Автор: Калужнин Л.А.
Теги: математика теория множеств математическая логика учебное пособие
Год: 1978
Текст
Л. А. КАЛУЖНИН
ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛОГИКИ
в школьном
КУРСЕ
МАТЕМАТИКИ
•»
ПОСОБИЕ для УЧИТЕЛЕЙ
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1978
517
К17
У
Калужнин Л. Л.
К17 Элементы теории множеств и математической логики в
школьном курсе математики. Пособие для учителей. М.,
«Просвещение», 1978. 88 с. с. ил.
В книге дается краткое изложение элементов теории множеств и ма*
тематической логики и показывается, как некоторые темы алгебры, геомет-
рии и математического анализа могут рассматриваться С единой точки
зрения. Приводятся исторические сведения о возникновении и развитии те-
ории множеств и математической логики.
60501 — 647
К-------------- 157 — 78
102(02) —78
517
© Издательство «Просвещение», 1978 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга предназначается в первую очередь для учителей
математики общеобразовательных средних школ; она может ока-
заться небесполезной и будущим учителям — студентам пединсти-
тутов, а также школьникам старших классов, интересующимся
математикой. Книга посвящена роли и месту идей современной
Математики в школьном преподавании. Даже при беглом про-
смотре наших, (да и зарубежных) школьных учебников можно за-
метить появление в них вопросов, относящихся к двум разделам
современной математики: теории множеств и математической ло-
гике. Освоение этой новой и непривычной тематики проходит да-
леко не безболезненно, причем в особенно трудном положении ока-
зываются учителя старших поколений, во время своей учебы не
изучавшие эти разделы. Сейчас, конечно, положение изменилось:
появилась довольно обширная общедоступная литература по этим
вопросам. Особенно популярной (благодаря многочисленным ее
применениям в кибернетике) стала одна, из глав математической
логики — так называемая алгебра логики. Теоретико-множествен-
ные и логические основы школьной математики неоднократно
обсуждались на страницах журнала «Математика в школе» и в
другой методической литературе. •
Таким образом, тема «Множества и логика» перестала быть для
школьной математики в полном смысле terra incognita (так на
средневековых картах обозначались далекие и неизвестные. мате-
рики). И все же области эти и их значение для школьной матема-
тики освещены явно недостаточно — явление, характерное для
эпохи научно-технической революции, когда общеобразовательная
школа оказалась на переломном этапе своего развития.
Для успешного преодоления этого этапа нужна разнообразная
литература. Наша книга не претендует на систематичность в изло-
жении теории множеств и математической логики —> это не учеб-
ник и не учебное пособие. Наша цель — показать, как многие темы
алгебры, геометрии и анализа, такие, как «Системы уравнений и
неравенств», «Графики функций» и «Элементы аналитической
3
геометрии», могут рассматриваться с единой .точки зрения. Такой
синтез приводит и к лучшему пониманию материала, и к экономии
во времени.
В качестве центральных, синтезирующих понятий мы берем по-
нятие высказывательной формы (посвященный ему пятый параграф —
основной всего текста) и, конечно, основное понятие математиче-
ской логики — понятие логического следования, без четкого пред-
ставления о значении которого нельзя понять, что представляет
собой математическое доказательство (об этом говорится во всех
параграфах).
Теория множеств и логика — относительно новые темы для
школьной математики. Однако истоки многих их основных положе-
ний уходят в классическую древность, к «отцу логики» Аристоте-
лю, а основные идеи современной математической логики были
сформулированы Г. В. Лейбницем. Не затрагивая эту предысто-
рию, трудно оценить по существу и современный этап. Поэтому
наше изложение, насколько позволяет объем, содержит некоторые
исторические сведения. Мы хотели бы показать читателю, что со-
временный этап школьной математики, в котором существенную
роль играет логика, не является временной «модой», а опирается
на многовековую традицию, ставшую по ряду причин особенно
актуальной во время научно-технической революции.
Вообще же наше изложение носит популярный характер, причем
многое (важное даже в рамках нашей темы) здесь не затрагивается,
а иные вопросы упоминаются лишь вскользь. Для расширения и
углубления сказанного нужна дополнительная литература, к кото-
рой мы отсылаем читателя в довольно обширной библиографии.
В нашей стране теория множеств и математическая логика
имеют давние замечательные традиции, связанные с именами
Н. Н. Лузина, М. Я. Суслина, П. С. Урысона, Л. В. Келдыш,
И. И. Жегалкина, В. И. Гливенко, М. И. Шейнфинкеля и пло-
дотворно работающих до сих пор А. Н. Колмогорова, П. С. Алек-
сандрова, А. А. Маркова и Д. А. Бочвара. Приобрели мировую
известность следующие научные школы: теория множеств и мате-
матическая логика академика П. С. Новикова (1901—1974), ма-
тематическая логика и алгебра академика А. И. Мальцева (1909—
1967), основавшие новые глубокие направления на стыке алгебры
и логики. П. С. Новиков долгие годы работал в Московском педин-
ституте и Московском университете, а А. И. Мальцев — в Иванов-
ском пединституте и Новосибирском университете. К ним в первую
очередь восходят идеи внедрения представлений и методов теории
множеств и математической логики в школьную математику. Воз-
действие их идей постоянно ощущает и автор настоящей книги.
§ 1. КАК ВОЗНИКЛА ФОРМАЛЬНАЯ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Единственное ' средство усовершенствовать ниши
умозаключения состоит в том, чтобы сделать их столь же
наглядными, как у математиков, — такими, что их _
ошибочность можно было бы попросту увидеть, увидеть
глазами, а в случае возникновения разногласий доста-
точно было бы только сказать: «Посчитаем, милостивый
государь!», чтобы без дальнейших околичностей стало
ясно, кто прав.
Г. В. Лейбниц
• Математика — наука «доказатель-
ная». Истинность ее утверждений устайавливается не на основании
наблюдений или результатов опыта, а логически выводится из не-
большого числа исходных утверждений — аксиом', такой вывод
называется (математическим) доказательством. Каждый, кто изу-
чает математику, должен уяснить этот ее характер независимо от
того, посвятит ли он себя в дальнейшем этой науке, будет ли ею
пользоваться в качестве мощного инструмента исследований в
других областях знания или же, наконец, знакомится с ней с
общеобразовательными целями.
Но что значит «логически выводится»? Ниже мы постараемся
раскрыть такие часто встречающиеся в математике термины, как
«логическое следование», «логический вывод» и многие другие
обороты, в которых явно встречается или хотя бы подразумевается
эпитет «логический». Он ясно указывает на то, что речь идет об
области, известной как логика. Более точно к математике с древ-
них времен примыкала так называемая формальная логика, а в
последние десятилетия говорят о математической логике, еще более
подчеркивая связь логика — математика.
В этом параграфе мы кратко и пока достаточно поверхностно
проследим историю возникновения математической логики; более
содержательному изложению этой науки, особенно ее «школьным
аспектам», мы посвятим последующие параграфы.
В своей целенаправленной практической деятельности человек
опирается на законы природы и общества. Знания о них он полу-
чает в основном тремя способами: наблюдая явления и вещи в
естественных условиях и накапливая таким образом сведения об
окружающем мире; «задавая природе вопросы», т. е. ставя экспери-
менты в искусственно созданных им условиях; рассуждая и в ходе
этих рассуждений получая новые знания из полученных ранее. Эти
три метода — источники науки. Доля и вес трех основных методов
в разных науках различны, и в зависимости от того, какой метод
преобладает, различают описательные (дескриптивные), опытные
2 Заказ 5837 5
(экспериментальные, эмпирические) и дедуктивные науки. К дес-
криптивным наукам относят астрономию, комплекс географических
наук (географию, геологию и др.), ботанику, зоологию. К экспе-
риментальным наукам причисляют физику, химию и отчасти биоло-
гию. Дедуктивные науки — это математика, логика (а также теоре-
тическая механика и подобные ей «формализованные» разделы дру-
гих наук).
В дедуктивных науках главным методом является вывод следст-
вий из небольшого числа исходных положений. Конечно, эти исход-
ные положения в свою очередь являются результатом опыта и
наблюдений, но содержание и форма дедуктивных наук характери-
зуются главным образом тем богатством следствий, которые уда-
ется получить рассуждениями. Достаточно сослаться на пример
геометрии: какая стройная, многогранная система утверждений
вырастает из небольшого числа «очевидных» аксиом Евклида!
А закономерности, изучаемые в теоретической механике, получаю-
щиеся из законов Ньютона, основанных в свою очередь на наблю-
дениях Кеплера, Тихо Браге и опытах Галилея! Конечно, сле-
дует еще раз подчеркнуть, что указанное различие не вполне четко:
подразделение наук на описательные, экспериментальные и дедук-
тивные довольно-таки относительно. В ходе развития науки со-
отношение между наблюдением, экспериментом и логическим pgc-
суждейием меняется. В частности, в настоящее время явно наблю-
дается тенденция проникновения логических и математических
методов во многие разделы наук, считавшихся до сих пор науками
описательными: биологию, экономику, лингвистику. Впрочем,
эти вопросы выходят за рамки нашей книги.
В последние десятилетия наблюдается усиление интереса к
методам логических заключений. Одна из важнейших причин —
зарождение вычислительной техники. В свое время появление и
распространение паровых машин ознаменовало начало эры техни-
ки, начало первой научно-технической революции, в ходе которой
человек в невиданной до того мере приумножил свои физические
силы; появление электрической энергии во второй половине про-
шлого века еще во много раз увеличило эту ^тенденцию. Научной
базой новой техники была физика. А сейчас на наших глазах по-
явились быстродействующие электронно-вычислительные машины
с программным управлением, и так же как в свое время паровые
машины, электрогенераторы и электромоторы увеличили силу че-
ловека и его энерговооруженность, так теперь ЭВМ умножаюу ум-
ственные способности человека («вторая научно-техническая ре-
волюция»). Теперь научная база намного шире. К ней относится,
конечно, и физика, особенно радиоэлектроника, но прежде всего
логика и математика, что относится уже к нашей теме. Причем,
как в свое время (в прошлом столетии и в начале нашего века) рост
техники на основе пара и электричества стимулировал широкое
развитие термодинамики и электродинамики — центральных раз-
делов физики, так в наше время количественный рост и быстрое
6
усовершенствование ЭВМ стимулирует развитие формальной ло-
гики и некоторых разделов математики, Числящихся среди самых
абстрактных,— общей алгебры, теории множеств, математиче-
ской логики и др.
В научно-популярных журналах и научно-фантастической ли-
тературе за последние годы много говорилось об «электронном
мозге», поэтому актуален вопрос о том, что представляет собой
наш собственный человеческий мозг — согласно каким законам
и правилам сам человек, а не машина получает следствия из
имеющихся или предполагаемых данных. А это как раз область
формальной логики, но также, если внимательно присмотреться,
и область математики.
Формальная логика возникла около 2,5 тыс. лет назад в Древ-»
ней Греции, главным образом в трудах Аристотеля и его последо-
вателей. Достигнув относительно высокой ступени развития, она
в отличие от математики прошла затем долгий период застоя и
стала снова интенсивно развиваться примерно сто лет назад. При
этом она сблизилась с математикой и превратилась в науку, ко-
торая теперь называется математической логикой.
У истоков формальной логики, как мы уже говорили, стоял
древнегреческий мыслитель Аристотель (384—322 гг. до н. э.),
родом он был из города Стагира на фракийском побережье полу-
острова Халькидика; по месту рождения его часто называют Ста-
гиритом. Отец Аристотеля Никомах был врачом и другом маке«
донского царя Аминта II (393—369 гг. до н. э.). Аристотель рос и
учился совместно с сыном Аминта — будущим царем Филиппом II
Македонским, и на протяжении всей жизни его судьба была тесно
связана с македонским царским домом.
Для продолжения образования Аристотель в возрасте 18 лет
отправился в Афины к великому афинскому мыслителю Платону
(427—347 гг. до н. э.) и провел в его школе — «академии»1 20 лет,
вплоть до смерти Платона в 347 г. до н. э.
Аристотель был, несомненно, самым выдающимся из учеников
Платона, глубоко усвоившим его знания и идеи. Но это был очень
самостоятельно мыслящий ученый, далеко не всегда согласный со
своим учителем, особенно в том, что касается мировоззрения.
Платон, как известно, был создателем системы объективного идеа-
лизма. Аристотель же в основном вопросе философии занимал сред-
нюю позицию между идеализмом и материализмом. Об отноше-
ниях между Аристотелем и Платоном часто цитируют изречение:
«Платон мне друг, но истина еще дороже» (впрочем, дословно в такой
форме это изречение не встречается в трудах Аристотеля). В 343 г.
1 Название «академия» (от него идет и современный термин «академия»)
происходит от имени мифического древнегреческого героя Академа. О «Пла-
тоновской академии» (она просуществовала с перерывами до эпохи Возрожде-
ния) см., например, в «Философской энциклопедии» (М., 1960) статью «Ака-
демия Платоновская».
до н. э. царь Филипп пригласил друга своей юности, ставшего тем
временем величайшим ученым, в качестве наставника своего сына
Александра при царском дворе в г. Пелла. Когда же Александр че-
рез несколько лет сам стал царем, знаменитым Александром Маке-
донским, Аристотель вновь вернулся к науке. В 335 г. до н. э.
он возвращается в Афины и здесь в предместье Ликей1 собирает
вокруг себя учащуюся молодежь, которой читает курсы различ-
ных наук. Эта школа известна в истории науки и философии как
«перипатетическая школа» («перипатос» — прогулка и место про-
гулки, греч.). Именно в это время Аристотель стал, по словам К. Марк-
са, Александром Македонским греческой философии (см. Маркс К. и
Энгельс Ф. Соч. Изд. 2-е, т. 40, с. 156). Следует иметь в виду, что
философия в ту эпоху означала совокупность всех наук — энци-
клопедию. В современном смысле Аристотель был и физиком, и
биологом, и психологом, и социологом, и собственно философом
(метафизика, этика, эстетика), и, наконец, что существенно для
нас, логиком.
В 323 г. до н. э. умер Александр Македонский, и в Афинах по-
бедила антимакедонская партия. Аристотель, как друг и учитель
Александра, должен был покинуть Афины. Год спустя он умер, на
острове Евбея.
Логическое учение Аристотеля содержится в его знаменитых
книгах: «Категории», «Об истолкованиях», «Первая аналитика»,
«Вторая аналитика», «Топика», «Софистические опровержения».
Эти труды были объединены комментаторами Аристотеля под
общим заглавием «Органон» (инструмент). По тогдашним убежде-
ниям его логика представляла собой метод для получения науч-
ных знаний, т. е. то, что мы сегодня называли бы методологией
науки.
В «Аналитиках» Аристотель впервые строго обосновал один
из первых разделов логики — учение о суждениях и силлогизмах.
На протяжении многих столетий,4 вплоть до возникновения матема-
тической логики, этот раздел с некоторыми его разветвлениями
отождествлялся со всей формальной логикой. Значение этого труда
огромно, его часто сопоставляют с «Началами» Евклида, на которые
он, несомненно, оказал большое влияние. Об этом мы поговорим
более подробно в § 4. Сейчас же мы вкратце остановимся на
силлогистике, чтобы на простых примерах пояснить, что представля-
ет собой логический вывод и какие выводы следует считать правиль-
ными, а какие — неправильными.
Вот простой пример:
«Все птицы — животные»,
. «Все воробьи — птицы»,
следовательно, «Все воробьи — животные».
1 Отсюда латинизированная форма «лицей».
8
—Первые два предложения называются посылками, последнее —
заключением. Здесь все три предложения истинны, причем истин-
ность заключения следует по определенной схеме из истинности
посылок. Схема выглядит так:
«Все В суть С»,
«Все А суть В», (1)
следовательно, «Все А суть С».
Эта схема всегда приводит от верных посылок к верному заклю-
чению. Поэтому вывод по такой схеме считается логически пра-
вильным/ В предыдущем примере это не вызовет сомнения. Но ло-
гически правильным будет и такой вывод по схеме (1):
«Вее птицы — животные»,
«Все цветы — птицы»,
следовательно’, «Все цветы — животные».
То, что заключение — ложное утверждение, происходит не
от неправильности схемы, а связано с тем, что одна из посылок лож-
на и хорошо налаженная машина может выдать брак, если'ее за-
грузить недоброкачественным сырьем.
А вот пример неправильного вывода:
z «Некоторые французы — блондины»,
«Некоторые курящие — французы»,
следовательно, «Некоторые курящие — блондины».
Такой вывод содержит логическую ошибку, несмотря на то что
здесь обе посылки и заключение —истинные утверждения; Но
вывод был сделан по такой схеме:
«Некоторые В суть С»,
«Некоторые А суть В»,
следовательно, «Некоторые А суть С».
А так заключать нельзя. Например, по такой схеме мы имели бы:
«Некоторые, выпуклые фигуры — круги»,
«Некоторые многоугольники — выпуклые фигуры», -
истинные утверждения, а вывод по схеме (II) давал бы
«Некоторые многоугольники — круги».
То есть по схеме (II) можно было бы получить из истинных посы-
лок ложное заключение, а правильными считаются лишь те схемы
логических выводов, которые всегда из истинных посылок приводят
к истинным заключениям.
Отметим еще одно обстоятельство — логические выводы дела-
ются по некоторой определенной схеме, и, как мы теперь знаем,
аристотелевские силлогизмы представляют собой лишь очень малую
часть возможных и употребительных схем. В следующих параграфах
9
мы познакомимся с более общими подходами. Выводы согласно
определенным схемам напоминают математические выкладки, ана-
логичные преобразованиям, используемым при нахождении реше-
ний систем уравнений и неравенств. Это обстоятельство было подме-
чено многими учеными еще в средние века, но особенно на этой
стороне логических выводов настаивал великий немецкий ученый
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716), предложивший деталь-
ную программу логических исследований методами математики.
Как и Аристотель, Лейбниц был универсальным ученым, внесшим
существенный вклад в философию, юриспруденцию, историю, физи-
ку и математику. Его имя упоминается наряду с именем И. Ньюто-
на как одного из создателей дифференциального и интегрального
исчисления. Но его вклад в математику не ограничивается этим
достижением: Лейбница можно считать одним из создателей комби-
наторики. Значителен его вклад и в алгебру: к нему восходит теория
определителей. Что касается логики, то с аристотелевской силло-
гистикой Лейбниц познакомился еще 14-летним мальчиком. Как
и Аристотель, Лейбниц воспринимал логику как «органон наук»,
считая, что систему логических рассуждений следует превратить
в математическое алгебро-арифметическое исчисление. Но если
введенные Лейбницем и Ньютоном понятия производной, перво-
образной и интеграла сразу же получили дальнейшее развитие в
руках современных им математиков, физиков и астрономов, то
логические изыскания Лейбница, существенно опередившие эпоху,
остались неизвестными до конца XIX столетия, когда они были най-
дены в его архиве и опубликованы французским математиком
Л. Кутюра. Правда, после этого программа логических исследо-
ваний Лейбница 200-летней давности с учетом, конечно, последую-
щего развития оказала и продолжает оказывать влияние на разви-
тие математической логики.
Г. В. Лейбниц родился в г. Лейпциге (в Саксонии) в 1646 г.; его
отец был профессором этики, а дед с материнской стороны — про-
фессором права Лейпцигского университета.
От отца» которого Лейбниц потерял в возрасте 6 лет, он унасле-
довал обширную библиотеку, в которой способный юноша парал-
лельно со своим гимназическим образованием смог почерпнуть
глубокие познания как древней классической, так и современной
науки. В частности, он познакомился с логикой Аристотеля.
В 1661 г. Лейбниц становится студентом и изучает философию,
юриспруденцию и математику в университетах Лейпцига, Иены и
Альтдорфа. В 1666 г. он защищает сразу две диссертации на зва-
ние доцента: одну — по юриспруденции, другую — по математике.
Затем Лейбниц служит при дворах немецких князей в качестве
юриста и находится на дипломатической работе. С 1676 г. и до
своей смерти в 1716 г. Лейбниц состоял советником и библиотека-
рем при дворе ганноверского герцога Эрнста Августа, затем его
сына Георга Людвига, ставшего в 1714 г. английским королем
Георгом I. На протяжении этих 40 лет Лейбниц вел научные иссле-
10
дования, публиковал многочисленные труды, поддерживал науч-
ную переписку со всеми ведущими учеными эпохи. Очень значи-
тельна и научно-организаторская деятельность Лейбница. Доста-
точно сказать, что он является основателем Прусской Академии
наук в Берлине. Во время заграничных поездок в 1711-Г-1716 гг.
с Лейбницем несколько раз встречался Петр I, советовавшийся с
ним по поводу организации Академии наук в Петербурге.
Становление математической логики в сегодняшнем понимании
этого слова задержалось еще примерно на 150 лет, до середины
XIX столетия.
Отцом математической логики по праву считается английский
математик и логик Джордж Буль (1815—1864). Именно он построил
один из разделов формальной логики (исчисление классов) в виде
некоторой «алгебры», аналогичной алгебре чисел, но не сводящейся
к ней. Д. Буль не получил нормального университетского образо-
вания, а изучил математику самоучкой. Этим может быть отчасти и
объясняется, что, не связанный традицией, он пошел своим ориги-
нальным путем.
Д. Буль родился в 1815 г. в г. Ливерпуле; отец его был са-
пожником. Рассказывают, что это был человек очень любознатель-
ный, интересовавшийся астрономией, физикой, математикой и фи-
лософией. Окончив начальную школу, Буль поступил в коммерче-
ское училище, но вскоре покинул школу, продолжая дальнейшее
образование с помощью частных уроков и самоучкой. Так он за не-
сколько лет изучил латынь, древнегреческий, немецкий и фран-
цузский языки и прочел основные философские трактаты. В возра-
сте 16*лет Буль поступает помощником учителя в частную школу
и именно здесь, в основном по книгам, изучает математику и на-
чинает проводить собственные исследования по математике. Ре-
зультаты своих исследований Буль сообщал в письмах профессо-
рам математики знаменитого Кембриджского университета и вско-
ре получил известность как крупный И' оригинально мыслящий
математик. В 1849 г. в г. Корк (Ирландия) открылось новое высшее
учебное заведение — Куинз колледж, по рекомендации коллег-
математиков Буль получил здесь профессуру, которую сохранил
до своей смерти в 1864 г.
Знаменитые труды Д. Буля по началам математической логи-
ки — «Математический анализ логики», «Исчисление логики» и
особенно «Исследование законов мысли» — возникли в конце 40-х —
начале 50-х гг. В них отразилось убеждение Буля о возможности
изучения свойств математических операций, осуществляемых не
обязательно над числами. Он говорил о символическом методе,
который он применял как к изучению дифференцирования и ин-
тегрирования, так и-к логическому выводу и к теоретико-вероят-
ностным рассуждениям. Вся глубина и плодотворность его подхо-
да к этим вопросам обнаружилась лишь много лет спустя.
Необходимость и возможность расширения формальной логики
с применением аппарата алгебры стали тогда уже очевидны; это
11
видно хотя -бы из того, что в большой мере независимо друг от
друга аналогичные исследования стали проводиться в различных
странах. В частности, в России, в Казанском университете, начи-
ная с 70-х гг., преподавал и работал крупный русский математик,
астроном и логик П. С. Порецкий (1846—1907), построивший ори-
гинальный метод логического исчисления, при котором некото-
рые классы логических задач решались аналогично тому, как реша-
ются уравнения в элементарной алгебре. Исчисление Порецкого
сейчас, спустя сто лет, привлекает вновь внимание, так Как ока-
залось, Что оно полезно при решении проблем, возникающих при
конструировании автоматов и вычислительных устройств.
Следует также запомнить таких ученых конца XIX в., участ-
вовавших в становлении математической логики, как итальянец
Джузеппе Пеано (1858—1932), предложивший аксиоматический
подход к изучению арифметики, немецкие математики Эрнст Шрё-
дер (1841—1902), давший развернутое построение алгебры отно-
шений, и Готтлоб Фреге (1848—1925), считающийся основателем
так называемой логической семантики, и французский матема-
тик Луи Кутюра (1868—1914), известный, в частности, и тем,
что он изучил и опубликовал наследие Лейбница в области
логики.
§ 2. НАЧАЛА ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
X.
Под многообразием, или множеством, я понимаю
вообще всякое многое, которое можно мыслить как
единое, т. е. всякую совокупность определенных эле-
ментов, которая может быть связана в одно целое с
помощью некоторого закона...
Георг Кантор
Понятие «множество» — одно из ос-
новных понятий математики. Не следует пытаться искать его явное
определение: ведь таковое может быть только сведением к чему-то
более простому. Поэтому обычно термин «множество» лишь по-
ясняется на примерах, а затем указываются правила его употребле-
ния в математических рассуждениях. Современный человек воспри-
нимает их очень легко, так как он к ним привык с детства. Уже на
страницах школьного учебника по математике для I класса ребенок
видит изображение различных множеств: множества различных
зверюшек, мячей, книг и других объектов. Он их считает, срав-
нивает: в одном множестве больше объектов, в другом меньше,
и что такое множество, ему становится ясно без всякого опреде-
ления.
Рассматривая какие-либо объекты (абстрактные или конкрет-
ные), можно в рассуждениях из всех или некоторых рассматривае-
мых объектов мысленно образовать- новый объект: множество
12
этих объектов. О последних тогда говорят, что они принадлежат
данному множеству, или же, что они являются его элементами.
Например, рассуждая об учениках какой-либо школы, мы можем
ввести такие новые объекты, как множество учеников VIII А клас-
са, множество учеников, пропустивших занятие в последний чет-
верг, и пр.; мы можем, наконец^ говорить также о множестве всех
учеников данной школы. Рассматривая книги какой-либо библио-
теки, можно говорить о множестве книг по математике, множестве
книг в картонном переплете, множестве книг на английском языке
и т. д. Для нас, конечно, важны примеры множеств объектов, рас-
сматриваемых в математике: чисел, точек плоскости, фигур, функ-
ций и др.; это обычно (но не всегда) множества бесконечные. В
этой связи мы говорим о множестве натуральных чисел, множестве
четных чисел, множестве простых чисел, множестве, состоящем
из чисел 2, 7, 1021, о множестве прямоугольных треугольников,
множестве квадратов, множестве непрерывных функций, определен-
ных на интервале (0, 1), и т. д.
Дело здесь, конечно, не в словосочетании «множество
таких-то и таких-то объектов», а в том, что это словосоче-
тание вводит в рассмотрение новый объект, отличный от исходных,
обладающих рядом специфических свойств. Так, например, ко-
нечное множество содержит некоторое определенное число элемен-
тов; из двух множеств А и В одно может быть больше другого; одно
может содержать другое. Все это свойства множеств, а не свойст-
ва входящих в них элементов.
Для отношения принадлежности принято пользоваться симво-
лом С. Выражение а € А означает утверждение «Объект а при-
надлежит множеству А» или .«Объект а является • элементом мно-
жества А».
Для однознащюго описания множества, образованного из ка-
ких-либо элементов, мы будем пользоваться двумя способами, обо-
значения.
Для любых объектов аи а2, ...» аП множество этих объектов
обозначается через
{tZj, а%, ап} (1)
(здесь в фигурных скобках перечислены обозначения всех назван-
ных элементов).
Следует отметить, что объект а и множество {а} — это различ-
ные вещи: первое — это объект, обозначенный через а, второе —
это множество, состоящее из (единственного) объекта а. Отметим,
что а € {а} — истинное утверждение, между тем как {а} € а —
утверждение ложное.
Другая форма обозначения состоит в указании общего свойства
объектов, из которых мы образуем множество. Оно имеет вид:
М = {х! Р (х)}. (2)
3 Заказ 5837
13
Читается: «множество всех х таких, что Р (х)», где Р обозначает
свойство, характеризующее в точности все элементы данного множе-
ства. Например,
{х|х — целое число, делящееся на 2)
обозначает множество четных чисел, или
{х|х — действительное число и х > л}
— множество действительных чисел, больших числа л.
Приведенное обозначение множеств связано с так называемым
принципом абстракции (или принципом свертывания), положенным
в основу образования множеств создателем теории множеств Г. Кан-
тором (1845—1918). Согласно Кантору, для произвольного свойст-
ва объектов мы можем образовать новый объект — множество всех
объектов, обладающих данным свойством. Возможность перехода
от формулировки свойства к множеству объектов, обладающих дан-
ным свойством, и есть принцип абстракций.
Обе формы обозначений вполне естественны: для того чтобы
указать какое-то определенное множество, нужно либо перечис-
лить его элементы (что, строго говоря, возможно лишь тогда, ко-
гда таких элементов лишь конечное число), либо указать харак-
терное свойство его элементов.
Два множества считаются равными тогда и только тогда, ко-
гда они состоят из одних и тех же элементов.
Это принятое в теории множеств положение называется прин-
ципом объемности (или принципом протяженности). Вместе с прин-
ципом абстракции оно указывает на существенную разницу между
понятием свойства и понятием множества: одно и то же множество
может быть определено различными свойствами. Часто приводят
шуточный пример, согласно которому множество людей в одина-
ковой мере может быть определено любым из свойств: «животные,
обладающие даром речи» или «двуногие животные без перьев».
В математике установление равенства двух множеств, полученных
в результате абстракции двух существенно различных свойств,
может оказаться трудной теоремой. Так, например, далеко не сра-
зу видно, что множество простых нечетных чисел, которые можно
представить в виде суммы двух квадратов, равно множеству про-
стых чисел, дающих при делении на 4 остаток 1. А равно или не
равно множество целых чисел, являющихся суммой двух нечетных
простых чисел, множеству четных чисел, больших чем 2, до, сих
пор не решенный вопрос, известный как проблема Гольдбаха.
Самое первое и самое важное свойство конечных множеств со-
стоит в том, что каждому из них соответствует некоторый объект,
называемый «числом элементов данного множества». Например,
множеству пальцев моей левой руки, множеству диагоналей неко-
торого десятиугольника, множеству корней уравнения х2 — Зх +
4- 2 = 0 соответствуют числа 5, 35, 2. Но что же это такое — число
элементов какого-либо множества? Этот-вопрос в науке до XIX сто-
14
летия вообще не.ставился. Когда-то это понятие считалось изна-
чальным, врожденным. Знаменитый немецкий математик Л. Кро-
некер (1823—1891) так и говорил: «Натуральные числа — от бога,
все остальное — творение человека». Но данные педагогики пока-
зывают, что ребенок -лишь постепенно и с большим трудом форми-
рует понятие числа, начиЯая с самых малых; лингвистика, архео-
логия и этнография говорят о том, что в доисторические времена
люди не приписывали конечным множествам, с которыми имели
дело, никаких чисел. Анализ различных языков показывает, что
на протяжении многих сотен тысяч лет люди знали лишь количе-
ства, описываемые словами «один», «два», «много». Формирование
же понятия «число элементов произвольного множества». — одно
из величайших достижений человека, сравнимое по своему значе-
нию с изобретением письменности. И оно отнюдь не столь просто,
как может на первый взгляд показаться в силу давней привычки
к повседневному употреблению.
Что такое натуральное число, можно пояснить примерно так:
человек, даже не знающий чисел, тем не менее может сравнивать
конечные множества, устанавливая для двух множеств М и N,
содержат ли они одинаковое число элементов или одно из них содер-
жит больше элементов, чем другое. Возможность такого сравнения
представляет собой нечто, что предшествует понятию «число эле-
ментов некоторого множества». Сравнение осуществляется так:
если, скажем, М — мешок с белыми шариками О, a N — мешок с
черными •, то для сравнения нужно, очевидно, сопоставить каждо-
му белому шарику один черный, образуя пары:
М О О О О’...
Ф Ф Ф t
лг • • • • ...
Если при этом белые и черные шарики одновременно исчерпаются,
то сопоставление называется взаимно-однозначным соответствием
между множествами М и А, а о множествах М и N Говорят, что
они равночисленны, или равномощны.
Если же при сопоставлении некоторые элементы одного из
множеств, скажем М, останутся без напарников, то о нем гово-
рят, что оно содержит больше элементов, чем другое. Как видно,
для количественного сравнения двух множеств числа не нужны и
не обязательно уметь считать: понятие равночисленное™ предшест-
вует понятию натурального числа. Все конечные множества можно
мысленно рассортировать, относя в один и тот же класс все между
собой равночисленные множества (так же как какие-либо предметы
можно рассортировать по цвету, весу или еще по какому-нибудь
свойству), и то общее, что присуще такому классу, и есть «число
элементов любого множества данного класса». Например,’5 — это
то общее свойство, которое имеют все конечные множества, кото-
рые равночисленны множеству пальцев моей правой руки.
3*
15
Приведенное обоснование понятия натурального числа отно-
сится к конечным множествам: оно в неявной форме лежит в осно-
ве начал арифметики в младших классах школы. Такие рассужде-
ния развивались и уточнялись на протяжении XIX столетия.
Проблемы анализа побудили немецкого математика Г. Кантора
в 70-х гг. XIX в. применить аналогичные идеи при рассмотрении
бесконечных кардинальных чисел, обобщающих обычные натураль-
ные числа. Мы должны на этом остановиться, несмотря на то что
указанная тема находится несколько в стороне от традиционной
«школьной» математики, так как ее разработка ознаменовала рожде-
ние теории множеств.
Но сначала скажем несколько слов о самом Георге Канторе —
одном из величайших математиков нового времени. Созданием
теории множеств он во многом определил лицо современной мате-
матики.
Георг Кантор родился 2 марта 1845 г. в Петербурге в семье
немецкого коммерсанта, который занимался экспортом товаров из
России в Германию. Мать Кантора М. Бём происходила из семьи
известных венских музыкантов. Отмечают, что музыкальная куль-
тура с детства оказала влияние на формирование личности буду-
щего ученого. Семья Кантора была тесно связана с Россией: здесь
проживали многие их родственники. Дядя матери, известный
прогрессивный юрист Димитрий Мейер, был профессором Казан-
ского университета. Начальную школу Кантор посещал еще в
Петербурге. Затем семья возвращается в Германию, в западный
немецкий город Дармштадт, где мальчик оканчивает реальное
училище, получив как в школе, так и дома^ прекрасное и очень
широкое образование: он владел несколькими иностранными язы-
ками, был замечательным знатоком древних языков — латыни и
греческого. Знание языков открыло ему доступ к трудам мыслите-
лей прошлого — классической античности и средневековья. Это
обстоятельство сыграло немаловажную роль при становлении тео-
рии множеств: Г. Кантор был знаком со всеми тонкостями в рассуж-
дениях о понятии бесконечности в трудах математиков и философов
прошлых веков.
Математике Кантор учился в 60-х гг. в~ Берлинском универ-
ситете под руководством знаменитого аналитика К. Вейерштрасса
(1815—1897). Это была эпоха критического переосмысления начал
анализа бесконечно малых. Под грозными ударами критики основ
математического анализа в трудах К. Вейерштрасса и Р. Дедекинда
(1831—1916) началась перестройка всей математической науки,
приобретшей постепенно свое современное лицо. Созданием теории
множеств Г. Кантор внес сюда, возможно, самый существенный
вклад.
В очень упрощенном виде исходные идеи Г. Кантора можно се-
годня задним числом примерно представить так. Нельзя ли и бес-
конечным множествам приписывать «кардинальные числа», сопо-
ставляя одно и то же «число» бесконечным множествам, между ко-
16
торыми можно установить взаимно-однозначное соответствие? Ведь
взаимно-однозначные соответствия устанавливаются в математике
не только для-конечных множеств, но и для бесконечных. После не-
скольких лет упорного труда его попытка осуществить эту идею
увенчалась успехом.
Чтобы уяснить себе, как возникли кардинальные числа беско-
нечных множеств, надо, очевидно, рассмотреть примеры взаимно-
однозначных соответствий между бесконечными множествами, с
которыми мы сталкиваемся в математике.
Одно из самых первых бесконечных множеств — это множество
IV всех натуральных чисел:
N = {1, 2, 3,
и очень естественно попытаться сравнить именно это множество
с рядом других бесконечных множеств.
Рассмотрим, например, множество М всех натуральных чисел,
больших 3. Оказывается, оно равномощно множеству Л^.-что по-
казывает нижеприведенное взаимно-однозначное соответствие:
N 1 2 3 4 ... п ...
t $ 4 t t
М 4 5 6 7 ... п + 3 ...
Пусть Р — множество всех положительных четных чисел. Оно так-
же равномбщно множеству Л\ что показывает взаимно-однозначное
соответствие п <-> 2/2, которое каждому натуральному числу п
сопоставляет число 2п.
Больше того/ множество Лг оказывается равномощным множе-
ству Q всех положительных рациональных чисел. Для установле-
ния этого интересного факта воспользуемся схемой, предложенной
Кантором. Выпишем все рациональные числа в виде бесконечной
схемы: в первом ряду все целые положительные числа, во втором —
последовательно все числа со знаменателем 2, в третьем — со зна-
менателем 3 и т. д. (рис. 1). В этой схеме встретится каждое рацио-
нальное число (и не один раз, но это не страшно). Теперь выпишем
все числа последовательно в том порядке (по диагоналям), как
указано на рисунке 1, опуская
каждый раз рациональное чис- ло, если равная ему сокращен- у 1 ная дробь уже встретилась, и подпишем под каждым числом у - следующее натуральное число. г /' Легко видеть, что тем самым у ‘ устанавливается взаимно-одно- & /> значное соответствие: у _ Q 12 — 3 — 4 — - 23234 А ф ф ф ф ф ф ф ф ф 7V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 у у у 5/ ь/ 1/ / Г Л 7г л л ¥ у у у у у / 5 Л 7ъ 7з Л 7з */* т/ у У ¥ у у '+ Л л /к'" Рис. 1
17
Может показаться, что предложенное определение равночислен-
ности кажется «слишком хорошо» работает, так что все бесконеч-
ные множества между собой равномощны. Если бы так оказалось,
то понятие кардинального числа для бесконечных множеств теряло
бы всякий интерес: всем бесконечным множествам следовало бы
приписать одно и то же кардинальное число «бесконечность». Тем
более существенным оказалось открытие Г. Кантора о существова-
нии бесконечных множеств, не равномощных множеству N. Приведем
его рассуждение. Покажем, что множество действительных чисел
из интервала (О, 1) не может быть поставлено во взаимно-однознач-
ное соответствие множеству N всех натуральных чисел. Заметим,
что каждое действительное число из (0, 1) можно рассматривать
как бесконечную десятичную дробь 0, ах а2 а3 ..., где разряды
at — это одна из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Предположим те-
перь, что нам удалось установить такое соответствие:
1 «-> 0, cty ... a’JJ ...
2^0, а™ а™ ... а™ ...
3 <-> 0, а(^ ... .
m <-> 0, a(i° а('2и)...
что каждому натуральному числу т отвечает некоторое число
... aty ... Тогда мы можем указать действительное число
b — 0, Ьг Ь2 ..., которое наверняка в этом списке не встречается.
Цифры Ь} числа b определим так:
bj = 5, если 1-я цифра aty i-ro числа не равна 5,
bt — 9, если i-я цифра aty i-ro числа равна 5.
Ясно, что b в предполагаемом бесконечном списке не встречается,
так как оно отличается от каждого из чисел этого списка по мень-
шей мере одним разрядом: от i-ro числа в i-м разряде. Тем самым
показано, что Лг и множество чисел на (0, 1) не равномощны.
Итак мы получили пример двух неравномощных бесконечных
множеств. Нетрудно показать, что существуют бесконечные множе-
ства, не равномощные ни множеству натуральных чисел, ни мно-
жеству действительных чисел из отрезка (0, 1). Следуя тому же
принципу, который приводит в случае конечных множеств к нату-
ральному числу, можно ввести в рассмотрение и бесконечные кар-
динальные числа, а именно говорят, что два множества и ТИ2
равномощны, если между ними можно установить взаимно-однознач-
ное соответствие. Это приводит к разбиению всевозможных мно-
жеств на классы равномощных. Тогда под мощностью, или кар-
динальным числом, следует понимать то общее свойство, которым
обладают равномощные множества. Классы равномощных конеч-
ных множеств определяют таким образом обычные-натуральные
числа, бесконечные множества приводят к новым бесконечным кар-
18
динальным числам. Множества, равномощные множеству У нату-
ральных чисел, называются счетными, им приписывается карди-
нальное число «счетное»; множествам, равномощным отрезку (0, 1),
приписывается мощность «континуума»\как уже говорилось, есть
и другие бесконечные мощности.
Рассмотрим теперь кратко простые теоретико-множественные
понятия и теоретико-множественные операции: пересечение, объ-
единение, дополнение, декартово произведение и др. Для случая
конечных множеств они лежат в основе арифметических действий
над натуральными. числами и поэтому очень важны для школьной
математики. Учитывая, что за последние годы об этом много писа-
лось в учебниках и учебных пособиях, мы ограничимся совсем
краткими определениями и пояснениями.
Наряду со всевозможными множествами рассматривается так
называемое пустое множество, не содержащее ни одного элемента;
оно обозначается знаком 0. Пустое множество можно определить
любым противоречивым свойством, например
0 = {х\ х=£ х},
в области множеств оно играет как бы роль нуля.
Множество N называется подмножеством множества М тог-
да и только тогда, когда каждый элемент множества N принадле-
жит множеству М. Отношение между множеством М и любым его
подмножеством N называется включением и обозначается символом
А1 Лг. Пишут также: N АГ.
Отметим следующие элементарные утверждения о понятиях
подмножества и включения, прямо вытекающих из определения.
а) Каждое множество М является подмножеством самого себя:
М М. Любое подмножество N множества М, отличное от А1,
называется собственным подмножеством множества А1; соответ-
ствующее включение также называется собственным и обознача-
ется тэ или с=: М о N или N cz М.
Принято считать, что пустое множество 0 является подмноже-
ством любого множества М.
б) Отношение включения транзитивно, т. е. из N М и
следует, что Р != М. Транзитивно также отношение соб-
ственного включения.
в) Очень важно не смешивать отношения принадлежности €
и включения & если {а} != Af, то а С Al, и наоборот; но из {а} !=
<='М не следует {а} € М. Так, например, если Al = {1, 2}, то
это означает, что 1 € М и 2 € М, но для всех других объектов х
справедливо х-М\ для включения же правильны следующие
утверждения:
0 <= М, {1} != М, {2} <= М, {1, 2} <= М.
Другой пример. Пустое множество 0 не имеет элементов х $ AI
для любого объекта х. Между тем 0 содержит одно подмножество,
а именно само себя.
19
Рис. 2
Введем несколько операций над мно-
жествами.
а) Пересечением множеств М и N на-
зывают множество тех объектов, которые
принадлежат множествам М и Af одно-
временно.
Обозначение: М Л N ~= {х J х € М и
х С П}.
б) Объединением множеств М и N
называют множество тех элементов, ко-
торые содержатся по крайней мере в одном из множеств
М или N. Обозначение: М U N = {х |[ х С М или х С 7V}.
в) Разностью множеств М и N называют множество тех эле-
ментов, которые принадлежат множеству М и не принадлежат мно-
жеству N.
Обозначение: Л1 \ Л7 = {х | х С и х $ N}.
г) Симметрической разностью множеств М и N называют мно-
жество тех элементов, которые принадлежат только множеству М
или только множеству Af.
Обозначение: M&N —.{х | (х £ М и х £ N) или (х € N и х £ Л4)}.
Введенные теоретико-множественные операции наглядно иллю-
стрируются рисунком 2, где множества М и N изображены пере-
секающимися кругами:
М П N — точки области II;
М U /V — точки областей I, II, III;
М- \ N — точки области I;
N \'М —точки области III;
MAAf —точки областей I и III.
Отметим следующие тождества:
MAN = (М \ N) U (А/ \ М);
М - (М \ AQ и (М П ЛГ);
/V = (П \М) и (N П м);
(М \ N) f) (N \ Л1) = 0 (антикоммутативность разности);
М 'П N = N П Л4 (коммутативность пересечения);
М (J Af = ЛГ (J М (коммутативность объединения);
М U М = М (идемпотентность объединения);
М Л М = М (идемпотентность пересечения).
Если N Л М = 0» то множества* М и N называют непер ссека-
ющимися.
Отметим, что включение может быть выражено как через опе-
рацию П . так и через операцию U:
равенство М ft N — N имеет место в том и только в том слу-
чае, когда N М\
равенство М U Л/ = М имеет место в том и только в том слу-
чае, когда N М.
20
д) Полезны бывают следующие тождества для трех множеств:
ассоциативный закон для пересечения:
АП(ВПС) = (Л Л В)Л С-
ассоциативный закон для объединения:
XU(BUC) = (ЛиВ)иС;
пересечение распределяет объединение:
ЛЛ(ВиС) = (ЛПВ)и(ЛЛС);
- объединение распределяет пересечение:
Ли(ВЛС) = (ЛиВ)П(ЛиС);
разность «антираспределяет» пересечение:
Л \(ВЛС) = (Л\В)и(Л \С);
разность -«антираспределяет» объединение:
А \ (В U С) = (Л \ В) П (А \ С).
Читателю предлагается уяснить себе эти тождества с помощью
диаграммы (рис. 3), называемой «трилистником».
Например, для тождества «пересечение распределяет объеди-
нение» множество В J С равно объединению множеств II, III, IV,
V, VI и VII, так что множество Л Л (В II С) равно объединению II,
III и IV; с другой стороны, множество Л Л В—это объединение
II и III, а множество Л Л С — объединение III и IV, так что (Л Л
Л В) U (Л Л Q равно объединению II, III и IV. —:
е) В конкретных математических областях бывает полезно вве-
сти в рассмотрение столь обширное множество С/, что все рассматри-
ваемые множества окажутся его подмножествами. Такое множество
U принято называть универсальным множеством или универсумом.
Отметим, что «универсальное множество» — понятие относитель-
ное: оно выбирается для какого-нибудь определенного раздела
науки и притом часто даже явно не определяется, а просто подра-
зумевается.
Так, например, в элементарной планиметрии в качестве уни-
версального множества принято рассматривать множество всех то
чек плоскости. Различные фигуры, изучае-
мые в планиметрии, можно считать мно-
жествами точек, т. е. подмножествами так
выбранного универсального множества.
В элементарной арифметике универ-
сальным множеством считается множество
Z всех целых рациональных чисел и т. д.
ж) Если выбрано некоторое универ-
сальное множество U, то возникает но-
вая теоретико-множественная операция —
дополнение. Для всякого множества М
(при этом подразумевается, что М —
Рис. 3
подмножество универсального множества U) его дополнение, обо-
значаемое через Л4, — это множество всех элементов универсума,
которые не принадлежат мно?кеству М:
М = {х I х е U и х 4 .41}.
Таким образом, дополнение — это частный случай разности:
М - U \ Л4,
все отличие здесь состоит в том, что разность берется относительно
фиксированного множества, содержащего все множества, кото-
рые в данной связи рассматриваются.
Среди тождеств, относящихся к операции дополнения, отметим
лишь следующие:
Л .= Л;
А П В = A (J В;
A U В = А П 'В.
Последние два тождества называются правилами де Моргана.
Они получаются как частные случаи соответствующих антираспреде-
лительных законов для теоретико-множественной разности:
Л П В - U \ (Л П В) = (U \ Л) U (U \В) = А U В-,
Ли В = U \ (Л U В) = (U \ Л) П (U \ В) - Л П В.
Рассмотрим теперь операции декартового произведения мно-
жеств. Пусть А и В— два множества. Тогда множество
С = {(а, Ь)| а б Л, b б В}
всех пар (а, Ь), где а и b независимо друг от друга принимают все
значения соответственно из множеств А и В, называется декарто-
вым произведением множеств Л и В и обозначается через Л X В.
Если Л и В—‘конечные множества, содержащие соответственно
тип элементов, то сразу видно, что множество А х В содержит тп
элементов.
Самостоятельный интерес представляет тот частный случай,
когда множества Л и В совпадают: Л = В. Чтобы его рассмотреть,
вы введем новый термин.
Упорядоченной парой элементов множества Л будем называть
объект (dj, ^2). состоящий из двух (не обязательно различных),
элементов alt а2 С А, с указанием, какой из нцх следует считать
первым, а какой — вторым. Так, например, если Л = {1, 2, 3,
4, 5}, то упорядоченные пары (2, 3) и (3, 2) следует считать по опре-
делению различными. Упорядоченными парами элементов из Л
считаются также объекты (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5). Упоря-
доченные пары мы будем заключать в круглые скобки и обозна-
чать жирными строчными латинскими буквами: (ал, а2),
в отличие от неупорядоченных пар, которые, как и множества эле-
ментов, записываются в фигурных скобках: {«!, а2}.
Назовем множество
С =• {(аь а2)| ai £ Л, а2 С Л}
22
всех упорядоченных пар (аъ а2) элементов из А декартовым квад'-1*
ратом множества А и будем обозначать его через А2.
Рассмотренные свойства множеств и операции над ними в не-
явном виде присутствуют в начальном преподавании арифметики.
Мы особенно подчеркиваем, что речь идет об их неявном присут-
ствии: бессмысленно было бы в I или II классе давать явные опре-
деления арифметических действий. Само слово «действие» для.
арифметических операций указывает на то, что на начальном уровне
развития детей сложение, вычитание, умножение и деление возни-
кают как действия над конкретными множествами из мира, свой-
ственного школьникам. Вековой опыт обучения на всех уровнях
показывает, что человек обычно сначала делает нечто, а лишь за-
тем задумывается над тем, какими же общими свойствами облада-
ют его действия.
Но преподавание должно вестись так, чтобы последующие эта-
пы обучения естественно надстраивались над уже привычной дея-
тельностью и не требовали переучивания. Учитель в отличие от
школьника должен знать общие свойства и закономерности школь-
ного материала. В данной книге теоретико-множественное обосно-
вание арифметических действий над натуральными числами дается
довольно элементарно, так как более строгое обоснование оказы-
вается достаточно трудоемким и мы не имеем возможности прове-
сти его здесь со всей необходимой тщательностью.
Как мы уже говорили, с точки зрения теории множеств нату-
ральные кардинальные числа отвечают классам равномощных конеч-
ных множеств, к ним, естественно, присоединяется и число нуль
как кардинальное число, соответствующее пустому множеству.
Тогда элементарные отношения и действия над натуральными чис-
лами вводятся следующим образом.
1. Отношение «равно», «больше», «меньше». Пусть тип —
два натуральных числа и пусть М и N — два множества, карди-
нальные числа которых суть соответственно т и п. Тогда т меньше
п (а п больше т), если множество М равномощно некоторому соб-
ственному подмножеству множества N. Как видно из этого же опре-
деления, т = п означает, что множества Л1 и W равномощны.
Для оправдания такого определения необходимо, конечно, по-
казать, что оно не зависит от выбранных множеств М и Af. Иначе
говоря, надо доказать, что если М' и N' — два других множества
с числом элементов т и п соответственно и если при этом М равно-
мощно собственному подмножеству множества N, то и М' равно-
мощно собственному подмножеству множества ЛГ, и наоборот. Это
доказательство мы предоставим читателю.
Отметим, что определение неравенства для бесконечных кар-
динальных чисел получается более сложным.
2. Сложение. Для определения суммы кардинальных чисел по-
ступают так. Пусть т и п — два натуральных числа. Выбираем
опять произвольно два непересекающихся множества Мсти
N с п элементами соответственно, и пусть S — их объединение:
23
5’ S = M U V. Тогда по опреде-
лению сумма s = т + п — это
кардинальное число множества S.
Покажем, что сумма s ot выбора
множеств Л1 и не зависит, а
зависит только от их мощностей.
Пусть М' и Л" — другие множе-
v_____М ____________N ства, равномощные множествам М
$ и V соответственно, и пусть при
этом также М’ f] N’ — 0; тогда
Рис. 4 и S' - М' (J N' равномощно мно-
жеству 5 = М J V. Это легко
увидеть из рисунка 4.
Следует все время иметь в виду, что кардинальное число объеди-
нения есть сумма кардинальных чисел объединяемых множеств,
только если последние не имеют общих элементов (имеют пустое
пересечение). В случае пересекающихся множеств имеет место бо-
лее общее правило:
| М U V| =* I Л4| + | V| — | М П V|
.(где через |А| обозначается кардинальное число множества А).
3. Вычитание. Вычитание натуральных чисел поясняется в
младших классах на такой модели из теории конечных множеств:
пусть тип — натуральные числа и пусть М и N — два множества
с | М | = т и |V| — п такие, что N оД4 (рис. 5). Тогда d = п — th
есть кардинальное число теоретико-множественной разности
D = N \М.
Легко видеть, что это общий вид то*й схемы, которая исполь-
зуется для пояснения действия вычитания в младших классах.
4. Умножение. Действие умножения натуральных чисел отвеча-
ет образованию декартова произведения множеств. А именно имеет
место рав немощность
|М X V] = |М| • | V|.
Так что, если ]Л4| — т и |V| = п, то р = т • п — это мощность
декартова произведения М х М.
Отметим, что Г. Кантор перенес определения арифметических
действий и на случай бесконечных кардинальных чисел. Делается
это вполне аналогично, но требу-
_____________” ет'более тщательной подготовки.
' _ "Z _ —_На этом останавливаться не бу-
О О О О О • • ‘ О О О дем, но вполне целесообразно
' предложить такую тему для фа-
м культативных занятий в старших
Рис. 5 классах.
24
§ 3. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
И АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ
Первые основы всякой науки действительно далеко
не ослепляют своим блеском: они скорее скромны,
сухи и почти безобразны
Томас Гоббс.
Теперь мы вновь возвращаемся к
логике. В этом параграфе мы рассмотрим самый элементарный ее раз-
дел — алгебру высказываний. Это та тема, которая особенно важна
для школьной математики. Кроме того, не овладев ее основными
действиями, нельзя понять последующие темы, как, не овладев
таблицами сложения и умножения, нельзя научиться арифметике
и тем более алгебре. В дальнейших параграфах мы затронем
и более сложные темы. В конце параграфа мы вернемся
к введенным выше теоретико-множественным понятиям.
Алгебра высказываний строится так же, как многие другие
разделы математики: арифметика, алгебра, геометрия, исчисление
вероятностей и т: д. В основу кладется некоторый класс объектов
вместе с некоторым набором свойств и отношений между ними. Эти
понятия рассматриваются как исходные и внутри данного раздела
не требуют дальнейшего определения. С другой стороны, исходные
свойства и отношения выбираются так, чтобы соответствовать
содержательной практике, которую эта математическая теория
собирается описывать. Можно сказать, что если основные понятия
и не требуют определения внутри самой теории, то они требуют
некоторого оправдания в виде ответа на вопрос: какой содержа-
тельный, смысл вкладываем мы в эти исходные понятия? Иногда
(как в этом параграфе) само наименование объектов и их основ-
ных свойств подсказывает содержательный смысл.
Исходные объекты алгебры высказываний — это простые выска-
зывания. В этом параграфе их будем обозначать строчными латин-
скими буквами а, Ь, с, ..., х, у, z. Предполагается, что всякое про-
стое высказывание обладает одним и только одним из двух свойств:
оно либо истинно, либо ложно. Внутри алгебры высказываний не
говорится о том, что такое простое высказывание и что такое «истин-
ность» и «ложность». Однако содержательный смысл легко улавли-
вается из примеров: «Шесть больше трех», «Дважды два — пять»,
«л — число иррациональное», «Среди натуральных чисел существу-
ет наибольшее»; все это простые высказывания, причем первое и
третье истинны, а второе и четвертое ложны. Вообще, многие мате-
матические утверждения можно считать простыми высказываниями;
принято считать, что они либо истинны, либо ложны, даже если
нам неизвестно, каким из двух свойств данное высказывание обла-
дает. Так, например, «Всякое четное число является суммой двух
25
простых чисел» — высказывание, и оно истинно или ложно, хотя
мы не знаем, каким из двух свойств оно в действительности обла-
дает: это нерешенная проблема Гольдбаха.
Из простых высказываний с помощью небольшого числа опера-
ций строятся сложные высказывания. Операции, называемые логи-
ческими связками или логическими функциями, примерно соответ-
ствуют тому, что в обыденной речи описывается словами «не»,
«и», «или», «если..., то» и т. п.
Сложные высказывания также обладают одним из двух свойств:
«быть истинным» или «быть ложным». При этом истинность или лож-
ность сложного высказывания зависит исключительно от истин-
ности или ложности простых высказываний, из которых они с по-
мощью связок получаются.
В дальнейшем мы будем пользоваться почти повсеместно при-
нятой терминологией: свойства истинности (и) и ложности (л)
мы будем называть значениями истинности высказываний: что и
является значением истинности истинных высказываний, а л есть
значение истинности ложных высказываний. При такой терминоло-
гии значение истинности сложного высказывания есть функция от
значений истинности простых высказываний; такая функция на-
зывается логической связкой. Связка полностью может быть опи-
сана таблицей, указывающей, какие значения истинности прини-
мает сложное высказывание при различных значениях истиннос-
ти простых. Такая таблица называется матрицей истинности
(или иногда таблицей истинности), соответствующей дан-
ной связке.
1. Определения основных логических связок
а) Отрицание (знак ~|)* Если а — высказывание, то “1а (чита-
ется: «не о») также высказывание; оно истинно или ложно в зави-
симости от того, ложно или истинно высказывание а.
Таким образом, операция отрицания описывается следующей
таблицей:
а 1а
и л
л U
Мы видим, что операция ~| в теории высказываний вполне со-
ответствует понятию отрицания в обыденном смысле слова. Если,
например, а — высказывание «Число три делит число шесть», то
отрицанием “| а этого высказывания будет «Число три не делит число
шесть». Высказывание а при этом истинно, высказывание —
ложно.
26
Если же в качестве высказывания а взять какое-нибудь ложное
высказывание, например «Число три делит число пять», то его
отрицание “] а будет высказывание «Ч исло три не делит число пять» —
истинное высказывание.
б) Конъюнкция. В качестве знака для конъюнкции мы будем
употреблять знакД1.
Если а и b — высказывания, то а/\Ь (читается: «а и Ь») — но-
вое высказывание; оно истинно тогда и только тогда, когда а истин-
но и b истинно.
В отличие от операции отрицания, зависящей от одного эле-
ментарного высказывания, конъюнкция, как и все последующие
приводимые нами связки, зависит от двух элементарных высказы-
ваний, поэтому они называются двуместными связками, отрица-
ние же — связка одноместная.
Для задания двуместных связок удобно записывать матрицы
истинности в виде таблиц с двумя входами: строки соответствуют
значениям истинности одного элементарного высказывания, столб-
цы — значениям другого элементарного высказывания, а в клетке
пересечения столбца и строки помещается значение истинности
соответствующего сложного высказывания.
Значение истинности сложного высказывания а A b задается
матрицей
Как видно, определение операции конъюнкции вполне соответ-
ствует обыденному значению союза «и».
в) Дизъюнкция. В качестве знака для дизъюнкции мы будем
употреблять знак V -
Если an b — высказывания, то а V b (читается: ш или Ь») —
новое высказывание, оно ложное, если а и b ложны; во всех осталь-
ных случаях а V b истинно.
Таким образом, матрица истинности для операции дизъюнкции
выглядит так:
1 Очень употребителен также знак & (сокращенное английское and —
союз «и»).
27
Операция дизъюнкции довольно хорошо соответствует обыден-
ному значению союза «или». Детальный анализ показывает, что в
русском языке слово «или» употребляется в двух различных зна-
чениях: существуют исключающее «или» и неисключающее «или».
Различие состоит в следующем: пусть а и b — два истинных вы-
сказывания, например а — «Число три делит число шесть», b —
«Число шесть больше, чем число три». Следует ли рассматривать
сложное высказывание а\/b — «Число три делит число шесть
или число шесть больше, чем число три» как истинное или как лож-
ное? В обыденной русской речи встречаются оба понимания:
утверждение «а или Ь» может означать, что одно и только одно из
предложений а и b истинно, тогда говорят, что слово, «или» упо-
требляется в исключающем смысле, или же «а или Ь» означает, что
истинно по меньшей мере одно из предложений (но могут быть
истинны оба), в этом случае говорят, что «или» употребляется в
неисключающем смысле. Именно неисключающему «или» и соот-
ветствует-дизъюнкция. Исключающему «или» соответствует, оче-
видно, матрица истинности
ь а и Л
и Л и
л и л
А в неисключающем смысле:
«Три делит пять или три больше шести» ложно;
«Три делит шесть или три больше шести» истинно;
«Три делит шесть или три меньше шести» истинно.
г) Импликация. В качестве знака для импликации будем упот-
реблять знак =>.
Если а и b — два высказывания, то а => b (читается: «а импли-
цирует Ь») — новое высказывание; оно всегда истинно, кроме того
случая, когда а истинно, а b ложно.
Матрица истинности операции импликации следующая:
а ь и А
и и л
л и и
В импликации а =$> b первый член а называется антецедентом,
второй b — консеквентом.
Операция => описывает в некоторой мере то, что в обыденной
речи выражается словами «Если а, то Ь», «Из а следует Ь», «а —
достаточное условие для Ь», но на этой аналогии не следует слиш-
28
ком настаивать. Действительно, учитывая определение импликации,
данное выше, и интерпретируя выражение а => b как «если а,
то Ь», мы получаем: «Если дважды два — четыре, то трижды три —
девять» — истинное высказывание; «Если дважды два — пять,
то трижды три — восемь» — истинное высказывание и только вы-
сказывание типа «Если дважды два — четыре, то трижды три —
восемь» ложно.
По определению импликации сложное высказывание а => b
всегда истинно, если консеквент истинный или если антецедент
ложный, что в очень малой мере отражает обыденное значение вы-
ражения «Если а, то Ь» или «Из а следует 6». Ни в какой мере не
следует рассматривать высказывание импликации как означающее,
что антецедент является причиной, а консеквент — следствием в
том смысле, как это понимается в естественных науках.
Несколько позже мы убедимся, что операция импликации доста-
точно точно выражает понятие логического следования в той форме,
как оно употребляется в математике.
д) Эквиваленция. Для этой операции мы будем употреблять
знак <=>. Операция эквиваленции определяется так: если а и b —
два высказывания, то ас=>Ь (читается: «а эквивалентно <=> со-
ответствует словесному выражению «...тогда и только тогда, ког-
да...») — новое высказывание, которое истинно, если либо оба
высказывания истинны, либо оба — ложны.
Из этого определения связки <=> следует, что ее матрица истин-
-Введенными пятью связками ("], A,V, =>,<=>) мы ограничимся.
2. С помощью уже введенных связок мы можем строить слож-
ные высказывания, зависящие не только от двух, но и от любого
числа элементарных высказываний1.
Делается это аналогично тому, как в элементарной алгебре
с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления
строятся сколь угодно сложные рациональные выражения. А имен-
но, предположим, что мы уже построили два каких-нибудь слож-
ных высказывания, которые мы ради удобства сокращенно
1 Отметим в этой связи, что так называемое нестрогое неравенство
(читается: «а меньше или равно />») представляет собой дизъюнкцию
(а < Ь) \/(а ~ Ь); оно истинно, если истинно по меньшей мере одно из входя-
щих в него простых высказывании. Хорошими примерами сложных выска-
зываний, встречающихся в школьной практике, являются так называемые
двойные неравенства. Так, формула а < b < с означает (а <b)/\(b < с),
а, например, а < b с означает сложное высказывание (а < 6) А ((6 < c)V
V(* == с)).
4 Заказ'5837
29
обозначим большими латинскими буквами А и В (при этом мы ус-
ловимся, что элементарные высказывания следует рассматривать
как частный случай сложных). Тогда, новые высказывания можно
получить, соединив А и В одним «з знаков Л, V, =Ф, <=> или же
построив высказывание ”] А и заключив результат в скобки. Слож-
ными высказываниями будут, например, высказывания следую-
щего вида:
((а => Ь) Л (с V а)); ((а =>Ь) <=> (с => ~|а)).
При этом предполагается, что встречающиеся здесь буквы являют-
ся сокращенными обозначениями каких-либо высказываний.
Таким образом, в принципе зная эти высказывания, можно
было бы построить русские фразы, выражающие эти сложные выска-
зывания. Только словесное описание сложных высказываний бы-
стро становится малообозримым, и именно введение целесообраз-
ной символики позволяет проводить более глубокое и точное ис-
следование логических связей между различными высказываниями.
Располагая значением истинности простых высказываний, лег-
ко подсчитать на основании определения связок значение истин-
ности сложного высказывания. Пусть, например, дано сложное
высказывание
«Ь V с) <=> (Ь Л а))
и пусть входящие в него элементарные высказывания имеют сле-
дующие значения истинности: а = л, b == и, с = и. Тогда b V с = и,
b Л а — л, так что ((b V с) <=> (Ь Д а)), т. е. рассматриваемое
высказывание ложно.
3. Высказывания и булевы функции
Одной из основных задач алгебры высказываний является уста-
новление значения истинности сложных высказываний в зависи-
мости от значения истинности входящих в них простых высказыва-
ний. Для этого целесообразно рассматривать сложные высказыва-
ния как функции входящих в них простых высказываний. С другой
стороны, так как значение истинности (и или л) сложного высказы-
вания зависит по определению логических связок не от самих
простых высказываний, а лишь от их значения истинности, то
можно считать, что любое сложное высказывание определяет функ-
цию, аргументы которой независимо друг от друга принимают
значения и или л, а значение самой функции также принадлежит
множеству {и, л}1. Такие функции называются булевыми функция-
ми (поимени Д. Буля). Например, формулаF (а, Ь, с) = (а/\Ь)=>
==> (с Д а) описывает, учитывая определение входящих в нее'
связок, булеву функцию, задаваемую следующей таблицей:
41 Конечно, существенно не то, что речь идет о функциях от нескольких
аргументов из множества {и, л} в множество {и, л}, а лишь то, что данные мно-
жества двухэлементны. Эти множества зачастую обозначают не через {и, л},
а, например, через {0, 1}, считая, что 1 означает «истину», а 0 — «ложь».
30
а ъ с F (а, Ь, с) а ь с F (а, Ь, с)
и и и и Л U и и
и и Л л Л и л и
. и Л и и л л и и
и л л и 1 л л л и
Читатель легко это может проверить. Заметим, что булевых функ-
ций от п аргументов имеется лишь конечное число, а именно столь-
ко, сколько возможно функциональных таблиц. Число возмож-
ных наборов аргументов равно 2Л, а каждому набору аргументов
можно независимо друг от друга сопоставлять одно из значений и
или л. Таким образом, число всевозможных булевых функций от п
аргументов равно 22П- Оно очень быстро растет с ростом н. Изуче-
ние свойств булевых функций приобретает в настоящее время все
большее значение как для алгебры и математической логики, так
и для их приложений в кибернетике и теории автоматов. Естест-
венно распространить определение высказывательных связок, так
как мы их определили выше, на булевы функции. Мы ограничимся
рассмотрением лишь связок Д, V, “|, называемых булевыми связ-
ками (или булевыми операциями). Такое ограничение оправдано
тем, что, как легко проверить, связки =Ф и <=> могут быть выражены
через другие ‘ булевы связки. При помощи таблиц истинности,
приведенных выше, легко проверяются следующие тождества:
а => b =- (П«) V Ь; а <=> b = (а Д b) V (“|а Л ~№),
которые позволяют повсеместно заменить связки =>, <=> на Д, V» П •
Если мы теперь имеем булевы функции {F (хп х2, ..., хп),
G (хь х2, ..., хп)} от п переменных, то действие связок над ними
определяется естественным образом:
r. F (-^1» Х2, •••* -^п) Л СЧ» Х2, •••» Хп)>
(х^, х2, • ••» ^n) V G (Xj, х2, хп), | F (х^, х2, ..., хп)
это такие булевы функции, которые принимают значения, предписы-
ваемые соответствующими таблицами для каждого возможного зна-
чения аргументов. Кратко: булевы операции так переносятся на бу-
левы функции, как действия арифметики переносятся на обычные
функции числовых аргументов. Вообще имеет место далеко идущая
аналогия между обычной алгеброй чисел и числовыми функциями,
с одной стороны, и высказываниями и булевыми функциями —
с другой. При этом можно отметить, что в одном определенном
смысле алгебра булевых функций проще алгебры числовых функ-
ций: если рассматривать лишь функции некоторого конечного
числа аргументов, то таких функций лишь конечное число. Поэтому
выкладки с булевыми функциями вполне доступны пониманию
школьников старших классов.
4*
31
Естественно, закономерности булевой алгебры менее привычны
и вызывают удивление и недоверие: это судьба всякого новшества.
Выпишем законы булевой алгебры. Большими латинскими бук-
вами А, В, ..., X, У, Z мы обозначим объекты, над которыми осу-
ществляются булевы операции Л, V, 1. Для определенности
будем считать, .что эти объекты — булевы функции некоторого фик-
сированного числа переменных. Среди них есть два особых элемен-
та: 1, О1. Это соответственно функции, принимающие для всех ар-
гументов значения 0 и 1 (постоянные функции — нуль и единица).
Тогда
А Л В = В Л Д,
А Л (В Л G) = (Д Л В) Л С,
А Л А = А,
А Л 1 - Д,
А Л 0 - О,
‘ i(А Д В) = ~[А V ПВ,
А Л (В V С) = (Д Л В) V
V (Л Л Q,
-]-]Д - д.
А v В -- В V А,
Д V (В V С) - (Д V В) X/ с,
А V А = А,
А V 1 = А,
А V 0 = Д,
-](Д V В) = -]Д Л дв,
А V (В А С) = (Д V В) Д
Л (А V С),
Если,-как это обычно делают, булевы операции V, Л» П считать
аналогом сложения, умножения и перехода к противоположно-
му числу (а в электротехнике и в вычислительной технике принято
говорить о логическом сложении и умножении и употреблять зна-
ки + и *), то некоторые из вышеприведенных законов те же, что
для числового сложения и умножения, другие же существенно
отличаются от привычных.
Мы говорили о том, что элементами булевой алгебры можно
считать булевы функции. Но оказывается, что в точности такие
же законы выполняются для теоретико-множественных операций,
о которых шла речь в предыдущей главе. Более точно: если считать
в вышеприведенной таблице тождеств, что большие латинские
буквы означают подмножества некоторого фиксированного множест-
ва U (универсального множества), и заменить повсеместно конъюнк-
цию А на пересечение П , дизъюнкцию V на объединение U , от-
рицание 1 на дополнение, 1 на универсальное множество, а О
на пустое множество, то можно проверить, что будут выполняться
все законы: как принято говорить, алгебра множеств есть лишь
другая интерпретация булевой алгебры. Отмеченный параллелизм
алгебр функций, фигурирующих в алгебре высказываний и в алгеб-
ре множеств, не случаен, а вполне закономерен. На нем следует
остановиться и пояснить его.^гак как ввиду новизны тематики часто
не сразу усматривается то глубокое родство^ которое имеет место
между алгеброй множеств, и алгеброй высказываний.
1 Можно было бы сохранить старые обозначения и и л, но мы сознательно
не делаем этого, чтобы не связывать непременно произвольную булеву алгебру
с алгеброй высказываний (см. примечание на с. 30, а также ниже об алгебре
множеств).
32
Покажем, как булевым функциям можно сопоставить некоторые
конечные множества объектов, причем так, что конъюнкция, дизъ-
юнкций и отрицание будут соответствовать для сопоставляемых
множеств действиям пересечения, объединения и дополнения. Бу-
дем для этой цели рассматривать для определенности булевы функ-
ции F (хх, х2, хл) от п переменных. С другой стороны, введем
в рассмотрение в качестве универсального множества U множество
всех булевых векторов (иногда говорят кортежей), т. е. множество
всех последовательностей (alf а2, .... ап) длины п, составленных
из букв и, л. Множество U содержит 2" элементов. Теперь каждой
булевой функции F (х1т х2, х„) можно сопоставить некоторое
подмножество F' множества /7, а именно множество тех булевых
векторов («J, а2, ..., ап), для которых F (xlt х2, .... хп) прини-
мает значение и. Тогда, конечно, для всех других булевых векто-
ров, т. е. для всех элементов (blt b2, ..., Ьп) дополнения F' множе-
ства F', F (blt b2, .... &„) = л, и тем самым булева функция
F (хх, х2, ..., хп) однозначно определяется множеством F'. Множество
F' называют множеством истинности функции F. Функции, прини-
мающей для всевозможных значений аргументов значение и (тож-
дественно-истинной функций) соответствует все множество U, а
функции, тождественно-равной л (тождественно-ложной функции)
отвечает пустое множество 0.
П р и м е р. Пусть F (хь х2) и G (хх, х2) — функций, заданные
таблицами:
Xi * F (*1. хг) G (х,. х2)
и и и л
и л и и
л и " л и
л л л л
Области истинности F (хх, х2) и G (хг, х2) будут тогда соответст-
венно F' = {(и, и), (н, л)} и G' = {(н, л), (л, н)}.
Теперь совсем нетрудно себе уяснить, хотя бы на вышеприве-
денных примерах, соответствие между связками Л, V, , с одной
стороны, и теоретико-множественными операциями — с другой.
А именно если области истинности функций F (хъ х2, ..., х„) и
G (хх, х2, ..., хп) суть соответственно F' nG', то области истинности
F (хх, х2, ..., хп) /\ G (хх, х2, ..., хп),
F (хх, х2, ..., хл) V G (хх, х2, ..., Хп),
“|Г (хь х2, .... хя)
будут Г П G'; Г' и G'; г7.
Соответствие между булевыми функциями алгебры логики, с
одной стороны, и алгебры множеств — с другой, мы показали на
33
частном примере булевых функций от п аргументов и алгебры под-
множеств некоторого множества из 2п элементов в качестве уни-
версального множества. Заметим, что совсем нетрудно распростра-
нить наше рассуждение на случай произвольного универсального
множества, как конечного, так и бесконечного. Но для этого пока1
добилось бы введение некоторых новых понятий.
4. Логическое следование для формул алгебры высказываний
Понятие области истинности булевой функции, введенное в пре-
дыдущем пункте, нам сейчас понадобится для уточнения понятия
логического следования — центрального понятия формальной и
математической логики, о котором мы вскользь говорили в первом
параграфе. Говоря об аристотелевских силлогизмах, мы так характе-
ризовали правильные силлогизмы: силлогизм правилен, если он
всегда из истинных посылок приводит к истинному заключению.
В различных вариантах именно эта идея главенствует при поясне-
нии того, что следует понимать под логическим следованием. Мы
сейчас рассмотрим один такой вариант: понятие логического сле-
дования для формул алгебры высказываний.
Сложное высказывание алгебры высказываний зависит от входя-
щих в него простых высказываний: для некоторого набора этих
простых высказываний оно истинно, для других — ложно. Таким
образом, сложное высказывание можно рассматривать как булеву
функцию и можно говорить о его области истинности.
Пусть А (хл, х2, .... хп) = А и В (xlt х2, хп) = В — две фор-
мулы логики высказываний от переменных х1г х2, .... хп. Мы бу-
дем говорить, что формула В х2, •••> хп) является логическим
следствием формулы A (xlt x2t ..., хп), если принимает зна-
чение и для всех наборов значений истинности, для которых А
истинна. Это означает также, что если представить обе формулы их
таблицами истинности, то множество наборов, для которых А истин-
на, содержится в множестве наборов, для которых истинна формула В.
Например, согласно этому определению формула В = (х V г)
является логическим следствием формулы А = ((х. V У) Л z), Эго
видно из соответствующих таблиц истинности:
X У 2 .(XV у) Л2 XV 2
и и и и и
и и Л л и
и Л и и и
и л л л и
л и и и и
Л и л л л
л Л U л и
л л Л л Л
34
Две формулы А и В называются, равносильными тогда и только
тогда, когда каждая из них является логическим следствием другой.
Из определения также явствует, что всякая формула является ло-
гическим следствием тождественно-ложной формулы. Действитель-
но, так как в этом случае формула А никогда не принимает значе-
ния и, то множество наборов, для которых А истинна, пусто и со-
держится, следовательно, в множестве наборов истинности для лю-
бой формулы В. Также очевидно, что тождественно-истинная фор-
мула является логическим следствием любой формулы.
Очень существенным для алгебры высказываний оказывается
следующее обстоятельство: отношение логического следствия между
двумя формулами А (хь х2, и В (xlt х2, ..., х„) от тех же
самых переменных высказываний сводится к тождественной истин-
ности формулы вида А ==> В.
Формула В (jq, х2, ..., хп) является логическим следствием фор-
мулы А (xlt х2, ..., хл) тогда и только тогда, когда тождественно-
истинна формула A (xlt х2, ..., хп) В (хх, х2, ..., хп).
-Действительно, пусть В (хх, х2, ...,,хп) является логическим
следствием формулы А (хх, х2, ..., хп). Если для какого-нибудь
набора («1, а2, ..., ап) значение истинност»Л (аъ а2, ..., ап) есть и,
то В (alt а2, ..., ап) имеет значение и; следовательно, для (ах, а2,
..., aj имеем, что А (аь а2, ап)=Ф В (alt а2, ..., ап) истинна.
Если же А (аъ а2, ..., ап) имеет значение л, то, каково бы ни было
значение истинности В (а1э а2, ..., ап), из определения импликации
получаем, что A (alt а2, ..., ап)=5>В (аъ а2, ..., ап) истинна. Зна-
чит, в этом случае А (хх, х2, ..., хп)=5>В (jq, х2,.... хп) всегда
истинна, т. е. это тождественно-истинная формула.
Предположим наоборот, что В (xlf х2, ..., хп) не является логи-
ческим следствием формулы A (xlt х2, ...» хп). Это означает, что
для некоторого набора (alt а2, ..., ап) формула А (аъ а2, ап)
будет истинна, а В (alt а$, ..., ап) ложна. Но тогда для этого на-
бора A (at, а2, ..., ап) => В (alt а2, ..., ап) будет ложной, а зна-
чит, формула А => В не тождественно-истинна.
Если принять во внимание то существенное огрубление логи-
ческих понятий, которое имеет место в логике высказываний, то
можно признать, что приведенное определение достаточно точно
отражает то интуитивное понятие логического следования, кото-
рым мы пользуемся при дедуктивных заключениях в точных на-
уках, в особенности в математике. Отметим, что введенное нами
отношение относится не к единичным высказываниям, как это
имело место для понятия импликации, а к целым множествам вы-
сказываний определенной формы, описываемых формулами A (xlt
х2, ..., хп) и В (xlt х2, ..., хп). Формулу A (xlt х2.хп) можно
рассматривать как условие, которое может быть выполнено или
не выполнено в зависимости от истинности или ложности формулы
А. Отношение логического следования выражает тот факт, что всег-
да, когда выполнено условие, описываемое формулой А (х1г хй, х„),
имеет место ситуация, описываемая формулой В (xlf х2, ..., хп).
35
Мы считаем, что В (xlt х2, .... хп) является логическим следствием
Л (хъ х2, хп) потому, что знание об истинности А позволяет
нам утверждать истинность В во всех случаях и без знания какой-
либо дополнительной информации. Если, наоборот, A (alt а2, .... ал)
ложна, то В (ait а2, ..., яп) при этом может быть и истинной, и
ложной, что не нарушает известную нам тождественную истин-
ность
А =>В.
В этом случае без дальнейшей информации мы не можем утверж-
дать истинность высказывания В (alt а2, ..., ап). Как видим, эта
ситуация вполне соответствует нашему повседневному пониманию
логического заключения.
Любая тождественно-истинная формула теории высказываний
вида
А (х^, х2, ..., хл) —г* В (xjj x2t
•» хп)
соответствует некоторой общей схеме логического заключения.
Чтобы уяснить это себе, рассмотрим пример одной схемы логиче-
ского заключения, часто применяемой в математических доказа-
тельствах, а именно установление истинности некоторого утверж-
дения путем приведения противоположного утверждения к абсурду.
Схема такого заключения выглядит так. Предположим, что нужно
доказать истинность некоторого утверждения вида П^- Предпо-
лагается, что истинно утверждение А. После этого показывается,
что тогда можно найти такое утверждение В, что истинными явля-
ются А=>В Д “] В. Это и есть то, что называется абсурдом. Как
доказывается истинность импликаций, нас в настоящее время не
интересует, Мы предполагаем, что они уже доказаны. Тогда мы
утверждаем, что истинно высказывание ПЛ. Спрашивается, на
основании какого логического закона делается это заключение.
Оказывается, что это заключение основано на тождественно-истин-
ной формуле логики высказываний:
(х=?>(у Д ~|у)) => (*)
(Читатель легко проверит, что (*) — тождественно истинная фор-
мула.) Формула (*) имеет вид А (х, у)=ФВ (х, у). Формула П х
является логическим следствием формулы х=>(уД И у).
Если нам уже известно, что х=£>(у А П у) истинна, то мы от-
сюда заключаем, что истинно утверждение П Это и есть схема
заключения приведением противоположного утверждения к аб-
сурду. В качестве примера схемы заключения (*) приведения к
абсурду рассмотрим известное доказательство иррациональности
числа ]Л2. Пусть а — высказывание «для сокращенной рациональ-
нои дроби — имеет место —] — 2».
л \ л /
36
Тогда имеем (*) 2па = т2 и число т четное, а так как тип
взаимно-простые, то имеет место утверждение b — «число п- не-
четное». Но число т2 делится на 4, а формула (*) показывает, что
тогда имеет место "] b — «число п четное», и мы видим, что истин-
на импликация Л ~! Ь, а применение схемы (*) показывает,
(tn
— । 2». Дальше заключаем так: так
п /
т
как-----произвольное рациональное число, то квадрат произ-
п
вольного числа — отличен от 2 и число ]/ 2 есть число иррацио-
п
нальное. Это последнее заключение уже не относится к алгебре
высказываний, а относится к следующему разделу математической
логики — к алгебре предикатов.
§ 4. ОТНОШЕНИЯ И СООТВЕТСТВИЯ,
ПРЕДИКАТЫ, КВАНТОРЫ
1. Обобщая понятие упорядоченной
пары, введенное во втором параграфе, определим понятия упоря-
доченной тройки (at, а2, а3), упорядоченной четверки (alt а2,
оэ, а4) й, вообще, упорядоченной n-ки, где п — произвольное
число.
Упорядоченная n-ка элементов из А — это п (не обязательно
различных) элементов множества Д, данных в определенной по-
следовательности (alt а2, аП), так, что равенство
(Gj, ^2, ...» Ол) (о 1, G 2> G п)
означает, что tzx. = = а'2, .... ап = ап. Как и упорядочен-
ные пары, упорядоченные n-ки для любого п мы записываем в
круглых скобках и обозначаем жирными строчными буквами
а = (аь а2, ..., ап)."
Упорядоченные n-ки элементов из множества А называют
иногда кортежами над А (термин, который мы тоже иногда будем
использовать).
Определение декартова произведения двух множеств естествен-
но обобщается на случай произвольного конечного числа множеств.
Если Л1( Л2, Дл - п множеств, то под их декартовым произве-
дением понимается множество
С = {(^i> п2, ..., ап) | € Air а2 С А2, ..., ап € Ап}
всех последовательностей (а1г а2, ..., ап) = а, где i-й член после-
довательности, называемый i-й координатой последовательности
а, принадлежит множеству А{. Декартово произведение С обо-
значается через С = А± х А2 х ... X Ап. В случае, когда все
множества Д±, А2, ..., АП совпадают (Дх — А2 = ... = Ап),
37
говорят об n-й декартовой степени Ап множества А, которая, оче-
видно, является множеством всех упорядоченных п-к из А.
Случай, когда п = 2, несомненно, самый важный, и именно
его мы рассмотрим более подробно.
Всякое подмножество Р <= А X В декартова произведения
А X В называется соответствием из А в В. А мы будем называть
множеством отправления, а множество В — множеством прибытия
соответствия Р.
Подмножество Р s А2 декартова квадрата называют бинарным,
отношением (или двухместным предикатом) на множестве А.
Введенные понятия «соответствия» и «отношения» — одни из
самых общих понятий математики и играют большую роль в ана-
лизе, геометрии и алгебре. Это видно хотя бы уже из того, что такое
важнейшее понятие, как понятие «функции», является лишь част-
ным случаем соответствий или отношений.
Соответствия и отношения целесообразно описывать и представ-
лять себе, основываясь на «геометрической интуиции», используя
так называемые графики. Привычные теперь уже в школе и столь
важные для анализа задание и представление функций с помощью
графиков вполне отвечают смыслу графика соответствий и отно-
шений.
Пусть сперва Л и В — конечные множества и пусть Р А х В —
какое-нибудь соответствие из А в В. Пусть для определенности
А = {1, 2, 3, 4, 5}, а В — {a, b, с, d} и пусть при этом Р =
= {(1, а), (1, с), (2, d), ('4, а), (5, с)}. Соответствие Р можно одно-
значно и обозримо описать таблицей с двумя входами, так как это
показано на рисунке 6. Элементам множества А ставятся в соот-
ветствие вертикальные оси, элементам множества В — горизон-
тальные, а кружками 'отмечаются те пересечения осей at и b.j, ко-
торые отвечают парам (ah bj), принадлежащим соответствию. Это
дает обозримую картину заданного соответствия — его график.
Отношение Р s А2 — это частный случай соответствия; есте-
ственно, что на отношения переносится и понятие графика. На-
пример, если А = {1, 2, 3, 4, 5}, а отношение Р состоит из пар
{(1, 1), (1, 4), (2, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 5)}, то его можно представить
графиком, приведенным на рисунке 7.
В случае бесконечных множеств А и В, конечно, нет возможно-
сти выписать график — таблицу какого-либо соответствия или
отношения полностью. В этом случае принято приводить лишь
какую-то конечную часть графика, оставляя фантазии читателя
или слушателя «представить» себе весь график полностью.
Приведем в этой связи такой пример. Пусть N — множество
натуральных чисел и пусть Р — отношение на N, состоящее из
пар (alt аа), для которых
Р = {(^l, а2) | «i < а2}.
Тогда приведенная на рисунке 8 часть графика этого отношения
дает вполне обозримую картину.
38
р={(1,а\ (иеЦг^к^а^&с)}
Рис. 6
Особенно важный для мно-
гочисленных применений воз-
никает случай, когда А — это
множество R действительных
чисел. Для представления отно-
шений на R следует заметить,
что множество R2 есть обычная
числовая плоскость. Выбирая на
плоскости две координатные
оси, соотносим каждой точке
плоскости пару координат (а, Ь)
этой точки, являющиеся дейст-
вительными числами, й-, обрат-
но, каждой паре действительных
чисел отвечает некоторая точка
плоскости.
Произвольное бинарное отно-
шение на R может теперь рас-
Р={(К D, (1, Ч (2, f), (3,3), (3,5), h,S)}
Рис. 7
Рис. 8
сматриваться как множество «отмеченных» точек
на плоскости.
Например, отношения
Л = {(*, У) I х2 Ч- у2 =
^2 = {(*, У) 1 У = *2}
1}
и
соответствуют множествам точек, частично представленных на
рисунках 9 и 10. Мы видим, что привычные представления графи-
39
ков функций и неравенств принципиально ничем не отличаются
от общей схемы представления графиками-таблицами произвольных
соответствий и отношений.
Имеются два тривиальных соответствия из Л в В, а именно:
само множество А X В — полное соответствие из А в В и пу-
стое подмножество 0 £ .4 ХВ, называемое пустым соответствием
из А в В.
Для соответствий Р, Q из А в В, как для подмножеств А X В,
может иметь место включение Р s Q, означающее, чт(У все, пары,
принадлежащие Р, принадлежат также и Q. В этом случае гово-
рят, что Р — более тонкое соответствие, чем Q, a Q — более гру-
бое, чем Р. В такой терминологии пустое соответствие 0 А X В—
«самое тонкое», а полное соответствие — «самое грубое» среди
всех соответствий из А в В.
Как над подмножествами множества А х В, так и над соответст-
виями можно осуществлять булевы операции: пересечения, объе-
динения и дополнения. Если Р и Q — соответствия из А в В, то
таковыми будут также множества Р Г) Q, Р U Q и, наконец, Р —
= (Д х В) \ Р. Как и в общем случае булевых операций, между
операциями П. U» \ Для соответствий выполняются все тожде-
ства, отмеченные в § 3. Все сказанное для соответствий до-
словно повторяется для отношений над А, т. е. для подмножеств
множества А2.
2. Соответствия и отношения — понятия теоретико-множест-
венные; в математической логике им отвечают понятия предиката
и высказывательной формы. О последних мы поговорим в следую-
щей главе, а о предикатах сообщим некоторые сведения сейчас же:
алгебра предикатов — тот раздел математической логики, который
непосредственно надстраивается' над алгеброй высказываний.
Как мы видели, одной из основных задач алгебры высказыва-
ний является изучение истинности или ложности высказываний
в зависимости от истинности или ложности входящих в них высказы-
ваний. Несмотря на большую важность этой области логики, она
оказывается слишком бедной для описания и для изучения даже
простейших заключений науки и практики. В рамки алгебры вы-
сказываний не укладываются ни аристотелевская теория силло-
гизмов, ни простейшие заключения арифметики и геометрии, не
говоря уже о довольно сложных логических выводах, с которыми
мы сталкиваемся в других науках и в повседневной жизни.
Действительно, рассмотрим следующие простейшие заключения.
Из истинных высказываний «3 меньше 5» и «5 меньше 7» мы за-
ключаем, что «3 меньше?». Из истинных высказываний «Все птицы —•
животные» и «Все воробьи — птицы» мы делаем заключение:. «Все
воробьи — животные». Из высказываний «Петр — сын Ивана» и
«Павел — сын Петра» мы заключаем: «Павел — внук Ивана» и т. д.
Заметим, что во всех рассмотренных примерах истинность за-
ключения зависит не только от истинности посылок, но и от их
содержания. Если изменить вид посылок, то может оказаться, что
40
заключение будет неверным. Так (в первом примере) из-истинных
высказываний «3 меньше 5» и «5 не равно 7» нельзя делать заключе-
ние (которое оказывается истинным), что «3 меньше 7», или, из-
менив немного второй пример, из истинных высказываний «Все
птицы — животные» и «Никакие рыбы не птицы» нельзя выводить
ни ложное высказывание «Никакие рыбы не животные», ни истин-
ное высказывание «Все рыбы — животные». Наконец, видоизменив
последний пример, из истинных высказываний «Петр — сын Ивана»
и «Павел — родственник Петра» мы не имеем права делать заклю-
чение (которое в действительности может быть как истинным, так
и ложным), что «Павел — внук Ивана» (но можем вывести истин-
ное заключение: «Павел — родственник Ивана»).
Чтобы построить систему правил, позволяющую логически выво-
дить правильные заключения, учитывающие в какой-то мере содер-
жание посылок, мы должны проанализировать Строение простых
высказываний. И здесь нам опять кое-что может подсказать грам-
матика. Следуя по такому пути, мы придем к разделу логики, назы-
ваемому алгеброй предикатов. Она предполагает алгебру высказы-
ваний уже известной, но идет дальше: простые высказывания, из
которых состоят сложные, в свою очередь расчленяются. Некоторые
авторы поэтому говорят, что алгебра высказываний — «молекуляр-
ная логика», а алгебра предикатов — «атомарная». В некоторых
физических терминах, например в молекулярной теории газов,
отвлекаются от внутреннего строения. молекул, учитывают лишь
их взаимосвязи как целых, в других же, наоборот, скажем в физи-
ческой химии, одновременно рассматриваются и взаимосвязь
между молекулами, и отчасти их внутреннее строение из атомов.
Конечно, не стоит слишком уж далеко проводить эту аналогию,
так как логика и физика все же очень разные науки.
Теория предикатов исходит из следующей установки. Простые
высказывания выражают, что некоторые объекты обладают неко-
торыми свойствами или находятся между собой в некоторых отно-
шениях.
При этом понятия «свойство» и «отношение» рассматриваются
как частные случаи общего понятия «предиката». Объекты, о кото-
рых говорится в высказываниях, называются «термами». Постараем-
ся выяснить смысл этих понятий на примерах.
Рассмотрим сначала некоторое число простых предложений —-
высказываний, выражающих, что некоторый объект обладает не-
которым свойством:
«Сократ — грек»;
«Платон — ученик Сократа»;
«Три — простое число»;
«Москва — столица СССР»;
«Василий — студент» и т. д.
Все приведенные примеры — простые предложения. С точки
зрения грамматики они состоят из подлежащего («Сократ», «Пла-
тон», «три», «Москва», «Василий») и сказуемого («есть грек», «есть
41
ученик Сократа», «есть простое число», «есть столица СССР», «есть
студент»). Подлежащее является наименованием некоторого объек-
та — конкретного или абстрактного, сказуемое выражает некото-
рое свойство. В латинской грамматике сказуемое называется пре-
дикатом, и этим термином принято теперь пользоваться в матема-
тической логике в рассматриваемых ситуациях. Основным для
алгебры предикатов является второй член предложения — сказуе-
мое-свойство. Как же алгебра предикатов трактует понятие «свой-
ство»? Она рассматривает его как некоторую функцию следующим
образом.
Возьмем первый пример: «Сократ есть грек».
Вместо человека Сократ мы можем подставить имена всевоз-
можных людей и будем получать всегда осмысленные предложения.
Одни предложения будут истинными, другие — ложными:
«Сократ есть грек» — истинно;
«Платон есть грек» — истинно;
«Наполеон есть грек» >— ложно;
«Ньютон есть грек» — ложно и т. д.
Бод ее обще можно рассматривать выражение вида «X есть
грек», где буква X указывает место, на которое нужно подставить
имя некоторого человека, чтобы получить высказывание — истин-
ное или ложное. Но, как нам уже известно, существенным свойст-
вом высказывания* является его значение, истинности и или л.
Становясь на эту точку зрения, логика предикатов считает выра-
жение «X есть грек» функцией, аргумент которой X пробегает
класс всех людей, а сама функция принимает в качестве значений
и или л. Если мы будем, как это принято в математике,' «X есть
грек» записывать сокращенно, например в виде Гр (X), то для зна-
чения X = Сократ получим Гр (Сократ) — и, а скажем Гр (Напо-
леон) — л и т. д. Относительно других приведенных примеров
можно дословно повторить все то, что было сказано относительно
первого. ।
Таким образом, предикатом или, лучше, предикатом-свойством
будем считать функцию, определенную на некотором универсальном
множестве и принимающую значения и,п л. Те элементы, для кото-
рых значение предиката «истинно», обладают данным свойством,
остальные не обладают.
Отсюда сразу видно, что в действительности всякий предикат-
свойство вполне определяется подмножеством тех объектов, на
которых данная функция принимает значение «истинно». Полезно
привести примеры предикатов-свойств из области арифметики.
Такими будут, например, свойства натуральных чисел «быть прос-
тым числом», «быть четным числом», «быть квадратом» и т. д.
Остановимся на примере «три есть простое число» и на соответ-
ствующем предикате-свойстве «быть простым числом»! Введем
для этого свойства сокращенное обозначение Пр (X). Предикат
Пр (X) определен на множестве натуральных чисел. Имеем Пр(1) =
= л (поскольку 1 не принято рассматривать как простое число).
42
Пр (2) = и, Пр (3) = и, Пр (4) = л, Пр (10) = л, Пр (11) = и
и т. д. Подобный предикат, определенный на. множестве натураль-
ных чисел, удобно представить в виде таблицы:
X 1'234567...
Пр (X) л и и л и л и. ..
Сверху в таблице последовательно записаны натуральные числа,
снизу стоит "буква и для тех чисел, которые являются простыми,
и л для тех, которые этим свойством не обладают. Вообще произ-
вольную таблицу подобного вида мы рассматриваем как представ-
ление некоторого предиката-свойства, определенного на множестве
натуральных чисел. Два .свойства рассматриваются как одинако-
вые, если совпадают их таблицы, т. е. если они истинны для одних
и тех же значений аргумента.
3. Подобно приведенным предикатам-свойствам, математиче-
ская логика рассматривает более общее понятие предиката-отно-
шения. В зависимости от того, между каким числом объектов уста-
навливается отношение, мы различаем двухместные (бинарные),
трехместные (тернарные) и т. д., в общем случае — /г-местные от-
ношения. Рассмотренные выше предикаты-свойства считаются унар-
ными предикатами. Наконец, оказывается удобным в понятие пре-
диката-отношения как частный случай' включить и высказываний
в качестве «0 — местных предикатов».
Рассмотрим несколько более подробно понятие бинарного отно-
шения. В качестве примеров из повседневной жизни для понятия
отношения удобно брать различные отношения родства, описывае-
мые словами «брат», «сестра», «отец», «мать», «дядя», «тетя», «муж»,
«жена», «зять» и т. д. Все математические дисциплины имеют дело
с предикатами-отношениями, причем самыми распространенными
являются бинарные отношения. Они описываются различными
словами: «равны», «не равны», «больше», «меньше», «делить», «пер-
пендикулярны», «параллельны» и т. д.
По аналогии с предикатом-свойством двухместным предикатом
считается опять функция, на этот раз от двух аргументов, опре-
деленных на некотором универсальном множестве, принимающая
значение и (истинно) и л (ложно): те пары элементов, для которых
функция принимает значение и, находятся в рассматриваемом отно-
шении, остальные пары в этом отношении не находятся.
Рассмотрим два примера бинарных отношений, определенных на
множестве натуральных чисел, а именно отношение, описываемое
словом «больше», и отношение, описываемое словом «делить». Если
рассматривать эти отношения как функции от двух переменных X
и Y (на множестве натуральных чисел), принимающие значения и
или л в зависимости от того, будет ли соответствующее отношение
выполняться или нет, то эти функции определяют два предиката,
которые мы обозначим через > (X, Y) и Дел (X, Y). Тогда для
предиката > (X, У) имеем, например, > (3, 2) = ц, > (1, 3) = л,
43
> (7, 5) = и и т. д., а для предиката Дел (X, Y) имеем, например,
Дел (3, 6) = и, Дел (5, 10) = и, Дел (7,9) = л и т. д. Более полно
и обозримо двухместные предикаты > (X, У) и Дел (X, У) можно
представить в табличной форме.
Таблица предиката >
X 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 • • • л л л Л л л л и А Л Л Л л л • • г и и л л Л л л • а • и и и л л л л • а • и и и и и и и и л и л л л л и и и и и и л ♦ а •
Таблица предиката Дел
\ X Y\< ! 2 3 4 5 6 7 8 • а •
1 и л Л л л л л ' л а а в
2 и и л л л л л л а • •
3 и л и л л л л л • • •
4 и и л и л л л л • а а
5 и л л л и л л л • • •
6 и и и л л и л Л а а а
• * а • а а • • • • • • а а а • . а а а о • • ’ а а а
Приведенные примеры — двухместные (бинарные) предикаты.
Конечно, совсем нетрудно указать в элементарной математике при-
меры трехместных предикатов и предикатов от еще большего числа
аргументов. Так, трехместным предикатом является в Геометрии
отношение, описываемое словом «между»: «Точка У лежит между
точками X и Z». В арифметике хорошо известны понятия наиболь-
шего общего делителя и наименьшего общего кратного двух целых
чисел: фраза «Число d является наибольшим общим-делителем
чисел а и Ь» описывает трехместный предикат. Трехместные пре-
дикаты на множестве действительных чисел задают действия сло-
жения, вычитания, умножения и деления: X + У — Z, X — У = Z,
X • У = Z, X : У = Z. Примером четырехместного предиката
может служить отношение между членами пропорции X : У =
- Z : U7
44
Предикаты с большим чем 2 числом аргументных мест лишь
технически, а не принципиально сложнее, чем бинарные. Поэтому
’В нашем кратком изложении мы ограничимся лишь их упоминанием.
Напротив, разница между предикатами-свойствами и предиката-
ми-отношениями оказалась в истории развития логики очень суще-
ственной. Как мы уже говорили, понятие предиката было подска-
зано логике грамматикой. Предикат в исходном понимании этого
слова —это сказуемое простого предложения, а сказуемое харак-
теризует в предложениях одно подлежащее, и исторически первые
разделы формальной логики — от Аристотеля до середины про-
шлого столетия — имели дело исключительно с взаимосвязью
между подлежащим и сказуемым. То, что без рассмотрения много-
местных предикатов невозможен логический анализ математиче-
ских рассуждений даже в пределах элементарной школьной
математики, — исключительно плодотворное достижение методоло-
гии математики нового времени. Многие видные педагоги-матема-
тики считают совершенно необходимым как можно раньше за-
ложить основы интуитивного понимания бинарных предикатов
у ребенка. В этой связи можно указать на недавно вышедшую книгу
Ф. Папи [21]. О том, какую роль играют многоместные пре-
дикаты в средних классах школы (IV—VII классы), мы погово-
рим в следующем параграфе, где предикаты появляются в виде так
называемых высказывательных форм.
«-местные предикаты на некотором множестве А находятся в
естественно определяемом взаимно-однозначном соответствии с
«-местным отношением над А. А именно если Р (Х1Т Х2, -^я)
есть предикат над А, то ему можно сопоставить его область истин-
ности — множество тех кортежей а = (с^, а2, ..., «„), для которых
(alt а2, .... ая) = «. Это некоторое однозначно определенное
«-арное отношение над А, Обратно, всякому «-арному отношению
Р s Ап сопоставляется предикат F (Хь Х2, .... Хя), областью
истинности которого является F':
F («!, «2, .... ап) = и для (fllf а2, ..., ап) С F' и
F (а1г а2, ...,ап) л для (аъ а2, .... ап) £ F'.
F (-Ч» х2, ..., х„) называют характеристической функцией множе-
ства F'. Вообще говоря, характеристической функцией какого--
либо множества в анализе называют числовую функцию, равную
единице на элементах множества и равную нулю на всех остальных.
Согласно широко принятой условности часто пишут 1 вместо и
и 0 вместо л, чем и оправдывается применение термина в нашем
случае.
4. Выше мы рассматривали не только отношения на некотором
множестве А, но и соответствия между различными множествами,
т. е. произвольные множества Р s At х А2 или, более обще,
Р s Ах X А2 х ... X А„, где сомножители не обязательно равны
между собой. Им отвечают в математической логике так называе-
мые многосортные предикаты, аргументы которых не обязатель-
45
но принадлежат одному и тому же множеству. Важным примером
многосортного предиката из области элементарной геометрии яв-
ляется предикат инцидентности. Обозначим множество точек
плоскости через Р, а множество прямых — через Q. Важному соот-
ветствию, описываемому предложением «Точка Р лежит на прямой
<;» (или «Прямая q проходит через точку Р»), соответствует функ-
ция J (X, Y) со значениями и и л, называемая инцидентностью.
J (Р, q) принимает значение и, если точка Р лежит на прямой q,
и л в противном случае. Первый и второй аргументы здесь относятся
к различным множествам: предикат двусортный. Нетрудно при-
вести примеры и других многосортных предикатов.
Существенным является то обстоятельство; что столь важные
понятия, как «функция» и «функциональное соответствие», естест-
венно вкладываются как частные случаи в более общие понятия
соответствия и предиката. Эта тема подробно трактуется в учеб-
нике алгебры для VI класса.
। 5. Ознакомившись с понятием предиката, мы переходим теперь
к рассмотрению операций, позволяющих из некоторых исходных
предикатов строить новые. Начнем изучение с простейшего случая
одноместных, предикатов. Пусть Р (X) и Q (X)—два одномест-
ных предиката, определенных на некотором множестве М. С по-
мощью операций алгебры высказываний мы можем строить новые
предикаты на множестве М. Конъюнкция Р (X) Л Q(X) — это пре-
дикат (X) = Р (X) Л Q (X), который истинен для тех объек-
тов а из М, для которых оба предиката Р (X) и Q (X) истинны.
Аналогично определяется дизъюнкция Р (X) V Q (X): Т?2 (X) =
= Р (X) V Q (X) — это предикат на М, который истинен в точ-
ности для тех а £ М, для которых истинен по меньшей мере один
из предикатов Р (X) и Q (X). Так же определяется отрицание
“173 (X): R3 (X) = \Р (X) — предикат на М, истинный для тех
и только тех а € Л4, для которых Р (X) ложен.
Как видно, определение операции алгебры высказываний над
предикатами вполне естественно. Их общая схема такова: пусть
V—какая-нибудь операция алгебры высказываний. Тогда она
определяет операцию над предикатами: R (X) = Р (X) у Q (X).
Ведь предикат R (X) определен, если для всякого объекта а из М
установлено, будет R (а) значением и или л. А это устанавливается
так: по значениям истинности Р (а) и Q (а) согласно таблице истин-
ностй для операции у находится значение истинности Р (а) у Q (а).
Так найденное значение истинности и считается значением истин-
ности R (а) предиката R (X) для X = а.
Если, например, Р (X) — предикат-свойство «быть англича-
нином», Q (X) — предикат «быть студентом» (множество М будем
считать множеством всех людей), то Р (X) Д Q (X) обозначает
свойство «быть англичанином и быть студентом». Этим свойством
обладают те и только те люди, которые одновременно являются
англичанами и студентами. Предикат Р (X) V Q (X) обозначает
свойство «быть англичанином или быть студентом», предикат ~| Р (X)—
46
свойство «быть не англичанином» (ему удовлетворяют те люди,
которые не являются англичанами).
Булевы операции Д, V, ~1 над одноместными предикатами
соответствуют операциям над множествами: пересечению, объеди-
нению, дополнению.
Операции логики высказываний над многоместными предика-
тами определяются вполне аналогично. Нужно только следить за
тем, какие переменные обозначены одинаковыми буквами, а ка-
кие— различными. Мы не будем давать общего определения.
Приведем только несколько примеров, на основании которых чи-
татель легко уяснит себе, как следует поступать в любом случае.
Имеем, скажем, два двухместных предиката Р (X, Y) и Q (X, У),
определенных на некотором множестве М. Р (X, У) Д Q (У, Z) —
это трехместный предикат R (X, У, Z) от X, У, Z на М. Как уви-
деть, для каких значений переменных X, У, Z R (X, У, Z) =
е= Р (X, У) Д Q (У, Z) принимает значение и, а для каких — л?
Пусть a, bt с — три объекта из М. Значение истинности R (а, Ь, с)
для X = a, Y = b, Z = с получается так:
R (a, b, с) = Р (а, Ь) Д Q (Ь, с).
Р (а, Ь) и Q (Ь, с) имеют вполне определенные значения истинности.
R (а, Ь, с) имеет значение и тогда и только тогда, если Р (а, Ь) и
Q (Ь, с) оба имеют значение и. Если Р (X) и Q (X) — два одномест-
ных предиката, то не следует смешивать предикаты Р (X) V Q (X) и
Р (X)V Q (У)- Р (X) V Q (X) — это, как нам уже известно, одно-
местный предикат. Напротив, Р (X) V Q (У). — двухместный пре-
дикат от переменных X, У:
R (X, У) = Р (X) V Q (У).
R (а, Ь) имеет значение и в точности тогда, когда Р (а) V Q (Ь)
имеет значение и.
6. В алгебре предикатов наряду с операциями логики высказы-
ваний важнейшую роль играют операции, называемые квантора-
ми. Именно употребление кванторов делает алгебру предикатов
значительно более богатой, чем алгебру высказываний. Кванторы
соответствуют по смыслу тому, что на обычном языке выражается
словами «все» («для каждого», «для всех» и т. п.) и «существует»
(«некоторый», «найдется» и т. п.).
Понятие, обозначаемое словом «все», лежит в основе квантора
всеобщности (или квантора общности). Если через Гр (X) обозна-
чен предикат «X есть грек», определенный на множестве М всех
людей, то из этого предиката с помощью слова «все» мы можем
построить высказывание «Все люди — греки» (конечно, ложное
высказывание). Это пример применения квантора всеобщности.
Вообще же квантор всеобщности определяется так. Пусть
Р (X) — какой-нибудь предикат. Тогда квантор всеобщности —
это операция, которая сопоставляет Р (X) высказывание
«Все X обладают свойством Р (X)». (*)
Для этой операции («все») употребляется знак V (пере-
47
вернутая латинская буква А, напоминающая о немецком слове
«а11е» или английском «all» — все). Высказывание (*) записыва-
ется так:
V (X) Р (X)
(читается: «для всех X Р от X»). В соответствии со смыслом слова
«все» V (X) Р (X) — ложное высказывание, кроме того единствен-
ного случая, когда Р (X) — тождественно-истинный предикат.
Если множество М состоит только из конечного числа объектов,
например из пяти: аг, a2t а3, аъ, то высказывание легко записы-
вается в виде конъюнкции единичных высказываний. Действи-
тельно, в приведенном примере множества из пяти объектов оно
означает, что Р (аг) = н, Р (а2) = и, Р (а3) == и, Р (а4) = и,
Р (сб) — и- Таким образом, в этом случае V (X) Р (X) равносильно
высказыванию
Р МГ\Р Ы/\Р (а3)/\Р (а4)ДР'(оБ).
Если же М. — бесконечное множество (например, множество всех
натуральных чисел), то, поскольку конъюнкция бесконечного числа
высказываний не определена, V (X) Р (X) не может подобным об-
разом быть сведено к конъюнкции единичных высказываний.
V (X) Р (X).— высказывание- нового вида. Тем. не менее
для многих целей удобно представлять квантор всеобщности V
в качестве обобщения конъюнкции единичных высказываний
Р (а), когда а пробегает все (возможно бесконечное) множество М._
Наряду с квантором всеобщности в логике предикатов рас-
сматривается другой квантор — «двойственный» ему квантор су-
ществования, обозначаемый знаком 3 (это перевернутая латинская
буква Е, напоминающая немецкое слово «existieren» или англий-
ское «exist» — существовать):
з (X) Р (X)
(читается: «существует такое X, что Р от X») — высказывание,
которое истинно тогда и только тогда, когда Р истинно по меньшей
мере для одного объекта а из области определения М. Тем самым
3 (X) Р (X) — истинное высказывание для всех предикатов Р (X),
кроме одного — тождественно-ложного.
Если М — конечное множество (например, М = {alt а2, а31
а4, а&})» то опять-таки значение истинности высказывания
3 (X) Р (X) совпадает со значением истинности дизъюнкции всех
единичных высказываний Р (а) для всех а из Так, в нашем
примере имеем:
3 (X) Р (X) Р (aj V р (а2) V Р {а3) V Р (a4)V Р Ы-
Квантор существования обобщает операцию дизъюнкции в том
же смысле, в каком квантор всеобщности обобщает операцию конъ-
юнкции.
48
г^'МеждУ кванторами V и 3 имеют место отношения равносиль-
$Ьстй, позволяющие сводить любой из этих кванторов к другому:
рл. п V (X) Р (X) « 3 (X) и Р (X)
(«Неверно, что все X обладают свойством Р (X)» равносильно
tqwy, что «Существует такой объект X, для которого истинно не
£(Х)»). Отсюда имеем: V (X) <=> “| 3 (X) “| Р (X).
Аналогично, имеет место двойственный закон:
“I 3 (X) Р (X) <=> V (X) П Р (X)
(«Неверно, что существует X, обладающее свойством Р (X)» равно-
сильно «Все X обладают свойством не Р (X)»).
Отсюда 3 (X) Р (X) <=> “1V (X) ~| Р (X). По бросающейся в
глаза аналогии с аналогичными равносильностями, связывающи-
ми конъюнкцию (пересечение) с дизъюнкцией (объединением),
эти равносильности называют правилами де Моргана для кван-
торов.
С помощью квантора существования легко выражается сужде-
ние типа «Некоторые Р суть Q» (например, «Некоторые англичане
окурят», «Некоторые нечетные числа — простые» и т. п.), т. е. что
но крайней мере один объект а, обладающий свойством Р, обладает
также свойством Q. Этот факт записывается формулой 3 (X) (Р (X) Д
Д Q (X)) («Существует такой X, что Р от X и Q от X»), Эта формула
.утверждает также, что пересечение множеств истинности Р и Q
предикатов Р (X) и Q (X) непусто.
Аналогично с помощью кванторов записывается ряд других от-
ношений между одноместными предикатами.
г Гораздо более богатые возможности открывает применение
кванторов к многоместным предикатам. Остановимся вкратце на
этом вопросе.
Пусть А (X, У) — некоторый двухместный предикат, определен-
ный на некотором множестве М. Квантор всеобщности и квантор
Существования можно применять к нему как для переменной X,
так и для переменной Y: V(X) А (X, У); V (У) А (X, У); 3 (Х>4(Х, У);
3 (У) А (X, У). Переменная, к которой применен квантор,
называется связанной, другая переменная —свободной. Все четыре
приведенных выражения являются записями одноместных предика-
тов от соответствующей свободной переменной. V (X) А (X, У)
(читается: «для всех X, А от X и У») — одноместный предикат от
Переменной У: V (X) А (X, У) = F (У). Он истинен в точности
для тех b С М, для которых одноместный предикат А (X, Ь) исти-
нен для. всех X. Если представить предикат А (X, У) его таблицей,
то предикат F (У) = V (X) А (X, У) истинен для тех Ь, для кото-
рых столбец с входом b содержит исключительно букву и.
На таблицах а) — д) мы приводим пример предиката, опреде-
ленного на множестве М из пяти элементов (at, а2, а3, ait а5) и
одноместных предикатов, получающихся из него применением кван-
торов.
49
а) \У х Х^ о* os Ct а» б) У V(x) Л(х. у)
О1 О2 “з С4 и л и Л и и и и. и и л л л - л л и и и и и л л и и и «1 «2 аз а4 «5 л и Л и А
В) У 3(х)Л(х, у) Г) X V(y) Л(Х, у) д) X Э(У) Л(х, у)
аз а4 и и Л и и •н м л <3 В а <3 О л л л л л «1 «2 с3 с4 и и и и и
*
У(Х)У(У)Л(Х, Y) = V(F) V(X)A (X, У) = л-,
3(X)3(Y)A (X, Y) = 3(Y)3(X) A\X, Y)=u-t
3 (У) V (X) A (X, У) = щ 3 (X) V (У) A (X, Y) = л;
V(У)3(Х)А (Х,У)=л; ¥(Х)3(У)Л(Х,У)=и.
Подобным же образом V (У) А (X, Y) — G (X) — предикат от X.
Он истинен для тех а ( Л1, для которых строка с входом а содержит
только букву и. Предикат 3 (X) А (X, У) = Н (У) истинен для
тех b (; М, для которых соответствующий столбец содержит по
меньшей мере один раз букву ut а предикат 3 (У) А (X, У) = (X)
истинен для тех а £ М, для которых в соответствующей строке
встречается буква и.
Применение квантора к одной из переменных двухместного пре-
диката превращает его в одноместный. В случае трехместных пре-
дикатов применение квантора приводит к двухместному предикату.
Аналогично и для предикатов с большим числом мест применение
квантора превращает «-местный предикат в (п — 1)-местный. Более
подробно мы на этом останавливаться не будем.
К свободной переменной X одноместного предиката V (У) А (X, У)
в свою очередь можно применять квантор всеобщности или кван-
тор существования. Получаются выражения
V (X) (V (У) А (X, У)); 3 (X) (V (У) А (X, У)),
которые, опуская скобки, принято записывать несколько проще;
V (X) V (У) А (X, Y); 3 (X) ¥(У) А(Х, У).
50
gfo— высказывания. Первое истинно, если все строки, а тем-са-
ммм и вся таблица предикатов, содержат только букву и, второе
Истинно, если соответствующая матрица содержит по меньшей
Мере одну тождественно-истинную строку. Три другие предиката
' V- (X) А (X, У), 3 (У) А (X, У) и 3 (X) А (X, У)
также допускают квантификацию, так что в общей сложности мы
получаем из одного предиката восемь формально различных выска-
зываний: V (X) V (У) А (X, У); 3 (X) V (У) А (X, У); V (X) 3
3 (У) А (X, У); 3 (X) 3 (У) А (X, У); V (У) V (X) А (X, У);
3 (У) V (X) А (X, У); V (У) 3 (X) А (X, У); 3 (У) 3 (X) А (X, У).
Нетрудно убедиться в том, что четыре высказывания, содержащие
одинаковые кванторы, попарно эквивалентны:
V (X) V (У) А (X, У) <=> V (У) V (X) А (X, У),
3 (X) 3 (У) А (X, У) « 3 (У) 3 (X) А (X, У).
V (X) V (У) А (X, У), так же как и V (У) V (X) А (X, У), истинно
тогда и только тогда, когда А (X, У) — тождественно-истинный
предикат, 3 (X) 3 (У) А (X, У) и 3 (У) 3 (X) А (X, У) оба истин-
ны во всех случаях, кроме одного, когда А (X, У) — тождественно-
ложный предикат. Все остальные высказывания существенно раз-
личны, что нетрудно показать на, примерах. Особенно следует
помнить, что порядок следования разноименных кванторов очень
важен. Высказывания V (X) 3 (У) А (X, У) и 3 (У) V (X) А (X, У),
вообще говоря, не эквивалентны. В табличном представлении пре-
диката А (X, У) истинность первого высказывания означает, что
во всякой строке встречается по меньшей мере один раз буква и.
(на произвольном месте), между тем как второе высказывание ис-
тинно тогда и только тогда, когда имеется по меньшей мере один
столбец, заполненный буквами и. Как видно, если выполняется
второе требование, то автоматически выполняется и первое. Та-
ким образом, если 3 (У) V (X) А (X, У) истинно, то истинно также
V (X) 3 (У) А (X, У). Следовательно, каков бы ни был предикат
А (X, У), имеет место импликация
3 (У) V (X) А (X, У)=> V (X) 3 (У) А (X, У),
но обратная импликация, вообще говоря,, не имеет места, Пусть,
например, А (X, У) — предикат, определенный на множестве из
двух, элементов {аъ а2] таблицей
Тогда, очевидно, V (X) 3 (У) А (X, У) имеет значение и, а
3 (У) V (X) А (X, У) — значение л.
Приведем еще один пример. Пусть А (X, У) — рассмотренный
уже нами предикат Дел(Х, У), определенный на множестве нату-
61
ральных чисел и означающий «X делит У». Тогда утверждение
V (X) 3 (У)Дел(Х, Y) («Для всякого X существует такое Y, что X
делит У»), очевидно, истинно, между тем как 3 (У) V (X) Дел (X, У)
(«Существует такое У, что любое X делит У») ложно.
Особое значение приобретают кванторы в началах анализа,,
занимающих сейчас значительное место в программах IX и X клас-
сов. Некоторые педагоги считают даже, что главные трудности для
правильного понимания определений основных понятий анализа
происходят из-за того, что в них встречаются чередующие кванторы.
Так, известный бельгийский математик и педагог Ж. Пали в своей
книге «Первое обучение анализу» пишет: «Трудности анализа про-
исходят из-за использования кванторов... Введение кванторов
должно быть постепенным и начинаться в простых ситуациях».
Действительно, ряд грубейших логических ошибок' учащихся
возникает из^-за неправильного употребления слов «для каждого»
и «некоторого». Приведем несколько примеров.
1) Пусть Г — (а, Ь) — некоторый интервал. Тогда «Для всякого
к С. I существует такой у, что у = f (х)» (V (х) 3 (у) (у = f (х)))
означает, что функция f (х) всюду определена на /; Напротив, «Су-
ществует такое у, что для всякого х у — f (х)» (3 (у) V (х) (у =
“ f (*))) означает, что функция Дх) принимает для всех х некоторое
фиксированное значение у, т. е. постоянна.
2) Корректное определение периодичности всюду определенной
функции / (х) выглядит с использованием кванторов так:
3 (с) V (х) (г#= О A f (х + с) = f (х)),
между тем если переставить кванторы и сформулировать утвержде-
ние «Для каждого х существует такое с, что с 0 и что f (х + с) =
= f ДО»:
V (х) 3 (с) (с =# О Л f(x + с) = f (х)),
то это означает лишь, что функция принимает каждое значение
больше чем один раз, т. е, нечто совсем иное.
3) Более сложным являются понятия предела последователь-
ности и предела функции: в их определении участвуют уже три
разноименных квантора. На странице 61 учебника «Алгебра и на-
чала анализа» для IX класса находим такое определение предела
последовательности: «Число а называется пределом последователь-
ности (хп), если для любого положительного числа е найдется
такое натуральное число /V, что при всех п > N выполняется не-
равенство
К — °1 < е>>-
В кванторном обозначении это определение записывается так:
V (е > O)3(7V€JV) Xf (п £N) ((п > А)=> |хл — а I< е)1.
1 При записи кванторов часто указывают область значения переменной,
на которую распространяется квантор. В данном случае то, чтоб —дейст-
вительное число, подразумевается и явно не выписывается, но п и N — на-
туральные числа, и это специально оговаривается.
52
Переставлять кванторы нельзя: именно тот факт, что А под кван-
тором существования 3 следует за выражением V (е > 0), указы-
вает на зависимость А от выбранного е.
Как вьгразить утверждение, что последовательность (хп) схо-
дится? Надо указать на то, что предел а существует. С помощью
кванторов это утверждение формулируется так:
: 3 (с) V (е > 0) 3 (А € N) V (п€ N) ((п > А) => (|хл — а| < е)).
Такая запись имеет еще и то преимущество, что она почти автома-
тически позволяет формулировать отрицание существования преде-
ла, означающее свойство расходимости. Для этого достаточно нес-
колько раз применить правило де Моргана для кванторов:
(хл) расходится <=>“I(3 {а) V (е >0) 3(А€А) V (л€ А)) (л>А)=>
=5>(|хл — fl|<e) фф V (а) 3 (е>0) V (А € А) 3 (п С А) ((я > А) А
А |*л — а| > е).
Аналогично определяется предел функции в некоторой точке а:
число b называется пределом функции f (х) при х, стремящемся
к а, если для любого положительного числа е найдется такое поло-
жительное число 6, что при всех х #= а, удовлетворяющих нера-
венству |х — а| <6, будет выполнено неравенство |/ (х) — Ь| < в.
Структура этого определения хорошо усматривается при записи
с кванторами.
lim f (х) = V (е> 0) 3 (б > 0) V (х) ((х Ф — а] < б)=Ф
I/ (X) - Ы <8)).
Существенно, что 6 > 0, существование которого здесь утверж-
дается, зависит от е. Именно это выражается в последовательности
кванторов V (е >0) 3 (б >0). («Для каждого е существует .(свое)
6»).
§ 5. ВЫСКАЗЫВАТЕЛЬНЫЕ ФОРМЫ
В начале урока учитель сказал:
«К доске пойдет Иванов». В середине урока сказал: «К доске пойдет
Сидоров». А незадолго до конца он сказал: «К доске пойдет Петров».
Все три предложения очень похожи между собой. В них меняется
только фамилия ученика. Фамилия здесь переменная. Учитель
мог вызвать к доске и других учеников. Вызов учителем какого-
либо ученика можно записать в таком виде: «К доске пойдет...»
Вместо многоточия можно поставить фамилию любого ученика
этого класса. В таких случаях можно писать не многоточие, а
букву. Например, предложение «К доске пойдет ...» запишем так:
«К доске пойдет X». Вместо переменной X можно подставить фами-
лию любого ученика, который учится в этом классе. То, что
53
подставляется вместо переменной, называется значением переменной.
Значениями переменной могут быть и числа.
(Математика для 4 класса. Под ред. А. И. Мар-
кушевича. «Просвещение», 1975, с. 38.)
1. Так в современном курсе школьной математики маленький
школьник впервые знакомится с одним из центральных понятий ма-
тематики— с понятием переменной. В дальнейшем понятие перемен-
ной будет расширяться и уточняться, охватывая постепенно все
важнейшие темы математики. Стоит остановиться на этом более под-
робно, чем это может быть сделано в школьном учебнике.
Сразу же после приведенной цитаты приводится другой пример
употребления переменной: «В школьном буфете продают А» — и
вместо буквы К предлагается подставлять слова из совокупности
{молоко, чай, пирожки, сосиски}. Помещая в выражение вместо
буквы /С многоточие, его можно записать так: «В школьном буфете
продают ...» Если вместо многоточия записать одно из вышеука-
занных слов, то получится повествовательное предложение, или,
как мы говорим, высказывание, например, «В школьном буфете
продают молоко», и такое высказывание будет истинным или лож-
ным. Выражение же «В школьном буфете продают ...» — это еще
не высказывание, а лишь некоторая «форма для высказывания».
Говорят поэтому о высказывательной форме (или, иначе, о пропози-
циональной форме; от лат. слова «propositio» — основное положе-
ние, тема). Такая высказывательная форма становится высказыва-
нием всякий раз, когда вместо многоточия или заменяющей его
буквы подставляется наименование некоторого объекта из заранее
определенного множества, называемого множеством (возможных)
значений переменной. А о самой форме говорят,- что она опреде-
лена на данном множестве.
В. учебнике говорится: «Значениями переменной могут, быть и
числа». Это сказано даже слишком слабо: в математической прак-
тике в подавляющем большинстве случаев значениями переменной
являются именно числа из какой-либо явно определенной или под-
разумеваемой числовой совокупности. Кроме того, в арифметике,
алгебре и анализе высказывательные формы уже с XVII в. принято
записывать не на разговорном, например русском, языке, а на
специфическом «математическом» языке с использованием хорошо
зарекомендовавшей себя символики:
1) х2 + х — 2 = 0, 2) х2 > 3, 3) Зх + 5 = 7.
1), 2), 3) — примеры высказывательных форм, встречающихся
в школьном преподавании. Более точно, приведенные выражения —
высказывательные формы, если для каждой из них еще дополни-
тельно сказано (или подразумевается), какие числа допускаются
как возможные значения для переменной х.
О высказывательной форме можно говорить только после того,
как обусловлено множество М возможных значений переменных.
Об этом следует сказать более подробно. В школе именно не-
54
осознание этого обстоятельства часто приводит к досадным ошиб-
кам. Выражения Зх + 5 = 7, где х принимает целочисленные зна-
чения, и Зх + 5 = 7, где х принимает в качестве значений рацио-
нальные числа, — это две различные высказывательные формы:
первая определена на множестве Z целых чисел, а вторая — на
множестве Q всех дробных чисел. Что это различные формы, видно
хотя бы потому, что в первом случае ни для какого значения пере-
менной форма не превращается в истинное высказывание, во вто-
ром же она истинна для значения х = —. Впрочем, дело не только
в этом, и отмеченное явление лишь подтверждает целесообразность
требования, согласно которому высказывательная форма считается
заданной лишь после того, как зафиксирована область значений
содержащейся в ней переменной.
Сказанное, конечно, не означает, что и в школьном преподава-
нии каждый раз, когда записывается уравнение с одной неизвест-
ной, всегда обязательно надо говорить, на каком множестве оно
рассматривается. Это был бы излишний педантизм: обычно в сред-
них классах областью значений переменных являются рациональ-
ные числа, позже — действительные, числа. Но если и не обяза-
тельно настаивать каждый раз на уточнении области значений
переменной, то ученик должен во всяком случае чувствовать, что
такое уточнение можно сделать и что его. нужно делать, если это
понадобится.
Итак, пропозициональная форма представляет собой словес-
ное или формульное выражение, содержащее незаполненное место —
пробел, помеченный, например, многоточием или каким-либо, спе-
циальным символом, скажем буквой х латинского алфавита, и
указанием некоторого множества объектов (обычно чисел, но не
только), которые можно подставить на место пробела, после че-
го форма становится высказыванием истинным или ложным; С*ам же
-пробел или символ, его обозначающий, называется переменной.
Таким образом, из высказывательной формы 3... 4- 5 = 7, или,
как обычно пишут, Зх + 5 = 7, а при подстановке вместо перемен-
ной возможных значений из области целых чисел Z получаются
высказывания:
3-24-5 = 7,
3 . 1+5 = 7,
3 - О + 5 = 7,
3 • (—1) 4-5 = 7
3 • (—2) 4-5 = 7
Они все ложны. Мы знаем, что высказывательная форма на каком-
то множестве определяет одноместный предикат на этом множест-
ве. В приведенном примере это тождественно-ложный предикат на
множестве Z целых чисел.
2. Более общим является понятие высказывательной формы от
нескольких переменных: такие формы соответствуют многоместным
предикатам. В математике к ним относятся уравнения и неравенст-
ва с несколькими переменными. Отметим, что высказывательные
формы, содержащие несколько переменных, встречаются повсемест-
но и в обыденной жизни. К ним, в частности, относятся формуляры
различного назначения, содержащие не один, а несколько пробе-
лов. Например:
СПРАВ К А
является учеником _ класса
(фамилия, имя)_________________________________________________(№ класса)
школы, города
(№ школы)_____________________________(город)
(подпись директора)
Переменные — это незаполненные графы такого формуляра,, их
принято обозначать словами, сразу указывающими на область зна-
чения соответствующей переменной. Заполненный формуляр — это
высказывание (истинное или ложное)":
СПРАВКА
________Петров Иван является учеником - класса
(фамилия, имя)________________________________________(№ класса)
школы, города Свердловска
(№ школы) (город)
Иванов
(подпись директора)
В элементарной математике же, как и в случае форм от одной
переменной, значения переменных берутся чаще всего из числовых
областей, причем зачастую для различных переменных предусмат-
риваются различные области значений1. Например, в одной и той
же формуле могут встретиться обозначения длин и углов (в граду-
сах): х± cos <р + 2 — х2 + 1. Но в большинстве случаев все пере-
менные какой-либо высказывательной формы, особенно в школь-
ной математике, имеют одну и ту же область значений, и мы в даль-
нейшем будем это, как правило, подразумевать.
Приведем несколько примеров:
1) Зх + 5у = 13 2) ГЗх + 5у = 13, 3) х2 + У2 = 25,
а) на множестве Z, |6х — 2у = 2 х,у £ R;
б) на множестве Q; на множестве
4) А2 । Л2 I 22 = 1 действительных
} 4 9 '25 ' чисел;
1 Хотя, конечно, и не всегда. Как раз в этой книге нам особенно интересен
случай, когда переменные принимают значения из двухэлементной области
{и, л).
56
^тметим сразу, что для высказывательных форм от нескольких пе-
ременных в отличие от случая от одной переменной буквенные
обозначения переменных становятся необходимыми — одними мно-
готочиями уже не обойтись. Запись, скажем, примера 1) в виде
3... +5... — 13 нам бы никак не указала, что вместо первого и
второго пробелов не обязательно подставлять одно и то же значе-
ние. I2 + З2 = 25, 22 ф- 22 = 25, З2 + 42 = 25 — все это допус-
тимые реализации пропозициональной формы %2 + у2 = 25. Хоро-
шо известно и обычно явно не формулируется правило подстановки
значений вместо переменных: вместо одинаковых букв следует под-
ставлять одно и то же значение, вместо различных букв можно
подставлять разные.
Такая процедура столь привычна, что формулировка правила
может показаться излишним педантизмом. Но ведь сама запись
уравнений с переменными (или, как принято говорить, с неизвест-
ными) возникла сравнительно недавно, в XVI—XVII вв. благодаря
трудам Ф. Виета (1540—1603), С. Стевина (1548—1620), Р. Декар-
та (1596—1650) и сыграла выдающуюся роль в развитии науки.
До этого уравнения записывались словесно, переменные называ-
лись «вещью», «числом» и т. п., из-за чего восприятие задачи было
крайне затруднено. Много поучительного по этому поводу сказано
В книге Г. Г. Цейтена [30].
3. Из приведенных примеров мы видим, что в школьной мате-
матике высказывательные формы появляются как уравнения,
системы уравнений, неравенства и системы неравенств и уравнений.
Системы уравнений и неравенств принято в школьной практике за-
писывать с применением фигурных скобок {. По определению фи-
гурная скобка в данном случае означает то же, что и знак конъюнк-
ции. Таким образом «школьная» запись
(Зх + 5у •= 11
[4х + 7у = 15
в переводе на язык высказывательных форм записывалась бы в
виде
(Зх + 5у- 11) А (4х + 7у = 15).
Всякая высказывательная форма от одной или нескольких пе-
ременных обладает некоторой областью истинности — совокуп-
ностью числовых кортежей, для которых данное уравнение или
система принимает значение u. С давних пор такую область истин-
ности принято называть совокупностью решений, а каждый эле-
мент такой совокупности — решением1. Так, для высказывательной
1 Обратим в этой связи внимание на досадную двусмыслицу в русском
и большинстве европейских- языков: слово «решение» имеет и вышеуказанный
смысл, но часто «решением» называют и действие по нахождению решений в
первом смысле. Мы в этом случае будем в явном виде говорить о нахождении
решений. (Другой встречающийся вариант: говорят о корнях уравнений и
об их нахождении, т. е. решении.)
57
формы х2 — 5х -F 6 >0 область истинности будет: М {Z | t > 3V
V t < 2}.
Задача, естественно возникающая каждый раз, когда дана си-
стема уравнений или неравенств, состоит в нахождении совокуп-
ности решений, т. е. в установлении области истинности соответст-
вующей высказывательной формы. Ответ дается или в виде явного
перечисления всех решений, если таковых конечное и,не слишком
большое число, либо же указанием хорошо обозримого характери-
стического свойства. Последнее особенно принято, когда дело идет
о решениях неравенств.
Иногда область истинности уместно задавать в «геометрическом»
виде — в виде графика. Ведь высказывательной форме однозначно
соответствует предикат, а предикаты, как мы видели в предыдущем
параграфе, можно задавать графиками. Мы поговорим об этом в кон-
це параграфа.
4. Высказывательные формы (х + у') (х — у) — х2 — у2 и
(х 4- у)2 = х2 + 2ху + у2 на множествах целых, рациональных,
действительных чисел принимают значения и для всех значений
переменных. Такие высказывательные формы называются тожде-
ственно- истинными равенствами (или тождествами) на рассмат-
риваемых областях значений переменных. Опять-таки при поня-
тии тождества следует иметь в виду область, на которой данная
высказывательная форма рассматривается. Например, выражение
(х + у) (х — у)= х2 — у2 не будет тождеством, если его рассмат-
ривать как определенное на области, в которой не выполняется
закон коммутативности для умножения. (Такие области с некомму-
тативным умножением широко распространены как в чистой мате-
матике, так и в ее приложениях; к ним относится, например, «алгеб-
ра матриц».) Для школьной практики это замечание может пока-
заться не столь существенным, так как в 99% случаев в школе
область значений переменных—действительные числа. И все-
таки в школьной математике понятие тождества (тождественного
равенства) имеет свои трудности, так что к нему все вновь и вновь
возвращаются. Главная причина состоит в существовании много-
численных высказывательных форм, близких к тождествам, но с
ними не совпадающих, — тождеств с точностью до некоторого
числа «исключений». Будут ли нижеследующие выражения тожде-
ствами на множестве R действительных чисел:
1)^——^-=1; 2) J*-2)*—= 3) tgx . ctgx - 1?
Ответы естественно формулировать так: выражение 1) — тождество
на множестве R \ {1} (так как правая часть не определена для
х = 1); выражение 2) — тождество на R \ {2, 3}; наконец, выра-
жение 3) — тождество на R \ • nJ, п ( Z, Вообще, во избе-
жание ошибок и трудностей при трактовке понятий тождества
целесообразно говорить не просто о тождестве, а о «тождестве на
58
некотором множестве». Конечно, на практике, чтобы не быть педан-
тичным» допустимо говорить и о тождестве, не упоминая я вно мно-
жество значений, на котором тождество выполняется, но ученик
всегда должен быть готовым уточнить выражение.
Практическое значение тождеств состоит в, том, что они лежат
в основе тождественных преобразований, применяемых для того,
чтобы возникающие высказывательные формы можно было пре-
образовать в более простые й обозримые, но имеющие ту же самую
область истинности. К этой теме относится большая часть элемен-
тарной алгебры. Не останавливаясь на ней, следует, предупредить
о возможных ошибках при использовании «тождеств с исключения-
ми». Область истинности высказывательной формы естественно
может измениться при применении тождественного преобразования
за счет чисел, не входящих в область, в которой выполняется при-
т- (* — 2)2
мененное тождество: их должны проверять отдельно. Так, --^- =
= х — 2 есть тождество лишь на множестве R \ {2}.
5. Высказывательные формы и предикаты — близкородствен-
ные понятия. Естественно возникает вопрос: Лть ли между ними
разница? Отчасти это вопрос терминологии. Но мы предлагаем
всегда различать высказывательные формы и предикаты. Как ска-
зано в предыдущем параграфе, предикат F (хх, х2, ..., хп) на множе-
стве М — это функция от п переменных, определенная на Л1, при-
нимающая значения {и, л}; она в свою очередь однозначно опре-
деляется своей областью истинности, которая есть некоторое
n-местное отношение на М. Высказывательная же форма — это
некоторое словесное или формульное выражение, содержащее пере-
менные и становящееся высказыванием, когда вместо переменных
подставляется значение. Как сказано выше, Ъысказывательная
форма определяет некоторый предикат, но различные высказыва-
тельные формы могут соответствовать одному и тому же предикату;
в таком случае говорят, что они равносильны. Скажем, высказыва-
тельные "формы (определенные на множестве /?) х2 > О и х4 > О,
конечно, различны, но им соответствует один и тот же предикат,
принимающий значение и для всех действительных чисел, отличных
от 0. *
6. Перейдем к рассмотрению одного из самых важных типов за-
дач, решаемых в школе — к нахождению решений уравнений,
неравенств, систем уравнений и неравенств. Перечисленные
объекты, как мы видели, являются высказывательными фор-
мами, а под решением этих форм понимается . их область
истинности. Тема «Системы уравнений и неравенств» появляется
в школьном преподавании в различных классах, причем уравнения
и Неравенства, подлежащие решению, становятся все более слож-
ными: сначала это линейные уравнения с одной неизвестной, потом
системы линейных уравнений с несколькими неизвестными, далее
рассматривают уравнения и неравенства, в которых встречаются
рациональные выражения от переменной, появляются алгебраические
59
уравнения второй степени (уравнения более высоких степеней
систематически в школе не изучаются) и, наконец, уравнения и
неравенства, в которых участвуют переменные, входящие в раз-
личные элементарные функции: показательные, логарифмические,
иррациональные, тригонометрические, обратно тригонометриче-
ские. Обычно уравнения, неравенства и системы классифицируют-
ся, с одной стороны, по числу переменных (которые обычно назы-
вают неизвестными), с другой — по типам функций, встречающих-
ся в формах, и, наконец, в связи с тем, идет ли речь об уравнениях
или о неравенствах. Однако независимо от таких характерных при-
знаков можно и нужно выявить общие черты возникающих
задач и выяснить такие вопросы: в чем состоит процедура нахожде-
ния решения? Откуда появляются «лишние решения»? Подобные
вопросы получают разумный ответ в рамках системы понятий
теории множеств и математической логики, в первую очередь
в связи с понятием высказывательной формы. Можно поэтому
только приветствовать, что это понятие появляется теперь уже
в IV классе в простой и ясной ситуации. Затем в IV и в последую-
щих классах приводятся многочисленные “другие примеры выска-
зывательных форм: уравнения, системы уравнений и системы не-
равенств. В этом случае пользуются укоренившейся терминоло-
гией: переменные называются неизвестными, область истинности
высказывательной формы называется множеством или совокуп-
ностью решений, а каждый элемент этого множества — решением.
Если область истинности пуста, то говорят, что система несовмест-
на. Например, такова система
(Зх + 5у = 7,
(6х 4- 10у = 8.
О несовместности принято говорить, когда речь идет о системе,
т. е. о конъюнкции нескольких форм, но естественно было бы го-
ворить и о несовместности одного уравнения, рассматривая урав-
нение как систему из одного уравнения. Например, уравнение вида
х2 + у2 + 1 = о,
определенное на множестве действительных чисел, решений не име-
ет — оно несовместно.
Задачи, возникающие в связи с уравнениями и неравенствами,
могут быть различными: все они попадают под общую и достаточ-
но расплывчатую формулировку: «Дайте нетривиальную информа-
цию о решениях!» В школе обычно ставят задачу так: «Найти сово-
купность всех решений». Если система имеет лишь конечное и не
слишком большое множество решений, то надо перечислить их все;
если решений бесконечно много, — так обычно бывает в случае
неравенств, но иногда и для уравнений (тогда принято говорить о
«неопределенности»), — то требуется указать область истинности
некоторым единообразным способом. Например, 2х 4- Зу = 10 имеет
60
„ f, 10—2/1 тл
множество решении вида И,—4 • Иногда приходится быть
более скромным и уметь .находить хотя бы одно решение. Бывает,
наконец, и так, что мы очень рады узнать, что система совместна,
что она вообще имеет решение. Такне ситуации встречаются в ана-
лизе, в теории дифференциальных уравнений, но могут встретиться
и в школьном преподавании. (Например, при исследовании квад-
ратного трехчлена возникает вопрос: когда вообще квадратное
уравнение имеет решение?)
В основе общей логической схемы нахождения совокупности
решений уравнений и неравенств лежит понятие логического сле-
дования (знак =>) и логической равносильности (знак фф)1. Дадим
определения этим важнейшим понятиям.
Говорят, что высказывательная форма Q (х1( х2, •••» хп) следует
(или является следствием, или является логическим следствием)
высказывательной формы Р (xlt х2, ..., хЛ),
Р (^у» X2t хпУ Q (^1» •”> Хп)>
если всякий раз, когда Р (х1( х3, ..., хп) принимает значение и,
Q (лу, Хг* •••» хп) также принимает значение и. Другими словами,
Р (лу, х2, хп) =>Q (х1( х2,..., хп) означает, что множество истин-
ности Q (xlf х2, ..., хп) содержит множество истинности Р (xlt х2,
..., хП). Если множества истинности высказывательных форм
Р (хх, х2, ..., хп) и Q (хх, х2, .... Хл) совпадают, то говорят, что они
равносильны (или логически равносильны), и это записывается так:
Р (-^1> Х2г Хп) Q (^1» Хп)"
С использованием квантора всеобщности утверждение о логическом
следовании записывается в виде
V (хл) V (х2) ... V (хп) (Р (хп х2, ..., х„) (Xi, х2.хл)),
а логической равносильности в виде
V (лу) V (х2) ... V (хл) (Р(хг, х2, ..., хл) & Q (ху, х2, ..., хп)).
Неясно, назрело ли уже время вводить кванторные обозначе-
ния в школьную математику, особенно в средних классах, а ведь
именно в средних классах должно проясниться это важнейшее отно-
шение между высказывательными формами. Такое прояснение
можно и нужно достичь как на основании примеров из повседнев-
ной жизни и различных областей знания, так и особенно, на при-
мерах из математики:
«х есть рыба» => «х есть животное»;
«х есть итальянец» => «х есть европеец»;
«х есть ромб» «х есть параллелограмм»;
1 Мы обозначаем здесь следование так же, как во втором параграфе обо-
значали импликацию, а равносильность — как эквиваленцию. Это оправдано
тесной связью между этими понятиями, на чем, однако, мы здесь не имеем
возможности останавливаться подробнее.
61
«х есть параллелограмм» =Ф «х есть четырехугольник» и т. д.
Для целых чисел:
«х делится на четыре» =>«х делится на два»;
«х больше 5» => «х больше 3».
Двухместные предикаты:
«х делит у» ==>«х делит 2у»;
«х = у» -==> «ха = у2»;
«х < у» => «х у».
Для действительных чисел
«х3 = у3» ==> «х — у», '
но для комплексных чисел неверно, что
«х3 — у3» => «х = у».
Важно отметить, что для большинства указанных примеров
истинно лишь отношение =£>, но не отношение Следует указать
учащимся, что (х — у) => (х2 =₽ у2) — истинное, а (х2 = у2) <=>
«=> (х = у) — ложное утверждение. Нужно привести как можно
больше примеров логического следования и отработать у учащихся
понимание различия между понятиями логического следования и
логической равносильности.
В связи с этим мы хотим отметить равносильность следующего
вида для уравнений над множествами действительных чисел, с
которыми часто приходится иметь дело в элементарной алгебре.
1) Если сумма квадратов каких-то выражений, содержащих
^переменные (неизвестные), равна нулю, то такое уравнение равно-
сильно конъюнкции (системе) уравнений, в которых каждое из вы-
ражений приравнивается нулю. Например,
(Зх + 5у — I)2 + (4х + Зу — 4)2 - 0 <=> (Зх + 5у = 1)Л
Д (4х + Зу = 4), т. е.
( Зх + 5у — 1,
(4х + Зу = 4.
2) Если произведение выражений, содержащих переменные,
равно нулю, то такое уравнение равносильно дизъюнкции1 уравне-
ний, в которых каждый из сомножителей приравнивается нулю.
Например,
(х2 + у2 — 9) • (Зх + 5у — 7) = 0 <-> (х2 + у2 - 9) V (Зх +5у=7).
Основной принцип решения уравнения, системы уравнений или
неравенств состоит в последовательной замене одной системы дру-
гой, являющейся ее логическим следствием или ей логически рав-
носильной вплоть до получения явного описания некоторого множе-
ства — подмножества универсального множества, содержащего ис-
комое множество решений. Если в процессе преобразования одна
1 В этих случаях теперь часто говорят о «совокупности уравнений».
62
система заменяется не равносильной, а лишь логически следующей
Ш предыдущей, то полученное множество будет, вообще говоря,
шире, чем множество всех решений: оно может содержать «лишние
элементы». Например,
Ух2 + 6х — 2 — 2х — 1,
х2 + 6х — 2 = 4х2:— 4х + 1,
(х = 3)Vx =
Решением здесь является только х = 3.
Во всяком случае, искомые решения находятся среди получен-
ных и могут быть из них отобраны подстановкой в исходное урав-
нение (неравенство или систему). Если же в процессе решения произ-
водятся лишь преобразования с заменой уравнений или неравенств
на логически равносильные, то область истинности полученного
окончательного выражения должна быть той же самой, что у исход-
ной высказывательной формы, и подстановка в исходное выражение
не нужна (либо нужна только для проверки того, что в ходе преобра-
зования не были допущены ошибки).
Приведенные краткие соображения показывают, в какой зна-
чительной мере логические понятия способны прояснить педагоги-
чески. трудные положения теории уравнений и неравенств.. Однако
в. какой последовательности и на каком материале их следует раз-
вивать в школьном преподавании — это далеко не полностью раз-
работанная задача.
7. Перейдем, наконец, к последней теме параграфа: роль
^высказывательных форм в аналитической геометрии и принципы
графического нахождения решения системы уравнений и неравенств.
Чтобы избежать чисто технических трудностей, мы ограничимся
высказывательными формами от двух переменных и геометрией на
плоскости. Переменные будем, как обычно, обозначать буквами
х и у. Если Р (х,у) — высказывательная форма над множеством
действительных чисел, то ее область истинности — это некоторое
множество пар действительных чисел. Если теперь на плоскости
ввести декартову систему координат, то каждой паре действитель-
ных чисел (а, Ь) соответствует точка плоскости, имеющая а и b
своими координатами, и наоборот, каждой точке плоскости соот-
ветствует некоторая пара чисел. Каждому множеству пар чисел
соответствует некоторое множество точек, т. е. некоторая фигура
на плоскости. Таким образом на плоскости областями истиннос-
ти высказывательных форм от двух переменных над множеством
действительных чисел становятся фигуры плоскости, вообще го-
воря, конечно, разные, но равносильным высказывательным
формам соответствует одна и та же фигура, так что мы можем
геометрически представлять и исследовать области истинности
высказывательных форм типа уравнений или неравенств.
63
Уравнения от двух неизвестных имеют в качестве области
истинности обычно кривые на плоскости: линейным уравнениям
вида ах + by + с отвечают прямые, уравнения вида (х — а)2 +
4- (у — Ь)2 = г2 — окружности, уравнению у = sin х —синусоида
и т. д. Но есть, конечно, и «вырожденные» случаи, когда область
истинности состоит из отдельных изолированных точек или просто
пуста, как, например, в случае уравнений х2 + у2 = —1 или
(х2 + у2)-((х — I)2 + (У —2)2) = 0. Неравенствам в качестве об-
ласти истинности отвечают обычно двумерные куски плоскости:
линейному неравенству ах + by с соответствует полуплоскость,
неравенству (х — а)2 -Ь (у — Ь)2 г2 — круг, неравенству у >х2 —>
внутренняя часть параболы у — х2 и т. д. Но и здесь имеются слу-
чаи «вырождения»: часть плоскости, являющаяся областью истин-
ности неравенства, может оказаться пустой или состоять из от-
дельных точек. Как и раньше, область истинности некоторой
высказывательной формы естественно называть графиком этой
высказывательной формы. Далеко идущие применения получает
известное уже нам соответствие: конъюнкций высказывательных
форм соответствует пересечение их графиков, дизъюнкции выска-
зывательных форм соответствует объединение их графиков, отри-
цанию высказывательной формы соответствует дополнение ее гра-
фика.
Хорошо известно, что основанное на этом соответствии «графи-
ческое» решение задачи получается обычно быстрее и дает более
ясную картину области решений. Так, для системы
(Зх + у — 3,
U2 + у2 < 4
совокупность решений представляет собой хорду некоторого круга
(рис. 11). «Численный» способ нахождения решений здесь тоже не
слишком труден, но все-таки требует большей затраты сил и даёт
менее ясную картину. Поэтому и в школе все большее место за-
воевывают графические представления. Принципиальная труд-
ность возникает, конечно, при переходе от высказывательных форм
от двух переменных к трем переменным. Здесь графическое пред-
ставление надо реализовать в трехмерном
пространстве и графики уже не нарисуешь^
но геометрическое представление и здесь
остается в силе и позволяет зачастую
прояснить ситуацию (в этих случаях го-
ворят обычно о пользе «пространственного
воображения»). Для числа переменных
больше трех привычной геометрической
картины уже нет, но открытый вопрос о
полезности всякого рода геометрических
ассоциаций безусловно интересен.
Мы говорили пока о том, как после
выбора системы координат высказыва-
64
тельным формам соответствуют геометрические фигуры,
появляющиеся в качестве областей истинности. Обратно, кривым
и плоским фигурам соответствуют высказывательные формы типа
систем уравнений, неравенств. И если в первом случае можно
геометрическую интуицию применить для исследования задач
алгебры, то, сопоставляя кривым’уравнения, можно алгебраиче-
скими методами исследовать геометрические свойства кривых.
Это и есть знаменитый метод координат, положенный Р. Декартом
в основу аналитической геометрии. Пока она, можно сказать,
находится на «периферии» школьной математики, но со-
вершенно ясно, что в самом скором времени займет существенное
место в школьной геометрии. Теоретико-множественные и матема-
тико-логические принципы этого раздела опять-таки группируются
вокруг понятия высказывательной формы.
§ 6. АРИСТОТЕЛЕВСКОЕ УЧЕНИЕ О СУЖДЕНИЯХ
И СИЛЛОГИЗМАХ
Основным содержанием логики Аристотеля являет-
ся теория дедукции, хотя он излагал учение и о других
формах вывода... Хотя логика Аристотеля формальная,
но она непосредственно связана с учением об истине и "
с теорией познания вообще, а также с учением о бытии,
ибо логические формы Аристотель понимал вместе с
тем как формы бытия.-
В. Асмус, А. Ахманов. Аристотель
(«Философская энциклопедия», т. 1. М., I960.)
1. В настоящей главе мы расска-
жем, как в рамках алгебры предикатов описывается аристотелевское
учение о суждениях и силлогизмах; это учение иногда кратко на-
зывают силлогистикой. Аристотелевская силлогистика (изложенная
в «Аналитиках») имеет громадное культурно-историческое значение:
она явилась первым примером строго построенной формально-ло-
гической системы. В течение двух тысячелетий —вплоть до возни-
кновения математической логики в середине прошлого столетия —
силлогистика была по существу единственным разделом формальной
логики.
Еще на рубеже XIX в. немецкий философ И. Кант (1724—
1804) считал, что все существенное, что вообще может быть сказано
о законах формальной логики, уже было сказано Аристотелем в его
учении о силлогизмах и что поэтому формальная логика в некотором
смысле мертвая, неразвивающаяся наука. К мнению Канта фило-
софы очень прислушивались, и это обстоятельство сыграло некото-
рую роль в том, что исследования Буля и других пионеров матема-
тической логики, относящиеся к темам более общим, чем
силлогизмы, не встретили сразу пойимания и одобрения. Дальней-
шее бурное развитие математической логики и ее многочисленные
65
применения в самой математике и вне ее полностью опровергли эту
кантианскую точку зрения.
В современной математической логике аристотелевская силло-
гистика представляет собой небольшую и довольно элементарную
часть, относящуюся к алгебре предикатов, причем к алгебре одно-
местных предикатов. Сразу же подчеркнем, что та логическая сис-
тема, которую мы излагаем, называя аристотелевской силлогисти-
кой, в действительности не содержится в трудах Аристотеля.
Современная форма силлогистики является результатом работы мно-
гочисленных комментаторов и последователей Аристотеля — древне-
греческих, древнеримских, арабских и средневековых логиков.
Силлогистика Аристотеля зачастую называется просто традицион-
ной формальной логикой и противопоставляется современной фор-
мальной логике, возникшей в XIX в. и базирующейся на математи-
ческих методах. Нужно отметить, что вплоть до XVII—XVIII вв.
знание традиционной формальной логики считалось неотъемлемой
частью всякого образования и занимался нем примерно тоже место,
какое сегодня занимает элементарная математика. В дальнейшем
традиционная логика стала отступать на задний план, уступая
свое место естественным наукам и математике.
2. В аристотелевской логике рассматривались четыре вида
так называемых категорических суждений:
1. «Все S суть Р» — общеутвердительное суждение.
2. «Никакое S не есть Р» — общеотрицательное суждение.
3. «Некоторые S суть Р» — частноутвердительное суждение.
4. «Некоторые S не суть Р» — частноотрицательное суждение.
Согласно давно установившейся традиции принято' эти четыре
типа суждений обозначать заглавными латинскими буквами:
А — общеутвердительное суждение,
Е — общеотрицательное суждение,
/ — частноутвердительное суждение,
О — частноотрицательное суждение.
Суждения делили, во-первых, «по качеству»: 1) А, I — утверди-
тельные суждения, 2) Е, О — отрицательные суждения’, во-вторых,
«по количеству»: 1) А, Е — общие суждения, 2) f, О — частные
суждения.
Рассмотрим все четыре типа суждений несколько более под-
робно.
Общеутвердительное суждение: «Все S суть
Р».
Примерами могут служить следующие суждения: «Все рыбы —
животные», «Все люди смертные», «Все квадраты —прямоугольники»
и т. д.
Смысл суждения «Все S суть Р» состоит в том, что некоторый класс
объектов S содержится в некотором классе объектов Р: класс всех
рыб содержится в классе всех животных, класс всех людей содер-
жится в классе всех смертных существ, класс всех квадратов со-
держится в классе всех прямоугольников и т. д. Объекты классов
66
S и P называются терминами суждения. В первом суждении
терминами будут «рыбы» и «животные», во втором — «люди» и «смерт-
ные», в третьем — «квадраты» и «прямоугольники».
Суждение «Все S суть Р» есть высказывательная форма. S и Р
суть переменные, вместо которых нужно подставить конкретные
термины («рыбы», «животные» и т. д.), чтобы получилось высказы-
вание — истинное или ложное. Но, как мы уже знаем, классы
объектов однозначно соответствуют одноместным предикатам, опре-
деленным на совокупности всех объектов. Класс «рыбы» соответст-
вует предикату-свойству «быть рыбой», а класс «животные» —
предикату «быть животным».
Утверждение «Все S суть Р» в терминах логики предикатов естест-
венно понимать так: если некоторый объект х обладает свойством
S (т. е. 5 (х) истинно), что он также обладает свойством Р (т. е.
Р (х) истинно).
Это утверждение записывается с использованием квантора все-
общности, очевидно, так:
V (х) (S (х) => Р (х)).
(«Для всех х, если х обладает свойством S, то х обладает свойством
Р».)
Обсуждение трех остальных типов суждений мы можем провес-
ти более кратко, так как большинство соображений вполне анало-
гично уже рассмотренному случаю общеутвердительных су-
ждений.
Общеотрицательное суждение: «Никакое S
не есть Р>>.
Примерами могут служить суждения: «Никакие рыбы не являют-
ся птицами», «Никакие камни не являются животными», «Никакие
треугольники не являются квадратами» и т. д.
Смысл общеотрицательного суждения такой: если некоторый
объект х обладает свойством S (т. е. если S (х) истинно), то он не
обладает свойством Р (т. е. Р (х) ложно). Эго записывается сле-
дующим образом: V (х) (S (х) => “] Р (х)).
Частноутв. ердительное суждение: «некоторые
S суть Р».
Примерами являются следующие суждения: «Некоторые люди
курят» (буквально: «Некоторые люди курящие»), «Некоторые швей-
царцы говорят по-французски» (аналогично: «Некоторые швейцар-
цы суть говорящие по-французски»). «Некоторые простые числа
четны» и т. д. Из анализа употребления частноутвердительных суж-
дений в традиционной формальной логике видно, что слово «неко-
торые» в них следует понимать как «по меньшей мере один». В этом
смысле суждение «Некоторые простые числа четные» истинно, так
как одно простое число, а именно 2, четно. Частноутвердительному
суждению «Некоторые S суть Р» соответствует следующая формула:
3 (х) (S (х)ДР (х)).
67
(«Существует такой объект х, обладающий свойством S, который
также обладает свойством Р».)
Частноотрицательное суждение: «Некоторые
S не суть Р».
Примерами являются следующие суждения: «Некоторыеживот-
ные не дышат легкими», «Некоторые грибы несъедобные», «Неко-
торые треугольники не равнобедренны» и т. д.
“Это суждение записывается так:
3(x)(S(x) Д “I/>(*))-
Приведенные выражения для суждений не единственны; для ус-
тановления других можно воспользоваться тождествами алгебры
предикатов. Так, например, тождество “jV (х) A (х) = Эс(х)П^ (х),
связывающее квантор всеобщности с квантором существования, по-
зволяет все четыре вида суждений записывать как с квантором
всеобщности, так и с квантором существования. Общеутвердитель-
ное суждение V (х) (S (х) Р (х)) можно, используя правила де
Моргана, преобразовать так:
V (х) (S (х) ==> Р (х)) =-| Э (х)(-](("] S (x))VP (х)И
= a (х) ((п(пs (х))д пр (х))) ^п a (х) (S (х)л пр (х)).-
Для других.суждений мы сразу приведем окончательный результат,
оставляя их вывод в качестве упражнений на применение алгебры
высказываний и алгебры предикатов:
£: V(x) (S (х) =>П Р (х)) = П 3 (х) (S (х) Л Р (х));
/: nV(x) (S(x)=>nP(x> Э (х) (S (x) Д P (x));
0: HV(x) (S(x)=> P(x))^ 3 (x) (S (x) Л ПP (%)).
Приведенные тождества позволяют легко усмотреть некоторые отно-
шения между суждениями, которые подробно изучались в аристоте-
левской логике. Мы видим, например, что суждения vf и О являются
отрицаниями друг друга, так же как суждения Е и I. В тради-
ционной логике говорилось, что А и О, так же как и Е и /, нахо-
дятся в отношении противоречия друг с другом.
Суждения Е и / допускают обращение:
И 3 (х) (S(x)AP (х)) = П 3(х)(Р (x)AS (х)); Э (х) (S (х)ДР (х))^
3 (х) (Р (х) A S (х)).
«Никакое S не есть Р» тогда и только тогда, когда «Никакое Р не
есть S», и аналогично суждение «Некоторые S суть Р» истинно тогда
и только тогда, когда «Некоторое Р суть S». Это свойство обраще-
ния суждений Е и / сразу вытекает из закона коммутативности для
операции А, как это видно из записи Е и / в виде И 3(х) (S (х) АР(х))
и 3 (х) (S (х)ДР (х)). Аналогичная запись с квантором существо-
вания для А и О показывает, что в них термины S и Р переставлять
нельзя, эти суждения обращения не допускают.
В традиционной логике формулировались и некоторые другие
отношения между суждениями, которые не вполне укладываются в
трактовку суждений внутри алгебры предикатов. Это связано, в
С8
частности, с тем, что Аристотель (в его последователи) всегда не-
явно предполагал, что в суждениях, наверное, речь идет о свой-
ствах, которые выполняются по меньшей мере для одного объекта.
Логика того времени еще не созрела до мысли о целесообразности
введения в рассмотрение свойств с пустым множеством истинности
(тогда вообще не осознавали понятие пустого множества, как, кста-
ти, в .арифметике «обходились» без нуля).
Аристотелевские силлогизмы представляют собой схемы логи-
ческих выводов, состоящих из трех суждений одного из четырех выше-
указанных видов А, Е, /, О: два первых суждения — посылки,
третье — заключение. Приведем три примера, на которых мы бу-
дем пояснять основные положения учения о силлогизмах.
Самый известный и самый простой силлогизм — силлогизм
Barbara1:
«Все М суть Р»,
«Все S суть Л1»,
«Все S суть Р».
Черта должна означать, что заключение является логическим
следствием посылок. Здесь как и посылки, так и заключение — об-
щеутвердительные суждения. А вот другой пример схемы, назы-
ваемой Darii, в которой участвуют также частноутвердительные
суждения:
«Все М суть Р»,
«Некоторые S суть М», »
«Некоторые S суть Р».
Здесь первая посылка — общеутвердительное суждение (Д), а вто-
рая посылка и заключение — частноутвердительное (7).
Оба приведенных примера — правильные силлогизмы. Именно
такие позволяют делать логический вывод: как только вместо букв
подставить какие угодно конкретные термины так,, что обе посылки
станут истинными суждениями, так, наверное, истинным будет с теми
же терминами и заключение. А теперь повторим пример из первого
параграфа неправильного силлогизма .(мы там пользовались,
правда, -другими буквами):
«Некоторые М суть Р»,
«Некоторые S суть М»,
«Некоторые S суть Р».
Здесь все три суждения частноутвердительные. В первом параграфе мы
приводили пример конкретных терминов, при которых обе посылки
истинны, а заключение ложно. Главная задача о силлогизмах сос-
1 Гласные в латинских наименованиях силлогизмов указывают на типы
(Л, Е, I, О) посылок и заключений, согласные же подобраны так, чтобы
получались осмысленные латинские слова, легкие для запоминания (латынь
была универсальным языком науки вплоть до нового времени).
69
тоит в нахождении всех правильных силлогизмов. Это совсем не-
тривиальная задача была полностью решена самим Аристотелем,
а затем на протяжении 2000 лет ее формулировка и решение обра-
зовывали как бы ядро формальной логики. И если сейчас, как уже
говорилось, силлогистика находится на самой периферии формаль-
ной логики, то огромное историческое значение ее основного ре-
зультата — нахождения списка всех правильных силлогизмов, —
несомненно, заслуживает того, чтобы о нем знали все, кто хочет
приобщиться к математической логике.
Для более подробного описания силлогизмов мы должны ввести
ряд понятий и обозначений. В суждениях мы часто первый термин
будем называть подлежащим, второй — сказуемым1. Это в точнос-
ти соответствует грамматическому обозначению. Например, в суж-
дении «Все птицы — животные» термин «птицы» — подлежащее,
«животные» — сказуемое; в суждении «Некоторые швейцарцы го-
ворят по-французски» термин «швейцарцы» — подлежащее, «гово-
рят по-французски» — сказуемое. В силлогизмах участвуют три
.термина S, М, Р, называемые S —малый термин, М —средний
термин, Р — большой термин. Силлогизмы состоят из трех сужде-
ний, каждое из которых содержит два из трех терминов S, М, Р,
две посылки и заключение. Заключение всегда является суждением,
в котором S — подлежащее, а Р — сказуемое. Посылки являются
суждениями, содержащими средний термин М и один из терминов
Р и S. Посылка с терминами М и Р называется большой посылкой, с
терминами # и М — малой посылкой.
Устанавливается, что во всяком силлогизме сначала помеща-
ется большая посылка, потом малая. Таким образом, общий вид
всякого силлогизма таков:
большая посылка — суждение, содержащее М и Р,
малая посыпка — суждение, содержащее М и S,
заключение — суждение, в котором S — подлежащее, Р — ска-
зуемое.
Таким образом, в классическом силлогизме некоторое суждение
о терминах S и Р выводится из двух суждений-посылок, в которых
участвует некоторый термин.М, не встречающийся в заключении.
Силлогистическое правило позволяет исключать общий термин двух
суждений.
Суждение с терминами U и V, в котором С/ — подлежащее, а
V — сказуемое, будем сокращенно записывать UV. Во всяком сил-
логизме заключение должно иметь вид SP, а в посылках порядок
следования терминов может быть различным: большая посылка
может иметь вид МР или РМ, малая — вид SM или MS. В зави-
симости от порядка следования терминов в посылках совокупность
1 В традиционной логике для подлежащего в суждении употребляется
его латинский прообраз «субъект», для сказуемого — соответственно «преди-
кат» (отсюда и буквы S и Р). Мы этой терминологией пользоваться не будем,
так как слово «предикат» в логике предикатов имеет более широкий смысл.
Для нас оба термина S и Р являются одноместными предикатами.
70
силлогизмов распадается на четыре возможных типа, называемых
фигурами силлогизмов. К первой фигуре относят силлогизмы, в
которых средний термин М — подлежащее в большой и сказуемое
в малой посылке; во второй фигуре М — сказуемое в обеих посыл-
ках; в третьей фигуре 7И — подлежащее в обеих посылках и, на-
конец, в четвертой фигуре М — сказуемое в большой и подлежащее
в малой посылке. Нетрудно видеть, что этим исчерпывают® воз-
можные фигуры. Выпишем их все в схематической форме.
I фигура II фигура III фигура IV фигура
МР РМ МР РМ
SM SM MS MS
SP SP SP SP
Каждое из суждений вида UV может быть одного из четырех типов:
А, Е, I, О. Будем их записывать так: UaV — общеутвердительное
суждение, UeV .— общеотрицательное суждение, UiV — частноут-
вердительное суждение, UoV — частноотрицательное суждение.
В зависимости от того, какой из четырех типов имеют посылки
и заключения, каждая фигура распадается на так называемые
модусы. Всякая фигура силлогизмов содержит три суждения, и
каждое из- этих суждений независимо друг от друга может иметь
один из четырех типов: А, Е, /, О. Таким образом, для всякой фи-
гуры возможны в общей сложности 4 • 16 - 64 модуса, а всех
возможных модусов силлогизма, относящихся ко всем четырем фи-
гурам, имеется 4 • 64 = 256.
К ним относятся, например, уже упоминавшиеся силлогизмы
Barbara и Darii, являющиеся модусами первой фигуры:
МаР МаР
SaM SiM
SaP SiP
А вообще для первой фигуры мыслимы модусы:
МаР МаР MiP
SeM SiM SoM
SaP SaP * ’ ‘ SoP
Аналогичные модусы мыслимы для других фигур.
Классификация возможных форм силлогизмов по фигурам и
модусам — это только начало силлогистики. Самой существенной
частью является установление тех среди них, которые являются
правильными. Аристотель поступал по существу так: некоторые
из них он объявил основными и принял их в качестве аксиом в силу
их очевидной правильности; среди них модус Barbara. Остальные
правильные он вывел из них известными ему допустимыми преобразо-
ваниями суждений, обращением для суждений Е и /, использова-
нием закона противоречия и др. Таким образом, он получил среди
256 возможных 19 правильных. Оставалось еще показать, что все
71
остальные неправильные. Это делалось -подбором конкрет-
ных терминов, для которых обе посылки истинны, а заключение
ложно.
Опираясь на интерпретацию суждений в виде формул алгебры
предикатов, можно получить правильные силлогизмы преобразова-
ниями, использующими тождества алгебры логики. На примере моду-
са Barbara покажем, как это примерно делается. Предположим, что
обе посылки модуса истинны. Это означает, что истинна формула
V (х) (S (х)=»М (x))AV (х) (М (х)=>Р (х)).
В алгебре предикатов легко устанавливается дистрибутивность
(распределительность) квантора общности относительно конъюнк-
ции:
V (х) (Д (х))Д V (х) (5 (х)) V (х) (Д (х)ДВ (*))•
Используя это правило, получаем, что конъюнкция посылок равно-
сильна формуле
V (х) ((S (х)=ФМ (х))Л(М (х)=>Р (х))),
которая, следовательно, тоже истинна. А среди тождественно ис-
тинных формул алгебры высказываний имеется формула
ЦА => В) Л (В => С)) => (А => С),
которая называется законом силлогизма. На ее основании
выражение в скобках можно заменить на S(x)=^P(x), откуда
и получается формула
V (х) (S (х) =$> Р (х))
— заключение модуса Barbara.
Алгебра одноместных предикатов позволяет аналогичным обра-
зом доказать правильность 15 модусов и неправильность всех ос-
тальных.
Аристотель получил 19 правильных модусов. Расхождение
объясняется тем, что, как мы уже говорили, Аристотель всегда
неявно предполагал, что термины S, М, Р непустые, т. е. что S (х),
М (х), Р (х) не тождественно-ложные предикаты; в современной же
формальной логике такие «вырожденные» случаи не исключают.
Очевидная «старомодность» силлогистики на фоне современной
математической логики не умаляет ее общеобразовательного зна-
чения. Во всяком случае, это хорошая тема для факультативных
занятий в школе.
§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Наряду с доказательствами в ло-
гической структуре математики большую роль играют определения.
Изучение всякого раздела математики состоит не только в
72
последовательном выводе все более сложных и глубоких утвержде-
ний, но и во введении новых понятий, строящихся последовательно
из некоторого небольшого набора простых исходных. Такое введе-
ние осуществляется с помощью логических процедур, называемых
определениями, или, более точно, при помощи номинальных опре-
делений. Дело в том, что слово «определение» употребляется часто
и в другом смысле, а именно как установление и описание основных
и характерных свойств какого-либо объекта или класса объектов,
уже известных и обозначенных в науке и нуждающихся в данной
ситуации в однозначной характеризации. В таком случае говорят
о реальных определениях. Вот пример реального определения:
«Корень растения — это та его часть, с помощью которой оно из-
влекает питание из почвы». Номинальные и реальные определения—
это разные понятия и играют в методологии наук различную роль.
В исследовании логических основ математики основную роль играют
номинальные определения, и лишь о них мы будем в дальнейшем го-
ворить; они повсеместно встречаются и в школьной математике.
Для выяснения, того, что представляют собой номинальные оп-
ределения, рассмотрим в качестве примера постепенное наращива-
ние понятий в -элементарной арифметике (или, как ее еще часто
называют, элементарной теории чисел). Исходными и далее не оп-
ределяемыми в рамках арифметики объектами будем считать на-
туральные числа вместе с операциями над ними — сложением, вы-
читанием и умножением (+, —, ), а также понятие равенства (—).
Общелогические понятия — логические связки, кванторы — также
считаются базовыми, исходными (с некоторой точки зрения, в эту
группу понятий включают и равенство, не специфичное именно для,
арифметики). В дальнейшем вместо «натуральное число» будем го-
ворить просто «число». Такие понятия школьной арифметики, от-
носящиеся Рботношению делимости между числами’ как НОД, НОК,
взаимно-простые числа, простое число, остаток при делении и т. д’.,
определяются последовательно через исходные понятия.
Вначале дается определение бинарного предиката делимости
«Число b делит число а» (или «Число b является делителем числа а»,
принятое обозначение: b | а) через исходные термины: «Число b делит
число а» означает (эквивалентно по определению) «Существует число
с такое, ито а = b - г». Тем самым предикат у|х однозначно описы-
вается через имеющиеся понятия — умножение, равенство и квантор
существования. В символических обозначениях
опр
у к <=> 3 (z) (х = у • г).
То, что определяется — в данном примере предикат — отношение
«у делит х» называется определяемым (по-латыни definiendum,
сокращенно Dfd). 3 (z) (х = у • г) («Существует такое число г,
что х = у ‘ ?») называется определяющим (по-латыни definiens,
сокращенно Dfn); между определяемым и определяющим помещается
опр
особый знак который читается: «эквивалентно по определению»
73
или «означает». В словесной формулировке употребляются и другие
выражения. Общая же схема номинального определения выглядит
так:
опр
Dfd <=> Dfn.
Теперь можно считать, что, кроме исходных понятий, мы обла-
даем и предикатом у| хи его можно использовать в дальнейших оп-
ределениях. Введем трехместный предикат «с есть общий делитель
чисел а и Ь», который мы сокращенно будем записывать:
ОД(с, а, Ь). В логической записи его определение будет выглядеть так:
опр
ОД (с, а, Ь) <=> (с| а) Д (с | Ь)
(«с есть общий делитель чисел а и д» означает, что с делит а и с де-
лит Ь).
В определяющем содержится уже известное выражение у |х.
Его в свою очередь можно, заменить согласно его определению и вы-
разить новый предикат через исходные арифметические и общелоги-
ческие понятия:
ОД (с, a, b) Z 3 (k) {а = k • с)Д 3 (/) (b = I • с).
Имея понятие «общий делитель чисел а и Ь», можно пойти дальше
и ввести с помощью определения важное для элементарной теории
чисел понятие «наибольший общий делитель» — трехместный пре-
дикат НОД (d, a, b) «d есть наибольший общий делитель чисел а
и Ьъ. Обычно в школьной практике НОД (d, а, Ь) вводится как наи-
больший среди общих делителей, но мы дадим несколько иное опре-
деление, так как, во-первых, отношения «больше» пока еще нет
ни среди исходных, ни среди уже определенных понятий (что,
впрочем, нетрудно было бы исправить), во-вторых, то определение,
которое мы собираемся дать, более удобно для доказательства
основных положений теории чисел. Предлагаемое определение НОД
(d, а, Ь) выглядит следующим образом: «Наибольший общий делитель
d двух чисел а тлЬ — это по определению такой их общий делитель,
который делится на все другие общие делители чисел а и Ь»; в логи-
ческой записи это записывается так: •
•
НОД (d, a, b) S ОД (d, a, b)j\V (с) (ОД (с, a,b)=>c\d).
Конечно, предикаты ОД (х, у, z), как и у|х, можно выразить через
исходные термины, и мы получим вполне корректное определение,
в котором определяющее содержало бы лишь исходные понятия.
Но такое определяющее выражение было бы очень громоздким
и малообозримым; мы его не будем приводить. Затем можно опре-
делить дальнейшие понятия: НОК, взаимно простые числа и др.,
придерживаясь той же схемы, что и выше. Читателю будет полезно
это сделать самому. Мы же приведем еще лишь в виде примера
74
определение двухместного предиката «больше» (>) и одноместного
предиката «х — простое число» (Пр (х)):
опр
* > У <=> а (2) (х - у + 2);
_ опр
Пр (х) <=?. X =£ 1Л V (у) V (2) ((х = у • 2) => (х = у)v (х = z)).
Аналогично можно с помощью номинальных определений раз-
вертывать систему понятий элементарной геометрии, анализа и дру-
гих разделов математики, что с большей или меньшей строгостью
осуществляется и в школьных учебниках. Мы выбрали элементар-
ную арифметику, поскольку считаем, что именно на этом примере
особенно удобно пояснить процедуру номинальных определений.
2. Несмотря на то что в словесной формулировке номинальное
определение имеет вид повествовательного предложения, его нельзя
считать «высказыванием» в смысле математической логики: номи-
нальные определения не имеют значения истинности; про номи-
нальное определение нельзя сказать, что оно «истиннЬ» или «ложно».
Оно и не доказывается, и не опровергается. С логической точки зре-
ния номинальные определения ближе к повелительному, чем к
повествовательному предложению. На повседневном языке их
естественнее выражать так: «Пользуйся вместо(определяющее)
выражением(определяемое)». Например, при определении понятия
общего делителя вместо «Число с является делителем числа а и число
с является делителем числа Ь» говори: «Число с является общим де-
лителем чисел а и Ь». Это не констатация какого-либо обстоятельства,
а «руководство», как следует действовать в данном случае.
Отмеченное отсутствие у определения значения истинности от-
носится именно к номинальным определениям. ^Реальные определе-
ния, напротив, могут быть истинными или ложными в зависимости
от того, выделены ли или нет в определяющем предложения харак-
терные черты определенного предмета.
3. Если про какое-либо номинальное определение нет смысла
говорить об его истинности или ложности, то для него должны вы-
полняться некоторые правила, обеспечивающие возможность его
использования в построении какой-либо области математики. Если
все эти правила выполнены, то про определение говорят, что оно
корректно. Правила эти относят как к отдельно взятому определе-
нию, так и к системе определений в целом, когда из нескольких
исходных понятий определяется ряд новых понятий, как мы это ви-
дели на фрагменте системы последовательно вводимых понятий эле-
ментарной арифметики. Первое и самое важное требование, предъ-
являемое к номинальному определению, — отсутствие порочного
круга и связанная с ним возможность исключения ^элиминируемости)
нововведенных терминов. Для взятого в отдельности определения
это требование означает, что определяющее не должно содержать
определяемого термина. Если это условие выполнено, то можно по-
всеместно во всех предложениях •— в высказываниях и в других
определениях, в которых встречается нововведенный термин, —
75
исключить его, заменяя на определяющее его выражение, содержащее
лишь базовые или ранее введенные термины. Таким образом, но-
вый термин оказывается тогда «не нужным», так как все, что может
быть сказано с его» использованием, может быть сказано через
определяющие его термины. Правда, на практике использование
определяемого термина нужно в том смысле, что повсеместное исполь-
зование определяющего выражения вместо определяемого более
громоздко и в силу этого может оказаться необозримым и непо-
нятным.
Порочный круг может относиться не к отдельному определению,
а к цепочке последовательных определений. Например, выше дели-
мость была определена через понятие произведения, общий дели-
тель — через делимость, наибольший общий делитель — через об-
щий делитель и делимость, и можно было бы пойти дальше: например,
определить взаимно-простые числа как такие числа, наибольший
общий делитель которых равен 1. Требование отсутствия порочного
круга означает, что не только определяющее не должно содержать
определяемого, но более того, термины, в нем содержащиеся, сами
не должны быть определены ни через определяемое, ни через какие-
либо термины, определенные через определяемое и т. д. Если это
условие выполняется, то все определенные термины гможно исклю-
чить так, чтобы они в конечном счете были выражены через базо-
вые исходные понятия. Если же это условие нарушается, мы при
попытке исключить определяемое понятие, заменяя последователь-
но определяемые через определяющее, через несколько шагов вновь
на него наталкиваемся, и процедура исключения «зацикливается».
4. Другое естественное требование, которое надо наложить на
систему определений, — «отсутствие омонимии»: нельзя, чтобы
один и тот же термин более чем один раз встречался в качестве опре-
деляемого. Если это правило нарушается, то, конечно, никак
нельзя гарантировать однозначность исключения. Именно это тре-
бование часто нарушается учащимися: многие ошибки проистекают
из того, что одно и то же слово, один и тот же термин употребляется
в различных смыслах. При этом оказывается, что это не столь
опасно, когда значения существенно отличны и оба смысла ничего
общего между собой не имеют. Конечно, никто не спутает слово
«поле» в сочетании «поля и леса» и специфический термин «поле»
в алгебре — «поле рациональных чисел». Более того, даже внутри
самой математики слово «поле» в алгебре мало кто спутает со сло-
вом «поле» в анализе в сочетании «векторное поле» или «поле ска-
лярных величин». Здесь возможность недоразумения исключается,
так как слово'у потребляется в связи с разными ситуациями: гово-
рят, что оно употребляется в разных контекстах и именно контекст
однозначно указывает на смысл. Куда более опасно употребление
одного и того же слова в различных, но ‘близких смыслах в том же
самом разделе, и именно на это надо все вновь и вновь указывать
учащимся, требуя от них при устном и письменном изложении
точных определений используемых терминов. Как часто путают
76
Строгое и нестрогое неравенства, пользуясь словом «больше» и для
обозначения отношения >, и для отношения или же в геометрии,
[бользуясь словом «круг» и для обозначения множества точек плос-
кости х2 + у2 = г2, и для фигуры х2 + у2 г2.
5. Некоторые номинальные определения называют явными, дру-
гие — неявными или контекстными. В явном определении опреде-
опр
Ляемое— это один термин: «простое число означает...», «ромб <=>
£’.>. В неявном определении определяемое не есть изолированный тер-
мин, а появляется в целом словосочетании. Подавляющее большинст-
во определений, встречающихся в школьном курсе, — неявные.
Например: «Областью определения выражения с одной переменной
называется множество значений переменной, при которых это выра-
Жение имеет смысл» («Алгебра» для, 7 класса, с. 7). Определяемое
здесь — это не термин «область определения», а более подробное
словосочетание «область определения выражения с одной перемен-
ной». Или: «Логарифмом числа b по основанию а (а > 0 и а =# 1)
называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы
получить число Ь» («Алгебра» для 8 класса, с. 162). Опять-таки опре-
деляется не просто «логарифм», а сложное выражение «логарифм
Числа b по основанию а». Надо иметь в виду, что в контекстных
определениях при исключении нововведенного термина через
определяющее надо заменять все определяемое словосочетание.
Эго в общем случае достаточно сложная процедура, и мы на ней
останавливаться не будем. Но для неявных определений также
естественно выдвигается требование отсутствия порочного круга:
новый термин, появляющийся в определяемом словосочетании, не
должен встречаться в определяющем1.
6. Важный и трудный вопрос, возникающий в связи с номи-
нальным определением, — это вопрос о существовании и единствен-
ности определяемого термина. Вполне возможно, что в универсаль-
ном множестве, рассматриваемом в данной области математики,
вообще не существует объекта, описываемого в определяющем, или,
напротив, такой объект существует, но их существует много (боль-
ше чем один). И в том и другом случае что же обозначает тогда опре-
деляемое? Примеров таких определений можно привести много:
в одних случаях несуществование или неединственность опреде-
ляемого «сразу видна», в других случаях установление сущест-
вования или несуществования, единственности или неединственности
может потребовать более или менее трудного доказательства и, на-
конец, вопрос о том или другом вообще пока может не иметь ответа.
Нетрудно привести примеры. Несуществование определяемого сра-
зу ввдно в различных шуточных терминах, приводимых в качестве
абсурдных: всякие «круглые квадраты» или «пятисторонние четы-
1 В исследованиях по аксиоматическому методу (классический пример —
«Основания геометрии» Д. Гильберта) термин «неявные определения» употре-
бляется в несколько ином смысле. Его рассмотрение, однако, выходит за
рамки этой книги.
77
рехугольники» (определяемые, скажем, с помощью определяющего
«четырехугольник с пятью сторонами»). Построим также такое опре-
деление:х«£верхтупоугольный треугольник» означает «треугольник,
у которого все три угла тупые». Что такой термин ничего не обозна-
чает, знает лишь тот, кто знает, что сумма углов в треугольнике
не может быть больше чем 180°.
Отметим в этой связи вышеприведенное определение «логарифма
b при основании а», в котором в скобках добавлено (а > 0 и а =/= 1).
А почему не рассматривается логарифм при основании' а = 1?
Очевидно, потому, что в случае а = 1 и b > 0 и b 1 такого пока-
зателя степени вообще нет, т. е. нарушается условие существования
определяемого, а в случае а = 1 и b — 1 любой показатель степени
удовлетворяет условию 1 = Iх для любого вещественного х,
т. е. нарушается условие единственности.
А вот еще один пример, когда вопрос о существовании и единст-
венности Определяемого требует анализа. Выше мы определили
НОД (d, а, Ь) как такое натуральное число, которое делит и а,
и b и которое делится на все другие общие делители чисел а и Ь.
Сразу возникает вопрос: «А существует ли для всяких двух чисел
а и Ь такое число?», а если ответ положительный, то: «Существует
ли для всяких данных а и b лишь одно такое число?». В случае на-
туральных чисел оба ответа положительны, но они требуют не слиш-
ком трудного, но вполне содержательного доказательства.
А вот, наконец, пример возможного определения, в котором
вопрос о существовании определяемого объекта открыт. Введем с
помощью номинального определения понятие «негольдбахового чис-
ла» (мы выбрали такое несколько странное название, чтобы напом-
нить о нерешенной проблеме Гольдбаха). «С — число негольдба-
опр
хово» <=> «наименьшее натуральное четное число, которое нельзя
представить в виде суммы двух простых чисел». Если гипотеза
Гольдбаха, согласно которой всякое четное число представимо в
виде суммы двух простых чисел, верна, то такого числа нет, если
же неверна, то такое число есть, причем оно однозначно определено.
Следует ли включать требование о существовании определяемого
объекта в качестве одного из условий корректности определения?
Мнения специалистов-логиков по этому поводу расходятся: одни
считают, что без существования определяемого объекта нельзя
считать, что определение правильно, другие же считают, что опре-.
деление не предрешает существование определяемого объекта (или
объектов), так же как, например, грамматически правильно по-
строенная фраза может быть ложной или даже абсурдной. В пользу
каждого из этих мнений можно привести ряд аргументов, на-чем
мы останавливаться не будем. Конечно, все логики рассматривают
вопрос о существовании определяемого объекта как очень суще-
ственный, и обычно после введения нового термина с помощью
номинального определения, если существование определяемого
объекта не очевидно, формулируется и доказывается соответствую-
78
щая теорема существования, без чего определение может быть еще
и можно было рассматривать как правильное, но во всяком случае
как не очень хорошее и не очень полезное. Вопрос о единственности
или неединственности определяемого объекта не менее важен, но
еще более спорен: есть типы определений, в которых явно нужно
требовать единственность, в других же достаточно бывает рассматри-
вать (не обязательно одноэлементное) множество всех объектов,
удовлетворяющих условию, сформулированному в определяющем.
7. К первым относится, например, тип определений, называе-
мых дескрипциями. Они часто встречаются в самых различных си-
туациях в повседневной жизни, в различных науках, в частности
в математике, включая школьную. Приведем, как обычно, сперва
некоторые примеры, а затем некоторые общие соображения о деск-
рипциях.
Вместо того чтобы назвать имя -А. С. Пушкина, можно сказать
«автор «Евгения Онегина» (или «тот, который написал роман «Ев-
гений Онегин»); Наполеон — «тот, который выиграл сражение под
Аустерлицем» (или «тот, кто проиграл битву под Ватерлоо»); Юрий
Гагарин — «тот, кто первый поднялся в космос». Но мы прекрасно
чувствуем, что мы не можем сказать «тот, кто написал роман «Зо-
лотой теленок», так как этот роман написали два автора, и, сказав
в данном случае «тот, который..,» мы не будем знать» о ком же идет
речь: об Ильфе или о Петрове; словосочетание «тот, который» исполь-
зовано здесь не корректно.
Рассмотрим теперь примеры из математики. «То число, которое
будучи умноженным на длину диаметра круга, дает длину его
окружности» — одна из возможных дескрипций (именно та, которой
пользуются в школьной геометрии) числа л. Или «предел последо-
(1 \л
1 -J- — I ; п = 1,2, ...» (то число, к которому сходится
и /
последовательность 1 + — I ; п= 1,2,...) — одна из дескрипций чис-
\ п / '
ла е — основания натуральных логарифмов.
Некорректной дескрипцией является определяющее: «корень
уравнения х2 + х — 6 — 0» («то число, которое удовлетворяет
уравнению х2 + х — 6 = 0»), так как это уравнение имеет два
корня {—3; 2}, но корректной была бы дескрипция «положитель-
ный корень уравнения х2 4- х — 6», так как он, очевидно, однознач-
но определен: это число 2.
И конечно, некорректна дескрипция «то число, которое является
со
пределом гармонического ряда », так как такого предела нет.
Дескрипции — это определения следующего вида: имеется не-
которая высказывательная форма Р (х), зависящая от одной пере-
менной (над некоторым универсальным множеством) и такая, что
она принимает значение и для одного и только для одного значения
переменной. Предпосылая такой высказывательной форме
79
выражение «то х, для которого высказывание Р(х) истинно» мы получа-
ем новое-выражение, обозначающее некоторый вполне определенный
объект. Если подобная дескрипция служит для введения в рас-
смотрение некоторого нового понятия, как в вышеприведенных при-
мерах введения чисел е и л, то-ее можно рассматривать как опре-
деляющее некоторого номинального определения. Если же. речь
идет уже об бпределенном объекте и дескрипция служит для его
дальнейшей характеристики, то это реальное определение.
В символической записи дескрипции записываются так. Пусть
Р (х) — такая высказывательная форма, что она выполняется в точ-
ности для одного элемента универсально'го множества, на котором
она определена. Тогда этой форме предпосылается символ i (х),
читаемый как «тот, который». Символ этот, введенный английским
логиком и математиком Б. Расселом (1872—1970), называется деск.-.
риптором (t — это строчная греческая буква йота). Номиналь-
ное определение числа е выглядит так:
°Пр Г / | \ /2\
е I (х)1 х = lim (14— ] ),
\ п-*-оо \ tl / J
т. е. е — это по определению то число, которое является пределом
(1 \п
14— , п -> со.
п /
Мы уже неоднократно указывали на взаимосвязи между логикой
и грамматикой, например, на происхождение теоретико-высказыва-
тельных связок из грамматических союзов. Грамматическое проис-
хождение имеет также и дескриптор i (англ, the, франц. 1е, 1а;
нем. der, die, das, исп. el, la и т. п.), указывающий на то, что речь
идет о некотором вполне определенном предмете (или хотя бы
о таком, который уже ранее упоминался в данном тексте)1. Факти-
чески он довольно точно соответствует определенному артиклю.
В русском языке смысл дескриптора столь же точно передается
сочетанием слов «тот, который...» (или «та, которая...»). Неопреде-
ленному же артиклю соответствовало бы русское слово «некоторый»
или сочетание слов «некоторый такой, что». Конечно, не следует ис-
кать точного соответствия между грамматикой и логикой, но между
обеими науками существуют многочисленные взаимосвязи, что и
не удивительно, так как и язык, и логика имеют дело с определенны-
ми сторонами мышления. На современном этапе школьного препо-
давания следовало бы в большей мере, чем это было до сих пор,
подчеркивать эти взаимосвязи, в частности, в том, что касается оп-
ределений.
8. Нужно сказать несколько слов об определениях, идущих еще
от логики Аристотеля: так называемые определения «через род и
видовое отличие» (definitio fit per genus proximum ef- differentia
1 Неопределенным артиклям (англ, а, ап, нем. ein, eine, франц, un, une,
исп. un, una) также соответствуют в логике виды определений (порождающие
целые классы объектов), выходящие, однако, за возможности наших рассмо-
трений.
80
specificam). Таковы хорошо известные из школьной математики
определения:
параллелограмм — это четырехугольник, противоположные сто-
роны которого параллельны;
ромб — это параллелограмм, стороны которого конгруэнтны;
квадрат — это ромб, углы которого прямые, и т. д.
Определения через род и видовое отличие называют часто клао
сическими. На примерах хорошо видна их общая структура: в опре-
деляющем указывается некоторое множество (род), в котором со-
держатся определяемые, а затем то свойство, которое выделяет
определяемый объект среди других объектов того же рода. Аристо-
тель пользовался определениями через род и видовое отличие в
качестве реальных определений: не для введения новых терминов,
а для характеристики уже известных объектов. Но конечно, клас-
сическим определением можно пользоваться и как номинальным.
Так поступают, например, ботаники и зоологи, когда вводят обозна-
чение для некоторого нового вида.
Относительно классических определений можно частично по-
вторить то, что мы сказали в предыдущем параграфе о силлогизмах.
Авторитет Аристотеля был настолько велик, что многие века «клас-
сические» определения считались единственными «полноправными»
определениями (так же как силлогизмы — единственными «полно-
правными» правилами заключения). Сейчас же эти определения за-
нимают довольно ограниченное и скромное место среди широкого
круга других определений.
Мы рассказали далеко не о всех видах определений, встречаю-
щихся в школьной математике и играющих в построении школьного
курса важную роль; в стороне остались такие важные темы, как
аксиоматические (неявные1) определения и индуктивные (рекур-
сивные) определения. И те и другие связаны с школьными темами,
и их общекультурное значение и важность в методологии математи-
ки быстро увеличивается. Но для того чтобы их осветить, нам по-
надобилось бы существенно увеличить объем этой брошюры за счет
предварительного введения большого числа важных и достаточно
сложных понятий.
Впрочем, и те типы определений, которые мы затронули, пред-
ставлены здесь «в самом первом приближении»: на выбранном на-
ми элементарном уровне трудно было бы развить эти вопросы под-
робнее.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Подведем итоги и дадим советы чи-
тателю, где он может найти дальнейшие сведения по затронутым
выше и родственным им темам. Мы сознательно не касались круга
1 См. примечание на с. 77.
81
проблем, стоящих на стыке математики и кибернетики (теория ал-
горитмов, теория автоматов, программы и программирование для
электронно-вычислительных машин). Их общеобразовательная важ-
ность в эпоху научно-технической революции очевидна и естест-
венна, если они скоро займут весомое место и в школьном преподава-
нии. До появления специального руководства по этой тематике
применительно к средней школе позволим порекомендовать чита-
телю ряд уже Имеющихся изданий, одновременно содержательных,
серьезных и популярных. Назовем в первую _цчередь книги
Б. А. Трахтенброта [26, 27], а также серьезный труд об автоматах
Н. Е. Кобринского и Б. А. Трахтенброта [17]. Самым элементарным
автоматам — релейно-контактным схемам — посвящены книги
М. А. Гаврилова [7] и румынского ученого Г. Моисила [20]. Самые
первые и начальные сведения о релейно-контактных схемах
можно почерпнуть в брошюре автора [13]. Подробно вся область
изложена в книге М. А. Айзермана и др. [1]. Очень полезны в этой
связи книги В. М. Глушкова [9, 10]. Имеются и совсем популярные
изложения, которые, на наш взгляд, особенно хорошо соответствуют
тем направлениям, которые постепенно войдут в школьное препода-
вание. Это книга Э. Бёркли[3]и особенно удачная книга американ-
ских авторов [15]. Конечно, мы привели лишь выборку из большой
литературы по теме «Алгоритмы и автоматы».
Дадим теперь краткий обзор отдельных параграфов нашей книги,
сделаем небольшое число дополнительных замечаний и укажем
литературу.
В первом параграфе говорилось об истории возникновения
логики, в частности логики математической. Нужно сказать, что в
формальной логике, больше чем во многих других науках, знание
основных фактов ее истории особенно валено для понимания ее сов-
ременного состояния. К сожалению, доступная литература по этому
вопросу довольно бедна. В первую очередь здесь стоит назвать
труд Н. И. Стяжкина [25], содержащий очень богатый материал
по древней и средневековой формальной логике и подробно освещаю-
щий эпоху становления математической логики в XIX столетии.
Библиография содержит 773 наименования, здесь читатель сможет
найти координаты многочисленных статей по истории математиче-
ской логики. Труды самого Аристотеля также неоднократно изда-
вались на русском языке; некоторое знакомство с ними, несомненно,
полезно каждому, кто заинтересовался логикой. Укажем, в част-
ности, на издание «Аналитик» [2]. В настоящее время в серии «Фи-
лософское наследие» выходит в свет собрание сочинений Аристо-
теля .
Второй параграф содержит элементы теории множеств. Тео-
рия множеств — это фундамент математики, как высшей, универ-
ситетской, таки школьной; поэтому понятия этой науки во всевоз-
растающей мере используются в школьном преподавании. Подхо-
дящее для этой цели изложение содержится у Н. Я. Виленкина[4, 5].
Историю возникновения теории множеств можно найти в
82
книге Ф. А. Медведева [19]. Достаточно систематическое
изложение в книге Р. Р. Столла [22].
Многими авторами отмечалось, что учение о теоретико-множе-
ственных операциях и отношениях, примененное к конечным мно-
жествам, во многом совпадает с комбинаторикой. Такая точка зре-
ния представлена, например, в брошюре А. В. Скорохода и др. [12].
Нам она кажется полезной по двум причинам. Элементарной комби-
наторике не хватало до сих пор объединяющих идей, и она пред-
ставлялась учащемуся набором разрозненных понятий и задач.
Теоретико-множественные операции и отношения позволяют рас-
сматривать ее с некоторой единой позиции. С другой же стороны,
как показывает опыт, теоретико-множественным понятиям в школе
не хватает содержательных примеров и задач для лучшего уяснения
этойобласти и приобретения навыков. Здесь оказываются полезны-
ми именно задачи и понятия комбинаторики. Не входя в детали,
отметим лишь такие классические задачи, как вывод формулы для
числа подмножеств конечного множества, как доказательства того,
что число подмножеств с четным числом элементов равно числу
подмножеств с нечетным числом и др. Эти и другие факты легко
усматриваются из указания подходящих взаимно-однозначных
отображений. Биномиальные коэффициенты С™ лучше всего вво-
дить как число т -элементных подмножеств во множестве с п
элементами, откуда особенно просто и наглядно усматриваются все
свойства чисел С™ и теорема о биноме Ньютона. Все это лишь на-
чало, возможно, очень плодотворного раздела в школьной ма-
тематике.
Третий и четвертый параграфы трактуют элементы
математической логики — алгебру высказываний и алгебру пре-
дикатов, включая учение о кванторах, в плане их применений в
школьной математике. Это классические разделы математической
логики, хорошо представленные богатой и разнообразной литерату-
рой — монографиями и учебниками. Мы особенно хотели бы реко-
мендовать книгу С. Клини [16] и уже упомянутую книгу Столла
[22]. Но и здесь не хватает пока литературы, специально посвя-
щенной логике в школьном курсе математики. Особенно это ка-
сается анализа доказательств в элементарной алгебре и геометрии
и их классификации с точки зрения алгебры логики и учения о
логическом выводе. Начала такого анализа имеются в книгах
А. А. Столяра [23, 24]. Очень хорошее изложение начал логики в
связи с грамматикой естественных языков в небольшой книжке
X. Фрейденталя [28].
Высказывательные формы (§ 5) занимают центральное мес-
то в школьной математике. Учебники средних классов (IV по VIII)
содержат много примеров их применений. То же относится и к
ряду зарубежных школьных курсов. Применения развиваются глав-
ным образом в двух направлениях: в алгебре — системы уравнений
и неравенств, в геометрии — метод координат (начала аналитиче-
ской геометрии). Но теория и методика здесь еще недостаточно
83
разработаны. Кроме тех сведений, которые мы сообщили в пятом
параграфе, можно указать на книжечку В. А. Вышенского [6] и
уже упомянутые книги А. А. Столяра.
Шестой параграф посвящен аристотелевским суждениям и
силлогизмам. Знания о них принадлежат к общекультурному фон-
ду человечества — это самые начала формальной логики. На эту
тему имеется содержательная книга польского логика Я. Лукасеви-
ча [18]. В самом же первом приближении достаточными могут быть
те сведения, которые мы даем в шестом параграфе. Несколько более
подробно об этом сказано в [13], а более полное изложение силло-
гистики имеется в книге Гильберта и Аккермана [8] (первом серьез-
ном руководстве по математической логике на русском языке).
По тематике седьмого параграфа (теория определений) до-
статочно полный обзор содержится в статье Д. П. Горского [11].
Об определениях в естественных языках и в математике очень просто
рассказано у X. Фрейденталя [28]. К затронутым темам автор намере-
вается еще вернуться и будет благодарен читателям за замечания и
советы. _
ЛИТЕРАТУРА
1. Айзерман М. А , Гусев Л. А , Розоноэр Л. И., Смирнова И. М-,
Таль А. А. Логика. Автоматы. Алгоритмы. М., Физматгиз, 1963.
2. Аристотель. Аналитики. М., Госполитиздат, 1952.
3. Беркли Э. Символическая логика и разумные машины. М., ИЛ,
1961.
4. Виленкин Н. Я- Рассказы о множествах. М., «Наука», 1965.
5. Виленкин Н. Я- Элементы теории множеств. В сер. «Дополнительные
главы по курсу математики для 7—8 классов». М., «Просвещение», 1969.
6. Вышенский В. А. Отношения и функции (на укр. яз.). Киев, изд.
«Виша школа», 1972.
7. Гаврилов М. А. Теория релейно-контактных схем. М., Изд-во
АН СССР, 1950.
8. Гильберт Д., Аккерман В ~ Основы теоретической логики. М., ИЛ,
1947.
9. Глушков В., М. Синтез цифровых автоматов. М., Физматгиз, 1962.
10. Глушков В. М. Введение в кибернетику. Киев, Изд-во АН УССР,
1964.
11. Горский Д, П. 40 видов определений и их значение в науке. —В
сб. «... Проблемы логики научного познания...». М., «Наука», 1964.
12. Ежов И. И., Скороход А. В , Ядренко М. И. Элементы комбинато-
рики (на укр. яз.). Киев, изд. «Виша школа», 1972.
13. Калужнин Л» А. Что такое математическая логика. М., «Наука»,
1964.
14. Калужнин Л. А Введение в общую алгебру. М-, «Наука», 1973.
15. Камени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную мате-
матику. М., ИЛ, 1963.
16. Клини С. К. Математическая логика. М., «Мир», 1973.
17. Кобринский Н. Е., Трахтенброт Б. А. Введение в теорию конечных
автоматов. М., Физматгиз, 1962.
18. Лукасевич Я- Аристотелевские силлогизмы с точки зрения современ-
ной формальной логики. М., ИЛ, 1959.
19. Медведев Ф. А Развитие теории множеств в XIX веке. М., «Наука»,
1965.
85
20. Моисил Г. Алгебраическая теория дискретных автоматических
устройств. М., ИЛ, 1963.
21. Папи Ж. Дети и графы. М., «Педагогика», 1974.
22. Столл Р. Р- Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.,
«Просвещение», 1968.
23. Столяр А. А. Логические проблемы преподавания математики.
Минск, «Высшая школа», 1965.
24. Столяр А. А., Рогановский Н. М. Основы современной школьной
математики. Минск, «Народная Асвета», 1975.
25. Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М., «Наука»,
1967.
26. Трахтенброт Б. А. Алгоритмы и машинное решение задач. М.,
Физматгиз, 1960.
27. Трахтенброт Б. А. Алгоритмы и вычислительные автоматы. М.,
«Советское рад-го», 1974.
28. Фрейденталь X. Язык логики. М., «Наука», 1968.
29. Цейтен Г, Г. История математики в XVI и XVII веках. М.—Л.,
Гостехиздат, 1938.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие......................................................* . 3
§ 1 Как возникла формальная и математическая логика .................. 5
§ 2. Начала теории множеств ...........................................12
§ 3. Алгебра высказываний и алгебра множеств .................... . 25
§ 4’ . Отношения и соответствия, предикаты, кванторы ................. 37
§ 5. Высказывательные формы . . .............................. 53
§ 6. Аристотелевское учение о суждениях и силлогизмах ................ 65
§ 7. Определения..................................................... 72
Заключение и обзор литературы......................................... 81
Литература ...........• . .......................................... 85
ИБ № 3283
ЛЕВ АРКАДЬЕВИЧ К А Л У Ж И ИН
Элементы теории множеств
и математической логики
в школьном курсе математики
Редактор С. В. Пазельский.
Художник обложки Л. М. Чернышов
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор Т. В. Самсонова
Корректор Т. Ф. Алексина
Сдано в набор 202JCII.1977 г. Подиисано к печати 9/VI.1978 г бОхЭО’Ле-
Бум. тип. № 3. Гарн. литер. Печать высокая. Усл. печ. л. 5,5.
Уч.-изд. л. 5,39. Тираж 80 000 экз. Заказ 5837. Цена 15 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение»
Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам изда-
тельств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
Отпечатно с матриц Саратовского ордена Трудового Красного Знамени
полиграфического комбината в областной типографии управления изда-
тельств, полиграфии и книжной торговли Ивановского облисполкому,
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6,
V ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
логики
в школьном
КУРСЕ
МАТЕМАТИКИ