Б. П. ДЕМИДОВИЧ, И. А. МАРОН, Э. 3. ШУВАЛОВА
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
АНАЛИЗА
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Под редакцией Б. П. ДЕМИДОВИЧА
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 10 6 7

518
Д 30
УДК 518
АННОТАЦИЯ
В книге излагаются избранные вопросы
вычислительной математики, и по содержа-
содержанию она является продолжением учебного
пособия Б. П. Демидовича и И. А. Марона
«Основы вычислительной математики».
Настоящее, третье издание отличается
от предыдущего более доходчивым изложе-
изложением. Добавлены новые примеры.
Рассчитана на студентов технических,
экономических и педагогических институ-
институтов. Может быть использована также ин-
инженерами, вычислителями и лицами, рабо-
работающими в области прикладной математики,
Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения
М., 1967 г., 368 стр. с илл.
Редактор М. М. Горячая
Техи. редактор К. Ф. Брудно Корректор О. А. Бутуса
Сдано в набор 7/П 1967 г. Подписано к печати 16/VI 1967 г. Бумага 60x90/1
Физ. печ. л. 23. Условн. печ. л. 23. Уч.-изд. л. 24,09. Тираж 75 000 экз. Т-0698
Цена книги 94 коп. Заказ № 1389.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР
Москва, Ж-54, Валовая, 28.
2-2
в-б

ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию 6
Предисловие ко второму изданию 8
Предисловие к третьему изданию 8
Введение 9
Литература к введению 11
Глава I. Приближение функций 12
§ 1. Постановка задачи о приближении функций 12
§ 2. Интерполирование функций 13
§ 3. Интерполирование периодических функций с помощью три-
тригонометрических полиномов 17
§ 4. Точечное квадратичное аппроксимирование функций .... 21
§ 5. Функции; ортогональные на точечном множестве 27
§ 6. Полиномы Чебышева, ортогональные на системе равноотсто-
равноотстоящих точек 34
§ 7. Интегральное квадратичное аппроксимирование функций на
отрезке 40
§ 8. Ортоганальшле на промежутке системы функций 43
§ 9. Понятие о гармоническом анализе 49
§ 10. Полиномы Лежандра 56
§ 11. Ортогональность с весом 63
§ 12. Полиномы Чебышева 65
§ 13. Понятие о равномерном приближении функций 71
Литература к главе I 78
Глава П. Эмпирические формулы 79
§ 1. Вводные замечания 79
§ 2. Линейная зависимость 82
§ 3. Метод выравнивания 84
§ 4. Квадратичная (параболическая) зависимость 89
§ 5. Определение параметров эмпирической формулы 91
§ 6. Метод выбранных точек 92
§ 7. Метод средних 93
§ 8. Метод наименьших квадратов 96
§ 9. Некоторые соображения о выборе вида эмпирической фор-
формулы с двумя параметрами 101
§ 10. Эмпирические формулы, содержащие три параметра .... 107

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 11. Уточнение полученной эмпирической формулы 112
§ 12. Общий метод определения параметров эмпирической формулы 114
Литература к главе II 120
Глава III. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных
уравнений 121
§ 1. Общие замечания 121
§ 2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью
степенных рядов 128
§ 3. Метод последовательных приближений 134
§ 4. Метод численного интегрирования 140
§ 5. Метод Эйлера 144
§ 6. Модификации метода Эйлера 147
5 7. Метод Рунге—Кутта 151
§ 8. Метод Адамса 156
§ 9. Метод А. Н. Крылова последовательных сближений . . . 163
§ 10. Метод Милна 168
§ 11. Методы, основанные на применении производных высших
порядков 181
§ 12. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
второго порядка 187
§ 13. Метод Чаплыгина .• 191
§ 14. Метод Ньютона—Канторовича 201
§ 15. Некоторые замечания об оценке погрешностей решений диф-
дифференциальных уравнений 202
Литература к главе III 207
Глава IV. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений 209
§ 1. Общая постановка краевой задачи 209
§ 2. Линейная краевая задача 212
§ 3. Редукция к задаче Коши двухточечной краевой задачи для
линейного уравнения второго порядка 217
§ 4. Метод конечных разностей 219
§ 5. Метод прогонки 224
§ 6. Метод коллокации 232
§ 7. Метод наименьших квадратов . 234
§ 8. Метод Галеркина 237
§ 9. Понятие о приближенных методах решения общей краевой
задачи 240
Литература к главе IV 243
Глава V. Приближенные методы решения краевых задач для диф-
дифференциальных уравнений с частными производными . . . 244
§ 1. Классификация дифференциальных уравнений с частными
производными 244
§ 2. Начальные и краевые условия. Задача Коши. Смешанная
задача. Корректность постановки смешанной задачи .... 247
§ 3. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа .... 253
§ 4. Некоторые сведения о гармонических функциях. Единствен-
Единственность решения задачи Дирихле 255
§ 5. Уравнение Лапласа в конечных разностях 257
§ 6. Решение задачи Дирихле методом сеток 261
§ 7. Процесс Либмана 264
§ 8. Понятие о решении задачи Дирихле методом моделирования 270
§ 9. Понятие о решении задачи Дирихле методом Монте-Карло 272

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 10. Метод сеток для уравнения параболического типа 278
§ 11. Устойчивость конечно-разностной схемы для решения урав-
уравнения теплопроводности 281
§ 12. Метод прогонки для уравнения теплопроводности 285
§ 13. Метод сеток для уравнений гиперболического типа .... 290
§ 14. Понятие о методе прямых 293
§ 15. Метод прямых для уравнения Пуассона 297
Литература к главе V 302
Глава VI. Вариационные методы решения краевых задач 304
§ 1. Понятие о функционале и операторе 304
§ 2. Вариационная задача ¦ 308
§ 3. Основные теоремы вариационного метода решения краевых
задач 309
§ 4. Сведение линейной краевой задачи для обыкновенного диф-
дифференциального уравнения второго порядка к вариационной
задаче 312
§ 5. Краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа .... 317
§ 6. Идея метода Ритца 321
§ 7. Метод Ритца для простейшей краевой задачи 322
§ 8. Приложение метода Ритца к решению краевой задачи Штурма—
Лиувилля 324
§ 9. Метод Ритца для задачи Дирихле 328
Литература к главе VI 331
Глава VII. Интегральные уравнения 332
§ 1. Основные виды линейных интегральных уравнений 332
§ 2. Связь между дифференциальными уравнениями и уравнениями
Вольтерра 835
§ 3. Связь линейной краевой задачи с интегральным уравнением
Фредгольма 337
§ 4. Метод последовательных приближений 338
§ 5. Решение интегрального уравнения методом конечных сумм 341
§ 6. Метод вырожденных ядер 345
§ 7. Метод коллокацни 353
§ 8. Метод наименьших квадратов 356
§ 9. Метод моментов 358
Литература к главе VII 361
Приложение I. Ортогональные полиномы Чебышева для я +1 равно-
равноотстоящих точек (Pk(i) = Pb(Q)Pk,r,(t)) 362
Приложение II. Первые 10 полиномов Лежандра Рп (х) 364
Приложение 111. Первые 12 полиномов Чебышева Тп (х) 364
Предметный указатель 365

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В связи с потребностями новой техники инженерная практика
наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами,
точное решение которых весьма сложно или неизвестно. В этих
случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычисле-
вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы математического
анализа получили за последние годы широкое развитие и приобрели
исключительно важное значение.
Рост производительных сил в XX столетии обусловил решительный
прогресс в области вычислительной техники, приведший к созданию
современных электронны^ вычислительных машин с программным управ-
управлением. Это неограниченно расширило вычислительные возможности
математики: задачи, для решения которых при ручном счете требо-
требовались годы, сейчас сплошь и рядом решаются за несколько часов,
причем непосредственный счет занимает минуты.
В свою очередь, новые вычислительные средства вызвали пере-
переоценку известных методов решения задач с точки зрения целесооб-
целесообразности их реализации на современных вычислительных машинах и
стимулировали создание более эффективных приемов.
Умелое применение вычислительной техники немыслимо без знания
вычислительной математики. В настоящее время трудно себе пред-
представить творчески работающего инженера-исследователя или специ-
специалиста по экономическому планированию, не владеющего методами
приближенного анализа. Массовое появление вычислительных цент-
центров, как самостоятельных, так и при ряде учебных и научно-иссле-
научно-исследовательских институтов, также неизбежно ставит вопрос о необхо-
необходимости повышения математической подготовки инженеров, в первую
очередь в области приближенных вычислений.
Указанные выше обстоятельства делают актуальным написание
учебных пособий по вычислительной математике для инженеров,
экономистов и т. д.
Настоящая книга посвящена избранным вопросам численного ана-
анализа: приближению функций и приближенному решению дифферен-
дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными).
Такой выбор материала обусловлен тем, что вопросы, связанные с

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ 7
решением алгебраических уравнений и численными методами линейной
алгебры и др., имеются в вышедшей в 1960 г. книге авторов «Основы
вычислительной математики» *).
Цель этой книги, как и указанной выше, дать систематическое
и современное изложение важнейших приемов приближенного и чис-
численного анализа (в пределах рассматриваемых тем) на базе общего
втузовского курса высшей математики.
Для расширения математического кругозора инженера дается поня-
понятие о нетрадиционных методах вычислений! методе Монте-Карло и
методе моделирования.
Как и в первой книге, основные методы доведены до численных
приложений: даны расчетные схемы и приведены числовые примеры
с подробным ходом решения. В целях доходчивости большинство
примеров рассматривается в упрощенной трактовке и носит иллюст-
иллюстративный характер.
Для понимания основного текста книги достаточно знания высшей
математики в объеме двух первых курсов втузов машиностроитель-
машиностроительных специальностей. Необходимые сведения по математике, не вхо-
входящие в общую программу втузов, излагаются в соответствующих
главах. Использованная и дополнительная литература указана после
каждой главы.
Книга предназначена для студентов втузов с повышенной програм-
программой по высшей математике и инженеров, занимающихся прикладными
вопросами, а также для работников вычислительных бюро и центров.
Кроме того, книга окажется полезной студентам физико-математи-
физико-математических факультетов педагогических институтов и студентам экономи-
экономических вузов.
В задачу авторов не входило изложение сведений по технике
решения инженерных задач на электронных вычислительных машинах
и программированию. По этим вопросам следует обратиться к специ-
специальным руководствам.
Авторы приносят благодарность коллективу кафедры высшей
математики Артиллерийской инженерной академии им. Ф. Э. Дзержин-
Дзержинского, принимавшему участие в обсуждении рукописи. Авторы выража-
выражают также искреннюю признательность за обстоятельные рецензии проф.
Б. М. Левитану и проф. X. Л. Смолицкому, критические замечания
которых были учтены при окончательном редактировании текста.
*) Второе и третье издания указанной книги вышли соответственно
в 1963 и 1966 гг.
Москва 1961 г. Авторы

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании исправлены замеченные ошибки и добавлена
VII глава «Интегральные уравнения». Кроме того, в конце введения
и глав IV и V сделаны некоторые замечания.
Москва, 1963 г. Авторы
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В третьем издании книга подверглась некоторой переработке,
цель которой — сделать ее более доступной для лиц, имеющих лишь
втузовское образование. Для этого изъяты или частично сокращены
некоторые сложные теоретические обоснования методов и увеличено
число примеров, иллюстрирующих теорию.
Наибольшие изменения внесены в главу 1. Здесь написаны наново
§ 3 «Интерполирование периодических функций с помощью тригоно-
тригонометрических полиномов», § 5 «Функции, ортогональные на точечном
множестве»; изменен § 6 «Полиномы Чебышева, ортогональные на
системе равноотстоящих точек»; изъят параграф «Понятие о при-
приближенном построении полинома наилучшего равномерного прибли-
приближения». В конце книги дополнительно помещены приложения и пред-
предметный указатель.
Авторы просят читателей о всех своих пожеланиях и замечаниях
сообщать по адресу: Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, изда-
издательство «Наука», Главная редакция физико-математической лите-
литературы.
Москва, 1967 г. - Авторы

ВВЕДЕНИЕ
Значение вычислительных машин и главным образом электронных
вычислительных машин в деле технического прогресса нашей страны
исключительно велико. Современные электронные цифровые вычис-
вычислительные машины производят десятки тысяч арифметических и логи-
логических операций в секунду и способны в исключительно короткие
сроки давать решения сложнейших математических и технических
задач, немыслимые при ручном счете.
Огромное быстродействие вычислительных машин открывает новые
широкие возможности для применения общих математических методов
исследования в проблемах физики, механики, химии, астрономии,
техники, экономики и многих других областей.
Принципиальное отличие от прежнего положения вещей состоит
в том, что сложнейшие технические и экономические вопросы могут
решаться в точной постановке, недоступной для малых вычис-
вычислительных машин из-за чрезмерного объема работы. В частности,
например, представляется по-новому организация процесса техниче-
технического проектирования с отказом от грубо ориентировочных расчетов.
Исключительное значение имеют электронные машины для авто-
автоматического управления быстро движущимися объектами, например
межпланетными ракетными снарядами. Велика также роль электрон-
электронных вычислительных машин для развития самой математики. Машины
используются для подсчета математических постоянных; для решений
алгебраических, трансцендентных и дифференциальных уравнений;
для решения сложнейших функциональных неравенств и т. п. Появи-
Появились новые статистические методы машинного решения задач мате-
математической физики, стало возможным экспериментальное решение
логических задач и многое другое.
Таким образом, создание электронных вычислительных машин
знаменует решительный скачок по пути прогресса точных и техни-
технических наук нашего времени.
Все это сделало весьма актуальным усовершенствование и раз-
развитие численных и приближенных методов решения задач. Дело в том,

10 ВВЕДЕНИЕ
что машина способна выполнять очень большое, но конечное число
операций. Поэтому точные предельные процессы решения задач,
связанные с бесконечным числом операций, при работе на машине по
необходимости должны быть заменены приближенными алгоритмами,
содержащими лишь конечное число действий. Например, при машинном
вычислении определенного интеграла последний обычно заменяется
конечной интегральной суммой, вместо дифференциального уравне-
уравнения рассматривается конечная система уравнений в конечных раз-
разностях и т. п. Кроме того, машина обладает конечной памятью
и может оперировать с числами лишь конечной длины. Поэтому
промежуточные результаты округляются, в результате чего даже
точный метод с конечным числом действий становится прибли-
приближенным.
В настоящее время разработка численных и приближенных мето-
методов решения задач в основном протекает в двух направлениях: с одной
стороны, создаются более эффективные детерминированные способы
решения задач, учитывающие специфические особенности счетных
машин; с другой стороны, в практику успешно внедряются статис-
статистические недетерминированные методы, основанные на случайных
испытаниях (метод Монте-Карло и другие) [1], [2].
Высокая производительность электронных машин существенным
образом изменила подход к оценке того или иного вычислительного
метода. Ценным оказывается тот метод, который является наиболее
универсальным и который допускает простую реализацию на машинах.
Напротив, метод, основанный на частных особенностях задачи или
на искусстве вычислителя, оказывается теперь мало пригодным.
В связи с этим произошла своеобразная переоценка ценностей: мно-
многие вычислительные методы, приводившие к громоздкому счету и
считавшиеся раньше, при ручном счете, непрактичными, оказались
сейчас вполне рабочими. В то же время чисто аналитические конст-
конструкции, ведущие к неудобным вычислительным алгоритмам, потеряли
свою былую ценность. Вот почему сейчас большое распространение
получили итеративные, разностные, вариационные, вероятностные
и т. п. методы решения задач, допускающие удобные схемы счета
и применимые к широкому кругу проблем.
При приближенном решении задач необходима оценка погрешности
полученного результата. Здесь при вычислениях с большим числом
шагов мы сталкиваемся с новой весьма важной проблемой — вопросом
устойчивости вычислительной схемы. Может случиться, что неизбеж-
неизбежные погрешности округлений быстро накапливаются (например, имеют
показательный рост). Такая вычислительная схема неустойчива и
непригодна для практики. Допустимо пользоваться лишь устойчивыми
вычислительными схемами, когда погрешности округлений взаимно
компенсируются и вызываемая ими ошибка результата остается малой
для всего процесса вычислений.

ВВЕДЕНИЕ 11
Выбирая численный метод среди известных методов или разраба-
разрабатывая новый, мы должны, естественно, учитывать специфику машины,
на которой предполагается решать задачу.
Описание принципов устройства ЭВМ, а также технику решения
на них математических задач читатель найдет в специальных руко-
руководствах (см., например, [3] — [Ю])
ЛИТЕРАТУРА К ВВЕДЕНИЮ
[1] Математика, ее содержание, методы и значение, Изд. АН СССР, 1956,
т. 2, гл. XIV.
[2] Бусленко Н. П., Голенко Д. И., Соболь И. М., Сраго-
вич В. Г., Шрейдер Ю. А., Метод статистических испытаний,
СМБ, Физматгиз, 1962.
[3] Г утер Р. С,-О в ч и н с к и и Б. В., Р е з н и к о в с к и й П. Т., Про-
Программирование и вычислительная математика, «Наука», 1965.
[4]Криницкий Н. А., Миронов Г. А., Фролов Г. Д., Про-
Программирование, СМБ, Физматгиз, 1961.
[5] Гнеденко Б. В., Кор о люк В. С, Ющенко Е. Л., Элементы
программирования, Физматгиз, 1961.
[6] Р и ч а р д с Р. К., Элементы и схемы цифровых вычислительных ма-
машин, ИЛ, 1961.
[7] Система автоматизации программирования, под ред. Трифонова Н. А.
и Шура-Бура М. Р., Физматгиз, 1961.
[8] Люстерник Л. А., Абрамов А. А., Шестаков В. И., Шур*;
Бура М. Р., Решение математических задач на автоматических маши--
нах, Изд. АН СССР, 1952.
[9] Ми х лин С. Г., С м о л и ц к и й X. Л., Приближенные методы ре-
решения дифференциальных и интегральных уравнений, «Наука», 1965.
[10] Ланцош К.-, Практические методы прикладного анализа, Физмата
гиз, 1961.

ГЛАВА I
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
§ 1. Постановка задачи о приближении функций
Пусть на некотором множестве задана система функций фо(д;),
tp1 (х), ..., <рт(х), ..., которые в дальнейшем будем считать доста-
достаточно гладкими (например, непрерывно дифференцируемыми) функ-
функциями. Назовем эту систему основной.
Функции вида
Qm (*) = С0<Ро (¦*) + «l<Pl (*) + . • • + Cm(fm (X), A)
где с0, c-j, . . ., ст— постоянные коэффициенты, называются обобщен-
обобщенными полиномами (обобщенными многочленами) порядка т. В част-
частности, если основная система состоит из целых неотрицательных
степеней переменной х, т. е. фо(лг) = 1, (f>1(x) = x, ..., фт(*) =
= ха, .. ., то
есть обычный полином степени т.
Если сро(*) = 1, if1{x)=^cosx, ф2 (х) = sin дг, ..., ф2т_1(л;) =
= cosmx, (f2m(x) = sinmx, ..., то
Qm {x) = а0 + аг cos x -\- b1 sin jc +...-)- а;л cos жлг + *m sin /ил;
называется тригонометрическим полиномом (или тригонометрическим
многочленом) порядка т.
Задача о приближении функции ставится следующим образом:
данную функцию f(x) требуется заменить обобщенным полино-
полиномом Qm(x) заданного порядка т так, чтобы отклонение (в известном
смысле) функции f(x) от обобщенного полинома Qm(x) на указанном
множестве Л"={л;} было наименьшим. При этом полином Qm(x)
в общем случае называется аппроксимирующим.
Если множество X состоит из отдельных точек х0, х,, ,.., хп,
то приближение называется точечным. Если же X есть отрезок
, то приближение называется интегральным.

§ 2] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 13
Для практики весьма важным является приближение функций
обычными и тригонометрическими полиномами.
Что касается термина отклонение двух функций, то он
в зависимости от обстоятельств понимается по-разному. При этом мы
получаем различные типы задач теории приближений: интерполиро-
интерполирование, среднеквадратичное приближение, равномерное приближение
и т, п, В следующих параграфах остановимся подробно на некоторых
из этих задач.
§ 2. Интерполирование функций
Будем считать данную функцию /(х) и полином Qm (x) = ао-\-
+ ахх-f-а2х2-\- . .. -f-атхт близкими, если они совпадают на
заданной системе точек х0, xlt ..., хп. Эти точки называются узлами,
интерполирования или узлами интерполяции. Таким образом, мы
приходим к следующей задаче интерполирования: для данной функ-
функции /(х) найти полином Qm(x) возможно низшей степени /и, при-
принимающий в заданных точках х{ (/ = 0, 1,2, ...,п; x^^Xj при
i =^= У) те же значения, что и f(x), т. е. такой, что
Qm(xi)=f(Xi) (« = 0. !. 2. • • •. «)•
Такой полином Qm (x) называется интерполяционным.
Как известно [1], существует единственный полином степени не
выше п, принимающий в точках х0, xlt ..., хп заданные значения.
Поэтому можно положить т = п. Коэффициенты ai полинома Qn(x)
можно определить из системы уравнений
A)
«Dt?»t»!
где y{=f{Xi) (i = 0, 1,2, ...,п). Определитель этой системы есть
так называемый определитель Вандермонда [1]
1 х хг
А =
Л0
1 х х* хп
= П (хд-
и, следовательно, система A) имеет единственное решение.
Полином Ln(x), коэффициенты которого определяются из систе-
системы A), называется интерполяционным полиномом Лагранжа для
функции f(x) и может быть записан в явном виде [1], [2]:
^(xi-4)(xi~^)(xix!)(xf~x! + )(xi~X) y'- { >

14 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Для случая равноотстоящих узлов xt = xo-\-ih (i = 0, 1,2, ..., я)
полином Лагранжа Ln(x) может быть записан в виде интерполяцион-
интерполяционного полинома Ньютона [2]:
Р(х) = У +Х (*-*)
где
A = 0,1,2, ...,я —1)
— конечные разности различных порядков.
Полагая
можно интерполяционный полином Ньютона C) записать в следую-
следующем виде:
Если функция y=f[x) задана таблично, причем известны ее зна-
значения У[—/(Х;) A = 0, 1,2, ., ., п) лишь в узлах дг0, xv ,, ., хп, то
интерполяционный полином Лагранжа Ln(x) может быть использован
для приближенного нахождения нетабличных значений функции. Эта
операция носит название интерполирования функции. В случае равно-
равноотстоящих узлов для интерполирования функции можно воспользо-
воспользоваться интерполяционным полиномом Ньютона Рп(х), В частности,
при п=\ имеем формулу линейного интерполирования
У^(х-х0), D)
а при л = 2 — формулу квадратичного интерполирования
y^yo + ^^-^+^^ix-x^ix-x,), E)
где h — Ал:,: = xi+1 — xt (i = 0, 1,2, ...) — шаг таблицы.
При определении значений функции у в точке х по формуле C)
В Ka4eCTBS iVn, В°°бще говоря, выгодно брать ближайший к X узел
интерполирования; тогда, если шаг h достаточно мал, то первое
слагаемое этой формулы будет главным членом, а остальные слагае-
слагаемые будут носить характер поправок.

§ 2]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
15
Если функция у=/(х) непрерывно дифференцируема до (п-\- 1)-го
порядка включительно, то остаточный член ее интерполяционного
полинома Лагранжа имеет вид [2]
=/{x)-LB (х) =
v. ,Л]| (х—ха)(х—х1)...[х—хй), F)
где | — внутренняя точка минимального отрезка, содержащего узлы
интерполирования xQ, xlt ...,хп и точку х. В случае, если функ-
функция f(x) задана таблично на системе равноотстоящих точек х(- —xQ-\- lh
(/ = 0, 1, 2, ..., л), то при доста-
достаточно малом шаге h производную
/(П+1) (|) приближенно можно заме-
заменить конечно-разностным отношением
/w + 1)(^)^;A"n+lf/o,
где
Уо=/(хо)-
Пример 1. Построить интерполя-
интерполяционный полином L (х), совпадающий
с функцией fi(x)=3x( — 1<д:<1) в
точках хо = — 1, ^ = 0, х2 = 1.
Решение. Полагаем /,(л:) = ао-|-
-\-агх + агх2. Для определения коэффи-
коэффициентов а0, ах и а2 имеем систему
1
Рис. 1.
4 2
Отсюда ао=1> ai = ^r • аг — ~^> и- следовательно (рис. 1),
о о
при — Ь
Например, 3 2 =
Пример 2. Построить интерполяционный полином Лагранжа L4 (*)•
совпадающий с функцией y = 2cos—r в точках хо = —2, #1 = , х2 = 0,
4 4
•к3=-з> ^4 = 2-
Решение. Вычисляем значение данной функции в указанных узлая
и составляем таблицу:
X
У
—2
0
-4/3
1
0
2
4/3
1
2
0

16 . ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
Подетавляя эти значения в формулу B), находим
(дс-0) (х_!)(*-2)
[гл. i
4)(x-4)<*-2)
@ + 2) (о + ^) (о~±)(О-
4 4 \ / 4 \/4
320
+ 1-
Заметим, что Ц A) = 1,4156, а у A) =2 cos — = 1,4142, т. е. 14A) —
«0,0014.
Пример 3. Используя интерполяционный полином Ньютона, вычис-
вычислить ? @,14), где функция у = [(х) задана таблицей
X
У
0
0
0,1
0,1002
0,2
0,2013
0,3
0,8045
0,4
0,4108
0,5
0,5211
Решение. Составляем таблицу конечных разностей:
X
о,
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
у
0
0,1002
0,2013
0,3045
0,4108
0,5211
0,
0,
0,
0,
0,
1002
1011
1032
1063
1103
0
0
0
0
Агу
,0009
,0021
,0031
,0040
0
0
0
д.,
,0012
,0010
,0009
t
— 0
—0
,0002
,0001
д.,
0,0001
Для вычисления /@,14) воспользуемся интерполяционным полиномом Нью-
Ньютона C), полагая хо = О,1 и А = 0,1; тогда
0,14 — 0,1
=
= 0,4
@,14) = 0,1002 + 0,1011-0,4-
(-0,6) (-1,6) =г
к=0,1405.

§ 3] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
При этом погрешность приближения
17
Щ3| ^,4-0)б-1N.2,6 = 4,16-10-<1 < —Ю"8.
При интерполировании функции обобщенными полиномами
коэффициенты с0, съ ..., сп находим из системы уравнений
nI
Если функции <р0 (х), фх (дг),
определитель системы
, фя (х) линейно независимы, то
Фо (*„) Ф1 W ¦ • • Ф„ (Х,
и, следовательно, система G) имеет един-
единственное решение.
Важным случаем общего интерполиро-
интерполирования функции является тригонометричес- Рис. 2.
кое интерполирование (см. § 3).
Интерполирование не всегда дает удовлетворительное решение
задачи о приближении функции с заданной точностью на данном
промежутке, так как совпадение функции f(x) с полиномом Q(x)
даже в близких точках х; и xi+1 не гарантирует малость величины
\f(x)—Q{x)\ на отрезке [xh xi + 1] (рис. 2).
§ 3. Интерполирование периодических функций
с помощью тригонометрических полиномов
Пусть /(лг) периодическая и задана на оси — оо < х < + оо функ-
функция. Путем линейной замены независимой переменной период функция
можно сделать равным Т=2л. В этом случае функцию f{x) целе-
целесообразно интерполировать тригонометрическим полиномом
Qn (х) = а0
(ak cos
так,
=/(¦«,¦)
(» = 0, 1,2, ...,2л),
B)

18
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
[гл. 1
где 0 ^ х0 < хх << ... < я2п << 2я — точки промежутка [0, In). По-
Полином Qn (лг) будем называть тригонометрическим полиномом по-
порядка п.
Пусть */,=/(.#,•) (/ = 0,1,2, ,.,,2/г). Требуется подобрать
коэффициенты полинома A) так, чтобы выполнялись следующие
равенства:
Уо =
Ух = fl0
cos
sin
C0S ЙЛ;1 + ЙА Sin kXl)>
C)
Мы получили систему 2л+1 линейных уравнений с 2л + 1 неиз-
неизвестными а0, ах, Ъх, ..., ап, Ъп.
Как известно [1], определитель этой системы
А =
1 cos х0
1
sin xQ
sin х,
zosnxQ s'mnx
о
sin nxx
1 cosx2n
- 2"г
П
sin
и, следовательно, отличен от нуля для нашей системы точек, для
которой 0<^хд — хр<С.2п. Поэтому данная интерполяционная задача
имеет решение, и притом единственное.
Таким образом, справедливо следующее утверждение:
Теорема единственности. Тригонометрический полином
A) порядка п однозначно определяется своими значениями в 2п-\-1
различных точках, расположенных на промежутке [0, 2я).
Для построения полинома Qn (x) возьмем произвольную точку х,
не совпадающую с узлами xi (i = 0, I, 2, ... , 2л), и для этих
2п-\-2 точек составим систему из 2л4-2 уравнений
п
Qn{x) — a0—'^l(akcos ,kx -\-bksin kx) =0,
f(x0) — a0-2Kcos kx0 +bks\nkx0) =0,
+bksinkx1) =0,

§ 3]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
19
линейных и однородных относительно коэффициентов с= I при
Qn(x)> f(xk) и ak< bk (k = 0, 1, ... , 2л). Эта система, оче-
очевидно, имеет ненулевое решение и поэтому ее определитель равен
нулю, т. е.
Qn(x) I cos л; sin л:
f(x0)
cos х
1 cos
0
cos пх sin ял:
cos nx0 s\nnx0
cos nx1 smnxx
cos
cosnx2n sinnx2n
= 0.
Раскладывая этот определитель по элементам первого столбца и
разрешая полученное уравнение относительно Qn(x), после упроще-
упрощений [1] находим искомый тригонометрический полином
. X — Хо . X X;
Sin - ... S1H ~-
sin
X X2n
л n . X i Xj i . X j •
... Sin -^ l 1Sin -i
-6 Z
¦
... Sin
D)
Легко непосредственно убедиться, что правая часть формулы D)
есть тригонометрический полином порядка п, удовлетворяющий
условиям B). Действительно, используя формулы
sin a sin p =-j [cos (а — Р) — cos (а + Р)],
cos а cosp = y [cos (а — р) + cos (а+ Р)],
sin а cos р = —[sin (а— P)-fsin (а-|_р)]
и учитывая, что числитель каждого слагаемого формулы D) содер-
содержит 2/z сомножителей, получим, что сумма Qn (x) есть тригономет-
тригонометрический полином порядка л. Кроме того, очевидно, имеем
<?„(*/)=/(*/) U=0, 1. ••• . 2л).
В силу теоремы единственности найденный полином искомый.
По своей структуре полином Qn (x) напоминает интерполяцион-
интерполяционный полином Лагранжа Ln {x).
Пример 1. Построить тригонометрический полином второго порядка,
принимающий в точках *о = 0, х1 = я/4, л2 = я/2, х3 = л, д:4 = Зл/2 соответ-
соответственно значения уй = 2, j/i=l, у2 = ^> Уз = 4> Уь=— 2.

20 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ.
Решение. Согласно формуле D) искомый полином будет следующим:
Qa(x) =
. х — я/4 . х — п/2 . х — л . х —Зя/2
sin —^ sm —2 sm ~2~ S1" 2
—2-
1 . О —я/4 . О —я/2 . О—я . О —Зя/2 ^"
sin —у— sin —у— sin ~2~~ sln 2
, х—0 . х—я/2 . х —я . х—Зя/2
sin -j- sm —-— sin —j- sin ^
1 . я/4 —О я/4 —я/2 . л/4 —я . я/4 —Зя/2"
sin ——~— sm ——^—— sin s— sin s ¦
. x—0 . x —я/4 . x—я/2 . * -Зя/2
sin -—— sin —н— sin —^— sin 5
. я — О . я —я/4", я — я/2 . я —Зя/2
sin—— sin ~- sin —g—1- sin _-
. x — О . x — я/4 . х—л/2 . х — я
sin —^ sin —^— sin — sin —2—
. Зя/2—О . Зя/2 —я/4 . Зя/2 —я/2 . Зя/2 —л '
sin —'— sm ——-—— sin —¦— sin
2 "'" 2 ""' 2 °'" 2
После упрощений окончательно получаем Q2 (x) = l + sin ж—cosx-t-2cos2x.
Замечание. Если f(x), периодическая функция периода Г,
задана в точках х0, xv ... , х2п промежутка [а, а -\- Т) (а — лю-
любое число), то с помощью линейного преобразования ^ = -уг(д: — я)
получаем , 2л
где ф (t) имеет период 2л; и задана в точках
(* )б[°2п) (/ = 0, 1, 2, ... , 2л).
Таким образом, мы приходим к разобранному выше случаю.
Если точки интерполирования хр(р — 0, 1, ... , 2л) равноотсто-
равноотстоящие, т.е. •*>=2^ПГ[ (р = 0> ]) '•• ' 2л^' то интеРполяционномУ
тригонометрическому полиному D) можно придать более простой вид:
sin B/Н- 1)Х-^
E)
. X — X
sin i
р=0 9
Непосредственно легко убедиться, что
Qn(*g) =/{*,) (9 = 0, 1, ... , 2л).
2я(;7 — р)
Действительно, при рФя, учитывая, что хд — Хр= gre _i_ \
имеем
sin Bл+ 1) ~^ = sin л (д-р) = О,

§ 4]
ТОЧЕЧНОЕ КВАДРАТИЧНОЕ АППРОКСИМИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
21
и, следовательно, соответствующие слагаемые суммы E) равны
нулю. При р = д, используя предельный переход, получаем
lim
sinBn+l)
= 2л + 1.
sin
Поэтому Qn{xg)=/{xg).
Пример 2. Функция у = Цх) задана таблицей:
X
У
0
0
2л
7
0,5029
4л
7
0,8600
6л
т
1,1058
8я
7
1,2058
Юл
7
1,1227
12я
7
0,7855
2л
0
Используя тригонометрическое интерполирование, найти | (я/7).
Решение. Здесь 2rt+l=7, х = п/7. Согласно формуле E) находим
.я
8,„_
0- - + 0,5029-
. л
Sml4
' +0,8600-
Зя'
sin
+ 1,058.
_бя\
^
sin —
1,2053-
. , 9я
sin — -Tr-
-Train — 7-7
+ 0,7855-
in(~S
. / Пя
sin
_9_я\ '
Й/
11
_ 1 / 0,5029 0,8600 1,058 ,U227_ 0.7855A _0
-T{U + 0J225~0JQ3S + 090W~1' +0,6235 0,9010^'
Заметим, что приведенная таблица составлена для функции ?(*) =
2—— I sh — . Так как ? (я/7) = 0,2618, то абсолютная погрешность
п J л
найденного значения не превышает 10~4.
§ 4. Точечное квадратичное аппроксимирование функций
На практике часто бывает, что заданный порядок т приближа-
приближающего полинома Qm (x) значительно меньше числа узлов п. В этом
случае интерполирование, вообще говоря, становится невозможным
и приходится прибегать к иным приемам построения приближающего
полинома для данной функции. Обычно здесь используют точечный

22
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 1
способ наименьших квадратов. Согласно этому способу за меру
отклонения полинома
0)
от данной функции /(х) на множестве точек х0, xv ..., хп при-
принимают величину
равную сумме квадратов отклонений полинома Qm (x) от функции
f(х) на заданной системе точек.
Очевидно, что Sm есть функция коэффициентов с0, clt ,,. , сm.
Эти коэффициенты надо подобрать так, чтобы величина Sm была
наименьшей. Полученный полином называется аппроксимирующим
для данной функции, а процесс построения этого полинома —
точечной квадратичной аппроксимацией или точечным квадратич-
квадратичным аппроксимированием функции.
Для решения задачи точечного квадратичного аппроксимирова-
аппроксимирования воспользуемся общим приемом дифференциального исчисления.
Найдем частные производные от величины
где у. = /(х(), по всем переменным ag, av ... , am. Приравнивая
эти частные производные нулю, получим для определения неизвест-
неизвестных а0, av ... , am систему m-{-\ уравнений с m +1 неизвестными:
4 W =
аях?-у,) 1 = О,
C)
Введем обозначения:
=0, 1, 2,

§ 4] ТОЧЕЧНОЕ КВАДРАТИЧНОЕ АППРОКСИМИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
23
Преобразуя систему C) и используя введенные обозначения,
будем иметь
' a0s0+aisl + ais2+...+amsm=t0,
as 4- a s ~\- a s 4»... -j- a
ans
0Sm
al
где so = n-\-\.
Можно доказать, что если среди точек лг
совпадающих и т^.п,
нуля и, следовательно,
0,
х1
1, .., , хп нет
то определитель системы D) отличен от
эта система имеет единственное решение
= a*a
р
ат=а*т [3]. Полином A) с такими коэффи-
коэффициентами будет обладать минимальным квадратичным от-
отклонением «Smin.
Если т = п, то аппроксимирующий полином Qm(x) совпадает
Л
с полиномом Лагранжа для системы точек дг0, хх,
S 0
хт, причем
Таким образом, аппроксимирование функций представляет собой
более общий процесс, чем интерполирование. При работе на
счетно-электронных машинах для решения линейной системы D)
выгодно использовать итерационные методы [2]. В частности, так
как матрица системы D) положительно определенная, то для этой
системы будет сходящимся процесс Зейделя [2].
Для составления системы C) рекомендуется схема способа наи-
наименьших квадратов, приведенная в таблице 1, где принято от=2.
Таблица 1
Схема способа наименьших квадратов
х«
1
1
1
1
1
so
X
Xo
sl
*
xl
xl
xl
xl
H
Xя
xl
xl
xl
S3
X*
Xo
xi
4
xi
xi
и
У
Уо
tJl
Уг
Уз
и
ХУ
2
Х%Уз
t2

24
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. I
Пример 1. Подобрать аппроксимирующий полином второй степени
+ {i для данных [3]:
л:
У
0,78
2,50
1,56
1,20
2,34
1,12
3,12
2,25
3,81
4,28
Решение. Вычисления, которые нам нужно произвести, расположим
по схаме (для т = 2, я = 4), приведенной в таблице 1.
Для данного примера получаем таблицу 2 (вычисления проводятся
с тремя десятичными знаками).
Таблица 2
Вычисления по способу наименьших квадратов
5
X
0,78
1,56
2,34
3,12
3,81
11,61
X2
0,608
2,434
5,476
9,734
14,516
32,768
0,475
3,796
12,813
30,371
55,306
102,761
X*
0,370
5,922
29,982
94,759
210,717
341,750
У
2,50
1,20
1.12
2,25
4,28
11,35
ху
1,950
1,872
2,621
7,020
16,307
29,770
X
1
2
6
21
62
94
2У
520
921
133
902
128
,604
Отсюда система для определения коэффициентов аа, av a2, имеет вид
5ао+ 11,61^ + 32,768а2 = 11,350, \
11,61ао+ 32,768^+102,761аг = 29,770, } E)
32,768ао+102,7610! +341,750а2 = 94,604. j
Решив систему E), будем иметь: ао = 5,О45; ах=—4,043; а2 = 1,009
Следовательно, искомый полином есть
(/ = 5,045—4,043*+ 1,009л:3. F)
Сравним исходные значения для у с соответствующими значениями у,
полученными из приближенной формулы F). Соответствующие результаты
приведены в таблице 3.
Таблица 3
Погрешности вычисления по способу
наименьших квадратов
X
0,78
1,56
2,34
3,12
3,81
У
2,50
1,20
1,12
2,25
4,28
и
2,505
1,194
1,110
2,252
4,288
ч-у
0,005
—0,006
—0,010
0,002
0,008

§ 4]
ТОЧЕЧНОЕ КВАДРАТИЧНОЕ АППРОКСИМИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
25
В общем случае, когда аппроксимирующий полином для данной
функции f(x) является обобщенным:
Qm (х) = соФо (*) + Ci<Pi (*)+...+ стфп (х),
для нахождения его коэффициентов с0, сг, ..., ст по способу наи-
наименьших квадратов приходится минимизировать сумму квадратов
— f(xt)]\
где х0, xlt .. ., Xn — заданная система точек. Используя необходимые
условия экстремума функции, получаем систему уравнений
Cl<Pl
Т Sf = it ^С°Ф° (ЛГ/) + С1Ф1
,) = 0,
С1ф1 (Х{) +...+ Ст(К (Xt) -
Вводя сокращенные обозначения
п.
(ф, ^) = 2
систему G) приводим к виду
со(фо. Фо) + С1(ф1. Фо)+.--+ст(фи, Фо) = (/, Фо).
СО(Фо> Ф1) + С1(Ф1- Ф1)+---+Сп(фт, q>!) = (/, фх),
со(фо. Фт) + С1(ф1- Фт)+ ••• +Ст(Фт- Фт> = (/. Фт)"
Из этой системы определяются коэффициенты с0, сх, ..., с
Пример 2. Функцию
G)
(8)
по способу наименьших квадратов аппроксимировать на промежутке [0, я]
тригонометрическим полиномом
Q {x)=c
для системы точек ха = 0, х1—п/3, х, = я/2, хл = 2к/3, х4 = п.

26 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
Решение. Полагая
фо(х) = 1, фх (*) = cos х,
составляем таблицу 4 и таблицу 4а.
[гл. 1
Таблица 4
Значения основных функций в узлах
аппроксимирования
X
0
я/3
я/2
2я/3
я
2
Фо (х)
1
1
1
1
1
Ф,М
1
1/2
0
-1/2
-1
Ф?М
1
1
1
1
1
5
Фо (х) <р, (х)
1
1/2
0
-1/2
-1
0
ф?М
1
1/4
О
1/4
1
2,5
Таблица 4а
Вспомогательные вычисления
для нормальной системы
способа наименьших квадратов
X
0
я/3
л/2
2я/3
IX
2
1
8/9
3/4
5/9
0
Их) (р„ (*)
1
8/9
3/4
5/9
0
115/36
f(x) ф, (х)
1
4/9
0
—5/18
0
7/6
Отсюда находим:
(Фо, Фо) = 5, (/, фо)= 115/36,
(Фо. <Pi) = 0, (f, q>0=7/6.
Следовательно, система для определения коэффициентов с0 и с-± имеет вид
115 25с _7_
36 6
23 7
откуда с„ = т=-=^ 0,64; с1 = т= = 0,47. Таким образом,
об 15
Q (jc)=0,64+0,47cosa:.

§ 5] ФУНКЦИИ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ТОЧЕЧНОМ МНОЖЕСТВЕ 27
§ 5. Функции, ортогональные на точечном множестве
Если степень аппроксимирующего полинома сравнительно велика,
то вычисления по способу наименьших квадратов становятся громозд-
громоздкими. В этом случае иногда выгодно использовать новый метод
построения аппроксимирующего полинома, основанный на понятии
ортогональных функций.
Определение 1. Функции (р(х) и ty(x) называются ортого-
ортогональными на множестве точек Х—{хй, xlt х2, ..., хп}, если
Например, функции ф(л;) = 3л;2— 15л; -\-\0 и ty (x) = 2х -\- 5 орто-
ортогональны на системе точек xl = i (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5). В самом
деле, так как
ф@)=10, ФA)= 2, ФB)=—8, ФC)=-8, ФD)=-2,
ФE) = 10,
Ч>@) = 5, 4|зA)=—3, VB) = —I, i|?C) = lI \feD) = 3, ij5E) = 5.
то
5
2 Ф (*,.) ч> (*,.) = о.
(=0
Система функций {ф^(л;)} называется ортогональной на данном
множестве X, если функции системы попарно ортогональны между
собой на этом множестве X.
Очевидно, функция ср (л:) обращающаяся в нуль в точках х0,
хг, ..., хп, ортогональна на этом множестве точек к любой другой
функции. Поэтому всюду в дальнейшем будем предполагать, что
2 ф2 (*,-) > о,
1 = 0
т. е. не все точки xt (г = 0, 1, 2, ..., п) являются нулями рас-
рассматриваемых функций ф (л:).
Определение 2. Назовем величину
нормой функции ф (л:) на множестве X.
Если система {фА(л;)} ортогональна на множестве Хм для всех
k выполнено равенство
||ф*<*)||=1,
то такая система функций называется ортонормированной.

28 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Легко видеть, что если система функций {ф^я)} ортогональна
на множестве X и.не содержит функций с нулевой нормой, то си-
система функций {фй (х)/\\ (pfe \\х) — ортонормированная на X.
Определение 3. Функции fk(x) (fe = O, I, 2, ..., т) назы-
называются линейно независимыми на множестве Х = [х0, х1: Х2, . . ., хп),
если они определены на этом множестве и из равенств ао/о (х,) -\-
+ a1f1(xl)+ ...+aJm{Xi) = 0 (г = 0, 1, 2, . .., п) следует, что
все постоянные а^ = 0 (& = 0, 1, 2, ..., т). В противном случае
функции /к (х) называются линейно зависимыми на X.
Лемма. Функции (pk (x) (k = 0, 1, 2, ..., /и), ортогональные
на множестве Х*={х0, хх, х2, ..., хп) и имеющие ненулевые нор-
нормы, линейно независимы на этом множестве.
Доказательство. Пусть
а„Фо (*,-) + «1Ф1 (*,-) + <*2ф2 (Xi) +...+ аифи (х{) = 0 A)
(i = Q, 1, 2, ..., п).
Умножая обе части равенства A) на <р0 (xt) и суммируя по всем xh
получим
и0 2 Фо (*,) + «1 2 Ф1 (*/) Фо (*,•) + • ¦ •
...+оя2ч>-(^)Фо (¦«,¦) = 0- B)
1 =а
В силу ортогональности функций <fk(x) (k = 0, I, ..., /и) на мно-
множестве X все суммы в равенстве B), начиная со второй, равны нулю.
Поэтому
а0 2 Фо (*<) = 0. C)
1=0
Так как мы предполагаем
то иа равенства C) имеем а0 = 0.
Аналогично доказывается, что ak = Q {k = 0, I, 2, ..., п).
Таким образом, функции {ф^ (х)} линейно независимы на множе-
множестве X.
Замечание. Понятие линейной независимости функций легко
переносится на случай системы функций {fk{x)\ (k = 0, I, 2, ..., m),
определенных на конечном или бесконечном промежутке а < X < Ь.
А именно, функции {Д (л:)} линейно независимы на (а, Ь), если
тождество
m
k-0

§ 5] ФУНКЦИИ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ТОЧЕЧНОМ МНОЖЕСТВЕ 29
имеет место лишь тогда, когда а0 = ах -— а2 = . . . = ат = 0. Оче-
Очевидно, если функции fk (х) (& = 0, 1,2, . . ., т) линейно независимы
на некотором точечном множестве Ха{а, Ь), то они будут также
линейно независимы на промежутке (а, Ь).
Рассмотрим систему полиномов
Р0(х), Р^х), ..., Рт(х), D)
ортогональных на данном множестве Х={х0, хг, ..., хп}, т. е.
2 Pj (xt) Pk (xt) = 0 при j ф ft, E)
1=0
и таких, что
1=0
Будем предполагать, что индекс полинома Р;(х) в точности соот-
соответствует его степени.
В силу леммы полиномы Pj(x) (j=0, I, 2, .. ., т) линейно
независимы на X и, следовательно, линейно независимы также на
интервале (— оо, оо). Поэтому любой полином Qm{x) степени не
выше т может быть представлен в виде линейной комбинации поли-
полиномов E), т. е.
Qm (х) = Ь0Ра (х) + btPy <*)+...+ ЬтРт (x), F)
где b0, blt ..., bm — некоторые постоянные числа. Это представле-
представление называется разложением полинома Qm(x) по системе D). Коэффи-
Коэффициенты Ьй, bv ..., bm разложения F) могут быть найдены путем
последовательного деления.
Пример 1. Полином Qm(x) = x3 разложить по системе функций
Ро(*)=1, Р1(х) = х—1, Рг(х)=х*—х, Р3(х)=х*—х*.
Решение. Деля хЛ на я3—х2, имеем
X3=l(x3_xi)+Xt4
Далее, разделив остаток х2 на хг—х, получим
х2= 1 (х2— х) + х.
Наконец, производя деление нового остатка х на х — 1, находим
jt=l(>;-l)-(-l.
Таким образом,
*— х) + 1 (х—1
В случае, если полиномы Pj{x) {j=0, I, ..., m) ортогональны
на множестве точек X, можно дать явные формулы для коэффициен-

30 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. [
тов b0, bv ..., Ът разложения F). Для этого умножим тождество F)
на полином Pk (х) (k^.m) и просуммируем полученное равенство по
системе точек х0, хъ ..., хп. Тогда
o i = о i=o
n m
• • • + bk % P\ (*,) + ... + bm 2 Pm (*,-) Я, (л:,).
1=0 1=0
Отсюда, учитывая условия ортогональности E), находим
и, следовательно,
п
= °- !> 2- •••'
Коэффициенты #ft (k = 0, I, 2, ..., /и), вычисленные по формулам G),
называются коэффициентами Фурье полинома Qm (x) относительно
данной системы ортогональных на X функций Pk(x) (k = 0, I,
2, ..,,m). Если эта система ортонормирована на X, т. е.
п
2я|(*,-) = 1 (А = 0, 1, 2, .... да),
1 = 0
то формулы G) принимают более простой вид:
**= ^QmMPkiXi) (ft = 0, 1, 2, ...,»). G')
1 = 0
Пример 2. Полиномы Ро (х)= 1, Рх (х) = 2х —5 и Ра (*) = 3х2—15х+10
ортогональны на системе точек jco = 0, x1=l, jc2 = 2, ж3=3, х4 = 4 п х5 = 5.
Разложить полином
Q2 (x) = x3
по этой системе.
Решение. Полагаем
Запишем результаты вычислений в виде таблицы 5 и таблицы 5а.

§ 5]
ФУНКЦИИ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ТОЧЕЧНОМ МНОЖЕСТВЕ
Таблица 5
Значения ортогональных полиномов Pk (х) (я = 0, 1, 2)
и их квадратов Р\ (х) в узлах аппроксимации
31
X
0
1
2
3
4
5
р„«
1
1
1
1
1
1
Pi«
-5
—3
—1
1
3
5
р. <*)
10
2
-8
—8
—2
10
1
1
1
1
1
1
6
Р\(х)
25
9
1
1
9
25
70
р\ W
100
4
64
64
4
100
336
Таблица 5а
Таблица для определения коэффициентов
Фурье полинома <?2 (¦*)
X
0
1
2
3
4
5
2
6
4
4
6
10
16
Р„(*) <?.<*)
6
4
4
6
10
16
46
Pi («) Q2 <*)
-30
—12
—4
6
30
80
70
р2(*> ел*)
60
-8
-32
—48
—20
160
112
Отсюда согласно формуле G) находим: 60 = 46/6 = 23/3, Ь1 = 70/70=1,
= 112/336=1/3. Следовательно,
1 „ . ,
Как легко проверить, тот же результат мы получим, используя метод по-
последовательного деления.
Вернемся к задаче аппроксимирования заданной функции y=f(x)
на множестве точек Х={х0, xt, ..., хп] полиномом данной степе-
степени т (т^.п).
Искомый полином Qm(x), для которого квадратичное отклонение

32 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
будем искать в виде обобщенного полинома
Qm (*) = С0Р0 (X) + CiPx (X) + . . . + СтРт (X),
где полиномы [Pk(x)} (k = Q, I, 2, ..., т) ортогональны на систе-
системе точек X. Отсюда
л
1 = 0
Из необходимого условия минимума Sm для определения коэффици-
коэффициентов ck(k — O, 1, 2, ..., т) имеем систему /и-}«-1 уравнений
т ^г- = У, \-с°р° (*<¦) + cipi (*«) + • • • +
1=0
-\-СтРт(Х;) f{Xi)]Pk (X;) = 0 (ft = 0, 1, 2, ..., /Я)
или
1=0 1=0
ft = 0, 1, 2, ..., /я).
В силу ортогональности системы {/'у(лс)} (j=0, I, ..., /и) имеем:
S Я(^)ПК) = 0 при
1 = 0
и, кроме того,
1 = 0
Следовательно,
п
4 (ft = 0, 1, 2, ..., m). (8)
Таким образом, сА являются коэффициентами Фурье функции f(x)
относительно ортогональной системы [Pk (x)} на X.
Для доказательства того, что значения с, дают минимум величи-
величине Sm, составим второй дифференциал. Так как
i) Pk (*/) J,

§ 5] ФУНКЦИИ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ТОЧЕЧНОМ МНОЖЕСТВЕ 33
то
при k
Я2« [ 0 "Р
° ^t = I п
дскдс/ 22 P\(xt) =2||PJ]2>0 при k=j.
Следовательно,
На основании известной теоремы математического анализа полу-
получаем, что при значениях cft, определяемых формулой (8), величина Sm
имеет минимум. Так как этот минимум единственный, то нетрудно
видеть, что он является наименьшим значением для Sm при фиксирован-
фиксированном т. Полином с коэффициентами Фурье называется полиномом
Фурье для функции /(х).
Таким образом, можно сформулировать следующий вывод:
Обобщенный полином фиксированного порядка т с коэффициента-
коэффициентами Фурье данной функции f(х) на множестве Х={х0, Xlt ...,xn}
обладает наименьшим квадратичным отклонением от этой функции
на X по сравнению со всеми полиномами того же порядка т.
Вычислим величину Sm для случая, когда ek являются коэффици-
коэффициентами Фурье. Имеем
S» = 2 № (*,)+ с^ (*,-) +...+етРя (*,)-/(*,)]« =
1 = 0
= 2 [clPl (*,-) + с\Р\ (*,) + ... + су» (
+ ...+««/(*,-) Я, (
П
+ 22 [^1^0 (х,) Рг (*,) + с0с2Р0 (дг,.) Рг (х,) +
+ ...+ состРо (х,) Рт (X;) +... + стст_1Рт (*,.) Рт_х (ж,)
В силу ортогональности системы [Я^(л:)] выполнены соотношения
п
2 ЯА (*,) Р, (*,) = 0 для А; =± /.
'=0
Кроме того,
Б. П. Демидович и др.

34 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
или
2/(*,.) Рк (*,) = <*2 Pi (*,.) = ck || Pk И*..
1=0 t=a
Поэтому
Sn.= cl\\f}o\\*x + cl\\P1\\*x+...+c>m\\Pm\\*x+fiP(xi)-
1 = 0
O/.2 II p 112 9л2 II P ||2 Ол2 II p ||2
^Co II M) llx ^i'Im Их • • • ZCm II ^m II л ~
— II /ЧлЛ II2 c2 II P II2 e2 II P II2 r2 IIP lla
или, в сокращенной записи,
В частности, если система {Рк(х)} ортонормирована, то \\Pk \\x = 1
и, следовательно,
где e4 = S
1=0
§ 6. Полиномы Чебышева, ортогональные на системе
равноотстоящих точек
Пусть дана система я+1 равноотстоящих точек ЛГ = {х0, xlt..., л;п}
с шагом h. С помощью линейного преобразования t= (х—хо)/к
переведем эти точки соответственно в ^ = 0, 1, 2, ..., п.
Полиномы P0,n(t), P\,n(t), ..., Pm,n(t) (m^.n) соответствен-
соответственно степеней 0, 1, ..., т, ортогональные на множестве точек {0, 1,
2, ..., п) и отличные от нуля на этом множестве, называются орто-
ортогональными полиномами Чебышева.
Заметим, что в обозначении полинома Чебышева Pk,n(i) первый
индекс k представляет собой степень полинома, а второй индекс
п—-число точек, уменьшенное на единицу.
Полиномы Чебышева могут быть заданы формулой [3]:
s=0 I1)
= 0, 1, 2, .... да),
где fs] = t (t — 1) ... (t — 5+1) и nlsl = n (л — 1) ... (л — s+l)
соответствующие обобщенные степени.

§ 6] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА 35
Запишем несколько первых ортогональных полиномов Чебышева:
р
B)
Возвращаясь к прежней переменной л:, получим систему полиномов
(А = 0, 1, .... т;
ортогональных на множестве .АГ.
Система полиномов {^.„U)} не является нормированной. Можно
показать [3], что
Разделив многочлены /^,„@ на их нормы, мы получим нормирован-
ную систему ортогональных полиномов Чебышева
Пример 1. Получить систему полиномов до третьей степени включи-
включительно, ортонормированных на системе точек хо = 1/2-, х1=^\; л:а=3/2', хЛ=2\
5/2 2
Решение. Полагая
j х—ха _
переведем точки xi в целочисленные точки t — Q, 1, 2, 3, 4, 5. Теперь
в формулах A) принимаем п = 5.
Имеем:
Р35 (/) = 1— 2,4t+ l,5t (t— 1) —0,333/! (/— 1) (/ — 2).
Нормы функций Pftl5(/)(fe = 0, 1, 2, 3) вычисляем по формуле C)i
ЦРо,5 @11 = V*. \\Рх,ъ @11 = |/ 5Т§" = ]/у '
2*

36 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Разделив полиномы Pft6 (t) на их нормы и переходя от переменной t к пе-
переменной х, получим 'нормированную систему ортогональных полиномов
Чебышева:
*•.¦<" ?¦ h'M= Vvi ['-"¦"(*-r)]-
-т) {<-?
-¦~('Ч) (-4) (-!)]¦
Если функция У=-/(х) задана на множестве узлов X =
= [х0, xlt . .. , хп\ с шагом А, то наилучший квадратично аппрок-
аппроксимирующий ее на X полином степени т будет иметь вид
где
= 0, 1. 2,...,») F)
¦— коэффициенты Фурье функции f(x) относительно системы ортого-
ортогональных полиномов Чебышева Pkltl({x — xo)/h) (fe = 0, 1, 2, ... , m).
Из формул E) и F) следует, что полином Qm (x) не изменится, если
ортогональные полиномы Чебышева Pk,n((x — xQ)/h) (й = 0, 1, 2,..., /м)
умножить на некоторые постоянные множители, отличные от нуля.
Этим обстоятельством пользуются при вычислениях, чтобы получать
целые значения модифицированных ортогональных полиномов Чебы-
Чебышева в узлах аппроксимирования.
В частности, если воспользоваться нормированными ортогональ-
ортогональными полиномами Чебышева ^,„@. т0 будем иметь
где
«*= 2/(*/)?*.,, С") D = 0, !,...,«). (8)

§ 6]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА
37
Пример 2. Получить по способу наименьших квадратов полином
пятой степени, приближенно представляющий табличную функцию [3]:
X
У
1
0
,300
0
1
,3
245
0
1,
,6
095
0
0,
,9
855
1
0,
,2
514
1
0,
,5
037
1
—0
,8
,600
2
— 1
,1
,295
2
-1,
,4
767
2
— 1
,7
,914
Решение. Здесь т = 5, /1 = 9. Полагаем * = */0,3.
Для удобства выкладок воспользуемся полиномами
отличающимися от ортогональных полиномов Чебышева Р^„A) лишь число-
числовыми множителями pftn= РАи @), подобранными так, чтобы для целочислен-
целочисленных значений аргумента t значения Рц„(О были также целочисленными.
Полагаем
2
где
с 9 9
= ~, 2к= 2 2/i'Pft,э('). sfe= 2 Р*. 8 (')• Значения
S/j 1 0 ' 1 0
полиномов
ft, э@ приведены в приложении 1.
Вычисления расположим так, как показано в таблице 6.
Отсюда аппроксимирующий полином имеет вид
О,005Р'м(О-0,002Рм(О
Q @ = — 0,053+ 1,818?! „ Щ — 0,342Р2 9 (*) — 0,210Ра 9 () +
+ 0',090P4i9(/) — 0,
Пример 3. По способу наименьших квадратов получить полином
третьей степени, аппроксимирующий функцию у = ^(л), заданную таблицей
X
У
0
0
0
0,
05
040
0
0,
,10
080
0,
0,
15
119
0
0,
,20
158
0
0,
,25
197
0
0,
,30
236
0
0,
,35
274
0
0,
,40
311
0
0,
,45
347
0
0,
,50
383
Решение. Искомый полином ищем в виде
Qa (*)= Q* (t) = cBP0 (t)-\-c P tt)-\-c P n @"т~сзРз @, (9)
где t=*(x— xo)//i = a;/O,O5 = 2Ox и Pftl0 (t) (/г = 0, 1, 2, 3) — полиномы Чебы-
шева D), ортонормированные на множестве точек |0, 1, 2, ... , 10J-.
Коэффициенты с0, cv c2 и с3 в равенстве (9) находим по формуле
ю
Ся=2^Я1ю@ («г =0,1,2,3), A0)
1=0
ГДе У{=-

38
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
(ГЛ. I
я
d
ва
с:
«о
га
о
о.
о
С
1
ш
—
?
<0.
-
@.
t %
с
о
о
о
1
310
СО
со
см
СО
СП
о
о
со
•""'
о
о
СП
о
с
+
236
¦ч>
1
<м
CN
см
с^
in
со
о
-
со
о
о
1
098
1—'
я
1
_
1
in
о
СО
о
СМ
со
о
о
1
ОС
to
оо
о
СО
со
1
со
1
со
Щ
in
00
о
СП
о
СО
о
514
о
to
СО
~^
CN
1
1
о
сэ
CS
о
о
+
017
о
СО
1
00
¦ '
см
1
1
со
о
о
Щ
ш
о
о
+
ч.
002
о
1
со
со
со
1
со
1
со
CD
1
со
to
со
о
о
263
„
1
я
_
1
СП
СМ
7
CN
со
о
о
+
793
7
г?
см
1
2:
СМ
1
to
7
CM
00
«о
о
о
1
908
7
СО
1
00
¦ '
см
1
СО
1
СП
7
см
СП
г-
см
со
7
ю
ю
СП
со
1
1
(^
СП
-ф
1
см
о
оо
to
СО
о
СО
о
1
780
о
to
in
CN
о
in
00
00
CM
со
о
со
со
о
< м*
см
о
1
ю
о
о
m
?
о
1
1
t^
in
о
о
1
<м
о
(М
о
СО
о
с
со"

§ 6]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА
39
Значения ортонормнрованных полиномов Чебышева в целочисленных
точках A( = 0, 1, 2, ... , 10) берем из соответствующих таблиц*). Выпишем
эти значения (таблица 7) для ге= 10 и т= 1, 2, 3, оставляя в них 4 знака после
запятой (таблицы десятичные). Построение аппроксимирующего полинома
приведено в таблице 7а.
Таблица 7
Значения ортонормированных полиномов Чебышева
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,4767
0,3814
0,2860
0,1907
0,0953
0,0000
—0,0953
—0,1907
—0,2860
—0,3814
—0,4767
?2,10 (О
0,5121
0,2048
—0,0341
—0,2048
—0,3073
—0,3414
—0,3073
—0,2048
—0,0341
0,2048
0,5121
0,4580
—0,0916
^0,3359
—0,3516
—0,2137
0,0000
0,2137
0,3516
0,3359
0,0916
—0,4580
Таблица 7а
Построение аппроксимирующего полинома с помощью
ортонормированных полиномов Чебышева
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y=f(t)
0
0,040
0,080
0,119
0,158
0,197
0,236
0,274
0,311
0,347
0,383
2,Н5
i/?i,io«>
0
0,0153
0,0229
0,0227
0,0151
0
—0,0225
—0,0523
—0,0896
—0,1323
-0,1826
—0,4033
УР-ьлй О
0
0,0082
—0,0027
—0,0244
—0,0486
—0,0673
—0,0725
—0,0561
—0,0106
—0,0711
0,1961
—0,0066
^зло О
0
—0,0036
—0,0269
—0,0418
—0,0338
0
0,0504
0,0963
0,1045
0,0318
—0,1754
0,0014
у
0
0,0399
0,0796
0,1191
0,1592
0,1970
0,2352
0,2727
0,3097
0,3406
0,3708
0
0,0001
0,0004
0,0009
—0,0012
0,000
0,0008
0,0013
0,0013
0,0194
0,0092
*) Л. П. Грабарь, Таблицы полиномов Чебышева, ортонормирован-
ортонормированных на системе равноотстоящих точек. Вычислительный центр АН СССР,
Москва, 1965.

40 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Отсюда, учитывая, что POiW(t)^l и Р0]10 (*)=» 1/ЦРМ0 (<)||
будем иметь
л л ю
1 = 0 1=0
и, следовательно,
QI(O = 0,1950-O,4033POiM(O-0,0066PliM(O + O1O014PIiU(O. (И)
Так как
Рь ,„ (О
rfc.l0 V'J — rip II •
где
||PliU|| = 2,0976, ||PiiW||= 1,9528, ||P3il0i|=2,1833,
то имеем
Q3 @ = 0,1950—0,1919P119 (t) —0,0034P210 (/) + 0,0006P3ie @ =
=0,1950-0,1919^1-^-0,0034 fl —~+ *(t~l
+0.0006 [i-| + 'J?z^-'<'
Полагая < = 20л;, окончательно получаем
В последних двух столбцах таблицы 7а приведены значения полинома
y = Q3(t) в точках / = 0, 1, ... , 10, вычисленные по формуле A2), и соот-
соответствующие разности e = j/—у.
§ 7. Интегральное квадратичное аппроксимирование
функций на отрезке
В интегральном способе наименьших квадратов за меру отклоне-
отклонения функции /(х) от полинома
на отрезке [а, Ь\ принимается величина
ь
Очевидно, 1т есть функция коэффициентов с„, с1, ... , ст. Для наилуч-
наилучшей квадратичной аппроксимации эти коэффициенты нужно подобрать

§ 7]
ИНТЕГРАЛЬНОЕ КВАДРАТИЧНОЕ АППРОКСИМИРОВАНИЕ
41
так, чтобы 1т принимало свое наименьшее значение. Отсюда полу-
получаем систему уравнений
0)
или, учитывая, что
ь
= \
xk dx =
i Л 1 О
«, 1, ^, . . • ,
будем иметь:
Slc0 + s.ic1 +
Ь
= J
dx,
= J Xmf(X) dX.
B)
Нетрудно убедиться, что система B) имеет единственное решение.
Доказывается [2], что решения с0, clt ... , ст дают наименьшее зна-
значение величине 1т.
Пример 1. Найти наилучшую квадратичную аппроксимацию посред-
посредством полинома второй степени функции I (х) = ]/~х на отрезке [0, 1].
Решение. Так как
то коэффициенты полинома Q (х) = с„ + сгх-f-ca*2 определяются из системы
1 1 2
1
1
1
2
2

42 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Отсюда со = 6/35, е1 = 48/35, са=—4/7, и, следовательно (рис. 3),
Пример 2. Функцию 3* квадратично аппроксимировать на отрезке
[—1, 1] полиномом третьей степени.
Решение. Полагая Q3(x) = c0-{-c1x-\-c2x2-\-c3x3, для коэффициентов
полинома Q3 (х) получаем систему уравне-
НИИ
±с,+4- с„= \ x-3xdx
Рис. 3.
— 1
1
3= Г x3-3xdx
-1
или
6со + 2с2 =7,2819, 2^+1,2^ = 2,4739, 2со+ 1,2с2 = 2,7779, 2,8^ +2с3 = 3,5366.
Отсюда находим: со = О,9944, с1= 1,1000, с2 = 0,6576 и с3 = 0,2335.
Следовательно,
Q (х) = 0,9944 + 1,1000* + 0,6576х2 + 0,2335х3.
В общем случае данную непрерывную функцию f(x) можно ап-
аппроксимировать на конечном отрезке [а, Ь] с помощью обобщенных
полиномов
cl<Pl (x)+...+ Cm<fm (X),
где {фДл;)} — заданная система непрерывных функций и ci — посто-
постоянные коэффициенты.
Согласно способу наименьших квадратов коэффициен-
коэффициенты с,- (г = 0, 1, 2, ..., от) подбираются так, чтобы квадратич-
квадратичное отклонение полинома Q(x) от функции f(x), равное
ь т
= S 12
имело наименьшее значение.
Для нахождения минимума функции /m = /m(c0, cx,
известно, нужно составить все частные производные
д-1г (i = 0, 1, 2, .... от)

§ 8]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ПРОМЕЖУТКЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
43
и приравнять их нулю. Это дает систему для определения коэффи-
коэффициентов с0, с1? ..., с„:
Ъ т
Ф1
b m
2 дс,
Вводя сокращенные обозначения
ь
C)
систему C) можно записать в следующем виде:
со(фо. Фо) + С1(фц Фо)+---+С„(ф„. Фо) =
со(фо. Ф1) + С1(ф1- Ф1) + • • • + с„ (Ф„, Ф1> =
Фо).
D)
ф1, ф„)+...+С„(фп, ф„) = (/, ф„).
Доказывается [2], что если функции ф0 (х), фх (х), ..., <р„ (х)
линейно независимы на [а, Ь], то система D) имеет единственное
решение, которое соответствует наименьшему квадратичному от-
отклонению 1т.
Заметим, что неудобством интегральной квадратичной аппрокси-
аппроксимации является необходимость вычисления определенных интегралов,
которые могут быть весьма сложными и даже не выражаться через
элементарные функции. В этом смысле способ точечной квадратич-
квадратичной аппроксимации предпочтительнее.
§ 8. Ортогональные на промежутке системы функций
В случае, когда степень аппроксимирующего полинома велика,
метод отыскания такого полинома, указанный в § 6, становится
громоздким и его заменяют другим методом, основанным на идее
ортогональных функций.
Определение. Система интегрируемых функций
Фо(*). Ti(*). ••¦- ф„(*) 0)

44 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
называется ортогональной на [а, Ь], если
*
(Фи. Фп) = S Фи (*) Ф« (X) dx = ° ПРИ ГПфП.
а
Число
2» (л:) rfJt
называется нормой функции фт (ж) на отрезке [а, А].
Если нормы всех функций системы A) равны единице, то эта
система называется ортонормированной (ортогональной и нормиро-
нормированной). Для ортонормированной системы выполняется условие
ь
где бтп—символ Кронекера, т. е. Smn = 0 при т-фп; 6тп=1 при
m = л.
Очевидно, всякую систему, не содержащую функций с нулевой
нормой, можно нормировать. Для этого достаточно каждую функцию
разделить на ее норму. Система функций
уЬ (х\ - фо {х) ¦ ih (х\ ¦ ф1 {х) - • ib (х)- ф"(х) ¦
нормирована, так как
Пример 1. Пронормировать систему функций
1, х, х* хт B)
ваданную на отрезке [0,1].
Решение. Имеем
1>(*) 1
I/ \x*mdx V 2m+l
ladx
0
m (m=l, 2, ...).
2/И+1
о
После нормирования система B) имеет вид
1, УЪс, /л2 V

§ 8] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ПРОМЕЖУТКЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ 46
Если система функций {ф^л;)} ортогональна на отрезке [а, Ь], то
задача о квадратичной аппроксимации данной непрерывной функции
f(x) на заданном отрезке [а, Ь] с помощью обобщенного полинома
Qm (х) = софо (х) + c^j (х)+...+ ступ (х)
получает простое решение.
В самом деле, из необходимого условия минимума интеграла
ь
[^ci^i{x)-f{x)Ydx C)
а < = о
для определения коэффициентов с,- (i = 0, 1, 2, ..., /я) имеем сис-
систему т-\-\ уравнений
Ь т
Yw=\ ГИс<Ф<(^-/(^Iф/(^^ = О G=0, 1, 2,..., т).D)
1 а ' = »
После несложных упрощений система D) принимает вид
ft b
2 с^ф,(х)ф/(*)</х=5/(дг)ф/(ж)</х. E)
' — Од а
В силу ортогональности системы {ф,(лг)} выполнено равенство
Ф,- (лг) <ру. (лг) йГлг = 0 при 1
Поэтому все слагаемые левой части уравнений E), за исключением
у-го, обращаются в нуль. Следовательно,
ь ь
С/ $ Ф/ (х) dx=\f (лг) фу. (д:) их.
а а
Предполагая, что среди функций ф,-(дг) (*' = 0, 1, 2, ..., т) нет
функции с нулевой нормой, т. е.
ь
получим окончательно
$»?'
G=0, 1, 2 т). F)

46 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
В знаменателе формулы F) стоит квадрат нормы функции
(ру(х), т. е.
ь
1(х\®, (х) dx
В случае ортонормированной системы коэффициенты вычисляются
особенно просто:
(у=0, 1, 2, ..., т). (8)
Коэффициенты Су, определяемые формулой G), называются ко-
коэффициентами Фурье функции f(x) относительно заданной ортого-
ортогональной системы {ф,-(лг)}.
Для доказательства того, что значения с^ дают минимум интег-
интегралу /т, составим второй дифференциал d2fm. Из формулы D) имеем
1 З2/ С
?] {x)<?{x)dx0 ПРИ
Следовательно,
] + 2 X ^J- dc//Cfc = 2 X II Фу (*) II2 ^? > 0
при
1 = 0
На основании известной теоремы математического анализа полу-
получаем, что при значениях Cj, определяемых формулой G), интег-
интеграл 1т имеет минимум. Более того, так как интеграл 1т имеет един-
единственный минимум, то значение Iт, соответствующее коэффициентам
Фурье с^ является наименьшим в пространстве коэффициентов
с0, сх, .. ., ст.
Таким образом, можно сформулировать следующий вывод: обоб-
обобщенный полином с коэффициентами Фурье данной функции обла-
обладает наименьшим квадратичным отклонением от этой функции но
сравнению со всеми другими обобщенными полиномами того оке
порядка m (ср. § 5).

§ 8] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ Н\ ПРОМЕЖУТКЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ 47
Дадим оценку отклонения C) для случая, когда с,- являются
коэффициентами Фурье. Имеем
А. = $[/(*)-2 elVt(x)Ydx =
а '=«
ь т т
= J [Г (х) - 2/ (х) 2 с,.Ф/ (*) + 2 с?ф? (л;) +
+ 2 УедН
s
Переходя от интеграла суммы к сумме интегралов, получим
* т * т ь
(=0 a 1=0
m *
Так как
ь ь
а а
И
6
: = 0 при
то после приведения подобных членов в формуле (9) имеем
ь т ь
~2 с? j фН-^)^ A0)
1 = 0 a
или, в терминах нормы функций,
т
A* = [|/(*)II2-S с?|1ф,И1|я. (П)
1 = 0
Так как /т;з=0, то из формулы A1) получается так называемое
неравенство Бесселя
A2)
В частности, при m—>оо получаем

48 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Если система ф0 (х), фх (х), ..., <fm(x), ... ортонормирована,
то формулы A1) и A2) упрощаются. В этом случае
= 0
Отметим, что обобщенный полином Qm (x) с коэффициентами
Фурье обладает важными свойствами:
1) при увеличении числа слагаемых т младшие коэффициенты с;-,
как следует из формулы G), остаются неизменными, т. е. при до-
добавлении новых членов проделанная прежде работа сохраняется
полностью;
2) при увеличении т квадратичная погрешность
ь
а
в силу формулы A0) монотонно убывает в широком смысле, т. е.
Л ^'а s^ ¦ • • ^'iB^An+i ^ • • ¦ Таким образом, присоединение
новых слагаемых увеличивает точность аппроксимации.
Аналогичные свойства для полиномов Фурье имеют место также
в случае точечной аппроксимации.
Если система ортогональных функций {ф,(*)} такова, что для
любой непрерывной функции f (х) справедливо соотношение
lira /я=0,
т-юе
то эта система называется полной. В противном случае система
называется неполной.
Предполагая, что система {ф(- {х)} полная, и переходя к пределу
в равенстве A1), будем иметь
)II2-Sc?II<p.-(*)II'. T-e-
1=0 1=0
В частности, если полная система ортонормирована, то
Равенство A5) называется равенством Парсеваля или условием.
полноты. Если с,- рассматривать как компоненты функции f(x) отно-
относительно ортонормированной системы {ф;(^)}, то можно сказать,
что равенство Парсеваля A6) является аналогом теоремы Пифагора
в функциональном пространстве.

§ 9] ПОНЯТИЕ О ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ 49
§ 9. Понятие о гармоническом анализе
В качестве примера ортогональной системы рассмотрим тригоно-
тригонометрическую систему
1, sin*, cos x, sin 2л:, cos 2x, ..., sinnx, cosnx, ... A)
Покажем, что эта система ортогональна на любом отрезке длины 2я,
например на отрезке [ — я, я]. Для этого проверим обращение в нуль
интегралов:
я
I. \ sin mx sin nx dx, если т и я— целые и тфп.
-я
я
II. \ cos mx cos nx dx, если т и я— целые и тфп.
-я
л
III. \ cos mx sin nx dx для всех целых тип.
-л
Действительно,
л
, С . . . 1 fsin (m—п) х sin (m-\-n)xl я
I. \ sin mx sin nx dx =-тг — , =0.
J 2 L т — п т-\-п J -я '
-я
если т и л — целые и тфп.
я
,. (* ,1 fsln (m-(-n) jc , sin (m — n) x"| я
II. \ cos mx cosлл:rfjc = -^ \—K-~——+¦—5 — =0
J 2 L m-\-n m — n J _„
-я
при тфп.
Интеграл III обращается в нуль на отрезке [ — л, л] в силу
нечетности подынтегральной функции. Полагая во втором и третьем
интегралах т = 0, получаем
л я
\ 1 ¦ cos nx dx = 0, \ 1 ¦ sin nx dx = 0.
-я -я
Итак, тригонометрическая система A) ортогональна на отрезке
[ — л, я], а следовательно, и на любом отрезке [а, 2л-)- а].
Вычислим нормы функций, входящих в систему A). Имеем:
| = 1/ \\adx = V2n, || sin nx || = l/ \
-IT -
1 = 1/ f cos2/ZArd* = K~" (
sin2яд;dx—y л, B)
: = 1, 2, ...).

50 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Пусть дана непрерывная периодическая функция с периодом 2л.
Составим тригонометрический полином
C)
k=l
слагаемые и0 = ao/2, uk = ak cos kx -\- bk sin kx (k=\, 2, ...) обычно
называются гармониками.
Для того чтобы квадратичное отклонение полинома Qm (x) от
функции f (х) было минимальным, коэффициенты а0, ak, bk должны
быть коэффициентами Фурье функции f(x) относительно тригономет-
тригонометрической системы. Отсюда на основании § 8 (формула G)), учитывая
соотношения B), получаем
л я
ak = — \ f{x) coskxdx, bk = — \ f(x) sinkxdx D)
-я -л
(fe = 0, 1, 2, ..., m).
Коэффициенты ak, bk называются тригонометрическими коэффи-
коэффициентами Фурье функции f(x), а соответствующий тригонометриче-
тригонометрический полином C) — тригонометрическим полиномом Фурье. Свободный
член записывают в виде ао/2 для того, чтобы коэффициент а0 по-
получался из первой формулы D) при k — Q.
Из формул D) следует: если функция /(х) четная, то коэффи-
коэффициенты
bk = 0 (k = 1, 2, , .., m),
ak = -^Xf(x) coskxdx (k = 0, 1, 2, ..., m), ' ^ *
0
причем
m
r\ i ~\ _ ao i V л
Если же f(x) — нечетная функция, то
ak = 0 (A = 0, 1, 2, ...,/»),
п
*А = — \f(x)sinkxdx (k=\, 2, ..., m),
о
причем
тп
Q~(x)= У. bbsinkx.

§ 9]
ПОНЯТИЕ О ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
51
Подставляя в формулу C) коэффициенты D), при т—»оо получаем
для функции f(x) ее тригонометрический ряд Фурье
Y +
(ak cos kx + bk sin kx).
Представление функции тригонометрическим полиномом Фурье или
тригонометрическим рядом Фурье называется гармоническим анали-
анализом. В простейших случаях коэффициенты тригонометрического по-
полинома Фурье данной функции непосредственно вычисляются по
формулам D).
Если же вычисление интегралов D) громоздко или функция /(х)
задана таблично, то для вычисления коэффициентов Фурье имеются
различные приближенные способы. Один из этих способов состоит
в том, что интегралы D) вычисляются приближенно по формуле
трапеций (см. [2]).
Рассмотрим отдельно три случая.
Случай 1. Функция/(л;) — четная. Применяя формулу трапеций
к интегралам E), получаем
+f(x1)coskx1+ . ..
где X[ = ni/n {i = 0, 1, 2, ..., л).
Введя обозначения:
получим
ак = -ц (Уо
kxQ
1 cos kx1 + ... + уа cos кх„) =
G)
/ = 0
Пример 1. Построить тригонометрический полином Фурье для четной
функции, заданной следующими данными:
f.(Xi)
0
9,55
я
12
9,46
я
6"
9,25
я
т
'8,96
я
т
8,58
5я
12
8,10
я
7,59
7я
12
7,00
2п
3
6,34
Зя
Т
5,56
5я
4,80
11л
12"
4,21
я
4,00

52
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. t
Решение. В формуле G) берем д=12, иными словами, отрезок
[ — я, я] делим на 24 части. Ограничимся шестью гармониками, не считая
нулевой, т. е. примем т = 6. Все вычисления для отыскания коэффициен-
коэффициентов а/, располагаем по схеме А (таблица 8).
В строке ^записываем сумму
2
1 = 0
= ss Для k = 0, 1, 2
6
Разделив s^ на -^ = 6, получаем приближенные значения коэффициентов ак,
приведенные в последней строке схемы А.
Таблица 8
Схема А. Вычисление коэффициентов Фурье для случая
четной функции
{
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
«ft
Vi
4,78
9,46
9,25
8,96
8,58
8,10
7,59
7,00
6,34
5,56
4,80
4,21
2,00
86,63
14,44
COS*;
1
0,96593
0,86603
0,70711
0,5
0,25882
0
-0,25882
-0,5
-0,70711
-0,86603
—0,96593
—1
15,52
2,59
cos 2(,-j
1
0,86603
0,5
0
-0,5
—0,86603
— 1
-0.86603
-0,5
0
0,5
0,86603
1
—2,48
—0,41
соз Эх;
1
0,70711
0
-0,70711
— 1
—0,70711
0
0,70711
1
0,70711
0
—0,70711
— 1
1,06
0,18
cos 4j:j
1
0,5
-0,5
— 1
—0,5
0,5
1
0,5
-0,5
—1
—0,5
0,5
1
-0,25
—0,04
cos 5*i
1
0,25882
—0,86603
—0,70711
0,5
0,96593
0
-0,96593
-0,5
0,70711
0,86603
—0,25882
—1
0
0
cos 6je,
1
0
— 1
0
1
0
— 1
0
1
0
—1
0
1
0,06
0,01
Искомый полином имеет вид
Qe(x) = 7,22 + 2,59 cosx—0,41 cos 2x + 0,18 cos 3* — 0,04 cos 4x + 0,01 cos 6*.
Для проверки вычислим:
Qe@) = 7,22+ 2,59—0,41+0,18—0,04 + 0,01=9,55.
Полученный результат хорошо согласуется с заданной таблицей.
Случай 2. Функция f(x) — нечетная. В этом случае задача
нахождения тригонометрического полинома сводится к определению
коэффициентов bk (формула F)):
л
bk = -§-(" f(x) sin kxdx.

§ 9] ПОНЯТИЕ О ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
Применяя к этому интегралу формулу трапеций, получим
53
)sinkx1+... +f (x^) sin kxn_1 + ± f (х„) sin kxn],
где xi = nijn (i=0, 1, ,.., л),
Введя обозначения )>i=f(xi) (i = 0, 1, ..., л) и замечая, что
sin Алг0 — sin A.rffl = 0, получаем
ьк = -ц (У± sin kxi +Уг sin kxi + ¦ • • +Уп-1 sin kxn-i) =
п-1
1 = 1
Пример 2. Построить тригонометрический полином Фурье Qe (x) для
нечетной функции J (*), заданной табличными данными:
х(
t(*i)
0
0
я
12
—0,07
л
6"
—0,10
я
4
—0,11
л
3
0,16
5л
12
0,65
я
т
1,19
7я
12
1,55
2я
3
1,49
Зя
4
1,11
5я
6
0,58
11л
12
0,13
я
0
Решение. Все вычисления располагаем по схеме Б (таблица 8а),
аналогичной схеме А для четной функции.
Таблица 8а
Схема В. Вычисление коэффициентов Фурье для случая
нечетной функции
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
—0,07
—0,10
-0,11
0,16
0,65
1,19
1,55
1,49
1,11
0,58
0,13
—
Sin Xi
0,25882
0,50000
0,70711
0,86603
0,96593
1
0,96593
0,86603
0,70711
0,50000
0,25882
5,7066
0,952
sin 2xt
0,00000
0,86603
1
0,86603
0,50000
0
—0,50000
—0,86603
—1
—0,86603
-0,50000
-0,178
—0,030
sin 3*j
0,70711
1
0,70711
0
—0,70711
— 1
—0,70711
0
0,70711
1
0,70711
-1,5161
-0,252
sin 4дС|
0,86603
0,86603
0
—0,86603
—0,86603
0
0,86603
0,86603
0
—0,86603
—0,86603
1,1691
0,194
ain 5*j
0,96593
0,50000
—0,70711
—0,86603
0,25882
1
0,25882
—0,86603
—0,70711
0,50000
0,96593
-0,338
-0,056
sin 6xi
1
0
—1
0
1
0
—1
0
1
0
—1
0,120
0,020

64
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. I
В последней строке схемы В записаны приближенные значения коэф-
коэффициентов 6ft.
Искомый полином имеет вид
Qe (х) = 0,952 sin х—0,030 sin 2х — 0,252 sin 3x + 0,194sin Ах —
— 0,056 sin 5x + 0,020 sin 6jc.
Для проверки вычислим Qe (я/2). Имеем
Qe (л/2) = 0,952+ 0,252 —0,056= 1,148
вместо I (я/2) =1,19.
Случай 3. Функция f(x) не обладает четностью. Очевидно)
/(*) = у [/(*)+/(¦-*)] +у [/(*)-/(-*)].
причем первый член правой части четен, а второй — нечетен. Обо-
Обозначая
^(*) = у [/(*)+/(-*)] и G(*) = у [/(*)-/(-*)],
где F(х)— четная, а О(х) — нечетная функции, представим всякую
функцию f{x) в виде суммы четной и нечетной функций:
O(x).
Тригонометрический полином Фурье функции f(x) складывается
из тригонометрических полиномов Фурье функций F(x) и О(х). Но
тригонометрический полином функции F(x), содержащий лишь коси-
косинусы кратных дуг, находится по схеме А, а для функции О(х) —
по схеме Б. Таким образом, общий случай сводится к разобранным
выше.
Пример 3. Построить тригонометрический полином
1(х), заданной следующими табличными данными:
Ь (*<•)
0,04328
Пя
12
0,05613
5л
6
0,07353
Зя
4
0,09536
2я
3
0,1237
7л
12
0,1604
Фурье
я
2
0,2080
функции
5л
12
0,2698
xt
1 (*«)
я
~?
0,3535
я
~т
0,4584
я
0,5945
я
~Т2
0,7711
0
1,0000
я
12
1,2969
я
?
1,6820
я
т
2,1815
я
У
2,8292

§ 9]
ПОНЯТИЕ О ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
55
Нч)
5я
12
3,7062
я
2
4,8066
7я
12
6,2399
2я
"Г
8,0849
Зп
4
10,4860
Бп
6
13,5993
Пя
12
17,8142
к
23,1040
Решение. Определяем значения функций
[f() + t()] G ()=--
-x)] и
и результаты записываем в таблицах 9 и 9а соответственно.
Таблица 9
ч
yt
0
0
,6000
1
Значения функции F (х)
я
12
,0340
я
"
1,13825
я
т
1,31095
я
1,59135
5я
12"
1,9880
2
я
т
,5073
Ч
У/
3
7я
12
,20015
2я
3
4,1043
5
Зя
4
,29068
6
5я
6
83642
8
Пя
12
,93516
5
я
,78682
Таблица 9а
Ч
У(
0
0
,0000
0
Значения функции G
я
Г2
,2629
я
6~
0,54735
я
т
0,86155
<*)
я
1
1,23785
5я
12"
1,7182
я
"
1
У-1
3
7я
12
,03975
2я
3
3,9806
'5,
Зя
4
19532
6
5я
6
,76288
8
Пя
12
,87904
11
,53036

56 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Вычисление коэффициентов функции F (х) по схеме А дает
уао = 3,686; а1=—3,705; а2 = 1,510; а3= — 0,776;
й4 = 0,488; а5=—0,366; а„ = 0,250.
Таким образом,
Fe(jc,) = 3,686—3,705 cos х + 1,510 cos 2х —0,776 cos Зх +
+ 0,488cos4*—0,366cos5*+ 0,250 cos6*. (8)
Для функции G (х) используем схему Б и получаем:
Ь± = 3,475; Ь% =—2,699; 63 = 2,065;
&4= —1,698; 65=1.347; Ь6=—0,934.
Следовательно,
Ge(*) =3,475 sin х—2,699 sin 2*+2,066 sin Ъх —1,698 sin 4jc +
+ 1,347 sin 5л;—0,934 sin 6*. (9)
Складывая полиномы (8) и (9), получаем искомый тригонометрический
полином
Qe (л:) = 3,686—3,705 cos* + 3,475 sin x+ 1,510 cos2x—
— 2,699 sin 2x — 0,776 cos Зл; +2,066 sin Зл:+ 0,488 cos 4л; —
—1,698 sin \x—0,366 cosбл;+ 1,347 sin 5л;+ 0,250 cos6л;—0,934 sin 6л;.
Для проверки вычислим Qt(n/2). Имеем
Qe (я/2) = 3,686+ 3,475—1,510—2,066 + 0,488+1,347—0,250 = 5,170
вместо I (я/2) = 4,8066.
Относительная погрешность приближения s=50/q.
§ 10. Полиномы Лежандра
Полиномы Лежандра определяются следующей формулой Родрига:
Рп(х) = Ш^(х2-1)" (« = 0,1,2,...). A)
В частности, имеем:
и т.д. (см. приложение II). Графики этих полиномов для я = 0, 1,
2, 3 и 4. приведены на рис. 4. Из формулы A) видно, что Р„(х)
являются четными функциями при п = 2/я и нечетными—при л = 2
причем Ра A)=1 и Рп (—!) = (— 1)".

§ 101
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
57
Теорема 1. Полиномы Лежандра образуют ортогональную
систему на отрезке [— 1, 1], т.е.
= Q при тфп (», я = 0, 1,2, ...).
Доказательство. Имеем
1
1
C)
Пусть т < п. Применяя к интегралу, стоящему в правой части
равенства C), формулу интегрирования по частям и учитывая, что
& (X2_i)o х=1
= 0 при k < л
D)

58 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
(так как значения #=±1 являются нулями кратности л для функ-
функции (х2—1)"), получим
1 I dm dn~~*
тп = 2""+"ппч! \ dx™ ^Х ~ *) dx^1^2"
1
1
\ p dm+1
После л-кратного интегрирования по частям формулы C) в силу
соотношения D) будем иметь
1
Но так как /и < л, то, очевидно, , т+п (х2 — 1 )т ^ 0 и, следовательно,
/ = f Р„,(л:)Я„(л:) dx — Q при тфп.
-1
Замечание 1. Подсчитаем норму полинома Рп(х). Полагая
т = п в формуле E) и принимая во внимание, что
получим
1
_i)BA_JC2)nd Bn)l C(i_^)«(l+>;)nd^. F)
22" (n!K J
22"(ft!J J ч ' 22"(n!K_i
Последний интеграл вычисляется при помощи л-кратного интег-
интегрирования по частям:
1
(\—x)n(\+x)"dx =
-1
= (!-*)"
л+1
• G)
-1

§ 10] ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА 59
Подставляя полученный результат G) в формулу F), будем иметь
1
— 1
Таким образом,
HpWH2
или llp«
Нормированные полиномы Лежандра
(я = 0, 1, 2, ...)
образуют на отрезке [ — 1, 1] ортонормированную систему полино-
полиномов, для которых
[Pn(x)Pm(x)dx=J<>
при т = л.
Замечание 2. Полиномы Лежандра обладают усиленным свой-
свойством ортогональности
Pm(x)Rk(x)dx = 0 {*</»), (9)
-1
где Rk{x) — любой полином степени k, меньшей т.
В самом деле, очевидно, справедливо соотношение
Rk (х) = c0Pk (х) + cxPk_ х (*)+...+ ^Яо (лг),
коэффициенты которого с0, ^х, ..., сА могут быть определены с по-
помощью последовательных делений. Отсюда
1 1 *
J Рт (х) /?„ (х) dx=\Pm (х) ? ^Л_, (*) dx =
-1 -1 1=0
к 1
1 = 0 -1
Замечание 3. С помощью линейного преобразования
Ь — а Ь-\-а
Х
2

60 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
где —1<;.*:<!1, можно получить полиномы
2
ортогональные на отрезке [а, Ь], т. е. такие, что
ь
§Pm(z)Pn(z)dz = ° nP" тфп.
а
Используя формулу (8), легко показать, что
h
Ь—а
= 0, 1, 2, ...)•
Теорема 2. Полином Лежандра Р„(х) при п~^\ имеет п раз-
различных действительных корней, которые расположены на интервале
(-1, 1).
Доказательство. Пусть r1,ri,...,rk {rl < г2 ¦< .. . <; rk) —
действительные корни полинома Рп (х), имеющие нечетную кратность
и лежащие на интервале (—1, 1). Очевидно, что k^Ln. Произве-
Произведение (х — гг) (х — г2) .. . (х — rk) Pп (х) не меняет знака на интер-
интервале (— 1, 1), так как все его действительные корни на этом ин-
интервале имеют четную кратность. Поэтому
1
J (x—rt) (х—га)... (х—rk) Рп (х) их ф 0.
-1
Отсюда, согласно замечанию 2 (см. формулу (9)), следует, что сте-
степень полинома Rk(x) = (x—г^(х—г2) ... {х—rk) не может быть
ниже п, т. е. к^п. Но так как k^.n, то получаем, что k = n,
т. е. все п корней полинома Рп (х) действительные, простые и лежат
иа интервале (—1, 1).
Замечание. Полиномы Лежандра можно определить также при
помощи так называемой производящей функции [\]
г) =
+ Р2{Х)г*+...+Рп(х)гп+... (|г|<1). A0)
Формула A0) играет важную роль в теории потенциала.
В частности, полагая х=\ в формуле A0), получим
П A) +Pi A) /•+... + Я„A)гя+ ...

§ 101 ПОЛИНОМЫ ЛКЖАНДРА 61
Но так как
\-r ¦
то />„A) = 1 (я = 0, 1, 2, ...). Аналогично, положив х= — 1,
получаем Яп(—1) = ( — 1)" (я = 0, 1, 2, ...).
Из разложения A0) легко получить рекуррентную формулу,свя-
формулу,связывающую три последовательных полинома Лежандра. Действительно,
дифференцируя Н(х, г) по г, имеем
дИ _ х—г _ х—г
Отсюда, учитывая, что
^= /\ (х) + 2Я2 (лг) г + .. . +лР„ (*) г"-1+ ....
имеем
x) + P1(x)r+...+Pn(x)rn+...] = 0.
Собирая все члены, содержащие г", и приравнивая нулю полу-
полученный коэффициент при г", находим нужный результат
(n+\)Pn4.l(x)-xBn+\)Pn(x) + nPn_l{x) = 0 (И)
(я=1, 2, ...)•
С помощью формулы A1) удобно находить последовательные
полиномы Лежандра. Например, полагая п = 4, будем иметь
Рь (х) = ±[9х Pt(x)-4P3(x)} =
= i_ Г1C5л;5 — 30л;3-[-Злг) — (Юл3 — 6д;I =
= ^j C15л:5 — 350л-3 + 75х) =-^-F3х5 —
Сводка формул для полиномов Лежандра и их обобщений, а также
таблицы и графики имеются в книге Янке и Эмде [4].
Пусть на отрезке [ — 1, 1] задана функция f(x). Приблизим эту
функцию линейной комбинацией из полиномов Лежандра
f{x) » с0Р0 (х) + схРх (*)+...+ стРт (х),
причем коэффициенты са, ct, .,., ст подберем так, чтобы величина
отклонения
1 Г т -12
С —- I I f(x\ > С Р {Х\ I dX
-1L fe=° J
была минимальная.

62
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. I
В § 8 доказано, что в этом случае ck являются коэффициентами
Фурье относительно полиномов Рк(х), т. е.
A2)
W I
Из § 8 (формула A0)) следует
также
A3)
Пример 1. Функцию f{x) =
\х\ на отрезке [ — 1, 1] квадра-
/ х тично аппроксимировать полиномом
пятой степени.
Решение. Полином Qb(x) ищем
в следующем виде:
ь(х), (И)
О
Рис. 5.
где Pfc(*) (fe = 0, I, ...) — полиномы Лежандра. Так как функция \х\ чет-
четная и Рь(х) четны при ft четном и нечетны при k нечетном, то из фор-
формулы A2) получаем
=0, 1,2).
Отсюда, используя формулы B), находим:
1 1
1
с2 = -^ \ хCх2— l)dx=-g ,
о
— 30л:3+ 3) dx= -4
10
Подставляя эти значения коэффициентов в формулу A4), получим
Следовательно (рис. 5),
1x1^^A + 14^-7^) при |*|<1.
Пример 2. Функцию [(х) = Зх на отрезке [ — 1, 1] квадратично ап-
аппроксимировать полиномом третьей степени (см. пример 2 из § 7).

§ 11] ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ С ВЕСОМ
Решение. Полином ищем в виде
63
где Рк (х) (? = 0, 1, 2, 3) —полиномы Лежандра. Согласно формулам A2)
получаем:
1
J3*dx = 1,2137,
-1
1
2 А
5 С 1
с3 = — \ (Зх2 —1)--^-«3*d* = 0,4384,
Сз==-1 Г -1Ex3—3*).3*dx = 0,09345.
Следовательно,
) = 1,2137+
0^09345
,6576а;2 +1,0968* + 0,9945.
Как и следовало ожидать, мы получили подтверждение результата, найден-
найденного обычным способом наименьших квадратов, без применения ортогональ-
ортогональных полиномов (см. § 7, пример 2).
§ П. Ортогональность с весом
Пусть на отрезке [а, Ь\ задана положительная непрерывная функ-
функция р (х).
Определение. Система функций {фп (х)}, заданная на отрезке
[а, Ь], называется ортогональной на этом отрезке с весом р (х), если
ь
^ р (х) (fk (х) фи (х) dx = 0 при k=?m. A)
а
Из ортогональности системы {ф„(лг)} с весом р (х) следует обыч-
обычная ортогональность системы а|)в (х) =}/~р (х) фп (х) (п = 0, 1, 2, . . .).
Действительно,
ь ь
P(x)(fk(x)(fm(x)dx = 0 ПРИ
а это и есть условие ортогональности.

64 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Пусть на отрезке [а, Ь] задана непрерывная функция f(x) и си-
етема функций ср0 (х), (р1(х), ..., <fm(x), ... ортогональна на этом
отрезке с весом р (х). Составим обобщенный полином
(X) + . . . + Cm(fm (X)
и подберем коэффициенты с0, cv ..., сп так, чтобы отклонение, оп-
определяемое формулой
ь
Im=l?(x)[f(x)-Qm(x)fdx> B)
а
было минимально при фиксированном т.
Формулу B) можно записать в следующем виде:
Ь Г т 2
'« = $/(*) /pW-Ц ck KpW Ф* (х) dx.
a L *=o J
Отсюда вытекает, что наша задача сводится к разобранной выше
задаче (§ 8) о наилучшей непрерывной квадратичной аппроксимации
функции f(x) Yp (x) c помощью линейной комбинации ортогональных
на отрезке [а, Ь] функций Vp(x)(fk(x) (k = 0, I, 2, ..., т).
На основании результатов § 8 получаем, что коэффициенты ckl
дающие минимум интегралу 1т, представляют собой коэффициенты
Фурье функции f(x)Yp(x) относительно системы функций
} [см. § 8, F)]:
ь ь
/pW Ь (х) VfM Фй (х) dx ^p(x)t (x) cp* (x) dx
(k = 0, 1, 2, ..., m).
Величина минимального отклонения 1т определяется по формуле
A0) из § 8 и будет равна в нашем случае
b m b
L = S Р (*)Р (х) dx-^ 4 J р (х) ф! (*) dx.
к = о а
Эти формулы можно получить также непосредственно, решая со-
соответствующую задачу на нахождение минимума функции
/и = /т(со- cv с2 ст).
В частности, если вес р (лг) = 1, то приходим к прежним формулам.

§ 12] ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА 65
§ 12. Полиномы Чебышева
В качестве примера системы функций, ортогональной с весом,
приведем полиномы Чебышева, которые известны еще и тем,
что являются полиномами, наименее уклоняющимися от нуля.
Полиномы Чебышева Тп (х) определяются формулами
,яИ = !^ЫН-м-г (n==h 2) _} A)
Функция A) действительно является полиномом. В самом деле,
при возведении в степень первой и второй скобок радикалы сохра-
сохраняются во всех четных членах, причем в первой скобке с плюсом,
а во второй с минусом. Поэтому при сложении они уничтожаются
и останутся лишь члены, содержащие х в целых степенях, причем
старшая степень равна п.
Запишем три первых полинома Чебышева в развернутом виде:
Та(х)=\,
Покажем, что коэффициент при старшем члене хп в полиноме Тп(х)
равен единице.
Действительно, старший коэффициент ап всякого полинома
Rn(x) = aQ + a1x+ . .. +апх" степени п можно определить с по-
помощью предельного перехода
В нашем случае
откуда
Приведем другую формулу для полиномов Чебышева. Обычно
полиномы Чебышева рассматриваются на отрезке [ — 1, 1]. Поэтому
можно положить a: = cos^, т. е. tf = arccosAr, где г1—новая перемен-
переменная @^/^я). Тогда sintf = j/l—х2 и формула A) преобразуется
к виду
TAx)^(cost + islnt)" + (coSt-i^tr при „>0.
3 Б. П. Демндовнч и др.

66 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Так как (cos^ ± /sin ^)n = cos nt ± i sin nt, то окончательно имеем
Тя(х) = -2^ cosnt (л = 1, 2, ...) B)
или
{ncox). C)
Заметим, что формулы B) и C) неверны при и = 0.
Из формулы B) легко получаются рекуррентные формулы для
вычисления полиномов Чебышева при больших п. Так как
cos (га + \) t + cos (n — 1) t = 2 cos nt cos <,
а согласно B) cosrai = 2" Tn (x), то
ИЛИ
Полагая, например, га = 2 и я = 3 в формуле E), последовательно
получаем :
Тем же способом можно вычислить Ть(х), Та(х) и т. д.
Первые 12 полиномов Чебышева Тп(х) даны в приложении III.
На рис. 6 приведены графики полиномов Чебышева для п — 0,
1, 2, 3.
Докажем некоторые свойства полиномов Чебышева.
Теорема 1. (Свойство ортогональности полиномов Чебышева.)
Полиномы Чебышева Тп(х) образуют на отрезке [ — 1, 1] ортого-
ортогональную систему с весом
т. е,
1
~\ (л;) Т (х) —т==_ ¦¦= 0 при

§ 12]
ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА
67
Доказательство. При ft > О, /и >0 и кфт, полагая х =
= cost и используя формулу B), имеем
1
2*+»»
-* f
cos
cos/и* Л =
COS kt COS /B^
0,
F)
так как тригонометрические функции {cos kt} ортогональны на
У,
Т«(х)
отрезке [ — я, я]. Легко проверить, что равенство F) остается
справедливым и при k = 0, ш=^=Ь.
Замечание. При m=k^0 имеем
1
22/П-2 2

68 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
При m = fe = O получаем
Г 2 dX — Г dX —
Теорема 2. (Корни полинома Чебышева.) Все корни полинома
Чебышева ненулевой степени действительны, различны и лежат на
интервале (— 1, 1).
Доказательство. Пусть xk—действительные корни поли-
полинома Тп (х), расположенные на отрезке [ — 1, 1]. Полагая xfe = cos/fe
(О^^^я), в силу формулы B) получим
T'B(*ft) = -2iJ=i cos л^ = 0.
Отсюда cos ntk = 0, и, следовательно,
2k — I
Таким образом, полином Тп (х) имеет корни
2/j . i
xk = zos^-n (й=1, 2, ...,л), G)
которые действительны, различны и лежат на интервале (— 1, 1).
Так как число этих корней равно степени полинома, то других кор-
корней, как действительных, так и комплексных, полином Тп (х) не
имеет, т. е. формула G) дает совокупность всех корней полинома Тп (х).
Теорема 3. (Экстремальное свойство полиномов Чебышева.)
Полином Чебышева Тп(х) (п > 0) на отрезке [ — 1, 1] имеет п~\-\
экстремальных значений, равных между собой по абсолютной ве-
величине.
Доказат ельство. Имеем
Тп (х) =~ cos nt, (8)
где X=cost @ ^.t -^Lk). Отсюда заключаем, что Тп (х) достигает
экстремума в тех точках, где
| cos nt |=1. (9)
Корни уравнения (9), лежащие на отрезке [0, л], суть тА = /гя/га
(/г = 0, 1, ...,п). Им соответствуют точки экстремума
E* = cos^ (ft = 0, I п), ¦ A0)

§ 12] ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА f'f/
полинома Чебышева Тп (х), причем на основании формулы (8) имеем
т it \ ! и ( — 1)*
Тп (?*) = 9^1 cos *" = -™=Г •
Следовательно,
(И)
где ?л при k четном суть точки максимума, а при k нечетном — точки
минимума полинома Тп(х).
Следствие. Максимальное значение модуля полинома Чебышева
Тп(х) (п > 0) на отрезке [ — 1, 1] равно ^rj, т. е.
Замечание. В силу формул G) и A0) корни и точки экстре-
экстремума полинома Тп(х) можно построить следующим образом", разде-
разделив полуокружность, опира-
опирающуюся на отрезок [ — 1, 1]
как на диаметр, на 2л частей,
спроектируем все полученные
точки на диаметр (рис. 7, где
п = 4).
Нумеруя проекции справа
налево, получим, что все проек-
проекции с нечетными индексами
являются корнями полинома
Тп (х) (на рис. 7 отмечены кру-
кружочками), а с четными индексами — его точками экстремума (на
рис. 7 отмечены крестиками).
Из геометрических соображений вытекает, что как корни, так
и точки экстремума полинома Тп(х) сгущаются к концам отрезка
[ И
Пример 1. Найти квадратичное приближение функции f(x) = \
в промежутке [—1, 1] полиномом четвертой степени при весе
I v2 "
Решение. Полином Q4 (x) будем искать в виде
A3)

70 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
где Tk(x) (fe = 0, 1, 2, 3, 4) — полиномы Чебышева. Коэффициенты ck вычи-
вычисляем по формулам C) из § 11:
1
, Т\ (х) dx
Так как Г2?+1(л:)—функции нечетные, а Т2/, (х)—четные, то c2ft+1 = 0 и
г
I
c.ik =
Г ' Tik(x)dx
J V 1-х2
0
Используя для Tik {x) формулу (З), имеем:
^dx
J /7=3
_2_
я/а
—-—^ . — cos B arccos x) dx 2 f cos ф cos 2ф <*ф
1 Я/2
Г - .—cos2 B arccos x)dx f cos2 2Ф ,
J jAT^F 4 J
Л , Я/2
\- X -.—cos D arccos x)dx 23 f cos ф cos 4ф dtp
\ Д . J_ cos2 D arccos x) dx \ c°sa 4ф йф
n
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу A3), находим
Л , . 2,4

§ 13] ПОНЯТИЕ О РАВНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ 71
Полезно заметить следующее. Так как вес р (х) = —==. воз-
растает при приближении к концам отрезка, то отсюда можно за-
заключить, что приближения, получаемые с помощью полиномов Че-
бышева Тп(х), учитывают в большей степени значения аппроксими-
аппроксимируемой функции f(x) у концов отрезка [—1, 1].
Сравним, например, результат последнего примера с примером 1 из §10,
в котором функция j(x) = \x\ аппроксимировалась многочленом
при весе р (х) = 1.
В нашем случае при х = \ имеем
||<М) 1
тогда как
I ж |-Q«(*)=l--j!| A + 14-7) = 0,0625.
§ 13. Понятие о равномерном приближении функций
Квадратичная аппроксимация функций основывалась на способе
наименьших квадратов. Уточняя понятие квадратичного отклонения,
введем соответствующее расстояние А между данной непрерыв-
непрерывной функцией f(x) и непрерывным аппроксимирующим обобщенным
полиномом Q(x) (вообще говоря, более простой природы), так на-
называемое среднее квадратичное отклонение.
Определение 1. Под средним квадратичным отклонением
функций/(jc) и Q(x) на множестве точек X={xlt x2, ..., хп}
понимается число
Если аппроксимация интегральная, то среднее квадратичное от-
отклонение на отрезке [а, Ь] определяется формулой
= У ь=б
[Я*)-
Формулу B) можно рассматривать как предельный случай фор-
формулы A) при п—> оо. Действительно, выбирая на отрезке [а, Ь]
..., хп = Ь, где

72
будем иметь
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
[гл. i
Отсюда при п—><» получим
b
= ^Д- Г
-Q
Если среднее квадратичное отклонение Л мало, то для «подавля-
«подавляющего большинства» значений аргумента д; из отрезку [а, Ь] (т.. е.
Рис. 8.
в «среднем» на [а, Ь\) абсолютная величина \f(x) — Q (jc) j также
мала при а^х-ё^Ь. Более точно, пусть \f(x)—(?(лг)| имеет на
[а, Ь] конечное число экстремумов и а — заданное положительное
число. Обозначим через a = al-{-ai-\- ... -\-ok максимальную систему
непересекающихся отрезков из [а, Ъ\ таких, что \f(x)—Q(x)\^a
при лг?а,- (/=1, 2, ..., k) (рис. 8), и пусть со — сумма длин этих
отрезков. Если Д < е, то имеем
в" (ft-а)
Отсюда «в < (b — a) I — \ , и, следовательно, со — сколь угодно
малое число, если е достаточно мало.

§ 13]
ПОНЯТИЕ О РАВНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ
73
Таким образом, если А < е, где е достаточно мало, то на от-
отрезке [а, Ь], за исключением, быть может, множества точек а, сколь
угодно малой линейной меры со, выполнено неравенство
где a — произвольное, заранее заданное положительное число.
Во многих случаях, например при обработке результатов наблю-
наблюдений, квадратичное приближение является приемлемым, так как оно
X
Рис. 9.
сглаживает отдельные локальные неправильности функции f(x) (воз-
(возникшие, возможно, от ошибок наблюдений) и дает достаточно точное
общее представление о протекании соответствующего процесса. Од-
Однако иногда для приближения ставят более жесткие условия, а
именно требуется гарантировать, чтобы на всем отрезке [а, Ь\ от-
отклонение функций f(x) и Q(x) было меньше заданной величины.
Поэтому введем другое расстояние между функциями, так называемое
абсолютное отклонение.
Определение 2. Абсолютным отклонением на [a, b] обоб-
обобщенного полинома Qm (x) от данной непрерывной функции f(x) на-
называется число
Ce(*)|. C)
==Am= max
для
Если Am^e, то из формулы C) следует |/(#)—Qm (х) | ^
всех точек х на отрезке [а, Ь] (рис. 9).
В этом случае говорят, что обобщенный полином Qm (x) на от-
отрезке [а, Ь] равномерно приближает функцию f (x) с точностью до е.
Для случая обычных полиномов

74 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 1
справедлива важная аппроксимационная теорема Вейерштрасса, ко-
которую мы приводим без доказательства (см. [1]).
Теорема Вейерштрасса. Если функция /(х) непрерывна
на отрезке [а, Ь], то, как бы мало ни было положительное число е,
найдется полином Qm (x) достаточно высокой степени ш, абсолют-
абсолютное отклонение которого от данной функции f(x) на отрезке [а, Ь\
меньше, чем е, т. е. для всех точек х ?[а, Ь] имеет место неравенство
\f(x)—Qm(x)\<e.
В частном случае, если функция f(x) аналитическая на отрезке
[а, Ь], т. е. разлагается на этом отрезке в равномерно сходящийся
степенной ряд (ряд Тейлора)
00
/(*)=2 ak(x-c)k,
где
с?[а,Ь], ak = -~^f^(c) (*=0, 1, 2, ...),
то за полином Qm (x) можно взять отрезок ряда Тейлора
причем степень m подбирается в зависимости от заданной точности е.
Пусть степень m полинома Qm (x) фиксирована и задача состоит
в том, чтобы приблизить данную непрерывную функцию f(x) поли-
полиномом фиксированной степени m наилучшим образом на заданном
множестве X. Это значит, что коэффициенты а0, alt ..., am полинома
..+amx'a D)
следует подобрать так, чтобы величина
Am = max\f(x)-Qm(x)\ E)
хйХ
была минимальной.
Такой полином Qm (x), дающий минимум величине Дт, называется
полиномом наилучшего равномерного приближения или полиномом,
наименее отклоняющимся от функции f(x) на множестве X.
При этом минимальное отклонение
» F)
называется наименьшим отклонением функции f(x) на множестве X.
В теории приближения функций доказывается существование и
единственность полинома наилучшего приближения для любой не-
непрерывной функции [5] — [8].

§ 131 ПОНЯТИЕ О РАВНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ 75
Теорема 1. Для любой функции f (х), непрерывной на замкну-
замкнутом ограниченном множестве X*), и любого натурального числа, m
существует полином Qm (х) степени не выше т, обладающий мини-
минимальным отклонением
Д(Л<?«) = ?»[Л*], G)
причем такой полином единственный.
В некоторых случаях на полином Qm (x) накладывают дополни-
дополнительные ограничения, например, полагают старший коэффициент
аи= 1. Тогда
Qm{x) = a0 + alx + a2x*+...+xm. (8)
В частности, пусть f(x)~Q; тогда полином Qm (x), дающий ми-
минимум величине
p;n= max \Qm(x)\,
< <6
называется полиномом, наименее отклоняющимся от нуля**) на дан-
данном отрезке [а, Ь\.
Покажем, что этим свойством обладает полином Чебышева.
Теорема 2. Полином Чебышева степени m (m > 1) наименее
отклоняется от нуля на отрезке [—1, 1] по сравнению с другим
полиномом степени m и со старшим коэффициентом, равным единице.
Доказательство. Допустим, что существует полином Qm(x)
со старшим коэффициентом, равным единице, и такой, что
max |<?я(*)|< max \Tm(x)\ = Pm- (9)
-1 <*< 1 -1 <х < I
В силу теоремы 3 § 12 и ее следствия pm=l/2m~I, причем на
отрезке [—-1, 1] существует т-\-\ точек 1 =|0, ii, ••• , ?«=~~1
таких, что (рис. 10)
y.(S*) = (-t)*p«- 0°)
Рассмотрим разность R (х) = Тт (х)—Qm(x). Так как старшие
коэффициенты полиномов Тт (х) и Qm (x) одинаковы, то R (х) есть
полином степени не выше т—1.
Из условия (9) и формулы A0) вытекает, что
Я(!о)^о, я^хо, ..., R(U(-\)m^o. (И)
На основании неравенств A1) заключаем, что полином R (х) имеет
по меньшей мере один нуль на каждом из отрезков [ij, ?0],
*) В дальнейшем X будет представлять собой или отрезок, или конечную
систему точек хЛ, х*, .... х„.
**) Задача о разыскании полинома вида D), наименее отклоняющегося
от нуля, имеет тривиальное решение Qm (х)-= 0.

76
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 1
[|2, IJ, ..., [?m, 5ra-i] (на рис- Ю эти нули суть абсциссы точек
пересечения кривых у=Тт(х) и y = Qm(x)), причем общее коли-
количество нулей с учетом их кратностей будет не меньшет.
Так как степень полинома R(x) не превышает т—1, то это
возможно лишь в случае, если R(x) = 0, т. e. Qm (x) = Тт (х).
Теорема доказана.
©
Рис. 10.
Следствие 1. Для любого полинома Qm(x) степени т со стар-
шим коэффициентом, равным единице, имеет место неравенство
Следствие 2. Для функции /(х) = хт (
наилучшего приближения Qm_1 (х) = а0 -\- а-^х-^- .
пени т—1 на отрезке [—1, 1] является
^\) полиномом
-\- am_1V*i сте-
стегде Тт (х) — полином Чебышева.
Действительно, согласно смыслу задачи разность
A2)
есть полином, наименее отклоняющийся от нуля на отрезке [—1, 1],
т. е. представляет собой полином Чебышева Тт(х). Отсюда непо-
непосредственно вытекает формула A2).
Замечание. Пользуясь теоремой 2, легко построить наименее
отклоняющийся от нуля на данном отрезке [а, Ь] полином fm (x)
степени т со старшим коэффициентом, равным единице [г].
Действительно, подстановка
Ь— а

§ 131
ПОНЯТИЕ О РАВНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ
77
преобразует отрезок а
ший коэффициент (при t
Тт (Х) =
в отрезок —1
) будет равен (^
-(ь-а\т
/^ 1, причем стар-
стар. Отсюда
A3)
Из формулы A3) следует, что отклонение полинома Тт (х) от нуля
равно
?- =
Ь — а
от — 1
Ь — а
Пример 1. С помощью полинома первой степени Ql(x) = Ах-\-В на-
наилучшим образом равномерно приблизить функцию / (х) = х2 на отрезке [0, 1].
Решение. Требуется опреде-
определить коэффициенты Лив так, чтобы
величина
Et= max \x* — Ax—B\ A4)
была наименьшей. Следовательно,
полином Q2 (х)=х3 — Ах — В наиме-
наименее отклоняется от нуля на отрезке
[О, 1]. Полагая а = 0 и Ь=\, в силу
формулы A3) получаем
(см. § 12). Отсюда
Рис. 11.
причем ?1 = 2A/4)а = 1/а- Заметим, что отклонение Ег реализуется в трех
точках:
Это явление характерно для полиномов наилучшего приближения.
Геометрически график функции y = Ql(x) представляет собой среднюю
параллель между секущей, проходящей через крайний точки О @, 0) и А A, 1),
и касательной, параллельной этой секущей (см. рис. 11, где кривая — гра-
график функции у = хг).
Теорема Чебышева об альтернансе. Среди полиномов
степени не выше m полином Qm(x) является полиномом наилучшего
равномерного приближения непрерывной функции f(x) на данном
множестве X тогда и только тогда, когда на X существует система
(т-\-2)-х точек
ьо < Si <•••<! Sm+i

78 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
(чебышевский альтернанс) таких, что разность f(x)—Qm(x) прини-
л:ает поочередно значения L и —L, где
I=-.max|/(jc)-Qm(jc)|. A5)
Пример 2. Для функции /, (л;') = cos 1х @ <; х < 2я) полиномом третьей
степени (в широком смысле) наилучшего равномерного приближения яв-
является <2з (jc) = 0.
Действительно, здесь L= max | cos 2x— 0 | = 1 и разность / (х) — Q3(x) =
х е [о, 2Я]
= cos 2л; принимает последовательно значения +1 и —1 в пяти точках
0, л/2, я, Зя/2, 2я.
Задача построения точного алыернанса весьма трудна. Прибли-
Приближенное построение альтернанса и связанное с ним построение поли-
полинома наилучшего приближения предложено Ремезом [7], [5].
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 1
[1] Гончаров В. Л., Теория приближения и интерполирования функций,
Гостехиздат, 1954, гл. I—III.
[2] Демидович Б. П., М а р о н И. А., Основы вычислительной матема-
математики, «Наука», 1966, гл. VIII, IX, XIV.
[3] Милн В. Э., Численный анализ, ИЛ, 1951, гл. IX, X.
[4] Янке Е. и Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми,
изд. 3, Физматгиз, 1959, ч. II, гл. VII.
[5] Березин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, «Наука»,
1966, т. 1, гл. IV.
[6] Натансон И. П., Конструктивная теория функций, Гостехиздат,
1949, гл. II.
[7] Ремез Е. Я-, Общие вычислительные методы чебышевского прибли-
приближения, Изд. АН УССР, 1957, гл. I.
[8] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, «Наука», 1965.

Г Л А В А П
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
§ 1. Вводные замечания
Пусть, изучая функциональную зависимость
мы произвели ряд измерений величин х и у и в результате полу-
получили таблицу значений
X
У
Ч
У\
ч
Уг
...
...
хп
Уп
или график, связывающий значения х и у.
Если аналитическое выражение функции f(x) неизвестно или
весьма сложно, то возникает практически важная задача: найти эм-
эмпирическую формулу
У=/(х),
B)
значения которой при x = at,- возможно мало отличались бы от опыт-
опытных данных tji (/=1, 2, ... , л). В такой постановке наша задача
весьма неопределенна; поэтому обычно по ряду соображении ука-
указывают достаточно узкий класс функций К (например, множество
функций линейных, степенных, показательных и т. п.), которому
должна принадлежать искомая функция f{x), и дело, таким образом,
сводится к нахождению лишь наилучших значений параметров. Во
многих случаях класс К определяется требованием простоты эмпири-
эмпирической формулы; иногда этот класс подсказывается самой природой
явления.
Геометрически задача построения эмпирической формулы состоит
в проведении кривой Г вида B) из некоторого класса К, «возможно
ближе» примыкающей к системе точек /И,- (xh yt) (i=l, 2, ... , п)

80
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[гл. и
(рис. 12). Разумеется, при этом должен быть выяснен точный мате-
математический смысл понятия «близости» кривой Г к конфигурации
точек М.
Заметим, что задача построения эмпирической формулы отлична от
задачи интерполирования (гл. I, § 2). При интерполировании отыски-
отыскивается функция из данного класса функций (например, полиномов задан-
заданной степени), значения которой
в заданных точках х{ сов-
совпадали бы с табличными зна-
значениями yi (i = 1, 2, . . . , п).
При нахождении эмпирической
формулы не требуется, чтобы
значения f{xt) совпадали с
г/,-, достаточно, чтобы разность
f(Xi)—f(X[) была мала в из-
известном смысле в данной об-
области. Следует иметь в виду
х, хг х„ х также, что сами исходные эм-
эмпирические данные xt и у,-,
Р|1С- '2- как правило, являются прибли-
приближенными и содержат ошибки.
Поэтому интерполяционная формула, повторяющая эти ошибки, не
говоря даже о ее сложности, не является идеальным решением по-
поставленной задачи;часто простая эмпирическая формула, сглаживаю-
сглаживающая местные неправильности, может лучше отобразить действи-
действительность.
Построение эмпирической формулы слагается из двух этапов:
1) выяснение общего вида этой формулы и 2) определение наилуч-
наилучших параметров ее.
Если неизвестен характер зависимости между данными величинами
д: и у, то вид эмпирической формулы является произвольным. Пред-
Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точно-
точностью. Если отсутствуют сведения о промежуточных данных, то обычно
предполагается, что эмпирическая функция аналитическая без точек
разрыва и график ее — плавная кривая. Нельзя указать общего ме-
метода для нахождения наилучшего типа формулы, соответствующей
опытным данным.
Удачный подбор эмпирической формулы в значительной мере за-
зависит от опыта и искусства составителя.
В некоторых случаях выбор типа эмпирической формулы может
быть произведен на основе теоретических представлений о характере
изучаемой зависимости. В других случаях удается подобрать такую
формулу, сравнивая кривую, построенную по данным наблюдения
в декартовых координатах или в специальных системах координат

§ 1] ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 8J
(полулогарифмической, логарифмической п т. д.), с образцами из-
известных кривых (отдельные неправильности при этом игнорируются).
Для облегчения выбора полезно использовать специальные альбомы
кривых. При известном навыке по положению точек, определяющих
некоторую гладкую кривую, можно примерно угадать общий вид
зависимости.
Во многих случаях можно ограничиться полиномом
т
у = 2 akxk. C)
А = 0
Нередко употребляются другие элементарные функции (дробно-ли-
(дробно-линейная, степенная, показательная, логарифмическая и т. п.). В даль-
дальнейшем будут указаны приемы, облегчающие выбор вида эмпириче-
эмпирической формулы.
Что касается определения наилучших значений параметров, вхо-
входящих в эмпирическую формулу, то эта задача более легкая и ре-
решается регулярными методами.
Эмпирические формулы не претендуют на роль законов природы,
а являются лишь гипотезами, более или менее удовлетворительно
согласующимися с наблюденными опытными данными. Однако значе-
значение их весьма велико; в истории науки известны многочисленные
примеры того, как получение удачной эмпирической формулы приво-
приводило к большим научным открытиям.
Замечание. При построении эмпирической формулы можно
предполагать, что исходные данные (xh yt) (i=l, 2, ... , п) поло-
положительны.
Действительно, если бы, например, все xt < 0 (или все у; < 0),
то достаточно рассмотреть таблицу значений (—xh у,) (или соот-
соответственно (хI, —у,)). Аналогично при л:, < 0 и yt < 0 достаточно
построить эмпирическую формулу для таблицы (—xt, —yt).
Пусть теперь имеем общий случай, когда знаки значений xL
и i/(- переменные. Так как таблица значений (xit yt) конечна, то всегда
можно подобрать положительные числа т и п такие, что
Отсюда получаем, что решение поставленной задачи сводится
к нахождению эмпирической формулы для системы положительных
значений (?,-, г],).
Поэтому в дальнейшем мы, как правило, будем рассматривать
таблицы с положительными элементами.
Заметим, что мы в дальнейшем не будем касаться вопросов,
связанных с оценкой доброкачественности исходных данных, в част-
частности, не будем учитывать ошибки этих данных.

82
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[гл. н
§ 2. Линейная зависимость
Пусть для переменных х и у известны их значения х,- и у-
(/=1, 2, ... , и), расположенные в порядке возрастания первой
переменной: х1 < дг2 < . .. < д;п.
На координатной плоскости Оху построим систему точек М{ {xh у()
(для удобства масштабы на осях Ох и Оу могут быть выбраны
разными). Если окажется, что эти
точки располагаются примерно на
некоторой прямой линии L, то
естественно предположить, что
зависимость между х и у линейная:
А
>
А
г/ = ах + Ь,
A)
s
Рис. 13.
W
где а и Ь — постоянные.
Прикладывая прозрачную ли-
линейку (или натягивая нить) так,
чтобы положение ее было возмож-
возможно близким к каждой из точек,
опытным путем можно найти наи-
наилучшее положение прямой L.
Построение прямой L обычно про-
производится на бумаге с миллимет-
миллиметровой сеткой, причем результат
не является однозначно опреде-
определенным.
Для нахождения параметров а и b измеряют координаты двух
точек (не обязательно из данных) N1(x1, y^ и N2(x2, y2), лежащих
на прямой L (например, находят точки пересечения ее с осями коор-
координат) и по возможности далеко удаленных друг от друга. Тогда
а и b могут быть определены из системы уравнений (способ выбран-
выбранных точек)
y1 = axl + b, у2=:ах2 + Ь. B)
Результат исключения коэффициентов а и b из уравнений B)
может быть записан в виде определителя:
1
Уа
= 0.
C)
Геометрически уравнение C) представляет собой уравнение пря-
прямой, проходящей через точки N1 и N2.

§ 2]
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
83
Метод выбранных точек весьма нагляден, но обладает малой
точностью. В дальнейшем (см. §§ 5—8) будут указаны более точные
аналитические методы определения коэффициентов а и Ь.
Пример 1. Подобрать эмпирическую формулу для табличных данных:
X
У
2
0,350
4
0,573
6
0,725
8
0,947
Решение. Построив соответствующие точки УМ,- (х(, у-) (/ = 1, 2, 3, 4)
в подходящем масштабе, убеждаемся, что они располагаются примерно на
прямой линии y = ax-\rb (рис. 13).
Из графика находим отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат: 6 = 0,147.
Кроме того, при х = 10 имеем у= 1,138. Поэтому
1,138 — 0,147
Можно принять
10
= 0,099.
= 0,099л +0,147.
D)
Для сравнения в таблице 10 приведены значения, полученные по фор-
формуле D), и разности Д = (/—у.
Таблица 10
Значения эмпирической функции у
X
У
А = у — у
0
0
2
,345
,005
0
0
4
,543
,050
0,
-0
6
741
,016
0
0
8
,939
,008
Легко дать аналитический критерий для прямолинейности ряда
точек M;(xit (/,).
Положим
и
, Al/l . . 1 О 1 \ /f!\
Если kt — const, то точки М;(х{, г/,-), очевидно, лежат точно на
одной прямой линии. Если
А ^- Ь /-^ /v ?> /7'L
/V-1 У*Ч^ *Vrt ^V/ • • • /V ft 1. V''

84
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[гл. и
то точки М{ (xh у() приблизительно расположены на прямой. В за-
зависимости от точности выполнения соотношений G) решается вопрос:
следует или не следует искать эмпирическую зависимость между
величинами х и у в виде линейной функции?
В частности, если значения х( равноотстоящие, т. е. Длг,- = const,
то достаточно убедиться, что значения Ду,- являются также посто-
постоянными (или почти постоянными).
Пример 2. Проверить на прямолинейность следующий ряд точек:
{
*|
1
0,5
0,62
2
1,0
1,64
3
1.5
2,58
4
2,0
3,70
5
2,5
5,02
6
3,0
6,04
Решение. Так как значения *,- равноотстоящие, то составляем таб-
таблицу разностей Ду, (таблица 11).
Таблица 11
Проверка на прямолинейность
i
мл
1
1,02
2
0,94
3
1,12
4
1,32
5
1,02
Мы видим, что значения Д(/,- близки друг к другу (за исключением Ду4)-
Поэтому в качестве грубой эмпирической формулы можно выбрать линейную.
§ 3. Метод выравнивания
Пусть для переменных х и у их соответствующие значения xi
н у(- (г = 1, 2, ... , п) таковы, что точки М{ (xh у,) не располагаются
на прямой линии. Тогда во многих случаях, вводя новые переменные
*-<р(лг, у), K = "ip(*, у), A)
можно добиться того, чтобы преобразованные точки N;(Xit Y(),
где X; = y(xh У[) и Yi = г|) (xh (/,), лежали на некоторой прямой
линии плоскости OXY (метод выравнивания). Обязательным требо-
требованием при этом является взаимная однозначность преобразования A).
Рассмотрим, например, нелинейную зависимость вида
аф(*)-|-Л, B)

§ 31 МЕТОД ВЫРАВНИВАНИЯ 85
где а и b — постоянные, Ц> (х) и я|)(у)— строго монотонные функции.
На плоскости Оху функция B) изображается некоторой кривой.
Вводя новые переменные Х=у\х) и Y=\\t(yI будем иметь
Y=aX + b, C)
и, следовательно, при наличии зависимости B) точки /V,- (ср (Х^), i|? («/,))
(i—\, 2, ... , л) на новой координатной плоскости OXY распола-
располагаются на прямой линии. Обратно, если при построении на плоскости
OXY обнаружится, что точки N{ практически лежат на пря-
прямой линии, то между переменными х и у имеет место зависи-
зависимость B).
Функции ф (х) и -ф (у) обычно находятся методом проб, на осно-
основании обнаружения сходства линии B) с известными кривыми, или
проверкой выполнения соответствующих аналитических критериев
(см. § 4).
К виду B) сводится, например, степенная зависимость
У - сх\ D)
где а и с — постоянные, причем jc>0 и у^>0.
Логарифмируя формулу D), будем иметь
Отсюда, полагая X = \gx, Y=\gy, получим
b = \gc. E)
Таким образом, степенная зависимость D) между переменными х
и у обнаруживается, если точки Nt{\gxh lgy,) (i=l, 2, ... , я)
лежат на одной прямой в плоскости OXY. Для построения прямой E)
выгодно использовать логарифмическую бумагу, представляющую
собой неравномерную сетку, построенную на горизонтальной и вер-
вертикальной логарифмических шкалах. Поэтому, откладывая на осях
численные значения дг1- и {/,-, мы получаем точку N; с координатами
lgjfi и \gyt (в известном масштабе), т. е. избавляемся от необхо-
необходимости вычислять значения логарифмов исходных координат.
Заметим, что в логарифмической координатной сетке OXY нача-
началом координат служит точка лг=1, */=1. Поэтому исходные дан-
данные х( и у1 (которые должны быть положительными) выгодно преоб-
преобразовать так, чтобы имели место соотношения л;,^1 и г/,-^1
(например, умножить их на подходящий положительный множитель).
Полагая х=\ в соотношении D), будем иметь у = с; таким обра-
образом, постоянная с представляет собой ординату точки пересечения
с осью OY соответствующего прямолинейного графика в пло-
плоскости охУ{

86 ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Пример 1. Табличные данные
[гл. и
X
У
10
1,06
20
1,33
30
1,52
40
1,68
50
1,81
60
1,91
70
2,01
80
2,11
отвечают формуле вида
у = сх". F)
Найти параметры а и с.
Решение. Нанося данные точки на логарифмическую бумагу, заме-
замечаем, что эти точки с достаточной точностью располагаются на прямой
1,6 2
5 6 7 8 9Ю 15 20 30 40 5060 70дО90100
Рис. 14.
линии (рис. 14). Тем самым подтверждается наше предположение F) о ха-
характере зависимости между х и у.
Для определения параметров а и с воспользуемся крайними точками
А A0; 1,06) и В (80; 2,11).
Логарифмируя соотношение F), получим
Отсюда, подставляя координаты точек А и В, находим
lg l,06 = lgc + elg 10, lg2,ll = lgc+alg80
или
a = 0,0253, lgc+1,9031 a = 0,3243t
следовательно,
0,3243 — 0,0253 0,2990
— U,ОО 1 1 ,
1,9031 — 1- 0,9031
lg с = 0,0253 — 0,3311=— 0,3058 = 1,6942; с = 0,4945.
Таким образом,
у = 0,4945л:0,3311.

§3]
МЕТОД ВЫРАВНИВАНИЯ
87
В таблице 12 приведены значения у = у(х), вычисленные по формуле G),
и их отклонения А —у—у от табличных данных.
Таблица 12
Значения вмпирическои функции G)
X
У
А = у—у
10
1,060
0
20
1,320
0,010
30
1,525
— 0,005
40
1,677
0,003
50
1,806
0,004
60
1,919
— 0,009
70
2,012
— 0,002
80
2,110
0
Другой важный случай представляет показательная зависимость
у = сеах, с>0. (8)
Логарифмируя, будем иметь
\пу — ах-\-\пс.
Отсюда, полагая Х=Х, Y—lny, получим линейную зависимость
Y=aX-\-b, if =ln с.
Если имеется подозрение на показательную зависимость (8), то
для построения в плоскости OXY удобно использовать полулогариф-
полулогарифмическую бумагу с равно- у
мерной шкалой по оси ОХ
и логарифмической шкалой
по оси OY.
Начало координат в по-
полулогарифмической сетке
соответствует точке х = 0,
у=\; поэтому удобно до
брать у{~^\.Для прямоли-
прямолинейного графика в плоскости
OXY, соответствующего
формуле (8), постоянная с
представляет собой ордина-
ординату точки пересечения этого
графика с осью OY (л: = О,
ч
О I 2 3 4 5 X '
_„ Рис- 15-
В общем случае выбор вида эмпирической формулы облегчается
знакомством с графиками элементарных функций.

88 ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ. U
Пример 2. Результаты измерений выражаются таблицей. [9]i.
X
У
0
1
0,2
0,833
0,5
0,667
1
0,540
1,5
0,400
2
0,333
2,5
0,286
3
0,250
3,5
0,222
4
0,200
4,5
0,182
5
0,167
Составить подходящую эмпирическую формулу.
Решение. Нанося точки Mj(xit yt) на координатную сетку Оху,
обнаруживаем, что они располагаются примерно на кривой, похожей на
ветвь гиперболы, асимптотически приближающуюся к оси Ох (рис. 15).
Поэтому полагаем
1 (9)
Отсюда
'ах + Ь'
1
1
т. е. имеем зависимость вида B). Введя новые переменные Х=х, Y =—,
получим линейную зависимость
Y = aX + b. A0)
Соответствующие данные приведены в таблице 13.
Y
1
L
0 0.5 1 1,5 2 2,5 3 3J5 4 \5 5 X
Рис. 16.
; t а б лица 13
Подбор эмпирической формулы методом выравнивания
X
Y
0
1
0,2
1,2
0,5
1,5
1
2,0
1,5
2,5
2
3,0
2,5
3,5
3
4,0
3,5
4,5
4
5,0
4,5
5,5
5
6
Построив в плоскости 0XY точки УУ,(Х,-, К,-), убеждаемся, что они лежит
приблизительно на прямой линии L (рис. 16). i ¦ . : ¦ ¦ ,

§ 4]
квадратичная (параболическая) зависимость
89
Следовательно, наша гипотеза о характере зависимости оправдалась и
вид формулы (9) выбран правильно. По рис, 16 определяем параметры
прямой L
б1
Таким образом, искомая эмпирическая формула есть у= ?.
х -\-1
§ 4. Квадратичная (параболическая) зависимость
Если для данных значений (xit (/,) (/=1, 2, ..., п) не оправ-
оправдывается линейная зависимость, то можно испробовать более общую
квадратичную зависимость
Формула A) имеет место, когда
точки М[ (хг, (/,) располагаются на
отрезке параболы с вертикальной
осью (рис. 17). Для обнаружения
этого факта с надлежащей тщатель-
тщательностью проводим плавную кривую Г,
вблизи которой группируются
данные точки Mt (xh t/Д и выбира-
выбираем на ней точку N (лг0, yQ), по
возможности совпадающую с одной Рис. 17.
из точек Mk(xk, yk) (\ ^k^n).
Предполагая, что кривая Г есть парабола A), будем иметь
fe. B)
или
Вычитая из уравнения A) равенство B), находим
у — у0 = а (х2 — х%) + Ь (лг — лг0)
где Ьл =Ь+2ах0.
Если теперь ввести новые переменные
л ^Х — Хл
0
У — У о
X — Хо
то из уравнения C) получим линейную зависимость
C)
D)
C)
Таким образом, параболе A) на плоскости Оху соответствует
прямая (б) на плоскости OXY (см. § 2). Обратно, если будет

90
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[ГЛ. П
обнаружено (см. § 2), что точки Nj(Xh Yi)(i = \, 2, .... л), где
X —х __х Y —у'~Уо
Л'-Х1~хо> ri-x.-Xt>
лежат на прямой E), то точки Mi {х{, yt) расположены на пара-
параболе A), причем
b = b1 — 2ax0, c = yo + axl — b1xQ. F)
Выведем аналитический критерий для квадратичной зависимо-
зависимости A). Пусть М( (xh У[) — данная таблица значений, причем
Д*, = */+1 — *,>0 (/ = 1,2 я—1).
При наличии зависимости A) последовательность yv y2 уп
или монотонная, т. е. Ду,= г/1 + 1— у{ (i = l, 2, ..., п—1) со-
сохраняет постоянный знак, или же эта последовательность имеет
единственный экстремум, т. е. разность Ау,-лишь один раз меняет знак.
Введем разделенные разности первого и второго порядков (см.,
например, [15]):
Г*- х 1 - Ayi
1л * i lj —
или
Vхi>
G)
где A1x; = a;i + 3 — xi = A\ , ___,
Доказывается [15], что точки Mt (xh yt) расположены на пара-
параболе A) тогда и только тогда, когда сохраняют постоянное значе-
значение все разделенные разности второго порядка.
В частности, если значения xt, лг2, . . . , хп равноотстоящие,
т.е. AXj = h = const, то для существования эмпирической квадра-
квадратичной зависимости A) необходимо и достаточно, чтобы была по-
постоянной вторая разность А2!/,. = (/1+2 — 2j/,- + 1 + У,=с ('• = ' ¦ 2, ...,
л —2), причем тогда А2у; = 2Л2а.
Заметим, что вторые разности весьма чувствительны к отклоне-
отклонениям от параболического закона.
Пример 1. Данную систему значений
X
У
0
0
0,5
-1,76
1
— 3,00
2
-3,96
4
0,24
5
5,40
6
1.3,34
исследовать на квадратичную зависимость.

§ 5] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ
91
Решение. Составляем по формуле G) таблицу разделенных разно-
разностей (таблица 14).
Так как вторая разделенная разность примерно постоянна, то можно
считать, что между переменными хну имеет место приближенная квадра<
тичная зависимость.
Таблица 14
Проверка на квадратичную зависимость
X
0
0,5
1
2
4
5
6
д*
0,5
0,5
1
2
1
1
У
0
-1,76
— 3,00
-3,96
-0,24
5,40
13,34
by
-1,76
— 1,24
— 0,96
3,72
5,64
7,94
¦д»
Ах
— 3,52
— 2,48
— 0,96
1,86
5,64
7,94
'B)
1,04
1,52
2,92
3,78
2,30
А,*
1
1,5
3
3
2
*(8)
1,04
1,01
0,97
1,26
1,15
§ 5. Определение параметров эмпирической формулы
Если вид эмпирической формулы выбран, то возникает задача
определения наилучших коэффициентов (параметров), входящих
в эту формулу.

92 ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ. II
В общем виде эта задача ставится следующим образом: пусть
данная система значений Ml(xh у() (/=1, 2, ..., я) приближенно
описывается формулой вида
у=/(х; аг, а2, ... , ат), A)
где /—известная функция и аи а2, ... , ат—неизвестные постоян-
постоянные, число которых т обычно меньше числа точек М;, т. е. т <С п.
Требуется определить эти постоянные.
Если значения (лг(-, </,-) точно связаны зависимостью A), то па-
параметры alt а2, . . . , ат могут быть найдены из системы уравнений
Уу=/(х/, а1; а2, ..., ат) (у—1, 2, . . . , и). B)
Однако на практике значения (xt, (/,) содержат неизбежные
ошибки и число уравнений системы B) значительно больше числа
неизвестных; поэтому система B), как правило, является несов-
несовместной. Приходится отыскивать наилучшие значения аг,
в2, ... , ат, приближенно удовлетворяющие системе B), т. е. такие,
что невязки (уклонения)
yj—hxj\ ^i. «2. •••.~aJ = e/ U=h 2, ..., п) C)
являются возможно малыми по абсолютной величине.
Геометрически задача сводится к проведению кривой вида A),
наиболее тесно примыкающей к данной системе точек.
Наиболее распространенными являются эмпирические формулы,
линейно зависящие от параметров, т. е. формулы вида
У = Фо (¦*) + ai*Pi (х) + аафа (х) + ... + атц>т {х). D)
В этом случае система B) линейная и исследование ее сравни-
сравнительно просто. При нелинейной зависимости в A) от параметров
а у, а2, . . . , ат система B) также нелинейная и нахождение точных
или приближенных решений ее представляет трудную задачу; обычно
такую систему приближенно заменяют линейной (см. § 12).
В следующих параграфах мы рассмотрим три наиболее употре-
употребительных метода определения параметров эмпирической формулы:
1) метод выбранных точек, 2) метод средних и 3) ме-
метод наименьших квадратов.
§ 6. Метод выбранных точек
Пусть для системы опытных данных УИ,- (xh yt) (i = l, 2, ... , п)
построена эмпирическая формула
у=/(х; ах, а2, .... ат), A)

§ 7] МЕТОД СРЕДНИХ 93
содержащая т (т < п) свободных параметров alt аг, ..., ат,
где /—известная функция.
На координатной плоскости Оху с возможной аккуратностью
проводим плавную кривую Г, наиболее близко примыкающую к точ-
точкам М[. На кривой Г выбираем систему т (по числу параметров)
точек Nj(Xj, yj) (/=1, 2, ... , /и), не обязательно совпадающих
с точками М(. При этом желательно [3], чтобы выбранные точки Л'у
были по возможности равномерно распределены по всей рабочей
части кривой Г и возможно дальше отстояли друг от друга, а в то
же время не лежали бы слишком близко к мало надежным концевым
точкам М1 и Мп. Для удобства обычно берут абсциссы Xj этих то-
точек совпадающими с крупными делениями оси Ох координатной
сетки. После этого со всей тщательностью замеряют координаты
Xj, yj (j= 1, 2, ... , я). Тогда параметры ах, а2, . .. , ат в общем
случае могут быть определены из системы т уравнений
У/ = ?(*/, «а, «2. •••> ат) (У=1. 2. •¦•. «)• B)
Применение этого метода для линейной зависимости у = ах-\-Ь
рассмотрено выше (§ 2).
Для случая квадратичной зависимости у = ах2 -\- Ьх -\- с коэффи-
коэффициенты a, b и с определяются из системы трех уравнений
+ c, Уз = ax\ + bxz+ с.
Заметим, что метод выбранных точек содержит геометрические
построения, допускающие известный произвол, и поэтому является
грубым. К нему следует прибегать в тех случаях, когда точность
исходных данных относительно невелика. Для увеличения точности
метода рекомендуется пользоваться сеткой с мелкими делениями.
Достоинство метода — простота применения и наглядность.
В дальнейших параграфах (§ 7 и 8) укажем более точные ана-
аналитические методы определения коэффициентов эмпирической фор-
формулы A).
§ 7. Метод средних
Если в эмпирическую формулу
y=f(x; аг, о2, ... , ат) A)
подставить исходные данные УИ,- (лг,-, у{), то левая часть формулы,
вообще говоря, не будет равна правой. Разности (невязки)
/(*,-; av ..., am) — yi = ei (/==1, 2, ..., п) B)
называются уклонениями и представляют собой расстояния по вер-
вертикали точек ML от графика эмпирической функции A), взятые со
знаком плюс (-J-) или со знаком минус (—) (рис. 18).

94
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[ГЛ. Ц
Согласно методу средних за наилучшее положение эмпирической
кривой К принимается то, для которого равна нулю алгебраическая
сумма Е всех уклонений е,-, т. е. должно иметь место равенство
?=2 е, = 0.
C)
Для определения по методу средних постоянных аг, а2, . .. , ат,
где т < п, все уклонения е; разбивают на т групп, содержащих
Рис. 18.
примерно одинаковые количества уклонений. Приравнивая нулю
алгебраическую сумму Ej (у=1, 2, . . . , т) уклонений, входящих
в каждую из этих групп, получаем систему, содержащую столько
уравнений, сколько имеется неизвестных коэффициентов ах, а2, ..., ат.
Решив эту систему, мы найдем коэффициенты а¦ (/ = 1, 2, ... , /и).
Заметим, что так как сумма Ej уклонений для каждой группы равна
нулю, то равна нулю также и сумма Е всех уклонений, т. е. для
нашей системы равенство C) будет выполнено.
Заметим, что результаты метода средних существенно зависят от
способа группировки уклонений. Практика показывает, что наиболее
удачные эмпирические формулы получаются, если уклонения группи-
группируются в порядке последовательности их номеров (предполагаем,
что исходные данные упорядочены по одной из переменных) и каждая
группа уклонений содержит по возможности одинаковое число членов.
Пример 1. Количество Q вещества в %, оставшегося в системе
через t минут от начала химической реакции, дается таблицей [13]:
t
Q
7 | 12
83,7 | 72,9
17
63,2
22
54,7
27
47,5
32
41,4
37
36,3

§ 7]
МЕТОД CPF-ЛИИХ
95
Составить эмпирическую формулу для зависимости величины Q от
времени t.
Решение. На плоскости OtQ данная система точек (i!t QL) при-
примерно располагается на параболе с вертикальной осью. Поэтому будем
искать эмпирическую формулу в виде
Q=ati + bt+c. D)
Для определения коэффициентов а, Ь и с применим метод средних.
Подставляя табличные данные в формулу D), получаем выражения для
соответствующих уклонений!
й —83,7; е6 = 729а+ 276 +о—47,5;
а + + о — 72,9; ев= 1024а + 326 + в— 41,4j
3 = 289а+176 + с—63,2; е,= 1369а + 376 + с—36,3.
—54,7;
Для определения коэффициентов а, & и с по методу средних уклоне-
уклонения е,- нужно разбить на три группы. Объединим, например, в группу I
уклонения 8,, 82, Ез, в группу II — е4, 85 и в группу 111 — ее, 87. Тогда
получим систему
E)
F)
с =100,8295.
Q =0,0235^ — 2,6115/+ 100,8295. G)
Для сравнения в таблице 15 приведены результаты расчетов по фор-
формуле G).
Таблица 15
или ;
482а + 366 +Зс = 219,8, \
1213а + 49й + 2с= 102,2, \
2393а+ 696 +2с = 77,7. )
Решая систему F), находим а = 0,0235; 6 = —2,6115;
Следовательно, искомая эмпирическая формула имеет вид
Оценка точности эмпирической
1
2
3
4
5
6
7
83,7
72,9
63,2
54,7
47,5
41,4
36,3
Ql, вычисл. по
эмпирической фор-
формуле G)
83,70
72,88
63,23
54,75
47,45
41,33
36,38
формулы G)
Уклонения
Ч-Q.-Qi
0,00
+ 0,02
— 0,03
— 0,05
+ 0,05
+ 0,07
+ 0,08

96 ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ. II
§ 8. Метод наименьших квадратов
Пусть известен вид эмпирической формулы
av а2, .... ат) A)
ат)—Уг (/ = 1. 2, •••. «) B)
— уклонения эмпирической формулы A) от исходных данных (х(, у{).
Согласно методу наименьших квадратов (см. гл. J, § 4) наилуч-
наилучшими коэффициентами av а2, ... , ат считаются те, для которых
сумма квадратов уклонений
п
S(alt а2, ..., aie) = ^l[f(xi; av а2, ..., am) — yif C)
будет минимальной. Отсюда, используя необходимые условия экстре-
экстремума функции нескольких переменных, получаем так называемую
нормальную систему для определения коэффициентов
ai(i=\, 2, ... , m):
dS n dS n dS n u\
з— = 0, -s—= U, .... -s— = 0. D)
5a! da2 ' dam v '
Если система D) имеет единственное решение, то оно будет
искомым. Система D) упрощается, если эмпирическая функция
/(х; аг, а2, . . . , ат) линейная относительно параметров аг,
а2, ... , ат. Действительно, полагая
будем иметь
п
S(av ай, ..., am) = ^[a1(fl(xi)+...+am(fm(xi)-YiY,
где У( = У1 — Фо(^,). Отсюда
ТаГ= 2 Ф1 (*/) [в^ (*,-) + ... + amq>m (xt) - Y;] = 0, |
i=i
E)
¦* ""/В 1=1
Введя сокращенные обозначения
п л
(Ф/. Фа) = 2 Ф/ (*/) Фа ixi) и (Ф/. г) = 2 Фу (•*,) У»
1=1 i=i

§ 8] МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 97
систему E) можно записать в виде нормальной системы
«i(<Pi. <Pi) + <M<Pi, <Pj)+---+ea(q>i, Ф„) = (Ф1, К), )
. ¦ | E')
«1(ф«. фЛ+Мф,». Ф2)+ •••+«« (фя. ф») = (фя, У)-)
В частном случае, если эмпирическая функция есть полином *'
y = ao + a1x-\-...+amxm, то <pj(x) = xJ (у = 0, 1, 2, ... , да).
Отсюда имеем
(фу, ф*) —- 2j x'i+ — \
Следовательно, нормальная система E') будет иметь вид
аоп + ах [х] + а2 [х2] +...+ат [хт\ = [у],
Метод наименьших квадратов обладает тем преимуществом, что
если сумма 5 квадратов уклонений е(- мала, то сами эти уклонения
также малы по абсолютной величине. Для метода средних, где со-
составляется алгебраическая сумма уклонений, такого вывода сделать
нельзя.
Недостатком метода наименьших квадратов является громоздкость
вычислений. Поэтому к нему прибегают обычно при обработке наблю-
наблюдений высокой точности, когда нужно получить также весьма точ-
точные значения параметров. Заметим, что в этом случае промежу-
промежуточные вычисления нужно проводить с надлежащим количеством
десятичных знаков, так как в противном случае при неблагоприят-
неблагоприятных условиях искомые коэффициенты будут иметь мало верных
знаков. В частности, если происходит потеря цифр при вычитании, то
вычисления должны быть проведены с достаточным количеством
запасных верных значащих цифр. Здесь следует руководствоваться
следующим правилом: если численные значения коэффициентов жела-
желательно иметь с m верными значащими цифрами и если предвари-
предварительные вычисления показывают, что первые р цифр исчезнут при
вычитании, то вычисления должны быть произведены с т-\-р-\-\
верными значащими цифрами на всех стадиях работы [5].
Но грубые значения этих коэффициентов могут быть полу-
получены значительно проще, т. е. применение метода не будет оправ-
оправдано.
*) Для удобства обозначений мы изменяем нумерацию коэффициентов а,-.
4 Б. П. Демидовым и др.

98
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[гл. и
Пример 1. Используя метод наименьших квадратов, вывести эмпи-
эмпирическую формулу для табличной функции Q-=[(t) примера из § 7.
Решение. Полагаем
у = ахг + Ьх + с. G)
Для вычисления коэффициентов нормальной системы составляем таб-
таблицу 16. Тогда имеем следующую систему нормальных уравнений:
4088а + 154Й + 7с= 399,7, \
120736а+" 40886+ 154с = 7688,9, У
3795092а+120736& + 4088с =186054,3. 1
Решив эту систему, получим а = 0,023381; Ь = — 2,6066; с— 100,791.
Таблица 16
Определение параметров эмпирической формулы G) методом
наименьших квадратов
р
1
1
1
1
1
1
1
7
t
7
12
17
22
27
32
37
154 ;
р
49
144
289
484
729
1024
1369
4088
Р
343
1728
4913
10648
19683
32768
50653
120736
t*
2401
20736
83521
234256
531441
1048576
1874161
3795092
Q
83,7
72,9
63,2
54,7
47,5
41,4
36,3
399,7
tQ
585,9
874,8
1074,4
1203,4
1282,5
1324,8
1343,1
7688,9
PQ
4101,3
10497,6
18264,8
26474,8
34627,5
42393,6
49694,7
186054,3
Следовательно, искомая эмпирическая формула запишется так:
Q = 0,02338г2—2,6066* +100,79.
Таблица 17 показывает согласованность
формулы с опытными данными.
Таблица
Оценка точности эмпирической формулы (8)
(8)
полученной эмпирической
17
1
1
2
3
4
5
6
7
Q
83,7
72,9
63,2
54,7
47,5
41,4
36,3
Q , вы ч и ел. по
формуле (8)
83,69
72,88
63,24
54,76
47,46
41,32
36,36
Уклонение
e=Q~Q
+0,01
+0,02
—0,04
-0,06
+0,04
+0,08
—0,06

§ 8}-
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
99
Имеем 2 8? =0,0173.
Мы видим, что формула (8) согласуется с экспериментальными данными
несколько лучше, чем формула G) из § 7, вычисленная методом средних.
' Пример 2. Следующая таблица [1]
t
k
14,5
0
30,0
0,004
64,5
0,018
74,5
0,029
86,7
0,051
94,5
0,073
98,9
0,090
дает значения удельной электропроводимости k стекла в зависимости от
температуры t в градусах С.
Подобрать эмпирическую фор-
формулу для функции k = l(t).
Решение. Все точки
Mi(tit lgft,)(i=l, 2, . ..,7). за 0,09
исключением первой, примерно
расположены на прямой линии
(рис. 19).
Поэтому выбираем эмпири-
эмпирическую формулу в виде показа- 0,06
тельной функции
k = beat.
Для удобства положим
[000k=ceat, (
где с= 1000&. Логарифмируя 0,01
(9), будем иметь
j/ = lg \G00k = \gc + aMt, A0)
у/
/
N
/
/
/
J
/
1
А
1
/
0,8
1,0
1 9
i*
2,2
2,4
0 10 20 30 40 50 ВО 70 SO SO WO
Рис. 19.
где M=\ge = 0,43429.
Преобразованные данные помещены в таблице 18.
Таблица 18
1
14,5
30,0
64,5
74,5
86,7
94,5
98,9
1000*
0
4
18
29
51
73
90
Значения переменных t и
y=lg 1000ft
_
0,6021
1,2553
1,4624
.1,7076
1,8633
1,9542
*i
0,0019
0,0039
0,0185
0,0293
0,0512
0,0731
0,0893
Ai-=*-*i
—0,0019
—0,0001
-0,0005
-0,0003
—0,0002
-0,0001
-0,0007
У
*11
0,0025
0,0048
0,0200
0,0302
0,0499
0,0688
0,0825
д]1=й-йп
-0,0025
—0,0008
—0,0020
-0,0012
+0,0011
+0,0042
+0,0075

ЭМПИРИЧКСКИЕ ФОРМУЛЫ
[гл. и
^ффициенты lgc и аМ в формуле A0) определим двумя способами,
^рируя первую точку.
I. Метод средних. Определяем уклонения:
е1 = 0,6021—(lgc + ЗОа/И); е.,= 1,7076 —(lg с + 86,7аМ);
е2= 1,2553 — (lgc + 64,5a/H); е5 = 1,8633 —(lg с + 94,5а/И);
е3= 1,4624 — (lgc + 74,5aM); ео= 1,9542 —(lg c + 98,9a/W).
A1)
Отсюда, полагая е1 +
3 lgc+ 169аУИ =3,3198,
Решая систему A1), находим
аМ =
ев = 0, получим систему
3 lg с+ 280, \аМ =5,5251.
= 0,01985,
а = ~ • 0,01985 = 2,30258-0,01985 = 0,0457
lg с — 4- C,3198 —169-0,01985) = — 0,0116 = 1,9884,
о
Следовательно,
с = 0,9737.
к =0,9737- Ю-з-
A2)
11. Метод наименьших квадратов. Промежуточные вычисле-
вычисления приведены в таблице 19.
Таблица 19
Определение параметров формулы A0) методом наименьших
квадратов
1°
1
1
1
1
1
1
6
<
30,0
64,5
74,5
86,7
94,5
98,9
449,1
t'
900
4160,25
5550,25
7516,89
8930,25
9781,21
36838,85
у
0,6021
1,2553
1,4624
1,7076
1,8633
1,9542
8,8449
ly
18,063
80,967
108,949
148,049
176,082
193,70
725,380
Отсюда получаем нормальную систему
61gc+449,laM = 8,8449, 449,1 lg с + 36 839a/W = 725,380
74,183aM = 1,4742, lg с + 82,026aM = 1,6145.

§ 9] ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ С ДВУМЯ ПАРАМЕТРАМИ 101
Решая последнюю систему, находим аМ =0,01789; а = 0,0412 и lg с = 0,1471;
с= 1,403. Таким образом,
к= 1,403- Ю-з.ео,о412*. ' A3)
Результаты вычислений по формулам A2) и A3) приведены в таблице 18.
§ 9. Некоторые соображения о выборе вида
эмпирической формулы с двумя параметрами
Пусть для данной системы значений xh у{ (/=1, 2,..., я),
где п ^ 3 и хг < х% <С • • ¦ <Схп^ требуется найти эмпирическую
формулу вида
y = f(x; a, b), A)
содержащую лишь два параметра а и Ь.
Если окажется, что
^~ const, B)
то искомая зависимость линейная:
у^ах + Ь, C)
и задача, таким образом, легко решается.
Другим простым случаем является наличие квадратичной зави-
зависимости
— х1), D)
которая обнаруживается известными приемами (см. § 3).
Рассмотрим общий случай, когда соотношение A), вообще говоря,
не сводится к формулам C) и D).
Достаточным условием существования эмпирической формулы ви-
вида A), где/—известная функция, является совместность (с задан-
заданной точностью) системы уравнений </,-=/(л;,-; a, b) (i=l, 2, ...,«).
Исключая отсюда неизвестные а н Ь, получаем систему условий
для точек (Х[, г/,), обеспечивающую существование зависимости A).
Но такой подход является весьма сложным.
Выведем необходимое условие существования эмпирической зави-
зависимости вида A) для заданной системы точек (х{, (/,). Пусть Mi (xh у,),
Mj(Xj, i/y), Mk(xk, yk) — три системы значений из нашей совокуп-
совокупности. Предполагая, что кривая A) проходит через точки М-о Mj,
Мк, будем иметь:
у,.=/(лг,.; a, b), yj = f[Xj-, a, b), yk=f(xk) a, b). E)
Исключая из системы E) параметры а и Ь, получим соотноше-
соотношение вида
Ф(л;,-, Xj, хк, yh ур ук) = 0. F)

102 ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ. II
Выполнение равенства F) для любых значений i, j, k A^г'<[
<j<^k?S^.n) необходимо для существования зависимости A).
Так как проверка соотношения F) связана с трудоемкими вычис-
вычислениями, то на практике обычно ограничиваются одной тройкой
точек: начальной (xv ух), промежуточной {xs, ys) и конечной (хп, уп)
(с целью достижения наибольшего диапазона), т. е. полагают 1=1,
j=s (I <s <л), к —п.
Точку Ms выбирают так, чтобы соотношение F) было бы по воз-
возможности простым. Заметим, что иногда вместо промежуточной
точки Ms выгодно брать точку Ms(xs, ys), не принадлежащую на-
нашему ряду точек Mj\ тогда координаты xs и ys определяются интер-
интерполированием.
Пример 1. Получить необходимое условие для существования сте-
степенной зависимости
У = ах», G)
предполагая, что х,- > 0, yi > 0 (t = l, 2 п).
Решение. Выберем
xs = Vxi*n-
Из формулы G) имеем
У1 = ах\, ys = ajcbs=ax* x% , у„ = ахьп. (8)
Исключая из соотношений (8) параметры а и Ь, получим
У1Уп = У\> т- е- Уз=
Таким образом, для существования степенной зависимости G) необхо-
необходимо, чтобы среднему геометрическому xs значений х1 и хп соответствовало
среднее геометрическое ys значений у± и уп. Вообще, если имеет место
степенная зависимость G) и значения ж,- образуют геометрическую прогрес-
прогрессию, то значения у[ также образуют геометрическую прогрессию.
Если значение xs^=\/'x1xn не является табличным, то соответствующее
значение ys определяется с помощью интерполирования.
В дальнейшем в этом параграфе мы будем рассматривать наибо-
наиболее часто встречающиеся зависимости:
1. y=ax + b. \V.y=a+—. VI. </ = —?—..
" ' я ' х я ах-\-Ь
11. у = ахь. V. ^ = —J-7. VII. у = а\пх-\-Ь.
а 3 ax-\-b s '
111. y=abx.
Аналогично тому, как это сделано в примере 1, для существова-
существования зависимостей I—VII легко вывести простые необходимые усло-
условия вида

§ 9]
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ С ДВУМЯ ПАРАМЕТРАМИ
103
где xs = ф (xv xn) и ys=ty(y1, yn), причем предполагается, что
х{ > 0 и у,- > 0 (/= 1, 2, ..., п). Выражения для xs и ys приведены
в таблице 20.
Таблица 20
Простейшие необходимые условия для наличия эмпирических
зависимостей I — VII
№
1
11
III
IV
V
VI
Vll
~*s
xx + xn
2
(среднее ариф-
арифметическое)
Уххх„
(среднее гео-
геометрическое)
2
(среднее ариф-
арифметическое)
2ххх„
(среднее гармо-
гармоническое)
хх+хп
2
(среднее ариф-
арифметическое)
(среднее гармо-
гармоническое)
(среднее гео-
геометрическое)
Ух + Уп
2
(среднее ариф-
арифметическое)
У УхУп
(среднее гео-
геометрическое)
УухУп
(среднее гео-
геометрическое)
Ух + Уп
2
(среднее ариф-
арифметическое)
2уп у**
У\ + Уп
(среднее гармо-
гармоническое)
2yiyn
Ух + Уп
(среднее гармо-
гармоническое)
Ух + Уп
г
(среднее ариф-
арифметическое)
Вид эмпирической
формулы
у = ахь
y = abx или
где р = In b
b
X
1
X
ах -\-b
у — д ]п Х-\-Ь
Способ
вырявнивания
где X = \gx,
Y =a + fix,
где Y = lg у,
а= lga, P = lgb
Y=ax + b,
где Y=xy
Y—ax + b,
где К=1
Y-ax + b,
где Y = ±
y—aX'+b,
где X = lgx

104
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[гл. it
Таблица 20 облегчает выбор вида эмпирической формулы среди
указанных. Рекомендуется поступать следующим образом: для про-
проверки пригодности определенной эмпирической формулы, пользуясь
исходными данными, находим значения xs = xs и ys и сравниваем
последнее со значением ty (yv У„) = ^, помещенным в таблице. Пред-
Предпочтительнее та эмпирическая формула, для которой расхождение
\ys—ys\ возможно мало. Для окончательного выбора следует учесть
также промежуточные данные. Если величина \ys— ys\ большая, то
соответствующая эмпирическая формула непригодна.
Если значение Ц>(х1, xn) = xs не находится среди исходных
данных х;, то отвечающее ей значение можно определить посредст-
посредством линейной интерполяции
где x-t и xi+l — промежуточные значения, между которыми содержится
Следует иметь в виду, что такой подход в целом является грубо
ориентировочным, так как мы не учитываем поведение всех проме-
промежуточных данных (х,-, у,). Кроме того, таблица 20 охватывает
небольшое количество зависимостей и может случиться, что пере-
переменные хну подчиняются некоторой закономерности, не вошедшей
в наш список.
Заметим, что все зависимости, приведенные в таблице 20, методом
выравнивания могут быть просто преобразованы в линейные (ср. § 2).
Поэтому здесь можно использовать также критерий прямолинейности
(§ 2, формула F)) для преобразованных исходных данных (xh (/,).
Функции I — VII монотонные, и, следовательно, отвечающие
им упорядоченные данные {х(, г/,-) при Axl = xi+1 — xt > 0 (i —
= 1, 2, ..., п—1) должны обладать постоянным знаком приращения
кУ1 = У{+1 — У1 (« = 1. 2, ..., л— 1).
Если это обстоятельство не имеет места, то зависимости I — VII
противопоказаны.
Пример 2. Определить вид эмпирической формулы, отвечающей
следующей таблице!
к
У
273
29,4
283
33,3
288
35,2
293
37,2
313
45,8
333
55,2
353
65,6
373
77,3

Таблица 21
I
II
III
IV
V
VI
VII
-
Подбор эмпирической
i.+ » 2 323
Yxixn=V 273-373 = 319,1
2
2х1Ж„ о 273-373
*!+*„ *" 273 + 373 315>
Xi + Xn
2
^XlXn OIK 0
/*^= 319,1
У
v
2
0i
2
формулы на основании
l + Уг
2
У\У-л
ГУ\Уп
2
Л»»
+ Уп
1 + У,
2
2
= V 29,4-77,3 = 47
о 29,4-77,3
' 29,4 + 77,3 1
¦ = 53,05
критериев
35
,7
...
50,5
48,7
50,5
46,9
50,5
46,9
48,7
2,
1
2
6,
7
4
4
VII
-Ъ
85
,0
,8
45
,9
,3
65
(см. табл. 20)
Вид формулы
у = ах-\-Ь — мало подходит
у — ахь — подходит лучше
других формул
y = abx — мало подходит
. Ь
у = а-\ не подходит
1
" „„ 1 и ПС ПОДХОДИТ
ИХ "-J— О
X
J ax + b "С подходит
y = a]gx->rb — не подходит
ш
S
-с
3
п
ш
а
г
н
о
СП

106
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[гл. п
Решение. Будем искать эмпирическую формулу среди зависимостей
I—VII, имеющихся в таблице 20, согласно указанному рецепту. Резуль-
Результаты вычислений приведены в таблице 21, причем в необходимых случаях
применена линейная интерполяция.
Таблица 21 показывает, что согласно необходимому критерию следует
остановиться на степенной зависимости у = ахь.
Пример 3. Следующая таблица дает давление р насыщенного пара
в к.Г/см2, соответствующее удельному объему v в ма/кГ.
V
р
3
0
334.
482
1
1
,630
,034
0
2
,8657
,027
0
4
,4323
,247
.0
7
,2646
,164
. 0,
11
1699
,48
0,
17
1146
,60
Найти эмпирическую формулу для зависимости F (v, p)=0[l].
Решение. Подберем вид формулы, пользуясь таблицей 20. Остано-
Остановившись на формуле II, имеем
~^ = Vvrvn = 1^3,334-0,1146 = 0,618,
~Ps = V"fhP~n= ^0,482-17,60 = 2,92.
Значение ps, соответствующее 1^ = 0,618, найдем линейной интерполя-
интерполяцией:
= 2,027+-
4,247 — 2,027
0,4323—0,8657
@,618 —0,8657) = 3,295.
Так как отклонение | ps—р ^ | =0,375 сравнительно незначительное, то
можно выбрать эмпирическую формулу вида
p = at?>. A0)
Это согласуется также с природой газовых законов
Логарифмируя формулу A0), будем иметь
lgp = lga + b \gv.
Отсюда, полагая
X = \gv, Y = \gp,
получим линейную зависимость
Y = bX + lga. A1)
Значения
X, = lgu,. и K,=]gp,- (i = l, 2, .... 7)
приведены в таблице 22.
Построив точки M[(\gVi, lgp,)*), убеждаемся, что они расположены
на прямой линии (рис. 20); следовательно, выбор эмпирической формулы
произведен правильно.
*) При построении рекомендуется пользоваться логарифмической бумагой.

10] ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ТРИ ПАРАМЕТРА
107
Коэффициенты формулы A1) вычисляем методом средних. Состав-
Составляя уклонения е,= Ig a + b Ig а,-—
—Ig р,- (t = l, 2, ..., 7) и раз-
разбивая их на две группы:
,=0.
получим систему
3 Ig a + 0,6725* = 0,0043,
4 1ga — 2,6522* = 3,7886,
откуда
6 = —1,066,
Ig a = 0,2102
а =1,740.
Следовательно,
имеем
/kiV>m= 1,740.
окончательно
р
16
14
12
10
в
в
2
-0,8 -0,6 -0,
*
\
ч
¦
ч
ч
4-0.2
\
7 0
/
\
—
ч
в
12
W
0,8
Ц6 ^
''
0
0,2
A2)
Ц5 1,0 1,5 2,0 2,5 3fi 3,5 W и
Рис. 20.
В таблице 22 даны расхождения зяачений рь, полученных по фор-
формуле A2), с табличными данными р.
Таблица 22
Оценка точности эмпирической формулы A2)
V
3,334
1,630
0,8657
0,4323
0,2646
0,1699
0,1146
Р
0,482
1,034
2,027
4,247
7,164
11,48
17,60
Ig о
0,5229
0,2122
—0,0626
—0,3642
-0,5774
—0,7698
—0,9408
>g p
—0,3170
0,0145
0,3068
0,6281
0,8551
1,0599
1,2455
рэ, вычислен,
по ф-ле A2)
0,482
1,033
2,028
4,241
7,176
11,48
17,51
Д=Р-Ра
0,000
0,001
—0,001
о; 006
—0,012
0,00
0,090
2 = 0,084
0
1- 10-"
ь ю-"
36- 10~6
144- 10~в
0
8100 • 10~в
2 = 0,0083
§ 10. Эмпирические формулы, содержащие три параметра
В этом параграфе мы рассмотрим, для заданной системы значений
(X;, у,-) (/=1, 2, ..., п) табличных данных, важнейшие представи-
представители эмпирических формул вида
y=f{x; a, Ь, с), A)
где а, Ь и с — некоторые постоянные.

108 ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
1° Квадратичная зависимость. Пусть
• с.
Критерии дли квадратичной зависимости были указаны в § 4.
2° Степенная зависимость. Положим
у — ахь -\- с.
[га. н
B)
C)
Отсюда у — с—ахь. Логарифмируя это выражение, будем иметь
Отсюда, полагая lg(y— с) = У и \gx = X, получим линейную зави-
зависимость
Y=bX+lga. D)
Определение параметров формулы C) следует начать с нахожде-
нахождения с. Для этого составим среднее геометрическое xs = Ухххп, где
х\ и хп — кРаиние значения переменной х, и, пользуясь чертежом
или методом линейной интерполяции для xs, найдем соответствую-
соответствующее значение ys. Предполагая, что точки Мх(хх, ух), Ms{xs,ys),
Мп (хп, уп) расположены на кривой C), будем иметь три равенства:
y1 = c-\-axb1, yt = c + ax%, yn = c+axbn.
Возводя xs = y ХуХн в степень b и умножая на а, получим
axbs = Vax\ax^ или ys—c= У(Уг — с) (уп— с).
Решая последнее равенство относительно с, находим
_
Когда с определено, строим точки N^X,-, К,-), где X1- = lgJf,-,
F, = lg(i/1 — с) (г = 1,2, ...,п). Если эти точки располагаются пря-
прямолинейно (или почти прямолинейно), то оправдана зависимость C),
причем постоянные а и b находятся обычным способом.
Пример 1. Для переменных хну дана таблица значений:
X
У
250
0,10
500
0,28
900
0,80
1200
1,38
1600
2,56
2000
4,10
Найти эмпирическую формулу, связывающую эти переменные [12].
Решение. Построим эмпирическую формулу вида
Надодим xs= Vxi^n= К250-2000 = 707. На графике этому значению «3

§ 10] ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ТРИ ПАРАМЕТРА
109
соответствует ys = 0,507; отсюда
0,10-4,10 — @,507J
С -
= 0,048.
'0,10 + 4,10—2-0,507
Остальные параметры а и ft найдем методом средних.
Составляем начальные уравнения
lg((/,— 0,048) =lga + & lgx,- A = 1,2, ...,6).
Будем иметь
—1,2840 = lg а+ 2,3979 6, 0,1245 = lg a + 3,0792 Ь,
—0,6345 = lg a + 2,6990 Ь, 0,4000 = lg a + 3,2041 ft,
— 0,1238 = lg а + 2,9542 ft, 0,6077 = lg a + 3,3010 6.
Группируя эти уравнения по три, получим
—2,0423 = 3 lga + 8,0511 ft, 1,1322 = 3 lg a + 9,5843 ft.
E)
Решая систему E), находим a = 5,789-Ю и 6 = 2,071. Следовательно,
искомая эмпирическая формула будет иметь вид
(/ = 5,789- l(rW?i + 0,048. F)
Сравнение значений у, полученных по формуле F), с табличными данными у
показано в таблице 23.
Таблица 23
к
250
500
900
0
0
0
Оценка
и
,10
,28
,80
0,
0,
0,
точности
0
102
чп
808
— 0
+ 0
—0,
эмпирической
-у
002
007
008
X
1200
1600
2000
формулы
У
1,38
2,56
4,10
(в)
1,
2,
4,
и
426
552
020
в=у
— 0,
-ю,
+ 0
— У
046
008
080
3° Показательная зависимость. Пусть
y = aebx+c. G)
Перенося слагаемое с влево и логарифмируя, получим
где М = 0,43429.
Таким образом,
K=lga+6M*r, (8)
где Y=\g(y — c).
Сначала определим параметр с. Для этого, как и в предыдущем
случае, выберем крайние точки Мх (xlt уг) и Мп (хп, уп) и составим
среднее арифметическое
Для значения xs найдем соответствующее значение ys (или из чертежа,

по
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[ГЛ. II
или линейной интерполяцией). Подставляя эти значения в эмпири-
эмпирическую формулу G), будем иметь
ь
у1 — аеЬх* -\- с; уп = аеЬхп-\-с; ys = ae2 ' '+с.
Отсюда уг — с = аеЬх\ уп — с = аеЬх^, и, следовательно,
(i/i — с) (у„ — с) = (ys — сJ.
Решив последнее уравнение относительно с, получим
Если обнаружена линейная зависимость (8), то остальные пара-
параметры а и b находятся обычными приемами.
Выведем аналитический критерий для показательной зависимо-
зависимости G), предполагая, что значения xt равноотстоящие, т. е.
Axt• = h = const (i=l,2, ...,n — 1).
Из формулы G) имеем у; — aebx^ -\- с и <//+1 = ae*<Jt'+A)-f-c. Отсюда
У1+1 — yi = b-yi = a1ebx-', (9)
где al=a(ebk—1). Логарифмируя равенство (9), получим
, g1 + i
Таким образом, при наличии зависимости G) точки Ni {xh lgA(/,)
(/ = 1,2, .. ., п—1) расположены на прямой линии. Следовательно,
учитывая, что Адг,- постоянны, получаем искомый критерий
A (lg Ay;) = const (/=1, 2, .. ., я —2). A0)
Замечание. Что касается эмпирических формул, содержащих
свыше трех параметров, то они редко встречаются на практике, и мы
детально рассматривать их не будем.
Пример 2. Для переменных х и у дана таблица значений:
X
У
0
1,30
0,1
1,44
0,2
1,59
0,3
1,78
0,4
1,97
0,5
2,19
0,6 0,7
2,46 | 2,74
0,8
3,06
0,9
3,42
1,0
3,84
Найти эмпирическую формулу для зависимости между х и у.
Решение. Составим таблицу разностей Д(// (таблица 24).
Таблица 24
Проверка на показательную зависимость
X
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
у
1,30
1,44
1,59
1,78
1,97
2,19
|Дг/
0,14
0,15
0,19
0,19
0,22
0,27
lg <Д</)
-0,854
—0,824
-0,721
—0,721
-0,658
—0,569
Д (lg Д</)
0,030
0,103
0,000
0,137
0,089
0,016
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
и
2,46
2,74
3,06
3,42
3,84
Дг/
0,28
0,32
0,36
0,42
lg (Д{/)
-0,553
—0,495
—0,444
-0,377
Д (lg Ду)
0,058
0,051
0,067

§ 10] ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ТРИ ПАРАМЕТРА
111
Так как разность Ау монотонно растет, то зависимость между х и у не
является линейной.
Проверяем критерий A0) для показательной зависимости G). Из таб-
таблицы 24 видно, что имеется значительный разброс для Д (lg A(/): Поэтому
формулу y = ael>x-{-c можно принять лишь в качестве грубого приближения.
Найдем
отсюда
*«) = 4" @+1,0) = 0,5,
3,84-1,30 — B,19)*
= 0,258.
1,30 + 3,84—2-2,19
Параметры а и Ь определим по методу средних. Имеем
lg(y,-—0,258) = lga + (ftAf)je,- (' = 0,1, ..., 10).
Составим два уравнения:
5 5
1=0
ю
«=о
ю
Подставив значения л;,- и </,-, получим систему
0,9169 = 6 lga+l,56/W, 2,2392 = 5 lg a + 4,06/И,
откуда a =1,044; 6=1,234. Следовательно, искомая эмпирическая формула
имеет вид
3" + 0,258. Ml)
Согласованность полученной формулы с исходными данными показана
в таблице 25.
Таблица 25
Уклонения эмпирической формулы A1)
от табличных данных
X
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
у
1,30
1,44
1,59
1,78
1,97
2,19
2,46
2,74
3,06
3,42
3,84
у, вычисл.
по форму-
формуле A!)
1,302
1,439
1,594
1,770
1,968
2,193
2,447
2,735
3,048
3,428
3,844
&.=!/ -у
— 0,002
+ 0,001
— 0,004
+ 0,010
+ 0,002
— 0,003
+ 0,013
+ 0,005
+ 0,012
-0,008
— 0,004

\\2 ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ. II
§11. Уточнение полученной эмпирической формулы
Укажем простой прием уточнения полученной эмпирической фор-
формулы в случае, если она дает сумму квадратов уклонений более
значительную, чем это желательно.
Пусть для заданной системы значений (#,-,{/,•) (/=1,2, ..., п)
найдена эмпирическая формула
У =/(*)¦ 0)
Требуется уменьшить сумму квадратов уклонений
1=1 i =i
где е,-= </,-/(*,) (г ==1,2, ...,я)*).
Рассмотрим функцию
где с — некоторая постоянная величина.
Подберем число с так, чтобы сумма квадратов новых уклонений
s=%l*t = 2 [у,-/(*<)-с]2 C)
1=1 1=1
была минимальной. Очевидно, имеем
Для минимума функции s = s (с) необходимо, чтобы
' = 1
n
Отсюда яс=2ер и, следовательно,
1= 1
га
i = l
Так как — = 2и > 0, то значение D) дает наименьшее значение
для суммы квадратов s.
Итак, наилучшей постоянной с является среднее арифметическое
уклонений tj.
*) Для упрощения дальнейших формул мы изменяем знак уклонения.

§ 11}
УТОЧНЕНИЕ ПОЛУЧЕННОЙ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ
113
Таким образом, если сфО, то прибавление к правой части эмпи-
эмпирической формулы A) постоянного числа с, определяемого формулой
D), приводит к уточнению этой формулы в смысле суммы квадратов
уклонений, так как s < s. Если с = 0 или близко к нулю, то ука-
указанный прием не дает нужного эффекта. В этом случае можно поло-
положить
где ф (х) — известная функция, не обращающаяся в нуль во всех
п
точках дг,-, т. е. такая, что 2 Ф (-^iJ > О- Отсюда
< =1
п п
5х= 2j [Hi—f(xi) — C(f (хдГ = 2j [C(f(xi)—e,J •
i=l i=1
Необходимое условие для минимума функции s дает
следовательно,
2 е/Ф
E)
Так как
то наилучшей постоянной для нашей цели является «среднее взве-
взвешенное» уклонений в,-, определяемое формулой E). В частности,
если ц>(х) = х, то имеем
Пример. 1, Для табличных данных
X
У
8
1,30
10
14,0
15
15,4
20
16,3
30
17,2
40
17,8
60
18,5
80
18,8

114 ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ. II
получена эмпирическая формула
У== 0,051* + 0,209" F)
Путем прибавления постоянной уточнить эту формулу.
Решение. Полагаем
0,051*+ 0,209
(см. таблицу 26). Поэтому
*
где c=
у=;
, + 0,06 =
1,0031*+0,0125
,051*+ 0,209 ' "'"" 0,051х + 0,209 "
Результаты уточнения приведены в таблице 26.
Сравнение эмпирических формул F) и G)
G)
Таблица 26
X
8
10
15
20
30
40
60
80
У
13.0
14,0
15.4
16,3
17,2
17,8
18,5
18,8
Ч по фор-
формуле F)
12,97
13,91
15,40
16,27
17,25
17,79
18,39
18,65
У по
уточи,
ф-ле G)
13,02
13,96
15,45
16,32
17,30
17,84
18,44
18,70
"-У-У
+0,03
+0,09
0,00
+0,03
—0,05
+0,01
+0,11
+0,15
0,47
9-10~4
8Ы0
0
9-10~4
25.10-"
Ы0
121.Ю-4
225-Ю-4
0,0471
—0,02
+0,04
—0,05
—0,02
—0,10
—0,04
+0,06
+0,10
-0,03
4-10-"
16-Ю-4
25-10~4
4-10~4
100-Ю
16-Ю-4
36-10
100-Ю-4
0,0301
§ 12. Общий метод определения параметров
эмпирической формулы
До сих пор мы рассматривали в основном эмпирические форму-
формулы, линейно зависящие от параметров (или приводимые к такому
виду), и для этого частного случая давались эффективные методы
определения параметров. Сейчас мы укажем общий метод определе-
определения параметров эмпирической формулы, не предполагая ее линей-
линейности относительно параметров.
Пусть для совокупности значений (xit «/,-) (i=l, 2, ..., п)
построена эмпирическая формула
у=/{х; аг, а2
A)

§ 12] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ 115
содержащая от параметров (от < п), причем функция / имеет непре-
непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Требуется
определить параметры ах, а2, ..., ат так, чтобы формула A) ока-
оказалась согласованной с исходными данными, т. е. невязки (уклонения)
ei = yi—/(xi; ах, аг, . .., ат) (i = 1, 2, . . ., п)
должны быть возможно малыми по абсолютной величине.
Если бы исходные данные (xit (/,) не содержали ошибок и зави-
зависимость / была бы точной, то задача отыскания значений парамет-
параметров а,(г = 1, 2, . . ., т) свелась бы к решению т уравнений (т •< п)
из следующей системы п уравнений:
B)
=/{х2; ах, а2, . .., ат),
У ц J \ ft* 11 2' • • * j rti''
Однако на практике, ввиду отсутствия указанных обстоятельств,
система B) обычно является несовместной, т. е. значения парамет-
параметров ai(i=\, 2, ..., от), найденные из некоторых от уравнений си-
системы B), не удовлетворяют остальным п — от уравнениям.
Для приближенного решения системы B) поступают следующим
образом. Каким-либо способом (например, графически или путем
решения выбранных т уравнений системы B)) находят грубые зна-
значения параметров а[°\ а[°\ .. ., а,',"*.
Пусть
а, = ai +ai (i=i, ¦*, ...,от), C)
где а,- — поправки, которые считаются «малыми», и
е/ = У/—f (х/> ai i а2 1 • • • 1 ат ) (/'= 1,2, . .., п)
— соответствующие невязки. Подставляя значения C) в уравнения
системы B) и разлагая правые части полученных уравнений по сте-
степеням поправок а,-, удерживая лишь члены первого порядка относи-
относительно этих поправок, будем иметь
(у=1, 2, ...,л).
Вводя сокращенные обозначения У'ак(ху, а[а\ аB°\ ..., а\п)) — Ь,к
(j= 1,2, ..., п; k= 1, 2, . . ., /и), находим
23*уЛ = еГ (/=.1,2, .... л). D)
/е — 1

116
•ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[ГЛ.
Система D) линейна относительно неизвестных поправок ak (k =
= 1, 2, . . ., т) и является, вообще говоря, несовместной, так как
число уравнений ее больше числа неизвестных.
Уравнения системы D) называются условными, а сама система —
системой условных уравнений.
Система условных уравнений D) может быть «решена», в извест-
известном смысле, описанным выше методом средних (§ 7) или методом
наименьших квадратов (§ 8).
Подставляя в нелинейную систему B) найденные значения
,- (/=1,2, ...,
можно определить новые невязки е/1} и в случае необходимости по-
повторить процесс.
Замечание. Если значения у( в системе B) получены в ре-
результате измерений, то следует позаботиться, чтобы эти значения
были равноточными. В противном случае необходимо ввести соот-
соответствующие веса [11].
Пример 1. Результаты эксперимента характеризуются следующей
таблицей [11]:
X
У
0
2,01
1
1,21
2
0,74
3
0,45
Предполагая, что переменные хну подчиняются показательной зави-
зависимости
у = ае , (о)
определить наилучшие значения параметров а и Ь.
Решение. Подставляя табличные данные в формулу E), получим
систему
о = 2,01, ое-*=1,21, ое-62 = 0,74, ае~63 = 0,45. F)
Решая, например, первые два уравнения этой системы, будем иметь
грубые значения параметров а@) = 2,01, 6@) = 0,51.
Для нахождения поправок а = а—а@\ E = &—&<0) составим систему ус-
условных уравнений D). Соответствующие значения производных
и невязок е@1 = (/—alo)e~'|W x помещены в таблице 27.

§ 12]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ
Таблица 27
Коэффициенты условных уравнений
117
X
0
1
2
3
(
1
0
0
0
да/о
,600
,361
,216
\db
0
—1,
— 1,
j
/0
206
451
302
i
0
0
0
0
(о)
,004
,014
,016
Отсюда получаем систему условных уравнений
0,600а —1,2060 = 0,004,
0,361а—1,4510 = 0,014,
0,216а—1,3020 = 0,016.
G)
Для решения системы G) применим метод наименьших квадратов. Проме-
Промежуточные вычисления приведены в таблице 28, где са и Са обозначают
коэффициенты при а и 0 в системе G) и с0 — соответствующие свободные
члены.
Таблица 28
Решение системы G) методом наименьших квадратов
1
0,600
0,361
0,216
S
0
—1,206
— 1,451
—1,302
0
0,004
0,014
0,016
1
0,3600
0,1303
0,0467
1,5370
0
—0,7236
—0,5238
—0,2812
— 1,5286
0
1,4544
2,1054
1,6952
5,2550
сас„
0
0,00240
0,00505
0,00345
0,01090
0
—0,00482
—0,02031
—0,02083
—0,04596
Следовательно, нормальная система уравнений имеет вид
1,5370а—1,52860 = 0,01090, — 1,5286а+ 5,25500= —0,04596.
Решив эту систему, найдем а=—0,004, 0=—0,009. Отсюда получаем
исправленные значения параметров
а = 2,01—0,004 = 2,006, 6 = 0,51—0,009 = 0,501.
Таким образом, искомая эмпирическая формула есть
!/==2,006<Г0'б01д;.
(8)
В таблице 29 приведено сравнение результатов, даваемых эмпирической
формулой (8), с табличными данными.

118
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[ГЛ. II
Таблица 29
Сравнение значений эмпирической
формулы (8) с табличными данными
X
0
1
2
3
У
2,01
1,21
0,74
0,45
~у
2,006
1,215
0,736
0,446
0
—0
0
0
1-1
,004
,005
,004
,004
1
2
1
1
,6
,5
,6
,6
е'
• Ю
¦ Ю
• Ю-6
• Ю
28/2=7-3'10~6
Заметим, что с помощью логарифмирования формулы E) легко полу-
получить эквивалентную формулу, линейно зависящую от подходящих пара-
параметров.
Пример 2. Для переменных х и у, значения которых заданы сле-
следующей таблицей:
X
У
0
2,05
0,2
1,944
0,6
1,638
1,2
0,907
1.6
0,423
2
0,028
установлена эмпирическая зависимость
у = е€х (a sin х + 6 cos x).
(9)
Определить значения параметров а, 6 и с в формуле (9).
Решение. Подставив в эмпирическую формулу (9) данные значении
(ж,-, </,), получим следующую систему уравнений:
2,05 =6, -I
1,944 = ео'2с @,1987а + 0,98016), |
1,638 = е°'вс @,5646а+ 0,82536), I A0)
0,907 =ехлс @,9320а + 0,36246), I
0,423 = е1 лс @,9996а — 0,02926),
0,028 = е2С @,9090а —0,41696). J
Решая приближенно, например, первые три уравнения системы A0),
найдем ао=1, 60 = 2,05, со=—0,495.
Положим а = ао + а, 6 = 60 + р, с = сй-\-у.
Для определения поправок а, р и у составим линейную систему услов-
условных уравнений D). Значения производных
ac
= хеса-х, (а0 sin х + 60 cos x)

§ 12] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ
и невязок
е@1 = у—е'«* (аа si п х + b0 cos дс)
помещены в таблице 30.
119
0
0
0
1
1
2
X
,2
,6
,2
,6
Коэффициенты условных
(ду\
\ да Jo
0
0,1795
0,4183
0,5167
0,4536
0,3378
(Л)
V дЬ Jo
1
0,0886
0,6114
0,2009
—0,0132
-0,1549
(
0
0
1
1
0
0
Т аб л
уравнений
дс Jo
,3992
,0030
,1141
,6832
,0404
е
0
—0,
—0,
—0
—0
—0
ица 30
в)
0540
0336
0214
0034
0072
Отсюда система уравнений для поправок имеет вид
0,1795а+ 0,08860 +0,3992v=—0,0540,
О,4183а + О,61140+l,0030v =—0,0336,
0,5167а + 0,20090+1,1141v=—0,0214, \ A1)
0,4536а —0,01320+ 0,6823v=—0,0034,
0,3378а — 0,15490 + 0,0404у=— 0,0072.
Решение системы A1) будем искать методом средних. Группируя по два
уравнения системы, получим
0,1795а+1,08860 + 0,3992v= —0,0540, \
0,935Оа + О,81230 + 2,1171у=—0,0550, \ A2)
0,7914а —0,16810 + 0,7227у= —0,0106. I
Решая обычным методом систему A2), находим а=—0,0266; 0=—0,0466;
V = 0,0036. Следовательно,
а= 1—0,0266 = 0,9734; 6 = 2,05 — 0,0466 = 2,0034;
с= —0,495 + 0,0036= —0,4914.
Таким образом, искомая эмпирическая формула имеет вид
у = е-о,4ви* @,9734 sin ж+ 2,0034 cosх). A3)
В таблице 31 даны расхождения между значениями функции у, най-
найденными по эмпирической формуле A3), и табличными значениями у.
Таблица 31
Характеристика точности эмпирической формулы A3)
0
0
0
к
,2
,6
2,
1,
1,
У
050
944
638
2
1
1
У
,003
,960
,640
Д=у
0,
—0,
—0,
-у
047
016
002
1
1
2
2
6
0
0
0
,907
,423
,028
0
0
0
у
,906
,417
,019
д=
0
0
0
у-у
,001
,006
,007

120 ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ II
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ II
[1) Семендяев К. А., Эмпирические формулы, ГТТИ, 1933.
[2| Успенский А. К., Выбор вида и нахождение параметров эмпири-
эмпирической формулы, 1960.
[3] Уорсинг А. и Геффенер Дж., Методы обработки эксперимен-
экспериментальных данных, ИЛ, 1949.
[4| Уиттекер Э. и Робинсон Г., Математическая обработка резуль-
результатов наблюдений, ГТТИ, 1933.
[5] Скарборо Дж., Численные методы математического анализа, ГТТИ
1934, гл. XVI.
[6| Б л о х Л. С, Основные графические методы обработки опытных дан
ных, Машгиз, 1951.
[7] Цукерман М. Л., Эмпирические формулы, 1932.
[8| Т у м а р к и н С. А., Об оценке ошибок в методе средних, Труды
ЦАГИ, вып. 198 A935).
[9] К р ы ж а н о в с к а я М. П., Эмпирические формулы и основы номо-
номографии, 1949, § 8.
[10] Фролов С. В., Приближенные вычисления, 1948, Изд. МВТУ, гл. III.
[11] Берез ин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, «Наука»,
1966, т. I, гл. V.
[12] Батунер Л. М., Позин М. Е., Математические методы в химиче-
химической технике, Госхимиздат, 1963, гл. XII.
[13] Яковлев К- П., Математическая обработка результатов измерений,
Гостехиздат, 1953.
[14] Виньерон А., Обработка результатов физико-химических наблюде-
наблюдений, ОНТИ, 1936.
[15] Демидович Б. П., Марон И. А., Основы вычислительной мате-
математики, «Наука», 1966, гл. XIV, § 18.

ГЛАВА III
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Общие замечания
Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением [1] —
[5] является уравнение первого порядка
</'=/(*, </)• A)
Основная задача, относящаяся к этому уравнению, есть задача Коши:
найти решение уравнения A)
удовлетворяющее начальному условию у(
требуется найти интегральную кривую
</ = «/(#), проходящую через заданную
точку М0(х0, у0) (рис. 21). Если правая
часть f(x, у) непрерывна в области
R, определяемой неравенствами
B)
иными словами,
— хо
— уо\
X
Рис. 21.
то существует по меньшей мере одно реше-
решение B), определенное в некоторой окрест-
окрестности \х—л:0|</г, где Л—положитель-
Л—положительное число. Это решение единственно, если в R выполнено условие
Липшица
\f(x, y)~f(x, y)\<N\y-y\, C)
где N—постоянная (константа Липшица), зависящая в общем
случае от а и Ь. Если f(x, у) имеет ограниченную произ-
производную fy (х, у) в R, то можно положить
N=max.\fy(x, y)\ при (х, у) ? R.

122
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. III
Для дифференциального уравнения л-го порядка
У{П)=/(х, у, у', ... , г/"»)
задача Коши состоит в нахождении решения у = у(х), удовлетво-
удовлетворяющего начальным условиям
У (хо) = «/с У' (*о) = tf'o. ¦ • • , УКп~1) (*о) = УТ1],
где л;0, у0, у'о, ... , t/(S~"— заданные числа.
Пример 1. Дифференциальные уравнения свободных колебаний
маятника в сопротивляющейся среде [6|, [7].
Пусть в — угол отклонения (рис. 22), t — время. Предполагая,
что сопротивление среды R пропорционально скорости, получаем для
в = 0 (/) нелинейное дифференциальное урав-
уравнение второго порядка
D)
где а и Ь — положительные постоянные.
Начальные условия имеют вид
где
т. е. в начальный момент < = <0 задаются:
1) начальное отклонение в0,
2) начальная угловая скорость в0.
В приложениях часто встречаются систе-
системы обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений. Ограничимся рассмотрением нормальной системы и-го
порядка обыкновенных дифференциальных уравнений:
dyl
¦
Рис. 22.
= /i(*> Ун У г, • • • - Уп)>
E)
где х — независимая переменная, ylt уг, ..., уп — искомые функции.
Систему, содержащую производные высших порядков и разрешен-
разрешенную относительно старших производных искомых функций, путем
введения новых неизвестных функций можно привести к виду (&),
В частности, для дифференциального уравнения л-ro порядка
Ут=/(х, у, у1, ... , У"-11), F)

§ 1]
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
полагая yt = y , уг = у , ...
лентную нормальную систему
dy „
— „("-!>
123
, будем иметь эквива-
Уп-±У-
G)
Воспользовавшись векторными обозначениями
У-
Г dih 1
dx
dx
j
dx
систему уравнений E) можно записать более просто:
"Л
(8)
где / =
L/J
— заданная вектор-функция.
Под решением системы E) понимается любая совокупность
функций
У =
(9)
¦ffn
которая, будучи подставлена в
уравнения E), обращает их в
тождества. Геометрически каж-
каждое решение (9) представляет
собой некоторую линию L [инте-
[интегральная кривая в простран-
пространстве ?"+1 = {*, ylt ... , уп),
рис. 23), а совокупность
всех решений образует поле интегральных кривых.
Так как система дифференциальных уравнений имеет бесчислен-
бесчисленное множество решений, то для выделения одного конкретного
У,
х0
Рис. 23.

124 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ill
решения у =_у (х)у кроме уравнения, нужны дополнительные условия.
В простейшем случае задаются начальные условия
У(хо)=ут, A0)
что приводит к задаче Коши.
Задача Кош и. Найти решение у — у (х) системы E) или
соответствующего векторного уравнения (8), удовлетворяющее за-
заданным начальным условиям A0), где х0 — фиксированное значение
независимой переменной и
— данная система чисел.
Геометрически это значит, что требуется отыскать интегральную
кривую L, проходящую через заданную точку Мо (х0, у["\ . . . , (/„"')
пространства Еп + 1 (рис. 23).
Если х интерпретировать как время, a ylt . . . , уп — как обоб-
обобщенные координаты некоторой механической системы, то получим
следующий аспект задачи Коши: зная дифференциальные уравнения,
управляющие механической системой, а также состояние ее в началь-
начальный момент времени х0, определить состояние системы в любой
момент времени х.
Гарантия однозначной разрешимости задачи Коши дается приве-
приведенными ниже достаточными условиями.
Теорема существования и единственности ре-
решения. Пусть в некоторой окрестности начальных значений
U{\x-xo\<a, l^-j^'l^, ••• , \Уп-У^\<Ьп)
система E) обладает следующими свойствами:
1) правые части /х, /2, ... , fn определены и непрерывны в U;
2) функции /,. (/=1, 2, ... , п) в окрестности U удовлетворяют
условиям Липшица по зависимым переменным уг, у2, ... , уп, т. е.
\fi(x, у,, ... , yn)-fi(x, ylt ... , ya)\^N^\ yj-yj\ (И)
(i = l, 2, ... , n),
где
(x, Vi, ...,«/„)€ U, (x, i/i, .. • , yn) € U
и N—некоторая постоянная (константа Липшица). В этом случае
существует единственное решение системы E) уг = Ух (х), ...

§ 1]
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
125
• • • 1 У„ = </„(•*)> определенное в некоторой окрестности, \х — д;0 | < h
и. удовлетворяющее заданным начальным условиям:
Иными словами, при выполнении условий 1), 2) задача Коти раз-
разрешима и решение единственно, т. е. через точку ЛТ0 (лг0, </0), . . . , (/0)\
проходит единственная интегральная кривая системы E).
9
щ
х
Рис. 24.
Заметим, что вместо условий Липшица достаточно потребовать
наличия ограниченных производных ^ (/, /=1, 2, .. . , п) в окре-
аУ/
стности U; тогда за константу Липшица можно принять
7V=max
Рассмотрим примеры некоторых систем дифференциальных урав-
уравнений.
Пример 2. (Основная задача внешней баллистики [8].) Приведем диф-
дифференциальные уравнения движения материальной точки (снаряда) в сопро-
сопротивляющейся среде (рис. 24).
Пусть т — масса точки; х, у—текущие координаты точки в вертикаль-
вертикальной плоскости Оху; t—время; v — вектор скорости; в — угол, образованный
вектором скорости с горизонтальной осью Ox; R—вектор сопротивления
среды (направлен по касательной к траектории); g — ускорение силы тя^
жести.
На основании второго закона Ньютона получаем дифференциальные
уравнения движения
№х
-^-=—/?cos6,
d2u
^f-=—mg—Я sine.
A2)
Обычно предполагают [8], что величина силы сопротивления среды
R = mF(v)H{y), A3)

126
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. lit
где множитель F (о) зависит только от величины скорости v = \v\, а второй
И (у) — от высоты поднятия у. Функции F (v) и Н (у) задаются таблично,
с учетом реальной обстановки.
Подставляя выражение A3) в систему A2), после сокращения на т
будем иметь
A4)
Чтобы привести систему A4) к нормальному виду E), введем новые
переменные' '
которые представляют собой соответственно горизонтальную (u = vx) и вер-
вертикальную (oj = tO проекции скорости v.
Вводя обозначение G (v) = и учитывая, что и
~- ,
= W,
= -H(y)G(v)u,
A5)
вместо системы A4) получим нормальную
систему четвертого, порядка:
dx
TF = U'
dt
~dt
~= -g-H(y)G(v)w,\
где v= V u'iJ\-w2.
Если предположить, что снаряд был
брошен в момент времени t = 0 из точки
О @, 0) со скоростью, по величине рав-
равной ve и направленной под углом 80 к горизонту, то начальные условия
будут иметь вид
Рис. 25.
=0, и @) =
в0,
во.
A6)
Считая, что функции Н (у) и G (v) непрерывно дифференцируемы, легко
убедиться, что задача Коши A5), A6) имеет единственное решение, т. е.
начальные условия A6) однозначно определяют траекторию снаряда.
В общем случае система A5) элементарно не интегрируется, тем более
что функции Н (у) и G (v) носят эмпирический характер и задаются таб-
таблично. Поэтому систему A5) приходится решать численно.
Обычно интересуются еще максимальной высотой подъема снаряда
i/max = y('i) и дальностью полета хтах = х (i%). Для нахождения этих величин
нужно соответственно решить краевые задачи (см. гл. IV)
y'('i) = 0 и y{tt) = Q:
Пример 3. (Задача трех тел [9]). Речь идет о дифференциальных
уравнениях движения трех материальных тел, взаимодействующих между
собой по закону всемирного тяготения Ньютона.

§ 1] ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 127
Пусть в пространстве Oxyz имеются три тела с массами тъ т2 и тг
(рис. 25), занимающие в момент времени t соответственно положения xit
УЬ г1 ('¦='> 2, 3). Конкретной моделью нашей задачи может служить, на-
например, система Земля — Луна—спутник.
В механике доказывается [9], что для системы гп; (« = 1, 2, 3) сущест-
существует потенциальная функция
У ^т^тъ тгт3 т3т±
'з гг rt
Отсюда дифференциальные уравнения движения системы трех тел будут
dPxt dU d?Ui dU d4t dU ' , „ ,ч „,ч
Полагая
d.X: dtJ: dZ/
If lT~Vi 7-Wi
будем иметь нормальную систему 18-го порядка:
dxi dy: dz-,
\
dU,- ЗУ dU: dU dW: dU j
Начальные условия сводятся к заданию системы восемнадцати чисел
— начальных положений тел и проекций их начальных скоростей.
Решив задачу Коши A8), A9), получим законы движения тел в конеч-
конечной форме:
' *,- = Ф."@.' Sf/ = 4>/@. г,- = Х,(О 0 = 1.2,3)
и дополнительно законы изменения их скоростей:
и,=Ф;(о. о,-=*;«). »,-=хдо (<=1.2,3).
Даже для простейшего дифференциального уравнения первого
порядка A) нахождение решения, отвечающего заданным условиям,
вообще невыполнимо с помощью конечного числа математических
операций. Тем более это неосуществимо для системы дифференци-
дифференциальных уравнений.
Указанное обстоятельство привело к созданию большого числа
методов приближенного решения дифференциальных уравнений, ос-
основанных на самых различных идеях.
Все эти методы в зависимости от формы, в которой они пред-
представляют решение, в основном можно разделить на три группы:
1. Аналитические методы, дающие приближенное решение
дифференциального уравнения в виде аналитического выражения.

128 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. III
2. Графические методы, дающие приближенное решение
в виде графика.
3. Численные методы, дающие приближенное решение
в виде таблицы.
Следует отметить, что приведенная классификация методов при-
приближенного интегрирования является в известной мере условной.
Так, например, графический метод ломаных Эйлера дает одновре-
одновременно способ численного решения дифференциального уравнения.
При дальнейшем изложении будем предполагать, не оговаривая
этого каждый раз, что для рассматриваемых дифференциальных урав-
уравнений выполнены обычные условия существования и единственности
решений. Для применимости некоторых методов потребуются более
жесткие условия, которые будут указаны в соответствующих местах.
§ 2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью
степенных рядов
Рассмотрим сначала дифференциальное уравнение первого порядка
У'=/(х,у) 0)
с начальным условием
У(*о) = Уо- B)
Пусть правая часть уравнения A) является аналитической функцией
в начальной точке (лг0, у0), т. е. в некоторой окрестности этой точки
может быть разложена в степенной ряд вида
P. «7=0 РЧ
где p, g — целые неотрицательные числа и с —постоянные коэф-
коэффициенты. Тогда существует единственное решение у = у (х) диф-
дифференциального уравнения A), удовлетворяющее начальному усло-
условию B), причем это решение является аналитическим в точке х0 и,
следовательно, может быть представлено в виде ряда Тейлора [2]
р=о Р
где
р р\
и h — некоторое положительное число.
Коэффициент с0 разложения C) определяется непосредственно
на начального условия B):

§ 2] ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯЛОБ 129
следующий коэффициент сх находится на основании дифференциаль-
дифференциального уравнения A):
с1 = У'(х0)=/(х0, у0).
Что касается остальных коэффициентов ср(р^>\) ряда C), то они
могут быть шаг за шагом найдены путем последовательного диф-
дифференцирования данного дифференциального уравнения A). Например,
дифференцируя по х обе части уравнения A) и используя правило
дифференцирования сложной функции, будем иметь
у" =/х (х, у) +/'и (х, у) у'.
Отсюда
c2 = Yy" <л;о)==у[/Л^о) Уо)+/'у(хО' Уо)Уо],
где число Уо—/(хо,Уо) Уже известно.
Далее находим
сз = "б У'" (*о) =
= б"[/** (¦*<» У о) + Уху (*о. У о) У'о + /ш (ха> У о) У? + Л' (^с У о) Ув]-
Аналогично могут быть определены коэффициенты с4, сь и т. д. и,
следовательно, формально построено аналитическое решение у(х).
Вопрос об оценке радиуса сходимости h степенного ряда C)
более сложен [2], [11], и здесь мы его рассматривать не будем.
Заметим только, что если дифференциальное уравнение линейное
у' =/0 (х) +/j (х) у и функции /0 (х), /j (x) допускают разложения
в степенные ряды в начальной точке х0 с общим радиусом сходи-
сходимости R, то можно положить h = R.
Пример 1. Написать несколько членов разложения в степенной ряд
решения у = у(х) дифференциального уравнения
У' = D)
удовлетворяющего начальному условию: уA) = 2.
Пользуясь полученным разложением, приближенно найти у(\, 2).
Решение. Полагая i,= l и
х — xo) + -2j- Уо{х — хоJ+-^- Ув (х — хвK+ ...
(«/'?> = ^>(*0);р = 0, 1, 2, ...),
будем иметь
„ , 2 2
2
Дифференцируя уравнение D), получим
. _ У' {х + У) — УУ + У')_*У' —У
У
5 Б. П. Демидович и др.

130 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ш
Отсюда
Уо- A+2J 27*
Дифференцируя еще раз, будем иметь
... _*У (х + у)-2 {\ + у') (ху'-у)
Поэтому
^ 3 3 4
Уо =
27 = 27"
Аналогично могут быть найдены остальные производные у^ (р > 3).
Таким образом,
|^ (л1)+ ... E)
Из формулы E) имеем у{\, 2) = 2 + 0,1333 — 0,0030 + 0,0002+... я; 2,1305.
Изложенный выше способ нахождения решения дифференциаль-
дифференциального уравнения методом степенных рядов легко обобщается на слу-
случай дифференциального уравнения л-го порядка. Пусть, например,
мы имеем дифференциальное уравнение второго порядка
У'= fix, у, у1) F)
с начальными условиями:
У(хо)=уо, у'(хо)=уа. G)\
Предполагая, что функция f(x, у, у') аналитическая в начальной
точке (х0, у0, у'д), будем искать решение задачи Коши F), G) в
виде ряда Тейлора ...... ...
0(*)=Ё.7Г(*-*о)'-' (8)
Здесь у0 и у'„ известны из начальных условий. Из уравнения F)
получаем
У"о=/{хо, Уо> Уо)-
Дифференцируя последовательно уравнение F) по переменной х
согласно правилу дифференцирования сложной функции и полагая
х = х0, будем иметь
У'о" =/х (х0, Уо, Уо) +fy(x0, Уо, У о) Уо +/'у {Хо, Уо, Уо) Уо
и т. д. Таким образом шаг за шагом может быть построен ряд (8).
Вопрос о сходимости этого ряда оставим открытым.

§ 2] ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 131
Пример 2. Написать несколько членов разложения в степенной ряд
решения у = у (х) уравнения
у" + ху'+у = 0, (9)
удовлетворяющего начальным условиям: у @) = 0, у'@) = 1.
Решение. Полагаем
где у@) = 0 и .г/'@) = 1.
Из уравнения (9) получаем
у" = —х</ — у. A0)
Отсюда у"@) = —у@) = 0. Дифференцируя последовательно уравнение
A0), будем иметь
у'"=—ху"—2у', 0iv = —*(/"' —3</\ r/v= — *i/iv —4(/'", ...
Из этих равенств вытекает, что
i/'"@) = -2-l=-2, j/iv @) = -3-0 = 0, j/V@) = _4-(-2) = 8.
Следовательно,
j,(x) = x-^-+-J+... A1)
Написать общий член ряда A1) и исследовать его сходимость не пред--
ставляет больших затруднений.
Пример 3. Зная дифференциальное' уравнение движения точки [10]
gj =0, A2)
с помощью разложения решения в степенной ряд найти скорость х' и уско-
ускорение х" точки для моментов времени t, равных 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5, если
лс@)=1, х'@) = 2.
Решение. Из уравнения A2) будем иметь
x" = —x—0,Ux — 0,lx'\ A3)
Отсюда с помощью последовательного дифференцирования получим
х'" = —я'—0,1 (tx' + x)—0,2x'x",
jciv = -x"—0,l(ix" + 2x') — 0,2(x'x'" + x).
Xv = —x'"—0,\ (tx'" + 3x") — 0,2(x
и т. д.
Полагая в этих равенствах t = 0 и используя начальные условия ха=1,
х'0 = 2, находим
жо = — 1,4, х'о' = — 1,54, jc'v = 1,224, ^ = 0,1768, xvg ' = — 0,7308.
Так как на основании ряда Тейлора
5*

132
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДНФФКРЕНЦИ АЛпНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл.. Ill
то для искомого решения с точностью до ta получаем
*= 1 + 2* —0,7^ —0,2567^ + 0,051^ + 0.00147/5—O.OOIOH". A4,
Следовательно.
х'=1 —1,4< —0,77<а + 0,204Р + 0.00735*4 — 0,00606<6, A5)
аг" = — 1,4—l,54< + 0,612<2 + 0,00294/3 —0.0303/4. A6)
В таблице 32 помещены значения к, к' и х" для t, равного 0j 0,lj 0,2;
0,3; 0,4; 0,5, подсчитанные соответственно по формулам A4), A5) и A6). Для
контроля приведены значения к", полученные непосредственно из точного
уравнения A3).
Таблица 32
Вычисление значений решения х дифференциального уравнения A2)
и его производных х' и х" при помощи разложения в степенной ряд
/
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1,000
1,193
1,370
1,530
1,673
.1,796
с'
2,000
1,852
1,692
1,517
1,330
1,137
х"
— 1,400
— 1,548
— 1,683
— 1,806
— 1,917
—2,015
Jt''
— 1,400
— 1,549
— 1,684
— 1,806
— 1,917
—2,015
0,000
+0,001
+0,001
0,000
0,000
0,000
Таким образом, видно, что при 0sg:<«s;l/2 формулы A4), A5) и A6)
дают решение задачи, точное до третьего десятичного знака. При увеличении t
точность этих формул будет, вообще говоря, убывать, и при больших t при-
придется учитывать дополнительные члены ряда Тейлора.
Заметим, что формула A4) совершенно непригодна для анализа устой-
устойчивости движения при t—>¦ оо; для этой цели используют ряды иного вида.
Метод степенных рядов применим также к нормальным системам
дифференциальных уравнений
dx
yn)
(i=\, ..., n)
с начальными условиями У; (x0) = yi0 (i = l, ..., n).
Если функции /i(x, yt, ...,(/„) (i=\, •••,«) аналитические, то
компоненты решения у = {yl(x), ...,yn(x)} системы можно искать
с виде рядов Тейлора
/ = 1,...,«).

§ 2] ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 133
Коэффициенты этих рядов могут быть найдены с учетом начальных
условий последовательным дифференцированием уравнений данной
системы.
Пример 4. Для системы
-— — xcost — у sin t, —~- = .v sin t-\-y cos t A7)
построить решение в форме степенного ряда, удовлетворяющее начальным
условиям х @) = 1, у@) = О,
Решение. Положим
(O)t + ^t*+?^f&t»+... A8)
^ ^. A9)
Из начальных условий имеем х@)=1, у @) = 0. Полагая t = Q в системеA7),
получим х' @)= 1, у' @) = 0. Дифференцируя по t систему A7), будем иметь
dx du . \
ri —Tcost — -~s}nt, |
dt* dt dt i 20)
-jji=x cos t — y sin t -\- -r- smt + -jj cost.
Отсюда x" @)=l, i/"@) = l. Дифференцируя систему B0), получим
dx . dy \ d2x d2y
— sin t-wcast)+d-}1 cost-^ sin t,
d3y . , , , . / dx dy . \ d?x
: di="xsmt~ycost+2{wcost~wslntj+di*d/*
Следовательно, x'" @) = —1+1=0, y'"@)=-3. Аналогичным путем могут
быть найдены и дальнейшие производные.
.Используя формулы A8) и A9), окончательно имеем
x(t)=\ + t + -^f+..., у@=4 t2 + \ts+--- B1)
Из формул B1) можно в окрестности начальной точки / = 0 приближенно
найти численные значения искомого решения. Например:
* @,1) = 1+0,1+ -i-. 0,01 = 1,105,
¦ . ¦ 1,@,1) = у -0,01 +-i- -0,001=0,0055 и т. д.
Метод разложения решения дифференциального уравнения в сте-
степенные ряды часто используется как элемент более практичных ме-
методов приближенного интегрирования дифференциальных уравнений.
В частности, для некоторых численных методов интегрирования

134 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. III
дифференциальных уравнений требуется определить значения искомых
функций в нескольких точках. Эти значения при соблюдении изве-
известных условий гладкости данного уравнения могут быть с любой
степенью точности подсчитаны с помощью степенных рядов.
§ 3. Метод последовательных приближений
Сначала изложим этот метод применительно к дифференциальному
уравнению первого порядка
у'=/(х,у) A)
с начальным условием
У(хо) = уо- B)
Предполагается, что в некоторой окрестности точки Мй (ха, у0)
уравнение (П удовлетворяет условиям теоремы существования и
единственности решения.
Будем строить искомое решение у = у(х) для значений х ^ х0.
Случай х ^ х0 вполне аналогичен. Интегрируя правую и левую части
уравнения A) в пределах от х0 до х, получим
у{х) — у(хо) = $/(*, y)dx
*•
или, в силу начального условия B), будем иметь
к . , . ¦
f(x,y)dx. C)
Так как искомая функция у = у (х) находится под знаком интег-
интеграла, то уравнение C) является интегральным. Очевидно, ре-
решение интегрального уравнения C) удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению A) и начальному условию B).
Для нахождения этого решения применим метод последова-
последовательных приближений. Заменяя в равенстве C) неизвестную
функцию у данным значением г/0, получим первое приближе-
приближение
Далее, подставив в равенство C) вместо неизвестной функции у
найденную функцию у1, будем иметь второе приближение
\f(
x,

§ 3] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 135
Вообще, все дальнейшие приближения строятся по формуле
,уп_х)йх (л=1,2,...). D)
Геометрически последовательные приближения представляют собой
кривые уп — уп{х) (я=1, 2, ...), проходящие через общую точку
Л*о(*о. У о) (Рис- 26)-
Рис. 26.
В учебниках по дифференциальным уравнениям [1], [2], [4] до-
доказывается, что при выполнении условия Липшица
\f(x, y)—f(x, y)\<N\~y — y\ E)
последовательные приближения уп = уп (х) на некотором достаточно
малом отрезке [лг0, xo-\-h] имеют смысл и равномерно сходятся, при-
причем предельная функция
у (X) = lim yn (X)
F)
удовлетворяет дифференциальному уравнению A) и начальному
условию B).
Если правая часть f(x, у) дифференциального уравнения A) оп-
определена и непрерывна в области ^{О^а: — хо^.а, \у—уо|^й}
и М ^ max \f(x, у) | при (х, y)?R, то за величину h можно при-
принять [1]
A = min ( а, --г) , G)
причем интегральная кривая у = у(х) при xo^.x^.xo-\-h будет

136 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. (И
содержаться в угле между прямыми (рис. 27)
—хо) и у = у0 — М(х — х0).
Для оценки погрешности
из формулы C) вычтем формулу D), тогда будем иметь
= $[/ (x,y)-f[x, ?/„_,)].
Отсюда при . x0 ^ x <
^.xo-\-h получим
en(x) = \y(x) -yn(x)\ <
В силу условия Липши-
я ца E) находим
Рис.27. ^«ItfW-.
Следовательно,
eB(*X 5 Л/в,,.! (*)</* (я=1, 2, ...),
(8)
где введено обозначение е0 (л;) = | у {х)—уо\. Применяя формулу
Лагранжа при х0 ^ х ^ х0 + h, будем иметь
е„ (х) = \у (х) —у (х0) | = (х — х0) | у' (|) |,
где х0 < | < лг.
Отсюда, так как | </' (|) | = |/(|, у (^)) J ^М, получим
ео(х)<СМ(х — х0),
Далее, используя формулу (8), последовательно находим
е0 (л;) rfx <
= AfWv-
Л/
dx =

§ 3] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 137
и т. д. В итоге окончательно получим
(Я = 0, 1, 2, ...). (9)
Из формулы (9) вытекает, что еп (х)—>О при я—> оо равномерно на
отрезке [х0, xQ + h].
Замечание. При методе последовательных приближений в ка-
качестве начального приближения у0, вообще говоря, можно выбирать
любую функцию, достаточно близкую к точному решению у.
Например, иногда выгодно в качестве у0 брать конечный отрезок
ряда Тейлора искомого решения.
Заметим, что при пользовании методом последовательных прибли-
приближений аналитичность правой части дифференциального уравнения не
обязательна, поэтому метод этот можно применять и в тех случаях,
когда разложение решения дифференциального уравнения в степенной
ряд невозможно.
Пример 1. Методом последовательных приближений найти прибли-
приближенное решение дифференциального уравнения
у'—х — у, МО)
удовлетворяющее начальному условию (/@) = 1.
Решение. В качестве начального приближения возьмем (/<>(*) — '•
Так как
то будем иметь
Аналогично
к
у = 1\^х[+Х^х=\х + ^~.
о
Подобным же образом получим
X3 1С*
и т. д.
Оценим погрешность, например, четвертого приближения yi = yl(x). Рас-;
смотрим некоторую область /?|0<х<а, |y|<ft}, где правая часть диф-
дифференциального уравнения A0)
f(x,y)=x-y A1)
определена и непрерывна.

138
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ш
Так как функция A1) непрерывна во всей плоскости Оху, то за а и Ь
могут быть взяты любые положительные числа.
При (х, y)?R имеем
Поэтому, предполагая а^1, из формулы G) получаем
¦ ( ъ \ ¦ (
/i=min а, — =шш а,
—— ,
а + Ь
Выбрав для определенности о=1 и 6=1, будем иметь ft = 1/2.
Константа Липшица для области R в данном случае будет
v(;c, y)J = l.
Используя формулу (9) при 0<*<1/2, окончательно получим
е4 (ж) = | у (x) — yt (х) | <2-14-^ = ^
и, следовательно, e4 = maxe4
Уп
.„ ^9~ЙШ' 'етРУ*Н0 видеть, что
(и = 3, 4, 5, ...)
и, следовательно,
у= lim {/„=1—
— A— x)\ = 2e~x — A— л),
причем сходимость равномерна на любом отрезке |0, а].
Заметим, что дифференциальное уравнение A0) —линейное, с постоян-
постоянными коэффициентами, и поэтому точное решение, удовлетворяющее задан-
заданному начальному условию, может быть найдено элементарно.
Нетрудно также развить метод последовательных приближений для
системы дифференциальных уравнений
где
?-/(*. л.
У(хо)=Уо-
A2)
A3)
Записывая векторное уравнение A2) в интегральной форме, будем
иметь
A4)
где под интегралом от вектор-функции
/г
/» J

§ 31 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
понимается вектор
139
Последовательные приближения
по формуле
причем обычно полагают
= l,2, ...) определяются
-^)dx, A5)
Этот метод годится также для дифференциального уравнения я-го
порядка, если его записать в виде системы.
Пример 2. Построить несколько последовательных приближений для
решения системы
удовлетворяющего начальным условиям (/1@) = 11 г/,@)
Решение. Имеем
Отсюда, полагая у^1=1, У(,о) = 0, получаем
X
1 J 2
. о
С %3
*+A + ^-1 I -Х-
И Т. Я.

140 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ш
§ 4. Метод численного интегрирования
Последовательные приближения находятся при помощи квадратур.
Может случиться, что эти квадратуры не выражаются в элементар-
элементарных функциях. В таком случае приходится прибегать к приближенным
методам интегрирования.
Приведем один из приемов [14] численного нахождения последо-
последовательных приближений для решения уравнения
у'=/(х,у) A)
при начальном условии у (х0) = у0.
Пусть Xi—xo-\rih (/ = 0, 1,2, . .., т)^-равноотстоящие зна-
значения аргумента х с некоторым шагом h и
</,-= «/(*,¦)> y't=f(Xi, tJi).
Из уравнения A) имеем
Hi
' ux = h\y' dq, B)
где q = —-—— . Отсюда, применяя одну из квадратурных формул,
приближенно получим
m
У1 — Уо = Ь'21АA')у'1. C)
/=O
Коэффициенты А]:) обычно определяются из того условия, чтобы
формула C) являлась точной для всех целых полиномов степени не
выше т +1. Для этого необходимо и достаточно, чтобы эта формула
была справедливой для функций у = х, х2, . . ., х, хт+1 при выборе
точек jc0 = 0, *1 = /г, x2 = 2h, . . ., хт = mh.
Подставляя эти значения в формулу C), получим для определе-
определения т-\-\ неизвестных И/''(/'=0, 1,2, ...,т) при каждом фиксиро-
фиксированном i (j = l,2, ...) систему т-\-\ уравнений
ik = k %Aff*-* (/?=1,2, ..., m+\)t D)
причем
т
2jAj=1. . _ .

§ 4] МЕТОД ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 141
1ием, получас
Например, при /я = 4, используя указанный прием, получаем сле-
следующие формулы:
E)
Если у ?СП)[х0, лг4], то соответствующие остаточные члены будут
равны [14]:
о о
1 ~ 160 ^ ^1'' а ~ 160 ^ ^3''
где 1,-6 (лг0, х4) (/ = 1,2, 3, 4).
Для вычисления значений последовательных приближений у(р+ "(*,) =
( p = 0, 1,2, ...) положим
где j/;.(»> =/(*,-, у10'), y'W=f(xf, yf) (p=l,2, ...), Л«'> —коэф-
—коэффициенты, определяемые из системы D), причем у@) — известное на-
начальное приближение; в частности, можно принять yw — ya.
Пример 1. Численно найти несколько приближений решения урав-
уравнения [14|
y' = sin jc-(-cos у, (/@) = 0. G)
Решение. Точное вычисление последовательных приближений у{")
(и=1, 2, ...) приводит к неберущимся квадратурам. Поэтому для нахожде-
нахождения приближений применим численный метод.
Выберем шаг Л = 0,2 и, пользуясь формулой F), определим значения
последовательных приближений у("' (п=\, 2, 3, 4, 5), например, в пяти
точках (m = 4): * = 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8.
За начальное приближение примем (/@) = у @)-\-ху' (O)=jc. Отсюда
!/''0* = sinjc,- + cos*¦,-. Используя этот результат, по формулам F), где коэф-
коэффициенты Л'.'* берутся из формул E), находим значения yj1' первого при-
приближения и, следовательно, получаем
^.<I) = sinx, + cosyj".
Этот процесс повторяем нужное число раз. Результаты вычислений
приведены в таблице 33.

142 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ill
Таблица 33
Численное нахождение последовательных приближений интеграла
дифференциального уравнения G)
X
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
и
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0
0,21860
0,46836
0,73931
1,02065
0
0,21839
0,46538
0,72538
0,98108
0
0,21840
0,46547
0,72636
0,98596
0
0,21840
0,46547
0,72631
0,98552
0
0,21840
0,46547
0,72631
0,98555
sin х
0
0,19867
0,38942
0,56464
0,71736
0
0,19867
0,38942
0,56464
0,71736
0
0,19867
0,38942
0,56464
0,71736
0
0,19867
0,38942
0,56464
0,71736
0
0,19867
0,38942
0,56464
0,71736
cos у
1
0,98007
0,92106
0,82534
0,69671
1
0,97620
0,80231
0,73893
0,52281
1
0,97625
0,89365
0,74825
0,55612
1
0,97625
0,89361
0,74760
0,55206
1
0,97625
0,89361
0,74763
0,55243
и'
1
1,17874
1,31048
1,38998
1,41407
1
1,17487
1,28173
1,30357
1,24017
1
1,17492
1,28307
1,31289
1,27348 .
1
1,17492
1,28303
1,31224
1,26942
1
1,17492
1,28303
1,31227
1,26979
1
1,17492
1,28303
1,31227
1,26976
Приближе-
Приближение
Уо(х)
у Ах)
1/4 W
Можно принять у (х) ^= уъ (х) с точностью до 10~6 (за исключением
х = 0,8). В случае необходимости таблицу можно продолжить, приняв по-
последнюю строку приближения уъ (х) за первую строку новой таблицы и так
далее.
Следует отметить, что лучшую сходимость процесса численных
приближений получим, если вместо формул C) будем пользоваться
центральными симметричными формулами, которые определяют значе-

§ 4] метод численного интегрирования 143
ния последовательных приближений в точках, лежащих симметрично
по обе стороны от начальной точки.
Для системы пяти равноотстоящих точек х_2, x_lt x0, xlt x2 эти
формулы имеют вид [14]:
41/iV6>(g)
3600 '
[440
(8)
где А=лг;+1 — х; и значения производных </F) берутся в некоторых
промежуточных точках, причем предполагается, что у ? Ci6)[x_it дг2].
Пример 2. Проинтегрировать на отрезке [ — 1,2; —0,8] уравне-
уравнение [14]
у'=xi—i/2
при начальном условии у ( —1) = 0.
Решение. Используем метод последовательных приближений. Поло-
Положим у„ = 0, тогда
= 1 [^-
г/а
-1
= ' 40 G24780 — 179685л + 76230л2 + 862400-е3 —
— 114345л4 + 54054л:5—5390л6 — 41580л' — 14850л8—
— 1925л9 + 2520л11 — 385л1а—44л15).
Отсюда видно, к каким громоздким вычислениям может привести метод
последовательных приближений.
Заметим кстати, что четвертое приближение уц выразится полиномом
31-й степени, а уь—полиномом 63-й степени.
Для упрощения вычислений применим процесс численного нахождения
приближений, вполне аналогичный разобранному выше, используя для этого
формулы (8). За начальное приближение примем

144 РЕ111ННИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. III
Результаты вычислений приведены в таблице 34.
Таблица 34
Численное нахождение последовательных приближений интеграла
дифференциального уравнения с помощью центральных формул
X
— 1,2
— 1,1
— 1,0
—0,9
—0,8
— 1,2
— 1,1
-1,0
—0,9
-0,8
У
—0,2
—0,1
0
0,1
0,2
—0,240
—0,110
0
0,090
0,160
ч'
1,40
1,20
1,00
0,80
0,60
1,3824
1,1979
1,0000
0,8019
0,6144
Приближение
1-е прибли-
приближение
2-е прибли-
приближение
X
— 1,2
— 1,1
— 1,0
-0,9
-0,8
— 1,2
— 1,1
—1,0
—0,9
—0,8
и
—0,23914
—0,10995
0
0,09005
0,16074
—0,23916
-0,10995
0
0,09005
0,16073
У'
1,38281
1,19791
1,00000
0,80184
0,61416
1,38280
1,19791
1 ,00000
0,80189
0,61417
Приближение
3-е прибли-
приближение
4-е прибли-
приближение
Мы видим, что 3-е и 4-е приближения совпадают между собой с точ-
точностью до 4-го десятичного знака.
Указанный способ численного нахождения последовательных при-
приближений решения дифференциального уравнения с использованием
квадратурных формул является весьма эффективным для получения
нескольких начальных значений искомого решения, необходимых для
начала вычислений в ряде методов приближенного интегрирования
(см. ниже).
§ 5. Метод Эйлера
Пусть дано дифференциальное уравнение
у'=/(х,у) A)
с начальным условием у {хо) = у0.
Выбрав достаточно малый шаг h, построим систему равноотстоя
щих точек
i = 0, 1, 2, ...)•
B)
Искомую интегральную кривую у = у(х), проходящую через точку
Мо (х0, у0), приближенно заменим (рис. 28) ломаной МйМхМг . . . [3],
[4] с вершинами /И,(л;,, уt) (i = 0, 1,2, . . .), звенья которой MjMi + l
прямолинейны между прямыми x—xh x = x! + i и имеют подъем
(так называемая ломаная Эйлера).
Таким образом, звенья M;Mi+1 ломаной Эйлера в каждой
вершине УИ; имеют направление^,¦=/(*,.,_у;), совпадающее с напра-

§ 51
метод -эйлера
145
влением интегральной кривой уравнения A), проходящей через
точку Мг
Из формулы C) вытекает, что значения yi могут быть опреде-
определены (метод Эйлера) по формулам
У1 + 1 = У< + &Уп byt = hf(xt, у,) (i = 0, 1, 2, ...). D)
Для геометрического построения ломаной Эйлера выберем полюс
Р(—\, 0) и на оси ординат отложим отрезок ОА0=/{х0, у0) (рис.28).
Рис. 28.
Очевидно, угловой коэффициент луча PAQ будет равен f(x0, y0);
поэтому, чтобы получить первое звено ломаной Эйлера, достаточно
из точки Мо провести прямую МОМХ, параллельную лучу PAQ, до
пересечения с прямой x = xt в некоторой точке М1(х1, ух).
Приняв точку Afj (xv i/j) за исходную, откладываем на оси
ординат отрезок ОА1=/(х1, уг) и через точку Мх проводим пря-
прямую МХМ% [| РАХ до пересечения в точке М2 с прямой х = х2 и т. д.
Метод Эйлера является простейшим численным методом интегри-
интегрирования дифференциального уравнения. Недостатки его:
1) малая точность;
2) систематическое накопление ошибок.
Можно доказать [1], что если правая часть f(x, у) уравнения A)
непрерывна, то последовательность ломаных Эйлера при h—> 0 на
достаточно малом отрезке [xQ, xo-\-H\ равномерно стремится к ис-
искомой интегральной кривой у=у(х).
Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
Пример 1. Применяя метод Эйлера, составить на отрезке [0, 1]
таблицу значений интеграла дифференциального уравнения
У = ~7Г • ' '
удовлетворяющего начальному условию у @)= 1, выбрав шаг /i = 0,l.

146
PF.lIIF.IfflE ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ill
Решение. Результаты вычислений приведены в таблице 35. Для
сравнения в последнем столбце помещены значения точного решения у = ех'/л.
Из приведенной таблицы видно, что абсолютная погрешность значения у10
составляет ?10 = 0,0361. Отсюда от-
относительная погрешность примерно
равна 3%.
Для сравнения приводим график
точного решения (выделенный жир-
жирной линией) и соответствующую ло-
ломаную Эйлера МаМхМг. .. (рис. 29).
Метод Эйлера, вообще гово-
говоря, обладает малой точностью и
дает сравнительно удовлетвори-
удовлетворительные результаты (в смысле
погрешности) лишь при малых
значениях h. Это обстоятельст-
обстоятельство понятно, так как по существу
метод Эйлера заключается в том,
что интеграл дифференциального
уравнения A) на каждом частич-
частичном отрезке [xh Xi+1] представ-
представляется двумя членами ряда Тей-
Тейлора
Рис 29 ' ' '
т. е. для этого отрезка имеется погрешность порядка А2.
Таблица 35
Интегрирование дифференциального уравнения E) методом Эйлера
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1.0
у
1
1
1,005
1,0151
1,0303
1,0509
1,0772
1,1095
1,1483
1,1942
1,2479
I(x. U) = ~
0
0,05
0,1005
0,1523
0,2067
0,2627
0,3232
0,3883
0,4593
0,5374
&y=a.it (.r, v)
0
0,005
0,0101
0,0152
0,0206
0,0263
0,0323
. 0,0388
0,0459
0,0537
Точное значение
1
1,0025
,0100
,0227
,0408
,0645
1,0942
,1303
1,1735
.2244
U2840

§ 6]
МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ЭЙЛЕРА
147
Кроме того, при вычислении значений на следующем отрезке
исходные данные не являются точными и содержат погрешности,
зависящие от неточности предшествующих вычислений.
В следующем параграфе будут рассмотрены некоторые приеми
уточнения метода Эйлера.
A)
B)
§ 6. Модификации метода Эйлера
Рассмотрим снова дифференциальное уравнение
у'=/(х, у)
с начальным условием
Выбрав шаг Л, положим
Xi = x0 + ih (/ = 0, 1, 2, ...)•
Согласно методу Эйлера последовательные значения искомого реше-
решения вычисляются по приближенной формуле
Более точным является усовершенствованный метод лома-
ломаных [18], при котором сначала вычисляют промежуточные значения
— -4- h — 4- k f
2 2
и находят значение направления поля интегральных кривых в сред-
средней точке (х г , у, L \ , т. е. / х ~f(x х , у г \ , а затем
2 2 / 2 V 2 2
полагают (рис. 30)
D)

148
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ill
Другой модификацией метода Эйлера является усовершенст-
усовершенствованный метод Эйлера — Коши [18], при котором сначала
определяется «грубое приближе-
приближение» решения
исходя из которого находится на-
направление поля интегральных
кривых
Затем приближенно полагают
y. + l = yl+h^i+Ji+l E)
(рис. 31).
Пример 1 Первым и вторым усовершенствованными методами Эйле-
ра проинтегрировать уравнение
2х
= У—~, у @) =
F)
на отрезке [0, 1].
Решение. Примем шаг ft = 0,2 и f (х, у) = у — 2ху~1.
Приближенные значения искомого решения у = у(х), определенные
с помощью усовершенствованного метода ломаных D), помещены в таблице 36.
Таблица 36
Интегрирование дифференциального уравнения F) усовершенствованным
методом ломаных
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
1
,2
,4
,6
.8
,0
1
1,1836
1,3426
1,4850
1,6152
1,7362
0
0
0
0
0
2 1
,1
,0846
,0747
,0677
,0625
X
0
0
0
0
0
1
2
,1
,3
,5
,7
.9
у
1
1
1
1
1
2
,1
,2682
,4173
,5527
,6777
2
0,1836
0,1590
0,1424
0,1302
0,1210
В таблице 37 приведены результаты вычислений интеграла уравнения
F) усовершенствованным методом Эйлера—Коши, причем шаг сохранен
прежний: ft = 0,2.

§ 61
МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ЭЙЛКРА
149
Для сравнения приводим точное решение у=\^2х-{-\, откуда
1/A)= 1^3"= 1,73205...
Таблица 37
Интегрирование дифференциального уравнения F) усовершенствованным
методом Эйлера—Кош и
1
0
1
2
а
4
5
0
0
0
0
0
1
,2
,4
,6
,8
,0
1,1867
1,3484
1,4938
1,6279
1,7542
0
0
0
0
0
7*
,1
,0850
,0755
,0690
,0645
0
0
0
0
1
,2
,4
,6
,8
,0
1
I
1
1
1
;,.,
,2
,3566
,4993
,618
,7569
0
0
0
0
0
,0867
,0767
,0699
,0651
,0618
л
1 2
0,
о,
0,
0,
о,
(Л+Zi+o
1867
1617
1454
1341
1263
Усовершенствованный метод Эйлера—Коши можно еще более
уточнить, применяя итерационную обработку [19] каждого
значения у,-. А именно, исходя из грубого приближения
„<0) - ,
построим итерационный процесс
+г,
= 1, 2,
G)
Итерацию продолжаем до тех пор, пока некоторые два последова-
последовательных приближения у)\ и j/' + J' не совпадут между собой в соот-
соответствующих десятичных знаках. После этого полагаем у/ + 1 » у' + ,,
где уТ+1 — общая часть приближений yj"+\ и */,- + t1(-
Если алгоритм уточнения численного значения y-t искомого реше-
решения после трех-четырех итераций не приводит к совпадению требуе-
требуемого числа десятичных знаков, то следует уменьшить шаг вычи-
вычисления h.
Отметим в заключение, что метод Эйлера с итерационной обра-
обработкой ординат дает на каждом шаге погрешность порядка h3
и нередко применяется в вычислительной практике.
Пример 2. Применяя метод итерационной обработки, с точностью до
четырех совпадающих десятичных знаков найти значение у @,1) интеграла
дифференциального уравнения . ,

150 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ill
Решение. Примем шаг /i = 0,05. Применяя итерационный процесс G)
итывая, что l(xit i/) = 0,05 +г/, последовательно будем иметь:
и учитывая
> = l+0,05-l==l,05,
' = 1+0,05 •— ti^ = 1,0525.
= 1,05256,
= ! +0,05
1+1.10256
¦ 1,05256.
Следовательно, удержав запасной знак, можно положить уг == 1,0526.
Аналогично, приняв >:1 = 0,05 и ух = 1,0526 за исходные данные и при-
принимая во внимание, что \, (xt, </)=0,1+#, с помощью того же итерацион-
итерационного процесса G) получим:
у[0) = 1,0526 + 0,05 • 1,1026 = 1,1077,
1,1026+1,2077
= 1,0526 + 0,05
-=1,1104,
5Л1?1^^ =
Отсюда (/2= 1,1104.
Для сравнения приводим точное значение
(/(O,l) = 2eo,i —1,1 = 1,1102.
Пример 3. С помощью итерационной обработки уточнить значения
(/; (г=0, 1, .... 10) интеграла уравнения (§ 5, пример 1)
Решение. После трех-четырех пересчетов по формулам G) при
= 0,1 мы приходим к совпадению четвертого знака после запятой в
и у(-
(-/'+1\
Результаты этих вычислений помещены
значениях ординат
в таблице 38.
Табл.и ца 38
Интегрирование дифференциального уравнения методом
Эйлера с последующей итерацией значений
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
К
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
у
,0025
,0100
,0227
,0408
1,0646
1,0943
,1305
,1738
,2248
,2812
/(X,.V)=f
0
0,0501
0,1010
0,1534
0,2082
0,2661
0,3283
0,3957
0,4695
0,5512
hf (x, у)
0
0,0050
0,0101
0,0153
0,0208
0,0266
0,0328
0,0396
0,0470
0,0551
Точное решение
„=»*•/<
1
1,0025
1,0100
1,0227
1,0408
1,0645
1,0942
1,1303
1,1735
1,2244
1,2840

§ 7] МЕТОД РУНГЕ КУТТА 151
Из таблицы видно, что предельная абсолютная погрешность приближен-
приближенного решения на отрезке [0,1] меньше 3-10"8, т. е. предельная относитель-
относительная погрешность составляет примерно 0,2%,
Метод Эйлера и его модификации являются простейшими пред-
представителями конечно-разностных методов (шаговых методов) для при-
приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений вида
y'k=fk(x, yu у2, ..., уп) (*=1, 2, .... п) (8)
при заданных начальных условиях
Ук(х0) = у[0) (Л = 1, 2, ..., я). (9)
При применении конечно-разностного метода искомое решение
yk = yk(x) {k—l, 2, ..., п) последовательно строится на системе
точек (узлов) xt = x0-\-ih (i = 0, 1, 2, ...), где h — выбранный
шаг. Процесс вычислений расчленяется на однообразно повторяющие-
повторяющиеся циклы, каждый из которых обеспечивает переход от значения
yk (хг) к значению yk (xi + 1), начиная с начального у^К Поэтому схе-
схема вычислений, вообще говоря, легко программируется и удобна для
реализации на электронно-счетных машинах. Если правые части fk
системы (8) сложны, то требуются специальные подпрограммы для
подсчета #*(.?,¦).
, . § 7. Метод Рунге — Кутта
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
V'=f(x, У) 0)
с начальным условием у (хо) = у0.
Выберем шаг h и для краткости введем обозначения Xj = х0 -\- ih
и yt = y(xt) {1 = 0, 1, 2, ...).
Рассмотрим числа:
Согласно обычному методу Рунге—Кутта [18] — [20] последователь-
последовательные значения yi искомой функции у определяются по формуле
У1 + 1 = У1 + ЬУц
где
i° ® + 2kl» + *«') С = °> Ь 2, . . •). ,C)

152
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ш
Можно доказать, что погрешность этого метода на каждом шаге
есть величина порядка № [18], в предположении, что f(x, y)?Ctb).
Получены также формулы типа Рунге— Кутта с иными порядками
точности [18], [24].
Для вычисления по формуле C) удобно пользоваться схемой,
приведенной в таблице 39.
Схема метода Рунге — Кутта
Таблица 39
0
—
1
к
ч
хо~\~ it
'от ~п
xu-\-h
—
У
Уо
, Ki
У о + —2~
Уа + ?
Уо + t'T
—
k = h\ (х, у)
—
...
2k[0)
g" S = A</o
...
Эффективная оценка погрешности метода Рунге — Кутта затрудни-
затруднительна (см. [18]). Поэтому для определения правильности выбора
шага h на практике обычно на каждом этапе из двух шагов приме-
применяют двойной пересчет [26]. А именно, исходя из текущего верного
значения у(х(), вычисляют величину y(xi-\-2h) двумя способами:
один раз с шагом h, а другой раз с двойным шагом H=2h. Если
расхождение полученных значений не превышает допустимой погреш-
погрешности, то шаг h для данного этапа выбран правильно и полученное
с его помощью значение можно принять за у (х: -\- 1h). В противном
случае шаг уменьшают в два раза. Такого рода вычислительную схему
легко запрограммировать для работы на электронно-счетных маши-
машинах [26]. Употребляется также приближенная оценка погрешности
(см. § 13).
Метод Рунге — Кутта обладает значительной точностью и, несмотря
на свою трудоемкость, широко используется при численном решении
дифференциальных уравнений с помощью электронных вычислитель-
вычислительных машин. Кроме того, важным преимуществом этого метода яв-
является возможность применения «переменного шага». ,..

§ 7] МЕТОД РУНГР. КУТТА 153
Заметим, что для начала вычислений по методу Рунге —Кутта
не нужно строить начальный отрезок (см. § 8).
Пример 1 Методом Рунге —Кутта вычислить на отрезке [0. 0,5|
интеграл дифференциального уравнения
у' = х + у, у@1 = 1, . D)
приняв шаг /г = 0,1.
Решение. Покажем начало процесса.
Вычисление yv Последовательно имеем:
fea°> = 0,05+ A+0,05)-0,1=0,11,
ft<0) = 0,05+ A+0,055)-0,1 =0,1105,
k[a) =0,1 + A+0,1105) -0,1=0,12105.
Отсюда
Дуо=-1@,1+2-0,11+2-0,1105 + 0,12105) =0.1103,
и, следовательно,
Аналогично вычисляются дальнейшие приближения. Результаты вычислений
приведены в таблице 40. Таким образом, у @,5) = 1,7974^ Для сравнения
приводим точное решение у = 2ех—х—1, откуда у @,5) = 2У~е— 1,5= 1,79744...
' Метод Рунге — Кутта применим также для приближенного решения
систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть дана система дифференциальных уравнений
и начальные условия у{х0) =у0.
Задавшись некоторым шагом h и введя стандартные обозначения
х:^х0-\-Ш и yi=yi(xi), hyi=--yi + i—yi ПРИ (' = °. !. 2. •••>
положим:
э- Уо),
г,Уо+^О)).
1 Согласно методу Рунге — Кутта Ау0 приближенно определяют по
формуле
отсюда «, -^=уа-\- Av0.

154
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ш
Таблица 40
Интегрирование дифференциального уравнения D) методом
Рунге— Кутта
/
0
1
2
3
4
5
X
0
0,05
0,05
0,1
0,1
0,15
0,15
0,2
0,2
0,25
0,25
0,3
0,3
0,35
0,35
0,4
0,4
0,45
0,45
0,5
0,5
и
1
1,05
1,055
1,1105
1,1103
1,1708
1,1763
1,2429
1,2427
1,3149
1,3209
1,3998
1,3996
1,4846
1,4904
1,5836
1,5836
1,6828
1,6902
1,7976
1,7974
* = 0,1 <*+!/)
0,1
0,11
0,1105
0,1210
0,1210
0,1321
0,1326
0,1443
0,1443
0,1565
0,1571
0,1700
0,1700
0,1835
0,1840
0,1984
0,1984
0,2133
0,2140
0,2298
1
6
1
6
1
6
1
6"
1
6"
0,1000 1
0,2200 1
0,2210 (
0,1210
•0,6620 = 0,
0,1210 1
0,2642 1
0,2652 Г
0,1443
•0,7947 = 0,
0,1443 |
0,3130 1
0,3142 (
0,1700
• 0,9415 = 0,
©,1700 |
С,3670 1
е,зб8о (
0,1984
¦1,1034 = 0,
0,1984 1
0,4266 {
0,4280 (
0,2298
• 1,2828 = 0,
1103
1324
1569
1840
2138

§ 7]
МЕТОД РУНГЕ — КУТТА
155
Далее, приняв (хъ уг) за исходные данные и повторяя тот же
процесс, находим у2. Аналогично вычисляются yt (/'=3, 4,...).
Пример 2. Методом Рунге — Кутта проинтегрировать уравнение
колебаний маятника в сопротивляющейся среде (см. § 1, пример 1)
—г4 Ч- 0,2 -т- + 10 sin6 = 0 (8)
при начальных условиях в@) = 0,3, 0(О) = О
Таблица 41
Интегрирование системы дифференциальных уравнений (9) метолом
Рунге— Кутта
L
0
1
2
3
t
0
0,05
0,05
0,1
0,1
0,15
0,15
0,2
0,2
0,25
0,25
0,3
0,3
8
0,3
0,3000
0,2926
0,2854
0,2854
0,2710
0,2641
0,2436
0,2434
0,2162
0,2105
0,1790
0,1786
ш
0
—0,1478
—0,1463
-0,2855
-0,2888
—0,4267
—0,4184
-0,5415
—0,5438
—0,6589
—0,4645
—0,7398
-0,7418
к =0.1@
0
—0,0148
—0,0146
—0,0286
—0,0289
—0,0427
—0,0418
-0,0541
—0,0544
—0,0659
—0,0644
—0,0740
—0,0742
,<2>=ол i
—0,2955
-0,2926
—0,2855
-0,2810
-0,2759
—0,2592
—0,2527
—0,2304
—0,2301
—0,2013
—0,1960
—0,1633
—0,1647
Д9
0,
-0,0296
—0,0292
—0,0286
-0,0874- 1 =
=—0,0146
—0,0289
—0,0854
—0,0836
-0,0541
—0,2520--! =
= —0,0420
—0,0544
—0,1318
—0,1288
—0,0740
-0,3889-1 =
= —0,0648
Am
-0,2955
—0,5852
—0,5710
—0,2810
-1,327-4 =
= -0,2888
—0,2759
—0,5184
—0,5054
—0,2304
-1,5301.-1 =
= —0,2550
—0,2301
—0,4026
—0,3920
—0,1633
—1,1895- -1 =
= —0,1980

156 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. III
Решение. Полагая — =со, запишем уравнение (8) в виде системы
дифференциальных уравнений
в = о), <в= — 0,2ы— 10 sin в, (9)
причем во = О,3, со0 = 0. Выберем шаг
й = Дг=0,1
и положим
-И-
где в = <д, о)=—0 2со—Ю sin 0 и компоненты kn\ kl2) определяются из
формул F).
Результаты вычислений по формулам F) и G) помещены в таблице 41.
Ход дальнейших вычислений понятен из приведенного образца.
§ 8. Метод Адамса
Этот метод численного интегрирования разработан Адамсом в
1855 г. по просьбе известного английского артиллериста Башфорта,
занимавшегося внешней баллистикой. Впоследствии этот метод был
забыт и вновь открыт в начале века норвежским математиком Штер-
мером. Популяризация метода Адамса и дальнейшее его усовершен-
усовершенствование связаны с именем А. Н. Крылова [10].
Изложим метод Адамса [10], [19], [20] применительно к уравне-
уравнению первого порядка
</'=/(*, У) 0)
с начальным условием
Пусть Xj(i = Q, 1, 2, ...)—система равноотстоящих значений
с шагом h и yi = y(xi). Очевидно, имеем
t±yi= \ у'dx. C)
JL'j ' '
В силу второй интерполяционной формулы Ньютона (см., например,
[13]) с точностью до разностей четвертого порядка получаем
Vi-,, D)
-II 2! " и' ' 3!
где q = —т— , или

5 8f МЕТОД АДАМСА 157
Подставляя выражение D') в формулу C) и учитывая, что dx = hdq,
будем иметь
U
Отсюда получаем экстраполяционную формулу Адамса
toi=hy\+у д (ЛУ;_,)+^ л2 (А^;_а)+1 д;) (%;_,). <5>
Для начала процесса нужны четыре начальных значения у0, ylt y2l y3t
так называемый начальный отрезок, который определяют, исходя из
начального условия B), каким-нибудь численным методом. Можно,
например, использовать метод Рунге — Кутта или разложение в ряд
Тейлора
ih) = yQ + y'o (ih)
Щ-
где / = 1, 2, 3 (или 1=—1, 1, 2 с соответствующим изменением
нумерации). Зная эти значения, из уравнения A) можно найти зна-
значения производных у'а, у\, у'г, у'3 и составить таблицу разностей:
A(hy'o), A(hy[), A(hy',), A2(ky'o), A2(hy[), A3(hy<)). F)
Дальнейшие значения </,- (i = 4, 5, ...) искомого решения можно
шаг за шагом вычислять по формуле Адамса, пополняя по мере не-
необходимости таблицу разностей F).
Для контроля рекомендуется [8], [9], вычислив первое прибли-
приближение для Ayt по формуле
Ау 1 = hyl +1 {hAyU) + ~ Д3 (hy't_t) + 4 Д3 [hy't.,)t
12
определить yi+1 = </,- -f- Д</<, подсчитать конечные разности
A(hyt), A2 (hy^-y), A3(hyl_i) G)
и затем найти второе приближение по более точной формуле (см. § 9)
Ayy = hy\+ 1д(Ау1)—^A2(ky'i_1) — 1д3(Л(/;..2). (8)
Если Д;/,' и Д(//' отличаются лишь на несколько единиц послед-
последнего сохраняемого десятичного разряда, то можно положить Д</(- = Д</, ,
а затем, найдя Д(/,+1 = _</,¦ + Д</,-, перевычислить конечные разности
G). После этого, строго говоря, следует снова найти Ау}1 по фор-
формуле (8). Поэтому шаг h должен быть таким, чтобы этот пересчет
был излишним.

158 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II!
На практике шаг h выбирают столь малым, чтобы можно было
пренебречь членом ^- Д3 (hy't_2) в формуле (8).
Если же расхождение величин Ayi и Дг/,П значительно, то следует
уменьшить шаг h.
Обычно шаг h уменьшают ровно в два раза. Покажем, как в этом
случае, имея до некоторого значения / таблицу величин Xj, у,,
Y h) (j^i) с шагом Дл;; = Л, можно просто построить таблицу
величин xi -т k-j, у(х,--{-/г~у щ = А у' ^xt + к -|j (A=0, 1,
2, ...) с шагом -7j-[28]. Для краткости введем сокращенные обозна-
обозначения:
± = *i + *4' у ±= u
2 2 2
A = 0, 1, 2, ...; А = 0, +1, ±2, ...)•
На основании формулы D) будем иметь
где Y'= hy'. Отсюда, полагая j = i — 2 и ^=1/2 и учитывая, что
Аналогично при j=i—1, q=\j1 из формулы (9) получаем, что
аргументу х = л:1-_1-г-Л/2 = х соответствует значение
Что касается значений К,-_1 и К,-, то они имеются в старой таблице.
После этого составляем начальный отрезок для новой таблицы:
^ ^ ^ Т1^
2
и находим конечные разности:
%+i—% (*=—3, —2, -1),
= И+1-Ч (Л = -3, -2),
= 54+1-^* (А=-3).

§ 81
МЕТОД АДАМСА
159
Дальше таблица продолжается обычным путем, посредством соответ-
соответствующей модификации формулы E):
&У =4T^i]i-i +12 б2г1/-2 + ^баг|/_3,
i
2
2,
Для работы на электронных счетных машинах формулу Адамса E)
выгодно применять в раскрытом виде. Учитывая, что
&y't-i = y't — У\-ъ
после приведения подобных членов имеем
^ = ^+ E5г/;
причем x[+1 = xi-\-h.
Пример 1. Методом Адамса найти на отрезке [0, 1] интеграл урав--
нения . 1
У = х + у, {/@) =1.
Решение. Примем шаг Л = 0,1. Для начала процесса используем
значения, найденные методом Рунге — Кутта (см. §7, пример 1), т. е. (/0=1;
(/!= 1,1103; 0,= 1,2427;' (/j=l,399Q.
Дальнейшие вычисления располагаем в двух бланках-, основном
(таблица 42) и вспомогательном (таблица 43).
. Таблица .42
Основной бланк для интегрирования дифференциального уравнения '
методом Адамса
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
у
1,
1,1103
1,2427
1,3996
1,5834
1,7971
2,0440
2,3273
2,6508
3,0190
3,4362
0,1838
0,2137
0,2469
0,2833
0,3235
0,3682
0,4172
hg
0,1000
0,1210
0,1443
0,1700
0,1983
0,2297
0,2644
0,3027
0,3451
0,3919
Л (fty'l
210
333
257
283
314
347
383
424
468
д* фу)
23
24
26
31
33
36
41
44
Л» (hy)
1
2
5
2
3
5
3
и*
1
1,1103
1,2428
1,3997
1,5836
1,7974
2,0442
2,3275
2,6511
3,0192
3,4366

160
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ill
Если правая часть дифференциального уравнения сложна, то в основном
бланке приходится вводить промежуточные графы [10]. При заполнении
вспомогательного бланка используются согласно формуле E) наклонные
строки.
Таблица 43
Вспомогательный бланк для интегрирования дифференциального
уравнения методом Адамса
1
2
5
12
3
8
hy.
AHhy1-,)
Д3№у'-3)
0,
о,
3
1700
128
10
0
1838
0
0
4
,1983
142
11
1
,2137
0
0
5
,2297
157
13
2
,2469
0,
0,
6
2644
174
14
1
2833
0
0
7
,3027
192
15
1
,3235
0
0
8
,3451
212
17
2
,3682
я
0,3919
234
18
1
0,4172
В последнем столбце таблицы 42 приведены для сравнения точные зна-
значения решения у* = 2ех—х—1. Отсюда видно, что максимальная ошибка
приближенного решения у не превосходит четырех единиц последнего деся-
десятичного разряда. Можно было бы уменьшить эту ошибку, применив двойной
пересчет по контрольной формуле и введя соответствующие поправки [18|.
Метод Адамса [10], [19], [20] легко распространяется на систему,
дифференциальных уравнений
dy
при начальных условиях у(хо)=уо. А именно, имея векторный:
начальный отрезок у0, у\, у2, у3, дальнейшие значения коор-
координат искомой вектор-функции у=у(х) определяем, используя
формулу
АА + Д (*);)+^ Да(Ау)+1Да(АУ
(« = 4, 5,
Для численного нахождения решения можно использовать бланки,
аналогичные приведенным выше.
Пример 2. Уравнение колебаний маятника имеет вид (см. §7,:
пример 2)
= 0, A2)

§ 81
МЕТОД АДАМСА
161
причем в@) = 0,3, в@) = 0. Методом Адамса определить у г левую, екороеть
маятника при первом прохождении положения равновесия 6 = 0.
Решение. Записываем уравнение A2) в виде системы
в = о, ш=— 0,2ш— 10sin в.
Начальный отрезок для шага /1 = Д/ = 0,1, подсчитанный методом Рунге —
Кутта, заимствуем из § 7 (пример 2), причем ограничиваемся тремя десятич-
десятичными знаками:
= 0
= 0
= 0
= 0
.1;
,2;
,3;
во = 0,300;
el = 0,285;
82 = 0,243;
6. = 0,179;
м0 = 0;
oI=_ 0,389;
o), = —0,544;
co3=— 0,742.
Пользуясь этими данными, заполняем основной бланк (таблица 44) и вспо-
вспомогательный бланк (таблица 45).
Таблица 44
Основной бланк для решения системы дифференциальных уравнений
методом Адамса
0
1
2
.4
4
5
6
1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,300
0,285
0,243
0,181
0,099
0,11
—0,078
де
—0,082
—0,088
—0,089
he
0
—0,029
—0,054
—0,074
-0,086
—0,090
Л (Лв)
-29
-25
-20
— 12
— 4
Д2(Лв)
4
5
8
8
I
3
0
и)
0
—0,289
—0,544
—0,742
—0,864
—0,897
—0,846
Дш
—0,122
—0,033
+0,051
—0,296
—0,276
0,230
—0,163
—0,080
4-0,009
A (ftcoi
20
46
67
83
89
26
21
16
6
Дэ <>?ш)
— 5
— ¦5
— 10
Таким образом, интересующий нас момент времени, для которого откло-
отклонение 6(/) = 0, удовлетворяет неравенству 0,5 < / < 0,6.
Для уточнения составим таблицу разностей (таблица 46).
В. П. Демидович u

162 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. III
Т а б л и ц а 45
Вспомогательный бланк для решения системы дифференциальных
уравнений методом Адамса
лё,-
уАсле,.^)
А9.-2,
3
—0,074
— 10 ¦
4- 2
0
-0,082
4 '
—0,086
— 6
4- 3
4- 1
-0,088
5
—0,090
— 2
4- 3
0
—0,089
Асо,
i
-2,
—0
+
+
—
—0
3
,163
34
9
12
,122
4
—0,080
+ 42
4- 7
— 2
—0,033
5
4-0,009
+ 41
4- 2
— 4
+0,051
Таблица 46
Конечные разности величин в и <а
0
0
0
t
,3
,4
.5
0
0
0
в
,181
,099
,011
Ав
—82
—88
-6
—0
—0
—0
,742
,864
,897
Л о»
— 122
-33
Д»(о
89

§ 9] МЕТОД А. Н. КРЫЛОВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ СБЛИЖЕНИЙ 163
Пусть <? = (/ — 0,5)/0,1 = 10 (t — 0,5). Применяя вторую интерполяционную
формулу Ньютона, будем иметь
0=6 = 0,011 + (?( —0,088) + v'Y ;(— 0,006).
Отсюда
Применяя метод последовательных приближений, получим
^@) = 0,125,
<7Ш = 0,125 — 0,034-0,102 -1,102 = 0,125—0,004 = 0,121,
<?<21 = 0,125 —0,034-0,098-1,098 = 0,125 —0,004 = 0,121.
Следовательно, можно принять ^ = 0,121 и / = 0,5 + 0,1<? = 0,512.
Снова пользуясь второй интерполяционной формулой Ньютона, находим
<о=— 0,897+ q (—0,033) + ^~^ • 0,089 = —0,897 —0,004 + 0,006=—0,895.
Таким образом, окончательно имеем со = в=—0,895.
§ 9. Метод А. Н. Крылова последовательных сближении
Как видно из предыдущих параграфов, многие методы численного
интегрирования дифференциальных уравнений, включая метод Адамса,
распадаются на два этапа:
1) нахождение начального отрезка искомого решения, т. е. на-
начало решения или вход в таблицу;
2) вычисление дальнейших значений на основе найденных величин,
т.е. продолжение таблицы.
Здесь мы изложим принадлежащий А. Н. Крылову [10], [8], [22]
способ построения начального отрезка методом последовательных
сближений. Этот метод особенно удобен, когда, правая часть диф-
дифференциального уравнения задана таблично, что, например, имеет
место в задачах внешней баллистики.
Для простоты записи ограничимся рассмотрением дифференциаль-
дифференциального уравнения первого порядка
«/'=/(*, У) 0)
с начальным условием у(xQ) = yQ.
Выведем сначала ряд вспомогательных формул, полагая
yi = y(xo + ih) и yt = f(xb у;) {i = 0, 1, 2, ).
В силу формулы Адамса (см. § 8, E)) имеем
где ради краткости введено обозначение т|; = Л^ = hf(x^ i/().
6*

164 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ill
Формула B) обычно называется формулой наклонной строки, так
как в ней используются разности, стоящие на диагонали таблицы
разностей. Учитывая, что
Д%-1 = АЛ,—АЧ-1. ЛЧ-2 = ДЧ--1 — АЧ-».
и полагая постоянными конечные разности третьего порядка
из формулы B) будем иметь
Д Л +
Отсюда получаем первую вспомогательную формулу —
так называемую первую формулу ломаной строки
Д»1 = Л/ + у ДЛ,— 4 ЛЧ-1. — ^ Д8Л,--а- C)
Далее, учитывая, что Д2т]1-_1 = Д2т](. — Д3ГI_1 и Д3т)(_2«А3г|(_1, из
формулы C) выводим вторую вспомогательную форму-
формулу— так называемую вторую формулу ломаной строки
Д Л + ДЛАЧ +
Наконец, полагая Д3Т|(-_1жД3т)(., получаем формулу горизонтальной
строки
Заметим, что формулу E) можно получить непосредственно с по-
помощью интегрирования, в пределах от хг до jc,-+1, разложения у'
по первой интерполяционной формуле Ньютона:
Переходим к описанию метода Крылова последовательных сбли-
сближений.
Первое сближение состоит в вычислении приближенного значения
Ауа (для ясности это значение и аналогичные ему подчеркнуты одной
линией) по одночленной формуле
Aj/o = 1lo- F)
После этого находим Ух = уо + Ау0 и составляем разность Дт|0 =
= Л1 —Ло. г*е Л_1 = л/(-*;1. y_i)-
Найденные значения заносим в раздел 1 основного бланка (таб-
(таблица 47).

МЕТОД А. Н. КРЫЛОВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ СБЛИЖЕНИЙ
1.65
Таблица 47
Схема вычисления начального отрезка методом
последовательных сближений
Лга сближения
i
in
¦•
0
1
0
\ 1-
2
0
1
2
3
X
х0
xi
"о
Х1
х2
"о
х2
х3
У
Уо
Hi
Уа
Ok
Уо
1\
Уз
У*
АУо
АН»
Aj/2
л
По
Hi
л.
Л_1_
Л2
л?
S
А%
лл„
А_>Ь_
Ailo
A'li
An?
ДЧ,
AV
Далее переходим ко второму сближению. Для этого, используя
данные первого раздела, вычисляем приближенные значения А(/о и Дг/х
(эти значения, как и значения, связанные с ними, подчеркиваем двумя
чертами) по двухчленным формулам:
¦¦¦>¦¦¦¦ ¦ А '
.Vi = *h-r-9 A'lo-
(8)
Двухчленные формулы получаются соответственно из формулы E)
при i = 0 и из формулы B) при i=\ в результате откидывания
разностей порядка выше первого.
Таким образом, получаем возможность найти
в результате чего можно вычислить
и составить разности
Д2Л о=^Ч 1—

166 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. III
j
I
Полученные результаты вписываем в раздел II основного бланка
(таблица 47).
Для нахождения третьего сближения применяем трехчленные фор-
формулы, Которые получаются из формулы E) при г=0, из формулы C)
при i == 1 и формулы B) при i = 1 после откидывания разностей
третьего порядка. А именно, используя данные раздела II, вычисляем
приближенные значения Ау0, Ауг, Ау2 (подчеркнуты тремя линиями)
по трехчленным формулам:
4 (9)
5
12'-
Отсюда можно найти
и вычислить цъ т]2, т]3. После этого можно заполнить раздел III
основного бланка (таблица 47), найдя нужные разности обычным
порядком.
Для контроля перевычисляем Ау0, Ау1 и Дг/2 по полным четырех-
четырехчленным формулам E) — при / = 0, D) — при /=1 и C) — при г =2:
АЛAV + Д^Л A2)
16
'111' 2
A4)
Обычно перевычисление Ау0 и Дг/Х по формулам A2) и A3) в пре-
пределах заданной точности не дает ничего нового по сравнению с Ау0
и Аух. Что касается значения Ау2, то, как правило, оно отлично от Д(/2.
В этом случае следует исправить Д(/а на Дг/2. Практически чаще
всего приходится менять последний десятичный знак, и процедура
сводится к тому, что этот знак берется в скобки и дописывается
новый десятичный знак. Затем вносятся соответствующие исправле-
исправления в значения у3, тK, Дт]2, A2t)j и А3тH. После этого можно перейти
к нормальному ходу вычислений по формулам Адамса.

§ 9] МЕТОД А. Н. КРЫЛОВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ СБЛИЖЕНИЙ 167
Если Ау0 и Аух отличны соответственно от Ауй и Ауг в задан-
заданных десятичных знаках, то процесс сближений не может считаться
законченным. В таком случае следует или найти четвертое сближение,
полностью перевычнслив с помощью формул A2) — A4) раздел III
основного бланка, и затем для контроля проверить по тем же формулам
устойчивость величин Ау0, Ау±, Ау2, или же повторить весь ход
вычислений с меньшим шагом. ,
Заметим, что при выборе шага h для метода сближений лучше
ошибаться в меньшую сторону, чем в большую. Дело в том, что
при малом шаге можно быстро закончить сближения, а затем, удвоив
шаг, определить недостающие значения одним из регулярных мето-
методов, в то время как при завышенном шаге всю работу приходится
переделывать заново.
Замечание. Можно указать более точный вариант метода
последовательных сближений.
А именно, найдя &у0 по формуле G), мы имеем возможность
вычислить ух, г\г и АгH, после чего Аух определяется по более точ-
точной формуле
A %+Ar|
Аналогичным образом можно поступить при вычислении Аг/2. А именно,
вычислив Ау0 и Ауг по формулам (9) и A0), находим уг и у2 и вычис-
вычисляем" цъ Т|2) Ат]0, At)j, A2t]0. Затем Ау2 определяется по формуле
Пример 1. Методом последовательных сближений для интеграла
дифференциального уравнения
у' = х + у, у @) == 1 A5)
найти значения j/1 = i/@,l), у2 = у @,2), у3 = У @,3), приняв шаг Л = 0,1.
Решение. Вычисление будем вести с тремя десятичными знаками
после запятой.
Полагая т) = 0,1 (х + у) и применяя формулу F), получаем
Д|/о = 0,100, ух= 1,000 + 0,100= 1,Ш0.
После этого заполняем раздел 1 основного бланка (таблица 48), далее
с помощью двухчленных формул G) и (8) находим
^0 = 0,100 + ^-0,020 = 0,110, Д^ = 0,120 + -2-0,020 = 0,130,

168
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРЛВНЕНИЙ [ГЛ. Ill
что дает' возможность заполнить раздел II основного бланка (таблица 48).
Наконец, используя трехчленные формулы (9) —A1), будем иметь:
-1-0,021—-1-0,002 = 0,ЫО/ . . . :
Д(/! = 0,121+ ~ -0,023 — -^-0,002 = 0,132,
Д</г = 0,144+ 4-0,023 + 4-0.002 =0,156.
С помощью полученных данных заполняем раздел III основного бланка
(таблица 48).
Таблица 48
Вычисление начального отрезка интеграла дифференциального
уравнения A5) методом последовательных сближений
I
11
111
0
1
0
1
2
0
1
2
3
к
0
0,1
0
0,1
0,2
0
0,1
0,2
0,3
и
1,000
1,100
1,000
1,110
1,240
1,000
1,110
1,242
1,39(8)9
0,100
0,110
0,130
0,110
0,132
0,15Fj7
п
0,100
0,120
0,100
0,121
0,144
0,100
0,121
0,144
0,170
дп
20
21
23
21
23
26
Д'П'
2
2
3
Д'Л
1
Для контроля производим пересчет Ау0, Ау± и Д</2 по четырехчленным
формулам A2) — A4). В результате приходится исправлять на единицу
последнего разряда лишь значение Ду,, помещая неточную цифру в скобки.
Аналогичным способом в случае необходимости исправляются и зна-
значения у3, г\3, Дт]2, A2t]i и Д3Ло В данном случае с точностью до третьего
десятичного знака эти величины остаются неизменными. ¦¦.¦¦;
Таким образом, окончательно имеем у @, 1)=1,110, (/@, 2) = 1,242,
(/@, 3) = 1,399.
Для сравнения приводим точные значения (см. § 7): '
i/@, 1) = 1, ПОЗ...; 0@, 2) = 1,2428...; у @, 3) = 1,3997...
§ 10. Метод Милна
Одним из наиболее простых и практически удобных методов
численного интегрирования дифференциальных уравнений является
метод Милна (W. E. Milne) [19], [21]. Дадим сначала описание
этого метода, а затем остановимся на выводе необходимых форМ'уЛ,
применяемых в методе Милна.

§ 101 МЕТОД МИЛНА : 169
Пусть дано дифференциальное уравнение
«/'=/(*. у) 0)
с начальным условием
У{хо) = Уй- B)
Выбрав шаг й, положим, как обычно,
y'i=f(xh у.) A = 0,1,2,...).
Первые четыре значения искомого решения </0, уи у2, уа («началь-
(«начальный отрезок») находим, используя начальное условие B) и
применяя какой-либо метод, описанный выше, например метод
последовательных приближений или метод Рунге — Кутта. Тем самым
будут известны у\ (/ = 0, 1, 2, 3).
Дальнейшие значения у,- = у(х:) (i = 4, 5, ...) последовательно
определяются по следующей схеме: предполагая, что у(-_х, у,_2,
</,-з. !/,-4 известны,
1) вычисляем первое приближение у/ для ближайшего следую-
следующего значения yi по формуле
^1)=г/(-4+уBу;_3-4';-2+2у;_1) (*=4,5,...); (з>
2) значение j/j1' подставляем в дифференциальное уравнение A) и
определяем соответствующее значение i//1' =f(xh у'1');
3) находим второе приближение у\ по формуле
^ °) (' = 4, 5,...). D)
Милн показал, что абсолютная погрешность значения г/'2' прибли-
приближенно равна
*,=i\yP-y\l)\. 45)
Поэтому, если е,^е, где е — заданная предельная погрешность
решения, то можно положить у,•« (/-2) и yi^/(xh i/'2)). В част-
частности, это имеет место, если г/1' и </'2) совпадают в интересующих
нас десятичных знаках.
Далее переходим к вычислению ближайшего следующего значе-
значения У/+1, повторяя указанный выше процесс. В противном случае,
если точность е не обеспечена, следует уменьшить шаг h (начиная
с известного места). При этом мы встретимся с неприятной необхо-
необходимостью пересчета соответствующего «начального отрезка».
Таким образом, мы видим, что метод Милна выгодно отличается
от других методов (например, от метода Рунге — Кутта) тем,,,что
в нем производится корректирование каждого вновь полученного

170 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [г'л. III
частного значения интеграла уравнения без пересчета с измененным
шагом.
Приступим теперь к выводу формул Милна C)—-E). Для этого
воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона [23],
написанной для производной у', в подходяще выбранной точке xk,
причем ограничимся разностями третьего порядка, что равносильно
тому, что интеграл у = у (х) дифференциального уравнения A)
аппроксимируется полиномом четвертой степени. Имеем
или
У' = y'k +4^y'k + \ (?2-'/> Д2Й + i (?3-3<7а + 2д) AVb F)
где
Полагая A = i — 4 в формуле F) и почленно интегрируя полученную
Х1-3 х1-2 ХН
h h h h
Рис. 32.
формулу по # в пределах от л:,_4 до х-, (рис. 32), будем иметь
y'dx=
Xi-
l — *
Отсюда, учитывая, что ^ =*~~*'~1 и dx = hdg, находим
0
= h I 4t/^._4 -

10] МЕТОД МИЛНА 171
Так как
то, подставляя эти значения в формулу (8), после обычных упроще-
упрощений получим первую формулу Милна:
Для вывода второй формулы Милна положим k = i — 2 в формуле
F) и проинтегрируем обе части получившегося выражения по х
в пределах от х{_г до х{. Тогда, учитывая, что q = *'~8 и
dq = -r, будем иметь
XI 2
у' dx = h\ </,_j + q \у\_г -f- у (#s —^) Д i//-2 +
Отсюда, выполняя квадратуры, получим
У,-У1-2- h ^2y'l_t + 2^y¦l_2+ ^ А%_^ . A0)
Подставляя в формулу A0) известные выражения
^У\-г = y'i-i —y'i-t, №y'i-t = У). — 2</<-i + y't-г,
придем ко второй формуле Милна:
У{ = Уi-2 + у (y't-г + V«-i + J/D- A1)
Заметим, что для дифференциального уравнения
y'=f(x), У(хо) = уо,
правая часть которого не зависит от искомой функции у, формула
A1) идентична с формулой Симпсона для интеграла
У! — У(-2= $ f(x)dx.
Для вывода контрольной формулы E) для погрешности е(- второго
приближения у( оценим главные члены погрешностей е, и е|- пер-
первой и второй формул Милна. Учитывая отброшенные в интерполя-

172 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ill
цйонной формуле Ньютона F) разности четвертого порядна, с точ-
точностью до разностей пятого порядка будем иметь
о
2
h j ~ {q*-
о
90
Отсюда, считая, что четвертая разность A*y'f постоянна на интервале
длины 4А, получим е,-1* = —28е'2).
Так как, очевидно, у: = у\1} + е\%) = у\1)—2& в1? и у, =
то
Следовательно, имеем контрольную формулу Милна:
J
A3)
Заметим, что если шаг /г достаточно мал, то приближение можно
положить
Пусть a:<Cjf^? — интересующий нас отрезок, на котором стро-
строится решение дифференциального уравнения A), и А= . Тогда
из формул A2) следует, что предельная абсолютная погрешность
на отрезке [а, Ь\ приближенного решения «/,- = у(лг,) выражается
следующим образом:
,, Л6 ,, Ь—а .. ,,
где Мъ = max [ yv (x) | при а
Таким образом, суммарная ошибка метода Милна есть величина
порядка Л4.
Пример 1. Дано дифференциальное уравнение
A4)
с начальным условием ji@)=1. Методом Милна вычислить f/ @,5) с точ-
точностью до 0,001.

§ Ю|
МЕТОД МИЛНА
173
Решение, Задаемся h — 0,1; так как погрешность результата полу-
получается порядка h* = 0,0001, то заданная точность практически достигается.
Вычисления ведем с одним запасным знаком.
Значения </0 и у0 мам известны непосредственно из начального условия
и уравнения A4): уо=1, (/о = 1. Остальные первые три значения
(< = l. 2, 3)
находим каким-либо другим способом численного интегрирования дифферен-
дифференциального уравнения.
Из уравнения A4) получаем соответствующие значения
y\ = y'(Xi) (/ = 1, 2, 3).
В таблице 49 приведены эти значения, найденные методом Рупге — Кутта
(см. §7, табл. 40).
Т а б л и ц а 49
Начальный отрезок для метода
Милна
i
0
1
2
3
j
0
0
0
0
С;
,1
,2
,3
1
1
1
1
т.
,1103
,2427
,3996
1
1
1
1
,2103
,4427
,6996
Займемся вычислением значений yt и уъ по формулам Милна.
1) Вычисление у4. Применяя первую формулу Милна C), получим
4-0,1
] = и-
- B-1,2103 —1,4427 + 2-1,6996) = 1,5836.
Отсюда, подставив в дифференциальное уравнение, будем иметь </4 = 1,9836.
Далее, применяя вторую формулу Милна D), находим
(//> = 1, 2427 + ^-A,4427 + 4-1,6996+ 1,9836) = 1,5835.
„(U
„B)
Таким образом, найденные значения уу' и ук*' совпадают в сохраняемых
нами трех десятичных знаках, поэтому считаем </4 = </42' —1,5835. Отсюда
У4 = //'4<2) =1,9835.
2) В ы ч и с л е н и е </6. По первой формуле Милна имеем
у[1) = 1,1103 + i^iB-1,4427 —1,6996 + 2-1,9835) = 1,7973;
соответственно
у'»1» =0 5+1 ,Э73 =2 2973.

174 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ш
По второй формуле Милна будем иметь
J/F2> = 1,3996 + ^1 A,6996 + 4-1,9835 + 2,2973) = 1,7973.
Так как у^ и у{^ совпадают, то можно положить ?/Б = 1,7973. Следо-
Следовательно, у @,5) = 1,797.
Отметим, что благодаря малости шага h здесь нет необходимости оце-
оценивать погрешность приближенных значений искомого решения.
Интегрирование дифференциального уравнении по методу Милна удобно
производить по следующей схеме (таблицы 50, 51).
Таблица 50
Основная таблица для метода Милна
0
1
2
3
4
5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
у\1)
1,5836
1,7973
1
1,1103
1,2427
1,3996
1,5835
1,7973
в*
0
0
1,9836
2,2973
1
1,2103
1,4427
1,6996
1,9835
2,2973
Метод Милна может быть применен также к интегрированию систем
дифференциальных уравнений.
Пусть дана система дифференциальных уравнений
с начальными условиями
Выберем шаг h и положим
У (*«) =Уо-
A5)
A6)
(i = 0, 1, 2, .. .),:
где у=у(х) — искомая вектор-функция.
Каким-либо методом определим дополнительные начальные значения
л. л. л- . " . ¦
Из уравнения A5) найдем соответствующие значения производной
y'i=f(Xi, Уд (i=0, 1, 2, 3).
Тогда дальнейшие значения У( (г = 4, 5, 6, ...) искомой вектор-функции
приближенно шаг за шагом могут быть вычислены по следующим формулам;

§ 10]
МЕТОД МИЛНА
Таблица 51
Вспомогательная таблица для метода Милна
175
2у;-з
-y't-,
О ^~ {
У(-4
у\1)
y'i-* .
У-Ш
2!2>
h Y1 B)
У 1-г
У^
i
2,4206
—1,4427
3,3992
4,3771
0,5836
1
1,5836
1,4427
6,7984
1,9836
10,2247
0,3408
1,2427
1,5835
5
2,8854
-1,6996
3,9670
5,1528
0,6870
1,1ЮЗ
1,7973
1,6996
7,9340
2,2973
11,9309
0,3977
1,3996
1,7973
III. Если
е,=
где е — заданная предельная погрешность, то полагаем </,- « у)
(а)
*) Под нормой вектора у==(Уи у%,---,Уп) здесь понимается число
| = max| j/yl-

176 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ill
Пример 2. Методом Милна найти на отрезке [0, 1] интеграл системы
дифференциальных уравнений
^=.1 _,г,,
dx х dx
удовлетворяющий начальным условиям у@) = 1, 2@) = 0.
Решение. Для удобства записи положим
где /j = — и f2 = — ху.
Заметим, что система A7) обладает особенностью при # = 0. Вследствие
етого у' @) имеет форму неопределенности, которую раскрываем по правилу
Лопиталя:
у'@)= lim .1= lim i-=2'@) = 0.
X -+ ft X X -> ft i
Выберем шаг h = 0,2. Начальный отрезок для метода Милна вычисляем
методом Рунге — Кутта с пятью десятичными знаками после запятой. Схема
вычислений дается в таблице 52.
Имея начальные значения Y-, = ({/;, г,-) (/=0, 1, 2, 3), дальнейшие вы-
вычисления проводим методом Милна, используя формулы I, II, 111.
Результаты вычислений даны в таблицах 53 и 54.
Таким образом, мы получаем
. (/A) = 0,76520; гA) = —0,44000.
По вычислениям методом Адамса (см. [201) имеем
у A) = 0,76520; 2A) = —0,44005.
Заметим, что в нашем случае известно точное решение системы A7),
а именно:
y = J0(x), г = -*•/,(*),
где Jo и Jt— функции Бесселя нулевого и первого индекса соответственно.
По таблицам [17] имеем
у A) = У0A) = 0,765198 .... , гA) = —У!A) = — 0,440051 ...
Пример 3. Методом Милна найти на отрезке 0^/^0,5 частное
решение системы
} A8)
г' = —jH-2z,
удовлетворяющее начальным условиям
x@) = jr, = 2, y
Шаг h — At принять равным 0,1.

§ 10]
МЕТОД ¦ МИЛНА
177
s
' О.
О
2
о о
о см
ОФ
- rf СО
оо
о о о о
I I I
О О СП
СМ СМ СО
о о о
о о о" о
о о о
SS8
О CM СМ
о о о
о о* о о
I I
оо о о
о
о
о
00
_ _ _ о
8
О5
= I
NOOO-*
00 00 Г~ (М
OJ OOIO OJ
—¦ 1О СО ГО
0 о •— г-
(ОООЮЮ
01 00 00 ID
00 1С Ю Г^
ОООО
I I
oooo
I I II
Ql СЛ CX O
—i CM СЧ CO
I I
L1 J l_M L' J ' 1
СО CN CN СЧ
"•i t» 4j* чэ
* СО СО Oi
oooo
I I I I
oooo
мм
омою
О) СО СО -Ч4
:O UO О
С1
СП
?
со со сз со
оо —I те см
СО 00 Г- О1
t— 00 ОО О
О —< — —I
ОООО
мм
00 ¦* 1М СО
CN ¦* СО СО
О) СО О Г~
СО О) О Ю
ОО —I О
мм
СО 00 О 00
СО СП
Is- СП СП О
ОООО
мм
I I
О О О' О
—« С-1 (М CS
о о
I I
ОООО
мм
ОООГО N
со оо о а
о о t^ о
ф 't со —
о оо о
2
о
СП
о
(О
о

178
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. III
а
х
и
X
а
л
х
3
х
л
•е-
•е-
X
3
X
s
s
я
о
ь
OS
to
I
X
а
о
X
и
О
V
II
II
.и
". 'ч
""
to"
rrf-
li
—
_-
.—.
w
____
^)
H
-
о
о
о
->
о
о
800
•—*
1
со
О>
а>
о
о
i^.
00
СП
о
о
1
_
СП
о
CN
О
-
416
00
со
с
э
a
-^
с
J
f^
СО
оо
О
о*
оо
со
о
СО
СП
о
о
см
721
о*
СО
CN
о*
1
(^^
v-H
м
о*
1
о
о
см
СП
о
to
о"
СО
III
1
CD
"~*
-1»
о
1
о
704
о
Y
00
ОО
ID
со
о
о
ю
см
о
1
CD
СО
to
со
о
8
[^
°\
ю
()О
(-0
о
1
8
о
1
^.
СО
00
о
30
о
1
о
1
о
см
о
о
о
о"
1
о
см
in
to
о"
см
сч
53
г-
о*
[-._,
00
СП
СО
а"
Of
со
о
1
см
<м
ю
to
t-
о
о

МЕТОД МИЛНА
179
Таблица 54
Вспомогательная таблица для метода Милна в случае системы
дифференциальных уравнений
y'
~~ ' i - 2
2Г
4 V^ (i)
1 /
y'd)
2Г ¦
4
-0,19866
0,19592
-0/57324
—0,57238
—0,15263
1,00000
0,-84737
—0,' 19592
— 1,14648
—0,36875
— 1,71115
—0,11408
0,96038
0,84630
-0,39600
0,38416
—0,09442
. —1,10626
—0,29500
0,00000
—0,29500
—0,38416
—2,18884
—0,67790
—3,25090
—0,21673
-0,07837
-0,29510
Hi
—0,39184
0,28862
—0,73774
—0,84296
—0,22478
0,99000
—0,76522
—0,28662
— 1,47548
—0,43987
—2,20197
—0,14680
0,91200
0,76520
—0,76832
0,54721
— 1 ,35408
—1,57519
—0,42000
—0,01987
—0,43987
—0 ,54721
—2,70808
—0,76522
—4,02051
-0,26803
-0,17197
—0,44000
Решение. Начальный отрезок для искомого решения вычисляем ме-
методом Рунге—Кутта. Для краткости положим
x=\
и A*=-g-^. X< = 4i*i + <72*!!+<?3*3+<74*4. где
Результаты вычислений приведены в табл. 55.

180
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IH
Таблица 55
Нахождение начального отрезка решения А" методом Рунге—Кутта
/
0
1
2
l
0
0,05
0.05
0,1
0,1
0,15
0,15
0,2
0,2
0,25
0,25
0,3
X
2
1
1
2,05
1
1
2,045
1,00262
0,99750
2,08975
1,00471
0,99500
2,08984
1,00497
0,99500
2,12960
1,00991
0,99001
2,12438
1,01237
0,98752
2,15872
1,01930
0,98007
2,15880
1,01953
0,98006
; 2,18794
1,02907
0,97012
2,18254
1,03126
0,96758
2,20613
' 1 ;04245
0,95534
ft = 0,l-V'
од
0
0
0,09
0,00525
—0,005
0,08975
0,00471
—0,00500
0,07955
0,00992
—0,00998
0,07953
0,00988
—0,00998
0,06908
0,01480
—0,01496
0,06888
0,01433
—0,01493
0,05829
0,01911
—0,01986
0,05827
0,01907
—0,01987
0,04747
0,02346
—0,02477
0,04733
0,02292
—0,02472
0,03644
0,02694
0;02954
qk
0,1
0
0
0,18
0,01050
—0,010
0,17950
0,00942
—0,01000
0.07955
0,00992
—0,00998
0,07953
0,00988
—0,00998
0,13816
0,02960
—0,02992
0,13777
0,02866
—0,02986
0,05829
0,01911
—0,01986
0,05827
0,01907
—0,01987
0,09494
0,04692
—0,04954
0,09466
0,04584
—0,04944
0,03644
0,02694 i
0,02954
0,08984
0,00497
—0,00500
0,06896
0,01456
—0,01494
0,04739
0,02313
—0,02473

§ И]
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШИХ: ПОРЯДКОВ
181
Дальнейшие вычисления произведены по формулам I, II и III. Полу-
Полученные результаты помещены в таблице 56, причем промежуточные выкладки
опущены. Для сравнения в последней графе таблицы 56 приведены Компо-
Компоненты точного решения X с пятью верными десятичными знаками после
запятой.
Таблица ?6
Вычисление решения Л" методом Милна
/
0
1
2
3
4
5
t
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Jf=Jf<2>
2
1
1
2,08984
1,00497
0,99500
2,15880
1,01953
0,98006
2,20619
1,04266
0,95533
2,23153
1,07270
0,92106
2,23459
1,10742
0,87758
1
0
0
0,79532
0,09882
—0,09984
0,58270
0,19074
—0,19868
0,36427
0,26911
—0,29553
0,14224
0,32795
0,38941
Л-lll
2,23152
1,07268
0,92106
2,23458
1,10740
0,87758
0,36427
0,32798
0,38940
—0,08126
0,36209
—0,47942
[,У<1)-Л-<2>'|
С 2У
0
0
0
0
0
0
X
2
1
1
2,08983
1,00497
0,99500
'2,15881
1,01951
0,98007
2 ,206'Д)
1,04267
0,95534
2,23154
1,07271
0,92106
2,23459
1,10743
0,87758
§ 11. Методы, основанные на применении производных
высших порядков
До сих пор для численного интегрирования дифференциального
уравнения первого порядка
*/'=/(¦*, У) О)
с начальным условием
мы применяли, формулы, в которых явно используется лишь первая
производная yj = J/j (#,-) искомого решения.

182 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. III
Однако если использовать формулы, явно содержащие производ-
производные высших порядков от искомого решения, то можно указать
методы, дающие более точный результат на данном промежутке без
увеличения числа шагов.
Выведем соответствующие формулы, предполагая, что правая
часть уравнения (I) дифференцируема достаточное число раз.
Пусть (/,-, у\, у\— значения искомого решения у = у(х) и, соот-
соответственно, значения его производных первого и второго порядков
в точках хч — ха-\- ih (i = 0, 1, 2, ...). Разлагая величины
в ряды по степеням h, находим:
IV
IV V
Из полученных формул исключим члены, содержащие у'с" и yjvш
Для этого вторую формулу умножим на —-«", а третью — на
— и сложим с первой. Будем иметь:
h . , /г2
у t+i—т у i+i+12"
(ятзя)(ти-й+я) *'+¦•
или
h h% hb v
У ,4i = У i + у (У1 + y't+i) + -J2" (У1 — У1+1) + 720 lJi + • • '
Таким образом, с точностью до Нъ имеем приближенную фор-
формулу [14]
Можно показать, что остаточный член формулы C) равен
п _ У* &)иь
Кх - 720 '

§11] ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 183
где хi<X<.xl+x. Аналогично имеем:
f/j + i — Уi-2 — У (¦*! + А) — t/ (лг,- — 2/г) =
, , Л2 . , Л3 ,„ , AV. IV , Л8 v ,
, . 4/г2 „ 87i3 „. , 16/г4 iv 32Л6 v , \
i + — yi g-y{ +^-У1 J20"»// +...j
ЗЛ2 „ 3/ia „, 5ft< iv , lift» v ,
У+УУ +«/+
, И.2 „ Л3 ,„ /г4 iv Л5 v ,
71 I о ^ { ?i УI > О А УI lOn^' I • •
. / »t // . ii .it it IV | '• V
о i л i4 "' Л4 IV , Л6 V .
-<Л-2 — 3@,— J//._i)-*8yi 9-» +-г.^ +•¦¦
Отсюда
С другой стороны,
/ ,. „ Л2 iv
У1 — У1-1—У-1 — У iixi — fi)= yi — lyi—nyj +-к-у, —
Л3 V | \ * //' Л ^ IV Л3 V
ё~У' +¦••)= "У I 2~ ^' +-Q-yi — ¦ ••
Поэтому
Уi+i — Уi-ъ — Ъ {Уi~ Уi-i) = h2 {y"i—y"i-i) +-12-У? + ¦ ¦ ¦
Таким образом, с точностью до Л6 имеем приближенную формулу
Можно доказать, что остаточный член формулы D) есть
где *,._4<(Ч1
К формулам C) и D) присоединим выражения для производных
у' и у", а именно:
У'=/(х, у), E)
. У" =/'Л*, У)+/у(х, у) у'. F)
Процесс численного интегрирования дифференциального уравне-
уравнения A) при наличии начального условия B), использующий

184, РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ill
формулы C) и D), происходит следующим образом. Каким-либо
методом вычисляем три начальные строки (начальная таблица):
У и
Из формулы D) при г =2 получаем первое приближение для <у3:
и, пользуясь формулами E) и F), находим для соответствующих
производных ц'3 и yl их первые приближения:
Уз=/(х3, Уз) и </з=/*(*3. У
Второе приближение для у3 определяем при I = 2 из формулы C):
¦ ' = h —. /г2 —
Уз = г/2+  (#г + Уз) + ~12{У-г—у1)- C)
После этого исправляем значения производных у'3 и у, подсчи-
подсчитывай их вторые приближения:
Уз=/(х3, Уз) " Уз=/Л-^з. Уз) + У»/у(хз> Уз)-
Для контроля еще раз вычисляем по формуле C) третье при-
приближение г/3 значения у3, используя найденные значения у'3 и у\.
Если шаг h выбран подходящим, то пересчет не дает нового ре-
результата, и в этом случае можно положить уЛ = уг, Уз=Уз> Уз=Уз-
В противном случае следует уменьшить таг. Аналогично нахо-
находятся дальнейшие значения у,-, y'h у\ при г>3.
Для получения начальных значений уг и у2 обычно используют
метод последовательных приближений или метод Рунге—Кутта, после
чего нужные производные у\ и у (г' = 0, 1, 2) определяются по
формулам E) и F).
Можно также применить следующий прием: сначала, используя
данное начальное значение у (х0) = у0, непосредственно вычисляем
Уо=-'/(Хо, У о) и Уа=/'х(Х0, У0)+Уа/'у(Х0, у0).
Тем самым будет заполнена 1-я строка начальной таблицы.
Далее на основании формулы Тейлора приближенно получаем
. . Ух =

§ 11] ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 185
и, следовательно, можно будет найти , .
y[=f(xv yj и y"l=fx(x1, y^+y'tfyix^ yt).
Пользуясь этими данными, уточняем значение у1 по формуле C):
h /z2
</i = Уй +  (Уо + 1А) + -[2 (У"о — У1)
и затем перевычисляем значения у[ и у[. Тем самым заполняем 2-ю
строку начальной таблицы. Аналогично, исходя из 2-й строки, нахо-
находим элементы у2, у'г и у\ последней, 3-й строки начальной таблицы.
Отметим, что если пересчеты элементов строк дают значительные
расхождения, то этот прием не является надежным. В таком случае
следует или уменьшить шаг h вычислений, или же обратиться к
более точным методам.
Пример 1. Для дифференциального уравнения
найти несколько значений интеграла у (х), удовлетворяющего начальному
условию у @)= 1.
Решение. Примем шаг равным ft = 0,l. Из начального условия
имеем уо=1. Методом Рунге — Кутта находим
У1 = ;/ @,1) = 0,909410, уг = у @,2) = 0,835786.
Отсюда, пользуясь формулами
У1=А-А о»
и
y"i = 2(xi— у,у\) 0=0, 1,2,3, ...), (Ю)
вычисляем:
{,'0= —1,000000, (/9 = 2,0000;
i/i = —0.817026, yi= 1,6360;
у'г =—0,658538, у"г=-1,5008.
Дальнейшие значения (/,(/^3) находим, используя описанный выше
регулярный процесс. Например, для <=3 из формулы G) получаем
= 1,000 + 3.@,835786 —0,909410)+ 0,01-A,5008—1,6860) =0,777278.
Подставив это значение в формулы (9) и A0), где положено ( = 3,
будем иметь
¦^з = 0,32—0,7772762=— 0,514158,
Уз = 2[0,3-0,777276-(— 0,514158)] = 1,3994.
Значение у3 уточняем, пользуясь формулой (8):
= ,0,1 ,— , . 0,01 --„ ' »
Уз = Уг + -^--(У& +J/2)-—j2~'( Уз— Уг)= -
= 0,835786 +0,05- (— 0,514158 —0,658538)-^-A,3994 —1,5008) =0,777236.

186 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 111
Из формул (9) и A0) находим соответственно
~у'а=— 0,514096 и 7з= 1,3991.
Полученное приближение у3 подвергаем для уточнения итерационной
обработке, подставляя его снова в формулу (8):
s , 0,1 ,=, , -, 0,01 ,=» .-
= 0,835786 +0,05-( — 0,514096 — 0,658538) — ^1. A,3991 — 1,5008)= 0,777239.
Пользуясь формулами (9) и A0), получим соответственно
^3 = 0,514100 и f3 =1,3992.
Так как расхождение второго и третьего приближений незначительно,
то принимаем:
1/3 = 0,777239, (/3 = 0,514100, у'3= 1,3992,
причем последние десятичные знаки приведенных значений сомнительны.
Аналогично вычисляются дальнейшие значения (/4, у5, ...
Результаты окончательных вычислений помещены в таблице 57.
Та б л и ц а 57
Интегрирование дифференциального
уравнения методом производных
высших порядков
X
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
у
1,000000
0,909410
0,835786
0,777239
0,732728
0,701769
0,684230
у'
— 1,000000
— 0,817026
— 0,658538
— 0,514100
— 0,376890
— 0,242480
— 0,108169
у"
2,00000
1,6860
1,5008
1,3992
1,3523
1,3403
1,3480
В заключение приведем формулы, обеспечивающие более высокую
степень точности, но требующие вычисления, кроме второй, еце и
третьей производной искомого решения. А именно, используя фор-
формулу Тейлора и употребляя прием, аналогичный указанному выше,
получаем формулы
ft3

§ 12] ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 187
где о _42МУ"E1)
ГДе К1~ 100800 "• и
tfi+1 = Уд + Y (*'« + ^ ~ TJ (^+1 ~ ^ + 120 ^< + *
где «2-
! ОО8оо
Формула A1) употребляется для нахождения первого приближе-
ния У[+1< формула A2) дает уточненное значение ~у1+1. Само собою
разумеется, что к последним двум формулам целесообразно прибегать
тогда, когда форма дифференциального уравнения позволяет сравни-
сравнительно просто находить вторую и третью производные от искомой
функции у.
§ 12. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
второго порядка
Задача Коши для дифференциального уравнения л-го порядка
</""=/(*, У, У' У1"1) A)
при начальных условиях </(*> (лг0) = </0' (k = 0, 1, 2, ..., п — 1), как
было показано в § 1, сводится к задаче Коши для системы
У' =Уъ
где Ук(х0) = у{ (k = 0, I, 2, ..., и —1
Поэтому изложенные методы приближенного интегрирования систем
дифференциальных уравнений применимы также к уравнению A).
Однако общие схемы для приближенного решения дифференциаль-
дифференциальных систем, не учитывающие специфических особенностей системы B),
оказываются излишне сложными. Поэтому целесообразно вывести
формулы, специально приспособленные для численного интегрирова-
интегрирования дифференциального уравнения вида A). Мы ограничимся рас-
рассмотрением дифференциального уравнения второго порядка
</"=/(*, У, У') C)
при начальных условиях у (х0) = у0, у'(хо) = у'а.
Выведем формулы для приближенного вычисления интеграла
у = у (х) дифференциального уравнения C) с помощью метода Адамса.
Для этого выберем шаг Ах = h и введем стандартные обозначения:
y"i = y"(xi)=f(xl,yi,y'i) {i = 0, I, 2, ...).

1-88 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 111
Допустим, что известны значения :
'Jo, fi УГ> " :
Уо, Уг У С'
У о, y'i y'i
B^=3). Тогда можно вычислить разности Ау]^, A2y"t^, Asy°[_3.
Применяя вторую интерполяционную формулу Ньютона, с точ-
точностью до разностей четвертого порядка будем иметь (см. § 8)
з, D)
где
Так как в силу формулы E) dx = hdq, то, очевидно, имеем
ч
1 ^ У" d<i F)
Xi о
i]1:' ¦•¦¦¦¦¦..
* ч ¦
' dq. G)
Интегрируя последовательно на отрезке [0, q\ два раза по q фор-
формулу D), на основании формул F) и G) получим
- y't = h \qy"t
и
у -«/,. = Л<№ + /г2 [-^- у', + ^
Отсюда, полагая <7= 1 в формулах F') и G'), находим
1 Ay:,, + 1 Д2У;_2 + |- A3y;_3) (8)
1м + ±Ау]_,+±А%-> + ^3Уи^, (9)
19 1 »,
где положено-тд-» утг. Можно принять

§ 12| ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 189
Более точный вариант счета следующий [14]: найдя y'tll, по
формулам (8) и A0) вычисляют Ау\, A2y'i_l, А3у'{_г, после чего оп-
определяют Aiji по более точной формуле (см. § 8):
Ду/1 =/г
Затем, приняв
)\ y'i + hy't', (П)
из дифференциального уравнения можно найти
y"t+i=f(xi + v У« + 1. y't+i)
и, пополнив таблицу, вычислить y'i+1 по формуле
где
\y^=h^yl+^\yl—L^yl_l-^^y].
В случае необходимости повторяют аналогичный пересчет вели-
величин у.+1 и у'[+1 до тех пор, пока не прекратятся изменения. Реко-
Рекомендуется шаг h выбирать столь малым, чтобы формулы A0) и A1)
давали одинаковые результаты в пределах заданной точности.
Что касается начального отрезка </0, yv y2, ys; y'Bl y\, y2, y'.t,
то он предварительно определяется каким-нибудь подходящим
методом.
Разработаны также другие приемы для приближенного интегри-
интегрирования дифференциального уравнения C) (см. [14], [18], [27]).
В частности, для дифференциального уравнения вида
Уи=/{х,у)
имеется весьма точный метод Б. В. Нумерова [27].
Пример 1. На отрезке [0, 1] найти интеграл у = у(х) уравнения
у" + у ch х = 0, A3)
удовлетворяющий начальным условиям
Решение. Примем шаг /i = 0,2. Для подсчета начального отрезка
применим метод степенных рядов. Имеем
у" =• — У ch x;
отсюда
+ 2у' sli х-\-у" ch х),
= ^ (у Ж к-\-Ъу' ch х+Ъу" sh x-\-y"' ch x) и т. д.

190 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ш
Следовательно, в силу начальных условий A4) получаем:
поэтому
х3
Т
A5)
Полагая jr,=0,2i (« = — 1, 0, 1, 2), из формул A5) с точностью go 10' на-
находим:
у,=— y_i = 0,200 — 0,001 =0,199,
yi = /_! = 1— 0,020 = 0,980,
i/2 = 0,400 — 0,011=0,389,
г/2 = 1— 0,080 — 0,002 = 0,918.
Дальнейшие вычисления производим по формулам (8), (9), A0) без пе-
пересчета. Результаты вычислений приведены в таблицах 58 и 59.
Таблица 58
Основной бланк для решения задачи Коши A3) — A4)
i
-1
0
1
2
3
4
5
X
—0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
у
-0,199
0
0,199
0,389
0,563
0,710
0,819
0
0
0
А|/
,174
,147
,109
0
1
0
0
0
0
у1
,980
,980
,918
,810
,649
д
—0,
—0,
108
161
ch х
1,020
1
1,020
1,081
1,185
1,337
0
0
—0
-0
—0
-0
у"
,203
,203
,421
,667
,949
—203
-203
—218
—246
-282
лу
0
— 15
-28
-36
— 15
— 13
- 8
Таблица 59
Вспомогательный бланк для решения задачи Коши A3) — A4)
i
у\1]
1
у Аг/',:-1
?А3!/«-з
2
— 0,421
— 6,109
— 0,006
-0,006
-0,542
— 0,108
3
— 0,667
— 0,123
— 0,012
— 0,005
-0,807
— 0,161
4

§ 131
МЕТОД ЧАПЛЫГИНА 191
Продолжение табл. 59
i
~У1
s2
hy'i
2
— 0,210
36
2
2
— 0,250
—0,010
+ 0,184
0,174
3
— 0.334
— 0,041
—0,004
—0,001
— 0,380
—0,015
+ 0,162
0,147
4
— 0,474
-0,047
— 0.004
—0,001
— 0,526
—0,021
+ 0,130
0,109
§13. Метод Чаплыгина
Рассмотренные выше приближенные методы интегрирования диф-
дифференциальных уравнений были преимущественно численными. В этом
параграфе мы изложим аналитический метод приближенного интегри-
интегрирования дифференциальных уравнений, принадлежащий Чаплыгину и
основанный на совершенно новой идее.
Метод Чаплыгина [15], [16], [5], [2] является одним из наиболее
точных аналитических методов приближенного интегрирования диф-
дифференциальных уравнений и в то же время допускающим простую
оценку погрешности решения. Сущность его состоит в том, что иско-
искомое решение у = у(х) (хо^.х^Х) аппроксимируется двумя после-
последовательностями функций
удовлетворяющими двойному неравенству
и„{х)<У(хХъп(х) при
и начальному условию
а, X]
причем такими, что vn (х) — ип(х) =$0 на [х0, X] при п—кхз.
Геометрически это значит, что искомая интегральная кривая у — у[х)

192 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. III
зажимается в сколь угодно узкий криволинейный сектор А0ВпС
(рис. 33).
Таким образом, для решения у (х) строится «вилка» [ип (х), vn (x)]
и указывается регулярный процесс, с помощью которого можно су-
сузить эту «вилку» до желаемых размеров. В этом смысле метод Ча-
Чаплыгина напоминает комбини-
рованный метод решения
обычных уравнений (см. [23],
гл. IV).
Если положить уп да ип (х),
то предельная абсолютная по-
грешность приближенного ре-
шения ип(х) будет равна
0 х т. е. эта погрешность на каж-
Рис. 33. дом шаге определяется непо-
непосредственно.
Для простоты изложим идею метода Чаплыгина применительно
v лнфференциальному уравнению первого порядка
«/'=/(*. У) С)
с начальным условием
У(ХО)=УО, B)
причем будем предполагать, что правая часть f(x, у) непрерывна и
имеет непрерывные производные /у(х, у) и /уУ(х, у) в некоторой
окрестности начальной точки М0(х0, у0). Метод основан на одной
лемме, представляющей также самостоятельный математический ин-
интерес.
Лемма Чаплыгина об интегральных неравенст-
неравенствах. Пусть
— дифференциальный оператор, соответствующий дифференциальному
уравнению A), и у = у (х) — интеграл уравнения A), т. е.
/[у] = 0, C)
удовлетворяющий начальному условию у (х0) = у0 и определенный
при х0 ^ х ^ X.
Если функция и —и (х) ^ С1 удовлетворяет условиям:
при хо^х^Х D)

§ 13] МЕТОД ЧАПЛЫГИНА 193
то на отрезке [х0, X] выполнено неравенство
«<0, E)
т. е. функция и является нижним приближением решения у.
Аналогично, если для функции v = v (x) ? С1 выполнены условия:
/[v]^0 при xo^.xt^X F)
и
то на отрезке [х0, X] имеет место неравенство
G)
т: е. функция v является верхним приближением решения у.
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать лишь одно
из неравенств E) или G). Докажем, например, неравенство E).
Из формул C) и D) имеем у'— f(x, у) = 0 и и'— f(x, и) < 0.
Отсюда
Су-и)'-р (*)(*-«)> 0, (8)
где
m (9)
Функция р (х) теряет смысл при л:, для которого у = и. В этом
случае полагают
В силу приведенных выше условий функция р (х) определена и не-
непрерывна на отрезке [х0, X].
Умножим обе части дифференциального неравенства (8) на поло-
положительный интегрирующий множитель
X
J p(x)dx
ц (х) = ех° ;
будем иметь
?-х{\1(х)[у(х)-и(х)}}^0. ^ A0)
Отсюда, интегрируя неравенство A0) в пределах от л:0 до х, где
ха ^ х ^ X, получим
ц (х) [у (х)-и(х)] — р(х0) [у (хо) — и (*„)] ^ 0
или, так как у (х0) = и (xQ) и \и (х) > 0, то окончательно находим
и(х)^у(х) при хо^
что и требовалось доказать.
7 Б. п. Демидович и др.

194 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. III
Следствие. Пусть функции у — у{х), и = и(х) и v-=--v(x)
при х0 ^ х ^ X удовлетворяют соответственно дифференциальным
уравнениям
У'=/(Х,У), (П)
B'=/l (*.«). Vr=f2(X,V), A2)
где
и общему начальному условию у (х0) = и [х0) = v {х0) *={/0. Тогда
справедливо неравенство
и (х) ^ г/ (ж) ^ v {х) при л:0<д;^Х A4)
Действительно, полагая /[г] = г'—/(#, г), И8 условий A2) и
A3) имеем
/ [в] - W -f(x, и) - U (х, и) -/ (х, и) < О,
Отсюда на основании предыдущей леммы следует неравенство A4).
Si
Рис. 34.
Нетрудно выяснить геометрический смысл неравенства A3),
Рассмотрим семейство интегральных кривых ..., С_2, C_v Со, Съ
С4, ... (К) уравнения A1), где Со—интегральная кривая, проходя-
проходящая через точку М0(х0, у0), т. е. график решения у =* у (х) (рис. 34),
Из первой части неравенства A3) вытекает, что интегральная
кривая первого из уравнений A2) у = и{х), проходящая через точ-
точку MQ, пересекая последовательные кривые С семейства (К), о л у-

§ 13] МЕТОД ЧАПЛЫГИНА 195
скается по отношению к этим кривым и, следовательно, лежит
ниже кривой Со (рис. 34).
Наоборот, из второй части неравенства A3) усматриваем, что
интегральная кривая второго из уравнений A2) y = v(x), проходя-
проходящая через точку Мо, пересекая последовательно кривые С семей-
семейства {К), поднимается по отношению к этим кривым и поэтому
расположена выше кривой Со (рис. 34).
Таким образом, имеет место неравенство A4).
Покажем теперь метод построения последовательностей функций
ии, vn (n = 0,1,2, ...), аппроксимирующих решение у дифферен-
дифференциального уравнения A).
Предположим сначала, что -~\ сохраняет постоянный знак в рас-
рассматриваемой области, например:
Р>0. A5)
Методом проб подберем две функции ио = ыо(дг) и vo = vo(x), где
ио(х) ^vo(x)> Для которых выполняются соответственно неравенства
/[яо]=—Фо(*)<0 и /[«„] = !>„(*) >°.
где ф0 (х) и \р0 (х) — соответствующие невязки.
В случае затруднений при нахождении функций и0 и vQ можно
применить следующий прием. Пусть правая часть f(x, у) диффе-
дифференциального уравнения A) определена и непрерывна в некоторой
прямоугольной области R [х0 ^.х ^ •*„-(- я, \у — f/ol^S^b где а и
b—положительные числа. Положим
m=m\nf{x, у) при (х, y)?R; Л1=тах/(дг, у) при (дг, у) ?#; A6)
Тогда на отрезке [дг, Л'], где X = xo-\-h, в качестве начальных при-
приближений можно выбрать следующие функции (рис. 35):
{х—хй), vo =
Действительно, из формул A6) и A7) вытекает, что
/ [и0] = »—/(*, «„) < 0, l[vo] = M—f (х, v0) ^ 0
при лг0 < х ==S лг0 + А.
Для уточнения приближений и0 и v0 полагаем «1 = ио+Ро и
vl = v0—с0, где Ро = Ро(^) и о0 = о0 (х) — функции, определяемые
из линейных дифференциальных уравнений
7jj = P(*

196 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. III
И
где
Но —«о
A8")
A9)
Так как свободные члены <р0 (х) и т!ро(х) линейных уравнений A8')
Рис. 35.
и A8") неотрицательны, то из известных общих формул для реше-
решений этих уравнений следует, что
при
Можно доказать [16], что
/[их]<0 и
на [лго, X].
Таким образом, и1 и v1 являются соответственно нижним и верхним
приближениями для точного решения у, образующими более узкую
«вилку», чем начальные функции и0 и va.
Вообще, если /[«„]= —Ф„ (*)< 0 и I[vn] = i}3n (x) > 0, то мож-
можно положить
причем функции рп и ап неотрицательны и определяются из линей-
линейных дифференциальных уравнений
*>. Pn(^o) = 0 B0')

§ 13]
и
где
МЕТОД ЧАПЛЫГИНА
197
dan
=О (я=1,2, 3, ...), B0*)
Рп W^/l/ \х> unh Чп\х1— v _u
Доказывается, что
Отсюда получаем (рис. 36)
B1)
«2 < • • • ^ «„
Заметим, что если зафиксировать л: и построить график функции
*¦=/(*, У), B2)
то для каждого значения х получим, что pn(x) = tgan представляет
0„
У1
1 ^
Рис. 36.
собой угловой коэффициент касательной к кривой B2) в точке
у = ип, a qn (x) = tg (Jn есть угловой коэффициент секущей к кривой
B2), проходящей через точки у = ип и у = ^п(рис. 37).
Поэтому получение ип условно может быть названо методом
касательных, а получение vn — методом хорд.
Из уравнений B0') и B0") будем иметь
J*pn(x) die х -)
'« ) <(,Лх)е х°
B3)

198 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Ill
И
х х
J qn(x)dx х -?qn(x)dx
оп = е<° )Уп(х)е *° dx (/2 = 0,1,2,...)- B4)
«о
Н. Н. Лузин [16] доказал, что при я —»-оо разность vn—un
весьма быстро стремится к нулю. Если для некоторого п имеем
vn — ип <С е, где е—заданная предельная погрешность, то прибли-
приближенно можно положить
1 ,
Заметим, что если не требуется оценки погрешности приближенно-
приближенного решения, то нет необходимости строить две последовательности
Рис. 37.
ип и vn (я= 1, 2, ..., я). В этом случае достаточно ограничить-
ограничиться последовательностью иа (или vn), так как
Если вместо неравенства A5) выполнено обратное неравенство
то функции а и v меняются своими местами.
Случай, когда ^ на отрезке [ха, X] меняет знак, более сло-
сложен, поэтому здесь его рассматривать не будем [15], [16].

МЕТОД ЧАПЛЫГИНА
199
Пример 1. Методом Чаплыгина построить на отрезке 10, -^ I
сколько приближений для интеграла уравнения Рикатти
не-
у@) = 0.
Решение. В нашем случае
f,(x, у) = х + 2у* и
z] = z'— х—2za.
Так как f" (x, у) = 4>0, то можно применить изложенную выше тео.
рию. Для пробы положим
«0 = 0 и ио = х.
Имеем
/[«о! = — *= — Фо
/[ц„]=1 — х — 2х2 =
при 0<дс<-х-. Следовательно, полу-
получим 0<у<я при 0<х< 1/2 (рис. 38).
Согласно общей теории полагаем
vo — "о
Пусть Ui = uo + Po и Ц1 = ио — °о- в силу формулы B3) находим
J Ро (X) </* * -/ Р« (
Рос
Поэтому и1 = —. На основании формулы B4) получаем
I,
о to (*) «
- J
Интеграл
-J
ixdx
х
=й*2 f A—х —

200 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
является неэлементарной функцией, которая только числовым множителем
отличается от интеграла вероятностей [17].
Очевидно,
X XXX
J J J J
о ооо
Поэтому
1 *> , 1 ,
°о — 2 ^2
и, следовательно,
Для контроля произведем проверку знака оператора / [z] при г = иг
и z=[>j. Имеем
/ [Ul] = x—х— 2*2=— 2л2 <0.
Далее,
Vе ¦ ' 2
При 0<*<1/2 на основании формулы Тейлора получаем
где 0<9<1; поэтому
Оценим разность
Так как (ух — ul)'=x (e*!— 1)Э=0 при 0<д:<1/2, то
max^ — Uj) =-j (eu — 1) — ^=\ A,2840— 1)— 0,125 = 0,017.
Итак,
1 ,.*г . , .... с точностью до о,О2.
Аналогично в случае необходимости можно получить и дальнейшие
приближения искомого решения.
Замечание. Большим неудобством метода Чаплыгина является
возможность появления неберущихся квадратур. В этом случае ин-
интегралы приходится вычислять приближенно.

§ 14] метод ньютона—канторовича 201
§ 14. Метод Ньютона — Канторовича
Обобщая известный метод Ньютона для нахождения корней ал-
алгебраического или трансцендентного уравнения [23], Л. В. Канторо-
Канторович [30] указал способ решения задачи Коши, а также краевых за-
задач для дифференциальных уравнений. Сущность этого способа
заключается в нахождении решения дифференциального уравнения
путем последовательных уточнений начального приближения, нахо-
находимых из линейных дифференциальных уравнений.
Пусть, например, дано дифференциальное уравнение первого по-
порядка
у'=/(х, У) 0)
с начальным условием
У(хо) = уо, B)
где функция/{х, у) дважды дифференцируема в области R {\х —
\у-Уо\<Ь).
Предположим, что уа — у0(х) является приближенным решением
уравнения A), причем
Уо(хо)=Уо-
Тогда дальнейшие приближения уп (п—\, 2, ...) решения задачи
Коши A), B) последовательно могут быть определены по формуле
Рп(х)уп+1 = Я„(х), C)
где Р„(х)=/у(х, уп(х)) и qn(x)=f{x,yn{x))—fy(x,yn(x))yn(x).
Отсюда
т
1 * -fpn(t)dt I
Уо + \ qn (т) е *• dx\,
{ i J
, 1, 2, ...)•
Доказывается [30], что если yn(x)?R (n—\, 2, .. .), то
при \х—х0 | ^ h, где А достаточно мало, причем быстрота сходи-
сходимости оценивается неравенством
где
p == max
\x-x,[<h
у =

202 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. III
И
I/; (х, у) |< Ми | fm (х, у) | < Ж2 в Л.
Метод быстро сходится на промежутке \х—xo\^.h, где y<il-
§ 15. Некоторые замечания об оценке погрешностей решений
дифференциальных уравнений
Основная цель приближенных вычислений заключается в нахожде-
нахождении нужного результата с заданной степенью точности. Для этого
прежде всего необходимо, чтобы все произведенные выкладки не со-
содержали принципиальных и арифметических ошибок. Последнее
обстоятельство особенно важно подчеркнуть для численных методов
решения дифференциальных уравнений, где схемы вычислений доста-
достаточно сложны и малейшая ошибка безнадежно портит всю дальней-
дальнейшую работу.
Если вычислитель по косвенным признакам заподозрит наличие
такой ошибки, то для поисков и устранения ее требуется много
времени. Поэтому разумно проводить превентивную политику, т. е.
не допускать появления таких ошибок и продолжать счет лишь
в том случае, если имеется абсолютная уверенность в правильности
всех предшествующих вычислений.
Практика показывает, что в счете следует избегать поспешности
и придерживаться золотого правила: «лучше меньше, да лучше».
Опытный вычислитель знает, что нельзя верить своим однократно
проведенным выкладкам. Необходим действенный текущий контроль
над процессом вычислений, позволяющий немедленно обнаружить
возникшие ошибки. Для этой цели служат различного рода конт-
контрольные формулы и вспомогательные соображения. Начинающий
вычислитель часто считает контроль излишним и применение конт-
контрольных формул неприятной дополнительной нагрузкой. Однако на
своем печальном опыте он скоро убеждается, что поиски допущен-
допущенной ошибки требуют большей затраты времени, значительно пре-
превосходящей время, необходимое на контроль.
Гарантией правильности решения может служить:
1) проверка выполнения условий за да ч и (например,
для дифференциального уравнения найденное приближенное решение
можно подставить в это уравнение или эквивалентное ему и прове-
проверить расхождение правой и левой частей);
2) двойной пересчет по возможности другим ме-
методом или другим вычислителем;
3) применение более грубой схемы и качествен-
качественный анализ задачи.
Если известен алгоритм нахождения точного решения задачи, то
других ошибок, кроме вычислительных, не имеется. Положение услож-

§ 15] ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕШЕНИЙ 203
няется, если для нахождения решения приходится пользоваться при-
приближенным методом. Здесь наряду со случайными вычислительными
ошибками появляются неизбежные погрешности приближенного реше-
решения вообще. Отметим, что оценка погрешности приближенного реше-
решения или общие соображения о его характере существенно необхо-
необходимы, так как в противном случае полученный формально правиль-
правильный результат может иметь чисто иллюзорное значение.
Для иллюстрации приведем пример [18]. Пусть требуется чис-
численно найти решение задачи Коши:
У = 10/+1Гу, tf@) = l;/@) = -l A)
на отрезке [0, 3].
Общее решение дифференциального уравнения A) имеет вид
где ct и сг — произвольные постоянные.
Для искомого решения эти постоянные имеют значения сх=\ и
?2=0, поэтому у — е~х, и, следовательно,
(/C) = е"8« 0,0498. B)
Применение обычных приближенных методов, в силу неизбежных
погрешностей округления, даст приближенное решение вида
где ех и е2—малые по абсолютной величине постоянные.
Пусть, например, точность метода такова, что е1 = +100 и
е2 = ± Ю0. Тогда
У C) = A ± Ю-10) е~а ± 100 е33 да ± 2-10\ C)
т. е. даже при применении приближенного метода высокой точности
полученное значение C) может не иметь ничего общего с точным
значением B).
На практике примеры такого рода встречаются сравнительно
редко, однако с возможностью их приходится считаться. В сомни-
сомнительных случаях рекомендуется составлять общее представление о
поведении интегральных кривых, в зависимости от чего и выбирать
подходящий способ вычисления.
При дальнейших рассуждениях будем предполагать, что вычисли-
вычислительные ошибки тем или иным способом устранены полностью. Зай-
Займемся сейчас анализом ошибок, источником которых является при-
приближенность вычислений.
Общая схема применения ПриблИЖеННЫх МЙТОДОй Т9К0ВЗ. ПуСТЬ
у (х) — искомая функция, значения у (лг() которой обычно определя-
определяются для системы равноотстоящих точек xL = х0 + ih (I = 0, 1, 2, ...).

204 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
Обозначим через у{ = у(хь у0, уъ • - -, !/t-_i) последовательные зна-
значения приближенного решения. Тогда предельная абсолютная по-
погрешность приближенного решения у выразится следующим образом:
Пусть yt есть результат применения приближенного метода
к точному решению, т. е. у, = у(х(, у0, ух, . . ., j/,-_i). Тогда можно
принять Ei = ??*-)- е,-, где
?1 = 1^-^1 E)
— так называемая погрешность метода, а
— так называемая текущая погрешность.
Погрешность метода Е] представляет собой ошибку, происходя-
происходящую от замены точного алгоритма решения приближенным. Эта по-
погрешность неустранима. Поэтому метод вычислений должен быть
выбран так, чтобы погрешность его на последнем шаге вычислений
не превышала заданной величины.
Что касается текущей погрешности метода е,-, .то источником ее
является расхождение между результатами применения данного ме-
метода к точному и приближенному решениям. Значительную роль
здесь играет округление промежуточных данных.
Обычно порядок точности приближенного метода бывает известен.
Под этим понимается следующее. Пусть известны значения точного
решения </0, уъ у2, ..., у( и очередное значение yi+1 разложено
по степеням шага h в ряд Тейлора, т. е.
где af = ±yP (р = 0, 1, 2, . ..).
Напишем разложение в ряд Тейлора по степеням А значения
(/*+1 = y(xt + h, y0, ylt ......уt),.
найденное в результате применения данного приближенного метода
к точным значениям у0, ylt ..., у{. Будем иметь
Если для всех /выполнены равенства Ьр = ар при р = 0, 1, .. .,/я,
причем 6от+1^=вт)+1 для некоторых /, то число m называется по-
порядком точности приближенного метода. При этом по-
погрешность метода на каждом шаге имеет порядок O(hm+1).

§ 15] ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕШЕНИЙ 205
Если число m определено, то для грубой оценки погрешности
метода можно применить так называемый принцип Рунге [18].
Пусть, например, на каждом шаге h допущена погрешность, при-
приблизительно пропорциональная hm+1 (m~^\), и 2л представляет
собой общее число шагов вычисления.
В таком случае, предполагая, что погрешность на каждом шаге
одна и та же, равная Ahm+1, приближенно получаем
у 2/1 — У In — ¦^'i-^l'fr , \i )
где А — неизвестный числовой множитель.
Согласно Рунге производим тем же методом вторичный пересчет
искомого решения у с двойным шагом /У = 2А. Тогда в силу нашего
предположения будет допущена погрешность
где Yt (i = 0, I, 2, ..., п) — соответствующие значения в точках
|; = х0-\-Hi результата, полученного применением данного прибли-
приближенного метода с шагом H=2h.
Из формул G) и (8) выводим
~у\п — 2nAhm + 1 = Уп — 2m + 1nAhm+1.
Отсюда находим неизвестную постоянную
К* '"
~У2П
2л Bя1 —
и, следовательно,
- К-у
- *
Таким образом, приближенно можно положить
' '
\9*—Ъ
Заметим, что формулу (9), пренебрегая текущей погрешностью,
иногда используют для оценки полной погрешности решения,
приближенно полагая
где К„ = у(*гп1 Ко, Yv .... Yn_J.
Применим принцип Рунге для оценки погрешности методов Рун-
Рунге— Кутта и Адамса, причем ограничимся лишь рассмотрением диф-
дифференциального уравнения первого порядка
У'-fix, у) A2)

206 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. III
при начальном условии
У(хо)=уо. A3)
1. Метод Рунге — Кутта. Порядок точности метода Рунге—¦
Кутта для уравнения A) есть от = 4 [20], [18] (см. § 7). Поэтому
из формулы A1), при сохранении введенных выше обозначений,
имеем
У2п = ~У2п— ъ(К-Угп)- О4)
2. Метод Адамса. Применяя вторую интерполяционную фор-
формулу Ньютона с остаточным членом (см. [23]), получим формулу
погрешности метода
< max |/'V(*) | gj(^ + Ц* + 1 \q* + 6q) dq = g ft8 max |/>v (*) |. A5)
о
Приближенно можно положить
Следовательно,
Из формулы A5) вытекает, что порядок точности метода Адамса
от = 4. Кроме того, если Л4 (hy1) почти постоянны, то можно поль-
пользоваться формулой A0). Более точная оценка погрешности метода
Адамса имеется у Коллатца [18].
Что касается текущей погрешности метода е,-, то оценка ее в об-
общем случае затруднительна, и этим вопросом здесь заниматься не
будем. Заметим, однако, что различают устойчивые схемы вычисле-
вычислений, когда небольшие начальные отклонения затухают в процессе
решения, и неустойчивые схемы вычислений, при которых даже
ничтожно малые начальные отклонения неограниченно возрастают
с увеличением числа шагов.
Для дифференциального уравнения A2) можно указать еще один
способ заключительной проверки. Имеем
[х, y(x)]dx. A7)
Используя найденные приближенные значения
y(xk) (А=0, 1, 2, ..., л)

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ Ш 207
и применяя к правой части равенства A7) одну из квадратурных
формул, получим
л
*/(*n)={/o+?, Akf[xk> yixk)l
где Ak — некоторые постоянные коэффициенты.
За предельную абсолютную погрешность приближенного решения
у (х) при х0 ^ X ^ хп можно принять величину Еп = \у (хп) —у (хп) |.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ III
[1] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, изд. 8, Физ-
матгиз, 1959.
[2] П е т р о в с к и й И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, изд. 5, «Наука», 1964.
[3] Демидович Б. П., Дифференциальные уравнения, Арт. инж. акад.,
1955.
[4] Толстое Г. П., Курс математического анализа, т. I, изд. 2, 1957,
т. II, 1957.
[5] Э л ь с г о л ь ц Л. Э., Обыкновенные дифференциальные уравнения,
Гостехиздат, 1954.
[6] Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электриче-
электрических системах, ИЛ, 1952, гл. III.
[7] С и к о р с к и й Ю. С, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Гос-
Гостехиздат, 1940, гл. III.
[8] Вентцель Д. А. и Шапиро Я. М., Внешняя баллистика, Оборон-
гиз, 1939, гл. III и VI.
[9] Б и р к г о ф Дж. Д., Динамические системы, Гостехиздат, 1941, гл. IX.
[10] Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях, Гостехиздат,
1954, гл. VII.
[11] Гурса Э., Курс математического анализа, т. II, ч. 2, ГТТИ, 1933,
гл. xix.
[12] Гогейзель Г., Обыкновенные дифференциальные уравнения, ОНТИ,
1937, гл. II.
[13] Пиаджио Г., Интегрирование дифференциальных уравнений, ГТТИ,
1933, гл. IX.
[14] Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ,
1955, гл. III.
[15] Чаплыгин С. А., Новый метод приближенного интегрирования диф-
дифференциальных уравнений, Гостехиздат, 1950.
[16] Лузин Н. Н., О методе приближенного интегрирования акад. С. А.
Чаплыгина, Труды ЦАГИ, 1932.
[17] ЯнкеЕ. и Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми,
Физматгиз, 1959.
[18] Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных урав-
нений, ИЛ, 1953, гл. I.
[19] Скарборо Дж., Численные методы математического анализа, ГТТИ,,
1934, гл. XI, XIII.
[20] БезиковичЯ. С, Приближенные вычисления, Гостехиздат, 1949,
гл. X.
[21] Фролов С. В., Приближенные вычисления, МВТУ, 1948.

208 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. III
[22] Фихтенгольц Г. М., Математика для инженеров, ч. II, вып. 2.
ГТТИ, 1933, гл. XVII.
[23] Демидович Б. П., Марон И. А., Основы вычислительной матема-
математики, изд. 3, «Наука», 1966, гл. XIV.
[24] Березин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, Физматгиз,
1960, т. II, гл. IX.
[25] ПоложийГ. Н. и др., Математический практикум, Физматгиз, 1960,
гл. V.
[26] Система стандартных подпрограмм, под ред. М. Р. Шура-Бура, Физ-
Физматгиз, 1958, гл. VII.
[27] Вентцель Д. А., Вентцель Е. С, Элементы теории прибли-
приближенных вычислений, изд. ВИА им. Жуковского, 1949, гл. VIII.
[28] Оппоков Г. В., Численное интегрирование дифференциальных урав-
уравнений, ГТТИ, 1932. гл. II.
[29] Ми х лин С. F., Смолицкий X. Л., Приближенные методы реше-
решения дифференциальных и интегральных уравнений, серия «Справочная
математическая библиотека», «Наука», гл. I, M., 1965.
[30] Канторович Л. В., Функциональный анализ и прикладная мате-
математика, УМН 3, вып. 6 B8), 1948.

ГЛАВА IV
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Общая постановка краевой задачи
Рассмотрим дифференциальное уравнение л-го порядка (п ^2)
/="(*, У, У', ¦•¦ , У<щ) = 0. (I)
Краевая задача для уравнения A) заключается в следующем:
найти решение у = у{х) уравнения A), для которого значения его
производных
#? = yw[*i) (* = 0, 1, .... а,.)
в заданной системе точек х = Х; (/=1, 2, ... , k; А 2^2) удовлет-
удовлетворяют п независимым между собой краевым условиям, в общем слу-
случае нелинейным:
VM</i, У[, ••• , У?»\ ... , У» У\, ••• . *4%>) = 0 B)
(v = l, 2, ... , л).
Так как в силу уравнения A) производные yw порядка п и выше
могут быть в общем случае выражены через искомую функцию у
и ее младшие производные у', у", ... , у{п~1}, то можно считать, что
о„<п—1 (*=1, 2, ... , *; v=l, 2, ... , я). C)
Краевая задача A)—B) часто встречается в приложениях. При-
Приведем примеры конкретных краевых задач.
Пример 1. Простейшая двухточечная краевая задача. Найти функ-
функцию у = у(х), удовлетворяющую дифференциальному уравнению второго
порядка
у" = Ь(х,у,у') И)
и принимающую при х = а и л: = 6 (а < Ь) заданные значения

210
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Геометрически это означает,
0
что требуется найти интегральную кривую
дифференциального уравнения D),
проходящую через данные точки
М (а, А) и N(b, В) (рис. 39).
Пример 2. Видоизменением
задачи, приведенной в примере 1,
будет: найти такое решение у = у (х)
дифференциального уравнения D),
чтобы
y'(a) = Al, y'(b) = Bl.
Геометрически эта задача сводит--
рис 39 ся к отысканию интегральной кри-
кривой уравнения D), пересекающей
прямые х = а и х = Ь под заданными соответственно углами аир такими, что
(рис. 40).
Пример 3. Можно рассмотреть
найти решение у = у (х) диффе-
дифференциального уравнения D),
удовлетворяющее условиям "
у (а) = А, у' ф) = В1.
Иными словами, требуется
найти интегральную кривую
уравнения D), проходящую че-
через заданную точку М (а, А)
и пересекающую прямую # = Ь
под данным углом р\ где
tg $ = Вг (рис. 41).
Заметим, что общая кра-
краевая задача A)—B) может
а) не иметь решений;
б) иметь единственное
решение;
в) иметь несколько и
даже бесконечно много ре-
решений.
также смешанную краевую задачу!
Пример 4. Краевая за-
задача
= «/(n) = 0 E)
0 а
b х
Рис. 40.
0 а Ь х
имеет бесконечно много реше-
решений вида y = cs\nx, где Рис. 41.
с—произвольная постоянная.
Краевая задача у" + у = О, #@) = 0, у{Ь) = \ приО < &< я имеет един,
sin х
ственное решение Уь = тг^п< а ПРИ * = я совсем не имеет решений (рис. 42).

§ 1]
ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
211
В дальнейшем, как правило, будем предполагать, что решение
краевой задачи существует и оно единственно. Наша цель будет
заключаться в нахождении этого решения.
Специфическую особенность имеют краевые задачи A) — B), где
одна или две из абсцисс х: принимают значения ± оо. С такими
задачами приходится сталкивать-
сталкиваться, например, в квантовой меха- У
нике. Приведем типичную поста-
постановку одной из таких задач.
Пример 5. Найти решение
x = x(t) нелинейного дифференциаль-
дифференциального уравнения
х+хЦх, i)+cp(x) = C
Рис. 42.
F)
удовлетворяющее краевым условиям
х (O) = ;to> * (+ оо) = А, где А = А (х0).
Таким образом, речь идет о разыскании интегральной кривой диффе-
дифференциального уравнения F), проходящей через данную точку М @, х0),
ограниченной на бесконечном интервале @, +оо) и имеющей при t—> +<»
Х-Я ft)
Рис. 43.
некоторую горизонтальную асимптоту х=А, причем величина А также должна
быть определена по заданному значению х0 (рис. 43).
Аналогично ставятся краевые задачи для систем дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
Заметим, что краевые условия вида B) не исчерпывают всех
краевых задач. В некоторых случаях отдельные значения абсцисс х(,
в которых задаются значения искомой функции у или ее производ-
производных, также остаются неизвестными и должны быть найдены из усло-
условий задачи. К числу таких задач относится, например, задача о по-
поражении цела баллистическим снарядом.

212
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Пример 6- Как известно, дифференциальные уравнения движения
снаряда с учетом сопротивления воздуха имеют вид
* = — ? cos в,
—g
G)
(точки обозначают дифференцирование по времени г), где ? = ?((/, о) —из-
—известная функция высоты у и скорости v = Yx2-\-y2; g = g(y)—ускорение
силы тяжести; 6 = arctg-—угол наклона к горизонту касательной к тра-
траектории снаряда.
Предполагая, что в момент t = ta снаряд был брошен в точке О@, 0)
с начальной скоростью v0, направленной под углом в0 к горизонту, и в
У-у(х)
Рис. 44.
момент времени t = tt поразил неподвижную цель М с координатами x = xv
и у = у1 (рис. 44), получаем следующую систему краевых условии:
(8)
x=0, (/=0, x = c0cose0, i/ = tiosineo при t = t0;
* = *i. У = У1 при < = гх;
здесь угол бросания во (параметр) и момент поражения цели ^ также яв-
являются неизвестными.
Решив краевую задачу G) — (8), получаем возможность найти начальный
угол бросания
где *в=х(г0) и y'a — y(ta), при котором достигается поражение цели. Задача
усложняется, если цель подвижна.
§ 2. Линейная краевая задача
Рассмотрим более подробно важный частный случай, когда диф-
дифференциальное уравнение и краевые условия линейны. Такая краевая
задача называется линейной краевой задачей.
Линейное дифференциальное уравнение и-го порядка сокращенно
можно записать в виде
L[y]=f(x), (I)

§ 2] ЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 213
где L [у] =р0 (х) ут +Pi (х) г/1 + ... +рп (х) у, причем обычно
предполагается, что р{(х) (i = 0, 1, ... , п) и /(х)— известные
непрерывные функции на данном отрезке [а, Ь].
Для простоты будем предполагать, что в краевые условия входят
две абсциссы х1 — а и лг2 = Ь (а<СЬ) — концы отрезка [а, Ь]. Такие
краевые условия называются двухточечными. Краевые условия назы-
называются линейными, если они имеют вид
#,[</] = Y, (v=l, 2 я), B)
где
и aW, P<,v), у» — заданные постоянные, причем
при v=l, 2 п.
Например, краевые условия, приведенные в § 1 (примеры 1, 2, 3),
линейны, так как их можно записать в виде
а0У (а) + оцу' (а) = Yi. $0У (») + Pi»' (*) = Y.,
где а0, ах, р0, р1( Yi. Y2—заданные постоянные. Действительно, для
задачи примера 1 имеем
ао=1; а1 = 0; ^ = А; р„ = 1; ^ = 0; уй = В и т. д.
Линейными краевыми условиями являются также условия перио-
периодичности, которые в случае дифференциального уравнения второго
порядка имеют вид
У («) = *(*), у'(а)=у'{Ь).
Линейная краевая задача состоит в нахождении функции у = у{х),
удовлетворяющей дифференциальному уравнению A) и краевым усло-
условиям B), причем последние предполагаются линейно независимыми.
Линейная краевая задача называется однородной, если, во-первых,
f(x) = 0 при a^Lx^b, т. е. дифференциальное уравнение A) одно-
однородно, и, во-вторых, Yv= 0 (v = l, 2, ... , п), т. е. имеют место
однородные краевые условия; в противном случае краевая задача
A)—B) называется неоднородной.
Пример 1. Рассмотрим задачу об изгибе горизонтальной балки дли-
длиной 7, лежащей на двух опорах х — 0 и х = 1, под действием распределенной
поперечной нагрузки с линейной плотностью q = q(x) (рис. 45).
, Из курса сопротивления материалов известно, что вертикальный прогиб
однородной балки приближенно удовлетворяет линейному дифференциальному
уравнению
[EI(x)y"]" = q(x), C)

214
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
где El (х)— жесткость балки при изгибе, причем изгибающий момент М
и поперечная сила Q определяются из соотношений
М=Е1(х)у" и Q = M' = \EI (х)у"]'.
Краевые условия зависят от способа заделки концов балки. Приведем
основные случаи.
Рис. 45.
1. Конец свободен. Нулю равны изгибающий момент М и попе-
поперечная сила Q. Поэтому краевые условия для свободного конца балки суть
i/"=0 и у"'=0. D)
2. Конец шарнирно оперт. Нулю равны прогиб у и изгибаю-
изгибающий момент М. Поэтому краевые условия для шарнирно опертого конца суть
</ = 0 и (/" = 0. D')
3. Конец жестко заделан. Нулю равны прогиб у и угол пово-
поворота <p = arctgy'. Поэтому краевые условия жестко заделанного конца суть
i/ = 0 и (/'=0. D")
Возможны также другие, более сложные случаи краевых условий.
Задача C)—D), очевидно, является линейной краевой задачей.
Пример 2. Пусть жесткость балки ?/ постоянна, тогда уравнение C)
для прогиба у заменяется следующим уравнением:
ElyW — q(x). E)
Предположим, что балка шарнирно закреплена на конце х = 0 и жестко
заделана на конце * = /. В таком случае для прогиба у выполнены краевые
(граничные) условия:
F)
Краевые условия F) являются линейными однородными, так как их
можно записать в виде
1 у @) + 0у" @) + Оу @ + Оу' (/) = 0,
0{/ @) + 1 у" @) + Оу (I) + 0у' @ = 0,
Оу @) +0(/" @)+\у (/) + 0(/' (/) =0,
Краевую задачу E)—F) решить нетрудно. Предполагая для простоты,
что плотность нагрузки постоянна: q(x) = p, будем иметь
рх4
Ely = 7J4"
2 + с3х + с4.

§ 2] ЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
Из граничных условий F) вытекает
215
Таким образом, искомое решение есть
Р /О„4
У =
48Е1
Этот пример показывает, что в случае, когда можно найти общее
решение дифференциального уравнения, двухточечная краевая за-
задача не более трудна, чем задача с начальными условиями. Однако
если общее решение уравнения не может быть найдено регулярным
путем, то решение краевой задачи приводит к новым трудностям,
так как не имеется начальной точки, исходя из которой можно было
бы построить решение одним из рассмотренных выше методов.
Рис. 46.
Однородная краевая задача A)—B) всегда имеет тривиальное
решение у(.к) = 0. Однако во многих случаях представляют интерес
нетривиальные решения этой задачи, которые существуют
не всегда. Поэтому в дифференциальное уравнение A) или в краевые
условия B) вводят параметр %, варьируя который можно добиться,
чтобы при некоторых его значениях соответствующая краевая задача
имела нетривиальные решения. Эти исключительные значения пара-
параметра называются собственными значениями или характеристическими
числами задачи, а отвечающие им нетривиальные решения — собст-
собственными функциями задачи. Таким образом, приходим к так назы-
называемой задаче о собственных значениях — важнейшей задаче совре-
современного математического анализа.
Пример 3. Рассмотрим задачу о продольном изгибе стержня постоян-
постоянной жесткости El под действием сжимающей силы Р, направленной вдоль
оси стержня (задача Эйлера). Предположим, что левый конец стержня х = 0
заделан, а правый х = / оперт (рис. 46). Как известно, величина у = у(х) —
отклонение стержня от его оси —удовлетворяет дифференциальному уравнению
D
-,У" = О, G)

216 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
где Р играет роль параметра. Кроме того, согласно способу заделки стержня
на его концах должны быть выполнены краевые условия!
у @) = {/' @) = 0, уA) — у" (/) = 0. (8)
Требуется найти минимальное значение силы Р—так называемую кри-
критическую силу, при которой возможен продольный изгиб. Математически
этот вопрос сводится к определению наименьшего положительного значения
параметра Р, при котором краевая задача G) — (8) имеет нетривиальное
решение.
Общее решение дифференциального уравнения G) имеет вид
у — сх + с2х + са cos ax + с4 sin ax,
где
" (9)
и ct, c4, с3, с4 — произвольные постоянные.
На основании первых двух краевых условий (8) получаем
Отсюда са=—ct, с4 = , и, следовательно,
., ч , / sin аде\
j/ = c,(l— cosax) + c2 I x — J .
Два вторых краевых условия (8) в связи с тем, что а^О, дают
= c1cosal-\-ci
sin al
A0)
Таким образом, для определения постоянных сх и с2 получена однород-
однородная линейная система. Согласно смыслу задачи представляют интерес лишь
решения, отличные от нуля; поэтому определитель системы A0) должен быть
равен нулю, т. е,
, , , sin al
1—cos al / —
cos a/
a
sin al
=0 (II)
a
или
sin al—a/cosa/ = 0.
Отсюда будем иметь tga = a/, и, следовательно,
*l = \i, A2)
где [а = 4,493...—наименьший положительный корень трансцендентного урав-
уравнения tg (ji = |.i.
Из формул (9) и A2) выводим
р
гврит

§ 3] РЕДУКЦИЯ К ЗАДАЧЕ КОШИ 217
Точное решение краевой задачи возможно в редких случаях.
Поэтому в дальнейшем будут рассмотрены приближенные методы ре-
решения краевых задач, причем для простоты в основном ограничимся
линейным дифференциальным уравнением второго порядка и линей-
линейными краевыми условиями простейшего вида — точечно разделенными*).
§ 3. Редукция к задаче Коши двухточечной краевой задачи
для линейного уравнения второго порядка
Дано линейное дифференциальное уравнение
y"+p(x)y'+<j(x)y=f(x), A)
где функции р(х), q(x), /(x) непрерывны, и требуется найти его
решение, удовлетворяющее краевым условиям:
аоу\а) + а1У'(а)=А, $оу {Ь) + $гу' {Ь)=В B)
(а0, ах, Ро, Р],, А, В — заданные постоянные, причем | сх0 | -J- J otj [ ^= О
и |Pol+iPil#O).
Решение будем искать в виде линейной комбинации
y = cu + v, C)
где и — и(х) — ненулевое решение соответствующего однородного
уравнения •.,.¦¦¦¦¦¦¦
и"+р(х)и' + д(х)и = О, D)
a v = v(x)—некоторое решение данного неоднородного уравнения A)
v"+p(x)v'+g(x)v=/(x). E)
Очевидно, функция у, определяемая формулой C), где с произвольно,
есть решение уравнения A).
Потребуем, чтобы первое краевое условие B) выполнялось для
функции у при любом с. Используя это краевое условие, будем иметь
саоа (а) -\- aov (a) -f- са1ы' (a) -f axv' (а) = А
или
с[а0и(а) + а1ы'(а)] + аог/(а) + а1г»' (а)=А. F)
Для того чтобы равенство F) было справедливо при любом с,
необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при с обращался
в нуль, т. е. должны быть выполнены равенства
аоа(а) + а1в'(а)=О, G)
....:....... aov(a)+ajV'(a) = A. (8)
Для обеспечения равенств G), (8) достаточно, например, положить
u(a) = aik, u'(a)--aok, (9)
*) Каждое из этих условий будет содержать лишь одну из абсцисс.

218 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
где постоянная k отлична от нуля;
если а0 -ф О, и
v(a)=?, v'(a)=O, A0)
t>(e) = Ot v'{a) = ^-, A1)
если а1^=0.
Отсюда видно, что и есть решение задачи Коши для однородного
уравнения D), удовлетворяющее начальным условиям (9), a v есть
решение задачи Коши для неоднородного уравнения E), удовлетво-
удовлетворяющее начальным условиям A0) или A1). При этом для любого с
функция y = cu-\-v удовлетворяет краевому условию на конце лг = а.
Подберем теперь постоянную с так, чтобы функция у удовлетво-
удовлетворяла краевому условию B) на конце х = Ь. Это дает
с [IV (*) + fV' (*)] + [Ро* (Ь) + IV (*)] = в,
откуда
При этом предполагается, что знаменатель
A2)
Таким образом, краевая задача A) — B) сведена к двум задачам
Коши для функций и (х) и v(x).
Заметим, что если обеспечено условие A2), то краевая задача
A) — B) имеет единственное решение. В противном случае она или
совсем не имеет решений, или их бесчисленное множество.
Замечание. Если исходное уравнение A) однородное, т. е.
f(x) = 0и, кроме того, /1=0, то в силу условий A0) или A1) имеем
v(a) = 0 и v'(a) = Q и, следовательно, « = 0. Поэтому у = си(х),
где и (х) есть решение уравнения D), удовлетворяющее начальным
условиям (9). В этом случае
В
C
Пример 1. Найти решение однородного уравнения
= 0, A3)
удовлетворяющее краевым условиям
0@) = 0, уA) = 1. A4)
Решение. Сравнивая условия A4) с общими краевыми условиями B),
видим, что Оо=1, а1 = 0, А=0\ Po—U Pi = 0, 5 = 1. В силу приведенного
выше замечания решение ищем в виде
у = си (х),

§ 41
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
где и (х)— решение однородного уравнения
u" + uch x = Q,
219
A5)
удовлетворяющее начальным условиям (9), где принято k=—1, т. е.
и@) = 0, и'@) = 1. A6)
Из второго краевого условия A4) получаем си A)=1, отсюда с=—j^r •
Решая любым численным методом задачу Коши A5) — A6), находим и (х),
а следовательно, и постоянную с, после чего определяем у.
Таблица 60
Решение краевой задачи для однородного
уравнения A3)
X
и(х)
У(х)
0
0
0
0
0
0
.2
,199
,243
0
0
0
.4
,389
,475
0
0
0
,6
,563
,687
0
0
0
,8
,710
,867
1
0
1
,819
В данном случае соответствующая задача Коши решена в гл. III, § 12.
Необходимые данные находятся в таблице 58. Так как и A) = 0,819, то о =1,221
и у= 1,221 и(х). Окончательные результаты вычислений приведены в таблице 60.
§ 4. Метод конечных разностей
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
с двухточечными линейными краевыми условиями
A)
B)
где р(х), q (х) и f{x) непрерывны на отрезке [а, Ь].
Одним из наиболее простых методов решения этой краевой задачи
является сведение ее к системе конечно-разностных
уравнений. Для этого разобьем основной отрезок [а, Ь] на я рав-
равных частей длины Л (шаг), где
Точки разбиения имеют абсциссы:
(i = 0, I, 2, ..., л),
¦a, Xn — i

220
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Значения в точках деления х; искомой функции у = у (х) (рис. 47)
и ее производных у' = у'(х), у" — у"{х) обозначим соответственно
через уi = y (¦?,•), у\ — у' (¦?,), y"i — y"(xi)- Введем также обозначения:
Pi=P(x{), qt = q(Xi), /i=f(xi).
Заменяя производные симметричными конечно-разностными отно-
отношениями для внутренних точек
И
/1
Ч.
Уп
xt отрезка [а, Ь], будем иметь
у''= '+12Л '~1 ¦
° =1. C)
О хе-а х, xt xn~b x
Рис. 47.
"— Л2
(i=l, 2, .... л-1).
Для концевых точек х0 = а
и хп = Ь, чтобы не выходить
за пределы отрезка [а, Ь], можно положить
D)
Однако если функция у = у {х) достаточно гладкая, то более точные
значения дают формулы [2]
Й- E)
ш
F)
Действительно, полагая, например, yi — y(xo-\-h) и у2 = у {х0-f- 2A)
и используя формулу Тейлора, будем иметь
'№„.№,...
+-оГ-(/о +-5Г У о + ¦ • •>
3!
«/а = Уо
Отсюда
где через О(й2), как обычно, обозначена величина порядка Л2.
Аналогично показывается, что
ЗУя —4У«-1 + г/я-я _ ,/ .
Используя формулы C), дифференциальное уравнение A) в©

§ 4]
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
221
внутренних точках x = xi (/=1, 2, ..., я—1) приближенно можно
заменить линейной системой уравнений
(/=1, 2,
я-1).
Кроме того, в силу формул E) и F) краевые условия B) допол-
дополнительно дают еще два уравнения:
Таким образом получена линейная система п-\-\ уравнений с й+1
неизвестными у0, ylt у2, ..., уп, представляющими собой значения иско-
искомой функции у = у(х)ъ точках
xQ,xvx%, ..., хп. Решив эту си-
стему, если это возможно, полу-
получим таблицу значений искомой
функции у.
П р и ме р 1. Методом конечных
разностей найти решение краевой за-
дачи
" /=-1, 1 Рис.48.
U
"'
Механически уравнения (9) представляют собой дифференциальные уравне-
уравнения для изгибающего момента некоторого бруса с переменным поперечным
сечением и шарнирно закрепленными концами.
Для грубого решения выберем шаг ft = 1/2.
Полагая х_2=— 1, *_,= —1/2, хо = О, хг= 1/2, х2= 1, ввиду симметрии
уравнения и краевых условий будем иметь {/_s=!/2=0, #_i = {/i (рис. 48).
Таким образом, нужно определить лишь две ординаты уа и yv
Полагая * = 0 и пользуясь симметричными формулами для производных,
будем иметь
2
1/4 ' ao
где !/_i = (/i. Аналогично при х = \/2 получаем
Следовательно, используя краевое условие t/s=0, имеем систему
-7</о + 8(/1=-1, 4(/„-6-| {/!=-!,
откуда (/„ = 0,967; (/j = 0,721.
При большом п непосредственное решение системы G) — (8) ста-
становится затруднительным. В этом случае решение краевой задачи

222 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
целесообразно заменить, используя результаты предыдущего параг-
параграфа, решением двух задач Коши.
Например, предполагая, что ао=^О, имеем у = си-(-v, где и нахо-
находится, как решение задачи Коши
и"+ р(*) и'+?(*)« = О, u(a) = av u'(a)=-ao, A0)
a v — как решение задачи Коши
v" + p(x)v'+q(x)v = f(x), v{a) = -?-, v'(a) = 0. A1)
Постоянная с в силу краевых условий B) имеет значение
й-[[У-й)+[У(&)] 12
Заменяя дифференциальное уравнение A0) соответствующим ко-
конечно-разностным уравнением, получим
,-0 (i-1. 2 я-1),
Отсюда будем иметь
«О = «1.
И/+11
(/=1, 2, ..., л—1). С помощью этого процесса находим
«(*) = «„, H'W3""~4VfH''"'- A3)
Аналогично, заменяя дифференциальное уравнение A1) конечно-
разностным уравнением, будем иметь
2Л
(/=1, 2, .... n-I),
Л — Ра + 4ot—3o0
Wo = ^r« 2Л =
A4)

§ 4]
Отсюда получаем
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
223
"i+i =
A5)
(<=1, 2 я-1).
Таким образом, последовательным процессом можно вычислить
= vn и
Тем самым мы получаем возможность из формулы A2) найти
постоянную с, а затем определить значения у1 (г' = 0, 1, 2, ..., л)
по формуле
A = 0, 1, 2, ..., и).
Формулы для расчета упрощаются, если краевые условия имеют вид
у{а) = А, у(Ь) = В. В этом случае ао=ро = 1, а1 = Р1 = О, и мы
получим
ftl
ио = О, щ_=
A6)
причем c = (B — vn)/un.
Замечание. Приближенные значения у можно уточнить, про-
производя вычисления с двумя различными шагами. Пусть yh и ун —
приближенные значения у при шаге h и, соответственно, шаге Н.
Предполагая, что ошибка пропорциональна квадрату шага, будем
иметь
Отсюда, считая, что постоянная с* не зависит от шага, получим
и, следовательно,
— Уь ~г
A7)

224 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
§ 5. Метод прогонки
При применении метода конечных разностей к краевым задачам
для дифференциальных уравнений второго порядка получается «трех-
«трехчленная система» линейных алгебраических уравнений, каждое из
которых содержит три соседних неизвестных. Для решения такой
системы разработан специальный метод, получивший название метода
прогонки.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
(x)y'+q(x)y=/(x) A)
с двухточечными линейными краевыми условиями
р^' (Ь) = В B)
в предположении, что функции р(х), q(x),f(x) непрерывны на [а, Ь].
От дифференциального уравнения A) обычным приемом перейдем
к конечно-разностному уравнению. Для этого разобьем отрезок [а, Ь\
на л равных частей с шагом h = . Полагая x-t = хй -f- ih,
xQ = a, xn = b (/ = 0, 1, 2, ..., п) и вводя обозначения: р(*,)=р,-,
#(*,•)= 4,., /(*,.)=/,., </(*,) = </,-, для внутренних точек x = xi(i=\,
2, ... ,, п— 1) отрезка [а, Ь] вместо дифференциального уравне-
уравнения A) получаем систему конечноразностных уравнений
(i=l, 2, ... , и_1).
Отсюда после соответствующих преобразований будем иметь
f/1+i + '«1f/, + «(^-1=/iA2 (/ = 1, 2, ... , я—1), C)
где для краткости положено
\ + bh i + ^h l + ^ft
Для производных на концах х0 = а и xo — b берем односторон-
односторонние производные
и ^п =7Г~
Отсюда согласно условиям B), получим

§ 5] МЕТОД ПРОГОНКИ 225
Линейная система C), E) состоит из я +1 уравнений первой
степени относительно неизвестных t/Ol ylt ... , уп. Эту систему
можно решить обычным способом. Однако мы сейчас укажем другой,
более короткий путь, получивший название метода прогонки.
Разрешая уравнение C) относительно yit будем иметь
Предположим, что с помощью полной системы C), E) из урав-
уравнения F) исключена неизвестная (/,_!• Тогда это уравнение примет
вид
yi = ci(di — yi+1), G)
где ch di (/=1, 2, . . . , п — 1) — некоторые коэффициенты. Отсюда
Подставляя это выражение в уравнение C), получим
<//+! + ЩУ1 + nici-x K-i - </,) =/Л2.
и, следовательно,
_^ (/>2 - ItjCj _ xdj _ i) — У,
y
Сравнивая формулы G) и (8), получим для определения с1 и й;
рекуррентные формулы:
e' = ml-1nlcl.^ di=h»-»i'i-i<'t-i (/ = 1, ..-, я-1). (9)
Определим теперь с0 и d0. Из первого краевого условия E)
получаем
A
Уо~ oofta,
С другой стороны, из формулы G) при г=0 имеем
J/o = co(do—#i)-
Сравнивая последние два равенства, находим
На основании формул (9), A1) последовательно определяются
коэффициенты с,., dt (г = 1, 2 п — 1) до сп_х и dn_1 включи-
включительно (прямой ход).
Обратный ход начинается с определения уп. Используя вто-
второе краевое условие E) и формулу G) при i=n—1, получим сис-
систему двух уравнений
+ Рг^зГ^Я, Уп-х^'п-хУи-х-Уп)- A2)
8 Б. П. Демидович и др.

226
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Решая ее относительно уп, будем иметь
y- = ff+fcf+ir A3)
Теперь по формуле G) последовательно находим gn_lt У„_2, </„_з. ¦ • ¦
••• , Уо-
Для контроля можно проверить выполнение первого краевого
условия. Вычисления удобно расположить в виде таблицы 61.
Таблица 61
Схема метода прогонки
1
di
У1
0
Co (И)
do(H)
xo = a
1
Cl
dt
У1
2
c,
d3
xa
Vi
...
...
n—2
cn-a
dn-*
Xn-2
Уп-г
n—\
cn_i
dn-i
xn-i
Уп-1
n
xn = b
Уп A3)
Для простейших краевых условий у(а)=А, у(Ь) = В формулы
для с0, d0, y0 и уп упрощаются. А именно, полагая ао = 1, ах=0
и Ро = 1, Pi=O, из формул A1) будем им«ть: со — О, d0 = oo,
codo = A. Отсюда
с,= —, d1 = f,h2 — n,A; A4)
причем
уп = В, уо = А. A5)
Заметим, что метод прогонки обладает устойчивым вычислитель-
вычислительным алгоритмом [3], [4], т. е. ошибки округления не вызывают
неограниченного возрастания погрешности решения.
Пример 1. Методом прогонки решить краевую задачу
A6)
0. A7)
Решение. Примем Л = 0,1 и от уравнения A6) и краевых условий
A7) перейдем к соответствующим конечно-разностным уравнениям
if@) = 0,

§ 5]
МЕТОД ПРОГОНКИ
227
где /я,- «=—2—ft2, л, = 1, f,- •>лс,- «¦= /Л. Согласно формулам A4) имеем
Ci«=>—0,498, d1 = 0,001. Формулы (9) в нашем случае дают
¦, di = ih3—c/.id/.j (/ = 1, 2 n — 1).
Найденные значения с,- и d,- (г = 1, 2, .... 9) записываем в первых двух
строках таблицы 62. Затем, используя формулу G) и известное значение
(/10 = 0, вычисляем «/„, уа, ... , у1ш
Для сравнения в последней строке таблицы 62 даны значения точного
1е ,
решения У = -\—т$пх—х.
Таблица 62
Решение краевой задачи A6) — A7) методом прогонки
i
Ci
dc
У1
~Ul
0
0
0
0
1
—о,
о,
-о,
-о,
498
001
025
015
-0
0
-0
—0
2
,662
,002
,049
,029
— 0
0
-0
— 0
3
,878
,004
,072
,041
4
-0,890
0,008
—0,078
—0,050
-0
0
—0
-0
Б
,900
,012
,081
,057
i
с/
dt .
Vi
it
б
— 0,908
0,016
— 0,078
— 0,058
7
—0,915
0,022
—0,070
—0,054
Продо;
8
— 0,921
0,028
—0,055
—0,044
ж е н и е таблицы 62
9
— 0,926
0,035
—0,032
—0,026
10
0
0
Пример 2. Методом прогонки решить краевую задачу
у"—2ху'¦—2г/= —Ах;
) = 3,718.
A8)
A9)

228 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. [V
Решение. Примем ft=0,l и от уравнений A8) и A9) перейдем к
конечно-разностным соотношениям
У1-1=Ъ>1% 0 = 1. 2 и — 1),
^ = О, У„ =3.718,
где
+ 2/12
f _ Aih
''~~~1—да'
1 —да* "'-1_да-
Значения т,-, и,- и /,/г3 для <=0, 1, 2, ,9 записываются в таблицу G3.
Таблица 65
щ
«<¦
/>
0
— 2,020
1
0
I
2
1,
— 0,
040
020
004
2
1
—0
2
,060
,040
,008
—2
1
— 0
3
,083
,062
,012
—2
1
—0
4
,105
,084
,017
Продолжение таблицы 6J
i
til
2
1
-0
б
,127
,106
,021
— 2
1
— 0
6
.149
,128
,025
—2
1
—0
7
,172
,150
,030
—2
1
-0
8
,196
,174
,035
2
1
—0
9
,20
,198
,040
Пользуясь этой таблицей, по формулам A1) находим значения са и da,
а затем по формулам (9) находим с,- и d/ (( = 1, 2, 3, ... , 9). Эти значения
записываем в первых двух строках таблицы 61.
Используя значение {/„ = 3,718, начинаем обратный ход и по формулам
G), последовательно вычисляя у3, уа, ... , уц. Полученные результаты
записываем в третьей строке таблицы 64.
Для сравнения в последней строке таблицы даны значения точного
решения ~у = х + ех2.
Из последних двух строк таблицы видно, что расхождение приближен-
приближенного решения у и точного у довольно значительно. Вообще с помощью
конечно-разностных методов трудно получить решение с большой степенью
точности.

§ 5]
МЕТОД ПРОГОНКИ
229
Таблица 64
Решение краевой задачи A8) — A9) методом прогонки
i
с,-
di
У1
т
— 0
0
1
1
0
,909
,050
— 0
—0
1
1
1
,899
,004
,154
,110
— 0
—0
1
1
2
,889
,012
,280
,241
— 0
—0
1
1
а
,878
,023
,428
,394
4
— 0,
-0,
1,
1,
868
039
603
574
i
с;
d/
Vt
Vi
5
—0,856
— 0,058
1,808
1,784
6
—0,845
— 0,081
2,054
2,033
Продолжен
7
—0,833
—0,109
2,350
2,332
8
—0,822
—0,142
2,712
2,696
ие таблицы 64
9
—0,810
—0,180
3,157
3,148
10
3,718
3,718
При требовании повышенной точности приходится применять
более громоздкие приемы или вводить соответствующие поправ-
поправки [1]. В частности, этот метод дает более точные результаты,
если при переходе от краевых условий B) к конечно-разностным
соотношениям воспользоваться трехчленными формулами для произ-
производных в точках х = а и х — b (см. § 4):
У о = ¦
Тогда из краевых условий B) будем иметь
«oj/o + ai -i/»+4yi~3i/0 = >l,
2Л
-» = В. B0)

230 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Для вычисления с0 и d0 берем первое краевое условие B0) и урав-
уравнение
У 2 + ™\У\ + п\Уа =ЛЛ2.
взятое из системы C) при /=1.
Исключая уг из этих двух уравнений, находим
_Rh-(m1 + 4)a1y1
Уо (/il-3)a1 + 2a0/i '
где R = 2А ~f- а^Л. С другой стороны, из формулы G) при / = 0 имеем
</о = соК> — f/i)-
Сравнивая последнее равенство с B1), получаем
to (n1-3)a1
По известным значениям с0 и d0 последовательно определяются
коэффициенты с,-, d( (i = 0, 1, ... , /z—1) до сп-1 и rfn-1 вклю-
включительно (см. формулы (9)).
Обратный ход начинается с определения уп.
Используя второе краевое условие B0) и формулы G), взятые
при i=n — 2 и i = n—1, получим систему трех уравнений
Решая эту систему относительно уп, будем иметь
Теперь по формулам G) последовательно находим уп_1, У„-г, ¦¦¦
... , у0. Вычисления и в этом случае располагаем в виде таблицы 61.
Пример 3. Используя трехчленные формулы для производных в гра-
граничных точках, методом прогонки найти приближенное решение краевой
задачи A8), A9).
Решение. От уравнений A8), A9) перейдем к конечно-разностным
соотношениям
Л + 1 + «1-у1- + п^,_1 = ?1-Л», УО + У2У^+ЗУ2 = А, уп = В. B5)
где
А = 0,1; Л = 0; В = 3,718,
2+2/12 1 + гЛ2 ?,, 4«й
Значения т,-, п,- и ф;- для (=0, 1, 2, 3 9 приведены в таблице 65.

§ 5]
МЕТОД ПРОГОНКИ
231
Таблица 65
1
пц
щ
ф|
0
—2,020
1
0
Значения коэффициентов уравнения
1
—2,040
1,020
—0,004
2
—2,060
1,040
—0,008
3
—2,083
1,062
—0,012
4
—2,105
1,084
-0,017
5
-2,127
1,106
-0,021
6
—2,149
1,128
-0,025
B5)
7
—2,172
1,150
-0,030
8
—2,196
1,174
—0,035
9
-2,220
1,198
—0,040
По формулам B2) находим значения с0 и d0. а затем по рекуррентным
соотношениям (9) определяем с/ и d,- (i = l, 2, . . , 9). Эти значения при-
приведены в первых двух строках таблицы 66. Обратный ход проводится по
формулам G) с учетом, что Ц1й = 3,718.
Таблица 66
Решение краевой задачи A8)—A9) методом прогонки с использованием
трехчленных формул для производных в концевых точках
i
С|
di
Vi '
</i
0
-0,899
0
1,003
1
1
-0,890
— 0,005
1,114
1,110
2
-0,883
— 0,013
1,247
1,241
3
-0,873
— 0,024
1,399
1,394
4
— 0,863
— 0,040
1,578
1,574
5
-0,853
— 0,059
1,789
1,784
Продолжение таблицы 66
i
С/
di
У!
ш
6
— 0,842
— 0,083
2,038
2,033
7
— 0,831
— 0,110
2,337
2,332
8
— 0,820
— 0,142
2,702
2,696
9
— 0,809
— 0,180
3,153
3,148
10
3,718
3,718

232 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Найденные значения у„, уя, ... , у0 приведены в третьей строке таб-
таблицы 66. В последней строке указаны значения точного решения у — х-^е*1 .
Сравнивая таблицы 64 и 66, убеждаемся, что решение, полученное
с помощью трехчленных формул B0), ближе к истинному, нежели
в примере 2.
§ 6. Метод коллокации
Изложенный выше метод конечных разностей для решения крае-
краевых задач носит численный характер и позволяет получить таблицу
значений искомой функции. Мы сейчас ознакомимся с методом, даю-
дающим возможность найти приближенное значение краевой задачи
в виде аналитического выражения.
Пусть требуется определить функцию у = у (х), удовлетворяющую
линейному дифференциальному уравнению
L\y] = y"+p(x)y'+q(x)y=f{x) (I)
и линейным краевым условиям
ra[y\saoy(a) + aj,'(a) = A, Гь [у] = ро</ (*) + р>' (Ь) = В, B)
где | ао| + | «xl Ф 0, | ро | + | Pi | Ф 0- Выберем некоторую сово-
совокупность линейно независимых функций
ио(х), и1(х), ... , ип(х) C)
(базисные функции), из которых функция и0 (х) удовлетворяет не-
неоднородным краевым условиям
Гв[«о]=Л. Гь[и0] = В, D)
а остальные функции ut(x) (i=\, 2, . . . , п) удовлетворяют соот-
соответствующим однородным краевым условиям
Гв[и,] = 0, Г»[«,] = 0 (i = l, 2, .... п). E)
Если краевые условия B) однородны (Л = 5 = 0), то можно по-
положить ио(х) = О и рассматривать лишь систему функций
«,(*) (/ = 1, 2, .... п).
Будем искать приближенное решение краевой задачи A) — B)
в виде линейной комбинации базисных функций
(=1
F)
Тогда функция у, очевидно, удовлетворяет краевым условиям B).
В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем

§ 6) МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ 233
и аналогично Гь [у] = В. Подставляя выражение F) в уравнение A),
получим
R(x, Cv Cv .... Cn) = L[y]-f(x) = L[u0]-f{x) + 2ciL[ul].G)
Если при некотором выборе коэффициентов С,- (i — 1, 2, ... , п)
выполнено равенство
R(x, Cv Cv ..., С„) = 0 при a^x^b,
то функция у является точным решением краевой задачи A) — B).
Однако подобрать так удачно коэффициенты С,-, вообще говоря,
невозможно. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы
функция R(x, Cv С2, ... , Сп) обращалась в нуль в заданной до-
достаточно густой системе точек хх, х2, . . . , хп из [а, Ь\ {точки
ко л локации), в которых, таким образом, дифференциальное уравне-
уравнение A) будет удовлетворено точно; в качестве точек коллокации,
например, можно выбрать точки, делящие отрезок [а, Ъ\ на равные
части. В результате получаем систему линейных уравнений
(8)
Из системы (8) в случае ее совместности обычным способом можно
определить коэффициенты Cv С2, .. . , Сп, после чего приближен-
приближенное решение нашей краевой задачи дается формулой F).
Пример 1. Методом коллокации решить краевую задачу [1]
)у+1*=0, у(±1) = 0 (9)
я1 Cv Ct, ..., С„).= 0.
(см. § 4, пример 1).
Решение. В качестве базисных функций выберем полиномы
«я (x) = xin~i A— х2) (/г = 1, 2, ...), очевидно, удовлетворяющие краевым
условиям ип(± 1)=0. За точки коллокации возьмем хо = 0, х± = ± 1/2.
Ограничиваягь двумя базисными функциями, положим
Подстановка в дифференциальное уравнение (9) дает
B-11*»-*»). A0)
В точках коллокации хо = О и *±= ± 1/2 имеем R(xo) = O, R(x±) = 0. От-
Отсюда, используя формулу A0), получаем для определения коэффициентов
С] и С2 линейную систему уравнений
0, 1—Цс! —Цс, = 0. (И)
Решив систему A1), находим Сх = 0,957; С2 = —0,022. Следовательно,

234
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
имеем приближенное решение
у =s 0,957A— *2)— 0,022 (jt2_^4)=0957_0,9
В частности, получаем j/@) = 0,957. Для сравнения приводим соответствую-
соответствующее значение у @), полученное методом конечных разностей (см. § 4):
(/(О) = 1/0 = 0,967.
§ 7. Метод наименьших квадратов
Снова рассмотрим краевую задачу
L[y]=f(x), Га[у]=А, Гь[у] = В, A)
где смысл сокращенных обозначений был установлен в предыдущем
параграфе. Придерживаясь обозначений § 6, полагаем
= и0 (х)
iUi (х),
B)
где функции и,- = ut (x) таковы, что
{А при i = О, [ В при i = О,
Г Ги 1 = ч
О при / > О, ь l /J \ О при / > О.
Подставляя выражение B) в дифференциальное уравнение A),
получаем невязку
п
R(x, Cv C2, ..., С„) = 1[в0]-/(*) +2 CiL[ttil C)
которая должна быть при а^дг^й как можно меньше по абсо-
абсолютной величине. Поэтому выдвигаем требование, чтобы
lt C2, ..., Cn)dx =
(интегральный метод наименьших квадратов).
Для минимума интеграла / необходимо выполнение условий
д<
D)
E)
1 д!
2 дСп
В результате получается система линейных уравнений относительно
коэффициентов Cv С2, .. . , Сп, из которой и определяются эти
последние.

§ 7] МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 235
Пример 1. Интегральным методом наименьших квадратов решить
краевую задачу
х*)у+1=0, у(±1) = 0, F)
разобранную в § 6.
Решение. Полагая 1^=1—х2, и% = хг— дс4, будем иметь
Подставляя это выражение в уравнение F), получаем невязку (см. § 6,
формула A0))
ха)С2. G)
Ввиду симметрии задачи в качестве основного отрезка достаточно рассмат-
рассматривать отрезок [0, 1].
Согласно приведенному выше способу наименьших квадратов составляем
выражение
1 1
и подбираем коэффициенты С1 и С2 так, чтобы интеграл I имел наименьшее
значение. Это дает нам систему уравнений
о
+ B-11*>-
или
68 ,3548 _ 5 3548 ,63404 _38
45Cl+1155Ca~T' 1155°1+4095 Са~21'
Отсюда Ci = 0,985; С2 = —0,078. Следовательно,
# = 0,985A—х2)— 0,078 (х*—х*). (8)
В частности, </@) =0,985 (ср. § 6).
Вместо минимума интеграла G) можно искать минимум конечной
суммы (точечный метод наименьших квадратов)
N
где jfjL, x2, ..., д:^у—некоторая достаточно густая система точек
отрезка [а, Ь] (для простоты обычно выбираются равноотстоящие
точки).
При применении точечного метода наименьших квадратов следует
полагать 7V>«, т. е. число точек xt (i = l, 2, ..., N) должно

236
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
быть больше числа параметров Cj (j— 1,2, . . . , л). В случае, если
N—n, параметры Cj можно определить из системы уравнений
R(xh Clt Ся, ... , С„)=0 A = 1, 2, ... , п),
т. е. мы приходим к методу коллокации (§ 6).
Пример 2. Точечным методом наименьших квадратов найти решение
краевой задачи F), выбирая узлы
1 _ 1 3
Ч — U, *±1 —±4> *±2 — ± y ' х±а~ ^ Т'
Решение. Ввиду симметрии задачи за основной промежуток примем
отрезок [0, 1]. Положим
тогда невязка R (х) выражается формулой G). Пусть
R(xi) = l+aiC1 + №a (« = 0. 1. 2, 3),
где а,= — A+лс*), р,-=2—Плс?—^°; тогда
Используя необходимые условия для минимума функции /, получим
нормальную систему
(9)
Соответствующие числовые данные, вычисленные с точностью до 10~4, при-
приведены в таблице 67,
Таблица 67
Коэффициенты нормальной системы (9)
X
0
1
4
1
2
3
4
2
а
-1
- 1,0039
- 1,0625
-1,3164
-4,3828
в
2
1,3123
— 0,7656
— 4,3655
— 1,8188
а'
1
1,0078
1,1289
1,7329
4,8696
«3
— 2
- 1,3174
0,8134
5,7465
3,2425
Р1
4
1,7222
0,5861
19,0576
25,3659

§ 8] МЕТОД ГАЛЕРКИНА 237
Отсюда для определения коэффициентов Ct и С2 получаем систему
4,8696С,+ 3,2425С2 = 4,3828, 1
3,2425С1 + 25,3659С,= 1,8188. / ( '
Решив систему A0), будем иметь С1 = 0,9317; С2 = —0,0474, и, следо-
следовательно,
у = 0,9317A — х2)— 0,0474 (я2—*4).
§ 8. Метод Галеркина
Метод Галеркина основан на одной теореме из теории общих
рядов Фурье.
Теорема. Пусть {ип (х)}—полная система функций с нену-
ненулевой нормой, ортогональных на отрезке [а, Ь\. Если непрерывная
функция f(x) ортогональна на отрезке [а, Ь] ко всем функциям
ип (х), т. е.
ь
\f{x)un{x)dx = 0 (л = 0, 1, 2, ...), A)
а
то /(лг) = О при а^.
Доказательство. Рассмотрим ряд Фурье функции f(x) от-
относительно заданной системы ортогональных функций
00
f(x) ~ 2 с„ип (х). B)
/1=0
Как известно [5], коэффициенты Фурье сп определяются по формуле
ь ь
И ».<*)d*. где
а
В силу условия A) имеем
с„ = 0 (л = 0, 1, 2, ...). C)
Для полной системы {ип (х)} по отношению к любой непрерывной
функции / (х) выполнено равенство полноты [4]
'(x)dx=2\\uj*c\. D)
Отсюда, учитывая равенство C), имеем
ь
J /2(x)dx = 0,
а
и, следовательно, f(x)~Q при а

238 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Замечание. Из формулы D) вытекает, что если непрерывная
функция f (х) ортогональна к конечной системе функций ио(х),
"i (х), и2 (х), ..., uN(x) (т. е. со = с1 = с2= ...= cN= 0), то
\p{x)dx=
при N достаточно большом. В этом случае функция f (х) в среднем
на отрезке [а, Ь] будет сколь угодно мала. При дополнительных
ограничениях отсюда следует, что |/(#)| также мал на отрезке
Перейдем теперь к изложению метода Галеркина. Пусть имеем
линейную краевую задачу (см. § 2)
L[y]=f(x), E)
где L [у] = у"-\-р (х) у' -\-q (x) у, при наличии линейных краевых
условий
а)=А; rb[y] = f,oy (b) + ^y'(b)=B F)
Выберем конечную систему базисных функций {«,• (х)} (i = 0,
1, . . . , п), составляющих часть некоторой полной системы, причем
позаботимся, чтобы функция и0 (х) удовлетворяла неоднородным
краевым условиям
Та[и0] = А, Т„[ио] = В,
а функции и{(х) (г = 1, 2, . .. , п) удовлетворяли бы однородным
краевым условиям
Га [",] = Гь К] = 0 (/=1, 2, ..., п).
Решение краевой задачи E) — F) будем, как обычно, искать в виде
</ = «0(*) + 53с,и,(*). G)
При нашем подборе базисных функций и,- (х) функция у, опреде-
определяемая формулой G), очевидно, удовлетворяет краевым условиям F)
при любом выборе коэффициентов С,-. Выражение G) подставим
в дифференциальное уравнение E), что дает невязку
R(x, Съ Ся, ..., Cn) = L[u0\ + %CiL[ui]-f[x).
i=i
Для точного решения у нашей краевой задачи функция /? = 0; по-
этому для получения приближенного решения, близкого к точному,
нам выгодно подобрать коэффициенты Ci так, чтобы функция R была
в каком-то смысле мала.

§ 8] МЕТОД ГАЛЕРКИНА 239
Согласно методу Галеркина требуем, чтобы невязка R была ор-
ортогональна к базисным функциям U{(x) (i = l, 2, ..., я), что при
достаточно большом числе этих функций, в силу приведенного выше
замечания, обеспечивает малость невязки в среднем.
Насколько это приближенное решение близко к точному, в об-
общем случае вопрос остается открытым. Таким образом, для опреде-
определения коэффициентов С(- (i=\, 2, ..., п) приходим к системе ли-
линейных уравнений
ь
ut(x)R(x, Сх, С2, ..., Cn)dx = 0,
J и2 (*) R (х, Съ С2, ..., Cn)dx = 0,
\un(x)R(x, Clt Ct, ..., Cn)dx = Q
a
или, более подробно,
n b h
X C, S a, (x) L [ut] dx = J ut (x) {/(x) - L [uQ]\ dx
i=l a a
A=1, 2, .... я).
Достаточные условия сходимости метода Галеркина приведены в книге
Михлина [4].
Пример 1. Методом Галеркина найти приближенное решение уравне-
уравнения [2|
" + '+у = 2х, (8)
удовлетворяющее краевым условиям
0(О)=1, уA) = 0. (9)
Решение. В качестве системы базисных функций и/ (х) (i=0, 1, 2, 3)
выбираем следующие функции:
ий(х)=\— х, ul(x) = x(\—х),
и2(х) = хЦ\-х), и3(х) = хЦ1-х).
Приближенное решение задачи ищем в виде полинома
Подставляя у в левую часть заданного дифференциального уравнения (8),
получаем невязку
R(x, Cv Ca, С3) = A-4л:) + С1(-2 + 2л;-Зд:2) +
+ С2B — 6х+3д:а—4x3) + C3Fa:^12x2 + 4x3—5х*). A0)

240 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Условия ортогональности функции R к функциям ux (x), ца (х), иа (х) приводят
к системе
»
x*)R(x, Clt Ca, C3)dx = 0,
„34 D/v Г* Г* Г^ \ Av (\
- л ) t\ ул, ^1, ^а, ^3/ " "^" з
о
1
о
1
Подставляя вместо R (х) его значение A0), после соответствующего интегри-
интегрирования получаем систему
63Са+ 36С3=— 70,
79С3=— 98,
,= —210.
Отсюда находим Сх=—0,2090; С2 = —0,7894; С3 = 0,2090, и, следовательно,
у = A — х) A — 0,2090х — 0.7894*2 + 0,2090л8).
§ 9. Понятие о приближенных методах решения
общей краевой задачи
Рассмотрим общее дифференциальное уравнение л-го порядка
Г{х, У, У', .... {/(П)) = 0 A)
с заданными, вообще говоря, нелинейными краевыми условиями
VAvi, Уи .... f/iOl); ...; ук, у1 ¦¦-, </Гм)) = Л <2)
(v=l, 2, .... п),
где «/;5) = y(Sy (X;) (s = 0, 1, 2 а,) и система точек лг,, лг2 хк
задана (см. § 1).
Для приближенного решения краевой задачи A) — B) выбирают
функцию
Y=Y(x, Съ Сл, ..., Ср), C)
содержащую независимые параметры Съ С2, ..., Ср и такую, что
при любом выборе этих параметров функция У удовлетворяет крае-
краевым условиям B). Подставляя выражение Y в левую часть данного
дифференциального уравнения A), получаем невязку
R(x, Clt C2, .... Cp) = F(x, Y, V, ..., Y<">). D)
Наша цель состоит в том, чтобы сделать функцию R наименее укло-
уклоняющейся от нуля в каком-то смысле для интересующей нас области.

§ 9] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ 241
Различная реализация этого требования приводит к различным методам
решения краевой задачи.
Мы здесь рассмотрим наиболее употребительные из этих методов [ 1 ].
I. Метод коллокации. Выбираем систему точек |j, ?2, . . ., 1р
(точки коллокации), по возможности учитывая при этом особенности
уравнения A), и требуем, чтобы в этих точках дифференциальное
уравнение A) удовлетворялось точно. Это дает систему
R(llt Clt Сг, ..., Ср) = 0,
R(lp, Clt C2, .... Ср) = 0,
из которой, вообще говоря, можно определить параметры Сг, С2, ...
.... С, (ср. § 6).
II. Метод наименьших квадратов. Отыскиваются значения CltC2,. . .
. . ., С дающие минимум интегралу (интегральный метод наимень-
наименьших квадратов)
ь
/?»(*, C^C,, ...,Cp)dx,
где отрезок [а, Ь] содержит заданные точки xt (i = l, 2, ..., k).
Этод метод приводит к системе уравнений (ср. § 7)
-iL-o —-о -^--о
дСг ~~ ' дС2 ~ ' ¦¦•' дСр~ '
Вместо интеграла / можно брать конечную сумму (точечный метод
наименьших квадратов)
N
/лг = Ц/?2(?,-, CltCa, ...,Ср),
где |,-(г=1, 2, ..., N; N^p) — выбранная система точек.
III. Метод Галеркина. Если краевые условия B) линейные (диф-
(дифференциальное уравнение A) при этом может быть нелинейным), то
можно положить
причем функция Y должна удовлетворять краевым условиям B) при
любом выборе коэффициентов Ct (г = 1, 2, ..., л).
Согласно методу Галеркина коэффициенты С,- определяются из
условия ортогональности невязки R к функциям иг (х), и2 (х), .,.,«„ (х),

242 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФ. УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
т. е. из системы линейных уравнений
ь
[ux(x)R{x, Cv Сг, .... Cn)dx=O,
,Cv С2, ...,Ca)dx
F)
Ь
\un(x)R(x,CvC2, ...,Cn)dx = Q..
IV. Обобщенный метод Галеркина (метод ортогональных проек-
проекций). Выбираем/) линейно независимых функций <рх (х), ср2 (х), . . . ,(fp(x)
(по числу параметров) и определяем параметры Сх, С2, ..., Ср
из условия ортогональности функции R ко всем этим функциям, т. е.
постоянные Ct определяются из системы
ф1 (х) R (х, Сь С2, ..., Ср) dx = О,
R (х, Clt Ct, ...,Cp)dx = 0,
(x, Cv Cit ..., C)dx = O.
В качестве функций (fj(x) обычно берут первые р функций из какой-
нибудь полной системы, например системы степеней х или системы
тригонометрических полиномов и т. п.
V. Метод подобластей. Разбиваем отрезок [а, Ь], содержащий
данные точки xt (г= 1, 2, ..., k), на р частичных отрезков [?0, |г],
[lvtzl---,\Z,p-i,lpl где go = а и|я = А. Постоянные С,- (/=1,2,...,/))
определяются из системы уравнений
\ R(x, Clt C2f .... Cp)dx = 0 (/=1, 2, ...,p).
Кроме того, применяют также вариационные методы решения
краевых задач (см. гл. VI). Сопоставление этих методов см. [1].
В заключение отметим, что имеются и другие методы решения
краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Неко-
Некоторые из них: метод возмущений, метод разностной факторизации и

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ IV 243
другие — хорошо описаны в книге [6]. Там же рассмотрен вопрос и об
оценке погрешности конечно-разностных методов при решении крае-
краевых задач. Можно также порекомендовать переведенную на русский
язык книгу Дж. Н. Ланса [8].
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ IV
[1] К о ллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравне-
уравнений, ИЛ, 1953, гл. II.
[2] М и л н В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ,
1955, гл. VII.
[3] Эльсгольц Л. Э., Вариационное исчисление, Гостехиздат, 1954.
[4] М и х л и н С. Г., Вариационные методы в математической физике, Гос-
Гостехиздат, 1957, гл. III, V, IX.
[5] Толстое Г. П., Ряды Фурье, изд. 2, Физматгиз, 1960, гл II.
[6] По лож и й Г. Н. и др., Математический практикум, Физматгиз, 1960.
[7] Локуциевский О. В., Успехи матем. наук, 11, вып. 3 F9) A956).
[8] Л а не Дж. Н., Численные методы для быстродействующих вычислитель-
вычислительных машин, ИЛ, 1962.

ГЛА В А V
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 1. Классификация дифференциальных уравнений
с частными производными
В этой главе будут рассмотрены приближенные методы решения
некоторых задач для дифференциальных уравнений с частными произ-
производными второго порядка с двумя независимыми переменными. В общем
случае такое уравнение имеет вид
F(x, у, и, их, иу, ихх, иху, иув)=0, A)
где х, у— независимые переменные, и — искомая функция, их, иу,
ихх, иху, иуу—ее первые и вторые частные производные по аргументам
хну (для удобства записи производ-
производных «штрихи» опускаются).
Решением уравнения A) называется
функция и = и(х, у), обращающая это
уравнение в тождество. График реше-
решения представляет собой поверхность в
пространстве Охуи (интегральная по-
поверхность) (рис. 49).
Пример 1. Решить уравнение
Рис. 49.
ду-
; = 0.
Интегрируя это уравнение по у диа раза, будем иметь и = уср (*) + ^l> (x),
где ф (х) и i|) (х) — произвольные функции. Интегральные поверхности пред-
представляют собой линейчатые поверхности, образующие которых параллельны
координатной плоскости Оуи.
Уравнение A) называется линейным, точнее, вполне линейным,
если оно первой степени относительно искомой функции и всех ее

§ 1] КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 245
производных и не содержит их произведений, т. е. если это уравне-
уравнение может быть записано в виде
+ c + a + b + cu Flx) <2>
причем коэффициенты А, Б, С, а, Ь, с могут зависеть лишь от X и у.
В частности, если эти коэффициенты не зависят от х и у, то урав-
уравнение B) представляет собой линейное дифференциальное уравнение
с постоянными коэффициентами. Остановимся подробнее на случае
линейного уравнения B).
Пусть D = AC — Вг—дискриминант уравнения. В зависимости от
знака функции D линейное дифференциальное уравнение B) относится
в данной области к одному из следующих типов:
D > 0 — эллиптический тип;
D = 0 — параболический тип;
D <; 0 —гиперболический тип;
D не сохраняет постоянного знака — смешанный тип.
Тип линейного уравнения B) является его важной особенностью
и сохраняется при любом невырожденном преобразовании
!=Ф(*. У), Г) = Ц(х,у), C)
т. е. таком, что якобиан
Пример 2. Температура и = и(х, у) точки (х, у) пластинки при стацио-
стационарном распределении (т. е. при распределении, не зависящем от времени)
и отсутствии источников тепла удовлетворяет уравнению Лапласа [1] — [5]
^-+^=0 D)
дх* +ду* 1 '
Здесь А — 1, Я = 0, С = 1 и D = AC — В2 > 0, т. е. уравнение D) эллипти-
эллиптического типа.
Пример 3. Температура и = и(х, t) точки однородного тонкого стержня
с абсциссой х для каждого момента времени / удовлетворяет одномерному
уравнению теплопроводности [4], [5]
ди „ д2и _
ар{х1) E)
где а — постоянная, зависящая от физических свойств стержня, и F(x,t) —
функция, связанная с плотностью источников распределения тепла. Если
в стержне отсутствуют источники тепла, то уравнение теплопроводности
имеет вид
ди _ 2 дги
~Ж~а ~д>? '
Введя новое время аЧ = т, получаем приведенное уравнение теплопроводности
дх~дх»' ()

246
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. V
Уравнения теплопроводности E) и F), очевидно, параболического типа.
Пример 4. Поперечное смещение и = и(х, t) точки однородной струны
с абсциссой х (рис. 50) в случае наличия внешней силы для каждого момента /
удовлетворяет неоднородному одномерному волновому уравнению [1] — [5]
где а — постоянная и F(x, t)—функция, зависящая от внешней силы. Урав-
Уравнение G) носит название уравнения колебаний струны. Если внешняя сила
отсутствует (свободные колеба-
ния), то уравнение
струны имеет вид
колебаний
(8)
Рис. 50.
Уравнения колебаний струны G)
и (8) относятся к гиперболичес-
гиперболическому типу.
С линейным дифференциальным уравнением
дх ду
(9)
связано обыкновенное дифференциальное уравнение
A(dyJ—2Bdxdy + C(dxJ = 0, A0)
называемое характеристическим; решения уравнения A0) называются
характеристиками уравнения
(9). У
Для уравнения (9) гипер-
гиперболического типа существует
два семейства характеристик
Ф (х, У) = Сг
и
г|з (х, у) = С2
(рис. 51). Производя в урав- д
нении (9) преобразование \ —
= ф(дг, у), r\ = ty(x, у), т. е.
принимая параметры этих се-
семейств за новые криволинейные координаты, будем иметь канониче-
канонический вид уравнения гиперболического типа:
Рис. 51.
Уравнение (9) параболического типа имеет одно семейство ха-
характеристик
Ф(*, у) = С.
В результате преобразования ^ = ф(дг, у), ц = у уравнение парабо-

§ 2] НАЧАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ 247
лического типа приводится к каноническому виду:
Наконец, уравнение (9) эллиптического типа допускает два се-
семейства комплексных характеристик:
<р(х, У) + '^>{х, У) = С1, <f{x, y) — ii\i(x, y) = C2.
Производя преобразования ^ = ф (лг, у), т) = гр(лг, у), получим
канонический вид уравнения эллиптического типа:
где Аи = и^. -\- ищщ — оператор Лапласа.
Простейшее уравнение эллиптического типа Дц = О носит назва-
название уравнения Лапласа. Неоднородное уравнение Лапласа Ды =
= /(li Л) называется уравнением Пуассона.
§ 2. Начальные и краевые условия. Задача Коши.
Смешанная задача.
Корректность постановки смешанной задачи
Дифференциальное уравнение с частными производными имеет
в общем случае бесчисленное множество решений. Поэтому, если
физический процесс описывается с помощью уравнения с частными
производными, то для однозначной
характеристики этого процесса ?
нужно к уравнению присоединить q ^ х
какие-то дополнительные условия.
Эти дополнительные данные в про- Рис. 52.
стейшем случае состоят из началь-
начальных и краевых (граничных) условий. В сущности, различить эти усло-
условия можно лишь в том случае, если одна из независимых переменных
дифференциального уравнения играет роль времени, а другая — про-
пространственной координаты (для случая двух независимых переменных).
При этом условия, относящиеся к начальному моменту времени, на-
называются начальными, а условия, относящиеся к фиксированным
значениям координат (обычно это координаты граничных точек рас-
рассматриваемого линейного континуума) — краевыми.
Пример 1. Пусть имеется теплоизолированный (кроме, может быть,
концов) однородный нагретый стержень 0<д;</, где / — длина стержня
(рис. 52). Температура стержня и = и(х, t) в точке х @ < х < I) для любого
момента времени t удовлетворяет уравнению теплопроводности (см. § 1,
пример 3)
где а—постоянная.

248 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
В начальный момент l = ta для внутренних точек стержня обычно зада-
задается начальное распределение температуры. Это приводит к начальному
условию
u(x,ta) = t(x) B)
при 0 < х < /, где f (х) — известная функция. Условие B) не обеспечивает
однозначности решения дифференциального уравнения A), так как физиче-
физически ясно, что распределение температуры и (х, t) в стержне для последую-
последующих моментов времени t > t0 существенно зависит от того, в каком состоя-
состоянии находятся концы стержня х = 0 и х=1 (есть ли там утечка тепла, каков
тепловой режим и т. п.).
В зависимости от состояния конца х = 0 имеем следующие основные
краевые условия.
1. Конец стержня jc = O поддерживается при заданной температуре
и@, о=я>(О. О)
где ф (<) — известная функция. В частности, если эта температура равна
нулю, то краевое условие имеет вид
ц@, <) = 0. D)
2. Конец стержня х = 0 теплоизолирован, т. е. утечка тепла в окружаю-
окружающую среду отсутствует:
и* (О, 0 = 0- E)
3. На конце стержня * = 0 происходит лучеиспускание тепла в окру-
окружающую среду, температура которой меняется по заданному закону
O,t) = <t(t), F)
где а — постоянная и ф (t) — известная функция. В частности, если темпера-
температура внешней среды равна нулю, то получим
u@, t) + aux@, <)=0. G)
Смешанное краевое условие F) в некотором смысле можно считать общим,
а именно, полагая а = 0, получим краевое условие C), а при «=оо будем
иметь краевое условие E). Возможны и другие типы краевых условий.
Аналогичные краевые условия могут быть также для конца х = 1. Комбини-
Комбинируя краевые условия для концов х = 0 и х = 1, будем иметь краевые задачи
для стержня, которые при наличии начального условия B), вообще говоря,,
имеют единственные решения.
Пример 2. Рассмотрим свободные колебания однородной ограничен-
ограниченной струны длины / @ < х < /). Поперечное смещение и = и(х, t) при 0< х < /
для любого момента времени t удовлетворяет волновому уравнению (см. § 1,
пример 4)
где а — постоянная. В начальный момент t=t0 обычно задаются форма
струны и распределение скоростей ее точек. Это дает начальные условия
и(х, to)=tf(x), ut(x, to) = fp1(x), (9)
где ф (х) и фг (х)—известные функции, определенные в интервале 0<х</.
В зависимости от способов заделки концов струны х = 0 и х = 1 будем иметь
следующие основные краевые условия.

§ 2] НАЧАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ 249
1. Конец жестко закреплен:
и @, 0=0 (или иA, <)=0). A0')
2. Конец упруго закреплен:
их{0, 0 —М@, 0 = 0 (или ихA, 0 + МС 0=0), A0")
де kl и fe2 — положительные постоянные.
3. Конец свободен:
и* @, 0 = 0 (или «*(/, 0 = 0). A0'")
При достаточной гладкости функций ф (х) и q>j (*) задача (9)—A0) имеет
единственное решение.
Рассмотрим общую постановку задачи с начальными условиями.
Пусть дано линейное дифференциальное уравнение
L[u] = F(x,y), A1)
где
? y)fy + c(x, у) и. A2)
Отыскание решения и = и(х, у) уравнения A1), удовлетворяющего
начальным условиям
и(х, У0) = <9(х), иу(х, уо) = у1 (х), A3)
называется задачей Коши, а сами условия носят название начальных
данных Коши.
Задача Коши допускает простую геометрическую интерпретацию
(рис. 53): требуется найти интегральную поверхность и = и(х, у)
уравнения A1), проходящую через данную пространственную кривую
у = уа, и = ц>(х) (Г)
и касающуюся в точках М (х, </0, и) этой кривой заданной системы
векторов а, расположенных в плоскостях х = const и составляющих
с осью Оу угол Р, определяемый равенством
Если рассматривать у как время, то задача Коши имеет следую-
следующую механическую трактовку: в начальный момент времени у = у0
заданы форма плоской линии и = ($(х, у0) и распределение скоростей
ее точек ^- =фх (х,у0). Предполагая, что каждая точка М(х, и)
линии движется параллельно оси Оа, причем дифференциальный за-
закон движения дается уравнением A1), требуется определить форму
линии для последующих моментов времени у>у0 (рис. 54),

250
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. V
Условия A3) задают начальные данные Коши на прямой у = у0.
Однако это не является обязательным: можно задавать начальные
и'
Рис. 53.
¦и-и(х,у)
Рис. 54,
данные на любой гладкой кривой
Ф(х, у) = 0. (у)
Таким образом, приходим к общей задаче Коши— найти решение
и = и(х, у) A4)
дифференциального уравнения A1), удовлетворяющее начальным
условиям
ди
4=ф (*.*), тх
. у).
A5)

§ 2]
I
на кривой y имеем
НАЧАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
251
Вместо производной ^- можно задавать производную ч- , так как
ч
L
ду
A6)
Можно также задавать нормальную производную
ди ди , , . ди . .
cos(nx) + cos(ny)
Задача Коши обычно ставится для линейного уравнения A1) ги-
гиперболического и параболического типов.
b х
Рис. 55
Рис. 56.
Если уравнение A1) гиперболического типа, то для единственно-
единственности решения задачи Коши необходимо, чтобы начальная кривая y
не являлась характеристикой [1]. Если это последнее условие вы-
выполнено и начальные данные заданы на конечной дуге PQ кривой у,
то решение задачи Коши, вообще говоря, определено и однозначно
в криволинейном треугольнике PQR (область распространения), об-
образованном дугой PQ и дугами характеристик PR и QR различных
семейств, проходящих через концы Р и Q (рис. 55). Предполагается,
конечно, что коэффициенты дифференциального уравнения опреде-
определены и непрерывны в соответствующей области.
Пусть начальные данные Коши для уравнения A1) заданы на от-
отрезке a^ix^ib, а решение и = и(х,у) этого уравнения надо
определить в полуполосе /С{а<х<6; 0<у<оо} (рис. 56). Тогда
для однозначности этого решения дополнительно нужно задать
условия на прямых х = а и х = Ь, что приводит к смешанной
задаче. Достаточно общей задачей этого типа является нахождение

252
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ, V
в полуполосе К решения u = u(xt у) дифференциального уравне-
уравнения A1), удовлетворяющего начальным и граничным условиям:
и(х, 0) = ф(*), иу(х, 0) = у1(х) (й<*<?, у=0) A7)
и
ао«(а У) + <*1и(а у) = ^(у) 1
KI + KI=5*°; IPol + IPil^O, 0<f/<oo.
Особого внимания заслуживает предельный случай, когда а = —оо
или Ь=оо. Здесь краевые условия A8) или совсем отпадают, или
заменяются некоторыми условиями
«на бесконечности».
Смешанная задача для уравне-
уравнения A1) в общем аспекте может
быть сформулирована следующим
образом: дана конечная или бес-
бесконечная область О в плоскости
Оху, имеющая кусочно-гладкую гра-
границу Г (рис. 57). Требуется найти
в области G решение дифференци-
ального уравнения
Рис. 57. L[u] = F(x, у), A9)
если на некоторых частях границы Гх, Г2, ... , Гп выполнены соот-
соотношения
^/N = 9,7^ У),
(х, у)€Г1{1 = 1,2, ... , л; /=1,2, ..., Р/)
где Lj/—или дифференциальные операторы по переменным х и у
порядка не выше первого, или конечные соотношения, а ф(у (#, у) —
заданные функции. Задачу Коши, очевидно, можно рассматривать как
частный случай этой общей смешанной задачи.
При рассмотрении физических проблем функции ф,-у (X, у) обычно
определяются приближенно из опыта. Поэтому решение такой сме-
смешанной задачи имеет практическую ценность лишь в том случае,
если небольшие ошибки в начальных и краевых условиях не могут
привести к большим отклонениям соответствующего решения. В этом
случае говорят, что смешанная задача поставлена корректно, или,
иначе говоря, непрерывно зависит от начальных и краевых условий.
Определение. Смешанная задача A9)—B0) называется кор-
корректно поставленной в области 0, если для любого g > 0 можно
указать число т) = т)(?)>0 такое, что при изменении функций
(x, у) на величины, модуль которых меньше, чем т), решение

0
Рис.
У
[А
у>0
му///////////////////*
58
§ 3] КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 253
и = и{х, у) изменяется во всей области G меньше чем на е. В про-
противном случае считается, что задача поставлена некорректно.
Для уравнений эллиптического типа задача Коши обычно не рас-
рассматривается. Это объясняется тем, что,
как правило, задача Коши для уравнений
эллиптического типа поставлена некор-
некорректно, т. е. ничтожно малые изменения
начальных данных могут повлечь суще-
существенное изменение решения. Покажем
это на примере, идея которого припадле-
лент французскому математику Адамару.
Пример 3. Пусть требуется найти в верхней полуплоскости у > О
(рис. 58) решение уравнения Лапласа
удовлетворяющее при (/ = 0 начальным условиям Коши:
и (х, 0) = 0, иу (х, 0) = — cos nx, B2)
где п — натуральное число.
Легко проверить, что решение этой задачи есть
а (х, (/)=—2 cos nx sli ny. B3)
Хотя при достаточно большом п начальные данные B2) могут быть сделаны
сколь угодно малыми:
| и (х, 0) | < т], 1 иу (х, 0) | < г,,
тем не менее решение B3) для любого т| > 0 не ограничено при п —с оо
в каждой полосе 0 < у < h. Действительно, если у > 0, то, например, имеем
и @, у) = — sh ny —»- оо при п —>- со.
Если же взять чисто нулевые начальные условия и(х, 0) = 0, иу (х, 0)=0,
то решение иа(х, у) этой последней задачи Коши, очевидно, будет
Таким образом, здесь сколь угодно малое изменение начальных условий
приводит к неограниченно большому расхождению решений.
§ 3. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Исследования стационарных процессов различной физической
природы (колебания, теплопроводность и др.) часто приводят к урав-
уравнениям эллиптического типа
L[u]=*bu+aux + bu +cu = F(x, у), A)

254
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. V
где а = а(х, у), b = b(x, у), с = с(х, у) и F(x, у) — непрерывные
функции. Для этих уравнений обычно ставятся лишь краевые за-
задачи, так как задача Коши, как было показано в предыдущем па-
параграфе, для уравнений эллиптического типа может быть не-
некорректной.
Наиболее часто встречаются следующие краевые задачи.
Первая краевая задача. На контуре Г, ограничивающем
область О (рис. 59), задана непрерывная функция ф(Р)=ф(х, у).
Требуется найти функцию и(Р) =и(х, у), удовлетворяющую вну-
внутри G уравнению A) и при-
принимающую на границе задан-
заданные значения ф (Я), т. е. долж-
должны быть выполнены условия:
L[u(P)] = F(P) при Р?О;
м(Р) = ф(Р) при Р?Г.
Вторая краевая за-
задача. На контуре Г, огра-
ограничивающем область G, за-
задана непрерывная функция
ФХ(Р). Требуется найти функ-
функцию и(Р) =и (х, у), удовлетворяющую внутри О уравнению A),
нормальная производная которой на Г принимает заданные значения
ФХ(Р), т. е. требуется, чтобы
L[u(P)]=F(P) приР^О, А^) = ф1(Р) приР€Г.
Третья краевая задача. На контуре Г, ограничивающем
область G (рис. 59), задана непрерывная функция ip (P) = г|з (л:, у).
Требуется найти функцию и(Р)=и{х, у) такую, чтобы
при
Рис. 59.
при
где Ы + lJ
Третью краевую задачу можно рассматривать как общую. Дей-
Действительно, при ао=1 и ах = 0 получаем первую краевую задачу,
а при ао = 0 и ах=1—вторую краевую задачу. Заметим, что если
область G ограниченная, то соответствующая краевая задача назы-
называется внутренней, в противном случае—внешней.
Для уравнения Лапласа Аи = 0 первая краевая задача называется
задачей Дирихле, вторая — задачей Неймана и третья — смешанной
краевой задачей*

§ 4] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 255
§ 4. Некоторые сведения о гармонических функциях.
Единственность решения задачи Дирихле
Определение. Функция и(х, у), имеющая непрерывные част-
частные производные второго порядка в области G и удовлетворяющая
внутри G уравнению Лапласа, называется гармонической функцией.
Простейшими гармоническими функциями двух переменных х и у
являются: линейная функция и = ах-f by-f с; функция видаи = 1пг,
где г = у(х—хоJ-\-(у — ?/0J (основное решение уравнения Лапласа).
Задача Дирихле в иных терминах может быть сформулирована
следующим образом: найти функцию, непрерывную в данной замк-
замкнутой области 0= 0+Г, гармоническую в области G и принимаю-
принимающую на ее границе Г непрерывные заданные значения.
Единственность решения задачи Дирихле и непрерывная зависи-
зависимость ее от краевых условий (корректность краевой задачи) выте-
вытекают из следующих свойств гармонических функций.
Свойство I (принцип максимума). Гармоническая в ограничен-
ограниченной области функция, непрерывная в замкнутой области G=G-f-r,
-не может принимать внутри этой области значений больших, чем
максимум ее значений на границе Г, и меньших, чем минимум ее
значений на Г.
Доказательство. Пусть М—максимум значений и(х, у) на
границе Г. Допустим, что функция и (х, у) в некоторой точке
Ро (х0, у0) внутри О принимает значение ц = и (х0, у0), причем ц > М.
Составим вспомогательную функцию
v(x, у) = и(х, У) + ^^[{Х — хоJ + (у — (/0)aJ,
где d — диаметр области G. Очевидно, имеем
причем при (х, у) ? Г выполнено неравенство
Следовательно, функция v (х, у) достигает своего наибольшего
значения внутри области G в некоторой точке (л:, у), причем в этой
точке будут выполнены необходимые условия для максимума функции;
дх ~ ду ' дхг ^~~ ' di
Из соотношения
Яг2 ~Г я..2 яV2 Т лТ^2 I J2^ == ^ П J2 ^

256 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
вытекает, что по меньшей мере одна из производных -^-j или ^-^
положительна внутри G. Поэтому функция v (x, у) ни в какой вну-
внутренней точке области G не может иметь максимума, и, следова-
следовательно, приходим к противоречию. Таким образом, и (х, у)^.М.
Аналогично доказывается, что и (х, у)^.т, где т — наименьшее
значение функции и (х, у) на границе Г.
Следствие. Пусть функция и = и (х, у) — гармоническая в огра-
ограниченной области С и непрерывная в замкнутой области G = G + Г.
В таком случае справедливо неравенство
и ^ и (х, у) ^.и ,
где и = min и (х, у) на Г, и = max и (х, у) на Г.
Замечание. Можно доказать более сильное утверждение, что
гармоническая в ограниченной и замкнутой области G функция, от-
отличная от константы, не принимает внутри G наибольшего и наи-
наименьшего значений.
Свойство II (единственность задачи Дирихле). Задача Дирихле
для замкнутой и ограниченной области может иметь лишь единст-
единственное решение, т. е. не существует двух непрерывных гармони-
гармонических функций в замкнутой ограниченной области О, принимающих
на границе одни и те же значения.
Доказательство. Допустим, что две функции и1 (х, у) и
н2 (х, у), гармонические в области G, совпадают всюду на ее границе.
Рассмотрим функцию
и(х, у) = и1(х, у)—и2(х, у).
Очевидно, что и(х, у) —гармоническая функция, обращающаяся
в нуль на границе. По свойству I эта функция не может принимать
внутри G значений больше или меньше нуля, следовательно,
u(jt) = 0 внутри О и их (х) =й2 (*).
Замечание. Из свойства II не следует, что задача Дирихле
для ограниченной замкнутой области G имеет решение; это свойство
лишь утверждает, что если существует решение задачи Дирихле
для области G, то оно единственно.
Можно доказать [20], что если область G выпуклая, т. е. вместе
с двумя своими точками содержит соединяющий их отрезок, и граница
ее Г кусочно-гладкая, то задача Дирихле для такой области с не-
непрерывными данными на ее границе Г действительно имеет решение
(теорема Неймана).
Свойство III (корректность задачи Дирихле). Решение задачи
Дирихле для замкнутой и ограниченной области непрерывно зависит
от граничных данных.

§ 5] УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 257
Доказательство. Допустим, что их (х, у) и и2 (х, у)—
решения задачи Дирихле, соответственно принимающие на границе
значения срх (л:, у) и <f2(x, у).
Пусть всюду на границе Г выполнено неравенство
l<Pi(*> У) — Ф2(*. У) |<е,
где ё — произвольно малое положительное число.
Рассмотрим гармоническую функцию
и(х, у) = и1(х, у) — и2(х, у).
На границе Г эта функция принимает значение
ф(*. J/) = <Pi(*> У)—Ч>2(х, у).
Так как —е < ц> (х, у) < е на Г, то по свойству I имеем
— г<и(х, у)<& при (х, <у) ^ G,
т. е. — е <ы1(л:, у) — и2 (лг, //)< е или | их (дг, (/) — и2 (лг, (/) | <е.
Таким образом, для задачи Дирихле требование корректности
выполнено при т] = е (см. § 3).
§ 5. Уравнение Лапласа в конечных разностях
Для получения конечно-разностного уравнения, соответствующего
уравнению Лапласа
достаточно, выбрав шаг я>0, заменить производные y-j и ^-у отноше-
отношениями конечных разностей по формулам
^ u(x—h, у)
дх* ^ h*
д*и _»(*¦ y + h)-2u(x, y) + u(x, y-h)
ду* ~ Л2
Тогда будем иметь
h, y)—2u(x, y)+u(x—h, у)
, и (х, y-\-h) — Чи (х, ц)-\-и{х, у — Л) «
+ ^ = °.
и, следовательно,
1
и(х, у) — -г [и(x-\-h, y)~[-u{x — h, у)-\-
-\-и(х, y + h) + u{x, y — h)]. B)
9 Б. П. Демидович и др.

258
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. V
Однако, чтобы иметь возможность оценить точность такой замены,
следует идти по несколько иному пути, используя для получения
конечно-разностного уравнения формулу
Тейлора
, у) +
h
h
A(x.y)
h
h
C)
? где 0 < в < 1.
Рис. 60. При этом пользуются различными схе-
схемами. Рассмотрим две основные схемы.
Первая основная схема. Рассмотрим точки А(х, у),
B{x — h, у), C(x + h, у), D(x, y + k), E(x, y — h), лежащие в
центре квадрата и на серединах его сторон (рис. 60), и выразим
значения функции и в точках В, С, D, Е через значения этой
функции и ее производных в центральной точке квадрата А (х, у).
Согласно формуле C), полагая в ней п = 4, имеем:
u(x — h, y) =
= u(x, y) — >
u{x + h, ;/) =
— u(x, y)-\-i
u(x, y — h) =
AX
1
±
"ЗГ АЗил«л + 4Т^ "хххх'
±
vvvv'
u(x,
= и (x, у)
D)
где их, uy, uxx, Uyy
х, uy, uxx, Uyy, uxxx, uyyy — значения производных в точке
А(х, у), а и
промежуточных точках.
Складывая равенства D), получаем
хххх, ихххх, иуууу, итуу — производные в некоторых
u(x-h, y)-\-u{x-\-h, y)-\-u{x, y-ti) + u
= 4и(х, y) + h?(uxx
, у), E)

§ 5]
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
259
где остаточный член
Rh (¦*. У) = ^г К*** + пхххх + uym + a
при и?Си) имеет порядок О(й4). Отсюда будем иметь
и (х — А, у) -\- и (х + h, у)-\-и (х, у — h)-\-u(x, y-\-h) =
= 4и(х,
и, следовательно,
Л ' I
— h,
, y — h)
и(х,
O(h*). F)
Формула F) выражает оператор Лапласа Д« через конечные раз-
разности и называется первой основной конечно-разностной формой
Рис. 61.
оператора Лапласа. Откидывая в уравнении F) член O(h2), получим,
что уравнению Лапласа Ди = 0 приближенно соответствует следую-
следующее уравнение в конечных разностях:
. 1 ,
и{х,
u(x — h, y)
, у —К)],
что совпадает с уравнением B).
Вторая основная схема. Рассмотрим точки А (х, у),
B(x~h, y + h), C(x + h, y + h), D(x + h, y-h), E(x-h, y—h),
лежащие в центре и вершинах квадрата (рис. 61).
Как и в первой схеме, выразим значения функции и в точках В,
С, D, Е через значения этой функции и ее производных в точке А.'

260 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
Полагая я = 4 в формуле C), получим:
, y — h)=u{x,
u(x — h, y — h)=u(x, y)+h(—ux —
+?(-!+?)'¦«¦•
/,3
4-—(ц 4-Зм -J-3u 4-и ^ 4-
T^ 31 \UXXX ~ "uxxy ' ^uxyyiuyyy>t
. h* ( д . д
Складывая равенства (8), будем иметь
u{x-\-k, у — h)-\-u(x — h, у — h)-\-u(x — h, y-\-h)-\-
откуда
^ , y — h)+u(x — h, y —
U(X-k, y + h) = u(X, y) + h{—Ux + tt]l)+ f
ЗГ
(8)
Откидывая остаточный член О (Л2), получаем, что уравнение
Лапласа Дц = 0 приближенно можно заменить конечно-разностным
уравнением
и(х, У)=4 [«(* + *> У — h) + u{x — h, y — h) +
+ u(x-h, y + h) + u(x + h, y + h)]. (9)

§ 6] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ МЕТОДОМ СЕТОК 261
§ 6. Решение задачи Дирихле методом сеток
Идея метода сеток (или, иначе, метода конечных разностей) для
приближенного решения краевых задач для двумерных дифферен-
дифференциальных уравнений заключается в следующем:
1) в плоской области О, в которой разыскивается решение, стро-
строится сеточная область Од, состоящая из одинаковых ячеек (рис. 62)
и приближающая данную область G;
2) заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах
построенной сетки соответствующим конечно-разностным уравнением;
/
\
ч
<
——
—
в
\
)
Рис. 62.
3) на основании граничных условий устанавливаются значения
искомого решения в граничных узлах области Gh.
Решив полученную систему конечно-разностных уравнений, для
чего, вообще говоря, нужно решить алгебраическую систему с боль-
большим числом неизвестных, мы найдем значения искомой функции в
узлах сетки, т. е. будем иметь численное решение нашей задачи.
Выбор сеточной области производится в зависимости от конкрет-
конкретной задачи, но во всех случаях контур Гд сеточной области Gh сле-
следует выбирать так, чтобы он возможно лучше аппроксимировал
контур Г заданной области G.
Сеточная область может состоять из квадратных, прямоугольных,
треугольных и других клеток. От выбора основного размера клетки
А зависит величина остаточного члена Rh при замене дифферен-
дифференциального уравнения конечно-разностным. Следовательно, размер А
теоретически должен определяться требованием, чтобы этот оста-
остаточный член был меньше погрешности, допустимой при решении.
Однако такой путь не всегда целесообразен, так как получаемый
при этом размер А настолько мал и, следовательно, число клеток
настолько велико, что решение оказывается практически невыпол-
невыполнимым.

262
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. V
Обычно задача решается сначала при большом значении А, т. е.
при малом числе клеток, и лишь после того, как задача грубо при-
приближенно решена для этой крупной сетки, переходят к более мел-
мелкой сетке или во всей рассматриваемой области, или в какой-нибудь
ее части.
Идея метода сеток известна давно и восходит еще к Эйлеру.
Однако практическое использование этого метода наталкивалось на
серьезные трудности, так как полу-
получение с его помощью достаточно точ-
точного решения краевой задачи обычно
приводило к колоссальным системам
алгебраических уравнений, на решение
которых при ручном счете требовались
годы вычислительного труда. Поло-
Положение резко изменилось с появлением
быстродействующих электронных вы-
вычислительных машин. Метод сеток
допускает удобную реализацию на
электронных счетных машинах, так
как применение его обычно сводится
к массовой повторяемости однородных
циклов. В настоящее время метод
сеток является одним из наиболее
эффективных методов решения ли-
отчасти нелинейных задач математической
Рис. 63.
нейных, а также
физики [15].
Покажем применение метода сеток для построения решения за-
задачи Дирихле
при
A)
где ф (Р) = ф (х, у)—заданная непрерывная функция, причем для
простоты рассмотрим лишь случай квадратной сетки. Будем предпо-
предполагать, что область О ограничена простым замкнутым кусочно-глад-
кусочно-гладким контуром Г.
Выбрав шаг /г, построим квадратную сетку
xi = xo + ih, yj = yo+jh (Sh)
V, 7=0, ±1, ±2, ...)
с таким расчетом, чтобы узлы (xh у J) сетки Sh или принадлежали
области G, или отстояли от ее границы Г на расстоянии меньшем,
чем h.
Точки (узлы) сетки Sh называются соседними, если они удалены
друг от друга в направлении оси Ох или оси Оу на расстояние,
равное шагу сетки к. Узел Ah сетки Sh называется внутренним,

§ 6] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ МЕТОДОМ СЕТОК 263
если он принадлежит области G, а все четыре соседних с ним узла —
множеству Sh; в противном случае он называется граничным (на-
(например, узлы Bh и Ch сетки Sk) (на рис. 63 внутренние узлы обо-
обозначены светлыми кружками, а граничные — темными кружками и
темными треугольниками).
Граничный узел сетки Sh называется узлом первого рода, если
он имеет соседний внутренний узел этой сетки (например, узел Bh
на рис. 63); в противном случае граничный узел называется узлом
второго рода (узел Ch на рис. 63). Внутренние узлы и граничные
узлы первого рода сетки Sh называются расчетными, точками. Гра-
Граничные узлы второго рода не входят в вычисление и могут быть
изъяты из сетки Sh (на рис. 63 граничные узлы второго рода обо-
обозначены темными треугольниками).
Относительно сетки Sh предположим, что множество ее расчет-
расчетных точек «связное», т. е. любые две расчетные точки можно
соединить цепочкой узлов, каждые два смежных элемента которой
являются соседними узлами. Кроме того, будем считать многоуголь-
многоугольную сеточную область Qh выбранной так, чтобы ее геометрическая
граница Г/2 возможно ближе примыкала к границе Г области G. За-
Заметим, что узловые точки контура ГЛ могут лежать как внутри, так
и вне области G.
Значение искомой функции и = и(х, у) в точках (xh y}) обозна-
обозначим через Ujj = u (xh _уу). Следуя общей схеме (см. § 5 B)), для
каждой внутренней точки (xit yj) сетки Sh заменяем дифференци-
дифференциальное уравнение A) конечно-разностным уравнением
где (х{±ъ yi±i) — расчетные точки.
В граничных узлах первого рода Bh сетки Sh полагаем
н(ЯА) = «(В) = ф(Я), C)
где В — ближайшая к Bh точка границы Г,
Система B) является неоднородной линейной системой, причем
число неизвестных (т. е. число внутренних узлов сетки) равно числу
уравнений. Система B) всегда совместна и имеет единственное реше-
решение. Чтобы доказать это, достаточно убедиться в том, что соответ-
соответствующая однородная система имеет лишь нулевое решение. Одно-
Однородная система, очевидно, формально может быть записана в виде
системы B), с той лишь разницей, что значение функции ср (Р) на
границе Г следует положить тождественно равным нулю: ср (Я)= 0.
Однородная система B) всегда совместна, так как эта система
имеет тривиальное решение и(у = О, Покажем, что однородная
система B) не может иметь решений ui}- ф 0. Пусть, например,
для некоторого решения одно из ее неизвестных ирд=фй. Для

264 , ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДЛЧ [ГЛ. V
определенности будем считать upq > 0. Обозначим через UpQ наи-
наибольшую компоненту рассматриваемого решения, т. е. положим
uPQ^ut/ D)
для всех узлов сетки Sh. В силу неравенства D) будем иметь
upq Зз upq > 0. E)
На основании системы B) получаем
UPQ =-4-(«P-i.<3+«P+i, <г+«Р. Q-i+uP.
Учитывая неравенство D), заключаем, что
ui'-\, Q ^UpQ, Wp+l,Q^"PQi UP. Q-l ^s UPQ> UP.
Ни одно из последних четырех неравенств не является строгим,
так как если бы это имело место, то, складывая все четыре нера-
неравенства и учитывая формулу F), мы получили бы UpQ < UpQ (?!).
Поэтому
uP-l. Q = uP+i. Q = UP. Q-l = "P. 0 + 1 — UPQ- G)
Проводя аналогичные рассуждения для точек uP + li q, up + 2_ q, . . .,
на конечном шаге достигнем некоторого граничного узла
, q сетки S/t с ближайшей точкой уМ?Г, где положено
Таким образом, из цепи равенств G) имеем upq = 0, что про-
противоречит неравенству E).
Итак, однородная система B) не может иметь положительных
решений. Аналогично доказывается, что эта система не может иметь
отрицательных решений. Следовательно, //^- = 0 для каждого ре-
решения, и, значит, неоднородная система B) совместна и имеет
единственное решение.
Решив систему B), получим приближенные значения искомой
функции и = и(х,у) в узлах сеточной области Gh. Тем самым будет
найдено приближенное численное решение задачи Дирихле для об-
области Gh. Можно показать, что в общем случае погрешность при-
приближенного решения имеет порядок O(h).
§ 7. Процесс Либмана
Если число узлов сетки Sh велико, то непосредственное реше-
решение системы B) из § 6 становится затруднительным. Кроме того,
для криволинейной области G значения функции и в граничных
узлах сетки Sh выбраны слишком грубо. Эти обстоятельства за-

§71
ПРОЦЕСС ЛИБМАНА
265
ставдяют для решения указанной системы прибегать к итера-
итерационным методам с одновременным исправлением граничных значе-
ни-й.
Согласно процессу усреднения Либмана, выбрав начальные при-
приближения и(ц\ последовательные приближения н'/ для внутренних
узлов (х{, yj) сетки Sh определяем по формуле
Что касается граничных узлов Лл сетки
и(Ан) в этих узлах последователь-
последовательно исправляем по формулам линей-
линейной интерполяции:
B)
,,(ft-n I а\ ,
=1, 2, ...),
где Л — ближайшая к ЛЛ точка
границы Г (и (А) = ф (Л)), fi —
ближайший к Лл внутренний узел
то значения функции
1
Л1
1
1
1
\
г
\
%.
%
в
Л
Рис. 64.
сетки 6'л (рис. 64) и б — уда-
удаление узла Ah от точки А, при-
причем б > 0, если Ан — внутренняя
точка области О, н 8<0, если Ah — внешняя точка области О.
В частном случае, если узел Ah лежит на границе Г (Лдн=Л, 6 = 0),
то имеем точно
На практике после некоторого шага k можно считать и(Л) (Ah)
неизменными (например, если эти значения установятся с заданной
степенью точности).
За начальные значения и'*' теоретически можно взять любую си-
систему чисел. Однако следует иметь в виду, что в силу принципа
максимума (см. § 4, свойство I) для значений искомой функции
и (л:, у) должны быть выполнены неравенства
m
М,
где m — min ф (Р) и УИ=тахф(/3). Поэтому разумно полагать
г г
m < и\ f < М.

266
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. V
Практически для выбора u\f грубо решают задачу Дирихле в об-
области G с помощью крупной сетки, а затем найденные значения
используют для решения задачи Дирихле на данной мелкой
сетке. Для начала процесса обычно применяют линейную интерпо-
интерполяцию.
Доказывается [1], [3], [6], что для любого шага сетки h про-
процесс Либмана независимо от выбора начальных значений сходится,
т. е. существует
Рис. 65.
причем погрешность приближен-
приближенного решения имеет порядок
О (ft2).
Для практического проведе-
проведения вычислений по методу ите-
итерации полезно приготовить дос-
достаточное число специальных вы-
вычислительных шаблонов [9]. Спо-
Способ заготовления этих шаблонов
для случая неизменных гранич-
граничных значений следующий. Пусть
область О, в которой должно быть найдено решение задачи Ди-
Дирихле, покрыта сеткой (рис. 65). Внутренние узлы этой сетки отме-
отмечены белыми кружками; граничные узлы, в которых известны зна-
значения искомой функции, отмечены черными кружками.
Для построения вычислительного шаблона строим вторую сет-
сетку, линии которой проходят по-
посредине между линиями первой,
причем так, что узлы первой
сетки (внутренние и граничные)
попадают в центры клеток вто-
второй сетки (рис. 66).
Клетки второй сетки, в цент-
центрах которых лежат граничные
узлы первой сетки, обведем жир-
жирной чертой. Готовый вычисли-
вычислительный шаблон № 1 приведен
-О-
-О-
-О-
-О-
-О-
-о-
-О-
-О-
-О-
-о-
-6-
-о-
-о-
-о-
-о-
-о-
-о-
-о-
-о-
-о-
на рис. 67.
В обведенные жирной чертой
клетки шаблона № 1 вписываются
неизменные граничные значения,
определенные на контуре Гд. Внут-
Внутренние клетки будут заполняться последовательно итерационным
процессом. Поэтому нужно заготовить достаточное число одинаковых
Рис. 66.

§ 71
ПРОЦЕСС ЛИБМАНА
267
шаблонов № 2, 3, ..., состоящих из одних внутренних клеток*)
такого же размера, как клетки шаблона № 1 (рис. 68).
Внутренние клетки шаблона № 1 заполняем начальными значе-
значениями процесса итерации (произвольными числами или решениями
задачи Дирихле, полученными для более крупной сетки). Когда
шаблон № 1 заполнен, на*
¦^? чинается заполнение шаб-
шаблона № 2 таким образом,
чтобы в каждой его клетке
Рис. 67.
Рис. 68.
было записано среднее арифметическое четырех чисел, стоящих в
соответствующих клетках шаблона № 1.
Очевидно, что при заполнении шаблона № 2 также участвуют
и значения, стоящие в граничных клетках шаблона № 1.
После заполнения шаблона № 2 его накладывают на шаблон № 1,
оставляя при этом открытыми граничные точки последнего, и ана-
аналогичным способом заполняют шаблон № 3, используя шаблон № 2.
Процесс продолжается до тех пор, пока в пределах заданной
точности не совпадут два последних шаблона.
Пример I. Найти приближенное решение уравнения
удовлетворяющее на окружности л;24-(/2= 16 (Г) условию
и(х, у)\г = х*у2.
Решение. В силу симметричности решения рассмотрим четверть
круга.
*) Понятно, что если граничные значения подлежат исправлению, то в
шаблонах следует сохранить также и граничные клетки.

268
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. V
1-й этап. Берем крупную сетку с шагом /г = 2 (рис. 69). Ближайшая
к узлу А D, 2) сетки точка границы Г есть М (У"\2, 2), поэтому полагаем
и(А)^и (М) = 12-22 = 48. Аналогично для узла сетки А' B, 4) ближайшая
У
С@,4)
i
1
1
b
—2-4
A'(ZA)
\М(Щ2)
0 \ Ы,2)
— 2—-У
b
Рис. 69.
С Dft)
О
Ь
2<f
A' 8'
15
4?
e
d
s
f 63
d
С
V i R
1
e til"
в 24
Рис. 70.
точка границы Г есть М'B, 1^12), поэтому и (А') я= и (М') = 48. В узлах
С D, 0) и С @, 4) сетки, очевидно, имеем
Обозначая через а, Ь и с значения функции и во внутренних узлах
сетки (рис. 69) и учитывая симметрию задачи, составляем систему конечг.о-
разностных уравнений
а = — ¦ 4Ь, 6 = — Bс + а + 0), с= \- D8 + 48 + 26).
4 4 4
Из этой системы находим:
а = 24, Ь = 24, с = 36.
2-й этап. Берем более мелкую сетку (рис. 70) с шагом Л = 1 при не-
уточненных граничных значениях. Полагаем
и(А) = и(А')= 15, и(В) = и (В') = 48, и(С) = 63.
Используя значения функции и (х, у) в узлах крупной сетки с шагом
Л = 2 и в граничных узлах и учитывая симметрию задачи, составляем
конечно-разностные уравнения по первой и второй схеме для значений а,
Ь, с, d, е, I искомой функции и в узлах сетки с шагом h = 1 (рис. 70).
Имеем:
fc = —(е+е+0 + 24
1
Отсюда приближенно находим:
о = 26, й = 20,
с= j B4+ 24+ 24+36),
= 27, d = 28, e = 27, 1 = 44.

§ 71
ПРОЦЕСС ЛИБМАНА
269
3-й этап. Уточняем значения а (х, у) в граничных узлах. Используя
формулы B) и полученные значения во внутренних узлах сетки, находим:
u(A)=u(A') = 13, u(S) = u(B') = 49, u(C) = 73.
4-й этап. На основе полученных данных строим систему шаблонов
(№ 1—7) и последовательно уточняем (с точностью до единицы) значения
искомой функции и (х, у) во внутренних узлах.
Шаблоны № 6 и 7 совпадают с точностью до единицы.
Отметим, что точным решением этой задачи является функция
Для сравнения приводим значения точного решения в узлах сетки
(шаблон № 7а).
Для оценки точности решения, полученного по методу сеток,
существуют теоретические оценки. Как правило, эти оценки весьма
сложны и применение их затруднительно. Поэтому на практике;
№ 1 № 2
0
20
24
26
24
13
27
28
27
26
49
44
36
28
24
73
44
27
20
49
13
0
JVj 3
20
26
26
26
27
30
28
26
46
38
30
26
46
27
20
20
26
26
26
20
26
27
27
27
29
27
26
№
28
30
28
27
46
37
29
26
4
47
38
30
26
46
27
20
47
28
20

270 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
№ 5 № 6
20
27
28
28
21
27
28
28
28
30
28
28
47
38
30
27
№ 7
28
30
29
28
47
38
30
27
47
28
20
47
28
21
21
27
2S
28
28
30
29
28
47
38
30
27
47
28
21
№ 7а
0
22
30
32
32
12
28
33
32
32
46
47
40
33
30
73
47
28
22
46
12
0
используют двойной пересчет решения с шагами h и 2й. Если соот-
соответствующие результаты совпадают с заданной точностью, то счи-
считают, что искомое решение задачи найдено правильно.В противном
случае применяют пересчет с шагом й/2 и сравнивают полученный
результат с прежним результатом, соответствующим шагу Л, и т. д.
Отдельно следует проанализировать влияние ошибок округления.
Схема вычислений должна быть устойчивой, т. е. ошибки решения,
связанные с округлением, не должны возрастать неограниченно.
§ 8. Понятие о решении задачи Дирихле методом моделирования
Приближенное решение задачи Дирихле может быть получено
также с помощью моделирующих устройств. Под моделированием
с общей точки зрения понимается использование аналогий между
физическими явлениями и соответствующими дифференциальными
уравнениями.

§ 8] ПОНЯТИЕ О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ МЕТОДОМ МОДЕЛИРОВАНИЯ 271
Задача Дирихле
Аи (х, у) = 0 при (х, у) ? О, и {х, у) = ц> (х, у) при {х, у) ? Г,
где контур Г ограничивает область G, приближенно решается с
помощью сеточного электроинтегратора [16]— [18]. Принцип послед-
последнего следующий. В данной области G построим две системы равно-
равноотстоящих прямолинейных проводников, параллельных соответственно
осям Ох и Оу. Пусть точки пересечения
x, = ih, y, = jh (i, y=0, ±1, ±2, ...)
(h — расстояние между соседними проводниками) этих проводников
являются внутренними узлами сетки, а концы проводников соот-
соответствуют граничным узлам. Предположим, что в построенной
системе проводников протекает постоянный электрический ток. Тогда
значение uit — и (xh yj) можно интерпретировать как потенциал
тока в узле (х{, yj) при условии, что в граничных узлах (xpi yg)
потенциал тока имеет заданную величину ф (хр, yq). Действительно,
в силу закона Кирхгофа суммарное количество электричества, про-
протекающего через каждый внутренний узел (xh t/y), равно нулю.
Поэтому, обозначая через R омическое сопротивление единицй
длины проводника (/? = const), на основании закона Ома будем
иметь
u(xi — k, yjj — ujXf, yj) u(X;-\-h, yf) — u(x,; yj)
Rh + Rh +
, «(*,-> y/—h) — u(Xj, yj) «(*,-. yj-\-h) — u(x,, yj)
+ Rh + Rh
Отсюда
если (xh yt) ? G, причем
иРд = Ч>(хр, Уд)' если ("V У*) € Г-
Из формул A) и B) вытекает, что uif являются значениями реше-
решения нашей задачи Дирихле, полученного методом сеток по первой
основной конечно-разностной схеме (§ 5, G); § 6, B)). Величины и^
определяются путем непосредственного измерения потенциалов
установившегося тока в узлах (xit yj). Для повышения точности
метода применяют специальные приемы ввода граничных условий
(см. [16]).

272 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
§ 9. Понятие о решении задачи Дирихле методом Монте-Карло
Пусть на плоскости Оху дана область G с кусочно-гладкой
границей Г. В области G построим квадратную сетку Sh с шагом h:
(i, 7=0, ±1, ±2,
A)
Мы предполагаем, что сетка Sh состоит из внутренних узлов и
граничных узлов первого рода (см. § 6). Граничные узлы сетки Sh
образуют ее границу Гл. Грубо говоря, граница Гл представляет
собой линейный ряд точек Mpq {x yq), аппроксимирующий криво-
криволинейную границу Г области G с точностью до п.
Представим себе частицу М, которая совершает р а в н ом е р н о е
случайное блуждание по узлам сетки A). А именно, нахо-
находясь во внутреннем узле М!;-(хь у,) сетки Sh, эта частица за один
переход с одной и той же вероятностью, равной 1/4, может переме-
переместиться в один из четырех соседних узлов: или в Mi_1^{xi — h, yj)
(шаг влево), или в Mi+l<J(xi-\-h, yj) (шаг вправо), или в
Mi,j-\ (хм Dj—h) (шаг вниз),'или в Mi,j+1(X;, ijj + h) (шаг вверх),
причем каждый такой единичный переход совершенно случаен и не
зависит от положения частицы и ее прошлой истории. Будем считать,
что блуждание частицы М заканчивается, как только эта частица
попадает на границу ГЛ; в
Таблица 68 этон СЫЫсле граница Гл
Определение шага частицы в зависимости представляет собой «погло-
от выпавшего случайного числа щающий экран». Можно до-
доказать [11], что с вероят-
вероятностью, равной 1, блужда-
блуждание точки М через конечное
число шагов заканчивается
на границе.
Если частица М начала
свое блуждание с фиксиро-
фиксированной внутренней точки
Miojt сетки Sh, то конечная
совокупность последова-
последовательных положений этой ча-
частицы: Mitja, Aijji, . . •,AJ,iy-s,
где Mikjk "ig Гл (ft = О,
называется траекторией
частицы (с 5 шагами) или историей блуждания.
Равномерное случайное блуждание частицы на плоскости можно
организовать с помощью равномерно распределенной последователь-
последовательности одноразрядных случайных чисел [11], [12], принимающих
Случайное
число
0 или 4
1 » 5
2 » 6
3 » 7
Характер перемещения
Д*,- = /г (шаг вправо)
Дуу = /г (шаг вверх)
Лх,-=—h (шаг влево)
Ау/= —h (шаг вниз)

§ 9] ПОНЯТИЕ О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО 273
значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для этого, например, доста-
достаточно производить розыгрыш, т. е. случайную выборку из чисел
О — 9, придерживаясь инструкции, указанной в таблице 68; причем
числа 8 и 9 переигрываются.
Случайные числа берутся из готовых таблиц или вырабатываются
электронной машиной [19]. Последний способ при работе на счетной
машине предпочтительнее, так как он позволяет не загружать
сильно память машины.
Пусть в точках границы Г области G определена некоторая
функция ф (х, у). Перенесем эти значения на границу Гй сетки Sh.
Например (см. § 6), для каждого граничного узла Mpq(xp, yq) ? Гл
определим ближайшую по горизонтали (или вертикали) точку N ? Г
и положим
Для краткости введем обозначение
Ч>Р9 = Ч>(хр, Уд).
Пусть P(i, j\ p, q) — вероятность того, что траектория частицы,
вышедшей из узла М^ сетки Sh, закончится в граничном узле
Mfq ? Гй. Так как блуждание точки неизбежно заканчивается на
границе Гл в первой же точке выхода ее на границу, то
2^(*, у, р, д) = \, B)
где суммирование распространяется на все точки М границы Гй,
причем
1 при р' =р, ц' =</,
<3)
где Mpiq>—граничный узел.
Составим сумму
",7=2 я с г> р> «) Фи» D)
Р.Ч
где точка Mpq (xp, yq) пробегает всю границу Гд. Если функцию
ф (*| У) рассматривать как случайную величину, принимающую зна-
значения <fpq на границе Гл, то сумма D) представляет собой мате-
математическое ожидание (среднее значение) функции <р(лг, у)
на границе Гл для траекторий, начинающихся в точке ;№;,-(.*:,•, yj)
(«премия за выход на границу» из начальной точки /И,-у).
Частица, начавшая свое случайное блуждание из внутреннего
узла Mtj, после первого шага с вероятностью, равной 1/4, попадает
в рдин из четырех соседних узлов. Поэтому случайные блуждания,
начинающиеся в узле Мц, в зависимости от вида траекторий распа-
распадаются на четыре категории новых случайных блужданий:
ф ,и/
11. Мф Mi+liJ, ... IV.
ш. мф
IV М

274 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
По формуле полной вероятности имеем
, J: Р,Я) =| ЯB-1, /; р, q) + ± P(i+ I, /; р, q) +
+ jP(i, j-\; P, q)+^.P(l,j+l; p, q). E)
Отсюда, умножая обе части равенства E) на граничные значения
Фр? и суммируя по всем возможным значениям р и q, на основании
формулы D) получим (см. [11])
Кроме того, в силу формулы C) имеем
если точка Mpq ? ГА.
Рассмотрим теперь задачу Дирихле об отыскании функции
и—и(х, {/), гармонической области G и принимающей на ее гра-
границе Г заданные непрерывные значения <р (х, у). Согласно методу
сеток (§ 6) эта задача сводится к нахождению значений и^ = и (xit ijj)
искомой функции и (х, у) во внутренних узлах Л1^(х{, tjj) некоторой
сетки Sh при условии, что значения в граничных узлах Mpq (xp, yq) ? Гд
известны и равны срр? = ф (хр, yq). Неизвестные utJ определяются из
системы линейных уравнений (см. § 6, формула B))
u(u+a+tl + u)
Сравнивая формулы (8) с формулами F), G), мы усматриваем, что
они совпадают с точностью до обозначений. Следовательно, иско-
искомые неизвестные utj можно рассматривать как мате-
математические ожидания Юц.
Величины т)ц допускают экспериментальное определение. Рас-
Рассмотрим достаточно большое число N равномерных случайных
блужданий частицы по узлам сетки 5Д, исходящих из фиксированного
узла М;/ и заканчивающихся на границе Гл. Пусть (х(р\ yf]) (k =
= 1, 2, ..., N) — соответствующие точки выхода частицы на гра-
границу Гд. Заменяя математическое ожидание v-tj эмпирическим матема-
математическим ожиданием, будем иметь
N
Формула (9) дает статистическую оценку величины и,ц и может быть
применена для приближенного решения задачи Дирихле. Метод ре-
решения задач, основанный на использовании случайных величин, по-
получил общее название метода Монте-Карло (см. [13]).

§ 9] ПОНЯТИЕ О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО 275
Заметим, что с помощью формулы (9) можно непосредственно
найти приближенное значение ui} решения задачи Дирихле в един-
единственной фиксированной точке М,-. сетки Sh, не зная
решения задачи для остальных точек сетки. Этим обстоятельством
метод Монте-Карло для задачи Дирихле резко отличается от обычных
стандартных способов решения этой задачи.
Интересно отметить, что вероятность P(i, j; p, q), в силу фор-
формулы D), представляет собой аналог функции Грина для задачи
Дирихле в области Sh. Эта ве-
величина может быть найдена экс-
экспериментально на основании фор-
формулы (9), если задать следующие
граничные условия:
"Ри \Р'- . ,
Построив такую функцию Гри-
Грина, мы получаем возможность,
применяя формулу (9), просто
находить приближенное решение
задачи Дирихле для области G с
данной границей Г при любых
граничных значениях ф (х, у).
Недостатком рассмотренного
варианта метода Монте-Карло для
задачи Дирихле является слабая сходимость по вероятности при
N—* °° эмпирического математического ожидания
N
к математическому ожиданию v{j. Чтобы устранить это неблагоприят-
неблагоприятное обстоятельство, используют различные модификации случайных
блужданий (см. [11]). Кроме того, при решении задачи полезно учи-
учитывать также, что блуждание частицы М, начинающееся в точке Mlh
автоматически является случайным блужданием частицы, начинаю-
начинающимся в любой промежуточной точке траектории этой частицы.
Пример 1. Методом Монте-Карло найти цB, 2), если
А" (х, у) = 0 в области G{0<x<4; 0<у<4} (Ю)
и
ы (jc, 0) = 0, 0<х<4; и(х, 4) = *,
«D, i/) = y, 0<у<4; ц@, {/)=0,
Решение. Для квадрата G страницей Г построим квадратную сетку Sh
с шагом А=1 (рис. 71). Рассматриваем серию равномерных блужданий час-
частицы по узлам нашей сетки SA, исходящих из начального положения B,2)

276
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. V
(на рис. 71 эта точка отмечена двойным кружком) и заканчивающихся на
границе Г в граничных узлах сетки Gh (на рисунке эти узлы отмечены квад-
квадратиками). Для организации случайных блужданий используем равномерно
распределенную последовательность случайных чисел [14] (см.таблицу 69).
Перемещение частицы определялось согласно указанной выше инструкции
(таблица 68), причем выпадение чисел 8 и 9 рассматривалось как стояние
частицы на месте. Например, последовательно разыгрывая числа таблицы 69,
Таблица 69
Последовательность случайных чисел
57705
26275
64003
93045
71618
05926
205 И
93011
73710
66289
0018В
42844
70131
35483
55709
52906
16961
09393
86977
09461
53324
30304
31303
99602
43166
55186
11578
69962
начиная с первого, имеем:
случайное число 5-
случанное число 7-
случайное число 7-
случайиое число 0-
случайное число 5-
случайное число 7-
случайное число 1-
случайное число 6-
случайное число 1 -
случайное число 8-
случайное число 7-
случанное число 3-
случайное число 7-
-шаг вверх B, 2)—>- B, 3);
-шаг вниз B, 3) —*¦ B, 2);
-шаг вниз B, 2) —>¦ B, 1);
-шаг вправо B, 1) —»- C, 1);
-шаг вверх C, 1)—>- C,2);
-шаг вниз C, 2) —* C, 1);
-шаг вверх C, 1) —* C, 2);
-шаг влево C,2) —> B, 2);
-шаг вверх B, 2) —+ B, 3);
-на месте B, 3) —* B, 3);
-шаг вниз B, 3) —> B, 2);
-шаг вниз B, 2) —> B, 1);
-шаг вниз B, 1) —>¦ B, 0).
В узле B,0) блуждание прекращается, так как частица вышла на границу.
Далее переходим ко второму блужданию частицы, снова отправляясь из той
же начальной точки B,2), и т. д. Траектории /V = 20 случайных блужданий
приведены в таблице 70.
На основании формулы (9) имеем
«B, 2)^. ? = ^-20=1.
Заметим, что в данном случае для задачи Дирихле известно точное решение
, ху
2-2
Поэтому «B,2) = — =1. Таким образом, мы случайно получили точ-
точное значение и B, 2).

§ 9] ПОНЯТИЕ О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО 277
Таблица 70
Решение задачи Дирихле A0) —A1) методом Монте-Карло
Ко
блуждания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
B,2)
-> C,1)
- B.2)
-* B,1)
B.2)
- D.2);
B,2)
-+ B,4);
B,2)
B,2)
B,2)
B,2)
-* C,1)
-> @,2);
B.2)
B,2)
- C,3)
-* @,3);
B,2)
B,2)
- B,2)
-* D,1);
B,2)
-* B,0);
B,2)
B,2)
B,2)
B,2)
- @,3);
B,2)
B,2)
- C,1)
B,2)
B,2)
-» B,4);
Траектория блуждания
- B,3)
-* C,2)
-* B,3)
- B,0);
-* B,3)
- B,3)
- 0,2)
->¦ B,3)
-* B,1)
- A.2)
- C,2)
- A.2)
- B,1)
-* C,3)
~* A,2)
- B,2)
-* C,2)
- B,2)
- B,1)
- C,2)
- B,3)
- B,3)
-* C,2)
-+ C,2)
- C,2)
- C,2)
- B,3)
-> B,2) -
-* C,1) -+
-* B,3) -
-+ C,3) -+
-* B,2) -
- A.2) -*
->¦ B,4);
- B,0);
-* B,2) -
- B,2) -
-* @,2);
-* B,2) ->
-* B,3) -*
-* @,2);
-* B,2) ->
-> C,2) -,
-* B,1) -*
-* C,1) -*
-* D,2);
-* B,4);
-* B,3) -+
-* D,2);
-> C,1) -*
-н- C,3) -*
-* D.2);
-> B,3) -*
B,1) -
C,2) -
B,2) -
C,2) -+
B,3) -
@,2),
C,2) -
11,2) -
C,2) -*
A,3) -+
B,1) -*
C,1) ¦*
B,1) -
C,0);
A,3) ^
B,1) -*
D,3);
B,3) ->
Значение
функции
и (х. у)
в точке
еыходэ на
границу
0
2
2
0
2
0
0
0
0
0
1
0
0
2
2
0
2
3
2
2
20

278 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
§ 10. Метод сеток для уравнения параболического типа
В качестве примера уравнения параболического типа остановимся
на уравнении теплопроводности для однородного стержня 0 ^ х ^ /:
ди о д2и ,. >
где и — и(х, t) — температура и t — время (см. § 1, пример 3).
В дальнейшем для простоты будем полагать а = 1 (к такому случаю
. всегда можно прийти путем
Л I I I I I R введения нового времени
^ \~—V—4 V \ & x=a*t).
Итак, рассмотрим урав-
уравнение
ди д2и /оч
Рис. 72.
1 „
ный момент времени ^ = 0
задано распределение темпе-
температуры и (х,0) =/(*) и за-
законы изменения температуры
в зависимости от времени (тепловые режимы) на концах стержня
х = 0 и х = I:
и @, t) = (p(t), и (/, t) = ty(t).
Требуется найти распределение температуры и = и(л;, t) вдоль
стержня в любой момент времени t. Решим эту смешанную задачу
методом сеток [6], [7]. Для этого рассмотрим пространственно-
временную систему координат {*, t) (рис. 72). В полуполосе t^O,
0-S^.x^.l построим прямоугольную сетку
x = ih (г = 0, 1, 2, ..., п), t=jk (y=0, 1, 2, ...),
где h = — (п—-целое) — шаг вдоль оси Ох и k=ah2 (a — постоян-
постоянная)— шаг вдоль оси Ot, вообще говоря, различны. Величина о
будет выбрана ниже. Введя обозначения
и заменяя уравнение B) конечно-разностным уравнением, будем иметь
Отсюда
ah2
J Jf1/. D)
Из рассмотрения формулы D) ясно, что, зная значения функции

§ 10] МЕТОД СЕТОК ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 279
u(x, t) в точках у-го слоя t=jk, с помощью этой формулы можно
вычислить значения и(х, t) в точках следующего \j-\- 1)-го слоя
t = (j-\-\) k (рис. 73). При вычислении пользуются четырьмя сосед-
соседними узлами—явная схема вида *** (схема 1).
Таким образом, исходя из начального слоя ? = 0, значения и (х, t)
для которого определяются из начального условия
и(х1г 0) =/(*,-) (/ = 0, 1, 2, ..., л),
и используя значения функции и (х, t) в крайних узлах @, t), (I, tj)
(у=0, 1, ...), определя- Схема Г
емые граничными условиями
в@, tj)=(f{t\ ( . 7)
по формуле D) последова- к
тельно вычисляем: /, \
J)
и (х, t,); и (х, tt); ^
A = 0, 1, ..., я),
т. е. находим значения искомой функции и (х, t) во всех узлах
полуполосы.
Остается разумно выбрать величину а. При этом будем исходить
из требования, чтобы ошибка при замене дифференциального урав-
уравнения B) конечно-разностным уравнением C) была наименьшей.
Введем обозначения:
i,y)—-(«,,,+1 —В/Д
где Lh(u) — конечно-разностный оператор, соответствующий диффе-
дифференциальному оператору L[u].
Разность
называемая ошибкой аппроксимации, есть та погрешность, которая
получается при замене оператора L [м] оператором Lh[u\. Вычислим
эту погрешность в узлах (xit tj) сетки для функции и (х, у), являю-
являющейся решением уравнения B). При этом L [и] = 0 и
ЯА[«] = М«]. E)
Учитывая, что

280 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
и разлагая Lh[u] по формуле Тейлора в окрестности точки (.к,, t),
ограничиваясь членами порядка Ав, находим
дин № д*ии h*d3uu hl d*u;j
uV+h-dr + T\~№~+ 37~^T+47~dF~ + ¦
дьии h* д6ип duif й2 д*и.ч
U. i . 'J.
>1 дх* ^6! дх* <-"iJT"iJ дх Т21 дх*
had3U[t 1^д1ип /is дьи.ц № даи
Ч j Ч Чл
3! дх3 4 ! дх4 5! дх& ' 6! дх
Отсюда после приведения подобных членов будем иметь
1 d«u.-, a2 «?3«.-
Так как к (х, t) есть решение уравнения B), то
За-2 ~ а/ ' дх1 ~~ дР ' дха ~ dt* '
Заменяя в F) частные производные по t равными им частными
производными по jc, получаем
12 2 У <Эх4 ' \360 6
Выберем число а так, чтобы первая скобка формулы G) обратилась
в нуль, т. е. положим а/2 = 1/12 и, следовательно, а = 1/6. При этом
значении а будем иметь
360 216/ дл6 540 дл.'6
В силу E) выполнено равенство Rh [u\ = Lh [и]. Поэтому при таком
выборе а для погрешности Rh [u] получаем оценку Rh [и] = О (/г4),
тогда как при другом выборе числа а имеем Rh [и] = O(h2). В этом
смысле значение сг=1/6 является для расчетной схемы I наилучшим.
Соответствующая расчетная формула D) при таком выборе а
окончательно принимает вид
Отметим, что оценка ошибки аппроксимации Rh [и] в общем случае
для граничных узлов (xlt tj) не годится. ,¦....

§ 11}
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
281
Пример 1. Найти решение уравнения теплопроводности
дид2и
при следующих начальных и краевых условиях [7];
и(х, 0) = 4хA— *) @<jc<1);
а @, <) = 0 и "A. <) = ° @<<<оо).
Решение. Заметим, что начальные и краевые условия задачи сим-
симметричны относительно прямой * = —. Поэтому и решение и (*, t) будет
симметрично относительно этой прямой.
Для расчетов полагаем /t=l/10 и, следовательно, k = ah2 = 1 /600 и
строим систему узлов (ж,, tj), где x,-=0,h', ty=y/600. Результаты вычисле-
вычислений удобно расположить в прямоугольной таблице 71.
Таблица 71
Решение уравнения теплопроводности методом сеток
/=0
^4
,-0
0
0
0
0
0
0
0
1=1
0,360
0,347
0,336
0,326
0,317
0,309
0,302
l=i
0,040
0,627
0,613
0,600
0,588
0,576
0,564
1-3
0,840
0,827
0,813
0,800
0,787
0,774
0,761
1 = 4
0,960
0,947
0,933
0,920
0,907
0,894
0,881
1=5
1,000
0,987
0,973
0,960
0,947
0,934
0,921
i=6
0,960
0,947
0,933
0,920
0,907
0,894
0,881
/ = 7
0,840
0,827
0,813
0,800
0,787
0,774
0,761
i = 8
0,640
0,627
0,613
0,600
0,588
0,576
0,564
( = 9
0,360
0,347
0,336
0,326
0,317
0,309
0,302
, = ,0
0
0
0
0
0
0
0
Начальная строка этой таблицы (/=0) заполняется на основании задан-
заданных начальных условий
и (х;, 0) = 4л:,-A — х,-) = 0,4(A— 0,1«) (/=0, 1, 2, ..., 10).
В первый (t=0) и последний (t = 10) столбцы вписываются данные гранич-
граничных условий
«@, tj) = u(\, t;) = Q (/ = 0, 1, 2, ...).
Остальные строки / = 1, 2, 3, ... таблицы последовательно заполняются
с помощью применения расчетной формулы (8). При этом, конечно, следует
учитывать симметрию искомой функции и.
§11. Устойчивость конечно-разностной схемы
для решения уравнения теплопроводности
При использовании конечно-разностной схемы для решения краевой
задачи возникает важный вопрос об устойчивости такой схемы. Под
этим понимается следующее: конечно-разностная схема называется
устойчивой, если малые погрешности, допущенные в процессе реше-
решения, затухают или во всяком случае остаются малыми при неограни-

282 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
ченном увеличении номера текущего слоя (строгое определение
понятия устойчивости см. в [8]). В противном случае схема называется
неустойчивой. Ясно, что неустойчивая конечно-разностная схема про-
противопоказана для вычислений, так как неизбежные незначительные
ошибки, например погрешности округлений, могут создать большие
отклонения от точного решения краевой задачи и привести к резуль-
результатам, не имеющим ничего общего с действительностью.
Выясним условия устойчивости приведенной выше конечно-разност-
конечно-разностной схемы (§ 10, D)) для уравнения теплопроводности
да д2и ...
с заданными граничными и начальными условиями (смешанная крае-
краевая задача):
и(х, 0) =/(*), )
и@, t) = <f{t), \ B)
)
Пусть Ajc( = /2 и Atj = k, где h = l/n, k = oh2. Переходя к конеч-
конечным разностям в уравнении A) (см. § 10), будем иметь
ои(х, + А, tj) + (l-2o)u(xh t) + au(Xi-h, t,) —
-«(*,, tj + k) = O. C)
В граничных узлах сетки х t, tj?Y выполнены следующие условия:
«(*„ 0) =/(*,), и@, tj)=<p(tj), u(l, tj) = q(tj). D)
Предположим, что в точках начального слоя ^ = 0 допущена ошибка
e,.iOl т. е. и(дг,., 0) =/(*,-) + е;, 0, и пусть v (xit tj) —решение урав-
уравнения C):
i , tJ) + (\—2a)v(xi, tj) + av{Xi-h, t,) —
-v(xit tj + k) = O, E)
удовлетворяющее граничным условиям, содержащим ошибку:
v(Xi, 0)=/(*,.) + eI.i0, v@, tj)=--<f(tj), v(l, tj) = ^(tj). F)
Нас интересует, как изменяется погрешность
w{xh tf)=v(Xi, tj)-u{xit tj)
при неограниченном возрастании номера j. Вычитая из уравнения E)
уравнение C), для погрешности w (xit tj) получим конечно-разност-
конечно-разностное уравнение
aw&i+h, tj) + (\-2o)w(xi> tJ + owiXi-h, i,) —
-w(x{, tj + k) = Q. G)

§ 11] УСТОЙЧИВОСТЬ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ 283
На границе Г области имеем
w(xit 0) = v(xit 0) — u(x., 0) = e.i0)
w(О, t.) = v(O, *,) —и@, tj) = O,
Частное решение уравнения G) будем искать в виде
w(xt, tj) = lij sinpxt, (9)
где числа X и р (р > 0) подберем так, чтобы выражение (9) удов-
удовлетворяло уравнению G) и однородным краевым условиям
w @, tj) = 0, w(l,t,) = 0. A0)
На основании этих условий имеем
X,'Jsinp0 = 0, Xtj sin pl = 0,
откуда вытекает, что
Следовательно,
w (х., t,) = %{) sin —~ .
Подставляя это выражение в уравнение G), будем иметь
sin ^p- (Xj-\- h) -\- A —2а) Ktj sin ^p- х{-\-
или
sin-r(xi + h) — 2sm-rxi + s[n-r(xi —
+ A-Я,*)81п^*,. = 0. (И)
Выражение, стоящее в квадратных скобках равенства A1), приведем
к виду, удобному для логарифмирования. Имеем
тл „ . тл , . тл . ,. _ . тл тл ,
— 2sin -j- Jf,.+ sin —(*,- — A) =2 sin-у-л:; cos-pA—
sin
гая.. „ -,.- mn .. / __ ил Л , _.„ «in . 2
— 2 sin-p jc. = 2 sin -y- x. cos -p h— I = — 4sin-7-A:l sin ^
Подставляя этот результат в равенство (И) и сокращая обе части
тп
, „ . тп
его на общий множитель sin-у- xit получим

284 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
Отсюда
%=(\— 4<х sin» ^ aY*\ A2)
Заметим, что X не зависит от точки (xh tj). Таким образом,
для однородного уравнения G) получаем линейно независимые ре-
решения вида
( sin^x,. (я=1, 2, .... л—1),
причем каждое решение удовлетворяет однородным краевым усло-
условиям A0).
Линейная комбинация этих решений
sin^Ar, A3)
также является решением уравнения G), удовлетворяющим при лю-
любых значениях коэффициентов ст условиям A0). Эти коэффициенты
подбираются так, чтобы выполнялось первое условие (8), т. е. чтобы
«»(*,¦, О) = е,-,о (* = 1, 2 л-1).
Для устойчивости рассматриваемой конечно-разностной схемы C)
необходимо, чтобы при любых значениях постоянных сг, с2, ..., сп^1
функция w(x(, tj), определяемая равенством A3), оставалась ограни-
ограниченной при t,—>оо. Для этого достаточно, чтобы для всех т было
выполнено неравенство
Отсюда
1—
^<-i (я=1, 2, .... л—1). A4)
Неравенство A4) заведомо будет выполнено, если величина а
удовлетворяет условию
0<а<1.

§ 12] МЕТОД ПРОГОНКИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 285
Полученные неравенства дают достаточные условия устойчивости
рассмотренной ранее конечно-разностной схемы C) для решения сме-
смешанной задачи в случае уравнения теплопроводности. Заметим, что
выбранное в § 10 значение а=1/6 удовлетворяет неравенству A5).
Замечание. Взяв а =1/2, мы получаем очень удобное конеч-
конечно-разностное уравнение
2а(.у + 1 = И|-1./ + «,Ч1./- A6)
Схема устойчива, однако в этом случае порядок отклонения уравне-
уравнения A6) от уравнения теплопроводности равен О (/г2), в то время
как при о" =1/6 этот порядок равен О (Л4).
§ 12. Метод прогонки для уравнения теплопроводности
В предыдущих параграфах мы видели, что для устойчивости
конечно-разностной схемы для уравнения теплопроводности шаги
h = Axt и к — Д/; должны быть неодинаковы, причем выбор шага h
для пространственной коорди-
координаты х накладывает определен- Схема II
ные ограничения на величину
шага к. для временной коорди- (i-l,j*l) (i,j*i) (i+t,J+O
наты t. Важность этого обсто- <*г~
V--A
ятельства была отмечена Ку- ^~~ » ""
рантом, Фридрихсом и Леви.
Так как при устойчивой схеме
шаг k имеет порядок О (h2),
причем отношение a = k/h2
ограничено сверху, то при ма- Рис. 74
лом h продвижение решения
и {х, t) no t весьма незначительно и объем работы чрезвычайно
велик. Например, приняв h = 0,1 и полагая к = ah2 = 1/600, по-
получим, что для описания процесса распространения тепла за еди-
единичный промежуток времени 0 «S ^ ^ 1 требуется таблица, содержа-
содержащая 600 строк!
Мы сейчас укажем другую устойчивую вычислительную схему,
для которой отношение kfh2 не является ограниченным сверху и
поэтому шаг k = Д^ временной координаты может быть выбран
сравнительно крупным.
Рассмотрим по-прежнему в области О{0^дг^/, 0^^<-(-оо}
приведенное уравнение теплопроводности
дГ^Ш2 ^
с граничными и начальными условиями
B)

286 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
Построим в области G прямоугольную сетку
*/ = «*, t,=jk A = 0, 1, 2, ..., п; у=0, 1, 2, ...),
где /z = ///z (п — целое) и k — некоторая положительная величина.
Пусть uif = u(Xi, tj).
Используя приближенную симметричную формулу для второй про-
производной по л; и применяя формулу численного дифференцирования
по t «назад», для (_/+ 1 )-го слоя сетки вместо дифференциального
уравнения A) будем иметь следующее конечно-разностное уравне-
уравнение [10]:
1хг k
A = 1, 2, .... я-1; у = 0, 1, 2, ...),
или
ut-i,j+i — ('2 + s)ui,j + i + tti+1,j+1 = —sui/, C)
где 5 = Л2jk.
Таким образом, здесь используется схема II вида Т {неявная
схема) (рис. 74).
Из граничных условий B) получаем
»o./+i = <P('/ + i)' «„./+! = ^(^+1)- D)
Систему C)—D) будем решать .иего&ш прогонки. Пусть
«Л /+1 = «Л ; + 1 (*/. J + 1 + И.Ч.1, y + l) E)
и, следовательно,
«i-l. У+1 = ai-l. У + 1 (*/-1. У + 1 + »Л /+1>- F)
Подставляя выражение F) в формулу C), будем иметь
fl/_i. y+l (*i-i, у+1+ e/l/+i) —B+ *)«,-, у+1+ e,+ i,/+i = —SBl7,
отсюда
"'¦ J+1 ~ 2-bs-a,-_w+1 *
Сравнивая это выражение с формулой E), получим
flf.y+i = 2 + s-aL,y+i ' 6w + i = a;--i./+A-i./+i+ *"<¦/ G)
(/ = 2, 3, ...,«).
При i = 1 из формул C) и E) имеем
«1,

§12] МЕТОД ПРОГОНКИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 28?
Отсюда, используя граничные условия, получаем
Так как формулы (8) и (9) должны быть тождественны, то, срав-
сравнивая их, выводим:
Пользуясь формулами G) и A0), производя «прогонку» в прямом
направлении (прямой ход), определяем две последовательности чисел:
Отсюда, применяя формулы D) и E), с помощью «обратного хода»
находим значения искомой функции:
в-2. y+i = (aB-i,/+i + *n-2.y+i)an-a.y+i. [ (И)
И
1. У+1
J
Таким образом, указан способ перехода от /-го слоя к (у'+1)-му
слою. Следовательно, отправляясь от известного начального (нуле-
(нулевого) слоя, можно шаг за шагом построить искомое решение и (х, t)
во всех точках сетки (л:^ tj).
Выясним устойчивость при j—»- + оо конечно-разностной схемы C).
Пусть Vjj = v(xit tj) — решение уравнения C), удовлетворяющее
«возмущенным» условиям
v(xli0)=f(x.) + eia, v@, </) = ф(</), v(lttf) = ^(tj),
где е@ — начальные ошибки. Погрешность
wiJ = v(xi, t.) — u{xb tj)
удовлетворяет уравнению
= 0 О2)
и граничным условиям
«'«•o=e/Ol wO]=wnt = O. A3)
Положим
(т) л ( ¦ ШПХ;
w)j '=V;sini
A4)
При целом т(т = \, 2, 3, ..., л —1) функция «/{•"" удовлетворяет
вторым условиям A3).

288 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
Подставляя выражение A4) в уравнение A2), получим
J,t,+k sin "»
_ B + s) lj 8]п!
+ № sin
ИЛИ
Л
sin "»И^Ц_2 sin ^p + sin J
*^p = 0. A5)
Так как
. itm(x: — h) _ . тяг,- , . mnlxi + h) . . /лях,- . „ mnh
sin i-J '- — 2 sin —г-1-}- sin :^y-!—- = — 4 sin—y—' sin2-^-
то, производя сокращение в формуле A5) на sin—~ i будем иметь
4?ь sin2 ^- + s (?,*—l) = 0.
Отсюда
2/
если только 5>0, и, следовательно,
Таким образом, все решения wl' асимптотически стремятся
к нулю при j—»• оо или в крайнем случае, когда sin-^—= 0, огра-
ограничены и при фиксированном х{ не возрастают по модулю. Так как
решение w^ представляет собой линейную комбинацию функций w\j,
то из неравенства A7) следует, что схема C) устойчива при лю-
любом 5>0.
Что касается ошибки аппроксимации для схемы C), то эта ошибка,
вообще говоря, есть O(h2-}-k) (ср. § 10).
Пример 1. Рассмотрим разобранную выше (§ 10) смешанную задачу
для уравнения теплопроводности
ди д2и
при начальных и краевых условиях
и(х, 0) = 4хA — х), u@, <) = u(l, 0 = 0.

§ 12] МЕТОД ПРОГОНКИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ft2
Примем /i = 0,l; /г = 0,01; следовательно, s = —=1. Полагая
289
в силу формул A0) и G) будем иметь:
°i, ,+ 1=1/3,
a b
В частности, при ]=0 получаем формулы для первого слоя:
1
1
Кроме того, на основании формул A1) имеем:
A8)
A9)
B0)
По формулам A8), A9) и B0) можно вычислить значения ц,-у иско-
искомой функции для первого слоя (/= 1). Полученные результаты приведены
в таблице 72.
Таблица 72
^;о
ai\
bh
«il
"а
Решение
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
,36
,333
,360
,310
,302
уравнения теплопроводности метолом
0
0
0
0
0
2
,64
,375
,760
,572
,564
0
0
1
0
0
3
84
381
125
,764
761
0
0
1
0
0
4
,96
,382
,389
,882
,881
1
0
1
0
0
5
,00
,382
,530
,921
,921
0
0
1
0
0
6
,96
,382
,544
,882
,881
0
0
1
0
0
7
,84
382
,430
,764
,761
прогонки
0
0
1
0
0
8
,64
,382
,186
,571
,564
0
0
0
0
0
9
,36
,382
,813
,310
,302
10
0
0
0
В последней строке таблицы 72 для сравнения приведены значения и'
искомой функции, полученные обычным методом сеток при /г = Дл: = 1/1О и
/е = Д/= 1/600 (см. таблицу 71). Обращает на себя внимание значительное
расхождение значений «A и и]г вблизи границы области (i = 1 и i=9).
Это объясняется тем, что для таких точек примененные формулы численного
дифференцирования обладают пониженной точностью. Для устранения этого
неблагоприятного обстоятельства рекомендуется для точек, близких к гра-
границе области, использовать более точные формулы численного дифференци-
дифференцирования.
10 Б, П. Демидоиич и др.

290 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
§ 13. Метод сеток для уравнений гиперболического типа
Остановимся на простейшем уравнении гиперболического типа,
а именно уравнении свободных колебаний однородной ограниченной
струны (см. § 1):
д2и „ft ...
dF =п W*' A)
и будем искать решение уравнения A) при заданных начальных и
краевых условиях
и(х, 0) =/(*), ut(x,0) = F(x) @<*</) B)
и
и @, ^)=ф(^), и (/, if) = i|)(^) @^?<оо). C)
Решим эту смешанную задачу методом сеток [7], [8]. Как и в слу-
случае параболического уравнения, покроем полуполосу О^я^/,
0^ t< oo прямоугольной
''j+Ц сеткой xi = ih, t, =jk {I = 0,
l,2,...,/i;y = 0,l,2,...),
где
= l/n (n — целое) и Atj =
= ii+\ — tj = k. На сетке
xit t, приближенно заменим
дифференциальное уравне-
уравнение A) соответствующим
Рис. 75. конечно-разностным уравне-
уравнением.
Пользуясь симметричными формулами для производных, будем
иметь
U±J11 ?> U<<>-1 = Й2 '' + ll/ У Ui~^j . D)
При k = hja уравнение D) упрощается и принимает вид
откуда
«1.Я-1 = «1 + 1./ + "/-1./—««./-!¦ E)
Из уравнения E) видно, что для получения значений и (х, t)
в (у —(— 1)-м слое используются значения и (х, t) в двух предыдущих
слоях: _/-м и (у—1)-м (рис. 75). Для начала вычисления по фор-
формуле E) также необходимо знать значения и(х, t) на двух слоях,
в то время как начальные условия B) задают нам значения и(х, t)
лишь на нулевом слое /'=0. Однако, используя начальные условия,
можно определить значения и (х, t) на фиктивном слое с номером

§ 13] МЕТОД СЕТОК ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 291
_/ = —1. Для этого заменим производную во втором начальном усло-
условии конечно-разностным отношением. Тогда будем иметь
-k
где Fi = F(x;). Отсюда
Теперь, зная значения и (х, t) на слое _/=—1, определяемые с по-
помощью формулы F), можно начать вычисления. Краевые условия C)
используются для получения значений м0;- и unj.
Вместо определения значений и{х, t) на слое /= — 1 можно вы-
вычислить значения и (х, t) на слое у = 1. Это достигается, например,
с помощью формулы Тейлора
ди!о /г2 д*и,-0
и;1 да и,.о + А _Г + т __ . G)
Учитывая, что согласно уравнению A) имеем
перепишем формулу G) в другом виде, а именно:
- (8)
Из начальных условий B), предполагая, что /(дс) ^СB) [0, /], полу-
получаем:
Подставляя эти значения в формулу (8), окончательно находим
a2k2
f + kF+f;
Очевидно, формулу A0) целесообразно применять в том случае,
когда функция f(x) задана аналитическим выражением.
Пример 1. Методом сеток найти приближенное решение уравнения [6]
удовлетворяющее граничным и начальным условиям
и@, t) = u(n, t) = 0 @<t < оо);
и{х, 0) = х{п—х), ut(x,0) = 0
10*

292
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Решение. В нашем случае в= 1, поэтому fc
С помощью формулы A0) определим значения и(
Так как
/t. Выбираем fe =
[гл. v
[ = л/18.
то
!=«/0 —0,03048.
Дальше решение проводится по формуле E). Полученные значения приве-
приведены в таблице 73.
В таблице приведены лишь данные для 0^.xs?,n/2, так как график
решения и = и(х, t) симметричен относительно плоскости * = ji/2.
Таблица 73
t ^Ч
f = 0
t =z ft
t—2h
t — 3h
t = 4/i
<=5ft
Решение
< = 0
0
0
0
0
0
0
К:
0,
0,
о,
0,
0,
0,
уравнения колебаний
= ft
518
487
426
366
305
244
0,975
0,944
0,853
0,731
0,609
0,487
1,371
1,340
1,249
1,097
0,914
0,731
A"=4/l
1,706
1,675
1,584
1,432
1,218
0,975
:труны
X
1
I
1
1
1
1
= 5/1
,980
,950
,858
.706
,493
,218
методом
*=6ft
2,193
2,163
2,071
1,919
1,706
1,432
X-
2,
2,
2,
2,
1,
1
сеток
= 7/1
346
315
224
071
858
584
*
2
2
2
2
1
1
...
,437
,406
,315
,163
,950
,675
X
9,
2
2
2
1
1
= M
.467
437
,346
,193
,980
,706
Замечание 1. Отметим одну особенность уравнения колебаний
струны.
При решении задачи Коши для уравнения колебаний струны
дифференциальный оператор
заменяется на сетке при условии, что h=ak, конечно-разностным
оператором
Покажем, что в этом случае функция, являющаяся решением уравне-
уравнения колебания струны, т. е. удовлетворяющая уравнению
М«]=0, A2)
является также решением уравнения
В самом деле, как известно [1] — [5], любое решение дифферен-
дифференциального уравнения A2) может быть представлено в виде
и (х, t) — ф (х — аг") + г|з (x + at),

§ 14] ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ ПРЯМЫХ
где ф и \f — дважды дифференцируемые функции. Полагая
293
оудем иметь
ии = и (х ., tj) = ф \(i — у) й] + ^ [(г + 7) Л].
Подставляя это выражение в формулу A1), получим
(—у— 1) /jJ + o]) [(i+y'+ 1) h) — ф [(i—j-\-1) h] —
) /г] — ф [(г—j— 1) h] — ty [
Замечание 2. Если для уравнения колебаний струны A) краевые
условия C) отсутствуют, то с помощью формулы E) можно построить
решение и (х, t) соответствующей задачи Коши лишь в сеточной
области плоскости Oxt, имею-
имеющей форму треугольника ОАВ
(рис. 76), где ОВ и АВ—характе-
АВ—характеристики
и
4
^> t==
1-х
проходящие соответственно через
точки О @, 0) и Л (/, 0) (см. § 2).
§ 14. Понятие о методе прямых
Метод прямых [21], [22] мож-
можно рассматривать как предельный
случай метода сеток, когда при
применении прямоугольной сетки
стремится к нулю, а множество
т
А
JL
л(Ш
Рис. 76.
из линейных размеров ее
в пределе заполняет неко-
некоодин
узлов
торую систему прямолинейных параллельных отрезков. Идею этого
метода мы изложим на примере линейного дифференциального
уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными и
аналитическими коэффициентами.
Пусть в плоскости Оху задана трапецевидная область G (рис. 77),
основания которой лежат на прямых i/ = a и (/ = fJ (a<(J),ac боков
эта область ограничена аналитическими кривыми
x = go(y) Щ и x = gl(y) (Г)
причем область G целиком помещается в минимальном прямоугольнике
{^ а^у^ср}. В области G требуется, например, найти

294
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. V
решение и — и(х,у) линейного эллиптического дифференциального
уравнения
%?
L[u]==A(x,y)%? + 2В (х,
дх2
ди
1 дх ду'
(х, у) %?
0)
удовлетворяющее на границе области О краевым условиям:
и(х, a)^=(fo(x), u(x, Р) = ф1(аг),
ч {go (У), У) = ^о (У), и (ffi (У). У) = Я\ (У)-
Будем предполагать, что коэффициенты и правая часть уравнения A)
B)
У
Р'Уп
У/
У/
0
It Ак^4
-И
t
1
1
7 X;
in»
^ш
им
¦в
«ж
mm
mm
iii
I®
щ
щ
i
i
Xj
) X
Рис. 77.
определены и аналитичны в замкнутом прямоугольнике R, причем
выполнено условие эллиптичности:
О(х,у)=А(х,у)С{х,у)-ВЦх,у)>0 при (*, у) ? R;
C)
отсюда, в частности, следует, что
А {х, у)фО, С {х, у)фО при (*, y)?R.
Допустим также, что функции ф0 (х) и ^г(х) являются аналити-
аналитическими на всем отрезке [а, Ь\, а функции tJj0 (у) и -фх (у) — аналити-
аналитическими на отрезке [а, |3] и, сверх того, выполнены условия согла-
согласованности:
*/(Р), (У=0, D- D)
Для получения по методу прямых приближенного решения краевой
задачи A) —B) разделим отрезок [а, Р] на п равных частей с помощью

§ 14] понятие о методе прямых 295
точек yj = yo+jh (уо = а, у„ = Р), ^ = ~^ (у = 0, 1, 2, . . ., л)
м через внутренние точки деления проведем семейство параллелей
У —У/ (У= 1, 2, ...,п—1) На каждой такой прямой дифференциаль-
дифференциальное уравнение A) приближенно заменим обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением для искомых функций и {х, у ). Для этого
в уравнении A) избавимся от частного дифференцирования по у
с помощью формул численного дифференцирования:
= Т
дхду
y=yj
(;=1, 2, ...,л-1).
Введем сокращенные обозначения:
ди{х,у.)
u(xy) U(x) =и}(*)
а также
¦А(*. Уу) =^;-(-t) и т. д.
Тогда, подставляя выражения E) в уравнение A), получим сле-
следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
В, (х)
А, (х) и, (х) +-\- [и'/+1 {х) -и;_х
+ т 1и/+1(Х) ~2U1(
Ь/(х)
+ а} (х) и) {х) + -^- [в/ + 1 W — ау_х (л)] + с;. (л) и;. (л) =
= fj(x) (;=!, 2, ...,л—1). F)
Кроме того, в силу краевых условий B) имеем
и, следовательно,
и Л*) = <Р Л*). и'п{х)=<р'1(х).
Таким образом, от линейного дифференциального уравнения A) с
частными производными мы перешли к системе F) из и — 1 обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений с п—1 неизвестными функ-
функциями их\х), иг(х), ..., «„_! (л), где ио(х) и ип(х) известны и
определяются формулами G). Система F) называется системой урав-
уравнений метода прямых.

296
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. V
Так как коэффициенты и правые части линейной системы F)
аналитичны, а следовательно, непрерывны на отрезке [а, Ь] и стар-
старшие коэффициенты Л,[х)фО при а<х<й, то в силу известной
теоремы из теории дифференциальных уравнений общее решение
С2, ..., С2„_2) (у=1, 2, ..., п-\)
системы F) определено на отрезке [а, Ь] и содержит 2л — 2 произволь-
произвольных постоянных Съ С2, ..., С2п_2, входящих в функции ф,- линейно.
У
и
SI,.,
j {
1 1
Ри
1
1
с. 78.
i S-Ун
1
Xj
i
1
Xj., X
Для определения этих постоянных на основании краевых усло-
условий B) получаем такое же число линейных алгебраических уравне-
уравнений. А именно, пусть xJ.=-gQ(yj) и Xj—g1{y/) — проекции на ось Ох
концов отрезка MjNj, лежащего на параллели y=yj (см. рис. 77).
Тогда на основании формул B) имеем граничные условия
Uj{Xj) = i|30 ((/.), Uj (xj) = ярх(у;), (8)
где а<*у<ху<й (/=1, 2, ..., и —1).
Итак, наша задача A)—B) сводится к решению краевой задачи
F)—(8) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Если краевая задача F)—(8) имеет решение, то оно может быть
найдено или обычным методом, когда система F) допускает точное
решение, или с помощью приближенных методов, описанных в гл. IV,
причем функции и;- (х) должны определяться на всем отрезке [а, Ъ\.
После этого мы будем знать приближенные значения искомой
функции и(х, у) на семействе параллелей у—-у} (/'=0, 1,2, . . ., л).
Значения функции и(х, у) в промежуточных точках области О могут
быть найдены интерполированием.
Отметим специфическую особенность краевой задачи F)—(8):
каждую из искомых функций uf (x) нужно определить на всем
отрезке [а, Ь], зная ее значения в двух, вообще говоря, внутрен-
внутренних точках Xj и ~Xj этого отрезка. Если мы найдем некоторую функ-
функцию Uj(x) лишь при Xj^.x^.Xj, то это может оказаться недоста-

§ 15] МЕТОД ПРЯМЫХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУЛССОНА. 297
точным для решения задачи. Дело в том, что проекция на ось Ох
отрезка MjNj параллели у = у;- (х^х^.х^) в общем случае
не покрывает проекций на эту ось соседних параллелей y = y,_L
(*/-i <*<*,-1) и У = У/+1 {x/+1^x^xJ+1) (рис. 78) и, значит,
при этих неблагоприятных обстоятельствах для нахождения из си-
системы F) функций Uj_1 (x) или Uj + l(x) нужно знать значения функ-
функции Uj (х) вне отрезка [х}-, х{\.
Мы рассмотрели простейший случай метода прямых, когда исход-
исходные данные аналитичны и, следовательно, допускают однозначное
аналитическое продолжение. В случае лишь непрерывных коэффи-
коэффициентов уравнения A) и непрерывных граничных условий B) при при-
применении метода прямых возникают дополнительные трудности, так
как решение системы F) уравнений метода прямых существенным
образом зависит от значений ее коэффициентов и функций и0 (х) и
ип {х) в R вне области G, причем здесь это продолжение неодно-
неоднозначно. Эти трудности отпадают, если область G представляет собой
прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат.
Если коэффициенты уравнения A) зависят от х, то метод прямых
приводит к системе линейных уравнений F) с переменными коэффи-
коэффициентами, решение которой затруднительно. Поэтому здесь, вообще
говоря, выгоднее использовать обычный метод сеток.
Если коэффициенты уравнения A) не зависят от переменной х,
то система F) метода прямых состоит из линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Способы решения таких
систем хорошо разработаны, и метод прямых может оказаться тут
сравнительно выгодным.
§ 15. Метод прямых злл уравнения Пуассона
При замене линейного дифференциального уравнения второго
порядка системой уравнений метода прямых (§ 14), вообще говоря,
получается ошибка порядка /г2, где h — расстояние между прямыми.
Эту ошибку можно уменьшить, если воспользоваться более точными
формулами численного дифференцирования. Покажем это на примере
уравнения Пуассона.
Пусть в прямоугольной области R {а ^ х ^ Ь; ct^r/^р1} задано
уравнение Пуассона
д'1и . д2и ,, , м>
W* + W=f{x'y) A)
и требуется найти решение и—-и(х, у) этого уравнения, удовлетво-
удовлетворяющее краевым условиям:
и (х, а) = ср0 (х), и (х, р) = ф1 (х); \.
и (а, у)=%(у), u{b, y) = ^1(y), j
где функции / и г|)А (А = 0,1) непрерывны н Цк?С{2)[а, b] (fc = 0, 1).

298 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
Будем решать краевую задачу A) — B) методом прямых. Для этого
выберем шаг h = -—- и через точки деления yj = yo-\-hj (/' = 0,
1,2,..., л; уо = а, уп = Р) проведем параллели у = у;-. Пусть
Uj (х) = и (х, i/y). Предполагая, что функция и (х, у) имеет непрерыв-
непрерывные частные производные по у до шестого порядка включительно, раз-
разложим функции и/Ч1 (х) = и (х, yj-rh) и uJ_1(x) = u(xt yj — h)
по формуле Тейлора с точностью до О(/г6). Имеем
;; ^^ @<в<1) C)
и
. . . , й" (л, У/) , , д2и (х, yj)
U-i-л (X) =U,(X) з h-\ д о
зГ •а^ 4Г
Сложив равенства C) и D), получим
д2и (х, у.) д*и (х, у/)
nJ+1(x)-2u/(x) + uJ_1(x)= dyt'h*+ gyt J
Заменяя в формуле E) функции
н4 (*) = в (*, i/ft) (А=у+1, у, у—1
. E)
би (л:, yk)
соответствующими вторыми производными —' 2 и ограничиваясь
(л:, yk)
водными —'
членами порядка й2, будем иметь
). F)
ди{х, уЛ
Исключая из формул E) и F) производную —-t-j— и отбрасывая
члены порядка /г6, получим приближенную формулу
uJ + 1 (x) — 2Uj (x) + «y_j (x) =
_ д2и (х, yj) h2 У дЧ (х, у/+1) д2и(х, yj) дги (х, {/y_iI
~ ау2 +12 [ ар аУ2 + а</2 J ¦
которая после приведения подобных членов принимает вид
d2u(x, i//_i)
12 L—5?+10 ay*
l

§ 15] МЕТОД ПРЯМЫХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 299
Формула G), имеющая точность О(/г°), может быть использована
для решения краевой задачи A)—B). Действительно, из уравнения
A) при у — ук имеем
^^=АМ-"П*), (8)
где fk(x)=f{x, yk) (/e=l, 2, ...,п—1). Отсюда, заменяя в фор-
формуле G) вторые частные производные по у их значениями из фор-
формулы (8), для определения решений Uj (х) (/=1, 2, ...,/г—1)
получим следующую систему обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений:
«¦+1 (х) + \Ou"j (х) +«!_! (х)+~ [в/ + 1 {x) — 2uj (*) + «/_! Ml =
= fJ+1(x) + \0f/(x)+f,_1(x) (У=1, 2, .... я —1). (9)
Эта усовершенствованная система (9) метода прямых была предло-
предложена М. Г. Слободянским [23] и аппроксимирует уравнение Пуассона
12
с точностью до -т-^ О (№) = О (/г4).
На основании краевых условий B) дополнительно получаем:
ио(х) = ц,о(х), ип{х)=ЦI(х); и/(а)=г|з0((//), и, (й) = ^ (</,.) A0)
(У=1, 2, ...,я-1).
Отсюда
и; (х) = ф^ (х), и"п (х) = ф'; (х).
Общее решение системы (9), как известно, складывается из част-
частного решения этой системы и общего решения соответствующей
однородной системы
v"j + l (х) + \0v"j (x) + v)-x {x) +
Очевидно, что общее решение системы A1) не зависит от области
R и краевых условий B) и для данного уравнения A) может быть
получено раз и навсегда. Приведем без доказательства (см. [22])
формулы общего решения системы A1):
vj (х) =Х, sin Kk (У'ГУ0) (Vo/* + V-*^) U=K 2, ...,я-1),
где /=(i — a, Ak и Bk—произвольные постоянные и
24

300 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
Частное решение неоднородной системы (9) находится обычным
путем, в крайнем случае можно применить метод вариации произволь-
произвольных постоянных. Для отыскания постоянных Ак и Вк на основании
условий A0) получается алгебраическая система In—2 уравнений.
Пример 1. В области /?{0«?л:«?3; 0<у<3} задано уравнение
Пуассона
Методом прямых найти решение этого уравнения, удовлетворяющее однород-
однородным краевым условиям
ц@, j/) = uC, (/) = « (х, 0) = и(х, 3) = 0. A3)
Решение. Примем Л=1 и проведем прямые у=\ и (/ = 2. Используя
метод прямых, будем искать приближенное решение Uj{x) = u(x, t/j) (/' = 1, 2)
задачи A2) — A3) на прямых у = У\ и y = J/2, где уу=\ и #2 = 2. Выписывая
систему (9), получим следующие два уравнения:
и2 (х) + \Ъи\ W + uo (х)+ 12 [и2 (д:) —2«! (x)-f- «о (*I =
«з (х)-\- IQul (х) + u'i (х) + 12 [м3 (х)-2иг (х) + ih (x)] =
В силу краевых условий A3) имеем и0 (х) = и3 (х)—-0, и, следовательно,
и"й (x) = u's U) = 0. Система A4) принимает следующий вид:
причем
Соответствующая однородная система имеет вид
,Л х "г х Vl х °*х - • \ A7)
Полагая
и подставляя эти выражения в систему A7), после сокращения на е*Л по-
получаем
ЛA0Х2— 24) + В(Х2+12) = 0, |
Так как мы предполагаем, что решение A8) ненулевое, то определитель ли-
линейной системы A9) должен быть равен нулю. Отсюда получаем характе-
характеристическое уравнение
10Х2 —24 Я2+12
= 0
Х2+J ШЯ2—24
(ЮЛ2 —24J —(Л2+12J = 0,

§ 15|
т. е.
МЕТОД ПРЯМЫХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
301
B0)
(9Х,2 — 36) (ИХ,2 —12) =0.
Следовательно, характеристические корни будут
Соответствующие постоянные Л и В определяются из системы A9). Имеем
А
-
ХЧ-12" 10Я,2—24
-с-
отсюда
16 16
-fe = -Sr (* = 3,4).
144 144
ТГ ТГ
Можно принять Ak=—Bk=Ck (k = \, 2), /4ft = Sft = Cft
Таким образом,
ffe = 3, 4).
Частное решение системы A5) ищем в виде
Подставляя эти выражения в систему A5), для определения постоянных А,
В, С, D получаем систему
— 2Л+С=1, —2B + D=1,
Л— 2С = 1, В — 2D = 2.
Отсюда находим: Л=С=—1, В=—4/3, D=—5/3, и, значит,
B2)
На основании формул B1) и B2) общее решение системы f 15) имеет вид
/1/l2/11+C4e-*1/l2/11-(*+4),
, КГ17П + С4в-*^П7П _fx + 5.).
B3)
Для определения постоянных Сг, С2, С3, С4 используем граничные
ловия A6). В силу этих условий и формул B3) получаем систему
—сх—с2
?
B4)

302 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V
Отсюда
= _J_ 1 ^ 1 е~3 ___1_ е" 1_ _ез_
1 6 V+l 12'ch3' 2~  -е6+1~ 12 ' ch~3 '
3 3—е"
4 sh C/12/11)' 4 sh C/12/11)
Подставляя эти значения в формулы B3), после несложных упрощений
окончательно находим
3sh U /l2/ll)—sh[(x—3)
J_ 3sh U V12/11) — sh [(x — 3) /12/11] b_
+ 2" shC]/"l27n) Г + 3"
Мы рассмотрели некоторые методы численного решения различ-
различных типов дифференциальных уравнений в частных производных.
Кроме рассмотренных разработаны также и другие методы, на-
например метод Ричардсона [24], который обладает тем достоинством,
что относительно мало загружает память машины.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ V
[1] Тихонов А. Н. и Самарский А. А., Уравнения математической
физики, «Наука», 1964, гл. I, IV.
[2] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, изд. 4, «Наука»,
1966, лекции I—IV.
[3] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производ-
производными, изд. 3, Физматгиз, 1961, гл. I и III.
[4] Кош л я ко в Н. С, Основные дифференциальные уравнения матема-
математической физики, изд. 4, ОНТИ, 1936, гл. I.
[5] Смирнов В. И., Курс высшей математики, изд. 18, т. II, Физмат-
Физматгиз, 1962, гл. VII.
[6] Кол лат ц Л., Численные методы решения дифференциальных урав-
уравнений, ИЛ, 1953, гл. III и IV.
17] Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ,
1955, гл. VIII.
[8] Рябенький В. С. и Филиппов А. Ф., Об устойчивости разност-
разностных уравнений, Гостехиздат, 1956, гл. I, II.
[9] Панов Д. Ю., Справочник по численному интегрированию диффе-
дифференциальных уравнений в частных производных, «Наука», 1966.
[10] Саульев В. К-, Интегрирование уравнений параболического типа
методом сеток, Физматгиз, 1960.
[11] Современная математика для инженеров, под ред. Беккенбаха Э. Ф.,
гл. II, Браун Дж. В., Методы Монте-Карло, ИЛ, 1958.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ V 303
[12] Демидов и ч Б. П. и Марон И. А., Основы вычислительной мате-
математики, изд. 3, Гостехиздат, 1951, гл. XVII.
[13] Хаусхолдер А. С, Основы численного анализа, ИЛ, 1956, гл. VIII.
[14] Морз Ф, М. и К и ы б е л л Д ж. Е., Методы исследования операций.
Приложения, «Советское радио», 1956.
[15] Математика в СССР за сорок лет, т. I, Физматгиз, 1959, Г а в у р и н
М. К-, Канторович Л. В., Приближенные и численные методы.
[16] По лож ий Г. Н. и др., Математический практикум, Физматгиз, 1960,
гл. VII.
[17] Гутенмахер Л. И., Электрические модели, Изд. АН СССР, 1940.
[18) Кобринский Н. Е., Математические машины непрерывного дейст-
действия, Гостехиздат, 1954.
[19] Китов А. И., Криниц кий Н. А., Электронные цифровые машины
и программирование, изд. 2, Физматгиз, 1961, гл. VIII.
[20] Г у р с а Э., Курс математического анализа, т. 3, ГТТИ, 1933, гл. XXVII.
[21] М их лин С. Г., Вариационные методы в математической физике, Гос-
Гостехиздат, 1957, гл. XI.
[22] Березин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, изд. 3,
«Наука», 1966, т. II, гл. X.
[23] Слободянский М. Г., Способ приближенного интегрирования
уравнений с частными производными и его применение к задачам тео-
теории упругости, Прикл. матем. и мех. 3, вып. I A939).
[24] Л а не Дж. Н., Численные методы для быстродействующих вычисли-
вычислительных машин, ИЛ, 1962.

ГЛАВА VI
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
§ 1. Понятие о функционале и операторе
пий К={у(х)}, где х-
У
Введем сначала некоторые понятия функционального анализа,
которые нам понадобятся в дальнейшем.
Определение 1. Пусть дан некоторый класс (множество) функ-
¦ независимая переменная или совокупность
нескольких независимых пере-
переменных х=(х1, л2, ..., хп).
Говорят, что переменная ве-
величина 1 = 1[у(х)] ость
функционал от функции у(х)
(функция от функции), если
каждой функции у (х) ? К по
заданному закону ставится
в соответствие определенное
число /.
Класс функций АГ={(/ {х)},
для которых определен дан-
Рис. 79. ный функционал, называется
областью определения или"
областью задания функционала, а сами функции называются допус-
допустимыми.
Пример 1. Пусть К^{у(х)\ — совокупность функций, дифференци-
дифференцируемых в точке х = 0. Число Н=и' @) можно рассматривать как функцио-
функционал от у(х), определенный в облаСТЦ^К. .__..
Пример 2. Рассмотрим множество~JCфункций у(х), непрерывно диф-
дифференцируемых на отрезке [а, Ь], т. е. у (х) ? СA)[а, Ь]. Длина дуги s кри-
кривой у = у(х) между точками х = а и х—Ь (рис.79) есть функционал от у (х)
в области К, который может быть выражен формулой
х
2dx.

§ 1]
ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИОНАЛЕ И ОПЕРАТОРЕ
305
Пример 3. Пусть Я —множество всех неотрицательных функций
*===/, (*. У), непрерывных в замкнутой области G и обращающихся в нуль
на ее границе Г (рис. 80). Объем
о
есть функционал от / (х, у).
Определение 2. Множество функций К называется линейным
(или, короче, линеалом), если
для каждых функций и ? К и
v ? К сумма их а -\- v ? К, а также
аи ? К (а — любая постоянная).
Например: а) множество по-
полиномов, б) множество всех не-
непрерывных функций, в) множест-
множество функций, обращающихся в
нуль на границе области, и т. п.
суть линеалы.
Определение 3. Функ-
Функционал /=/[(/] называется ли-
линейным, если он определен на
линейном множестве функций К
и для любой пары допустимых функций и
отношение
Рис. 80.
и v справедливо со-
где а и р — произвольные постоянные.
Например, функционал k = y'@), рассмотренный в примере 1,
является линейным.
Определение 4. Говорят, что на множестве К={у{х)}
определен оператор Z., если каждой функции у (х) ?К по некоторому
закону соответствует одна и только одна функция z = z (x) *).
Это соответствие между функциями символически записывается
следующим образом:
z = Ly или z= L (у).
Множество К функций у = у(х), на котором определен данный
оператор L, называется областью задания этого оператора, а функ-
функции у?К называются допустимыми.
Пример 4. Пусть К ={у(х)) есть множество дифференцируемых
функций. Тогда операцию -р взятия производной можно рассматривать как
*) Возможно также, что функция z(x) зависит от другой переменной
<!..... tm).

306 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
оператор (так называемый оператор дифференцирования)
В более общем случае, если pi(x)?C[a, b] (/ = 0, 1, 2, ..., п) и
?/ = уМ€С(п|[а, ft], то
z = Ly = pa(x)yin) + pl(x)y<n-l>+...+pn(x)y A)
есть оператор (линейный дифференциальный оператор), определенный на
K = Cw[a, b] со значениями г? С [a, ft].
Действительно, для каждой допустимой функции у результат выполне-
выполнения операций A) есть некоторая непрерывная функция г. Например, если
то Ml)=l; L(x)=x; L(x2)=2 + *2; L(ex) = 2ex; L(sinx) = 0 и т. д.
С помощью линейного дифференциального оператора Ly общее линей-
линейное дифференциальное уравнение с неизвестной функцией у можно коротко
записать как
Ly = /(*), B)
где L — оператор вида A) и I (х) — известная непрерывная функция.
Пример 5. Рассмотрим множество функций К=\и(х, у)} таких, что
"(*> У)€СB'(ОЬ где G — заданная область. Функция, определяемая фор-
формулой
<Э2и д2и
дх* ду2
является оператором от и на множестве К {оператор Лапласа). Приравни-
Приравнивая этот оператор известной функции f, (x, у), получим уравнение Пуассона
Ь.и = 1(х, у). C)
В частном случае, если f (x, (/) = 0, будем иметь уравнение Лапласа
Дц=0. D)
Таким образом, дифференциальные уравнения, обыкновенные и с част-
частными производными, с более общей точки зрения можно рассматривать как
операторные уравнения.
Определение 5. Оператор L называется линейным, если он
определен на линейном множестве и для любой пары допустимых
функций и и v линейная комбинация их au-\~$v (а и [3 — произволь-
произвольные постоянные) является также допустимой функцией, причем вы-
выполнены условия:
1) L (аи) —aLu;
2) L(u + v) = Lu + Lv.
Отсюда вытекает, что
при любых постоянных а и р.

§ 1] ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИОНАЛЕ И ОПЕРАТОРЕ 307
Легко видеть, что операторы -т- г/, Ly и Ды, рассмотренные в при-
примерах 4 и 5, являются линейными.
Пример 6. Оператор Ly = y2 является нелинейным.
Действительно, L (u.+ v) = (и + vJ и L« + Lo = u- + »2- Следовательно,
L (ц + °) # ?" + ?у> если только uv ф= 0.
Пусть К есть множество функций { и }, определенных, действи-
действительных и непрерывных в области оз. Если и?К и v?K, то число
{и, v) = \
называется скалярным произведением функций и и w. Очевидно,
(ц, f) = K и).
Определение 6. Пусть линейный оператор L определен на
линейном множестве функций и, заданных и непрерывных в области
«, и его значения Lu представляют собой функции, также опреде-
определенные и непрерывные в а». Тогда линейный оператор L называется
симметричным, если для любых допустимых функций и и v справед-
справедливо соотношение
\ vLu da> = \ uLv fi?co,
(Л О)
т. е.
(Lu, v)=--(u, Lv). E)
Если для любой допустимой функции и имеет место нера-
неравенство (Lu, и) 5= 0, причем (Lu, м) = 0 тогда и только тогда,
когда ц = 0, то оператор L называется положительным.
Пример 7. Рассмотрим оператор
определенный на множестве функций i/?CB)[0, 1] таких, что у@) = (
и у' A) = 0.
Если и и v—допустимые функции, то получаем
1 1
\ (vLu — uLv) dx=\ (—vu"-\-uv") dx = (uv' — vu') =0;
oo °
поэтому
i
vLu ax = \ uLv dx.
*) Если и и v—функции нескольких переменных, то интеграл \ явля-
ется кратным.

308
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. VI
т. е. (Lu, o) = (u, Lv), и, таким образом, оператор L является симмет-
симметричным.
Кроме того, учитывая, что us=0 есть в силу граничных условий
единственная допустимая функция такая, что u's=0, при и^О имеем
(Lu
, и)= [ uLu dx — — \ uu" dx =— аи'
u'2dx>0,
причем (Lu, ц) = 0, если и = 0. Следовательно, оператор L положителен.
§ 2. Вариационная задача
Пусть дан функционал
= /[.</ (*)],
A)
определенный на некотором множестве К = {{/ {х)\. Задача об отыска-
отыскании экстремумов функционала A) называется вариационной задачей.
Более точно вариационная зада-
задача ставится следующим образом:
требуется найти функцию ~у =
= Tl (x) ? К такую, что для всех до-
допустимых функций у = у(х), доста-
достаточно близких к функции у(х),
имеет место неравенство 1[у] ^1[у]
в случае минимума или неравенство
У[у]^/[у] в случае максимума. За-
Заметим, что расстояние между функ-
п „ А -*г пнями учу можно понимать по-
U и и Ц,
разному.
Рис. 81. Пример 1. Рассмотрим задачу:
среди гладких кривых у = у(х), про-
проходящих через точки М (а, А) и Л' (&, S), найти линию с наименьшей дли-
длиной дуги (рис. 81).
Задача сводится к нахождению минимума функционала
для кривых у = у(х), принадлежащих классу СП) [а, Ь\ и таких, что у(а) = А
и у(Ь) — В. Из геометрических соображений очевидно, что искомым реше-
решением будет прямая
В—А,
причем

§ 3] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА 309
§ 3. Основные теоремы вариационного метода
решения краевых задач
Пусть в области G с границей Г дано линейное дифференциаль-
дифференциальное уравнение с непрерывными коэффициентами (обыкновенное или
с частными производными) и требуется найти решение у этого урав-
уравнения, удовлетворяющее на границе Г заданным линейным однород-
однородным (краевым) условиям. Левую часть этого уравнения можно рас-
рассматривать как линейный оператор Z., определенный на множестве К
функций, обладающих непрерывными производными нужного порядка
в G+Г и удовлетворяющих данным краевым условиям на Г.
Таким образом, наша краевая задача сводится к решению оператор-
операторного уравнения
*-У=/(Р), A)
где Р обозначает совокупность независимых переменных, /(Р) —
известная функция (которую мы будем считать непрерывной) и у ?К,
причем функция у на границе Г удовлетворяет краевым условиям
R[u] = o, B)
где R—известный линейный функционал или оператор более низкого
порядка.
Заметим, что неоднородная краевая задача
Ly=f{P) C)
, D)
где ф (Р) — известная функция, сводится к однородной, если поло-
положить y = z-}~yv где z — новая неизвестная функция и у1 — доста-
достаточно гладкая функция, удовлетворяющая краевому условию D):
Действительно, из формул C) и D) получаем Lz = f(P)— Ly1
и R[z] = Q. Функцию у1 обычно нетрудно найти подбором.
Идея вариационного метода применительно к нашему случаю
состоит в том, что краевая задача A) — B) заменяется равносильной
задачей об отыскании функции, дающей экстремум (обычно минимум)
некоторому функционалу. Вариационный метод решения краевых задач
получил широкое распространение после того, как немецкий матема-
математик Ритц в 1908 г. предложил удобный прием для построения при-
приближенного решения вариационной задачи. Метод Ритца будет из-
изложен в § 7.
Приведем две важные для дальнейшего теоремы.
Теорема 1. Пусть L — симметричный линейный оператор, опре-
определенный и положительный в классе К. Тогда операторное уравнение
A) при наличии краевого условия B) в классе К не может иметь

310 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
двух решений, т. е. если существует решение краевой задачи A) — B),
то оно единственно.
Доказательство. Предположим, что краевая задача A) — B)
имеет два решения ух и у2, т. е.
?</i = /(Я), #[</il = 0 E)
и
Ly.2=f(P), R[y2] = 0. F)
Вычитая из уравнений E) соответствующие уравнения F), в силу
линейности оператора L и функционала R получим
Mi/i — УЛ) = О, R[y1 — ya] = 0, G)
т. е. ((/! —f2) ?К.
Умножая первое из полученных равенств скалярно на разность
Ух— Уъ> будем иметь
O. (8)
Так как по условию оператор L положительный в классе К и функ-
функция (y1 — yi) ?К, то из формулы (8) следует у1 — (/2 = 0, т.е. у1 = уг,
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Пусть L — симметричный оператор, определенный
и положительный в классе К, a F\y] — функционал вида
Ly-2f)yd<u, (9)
где f = f(P) — правая часть уравнения A).
Если краевая задача A) — B) с однородными граничными усло-
условиями имеет решение ~у, то это решение дает минимум функ-
функционалу F[y].
Обратно, если в классе К существует функция у, дающая минимум
функционалу (9), то эта функция является решением уравнения A).
Доказательство. 1° Пусть V есть решение краевой задачи
A) — B), т. е. Ly=f{P) и R[y] =0. Заменяя f(P) через Ly
в формуле (9), получим
F[y]=(Ly,y)-2(Ly,y). A0)
Пользуясь симметричностью оператора L, будем иметь
{Ly, y) = (y, Ly) = (Ly, у).
Поэтому
[y\ = (Ly,y)—(Ly,V) — (Ly,y)=_
= {Ly, y — y) — [(Ly, y) — (Ly, y)] — {Ly, ц)=*
= (Ly, y — y) — {Ly, y — y) — (Ly, y) =
= (L[# — y), (y-y))-(Ly, y). A1)

§ 3] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА 31 1
В правой части формулы A1) только первое слагаемое является
переменным. Очевидно, (у— у) ?К, поэтому в силу положительности
оператора L имеем
(L[y-y), (y-y))>0.
Следовательно, функционал f[y] достигает своего наименьшего зна-
значения для тех и только тех допустимых функций у, для которых
имеет место равенство
(L(y-y), (у-у)) = о.
Отсюда на основании определения положительного оператора полу-
получаем у — {/ = 0, т. е. (/=р.
Заметим, что из формулы A1) следует, что наименьшее значение
функционала F[y] равно Fmin(y)=F[y] = — (Ly,y).
2° Пусть существует функция у из класса К, дающая минимум
функционалу (9). Это значит, что для любой функции уг€.К и до-
достаточно близкой к у справедливо неравенство
Положим т] = (ух— У) (ЦК и рассмотрим семейство функций
y = y + ai\, A2)
где а — числовой параметр. Очевидно, при любом а функции у
являются допустимыми и при достаточно малом | а | выполнено не-
неравенство
На основании формулы (9), выполняя тождественные преобразования,
имеем
AF = (Ly,y)-2 (/, у) — (Ly, у)+ 2 (/, у) =
= (Ly,y)-2(Ly,y) +
+ 2(Ly—f,y)—2(Ly—f,y) + (Ly,y) =
= (Ly, у) —2 (Ly, y) + 2(Ly—f, у—у) + (Ly, V)>0. A3)
Отсюда, используя преобразование A1) и формулу A2), находим
AF=(L(y — y), (y — y)) — (LV,y) + 2(Ly—f,y — y) + (Ly,y) =
= a*(Li\, ц) + 2а (Ly-f, n) >0. A4)
Левая часть неравенства A4) представляет собой квадратный
трехчлен относительно параметра а, причем этот трехчлен не может
менять знака. Следовательно, соответствующее квадратное уравнение
заведомо не имеет действительных различных корней и, значит, обла-
обладает неположительным дискриминантом, т. е.

312 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШКНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
отсюда (Ly—/, г|) = 0. Таким образом,
(Ly— /) r]ufco = O A5)
для любой функции т] ? К. В силу произвольности функции 1] отсюда
следует (см. [3]), что Ly—f=O, т. е. Ly=f. Таким образом, у
есть решение нашей краевой задачи.
§ 4. Сведение линейной краевой задачи
для обыкновенного дифференциального уравнения
второго порядка к вариационной задаче
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
у» + Р(х)у' + (}(х)у = Ф(х) A)
с линейными краевыми условиями
а^'(а) + ау (а) = А, у
№(Ь) + $у(Ь)=В, \ B)
где функции Р(х), Q(x) и Ф (х) непрерывны на отрезке [а, Ь] и
Приведем уравнение A) к специальному, так называемому самосопря-
самосопряженному виду. Для этого умножим все его члены на положительный
множитель
к
J P(x)dx
Р (х) = еа
после чего получим
Р (х) У" (х)+р (х)Р(х) у' +р (х) Q (х) у=р (х) Ф (х). C)
Так как
X
J P{x)dx
р'(х)=е° Р(х)=р(х)Р(х),
то уравнение C) можно записать в виде
^'} D)
гдер(д;)>0, q(x)=p(x)Q(x), /{х)=р(х)Ф(х).
Дифференциальное уравнение второго порядка вида D) называется
самосопряженным. Вводя линейный оператор

§ 4] СВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ К ВАРИАЦИОННОЙ 313
получим
F)
где р (х), р {х), q{x) и f(x) непрерывны на отрезке [а, Ь].
Предположим сначала, что краевые условия B) являются одно-
однородными, т. е.
а1У'(а) + ау(а)=О, М'(*) + Ру (*) = 0, G)
где | at | -f-1 a | Ф 0 и | Pt | -f-1 p | Ф 0, причем без нарушения общности
рассуждений можно предполагать, что ах^0 и Pj^O.
Покажем, что в этом случае оператор L является самосопря-
самосопряженным (симметричным) в классе функций К={у\, непрерывных
на отрезке [а, Ь] вместе со своими первыми и вторыми производными
(У ?Са|[а, Ь]) и удовлетворяющих на концах отрезка [а, Ь] однород-
однородным краевым условиям G).
Пусть и?К и v?K. На основании формулы E) имеем
(Lu, v) — (Lv, и) =
ь
{ [i>] \]}dx
= I {~ v [i{р {х) и>)+q (х) и] + и \тх{р {х) v']+1{х) v]}
a
Ь
= f [p (x) (uv" — vu")-\-p' (x) (uv'—vu')]dx =
— p (x) (uv'—vu') \=p(b)w {b)—p (a) w (a), (8)
где
и (x\ v(x)
(9)
Функции и = и (х) и v = v (x) удовлетворяют однородным краевым
условиям
али' (а) -\- аи (а) = 0, axv' [a) -\- av (а) = О,
где а1ф0 или а Ф 0. Следовательно,
или
«(а)=-^«'(а), .©(«)=-%'(а).
Поэтому ti!;(a) = 0. Аналогично доказывается, что

314 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Следовательно, из формулы (8) вытекает (Lu,v)— (Lv, и) = О,
и, значит, (Lit, v) = (Lv, и), т. е. оператор L симметричен.
Выясним, при каких условиях оператор L является положительным.
Для функции у ?К имеем
ь
(Ly,y) = — ^^x[p(x)y'] + q(x)y]i ydx. A0)
а
Интегрируя по частям первый член формулы A0), получим
b
(Ly, у) = -р (х) уу' \"а+[[р (х)у'2-д(х) у*] их. (И)
Так как р (х) > 0, то из формулы A1) вытекает, что оператор L
положителен, если
q(x)^Q при а<я<6, A2)
у(а)у'(а)^0, у(Ь)у'(Ь)^О. A3)
Так как а1^0 и (^ 5s 0, то в силу краевых условий G) нера-
неравенства A3) эквивалентны неравенствам
а<0, р^зО. A4)
Таким образом, краевая задача F)—G) при наличии неравенств
A2) и A4), согласно теореме 2 из § 3, равносильна задаче о мини-
минимуме функционала
F[y] = (Ly, y) + 2(f, у) A5)
в классе функций К. Используя формулу A1), имеем
F [у] =р (а) у (а) у' (а) —р (Ь) у (Ь) у' (Ь) +
ь
+ \s[p(x)y'*-q(x)y* + 2f(x)y}dx. A6)
a
В частности, если ах>0 и Рх>-0, то получим
. A7)
Аналогичные выражения получаем для других случаев.
Рассмотрим теперь краевую задачу F) с неоднородными краевыми
условиями B) в предположении, что выполнены неравенства A2)
и A4). Оператор L в классе функций Кх, удовлетворяющих усло-
условиям B), вообще говоря, не является симметричным и положитель-

§ 4] СВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ К ВАРИАЦИОННОЙ 315
ным, поэтому нельзя непосредственно использовать теорему 2 пре-
предыдущего параграфа.
Пусть z = z(x) ? С2)[а, Ь] и удовлетворяет условиям B), т. е.
a1z'(a) + az(a)=A, fo' (b) + $z (b) = В. A8)
Обозначая через у решение краевой задачи F), B), введем функцию
u = u(x)t определяемую равенством
u = y—z. A9)
Функция и удовлетворяет однородным краевым условиям
а1а'(а) + аи(а) = 0, № (b) + $u(b) = O B0)
и является решением уравнения Lu = Ly — Lz, т. е.
la= — f(x) — Lz. B1)
Таким образом, и?К. Оператор Lu в классе функций А" является
симметричным и положительным, и, следовательно, решение и краевой
задачи B0)—B1), в силу теоремы 2 из § 3, дает минимум функ-
функционалу
F[u\ = (Lu, u) + 2(f(x) + Lz, и).
Отсюда на основании формулы A5) имеем
F[u\=p (а) и (а) и' (а)-р (Ь) и (Ь) и' (Ь) +
ь
+ J [р (X) и'2 -q(x)u* + 2 (f (X) + Lz) и] dx. B2)
а
Из равенства A9) получаем, что решение у краевой задачи F), B)
дает минимум функционалу
Fi [у]=Р(а) [У (а)-г (а)] [у1 (а)-г' (а)] -
-р(Ь)[у(Ь)-г{Ь)][у'{Ь)-г'(Ь)] +
ь
+ \ [р (х) (у'-гУ-q (х) (у - гJ + 2 (/ (х) + Lz) (y-z)]dx^
= p(a)[y(a)-z(a)][y'(a)—z'(a)]-
-P(b)[y(b)-z(b)][y'(b)-z'(b)} +
ь
b
+ 2 J [ -p (x) y'z' + «? (*) yz + {y-z) Lz] dx. B3)
a

316
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Используя интегрирование по частям, будем иметь
ь ь
= -j(j/-z) [?x(P(x)z')+q(x)z] dx =
= -(y-z)p{x)z'
ba+\[p(x)z'(y'-z')-q(x)z(y-z)]dx =
p (a) [y (a)-z (a)]z' (a)-p(b) [y (b)-z
[P (*) z' (y'~z')-q (X) z (y—z)] dx.
Внося это выражение в формулу B3), после несложных упрощений
получим
Л (У) =Р И Ь И-* (а)] [у' (a)+z' (a)]-
-p(b)[y(b)-z(b)}[y'(b)+z'(b)] +
Пусть
- J [р (х) z't - q (x) z* + If (x) z] dx. B4)
0 и Pj >- 0. Из краевых условий B) имеем
у (а) =
A— ay (a)
z (а) =
А—аг (а)
Тогда
ь
+ \[p{x)z'*-q{x)z*-\-2f{x)z\dx\. B5)
а '
Так как стоящие в фигурной скобке члены формулы: B5) фик-
фиксированы и не меняются при изменении функции у, то вместо

§ 5] КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА 317
функционала /^[у] можно рассмотреть функционал
(х) u'z—q (X) у2 + 2f(x) y]dx. B6)
Таким образом, краевая задача F),B) с неоднородными краевыми
условиями в предположении, что имеют место неравенства A2) и A4),
эквивалентна вариационной задаче для функционала B6) в классе
функций Klt удовлетворяющих заданным краевым условиям.
Замечание. 1° Если at = 0 и рх Ф- О, то у (а) — z (а) = А/а.
Из формулы B4) вытекает, что за Ф[у] можно принять функционал
+ J [P (x) у '2 - q (x) if + If (x) у ] dx.
a
2° Аналогично доказывается, что если at=0 и Pj = O, то
ь
Ф [У] = S [Р (х) y'2-q (х) у* + 2/ (х) у] dx.
а
§ 5. Краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа
Пусть дано уравнение Пуассона
-Ди=/(а-, у), A)
где
Требуется найти решение уравнения A), непрерывное в замкнутой
области Q—G-}-Г и удовлетворяющее на границе Г этой области
краевому условию
и|г = ср(Р), B)
где Р=(х, у) и ф (Р) — заданная непрерывная функция. Предполо-
Предположим вначале, что ф(/э)^0, т. е.
«|г = 0, C)
и будем решать однородную краевую задачу A), C). Покажем, что
в классе функций К—{и(х)\, непрерывных в G вместе со своими
первыми и вторыми производными и обращающихся на контуре Г
в нуль, оператор Lu =—Дм симметричен и положителен.

318 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Пусть и ? К и v?K. Составим выражение
(Lu, v) — (Lv, и) =
ПГ /д2и д*и\ . fd2v . Л>\~| , .
— "О -5-5 + -jt-> + и \ in + зг~5 dx dy =
Ига / an <
^("al-
Применяя известную формулу Грина
г о
и используя нулевые граничные условия ц|г = 0, г»|г = О, получим
{Lu, v) — (Lv, u) =
= \ — "з «г М*+ Bi v^r )dy\ =0; D)
J L V дУ dyj [ \ дх dxj yJ • \ >
следовательно, {Lu, v) = {Lv, и), и, значит, оператор L симметричен.
Далее установим положительность оператора L. Имеем
Ига / ди\ , д ( ди\л ... ее Г/аи\2 , гдиу\ . л
\дх\ дх) ду\ dyj} и ' JJ 1\дхj \ду } J
в а
Применяя к первому интегралу формулу Грина, в силу краевых усло-
условий для функции и получим
\ \ h>- I + hr
JJ l\dx J ^\dyj J
G
т. e.
(Z.M, u) = ( —Ди, u)^0.
Если (La, ы) = 0, то из формулы E) следует, что
д_и ди_ _ „
дх ду '
Отсюда и {х, у) = с, и на основании краевого условия C) имеем
и(х, у) ~0.
Следовательно, оператор L положителен.

§ 5] КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА 319
Таким образом, для краевой задачи A) с однородными краевыми
условиями C) выполнены условия теоремы 2 из § 3. Следовательно,
эта задача эквивалентна вариационной задаче для функционала
F[u] = (Lu, а)-2(и, /) F)
в классе функций и, принадлежащих множеству К. В силу форму-
формулы E) получаем
Рассмотрим теперь краевую задачу A) с неоднородными краевыми
условиями B), и пусть Kt = {и (х, у)} —класс функций и ? O2\G -j- Г),
удовлетворяющих условиям B).
Следуя идее предыдущего параграфа, построим функцию
z — z(x, у) ? CB)(G-|- Г), для которой выполнены краевые условия B).
Введем функцию
v(x, y)=u{x, y)—z(x, у), (8)
где и(х, у)—решение нашей неоднородной краевой задачи. Тогда
функция v=v{x, у) удовлетворяет на контуре Г однородному крае-
краевому условию
f | г = 0 (9)
и является решением уравнения
Lz, A0)
/<Э22 д2г \
где Lz — — I д-^ + у-а 1—известная функция. Функция v = v{x, у),
являясь решением однородной краевой задачи A0)—(9), на основа-
основании формулы F) дает наименьшее значение функционалу
F[v] = (Lv, v)-2(v, f(P)-Lz). A1)
Возвращаясь в последнем равенстве к функции и (см. (8)) и исполь-
используя свойства скалярного произведения и линейного оператора L,
получим
F[u-z]~F1[u] = (L(u-z), u-z)-2(u-z, f(P)-Lz) =
= (Lu, и)-2 (и, f) + (u, Lz)-(z, Lu) + 2(z, /) — (?*, г). A2)
Так как последние два члена формулы A2) не зависят от искомой
функции и = и(х, у), то функция и = и(х, у), дающая наименьшее
значение функционалу A2), будет минимизировать функционал
F2[u] = (Lu, а)-2 (и, /) + [(U, u)-(Lu, z)]. A3)
Покажем, что функционал A3) можно заменить функционалом,
не содержащим функцию г. Используя преобразование, примененное

320 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
в формуле D), имеем
(Lz, u) — {Lu, z) =
G
Г Г / ди дг\ . , / ди дг\ , Л ? ( ди дг\ ,
J L \ дУ дУ] \ dx OXJ J J V dn dnj '
J
где n — внешняя нормаль к Г и
да ди dy ди dx дг _ дг dy дг dx
дп дх ds dy ds ' дп дх ds dy ds '
Отсюда, так как z\r =н|г =ф {%, у), получаем
(Lz, и)-(La, z) = §<p(x, y)(^L—bL\ds. A4)
г
С другой стороны, на основании формулы E) находим
Г G
Г
Г G
Подставляя A4) и A5) в формулу A3), будем иметь
Так как последнее слагаемое в формуле A6) не зависит от функ-
функции ц, то краевая задача A)—B) эквивалентна вариационной задаче
для функционала
в классе функций Kv
В частном случае, если f = f{x, у) = 0, то получаем уравнение
Лапласа Аи = 0, причем краевая задача A) — B) есть известная
задача Дирихле. Решением этой задачи, как вытекает из фор-
формулы A7), является функция и из класса Къ минимизирующая
интеграл Дирихле

§ 6] ИДЕЯ МЕТОДА РИТЦА 321
§ 6. Идея метода Ритца
Метод Ритца служит для приближенною решения вариационной
задачи.
Для простоты рассмотрим этот метод для функционала вида
F[u\ = (Lu, и)— 2(/, и), A)
определенного на некотором линейном множестве К=[и), где L —
положительный линейный оператор и /—заданная непрерывная функ-
функция. Предполагается, что функции класса К удовлетворяют линейным
краевым условиям
R[u] = if{P), B)
где R — известный линейный функционал и ф — заданная постоянна»
величина или функция.
Построим последовательность достаточно гладких линейно неза-
независимых функций ио(Р), их{Р), ..., ип(Р), где и0 (Р) удовлетво-
удовлетворяет неоднородным краевым условиям
R[ua] = <f{P), C)
а а,-(Я) (i = l, 2, ..., п)—однородным краевым условиям
Я[«,-] = 0 (« = 1, 2, .... п). D)
Составим линейную комбинацию
и(Р; с1г с2, ..., cn) = a0(P)+2c,«,.(P). E)
П
Так как R[u] = Я[ио]+ 2 сг0 = ц>(Р), то и?К при любых посто-
янных съ с2, .... сп.
Приближенное решение вариационной задачи A) — B) будем
искать в виде E). Для этого подставим и {Р; сь с2, ..., сп)
в функционал A). Тогда получим
/>] = Ф(С1> са, ..., с„), F)
где Ф — известная функция, зависящая от п переменных сх, с2, ...
. .., сп. Подберем коэффициенты съ с2, . .., сп таким образом,
чтобы F[u] было минимальным. Это дает систему уравнений
дФ дФ _ Л аФ п
из которой определяюто, Постоянные с,- (г = 1, 2,..., п) в формуле E).
Таким образом, вариационная задача A)—B) приближенно сво-
сводится к задаче об отыскании экстремума функции Ф (с1, с2) ..., сп)
11 Б. П. Денидопн
ч и лр.

322 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
многих переменных. Точность решения, вообще говоря, возрастает
при увеличении числа переменных функции Ф.
В следующих параграфах мы рассмотрим применение метода Ритца
к конкретным краевым задачам.
§ 7. Метод Ритца для простейшей краевой задачи
Пусть дано линейное дифференциальное уравнение
?x[p{x)y'] + q{x)y = f(x) A)
с простейшими краевыми условиями
у{а)=А, у(Ь)=В, B)
гдер(лг), q(x), f(x)?C[a, b\, причем p {x) > 0 при
Согласно результатам § 4 (замечание 2°) краевая задача A) — B)
при известных условиях эквивалентна вариационной задаче для
функционала
F[y] = 5 [р (х) yn-q(x) y2 + 2f(x)y)dx C)
а
на множестве функций (/?СB)(а, Ь], удовлетворяющих краевым
условиям B).
Для решения вариационной задачи C) —B) применим метод Ритца.
Выберем систему линейно независимых функций (координатные
функции) ио(х), «!(*), и2(лг) ип(х) таких, что ио(а)=Л,
и0 (Ь) = В, а остальные функции u/ (jc) (/ > 0) удовлетворяют одно-
однородным краевым условиям, т. е. и,- (а) = ut (Ь) = 0 (/=1, 2, ...,/г).
Решение вариационной задачи будем искать в виде линейной комби-
комбинации
у (х) = цц (х) + V с,-и,- (дт), D)
где с(-(/ = 1, 2, ..., «)—некоторые постоянные. Очевидно, функция,
определенная равенством D), удовлетворяет заданным краевым усло-
условиям, т. е. у (а) ---А, у(Ь) = В.
Коэффициенты съ с2, ..., сп подберем так, чтобы функция у {х)
давала экстремум функционалу C). Подставляя выражение D) в фор-
формулу C), получаем
b I [
ип(х) +
Г

§ 7] МЕТОД РИТЦА ДЛЯ ПРОСТЕЙШЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 323
где лр (сх, с2, ..., сп)—квадратичная функция переменных с1? с2, ..., сп.
Как известно, для того чтобы дифференцируемая функция
ty(clt с2, ..., сп) при некоторых значениях съ с2, ..., сп имела
экстремум, необходимо соблюдение для этих значений следующих
условий:
Система E) является линейной относительно искомых коэффициентов
съ с2, ...,сп, причем число уравнений равно числу неизвестных.
Составив систему E) и решив ее, если это возможно, найдем коэф-
коэффициенты c/(i = l, 2, ..., п), после чего решение вариационной
задачи, а следовательно, и решение исходной краевой задачи дается
формулой D). В этом и состоит формальный аспект метода Ритца
для краевой задачи A) — B). Оценка погрешности этого метода
представляет собой относительно трудную задачу [3], и разбирать
ее здесь не будем. Заметим только, что точность решения в боль-
большой степени зависит от удачного подбора координатных функций,
и, вообще говоря, возрастает с увеличением их числа.
Пример 1. Найти решение уравнения [1]
удовлетворяющее краевым условиям у (—l) = i/(l) = 0.
Решение. За систему координатных функций {и;(л)} принимаем
полиномы, расположенные по степеням х2, удовлетворяющие однородным
краевым условиям:
«0(*) = 0. «1 (*)=!— *a. "jW=l-x\ ..., ип(х)=\—хм.
Для простоты выкладок возьмем лишь три координатные функции, т. е.
будем искать функцию у = у(х) в виде суммы
г/ = с1A-^) + с2A-д:1). F)
Данное уравнение, где р(х)=1, q (х) — 1 + х2, Ъ(х) — — \, очевидно, является
самосопряженным. Составляем для него соответствующий функционал
Заменяя у его выражением F), получаем
dF dF
Частные производные -ч—, -д— можно найти дифференцированием
11*

324 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
интеграла F [у] по параметрам су и са:
OF 1
38 ,4 1
2488
Приравнивая эти производные нулю, получаем систему уравнений
38 4 1 4 2488 2
+ +
38 4 _ 1 4 2488 _
lQ5Cj+gc2_3> э С|+3645Са~''
откуда находим, что ^ = 0,988, с2 =—0,054. Подставляя найденные значе-
значения с, и с, в формулу F), получаем приближенное выражение для искомого
решения!
у .= 0,934— 0,988л-2 +0,054л4. G)
§ 8. Приложение метода Ритца к решению
краевой задачи Штурма — Лиувилля
Рассмотрим однородное самосопряженное дифференциальное урав-
уравнение
[p(x)y']' + [q(x) + Xp(x)]y = 0 (I)
с однородными краевыми условиями
) + а1У'(а) = 0, [\у (Ь) + fay' (Ь) = 0, B)
где р (х) > 0, | а0 | + | аг | Ф 0, | $0 \ + \ ^ | ф 0, р (х), q (x), p (*) -
непрерывные функции и X — параметр.
Очевидно, функция у = 0 есть решение дифференциального урав-
уравнения A), удовлетворяющее краевым условиям B). Однако обычно
представляют интерес нетривиальные решения краевой задачи A) — B).
Отыскание нетривиальных решений дифференциального уравне-
уравнения A), удовлетворяющих однородным краевым условиям B), назы-
называется задачей Штурма—Лиувилля. С этой задачей часто прихо-
приходится иметь дело в уравнениях математической физики. Те значения
параметра К, при которых существуют нетривиальные значения задачи
A) — B), называются собственными значениями или собственными
числами задачи Штурма — Лиувилля, а соответствующие им нетри-
нетривиальные решения — собственными функциями или собственными ре-

§ 8] МЕТОД РИТЦА ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 325
шениями этой задачи. Ограничимся рассмотрением уравнения A)
при простейших однородных краевых условиях
у(а) = 0, у(Ь) = О. C)
Покажем, как, используя метод Ритца, можно приближенно решить
соответствующую задачу Штурма — Лиувнлля.
Для этого, как указано в § 6, для уравнения A) построим соот-
соответствующий функционал
I;
= \ {Р (*) y''-[q{x)+Xp (X)] у2} dx. D)
а
Будем искать функцию у = у(х, X), дающую экстремум этому
функционалу и такую, что у (а, X) = 0, у (Ь, X) = 0. Те значения
параметра X, при которых наша вариационная задача имеет нетри-
нетривиальные решения, при известных условиях (см. § 3) являются
искомыми собственными значениями рассматриваемой задачи Штурма —
Лиувилля.
Искомую функцию у приближенно представим в виде линейной
комбинации координатных функций
п
У= 2 е,-И|(.*), E)
где и{ (а) = а{ {Ь) = 0 (г=1, 2, ..., п). Ввиду однородности задачи
полагаем и0 (х) = 0. Подставив выражение E) в интеграл D) и
произведя соответствующие выкладки, будем иметь
где гр — квадратичная форма (линейная однородная функция второй
степени) от переменных clt c2, ..., сп.
Коэффициенты cv c2, ..., сп находим, используя необходимые
условия для экстремума функции г|з. Это дает нам линейную одно-
однородную систему
4*= о, -^ = о, ..., ^ = о- F)
дсх дс„ ' дсп К '
Как известно, для того чтобы однородная система F) имела
нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы опреде-
определитель ее Д (X), очевидно, зависящий от параметра X, был равен
нулю. Таким образом, для определения собственных значений полу-
получаем алгебраическое уравнение /2-й степени
А(Ь) = О, G)
которое называется характеристическим уравнением или уравнением
частот задачи Штурма—Лиувилля. Решив характеристическое урав-
уравнение G), находим первые п собственных значений Xv X%, ..., Хп.
Для определения коэффициентов си с2, ..., сп следует каждое
из полученных собственных значений XL подставить в систему F)

326 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
и найти соответствующие нетривиальные решения этой системы.
Собственные функции у = у(х, Xj) (y=l, 2, ..., я) определяются
из формулы E), где коэффициенты ci (i=l, 2, ..., я) имеют най-
найденные выше значения.
Заметим, что методом Ритца можно отыскать, разумеется при-
приближенно, лишь конечное число собственных значений задачи
Штурма — Лиувилля (как правило, такие задачи имеют бесконечное
множество собственных значений), причем чем больше используется
координатных функций, тем больше, вообще говоря, находим собст-
собственных значений и выше точность вычислений.
Пример 1. Методом Ритца определить первые два собственных зна-
значения и первые две собственные функции задачи Штурма—Лиувилля для
уравнения
у" + ку=0 (8)
при краевых условиях
{/@) = j/(l) = 0. (9)
Решение. Функционал D) для данного уравнения (8) имеет вид
'2-W)dx. A0)
Учитывая краевые условия (9), выбираем, например, следующие коор-
лпнатные функции:
и соответственно полагаем
у = сх(х — хг) + с2(х1— х*), (И)
где сх и сг — постоянные коэффициенты, не равные нулю одновременно
<с\\с\ > 0).
Подставляя выражение A1) в формулу A0), будем иметь
о
Отсюда, дифференцируя по параметрам с1 и с2 под знаком интеграла, получим
1
i ^Г=1 ^A ~2x) [Cl A-2*) + C2 B*-a**)]}-
-X(x—xi)[c1l,x~x*) + c2(x*-x*)\\dx =
1 , 1 \ , / 1 , 1
Bл:-За;2)]-Х (х*— х») [с, (х — *2) + с2 (х* — х*)\) dx =
( \ 2 \ . / 1 1

§ 8] МЕТОД РИТЦА ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 327
п dF dF
Приравнивая нулю производные -^— и ——, приходим к системе
ac дс
Tcill — Tfi+T5c2 '—Тй — и
Система A2) имеет ненулевое решение clt c3 тогда и только тогда,
когда определитель ее равен нулю. Приравнивая нулю определитель систе-
системы A2), получим характеристическое уравнение
¦(-¦М (-4)
= 0
или, после упрощений,
Отсюда находим приближенные собственные значения задачи
^=10, \2 = 42. A4)
Коэффициенты с1 и с2 определяем из системы A2). При k = k1='\O име-
имеем сх = с, с2 = 0. Следовательно, первая собственная функция нашей краевой
задачи в силу формулы A1) есть
Ji = c(x-j:3) (с ;?0).
Полагая Х = Я2 = 42 в системе A2), будем иметь
0, 16cj—8с2=0;
отсюда cl = c, с2==—2с. Подставляя последние выражения в формулу A1),
получаем вторую собственную функцию
В данном случае известно точное решение краевой задачи (8)—(9).
А именно, собственные значения имеют вид Х„ = я2ла (п= 1, 2, ...), а со-
соответствующие собственные функции определяются формулой
yn = c sin плх (п=1, 2, ...),
где с # 0. В частности, получаем ^1 = па = 9,87 и Х2 = 4л2 = 39,48. Таким
образом, из приближенных собственных значений A4) первое определено
примерно с относительной погрешностью 1,3%, а второе^с относительной
погрешностью 6,4%.

328 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
§ 9. Метод Ритца для задачи Дирихле
Будем искать решение уравнения Лапласа
Дц = 0 при (х, у) ? G A)
и
а|г =/(*, у), B)
где Г — простой замкнутый контур, ограничивающий конечную об-
область G, а функция f(x, у) непрерывна на Г. Согласно § 6 эта
краевая задача эквивалентна вариационной задаче для функцио-
функционала
в классе функций, имеющих непрерывные частные производные до
второго порядка включительно в замкнутой области G-f-Г и удов-
удовлетворяющих на границе Г краевому условию B). Построим конеч-
конечную систему линейно независимых функций (координатные функ-
функции)
ио(х, у), Ul{x, у), ..., ип(х, у) есB'(О+Г)
таких, что
«o(*. У)\г=/(х, у), и{(х, у)\г=0 A=1, 2, ..., п).
Тогда линейная комбинация
п
(р(лг, у)=ио(х, y)+*2lciui(x, у) D)
i— I
принадлежит классу допустимых функций при любых постоянных
clt c2, ...,сп. Формулу D) можно записать короче:
п
ф (х, у) = 2 ciui [х, у), D')
i—ci
где со = 1. Подставляя выражение D') в функционал C), получим

§ 9]
МЕТОД РИТЦА ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
329
Подберем коэффициенты сь с2, ..., сп так, чтобы функция
имела минимум. Для этого необходимо выполнение условий
дс,
или
где
причем
= Q F)
0=1, 2,
К, «il + сг К, иг\+ ..
[«о, «я] + сх [«1, и8] + ..
[«о. «„] + сх [«ъ к„] + •
[и„ u,\=\\ [ •—!.
1 JJ V дх дх
G
'=0
, .., я)
ди,- ди,\ , ,
^^L')dxdy,
F')
Из линейной системы F') определяются коэффициенты cuc2, . . .,сп.
Функция ф {х, у) с коэффициентами, определенными из системы
F'), представляет собой прибли-
приближенное решение задачи Дирихле.
Точность приближения зависит от
выбора координатных функций
uk (x, у) и от числа этих функ-
функций [3].
Для ознакомления с примене-
применением метода Ритца к более общим
краевым задачам для уравнений с
частными производными следует об-
обратиться к более подробным руко-
руководствам [1], [3].
Пример 1. Найти функцию «= Рис- 82.
=и (х, у), гармоническую в области
G: х>0, у > 0, х-\-у < 1 и удовлетворяющую на границе Г: я=0, (/ = 0,
х-\-у=1 (рис. 82) условию
и\г=х* + у\ (8)
Решение. Выберем следующую систему координатных функций!
ио(х, у)=хг-\-уг, ul(x, y)=xy(l—х — у),
1—х^у). (9)
0
и составим линейную комбинацию
(fix, У) =

330
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. V[
Легко проверить, что функция <р (х, у) удовлетворяет краевому условию (8)
при любых значениях постоянных сх, с2, с3.
Для составления системы F') подсчитываем коэффициенты при неизвест-
неизвестных сх, с2, са и свободные члены.
[и0, «!] = [«!, uQ]
[и0, и3] = [и3, ио]=
[«1,
[ult ий) = [иг, и1]=
[ия, «2]=
[u2, и3] = [«з. ua]=
[«3- "з]=
dx dy,
dx dy,
— 2x2(/ — 3xi/2)] dx di/,
Результаты вычислений приведены в таблице 74.
Таблица 74
Значения коэффициентов при неизвестных
/
1
2
з
1
30
1
90
1
90
[«1. Uj)
1
90"
1
252
]
252
[Uj. Uj]
1
52
3
1120
1
70
["a, Uj]
]
252
1
70
3
1120

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VI
331
Отсюда линейная система для определения коэффициентов запишется в виде
1 1 1 _ 1
90 Cl+~252~C2 + ~252 Са ~~30~ '
1 _, 3_ J_ _J_
1120 Ci+ 70 Сз~ 90 '
I 3
252
1
52"
1120
«3 =
1
90"'
A0)
Решив систему A0), находим
3031
997
s 3.0401;
с,= —^ = -0,0562.
Подставляя найденные значения величин clt c2, с3 в формулу (9), получаем
приближенное решение нашей задачи:
1— х— у) [3,0401— 0,0562 (* + «/)].
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VI
A] Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравне-
уравнений, ИЛ, 1953, гл. III и IV.
[2] Березин И. А. и Жидков Н. П., Методы вычислений, т. 2, Физмат-
гиз, 1959, гл. X.
[3] Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, Гостех-
издат, 1957, гл. III.

ГЛАВА VII
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Основные виды линейных интегральных уравнений
Под интегральным уравнением понимается уравнение, содержа-
содержащее неизвестную функцию у (х) под знаком определенного интеграла
[1] — [15]. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением линейных
интегральных уравнений, в которые неизвестная функция входит
лишь в первой степени (линейно).
Приведем некоторые наиболее часто встречающиеся типы инте-
интегральных уравнений. Уравнение вида
A)
где К(х, s) (ядро) и f (х) — известные функции, называется инте-
интегральным уравнением Фредгольма первого рода.
Уравнение вида
*
s)y(s)ds=f(x), B)
где X—числовой параметр, носит название интегрального уравнения
Фредгольма второго рода.
Параметр X вводится по следующим соображениям: при данном
значении X интегральное уравнение B) не всегда имеет решения.
Варьируя параметр X, можно добиться того, чтобы решение уравне-
уравнения B) существовало. Параметр X можно также ввести в левую
часть уравнения Фредгольма первого рода A).
Если в B) /[х) = 0, то получается однородное уравнение
ь
, s)y(s)ds, C)
допускающее нулевое (тривиальное) решение у = 0. Те значения па-
параметра X, при которых однородное интегральное уравнение C) имеет

§ 1] ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 333
нетривиальные решения, называются собственными значениями (соб-
(собственными числами) ядра К(х, s) или соответствующего уравнения
B), а отвечающие им ненулевые решения — собственными функция-
функциями. Основной результат теории следующий (теорема Фредгольма)
[10], [11]: 1) если X не есть собственное значение ядра К(х, s), го
соответствующее неоднородное интегральное уравнение Фредгольма
B) с регулярным ядром К(х, s) и непрерывным свободным членом
f(x) имеет единственное непрерывное решение у {х) (a sj х ^ Ь);
2) если же X есть собственное значение, то уравнение B) или не
имеет решений, или же допускает бесчисленное множество их.
В приложениях важную роль играют уравнения Фредгольма вто-
второго рода с симметрическим ядром К(х, s), т. е. таким, что
К(х, s) = K(s, х).
Симметрическое ядро обладает следующими свойствами (см., на-
например, [5], [11]):
1) для всякого симметрического ядра существует по меньшей
мере одно собственное значение;
2) все собственные значения симметрического ядра действительны;
3) собственные функции ср (х) и ty {х) симметрического ядра, соот-
соответствующие различным собственным значениям К и \x(X=?[i), орто-
ортогональны между собой на основном промежутке (а, Ь), т. е.
ь
С <р (х) г|з (*) dx = 0.
а
Пример 1. Пусть простой замкнутый кусочно-гладкий контур
x = l{t), «/ = 11@ @<:*<Г) (Г)
ограничивает конечную область G. Тогда функция и (х, у), дающая решение
соответствующей задачи Дирихле (гл. V, § 4), т. е. такая, что
u = / (t) при (x, у) ? Г
(I (?) — известная функция), может быть представлена в виде (см. [11], [16])
U (х, у) = ф U (f) -TT- d<.
г
где
и функция (х (/) удовлетворяет интегральному уравнению
г

334 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VU
ядро которого есть
В частности, например, для эллипса
x = acost, у = ft sin i
будем иметь
аЬ
' (a2 + ft2) —(a2 —62)cos(
В приложениях встречаются также интегральные уравнения вида
X
y(x)-%<\K(x,s)y(s)ds=f(x), E)
а
которые носят названия интегральных уравнений Вольтерра соот-
соответственно первого и второго рода. Вводя функцию
IK(x,s) при a^s^x,
' | 0 при s^>xt
уравнения Вольтерра D) и E) можно записать в виде соответствую-
соответствующих уравнений Фредгольма с ядром К* (х, s). Таким образом, теория
уравнений Вольтерра сводится к теории уравнений Фредгольма; однако
в некоторых случаях уравнения Вольтерра полезно изучать независимо.
Примером уравнения Вольтерра первого рода является обобщен-
обобщенное уравнение Абеля
С у (s) ds ,, . /r, ,. ,_.
\ , =/ (х) @ < a < 1) F)
J (•*—s)
о
где f(x) — известная непрерывно дифференцируемая функция. Реше-
Решение уравнения F) дается формулой (см. [2], [11])
0) Г fl'(s)ds ]
sincm П @)
в чем можно убедиться непосредственно.
Заметим, что если ядро К{х, s) и f(x) — непрерывно дифферен-
дифференцируемые функции, причем А"(я, х) Ф 0 при а^.х^.Ь, то уравне-
уравнение Вольтерра первого рода D) сводится к уравнению Вольтерра

§ 2] СВЯЗЬ МЕЖДУ ДИФФ. УРАВНЕНИЯМИ И УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРА 335
второго рода E). Действительно, дифференцируя уравнение D) по х%
будем иметь
X
К{х, х) у(х) + ^ К\ (х, s) у (s) ds =/' (х);
а
отсюда
х
у (х) +1 Кх (х, s) у (s) ds =/г (х) (а
а
где
Поэтому в дальнейшем мы не будем отдельно заниматься интеграль-
интегральными уравнениями Вольтерра первого рода.
К линейным интегральным уравнениям может быть приведено
большое количество задач математической физики.
В основном мы будем заниматься интегральным уравнением Фред-
гольма второго рода и частично уравнением Вольтерра второго рода
(для краткости в дальнейшем мы их будем именовать просто урав-
уравнениями Фредгольма и Вольтерра).
Основными проблемами здесь являются следующие:
1) нахождение приближенного или точного решения неоднород-
неоднородного интегрального уравнения при заданном значении параметра X;
2) нахождение собственных значений и соответствующих собствен-
собственных функций однородного интегрального уравнения.
§ 2. Связь между дифференциальными уравнениями
и уравнениями Вольтерра
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
^
A)
при начальных условиях
Ща) = А, и'(а) = В. B)
Полагая
S = </(•*), C)
после двукратного интегрирования получим
х
du

336 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАЕНЕНИЯ [ГЛ. VII
И
Изменяя порядок интегрирования в двойном интеграле, будем иметь
X S XX X X
^dt^y @ ds = j (* -1) у (i) dt^^ (x—s) у (s) ds.
at с а
Кроме того, из начальных условий B) при х — а находим С1 = В,
С2 ^А. Поэтому
х
f ^ D)
X
«(*)= Ux — s)y (s) ds + В (х — a) + A. E)
a
Подставляя выражения (З), D) и E) в дифференциальное уравне-
уравнение A), будем иметь интегральное уравнение Вольтерра
F)
где
/f(je, s)=p(x)+q(x){x —
F(x)=/(x)—Bp(x) — [B(x~a)
Зная функцию у (х), можно по формуле E) найти решение и (х)
и производную и' (х); таким образом, интегральное уравнение F)
включает в себя всю информацию, связанную с начальной задачей
(задачей Коши) для дифференциального уравнения A).
Аналогичный результат получается для линейного дифференциаль-
дифференциального уравнения л-го порядка [5].
Обратно, если ядро K(x,s) есть целый полином относительно s
степени п, т. е.
то путем последовательного дифференцирования интегрального урав-
уравнения F) мы придем к задаче Коши для некоторого линейного диф-
дифференциального уравнения.

§ 3] СВЯЗЬ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С УРАВНЕНИЕМ ФРЕДГОЛЬМА 337
Пример 1. Решить интегральное уравнение
X
B + х — s) y(s)ds = х\ G)
о
Последовательно продифференцировав два раза, будем иметь
2x, (8)
у"(х) + 2у' (х) + у(х) = 2. (9)
Из уравнений G) и (8) при х = 0 получаем начальные условия
у@) = 0, у'@) = 0.
Решая обычным приемом дифференциальное уравнение 9), находим
у(*) = 2 — 2е~хA+х).
§ 3. Связь линейной краевой задачи
с интегральным уравнением Фредгольма
Рассмотрим для самосопряженного дифференциального уравнения
второго порядка
L[y]==p(x)y" + p'(x),j'+q(x)y=f(x), A)
где р(х), р' (х), q(X), f{x) непрерывны на [а, Ь] и р (х) > 0 при
b, однородную краевую задачу (гл. IV, § 3)
Определение. Функция G(x,s) называется функцией Грина
(функцией влияния) [4], [11] краевой задачи A) — B), если выпол-
выполнены следующие условия:
1) G(х, s) определена и непрерывна в области а
2) Lx[G{x,s)]=0 при хфз;
3) Ta
4) G'x(s
Если функция Грина G (x, s) найдена, то решение краевой задачи
A) — B) дается формулой
й
y(x)=—lQ(x,s)f(s)ds, C)
а
что нетрудно проверить непосредственно. Можно доказать, что функ-
функция Грина G(x,s) симметрическая: G(x, s) = G (s, x).

338 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
Рассмотрим теперь краевую задачу Штурма — Лиувилля (гл. VI, §8)
(х)]у = О, D)
0, р(*)>0). E)
Интерпретируя Хр (х) у как свободный член, на основании фор-
формулы C) непосредственно приходим к однородному интегральному
уравнению Фредгольма
1>
y{x) = l'\jK(x,s)y(s)ds, F)
а
где
К(х, s) = G{x, s)p(s). G)
Собственные значения X задачи Штурма — Лиувилля, очевидно,
будут являться собственными значениями интегрального уравнения F).
Уравнение F) можно свести к интегральному уравнению с сим-
симметрическим ядром. Действительно полагая z(x) = y (x) ]/р (х) в силу
формул F) и G), будем иметь
ь
К* (х, s) z (s) ds,
где ядро К* {х, s) = G (x, s) Vp (x) V9 ($) симметрично. Следова-
Следовательно, все собственные значения X действительны.
§ 4. Метод последовательных приближении
Рассмотрим уравнение Фредгольма
где /(х) и К(х, s) непрерывны.
Будем искать решение в форме степенного ряда
СО
у(х)= 2 Гфя(*). B)
и = о
Подставляя выражение B) в интегральное уравнение A) и прирав-
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра К, будем
иметь
Уо(х)=/[х),
\ C)
С
ц>п(х)= ] К(х, s)yn_l(s)ds (л = 1, 2, ...).
а
Пусть \К{х, s)|<AJ и

§ 4] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 339
Из формул C) по индукции получаем \tyn(x)\s^.MnN(b — а)п.
Поэтому сходимость ряда B) будет обеспечена, если
п
Приняв
у (х) « Уа (х) = ? X*<?k (х),
* = о
мы получим приближенное решение интегрального уравнения A)
с погрешностью
Формула B) дает аналитическое относительно X решение уравнения
Фредгольма A) в окрестности точки Х = 0. Из формул C) вытекает,
что решение B) можно записать в виде
со Ь
в = 1 а
ИЛИ
й
а
где
со
1= 1
Коэффициенты Кп(х, 5), так называемые итерированные ядра,
могут быть последовательно найдены по формулам [11]
ь
Кп{х, s) = lK(xyi)Kn_1(t,s)dt (я=2, 3, ...)•
а
Функция R(x,s, X) называется резольвентой уравнения A) и
при малых | X | определяется степенным рядом F). Пользуясь анали-
аналитическим продолжением [17], резольвенту R(x,s>%) можно продол-
продолжить на всю комплексную плоскость параметра X, за исключением
собственных значений Xlt Х2, ... (особые точки), которые являются

340 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
полюсами резольвенты. Тогда формула E) дает решение интеграль-
интегрального уравнения A) при любом k=^=kk (k = \, 2, ...).
Рассмотрим теперь соответствующее уравнение Вольтерра
^s, G)
а
где а^.х^.Ь. Полагая
у(х)= 2 к"х\>п{х), (8)
аналогично предыдущему получим
х
Фо (*)=/(*), Ч>„(*) = \К(х, s)\\<n_l(s)ds (я=1, 2, ...)¦
а
Отсюда
ltWK=^' (« = 0,1,2,...), (9)
где
\К(х, s) | ^ М при a^x^b, a^Ls^.b
и
|/ (я) | < /V при а < д; < Ь.
Следовательно, ряд (8) сходится при любом к и дает единствен-
единственное решение уравнения G). Погрешность приближенного решения
fe=o
на основании оценок (9) дается формулой
en = \y(x)-Yn(x)\<^ Y, k\ L =
k=n+ i
Пример 1. Методом последовательных приближений найти прибли-
приближенное решение уравнения
Полагая

§ 5] РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ СУММ 341
имеем
Таким образом, в качестве первого приближения можно взять
}/j (х) — Х-\-
Здесь
Л) = тах .ц i , =0,1, Л'= max x — \.
Следовательно, ряд A0) сходится при \%\ < Q ] /[ _q\ =10.
В частности, при Я=1 точность решения на основании D) есть
Заметим, что неудобством метода последовательных приближе-
приближений является необходимость вычисления квадратур. Если интегралы
не вычисляются точно, то приходится прибегать к численным квад-
квадратурным формулам.
§ 5. Решение интегрального уравнения методом конечных сумм
Метод основывается на приближенном вычислении определенного
интеграла с помощью некоторой квадратурной формулы
F(x)dx=% AtF (*.) + R [F], i 1)
где xi (i=i, 2, ..., я) — абсциссы точек отрезка [a, b], A; (i' ==
— 1, 2, ..., я) — числовые коэффициенты, не зависящие от выбора
функции F(x), и R[F] — остаточный член (ошибка) формулы A).
и
Обычно Л,- > 0 и '^iAi = b— а,
i= i
Например, в случае равноотстоящих точек x! = aJr(i—\) h
(/=1, 2, ..., я), где h = (b — a)/(n—\), будем иметь (см. [18]):
1) для формулы прямоугольников:
Л, = А A=1, 2, ..., л-1), Л„ = 0;
2) для общей формулы трапеций:
Лх = Ап = — , Л2 = А3 = ... = Ли-1 = Л;

342 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VH
3) для общей формулы Симпсона при п — 2т-\-\:
Л - A ~h
А -А - -A -4h
А -А - -A 2h
Другие квадратурные формулы см. в [16], [18], [19].
Пусть теперь дано интегральное уравнение Фредгольма второго
рода
t
^, s)y(s)ds=f{x) (a^x<^b). B)
Выбирая точки х( ?[а, Ь] и вводя обозначения:
y(X[)=yh K(xh х/)=Кф f(Xt)=ft (i, j=\, 2, ..., n),
на основании формулы A) будем иметь
yi-'k'itA/Ki/y/ = fi + Ri> (' = 1,2 я), C)
где /?,- — соответствующие ошибки. Отбрасывая в системе C) вели-
величины Rt, для приближенных значений }'(- решения у (х) в узлах
х( (i = l, 2, ..., п) получим линейную алгебраическую систему
JW2^,V,=/, U=l, 2, .... я). D)
Вводя символ Кронекера
= | 0, если гфу,
"~\ 1, если 1=],
и учитывая, что
систему D) можем записать в виде
2(S,./-HK<7)K/ = A- (i = l, 2, ..., я). D')
Если
A(l) = det(bi/-'kAl.Ki/)^O, E)
то система D') имеет единственное решение Yh которое можно найти
методом Гаусса или другими методами, разработанными для решения
систем алгебраических линейных уравнений (см. например [18]).

§ 5] РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ СУММ 343
Найдя Yi (/=1, 2, ..., п), для решения у (х) получаем из
уравнения B) приближенное аналитическое выражение
^,К(х, xf)Yj. F)
Различные между собой корни Хъ Х2, ..., Хт (т^.п) алгебраиче-
алгебраического уравнения Д (к) = О представляют собой, вообще говоря, при-
приближения собственных значений ядра К(х, s). Если Y\k (i=l,
2, ...,«; k = 1,2, ..., т; /=l,...,pft) — соответствующие ненуле-
ненулевые решения однородной системы
/=0 (/ = 1, 2, .... я), G)
то собственные функции ядра приближенно определяются формулами
Фм(*) = Ь*2ЛД(*, xf)YJk (А=1, 2 »;Z = l,...,pft).
Оценка погрешности метода конечных сумм приведена в [16] и
[19]. Заметим, что этот метод дает хорошие результаты, если ядро
К(х, s) и правая часть f{x) достаточно гладкие функции. В про-
противном случае полезно предварительно преобразовать соответствую-
соответствующим образом интегральное уравнение (см. [19]).
Метод конечных сумм может быть применен также к интеграль-
интегральному уравнению Фредгольма первого рода
ь
, s)y(s)ds=f(x).
В этом случае приближенные значения Yi решения у (х) (а ^ х ^ Ь)
в узлах х{ (/=1, 2, ..., п) будут определяться из системы
Особенно просто применение метода конечных сумм для решения
интегрального уравнения Вольтерра второго рода
X
(х, s) у (s) ds = / (х) (a^x^b),
которое можно рассматривать как уравнение Фредгольма вто-
второго рода (см. § 1). Здесь К(у = 0 при j>i, и, следовательно,

344
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. VU
соответствующая система D) имеет вид
О)
Получилась линейная система с треугольной матрицей. Если
Х-ХА^цфО (/=1,2, ...,«), A0)
то из системы (9) последовательно находим:
= (Л +
^i) A -
=(/„+*¦
Условие A0) при данном к заведомо выполнено, если коэффи-
коэффициенты А; достаточно малы, чего всегда можно добиться.
Пример 1. Методом конечных сумм найти приближенное решение
интегрального уравнения
у(х)+ f xexsy (s)ds = ex.
о
A1)
Выберем узлы Jtj =0, лг2 = — , х3=1. Значения ядра К (х, s) = xexs и
правой части [ (х)=ех в соответствующих точках приведены в следующих
таблицах!
Таблица значений /С//
1/2
0,5000
0,6420
1,3592
1
1,6487
2,7183
Таблица значений /,¦
п
0
1
1/2
1,6487
1
2,7183

§ 6] МЕТОД ВЫРОЖДЕННЫХ ЯДЕР 345
Используя квадратурную формулу Симпсона (см. [18])
для определения приближенных значений К,- ((' = 1, 2, 3) решения у (х)
в узлах Xj получаем систему
У 1 = 1,
i 2,5080^2+1,3592^3)= 1,6487,
или, после упрощений,
0,2265У3= 1,5654, \ A2)
1,4531У3 = 2,5516. J
1,4280У2
1,0991К2+
Решая систему A2), находим: Ki = 1; Уг — 0,930, Ya= 1,053. Приближенное
решение можно выразить формулой
X
Y (х)=ех—?A+3,720е2 +1,053гх).
6
Заметим, что точное решение уравнения A1) есть у(х)=1, как легко
проверить непосредственно.
§ 6. Метод вырожденных ядер
Определение. Ядро К{х, s) называется вырожденным, если
оно может быть представлено в виде конечной суммы парных про-
произведений;
*(*, s)=2a,(x)p,.(s), A)
/=i
где функции а,-(л:), так же как и функции P,-(s) (i = \, 2, ,,.,n),
можно считать линейно независимыми.
Для таких ядер интегральное уравнение Фредгольма второго рода
ь
K(x, s)y(s)ds B)
решается весьма просто. Действительно, подставляя выражение A)
в уравнение B), будем иметь
^ciai(x), C)

346
где
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(i=\, 2, ..., п)
[ГЛ. VII
D)
— некоторые постоянные коэффициенты. Если в выражение D) под-
подставить формулу C), то для определения коэффициентов с,-
(г = 1, 2, ..., п) получим алгебраическую систему линейных урав-
уравнений
ь ь
ct=lh(s)f{s)ds + klfo(s) ^c,a,(s)ds A = 1, 2, ..., п)
a a j=i
ИЛИ
где
ь
ft = $ Р/
ds, г,-/ = S ai (*) P/
Систему E) можно записать в виде
(/=1, 2, .... л),
где 6,у — символ Кронекера.
Обозначим через А (к) определитель системы E'):
1 —kv,, —kv<,.
E')
и через A,-y(X) (i, y=l, 2, ..., л)—алгебраические дополнения
соответствующих элементов б,у — ку^( определителя А (к).
Если Д (к) Ф 0, то на основании правила Крамера [18] находим
Следовательно, в силу C) интегральное уравнение B) имеет
единственное решение

§ 6] МЕТОД ВЫРОЖДЕННЫХ ЯДЕР 347
Отсюда, подставляя вместо /, соответствующее выражение F) и за-
заменяя сумму интегралов интегралом суммы, получим
ь
где
п п
А (х, s, X) =2 2 а,, (х) р, (s) Д;.,. (X).
i = 1 / = 1
Из формулы (8) вытекает, что функция
'¦ = 1 /=1
есть резольвента интегрального уравнения B).
Собственные значения ядра К{х, s) определяются из уравнения
Д(Х)=0. A0)
Если Xk (Уг=1, 2, ...,/и; т^п) есть корень уравнения A0)
(очевидно, Xk^0), то соответствующие собственные функции <fk(x)
ядра /("(.к, s), т. е. нетривиальные решения однородного уравнения
ь
у{х)=\\к(х, s)y(s)ds,
а
будут иметь вид
где с*'—ненулевые решения линейной однородной системы
(8у-^/,-)сГ=0 (/=1,2, ...,п).
7 = 1
Если X = kk есть собственное значение ядра К(х, s), то неодно-
неоднородное уравнение B) или не имеет решений, или имеет бесконечно
много решений.
Пример 1. Решить уравнение
1
у{х) = х2 + Х jj (x + s)y(s)ds. A1)
-1
Ядро К{х, s) = *-)-s здесь, очевидно, вырожденное. Из уравнения A1)
получаем
A2)

348 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. VII
где
1 1
с1—\ y(s)ds, c2=\ sy(s)ds. A3)
Подставляя выражение A2) в формулы A3), будем иметь систему
2 2
Ci = y-|-2c2^, c2 = -^kc1; A4)
отсюда
" _ ~ЭХ
?i — i ¦» ?2 —
4
4 w
Следовательно, из формулы A2), если Я.2 ^ — , получаем решение
2Лд: +~ V
A5)
При ^=-г уравнение A1) решений не имеет.
Пример 2. Найти собственные значения, собственные функции
и резольвенту ядра К (х, s) = лг-j-s в области — 1<;л:<;1, — leSs<l.
На основании однородного уравнения
L
y(x) = 'k \ (л + s) у (s) ds
-1
имеем
где коэффициенты ct и с2 определяются из системы (ср. A4))
Приравнивая нулю определитель системы
1 — 2Х
Д(Х)= _2_х 1 , A8)
получим уравнение
V з V з
из которого находим собственные значения: A,L= и А.а = —-• Так
как ядро К (х, s) симметрическое:
К(х, s) = K(s, х),
то собственные значения \г и Х2 действительны.

§ 6] МЕТОД ВЫРОЖДЕННЫХ ЯДЕР 349
Из системы A7) имеем
~c\k) —
откуда
Следовательно, на основании A6) собственные функции суть
Ф, (дс) = и, (ОдЧ-О, Ф2(д:) = и2(->'г'3
где ик = 'Кк~сф> ^0 (/г=1, 2).
Собственные функции обычно нормируют, полагая
^ ф|(АГ) rfjC = 1 (ft = 1,2).
В нашем случае имеем
1
и%
Отсюда можно принять и,, = 1/2 (ft=l. 2), и, следовательно, нормированные
собственные функции суть
Из определителя A8) получаем соответствующие алгебраические
дополнения:
Ди(Х,)=1, Д1а (*,) = !¦*,, Д21(Я,)=2А,, Даа(Я,) = 1,
причем
Поэтому, учитывая, что
К (х, si =«! (л) pj (s) + a2 (х) р2 (s),
где <хх (х) = л:, pj(s)=l, a2(x)=l, p2(s) = s, на основании формулы (9) нахо-
находим резольвенту ядра:
R(x, s, М= ^ fje-f-2Us + -|-X,4
о
Решение любого неоднородного уравнения
1
(x+s)r/ (s)ds
— i

350 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [[Л. VII
g
при X2 ф — выражается формулой
P^-X+(x + s) + 2Xxs
y(x) = L(x) + X \ ¦ _ fAs)ds.
-1
Для приближенного решения общего интегрального уравнения
:(x,s)y(s)ds, A9)
где функции f(x) и К(х, s) для простоты будем считать непрерыв-
непрерывными, ядро К(х, s) заменяют близким к нему вырожденным ядром
Кт (х, s) = 2 ат (х) EИ (s).
Укажем несколько способов такой замены. Если ядро К(х, s)
аналитическое по х на отрезке [а, Ь], то в качестве вырожденного
ядра Кт (х, s) можно взять конечный отрезок ряда Тейлора:
где х0—некоторая точка отрезка [а, Ь]. Аналогичный прием можно
применить также, если К(х, s) аналитично по s на отрезке [а, Ь\.
Для построения вырожденного ядра можно также использовать
конечный отрезок двойного ряда Тейлора (см. [20]):
п п
Кт (х, s) = __]_ apq {x -xo)'(s-so)«,
Р=0 4=0
где
аК(х8^ (xy€[ab])
Пусть l = b—a. Непрерывное ядро К(х, s) допускает аппроксима-
аппроксимацию тригонометрическим полиномом периода 11 (см. [20]). Напри-
Например, можно положить
т (х, s) =i- ao(s) + J] ap '<*) cos^, B0)
p
p=i
где ap(s) (p = 0, 1,2, ...) — коэффициенты Фурье:
ь
ap(s) =^К (x,s) cos p-fdx. B1)
а

§ 6) МЕТОД ВЫРОЖДЕННЫХ ЯДЕР 351
Аналогичное разложение получается, если поменять ролями перемен-
переменные х и s. Можно также использовать конечный отрезок двойного
ряда Фурье. Полагая, например,
ap(s)^^ap0 + 2japr, C0S-T> (P = 0' l'2'
9=1
из формул B0) и B1) имеем
п п
Л'сП) (х, s)= -j а00 + у V ар0 cos ——(--j V ао„ cos T~
Р=1 9=1
где
4 f Г
О. (X
Наконец, полагая
Цг (/ = 0,1,2 л),
можно воспользоваться первым интерполяционным полиномом Нью-
Ньютона (см. [18]) по х:
п
Кт (х, s) = K (x0, s) + X 1'"'ll"^."(t"X"-l) ЬтК (аг0, *)-
Аналогично можно взять первый интерполяционный полином Нью-
Ньютона по 5.
Иногда целесообразно использовать интерполяционный полином
Ньютона для функции двух переменных [18]:
Km(x,s)=K{n)(x0, хо) +
LJ —ЫИг+ч х0) ... (х—хр_1)
где ха?[а, Ь].
Употребляются и другие приемы интерполирования и аппрокси-
аппроксимирования ядра K(X,s).
Если Кт (х, s) есть приближенное вырожденное ядро для
точного ядра К(х, s) и функция /п (х) также близка к f{x), ю

352 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
решение гп (х) интегрального уравнении
ds (я = 1,2, ...) B2)
можно рассматривать как приближение решения у (х) уравнения A9).
Как показали Л. В. Канторович и В. И. Крылов [16], справед-
справедлива следующая оценка погрешности: пусть
о
/„(*) |< б
и резольвента Rn(x,s,'k) для уравнения B2) такова, что
ь
Rn (х, s, X) | ds < Мп (к)
при a ^Z,x^by причем выполнено неравенство
д = \Х\г[\+\},\Л1п(Щ<\;
тогда уравнение A9) имеет единственное решение у (х) и
!*(*>- *. (*) I < ^"+1'^|/""(>-I + 6, B3)
где N^ max \/(х) \ на [а, Ь].
Из оценки B3) вытекает, что если Кт (х, s)ZlXK(x, *) и
/„ (х) ZX f{x) при п —* оо, причем ЛГП (Л,) ^Af (Я,)<4- °°i т0 ^п^) —*
Z^y(x) на [а, Ь].
Пример 3. Приближенно решить уравнение
</(s)ds=l. B4)
Пользуясь известным разложением, ядро К (х, s) = e~xis2 приближенно
заменяем вырожденным ядром
К™(х, s) = l—x42 + ~.
Отсюда вместо уравнения B4) получаем уравнение
(s)d2. B5)
Следовательно,
B6)

§ 7] МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ 353
где
l = Г г (*) Ле, с2 х= — Г хЧ (х) dx, с-л =  Г *4z (.v) d*. B7)
0 0 (I
На основании формул B6) и B7) имеем систему
1
16C
1,1 ,1
C2-~24"~24fl 160Cs 896Сз>
Решив систему B8), получим q = 0,9930; сг=—0,0833; с3 = 0,0007. Следо-
Следовательно,
у (*) = г(;е)= 1,9930 — 0,0833л:2+ 0,0007х4 fo<*<yV B9)
Оценку погрешности приближенного решения B9) можно произвести по
формуле B3), но это связано с громоздкими вычислениями.
§ 7. Метод коллокации
Рассмотрим интегральное уравнение
ь
K(x, s)y(s)ds-f(x) = 0. A)
Будем искать приближенное решение уравнения A) в виде функции
определенного вида
Уя = Ф(х, съ са> .... с„) B)
со свободными параметрами сг, са, ..., сп (неопределенные коэффи-
коэффициенты). Подставляя выражение B) в уравнение A), получим невязку
ь
, s)Yn(s)ds~f(x). .3)
Если у является точным решением, то, очевидно, невязка /?[t/] = 0.
Поэтому стараются подобрать параметры сг, с2, ..., с„ так, чтобы
невязка /?[УП] была в определенном смысле возможно малой. Мини-
Минимизировать невязку /?[КП] можно различными способами. Например,
используют приемы, аналогичные тем, которые применяются для
решения краевых задач дифференциальных уравнений (гл. IV,
§§ 6—8). Здесь и в дальнейших параграфах мы рассмотрим некото-
некоторые методы минимизации невязки /?[КП], применяемые на практике.
12 Б. П. Демидович и др.

354 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
Обычно для простоты выкладок берут функцию Уп, линейно завися-
зависящую от параметров cv с2, ..., сп. Найдя параметры cv c2, ..., сп,
получают приближенное решение B).
Отметим одно обстоятельство. Если невязка /?[^„] получилась
малой, то она близка к невязке /?[у] = 0, даваемой точным реше-
решением у. Но если два оператора #[К„] и R[y] имеют близкие значе-
значения, то отсюда, вообще говоря, не следует, что функции Уп и у
близки между собой в обычном смысле (например, в смысле равно-
равномерного приближений (гл. I, § 12)). Поэтому возникает математи-
математическая задача: по известной невязке /?[Vn] оценить погрешность
\у—Yn\ приближенного решения Yn. Эта трудная проблема связана
с глубокими теоремами функционального анализа (см., например, [16],
[22]), и мы ее оставим без рассмотрения, ограничившись лишь не-
некоторыми указаниями частного характера.
Другой математический вопрос, который здесь также не затраги-
затрагивается,— это вопрос сходимости Yn к точному решению у
при п—>¦ оо, т. е. выяснение условий, при которых имеет место
предельное равенство
Iim Yn = y. D)
п -» аз
Если справедливо равенство D), то данным методом решение у
можно найти с любой степенью точности, взяв достаточно
большое число параметров cv c2, ..., сп.
Перейдем теперь к изложению одного из конкретных методов
построения приближенного решения Yn.
Положим
Yn(x)=y0(x)+2lci4>i(x), E)
где фо(лг), Фх(л;), ..., ф„ (¦*)—известные функции (координатные
функции) и clt сг, ..., сп — неопределенные коэффициенты, причем
функции ф,- (х) (i = 1, 2, ..., п) линейно независимы. Заметим, что,
в частности, можно полагать фо(лг) = О. Подставляя выражение E)
в левую часть уравнения A), получим невязку
уп] = Фо (ж) + 2
и
-1\ К (х, s) [Фо (s) + 2 с,.ф,. (s)
ds
или
J2 crft (х, I), F)

§ 7} МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ 355
где
ь
<ро(лг, 1) = чо{х)-/(х) — Х\к[х, s)yo(s)ds,
Согласно методу коллокации [23] (ср. гл. IV, § 9) требуем,
чтобы невязка ^[^(л;)] обращалась в нуль в заданной системе
точек Xj (У=1, 2, ..., п) из отрезка [а, Ь] (точки коллокации),
т. е. полагаем, что
Я[^»М = 0 (У=1, 2, .... я),
где а < хх < л:2 < ... < хп_г < хп < й.
Отсюда на основании формулы F) для определения коэффициен-
коэффициентов с1, с2, ..., сп получаем алгебраическую линейную систему
уравнений
п
2 с,^,. (хр X) = -ф0 (л ., X) -; (/= 1, 2, ..., л). (8)
1 = 1
Если определитель системы (8) D(k) = det[tyi(xJ-, Х)]фО, то из
системы (8) можно однозначно определить величины с1, с2, ..., сп
и, следовательно, найти приближенное решение Yn(x) по формуле E).
Приравнивая нулю определитель D(K), получим уравнение
D(k)—- 0, из которого, вообще говоря, можно найти приближенные
значения Kk (k = 1, 2, .. ., п) первых собственных чисел ядра К (х, s).
Если положить f[x) = 0, фо(лг) = О, X = hk, то вместо системы (8)
будем иметь однородную систему
2 с \\( (Х], Kk) = 0 (у = 1, 2, .... я). (9)
i = i
Найдя ненулевые решения с' (i = \, 2, ..,, л) системы (9),
получим для ядра К{х, s) приближенные собственные функции
отвечающие его собственному значению Xk fa %k.
Пример 1. Методом коллокации решить уравнение
Положим Y (х) = с1-\-с1х.
12*

356 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл. VII
Подставляя это выражение в уравнение A0), получим невязку
1
R [Y ml = ?,*¦ arete —\-c
1 ъ х
Выбирая точки коллокации хх = 0, х2 = 1 и учитывая, что
1 / Г \
lim *arctg— = 0, lim хг In I l + _ ) =0
*->¦ о x *-> a \ x2j
Для определения коэффициентов сг и с2 будем иметь систему
0. р г> (\ г> I ( 1 I I м OV л
2 4 2 4
Отсюда получаем с2 = 0, сх=1. Таким образом,
К = 1. A1)
Найденное приближенное решение A1), как легко проверить, является
точным.
§ 8. Метод наименьших квадратов
Для уравнения
ь
R[y] = y(x) — X \K(x, s)y(s)ds—f(x) = 0, A)
а
аналогично методу коллокации (§ 7), полагаем
п
где ф0 {х), фх (х), .. ., Ф„ (х) —известные функции и с1У с2, .. ., с„ —
неопределенные коэффициенты, причем ф,- (х) (i=l, 2, ..., л) ли-
линейно независимы.
Подставляя B) в левую часть уравнения A), получим невязку
п
где г^0 (х, Ц и яр,- (лг, Я,) (/ = 1, 2, .... я) определяются формулами
G) § 7.
Согласно методу наименьших квадратов [16], [19], [24] (ср.
гл. IV, § 7) коэффициенты с,- (г = 1, 2, ..., я) отыскиваются из
условия минимума интеграла
ь ь
п
о (*. ь) + 2 c'1i)' ^;

§ 8] МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 357
Это требование приводит к алгебраической системе уравнений
%- = 0 G=1, 2, ..., л); E)
отсюда на основании D), дифференцируя по параметрам сг, с2, . . ., сп
под знаком интеграла, будем иметь
ь п
|ZЧdx=0
G=1, 2, ..., /2).
С помощью сокращенных обозначений
систему F) можно записать в виде нормальной системы способа
наименьших квадратов (гл. I, § 6):
Заметим, что если фо(х)^О, то гр0 (лет) =—f(x), и, следова-
следовательно,— (Ц,-, а|з0) = (ij),-, /) (г = 1, 2, ..., л). Так как (i|),., ^.) =
= (i|b, i)),), то матрица системы (8) симметрическая.
Вместо интегрального метода наименьших квадратов можно вос-
воспользоваться точечным способом наименьших квадратов (гл. I, § 3).
Метод наименьших квадратов применяется также для приближен-
приближенного нахождения собственных значений и собственных функций ядра
К(х, s), аналогично тому как это делается для метода коллока-
ции (§ 7). А именно, полагая /(д;)=0и(ро (х) = 0, откуда г))о (х)=0,
определяем приближенные значения собственных чисел из алгебраи-
алгебраического уравнения
[ %)] = 0. (9)
После этого приближенные собственные функции находятся из одно-
однородной системы (8), где вместо X подставлено соответствующее при-
приближенное значение.
Пример [. Методом наименьших квадратов найти приближенное
решение уравнения
1
" sh (x + s) у (s) ds. A0)

358 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
Для первого приближения полагаем Y = с1-\-сгх-\-х2. Отсюда
ф! (Л)=1, фй (*)=*, фо(х) = Х2.
Учитывая, что
1 1 1
\ sh (x+s) ds = a sh x, \ s sh (x+s) ds = b sh x, \ s2 sh (x-\-s) ds = c sh x,
-l -l -l
где a = 2 sh 1 = 2,3504; b=2e~1 = 0,7358; c = 6 sh 1 — 4 ch 1 =0,8788, на осно-
основании формул D) и G) из § 7 имеем:
-фх = 1 — ashx, t|J=x — bch x, г|зо=— cshx.
Далее находим:
^-lj =6,4935,
(^+l) =2,1896,
(^i. ts)=— 4(ae~1 + bsh 1)=— ве sh 1 = —3,4586,
(*i. to) = «c(S-^-l) = 1,6800,
№. i)'o)=-2ce-!=-0,6466.
Получаем систему для определения коэффициентов сх и с2:
6,4935Cl-3,4586c2= —1,6800; -3,4586^4-2,1896^ = 0,6466.
Отсюда получаем; сг— — 0,5423; с2=—0,5613. Таким образом,
У = ха —0,5613* —0,5423. A1)
Так как для уравнения A0) ядро
К (х, s) = sh (x + s) = sh x ch s+ch x sh s
вырожденное, то легко получить точное решение
# где
6 sh 1 — 4 ch I / sh2 \
Т17ЮТ~ = ~ P = al^ 1J=-O,5548.
Из сравнения формул A1) и A2) заключаем, что приближенное решение Y
близко к точному у, если | х | — малая величина. На концах х= ± 1 расхож-
расхождение | у — Y\ довольно значительно.
§ 9. Метод моментов
Пусть
ъ
==</(*)-Я $*¦(*, s)y{s)ds~/{x) = 0. A)
Аналогично предыдущему (§ 8), будем искать приближенное решение

§ 9] МЕТОД МОМЕНТОВ 359
уравнения A) в виде конечной суммы
Уп (х) =/(*) + % с.-ф,- (х) (/ = 1,2, ... я), B)
где ф,- (л) (i' = l, 2, ..., п)—некоторые известные линейно незави-
независимые функции (координатные функции) и съ с2, ..., сл — неопре-
неопределенные коэффициенты. Подставляя выражение B) в левую часть
уравнения A), получим невязку
7 [у s)9y(s)djf]_^f/C(Jt,*)/(s)ds. C)
/=l L a i a
Согласно методу моментов [16], [19], [24] коэффициенты c1-(i = l1
2, . .., п) определяются из условия ортогональности невязки ко
всем координатным функциям Ц>у{х), ф.2(л;), ..., фп(лг). Это даег
систему уравнений
[Y,,]ifi{x)dx = 0 (i = l, 2, ..., п)
или, в силу C),
?<7(а,7-^7>=^,- (/=1, 2, .... я), D)
где
ft ft Ь
««7 = S Ф< М f/ ^^ dX' Р<7 = \ dx I К (х> s) ^i ^) Ф/ W ds<
Если определитель системы D) D (k) = det (aiy- — ^-Р,-у) отличен от
нуля, то из этой системы можно однозначно определить коэффи-
коэффициенты сх, са, ..., сп. Тогда формула B) даст приближенное реше-
решение интегрального уравнения A). Из уравнения DCk)=Q прибли-
приближенно находятся собственные значения Хъ Х2, ...,кп ядра К{х, s).
Найдя ненулевые решения однородной линейной системы
S c.(a,7-\p,7) = 0 (i = l, 2/ ..., п),
7=1
легко построить (см. § 6) приближенные собственные функции ylk)x,
отвечающие данному собственному значению Xk. Заметим, что метод
моментов по идее совпадает с методом Галеркина (гл. IV, § 8).
Можно показать [16],[19], что метод моментов равносилен замене
ядра К{х, s) некоторым вырожденным ядром А4 (х, s). Поэтому

360 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
для приближенного решения Уп (х) имеется оценка погрешности
(см. [16], [19]), аналогичная приведенной выше (§ 6).
Пример 1. Найти первые два собственных значения интегрального
уравнения
1
R [у] е= у (х)-% J К (х, s) у (s) ds = O,
о
где
I s, если s*^x,
К(х, s)=\ E)
\ х, если s > х.
На основании E) имеем
R[y\ = y (х)-К ! ^ sy (s) ds+
Положим Y — c±x-\-сгх-. Тогда
Ортогонализируя невязку R [Y], будем иметь систему
1 1
или
Cl [{l-2)-T+^-
После упрощения получим систему
сх A20 — 48?i) + c8(90 — 35Я) = 0, >
d F30—245Х) + с2 E04 — 180Я) = 0. / '
Приравнивая пулю определитель системы F), получим уравнение доя
определения собственных значений:
120—48Л. 90 — 35Л.
D (k) ^
= 0.
630— 245Л 504 —180Х
Отсюда 65?i2— 1692?.+ 3780 = 0, или
X2—26,03А, + 58,15 = 0. G)
Из уравнения G) будем иметь
Ij =2,462; Х2 = 23,568.
Для сравнения укажем точные собственные значения;
Я1 = -у-=2,467 и Я2 = -^ = 22,206,

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VII 861
полученные из решения соответствующей краевой задачи:
= О, у@) = 0, у'(\)=0.
Таким образом, погрешность "Я,х равна примерно 0,2°/0, а \г — 6°/0.
В заключение заметим, что рассмотренные методы минимизации
невязки (§§ 7—9) применимы также к решению нелинейных инте-
интегральных уравнений. Имеются также другие методы решения инте-
интегральных уравнений, например метод Монте-Карло [25].
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VII
|1| Виарда Г., Интегральные уравнения, ГТТИ, 1933.
|2| Гурса Э., Курс математического анализа, т. III, ч. 2, ГТТИ, 1934,
гл. XXX-XXXIII.
[3] Г ю н т е р Н. М., Основы математической физики, ч. 1, Интегральные
уравнения, Кубуч, 1931.
[4| Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, т. I,
Гостехиздат, 1951, гл. III.
15] Ловитт У. В., Линейные интегральные уравнения, ГТТИ, 1933.
[6] М и х л и н С. Г., Интегральные уравнения, изд. 2, Гостехиздат, 1949.
|7] Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы математической физики, т. 1,
ИЛ, 1958, гл. 8.
[8] М у с х е л и ш в и л и Н. И., Сингулярные интегральные уравнения,
изд. 2, Физматгиз, 1962.
|9] М ю н ц Г. М., Интегральные уравнения, т. I, ГТТИ, 1934.
|10] Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений
Гостехиздат. 1951.
[11) Привалов И. И., Интегральные уравнения, ОНТИ, 1935.
[12] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 4, Гостехиздат,
1941, гл. II.
[13] Смирнов Н. С, Введение в теорию нелинейных интегральных урап-
нений, ОНТИ, 1936.
[14] Т рикоми Ф., Интегральные уравнения, ИЛ, 1960.
[15] Уиттекер Е. Т., Ватсон Г. Н., Курс современного анализа,
ГТТИ, 1933, ч. I, гл. 11.
[16] Канторович Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы выс-
высшего анализа, изд. 4, Физматгиз, 1962.
[17] М а р к у ш е в и ч А. И., Краткий курс теории аналитических функций,
изд. 2, «Наука», 1966, гл. IX.
[18] Демидов и ч Б. П., Марон И. А., Основы нычнслителыюй мате-
математики, изд. 3, «Наука», 1966, гл. VIII, XIV, XVI.
[19] Березин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, т. I, т. 11,
Физматгиз, 1961.
[20] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального ис-
исчислений, Гостехиздат, 1948—1949, т. II, гл. II, т. III, гл. XIX.
[21] Уиттекер Э., Робинсон Г., Математическая обработка резуль-
результатов наблюдений, ГТТИ, 1933, гл. X, XV.
[22] М и х л и н С. Г., Вариационные методы в математической физике,
Гостехиздат, 1957.
[23] Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных урав-
уравнений, ИЛ, 1958, гл. V.
[24] Положим Г. Н. и др., Математический практикум, Физматгиз,
1960, гл. 7.
[25] Бут Э. Д., Численные методы, Физматгиз, 1959, гл. XII.

362
ПРИЛОЖЕНИЕ [
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА
ДЛЯ я + 1 РАВНООТСТОЯЩИХ ТОЧЕК (Рк (t) = Рк @) Рк,
и = 5 F точек)
t
0
1
2
3
4
5
Pi U)
5
3
1
— 1
—3
—5
70
Р. @
5
1
—4
—4
— 1
5
84
5
—7
—4
4
7
—5
180
1
-3
2
2
-3
1
28
Р. С)
1
—5
10
-10
5
— 1
252
я = 6 G точек)
t
0
1
2
3
4
5
6
PiU)
3
2
1
0
]
—2
—3
28
Р, @
5
0
—3
—4
—3
0
5
84
PAt)
1
[
— 1
0
1
1
j
6
Pi (О
3
—7
1
6
1
—7
3
154
P. @
1
4
5
0
—5
4
— 1
84
0
1
2
3
4
5
6
7
2P2@
P, @
7
5
3
1
— 1
—3
-5
-7
168
и = 7
P, @
7
1
—3
—5
—5
—3
1
7
168
(8 точек)
Pa @
7
—5
—7
—3
3
7
5
-7
264
Pi@
7
— 13
—3
9
9
—3
— 13
7
616
P5 @
7
—23
17
15
— 15
— 17
23
-7
2184

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
и = 8 (9 точек)
363
/
0
1
2
3
4
5
6
7
8
4
3
2
1
0
— 1
—2
—3
—4
60
Р» (О
28
7
—8
— 17
—20
-17
-8
7
28
2772
?э U)
14
—7
— 13
—9
0
9
13
7
— 14
990
Р«(О
14
-21
— 11
9
18
9
— 11
—21
14
2002
Р. (О
4
-11
4
9
0
g
—4
11
—4
468
И = 9 A0 точек)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2?2(o
9
7
5
3
1
— 1
—3
—5
—7
—9
330
РАО
6
2
— 1
—3
—4
—4
—3
— 1
2
6
132
Pa С)
42
— 14
—35
—31
— 12
12
31
35
12
—42
8580
P..0
18
—22
-17
3
18
18
3
— 17
—22
18
2860
P.(O
6
— 14
1
11
6
—6
— 11
. j
14
—6
780
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Р, (Л
5
4
3
2
1
0
— 1
—2
—3
—4
-5
ПО
п=10 A1
Р„ @
15
6
— 1
—6
-9
-10
—9
—6
— 1
6
15
858
точек)
Ра (О
30
—6
—22
—23
— 14
0
14
23
22
6
—30
4290
Р4@
6
-6
—6
— 1
4
6
4
— 1
-6
—6
6
286
Ро(«
3
—6
— 1
4
4
0
—4
—4
1
6
—3
156

364 приложение и и ш
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ПЕРВЫЕ 10 ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА Рп(х)
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
X
1
1
-g-C5A-4 —30x2 + 3)
1 F3л-я- 70*3+15*)
О
^(гзи0 — 315x* + 105a-2 —5)
lo
j^D29x7 —693х5 + 315л;3 —35x)
-i- F435л8— 12 012x° + 6930л:4 — 1260л2 + 35)
128
•4-A2 155л9 —25 740л:7+18 018x5 —4620x3 +315л)
128
-i-D6 189jc10—109 395х8+ 90 090х6 —30 030х4 +3465ха — 63)
ПРИЛОЖЕНИЕ III
ПЕРВЫЕ 12 ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА Тп(х)
Т1(х) = х
2Г2(*) = 2л:2—1
4Т3(л:) = 4л:3 — Зл:
8Г4(х) = 8л:1 —
16Г5 (х)= 16хБ—
32Г0 (х) = 32х« —48л4 +18x2 — 1
64Г, (л-) = 64х7 — 112*5 + 56л:3 — 7х
128Г8 (х) = 128х8 —256л-0 + 160л4 —32^2+
9 —576л7 + 432х5—120лг3 +
»— 1280х8+1120л:«
1024Ги (л:)=1024х11 — 2816л« + 2816л:
8—3584л° + 840х4 — 72х2

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Альтернанс чебышевский 78
Аппроксимация квадратичная 22
— — интегральная 40
— — точечная 22
Аппроксимирующий полином 12, 22
Базисные функции 232
Вариационная задача 308
— — . метод Ритца 321
Вычислительные шаблоны, построение 266
Гармоника 50
Гармоническая функция 255. 256
Гармонический анализ 51
Граница сетки 272
Дифференциальное уравнение второго по-
порядка, приближенное решение 187, 189
— — — — самосопряженное 312
— —, конечно-разностный метод решения
151
— —, метод Адамса 156, 159, 160
— —, — — для системы 160
— —, — Крылова последовательных сбли-
сближений 164, 167
, — Милна 169, 170, 174
— —, — — для системы 174
— — — Ньютона — Канторовича 201
— —, — последовательных приближений
134, 137-, 138
— —, — — — для системы 138
— —, — Рунге— Кутта 151
— —, — — — для системы 152, 153
— —, — Чаплыгина 191
— —, — численного интегрирования 140
. — Эйлера 144, 145, 151
— —, методы решения основанные на при-
применении производных пысших порядков
181, 182, 183, 184, 186
— —, модификации метода Эйлера 147,
148, 151
— — обыкновенное, методы решения 127
— — — первого порядка 121
— —, оценка погрешности приближенного
решения 202
— —, решение с помощью рядов 128, 130,
132
— —, связь с уравнением Вольтерра 336
— —, усовершенствованный метод лома-
ломаных 147
— —, — — Эйлера — Коши 148, 149
Дифференциальное уравнение л-го поряд-
порядка, сведение к системе 122, 123
Задача вариационная 308
— Дирихле 254, 255, 320
— —, единственность 256
— —, корректность 256
— —, метод моделирования 270, 271
— —, — Монте-Карло 272, 274, 275
— —, — Ритца 329
— —, — сеток 261, 262, 269
— —, решение с помощью сеточного
электроинтегратора 271
— Коши 121, 122, 124, 249, 252
— — краевая, см. Краевая задача
— — общая 250
— Неймана 254
— о собственных значениях 215
— основная внешней баллистики 125
— смешанная 251, 252
— — корректно поставленная 252
— — некорректно поставленная 253
— трех тел 126
Интеграл Дирихле 320
Интегральная кривая 123
— поверхность 244
Интегральное уравнение 332
— — Вольтерра второго рода 334, 335
— — — первого рода 334
— — линейное 332
— — Фредгольма второго рода 332, 335
— однородное 332
первого рода 332
Интегральные уравнения, метод вырожден-
вырожденных ядер 345, 350
— —, — конечных сумм 341
Интерполяционный полином Лагранжа 13,
19
Ньютона 14
Интерполяция (интерполирование) 14, 23
— квадратичная 14
— линейная 14
— тригонометрическая 17
История блуждания 272
Итерированное ядро 339
Конечно-разностная схема неустойчивая 282
— — — устойчивая 281
Конечно-разностный оператор 279
Константа Липшица 121,. 124
Корректность смешанной задачи 253
Коэффициенты Фурье 46
— — полинома относительно системы орто-
ортогональных функций 30

366
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Коэффициенты Фурье тригонометриче-
тригонометрические 60
Краевая задача 254
— — внешняя, внутренняя 254
— — двухточечная простейшая 209
— — —, редукция к задаче Коши 217
— — для уравнения Лапласа 317
— — — — Пуассона 317
— — — — эллиптического типа 253
— — линейная 212, 213
— — — неоднородная, однородная 213
— ¦— —, сведение к вариационной задаче
312
— — —, связь с интегральным уравнением
Фредгольма 338
— —, метод Галеркина 238, 241
— —, — коллокации 232, 241
— —, — конечных разностей 219, 222,
223
— —, — наименьших квадратов 234, 235,
241
— —, — ортогональных проекций 242
— —, — подобластей 242
— —, — прогонки 224, 225, 226, 229
— —, — прямых 294, 297
— —, — сеток 261, 262, 269
— —, обобщенный метод Галеркина 242
— — общая для дифференциального урав-
уравнения 209
— — первая, вторая, третья 254
— — простейшая двухточечная 209
— — —, метод Ритца 322
— — смешанная 210, 254
— — —, условия устойчивости 282
— — Штурма—Лиувилля 324
— — — —, метод Ритца 325
Краевые условия 209, 247
— — двухточечные 213
— —¦ линейные 213
— — точечно разделенные 217
Лемма Чаплыгина об интегральных нера-
неравенствах 192
Линеал 305
Линейная зависимость переменных 82
— — функций 28
— независимость функций 28
Линейный дифференциальный опера-
оператор 306
Ломаная Эйлера 144
Метод Милна решения дифференциальных
уравнений 169, 170, 174
— моделирования для задачи Дирихле 271
— моментов для уравнения Фредгольма 359
— Монте-Карло для задачи Дирихле 272,
274, 275
— наименьших квадратов, см. Способ наи-
наименьших квадратов
— Ньютона — Канторовича для решения
задачи Коши 201
— общий определения параметров эмпири-
эмпирической формулы 115
— ортогональных проекций для краевых
задач 242
— подобластей для краевых задач 242
— последовательных приближений 134, 137,
138
— — — для интегральных уравнений 339,
340
— — — для краевых задач 224, 225, 226,
229
— — — для уравнения теплопроводности
285. 286
— прямых для уравнений эллиптическогв
типа 293, 297
— — — уравнения Пуассона 297
— Ритца для вариационной задачи 321
— — — задачи Дирихле 328
— — — — Штурма — Лиувилля 325
— — — простейшей краевой задачи 322
— Рунга — Кутта для решения дифферен-
дифференциальных уравнений 151, 152, 153
— — —, оценка погрешности 206
— сеток для задачи Дирихле 261, 262, 269
— — для уравнений гиперболического
типа 290
— средних для отыскания параметров эмпи-
эмпирической формулы 94
— Чаплыгина решения дифференциальных
уравнений 191
—¦ численного интегрирования дифферен-
дифференциальных уравнений 140
— Эйлера решения дифференциальных
уравнении 145, 147, 151
— — с итерационной обработкой ординат
149
— Эйлера—Коши усовершенствованный 148,
149
Многочлен — см. Полином
Множество расчетных точек связное 263
— функций линейное 305
Метод Адамса для дифференциальных урав-
уравнений 156, 159, 160
— —, оценка погрешности 206
— вариационный для краевых задач 309
— выбранных точек 93
— выравнивания 85, 88
— вырожденных ядер для интегральных
уравнений 345
— Галеркина для краевых задач 238, 241
— — обобщенный 242
— графический ломаных Эйлера 128
— коллокации для краевых задач 232, 241
— — — уравнения Фредгольма 354
¦— конечных разностей (метод сеток) 261
— — — для дифференциальных уравне-
уравнений обыкновенных 151
— — — — краевых задач 219, 222, 223
— — сумм для интегральных уравнений
341, 342, 343
•— Крылова последовательных сближений
164, 167
— ломаных усовершенствований 147
Начальная таблица 184
Начальные данные Коши 249
— условия 247
Начальный отрезок 157
Невязка 92, 238. 240
Неравенство Бесселя 47
Норма вектора 175
— функции 27, 44
Область задания оператора 305
— — функционала 304
— определения функционала 304
— распространения решения задачи Коши
251
Оператор 305
— дифференцирования 306
— Лапласа 247, 306
— линейный 306
— — дифференциальный 306
— положительный 307
— симметричный 307

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
367
Определитель Вандермонда 13
Ортогональная система функций 27
Ортогональность с весом 63
— системы интегрируемых функций 44
Ортогональные поликомы Чебышева, таб-
таблица 362
— функции 27
Ортонормированная система функций 27
Особые точки резольвенты 339
Остаточный член интерполяционного поли-
поликома Лагранжа 15
Огкломение абсолютное обобщенного поли-
полипома от функции 73
— среднее квадратичное функций 71
Оценка погрешности метода Адамса 206
— — — Рунге—Кутта 206
— — приближенного решения дифферен-
дифференциального уравнения 202
Ошибка аппроксимации 279
Погрешность метода 204
— текущая 204
Полином аппроксимирующий 12
— интерполяционный 13
— — Лагранжа 13, 15
— — Ньютона 14
— наилучшего равномерного приближе-
приближения 74
— наименее отклоняющийся от нуля 75
— — — от функции 74
— обобщенный 12
—, разложение по системе ортогональных
функций 29
— тригонометрический 12. 17
— Фурье 33
— — тригонометрический 50
— Чебышева, корни 68
— — ортогональный 34, 35
Полиномы Лежандра 56, 364
— —, производящая функция 60
— —. рекуррентная формула 61
— —, усиленное свойство ортогональности
59
— Чебышева 65, 75
— —, максимальное значение модуля 69
— — ортогональные 34, 35
— — — нормированные 35
— —, рекуррентные формулы 66
— —, свойство ортогональности 66
— —, экстремальное свойство 68
Порядок точности приближенного метода
204
Приближение интегральное 12
— равномерное функции обобщенным поли-
полиномом 73
— точечное 12
— функций, постановка задачи 12
Приближенное решение вариационной за-
задачи 321
— — дифференциальных уравнений, см.
Дифференциальное уравнение, метод
— — краевых задач, см. Краевая задача,
метод
Принцип максимума для гармонических
функции 255
— Рунге 205
Процесс усреднения Либмана 265. 266
Равенство Парсеваля 48
Расчетные точки 263
Резольвента уравнения Фредгольма 339
Решение системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений 123
— уравнения с частными производными 244
Ряд Фурье тригонометрический 51
Самосопряженный вид линейного диффе-
дифференциального уравнения 312
Сеточная область 261
Символ Кронекера 44
Система интегрируемых функций ортого-
ортогональная 44
— — — ортонормированная 44
— нормальная линейных уравнений 96
— обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений 122
— ортогональных полиномов Чебышева
нормированная 35
— — функций неполная 48
— — — полная 48
¦— уравнении метода прямых 295
— условных уравнений 116
— функций ортогональная 27
— — — с весом 63
— — ортонормированная 27
Скалярное произведение функций 307
Слой фиктивный 290
Случайное блуждание равномерное 272
Собственная функция 215
Собственное значение 215
Собственные значения (числа) задачи
Штурма — Лиувилля 324
— — интегрального уравнения 333
— решения задачи Штурма — Лиувилля
325
— функции задачи Штурма — Лиувилля
324
— — интегрального уравнения 333
Способ наименьших квадратов для краевых
задач 234. 235. 241
— — — для случая обобщенного поли-
полинома 25
— — — для уравнения Фредгольма 356
— — — для эмпирической формулы 96, 97
— — — интегральный 40
— — — точечный 22, 23, 24
Схема вычислений неустойчивая 206
_ _ устойчивая 206, 240
— неявная 286
— явная 279
Теорема Вейерштрасса аппроксимационная
74
— единственности тригонометрического по-
полинома 18
— Неймана 256
— о корнях полинома Лежандра 60
— — — — Чебышева 68
— о полипоме Чебышева 75
— о свойстве ортогональности полиномо»
Чебышева 66
— об ортогональности полиномов Лежандрл
57
— об экстремальных значениях полиномов
Чебышева 68
— существования и единственности поли-
полинома, обладающего минимальным от-
отклонением 75
— — — — решения задачи Коши 124
— Чебышева об альтернансе 77
Теоремы основные вариационного метода
решения краевой задачи 309, 310
— Фредгольма 333
Точки коллокации 233, 355

368
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Траектория частицы 272
Тригонометрический полином Фурье 50
— ряд Фурье 51
Узел внутренний 262
— граничный 263
— интерполирования 13
— первого, второго ряда 263
Узлы сетки соседние 262
Уклонения (невязки) 92, 93
Уравнение Абеля обобщенное 334
— волновое 246
— Вольтсрра первого, второго рода 334,
335
— —, метод конечных сумм 341, 343
— —, — последовательных приближений
340
— —. связь с дифференциальным уравне-
уравнением 336
— гиперболического типа, метод сеток 290
— интегральное, см. Интегральное урав-
уравнение
— колебаний струны 246
— — —, метод сеток 290, 292
— Лапласа 247, 306
— — в конечных разностях 257
— параболического типа, решение методом
сеток 278
— Пуассона 247, 297, 306
— —, метод прямых 297
— с частными производными вполне ли-
линейное 244
— — — — гиперболического типа 245
— — — —, классификация 245
— — — — параболического типа 245
— — — — смешанного типа 245
— — — — эллиптического типа 245
— теплопроводности 245
— —, решение методом прогонки 285, 289
— —, устойчивость конечно-разностной
схемы 281
•— фредгольма 332, 338, 345
— —, метод вырожденных ядер 345
— —, — коллокации 354
— —, — конечных сумм 342, 343
— — т — моментов 359
— - , — наименьших квадратов 356
— —, — последовательных приближении
338
— характеристик 246
— частот задачи Штурма — Лиувилля 325
— эллиптического типа, метод прямых 293,
207
Уравнения условные 116
Условие Липшица 121, 124
— полноты системы 48
— эллиптичности 294
Условия краевые 247
— начальные 121, 122, 124, 247
Формула Адамса зкстраполяционная 157
— горизонтальной строки 164
— ломаной строки первая, вторая 164
— Милна контрольная 172
— — первая, вторая 171
— наклонной строки 164
— Родрига 56
— типа Рунге—Кутта 152
— эмпирическая 80
Функции базисные 232
— координатные 328, 354
— линейно зависимые 28
— — независимые 28
— ортогональные 27
Функционал 304
— линейный 305
Функция влияния 337
— гармоническая 255, 256
— Грина 337
— допустимая 304, 305
— периодическая, интерполирование три-
тригонометрическим полиномом 17
Характеристики уравнения с частными про-
производными 246
Характеристическое уравнение задачи
Штурма — Лиувилля 325
— число 215
Ход метода прогонки обратный 225, 287
— прямой 225, 287
Чебышевский альтернанс 78
Эмпирическая формула, квадратичная (па-
(параболическая) зависимость 89, 91
— —, критерий прямолинейности ряда то-
точек 83
— —, линейная зависимость 82
— —, метод выбранных точек 93
— —, — выравнивания 85, 88
— —, — наименьших квадратов 86, 97
— —, — средних 94
— —, общий метод определения парамет-
параметров 115
— —, определение параметров 92, 93, 94, 96
— —, построение 80
— —, проверка пригодности 103
— — с двумя параметрами 101
— — с тремя параметрами 108, 109
— —, уточнение 112
Эмпирические формулы 102
— —, простейшие необходимые условия
102, 103
Ядро интегрального уравнения вырожден-
вырожденное 345
— — — симметричное 333
— итерированное 339