Что такое математическая логика - Калужнин Л.А.

Автор: Калужнин Л.А.

Теги: математика математическая логика

Год: 1964

Похожие

Элементы теории множеств и математической логики

Математическая логика

Введение в математическую логику.

Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. Пособие для учителей

Текст

Л. А. КАЛУЖНИН
**?}
*?}
ЧТО ТАКОЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА?
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1964

51:16
Kl*
УДК Б19.9Б
" АННОТАЦИЯ
Настоящая книга является популярным
изложением математической логики, приоб-
приобретающей все большее значение в связи с раз-
развитием автоматизации производственных
процессов. В отличие от имеющихся книг
по математической логике данная книга не
требует для своего понимания знаний, пре-
превосходящих школьный курс математики.
Книга рассчитана на инженеров и работников,
занимающихся вопросами автоматики. Она
также будет полезна всем, кто хочет ознако-
ознакомиться с основами математической логики.
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга популярно излагает основы математи-
математической логики. Необходимость такой книги вызвана тем,
что в настоящее время "все большее значение приобретает
автоматизация производственных процессов. Программа
КПСС прямо указывает на важность автоматизации для
создания материально-технической базы коммунизма. Ма-
Математическая логика является теоретической основой ки-
кибернетики, а эта последняя в свою очередь применяется
для решения проблем автоматизации.
Несмотря на важность математической логики, в на-
нашей стране почти нет книг, излагающих основы этой нау-
науки. Имеющиеся у нас книги по математической логике
рассчитаны на читателя, достаточно математически под-
подготовленного. Между тем необходимо создать такую кни-
книгу, которая давала бы представление о математической
логике и в то же время не требовала бы для своего пони-
понимания большего, чем школьный курс математики. Данная
книга, по-моему, решает эту задачу.
Конечно, в рамках данной книги невозможно исчер-
исчерпывающе ответить на вопрос: что такое математическая
логика? Но мне кажется, что, прочтя данную книгу,
читатель сможет составить себе некоторое представление
о том, чем занимается эта наука, и о проблемах, возни-
возникающих в ней.
Книга состоит из трех глав. В главе I строится ло-
логика высказываний как теория булевых функций, т. е.
функций, аргументы которых принимают два значения —
«истинно» и «ложно», и которые сами принимают эти же
два значения. В этой главе показано также применение
логики высказываний в теории автоматов и в теории ре-
лейно-контактных- схем. В главе II рассматриваются

тождественно истинные формулы логики высказываний. В-
главе III излагается логика предикатов, являющаяся бо-
более глубокой областью логики. Естественно, что под-
подробное рассмотрение логики предикатов в рамках неболь-
небольшой популярной книги невозможно; поэтому основное
внимание уделено операциям логики предикатов (в част-
частности, кванторам), а также применению логики предика-
предикатов в силлогистике Аристотеля и для формализации мате-
математических теорий.
В заключение приведен очерк развития исследований
по основаниям математики. Разумеется, он не претендует
на полноту, но, по-видимому, представляет интерес не .
только для впервые знакомящихся с математической ло-
логикой, но и для тех, кто владеет основами этой науки.
В конце книги читатель найдет список литературы,
которая позволит ему глубже ознакомиться с современ-
современными достижениями в области математической логики.
Большинство из указанных в этом списке книг и статей
достаточно трудны для неподготовленного читателя и
потребуют от него упорной работы.
Автор

ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время мы являемся свидетелями
небывалого роста науки. На наших глазах формируются
новые области знания, а уже существующие научные ди-
дисциплины распространяют свое влияние и находят себе
применение при решении проблем, далеких от тех задач,
из которых они возникли. Еще очень недавно многие мыс-
мыслители выражали опасение, что развитие науки идет по
пути все большей и большей специализации, вследствие
чего возникает опасность все большего и большего разоб-
разобщения характерных для разных наук принципов и метЪ-
дов научных исследований. Однако за последние два деся-
десятилетия мы явно наблюдаем также и противоположную
тенденцию: все больший интерес привлекают те направ-
направления, которые вскрывают общее в науках, на первый
взгляд далеких друг от друга, служа тем самым делу
их сближения. Дальнейшее развитие этой тенденции сулит
в недалеком будущем новые небывалые успехи как в об-
области чистой, так ив области прикладной науки. Особое
место в этой связи играет новая область знания —- ки-
кибернетика, к которой примыкает ряд современных разде-
разделов математики: теория информации, теория игр, иссле-
дование^ операций, математическая статистика, матема-
математическая, логика и др.
Идеи кибернетики — науки о преобразовании инфор-
информации для целей управления сложными системами — при-
приобретают сейчас исключительное значение по двум при-
причинам1). Во-первых, принципы кибернетики применимы
*) Мы не собираемся в данной книге подробно останавливаться
на рассмотрении основных принципов и применений кибернетики
и отсылаем читателя к обширной литературе, появившейся в пос-
последние годы и трактующей этот комплекс вопросов.

в одинаковой мере к самым различным разделам науки-
и техники: к биологии, математике, медицине, лингвисти-
лингвистике, химии, педагогике, экономике, юриспруденции, тео-
теории автоматизации, телеуправления и т. д. В этом смысле
кибернетика лежит в основе тенденций синтеза научных
знаний. Во-вторых, созданные и создаваемые на базе
радиоэлектронной техники кибернетические машины яв-
являются мощным инструментом, впервые в развитии чело-
человечества позволяющим с помощью технических приспо-
приспособлений осуществлять процессы,' считавшиеся до сих
пор уделом исключительно умственной деятельности че-
человека.
XIX в. и первая половина XX в. знаменуются широ-
широким внедрением сперва паровых, а затем электрических
Машин в процесс производства материальных благ для
человеческого общества. Это явление зачастую называют
технической революцией: машины, создаваемые на базе
использования физических сил природы, во много раз
приумножили физические силы человека и тем самым во
много раз увеличили производительность труда.
. Всем внимательно наблюдающим сегодняшнее разви-
развитие науки и техники вполне ясно, что во второй половине
XX в. мы находимся на начальном этапе новой, второй
технической революции. Ее результатом будет усиление
умственных способностей человека на базе кибернети-
кибернетической техники. Уже сейчас ясно, что значение этой вто-
второй научно-технической революции для развития чело-
человеческого общества будет еще больше, чем первой.
Коммунистическая партия и Советское правительст-
правительство правильно подметили эту тенденцию и всемерно ее
поощряют. Новый большой скачок в увеличении произво-
производительности труда, который ожидается от развернутого
и широкого применения кибернетической науки и тех-
техники, является одной из необходимых предпосылок для
создания изобилия материальных благ в грядущем ком-
коммунистическом обществе.
Уже сейчас мы наблюдаем возрастающий интерес к
теоретическим основам кибернетики среди представите-
представителей самых различных отраслей человеческой деятельно-
деятельности и знания. Нужно всячески приветствовать этот инте-
интерес и стремиться познакомить широкие круги советского
общества с теми пока малоизвестными разделами науки,
которые здесь особенно важны. К ним не в последнюю оче-

редь относится математическая логика — тема предлага-
предлагаемой книги.
Что такое математическая логика? Как и из каких за-
задач она возникла? Каких она достигла результатов? Ка-
Каково современное состояние этой науки? Каковы даль-
дальнейшие перспективы ее развития? В нашей небольшой
книге мы постараемся частично ответить на эти вопросы.
Сделать это в популярной форме в настоящее время срав-
сравнительно трудно. Дело в том, что до самого последнего
времени математическая логика была уделом очень уз-
узкого круга специалистов-математиков и развивалась для
целей исследования оснований математики; никакого опыта
в популярном изложении основ этой науки пока нет.
С другой стороны, объем достигнутых результатов, идей
и методов здесь довольно велик и требует для своего
правильного понимания серьезной математической под-
подготовки. Поэтому то немногое, что будет здесь сказано
о математической логике, принадлежит к самым элемен-
элементарным ее разделам и относится ко всей этой науке при-
приблизительно так, как элементарная школьная математика
к разделам высшей математики. Но нам кажется, что
знание и правильное понимание и этих элементарных
разделов достаточно важно и полезно.

ГЛАВА П ЕРВАЯ
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
§ 1. Элементы логики высказываний
Для того чтобы составить хотя бы приблизи-
приблизительное представление о какой-нибудь области знаний,
недостаточно сказать, как и почему эта область возникла.
Необходимо познакомиться с некоторыми разделами этой .
области. Только после этого можно уяснить себе ее цели,
задачи и трудности, возникающие на пути их решения.
Мы собираемся поэтому рассказать читателю о несколь-
нескольких разделах математической логики. Естественно, что
такое ознакомление следует начинать с самых элемен-
элементарных разделов. Поэтому мы и начнем с изложения
простейшей главы — логики высказываний. Логика
высказываний лежит в основе всех других разделов
математической логики и необходима для их пони-
понимания.
Логика высказываний строится так же, как и много-
многочисленные математические теории. В качестве основных
понятий берется некоторый класс объектов, а также не-
некоторые свойства, отношения и операции над этими объек-
объектами. Эти основные понятия рассматриваются как исход-
исходные, не требующие внутри самой теории какого-либо
определения. С другой стороны, они выбираются не
произвольным образом, а так, чтобы сортветствовать тому
внематематическому содержанию, которое должна опи-
описывать математическая теория. Основные понятия теории
обычно поясняются на примерах.
Основным объектом изучения логики высказываний
служат простые высказывания, например,
1) «Число 100 делится на 4»; ;
2) «Число 5 больше числа 3»;
8

3) «Число 17 делится на %»;
4) «Число 30 больше числа 70»;
5) «Не все учащиеся хорошо учатся»',
6) «Луна больше Земли* и т. д.
Из простых высказываний путем некоторого числа
логических операций можно строить сложные выска-
высказывания. Этим логическим операциям соответствуют
в обычной речи такие выражения, как «и», «или»,
«если,..., то», «не» и др. Например, из простых выска-
высказываний:
A) «Радиостанция работает*,
B) «Наш радиоприемник включен»,
C) «Наш радиоприемник настроен на волну радио-
радиостанции»,
D) «Мы находимся у радиоприемника»,
E) «Мы слушаем радиопередачу»
можно построить сложное высказывание:
F) «(Радиостанция работает) и {наш радиоприемник
включен) и {наш приемник настроен на волну радиостан-
радиостанции) и {мы находимся у радиоприемника) и {мы слушаем
радиопередачу)».
Приведем другие примеры образования сложных вы-
высказываний из простых.
Из простых высказываний:
«В бензоколонке шофер может получить бензин»
и «В бензоколонке шофер может получить, автол»
можно составить сложное высказывание:
«(В бензоколонке шофер может получить бензин) или (в
бензоколонке шофер может получить автол)».
Из простого высказывания
«5 делит 7»
мы можем с помощью частицы те» составить высказыва-
высказывание — его естественно считать сложным — «5 не делит 7».
Для большей ясности этому сложному высказыванию
естественно придать вид:
«Неверно, что E делит 7)».
На первых ступенях изучения логики высказыва-
высказываний обычно не обращают внимания на содержание прос-
простых высказываний, а интересуются лишь их истинно-
истинностью или ложностью. Так, очевидно, приведенные выше

высказывания 1), 2), 5) являются истинными, а 3), 4),'
6) — ложными.
Заметим, что о высказываниях, употребляемых нами
в повседневной жизни, зачастую трудно бывает сказать,
являются ли они истинными или ложными. Так, например,
простое высказывание типа «Расстояние от Земли до
Солнца равно 150 000 000 км» некоторые будут считать
ложным, так как, конечно, указанная цифра не точна
(да, кроме того, расстояние от" Земли до Солнца не по-
постоянно, а меняется в некоторых пределах). Другие соч-
сочтут это высказывание истинным в связи с тем, что цифру
150 000 000 они с самого начала будут рассматривать
как некоторое приближение, вполне приемлемое на. прак-
практике. Бывают и такие высказывания, об истинности или
ложности которых нельзя говорить без предварительного
уточнения этих высказываний. Так, высказывание типа
«Сегодня хорошая погода» может быть и истинным, и
ложным в зависимости от того, где и когда оно делается.
Для того чтобы придать этому высказыванию вполне Оп-
Определенное значение истинности, нужно установить место
и время, в которые оно делается.
Всякая точная наука, в данном случае математичес-
математическая логика, абстрагируется от многих побочных явлений
в изучаемых ею объектах и рассматривает в некоторой
мере идеализированную картину. Напомним, что геомет-
геометрия рассматривает точки, лишенные геометрических раз-
размеров, и линии, лишенные толщины.
, Как уже указывалось, на первых ступенях изучения
логики высказываний обычно считают, что все простые
высказывания, входящие в рассмотрение, обладают в
точности одним из двух свойств: быть истинным или
быть ложным. Математические утверждения как раз
ббладают этим свойством, итак как до сих пор математи-
математическая логика изучала в первую очередь логику матема-
математических доказательств, то такая абстракция особенно
оправдана.
Ясно, что сложные высказывания, получаемые из прос-
простых, будут опять истинными или ложными, причем их
истинность или ложность — в дальнейшем мы будем
говорить <шх значение истинности* — зависит при этом
только от истинности или ложности образующих простых
высказываний. Основная задача 'логики высказываний
состоит в изучении этой зависимости.
10

§ 2. Логические операции
Обсудим более подробно логические операции,
позволяющие строить сложные высказывания из- простых.
В обычной речи логические операции часто называют
логическими связками. Для изучения логических операций
полезно пользоваться некоторой системой символичес-
символических обозначений; эти обозначения позволяют делать
рассуждения более строгими. Условимся обозначать про-
простые высказывания малыми буквами латинского алфавита:
а, Ь, с,... и т. д. Значения истинности будем сокращенно
обозначать русскими буквами и для «истинно» и л для
«ложно».
Простейшей операцией логики высказываний являет-
является операция отрицания, соответствующая в обычном язы-
языке частице «не». Эту операцию (логическую связку) мы
обозначим знаком '). Если а — некоторое высказывание,
например, «пять делит семь», то ~]а —'новое, слож-
сложное высказывание «пять не делит семь» (или «.неверно, что
пять делит семь»). Высказывание ~\а читается так: «не а».
Легко видеть, что если а — истинное высказывание,
то ~[а будет ложным высказыванием, и наоборот, если а
ложно, то "(а истинно. Этот факт кладется в основу опре-
определения логической операции ~[. Действие операции от-
отрицания представим в виде следующей таблицы
истинности для отрицания:
а
и
л
~\а
л
и
Именно эту таблицу мы и примем в качестве опреде-
определения операции отрицания. Подобными таблицами мы
будем пользоваться и при определении других логичес-
логических операций. Они называются таблицами (или матри-
матрицами) истинности. Их употребление очень удобно, и
*) Зачастую высказывание ~]а обозначается также а. Такое обо-
обозначение особенно принято в Электротехнике, где эта операция на-
называется инверсией.
11

они широко применяются во многих разделах математи-
математической логики. i
В качестве второй операции рассмотрим операцию
конъюнкции, соответствующую союзу «и». Обозначается
конъюнкция символом «Л», который ставится между
высказываниями. Если а и Ь —высказывания, тоа/\Ь —
сложное высказывание (читается «а и 6»)'). При этом дейст-
действие операции конъюнкции определяется так: сложное
высказывание а/\Ь истинно в том и только в том случае,
если оба высказывания а и Ь имеют значение и, т. е. и/\и =
= и, но и/\л »= л; л/\и = л; л/\л = л. Как видно, это
определение вполне соответствует смыслу союза «и».
Действительно, простые высказывания «б делится на 3»,
«10 больше, чем 5» истинны, а «3 делится на 7», «3 больше,
чем 7» — ложны, поэтому сложное высказывание
«б делится на 3 и 10 больше, чем 5»
будет истинным, а сложные высказывания
«6 делится на 3 и 3 больше, чем 7»,
«3 делится на 7 и 10 больше, чем 5»,
«3 делится на 7 и 3 больше, чем 7»
являются ложными.
Указанные правила действия для операции конъюнк-
конъюнкции сводятся в следующую таблицу истинности
для конъюнкции:
и
л
и
и
л
л
л
л
Третья операция, которая употребляется в логике
высказываний, соответствует союзу «или». Но здесь сразу
следует отметить то обстоятельство, что союз «или» имеет
в русском языке (и во многих других европейских языках)
два различных значения. В одном случае мы говорим об
исключающем «.или», в другом — о неисключающем шли».
Разница состоит в следующем. Если мы имеем два выска-
х) Операция конъюнкции называется иногда, особенно в при-
приложениях математической логики, логическим, умножением и обозна-
обозначается тогда, как в алгебре и в арифметике, знаком «•» или вообще
никак не обозначается.
12

зывания аи b и оба высказывания ложны, то, несомненно,
сложное высказывание «а или bt> следует считать ложным.
Если а истинно, а Ь ложно (или а ложно, а Ь истинно),
то также понятно, что ш или 6» следует рассматривать
как истинное; это вполне соответствует смыслу слова
«или» в русском языке. Но как следует рассматривать
сложное высказывание «а или 6», если а и Ь оба истинны:
как истинное или как ложное? Например, «6 делится на 3»
и «3 меньше, чем 6» — два истинных высказывания.
Считать ли сложное высказывание «6 делится на 3 или 3
меньше, чем 6» истинным или ложным? В обычном языке
«или» понимается иногда в одном, иногда в другом смысле.
В первом случае, когда указанное высказывание считает-
считается истинным, мы говорим, что мы имеем дело с неисклю-
чающим «или», во втором случае — с исключающим.
Логическая операция, соответствующая неисключающему
«или», в логике высказываний называется дизъюнкцией.
Мы ее будем обозначать знаком «V»- Из вышеприведенных
рассмотрений мы имеем для нее следующее определение:
Если аи Ь — два высказывания, то их дизъюнкция a\Jb
(читается «а или Ы) — сложное высказывание, которое
ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказыва-
высказывания а и Ь. Согласно этому определению мы имеем следую-
следующую таблицу истинности для операции
дизъюнкции:
и
А
и
и
и
Л
и
А
Примеры дизъюнкции: из высказываний «5 больше 3»
и «2 больше 3» образуется сложное высказывание «5 боль-
больше 3 или 2 больше 3», из высказываний «2 меньше 1» и
«3 меньше 2» образуется сложное высказывание «2 меньше
1 или 3 меньше 2»').
х) В применениях дизъюнкцию называют обыкновенно логиче-
логическим сложением, и вместо знака V употребляют иногда знак +.
Часто знаком + обозначается операция, соответствующая
исключающему «или», см. сноску на стр. 35.
13

Рассмотренные операции отрицания, конъюнкции,,
дизъюнкции (инверсии, логического умножения и логи-
логического сложения) называются булевыми операциями.
Они являются основными в применениях логики высказы-
высказываний в электронике, автоматике и теории вычислитель-
вычислительных устройств.
Приведем для полноты таблицу истинности
для логической операции, соответствующей
исключающему «или»:
а \
и
л
и
л
и
л
и
л
Одной из важнейших операций логики высказываний
является импликация. В качестве знака для этой операции
мы будем употреблять символ «->-».
Импликация определяется следующим образом:
Если а и Ь —два высказывания, то а^Ь Читается
ш имплицирует 6») — сложное высказывание, которое
истинно всегда, кроме того случая, когда а истинно, а Ь
ложно.
Тем самым операция импликации описывается следую-
следующей таблицей истинности для импликации:
\ь
а \
и
л
и
и
и
л
л.
и
В импликации а ^>-Ь первый член а называется антецеден-
антецедентом, второй Ь — консеквентом.
Операция-»-до некоторой степени соответствует союзу
«если..., то ...». Но следует сказатьр том, что это соответ-
соответствие весьма приблизительно.
14

Если мы будем рассматривать импликацию как соот-
соответствие союзу «если .... то...», то согласно определению
имеем, например,
«Если дважды два — чеЫыре, то трижды три —
девять» истинно;
«Если дважды два — пять, то трижды три — девяти»
истинно;
«Если дважды два — пять, то трижды три — восемь»
истинно и только
«Если дважды два — четыре, то трижды три восемь»
ложно.
Это еще согласуется в какой-то мере с общепринятым
пониманием союза «если .... то...».
Но возьмем для построения сложных высказываний
«а ->- 6» такие простые высказывания:
«Сократ — грек» — и;
«Наполеон — грек» — л;
«Дважды два — четыре» — и;
«Дважды два — пять» — л.
Интерпретируя импликацию как союз «если ..., то...»,
получаем такие утверждения:
«Если Сократ — грек, то дважды два четыре» истинно;
«Если Наполеон — грек, то дважды два — четыре»
истинно;
«Если Наполеон — грек, то дважды два — пять» истинно;
«Если Сократ — грек, то дважды два — пять» ложно.
Как видно, эти утверждения совсем не соответствуют
привычному употреблению союза «если..., то...». Причина
такого несоответствия в основном следующая. Как это
часто происходит в обычной речи, некоторые слова
(а также словосочетания и целые предложения) имеют не
одно, а много различных значений, зависящих от того,
в какой связи данное языковое выражение употребля-
употребляется. Так это происходит и с союзом «если ..., то...».
Анализом его различных значений занимались крупней-
крупнейшие логики со времен Древней Греции и по сей день. Мы
не имеем возможности в рамках нашей книги останавли-
останавливаться на этом слишком подробно1).
Отметим только для примера такие употребления вы-
выражения «если а, то Ь».
х) Подробнее о связи импликации с союзом «если..., то...»
и о различных видах импликации можно узнать из статьи «Импли-
«Импликация», напечатанной во II томе «Философской энциклопедии».
- 15

а) «Если мы нагреваем некоторое тело, то оно (атотелфь!\
увеличивается в объеме». ' ("^
Здесь «если .... то..л описывает причинно-следствен» ,'
ную связь между а и Ь («Мы нагреваем тело-» — причина,",?
«тело увеличивается в объеме» — следствие). .. ' > ".
б) Несколько иной смысл союз «если .... то...» имеет •
в следующем предложении:
«(Если все люди смертны и Сократ человек), то (Сократ
смертен)»-.
Здесь «если ..., то...» выражает отношение логичес-
логического следования Ь из а: «Сократ — смертен» логически
следует из посылки
«Все люди смертны и Сократ человек».
Несмотря на' существенную разницу в понимании
смысла союза «если .... то...» в случае а) (причинно-след-
(причинно-следственная связь) и б) (логическое следование), и в том и в
другом случае в содержании «если .... то...» имеется
одна общая черта: союз указывает на некоторую связь
между содержанием высказывания а и высказыва-
высказывания Ь.
Логика высказываний обычно отвлекается от содержа-
содержания простых высказываний и рассматривает только их
значения истинности. Тем самым логические опера-
операции обычно не выражают связи между содержанием вы-
высказываний. Логическая операция, образующая из
двух высказываний а и Ь сложное .высказывание,
определяет, таким образом, только отношение между
значениями истинности высказываний а и Ь и значе-
значением истинности составленного из них сложного вы-
высказывания. 1 :
Отвлечемся от содержания высказываний «если а,
то Ь» и зададим вопрос, какая логическая операция лучше
всего соответствует союзу «если .... то...». Оказывается,
высказывание «если а, то Ъ» можно понимать, как «Ь или
не а» (т. е. ~\a\Jb). В таком понимании примеры а) и б)
перепишутся так:
а') «(Тело увеличивается в объеме) или (неверно, что мы
нагреваем тело)»;
б') «(Сократ сщртен) или (неверно, что все люди смерт~
ны и Сократ — человек).
Можно отметить некоторое соответствие между вы-
высказываниями а') и а), а также межАу б') и б). Обратим вни-
внимание теперь на то, что ~\а \/Ь ложно тогда, когда 14 ложно
16

и Ь ложно, т. е. когДа а истицно и Ь ложно, а в остальных
случаях ~\а\/Ь истинно. Итак, таблица истинности для
~\а\/Ь совпадает с Таблицей истинности для а-+Ь. Тем
самым высказывание а->-& можно считать соответствием
для «если а, то 6».
В ряде случаев удобно понимать высказывание а-*Ь
как ~\(аА1Ь). Такое понимание импликации подчеркивает
именно тот факт, что при истинности а->-6 не может слу-
случиться, чтобы а было истинным, a b ложньпй. Это соответ-
соответствует важному свойству импликации, которое заклю-
заключается в том, что истина не может имплицировать
ложь.
В §3 гл. II мы убедимся в том, что это свойство им-
импликации играет важную роль в логике высказываний.
К такому примерно пониманию импликации пришел
древнегреческий логик Филон из Мегары (IV в. до н. э.).
Учение об этой логической операции, получившей назва-
название материальная импликация, уточнялось и развивалось
в Древней Греции в мегаро-стоической школе (IV и III
вв. до н. э.), в логике схоластов и в трудах других логи-
логиков вплоть до наших дней. Вышеприведенное определе-
определение этой операции v оказалось исключительно плодотвор-
плодотворным. Как мы увидим в дальнейших главах, в несколько
расширенном понимании импликация способна доволь-
довольно хорошо передавать смысл логического следования
(пример б)).
Но мы еще раз хотели бы подчеркнуть, что высказы-
высказывание «а->-6» не совпадает по смыслу с высказыванием
«если а, то 6». Поэтому,' во избежание недоразумений,
уместно читать сложное высказывание «а->-&» не «если а,
то 6>, а «а имплицирует 6» и понимать эту операцию толь-
только так, как это установлено соответствующей таблицей
истинности.
Введем, наконец, еще одну логическую операцию —
эквивалентность. Мы ее будем обозначать знаком ~.
Сложное высказывание «а~6» читается: «а эквивалентно
6». Эквивалентность определяется так:
Сложное высказывание m~bt> истинно^ если а истинно
и b истинно или если а ложной b ложно. Во всех других
случаях ш~Ь» ложно.
Иначе говоря, «а~6» истинно в том и только в том
случае, если оба высказывания а и b имеют одно и то
же значение истинности. Тем самым эквивалентность
17

описывается следующей таблицей
для эквивалентности: '
истинности
о \
и
л
и
и
Л"
л
л
и
Эквивалентность примерно соответствует употреблению
выражения «тогда и только тогда, когда»; ш~Ы соответ-
соответствует в обычной речи высказыванию «а тогда и только
тогда,когда Ы. Но, так же как и для импликации и «если...,
то ...», это соответствие далеко не полное. О связи логи-
логической операции эквивалентности и языкового выраже-
выражения «тогда и только тогда, когда» можно в основном
повторить то, что было сказано о связи импликации с
«если ..., то...».
Употребляя все пять введенных логических операций,
можно, подобно тому как это делается в алгебре с помощью
символов +, —, ., строить сколь угодно сложные выраже-
выражения. Например,
1) ; (а\/Ь)Ас; .
2) аУфМ;
3) (a\J-\a)Mb-* a);
4) ((а Л^) — с)~-]а;
5) (((а-*&)\Л&)~(аЛс))У(<*Лс).
Наряду со знаками для логических операций ~|, V» Л»
-»-, ~, латинскими буквами а, Ь, с, d,... для обозначения
высказываний, в приведенных формулах участвуют еще
в качестве вспомогательных знаков (,) — открывающая и
закрывающая скобки. Так же, как в алгебре и в арифме-
арифметике, они служат для указания последовательности, в
которой следует выполнять операции.' Например, выра-
выражения а(Ь + с) и (ab)+c имеют различный смысл.
Первое означает: умножить а на то, что получается, если
сложить бис, второе — прибавить с к тому, что получается,
если умножить а на Ь. Как известно, результаты этих двух
последовательностей операций будут, вообще говоря,
различны: 3 х B + 1) = 9; C х 2) + 1 = 7. В точности
так же, скажем, а/\(Ь\/с) и (аЛb)\Jc — два различных
18

сложных высказывания: при некоторых значениях истин-
истинности высказываний а, Ь и с значения истинности этих
сложных высказываний будут различны; например, если
а ложно, Ь ложно, с истинно, то а/\(Ь Vе) примет значение
л/\(л\/и) = л, а (а/\Ь)\/с — значение (л/\л)\/и. — и.
Таким образом, расстановка скобок в формулах логики
высказываний является очень существенной.
Читатель легко уяснит себе, как подсчитывается зна-
значение истинности сложных высказываний вроде тех, ко-
которые мы привели выше.
Пусть, например, мы имеем выражение
(((а-,Ь)у-]Ь)~(а/\с))У(й/\с).
Нужно подсчитать его значение истинности для значений
а—и, b—л, с—л, d—и.
Подставляем вместо букв эти значения истинности. Полу-
Получаем
Операции производятся в том порядке, как это указано
расстановкой скобок. Применение каждой операции про-
производится согласно таблице истинности для этой операции.
Таким образом, получаем
и—ул = л, ~]л=и,
следовательно,
(и —>¦ л) V л = л V и = и;
далее
и/\л = л;
так что
(((и-+л)\/^л))~(и/\л) = и~л = ы
И ОПЯТЬ
(и/\л) = л;
и, наконец,
Значение истинности всего выражения — мы будем гово-
говорить значение истинности формулылогики высказываний—
будет зависеть от значений истинности входящих в нее
букв, обозначающих простые высказывания. Мы рекомен-
рекомендуем читателю вычислить значение истинности данного
19

сложного высказывания для некоторых других наборов
значений истинности составляющих его простых выска-
высказываний.
Приведем еще, ради примера, значения истинности
формулы
для всевозможных наборов значений истинности простых
высказываний а, Ь и с:
а
и
и
и
и
л
л
л
л
Ь
и
и
Л
Л
и
и
Л
Л
'¦\
и
Л
и
Л
и
л
и
Л
((((а/\Ь)-+с)У1а)~(а/\с))
и
и
и
Л
Л
Л '
Л
Л
Мы сразу представили значения истинности сложного
высказывания в зависимости от значений истинности
простых высказываний а, Ь, с в удобном табличном виде.
Вычисления проводятся так же, как Мы это указывали
выше, и читатель их легко проверит. В подобном таблич-
табличном виде можно представить значения истинности любой
формулы логики высказываний.
§ 3. Булевы функции
Из всего сказанного видно, что всякую формулу
логики высказываний можно рассматривать как представ-
представление некоторой функции: всякому набору значений ис-
истинности букв — каждая буква может принимать одно
20

из Двух Значений и или л — согласно формуле однознач-
однозначно соответствует некоторое значение истинности — и
илн л — всего сложного высказывания, представленного
этой формулой. Таким образом, мы можем'и будем иногда
всякую формулу рассматривать как выражение для функ-
функции. Например, формула ^
(№Ab)-+c)\/^a)~(a/\c)) = f(a, Ь, с)
выражает функцию от переменных а, Ь, с.
Такая точка зрения вполне соответствует в элемен-
элементарной алгебре понятию функции, представленной бук*
венной формулой. В алгебре формулы
!Л*> У> г)=(х+у+г)'—Ъх
или ¦
представляют функции от переменных х, у, г. Это означает,
что всякий раз, когда мы вместо букв-переменных х,
у, г подставляем некоторые числа (например, х = 1,
у = 2, 2 = 1), то и вся формула принимает некоторое
вполне определенное числовое значение (в нашем случае
' Ml, 2, 1) = A + 2 +1)*-3-1 = 13; f,(l, 2, 1) «*Д +
4- 2>2 + 1* = 6). Разница в том, что если в элементарной
алгебре рассматриваются числовые функции (т. е. и
переменные, и функция принимают числовые значения),
то в логике высказываний рассматриваются так называе-
называемые логические (булевы) функции, в которых как каждая
переменная (а, Ь, с и т. д.), так и сама функция, выражае-
выражаемая некоторой формулой, принимает только одно из двух
значений — истинно «и» или ложно «л». При этом логи-
логические операции ("], A.V>->->~) аналогичны алгебраи-
алгебраическим операциям сложения, вычитания, умножения,
возведения в степень и др. Условимся переменные, при-
принимающие значения и или л, называть булевыми пере-
переменными.
Формулы (скажем, а\/(Ь/\с)) логики высказываний
можно, как мы видим, понимать двумя различными спо-
способами:
1. а, Ь, с могут быть сокращенными обозначениями
некоторых определенных (постоянных) высказываний
21

(скажем, а —«5 делит 10», Ь — «3 меньше 2», с — «5 —
нечетное число»). Тогда сложная формула (а \/(ЬАс))
является сокращенной записью некоторого определен-
определенного сложного высказывания (в нашем случае «E делит
10) или C меньше 2 и 5 нечетное число)».
2. Буквы выступают в роли переменных; вместо них
можно подставлять произвольные высказывания и полу-
получать каждый раз сложные высказывания, зависящие от
подставленных простых высказываний. В силу того, что
логика высказываний обычно учитывает не содержание,
а только значение истинности высказываний, мы считаем,
что переменные высказывания прищшают только два
значения: «ы»и иль. В таком понимании формула представ^
ляет некоторую булеву функцию.,
Заметим, что для буквенных формул элементарной
алгебры мы также различаем оба эти понимания: в неко-
некоторых случаях буквы рассматриваются как сокращения
некоторых постоянных чисел (с — скорость света, % —
постоянная Планка и др.); в других случаях они рассмат-
рассматриваются как переменные. Для различения этих двух слу*
чаев в элементарной алгебре принято обозначать посто-
постоянные начальными буквами латинского алфавита: а, Ь, с,
а переменные — последними буквами латинского алфа-
алфавита: х, у, 2. Подобным же образом, во избежание недора-
недоразумений, если мы хотим подчеркнуть, что сложную фор-
формулу следует рассматривать как представление булевой
функции, мы будем употреблять последние буквы латин-
латинского алфавита х, у, г или — для формул с большим
числом переменных — мы будем употреблять буквы х, у с
индексами: хи х2)... и уи у2,...
Для формул логики высказываний, рассматрива-
рассматриваемых как булевы функции, мы определим ряд важных
свойств и понятий, которые нам понадобятся в даль-
дальнейшем.
Нетрудно указать ряд формул, которые принимают
значение и при любых значениях истинности входящих
в них переменных. Таковыми будут, например, формулы
и т- д-
Мы рекомендуем читателю проверить с помощью таблиц
22

истинности для логических- операций, что указанные
формулы действительно обладают этим свойством. Такие
формулы называются тождественно истинными формула-
формулами или тавтологиями логики высказываний. В следующей
главе мы более подробно остановимся на значении тожде-
тождественно истинных формул в процессе логических заклю-
заключений.
Рассматриваются также формулы, принимающие зна-
значение л при всех значениях переменных: они называются
тождественно ложными формулами. Примерами таких
формул являются
и др.
Легко заметить, что если А(х, y,~z) — какая-нибудь
тождественно истинная формула, построенная из букв
х, у, z с помощью знаков логических операций, то формула
~]А(х, у, г) (т. е. та формула, которая получается, если
выписать полностью формулу, обозначенную А(х, у, г),
и поставить перед этой формулой знак ~|) будет тождест-
тождественно ложной формулой и наоборот.
Тождественно истинные и тождественно ложные фор-
формулы представляют постоянные булевы функции,
принимающие только одно значение: их значение не
зависит от переменных, ¦ входящих в формулу. Все
остальные формулы не постоянные: для некоторых зна-
значений булевых переменных они принимают значение и,
для других — л. Формулы, приведенные нами на стр.
18 представляют именно такие непостоянные булевы
функции.
Две различные формулы могут представлять одну и
ту же булеву функцию; таблицы истинности таких формул
будут совпадать. Так, например, легко можно проверить,
что формула
({х-У)->(*М)
и формула
23

представляют одну и ту же булеву функцию f(x, у, г) с
таблицей истинности: """
X
и
и
и
и
л
л
л
Л
У
и
и
Л
Л
и
и
Л
Л
г
и
л
и
Л
и
Л
и
л
f (х, у, г)
и
Л
и
и
и
и
Л
л
Две формулы А и*В, представляющие одну и ту же булеву
функцию, называются равносильными. Этот факт запи-
записывают с помощью знака вэ следующим образом: А аи
за* В. Например, '
Равносильность двух формул можно проверить так: всем
буквам, входящим в формулы, придаются независимо друг
от друга всевозможные значения истинности и вычис-
вычисляется значение истинности обеих формул. Формулы рав-
равносильны, если их значения истинности при любом наборе
значений истинности входящих в них переменных совпа-
совпадают, и они не равносильны, если их значения различны
по крайней мере для одного набора значений истинности
переменных. Некоторые переменные могут входить только
в одну из формул. Тогда значение истинности той форму-
формулы, в которую эта переменная не входит, не зависит от
значения истинности, придаваемого этой переменной.
Например, xVi/^((zV~Iz)—^(-^V!/))- Переменная г не
входит в левую формулу x\Jу. Ее значение, например,
для значений х = и, у = л, z — иЫ. для значений х = и,
у = л, z — л будет одно и то же, а именно и. Указан-
24

ную равносильность нетрудно проверить. Как левая,
так и правая часть формулы представляет одну и ту же
булеву функцию f(x,y,z) с таблицей истинности
X
и
и
и
и
л
Л
л
л
У
а
и
л
л
и
и
л
л
2
и
л
и
л
и
л
и
л .
/ (х, у, г)
и
и
и
и
и
Л
л
Эта функция в действительности зависит только от х и у.
Равносильность ф°РмУл логики высказываний ана-
аналогична тождествам элементарной алгебры, известным
из курса средней школы. Например, '
—у) = х*—у* и т. д.
И там тождественное равенство двух различных формуль-
шх выражений означает, что они принимают одинаковые
числовые значения, какие бы числа мы не подставляли
вместо переменных х, у, г. Только, конечно, тождествен1-
ное равенство формул элементарной алгебры нельзя про-
проверить простым методом проб, так как пришлось бы под-
подставлять вместо переменных неограниченное число воз-
возможных числовых значений переменных и доказательство
тождественного равенства формул никогда бы не закон-
закончилось. Тот факт, что равносильность формул логики
высказываний можно проверить непосредственно, сущест-
существенно связан с тем, что переменные, входящие в формулу,
могут принимать только конечное число значений. Правда,
»то число может быть на практике довольно большим.
25

Действительно, если в некоторую формулу А входят ,rt
переменных, то, так как каждая переменная может неза-
независимо от других принимать два значения («ы» или «л»),
вся совокупность переменных {хи х2,.-., хп) может при-
принимать 2" значений. Это число быстро растет с ростом
п: для десяти переменных возможно 1024 набора, для 30
переменных уже больше 1 000 000 000. Причем нужно
сказать, что особенно в приложениях логики высказы-
высказываний, как правило, встречаются формулы с большим
числом переменных: десятки, сотни и тысячи переменных.
Вычисление всех значений истинности таких формул стд-
новится очень трудоемкой задачей. В элементарной ал-
алгебре тождественные равенства формул устанавливаются
— и там это иначе и невозможно — использованием не-
небольшого числа основных тождеств — законов, связы-
связывающих между собой арифметические операции. Такими
законами являются, например, ассоциативные законы
x(yz) = (xy)z, (x + y) + z = x + (y + z),
дистрибутивный закон х(у + z) = ху + хг и многие дру-
другие, которые мы не будем все выписывать. Они позволяют-
преобразовывать буквенные формулы элементарной ал-
алгебры в другие формулы, равные им тождественно. Ока-
Оказывается, что подобным же образом можно поступать
и в логике высказываний. Мы скоро познакомимся с ос-
основными законами, позволяющими производить такие"
преобразования.
В первую очередь отметим тот факт, что набор введен-
введенных нами логических операций является сильно избыточ-
избыточным: некоторые операции можно выразить через другие.
С помощью таблиц истинности читатель легко npts-
верит, что эквивалентность просто выражается через
импликацию и конъюнкцию. А именно, имеет место сле-
следующая равносильность:
х~у=в((х-+у)/\(у-+х)). A)
Таким образом, в любой формуле мы можем повсюду ис-_
ключить знак ~ и выразить его согласно A) через -*¦ и
Л, и новая формула будет равносильна исходной. Будем,
например, исходить из формулы
(дс — г/) — (лтДг/). (*)
26

Выражая знак ~ через ->-и.Л согласно A), полудам
(х ~ у) ~ (х^у)==((х-+у)/\(у-+х)) ~
+x))). (**)
Далее, импликацию можно выразить с помощью отрицания
и дизъюнкции на основании следующей, легко проверяе-
проверяемой равносильности:
х-+у=Г]хуу. B)
Таким образом, для любой формулы можно указать рав-
равносильную ей формулу, содержащую только знаки ~\,
V» Л- Для примера преобразуем нашу формулу (**),
исключая знак —*:
Очень часто, особенно в приложениях логики высказы-
высказываний к электротехнике, пользуются формулами, содер-
содержащими только три знака логических операций: Л. V. 1-
Как мы видим, этого вполне достаточно, так как другие
логические операции можно выразить через них.
Наконец, оказывается, что дизъюнкцию можно выра-
выразить через конъюнкцию и отрицание и, наоборот, конъюн-
конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание. Это можно сделать
с помощью равносильностей, называемых законами де
Моргана (их опять-таки легко проверить с помощью таб-
таблиц истинности):
-|(*W) = (~l*A~ly) C)
Ч D)
и, кроме того, с помощью так называемого закона снятия
двойного отрицания:
~П*=*. E)
Действительно,
F)
и, аналогично,
' G)
27

Таким образом, всякую формулу логики высказываний
можно заменить на равносильную ей и содержащую толь-
только знаки 1и Л (или V и "])• Для нашего примера (**) имеем
Можно показать, что дальше по этому пути идти нельзя:
существуют формулы, которые не равносильны формулам,
записываемым только с помощью. ~1,, или /\, или V*
Тем примечательней, что можно указать некоторую
операцию логики высказываний,,которую мы до сих пор
не вводили, с помощью которой можно выразить все из-
известные нам операции ~|, V. Л. ->-> ~- Эта операция назы-
называется «штрих Шеффера»; для нее употребляется знак \(а\Ь
читается «а штрих Шеффера &»). Она определяется следую-
следующей таблицей истинности для штриха Шеф-
Шеффера;
V
а X
и
л
и
л
и
л
и
и
Согласно этой таблице сложное высказывание а\Ь истинно
всегда, кроме того случая, когда а истинно и Ь истинно.
Доводьйо просто на основании таблицы истинности для
[ видны следующие равносильности:
^„ lv\v\ /O\
(9)
Они показывают, что конъюнкцию и отрицание можно
выразить через штрих Шеффера, а, как нам уже известно,
через отрицание и конъюнкцию можно выразить все ос-
остальные логические операции.
Рекомендуем читателю проверить вышеуказанные пре-
преобразования и, для того чтобы окончательно усвоить
принцип замены одних операций другими, преобразо-
преобразовать несколько наугад выбранных формул, записанных
28

о помощью знаков ~[, Д, V,v -*-, ~ в равносильные им
формулы, записанные только с помощью знаков ~|, Д
или только с помощью |. Например, преобразовать фор-
формулу (.(х—*у)/\~\г) к равносильной ей формуле, записан-
записанной только с помощью штриха Шеффера,
Естественно возникает вопрос: если логические опе-
операции могут быть сведены к двум (~\, Д) или даже только
к одной (|), то зачем же логика высказываний пользуется
многими операциями? Это имеет несколько, причин. Мы
отметим следующие; а !
а) Читатель, наверное, уже заметил, что при исклю-
исключении знаков операций формулы становятся более длин-
длинными и менее обозримыми. Ведь и в элементарной алгеб-
алгебре можно было бы, по-видимому, обойтись без целочислен-
целочисленных показателей степени и вместо, скажем, я10 писать
хххххх хххх. Ясно, что это мало способствовало
бы обозримости и удобочитаемости формул. Избыточность
в обозначениях не всегда является недостатком.
б) Как мы увидим в следующей и в дальнейших гла-
главах, введенные нами операции ~| , Л, V, ~Ь ~ играют
определенную роль при описании закономерностей логи-
логических заключений. Особенно это относится к операции •+-.
в) Излагаемый нами раздел логики высказываний, ба-
базирующийся на понятиях значения истинности и таблиц
истинности, далеко не исчерпывает проблематику логики
высказываний. Он является одним из самых элементар-
элементарных ее разделов. Имеются другие области, в которых не
все приведенные равносильности между логическими опе-
операциями имеют место и тем самым в них не всегда допус-
допустимы указанные нами выражения одних операций через
другие. Сюда относятся такие разделы, как интуицио-
интуиционистское исчисление высказываний, различные исчисле-
исчисления так.называемой строгой импликации и др. В рамках
нашей книги мы не можем и не будем на этом останавли-
останавливаться.
- Аналогично тому, как мы это сделали для операций Д
и "], можно показать, что все логические операции можно
выразить через V и ~I> a также через-»-и % Вообще, в
основу построения логики высказываний можно положить
самые различные наборы операций, заданных своими
таблицами истинности. Такие операции не обязательно
должны быть одноместными, как"], или двуместными, как
Д, \у, -»-: они могут зависеть от 3, 4 и большего числа
29

переменных. Представляет большой интерес вопрос о
том, какие наборы при этом выражаются через другие.
Этот вопрос представляет интерес как для теоретических
вопросов логики, так и особенно для применения логики
высказываний в теории и практике построения электрон-
электронных автоматических устройств и быстродействующих
вычислительных машин. Этому вопросу посвящено много
исследований. Для ознакомления с относящейся сюда
тематикой можно рекомендовать статью С. В. Яблонскоф
«Функциональные построения в ?-значной логике», Тру-
Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова, т. 51.
§ 4. Нормальные формы. Алгебра Буля
Приведенными равносильностями, служащими
для выражения одних логических операций через другие,
далеко не исчерпывается набор основных равносильнос-
тей, позволяющих упрощать формулы (или, точнее, за-
заменять формулы равносильными и более простыми). Ог-
Ограничимся случаем формул, содержащих только знаки
Л. V. 1- Они называются булевыми формулами. Укажем'
основные, относящиеся к ним равносильности.
Коммутативные законы:
(Xyy)=E(y\Jxy,_ (*A«/) = (M*)- A)
Ассоциативные законы:
(x\J(y\Jz)) = ((x\Jy)\Jz); (xh(yhz)) = ((xhy)/\z). B)
Законы идемпотентности: Ч - -
(*V*) = *; (*Л*)=*- ' C)
Дистрибутивные законы:
/\г)). D)
Законы де Моргана:
1(хУу) = ОхА-]у); 1(хАу) = Пх\/1.у). E)
Закон двойного отрицания:
F)
Коммутативный закон позволяет переставлять рядом
стоящие выражения, связанные/знаком \/ (булевы сла-
слагаемые) или знаком Л (булевы множители). Согласно
30

ассоциативному закону моукно опускать скобки между
любым числом членов, связанных одинаковыми знаками
(V или Л), и вместо, скажем,
писать
и наоборот. С помощью законов идемпотентности одина-
одинаковые выражения, связанные знаками Л или V> можно
заменять одним. Например,
Закон двойного отрицания разрешает опускать два рядом
стоящие знака "|, если они непосредственно предшествуют
некоторой формуле, скажем,
Законы де Моргана используются для того, чтобы вно-
вносить знак в скобку, в которой стоят члены, объединен-
объединенные знаками V или Д. При этом знак V переходит в Л.
а знак Л — в V- Например,.
а также
Полезно, наконец, для сокращения тождественно ис-
истинных формул ввести знак И, а тождественно ложных
формул — знак Л. Заметим, что все тождественно истин-
истинные формулы от любого числа переменных равносильны
между собой и то же самое имеет место для тождественно
ложных формул. Так как в рассматриваемых нами равно-
равносильных преобразованиях мы можем заменять равно-
равносильные формулы друг на друга, то можно представить
себе, что мы выбрали какую-нибудь тождественно истин-
истинную формулу, например (я VI х)> и обозначили ее через И
и какую-нибудь тождественно ложную, например (*Л~| х),
и обозначали ее через Л. Тогда мы имеем еще следующие
равносильности:
(х\;-]х)=еИ, Gа) (*Л1*)=Л, G6)
(х\/И)==И, (8а) х/\Л==Л, (86)
(х\/Л) = х, (9а) х\и==х, (96)
~Л, A0а) ~]Л = И. A06)
31

Указанные равносильности позволяют приводить любые
булевы формулы к некоторому простому стандартному
виду. Такое упрощение вполне аналогично приведению
в элементарной алгебре формул, выражающих целые
рациональные функции (т. е. формул, построенных с
помощью операций +, —, •), к сумме произведений рас-
раскрытием скобок и приведением подобных членов.
Укажем, как приводится булева формула к стандарт-
стандартному виду. Применение правил будем пояснять на примере
формулы
Сначала (возможно многократным) применением зако-
законов де Моргана и закона снятия двойного отрицания мож-
можно добиться того, чтобы знаки ^ повсюду непосредствен-
непосредственно предшествовали буквам:
Теперь многократным применением дистрибутивного за-
закона знаки Л вносятся в скобки:
Законы ассоциативности позволяют опустить ненужные
скобки:
Законы G6) и (86) позволяют заменить конъюнкции, в
которых встречается некоторая буква вместе "с ее отрица-
отрицанием, на букву Л, а согласно (9а) букву Л в дизъюнкции
можно опустить. Итак, в нашем примере имеем оконча-
окончательно: „
Теперь в каждой конъюнкции никакая буква не встреча-
встречается вместе со своим отрицанием. Если в какой-либо
конъюнкции некоторая буква х, у, г,... или ~\х, 1у, ~]г,...
встречается несколько 'р&з — в нашем примере этого не
произошло,— то согласно закону идемпотентности дос-
32

таточно в этой конъюнкции оставить только по одному
экземпляру каждой такой буквы. Например,
Таким образом, всякая булева формула (а следовательно,
как видно из § 3, и всякая формула логики высказываний)
может быть приведена к равносильной ей формуле следую-
следующего простого стандартного вида:
Дизъюнкция членов, каждый из которых 'представляет
собой конънзнкцию отдельных различных букв со знаком.
~] или без него; ни в какой конъюнкции не встречается бук-
буква вместе со своим отрицанием. Дополнительно можно
сказать, что все конъюнктивные члены различны между
собой. (Иначе, учитывая закон идемпотентности, из оди-
одинаковых конъюнктивных членов можно было бы опустить
все, кроме одного.)
Нужно отметить еще один частный случай, который
может встретиться в процессе упрощения. А именно, может
оказаться, что после раскрытия скобок согласно законам
дистрибутивности все конъюнктивные члены нужно
заменить на знак Л. Тогда и всю формулу нужно заменить
на Л. Например,
((х№/\~\у)\/{х/\-}х)\/(у/\г/\-\г))==Л\;Л\/Л==зЛ.
Исходная формула была тождественно ложной.
Приведенная нами стандартная форма булевых формул
называется дизъюнктивной нормальной формой. Заметим,
что вполне аналогично можно было бы доказать, что
всякая булева формула равносильна некоторой булевой
формуле, являющейся конъюнкцией членов, каждый из
которых представляет собой дизъюнкцию букв со знаком
"| или без него. Такая форма называется конъюнктивной
нормальной формой.
Читатель, наверное, уже заметил, что знаки /\ и V
ведут себя вполне симметрично. Выписывая основные
равносильности, мы их расположили так, чтобы было
видно, что всякой равносильности со знаком Л отвечает
в точности одна равносильность со знаком V- Более общо,
с помощью правил де Моргана можно было бы доказать
следующий принцип двойственности:
Отрицание некоторой булевой формулы А, у которой
знаки~\ стоят непосредственно перед буквами, равносильно
2 Л. А. Калужнин 33

формуле, получающейся из формулы А заменой знаков Л- "
V друг на друга и заменой всякой буквы хна~]хи наоборот.
Например,
= (@*V W1 г) ДО «V1 У)) V A2 Л </))•
С другой стороны, так как из равносильности двух формул
А и В (А зз В) следует равносильность их отрицаний
(~]Л зэ ~\В) и наоборот, то вышеуказанному принципу
двойственности можно придать такую форму:
Всякая равносильность булевых формул, у которых
знак отрицания непосредственно стоит перед буквами,
сохраняется, если повсюду заменить знаки Д и V друг
на друга, каждую букву а на выражение ~]а и наоборот.
Из того немногого, что мы сообщили о логике высказы-
высказываний, видно, что она представляет собой нечто аналогич-
аналогичное буквенной элементарной алгебре, но имеющее свои
характерные и на первых порах непривычные закономер-
закономерности. Эта логика называется булевой алгеброй.
Эта алгебра возникла в середине прошлого столетия.
В основном она восходит к работам Дж. Буля и называ-
называется поэтому его именем. Правда, Буль употреблял не
дизъюнкцию, а логическую операцию, соответствующую
исключающему «или», т. е. операцию со следующей таб-
таблицей истинности:
\ъ
а \
и
л
и
л
и
л
и
Л
В наших обозначениях эта операция (будем ее записы-
записывать знаком -К) выражается через Д, Vй! следующим
образом:
Более удобную связку V ввел в употребление английский
логик Джевонс, и булева алгебра примерно в том виде,
как мы ее представили, была разработана дальше англий-
английским логиком Венном, американским логиком Ч. Пирсом
34

A839—1914),-немецким математиком Э. Шредером A841—
1902) и др. Особенно большой вклад в это развитие внес
русский математик и логик П. С. Порецкий A846—1907).
В начале XX в. интерес к дальнейшей разработке булевой
алгебры несколько ослаб в связи с тем, что внимание спе-
специалистов математической логики сконцентрировалось
на ряде других существенных вопросов в связи с разра-
разработкой проблем оснований математики. За последние 20—
30 лет вновь наблюдается большой интерес к булевой
алгебре, в первую очередь объясняющийся все возраста-
возрастающим значением этого раздела логики в автоматике и ки-
кибернетике: оказывается, что закономерности булевой
алгебры, по сути дела еще мало изученные, играют в этой
области основную роль. В одной из следующих глав мы
вернемся к этому вопросу.
Заметим, наконец, что к исходной идее Буля исполь-
использовать операцию +2 вместо V вернулся в 20—30-х гг.
нашего века советский математик и логик И. И. Жегал-
кин A869—1947). Оказалось, что для ряда вопросов со-
соответствующее исчисление — алгебра Жегалкина — обла-
обладает рядом преимуществ; для других вопросов рассмотрен-
рассмотренная нами алгебра Буля более удобна').
Мы еще должны остановиться на одном важном вопросе
логики высказываний. Как мы знаем, всякая формула
логики высказываний представляет некоторую булеву
функцию. Возникает обратный вопрос: можно ли всякую
булеву функцию представить некоторой формулой логики
высказываний? Ответ на этот вопрос положителен. Можно
указать процедуру, которая позволяет по таблице истин-
истинности произвольной булевой функции от любого числа
переменных построить некоторую формулу логики вы-
высказываний и даже срдзу формулу в дизъюнктивной нор-
нормальной форме, представляющую данную булеву функцию.
Идею этой процедуры мы поясним на примере булевых
функций от трех переменных х, у, г; общий случай булевых
функций от любого числа переменных вполне аналогичен.
Сначала рассмотрим частный случай булевых функций,
принимающих значение и только для одного-единствен-
ного набора значений истинности своих переменных.
х) Жегалкин рассматривает значения истинности и и л как
числа 1 и 0 соответственно. Операция +г в этом случае соответству-
соответствует обычному сложению в арифметике вычетов по модулю 2; этим объ-
объясняется обозначение для этой операции.
2* ' 35

Если выписать таблицу истинности такой булевой функ-
функции, то она только в одном месте будет иметь букву и, -\
а во всех остальных местах букву л. Такой булевой функ-
функцией будет, например, функция f(x, у, г), представленная
следующей таблицей истинности:
X
и
и
и
и
л
л
л
л
У
и
и
л
л
и
и
л
л
г
и
л
и
л
и
л
и
л
f (*. У> .«)
. л
л
л
л
л
и
л
л
Нетрудно указать формулу, представляющую эту функ-
функцию. Такой формулой будет (~]х Л У А ~\ г). Действительно,
конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны
все выражения, объединенные знаками Д. Значит, наша
конъюнкция будет истинна в том и только в том случае,
когда все выражения ~\х,у,~]г истинны. А это в свою оче-
очередь означает, что она будет истинна только в том слу-
случае, когда я=л, у=и, г—л, во всех других случаях
она будет ложной, т. е. она как раз представляет рассмат-
рассматриваемую нами функцию.
Подобным образом представляется и любая другая
функция, принимающая значение и только один раз.
Например, если g(x, у, г) истинна только для набора и,
л, л, то она представляется конъюнкцией (х Л 1У Л "|z)
и т. д.
Можно это правило сформулировать так: Если функция
принимает значение и в точности для одного набора пере-
переменных, то она может быть представлена конъюнкцией
переменных и их отрицаний. При этом, если в наборе,
36

соответствующем значению и для функции, некоторая
переменная имеет значение и, то в конъюнкцию входит
сама переменнай, если же переменная имеет значение л,
то в конъюнкции участвует соответствующая переменная
со знаком ""|.
Перейдем теперь к рассмотрению произвольной функ-
функции. Например,
X
и
и
и
и
л
л
л
л
У
и
и
л
л
и
и
л
л
г
и
л
и
л
и
л'
и
л
f(x, У, *) '
Л
л
и
Л
и
Л
Л
и
Выделим все наборы переменных, для которых функция
принимает значение и. В .нашем случае это будут следую-
следующие три набора:
х = л,
; х = л, у
= л, г —л.
и, г =
Каждому из этих наборов мы вышеуказанным образом
ставим в соответствие конъюнкцию переменных , и их
отрицаний: (xAlyAz); (~}xAyA*Y, П*Л«/Л1?)- Мы
утверждаем, что рассматриваемая функция представляет-
представляется дизъюнкцией этих конъюнкций:
Действительно, указанная формула принимает значение
и тогда и только тогда, когда значение и принимает хотя
бы одна из конъюнкций, объединенных знаком V- Но мы
37

уже видели выше, что каждая из этих конъюнкций при-
принимает значение и в точности для одного набора: (и, л, и);
(л, и, и); (л, л, л), а это как раз те наборы, для которых
рассматриваемая функция принимает значение и. Таким
образом, наше утверждение доказано. Тем самым уста-
установлена процедура, позволяющая для всякой булевой
функции написать соответствующую ей формулу.
Итак, окончательно, всякая формула логики выска-
высказываний представляет некоторую булеву функцию и,
наоборот, всякая булева функция может быть представ-
представлена некоторой формулой. Но различные формул^ могут
представлять одну и ту же булеву функцию; они назы-
называются тогда равносильными. Возникают следующие
вопросы, важные как в теории, так и в практике приме-
применений логики высказываний: обозреть совокупность всех
формул, представляющих некоторую булеву функцию.
Частично мы этот вопрос уже решили, указав, как с по-
помощью некоторой последовательности преобразований
всякая формула может быть приведена к некоторой рав-
равносильной ей формуле стандартного вида — дизъюнктив-
дизъюнктивной нормальной форме. Тем не менее этим проблема не
вполне исчерпывается, и в следующей главе мы вернемся
к ней и рассмотрим ее с несколько иной точки зрения.
Кроме того, оказывается, что существует, вообще говоря,
много дизъюнктивных форм, равносильных между собой.
В применениях очень важно бывает выбрать среди них
одну, по возможности более простую, содержащую как
можно меньше букв. Этой задаче посвящается сейчас
много работ, и нужно сказать, что окончательное реше-
решение еще не найдено.
§ 5. Применения алгебры логики
в теории релейно-контактных схем
и в теории автоматов
Как уже отмечалось во, введении, главными
причинами все возрастающего значения математической
логики послужили происходящее у нас на глазах разви-
развитие автоматики, потребности теории и практики вычис-
вычислительных машин и управляющих устройств. Человек
издавна стремился к тому, чтобы создавать приборы, ко-
которые были бы способны в той или иной мере осуществлять
38

вместо него какую-то долю его умственной деятельности.
Однако для этой цели в первую очередь требовалась
строгая и четкая формулировка объектов, явлений и зако-
законов этой деятельности. Оказалось, что для этой цели о
успехом может быть использован аппарат математиче-
математической логики, в частности алгебра Буля. И это не удиви-
удивительно. Ведь математическая логика изучает механизм
логических заключений. А именно они и должны осущест-
осуществляться автоматическими устройствами. Только после
того, как сама задача, которую должен решать автомат,
сформулирована и расчленена методами логики на эле-
элементарные действия, можно переходить к собственно тех-
технической задаче, состоящей уже в построении и налажи-
налаживании некоторого устройства, способного выполнять пре-
предусмотренное действие.
Идея использования алгебры Буля для построения
автоматических устройств, основанных на релейно-кон-
тактных схемах, была высказана уже в 1910 г. крупным
физиком П. Эренфестом. Но эта ценная мысль долгое-вре-
долгое-время не привлекала к себе должного внимания. Дело в том,
что для конструирования простейших схем — а другие
тогда и не выполнялись — инженеры вполне обходились
своим повседневным опытом и не нуждались в общей
теории и математическом аппарате. Положение сущест-
существенно изменилось в 30-х годах нашего столетия. К этому
времени автоматические устройства достигли такого уров-
уровня сложности, что создание общих теорий для их конст-
конструирования стало насущной необходимостью. И вот в
различных странах и в большой мере независимо друг
от друга ученые приходят к мысли использовать для этой
цели элементы алгебры логики. Здесь нужно особенно
отметить советского физика В. И. Ш е с т а к о в а [26],
американского математика К. Шеннона [27] и япон-
японского инженера А. Накасима [17]. С тех пор область
применения математической логики в теории и практике
автоматических устройств непрерывно расширяется.
В нее включаются и более высокие разделы математической
логики — исчисление предикатов, теория алгоритмов
и др. Эта тенденция особенно усилилась в эпоху создания
вычислительных машин и возникновения кибернетики.
На сегодняшний день существует уже большой новый
раздел науки, который можно было бы назвать «приклад-
«прикладная математическая логика».
39

Мы ознакомимся только с простейшими, относящи-
относящимися скда вопросами и отсылаем читателя, желающего
ознакомиться более детально с этой областью, к обшир-
обширной литературе.
Рассмотрим самое общее автоматическое устройство —
абстрактный автомат. Его можно кратко описать следую-
следующим образом.
Автомат предназначен участвовать в некотором про-
процессе. В него поступают сигналы — информация о ситуа-
ситуациях, существующих в данный момент. В зависимости
от поступивших сигналов автомат должен выполнять то
или иное предусмотренное действие. Принято условно
говорить, что сигналы поступают на «вход» автомата,
а действия осуществляются на «выходе».
Под это очень общее определение подпадают все из-
известные конкретные автоматы, как самые простые, так и
самые сложные. В широко распространенных теперь тор-
торговых автоматах действие на выходе, состоящее в откры-
открывании люка и выдаче товара, должно происходить тогда
и только тогда, когда в управляющее устройство автомата
поступает сигнал о том, что в кассу автомата поступил
предусмотренный набор монет. Автоматический стрелоч-
стрелочник на железной дороге должен открыть некоторый пре-
предусмотренный путь поезду А, если поступили сигналы о
том, что поезд А приблизился к стрелке, и сигнал о том,
что определенный отрезок пути за стрелкой свободен от
поездов, и т. д. Читатель без труда пояснит себе этот
принцип на дальнейших примерах известных ему автома-
автоматических устройств.
Следует отметить, что, вообще говоря, желаемое дей-
действие автомата может зависеть как от сигналов, поступаю-
поступающих в данный момент, так и от сигналов, поступивших
раньше.
В самой общей форме абстрактный автомат должен
решать следующую задачу. Некоторые действия на вы-
выходе автомата в некоторый момент времени t должны быть
функцией. от сигналов, поступивших на вход автомата
за все время до этого момента. Как можно более точно
Сформулировать эту требуемую зависимость между посту-
поступающими сигналами и надлежащими действиями?
Оказалось, что алгебра логики дает подходящий ап-
аппарат для детального анализа этой общей задачи. При этом
выяснилось исключительно важное обстоятельство: прин-
40

ципы построения искомого автомата не зависят от его
конкретного практического назначения. Идет ли речь об
автопилоте, управляющем самолетом, об автомате, управ-
управляющем станком, об автоматическом регулировании улич*
ного движения и т. п.— все эти и всевозможные другие
устройства, как уже существующие, так и те, которые
будут созданы, являются различными техническими во-
воплощениями общих «абстрактных» автоматов, принципы
которых изучаются математическими методами в новой
науке — кибернетике. Специально этой задачей зани-
занимается совсем недавно образовавшийся раздел киберне-
кибернетики — теория абстрактных автоматов [1]. В этом пара-
параграфе мы познакомимся снекоторыми основными понятиями
этой теории и несколько более подробно рассмотрим прин-
принципы простейших автоматов, реализуемых с помощью
релейно-контактных и электронно-импульсных схем.
Как всегда, когда встает вопрос о построении строгой
теории с применением математического аппарата дли ре-
решения какой-либо общей задачи, возникающей в науке
или в практике, первое, что необходимо сделать,— это
упростить рассматриваемую задачу, выделяя в ней все
существенное и временно отвлекаясь от побочных об-
обстоятельств, усложняющих и затемняющих самую суть
постановки задачи. Упрощать задачу нужно так, чтобы,
будучи упрощенной, она достаточно полно отражала всё
принципиальные стороны исходной задачи, и так, чтобы
существовал разумный метод, позволяющий самую общую
задачу сводить к упрощенной. В связи с этим мы примем
ряд упрощений:
1. Мы будем считать, что действие автомата долж-
должно состоять в исполнении одного акта с двумя возможными
исходами.
Например, устройство должно включать или выклю-
выключать лампочку, включать или выключать мотор, открыть
или закрыть семафор и т. п. Вкратце, действие должно
заключаться в замыкании или размыкании некоторого
электрического контакта. Для определенности будем счи-
считать, что в результате этого вспыхнет или погаснет лам-
лампочка. Нетрудно себе представить, как более сложное
действие может быть в принципе сведено к так упрощен-
упрощенному. Действительно, сколь угодно сложная операция
на выходе автомата может быть осуществлена одновре-
одновременным действием большого ¦ числа исполнительных
41

устройств. Для включения и выключения каждого .из
них может быть предусмотрен отдельный автомат.
Второе упрощение относится к сигналам, поступающим
на вход автомата:
2. Мы предположим, что в каждый момент времени
на вход автомата поступает некоторое конечное число
п сигналов, каждый из которых может принимать одно
из двух значений.
Смысл сигналов может быть самым различным и
зависит уже от конкретного назначения автомата. На-
Например,
а) в автомате, осуществляющем управление сталелитей-
сталелитейным процессом, значение некоторого сигнала на входе
может быть
«Температура в печи выше 1100°» или «Температура в
печи ниже 1100°»;
б) для автоматического стрелочника значение одного
из сигналов может быть
«Поезд А прошел семафор» или «Поезд А не прошел се-
семафор-» и т. д.
Для определенности мы представим себе это условие
так. Вход автомата состоит из п кнопок, каждая из кото-
которых может быть нажата или отпущена. (Состояния «на-
«нажата» и «отпущена» отвечают двум значениям одного из
поступающих сигналов.) Занумеруем кнопки числами 1, 2,
3,. . .Тогда вход нашего автомата будет представлять со-
собой совокупность кнопок Ки Кг,- . . , Кп. Каждый сиг-
сигнал состоит в том, что в данный момент времени определен-'
ная кнопка оказывается нажатой или отпущенной. Обо-
Обозначая эти значения сокращенно буквами Я и О, можно
всю совокупность возможных сигналов, поступающих
в некоторый момент времени t, представить так:
К1—Н или О,
Kt—H или О,
Кп—Н или О.
Мы предполагаем также, что состояние каждой кнопки не
зависит от состояния всех других кнопок. Тогда в каждый
момент времени состояние входа автомата может быть оха-
охарактеризовано какой-нибудь из 2" последовательностей
42

букв Я и 0 длины п. Например (п=5),
/С, Кг К, Kt Ks,
н о н н о.
Нетрудно себе представить, как более сложные сигна-
сигналы могут быть сведены к рассматриваемому типу, если
только выбрать число кнопок достаточно большим. Дей-
Действительно, обыкновенно автомат должен реагировать оп-
определенным образом на значения числовых параметров,
определяющих состояние, регулируемое автоматом (на-
(например, величины давления, температуры, электрического
напряжения и др.). Соответствующие величины могут быть
даны как числа, записанные с определенным числом зна-
знаков в двоичной системе счисления. Каждому разряду соот-
соответствующего двоичного числа можно тогда сопоставить
одну кнопку, условившись, что она будет нажата, ес-
если цифра данного разряда равна 1, и отпущена, если она
равна 0.'
При введенных выше двух упрощениях условие для
искомого абстрактного автомата может быть теперь четко
сформулировано так.
Возможное действие на выходе в момент времени t
(лампочка горит или погашена) должно быть функцией от
состояний совокупности всех кнопок jFCi, Kz, . . • , Кп Для
всех моментов времени, предшествующих t.
Если требуемое действие в момент t обозначить через
z(t) (z(t) принимает в момент времени t одно из двух зна-
значений: «лампочка горит», что мы будем обозначать сокра-
сокращенно буквой Г, и «лампочка погашена» — сокращенно
П), а состояние кнопок в момент времени / через Xi(t),
x2(t) xn(t) (xt(t) принимает в каждый момент вре-
времени t одно из значений Н или О), то задача состоите
создании автомата, удовлетворяющего условию вида
z(t) = F(Xl(t'), xt(t'), ... , х„(П), A)
где xt (t') указывает состояние кнопки К,- во все моменты
времени t', предшествующие данному моменту t.
Наше последнее упрощение касается времени поступ-
поступления сигналов. Мы будем считать, что
3. Сигналы поступают не непрерывно, а в некоторые
дискретные моменты времени, обозначаемые целыми числа-
числами 0, 1, 2,... Это означает, что автомат начинает работать
43

в некоторый момент Г = 0 и сигналы в него поступают, ска- ;
жем, через каждую секунду: t'= О — начальный момент,
f = 1 — через одну секунду, t'= 2 — через две секунды
и т д. до настоящего момента, который является t-Pi
секундой (t'-t) после начала работы автомата. Тогда
вышеприведенное условие A) более подробно выписывает-
выписывается так:
г@ = F(*,@),*,-A) хх @; хг@), *, A) х,(t);...
...;*„(Ь), х„(\) .*„('))• B)
Первым этапом в решении задачи на создание необхо-
необходимого автомата является развернутое описание функций
в правой части равенства B). Оно состоит в формулировке
тех логических условий, при которых лампочка должна
гореть и при которых она должна быть погашена. Именно,
эти логические условия формулируются на языке булевых
функций с применением булевых операций и формул. По
этим формулам уже нетрудно из некоторых элементарных
узлов — реле или диодов и триодов -- составить схему,
выполняющую желаемое автоматическое действие.
Рассмотрим детально в качестве примера частный, но
очень важный случай, когда действие автомата на выходе
зависит от сигналов, поступающих на вход в данный мо-
момент ( а не во все предыдущие). Такие автоматы называют-
называются однотактными, или автоматами без памяти. (Автомат
как бы забывает все сигналы, поступившие раньше, и
реагирует только на те, которые поступили в настоящий
момент.) В этом частном случае условие B) для действия
автомата упрощается и принимает вид
C)
а так как в правой части фигурируют значения х{ только
для данного момента t, то равенство можно проще запи-
записать, положив х{ (t)~Xi, так что
z = F(xt, xt, .... *„)• D)
Здесь мы имеем уже известную нам булеву функцию от п
булевых переменных. Как мы уже знаем, ее можно задать
или таблично, или различными булевыми формулами.
Пусть, например, вход автомата имеет три кнопки, и
мы хотим, чтобы лампочка горела при следующих четырех
44

из восьми возможных сочетаний:
/С, Я Я Я О,
Кг Я Я 0 0,
К, Н О Н Н.
Во всех остальных случаях лампочка должна быть по-
погашена.
Пользуясь булевой алгеброй, а именно, методом при-
приведения таблично заданной булевой функции к дизъюнк-
дизъюнктивной нормальной форме, условие горения лампочки мо-
может быть представлено следующей формулой:
или в обозначениях, употребляемых в электротехнике,
2 = *,*,+*,*•• F)
Здесь хи хг, хг означают:
х,—кнопка /С, нажата,
хг—кнопка Кг нажата,
х,—кнопка К, нажата,
и, конечно, хи хг, хг означают, что соответствующие
кнопки отпущены. Формула E) или F) еще столь проста,
что условие, которое она определяет, может легко быть
выражено и словесно:
Лампочка горит тогда и только тогда, когда истинно
высказывание;
«(Кнопка К% нажата и кнопка Кг нажата)
или
(кнопка Кг отпущена и кнопка /С, нажата)-».
Конечно,*если число кнопок велико и булева функция слож-
сложна, то обычное словесное выражение условия действия ав-
автомата будет мало обозримо, н*о формулу логики высказы-
высказываний — по меньшей мере одну — мы всегда сможем по-
построить по таблице методом, указанным в предыдущем па-
параграфе. Очень существенно, что формулы логики выска-
высказываний записаны исключительно с помощью знаков опе-
операций (отрицание), Д (конъюнкция) и V (дизъюнкция)
(соответственно в электротехнике —, ¦, +). Эти операции в
свою очередь можно осуществить надлежащим располо-
расположением электрических замыкающих и размыкающих
45

контактов или же, что более совершенно, с помощью
электронных диодов и триодов.
Покажем, как это делается с помощью контактов.
Рассмотрим простейший случай. Имеется только одна
кнопка, и автомат должен осуществлять следующее усло-
условие: лампочка горит тогда и только тогда, когда кнопка
)r ¦ oci
Рис. 1.
нажата (рис. 1). Если обозначить высказывание «кнопка
нажата» через х, то логическое условие примет наипростей-
наипростейший вид
Эта задача осуществляется с помощью «замыкающего
контакта» (рис. 2). Из рисунка легко убедиться, что при
нажатии кнопки контакт замыкается и лампочка горит.
._[-*
г
I
Рис. 2.
Рис. 3.
Противоположную задачу «лампочка горит тогда "и
только тогда, когда кнопка отпущена», осуществляет раз-
размыкающий контакт (рис. 3). Если кнопка нажата, то кон-
контакт разомкнут и лампочка погашена; если отпустить кноп-
кнопку, то пружина замыкает контакт и лампочка горит. Раз-
Размыкающий контакт осуществляет операцию отрицания
z = х.
В дальнейшем мы будем замыкающий контакт на схемах
отмечать так:
х
а размыкающий так:
46

Для построения схем, реализующих любые формулы
логики высказываний, нужно теперь еще указать, как
осуществлять операции дизъюнкции и конъюнкции. Конъ-
Конъюнкция реализуется последовательным включением кон-
контактов (замыкающих или размыкающих), дизъюнкция —
параллельным включением. Из схем (рис. 4, 5) непосред-
непосредственно усматривается, что первая срабатывает тогда и
¦Г
г
г-С
Г
Рис. 4.
Рис. 5.
только тогда, когда выполняется верная формула х-у, вто-
вторая, если верна формула х+у.
Вышерассмотренная функция z=XiXt+xtxt, как лег-
легко видеть, реализуется следующей схемой (рис. 6). Более
общо, всякая дизъюнктивная нормальная формула осу-
осуществляется схемой, в которой контакты, соответствующие
Рис 6.
Рис. 7.
членам конъюнкции, включаются последовательно, а все
дизъюнктивные члены в свою очередь помещаются парал-
параллельно. Например, формула
Z =
реализуется схемой (рис. 7). Здесь следует отметить, что,
как непосредственно видно, некоторое элементарное усло-
условие-высказывание (соответствующее в нашем рассмотре-
рассмотрении нажатию кнопки К,) встречается, вообще говоря, в
формуле и в соответствующей схеме несколько раз. Управ-
Управление всеми контактами, как замыкающими, так и размы-
размыкающими, помеченными одной и той же буквой xlt
47

1
происходит с помощью электромагнитных реле, которые1:;
при нажатии кнопки /Q замыкают все замыкающие и раз-
мыкают все размыкающие контакты, отвечающие букве х{.
Сразу же видно, что число контактов в схеме равно чис-
лу букв в соответствующей формуле. Но представление бу-
левых функций формулами не однозначно. Скажем, фор-
мулы
a) (*,A*.)V(*xA*.A*«) и б) ^A&VKA**))
представляют, как легко проверить, ту же самую функ-
функцию. Им будут соответствовать две различные схемы
(рис. 8).
Рис. 8.
В предшествующих параграфах мы показали, как лю-
любую булеву функцию можно представить в виде формулы,
содержащей только знаки отрицания, конъюнкции и дизъ-
дизъюнкции. Это утверждение равносильно тому, что любой
однотактный автомат можно построить с помощью после-
последовательного и параллельного соединений замыкающих
и размыкающих контактов.
Кнопка, замыкающая (или размыкающая) один или
несколько контактов при нажатии, является простейшим
коммутационным (соединительным) прибором. Для созда-
создания автомата с принципиальной точки зрения не суще-
существенно, каким именно способом будет осуществляться
замыкание или размыкание электрической цепи. В совре-
современной автоматике для этих целей применяются самые раз-
различные устройства: электромагнитные реле, электронные
лампы, полупроводниковые устройства и др.
Независимо от конкретного технического выполнения
того или иного автомата, алгебра логики позволяет опре-
определить его структуру, его логическую схему. Как мы
видели на простых примерах однотактных автоматов, ло-
логическая схема соответствует представлению булевой функ-
функции некоторой формулой логики высказываний. Различ-
48

ным формулам, представляющим одну и ту же булеву
функцию, соответствуют различные схемы автоматов, вы-
выполняющих одинаковые действия. Тем самым возникает
важная задача: среди равносильных формул найти воз-
возможно более простые, содержащие возможно меньшее чис-
число букв. Это — трудная задача алгебры логики, называе-
называемая задачей минимизации, которая до сих пор в общем
случае не получила еще окончательного удовлетворитель-
удовлетворительного решения. Существенные успехи в направлении ее ре-
решения достигли советские ученые Ю. И. Журавлев,
О. Б. Лупанов, С. В. Яблонский и др.
Мы затронули в нашем изложении только простейшие
автоматические устройства — однотактные. Между тем
особый интерес представляют сейчас устройства много-
тактные, или устройства «с памятью», у которых действие
на выходе зависит от поступивших сигналов в некоторый
прошедший промежуток времени. Исследование таких
устройств намного сложнее. В настоящее время здесь воз-
возник новый раздел математики, тесно связанный с матема-
математической логикой, который называется «абстрактной тео-
теорией автоматов», с которым можно познакомиться по уже
довольно обширной литературе.

ГЛАВА ВТОРАЯ
ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННЫЕ
ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ
§ 1. Значение тождественно истинных формул
для логики высказываний
В предыдущей главе мы ввели важное понятие
равносильности формул логики высказываний. Две фор-
формулы А и В равносильны (.4=5) тогда и только тогда,
когда они представляют одну и ту же булеву функцию от
входящих в них переменных. Там же мы обсудили задачу,
как установить, равносильны ли две данные формулы
или нет.
Вообще говоря, само определение показывает, как в
любых случаях конечным числом операций можно устано-
установить равносильность или неравносильность двух формул
А и В. Для этого нужно вычислить значения истинности
формул для всевозможных значений истинности перемен-
переменных и сравнивать их. Если для всех значений переменных
значения истинности формул А и В совпадают друг с дру-
другом, то формулы равносильны, в противном случае — нет.
Таким образом, на первый взгляд может показаться, что
проблема уже решена и притом самым простым образом и
что все дальнейшие исследования в этом направлении
излишни.
Приведем два соображения, показывающие, что это
первое впечатление обманчиво.
Одно соображение мы уже вскользь упоминали. Если
число переменных не очень мало, то число наборов, кото-
которые нужно подставлять, будет очщнъ велико и применение
простого принципа сравнения значений формул А и В
50

Может стать практически невыполнимым. Ведь, как мы
уже говорили, уже для 30 переменных нужно испробовать
более 10' наборов. Для установления равносильности нуж-
нужно еще для всякого набора провести вычисление значений
обеих формул, а если эти формулы достаточно большой
длины, то на это в свою очередь понадобится большое чис-
число операций. Наличие общих критериев равносильности
зачастую позволяет убедиться в равносильности или не-
неравносильности формул, не прибегая к подобным вычис-
вычислениям всех значений формул.
Во-вторых — и это соображение,. по-видимому, более
важно — в логике высказываний, в ее применениях и в
логике предикатов, о которой будет идти речь в гл. III,
в большинстве случаев интересуются не равносильностью
двух каких-либо формул, а равносильностью бесконечного
множества пар формул. Нужны утверждения, согласно
которым все формулы некоторого определенного вида рав-
равносильны соответственно формулам некоторого определен-
определенного другого вида. Если классы формул рассматриваемых
видов содержат бесконечно много формул, то, очевидно,
подобные утверждения не могут быть установлены даже
сколь угодно громоздким подсчетом, а требуют примене-
применения общих соображений. К таким общим соображени-
соображениям относятся, например, рассуждения в предыдущей
главе, позволившие нам установить равносильность
любой формулы формуле в дизъюнктивной нормальной
форме.
На протяжении этого, параграфа мы наряду с задачей
о равносильности формул встретимся с другими сходными
задачами. Относительно них можно сделать те же замеча-
замечания: коль скоро речь идет о конечном числе формул, то
все рассматриваемые свойства и отношения могут в прин-
принципе быть проверены прямым подсчетом. В пользу приво-
приводимого общего рассмотрения можно всякий раз повторить
соображения, подобные тем, которые мы привели для слу-
случая задачи равносильности.
Покажем, что равносильность двух формул легко сво-
сводится к тождественной истинности некоторой формулы.
Действительно, имеет место следующее, легко доказывае-
доказываемое предложение.
Пусть А и В — две формулы логики высказываний
(всегда можно считать, что эти формулы зависят от од-
одних и тех же переменных хи х2>. . . , хп). Формулы А и В
51

равносильны: А^В тогда и только тогда, когда формула
А.~В тождественно истинна.
Действительно, если Л (я, xn)=B(xi, ...,*„), то, какие
бы мы значения истинности аи а2 ап ни подставляли
вместо переменных хи х2 хп, или А{а\ ап) и
В (ai an) обе будут иметь значение и или же обе будут
иметь значение л. И в том, и в другом случае высказывание
А(ах ап) ~В (аи ..., ап) будет истинно. Следовательно,
формула A(xi хп) ~ В(хи ..., хп) будет истинна для
всех значений своих переменных,-т. е. будет тождественно
истинной формулой.
Наоборот, если АфВ, то для некоторого набора
ах ап значений истинности одно высказывание будет
иметь значение и, другое, л. Тогда А(а^, ..., ап) ~
В (ai ап) будет ложным высказыванием, а следова-
следовательно, формула A(xi xn)~B(xi хп) не будет
тождественно истинной.
*¦ Тем самым задача об установлении равносильности двух
фюрмул сводится к установлению тождественной истин-
истинности формул некоторого частного вида.
Наряду с отношением равносильности между формула-
формулами логики высказываний рассматриваются некоторые дру-
другие отношения, представляющие большой интерес для ло-
логики и ее применений. Среди них наиважнейшим являет-
является отношение логического следования. Мы остановимся
сейчас -несколько более подробно на этом отношении, по-
покажем сводимость этого понятия к тождественной истин-
истинности формул некоторого частного вида и обсудим значение
этого отношения.
Пусть A(Xi хп)=А и B(xi хп)=В — две форму-
формулы логики высказываний от переменных хи... , хп. Мы
будем говорить, что формула B(xt xn) является логи-
логическим следствием формулы A(xit..., xn), если В принима-
принимает значение и для всех наборов значений истинности, для
которых А истинна. Это означает также, что если предста-
представить обе формулы их таблицами истинности, то множест-
множество наборов, для которых А истинна, содержится в множест-
множестве наборов, для которых истинна формула В.
Например, согласно этому определению формула
В = (x\Jz) является логическим следствием формулы
А = ((x\/y)/\z). Это видно из соответствующих таблиц
истинности:
52

X
и
и
и
и
Л
л
л
л
У '
и
и
л
л
и
и
л
л
г
и
л
и
Л
и
Л
и
Л
((* V у) Л г)
и
Л
и
Л
и
Л
л
л
(*V*)
и
и
и
и
и
л
и
л
Из сказанного видно, что две формулы А к В равносильны
тогда и только тогда, когда каждая из них является логи-
логическим следствием другой. Из определения также явству-
явствует, что всякая формула является логическим следствием
тождественно ложной формулы. Действительно, так как
в этом случае формула А никогда не принимает значения
и, то множество наборов,, для которых А истинна, пусто и
содержится, следовательно, в множестве наборов истин-
истинности для любой формулы В. Также очевидно, что тож-
тождественно истинная формула является логическим следст-
следствием любой формулы.
Введенное понятие следующим образом сводится к
понятию тождественной истинности некоторой формулы:
Формула В=В (*i хп) является логическим следст-
следствием формулы А=А(хи...,хп) тогда и только тогда, когда
тождественно истинна формула
A(xlt
ха)-уВ{хг, ... , хп).
Действительно, пусть В(хи ...,хп) является логическим
следствием формулы A(xt xn). Если для какого-нибудь
набора аи ...,#„ значении истинности Л (а1(..., ап) имеет зна-
значение и, тоиВ(аь ...,ап) имеет значение и; следовательно,
для аи..., ап имеем.что А(аи ...,ап)—+В{ау ап) истинна.
Если же А(аи...,ап) имеет значение л, то, каково бы ни
было значение истинности B(ait..., ап), согласно определе-
определению импликации также получаем, что А(аи..., а„)->-
-+В(аи ..., ап) истинна. Значит, в этом случае Л (хи ...,хп)->
->¦ В(хи ..., хп) всегда истинна, т. е. это тождественно
истинная формула.
53

Предположим наоборот, что В(хи ...,хп) не является
логическим следствием формулы А(хи ..., хп). Это означа-
ет.что для некоторого наборааи ..., апформула А(ау, ...,ап)
будет истинна, а В(аи ..., ап) ложна. Но тогда для этого
набора А (аи---, ап)-+В(аи ..., ап) будет ложной, и значит,
формула А-+В не тождественно истинна.
Если принять во внимание то существенное огрубление
логических понятий, которое имеет место в логике выска-
высказываний, то следует признать, что приведенное определе-
определение достаточно точно отражает то интуитивное понятие
логического следования, которым мы пользуемся при деду-
дедуктивных заключениях в точных науках и, в особенности,
в математике. Отметим, что введенное нами отношение от-
относится не к единичным высказываниям, как это имело
место для понятия импликации, а к целым множествам
высказываний определенной формы, описываемых форму-
формулами А(хи ..., хп) и В (xi хп). Формулу А (хи ..., хп)
можно рассматривать как условие, которое может быть
выполнено или нет в зависимости от истинности или лож-
ложности формулы А. Отношение логического следования вы-
выражает тот факт, что всегда, когда выполнено условие,
описываемое формулой А(хи ...,хп), имеет место ситуация,
описываемая формулой В(хи ..., хп). Мы считаем, что
В(хи ...,хп) является логическим следствием А(хи ..., хп)
потому, что знание об истинности А позволяет нам
утверждать истинность В во всех случаях и без знания'
какой-либо дополнительной информации. Если, наоборот,
A(ai,..., ап) ложна, то В(аи ..., ап) при этом может быть и
истинной, и ложной, что не нарушает известную нам тож-
тождественную истинность
А{хх, ... , xn)-*B(xv ... , хп).
В этом случае без дальнейшей информации мы не можем
утверждать истинность высказывания Б(аь ..., ап). Как
мы видим, эта ситуация вполне соответствует нашему пов-
повседневному пониманию логического заключения.
Любая тождественно истинная формула теории вы-
высказываний вида
соответствует некоторой общей схеме логического заключе-
заключения. Для того чтобы уяснить это себе, рассмотрим при-
пример одной схемы логического заключения, часто приме-
54

няемой в математических доказательствах, а именно, уста-
установление истинности некоторого утверждения путем при-
приведения противоположного утверждения к абсурду. Схе-
Схема этого заключения выглядит так. Предположим, что
нужно доказать истинность некоторого утверждения А.
Предполагается, что истинно утверждение "\А. После
этого показывается, что тогда имеется некоторое такое ут-
утверждение В, что истинными являются оба утверждения
~]А-+В и ~\А-*~~\В. Это и есть то, что называется абсурдом.
Как доказывается истинность этих двух импликаций, нас
в настоящее время не интересует1). Мы предполагаем, что
они уже доказаны. Тогда мы утверждаем, что истинно вы-
высказывание Л. Спрашивается, на основании какого логи-
логического закона делаем мы это заключение. Оказывается,
что это заключение основано на тождественно истинной
формуле
(О
логики высказываний. (Читатель легко проверит, что (*)—
тождественно истинная формула.) Формула (*) имеет вид
А(х, у)-+В(х, у). Формула л: является логическим следст-
следствием формулы (~]х-*-у) j\(~]x-*-~]y)- Если нам уже известно,
что (~]А-+В) Л (~И-»-В) истинна, то мы отсюда заключаем,
что истинно утверждение А. Это и есть схема заключения
приведением противоположного утверждения к абсурду.
В следующем параграфе мы дадим обзор логических
тождеств, лежащих в основе важнейших обычных схем
логических заключений. Теперь же мы приведем другие
возможные логические .отношения между формулами
Л(*1,..., хп) и B(xit..., xn) логики высказываний, содер-
содержащими переменные высказывания xi,..., xn, отношения,
основанные на тождественно истинных формулах и по-
позволяющие делать логические заключения.
1. Как мы уже видели, если
Л(х, хп)-^В(х1 *„) A)
— тождественно истинная формула, то всякий раз,
х) Это зависит уже от строения самих высказываний А и В и
устанавливается на основании законов и правил, относящихся к
той математической теории, к которой относятся данные высказы-
высказывания. Для формального описания этих законов недостатЪчно ло-
логики высказываний. Мы несколько более подробно остановимся
на относящихся сюда соображениях, когда мы познакомимся с ло-
логикой предикатов-
55

когда А(аи---, ап) истинна, В(аи---, ап) также истинна.
(Если A(ai,...,an) ложна, то относительно В(аи---, ап) на
основании A) ничего утверждать нельзя.)
2. Если
А(хх xn)\JB{x, xn) B)
— тождественно истинная формула, то всякий раз,
когда А(а1(..., а„) ложна, формула В(а, ап) истинна.
(Если A(ui ап) истинна, .то относительно B(ai ап)
ничего утверждать нельзя.)
3. Если
A(xv ... , xJ\/-]B(xlt ..-;, хп)
тождественно истинна, то из ложности А(аи...,ап) вытекает
ложность B(ai an). (Если A(ai an) истинна, то отно-
относительно B(cti,..., an) ничего утверждать нельзя.)
4. Если
A(xt xJ\B(xlt ... , хп)
— тождественно истинная формула, то коль скоро истин-
истинно высказывание A(ai an), то fi(ai,..., an) ложно.
(Если Л (ai,...,an) ложно,то о В {аи...,ап)ничего утверждать
нельзя.)
5. Если, как нам уже известно,
A(xt, ... , x'J~B(xt хп)
— тождественно истинная формула, то всякий раз, когда
сложное высказывание A(at ап) истинно, то В (аи.--,ап)
истинно, а когда А (аи---, а„) ложно, то и В (ai,..., а„)ложно.
6. Наконец, если
1(А(х1 хп) ~B(xlt ... , хп))
— тождественно истинная формула, то из истинности
Л(й1 ап) следует ложность В(аь..., ап), а из ложности
A (at ап) следует истинность fi(at ап).
Мы не будем доказывать приведенные утверждения;
они устанавливаются простыми рассуждениями, вполне
аналогичными тем, которые мы проводили выше, доказы-
доказывая утверждения 1 и 5.
Из сказанного видно, какую большую роль играют
тождественно истинные формулы- логики высказываний.
Ознакомимся теперь детальнее с некоторыми из них.
56

§ 2. Примеры тождественно истинных формул
логики высказываний
В настоящем параграфе мы рассмотрим ряд тож-
тождественно истинных формул логики высказываний. В пре-
предыдущем параграфе мы установили, что тождественно ис-
истинные формулы лежат в основе логических заключений;
для некоторых из приводимых нами тождественно истин-
истинных формул мы обсудим соответствующий тип заключе-
заключений. Существует бесконечно много тождественно истинных
формул, и выбор тех или иных примеров всегда будет в
некоторой мере случайным. В нашем случае мы старались
выбрать те, которые особенно часто используются в прак-
практике математических доказательств. Вновь отметим, что
логика высказываний является слишком бедной теорией
для описания логического аппарата математических за-
заключений. Тем самым и типы логических заключений, ос-
основанных на тождественно истинных формулах логики
высказываний, далеко не исчерпывают логических зако-
законов, используемых математикой, не говоря уже о логи-
логических заключениях в других науках.
Тот факт, что приводимые ниже формулы являются
тождественно истинными, легко усматривается на осно-
основании таблиц истинности, определяющих логические опе-
операции.
Укажем сначала три «классические» тождественно ис-
истинные формулы.
1. Закон тождества:
х—ух
«Всякое высказывание является логическим следстви-
следствием самого себя».
2. Закон противоречия:
~\{х/\-]х).
Этот логический закон лежит в основе следующего утверж-
утверждения: «Для всякого высказывания а неверно, что истин-
истинно и высказывание а, и его отрицание».
Закон противоречия естественно также сформулиро-
сформулировать как утверждение, согласно которому формула
тождественно ложна.
57

3. Закон исключенного третьего:
x\J.-\x. .
Этот закон утверждает, что «для каждого высказывания х
или само высказывание, или его отрицание истинно».
Наряду с указанными тремя законами нужно отметить
также:
4. Закон двойного отрицания
согласно которому отрицание от отрицания любого выска-
высказывания равносильно самому высказыванию.
5. Добавление антецедента verum ex quolibet
(истина из чего угодно)
Если А — истинное высказывание, то для любого выска-
высказывания В импликация В-*-А будет истинным высказы-
высказыванием.
6. Ex fatso quodlibet (из ложного что угодно)
П* — (* — У)).
Если В — ложное высказывание, а тем самым ~\В истин-
истинно, то В имплицирует любое высказывание.
7. Modus ponens
лежит в основе одного из самых важных типов логиче-
логического заключения. Если истинно, что некоторое высказы-
высказывание А имплицирует высказывание В и, кроме того, вы-
высказывание А истинно, то согласно закону modus ponens
можно заключить, что истинно В. Этот тип заключения
повсеместно употребляется при математических доказа-
доказательствах.
Проанализируем применения этого закона на примере
простого заключения в элементарной арифметике:
«Все простые числа, большие 2, нечетны»,
«7 есть простое число, большее 2».
Следовательно, «7 есть нечетное число».
На основании каких логических законов делается это
заключение? Здесь применяются два закона. Первый закон,
58

закон заключения от общего к частному, относится не к
логике высказываний, а к лотике предикатов, с которой
мы познакомимся в следующей главе. На основании
этого закона преобразуется первая посылка заключения.
Для этого перепишем сперва эту посылку в удобной для
нашей цели форме:
«Для всех х, если х — простое число, большее 2, то
х нечетно». Согласно заключению от общего к частному,
всякое высказывание
«Если q — простое число, большее 2, то q нечетно»
истинно. Например,
«Если 1 — простое число, большее 2, то 1 нечетно»,
«Если 2 — простое число, большее 2, то 2 нечетно»,
«Если 3 — простое число, большее 2, то 3 нечетно»
и т. д. являются истинными высказываниями. В частности,
имеем
«Если 7 — простое число, большее 2, то 7 нечетно»
— истинное высказывание.
Кроме того, по предположению, высказывание
«7 — простое число, большее 2»
истинно.
Положим
А — «7 — простое число, большее 2»,
В — «7 нечетно».
Тогда имеем
А —*¦ В истинно
и
А истинно.
Теперь применяется modus ponens; следовательно, В ис-
истинно, т. е. высказывание «7 нечетно» истинно.
8. Двойственным к modus ponens является закон, извест-
известный под латинским названием modus tollens:
Этот закон лежит в основе следующего типа логических
заключений: предполагается известным, что утверждение
А имплицирует утверждение В, а также становится из-
известным, что утверждение В ложно, тогда на основании
modus tollens заключают, что А ложно. В несколько из-
измененной форме modus tollens записывается так:
59

Modus tollens употребляется при доказательствах от-про-
от-противного. Нужно доказать некоторое утверждение Л.
Предполагается, что Л ложно, и показывается, что ~\А им-
имплицирует некоторое высказывание В, о котором извест-
известно, что оно ложно (т. е. "j В истинно). Отсюда заключается
на основании modus tollens, что А истинно.
9. Очень важную роль в доказательствах играет закон
силлогизма
Если высказывание А имплицирует высказывание В, & В
в свою очередь имплицирует высказывание С, то отсюда
можно заключить, что А имплицирует С.
Этот закон позволяет при доказательствах некоторого
утверждения пользоваться сколь угодно длинными цепоч-
цепочками заключений. Пусть необходимо показать, что некото-
некоторое высказывание А имплицирует некоторое высказыва-
высказывание В. Во многих случаях импликация А —у В непосредст-
непосредственно не усматривается. Для доказательства этой импли-
импликации выбирается ряд промежуточных высказываний
А=А0, Аи Л2 Ап—В таких, что А{—*А1+1 все могут
быть легко доказаны. Тогда утверждается, что имеет мес-
место импликация А -+В.Это последнее логическое заключение
делается на основании вышеуказанного закона силлогиз-
силлогизма, применяемого п раз по следующей схеме:
(А—>~А1 )/\(А1 —> Л2) истинно, значит, А—+Аг истинно,
(А—у Аг )/\{Аг —»• Л,) истинно, значит, Л—»-Л, истинно,
(Л—»-A,-i)A(A,-i—>-В) истинно, значит, Л—*В истинно.
§ 3. Формальный вывод тождественно
истинных формул логики высказываний
В этом параграфе мы остановимся на одном ме-
методе получения всех тождественно истинных формул логи-
логики высказываний. Этот метод называется методом фор-
формального вывода. Он.играет центральную роль в более слож-
сложных разделах математической логики и в ее применениях
к исследованиям оснований математики. Об этом мы по-
поговорим в последней главе нашей книги. Изложим сейчас
60

применение этого метода к получению тождественно истин-
истинных формул логики высказываний.
Если до сих пор мы рассматривали формулы логики
высказываний как выражения для булевых функций, то
в методе формального вывода эти формулы рассматри-
рассматриваются просто как некоторые последовательности симво-
символов, построенные по определенным правилам. В соответ-
соответствии с этим мы дадим новое определение понятия фор-
формулы логики высказываний. Для этого сначала задается
некоторый список элементарных символов, называемый
алфавитом. Элементарные символы, входящие в этот ал-
алфавит, называются буквами. Наш алфавит состоит из сле-
следующих букв:
1) переменные: xit х2, хг>... (латинская буква с индек-
индексом, например х[г рассматривается как одна буква);
2) знаки логических операций: "], /\, V. -*¦ >~;
3) скобки: ( ).
Далее определяется понятие слова. Под словом мы будем
понимать любую конечную последовательность букв. На-
Например, словами будут такие выражения:
. (-
Два слова считаются равными — вли, как мы будем го-
говорить, графически равными,— если они состоят из оди-
одинаковых букв, записанных в одной и той же последова-
последовательности. Таким образом, слова "П*, и ~[~Ui графически
равны между собой, а слова ( ) и "]) не равны, так же как
не равны (графически) слова (хгАХц) и (*5Л*,)- Мы бу-
будем обозначать слова большими латинскими буквами
А, В, С, D и т. д.
Мы хотим среди всех слов выделить именно те, которые
будут как раз уже знакомыми нам формулами логики вы-
высказываний. Это, оказывается, нетрудно сделать по одному
только виду слов, не обращаясь к какому-либо смыслу
составляющих их букв.
Дадим следующее определение понятия формулы:
1) Всякая переменная (т. е. слово вида xit x2, *,,...)
является формулой.
2) Если слова А и В являются формулами, то сло-
слова ~]А, (А/\,В), (А\/В), (А-+В), (А~В) являются фор-
формулами.
Никакие другие слова, кроме тех, которые получены
по правилам 1) и 2), не являются формулами.
61

Нетрудно убедиться, что таким образом получаются как
раз уже знакомые нам формулы логики высказываний.
Дадим примеры правильно построенных формул:
хг, xs, •*,. х1Ь — формулы согласно 1).
Следовательно, согласно 2)
(*.A*i)> (*i-**,). Ixi5—Формулы.
Опять согласно 2)
((*.A*i)V(*i—>*,)) и ((xt/\xt) ~1 *,,) — формулы.
И, наконец,
Отметим важное свойство данного определения понятия
формулы. Можно, оказывается, описать процедуру, кото-
которая, будучи применена к любому слову, после конечного
числа шагов установит, является ли данное слово фор-
формулой или нет, и даже, более того, по записи формулы эта
процедура восстановит, в какой последовательности была
построена формула. Мы не будем останавливаться на до-
довольно кропотливом доказательстве этого факта. Укажем
лишь на то, что для проверки того, является ли некоторое
слово формулой, необходимо проверить расположение
открывающих и закрывающих скобок, а также расположе-
расположение операций логики высказываний.
Имея теперь в своем распоряжении совокупность фор-
формул как некоторых построенных по определенным прави-
правилам последовательностей букв, мы можем сделать следую-
следующий шаг в направлении определения понятия формаль-
формального вывода. Мы опишем сейчас два правила преобразова-
преобразования формул. Эти правила будем называть правилами вы-
вывода. На основании правил вывода определяется понятие
формального вывода;
1. Правило подстановки. Из формулы А, содержащей
переменную а:,-, можно вывести формулу ?ВЬ(А), где ?хв{А)
получена из формулы А подстановкой в нее формулы В
на место всех вхождений переменной xt. Легко видеть,
что слово ?в (А) является правильно построенной фор-
формулой.
Например, F^^a)((xi Л х2) ->*i) = (((*2 ->-•*,)Л*г)->
62

Заметим еще, что если переменная х{ не входит в А,
то можно определить FXJ(A) — А.
Для применения правила подстановки нужно знать
лишь записи тех формул, в которые производится подста-
подстановка, и не требуется знать значений этих формул. По-
Поэтому применение правила подстановки может быть осу-
осуществлено с помощью автоматического устройства.
2. Правило modus ponens. Второе правило применимо к
некоторым двум формулам и дает в результате одну фор-
формулу. Пусть мы имеем две формулы вида А и (А -> В)
(здесь важно, что первая формула А графически равна
антецеденту второй< формулы: наше правило применимо
только к таким двум формулам); тогда можно вывести фор-
формулу В. В этом случае мы будем говорить, что формула В
получается из формул А и (А -v S) в результате примене-
применения правила modus ponens. Например, в результате приме-
применения правила modus ponens к формулам (ati-va^) и
((х± -vjc2) -v(*2 Л *s)) получается формула (х2 Л х,У> в
результате применения правила modus ponens к {х± Л х2)
и ((*iA х2) ->*,) получается. хг.
Отметим, и подчеркнем следующие свойства правила
modus ponens. Во-первых, это правило применимо не ко
всяким двум формулам, а только к формулам вида А и
(А ->В), где Л и Б — произвольные формулы. Во-вторых,
так же как и в случае правила подстановки, правило modus
ponens осуществляется над записями формул и может в
принципе производиться некоторым автоматическим
устройством.
Теперь, наконец, мы можем определить основные по-
понятия — выводимости и формального вывода. Пусть Ф —
некоторая заданная совокупность формул. Совокупность
может быть конечной или бесконечной (но нас в первую
очередь будет интересовать случай конечных совокупнос-
совокупностей). Применяя к формулам из Ф всевозможным образом
определенные выше правила вывода, мы получим неко-
некоторую большую совокупность формул Ф4, содержащую Ф.
Про формулы из Ф4 мы будем говорить, что они выво-
выводимы из Ф за один шаг. Далее, будем рассматривать сово-
совокупность формул Фг, выводимых за один шаг из Ф4. Про
них мы будем говорить, что они выводимы из Ф за два ша-
шага. Предположим, что мы уже имеем множество формул Ф„,
выводимых из Ф за п шагов. Ту совокупность формул, ко-
которые мы можем получить из Ф„ однократным применением
63

одного из правил вывода (подстановки или modus
ponens), будем считать совокупностью Ф„+1 формул, вы-
выводимых из Ф за п+1 шаг. Некоторая формула А будет
считаться выводимой из Ф, если она выводима лз Ф за
некоторое конечное число т шагов, т. е. принадлежит не-
некоторому множеству Фт. Естественно считать, что сами
формулы из Ф выводимы из Ф за 0 шагов (Фо = Ф).
Под выводом некоторой формулы А из множества фор-
формул Ф'понимается некоторая последовательность формул
А А А А
**о' 1> г' ' ' ' ' "-п
такая, что каждая из формул At или принадлежит Ф, или
же получается из предшествующих ей формул Аа, Аи.--,
At.t однократным применением одного из. приведенных
выше правил вывода, причем последняя формула Ап
графически равна формуле А, выводимость которой утвер-
утверждается. Нетрудно видеть, что если для некоторой форму-
формулы А имеется вывод из Ф, то она выводима из Ф. При
этом, если имеется вывод, состоящий из формул Ао, Аи <••
..., Л„„,, Ап, то А выводима из Ф не более чем за п ша-
шагов. Обратно, из определения понятия выводимости фор-
формулы следует, что для всякой выводимой формулы суще-
существует некоторый вывод. Для уяснения понятия выводимо-
выводимости и вывода рассмотрим несколько простых примеров.
Затем мы перейдем к описанию выводимости совокупно-
совокупности тождественно истинных формул.
а) Пусть множество Ф состоит из одной формулы хг.
Тогда, как сразу видно, произвольная формула А выво-
выводима из Ф и притом за один шаг. Действительно, достаточ-
достаточно применить к формуле хг правило подстановки F*A (xi)
для того, чтобы получить формулу А. Ее вывод выглядит
так: Хи А. Вообще, если из некоторого заданного множест-
множества формул Ф выводима какая-либо однобуквенная форму-
формула X;, то из этого множества выводимы все формулы. ,
б) Пусть Ф состоит из одной формулы (xt -*-х2). По-
Покажем, что из Ф выводима произвольная формула А. Для
этого покажем сперва, что из Ф выводима формула -х2.
Действительно, применим к (xi -*-x2) правило подстанов-
подстановки: Ffi,-,.*,) (xi -*-x%). Следовательно, из Ф выводима фор-
формула ((*! -*-х2) -*-х2) и, конечно, сама формула (xi -*-x2).
К этим двум формулам можно^уже применить правило
modus ponens, в результате чегб получается формула х2.
64

Если теперь А — совершенно произвольная формула
(скажем, A = (xt/\xt)), то мы ее можем получить из х2 по
правилу подстановки F^(jc2)- Таким образом, окончатель-
окончательно мы получаем для А следующий вывод из формулы
( )
При рассмотрении последнего примера мы воспользова-
воспользовались некоторым простым свойством понятия ;выводимости,
непосредственно вытекающим из определения: если все
формулы Некоторого множества формул V выводимы из
множества формул Ф, а некоторая формула А выводима
из ?, то Л выводима также из Ф.
в) Пусть Ф состоит из формул А, ~\А и (А -+¦ (~]А -> х)).
Тогда из Ф выводима любая формула. Применяя правило
modus ponens к формулам А и (А -+(~]А -+х)), выводим
формулу (~\А -+х). Применяя еще раз правило modus
ponens к последней формуле и формуле ~\А, выводим
формулу х. А как мы видели'раньше, если мы вывели пе-
переменную х, то мы можем вывести любую формулу.
Это обстоятельство имеет важное значение. Формула
(А -> ("[Л ->*)) является тождественно истинной, како-
каковы бы ни были формула А и переменная х. Раз эта форму-
формула тождественно истинна, то мы можем пользоваться ею
в выводах одних тождественно истинных формул из других
и, в частности, при построении дедуктивных, теорий (о
которых подробнее см. в заключении). Поэтому если мы
из какой-то системы формул выводим формулы А и ~]А,
то из этой системы выводится любая формула. Такая си-
система называется противоречивой.
г) Конечно, не из любого Ф выводимы все формулы.
Например, если Ф состоит из одной формулы ~]хи то с
помощью правила подстановки из Ф можно получить все
формулы вида ~\А, где А — произвольная формула, и
только такие формулы. Ведь нетрудно себе уяснить, что
к формулам вида ~]А невозможно применять правило
modus ponens, а с помощью одних лишь подстановок мы
никогда не получим, скажем, формулу х^.
Аналогично из множества, состоящего из двух формул
(jc,->-J(;i) и (Xi ->(jci ->jci )), можно получить все формулы
вида (А ->Л) и вида (А ->(Л ->Л)), где А —произволь-
—произвольная формула, и только их. Мы предоставляем проверить
это утверждение читателю.
3 . Л. А. Калужнин , 65

д) Рассмотрим несколько более сложный пример Выво-
Вывода. Пусть Ф состоит из двух формул
¦(*,—>*•))•
0 = i(x —у (г ух))
i\t — \\л% \л.1 *лг))
Следует указать вывод формулы (xi -»¦ JCi) из Ф и тем са-
самым доказать выводимость (jci -vXi) из Ф. Покажем сна-
сначала выводимость формулы. (лс4—>лс4) из Ф, отсюда уже
подстановкой xi вместо дг4 сразу получается (х± ->JCi).
Итак, применим последовательно подстановки xt вместо хг
И jf. вместо jci к формуле R2. Получаем формулу -Rt=
— ((xt -+(х2 -+xj) -*• ((xl-^-Xz) -+(x4-+xt))). Теперь под-
подставим в RiXt вместо х^ получаем Rts((xt ->(jc2 -*-xt)).
Применяем правило modus ponens к Rt и Rt. В резуль-
результате получается /?,= ((лг4—^-лг2) -+(xt-+xj). Обращаемся
опять к формуле Ri и переводим ее подстановками сна-
сначала в (xi -*-(xt-+Xi)), а потом в (х2 ->(*«-> *г))- В пос-
последней формуле производим подстановку Ri вместо х%.
В результате получается формула Rt = (Ri -*¦ (ж4-> i?i))
(или, если ее детально выписать, /?, = ((л;4 —¦- (дс2 ->-л;1))->-
-»¦(*« -*¦ (*i -ч-(*а ->*i))))). Применим правило modus ponens
к ^! и /?,. Получаем ?, ^ (^4->-/?i). В Rt производим под-
подстановку Ri вместо хг, а получаемую формулу ((*4->-#i) ^->
->(jc4->jc4)) обозначим через /?,. Теперь по правилу modus
ponens, примененному к /?, и /?„ получаем, наконец,
(xt -*-xt)f откуда уже подстановкой Xi вместо xt .оконча-
.окончательно ВЫВОДИТСЯ (Xi —*- JCi).
Приведем еще раз этот вывод в обозримой форме
Ф
я.
я,
я,
я4
с*.-
->
(xt-
ч-х»)))
FS(F2W)
66

R,
*.
R,
Rt
R,
((xt-+*t)-+(Xi-+xt)) .
(*« -* (*« -*¦ Xi))
(*, -+ (xt ->¦ xt))
(xt -+xj
(Xy -+¦ X,)
правило
modus ponens
к Rt и /?,
F?№)
F*;(F^ (/?,))
F^(F*;(F?,(«,)))
правило
modus ponens
к /?, и /?,
F^(/?,)
правило
modus ponens
к /?, и /?,
F?(*,)
В примере г), как нетрудно проверить, обе формулы
Ri и #2 — тождественно истинные формулы логики вы-
высказываний. Оказывается, что сформулированные нами
правила вывода обладают тем замечательным свойством,
что они всегда переводят тождественно истинные формулы
в тождественно истинные. Рассмотрим это утверждение
несколько более внимательно. Пусть А{хи х2,-.., хп) ==
^ А— правильно построенная формулу, в которой участ-
участвуют только переменные хи х2,-.., хп, и пусть эта формула
тождественно истинна. Пусть в результате подстановки
произвольной формулы В вместо переменной х( получается
некоторая формула С. В результате подстановки в форму-
формуле С, вообще говоря, будут встречаться наряду с перемен-
переменными хи *2,..., хп также те переменные, иа которых была
построена формула В. Итак, пусть формула С зависит of
переменных хи хг, •¦-, хт, что мы отметим в ее записи С=
—С(хи Хг,..., хт). Теперь можно сообразить, что формула
3* 67

С (xit х2 хт) будет тождественно истинной. Действитель-
Действительно, при вычислении значения формулы С (хи х2 х'т)
для некоторого набора значений переменных следует,
очевидно, поступать так: вычислить сначала значение
формулы В и подставить в формулу А вместо х( найден-
найденное значение, а для других переменных, встречающихся
в А, подставить приданные им значения. Но так как фор-
формула А была по предположению тождественно истинна,
то она принимает значение и при любых наборах, а следо-
следовательно, и при указанной нами процедуре. Тем самым
при применении правила подстановки тождественно ис-
истинная формула переходит опять в тождественно истин-
истинную формулу.
Предположим теперь, что даны две тождественно ис-
истинные формулы вида А и (А ->Б). Как мы видели в пре-
предыдущем параграфе, если формула (А -> В) тождественно
истинна, то формула В принимает значение и для всех
наборов, для которых формула А принимает значение и.
Но так как А тождественно истинна, то она принимает
значение и для всех наборов. Следовательно, и В прини-
принимает значение и при всех наборах и является тождествен-
тождественно истинной формулой. Отсюда видно, что правило mo-
modus ponens переводит тождественно истинные формулы
А и (A -vВ) в тождественно истинную формулу В.
Вывод формулы А из некоторого множества формул Ф
осуществляется последовательным применением правил
вывода к формулам из Ф. Отсюда вытекает следующий ос-
основной факт. Если Ф состоит из некоторого множества
тождественно истинных формул, то из Ф выводимы
только тождественно истинные формулы. Так как не
все правильно построенные формулы тождественно
истинны, то во всяком случае из Ф выводимы не все
формулы.
Вообще говоря, если задать произвольное множество
Ф тождественно истинных формул, то и не все тождествен-
тождественно истинные формулы могут быть выведены из Ф. Напри-
Например, из Ф, состоящего из двух формул, (jci ->*i) и (xi -v
-»¦ (*i -»-JCi)), могут быть выведены только формулы вида
(А -+-А) и (А ->(Л ->Л)) и не может быть выведена,
скажем, тождественно истинная формула (jciVI^i)- Воз-
Возникает нетривиальный вопрос: можно ли указать не-
некоторый квнечнйй набор Ф тождественно истинных фор-
формул такой, что всякая тождественно истинная формула
68

будет выводима из Ф? (Здесь акцент делается на конечнос-
конечности системы формул Ф, так как" бесконечную совокупность
Ф, обладающую требуемым свойством, указать просто:
можно взять, в качестве Ф множество всех тождественно
истинных формул.) Оказывается, что этот вопрос имеет
положительный ответ. Эта важная теорема, называемая
теоремой о полноте исчисления высказываний, была впер-
впервые доказана американским математиком Э. Постом в
1921 г. и после этого много раз передоказывалась различ-
различными авторами. При этом в основу брались различные
конечные наборы Ф. Укажем для определенности один щ
наборов Ф, предложенный Гильбертом и Бернайсом, из
которого, как доказано, выводимы все тождественно ис-
истинные формулы:
1) (х1^(хг—> *,));
2) (((*, —*§)-<.Xl)~**,);
3) (*,—*,) — ((*,-**,)-*(*, — *,));
4) (*,Л*.)—'*i!
5) (*,A*i)—'*•".
6) (*,—«¦*,)-*¦((*,—«-я,)-*(*,—*(•*,Л*.)))".
7) *, — (*, V*.);
8) *,—(*, V*.);
9) (jc, — jc,) — ((jc, — х,) — ((*, V xt) — xt))\
10) (jc.^JC,) —(Jt,—Jt,);
11) (*,~*,)—•¦(*,—•¦*,);
12) (jc, —jc,) —((jc,-*^) —(jc.-v.jc,));
13) .(Jc,-*^-^Плг.^Па:,);'
14)^^11^;
15) IIjc, —jc,.
Различные доказательства теоремы о полноте довольно
сложны, и мы не убудем на них останавливаться. (Хоро-
(Хорошее изложение содержится в книге П. С. Новикова
«Элементы математической логики», Физматгиз, 1959.)
Мы же остановимся только на смысле этой теоремы о
полноте.
В предыдущих параграфах мы выяснили особое зна-
значение тождественно истинных формул логики высказыва-
высказываний. Естественно возникает вопрос об обозрении совокуп-
совокупности всех таких формул. Метод формального вывода дает
69

одно из возможных решений этой задачи, которое можно
резюмировать следующим образом:
1) Можно задать некоторые правила преобразований
формул, которые обладают тем свойством, что, примененные
к тождественно истинным формулам, они дают в ре-
результате всегда тождественно истинные формулы. Такими
правилами являются определенные нами правила вывода,
а именно правило подстановки и правило modus ponens.
2) Можно задать конечное число тождественно истин-
истинных формул таких, что любая, тождественно истинная
формула может быть получена из них последовательным
применением указанных правил вывода. Такой совокуп-
совокупностью тождественно истинных формул является, напри-
например, приведенный нами список формул, предложенный
Гильбертом и Бернайсом. Что из него применением пра-
правил вывода можно получить все тождественно истинные
формулы, составляет как раз содержание теоремы о
полноте.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
§ 1. Предикаты
1. Как мы видели, одной из основных задач ло-
логики высказываний является изучение истинности или лож-
ложности сложных высказываний в зависимости от истинности
или ложности входящих в них простых высказываний. Мы
познакомились с основами этой области логики. Несмотря
на ее большую важность, она оказывается слишком бедной
для описания и для изучения даже простейших заключений
науки и практики. В рамки логики высказываний не укла-
укладываются ни аристотелевская теория силлогизмов, ни
простейшие заключения арифметики it геометрии,^ не го-
говоря уже о зачастую довольно сложных логических вы-
выводах, с которыми мы сталкиваемся в других науках и в
повседневной жизни.
Действительно, рассмотрим следующие простейшие
заключения.
Из истинных высказываний «3 меньше 5» и «5 меньше
7» мы заключаем, что «3 меньше 7». Из истинных выска-
высказываний «Все птицы — животные» и «Все воробьи — пти-
птицы» мы делаем заключение: «Все воробьи — животные».
Из-высказываний «Пётр — сын Ивана» и «Павел — сын
Петра» мы заключаем: «Павел -*- внук Ивана» и т. д.
Заметим, что во всех рассматриваемых примерах ис-
истинность заключения зависит не только от истинности
посылок, но и от их строения. Если изменить вид посылок,
то может оказаться, что заключение будет неверным.
Так (в первом примере) из истинных высказываний
«3 меньше 5» и «5 не равно 7» нельзя делать заключение
(которое оказывается истинным),- что «3 меньше 7»,
или — изменив немного второй пример — из истинных
71

высказываний «Все птицы—животные» и «Никакие рыбы не
птицы» нельзя выводить ни ложное высказывание «Ника-
«Никакие рыбы не животные», ни истинное высказывание «Все
рыбы — животные». Наконец, видоизменив последний
пример, из истинных высказываний «Пётр — сын Ива-
Ивана» и «Павел — родственник Петра», мы не имеем права
делать заключение (которое в действительности может
быть как истинным, так и ложным), что «Павел — внук
Ивана» (но можем вывести истинное заключение «Павел—
родственник Ивана»).
Во всех рассмотренных допустимых примерах мы убе-
убеждаемся, что истинность или ложность заключения зави-
зависит не только от истинности посылок, но и от их содержа-
содержания. Таким образом, для того чтобы построить систему
правил, позволяющих нам автоматически (т. е. по виду
языкового выражения) делать заключения, подобные вы-
вышеприведенным, мы должны исследовать в некоторой ме-
мере строение этих высказываний.
Важным шагом в этом направлении является область
математической логики, называемая логикой предикатов.
С ней мы немного познакомимся в настоящем параграфе.
Логика предикатов предполагает логику высказываний
уже известной, но идет дальше. Здесь простые высказы-
высказывания, входящие в заключение, расчленяются. Поэтому
иногда взаимоотношение логики высказываний и преди-
предикатов выражают образно, говоря, что логика высказы-
высказываний является «молекулярной» логикой, а логика преди-
предикатов — «атомарной» логикой. Эти сравнения выражают
некоторую аналогию с физическими теориями. В некото-
некоторых физических теориях, как, например, в молекулярной
теории газов, рассматриваются взаимоотношения между
молекулами так, что внутреннее строение этих последних
не учитывается: они рассматриваются как основные, не-
расчленяемые далее элементы. В других теориях — как,
например, в физической химии — одновременно рассмат-
рассматриваются и взаимоотношения между молекулами и отчасти
их строение из атомов (атомарная теория). Конечно, не
следует слишком далеко проводить эту аналогию.
2. Логика предикатов начинается с анализа строения
простых высказываний. Она исходит из следующей уста-
установки.
Простые высказывания выражают, что некоторые объек-
объекты {или объект) обладают некоторыми свойствами или
72

же что они 'находятся между собой в некоторых отно-
отношениях.
При этом понятие «свойство» и понятие «отношение»
рассматриваются как частные случаи общего понятия «пре-
дикатй» (иногда говорят «аттрибут»). Объекты, о которых
говорится в высказывании, называются «термами». По-
Постараемся выяснить смысл этих понятий на примерах,
Рассмотрим сначала некоторое число простых предло-
предложений — высказываний, выражающих, что некоторый
объект обладает некоторым свойством:
«Сократ— грек*;
«.Платон — ученик Сократа»;
«Три — простое число»;
«Москва — столица СССР»;
«Василий — студент» и т. д.
Все приведенные примеры — простые предложения.
С точки зрения грамматики они состоят из подлежащего
(«Сократ», «Платон», «три», «Москва», «Василий») и ска-
сказуемого («есть грек», «есть ученик Сократа», «есть простое
число», «есть столица СССР», «есть студент»). Подлежащее
является наименованием некоторого объекта — конкрет-
конкретного или абстрактного, сказуемое выражает некоторое
свойство. Основным для логики предикатов является вто-
второй член предложения — сказуемое-свойство. Как же
логика предикатов трактует это понятие «свойство»? Она
рассматривает его как некоторую функцию, а именно сле-
следующим образом.
Возьмем первый пример:
«Сократ есть грек».
Вместо имени человека Сократ мы можем подставлять
имена всевозможных людей и будем получать всегда ос-
осмысленные предложения. Одни предложения будут истин-
истинными, другие — ложными:
«Сократ есть грек»— истинно;
«Платон есть грек» — истинно;
«Наполеон есть грек» — ложно;
чНъютон есть грек» — ложно и т. д.
73

Более общо можно рассматривать выражение вида
«X есть грек*,
где буква X указывает место, на которое нужно подставить
имя некоторого человека, чтобы получить высказывание —
истинное или ложное. Само выражение «X есть 'грек* —
еще не высказывание, а только форма, заготовленная для
высказывания. А. Тарский в известной книге «Введение
в логику и методологию дедуктивных наук» [22] очень
образно сравнивает подобную разницу между формой
для высказывания и высказыванием с разницей между
формуляром для анкеты и анкетой. Формуляр анкеты
является, заготовленной формой, содержащей определен-
определенное число пустых мест, в которые надлежит вписать опре-
определенные данные, в результате чего и получается то, что
называется анкетой. Подобным формуляром является и
выражение «X есть грек». Здесь X — это графа, в которую
нужно вписать имя какого-нибудь человека, в результате
чего и получится высказывание. Вот это выражение «X
есть грек» логика предикатов и отождествляет с понятием
свойства «быть греком». Таким образом, свойство стано-
становится функцией, зависящей от объекта, имя которого
подставляется вместо буквы X, и принимающей в качест-
качестве значения высказывание. Но, как нам уже известно,
существенным свойством высказывания является его зна-
значение истинности и или л. Становясь на эту точку зрения,
логика предикатов считает выражение «X есть грек»
функцией, аргумент которой X пробегает класс всех лю-
людей, а сама функция принимает в качестве значений и или
л. Если мы будем, как это принято в математике, «X есть
грек» записывать сокращенно, например, в виде Гр (X),
то для значения Х=Сократ получим Гр (Сократ)= и, а
скажем, Гр (Наполеон)= л и т. д. Относительно других
приведенных примеров можно дословно повторить все то,
что было сказано относительно первого примера.
Остановимся только несколько более подробно на при-
примере «Три есть простое число» и на соответствующем пре-
предикате-свойстве «быть простым- числом». Введем для этого
свойства сокращенное обозначение Пр (X), Предикат
Пр (X) определен на множестве натуральных чисел. Имеем
Пр (\)—л (заметим, что 1 принято рассматривать как
непростое число), Пр B)=и, Щ C)=м, Пр D)=л,...
..., Пр A0)=л, Пр A1)=ыит. д. Подобный предикат, опре-
74

деленный на множестве натуральных чисел, удобно пред-
представить в виде таблицы (или матрицы).
Матрица предиката Пр (X)=<lX есть прос-
простое число»
X
Пр {X)
1
Л
2
и
3
и
4
Л
5
и
6
Л.;
7...
и ...
Сверху в таблице последовательно записаны натуральные
числа, снизу стоит буква и для тех чисел, которые яв-
являются простыми, и л для тех, которые этим свойством не
обладают. Аналогично свойство «быть четным числом»
представится следующей таблицей (матрицей):
Матрица предиката Чет (Х)—*Х есть
четное число*
» X
Чет {X)
1 2 3 4 5 ...
л и ли л ...
ч.
Вообще произвольную таблицу подобного вида мы рас-
рассматриваем, как представление некоторого предиката-
свойства, определенного на множестве натуральных чи-
чисел. Два свойства рассматриваются как одинаковые, если
совпадают их таблицы, т. е. если они истинны для одних
и тех же значений аргументов. с
Резюмируя все сказанное, мы можем дать следующее
определение.
Если мы имеем какую-нибудь совокупность объектов М,
то под предикатом-свойством на этой совокупности мы
понимаем функцию на М, принимающую значения ««» и
«л*. Отсюда сразу видно, что в действительности всякий
предикат-свойство вполне определяется подмножеством
тех объектов, на которых данная функция принимает зна-
значение «истинно». Определяя на М какую-нибудь функцию
со значениями и и л, мы тем самым разбиваем М на две
совокупности: на множество тех объектов, для которых
значением функции будет и (т. е. множество тех объектов,
75

которые обладают данным свойством), и на множество тех
объектов, для которых значением функции будет л (т. е.
множество тех объектов, которые данным свойством не
обладают).
Очень часто приходится рассматривать предикаты-
свойства, определенные на конечных множествах. Тогда
и предикатов существует конечное число. Их столько же,
сколько подмножеств множества М. Если множество М
содержит п элементов, то имеется 2" подмножеств и столько
же предикатов-свойств. Как для" случая конечных, так и
для случая бесконечных совокупностей среди всех преди-
предикатов имеются два замечательных, играющих большую
роль во всей теории. Один предикат — это тот, который
истинен для всех объектов рассматриваемого множества;
он называется тождественно истинным предикатом.
Другой предикат — тождественно ложный — это тот,
который принимает значение «ложио» для всех объектов
из М.
Сразу хотелось бы отметить то огрубление, которое де-
делает логика предикатов, рассматривая свойства так, как
было объяснено. Заметим, например, что в этом 'понима-
'понимании свойства «быть человеком» и свойство «быть двуногим
существом без перьев» являются одним и тем же свойст-
свойством. Вообще два свойства, которые удовлетворяются од-
одними и тем же объектами, с рассматриваемой точки зре-
зрения не различаются. Есть такие области логики, которые
изучают более тонкие различия между свойствами. Два
свойства могут удовлетворяться одними и теми же объек-
объектами и тем не менее иметь различный смысл. Такого раз-
различия логика предикатов не делает. Она стоит на так на-
называемой «объемной» (или «экстенсиональной») точке зре-
зрения в отличие от логики, различающей свойства не только
«по объему», но еще и «по смыслу» и называющейся «ин-
«интенсиональной» логикой.
3. Подобно приведенным предикатам-свойствам мате-
математическая логика рассматривает более общее понятие
предиката-отношения. В зависимости от того, между ка-
каким числом объектов устанавливается отношение, мы раз-
различаем двуместные (бинарные), трехместные (тернарные) и
т. д., в общем случае — л-местные отношения. Рассмотрен-
Рассмотренные выше предикаты-свойства считаются частным случаем
предикатов-отношений-, а имением одноместными (унар-
(унарными) предикатами. Наконец, удобным оказывается вклю-
76

чить и высказывания в понятие предиката-отношения
как частный случай — в качестве 0-местных предикатов.
Рассмотрим несколько более подробно понятие бинар-
бинарного отношения. В качестве примеров из повседневной
жизни для пояснения понятия отношения удобно брать
различные отношения родства, описываемые словами
«брат», «сестра», «отец», «мать», «дядя», «тетя», «муж»,
«жена», «зять» и т. д. Всё математические дисциплины имеют
дело с предикатами-отношениями, приче\| самыми рас-
распространенными являются бинарные отношения. Они опи-
описываются различными словами: «равны», «не равны»,
«больше», «меньше», «делит», «перпендикулярны», «парал-
«параллельны» и т. д. .
Рассмотрим высказывание «Иван — брат Петра», го-
говорящее о том, что определенные мужчины по имени «Иван»
и «Петр» находятся между собой в некотором отношении
родства, которое на русском языке обозначается словом
«брат». Аналогично, как и в случае предиката-свойства,
двуместное отношение «брат» считается как некоторое
«неполное высказывание», как некоторая «форма выска-
высказываний». Мы мыслим его записанным примерно так:
«... — брат...».
При этом предполагается, что вместо первого и второго
многоточия можно подставлять мужские имена, после чего
форма высказываний превращается в высказывание —
истинное или ложное. (Мы для определенности будем счи-
считать, что рассматривается отношение «брат» между муж-
мужчинами, т. е. мы исключаем из рассмотрения предложения
вида «Иван — брат Марии».) Например*,
Иван — брат Петра,
Иван — брат Павла,
Сергей — брат Антона и т. д.
Вместо первого и второго многоточия подставляются раз-
различные имена. Естественно поэтому общую форму выше-
вышеуказанных высказываний записывать так:
«X—брат У».
Здесь буквы X и Y являются обозначениями мест, на ко-
которые следует подставлять мужские имена, чтобы полу«
чать правильно построенные высказывания. При всевоз-
всевозможных подстановках в это выражение вместо X nY имен
77

конкретных людей ') всегда будут получаться бсмыслей-
ные высказывания, обязательно истинные или ложные.
Указание на то, какие из них истинны, а какие ложны, и
считается определением интересующего нас отношения.
Поэтому отношение «брат» мы рассматриваем как функ-
функцию двух переменных, пробегающих независимо друг от
друга множество людей мужского пола и принимающих
значения мил. Как и в случае предиката-свойства, удоб-
удобно записывать подобную функцию в принятом функцио-
функциональном обозначении, например" Бр (X, У). Функция
Бр {X, У) после подстановки вместо X и Y имен опреде-
определенных людей принимает значение и или л в зависимости
от того, являются ли указанные два человека братьями
или нет.
Рассмотрим еще два примера бинарных отношений,
определенных на множестве натуральных чисел, а именно
отношение, описываемое словом «больше», и отношение,
описываемое словом «делит». В первом случае мы имеем
форму высказываний
*Х больше У»,
во втором — форму высказываний
«X делит У».
Если рассматривать эти формы высказываний как функ-
функции от двух переменных X и У, пробегающие множества
натуральных чисел- и принимающие значения и или л в'
зависимости от того, будет ли соответствующее высказыва-
высказывание истинным или ложным, то эти формы определяют два
предиката, которые мы обозначим через > {X, У) и
Дел (X, У) •).
1) При этом предполагается, конечно, что .именами «Иван»
или «Петр» даииый человек одиозиачио определен. Когда в повсе-
повседневной жизии употребляют утверждение «Иван —брат Петра»,
то обыкновенно говорящие зиают, о каких именно Иване и Петре
идет речь. В противном случае, если указание, одного краткого име-
имени оказывается недостаточным для понимания высказывания,
так как среди знакомых собеседников имеются много Иванов и
Петров, то употребляются более обширные «имена» с указанием
каких-либо дополнительных признаков, например «Иван, жи-
живущий иа улице Горького» или «Петр, находящийся в этой ком-
комнате» и т. д.
*) Предикат >(Х, Y) записывается рбыкиовеиио в виде X>Y.
Мы употребляем запись >(Х, Y ) — привычное обозначение функций
— для того, чтобы подчеркнуть, что предикаты — это функции.
78

Тогда для предиката > (X, У) имеем, например,
>C, 2)=и, >A, 3) = л, >G, 5) = и. и т. д.,
а для предиката Дел (X, Y) имеем, например,
Дел C, 6) = и, Дел E, 10) = л, Дел G, 9) = л и т. д.
Более полно и обозримо двуместные предикаты > (X, Y)
и Дел (X, Y) можно представить в табличной форме с
помощью матриц нижеследующим образом:
Матрица предиката> (X, Y)
Ч\ у
х \^
1
2
3
4
5
6
7
¦ 1
л
и
и
и
и
и
и
2
Л
Л
и
и
и
и
и
3
л
л
л
и
и
и
и
4
л
л
л
л
и
и
и
5
л
л
л
л
л
U
U
6
л
л
л
л
л
л
и
7 ...
л ...
л
л
л
л
л ...
л
Матрица предиката Дел (X, К)
N. Y
1
2
3
- 4
5
6
l
и
л
л
л
л
л
2
и
и
л
л
л
л
3
и
л
и
л
л
л
4
и
и
л
и
л
л
5
и
Л
л
л
и
л "
6
и
и
и
л
л
и
7
и
л
л
л
л
Л
8
и ...
и ...
л ...
и ...
л
л ...
На данных примерах нетрудно себе уяснить, как
составляется матрица некоторого предиката Р(Х, Y),
79

определенного на множестве натуральных чисел. Числа
выписываются последовательно по горизонтали и по вер-
вертикали. Каждая строка соответствует некоторому значению
переменной X, каждый столбец — некоторому значению Y.
В пересечении j-й строки и /-го столбца записывается
буква и, если высказывание Р (i, /) имеет значение и, и
буква л, если Я(»,-/)=л. Таким образом, всякому предика-
предикату Р(Х, Y) соответствует некоторая матрица и, обратно,
всякой матрице соответствует некоторый предикат. Ко-
Конечно, так как X и Y пробегают бесконечное множество
всех натуральных чисел, то фактически возможно выпи-
выписывать только конечную, хотя и сколь угодно большую
часть матрицы. В большинстве случаев уже по такой
конечной части можно себе представить ее строение. Мы
рекомендуем читателю для уяснения понятия двумест-
двуместного предиката составить матрицы других известных ему
отношений^ определенных на множестве натуральных чи-
чисел, например, для предикатов
Пред (Я, К)е=е«# предшествует К»,
Кв (X, К) ж «У равен квадрату X» и
НД (X, К) = «К является наибольшим делителем X,
отличным от Хь.
Заметим, что матрица предиката-отношения <иХ равно
У», который записывается также привычным образом в
виде «Х=У», имеет следующий простой вид: на диагона-
диагонали таблицы записана повсюду буква и, на всех остальных
местах — буква л. Особенно удобным оказывается пред-
представление предикатов-отношений.матрицами для того слу-
случая, когда рассматриваются отношения на некотором ко«
нечном множестве объектов. В этом случае существует
только конечное число бинарных отношений, и вся мат-
матрица — по крайней мере в принципе — может полностью
быть выписана. Рассмотрим для примера отношение «зна-
«знакомства» в некотором коллективе людей. Пусть мы имеем
некоторый коллектив, состоящий из людей по имени
«Антон», «Василий», «Владимир», «Павел», «Петр», «Анна»,
«Вера», «Надежда», «Любовь», «Мария». Нас интересует
отношение знакомства в этом коллективе, т. е. ответ на
вопрос «Кто с кем знаком?» Отношение знакомства явля-
является двуместным предикатом Зн (X, Y), соответствующим
форме высказывания «X знаком'С К». Конечно, следует
80

считать, что всякий человек знаком с самим собой, и если
X знаком с Y, то и Y знаком с X. (Говорят, что отношение
знакомства рефлексивно: Зн (X, X) = и для всех X и
симметрично: если Зн (X, Y), то Зн (Y, X). В остальном
оно может быть произвольным.) Полную, и обозримую
информацию о том, кто в данном коллективе знаком меж-
между собой, дает матрица этого отношения, например,
Ч У
N.
X \^
Антон
Василий
Владимир
Павел
Петр
Анна
Вера
Надежда
Любовь
Мария
я
НТО
<
и
л
и
л
и
и
и
л
и
л
•ш
HIT
нов
CQ
л
и
Л
и
и
и
л
л
и
л
а.
я
?'
Я
ч
eg
ч
CQ
и
Л
и
л
л
л
и
и
и
и
ч
аве
С
Л
и
л
и
л
л
л-
и
л
и
етр
с
и
и
л
л
и
л
и
и
и
и
eg
IS
IE
<
и
и
л
л
л
и
л
и
л
и
ера
CQ
и
Л
и
л
и
л
и
л
л
и
аде
ж
л
л
и
и
и
и
л
и
л
и
А
о
и
и
и
л
и
¦л
л
л
и
л
к
В8
Q.
eg
%
Л
л
и
и
и
и
и
и
л
и
Такая матрица полностью описывает соответствующий пре-
предикат, указывая для любых двух людей рассматриваемо-
рассматриваемого коллектива, знакомы они между собой или нет. В при-
приведенном примере, скажем, мы видим, что высказывание
«Анна знакома с Василием» истинно, а «Анна знакома с
Петром» ложно и т. д. Свойство рефлексивности отноше-
отношения «знакомства» соответствует тому факту, что на диаго-
диагонали, ведущей с верхнего левого угла матрицы в правый
нижний угол, повсюду записаны буквы и; свойству сим-
симметричности соответствует то, что клетки матрицы, симмет-
симметричные относительно этой диагонали, содержат одинако-
одинаковые буквы.
Читатель теперь без труда сможет уяснить сам себе,
что следует понимать под трехместным, четырехместным
и вообще л-местным предикатом, определенным на неко-
некотором множестве объектов. В качестве трехместного
81

отношения родства укажем на предикат, выражаемый фор-
Г v ** И Y ЯВЛЯЮТСЯ Родителями Z». В^о-
"Р™0?11™ Рассматривать трехместный пре-
ГеуиИ2ПВОМ Ш6ЖДУХ (*Т°ЧКа Х лежит
a >" B качестве примера трехместного
аРИ(Рметики укажем на отношение, описывае-
ТиТ.6311^ *Х 6СТЬ наибольший общий де-
^^ пРедставления трехместных предикатов
R 3?Г естественнорассматривать трехмерные
,ппЩ ? °Лучае *"* проставления «-местных
^^ понадобились бы «-мерные мат-
' пРеимУЩество наглядности представления
тов во tHn Матрицами Ы* таких многоместных предика-
тов во многом теряется. В нашем кратком обзоре некото-
Сем nZBTX П«НЯТИЙ "«тематической логики мы не
ме?тны* ДР обсУж5ать смысл и свойства более чем дву-
4m™JZlZKaT°B- В принципе они не 6««* ^о^нь..
нГдвушстным И °НИ РассматРиваются вполне аналогич'
дел?ненРоН,™СЯпК двУместны" предикатам. Будем для опре-
Гожес^Р НяРтСпСМаТРИВатЬ предикаты, определенные на
множестве натуральных чисел. Заметим, что всякая функ-
нь,е ц7/п(;, аргУменты и значения которой - натураль-
mwSSf' T РассматРиваться как частный случай
SZL обпяРчепмКаТа-А ИМенН0' ФУНКЦИИ Y = СТ ОДНО"
зрачным образом сопоставляется некоторый предикат
значени/,? пМ„наожестве натуральных чисел, принимающий
значение и для пар чисел Х=а, Y = b в том и только в
Трп6' 6СЛИ ЬЧ{а)- Очевидно> «™ ™S предикат в
пЧередь вп°лне определяет соответствующую функ-
ц1°иТ-Х»е? ЭТ° обстоятельство на пр/мере! скажем,
н™7Х ' РассматРиваемой какфункция на множест-
натуральных чисел. Соответствующий двуместный
чЕе ГллТ ° °ЗНаЧИМ 6Г0 чеРез Q(X> V ~ принимает зна
чение ы для таких пар ЧИСел X = а , Y = Ъ, для которых
6 - а , и значение л, если Ъ Ф а\ Например,
Q,(l,l) = и, QB,4) = и, QB,7) = л, QE,25) = и и т. д.
Составим матрицу этого предиката, но запишем ее в не-
^ЛЬПИЗМеНеННОМВиде а именно, будем записывать
=h 2> ? не сверху

Матрица
предиката Qfx.y)
Здесь мы зачернили те клетки матрицы, в которых
должны быть помещены буквы и, а те клетки, в которых
записывается буква л, оставили светлыми.
Предположим, что мы хотели бы подобным же образом
представить предикат Q(X, Y), соот-
соответствующий функции У=Х2, опреде-
определенный на множестве, скажем, поло-
положительных вещественных чисел. Оче-
Очевидно, мы не можем для каждого
вещественного числа Х.= а преду-
предусматривать целую строку, как мы это
делали в случае натуральных чисел,
а для всякого Y = b — столбец мат-
матрицы. Естественно напрашивается та-
такая процедура,, которой широко поль-
пользуются в анализе и которая известна
как представление функций графика-
графиками. Вещественным числам ставятся в
соответствие точки на двух взаимно
перпендикулярных осях: оси X и оси
Y. Всякой паре вещественных, чисел
Х=а, Y=b отвечает точка на плоско-
плоскости с координатами (а, Ь). Черной
краской отмечаются те точки (а, Ь),
для которых Ь=а\ Совокупность всех .
отмеченных точек образует тогда непрерывную линию—
график функции У=Х* (рис. 10). Подобный же смысл
имеет график любой вещественной функции У=ДХ). От-
Отсюда видно, что представление
функций графиками в некотором
смысле является частным случа-
• ем представления двуместных
предикатов матрицами. Мы в даль-
, нейшем вернемся к этому вопросу.
Предикаты, соответствующие
функциям, не исчерпывают сово-
совокупность всех двуместных преди-
предикатов, а образуют только некоторый ее подкласс. Опре-
Определение функции У=/(Х) на некотором множестве М со
значениями в этом же множестве требует, чтобы всякому
элементу а из М был сопоставлен в точности один элемент
множества М. Для матричного представления соответст-
соответствующего предиката F(X, У) это означает, что в каждой
16
JS
14
13
V
10
9
в
7
в
5
4
$
t
г
Ш
3
ш,
4
Рис. 9.
Рис. 10.
83

строке матрицы должна встречаться буква и (всяком»у
элементу а соответствует некоторый элемент) и встречается
она в точности один раз (всякому элементу а соответствует
точно один элемент). Ясно, что далеко не все матрицы и
тем самым не все двуместные предикаты обладают этим
свойством.
Остановимся еще на одном свойстве предикатов. Пусть,
например, речь идет о двуместном предикате < (X, У),
'определенном на множестве натуральных чисел. Мы уже
знаем, что после подстановки вместо переменных X и У
определенных чисел получается высказывание. Естествен-
Естественно возникает вопрос: во что переходит двуместный преди-
предикат, если произвести подстановку некоторого числа вмес-
вместо только одной переменной? Положим, скажем, У=4.
Выражение <(Х,4) зависит только от одной переменной-Х,
т. е. это одноместный предикат. Он выражает свойство
«быть числом, меньшим 4» и тем самым удовлетворяется
как раз числами 1, 2, 3. Подобным же образом при под-
подстановке X =4 возникает одноместный предикат < D,Y),
выражающий свойство «быть числом, большим 4». Нетрудно
уяснить себе, что таблица одноместного предиката < (X, 4)
задается столбцом, соответствующим числу 4 в матрице
предиката < (X, У), и аналогично таблица одноместного
предиката < D,К) задается строкой этой матрицы, отвеча-
отвечающей числу 4. Вообще для любого двуместного предиката
Р(Х,У), заданного на любом множестве, при подстановке
наименования а некоторого объекта из М вместо перемен-
переменной X или У возникают одноместные предикаты. Таблица
одноместного предиката Р(Х, а) получается следующим
образом: переменной X ставится в соответствие после-
последовательно элементы того столбца матрицы P(X,Y),
который отвечает значению Y=a,- Подобным же обра-
образом, таблица предиката Р(а, У) получается из матрицы
P(X,Y) выделением строки, соответствующей объек-
объекту Х=а.
Нетрудно себе уяснить, что, исходя из трехместного
предиката Р(Х, У, Z), подстановкой постоянного элемента
а из М вместо одной из переменных X, У, 2 получаются
двуместные предикаты, вообще говоря, различные. Более
общо, зафиксируем ' некоторое число т. переменных в
п-местном предикате Р(Х,, Х2,...,Х„) и подставим вместо
них постоянные, тогда л-местный предикат превращается в
(п — /я)-местный. Это соображение наводит на мысль
84

считать Высказываний нульместными предикатами,
возникающими из многоместных предикатов подстанов-
подстановкой обозначений определенных объектов вместо всех
переменных.
§ 2. Применение операций логики
высказываний к предикатам
Ознакомившись с понятием предиката, мы
переходим теперь к рассмотрению операций, позволяющих
из некоторых исходных предикатов строить новые. В
настоящем параграфе мы обсудим применение операций
логики высказываний к предикатам. В следующем парагра-
параграфе мы познакомимся с некоторыми новыми операциями —
кванторами, которые типичны для логики предикатов.
Мы начнем наше изучение с простейшего случая одно-
одноместных предикатов. Пусть Р (х) и Q (х) — два одномест-
одноместных предиката, определенных на некотором множестве М.
С помощью операций логики высказываний /\, V, ~\„ -»-, ~, |
мы можем строить новые предикаты на множестве М.
Конъюнкция Р (x)/\Q (x) — это предикат Ri (x)tsa
е=Р (x)AQ (x), который истинен для тех и только тех
объектов х из М, для которых оба предиката Р (х)
и Q (х) истинны. Аналогично определяется дизъюнкция
P(x)VQ(x):
Ra(x)mP(x)\JQ{x).
R2 (х)—предикат на УМ,, который истинен в точности
для тех х, для которых истинен по меньшей мере один
из предикатов Р (х) и Q (х). Точно так же определяется
отрицание Р (х):
R()
R,(x) — предикат на М, истинный для тех и ..только
тех х? М, для которых Р (х) ложен.
Подобным же образом вводятся операции" Р (х)-*-
-+Q (х), Р (x)~Q (x), P (x)\Q (x).
Как видно, определения операций логики высказыва-
высказываний над предикатами вполне естественны. Их общая
схема такова: пусть V — какая-нибудь операция логики
высказываний. Тогда она определяет операцию над пре-
предикатами: R (х)^Р(х) V Q(х) ¦ Ведь предикат R (х) опреде-
определен, если для всякого объекта а из М установлено, будет
85

ли значением R (а) и или л. А это устанавливается так»
по значениям истинности Р (а) и Q (а) согласно таблице
истинности для операции V находится значение истин-
истинности Р (a)\/Q(a), Так найденное значение истинности
и считается значением истинности R (а) предиката R (х)
для х = а. . .
Если, например, Р (х) — предикат-свойство «быть анг-
англичанином», Q (х) — предикат «быть студентом» (множест-
(множество М будем считать множеством всех людей), то Р (х)А
AQ (х) обозначает свойство «быть англичанином и быть
студентом». Этим свойством обладают те и только те люди,
которые одновременно являются англичанами и студен-
студентами. Предикат Р (х) VQ (х) обозначает свойство «быть
англичанином или быть студентом», предикат IP (х) —'
свойство «быть не англичанином» (ему удовлетворяют те
люди, которые не являются англичанами); предикат
Р (x)-*Q (x) истинен для тех х?М, которые или не анг-
англичане или студенты и т. д.
Булевы операции Л, V.1 над одноместными предика-
предикатами соответствуют операциям над множествами, называе-
называемыми пересечением, объединением и дополнением. Эти
элементарные операции играют большую роль во всех
областях математики и ее применениях. Поэтому целе-
целесообразно вкратце на них остановиться и выяснить их
связь с булевыми операциями над одноместными преди-
предикатами.
Мы исхрдим из того, что имеется какое-то множество М
объектов, являющихся предметом нашего рассмотрения.
Например, М—множество всех людей или М—мно-
М—множество всех натуральных чисел, или
М — множество всех точек плоскости и
т. д. Такое исходное множество
всевозможных объектов, которые мы со-
собираемся рассматривать, изучать и о
которых мы будем говорить, принято
называть универсумом. ,
Будем считать для определенности,
что универсум М—это множество всех
натуральных чисел. Рассматриваются всевозможные мно-
множества, содержащиеся вМ. Пусть Р и<2 — два множества.
Пересечение P{\Q — это множество всех объектов
(из М), которые принадлежат как Р/, так и Q. На рис. 11
мы заштриховали пересечение Pfl&- Если Р и Q общих
86 ,

Рис. 12.
элементов не имеют, то говорят, что пересечение Pf\Q
пусто (пустое множество).
Объединением PUQ называется множество тех элемен-
элементов, которые принадлежат по меньшей мере одному из
множеств Р и Q. На рис. 12 множество PUQ заштрихо-
заштриховано. Под дополнением Р множества Р понимается мно-
множество всех элементов из М, не'принадлежащих мно-
множеству Р.
На рис. 13 множество Р заштрихо-
заштриховано.
Приведем примеры этих понятий.
Пусть Р — множество всех четных чи-
чисел: {2, 4, 6,...},
Q—множество всех целых квадратов:
{1,4,9,16,...}.
Пересечение Pf)Q — это множество всех четных квадра-
квадратов: {4, 16, 36, 64,...}. Объединение PUQ — это множество
тех целых чисел, которые являются или четными, или
квадратами: {L, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16,...}. Наконец,
дополнение Р — это множество всех нечетных чисел:
{1, 3, 5,...}.
Как мы уже видели, обсуждая понятие одноместного
предиката, всякий предикат Р (х), определенный на не-
некотором множестве М, взаимно однозначно
соответствует некоторому лодмножеству Р
в М, а именно, характеристичебкому под-
подмножеству всех объектов а из М, для ко-
которых Р (а) имеет значение и.
Пусть Р (х) и Q (х) — два предиката
на М, Р и Q — их характеристические мно-
множества. Тогда по определению конъюнкции,
дизъюнкции и отрицания предикатов характеристическим
множеством Р (x)AQ (x) является пересечение PnQ»
характеристическим множеством Р (x)\/Q(x) —объеди-
—объединение PUQ, а характеристическим множеством ~\Р (х)—
дополнение Р множества Р. • .
Таким образом, булевым операциям над одноместными
предикатами взаимно однозначно соответствуют операции
пересечения, объединения и дополнения над множествами.
Это теоретико-множественное представление булевых
операций над предикатами играет немаловажную роль
как для логики, так и для математики. Несколько
Рис. 13.

позже мы увидим, как в рамках этой взаимосвязи укла-
укладывается классическая аристотелевская теория сил-
силлогизмов.
Операции логики высказываний над многоместными
предикатами определяются вполне аналогично. Нужно
только следить за тем, какие переменные обозначены
одинаковыми буквами, а какие различными. Мы не будем
давать общего определения. Приведем только несколько
примеров, на основании которых читатель легко уяснит
себе, как следует поступать в'любом случае.
Имеем, скажем, два двуместных предиката Р (х, у) и
Q (у, г), определенных на множестве М. Р (х, у)/\
AQ (у, 2) — это трехместный предикат R (х, у, г) от
х, у, г на М. Как увидеть, для каких значений переменных
х, у, z R (х, у, z)=P (x, y)AQ (у, г) принимает значение
и, а для каких л? Пусть а, Ь, с — три объекта из М. Зна-
Значение истинности R (а, Ъ, с) для х = а, у = b, z = с
получается так:
>
R(a, Ь, c)=sP{a, b)/\Q(b, с).
Р (а, Ъ) и Q (Ь, с) имеют вполне определенные значения
истинности. R (а, Ь, с) имеет значение и тогда и только
тогда, если Р (а, Ь) и Q (Ь, с) оба имеют значение и.
Если Р (х) и Q (х) — два одноместных предиката, то
не следует смешивать предикаты Р (x)\/Q (х) и Р (х)\/
VQ (у)- Р (X)VQ W. как нам уже известно, одномест-¦
ный предикат. Напротив, Р (х) VQ (у) — двуместный
предикат от переменных х, у:
R(x, у)^Р(х)УЯ(у).
R (а, Ъ) имеет значение и в точности тогда, когда Р (а) V
VQ (b) имеет значение и1).
а) Разница здесь, конечно, не просто в обозначениях перемен-
переменных, а в том, что bP(x)VQ(</) имеются две различные переменные:
вместо них независимо друг от друга можно подставлять наимено-
наименования двух конкретных объектов.Р (y)VQ{y)—тот же самый предикат,
что и P(x)VQ(*)> также как и P(x)\/Q(y)—это тот же самый
предикат, что и, скажем, P(«)VQ(»)- Важно только, как мы уже
сказали, какие переменные обозначаются одинаковыми, а какие
различными буквами. В остальном же эти буквы могут быть про-
произвольными. '

§ 3. Кванторы
В логике предикатов наряду с операциями
логики высказываний основную роль играют операции,
называемые кванторами. Имейно употребление кванторов
делает логику предикатов значительно более богатой,
чем логика высказываний.
В § 1 этой главы мы видели, что подстановка объекта а
из Л! в некоторый предикат Р (х), определенный на М,
превращает Р (х) в высказывание Р (а). (Напомним:
если Гр (х) — свойство «быть греком», а а — имя неко-
некоторого человека, например а — «Сократ», то Гр (а) —
это высказывание «Сократ есть грек».) Будем такие выска-
высказывания называть единичными высказываниями. Наряду
с образованием единичных высказываний из предикатов
в логике предикатов рассматриваются две другие опера-
операции, превращающие одноместный предикат Р (а) в вы-
высказывание. Эти операции соответствуют по смыслу тому,
что на обыкновенном языке — мы, конечно, пользуемся
русским языком — выражается словами «все» и «сущест-
«существует». '
Понятие, обозначаемое словом «все», лежит в основе
квантора всеобщности. Если опять Гр(*) соответствует
предикату «дсесть грек», определенному на множестве М
всех людей, то из этого предиката с помощью слова «все»
мы можем построить высказывание «Все люди :— греки»
(это, конечно, ложное высказывание). Это — пример при-
применения квантора всеобщности.
Вообще же квантор всеобщности определяется так.
Пусть Р (х) — какой-нибудь предикат. Тогда квантор
всеобщности — это операция, которая сопоставляет Р (х)
высказывание
«Все х обладают свойством P(x)t>. (*)
Для этой операции «все» употребляется знак у (перевер-
(перевернутое латинское А, напоминающее о немецком слове
«alle» — все).
Высказывание (*) записывается так:
\хР(х)
(и читается: «Для всех х Р от *»). В соответствии со смыс-
смыслом слова «все» \ хР (х) —ложное высказывание,
кроме того единственного случая, когда Р(х) — тождест-
тождественно истинный предикат.
89

Если множество М состоит только из конечного числа
объектов, например из пяти: а,, а,, а,, а4, а,, то высказы-
высказывание v х Р (х) легко записывается в виде конъюнкции
единичных высказываний. Действительно, в приведённом
примере множества из пяти объектов оно означает, что
P(aJ = и, P(at) = и, Р(аш) = и, P(aJ = и, Р(а,)=*
= и. Таким образом, в этом случае \хР(х) равносиль-
равносильно высказыванию
Если, напротив, М —бесконечное множество (например,
М — множество всех натуральных чисел), то, поскольку
конъюнкция бесконечного числа высказывании не опреде-
определена, ух Р(х) не может подобным образом быть сведено
к конъюнкции единичных высказываний. \хР(х)— вы-
высказывание совершенно нового вида. Тем не менее для
многих целей удобно мыслить себе, что квантор всеобщ-
всеобщности у является обобщением конъюнкции единичных
высказываний Р(а), когда а пробегает все — возможно
бесконечное — множество М. «Все натуральные числа
обладают некоторым свойством Р(х)» мы понимаем, как
«1 обладает свойством Р(х)ъ, «2 обладает свойством
Р (х)т>, «3 обладает свойством Р (х)», ... и т. д. (Вот
именно: где-то мы должны прекратить перечисление и вос-
воспользоваться выражением «и т. д.». Как раз это обстоя-
обстоятельство и мешает нам рассматривать высказывание
\хР(х) «все натуральные числа обладают свойством
Р (X)» как конъюнкцию единичных высказываний.)х)
Наряду с квантором всеобщности в логике предикатов
рассматривается другой квантор, двойственный квантору
всеобщности, — квантор существования, обозначаемый
знаком з (это перевернутая латинская буква Е, напоми*
') Некоторые логики считают, что и в случае конечного мно-
множества М \хР(х) имеет яе совсем тот же смысл, что и конъюнкция
высказываний Р(а) для всех а из М.. А именно, ухР(х) дает большую
информацию, чем конъюнкция всех единичных высказываний,
указывая еще иа то, что объекты а действительно исчерпывают всю
область определения предиката. Таким образом, для случая М, сос-
состоящего из объектов в,, at, a,, at, в5, \хР(х) равносильно, по их
мнению, примерно такому высказыванию: *P(a^f\P(a^)f\P(a^f\
hP(<*d/\P(Pt), и других объектов множество определения предиката
Р(х) не содержит». Такая точка зрения иам кажется вполне
разумной.
90

нающая немецкое слово «existieren»— существовать).
(читается «существует такое х, что Р от х») — высказы-
высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда Р(а)
истинно по меньшей мере для одного объекта а из области
определения М. Тем самым "gxP(x) — истинное выска-
высказывание для всех предикатов Р(х), кроме одного — тож-
тождественна ложного. «
Опять-таки, если М — конечное множество (напри-
(например, М = {а„ а„ а,, а4, а,}), то значение истинности вы-
высказывания ^хР(х) совпадает со значением истинности
дизъюнкции всех единичных высказываний Р(а) для
всех а из М. Так, в нашем примере имеем
а хР {х) = Р{аг)УР{а,)УР (а,)УР (а4)V Р (а,).
Квантор существования обобщает операцию дизъюнк-
дизъюнкции в том же смысле, в каком квантор всеобщности обоб-
обобщает операцию конъюнкции.
Между кванторами у из имеют место отношения, обоб-
обобщающие законы де Моргана и позволяющие сводить один
из этих кванторов к другому:
-\WxP{x)=b-3x1P{x) A)
(«Неверно, что все х обладают свойством Р (*)» равно-
равносильно «Существует такой объект х, для которого истинно
не Р (х)*).
Аналогично имеет место двойственный закон де Мор-
Моргана
B)
(«Неверно.чтосуществуетх,обладающее свойством Р(х)»
равносильно «Все х обладают свойством не Р(х)».)
Несмотря на то, что в записях формул \хР(х) и
¦gx P (х) встречается буква х, обозначающая переменную,
обе эти формулы обозначают высказывания, а не формы
высказывания: они от переменной х больше не зависят.
Принято говорить, что в формулах \хР(х) и -gxP(x)
кванторы у и 3 связывают переменную х. Связанная пере-
переменная больше уже переменной не является; ее присут*
ствие в формуле необходимо исключительно для того,
91

чтобы указать, из какого предиката данное высказывание
произошло ')¦
Если теперь припомнить взаимосвязь между опера-
операциями над одноместными операциями, с одной стороны,
и элементарными теоретико-множественными операциями
с другой, о которой мы говорили в предшествующем пара-
параграфе, то нетрудно видеть, что с помощью кванторов мы
имеем возможность выражать ряд важных отношений
между множествами.
Пусть Р (х) и Q (х) —два предиката, определенных
на некотором универсуме М, Р й Q — соответствующие
характеристические множества. Высказывание
Vx(Pfx)-+Q(x))
означает, что Р (a)-+Q (а) — истинное высказывание для
всех а из М. В силу определения импликации Р (a)-*-Q(a)
истинно втом и только в том случае, если Р (а) ложно или
Q(a) истинно. Пусть а принадлежит Р, тогда Р(а) истинно,
и так как P(a)->Q (а) истинно для любого а, то отсюда
следует, что Q (а) истинно, т. е. a?Q. Всякий элемент а,
принадлежащий Р, принадлежит также Q, т. е. множество
Р содержится в множестве Q. (Это обозначается так:
PcQ.)
Если, наоборот, Рс.0.< то P (a)-+Q (а) истинно для
всех а из М и, следовательно, истинно высказывание
\х (Р (х) -><2 (х)). Действительно, если а 6Р, то а также
принадлежит Q, т. е. и антецедент Р (а) и консеквент
Q (а) истинны, и тем самым истинна импликация Р (а)-+-
-*-Q (а). Если же а не принадлежит Р, то Р (а) ложно,
и импликация Р (a)->Q (а) истинна.
Таким образом, высказывание \х (Р (x)->-Q (x)) ут-
утверждает, что множество Р содержится в множестве Q
*) Следует отметить, что связанные переменные употребляются
в математике и вне математической логики. Самый распростраиеи-
ь
иый пример — это определенный интеграл: ff(x)dx. Определенный
а
интеграл — число; оно от х не зависит. Функция f(x) зависит от х.
Операцией взятия определенного интеграла эта переменная свя-
связывается и остается в записи только для того, чтобы указать иа
происхождение числа из функции {(х). Связывание переменных
кванторами — совершенно аналогичное явление.
92

или, что то же^самое, что все объекты, обладающие свойст-
свойством Р(х), обладают также свойством Q(xI).
С помощью квантора существования легко выражается
суждение типа «Некоторые Р суть Q» (например, «Неко-
«Некоторые англичане — курящие», «Некоторые нечетные чис-
числа — простые» и т. д.). «Некоторые Р суть Q» следует
понимать как то, что по крайней мере один объект х, обла-
обладающий свойством Р, обладает также свойством Q. Этот
факт записывается формулой jx (P(x)/\Q(x)) («сущест-
(«существует такое х, что Р.от х и Q от*»). Эта формула утверждает
также, что пересечение характеристических множеств Р
я Q предикатов Р(х) и Q(x) непусто.
Аналогично с помощью кванторов записывается ряд
других отношений между одноместными предикатами.
Гораздо более богатые возможности открывает приме-
применение кванторов к многоместным предикатам. Остановимся
вкратце на обсуждении этого вопроса.
Пусть А (х, у) — некоторый двуместный предикат,
определенный на некотором множестве М. Квантор все-
всеобщности и квантор существования можно применять
к нему как для переменной х, так и для переменной у:
\хА(х, у); \уА(х, у); jxA(x, у); "ЗуА(х, у). Перемен-
Переменная, к которой был применен квантор, называется связан-
связанной, другая переменная — свободной. Все четыре при-
приведенные выражения являются записями одномест-
одноместных предикатов от соответствующей свободной пере-
переменной.
\х А (х, у) (читается «для всех х, А от х и у») —
одноместный предикат от переменной у. \ х А (х, у) =
— F (у). Он истинен в точности для тех b 6 М, для которых
одноместный предикат А (х, Ь) истинен для всех х. Если
представить предикат А (х, у) его таблицей, то предикат
Р (у) — \Х-А (х> У) истинен для тех Ь, для которых стол-
столбец с входом Ъ содержит исключительно букву и. (На
нижеследующей таблице мы приводим пример предиката,
определенного на множестве М из пяти элементов a,, at,
а,, а4, <а?, и таблицы одноместных предикатов, получаю-
получающихся из него применением кванторов.)
Подобным же образом \уА (х, у) — С (х) — преди-
предикат от х. Он истинен для тех а?М, для которых строка
-1) Выражение вида \x(P{x)->-Q(x)) называется иногда формаль-
формальной импликацией.
93

с входом а содержит только букву и. Предикат
•?хА(х, у) = И (у) истинен для тех а^т, для которых
соответствующий столбец содержит по меньшей мере один
раз букву и, а предикат ^уА(х, у) истинен .для тех
аЕ,М, для которых в соответствующей строке встречается
буква и.
а)
в)
A (*, у)
x\
a
at
a,
«4
a,
и
л
и
л
и
*
и
и
и
и
и
а,
л
л
л
А
л
«4
и
и
и
и
и
я.
л
л
и
и
и
б)
У
«,
в.
в.
в,-
в.'
и
и
а,
«*
а,
а4
а,
3*Л (дс, у)
М
ы
л
и
и
Г)
дс
а,
а*
а.
«4
\УА (х, у)
Л
л •
л
А
л
Д)
X
а,
а*
а»
а«
а.
и
и
и
и
и
\хууА(х, у)==уу\хА(х, у) = л;
х, у) =
х, у) = л;
, у)~и.
Во всех случаях применение квантора по одной из
переменных двуместного предиката превращает его в одно-
одноместный.
В случае трехместных предикатов применение кван-
квантора приводит к двуместному предикату. Аналогично и
для предикатов с большим числом мест применение кван-
квантора превращает л-местный предикат в (п—1)-мест-
94

ный. Более подробно мы на этом останавливаться не
будем.
К свободной переменной х одноместного предиката
\уА (х, у) в свою очередь можно применять квантор все-
всеобщности или квантор существования. Получаются вы-
выражения
\х(ууА{х, у)); ях(\уА(х, у)),
которые, опуская скобки, принято записывать соответ-
соответственно
х, у);
Это уже высказывания. Первое истинно, если все строки,
а тем самым и вся таблица предиката, содержат только
букву и, второе истинно, если соответствующая матрица
содержит по меньшей мере одну тождественно истинную
строку. Три другие предиката ух А (х, у); ^уА (х, у);
ЗхЛ (х, у) также допускают квантификацию, так что
в общей сложности мы получаем из одного предиката
восемь формально различных высказываний: ух ууА (х, у);
•ЗхууА (х,у); ух^уА (х,у); way А (х,у);\уухА (х,у);
ЯУ\хА (х, у); \ygxA (х, у); яУЗхА (х, у). Нетрудно
убедиться в том, что четыре высказывания, содержащие
одинаковые кванторы, попарно эквивалентны:
, у)~\у\хА(х, у)
х, y)~zyzxA{x, у).
\x\yA (х, у) так же, как и \y\xA (х,у), истинно тогда
и только тогда, когда А (х, у) — тождественно истинный
предикат, з*3# А (х, tf) и •gy •gxA (x, у) оба истинны во
всех случаях, кроме того, когда А (х, у) — тождественно
ложный предикат. Все остальные высказывания сущест-
существенно различны, что нетрудно показать на примерах.
Особенно следует помнить, что порядок следования разно-
разноименных кванторов существен. Высказывания \х^уА (х, у)
и ИУ\ХА (х, у), вообще говоря, не эквивалентны.
В табличном представлении предиката А (х, у) истин-
истинность первого высказывания означает, что во всякой
строке встречается по меньшей мере один раз буква и
(на произвольном месте), между тем как второе высказы-
высказывание истинно тогда и только тогда, когда имеется по мень-
меньшей мере один столбец, заполненный буквами и. Как
95

видно, если выполняется второе требование, то автомати-
автоматически выполняется и первое. Таким образом, если
ЗуухА (х, у) истинно, то истинно также у/щуА (х, у).
Следовательно, каков бы ни был предикат А (х, у),
имеет место импликация
ЗУ\хА{х, у)-+\х-зуА(х, у),
но обратная импликация, вообще говоря, не имеет места.
Пусть, например,' А (х, у) — предикат, определенный на
множестве из двух элементов аи а2 таблицей
XI -
«I
л
и
a,
и
Л
Тогда, очевидно, \х ^уА (х, у) имеет значение и, а
"ЗУ\хА (х, у) значение л.
Приведем еще один пример. Пусть А (х, у) — рас-
рассмотренный уже нами предикат Дел (х, у), определенный
на множестве натуральных чисел и означающий се делит
у». Тогда утверждение \х"зу Дел (х, у): «для всякого х
существует такое у, что х делит у» очевидно, истинно,
между тем как jy\x Дел (х, у) «существует такое у, что
любое х делит у» ложно.
§ 4. Преобразования формул логики
предикатов. Предваренная нормальная форма
В основе логики предикатов лежит ряд законов
для преобразования формул, содержащих предикаты,
операции логики высказываний и кванторы. Мы приведем
некоторые из них в виде примеров. Часть из этих законов
нам понадобится в дальнейшем. Мы при этом не будем
стремиться обозреть всю совокупность преобразований
и не будем стараться проводить строгие доказательства.
Напоминаем в связи с этим, что предлагаемая книга не
является учебником математической логики.
Ряд основных законов преобразования выражений
логики предикатов относится к возможности вынесения
96

«кванторов за скобки. Здесь следует запомнить следующие
,равносильности: ,
), A)
. B)
1 При этом равносильность (знак s=) в логике предикатов
естественно- понимается так: для любого множества М
и для любых предикатов А (х)иВ (х), определенных на
М, выражения в левой и в правой частях имеют одно и то
же значение истинности (т. е. одновременно истинны или'
одновременно ложны).
Простое содержательное рассуждение показывает ис-
истинность равносильностей A) и B). Действительно, левая
часть A) принимает значение ив том И только в том слу-
случае, если и А (х), и В (х) истинны для всех х 6 М, т. е.
если оба предиката тождественно истинны. Но в этом и
только в этом случае также и конъюнкция А (х)АВ (х)
будет тождественно истинным предикатом, и тем самым
будет истинным высказывание ух (А (х)/\В (х)). Анало-
Аналогично доказывается вторая равносильность. Но мы не
будем проводить это рассуждение, а приведем две равно-
равносильности, позволяющие сводить квантор существования
к квантору всеобщности и обратно:
, • C)
Равносильность C) означает: если неверно, что суще-
существует некоторый элемент, для которого истинно А (х),
то для всех элементов истинно ~\А (х) и наоборот. Равно-
Равносильность D) означает: если неверно, что для всех
элементов множества М истинно А (х), то Существует
такой элемент, для которого истинно ~\А (х). Очевидно,
эти утверждения соответствуют как раз пониманию выра-
выражений «для всех» и «существует такой, что».
Равносильности C) и D) являются обобщениями зако-
законов де Моргана, к которым они сводятся в случае конечных
множеств М. Мы их будем называть законами де Моргана
для кванторов. Применяя отрицание к обеим частям C)
и D) и учитывая, что двойное отрицание высказывания
равносильно ему самому, имеем равносильности
C')
, D')
4 Л. А. Калужннн 97

которые позволяют выражать квантор существования
через квантор всеобщности и наоборот.
С помощью равносильностей C') и D') равносильность
B) легко выводится из равносильности A). Действительно,
заменяя в левой части B) кванторы существования на
кванторы всеобщности, получаем
согласно правилу де Моргана последнее выражение равно-
равносильно .
последнее ввиду A) равносильно
а последняя формула согласно D) равносильна з* (А (х)\/
\/В (х)). Итак, имеем окончательно дхЛ (х)\/^хВ (х)з
&Z* (А (х)уВ (х)).
Следует заметить, что квантор всеобщности нельзя
выносить за скобки, если выражения объединены знаком
дизъюнкции: формулы ухА (х)\/\хВ (х) и ух (A (x)\f
\уВ (х)) не равносильны. Действительно, первая формула
утверждает, что один из предикатов А (х) или В (х)
тождественно истинен, между тем как вторая формула
означает, что дизъюнкция предикатов А (х) и В(х)
тождественно истинна. Но легко указать примеры двух
не тождественно истинных предикатов, дизъюнкция кото-
которых тождественно истинна. Для таких предикатов вторая
формула будет истинна, а первая ложна. С другой стороны,
если первая формула истинна, то, очевидно, истинна и
вторая. Таким образом, мы можем сказать, что вторая
формула является логическим следствием первой:
у хА (х) Vу хВ.{х) -* у х (Л (*) VВ (х)).
Аналогично, как читатель может легко убедиться, истинна
формула
{х)/\ъхВ(х),
но знак импликации нельзя заменить знаком равносиль-
равносильности.
И все-таки имеется возможность в несколько иной
форме выносить квантор всеобщности и квантор существо-
существования за скобки и в этих случаях. {А именно, имеют место
98

следующие равносильности:
E)
F)
Здесь С обозначает выражение, не зависящее от х. (Это
выражение может быть либо высказыванием, либо преди-
предикатом от переменных, не содержащих х.)
Истинность этих равносильностей уяснить себе не-
нетрудно. Левая часть E) принимает значение и в том и
только в том случае, если или А (х) истинно для всех х,
или же если С истинно. Если по крайней мере одно из
этих обстоятельств имеет место, то A (x)\jC будет иметь
значение и для всех х, т. е. истинно высказывание
ух (А (х)\/С). Предположим наоборот, что\х(А(х)\/С)
имеет значение и. Если при этом С—и, то и левая часть
имеет значение и. Если же С=гл, то формула \х (А (х)\/
\/С) может быть истинной только в том случае, когда
А (х) принимает значение и для всех х. Левая часть при-
принимает при* этом опять значение и. Аналогично доказы-
доказывается F).
Заметим теперь, что обозначение переменной в пре-
предикате А (х) произвольно и что ухА (х) и ууА (у) —
равносильные высказывания. Следовательно, согласно
равносильности E) мы можем утверждать следующую
цепочку равносильностей:
y=V х\ у{А{х)\/В Ц/)).'
т. е. имеет место равносильность
¦ vxA(x)\/vxB{x) = vxvy{A(x)\/B{y)) G)
и аналогично выводится равносильность
(8)
Равносильности G) и (8), как мы видим, позволяют в не-
несколько иной форме выносить кванторы за скобки.
Приведенные равносильности позволяют любым выра-
выражениям логики предикатов сопоставлять равносильные
формулы некоторого стандартного вида, так называемые
предваренные нормальные формы. Этим термином обозна-
обозначают формулы, у которых все кванторы вынесены вперед.
Более точно, формулы в предваренной нормальной форме
4* 99

имеют вид
Mi^iM»*» ••• Лг ¦*/•*"• v*i> *v ••• > Xr),
где )!,,••., Mr могут быть как кванторами всеобщности, так
и кванторами существования, a Щхи xz, ..., xr) — выра-
выражение, состоящее из предикатов от переменных хи хг,...
...,хг (они могут содержать, кроме того, и другие перемен-
переменные), связанных между собой только знаками операций
логики высказываний.
Мы не будем доказывать в общем виде теорему о том,-
что для всякого выражения логики предикатов существует
равносильное ему выражение в предваренной нормаль-
нормальной форме, а поясним это утверждение на одном примере.
Пусть дана формула
2х\уА(х, у)У]\х^уВ(х, у).
Сначала с помощью законов де Моргана можно вынести
кванторы за знак отрицания:
, у).
Теперь согласно B) можно вынести квантор существова-
существования за скобку: .
, у)).
Для того чтобы вынести кванторы всеобщности, нужно
предварительно переименовать переменные:
, у)\/\у1В(х, у))=а-
х, у)У~]В(х, г)).
Последняя формула уже имеет предваренную нор-
нормальную форму.
Окончательно получаем
ЪхууА(х, у)У1ухзуВ(х, у)=э
^¦ах\ууг(А(х, у)У]В(х, z)).
Аналогично поступают и в общем случае.
100

§ 5. Суждения и силлогизмы
В настоящем параграфе мы хотим показать,
как в рамках современной логики предикатов описывается
аристотелевская теория суждений и силлогизмов, или,
как мы будем называть ее, аристотелевская силлогистика.
Эта теория имеет огромное историческое значение, так
как она явилась первым примером строго построенной
формально-логической системы. В течение двух тысяче-
тысячелетий — вплоть до возникновения математической ло-
логики — она была по существу и единственным разделом
формальной логики. Еще на рубеже XIX в. немецкий
философ И. Кант считал, что все существенное, что вообще
может быть сказано о законах формальной логики, уже
было сказано Аристотелем и что тем самым формальная
логика в некотором смысле мертвая, неразвивающаяся
наука. Правда, нужно отметить, что логические исследо-
исследования Аристотеля и его последователей не исчерпываются
теорией категорических суждений и силлогизмов. Им и
его учеником Теофрастом были заложены основы теории
так называемых модальных суждений и силлогизмов. Но
этот раздел логики до сих пор не достиг той степени закон-
законченности и строгости, которая характеризует теорию
категорических суждений и силлогизмов1).
Возникновение и бурное развитие математической
логики, начавшееся с середины прошлого столетия, пол-
полностью опровергло такое пессимистическое мнение, выдви-
выдвинув новую широкую проблематику для логических иссле-
исследований. Сегодня без преувеличения можно сказать, что
мы находимся не на конечном этапе, а в начале широкого
развития исследований" формальных законов логики. Но
даже в уже хорошо разработанной части математической
логики аристотелевская силлогистика представляет собой
небольшую и довольно элементарную часть, относящуюся
к логике предикатов и — более точно — к логике одно-
одноместных предикатов. Тем не менее и сегодня многие спе-
специалисты логики все вновь и вновь возвращаются к кри-
критическому разбору классического наследия формальной
логики, заложенной Аристотелем, и к выяснению того,
какое место оно занимает в современной логике. Такие
х) О модальной логике и важнейших результатах в этой облас-
области можно прочитать в статье «Модальная логика», напечатанной в
III томе «Философской энциклопедии».
4 Л. А. Калужнии* 101

исследования несомненно важны для понимания истори-
исторического развития формальной логики.
Наша задача более скромна. Теорию категорических
суждений и силлогизмов мы рассмотрим как пример при-
применения понятий логики предикатов. Для более деталь-
детального знакомства с этим разделом мы отсылаем читателя
к обширной литературе по этому вопросу1). Нужно сразу
же подчеркнуть, что та логическая система, которую мы
называем аристотелевской силлогистикой, в той форме,
как мы ее будем излагать, в действительности не содер-
содержится в трудах Аристотеля. Современная форма аристоте-
аристотелевской силлогистики является результатом работы много-
многочисленных комментаторов и последователей Аристотеля:
древнегреческих, древнеримских, арабских и средневе-
средневековых логиков. Силлогистика Аристотеля зачастую назы-
называется просто традиционной формальной логикой и про-
противопоставляется современной формальной логике, воз-
возникшей в XIX в. и базирующейся на математических
методах. Нужно отметить, что вплоть до XVII—XVIII вв.
знание традиционной формальной логики считалось не-
неотъемлемой частью всякого образования и занимало в нем
примерно то же место, какое сегодня занимает элемен-
элементарная математика. В дальнейшем традиционная логика
стала отступать на задний план, уступая свое место есте-
естественным наукам и математике.
В аристотелевской логике рассматривалось четыре вида
так называемых категорических суждений:
1. «Все S суть Р» — общеутвердительное суждение.
2. «Никакое S не есть Р» — общеотрицательное суж-
суждение.
3. «Некоторые S суть Р» — частноутвердительное
суждение.
4. «Некоторые S не суть Р» — частноотрицательное
суждение.
Согласно давно установившейся традиции принято
эти четыре типа суждений обозначать заглавными латин-
латинскими буквами:
А — общеутвердительное суждение,
Е — общеотрицательное суждение,
г) Читателям, более подробно интересующимся этими вопроса-
вопросами, рекомендуется обратиться к книге: Я- Лукасевич, Аристо-
Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной
логики, ИЛ, 1959.
102

/ — частноутвердительное суждение,
О — частноотрицательное суждение.
Суждения делили, во-первых, «по качеству»: 1) А, I —
утвердительные суждения, 2) Е, О — отрицательные
суждения; во-вторых, «по количеству»: 1) А, Е — общие
суждения, 2) /, О — частные суждения.
Рассмотрим все четыре типа суждений несколько
более подробно.
Общеутвердительное суждение: «Все
S суть Р».
Примерами могут служить следующие суждения: «Все
рыбы — животные», «Все люди смертны», «Все квадраты —
прямоугольники» и т. д.
Смысл суждения «Все S суть Р» состоит в том, что
некоторый класс объектов S содержится в некотором
классе объектов Р: класс всех рыб содержится в классе
всех животных, класс всех людей содержится в классе
всех смертных существ, класс всех квадратов содержится
в классе всех прямоугольников и т. д. Объекты классов S
и Р называются терминами суждения. В первом суждении
терминами будут «рыбы» и «животные», во втором —
«люди» и «смертные (существа)», в-третьем — «квадраты»
и «прямоугольники».
Суждение «Все S суть Р» — форма высказываний, а
S и Р — переменные, вместо которых нужно подставить
конкретные термины («рыбы», «животные» и т. д.) для
того, чтобы получилось высказывание — истинное или
ложное. Но, как мы уже знаем, классы объектов одно-
однозначно соответствуют одноместным предикатам, опреде-
определенным на совокупности всех объектов. Класс «рыб»
соответствует предикату-свойству «быть рыбой», а класс
«животных» — предикату «быть животным». Утверждение
«Все S суть Р» в терминах предикатов естественно
понимать так:
Как только некоторый объект х обладает свойством S
(т. е. S (х) истинно), то он также обладает свойством Р
(т. е. Р (х) истинно). Это утверждение записывается
с использованием квантора всеобщности, очевиднб, так:
(«Для всех х, если х обладает свойством S, то х обладает
свойством Р»).
4** 103

Обсуждение трех остальных типов суждений мы можем
провести более кратко, так как большинство соображений
вполне аналогично уже рассмотренному случаю обще-
общеутвердительных суждений.
Общеотриц а'тельное суждение: «Ни-
«Никакое S не есть Р».
Примерами могут служить суждения: «Никакие рыбы
не являются птицами», «Никакие камни не являются
животными», «Никакие треугольники не являются квад-
квадратами» и т. д.
Смысл общеотрицательного суждения такой: если неко-
некоторый объект х обладает свойством S (т. е. если S (х)
истинно), то он не обладает свойством Р (т. е. Р (х)
ложно). Это записывается следующим образом:
Частноутв. ердйтельное суждение:
«Некоторые S с у т ь Р».
Примерами являются следующие суждения: «Некото-
«Некоторые люди курящие», «Некоторые швейцарцы говорят
по-французски» (т. е. «Некоторые швейцарцы суть гово-
говорящие по-французски»), «Некоторые простые числа
четны» и т. д. Из анализа употребления частноутверди-
тельных суждений в традиционной формальной логике
видно, что слово «некоторые» в них следует понимать
как «по меньшей мере один». В этом смысле суждение
«некоторые простые числа четные» — истинно, так как
одно простое число, а именно 2, четно. Частноутвердитель-
ному суждению «Некоторые S суть Р» соответствует
следующая формула:
(«Существует такой объект х, обладающий свойством S,
который также обладает свойством Р»).
Частноотрицательное суждение:
«Некоторые S не суть Р». ;
Примерами являются следующие суждения: «Некото-
«Некоторые животные не дышат легкими», «Некоторые грибы
несъедобны», «Некоторые треугольники не равнобед-
равнобедренны» и т. д.
Это суждение записывается так:
104

(«Существует такой объект х, который обладает свойством
S и не обладает свойством Рь).
С помощью известных нам правил преобразования
кванторов полезно преобразовать запись общих суждений
так, чтобы в них вместо квантора всеобщности участвовал
квантор существования. Аналогично частноутвердитель-
ные суждения можно записать с квантором всеобщности.
Например, для общеутвердительного суждения
Итак, мы имеем следующие выражения категорических
суждений в логике предикатов:
2)
3)
4)
Из этих записей непосредственно усматривается ряд
отношений между суждениями. Эти отношения подробно
изучались в традиционной логике.
Законы отрицания. Суждения А и О, а также
суждения Е и I являются отрицаниями друг друга. Как
говорилось, они находятся в отношении противоречия
друг к другу.
Из перестановочности операции конъюнкции следует,
что суждения Е и / допускают обращение.
Законы обращения:
(«Никакое S не есть Р» истинно тогда и только тогда, когда
истинно «Никакое Р не есть S») и
(«Некоторые S суть Р» истинно тогда и только тогда,
когда истинно «Некоторые Р суть S»).
Нужно сказать, что в традиционной логике суждений
устанавливался ряд других отношений между суждениями,
имеющих вид импликаций или, точнее, вид логических
следований. А именно:
а) если «Все 5 суть Р» истинно, то «Некоторые S суть
Р» истинно;
105

б) если «Никакое S не есть Р» истинно, то «Некоторые'5
не суть Р» истинно;
в) если «Все S суть Р» истинно, то «Никакое S не есть
Р» ложно;
в') если «Никакое S не есть Р» истинно, то «Все S суть
Р» ложно;
г) если «Некоторые S суть Р» ложно, то «Некоторые S
не суть Р» истинно;
г') если «Некоторые S не суть Р» ложно, то «Некоторые
S суть Р» истинно;
а также следующие законы обращения:
д) если «Все S суть Р» истинно, то «Некоторые Р суть
S» истинно;
д') если «Никакое S не есть Р» истинно, то «Некоторые
Р не суть S» истинно.
Как мы скоро увидим, все эти законы а) — д') для
категорических суждений, описанных формулами 1)—4),
не имеют места. Не следует, конечно, думать, что Аристо-
Аристотель и его последователи ошибались, когда они утверждали
эти законы. Суть дела в том, что традиционное понима-
понимание смысла суждений несколько отличалось от того, ко-
которое определено формулами 1)—4). А именно, в тради-
традиционной логике во всех суждениях неявно предполага-
предполагалось, что термины всегда соответствуют непустым классам
объектов или, иначе говоря, предикаты S(x) и Р(х)
не могут быть тождественно ложными. Поясним это по-
положение на примерах.
Возьмем в качестве S часто употребляемый пример пу-
пустого класса «короли Швейцарии». (Нужно, конечно,
знать, что Швейцария никогда королей не имела.) Если
обозначать через К(х) предикат «быть королем Швей-
Швейцарии» (а через К — класс «королей Швейцарии»), то
К(х) — тождественно ложный предикат (а К — пустой
класс). Обозначим через М(х) какой-нибудь осмыслен-
осмысленный предикат, например «носить бороду». Тогда в пони-
понимании традиционной формальной лбгики — и, нужно
признать, в принятом повседневном употреблении язы-
языка — все нижеследующие суждения:
А — «Все короли Швейцарии носили бороду»,
Е — «Никакой король Швейцарии не носил бороды»*
/ — «Некоторые короли Швейцарии носили бороду»,
О — «НекоторыекоролиШвейцариине носили бороды»—
воспринимаются как ложные высказывания. ..
106

Между тем в той интерпретации суждений на языке
логики предикатов, которую мы предложили, оба первых
суждения (общие суждения А и Е) следует рассматривать
как истинные, между тем как оба последних (частные
суждения / и О) — как ложные. Действительно, имеем
(«Не существует такого объекта х, который был бы королем
Швейцарии и не носил бороды») истинно, так как королей
Швейцарии вообще не было. Аналогично
(«Не существует такого объекта х, который был бы королем
Швейцарии и носил бороду») истинно опять-таки в силу
того, что королей Швейцарии не существовало. Итак,
в нашем понимании при конкретных предикатах К(х)
«быть королем Швейцарии» и М (х) «носить бороду»
оба суждения А и Е истинны ввиду тождественной лож-
ложности предиката К(х). Нетрудно убедиться в том, что для
этих конкретных предикатов частные суждения / и О
ложны (как и в традиционной логике). Действительно,
запись обоих суждений начинается с квантора существо- .
вания: «Существует такой объект х, что (в первом случае)
S (х) и Р (х), а (во втором случае) «S(x) и не Р(х)».
Но это ложные высказывания, так как для данного кон-
конкретного термина «короли Швейцарии» уже первый член
конъюнкции ложен для всякого объекта" х.
Вышеприведённые законы традиционной логики а) —
д') для данных терминов не выполняются. Там говорится,
например, что если «Все S сутьР» истинно, то «Некоторые
S суть Р» истинно. Но в нашем понимании для рассмат-
рассматриваемых предикатов «Всякое К есть ЛЬ истинно, «Неко-
«Некоторое К есть ЛЬ ложно и, следовательно, вся импликация
ложна.
Подобным же образом ложной оказывается имплика-
импликация; если «Никакое К не есть ЛЬ истинно, то «Некоторые К
не суть ЛЬ истинно. Здесь опять антецедент истинен, а
консеквент ложен.
Рассмотрение дальнейших импликаций а) — д') для
случая пустого класса S мы предоставляем читателю.
Не следует думать, что невыполнение законов -а) —
д') при нашем описании суждений в терминах логики
467-

предикатов свидетельствует о недостатках логики преди-
предикатов. В терминах логики предикатов совсем нетрудно
выразить категорические суждения так, как их понимали
в традиционной логике. Для этого достаточно в формулах
1)—4) добавить конъюнктивные члены, обеспечивающие
существование объектов в классах S и Р. Таким образом,
мы получаем следующие формулы, более точно передаю-
передающие смысл суждений так, как его понимали в традицион-
традиционной логикег
1') Ai^yS(у)AlzP(z)Allx(S(x)A1P(x))',
2') E:zyS{y)AllzP(z)Alllx(S(x)AP(x)).
Добавление конъюнктивных членов для случая частно-
утвердительного суждения / излишне, так как квантор
существования в формуле 3) уже обеспечивает непустоту
обоих классов S и Р. Для частноотрицательного суждения
О необходимо добавить конъюнктивный член "gzPiz),
чтобы обеспечить непустоту класса Р. Итак, мы получаем
3') I:zx(S(x)AP(x));
¦ 4') O:zx(S(x)A-}P(x))AllzP(z).
Будем называть формулы 1') — 4') записями категориче-
категорических суждений в традиционном понимании. Для них,
как нетрудно проверить, действительно выполняются
вышеприведенные законы а) — д'). Проверку можно про-
провести или содержательно, или используя законы логики
предикатов. Проверим, например, первую импликацию:
(Vx(S(x)-+P(x))AzyS(y)Al3iZP(z))-+'3it(S(t)AP(t))
(если «Все S суть Р», то «Некоторые S суть Р»). Содержа-
Содержательно можно рассуждать так: iyS(y) означает, что класс
S не пуст. Пусть и — какой-нибудь объект, выполняющий
S (т. е. S(u) истинно), но так как \x(S(x)-^P(x)),
то S (и)-+Р (и) и, следовательно, Р (и) истинно
(согласно modus ponens)i Следовательно, S(u)/\P(u)
истинно, а, значит, ix(S(x)/\P(x)) истинно, т. е.
имеет место /.
Формально можно произвести следующую цепочку
преобразований:
108

Но мы уже видели, что для кванторов имеет место следую-
следующая импликация:
ЪУ\(, у)Зу(у, у).
Значит,
Аналогично можно проверить и другие законы а) — д').
Мы на этом останавливаться не будем.
Остается еще одно несоответствие с законами тради-
традиционной логики. Если все суждения с пустым термом счи-
считать ложными (например, все суждения относительно «ко-
«королей Швейцарии»), то оказывается, что суждения А и
О, а также Е и / не всегда являются отрицаниями друг
друга. Законы отрицания, которые утверждала тради-
традиционная логика, не выполняются. Единственный выход,
который напрашивается, состоит в том, что фразы с пу-
пустыми термами (вроде «Все короли Швейцарии носили
бороДу») следует в традиционном понимании считать не
ложными, а бессмысленными словосочетаниями и тем
самым не относить к суждениям. По-видимому, такой под-
подход лучше всего передает точку зрения традиционной
формальной логики. Но нужно сказать, что математиче-
математическая логика по многим причинам предпочитает не стано-
становиться на точку зрения, согласно которой высказывания,
в которых могут участвовать пустые классы, исключаются
из рассмотрения. В математике особенно целесообразно
рассматривать пустые множества наравне с непустыми.
Например, в алгебре мы говорим о множестве веществен-
вещественных корней полиномов с вещественными коэффициентами.
Между тем, .как хорошо известно, не все полиномы дейст-
действительно имеют вещественные корни. Тем не менее мы го-
говорим и рассуждаем о совокупности таких корней, вполне
') Под А1->~Аг->-...->-Ап мы понимаем формулу (At->-At)/\(Ai-*-
-+AJ/\... A(An_l->-A^. В силу транзитивности импликации (гл.
II, §2) эта формула равносильна А,^>-Ап. Поэтому в цепочке импли-
импликаций мы всегда можем делать заключение от первой формулы к
последней. Точно так же можно рассматривать и цепочки эквива-
лентиостей вида А1-~Аг—. Аа. {Прим. ред.)
109

отдавая себе отчет в том, что эта совокупность может ока1-
заться пустой. И это далеко не единственный пример. Все
развитие современной математики показывает, что допу-
допущение пустого множества в качестве объекта математи-
математических рассуждений во многом упрощает математический
аппарат. В этом смысле введение пустого множества на-
наравне с непустыми сыграло роль, подобную той, которую
в свое время сыграло введение числа нуль для арифме-
арифметики.
Заметим также, что и в рассуждениях в повседневной
жизни более целесообразно не исключать возможность
пустоты классов тех объектов, о которых мы говорим.
Возьмем, скажем, такое суждение:
«Некоторые люди, не живущие на Земле, носят бороды».
Класс А «людей, не живущих на Земле» в настоящее время
пуст и по этой причине данное высказывание ложно. Но
нам кажется неразумным считать его бессмысленным,
особенно на пороге космической эры, когда мы с полным
основанием ожидаем, что в скором будущем класс А уже
больше не будет пустым.
На этом мы закончим наше обсуждение теории катего-
категорических суждений. Условимся, что в дальнейшем при
рассмотрении теории силлогизмов мы в соответствии t точ-
точкой зрения математической логики не будем исключать
из рассмотрения пустые термины. Будем также считать, что
категорические суждения А, Е, I, О задаются формулами
1)—4) логики предикатов. В связи с этим результаты
современной теории силлогизмов несколько отличны от
результатов традиционной логики. Впрочем, принимая
дополнительно законы а) — д') (т. е. записывая суждения
в виде Г)—4')), нетрудно вывести как раз силлогизмы тра-
традиционной логики. Мы этого делать не будем, так как они
представляют в настоящее время довольно малый интерес.
Перейдем теперь к теории категорических силлогиз-
силлогизмов. Рассматривая теорию категорических суждений, мы
уже отметили ряд импликаций, которые позволяют из
истинности некоторого суждения выводить истинность или
ложность некоторого другого суждения. Сюда относятся
приведенные нами законы отрицания и законы обращения.
Классические силлогизмы представляют собой некоторые
правила логических заключений, позволяющих из истин-
истинности двух суждений выводить истинность некоторого
третьего суждения.
U0

Самым известным примером силлогизма является сил-
силлогизм Barbara:
Все М суть Р
Все S суть М
следовательно,
Все S суть Р
В дальнейшем- вместо слова «следовательно» мы будем
употреблять горизонтальную черту. Приведенный выше
силлогизм запишется при этом так:
Все М суть Р
Все S суть М
Все S суть Р
(«Все М суть-Р» и «Все S суть М» называются посылками
силлогизма, а «Все S суть Р» — заключением.)
Например,
Все птицы—животные
Все воробьи—птицы
Все воробьи—животные
Значение силлогизма Barbara следующее: если подставить
вместо М, Р, S конкретные термины (в нашем случае мы
подставили термины «птицы», «животные», «воробьи») и
если при этом посылки становятся истинными высказы-
высказываниями, то истинно будет и высказывание-заключение.
Силлогизм Barbara основан на импликации:
Если («.Все М суть Р» и «Все S суть Mt>), то («Все S
суть Р»).
Эта импликация всегда истинна независимо от того,
какие термины подставляются вместо переменных М, P,S.
Если теперь известно, что антецедент этой импликации
(т. е. конъюнкция посылок) истинен, то на основании
modus ponens можно утверждать истинность консеквента
(заключения).
Все другие силлогизмы имеют аналогичное строение.
Они основаны на импликациях вида
(ЛДВ) —С,
где А, В, С — категорические суждения, зависящие от
трех переменных термов М, Р, S. Эти импликации тож-
тождественно истинны, в силу чего из истинности конъюнкции
Hi

А/\В на основании modus ponens можно выводить истин-
истинность суждения С.
Для более подробного описания силлогизмов мы долж-
должны ввести ряд понятий и обозначений.
В суждениях мы первый термин будем называть под-
подлежащим, второй — сказуемым'). Это в точности соответ-
етвует грамматическому обозначению. Например, в суж-
суждении «Все птицы — животные» термин «птицы» — под-
подлежащее, «животные» — сказуемое; в суждении «Неко-
«Некоторые швейцарцы говорят по-французски» = «Некоторые
швейцарцы суть говорящие по-французски» термин «швей-
«швейцарцы» — подлежащее, «говорящие по-французски» —
сказуемое. В силлогизмах участвуют три термина S, М, Р,
называемых S — малый термин, М — средний термин,
Р — большой термин. Силлогизмы состоят.из трех суж-
суждений, каждое из которых содержит два из трех терминов
М, Р, S, две посылки и заключение. Заключение всегда
является суждением, в котором S — подлежащее, а Р —
сказуемое. Посылки являются суждениями, содержащими
средний термин М и один из терминов S и Р. Посылка
с терминами М и Р называется большой посылкой, с тер-
терминами S и М — малой посылкой.
Условливаются, что во всяком силлогизме сначала
помещается брльшая посылка, потом малая. Таким обра-
образом, общий вид всякого силлогизма следующий:
БОЛЬШАЯ ПОСЫЛКА — суждение, содержащее М
иР;
МАЛАЯ ПОСЫЛКА — суждение, содержащее М и S;
ЗАКЛЮЧЕНИЕ — суждение, в котором S — подле-
подлежащее, Р — сказуемое.
Таким образом, в классическом силлогизме некоторое
суждение о терминах S и Р выводится из двух суждений-
посылок, в которых участвует некоторый термин М, не
встречающийся в заключении. Силлогистическое правило
позволяет исключать общий термин двух суждений.
Суждение с терминами U и V, в котором U—подлежащее,
а V — сказуемое, будем сокращенно записывать UV.
*) В традиционной логике для подлежащего в суждении употреб-
употребляется слово «субъект», для сказуемого — слово «предикат» (отсюда
и буквы S и Р). Мы этой терминологией пользоваться не будем,
так как слово предикат в логике предикатов имеет иной смысл.
Для иас оба термина S и Р являются одноместными предикатами.
112

Во всяком силлогизме заключение должно иметь вид SP,
а в посылках порядок следования терминов может быть
различным: большая посылка может иметь вид МР или
РМ, малая — вид SM или MS. В зависимости от порядка
следования терминов в посылках совокупность силлогиз-
силлогизмов распадается на четыре возможных типа, называемых
фигурами силлогизмов. К первой фигуре относят силло-
силлогизмы, в которых средний термин М — подлежащее
в большой и сказуемое в малой посылке; во второй фигуре
М — сказуемое в обеих посылках; в третьей фигуре М —
подлежащее в обеих посылках; и, наконец, в четвертой
фигуре М — сказуемое в большой и подлежащее в малой
посылке. Нетрудно видеть, что этим исчерпываются воз-
возможные фигуры. Выпишем их все в схематической форме1):
I фигура II фигура III фигура IV фигура
МР РМ МР РМ
SM SM MS MS
SP SP SP SP
Каждое из суждений вида UV может быть одного из че-
четырех типов: А, Е, I, О. Будем их записывать так: UaV —
общеутвердительное суждение, UeV — общеотрицатель-
общеотрицательное суждение, UN — частноутвердительное суждение,
UoV — частноотрицательное суждение. В зависимости
от того, какой из четырех типов имеет посылки и заклю-
заключения, каждая фигура распадается на так называемые
модусы. Всякая фигура силлогизмов содержит три сужде-
суждения и каждое из этих суждений независимо друг от друга
может иметь один из четырех типов: А, Е, I, О. Таким об-
образом, для всякой фигуры возможны в общей сложности
4s=64 модуса, а всех возможных модусов силлогизма,
относящихся ко всем четырем фигурам, имеется 4-64 =
= 256.
К ним относится, например, уже упоминавшийся
силлогизм Barbara, который является одним из модусов
х) Может возникнуть вопрос, чем обусловливается фикскро-
в.ание порядка следования термов в заключении SP. Не возникнут
ли дальнейшие возможные фигуры, если допустить заключения ви-
вида PS? На основании простых комбинаторных соображеиий оказы-
оказывается, что с точностью до обозначения получаются те же самые
фигуры. Ведь термины М, Р, S вполне произвольны. Если заклю-
заключение имеет вид PS, то будем считать Р — малым, a S — большим
термином. Переставляя тогда порядок посылок, мы вновь возвра-
возвращаемся к уже перечисленным четырем фигурам.
113

первой фигуры, а,именно модусом
МаР
SaM
SaP
А вообще уже для первой фигуры мыслимы модусы:
МаР МаР MiP
SeM SiM SoM
Sa~P~''.'" ] So~P] •'• И Т- д<
Аналогичные модусы мыслимы для других фигур.
Все, что было сказано до сих пор, относится к выясне-
выяснению того, какие модусы силлогизмов вообще возможны.
Только теперь можно приступить к обсуждению основного
вопроса теории силлогизмов о том, какие же из модусов
позволяют во всех случаях (т. е. при любых конкретных
терминах) из истинных посылок делать истинные заключе-
заключения. О таких модусах мы будем говорить, что они яв-
являются правильными модусами силлогизмов. Правильным
является, например, модус Barbara. Неправильным яв-
является, например, модус
МаР
SiM
SaF
Для того чтобы в этом убедиться, достаточно подыскать
для переменных терминов М, Р, S такие конкретные тер-
термины, для которых обе посылки будут истинными, а за-
заключение ложным. Возьмем, скажем, М — «французы»,
Р — «европейцы», S — «курящие». Обе посылки
МаР—«Все французы—европейцы»,
SiM—«Некоторые курящие—французы»
истинны, а заключение
SaP—«Все курящие—европейцы»
ложно (курят не только европейцы). Между тем, как
сразу видно, истинным было бы заключение вида Si P —
«Некоторые курящие — европейцы». А это было бы за-
заключение по модусу
МаР
SiM
Si P
114

который, как • оказывается, всегда дает из истинных
посылок истинное заключение ,и является поэтому пра-
правильным модусом силлогизма, известным под названием
Darii.
Задача теперь состоит в том, чтобы установить все
правильные модусы силлогизмов, т. е. для любого из
возможных модусов решить, является ли он правильным
или нет. При этом нужно дать себе отчет в том, что если
для установления неправильности какого-либо модуса
(или «для отбрасывания модуса», как предлагает гово-
говорить Я. Лукасевич) достаточно найти набор конкретных
терминов, делающих посылки истинными, а заключение
ложн-ым, то для установления правильности модуса (или
«принятия модуса» в терминологии Лукасевича) нужно
провести общее доказательство, как в математике. Дейст-
Действительно, без такого доказательства, сколько бы мы кон-
конкретных терминов ни подставляли, из того, что для 'них
и посылки, и заключения будут истинными, мы не можем
быть уверены, что это всегда будет так и что не найдутся
такие термины, которые сделают посылки истинными,
а заключение ложным. Это совершенно аналогично тому,
как, скажем, в геометрии нельзя утверждать теорему Пи-
Пифагора, проверив ее на сколь угодно большом числе пря-
прямоугольных треугольников; эту теорему нужно доказать.
Отбрасывание неправильных модусов и доказательство
правильных было проведено уже Аристотелем в его «Ана-
«Аналитике». Причем отбрасывание было по существу обосно-
обосновано контрпримерами, а доказательство правильности
было проведено, исходя из.правильных силлогизмов пер-
первой фигуры, принятых в качестве аксиом, применением
правил обращения и отрицания суждений, а также,
в неявной форме, с помощью законов логики высказыва-
высказываний. Сам . Аристотель правильные силлогизмы первой
фигуры, положенные в основу доказательства, называет
не аксиомами, а совершенными силлогизмами, все осталь-
остальные силлогизмы, для которых он дает доказательства, —
несовершенными силлогизмами. Он пишет: «Совершенным
силлогизмом я называю такой, который для выявления
необходимости (заключения) не нуждается ни в чем дру-
другом, кроме того, что принято. Несовершенным я назы-
называю такой, который хотя и является необходимым благо-
благодаря положенным в основание (данного силлогизма) тер-
терминам, но нуждается в одном или нескольких (суждениях),
115

которых нет в посылках»)'). Ян Лукасевич комментирует
это изречение Аристотеляч так: «Этот отрывок нуждается
в переводе на язык логической терминологии. Каждый
аристотелевский силлогизм — это истинная импликация,
антецедентом которой является соединение посылок, а
консеквентом — заключение. То, что говорит Аристотель,
следовательно, означает, что в совершенном силлогизме
связь между антецедентом и консеквентом очевидна сама
по себе, без какого-либо дополнительного предположения.
Совершенные силлогизмы — это самоочевидные утверж-
утверждения, которые не доказываются и не нуждаются в дока-
доказательствах; они недоказуемы, avan68exoi. Недоказуемые
истинные утверждения дедуктивной системы ныне назы-
называются аксиомами. Следовательно, совершенные силло-
силлогизмы суть аксиомы силлогистики. С другой стороны,
несовершенные силлогизмы не самоочевидны; они должны
быть доказаны с помощью одного или более предположе-
предположений, которые следуют из посылок, но отличны от них»2).
Так сформулированная задача и была решена Аристо-
Аристотелем. Нужно сказать, что построенная подобным образом
Аристотелем теория силлогизмов явилась одним из вели-
великих достижений человеческой мысли, во многом напоми-
напоминающим другие шедевры древнегреческой науки, такие,
как «Начала» Евклида и геометрические и механические
трактаты Архимеда. Удивительным являются и сама
постановка задачи и глубокие мысли, которые были при-
применены для преодоления трудностей на пути ее решения.
Ведь здесь, как и в Математических работах, которые мы
упомянули, нужно все время иметь в виду, что древние
греки еще не обладали той совершенной символикой,
которой обладаем мы. Кроме того, сама идея проведения
доказательств, исходя из небольшого числа очевидных
утверждений —аксиом, находиласьв зачаточном состоянии.
В рамках математической логики нет необходимости
принимать правильные модусы первой фигуры в качестве
аксиом. Их можно доказать, исходя из основных законов
логики высказываний и логики предикатов. Эти послед-
последние, может быть, не столь очевидны, как совершенные
силлогизмы (например, силлогизм Barbara) — что объяс*
') Аристотель, Аналитика, т. 1, гл. 1, 24, 22, Госполит-
издат, 1962.
2) Я. Лукасевич, Аристотелевская силлогистика с точки
зрения современной формальной логики,' гл. III, § 16, ИЛ, 1969.
116

няется в первую очередь тем, что они пока менее известны
и привычны,— но во всяком случае имеют гораздо боль-
большую область применений и поэтому естественно могут
считаться более общими.
Рассмотрим правильные силлогизмы первой, фигуры.
Для наименования правильных модусов были введены
специальные мнемонические обозначения — слова, содер-
содержащие три буквы из числа а, е, i, о, указывающие последо-
последовательно типы суждений большой посылки, малой посылки
и заключения. В этих обозначениях существует четыре
правильных модуса первой фигуры: Barbara, Celarent,
Darii, Ferip, т. е. схемы заключения:
Barbara Celarent Darii Ferio
MaP MeP MaP MeP
SaM SaM SiM SiM
SaP SeP SiP SoP
Докажем правильность этих модусов, представляя вхо-
входящие в них суждения в виде формул логики предикатов
и используя законы логики высказываний и логики
предикатов.
Модус Barbara. Конъюнкция посылок имеет вид
V х (S (х) -* М (х)) Д у х (М (х) — Р (х)) =z
W — М (х)) Л (М {х) -+ Р {х))).
Эта равносильность имеет место согласно правилу выне-
вынесения квантора всеобщности за знак конъюнкции:
Но, согласно закону силлогизма ((А-*-В)/\(В-+С))-+-
~*^А-*-С), если выражение в скобках ((S (х)->-М (х))/\
Л(М (х)-*~Р (х))) истинно для всякого х, то для всякого
х истинно также S (х)-*-Р (х), т. е. истинно \ х (S (х)-+
-*Р (х)). А это и есть заключение силлогизма Barbara.
Модус Celarent. Аналогично, как и в случае Barbara,
записываем посылки в виде
\х(М(х)-*~]Р(х)) и \x(S(x)-*M(x)).
Итак, имеем
v x ((S (x) — М (х)) А (М (х) — 1Р {х))).
117-

И опять на основании закона силлогизма так же, как и
в случае Barbara, получаем ух (S(x)-+~\P(x)), т. е.
заключение модуса Celarent.
Аналогично, только несколько более сложно, доказы-
доказывается правильность модусов Darii, Ferio.
Правильность модусов других фигур можно доказать,
исходя из модусов первой фигуры: Barbara, Celarent,
Darii, Ferio. Это именно то, что делал Аристотель. Пока-
Покажем на примере трех модусов второй фигуры, как это
делается.
Существует четыре правильных модуса второй фигуры:
Cesare, Camestres, Festino, Baroco.
Cesare Camestres Festino Baroco
PeM PaM PeM PaM
SaM SeM SiM SoM
SeP SeP SoP SoP
Модус Cesare сводится очень просто к модусу Celarent.
Для этого достаточно применить закон обращения для
общеотрицательных суждений: «Если РеМ, то МеР»
(и наоборот). Этот закон в свою очередь, как мы видели,
является простым следствием коммутативного закона для
конъюнкции: х/\у^у/\х. Ведь РеМ можно записать как
la* (P (х)ЛМ(х)), а это равносильно "[дд; (М(х)Л
/\Р(х)), т.е. МеР. Применяя же обращение к первой
посылке в модусе Cesare и оставляя вторую посылку не-
неизменной, мы получаем посылки
МеР
SaM
т. е. посылки модуса Celarent, из которого, как нам уже
известно, следует заключение SeP.
Тем самым этот модус доказан.
Модус Camestres в свою очередь с помощью закона
обращения сводится к предыдущему (Cesare).
Действительно, если в модусе Camestres
PaM
SeM
SeP
118 ¦

обратить заключение и поменять порядок следования
посылок, то получим
SeM
РаМ
Считая теперь Р малым термом, a S — большим, получим
как раз уже рассмотренный модус Cesare.
Модус Festino
РеМ
SiM
обращением первой посылки превращается в
МеР
SiM
SoP
т. е, в модус Ferio первой фигуры и т. д. Нужно сказать,
что не все доказательства сведения столь же просты, как
рассмотренные, но принципиальные трудности здесь не
возникают.
Приведем для полноты правильные модусы третьей и
четвертой фигур. Третья фигура обладает также четырьмя
правильными модусами: Datisi, Feriso, Disamis, Bocardo;
к четвертой фигуре относятся три правильных модуса
Calemes, Fresison, Dimatis. Итак, в общей сложности
имеются 15 правильных модусов. Традиционная логика
признавала правильными еще девять модусов. Расхожде-
Расхождение связано с различием в понимании смысла суждений.
Девять дополнительных модусов возникают, если счи-
считать, что термы во всех суждениях силлогизмов заведомо
не пусты. Мы уже выше говорили о том, почему современ-
современная математическая логика предпочитает отказываться от
этого требования.
На этом мы закончим наше обсуждение традиционной
силлогистики.
Совсем кратко остановимся на возможных обобщениях
этой теории.
Уже в древности ставился вопрос о рассмотрении таких
обобщенных силлогизмов, в которых заключение делалось
бы не из двух, а из большего числа суждений. Подобными
вопросами занимался, например, древнеримский врач
119

и мыслитель Гален^ Сразу же, например, видно, что имеет
место следующая правильная схема заключения (модус):
МаР
NaM
SaN
SaP
обобщающая модус Barbara и легко из него доказывае-
доказываемая. Здесь, как видно, в посылках содержатся два средних
терма М и N, исключаемых в заключении. Все суждения
здесь общеутвердительные. Для случая схем с другими
типами суждений и с большим числом посылок задача
установления всех правильных модусов заключения окон-
окончательно еще не решена. Подобные модусы с числом посы-
посылок больше двух и соответственно со многими средними
термами получили название полисиллогизмов.
Некоторый интерес представляют исследования обоб-
обобщенных суждений, утверждающих отношения между
тремя, четырьмя и т. д. термами и соответствующих схем
заключений, позволяющих исключать некоторые (сред-
(средние) термы из посылок подобного вида. Но, как нетрудно
видеть, эти обобщенные суждения и заключения, так же
как и традиционные суждения и силлогизмы, являются
объектами исследования теории одноместных предикатов,
в рамках которой они сейчас и изучаются.
§ в. Применение выражений логики
предикатов для описания некоторых отношений
Язык логики предикатов существенно более
богат и гибок, чем язык логики высказываний. Он хорошо
приспособлен, чтобы описывать математические понятия и
утверждения, такие как аксиомы, теоремы, доказатель-
доказательства. Такое описание позволяет четко и строго выражать
логические связи между понятиями и утверждениями,
с которыми имеет дело та или иная математическая тео-
теория. Поэтому средства, выработанные в математической
логике и, в частности, в логике предикатов, являются ос-
основным инструментом для исследования оснований мате-
математики, на чем мы остановимся несколько позже. Но откры-
открывающиеся здесь возможности во j все возрастающей мере
используются и вне математики.
120

Особенно просто на языке логики предикатов выража-
выражаются самые общие и абстрактные понятия и отношения.
Конкретные привычные разделы алгебры, геометрии и
анализа также в принципе хорошо поддаются описанию
в рамках логики предикатов, но ввиду их большего богат-
богатства здесь возникают зачастую чисто технические труд-
трудности при описании. Поэтому мы остановимся в настоя-
настоящем параграфе на рассмотрении таких общих понятий,
как эквивалентность, порядок (или упорядочение) и функ-
функция (или отображение).
1. Эквивалентности. Одним из простейших типов би-
бинарных отношений являются так называемые эквива-
эквивалентности. Это понятие мы постараемся уяснить на ряде
примеров как из области математики, так и из нематема-
нематематических областей.
Эквивалентностью является, например, отношение
параллельности, определенное, скажем, на множестве
прямых плоскости. Две прямые на плоскости называются
параллельными, если они не имеют общих точек или же
они совпадают. Это — бинарный предикат, определенный
на множестве прямых. Обозначим его через Пар (х, у).
Для параллельных прямых g, ft предикат Пар (g, ft) имеет
значение ы, для непараллельных — значение л.
Очевидно, отношение параллельности обладает сле-
следующими свойствами:
1) Каждая прямая параллельна сама себе. Для всех
прямых g Пар (g, g) имеет значение и: \х Пар (х, х).
2) Если прямая g параллельна прямой ft, то прямая
ft параллельна g:
у*уУ(ПаР (*. У)-*Пар {у, х)).
3) Если прямая g параллельна прямой ft и прямая ft
параллельна прямой k, то прямая g параллельна k:
Vx\y\z ((Пар (х, (/)ДПар((/, г))-*Пар(*, г)).
Свойствами 1)—3) характеризуются отношения эквива-
эквивалентности, одним из примеров которых является парал-
параллельность.
Свойство 1) называется рефлексивностью. Более точно:
двуместный предикат Р{х, у) рефлексивен, если для лю-
любого элемента х Р(х, х) имеет значение и, или, что то же
самое, если \х Р(х, х) — истинное высказывание.
5 Л. А. Калужнин 121

Второе отмеченное нами свойство — симметричность.
предиката. Предикат Р(х, у) симметричен, если из Р(х, у)
следует Р {у, х) для произвольных х, у.
Наконец, третье свойство — транзитивность. Пре-
Предикат Р (х, у) транзитивен, если из Р (х, у) и Р (у, г)
следует Р (х, z).
Всякий предикат, для которого выполняются все три
свойства: рефлексивность, симметричность и транзитив-
транзитивность — называется эквивалентностью. Тем самым ус-
условие для того, чтобы некоторый • предикат Р (х, у) был
эквивалентностью, записывается формулой
\хР(х, х)/\\х\у(Р(х, у)-+Р(у, х)) Д
, у)/\Р(у, z))-+P(x, г)).
Приведем несколько дальнейших примеров отношений
эквивалентности. Эквивалентностью будет равенство тре-
треугольников (или вообще произвольных фигур) на плос-
плоскости (или в пространстве). Эквивалентностью будет
также отношение подобия на плоскости (или в простран-
пространстве).
Важным примером отношения эквивалентности в ариф-
арифметике целых чисел являются так называемые сравнения
по модулю. Пусть т — некоторое целое положительное
число. Возьмем, скажем, для определенности т = 5. Бу-
Будем говорить, что два целых числа а и b сравнимы по
модулю 5, если разность а — b этих чисел делится без ос-
остатка на 5. Это отношение записывается так:
а= b (mod 5).
Например, как легко проверить, имеют место сравнения:
2 н= 7 (mod 5), —1=4 (mod 5), 21 «s 31 (mod 5),'
между тем как 6 ф 3 (mod 5). Сравнение по модулю 5
является двуместным предикатом, определенным на
множестве целых чисел. Обозначим этот предикат
Ср5 (х, у), т. е. Ср, (х, у) — это другая запись утверж-
утверждения x=sy (mod-5). Легко проверить, что Ср5 (х, у) —
эквивалентность. Действительно, всякое целое число
сравнимо с самим собой, ведь 0 делится на 5. Далее, если
а зз b (mod 5), то b = а (mod 5): если а — b делится на пять,
то и b—а делится на пять. Наконец, кза^Ь (mod 5) и
6==с (mod 5) следует а = с (mod 5): а — с — (а — Ь) +
122

+ (b — С), и так как а — b и Ь — с делятся на 5, то и а — с
делится на 5. Тем самым так определенное отношение реф-
рефлексивно, симметрично и транзитивно. Итак, отношение
Ср5 (х, у), определенное на множестве целых чисел, пред-
представляет собой эквивалентность.
Вне математики отношения .эквивалентности играют
также очень большую роль. С эквивалентностями мы
имеем дело всякий раз, когда мы совокупность каких-
либо объектов разбиваем на некоторое число групп, от-
отвечающих некоторому набору взаимно исключающих
признаков. Так, множество всех людей можно разбить
по национальностям, множество всех животных разби-
разбивается на виды и т. д.
Всякий раз, когда мы имеем некоторое множество М
объектов и данные объекты обладают одним и только од-
одним из признаков tit tz, ¦¦¦, tn, образующих набор Т, то
мы имеем дело с некоторой эквивалентностью, определен-
определенной на М. Это отношение эквивалентности Рт(х, у) опре-
определяется так. Будем считать, что Рт (х, у) принимает зна-
значение и тогда и только тогда, когда х и у обладают одним
и тем же признаком t{ из набора Т . Само собой разу-
разумеется, что рри этом как раз выполняются законы реф-
рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Подобная ситуация встречается на каждом шагу во
всех областях науки и человеческой деятельности.
2. Упорядочения. Наряду с отношением эквивалент-
эквивалентности в науке и практике большую роль играет другой
тип бинарных отношений: отношения порядка (или упо-
упорядочения). С отношением порядка мы встречаемся, когда
сравниваем числа по величине, людей по старшинству,
книги на полке относительно их расположения слева
направо, когда рассматриваем последовательность собы-
событий, упорядоченных во времени, и т. д. Соответствующие
предикаты описываются на русском языке словами «боль-
«больше», «старше», «правее», «позже», «следует за» и др. Уста-
Установим характерные свойства отношения порядка и ука-
укажем, как они записываются средствами языка логики
предикатов.
Для определенности будем иметь в виду какой-нибудь
пример множества М, в котором определено некоторое
отношение порядка. В качестве множества М возьмем
множество N натуральных чисел (включая 0) и рассмот-
рассмотрим на нем отношение между числами, описываемое
5* 12з

выражением «больше или равно»: «5 больше или равно 5»
истинно, «7 больше или равно 3» истинно, «10 больше или
равно 15» ложно и т. д. Вообще для любых двух натураль-
натуральных чисел х и у утверждение «с больше или равно у» —
вполне определенное предложение, истинное или ложное.
Оно определяет некоторый предикат Б (х, у), опреде-
определенный на множестве натуральных чисел. Отметим неко-
некоторые свойства этого предиката.
1) Каждое число х больше или равно самому себе, т. е.
истинно утверждение
\хЪ(х, х). A)
Это — условие рефлексивности, уже известное нам из
определения эквивалентности.
2) В отличие от отношения типа эквивалентности для
нашего отношения Б (х, у) не выполняется свойство сим-
симметричности. Здесь имеет место в некотором смысле про-
противоположное свойство, которое естественно назвать свой-
свойством антисимметричности. Если свойство симметрич-
симметричности некоторого предиката Р (х, у) означает, что Р (х, у)
и Р (у, х) истинны или ложны одновременно, то в случае
отношения Б (х, у) — «больше или равно» — Б (х, у) и
Б {у, х) могут одновременно быть истинными только в
том случае, если х и у одно и то же число:
\хчу((Ь(х, у)/\Ь(у, х)) — (х = у)) B)
(свойство антисимметричности).
3) Так же, как и для случая эквивалентностей, отно-
отношение транзитивно
Vxvyyz((b(x, у)/\Ъ(у, г))-*Б(х, г)). C)
4) Наконец, для отношения Б (х, у) выполняется свой-
свойство, характерное для отношения порядка и не имеющее
аналога в отношениях эквивалентности. Это свойство
говорит о том, что для любых двух чисел х и у верно <ис
больше или равно </» или «у больше или равно х»:
ухчу(Ь(х,у)\/Ь(у,х)) D)
(свойство дихотомии).
Произвольный предикат Р (х, у), определенный на неко-
некотором множестве М, который обладает свойствами A),
B), C), D), называется отношением порядка, опреде-
124

ленным на М. Таким образом, предикат Р (х, у) — отно-
отношение порядка, если он удовлетворяет формуле
ухР(х, х)/\\х\у((Р(х, у)АР(у, х)) — (* = «/)) Д
Л\ХЧУЧ2((Р(Х, У)/\Р(У, Z))-+ P(X, 2))Л
A\xvy(P(x,y)\/P(y, х)). (б)
Сделаем следующее замечание. Мы непосредственно ввели
в рассмотрение отношение «больше или равно», а не от-
отношение, описываемое словом «больше». Если обозначить
через В (х, у) отношение
«х больше «/» (х > у),
то, конечно,
Б(х, j/)s
и, обратно,
Таким образом, отношения В (х, у) и Б (х, у) непосред-
непосредственно сводимы друг к другу. Нетрудно проверить, что
свойства предиката В (х, у), соответствующие свойствам
A), B), C), D), будут следующие:
ух-]В(х,х) (Г)
(свойство антирефлексивности),
ух\у(В(х, у)-+~]В{у, х)) B')
(свойство антисимметричности),
VxVyvz((B(x, У)ЛВ(У, z))-*B(x,z)) C')
(свойство транзитивности),
= у)) D')
(свойство трихотомии).
Зачастую под отношением порядка понимается дву-
двуместный предикат Р (х, у), удовлетворяющий свойствам
(Г), B'), C'), D'), т. е. удовлетворяющий формуле
\х-[Р(х, х)Учх\у{Р(х, у)-+1Р{у, х))У
V\x\/y\z((P(x,y)/\P(y, z))^P(x, z))V
У\хчу(Р(х,у)\/Р{у,х)\/(х = у)). E')
125

Мы же будем придерживаться определения порядка свой-.
ствами A), B), C), D). Это для наших целей будет более
удобно.
Конечно, отношение Б (х, у), определенное на -мно:
жестве N натуральных чисел, обладает рядом других
свойств, которые мы не выделили в качестве характерных
для определения отношения порядка. Так, например,
среди натуральных чисел имеется наименьшее число
(именно 0), что выражается выполнением условия
ЭУ\хЪ(х, у). F)
(Существует такое число у, что для всех х х больше или
равно у.)
Если мы рассмотрим, например, отношение Bi (x, у) —
«больше или равно», определенное на множестве всех
целых чисел, то оно удовлетворяет формуле E) и является
по определению отношением порядка, но формула F)
уже не удовлетворяется предикатом Bi (x, у).
¦ Далее, для отношения Б (х, у) на N выполняется такое
свойство:
= у)) G)
(для всякого числа у существует большее число). Это свой-
свойство не выполняется для аналогичного предиката, оп-
определенного на множестве отрицательных чисел.
Наконец, для отношения Б (х, у) на N имеет место
такое утверждение, более сильное, чем G):
х, у)/\~](х =
((Б B, у)А-\(г = у))-+ Б (г, х))). (8)
Эта формула говорит о том, что для каждого числа у су-
существует «непосредственно большее». (Для всякого у
существует такое х, что х больше у, и для всякого г, если
z больше у, то z больше или равно х.) Это условие выпол-
выполняется также для отношения «больше .или равно» в об-
области целых чисел, но не выполняется для отношения
«больше или равно» в области рациональных чисел. Для
отношения Б2 (х, у) в области рациональных чисел ис-
истинно такое утверждение:
/\Ь,\г,у)/\Ъ,(х,г))). (9)
126

(Если х больше у, то существует такое z, что г больше у
и х больше г.) Тем самым для отношения «больше» Бг (х, у)
ни для какого элемента у не существует непосредственно
большего элемента. Отношения порядка, для которых
выполняется формула (9), называются плотными.
Наряду с отношениями порядка как в математике,
так и в других областях знания зачастую приходится
рассматривать более слабые отношения, чем отношения
порядка. Под этим подразумеваются такие предикаты,
для которых выполняются не все характерные свойства
A), B), C), D), а только некоторые из них. Так, часто
встречаются отношения, для которых выполняются свой-
свойства A), B), C), но не выполняется свойство D) трихото-
трихотомии. Такие отношения называются отношениями частич-
частичного порядка.
Всякое отношение порядка является также отношением
частичного порядка, но не наоборот. Примером отноше-
отношения частичного порядка, не являющимся отношением
порядка, может служить отношение включения для под-
подмножеств некоторого множества.
3. Функциональные отношения. Исключительно важ-
важным типом двуместных отношений являются функции,
или, как их иногда называют, отображения. Напомним,
что под функцией или отображением некоторого множе-
множества М в некоторое множество N понимается закон, по
которому каждому элементу т множества М соответствует
один вполне определенный элемент п множества N. Это
соответствие принято записывать в форме п = f (m).
Мы ограничимся случаем", когда множества М и N сов-
совпадают, и говорим тогда об отображении множества М
в себя. Здесь речь идет,ь следовательно, о соответст-
соответствиях, сопоставляющих каждому элементу т из М неко-
некоторый вполне определенный элемент п из М. Функции
у = sin х, у = х*, у = 5х + 3, известные из анализа,
являются отображениями множества вещественных чисел
в себя.
Как мы уже говорили (гл. III, § 1), всякой функции/ (х),
определенной на М со значениями в М, мы можем от-
отнести некоторый вполне определенный предикат F (х, у)
на М, положив F (т, п) = и, если п = f( m), и F (т, п) =
= л, если пф\ (т). Нетрудно видеть, что задание преди-
предиката F (х, у) однозначно определяет функцию у = f (x).
Спрашивается, какие же двуместные предикаты Р (х, у)
127

Соответствуют функциям? Такие предикаты уместно-
называть функциональными. Чтобы их характеризовать, мы
должны учесть определение понятия функции: 1) каждому
х обязательно соответствует элемент у и 2) каждому х
соответствует только один элемент у. Итак, всякий функ-
функциональный предикат удовлетворяет следующим двум
формулам:
\х^уР{х,у), A)
\xyy\z((P(x,y)/\Р(х, z))-*(у = г)). B)
(Вторая формула содержательно означает, что если у
сопоставлен х и z сопоставлен х, то у и г — один и тот
же элемент.) Таким образом, предикаты, которые удов-
удовлетворяют второй формуле, характеризуются тем, что
они сопоставляют каждому элементу х множества М не
более одного элемента у. Это соответствует понятию функ-
функции, не обязательно всюду определенной. Заметим, что в
анализе мы очень часто встречаемся с подобным поня-
понятием. Так, например, функция Ух не определена для
отрицательных чисел и нуля, а функция —не определена
для д:=0. Соответствующие предикаты удовлетворяют ус-
условию B), но не удовлетворяют условию A). Согласно
нашему определению функциональные предикаты удов-
удовлетворяют условиям A) и B). Они соответствуют всюду
определенным функциям.
Среди функций (отображений) большую роль играют
два частных случая: это так называемые взаимно одно-
однозначные отображения и отображения на все мно-
множество.
Отображение множества в себя называется взаимно
однозначным в том и только в том случае, когда различные
элементы переходят в различные. Это требование соот-
соответствует тому, что соответствующий функциональный
предикат должен удовлетворять формуле
\x\y\z\u((P(x, z)f\P(y, ы)Д
Л1 (*=*)) —1B = «)). C)
Другое важное требование, которое часто наклады-
накладывается на функцию, состоит в том5' что каждый элемент
у из М должен быть сопоставлен некоторому элементу х.
128

Это требование выражается формулой
\уцхР(х,у). D)
Особое значение имеют те функции на" М, которые явля-
являются одновременно взаимно однозначными и отображе-
отображениями на все множество М. Такие отображения обыкно-
обыкновенно называются подстановками множества М. Из пре-
предыдущего видно, что некоторый предикат Р (х, у) будет
тогда и только тогда функциональным предикатом неко-
некоторой подстановки множества М, когда он удовлетворяет
конъюнкции формул A), B), C) и D).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Послетого как мы кратко описали некоторые эле-
ментарныеразделыматематическойлогики.мы хотим немно-
немного остановиться на связи математической логики с исследо-
исследованиями по основаниям математики. Как мы уже несколь-
несколько раз отмечали, центральные проблемы математической
логики были до сих пор тесно связаны с вопросами, воз-
возникающими при изучении строения математических тео-
теорий. Именно эти вопросы послужили основным стимулом
для развития математической логики и именно здесь мате-
математическая логика нашла свои самые плодотворные при-
применения. До самого последнего времени прилагательное
«математическая» в выражении «математическая логика»
многими понималось сразу в двух смыслах: во-первых,
в том смысле, что в этой науке логические заключения
изучаются с применением аппарата математики; во-вто-
во-вторых, в том смысле, что основным объектом исследования
при этом являются логические рассуждения в самой ма-
математике. В последние два десятилетия такую точку
зрения уже нельзя считать вполне правомерной. Действи-
Действительно, в связи с возникновением и развитием киберне-
кибернетики и в особенности в связи с теорией и практикой авто-
автоматических вычислительных и управляющих машин мате-
математическая логика приобретает новые, широкие области
приложения вне математики. В частности, математиче-
математическая логика начинает внедряться в такие нематематиче-
нематематические дисциплины, как языкознание, экономику, меди-
медицину, психологию, педагогику, право. Но здесь мы на-
находимся, несомненно, только в самом начале развития и
нам кажется уместным в рамках нашей книги не касаться
этих вопросов. Несмотря на такое расширение области
приложений математической логики/ пока и сегодня еще
самые глубокие результаты относятся к проблематике,
130

касающейся оснований математики, и Мы, хотя И кратко,
должны на этом остановиться.
Общепринято считать математику наукой дедуктивной.
Под этим понимается та характерная особенность мате-
математики, которая говорит о том, что истинность матема-
математических утверждений, в отличие от утверждений есте-
естественных наук, не устанавливается на основании опыта и
наблюдения, а выводится (дедуцируется) с помощью ло-
логических рассуждений, исходя из небольшого числа ис-
исходных утверждений. Исходные положения называются
аксиомами или постулатами. Истинность аксиом прини-
принимается без доказательства; все остальные утверждения
называются теоремами и доказываются (выводятся) из
аксиом. Понятия, участвующие в утверждениях, также
разделяются на исходные — общепринятые и очевид-
очевидные — и производные понятия, которые должны быть
определены через исходные. Такие требования к дедук-
дедуктивной науке выработались древнегреческими мысли-
мыслителями и были довольно четко сформулированы Аристо-
Аристотелем. В Древней Греции математика приняла форму
дедуктивной науки и сохранила эту форму и по сей день.
Во II в. дон. э. Евклид в своих «Началах» дал аксиомати-
аксиоматическое (дедуктивное) изложение геометрии, которое в
течение двух тысячелетий считалось основным и идеаль-
идеальным примером дедуктивного построения знания. Это из-
изложение явилось завершением основного этапа развития
древнегреческой математики, продолжавшегося примерно
с V до II в. до н. э. Конечно, не Следует думать, что идея
построения математики как дедуктивной науки возникла
в Древней Греции в V—II вв. до н. э. на пустом месте.
Этой идее предшествовало длительное развитие матема-
математики, происходившее в Древнем Египте, в Древнем Ва-
Вавилоне и в ранние века древнегреческой истории, когда
математика, которая вначале была набором полученных
из опыта правил арифметических действий и геометри-
геометрических фактов, постепенно приобрела знакомую нам
форму. К сожалению, весь этот очень интересный и важ-
важный процесс становления математики мало изучен').
*) Относительно затрагиваемых здесь вскользь вопросов-, от-
относящихся к истории математики, мы рекомендуем читателю озна-
ознакомиться более подробно в следующей литературе: Н. ,Б у р б а к и,
Очерки по истории математики, ИЛ, 1963; Б. Л. В а н дер В а р-
д е н, Пробуждающаяся наука, ИЛ, 1959; Э. К о л ь м а н, История
131

Нужно сказать, Что, как Это Постепенно выяснилось, й
изложение в «Началах» Евклида довольно далеко от
безупречного аксиоматико-дедуктивного построения
геометрии, которое соответствовало бы требованиям,
предъявляемым Аристотелем к дедуктивным наукам.
Сразу же бросаются в глаза следующие слабые сто-
стороны.
1. Делается попытка дать определение не только про-
производных, но и исходных понятий'). Это противоречит
основному принципу, согласно которому базисные по-
понятия в определении не нуждаются. Если какое-то по-
понятие определяется, то в определении встречаются дру-
другие понятия, о которых предполагается, что они являются
более простыми, а определяемое понятие тем самым ока-
оказывается уже производным, а не исходным. В данном
случае в приведенных определениях понятия сточка»,
«линия», «прямая», «поверхность» и т. д. определяются
на основе понятии «длина», «ширина», «одинаково рас-
расположены» и т. д. При этом неясно, следует ли эти опре-
определяющие понятия рассматривать как исходные, а если
да, то почему они более очевидны и просты, чем определя-
определяемые понятия. Впрочем, если даже оставить этот вопрос в
стороне, то рассматриваемые евклидовские определения
никак не соответствуют требованиям аристотелевской
логики. Как утверждал В. Ф. Каган, «приведенные опре-
определения не только составляют самое слабое место во всем
математики в древности, Физматгиз, 1961; К- А. Рыбников,
История математики, Изд-во МГУ, 1961.
*) Первая книга «Начал» открывается следующими определе-
определениями.
«Определения.
1. Точка есть то, что ие имеет частей.
2. Линия есть длина без ширины.
3. Концы линии суть точки.
4. Прямая есть линия, которая одинаково расположена отно-
относительно лежащих на ией точек.
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ши-
ширину.
6. Границы же поверхности суть линии.
7. Плоскость есть такая поверхность, которая одинаково рас-
расположена по отношению к лежащим на ией прямым.
8. Плоский угол есть взаимное иаклоиеиие двух линий на плос-
плоскости, которые друг друга встречают, ио ие расположены на одной
прямой.
9. И если линии, образующие угол, прямые, то угол называет-
называется прямолинейным».
132

сочинении, но ё известной мере являются Источником:
большинства его дефектов»').
2. Приводимые Евклидом аксиомы и постулаты не
являются достаточными для доказательства теорем гео-
геометрии. В доказательствах используются многочисленные
другие утверждения, считающиеся очевидными, но нигде
явно не сформулированные.
Эти недостатки вполне исправимы и были действи-
действительно исправлены геометрами в конце XIX в., когда
математическая мысль после многовекового перерыва
опять обратилась к представлению геометрии в строгой
форме, соответствующей аристотелевскому идеалу аксио-
матико-дедуктивной науки. Одновременно в это же время
была постепенно разработана достаточно строгая аксио-
аксиоматическая форма и для других математических дисцип-
дисциплин: для арифметики, алгебры, анализа, а несколько
позже, в начале XX в., для теории вероятностей и для
теории множеств.
Возникает вопрос, почему понадобился такой большой
срок для приведения в порядок изложения Евклида. На
это можно ответить, что до XIX в. математики недоста-
недостаточно обращали внимание на логическую строгость. Как
в геометрии, так и в других областях математики господ-
господствовало изложение, которое можно было бы характери-
характеризовать как наглядное и неявно аксиоматическое. Нужно
сказать, что оно и сейчас общепринято во всех случаях,
когда дело идет об изложении конкретного математиче-
математического материала. Как и в «Началах» Евклида, большин-
большинством исходных положений пользуются по мере надоб-
надобности: в качестве аксиом они в большинстве случаев не
формулируются. Считается, что они столь наглядны, про-
просты и очевидны, что могут быть приняты как исходные,
и не только не нуждаются в доказательствах, но даже и
в явной формулировке. В такой формулировке и в дока-
доказательстве нуждаются только достаточно сложные ут-
утверждения, которые выделяются как теоремы, причем
основное назначение доказательства состоит в том, что-
чтобы убедить читателя, слушателя и самого автора в
') В. Ф. К а г а и, Основания геометрии, т. 1, Гостехиздат,
1949, стр. 41. В этой книге содержится очень детальное критичес-
критическое изложение «Начал» Евклида. Читателю, желающему более
глубоко ознакомиться с затрагиваемой нами тематикой, мы очень
советуем обратиться к этой книге.
133

истинности доказываемого утверждения. В эпоху бурного
развития анализа — в XVII, XVIII и XIX вв.— такая
форма была вполне удовлетворительной.
Такое состояние объяснялось еще тем, что матема-
математика, в частности геометрия, имела дело исключительно
с очень наглядными и привычными представлениями.
В истинности исходных положений, независимо от того,
формулировались ли они явно в виде аксиом или исполь-
использовались без явной формулировки, никакого сомнения
не возникало. Кроме того, не возникало никаких со-
сомнений относительно того, что следует понимать под ос-
основными неопределяемыми понятиями, о которых говорят
аксиомы и теоремы данной области математики. Для опи-
описываемой формы аксиоматического построения матема-
математики — ив первую очередь геометрии — характерен сле-
следующий основной принцип. Исходные положения — акси-
аксиомы и основные понятия — имеют вполне определенный
содержательный смысл; аксиомы истинны в силу своей
очевидности. Теоремы истинны, так как они выводятся
логическими рассуждениями из истинных посылок, а ос-
основным свойством правильных логических умозаключений
является то, что, примененные к истинным посылкам,
они дают истинные заключения. Эта форма аксиоматичен
ского построения, единственно известная до конца XIX в.,
называется содержательной. Развитие математики в XIX
и XX вв. привело к созданию некоторого нового уровня
дедуктивно-аксиоматических построений, который при-
принято называть формальным.
3. Большое значение для изменения точки зрения на
вопрос об очевидности аксиом и основных понятий имело
возникновение неевклидовой геометрии, созданной в пер-
первой половине XIX в. великим русским математиком
Н. И. Лобачевским и замечательным венгерским мате-
математиком Я. Бояи. На причинах этого возникновения мы
должны кратко остановиться.
Среди аксиом и постулатов в «Началах» Евклида
имеется следующее утверждение, известное как посту-
постулат (аксиома) о параллельных, так называемый пятый
постулат Евклида. Его дословная формулировка
гласит:
«И если прямая, падающая на две прямые, образует
внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух пря-
прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно
134

встретятся с той стороны, где углы, меньшие двух пря-
прямых»1).
В дальнейшем эта аксиома формулировалась обыкно-
обыкновенно в несколько иной форме, которая, как можно по-
показать, по существу равносильна приведенному пятому
постулату:
«Для всякой прямой g и для всякой точки Р вне g су-
существует одна и только одна прямая, проходящая через Р
и не пересекающая g».
Более кратко можно также сказать, что данная акси-
аксиома утверждает, что через всякую точку вне прямой g
можно провести одну и только одну прямую, параллель-
параллельную g.
В течение долгого времени многие математики пола-
полагали, что пятый постулат является не аксиомой, а тео-
теоремой, которая может быть доказана из других аксиом.
Известны многочисленные попытки построить такое дока-
доказательство. (Особенно известны попытки доказательства
итальянского математика Саккери в XVII в. и немецкого
математика Ламберта в XVIII в.) Анализ этих доказа-
доказательств показывает, что они или содержат логические
ошибки или же неявно используют утверждения, правда
очень наглядные, но, по сути, равносильные пятому по-
постулату 2). '
Большинство доказательств пытались строить приве-
приведением к абсурду. Предполагалось, что через точку Р вне
прямой g проходит несколько (более одной) прямых, па-
параллельных g, и из этого предположения последовательно
выводились следствия в поисках противоречия. Если бы
противоречие было найдено, то принятое отрицание ак-
аксиомы о параллельных было бы опровергнуто, и искомое
утверждение доказано. Но несмотря на все попытки, ни-
никаких противоречий не получалось. Правда, получались'
следствия, противоречащие всем привычным наглядным
представлениям, но искомое логическое противоречие не
возникало *).
*) См. «Начала» Евклида, книги I—VI, Гостехиздат, 1950,
стр. 15.
s) Например, можно показать, что для доказательства аксиомы
о параллельных достаточно предположить, что существуют не рав-
равные, но подобные треугольники.
*) Подробное изложение читатель найдет в уже цитированной
книге В. Ф. Кагана «Основания геометрии», т. 1, и в книге
В. Ф. Кагана «Лобачевский»,
135

В двадцатых годах прошлого столетия Н. И. Лобаг
чевский был первым, кто явно высказал мысль о том, что,
заменив аксиому о параллельности противоположным ут-
утверждением, можно будет получить в качестве следствия
непротиворечивое построение некоторой новой геомет-
геометрии, отличной от привычной геометрии Евклида.
Вместо аксиомы Евклида о параллельных Лобачев-
Лобачевский рассматривал аксиому, согласно которой через точку
Р вне прямой g проходит бесконечно много прямых, не
пересекающих g. Совокупность этих прямых заполняет
некоторый угол (рис. 14).
Р
Рис. Н.
Лобачевскому удалось довольно далеко разработать
возникающую из этого предположения неевклидову гео-
геометрию, которую он назвал «воображаемая геометрия» и
которую теперь принято называть гиперболической гео-
геометрией, или геометрией Лобачевского.
Несколько лет спустя независимо от Лобачевского ана-
аналогичную мысль развил в своих работах венгерский мате-
математик Я- Бояи.
Мы не будем описывать геометрию Лобачевского, а
отметим и подчеркнем только, что, несмотря на то, что
утверждения этой геометрии во многом противоречат
привычным для нас наглядным представлениям, вся тео-
теория в целом представляет собой логически безупречное
дедуктивно-аксиоматическое построение. В дальнейшем,
в конце XIX в. было строго доказано, что геометрия Лоба-
Лобачевского столь же непротиворечива, как и геометрия
Евклида.
С другой стороны, уже в XX в. геометрия Лобачев-
Лобачевского и некоторые ее обобщения легли в основу матема-
математического аппарата общей теории относительности Эйн-
Эйнштейна. Тем самым подтвердилось, что эта геометрия
является не бесполезной игрой ума, а полноценной мате-
математической дисциплиной.
136

С точки зрения логики важность возникновения неев-
неевклидовой геометрии Лобачевского состоит в том, что она
впервые очень существенно подорвала наивное мнение,
согласно которому истинность аксиом при дедуктивном
построении некоторой математической дисциплины должна
непосредственно усматриваться на основании наглядной
очевидности.
Постепенному изменению точки зрения относительно
очевидности аксиом способствовали и другие разделы
математики, возникшие в XIX в. Здесь можно назвать в
качестве примера геометрию пространств сколь угодно
большой размерности — четырех-, пяти-, шести- и вооб-
вообще n-мерных пространств. В конце XIX в. для целей ана-
анализа стали изучать бесконечномерные пространства. От-
Отсюда возникла такая важная как для теории, так и для
приложений в физике область математики, как функцио-
функциональный анализ.
Существенно перестроилась алгебра. Эта математи-
математическая наука перешла от изучения алгебраических опе-
операций над числами к изучению операций над элементами
произвольной природы. Так возникли такие разделы ал-
алгебры, как теория групп, теория колец, теория полей,
векторная алгебра, тензорная алгебра, теория структур
и др., в которых изучаются самые общие закономерности
алгебраических операций. В первой главе мы познако-
познакомились с так называемой булевой алгеброй, являющейся
еще, одним примером подобной алгебраической теории.
Наконец, в 80-х гг. XIX в. немецким математиком
Г. Кантором была создана теория абстрактных множеств,
изучающая самые общие свойства бесконечных множеств
объектов произвольной природы.
Все эти новые области имеют дело с очень отвлечен-
отвлеченными и мало наглядными конструкциями. Тем не менее,
как показало развитие математики и ее приложений в
физике — особенно в атомной физике,— именно подобные
абстрактные разделы дают зачастую тот математический
аппарат, который необходим для описания закономерно-
закономерностей действительности. Наглядность и очевидность исход-
исходных понятий и утверждений не являются больше крите-
критерием правильности и полезности математических постро-
построений. Но тогда совершенно особое значение приобретает ло-
логическая строгость математических теорий. Очень важным
становится явная формулировка всех аксиом и посылок.
137

4. В качестве примера формальной системы аксиом для.
геометрии приведем отрывок из знаменитой книги Д. Гиль-
Гильберта «Основания геометрии», в котором формулируется
часть основных аксиом. Этот труд, вышедший первым-изда-
первым-изданием в 1899 г., является в некотором смысле завершением
критической перестройки аксиоматического построения
элементарной геометрии, предпринятого в XIX в. после
возникновения неевклидовой геометрии. Наша цитата от-
относится к первой главе, в которой излагаются аксиомы
плоской и пространственной геометрии. Изложение на-
начинается так:
«Мы мыслим три различные системы вещей: вещи
первой системы мы называем точками и обозначаем
А, В, С, ...; вещи второй системы мы называем пря-
прямыми и обозначаем а, Ь, с, ...; вещи третьей системы
мы называем плоскостями и обозначаем а, р, у,...; точки
называются также элементами линейной геометрии, точки
и прямые — элементами плоской геометрии, точки, пря-
прямые и плоскости — элементами пространственной гео-
геометрии или элементами пространства.
Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определенных
соотношениях и обозначаем эти соотношения различными
словами, как-то: «лежать», « м е ж д у», «конгру-
«конгруэнтный», «параллельный», «н е п р е р ы в-
н ы й». Точное и для математических целей полное
описание этих соотношений достигается аксиомами
геометрии.
Аксиомы геометрии мы можем разбить на пять групп.
Каждая из этих групп выражает определенные, связанные
друг с другом основные результаты нашего опыта. Мы
будем называть эти группы следующим образом:
I 1—8 аксиомы соединения (принадлежности),
II 1—4 аксиомы порядка,
III 1—5 аксиомы конгруэнтности,
IV аксиома о параллельных,
V 1—2 аксиомы непрерывности-»1)..
После этого краткого вступления дается формулировка
аксиом с краткими комментариями. Формулируются не-
некоторые теоремы, содержащие понятия, введенные в ак-
аксиомах, и на основании аксиом даются доказательства
1) См. Д. Гильберт, Основания геометрии, Гостехиздат,
1948, стр. 56.
138

формулируемых теорем. Мы приведем только некоторые
из аксиом, относящиеся к плоской геометрии, причем из
I и II групп аксиом.
«I! Для любых двух точек А, В существует прямая а,
принадлежащая каждой из этих двух точек А, В.
12 Для двух точек А, В существует не более одной
прямой, принадлежащей каждой из точек А, В.
Здесь, как и в последующем, под двумя, тремя, ...
точками (прямыми, плоскостями) всегда подразумеваются
различные точки (прямые, плоскости).
Вместо термина «п р и н а д л е ж а т» мы будем поль-
пользоваться также и другими формулировками. Например,
вместо прямая а принадлежит каждой
из точекЛиВмы будем говорить: прямая апро-
ходит через точки А а В или прямая а
соединяет точку Л с точкой В; вместо Л при-
принадлежит а мы будем говорить: Л лежит на а
или Л является точкойаит. п. Если точка А
лежит на прямой а и, кроме того, на прямой Ь, то мы будем
говорить, прямые аибпересекаются в точ-
точке Л, имеют общую точку Лит. п.
На прямой существуют по крайней мере две точки.
Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на
одной прямой'»1).
Дальнейшие аксиомы этой группы относятся уже к
пространственной геометрии; мы их приводить не будем.
Между .тем мы приведем аксиомы второй группы.
«Аксиомы этой группы определяют понятие «меж-
д у» и делают возможным на основании этого понятия ус-
установить порядок точек на прямой, плоскости и в прост-
пространстве.
Точки прямой находятся в определенных отношениях
друг с другом. Для описания этих отношений большей
частью пользуются словом «между».
Hi Если точка В лежит между точкой А и точкой С,
то А, В, С суть три различные точки прямой и В лежит
также между С и А.
П2 Для любых двух точек А и С на прямой АС сущест-
существует по крайней мере одна точка В такая, что точка С
лежит между А и В.
') См. Д. Гильберт, Основания геометрии, Гостехиздат,
1948, стр. 57.
139

II, Среди любых трех точек прямой существует-
не более одной точки, лежащей между двумя другими.
Кроме этих аксиом порядка на прямой (линейных ак-
аксиом порядка) необходима еще одна аксиома, относящаяся
к порядку на плоскости.
Определение. Мы рассматриваем на прямой а
две точки А и В; систему двух точек А и В мы называем
отрезком и будем ее обозначать через А В или В А. Точки,
лежащие между А и В, называются точками отрезка АВ
или точками, расположенными (лежащими) внутри от-
отрезка АВ; точки А и В называются концами отрезка АВ.
Все остальные точки прямой а называются точками, ле-
лежащими вне отрезка.
П4 Пусть А, В, С — три точки, не лежащие на одной
прямой, и а — прямая в плоскости ABC, не проходящая
ни через одну из точек А, В, С; если при этом прямая а
проходит через одну из точек отрезка А В, то она должна
пройти через одну из точек отрезка АС или через одну из
точек отрезка ВС.
Выражаясь наглядно, говорят, «если прямая входит
во внутрь треугольника, то она также выходит из тре-
треугольника». Тот факт, что прямая а не может при этом
пересечь оба отрезка АС и ВС, может быть доказан»1).
На примере изложения Гильберта довольно ясно видно,
в чем состоит существенное, отличие формальной аксио-
аксиоматики от содержательной. Характерной чертой формаль-
формальной аксиоматики является то, что основные понятия не
определяются и даже не описываются. Они представляют
собой абстрактные объекты и абстрактные отношения:
все свойства, которые в дальнейшем должны быть ис-
использованы, устанавливаются в аксиомах. В принципе
свойства и отношения, сформулированные в аксиомах,
совершенно произвольны. На них накладывается только
требование непротиворечивости, т. е. невозможности вы-
вывода из них какого-либо утверждения А и его отрицания
~]А. Но, конечно, в действительности аксиомы выбира-
выбираются так, чтобы они отражали какие-то существенные сто-
стороны действительности. Так сразу видно, что в аксиомах
Гильберта сформулированы некоторые свойства и отно-
отношения, которые соответствуют привычному содержатель-
*) См. Д. Гильберт, Основания''геометрии, Гостехиздат,
1948, стр. 58-60.
140

ному пбниманию. Но — и именно это важно подчеркнуть—
после того как сами отношения и встречающиеся в них
понятия абстрагированы от действительности, в фор-
формально аксиоматическом построении теории намеренно
отвлекаются от содержательного понимания, и вопрос об
истинности или очевидности аксиом уже больше не ста-
ставится. В самой математической теории изучаются только
логические следствия из аксиом, принятых в качестве
посылок.
Для уяснения современного понятия аксиоматической
системы приведем еще один пример, на этот раз из об-
области алгебры.
Важным предметом изучения алгебры являются об-
области объектов, в которых привычным образом выполнимы
четыре фундаментальных действия арифметики: сложение,
вычитание, умножение и деление. Такие области с опре-
определенными на них операциями называются полями. Так,
например, для указанных операций полем является со-
совокупность всех рациональных чисел. Другим полем яв-
является множество вещественных чисел. Полями будут так-
также множества комплексных чисел, множества рацио-
рациональных функций с рациональными коэффициентами, т. е.
выражения вида
где а) и bj — рациональные .числа, и многие другие об-
области, изучаемые в алгебре.
Строгое определение понятия поля описывается следу-
следующей системой аксиом.
Множество объектов произвольной природы называ-
называется полем, если для этих объектов определены две опе-
операции, первая из которых называется сложением и обо-
обозначается знаком +, вторая — умножением и обозначается
знаком •, так, чтобы при этом выполнялись следующие
аксиомы.
I. Аксиомы для сложения:
1) операция сложения определена для любых пар
объектов а и b и сопоставляет им некоторый объект с,
называемый суммой: а + b = с;
2) а + b = b + a — коммутативный закон для сло-
сложения;
141

3) a + ф + с) — (а + Ь) + с — ассоциативный закон
для сложения;
4) существует однозначно определенный элемент, обо-
обозначаемый 0 и называемый нулем поля, такой, что для
любого объекта а имеет место
а 4- 0 = а,
5) для каждого объекта а существует однозначно опре-
определенный объект, обозначаемый — а, такой, что
а + (—а) = 0.
II. Аксиомы для умножения:
1) операция умножения определена для любой пары
объектов а и & и сопоставляет им некоторый объект с,
называемый их произведением и обозначаемый с = ab.
2) а-b = b-а — коммутативный закон для умно-
умножения;
3) a (be) = (ab)-c — ассоциативный закон для умно-
умножения;
4) существует однозначно определенный объект, обо-
обозначаемый 1 и называемый единицей поля, такой, что для
всех объектов а имеет место
а\=а,
5) для всех объектов поля, отличных от 0, существует
однозначно определенный объект а~1 такой, что
III. Распределительный закон:
для любых трех элементов поля а, Ь, с имеет место
равенство
a-(b -\-c) = ab-\-ac.
Это аксиомы поля. Любые утверждения, которые за-
записываются с помощью операций сложения и умножения
и которые являются логическими следствиями вышепри-
вышеприведенных аксиом,— это теоремы теории поля. Теоремы
представляют собой утверждения, которые выполняются
в произвольном поле независимо от того, что представ-
представляют собой его элементы. Как и в случае аксиом геомет-
геометрии, в приведенном примере аксиом/поля сформулированы
свойства и отношения, отражающие некоторые сущест-
142

венные стороны привычных арифметических операций-
Но после того, как эти требования абстрагированы от
действительности, в формальном аксиоматическом пост-
построении намеренно отвлекаются от содержательного по-
понимания: изучаются только логические следствия из
принятых посылок. Можно сказать, что такая процедура
довольно хорошо соответствует аристотелевскому пони-
пониманию дедуктивной науки и, например, изложение Гиль-
Гильберта в «Основаниях геометрии» больше отвечает арис-
аристотелевскому идеалу, чем «Начала» Евклида.
5. Остается еще одна существенная сторона' аксиома-
аксиоматических построений в математике, которая до конца
XIX в. оставалась в тени; она касается как раз связи с
математической логикой. И в содержательных аксиома-
аксиоматических теориях, и в современных формальных теориях
речь идет о логическом выводе одних утверждений из дру-
других. При этом вопрос о том, что представляет собой ло-
логический вывод, не ставился. Ясно было, что доказатель-
доказательство какой-либо теоремы, исходя из некоторого набора
посылок-аксиом, состоит в построении цепочки промежу-
промежуточных утверждений, каждое из которых получается из
предыдущих применением некоторых логических зако-
законов. Но что представляют собой эти логические законы и
как они применяются для преобразования одних утверж-
утверждений в другие, нигде не описывалось и не уточнялось.
А такое уточнение стало теперь необходимым.
Действительно, объекты и отношения, изучаемые в
современной математике, как мы уже говорили, обладают
большой степенью абстрактности и общности, и говорить
об очевидности аксиом нет возможности. При выборе ис-
исходных положений — аксиом мы должны быть в первую
очередь уверены, что логическими выводами мы не при-
придем к абсурдным утверждениям. Иначе говоря, централь-
центральным вопросом обоснования какой-либо математической
дисциплины ставится вопрос о непротиворечивости ис-
исходных посылок-аксиом. Мы не можем при этом ограни-
ограничиться ссылкой на то, что аксиомы непротиворечивы в
силу того, что они отражают некоторое положение вещей
окружающего нас мира. Ведь формулируемые нами от-
отношения и свойства объектов не являются точным отра-
отражением действительности, а являются далеко идущей иде-
идеализацией, при которой мы намеренно упрощаем картину.
Нет никакой гарантии, что в результате такой абстракции
143

и идеализации формулируемые аксиомы не могут оказать-
оказаться противоречивыми. Проблема стала особенно острой
после того, как на рубеже XX в. в одной из самых основ-
основных областей математики — теории множеств, имеющей
дело с самыми общими свойствами бесконечных мно-
множеств,— действительно выявились парадоксы: рассуж-
рассуждения о некоторых бесконечных множествах привели к
логическим противоречиям. Возникновение этих парадок-
парадоксов было вскоре удовлетворительно объяснено и были
предложены различные логические процедуры, позволя-
позволяющие их избегать. Возникшие при этом многочисленные и
острые дискуссии заострили внимание многочисленных
математиков на вопросах логического обоснования мате-
математики. Особенно обширные исследования в этом направ-
направлении были предприняты Д. Гильбертом и рядом его уче-
учеников и последователей: П. Бернайсом, Д. фон Нейманом,
Ж- Эрбраном и др. В результате этого развития для реше-
решения основных вопросов, связанных с обоснованием мате-
математики, возникла новая математическая дисциплина —
метаматематика или теория доказательств, опирающаяся
существенно на понятия и методы математической логи-
логики — логику высказываний и логику предикатов.
Объектами изучения метаматематики являются де-
дедуктивные математические теории. В ней исследуются
свойства и отношения между системами аксиом, строение
доказательств, взаимосвязь между теоремами. Среди ос-
основных проблем, которые должна решать метаматематика,
особенно выделяются три: проблема непротиворечивости,
проблема полноты, проблема разрешимости. Под этим
понимается следующее. Пусть дан некоторый набор ос-
основных объектов и некоторых отношений между ними,
описанных некоторой системой аксиом. Мы привели для
этой ситуации уже ряд примеров. Так, в элементарной
геометрии на плоскости имеются объекты, называемые
точками и прямыми, которые связаны отношениями «точка
Р принадлежит прямой а», «точка В расположена между
точками Л и С» и некоторыми другими отношениями, ко-
которые мы не упоминали, эти отношения описаны в акси-
аксиомах. Аналогично в теории поля имеются некоторые объ-
объекты — элементы поля, связанные операциями сложения
и умножения, также задаваемыми некоторой системой ак-
аксиом. В предшествующих главах щы встречались с дру-
другими аксиоматически определенными областями. В гл. I
144

X
мы выписали систему аксиом для алгебры Буля, играю-
играющей столь важную роль в логике высказываний, в § 6
гл. III мы привели аксиомы для отношения эквивалент-
эквивалентности, отношения упорядоченности, функциональных от-
отношений.
Итак, пусть мы имеем некоторую аксиоматически за-
заданную область.
Проблема непротиворечивости состоит в выяснении не-
непротиворечивости требований, сформулированных в ак:
сиомах. Иначе говоря, нужно выяснить невозможность
получения в качестве логических следствий двух утверж-
утверждений А и"] А. Заметим, что если система аксиом противо*
речива, т. е. из нее выводима какая-либо пара утвержде-
утверждений А и"] А, то, как мы видели в § 3 гл. II, из нее выводимо
произвольное утверждение, как истинное, так и ложное.
Таким образом, интерес могут представлять только непро-
непротиворечивые системы аксиом.
Не менее важной является проблема полноты системы
аксиом. Здесь требуется установить, достаточна ли си-
система аксиом, чтобы из нее в качестве логических след-
следствий выводились все истинные утверждения области.
Наконец, большое значение имеет следующая проб-
проблема, называемая проблемой разрешимости. Здесь тре-
требуется установить, существует или не существует неко-
некоторая эффективная процедура, которая для любого ут-
утверждения, формулируемого в терминах введенных o6V
ектов и отношений, устанавливает, выводимо или не вы-
выводимо это утверждение из заданных аксиом.
Для уточнения и решения указанных основных и ряда
других сходных проблем в метаматематике Д. Гильбертом
был предложен некоторый очень общий метод формализаг
ции процедуры логических заключений. Основным при
этом является понятие формального вывода, с которым мы
познакомились на очень частном и простом примере в
§ 3 гл. II.
Опишем этот метод в очень общих чертах для произ*
вольного случая.
Для изучения некоторой аксиоматической теории стро?
ится некоторый общий «язык», который позволяет запи-
записывать любое утверждение данной теории как некоторую
однозначно определенную последовательность знаков, в
виде некоторой «правильно построенной формулы». Для
построения такого языка можно использовать формульную
145

Запись логики предикатов, как мы это показали на ряде
примеров в § 6 гл. III1).
В качестве дальнейшего примера укажем еще форма-
формализацию утверждений теории поля. Для этого достаточно
наряду с операциями логики высказываний и кванторами
ввести в рассмотрение два трехместных предиката S (х, у, г)
и Р (х, у, г), описывающих соответственно операции
сложения и умножения: 5 (х, у, г) принимает значение и
в том и только в том случае, когда х + у = z, a
Р (х, у, z) = и, когда х у = г. Всякой формуле догики
предикатов, в которой встречаются только предикаты
5 и Р и в которой все переменные связаны кванторами,
однозначным образом соответствует утверждение теории
поля. При этом нужно особо выделить формулы, со-
соответствующие вышеприведенным аксиомам поля. Мы не
будем jhx выписывать все, а приведем только некото-
некоторые из них.
Аксиома 1,1) для сложения гласит, что операция сло-
сложения сопоставляет произвольным двум элементам х и у
некоторый элемент г — их сумму — и только один. Су-
Существование суммы выражается формулой
\x\fy^zS(x, у, г), A)
а единственность — формулой
\x\y\t\w((S{x, у, z)/\S(x, у, да)) —(г = ш)), B)
так что аксиома 1,1) записывается как конъюнкция фор-
формул A) и B). Соответственно аксиома 11,2) о сущест-
существовании и единственности произведения выражается
формулой
\хуузгР(х, у, г)/\ухуу\г\и>((Р(х, у, г)/\
/\P(x,y,w))^(z = w)). C)
Аксиома 1,4) о существовании и единственности нуля
выражается следующей конъюнкцией:
¦ЗУ\хР(х, у, х)^\У\г(\х(Р(х, у, х)/\
г,х))-^(у = г)). D)
') Заметим, что тот раздел теории предикатов, который мы опи-
описали в предыдущих главах — он называется «узким исчислением
предикатов»,— не вполне достаточен, чтобы описывать произволь-
произвольные математические теории. Для многих областей нужно привле-
привлекать более высокие разделы теории предикатов, на которых мы в
нашем элементарном и популярном изложении не останавливались.
146

Аналогично можно указать запись для других аксиом и
для произвольных теорем теории поля. Приведем в ка-
качестве примера запись утверждения, которое будет уже
теоремой, о существовании частного отделения г на х, если
х не равно 0:
\x\z^y(~\S{x, х, х)—*Р(х, у, г)).
(В переводе на привычный язык: для произвольных х, у,
г, если х + хфх, т. е. если хф 0, то существует такое у,
что х у = г.)
Подобным же образом утверждения других аксиома-
аксиоматических теорий записываются в виде формул определен-
определенного вида.
При метаматематическом подходе к изучению какой-либо
аксиоматической теории в основу исследования кладутся
сами записи утверждений. Указывается некоторый набор
элементарных знаков. (В случае поля это будут буквы
для переменных х, у, г и т. д., буквы Р и S, знаки для
операций логики высказываний ~], Л. V. -»-> ~> знаки
для кванторов у>3>знак = и скобки (,).) Далее указыва-
указываются правила, позволяющие из этих знаков образовывать
правильно построенные формулы. Эти правила задаются
так, чтобы те формулы, которые получаются в результате
их применения, как раз соответствовали бы содержатель-
содержательным утверждениям теории как истинным, так и ложным.
Некоторые правильно построенные формулы выделяются
и объявляются аксиомами. Содержательно аксиомы — это
формулы, которые являются записями тех утверждений,
которые мы предполагаем истинными. Наконец, форму-
формулируются правила вывода — это некоторые механические
правила оперирования со знаками, позволяющие преобра-
преобразовывать правильно построенные формулы в правильно
построенные формулы. Правила вывода формулируются
так, чтобы они переводили содержательно истинные фор-
формулы в содержательно истинные и соответствовали логи-
логическим заключениям. После этого определяется основное
свойство — выводимость формулы. Формула А называется
выводимой из аксиом, если она получается из аксиом по-
последовательным применением правил вывода. Последова-
Последовательность промежуточных формул, получаемых при этом,
называется выводом формулы А. Вывод формулы можно
рассматривать как запись доказательства утверждения,
соответствующего формуле.
147

Описанная процедура формализации математических
теорий превращает исследование аксиоматических систем
в исследование операций над конечными и в принципе
вполне обозримыми совокупностями формул даже- в том
случае, когда в соответствующей содержательной теории
речь идет о свойствах бесконечных множеств.
Этот метод позволяет уточнить понятие непротиворе-
непротиворечивости, полноты и разрешимости, а для некоторых аксио-
аксиоматических теорий решить соответствующие проблемы.
Так, непротиворечивость некоторой системы аксиом после
формализации означает невозможность вывода из соот-
соответствующей системы никаких двух формул А и ~\А. Соот-
Соответственно полнота системы означает, что для любой
замкнутой формулы должна быть выводима или формула
А, или формула ~\А. Установление подобных фактов пред-
представляет из себя, правда, трудные, но вполне определен-
определенные математические задачи. И на этом пути за последние
десятилетия были достигнуты важные результаты.
Одним из самых замечательных достижений явилось
установление одного отрицательного факта. На пути
исследования различных математических теорий было
показано, что их обоснование сводимо к исследованию си-
систем аксиом для элементарной арифметики натуральных
чисел, с одной стороны, и теории множеств, с другой. Мно-
Многочисленные математики, начиная с начала нашего сто-
столетия, занимались исследованием аксиоматического* по-
построения арифметики. Вначале 30-х годов австрийским ло-
логиком К. Гёделем здесь был получен следующий резуль-
результат отрицательного характера: никакая конечная система
аксиом для элементарной арифметики не полна. Иначе
говоря, какое бы мы ни выписали конечное множество
аксиом для арифметики, всегда найдется истинное ариф-
арифметическое утверждение, которое не может быть доказано
на основании этой системы. Этот замечательный резуль-
результат и различные его обобщения имеют далеко идущие след-
следствия для современной математики и находятся в центре
внимания математической логики. В нашем популярном
изложении не представляется возможным осветить его в
достаточной мере. Вообще наш краткий экскурс в проб-
проблематику оснований математики может дать об этой
области только очень обедненную и приблизительную
картину. ,

ЛИТЕРАТУРА
Читателю, желающему более детально ознакомиться
с математической логикой и с ее применениями, мы рекомендуем
читать и изучать довольно обширную литературу по этой области.
Мы помещаем ниже небольшой список книг и статей, непосред-
непосредственно примыкающих к изложенному нами материалу. Некото-
Некоторые из указанных трудов содержат в свою очередь подробную
библиографию.
Последовательное и строгое изложение основных положений
математической логики читатель найдет в [6], [11], [18], [22], [25],
[26]. Применениям математической логики к кибернетике и теории
автоматов посвящены книги [1], [2], [3], [4], [7], [8], [9], [12],
[13], [16], [20], [23], [26]. Аристотелевская силлогистика подроб-
подробно обсуждается в [15]. Вопросы оснований математики отражены в
[5], [10], [11]; но, вообще говоря, эти вопросы пока плохо отражены
в монографической литературе. Философские проблемы математи-
математической логики трактуются в статьях в [14], [19], [21], [28], а также
в «Философской энциклопедии» [29].
1. «Автоматы», Сборник статей, ИЛ» 1956.
2. М. А. А й з е р м а и, Л. А. Гусев, Л. И. Р о з о и о э р,
И. М. С м и р и о в а, А. А. Т а л ь, Логика, автоматы, алгорит-
алгоритмы, Физматгиз, 1963.
3. Э. Беркли, Символическая логика и разумные машины, ИЛ,
1960.
4. М. А. Г а в р и л о в, Теория релейио-коитактиых схем, Изд-во
АН СССР, 1950.
5. Д. Гильберт, Основания геометрии, Гостехиздат, 1948.
6. Д. Гильберт, В. Аккермаи, Основы теоретической ло-
логики, ИЛ, 1947.
7. В. М. Г л у ш к о в, Абстрактная теория автоматов, Успехи
матен, наук, т, }6, вып. 1, 1961, стр. 3—62.
8. В. М. Г Л У Ш к о в, Синтез цифровых автоматов, Физматгиз,
1962. "
9. В. М. Г л у ш к о в, Введение в кибернетику, Изд-во АН УССР,
1964.
10. В. Ф. Каган, Основания геометрии, тт. I и II, Гостехиздат,
1949.
11. С. К- К л и и и, Введение в метаматематику, ИЛ, 1957.
12. Н. Е. К о б р и и с к и й, Б. А. Т р а х т е и б р о т, Введение
в теорию конечных автоматов, Физматгиз, 1961.
149

13. С. Колдуэлл, Логический синтез релейных устройств,
ИЛ, 1961.
14. Логические исследования, Сборник статей, Изд-во АН СССР,
1959.
15. Я. Л у к а с е в и ч, Аристотелевская силлогистика с точки
зрения современной формальной логики, ИЛ, 1959.
16. Г. К. М о и с и л, Алгебраическая теория дискретных автома-
автоматических устройств, ИЛ, 1963.
17. А. N a k a s h i m a, The Theory of Relay circuit composition,
Nippon Electr. Commun. Eng., 1936, № 3, 197—226.
18. П. С. Новиков, Элементы математической логики, Физмат-
гиз, 1959.
19. Применения логики в науке и технике, Изд-во АН СССР, 1960.
20. Проблемы кибернетики, тт. 1—10, Физматгиз, 1957—1964.
21. Проблемы логики, Сборник статей, Изд-во АН СССР, 1963.
22. А. Т а р с к и й, Введение в логику и методологию дедуктивных
наук, ИЛ, 1948.
23. Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т. 51
(Сборник статей по математической логике и ее приложениям
к некоторым вопросам кибернетики), Изд-во АН СССР, 1958.
24. В. А. Успенский, Лекции о вычислимых функциях, Физ-
Физматгиз, 1960.
25. А. Ч ё р ч, Введение в математическую логику, ИЛ, 1960.
26. В. И. Ш е с т а к о в, Некоторые математические методы конструи-
конструирования и упрощения двухполюсных электрических схем класса
А, Канд. диссертация НИИФ, МГУ, 1938.
27. С. Е. S h а п о п , Symbolic Analysis of Relay and switching cir-
cuity, Trans. AIEE, 1938, v. 57, 713—722.
28. Философские вопросы современной формальной логики, Сборник
статей, Изд-во АН СССР, 1962.
29. Философская энциклопедия, Изд-во «Советская энциклопедия»,
т. 1, 1960, т. 2, 1962.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие v 3
Введение о
Глава первая
Логика высказываний 8
§ 1. Элементы логики высказываний 8
§ 2. Логические операции 11
§ 3. Булевы функции 20
§ 4. Нормальные формы. Алгебра Буля 30
§ 5. Применения алгебры логики в теории релейно-
контактных схем и в теории автоматов .... 38
Глававторая
Тождествеиио истинные формулы логики высказываний 50
§ 1. Значение тождественно истинных формул для ло-
логики высказываний 50
§ 2. Примеры тождественно истинных формул логи-
логики высказываний 67
§ 3. Формальный вывод тождественно истинных фор-
формул логики высказываний . * . . 60
Глава третья
Логика предикатов 71
§ 1. Предикаты 71
§ 2. Применение операций логики высказываний к пре-
предикатам 85
§ 3. Кванторы 89
§ 4. Преобразования формул логики предикатов.
Предваренная нормальная форма 96
§ 5. Суждения и силлогизмы 101
§ 6. Применение выражений логики предикатов для
описания некоторых отношений 120
Заключение
Основания математики и математическая логика . .130
Литература 149

Jlet Аркадьевич Калужнин
Что такое математическая логика
М., 1964 г., 152 стр. с илл.
Редактор В. В. Донченко.
Техн. редактор И. Ш. Аксельрод.
Корректор Г.Г- Желтова.
Сдано в набор 1/1X 1964 г. Подписано к печа-
печати 5/XI 1964 г. Бумага 84Х 108«/и. Физ. печ.
л. 4,75. Условн. печ. л. 7,79. Уч.-изд.' л. 7,03
Тираж 42 000 акз. Т-17005. Цена книги 21 коп.
Заказ М 1895.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленкнский проспект, 15.
Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова Главполиграфпрома
Государственного комитета
Совета Министров СССР по печати.
Москва, Ж-54, Валовая, 28.