rn (t) записываются в
форме Лагранжа или Коши, то входящие в них производные
(п + 1)-го порядка функций х (t) и у (t) вычисляются, вообще
говоря, в разных точках.
Глава 5
Неопределенные интегралы
§ 5.1. Неопределенный интеграл. Таблица
интегралов
В предыдущей главе мы ввели понятие производной и
научились находить производную от элементарных функ-
ций. Здесь мы будем решать обратную задачу, а именно:
известна производная f (х) от функции f (х), требуется
найти саму функцию f (х).
С точки зрения механической это означает, что по из-
вестной скорости движения материальной точки необходимо
восстановить закон ее движения.
Определение. Функция F (х) называется перво-
образной функцией для функции f (х) на интервале (а,Ъ),
если F (х) дифференцируема на (а, Ъ) и F’ (х) - f (х).
Аналогично можно определить понятие первообраз-
ной и на отрезке [а, 6], но в точках аиЬ надо рассматривать
односторонние производные.
Пример 1. F (х) = 4х есть первообразная для функ-
ции f(x) = Д-
2vx
на (0, оо), так как {Jx^=-^j—.
Пример 2. F (х) = sin2x есть первообразная для
функции / (х) = 2 cos 2х на (-оо, оо), так как (sin 2х)' =
= 2 cos 2х.
228
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Теорема 1. Если F (х) — первообразная для функ-
ции f (х) на (а,Ъ), moF (х) + С — также первообразная, где
С — любое постоянное число.
Доказательство. Имеем (F (х) + С)' =F' (х) = f (х).
Теорема 2. Если Fr (х) и F2 (х) — две первообраз-
ные для f (х) на (а, Ь), то Ft (х) - F2 (х) = С на (а, Ъ), где
С — некоторая постоянная.
Д оказательство. По условию Fr (x)=F2 (х)=/(х).
Составим функцию Ф (х) = Fr (х) - F2 (х). Очевидно, что
Ф' (х) = F\ (х) - F2 (х) = f (х) - f (х) = 0 Vx е (а, Ь).
Отсюда по известной теореме (см. теорему 6 § 4.12) за-
ключаем, что Ф (х) = С, т. е. Fj (х) - F2 (х) = С, что и
требовалось доказать.
Таким образом, из теорем 1, 2 вытекает, что если
F (х) — первообразная для f (х) на (а, Ь), то любая другая
первообразная Ф (х) для f (х) на (а, Ь) имеет вид
Ф (х) = F (х) + С, (1)
где С — некоторая постоянная (рис. 73).
Определение. Произвольная первообразная для
f (х) на(а,Ъ) называется неопределенным интегралом от
функции f (х) и обозначается символом
J/(x)dx. (2)
Знак J называется интегралом, f (х) dx — подынтеграль-
ным выражением, f (х) — подынтегральной функцией.
Если F (х) — одна из первообразных для f (х), то со-
гласно сказанному
J/(х) dx = F(x) + С, (3)
где С — соответствующим образом подобранная постоянная.
Операцию нахождения неопределенного интеграла
будем называть интегрированием функции f (х). Она про-
тивоположна операции дифференцирования — нахожде-
ния производной.
§ 5.1.НЕ0ПРВДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ТАБЛИЦАИНТЕГРАЛОВ
229
Рис. 73
Отметим, что если F (х) есть пер-
вообразная для функции f (х), то
подынтегральное выражение f (х) dx =
= F' (х) dx = dF (х) является диффе-
ренциалом первообразной F (х).
Позже мы докажем (см. § 6.3),
что если f (х) непрерывна на (а, Ь), то
для нее существует первообразная на
(а, Ь), а следовательно, и неопределенный интеграл.
Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вы-
текающих из его определения.
1°. dj f (х) dx = f (х) dx. В самом деле, J f (х) dx = F (х) +
+ С, отсюда
d J f (х) dx = d(F (х) + С) = dF (х) = F' (х) dx = f (х) dx.
2°. J dF (x) = F (x) + С, t. e. J nd также взаимно
сокращаются, но к F (х) нужно добавить некоторую посто-
янную С. Имеем J dF (х) = J F' (х) dx = (по определению) =
F(x) + С.
3°. J Af (х) dx = A J f (х) dx + С, где А — постоянное
число, С — некоторая постоянная.
4°. J [/ (х) + g (х)] dx - J f (x) dx + J g (x) dx + С, где C
— некоторая постоянная.
В самом деле,
(J/(x)dx+J g(x)dx)'= (j f(x)dx)'+(J g(x)dx)'=
= (по определению) = f (x) +
С другой стороны,
(j[f(x)+g(x)]dx) = (по определению) = f (x) + g(x).
Таким образом, функция f fdx + j gdxn функция J [/ +
+ g] dx являются первообразными для одной и той же фун-
кции f+g. Но тогда они отличаются на некоторую постоян-
ную С, что и написано в равенстве 4°.
230
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
5°. Если F (х) есть первообразная для f (х), то
J f (ах + b) = —F (ах + Ъ) + С.
В самом деле,
Г^Г(ах+Ь)] = 1 aF' (ах + b) = f (ах + Ь).
la J а
Запишем таблицу интегралов, вытекающую из основ-
ных формул дифференциального исчисления.
1. /О • dx = C.
2. f ха dx = —— + С Va & -1.
J a+1
3. J x1 dx = J = In |x| + С, на интервале, не содер-
жащем х = 0.
4. fax dx = -5— + C (0 < a, a 1), f ex dx = ex + C.
Ina J
5. J sin x dx = -cos x + C, J cos x dx = sin x + C.
6. f ^*2 = tg x + C, [—% = -ctg x + С на интервале,
J cos x , J sin x
где подынтегральная функция непрерывна.
, ( arcsinx+C,
7- i~J~4 = 1—arccosx + C (-1 < x <
8 f dx = f arctgx+C,
•*l+x2 [-arcctgx+C.
9. J sh x dx = ch x + C, J ch x dx = sh x + C.
10. = th x + C, = -cth x + C (x * 0).
ch x J sh x
11. Г — - In |x + Vx2+11 + C = Arsh x + C,
J>lx2+1
[ j^x— = In |x + Vx2-11 + C = Arch x + C (|x| > 1).
Ja/x2-1
12. J^zxllnll+sl + c (|x|*l).
1 — X 11 X1
8 5.1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
231
Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но опре-
деленная) первообразная функция для соответствующей
подынтегральной функции, справа же — одна определен-
ная первообразная, к которой еще прибавляется константа
С такая, чтобы выполнялось равенство между этими функ-
циями.
Докажем формулу 3. Так как при х Ф 0 |х|' = sign х и.
х sign х = |х|, то
(In |х| + С)' = -1 (|х|)' = = 1
|х| X
и формула 3 доказана.
Докажем еще формулу 11:
(х Ф 0),
(ln|x + Vx2+l| + су =
и формула 11 доказана.
С другой стороны, [ — = Arsh х + С, поэтому по
} у!х2+1
теореме 2 Arsh х = In \х + Vx2+11 + С. Но так как Arsh 0 = 0,
то In \х + >1х2+11 = Arsh х (см. § 4.6, п. 9).
Применяя свойство 5°, можно написать более слож-
ную таблицу интегралов. Например:
J sin (ах + b)dx = -i cos (ах + b) + С.
Отметим, что если операция дифференцирования эле-
ментарных функций снова приводит к элементарным функ-
циям, то операция интегрирования уже может привести к
неэлементарным функциям, т. е. функциям, которые не
выражаются через конечное число арифметических опера-
ций и суперпозиций элементарных функций.
232
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕИНТЕГРАЛЫ
Например, доказано, что следующие интегралы не ин-
тегрируются в элементарных функциях:
Je* dx — интеграл Пуассона,
| cos х2 dx, j sin x2 dx — интегралы Френеля,
---интегральный логарифм,
J Inx
[ c°sx — интегральный косинус,
J X
Г sinx — интегральный синус.
J x
Указанные интегралы хотя и существуют, но не явля-
ются элементарными функциями. Имеются другие спосо-
бы для их вычисления. Например, интегральный синус
можно представить в виде бесконечного степенного ряда
(см. § 4.16)
з з
fsm*rfx = С + х - —
J х 3 3! 5-5!
§ 5.2. Методы интегрирования
Основную роль в интегральном исчислении играет фор-
мула замены переменных (или подстановки)
j f (х) dx = j f (ф (t)) ф' (?) dt + C = j f (ф (t) <?ф (?) + C. (1)
В этой формуле предполагается, что х = ф (?) есть не-
прерывно дифференцируемая (имеющая непрерывную про-
изводную) функция на некотором интервале изменения t,
af(x) — непрерывная функция на соответствующем интер-
вале или отрезке оси х. Первое равенство (1) утверждает,
что левая его часть тождественно равна правой, если в ней
(после интегрирования!) сделать подстановку х = ф (?) и
подобрать соответствующую константу С. Докажем это ут-
$ 5.2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
233
верждение. Слева в (1) стоит функция, которая является
первообразной от^(х). Ее производная по t равна
jf(x) dx = = /(Ф (0) Ф' (О-
Следовательно, если ввести в этой функции подста-
новку х = ф (£), то получится первообразная от функции
f (Ф (0) ф' (*)• Интеграл же справа есть, по определению,
некоторая первообразная от f (ф (/)) ф' (*)• И° Две перво-
образные для одной и той же функции отличаются на не-
которую постоянную С. Это и записано в виде первого ра-
венства (1). Что касается второго, то оно носит формальный
характер — мы просто уславливаемся писать
jF(t) ф'(0^= (2)
Например,
Jex х dx = ~ jex 2х dx + С = 1 (ех dx2 + С =
Zj
= iJe“du + C1 = lC“ + C2=iex2 +С2(п = х2). (3)
Zj Zj Zj
Первое равенство написано в силу 3° § 5.1, второе в силу
(2), третье — в силу (1) (постоянная изменилась) и четвер-
тое — в силу формулы из таблицы (постоянная измени-
лась). Однако в практике вычислений в членах, содержа-
щих неопределенный интеграл, константы С не пишут, и
тогда цепочка (3) упрощается:
Jex х dx = i Jex 2х dx = | jex dx2 = i ех + С,
LJ LI Cl
к тому же мы опустили очевидные 3-е и 4-е равенства.
Вот еще пример: I = J аш-х2 dx, а > 0. Такого
интеграла нет в таблице. Если положить х = a sin t, то
Ja-x2 = ayll—sin t = a cos t и dx = a cos t dt. Следова-
тельно,
234
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
I = ja cos t a cos t dt = a2 j cos2 t dt = a2J^+g5)S—dt =
= ak+alsin2f + c
2 4
Ho t = arcsin—, поэтому
a
I = — arcsin— + —sin t cos t + C = —arcsin— +
2 a 2 2 a
+— — Jl-(—) + C = —arcsin— + ^a-x + C.
2 all W ? a 2
Итак
f -Ja-x2 dx = -x2 + — arcsin— + C.
J 2 2a
Приведем еще примеры, которые все равно нам пона-
добятся в теории интегрирования рациональных дробей:
[—&£—= =------1-----+ с (т* 1); (4)
J (х-а)т J (x-a)m (x-afVl-m)
e in |x - a| + C; (5)
1x-a 1 x-a
+ C;
•^x2+a2 a^l+(x/a)2 a a
} x -a 2aJ'x-a x+a'
= (in |x - a| - in lx + a|) + C =
dx __ ( dx _
x2+px+q \x+(p/2)f
= rd(x+(p/2))^ i + c (q_E_ =
J(x+(p/2))2 x+(p/2) W 4
6 5.2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
235
dx
dx _ _________________________=
x2 + px + q J (х+(р/2))2 + {q-(p2/4))
d(x+(p/2)) i
(x+(p/2$+a2 a
.2 “
1 , x+(p/2)
= — arctg— ’ + C
a a
f dx____= f d(x+(p/2)
'x2+px+q ' (x+(p/2f+a2
= 1 x+(p/2)-a
2a ]x+(p/2)+a
(q- = a2, a > 0); (6)
4
2
(<7 - ~ = -a2, a > 0);
4
+ C
J ^+B dx = 4^^)dx=At(2x+p)dx +
Jx+px+q £Jx+px+q ^Jx+px+q
+ dx = 41 In |xz +px + q| + , (7)
2J x^+px+q 2 Jxr+px+q
(a#0, -° = ^(^_р)) (далее см. (6)).
Для теории интегрирования рациональных дробей важ-
но, что вычисление интегралов типа (4) — (7), где а, А, В,
р, q — константы, приводит к элементарным функциям
(рациональным, In и arctg).
Перейдем к формуле интегрирования по частям:
j uv' dx = uv - J vu' dx + C (8)
или, что все равно,
J и dv = uv - J v du + C.
Так как в (8) справа есть неопределенный интеграл, то
постоянную С обычно опускают.
236
ГЛАВА 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В данной формуле предполагается, что и (х) л v (х)
— непрерывно дифференцируемые функции. Справедли-
вость формулы (8) вытекает из того факта, что производ-
ные от левой и правой частей равны:
uv' = (uv)' - vu'.
Формула (8) сводит вычисление интеграла J и dv к
вычислению интеграла j v du. Вычисление по формуле (8)
носит название метода интегрирования по частям.
Пример 1. Вычислить jx In х dx. Положим
и(х) = Inx, du =
xdx = dv, v = fdv=jxdx=^.
Тогда
f xlnx dx= In x - In x - £ +C.
Пример 2. Вычислить интегралы I = J eax sin bx dx,
= j eax cos bx dx, где a, b — постоянные числа. В данном
случае подынтегральное выражение можно представить в
виде произведения и (х) и dv (х) двояким образом: и - еах,
dv = sin bx dx или и - sin bx, dv = еах dx.
Итак, пусть
и = еах, du = aeaxdx,
sin bx dx = dv v = - co^x.
b
Тогда по правилу интегрирования по частям имеем
I = ~-геах cos bx + т f cos bx dx = ~ieax cos bx + %-L. (9)
b bJ b b 1 * * * v 7
К интегралу/j снова применим метод интегрирования
по частям, полагая и = еах, dv = cos bx dx. Тогда
§ 5.2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
237
It= jear sin Ьх - ^1 (10)
Из (9) и (10) получаем систему для определения I и 1Х
1-^1 = cos bx, 1
V b
т-1 + I = !«“ sin bx.
b 1 b
Решая эту систему, получим
т _ asinbx-bcosbx „а* .ст- bsinbx - acosbx г
* ”** 9 ,9 * 1 9 .9 ‘ •
а2+Ь 1 а+Ъ
Пример 3. Вычислить интеграл I - J arcsin х dx.
Полагая и = arcsin х, dv = dx, получим
I = х arcsin х - [= х arcsin х + Vl-x2 + С.
J -vl —xz
Пример 4. Приведем еще пример, который будет
нужен для теории интегрирования рациональных дробей.
Пусть k > 1 — натуральное и а > 0; тогда
dx = д2 f dx +1 fx 2xdx
tf+rf' \х?+аг)к 2\хг+а2)к
и=х, dv=
2xdx
- п2 f dx 1 x_________________________1 f dx
J (x2+a2)* 2 + \
откуда
________x + 2fe-3 f dx
2(й-1)(х2 + а2)М 2(fe-l)J^ + a^-1‘
Теперь (если k > 2) к интегралу в правой части можно
применить тот же процесс, приводящий к понижению на
единицу показателя степени в знаменателе подынтегральной
238
ГЛАВА 5. НЕОПРВДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
дроби. В конце концов придем к интегралу от (х2 + а2)-1 (при-
водящему к arctg).
Таким образом, при q - (р2/4) = а2 > 0 и натуральном
k интеграл
(П)
берется в элементарных функциях.
Пример 5. Вычислить интегралы
/ад
cos&x(dx
sinfcx
где Рп (х) = апхп + ... + а1х + а0 — алгебраический много-
член степени п.
Данные интегралы вычисляются n-кратным примене-
нием метода интегрирования по частям, последовательно
полагая и = Рп(х), затем и = Р'п(х), ... . Получающиеся
интегралы будут упрощаться, так как производная от ал-
гебраического многочленаРп (х ) будет алгебраическим мно-
гочленом степени, на единицу меньшей.
Так как характер первообразной для рассматривае-
мых здесь функций легко угадывается, то эти интегралы
можно вычислять так называемым методом неопределен-
ных коэффициентов.
Например, для j Рп (x)ebx dx первообразная имеет вид
Qn (х)еЬх + С, где Qn (х) = б„х" + ... + Ьгх + Ьо и Ьо, ..., Ьп -
пока неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты мы
находим из условия, что
(Q„ (x)ebx + С)1 = Рп (х)еЬх или Q’n (х) + bQn (х) = Рп (х).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
нях х, мы и найдем все числа Ьо, .... Ъп. Этот способ назы-
вается методом неопределенных коэффициентов. Здесылы
воспользовались тем фактом, что два многочлена равны
тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при
соответствующих степенях х (см. § 4.14, теорема 2).
§ 5.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
238
Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере:
J (х2 + 1) ех dx = (ах2 + Ьх + с) ех + С.
В данном случае
Р2 (х) = х2 + 1, Q2 (х) = ах2 + Ьх + с,
где коэффициенты а, Ъ. с надо найти. Имеем
(Q2 (х) ех)' = [ах2 + (2а + b) х + b + с] ех = (х2 + 1) еж,
откуда ах2 + (2а + b) x + b + c = x2 + 1. Так как это равенство
должно быть верно для всех х, то коэффициенты при оди-
наковых степенях х в левой и правой его части равны меж-
ду собой (§ 4.14, (15)): а = 1, 2а + Ь = О, Ь + с = 1. Таким
образом,
J (х2 + 1) ех dx = (х2 - 2х + 3) ех + С.
§ 5.3. Комплексные числа
Комплексными числами называются выражения
z = а + bi = а + ib,
где а, Ь — действительные числа, a i — специальный сим-
вол; при этом для комплексных чисел гг = аг + ibu z2 = a2 +
+ ib2 введены понятия равенства и арифметические опера-
ции по следующим правилам:
1) Zj = г2 тогда и только тогда, когда аг = а2 и Ьг = Ь2;
а + Oi = а, 0 + Ы = Ы, 1 • i = i.
2) ± z2 = (Oi ± а2) + i (bj ± b2).
3) • z2 = (aio2 - ЬгЬ2) + i (Ьга2 + ajb2).
4) («4+^*0).
z2 a^+bf a^+bf >
Из 1) и 3) следует, что
i2 = -1.
240
ГЛАВА 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Таким образом введенные операции сложения и умно-
жения обладают свойствами коммутативности (Zj + z2 =
= z2 + Zj, ZjZ2 = z2Zj), ассоциативности ((Zj + z2) + z3 = z,+
+ (z2+ z3), (ZjZ2) Z3 = Zj (z2Z3)), дистрибутивности ((Zj + z2) z3 =
= ZjZ3 + z2z3).
Можно еще сказать, что с комплексными числами мож-
но оперировать в точности так же, как мы привыкли опе-
рировать с буквенными выражениями в алгебре, но при
этом операции упрощаются тем, что i2 = -1.
Из свойства а + Oi = а следует, что множество комп-
лексных чисел содержит в себе как часть множество всех
действительных чисел. При этом легко видеть, что приме-
нение арифметических действий 2), 3), 4) к выражениям
z, = Oj + Oi, z2 = a2 + Oi приводит соответственно к аг + a2 +
+ Oi = aj + a2, axa2 + Oi = a}a2, + Oi = ^(a2 * 0).
Число z = a — ib называется сопряженным к комплек-
сному числу г - а + ib. Действительное число |z| - Ja^+b2
называется модулем комплексного числа г. Очевидно, что
z • z = |z|2, |Zj z2| = IzJ • |z2|, |Zj + z2| < |zj + |z2|.
Если комплексное число z = a + ib
трактовать как точку (вектор) М (а, b)
плоскости хОу, то |z| равен расстоянию
точки М (а, Ь) от начала координат
(рис. 74).
Если на плоскости ввести поляр-
ные координаты (р, ф), то
a = р cos ф = |z| cos ф,
& = р sin ф = |z| sin ф
(|z|) > 0).
В силу этого комплексное число z можно записать в
форме
z = ф (cos ф + i sin ф), (2)
где р — модуль числа z, ф — угол (в радианах), который
составляет вектор ОМ с положительным направлением оси
§ 5.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
241
х. Этот угол называют еще аргументом комплексного чис-
ла z и обозначают символом ф = arg z (0 < ф < 2л).
Очевидно, ф = arg г есть однозначная функция от z э* О.
Вводят еще и многозначную функцию (аргумент z с боль-
шой буквы)
ф = Arg z = arg z + 2Лл
(k = 0, ±1, ±2, ...),
которая дает все значения ф, для которых для данного z * О
удовлетворяются два равенства (1).
Число z = 0 единственное, для которого не имеет смыс-
ла его аргумент, но зато его можно определить как число,
модуль которого равен нулю (|z| = О).
arg г (с малой буквы) называют еще аргументом в
приведенной форме. Иногда бывает удобно считать аргумен-
том в приведенной форме угол, принадлежащий к другому
полуинтервалу [а, а + 2л) длины 2л, например [—л, it).
Числа а и b называют действительной и мнимой ча-
стями z и обозначают символами а = Re z, b = Im z. Таким
образом,
z = Re z + i Im z.
Если z = x + iy, то множество точек z плоскости хОу,
удовлетворяющих равенству |z| = R (у/х? + if = R), есть ок-
ружность радиуса R с центром в начале координат.
По определению
е/1р = cos ф + i sin ф (-оо < ф < оо). (3)
Очевидно, что eil₽ есть комплексная функция* (при-
нимающая комплексные значения) от действительного ар-
гумента ф. Ясно, что е'ф — периодическая функция перио-
да 2л: е'№+2п>=А
Так как |е<ф| = vcos2<p+sin2(p = 1, то при непрерывном
изменении ф на полуинтервале 0 < ф < 2л, точка е^ непре-
* См. нашу книгу «Дифференциальные уравнения. Кратные интег-
ралы. Ряды. Функции комплексного переменного», § 6.1.
242
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
рывно описывает окружность радиуса 1 с центром в точке
z = 0.
Справедливы равенства
МФ1+Ф2) _ <Ф1 >Ф2 _ _1_
е -е е , -
(4)
В самом деле,
e<Ti+T2) _ сод (ф + ф j + j sin (ф* + ф^ _ (cos ф1СО8 <р2 _
- sin cpjsin <р2) + i (sin (pjcos <p2 + sin tp2cos <pj) = (cos <ру +
+ i sin (pj (cos (p2 + i sin <px) = e9'eV2,
1 _ 1
^ф ~ cos<p + isin<p - cos Ф isincp-
= cos (~<p) + i sin (-<p) = el4>.
Для произвольной комплексной переменной z = x + iy
функция ex определяется при помощи равенства
ег = е*еу, z э* 0.
Отсюда в силу (3)
е = ех (cos у + i sin у). (5)
На основании (2), (3) всякое комплексное число z можно
представить в форме
г = р^ (р > 0), (6)
где неотрицательное число р = |z| для данного z единст-
венно, а при р > 0 угол
(р = Arg z = arg z + 2kn
определен с точностью до 2kn (k = 0, ±1, ±2, ...).
Выражения (2) и (6) называются соответственно три-
гонометрической и показательной формами комплексного
числа z.
Приведем примеры комплексных чисел, записанных
в показательной форме (считая (р = arg z):
1 + i= V2(-t+i-U = V2ein'4,
'vZ vZ'
• rx . -f - in/2 1 Oi * ni
1 = 0 + 1 - i = e ,l=e , -1 = e .
5 5.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
243
Из равенств (3), (4) легко получаем формулу Муавра
(cos ф + i sin ф)" = е1"4’ = cos п(р + i sin пф. (7)
Справедливо также равенство
2jZ2 = |Zj|
т. е. при перемножении комплексных чисел их модули
перемножаются, а аргументы складываются независимо
от того, в какой форме они взяты — в приведенной или нет.
Операция построения сопряженного комплексного чис-
ла обладает следующими простыми свойствами:
^±22 = Zj ± z2, = 2^2, Р- k-1 (z2 * О). (8)
к22У 22
В самом деле,
Ц + ty) ± (а, + b2i) = Ц ± а2)+ (Ц + b2)i =
= (Oj ± а2) — i(b1± b2) = (а, - bji) + (a2 - b2i) =
= (a1+b1i) + (a2 + b2i) ;
далее, так как
ре1ф = p(cos<p + isintp) = p (cos ф - i sin ф) = pe t<₽,
TO
2^ = p/W412 = Ptf»/^ = =
= р1е-;ф1р2е-^ = р7‘ф;-р7Ф2 = 2X • z2.
Подобное доказательство имеет место и в случае частного.
Рассмотрим задачу о вычислении корня n-й степени из
числа а = ре‘° (р > 0). Требуется, таким образом, найти все
чцсла b = rev такие, что Ьп = а. Но тогда гпе,Лф - ре16 (г, р > 0)
и, вследствие единственности представления комплексного
числа в показательной форме, р = г11, п(р = 0 + 2fen, k = 0, ±1,
±2....Из первого равенства следует г = л/р (г — арифме-
244
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
тическое значение корня n-й степени из положительного
числа р). Из второго же, что (р = (& = О, ±1, ...).
Так как функция eI<f периодическая с периодом 2л,
то значения (р, дающие существенно различные корни
n-й степени из а, соответствуют только п значениям k:
ф = е + 24д
* п п
(к = 0, 1, п - 1).
Остальным целым k соответствуют значения ф, отличаю-
щиеся от одного из значений (9) на величину, кратную 2п.
Мы доказали, что у комплексного числа а # 0 суще-
ствует п (и только п) корней степени п, записываемых по
формуле
Va=^/pei®=!{/pei<₽* (k = О, 1, ..., п - 1),
где ф/( определяются равенствами (9).
Примеры:
(fe = О, 1, 2).
(k = О, 1, 2)„
3°. Vl+7=1-^ Ve"4 =Ч'2е‘^+ 6 (fe = О, 1, 5).
г—7- (.E+jtnL
4°. V-1 = Vein = е 2 = ±i (k = О, 1).
§ 5.4. Теория многочлена п.-й степени
Многочленом n-й степени называется функция вида
Qn (zj = а0 + OjZ + ... + anzn = (1)
где ак — постоянные коэффициенты действительные или
комплексные, az — переменная, вообще говоря, комплекс-
ная, которая может принимать любые комплексные зна-
5 5.4. ТЕОРИЯ МНОГОЧЛЕНА п-й СТЕПЕНИ
245
чения (г — х + iy) или, выражаясь геометрическим языком,
z может быть любой точкой комплексной плоскости.
Каждой точке 2 комплексной плоскости при помощи
формулы (1) приводится число Qn (z), вообще говоря, комп-
лексное. В дальнейшем будем считать, что ап * 0. Если
Qn (а) = 0, то число а называется корнем или нулем мно-
гочлена Qn(z).
Рассуждая в точности так же, как в начале § 4.14, где
рассматривался многочлен от действительного переменного,
можно показать, что, каково бы ни было комплексное чис-
ло 20, многочлен Qn (2) разлагается по степеням 2 - 20 и
притом единственным образом, т. е. представляется в виде
(Z) = (Z - 20)А,
*=о
где bk — постоянные числа, вообще говоря, комплексные.
Очевидно, Qn (з0) = &0. Отсюда следует, что для того, чтобы
точка 20 была корнем многочлена Q„, необходимо и доста-
точно, чтобы нулевой коэффициент Ьо разложения Qn по
степеням 2 — 20 был равен нулю (Ьо = 0). Но если Ьо = 0, то
Qn можно представить в виде
Qn (2) = (z-z0)Q^1 (2) Vz, (2)
где есть некоторый многочлен степени п — 1. Наобо-
рот, если Qn можно представить в виде (2), иначе говоря,
если Qn (2) можно разделить на 2 - z0 без остатка, то, оче-
видно, 20 есть корень Qn.
Мы доказали теорему Безу:
Для того чтобы многочлен Qn (2) имел (комплексный)
корень 20, необходимо и достаточно, чтобы он делился на
2 — 20, т. е. чтобы его можно было представить в виде
произведения (2),где — некоторый многочлен степени
п - 1.
Пусть 20 есть корень Qn, и, таким образом, имеет ме-
сто представление (2). Если при этом Qn_j (z0) * 0, то на
основании теоремы Безу, примененной к многочлен
Qn l (2) не делится на 2 - 20, a Qn (2) хотя и делится на 2 -
246
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- z0, но не делится на (z - z0)2. В этом случае говорят, что
z0 есть простой корень (нуль) многочлена Qn. Пусть теперь
Qn_i (z0) = 0, тогда по теореме Безу, примененной к Qn_j (z),
многочлен Qn] (z) делится на z - z0, и мы получим равен-
ство Qn (z) = (z - z0)2 Qn_2 (z), где Qn_2 (z) есть некоторый
многочлен степени n - 2. Если Qn_2(z0) * 0, то Qn (z) делит-
ся на (z - z0)2, но не делится на (z - z0)3, и тогда число z0
называется корнем (нулем) кратности 2. В общем случае
для некоторого натурального s < п имеет место
Qn (*) = (Z - z0)’ Qn s (z), Q„_s (z0) * О,
где Qn_s (z) — многочлен степени п — s, и тогда говорят, что
z0 есть корень (нуль) многочлена Qn кратности s.
Справедлива теорема существования комплексного
корня у многочлена.
Основная теорема. Всякий многочлен п-й сте-
пени имеет по крайней мере один комплексный корень (нуль).
Мы не даем здесь доказательства этой теоремы.
Из нее вытекает важное следствие.
Следстви е. Многочлен п-й степени Qn со старшим
не равным нулю коэффициентом (ап Ф 0) имеет п комп-
лексных корней с учетом кратности, иначе говоря Qn(z)
представляется в виде произведения
Qn (z) = an(z-zir(z-z2p...(z-zI)\ (3)
Pi + Р2 + — +Рг= п>
где Zj, ..., Zj —различные корни Qn кратностей, соответ-
ственно рр ..., р;.
Доказательство. Согласно основной теореме много-
член Qn имеет по крайней мере один корень. Обозначим его
через Zp а его кратность — через рг Таким образом,
Q„(z) = (Qn_A(z) * 0).
Если п - р, = 0, т. е. р, = п, то необходимо Q„_P1(z) = ап, и
теорема доказана. В этом случае Q„(z) = ап (г - г,)".
§ 5.5. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕН п н СТЕПЕНИ
247
Если жер1 < п, то Qn_p^z) есть многочлен степени n — pt, не
делящийся на г - zp и его старший коэффициент не равен
нулю. К нему можно применить основную теорему, в силу
которой он имеет комплексный корень. Обозначим его через
z2, а его кратность — через р2. В результате получим
Qn (2) = (2-Z,)'’1(2-Z2)ft!Qn.pi_ft(z)
(<^л-йЦ)*0,
Если п - pj - р2 = О, то Qn_^p (z) = ап- Если нет, то процесс
можно продолжить. Однако этот процесс после конечного
числа (не большего п) этапов закончится, и мы получим фор-
мулу (3). Если в правую часть (3) подставить вместо z число,
отличное от z15.... zp то она не обратится в нуль. Это показы-
вает, что других корней, кроме найденных, многочлен Qn не
имеет и представление (3) единственно.
§ 5.5. Действительный многочлен п-й
степени
Многочлен
(г) = (а„ * 0)
(1)
называется действительным, если его коэффициенты ак
— действительные числа. Это название объясняется тем,
что действительный многочлен, если его рассматривать толь-
ко для действительной переменной г-х, принимает действи-
тельные значения. Конечно, для комплексных z действи-
тельный многочлен принимает, вообще говоря, комплекс-
ные значения.
Лемм а. Для действительного многочлена Qn (z)име-
ет место равенство
Qn (?) = ед Vz.
248
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Доказательство. Наши рассуждения будут бази-
роваться на равенствах (8) § 5.3 и том факте, что для дей-
ствительных ak имеет место ак = afc. Имеем
еп (й) = iа/ = £a*z* = Q„(z), (2)
№ М *=0 fc=O
что и требовалось.
Теорема 1. Если z0 = a + ip (Р Ф 0) есть комплекс-
ный корень ий кратности действительного многочлена
Qn, то z0 = a - /р есть тоже корень Qn и той же кратно-
сти, и тогда
Qn (z) = [(z - a)2 + p2]v Qn_2v (z), (3)
где Qn_2v (z) — действительный многочлен степени п - 2v,
не равный нулю при z = zou z = 20.
Доказательство. Пусть z0 = a + tp (Р э4 0) есть
корень Qn. Тогда 20 = а - iP — тоже корень Qn, потому что
в силу (2) Qn (г0) = Q„(z0) =0 = 0. Числа z0 и z0 не равны друг
другу и Qn (2) делится на
(z - а - iP) (z - а + iP) = (z - а)2 + р2, (4)
т. е. на действительный многочлен второй степени. Таким
образом,
Qn(z)= [(2- a)2 + P2]Q„_2(2),
где Qn_2(2) — многочлен степени п - 2, очевидно, действи-
тельный. Ведь частное от деления действительных много-
членов есть действительный многочлен.
Если 20 — корень Qn кратности v и v > 1, то z0 —
корень Qn_2 кратности v — 1, поэтому, повторяя наши рас-
суждения в отношении Qn_2 (2), можно из него выделить
множитель (4). Второй же множитель будет действитель-
ный многочлен степени п — 4. Повторив этот процесс v
раз, получим представление Qn (2) в виде (3), где Qn_2v (2) —
действительный многочлен степени п — 2v, обладающий
свойством Qn_2v (z0) * 0. Но тогда и Qn_2v (z0) О.Ведь если
$ 5.5. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕН n-н СТЕПЕНИ
249
бы г0 был корнем действительного многочлена Q„_Zv, то
неминуемо z0 тоже был бы корнем этого многочлена.
Задача. Доказать, что многочлен Q.- (z) = z° - 3z2+ 2z
имеет не менее трех действительных корней.
Теорема 2. Действительный многочлен Qn (z) со
старшим коэффициентом ап^ О может быть представ-
лен в виде произведения
Qn(z) = аДг-с,)”1... (z-cXKz - a,)2 + £]’*.„
... [(z - a/ + p2p = апП(2-е,рП[(2 - (5)
7=1 7=1
где > 0, px + ... + pr + 2(vx + ... + vg) = n, q, .... cr —
действительные корни Qa кратностей соответствен-
но ..., pr, a <Xj ± pxi, ..., ag + Pgi — попарно сопряжен-
ные комплексные корни Qn кратностей соответствен-
но Vj...vg.
Замечание. Действительные многочлены второй
степени, входящие в произведение (5), можно преобразо-
вать так:
(z - a.)2 + р2 = z2 - 2a;z + (а2 + р2) = z2 + pfz + q;.,
р, = -2а;, Qi = а2 + р2.
Поэтому формулу (5) можно записать еще в следующем
виде:
Qn (2) = апП(2 - CjT fl(z2 + р}2 + qf)v', (5')
7=1
где z2 + p-z + — действительные многочлены второй
степени, имеющие комплексные корни о^ ± ф- (Р;- > 0,
р; - 4^ = -4PJ < С).
Доказательство. На основании формулы (3) § 5.4
Qn (2) = П(г-еГ<?т (2),
7=1
W Qm (z) — действительный многочлен степени т = п -
-pj -... -цг. Если т = 0, то, очевидно, Qm (z) = ап; в общем
250
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
случае применяем последовательно теорему 1 к комплек-
сным корням Qm.
Отметим, что основная теорема доказывает только су-
ществование корня (вообще комплексного) у многочлена
п-й степени, не давая эффективных методов нахождения
его в общем случае. Впрочем, доказательство этой теоре-
мы проводится методами математического анализа, а не
алгебры. Мы не доказываем здесь эту теорему. Она связана
органически с теорией функций комплексного переменно-
го.
Существуют формулы решения общих уравнений вто-
рой, третьей и четвертой степеней. Для уравнений степени
п > 4 таких формул нет. Абель* доказал, что они не могут
существовать. Это надо понимать в том смысле, что при
п > 4 корни уравнения апх” + ... + atx + а0 = О (ап * О) не
выражаются через коэффициенты ак посредством функ-
ций от этих коэффициентов, представляющих собой ре-
зультат конечного числа операций только следующего вида:
сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения
корня.
§ 5.6. Интегрирование рациональных
выражений
Отношение двух алгебраических многочленов
f(x) = ,
{ Q„(*)
Рт(х) - Ьо + Ьгх + ... + Ьтхт,
Qn (*) = ао + а1х + — +
bm, ап Ф 0, т > 0, п > 1, называется рациональной функ-
цией и еще рациональной дробью.
Будем считать, что рациональная дробь /действитель-
ная, т. е. Рт и Qn — действительные многочлены. Кроме
того, будем считать, что х — действительная переменная.
(1)
* Н. Г. Абель (1802-1829) — выдающийся норвежский математик.
S 5.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
251
Рациональные функции вида
х-а (х-а) х +px + q
? (*>2),
(х +рх+<Я
(2)
где А, В, а, р, q — действительные числа, k — натуральное
2
число, а трехчлен х + рх + q не имеет действительных
корней, будем называть простейшими дробями.
В § 5.2 мы показали, как вычисляются интегралы от
простейших дробей (см. (4), (5), (6), (7), (11) § 5.2).
Пусть надо найти неопределенный интеграл от рацио-
нальной функции f (х) (см. (1)). Если тп > п, то простым
делением выделяем из f целую часть:
f (х) = многочлен + (т1 < п).
Интегрирование многочлена не представляет труда и
трудность свелась к интегрированию рациональной дроби,
у которой степень числителя меньше степени знаменате-
ля.
Будем поэтому считать, что наша рациональная дробь
f (х) правильная, т. е. степень ее числителя меньше сте-
пени знаменателя (т < п).
Теорема 2. Пусть знаменатель правильной дейст-
вительной рациональной дроби разложен по формуле (5')
§5.5:
Qn (*) = an(z-q)M1 - (z-c)Рг (г2 + + q^... (z2 + psz + q^’.
Тогда дробь (1) можно представить и притом един-
ственным образом в виде следующей суммы простейших
дробей:
Р (х) А,, Д, А
+----------L 4- 7.-Л +
О» (x-cj1 (Х-С[)Ц11 " X-Cl
252
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
А 1 Аг Ар
(х~сгГ (х-еГ1 *” ^-сг
B^X + Q, + A,2X + G,2 + + A,vtX + Q,v1
(х2+р,х+дУ (x2+j^x+gJV1 1 x2+p1x+q1
+ A,1X + Q,1 + A,2X + Q,2 + + А/А.у,
(х +pcx+qs)V‘ (x2 + px+q^'1 x+ptx+qt (3)
где А, В, С (с соответствующими индексами) — постоян-
ные числа.
Эта теорема утверждает, что для любой правильной
рациональной действительной дроби существуют постоян-
ные числа А, В, С с указанными индексами так, что имеет
место тождество (3) для всехх, исключая значения х = clt ...,
..., сг, для которых обе части (3) не определены. Эту тео-
рему можно аккуратно доказать, но мы здесь ее доказы-
вать не будем.
Поясним формулировку теоремы 1 на примере. Со-
гласно теореме 1 имеет место равенство
2х3+х2+х+2 _ А + А + Mx+N
(х-1)2(х2 + х+1) х—1 (х-1)2 х2 + х+1 ’
(4)
где Aj, А2, М, N — вполне определенные постоянные чис-
ла. Чтобы найти их, приводим (4) к общему знаменателю
и приравниваем числители левой и правой частей:
2х3 + х2 + х + 2 = Aj (х - 1) (х2 + х + 1) +
+ А2 (х2 + х + 1) + (Мх + N)(x - I)2. (5)
Раскрывая скобки в правой части (5), группируем члены с
одинаковыми степенями х и приравниваем коэффициенты
при одинаковых степенях х обеих частей (см. § 4.14, тео-
рема 2);
§ 5.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
253
2 =Аг +М,
1 =AZ + N- 2М,
1 = А2 + М -2N,
2 = -Aj +A2 + N.
(6)
Мы получили четыре линейных уравнения с четырьмя
неизвестными Aj, А2, М, N. Эта система по теореме 1 имеет
решение и притом единственное. Решая систему (6), полу-
чим Aj = 1, А2 = 2, N = М = 1, и потому
2xs+xz + x+2 _ 1 , 2 , х+1 , 7х
(х- 1)2(х2 + х +1) х-1 (х-1)2 х2 + х+1’
В общем случае, если мы нашли коэффициенты А, В,
С в (3), для интегрирования дроби PmfQn У нас все готово:
неопределенный интеграл от левой части (3) равен сумме
неопределенных интегралов от всех членов правой плюс
некоторая постоянная С. Выше уже было отмечено, что
интегралы от любого из членов (3) мы умеем вычислять.
В случае примера (7)
f 2xW+x+2 dx= f_d^+2j_dx^+ Г x+1 dx =
J (x-l)2(x2 + x+l) Jx-1 J(x-1)2 Jx +x+l
= In lx - 1|-- +lnVx2+x+l +-1-arctg^ii+C.
x-1 v3 v3
Замечание 1. Равенство (5) верно для любого х* 1.
Но оно тогда верно и при х = 1, потому что слева и справа в
(5) стоят непрерывные функции от х. Подставив в (5) х = 1,
получим 6 = ЗА2, т. е. А^ = 2 и, положив х = 0, получим
2 = -Aj + А2 + N, т. е. ^ = Ар Эти данные (А2 = 2, N = AJ
сильно упрощают систему (6). На практике подобными
соображениями не надо пренебрегать.
Замечание 2. Принципиально всякая рациональ-
ная функция интегрируется в элементарных функциях.
Практически полное интегрирование (1) можно довести до
конца в случае, если известны все корни Qn и их кратности.
254
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Но мы уже говорили в § 5.5, что это не всегда удается
узнать. В связи с этим всякого рода упрощения интеграла
от рациональной дроби (1) являются очень ценными.
С этой точки зрения заслуживает большого внимания
метод Остроградского*, обычно излагаемый в более пол-
ных учебниках**.
§ 5.7. Интегрирование иррациональных
функций
Рассмотрим случаи, когда заменой переменной можно
свести интегрирование нерациональных функций к интегри-
рованию рациональных функций (т. е., как говорят, ра-
ционализировать интеграл).
Пусть R (х, у) — рациональная функция своих аргу-
ментов х и у, т. е. над х и у совершаются только арифме-
тические операции, чтобы получить R (х, у). Например,
2
п, , аху+у .
R (х, у) = —------рациональная функция, а
сх+х у
f (х, у) = -Jx+y + х2 — не является рациональной.
I. Вычислить Ji?(х, где а, b, с, d —
постоянные числа, т — натуральное число, ad - be О,
R (х, у) — рациональная функция.
Функцию вида 7?| х, 1 называют дробно-ли-
k Ncx+dJ
нейной иррациональностью.
Покажем, что замена t = рационализирует
vex+d
интеграл. В самом деле, tm = ах+^, откуда х = ---
cx+d ct -а
рациональная функция от t. Далее,
* В. М. Остроградский (1801-1861) — выдающийся русский ма-
тематик.
** См., например, «Курс математического анализа» С. М. Никольс-
кого, т. 1, § 8.7.
$ 5.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
255
, mtm‘[ad-bc] ,
dx =----1—-о—1dt.
(ctm-а)
Поэтому
= JB(W£, Л = [л, (() я,
J 1сГ-а’ ) [сГ-а)2 J М
где 7?j (Z) — рациональная функция по t, интегрировать
которую мы умеем.
Пример 1. Вычислить [ —-—~ ^х- Здесь
J (х-1) ¥х-1
I -« , 3
R (х, у) = —. Полагая з1х+ = t, получим х : / ,
(х-1)2 vx—1 J t3-l
dx = , х - 1 = 32 . Таким образом,
dx = Г t
х-1 J
76f\ 1)2 dt = - J Г t3dt =
(?-1)2 4 2 J
1‘‘
Л
+ с.
Пример 2.
f dx _ г dx
= 6 J(tz - t + 1) dt - In |1 + t| = 2Z3 - 3t2 + 6Z - In |1 + t| + C.
П. Вычислить J R (x, -Jax2 + bx+c) dx, где a, b, c —
постоянные числа. Функцию R (x, -Jax2 + bx+c ) будем на-
зывать квадратичной иррациональностью.
256
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Если трехчлен ах2 + Ьх + с имеет действительные кор-
ни х2, то ах2 + Ьх + с = а(х - xj (х - х2) и
DZ / 2 Z ч п( , v 1Х~Х, 1 П ( 1Х~Х1>
R (х, 4ах + Ъх+с) = R х, (х-х.) |-----2 а = R, х, I-----1
( Vx-xi J I Nx~xi
и дело сводится к случаю 1.
Поэтому будем считать, что ах2 + Ьх + с не имеет дей-
ствительных корней и а > 0. Тогда рационализация ин-
теграла может быть достигнута с помощью подстановки
Эйлера*:
t = Jax2+bx+c + х4а .
2
Отсюда ах2 + Ьх + с = t2 - 2x4а + ах2, т. е. х = -4..^-
2t4a+b
рациональная функция от t. Но тогда
4ах2+bx+c = t - х4а = t--4а
2t4a + b
— также рациональная функция от t. Поэтому
JR (х, 4ax2 +bx+c) dx = JR1 (t) dt.
Замечание. Если а < 0, а с > 0 (ах2 + fex + с > 0), то
можно сделать замену
4ах2+bx+c = xt + 4с .
Пример 3. Вычислить J 4а + х2 dx. Бином х2 + а2
не имеет действительных корней. Поэтому полагаем
t - -Jx2+a2 + х, х2 + а = t2 - 2tx + xz, x = —
2t
и
4x2+a2 = t - x = - —a
2t
* Эту подстановку можно применять и в случае действительных кор-
ней при a > 0 на интервале, где ах2 + Ьх + с > 0.
§ 5.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Отсюда
I---г .4 4 .2 2
xVx2 + a2 = *-=£-, dx=t+adt.
4t2 2i
В силу этого
р2+“2
J J 2t
t2 + a
2il
dt = If t+^
4J t
2 4 "I
L+^
t J
dt =
2 2 4 2 4 4
=in itI+t—+c=in |t|++c=
2 1 1 8 8t 2 8t
= ---ln lx + -Jx2 + a I +—^х2 + а + C.
2 I 12
III. Интегрирование выражений R (cosx,
sin x). Рационализация J R (cos x, sin x)dx достигается c
помощью подстановки t = tg (x/2) (-71 < x < it), которая
называется универсальной. В
Sinx- 2W2) - 2t
OJ.AX -A. “ .j ~— .j «
l + tg2(x/2) 1 + t2
самом деле
сосх_ l-tga(x/2) i-^
l + tg(x/2) 1 + t2
. 2dt
dx = ““7?’
x = 2 arctg t,
поэтому
R(cos x, sin x) dx = fl? f-—p -2--a- ~
J ll+t2 l+t2Jl + t2
= j (t) dt.
Если функция R (x, у) обладает свойствами четности
или нечетности по переменным х или у, то могут употреб-
ляться и другие подстановки, также рационализирующие
интеграл.
Пусть
п, . Р(и, V) , . .
R (и, и) = ------( (и = COS X, V = sin х),
Q(u, v)
где Р и Q — многочлены от и и v.
1) Если один из многочленов Р, Q четный по и, а дру-
9. Зак л» 704
258
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
гой — нечетный по и, то подстановка t = cos х рационали-
зирует интеграл.
2) Если один из многочленов Р, Q четный по и, а дру-
гой — нечетный по и, то подстановка t = sin х рационали-
зирует интеграл.
3) Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, v
соответственно на -и, —и или б) оба меняют знак, то интег-
рал рационализируется подстановкой t =tg х (или t =ctg х).
Примеры:
1°. = = J— = In |f| + С = + С.
J sinx ' 2' J t 1 121
2». f ГsinxJ(cosx) = f =
J cos X J COS X J COS X
В данном случае R(u, v) = = t. e. числитель
и uv
нечетный относительно v, а знаменатель четный по v, и мы
имеем дело со случаем 1).
оо [________dx_______ Г________dx
a cos2х+t>2sin2х (a2+b2tg2x)cos2x
= (* = tgx) =
1 a +bt
Здесь числитель Р (и, v) = 1, а знаменатель Q (и, v) =
= а2и2 + b2t>2. Оба не меняются при замене и, v соответствен-
но на -и, -и, т. е. мы имеем дело со случаем За).
Глава 6
Определенный интеграл
§ 6.1. Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла, и его определение
а) Зададим на отрезке [а, &] (а и Ь — конечные чис-
ла) неотрицательную непрерывную функцию f (х). Гра-
фик ее изображен на рис. 75. Поставим задачу: требует-
ся определить понятие площади фигуры, ограниченной
Рис. 75
кривой y = f (х), осью х, прямыми х = а и х = Ь,_ и вычис-
лить эту площадь. Поставленную задачу естественно
решить так.
Произведем разбиение отрезка [а, &] на п частей точ-
ками
а = х0 < Xj < ... < хл = Ь,
(1)
260
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
выберем на каждом из полученных частичных отрезков
[х? х.+1] 0 = 0, 1, ..., п- 1) (2)
по произвольной точке 6 [х^, х>+1], определим значения
функции f в этих точках и составим сумму
Sn = £/ (Q Дх/ (Дх) = ХЦ1 - Хр> (3)
7=0
которую называют интегральной суммой и которая, оче-
видно, равна сумме площадей заштрихованных прямо-
угольников (см. рис. 75).
Будем теперь стремить все Дх^ к нулю и притом так,
чтобы максимальный (самый большой) частичный отрезок
разбиения стремился к нулю. Если при этом величина Sn
стремится к определенному пределу S, не зависящему от
способов разбиения (1) и выбора точек на частичных
отрезках, то естественно величину S называть площадью
нашей криволинейной фигуры. Таким образом,
S= lim Е/йу)Дхг (4)
тахД^—О j j
Итак, мы дали определение площади нашей криволи-
нейной фигуры (трапеции). Возникает вопрос, имеет ли
каждая такая фигура площадь, иначе говоря, стремится ли
на самом деле к конечному пределу ее интегральная сумма
Sn, когда Дх;. -► 0? В дальнейшем будет доказано, что этот
вопрос решается положительно: каждая определенная выше
криволинейная фигура, соответствующая некоторой непре-
рывной функции f (х), действительно имеет площадь в смыс-
ле сделанного определения, выражаемую, таким образом,
зависящим от этой фигуры числом S.
Другой возникающий здесь вопрос, насколько естест-
венно данное определение площади, как всегда в таких слу-
чаях, решается практикой. Мы скажем только, что прак-
тика полностью оправдала это определение. У нас будет
много случаев убедиться в правильности сделанного опре-
деления.
§ 6.1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 261
б) Дан линейный неоднородный стержень, лежащий
на оси х в пределах отрезка [а, Ь]. Требуется определить
массу этого стержня. Пусть плотность распределения мас-
сы вдоль стержня есть некоторая непрерывная функция от
х: р (х).
Для определения массы стержня разобьем его на п
произвольных частей точками а = х0 < х, < ... < хп = Ь. В
пределах каждой части [х(, xj+1] выберем по произвольной
точке
Так как в пределах [хр х/+1] функция р (х) изменяется
мало, то массу части стержня, соответствующей отрезку
[xjf xj+1], можно считать приближенно равной р (^) Ахр где
Дх, = х. , - х,.
I l-Г I I
Масса же т всего стержня приближенно равна
П-1
р (^) Дх0 + р (£,) Дх, + ... + р (£„_,) Дхп_, = Хр (Q д*г
>=о
Точное значение массы, очевидно, получим в пределе,
когда наибольший частичный отрезок стремится к нулю,
т. е.
п-1
т = lim „ Ер (£>) Дх. • (4')
тпахДху—0
Обе рассмотренные задачи привели нас к одной и той
же математической операции над функциями различного
происхождения, заданными на отрезке [а, Ь]. Нам встре-
тится много других конкретных задач, решение которых
сводится к подобной операции над функцией, заданной на
отрезке. Эта операция называется операцией интегри-
рования функции на отрезке, а ее результат — число —
называется определенным интегралом от функции на от-
резке.
Определение 1. Пусть на отрезке [а, Ь] задана
функция f. Разделим [а, Ь] на части произвольными точ-
ками:
а = х0 < х, < х2 < ... < хп = Ь,
и будем говорить, что этим произведено разбиение R от-
262
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
резка [a, Ь]. На каждом частичном отрезке [х;., х;+1] раз-
биения выберем произвольную точку g [xjt х/+1] и со-
ставим сумму
П-1
(/) = Yj (Q (Ах/ = ХМ - ХЛ
/=о
называемую интегральной суммой функции f, соответ-
ствующей разбиению R.
Обозначим через
= max Дх.
максимальную длину частичных отрезков (xjt х^+1) раз-
биения R.
Предел (если он существует), к которому стремит-
ся интегральная суммамR, когдакн — 0, называется опре-
деленным интегралом от функции f на отрезке [а, Ь] и
обозначается следующим образом:
п-1 &
limo« = lim (L) Дх. = J f (x) dx (a < b). (5)
lE-tl n niax&r,~O ' J
Число а называется нижним пределом определенного
интеграла, а число Ь — верхним его пределом.
Определение 1 эквивалентно следующему.
Определение 1'. Определенным интегралом от
функции f на отрезке [а, Ь] называется число I, удовлет-
воряющее следующему свойству: для всякого е > 0 можно
найти число 5 > 0 такое, что для любого разбиения R
отрезка [а, Ь], у которого = тахДх, < 5, выполняется
неравенство
|пй-Л =
£/£.)Ax?-/ <е
при произвольном выборе точек g [xjt х^+1].
Понятие определенного интеграла так, как мы его оп-
§ 6.1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ОПРВДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 263
ределили, было введено для непрерывных функций фран-
цузским математиком Коши и в общем случае Риманом* —
для функций не обязательно непрерывных (интегрируе-
мых по Риману). Обычно предел (5) называют интегралом
Римана и функцию, для которой этот предел существует,
называют интегрируемой в смысле Римана.
Если функция f непрерывна на [а, Ь], то для нее все-
гда, как мы узнаем, предел (5) существует.
Говорят также, что непрерывная на отрезке [а, б] функ-
ция интегрируема на нем в смысле Коши.
В п. а) мы определили (см. рис. 75) площадь плоской
фигуры, ограниченную сверху графиком непрерывной фун-
кции y — f (х) > 0, снизу осью х и с боков прямыми х = а и
х = Ь. Мы можем теперь сказать, что площадь этой фигуры
равна определенному интегралу от f на отрезке [а, 6]:
ь
S = J f (х) dx.
а
Мы можем еще сказать, что масса стержня, о котором
шла речь в п. б), равна определенному интегралу от его
линейной плотности р (х) в пределах [а, 6]:
ь
т = j р (х) dx.
а
Итак, по определению определенным интегралом от
функции f на отрезке [a, fe] называется предел интеграль-
ной суммы (5), когда максимальный частичный отрезок
разбиения R стремится к нулю.
В этом определении, которое теперь уже не связано с
задачей о нахождении площади, функция f не обязательно
непрерывна и неотрицательна на [а, 6]. Надо отметить, что
это определение не утверждает существование определен-
ного интеграла для всякой функции f, заданной на [а, 6],
т. е. существования предела (5). Оно только говорит, что
если этот предел существует для заданной на [а, Ь] функ-
* Б. Ф. Риман (1826-1866) — выдающийся немецкий математик.
264
ГЛАВА й. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ции f, то он называется определенным интегралом от f на
[а, &].
Следует иметь в виду также, что когда говорят, что
указанный предел I существует, то подразумевают, что он
не зависит от способов разбиения отрезка [а, Ь] на части и
выбора на полученных частичных отрезках точек
Непосредственное вычисление определенного интегра-
ла по формуле (5) связано с трудностями — интегральные
суммы сколько-нибудь сложных функций имеют громозд-
кий вид и зачастую не легко преобразовать их к виду, удоб-
ному для вычисления пределов.
Во всяком случае, на этом пути
не удалось создать общих мето-
дов. Интересно отметить, что
впервые задачу этого рода решил
Архимед. При помощи рассуж-
дений, которые отдаленно напо-
минают современный метод пре-
делов, он вычислил площадь сег-
мента параболы. В дальнейшем на протяжении веков мно-
гие математики решали задачи на вычисление площади
фигур и объемов тел. Все же еще в XVII веке постановка
таких задач и методы их решения носили сугубо частный
характер. Существенный сдвиг в этом вопросе внесли Нью-
тон и Лейбниц*, указавшие общий метод решения таких
задач. Они показали, что вычисление определенного интег-
рала от функции может быть сведено к отысканию ее пер-
вообразной.
Как было отмечено выше, непрерывная на [а, Ь] фушс-
ция интегрируема на [а, Ь]. Это будет доказано в § 6.7.
Будет также доказано, что монотонная на отрезке [а,
б] функция интегрируема на нем. Надо учесть, что моно-
тонная функция может иметь разрывы в конечном или
даже счетном числе (см. теорему 2 § 3.4).
* И. Ньютон (1643-1727) — гениальный английский физик и на-
тематик. Г. В. Лейбниц (1646-1716) — великий немецкий матема-
тик.
§ 6.1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 265
На рис. 76 изображен график функции у = f (х), за-
данной на отрезке [0, а]. Эта функция непрерывна на [0, хх],
убывает на [xt, х2] и возрастает на [х2, а]. Следовательно,
она интегрируема на каждом из этих отрезков. Но тогда, на
основании аддитивных свойств интеграла, о которых речь
будет впереди, наша функция интегрируема на всем отрезке
[О, а] (см. § 6.2, теорема 3).
Таким образом, если отрезок [а, 6], на котором задана
функция у = f (х), можно разрезать на конечное число ча-
стичных отрезков, на каждом из которых она непрерывна
или монотонна, то такая функция интегрируема на [а, Ь],
Ньютон и Лейбниц доказали теорему, связывающую
два важных понятия математического анализа — интегра-
ла и производной. Эта теорема выражается соотношением
(формулой Ньютона-Лейбница)
ь
F(b)-F(a)= jf(x)dx. (6)
а
Здесь f (х) есть произвольная непрерывная на [а, Ь] функ-
ция, а ?(х) — какая-либо ее первообразная на [а, Ь]
(Г (х) =/(х)).
Таким образом,для того чтобы вычислить определен-
ный интеграл от непрерывной функции /на отрезке[а, Ь],
надо узнать ее первообразную функцию F (х) и взять раз-
ность F (b) - F (а) значений этой первообразной на концах
отрезка [о, &].
Если уже считать известным, что непрерывная на от-
резке [a, fe] функция / (х) интегрируема на нем и что для
этой функции существует первообразная F (х), то формулу
(6) можно вывести без труда.
Пусть R есть произвольное разбиение
а = х0 < Xj < ... < хп = b
отрезка [а, Ь] на части. Тогда (пояснения ниже)
F (Ь) - F (а) = F (xn) - F (х0) = F (xn) - F (xn_x) + F (хп х) - ...
... -F (хх) + F (хх) - F (х0) = g[F (xft+1) - F (xft)] =
A=0
266
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
л-1 п—1 Ъ
= Er (U (*л+г - xk) = (U Лх*т~71 f <х> dx< (7)
*=О *=О K“U а
откуда и следует формула (6).
В четвертом равенстве (7) мы применили теорему Лаг-
ранжа о среднем
F (Х*+1) ~ (Х*) = Й*) (ХА+1 — Х*)>
в силу которой^ есть некоторая точка интервала (хк, хк+1).
Последнее соотношение следует из того факта, что функ-
ция f непрерывна на [a, б], следовательно, интегрируема
на [а, Ь], и потому ее любая интегральная сумма и, в ча-
стности, полученная нами применением теоремы Лагран-
жа, стремится при —- 0 к определенному интегралу от
f на [а, Ь].
Справедлива теорема.
Теорема 1. Неограниченная на отрезке [a, б] функция
не интегрируема на этом отрезке.
Таким образом, для того чтобы функция f была интегри-
руемой на отрезке [а, Ь], необходимо, чтобы она была ограни-
ченной на этом отрезке.
Однако это условие не является достаточным.
Пример. Функция
1, если х рациональное,
-1, если х иррациональное,
ограничена: |у (х)| = 1, но не интегрируема на любом отрезке
[а, Ь] (а < Ь).
В самом деле, если в ее интегральной сумме за точки Jj,
выбрать рациональные числа, то
= EV £/) Дх, = £1 - Дх, = Ь - а.
;=0 /=0
Если же выбрать иррациональными, то
Од = £(-1) Дх, = ~(Ь - а).
/=0
у(х) =
§ 6.2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
267
Это показывает, что ад не может иметь один и тот же пре-
дел при любом выборе и, следовательно, функция не ин-
тегрируема на [а, Ь].
Доказательство теоремы 1. Пусть
°r= -*<)
i=0
есть интегральная сумма функции f, соответствующая неко-
торому разбиению R: а = х0 < х{ < ... < хп = Ь. Если допустить,
что функция f не ограничена на [а, Ь], то она необходимо не
ограничена на одном из частичных отрезков, пусть на
xb+i]. Зафиксируем-^ g [х(, xj+1] для всех i* i0, а £ будем
пока считать переменной. Слагаемое — xj не огра-
ничено на [х^, х.ч], а сумма остальных слагаемых есть опре-
деленное число. Но тогда |стд| можно сделать как угодно боль-
шим при соответствующем подборе точки G [х^, х,+1] и фун-
кция f не может быть интегрируемой на [а, Ь]. Ведь из интег-
рируемости функции f на [а, Ь] следует, что ее интегральные
суммы ограничены при любом выборе
Впрочем, в дальнейшем будет введено понятие несоб-
ственного интеграла. Некоторые неограниченные на отрезке
функции интегрируемы в несобственном смысле. Но об этом
будет речь позднее.
§ 6.2. Свойства определенных интегралов
В этом параграфе мы будем изучать свойства интегри-
руемых функций. Выше уже отмечалось, что непрерыв-
ные и монотонные на отрезке [а, Ь] функции интегрируе-
мы на нем. Это будет доказано позднее в § 6.7.
Теорема 1. Если М — константа, то
ь
$ М dx = М (Ь - а). (1)
268
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
В самом деле, интегральная сумма функции f (х) = М
для любого разбиения R отрезка [а, Ь] равна
п-1 л-1
Од = AXj = M^&Xj - М (Ь - а).
;=0 /=0
Отсюда
lim од = М (Ъ - а).
>.R-~o
Теорема 2. Для функции
ГО, х G [а, Ь], х* с,
УС(*) = 1 Л
[А, х = с,
ь
J \ус (%) dx = 0.
а
В самом деле, зададим произвольное разбиение R отрезка
[а, Ь]:
а = xn < X] < ... < хп = Ь.
Один из отрезков этого разбиения, пусть [хт, хте)1], содержит в
себе точку с: хт < с < хт+1. Поэтому интегральная сумма
л-1
°н Ш = Е Vc (U &xk = vc £m) Дхт
ь=о
(остальные слагаемые заведомо равны нулю). Так как [v|/c (х)| <
< |А|, то
1<*л (Vc)l < |А| &хт 0
при Хд —• 0, и теорема доказана.
Теорема 3. Если функция f интегрируема на каж-
дом из отрезков [а, с], [с, Ь] (а < с < Ь), то она инте-
грируема на [а, Ь] и
Ь с Ь
^f(x)dx- j / (х) dx = j f (х) dx (2)
(аддитивное свойство определенного интеграла),
g 6.2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
26»
Доказательство. Зададим произвольное разбие-
ние отрезка [а, Ь]
R: а - х0 < х1 < ... < хп = Ь,
однако такое, что одна из точек R, пусть хт, совпадает с
точкой с (хт= с). Тогда/? индуцирует (наводит) на отрезках
[а, с] и [с, Ь] определенные разбиения jR1 и R2:
Rr: а = х0<х1<... <хт = с,
R2- с = хт< хт+1 < -<хп = Ь
И
п-1 т-l п-1
= Yf гёр Ах/ = (^) Axj + ZP (Q +СЧ’ т-е-
7=0 j=0 j=m
CR = °д+стл2- Пусть
= max 1Ах;1 — 0.
1
Тогда и подавно -» 0 и XR — 0. Следовательно,
с Ь
+ М'Ч = f f (х) dx + I f & dx-
и kR *U 1 Л.о —U £ J J
1 £ а с
Это равенство доказано пока для разбиений R, содер-
жащих в себе точку с. Но тогда оно верно и для любых
разбиений R (см. лемму 1 ниже). Следовательно, интеграл
ь
j f (х) dx существует и имеет место (2).
а
По определению
p(x)dx = 0, (3)
а
Ь а
j f (х) dx = - j f (x) dx (b < a), (4)
a b
где f интегрируема на [Ь, а].
Нетрудно видеть, если учесть соглашения (3), (4), что
равенство (2) верно для любых чисел а, Ь, с, лишь бы f была
270
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
интегрируема на максимальном из отрезков [а, Ь], [а, с], [с,
Ь].
Например, в случае, если с < а < Ь, на основании тео-
ремы 3
J f dx = J fdx + jfdx
c c a
ИЛИ
b b a c b
j fdx = jfdx - jfdx = jfdx + J / dx,
а с c a c
и мы получили (2).
Теорема 4. Если функции fr и /2 интегрируемы на
[а, Ь] и А, В — произвольные числа, то
ь ъ ъ
J (A/i + Bf2) dx = Aj dx + В J f2 dx. (5)
a a a
В частности, при В = 0 получим равенство
J A/j dx = AJ dx,
a a
(6)
показывающее, что постоянный множитель можно выно-
сить за знак определенного интеграла.
При А = 1, В = ±1 получим
ь ъ ъ
J (fr ± f2) dx = jfjdxi jf2 dx.
a a a
(7)
Доказательство. Для произвольного разбиения
R имеем
£[АД (^) + Bf2 (£.)] Дх. = А^Л £.) Дх. + в£/ (Q Дх,.
7=0 7=0 7=0
Отсюда, перейдя к пределу при -► 0, получим равенство
(5). Оно, очевидно, верно и при b < а.
8 6.2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
271
Теорема 5. Если интегрируемую на [а, Ь] функцию
/видоизменить в точке с G [а, Ь], то для полученной после
видоизменения функции fx имеет место равенство
ь ь
J (х) dx = J / (х) dx.
а а
Доказательство. Видоизменение функции f только
в точке с сводится к тому, что к / (х) прибавляется функция
вида
Г 0, хе [а, &], х * с,
¥,(*) = .
[А, х = с,
где Л — некоторое число. Тогда
A {x) = f(x) + x^c(x).
При этом по теореме 2
ь
J (*) dx = 0.
а
Поэтому в силу теоремы 4
ъ ъ ъ ь
J А (х) dx = ]/ (х) dx + J \gc (х) dx = J f (x) dx,
a a a a
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Из теоремы 5 мы видим, что инте-
грируемость функции / не зависит от того, какие значения
она принимает в некоторой определенной точке.
Например, функция (х) = (sin х)/х определена на
полуинтервале (0, 1]. Если положить ее равной 1 при х = 0
(\|/ (0) = 1), то она будет непрерывной, следовательно, ин-
тегрируемой на отрезке [0, 1]. Но она останется инте-
1
грируемой, и ее интеграл J \|/ (х) dx будет равен тому же
о
значению, если положить, что ц/ (0) = А, где А — любое
число.
ГЛАВАМ. ОНРЕДЕЛЕННЫЙЯЯТЕПРАЛ
Теорема 6. Если функции f и ф интегрируемы на
отрезке [а, А] и удовлетворяют на нем неравенству
f(x) < ф (х),
то
г 6
j f (x)dx < J ф (х) dx (а < Ь). (8)
а а
Доказательство. Для любого разбиения R
< £ф(^)Дх;
/=0 >0
потому, что Ах, > 0. Поэтому после перехода к пределу при
Хд — 0 получим (8).
Теорема 7. Справедливо неравенство
ь ь
]f(x)dx < J|f(x)|dx (а < b) (9)
а а
или, если а не обязательно меньше Ь, то
(9')
где f и |f| интегрируемы на [а, &].
Доказательство. Очевидно,
-|/(х)| < f (х) < |/(х)| Ух € [а, Ь].
Но тогда на основании теоремы 6
ь ъ ъ
J<-|/(x)|)zZx < j/(x)dx < j|f (x)| dx (а < b)
•а а а
ИЛИ
b Ъ Ъ
If] dx < J f dx < J |f| dx,
аса
ИЛИ
(a < b),
что и требовалось доказать.
§ 6.2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
273
При а < b правые части (9) и (9') равны между собой.
Если же Ъ < а, то в силу (4)
т. е. имеет место (9')-
Наконец, случай а = Ь сводится к очевидному соотно-
шению 0 < 0. Этим доказано (9).
Замечание 2. Интегрируемость f на [а, Ь] влечет
за собой интегрируемость |f| на [a, Ь] (см. ниже § 6. 7,
замечание 2). Для конкретных функций это всегда очевид-
но. Например, если функция f кусочно-непрерывна на (а,
Ь] (она, как будет доказано, интегрируема), тогда и |f| ку-
сочно-непрерывна.
Обратно, из интегрируемости \f (х)|, вообще говоря, не
следует интегрируемость /(х) на [а, Ь].
Например, функция (х), приведенная в примере
§ 6.1,
у (х) =
1, для рациональных х,
-1, для иррациональных х,
не интегрируема на [а, &]. Между тем |\|/ (х)| = 1 на [а, Ь] и
есть интегрируемая на [а, Ь] функция.
Теорема 8. Если функция f интегрируема и неотри-
цательна на [а, Ь] и существует точка с е [а, Ь] непрерывно-
сти f, для которой f (с) > 0, то
ь
J/(x)dx>0 (а<Ъ). (10)
а
Доказательство. Будем считать, что с е (а, Ь). Так
как f непрерывна в точке с и f (с) > 0, то существует отрезок
[с - 5, с + 8] такой, что (см. § 3.3, теорема 4)
f (х) > —- г] > 0 Vx е [с - 8, с + 8].
Тогда
Ь с-Ъ е+6 Ь
J / (х) dx = J f(x) dx + J f (x) dx + J f (x) dx > 0,
a a c—Ъ c+5
274
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
потому ЧТО
с-5
J f (х) dx > О,
а
Ь
J f (х) dx > О,
с+5
с+5 с+5
J f (х) dx > j т] dx = 2бт] > О.
с-8 с-5
Если с-а или с = Ь, то вместо [с - 5, с + б] придется рас-
сматривать отрезок [а, а +5], соответственно [Ь - б, Ь].
Лемма 1. Пусть для ограниченой на [а, Ь] функции f
выполняется равенство
lim о.
МД,)-о ‘
= 1,
где Rt разбиение отрезка [а, Ь], содержащее в себе точку с
(а < с < Ь). Тогда это равенство верно и для произвольных
R:
ъ
= Wdx-
Доказательство. Пусть R есть произвольное разбие-
ние отрезка [а, Ь], не содержащее точку с.
R: а = хп <х, < ... < х„ < xmJ, < ... <х=Ъ,
U1 т т+1 п *
где хт < с < хт+1.
Добавляя к R точку с, получим разбиение Л*. Если Ад — О,
то и — 0.
Если выбросить из <sR слагаемое f (S,m) (xm+1 - xm) и приба-
вить f (£, J (с - xm) + f (£" ) (xm+j - с), то получим интегральную
сумму р„ . При этом
Од = оД* + ц,
где Ц = f (£,m) (xm+1 - xm) - f (£,'m) (c - xm) - f (xm+) - c),
Xm < < c, c < < xm+1. Очевидно,
§ 6.3. ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА
275
|Ц| < М (хт+1 - Хт) + М (С -Хт) + М (Хт+1 - С) =
= 2М (хт+1 - хт) —. 0.
's-11
Следовательно,
Нгпстд- ПтсТд + lim ц = / + £) = /.
ХЛ-° АД.-0 * *т.Г*т-°
§ 6.3. Интеграл как функция верхнего
предела
Заметим, что
ъ ъ
jf(x)dx= j f (и) du,
а а
т. е. не имеет значения, по какой букве — х или и —
интегрировать на отрезке [а, Ь]. Ведь в обоих случаях любая
интегральная сумма f имеет вид
27 (У Ахг
Пусть задана интегрируемая на отрезке [а, Ь] функ-
ция f. Тогда, каково бы ни было х, удовлетворяющее нера-
венствам а < х < Ь, функция f интегрируема также на
отрезке [а, х].
Это утверждение требует доказательства, но мы не
будем его доказывать. В конкретных случаях, как пра-
вило, это утверждение очевидно. Например, непрерывная
(монотонная) функция на отрезке [я, Ь] в свою очередь
непрерывна (монотонна) на [а, х], следовательно, инте-
грируема на [я, х].
Зададим произвольное значение х 6 [я, Ь]. Нас будет
интересовать определенный интеграл от f на отрезке [я, х].
Это есть некоторая функция отх. Обозначим ее через F (х).
Итак
ъ
Р (х) = J f (“) du. (1)
276
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Мы употребляем букву и в ка-
честве переменной интегрирования,
чтобы отличить ее от верхнего пре-
дела интегрирования х.
На рис. 77 изображен график
ограниченной кусочно-непрерывной
функции f с точкой разрыва с. Чис-
ло F (х) для заданного х выражается
на рисунке площадью фигуры АВха. При изменении х на
[а, Ь] изменяется F (х).
Теорема 1. Если функция f интегрируема на от-
резке [а, &], то функция F, определенная по формуле (1),
непрерывна в любой точке х е [а, й].
Доказательство. Зададим произвольную точку х
и придадим ей приращение й (на рис. 77 изображено поло-
жительное h). Имеем
|F (х + й) - F (х)| =
x+h
\x+h
а
(М > |/(ц)|
Vu е [а, Ь]).
Мы получили неравенство
|F (х + й) - F (х)| < М |й|,
из которого следует:
lim[F (х + й) - F (х)] = О,
т. е. F непрерывна в точке х.
Подчеркнем, что х может быть точкой непрерывнос-
ти и точкой разрыва /, и все равно функция F (х) непре-
рывна в этой точке.
Теорема 2. Если интегрируемая на [а, Ь] функция
/ непрерывна в точке х е [а, Ь], то в этой точке сущест-
вует производная от F (см. (1)):
F'(x) = f(x). (2)
§ 6.3. ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА
277
Доказательство. Пусть х — точка непрерывнос-
ти f. Имеем
Р(х+Л) F(x) = 1 jy(u)du-J7(u)diz = ]f(u)du =
La a J х
. x+h
= j j {/(x) + [/(u)-/(x)]} du =
fl X
1 1 x+h
= xf(x)h + | j [f(u) - f (X)] du =
x+h
= f(x) + ± l[f(u)-f(x)]du. (3)
fl J
X
При получении (3) мы использовали доказанные выше свой-
ства определенного интеграла. В четвертом равенстве мы
воспользовались тем фактом, что f (х) не зависит от и и при
интегрировании по и надо считать f (х) как постоянный
множитель (см. теорему 1 § 6.2).
Докажем, что
- x+h
i j[f(u)-f(x)] du —- 0. (4)
fl J
x
Функция f непрерывна в точке х, поэтому для любого
Е > 0 можно указать такое 5 > 0, что если [Л[ < 6, то
|/(u) - /(х)| < е Xfu е [х, х + Л].
Поэтому для |Л| < 5
_ x+h
± j[f(^)~f(x)]du
. л-гп
j; jjf(u)-f(*)ldu
и мы обосновали свойство (4).
Из (3), переходя к пределу при h — 0, на основании (4)
получим, что существует производная F' (х), равная
.. F(x+h)-F(x)
F (х) = а1™—h—“ =
Этим теорема 2 доказана.
Обратим внимание на то, что в теореме 2 хотя и позво-
лялось функции f быть разрывной на отрезке [а, Ь], но в
278
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
той точке х, в которой утверждалось существование произ-
водной от F, предполагалось, что функция f непрерывна.
Иначе теорема, вообще говоря, была бы неверна.
Теорема 2, в частности, утверждает, что если / (х)
непрерывна на отрезке [а, Ь], то F (х) имеет производную
на этом отрезке, равную f (х) (F’ (х) = f (х) Vx 6 [а, 6]).
Таким образом, если функция f непрерывна на отрез-
ке [а, Ь], то для нее существует первообразная на этом
отрезке. При этом в качестве одной из первообразных мож-
но взять интеграл (1).
Отсюда следует, что неопределенный интеграл от
функции f, непрерывной на [а, Ь], равен
J f (х) dx = j f (и) du + С, хе [а, Ь],
а
где С — некоторая постоянная.
§ 6.4. Формула Ньютона—Лейбница
Эта формула имеет вид
ь
jf (и) du = Ф (&) - Ф (о) = Ф (х) .
а
(1)
Здесь f (и) — непрерывная на отрезке [а, Ь] функция,
а Ф (и) — какая-либо ее первообразная на этом отрезке.
Формула Ньютона-Лейбница была уже доказана в
§ 6.1. Там предполагалось известным, что непрерывная на
[а, Ь] функция f интегрируема и имеет первообразную на
[о, Ь].
Теперь мы уже знаем из § 6.3, что интегрируемость
непрерывной на [а, Ь] функции влечет за собой сущест-
вование у нее первообразной на [а, Ь].
Приведем другое доказательство формулы Ньютона-
Лейбница. Вернемся к функции
X
F(x) = Jf (и) du.
(2)
$ 6.4. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
279
Заметим, что
□ &
F (а) = J f (и) du = 0 и F (Ь) = J f (u) du. (3)
’ а а
Кроме того, мы знаем, что F (х) есть первообразная для f (х)
на [а, Ь]. Поэтому, если Ф (х) есть какая-либо, вообще дру-
гая, первообразная, то существует константа С такая, что
Ф (х) = F (х) + С Ух е [а, Ь]. (4)
Из (2), (3), (4) получим
»
Ф (6) - Ф (а) = F (b) - F (a) = J f (и) du,
a
и мы доказали формулу (1).
Пример 1. (?(&)-Да) = F(x)|*)
f х2 dx = —1*=1 = 1
J 3^ 3'
Это показывает, что площадь (рис. 78) заштрихованной
фигуры, лежащей под параболой у = х2, равна 1/3.
Пример 2.
п
J sin х dx = -cos х|о = 1 + 1 = 2.
о
Таким образом, площадь фигуры (рис. 79), ограничен-
ной сверху синусоидой у=sin х и снизу — осью х, равна 2.
Пример 3. Функция
ф (х) = sign х = •
-1,
О,
1,
-1 « х < О,
х = О,
О < х < 1.
непрерывна на отрезке [-1, 1], за исключением точки х = 0.
Отрезок [-1, 1] можно разрезать на два отрезка [-1, 0], [0, 1],
286
Г Л AB A 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Рис. 78 Рис. 79
где она монотонна, следовательно, интегрируема. Поэтому
ф(х) интегрируема на [-1, 1]. Справедлива формула
F (х) = J sign и du = -1 + |х]
-1
(-1 < х < 1).
(5)
В самом деле, на полуинтервале [-1, 0) функция ф (х) не-
прерывна: ф (х) = -1. Ее первообразная на этом полу-
интервале равна —х. Поэтому, применяя формулу Нью-
тона-Лейбница, получим
Jsign и du = j(- 1) du - = -1 - х (-1 < х < 0). (6)
-1 -1
В силу теоремы 1 F (х) непрерывна, в частности, в точке
х - 0, поэтому
F (Q) = - х) = -1. (7)
Для х > 0
х О х
F(x) = J sign udu = J sign и du + j 1 - du = -1 + u|* =
-i -i о
- - - 1 + x. (8)
Из (6), (7), (8) следует (5).
Более элегантная формула получится, если интегри-
ровать от точки х = 0:
jsign и du = |х|. (9)
о
Под интегралом в (9) стоит разрывная в точке х = 0
ограниченная функция, интеграл как функция верхнего
предела F (х) = |х|, есть непрерывная функция, в том числе
§ 6.4. ФОРМУЛА НЫОТОЙА-ЛЁЙВИВЦА
281
и в точке х = О, что согласуется е теоремой 1 § 6.3. Однако
производная F' (0) не существует, и это не противоречит
теореме 2 § 6.3, которая гарантирует существование про-
изводной F’ (х), только если f непрерывна в точке х.
Теорема 1 (о замене переменной). Име-
ет место равенство
Ь d
\f(x)dx= j f [ср (i)] ф' (t) di, (10)
a c
где функция ф (t) непрерывно дифференцируема на [с, d],
а = ф (с), Ъ = ф (d) и f (х) непрерывна на [А, В] = ф ([с, d])
— образе отрезка [с, d] при помощи функции ф.
Доказательство. Пусть F(х) и Ф(t) — первооб-
разные функции соответственно f (х) и f [ф (t)]<p' (t). Тогда
(см. § 5.2, (1) и ниже) справедливо тождествоФ (i)-F [ф (/)] +
+ С, с < t < d, где С — некоторая постоянная. Поэтому
F(b) - F (а) = В [ф (d)] - Г[ф(с)]= Ф (d) - Ф(с).(11)
Но на основании формулы Ньютона-Лейбница левая часть
(11) равна левой части (10), а правая часть (11) — правой
части (10), а это доказывает формулу (10).
Пример 4.
а --------- -п/2 -------------------------------------—
Jva -х dx = (x = a sin t) = J ха'-х sin2£a cos t dt -
о 0
J cos2 t dt = a2 J l±^dt== —•
о /2 2L 2 J«=o 4
Замечание. Верхний предел интегрирования по t
можно взять равным а результат будет тот же, и это
согласуется с теоремой 1.
Пример 5.
j sin3 i dt = - j (1 - cos2 i) d (cos i) = (x = cos i) =
о о
i
= — J (1 — x2) dx - 0,
i
282
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
потому что в полученном интеграле нижний предел равен
верхнему.
Пример 6. Если f — четная функция (f (-u) = f (и)),
то
j f (и) du = 2 j f (u) du,
4 a
потому, ЧТО
О О a
J f (и) du = (и = -x) = - j / (—x) dx = j f (-x) dx =
-a a 0
= j f(x) dx - J f (u) du.
о о
Пример 7. Если / — нечетная функция (f (-и) =
= ~f (.“))> то
j f (x) dx - 0.
- a
Пример 8. Если f — периодическая функция пери-
ода 2л (/ (х + 2л) = f (х)), то
а+2л 2л
j f (х) dx = Jf(x)dx
а 0
потому, что
j f (х) dx = (х = t + 2л) = j f (t + 2л) dt = j f (f) dt =
a 0 0
0
= -\f(t)dt,
а
и, следовательно,
2л+а 0 2п 2л+а 2л
j f (х) dx = J f (х) dx + jf (х) dx + J f(x) dx = Jf (x) dx.
а а О 2л О
£ 6.4. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
283
Пример 9.
jsin3 t dt = (х = cos t) = - j (1 - x2) dx = j(l - x2) dx =
о i -i
= 2j(l-x2)dx=^x-^y = |.
Пример 10. Решим пример 5, используя примеры
8, 7:
jsin3 t dt = jsin3 t dt + Jsin3 t dt = 2 jsin3 t dt = 0,
О О 2л -n
так как функция sin3 t нечетная.
Теорема 2. Справедлива формула интегрирования
по частям для определенного интеграла:
Ь г
j и' (х) v (х) dx = и (х) v (х)£ - J и (х) v' (х) dx, (12)
а а
где и и v — непрерывно дифференцируемые на [a, б] функ-
ции.
Доказательство. Произведение и (х) v (х) имеет
на [a, б] непрерывную производную
(и (х) v (х))' = и (х) v' (х) + и' (х) v (х).
Поэтому по теореме Ньютона-Лейбница
ь
и (х) v (х)|* = j [п (х) v' (х) + и' (х) v (х)] dx =
а
Ъ Ъ
= j и (х) v' (х) dx + j и' (х) v (х) dx,
а а
откуда следует (12).
Пример 11.
1
j In (1 + х) dx = (и - In (1 + х), dv = dx) =
о
284
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
= х In (1 + х)|‘ - = In 2 - [ Idx + - =
1 J I + x J J 1 + X
0 1 о 0 *
= ln2-l+ln(l + x)|p = -1 + 21n 2.
Теорема 3 (о среднем для определен-
ного интеграла). Для непрерывной на отрезке [а, Ь]
функции f существует точка Е, е (а, Ъ) такая, что
j/(x) dx = f © (b - а),
а
(13)
Доказательство. Так как f непрерывна, то для
нее существует первообразная Ф, поэтому
ъ
j f (х) dx = Ф (b) - Ф (а) = Ф' (Е,) (6 - а) =
а
= f(fy(b-a), Е, е (а, Ь). (14)
Первое равенство в (14) есть формула Ньютона-Лей-
бница для непрерывной на [а, б] функции f. Второе равен-
ство есть формула Лагранжа для Ф. Наконец третье сле-
дует из того, что Ф' (х) = f (х) Vx G [а, 6].
§ 6.5. Остаток формулы Тейлора
в интегральной форме
Пусть функция f (х) имеет непрерывные производные
до порядка и + 1 включительно. Тогда в силу формулы
Ньютона-Лейбница
»х) = /(а)+ (ГИЙ
J \dv=dt v=t-x j
a 4 '
= f(a) + (t-x)f (f)|^
X
j (t - x) f (t) dt = f (a) +
a
g 6.5. ОСТАТОК ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ
285
+ f (а) (х - а) + j (х - t) f (t) dt =
a
(x-t)dv=dt
к
du—f"'(t)dt
= /(«)+ ф(х - a) + Ш(х-а/ + ]г" (t) dt.
a **
Продолжая дальше процесс интегрирования по частям,
получим
f (х) = t/(х - а)к + г (х),
Af-О
(1)
где
rn(x)=-L}(x-t)"/"+1)(t)dt. (2)
Формула (1), (2) называется формулой Тейлора с
остатком в интегральной форме.
Применяя к интегралу (2) (по Й.) теорему 3 (о среднем)
§ 6.4, будем иметь
гп (х) = ± (х - £)" (£) (х -a), £ е (а, х).
Полагая
= a + 0 (х - а), О < 0 < 1,
получаем
Г (X) = — (1 - 0)п /в+1> (а + 6 (X - а)),
т. е. остаточный член формулы Тейлора по степеням х-а
в форме Коши (см. § 4.14, (10)).
286
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 6.6. Суммы Дарбу*. Условия
существования интеграла
Пусть на отрезке [а, Ь] задана ограниченная функция f
(|/ (х)| < М). Введем разбиение
R: а - х0 < х( < ... < хп = Ь.
Пусть
ml = inf f(x), М,= sup f(x).
xtn> X^Xi,
Наряду с интегральными суммами
ств=Х^(УДх1
1=0
рассмотрим суммы
п-1 п-1
SR = ZLmi ДХ1" SR = ХМ Дх1 ’
1=0 1=0
которые называют нижней и верхней суммами Дарбу. Оче-
видно, что 8Д < SR.
Суммы Дарбу не обязательно являются интегральными
суммами. Однако если f (х) — непрерывная функция, то sR и
SR являются соответственно наименьшей и наибольшей из ин-
тегральных сумм, отвечающих данному разбиению, так как
по теореме Вейерштрасса f (х) достигает минимума и макси-
мума в каждом [хр х1+1], и поэтому можно выбрать точки Е,,,
е [хР xj+1] так, что f (EJ = mi и f (Е,',) = М,.
Так как mi < f (Е,) < Mt и Ах, > 0, а-о
SR °Я ^R • (О
При фиксированном разбиении sR и SR — постоянные числа,
а интегральная сумма остается переменной в силу произ-
вольности чисел Е,,. Легко видеть, что за счет выбора точек
сумму суд можно сделать как угодно близкой к зд и SR, т. е.
при данном разбиении sR и SR являются точной нижней и точ-
ной верхней гранями для интегральных сумм:
sr = Xmi Дх< = Ч?* sr = Xм- = sup X/ fe) Дх1-
1=0 ’ 1=0 1=0 1=0
* Г. Дарбу (1842-1917) — французский математик.
g 6.6. СУММЫ ДАРВУ. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИНТЕГРАЛА
287
Пусть R,, R2, Rs — разбиения [а, Ь]. Если же точки Rt при-
надлежат R2, то будем писать Rr с R2 и говорить, что R2 есть
продолжение Rt. Если множество точек, из которых состоит
R3, есть теоретико-множественная сумма множеств точек, из
которых состоят R, и R2, то будем писать R3 = R, + R2.
Свойства сумм Дарбу:
1°. Если к имеющимся у разбиения R точкам деления до-
бавить новые точки, то верхняя сумма Дарбу (S^ не возрас-
тает, а нижняя (вд) не убывает:
SR < SR, sR « So, VR a R'.
Таким образом,
Sr ~ sr SR — sr-
Доказательство. Для доказательства, очевидно, мож-
но ограничиться случаем, когда добавляется одна новая точка
деления х' е (хр xj+1). Пусть SR — верхняя сумма Дарбу для
разбиения R и SR — для разбиения R'. Тогда SR отличается от
SR тем, что вместо слагаемого М;Дх; в сумме SR будут два
слагаемых:
М'( (х'- хг) + М"; (xj+1 - х'),
где
M't = sup f (х), М" = sup f (х).
Так как отрезки [хг, х'], [х', xi+1] являются частью [хр xi+1], то
M't < Mt, M"l < (при уменьшении области рассмотрения
sup может только уменьшиться). Поэтому
M'i (х' - xi) + (xi+i - *') < Mi (х‘ - х, + хм - х') = Mt (х<+1 - хд>
т. е. SR < SR, что и требовалось доказать.
Для нижних сумм доказательство аналогично.
2°. Каждая нижняя сумма Дарбу не больше каждой верх-
ней суммы Дарбу, хотя бы отвечающей другому разбиению
промежутка: sR^Srt2.
Доказательство. Пусть R3 = R, + Rz. Учитывая свой-
ство 1°, получим s„ .
Таким образом, мы доказали, что множество нижних сумм
288 ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Дарбу {sR} ограничено сверху какой-либо верхней суммой
SR. (sR < SR), и потому существует точная верхняя грань ниж-
них сумм:
I* = sup sR<SR,.
R
К тому же мы доказали, что всякая верхняя сумма SK не
меньше числа 1*. Это показывает, что существует точная
нижняя грань верхних сумм
Г = infS„ > I..
я R
Итак I, < I. При этом для любого разбиения R выполня-
ются неравенства
sR < Д < Г < SR. (2)
Числа /*, I называются нижним и верхним интегралами
Дарбу.
Теорема 1 (существования интеграла).Для
того чтобы определенный интеграл ограниченной функции
f (х) существовал, необходимо и достаточно, чтобы
(SR - Sr) = lim £<и, Дх, = 0, (3)
где число со, = Mt - mi называется колебанием функции f (х) на
Доказательство. 1. Необходимость усло-
вия. Допустим, что определенный интеграл I функции f (х)
существует: т. е. Ve >0 38 > 0 такое, что как толькоХд <8, будет
I - Е<од< I + е, как бы мы ни выбирали точки е [х,, х,+1].
Выше мы установили, что sR и SR при данном R являются
точной нижней и точной верхней гранями для интегральных
сумм cyR, если варьировать точками G [х,, х(+]]. Поэтому
/-е<Зд<Од^8д</ + е VR с А.д < 8,
т. е.
lim -1, lim SR = I
и
~ sr) ~ О-
6 6.7. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ НЕПРЕРЫВНЫХ И МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ
289
II. Достаточность. Пусть условие (3) выполнено. Тог-
да из неравенства (2) следует, что !* = I . Обозначим общее зна-
чение этих двух чисел через !(!, = / = !). Тогда
«д«!<8д. (4)
Из (3) следует, что для любого £ > 0 38 > 0 такое, что |SR — вд| < Е
при Ад < 8. Но тогда из (1) и (4) получаем
|/ - Од| < £ при Ад < 8,
т. е. I является пределом для cnvif (х) интегрируема.
Замечай..е. Из доказательства теоремы видно, что если
функция f (х) интегрируема на [а, Ь], то limsR = limSp =
Хд—*0 Хд—*0
r b
= I f (x) dx, и обратно, если limsK = Ит8д = I, то I = | f (x) dx.
J Хд—*0 J
§ 6.7. Интегрируемость непрерывных и
монотонных функций
Теорема 1. Если функция/(х) непрерывна на [а, Ь], то
она интегрируема на [а, 6].
Доказательство. Так как функция f (х) непрерывна
на [а, Ь], то она равномерно непрерывна на [а, 6] и, следова-
тельно, Ve > 0 38(e) > 0 такое, что как только [а, Ь] разбит на
части с Л.д < 8, то все колебания С0; < Е. Отсюда
п-1 л-1
22е0/ ^xi Е = £ (Ь - а).
i=0 1=0
n-1
В силу произвольности Е заключаем, что lim V(0, Ах, — 0, и
хя“° to
по теореме 1 § 6.6 функция f (х) интегрируема.
Теорема 2. Монотонная на отрезке функция интегри-
руема на этом отрезке.
Доказательство. Будем считать, что f (a) <f (Ь), ина-
че функция постоянна и теорема тривиальна.
Так как f (а) < f (х) < f (b) Vx е [а, Ь], то наша функция
ограничена на [а, Ь]. Введем разбиение!? отрезка [а, Ь] с Ад < 8.
Так как в данном случае ai = f (х,ч1) - f (х), то
10. Заказ 704
290
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Хю<Дх< < 5 = 8[/ (Xj) - / (х0) + f (х2) - / (х,) + ...
i-0 (=0
••• + / (х„) - f (x„_j)] = 8[f(b)- f(a)l
x0 = a, xn = b. Выберем теперь 8 = e/[f (6) - f (а)]; тогда
n-1
^СО;АХ; < E,
<=o
и по теореме существования (теорема 1 § 6.6) заключаем, что
f (х) интегрируема. Теорема доказана.
Замечание 1. Отметим, что монотонная функция мо-
жет иметь счетное множество точек разрыва. Например, фун-
кцияу = х+ —, —* <х< —, n= 1, 2,.... у (0) = 0, монотонно
п п+1 п
возрастает на [0, 1], имеет счетное множество точек разрыва.
Следовательно, по теореме 2 она интегрируема.
Замечание 2. Если f (х) интегрируема на [а, Ь] (а < Ь),
то |/ (х)| также интегрируем.
В самом деле, Vx' и х" из [х(, х(+1] имеем
||/(x')|-|f(x")|| < |/(х')-/(х")|. (1)
Если <о*, <в; — колебания \f (х)|, соответственно /(х), на [хг,
xi+1], то из (1) следует, что <£>* < со; и
п-1 п-1
i=0 i=0
Так как f (х) интегрируема, то
п-1
52е0* ° при
ьо
но тогда
-* О,
ьо
и, следовательно, \f (х)| интегрируем.
§ 6.8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
281
§ 6.8. Несобственные интегралы
Зададим на конечном полуинтервале [а, Ъ) функцию
f. Допустим, что она интегрируема (например, непрерыв-
на или кусочно-непрерывна) на любом отрезке [а, fe'], где
Ъ’ < Ъ и не ограничена в окрестности точки Ь. Тогда ее
интеграл на [а, Ь) или, что все равно, на [а, Ь] в обычном
смысле (Римана) не может существовать, потому что ин-
тегрируемая на [а, Ь] по Риману функция необходимо
ограничена. Однако может случиться, что существует ко-
нечный предел
V
1пп]У(х) dx.
а
Если это так, то этот предел называют несобственным ин-
теграла ч от f на отрезке [а, б] и записывают в виде
Ч V
j/(x) dx = limj/(x) dx. (1)
а а
Ъ'
В таком случае говорят, что интеграл jfdx сходится.
а
В противном случае говорят, что он расходится или
не существует как несобственный риманов интеграл.
Допустим теперь, что функция f задана на луче [а, ©о)
и интегрируема на любом конечном отрезке [a, t'], где
а <Ь' < оо. Если существует предел
то он называется несобственным интегралом от f на
[а, оо) и обозначается так:
Условимся в следующей терминологии. Выражение
ъ
jf(x) dx (2)
а
292
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙИНТЕГРАЛ
будем называхъинтегралом (от f)cединственной особен-
ностью в точке Ь, если выполняются следующие усло-
вия: если b — конечная точка, то функция f интегриру-
ема на [а, Ь'] при любом Ь', удовлетворяющем неравен-
ствам а < Ъ' < Ь, и, кроме того, не ограничена в окрестности
точки Ь. Если же b = +ооу то про функцию f предполагается
лишь, что она интегрируема на [a, Ь'] при любом конечном
Ь' > а.
ъ
Подобным образом определяется интеграл f/(x) dx с
единственной особенностью в точке а. Теперь b — конечная
точка. Если точка а < b тоже конечна, то f в окрестности а
не ограничена и интегрируема на любом отрезке [а', Ь], где
а < а' < Ь. Если же а = -оо, то функция f предполагается
интегрируемой на [а', Ь] для любого а’ < Ъ.
В дальнейшем мы будем для определенности рассмат-
ривать интеграл (2) с единственной особенностью в точке Ь,
конечной или бесконечной. Все выводы по аналогии могут
быть перенесены на случай интеграла с единственной осо-
бенностью в точке а.
Теорема. Пусть задан интеграл (2) с единствен-
ной особенностью в точке Ь. Для его существования необ-
ходимо и достаточно выполнение условия (Коши): для
всякого £ > 0 существует Ъо < Ъ такое, что
\f(t)dt < Е,
(3)
каковы бы ни были Ъ', Ь", удовлетворяющие неравенствам
Ьо < Ь' < Ъ" < ь.
Доказательство. Рассмотрим функцию
F (х) = j/(t) dt
(а < х < b).
Существование интеграла (2) эквивалентно существованию
предела limF (х), что в свою очередь эквивалентно выпол-
х—Ь
х<Ь
§ 6.8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
293
нению условия Коши: для любого е > О существует Ьо, где
а < Ьо < Ь, такое, что выполняется неравенство (fe") —
- F (fe')| < E для всех b' и b", удовлетворяющих неравен-
ствам b0 < b' < b" < b. Ho
b"
F (b") - F (b') = \f{t)dt,
b'
и теорема доказана.
Пример 1. Интеграл
(4)
где а > 0—постоянное число, имеет, очевидно, единствен-
ную особенность в точке х = 0. Чтобы выяснить, сходится
ли он, надо вычислить предел
lim f — = lim——
£>0 Ь
= lim--1-[l - е1а] =
Е е-о 1-а J
1
1-а’
00,
а <1,
а>1.
Таким образом, интеграл (4) сходится при а < 1 и равен
(1 - а)’1, и расходится при а > 1. Если же а = 1, то он
расходится:
-lim In £ = +оо.
е—О
Пример 2. Интеграл
1 V 1
—limx
1—а
——, а>1 (сходится),
а-1
+оо, а<1 (расходится);
интеграл
J —= lim lnW = + oo (расходится).
294
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ОО
Пример 3. Интеграл je'xdx имеет единственную
о
особенность в точке х = +оо. Он сходится и равен
[exdx - lim [е Xdx = lim (-е~х) = lim [1 - e'w] = 1.
J N—к» N^-KO
0 0 0
Пусть снова задан интеграл
ь
J f (х) dx,
(5)
имеющий единственную особенность в точке Ь. Тогда ин-
теграл
ь
J f (х) dx,
(6)
где а<с<Ъ, также имеет единственную особенность в точке
Ь. Условие Коши существования интегралов (5) и (6) фор-
мулируете I совершенно одинаково. Поэтому эти интегралы
одновременно сходятся или одновременно расходятся. Кро-
ме того, при а < с < Ь, очевидно, имеет место
с b’ с b
= Jfdx + limj f dx = J f dx + J f dx, (7)
a c a c
c
где j — обычный риманов собственный интеграл, а интег-
ь ъ
ралы J и J несобственные.
а с
Отметим равенство
ь Ъ'
J(Af + Bq>)dx = limj (Af + B<p)dx =
a a
= Alim J f dx + Вlim j <p dx = A J f dx + В j (p dx, (8)
О- о a c
§ 6.8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
295
где А и В — постоянные. Его надо понимать в том смысле,
что если существуют интегралы в правой части, то суще-
ствует также интеграл в левой и имеет место равенство (8).
Говорят, что интеграл (5) (имеющий особенность в точ-
ке Ь) сходится абсолютно, если сходится интеграл
ь
]\fW\dx (9)
а
от абсолютного значения \f (х)|.
Абсолютно сходящийся интеграл сходится. В самом
деле, из сходимости интеграла (9) следует, что для любого
е > 0 на интервале (а, Ь) найдется точка Ьо такая, что если
Ьо < Ь' < Ь" < Ъ, то
Ь" ь-
е > J |/ (х)| dx > J/(x)dx ,
Ь' ь'
т. е. для интеграла (5) выполняется условие Коши. Так
как
Ь’
Ь'
$f(x)dx « J \f(x)\ dx,
то после перехода к пределу при b' — b для абсолютно
сходящегося интеграла (5) получим
г I Ь
Jflx)dx < j \f (х)| dx. (10)
а I а
Замечание. Неравенство (10) верно и для неабсо-
лютно сходящегося интеграла — в этом случае справа
стоит оо, а символ оо мы считаем большим любого ко-
нечного числа. Этим широко пользуются в технике вы-
числений. Если надо узнать, сходится или нет интеграл
ь
dx, мы пишем неравенство (10) и исследуем на сходи-
а
b
мость интеграл f |/j dx. Если этот последний сходится, т. е.
296
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Ь 6
если j |/| dx < оо, то сходится и наш интеграл J f dx. Конеч-
а а
b
но, если j dx = оо, то придется к нашему интегралу
а
применить более тонкие методы. Возможно все же, что
он сходится, но только не абсолютно (см. примеры в конце
§ 6.9).
§ 6.9. Несобственные интегралы
от неотрицательных функций
Пусть задан интеграл
ь
jf(x)dx, (1)
а
имеющий единственную особенность в точке Ь, и на про-
межутке [а, Ь) интегрирования /(х) > 0. Тогда, очевидно,
функция
F (b') = J f (х) dx (а < b' < b)
а
от b' монотонно не убывает. Поэтому, если она ограничена
(F (b') < М, а < Ь' < Ь), то существует интеграл (1)
ь и
J f (х) dx = lim | f (x) dx < M.
a a
Если же F(b') неограничена, то интеграл (1) расходится:
ь ь'
J f (х) dx = lim J f (x) dx = +oo.
a a
Если f (x) >0 на [a, b), то пишут
j f (x) dx < оо или j f (x) dx = co
a a
в зависимости от того, будет ли интеграл сходиться или
расходиться.
§ 6.9. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
297
Теорема 1. Пусть интегралы
ь J f (х) dx, а (1)
b j Ф (х) dx, (2)
имеют единственную особенность в точке b и на проме-
жутке [а, Ь) выполняются неравенства
0</(х)«ф(х). (3)
Тогда из сходимости интеграла (2) следует сходи-
мость интеграла (1) и имеет место неравенство
ь ь
j fdx < J ф dx,
а а
а из расходимости интеграла (1) следует расходимость
интеграла (2).
Доказательство. Из (3) следует, что для а <Ъ' <Ь
Ь' Ь’
j fdx < j ф dx. (4)
а а
Если теперь интеграл (2) сходится, то правая часть (4) ог-
раничена числом, равным интегралу (2), но тогда огра-
ничена и левая. И так как левая часть при возрастании Ь'
монотонно не убывает, то она стремится к пределу (интег-
ралу):
ь Ь' ъ
[ fdx = lim j fdx < J ф dx.
a a a
Наоборот, из расходимости интеграла (1) следует, что
предел левой части (4) при Ъ' —► Ъ равен оо, а следовательно,
и предел правой равен оо.
Теорема 2. Пусть интегралы (1)и (2)имеют един-
ственную особенность в точке Ь, подынтегральные функ-
ции положительны и существует предел
lim-ф^ = -А > 0.
х-ь <р(х)
(5)
298
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Тогда эти интегралы одновременно сходятся или одновре-
менно расходятся.
Доказательство. Из (5) следует, что для поло-
жительного £ < А можно указать такое с е [а, Ъ), что
А - £ < < А + £ (с < х < Ь),
ф(ж)
и так как (р (х) > 0, то
(А - £)(р (х) < f (х) < (А + £)(р (х) (с < х < Ъ). (6)
ь
Из сходимости интеграла j (р dx следует сходимость
а
Ъ b
интеграла j <р dx и сходимость интеграла j(A + £) (р dx, но
С с
тогда по предыдущей теореме сходится также интеграл
ъ ь
j f dx, а вместе с ним интеграл j f dx. Обратно, из сходимо-
ь ъ
сти j f dx следует сходимость j (р dx потому, что наряду с
а с
(5) имеет место равенство
<р(х) А
> О.
Замечание. Равенство (5) означает, что функция f
эквивалентна функции А<р при х Ь. В этом случае также
говорят, что функции/ и(р имеют одинаковый порядок при
х — Ь.
Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл
оо
j sin kxe~xdx.
о
Имеем
00
Je”xsinAx dx
о
< j |е х sin kx\ dx < Je Xdx = 1 < co.
о 0
§6.9. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
299
Мы применили неравенство (10) § 6.8 и замечание к
нему.
Значком ~ между интегралами будем обозначать тот
факт, что эти интегралы в силу теоремы 2 одновременно
сходятся или одновременно расходятся.
Пример 2. = оо.
J Sinx J X
Пример 3. Г—-----ГД£ < оо.
}0 sinVx I -Jx
Пример 4. lg Xdx ~Jezdx <
Интегралы примеров 2 и 3 имеют единственную осо-
бенность в точке х = О. Надо учесть, что sin х ~ х, sin -Jx ~
~Jx,x — 0.
Интеграл примера 4 имеет единственную особенность
в х = оо. Надо учесть, что —ё~х ~ е х, х —• +оо.
х
Пример 5. J(x2-3x+5)e Xdx сходится, потому что
о
|(х2 - Зх + 5)е Xdx
о
< J|(x2 - Зх + 5)e~x/2|e’x/2dx <
О
< М J е x/2dx < 00.
О
Дело в том, что lim(x2 — Зх + 5)е х^2 = 0, поэтому най-
дется N > 0 такое, что |(х2 - Зх + 5)е~х/г) < 1 Vx > N.
С другой стороны, функция |(х2 - Зх + 5)е х/2| непре-
рывна на [О, АГ], следовательно, ограничена на [О, АГ] неко-
торым числом МГ Таким образом, она ограничена на [0, оо)
числом М = max {1, Mj}.
300
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 6.10. Интегрирование по частям
несобственных интегралов
Пример 1. Несобственные интегралы
dx, 7cosx dx & > 0) (1)
« х 1 х
сходятся. В самом деле,
интегрируя по частям, получим
[sinxdx= _cosx
1 X X
- COSXdx
а 1 х
для всех конечных А > а. Переходя теперь к пределу при
А — оо, получим
“fsinx dx = cosn _7 cosxrfx>
' х a J х
где интеграл в правой части сходится и даже абсолютно:
cosx J dx = 1 < TO
x a X ,, X o
(a > 0),
(2)
Пример 2. Интеграл J--—dx сходится не абсолют-
но (условно), ибо интеграл
'rlsinxl ,
J------------------'-dx = оо
1 х
а
т. е. расходящийся. В самом
sin2 х < |sin х| несобственный
r|smx|dx > = fl~cos2xdX =
' X I X J 2x
= (2x = u)=l Jl=c°®“ du = 17^-17cosu du
2L и 2£u 2^ и
деле, в силу неравенства
интеграл
Но интеграл Ju 1 cos и du сходится, а интеграл Ju 1 du раС-
За 2а
§ 6.10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
301
ходится. Следовательно, несобственный интеграл (2) рас-
ходится.
Замечание. Сходимость интеграла (1) объясняется
тем, что функция sin х периодически колеблется, прини-
мая последовательно положительные и отрицательные
значения. Накопление площади, вызываемое положитель-
ными значениями sin х, компенсируется соответствующим
накоплением, вызываемым отрицательными значениями.
Это явление получит объяснение в теории рядов (см.
ряд Лейбница и условно сходящиеся ряды).
Приведенные примеры показывают, что интегрирова-
ние по частям может оказаться полезным средством исследо-
вания сходимости несобственных интегралов.
Ниже приводятся общие соображения, которые лучше по-
ясняют механизм этого метода.
Пусть функция <р (х) непрерывна на [а, оо) и Ф (х) — ее
первообразная. Пусть, кроме того, g(x) непрерывно диффе-
ренцируемая функция на [а, оо). Тогда
а А
J<P (х) g (х) dx = g (х) Ф (х)|^ - |ф(х) g' (х) dx =
« а
= g(A)<l> (А) - g (а) Ф (а) - jф(х) g' (х) dx. (3)
а
Если
1) lim g (А) Ф (А) = О,
А—<х
со
2) интеграл |ф(х) g' (х) dx сходится, то, очевидно, суще-
а
ствует несобственный интеграл
" А
J<P(x) g (х) dx = lim J<p(x) g (х) dx = -g (а) Ф (а) -
а а
со
- JO(x)^'(x)dx. (4)
302
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Отсюда, в частности, вытекает
Признак Дирихле сходимости интеграла
(4). Если функция Ф (х) ограничена (Ф (х) < М), a g (х) убы-
вает и стремится к нулю прих —- со, то интеграл (4) сходится.
Ясно, что эти условия влекут свойство 1). Далее
J®(x)g'(x)dx =gJ|®(x)g'(^)|dx<Mj|g'(x)ldx=
= —М Jg'(x) dx = -М lim Jg'(x) dx = -M lim [g (A) - g (a)] =
a a
= g(a)- M.
Пример 3. Интеграл
f.sinx (lx > q),
J
имеющий единственную особенность в x = оо, сходится при
a > 0. Это следует из признака Дирихле, где надо считать g (х) =
= х“ и q> (х) = sin х, Ф (х) = -cos х (|Ф (х)| < 1). Абсолютная же
его сходимость имеет место только при a > 1, что доказывает-
ся, как в примере 2 § 6.9.
§ 6.11. Несобственный интеграл
с особенностями в нескольких точках
Пусть задан интеграл
ъ
Jf(x) dx, (1)
а
т. е. пока формальное выражение (рисунок), где под зна-
ь
ком J стоит функция f (х), определенная на интервале (а,
а
Ь). Таким образом, а может быть конечным числом или
-оо и Ъ — конечным числом или +оо.
Допустим, что интервал (а, b) можно разбить на ко-
нечное число интервалов точками а = с0 < Cj < с2 < ... <cN=b
так, что каждый интеграл
§ 6.11. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ОСОБЕННОСТЯМИ В НЕСКОЛЬКИХ ТОЧКАХ 303
"ff(x) dx (k = О, 1, N-1) (2)
с*
имеет единственную особенность либо в точке ck, либо в
точке cfc+1.
Если все несобственные интегралы (2) сходятся (аб-
солютно сходятся), то интеграл (1) называется несобст-
венным сходящимся (абсолютно сходящимся) и символу
(1) приписывается число
b.
]7 (х) dx = 22 J f(x) dx.
a k=Q Ck
Но если хотя бы один из интегралов (2) расходится, то
интеграл (1) считается расходящимся.
Если f (х) > 0, то, так же как в случае интегралов с
одной особенностью, для интеграла (1) условимся писать
jf(x) dx < ОО,
а
если он сходится и
Jf(x) dx = со,
а
если он расходится.
Пример 1.
7 -х ° ~
Je dx = fe~xdx + Je Xdx = оо + 1 = оо.
-“ го О
Этот интеграл имеет две особенности в точке х = -оо и
х = оо = +оо. Соответственно мы его представили формально
в виде суммы двух интегралов, каждый из которых имеет
одну из указанных особенностей. Очевидно,
О со
Je хdx = оо, Je'xdx = 1.
-» о
Мы позволили себе считать, что оо + 1 = оо.
304
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример 2. (а > 0)
сходится условно при 0<а<1,
сходится абсолютно при 1<а<2,
расходится при а>2.
(3)
В самом деле, этот интеграл имеет две особенности — в
х = 0 и х = оо, поэтому для его исследования рассмотрим
формальную сумму
“(Siiixdx = fsiiLXdx + ‘fsi^xdx.
•* /V* J -V- J -V-
О'*, 0 1 -V
1
Под интегралом J стоит положительная функция,
о
поэтому он либо расходится, либо, если сходится, то абсо-
лютно. Для его исследования нам помогут неравенства (см.
§ 3.3, (6) и § 4.19, пример 1)
2 <х1-а(о<х<1),
Л X
откуда
I . 1
jsl“x dx < jxl adx < со при а < 2,
о о
> ~jxl adx = со при о. > 2.
о х 1 о
Следовательно,
fsinx^x f абсолютно сходится при а<2,
о ха [расходится при а>2.
Далее (см. § 6.10, пример 2)
г sinx jx f сходится при а> О,
1 х“ (абсолютно сходится только при а>1.
Глава 7
Приложения интегралов.
Приближенные методы
§ 7.1. Площадь в полярных координатах
Площадь S фигуры, ограниченной двумя выходящи-
ми из полярного полюса О лучами 0 = 0О, 0 = 0. и кривой Г,
заданной в полярных координатах непрерывной функцией
Р - /(6)» может быть определена следующим образом
(рис. 80). Производим разбиение отрезка [0О, 0*]:
Элемент площади фигуры, ограниченной кривой Г и лу-
чами 0 = 0А, 0 = 0Л+1, приближенно выражаем площадью
306
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
кругового сектора, ограниченного теми же лучами и окруж-
ностью радиуса рА = / (0,;), равной
де*=е4г1-еА.
Естественно считать, по определению,
s=«М.if «е - If <«
Мы получили формулу площади фигуры в полярных
координатах. Для непрерывной функции /(0) интеграл (1),
как мы знаем, существует и, следовательно, предел любой
интегральной суммы равен этому интегралу.
Пример. Изображенная на рис. 81 окружность в по-
лярных координатах определяется уравнением р = 2R cos 0.
В силу (1) площадь круга
я/2
S = 2R2 J cos2 0 d0 = 47?z
-л/2
у 1+COS29 dQ =
о 2
§ 7.2. Объем тела вращения
Пусть Г есть кривая, описываемая в прямоугольной
системе координат х, у непрерывной положительной функ-
цией у = f (х) (а < х < Ь). Вычислим объем V тела враще-
ния, ограниченного плоскостямих = а, х= b и поверхностью
вращения кривой Г вокруг оси х.
Производим разбиение от-
&1 резка [а, Ь] на части: а = х0 <
—\ < Xj < ... < хп = b — и считаем,
1} L1, __I - I г что элемент ДИ объема тела, ог-
/0 V \I&X Р / J раниченногоплоскостямих= хк,
^2 х = х^г приближенно равен
объему цилиндра высоты ДхА =
Рис. 82 = хк+1 - хк и радиуса yk = f (xj:
ДИА ~ лу2ДхА = nf (х/ДхА.
S 7.3. ГЛАДКАЯ КРИВАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДЛИНА ДУГИ
307
Величина Vn = п ^f2(x^xk приближенно выражает V и
k=0
V= lim лУ f1 (ха)Аха = л |/ (x)dx. (1)
maxAx*~0 »
Мы получили формулу объема тела вращения (рис. 82).
Пример. Эллипсоид вращения (вокруг оси х)
есть тело, ограниченное поверхностью вращения кривой
I 2
г/ = Ь.1-^2 (-а < х < а)
V а
вокруг оси х, поэтому на основании формулы (1) его объем
равен
а( 2\ ( 3 \ п л
V = nb2 f| 1-^5-|dx = Tib2 | =—nab2.
A a2) \ 3a2 Jt~a 3
§ 7.3. Гладкая кривая в пространстве.
Длина дуги
В § 4.21 было введено понятие плоской непрерывной
кривой, заданной параметрически, в частности гладкой кри-
вой. Мы хотим пополнить эти сведе-
ния. Но заодно будем рассматривать
более общую кривую в пространстве.
Три уравнения (рис. 83)
х = <р (#),
z = X(O
(а < t < b), (1)
где функции ср, \|/, % непрерывны на [a, fe], определяют не-
прерывную кривую, которую мы обозначим через Г. Если к
тому же функции ср, Щ, % не только непрерывны, но имеют
на [а, Ь] непрерывные производные, одновременно не обра-
щающиеся в нуль, тоГ называется гладкой кривой на[а,Ь].
308
ГЛАВА 7, ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Тот факт, что производные ф’ (t), гр' G)> Х' (0 для лю'
бого значения te [а, б] одновременно не обращаются в нуль,
можно выразить так: имеет место неравенство
(ф'(/))2 + гр’(г))2+х'(0)2>0 (2)
для всех t е [а, Ь].
Если мы зададим определенное значение t = t0, то в
силу (2) одно из слагаемых ф' (t0), 9' (£0), %' (t0) — пусть пер-
вое — не равно нулю (ф' (t0) 0). Вследствие непрерывности
ф' существует интервал (t0 -5, t0 + б), на котором <р' (t) имеет
тот же знак, что и ф' (t0). Но тогда на этом интервале функ-
ция х = ф (t) строго монотонна и существует обратная к ней
непрерывно дифференцируемая функция t =ф 1 (х), х е (с, d),
где (с, d) — некоторая окрестность точки х0 = ф (t0). В ре-
зультате мы получим, что некоторый малый кусок у кри-
вой Г, содержащий в себе точку Д, = (ср (t0), гр (t0), у (f0)),
описывается двумя непрерывно дифференцируемыми фун-
кциями от х:
у = гр [гр’1 (х)] = rpj (х),
z = X [ф1 (*)] = Х1 (х)
(с < х < d, х < х0 < d, х0 = ф (t0)). Если, на самом деле, гр' (#0) Ф
Ф 0 или %' (Д) -* 0, то, рассуждая подобным образом, полу-
чим, что некоторый кусок у с Г записывается уравнениями
х=Ф1(г/), г=Хг(у)
(X < у < ц, X < у0 < ц, у0 = гр (f0))
или соответственно
Х=Ф1(2), y=rPi(z)
(р < 2 < q, р < z0 < q, z0 = X (t0)).
Уравнения (1) гладкой кривой Г не только задают Г
(как геометрическое место точек (ф (t), гр (£)> X (О)> t G [а, &])>
но и определяют ориентацию Г, т. е. направление, вдоль
которого возрастает параметр t. На рис. 83 изображена глад-
кая кривая Г, соответствующая изменению параметра t на
отрезке [a, fe] (а < Ь): А = (ф (а), гр (а), х (а)) — начальная
§ 7.3. ГЛАДКАЯ КРИВАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДЛИНА ДУГИ
309
точка Г, В = (ф (fe), ф (fe), X (fe)) — конечная точкаГ, стрелка
указывает ориентацию Г.
Когда параметр# непрерывно возрастает от а до Ь, точ-
ка (ф (#), ф (#), % (#)) непрерывно двигается по Г от началь-
ной точки А = (ф (а),ф (п).Х (а)) до конечной точки В = (ф (Ь),
ф (Ъ), х (Ь)). Движущаяся точка может возвратиться в пре-
жнее положение, т. е. может случиться, что #р #2 G [a, fe],
#! < #2 и ф (#j = ф (#2), ф (#j) = ф (#2), X (#1) = X (#2)> и тогДа
криваяГ называется самопересекающейся. Кривая Г назы-
вается замкнутой, если точки А и В совпадают.
Введем функцию t = X (х), с < х < d, имеющую непре-
рывную не равную нулю производную на [с, d] и отоб-
ражающую [с, d] на [a, fe]. Так как X' (х) не меняет знак на
[с, d], то может быть только два случая:
1) X' (х) > 0, и тогда X (с) = а, X (d) = fe,
2) X' (х) < 0, и тогда X (с) = Ь, X (d) = а.
Наша гладкая кривая Г может быть задана уравнениями
х = ф[Х(т)]=ф1(т),
у = Ф [X (х)] = ф! (х),
2 = X Р- СО] = Xi (О
(1')
при помощи параметра х (с < х < d). Одна и та же гладкая
кривая Г может быть задана параметрически посредством
разных параметров #, х, ... .
Заметим, что условия (2) на языке х сохраняются, по-
тому что согласно формуле производной функции от функ-
ции
(ф'1 СО)2 + (ф\ (О)2 + (X'i (О)2 =
= Кф' (О2 + (ф' (О2 + (X' (02К^ (О)2 > 0. (3)
Однако при введении нового параметрах может измениться
ориентация Г. Если X' (т) > 0 на [с, d], то функция t = X (т)
строго возрастает и X (с) = а, X (d) = Ь. В этом случае с возра-
станием х возрастает # от X (с) = а до X (d) = b, т. е. ориента-
ция Г не меняется — уравнения (1) и (1') определяют одну
и ту же гладкую кривую с той же ориентацией, только при
310
ГЛАВА 7- ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ, ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
7. & помощи разных парамет-
. ров. Если же X' (т) < 0 на
[с, d], то X (с) = Ь и X (d) = а
у ]| и при возрастании т пара-
/ В^АН метр t убывает. В этом слу-
~А0 чае уравнения (Г) определя-
ют ту же кривую Г, что и
/О х уравнения (1), но с проти-
воположной ориентацией.
В тех вопросах, где
Рис. 84
нужно учитывать ориента-
цию кривой, под буквой Г понимают не только самую кри-
вую (геометрическое место точек), но и ее ориентацию. Надо
помнить, что уравнения (1) определяют как саму кривую,
так и ее ориентацию (движение точки Г в направлении воз-
растания t). Если заменить параметр t на другой параметр
т (7 = X (т)), то получим ту же ориентированную кривую Г,
если X' (т) > 0. Если жеХ' (т) < 0, то получим ту же кривую,
но ориентированную противоположно — ее уже (как ориен-
тированную кривую) надо обозначить другим символом,
удобно через Г_.
Если задана ориентированная кривая Г посредством
уравнений (1), то Г можно, например, задать уравнениями
X = <р (-т),
у = у(-т),
2 = X (-Т), .
(-6 « т « -а).
Введем понятие длины дуги непрерывной кривой Г.
Пусть задана непрерывная криваяГ посредством уравнений
(1). Разобьем отрезок [а, Ь] значениями а = tQ < tY < t2 < ... <
< tN = b. Каждому tk соответствует точка Ak е Г (Д,=A, AN =
= В). Соединим точки Ак последовательно отрезками АаДа+1
(рис. 84). В результате получим ломаную Г\ = Д/Ц... AN,
вписанную в Г. Длина равна сумме длин
irj = Е |АА+11.
х-0
(4)
8 7.3. ГЛАДКАЯ КРИВАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДЛИНА ДУГИ
311
Предел длины Гл,, когда максимум tJ+l — t] стремится
к нулю
= (5)
если он существует (есть конечное число), называется дли-
ной дуги Г. Мы его обозначили через |Г|.
Можно доказать, что для любой непрерывной кривой
(1) предел (5) конечный или бесконечный (+о°) существует.
В случае, если этот предел конечный, кривая называется
спрямляемой.
Теорема 1. Гладкая на [a, fe] кривая Г, определяе-
мая равенствами (1), спрямляема. Ее длина дуги равна
1П = +[v'O)f+[%'(0f dt. (6)
a
В этой формулировке важно, что уравнения Г заданы
на отрезке [а, Ь]. Если бы они были заданы на интервале (а,
Ь), где <р, ф, % непрерывно дифференцируемы на (а, Ь~) и их
производные одновременно не равны нулю, мы тоже сказа-
ли бы, что уравнения (1) определяют гладкую на (а, Ъ) кри-
вую, но она могла бы и не быть спрямляемой. Однако лю-
бой ее кусок, соответствующий некоторому отрезку [с, d] с
с (а, Ь) спрямляем.
Доказательство теоремы 1. Применяя тео-
рему Лагранжа к функциям <р, \р, х> будем иметь (At = tk+1 -
- At*)
Аф = Ф (<*+i) - Ф (**) = Ф' (QAt*,
Аф = Ф («*+1) - Ф (t*) = Ф' (*"*)At*.
ДХ = X (t*+i) - X (<*) = X' (*"'*)А<*,
и следовательно (пояснения ниже),
|Ги = Ё^ЛФ)2+(Ау)2 + (Ах)2 =
А~0
= Ё4ф'(^')]2+[ф'(^")]2+[х'(4"')]2 At* =
*=0
312
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
= Z-Лф' (V)f+№ +[х' (V)]2 Ч +
А=О
ь с------------------
+ +[v'W]2 +[x'W]2 dt (7)
(здесь t'k, t"k, t"’k e (tk, tk+l) — вообще различные точки),
т. е. справедлива формула (6).
В самом деле, в силу непрерывности подынтегральной
функции в (6)
Ит£^[ф'(4')Г+[v'(V)]2 +[x'(V)]2 Ч =
b £----------------------
= Jwp'W]2 +[v'(t)]2 +[x'U)]2 dt.
Кроме того, заметим, что выполняется неравенство
|Л1 + ^2 + ^3 - + Пг + Цз |<
<7(^1 - п/ + - П2)2 + Й3 ~ П3)2 >
выражающее, что разность длин двух сторон треугольника
не превышает длины третьей стороны.
Далее, так как функции \|/' и х' непрерывны на [a, Ь],
то они и равномерно непрерывны на [а, Ь]. Поэтому, если
?ъя< 8, то
IV «",) - V (О < . IX' ГУ - X’ «'.И < .
и, следовательно,
N = Ё[а/[фЧ')Г+[v'(V)]2+[x'(V")f-
*=0L
-ТкЧ')]2+[v'rfЧхЧ')]2 ]ч|<
<Z7[v'(V)-v'^')]2+[x'(ifc'")-x'(4')]24<
fe=O
< /£л^чУЧ<—(b~a) =E-
2(b-a)^ * b-aV }
Это показываем, что rN — 0 при Хя —> 0.
S 7.3. ГЛАДКАЯ КРИВАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДЛИНА ДУГИ
313
Применим формулу (6) к вычислению длины дуги Г,
когда она задана уравнениями (1'), при помощи параметра
т. Имеем (см. (6))
irj = J 7(Ф1' W)2 + (Vi'(t))2 + (х/ (т))2 </т =
= /7(Ф'(W Hv W)))2 +(х (>-(< (T)dT =
С
= J7(ф' (О)2 + (v' (О)2 + (x'(f))2 dt (X (т) > 0).
а
В последнем равенстве этой цепи мы произвели замену пе-
ременной t = X (т) в интеграле.
Следовательно, [Fjl = |Г|.
Мы видим, что формула (6) длины дуги выражается
инвариантно через параметр дуги.
Введем функцию
s = ц (0 = J 7(фЧ«))2+(v'(w))2+(x'(w))2 du (8)
а
от верхнего предела интеграла. Она выражает длину дуги
АС, гдеС — переменная точка дуги АВ =Г, соответствующая
значению параметра t. Под интегралом в (8) стоит непре-
рывная функция от и, поэтому производная длины дуги s
по t равна
g=^'(t))2+(v'(O)2+(x'W)2. О)
Так какср' (t), ф' (£), %' (t) непрерывны, tods/dt в свою оче-
редь есть непрерывная функция от t, при этом поло-
жительная (см. § 7.3, (2)). Но тогда s = ц (t) строго воз-
растает на [а, Ь] и имеет обратную непрерывно диффе-
ренцируемую функцию
t = Ц 1 (8) (0 < 8 < |Г|), (10)
обладающую свойством
= КФ' <*))2 + (V' (О)2 + (%' (О)2] 1/2 > 0.
CIS
314
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Но тогда переменная s может служить параметром нашей
гладкой кривой Г — уравнения Г можно записать в виде
^=ф[М’1 (s)]=<p*(s),
у = ф [ц 1 (s)] = ф. (s),
г = %[ц-1(8)]=х*(8),
(О « s « |Г|),
где функции ф*, ф*, %* непрерывно дифференцируемы на
[О, |Г|].
Чтобы получить соответствующие результаты для плос-
кой кривойГ = АВ, надо в предыдущих рассуждениях поло-
жить z = % (£) - 0. Тогда гладкая плоская кривая Г опреде-
ляется двумя уравнениями
Х=ф(*),
У = ф(0>
(а < t < Ъ),
где ф и ф — непрерывно дифференцируемые функции,
подчиняющиеся условию
(Ф' (О)2 + (V' (О)2 >0 (t G [а, Ь]).
Длина Г равна
iri = jV(<p'W)2+(v'(O)2^-
(6')
Длина дуги AC cz Г, где С есть точка Г, соответствую-
щая значению параметра t G [а, Ь]
s = j7(<P'(w))2 + (v'(«))2 du,
(8')
дифференциал дуги равен
ds = 7(ф'(0)2 + (фЧО)2dt.
О')
Если Г задана при помощи непрерывно дифференци-
руемой функции
y=f(x) (a^x^b),
то можно считать, что Г определяется параметром х:
X = X, I
У = /(Х),| (а^х^Ь).
S 7,3. ГЛАДКАЯ КРИВАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДЛИНА ДУГИ
315
Тогда в силу (6')
Дифференциал же дуги Г выражается формулой
ds = ^dxz +dy2.
Пример 1. Найти длину дуги кривойГ: у =ch х, 0 <
х < 2.
Имеем
|Г| = jVl+(shx)2dx = Jchxdx=shx|^=sh2= е ~с
оо
Пример 2. Найти длину окружности Г радиуса R
Окружность в параметрическом виде можно задать сле-
дующим образом:
х - R cos t,
y = R sin t,
(0 < t < 2л).
Тогда
|Г| = ^R2SLnt + I^eostdt = R^dt=2nR.
о о
Пример 3. Найти длину дуги кривой Г: у =
X 1---
= jy/2t+t dt, когда х изменяется в пределах от 0 до 2.
о
Отметим, что явную зависимость у от х можно найти,
если мы вычислим интеграл, используя подстановку Эйле-
ра или рассматривая этот интеграл как дробно-линейную
иррациональность. Но в данном случае нам не нужна эта
явная зависимость. Имеем у' - V2x+x2. Поэтому
|Г| = jVl + 2x+x2 dx=J(x+l)dx=-^-^-|2=4 .
о о
316
ГЛАВА 7, ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
§ 7.4. Кривизна и радиус кривизны кривой.
Эволюта и эвольвента
Кривизной окружности радиуса R называется число
\/R. Это число можно также получить как отношение угла
между касательными в концах какой-нибудь дуги окруж-
ности к длине дуги. Угол а между касательными к окруж-
ности в точках А и В равен центральному углу а между
радиусами О А и ОВ. Длина |АВ| дуги АВ равна Да. Поэтому
(рис. 85)
а _ а __ 1
Ав| Ru R
Последнее определение кривизны окружности дает идею оп-
ределения кривизны произвольной гладкой кривой Г.
Рассмотрим плоскую гладкую кривую Г. Как мы по-
казали в § 7.3, она спрямляема и имеет смысл говорить о
длине любой ее дуги АВ. Угол а (0 < а < л) между касатель-
ными кГ в точкахА иВ называется углом смежности дуги
АВ. Отношение угла смежности дугиАВ к ее длине называ-
ется средней кривизной дуги АВ (рис. 86). Наконец, кри-
визной кривой Г в ее точкеА называется предел (конечный
или бесконечный) отношения угла смежности а дуги АВ
кривой к ее длине [АВ| = |Дз|, когда последняя стремится к
нулю:
as~o | As |
(1)
§ 7.4. КРИВИЗНА И РАДИУС КРИВИЗНЫ КРИВОЙ. ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА 317
Таким образом, 0 < К < оо. По определению, величина
R = 1/К (где считается, что 0 = 1/°°, оо = 1/0) называется
радиусом кривизны Г в точке А.
Точка Ор лежащая на нормали кГ в точкеА на рассто-
янии R = 1/К от А в сторону вогнутости Г, называется цен-
тром кривизны Г в точке А (рис. 87 и 88). Очевидно, что
центр окружности совпадает с центром ее кривизны.
Рис. 87
Рис. 88
Кривая у, являющаяся геометрическим местом цент-
ров О, кривизны плоской кривой Г, называется эволютой
Г. Сама кривая Г называется эвольвентой у.
Пусть кривая Г задана функцией у = f (х) (с < х < d),
имеющей непрерывную вторую производную. Найдем ее
кривизну в точке А = (х, f (х)). Пусть <рt и <р2 — углы, кото-
рые составляют касательные к Г в точках А и В = (х + Дх,
f (х +Дх)) с положительным направлением осих (см. рис. 86)
tg<Pi = /'(*)» tg <р2 = f (х + Дх),
а = |arctg f (х) - arctg f (х + Дх)|.
(2)
Далее,
х+Дх ----------
Д5 = |АВ|= j VW'(и))* 2 du.
(3)
318
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Поэтому из (1), применяя правило Лопиталя (по Дх), полу-
чаем
К = lim
Дх—С
arctg /' (х) - arctg f (х+
lim
Ar—О
/"(х+Дх)
1+(/'(х+Дх))1 2
Vl+(7 (х+Дх))2
Мы получили формулу для кривизны
Если гладкая кривая Г задана параметрически
!(»<««>).
где <р и ф — дважды непрерывно дифференцируемые функ-
ции, то, пользуясь правилом дифференцирования пара-
метрически заданных функций, получим (см. §4.11)
(5)
Найдем параметрическое уравнение эволютыу кривойГ,
заданной уравнением (рис. 87, 88) у = f (х). Имеем (см. (4))
1 _ im
R (i+(f(x))y/2
/"(x)sign/"(x)
(1ЧЛ</2
(6)
§ 1.4. КРИВИЗНА И РАДИУС КРИВИЗНЫ КРИВОЙ. ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА 319
Центр кривизны кривой Г в ее точке А = (х, f (х)) пусть
имеет координаты (£,, Т|). Он определяется вектором
p = r + Rv,
(7)
где г — радиус-вектор точки А е Г, a v — единичный век-
тор нормали, направленный в сторону вогнутости Г. Кри-
вая Г имеет векторное уравнение
г = (х, у).
Отсюда
Далее (см. § 4.23, (3')),
Знак надо выбрать так, чтобы вектор v был направлен в
сторону вогнутости Г, т. е. чтобы скалярное произведение
(v, гх) имело положительный знак:
(V, Гх) = ±~г * = у” (sign ух) (1+у'х ) .
л/1 + Ух
Итак
v = sign у"
(8)
Переходя в равенстве (7) к проекциям, учитывая (6) и (8),
получим
(1+У'х2) ~y>igny; = ^х(1+У'х2)
^ = x+y"signy; (l+j/'x2)V2 У"
П = У +
У"^УХ
(1
signy"
, гх1/2
+ У'х)
(9)
= У +
Докажем, что нормаль к кривой (эвольвенте) в точке
А= (х, f (х)) является касательной к эволюте у в точке
Oj = (£,, Т]). Достаточно для этого доказать, что касательные
320
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
к кривой Г и к эволютеу в соответствующих точках ортого-
нальны (перпендикулярны):
+ У'хП'х = 1
Ух у: у
,fi+y'2
Д у"
= 0.
Другое важное свойство эволюты заключается в сле-
дующем. Приращение радиуса кривизны эвольвенты рав-
но с точностью до знака приращению длины
соответствующей дуги эволюты:
R2-Ry= ±|сг2 - oj.
На доказательстве этого свойства мы не останавливаемся.
Представим себе нить, навернутую на эволюту. Пусть
она сматывается с последней, будучи все время натянутой.
—г—Отделяясь от эволюты, она, очевидно, все
/ / /X время будет касаться эволюты. Свободный
I // же ее конец будет описывать эвольвенту
/ /(рис. 89). Так как длина нити может быть
\1у произвольной, то эволюта порождает бес-
/ конечно много эвольвент. Длина, на кото-
1 рую сматывается нить с эволюты, равна,
Рис. 89 очевидно, приращению радиуса кривизны
эвольвенты. Если криваяГ задана парамет-
рически: х = х (t), у = у (/), то эволюта определяется уравне-
ниями
р2 р2
, X +у.
Z = x-yt Д, Д „
'ед-г/л
^ = у + х'^у^х" (10)
(см. § 4.11).
Пример 1. Эволюта циклоиды х = t - sin t, у = t -
cos t есть кривая с, = t + sin t, T) = —1 + cos t. Полагая t = x +
+ л, получим уравнения
£, - л = т - sin x, T] + 2 = l- cos x,
$ 7.5. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
321
определяющие исходную кривую, но только сдвинутую (эво-
люта циклоиды есть циклоида, конгруэнтная исходной,
рис. 90).
Рис. 90
Рис. 91
Пр и м е р 2. Эволюта эллипса х = a cos t, у = Ь sin t
(а^ Ъ> 0) есть астроида (рис. 91)
2,2 2,2
t а -Ъ „ з . _ а -Ь - з .
ц — COS t, Т) — sin t.
а а
§ 7.5. Площадь поверхности вращения
Пусть Г есть кривая, описываемая в прямоугольной
системе координат х, у положительной функцией у = f (х)
(а < х < Ь), имеющей на [а, Ь] непрерывную производную.
Вычислим площадь S поверхности вращения Г вокруг оси
х. Для этого произведем разбиение а = х0 < х1 < ... < х„ = Ь,
впишем в кривую Г ломаную Гп с вершинами (xk f (хл), вы-
числим площадь поверхности вращения последней вокруг
оси х (сумма площадей боковых поверхностей усеченных
конусов):
sn =71 TJf(xk) + f Ofc+i)] тМ+Д% ,
*=o
ДУ* = H**+i) “ Н*о)-
Числов, равное пределу Sn приХд — 0, если он существует,
11. Заказ 704
322
ГЛАВА 7, ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
называется площадью поверхности вращения. Применяя
теорему Лагранжа к разности Дук, получим
Sn = n (xk) + f (хА+1)] Jl+(/'O2 ^хк =
fe=O
=&(U 7i+(f(U)2 -*
k=0
-* 2 л J/(x) 71+(f'(x))2 dx
при= max Лхк — 0; согласно теореме Лагранжа точка
е (хк, хк+1). В самом деле, так как f и f непрерывны на [а, Ь],
то f (х) ^/1 + (/”(х))2 интегрируема, поэтому
+(f(U)2 Axfc = 2л J ДхХ/1+(f(х))2 dx.
Далее
|Я„1 =
^£[^) + ^+1)-2^fc)]5/l + (f(UMxfc «
Jfe=0
< Лд/1 + М2 £ [\f (xft) - f £*)| + \f (xk+l) - f (^)| ]Ax, <
fe=0
< 2л + (ЛАхл - > 0,
Jb=O
так как / интегрируема. Здесь МЛ = max|f' (х)1. Таким обра-
х а<х<&
зом, площадь поверхности тела вращения равна
Ь ---------
S = SS" = 2лМх) Vl+(/'(x))2dx. (1)
а
Пример. Найти площадь S поверхности вращения
эллипса
^+^2=1 («>Ь)
а Ь
вокруг осих (площадь поверхности эллипсоида вращения).
8 7.6. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
323
Решение. Уравнение верхней половины эллипса
. _ f .--- 4 aria -Ъ
= ——\—^а -и +—arcsin=
аЧаг-Ь2\2 2 а\ 0
= 2лЬ2+ arcsin^^- .
Ja-b2 «
При b -* а в пределе получим, что S = 4ла2 — площадь
поверхности шара радиуса а.
§ 7.6. Интерполяционная формула Лагранжа
Поставим задачу. Требуется найти алгебраический мно-
гочлен Ln (х) степени не выше, чем п, который совпадал бы
с функцией f (х) в заданных точках х0, хр ..., хп. Таким
образом, должны выполняться условия
f(x*) = L„(x*) (ft = 0, 1, ..., п).
Многочлен Ln (х) единственный. Если предположить, что
существует еще один многочлен Ln (х) с теми же свой-
ствами, то разность Ln (х) - Ln (х) обратится в нуль в п + 1
точке х0, ..., хп и будет алгебраическим многочленом сте-
пени не выше, чемп, значит, разность тождественно равна
нулю и Ln (х) = Ln (х).
Из единственности следует, что если исходная функ-
ция f(x) сама является алгебраическим многочленом сте-
пени п, то она совпадает с Ln (х) для всех х (f (х) s Ln (х)).
324
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Сначала найдем алгебраический многочлен степени п
Q„, k (х)> который в точках х£ xk равен нулю, а в точке хк
равен единице. Очевидно, что
Qn, к <х) = А(х - хо)-(х ~ ха 1) (х “ xfc,i)-(x - ХЛ
где постоянная А находится из условия
1 = Qn.k(ха)=А П(х*-х<). т-е-А = fl(x*-x.)-1-
i=0 i=0
i*k
Таким образом, искомый многочлен имеет вид
"ГТ (•£ —
i*k
Если ввести в рассмотрение символ Кронекера
х _ J 0, k I,
I , .
I 1, k = i,
то
Qn, к (Xi) = ^kf
Поставленную задачу решает многочлен
Ln(x) = XQn,k(x)f(xk), (1)
л=о
ибо
Ln (Xi) = YQn, к (Xf) f (Xk) = X5kif (Xa) = f (X.)
*=0 k=o
(i = 0, 1, ..., n).
Многочлен (1) называется интерполяционным много-
членом Лагранжа.
Так же как при получении формулы остаточного чле-
на в формуле Тейлора можно показать, что если f (х) имеет
производную (п + 1)-го порядка, то
f(x)-Ln(x) = ^Jcon+1(x), (2)
где
юп+1(х) = П(х-х)
»=0
и — некоторая точка, принадлежащая к наименьшему
§ 7.6. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
325
отрезку, содержащему точки х0, хрхп, х. В самом деле,
положим для фиксированного х
f (*) “ (х) = К(О„+1 (х), (3)
где К — величина, зависящая от х. Обозначим
Ф (z) = f (z) - Ln (z) - Кcon+1 (z),
где К имеет то же значение, что и в (3), это величина, не
зависящая otz. Ясно, чтоф (х) = 0, ф (х() = 0 (i = 0, 1,п).
Пусть, например, х0 < х < хг < ... < хп, тогда, применяя
теорему Ролля к функции ф на отрезках [х0, х], [х, xj,...,
[xnl, хп], получим, что производнаяф' (х) обращается в нуль
внутри каждого из них. Затем, применяя теорему Ролля
последовательно к функциям ф', ..., ф(п) получим, что су-
ществует точка %, принадлежащая наименьшему отрезку,
содержащему в себе точки х, х0, xv..., хп, в которой ф(”+1) (£,) =
= 0, но
ф(п+1) (z) = /п+1) (z) - K(n + 1)!.
Полагая z = £., получим К = -— Поэтому
(п+1)!
/П+1)(Е)
f (х)“ (х)= ®п+1
и равенство (2) доказано.
Интерполяционный многочлен Лагранжа находит
применение в приближенном вычислении производных
функции f (х), когда ее значения известны только в точ-
ках х0, Xj, ..., хп. А именно, полагают
/*’(х)«^’(х).
Например, если f (х) известна в точках х0, хг, то, по-
строив по этим точкам многочлен Лагранжа Lr (х), найдем,
что
Х1 х0
326
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
В последующих параграфах мы укажем применение
многочлена Лагранжа при приближенном вычислении оп-
ределенного интеграла.
§ 7.7. Квадратурные формулы
прямоугольников и трапеций
Пусть надо вычислить определенный интеграл от непре-
рывной на отрезке [а, &] функции f. Если известна ее перво-
образная, то для этого естественно применить формулу Нью-
тона-Лейбница. Но далеко не всегда первообразная извест-
на, и возникает задача о приближенном вычислении интег-
рала.
Простейший способ приближенного вычисления опре-
деленного интеграла вытекает из определения последнего,
Делим отрезок [а, Ь] на равные части точками
xk = a + k^ (k = 0, 1, .... N) (1)
и полагаем
(2)
где знак « выражает приближенное равенство.
Выражение (2) называется квадратурной формулой
прямоугольников. В случае рис. 92 искомая площадь фи-
гуры, ограниченной кривой у = f (х), осьюх и прямыми
х = а, х = Ь, приближенно равна сумме площадей
изображенных там прямоугольников.
Рис. 92
§ 7.7. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ И ТРАПЕЦИЙ
327
Мы знаем, что для непрерывной на [а, Ь] функции пре-
дел при N — оо правой части приближенного равенства (2)
точно равен левой, что дает основание считать, что при боль-
шом N ошибка квадратурной формулы (2), т. е. абсолют-
ная величина разности правой и левой ее частей, мала. Од-
нако возникает вопрос об оценке ошибки. Ниже мы узнаем,
как эту оценку получить, если потребовать, чтобы функция
f, кроме непрерывности, удовлетворяла некоторым услови-
ям гладкости (т. е. имела бы некоторое число производных).
Очень важно заметить, что если функция f (х) = Ах + В
есть линейная функция, то для нее формула (2) точка —
правая часть (2) в точности равна левой. Так как линейная
функция есть многочлен первой степени, то мы можем ска-
зать, что квадратурная формула прямоугольников точна
для всех многочленов не выше первой степени.
Дадим еще второй естественный способ приближенно-
го вычисления определенного интеграла, приводящий к
квадратурной формуле трапеций. Он заключается в том,
что отрезок [а, Ь] делится на равные части точками системы
(1) и полагается приближенно, что
jf(x)dx ~ b-a^M+fa) + +... + =
[f (*0) + 2f (х,) + 2f (x2) + ... + 2f (хл-1) + f (xN)].
В формуле трапеций площадь рассмотренной выше
криволинейной фигуры приближенно исчерпывается пло-
щадями трапеции (рис. 93). Важно отметить, что формула
трапеций точна для линейных функций Ах + В (А, В —
постоянные), т. е. для многочленов не выше первой степе-
ни; если подставить такую функцию в (3) вместо /(х), то
получится точное равен-
ство. В этом смысле фор-
мула трапеций не имеет
преимущества перед фор-
мулой прямоугольников,
обе они точны для линей-
ных функций.
Рис 93
328
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Разность между левой и правой частями квадратурной
формулы обозначим через HN (f) и будем называть остаточ-
ным членом квадратурной формулы.
Если функция f имеет кусочно-непрерывную производную
f, удовлетворяющую неравенству \f (х)| < М}, то остаточный
член формулы прямоугольников (2) подчиняется неравенству
(3)
а остаточный член формулы трапеций (3) подчиняется нера-
венству
(4)
Нужно сказать, что здесь константы вычислены точно — их
нельзя уменьшить. Вывод оценки (2) приведен ниже. Осталь-
ные оценки мы даем без доказательства.
Мы видим, что в обоих случаях для класса функций, име-
ющих ограниченную производную \f (х)| < М}, остаточные
члены имеют порядок О (А^1) (см. § 3.10, (14)).
Для класса же функций, имеющих ограниченную вторую
производную |f" (х)| < М2 на [а, &], имеет место оценка
верная для формул прямоугольников и трапеций. Теперь уже
порядок приближения посредством обеих рассматриваемых
квадратурных формул есть О (N~2).
Оказывается, что для класса функций, имеющих ограни-
ченную производную порядка I > 2, порядок приближения по-
средством формул прямоугольников и трапеций не улучшает-
ся — порядок остается равным О (АГ2).
Объяснение этого явления тесно связано с тем фактом, что
обе квадратурные формулы — прямоугольников и трапеций —
являются точными для многочленов первой степени, но они
неточны для многочленов степени выше чем 1.
Если функция/имеет третью ограниченную производную,
то можно придумать квадратурную формулу, дающую погреш-
ность приближения порядка О (АГ3). Эта формула должна быть
точной для многочленов второй степени. Но если она не точна
для многочленов третьей степени, то для функций, имеющих
§ 7.7. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ И ТРАПЕЦИЙ
329
ограниченную производную четвертого порядка, погрешность
приближения остается имеющей порядок О (№3).
Явление, которое здесь описывается, будет проиллюстри-
ровано на примере квадратурной формулы Симпсона* в § 7.8.
Приведем доказательство оценки (3). Введем обозначения:
h = xt — точки системы (1). Тогда
ъ
N-1
О
о
О ? h
^~2
h
НЛ ^2 ПЛ V
£ J f(x)dx-hf(^ = £ J ,
О г Л ° г. л
г л
^2
о
F -А
2
так как
f f(^)dx = ftf(^).
Применяя теорему Лагранжа под знаком интеграла и учиты-
вая, что |f (х)| < M]t получаем
2V-1 ^*-2
ФпМ^Х J f(e*)-(x-Udx
о
л
2
АГ-1 .2 пл ".2
< £ f If (e^llx-^ldx^MiX f |x-^|dx,
0 0
где 6t — точка, лежащая между x и E,fc. Производя замену
переменной х — = t, получаем
v-; Ы2 л/2
^(/)|<М, X ) = J tdt =
о -Л/2 О
+2
= 2M.N
h/2
О
M^Nh2 Mfi-af
4 “ 4N
* Т. Симпсон (1710-1761) — английский математик.
330
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
§ 7.8. Формула Симпсона
Пусть требуется приближенно вычислить интеграл от
непрерывной функции f (х):
ь
J/(X) dx. (1)
а
Будем искать приближенное значение интеграла в виде сум-
мы
г п
Jf to dx « pkf (хк),
a k=O
(2)
где р0, pv ...,рп и х0, хрхп 6 [а, Ь] — заданные числа.
Формула (2) называется квадратурной формулой с уз-
лами хк и весовыми коэффициентами pk.
При построении конкретных приближенных формул
мы выставляем требование, чтобы формула (2) была точной
для алгебраических многочленов степени п. Это условие
будет выполнено, если в качестве приближенного значения
интеграла (1) мы возьмем определенный интеграл от интер-
поляционного многочлена Лагранжа п-й степени функции
/:
Jf(x)dx» jLn(x)dx =
= J * to f dx=ipkf to)» (3)
a k=O k^O
Pk = jQn>*todx(fe = O, 1
*)»<?„,* to = П
i=0
(Мг
a --to-*/
° 0»*
потому что, если f (x) — многочлен степени n, то f (x)=Ln (x).
Получим формулу (3) для случая n = 2 и узлов х0 = а,
а + Ь . г,
Xj = -- , х2 = о. В этом случае
Сл
®2,о(х) —
(х-х1/х-х2) _ (х—b)(2x-g-b) _ 2(х-Ь)2 | X-b
to-^)to-x2) (b-af (b-a)2 b-a'
$ 7.8. ФОРМУЛА СИМПСОНА
331
(х-х0)(х-х2) -4(x-a)(x-b)_ 4(x-b)2 ^х-Ь
^2.1(х)- (^-х0)(^-х2) (b-а)2 (b-а)2 Ъ-а’
о (= = (х-о)(2х-а-&) = 2(х-а)2 _ х-а
*2’21 1 (х2-х0)(х2-х1) (b-а)2 (b-а)2 Ь-а'
Поэтому
ъ
Ро = jQ2,o(X)dx =
а
2(х-Ь)3 ! (Х~Ь)2 Ь = а
З(Ь-а)2 2(Ь-а)]о 6
Аналогично рассуждая, получим
г i \ j 2(&-а) » 2(Ь-а)
Pt ~ JQ 2,1 (*') g > Р2 ~ J Q2, 2(х) {^’Х ~ g
а а
В силу этого формула (3) при п = 2 имеет вид
J f (х) dx я bja[/(a)+4/(^)+/(&)]. (4)
а
Эта простейшая квадратурная формула Симпсона,
соответствующая отрезку
[а, Ь].
С геометрической точки
зрения формула (4) означает,
что мы заменили площадь
криволинейной трапеции,
определяемой функцией f (х)
на [а, &], на площадь, находя-
щуюся под графиком парабо-
лы (рис. 94):
у = L2 (х) = f (a) Q2 „ (х) + f (^) Q2 j (х) + f (b) Q2 2 (x).
Еще раз отметим, что по построению формула (4) точ-
на для многочленов второй степени. Однако оказывается,
что она точна и для многочленов третьей степени. В самом
деле, (х3 dx = ———
а 4
а правая часть формулы (4) для фун-
2
кции f (х) = х также равна этому числу:
332
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Ь-а
6
3 ~|
+ b3
' 2 1 6
(а+Ь)(аг - ab+Ь2)+
(а+Ь)3’
2
6
,2 2
__ Ь а
Таким образом, формула (4)точна для многочленов не выше
третьей степени.
Если разделить отрезок [а, Ь] на 2N равных частей точ-
ками
xk = a + ^k (fe = O, 1, ...,22V)
и к отрезкам [х0, х2], [х2, х4],... применить формулу (4), то в
результате получим (усложненную) квадратурную форму-
лу Симпсона
ь
J/(x) dx к {/• (ХО) + 4/ (Xj) + 2f (х2) + 4/ (х3)+ ...
... + 2f(x2N_2) + 4/(x2N_i) + f(x2N)}. (5)
С точки зрения практических вычислений сложность вы-
числений по формуле Симпсона и прямоугольников одинако-
ва. Но если функция f достаточно гладкая, то погрешность
приближения по формуле Симпсона при бoльшиx^ значитель-
но меньше соответствующей погрешности при приближении
методом прямоугольников.
Если функция f (х) имеет на отрезке [а, Ь] первую или вто-
рую непрерывную производную, удовлетворяющую неравенству
If (х)| < М, или \f" (х)| < М2,
ь
а третью не имеет, то при вычислении интеграла J f (х) dx реко-
а
мендуется применить формулу прямоугольников или трапе-
ций.
Погрешность приближения по формуле прямоугольников
или трапеций (§ 7.7, (3)) будет порядка N1.
S 7.8. ФОРМУЛА СИМПСОНА
333
А по формуле Симпсона — порядка N2 в случае вто-
рой производной и АГ3 в случае третьей производной.
Если же функция f (х) имеет на [а, Ь] четвертую непрерыв-
ную производную, удовлетворяющую неравенству
|/4>(х) « М4, (6)
то в этом случае рекомендуется применить формулу Симпсо-
на. При этом погрешность приближения будет:
1 (Ь~а)5
-2880 А4
М4.
(7)
Если бы мы в этом случае применили формулу трапеций,
то погрешность приближения по-прежнему имела бы порядок
А-1, т. е. была бы хуже чем (7).
Пример 1. Вычислить интеграл
I = J Vl + x4 dx.
о
Данный интеграл (от биномиального дифференциала) не
вычисляется в элементарных функциях.
Вычислим этот интеграл приближенно, деля отрезок [0, 1]
на десять равных частей, используя различные квадратурные
формулы.
Обозначим точки деления [0, 1] через х0= 0, х, =0, 1,....
хд = 0,9, х10 = 1. Вычислим приближенно значения функции
/(х) = А+ х4 в этих точках:
/(0)= 1, /(х,)= 1,00005, f(x2)= 1,00080,
/(х3)= 1,00404, /(х4)= 1,01272, /(х5)= 1,03078,
f(x6)= 1,06283, /(х7)= 1,11360, /(х8)= 1,18727,
/(х9)= 1,28690, /(х10) = 1,41421.
Согласно квадратурной формуле трапеций
[f(x0) + 2f(x,)+ ... + 2/(х9) + /(х1О)]=^^121^ = 1>09061-
z0
Функция f (х) = Vl + x4 имеет сколько угодно непрерыв-
334
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
ных производных на промежутке [0, 1]. Погрешность форму-
лы трапеций определим, исходя из факта существования вто-
рой непрерывной производной
f (х) = 2х2 (3 + х4)/(1 + х4)3/2.
Так как М2 = max f (х) = 2 -J2, то остаточный член форму-
лы трапеций
Итак,
1= 1,0906 ±0,0024.
По формуле Симпсона (2N =10)
I ~ [/ (х0) + 4/ (х,) + 2f (х2) + 4f (х3) + 2f (х4) + 4/ (х5) +
Ои
+ 2f (х6) + 4/ (х7) + 2f (х8) + 4/ (х9) + f (х,0)] = ЗЦ8473 = j j08949.
Остаточный член формулы Симпсона можно определить,
учитывая, что f (х) имеет непрерывную производную четвер-
того порядка (наличие производных порядка выше четвертого
не влияет на точность формулы Симпсона)
/4) (х) = 12(1 - 14х4 + 5х8)/(1 + х4)7/2.
Так как М. - шах |/4) (х)| < 15 J2, то
4 X
<f> * ssh«* °',,ГЮ012 < <,•<,<,0,,2•
Таким образом,
1= 1,08949 ±0,00002,
т. е. формула Симпсона значительно точнее формулы трапе-
ций для достаточно гладких функций и большого N.
Замечание. Все вычисления производились при помо-
щи ручного микрокалькулятора «Электроника БЗ—18М».
Глава 8
Дифференциальное исчисление
функций многих переменных
§ 8.1. Предварительные сведения
Понятие функции многих переменных введено в
§3.1.2. Нам предстоит построить дифференциальное
исчисление для функций многих переменных. Основные
сведения мы излагаем для функций двух переменных. По-
лученные результаты легко распространяются по аналогии
на случай большего числа переменных. Мелким шрифтом
излагается n-мерный случай.
Итак, мы будем рассматривать пространство (пло-
скость) Н2 точек (х, у). Зададим в R2 точку (х0, у0).
Множество точек (х, у), координаты которых удовлет-
воряют неравенству
(х - х0)2 + (у - у0)2 < а2 (а > 0),
называется открытым кругом радиуса а с центром в точ-
ке (*о> Уо)-
Множество же точек (х, у), координаты которых удов-
летворяют неравенствам
|х - х0| < а, |у - у0| < Ь (а,Ь> 0),
называется открытым прямоугольником.
Если а = Ь, то открытый прямоугольник обращается в
I
336 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
открытый квадрат с центром в точке (х0, у0) с длиной
стороны 2а:
|х - х0| < а, \у- у0| < а.
Любой открытый круг радиуса £ > 0 или квадрат со
стороной длины 2е с центром в точке (х0, у0) называется
окрестностью или (-окрестностью этой точки.
Если задана последовательность точек
(хр У1), (х2, у2), (х3, у3).
то будем еще говорить, что переменная точка
(xk,y^ (fe=L,2, 3, ...)
пробегает значения этой последовательности.
Говорят также, чтопоследовательностъ точек {(xfc, у^}
или переменная точка (хА, у^) стремится к точке(х0, у0) при
/г — оо, если расстояние между этими точками стремится к
нулю при k -* 00;
7(^-^)2+ («/*-%)2 -0 (k -* оо). (1)
При этом пишут
у*) -* (Х0> Уо) (fe °0)-
Свойство (1) эквивалентно, очевидно, следующим двум
свойствам:
xk *о)’ Vk Уо (k— °°)> t1')
которые должны выполняться одновременно.
Свойство (1) можно выразить еще такими словами: для
всякого £ > 0 найдется натуральное число N такое, что точ-
ка (хь, yk) окажется в открытом круге радиуса £ с центром в
(х0, у^ для всех k > N.
Свойство же (1') можно выразить так: для всякого £ > О
найдется натуральное число N такое, что точка (xfc, yt) ока-
жется в открытом квадрате со стороной длины 2е и центром
(х0, у0) для всех k > N.
Обе эти формулировки можно объединить, сказав, что
8 8.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
337
для всякого Е > 0 найдется натуральное число N такое, что
точка (хк, ук) окажется в £-окрестности точки (х0, у0) для
всех k > N.
В n-мерном евклидовом пространстве Rn расстояние меж-
ду точками х = (хр хл) и у = (ур .... уп) определяется по
формуле
I* - у| = •
«ь=1
В Ял множество точек х = (хр хл), для которых выпол-
няется неравенство
Ек-**)2<а2 (а>°)>
к=1
называется п-мерным открытым шаром радиуса а с центром
о/о о\
в точке х = 1х1,...,х\.
Множество же точек х, координаты которых удовлетворя-
ют неравенствам
I о| I 01
|х1-х1|<ар ..., |хл-хл| < ал,
где а1г аг,ап — заданные положительные числа, называется
п-мерным открытым прямоугольником (параллелепипедом).
Если
П] = а2 = ... = ал = а,
то параллелепипед превращается вп-мерный открытый, куб с
о/о о\ п
центром в точке х = Iх1,..., хл) и ребром длины 2е.
Любой открытый n-мерный шар радиуса £ или куб с цент-
ром в точке х° и длиной ребра 2е называется п-мерной
Е-окрестностью точки х°.
Последовательность точек в Rn
х1 = (4..., х’), х2 = ..., хл), х3 = ..., х„), ...
определяет переменную точку
х*=(^,...,х^) (k =1,2,3,...).
Переменная точка хк стремится к точке х°= (х^,...,хл),
338 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
если расстояние между этими точками стремится к нулю при
k -» ОО;
I к
|х — X I =
(k - ОО). (2)
Свойство(2) эквивалентно следующим п свойствам, кото-
рые должны выполняться одновременно:
Ы х*-х°г,..., х^х°, (k - ОО). (2')
Свойство (2) или (2') можно выразить enje словами: для
всякого Е > О можно указать натуральное число N такое, что
для всех k > N переменная точках* окажется принадлежащей
о
Е-окрестности точки х .
§ 8.2. Предел функции
В § 3.2 рассматривалось понятие предела функции од-
ной переменной. Здесь это понятие обобщается на случай
функции многих переменных.
Ограничимся случаем двух переменных х, у. По опре-
делению функция f (х, у) имеет предел в точке (х0, у(}), рав-
ный числу А, обозначаемый так:
lim / (х, у)=А (1)
У~Уо
(пишут еще f (х, у)~* А при (х, у) -» (х0, у0)), если она опре-
делена в некоторой окрестности точки (х0, у0), за ис-
ключением, быть может, самой этой точки и если суще-
ствует предел
lim f(xk, yk)=A, (2)
какова бы ни была стремящаяся к (х0, у0) последователь-
ность точек (хА, yfe).
Так же, как в случае функции одной переменной, мож-
но ввести другое эквивалентное определение предела функ-
ции двух переменных: функция f имеет в точке (х0, у0) пре-
j 8.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
339
дел, равный А, если она определена в некоторой окрестности
точки (х0, у0) за исключением, быть может, самой этой точ-
ки, и для любого £ > 0 найдется такое 5 > О, что
\f(x,y)-A\<£ (3)
для всех (х, у), удовлетворяющих неравенствам
° < 7(х-^)2+(г/-Уо)2 < 5- (4)
Это определение, в свою очередь, эквивалентно сле-
дующему: для любого £ > 0 найдется 5-окрестность точки
(х0, у0) такая, что для всех (х, у) из этой окрестности, отлич-
ных от (х0, у0), выполняется неравенство (3).
Так как координаты произвольной точки (х, у) окрест-
ности точки (х0, у0) можно записать в виде х = х0 + Дх, у = у0+
+ Ду, то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:
Ит f (х0 + Дх, у0 + Ду) = А.
Ду-0
Рассмотрим некоторую функцию, заданную в окрест-
ности точки (х0, у0), кроме, быть может, самой этой точки.
Пусть со = (сох, сор) — произвольный вектор длины еди-
ница (|со|2 = со2 + со2 = 1) и t > 0 — скаляр. Точки вида
(х0+ tcox, y0 + t(£>y) (Oct)
образуют луч, выходящий из(х0, у0) в направлении вектора
ю. Для каждого со можно рассматривать функцию
f (*о + Уо + toy) (0 < t < 5)
от скалярной переменной t, где 5 — достаточно малое чис-
ло.
Предел этой функции (одной переменной t)
f (х0 + t<ax, у(} +
|>0
если он существует, естественно называть пределом f в точ-
ке (х0, у0) по направлению со.
340 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пример 1. Функции
f (*, у) = , ф (х, у) = V-^2
х +у X +у
определены на плоскости (х, у) за исключением точки х$ = 0,
у0 = 0. Имеем (учесть, что х3 < (х2 + у2)3/2 и у3 < (х2 + у )3/2):
2 22,2
V (х, 01 < ' 2 I = + ,«) - о (х - 0, и - 0).
X +у
Отсюда
lim f (х, у) = 0
(для Е > 0 полагаем 5 = е/2 и тогда |/ (х, у)| < £, если -Jx2+у2 <
<8).
Далее, считая, что k — постоянная, имеем для y = kx
равенство
1 — k2
ф<*’вд=гй?’
из которого видно, что предел ф в точке (0, 0) по разным
направлениям вообще различен (единичный вектор луча
у = kx, х > 0, имеет вид со = I т* -, ->- —
\yll+k yll + k2))
Пример 2. Рассмотрим в Лг функцию
/(х, у) = -^~2 (х4 + г/2*0).
х +у
Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой у = kx,
проходящей через начало координат, имеет предел, равный
нулю:
/ (х, kx) = Л* z 2= 2fe~.2 — 0 ПРИ X -» 0.
X +k X X +k
Однако эта функция не имеет предела в точке (0,0), ибо при
У = х2
§8.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
341
f(x, х2) = -^—4 =| и lim/(х, X2) = 1.
х +х 2 х-л 2
у=х2
Будем писать
lim/(x, у) = оо,
V-.v.i
если функция f определена в некоторой окрестности точки
(х0, у0), за исключением, быть может, самой точки (х0, у0) и
для всякого N > 0 найдется 5 > 0 такое, что
\f(x,y)\>N,
коль скоро 0 < т](х- х0)г + (у- у0)2 < 5.
Можно также говорить о пределе f, когда х, у —► оо;
Ит/(х, у)=А. (5)
X—00
J/—
Например, в случае конечного числа А равенство (5)
надо понимать в том смысле, что для всякого £ > 0 най-
дется такое N > 0, что для всех х, у, для которых |х| > N,
|у| > N, функция f определена и имеет место неравенство
|/(x, £/)-А| <£.
Справедливы равенства
lim[/ (х, у) ± ф (х, у)] = lim/ (х, у) ± lim<p (х, у), (6)
х—х~*хо
У—Уц У^У() У~Уо
lim (/ (х, у) • ф (х, у)) = lim/ (х, у) Нтф (х, у), (7)
Х-Лф х-х^ х-д^
У~*Уо У^Уп У~*Уп
lim/(x, у)
Нт^)=^___________
x-^<p(x,i/) lim<p(x, у)
Х-Лд
(lim ф (х, у) Ф 0), (8)
X-lj,
V~V0
где может быть х —* оо, у — оо. При этом, как обычно, пре-
делы (конечные) в их левых частях существуют, если суще-
ствуют пределы / и ф.
Докажем для примера (7).
342 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть {хк, ук) -> (х0, у0) ((хк, Ук) * (хп, у0У); тогда
lim (f (хк, ук) • ф (хк, ук)) = lim f(xk, Ук)х
X lim Ф (хк, ук) = lim/ (х, у) Птф (х, у). (9)
х-х0 х-х*,
У~Уо V~V0
Таким образом, предел в левой части (9) существует и
равен правой части (9), а так как последовательность (хк, ук)
стремится к (х0, у0) по любому закону, то этот предел равен
пределу функции f (х, у) ф (х, у) в точке (х0, у0).
Теорема 1. Если функция f (х, у) имеет предел, не
равный нулю в точке (х0, у0), т. е.
Ит/(х, у)-АФ О,
V~Vo
то существует 5 > 0 такое, что для всех х, у, удовлет-
воряющих неравенствам
0 < ^x-xof + (y-yo)2 < б. (Ю)
она удовлетворяет неравенству
|/ (X, у)| > . (11)
Больше того, она сохраняет там знак числа А
В самом деле, положив £ = > 0, найдем 5 > 0 такое,
Zj
чтобы для (х, у), удовлетворяющих неравенствам (10), вы-
полнялось
|/(х,у)-А|<^. (12)
Zj
Поэтому для таких (х, у)
IAI
-у > |А - f(x, у)| > |А| - \f (х, у)|,
т. е. имеет место (11). Из (12) для указанных (х, у) следует
<f(x, у)<А + ^,
§ 8.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
343
откуда
У < f (х9 у) при А > О
и
А
f(x,y)<-^ приА<0
(сохранение знака).
Замечание. В§ 8.12 будет дано более общее опре-
деление предела функции, заданной на произвольном мно-
жестве.
По определению функция f (x) = f (х,,..., хп) имеет предел
в точке х°— (х°,...,х“), равный числу А, обозначаемый так:
lim f(x) = lim/ (х„ ..., хп)=А
X—X X,— Xj
(пишут еще f (х) — А(х — х0)), если она определена на некото-
рой окрестности точки х°, за исключением, быть может, ее
самой, и если существует предел
lim f(xk)=A,
|х -хо|—0
xW
какова бы ни была стремящаяся к х° последовательность то-
k о
чекх из указанной окрестности (Л = 1, 2, ...), отличных отх
(см. §8.1).
Другое эквивалентное определение заключается в следу-
ющем: функция f имеет в точке х° предел, равный А, если
она определена в некоторой окрестности точки х°, за исклю-
чением, быть может, ее самой, и для любого £ > 0 найдется
такое 5 > 0, что
|/(х)-А|<£ (13)
для всех х, удовлетворяющих неравенствам
О < |х - х°| < 5.
Это определение в свою очередь эквивалентно следующе-
му: для любого £ > 0 найдется окрестность U (х°) точки х°
такая, что для всех х е U (х°), х Ф х°, выполняется неравен-
ство (13).
344 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Очевидно, что если число А есть предел f (х) в х°, то А есть
предел функции f (х° + h) от h в нулевой точке:
limf (х° + h) =А,
и наоборот.
Рассмотрим некоторую функцию f, заданную во всех точ-
0 , о
ках окрестности точки х , кроме, быть может, точки х ; пусть
со = (со j,..., соп) — произвольный вектор длины единица (|со| = 1)
и t > О — скаляр. Точки вида х°+ № (0 < t) образуют выходя-
щии изх луч в направлении вектора СО. Для каждого® мож-
но рассматривать функцию
/(х° + to) = f(x° + to,, .... х° + ton) (0< t<8(0))
от скалярной переменной t, где 8М есть число, зависящее от (О.
Предел этой функции (от одной переменной t)
lim f(x° + to) = lim f (x.0 + to., ..., x° + to„),
если он существует, естественно назвать пределом f в точкех0
по направлению вектора со.
Будем писать lim/(х) - оо, если функция f определена в
X—Х°
некоторой окрестности х°, за исключением, быть может, х°, и
для всякого N > О найдется 8 > 0 такое, что |/(х)| > N, коль
скоро 0 < |х - х°| < 8.
Можно говорить о пределе f, когда х -* оо:
lim/(x)=A (14)
X—оо
Например, в случае конечного числаА равенство (14) надо пони-
мать в том смысле, что для всякого е > 0 можно указать такое
N > 0, что для точек х, для которых |х| > N, функция f опреде-
лена и имеет место неравенство |/ (х) - А| < е.
Итак, предел функции f (х) = f (х,, ..., х„) от п переменных
определяется по аналогии так же, как для функции от двух
переменных.
Равенства (6), (7), (8) и теорема 1 непосредственно
распространяются на n-мерный случай.
§ 8.3. НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ
345
§ 8.3. Непрерывная функция
По определению функция f(x, у) непрерывна в точке
(х0, у0), если она определена в некоторой ее окрестности, в
том числе в самой точке (х0, у0) и если предел f (х, у) в этой
точке равен ее значению в ней:
lim f(x,y) = f(xn, у0). (1)
Условие непрерывности /в точке (х0, у0) можно записать
в эквивалентной форме:
lim f (х0 + Дх, у0 + Ду) = f (х0, у0), (1')
Дх—
т. е. функция f непрерывна в точке (х0, у0), если непрерывна
функция f (х0 + Дх, у0 + Ду) от переменных Дх, Ду при Дх =
= Ду = 0.
Можно ввести приращение Ди функции
u = f(x, у)
в точке (х, у), соответствующее приращениям Дх, Ду аргу-
ментов
Ди = f (х + Дх, у + Ду) - f (х, у).
и на этом языке определить непрерывность f в (х, у): функ-
ция f непрерывна в точке (х, у), если
lim Ди = 0. (1')
ЛХ-^
Ду-ль
Из формул (6) -— (8) § 8.2 непосредственно следует
Теорема 1. Сумма, разность, произведение и част-
ное непрерывных в точке (х0, у0) функций, f и <р есть не-
прерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае
частного <р (х0, у0) Ф 0.
Постоянную с можно рассматривать как функцию
f (х, у) = с
346 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
от переменных х, у. Она непрерывна по этим переменным,
потому что
\f (х, y)-f (х0, у0)| = |с - е| = О 0.
Следующими по сложности являются функц ии f (х,у)=X
и f (х,у)=у. Их тоже можно рассматривать как функции от
(х, у), и при этом они непрерывны. Например, функция
f (х, у) = х приводит в соответствие каждой точке (х, у)
число, равноех. Непрерывность этой функции в произволь-
ной точке (х, у) может быть доказана так:
|/ (х + Дх, у + Ду) - f (х, у)| = |(х + - *1 = |Д*| <
< ^&х2+Лу2 >0.
Ду-0
Если производить над функциями х, у и постоянными
действия сложения, вычитания и умножения в конечном
числе, то будем получать функции, называемые многочле-
нами отх, у. На основании сформулированных выше свойств
многочлены от переменных х, у суть непрерывные функ-
ции от этих переменных для всех точек (х, у) е й2.
Отношение Р/Q двух многочленов от (х, у) есть рацио-
нальная функция от (х,у), очевидно, непрерывная всюду
на R2, за исключением точек (х, у), где Q (х, у) = 0.
Функция
Р (х, У) = X3 - у2 + х2у - 4
может быть примером многочлена от(х,у) третьей степени,
а функция
Р (х, у) = х4 - 2х2у2 + у4
есть пример многочлена от (х, у) четвертой степени.
Приведем пример теоремы, утверждающей непрерыв-
ность функции от непрерывных функций.
Теорема 2. Пусть функция f (х, у, г) непрерывна в
точке(х0, у0, г0) пространства R3 (точек (x,y,z)),a функ-
ции
х = ф{и, и), у = у(и, и), z = x(u,u)
§ 8.3. НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ
347
непрерывны в точке (и0, v0) пространства R2 (точек
(и, и)). Пусть, кроме того,
х0 = (р {и0, и0), у0 = V (u0, i?o), z0 = % (и0, v0).
Тогда функция
F (и, v) = f [ф {и, и), у (и, и), % (и, и)]
непрерывна {по (и, и)) в точке {и0, и0).
Доказательство. Так как знак предела можно
внести под знак характеристики непрерывной функции, то
lim F {и, v) = lim f [ф {и, и), ф {и, и), х {и, и)] =
(и» и) — (Uy, Ц)) <₽(u» и)—Лд
= f (Х0> %’ 2о) = f [ф (“о> ио)> V (“о> ио)> X <ио> ио)] = F (и0’ Vo)-
Функцию мы будем называть элементарной, функци-
ейот переменныхХр.... хп, если она может быть получена из
этих переменных и констант с при помощи конечного чис-
ла операций сложения, вычитания, умножения, деления и
операций ф, гдеф — элементарная функция от одной пере-
менной (см. § 3.8). Функции
1) sin In -у]1 + хг + уг =flt 2) sin2 х + cos3 (х + у) = f2,
могут служить примерами элементарных функций.
Легко проверить, пользуясь теоремами 1 и 2, что фун-
кции Д и f2 непрерывны на плоскости (х, у), функция же /3,
очевидно, определена и непрерывна в тех точках (х, у), для
которых дробь (х - у)/{х + у) положительна и конечна.
Из теоремы 1 § 8.2 и определения непрерывности фун-
кции в точке непосредственно следует
Теорема 3. Функция f (х, у), непрерывная в точке
(х0, у0) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак
числа f (х0, у1}) в некоторой окрестности точки (х0, у0).
По определению функция f(x) = f{x1, ..., хп) непрерывна в
348 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
о / о и\
точке х = ^.....х), если она определена в некоторой ее
окрестности, в том числе и в самой точкех0, и если предел ее
о
в точке х равен ее значению в ней:
lim/(x) = /(x°). (2)
х—хи
Условие непрерывности f в точке х° можно написать в
эквивалентной форме:
limf(x°+fc) = f(x°), (2')
h—Aj
т. е. функция f (х) непрерывна в точке х, если непрерывна
функция f (х° + h) от h в точке h = 0.
Можно ввести приращение f в точке х°, соответствующее
приращениюh = (hy, ..., hn),
\f(x°) = f(x0+h)-f(x(>)
и на его языке определить непрерывность f в х°: функция f
о
непрерывна в х , если
[/(a^+fcp , ...,х°)]==0. (2")
Из формул (6) — (8) § 8.2 непосредственно следует
Теорема 1'. Сумма, разность, произведение и частное
непрерывных в точке х° функций f (х) и <р (х) есть непрерыв-
ная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного
ф (х°) 0.
Замечание. Приращение Ай/ (х°) называют также пол
ныл приращением функции f в точке х°.
В пространстве Rn точек х = (х j,..., хл) зададим множество
точек G.
По определению х°= (Xj°, ..., х°) есть внутренняя точка
множества G, если существует открытый шар с центром в нем,
полностью принадлежащий к G.
Множество G a Rn называется открытым, если все его
точки внутренние.
Говорят, что функции
*1=Ф1(0. —, х„ = ф„(0 (a^t^b)
§ 8.3. НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ
349
непрерывные на отрезке [а, &], определяют непрерывную кри-
вуювИп, соединяющую точких1 = (xj, х’ ) ихг=(х^, ...,х2п),
где х, = Ф1 (а), х’ = Фп (а), xf = Ф1 (Ь), х[ = Фп (Ь). Букву t
называют параметром кривой.
Множество G называетсясвязнылг, если любые его две точ-
12 „
ки х , х можно соединить непрерывной кривой, принадлежа-
щей G.
Связное открытое множество называется областью.
Теорема 4. Пусть функция f (х) определена и непре-
рывна наИп (во всех точках Rn). Тогда множество G точек х,
где она удовлетворяет неравенству f (х) > с (или f (х) < с),
какова бы ни была постоянная с. есть открытое множество.
В самом деле, функция F(x) = f (х) — с непрерывна на
Rn, и множество всех точек х, где F (х) > 0, совпадает с G.
Пусть х° е G; тогда существует шар
|х - х°| < 5,
на котором F (х) > 0, т. е. он принад-
лежит к G и точках0 е G — внутренняя
для G.
Случай f (х) < с доказывается анало-
гично.
Пример. Функции
/1 (*) = X* > °); (*)=2М
1
определены и непрерывны на Rn.
В таком случае множества значений х, для которых вы-
полняются неравенства (х) < с (i = 1, 2), — открытые множе-
ства. Первое из них есть внутренность эллипсоида в п-мерном
пространстве; второе при п = 2 есть внутренность квадрата,
изображенного на рис. 95.
Неравенства (х) > с > 0 определяют внешности указанных
фигур.
Можно установить, что указанные множества связны, т. е.
они являются областями. При п = 2, 3 это непосредственно
видно.
350 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 8.4. Частные производные и производная
по направлению
Назовем приращением функции f (х, у) в точке (х,у)
по переменной х с шагом h величину
&xhf = f(x + h,y)-f(x,y),
где h — действительное число, достаточно малое, чтобы эта
величина имела смысл.
Частной производной по х в точке (х, у) называется
предел
х дх ду a-о h
если он существует. Частная производная есть обычная
дх
производная от функции f (х.у), рассматриваемой как фун-
кция только от переменной х при фиксированном у.
Функция а = / (х,у) от двух переменных изображает-
ся в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная
система координатх, у, г, поверхностью — геометрическим
местом точек(x,y,f (х,у)), где(х, у) принадлежит области
задания функции/ {х, у). Очевидно, чтовеличина/' х (х0, у0)
(если она существует)равна тангенсу угла наклона к осих
касательной к сечению этой поверхности плоскостью
у = у0 в точке, имеющей абсциссу х0.
Совершенно аналогично можно определить частную
производную по у в точке (х, у):
дх л-» h ь-о h
Если функция z = f (х, у), заданная на множестве Gtz R2,
df df . . „
имеет частные производные ' , уг во всех точках (х, у) е G,
дх оу
то эти производные можно рассматривать как новые функ-
ции, заданные на G.
§ 8.4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
351
Поэтому можно поставить вопрос о существовании ча-
стных производных у этих функций по какому-либо пере-
менному в точке (х, у) е G.
Если у функции — существует частная производная
дх
снова по переменной х, то ее называют частной производной
второго порядка от функции f (х, у) по переменной х и
обозначают —у. Таким образом, по определению
дх
дх Sxl-Sx-I
Если существует частная производная от функции
дх
по переменной у, то эту производную называют смешанной
частной производной второго порядка от функции f (х, у)
и обозначают символом
=д ja/i
дудх dy^dxJ
Для функции от двух переменных f (х, у) можно рас-
сматривать четыре производных второго порядка
а2/ а2/ а2/ а2/
дх2' дудх' дхду' ду2‘
Если производные второго порядка (все или какая-либо
одна) существуют для всех (х,у)& G, то может возникнуть
вопрос о существовании частных производных третьего по-
рядка.
Вообще, частной производной п-го порядка будем на-
зывать частную производную по какому-нибудь перемен-
ному от некоторой производной (п - 1)-го порядка. На-
пример,
a f а2/ 1 а4/
дх [дх2дуJ Зх3ду
Частные производные ~ , — будем называтьчастпны-
дх ду
352 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ми производными первого порядка, а саму функцию f —
частной производной нулевого порядка.
Для частных производных будем также употреблять
символику:
D f = df. DJ)f= = f
xT dx’ ^v' дхду dx2 *
= r
dx dy xy'
Назовем приращением f в точкех=(х1,..., хп) по перемен-
ной ху- с шагом, h величину
=f(x1, ..., Xhl, х, + h, xj+1xn)-f (xp ..., x„),
где h — действительное число, достаточно малое, чтобы эта
величина имела смысл. Частной производной от f по х; в
точке х называется предел
а/ г
дх. ь-о h
если он существует. Частная производная есть обычная
dx.
j
производная от функции/ (хр.... хп), рассматриваемой как фун-
кция только от переменной ху- при фиксированных хр х^р
Х;+р х„.
Если г = (гр гп) — вектор с неотрицательными целыми
координатами, то пишут
х‘ х" дх^...дхТ; '
d^f 2
Пример. Найти -------от функции / (х, у) = х +
дх ду
+ sinxj/.
Имеем
df tff 2 .
— = х cos xv, —v = —х sm xv,
ду У ду2 У
d3f п . 2
-----2 = -2хsin ху-х у COS ху.
дхду
Естественно возникает вопрос, будут ли равны между
§ 8.4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
353
собой частные производные, если они взяты по одним и тем
же переменным, одно и то же число раз, но в разном порядке.
Например, равны ли
г4/ и гУ ?
дхдудх дх ду
В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный.
Однако имеет место следующая теорема, которую мы сфор-
мулируем для функции от двух переменных.
Теорема (о смешанных производных).
Пусть функция и = / (х, у) определена вместе со своими
частными производными ", ", -—6 некото-
дх ду дх ду ду дх
рой окрестности точкиР0 = (х0, у0), причем & и
непрерывны в точке Ро; тогда
<?f(P0) c?f(P0)
дх ду ду дх ’
т. е. в этом случае результат дифференцирования не за-
висит от порядка дифференцирования.
Доказательство. В самом деле,
^xh[\hf (*0> %)] = Дх»[/ (*o> Vo + h)-f (*о> Уо)] =
= [f (х0 + й, у0 + й) - f (х0 + й, J/O)] - [/ (х0, у0 + й) - f (х0, J/O)] =
^„[Д^Дх^)] Уй. (1)
Отсюда, применяя теорему Лагранжа по переменнойх
к функции f (х, у0 + й) - / (х, у0) на промежутке [х0 + й, х0],
получаем:
kxh[byhf (х0, j/0)] = й [fx (х0 + 6й, у0 + й) - fx (х0 + 6й, j/0)]
(o<e<i). (2)
Законность применения теоремы Лагранжа обуслов-
лена существованием частной производной f х в достаточно
малой окрестности точки (х0, j/0).
Так как по условию теоремы существует частная сме-
12. Зпкпз 704
354 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙМНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
шанная производная f в окрестности точки (х0, у,), то
снова применяя теорему Лагранжа, из (2) получаем:
\№yhf(*о. Уо) = л2г;х (х0 + ел, Уо + егл) (о < е, < i).(З)
Кроме того, по условию f непрерывна в точке (х0,
у0), поэтому из (3) имеем
АхДМ %)] = h2[f'yx (х0, Уо) + £], (4)
где £ —* 0 при h -» 0.
Из (4) следует, что
Совершенно аналогично, пользуясь непрерывностью
f* в точке (х0, уд), доказывается равенство
f "(х0, Уо). (6)
На основании (5) и (6), в силу равенства (1), заключа-
ем, что утверждение теоремы верно.
Замечание 1. По индукции легко распространить
эту теорему на любые непрерывные смешанные частные про-
изводные, которые отличаются друг от друга только поряд-
ком дифференцирования. Например,
8? б f 8 Г df
dxdy dx [dy dy
dydxdy dy [gylaxJj dy2dx'
Замечание 2. Если условие непрерывности отсутству-
ет, то смешанные производные могут быть различными в точ-
ке Ро. Рассмотрим функцию
3
f (х, у) = - * , если х2 + у2 & 0 и f (0, 0) = 0.
х +у
Легко подсчитать, что
4 „22
fx (х, у) = у при х2 + у2 * 0
(х+г/2)
§ 8.4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
355
Г х (0, 0) = lim-—0) = 0;
х-0 х
fy (х, У) = X3 :Х---^г при х2 + у2 * 0 и f у (0, 0) = 0.
(* +у )
Далее, по определению,
' *-0 X X
г (0 0, 1imQ0.!>)-90.°)=nm<b0.0,
/ х-0 у у^о у
/%(0,0)#г^(0,0).
Отметим, что частные производные /%„ и f разрывны в точ-
6 « 4 2 о 2 4
. X + ОХУ -ОХУ 2 2
ке (0,0), например, f ух (х, у) =- 2 * при xz + /0,
(х +У)
откуда видно, что
Ит/"^ (х, у) = | # f'vx (0, 9) = С.
Можно еще ввести понятие производной по направле*
нию.Ъ случае функции от одной переменной ок з не употреб-
ляется.
Пусть со = (<вж, ау) есть произвольный единичный век-
тор. Производной от функции f в точке (х, у) по направ-
лению (£> называется предел
df = Птт| /(х+*юх> У+*%)-/(х. У)
да t-o t
t>0
(если он существует). Подчеркнем, что при вычислении этого
предела предполагается, что# стремится к нулю, принимая
положительные значения, поэтому можно еще сказать, что
df(Xf у)
7 есть правая производная в точке t = 0 от функции
f {х + t(i>x, у + tG>s) по t.
356 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Можно, как в случае функций от одной переменной,
говорить о правой и левой частных производных пох. Надо
учесть, что производная по направлению положительной
оси х совпадает с правой частной производной по х, однако
производная по направлению отрицательной оси х имеет
знак, противоположный знаку левой производной по х.
§ 8.5. Дифференцируемые функции
Для простоты будем рассматривать трехмерный слу-
чай; в n-мерном случае рассуждения аналогичны. Случай
п = 1 был специально рассмотрен в § 4.7.
Пусть на открытом множестве Gc R3 (определение от-
крытого множества см. § 8.3, мелкий шрифт) задана функ-
ция u = f(x, у, г), имеющая в точке (х, у, z) е G непрерыв-
ные частные производные первого порядка. Отсюда автома-
тически следует, что эти частные производные существуют
в некоторой окрестности (х, у, z), хотя, быть может, они в
точках, отличных от (х, у, г), не являются непрерывными.
Рассмотрим приращение fv(x,y,z),соответствующее при-
ращению (Ах, Ду, Az), где |Дх|, |Ду|, |Az| меньше 8 и 8 доста-
точно мало, чтобы точка (х + Ах, у + Ду, z + Az) не выходила
из указанной окрестности. Имеют место равенства (поясне-
ния ниже):
Au = f (х + Ах, у + Ay, z + Az) - f (х, у, z) = (1)
= f (х + Ах, у + Ay, z + Az) -f(x,y + Ay, z + Az) + (2)
+ f (x, у + Ay, z + Az) - f (x, y, z + Az) + (3)
+ f (x, y, z + Az) - f (x, y, z) = (4)
= f x (x + GjAx, у + Ay, z + Az)Ax +
+ f'y (x> У + 2 + te)Ay + f г (x, y, z + G3Az)Az = (5)
= (f x (x> z) + £1)Дх + (fy (x> У> 2) + £2)А1/ +
+ (/'2 (x, y, z) + £3)Az = (6)t
= fx (x, z)Ax + f y (x, y, z)Ay + f г (x, y, z)Az + о (p) (7)
(P °)’
0 < G2, G3 < 1, p'= -Jaxz +Ay2 + Az2, £p £2, £3 0 (8)
(P - 0).
§ 8.5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
357
Переход от (2) к первому члену (5) обосновывается так:
функция f (£,, у + Aj/, z + Az) от £, (при фиксированных у +
+ Aj/, z + Az) имеет по условию производную (по 2;) на отрез-
ке [х, х + Ах], и к ней применима теорема Лагранжа о сред-
нем. Аналогичные пояснения ко второму и третьему чле-
нам (5). Переход от (5) к (6) чисто формальный: мы положи-
ли, например,
f х (х + GjAx, у + ку, z + Az) = fx (х, у, г) + £г
Но не формален здесь факт, что£] -► 0 прир -► 0. Он следует
из предположенной непрерывности fxB (х, у, z). Наконец,
переход от (6) к (7) сводится к утверждению, что имеет ме-
сто равенство
EjAx + EjAj/ + EgAz = о (р) (р — 0).
В самом деле, так как |Ах|, |Aj/|, |Az| < р, то при р — 0
IEjAx + e2Aj/ + E3Az|/p |£j + |s2| + |E3| - 0.
Мы доказали важную теорему:
Теорема 1. Если функция u = f имеет непрерывные
частные производные (первого порядка) в точке (х, у, z),
то ее приращение в этой точке, соответствующее доста-
точно малому приращению (&х, Aj/, Az), можно записать
по формуле
ixu = ^Ах + -f-&y + ^Az + о(р) (р - 0), (9)
дх ду dz
Г. 2 ~ 2 . 2
р = у Ах + Aj/ + Az ,
где частные производные взяты в точке (х, у, г).
Так как значения частных производных в правой час-
ти (9) не зависят от Ах, Aj/, Az, то из условий теоремы 1
следует, что приращение f в (х, у, г), соответствующее при-
ращению (Дх, Aj/, Az), может быть записано по формуле
txu =ААх + Btxy + Ctxz + о (р) (р — 0), (10)
где числаА, В, С не зависят от Дх, Aj/, Az.
358 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Сделаем следующее определение: если приращение
функции f в точке (х, у, г) для достаточно малых (Дх, Ду,
Дг) может быть записано в виде суммы (10), где А, В, С —
числа, не зависящие отДх, Ду, Дг, то говорят, что функция
/дифференцируема в точке (х,у, z/Таким образом,диффе-
ренцируемость функции f в (х, у, г) заключается в том,
что ее приращение Af в этой точке можно записать в виде
суммы двух слагаемых: первое слагаемое есть линейная
функцияАДх + ВДу + СДа от (Дх, Ду, Да) — она называет-
ся главной линейной частью приращения Af, второе же
слагаемое вообще сложно зависит от приращений Ах, Ду,
Да, но если стремить их к нулю, то оно будет стремиться
к нулю быстрее, чем р = -Jax2 + Ду2 + Да2 -
Легко видеть, что если функция f дифференцируема в
точке (х, у, г), т. е. представляется равенством (10), то она
имеет в этой точке частные производные первого порядка,
равные
«.J, -С.
дх ду дг
(И)
Например, первое равенство (11) доказывается так.
Пусть приращение f в (х, у, а) записывается по формуле
(10). Если считать в последней Дх = й, Ду = Да = 0, то полу-
чим равенство Axhu =Ah + о(й) (й —* 0). После деления его на
h и перехода к пределу получим
л-о h дх
Из сказанного следует
Теорема 2. Для того чтобы функция f была диф-
ференцируемой в точке, необходимо, чтобы она имела в
этой точке частные производные, и достаточно, чтобы
она имела в этой точке непрерывные частные производ-
ные.
Напомним, что для функции f одной переменной су-
ществование у нее производной в точке х является необхо-
димым и достаточным, чтобы она была дифференцируемой
в этой точке.
§ 8.5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕФУНКЦИИ
359
Из (10) следует, что если функция дифференцируема в
точке, то она обязательно непрерывна в этой точке.
Пример 1. Функция / (х, у, г), равная нулю на ко-
ординатных плоскостях x=0,y-0, z = Ои единице в осталь-
ных точках R3 имеет, очевидно, частные производные, рав-
ные нулю в точке (0,0,0), но она, очевидно, разрывна в этой
точке и потому не может быть в ней дифференцируемой.
Таким образом, одного существования частных производ-
ных в точке недостаточно для дифференцируемости и даже
непрерывности в этой точке.
Отметим отличие многомерного случая от одномерного. При
п = 1 свойство дифференцируемости f в х записывается в виде
равенства А/=АДх + о (Ах), следовательно, еслиА 0, то оста-
ток стремится к нулю приДх — 0 быстрее главной части. При
п > 1 это уже не так, например при л = 3, каковы бы ни были
числа А, В, С, одновременно не равные нулю, всегда можно
стремить Ах, Ду, Аа к нулю так, чтобы при этом постоянно
выполнялось равенство АДх + ВЛу + СДг = 0, но тогда в (10)
остаточный член о (р) вообще больше главного. Впрочем, если
мы заставим Ах, Ду, Аа стремиться к нулю так, чтобы выпол-
нялась пропорциональность Ах : Ау : Да = А : В : С, то тогда
главная часть приращения будет величиной, имеющей строго
порядок р, и остаток будет стремиться к нулю быстрее глав-
ной части.
Пример 2. Функция и = |х| (у + 1) непрерывна в точ-
ке (0, 0). Однако легко видеть, что не существует в этой
точке. Следовательно, и не дифференцируема в точке (0, 0).
Если функция f дифференцируема в точке (х, у, а), то
главная линейная часть ее приращения в этой точке назы-
вается еще дифференциалом f в этой точке, соответ-
ствующим приращениям (Ах, Ду, Az) независимых пере-
менных. Он записывается так:
df= -^Ах + ~Ау + ^Аа.
дх ду дг
О других обозначениях мы будем еще говорить в § 8.9.
360 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 8.6. Применение дифференциала в
приближенных вычислениях
Рассмотрим для примера функцию
z = f (х, у)
от двух переменных, которую будем предполагать диффе-
ренцируемой.
Мы хотим вычислить эту функцию в точке (х, у), где
х = +а0,ара2...,
у = ±р0,рРр2...,
Приближенные значения этих чисел запишем в виде
конечных десятичных дробей
х + Дх = ±а0,а1,а2 ..., ak,
у + Ду = ±P0,Pj,P2 .... РА.
Таким образом, имеют место приближенные равенства
X ~ х + Дх, у ~ у + Ду
с абсолютными погрешностями приближения, удовлетворя-
ющими неравенствам
|Дх| < 10"*, |Ду| « 10ч.
Подставив в функцию f вместо х, у соответственно х +
+ Дх, у + Ду, получим приближенное равенство
f (х, у) ~ f (х + Дх, у + Ду)
с абсолютной погрешностью
|Дз| = \f (х + Дх, у + Ду) -f (х, у)|,
которую при достаточно малых Дх, Ду можно приближенно
заменить дифференциалом функции f в точке (х, у):
|Дз| ~ |dz|, dz = Qi-Ьх + |~Ду.
дх ду
Отсюда получаем неравенство
|Дз| < |1^Ах1+ 4~дг/
Iдх I ду
(1)
§ 8.6. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ 361
На самом деле это неравенство приближенное, потому
что мы получили его, пренебрегая некоторой величиной,
правда, значительно меньшей, чем Дх, Ду.
Обратим внимание на тот факт, что конечные деся-
тичные дроби х + Дх, у + Ду при уменьшении |Дх|, |Ду| ста-
новятся все более и более громоздкими. Поэтому при вы-
числении числа f (х + Дх, у + Ду) мы должны беспокоиться
не только о том, чтобы оно приближало f (х, у) должным
образом, но и чтобы производимые при этом вычисления
совершались возможно экономно. В силу этого замечания
из неравенства (1) следует, что если нужно, чтобы абсолют-
ная погрешность |Дз| не превышала данную малую величи-
ну, которую мы обозначим через 2Х, то этого мы достигнем,
взяв числа |Дх|, |Ду| такими, чтобы выполнялись неравен-
ства
^у
Sy
(2)
<?„
< А,
т. е. чтобы погрешность |Да| распределялась между сла-
гаемыми в правой части неравенства (1) поровну.
Из неравенств (2) видно, что вычисления будут наи-
более экономными, если в качестве |Дх|, |Ду| (на самом деле
10 к, 10;) взять наибольшие возможные числа, удовлетво-
ряющие этим неравенствам.
Пример 1. Функция г = In (ху) имеет для х > 0, у > 0
непрерывные частные производные, равные
ба _ 1 дг _ 1
дх х’ ду у
Поэтому приближенное равенство
г = In ху » In [(х + Дх) (у + Ду)]
имеет абсолютную погрешность, которая при малых при-
ращениях Дх, Ду, если пренебречь величинами, значитель-
но меньшими этих приращений, удовлетворяет неравенству
I Дх[ [
I X I
|Дз| <
Ду
у
(X, у > 0).
362 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Если требуется, чтобы гарантированная погрешность
была меньше 22., надо подобрать Дх, Ду так, чтобы
|^|<Х, -У| «к
1x1 у
Мы видим, что числа Дх, Ду не обязательно должны
быть равными. Если, например, х значительно меньше, чем
у, то соответственно надо взять Дх меньшим, чем Ду. Иначе
наши вычисления были бы неэкономными. Если бы, на-
пример, было, что
I Дх1
I х I
1»
Ду
У
где Xj < 0,1, 2.2 < 0,0001, то оказалось бы, что
I—1 +
I х I
Ду
<0,1001,
и при этом на вычисление второго слагаемого
Ду
У
,ввиду
излишней малостиДу, мы потратили бы излишнюю работу.
Между тем вычисления упростятся, если взять возможно
большие |Дх|, |Ду|, удовлетворяющие неравенствам
|Дх|
I х I
< 0,05,
Ду
У
« 0,05.
Пример 2. Функция г = ху имеет непрерывные ча-
Sz c^z
стные производные — = у, — - х. Поэтому приближенное
равенство
г = ху я (х + Дх) (у + Ду)
имеет абсолютную погрешность |Дз|, которая при малых
приращениях Дх, Ду, если пренебречь величинами, значи-
тельно меньшими этих приращений, удовлетворяет соотно-
шениям
|Дз| ~ \dz\ < |уДх| + |хДу|.
$ 8.6. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ 363
Соответственно относительная погрешность удовлетво-
ряет ' соотношениям
| az|~|^2|^| а^|
Ау
у
Мы видим, что при малых Ах и Аг/ можно считать, что
относительная погрешность произведения не превышает
сумму относительных погрешностей сомножителей.
Пример 3. Функция z = — для у Ф 0 имеет непре-
У
рывные частные производные
5z_X 5z ____*_
5х у' ду уI 2'
Поэтому приближенное равенство
х д, х +Ах
У У + &У
имеет абсолютную погрешность |Az|, которая при малых при-
ращениях Ах , Ау, если пренебречь величинами, значительно
меньшими, чем Ах, Аг/, удовлетворяет соотношениям
|Az| ~ |dz| <
А* +Д*Дг,
у у
Соответственно относительная погрешность удовлетво-
ряет соотношениям
I AzlJdzU Axl|
I г I I z 11 х I
у
Таким образом, при малыхАх и Аг/ можно считать, что
относительная погрешность частного не превышает сум-
му относительных погрешностей делимого и делителя.
Примечание. Вопрос о точных оценках величин,
которыми мы пренебрегали, решается на основании фор-
мулы Тейлора для функций многих переменных. Об этом
будет идти речь в § 8.10.
364 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 8.7. Касательная плоскость.
Геометрический смысл дифференциала
Пусть задана поверхность S, описываемая функцией
z = f(x,y), (1)
имеющей непрерывные частные производные на некоторой
области плоскости х, у (можно считать, что f дифферен-
цируема в каждой точке области).
Касательной плоскостью к поверхности S в ее точке
Мо = (х0, j/0, 20), z0 = f (х0, </0) называется плоскость, имею-
щая уравнение
\8xJo \ду)0
гдеХ, У, Z — текущие координаты, а [ ~~| , | | — значе-
V5x7o \ду)0
ния частных производных от f в точке Ро = (х0, у0).
Обозначим плоскость (2) через П. Она проходит через
точку Мо поверхности S и обладает свойством, отличаю-
щим ее от других плоскостей, проходящих через М(].
Пусть Р = (х, у) есть точка плоскости х, у, близкая к
Ро= (х0, j/0) (рис. 96). Прямая, проходящая черезР парал-
лельно осиз, пересекает П в точке Т, а поверхность S — в
точке М. Аппликата М равна
z = f(x, у),
аппликата же Т равна
Z = f(x0, Уо) + (|~) <х~хо) + ЦП (.У-Уо)-
\8xJo \dyJo
Расстояние между точками М и Т равно
\МТ\ = fU y0)~(f\ (х-х0)-W (у-у0) . (3)
Расстояние же между точками Р и Ро равно
р = V(x-x0)2 +(y-yof .
§ 8.7. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
365
Так как функция f по ус-
ловию имеет непрерывные
частные производные в точ-
ке (х0, i/0), то она дифферен-
цируема в этой точке, по-
этому правая часть (3) стре-
мится к нулю быстрее, чем
р, т. е.
|МЛ = о(р) (р-0).
Мы доказали, что
касательная плоскость П
к поверхности S в ее точ-
ке Мо = (х0, у0,20) проходит Рис’ 96
через эту точку и обладает свойством: расстояние в
направлении оси z от произвольной точки (х, у, f (х, у))
поверхности S до П есть о (р) (р — 0), где р — расстояние
между точками (х,у) и (х0, ус) плоскости х, у.
Это свойство является характерным для касательной
плоскости, потому что если некоторая плоскость П' вида
Z - z0 = а (х - х0) + Ъ (у - у0) (г0 = f (х0, у0))
обладает этим свойством, т. е. если для нее выполняется ра-
венство
f(x,y)-f(x0,y0)-a(x-x0)-b(y-y0) = o(p) (р - 0)
или, что все равно, равенство
f(x, у) - f(x0, у0) = а (х ~ х0) + b (у - у0) = о(р)
то, как мы знаем, f дифференцируема в (х0, у0) и
(Р -* 0),
\dxJo \dyJo
т. е. плоскость П' есть касательная плоскость к S (П' = П).
Таким образом, для того чтобы поверхность S имела
касательную плоскость в ее точке (х0, г/0, f (х0, у0)), необ-
ходимо и достаточно, чтобы функция f была дифферен-
цируемой в точке Ро = (х0, у0).
366 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Правая часть уравнения (2) есть дифференциал f в точ-
ке (х0, у0)
df = (te) (Х-Х°) + |Ж|
\dxJo \ру)о
соответствующий приращениям (х - х0, у - у0). Левая же
часть (2) есть соответствующее приращение аппликаты ка-
сательной плоскости П.
Таким образом, с геометрической точки зрения диф-
ференциал функции f в точке (х0, у0) для приращений (х -
— х0, у —у0) есть приращение аппликаты точки касательной
плоскости к поверхности z = f (х, у) в точке (х0, у0) для тех
же приращений.
Замечание. Если функция z = f (х, у) не дифферен-
цируема в точке (х0, г/0), хотя и имеет в ней частные произ-
водные, то плоскость (2) не имеет смысла называть каса-
тельной плоскостью к поверхности z = f (х, у) в указанной
точке — для нее разность f (х, у) - Z не стремится к нулю
при р —» 0 быстрее р. Например, если функция z = f(x, у)
равна нулю на осях х и у и единице в остальных точках
плоскости х, у, то f'x (0, 0) = f (0, 0) = 0 и уравнение (2) есть
Z= 0 и разность f (х,у) - Z = f (х, у) - 0=1 для всех точек
(х, у), не лежащих на осях х и у. Таким образом, эта раз-
ность даже не стремится к нулю при р -* 0.
§ 8.8. Производная сложной функции.
Производная по направлению. Градиент
8.8.1. Производная сложной функции
Ограничимся рассмотрением функций трех переменных,
определенных на открытом множестве Gc R3 (определение
открытого множества см. § 8.3, мелкий шрифт). Распро-
странение излагаемых здесь фактов на n-мерный случай
производится аналогично.
Теорема 1. Пусть функция
u = f(x,y,z) (1)
58.8. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ 367
дифференцируема в точке (х, у, г) е G, а функции
x = y(t), y=y(t), z=%(t), (2)
зависящие от скалярного параметра t, имеют производ-
ную в t. Тогда производная по t от сложной функции (про-
изводная от f вдоль кривой (2)) и = F (t) =[ (ср (t), \|/ (t), X (t))
вычисляется по формуле
F' (t) = fx (ф (t), у (t), x (*))</ (t) +
+ fy (ф (О. V (*)> X (t))v' (0 + fz (Ф (0. V (0. X (O)X' («).
или, короче,
du_d^dx^+d^dii+8£dz^
dt dx dt dy dt dz dt ' '
В самом деле, вследствие дифференцируемости f в
(х, у, г), каково бы ни было достаточно малое прираще-
ние (Дх, Дг/, Да),
Дц = f (х + Дх, у + Дг/, z + Az) - f (х, у, z) = ^-Ах + -^-Дг/ +
дх ду
+ ^Да + о (р) (р = у]лх2 + Ау2 + Az2 — 0). (4)
дг
Значению t, которому при помощи равенств (2) соответствует
точка(х, у. г), придадим приращениеДЛ Оно вызовет прираще-
ния Дх, Дг/, Да функций (2). Если именно их подставить в (4),
то получим приращение F (t + At) - F (t) = Дгг функции F в
точкех После деления (4) HaAt и перехода к пределу получим
F(t) = lim^ =
д<-о At
-limf I dt Ay f Az ! °(рЛ_ dt dx | Bi dy dt dz
A'-^3x At dy At dz At At) dx dt dy dt dz dt ’
т. e. (3), потому что функции (2) имеют производные, а
°(р) = £ (р) 1(Дх\2+(М+(Д2\2_
At eWTAt) I At J \At)
-*O ylx'2+y'2 + z'2 =0 (At - 0)
(At 0 влечет p -► 0).
368 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Замечание 1. Если функциих, у, z зависят от мно-
гих переменных, например от двух:
х = <р (t, т), 1/ = ф(«,Т), 2=%(t,T),
то, фиксируя сначалат, а затем t, на основании (3) получим
Эн__ 5/Эх +^L^+^Ldz ди _8f дх f df Sy | df dz
dt dx dt dy dt dz dt ’ от dx dt dy dr dz dr
8.8.2. Производная по направлению
Теорема 2. Если функция f дифференцируема в
точке (х, у, z), то для нее имеет смысл производная по
направлению любого единичного вектора п = (cos a, cos р,
cos у), выражаемая формулой
— =~cosa+^Cosp + —cosy /5)
дп дх ду dz ' '
(а, Р, у — углы, которые вектор п составляет с осями х,
У> г)-
Доказательство. Согласно определению произ-
водной по направлению (см. § 8.4) и в силу предыдущей те-
оремы
df _^.m/(x+tcosa, y + tcosp, z+tcosy)-f(x,y,z)
dn ‘-° t
= -v-f(x+tcosa, y + tcosB, z + tcosy
lat
1=0
-^-cosa + ~cosp + ^cosy,
dx dy dz
где частные производные взяты в точке (х, у, z).
Замечание 2. Теорема 2 не обратима, т. е. если
функция f имеет производную в точке (х, у, z) по всем на-
правлениям, то она не обязательно дифференцируема в этой
точке. В качестве примера можно рассмотреть функцию f
8 8.8. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ 369
от двух переменных, равную нулю всюду, кроме точек у =
= х2 (х > 0), где она равна единице.
Если х =<р (s), у = V (s)> 2 = Х (s) — уравнения гладкой кри-
вой Г, где параметр s — длина дуги, то величины
dx ., ч dy dz , . .
^-=ф(«), = d7=x(e)
суть направляющие косинусы вектора касательной к Г. По-
этому величина
ф' (s) +у/ (s)+х' (s) = ~f (<р (в), v (в), % (в),
5s дх оу дг ds
где f — дифференцируемая функция, есть производная по
направлению указанного касательного вектора. Говорят еще,
5/ .
что —есть производная от f вдоль 1 .
5s
8.8.3. Градиент функции. Введем вектор
, , (df df df\
grad f = , (6)
\dx dy dz J
называемый градиентом функции f в точке (х, у, z).
Формула (5) говорит, что производная от f в точке (х,
у, г) по направлению единичного вектора п равна проекции
градиента в этой точке на направление п:
= (grad f, п) = gradn f. (7)
on
Имеет место очевидное неравенство
~ < |grad f\ (8)
для любого вектора п. Если grad f = 0, что обычно бывает
5/ n R
только в исключительных точках, то ~г~ = 0 для любого
ип
вектора п. Если же grad f Ф 0 (одна из частных производных
от f не равна нулю), то (8) есть строгое неравенство для
370 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
всех единичных векторов п, за исключением единичного
вектора п0 = (cos а0, cos р0, cos у0), направленного в сторо-
ну grad f (-&- = [grad f\ > 0). Таким образом,
Из сказанного следует, что градиент функции f в точ-
ке (х, у, z) можно определить как вектор, обладающий сле-
дующими двумя свойствами:
1) длина его равна максимальной величине производ-
ной по направлению в (х, у, г) (для дифференцируемой
в (х, у, г) функции этот максимум существует и есть число
неотрицательное);
2)если его длина не равна нулю, то он направлен в ту
же сторону, что и вектор п, вдоль которого производная
df
— максимальна.
дп
Пример 1. Пусть температура и тела G есть функ-
ция от точки (x,y,z):
u = f(x, у, z), (х, у, z) е G (Gc В3)
и пусть grad и Ф 0 в некоторой определенной точке (х, у, z).
Выпустим из этой точки вектор, равный grad и. Вдоль это-
8 8.8. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ 371
го вектора скорость возрастания температуры и в (х, у, z)
наибольшая, равная положительной величине |grad u|.
Если же в рассматриваемой точке grad и = 0, то в лю-
бом направлении, выходящем из этой точки, скорость из-
менения температуры равна нулю.
Задача. Найти градиент функции и = х2+у‘ в точках
(1,0), (0, 1), (l/>/2, 1/V2).
8.8.4. Однородные функции. Введем в рассмотре-
ние так называемые однородные функции. Пусть задан вектор
Х=(ХР ...,А,„), где\ — произвольные числа. Функция/(х,, ...,x„),
заданная на Rn, называется ^-однородной степени т, если для
всякого t > 0 и любых х = (Хр ..., хп) е Rn выполняется равен-
ство:
И
f[t\, ..., Лхп) = f х„), (10)
где |Х| = £|Х,.|.
м
Если X, = ... = Хи = 1, то / называется просто однородной
функцией степени т. Ниже будем считать, что частные произ-
водные £ (i = 1, —. п) непрерывны в Rn.
Теорема 3. Для того чтобы функция f была Х-однород-
ной степени т, необходимо и достаточно, чтобы выполня-
лось равенство
(хн •••» Хп) = XT f(xu •••• хп)- (И)
м п
Если функция f однородная степени ш, то мы получаем
известную теорему Эйлера.
Доказательств о. Необходимость. Пусть f явля-
ется Х-однородной функцией степени т; тогда, дифференци-
руя тождество (10) по t как сложную функцию, получим
n Cfft'x, ..., tX"x ) . . n I тИ-1
g 1 ...«J.
Полагая в этом равенстве t = 1, получаем равенство (11).
372 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Достаточность. Пусть теперь имеет место равенство
(11). Зафиксируем точкух = (хр.... хп) и составим функцию
<р (i) = ...» tSQ. (12)
Дифференцируя эту функцию по t, находим:
Ф'СО=—---------------------+
f п
2„я ~ “
t п
Последнее равенство имеет место в силу (11) для точки
Таким образом, ф' (t) = 0 иф (t) = с. Постоянную с находим
из условия, что при t - 1 ф (1) = f(xt, ..., хп). Значит, из (12)
имеем
f (/% ..., fSJ = /(хг ..., х„),
т. е. функция f является ^.-однородной степени т.
§ 8.9. Дифференциал функции.
Дифференциал высшего порядка
Основные рассуждения в этом параграфе ведутся в
n-мерном пространстве. Мы думаем, что это не затруднит
читателя.
Рассмотрим функцию
Т7=/(х) = /(х1,„.,хп), (1)
заданную на некотором открытом множестве G с Rn
S 8.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 373
(см. § 8.3). Ее можно бесконечным числом способов записать
в виде
1Г = <р(и) = <р(н1, .... ит), (2)
где
и,= \|/Дх) = х е G). (3)
Ниже мы будем употреблять следующую терминоло-
гию: переменная W есть функция от независимой вектор-
ной переменной х; эта же переменная W есть функция от
зависимой векторной переменной и. Последняя зависит от
независимой переменной х: каждому вектору х из G соот-
ветствует вектор и = (vj/j (х), ..., \|/т (х)).
Таким образом, роль векторной переменнойх здесь но-
сит исключительный характер — она в приводимых ниже
рассуждениях будет фигурироватьтолъко как независимая
переменная.
Пусть функция f имеет непрерывные частные произ-
водные первого порядка в точкех е G. Тогда, как мы знаем
из § 8.5, она дифференцируема, т. е. приращение ее в этой
точке может быть записано в виде
ДХ + о(р) (р - 0), (4)
м 8xi
(п Y/2
р = |Ах|= ,
V/--1 )
и ее дифференциал равен
(5>
Для независимых хр..., хп полагают
Дх^= dXj (/= 1, ..., и) (6)
и называют эти величины не только приращениями неза-
висимых переменных xt, но и их дифференциалами. Мы
будем их называть независимыми дифференциалами в знак
того, что они не зависят отх = (хг..., хп). Формально «неза-
висимость» величин dXj будет проявляться в том, что при
374 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
дифференцировании (по хг..., хп) они будут рассматривать-
ся как постоянные (d (dx^ = 0).
В силу соглашения (6) дифференциал W может быть
записан в форме
dW = ±^-dXj. (7)
м ох.
Ясно, что dW есть величина, зависящая, вообще говоря, от
xvхп и dxlt.... dxn.
Для любых двух функций и и и, имеющих непрерыв-
ные частные производные в точке х, справедливы свойства
d(u+v)=du± dv,
d (uv) = udv + vdu,
'V'
vdu-udv
2
V
(V * 0),
(8)
(9)
(10)
и при этом частные производные от функций, стоящих в
скобках, непрерывны в точке х.
Докажем, например, третье из этих равенств
Непрерывность ) видна из третьего члена цепи.
дх.
/
Дифференциал от функции W называют еще диффе-
ренциалом первого порядка, потому что приходится еще
рассматривать дифференциалы высших порядков.
Пусть теперь функция W имеет вторые непрерывные
частные производные. По определению второй дифферен-
циал от нее, соответствующий независимым приращениям
(дифференциалам) dxvdxn, определяется равенством
d2W=d(dW), (11)
где считается, что обе операцииd в правой части (11) берут-
§ 8.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 375
ся для указанных независимых dxT, dxn, которые долж-
ны рассматриваться как постоянные (не зависящие от
хр..., хп). Таким образом,
(.2)
Так как , то второй дифференциал пред-
дхдх. дхдх.
I 1
ставляет собой квадратичную форму относительно неза-
висимых дифференциалов dxv .... dxn. Квадратичной фор-
мой от переменных £,п называется функция вида
где aik ~ акГ
j=l i=l
Вообще дифференциал порядка/ от W для независи-
мых дифференциалов dx2, ..., dxn определяется по ин-
дукции при помощи рекуррентного соотношения
dlW= d (d^W) (I = 2, 3, ...), (13)
где dl, d, d1”1 берутся для указанных независимых диф-
ференциалов dxv .... dxn, которые к тому же рассмат-
риваются при вычислениях как постоянные (не завися-
щие от хр хп).
Рассуждая, как в (12), легко получим, что
= dx*dx-dx,
схкдхдх. >
Так как мы предполагаем, что функция f имеет не-
прерывные частные производные, то запись дифференциа-
лов можно упростить.
Например, для функции от двух переменных и = f (х,
у) имеем
d2u = f"2dx2 + 2f"dx dy + f"2dy2,
X y у
376 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
d3u = d (dzu) =
= ^dx3 + 3-Ф dx2dy + S-^t^dxdy2 + ^dy3.
дх дхду дхду ду
Применяя метод математической индукции, легко по-
лучим, что
dnu = ^J-dx’1 + п—44"—dxn ldy + ...
дхп дхп1ду
n(n-l)... (n-fe+1) 5"/
- -----77--------„г*—» dxn kdyk + ... + f-dyn.
k\ дхпкду У dyn
Символически это можно записать так:
Г 1п
dnu = dnf = < @-dx+~dy> f,
[ox dy J
где в правой части мы сначала возводим выражение в сте-
пень п, а затем подписываем f при символе б”.
В многомерном случае имеет место аналогичная симво-
лическая формула
(14)
Мы определили понятие дифференциала функции W в
терминах независимых переменных хх, ..., хп (или не-
зависимой векторной переменнойх). Но пусть, как это было
объяснено в начале этого параграфа, W рассматривается те-
перь как функция от зависимой векторной переменной
и = (н1, ..., ит). Возникает вопрос, как выражаются диффе-
ренциалы первого и высшего порядков в терминах этой пе-
ременной и. Начнем изучение этого вопроса в случае диф-
ференциала первого порядка.
Будем предполагать, что функции ср (и) и (х) (j - 1,
.... /и), о которых шла речь в начале параграфа, имеют не-
прерывные частные производные. Тогда
dw= t ^dx.=t У 8W dx. =
M dxj 1 5u 5x.J '
§ 8.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 377
и мы получили, как в случае одной переменной, что первый
дифференциал от W выражается через зависимые перемен-
ные так же, как через независимые. В этом проявляется
инвариантность формы первого дифференциала.
Чтобы исследовать поставленный вопрос в случае второго
дифференциала, будем предполагать, что функции <ри ^име-
ют непрерывные частные производные второго порядка.
Дифференцируя обе части (15), приняв во внимание
свойства (8) и (9), получим (пояснения ниже)
d2W=d(dW} = Y,d
=
оц J
_ X I y\-^^~-dudu +-^^-d2u\ =
I j dudu ' du. 'j
—dudu.+’y~^^d2u.
dudu. 1 ‘ du '
i-1
(16)
Во втором равенстве этой цепи мы воспользовались свойством
(8), в третьем же — свойством (9), и, кроме того, тем фактом,
что форма первого дифференциала сохраняется и для зависи-
мых переменных Uj. Мы видим, что второй дифференциал от
F, выраженный в терминах зависимых переменных^, суще-
ственно распадается на два слагаемых. Первое слагаемое пред-
ставляет собой квадратичную форму, аналогичную форме (12),
где d2W выражалось через независимые переменные. Второе
же слагаемое представляет собой некоторый добавок, с кото-
рым надо считаться: если и, (j = 1,..., т) не является линейной
функцией от xjt то этот добавок отнюдь не равен нулю.
Отметим, что из наших рассуждений следует, что если
выражение (16) взято для dx},.... dxn, которые фигурируют
в выражении (12), то оба эти выражения тождественно рав-
ны, каковы бы ни были х, для которых существуют ука-
занные непрерывные частные производные второго поряд-
ка и каковы бы ни были независимые dx..
378 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Вычисление дифференциалов ... через за-
висимые переменные производится подобным образом
последовательно. Приходится считаться с тем фактом, что
выражения для них становятся все более громоздкими.
§ 8.10. Формула Тейлора
Ограничимся рассмотрением функции от двух перемен-
ных. Пусть и = f (х, у) имеет в окрестности точки Ро = (х0, у0)
непрерывные производные всех порядков до l-го включи-
тельно. Возьмем в этой окрестности точку Р, = (х0 + Дх, ус+Ду).
Соединим точки Ро и Pt отрезком прямой, уравнение кото-
рого можно записать в параметрической форме следующим
образом:
х=х0 + /Дх, y=y0 + tAy (0«t<l).
Тогда вдоль этого отрезка наша функция и = f (х, у) будет
функцией от одного переменного tt
f (х, y) = f [х0 + /Дх, у0 + tAy = F (/). (1)
Легко видеть, что разность
Af (PJ = f (х0 + Дх. у0 + Ду) - / (х0, у0) = F (1) - F (0). (2)
Формула Маклорена для функции F (/) в окрестности
точки /0 = 0 имеет вид
F(t)-F (0) + —t + ... + р t + z, t
(0 < 0 < t).
Полагая t = 1, получим
F(l)-F(0) = 2^^+^. гдеО<0<1. (3)
k=l Ki 11
Вычислим производные функции/7 (/) через/1 (x, у). Из
соотношения (1) имеем
«... df(xG + tAx, y0 + tAy) 8f(x0 + /Дх, у0 + /Д у)
Г (t) =-----------w-----Дх +-----------------Ду,
дх ду я
$ 8.10. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
379
откуда при t = 0 получаем
Г(0). адм) +адм) =df (ро).
Совершенно аналогично
F" (0 = $ (*о + *^х’ Уо + *ДУ) А*2 +
+ 2 с (хо + t^x’ У о + *Ау)А*Ау +
+ f' (х0 + tAx, у0 + tAi/Л F" (0) = d2f (Ро).
Продолжая этот процесс, получим
F"’ (0) = d2f (Ро),.... У'-1) (0) = d'-7(P0)-
В силу этого из (2) и (3) имеем
А/ (Ро) = ^ + -+jp§-+hdlf (*о + 0Ах, у0 + еду).
(4)
Формула (4) называется формулой Тейлора для функ-
ции и = f (х, у). По внешнему виду она такая же, как и для
функции от одного переменного, но в развернутом виде она
гораздо сложнее.
Для случая функции от и переменных (и > 2) формула
Тейлора записывается в том же виде (4).
При I = 1 формула Тейлора для функции f от п пере-
менных имеет вид
/(х)-Нх°) = Я#>| (ХГ$ (О<0<1),
где символ( )а означает, что функция в скобках вычисляется
в точке х = а. Эта формула представляет собой обобщение
теоремы Лагранжа о среднем на многомерный случай.
При Z = 2 и и = 2 формула (4) в развернутом виде запи-
сывается так:
/(*. У) = f (*о> Уо) + Уо) (х “ хо) + |^(*о> Уо) (У “ Уо) +
(х0 + 0 (х - х0), у0 + 0 (у - у0)) (х - х0)2 +
2 [ах2
380 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
y'-f
+2~дхду (Х° + 6 (х “ + 6 0/ ' Уо)) - *о) (У - Уо) +
+ |4(х0 + 0 (х - Хо), у0 + 0 (у - у0)) (у -у0)2].
При I = 2 и произвольном п формула (4) выглядит сле-
дующим образом:
х-х
2
а2/
дхдх.
1
где х = (хР .... хп), х° = (л£ .... х°).
§ 8.11. Замкнутое множество
Множество?! G Rn =R называется ограниченным, если
существует число М > 0 такое, что
|х| « М Vx 6 А,
иначе говоря, если существует шар bR с центром в нулевой
точке, содержащий в себе А
Множество А называется замкнутым, если из того,
что какая-либо последовательность точекx\k = 1, 2, ...),
принадлежащих кА, сходится к точкех0 6 R (х* —• х°, х*е
6 А) следует, что х° принадлежит к А (х° 6 А).
В этом определении не утверждается, чтоА содержит
в себе сходящуюся последовательность. В нем говорится
только, что если в А существует сходящаяся последователь-
ность, то точка, к которой она сходится, принадлежит кА.
Это показывает, что надо считать, что пустое множе-
ство замкнуто. Все пространство Rn тоже, очевидно, замк-
нуто, но неограничено.
§ 8.11. ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО
881
Рассмотрим в качестве примера эллипсоид в трехмер-
ном пространстве
2 2 2
4г + т2+4 = 1 (а,Ь,с> 0), (1)
а о с
т. е. множество точек (х,у, г), удовлетворяющих уравнению
(1). Обозначим это множество через В. Это ограниченное
множество, потому что для любой его точки (х, у, z) выпол-
няется неравенство
( 2 2 2>\
х2 + у2 + z2 < m ^2+4+4 = т ' 1 - т>
\а Ь с )
где т а, Ъ2, с2. Оно также замкнуто, потому что если
задать произвольную последовательность точек (xh, yk, zk) е В,
стремящуюся к точке (х0, у0, г0), то эта последняя тоже при-
надлежит к В. Ведь из равенства
2 2 2
4+4+4 = н*=1.2,...)
а Ь с
после перехода к пределу при k —- оо следует равенство
показывающее, что (х(), у0, z0) е В.
Рассмотрим теперь более обширное множество А, со-
стоящее из точек (х, у, г), координаты которых удовлет-
воряют неравенству
2 ,2 2
4 + 4 + 4 < 1. (2)
а Ъ с
Множество А, очевидно, тоже ограничено. Оно и замкнуто,
потому что если
(xk> Ук’ zk) G A (fe = 1, 2, ...),
т. е.
2 2 2
2 "* ,2 2
а Ъ с
382 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
и (xfc’ Ук> гк) (*о» Уо’ 2о)> то очевидно,
2 2 2
_ , Уо ,zo
— 2 т ,2 2
а Ъ с
т. е. (х0, у0, z0) е А.
В связи с этим интересно рассмотреть еще третий при-
мер множества А' точек (х, у, z) с координатами, удов-
летворяющими строгому неравенству
2 „2 2
*_+IL+z_
а b с
< 1.
(3)
Множество А' открытое (см. § 8.3), оно не замкнуто.
Возьмем, например, последовательность точек (аА, 0,0), где
ak стремится к числу а, строго возрастая. Тогда (afc, 0, 0) е
G A' (k = 1, 2, ...) и (afc, 0, 0) — (а, 0, 0). Однако предельная
точка (а, 0, 0) не принадлежит кА'.
Рассмотренные примеры легко обобщаются. Пусть на всем
пространстве Вп задана непрерывная функция F (х) = F (хр ...,
хп). Тогда множество В всех точек х = (xv.... хп), для которых
выполняется равенство
Р(х)=Р(х1,...,х„) = С, (4)
где С — произвольное число, замкнуто.
В самом деле, может случиться, что нет вовсе точекх, удов-
летворяющих равенству (4), т. е. В — пустое множество, но
пустое множество замкнуто. Пусть теперь!? не пустое множе-
. ъ.
ство и некоторая последовательность точек {х }, принадлежа-
щих к В, сходится к точке х° е Rn (если В состоит даже из
одной точки х°, то можно уже построить сходящуюся последо-
вательность точек, принадлежащих кВ, а именно, {х°,х°,...}).
Тогда F (хк) = С (k = 1, 2, ...), и в силу непрерывности F в
точке х°
hmF(xk) = F(x°) = C.
Но тогда х° 6 В, т. е. множество В замкнуто.
Подобным образом множество всех точекх, удовлетворяю-
щих неравенствуВ (х) < С, где С — произвольное число, &F —
§ 8.11. ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО
383
функция, непрерывная на/?п, замкнуто, потому что из соотно-
шений
F (х*) < С (k = 1, 2, ...), Xk - х°
вследствие непрерывности F на Rn следует: F (х°) < С.
В силу сказанного n-мерный эллипсоид
п г
(5)
k=iak
есть замкнутое множество в Rn.
Замкнутым множеством в Rn является также п-мерный
объемный эллипсоид
A X2
£-1 2
*=1“*
(6)
Однако множество
2
(7)
£_! 2
4=1 а*
которое естественно назвать n-мерным открытым объемным
эллипсоидом, не замкнуто. В этом можно убедиться, рассуж-
дая, как в случае формулы (3). Это множество открытое (см.
§8.3).
Пусть А есть произвольное множество, принадлежащее к
Rn, их0 — произвольная точкаRn (AcRn,x° е Rn). Может быть
только три взаимно исключающих друг друга случая:
1. Существует шар Vo (открытый) с центром в точке х°,
X
полностью принадлежащий к А (По с: А). В этом случае х° по
X
определению есть внутренняя точ-
ка множества А (см. § 8.3).
2. Существует шар По с центром
в х°, все точки которого не принадле-
жат к A (Vo с Rn\A). В этом случае
о
х по определению есть внешняя точ-
ка множества А.
3. В любом шаре Уо с центром в
X
х° имеются точки, принадлежащие и
384 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
не принадлежащие к А. В этом случае х° по определению есть
граничная точка множества А.
МножествоА' всех внутренних точек множестваА называ-
етсяоткрытым ядром А. Это — открытое множество (см. § 8.3).
Если А' не пусто, то каждую точкуА' можно покрыть шаром с
центром в ней, полностью принадлежащим к А Если А' —
пустое множество, то оно формально считается открытым.
Множество Г = ЙА всех граничных точек А называется
границей множества А, Это — замкнутое множество, потому
что, если хк —* х° и хь е Г (k = 1, 2, ...), то всякий открытый
шар V 0 с центром в х° содержит в себе некоторую точку х*.
X
Последнюю можно покрыть шаром Vt с.центром в ней, пол-
X
ностью принадлежащим к Vo (Vt с Уо). Но в Vt имеются
XXX X
точки, принадлежащие и не принадлежащие кА, но тогда и
в Vo имеются точки, принадлежащие и не принадлежащие к
А. Следовательно, х° е Г.
Множество А' всех внешних точек множества А, оче-
видно, открытое.
Граничные точки А могут принадлежать и не принадле-
жать к множеству А.
На рис. 97 множество А с состоит из точек (хр х2):
1.
Открытое его ядро состоит из точек
+з%< 1.
Внешность А’ множестваА:
2,2 -
Xj +х2> 1.
Граница Г множества А:
2 2 1
х1+х2= 1.
А и А' открытые, ГиА' + Г= А= А замкнутые.
Итак, если задано произвольное множество А с~ Rn, то по
отношению к нему пространство/^ можно представить в виде
суммы множеств, определенных выше, попарно не пересекаю-
щихся:
R=А'+Г + А".
§ 8.11- ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО
385
Если в качестве множества А рассмотреть n-мерный зам-
кнутый объемный эллипсоид (6), тоА' есть открытый объем-
ный эллипсоид (7), а Г есть эллипсоид (5).
Если А — открытое множество, то Rn \А замкнутое, и
обратно. В самом деле, пусть А — открытое, и пусть я* —• х°,
х* е ВЛ\А. Если бы точка х° принадлежала к А, то в силу
того, что А — открытое множество, нашелся бы шар Vo (с
я
центром в х°), полностью принадлежащий кА. Но это невоз-
k
можно, потому что в Vo имеются точки х , которые принад-
X
лежат к/?л\А.Таким образом,х° е 7?Л\А и 7?Л\А замкнуто.
Пусть теперь А замкнуто и точка х° е ЯЛ\А. Если бы
точка х° была граничной точкой А, то в любом шаре Vo с
центром вх°были бы точки А. Тогда можно было бы постро-
ить последовательность точек хк е А, сходящуюся к х°. Но
тогда вследствие замкнутости А точка х принадлежала бы
к А, что противоречит предположению, что х° е 7?л \А. Мы
доказали, что произвольная точках0 е Rn\A есть внутрен-
няя точка 7?Л\А, т. е. что 7?П\А — открытое множество.
Множество А +Г назътваетсязамыканием А и обозначается
так:
А=А +Г.
Очевидно,
А' + Г=А+Г,
потому что, с одной стороны,A' <z А, и, следовательно,А' +Г <z
с А + Г, а с другой, если х е А + Г, то либо х е Г, и тогда х е
е А' + Г, либо х е А и х е Г, но тогда х g А' с А' + Г.
Далее, А = А + Г — замкнутое множество, потому что вне-
шность А 4- Г = А’ + Г — открытое множество.
Таким образом, чтобы получить А, надо добавить кА все
не принадлежащие к множеству А его граничные точки.
Если А замкнуто, то
А = А +Г =А ,
т. е. все граничные точки А принадлежат кА. Ведь ЯЛ\А от-
крыто и каждая точка х° е R„ \А может быть покрыта шаром
Уо, не содержащим в себе ни одной точки А. Но и обратно, если
А-А + Г =А,
13. Заказ 704
386 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
то А замкнуто, потому что если хк —► х°, хк еАи если предполо-
о ~ ,
жить, что х е А, то получится противоречие, потому что тог-
да х° е Г с А + Г =А.
Таким образом, для того чтобы множество А было зам-
кнутым, необходимо и достаточно, чтобы с ним совпадало
его замыкание (А=А). В частности, А всегда замкнуто, и по-
тому А = А.
Наконец, отметим, что пустое множество и все простран-
ство Rn являются одновременно открытыми и замкнутыми
множествами. Можно доказать, что в остальных случаях, если
множествоА открыто, то уж не замкнуто, а если замкнуто, то
не открыто.
§ 8.12. Непрерывная функция
на замкнутом ограниченном множестве
ПустьА есть пока произвольное множество простран-
ства R = Rn, и пусть на А определена функция f (х) = f (xv
.... хп). Может случиться, что функция f определена не на
всей окрестности точки х° 6 А (А — замыкание А), а толь-
ко на некоторой ее части. В этом случае возникает поня-
тие предела функции f в точке х° 6 А по множеству А.
Число В называется пределом функции f в точке
х° G Апо множеству А, если
Aiim /(х*) = В,
х-х°,х*еА
какова бы ни была последовательность точек xk 6 А, схо-
дящаяся к х°.
По определению, функция f непрерывна в точке х° е
6 А по множеству А, если имеет место равенство
f(xk) = Hx°), (1)
какова бы ни была последовательность точек хк е А, схо-
дящаяся к х°.
Приведенное определение непрерывности можно сфор-
S «.12. НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ НА ЗАМКНУТОМ ОГРАНИЧЕННОМ МНОЖЕСТВЕ 3«7
мулировать и на языке е, 8: функция f непрерывна в точке
х е А, если для любого е > О найдется 5 > 0 такое, что
\f (х) - f (х°)| < е Vx 6 А, |х - х°| < 5.
Теперь мы будем предполагать, что А есть ограничен-
ное замкнутое множество пространства В и заданная на А
функция f (х) непрерывна на этом множестве. В этих пред-
положениях можно доказать следующие замечательные
свойства:
1) Функция f ограничена на множестве А
2) Функция f достигает на множестве А максимума и
минимума, т. е. существуют в А точки х и у такие, что
f = max f (х), f (у°) = max f (х).
хеА х^А
3) Функция/равномерно непрерывна на множествеА,
т. е. для всякого £ > 0 найдется такое 5 > 0, что
|/ (Х')-/-(Х")|<£
для любых х', х" 6 А, удовлетворяющих неравенствам
|х' - х"| < 8.
Как мы видим, свойства 1), 2), 3) обобщают извест-
ные уже нам свойства непрерывной функции f (х) от од-
ной переменной х, заданной на отрезке [а, Ь]. Подчерк-
нем, что отрезок [а,Ь] есть ограниченное замкнутое одно-
мерное множество. Ведь если какая-либо последователь-
ность точек (чисел) хк, принадлежащих к отрезку [а, 6],
сходится к некоторой точке (числу) х0, то эта точка при-
надлежит к [а, Ь] (х0 G [a, Ь]).
Доказательство свойств 1), 2), 3) совершенно аналогич-
но доказательству их для отрезка [а, Ь], приведенному в
§ § 3.5 и 3.7. Оно всецело базируется на следующей лемме,
обобщающей соответствующую одномерную теорему Боль-
цано-Вейерштрасса из § 2.9.
Лемма. Из всякой ограниченной последовательнос-
ти точек xk = (х*, ..., х*) (k = 1, 2,...) можно выделить под-
388 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
последовательность |х**} (I = 1, 2, ...), сходящуюся к не-
которой точке х°:
1л* - х°| - О (I - ОО).
Доказательство. Так как последовательность {х*}
ограничена, то существует числоМ такое, что
М > |хА| > |х*| (у=1, ••> п; k= 1, 2, ...).
Это показывает, что координаты точек xk также ограничены.
Первая координата образует ограниченную последовательность
{х*} (k = 1, 2,...), и на основании одномерной теоремы Больца-
но—Вейерштрасса найдется подпоследовательность ki натураль-
о *'1 о „
них чисел и некоторое число xt такие, что х^ — xl (I —- оо).
т, к
Вторую координату х2 рассмотрим только для найденных на-
г ад
туральных . Подпоследовательность|х2 | ограничена, поэто-
с Г Ч
му из нее также можно выбрать подпоследовательность >
и число х2 такие, что х^2— х„. Так как есть подпоследова-
W*J, 0 2
, то имеет место одновременно х\ ~^х1, х2 — х0.
Продолжая этот процесс, на n-м его этапе получим подпосле-
довательность натуральных чисел Aj = и систему чисел х1,
о о
х2,..., хп такие, что одновременно
О fe О к, 0 .
X, -х,, х2 -х2, x„'-xn (Z - оо).
Полагая х° = (х), ..., х°), получим утверждение леммы.
Доказательство свойства 1). Допустим, что/ не
ограничена на замкнутом ограниченном множестве А Тогда
для каждого натурального числа т существует точка хт е А
такая, что
|/’(xm)|>zn (m = l,2, ...).
(2)
§ 8.12. НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ НА ЗАМКНУТОМ ОГРАНИЧЕННОМ МНОЖЕСТВЕ 389
Так как множество А ограничено, то последовательность
точек {хт} также ограничена и, в силу леммы, из нее можно
выделить подпоследовательность , сходящуюся к неко-
торой точке х°. По условию множество А замкнуто, поэтому
точка х° 6 А. Но в точке х° функция f непрерывна и потому
х"*<=А
Свойство (3) противоречит свойству (2). Поэтому f может
быть только ограниченной на замкнутом ограниченном мно-
жестве А.
Доказательство свойства 2). По свойству 1)
непрерывная на замкнутом ограниченном множестве А функ-
ция ограничена, следовательно, она ограничена сверху некото-
рым числом К:
f(x)^K (хе А).
Но тогда существует точная верхняя грань f на А:
sup f (х) = М. (4)
хеА
Число М обладает следующим свойством: для любого нату-
рального т найдется в множествеА точка хт = (х™, х") та-
кая, что
1
М (zn= 1, 2, ...).
Последовательность {xm}, как принадлежащая к ограни-
ченному замкнутому множеству А, ограничена:
(т=1,2,...),
{т*1
х I ’
сходящуюся к некоторой точке х° е А. Последнее заключение
вытекает из замкнутости множества А.
390 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Но функция f непрерывна на множестве А, следовательно
она непрерывна в точке х°, поэтому
С другой стороны,
М- 1-</(а“*) (* = 1,2, ...)•
тк ' '
Переходя к пределу в этом неравенстве при/г —* оо, получа-
ем
М ^f(x°)^M,
т. е.
f(x°) = M.
Таким образом, верхняя грань (4) достигается в точке х е
е А, т. е. функция / достигает в точке х° е А максимума на
множестве А.
Итак, мы доказали, что существует точка х е А, для ко-
торой
max f (x) = f (*°)-
xgA
Другая часть свойства 2) о минимуме доказывается анало-
гично.
Доказательство свойства 3). Допустим, что
свойство неверно. Тогда существует такое £ > 0, что для лю-
бого 5 > 0 найдется пара точек х = (хр ..., хп), у = (уг,уп) е
е А, удовлетворяющих неравенству
I* - »1 = < S>
для которых
|/(х)-/(У)|>£.
Зададим теперь последовательность положительных чи-
сел 6т —' 0 при т — со. Для каждого 6т, найдутся точки хт =
= (<» ..., х”), ут = ..., у™) е А такие, что
|ХЯ‘ - Л < 5т, НО |/ (хт) - f Е. (6)
Так как точки последовательности {хт} принадлежат к
§ 8.13. ЭКСТРЕМУМЫ
391
ограниченному множеству А, то эта последовательность ог-
раничена, и из нее, по лемме, можно выделить подпоследо-
{т*1 - о . ,
х j , сходящуюся к некоторой точке х е А (в
силу замкнутости множества А).
Так как | xm‘— у”1* | -» 0 при k —► оо, то подпоследователь-
{*”*1 о
у | также сходится к точке х , потому что
I m. 01 I т. т. о| J I I 01
|jr *-x | = ‘-X ‘ + X ‘-X -X *| + |x ‘-x |.
По условию функция f непрерывна наА и, следователь-
о
но, непрерывна в точке х .
Поэтому
х™* сА у17^ сА
Теперь, переходя к пределу в (5) при /? -* оо, получаем
£< lim |f(xm‘)-f(ym‘)|=lf(*O)-f(*°)l = O
и мы пришли к противоречию: £ < 0.
§ 8.13. Экстремумы
Пусть на области (открытое связное множество) G за-
дана функция и — f (х), х = (хи .... хл) и х° = (jq, ..., х°) —
точка G. Говорят, что функция и = f (х) имеет локальный
максимум (минимум) в точке х°, если Я окрестность этой
точки такая, что V х из этой окрестности имеет место нера-
венство
f(x)^f(x°) (/(х)>/(х°)). (1)
Точку х° будем называть точкой локального максимума
(минимума), а соответствующее значение функции/ (х°) мак-
симальным (минимальным) значением функции. Локаль-
ные максимум и минимум объединяются общим названием
«локальный экстремум». Из определения экстремума вы-
392 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
„ О
текает, что в достаточно малой окрестности точки х при-
ращение функции Au = f (х) - f (х°) не меняет знака:
Au > 0 в случае локального минимума (min);
Au О в случае локального максимума (max).
Теорема 1 (необходимое условие
экстремума). Пусть функция и = f(x) имеет локаль-
ный. экстремум в точке х®. Тогда, если существуют част-
ные производные первого порядка (i = 1, ..., п) в точке
oxi
х°, то все они обращаются в нуль в этой точке:
df[x°}
-^=0 (г= !,...,«). (2)
дх.
df(x°)
Доказательство. Докажем, что——- = 0. Зафик-
дх.
сируем переменные х2 = х2,..., хп = хп. Тогда получим фун-
кцию и = f (хр х°,х°) от одного переменного Xj причем
эта функция имеет локальный экстремум в точкех'’. Поэто-
му в силу необходимого условия экстремума для функции
от одной переменной, заключаем, что производная от этой
функции по переменнойхх должна быть равна нулю в точке
х). Но эта производная является частной производной фун-
кции f (х) по переменной Xj в точке х°, т. е.
8№> Х2....Xn) = g/tX°) = 0
дх1 дх\
Другие случаи рассматриваются аналогично.
Следствие. Если функция и = f (х) имеет экстре-
мум в точке х° и дифференцируема в точке х°, то df (х°) = 0
или gradf (х°) = 0.
Данное следствие вытекает из определения дифферен-
циала и градиента.
§ 8.13. ЭКСТРЕМУМЫ
393
Замечание. Условие (2) не является достаточным
для того, чтобы в точке х° был экстремум функции f.
Например, функция и — х2у имеет частные производ-
ные = 2ху, = х2, которые обращаются в нуль в точке
(О, 0). Однако точка (0, 0) не является точкой экстремума,
так как в любой окрестности этой точки Ли = х2у - 0 = х2у
принимает как положительные, так и отрицательные зна-
чения.
В дальнейшем точки, в которых существуют непре-
рывные частные производные от f, удовлетворяющие си-
стеме (2), будем называть стационарными точками.
Перейдем к получению достаточных условий экстре-
мума. Пусть функция и = f (х) имеет непрерывные произ-
водные до второго порядка включительно по всем пере-
менным, и пусть х° — стационарная точка, т. е. df (х°) = 0.
Тогда, разлагая функцию и = f (х) по формуле Тейлора в
окрестности точки х°, получим
Л/ (х°) = df (х°) + i d2f (х° + ОАх) = | dzf (х° + 6Дх) =
z 1=1 /=1 7
= |ЁЁ + £у)Ах;Ах.=
2
Лх.
Р Р
2
где 0 <0< 1, Ax = (Axj,..., Ахл), р = |Ах| = ^£Дх2 , а (Ах) — 0
при р -» 0.
Так как вторые производные непрерывны, то величи-
ны Et/-, зависящие от Дх, стремятся к нулю при р = |Дх| -» 0,
394 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
но тогда и max led = е — 0 при р — 0. Поэтому, учитывая,
Li **
|Дх|
что
Р
< 1, получаем
|а (Дх)| = Х2К
Р
(Р
п п
1=1 /=1
0).
1 = га2£ — 0
^iAxI
Р
2
Итак, мы доказали, что
Д/ (х°) = f (х° + § - f (х°) = &), (3)
где
= = ^ = йр....О
и
а (Е,) — 0 при р =
0.
Выражение
А Й) = ХХа (аи = ад) (4)
М /-1
есть квадратичная форма относительно = (^t, ..., Е,п). По
знаку этой формы можно узнать с помощью формулы (3)
знак Д/ (х°) для достаточно малых р.
Справедливо следующее утверждение:
1) Если формаА (£,) строго положительно определенна,
т. е. А (£,) > 0 для всех % Ф 0, то функция f имеет в точке х°
локальный минимум.
2) Если форма А (£,) строго отрицательно определенна,
т. е. А (£,) < 0 для всех Е, 0, то функция f имеет в точке х
локальный максимум.
3) Если А (£,) > 0 для всех Е, или А (£,) < 0 для всех Е, и
имеется Е, Ф 0, для которогоА (£,) = 0, то вопрос о локальном
экстремуме функции f в точке х остается открытым.
4) Если форма А (£,) не определенна по знаку, т. е. су-
ществуют векторы^' и для которых А (£,') > 0,А (£,") < 0,
то функция f в точке х° не имеет локального экстремума.
5 8.13. ЭКСТРЕМУМЫ
395
Доказательство утверждения 1). Равен-
ство (3) запишем следующим образом:
2 ‘
п2 п п £ £
W)= =
2 Lm ’ Р Р J
= у tt<m++“(У]. (5)
2
2 "
п п
где мы ввели новые переменные
П;=Ч/Р (i = 1, 2, ..., га).
Легко видеть, что
пг- ЛЯ
1п1 = лЕч=-Ь1—=1-
V t=i Р
Таким образом, точкаТ| при любых £, находится на по-
верхности n-мерного единичного шара. Функция А (Т|) не-
прерывна на этой поверхности, представляющей собой ог-
раниченное замкнутое множество, и по условию поло-
жительна на этой поверхности. Но тогда А (Т|) достигает
своего минимума т в некоторой точке этой поверхности,
который больше нуля (т > 0) (см. § 8.12, свойство 2)). Так
как а(Е>) -» 0 при р = |Е,| — 0, то при достаточно малом 5 > 0
1«Й)1 < т V£: < 5.
Следовательно,
Д/(х°>) = /(х0+ ^)-/(х°) =
= ^-Ит)+a©]>v[7n+a®]>0
V^: |^|<5
и функция f имеет локальный минимум в точке х .
Утверждение 2) доказывается аналогично.
Доказательство 3). В данном случае формаА (^)
для некоторого Ф 0 обращается в нуль, но тогда для соот-
Й') = 0 и,
Р
ветствующего Т|' значение A (rf) = А
396 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
следовательно, f (х° + %') - f (х°) = | р2а (£,'). Но знак а (£')
неизвестен, поэтому мы не можем сказать, имеет f вх° экст-
ремум или нет.
Доказательство 4). Здесь опять удобно обратить-
ся к равенству (5). В этом случае по условию существует
точка для которой форма положительна и существует
точка для которой форма отрицательна, но тогда для
соответствующих им точек Т|' = ^'/р, Т|" = £,"/р будут вы-
полняться неравенства А (rf) > О, А (т|") < 0 и при малых р
окажется, что А (т|') + «.(£,') > О, А (Г]") + а (£") < 0, т. е. в
любой малой окрестности х° имеются точки х' и х", для
которых f (х') > f (х°) и f (х") < f (х°), а это означает, что
заведомо нет экстремума.
Известны* условия (Сильвестра), выражаемые на язы-
ке коэффициентова(;-, при которых квадратичная форма (4)
удовлетворяет перечисленным выше условиям 1) — 4). Здесь
мы отметим только вытекающие из теоремы Сильвестра кри-
терии в случае функции и = f (xv х2) от двух переменных.
Если ап = Гг (х°) > 0 и
= апа22 - 4 = г;(х°) г;<х°) - (х°)]2 > о
(в этом случае форма (4) строго положительно определен-
на), то функция и = f (хр х2) имеет локальный минимум в
точке х° = (xf, х?).
Если
П(х°) < о, гдх°) л'(х°) - щ;(х°)]2 > о
(в этом случае форма (4) строго отрицательно определенна),
то функция и = f (xv Ху) имеет локальный максимум в точ-
0
ке х .
Если аиа22 - с%2 < 0, то d2f (х°), как квадратичная фор-
* См. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгебры
и аналитической геометрии», § 21.
<*12
°2i а-гг
S 8.14. НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
397
ма, не является определенной по знаку при изменении Дхр
поэтому в этом случае Д/- (х°) также не сохраняет знак в
любой окрестности точки»0, и, следовательно, экстремум в
о
точке х отсутствует.
Если выражение апа22 ~ ~ то вопрос об экстре-
муме остается открытым.
Пример 1. Для функциия = х3 — Зх + у2 точки (±1,
0) являются стационарными. Исследуем их на экстремум.
Имеем
н"=6х, и" (+1,0) =+6, п;=0, и"=2.
Таким образом, для точки (1, 0)япа22 - <\г = 6 • 2 - 0 = 12 > О,
яп = 6 > 0. Поэтому в точке (1, 0) наша функция имеет
локальный минимум. Для точки (-1, 0):an = -6< 0,ana22 -
- я,2. . = -12 < 0, поэтому функция экстремума в точке (-1,0)
не имеет.
Пример 2. Для функции и = х4 + у2 точка (0, 0)
является стационарной, и легко видеть, что в этой точке
функция имеет локальный минимум. Между тем и"2 = 12х2,
и”у = 0, п'г = 2, т. е. яп = 0, я12 = 0, я22= 2 и япя22- я^2 = 0.
Пример 3 . Для функции и = х3 + у2 в стационарной
точке (0, 0) яи = 0, я12 = 0, я22 = 2, т. е. сноваяпя22- я^2 = 0,
но в данном случае функция и = х3 + у2 в точке (0, 0) экстре-
мума не имеет, так как на прямой у = 0 приращение Ди = х2
меняет знак при переходе через точку х = 0.
§ 8.14. Нахождение наибольших
и наименьших значений функции
Пусть задана непрерывно дифференцируемая функция
и = f (х) на множестве G a Rn, представляющем собой за-
мыкание ограниченной области, т. е. области, к которой
присоединена граница dG. Тогда f достигает максимума и
398 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
минимума в некоторых точках х е
е G (см. §8.12, свойство 3)). Эти точ-
ки могут быть внутренними и гра-
ничными. Если точках внутренняя,
то функция f (х) имеет в ней локаль-
ный экстремум. Поэтому, чтобы най-
ти наибольшее (наименьшее) значе-
ние функции, необходимо найти все
стационарные точки, вычислить зна-
чение функции в этих точках и сравнить их со значениями
функции на границе 8G. Наибольшее из этих значений и
будет наибольшим значением функции на G.
Если G G Н2 и 8G является плоской непрерывной кри-
вой х = <р (f), у = (р (<), то вдоль этой границы наша функция
является функцией от одного переменного t: f [<р (t), \|/ (t)].
Находить наибольшее значение этой функции мы уже уме-
ем.
Пример. Найти наибольшее значение функции 2=1-
- х + х2 + 2у в замкнутой области G, ограниченной прямы-
ми: х = О, у = О, х + у = 1 (рис. 98).
Решение. Z = -1 + 2г = 0, ?*, = 2 / О, т. е. стацио-
нарных точек нет. Исследуем функцию г на dG.
1) Пусть х = 0, тогда 2=1 + 2у, 0 < у < 1. На [0, 1]
функция г = 1 + 2 у стационарных точек также не имеет, и
2(0)= 1,2(1) = 3.
2) Пусть у = 0, тогдаг =1-х+х,0<х< 1. Далее, =
= - 1 + 2х = 0 при х = 1/2, т. е. х = 1/2 — стационарная
точка. Вычисляя значение функции в этой точке и на гра-
нице в точках х = 0 их = 1, получим: г (1/2) = 3/4,2 (0) = 1,
2(l)=i.
3) Пусть х + у = 1, тогдаг = 3 - Зх + х , О < х < 1. Так
как z'x = -3 + 2х = 0 в точке х = 3/2 ё [0, 1], то в нашем
промежутке [0, 1] нет стационарных точек. Далее г (0) = 3,
г(1)=1.
Сравнивая все наибольшие значения функции по час-
тям границы, мы видим, что наибольшее значение функ-
ции 2 (х, у) на G равно 3 и достигается в точке х° = (0,1).
S 8.15. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
399
§ 8.15. Теорема существования неявной
функции
Зададим произвольную функцию f (х, у) от двух пере-
менных хну. Приравняем ее нулю:
f(x,y) = O. (1)
Множество всех точек (х, у), для которых выполняется ра-
венство (1), обозначим через 2R. Пусть (х0, у0) е SR, т. е.
Уо) = О-
Если не накладывать никаких условий на f, то мно-
жество SR может иметь самую различную природу. На-
пример, в случае f (х, у) = (х — х0)2 + (у - у0)г множество SR
состоит из одной-единственной точки (х0, у0), а в случае/ (х,
у) = х2 + у2 + 1 множество ЭД1 пусто, в случае же
f (х, у} = (х- х0)2 - (у - у0)2 = (х + у - х0 - у„) (х - у - х0 + у0)
SR есть пара прямых, проходящих через (х0, у0). Однако ча-
сто имеют место случаи, когда 2R, по крайней мере в доста-
точно малой окрестности (х0, у0), представляет собой кри-
вую, описываемую непрерывной (однозначной) функцией
у = ц/ (х) (хе (х0 - 5, х0 + 5))
(таким образом, \|/ есть функция, определяемая неявно урав-
нением (1), см. также § 3.1).
Возникает вопрос, как по свойствам функции f узнать,
что имеет место именно этот случай?
Ниже доказываются две общие теоремы, отвечающие
на поставленный вопрос.
Теорема 1. Пусть задано уравнение
f(x,y)^Q, (1)
удовлетворяющее следующим свойствам.
Функция/определена на некоторой двумерной окрест-
ности Q точки (х0, у0) плоскости х,у и непрерывна там
вместе со своими частными производными первого поряд-
ка; при этом
№’^)=GSo#°
400 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
и f (хо’ По) ~ 0- Пусть, далее, ЯП есть множество всех точек
(х, у), удовлетворяющих уравнению (1) (в частности, точ-
ка (х0, £/0) 6 ЯП).
Тогда, каково бы ни было Ьо > 0, найдется прямоугольник
Л={\х-х0\<а, \у~у0\<Ъ} (Ь<Ъ0), (3)
принадлежащий^!, такой, что множество ЯЛД описывает-
ся непрерывно дифференцируемой функцией(неявной функ-
цией)
у = \j/(x), хе Д°, (4)
Д°= {|х-х0| < а}. (5)
Другими словами, прямоугольник Д обладает тем
свойством, что на его проекции Д° на осьх можно опреде-
лить непрерывно дифференцируемую функцию (4), явля-
ющуюся решением уравнения (1), т. е. удовлетворяющую
уравнению (1)
f (х, у (х)) = 0 (хе Д°). (6)
График ее полностью принадлежит Д. Эта функция един-
ственна в том смысле, что любая точка (х, у) е ЯЛД имеет
координаты, связанные уравнением (4). В частности, у0 =
= \|/ (х0), потому что (х0, у0) е ЯЛД (рис. 99).
Доказательство теоремы 1. Пусть для опре-
деленности f (х0, у0) > 0. Так как fy непрерывна на О, то
существует окрестность точки (х0, у0), которую мы снова
обозначим через Q, такая, что в ней fy(x, у) > 0. Введем
замкнутый прямоугольник
А = {|* - *01 < 1У-УО1 < b}cz£l(b<b^.
Тогда f у (х, у) > 0 на Д и
minf' (х, у)-т>0. (7)
Функция f (х, у), рассматриваемая на отрезке [у0 - Ь < у <
<у0+ Ъ, х= х0], как функция от у непрерывна, строго возра-
стает и обращается в нуль в точке у = у0 (по условию теоре-
мы f (х0, у0) = 0). Значит,
f (х0, yo-b)<O, f (х0, у0 + Ъ) > 0.
§ 8.15. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
401
Вследствие непрерывности f найдется достаточно малое чис-
ло а, 0 < а < а, такое, что
f(x,yo-b)<O, f(x,y0 + b)>Q Х/х 6 А0 = {|х -х0| < а}.
Обозначим через А = {|х — х0| < а, \у - у0\ < Ь} открытый пря-
моугольник. Очевидно, А с А с (1 и А° есть проекция А на
ось х.
Рассмотрим теперь для произвольного и фиксирован-
ного х е А0 функцию f как функцию от у на отрезке [z/0 - b,
у0 + Ь]. Она непрерывна, строго возрастает (f > 0!) и имеет
противоположные знаки на его концах. Но тогда по теореме
о промежуточном значении существует и притом единствен-
ное число у, принадлежащее интервалу (у0 -Ъ, у0 + &), мы
его обозначаем через у = у (х), для которого f (х, \|/ (х)) = 0.
Этим доказано существование определенной на А0
функции ц/ (х), удовлетворяющей уравнению (6).
Докажем, что функция ц/ (х) непрерывна на А0. Пусть
402 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
х, х + Ах е А0, у = ц/ (х), Ау = ц/ (х + Ах) - ц/ (х). Тогда на
основании формулы Тейлора (§ 8.10) имеем:
0 = /( х + Ах, у + Ау) - / (х, у) =
= fx (х + 0Ах, у + 0Ау)Дх + fv (х + ОАх, у + 0Ау)Ау,
где 0 < 0 < 1. Отсюда
Ay _ /Jx + OAx, у + ОАу)
Дх £(х + 0Дх, у + ОДу)
где точка (х + ОАх, у + ОАу) е А. В силу условия теоремы на
замкнутом прямоугольнике А, а следовательно, и на пря-
моугольнике А с А, функция fx ограничена (|f J < М), а по
(7) функция fy ограничена снизу числом т > 0, поэтому из
(8) получаем, что
Ау^м
Дх! т ’
т. е. Ау -» 0 при Ах -► 0, что означает непрерывность фун-
кции у = ц/ (х) в точке х. Так как точка х — произвольная
точка А0, то функция ц/ (х) непрерывна на А0.
Теперь, переходя к пределу в (8) приАх -» 0, получаем
(по доказанному Ау также — 0)
Дх-° Дх fy(x, у)
(у = V (х)). (9)
Мы доказали существование производной ц/' (х) в точ-
ке х и равенство
V'(*)=
£(х, у(х))
£(х, у(х)) ’
(Ю)
Непрерывность ц/' (х) непосредственно видна из (10),
•потому что f x и f непрерывны на прямоугольнике А, а
кривая у = ц/ (х) не выходит за его пределы и является не-
прерывной, как мы доказали выше.
Сформулируем теорему, аналогичную теореме 1, в слу-
чае, когда неявная функция зависит от п переменных.
§ 8. IS. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
403
Теорема 1'. Пусть задано уравнение
f у) = f (хр ...» хп, у) = О, (Г)
удовлетворяющее следующим условиям.
Функция f определена на некоторой окрестности Q
z о о, / о о о\ п z
точки (х , у ) = (Хр ..., хп, у I пространства кп+1 точек (х,
у) = (Хр..., хп, у) и непрерывна там вместе со своими част-
ными производными первого порядка; при этом
f (х°,у°) = [^\ *0, f(x°,y°) = O. (2')
У \dyJo
Пусть, далее, ЯП есть множество всех точек, (х, у), удов-
летворяющих уравнению (Г) (в частности, (х °, у') е ЯЛ).
Тогда, каково бы ни было Ьо> 0, найдется в Q прямо-
угольник
Л = {|х.-х?| <а,7=1, ...,п, If/- j/°|<b} (b<b0), (3')
принадлежащий Q, такой, что множество ЯЛА описыва-
ется непрерывно дифференцируемой функцией(т. е. имею-
щей непрерывные частные производные)
у = у (х) = ц/ (Хр .... хп), х 6 Д°, (4')
Д° = {|х)-х°| < а, / = 1, .... п}. (5')
Частные производные ст функции \|/ вычисляются по
формуле
= (7=1,-.,п). (10')
дх] дх./ су
Если функция f (в случае теорем 1 и Г) имеет не-
прерывные производные более высокого порядка/, то и не-
явная функция имеет производные порядка/, которые мож-
но найти, дифференцируя I раз формулу (10) или (10').
Пример. Пусть известно, что функция f (х, у), рас-
смотренная в теореме 1, имеет непрерывные частные про-
404 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
изводные второго порядка. Будем исходить из равенства (10).
Дифференцируя его по х, получим
и
Мы использовали формулу дифференцирования слож-
ной функции.
§ 8.16. Касательная плоскость и нормаль
Пусть поверхность S задана уравнением
F(x,y,2)=0 (1)
в неявном виде. Будем считать, чтоР (х0, у0,20) = 0 и в неко-
торой окрестности точки (х0, у0, z0) функция F имеет непре-
рывные частные производные, одновременно не равные
нулю. Тогда
grad0 F = ((ГД, (ГД, (Р'Д) * 0. (2)
Мы пишем (Ф)о вместо Ф (х0, у0, z0).
Для определенности предположим, что (F'z)()^0. Тогда
на основании теоремы о неявной функции существует окре-
стность точки (х0, у0, z0), в которой поверхность S описыва-
ется явно непрерывно дифференцируемой функциейз = f (х,
у). Уравнение касательной плоскости к S в точке (х0, у0, z0),
как мы знаем, имеет вид
г - z0 = (ГД (х - х0) + (ГД (у - у0),
где
(Оо = -(^'А/(Л)о. (ГД = -(^'Д/(^'Д-
В силу этого уравнение касательной плоскости к S в точке
(х0, у0, z0) запишется так:
(FJ0 (х - х0) + (ГД (у - Уо) + (ГД (z - z0) = 0, (3)
а уравнение нормали к S в точке (х0, у0, z0) — так:
у-у0_2-20
(П (^0 (П *
$ 8.16. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
405
Те же уравнения (3), (4) мы получим, если предпо-
ложить, что (F1 х)0 Ф 0 или (F‘' )0 Ф 0. В этих случаях в окре-
стности (х0, j/0, z()) поверхность S описывается явно соответ-
ственно уравнениями
X = <р (у, 2), у = V (х, 2).
Мы видим, что при условии (2) поверхностьв в любой
точке (х0, у0, 20) имеет касательную плоскость, непрерыв-
но изменяющуюся при непрерывном передвижении точки
(х0, у0, г0). Такую поверхность называют гладкой поверх-
ностью S.
Другое дело, если gradg F = 0. В этом случае нельзя
гарантировать, что в точке (х0, у0, z0) существует касательная
плоскость kS. Она может существовать, а может и не суще-
ствовать.
Пример. Уравнение
г2 + у2 - х2 = 0 (5)
определяет круговой конус с вершиной в начале координат
и осью, совпадающей с осью х (рис. 100).
Левая часть уравнения (5) имеет частные производные
F'x = -^2х, F'y = 2у, F'z = 2z,
одновременно не равные нулю, если точка(х, у, z)^ (0,0,0).
В любой такой точке, которую обозначим через (х0, у0, z0),
касательная плоскость определяется уравнением
-х0 (х - х0) + у0 (у - у0) + г0 (г - г0) = 0.
В начале же координат касательная плоскость к нашей кони-
ческой поверхности не существует. В этом случае grad^ F = 0.
Рис. 100
406 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Точки (х0, у0, г0), лежащие на поверхностив, в которых
grad0 F = 0, называют особыми точками поверхности S.
Рассмотрим непрерывно дифференцируемую функцию
и = f (х, у, 2) (6)
на некоторой области Q точек (х, у, г). Пусть в точке (х0, у0,
г0) е Q ее значение равно числу А:
A = f(x0, у0,20).
Если частные производные от / в точке (х0, у0, 20) одно-
временно не равны нулю, то уравнениеА = f (х, у, г) опреде-
ляет в окрестности этой точки некоторую гладкую поверх-
ность S, называемую поверхностью уровня функции (6).
Касательная плоскость к S в точке (х0, у0, z0) имеет
уравнение
(* - *о) + ПН (У - Уо) + (2 - 2о) = °-
\cxJo \fiyJo \dzJo
Нормаль к S в точке (х0, i/0, z0), т. е. прямая, про-
ходящая через эту точку, перпендикулярно к касательной
плоскости, очевидно, имеет уравнение
-У-^о -у-%_г-2о
pH pH pH'
\Sx7o ру Jo \Sz7o
Мы видим, что вектор
grad f0 =
эн. Г—) "I
ду)о VdzJoJ
направлен по нормали к поверхности S.
Уравнение г = / (х,у), где функция /имеет непрерывные
частные производные, определяет некоторую гладкую по-
верхность S. Положим, А = / (х0, у()). Если в точке (х0, у0)
((df\ (df}}
частные производные „ , - , —— одновременно не
\dxJo \\8xJo усу)0)
$ & 17. СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО
407
равны нулю, то уравнениеА =/ (х, у) определяет в окрестно-
сти этой точки некоторую гладкую кривую Г {линию уров-
ня функции z = f{x, у)).
Уравнение касательной к Г в (х0, у0) имеет вид
дх)о
(х - х0) -
(!/-%) = 0-
\ду)0
Вектор I (—I, I — | I направлен по нормали к Г (в плоско-
1^3хЛ> \ду)0)
сти Г) в точке (х0, j/0).
§ 8. 17. Системы функций, заданных неявно
Выше мы рассмотрели вопрос о существовании непре-
рывной и дифференцируемой неявной функции, опреде-
ляемой одним уравнением.
Здесь мы рассмотрим аналогичный вопрос для сово-
купности неявных функций у1г ...,ут, определяемых си-
стемой уравнений
Л(х1....хп> У и —>У^ = 0,
(1)
fm{xx, ...,хп.ух, ...,ут) = 0.
Таким образом, мы ищем функции£/р ...,ут отхр ...,хп
как решения системы (1): у{ = (хр ..., хп) (I = 1, ..., иг).
Выясним те условия, которые обеспечивают суще-
ствование решения системы (1) и дифференцируемость фун-
кций yt.
Теорема 1. Пусть задана система уравнений (1),
удовлетворяющая следующим свойствам.
Функции fj определены на некоторой {{п + т)-мерной)
QZ о Ox z о 00 Ох
точки (х , у ) - xn; у{ , ут) про-
странства Rn+m точек (х, y) = (xlt ...,ут) и непре-
408 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
рывны там вместе со своими частными производными пер-
вого порядка с якобианом (определителем Якоби*)
I ... А
К = 4U 0.
5у; Ду,, ..., yj
(2)
дУт
Кроме того, точка (х°, у0) удовлетворяет системе (1).
Пусть SR есть множество всех точек (х, у), удовлет-
воряющих системе (1) (в частности, (х°, у°) G SR).
Тогда, каково бы ни было Ъо > 0, найдется прямо-
угольник
<а 0 = 1, п),
(i=li..(b<bo)> (3)
принадлежащий £1, такой, что множество ЗЛА описы-
вается непрерывно дифференцируемыми функциями
yt = v, (х) (i = 1, ...» т), х G Д°, (4)
Д° = {jx.-x°| <a,j = 1,..., п }. (5)
Другими словами, прямоугольник Д обладает тем свой-
ством, что на его проекции Д° на координатное под-
пространство (хх,..., хп) можно определить непрерывно диф-
ференцируемые функции (4), удовлетворяющие уравнениям
(1):
Д (х, Vi •••> (ас)) = 0, (хе Д°, i = 1, .... т)
и неравенствам |\|/ - (х) - у° | < Ъ. Эти функции единственны в
том смысле, что любая точка (х, у) е Ш1Д имеет координаты,
связанные уравнениями (4).
В частности у” =\|/, (х°) (j = 1,..., т), потому что (х°, у°)е
е ЗЛА.
* К. Г. Якоби (1804-1853) — немецкий математик.
§ 8. 17. СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО
409
Замечание 1. В теореме можно считать, что пря-
моугольник Д и его проекция Д° определяются неравен-
ствами
Д={х-х°| <ajt (;=1, .... и);
\у~У°\ m) }, (3*)
= b-, и}, (5*)
с различными, вообще говоря, числамиа;, Ведь если теоре-
ма верна для прямоугольника (3*) при некоторых ау, bt, то,
положив Ъ = min можно вследствие непрерывности функ-
ций Vi указать такое число а < (j = 1, .... п), что точки
(х, Vi (х).....Vm (х)), х g {|х. -х°\ < a, j= 1, ..., п }
окажутся в прямоугольнике (3).
Заметим, однако, что вообще невозможно добиться,
чтобы а и Ь в (3) были равными, в чем легко убедиться на
примере одного уравнения F (х, у) = у - х2 = 0, х0 = у0 = 0.
Приведем доказательство теоремы 1 только для частного
случая двух уравнений
А(х„ х2, j/p Уг) = О, |
/2(ХрХ2,УрУ2) = 0. J
Нам надо доказать, что если функции Д и /2 непрерывно
дифференцируемы в некоторой окрестности точки Л/° = (х^,
хг, у}, у2) 6 R4, удовлетворяющей уравнениям (1), и якобиан
< 5/
ву{ ду2
Ц 8f2
^У2
#0
в М°, то для любого Ьо > 0 найдется прямоугольник
A = {]^-xf| <а,|х2-х°| < b, |у2-р°| <Ь }
(2')
(Ъ<Ъ0),
(3')
410 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
принадлежащий указанной окрестности, и существуют непре-
рывно дифференцируемые функции
s. = v, 1 ( m
y2=ya(Xi, х2) j '
определенные на его проекции
такие, что они удовлетворяют уравнениям (Г) и обладают свой-
ствами
о / о о\ о / о 0\
г/i х2)‘
При этом для (хп х2) е Д°
(Xj, х2, V! (Хр х2), у2(Хр х2)) е Д. (6)
Указанные функции ц/2 — единственные, описываю-
щие все решения уравнений (1') в прямоугольнике Д; иначе
говоря, если какая-либо точка (хр х2, yv у2) е Д удовлетворяет
уравнениям (1'), то ее координаты связаны соотношениями (4')-
Из того, что якобиан (2') не равен нулю в М°, следует, что
один из его элементов не равен нулю вМ°. Не нарушая общно-
сти, считаем, что
* 0. (7)
К этому неравенству всегда можно прийти, соответственно
перенумеровав в случае необходимости fv f2 и у}, у2.
Так как частные производные от fy и f2 по условию
непрерывны, то существует достаточно малая окрестность точ-
ки М°, на которой не только якобиан (2'), но и производная
—L не равны нулю. Но тогда для первого уравнения (1'), если
8У1
его рассматривать относительно неизвестной функции yt от (хр
х2, у2), выполняются условия теоремы 1' § 8.15. Поэтому для
любого Ъо существует прямоугольник (у < Ьо)
Л, ={Ц-х°| < а, |х2-х2| <а, ly2-y2| < Р, <у} (8)
S 8.17. СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО
411
и непрерывно дифференцируемая функция
j/i = ф(хр х2, уг), (9)
(хРх2, у2)е д° ={^-^1 <а, |х2-х2°| <а, |%-%| <Р),
удовлетворяющая первому уравнению (1'):
А (хР х2, ф (хр х2, у2), у2) = 0, (10)
где
(Хр х2, у.2) е д°, (хр х2, ф (Хр х2, у2), у2) е Дг (11)
При этом функция ф единственна в том смысле, что любая
точка (Хр х2. j/p j/2), принадлежащая к Д] и удовлетворяющая
первому уравнению (1Г), имеет координаты, связанные равен-
ством (9); в частности,
=ф(х,, х2, у,). (12)
Замечание 2. Отметим, что в (8) мы могли бы на пер-
вом этапе рассуждений считать а = р. Но в дальнейшем при-
дется числаа, Р несколько уменьшить, вообще говоря, непро-
порционально. Уменьшенные а и Р пригодны и для рассмат-
риваемого первого этапа рассуждений.
Итак, мы получили тождество (10), верное, каковы бы ни
были независимые (хр х2, j/2) е д® . Но это тождество остается
верным и если считать, что у2 есть любая непрерывно диффе-
ренцируемая функция у2 = ф2 (хр х2), такая, однако, чтобы
(Хр х2, ф2 (Хр х2)) е д°. (13)
Но таких функций ф2 бесконечное множество. Цель наша выб-
рать среди них такую, чтобы функции
У1 = ф (хР х2, ф2 (Хр х2)) = ц/j (Хр х2), 1
y2 = y2(XpX2) J 1 ’
тождественно удовлетворяли второму уравнению (1'). Перво-
му уравнению (1') они уже удовлетворяют. Итак, подставим
найденную функцию ф во второе из уравнений (1'):
А (хР х2, ф (Хр х2, у2), у.г) = 0 (15)
412 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
и будем искать функцию у2 от (х,, х2), ему удовлетворяющую.
Положим
Ф (хр х2, у2) = f2 (хр х2, ф(хр х2, у2), у2).
Функция Ф непрерывно дифференцируема для любых (хр х2>
у2) е А; (см- (И))- Она удовлетворяет равенствам
Ф (х°, х2, у^ = f2 (х?, х2,<р(х°, х2°, у°)у°) = f2 (х°, х2, у®, у°) = О
(см. условие теоремы и (12)). Кроме того,
F*o-
8Уг
В самом деле, для точек (хр х2, у2) е д° (пояснения ниже)
8Ф = g<p + = Y $f2 =
8Уг ду2 ду2 <?уД ду2/ ду}) дуг
ду1 ду2 dyt ду2
(16)
В первом равенстве (16) применено правило о производной слож-
ной функции, во втором надо учесть, что, согласно (10),
6ф / dft
ду2 8Уг! '
Конечно, там где мы пишем частные производные от Д и f2,
считается, что они вычисляются в точках х, = хр х2 = х2, у( =
= ф (Xj, х2, у2), у2 = у2. В последнем соотношении (16) надо учесть
(2') и (7).
Мы видим, что левая часть уравнения (15) удовлетворяет
всем условиям теоремы 1' § 8.15. Поэтому в прямоугольнике Д°
(см. (9)) найдется новый, вообще говоря, меньший прямоуголь-
ник, который мы снова обозначим через Д1’ (см. выше замечание
2), и найдется непрерывно дифференцируемая функция
У2 = V2(X1" хг)’ (*р *2) е д0= <а>
{jX2 Х2 | * а } >
(Хр х2, Ф2(хрх2)) е д°,
§ 8.17. СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО
413
удовлетворяющая уравнению (15):
Ф (х„ хг, ф2 (хр х2)) = /2 (х,, х2, ф (Хр х2, ф2 (Хр х2)), ф2 (Хр х2)) =
= f2 (Хр х2, Vj (Хр х2), ф2 (хр х2)~) = О,
(Хр х2) е А0, (хр х2, ф2(Хр х2)) е д°, ф2 (xf, х°) = у°2.
При этом любая точка (хр х2, у2) е Д°, удовлетворяющая уравне-
нию (15), имеет координаты, связанные равенством уг= ф2 (хр
х2). Но тогда выполняется такое соотношение (см (11)):
(Хр х2, Vj (Хр х2), ф2 (хр х2)) е Др
Итак, доказано существование непрерывно дифференци-
руемых функций
У1 = Vi (Хр х2), 1
У 2 = V2(Xp х2) J
(хр х2) е Д°,
удовлетворяющих обоим уравнениям (1') и притом так, что
о /..о о\ о /о о\
Vi ~ хг}> Уг~ Viy*)’ хг)"
При этом
(хр х2, ф; (Хр х2), ф2 (хр х2)) е Д, (17)
и любая точка (хр х2, j/p j/2) е Др удовлетворяющая уравнени-
ям (1'), имеет вид, как в (17).
Переход от Д; к Д можно осуществить с помощью замеча-
ния 1.
Замечание 3. Укажем способ нахождения частных
производных —.
dxk
Пусть все условия теоремы 1 выполнены. Тогда, под-
ставляя функции yt = фу (х) в (1), получим систему тож-
деств:
Л(х, ф! (х)..Фт(х)) = О,
Ут(х, ф1(х), ...,Vm(x))sO. 1 (18)
414 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Дифференцируя по хк каждое тождество системы (18)
как сложную функцию, получим:
I 8И 8vm=Q
дхк дуг dxk " dym дхк
df 8fm Sf 8\l
____|_ ’tn 7JL । । ’m T m = Q
8хк dy, dxk " dym dxk ~
(19)
Система (19) является линейной относительно неизве-
dy. 8W>
стных производных -~- = —(j = 1, т). Определителем
dx. dx.
К К
ее является якобиан
-> О
-0(1/!. Ут}
*0
Поэтому система (19) имеет единственное решение:
аУ1 D(f,..., 4) /п(А..........О
ах* D(xk, у2......ут)/ D(y,....у У ””
”(4...О /о(4> ->4)
ах* D(y,, ym~v хк)/ D(yx, j/m)
§ 8.18. Отображения
Пусть задана система непрерывно дифференцируемых
функций
У, = Ф, (*) = ф, (*р х„), х е Q (j = 1.т), (1)
где £1 — открытое множество точек х = (хр хп). Будем
говорить, что система (1) определяет непрерывно диф-
ференцируемое отображение
у = Ах, х е Q, (1')
множества Q на некоторое множество Q' точек у = (у 1г ...,
ут). Будем еще писать Q' = A (Q) и называть Q' образом Q,
а О — прообразом Q' (посредством отображения А).
§ 8.18. ОТОБРАЖЕНИЯ
415
Наряду с А рассмотрим другое непрерывно дифферен-
цируемое отображение В:
zi = %(У) = VyG/p -> Ут\ У е Л (j = 1,т),
открытого множества Л точек у на некоторое множество
точек z = (zp zm). Таким образом, z = By, у е Л.
Замечание. Отметим, что если х° е Q и у° = Ах° е
е Л, то в силу непрерывности А найдется окрестность Ео
X
точки х , образ которой посредством А принадлежит к Л.
Уменьшая Q, положив Q = V „, получим тогда, чтоГУ с Л.
ЕслиО' с: Л, то имеет смысл сложное непрерывно диф-
ференцируемое отображение z = ВАх, х е Q, определяемое
равенствами z;- = ф, (ф2 (х), ..., <pm (х)), х е Q (/ = 1, ..., т).
Якобианы отображений А, В, ВА связаны замеча-
тельными равенствами
D(z„ ..., zj _ 8z.
D(^,..., xj 5xy
у dz, 8ys
ii8ys8x.
fy, Sxi
zj Д(УР -> Ут)
D(yv ym) D(xl, ..., хтУ
(2)
доказательство которых, как мы видим, основано на при-
менении формулы производной от сложной функции и пра-
вила умножения определителей.
В частности, еслиВ обращаетА на множестве точекхе
е Q, т. е. х = ВАх, х е Q, есть тождественное отображение,
то в силу того, что его якобиан равен 1, получим формулу
! = -> д(Ур > Уп)
, , ., х е Q.
-Р(Ур •••> Ут) -Р(^р — Хп)
(3)
Будем теперь считать, что определяемое равенствами (1)
непрерывно дифференцируемое отображение у = Ах имеет
якобиан
Р(Ур —» Ут) Q
^>(Хр хт)
х е Q,
416 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
т. е. не равный нулю всюду на открытом множестве Q.
Приведем без доказательства следующие свойства:
1) Q' = A (О) — открытое множество (вместе с Q!),
2) если Q — область, то и Q' — область,
3) отображение А локально взаимно однозначно, т. е. ка-
кова бы ни была точка х° е Q, найдется шар V с Q с центром
в ней такой, что отображениеА, рассматриваемое только наР,
взаимно однозначно.
Свойство 3) утверждает только локальную взаимную
однозначность. Глобальной взаимной однозначности может и
не быть. Например, преобразование х = р cos 0, у = р sin 0
полярных координат точек плоскости в декартовы при р > О
и произвольном 0 непрерывно дифференцируемо и имеет
положительный якобиан, равныйр. Оно отображает точки
(р, 0) (р > 0, -оо < 0 < оо) плоскости (р, 0) в точки (х, у), отлич-
ные от нулевой точки, локально взаимно однозначно. Однако
каждой такой точке (х, у) соответствует хотя и одно р, но
бесконечное число различных значений 0, отличающихся
между собой на 2kn (k = ±1, ±2,...).
§ 8.19. Условный (относительный) экстремум
Рассмотрим в пространстве/?, функцию и = F (х, у) =
2 2
= х + у . С геометрической точки зрения эта функция пред-
Рис. 101
ставляет собой квадрат расстояния точ-
ки Р = (х, у) от начала прямоугольной
системы координат х, у. Она не имеет
наибольшего значения в/?2. Но если ее
рассматривать только для точек (х, у)
2 2
эллипсаG{x,y)= ^ + ^2 - 1 = О (b > а),
а Ь
то ясно, что она достигает наибольшего
значения в точках Ро = (О, Ь) и РА = (О, -Ъ)
(рис. 101).
Таким образом, функция и = F (Р),
рассматриваемая во всей плоскости/?2,
§ 8.19. УСЛОВНЫЙ (ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ) ЭКСТРЕМУМ
417
не имеет наибольшего значения, но эта же функция при
условии, что точка Р находится на эллипсе, принимает наи-
большее значение (два раза).
Эта ситуация приводит нас к задаче об отыскании эк-
стремума функции при условии, что ее аргументы удовлет-
воряют некоторым дополнительным ограничениям. Итак,
пусть дана функция
u = P(P) = P(xp..., х„, j/p —.yj
от п + т переменных. Требуется найти экстремум функции
F (Р) при условии, что переменные хр ук связаны т соотно-
шениями
Gi (хг .... х„, ..., Ут) = О,
Gm(xi, ...,х„, У1, ..., ут) = 0,
(1)
которые обычно называются уравнениями связи.
Система уравнений (1) определяет в пространствеЯп+т,
вообще говоря, некоторое множество, которое мы будем
называть поверхностью.
Определение. Будем говорить, что точка Р° = (х“,
..., xn, yt, ..., ут), удовлетворяющая уравнениям (1), явля-
ется точкой локального условного (относительного) мак-
симума (минимума), если в Rn+m Н окрестность точки Р°
такая, чтоХ/Р из этой окрестности, удовлетворяющих урав-
нениям связи (1), выполняется неравенство
F (Р) < Р (Р°) (F (Р) > F (Р°)).
Точка локального условного максимума или миниму-
ма называется точкой локального условного (относитель-
ного) экстремума.
В рассмотренном выше примере точка Ро = (О, Ь) яв-
ляется точкой условного локального максимума, так как
для всех точек Р, лежащих на эллипсе, и (Р) < и (Ро).
Займемся сначала выяснением вопроса о необходимых
условиях, чтобы точка Р° была точкой локального отно-
сительного экстремума. ПустьР0 -— точка условного экстре-
14. Заказ 704
418 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
мума и функции Gv .... Gm, имеют непрерывные частные
производные и якобиан
B(gl....Un
.... </m)
в окрестности этой точки.
Как нам известно, система (1) разрешима относитель-
но переменных ух,ут в некоторой окрестности точки Р°:
— • хп) (i=l, .... ш),
где функцииср( (хр ..., хп) имеют непрерывные частные про-
, ,0 , о о,
изводные в точке М = (х,, х ).
Подставляя эти функции в F, получим, что F будет
функцией только от п переменных хр .... хп, независимых
между собой:
F (хР ..., х„, <р, (Хр ..., х„), ..., <рт(Хр ..., хл)) =
= Ф (Хр ..., xj. (3)
Очевидно, что если F достигает локального условного
экстремума в точке Р°, то Ф (хр..., х„) достигает в точке М° -
= (х\, хл) обычного локального экстремума, или, как
говорят, абсолютного локального экстремума, и обратно.
Но тогда, как мы знаем, должны выполняться ра-
венства
(2)
—------=0 (i = 1, ..., п) или </Ф (М°) = —dxt = 0, (4)
С/Х^
где dxt (i = 1.ri) — дифференциалы независимых пере-
менных.
m r>0 z оо о.
1очку Р = (х1 , ..., Хл , Pj , ..., ут), для которой в силу
(1) (или (3)) выполняются (4), будем называть стационар-
ной точкой функции F при наличии связей (1).
Мы доказали, чтодля того, чтобы точка Р° = (xf,...,
0 0 о. .
хп, , .... ут) была точкой локального условного экстре
§ 8.19. УСЛОВНЫЙ (ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ) ЭКСТРЕМУМ
419
мума, необходимо, чтобы она была стационарной точкой
F при наличии связей (1).
Дальнейшие наши рассмотрения относятся к вопросу
о том, как найти указанную стационарную точку, не разре-
шая систему (1) относительно переменных yv ут, хотя
существование функций фр (рт мы будем предполагать.
Будем писать (F)o, (ф()0 вместо F (Р°), ф( (М°).
В силу инвариантности формы дифференциала перво-
го порядка условия (4) эквивалентны условиям
<1Ф (М°) = dF (Р°) = £И dxt + dyk = 0, (5)
где входящие в dF зависимые дифференциалы dy1,..., dym,
соответственно равны
dVh = dxt m).
i=l k O*/ Jo
Эти дифференциалы вместе с независимыми дифферен-
циалами dxv.... dxn связаны соотношениями
л &(dG 'I m (А
dGt (Р°) = XМ <Ч+ X $4 0 а = 1, ...» т), (6)
i<dxiJ0 ^dyh)0
которые мы получаем из уравнений связи.
Итак, стационарная точка функции^1 при наличии свя-
зей (1) может быть определена также как такая точка Р° =
= (Л » хл, у} , ут), удовлетворяющая уравнениям (1),
что для нее выполняются равенства (5) для всех dxv ..., dxn,
dyj,..., dym, для которых имеют место равенства (6).
Введем (п + т)-мерные векторы
grado Gj = grad G, (P°) =
/pG.^ pG^ (8G} pG.
= ll8x! i’ l5xJo’ 18У1 Jo’ l^JoJ ° = Ъ m)’
gradjj F = grad F (P°) =
8x, Jo’
dz = (dxv ..., dxn, dyv dyj.
420 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
На языке этих векторов уравнения (5) и (6) можно за-
писать через скалярные произведения
(gradflF, dz) = 0, (5')
(grad0 G’r dz) - 0 (J = 1,...» иг). (6')
Мы получили, что точка Р° = (х°,..., х°, ,..., у°т) есть
стационарная точка при наличии связей (1) тогда и только
тогда, когда она удовлетворяет уравнениям (1), и если из
того, что какой-либо вектор dz ортогонален к градиентам
grac^ Gltgradfl Gm, следует, что он ортогонален к gradfl F.
Но в таком случае (пояснения ниже) существует и притом
единственная система чисел Xj, .... такая, что
grade F = G* (7)
*=i
Обратное утверждение тоже верно. Если известно, что
gradflF при некоторых числах ..., может быть пред-
ставлен в виде (7), т. е. в виде линейной комбинации гради-
ентов gradfl Gk(k — 1,.... т), то отсюда немедленно следует,
что как только какой-либо вектор dz ортогонален к гради-
ентам grad0 Gk, он автоматически ортогонален к grad0 F.
Убедиться в верности обратного утверждения не пред-
ставляет никакого труда: из (7) и (6') следует, что
(gradfl F, dz) = I £^£Г£и1(!Ч> dz 1 =
J
= 2?-t(grado G*> dz) = 0 = 0.
*=i *=i
Что же касается прямого утверждения, то мы сошлем-
ся на теорему из линейной алгебры*. Все же сделаем пояс-
нения.
Пусть/, есть линейное подпространство/?п+т, натянутое
на BeKTopbigradfl G} (j =1, ...,т),т. е. множество линейных
* См. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгебры
и аналитической геометрии», § 19, теоремы 1, 2 и следствие 1.
§ 8.19. УСЛОВНЫЙ (ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ) ЭКСТРЕМУМ
421
комбинаций вида (7), соответствующих всевозможным сис-
темам чиселXj,... Дт. Введем подпространство!/ векторов
dz, ортогональное к L, т. е. L' состоит из всех векторов dz,
ортогональных к L, или, что все равно, ортогональных к
векторам grad^ Gy (у = 1, ..., иг). Если* L' ортогонально к L,
то и, обратно, L ортогонально к L', т. е. L состоит из всех
векторов, ортогональных к L'. Как было сказано в стацио-
нарной точке Р°, градиент F ортогонален ко всем векторам
dz, ортогональным к градиентам Gj, т. е. градиентЕ ортого-
нален к L'. Но тогда по указанной теореме градиент F при-
надлежит kL, таким образом есть некоторая линейная ком-
бинация из градиентов Gy, единственная линейная ком-
бинация, потому что градиенты Gj(J = 1, ..., т) образуют
линейно независимую систему в Rn+m. Дело в том, что мат-
рица из частных производных функций Gf
8G, dGj dG| cGj
8xn 8y, *" 8ym
8Gm 8Gm 8Gm ' 8G^
dx, " 8xn 8yt 8ym
(8)
„0
имеет в окрестности точки Р ранг т, потому что мы пред-
положили верным условие (2), но тогда строки этой матри-
цы определяют векторы (градиенты), образующие линейно
независимую систему**.
Из сказанного следует, что стационарную точку функ-
ции F при наличии связей (1) можно определить еще и так;
„О , о 00 0. п
это такая точка Р = (х,, хп, у,, ...,ут), удовлетворя-
ющая уравнениям (1), для которой градиент F есть линей-
ная комбинация из градиентов Gj (j = 1, ..., т)
т
grad0 F = grado Gy. (7)
7=1
Можно еще сказать так: для того чтобы точка
„0 t о 0 0 о.
Р =(Х,, ..., хи, у,...ут)
* См. теорему 1 § 19 указанной выше книги.
** См. § 13 указанной книги.
422 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙI МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
была стационарной, для функции F при наличии связей (1),
необходимо и достаточно, чтобы для нее существовали
числа Xm, для которых выполняется равенство (7).
Так как ранг матрицы (8) в точке Р° равен т, то каж-
дой стационарной точке соответствует единственная систе-
ма чисел ..., Хт, для которых имеет место равенство (7).
Равенство (7) эквивалентно следующему:
grado
= 0.
(9)
Функцию, стоящую под знаком градиента в (9)
L (Р, X) = F (Р) - jGj(Р), X = (\, ....
называют функцией Лагранжа, а числа X,- множителями
Лагранжа.
Запишем условия (9) в развернутом виде:
SL = dF_yx 8Gi=Q
dxj 8xj £ >dxj
эх gp 0
8yk dyk « f8yk
(/=i,.... n),
(A=l,..., m).
(9')
Вопрос о нахождении стационарных точек F при на-
личии связей (1) свелся к решению системы, состоящей из
уравнений (1) и (9'j.
Резюмируем сказанное.
Чтобы найти стационарную точку
„о / о оо о,
Р у,,...,ут)
функции F при наличии связей, надо составить функцию
Лагранжа и систему уравнений (9') и решить эту систему
совместно с уравнениями связи (1). Всего здесь будет и + 2/п
уравнений сп + 2т неизвестными хр хп, уvут, Xj,...,
~km. При этом решение системы относительно х-, и у- даст
,0000. -
точку (X!, ..., хп, ух, ут), которая будет стационарной
точкой. Точки локального условного экстремума находят-
ся среди стационарных точек. Выяснение вопроса о том,
5 8.19. УСЛОВНЫЙ (ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ) ЭКСТРЕМУМ
423
будет ли на самом деле стационарная точка Р° точкой ус-
ловного экстремума, удобно проводить, рассматривая вто-
рой дифференциал функции Лагранжа. При выяснении
знака d2L (Р°, X) нужно учитывать, что дифференциалы
dy* зависят от дифференциалов dxr
Пример. Пусть на плоскости хОу дана фигура, ог-
раниченная осями координат и параболой у + х - 3 = О
(О < х < -Уз )• Вписать в эту фигуру пря-
моугольник со сторонами, параллельны-
ми осям координат, одна из вершин М =
= (х, у) которого находится на этой пара-
боле, так, чтобы площадь прямоугольни-
ка была наибольшей (рис. 102).
Решение. Пусть х и у — координа-
ты вершины М. Тогда площадь прямоуголь-
ника S = ху. Далее, так как точкаМ лежит
на параболе, то ее координаты должны удовлетворять урав-
нению параболы: у + х2 - 3 = 0. Таким образом, мы должны
исследовать на условный экстремум функцию S = ху при
наличии связи у + х2 - 3 = 0. Составим функцию Лагранжа
L (х, у, X) = ху — X (у + х - 3). Найдем стационарные точки
задачи из уравнений
— = у-2Хх = 0,
дх У
^=х-Х = 0,
Sy
у+х2-3 — 0.
Решая эту систему, находим, что х=1,у = 2, Х=1. Таким
образом, точка (1,2) стационарная и ей отвечает множи-
тель Лагранжа X = 1. Исследуем в стационарной точке вто-
рой дифференциал функции Лагранжа
L (х, у, 1) = ху-у- х2 + 3.
Имеем
d2L (х, у, 1) = L'^dx2 + 2L"ydx dy + L"2dy2 + L'xd2x + I/d2y,
где последние два члена в правой части возникают потому, ’что
424 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
дифференциалы dx и dy зависимы и, вообще говоря, d2x * О,
d2y Ф О. Однако в стационарной точке (1,2) — = — = 0.
дх ду
Поэтому
d2L (х, у. 1) = L"tdx2 + 2L*ydx dy + L'jdy2 = 2dx (dy - dx).
Если считать dx и dy как дифференциалы независимых
переменных, то d2L (х, у, 1) не является определенным по
знаку. (Однако из уравнения связи видно, что ей/ = -2xdx
и в точке (1, 2) dy = -2dx. Таким образом,
d2L (1, 2, 1) = -6dx2 < 0 (dx2 * 0),
а следовательно, и приращение функции!, (х, у,X) в точке
х=1,у = 2,Х=1, соответствующее приращению х, рав-
ному dx Ф 0, меньше нуля (AL (1, 2, 1) < 0). Значит, функ-
ция S = ху имеет в точке (1,2) локальный условный мак-
симум.
Итак, из всех прямоугольников указанного вида наи-
большую площадь имеет прямоугольник со сторонами ОА = 1,
ОВ= 2.
ГЛАВА 9
РЯДЫ
§ 9. 1. Понятие ряда
Выражение
и0 + U, + и2 + ...» (1)
где числа ик (члены ряда), вообще комплексные, зависят от
индексов k = 0, 1, 2, .... называется рядом. Этому выраже-
нию мы не приписали никакого числа, потому что сложе-
ние бесконечного числа слагаемых не имеет смысла. Ряд (1)
еще записывают так:
оо оо
(2)
*=о о
Эта чисто формальная запись часто более удобна, чем за-
пись (1).
Числа
S„=UO+U1+... + ип (n = 0, 1, ...)
называются п-ми частичными суммами ряда (1).
По определению ряд (1) сходится, если существует
limS„ =S.
П —оо
426
ГЛАВА 9. РЯДЫ
В этом случае пишут
S — и0 + + и2 + ... = (3)
fc=O
и называют S суммой ряда, т. е. выражениям (1) или (2)
приписывается число S. Говорят еще, что ряд (3) сходится
к S.
Замечание. РавенствоlimSn = S, гдеS иS — ком-
71—00
плексные, определяется так же, как для действительных
Sn, S, т. е. оно обозначает, что Ve > О3N: |Sn -S| <Е Vn >N.
Здесь |Sn - S| — модуль разности двух комплексных чисел
Sn, S'. Для комплексных переменных доказывается в точно-
сти так же, как для действительных переменных, что пре-
дел суммы, разности, произведения и частного переменных
ип, vn равен соответственно сумме, разности, произведению,
частному пределов этих переменных с обычной оговоркой в
случае частного (lim ип Ф 0).
В силу условия Коши (верного и для последователь-
ностей комплексных чисел), для того чтобы ряд (1) схо-
дился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого Е > О
нашлось такое N, чтобы для всех натуральных п> N и
любого натурального р выполнялось неравенство
1“п+1 + - + м = |Sn+p - s„l < £.
Отсюда в частности (полагая р — 1), следует, что если
ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю:
lim и = О.
Л—оо ”
(4)
Но условие (4), будучи необходимым, не является доста-
точным для сходимости ряда, как это будет видно из даль-
нейших примеров.
Рассмотрим еще ряд
оо
Un+1 + Un+2 + ••• = ^un+k
fc=l
(5)
§ 9.1. ПОНЯТИЕ РЯДА
427
Так как условие Коши сходимости рядов (1) и (5) фор-
мулируется совершенно одинаково, то они одновременно
либо сходятся, либо расходятся (не сходятся). Если они схо-
дятся, то сумма ряда (5) равна
= lim (Sn+m -Sn) = S- Sn.
K~1
Ряд (5) называют остатком илиостаточным членом ряда
(1).
Если члены ряда (1) неотрицательны (таким образом,
действительны), то его частичные суммы образуют неубы-
вающую последовательность Slt < S2 < S3 <....поэтому,
если эта последовательность ограничена
Sn<M (п=1,2, ...),
то ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству
lim <М.
Если же она неограничена, то ряд расходится:
lim S„ = оо.
n-«. n
В этом случае пишут
оо
*=0
Пример. Ряд
1 + Z + Z2 + ... (6)
имеет (при z * 1) частичную сумму Sn (z) = (1 - zn+1)/(l - z).
Если |z| < 1, то |zn+1| = |г|и+1 и z”+1 -» 0 (п-* оо). Таким образом,
ряд (6) сходится и имеет сумму, равную (1 - г)1 на откры-
том круге |z| < 1. Если же |z| > 1, то ряд (6) расходится,
потому что в этом случае его общий член, имеющий мо-
дуль, не меньший единицы ]z”| > 1, не стремится к нулю
при п — со.
428
ГЛАВА Э. РЯДЫ
§ 9.2. Несобственный интеграл и ряд
Рассмотрим интеграл
ь
jf(x)dx,
а
имеющий единственную особенность в точке Ь. Пусть
а = Ъ,. < Ь, <Ь„< ... < Ъ, bt — b.
и i Z 7 к
- Тогда можно определить ряд
оо
f(x)dx + J f(x)dx +... = ^ ]/dx,
bu *1 bit
(1)
(2)
fe-й член которого равен
uk = jfdx.
b„
Теорема 1. Если интеграл (1) сходится, то схо-
дится также ряд (2) и имеет место равенство
Ь СО А
Jf (x)dx jfdx. (3)
о 0 6*
Действительно,
п **±1 b„, t ь
Jfdx = lim jfdx = jfdx.
о bk
Если f неотрицательна на [a, b), то и, наоборот, из схо-
димости ряда (2) следует сходимость интеграла (1). В самом
деле, пусть ряд сходится и имеет сумму, равную S. Для
« 9.2. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И РЯД
429
любого Ь', где а < Ъ' < Ъ, можно указать такое п' = п (£>'), что
Vn > п', Ъ' < Ъп. Поэтому, учитывая, что f (х) > О,
bf П-1Ь*±1
]7dx < jfdx = 'Х ]fdx < S,
a a
т. е. интеграл в левой части ограничен и, следовательно,
несобственный интеграл (1) существует. Но тогда, как до-
казано выше, справедливо равенство (3).
Если же функция f не сохраняет знак на [а, Ь), то из
сходимости ряда (2) вообще не следует сходимость интеграла.
Например, ряд
„ 2(к+1)п
2^ J sin х dx = 2^0 = 0
*=0 2kn о
ОО
сходится, интеграл же jsinx dx расходится потому, что фун-
о
кция ОТ X
X
Jsint dt = 1 - cos х
о
не стремится к пределу при х — оо.
Теорема 2. Если функция f{x)~^Q непрерывна и не
возрастает на [0, оо), то интеграл
Jf(x)dx (3')
о
и ряд
£/(Л) = /(0) + /(1) + /(2) + ... (4)
одновременно сходятся или одновременно расходятся.
430
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Доказательство. Имеют место неравенства
*+i
f(k + 1) < J7(x) dx < f(k) (* = 0,1,—)-
k
Суммируя их по k, получим
п+1 п п
2 f(k) = ^f(.k +1)« f/(x) dx « £/(*).
10 о о
Отсюда, учитывая, что все члены в этих соотношениях
при возрастании п монотонно не убывают, следует ут-
верждение теоремы.
Из доказанной теоремы следует, что ряд
1+Ц-+Ц-+... (5)
2 3. V ’
сходится при а > 1 и расходится при а < 1 потому, что
функция 1/(1 + х)а приа > 0 непрерывна и монотонно убы-
вает на [0, оо), а
7 dx [<°° (а>1)>
b(l+x)a(=°° (а«1).
Ряд (5) при 0 < а < 1 может служить примером рас-
ходящегося ряда с общим членом (ип = п-”), стремящимся к
нулю.
В случае а < 0 непосредственно видно, что ряд (5) рас-
ходится (общий член не стремится к нулю).
§ 9.3. Действия с рядами
со сю
Если ряды X и S сходятся и а — число, то ряды
о о
со оо
X аил’ X (ил - vk) также сходятся и
о о
со оо
2аи* = а2и*-
о о
(1)
8 9.3. ДЕЙСТВИЯ С РЯДАМИ
431
± Vft) = Yuk± Svk- (2)
О 0 0
Действительно,
У аик = Нт У аик = alim У ик = а У ик,
0 0 0
± vk) = lim ±(ик ±vk) =
о и^“ о
= limJX + limJX = £uA ±£i\.
n~“ О ООО
Подчеркнем, что из сходимости ряда, стоящего слева в
(2), вообще не следует сходимость каждого из рядов, сто-
ящих справа в (2). Например, ряд
(1-1) + (1-1) + ... (3)
сходится (все его члены равны нулю), но выражение ]Г1 -
о
-£1 не имеет смысла — ряды, входящие в него, расходятся,
о
Если ряд
и0 + щ + и2 + ... (4)
сходится и имеет сумму S, то члены его можно любым обра-
зом сгруппировать скобками (однако не переставляя их),
например,так:
и0 + (Uj + и2) + (п3 + п4 + U-) + ...,
образуя новый ряд, члены которого равны суммам чисел,
стоящих в скобках. Новый ряд будет сходящимся и притом
к S, потому что его частичные суммы образуют подпоследо-
вательность сходящейся последовательности частичных
сумм ряда (4).
432
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Наоборот, раскрывать скобки в ряду, вообще говоря,
незаконно, например, после раскрытия скобок в сходящем-
ся ряду (3) получается расходящийся ряд 1 - 1 + 1 - ... .
Впрочем, если внутри скобок всюду стоят только неотри-
цательные или неположительные числа, то раскрытие в та-
ком ряду скобок не изменяет сходимости ряда и величины
его суммы.
§ 9.4. Ряды с неотрицательными членами
Теорема 1 (признак сравнения рядов).
Пусть даны два ряда:
со со
1) 2) ?ук
о о
с неотрицательными членами.
а) Если ик^ v„(k = 0, 1, ...), то из сходимости ряда 2)
следует сходимость ряда 1), а из расходимости ряда 1)
следует расходимость ряда 2).
б) Если
lim-* = А > 0, (1)
к-<г. ик
то ряды 1) и 2) одновременно сходятся и расходятся.
Доказательство. Пусть ряд 2) сходится и S — его
сумма. Тогда
±ик^±ик<8 (п = 0, 1, ...),
о о
т. е. частичные суммы ряда 1) ограничены и ряд 1) схо-
дится. Его сумма S' удовлетворяет неравенству S' < S.
Пусть теперь ряд 1) расходится: тогда (см. § 9.1) его
частичная сумма неограниченно возрастает вместе сп.что
в силу неравенства
IX IX <га = °- —)
О о
§ 9.4. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
433
влечет также неограниченное возрастание частичных сумм
ряда 2), т. е. расходимость последнего. Этим доказано ут-
верждение а).
Пусть теперь имеет место (1). Зададим положительное
число €, удовлетворяющее неравенству А -е > 0. Из (1) сле-
дуют неравенства
А-&< ~ <А + е
Ч.
(k>N),
верные при достаточно большом N, или неравенства
(А - E)vk < uk< (А + E)vk (k > N). (2)
ОО
Если ряд 2) сходится, то сходится также ряд (А +
W/+1
+ и на основании второго неравенства (2), сходится ряд
оо
ик, а тогда и ряд 1). Обратно, сходимость ряда 1) влечет
оо
сходимость ряда (A ~£)vk и, следовательно, сходимость
k=N+l
ряда 2).
Но тогда из расходимости одного ряда вытекает расхо-
димость другого. Этим доказано утверждение б).
Теорема 2 (признаки Даламбера*). Пусть
дан ряд
о
(3)
с положительными членами.
а) Если
(fe = 0, 1, 2, ...),
ик
* Ж. Даламбер (1717-1783) — французский математик.
(4)
434
ГЛАВА 9. РЯДЫ
то ряд (3) сходится; если же
> 1 (* = 0, 1, 2, ...), (5)
Uk
то расходится.
б) Если
lim1-4' = q, (6)
К
то ряд (3) сходится при q< 1 и расходится при q > 1.
Доказательство. Имеем
Un = U0
Ц> Ч
(п = 0, 1, 2, ...),
(7)
поэтому из (4) следует, что
ип <
(п =0, 1, ...),
Ч < 1
и так как ряд ^uoqn сходится, то вместе с ним сходится и
1
ряд (3). Из (5) в силу (7) следует, что ип > и0 (п = 0, 1, 2,...),
и так как н0 > 0, то ряд (3) расходится (общий член не стре-
мится к нулю).
Если теперь выполняется свойство (6) и q < 1, то для
положительного £ такого, чтод + £ < 1, uk+l/uh <д + £<1(Л>
> N), где N достаточно велико. В силу признака (4) в таком
со
случае ряд^иксходится, а вместе с ним сходится и ряд (3).
N
Из свойства же (6) при q > 1 вытекает, что uk+l/uk > 1 (k > N)
при достаточно большом N, и тогда в силу признака (5) ряд
^и, расходится, а вместе с ним расходится и ряд (3).
N
§ 9.4. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
435
Теорема 3 (признаки Коши).Пустьданряд
(3) с положительными членами.
а) Если
fa<q<l (* = 0,1,...), (8)
то ряд (3) сходится; если же
> 1 (* = 0, 1, ...), (9)
то ряд (3) расходится.
б) Если
(10)
то ряд (3) сходится при q < 1 и расходится при q > 1.
в) Если
lim^ =q> (11)
к—*со
то ряд (3) сходится при q < 1 и расходится при q> 1 и при
этом члены ряда неограничены.
Доказательство. Из неравенства (8) следует, что
k у?' к
uk<q (<7 < 1» * = 0, 1, ...), и так как в этом случае ряд ^jq
о
сходится, то сходится и ряд (3). Из неравенства (9) следует,
что > 1 (* = 0, 1, ...), т. е. не выполняется необходимое
условие сходимости, и поэтому ряд (3) расходится.
Далее из свойства (10) при q < 1 следует, что
*/^<9+€<1 (*>1V) (12)
при достаточно большом N, откуда
uk < (q + €)* (* > N),
436
ГЛАВА 9. РЯДЫ
и так как ряд + е)* сходится, то сходится и ряд £ик, а
N N
вместе с ним ряд (3). Из свойства (10) при q > 1 вытекает,
что > 1, т. е. ик > 1 (k > N) при достаточно большом N,
откуда следует,расходимость ряда (3).
Из свойства (11) (так же как из свойства (10)) при q < 1
следует (12), откуда, как уже доказано, вытекает сходимость
ряда (3).
Наконец, пусть выполняется свойство (11) при q > 1.
Подберем конечное число qy так, чтобы 1 < qr < q. На основа-
нии свойства верхнего предела (см. § 2.10) существует под-
последовательность < k2 < ... такая, что
> qy> 1 (з = 1, 2, ...),
т. е.
Но тогда члены и^ неограничены и ряд (3) расходится.
Замечание. Ряд с общим членом ип = па (а > 0)
сходится при а > 1 и расходится при а < 1 (см. § 9.2, (5)).
При этом в обоих случаях
lim^L = 1, (13)
n-со ип
так же как
Ипц^Г = 1. (14)
и—со
Таким образом, существуют как сходящиеся, так и рас-
ходящиеся ряды с признаками (13) и (14).
Ряд 1 + g + i + ... называется гармоническим рядом
(он расходится, см. § 9.2, (5)).
§ 9.4. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
437
Примеры.
00 k ОО k 03 .
«К- 3)Хе“-1).
О 1 k 1
4)]рп(1+1). 5)Ё<Л* (<7>0).
Ряд 1) сходится Vx > 0. При х = 0 это очевидно, а при
х > 0 это следует из того, чтопА+1/пА = x/(k + 1) — 0, k — оо.
Более того, мы знаем, что этот ряд является рядом Тейлора
функции ех и сходится Vx к сумме, равной ех.
Ряд же 2) сходится при 0 < х < 1 и расходится для х >
> 1, потому что при х > 0 для него uk+1/uk = х (k/(k +1))“ -»
-*х, fe — оо, при х = 1 см. выше замечание. Случай х = О
тривиален.
Ряды 3) и 4) расходятся в силу теоремы 1 § 9.4, потому
что е/к - 1 « 1/fe (k — оо) и In (1 + (1/fe)) « 1/fe (k -» oo)
(« ~» — знак асимптотического равенства, см. § 3.9, § 3.10),
СО
а гармонический ряд расходится.
• 1
Ряд 5) сходится при 0 < q < 1 и расходится при q > 1,
потому что для него = —► q (k оо). При q = 1 он
тоже расходится — общий член ряда в этом случае равен 1.
Теорема 4. Пусть ряд
и0 + и1+и2 +... (15)
с неотрицательными членами сходится и имеет сумму S.
Тогда полученный в результате произвольной перестанов-
ки его членов новый (заново перенумерованный) ряд
и'о + и\ + и' 2 + .... (16)
также сходится и имеет ту же сумму S.
438
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Доказательство. Пусть
S’n = и'о + и\ + -. + <
— частичная сумма ряда (16). Члены ее находятся в ряде
(15) под некоторыми номерами k0.kn. Пусть N — наи-
большее число среди них и SN есть N-я частичная сумма
ряда (15). Очевидно, S'n SN S, и так как п произволь-
но, то ряд (16) сходится и имеет сумму S' S. Но теперь
приведенное рассуждение можно провести еще раз, поме-
няв ряды (15) и (16) местами, и получить, что S < S'. По-
этому S = S'.
§ 9.5. Ряд Лейбница
Ряд вида
а0 а1 + а2 а3 +
(1)
где числа ак > 0, монотонно убывая, стремятся к нулю
(ак > ак+1; ак -► 0, k -* оо), называется рядом Лейбница.
Покажем, что ряд Лейбница сходится и его сумма
S « а0.
В самом деле, частичная его сумма S2n+1 с нечетным
номером 2п + 1 может быть записана в виде
®2л+1 = ао ~ (а1 ~ аг) ~ (а3 ~ а<) ~ ••• — (а2п-1 ~ а2п) ~ а2п+1’
откуда, очевидно, следует, что она ограничена сверху чис-
лом а0:
С другой стороны, она может быть записана в виде
®2л+1 ~ (“о а1) + (а2 аз) + ••• + (а2п а2п+1)’
§ 9.6. АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
439
откуда следует, что она монотонно не убывает. Но в таком
случае существует предел limS2 , = S < а0. Очевидно так-
П-*оо
же, что
limS., = - а9„А = S - 0 = S.
Теорема доказана.
Пример. Ряд 1 - + ...есть, очевидно, ряд Лей-
бница. Таким образом, он сходится и его сумма S не превы-
шает 1 (на самом деле, S = In 2, см. § 4.16, п. 4).
§ 9.6. Абсолютно сходящиеся ряды
Ряд с комплексными членами
и0 + Uj + и2 + ... (1)
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
l«ol + |П1| + |uz| + ...
(2)
модулей его членов.
Абсолютно сходящийся ряд сходится.
В самом деле, пусть ряд (1) абсолютно сходится; тогда
сходится ряд (2) и в силу признака Коши для любого £ > О
найдется такое А, чтоб > |пл+1| + ... +1 пп)р| для всехр ип >N.
Тем более, тогда € > |пп+1 + ... + ип+р\. Поэтому в силу призна-
ка Коши ряд (1) сходится.
Сходящиеся ряды с неотрицательными членами три-
виальным образом сходятся абсолютно. Ряд 1-----
2
+ —-... (а > 0) сходится, потому что он есть ряд Лейбница.
3
Однако абсолютно он сходится только при а > 1.
440
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Теорем а. Если ряд абсолютно сходится, то при лю-
бой перестановке его членов сходимость полученного ново-
го ряда не нарушается и его сумма остается прежней.
Доказательство. Сначала докажем теорему в слу-
чае, когда члены ряда ик — действительные числа.
Положим (для действительных ик)
и*, если
О, если i^<0,
-и., если и. <0,
о п (3)
0, если 1^>0; ' '
числа ик и и*, очевидно, неотрицательные и
uk=uk
(4)
Наряду с рядом (1) будем рассматривать два ряда,
IX и 1Х
о о
(5)
(с неотрицательными членами).
Пусть ряд (1) абсолютно сходится и члены его — дей-
ствительные числа ик. Тогда ряды (5) также сходятся, по-
тому что, очевидно, 14 < |uj, 14 < |uj.
Пусть ряд, полученный после перестановки исходного
ряда (1), имеет вид Uj + v2 + и3 + .... Для его членов введем,
как выше, числа ик и 14 . Тогда (пояснения ниже)
____ г . w w
E^ = EX-X)=2X-1X =
0 0 0 0
оо оо оо оо
000 о
Первое равенство в этой цепи следует из (4), второе —
из § 9.3, (2), если учесть, что ряды (5) сходятся, третье еле-
§ 9.7. УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
441
дует из того, что сходящиеся ряды с неотрицательными чле-
нами перестановочны, четвертое из § 9.3, (2), и, наконец,
пятое — потому, чтоо* = vk-vk. Теорема для действительных
ик доказана.
Пусть теперь ик = (1к + — комплексные числа, а
числам имеют прежний смысл. Так как |afc| < |ufc|, |0fc| < |uft|,
то ряды с (действительными членами) ^ак и абсолют-
0 о
но сходятся, и члены их, как сейчас было доказано, можно
переставлять. Поэтому, считая, что vk = + i5t, получим
СЮ 00 ОО ОО
IX=++ *£₽* =
0 0 Оо
ОО оо оо СО
= Еъ + *Е8* = E(Ya + iSk) = Ел-
0 0 0 о
Теорема доказана полностью.
§ 9.7. Условно сходящиеся ряды с
действительными членами
Из предыдущего параграфа мы знаем, что абсолютно
сходящийся ряд с действительными или комплексными
членами после перестановки членов остается абсолютно схо-
дящимся и имеющим прежнюю сумму.
Оказывается, это свойство — не менять сумму после
перестановки членов — присуще только абсолютно сходя-
щимся рядам.
Рассмотрим ряд
и0 + U1 + и2 +
(1)
с действительными членами сходящийся, но не абсолютно.
Можно доказать, что, каково бы ни было число S, ко-
442
ГЛАВА 9. РЯДЫ
нечное или бесконечное, т. е. удовлетворяющее неравен-
ствам -оо < S < +оо, существует перестановка членов ряда
(1), в результате которой получится ряд, сходящийся к S.
Поэтому неабсолютно сходящиеся ряды называют условно
сходящимися.
Сделаем еще следующее замечание. Пусть задан ряд
(1) из действительных чисел, условно сходящийся. В ряде
(1) имеется бесконечное множество положительных и
отрицательных членов, и, очевидно, они в отдельности об-
разуют расходящиеся ряды (в противном случае исходный
ряд был бы абсолютно сходящимся).
§ 9.8. Последовательности и ряды функций.
Равномерная сходимость
Рассмотрим последовательность функций {fk (х)}, опре-
деленных на некотором множестве точек х = (хх.хп)
n-мерного пространства. Они могут принимать комплекс-
ные значения (fk (х) =ak (х) + фА (х)). Можно считать также,
что х — комплексные точки (х = Е, + й|), пробегающие не-
которое множество Е точек комплексной плоскости, и тог-
да fk (х) — функции комплексной переменной х.
Пусть для каждого значениях G Е последовательность
{fn (х)} стремится к числу f (х) (функции от х).
По определению последовательность fn (х) сходится
(стремится) к f (х) равномерно на Е, если существует схо-
дящаяся к нулю последовательность неотрицательных чи-
сел рп (не зависящих от х) такая, что
\f (X) - fn (х)| « pn VxeE. (1)
Это определение эквивалентно следующему: для лю-
бого £ > 0 найдется N такое, что при п> N
\f (х) - fn (х)| < £ Vx G Е.
§ 9.8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 443
В самом деле, если выполнено первое определение, то
для любого е > 0 найдется N такое, что
е>Р„ >1Г(х)-/„(х)| VxgE,
n>N
т. е.
Е > \f (х) - fn (х)| Vx е Е, n>N. (2)
Обратно, по второму определению для любого £ > О
найдется N так, что выполняется (2). Но тогда
£ > sup|/(х) -/п (х)| = pn (n>N). (3)
XgE
Мы видим, что неотрицательные числа рп не зависят от х и
\f (х) - fn (х)| < рл, рп —► 0, т. е. выполняется первое опреде-
ление.
В первом определении в качестве рп можно взять точ-
ную верхнюю грань
SUP|/(х) -(х)| = р„.
хеЕ
Если она стремится к нулю при п -> оо (рп —• 0), то fn (х)
стремится к f (х) равномерно на£, если не стремится, то не
равномерно.
Можно еще дать третье определение равномерной схо-
димости в духе Коши: последовательность {fn (х)} равно-
мерно сходится на£, если для любого £ > 0 найдется такое
N, что выполняется неравенство
\fn+P (х) - fn 0)1 < е (4)
при любых п> N и р > 0 и для всех х е Е.
Из того, что последовательность равномерно сходится
в смысле второго определения, следует, что для всякого £
444
ГЛАВА 9. РЯДЫ
найдется такое N, что для п > N и любых р выполняется
неравенство
\fn+P W - fn (*)l < \fntp (*) - f (x)| \f (x) - f„ (x)| < 2e
Vx e E,
т. e. выполняется третье определение. С другой стороны,
пусть выполняется третье определение; тогда для каждого
отдельного значения х g Е выполняется, очевидно, обыч-
ный признак Коши сходимости последовательности, поэ-
тому она сходится к некоторой функции f (х). Зададим те-
перь £ > 0 и подберемN так, как указано в третьем опреде-
лении. В неравенстве (4), гдеп >N фиксировано, перейдем
к пределу прир -» оо; в результате получим
If W - fn 0)1 < Е, О G Е).
И так какп > N можно взять любым, то мы получим второе
определение.
Изобразим в прямоугольной системе координат график
функции у = f (х) (предельной, функции), которую мы счи-
таем непрерывной на отрезке [а, &] (рис. 103). Зададим £ > О
и определим £-полоску толщиной 2е, окружающую график.
Произвольная точка Е-полоски с абсциссой х G [а, Ь] имеет
ординату у, удовлетворяющую неравенствам
Рис. 103
§ 9.8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 445
Если последовательность функций {fn (х)} стремится к
f (х) равномерно на [а, Ь], то по заданному £ > О можно ука-
зать такое N, что для любого n>N график у — fn (х) окажет-
ся внутри Е-полоски. Если же fn (х) стремится к f (х) нерав-
номерно на [а, &], то, хотя для каждого значения х fn (х)
стремится к/ (х), все жеУс > 0 невозможно указать такоеДГ,
чтобы для каждого п > N все графики у = fn (х) попали в
£-полоску (см. ниже пример 3).
Нетрудно видеть, что если а — число, a {fk(x)} и
{<pfc (х)} — две последовательности функций, равномерно схо-
дящиеся на Е, то последовательности {afk (х)} и {fk (х) ±
± <pfc (х)} также равномерно сходятся наЕ. Нетрудно также
видеть, что если последовательность функций равномерно
сходится на Е, то она равномерно сходится и на Е' с: Е.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Заметим, что каждой последовательности функций
соответствует ряд
A (*) + [А м - А (*)] + ЕА (*) - А W] +....
n-е частичные суммы которого соответственно равны fn (х).
Пусть теперь задан ряд
п0 (х) + их (х) + и2 (х) + ..., (5)
члены которого, вообще говоря, комплексные функции от
хе Е, где Е — по-прежнему некоторое множество точек
n-мерного пространства или комплексной плоскости.
По определению ряд (5) равномерно сходится на мно-
жестве Е к функции S (х), если последовательность {St (х)}
его частичных сумм равномерно сходится на Е к S (х).
В частности, определение равномерной сходимости
ряда, очевидно, можно высказать так: ряд (5) равномерно
сходится на множестве Е, если для любого £ > 0 найдется
такоеN, что для n>N и р > 0 и всякогох е Е выполняется
неравенство
|un+i (х)+... + ип+р(х)|<£.
Следующая теорема дает важный критерий равномер-
ной сходимости ряда.
446
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Теорема 1 (Вейерштрасса). Если члены ряда
(5) удовлетворяют неравенствам
(лг)| < <xfc (fe = 0, 1, ...), (6)
где х G Е, а ак — числа (не зависящие от х), и если ряд с
членамиа.к сходится, то ряд (5) сходится на множестве Е
абсолютно и равномерно.
В самом деле, из сходимости ряда с членами и из (6)
следует, что для любого £ > 0 найдется такое N, что при
любых п> N и р > 0 и произвольном х е Е
£ > ап+1 + ••• + ап+р
lUn+l (х)| + ... + \ип+р (х)| » |нп+1 (х) + + Ип+р (х)|,
а это и значит, что ряд (5) равномерно сходится на£. Абсо-
лютная его сходимость очевидна.
Теорема 2. Если последовательность функций
{fn (х)} равномерно сходится на множестве Е к функции f
и f непрерывны в точке х° (относительно Е), то f также
о
непрерывна в х .
На языке рядов эта теорема гласит: сумма равномерно
сходящегося на Еряда функций, непрерывных в точкех0 g Е,
есть непрерывная функция в этой точке*.
Доказательство. Зададим £ > 0 и подберем на-
туральное N так, чтобы |/ (х) - fN (х)| < £/3 для всех х g Е,
что в силу равномерной сходимости fnnf возможно. Име-
ем, далее,
I/ (х) - f (х°)| < \f (X) - fN (х)| + \fN (X) - fN (х°)| +
+ \fN (х°) - f (Х°)| < ^ + (х) - fN (х°)| (7)
для любой точки х g Е. Но функция fN непрерывна в х°, и
можно указать такое 5 > 0, что \fN (х) - fN (х°)| < £/3 для всех
* См. замечание в § 9.12.
§ 9.8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 447
х g Е таких, что |х - х0| < S; поэтому из (7) следует, что для
таких х
|/(x)-f(^°)l< v+f =£’
О О
и теорема доказана.
Пример 1. Ряд
1 + (х - 1) + (х2 - х) + (х3 - х2) +... (8)
сходится на отрезке [0, 1], но неравномерно. На отрезке [О,
д], где 0 < q < 1, он сходится равномерно.
В самом деле, п-я частичная сумма ряда (8)
Sn(x) = xn
О, 0<х<1,
Д, х —1.
Абсолютная величина разности S (х) — Sn (х) (остатка
ряда) равна
fxn 0<х<1
|S(x)-Sn(x)|= С ’ 7
(О, х = 1
(9)
На отрезке [0, д], где 0 < g < 1,
|S(x)-Sn(x)| = x"«gn.
Правая часть этого неравенства не зависит отх е [0, д]
и стремится к нулю прип — оо (дп -» 0 ). Это показывает, что
ряд (8) равномерно сходится на отрезке [О, д], где 0 < g < 1.
С другой стороны, из равенства (9) видно, что
sup |S(x)-S„(x)| = l.
лЦО, 1]
Таким образом, число 1 есть самое малое число, пре-
вышающее |S (х) - Sn (х)| для всех хе [0, 1]. Но постоянное
448
ГЛАВА 9. РЯДЫ
число 1 не стремится к нулю при п — оо, поэтому ряд (8)
хотя и сходится на [0, 1], но неравномерно.
Пример 2. Ряд
sinx
I2
sin 2х sin Зх
Ч----5--1----5--Ь
(10)
имеет п-й член, удовлетворяющий неравенству
2
П
Vx g (-оо, оо),
n
и при этом ряд
сходится. Поэтому по теореме Вейерштрасса ряд (10) равно-
мерно сходится на всей оси (-оо, оо).
Так как члены ряда (10) суть непрерывные функции, то
по теореме 2 сумма этого ряда есть непрерывная функция.
Пример 3. На рис. 104
изображена функция fn (х) (n = 1,
2, ...). Она линейна на каждом
из отрезков [0, 1/п], [1/п, 2/п],
[2/n, 1] в отдельности. Кроме
того, fn (0) = f (2/n) = О и fn (х) = О
на [2/п, 1],/п(1/п)= 1. Очевидно,
Иш/ (х) = f (х) = О Vx G [0, 1],
п—оо
потому что fn (0) = 0 —► О, а если
О < х < 1, то fn (х) = 0 Vn > 2/х.
Далее, очевидно, что
sup |/„ (х) - f (х)| = sup fn (х) = 1,
.х^О, 1] хе[О» 1]
и при этом постоянное число 1 не стремится к нулю при п — сю,
т. е. fn (х) — f (х) = 0 на [0, 1], но неравномерно.
§ 9.8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 449
На рис. 104 пунктиром изображена £-полоска, окру-
жающая предельную кривую/ (х) = 0 (0 < х < 1). При лю-
бом п график функции fn (х) не попадает весь в £-полоску.
Это не мешает тому, что fn (х) -+ f (х) = 0 Vx G [0, 1].
Приведем еще более тонкие признаки равномерной сходи-
мости рядов, основанные на применении к ряду так называе-
могопреобразованияАбеля (аналога операции интегрирования
по частям).
Рассмотрим ряд
a0,po+aiPi+a2p2 + —. (И)
где ак, Pfc — функции от х е Е (или постоянные числа). Поло-
жим Вк - Рп+1 + рп+2 + ... + Рп+А и к усеченной сумме ряда (11)
применим преобразование Абеля:
&п+1Рл+1 ••• ^п+рРл+р —
Ь-1
= an+i^i + <WB2 - Bi) + ••• + ап+Р (ВР ~ =
= (an+i -а-п+г)В, + (а„,2 -а„+3)В2 + ... + (а„+р_1 -а^ув^ +ап+рВр=
р-i
= Y(an+k~an^Bk + an+pBp. (12)
Ы
Теперь легко установить следующие два критерия равно-
мерной сходимости (в случае постоянных ак, Pfc — просто схо-
димости) ряда (11).
Теорема 3 (признак Дирихле равномер-
ной сходимости ряда). Если частичные суммы ряда
ро+р1 + Р2 + ... (13)
ограничены в совокупности, а действительная функция ак (х)
(с возрастанием k) равномерно (относительно х) на Е стре-
мится к нулю, убывая, то ряд (11) сходится равномерно.
В самом деле, пусть константаМ превышает модули част-
ных (частичных) сумм ип ряда (13). Тогда при любых п и k
|Bfc| = |Q^-on|«|CnJ + |o„|«2M.
15. Заказ 70-1
450
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Поэтому в силу (12) и того факта, что as равномерно стремится
к нулю убывая, выполняется неравенство
< 2М £(anlfc - a„+*+1) + an+p 2М = 2Man+1 < 5
k=l
для любых п > N ир и любых х е Е, если только N достаточно
велико. Следовательно, ряд (11) равномерно сходится. После-
днее неравенство в этой цепи верно для всех х е Е в силу рав-
номерного стремления аи+] (х) к нулю.
Теорема 4 (признак Абеля равномерной
сходимости ряда). Если действительные функции ak
не возрастают (с возрастанием k) и ограничены в совокупно-
сти, а ряд (13) равномерно сходится на Е, то и ряд (11) схо-
дится равномерно на Е.
В самом деле, пусть М |aj (k = 0, 1, ...) (функции aA мо-
гут быть и отрицательными!). В силу равномерной сходимости
ряда (13) для любого £ > 0 можно указать такое N, что |ВЛ.| < £
для любых п > N и k. Поэтому в силу (12) и монотонности а„
для любых n>N и р
< Е £(an+t - an+t+i) + £|a„+pl =
1 *=i
= e(a„+i - ан+Р) + £|ап+р| « ЗеМ,
т. е. ряд (11) равномерно сходится.
Пример 4. Ряды
Y cos kx у' sin kx
2- ja ’ 2- ,a
1 k 1 k
(a > 0)
(14)
при a > 1 равномерно и абсолютно сходятся на всей действи-
тельной оси (-оо < х < оо), потому что абсолютные величины их
k-x членов не превышают Л~“, а при a > 1 ряд й “ сходится.
Мы применили признак Вейерштрасса. При a < 1 он уже не
sin (n+
DnM =
cos----cos
, Kn (x) =----
9 n 4 J
2sin —
2
2sin —
2
§ 9.9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 451
применим, так как в этом случае ряд k~a расходится. Одна-
ко при 0 < а < 1 наши ряды равномерно сходятся на отрезке
[с, 2л - £], каково бы ни было £ > О, где 0 < £ < л. В самом деле,
частные суммы рядов
— + cos х + cos 2х + cos Зх +..., sin х + sin 2х +...,
2
соответственно равны
(п=1,2, ...). (15)
В этом можно убедиться, если частные суммы рассмат-
риваемых рядов умножить и разделить на 2sin (х/2) и в чис-
лителе произвести соответствующие тригонометрические
преобразования. Функции (15) ограничены в совокупности
на [£, 2р - £]
кроме того, > (п + 1)"“ и п~° — 0, поэтому по признаку
Дирихле ряды (14) равномерно сходятся на [£, 2л - £].
§ 9.9. Интегрирование и дифференцирование
равномерно сходящихся рядов
Теорема 1. Пусть на отрезке [а, Ь] задана после-
довательность {fn (х)} (комплекснозначных) непрерывных
функций, сходящаяся к функции f. Если сходимость равно-
мерна на [а, Ь], то
limjfn (t) dt = j/(t) dt (1)
452
ГЛАВА 9. РЯДЫ
равномерно на [а, Ь}. В частности {при х = Ь),
ъ ь
limJf„(O dt = Jf(t) dt.
a a
(2)
Доказательство. Из условий теоремы следует (см.
§9.8, теорема 2), что предельная функция f непрерывна на
[а, Ь] и
max \fn (t) - f (01 = rn — 0 {n - co).
Поэтому
j4(0dt-Jf(t)dt
x b
< J If „ (0 -f (01 dt < jrndt = {b-a) rn,
a a
где правая часть не зависит от х и стремится к нулю при
п —» оо, а это доказывает теорему.
Теорема 2. Равномерно сходящийся на отрезке [а,
Ь] ряд {комплекснозначных) непрерывных функций
S {х) = и0 (х) + иг (х) + и2 (х) + ... (3)
можно почленно интегрировать {а < х0 < Ь):
JS(O dt - Ju0 (О dt -+ Jhj (0 dt + ... . (4)
Ч) Ч)
Полученный при этом ряд (4) равномерно сходится на [а,
Ь].
В частности.
Js(O dt = ju0{t) dt + juj (0 dt + ... .
a a a
(5)
§ 9.9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 453
Доказательство. Заметим, что S (х), как сумма
равномерно сходящегося на отрезке [а, Ь] ряда непрерыв-
ных функций, есть в свою очередь непрерывная функция
на [a, Ь]. Пусть
sn (*) = (*)•
о
Так как ряд (3) равномерно сходится к S (х), то
sup |S„ (х) - S (х)| = гп -> 0 (п - оо).
а<х<Ь
Поэтому
J[S(t)-S(i)]dt
b
« J|S(t)-S„(t)| dt^
a
« (b - a) rn - 0
(П —’ CO),
и теорема доказана.
Теорема 3. Пусть на отрезке [а, Ь] задан ряд
и0 (х) + и, (х) + и2 (х) + ... (6)
(комплекснозначных) функций, имеющих непрерывную
производную.
Если ряд (6)сходится в некоторой, точке х0 е [а, Ь] и,
кроме того, формально продифференцированный ряд
и' (х) + и; (х) + и'г (х) + ... (7)
равномерно сходится на [а, Ь], то ряд (6) равномерно схо
дится на [а, Ь] и производная от его суммы S (х) есть сум-
ма ряда (7).
454
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Таким образом.
S (х) = и0 (х) + их (х) + и2 (х) + .... (8)
S' (х) = и'о (х) + u'j (х) + и’2 (х) + ... (а < х < Ь). (9)
Доказательство. По условию ряд (7) равномерно
сходится на [а, Ь] и его члены — непрерывные функции на
[а, &], поэтому его сумма, которую мы обозначим пока через
ф (х), непрерывная функция на [а, Ь]. На основании теоре-
мы 2 ряд (7) можно интегрировать почленно и получить
равномерно сходящийся на [а, Ь] ряд
|ф (t) dt = Jи'о (t) dt + ju'j (t) dt + ... (a < x < b).
*0 *0 *0
Применяя теорему Ньютона-Лейбница, будем иметь
f ф (£) dt = £[uk (х) - uk (х0)]. (10)
0
Ряд справа в (10) с членами, равными функциям в квад-
ратных скобках, равномерно сходится на [а,£>], ряд (х0)
о
по условию сходится, и так как его члены постоянны, то его
надо рассматривать как равномерно сходящийся ряд на [а,
Ь]; но тогда ряд (х) также сходится и притом равномер-
о
но на [а, Ь] как сумма двух равномерно сходящихся рядов;
обозначим его сумму через S (х). Тогда равенство (10) мож-
но переписать так:
S (х) = S (х0) + j ф (t) dt.
Но функция S (х) имеет производную, равную S' (х) =ф (х),
и теорема доказана.
§ 9.9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 455
Пример 1. Ряд
S(r) =
cos х cos 2х cos Зх
(И)
при а > 1 равномерно сходится на всей действительной оси
по признаку Вейерштрасса потому, что
|п ° cos пх| < пп Vx е (-оо, со)
и
оо
" < со
1
(а > 1).
Продифференцируем ряд (11) формально:
, ч sinx sin2x
Ф (*) = -pi----
sin3x
(12)
Этот ряд сходится равномерно на (-оо, оо) уже при а > 2. Но
тогда при а > 2
S'(x)=<p(x). (13)
Рассмотрим случай 1 < а < 2. В этом случае признак
Вейерштрасса к ряду (12) неприменим. Однако ряд (12) рав-
номерно сходится на отрезке [е, 2л - е] при любом Е > 0 (см.
§ 9.8, пример 4). Так как к тому же сходится на этом отрез-
ке и ряд (11), то можно утверждать на основании теоремы
3, что имеет место равенство (13) на отрезке [е, 2л - е], как
бы ни было мало Е > 0, но тогда, очевидно, и на интервале
(О, 2л).
Если учесть, что члены ряда (11) имеют период 2л,
то мы доказали, что при условии 1 < а < 2 ряд (11) за-
конно дифференцировать почленно для всех значений
х'е (-со, со), исключая точки xh = 2kn (k = 0, ±1, ±2, ...).
Пример 2. Пусть функция fn(x) является непре-
рывной на [0,1], линейной на каждом из отрезков [0, 1 /2п]
456
ГЛАВА 9. РЯДЫ
и [1/2п, 1/п] и такой, что fn (0) = f(1/п) = 0, fn (1/2п) = ап,
fn(x) = 0 на [1/п, 1], гдеал — любая последовательность
чисел (рис. 105). Тогда, очевидно, lim f (х) = 0 для всех
П-оо П
х е [0, 1], а
I 1/2п
J fn (х) dx = J 2папх dx +
о о
V" /1 \
J 2пап(„ х) dx =
1/2п
ап
2п'
Очевидно, далее, что
гп = su₽ 1/п (*) - 0| =
поэтому последовательность {fn (х)} равномерно сходится
тогда и только тогда, когда а„ —- 0. Равенство
J fn (х) dx-]f (х) dx (f (х) S 0 (14)
о о
выполняется тогда и только тогда, когдаал/2п -0(л- оо).
Мы видим, что из равномерной сходимости fn к f= 0 на
[0, 1] (т. е. когда ссл —► 0) следует сходимость интегралов
ffi (14), что согласуется с теоремой 2.
а Но последовательность}^} может
А сходиться неравномерно, в то вре-
/Д мя как свойство (14) все же со-
I । \ блюдается, например, приал= 1.
I ] \ Это показывает, что равномерная
/ | \ сходимость последовательности
q —у J является достаточным, но не не-
2л обходимым условием сходимости
Рис. 105 последовательности интегралов к
интегралу от предельной функ-
ции. Далее, при ап = п последовательность {/„} не только
сходится к нулю неравномерно, но и свойство (14) не соблю-
дается.
§ 9.9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 457
Таким образом, если последовательность {/„} сходится
неравномерно, то возможно, что последовательность интег-
ь
ралов j fn (х) dx сходится к интегралу от предельной функ-
а
Ь
ции J f (х) dx, а возможно, что сходится к другому числу
а
(при ал = п сходится к 1/2, а не к нулю) или же не сходится
вовсе.
Пример 3. Из равенства (1 - z)~! - 1 + z + z2 + ... (z = pe‘°,
p < 1) следует, что
1 + pe 1 , „ й , j ae ,
—7-------CV = + Pe +P e +;
2(l-pe,e) 2 H H
а отделяя действительную и мнимую части, получим
р (р> е) = —2 = i + Р cos 0 + р2 cos 20 + ..., (15)
21-2pcos0 + p 2
Q (р, 0) = -—;^-Sine—2 = р sin 0 + р2 sin 20 + ... . (16)
1 — 2р cos 0 + р
Функция Р (р, 0) называется ядром Пуассона*, a Q (р, 0)
— ему сопряженной функцией
Эти функции являются гармоническими функциями (для
р < 1), т. е. удовлетворяют дифференциальному уравнению Лап-
ласа** в полярных координатах
Ди =
(?и ,1 ди 1 с? и п
я 2 „ + 2 _п2 ~ О
др р др р 50
(17)
* С. Д. Пуассон (1781-1840) — французский математик и физик.
** П. С. Лаплас (1749-1827) — французский математик и физик.
458
ГЛАВА 9. РЯДЫ
В самом деле, каждый член ряда (15) является гармони-
ческой функцией
(p"cos п&)'р= прп~‘ cos nd, (p"cos n6)"p = n(n- l)pn-2cos П0,
(pn cos nd)"B = -nzpn cos nd,
A (pn cos n0) = p" 2 cos nd [n(n - 1) + n - n2] = 0.
Аналогично A (p" sin nd) = 0.
Законность почленного дифференцирования рядов (15) и
(16) обусловлена тем, что эти ряды и формально продифферен-
цированные (один или два раза) ряды равномерно сходятся при
0 < р < р0, где р0 — любое положительное число, меньшее
единицы.
Заметим, что функцияи (х, у), гдех и у — декартовы коорди-
наты, называется гармонической в области Q точек (х, у), если
она удовлетворяет в этой области дифференциальному уравнению
Дц = А + А
дх2 ду2
= 0.
В полярных координатах это уравнение имеет вид (17).
§ 9.10. Перемножение абсолютно
сходящихся рядов
Рассмотрим два абсолютно сходящихся ряда
00 со
k=0 1=0
(1)
с действительными или комплексными членами. Перену-
меруем пары (k, I), где k = 0, 1, 2, ..., I = 0, 1, 2, ..., каким-
нибудь способом
(fep lj), (k2> lz)> (Аз» У..... (2)
§ 9.10. ПЕРЕМНОЖЕНИЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
459
Здесь важно, что каждая указанная пара (k, I) входит в
последовательность (2) в качестве ее элемента один раз. Она
имеет в этой последовательности определенный номер. До-
кажем, что
оо
so = Xv?
1=0
(3)
и при этом ряд справа в (3) абсолютно сходится.
Таким образом, если из всевозможных произведений
ukvr взятых в любом порядке, составить ряд, то этот ряд
абсолютно сходится и имеет сумму, равную So.
Чтобы доказать это утверждение, составим ряды из
модулей |пА| и |и;|
= ‘ luoi + luol' luil + W ' luil + luil' Ы + W • N + l«il х
X |и2| + |и2| • |п2| + |и2| IvJ + |п2| • |и0| + ... + |uj • |и0|). (4')
Это показывает, что сумма справа стремится при N — оо к
пределу, равномуЗо, и так как члены ее неотрицательные,
то число So есть сумма ряда
So = |u0| • |v0| + |u0| - luj + |uj IvJ + ... .
(5')
460
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Так как члены этого ряда неотрицательные, то их можно
переставлять как угодно, не изменяя его сходимости и сум-
мы So.
Мы доказали наше утверждение пока для рядов (1').
Пусть теперь
N Н
Л=0 2=0
Как в (4') в силу сходимости рядов (1) будем иметь
•Sa = =
= lim(u0o0 + uov, + u,v, + u,v0 + ... + wwo0) (4)
N-’oe
Таким образом, существует предел справа в (4) npnN —- со,
равный So. Но мы уже доказали, что ряд (5') сходится. Это
показывает, что и ряд
U0U0 + JZqPj + U1V1 + IZjPq + ... (5)
сходится и притом абсолютно.
В силу же (4) сумма этого ряда равна So:
Sa = uovo + ы0Р] + UjPj + MjPq + ... .
Мы, таким образом, доказали равенство (3) пока для
одного определенного способа нумерации пар (k, I). Но в силу
абсолютной сходимости ряда (5) равенство (3) сохранится и
при любом другом способе нумерации.
Пример. Ряд
2 з
V(z)= 1+z + f-+|-... (6)
Сл I О I
абсолютно сходится для любого комплексного значения г
или, как говорят, абсолютно сходится на всей комплексной
плоскости. В этом легко убедиться, если к ряду с общим
членом |z|n/n! применить признак Даламбера.
§ 9.10. ПЕРЕМНОЖЕНИЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
461
Для любых двух комплексных чисел и и v имеем (по-
яснения ниже)
V (“)V (v) = [1 + w++ -J + v++ ...j =
2 2 3 2 2
= 1+u + u + fr1 + “'U+1’ 2! + Й 1++
3 1
+ 1 ~ + ... = 1 + (п 4- v) + ~~(и + 2ПО + V ) +
о! zj!
+ i(u3 + 3u2v + Зииг + v3) + ... =
, . s (u+v)2 (u + v)3 . . .—
= 1 +(u + v) + i-—i- +^—— +... =v(u + v). (7)
ZI оI
Во втором равенстве мы расположили произведения
t j
fe! Il
в порядке, который мож-
но усмотреть из рис. 107, и вос-
пользовались равенством (3)
для абсолютно сходящихся ря-
дов. Полученный при этом ряд,
как было доказано в общем слу-
чае, абсолютно сходится. От-
дельные группы членов сходя-
щегося ряда законно объеди-
нить скобками, не нарушая его
сходимость. Это и сделано в
последующих равенствах.
Мы доказали важное равенство
\|/ (и + и) - \|/ (и) • \|/ (п)
(8)
для любых комплексных и и V. О нем еще будет идти речь
в§ 9.13.
462
ГЛАВА 9. РЯДЫ
§ 9.11. Степенные ряды
Ряд вида
а0 + ахг + a2z2 + а3г3 + ..., (1)
гдеаА — постоянные числа, az — переменная, называется
степенным рядом. При этом ak и z могут быть комплекс-
ными, мы так и будем считать в дальнейшем, иногда толь-
ко переходя в область действительного переменного. Бук-
ва z будет обозначать, вообще говоря, комплексное перемен-
ное число (точку комплексной плоскости), а буква х —
действительное переменное число (точку действительной
оси х).
В теории степенных рядов центральное место занимает
следующая основная теорема.
Теорема 1 (осн о в н а я). Для степенного ряда{\)
существует неотрицательное число R, конечное или бес-
конечное (0 < R < оо), обладающее следующими свойства-
ми:
1) Ряд сходится и притом абсолютно в открытом
круге комплексной плоскости |z| < R и расходится в точ-
ках z с |z| > R.
2) Число R определяется по формуле
R=—lr-., (2)
где в знаменателе стоит верхний предел (см. § 2.10).
Мы позволяем себе при этом считать, что
1 = оо, 1=0.
О оо
Таким образом, если указанный верхний предел равен
О, то R = оо, если же он равен оо, то R = 0.
Открытый круг |z| <R называется кругом сходимости
степенногоряда.При R = оо он превращается во всю комп-
§ 9.11. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
463
лексную плоскость. При R = 0 степенной ряд имеет только
одну точку сходимости, именно точку z = 0; R называют
радиусом сходимости ряда (1).
Замечание 1. Число R, удовлетворяющее утверж-
дению 1) теоремы 1, очевидно, единственно.
Замечание 2. Если для степенного ряда (1) суще-
ствует обычный предел lim5j/|an|, то он равен верхнему пре-
П—со
делу Поэтому
Читатель, не ознакомившийся с понятием верхнего
предела, может проследить за ходом доказательства теоремы
1, предположив, что для рассматриваемого степенного ряда
указанный предел существует. В этом случае всюду в про-
изводимых ниже рассуждениях надо заменить lim на lim.
Доказательство теоремы 1. Пусть число R
определяется по формуле (2). В точке г - 0 степенной ряд
сходится. Будем далее считать, что |z| > 0. Наряду с рядом
(1) введем второй ряд, составленный из его модулей,
l«ol + laizl + la2z2! + — • С1')
Общий член ряда (Г) обозначим через
“n = |a„z"l (п = 0,1,2,...). (3)
Согласно обобщенному признаку Коши сходимости ряда (см.
§ 9.4, теорема 3, в)),
если lim tfun < 1, то ряд (1') сходится,
если же lim shT > 1, то ряд (Г) расходится
П~*<Х>
464
ГЛАВА 9. РЯДЫ
и при этом переменная ип неограничена, но
lim^ = lim^a^ = lim(|z| = |z|lim!{/faj = ^.
Здесь мы вынесли за знак верхнего предела конечное число
|г|>0.
Из сказанного следует: если |z| <R, т. е. |z| / J? < 1, то ряд
(Г) сходится, а вместе с ним сходится и притом абсолютно
ряд (1); если же \г\> R, т. е. |z|/2? > 1, то ряд (1') расходится
и его общий член |anz"| неограничен, поэтому общий член
ряда (1) апгп не стремится к нулю при п -» оо и для него не
выполняется необходимый признак (см. § 9.1). Это показы-
вает, что ряд (1) расходится.
Итак, мы доказали, что определяемое из равенства (2)
число R обладает следующим свойством:
если |z| <R, то ряд (1) сходится и притом абсолютно,
если же |z| > R, то ряд (1) расходится.
Основная теорема доказана.
Будем в дальнейшем для краткости обозначать через
ст; замкнутый круг \z\ < q комплексной плоскости.
Заметим, что степенной ряд сходится на открытом кру-
ге |z| <R, вообще говоря, неравномерно. Однако верна следу-
ющая теорема.
Теорема 2. Степенной ряд (1) абсолютно и равно-
мерно сходится на любом круге csg = {z :|z| < q], где q <R,a
R — радиус сходимости ряда (1).
Доказательство. В самом деле, пусты/ <R, тогда
q есть действительная, т. е. лежащая на оси х точка, при-
надлежащая открытому кругу сходимости ряда (1). Поэто-
му в этой точке наш степенной ряд абсолютно сходится,
т. е.
JX<7n| < оо.
§ 9.11. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
465
С другой стороны, для z е ад, имеем
K*"I<K<7"I (n = 0, 1, 2,...).
Так как правые части этих неравенств не зависят от z е од
и ряд, составленный из правых частей, сходится, то по при-
знаку Вейерштрасса (см. § 9.8, теорема 1) степенной ряд (1)
сходится на ад абсолютно и равномерно.
Теорема 3. Сумма
S (z) = а0 + OjZ + a2z2 + ...
степенного ряда есть непрерывная функция на его откры-
том круге сходимости |z| < R.
В самом деле, члены нашего ряда — непрерывные функ-
ции от z, а сам ряд равномерно сходится на круге ag, q <R.
Следовательно, по известной теореме из теории равномерно
сходящихся рядов (см. § 9.8, теорема 2) сумма ряда Я (z)
есть непрерывная функция на ag, но тогда и на всем круге
|z[< < R, потому что q <Л произвольно.
Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда
в нашем распоряжении имеется формула (2), но часто на
практике при вычислении R удобно бывает воспользоваться
признаком Даламбера.
Пусть существует предел (конечный или бесконечный)
lim
П—ОС
Я 1
П4-1
(4)
который мы пока обозначим через l/Яр Тогда (см. (3))
и |а а
Iim-nil=iinr .п+ , 1 =|z|lim -ad-
и a z n“’Q0 а
п П п
=н
и, согласно признаку Даламбера (§ 9.4, теорема 2), если
|z| < Rlt то ряд (Г), а вместе с ним и ряд (1), сходится, если
466
ГЛАВА 9. РЯДЫ
же |z| > то |ип| — оо и ряд (1) расходится. Но число R с
такими свойствами может быть только единственным, по-
этому 7?! = R (см. теорему 1).
Итак, мы доказали, что если существует предел (4), то
он равен 1 /R:
а л 1
a R ’
п
lim
п-»«>
(5)
где R — радиус сходимости степенного ряда (1).
Заметим, что мы окольным путем доказали, что если
предел (4) (конечный или бесконечный) существует, то он
равен верхнему пределу lim q/cT.
Замечание З.В нашей учебной литературе обычно
начинают изложение теории степенных рядов с теоремы Абе-
ля, которая гласит:
Теорема Абеля. Если степенной ряд (1)сходит-
ся в точке z0= О комплексной плоскости, то он сходится
абсолютно и равномерно в замкнутом круге\г\ < q, где q —
любое число, удовлетворяющее неравенствам 0 <q < |z0|.
Доказательство. Эта теорема теперь уже являет-
ся следствием из теорем 1 и 2. В самом деле, так как z0 есть
точка сходимости ряда (1), то |z0| не может быть большим,
чем R. Поэтому |z0| R, 0 < q < |z0| < R и q < R. Но тогда по
теореме 2 степенной ряд (1) сходится на круге |z| < q абсо-
лютно и равномерно.
Примеры.
1 + z + z2 , (6)
1+f+ ? -(а>0)> со
1+z + 2!zz + 3!2z3+... . (8)
С помощью формулы (2) или (5) заключаем, что радиус
сходимости рядов (6) и (7) равен 1; для ряда (8) он равен 0.
§ 9.12. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 467
Сумма ряда (6) (геометрическая прогрессия) в откры-
том круге |z| < 1 равна (1 - а)1, а остаток
гп (2) = ZX = гг; “* 0 («— °0)-
14-1 1 2
Однако сходимость на указанном круге неравномерна. Не-
равномерность сходимости имеет место уже для поло-
жительных z = х на интервале 0 < х < 1; неравенство
при любом заданном п нельзя удовлетворить для всех ука-
занных х.
Ведь если х взять очень близким к 1, то числитель в
правой части будет тоже близок к 1, а знаменатель близок
к нулю и дробь в правой части (9) можно, таким образом,
сделать большей чем е.
Ряд (7) при а > 1 равномерно сходится на замкнутом
круге |z| < 1 его сходимости, так как при |z| < 1
|zafe-“| < /Га и < co.
Если а = 1, то в точке z = 1, лежащей на границе круга
сходимости, ряд (7) расходится.
Ряд (8) сходится только в точке 2 = 0.
§ 9.12. Дифференцирование и
интегрирование степенных рядов
Теорема 1. Радиусы сходимости степенного ряда
2
a() + QjZ + a2z + ...
(1)
и ряда
аг + 2a2z + 3a3z2 + ... ,
(2)
468
ГЛАВА 9. РЯДЫ
полученного из него формальным дифференцированием, со-
впадают.
Замечание. Определение непрерывности и произ-
водной от функции комплексного переменного f (2) такое
же, как и в случае функции от действительной переменной.
Необходимо лишь иметь в виду, что 8-окрестность точки z0
есть открытый круг радиуса 8 с центром в точке z0. Исходя
из этого определения, производная от степенной функции
zn вычисляется по формуле (zn)' = nzn \
Доказательство теоремы 1. Будем считать,
что/? есть радиус сходимости ряда (1), a R'— радиус сходи-
мости ряда (2). Докажем теорему в предположении, что пре-
дел
(3)
конечный или бесконечный существует. Имеем
= limV|(n+l)a„J = Ит^71 -limVQ = 14 = p ’
n—*co n—rcc п~—сл /I _TL
следовательно, R = Ff.
В общем случае, когда предел (3) не существует, имеет ме-
сто
ПтЯ = ^
и тогда
J- = lim dial = limdn lim = 1 -~ = -.
R n~»vl nl n-«. n-~Vl nl R R
Но требуется обоснование второго равенства — надо доказать,
что если а„, Р„ > 0 и а„ -» 1, то
Ит(а„Р„) = НтРл.
(4)
§ 9.12. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 4В9
В самом деле, существует подпоследовательность {пЛ} такая,
что
Йтрп = = НтаП4 lim0^ = lim(anj.0j < lim(an0„). (5)
Существует также подпоследовательность {пЛ} такая, что
--- , . lim (а В ) ---
lim(a„0„) = lim(an40j = — J = Ит0л^ lim0„. (6)
Из (5) и (6) следует (4).
Теорема 2. Степенной ряд
2
f (г) = а0 + аг2 + a2z + ...
(И < R)
(7)
законно формально дифференцировать в пределах его (от-
крытого) круга сходимости |z| < R, т. е. верна формула
f (г) = ах + 2a2z + 3a3z2 + ... (|z| < R). (8)
Доказательство. Эту теорему мы докажем толь-
ко в предположении, чтог = х есть действительная перемен-
ная, что даст нам возможность свести вопрос к хорошо из-
вестному факту из теории действительных рядов.
Итак, степенной ряд (7) для действительной перемен-
ной имеет вид
f (х) = а0 +аЛх + а2х2 + ... (-R < х < R). (7')
Этот ряд теперь уже имеет не круг, а интервал сходимости
(-R, R). Соответствующий формально продифференциро-
ванный ряд имеет вид
<р (х) = а1 + 2а2х + За3х2 + ...
(8')
Его сумму мы пока обозначили через <р (х). Он сходится на
интервале (-R, R) на основании предыдущей теоремы. Оба
470
ГЛ ABA 9. РЯДЫ
ряда, как мы знаем, равномерно сходятся на отрезке [-<7, д],
где q<R. При этом члены второго ряда непрерывны и явля-
ются производными от соответствующих членов первого.
Но тогда на основании теоремы из теории равномерно схо-
дящихся рядов (см. § 9.9, теорема 3) выполняется равен-
ство
<Р (х) = f (х)
(9)
на отрезке [-Q, д], следовательно, и на интервале (~jR, R),
потому что q < R произвольно.
Отметим, что в силу доказанной теоремы 2 ряд (1) за-
конно почленно дифференцировать сколько угодно раз. На
k-м этапе мы получим равенство
(z) = klak + (fe + 1) k...2ak+lz + ... ,
справедливое для всехг с |zj < R. Если положить в немз = 0,
то получим
^(0) = k\ak
ИЛИ
/*)(0)
к~ k\
(fc = 0, 1, 2, ...).
Отсюда, в частности, следует, что разложение функ-
ции f (z) в степенной ряд (см. (1)) в некотором круге |z| < R
(или в uнmepвaлe(—R < х <R), если речь идет о функции f (х)
действительного переменного х) единственно.
Таким образом, сумму f (z) степенного ряда (7), имею-
щего радиус сходимости R > 0, можно записать еще сле-
дующим образом:
= + + = (10)
1. Z. Hl
§ 9.12. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 471
Ряд справа в (10) называется рядом Тейлора функции
f (z) по степеням z.
Мы получили, что если степенной ряд (1) имеет ради-
ус сходимости jR > 0, то он является рядом Тейлора своей
суммы f (z).
Вопрос о почленном интегрировании степенных рядов
во всей его полноте потребовал бы введения криволиней-
ного интеграла от функции комплексного переменного. Мы
ограничимся рассмотрением этого вопроса только для сте-
пенных рядов
2
f (х) = а0 + а{х + а2х + ...
(И)
от действительной переменной х (г = х).
Зададим степенной ряд (11), имеющий интервал схо-
димости (-jR, В), где 0 <В < оо. Числа ак могут быть действи-
тельными и комплексными. Зададим фиксированную точ-
ку х0 е (-jR, В) и переменную точку х е (~В, В) и подберем
q > 0 так, чтобы
—В < —q < х0, х < q < В.
Степенной ряд (11) равномерно сходится на отрезке
[-д, д], находящемся строго внутри интервала сходимости
ряда, и, следовательно, его можно почленно интегрировать
(см. § 9.9, теорема 2) от х0 до х:
j f (t) dt = a0 (x - x0) + ^(x2 - x£)+^(x3 - x£) + ... (12)
J Zj tJ
(B < x, x0 < jR).
В частности, при x0 = 0 получим
]У(t) dt = aox + ^x2 + ^x3 + ... (-jR < x < jR). (13)
* о
tn
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Пример 1. Очевидно, что
= 1 -t2 + t3 4-tc+... .
1 + t
Этот ряд сходится на интервале (-1, 1) (jR = 1). Поэто-
му, если х е (—1,1), то законно почленное интегрирование
этого ряда от нуля дох (ряд равномерно сходится на любом
отрезке, принадлежащем к интервалу сходимости):
= arctg х = х-^-+^--^- + ... (-1<х<1).
Jol + t 3 5 7
Полученный ряд сходится и при х = + 1 (как ряд Лейб-
ница). Можно доказать, что он сходится к arctg 1 = л/4,
т. е. = 1 - 1 i - i + ... (см. далее § 9.14).
Пример 2. Ряд Тейлора для функции е~‘ имеет вид
(см. § 4.16)
причем для него jR = оо. Поэтому этот ряд можно почленно
интегрировать:
х г 3 5 7
J Х 3+5-2! 7 3! ’
т. е. мы получили выражение интеграла Пуассона через сте-
пенной ряд.
Пример 3. Ряд Тейлора функции у = sin х имеет
вид (см. § 4.16)
3 5
sin х = х -
3! 5!
§ 9.12. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 473
Он сходится на всей оси. Отсюда при х Ф 0 имеем
smx
(14)
Считая, что---- = 1, получаем, что равенство (14) верно
Х х=Ю
и при х = 0. Ряд (14) равномерно сходится на любом конеч-
ном интервале действительной оси. Интегрируя этот сте-
пенной ряд, получаем:
3 5 7
_ х _ X t X х I
3-3! 5 5! 7-7! ‘
Пример 4. Ряд Тейлора для функции у = cos х2
имеет вид (см. § 4.16)
„ 4 8 12
COS X - 1 - ~ + —--—+ ... .
2! 4! 6!
Он сходится на (-оо, оо). Интегрируя этот степенной ряд,
получим интеграл Френеля
JcosZ2 dt -
о
—I- ------—----
5-2! 9-4! 13-6!
то
Пример 5. Так как
(sh х)(п) =
sh х,
ch х,
если п = 2k,
если п = 2k + 1,
(sh x)(n)
х=0
0,
1,
если п = 2k,
если п = 2k + 1,
474
ГЛАВА 9. РЯДЫ
поэтому ряд Тейлора функции sh х запишется так:
sh х = х + 777+ .
(15)
Так как этот степенной ряд сходится на всей действитель-
ной оси (применить признак Даламбера), то можно его по-
членно дифференцировать:
chx=1 + 2?+t+-
(16)
(ряд справа в (16) равномерно сходится на любом конечном
интервале).
§ 9.13. Функции ег, sin z, cos z
от комплексного переменного
Функциие, sin x.cos х от действительной переменной
х определены на всей действительной оси (-оо < % < оо).
Из § 4.16 мы знаем, что эти функции разлагаются в
степенные ряды:
ех = 1+х + ^ + —+ ...,
2! 3!
3 5
sinx = x- —
3! 5!
(1)
cosx = x-^- +
2! 4!
сходящиеся на (-со, со).
Это есть ряды Тейлора этих функций по степеням х.
В § 5.3 было дано определение функции ех, где х —
действительная переменная, посредством формулы Эйлера
е'х = cos х + i sin х.
(2)
§ 9.13. ФУНКЦИИ e', SIN Z, COS Z ОТ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
475
Подставим в правую часть (2) вместо cos х и sin х их степен-
ные ряды, тогда получим разложение е“ по степеням х
е
IX
Jl_^+Z_J+/z_Z+2L_. ki+ix+M + M
к 2! 41 J t 3! 5! J 1! 2! 3!
Функцию е для любого комплексного z *= х + iy есте-
ственно определить следующим образом:
z х+iy х iy
е = е -ее.
Отсюда
е
A f. iy (iy)2
~Д1+1Г 2! +"J
2 3
1! 21 31
(см. § 9.10, (6), (8)).
Мы получили, что функция ег от комплексного
переменного z разлагается в степенной ряд по степеням г
2 3
1! 2! 3!
(3)
сходящийся к ней на всей комплексной плоскости.
Ряд (3) есть ряд Тейлора функции ег по степеням z.
Радиус сходимости ряда (3) R = оо, и уже из общих
свойств степенных рядов (см. § 9.10) следует, что ряд (3)
абсолютно сходится для любого комплексного z, при этом
он равномерно сходится (к ег) на круге |z| < q как бы ни
было велико положительное число q.
Функции cos z и sin z от комплексной переменной z
естественно определить как суммы следующих степенных
рядов:
COS2=-
2 4
476
ГЛАВА 9. РЯДЫ
sin Z = Z -
3!
Оба эти ряда имеют радиус сходимостиR = оо и, таким
образом, обе соответствующие функции определены для
любого комплексного z.
Легко проверяется сравнением соответствующих
степенных рядов, что
iz -i2 iz -iz
cos z = e ~tc—, sin z = - — (4)
£ cl
для любого комплексного z.
Теперь, пользуясь свойствами показательной функции
еи (от комплексного п), легко получаем формулы
cos (и + v) = cos и cos v - sin и - sin о,
sin (и + v) = sin и cos v + cos и sin v,
верные для любых комплексных и и V.
Эти формулы, таким образом, обобщают хорошо изве-
стные формулы тригонометрии, где считалось, чтоп ио —
действительные переменные. Отметим, что функции sin г
и cos z в комплексной плоскости обладают не всеми свой-
ствами обычных функций sin х и cos х. В частности, эти
функции неограничены на комплексной плоскости.
В силу (4) при действительном х
cos ix = с ~£е = ch х — со, х — оо, (5)
Zj
р~х-рх
sin ix = —~— = i sh х —- со, х оо. (6)
Формулы (5) и (6), между прочим, устанавливают связь
между «комплексной тригонометрией» и «гиперболической
тригонометрией ».
§ 9.13. ФУНКЦИИ е', SIN Z, COS Z ОТ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
477
Функция 2 = Into от комплексной переменной со опре-
деляется как обратная функция к функции
со = е. (7)
Если записать со 0 в показательной форме
со = ре‘е (р = |со| > 0),
то равенство (7) запишется в виде
ре'° = exeiy (z = х + 1у),
откуда
р = ех, 0 = у - 2kn,
т. е.
х = In р, у = 0 + 2&7Г (k = 0, ±1, ±2, ...).
Поэтому
z = In со = х + iy = In р + i(0 + 2kn) = In |co| + i Arg co =
= In |coj + i arg co + i 2fen (fe = 0,+1,+2, ...), (8)
где In |co| (|co| > 0) понимается в обычном смысле. Из (8) вид-
но, что In со (со Ф 0) есть многозначная функция от со вместе
с Arg со, независимо от того, будет ли со действительным
или комплексным.
Например, с точки зрения этой теории (функций комп-
лексного переменного) In 1 равен одному из чисел 2km (k =
= 0, +1, ±2, ...). В действительном анализе для выражения
In 1 выбирается среди этих чисел единственное действитель-
ное число 0.
Но мы не будем углубляться дальше в теорию функ-
ций комплексного переменного — это не наша задача. Сде-
лаем только замечание по поводу формулы
2 з
In (1 + X) = X - - ... (-1 < X < 1).
Zj О
478
ГЛАВА 9. РЯДЫ
которая была выведена в § 4.16 для действительныхх.Если
подставить в ряд в правой части вместо х комплексное г с
|2|< 1,
то ряд останется сходящимся. Можно сказать, что его сум-
ма равна In (1 + z), так как мы его определили выше, точнее,
равна одной из однозначных ветвей многозначной функции
In (1 + z).
Функции комплексного переменного, разлагающиеся
в степенные ряды (ряды Тейлора), называются
аналитическими функциями.Они изучаются в разделе ма-
тематики, называемом теорией аналитических функций или
теорией функций комплексного переменного*. Наконец от-
метим, что если в степенном ряде по степеням и
2
а0 + а,и + а2и + ...
с кругом сходимости |u| < R положить и = z - z0, где z0 —
фиксированное число (вообще говоря, комплексное), то по-
лучим ряд
а0 + а,(г - z0) + a2(z - z0)2 + ... ,
называемый степенным рядом по степеням z - z0.
Он сходится в круге (сходимости) |z - z0| < R и расхо-
дится для z, удовлетворяющих неравенству |z - z0| > R.
§ 9.14. Ряды в приближенных вычислениях
В этом параграфе мы будем заниматься приближен-
ным вычислением значений элементарных функций.
Простейшая элементарная функция — это многочлен
pn(x) = ао + aix + — + апхП-
* См. нашу книгу «Дифференциальные уравнения. Ряды. Кратные ин-
тегралы. Функции комплексного переменного».
§ 9.14. РЯДЫ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
479
Вычисление этой функции при х = х0 сводится к про-
изводству конечного числа сложений и умножений. Зна-
чение этой функции в точке х0 может быть легко найдено с
любой степенью точности. Если использовать ЭВМ (элект-
ронную вычислительную машину), то это можно сделать
весьма быстро.
Другие элементарные функции, такие как sin х,
arctg х, .... как мы показали выше, разлагаются в ряд Тей-
лора по степеням х.
Погрешность, которую мы допускаем при замене функ-
ции (суммы ряда), на многочлен Тейлора, можно узнать,
оценивая остаточный член ряда.
Рассмотрим степенной ряд
f (х) = с0 + сгх + с2х2 + ... (-jR < х < R) (1)
с интервалом сходимости (~R, R). Строго внутри интервала
сходимости он сходится к/ (х) со скоростью убывающей гео-
метрической прогрессии.
В самом деле, пусть qA iiq — произвольные числа, удов-
летворяющие неравенствам 0 < qr <.q < R. Тогда ряд (1) схо-
дится в точке х = q и его члены образуют ограниченную
последовательность (|сп9п| < М, \/п)- Поэтому для всех х е
е [-9р 91]
vpleql/q< 1.
Мы видим, что степенным рядом выгодно пользовать-
ся для вычисления значений функции / (х) в точках, лежа-
щих строго внутри интервала сходимости.
Если же точках есть один из концов интервала (-/?, R),
то в этой точке, если ряд и сходится, то медленнее, чем убы-
вающая геометрическая прогрессия. Обычно настолько мед-
леннее, что нецелесообразно пользоваться непосредственно
480
ГЛАВА 9. РЯДЫ
степенным рядом (1) для вычисления значения f в указан-
ной концевой точке. Ниже мы проиллюстрируем эти фак-
ты на конкретных примерах.
Начнем с вычисления числа л.
В § 9.12 в примере 1 показано, что
3 5
arctg х = х - —— ... (-1 < х < 1). (2)
3 5
Рассмотрим тождество
, 2п+2
~Ч = 1 - х2 + х4 - ... + (-1)пх2п + (-1)"+1 .
1+х 1+х
Интегрируя это тождество на [0, 1], имеем
J -&х2 = arctg l = ~ = jdx-j x2dx + ... + (-1)" j x2ndx +
01+X 00 0
1 2и+2 -« -4 -i
+ (-1) dx = 1 - |+| - ... + (-l)n + a,
ol + x2 35 2n+l
где
, '^2
«„ = № j^dx.
Jl+x
Легко видеть, что
|a I < Г x2n+2dx = —----- 0, n — oo.
' ni J 2n+3
Отсюда следует, что
arctgl-£P^
^2A+1
0, n — oo,
т. e. arctg 1 является суммой ряда
§ 9.14. РЯДЫ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
481
ОО
arctg 1 = у = Ё
4 *3
ИЛИ
(-1)*
2fe+l
со
л = 4£
Л=0
(-1)*
2ft+l ‘
(3)
Мы видим, что этот ряд сходится медленнее любой убы-
вающей геометрической прогрессии.
Для того чтобы вычислить число л с помощью ряда
(3), с точностью до 1045, надо взять столько слагаемых ряда
(3), чтобы остаток был меньше 10"6. Так как ряд (3) есть
ряд Лейбница, то его остаток меньше модуля первого его
члена
|Л„1 =
со
Л=п+1
(-1)*
2А+1
< ———.
2п+3
Отсюда видно, что при п = 2 • 106, |7?п| < 10~6. Таким
образом, нужно взять два миллиона слагаемых ряда (3),
чтобы гарантировать значение числа л с требуемой точ-
ностью.
Вручную такую работу выполнять бессмысленно. На
ЭВМ эту работу можно выполнить, но и на ЭВМ эта работа
будет непроизводительной, если мы будем пользоваться
рядом (3).
Укажем ряд, более быстро сходящийся к числу л. С
этой целью рассмотрим число а такое, что
tga = 1/5.
Тогда
tg 2a =
2 tga _ 2/5 _ 5
l-tg2a 1-1/25 12 ’
16. Злкяз 704
482
ГЛАВА 9. РЯДЫ
tg 4а =
2tg2a _120
l-tg22a 119
' 4' l + tg4a-tg(n/4) 239
Отсюда
4a - v = arctg (1/239),
4
n = 16a - 4arctg (1/239) = 16 arctg (1/5) - 4arctg (1/239).
Используя теперь ряд (2), получаем
я-16у НГ_________4У - -НГ______
Й(2й+1)52*+1 Й(2/г+1)2392*+*
Последние два ряда сходятся довольно быстро (быст-
рее убывающей геометрической прогрессии).
Легко проверить, что остаток первого ряда уже при п = 4
меньше 10"6. Поэтому, вычисляя четыре слагаемых первого
ряда и два слагаемых второго ряда (с точностью до седьмого
знака), в результате получим
П ~ 3,141592,
причем первые пять десятичных знаков точные.
Вычисление логарифмов. Ряд Тейлора для
функции у =ln (1 + х) можно получить, интегрируя тожде-
ство
7-^— = 1 - х + х2 - х3 + ... (|х| < 1),
1+х
х , 2 3 4
ln(l+x) = J-^- = x-^-+^ + ^-+... . (4)
Sl+x 234
S 9.14. РЯДЫ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
483
При х = 1 данный ряд сходится и притом к In 2.
В самом деле, интегрируя тождество
гН = 1 - х + х2 - ... + (-1)"хл + (-l)n+1
1+х
по [0, 1], получаем
где
1 п+1
< j xn+1dx =
о
1
п+2
- О,
п -* оо.
Ряд (4) при х = 1, так же как и ряд (3), сходится мед-
ленно.
Заменяя в (4) х на -х, получаем
In (1-х) = -££-. (5)
*=i «
Вычитая (5) из (4), имеем
ICO
— = 2У
1-х ^2Л+1
(6)
Это равенство и используется для вычисления лога-
рифмов от натуральных чисел. Например, полагая х = 1/3,
получаем
In 2 = 2£
*=i
1
да-нэз2**' ’
(7)
где ряд справа сходится даже быстрее геометрической про-
грессии.
484
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Для вычисления In 2 с точностью до 10 ’ достаточно
взять пять слагаемых ряда (7):
In 2 ~ 0,693146
(каждое слагаемое ряда вычисляем с шестью знаками пос-
ле запятой).
Вообще, полагая
2т+1 ’
т — натуральное число, получим
1 + х = zn+1
1-х т ’
i (8)
In (т + 1) = In т + -----ает •
*=o(2fe + 1)(2m + l)
Полагая последовательно т = 2, 3, ..., найдем In 3,
In 4, ... . Ряд справа в (8) сходится очень быстро.
Вычисление корней. Ряд Тейлора для функции
/ (х) = (1 + х)“ мы получили в § 4.16:
(1 + х)“ = 1 +
g(g-l)...(a-fe+1) %к
ft!
(9)
Ряд (9) называютбинолшальным.Известно, что ряд (9)
прих = ±1 не всегда сходится, а если сходится, то медленно.
Поэтому, если, например, надо вычислить 72, то не рацио-
нально воспользоваться формулой (9) прих = 1, а = 1/2. Но
вот как можно поступить. Обычно преобразуют подкорен-
ное выражение так, чтобы оно мало отличалось от едини-
цы:
72= /2-25-49 _7 /50 = 7А _l_f2
V 25-49 5V49 5^ 49'
§ 9.14. РЯДЫ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
485
ИЛИ
^2 = 7 = n,/z=7(1__2_r1/2 . (10)
5 749/50 5' 50' 5' 100'
Нахождение чисел 25 и 49 можно производить так:
выписываем квадраты натуральных чисел
1, 4, 9, 16, 25, 36,49, 64, ...,
(И)
затем выписываем ряд чисел, получаемых из (11) умноже-
нием на подкоренное выражение, в данном случае на два:
2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128,.... (12)
В строках (11) и (12) ищем числа таким образом, чтобы
их отношение было близким к единице. Среди выписанных
чисел это и будут числа 49 и 50 = 2 • 25.
Если эти строки продолжить, то можно найти еще близ-
кие числа 289 и 288, т. е.
72= /2 144-289 ^17 [288 = 170 1 1
V 144-289 12V289 12' 288'
(13)
Теперь уже можно использовать ряд (9). Например, в
силу (13), при х = 1/288 получаем
(14)
Ряд справа в (14) сходится очень быстро. Кроме того,
он знакочередующийся, т. е. остаток ряда меньше модуля
первого члена этого остатка.
Запишем ряд (14) в развернутом виде:
72 = И L _ 1 + 13_______________13 5 +
12 [ 2-288 2г-2!288г 23-З!2883
(15)
486
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Третий член ряда (15) меньше 8 • 10 6< 10 поэтому
-М = 1,414207...
576'
с точными четырьмя знаками.
Отметим, что вычисление -J2 , исходя из (10), очень
удобно, так как в знаменателе мы сразу получаем сте-
пени 10. Если взять три первых слагаемых этого ряда, то
« 1,41421.
Пример 1. Вычислить V5 с точностью до 0,01.
Выпишем кубы натуральных чисел
1, 8, 27, 64, 125, 216, ...
и ряд этих чисел, умноженных на 5,
5, 40, 135, 320, 625, 1080, ... .
Отсюда
з/г 3/5-27-125 _ 5 , 10 )1/3 _ 5 А , 8 \*/3
75-V 27 125 “з(1 + 'З'1 1б(И
5 L , 8 2-82 , 2-5-83 1
3[ ЗЮ2 32-2!104 33-3!106 J
третий член ряда
5-82
3310‘1
<0,01,
поэтому
с точностью до 0,01.
5 9,15. ПОНЯТИЕ КРАТНОГО РЯДА
487
§9.15. Понятие кратного ряда
Выражение
(1)
где ак1 — числа (действительные или комплексные), завися-
щие от пар индексов k, I = 0, 1, 2, ..., называется двойным
или двукратным рядом. Числа ак[ называются членами
ряда, а числа
т п
&тп ~ 2L 'ТЛ.1
*=о г=о
(2)
частичными (частными) суммами ряда (1).
Пары целых неотрицательных индексов (Л, I) можно
рассматривать как точки плоскости с
целыми неотрицательными координа-
тами. Тогда в частную сумму Smn вхо-
дят члены ряда (1) с индексами k, I,
соответствующими точкам (k, Z) пря-
моугольника [0 < k < т, 0 < I < и]
(рис. 108). В силу этого частичные сум-
мы5кп называют ещепрямоуголъными
частичными суммами ряда (1). Коли-
Рис. 108
чество членов ряда (1) в Smn будет N - (т + 1) (n + 1).
По определению ряд (1)сходится по прямоугольникам
к числу S, называемому суммой ряда (1), если существует
lim S
m,n—<o
тп
(3)
т. е. если для любого Е > 0 найдется такое число No (е), что
для всех т, п> No (е). В этом случае пишут
fc=0 2-0
488
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Остановимся на случае, когда члены ряда (1) — не-
отрицательные числа (aki > 0). Положим
Л = supS .
тл
пъ, п
(4)
Если Л < оо — конечное число, то для любого е > О
найдется пара т0, п0 такая, что Л - е < S < Л, а вслед-
ствие неотрицательности ак1
Smnt m,n>N0 = max (m0, n0).
Поэтому Л - e < Smn < Л + e, /п, n > No, и существует
предел
lim S
m, n—tx>
mn
Если же Л = oo, то, очевидно (при ahl > 0!), lim Sm„
Kl m, n-oo mn
= Л = oo. В этом случае пишут
oo.
fe=O z=o
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если схо-
дится (по прямоугольникам) ряд
Е Е W-
k-0 i=0
Как и в случае обычных рядов, доказывается, что абсолютно
сходящийся ряд сходится. Доказательство базируется на
критерии Коши: для того чтобы ряд (1) сходился, необхо-
димо и достаточно, чтобы для всякого Е > 0 существовало
число N (е) такое, что
- SI < Е,
। mn pqi ’
каковы бы ни были т, п,р, q> N (е).
S 9.15. ПОНЯТИЕ КРАТНОГО РЯДА
489
Обоснование критерия Коши производится так же, как
и в случае обычных однократных рядов.
Наряду с рядом (1) можно рассматривать еще выра-
жение
Е
1=0
которому естественно приписать число А (если только оно
существует), получаемое следующим образом: если для каж-
дого k = 0, 1, ... ряд, заключенный в скобки, сходится и
имеет сумму Ak и ряд ^Ак сходится к числу А, то полагаем
*=0
СО 00 f СО \
^=Е4=ЕЕ«« • (5>
к=0 *=0 \1=0 7
Теорема 1. Если ряд (1) абсолютно сходится, то
имеет место равенство
00 СО 00 со \
EE^< = E(Ec«- <6)
*=о ьо *=о \ы> У
Доказательство. Допустим сначала, что аы не-
отрицательны. Пусть левая часть (6) равна числу S.
Для любых неотрицательных s и п при s < т
п т п
1л, < Е Е^ < s>
1=0 fc=0 1=0
(7)
откуда ряды EXi (s = О, 1, ...) сходятся; поэтому, если во
1=0
втором неравенстве в (7) зафиксировать т и перейти к пре-
делу при л —* оо, получим, что
< 8
490
ГЛАВА 9i РЯДЫ
для любого т, откуда следует существование числа А (см.
(5)) и тот факт, что А < S.
С другой стороны, если число А конечно, то при
любых т, п
т п т f п \
< £ 1а
Ь=о 1=0 fe=o \l=0 J
и потому
S = sup £тл < А.
т, п
Равенство (6) при аы > 0 доказано.
Пусть теперь аы — действительные произвольные
числа. Положим
[0 (^<0), [0 (аы>0).
Тогда
ам = aw-cQ, |аы| = ак1 + аы-
Поэтому из сходимости ряда ZSIomI следует сходимость
рядов ££afc+(, с неотрицательными членами и пото-
му
ZIa = Е1а - Е1а =
Наконец, если аы ряд XXKJ сходится, EZIPJ. гДе <4i и Ры - = Z Z< -Ща =Ща • = аы + i0ftz — комплексные числа и то сходятся также ряды ZZlaMl’ • действительные числа; поэтому
§ 9.15. ПОНЯТИЕ КРАТНОГО РЯДА
491
L2A = ЕЕам + *ЕЕРЫ=
=zfeJ+iEfcpJ=
Теорема доказана полностью.
Пример 1. Исследовать, при каких а > 0 сходится
двойной ряд
со со
SZ(fe + o_“-
*=о ы
Решение.В силу теоремы 1 исследование можно све-
сти к сходимости обычных (однократных) рядов
£(fe + Z)^=Aft и £аа.
Как мы знаем (см. § 9.2, теорема 2), сходимость первого ряда
эквивалентна сходимости несобственного интег-
z=i
рала J(fe + yY^dy, который сходится при а > 1:
о
А = Е(Л + ГТ < J(fe + y^dy = -L(fe + У)1 “ = .
Далее,
' a-1
Последний интеграл сходится приа - 1 > 1, т. е. приа >
> 2. Поэтому исходный двойной ряд сходится по прямо-
угольникам при а > 2.
492
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Рассмотрим еще новый вопрос. Пусть двойной ряд (1)
сходится и притом абсолютно. Его суммуS, так же как сум-
му S' ряда, составленного из его абсолютных величин, мож-
но записать в виде пределов последовательностей
S = КшУУа. = limS , S' = lim УУ|a.,|==lini<S'
обычных, зависящих только от одного индекса п. После-
довательностям {<Snn}, {‘S'nnJ соответствуют сходящиеся ряды
= а00 + (а10 + а11 + а01) + (°20 а21 + а22 + а12 + аог) +
+ (азо + + ’ (8)
® = l^ool 1^111 + l^oil) +
+ (1а2о1 + 1а211 + 1а22, + 1а1г1 + 1аог1) + ••• (9)
с членами, равными суммам чисел, стоящих в скобках. Но
в скобках второго ряда стоят неотрицательные числа, по-
этому сходимость его не изменяется, если в нем скобки вы-
черкнуть:
1аоо1 + 1аю1 + 1аи1 + 1а011 + 1а2й1 + ••• • (10)
Но тогда ряд
аоо + а1о + а11 + а01 + °20 + (11)
полученный вычеркиванием в (8) всех скобок, абсолютно
сходится, следовательно, сходится, очевидно, к S.
Мы доказали, что если двойной ряд (1) сходится к чис-
лу S и притом абсолютно, то полученный из него обычный
(однократный) ряд (11) сходится тоже к S и тоже абсолют-
но. Но члены абсолютно сходящегося ряда можно перестав-
лять как угодно, не нарушая его сходимости и не изменяя
суммы.
Этим доказана следующая
S 9.15. ПОНЯТИЕ КРАТНОГО РЯДА
493
Теорема 2. Если члены двойного ряда (1), сходяще-
гося к числу S и притом абсолютно, перенумеровать лю-
бым способом (у0, v2, ...) при помощи одного индекса и
составить ряд v0 + vr + v2 + ..., то последний будет схо-
диться к тому же числу S абсолютно.
Докажем следующую теорему:
Теорема 3. Пусть заданы два абсолютно сходя-
щихся (однократных) ряда ^и^, пусть всевозможные
о о
произведения ukvt(k, 1 = 0, 1, 2, ...) перенумерованы: (£>0, (0р
со2, ... любым способом при помощи одного индекса. Тогда
справедливо равенство
СО оо со
Уч х Уч = Уч.
ООО
где ряд справа абсолютно сходится.
Доказательство. В самом деле, пусть ^141 = М,
о
ц| = N. Двойной ряд ^uhvl абсолютно сходится пото-
о к=0 1=0
му, что при любых т, п
т п т п
У У 1чч1 = £ KIх У 1ц1 < м • n.
0 0 о о
Поэтому
00 °° п п п п
У Ч х У Ч = н™ У Ч х 1™ У Ч =lim У У ЧЧ =
к=0 1=0 " fc=0 п ьо *=oi=o
ОО СО 00
= УУчч=Уч>
к=0 Ы) /=0
где последнее равенство справедливо в силу предыдущей
теоремы.
494
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Замечание 1. Отметим, что теорема 3 по сути дела
доказана в § 9.13. Здесь мы привели доказательство, исполь-
зующее понятие сходимости двойного ряда.
В заключение заметим, что можно рассматривать
n-кратные ряды (п > 3)
S - X
kn=0
Замечание 2. Выше мы ввели понятие прямо-
угольных частичных сумм5тп, содержалась членов ряда
(1) (N = (т + 1)(п + 1)). Любую сумму, состоящую из конеч-
ного числа N слагаемых ряда (1), принято также называть
частичной суммой этого ряда.
В случае кратного ряда (1) частичные суммы, содер-
жащие N членов ряда, которые мы будем обозначать через
SN, можно строить различными способами. Например, мож-
но взять частную сумму, содержащую члены ряда с индек-
сами k, I, отвечающими точкам плоскости (fe, Z), принадле-
жащим кругу радиуса R с центром в начале координат
(рис. 109)
Отметим, что 4HcnaN иR связаны cooTHoniemieMN =
= О (R2) (можно доказать, что количество точек (k, Z) с це-
S 9.15. ПОНЯТИЕ КРАТНОГО РЯДА
495
лочисленными координатами, находящихся в круге ради-
уса R, пропорционально площади этого круга).
Сумма SR называется круговой (сферической) частич-
ной суммой ряда (1).
Для n-кратного ряда (п 3) сферическая сумма имеет
вид
Если в частичную сумму включить члены ряда (1) с
индексами (fe, Г), удовлетворяющими условию
О « k + I « М (k>0,l>0),
то соответствующая частная сумма SN = SM (N = O (М2)) на-
зывается треугольной (рис. 110) частичной суммой ряда
(1).
В зависимости от характера частичных сумм можно
определить различные виды сходимости ряда (1) (по сфе-
рам, треугольникам, и т. п. ).
Ряд (1) называется сходящимся к числу S по сферам,
если Х/е > 0 3N0 (£) такое, что при R > No (£) выполняется
неравенство
|SK-S|<£.
Аналогично определяется сходимость по треугольни-
кам. Представляет интерес вопрос о том, как связаны меж-
ду собой различные виды сходимости кратного ряда (1), но
мы не будем на этом останавливаться.
Задачи
1. Исследовать, при каких а > 0 сходится тройной (трех-
кратный) ряд
ОО СО оо
fc=l 1=1 m=l
От в e т: a > 3.
496
ГЛАВА 9. РЯДЫ
2. Исследовать, при каких а > 0 сходится n-кратный ряд
ОО оо
Z - Z(fc>+ ••• +
« *„=i
О т в е т: а > п.
3. Исследовать, при каких а > 0 сходится двойной ряд
ОО ОО _
fc=l ы
Ответ: а> 1.
4. Исследовать, при каких а, 0Р 02 > 0, сходится двой-
ной ряд
оо оо
ZZ^ + zT-
Аг=11=1
Ответ: а > —+ —.
Pi Рг
5. Исследовать, при каких а, Рр .... 0П > 0, сходится
n-кратный ряд
оо
Z-
1
Ответ: а > > —.
£Р,
§ 9.16. Суммирование рядов и
последовательностей
Пусть задан числовой ряд
и0 + Щ + и2 + ... (1)
и последовательность его частичных сумм
S„ = u0 + Ui + ... +ип. (2)
Ряд (1) может быть сходящимся или расходящимся.
§9.16. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
497
Последовательность
cn=nb4So + Si+(n = 0, 1, ...) (3)
называется последовательностью средних арифметичес-
ких последовательности {S„} или ряда (1). Легко подсчи-
тать, что
Таким образом, члены суммы сгп отличаются от соот-
ветствующих членов частной суммы ряда (1) тем, что пос-
ледние умножаются на числаХ. = 1--, меньшие едини-
п+1
цы. Поэтому, если последовательность {Sn} расходится, то
может случиться, что последовательность {сгп} все же схо-
дится.
По определению ряд (1) (или последовательность {Sn})
суммируется методом средних арифметических к числу
ст, если существует предел
limcrn = ст.
и—СО
(4)
Теорема. Если ряд (1) сходится к числу S, то он
суммируется методом средних арифметических и притом
к тому же числу S.
Доказательство. Пусть ряд (1) сходится; тогда
существует такое число М, что
|S.| «М (j = 0, 1, 2, ...)
(5)
и такое достаточно большое натуральное число п, которое
мы будем считать фиксированным (a k, и в дальнейшем р —
переменными), что
|S„+i~S|<£ (fe=l, 2, ...).
(6)
498
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Имеем, далее,
s "°”’= (S~P n+p+i)^8”*” n+P+1 SS,°
откуда, учитывая, что
1 1 _ n+]
р п+р+1 р(п+р+1)’
получим
Is - J < £ +
П+1 м +
п+р+1
п+1
п+р+1
М <е + е + е = Зе
(Р>РО),
еслиР0 достаточно велико. Следовательно, оп+р —S (р —оо)
или, что все равно, —- S (j — оо), т. е. теорема верна.
Пример 1. Рассмотрим сходящийся ряд ^2 * = 2.
k=0
Здесь
S0=l, S, = l+|, .... S =1 + | + ...+Ц- = 2-4-
0 1 2 2 2 2
Отсюда
1
= -1_ 2(п+1)-2 + -1- =2-^- +
n+lL 2\1 г 1
2"J
2_ + _J_____
п+1 2"(п+1)
— 2 (п -> оо).
Пример 2. Ряд 1 - 1 + 1 - ... расходится, но он сум-
мируется к числу 1/2 методом средних арифметических.
6 9.16. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
499
В самом деле, для данного ряда So = 1, = 0, S2n =
= l.S2n+i = O..
Поэтому
cs9n = tAvDSo + — + 8, _] = “v[l + 0 + ... + 0 + 1] =
2n 2n+lL 0 2"J 2n+lL J
°2пЛ ~ 2n+l^° + + S2n + 'S2n+1] “ 2(n+4) 2~*2 (n~~
Наряду с последовательностью {crn} средних арифме-
тических ряда (1) можно рассматривать произвольные
средние {*п} ряда (1), определяемые равенством
(7)
h=0
где (k = 0, 1, ..., n) — произвольная последовательность
действительных чисел, вообще говоря, зависящая от п. Эти
числа можно было бы обозначить через Однако ради
краткости будем писать вместо Х1^.
„ h
Если ХА = 1 - —— ,то tn = сг„.
я п+1 " "
Если существует предел
lim* =Т, (8)
П-»СС
то говорят, что ряд (1) суммируем методом средних {*п} к
числу Т.
Естественно возникает вопрос, при каких Хй сходя-
щийся к S ряд (1) суммируется методом {*„} к числу S.
Чтобы ответить на этот вопрос, будем считать, что Хо = 1;
Xt = О при k > п + 1; AXfc = Xft - ХА+1.
500
ГЛАВА Э. РЯДЫ
Тогда
1Ж = (К> - + (Xi - Х2) + ... + (кп - Хп+1) = к0 = 1. (9)
л=о
Имеет место преобразование Абеля следующего вида
(см. также § 9.8):
п и
£>л = IX - ak+i)Bk>
fe=0 fc=0
гдеВА = &0 + ... + bk, an+1 = 0.
Тогда
*Я=2Ж
*=0
(Ю)
где Sk — частичные суммы ряда (1).
Далее, используя (9), имеем
tn-S = ±Akk(Sk-S). (11)
о
Применяя в (11) неравенство Буняковского, получим
( п „ W2
\ о о 7
z п х 1/2 z п х 1/2
= (п+1)Х|Д\П /7ТЖ-я)2 -(12)
ко/ +1 о /
Теперь, если ряд (1) сходится к числу S (сумме ряда),
то последовательность {(Sk - S)2} сходится к нулю. Средние
арифметические этой последовательности, по доказанному
выше, также сходятся к нулю.
§ 9.16. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
501
Поэтому из (12) получаем следующее утверждение:
если числа таковы, что
(п + 1) £| дх/ < с,
(13)
то сходящийся ряд (1) суммируется методом средних {tn}
к своей сумме.
Заметим, что для средних арифметических {оп} усло-
вие (13) выполнено:
предметный указатель
Абеля преобразование 449
— теорема о сходимости
степенного ряда 466
— теоремы о рядах 450
Абсолютная величина
числа 21, 33
Абсолютно сходящийся
интеграл 295
---- ряд 439
Аддитивность интеграла 268
Аксиоматический метод 31
Аналитическая функция 478
Аргумент (независимая
переменная) 75
— комплексного числа 241
Арифметические действия над
числами 22, 26
Архимедово свойство чисел 30
Асимптота 212
Асимптотическое
равенство 140
Ассоциативный закон сложе-
ния чисел 29
----умножения чисел 29
Бесконечная десятичная
дробь 17, 18
Бесконечно большая величина
(последовательность) 50
— малая величина (последова-
тельность) 50
Бесконечный интервал 34
— полуинтервал 34
— предел 50
Бином Ньютона 58, 188
Вейерштрасса признак
равномерной сходимости 446
— теорема 111
----об ограниченности
непрерывной функции 111
----экстремальных
значениях непрерывной
функции 111
Вектор касательной 222, 224
— нормали 222
— л-мерный, единичный 344
Вектор-функция 222
Величина (последовательность)
бесконечно большая 50
— ( — ) — малая 50
Верхний интеграл Дарбу 288
Верхняя грань точная 61
— сумма Дарбу 286
Вложенных отрезков
принцип 59
Внутренняя точка множества
348, 383
Выпуклость кривой в точке
207
----на отрезке 210
Гармонический ряд 436
Гипербола 154
Главный линейный член
приращения функции 166,
358
— степенной член функции
143
Градиент функции 369
Граница множества 384
Грань точная верхняя 61
----нижняя 61
График функции 78
Даламбера признак сходимос-
ти ряда 433
Дарбу суммы 286
503
Действительная часть
комплексного числа 241
Действия над числами
арифметические 26
Десятичная дробь 17
---бесконечная 18
Дирихле признак 302
— ядро 449
Дифференциал функции 164,
359
Дифференциалы высших
порядков 171
Дифференцирование
параметрически заданных
функций 174
— рядов 451,467
Длина дуги кривой 310, 311
Достаточные условия экстре-
мума функции 200-203
Дробно-линейная
иррациональность 254
Дробьпростейшая 251
Зависимая переменная 75
Замена переменных 232
Замечательные пределы 136
Замкнутое множество 380
Замыкание множества 386
Знаки включения 13
Инвариантность формы
первого дифференциала
173
Интеграл Дарбу верхний 288
---нижний 288
— неопределенный 229
— несобственный 291
— определенный 259
— от монотонной функции
289
---непрерывной функции
289
— с переменным верхним
пределом 275
—, сходящийся абсолютно
295
Интегральная сумма Римана
260, 263
— теорема о среднем 284
Интегральный признак
сходимости рядов 429
Интегрирование иррациональ-
ных выражений 254
— подстановкой 232, 281
— по частям 236
— рациональных выражений
234,250
— рядов 250, 467
— тригонометрических
выражений 257
Интервал 34
Интерполяционный многочлен
Лагранжа 323
Иррациональное число 19
Касательная к кривой 150
— плоскость 364
Квадратичная иррациональ-
ность 255
— форма 375
Квадратурная формула 326
Квантор всеобщности 15
— существования 15
Колебание функции на множе-
стве 288
Комплексное число 239
----сопряженное 240
Комплекснозначная функция
241
Корень (нуль) многочлена 245
Коши вид остаточного члена
формулы Тейлора 285
— критерий для несобствен-
ных интегралов 292
504
-------последовательностей
73
------- рядов 426
------- функций 443
----- равномерной сходимости
443
— признак сходимости ряда
435
— теорема о среднем 177
Кривая гладкая 215, 307
— замкнутая 309
--- непрерывная 307
— непрерывная 215
— плоская 215
— самонепересекающаяся 309
— самопересекающаяся 309
— спрямляемая 311
Кривизна кривой 316
---радиус кривизны 317
---центр кривизны 317
Критерий Коши для
несобственных интегралов
292
---существования предела
73
Круг сходимости степенного
ряда 462
Куб 337
Лагранжа вид остаточного
члена формулы Тейлора
189
— теорема о среднем 178
Лапласа уравнение 457,458
Линия уровня 407
Локальный экстремум 174,
391
---относительный 417
Лопиталя правило 184
Мажоранта 35
Максимум локальный 174
Масса стержня 261
Мгновенная скорость 147
Метод множителей Лагранжа
422
— неопределенных
коэффициентов 238
— суммирования 496
Минимум локальный 174
Мнимая часть комплексного
числа 241
Многочлен 104, 244, 346
— действительный 247
— Лагранжа 323
— Тейлора 187
Множества эквивалентные 36
Множество 11, 12
— бесконечное 36
— всюду плотное 43
— замкнутое 380
— неограниченное 35
— несчетное 38
— ограниченное 34, 35
— , — сверху 35
— , — снизу 35
— открытое 348
— пустое 13
— связное 349
— счетное 35
Множителей Лагранжа метод
422
Модуль комплексного числа
240
Независимая переменная 75
Необходимое условие
интегрируемости функции
266
--сходимости ряда 426
---экстремума функции
201
Неопределенностей раскрытие
52
505
Непрерывная вектор-функцня
222
— кривая 222
— функция 98, 345
Непрерывность множества
действительных чисел 73
— функции в точке справа,
слева 106
Неравенство треугольника 312
— чисел 20
Несчетность действительных
чисел 35
Неявная функция 85
Нижний интеграл Дарбу 288
— предел последовательности
68
Нижняя грань точная 61
— сумма Дарбу 286
Нормаль к кривой 407
---поверхности 406
Ньютона-Лейбница теорема
278
Область 349
— определения функции 75
— сходимости ряда 442
Образ посредством функции
76
Обратная функция 115
Обратные тригонометрические
функции 134
Объединение (сумма) мно-
жеств 14
Объем тела вращения 306
Однородная функция 371
Окрестность точки 35, 92,
336,337
Операция дифференцирования
165,228
— интегрирования 228, 261
Ориентированная кривая 308
Остаточный член квадратур-
ной формулы
— — ряда 427
---формулы Тейлора 188
в форме интегральной 284
--------------Коши 189,
285
--------------Лагранжа 189
-------------- Пеано 190
Отображение 414
Отрезок (числовой) 34
Отрицание утверждения 15
Парабола 155
Первообразная 227
Переменная величина 12,
335,337
— зависимая 75
— независимая 75
Переместительный
(коммутативный) закон
сложения 29
— ( — ) — умножения 29
Пересечение множеств 14
Плоскость касательная 364
Площадь в полярных коорди-
натах 305
— криволинейной фигуры
259
— поверхности вращения 322
Поверхность уровня 406
Подмножество 13
Подпоследовательность 66
Подстановки Эйлера 256
Показательная форма
комплексного числа 242
Полином (многочлен) 104,
244, 346
Полнота действительных
чисел 73
Полуинтервал 31
Полярные координаты 87
506
---, график 87
Полярные координаты,
площадь 305
Порядок переменной 143
Последовательность 23, 39
— бесконечно большая 50
--- малая 50
— монотонная 54
— неубывающая 23, 54
— ограниченная 40
---сверху 23
---снизу 23
— стабилизирующаяся 23
— фундаментальная 71
-— функций (функциональная)
442
---равномерно сходящаяся
442
Правило Лопиталя 184
Предел по направлению 339,
344
— последовательности 39, 40
--- верхний 68
---комплексных чисел 426
---нижний 68
— функции 75, 88, 338
--- слева 98
---справа 98
— частичный 68
Преобразование Абеля 449
Признак равномерной
сходимости Абеля 450
—------Вейерщтрасса 446
-------Дирихле 449
— сходимости ряда Даламбера
433
-------интегральный 428
-------Коши 435
Приращение аргумента 99
— функции 99, 348, 350
---, главный линейный член
165, 358
Произведение комплексных
чисел 239
— последовательностей 47
— скалярное 420
— функций 76
Производная 144
— бесконечно большая 150
— вектор-функции 222
— в параметрическом виде
174
• — высшего порядка 169
— левая 145
— обратной функции 160
— по направлению 355
— правая 145
— суперпозиции функции от
функции 158, 366
— частная 350
— элементарных функций
156
Пространство п-мерное 83,
337
Прямоугольник 335, 337
Равенство действительных
чисел 20
Равномерная непрерывность
118
Равномерно сходящаяся
последовательность 442
— сходящийся ряд 442
Радиус кривизны 317
— сходимости степенного ряда
463
Разность комплексных чисел
— множеств 14
— последовательностей 47
— функций 76
Разрыв второго рода 106
— первого рода 106
507
Расстояние между точками
22, 35
Рациональная функция 250,
346
Рациональное число 16
Римана интегральная сумма
260
Ролля теорема о среднем 176
Ряд 192
— биномиальный 484
— гармонический 436
— кратный 487
— Лейбница 438
— равномерно сходящийся
442
— с неотрицательными
членами 432
— степенной 462
---сходящийся 425
---, теорема о сходимости
462
—, сходящийся абсолютно
439
—, — по прямоугольникам
494
—,-----сферам 495
—,-----треугольникам 495
--- условно 441
— Тейлора (Маклорена) 193,
471
— функций 442
Свойство Архимеда веще-
ственных чисел 30
Система функций, заданных
неявно 407
Скалярное произведение 420
Скорость мгновенная 147
Сложение чисел 22
Сочетательный (ассоциатив-
ный) закон сложения 29
— ( — ) — умножения 29
Спрямляемая кривая 311
Средние арифметические 497
Средняя скорость 147
Срезка действительных чисел
26
Степенная функция 122, 156
Степенной ряд 462
Строго возрастающая функция
79
— убывающая функция 79
Суммы Дарбу 286
— (объединение) множеств 14
— последовательностей 47
— Римана интегральная 260
— ряда 426
---частичная 425
— функций 76
Суммирование рядов и
последовательностей 496
Суперпозиция функций 77,
104
Существование корня
арифметического 123
---многочлена 246
Сходимость несобственного
интеграла 291
— последовательности 41
— ряда 425
— степенного ряда 462
-------, круг сходимости 462
Счетное множество 35
Таблица интегралов 230
— производных 156, 161
Тейлора многочлен 187
— ряд 192
— формула 186
Теорема Безу 245
— Больцано-Вейерштрасса 66
— Вейерштрасса о равномер-
ной сходимости 446
508
- — об ограниченности
непрерывной функции 111
— Коши о промежуточных
значениях непрерывной
функции 112
-------среднем 177
— Лагранжа о среднем 178
— Ньютона-Лейбница 278
— о смешанных производных
353
----среднем интегральная
284
------- Ролля 176
— Сильвестра 396
— Ферма 175
Теоремы Абеля о рядах 450
Точка выпуклости кверху 207
---- книзу 207
— множества внутренняя 348
----граничная 384
Точка перегиба 207
— разрыва 106
----второго рода 107
----первого рода 106
— стационарная 200, 393, 419
— устранимого разрыва 107
— и-мерного пространства 83,
337
Тригонометрическая форма
комплексного числа 242
Умножение последовательнос-
тей 47
— рядов 458
— чисел 27
Уравнения связи 417
Условие необходимое интегри-
руемости функции 266
----сходимости ряда 426
Формула бинома Ньютона
188
— квадратурная 326
— Ньютона-Лейбница 278
— прямоугольников 326, 328
— Симпсона 330
— Тейлора 186
— трапеций 327, 328
Функции эквивалентные 139
Функция 75
— аналитическая 478
— бесконечно большая 97
----малая 93
— гармоническая 457, 458
— гиперболическая 163
— дифференцируемая 165,358
— комплексного переменного
442
— комплекснозначная от
действительного перемен-
ного 241
— Лагранжа 422
— логарифмическая 131,158
— многих переменных 335
— многозначная 81
— монотонная 79
— неограниченная 79
— непрерывная 98, 102,110
---в точке 99
---------по множеству 386
--------- слева 106
--------- справа 106
---на замкнутом ограничен-
ном множестве 386
-------множестве 386
— нечетная 78
— неявная 85
— обратная 115
Функция обратная 115
тригонометрическая 103
— ограниченная 79
— однородная 371
— периодическая 79
— показательная 126
509
— постоянная 12, 121, 156
— предельная 444
—- разрывная в точке 100
— рациональная 250
— сложная 77,158
— степенная 122,156
— строго возрастающая 79
---убывающая 79
— тригонометрическая 134,
157
— четная 78
— элементарная 81, 101, 121
Центр кривизны 317
Частичная сумма ряда 425,
487
Частное действительных чисел
— последовательностей 47
— функций 76
Чисел аксиомы 29
— свойства 29
Число, величина абсолютная
— действительное 16, 19
— иррациональное 19
— комплексное 239
---, аргумент 241
---, действительная часть
241
Число комплексное, мнимая
часть 241
---, модуль 240
---, сопряженное 240
— конечное (бесконечное) 34
— рациональное 16
-е 58
Числовая ось 21
Член ряда 425, 487
---остаточный 427
Эвольвента 316
Эволюта кривой 316
Эйлера подстановка 256
Эквивалентные предложения
— функции 140
Экстремум локальный 174
— относительный (условный)
416
Элемент множества 12
----наибольший 61
----наименьший 61
— последовательности 23, 39
Элементарная функция 81,
101, 121, 347
Эллипс 153
Эллипсоид 383
Ядро Дирихле 451
— открытое 384
— Пуассона 457
Якобиан 408
Шар 337
Яков Степанович Бугров
Сергей Михайлович Никольский
Высшая математика
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Корректоры: Н. Передистый, Н. Пустовойтова
Лицензия ЛР № 065194 от 2 июня 1997 г.
Сдано в набор 22.09.97. Подписано в печать 24.11.97.
Формат 84x108/32. Бум. офсетная. Гарнитура CG Times.
Печать высокая. Усл. п. л.26,88. Тираж 5000 экз.
Зак. № 704.
Издательство «Феникс»
344007, г. Ростов-на-Дону, пер. Соборный, 17
Изготовлено с готовых диапозитивов в АПП «Джангар»
358000, г. Элиста, ул. Ленина, 245