I I ! I
J' L J' J
ι
г
Г

Ершов Ю.Л., Палютин Е. А.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
Рекомендовано УМС по математике и механике УМО
по классическому университетскому образованию РФ
в качестве учебного пособия для студентов высших
учебных заведений, обучающихся по направлениям и
специальностям: «Математика», «Прикладная
математика и информатика», «Механика»
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2011

УДК 510.6(075.8)
ББК 22.12
Ε 80
Ершов Ю.Л., Пал юти н Е.А. Математическая логика. — 6-е изд.,
испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. - 356 с. - ISBN 978-5-9221-1301-4.
В книге изложены основные классические исчисления математической
логики: исчисление высказываний и исчисление предикатов; имеется краткое
изложение основных понятий теории множеств и теории алгоритмов. Ряд
разделов книги — теория моделей и теория доказательств — изложены более
подробно, чем это предусмотрено программой.
Для студентов математических специальностей вузов. Может служить
пособием для специальных курсов.
Рекомендовано УМС по математике и механике УМО по классическому
университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по направлениям и специальностям:
«Математика», «Прикладная математика и информатика», «Механика».
Учебное издание
ЕРШОВ Юрий Леонидович
ПАЛЮТИН Евгений Андреевич
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Редактор И.Л. Легостаева
Оригинал-макет: И.Г. Андреева
Оформление переплета: Д.Б. Белуха
Подписано в печать 26.01.11. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 22,25. Уч.-изд. л. 24,75. Тираж 500 экз. Заказ № К-5586.
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru ISBN 978-5-9221-1301-4
Отпечатано в ГУП
«ИПК «Чувашия», 428019
г. Чебоксары, пр-т И.Яковлева, 13
9
© ФИЗМАТЛИТ, 2011
ISBN 978-5-9221-1301-4 © Ю.Л. Ершов, Е.А. Палютин, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к шестому изданию 5
Предисловие к первому изданию 6
Введение 8
Глава 1. Исчисление высказываний 13
§1.1. Множества и слова 13
§ 1.2. Язык исчисления высказываний 17
§ 1.3. Система аксиом и правил вывода 22
§ 1.4. Эквивалентность формул 29
§ 1.5. Нормальные формы 32
§ 1.6. Семантика исчисления высказываний 38
§ 1.7. Характеризация доказуемых формул 43
§ 1.8. Исчисление высказываний гильбертовского типа 46
§ 1.9. Консервативные расширения исчислений 50
Глава 2. Теория множеств 60
§2.1. Предикаты и отображения 60
§2.2. Частично упорядоченные множества 65
§2.3. Фильтры булевой алгебры 75
§ 2.4. Мощность множества 80
§2.5. Ординалы и кардиналы 81
§2.6. Аксиоматическая теория множеств ZF и аксиома выбора 87
Глава 3. Истинность на алгебраических системах 93
§3.1. Алгебраические системы 93
§ 3.2. Формулы сигнатуры Σ 99
§3.3. Теорема компактности 107
Глава 4. Исчисление предикатов 114
§4.1. Аксиомы и правила вывода 114
§4.2. Эквивалентность формул 122
§4.3. Нормальные формы 126
§4.4. Теорема о существовании модели 128
§4.5. Исчисление предикатов гильбертовского типа 135
§4.6. Чистое исчисление предикатов 139

4 Оглавление
Глава 5. Теория моделей 144
§5.1. Элементарная эквивалентность 144
§5.2. Аксиоматизируемые классы 152
§5.3. Скулемовские функции 161
§5.4. Механизм совместности 163
§5.5. Счетная однородность й универсальность 175
§5.6. Категоричность 182
§5.7. RQ-формулы и Σ-формулы 191
§5.8. Формульная определимость 202
§ 5.9. Позитивные формулы и монотонные операторы 209
Глава 6. Теория доказательств 215
§6.1. Генценовская система G 215
§6.2. Обратимость правил 220
§6.3. Сравнение исчислений ИПЕ я G 225
§6.4. Теорема Эрбрана 232
§6.5. Исчисления резольвент 245
Глава 7. Вычислимость 251
§7.1. Понятие алгоритма 251
§7.2. Σ-предикаты и Σ-функции на Ω 252
§7.3. Σ-определимость истинности Σ-формул на Ω 265
§7.4. Универсальные Σ-предикаты, универсальные частичные Σ-функции 277
§ 7.5. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте 283
§7.6. Машины Тьюринга 294
§7.7. Рекурсивные функции 297
Глава 8. Разрешимые и неразрешимые теории 300
§8.1. Разрешимость теории одноместных предикатов 300
§8.2. Элиминация кванторов и разрешимость теории алгебраически
замкнутых полей 303
§8.3. Элиминация кванторов и разрешимость теории вещественно
замкнутых полей 308
§8.4. Разрешимые теории абелевых групп 311
§8.5. Теории декартовых произведений 328
§8.6. Неразрешимые теории . . 332
Предметный указатель 343
Указатель обозначений 352

Предисловие к шестому изданию
Это издание является переработкой и дополнением 2-го издания
(издания 3-5 являются стереотипными). Изменения коснулись всех
глав книги. Наибольшей корректировке подверглась глава 7, на
основании которой сформирована глава 8. В частности, за основу изложения
теории вычислимости выбрано понятие Σ-определимости. Этот подход
поможет естественному освоению теории вычислимости на допустимых
множествах.
Изменения относятся как к дополнениям материала, так и к более
подробному изложению мест в доказательствах, которые ранее были
более схематичны.
Благодарим С. В. Судоплатова за полезные замечания и помощь
в подготовке рукописи к изданию, а также М. А. Русалеева за
компьютерный набор текста.
Настоящее шестое издание книги является первым в издательстве
«ФИЗМАТЛИТ».
Май 2010 г.
Ю. Л. Ершов
Е. А. Палютин

Предисловие к первому изданию
Настоящая книга представляет собой систематическое изложение
ряда разделов современной математической логики и теории
алгоритмов. Написана она с целью использования ее в преподавании как
в качестве учебника по математической логике для университетов, так
и в качестве учебного пособия при чтении спецкурсов.
Разделы, соответствующие обязательной программе (§1-9 в гл. 1
(без мелкого шрифта), § 10-11 в гл. 2, § 15-16 в гл. 3, § 18-20, 22-23
в гл. 4 и §35 в гл. 7), написаны более тщательно и подробно, чем
разделы, относящиеся к более специальным вопросам.
Изложение исчисления высказываний и исчисления предикатов не
является традиционным и начинается с изучения секвенциальных
вариантов исчислений натурального вывода (хотя традиционные
исчисления также появляются здесь под названием гильбертовских).
Основанием к этому являются:
1) возможность хорошего объяснения смысла всех правил вывода;
2) возможность более быстрого приобретения навыка формальных
доказательств;
3) практическая возможность проделать все необходимые в курсе
формальные доказательства в таких исчислениях.
Многолетний опыт чтения старшим из авторов курса
математической логики на математическом факультете Новосибирского
государственного университета, на основе которого написаны главы 1-4,
показывает, что указанные выше возможности вполне реализуются. Это
оправдывает использование такого способа изложения наряду с
традиционными.
Более подробные сведения о содержании книги можно получить из
ее оглавления.
Ввиду учебного характера книги, несмотря на названия «Теория
множеств», «Теория моделей», «Теория доказательств» и «Алгоритмы
и рекурсивные функции», соответствующие главы, конечно, содержат
лишь малую часть содержания этих больших разделов современной
математической логики. Как и принято в учебниках, большинство
результатов приведено в данной книге без указания авторов.
В тексте имеется небольшое число упражнений почти после
каждого параграфа книги. Однако этих упражнений явно недостаточно для
учебных целей. Мы рекомендуем использовать в качестве задачника
для данного курса следующий: Лавров И. Α., Максимова Л. Л. Задачи

Предисловие к первому изданию
7
по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. —
М.: Наука, 1984. О
Сделаем несколько замечаний технического порядка. Нумерация
теорем — сквозная по главам, нумерация предложений и лемм —
своя в каждом параграфе. Выражение «предложение 12.2»
(«теорема 12.2», ...) означает «предложение 2 (теорема 2, ...) из §12». При
ссылке на предложения и леммы внутри одного параграфа и часто при
ссылке на теоремы внутри одной главы параграф не указывается.
Символ «^=>» является сокращением для выражения «из ... следует ...»,
символ «<ί=>» является сокращением для выражения «...
равносильно ...». Символ «D» указывает на окончание доказательства.
Создание этой книги не было бы возможно без коллектива кафедры
алгебры и математической логики Новосибирского государственного
университета. Основатель этой кафедры — выдающийся советский
математик академик А. И. Мальцев (1909-1967) — оказал решающее
влияние на формирование научных интересов и педагогических взглядов
авторов. На разных этапах подготовки настоящей книги большую
помощь и поддержку мы получали от М. И. Каргаполова, Н. В. Белякина,
И.А.Лаврова, Л.Л.Максимовой и многих других. Этим коллегам и
товарищам мы выражаем свою искреннюю признательность и
благодарность.
При работе над данной книгой были использованы записи курсов
лекций А.И.Мальцева и Ю.Л.Ершова, книги: Ершов Ю.Л., Палю-
тин Е.А., Тайцлин М.А. Математическая логика. — Новосибирск:
Изд-во НГУ, 1973; Куратовский К., Мостовский А. Теория
множеств. — М.: Мир, 1970; Мальцев А. И. Алгебраические системы. —
М.: Наука, 1970; Марков А. А. Теория алгорифмов. — М.: Изд-во АН
СССР, 1954; Шенфилд Дж. Математическая логика. — М.: Наука,
1975, а также другие монографии и научные статьи.
Новосибирск
Академгородок Ю. Л. Ершов
Е.А.Палютин
О Последнее издание — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. (Прим. ред.)

Введение
Математическая логика как самостоятельный раздел современной
математики сформировалась сравнительно недавно — на рубеже
девятнадцатого — двадцатого веков. Возникновение и быстрое развитие
математической логики в начале двадцатого века было связано с так
называемым кризисом в основаниях математики. Поговорим об этом
чуть подробнее.
При любой попытке систематического изложения математики (как,
впрочем, и любой другой науки) возникает проблема выбора начальных
(исходных) понятий и принципов, которые будут положены в основу
всего изложения. Проблема выбора и обоснование этого выбора
исходных данных лежит, как правило, вне самой научной дисциплины
и относится к философии и методологии научного познания.
Систематизация математики в конце девятнадцатого века выявила, что весьма
перспективным является использование понятия множества в
качестве единственного исходного понятия для всей математики. Работами
Б. Больцано, Р. Дедекинда и Г. Кантора была создана новая область
математики — теория множеств, которая красотой и силой своих
построений и перспективами использования ее в основаниях математики
привлекла внимание многих ведущих математиков того времени. Была
проделана большая работа по теоретико-множественному осмыслению
математических и даже логических понятий. В этой связи большой
интерес представляют исследования Г. Фреге и Б. Рассела. Однако
высокая степень абстрактности и «универсальность» понятия множества
не могли не привести в конце концов к трудностям, хорошо и давно
известным в философии при работе с «универсалиями». Проявилось это
в появлении так называемых теоретико-множественных парадоксов.
Приведем один из наиболее типичных теоретико-множественных
парадоксов — парадокс Рассела. Для произвольного множества
является вполне осмысленным вопрос, «будет ли это множество своим
элементом». Примером множества, которое содержит само себя в
качестве элемента, могло бы служить, например, множество всех множеств.
Рассмотрим множество Мо всех множеств, для которых ответ на этот
вопрос отрицателен. Спросим теперь, является ли это множество своим
элементом? К своему (наивному) удивлению обнаружим, что если ответ
положительный, то имеем Мо ^ Мо, т. е. ответ должен быть
отрицательным. Если же ответ отрицателен, то в силу определения множества
Мо ответ должен быть положительным. Этот парадокс показывает,
что если мы не хотим приходить к противоречиям, то необходимо
отказаться от приятной мысли, что любое осмысленное условие на

Введение
9
элементы определяет некоторое множество. К счастью, такого рода
парадоксы можно получить лишь с «большими» или «неестественными»
множествами, без которых в математике можно вполне обойтись 0.
Появление таких парадоксов в теории множеств было воспринято
многими математиками очень болезненно и поэтому привлекло к
вопросам оснований математики пристальное внимание практически всех
ведущих математиков того времени (назовем, к примеру, Д. Гильберта,
А.Пуанкаре, Г. Вей ля). Было предложено несколько программ
«спасения» математики от «ужаса» парадоксов, входить в детали которых
мы не будем. Укажем вкратце только две наиболее действенные
программы, различные модификации которых обсуждаются и в настоящее
время. Отметим, что многообразие подходов к основаниям математики
остается и поныне. Однако прошедшие годы и безусловные достижения
математической логики, речь о которых еще впереди, сняли остроту
этой проблемы настолько, что большинство математиков, работающих
в других разделах математики, не уделяют особого внимания тем
дискуссиям, которые ведут ныне специалисты по основаниям математики.
Одной из наиболее разработанных программ по основаниям
математики является предложенная Д. Гильбертом программа финитарного
обоснования математики. Суть этой программы состоит в попытке
построения такой формализации математики, что средствами этой
системы можно доказать свою собственную непротиворечивость. Другим
принципиальным требованием к такой формализации является
условие, чтобы все простейшие, проверяемые непосредственно утверждения
о натуральных числах были истинными в этой формализации. Работа
над этой программой как самого Гильберта, так и его учеников и
последователей оказалась весьма плодотворной для математической логики,
в частности, в разработке современного аксиоматического метода. Хотя
программа «финитизма» в своей исходной постановке оказалась
невыполнимой, как показал в своих знаменитых работах К. Гёдель, однако
возможные модификации этой программы подвергаются полезному
обсуждению и до настоящего времени.
Другой подход к основаниям математики был связан с критикой
ряда положений, которые использовались в математике без должного
обоснования. Это относится, в частности, к неограниченному
использованию закона исключенного третьего и аксиомы выбора. Программа
построения математики при жестких ограничениях на использование
этих принципов получила название интуиционизма; ее создание и
развитие связано в первую очередь с именем Л. Э. Я. Брауэра. Развитый
0 Упоминаемые ниже формализации теории множеств — аксиоматические
теории множеств, — сохраняя все полезное, не допускают прямого проведения
всех известных «парадоксальных» рассуждений.

10
Введение
в Советском Союзе А. А. Марковым и его последователями
конструктивистский подход к основаниям математики также связан с критическим
подходом к допустимым логическим средствам в математике и
систематически использует понятие алгоритма при конструктивистском
воспроизведении математических результатов.
Хотя основания математики традиционно относятся к
математической логике, в настоящем учебнике не место вдаваться в большие
подробности этого раздела, находящегося на стыке математики и
философии. Поэтому ограничим обсуждение оснований математики
приведенными выше замечаниями, служащими скорее иллюстративным
целям.
Основным итогом деятельности в области оснований математики
можно считать становление математической логики как
самостоятельного раздела математики, а принципиальным достижением
математической логики — разработку современного аксиоматического метода,
который может быть охарактеризован следующими тремя чертами:
1. Явная формулировка исходных положений (аксиом) той или иной
теории.
2. Явная формулировка логических средств (правил вывода),
которые допускаются для последовательного построения
(развертывания) этой теории.
3. Использование искусственно построенных формальных языков
для изложения всех положений (теорем) рассматриваемой теории.
Первая черта характеризует классический аксиоматический метод.
Две следующие являются дальнейшими шагами в достижении
максимальной точности и ясности в изложении теорий. Введение и
использование подходящих обозначений было на протяжении всей истории
математики весьма важной и продуктивной процедурой. Но
математические символы были только элементами формальных языков. В
математической же логике впервые в истории были созданы такие богатые
формальные языки, которые позволяют формулировать практически все
основные положения современной математики. Богатые формальные
языки математической логики и успешный опыт работы с ними
создали одну из объективных предпосылок для создания универсальных
вычислительных машин, пользующихся в настоящее время весьма раз^
нообразным спектром формальных языков программирования.
Основным объектом изучения в математической логике являются
различные исчисления. В понятие исчисления входят такие
основные компоненты, как: а) язык (формальный) исчисления; б) аксиомы
исчисления; в) правила вывода. Понятие исчисления позволяет дать
строгое математическое определение понятия доказательства и
получить точные утверждения о невозможности доказательства тех или

Введение
11
иных предложений теории. Еще одним замечательным достижением
математической логики является нахождение математического
определения понятия алгоритма, т. е. эффективной процедуры для решения
задач из того или иного (бесконечного) класса задач. Интуитивно
понятие алгоритма использовалось очень давно. Выдающийся мыслитель
XVII—XVIII вв. Г. Лейбниц даже мечтал о нахождении универсального
алгоритма для решения всех математических проблем. Точное
определение понятия алгоритма позволило довольно быстро разрушить эту
красивую утопию: А. Чёрч в 1936 г. показал, что невозможен алгоритм,
который по произвольному утверждению, записанному на формальном
языке элементарной арифметики, отвечал бы на вопрос: будет ли это
утверждение истинно на натуральных числах? Далее оказалось, что
даже в системе, описывающей «чистую логику» (исчисление
предикатов), проблема доказуемости алгоритмически неразрешима. В
последующие годы было обнаружено большое многообразие
алгоритмически неразрешимых проблем в многих разделах математики. Большой
вклад в разработку теории алгоритмов и решение алгоритмических
проблем внесли Э. Пост, А. Тьюринг, С. Клини и советские математики
А. И. Мальцев, П. С. Новиков и А. А. Марков.
Изучение исчислений составляет синтаксическую часть
математической логики. Наиболее глубокое изучение (синтаксического) понятия
доказательства в тех или иных исчислениях составляет
самостоятельный раздел математической логики, который носит название теории
доказательств. Наряду с синтаксическим изучением исчислений
проводится также семантическое изучение формальных языков
математической логики. Основным понятием семантики является понятие
истинности для выражений (формул, секвенций и т. п.) формального
языка. Семантические понятия также получили точные математические
определения, что дало возможность систематического и строгого
изучения различных понятий истинности. Классическая семантика языка
исчисления предикатов составила весьма богатый раздел математической
логики — теорию моделей, которая активно развивается, а ее методы
и результаты успешно применяются и в других областях математики
(алгебре, анализе). Основателями теории моделей являются А. Тарский
и А. И. Мальцев.
Исчисления позволяют формализовать многие разделы математики
и других наук. Исчисление высказываний и упоминавшееся выше
исчисление предикатов являются формализациями логики, древнейшей
науки о законах правильного мышления. Создание и изучение этих
формализации явилось важным этапом в развитии логики как науки.
Первые попытки формализации логики связаны с именами
Аристотеля и Дж. Буля, но действительная (и действенная) формализация
логики была осуществлена только с созданием математической логики.

12
Введение
Итальянский математик Дж. Пеано много сделал для разработки и
популяризации формальных языков логики.
Для математики особенно важной оказалась возможность
формализации теории множеств. Исчисления, формализующие основные
конструкции «наивной» теории множеств, оказались столь
богатыми, что любое теоретико-множественное рассуждение, встречающееся
в реальной математической практике, можно формально воспроизвести
в этих исчислениях. Естественной «расплатой» за это богатство было
обнаружение К. Гёделем эффектов неполноты и даже непополнимости
таких исчислений.
На пути построения семантики естественных или формальных
языков нас поджидают также большие трудности. Так,
простодушное убеждение, что каждой повествовательной фразе русского языка
можно правдоподобным (или, по крайней мере, непротиворечивым)
образом приписать значение истинности, опровергается так
называемым «парадоксом лжеца». Некто говорит: «Фраза, которую я сейчас
произношу, ложна». Попробуем выяснить, правду сказал этот человек
или солгал. Если предположить, что он сказал правду, то из смысла
фразы получается, что он солгал. Если он солгал, то из того, что
фраза ложна, получаем, что он сказал правду. Этот парадокс лежит
в основе ряда замечательных теорем математической логики (теорем
о неполноте и о неопределимости истинности в системе).
История создания и развития математической логики является
самостоятельным предметом и ей не будет уделено внимания в этой
книге, за исключением приведенных выше заведомо неполных указаний
некоторых имен и обстоятельств.
В заключение настоящего введения нужно отметить, что
современная математическая логика представляет собой обширный и
разветвленный раздел математики, источником проблем для которого наряду
с внутренними ее проблемами служат как философские проблемы
оснований математики и логики, так и проблемы, возникающие в
других разделах математики (алгебра, анализ, теоретическая кибернетика,
программирование и др.).

Глава 1
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
§1.1. Множества и слова
Под буквой мы понимаем знак, который рассматривается как
целый, т.е. знак, части которого нас не интересуют. Букву будем
называть также символом. О Про две данные (например, написанные)
буквы мы можем говорить, что они одинаковы или что они различны.
Например, все строчные буквы «а» в данной книге считаем
одинаковыми. Одинаковыми мы считаем также все строчные буквы «а» в
некотором рукописном тексте, хотя одинаковость двух букв в этом случае
установить трудней, чем в предыдущем. Будет предполагаться, что для
рассматриваемых двух конкретных букв мы всегда можем установить
их одинаковость или различие. Если буквы а\ и α<ι одинаковы, то будем
писать а\ = а,2.
Абстракция отождествления одинаковых букв дает нам понятие
абстрактной буквы. В дальнейшем о двух одинаковых конкретных
буквах а\ и α<ι мы будем говорить как об одной и той же (абстрактной)
букве а. При этом каждая из этих двух конкретных букв будет
называться представителем абстрактной буквы а. 2)
Совокупность X некоторых объектов, которые будут называться
элементами X, назовем множеством 3).
О Иногда слово «буква» будет иметь и обычный смысл, например,
«латинская буква», «строчная буква».
2) Следует при этом различать абстрактную букву, обозначаемую
символом а, и сам символ а, который является обозначением или именем упомянутой
абстрактной буквы.
3) Как отмечалось во введении, такое определение, вообще говоря, может
привести к противоречию. Однако это не должно пугать читателя, так как
существование всех рассматриваемых в этой книге множеств можно вывести
в рамках формальной системы, описанной в §2.6, в которой невозможно прямо
провести ни одно известное «парадоксальное» рассуждение о множествах.

14
Гл. 1. Исчисление высказываний
Если а — элемент множества X, то пишем a G X. Если любой
элемент множества X является элементом множества У, то
множество X называется подмножеством множества Υ и обозначается это
так: X CY. Если для множеств X и Υ имеем X С Υ и Υ С X, то будем
считать множества X и Υ равными и писать X = Υ. Таким образом,
множество полностью определено своими элементами. В частности,
существует только одно множество, не содержащее ни одного элемента.
Такое множество будем называть пустым и обозначать символом 0.
Если для множества X не имеет место о G X, то будем писать а ^ X.
Буквами г, j, k, I, га, n, p, r, s, возможно с индексами, будем
обозначать натуральные числа. Множество всех натуральных чисел
будем обозначать буквой ω. Если а\ е Х,...,ап е Χ, το будем писать
о>\, · · ·, о>п £ X· Если X — множество, а\,..., ап G X и любой элемент X
равен одному из αι,...,αη, то X называем конечным множеством и
пишем X = {αϊ,..., ап}. О Если <р(а) — некоторое условие на объект а,
a X — множество, то через {а е Χ \ φ(α)} или {а | φ(α),α G X}
обозначаем множество, содержащее в качестве элементов те и только
те элементы а е X, которые удовлетворяют условию φ(α). Например,
{п G ω | η = 2k для некоторого k G ω} является множеством всех
четных натуральных чисел.
Множество абстрактных букв называется алфавитом. Букву,
являющуюся элементом алфавита А, будем называть буквой алфавита А.
Конечный ряд написанных друг за другом конкретных букв
называется конкретным словом. В частности, каждая конкретная буква
является конкретным словом. Если каждая из букв конкретного
слова а является представителем некоторой буквы алфавита А, то будем
говорить, что а является словом в алфавите А. Мы допускаем также
случай, когда слово а не содержит ни одной конкретной буквы. Такое
слово будем называть пустым и обозначать через Л. Будем
говорить, что два конкретных слова а\ ...ап и b\...bk алфавита А равны,
и писать а\ ...ап = Ь\ ...Ьь если η = к и а\ = b\, ...,an = bn. Все пустые
слова считаем равными. Если а\ ...ап — конкретное слово, состоящее
из η букв αι,...,αη алфавита А, то число η называется длиной этого
слова. Длиной пустого слова будет число 0.
Применяя абстракцию отождествления, будем говорить о двух
равных конкретных словах αι,α2 как об одном и том же (абстрактном)
слове а. При этом эти два конкретных слова будем называть
представителями слова а. Из определения равенства конкретных слов
получаем, что абстрактное слово а можно определить как конечный
ряд абстрактных букв такой, что каждый представитель слова а есть
О Отметим, что при этом попарное различие элементов αι,...,αη не
предполагается. В частности, {0} = {0,0,0}.

§ 1.1. Множества и слова
15
ряд представителей соответствующих абстрактных букв. Количество
абстрактных букв в этом ряду будем называть длиной абстрактного
слова а. Пустое абстрактное слово будем обозначать той же буквой Л,
что и конкретные пустые слова.
Для абстрактных слов α и β определяем абстрактное слово αβ
как такое абстрактное слово, все представители которого получаются
приписыванием к некоторому представителю слова α некоторого
представителя слова β. Абстрактное слово αβ будем называть соединением
абстрактных слов α и β\ абстрактное слово а будем называть началом
слова αβ. Аналогично определяется соединение αι...αη абстрактных
слов αϊ,..., ап.
В дальнейшем под словом мы понимаем абстрактное слово.
Очевидно, что для любых слов α, β имеем Λα = αΛ = а и аЛ/3 = αβ.
Слово β алфавита А называется подсловом слова α алфавита А,
если α = ηβδ для некоторых слов 7> £· В частности, любое начало
слова α будет подсловом а. Может оказаться, что α = ηβδ и α = η\βδ\
для различных слов 7»7ь В этом случае говорим о различных
вхождениях подслова β в а. Таким образом, вхождением подслова β в слово
а называется слово β вместе с местом его расположения в слове а.
Вхождение подслова β в слово α можно изображать так: η * β * δ,
где * — символ, не принадлежащий алфавиту А. В частности, если
а = ηβδ = η\βδ\ и 7 7^ 7ι> то мы имеем два различных вхождения
7*/?*£ и 71 */?*£ι подслова β в слово а. Если для вхождения
7о * β * ^о подслова β в α слово 7о (слово δο) имеет наименьшую
длину среди всех слов 7 (слов δ), для которых α = ηβδ, то 7о * β * δο
называется первым (последним) вхождением β в а.
Вхождением буквы а в слово а называется вхождение в α слова,
состоящего из одной буквы а. Если существует вхождение буквы а
в слово а, то говорим, что буква а входит в а. Пусть η * β * δ —
вхождение слова β в а. Если а' = ^β'δ для некоторого слова β', то
будем говорить, что слово а' получается из α заменой вхождения
7 * β * δ подслова β на слово β'.
Ряд Х\,...,Хп некоторых объектов Xit г е {1,...,п}, будем
называть последовательностью или кортежем, а число п — длиной
этой последовательности. Объекты Х^ г G {1,...,п}, будут называться
членами или элементами последовательности Χι,...,Χη. Мы
предполагаем, что по записи последовательности ее члены и их порядок
восстанавливаются однозначно. Для этого нам необходимо разделять
члены последовательности, например, с помощью запятой. Если п = 0,
то ряд Х\,...,Хп будем считать пустой последовательностью и
обозначать его тем же символом 0, что и пустое множество. Иногда
последовательность Х\,...,Хп будем обозначать через (Х\,...,Хп).
Если Х\,...,Хп — множества, то множество всех кортежей (αϊ, ...,αη),

16
Гл. 1. Исчисление высказываний
где а\ G Χι,...,αη G Хп, будем обозначать через Х\ χ ... χ Χη. Если
Хх = Х2 = ... = Хп, то множество Χι χ Хг х ··· х Хп будем обозначать
также через X™. Последовательность из двух (трех и т. д.) членов
будем называть парой (тройкой и т. д.). Последовательность из η
элементов будем называть п-кой.
Отображением f множества X в множество У называется
соответствие, сопоставляющее каждому элементу a G X элемент f(a) G Υ,
называемый значением отображения / на элементе а. Ясно, что
отображение / множества X в множество Υ однозначно определяется
множеством {(a,/(a)) G Χ χ Υ \ а G X}. Это множество (называемое
иногда графиком /) мы будем отождествлять с отображением /. Если
/ — отображение X в У, то пишем / : X —► Υ. Если X — множество, то
всякое отображение / : Хп —► X будем называть η-местной операцией
на X, а η — местностью операции /. Если / : Υ —► X и У С Хп, то
/ будет называться частичной η-местной операцией на X с областью
определения Υ.
Для того чтобы задать множество X, достаточно указать, для каких
объектов а истинно отношение a G X. Поэтому следующие выражения
будут однозначно определять по двум множествам X и У новые
множества ХПУ, ХиУиХ\У, называемые соответственно пересечением,
объединением и разностью множеств X и У:
а) a G Χ Π У <^=> (a G X и a G У);
б) a G X U У <^=> (a G X или a G У);
в) a G X \ У <^ (a G X и a g У).
Предложение 1.1.1. Операции пересечения и объединения
удовлетворяют следующим равенствам для любых множеств X, У
1а)ХпУ = УПХ|
>- коммутативность;
2а)ХпХ = Х
26)XUX = X
3 а) (Χ Π У) Π Ζ = Χ Π (У Π Ζ) Ί
3 6) (Χ U У) U Ζ = Χ U (У U Ζ)) - ^t^aniuBHOcnib·,
4 а) Χ Π (У U Ζ) = (Χ Π У) U (Χ Π Ζ) 1
4 6) Χ U (У Π Ζ) = (Χ U У) Π (Χ U Ζ)) ~ ^гприбутивность.
Проверка этих равенств не представляет труда. Докажем,
например, 46. Пусть элемент а принадлежит левой части равенства. Тогда
a G X или α £Υ Π Ζ, поэтому aeXUYnaeXUZ.r.e. а принадле-
идемпотентность;

§ 1.2. Язык исчисления высказываний 17
жит правой части. Если ае X UY пае X U Z, то ае X или aeY Π Ζ.
Следовательно, а принадлежит левой части равенства (46). D
Если X — множество, то множество всех его подмножеств будем
называть множеством-степенью X и обозначать через Р(Х).
Пусть J — непустое множество и Χι для г G J — некоторые
множества. Объединением (J Х{ и пересечением [\ Х{ множеств Х^
г G J, будем называть множества, определенные следующим образом:
а G (J Х{ <=> (а G Х{ для некоторого г G J),
а G Π Xi <=> (a G Х{ для всех г G J).
Для множества X через [JX и f]X будут обозначаться
соответственно множества {а | a G Ъ для некоторого Ь G X} и {а \ a G Ъ для
всех 6 G X}.
Упражнения
1. Сколько различных вхождений имеет пустое слово Л в слово
длины п?
2. Показать, что число различных подслов слова а длины η не
п(п+ 1) , ,
превышает —к——- + 1.
3. Для каких слов а длины η число различных подслов а равно
2 ^
4. Пусть множества Χο,···,^η+ι являются подмножествами
некоторого множества Υ. Обозначим через Х{ множество Y\Xim
Показать, что
а)"СПЪ = Г№ б)~П~Х~г= U*b Β)Χ0ΠΧι=Χο\(Χο\Χι)·
i^n г^п г^п i^n
§ 1.2. Язык исчисления высказываний
Будем говорить, что задано исчисление 7, если заданы следующие
четыре множества:
а) алфавит А(1)\
б) множество Е{1) слов алфавита А(1), называемое множеством
выражений исчисления 7;
в) множество Ах{1) выражений исчисления 7, называемое
множеством аксиом исчисления 7;
г) множество R(I) правил вывода исчисления 7.

18
Гл. 1. Исчисление высказываний
Правило вывода в этой книге будет записываться так: ·
*Ьь ··· » *Ьп
5 *
При этом S\,...,Sn и S будут некоторыми схемами выражений
данного исчисления, выражающими их определенную структурную
зависимость. Схемы S\,...,Sn будут называться посылками, а схема S —
заключением данного правила. Число η называется местностью
данного правила; η-местное правило будем называть также п-посылочным
правилом.
Если конкретные выражения Φι,...,Φη и Φ удовлетворяют
структурным условиям данного правила, выраженные схемами S\,...tSn
и 5, то запись
Φΐ,...,Φη
Φ
будет называться применением данного правила, а выражение Φ —
результатом применения этого правила к выражениям Φι,...,Φη или
что Φ получается из Φι,...,Φη по этому правилу вывода.
Пару (Α(Ι),Ε(Ι)), состоящую из алфавита А(1) и множества
выражений Е{1) исчисления 7, будем называть языком исчисления I
и обозначать через 7/(7). Пусть даны два исчисления 1\ и Ц. Если
А(1\) С Α{1<ι) и Е{1\) С Efa), то будем говорить, что язык L(72)
исчисления 1<ι является расширением языка L(I\) исчисления 1\,
и обозначать это так: Lfa) С L(I\). О
Если дано исчисление 7, то множество доказуемых
выражений или теорем исчисления I определяется как наименьший класс
Г(7) С Е(1), содержащий множество аксиом исчисления 7 и
обладающий следующим свойством:
(*) если выражение Φ является результатом применения некоторого
правила ρ е R(I) к выражениям Φι,...,Φη е Г(7), то Φ е Т(1). 2)
Высказыванием в русском языке мы называем повествовательное
предложение, про которое можно утверждать, что оно истинно или
ложно. Например, высказывание «вода — продукт горения водорода»
истинно, а высказывание «все нечетные натуральные числа простые»
ложно. Из высказываний А, В в русском языке мы можем образовывать
более сложные высказывания такие, как «А и В», «А или В», «неверно,
что Л», «если А, то Б». Если мы знаем, истинно или ложно каждое
из высказываний А, В, то мы можем определить, истинны или ложны
О Это обозначение не совсем согласуется с уже введенным обозначением
включения для множеств, однако оно удобно и путаницы не вызывает. ν
2) В дальнейшем нам будет удобнее работать с равносильным, но более
конструктивным определением множества теорем исчисления. {

§ 1.2. Язык исчисления высказываний
19
выписанные выше сложные высказывания. Например, если А истинно,
а В ложно, то высказывание «если А, то В» ложно. Однако иногда
мы можем утверждать об истинности сложного высказывания, не зная,
истинны или ложны высказывания, из которых оно составлено.
Например, каковы бы ни были высказывания А к В, высказывание «неверно,
что А, или если В, то А» всегда истинно. В этом случае говорим, что
схема «неверно, что А, или если Б, то А» тождественно истинна. Одной
из основных задач исчисления высказываний, к изучению которого
мы приступаем, является описание тождественно истинных схем. Для
этого придется заменить русский язык формальным языком, который
не допускает двусмысленностей.
Алфавит исчисления высказываний, которое будем обозначать
через ИВ, состоит из трех групп символов.
1. Пропозициональные переменные: Qo,Qi, ··· ,Qn> ···, где η —
натуральное число.
2. Логические символы или связки: импликация —►, конъюнкция Л,
дизъюнкция V, отрицание "·, символ следования К логическая
константа $.
3. Вспомогательные символы: левая скобка (, правая скобка ),
запятая ,.
Определение. Формулой ИВ назовем слово алфавита ИВ,
удовлетворяющее следующему индуктивному (по длине слова) определению.
1. Пропозициональные переменные и логическая константа
являются формулами (будем называть их элементарными или
атомарными).
2. Если ФиФ- формулы, то (Ф Л Ф), (Ф V Ф), (Ф -> Ф) и ""Ф —
формулы.
Из определения следует, что (QoAQi)VQo — не формула (нет
внешних скобок). Однако в целях сокращения записи мы часто будем
опускать внешние скобки. Таким образом, (Qo A Q\) V Qo будет
сокращенной записью формулы ((Qo Л Qi) V Qo).
В дальнейшем формулы исчисления высказываний будут
обозначаться буквами Φ, Φ, X, а пропозициональные переменные —
буквами Р, R, причем Ф, Ф, X, Р, R могут иметь индексы.
Подформулой Φ формулы Φ ИВ будем называть подслово Ф,
являющееся формулой ИВ.
Докажем теперь утверждение об однозначности разложения
формулы ИВ.
Предложение 1.2.1. Всякая неатомарная формула Φ ИВ пред-
ставима в одном и только одном из следующих видов: (Φ Λ Χ),
(ΦνΧ), (Φ —► X) или "Ф для однозначно определенных формул
Φ иХ.

20
Гл. 1. Исчисление высказываний
Для доказательства предложения установим сначала один
технический факт.
Лемма 1.2.2. Если Φ и Φ — формулы ИВ и Φ — начало Ф, то
Ф = Ф.
Доказательство. Доказывать лемму будем индукцией по длине
формулы Ф. Если Φ атомарна, то и Φ должна быть атомарной, так как
в противном случае Φ начинается со скобки или с символа "" и тогда
Φ не может быть началом Ф. Следовательно, Φ = Φ.
Пусть Φ не атомарна и имеет вид "Ф', тогда Φ должна иметь вид
"Ф', причем, как нетрудно усмотреть из определения формулы, Ф' и Ф'
должны быть формулами. Кроме того, Ф' является, очевидно, началом
Ф'. Индукционное предположение дает Φ' = Ф' и, следовательно, Φ =
_ -φ/ _ -ψ/ _ ψ
Пусть Φ имеет вид (ΦοτΦι), где Фо и Φι — формулы ИВ, г — один
из символов Λ, V или —►. Тогда Φ начинается со скобки ( и поэтому
может быть представлена в виде (Φοτ'Φι), где Фо и Φι - формулы
и г' — один из символов Λ, V или —►. Так как (ΦοτΦι) является
началом (Φοτ'Φι), то слово Фо будет началом слова Φοτ'Φι, Фо — тоже
начало этого слова. Из двух начал одного и того же слова одно из
них есть начало другого (нужно взять начало меньшей длины). Значит,
Фо — начало Фо, или Фо — начало Фо- В любом случае применимо
индукционное предположение и, следовательно, Фо = Фо, τ = т' и Φι —
начало Фь Снова, применив индукционное предположение, получаем,
что Φι = Φι и Φ = (Φ0τΦι) = (Φοτ'Φι) = Φ. D
Доказательство предложения 1.2.1. Если формула Φ
начинается с символа "·, то доказывать нечего. Пусть Φ представлена
в виде (ΦοτΦι), где г — один из символов Λ, V или —►, а Фо, Φι —
формулы ИВ, и в виде (Φότ'Φ^), где т' — один из символов Λ, V
или —►, а Φβ, ΦΊ — формулы ИВ. Тогда Фо — начало Фо или Фо —
начало Фо. По лемме Фо = Фо поэтому г = т' и Φι = Ф[. Следовательно,
представление Φ = (ΦοτΦι) единственно. D
Следствие 1.2.3. Пусть Φ — формула ИВ. Тогда с каждым
вхождением символа ( или "· в формулу Φ однозначно связано некоторое
вхождение подформулы формулы Ф, первым символом которого
является рассматриваемое вхождение ( или "" соответственно.
Доказательство. Индукцией по длине формулы с каждым
вхождением символа ( или "" можно связать некоторое такое
вхождение подформулы, а лемма 1.2.2 позволяет утверждать единственность
такого вхождения. D
Предложение 1.2.4. Если Φ — формула ИВ, η, θ — вхождения
в Φ подформул Φ, Χ соответственно, то либо η и θ не имеют

§ 1.2. Язык исчисления высказываний
21
общих вхождений символов алфавита ИВ, либо одно из них целиком
содержится в другом.
Доказательство. Если η и в имеют общие вхождения символов,
то первое вхождение первого символа η или в должно быть общим.
Пусть первое вхождение первого символа η входит в в. Если Ψ —
атомарная формула, то утверждение очевидно. Пусть Ψ не
атомарна, тогда первый символ Ψ есть ( или ~\ По следствию 1.2.3 этот
символ однозначно определяет вхождение некоторой подформулы Ф;
в X. Но эта подформула будет подформулой и в Ф. В формуле Φ
с рассматриваемым вхождением символа ( или "" связано вхождение η
подформулы Ψ. В силу единственности Ψ должна совпадать с Ψ',
следовательно, η целиком содержится вв. D
Если все вхождения подформулы Ψ в формулу Φ заменить на
формулу X, то получим новую формулу, которую обозначим через (Φ)χ.
Такое определение корректно, так как из предложения 1.2.4 следует,
что два различных вхождения подформулы Φ в Φ не имеют общих
вхождений символов алфавита ИВ.
Определение. Секвенцией ИВ называется слово алфавита ИВ вида
ФЬ...,ФПЬФ,
где Фь... ,ФП,\1> — формулы ИВ, п — натуральное число. Отметим,
что при п = О это слово будет иметь вид h Ψ.
Часто секвенции будут обозначаться через Г h Ψ, где Г обозначает
последовательность формул ИВ, может быть, пустую.
Если формулы ИВ можно рассматривать как «формы» сложных
высказываний нашего языка, то секвенции являются «формами»
утверждений (теорем), в которых можно отчетливо выделить условия
(посылки) и заключение. А именно, рассматривая знак h как знак
(логического) следования, секвенцию Фо,...,Фп Ь ^ можно понимать как
утверждение вида «Из (истинности) посылок Фо,...,Фп (логически)
следует высказывание Ф».
Правила вывода ИВ, которые будут описаны в следующем
параграфе, отражают (формализуют) некоторые простейшие стандартные
логические способы рассуждения, позволяющие переходить от одних
истинных утверждений (теорем) к другим истинным утверждениям
(теоремам).
Упражнения
1. Используя предложение 1.2.1, показать, что для любого слова а
алфавита ИВ мы через конечное число шагов сможем определить,
является ли а формулой ИВ или нет.

22
Гл. 1. Исчисление высказываний
2. Заменим в определении формулы ИВ п. 2 на следующий: если Φ
и Φ — формулы, то (Ф) Л (Ф), (Ф) V (Ф), (Ф) -► (Ф) и ""(Ф) —
формулы. Показать, что при таком определении имеют место
утверждения, аналогичные предложениям 1.2.1 и 1.2.4.
§ 1.3. Система аксиом и правил вывода
В дальнейшем мы часто будем иметь дело не с конкретными
формулами и секвенциями, а с так называемыми схемами формул и
секвенций. Буквы Ф, Ф, X (буквы Г, Δ, Θ), возможно с индексами
из множества натуральных чисел, будем называть переменными для
формул (последовательностей формул). Пусть алфавит В содержит
кроме символов алфавита ИВ переменные для формул и
последовательностей формул.
Схемой секвенций (формул) ИВ мы будем называть такое слово
в алфавите В, что при любых подстановках в это слово вместо
переменных для формул и последовательностей формул соответственно
конкретных формул и последовательностей конкретных формул
получаются конкретные секвенции (формулы) ИВ. Результаты таких
подстановок будут называться частными случаями этой схемы. Например,
Φ, Г h Φ V Φ и Φ —► (Χι Λ Хг) будут схемами секвенций и формул
соответственно, а
Qo Л ^QirQo, ^(Q2 -> Q\) Ь Qs v (Qo Λ ^Qi),
((Qi -+ "Qi) Λ Qo) -> (Q3 Λ ^(Q2 V ^g0))
— частными случаями соответствующих схем 0.
Определение. Схема секвенций
ФЬФ
называется схемой аксиом ИВ. Частный случай схемы аксиом будем
называть аксиомой.
Правилами вывода ИВ являются следующие:
Г h Φ; Г l· Φ Γ,ΦΚΦ
ГЬФЛФ ' ГЬФ^Ф'
ГЬФЛФ ГЬФ;ГЬФ->Ф
" ГЬФ ' " ГЬФ
0 Когда значения переменных для формул и последовательностей формул
в схеме С секвенций (формул) в тексте зафиксированы, схему С будем
называть просто секвенцией (формулой).

§ 1.3. Система аксиом и правил вывода
23
ГЬФЛФ ЛГ,^ФЬ#
0. '
4.
6.
ГЬФ '
ГЬФ
ΓΚΦνΦ'
ГЬФ
ΓΚΦνΦ'
Γ,ΦΚΧ;Γ,ΦΚΧ;ΓΚΦνΦ
10.
11.
19
ГЬФ,
Г h Φ; Γ Ь ^Ф
гьу
Γ,Φ,Φ,Γι ЬХ
Г, Φ, Φ, Г! ЬХ'
ГЬФ
Г h Χ ' Г, Φ h Φ
Как отмечалось в конце предыдущего параграфа, правила
вывода ИВ формализуют определенные стандартные логические способы
рассуждений. Прокомментируем на содержательном уровне, не очень
строго, правила 1-12 с этой точки зрения.
Правила 1-3 — это просто правила, разъясняющие смысл союза «и»
(конъюнкции).
Правила 4, 5 так же относятся к пояснению смысла союза «или»
(дизъюнкции).
Правило 6 формализует способ рассуждения «разбором (двух)
возможных случаев». Если при выполнении посылок Г справедливо Φ
или X, а Ψ справедливо при выполнении условий Г и Ф, а также при
выполнении условий Г и X, то Ψ всегда справедливо при
выполнении посылок Г. Это устанавливается рассмотрением двух возможных
случаев (один из которых обязательно выполняется): 1) выполнены
условия Г и условие Ф, 2) выполнены условия Г и условие X.
Правило 7 формализует прием эквивалентной переформулировки
теоремы, позволяющий одно из условий теоремы помещать в ее
заключение в виде посылки.
Правило 8 — это одно из логических правил (правило modus ponens
или правило отделения), отмеченных еще Аристотелем; оно указывает,
как можно освобождаться от посылки в заключении.
Правило 9 формализует правило «рассуждения от противного».
Предположим, что условия Г и ПФ могут одновременно
выполняться; приходя к противоречию, выражаемому логической константой #,
заключаем, что из выполнимости условий Г всегда вытекает
выполнимость Ф.
Правило 10 — это правило «обнаружения (выведения)
противоречия» для последовательности посылок Г.
Правило 11 носит совершенно технический формальный характер:
перестановка посылок не влияет на истинность заключения.
Правило 12, называемое иногда «утончением» или правилом лишней
посылки, отражает тривиальный факт, что, добавляя к условиям
теоремы лишнее условие, мы не нарушаем истинности заключения теоремы.

24
Гл. 1. Исчисление высказываний
Если в правилах вывода в качестве Г и Γι берутся конкретные
последовательности формул ИВ, а в качестве Φ, Ψ, Χ — конкретные
формулы, то получаются частные случаи (или применения) правил
вывода. Правила 1-10 называются основными, а правила 11-12 —
структурными.
Если θ — применение правила вывода к, то будем говорить, что
секвенция, стоящая в θ под чертой, получается из секвенций,
стоящих над чертой, по правилу к.
Определение. Линейным доказательством в ИВ называется
конечная последовательность Sp,...,Sn секвенций ИВ, которая
удовлетворяет следующему условию: каждая секвенция Si, г ^п, либо
является аксиомой, либо получается из некоторых Sj, j < г, по одному из
правил вывода 1-12.
Секвенция S называется доказуемой в ИВ или теоремой ИВ,
если существует линейное доказательство 5о, ...,5П в ИВ, у которого
Sn = S. Формула Φ ИВ называется доказуемой в ИВ, если в ИВ
доказуема секвенция h Φ.
Пусть So,..., Sn — линейное доказательство в ИВ. Из определения
легко следует, что для любого г^п последовательность So,...,Si
будет линейным доказательством в ИВ; и если Sf0,...,Sfn — другое
доказательство в ИВ, то последовательность So, ···, Sn, Sq, ..., Sfn —
тоже линейное доказательство в ИВ.
Определим индуктивно понятие дерева:
1). Всякая секвенция является деревом.
2). Если Do,...,Dn — деревья и S — секвенция, то
Dp; ...; Dn
S
— также дерево 0.
Одна и та же секвенция может входить в дерево несколько раз.
Секвенцию вместе с ее местом расположения в дереве Ό будем называть
вхождением секвенции в дерево D. Вхождение секвенции в дерево D,
над которым нет горизонтальной черты, будем называть начальным
в D. Вхождение секвенции в D, под которым нет горизонтальной
черты, будем называть заключительным в D. Часто будет употребляться
слово «секвенция» вместо «вхождение секвенции», если из контекста
ясно, о каком вхождении идет речь. Ясно, что дерево может иметь
много начальных секвенций, но заключительная секвенция — только
одна. Часть дерева, состоящая из секвенций, расположенных
непосредственно над некоторой чертой, под той же чертой, и самой черты,
называется переходом.
1) При написании конкретных деревьев знак ; часто будет опускаться.

§ 1.3. Система аксиом и правил вывода
25
Определение. Дерево D назовем доказательством в ИВ в виде
дерева, если все его начальные секвенции — аксиомы ИВ, а
переходы — применения правил вывода 1-12. Если S является
заключительной секвенцией доказательства D в ИВ в виде дерева, то D называется
доказательством S в виде дерева или деревом вывода S в ИВ.
Пусть h — функция, определенная на секвенциях (точнее: на
вхождениях секвенций) дерева D и принимающая в качестве значений
натуральные числа, со следующими свойствами:
1). h(S) = О, если S является заключительной секвенцией дерева D.
2). Если
— переход в дереве D, то
Л(50) = ... = Л(5п) = Л(5) + 1.
Очевидно, что условия 1), 2) определяют функцию h однозначно.
Число h(S) назовем высотой (вхождения) секвенции S в дереве D.
Максимальную высоту секвенций, входящих в £>, назовем высотой
дерева D.
Предложение 1.3.1 Секвенция S является теоремой ИВ <=$>
существует доказательство секвенции S в ИВ в виде дерева.
Доказательство (=>) проведем индукцией по длине η
линейного доказательства секвенции S. Пусть S\,... ,5η_ι,5 — линейное
доказательство в ИВ. Если S — аксиома, то S будет доказательством
секвенции S в виде дерева. Пусть D\%..., Dn-\ — доказательства секвен-
S- ' ... · S-
ций Si,... ,5η_ι в виде дерева. Если гр "''——, 1 < гь ..., г& < п, —
применение некоторого правила ИВ, то дерево
Uil, ... , Ujk
S
будет доказательством секвенции S в виде дерева.
(<=) Пусть D — доказательство секвенции S в виде дерева.
Построим линейные доказательства для всех секвенций S' дерева D.
Построение будем вести обратной индукцией по высоте секвенции
Sf в дереве D. Начальные секвенции в дереве D будут линейными
доказательствами. Если для всех секвенций 5i,...,5m высоты к + 1
уже построены линейные доказательства Li,...,Lm, то очевидно, что
последовательность
L\,..., Lm, S
будет линейным доказательством секвенции S' высоты к. D

26
Гл. 1. Исчисление высказываний
Схема секвенций Η называется доказуемой в ИВ, если ее
добавление к ИВ в качестве схемы аксиом не расширяет множество
доказуемых секвенций. Ясно, что это эквивалентно тому, что все частные
случаи схемы Η доказуемы в ИВ.
Пример 1.3.2. Следующее дерево показывает доказуемость схемы
Φ,ΦΚΦΛΦ: О
Ψ h Ψ ίο
— правило 12
ФЬФ Ψ,ΦΚΨ
ф,*ьф - пРавило 12 φ,^κ^τ пРавило π
φ ψ ^_ φ д ψ — правило 1.
Правило вывода называется допустимым в ИВ, если добавление
его к исчислению ИВ не расширяет множество доказуемых секвенций.
В частности, правила 1-12 ИВ допустимы в ИВ.
Конечная последовательность секвенций So,... , Ьп называется
линейным квазивыводом секвенции Sn в ИВ, если каждая входящая
в нее секвенция является доказуемой в ИВ или получается из
предыдущих по допустимому в ИВ правилу вывода. Дерево D называется
квазивыводом секвенции S в ИВ в виде дерева, если всякая начальная
секвенция D доказуема в ИВ, заключительной секвенцией является 5,
а переходы представляют собой применения допустимых в ИВ правил
вывода.
Очевидно, что всякая секвенция, для которой существует линейный
квазивывод или квазивывод в виде дерева, является доказуемой.
В дальнейшем под доказательством (квазивыводом) в исчислении
ИВ мы будем понимать доказательство (квазивывод) в виде дерева.
Это мы делаем для более наглядного представления доказательства,
а также потому, что поиск доказательства данной секвенции в виде
дерева существенно проще, чем поиск ее линейного доказательства.
Ясно, что если в правиле ИВ переставить секвенции над чертой,
то полученное правило будет допустимым в ИВ. Так переделанные
правила мы не будем различать с исходными правилами.
Для δ е {О, 1} через Φδ будем обозначать формулу Ф, если 5=1,
и формулу "Ф, если δ = 0.
Предложение 1.3.3 (основные допустимые правила ИВ).
Следующие правила являются допустимыми в ИВ:
Φι vfr h Φ
a) '""' " , me{*b...,*n}C{Xb...,Xm},
Xl,...,Xm h Φ
О Вместо слов «применение правила к» будем писать короче — «правило /с».

§ 1.3. Система аксиом и правил вывода
27
„ЧГЬФ;Г,ФЬХ ч ГьФ.Ф.ГгЬХ
б) —— , в)
ГЬХ ' ' ГьФЛФ,Г2ЬХ'
ν Г, Φ h $ . Г, Ф£ h Φ* г гл 1 !
γ)ΊΤ^φ"· д)г,Ф(-)ЬФС-^)'где£^€{0'1}·
Доказательство. Для установления допустимости правила
вывода достаточно построить дерево секвенций, у которого переходы
будут применениями правил вывода ИВ, а начальными секвенциями
будут начальные секвенции данного правила и также, возможно,
некоторые доказуемые секвенции.
Дерево
Γ,Φ,ΦΚΨ
Г,ФЬФ-+Ф Г,ФЬФ
Г,ФЬФ
показывает допустимость правила
Γ,Φ,ΦΚΦ
aj γ,φκψ '
Так как любую перестановку формул в последовательности можно
осуществить, переставляя соседние формулы, то допустимость
правила а) следует из допустимости правила а') с помощью правил 11, 12.
Покажем еще допустимость правил г) и д), оставляя правила б)
и в) читателю в качестве упражнения.
г). Воспользуемся доказуемостью схемы Г, ~,_,Ф, "Φ h #, установить
которую предлагаем читателю в качестве упражнения:
Г,ФЬ£
Г,Ф,^ФЬ#
Г,^Ф,ФЬ# Г,^Ф,^ФЬ#
Г,^ФЬФ->$ Г,^ФЬФ
Г,— ФЬ£
ГЬ^Ф *
Для доказательства допустимости правила д) мы воспользуемся
установленной выше допустимостью правил а) и г), т.е. построим
соответствующее дерево, у которого некоторые переходы будут
применениями правила а) или г):
Г, Φε h Ψ* φ({~δ) h ψΟ-*)
Γ,ΨΟ-^,Φ6 h Ψδ Γ,Φ(1_ί),Φε ΚΨΟ-*)

28
Гл. 1. Исчисление высказываний
Пример 1.3.4. Докажем секвенцию h Qo V-Qo:
"Qo h -Qo
"Qo Ь Qq V -Qq -(Qq V -Qq) l· -(Q0 V -Q0)
"(QoV-Qo^-Qobff
"(QoV-QojbQo
"(Qo V "Qo) Ь Qq V -Qq -(Qq V -Qq) l· -(Q0 V -Q0)
"(QoV"Qo)bff
Ь Qo ν -Qo
Замечание 1.З.5. Заметим, что приведенное выше дерево не
является доказательством в ИВ, так как второй переход не является
применением ни одного из правил. Однако ясно, что, дополнив это дерево
применениями правил 11 и 12, можно получить доказательство. Вместо
нескольких применений правил 11 и 12 можно применять допустимое
правило а). В дальнейшем без оговорок будем пользоваться
допустимыми правилами 1 * —10*, которые получаются из основных правил 1-10
заменой вхождений Г над чертой на Γι,...,Γη, а Г под чертой на Γη+ι
и добавлением условия {Γι,...,Γη} С {Γη+ι}. Например, правило 6*
будет таким:
У Γι,ΦΚΨ;Γ2,ΧΚΨ;Γ3ΚΦνΧ
Г4 К Φ
г<5е{ГьГ2,Гз}С{Г4}.
Ясно, что правило 6* получается из правила 6 с Г = Г4 добавлением
следующих применений правила а):
ГЬФЬФ Г2,ХЬФ Г3 h Φ V Χ
Г4,ФЬФ' Г4,ХЬФ' Γ4ΚΦνΧ*
Упражнения
1. Установить доказуемость в ИВ следующих схем:
а) Ф Ь ^Ф;
б) —Φ h Φ;
в) Φ Λ Ψ h Φ Λ Φ;
г) Φ V Ψ h Ψ V Φ;
д) ь ^;
e) # h Φ для любого Ф.
2. Доказать допустимость в ИВ следующих правил:
гьфл-ф rhg гьф
е) гь# ; ж) гьф ; 3) г,-фьу ·

§ 1.4. Эквивалентность формул
29
§ 1.4. Эквивалентность формул
Обозначим через Fo множество всех формул ИВ, V — множество
всех пропозициональных переменных ИВ. Пусть so: У —► Fo —
отображение множества V в Fo. Для формулы Φ ИВ через в(Ф) обозначим
результат подстановки формулы so(P) вместо каждой пропозициональной
переменной Ρ из формулы Ф. Ясно, что так определенное отображение
s: Fo —► Fo удовлетворяет следующим условиям:
1) 5(Фг^) = β(Φ)τβ(Φ), где г е {Λ, V, ->};
2) 5(^Ф) = ^5(Ф).
Из этих условий индукцией по длине формулы Φ вытекает, что
для любой формулы Φ ИВ слово 5(Ф) будет формулой ИВ. Всякое
такое отображение будем называть подстановкой. Для результата
подстановки в(Ф) введем обозначение в(Ф) = (Ф)^°р0")Рпs(pn)» которое
согласуется с обозначением (Φ)χ, введенным в § 1.2.
Распространим отображение 5 на секвенции:
3)5(Φΐ,...,ΦηΚΦ) = 5(Φΐ),...,5(Φη)Κ5(Φ).
По индукции можно определить продолжение 5 на деревья:
/Dx^-JDk^ _ s(Dx)-...-s(Dk)
VS\ S J" s(S)
Теорема 1.4.1 (о подстановке). Пусть s: V —► Fo — произвольное
отображение множества V в Fo, S — доказуемая в ИВ секвенция.
Тогда секвенция s(S) доказуема в ИВ.
Доказательство. Индукцией по высоте дерева будем
доказывать, что если D — доказательство секвенции S в ИВ в виде дерева,
то s(D) — доказательство секвенции s(S) в ИВ. Если S — аксиома, то
s(S) также будет аксиомой. Для доказательства индукционного шага
достаточно показать, что если D\ — применение одного из правил ИВ,
то s(D\) будет применением того же правила. Но это очевидно в силу
свойств 1)-4). Например, если
Ф0, Φ h Ф; Ф0, X Ь Ф; Ф0 l· Φ V X
Φθ h Φ
— применение правила 6, то
д(Фо), д(Ф) h д(Ф); д(Фр), д(Х) h д(Ф); д(Ф0) h д(Ф) V д(Х)
5(Фо) h 5(Ф)
— также применение правила 6. D
Теорема о подстановке, иными словами, утверждает, что если в
доказуемой секвенции вместо пропозициональных переменных подста-

30
Гл. 1. Исчисление высказываний
вить произвольные формулы, то полученная секвенция будет
доказуемой.
Определение. Две формулы ФиФ назовем эквивалентными
(обозначаем Φ = Φ), если в ИВ доказуемы две секвенции ФЬФиФЬФ.
Отметим, что символ = не является символом языка исчисления
высказываний. Он является символом языка, на котором мы
доказываем утверждения об исчислении. Иногда этот язык называют
метаязыком. Понятия схемы и доказательства также являются понятиями
метаязыка.
Лемма 1.4.2. Отношение Φ ξ Φ является отношение
эквивалентности, т. е. для любых формул Φ, Φ, Χ ИВ справедливы
следующие утверждения:
а) Φ ξ Φ;
б) если Φ ξ Φ то Φ ξ Φ;
в) если Φ = Φ и Φ ξ Χ, το Φ = Χ.
Доказательство, а) следует из того, что Φ l· Φ — аксиома,
б) следует из симметричности ФиФв определении отношения ΦξΦ.
Если секвенции Φ h Φ и Φ h X доказуемы, то доказуема секвенция
Φ, Φ h X и по предложению 1.3.3 6) секвенция Φ Ь X доказуема.
Аналогично, если X h Φ, Φ l· Φ доказуемы, то X l· Φ доказуема. D
Лемма 1.4.3. а). Если Φ ξ Φ, mo Φ доказуема в ИВ тогда и
только тогда, когда в ИВ доказуема Ф.
б). Если Φι ξ Φι и Ф2 = Фг, то Φι Λ Фг ξ Φι Λ Фг, Φι V Фг ξ
Ξ Φ! V Φ2, Φΐ -> Φ2 = Φΐ -> *2. "$1 = ""Φΐ-
Доказательство, а). Если доказуемы l· Φ и Φ l· Φ, то по
допустимому правилу б) получаем К Ф.
Аналогично из доказуемости h Φ и Φ h Φ получаем
доказуемость h Φ.
б). В силу симметричности Ф^ и Ф^ в б), достаточно
доказать секвенции "Φι l· "Φι, Φι Λ Φ2 h Φι Λ Фг, Φι V Фг Ь Φι V Фг,
Φι —► Фг h Φι —► Φ2· Это вытекает из следующих квазивыводов:
-ν Φι Ι- Φι; "Φι l· "Φι,
) Φι,"Φι Ь-ff ;
"Φι h "Φι
Φι Λ Φ2 l· Φι; Φι Ь Φι Φι ЛФг Ι- Фг;Ф2 Ь ^2
η\ Φι Λ Φ2 l· Φι; Φι Λ Фг l· Φ2
' Φι Λ Φ2 l· Φι Λ Φ2

§ 1.4. Эквивалентность формул
31
3)
4)
Φι l· Φι Φ2 l· Φ2
Φι h Φι V Φ2 Φ2 l· Φι V Φ2 Φι V Φ2 h Φι V Φ2
Φι V Φ2 h Φι V Φ2
Φι h Φι; Φι —► Φ2 \~ Φι —► Φ2 Φ2 l· Φ2
Φι —> $2, Φι Ι" Фг l· Φ2 —ν Φ2
Φι -► Φ2,Φι h Φ2 π
Φι -► Φ2 h Φι -► Φ2"
Теорема 1.4.4 (о замене). Пусть Φ — формула ИВ, Φ — ее
подформула. Пусть Φ' получается из Φ путем замены некоторого
вхождения Φ на формулу Ф'. Тогда если ΦξΦ', mo Φ ξ Φ'.
Доказательство. Если Φ = Φ, то теорема тривиальна. Далее —
индукцией по длине формулы Ф. Если Φ = Qit то Φ = Φ.
Индукционный шаг распадается на 4 случая:
а) Ф = Фх л Ф2;
б) Φ = Φι νΦ2;
в) Φ = Φ! —► Ф2;
г) Φ = ^Фь
По предложению 1.2.4 любое вхождение Φ φ Φ содержится либо
в Φι, либо в Ф2, поэтому эквивалентность ΦξΦ' следует из
индукционного предположения и леммы 1.4.3 б). D
Предложение 1.4.5 (основные эквивалентности ИВ). Пусть Ф,
Φ и X — формулы ИВ, г £ {Л, V}, Л = V, V = Л. Тогда имеют место
следующие эквивалентности:
1) Φ εξ ФтФ; 8)ΪΛΦξΪ;
2) ФтФ = ФтФ; 9)1ΛΦξΦ;
3) (ФтФ)тХ = Фт(ФтХ); 10) ^νΦΞ ^;
4) Фт(ФтХ) = (ФтФ)т(ФтХ); 11) ff V Φ = Φ;
5) Φ -► Φ ξ ^Φ V Φ; 12) Φ Λ ^Φ ξ £;
6)^ΦξΦ; 13)Φν^Φ = ^;
7) "(ΦτΦ) ξ ^Φτ'Φ; 14) если Ф не содержит
пропозициональных переменных, то Φ = $
или Φ ξ ~'3r.
Доказательство. Эквивалентности 14) получаются из эквива-
лентностей 8)—11), 5) и 6) индукцией по длине формулы Ф. Чтобы
не загромождать изложение, приведем квазивыводы для
эквивалентности 4) при г = Λ и 5), 9). Остальные эквивалентности читатель
легко докажет сам, используя навык, приобретенный при разборе ранее
приведенных доказательств.

32
Гл. 1. Исчисление высказываний
В следующих двух деревьях через А будет обозначаеться формула
(ΦΛΦ)ν(ΦΛΧ):
Φ Л (Φ V Φ) h Φ; Φ h Φ Φ Λ (Φ V Χ) l· Φ; Χ h X
ФЛ(ФУФ),ФЬФЛФ ФЛ(ФУХ),ХЬФЛХ
Φ Λ (Φ V Χ), Φ \- Α; Φ Λ (Φ V Χ), Χ h Α\ Φ Λ (Φ V Χ) h Φ V Χ
Φ Λ (Φ V Χ) h A
ΦΛΦΚΦ ΦλΧΚΧ
ΦΛΦΚΦνΧ; ΦΛΦΚΦ ΦλΧΚΦ; ΦΛΧΗΦνΧ
ФЛФЬФЛ(ФУХ); ФЛХКФЛ(ФУХ); A l· A
ΛΚΦΛ(ΦνΧ)
Φ h Φ; Φ -
Φ->
^ΦΚΦ-
Φ,ΦΚΦ
+ Ψ
Φ -► Φ,ΦΚ ^ΦνΦ;
ФГФЬФ;
Φ,^Φ
"^ΦΓΦΙ-
ΓΦΙ-Ϊ
Φ->
^Φ
-φ μ -φ
πφ|-^ΦνΦ; ΚΦν^Φ
Φ h ^Φ νΦ
Φ,^ΦΚΦ; Φ h Φ; "ΦνΦΚ^ΦνΦ
^Φ УФ,Ф h Φ '
"Φ νΦ \- Φ -► Φ
^ff Λ Φ l· ^ff Λ Φ l· ^ff; Φ l· Φ
Заметим, что доказуемость l· Φ V "Φ следует из примера 1.3.4 и
теоремы о подстановке. Секвенция h "# получается из аксиомы $ Ь $
по допустимому правилу г). D
Упражнения
1. Доказать допустимость оставшихся правил из предложения 1.4.5.
2. Пусть формулы Φ и Φ ИВ содержат лишь одну
пропозициональную переменную Р, и для некоторых подстановок s\, S2 имеем
5ΐ (Φ) = Фи 5г(Ф) = Ф. Показать, что Φ = Ф.
3. Пусть Φ = Φ. Показать, что существует формула X,
эквивалентная формулам Φ и Ф, все пропозициональные переменные которой
содержатся как в Ф, так и в Ф. (Указание. Воспользоваться
теоремой 1.4.1.)
§ 1.5. Нормальные формы
Понятие эквивалентности формул ИВ будет иметь для нас
большое значение, так как основные изучаемые нами свойства формул
ИВ сохраняются при переходе к эквивалентным формулам. Поэтому

§ 1.5. Нормальные формы
33
очень важно уметь находить для каждой формулы ИВ эквивалентную
ей формулу, но устроенную по возможности более просто. В этом
параграфе будут определены такие «канонические» представители для
формул ИВ.
Лемма 1.5.1. Любая формула Φ исчисления высказываний
эквивалентна формуле Ф, которая не содержит символа импликации.
Доказательство индукцей по числу импликаций в формуле Ф.
База индукции тривиальна. Так как по определению формулы ИВ
любое вхождение импликации в формулу Φ содержится в подформуле
формулы Φ вида Φι —> Фг, то индукционный шаг вытекает из теоремы
о подстановке и эквивалентности 5) предложения 1.4.5 D
Лемма 1.5.2. Любая формула Φ ИВ эквивалентна формуле Φ без
символа импликации, у которой символы отрицания стоят только
перед атомарными подформулами.
Доказательство. Пусть F~* — множество формул, не
содержащих символа импликации. Определим отображение β : F~* —► F~~* no
индукции:
1) P(Qi) = Qi,
2) PCQi) = -Qi,
3) /?(ΦλΦ)=/?(Φ)Λ/?(Φ),
4) β(Φ V Φ) = β(Φ) V /?(Φ),
5) /?ΠΦΛΦ)) = /?ΓΦ)ν/?(-Φ),
6) /Зр(Ф V Φ)) = /?(-φ) Λ /?рФ),
7) /?(—Φ) = β(Φ).
По лемме 1.5.1 существует формула X ξ Φ, где Х не содержит
импликации. Эквивалентность X = β(Χ) легко получить индукцией по
длине X, используя основные эквивалентности ИВ. Очевидно, что Φ =
= β(Χ) удовлетворяет требованиям данной леммы. D
Определим теперь важные понятия дизъюнктивного и
конъюнктивного члена формулы. Для любой формулы Φ через Ό(Φ) будем
обозначать множество всех дизъюнктивных членов формулы Ф, а через
К(Ф) — множество всех ее конъюнктивных членов, которые определим
индукцией по длине Ф:
а). Если формула Φ не представима в виде дизъюнкции, т.е. в виде
Φ = (Фо V Φι), то ϋ(Φ) — {Φ}, т.е. Φ является своим
единственным дизъюнктивным членом,
б). Если Φ = (Фо V Φι), то ϋ(Φ) = £>(Ф0) U Ό(Φ{).
Множество К(Ф) определяется двойственно:
а). Если формула Φ не имеет вида Фо Λ Φι, то К (Φ) = {Φ}.
б). Если Φ - (Ф0 Λ Φι), то К(Ф) = К(Ф0) U К(Ф{).
2 Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин

34
Гл. 1. Исчисление высказываний
Замечание 1.5.3. Из предыдущих определений индукцией по
длине Φ получаем, что если Φ е Σ)(Φ) (Φ € К (Φ)), то £>(Ф) С Ό(Φ)
(#(*) С #(Ф)).
Предложение 1.5.4. Пусть Φ и Φ — формулы ИВ. £а/ш £>(Ф) С
С £>(Ф) то секвенция Φ l· Φ доказуема в ИВ.
Доказательство. Установим, что из Φ £ £>(Ф) следует
доказуемость секвенции Φ l· Φ. Докажем это индукцией по длине формулы Φ
при фиксированной формуле Ф. Если Φ — атомарная формула, то
Φ = Φ и доказывать нечего. В случае, когда Φ не представима в виде
дизъюнкции, также имеем Φ = Ф. Пусть Φ = Φ' V Ф". Тогда Φ € Ζ)(Φ')
или Φ G £)(Ф"). Если, скажем, Φ £ £>(Ф'), то по индукционному
предположению
ФЬФ'
Φ h Φ' V Φ"
— квазивывод секвенции Φ l· Φ.
Установим теперь предложение индукцией по длине Φ при
фиксированном Ф. Если £>(Ф) = {Ф}, то Φ £ £>(Ф) и выше уже установлена
доказуемость Φ h Φ. Если Φ = Φ' V Φ", το £>(Φ') U Ό(Φ") = ϋ(Φ) С £>(Φ)
и по индукционному предложению секвенции Φ' Ь Φ и Φ" l· Φ
доказуемы. Тогда
Φ' h Φ; Φ" h Φ; Φ h Φ' V Φ"
ΦΚΦ
— квазивывод нужной секвенции. D
Следствие 1.5.5. Если Ό(Φ) = £>(Ф), mo Φ ξ Φ. D
Полученное следствие показывает, что с точностью до экви-
п
валентности формул можно пользоваться обозначением V Ф; или
г=\
Ф\ V ... V Фп для формул Φ таких, что ϋ(Φ) = {Φι,..., Φη}.
Для конъюнктивных членов ситуация вполне аналогичная.
Оставляем читателю доказательство следующего предложения.
Предложение 1.5.6. Пусть Φ и Φ — формулы ИВ. Если К(^) С
С К(Ф), то доказуема секвенция Φ l· Φ. D
Следствие 1.5.7. Если К (Φ) = if (Φ), mo Φ ξ Φ. D
π
Это позволяет использовать обобщенную запись вида Д Ф^ или
г=1
Φι Л ... Л Фп для формул Φ таких, что К(Ф) = {Φι,..., Φη}.
Лемма 1.5.8. Секвенция Г h Φ доказуема тогда и только тогда,
когда доказуемы секвенции Г h Φ' для всех Ф' £ К(Ф).

§ 1.5. Нормальные формы
35
Доказательство. В одну сторону лемма вытекает из
предложения 1.5.6 и замечания 1.5.3. Пусть для любого Ф' G К(Ф) секвенция
Г h Φ' доказуема. Индукцией по длине Φ покажем, что Г h Φ
доказуема. Если Φ не представима в виде Фо Л Φι, то доказывать нечего. Если
Φ = Фо Л Фь то по индукционному предположению Г h Фо и Г h Φι
доказуемы (так как К(Ф{) С К(Ф)). Следовательно,
Г h Ф0; Г h Φι
Г l· Фо Л Φι
есть квазивывод секвенции Г h Ф. D
Определение. Будем говорить, что формула Φ — элементарная
дизъюнкция, если каждый дизъюнктивный член Φ есть либо
пропозициональная переменная, либо отрицание пропозициональной
переменной. Будем говорить, что формула Φ находится в конъюнктивной
нормальной форме (к. н. ф.), если каждый конъюнктивный член Φ
является элементарной дизъюнкцией. Формулу Ф, находящуюся в
конъюнктивной нормальной форме, с точностью до эквивалентности можно
η
записать в виде Д (Фд V ... V Ф^.), где Ф*· — атомарные формулы
г=0
или отрицания атомарных формул, а Фд V ...V Ф^. — обобщенные
обозначения для конъюнктивных членов формулы Ф.
Двойственным образом (т. е. заменой Л на V и V на Л)
определяются понятия элементарной конъюнкции и дизъюнктивной нормальной
формы (д. н.ф.).
Теорема 1.5.9. Для любой формулы Φ ИВ существует
эквивалентная ей формула Ф, находящаяся в к. н.ф.
Доказательство. Пусть Φι — формула, эквивалентная Ф, не
содержащая символа импликации и все символы отрицания которой
стоят перед атомарными подформулами. Заменив # и "#
соответственно на эквивалентные формулы Ρ Л "Р и Ρ V "Ρ для некоторой
пропозициональной переменной Р, можно считать, что Φι не
содержит логическую константу. Будем доказывать теорему индукцией по
длине Фь Если Φι — пропозициональная переменная или ее
отрицание, то Φι уже находится в к. н.ф. Если Φι = Φι Λ Фг и ХьХг —
формулы, эквивалентные Фь соответственно Фг, находящиеся в к. н. ф.,
то по теореме о замене формула Χι Λ Хг эквивалентна Φι и находится
в к. н.ф.
Пусть Φι = Φι V Фг- По индукционному предположению
существуют формулы Χι и Х2, находящиеся в к. н.ф., Χι ξ Φι и Хг = Фг- По
теореме о замене Φι = Χι V Хг- Доказательство того, что Χι V Хг
эквивалентна некоторой Ф, находящейся в к. н.ф., будем вести индукцией
2*

36
Гл. 1. Исчисление высказываний
по η = πΐ{ + гаг, где rrii — число символов Λ в Xi, г = 1,2. Если
mi = -гаг = 0, то Xi VX2, будучи элементарной дизъюнкцией,
находится в к. н.ф. Пусть, например, ттгг не равно нулю. Тогда Хг = Хз Λ Х4.
По основной эквивалентности 4) получаем
X! V Х2 = Χι V (Хз Λ Х4) = (Χι V Х3) Λ (Χι V Х4).
По индукционному предположению Χι V Хз и Χι V Х4
эквивалентны #2 и соответственно Фз, которые находятся в к. н. ф. Ясно, что
Φ = #2 Λ Фз удовлетворяет требованиям теоремы. D
Доказательство следующей теоремы по существу повторяет
доказательство теоремы 1.5.9 с перестановкой Λ и V.
Теорема 1.5.10. Для любой формулы Φ ИВ существует
эквивалентная ей формула Ф, находящаяся в д. н.ф. D
Определение. Будем говорить, что формула Φ ИВ находится в
совершенной к. н.ф. (д. н.ф.), если Φ = "# (Φ = $) или выполнены
следующие условия:
1) Φ находится в к. н. ф. (д. н.ф.);
2) любая пропозициональная переменная Р, входящая в формулу Ф,
имеет в любом конъюнктивном (дизъюнктивном) члене Φ ровно
одно вхождение;
3) любые два различных вхождения конъюнктивных
(дизъюнктивных) членов Φ имеют различные множества дизъюнктивных
(конъюнктивных) членов.
Например, из формул
(Q\ V Q3) V ^Q0, (<?2 Λ Q4) V (Q4 Λ Q2), (Q\ Λ ^Q2) V (Q2 Λ ^Q{),
находящихся в д. н.ф., первая находится в совершенной к. н.ф., а
третья — в совершенной д. н.ф.; первая и вторая формулы не находятся
в совершенной д. н. ф. (Почему?)
Лемма 1.5.11. Пусть Φ — формула ИВ.
1). Если найдется такая Ф, что Ф,"Ф G £>(Ф), то Φ = "#,
в частности, секвенция h Φ доказуема.
2). Если найдется такая Ф, что Ф, "Ф £ К(Ф), то Φ = #, в
частности, секвенция \- "Ф доказуема.
3). Если К(Ф) = {"#, Ф0,...,ФП}, то Φ = Φ, где Φ — формула,
для которой выполнено if (Ф) = {Фо, ···, Фп}·
4). Если Ό(Φ) = {#, Фо,..., Фп}, то Φ ξ Ф, где Φ — формула, для
которой выполнено £>(Ф) = {Фо,..., Фп}.

§ 1.5. Нормальные формы
37
Доказательство. Следует из основных эквивалентностей 2), 3),
8)-13), теоремы о замене и следствий 1.5.5, 1.5.7. D
Теорема 1.5.12. Для любой формулы Φ ИВ существует
эквивалентная ей формула Ф, находящаяся в совершенной к.н.ф. При
этом, если секвенция h Φ не доказуема, то Φ не содержит
логической константы $.
Доказательство. Если секвенция h Φ доказуема, то выполнено
Φ = "#, а формула "# по определению находится в совершенной к.н.ф.
В дальнейшем будем предполагать, что секвенция Ь Φ не доказуема
в ИВ. Пусть Φι — формула, эквивалентная Φ и находящаяся в к.н.ф.
Такая формула существует по теореме 1.5.9.
Если конъюнктивный член θ формулы Φι содержит среди своих
дизъюнктивных членов формулы Ρ и ~"Р, то по лемме 1.5.11.1) мы
получаем Θ = ~'3Г. Так как секвенция h "# доказуема, то в силу леммы
1.5.11, эквивалентности 3) и недоказуемости секвенции h Φ, можно по
теореме о замене получить формулу Фг, эквивалентную формуле Φι,
находящуюся в к. н. ф. и у которой никакой конъюнктивный член не
содержит среди своих дизъюнктивных членов Ρ и "Р ни для какой
пропозициональной переменной Р. Из основных эквивалентностей
вытекает эквивалентность
θΞθν(ΡΛΤ)Ξ(θνΡ)Λ(θν ^Р).
Используя эти эквивалентности и теорему о замене, можно из формулы
Фг получить формулу Фз, эквивалентную формуле Фг, находящуюся
в к. н. ф. и у которой любой конъюнктивный член содержит все
пропозициональные переменные, входящие в формулу Фг. Если формула
Фз имеет два конъюнктивных члена с одинаковым множеством
дизъюнктивных членов, то в силу основных эквивалентностей 2), 3), 1) по
теореме о замене из формулы Фз получается формула Ф, эквивалентная
формуле Фз и удовлетворяющая всем условиям определения
совершенной к. н.ф. D
Доказательство следующей теоремы аналогично предыдущему
доказательству с заменой Λ на V, использованием леммы 1.5.11 пп.2),4)
и того факта, что если секвенция h "Φ доказуема в ИВ, то Φ ξ J.
Теорема 1.5.13. Для любой формулы Φ существует формула Ф,
эквивалентная Φ и находящаяся в совершенной д. н.ф. При этом
если секвенция h "Φ не доказуема, то Φ не содержит логической
константы $. D

38
Гл. 1. Исчисление высказываний
Упражнения
1. Доказать предложение 1.5.6, теорему 1.5.10 и теорему 1.5.13.
2. Показать, что в теоремах 1.5.9 и 1.5.10 можно потребовать, чтобы
Φ и Φ содержали одни и те же переменные, если Φ содержит
переменные.
3. Показать, что секвенция Г, Φ l· Φ тогда и только тогда доказуема
в ИВ, когда для любого X £ Э(Ф) секвенция Г, X h Φ доказуема
в ИВ.
§ 1.6. Семантика исчисления высказываний
Исчисление называется непротиворечивым, если не все выражения
этого исчисления доказуемы.
Пусть X — некоторое множество, fx — некоторое отображение
пропозициональных переменных ИВ в множество Р(Х) всех
подмножеств X. Такое fx назовем интерпретацией ИВ в X. Продолжим fx
до отображения формул ИВ в Р(Х) (обозначим его также через fx)
по индукции:
1. fx№ = 0,
2. /χ(ΦΛΦ) = /χ(Φ)η/χ(Φ),
3. /χ(ΦνΦ) = /χ(Φ)ϋ/χ(Φ),
4. /χ(-Φ)=Χ\/χ(Φ),
5. /χ(Φ->Ψ) = /χΓΦ)υ/χ(Ψ).
Определим отношение «—►» на множествах:
ΧΪ9...,Χη^Υ <=> (p|X,cr);
При этом, если η = 0, то Х\,..., Хп —► Υ = —► Υ и Q Χι = X. Таким
образом,
-> Υ <=ф Υ = X.
Каждой секвенции S ИВ сопоставим утверждение fx(S) про
подмножества X следующим образом:
/Х(ФЬ...,ФПЬФ) *=> /χ(Φι),...,/χ(Φη)->/χ(Φ).
Теорема 1.6.1. Для любой интерпретации fχ ИВ в X и любой
доказуемой в ИВ секвенции S утверждение fx(S) справедливо.
Доказательство. Индукция по числу переходов в
доказательстве D секвенции S. Очевидно, что если S — аксиома, то fx(S)
истинно. Поэтому достаточно доказать, что если значения fx от секвенций
над чертой дерева D справедливы, то значение fx от секвенции под
той же чертой также справедливо. Пусть, например,
ФЬ...,ФП,Ф0ЬФ; Φι,...,Φη,Φι ЬФ; Фь ..., Фп h Ф0 V Φι
ФЬ...,ФП ЬФ

§ 1.6. Семантика исчисления высказываний
39
— переход в дереве D и утверждения /χ(Φι, ..., Φη, Фо Ь Ф), /х(Фь···
...,Φη,Φι h Φ), /χ(Φι,...,Φη Ь Фо V Φι) имеют место. Пусть χ е
е П /х(Фг)-Таккак fl /х№) Я /х(*о) υ/χ(Φι), то ж G /χ(Φ,) для
некоторого j < 1. Так как f| /χ (Φ,) П /x-(*j) С /х(Ф), то я G /х(Ф).
Следовательно, /χ (Φι,... ,ФП К Ф) имеет место. Проверка для других
переходов D также проста и предоставляется читателю. D
Следствие 1.6.2. ИВ непротиворечиво.
Доказательство. Пусть X — непустое множество, fx —
некоторая интерпретация ИВ в X. По определению интерпретации
fx(Qo Л ^<2о) = fx(Qo) Π (X \ fx(Qo)) = 0. Очевидно, что
утверждение fx(\- Qo Л "Qo) ложно. По теореме 1.6.1 секвенция l· Qo Л "Qo не
доказуема. Следовательно, ИВ непротиворечиво. D
Мы рассмотрели интерпретацию ИВ, при которой
пропозициональные переменные интерпретировались как подмножества некоторого
множества X, а логические связки как операции на этих
подмножествах. Это позволило доказать непротиворечивость ИВ. Представляет
интерес и сама параллельность теоретико-множественных операций
и логических связок 0.
Конечно, понятие интерпретации выходит за рамки самого
исчисления. Оно относится к так называемой семантике исчисления, в
отличие от понятий формулы, правил вывода, доказательства, которые
относятся к синтаксису исчисления.
Сейчас рассмотрим другую интерпретацию ИВ, которая очень тесно
связана с этим исчислением и которую будем называть главной
интерпретацией ИВ. На множестве {0,1} определим операции Л, V, —>, "*
при помощи следующей таблицы:
X
0
0
1
1
У
0
1
0
1
χ Λ у
0
0
0
1
χ V у
0
1
1
1
χ -*у
1
1
0
1
^х
1
1
0
0
Эти функции будут значениями логических связок при главной
интерпретации. Эта таблица соответствует правилам 1)-4) определения
интерпретации /{0}, когда 0 = 0, 1 = {0}. Иногда употребляют вместо
символов 0, 1 слова «ложно» и «истинно». Тогда эта таблица укажет
1) Полезное обобщение этой интерпретации приведено в упражнении 2
к §2.2.

40
Гл. 1. Исчисление высказываний
правила приписывания значений истинности для связок Л, V,—►,"■,
довольно хорошо согласующиеся с употреблением соответствующих
связок в русском языке.
В дальнейшем для формулы Φ запись Ф(Рь... , Ρ&) будет
обозначать саму эту формулу, а также тот факт, что все ее
пропозициональные переменные находятся среди Ρι,...,Ρ&. Также для секвенции S
запись S(P\,..., Pk) будет обозначать саму эту секвенцию, а также
тот факт, что все ее пропозициональные переменные находятся среди
Рь...,Р*.
Значением логической константы # при главной интерпретации
будет 0. Зафиксируем пропозициональные переменные Ρι,...,Ρ&. Если
задано отображение / множества {Ρι,.,.,Ρ^} в {0,1}, то по данной
выше таблице и значению логической константы функция / однозначно
продолжается на множество формул ИВ, пропозициональные
переменные которых находятся среди Pi,...,Pfc. Если при этом /(Ф) = 1
(/(Ф) = 0), то будем говорить, что на наборе (/(Pi),... ,/(Р^))
значение истинности формулы Φ равно 1 (0) или просто, что Φ истинна
{ложна) на этом наборе.
Таким образом, для любой формулы Ф(Рь... ,Рк) мы имеем
/с-местную операцию на множестве {0, 1}, которая заданным значениям
истинности 6\,...,6к переменных Ρι,.,.,Ρ^ сопоставляет значение
δ е {0, 1} истинности формулы Ф. Эту функцию будем называть
истинностной функцией формулы Φ и обозначать через Φ[Ρι,... ,Ρ&].
При этом мы говорим, что функция Φ[Ρι,...,Pfc] на наборе (S\,...,Sk)
принимает значение δ и пишем Φ[δ\, ..., Sk] = δ.
Формулу Ф(Рь... ,Рк) назовем тождественно истинной
(тождественно ложной), если функция Ф[Рь ...,Р&] принимает значение
истины (лжи) на всех наборах значений переменных Ρι,.,.,Ρ^. Ясно,
что это понятие не зависит от выбора переменных Р\>..., Рь а зависит
только от самой формулы Ф.
Секвенция S(P\,... , Ρ&) вида Φι,..., Φη l· Ψ также определяет
/с-местную операцию S[P\,..., Ρ&] на множестве {0,1}, которая по
определению совпадает с операцией Ф[Рь ..., Ρ&], где
Φ = (Φι->(φ2->(..._>(φη_>φ)...))).
Из этого определения видно, что секвенция Г h Φ истинна на
наборе (δι,... ,£&), если на этом наборе либо одна из формул Г ложна,
либо Φ истинна.
Секвенция S называется тождественно истинной, если она
истинна па любом наборе (ίι,...,ί&) значений истинности переменных
Pi,...,Pfc, среди которых содержатся все переменные, входящие в 5.
Очевидно, что это понятие также не зависит от выбора Pj,..., Ρ&.

§ 1.6. Семантика исчисления высказываний
41
Теорема 1.6.3. Если секвенция S ИВ доказуема в ИВ, то S
тождественно истинна.
Доказательство индукцией по числу переходов в
доказательстве D секвенции S в виде дерева. Если S — аксиома, то утверждение
теоремы тривиально. Чтобы завершить доказательство теоремы, нужно
проверить, что правила 1-12 сохраняют тождественную истинность
секвенций. Пусть, например,
Г l· Φ; Г h Φ ^ Ψ
— применение правила 8. Если на некотором наборе истинности
пропозициональных переменных все формулы из Г истинны, то по
индукционному предположению ФиФ-^Ф истинны на этом наборе. Тогда
по определению операции —► формула Φ тоже истинна.
Проверка других правил также проста и предоставляется
читателю. D
Из теоремы 1.6.3 получаем другое доказательство следствия 1.6.2.
В самом деле, ясно, что Qo Л "Qo — тождественно ложная формула.
Поэтому в силу теоремы 1.6.3 секвенция l· Qo Л "Qo не доказуема
в ИВ.
Следствие 1.6.4. Если Ф(Рь ..., Ρ&) = ^(Рь ..., Pk), то функции
Ф[Ри...,Рк] и ЩР\,...,Рк] совпадают.
Доказательство. Пусть Ф[6\,...,6к] = 1. По условию Φ l· Φ
доказуема. По теореме 1.6.3 секвенция Φ l· Φ тождественно истинна.
По определению истинности секвенции получаем Φ[δ\, ..., 5&] = 1.
Аналогично из Ф[£ь ··· ,5fc] = 1 получаем Ф[5ь ...,£&] = 1. D
Обозначение. Напомним, что для формулы Φ введены следующие
обозначения: Ф1 = Ф, Ф° = "Ф. Набор нулей и единиц (δ\,... ,δη) часто
будем обозначать через δ. Отметим, что при η = О это будет пустой
набор.
Лемма 1.6.5. Элементарная дизъюнкция Φ вида Р^1 V... VP^n
принимает значение О на единственном наборе δ = ((1 — δ\),... ,(l —
— δη)) значений истинности переменных Р\,..., Рп.
Доказательство. Формула Φ построена из формул р/* при
помощи операции V. Из таблицы истинности для дизъюнкции следует,
что если бы одна из формул р/* приняла значение 1, то Φ также
приняла бы значение 1. Следовательно, Pi должна принимать значение
(1-й). □

42
Гл. 1. Исчисление высказываний
Теорема 1.6.6 (о функциональной полноте ИВ). Пусть f —
функция, определенная на наборах (£о, ...,ίη) нулей и единиц и
принимающая нуль или единицу в качестве значений. Тогда
существует такая формула Φ ИВ, переменные которой содержатся
среди Qo>-..,Qn и Ф[<2о, ...,Qn] = /·
Доказательство. Если / тождественно равна единице, то в
качестве Φ можно взять формулу <Зо V "<2о·
Для набора δ = (£о, ...,£п) элементов множества {0, 1} через /(δ)
обозначим значение функции /(<5о, •••»^п)· Пусть множество
Χ = {((1-δ0),...,(1-δη))\/(δ) = 0}
не пусто. Возьмем в качестве Φ формулу вида
Л (<?ο°ν···ν <?«")·
sex
Докажем, что Φ[δο,... ,δη] = О равносильно /(δ) — 0. Пусть Φ[δ] — 0.
Так как Φ построена из конъюнктивных членов с помощью операции Л,
то существует конъюнктивный член Ф, который ложен на наборе δ.
Формула Φ имеет вид QS0° V ... V Qnn, где (δ'0,..., δ'η) € X. В силу
предыдущей леммы δ% — (1 — 6[), г < п, следовательно,
<(1-*),..., (1-*„)> = <&···. О и/® = 0.
Пусть теперь /(5) = 0. По предыдущей лемме конъюнктивный член Φ
вида ложен на наборе 5. Используя опять то, что
Φ построена из конъюнктивных членов (среди которых находится Ф)
при помощи операции Л, заключаем, что Ф[5о, ...,5П] = 0. D
Упражнения
1. Предположим, что ваши вычислительные возможности состоят
только в следующем: если вам дают пару чисел δ\,δ2 G {0, 1}, то
вы можете вычислить максимум тах(5ь5г) этих чисел, а когда
вам дадут δ G {0, 1}, то вы можете назвать 5 G {0, 1}, который
не равен δ. Показать, что вы тогда способны вычислить любую
функцию /, сопоставляющую наборам (δο,.,.,δη) нулей и
единиц нуль или единицу. А именно, для любой такой функции /
существует такая последовательность so, ···,£&, что для любого
г < к элемент si является либо парой (j,m) чисел, меньших г,
либо одним числом, меньшим г. При этом, если вы по заданному
набору (δο,...,δη) нулей и единиц напишете последовательность
qo,---,qk нулей и единиц по следующему правилу:
а) если г < п, то qi = δί\

§1.7. Характеризация доказуемых формул
43
б) если n<i^knsi = (j,rn), то qi = max(^·, qm)',
в) если п < i ^ k и S{ < i, το qi = q^iy
то тогда qk будет значением / на наборе (δο,..., δη). (Указание.
Воспользоваться теоремой 1.6.6, следствием 1.6.4 и
эквивалентностью Φ Λ Φ ξ ""(""Φ V "Φ).)
2. Показать, что если формулы Φ = Φ находятся в совершенной
к. н.ф. (совершенной д. н.ф.) и содержат одни и те же
переменные, то {D(X) | X G ϋΓ(Φ)} - {2?(Х) | X G ϋΓ(Φ)} ({ϋΤ(Χ) | Χ €
G Ζ?(Φ)} = {K(X) I X G Ζ?(Φ)}).
§ 1.7. Характеризация доказуемых формул
Теорема 1.7.1. Пусть Φ — формула ИВ. Следующие три условия
эквивалентны:
1). Φ доказуема в ИВ.
2). Для всякой Φ' ξ Φ, находящейся в к.н.ф., и любого ее
конъюнктивного члена Φ существует такая атомарная формула Р, что
Ρ,ΤΕί)(Φ).
3). Существует Φ' ξ Φ, находящаяся в к. н. ф. и такая, что для
любого ее конъюнктивного члена Φ существует такая атомарная
формула Р, что Р, ""Р € £>(Ф).
Доказательство. 2) =>► 3) тривиально. 3) => 1) следует из
лемм 1.5.8, 1.5.11 и 1.4.3а).
Докажем 1) => 2). Пусть формула Φ доказуема. Тогда доказуема
формула Ф' и по лемме 1.5.8 доказуем любой конъюнктивный член Φ
формулы Ф'. Предположим, что £>(Ф) не содержит никакой атомарной
формулы Ρ вместе с ее отрицанием ""Р. Рассмотрим два множества
атомарных формул X = {Р | Ρ G £>(Ф)} и У = {Р | ^Р G £>(Ф)}·
По предположению, Χ Π У = 0. Пусть Φι получается из Φ заменой
всех подформул Ρ G I на Qo и всех Ρ G У на "Qo- По теореме
о подстановке Φι доказуема. Пусть Φ 2 получается из Φι заменой "Qo
на <3ο· В силу леммы 1.4.5 б) и теоремы о замене имеем Фг ξ Ф^
Следовательно, Φ 2 доказуема. Очевидно, что 1)(Ф2) = {Qo}· По
следствию 1.5.5 выполняется Qo = Ф2· Значит, формула Qo доказуема. По
теореме о подстановке получаем, что любая формула X доказуема. Это
невозможно в силу непротиворечивости ИВ. D
Теорема 1.7.1 дает характеризацию доказуемых в ИВ формул,
основанную на строении эквивалентных им формул, находящихся в к. н. ф.
Такую характеризацию назовем дедуктивной. Сейчас мы получим
семантическую характеризацию доказуемых в ИВ формул, основанную
на понятии истинности.

44
Гл. ί. Исчисление высказываний
Лемма 1.7.2. Секвенция Г, Φ l· Φ доказуема тогда и только
тогда, когда доказуема секвенция Г h Φ —> Φ.
Доказательство непосредственно по правилам 7 и 8. D
Теорема 1.7.3 (о полноте ИВ), а). Для того чтобы формула Φ
ИВ была доказуема в ИВ, необходимо и достаточно, чтобы Φ была
тождественно истинной.
б). Для того чтобы секвенция S ИВ была доказуема в ИВ,
необходимо и достаточно, чтобы S была тождественно истинной.
Доказательство. Необходимость утверждает теорема 1.6.3.
Утверждение б) следует из а), так как в силу леммы 1.7.2 и
определения тождественной истинности секвенций и формул доказуемость
и тождественная истинность секвенции Φι,...,ΦηΚΦ равносильны
доказуемости и тождественной истинности формулы Φι —> (Фг —►...—►
->(фп^ф)...).
Пусть Φ — тождественно истинная формула и Φ' = Φ
находится в к. н.ф. Предположим, что Φ не доказуема. Тогда Ф' тоже не
доказуема. В силу лемм 1.5.8 и 1.5.11 существует конъюнктивный
член Φ формулы Ф', для которого £>(Ф) не содержит атомарной
формулы Ρ вместе с ее отрицанием "Р. Пусть X = {Ρ \ Ρ е D(^)}
и Υ = {Ρ Ι ""Ρ e £>(#)}· Тогда X ΠΥ = 0. Если переменные из X
принимают значение 0, а переменные из Υ — значение 1, то по
лемме 1.6.5 формула Φ принимает значение 0. Так как Ф' построена
из конъюнктивных членов (среди которых есть Ф) с помощью одной
связки Λ, то Ф' принимает значение 0, когда переменные из X
принимают значение 0, а из Υ — значение 1. Следовательно, Ф' — не
тождественно истинная формула. В силу следствия 1.6.4 формула Φ
тоже не тождественно истинная. Получили противоречие. D
Если задано исчисление и определено понятие истинности
(семантика) формул этого исчисления, то говорят, что исчисление
непротиворечиво по отношению к этой семантике, если в исчислении
доказуемы только истинные формулы. Если доказуемы все истинные
формулы, то говорят, что исчисление полно по отношению к этой
семантике.
Кроме проблемы непротиворечивости и полноты важное значение
имеет проблема разрешимости исчисления. Говорят, что исчисление
разрешимо, если существует эффективная процедура (алгоритм),
позволяющая для любой формулы Φ через конечное число шагов
определить, доказуема Φ или нет. Если такой процедуры не существует, то
говорят, что исчисление неразрешимо.
Если истинность формул ИВ определить как тождественную
истинность, то предыдущая теорема показывает, что ИВ полно и непроти-

§ 1.7. Характеризация доказуемых формул
45
воречиво по отношению к этой семантике. Очевидно, что за
конечное число шагов можно узнать, является ли данная формула Φ ИВ
тождественно истинной или нет. Так как тождественная истинность
и доказуемость Φ эквивалентны, то ИВ разрешимо.
При задании исчисления с помощью схем аксиом и правил вывода
естественно возникает вопрос о независимости этих схем аксиом и
правил вывода. Схема аксиом называется независимой в исчислении,
если хотя бы один ее частный случай не доказуем в исчислении без
этой схемы. Правило вывода называют независимым в исчислении,
если оно не является допустимым в исчислении без этого правила.
Исчисление называется независимым, если все его схемы аксиом и
правила вывода независимы.
При построении исчисления часто стремятся получить его
независимым. (Немаловажную роль здесь играют эстетические соображения.)
В оставшейся части параграфа на примере ИВ будет изложен важный
метод доказательства независимости исчислений 0.
Предложение 1.7.4. ИВ независимо.
Доказательство. Так как в ИВ только одна схема аксиом, то
она независима. Для доказательства независимости правил вывода
достаточно для каждого правила а найти характеристическое свойство δ,
которым обладают все секвенции, доказуемые при помощи правил,
отличных от а, и которым некоторые доказуемые в ИВ секвенции не
обладают. Мы ограничимся только формулировками характеристических
свойств для правил 1-12, оставляя необходимую проверку читателю.
Характеристическим свойством для правил 1-10 будет
тождественная истинность (§ 1.6) секвенций при новом определении для каждого
правила одной из логических операций Л, V, —►, "" на множестве {0, 1}.
Остальные операции при этом определяются по таблице § 1.6, а
логическая константа принимает значение 0. Приведем новые определения
логических операций, соответствующих правилам 1-10.
Правило 1. Конъюнкция определяется как тождественно ложная
функция.
Правило 2. Значение конъюнкции χ Λ у равно значению второго
члена у.
Правило 3. Значение конъюнкции χ Λ у равно значению первого
члена х.
Правило 4. Значение дизъюнкции χ У у равно значению второго
члена у.
) См. также упражнение 1 к § 1.8.

46
Гл. 1. Исчисление высказываний
Правило 5. Значение дизъюнкции χ V у равно значению первого
члена х.
Правило 6. Дизъюнкция определяется как тождественно истинная
функция.
Правило 7. Импликация определяется как тождественно ложная
функция.
Правило 8. Импликация определяется как тождественно истинная
функция.
Правило 9. Отрицание определяется как тождественно ложная
функция.
Правило 10. Отрицание определяется как тождественно истинная
функция.
Правило 11. Характеристическое свойство секвенции Г h Φ состоит
в следующем: если Г = Φι, ...,Φη, η ^ 1, то секвенция
Φι h Φ доказуема в ИВ.
Правило 12. Характеристическое свойство секвенции Г h Φ состоит
в том, что Г одноэлементно или пусто. D
Упражнения
1. Пусть формула Φ ИВ находится в д. н.ф. и X — множество
ее пропозициональных переменных. Для того чтобы Φ была
доказуемой в ИВ, необходимо и достаточно, чтобы для любого
разбиения множества X на два множества: Х\, Х^
существовала бы формула Φ £ ΰ(Φ), что выполнялось бы включение
#(Ф) С {Р | Ρ € Х\} U {^Р | Ρ € Х2}. (Указание. Применить
теорему о полноте ИВ.)
2. Провести необходимую проверку характеристических свойств
в доказательстве предложения 1.7.4.
§ 1.8. Исчисление высказываний гильбертовского
типа
В этом параграфе мы рассмотрим другую, так называемую гильбер-
товскую, аксиоматизацию исчисления высказываний — ИВ^
Определение. Понятие формулы в ΗΒι то же, что и в ИВ, за
исключением того, что в алфавите ΗΒι нет символа логической
константы; секвенций в ΗΒι также нет. Аксиомы ИВ\ получаются из
следующих 10 схем подстановкой конкретных формул ΗΒι вместо
переменных Φ, Φ, X:
1. Ф-> (Ф->Ф),
2. (Ф -+ Ф) -+ ((Ф -►(*-► X)) -> (Ф -► X)),

§ 1.8. Исчисление гильбертовского типа
Μ
3. (Φ Л Φ) ->Ф,
4. (Φ Λ Φ) ->Ф,
5. Ф-+(Ф^ (ФлФ)),
6. Ф-+ (ΦνΦ),
7. Φ-►(ΦνΦ),
8. (Φ -> Χ) -> ((Φ -+ Χ) -+ ((Φ V Φ) -> Χ)),
9. (Φ -4Φ)-> ((Φ -> ^Φ) -► ^Φ),
10. ^Φ->Φ.
Правило вывода в ΗΒι одно:
Φ, Φ —► Φ
Φ "
Определение. Доказательством в V№>\ формулы Фп называется
такая последовательность Фо, -,ФП формул ИВь что каждая Ф^,
г < п, либо является аксиомой, либо получена из некоторых Ф.,, Ф&,
j, к < г, по правилу вывода. Если существует доказательство в ΗΒι
формулы Ф, то Φ называется доказуемой в ΗΒι и обозначается это
так: > Ф. Выводом в ΗΒι формулы Фп из множества Η формул
ΗΒι называется такая последовательность Фо,...,Фп формул ИВь что
каждая Ф^, г < п, либо является аксиомой, либо принадлежит Я, либо
получается из некоторых Ф^, Ф&, j, к < г, по правилу вывода. Если
существует вывод формулы Φ из Я, то Φ называем выводимой в ΗΒι
из Η и пишем Й > Ф, при этом Я называется множеством гипотез.
Очевидно, что доказуемость Φ в ΗΒι равносильна выводимости Φ в
ΗΒι из пустого множества гипотез. Отметим, что множество гипотез Я
не обязано быть конечным, но если Я > Ф, то в силу конечности
вывода Φ из Я существует конечное множество Н\ С Я, для которого
Н\ > Ф. Очевидно также, что если Я С Я' и Я > Ф, то Я' > Ф.
Основной целью данного параграфа является доказательство
следующей теоремы, которая показывает в определенном смысле
равносильность ИВ и ИВь
Теорема 1.8.1. Для формул Φι,...Φη,Φ ΗΒι выводимость {Φι,...
...Φη} > Φ имеет место тогда и только тогда, когда секвенция
Φι,..., Φη h Φ доказуема в ИВ.
Прежде чем приступить к доказательству теоремы 1.8.1, мы
разовьем некоторую теорию выводимости в ИВь
Пример 1.8.2. Пусть Φ — формула ИВь Последовательность из
следующих 5 формул будет доказательством формулы Φ —► Φ в ИВ^
1) Φ —► (Φ —► Φ) — аксиома,
2) Φ —► ((Φ —► Φ) —► Φ) — аксиома,

48
Гл. 1. Исчисление высказываний
3) (Φ -+ (Φ -> Φ)) -+ ((Φ -+ ((Φ -+ Φ) -+ Φ)) -+ (Φ -+ Φ)) - аксиома,
4) (Φ —► ((Φ —► Φ) —► Φ)) —► (Φ —► Φ) — правило вывода к 1) и 3)
5) Φ —► Φ — правило вывода к 2) и 4).
Правило вывода
ΦΟ,.-.,Φ*;
φ
называется допустимым в ИВь если его добавление к исчислению
ΗΒι не увеличивает семейство выводимых из Я формул для любого
множества гипотез Я.
Квазивыводом в ИВ ι формулы Фп из множества гипотез Я
называется такая последовательность формул Фо,...,Фп, что каждая
Фг, г < п, либо выводима в ИВ ι из Я, либо получается из некоторых
предыдущих по допустимому в ИВ ι правилу вывода. Очевидно, что
если имеется квазивывод в ΗΒι формулы Φ из множества Я, то Φ
выводима в ΗΒι из Я.
Теорема 1.8.3 (о дедукции в ΗΒι). Если Я U {Ф} > Ф, то
Я> Ф-> Ф.
Доказательство проведем индукцией по минимальному п, для
которого существует вывод Фо, ...,ФП формулы Φ из Яи{Ф}. Если
η — 0, то либо 1) Φ = Φ, либо 2) Φ — аксиома или входит в Я.
В первом случае, в силу примера 1.8.2, формула Φ —► Φ выводима из Я.
Во втором случае последовательность
Φ, Φ -► (Φ -► Φ), Φ -► Φ
будет выводом в HBj из Я. Пусть η > 0. Из минимальности η имеем,
что Φ получается из Ф^ и Ф^ = (Ф^ —► Ф) для i,j<n по правилу
вывода. Тогда в силу индукционного предложения последовательность
Ф^Ф;, Ф-(Ф<-Ф),
(ф _> ф.) _ ((ф _ (ф. -, ф)) _ (ф -> ф)),
(ф -+ (Φί -► φ)) -► (φ -► φ), φ -► φ
будет квазивыводом Φ —^ Φ из Я. D
Теорема о дедукции существенно облегчает для многих формул ΗΒι
установление их доказуемости в ΗΒι.
Следствие 1.8.4. {Φ0,...,Φη} > Φ равносильно > Фо —► (Φι —►
-,...(ФП-,Ф)...).
Доказательство. В одну сторону η + 1 раз применяем теорему
о дедукции. В другую п+ 1 раз применяем правило вывода. D

§ 1.8. Исчисление гильбертовского типа
49
Доказательство теоремы 1.8.1. В силу правил 7 и 8 ИВ
секвенция Φι,...,Φη l· Φ доказуема в ИВ тогда и только тогда, когда
доказуема h Φι —► (Фг —► ...(Фп —► Ф)···)· Тогда из следствия 1.8.4
получаем, что для доказательства необходимости можно ограничиться
случаем Г = 0. Легко проверить, что аксиомы ИВ ι тождественно
истинны, а правила вывода ΗΒι сохраняют тождественную истинность.
Поэтому необходимость следует из теоремы о полноте ИВ.
Достаточность. Пусть дерево D — доказательство в ИВ
секвенции Г h Ф. Если Г h Φ — аксиома ИВ, то Г = Φ и утверждение {Ф} > Φ
очевидно. Пусть D\ получается из D заменой логической константы #
на формулу <3ο Λ "<2ο· Ясно, что начальные секвенции в D\ останутся
аксиомами, а переходы по правилам, отличным от 9 и 10, останутся
переходами по тем же правилам. Переходы по правилам 9 и 10 станут
переходами по правилам
g, r^hQoA-Qo ГКФ; ГК-Ф
Г h Φ ' ' Г l· Q0 Λ -Q0 "
Поэтому осталось показать, что если в правилах вывода 1-8 и 11,
12 исчисления ИВ и правилах 9' и 10' заменить выражения θ l· Φ на
{θ} > Φ, то из истинности утверждений над чертой будет следовать
истинность утверждения под чертой. Что касается применений правил
1-5, то сохранение истинности соответствующих утверждений легко
получить, используя аксиомы 3-7 исчисления ИВь Пусть {Г, Φι} > Φ;
{Г, Ф2} > Ф; {Г} > Φι V Фг- По теореме о дедукции {Г} > Φι —► Φ и
{Г} > Фг —► Ф. Применяя три раза правило вывода ΗΒι к аксиоме 8,
получаем {Г} > Ф. Следовательно, переход, полученный из применения
правила 6, сохраняет выводимость. Правило 7 соответствует теореме
о дедукции, правило 8 — правилу вывода ИВь
Докажем сохранение выводимости переходом, полученным из
применения правила 9'. Пусть {Г, ~"Ф} > <Зо Λ ""Qo- Из аксиом 3 и 4
получаем {Г, "Ф} > <Зо и {Г, "Φ} > "<3ο· По теореме о дедукции получаем
{Г} > ""Ф —► (Зо и {Г} > ""Ф —► "<3ο· Тогда из аксиомы 9 получаем
{Г} > ~,_,Ф и по аксиоме 10 и правилу вывода получаем {Г} > Ф.
Рассмотрим правило 10'. Пусть {Г} > Φ и {Г} > "Ф. Из аксиомы 1
получаем
{Г} > Φ-> HQo Λ-Q0) - Ф)
и
{Г}>-ф-+Пд0л-д0)-^Ф).
По правилу вывода получаем
{Γ}>^(<3οΛ^ο)-+Φ

50
Гл. 1. Исчисление высказываний
и
{r}t>-(Q0A-Qo)-^$.
Из аксиом 9 и 10 тогда получаем выводимость {Г} > Qo Л "Qo·
Сохранение выводимости правилами 11 и 12 следует непосредственно
из определения вывода в ИВь D
Упражнения
1. Доказать независимость ИВ^ (Указание. Использовать тот же
метод, что и для ИВ. Для доказательства независимости схем
1 и 2 логические связки определяются на множестве {0,1,2},
а схем 3-10 — на множестве {0, 1}· Для схемы 1 связки
определяются так: η Л га = min{n, га}, η V га = max{n, га}, ~Ό = "" 1 =
= 2, "2 = 0, (η —► πι) = 2, если η ^ га, и (η —► πι) = 0, если
η > πι. Для схемы 2 имеем (0 Λ πι) = (πι Λ 0) = 1, (0 V 0) = 1,
-2 = 1, (0 -► 0) = (2 -> 0) = (2 -> 1) = 1, (1 -► 0) = 2, а
остальные значения связок — как для схемы 1. Характеристическое
свойство формул при доказательстве независимости схем 1 и 2 —
тождественное равенство 2.)
2. Рассмотрим исчисление ИВг, отличающееся от ΗΒι тем, что в его
формулы может входить логическая константа #, а аксиомы 9
и 10 заменены на следующие:
9'. рф-ф-ф,
10'. ф->(-ф->£).
Показать, что имеет место равносильность исчислений ИВг и ИВ,
а именно, справедлива теорема, получающаяся из теоремы 1.8.1
заменой ΗΒι на ИВг. Следует отметить, что аксиомы 9' и 10'
более тесно связаны с правилами 9 и 10 ИВ, чем аксиомы 9 и 10
исчисления ИВь
§ 1.9. Консервативные расширения исчислений
Пусть даны два языка: Lo С L\, и два исчисления: /о языка Lo и h
языка L\. Исчисление 1\ назовем консервативным расширением /о
(обозначаем /о < 1\), если выражение Φ языка Lo доказуемо в /о тогда
и только тогда, когда Φ доказуемо в 1\. Очевидно, что отношение <
рефлексивно, транзитивно и имеет место
Предложение 1.9.1. Если /о < 1\ и /о непротиворечиво, то 1\
непротиворечиво. D
Пусть ИВ^ — исчисление, полученное из ИВ удалением из
алфавита символа —► и удалением правил 7 и 8.
Предложение 1.9.2. ИВ(^} < ИВ.

§ 1.9. Консервативные расширения исчислений
51
Доказательство. Пусть а : F —► F отображение, определенное
следующим образом:
а) если Φ не содержит символа —►, то а(Ф) = Ф;
б) если Φ = (Ф -► X), то а(Ф) = ("'а(Ф) V а(Х));
в) если Φ = "Φ, то а(Ф) = "а(Ф);
г) если Φ = (ФгХ), где г е {Л, V}, то а(Ф) = (а(Ф)га(Х)).
Продолжим а на последовательности формул и секвенции:
а((Фь...,Фп)) = (аФь...,аФп),
a(Γl·Φ) = a(T)l·a(Φ).
Так как α(Φ) = Φ для формулы Ф, не содержащей импликации, то
достаточно показать, что если секвенция S доказуема в ИВ, то секвенция
a(S) доказуема в ИВ'~*\ Если D — доказательство секвенции S в ИВ
в виде дерева, то индукцией по высоте D будем строить квазивывод
D* секвенции a(S) в ИВ^. Если D — аксиома ИВ, то очевидно, что
D* = a(D) — аксиома ИВ'~*\ Пусть
А;···; Аг
S
Если последний переход в D осуществляется по правилам, отличным
от правил 7 и 8, то очевидно, что
Л*- · П*
υλ,.υη
a(S)
будет квазивыводом в ИВ^ % у которого последний переход
осуществляется по тому же правилу, что и у D. Если
ГЬФ '
где D\, £>2 — доказательства в ИВ секвенций ГЬФ, ГЬФ—> Φ
соответственно, то в качестве D* берем следующее дерево:
-α(Φ), α(Φ), — а(Ф)Ь£
"а(Ф) h "а(Ф) "а(Ф), а(Ф) h ^а(Ф) Р\
D\\ ~ а(Г),-а(Ф)Ь"а(Ф)
а(Г),-а(Ф)ЬУ
а(Г)Ьа(Ф) ·
Если
D = ^ ,
ГЬФ^Ф'

52
Гл. 1. Исчисление высказываний
где D\ — доказательство в ИВ секвенции Г, Φ l· Φ, то в качестве D*
берем следующее дерево:
Щ
а(Г), а(Ф) h ""^(Ф) V а(Ф) "^(Ф) h "^(Ф) V а(Ф) h а(Ф) V "^(Ф)
а(Г) h ""^(Ф) V а(Ф) '
D
Пусть ИВ'-*'^ — исчисление, полученное из ИВ удалением из
алфавита символов —►, V и удалением правил 4-8.
Предложение 1.9.3. ИВ(^ v) < ИВ.
Доказательство. Обозначим через F^ множество формул
ИВ, не содержащих символа —►. Определим отображение β : F^ —►
—► F^ следующим образом:
а) если Φ не содержит символа V, то /?(Ф) = Ф;
б) если Φ = (Φ V X), то β(Φ) = ^/?(Ф) Λ ^β(Χ))\
в) если Φ = "Φ, το β(Φ) = "7?(Ψ);
г) если Φ = (Φ Λ Χ), το β(Φ) = (/3(Φ) Λ β (Χ)).
Продолжим β на последовательности формул и секвенции:
№l Φη)) = (№ W,
β(Γ h Φ) = β(Τ) h β(Φ).
В силу а) определения β и предыдущего предложения достаточно
показать, что если секвенция S доказуема в исчислении ИВ^~"\ то
/?(S) доказуема в HB(^'V).
Индукцией по высоте для любого доказательства D секвенции S
в ИВ^ в виде дерева будем строить квазивывод D* секвенции β(Ξ)
в ИВ'-*'^. Если D — аксиома ИВ'~*\ то очевидно, что D* = β(Ό) —
аксиома ИВ'-*'^. Пусть
Д0;...; А»
S
Если последний переход в D осуществляется по правилам, отличным
от правил 4-6 ИВ, то очевидно, что
Р*0;...;Р*п
P(S)
будет квазивыводом в ИВ^-*'^.

§ 1.9. Консервативные расширения исчислений
53
Прежде чем рассмотреть случаи применения правил 4-6, докажем
допустимость в ИВ'-*'^ следующих правил:
Γ,Φ,Γ^Φ . ,Г,ФЬ£ Г,ФЬФ
ajr,— φ,ι^κφ' ) гь-ф' β;γ,-φι--φ'
Допустимость в HB(~*,V) правила а) будем показывать индукцией
по высоте доказательства D в ИВ^,У^ секвенций Г, Φ l· Φ. Если D —
аксиома X l· X, то квазивыводом в ИВ^-*'^ секвенции ""X h X будет
следующее дерево:
-X h "X; ^X l· —X
—Χ,-Xhff
^XhX *
Если последний переход в дереве D является применением правил
1-3 или 10, то доказуемость секвенции Г, ~"Ф h Φ сразу следует из
индукционного предположения. Если последний переход в дереве D
является применением правил 9, 11 или 12, то доказуемость секвенции
Г,"Ф h Φ следует из индукционного предположения и применений
правил 11 и 12.
Пусть секвенция Г, Φ l· # доказуема в HB^,V\ Тогда по правилу а)
получаем доказуемость Г, """"Ф l·? и по правилу 9 получаем
доказуемость в ИВ^-*'^ секвенции Г h "Φ. Покажем теперь допустимость
в ИВ(~*,у) правила в). Из доказуемой в ИВ^,У^ секвенции Г, Φ l· Φ
и аксиомы "Φ l· "Φ с помощью правил 10-12 получаем секвенцию
Γ,^Φ,Φ 1-#. Из допустимости в HB^,V^ правила б) получаем
доказуемость в ИВ(~*,у) секвенции Г,"Ф h "Φ.
Пусть
и последний переход в D осуществляется по правилу 4 исчисления
ИВ. Тогда D\ будет квазивыводом секвенции /?(Г) h β (Φ) и в силу
допустимости правила б) в качестве D* можно взять следующее дерево:
Р\\ -β(Φ)Λ-β(Ъ)l·-β(Φ)
/?(Γ),Ί3(Φ)Λ-/?(Ψ)Η?
Аналогично рассматривается случай, когда последний переход в D
осуществляется по правилу 5.
Пусть теперь
РиР2\Ръ
ГЬФ
— доказательство в ИВ^,У\ последний переход в котором
осуществляется по правилу 6. По индукционному предположению существу-

54
Гл. 1. Исчисление высказываний
ют квазивыводы D*, D\ и Щ в исчислении HB^,V^ секвенций
/3(Г),/?(Ф) Ь /?(Ф); /3(Г),/?(Х) h /?(Ф) и /?(Г) Ь -(-/?(Ф) Л -/?(Х)) со-
ответственно. В силу допустимости в HB^,V^ правила в) следующее
дерево будет квазивыводом в ИВ^-*'^ секвенции /?(Г) h /?(Ψ):
D* D*
/?(Г), -р(Ъ) l· -β(Φ) β(Γ), -β(*) h -/?(Χ)
/?(Γ),-/?(Φ)Η-/3(Φ)Λ-/3(Χ) Д3*
/*(ГУ/¥(Ф)1-3
/?(Γ)Η/3(Φ) · α
До этого мы рассматривали расширения языков исчислений лишь
путем расширения алфавитов. Рассмотрим теперь расширение LG
языка исчисления ИВ^~*,У\ у которого алфавит и формулы те же
самые, что у HB^,V\ а секвенции определяются так: если Г и θ —
конечные последовательности формул исчисления ИВ^,У\ то Г h θ
является секвенцией языка LG.
Определим теперь исчисление Go языка LG. Аксиомами Go будут
секвенции вида Р, Г h θ, Ρ, где Ρ — атомарная формула, а Г, θ —
последовательности атомарных формул. Правилами вывода исчисления
Go будут следующие:
гье,Ф;Гье,Ф γκδ,φ,ψ,θ
} ΓΚΘ,ΦΛΨ ' }
;ФЛФ,ГЬ9' ;
Φ Г h θ
3> ΪΤΘ75· 7>
, ΓΚΘ,Φ
j -Φ,ΓΚΘ' j Φ,ΓΚΘ '
где Φ, Φ — переменные для формул Go, а Г, θ, Δ — переменные для
последовательностей формул Go.
В оставшейся части параграфа формулами и секвенциями, если
не оговорено противное, мы называем формулы и секвенции
исчисления Go-
Лемма 1.9.4. Пусть секвенция Г h θ доказуема в Go, а
последовательности Т\ и ©ι содержат среди своих членов все члены
последовательностей Г и θ соответственно. Тогда секвенция Т\ \- Θ ι
доказуема в Go.
Доказательство. Индукцией по длине Φ покажем, что для
любых последовательностей формул Г, θ из доказуемости в Go секвенции
ΓΚΔ,Φ,Φ,Θ'
Γ,Φ,Φ,ΔΗΘ
Γ,Φ,Φ,ΔΙ-Θ'
ΓΗ θ,Φ,Φ
ΓΗ θ, Φ '
Φ,Φ,ΓΚΘ

§ 1.9. Консервативные расширения исчислений
55
Г h θ следует доказуемость в Go секвенций Φ,Γ Υ- θ и Г h θ, Φ.
Утверждение леммы отсюда получим, используя правила 5)-8).
Если Φ — атомарная формула, a D — доказательство в Go
секвенции Г h θ, то очевидно, что, заменив в D каждую секвенцию
Г' h θ' на Г', Φ l· θ' (на Г' l· Φ, θ'), получим доказательство в Go
секвенции Г, Φ l· θ (секвенции Г l· Φ, θ). Применяя правила 5), 6),
получим доказуемость секвенций Φ,Γ l· θ и Г l· θ,Φ.
Пусть Φ = Φ Λ Χ и секвенции Χ, Γ l· θ; Γ h θ, Φ; Γ h θ, Χ
доказуемы в Go. Из индукционного предположения получаем доказуемость
Φ,Χ,Γ h Θ, а с помощью правила 1) получаем доказуемость Г h θ, Φ.
С помощью правила 2) получаем также Φ,Γ l· θ.
Если Φ = "Φ и секвенции Φ,Γ l· θ; Γ l· θ, Φ доказуемы в Go, то
доказуемость в Go секвенций Φ,ΓΚΘηΓΚΘ,Φ получаем с помощью
правил 3) и 4). D
Лемма 1.9.5. а). Если в Go доказуема секвенция Г h θ, Φ Λ Φ, то
доказуемы также секвенции Г l· θ, Φ г/ Г l· θ, Φ.
б). Если в Go доказуема секвенция Φ Λ Φ,Γ l· θ, то доказуема
также секвенция Φ, Φ,Γ h θ.
в). Если в Go доказуема секвенция ΓΚΘ,'Φ, то доказуема
также секвенция Φ,Γ l· θ.
г). Если в Go доказуема секвенция "Φ,Γ l· θ, то доказуема
также секвенция Г h θ, Φ.
Доказательство. Докажем утверждение б). Доказательства
остальных утверждений проводятся аналогично, и мы их оставляем
читателю в качестве упражнения.
Переход в доказательстве D будем называть существенным, если
он осуществляется по правилам, отличным от правил перестановки
5), 6). Если D — доказательство в Go в виде дерева, то через D*
обозначим дерево, полученное из D удалением всех секвенций,
расположенных ниже секвенции, являющейся заключением при последнем
существенном переходе в D.
Индукцией по числу существенных переходов в дереве D будем
доказывать следующее утверждение: если D — доказательство в Go
секвенции Γι, Φ Λ Ф,Гг l· θ, то существует доказательство D\ секвенции
Γι,Φ,Φ,Γ2 Ι- θ, причем число существенных переходов в D\ меньше
числа существенных переходов в D. Пусть D* имеет следующий вид:
D'
Φ,Φ,Γ'ΚΘ'
Φ Λ Φ,Γ l·©'*

56
Гл. 1. Исчисление высказываний
Тогда в качестве требуемого D\ можно взять некоторое дерево D\, для
которого
D*=( D'
1 v$>^r/ ι-θ7
Пусть D* имеет следующий вид:
D'
ΦΛΦ,ΦλΦ,Γ'ΚΘ'
ΦΛΦ,Γ'ΚΘ'
Обозначим через по число существенных переходов в D. По
индукционному предположению существует доказательство D2 секвенции
Φ, Φ, Φ Λ Ф, Г' h θ' с числом существенных переходов <щ— 1. Опять
по индукционному предположению существует доказательство D$
секвенции Ф, Ф, Ф, Ф, Г' h θ' с числом существенных переходов < по - 2.
Тогда в качестве D\ можно взять такое доказательство секвенции
Гь Ф, Ф, Г2 h θ, что D\ есть
Φ,Φ,Φ,Φ,Γ'Ι-Θ'
φ, φ,
Φ, Γ'
Φ, Φ, Φ, Г'
φ,φ,
Φ, Γ'
\-&
Ь9'
Υ-&
Φ, Φ, ГКО'
Ясно, что число существенных переходов в D\ меньше по - 2 + 2 = по.
Пусть D* имеет следующий вид:
D' D"
г;, ф л φ,π, ι- θ', Χι г;,фл φ,π, \- θ,,χ2
Γί,ΦΛΦ,Γί,ΚΘ',ΧιΛΧ2 *
По индукционному предположению существуют доказательства Dj и
£>'/ секвенций Г^, Φ, Φ, Γί> h θ', Χι и Γί, Φ, Φ, Π> h θ', Χ2
соответственно, и число существенных переходов в D[, D" меньше числа
существенных переходов в деревьях
D' D"
т\, ф л ф, г2 h θ', хг г;, φ л ф, г21- θ', χ2
соответственно. Тогда в качестве требуемого D\ берем такое
доказательство секвенции Γι,Φ,Φ,Γ2 l· θ для которого
D'· D"
1 ГрФ.Ф.Г^Нв'.Х^Хг'

§ 1.9. Консервативные расширения исчислений
57
Оставшиеся виды последнего существенного перехода в D
рассматриваются аналогично. D
Лемма 1.9.6. Если секвенции Г h θ, Φ и Φ, Γ' l· θ' доказуемы
β Go, то секвенция Г, Г' h θ, θ' доказуема в Go-
Доказательство. Существенным переходом в доказательстве D
в виде дерева называется переход по правилам, отличным от правил
перестановки 5) и 6).
Пусть Φ — атомарная формула. Будем доказывать лемму в этом
случае индукцией по числу существенных переходов в доказательстве
D секвенции Г h θ, Φ.
Если D не имеет существенных переходов, то Г h θ, Φ отличается
от аксиом только перестановкой формул. Тогда либо Φ £ Г, либо Φ £ Г,
Φ £ 6 для некоторой атомарной формулы Ф. В первом случае
доказуемость Г, Г' h θ, θ' следует из доказуемости Ф,Г' h 6 и леммы 1.9.4.
Во втором случае доказуемость Г, Г' h θ, θ' следует из аксиомы Φ l· Φ
с помощью леммы 1.9.4.
Пусть доказательство D секвенции Г h θ, Φ имеет η > О
существенных переходов. Пусть последний существенный переход является
применением правила 1):
Г! ьеьФ,е2,Ф; Г! ь9ьФ,е2,х
Γι Κθι,Φ,θ2,ΦΛΧ
где последовательности Γι и (θι,Φ,θ2,Φ Λ Χ) являются
перестановками последовательностей Г и (θ, Φ). Из индукционного предположения,
используя правила перестановки, получаем доказуемость секвенций
Г, Г' h 61,62,6', Φ и Г, Г h 61,62,6', X. Применяя правило 1) и
правила перестановки, получаем доказуемость секвенции Г, Г' h 6,6'.
Случаи применения других правил в последнем существенном переходе
для атомарной формулы Φ рассматриваются аналогично.
Продолжим доказательство леммы, применяя индукцию по длине
формулы Ф. Пусть Г h θ, Φ и Φ, Г' l· 6' доказуемы в Go-
Если Φ = Φ Λ X, то по лемме 1.9.5 доказуемы секвенции Г h θ, Φ;
Г l· Θ,Χ и Φ,Χ, Г' l· 6'. Из индукционного предположения получаем
сначала доказуемость секвенции Γ,Χ,Γ'ΚΘ, θ;, а затем секвенции
Г, Г, Г' h 6,6,6'. Доказуемость секвенции Г, Г' h 6,6' получаем
теперь с помощью структурных правил 5)-8).
Если Φ = "Φ, то по лемме 1.9.5 доказуемы секвенции Ф,Г h 6 и
Г' h θ', Φ. По индукционному предположению получаем доказуемость
Г, Г h θ', θ, а значит, и Г, Г' h θ, θ'. D
Если 6 — последовательность Φι,..., Фп формул исчисления Go, то
через "6 будем обозначать последовательность "Φι,... ,"ФП.

58
Гл. 1. Исчисление высказываний
Лемма 1.9.7. Если секвенция Г h Θ доказуема в Go, то секвенция
"θ, Γ h $ доказуема в ИВ.
Доказательство. Индукция по высоте доказательства D
секвенции Г h θ в Go. Предлагаем читателю применить свой опыт по
доказательствам в исчислении ИВ, полученный при чтении
предыдущих параграфов. D
Предложение 1.9.8. ИВ^ v) < G0.
Доказательство. Если в Go доказуема секвенция Г h θ, где θ
содержит один член, то из леммы 1.9.7 и предложения 1.9.3 следует
доказуемость Г h θ в ИВ^,У\
Рассмотрим секвенцию 5, доказуемую в ИВ^,У\ Индукцией по
высоте доказательства D секвенции S в HB^~*,V^ покажем доказуемость
5 в Go.
Пусть D — аксиома Φ l· Φ исчисления ИВ^,У\ Если Φ —
атомарная формула, то Φ l· Φ — аксиома Go- Если Φ = Φ Λ X и секвенции
Φ l· Φ, Χ h Χ доказуемы в Go, то по лемме 1.9.4 и правилам 1) и 2)
получаем доказуемость Φ l· Φ в Go- Если Φ = "Φ и секвенция Ф l· Φ
доказуема в Go, то по правилам 3), 4) и 6) получаем доказуемость в Go
секвенции Φ l· Φ.
Пусть высота D равна η > О и для всех секвенций S", имеющих
доказательство в HB^,V^ с высотой < п, доказуемость S' в Go
установлена. Если последний переход в D осуществляется по правилам 1)
или 11) исчисления ИВ, то доказуемость 5 в Go следует из
индукционного предположения с помощью правил 1) и 6) исчисления Go.
Если D имеет один из следующих видов:
D' D' D'
ГЬФлФ ГЬФлФ Г^ФЬУ
ГЬФ ' ГЬФ ' ГЬФ '
то доказуемость 5 в Go следует из индукционного предположения,
леммы 1.9.5 и правила 6).
Если последний переход в D осуществляется по правилу 12 ИВ,
то доказуемость 5 в Go следует из индукционного предположения и
леммы 1.9.4.
Рассмотрим последний из возможных случаев, когда D имеет вид
D' D"
Из индукционного предположения и леммы 1.9.5 следует
доказуемость в Go секвенций Г Υ- Φ и Ф,Г \- $. Применяя лемму 1.9.6 и
правила 6), 8), получаем доказуемость в Go секвенции Г h $. О

§ 1.9. Консервативные расширения исчислений
59
Исчисление Go является частью исчисления G, предложенного Ген-
ценом. Исчисления генценовского типа по сравнению с изученными
нами исчислениями являются более удобными при анализе и поиске
формальных доказательств. Это объясняется основной особенностью
этих исчислений, которая, грубо говоря, состоит в том, что сложность
формул при применении правил может только возрастать. Исчисление
G будет подробно изучаться в гл. 6. Здесь мы лишь применим
отмеченное выше свойство исчисления Go для получения непротиворечивости
ИВ, не прибегая к понятию интерпретации исчисления.
В самом деле, рассмотрим секвенцию \- Qq. Индукцией по высоте
легко заметить, что если D — доказательство секвенции S в
исчислении Go и существует вхождение формулы в D, содержащее логическую
связку Л или ""·, то эта логическая связка обязана входить в 5. Поэтому
если секвенция У- Qo доказуема в Go, то она может быть получена
из аксиомы с помощью только правил 5)-8), что очевидным образом
невозможно. Следовательно, исчисление Go непротиворечиво.
Применяя предложения 1.9.1, 1.9.3, 1.9.8, получаем непротиворечивость ИВ.
Упражнения
1. Показать, что ИВ(~*,Л) < ИВ, где ИВ(~*,Л) получено из ИВ(~^
удалением из алфавита символа Л и соответствующих правил.
2. Используя теорему полноты для ИВ, показать, что
< ИВ, где HB^,V' ) получается из ИВ^-^ удалением из
алфавита символа "* и соответствующих правил.

Глава 2
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
§2.1. Предикаты и отображения
Все изучаемые в этой книге объекты являются множествами,
хотя называются они по-разному: слова, символы, совокупности, числа,
функции, формулы и др.
С интуитивной точки зрения, конечно, не все математические
объекты суть множества, например, трудно думать о скобке или
пропозициональной переменной как о множествах. Однако посредством
подходящих соглашений (кодирования) их можно отождествить с
множествами. В частности, скобку можно отождествить с множеством
{{0}}. Этот метод является плодотворным, и в этой книге
принимается такое соглашение 0. В качестве аксиомы теории множеств мы
принимаем аксиому экстенсиональности, которая утверждает, что
два множества, имеющих одинаковые элементы, равны, — другими
словами, любое множество определяется своими элементами.
Если αι,...,αη — все элементы множества А, то в силу аксиомы
экстенсиональности множество А можно обозначать через {αϊ,... ,αη}.
При этом не предполагается, что αι,...,αη попарно различны. Ясно,
что одно и то же множество А может иметь много таких обозначений,
например,
{а, 6, а} = {а, 6, Ь} = {а, Ь} = {&, а}.
Множества 0, {0}, {0, {0}} и т.д. (каждое последующее состоит из
всех предыдущих) называются натуральными числами и
обозначаются соответственно через 0, 1, 2 и т. д. Множество всех натуральных
чисел обозначаем через ω. Слова αια2 ...αη и конечные
последовательности αι,α2,...,αη будут отождествляться с упорядоченным набором
0 Для некоторых объектов, с интуитивной точки зрения не являющихся
множествами, мы фиксируем их кодировку через множества (например, для
натуральных чисел), для других мы кодировку не уточняем, так как в наших
рассуждениях она не участвует — важно лишь выделение этих объектов среди
других множеств, встречающихся в книге.

§ 2.1. Предикаты и отображения
61
(αι,...,αη) элементов αι,...,αη, который сейчас определим
индукцией по п.
Определение. Упорядоченный набор () пустого множества
элементов равен 0. Упорядоченный набор (а) одного элемента а равен а.
Упорядоченный набор (а, 6) двух элементов а и 6 называется
упорядоченной парой и равен {{а},{а,Ь}}. Если η > 2, то
упорядоченный набор (αι,...,αη) элементов αι,...,αη равен упорядоченной паре
((αι,...,αη_ι),αη).
Упорядоченный набор (αι,...,αη) иногда будем называть
кортежем, а число η — длиной кортежа (αϊ,..., αη); при этом длина
пустого кортежа () равна нулю. Кортеж длины η > 2 будем называть
упорядоченной п-кой или просто n-кой (тройкой, четверкой и т.д.).
Отождествление слов и последовательностей с упорядоченными
наборами возможно в силу следующего предложения.
Предложение 2.1.1. Если (αϊ,... ,αη) = (b\,..., 6n), mo αϊ = 6ι,...
..., αη = οη.
Доказательство. Из определения упорядоченного набора
следует, что достаточно доказать предложение для η = 2. Из условия
(о>\>о>2) = (61,62) и определения упорядоченной пары имеем {αϊ} G
G (6ι,62). Так как (61,62) = {{6ι}, {6Ь62}}, το ίαι} = (М или {<и} =
= {61,62}, поэтому 6i G {αϊ}, т.е. 6ι = а\. Легко заметить, что
если {х,у} = {ху ζ}, то у = ζ. Тогда из установленного равенства
{{αι},{αι,α2}} = {{αϊ}, {«1,62}} получаем сначала {аьа2} = {α\Μ},
а затем а2 = 62. D
Определение, а). Множество {(αϊ,... ,αη) | αϊ G A\,...,an G An}
называется декартовым произведением множеств А\,...,Ап и
обозначается через А\ χ ... χ Αη. Если Icij χ ... χ Αη, то множество
всех aEii, для которых существуют такие αϊ,..., α^-ΐ, а^+ь ·-· ,αη> что
(αϊ,... ,α^-ι,α, а^+ь ··· ,αη) € X, называется проекцией X и
обозначается через π™ X.
б). Если Αι = ... = Ап = А, то А\ χ ... χ Ап называется декартовой
п-степенъю множества А и обозначается через Ап. Если η = О, то по
определению полагаем А0 = {0}.
в). Подмножества В С Ап будут называться η-местными
отношениями или предикатами на А. Будем говорить, что В — п-местное
отношение или предикат, если В является η-местным отношением
на А для некоторого множества А.
г). Если В — двухместное отношение, то двухместное отношение
{(а, 6) | (6,a) G В} будем называть обратным к Б и обозначать
через Б-1.

62
Гл. 2. Теория множеств
д). Если Б, С — два двухместных отношения, то двухместное
отношение
{{а, с) \ (a,b) e В и (Ь, с) £ С для некоторого Ь}
будем называть композицией или произведением двухместных
отношений В, С и обозначать через (ВС) или В-С.
Так как (а) = а, то А1 = А, поэтому подмножества А будут
одноместными предикатами на А.
Заметим, что 0-местных предикатов только два: 0 и {0}. Из
определения Б-1 сразу следует равенство В = (Б-1)-1.
Предложение 2.1.2. Если В, С и D — двухместные предикаты,
то
а) ((BC)D) = (B(CD)).
б) (ВС)-1 = (С~1В-1).
Доказательство, а). Пусть (х,у) £ ((BC)D). Тогда для
некоторых и и ν имеем (х, и) £ Б, (и, ν) £ С и (ν, у) £ Ιλ Таким образом,
(и,у) £ (CD) и (х,у) € (B(CD)). Включение B(CD) С ((BC)D)
доказывается аналогично. Доказательство б) оставляется читателю. D
Ассоциативность композиции, доказанная в предложении 2.1.2,
позволяет обозначать композицию ((BC)D) = (В(CD)) через (BCD). По
этой же причине однозначно определена композиция η предикатов
(В\ ...Бп). Отметим, что коммутативность (ВС) = (СВ) для
произведения предикатов не имеет места (приведите пример).
Определение. Двухместное отношение U на множестве А
называется
а) диагональю А2 и обозначается через icU, если U = {(а, а) \ а £
€А};
б) рефлексивным на А, если icU Q U;
в) симметричным, если U = U~l;
г) транзитивным, если (UU) С [/;
д) эквивалентностью на А, если С/ рефлексивно, симметрично и
транзитивно;
е) антисимметричным, если {/ПС/-1 С icU.
Например, предикат
{(т,п) \т и η — взаимно простые натуральные числа}
является симметричным, но не рефлексивным и не транзитным на ω,
а предикат {(т,п) \ (п - т) > Ο,η,πι е ω} является транзитивным на
ω, но не симметричным и не рефлексивным на ω.

§2.1. Предикаты и отображения
63
Если U — η-местное отношение на А и Б С А, то отношение U Π
Π Βη на множестве В будем называть ограничением отношения U на
множество В. Очевидно, что ограничения отношений типов а)-е) из
предыдущего определения на любое В С А будут также отношениями
соответствующих типов а)-е).
Пример 2.1.3. Говорим, что R = {Ai \ г е 1} является разбиением
множества А, если (J Ai = А и для любых i,jel либо Ai = Aj,
iei
либо А{П Aj = 0. Пусть R = {Ai \ г е 1} — разбиение множества А.
Определим следующее двухместное отношение на А:
Er = {(α, b) I α, b G Ai для некоторого г е I}.
Очевидно, что Er будет эквивалентностью на А.
Если Ε — эквивалентность на множестве А, то множества Ех =
= {а | (а, х) е Е} для χ е А будем называть классами
эквивалентности по отношению Е.
Легко показать, что любую эквивалентность на множестве А можно
получить способом, указанным в примере 2.1.3. В самом деле, пусть
Ε — эквивалентность на А и Re = {Ех \ χ е А}. Из рефлексивности
Ε получаем χ е Ех, следовательно, (J Ех = А. Из симметричности
хеА
и транзитивности Ε следует, что если (х>у) G Е, то Ех = Еу, а если
(х>у) £ Е, то Ех Π Еу = 0. Таким образом, множество Re классов
эквивалентности по Ε является разбиением А и Ere = Ε.
Определение, а). Двухместное отношение / называется
отображением или функцией, если для любых а, 6, с из (а, Ь) £ / и (а, с) G /
следует b = с. Если / — отображение, то множество π^/ называется
областью определения f и обозначается dom/, а множество π|/
называется областью значений f и обозначается rang/.
б). Отображение / называется инъективным (или разнозначным),
если /_1 также является отображением.
в). Отображение / называется отображением А в В , если dom/ =
= А и rang/ С Б.
г). Отображение / называется сюръективным отображением А
в В (или отображением А на Б), если dom/ = А и rang/ = Б.
д). Отображение / называется биективным отображением А в В
(или взаимно однозначным отображением А на В), если оно
является одновременно инъективным и сюръективным отображением А в В.
е). Отображение / множества Ап в А называется η-местной
операцией на А.

64
Гл. 2. Теория множеств
Очевидно, что диагональ icU множества А2 будет биективной
одноместной операцией на А. Диагональ icU множества А2 в дальнейшем
будем называть также тождественной операцией на А.
Запись / : А —► В будет в дальнейшем обозначать, что / —
отображение А в В, запись / : Ам В будет обозначать, что / — инъективное
отображение А в Б, а запись / : А -» В будет обозначать, что / —
сюръективное отображение А в В.
Предложение 2.1.4. а). Если f : А—> В и g : В -+ С, το (fg) : А —►
б). Если f : А^> В и д: В -»С, то (fg) : А^»С.
в). Если / — биективное отображение А в Б, то f~l — биективное
отображение В в A, f · /_1 = icU и /_1 · / = ids.
г). Если / и д — инъективные отображения, то / · д также инъек-
тивно и (fg)~l = (g~lf~1)-
Доказательство этого предложения оставляется читателю в
качестве упражнения. D
Если / — отображение и (a, b) £ /, то Ъ называется значением f
на элементе а и обозначается через f(a) или fa.
Если / — отображение иК dom/, то множество {fa \ a e А}
называется образом множества А при отображении f и обозначается
через /[А], а отображение /П (Α χ rang/) называется ограничением
f на А и обозначается через / Г А.
Ясно, что η-местная операция является (п + 1)-местным
отношением, а 0-местная операция / : А0 —► А есть {(0,α)} для некоторого
а е А. Часто 0-местную операцию {(0, α)} на А будем называть яои-
стантой на А и отождествлять с элементом а.
Если / — η-местная операция на А, то условие (αϊ,... yanyb) £ /
будем записывать так: /(αϊ,... ,αη) = 6. Для η = 0 это будет /( ) =
= by т. е. / = 6, что согласуется с принятым нами отождествлением
константы с ее значением.
Пусть / — η-местная операция на А и Б С А. Множество В
называется замкнутым относительно операции /, если из αι,...,αη е В
следует /(аь ... ,ап) G Б.
Упражнения
1. Пусть U — транзитивное двухместное отношение на
множестве А, (а, а) £ U для любого а и для любого а е А существует
такое 6, что (а, 6) G 17. Показать, что А бесконечно.
2. Доказать предложение 2.1.4.
3. Если / : А —► В, # : В -» А и (#/) = ids, то / биективно и д =
= /-'.

§ 2.2. Частично упорядоченные множества
65
§ 2.2. Частично упорядоченные множества
Среди различных типов отношений некоторые имеют
фундаментальное значение не только для математической логики, но и для всей
математики. В предыдущем параграфе мы уже рассматривали одно
из таких отношений — эквивалентность. Определим еще два очень
важных типа отношений.
Определение, а). Отношение U на множестве А называется
частичным порядком на А, если оно рефлексивно, транзитивно и
антисимметрично.
б). Частичный порядок U на А называется линейным порядком
на А, если для любых а,Ь £ А выполняется хотя бы одно из следующих
двух условий: (a, b) G 17, (6, a) G С/.
Очевидно, что ограничение частичного (линейного) порядка на А
на любое подмножество В С А будет частичным (линейным) порядком
на В.
Важным примером частичного порядка на множестве А является
отношение {(а, Ь) | а,Ъ G А, а С &}, а примером линейного порядка —
отношение {(а, Ъ) | а, Ъ G Х,а ^ &}, где X — некоторое подмножество
множества действительных чисел.
Определение, а). Если U — частичный порядок на А, то пару 21 =
= (А, 17) назовем частично упорядоченным множеством (сокращенно
ч.у. м.).
б). Если U — линейный порядок на А, то пару 21 = (А, 17) назовем
линейно упорядоченным множеством.
Пусть 21 = (А, 17) — частично упорядоченное множество.
Элемент ао е А называется верхней (нижней) гранью в 21 подмножества
Ао С А, если (6, ао) G U((ao, b) G 17) для всех Ь G Ао. Верхняя (нижняя)
в 21 грань А называется наибольшим (наименьшим) в 21 элементом.
Элемент ае А называется максимальным (минимальным) в 21, если из
(а, х) G U (соответственно из (ж, а) £ 17) следует χ = а. Ясно, что
наибольший (наименьший) элемент является максимальным
(минимальным), и если U — линейный порядок, то максимальный (минимальный)
в 21 элемент является также наибольшим (наименьшим) в 21. Очевидно,
что если наибольший (наименьший) в 21 элемент существует, то все
максимальные (минимальные) элементы равны между собой.
Если В — множество верхних граней в 21 = (А, 17) множества
А\ С А, то наименьший в (Б, U Π В2) элемент называется наименьшей
верхней гранью (сокращенно н. в. г.) в 21 множества А\ и обозначается
через sup(Ai,2l). Заменив в предыдущем определении слова «верх-
3 Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин

66
Гл. 2. Теория множеств
них» и «наименьший» соответственно на слова «нижних» и
«наибольший», получим определение наибольшей нижней грани (сокращенно
н. н. г.) А\ в 21, которую будем обозначать через inf(Ai,2l). Ясно, что
sup(Ai,2l) и inf(Ai,2l) определяются по А\ и 21 однозначно, если они
существуют.
Определение. Частично упорядоченное множество 21 = (А, 17)
называется решеткой, если для любых a,b e А в 21 существуют
sup({a,6},21) и inf({a,6},21), которые будут обозначаться через aU^b
и α П я6. Решетка 21 = (А, 17) называется дистрибутивной, если для
любых а, 6, с е А операции ия и Пя удовлетворяют следующим
условиям:
D) аия(ЬПяс) = (аияЬ)Пя(аияс);
D') а П я(6 U яс) = (α Π я6) U я(а Π яс).
Решетка 21 = (А, 17) называется булевой решеткой, если 21
дистрибутивна, имеет наибольший элемент Iя, наименьший элемент 0я и для
любого а £ А существует такой элемент а е А, что a U яа = Iя и
аПяа = 0я. Элемент а, удовлетворяющий в решетке 21 с наибольшим
элементом Iя и наименьшим элементом 0я указанным условиям,
называется дополнением элемента а в 21.
Предложение 2.2.1. а). £а/ш дополнение а элемента а в
дистрибутивной решетке 21 с наибольшим и наименьшим элементами
существует, то оно единственно.
б). Если 21 = (A, U) — булева решетка, то для любых а,Ъ,с е А
операции ия, Пя, определенные выше, удовлетворяют следующим
условиям (для простоты индекс 21 у ия и Пя опущен):
\) aUb=bUa, 6) (a U 6) Π 6 = b,
2) α Π b = 6 Π α, 7) аП(6ис) = (сПб)и(аПс),
3) a U (6 U с) = (a U b) U с, 8) a U (Ь Π с) = (a U 6) Π (a U с),
4) α Π (b П с) = (а П 6) Π с, 9) (а П a) U 6 = b,
5) (а П b) U 6 = 6, 10) (a U а) П b = 6.
в). £а/ш на множестве А заданы три операции: U, Π и ~,
удовлетворяющие для любых а,Ь,с е А условиям 1)—10) утверждения б)
(где U(a,b), П(а,Ь) и ~(а) пишутся как aUb, аГ\Ь и а), то пара
21 = (A, U) для U = {(а, 6) | а П b = а} является булевой
решеткой, причем a U b = sup({a, 6}, 21), α Π 6 = inf({a, 6},2l), aUa= Iя,
an a = 0я.

§ 2.2. Частично упорядоченные множества
67
Доказательство, а). Для простоты будем опускать индекс 21
у Ua, Па, 1а и 0а. Если α U αϊ = 1 и α Π α2 = 0, то
αϊ = αϊ U 0 = αϊ U (а П а2) = (αϊ U α) Π (αϊ U аг) = 1 Π (αϊ U аг) = αϊ U аг-
Аналогично из α Π αϊ = 0 и a U аг = 1 получаем аг = аг U а\,
следовательно, αϊ = α2·
б). Свойства 1) и 2) очевидны. Так как аПа = Оа и αϋα= 121, то
выполняются 9) и 10). Так как 21 дистрибутивна, то выполняются 7)
и 8). В дальнейшем условие (a, b) GU будем обозначать через α ^ 6. Из
определения операций U21 и П21 получаем, что для любых d, mi,7712 G А
выполняются следующие соотношения:
(1) d < т\ Π Ш2 4=> (d ^ mi и d ^ тг),
(2) mi U гп2 ^ d <=>► (mi ^ d и тг ^ d),
(3) mi,rri2 ^ mi Um2,
(4) mi Π Ш2 ^ 7711,7712.
Пользуясь этими фактами, легко установить свойства 3)-6).
Проверим, например, свойство 6), оставляя проверку 3)-5) читателю. Из
(4) получаем (a U Ь) Π Ъ ^ 6, а из (3) и (1) получаем Ь ^ (a U Ь) Π 6,
следовательно, из антисимметричности U получаем 6).
в). Из условий 5), 6), 1) и 2) получаем
аПЬ = а <=> aUb = b. (2.1)
Покажем сначала, что U = {(а, Ь) | а П 6 = а} — частичный порядок.
Подставив в 7) вместо 6 элемент а, а вместо с — элемент а и
воспользовавшись условиями 2), 1), 6) и 9), получаем а = аГ\ау значит,
U рефлексивно. Пусть аПЬ = а и ЬГ\с = Ь. Из (2.1), 7), 5), 1) и 2)
получаем
α Π с = α Π (bU с) = (α Π 6) U (α Π с) = α U (α Π с) = α,
следовательно, 17 транзитивно. Пусть аГ\Ь = а и 6 П α = 6, тогда из 2)
получаем α = 6, т. е. U антисимметрично. Для завершения
доказательства нужно показать, что αU Ь = sup({a,6},21) и аПЬ = inf({a,6},21).
Докажем первое из этих равенств, оставляя проверку второго
читателю. Из
α Π (a U b) = (α Π a) U (α Π 6) = a U (α Π 6) = a
и a U 6 = 6 U α получаем, что a U 6 — верхняя грань множества {a, b}.
Пусть с — верхняя грань {a, 6}, т. е. α Π с = α и 6 Π с = b. Тогда
(a U 6) Π с = с Π (a U 6) = (с Π a) U (с П b) = a U 6,
т. e. (a U Ь, с) е ЕЛ D
3*

68
Гл. 2. Теория множеств
Условия 1)—10) из предложения 2.2.1 называются аксиомами
булевых алгебр, а множество А вместе с определенными на нем
операциями П, U, ~, удовлетворяющими аксиомам 1)—10), называется булевой
алгеброй. Если 21= (А, и,П, ~) — булева алгебра, то через ^ будет
обозначаться частичный порядок на А, определенный условием
а ^ Ь <*=> аГ\Ь = а.
Из предложения 2.2.1 следует, что булева алгебра 21 определяется
отношением ^ однозначно.
Пример 2.2.2. Если А С Ρ (В) и множество А замкнуто
относительно операций объединения и пересечения, то легко проверить, что
21 = (А, С), где С — отношение включения на А, является
дистрибутивной решеткой, причем U21 и П21 являются операциями объединения
и пересечения на А.
Пример 2.2.3. Если в примере 2.2.2 множество А замкнуто
относительно операции взятия дополнения в В (т. е. операции а = В \ а), то
21 = (А, С) является булевой решеткой, a (A, U, П, ~) — булевой
алгеброй, где U, Π, ~ — операции объединения, пересечения и дополнения
в Б. В частности, если А = Р(В)У то (Р(Б),и,П, ~) будет называться
булевой алгеброй всех подмножеств В и для простоты будет иметь
то же обозначение Ρ (В), что и множество всех подмножеств В.
Определение. Частично упорядоченное множество (ч. у. м.) 21 =
= (A, U) называется фундированным, если для любого непустого
подмножества Αι С А ч.у. м. 2li = (A\yU Π А2) имеет минимальный
элемент.
Если (A, U) — фундированное частично упорядоченное множество,
то очевидно, что (В, U Π В2} также будет фундированным частично
упорядоченным множеством для любого В С А.
На фундированное частично упорядоченное множество можно
обобщить метод математической индукции.
Предложение 2.2.4 (принцип трансфинитной индукции). Пусть
21 = (A, U) — фундированное частично упорядоченное множество
и В С А. Если для любого а е А из {Ь е А | (6, a) G U,b φ а} С В
следует а е В, то В = А.
Доказательство. Предположим, что В φ А, и пусть ао —
минимальный элемент ч. у. м. (А \ Б, U Π (А \ В)2}. Тогда {Ь е А | (6, ао) 6
eU,b Φ ао} С Б и по условию имеем ао G В, что невозможно. D

§ 2.2. Частично упорядоченные множества
69
Определение. Пусть 21 = (А, 17) — линейно упорядоченное
множество. Множество X С А будем называть
а) начальным отрезком 21, если для любых а,Ь е А из а е X
и (6, а) е U следует Ъ G X (если Χ φ А, то начальный отрезок X
называется собственным начальным отрезком 21);
б) замкнутым начальным отрезком, если для некоторого ао G А
множество X равно множеству O[ao,2l] = {b | (b, oq) G U}\
в) открытым начальным отрезком, если X равно множеству
Ο(αο,21) = (Ο[αο,21] \ {ао}) для некоторого ао G А.
Часто, когда ясно, о каком 21 идет речь, мы будем писать О[ао] и
О(ао) вместо О[ао,21] и О(ао,21) соответственно. Заметим, что пустое
множество 0 является начальным отрезком любого линейно
упорядоченного множества. Очевидно, что элемент ао в б) и в) предыдущего
определения определен по X однозначно.
Примеры. Пусть G — отношение «меньше или равно» на
действительных числах (т. е. (a, b) G G <ί=> а ^ Ь).
1. В линейно упорядоченном множестве (а;,СПа;2) любой
отличный от ω начальный отрезок является одновременно и открытым, и
замкнутым.
2. В (Я, G), где R — множество всех действительных чисел, любой
отличный от R начальный отрезок является открытым или замкнутым,
но никакой начальный отрезок (Я, G) не является одновременно
открытым и замкнутым.
3. В (Q, GnQ2), где Q — множество всех рациональных чисел,
начальный отрезок {г | г < л/2} не является ни открытым, ни замкнутым.
Предложение 2.2.5 (свойства начальных отрезков). Пусть 21 =
= (A, U) — линейное упорядоченное множество.
1). Если X — начальный отрезок 2lu БСА, то Χ Π В —
начальный отрезок в (Б, U Π В2).
2). Если Х\,Х2 — начальные отрезки 21, то либо Х\ С Х2у либо
Х2^Х\.
3). Если U — множество начальных отрезков 21, то \JU и f]U —
начальные отрезки 21.
4). Если X — начальный отрезок 21, α G А\Х, то множество
X U {а} тогда и только тогда является начальным отрезком 21,
когда элемент а является наименьшим элементом в линейно
упорядоченном множестве (A\X,U Г\(А\ X)2).
5). Открытый начальный отрезок О(ао,21) равен 0 тогда и
только тогда, когда ао — наименьший элемент.

70
Гл. 2. Теория множеств
Доказательство. Утверждения пп. 1), 3), 5) сразу следуют из
определений.
Для доказательства п. 2) предположим, что существуют
элементы а,г £ (Х{ \Xs-i), i € {If 2}. Так как 21 — линейно упорядоченное
множество, то для некоторого г 6 {1,2} мы имеем (а^аз-ъ) € U. Так
как Хз-г — начальный отрезок и аз-г £ -Уз-*» т0 а% £ Хъ-%, что
противоречит условию а; $. Хз-г-
4). Пусть X — начальный отрезок 21. Если для некоторых Ь,а£ X
выполнено (b,a) e U и Ъ ^ а, то (X U {а}) не является начальным
отрезком. Пусть элемент а является наименьшим элементом в линейно
упорядоченном множестве (A\X,UC\(A\X)2). Тогда любой элемент Ъ
с условиями (b,a) eU и Ь^а принадлежит X. Учитывая то, что
X — начальный отрезок 21, получаем, что X U {а} — начальный
отрезок 21. D
Определение. Если 21 = (A, U) — ч. у. м., X С А и U Π Χ2 —
линейный порядок на X, то X называется цепью в 21. В частности,
пустое множество является цепью в любом ч. у. м.
В §2.1 была сформулирована одна аксиома теории множеств,
которой мы уже пользовались, — это аксиома экстенсиональности. Впредь
мы будем использовать также аксиому выбора, утверждающую, что
для любого непустого множества А существует такое отображение
(функция выбора) h: (Ρ(Α) \ {0}) —► А, что h(B) £ В для любого
непустого В С А. Из этой аксиомы вытекают следующие два важных
принципа.
Теорема 2.2.6 (принцип максимума). Если в частично
упорядоченном множестве 21 = (А, 17) каждая цепь X С А имеет верхнюю
грань, то существует максимальный в 21 элемент.
Доказательство. Рассмотрим множество Υ = {X С А | X —
цепь в 21} и множества В(Х) = {а £ А \ а — верхняя грань X в 21}
для X е Υ. По условию В(Х) ^ 0 для любого X е Υ.
Предположим, что 21 не имеет максимальных элементов. Тогда семейство
S = {В(Х) \ X | X £ Y} состоит из непустых множеств.
Действительно, если В(Х) С X для некоторой цепи X £ У, то χ £ В(Х) —
максимальный элемент в А, поскольку из (хуу) £ U следует у £ В(Х) С X,
откуда (у,х) £ 17, так как χ £ В(Х). Из аксиомы выбора
получаем, что существует такое отображение h множества У в А, что
h(X) £ В{Х) \ X для всех X £ Υ. В дальнейшем начальный отрезок
(наименьший элемент) линейно упорядоченного множества (X, U Π Χ2)
будем называть начальным отрезком (наименьшим элементом) X.
Цепь X назовем отмеченной, если для любого собственного
начального отрезка Х\ цепи X элемент h(X\) является наименьшим

§ 2.2. Частично упорядоченные множества
71
элементом в Х\Х\. Множество всех отмеченных цепей обозначим
через Z.
Так как цепь 0 не имеет собственных начальных отрезков, то
0 е Z. Ясно, что если X е Z, то X U {h(X)} e Z. Пусть ХЬХ2 £ ^
и С — объединение всех общих начальных отрезков Х\ и Χ<ι. По
п. 3) предыдущего предложения С — общий начальный отрезок Х\
и Χ<ι. Тогда С ~ Х\ или С = Χ<ι, так как в противном случае по
п. 4) предыдущего предложения и условия X\,X<i £ Ζ множество
С U {/i(C)} было бы общим начальным отрезком Х\ и Χ<ι, что
противоречит определению С и условию h(C) £ С. Таким образом, для
любых отмеченных цепей Х\,Х2 одна из них является начальным
отрезком другой. Следовательно, С* = (J X будет цепью в 51 и любая
xez
отмеченная цепь X будет начальным отрезком цепи С*.
Покажем, что С* является отмеченной цепью. Пусть А —
собственный начальный отрезок цепи С*. В силу пп. 2) и 1) предыдущего
предложения для любой отмеченной цепи X либо выполняется
включение X С А, либо А является собственным начальным отрезком X,
следовательно, h(A) будет наименьшим элементом в!\А Так как
С* является объединением отмеченных цепей, то h(A) будет
наименьшим элементом в С* \ А. Мы показали, что С* £ Z, следовательно,
С* U {h(C*)} £ Ζ, а это противоречит определению С* и условию
Л(С*) £ С*. D
Определение. Если 21 = (А, С/) — фундированное линейное
упорядоченное множество, то 21 называется вполне упорядоченным
множеством.
Теорема 2.2.7 (принцип полного упорядочения). Каждое
множество А может быть вполне упорядочено, т. е. для каждого
множества А существует U С А2, для которого 21 = (A, U) — вполне
упорядоченное множество.
Доказательство. Рассмотрим множество
W = {(X, U) | (X, U) — вполне упорядоченное множество, X С А}.
Определим на множестве W бинарное отношение =$:
(X\,U\) =$ (X2,U2) <=> U\ CU2 и Х\ — начальный отрезок (Хг»?^)·
Ясно, что это отношение будет частичным порядком на W.
Пусть {(XitUi) \ г е 1} — цепь в (W, =$). Очевидно, что 21 =
= ( U -^*» U Uu является линейно упорядоченным множеством и по
свойствам начальных отрезков каждое Х{ является начальным отрез-

72
Гл. 2. Теория множеств
ком 21. Пусть Υ С [j Х{ и Υ φ 0. Тогда Υ Π Χίο φ 0 для некоторого
го G I. Так как (Xio,Ui0) — вполне упорядоченное множество, то
(Y nXi0,Ui0 Γ\Υ2) имеет минимальный элемент уо. Так как Хг0 —
начальный отрезок 21, то уо — минимальный элемент /У, ( (J 17г) ПУ2 Υ
Таким образом, 21 G ИЛ Ясно, что 21 является верхней гранью для цепи
{(Xi,Ui) \ г е 1} в (W, =$). Поэтому по принципу максимума (W, =^)
имеет максимальный элемент (А*, С/*). Если существует ао G А\ А*,
то (Ао U {αο},Ε/ι) G W, где U\ = U* U {(а, ао) | α G A*} U {(а0,а0)},
что противоречит максимальности (А*, С/*) в (W,=^). Таким образом,
(А, С/*) — вполне упорядоченное множество. D
Предложение 2.2.8 (характеризация вполне упорядоченных
множеств). Пусть 21= (А, 17) — линейно упорядоченное множество.
Следующие условия эквивалентны:
1) 21 — вполне упорядоченное множество-,
2) любой собственный начальный отрезок 21 открыт;
3) (/, С) — вполне упорядоченное множество, где I множество
всех начальных отрезков 21.
Доказательство. Ясно, что для любых элементов a,b e А
условие (a, b) G U равносильно условию 0(а, 21) С 0(6,21).
1) => 2). Если 21 — вполне упорядоченное множество и X —
собственный начальный отрезок 21, то X = О(ао,21), где ао — наименьший
элемент множества (А \Х,(А\Х)Г\ U2).
2) => 3). Предположим, что непустое подмножество J С 7 не имеет
наименьшего (по включению) элемента. В силу 2) любой собственный
начальный отрезок X G I имеет вид X = 0(αχ, 21). В силу замечания
в начале доказательства, множество {αχ | Χ G J} не имеет
наименьшего (по отношению 17) элемента. С другой стороны QJ является
собственным начальным отрезком и по 2) имеет вид 0(а*,21). Так
как а* не принадлежит этому пересечению, то а* не принадлежит
какому-то X* из J. По 2) имеет место X* = О(ао,21) для некоторого
элемента ао, тогда (αο, α*) G U. Так как ао не принадлежит f] J, то
α* = αο. Следовательно, Χ* — наименьший элемент в J, а это
невозможно по предположению.
3) => 1). Предположим, что множество У С А не имеет
наименьшего (по отношению 17) элемента. Тогда множество {0(а, 21) | α G У} не
имеет наименьшего (по отношению С) элемента. D
Определение. Вполне упорядоченное множество 21 = (А, 17)
называется кардинально упорядоченным множеством, если не существует
инъективного отображения / ни в какой собственный начальный
отрезок 21.

§ 2.2. Частично упорядоченные множества
73
Теорема 2.2.9 (принцип кардинального упорядочения). Каждое
множество А может быть кардинально упорядочено, т. е. для
каждого множества А существует U С А2, для которого 51 = (A, U) —
кардинально упорядоченное множество.
Доказательство. По принципу полного упорядочения
существует Щ С А2, для которого 5lo = (A,Uo) — вполне упорядоченное
множество. По предыдущему предложению существует Хо С А,
являющийся наименьшим (по включению) начальным отрезком 51, для
которого существует инъективное отображение /: А —► Хо. Возьмем
следующее бинарное отношение на А:
U = {(a,b)\(fa,fb)eU0}.
Покажем, что 51 = (А, 17) — кардинально упорядоченное множество.
Рефлексивность, антисимметричность и транзитивность и линейность
отношения U сразу следуют из этих свойств отношения Щ. Если
непустое множество Υ С А не имело бы наименьшего элемента по
отношению U, то множество f(Y) не имело бы наименьшего элемента по
отношению Щ. Таким образом, 51 — вполне упорядоченное множество.
Предположим, что существует инъективное отображение g : А —►
—► Х\, где Х\ — собственный начальный отрезок 51. По предыдущему
предложению Χι = 0(а\,Щ для некоторого элемента а\ е А\Х\.
Ясно, что g · / будет инъективным отображением А в 0(/(αι),21ο)· Так
как 0(/(αι),51ο) — собственное подмножество Хо, то это противоречит
минимальности Хо. О
Определение. Пусть 51 = (A, U) и 03 = (В, V) — два линейно
упорядоченных множества. Отображение /: А -» В назовем
изоморфизмом 51 на 03, если
(a,b)eU ^ (fa,fb)eV. (2.2)
Будем говорить, что 51 и <В изоморфны, если существует изоморфизм
одного из них на другое.
Заметим, что изоморфизм /: А -» Б является инъективным
отображением. В самом деле, если fa = fb, то из рефлексивности V и (2.2)
получаем (a, b) eU и (Ь, а) £ С/, следовательно, из антисимметричности
С/ получаем а = Ь. Если / — изоморфизм 51 на 03, то очевидно, что
f~l — изоморфизм 03 на 51.
Предложение 2.2.10. Если f — изоморфизм линейно
упорядоченного множества 51 на линейно упорядоченное множество 03 и
X — (открытый, замкнутый) начальный отрезок 51, то f(X) —
(открытый, замкнутый) начальный отрезок 03.

74
Гл. 2. Теория множеств
Доказательство, оставляется читателю в качестве легкого
упражнения. D
В оставшейся части параграфа мы докажем важные свойства вполне
упорядоченных множеств.
Если X и Υ — начальные отрезки линейно упорядоченных
множеств 21 = (A, U) и 03 = (B,V) соответственно и (X,U Г\ X2)
изоморфно (Y,V Γ\Υ2), то в дальнейшем будем говорить просто, что X
изоморфно Υ.
Предложение 2.2.11. Если f:A—>Bug:A—>B — два
изоморфизма вполне упорядоченного множества 21 = (A, U) на некоторые
начальные отрезки линейно упорядоченного множества 03 = (В, V),
то f = g.
Доказательство. Рассмотрим множество Q = {а е А \ fa = да}.
Если О(Ь.Я) С Q, то /b = inf(£\#[O(b,2l)],03), следовательно, fb =
= дЪ. По предложению 2.2.4 имеем Q = А, и предложение 2.2.11
доказано. D
Предложение 2.2.12. Никакие два различных начальных отрезка
вполне упорядоченного множества 21 не изоморфны между собой.
Доказательство. Пусть / — изоморфизм начального отрезка X
на начальный отрезок У. Так как \άχ является изоморфизмом X на X,
то по предложению 2.2.11 имеем / = idx, следовательно, X = Y. О
Теорема 2.2.13 (об изоморфизме вполне упорядоченных
множеств). Если 21 = (А, 17) и 03 = (B,V) — вполне упорядоченные
множества, то выполняется ровно одно из следующих условий:
1) 21 изоморфно 03;
2) 21 изоморфно собственному начальному отрезку 03;
3) 03 изоморфно собственному начальному отрезку 21.
При этом соответствующие изоморфизмы единственны.
Доказательство. Единственность следует из
предложения 2.2.11.
Рассмотрим множество Ρ = {/ | / — изоморфизм некоторого
начального отрезка 21 на начальный отрезок 03}. В силу
предложений 2.2.10 и 2.2.11 для любых f,geP либо / С д, либо д С /. Поэтому
F = U / будет изоморфизмом начального отрезка X вполне упорядо-
fep
ченного множества 21 на начальный отрезок Υ вполне упорядоченного
множества 03. Если X = А или Υ = В, то все доказано. Предположим,
что это не так. Тогда по предложению 2.2.8 имеем X = О(ао,21) и
Υ = О(&о,03). Очевидно, что FU {(ao, bo)} будет тогда изоморфизмом

§2.3. Фильтры булевой алгебры
75
начального отрезка О[ао,21] на начальный отрезок О[&о,93],
следовательно, FU {(αο,&ο)} Q F, что невозможно. D
Упражнения
1. Показать, что если 21 = (A, U) — ч. у. м. с наименьшим
элементом, А конечно и для любых a,b e А существует sup({a,6},21),
то 51 — решетка.
2. Пусть 21= (А, и,П, ~) — булева алгебра и А содержит более
одного элемента. Отображение 7 множества F формул ИВ в А„
обладающее свойствами:
1) 7(Ф V Ф) = 7(Ф) U 7(Ф), 3) 7(Ф -► Ф) = т(Ф) U 7(Ф),
2) 7(Ф Л Ф) = 7(Ф) Π 7(Ф), 4) 7("Ф) = 7(Ф).
называется интерпретацией ИВ в 21. Показать, что доказуемые
ИВ формулы — это в точности такие Ф, что 7(Ф) — I21 Для
любой интерпретации η ИВ в 21. (Указание. В одну сторону
установить ί(Φ) = I21 для аксиом ИВ1 и проверить, что правило
ΗΒι сохраняет это свойство, в другую сторону воспользоваться
тем, на множестве {Ι^,Ο55} операции U, Π и ~ определяются так
же, как на множестве {1,0} определяются операции V, Λ и ~\)
3. Показать, что ч. у. м. (А, 17) тогда и только тогда не является
фундированным, когда существует последовательность ао,... ,αη,...
попарно различных элементов А, для которой (αη+ι,αη) £ [/,
п £ ω.
§ 2.3. Фильтры булевой алгебры
Пусть на протяжении этого параграфа 93 = (Б, П, U, ~) — булева
алгебра. Как показано в предложении 2.2.1, 93* = (Б, <), где отношение
а < Ь определяется равенством аПЬ = а, является булевой решеткой
и для любых a,b e В выполняются условия:
(1) a U Ъ = sup({a, ft}, 93*), а П ft = inf ({а, 6}, 93*);
(2) aUa = 1 — наибольший элемент 93*;
(3) а П а = 0 — наименьший элемент 93*;
(4) α является единственным элементом В, для которого
выполняются условия aUa = \ и аПа = 0.
Отметим еще некоторые свойства булевых операций.
Лемма 2.3.1. Булевы алгебры обладают следующими свойств
вами: - - _
а) 0 = 1, 1 = 0; г) а = а;
б) 0 Π а = 0, 0 U а = а; д) а П 6 = a U ft;
в) 1 Π а = а, 1 U а = 1; е) аиЬ = аПб;
ж) аПЬ = а <=^ a U Ъ = ft.

76
Гл. 2. Теория множеств
Доказательство. Свойство а) непосредственно вытекает из
(1)-(4). Свойства б), в) следуют из (1)-(3), а г) следует из (4), так как
a U a = a U а = 1 и α Π α = α Π а = 0. Свойство ж) следует из (1), так
как аГ\Ь = а <*=> а ^Ь. Для доказательства д) в силу (4) достаточно
показать, что
(а П Ъ) U (α U Ь) = 1 и (а П Ъ) Π (α U Ь) = 0.
Эти равенства следуют из аксиом 1)-6) булевых алгебр, например,
(а П b) Π (α U b) = ((α Π 6) Π α) U ((α Π b) Π 6) = (0 Π 6) U (0 Π α) = 0.
Проверка другого равенства, а также доказательство свойства е),
проводятся аналогично. D
Часто для простоты обозначений мы будем отождествлять 03* с Ъ.
Пусть далее В неодноэлементно.
Определение. Множество D С В называется фильтром булевой
алгебры 93, если выполняются следующие условия:
1)0££>;
2) если а, 6 G D, то а П 6 G D\
3) если α G D и а < 6, то b G Ζλ
Множество D С Р(Х) называется фильтром на множестве X, если
D является фильтром булевой алгебры (Р(Х),и, П, ~) и D ^ 0.
Примеры. 1. Множество {1} является фильтром булевой
алгебры 93. С другой стороны, из условия 3) вытекает, что 1 G D для любого
непустого фильтра D в булевой алгебре 93.
2. Если ао G Р, ао ^ 0» то множество {Ь | 6 G Ρ,αο < b} будет
фильтром алгебры 93.
3. Множество {Y С Χ \ Χ \Υ — конечное множество} является
фильтром на бесконечном множестве X, который иногда называют
фильтром Фреше на X.
Так как операции U и Π булевой алгебры 93 удовлетворяют
аксиомам коммутативности 1), 2) и аксиомам ассоциативности 3), 4), то
можно говорить об объединении (пересечении) в 93 конечного
множества элементов αι,...,αη G В и обозначать его так: а\ U...Uan
(αϊ Π ... Π αη). Индукцией по η легко устанавливаются следующие
обобщенные законы дистрибутивности:
bU(ai П...Пап) = (b Ό αχ) Π ... Π (bU an),
6ίΊ(αι U...Uan) = (b Π αχ) U ... U (bn an),

§2.3. Фильтры булевой алгебры
77
а также обобщения свойств д), е) леммы 2.3.1:
а\ Π ...Пап = а\ U ... U ап,
а\ U ... ϋαη = α\ Π ... Παη.
Определение, а). Множество Υ С В называется центрированным
в булевой алгебре 03, если пересечение в 03 любого конечного
множества элементов из Υ не равно 0. Центрированное в (P(X),U, П, ~)
множество (т.е. такое множество Υ С Р(Х), у которого любое
конечное подмножество имеет непустое пересечение) будем просто называть
центрированным.
б). Фильтр булевой алгебры 03, не содержащийся ни в каком
отличном от него фильтре алгебры 03, называется ультрафильтром.
Ясно, что любой фильтр булевой алгебры 03 будет центрированным
в 03 множеством.
Предложение 2.3.2. Каждое центрированное в булевой алгебре
03 множество Υ содержится в некотором ультрафильтре
алгебры 03.
Доказательство. Рассмотрим множество U = {X | X —
центрированное в 03 множество и У С X}. Так как Υ е U, то U φ 0.
Очевидно, что в ч. у. м. (С/, С) объединение любой цепи является
элементом U. По теореме 2.2.6 в (С/, С) имеется максимальный элемент
Хо. Достаточно показать, что Хо является фильтром. Условие 1) для
Хо тривиально выполнено. Для проверки условия 2) и 3) в силу
максимальности Хо достаточно показать, что если а, Ь е Хо и а ^ с,
то Хо U {а П b} и Хо U {с} центрированы в 03. Центрированность
Хо U {а П b} очевидна. Предположим, что а\ Π ... Π αη Π с = 0 для
некоторых αϊ,..., ап 6 Хо· Тогда из равенства сПа = а получаем
0 = ОГ\а=(а\П...Г\апГ\с)Г\а =
= (а\ Π ...Пап) Г\ (с Г\ а) = а\ Π ... Π αη Π α,
что противоречит центрированности Χο· Π
Предложение 2.3.3. Для того чтобы фильтр D булевой
алгебры 03 был ультрафильтром, необходимо и достаточно, чтобы для
любого b е В было либо b e D, либо b e D.
Доказательство. В силу предложения 2.3.2 для
доказательства необходимости нужно лишь показать, что для любого b G В
либо D U {6}, либо D U {Ъ} является центрированным в 03
множеством. Предположим, что это не так. Тогда Ь\ Π ... Π bn Π b = О

78
Гл. 2. Теория множеств
и Ьп+\ Π ... Π Ъп+Ш Π b = О для некоторых Ъ\,... ,6n+m € -D. В силу
свойства 2) фильтра D можно считать п = т= 1. Из свойств операций
U, П, ~ в булевой алгебре 03 получаем
i>! П Ь2 = Ъ\ Π Ь2 Π (b U Ь) = (bi nb2nb)U (b\ ПЬ2ПЬ) =
= (0 Π b2) U (bi Π 0) = О U 0 = 0,
что противоречит свойствам 1), 2) фильтра D.
Достаточность. Если существует фильтр D* Э D и элемент b £
G D* \ D, то 6 ^ D, так как в противном случае 0 = 6 Π 5 е D*, что
невозможно. D
Определение. Фильтр D булевой алгебры 03 называется главным,
если существует такой ао £ D, что
D = {Ь е В | а0 < Ь}.
Элемент а е В называется атомом булевой алгебры 03, если а^Ои
b < а => (Ь = а или 6 = 0).
Ясно, что если а — атом 03, то 6 Π α равно α или 0 для любого
be в.
Лемма 2.3.4. Если D — главный ультрафильтр алгебры 03, то
D = {Ь е В | ао < Ь} для некоторого атома ао алгебры 03.
Доказательство. Пусть D = {Ь е В | bo < b} для некоторого
bo ^ 0. Предположим, что bo — не атом. Тогда существует Ь\ < &о>
bj ^ 6o, Ь\ т^ 0. Так как Ь\ φ D, то по предложению 2.3.3 выполняется
Ъ\ е D, откуда bo ^Ъ\, т. е. bo ΠЪ\ = bo. Следовательно,
bx =b\C\bo = b\ П(ЬоПЬ\) = Ь0П(Ь{ Г\Ъ\) = 0,
получили противоречие. D
Предложение 2.3.5. Следующие условия для булевой алгебры 03
эквивалентны:
1) В — конечное множество',
2) все непустые фильтры 03 главные;
3) все ультрафильтры 03 главные.
Доказательство. 1)=>2). Если В — конечное множество и
D = {Ь\, ...,ЬП} — фильтр алгебры 03, то пересечение ао = Ь\ П ... Π 6η
принадлежит D и ао ^ bi для г = 1,..., п.
Утверждение 2)=>3) тривиально.

§2.3. Фильтры булевой алгебры
79
Докажем 3)=И). Пусть выполняется 3). Пусть Ао С В —
множество всех атомов алгебры 93. Рассмотрим множество А\ = {а | a G Ао}.
Покажем, что А\ не центрированное. В самом деле, если А\
центрированное, то по предложению 2.3.2 имеем А\ С D для некоторого
ультрафильтра D. Из условия 3) и леммы 2.3.4 получаем, что существует
такой ао G Ао, что ао ^ b для всех Ъ G D. В частности, ао < ао, т. е.
ао = ао Π ао = 0, что противоречит условию а φ О для атомов α G Ао.
Так как А\ не центрированное, то а\ Π ... Π αη = О для некоторых
αι,...,αη G Ао. Из леммы 2.3.1 тогда получаем
1 = 0 = а\ Π ... Пап = αγυ ... Ua^ = a\ U... Uan.
Пусть 6 — произвольный элемент Б. Тогда
Ь = ЪГ) 1 =6Π(αι U...Uo„) = (6 Π αϊ) U ... U (b Π αη).
Так как &П α*, равно α* или 0, то b равно 0 или объединению
некоторых элементов множества {αϊ,... ,αη}. Следовательно, В — конечное
множество. D
Предложение 2.3.6. Если D — главный ультрафильтр на
множестве I, то D = {X С I \ i0 е X} для некоторого го G /.
Доказательство. Следует из леммы 2.3.4, так как очевидно,
что в Р{1) атомами являются одноэлементные множества. D
Упражнения
1. Пусть D — непустой фильтр булевой алгебры Ъ = (Б, U, П, ~).
На множестве В определим отношение D следующим образом:
oDb <=> (а П Ъ) U (Ь Π a) G Д
где D равно {d \ d G D}. Показать, что D — эквивалентность на
В и D — ультрафильтр тогда и только тогда, когда В разбивается
отношением D на два класса эквивалентности.
2. Фильтр D на множестве I называется счетно полным, если для
любых ai G D, г G ω, множество Q a^ принадлежит D. Ясно, что
любой главный фильтр D на I является счетно полным. Показать,
что на множестве ω не существует неглавного счетно полного
ультрафильтра.
3. Пусть D — отношение эквивалентности на^ В из упражнения 1.
Пусть B(D) =_{Db I b G В} (множество Db определено в §2.1
и равно {а | aDb,a G В}). Определим на B(D) операции U, П, ~
следующим образом:
а) т\ U Ш2 = Anua2> б) mi Π Ш2 = Anna2> в) гй\ = ВЪх,

80
Гл. 2. Теория множеств
где di e rrii, г — 1,2. Показать, что такое определение не зависит
от выбора элементов а* £ га* и (B(D),Uyn,~) является булевой
алгеброй.
§ 2.4. Мощность множества
Для бесконечных множеств обобщением понятия числа элементов
может служить понятие мощности.
Определение. Будем говорить, что мощность множества А
меньше или равна мощности множества В (и обозначать \А\ < |Б|),
если существует инъективное отображение /: А —> В. Говорим, что
мощности множеств А и В равны или что А и В равномощны
(обозначаем \А\ = \В\), если существует биективное отображение А
на В.
Заметим, что мы пока не определили, что такое мощность
множества А, а определили только два двухместных отношения на
множествах. Именно эти отношения и являются основными понятиями этого
параграфа, а введенная ниже мощность появляется лишь для удобства
изложения.
Отметим некоторые свойства введенных отношений, вытекающие
непосредственно из определения:
а) |А| < |А|;
б) (μι < |б| и \в\ < |с|) =► μι < \с\-,
в) μ| = \в\ => (μι < |в| и \в\ < μ|).
Следующая теорема показывает, что в свойстве в) можно заменить =>
на <^=> .
Теорема 2.4.1 (Кантора-Бернштейна). Если для множеств А
и В выполнено \А\ < |Б| и \В\ < \А\, то \А\ = \В\.
Доказательство. Пусть f: А -+ В, д: В -+ А — инъективные
отображения. По принципу кардинального упорядочения существуют
отношения U С А2 и V С Б2, для которых (А, 17) и (Б, V) —
кардинально упорядоченные множества. По теореме об изоморфизме вполне
упорядоченных множеств и симметричности условий теоремы для А
и В можно считать, что существует биективное отображение h
множества А на начальный отрезок X вполне упорядоченного множества
(B,V). Отображение g-h будет инъективно отображать В в X. Из
кардинальной упорядоченности (В, V) получаем X = В. Таким
образом, h — биективное отображение А на В. О
Теорема 2.4.2 (Кантора). Для любого множества А условие
\Р(А)\ < \А\ не имеет места.

§ 2.5. Ординалы и кардиналы
81
Доказательство. Предположим, что существует инъективное
отображение /: Ρ (А) —> А. Рассмотрим множество
к = {/(X) | f(x)μ,ις α}.
Если f(K) G К, то из определения К получаем f(K) φ К. Если
f(K) φ К, то по определению множества К получаем f(K) £ К.
Полученное противоречие показывает, что такое / не существует. D
Теорема 2.4.3 (о сравнении множеств по мощности). Для
любых множеств А и В либо \А\ ^ |Б|, либо \В\ ^ \А\.
Доказательство. По теореме 2.2.7 существуют такие U С А2
и V С В2, что 21 = (Α, Ϊ7) и 03 = (Б, V) — вполне упорядоченные
множества. Утверждение теоремы теперь следует из теоремы 2.2.13. D
§ 2.5. Ординалы и кардиналы
В дальнейшем мы будем использовать аксиому регулярности,
утверждающую, что в любом множестве X есть элемент a G X, не
имеющий общих с X элементов, т. е. α Π Χ = 0.
Определение. Множество X называется транзитивным, если для
любого b е X выполнено b С X.
Из аксиомы регулярности вытекает, что любое транзитивное
множество содержит в качестве своего элемента пустое множество 0. Из
этой аксиомы также следует, что не существует множества {ап \пЕ ω}
с условием αη+ι G ап. В частности, не существует множества X с
условием х е х.
Для множества X определим двухместное отношение ε(Χ),
состоящее из таких пар (а, Ь) е X2, что a eb или а = Ь.
Из аксиомы регулярности получаем, что если отношение ε(Χ)
транзитивно, то (Χ,ε(Χ)) — фундированное частично упорядоченное
множество. В частности, если (Χ,ε(Χ)) — линейно упорядоченное
множество, то (Χ,ε(Χ)) — вполне упорядоченное множество.
Определение. Множество а называется ординалом, если оно
транзитивно и (α,ε(α)) — линейно упорядоченное множество.
Предложение 2.5.1 (свойства ординалов).
1). Элементы ординала являются ординалами.
2). Если а — ординал и β е а, то β = 0(β, (α,ε(α))).
3). Если а — ординал и X — собственный начальный отрезок
(α,ε(α)), то X е а.

82
Гл. 2. Теория множеств
4). Если α, β — ординалы и а ^ β, то а е β или β е а.
5). Если X — множество ординалов, то \JX — ординал и
(Χ,ε(Χ)) — вполне упорядоченное множество.
Доказательство. 1). Пусть а — ординал и β £ а. Из
транзитивности а следует β С, а, поэтому (β,ε(β)) — линейно упорядоченное
множество. Для доказательства транзитивности β возьмем
произвольные 7 £ β и δ £ 7· Предположим, что δ φ β. Так как (α, ε(α)) — линейно
упорядоченное множество, то βεδ, т. е. β е δ или β = δ. В обоих
случаях множество {β, 7» δ} будет противоречить аксиоме регулярности.
2). Из определения отношения ε(β) получаем β С 0(β, (α, ε(α))).
Обратное включение следует из определений начального отрезка
0(β, (α, ε(α))) и отношения ε(/3).
3). Так как (α,ε(α)) — вполне упорядоченное множество, то
существует наименьший элемент ао в ((а \ Χ),ε(α \ X)). Покажем, что
X = ао. Условие ао С X следует из транзитивности а и минимальности
элемента ао. Для доказательства включения X С ао возьмем
произвольный а е X. Предположим, что а ^ ао. По определению отношения
ε(α) и линейной упорядоченности (α,ε(α)) мы имеем αοεα. Так как
X — начальный отрезок (α,ε(α)), то ао 6 X, что противоречит
выбору а0.
4). Предположим, что α^β,α^β\\βφα. Пусть X —
объединение всех общих начальных отрезков (α,ε(α)) и (β,ε(β)). Тогда X —
собственный общий начальный отрезок (α,ε(α)) и (β,ε(β)). Из свойств
2) и 3) получаем, что X U {X} — также общий начальный отрезок
(α, ε(α)) и (β,ε(β)). Получаем противоречие с выбором X и условием
X £Х.
5). Транзитивность множества \JX следует из транзитивности
элементов X. Линейная упорядоченность (\JX^(\JX)) получается из
свойств 1) и 4). Вполне упорядоченность (Χ,ε(Χ)) вытекает из
свойства 4) и аксиомы регулярности. D
Если а — ординал, то ясно, что множество αϋ {а} также является
ординалом, который будем обозначать через а Л- 1.
Ординал, отличный от 0 и не имеющий вид а+ 1, называется
предельным. Ясно, что ординал δ ^ 0 тогда и только тогда является
предельным, когда |J£ = δ.
Ординал называется конечным или натуральным числом, если он
не является предельным и каждый его элемент также не является
предельным.
Очевидно, что множества:
0, {0}, {0, {0}}, {0, {0}, {0, {0}}},...

§ 2.5. Ординалы и кардиналы
83
(каждый последующий содержит все предыдущие) будут
натуральными числами, которые мы будем обозначать как обычно через
0,1,2,3,....
Из свойств ординалов 1) и 2) вытекает, что элементы натуральных
чисел являются натуральными числами. Таким образом, множество
ω всех натуральных чисел транзитивно. Из свойства 5) получаем,
что ω — ординал. Множество натуральных чисел ω можно также
определить как такой ординал, все элементы которого не предельны.
Теорема 2.5.2 (о представлении вполне упорядоченных множеств).
Для любого вполне упорядоченного множества 21 = (A, U)
существует единственный ординал а(21) такой, что (α(21),ε(α(21)))
изоморфно 21.
Доказательство. Единственность следует из
предложения 2.2.11, так как в силу предложения 2.5.1 из любых двух различных
ординалов α, β один является начальным отрезком другого.
Рассмотрим множество X С А всех таких а £ А, что существует ординал α(α)
и изоморфизм fa вполне упорядоченного множества (α(α),ε(α(α)))
на (0[a],U Π (0[α])2), где О [а] = О [а, 21]. По предложению 2.2.11
изоморфизм fa определен по α £ X однозначно. Пусть с £ X и
(6, с) £ U. Очевидно, что ао = {/с-1а | а £ 0[Ь]} — ординал. Так как
/с Г &о — изоморфизм (αο,ε(αο)) на {0[b],U П (0[b\)2), то b £ X и
fb = fc\ αο, следовательно, Д С /с. Таким образом, отображение
/о = Ui/α \ а е X} будет изоморфизмом (βο,ε(βο)) на (1,[/Ш2),
где βο — ординал, равный |J{a(a) | а £ X}. Если X = А, то все
доказано. Предположим, что X ^ А. Так как X — начальный отрезок
21 и так как 21 — вполне упорядоченное множество, то существует
такое ао £ А, что X = О(ао). Очевидно, что /о U {(βο,Οίο)} является
изоморфизмом ординала βο U {/?о} на X U {ао} = О[ао], поэтому ао £ X,
что противоречит выбору ао. □
Ординал a(2l) из предыдущей теоремы назовем типом вполне
упорядоченного множества 21.
Будем говорить, что ординал β меньше ординала а (обозначать
β < а), если β £ а. Если β < а или β = α, то будем писать β ^ а.
В силу предложения 2.5.1 любое множество ординалов вполне
упорядочено отношением ^. Если αι,...,αη — ординалы, то наибольший по
отношению ^ элемент множества {αι,...,αη} будем обозначать через
max{ai,... ,αη}.
Определение. Ординал к называется кардиналом, если он не
является равномощным никакому меньшему ординалу.

84
Гл. 2. Теория множеств
Заметим, что ординал а является кардиналом тогда и только тогда;
когда (α,ε(α))— кардинально упорядоченное множество.
Предложение 2.5.3. Натуральные числа и множество ω всех
натуральных чисел являются кардиналами.
Доказательство. Так как 0 не имеет подмножеств, отличных
от 0, то 0 — кардинал. Предположим, что утверждение не верно и
пусть η + 1 — наименьшее натуральное число, не являющееся
кардиналом. Пусть /: п+ 1 —► п+ 1 — инъективное отображение и η £ rang/.
Если η — 1 ^ rang/ или /(η) = η — 1, то / \ η отображает η в
подмножество w С η, η - 1 φ w, что невозможно по минимальности η + 1.
(Напомним, что η + 1 = {0,1,... ,п}.) Если /(/со) = η — 1, fco < п, то
определим отображение д: η —> η, для которого #(г) = /(г) для г < п,
г ^ &о, и #(/со) = /(га)· Ясно, что д инъективно отображает η в ν С п,
η — 1 ^ ν, что опять противоречит минимальности п+ 1. Если бы о;
не был кардиналом, то \ω\ ^ |п| для некоторого натурального числа п.
Тогда было бы \п + 1| < \ω\ < |п|, т.е. п+ 1 — не кардинал, что
противоречит предыдущему. D
Следующая теорема позволяет выделить среди равномощных
множеств канонического представителя — кардинал.
Теорема 2.5.4. Для любого множества X существует
единственный кардинал \Х\, равномощный X.
Доказательство. Единственность X следует из определения
кардинала, так как по свойствам ординалов из двух неравных
ординалов один из них является собственным начальным отрезком другого.
По принципу полного упорядочения и теореме о представлении
вполне упорядоченных множеств существует ординал од,
равномощный X. В качестве \Х\ берем ординал β < од, равномощный од, все
элементы которого не равномощны од. Такой ординал существует по
вполне упорядоченности (од,г(од)). D
Определение. Для множества X кардинал |Х| из теоремы 2.5.4
называется мощностью множества X.
Очевидно, что |а| ^ а для ординала α и α тогда и только
тогда является кардиналом, когда |а| = а. Заметим, что определенное
в начале параграфа отношение \Х\ < \Υ\ на множествах X и Υ
соответствует отношению < на кардиналах |Х| и |У|, введенному выше
так: щ ίζ Χ2 <=> (щ £ >*2 или щ = Я2). Дадим точное определение
свойства быть конечным множеством, которым ранее мы пользовались
интуитивно.
Определение. Множество X называется конечным, если |Х| е ω,
и счетным, если |Х| = ω.

§ 2.5. Ординалы и кардиналы
85
Если X — не конечное множество, то говорим, что X бесконечно.
Заметим, что существуют бесконечные несчетные множества, более
того, в силу теоремы Кантора мощность любого множества X меньше
мощности множества Р(Х). Так как ω — наименьший бесконечный
кардинал, то счетные множества имеют наименьшую мощность среди
бесконечных множеств. Очевидно, что конечное или счетное
множество X можно представить в виде X = {ап \п е ω}, при этом
последовательность
αο, αϊ,..., αη,..., η Ε ω,
будем называть нумерацией множества X. Ясно, что если Υ С X, то
\Υ\ ^ \Х\.
Заметим, что бесконечный кардинал я не может иметь вид
а + 1 = a U {а}. В самом деле, предположим, что к — а + 1. Так как
κ бесконечен, то я £ ω и, по свойствам ординалов, ω — начальный
отрезок (а + 1,ε(α+ 1)), поэтому отображение /: а+ 1 -» а, для
которого
(β, если β £ ω U {а},
/(β) = < 0, если β = а,
[/3+1, если β е ω,
будет инъективно отображать |а+ 1| на а. Это противоречит тому, что
а + 1 — кардинал. D
Докажем следующую важную теорему.
Теорема 2.5.5. Если множество А бесконечно, то \А\ = \А2\.
Доказательство. Отображение /: А —> А2, для которого /(а) =
= (а,а), будет инъективным, следовательно, \А\ ^ \А2\. Предположим,
что \А2\ ^ \А\ не выполняется. Тогда множество
X = {а [ а — бесконечный кардинал, а ^ |А| и а < \а |}
не пусто, и пусть αο — наименьший элемент множества X. Определим
на множестве а2 отношение =^:
(/?ь/?гН <7ΐ,72>
max{/?i,/?2} < max{7i,72} или
тах{/?ь/?2} = max{7i,72}, Л < 7ь или
[max{/?i,/?2} = тах{71,72},/?1 = 7ь/% ^ 72·
Очевидно, что =^ — линейный порядок на а2. Кроме того (а§, ^) —
вполне упорядоченное множество, так как для любого непустого
подмножества У С Oq существуют непустые подмножества
Yx = {(/?,7) g У | max{/?,7} ^ тах{/?',7'} для любого (β',Υ) е У},

86
Гл. 2. Теория множеств
У2 = {</?,7> е Υχ | β ^ β' для любого φ',Ί') е И},
Уз = {(β,Ί) е У2 | 7 < i Для любого (/?', У) е У2},
и очевидно, что Уз содержит ровно один элемент и он является
наименьшим по отношению ^ элементом У.
Так как ао < |а§|, то по теореме об изоморфизме вполне
упорядоченных множеств и свойствам начальных отрезков вполне
упорядоченных множеств (αο,ε(αο)) изоморфно (Ζ,ε(Ζ)) для собственного
начального отрезка Ζ вполне упорядоченного множества (а2, =^). Пусть
(А),7о) £ α2 \ Ζ и £0 = max{/?o,7o}· Очевидно, что Ζ С (<50 + I)2. Так
как ао бесконечно, то Ζ и δο также бесконечны и \δο + 1| = |£о| < <*о·
Тогда по минимальности кардинала ао мы имеем
α0 = |^Ι<Ι(*ο+1)2|< |йо+1|<ао.
Получили противоречие. D
Следствие 2.5.6. Пусть А, В — множества и хотя бы одно из
них бесконечно, тогда
а). Если Α φ 0 и В φ 0, то \А х В\ = max{|A|, |В|};
б). \AUB\ = тах{|А|,|В|}.
Доказательство. Пусть \А\ = тах{|А|, \В\}.
а). Пусть bo £ В. Тогда отображение f:A-^AxB, для которого
/(а) = (а, Ьо), инъективно, поэтому \А\ ^ \А х В|. Из |В| < |А| и
предыдущей теоремы получаем
\АхВ\^\А2\ = \А\.
б). Очевидно, что \А\ ^ |AUB|. Пусть /: В —> Л — инъективное
отображение, тогда отображение g: A U В —► А х {0, 1}, для которого
_ ί(αΌ)> если а е А,
9 \ (/Μ). если α 6 £\ А,
будет инъективным, поэтому из утверждения а) получаем
\a\jb\ <|Αχ{ο,ΐ}| = μΐ|. α
Следствие 2.5.7. а). Если множество А бесконечно, то \Ак\ = \А\
для любого натурального к > 0.
б). Если А бесконечно и А* = \J{Ak \ k е ω}, то \А*\ = \А\.
в). Если W — множество слов алфавита А ф 0, то \W\ =
= max{|A|,u;}.

§ 2.6. Аксиоматическая теория множеств
87
Доказательство, а) выводится из следствия 2.5.6,а),
индукцией по к.
б). Пусть ао £ А и Д: Ак —> А, 0 < /с < а?, — инъективные
отображения, существующие в силу утверждения а). Тогда отображение
/: А* —> ω χ А, для которого
_ ί(Ο,αο), еслиа = 0еА°,
~ \<*. /*<*). е^и α G A* \ (A0 U ... U A*5"1), jfc > О,
будет инъективным, поэтому в силу следствия 2.5.6, а), получаем
|А*| ίζ \ω χ Α\ = \А\. Обратное неравенство \А\ ^ |А*| очевидно.
б). Так как для а Е А слова а, аа, ааа, ... попарно различны, то
ω ίζ |W|. Если А бесконечно, то утверждение в) следует из
утверждения б). Если \А\ — η е ω, то очевидно, что \W\ ^ |о>*|, и снова по б)
получаем |W| < ω. D
Упражнения
1. Показать, что множества целых, рациональных и алгебраических
чисел счетны.
2. Показать, что множества действительных и комплексных чисел
равномощны, а множества действительных н натуральных чисел
не равномощны. (Указание. Заметить, что мощность множества
действительных чисел равна |Ρ(ω)|, и применить теорему
Кантора.)
§ 2.6. Аксиоматическая теория множеств ZF
и аксиома выбора
Определим множества Va, где а — ординал, следующим образом:
а) Vo = 0;
б) Va = P(Vp), если а = β + 1;
в) Vo. = U Vp, если а — предельный ординал.
Множество X, для которого существует ординал а с условием
X £ Va, назовем регулярным. Регулярному множеству X можно
сопоставить ординал р(Х), который называется рангом X и определяется
как наименьший ординал, для которого X £ Vp(xy Очевидно, что если
X е Υ, то р(Х) < ρ(Υ), и если все элементы множества Υ регулярны,
то само множество Υ регулярно и p(Y) = (\J{p(X) \ X е Y}) + 1.
Отсюда получаем, что если множество Yq не регулярно, то оно имеет
некоторый нерегулярный элемент Y\. Продолжая этот процесс,
получаем последовательность Υο,Υ\,... ,Fn,..., для которой Fn+i £ Υη, η е ω.

88
Гл. 2. Теория множеств
Напомним, что аксиома регулярности утверждает, что в любом
непустом множестве X существует элемент а е X, для которого
выполнено Χ Π а = 0. Если бы указанная выше последовательность
существовала, то множество {Υη \ η е ω} противоречило бы аксиоме
регулярности. Таким образом, в силу аксиомы регулярности все
множества регулярны, т. е. каждое множество получается на некотором шаге
«регулярного процесса», при котором, исходя из пустого множества,
на каждом шаге получаются все множества, элементы которых уже
получены на предыдущих шагах. Это вполне согласуется с нашими
интуитивными представлениями об образовании множеств.
Аксиомы экстенсиональности и регулярности налагают
определенные условия на отношение £ (принадлежности) и = (равенства), т.е.
в определенном смысле ограничивают «универсум», состоящий из
множеств. Аксиома выбора, наоборот, утверждает, что в этом
«универсуме» должны существовать определенные множества, если некоторые
уже существуют. Однако в доказательствах мы свободно пользовались
и другими условиями существования множеств, например, мы
образовывали объединение A U В двух множеств А и В, рассматривали
множество-степень Р(А), считали, что в нашем распоряжении
«имеются» натуральные числа η е ω.
Все условия существования множеств, которые мы использовали
(кроме аксиомы выбора), вытекают из следующих аксиом
«существования»:
1). Существует пустое множество 0.
2). Если существуют множества а и Ь, то существует множество
{а, Ь}.
3). Если существует множество X, то существует множество \JX =
= {t I t £ x для некоторого χ Ε Χ}.
4). Существует множество ω = {0,1,...,η,...}, где 0 = 0 и η + 1 =
= nU{n}.
5). Если существует множество А, то существует множество Ρ (А) =
= {В\ВСА}.
6). Если Ф(х,у) — некоторое условие на множества х, у такое, что
для любого множества χ существует не более одного множества
у, удовлетворяющего условию Ф(х,у), то для любого множества
а существует множество
{Ь | Ф(с, Ь) для некоторого с е а}.
Пример 2.6.1. Покажем, что из аксиом 2), 5) и 6) следует
существование множества А2 = {(a,b) \a,b E А} для любого множества А.

§ 2.6. Аксиоматическая теория множеств
89
Так как (а, Ь) = {{а}, {а, Ъ}}, то А2 С Р(Р(А)). Пусть
Фо(ж,2/) <=> (существуют такие a,b e А,
что χ = {{а}, {а, 6}} и у = х).
Ясно, что для любого множества χ существует не более одного
множества у, удовлетворяющего условию Ф(х,у), поэтому по аксиомам
5) и 6) множество {Ь | Фо(с, Ь),с £ Р(Р(А))} существует и по аксиоме
2) оно совпадает с множеством А2.
Систему аксиом 1)-6) вместе с аксиомами экстенсиональности и
регулярности называют системой аксиом Цермело-Френкеля и
обозначают через ZF. Систему ZF вместе с аксиомой выбора обозначают
через ZFC. О
В рамках теории ZFC можно изложить все общепринятые в
современной математике способы рассуждений. Можно даже сказать, что
на современном этапе развития математики такая «переводимость» в
ZFC является мерилом математической строгости. (Правда, это
оспаривается интуиционистами и конструктивистами, но их воззрений мы
в этой книге не касаемся.) Таким образом, формальный вывод из
аксиом ZFC можно принять в качестве разумного уточнения понятия
математического доказательства 2). Точная формулировка этого
понятия имеет большое значение и составляет одну из центральных задач
математической логики. Только при наличии соответствующих
точных определений можно установить недоказуемость и независимость
некоторых утверждений. Так, было доказано, что множеству
действительных чисел можно без противоречия приписать практически любую
мощность. То обстоятельство, что правильность формального
доказательства легко проверить на машине, явилось отправным пунктом
для перспективных исследований по машинному поиску доказательств.
Исторически главную роль в создании ZFC сыграли противоречия
«наивной» теории множеств. Как же обстоят дела с непротиворечивостью
ZFC? В рамках ZFC никаких противоречий до сих пор не обнаружено.
С другой стороны, было доказано, что если ZFC непротиворечива,
этот факт нельзя установить средствами этой теории. Таким образом,
непротиворечивость ZFC можно только принять на веру, что мы и
будем делать.
О Для точного определения понятия условия Ф(х,у) в аксиоме 6) мы
отсылаем читателя к понятию формулы сигнатуры Σο, содержащей лишь один
двухместный предикатный символ G (см. гл. 3). Заметим, что все аксиомы
ZFC можно записать в виде предложений сигнатуры Σο.
2) Под формальным выводом понимается вывод в исчислении предикатов
(см. §4.5).

90
Гл. 2. Теория множеств
В ZFC имеется семь аксиом, утверждающих существование
некоторых множеств. Аксиома выбора среди них занимает особое место. Она,
по-видимому, является наименее «очевидной». Дело в том, что
множества, существование которых утверждается в аксиомах 1)-6),
определяются однозначно (например, сумма множества [JX однозначно
определена по X), функция же выбора для непустых подмножеств X
определена неоднозначно. Более того, если существует условие,
определяющее однозначно функцию выбора для непустых подмножеств X,
то тогда существование функции выбора для Р(Х) \ {0} можно
вывести без аксиомы выбора (т. е. в ZF). Наличие такой неопределенности
объекта, существование которого утверждает эта аксиома, а также
некоторые ее следствия, не согласующиеся с «наивной» интуицией,
вызвало многочисленные споры вокруг аксиомы выбора среди
математиков в начале XX в. Некоторые даже считали, что она наверняка
должна привести к противоречию. Однако после результата К. Гёделя
о равнонепротиворечивости ZF и ZFC эти споры, в основном, утихли.
Тем не менее, до сих пор иногда стараются приводить, если это
возможно, доказательства, не использующие аксиому выбора, считая такое
доказательство более «конструктивным». Отметим также доказанную
П. Коэном равнонепротиворечивость ZF и ZF+ (отрицание аксиомы
выбора).
Оставшуюся часть параграфа мы посвятим теореме, показывающей,
что аксиома выбора эквивалентна (в ZF) некоторым своим следствиям,
доказанным в предыдущих параграфах.
Теорема 2.6.2. Из аксиом ZF можно вывести эквивалентность
следующих утверждений:
а) аксиома выбора: для любого непустого множества А
существует такое отображение h: (Ρ(А) \ {0}) —► А, что h(B) Ε В для
всех В С А, Вф0\
б) принцип максимума: если β частично упорядоченном
множестве 21 = (A, U) каждая цепь имеет верхнюю грань, то 21 имеет
максимальный элемент;
в) принцип полного упорядочения: для любого множества А
существует отношение U С А2, для которого (A, U) — вполне
упорядоченное множество;
г) если множество А бесконечно, то \А2\ = \А\.
д) сравнимость множеств по мощности: для любых множеств А
и В выполнено \А\ ^ \В\ или \В\ ^ \А\.
Доказательство. В силу доказанных выше теорем, из аксиомы
выбора следуют утверждения б)-д). В доказательстве принципа полно-

§ 2.6. Аксиоматическая теория множеств
91
го упорядочения сама аксиома выбора не используется, а используется
только принцип максимума, поэтому мы имеем б)=>в).
в)=>а). Пусть (A, U) — вполне упорядоченное множество. В
качестве значения h(X) функции выбора h берем наименьший по
отношению U элемент множества (Χ, Χ Π U). Эта функция существует в силу
аксиомы 6).
г)=>в). Предположим, что утверждение г) выполнено. Так как для
любого вполне упорядоченного множества (В, V) и любого С С В пара
(С, С2 C\V) — вполне упорядоченное множество, то для
доказательства в) достаточно найти инъективное отображение д : А >—> В для
некоторого вполне упорядоченного множества (В, V). Предположим,
что это не так. В частности, не существует инъективного отображения
множества Л ни в какой ординал.
Так как, по определению, конечные множества биективно
отображаются на ординалы, которые вполне упорядочены отношением ε,
то множество А бесконечно.
Из аксиомы 6) вытекает существование множества
W = {U С А2 | (D(U), U) — вполне упорядоченное множество},
где D(U) = {а е А\ (a,b) e U или (b,a) G U для некоторого Ь е А}.
Доказательство теоремы о представлении вполне упорядоченных
множеств не зависит от аксиомы выбора, поэтому по аксиоме 6)
существует множество
V = {a(U) | U e Wya(U) - тип множества (£> (17), 17)}.
Ясно, что V равно множеству {а \ а — ординал и \а\ ^ \А\}. По
свойствам ординалов ао = (J V является ординалом. Установим, что
|αο| ^ \А\. Индукцией по натуральным числам легко устанавливается,
что \п\ ^ |Л|, поэтому ординал ао бесконечен. Тогда |ао + 1| = |ао| и
если |ао| ^ \А[, то |ао + 1| ^ \А\, ао + 1 G V и ао € \JV = ао, что
противоречит аксиоме регулярности.
Очевидно, что ао х А С (ао U А)2. Из условия г) мы имеем
|(aoU A)2\ = |(aoU Л)|, следовательно, существует инъективное
отображение / : ао х А >—► (ао U А). Так как |ао| ^ \А\, то для любого а € А
мы имеем (/[ао х {а}] П ао) Φ 0. Определим отображение д : А —► ао
следующим образом: для а € А элемент д(а) является наименьшим
во вполне упорядоченном множестве ((/[αο χ {α}] (Ίαο),ε). Из инъек-
тивности отображения / следует инъективность отображения д. Это
противоречит предположению о том, что А нельзя инъективно
отобразить ни в какой ординал.
д)=^в). Пусть ао — ординал, определенный в доказательстве г)=^
=>в). Так как |ао| ^ \А\, то по условию д) мы имеем \А\ ^ |ао|. Как

92
Гл. 2. Теория множеств
уже отмечалось в начале доказательства утверждения г)=>в) из этого
факта следует условие в). D
Заметим, что доказательство теоремы Кантора не зависит от
аксиомы выбора. В доказательстве теоремы Кантора-Бернштейна мы
использовали следствие аксиомы выбора — принцип кардинального
упорядочения. Однако при предположении непротиворечивости ZF список
а)-д) из предыдущей теоремы нельзя расширить, добавив теорему
Кантора-Бернштейна. Это следует из отмеченной выше равнонепро-
тиворечивости ZF и ZF+ (отрицание аксиомы выбора) и того, что
существует доказательство этой теоремы, не зависящее от аксиомы
выбора.
Доказательство теоремы Кантора-Бернштейна, не
зависящее от аксиомы выбора. Пусть f:A-^B,g:B-^A —
инъективные отображения, Ао = А, А\ = д[В] и Ап+2 = (fg)[An].
Индукцией по η легко установить, что Ап+\ С АПу η е ω. Пусть
D = Π Ак и Mi = Ai\ Ai+\. Очевидно, что ( \J МЛ U D = Ak
и Mi Π Mj = 0 для г φ j. Так как / · д инъективно отображает Mi
на Mi+2 для любого г £ ω, то отображение h: A —> А, определенное
следующим образом:
Ι α, если α G ( (J М<ц+\ J U D,
ha — < \ι^ω J
(/#)(», если α G (J М2ь
является инъективным отображением А на
( (J Mi)u£> = i4i.
Так как |В| = |^ι|, то получаем \В\ = \А\. D
Упражнение
1. Показать, что аксиома выбора эквивалентна в ZF следующему
утверждению: если Μ — разбиение множества А (см. пример
2.1.3), то существует отображение д: Μ —► А, для которого
д(т) е т, т е Μ, πι Φ 0. (Указание. Рассмотреть разбиение
{т(В) | Б € Р(А) \ {0}}, где т(В) - {(В, о> | о € 5}.)

Глава 3
ИСТИННОСТЬ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ
§3.1. Алгебраические системы
Часто объектом изучения в математике служит множество вместе
с определенной на нем структурой, например, множество
треугольников с отношением подобия, множество действительных чисел с
операциями сложения и умножения, множество вещественных функций
со свойством дифференцируемости и операцией дифференцирования
и другие. В этом параграфе мы дадим одно из уточнений этого понятия,
введя определение алгебраической системы.
Определение. Упорядоченная тройка Σ = (R, F, μ) называется
сигнатурой, если выполняются следующие условия:
а) множества R и F не имеют общих элементов;
б) μ является отображением множества R U F в ω.
Элементы множества R называются символами отношений или
предикатов. Элементы множества F называются символами операций
или функций. Отображение μ называется отображением местности
или арности для Σ. Если μ(ς) = η, то q называется п-местным
предикатным символом при q е R и η-местным функциональным
символом при q £ F, 0-местный функциональный символ называется
символом константы или просто константой.
Часто для удобства будем представлять конечную или счетную
сигнатуру Σ = (Я, F, μ) в виде
V _ /ГМ(П) μ(Γη) . Mf\) Mfk) ч
Zj — \l j , . . . , I n , . . . , J j , . . . , J fc ,...,C1,..., Cm, . . ./
или просто
Σ = (ri,...,rn,...;/i,...,/fc,...;ci,...,cm,...),
где г», fi — символы отношений и функций, не являющихся
константами, с^ — константы сигнатуры Σ. Все сигнатуры в дальнейшем будут
обозначаться буквой Σ (возможно, с индексами), множество их
символов отношений — через R, множество символов операций — через F,

94
Гл. 3. Истинность на алгебраических системах
а отображение арности — через μ (с соответствующими индексами).
Будем говорить, что сигнатура Σ содержится в сигнатуре Σι
(обозначаем Σ С Σι), если RQ R\, F С F\ и μ С μι. Если X С R\J F, то
сигнатуру Σι = (RnX,FC\X^ \ X) назовем ограничением
сигнатуры Σ на множество X (обозначаем Σι = Σ f X). Мощность множества
R U F называется мощностью сигнатуры Σ = (R, F, μ) и обозначается
через |Σ|. Если Ση С Ση+ι η е ω, то через (J Ση обозначаем сигнатуру
( U Rn, U Fn, (J μη). П€Ш
ηζω η£ω πΕω
Если R\J F φ 0 и F = 0 (R = 0), то сигнатура Σ называется
предикатной (функциональной). Если RU F = 0, то сигнатура Σ
называется пустой.
Определение. Упорядоченная пара 51 = (А, и*) называется
алгебраической системой сигнатуры Σ, если выполняются следующие
условия:
а) А — непустое множество;
б) ν* — отображение множества R U F в множество отношений
и операций на множестве А\
в) г е R => ^я(/) является //(г)-местным отношением на А\
τ) f £ F => ζ/21 — /х(/)-местная операция на А.
Множество А называется носителем 51, ν* — интерпретацией
сигнатуры Σ в Л. В дальнейшем вместо ν* (г) будем часто писать просто
га или даже г, если ясно, о какой 51 идет речь.
Алгебраические системы в дальнейшем будут обозначаться
готическими буквами 51, <В,... (возможно, с индексами), а их носители —
соответствующими латинскими буквами А,В,... (с соответствующими
индексами). Мощностью алгебраической системы 51 будем называть
мощность ее носителя А. Для краткости будем часто опускать слово
«алгебраическая» и называть 51 просто системой.
Определение. Отображение f:A^>B называется гомоморфизмом
алгебраической системы 51 сигнатуры Σ в систему <В той же сигнатуры
Σ, если выполняются следующие условия:
а) если q G R и μ(ς) = η, то для всех αϊ,..., ап G А
(αϊ,...,On) е^=^ (/αι,...,/αη) G g®;
б) если q € F и μ(ς) = η, то для всех αϊ,..., ап G А
/(ςα(αι,...,θη)) = g®(/ai,...,/an).
Если / — гомоморфизм 51 и 05 и /[Л] = £?, то / называется
гомоморфизмом 51 яа 05, а 05 — гомоморфным образом 51.

§ 3.1. Алгебраические системы
95
Инъективный гомоморфизм / 51 на 05, для которого /-1 — также
гомоморфизм, называется изоморфизмом 51 на 05 и обозначается через
/: 51^+05. Если существует изоморфизм /: 51^+05, то системы 51 и 05
называются изоморфными и обозначается это так: 51 ~ 05. Изоморфизм
/ системы 51 на 51 называется автоморфизмом системы 51.
Предложение 3.1.1. а). £слм /: 51^05, то f~l: 05^51.
б). Если /: 5t^5ti w^: 5ti^5t2, mo (/$): 5t^5t2.
в). idA: 51^51.
Доказательство получается непосредственно из определения
изоморфизма. D
Определение. Система 51 называется подсистемой системы
05 (обозначаем 51 С 05), если выполняются следующие условия:
а) 51 и 05 имеют одну и ту же сигнатуру;
б) А С В;
в) множество Л замкнуто относительно операций ^®(/), / G F;
г) отношения и операции v*(q)> q G RUF, в 51 являются
ограничением на А соответствующих отношений и операций v*(q)>
qeRUF,B<B.
Если Л ^ В, то 51 С 05 называется собственной подсистемой 05.
Если 51 С 05, то 05 называется надсистемой 51.
Ясно, что в определении подсистемы в) следует из г). Для удобства
ссылок мы выписали в) отдельно.
Из определения подсистемы следует, что две подсистемы 5li, 512
системы 05 с одинаковыми носителями совпадают. С другой стороны,
если непустое подмножество В\ С В замкнуто относительно операций
системы 05, то В\ является носителем некоторой подсистемы 05ι С 05.
Таким образом, существует инъективное отображение множества
непустых замкнутых относительно операций 05 подмножеств носителя В
на множество подсистем 05. Это отображение можно продолжить на
все непустые подмножества В. А именно, имеет место
Предложение 3.1.2. Если 05 — алгебраическая система, X С В,
Χ φ 0, то существует такая единственная подсистема 05(X) С 05
с носителем В(Х), что X С В(Х) и 05(Х) С 51 для любой
подсистемы 51 С 05, для которой X С А.
Доказательство. В качестве В(Х) берем пересечение
носителей А всех подсистем 51 С 05, содержащих X. Так как X С В(Х)У
то В(Х) Φ 0. Как уже отмечалось выше, В(Х) является носителем
единственной подсистемы 05(X) С!В. G
Определение. Подсистема 05(X) С 05 из предложения 3.1.2
называется подсистемой, порожденной множеством X в 05. Если

96
Гл. 3. Истинность на алгебраических системах
X = {αϊ,... ,αη}, то 05(X) обозначаем также через <В(аь ... ,ап). Если
<В(Х) = <В, то говорим, что система <В порождается множеством X.
Множество алгебраических систем {21^ \г е 1} называется
направленным множеством алгебраических систем, если / φ 0 и для
любых i,j £ I существует к е 1> для которого 21; С Яд. и 2Ц· С 21&. Из
определения следует, что все системы направленного множества систем
имеют одну сигнатуру.
Предложение 3.1.3. Если {21; \г е 1} — направленное множество
алгебраических систем сигнатуры Σ, то существует единственная
система 21 такая, что 21; С 21 для всех г Ε / и 21 С <В для любой
системы <В, для которой 21; С <В, г Ε /.
Доказательство. Носителем 21 будет множество Л= (J Л;.
Пусть {α;, ...,αη} С Л. Тогда из определения направленного
множества следует, что существует такое г Ε J, что {αι,...,αη} С Л;.
Пусть (αι,...,αη) принадлежит i/a(s), s e RU F, когда (αι,...,αη)
принадлежит i/a<(s). Такое определение не зависит от выбора г Ε
Ε J, так как если {αι,...,αη} С Aj, то существует такая 21ь что
21; £ 21^ и 21^ С 2tfc. Следовательно, 1/ат(г) Π {(αϊ,... ,αη)}, г Ε #, и
^ατ(/)(°4»···»αη), / £ ^\ Для r £ {м} совпадают с соответствующими
i/afc(r) Π {(αϊ,...,On)}, r Ε Д, и i/2tfc(/)(ai,... ,αη), / Ε F. Остальные
утверждения предложения 3.1 21 очевидны. D
Система 21 из предложения 3.1 называется объединением систем
21;, г Ε /, и обозначается так: 21 = (J 21;.
Определение. Алгебраическая система 21 сигнатуры Σ называется
обогащением системы 2ti сигнатуры Σι, если выполняются
следующие условия:
а) А = А\\
6)Σι=Σ'ί(ΉιυΉ);
в) ι/*ι = i/* f (uiUFi).
Если система 21 сигнатуры Σ является обогащением системы Щ
сигнатуры Σι, то 2ti называется обеднением системы 21 до сигнатуры
Σι и обозначается через 21 f Σι.
Если Σ = (ri,...,rn,...;/i,...,/fc,...;ci,...,cm,...), то
алгебраическую систему 21 сигнатуры Σ часто будем обозначать так: 21 = (A,rlt...
...,rn,...\ll,...,lk,...;cl,...,cm,...), где rn, /fc, сш обозначают
соответственно отношение ^а(гп), операцию ^а(/&) и значение константы
^а(сш) на множестве Л.
Пример 3.1.4. Алгебраическая система 9t = (iV,+,i;0,i), где
Ν = ω — множество натуральных чисел, + и : — операции сложения

§ 3.1. Алгебраические системы
97
и умножения, 0 = 0, 1= 1, называется арифметикой натуральных
чисел или просто арифметикой. Заметим, что 91 не имеет подсистем
отличных от нее самой. Функциональная сигнатура Σι = (+2,·2;0,1)
называется сигнатурой колец с единицей. Однако не все
алгебраические системы сигнатуры Σ, будут кольцами. Для этого необходимо,
чтобы операции удовлетворяли определенным условиям (аксиомам
колец). Арифметика 91 не является кольцом, а система 3 = (^,±,i;Q,l),
где Ζ — множество всех целых чисел (Ζ = {0,1, ,2,...; — 1,-2,...}),
+,: — операции сложения и умножения, 0 = 0, 1 = 1, будет кольцом.
Заметим, что 91 С 3- Система 3 называется кольцом целых чисел.
Система УК — (#,+,:; 0,1), где R — множество действительных чисел,
+, ι — операции сложения и умножения, 0 = 0, 1 = 1, также является
кольцом. Система 3 является подсистемой *И.
Пример 3.1.5. Функциональная сигнатура Ег = (·2,(~ι)ι',ε}
называется групповой. Группой подстановок множества X называется
система (5(Х),:, (-1);е) сигнатуры Ег, где S(X) обозначает множество
всех биективных отображений непустого множества X на себя, : —
композицию отображений, (~1) — обращение отображения, е —
тождественное отображение. Вообще, система 51 = (Α.-, (-1);е) сигнатуры
Ег называется группой, если для любых α,αι,α2 £ А в 51 выполняются
следующие равенства:
1) а · (αϊ · аг) = (а · αϊ) · аг,
2) а· е = е - а = а,
3) а · а-1 = а-1 · а = е, где :(а,αϊ), (~Μία) записаны более кратко
как α · αϊ и α-1. Если для любых α, αϊ G А в 51 выполняется еще
равенство
α · αϊ = αϊ · α,
то группа 51 называется абелевой. Часто, чтобы подчеркнуть, что
группа 51 абелева, символы ·, (-1) и е обозначаются через +, (—)
и 0 соответственно. Примером абелевой группы может служить группа
целых чисел (£,+, (ц)^Ш» где ± — сложение, (^) — операция,
переводящая т в —ш, и 0 = 0.
Пример 3.1.6. Если предикатная сигнатура Ε = (Q2) системы 51
состоит из одного символа двухместного отношения Q, то 51 = (A,Q)
называется графом. Если Q — частичный (линейный) порядок на А, то
51 называется частично (линейно) упорядоченным множеством или
просто частичным (линейным) порядком 0. В этом случае (a, b) £ Q
О Это определение не совсем совпадает с определением ч. у. м. в §2.2
(ч. у. м. в §2.2 — пара, у которой первый член может быть пустым множеством,
а носители алгебраических систем всегда непустые).
4 Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин

98
Гл. 3. Истинность на алгебраических системах
обозначается через а ^ Ь или просто через α ^ Ъ. Частичный порядок
51 называется плотным, если из α < 6 и α ^ 6 следует существование
такого с € А, что с φ а, с φ b, а ^ с и с ^ Ь. Будем говорить, что
два линейных порядка 51 и 05 имеют одинаковые концы, если
существование в 51 наименьшего и наибольшего элемента эквивалентно
существованию соответствующего элемента в 05. Заметим, что
подсистема частичного (линейного) порядка будет частичным (линейным)
порядком, однако подсистема плотного линейного порядка не обязана
быть плотным линейным порядком.
Предложение 3.1.7. Если 51 и 05 — два счетных плотных
линейных порядка с одинаковыми концами, то 51 ~ 05.
Доказательство. Пусть А = {ап \ η е ω}, В = {Ьп \ η е ω}.
Рассмотрим множество G, состоящее из отображений д: А\ —► В\,
удовлетворяющих следующим условиям:
1) А\ и В\ — конечные подмножества А и В соответственно;
2) д: 51(Л1)^<В(£1), если Αχ φ 0;
3) если \А\\ = 2п> О, то {а0,... ,αη_ι} С А\ и {6ο.···.&η-ι} £ Si;
4) если |Αι I = 2n + 1, то {ао,..., αη} С Αι и при η > О выполняется
{Ь0, ...,&η-ι} ί Β\\
5) если α е А\ — наименьший (наибольший) элемент 51, то да —
наименьший (наибольший) элемент 05.
Так как 0 е G, то G φ 0. Пусть #: Αι —> £?ι принадлежит G
и |Αι| = 2п. Из условия 3) получаем, что можно выбрать а е А\А\,
для которого {ао, ...,ап} С А\ U {а}. Возьмем такой элемент be В\В\,
что b ^ дс 4=> α ^ с для всех се А\ иЬ — наименьший (наибольший)
элемент в 05 тогда и только тогда, когда а — наименьший (наибольший)
элемент в 51. Такой элемент существует в силу плотности 05 и условий
2), 5) для д. Ясно, что gU {(a, b)} e G. Если |Αι| = 2π+ 1, то, поменяв
местами 21 и 05, точно так же можно найти пару (а, 6) ^ #, для
которой £ U {(а, 6)} G G. Следовательно, в частичном порядке (G,C),
где С — отношение включения, нет максимальных элементов. Тогда
в G существует бесконечная цепь X С G. Из условий 2)-4) следует,
что объединение элементов X будет изоморфизмом 51 на 05. D
Упражнения
1. Показать, что любая алгебраическая система 51 счетной
сигнатуры Σ имеет счетную или конечную подсистему 05 С 51
(Указание. Определим не более чем счетные множества Вп, η е
е ω, следующим образом: Во = {а}, где а е А, Вп+\ = Вп U {b \ b
является значением операции системы 51 на элементах множе-

§ 3.2. Формулы сигнатуры Σ
99
ства Вп}. Тогда в качестве носителя <В можно взять множество
в = и вп.)
ηζω
2. Пусть сигнатура Σ системы 51 содержит хотя бы один символ
константы, и 5(51) обозначает множество подсистем системы 51.
Тогда система (5(51); С), где (ЯЗЬЯ32) Ξ С <=ф «Вι С 032,
является решеткой (см. §2.2).
3. Пусть система 51 имеет собственную изоморфную себе
подсистему. Тогда 51 имеет собственную изоморфную себе надсистему.
4. Показать, что система (Ν\±) имеет счетное число подсистем,
а система (iV;i) — несчетное.
5. Показать, что если |Σ| <ω, то для любого η еш существует такое
конечное множество X систем сигнатуры Σ, что любая система
сигнатуры Σ, имеющая мощность п, изоморфна одной из систем
множества X.
6. Чему равна минимальная мощность множества X из
упражнения 5, если Σ содержит лишь к е ω одноместных предикатов?
7. Показать, что биективный гомоморфизм: К: А-» В системы 51 на
систему <В функциональной сигнатуры Σ является изоморфизмом
51 на <В. Построить пример, показывающий, что условие R = 0
на сигнатуру Σ в этом утверждении опустить нельзя.
§ 3.2. Формулы сигнатуры Σ
Зафиксируем некоторое счетное множество V = {vt \ г е ω},
элементы которого будем называть символами переменных или просто
переменными и обозначать буквами х, у и ζ, возможно, с индексами.
Если в тексте встречается последовательность хо,...,хп переменных,
то всегда предполагается, что χ ι φ Xj для г ф j.
Определение. Множество Τ(Σ) термов сигнатуры Σ = (i?,F,/x)
определяется по индукции:
1) переменные χ eV являются термами сигнатуры Σ;
2) если 11,..., tn — термы сигнатуры Σ, / G F и μ(/) = η, то f(t\
... ytn) — терм сигнатуры Σ.
Напомним, что запись Θ(τ\,..., τη) при η = 0 обозначает Θ; в
частности, из 2) получаем, что символ с константы сигнатуры Σ является
термом сигнатуры Σ.
Таким образом, термы — это слова (конечно, не все слова)
алфавита V U F U {(,)} U {, }. Множество переменных, входящих в терм t,
обозначаем через FV(i). Если FV(i) = 0, то терм t называется
константным или замкнутым. Если t — терм сигнатуры Σ, то запись

100
Гл. 3. Истинность на алгебраических системах
t(x\,...,xn) будет обозначать, что FV(t) С {х\,,..,хп}. Эту запись
также будем называть термом 0.
Определение. Пусть 51 — алгебраическая система сигнатуры Σ.
Отображение η множества X C-V ъ А называется интерпретацией
переменных множества X в А. Если FV(t) С X для терма t сигнатуры
Σ, то индукцией по длине t определяем значение t*[y] Ε А терма t
в 51 при интерпретации у.
1) если t = χ, χ Ε X, то ί*[η] = ηχ\
2) если t = /(ti,.... tn), / Ε F, то t»[7] = i/*(/)(tf [7], -.^W)-
Ясно, что если 71: Χι —> Л, 72: Хг —> ^l — две
интерпретации, t Ε Τ(Σ), FV(£) С1,П12 и 7i f FV(t) = 72 Г FVii), то
£a[7i] = ^[72]· Часто для краткости вместо £α(#ι,...,#η)[7]» мы бу-
дем писать £α(αι,...,αη), где αϊ = 7(χι),...,αη = 7(жп). Если в
тексте встречается запись t(x\,...,xn), то следующая за этим запись
ία(αι,... ,αη) будет обозначать £а(жь ...,#п)[7]» гДе 7 определяется так:
ηχι = ait г = 1,... ,η.
Предложение 3.2.1. а). £а/ш 51 — алгебраическая система
сигнатуры Σ, I С Д I / 0, ш носитель А{Х) подсистемы 51(Х) равен
множеству {ί*[7] | ί Ε Γ(Σ), 7: FV(t) -> Χ}.
б). £а/ш /ι — гомоморфизм алгебраической системы 51 сигнатуры
Σ β систему 93, £(жь ...,жп) Ε Τ(Σ) w αι,...,αη G Д mo /i(ia(ai,...
... ,an)) = t*(ha\,...,han).
Доказательство, а). Пусть Υ = {ί*[η} \ t Ε Τ(Σ), 7 : iV(i) ->
—> Χ}. Индукцией по длине терма £ получаем, что если t(x\,...
..., жп) Ε Τ(Σ) и αϊ,..., ап Ε X, то £т (αϊ,..., ап) Ε В для любой
подсистемы Ъ С 51, для которой IC5. Поэтому достаточно показать,
что Υ замкнуто относительно операций системы 51. Пусть / Ε F,
μ(ί) = πι, ίι,...,^ΕΤ(Σ) и 7: (iV(fi) U ... U *V(fm)) -> X. Тогда
^(/)(*?W, ...,Ш) = #Ы G ^> где t0 = /(«ь-, in).
б). Легко доказывается индукцией по длине £. D
Определение. Множество F(E) формул сигнатуры Σ = (Д, F, μ)
определяется по индукции.
0). Логическая константа # является формулой.
1). Если г Ε R, μ(ν) = п и ίι,...,ίη € ^(Σ), то слово r(ti,...,£n)
является формулой сигнатуры Σ.
2). Если t\yt2 Ε Τ(Σ), то слово t\ « £2 является формулой
сигнатуры Σ.
О Эта запись, конечно, как и буква ί, не является термом, а представляет
собой обозначение («имя») терма.

§ 3.2. Формулы сигнатуры Σ
101
3). Если Φ, Φ — формулы сигнатуры Σ, то (Φ Λ Φ), (Φ V Φ), (Φ —►
—► Φ) и ^Ф — формулы сигнатуры Σ.
4). Если Φ — формула сигнатуры Σ, χ e Vy то УхФ и ЗхФ — формулы
сигнатуры Σ.
Таким образом, множество F(E) формул сигнатуры Σ состоит
из некоторых слов алфавита V U R U F U {#, Л, V, —►, ~\ ^} U {V, 3} U
U {(0} и {>}· Например, если гей, f,g,c e F, μ(τ) = μ(ρ) = 2,
μ(/) = 1, /i(c) = 0, то слово
(\/vi3v2r(v2, /(υ3)) V ^4 ~ tffai, с))
является формулой сигнатуры Σ, в то время как слова
V\ &V2VV\, CttV\VV2ttC, (Vuir(/(V3),V2)), (Bv\r(v\,V2,V3)VcttV3)
формулами сигнатуры Σ не являются (почему?). При этом последнее
слово является формулой, только другой сигнатуры.
Последовательность Φ некоторых символов будем называть просто
формулой, если она является формулой некоторой сигнатуры. Если
Φ — формула, то через Σ(Φ) будем обозначать сигнатуру, все символы
которой входят в Ф, и Φ является формулой сигнатуры Σ(Φ). Ясно, что
Σ(Φ) определяется по Φ однозначно.
Подслово формулы Ф, которое само является формулой, называется
подформулой формулы Ф. Формулы вида #, r(t\,...,tn) и t\ «£2, где
г — предикатный символ, ti, *2t — — термы, называются
атомарными. Атомарные формулы, содержащие не более одного сигнатурного
символа, называются атомными. Таким образом, атомная формула
сигнатуры Σ имеет один из следующих видов:
/Κ,,···, Ό &Vj, r(^0,...,^J,r,
где с — константа, / — функциональный символ, а г —
предикатный символ сигнатуры Σ. Символ « называется символом равенства
или просто равенством. Символы V и 3 называются соответственно
кванторами всеобщности и существования. Запись \/х (запись Зх)
читается «для всех х» («существует х»). Формулу, не содержащую
кванторов, будем называть бескванторной.
Доказательство следующих трех предложений является по
существу повторением доказательств предложений 1.2.1, 1.2.4 и следствия
1.2.3 соответственно. (Рассмотрение случаев, когда формула
начинается с кванторов, не отличается по существу от рассмотрения в
указанных предложениях случая, когда формула начинается с отрицания.)

102
Гл. 3. Истинность на алгебраических системах
Предложение 3.2.2. Всякая неатомарная формула сигнатуры Σ
представима в одном и только одном следующих видов:
(ФЛХ), (ΦνΧ), (Φ->Χ), ν^Φ, ЗяФ, "Ф
для однозначно определенных формул Φί/Χ сигнатуры Σ. D
Предложение 3.2.3. Если Φ — формула сигнатуры Σ α η и θ —
вхождения в Φ подформул Φ и X соответственно, то либо η и θ
не имеют общих вхождений символов, либо одно из них целиком
содержится в другом. D
Предложение 3.2.4. С каждым вхождением в формулу Φ
сигнатуры Σ символов ~\ V или 3, а также символа (, не входящего в
атомарную подформулу, однозначно связано некоторое вхождение
подформулы формулы Ф, первым символом которого является
рассматриваемое вхождение соответствующего символа. □
Определение. Подформула формулы Φ сигнатуры Σ, связанная по
предложению 3.2 с вхождением квантора V (квантора 3), называется
областью действия этого вхождения квантора V (квантора 3).
Мы будем в дальнейшем пользоваться соглашением об опускании
внешних скобок, принятом в §1.2 гл. 1. Заметим, что формулу
исчисления высказываний можно рассматривать как формулу некоторой
сигнатуры, если считать, что символы пропозициональных переменных
являются нульместными предикатными символами.
Определение. Для каждой формулы Φ сигнатуры Σ определим
множество FV(<&) свободных переменных формулы Φ следующим
образом:
1). Если Φ — атомарная формула вида #,г, r(t\,...,tn) или t\ «
« *2, то множество ίν(Φ) равно 0, 0, FV(t\), U... UFV(tn) или
FV(t\)UFV(t2) соответственно.
2). Если Φ = -Φ, то ίν(Φ) = ίν(Φ).
3). Если Φ = ΦιτΦ2, где τ е {Λ,ν,->}, το FV^) = FV^i) U
\JFV(<S>2).
4). Если Φ = Qx4>, где Q e {V, 3}, то FVW = FV{9) \ {x}.
Ясно, что для любой формулы Φ через конечное число шагов можно
найти все элементы FV^). Вхождение η переменной χ в формулу
Φ сигнатуры Σ будем называть связанным, если η лежит в области
действия некоторого вхождения квантора V или 3, за которым сразу
следует символ х. Если вхождение η переменной χ в формулу Φ не
является связанным, то будем его называть свободным. Если формула
Φ содержит свободные (связанные) вхождения переменной х, будем
говорить, что χ входит свободно (связанно) в формулу Ф.

§ 3.2. Формулы сигнатуры Σ
103
Предложение 3.2.5. Если Φ — формула сигнатуры Σ, то
переменная χ тогда и только тогда принадлежит FV{$\ когда
существует свободное вхождение χ β Ф.
Доказательство легко проводится индукцией по длине Ф, и мы
оставляем его читателю. D
Если Φ — формула, то запись Ф(жь ... ,хп) в дальнейшем будет
обозначать формулу Ф, а также то, что FV(<f>) С {х\,...,хп}. Определим
главное понятие этой главы.
Определение. Для алгебраической системы 51 сигнатуры Σ,
интерпретации переменных η: X —► А и формулы Φ е ^(Σ), для которой
FV($) С X, определим отношение 51 \= Φ [7] (читается «в 51 истинна
формула Φ при интерпретации 7») индукцией по длине Ф.
0). Если Φ = #, то отношение 51 \= Φ[7] не имеет места.
1). Если Φ = г, г £ R, μ(τ) = 0, то 511= Φ[7] эквивалентно i/m(r) φ 0.
2). Если Φ = r(ii,...,tn), r e R, μ(τ) = η, ίι,,...,ίη Ξ Γ(Σ), το
51 μ Φ[7] эквивалентно (if [7],... ЛпЫ) € v*(r). !)
3). Если Ф равна t\ « £2, ίι,*2 £ ^(Σ), το 51 [= Φ[7] эквивалентно
if W = «?Μ·
4). Если Φ = ^Φ, το 51 |= Φ[7] тогда и только тогда, когда неверно,
что 51 (= Φ [7].
5). Если Φ = (Φι Л Ф2), то 51 [= Φ[7] <^ (51 [= Φι [7] и 51 (= Ф2Ы)·
6). Если Φ = (Ф! V Ф2), то 51 (= Φ[7] ^^ (51 (= Φι [7] или 51 (= Ф2Ы)·
7). Если Φ = (Φι —> Ф2), то 51 |= Ф[7] <<=> (если имеет место
51 [= Φι[7], то имеет место и 51 [= ФгЫ)·
8). Если Φ = ЗжФ, то 51 |= Φ[7] имеет место тогда и только тогда,
когда существует такая интерпретация 71' Х\ —> А для которой
χ е Хи 71 Г FV($) = 7 Г FV{$) и 51 μ Φ[7ι].
9). Если Φ = УяФ, то 511= Φ[7] имеет место тогда только тогда, когда
для любой интерпретации 71: Х\ —> А для которой χ е Х\, и
71 \ FV($) = 7 \ FV($), имеет место 51 μ tffri].
Если формула Φ не является истинной в алгебраической системе 51
при интерпретации 7, то говорим, что формула Φ ложна в
алгебраической системе 51 при интерпретации η. В частности, формула #
ложна в любой алгебраической системе при любой интерпретации.
1) Конечно, 2) включает 1), так как мы договорились считать r(ii,...,in)
равным г при п = 0. Мы здесь включили 1), чтобы подчеркнуть специфику
нульместных предикатов.

104
Гл. 3. Истинность на алгебраических системах
Из этого определения видно, что при установлении истинности
формулы Φ сигнатуры Σ свободные и связанные вхождения переменных
в формулу Φ играют совершенно различные роли. А именно, свободным
вхождениям переменной χ «приписывается» постоянное значение η(χ)>
в то время как связанным вхождениям переменных никакие
постоянные значения не «приписываются», а рассматриваются всевозможные
их значения.
Предложение 3.2.6. Пусть 51 — алгебраическая система
сигнатуры Σ и Φ е ^(Σ). Если 7ι: Х\ —► А 72· Х2 —► Л — две
интерпретации, для которых FV($) С Х\ Π Хг и 71 Г FV^) = 72 Г FV(<b),
mo 51 ^= Φ[7ΐ] <=> 51 И Ф[7г].
Доказательство легко проводится индукцией по длине Ф. D
Мы часто будем использовать вместо 51 \= Φ (ж ι,... ,ζη)[7] бо-
лее удобную запись 51 [= Φ(αι,... ,αη), где αϊ = 7(^1), ··· >αη = 7(^η)·
А именно, если в тексте встречается запись Ф(жь... ,жп), то
следующая за этим запись 51 [= Φ(αι,... ,αη), αϊ,... ,αη Ε Л, будет обозначать,
51 [= Ф(жь... ,жп)[7], где 7 определяется так: ηχι = α^, г = Ι,.,.,η.
В силу предложения 3.2.6 такое сокращение возможно.
Определение. Если Φ — формула сигнатуры Σ и FV^) = 0, то Φ
называется замкнутой формулой или предложением.
Если Φ — предложение сигнатуры Σ, 51 — система сигнатуры Σ,
то отношение 51 \= Φ[7] не зависит от интерпретации 7» и мы его
будем обозначать просто 51 [= Ф. Ясно также, что если для формулы Ф,
системы 51 и интерпретации 7 определено отношение 51 \= Φ[7], то
51 f= Φ[7] равносильно 51 f Σ(Φ) (= Φ[7].
Определение. Формула Ф называется тождественно истинной
или общезначимой, если 51 [= Φ[7] для любой системы 51 сигнатуры
Σ(Φ) и любой интерпретации 7: ^ν^(Φ) —► Л. Ясно, что сигнатуру
Σ(Φ) в этом определении можно заменить на любую Σ Э Σ(Φ).
Множество формул У С F(E) называется выполнимым в системе 51
сигнатуры Σ, если существует такая интерпретация η: (J FV($) —► Л,
ФЕУ
что 51 [= Φ [7] для всех Φ Ε У. Формула Φ называется выполнимой
в системе 51, если множество {Ф} выполнимо в 51.
Понятие истинности формулы в системе наряду с понятием
выводимости принадлежит к основным понятиям математической логики.
Важность этого понятия объясняется тем, что многие теоремы
математики можно выразить как утверждения об истинности некоторых
формул в алгебраических системах из некоторого класса. В отличие
от свойств «быть формулой» и «быть тождественно истинной формулой

§ 3.2. Формулы сигнатуры Σ
105
ИВ», в общем случае не существует эффективного способа,
позволяющего для предложения Φ за конечное число шагов установить, верно
ли 51 |= Ф. Это связано с тем, что при бесконечном А пункты 8)
и 9) требуют проверки бесконечного числа условий 0. Пункты 2) и 3)
в общем случае также не «эффективны», так как предикаты и функции
бесконечной системы 51 могут быть заданы не «эффективно».
Установим теперь достаточно простой, но важный факт.
Предложение 3.2.7. Пусть f — изоморфизм системы 51
сигнатуры Σ на систему <В. Если Ф(х\,... ,хп) — формула сигнатуры Σ,
то для любых αι,...,αη е А свойство 51 \= Ф(а\,... ,ап) равносильно
свойству Ъ \= Φ(/αι,... ,/αη). В частности, если Φ — предложение,
то 51 \= Φ равносильно Ъ \= Ф.
Доказательство легко проводится индукцией по длине терма t
и формулы длине Ф. Если Φ — атомарная формула, то утверждение
следует из определения изоморфизма и предложения 3.2.1 б).
Индукционный шаг оставляется читателю в качестве упражнения. D
В отличие от бесконечных систем, проверку истинности формулы Φ
на конечной системе 51 сигнатуры Σ(Φ) можно осуществить за
конечное число шагов. Это легко показать индукцией по длине Ф.
Определение. Пусть η е ω, η > 0. Предложение Φ называется
η-общезначимым, если 51 \= Φ для любой алгебраической системы 51
мощности η и сигнатуры Σ(Φ).
Предложение 3.2.8. Существует эффективная процедура
{алгоритм), позволяющая для любого η е ω, η > 0, и любого
предложения Φ за конечное число шагов установить, является ли Φ
η-общезначимым или нет.
Доказательство. Очевидно, что для конечного множества X
множества Р(Х) и Хп, η е ω, конечны. Поэтому для любой
конечной сигнатуры Σ имеется лишь конечное число систем сигнатуры Σ
с конечным носителем X. Тогда процедура проверки п-общезначимости
сведется к выписыванию всех систем сигнатуры Σ(Φ) с носителем
{1,2, ...,п} и проверке истинности Φ на каждой из выписанных
систем. Такая проверка, как отмечалось выше, осуществляется за
конечное число шагов. D
Можно определить аналогично п-общезначимости, 0 < η < ω,
понятие х-общезначимости формулы Φ для бесконечного кардинала к. Как
будет показано в 5.1, эти понятия для всех бесконечных кардиналов χ
1) В главе 7 будет показано, что эту трудность нельзя обойти.

106
Гл. 3. Истинность на алгебраических системах
совпадают. Какие еще зависимости существуют между этими
понятиями? Как будет показано в следующем параграфе, если
предложение Φ бесконечно общезначимо, то существует такое число no Ε ω, что
Φ является /.-общезначимым для любого к > щ. Из п-общезначимости
предложения Φ для любого η е ω, η φ 0, в общем случае не следует
(упражнение 4) общезначимость Ф. Отметим простой факт.
Предложение 3.2.9. Для любого η е ω, η ^ 1, существует
такое предложение Фп пустой сигнатуры Σο {т.е. Σο = (0,0,0)),
для которого Фп является η-общезначимым, а ^Фп является
k-общезначимым для любого к фп, к ^ 1.
Доказательство. В качестве Фп можно взять предложение
3v{...3vn(Cv{ ^v2ACv\ πυ3Λ(...Λ^νη-{ « νη)...))Λ
Л Vvo(^o ~ νι V (... V υ0 ~ υη)...)). □
Формула V^iV^2(P(vi) —> P(^)) не содержит символов равенства
и функций, является 1-общезначимой и не является п-общезначимой
для η > 1. Легко строятся (упражнение 3) также формула Фп, без
равенства и функций, являющаяся fc-общезначимой для 0 < к ^ η
и не являющаяся m-общезначимой для т > п. Построить формулу
Фп из предложения 3.2.9 без равенства и функций нельзя в силу
следующего факта (упражнение 5): если предложение Φ не содержит
символов равенства и функций, то из η-общезначимости Φ следует
/.-общезначимость Φ для любого к ^ п, к ф0.
Упражнения
1. Показать, что для любой конечной сигнатуры Σ существует
процедура, позволяющая по любой конечной последовательности
символов определить, является ли она формулой сигнатуры Σ или
нет.
2. Пусть h — гомоморфизм системы 21 сигнатуры Σ в систему <В.
Тогда для любой атомарной формулы Φ(#ι,... ,хп) £ F(E) и любых
а\,...,ап G А имеем 21 (= Ф(а\,..., ап) =» <В (= Φ(/ιαι,..., /ιαη).
3. Показать, что следующая формула Фп является /г-общезначимой
тогда и только тогда, когда 1 ^ к ^ п:
Eb2 ...3vn+iVvo(V^i(r(^2,vi) —► r(vo, vi))V
V(... VVui(r(un+i,ui) ->r(uo,ui))...)).
4. Показать, что следующая формула является η-общезначимой для
любого η е ω, η φ 0, и не является общезначимой:
3υο\/υΓ/(νι) « г>0 -> Зг>03г>1(/(г>0) ~/(^ι) Λ "г>0 « νι).

§ 3.3. Теорема компактности
107
5. Пусть 0 < к < η < ω, предложение Φ η-общезначимо, не
содержит символов равенства и функций. Тогда Φ /.-общезначимо.
(Указание. Пусть 21 |= ""Ф, где % — система сигнатуры Σ(Φ)
с носителем {1,2,..., А;}. Строим систему <В Э 21 мощности п,
определяя на множестве В = {1, 2,... , п} предикаты г сигнатуры
Σ(Φ) следующим образом:
(гь...,гт) Ei/*(r) <^ (jb ..., jm) Ε ι/* (г),
где js = is, если is ?ζ к, js = к в противном случае. Тогда
§ 3.3. Теорема компактности
Теорема компактности была доказана А.И.Мальцевым в 1936 г.
Он же впервые показал ее важное значение как нового метода для
доказательства не только теорем математической логики, но и теорем
алгебры. Мы дадим доказательство этой теоремы с помощью
ультрапроизведений, введенных Е. Лосем в 1955 г.
Пусть дано семейство множеств S = {Xi \ г £ I}. Декартовым
произведением семейства S называется множество
I-prodX, = {/: I -> (J Xi | fi е Xi].
iei
Для j е I отображение множества I-prodXi в Xj, сопоставляющее
элементу / элемент /(j), называется проекцией декартова
произведения на j-ю координату и обозначается той же буквой j, т. е. f(j) = j(f).
Пусть на / задан фильтр D. Определим на I-prodXi отношение
~ D следующим образом:
/ ~ Dg ^=> {i\fi = gi}e D.
Лемма 3.3.1. Отношение ~ D является эквивалентностью на
I-prodXi.
Доказательство. Рефлексивность и симметричность ~ D
очевидна. Пусть / ~ Dg и g ~ Dh. Тогда множество Υ = {г \ fi = hi}
содержит пересечение множеств {г \ fi = gi} и {г \ gi = hi},
являющихся элементами D. Из условий 2) и 3) определения фильтра
получаем Υ е D. D
Отображение, сопоставляющее элементу / Ε I-prodXi класс
эквивалентности по отношению ~ D, содержащий /, будем обозначать той
же буквой D, что и фильтр. Множество
D-prodXi = {Df I / G /-prod Χ*}
называется фильтрованным произведением множеств Xi, г G /, по
фильтру D.

108
Гл. 3. Истинность на алгебраических системах
Определение. Фильтрованным произведением по фильтру D
семейства алгебраических систем {21; \ г е 1} сигнатуры Σ
называется алгебраическая система 21 = D-prod2li, сигнатуры Σ с носителем
А = D-ρτοά Αι, и следующей интерпретацией ν^ сигнатуры Σ в 21.
1). Если с G F и μ(ό) = 0, то для / G I-prod A\
Df = v*(c) ^ {i\fi = v**(c)}eD.
2). Если s e RUF, то для /i,...,/n G I-prodA^
(Dfu...,Dfn)ev*{8) ^=> {i\(fii,...,fni)e^(s)}eD,
где η = μ(δ), если s G й, и η = /x(s) + 1, если s e F.
Проверим, что определение корректно, т. е. множества v*{s) и ν® (с)
не зависят от выбора представителей /ι,...,/η и / в классах Df\t...
..., D/n и Df. В самом деле, пусть Yk = {г \ fki = gki} е D, \ ^ k ^n.
Множества W\ = {i \ (Μ... ,/пг) G ^?(s)} и W2 = {г | (#μ,... ,gni) G
G i/f"(s)} имеют одинаковые пересечения с элементом Υ\Π...ΠΥη
фильтра D. Следовательно, W\ e D <=$> W2 G D. Аналогично
показывается корректность 1). Для того чтобы утверждать, что 21 является
системой сигнатуры Σ, нужно еще показать, что v^ — операция на Л,
если s G F. Пусть s G F и v(s) = п. Для элементов /ь ... ,/п G I-prod Л^,
определим / е Z-prod^ так: fi = vf (s)(f\i,... ,/пг)> * £ ^· Тогда
(Df\,...,Dfn,Df) G i/*(s). Пусть для некоторой g G /-prod^, имеет
место
(ΰ/ι 0/η,^)^α№
Так как ^(s), i £ I, — функции, то множество {г \ fi = gi}
содержит пересечение множеств {г | (f\i,... ,/пг,/г) G ^(s)} и {г | (/ιζ,...
··· ,fnhgi) G ^(s)}, которые принадлежат Ιλ Следовательно, £)/ =
Если все 21г, г G 7, равны одной системе <В, то фильтрованное
произведение 7-prod2li (Z>-prod2l;) называется фильтрованной степенью
<В и обозначается через 937 (93d).
Фильтрованное произведение {7}-prod2li, называется декартовым
или прямым произведением систем 21*, г G I. Дадим независимое
определение для этого важного частного случая. Пусть 21 = 7-prod2li,
является системой сигнатуры Σ с носителем А = Z-prod^ и
следующей интерпретацией Σ в Л.
1). Если с G F и μ(ό) = 0, то
и*(с)(г) = и**(с).

§ 3.3. Теорема компактности
109
2). Если se RUF, то
(Л /п)еЛ«) <=» <M».,/ni>e !/**(*)
для всех г G /, где η = /i(s), если s G Я, и η = /x(s) + 1, если
seF.
Ясно, что отображение, сопоставляющее элементу / элемент {/}
будет изоморфизмом I-prod%, на {/}-ргосШг, поэтому, не опасаясь
путаницы, систему /-prod21$, будем также называть декартовым или
прямым произведением. Декартово произведение Z-prodSli часто
обозначается через П^г и через 21^ χ ... χ 2lin, если I = {i\,...,in} —
iei
конечное множество. Укажем один простой, но полезный факт,
связывающий декартовы произведения с фильтрованными.
Предложение 3.3.2. Для любого фильтра D на I и систем
{21г | г G 1} сигнатуры Σ отображение D: I-prodAi —> D-prodAit
где D(f) = Df, является гомоморфизмом системы 21 = I-prod2li на
систему 21' = D-prod2li.
Доказательство. Пусть seRUF — не константа и (/ι,...
• •·,/η) € v^{s). По определению декартова произведения {г | (/ιζ,...
..., /пг) G ι/α·(«)} = L Т*к как / G D, то {г | (/μ,..., fni) G !/*<(*)} G D,
т.е. {Df\,...,Dfn) G ζ/21 (s). Случай, когда s — константа,
рассматривается аналогично. D
Под классом в дальнейшем мы понимаем некоторое свойство Θ
множеств 0. При этом множества, удовлетворяющие семейству Θ,
будут называться элементами класса θ. В частности, все множества
образуют класс V, который, как уже отмечалось, не является
множеством. Свойство «быть элементом множества X» определяет
множество X, поэтому любое множество можно считать классом. Конечно,
с классами нельзя поступать, как с множествами, например, нельзя
рассматривать класс всех подклассов данного класса К. Однако если
К\УК2 — классы, то очевидным образом определены классы К\ Π Κ<ι,
К\ U К2 и К\ \ if2- Если а — элемент класса К, то так же, как
и в случае множеств, мы будем говорить, что а принадлежит К,
и обозначать a G К.
1) Так как мы взяли за основу ZFC, то под свойством θ мы
понимаем свойство, записанное формулой Ф(х,у\,... ,уп) сигнатуры (G 2), где
переменные у\,...уп играют роль параметров. В качестве «кода» класса К,
определенного с помощью параметров αι,...,αη, можно взять множество
((2/ι,αι),...,(ί/η,αη>,Φ(χ,2/ι,...,2/η)>, где Ф{х,у\,... ,уп) — формула сигнатуры
(G 2), для которой Ф(6,αϊ,... ,αη) <==$■ (b — элемент К).

по
Гл. 3. Истинность на алгебраических системах
Пусть даны некоторый класс К алгебраических систем сигнатуры Σ
и фильтр D на I. Говорим, что класс К замкнут относительно
фильтрованных произведений по фильтру D, если для любого множества
{21; \ г е 1} систем из класса К выполнено 7>prod2l; £ К. Если для
Ф(х\у ...,хп) Ε F(E) определить К(Ф) как класс таких систем 21
сигнатуры Σ, что для всех αϊ,... , αη Ε А в 21 истинно Φ(αι,... ,αη), то легко
проверить, что для атомарной формулы Φ класс if (Ф) замкнут
относительно любых декартовых произведений. В силу предложения 3.3.2
и упражнения 2 к §3.2 класс ^(Ф) для атомарной формулы Φ
замкнут также относительно всех фильтрованных произведений. Как
будет показано в дальнейшем, это верно не только для атомарных
формул. Если же!)- ультрафильтр, то для любой формулы Φ Ε F(E)
класс К(Ф) замкнут относительно фильтрованных произведений по D
(теорема 3.3.5 ниже).
Определение. Формула Ф(х\,... ,хп) называется фильтрующейся
по фильтру D (на множестве 7), если для любого множества {21; | г Ε
Ε 1} алгебраических систем сигнатуры Σ(Φ) и любых Df\,...,Dfn E
Ε £>-prod Ai
ζ>ρΓοά^μΦ(ΑΛ,..·,Α/η) <*=► {i|3UMM...f/ni)}eo.
Если в этом определении вместо эквивалентности <<=>►
выполняется <=, то формула Φ называется условно фильтрующейся по D.
Формула Φ называется {условно) фильтрующейся, если она (условно)
фильтруется по любому фильтру D.
Если 7 -~ интерпретация некоторого множества переменных
в /-ргоаЛг, то через D(j) обозначаем композицию отображений 7 и
D. Через ι{η) обозначаем композицию отображений 7 и проекции на
г-ю координату.
Лемма 3.3.3. Если Φί/Φ {условно) фильтруются по фильтру D,
то формулы УгеФ, ЗхФ « ΦΛΦ {условно) фильтруются по
фильтру D.
Доказательство. Зафиксируем некоторую интерпретацию j
свободных переменных формулы УхФ в множестве Z-prod^.
Пусть {г | %i (= \/жФ[г(7)]} = X € D. Тогда для любой / Ε /-prod Ai,
если рассмотреть η' D 7, для которой η'{χ) = /, имеем
Χ С {г I SU |= Ф[г(7')]},
следовательно,
{г | SU И Ф[г(7')]} € D.

§ 3.3. Теорема компактности
111
Если Φ условно фильтруется, то D-prod2li (= Φ[Ό(η')] для любого
7/: ^У(Ф) -> Z-prod^, 7 Q i\ т.е. £>-prod2l; \= \/χΦ[Ό(Ί)}.
Пусть D-prod^ii (= \/χΦ[Ό(^] и Φ фильтруется. Рассмотрим
множество X = {г | %i (= \/жФ[г(7)]}. Возьмем такую функцию / G 7-prod Αι,
что для г е 1\Х имеет место 21* f= ^Ф[г(7;)]> ГДе l' Э 7» т'О^) = /·
Тогда из фильтруемости Φ и того, что Z)-prod2li Η ^[^(t')]» следует,
что X = {г | %i f= Ф[г(У)]} Ξ Я.
Случаи ЗгеФ и Φ Λ Φ рассматриваются аналогично, и мы оставляем
их читателю в качестве упражнения. D
Лемма 3.3.4. Атомарные формулы фильтруются по любому
фильтру D.
Доказательство. Пусть Ф(х\,...,хп) — атомарная формула
вида s(£i,...,£m), где s e R, μ(δ) = га, £i,...,£m — термы; пусть
η: {х\у ...,хп} —> J-prod-Aj — интерпретация переменных и 7(^1) = /г»
г G {1,... ,п}. Тогда по определению истинности для 21 = D-prodSl^ мы
имеем
а(=Ф(Я/,,...,Я/п) <=* <**Ы>].-.£[7Л]> €!/*(*)·
По предложению 3.3.2 и 3.2.1 б) выполнено tf[yD] = Dtf[y], 1 ^j^m,
где <В = Z-prodSli, поэтому
<*f[7i?],...,C[7u]>e^(e) ^ {Dtfb],...,DCb])e^(s) <=»
^ {i I (if WW.-.^WW) е ι/*(β)} е л.
Так как if [7](г) = [if (/i,...,/„)](i) = tf* (M ···/»*). то
(tf[7](i).-.im[7](i)>e^(e) <=> *i N Ф(М···./»<)·
Таким образом,
/?-ргоаЯ<ИФ(/?/ь...,/?/п) «=Ф {г|31<|=Ф(/1г,...,/пг)}б/?.
Случай, когда Φ имеет вид t\ « £2, разбирается аналогично. D
Теорема 3.3.5 (Е.Лось). Любая формула Φ фильтруется по
любому ультрафильтру D.
Доказательство проведем индукцией по длине Ф. Так как
истинность формул Φ —> Φ и Φ V Φ эквивалентна истинности формул
"(ФЛ'Ф) и "1(ПФЛ"1Ф) соответственно, то в силу лемм 3.3.3 и 3.3.4
достаточно показать фильтруемость по D формулы ^Ф для фильтру-

112
Гл. 3. Истинность на алгебраических системах
ющейся по D формулы Ф. Из свойства 0 ^ D и предложения 2.3.3
следует Χ φ D <==> I\X £ D. Поэтому из фильтруемости Φ получаем
D-pTodVLi μ "Ф[7] <=> {г | %i h Ф[7г]} ί D.
Из определения ультрафильтра заключаем
{< | ЭЦ f= Ф[7г]} i D 4=> {г | 2Ц \= "Ф[7г]} Ε D. Ώ
Определение. Алгебраическая система 21 сигнатуры Σ называется
моделью множества формул Г сигнатуры Σ, если существует такая
интерпретация 7 в А переменных, входящих свободно в элементы Г,
что 21 (= Ф[7] для всех Φ Ε Г. Множество Г называется выполнимым,
если Г имеет модель. Множество называется локально выполнимым,
если каждое конечное подмножество Г имеет модель.
В качестве следствия теоремы 3.3.5 получаем следующую очень
важную теорему, которая называется теоремой компактности.
Теорема 3.3.6 {А.И.Мальцев). Каждое локально выполнимое
множество Г формул сигнатуры Σ выполнимо.
Доказательство. Рассмотрим множество I конечных
подмножеств Г. Для г £ I выберем такие системы 2Ц сигнатуры Σ и
интерпретации 7i в Ai свободных переменных, входящих в формулы
из г, что %i \= Ф[7г] для всех Φ £ г. Для г £ I рассмотрим множества
Xi = {J € I \ i Q з}· Система множеств {Xi \ г £ 1} является
центрированной. Действительно, если го,... ,ύ Ε J и j = го U ... U г&, то
j £ Xi0 n...nXik. По предложению 2.3.2 существует такой
ультрафильтр D, что Χι £ Ό для всех г £ I. Для переменной ху входящей
свободно в какой-нибудь элемент Г определим η{χ) £ /-prod Aiy
следующим образом:
(7i(#), если χ £ dom7i,
7.,
произвольный а £ Ai в противном случае.
Пусть Φ Ε Г. Ясно, что
Х{Ф} С {г | % \= Ф[т»]}.
Так как Х{ф} £ D, то {г | 2Ц \= Ф[7г]} Ε D. По теореме 3.3.5 получаем
D-prodVli \=Φ[ΊΌ]. D
Теорема 3.3.6 будет широко использоваться в следующих главах,
особенно в гл. 5. Здесь мы дадим простое, но довольно типичное
применение этой теоремы (см. также упражнение 6).

§ 3.3. Теорема компактности
113
Следствие 3.3.7. Если для любого η Ε ω множество формул Г
сигнатуры Σ имеет модель мощности ^ п, то для любого к ^ |Σ|
множество Г имеет модель мощности ^ к.
Доказательство. Возьмем множество символов С мощности х,
для которого С Π (Д U F) = 0, и пусть Σι = (Д, F U С, μι), где
μι f (Д U F) = μ и μι (с) = 0 для с е С. Рассмотрим множество
X = Г U <рс « d | с, d G С,с ^ d} предложений сигнатуры Σι. Если
Υ = Γι U {^ci « di,...,^cn « dn}, где Γι С Г, — конечное
подмножество X, то Υ выполнимо в подходящем обогащении модели 21
множества Г, имеющей мощность ^ п. По теореме компактности X
имеет модель 21. Так как ν* (с) ^ 1/а(й) для d,ce С, с φ d, то 21 имеет
мощность ^ х. D
Упражнения
1. Показать, что фильтрованное произведение частично
упорядоченных множеств является частично упорядоченным множеством.
2. Показать, что декартово произведение К\ χ Κ<ι двух полей К\
и Κ<ι не может быть полем. (Указание. В К\ χ Κ<ι имеются
делители нуля.)
3. Найти неизоморфные алгебраические системы 21 и 05, для
которых система 21 χ 21 изоморфна 05 х 05.(Указание.. Пусть
Σ = (г1), А = В = ω, v*{r) =ω\ {0}), ι/®(г) = ω \ {0, 1}.)
4. Если D\ C Z)2 — Два фильтра на множестве J, то существует
гомоморфизм системы DpprodOSi на £>2-prod95i. (Указание.
Рассмотреть отображение, сопоставляющее элементу Di/
элемент £>2/·)
5. Пусть D — главный ультрафильтр на I и f]D = {го}. Тогда
система D-prod2li изоморфна системе 21;0.
6. Пусть Г — такое множество предложений сигнатуры Σ, что
для любой алгебраической системы 21 сигнатуры Σ существует
предложение Φ Ε Γ, истинное на 21. Показать, что существует
такое конечное множество {Φι,... ,ФП} С Г, что предложение
(Φι V (Фг V ... V Фп)...) — тождественно истинная формула.

Глава 4
ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ
§4.1. Аксиомы и правила вывода
Зафиксируем некоторую произвольную сигнатуру Σ. В этом
параграфе мы определим исчисление предикатов сигнатуры Σ
(сокращенно ИПЕ).
Формулами ИПЕ будут формулы сигнатуры Σ. Секвенциями ИПЕ
называются последовательности вида
фп,...,фпьф,
где Φι,...,Φη,Φ — формулы сигнатуры Σ. Напомним, что при η = О
мы получаем секвенцию вида h Ψ.
Примем следующие соглашения. Пусть х\,...ухп — переменные,
t\,...,tn — термы сигнатуры Σ и Φ — формула сигнатуры Σ.
Запись (Ф)?//Д*п будет обозначать результат подстановки термов t\,... ,tn
вместо всех свободных вхождений в Φ переменных х\ ...ухп
соответственно, причем если в тексте встречается запись (Ф)*//Д*п, то
предполагается, что при этой замене не увеличивается число связанных
вхождений переменных. Это означает, что для всех г = 1,..., η ни одно
свободное вхождение в Φ переменной Xi не входит в подформулу Φ
вида \/?/Φι или Eh/Φι для у Ε FV(U). Запись [Φ]* будет обозначать
формулу (Ф)^, и при ее появлении предполагается, что кроме условия на
запись (Ф)^ еще выполняется условие у φ ^У(Ф). Когда в тексте уже
встречалась запись Ф(х\,... ,жп), вместо громоздкой записи (Ф)*'/Д*п
часто будем писать просто Φ(£ι,... ,£п). Заметим, что по соглашению
в начале §3.2 переменные х\,...,хп попарно различны, в то время как
среди t\,...,tn могут быть равные термы.
Определение. Аксиомами ИПЕ являются следующие секвенции:
1) Φ l· Φ, Φ — формула сигнатуры Σ;
2) l· t w t, t — терм сигнатуры Σ;
3) t « q, (Φ)£ l· (Φ)*, χ — переменная, t,q — термы, Φ — формула
сигнатуры Σ, удовлетворяющая условию на запись (Ф)£ и (Ф)*.

§ 4.1. Аксиомы и правила вывода
115
Определение. Правила вывода ИПЕ таковы:
ГЬФ;ГЬФ Γ,-ΦΙ-g.
' ГЬФЛФ ' ' ГЬФ '
ГЬФЛФ Г h Φ; Г l· "Φ
2· гьф ; 1ϋ· rhg ;
ГЬФЛФ Γ,Φ,Ψ,Γι hX
' ГЬФ '' ' Γ,Φ,Φ,Γι hX;
ГЬФ ГЬФ
ГЬ ΦνΦ' ' Γ,Φ ЬФ'
Γ Ь Φ γ \- φ где χ не входит
13. ——,, ^ , в члены Г
Γ h Φ V Φ ' ' Γ h УяФ'
свободно;
Γ,ΦΚΦ
ΓΗΦ —Φ'
ГЬФ;ГКФ
-»
Φ
Г,ФЬХ;Г,ФЬХ; ГЬФУФ Γ,(Φ)? ΚΨ.
ГЬХ ' Г,УяФЬФ;
7 ^1^^_. 15 ГЬ(Ф)?.
Г, Φ h Φ где я не входит
8. —'■—^ '~. -; 16. ' , в Φ и члены Г
■»- 1~ * ■»-»з^Ф ' * свободно;
Как и в ИВ, в правилах вывода Ф, Ф,Х — формулы ИПЕ, а Г, Γι —
последовательности таких формул. При этом в правилах 13-16
формулы Φ, Φ и последовательности Г должны удовлетворять указанным
условиям, а также условиям на запись (Ф)£. Так же как и в ИВ,
если в правилах вывода вместо Φ, Φ, Χ и Г, Γι берутся конкретные
формулы и конкретные последовательности формул, то получаются
частные случаи (или применения) правил вывода. Если θ — частный
случай правила вывода а, то будем говорить, что секвенция, стоящая
в θ под чертой, получается из секвенций, стоящих в θ над чертой, при
помощи правила а. Следующее определение является почти дословным
повторением соответствующего определения ИВ.
Определение. Линейным доказательством в ИПЕ называется
конечная последовательность Со,... ,Сп секвенций ИПЕ, которая
удовлетворяет следующему условию: каждая секвенция С*, г ^ п, либо
является аксиомой, либо получается из некоторых предыдущих при помощи
одного из правил вывода 1-16. Линейное доказательство Со,...,Сп

116
Гл. 4. Исчисление предикатов
называется линейным доказательством своей последней секвенции Сп.
Если существует линейное доказательство в ИПЕ секвенции С, то
С называется доказуемой в ИПЕ или теоремой ИПЕ. Формула Φ
ИПЕ называется доказуемой в ИПЕ или теоремой ИП^ если в ИПЕ
доказуема секвенция h Φ. Дерево D называется доказательством
в виде дерева или деревом доказательства секвенции С в ИП^ если
все его начальные секвенции — аксиомы ИЛ5; переходы — применения
правил 1-16, а заключительная секвенция равна С.
Определения допустимого правила и квазивывода совпадают с
соответствующими определениями из § 1.3 с заменой ИВ на ИП .
Предложение 4.1.1. Секвенция С является теоремой ΗΠΣ тогда
и только тогда, когда существует ее доказательство в виде дерева
в ИПЕ.
Доказательство. Почти дословное повторение доказательства
предложения 1.3.1. D
Формула Φ ΗΠΣ называется тавтологией, если она получается из
формулы Φ исчисления высказываний, доказуемой в ИВ, путем замены
всех ее пропозициональных переменных Р\,...,Рп на некоторые
формулы ИП Φι,...,Φη соответственно. Формулу Φ при этом назовем
основой тавтологии.
Предложение 4.1.2· Любая тавтология Φ сигнатуры Σ
доказуема в ИПЕ.
Доказательство. Пусть Φ получена из основы Φ заменой
переменных Р\,..., Рп на формулы Φ ι,..., Φη соответственно.
Пусть дерево D\ получено из дерева доказательства D в ИВ
секвенции h Φ заменой переменных Р\,..., Рп соответственно на Φ ι,..., Φη и
заменой остальных пропозициональных переменных на произвольную
формулу Φη+ι сигнатуры Σ. Очевидно, что дерево D\ является деревом
доказательства секвенции h Φ в ИПЕ. D
Предложение 4.1.3. Пусть Φ — формула ИПЕ, х\,...,хп —
переменные, t\,...,tn — термы сигнатуры Σ и выполняются условия на
запись (Ф)?11.'„7^п. Тогда в ΗΠΣ доказуемы следующие секвенции:
а)У*1...У*пФНФ)£;-£»;
6)(Φ)1';:Ζ"\-3χι...3χηΦ.
Доказательство. Пусть у\,...,уп — попарно различные
переменные, не входящие в формулу Ф, в термы t\,...,tn и отличные от
Х\, ... , Χγι·

§ 4.1. Аксиомы и правила вывода
117
а). Для всех 1 < к < η имеет место равенство
(vXk+l ...vxn{b)l\:::xytl)xyt = ν**+ι ...νχη{Φ)%::%,
и выполнены все условия на такую запись. Поэтому следующее дерево
будет доказательством в ИП :
(φ)χι,...,χη |_ (φ\χι,...,χη
ν»η(φ)^,'::1ηι,' ι- (ф)й;:,£
4χη-\4χη(*)χν\ζΖ3 ·- (фЖ
Применяя теперь п раз правило 13, получаем доказуемость в ИПЕ
секвенции
Уж1...УжпФКУу1...Ууп(Ф)*;;;;;^.
Обозначим формулу (Ф)у};;;;;^ через Ф. Тогда для Φ выполнено условие
на запись (Ф)^1;;;^71. Для всех 1 < к < η имеем
(\/Ук+1... ν^(Φ)»';χ-')» = vyk+l... Уу„(ФЖ;
и условия на такую запись. Снова применяя η раз правило 14, получаем
доказуемость в ИПЕ секвенции
vyi...vyn*l· (Ф)Г;;:,£.
Так как (Ф)^"^ = (Ф)^1;;;:^, то следующее дерево будет
квазивыводом в ИПЕ:
vyi...vvn*\-№2::£:
h Vyi...УгмФ - (Ф)?,';-^"; Уяь-.УжпФ l· Vyi...УупФ
Уж,...УягпФК(Ф)г;,;_7х-
ίι,...,ίη
б). Доказательство аналогично а). Сначала, применяя несколько раз
правило 15, получаем теорему
эр
3j/i ...Эуп(Ф)*;;:;£ h Ξ^ ...ЕЬПФ. (4.1)
Затем, применяя несколько раз правило 16, получаем теорему ΗΠΣ:

118
Гл. 4. Исчисление предикатов
Опять, применяя несколько раз правило 15, получаем доказуемость
в ИПЕ секвенции
(Ф^Г^НЗ^.-.ЗупФ, (4.2)
где Φ = (Ф)у},'",уп- Из (4.1) и (4.2) так же, как в а), следует доказуе-
мость в ИП секвенции б). D
Предложение 4.1.4. В ИПЕ допустимы правила а)-д) из
предложения 1.3.3 и упражнения 2 к § 1.3, а также правило
ч Фь —,Ф&1-Ф
И)' (ф1)^;;г^--ДФ0^:;С^(ф)^:;г'
Доказательство. Для правил а)-д) доказательство по
существу совпадает с доказательством допустимости соответствующих
правил из § 1.3.
и). Пусть секвенция Φι,...,Φ^ l· Φ доказуема в ΗΠΣ. Применяя
несколько раз правило 7, получаем доказуемость в ИПЕ секвенции
ΚΦι-+(Φ2-+...(Φ*-+Φ)...).
Применяя несколько раз правило 13, получаем доказуемость секвенции
h Van ...Чхп(Фх -> (Ф2 -> ... (Фк -> Φ)...)).
Из предложения 4.1.3, а), и допустимого правила в) получаем
доказуемость в ИПЕ секвенции
h (Φ! - (Ф2 - ... (Φ* -> Φ) ...))%;:£. (4.3)
Из (4.3) и аксиомы (Φι )*/;."/£" Ь (Φι)*//Γ,£η по правилам 8 и 12
получаем секвенцию
(*0%::1п ι- (ф2 -»(... (ф* - ф) ...))?,':_-.*?·
Аналогично применяя еще несколько раз правило 8, получаем
доказуемость в ИПЕ секвенции
(*i)?1,;:,C,.---.(**)?l,:.i:" ι- (ф)?'::,С· π
Если С — секвенция ИПЕ, то объединение всех множеств ^У(Ф),
где Φ — формула из С, называется множеством свободных
переменных секвенции С и обозначается через FV(C).
Определение. Пусть С = Г h Φ — секвенция ИПЕ, 21 —
алгебраическая система сигнатуры Σ и 7 ~~ интерпретация переменных из
FV(C) в множестве А. Секвенция С называется истинной в 21 при

§ 4.1. Аксиомы и правила вывода
119
интерпретации η (обозначаем 21 |= С [у]) тогда и только тогда, когда
21 (= Фру] или 21 \= ""Фру] для некоторой формулы Φ из Г.
Если секвенция С не истинна в 21 при 7, то говорим что С ложна
в 21 при 7- Из определения получаем, что секвенция l· # ложна в любой
алгебраической системе 21.
Определение. Секвенция С исчисления ИПЕ называется
тождественно истинной, если 21 (= С[7] для любой алгебраической системы
21 сигнатуры Σ и любой интерпретации 7· FV^C) —> Л.
Ясно, что свойство секвенции С быть тождественно истинной не
зависит от того, в каком исчислении ИПЕ она рассматривается (т. е. от
сигнатуры Σ).
Основной целью для нас в этой главе будет доказательство
следующего замечательного результата К. Гёделя: класс доказуемых в ИПЕ
секвенций совпадает с классом тождественно истинных секвенций
ИПЕ. Это утверждение называется теоремой полноты исчисления
предикатов. Одна часть этого утверждения доказывается легко.
Теорема 4.1.5. Все доказуемые в ИПЕ секвенции С являются
тождественно истинными. В частности, исчисление ИПЕ
непротиворечиво, т.е. не все формулы ИПЕ доказуемы в ИПЕ.
Доказательство проведем индукцией по высоте
доказательства секвенции С в виде дерева. Очевидно, что аксиомы ИП
являются тождественно истинными. Проверку того, что правила
вывода 1-16 сохраняют тождественную истинность, мы оставляем
читателю в качестве упражнения. Заметим только, что для
проверки правил 14 и 15 нужно сначала установить следующий факт.
Пусть Φ — формула, t — терм и выполняются условия на запись
(Ф)?, X = FV($\Y = ίν((Φ)?), -γ:Χ -+Α,4*:Υ-+Α. Тогда если
Ί\(Χ\ {χ}) = 7* Г (X \ {*}) и Ί{χ) = ί*[τ1, το
Я(=Ф[7] *=ϊ 21ΜΦ)?[7*]·
Этот факт легко устанавливается индукцией по длине Ф. D
Вторую часть теоремы полноты мы докажем в § 4.4. Для этого нам
нужно сначала получить достаточное количество доказуемых в ИПЕ
секвенций. Следующее предложение показывает, что обычные свойства
равенства доказуемы в ИПЕ. Если t\,...9tn,t — термы сигнатуры
Σ, Х[,...,хп — переменные, то через (£)*//Д*п обозначаем результат
подстановки вместо х\9...,хп термов t \,..., tn соответственно.
Предложение 4.1.6. Пусть t,q,s; q\y...,qn-, si,...,sn — термы
сигнатуры Σ, Φ — формула ΗΠΣ, удовлетворяющая условию на

120
Гл. 4. Исчисление предикатов
запись (Φ)ς,1;;;;;^ и на запись (Ф)?/;;;;;;^. Тогда в ИПЕ доказуемы
следующие секвенции:
а) h t « ί,
б) £ « g l· g « £,
в) t & q,q & sl· t & s\
r) α «*i,...,0„ * *n h (*fc£r ~ (*fc£r;
д) * « *,..., An «*n, (φ)£;;:;£: ι- (*fc*nn·
Доказательство, а). Секвенция l· t w £ является аксиомой.
Пусть ждьу,г — попарно различные переменные. Рассмотрим
дерево
h χ & χ\ χ &yy(z « ж)J h (z « ж)J
ж « ?/ l· у « a:
£ « 0 h 0 w t
Так как начальные секвенции у него — аксиомы, а переходы —
применения правил из предложения 4.1.4, то рассматриваемое дерево
является квазивыводом секвенции б). Доказуемость в) получаем
аналогично из квазивывода
yttz,(x^x\)xyx \- (χπχ{)χχ
χ ~ у,у ~ ζ\- χ ж ζ
t « q,q « sl· t w s
г). Пусть у\,...,уп\ z\,...,zn — попарно различные переменные,
отличные от xi,...,a:n, не входящие в термы q\,,..,qn,s\,...,sn,t и
в формулу Ф. Из а), предложения 4.1.4, в), и из того, что термы (t)x\ и
(COzi)yl равны, получаем, что дерево
ι- (t)xyl ~ (*)g;; yi « *i, (*)% ~ ((ВД1, ι- (Og,1 « (*%'
2/1 « *ι Ь (i)g; « (i)f,1
является квазивыводом в ИПЕ. Если η > 1, то в силу предложения
4.1.4, и), в ИПЕ доказуема секвенция у\ « ζ\ \- {ΐ)%\%\ ~ ^Υζ\%1- При-
меняя к этой секвенции и аксиоме
?7о « £о (t)Xl'X2 « iTf)*1'*2)*2 h (Τ)*1'*2 « (Τ)*1'*2
правила а) и б) из предложения 4.1.4, получаем секвенцию
»ι««ι;«2« «ζ ι-(*)^« (*)?;:?·
Проделав несколько таких шагов, получаем доказуемость в ΗΠΣ
секвенции
Ух « «ι,... ,Уп » *п Ь («)*';;;£ я (ОД;:*,"·

§ 4.1. Аксиомы и правила вывода
121
Из этой секвенции с помощью правила и) из предложения 4.1.4
получаем секвенцию г).
д). Так как справедливо равенство {(Ф)%\ю',Ц%£)1\ = (Ф^ь^'уГ'» то
секвенция
(/1 ~Х^Ь \^)уиу2,...,уп Г- V^;zi,y2,.",yn
является аксиомой. Если η > 1, то из этой аксиомы и аксиомы
У2 ~ *>2> \^Jzi,y2,...,yn ' \\^)zi,y2,-.,yn )z2
по правилам а) и в) из предложения 4.1.4 получаем
У\ ~ Ζ\, У2 ~ Ζ2, \Ф)уиу2,уъ,...,Уг1 Г" ^;z,,Z2,y3,...,yn '
Проделав несколько таких шагов, получаем доказуемость в ИПЕ
секвенции
у, «*,,...,»„« *,, (*)£;::£ ь (φ)ϊ;:,ΐ;·
Отсюда в силу правила и) из предложения 4.1.4 следует доказуемость
в ИПЕ секвенции д). D
Следующая теорема является, конечно, следствием упомянутой
выше теоремы Гёделя, однако ее легко доказать и непосредственно.
Теорема 4.1.7. Если Σι С Σ, то исчисление ИПЕ является
консервативным расширением исчисления ΗΠΣι.
Доказательство. Пусть D — дерево доказательства в ИПЕ
секвенции С, являющейся также секвенцией ΗΠΣι. Пусть у —
переменная, не входящая ни в одну формулу из D. Определим отображение
α: Τ (Σ) —► Τ(Σι) индукцией по длине терма t e Τ(Σ):
а) если t — переменная, то at = t\
б) если t = f(t\,... 9tn), где / — символ из Σι, то at = f(at\, ...atn)\
в) если t = f(t\,... ,tn), где / — символ не из Σι, то at = у.
Если Φ — атомарная формула сигнатуры Σ, то пусть σΦ равняется:
1) формуле r(at\,... ,atn), если Φ = r(t\,... ,tn) и г — символ
сигнатуры Σι;
2) формуле at\ « at^, если Φ = t\ w t^\
3) формуле \/y(y wy), если Φ = r(£i,...,tn), где г — символ не из Σι.
Для любой формулы Φ сигнатуры Σ определим формулу σΦ
сигнатуры Σι как результат замены в формуле Φ всех атомарных
подформул Φ на σΦ. Пусть α Ό получается из D заменой всех секвенций
Φι,...,Φη l· Φ на σΦι,... ,σΦη l· σΦ. Очевидно, что начальные
секвенции aD будут аксиомами ΗΠΣι. Легко проверяется, что все переходы

122
Гл. 4. Исчисление предикатов
в σΌ будут применениями тех же правил, что и соответствующие
переходы в D. В самом деле, проверка для правил 1-13 и 16
тривиальна, а для правил 14 и 15 нужно сначала индукцией по длине
формулы Φ заметить (учитывая χ φ у), что σ(Φ)^ = (σΦ)^, для чего
в свою очередь индукцией по длине терма t\ нужно для любого терма
Ϊ2 установить равенство σ(£ι)?2 = [ot\)xatr Так как σΦ = Φ для всех
формул Φ из секвенции С, то дерево σΌ будет доказательством С
βΗΠΣι. α
В дальнейшем мы свободно будем пользоваться теоремой 4.1.7,
чтобы не упоминать исчисление ИПЕ, когда речь идет о доказуемости
некоторой секвенции С. В частности, мы будем говорить, что
секвенция С доказуема в исчислении предикатов или просто доказуема,
если С доказуема в некотором ИПЕ.
Упражнения
1. Пусть сигнатура Σ содержит все пропозициональные переменные
исчисления ИВ в качестве нульместных предикатных символов.
Показать, что ИПЕ является консервативным расширением ИВ.
(Указание. Воспользоваться теоремой полноты для ИВ и
теоремой 4.1.5.)
2. Показать, что если в одном из правил 13-16 убрать ограничение
на применения этого правила (в частности, для правил 14 и 15
снять условие на запись (Ф)£), то в полученном исчислении будет
доказуема не тождественно истинная формула.
3. Показать, что если в правилах 13 и 16 убрать все ограничения
на применения этих правил, то все теоремы полученного
исчисления J будут 1-общезначимыми, в частности, J будет
непротиворечивым.
§ 4.2. Эквивалентность формул
Все изучаемые нами свойства алгебраических систем инвариантны
относительно изоморфизма, многие же интересующие нас свойства
формул инвариантны относительно определенного ниже отношения
эквивалентности.
Зафиксируем на дальнейшее произвольную сигнатуру Σ. Все
формулы и алгебраические системы в этом параграфе имеют сигнатуру Σ,
а доказательства рассматриваются в исчислении ИПЕ.
Определение. Формулы Φ и Φ называются эквивалентными
(обозначается Φ = Φ), если доказуемы две секвенции ФЬФиФЬФ.

§ 4.2. Эквивалентность формул
123
Очевидно, что отношение = является эквивалентностью на
множестве F(E) и все доказуемые формулы из -Ρ(Σ) образуют один класс
эквивалентности. В силу теоремы 4.1.5 для любых формул Φ = Ф,
любой системы 21 и любой интерпретации 7· (FV(<&) UFV(4f)) —> А
свойство 21 \= Φ [7] равносильно свойству 21 [= Φ[7].
Заметим, что в силу теоремы 4.1.7 отношение Φ ξ Φ не зависит от
сигнатуры Σ.
Определение. Формулы Φ и Φ называются пропозиционально
эквивалентными (обозначается Ф = Ф), если Ф—>ФиФ—>Ф —
тавтологии.
Из предложения 4.1.2 и правила 8 получаем
Предложение 4.2.1. Пропозиционально эквивалентные формулы
Φ и Φ эквивалентны. D
Предложение 4.2.2. Пусть Φ, Φ — формулы и χ не входит
свободно в Ф. Тогда имеют место следующие эквивалентности:
а) "ЗхФ = УяГФ; б) "\/хФ = ЗяГФ;
в) ЗхФ Л Φ ξ Зх(Ф Л Ф); г) УхФ Л Φ ξ \/ж(Ф Л Ф);
д) ЗхФ V Φ ξ Зх(Ф V Φ); е) УяФ V Φ ξ \/ж(Ф V Φ);
ж) \/хФ = Уу[Ф]%\ з) ЗяФ ξξ 3ι/[Φ]£.
Доказательство. Приведем квазивыводы для эквивалентностей
а), в), д) и ж), оставляя проверку остальных читателю.
а)
-ФЬ^Ф ФЬФ
УяГФ h ^Ф Φ h ЗяФ
Φ h "УяГФ "ЕЫ> h "Φ
ЗгеФЬ^УзГФ -'ЭжФЬУаГ'Ф'
УяТФ l· "ЕЫ>'
в) Φ,ΦΚΦΛΦ
Ф,ФЬ Зге(ФЛФ)
Ф,ЗжФ l· ЕЬ(ФЛФ)
ЭжФ l· Φ -» ЕЬ?(Ф Л Ф)
h За?Ф -» (Ф -» Зж(Ф Л Ф)) ЗхФ Л Φ l· За;Ф
ЗяФ Л Φ l· Φ —► Зя(Ф Л Φ) ЗяФ Л Φ h Φ
ЗхФ Л Φ l· Зя(Ф Л Φ)

124
Гл. 4. Исчисление предикатов
ФЛФЬ Φ
ФЛФЬ ЕЬФ ФЛФЬФ
Φ Λ Φ Υ- ЗхФ Л Φ
Зя(Ф Л Ф) h ЗжФ Л Φ
д) Φ h Φ V Φ
Φ h Зя(Ф V Φ) Φ h Φ V Φ
3χΦ V Φ h ЗжФ V Φ ЗжФ h Зя(Ф V Φ) Φ h Зя(Ф V Φ)
ЗяФ V Φ h Зх(Ф V Φ)
ФЬФ
Φ h ЗяФ
Φ V Φ l· Φ V Φ Φ l· ЗжФ V Φ Φ l· ЗжФ V Φ
Зя(Ф V Φ) h ЗхФ УФ'
ж) [Φ]; h [Φ];
ν^Φ h [Φ]*
УжФ h Уу[Ф]*'
Заметим, что [[Ф]*]| = Φ. Это равенство следует из условий на
запись [Ф]*.
[ВД ι- φ
ЩЩХУ ь φ D
Предложение 4.2.3. Имеют место все эквивалентности из § 1.4
и 1.5, ес/ш Φ, Φ w X считать формулами сигнатуры Σ.
Доказательство очевидно, так как при замене
пропозициональных переменных на формулы ИПЕ доказательства в ИВ перейдут в
доказательства в ИПЕ. D
Теорема 4.2.4 (о замене для ИПЕ). Если формула Φ получается
из формулы Φ заменой некоторого вхождения подформулы Ф' на
формулу Ф' и Ф' = Ф', то Φ = Φ.
Доказательство проводим индукцией по длине Ф. Если Ф' = Ф,
то утверждение тривиально. Если Φ = ^Φι или Φ = Ф1ТФ2, где

§ 4.2. Эквивалентность формул
125
г G {Л,V,—►}, то доказательство индукционного шага не отличается
от соответствующих случаев теоремы о замене для ИВ (§ 1.4). Таким
образом, для завершения доказательства в силу индукционного
предположения осталось рассмотреть случаи, когда Φ имеет вид УяФ7 или
ЗяФ7. По условию секвенции Ф7 h Ф7 и Φ7 У- Ф7 доказуемы. В силу
симметричности Ф7 и Ф7 достаточно доказать секвенции УяФ7 У- УхФ' и
ЗггФ7 h ЗггФ7. Приведем их квазивыводы:
Ф7 h Ф' Ф7 У- Ф'
УгеФ7ЬФ' . Ф7 У- ЗхФ' г-,
УжФ7 h УхФ'' 3χΨ У- ЗхФ''
В определении истинности формул на системах связанные
вхождения переменных играют совершенно другую роль, чем свободные.
В частности, проверка истинности формул \/хФ и \/г/[Ф]* одна и та же.
В оставшейся части этого параграфа будет показано, что замена
связанных переменных преобразует формулу в эквивалентную ей, если
при этом новое вхождение переменной связывается тем же вхождением
квантора и никакое свободное вхождение переменной не становится
при такой замене связанным. Перейдем к точной формулировке такого
преобразования.
Определение. Говорим, что формула Φ получается из формулы Φ
заменой связанной переменной, если Φ получается из Φ заменой
некоторого вхождения подформулы Qx4?\ на формулу Qy^i]^ (здесь
Q G {V, 3} и выполняются условия на запись [Φι]*). Формулы Φ и Φ
называются конгруэнтными (обозначается Φ ~ Φ), если существует
такая последовательность формул Фо,...,Фп, что Фо = Ф, Фп = Ф,
а Φ&+ι, к < п, получается из Ф& заменой связанной переменной.
Пример 4.2.5. Рассмотрим формулы Φ = Уу23узг(у2,уз) и Ф =
= Vvs3v2r(v3,V2). Последовательность
Уу23узг(у2,уз), Vv23vor(v2,vo),Vv33vor(v3,vo), Vvs3v2r(v3,V2)
показывает, что Φ ~ Φ.
Предложение 4.2.6. а). Отношение ~ является
эквивалентностью на множестве формул сигнатуры Σ.
б). Если Φ ~ Ф, то Φ = Φ.
Доказательство, а). Из свойства [[Φι]*]| = Φι для любой
формулы Фь для которой выполняются условия на запись [Φι]*, следует,
что если Φ получается из Φ заменой связанной переменной, то Φ
также получается из Φ заменой связанной переменной. Отсюда полу-

126
Гл. 4. Исчисление предикатов
чаем симметричность отношения ~. Рефлексивность и транзитивность
отношения rsj очевидна.
б). В силу теоремы о замене достаточно показать, что Qx^\ =
= Qy[^\]yj Q £ {V, 3}. Но это уже доказано в предложении 4.2.2 ж), з).
D
Как уже отмечалось, нас будут интересовать формулы в основном
«с точностью» до эквивалентности, поэтому будут допускаться записи
вида Φι Л...ЛФП, V ®к и др., по которым формулы восстанавли-
ваются неоднозначно, но при любых расстановках скобок получаются
эквивалентные формулы.
Упражнения
1. Показать, что отношение = является эквивалентностью на F(S).
2. Доказать утверждения б), г), е) и з) предложения 4.2.2.
3. Показать, что для любой формулы Φ и любых переменных х\,...
...,хп существует такая формула Ф, что Φ ξ Φ и {х\,...,хп} Q
С FV(V).
§4.3. Нормальные формы
Так как нас, в основном, будут интересовать формулы «с
точностью» до эквивалентности, то полезно выбирать такие подмножества
Ρ С F(E) формул, устроенных по возможности более просто по
сравнению с произвольными формулами и чтобы для любой Φ G -Ρ(Σ)
существовала Φ £ Р, для которой ΦξΦ. Некоторые из таких подмножеств
будут определены в настоящем параграфе.
Будем говорить, что формула Φ сигнатуры Σ находится в
дизъюнктивной нормальной форме (сокращенно д. н. ф.), если она получается
из формулы Φ исчисления высказываний заменой всех входящих в Φ
пропозициональных переменных Р\,..., Рп на некоторые атомарные
формулы Φι,...,Φη сигнатуры Σ соответственно.
Определение. Будем говорить, что формула Φ сигнатуры Σ
находится в пренексной нормальной форме, если она имеет вид
где Qi, г G {1,... , η}, — кванторы, а Φι находится в д. н.ф. Формулу Φι
в этом случае назовем матрицей, а слово Qi^i... Qn#n — кванторной
приставкой формулы Ф.
Теорема 4.3.1. Для любой формулы Φ сигнатуры Σ существует
формула Φ сигнатуры Σ, находящаяся в пренексной нормальной
форме и эквивалентная Ф.

§ 4.3. Нормальные формы
127
Доказательство. В силу предложения 4.2 формулы Φι —> Фг
и "Φι V Фг эквивалентны для любых ФьФг £ Ρ(Σ). Следовательно,
для любой Φ G Ρ(Σ), применяя несколько раз теорему 4.2.4, можно
получить формулу Φι ξ Φ, не содержащую знака -». Индукцией но
длине формулы Φι, не содержащей —►, покажем, что существует Фг =
= Φι имеющая вид
где Фз — бескванторная формула, и длина Фг равна длине Фь Если
Φι бескванторная, то в качестве Фг берем Фь Если Φι = QxW,
то нужная Фг существует по предположению индукции и теореме
4.2.4. Таким образом, осталось рассмотреть 2 случая: 1) Φι = "Φ7 и
2) Φι = (Ф7тФ77), τ G {Л, V}, где Φ7 имеет кванторы и находится в виде
Qo#o · · · Qn^nX, где X — бескванторная формула. (Здесь мы
воспользовались эквивалентностью (Ф7тФ77) = (Ф77тФ7) для того, чтобы
утверждать, что Ф7 имеет кванторы). Пусть Ф7 = ЗхФ^. Случай с другим
квантором рассматривается совершенно аналогично. Из предложения
4.2.2, а), получаем для случая 1) эквивалентность Φι = УаГФ^ Нужная
Фг для случая 1) существует тогда по индукционному предположению
и теореме 4.2.4. Рассмотрим случай 2). Пусть у — переменная, не
входящая в Φι. Из предложения 4.2.2,з), и теоремы 4.2.4 получаем
Φι = (ЗтДФ^тФ77). Из эквивалентностей в) и д) того же предложения
имеем Φι = 5ΐ/([Φ4]*τΦ"). Требуемая Фг найдется теперь по
индукционному предположению и теореме 4.2.4.
Для завершения доказательства теоремы в силу теоремы 4.2.4
нужно для бескванторной Фз найти Ф7 = Фз, находящуюся в д. н. ф.
Для этого заменим все атомарные подформулы Фо,...,Фп формулы Фз
на пропозициональные переменные Ро,...Рп соответственно, получим
формулу X исчисления высказываний. Пусть Χι — формула ИВ,
находящаяся в д. н. ф. с теми же переменными, что и X, для которой
Xi l· X и X l· Χι — теоремы ИВ. Пусть Ф7 получается из Χι заменой
Ро,...,Рп на Фо,...,Фп соответственно, тогда Ф7 = Фз, следовательно,
по предложению 4.2.1 Ф7 = Фз. □
Определение. Говорим, что формула Φ сигнатуры Σ находится
в приведенной нормальной форме, если все ее атомарные подформулы
являются атомными. (См. §3.2 для определения атомной формулы.)
Предложение 4.3.2. Для любой формулы Φ сигнатуры Σ
существует формула Φ сигнатуры Σ, находящаяся в приведенной
нормальной форме.
Доказательство. В силу теоремы 4.2.4 достаточно доказать
предложение для атомарной формулы Ф. Проведем индукцию по числу

128
Гл. 4. Исчисление предикатов
п(Ф) вхождений сигнатурных символов в Ф. Если п(Ф) < 1, то Φ —
атомная формула и доказывать нечего. Если п(Ф) > 1, то в Φ
существует вхождение терма t, имеющего вид /(г^,,... ,г^). Тогда Φ = (Φ')Ι'»
где Φ7 получается из Φ заменой этого вхождения на переменную у, не
входящую в Ф.
Следующие квазивыводы:
Φ l· Φ; l· t » t у^ь,Ф'\-Ф
Φl·(Φ, Ay^t)yt m Ф' Л у » t l· Φ
Φl·Зy(Φ, Ayxit)' Зу(Ф'Лу*И) l·ΦJ
показывают, что Ф = Зу{Ф' Л у « t). Теперь применяем индукционное
предположение к Φ7 и теорему 4.2.4. D
Заметим, что в теореме 4.3.1 без изменения доказательства можно
потребовать, чтобы формула Φ находилась в приведенной нормальной
форме, если Φ находится в приведенной нормальной форме. Поэтому
имеет место
Следствие 4.3.3. Для любой формулы Φ сигнатуры Σ
существует формула Φ сигнатуры Σ, находящаяся в пренексной приведенной
нормальной форме и эквивалентная Ф. D
В дальнейшем для краткости вместо «пренексная (приведенная)
нормальная форма» будем писать «пренексная (приведенная) н. ф.».
Упражнения
1. Показать, что в теореме 4.3.1 можно потребовать, чтобы у формул
Φ и Φ было одно и то же число вхождений кванторов.
2. Показать, что в теореме 4.3.1 можно потребовать, чтобы формула
Φ имела вид 3x^ix\ ...Зхп-\Ухп^\
3. Проверить, что в теореме 4.3.1 и предложении 4.3 можно
потребовать, чтобы ίν(Φ) = FV(4f).
§ 4.4. Теорема о существовании модели
Определение. Множество формул X сигнатуры Σ называется
противоречивым или несовместным, если в исчислении предикатов
доказуема секвенция Г \- $, где все члены Г принадлежат X. В противном
случае X называется непротиворечивым или совместным.
Отметим некоторые свойства введенного понятия.

§ 4.4. Теорема о существовании модели
129
Предложение 4.4.1. а). Пустое множество непротиворечиво.
б). Если X — непротиворечивое множество формул сигнатуры Σ
и в исчислении предикатов доказуема секвенция Фь... , Фп h Φ, где
Φ е jF(E), Φι е Х,...,Фп е X, то Χ υ {Φ} непротиворечиво.
в). Если X U {ЕЬФ} непротиворечиво, то X U {[Ф]*}
непротиворечиво при условии, что у не входит свободно в формулы из X.
г). Если Хп, η е ω, — непротиворечивые множества, и Хп С
С Хп+ь η е ω, то X = \J Хп непротиворечиво.
д). £с./ш X — непротиворечивое множество формул
сигнатуры Σ, то для любой Φ G -Ρ(Σ) ./шбо X U {Φ}, ./шбо X U {"Φ}
непротиворечиво.
Доказательство. Утверждение а) следует из теоремы 4.1.5.
Утверждение г) очевидно. Если секвенция Фь...,ФпЬФ
доказуема, то из доказуемости секвенции Фь... ,Ψ&,Φ l· # следует
доказуемость Ψι,...,Ψ&,Φι,... ,Φη l· #, так что имеет место б). Если
секвенция Φι,...,Φη, [Ф]у h # доказуема в исчислении предикатов и
у не входит свободно ни в одну из формул Φι,...,Φη, то по
правилу предложения 4.1.4, г), и правилу 13 получаем доказуемость
Φι,... ,Φη l· Уу~^[Ф]у. Тогда из предложения 4.2.2, г), следует
доказуемость секвенции Φι,...,Φη l· УяГФ. Из предложения 4.2.2,а),
тогда следует доказуемость Φι,... ,ФП l· ""ЗггФ. Используя теперь
правило 10 и аксиому ЗггФ h ЗяФ, получаем, что Фь... ,Фп,ЗжФ l· ^
является теоремой исчисления предикатов, откуда получаем в). Если
Φι,...,Φη,Φ Ь^и Φι,.,.,Φ^,^Φ l· 5 — теоремы исчисления
предикатов, то по правилу 9, предложению 4.1.4, г), и правилу 10 получаем
доказуемость секвенции Фь···,Φη,Φι»···,Φ& ·" #, т. е. справедливо д). □
Приступим теперь к доказательству одной из важнейших теорем
математической логики.
Теорема 4.4.2 (о существовании модели). Любое
непротиворечивое множество X формул сигнатуры Σ имеет модель.
Доказательство. В силу теоремы компактности (§3.3) можно
считать, что множество X конечно. Пусть х\,...,хп — все переменные,
входящие свободно в элементы X = {Φι,...,Ψ&}. Так как
выполнимость X равносильна выполнимости X' = {Зх\ ...Зхп(Ч!\ Л ... Л Ф&)},
то можно считать, что X состоит из одного предложения. Наконец,
сигнатуру Σ = (i2,F,/x) можно считать конечной. (Если Σ бесконечна,
то нужно взять ограничение Σ на множество символов, входящих
в формулы из X.)
Пусть С = {сп | η е ω} — множество символов, сп Φ Ck для η Φ к
и С Π (R U F) = 0. Пусть Σι получается добавлением к Σ элементов
множества С в качестве символов новых констант. Так как формулы
5 Ю. J1. Еошов. Е. А. Палютин

130
Гл. 4. Исчисление предикатов
сигнатуры Σι являются словами некоторого счетного алфавита, то
множество всех формул сигнатуры Σι имеет счетную мощность. Пусть
{Фп | η G ω} — множество всех предложений сигнатуры Σι.
Строим последовательность
XoQX\Q ... СХП С ..., ηβω,
конечных множеств предложений сигнатуры Σι следующим образом:
1. Х0 = Х.
2. Если Хп U {Фп} противоречиво, то Хп+\ = Хп U {"Фп}·
3. Если Хп U {Фп} непротиворечиво и Фп не начинается с квантора
существования, то Хп+\ = Хп U {Фп}·
4. Если Xn U {Фп} непротиворечиво и Фп = ЗжФ', то Xn+i = Xn U
U {Фп, (Ф7)^}, где с^ G С — константа с наименьшим &, не
входящая в Фп и элементы Хп.
Положим Χα, = (J Хп. Установим некоторые свойства множества
Χω. Пусть Φ и Φ — произвольные предложения сигнатуры Σ\\
а) Χω непротиворечиво;
б) либо Φ G Χω, либо "Ф G Χω\
в) если Φι,... ,ФП G Χω и Φι,..., Φη l· Φ доказуема, το Φ G Χω\
γ) ΦΛΦΕΐω <^=> (Φ G Χα, и Φ G Χα,);
д) Φ V Φ G Χα, Φ=> (Φ G Χα, или Φ G Χα,);
е) ^Φ G ω <=> Φ ^ Χω;
ж) Φ -> Φ G Χα, «=Φ (Φ ^ Χα, или Φ G Χα,);
з) ЗхФ G Χα, «<=> ((Ф)сй ζ -^ω Для некоторой cfc G С);
и) УяФ G Χα, <=> ((Ф)ск £ ^ω Для любой cfc G С);
к) если t — замкнутый терм сигнатуры Σι, то Ск ~ t G Χα, для
некоторой константы с& G С
Для доказательства а) в силу предложения 4.4.1, г), достаточно
установить, что Χη, η G ω, непротиворечивы. Рассуждение проводим
индукцией по п. По условию Хо = X непротиворечиво. Пусть Хп
непротиворечиво. Если для Фп имеет место случай 2, то Χη+ι
непротиворечиво по предложению 4.4.1, д). В случае 3 множество Χη+ι
непротиворечиво по условию. Пусть Хп U {ЗгеФ'} непротиворечиво и дерево
D — доказательство в ΗΠΣι секвенции Φι,.-.Φ^,ΞΙζΦ', (Ф')*к ^ #» где
с^ G С не входит в формулы Фь ..., Фь ЗхФ'. Пусть у — переменная, не
входящая в дерево D, и D' получается из D заменой всех вхождений
с*; на у. Очевидно, что D' будет доказательством в ИП 1 секвенции
Фь ... , Φ^,ΞΙ^Φ', [Φ']* \- #, что противоречит предложению 4.4.1, в),
если Фг G Хп, 1 ^ г < к.
Свойство б) вытекает непосредственно из построения Χω, так как
Φ = Фп для некоторого пе ω. Свойство в) легко следует из свойств а)

§ 4.4. Теорема о существовании модели
131
и б). Свойства г)-ж) имеют место в силу свойств а), б) и в). Докажем
свойство з). Пусть Фп = ЗггФ. Если ЗяФ Ε Χω, то по свойству а) Хп U
U {Фп} непротиворечиво, тогда (Ф)^ £ -^η+ι Для некоторой константы
Cjt G С. С другой стороны, так как (Ф)^ ·" ЗяФ — теорема исчисления
предикатов, то из (Ф)^ £ Хп+\ и свойства в) получаем ЗггФ Ε Χω.
Докажем свойство и). Если УяФ Ε Х^ и с& Ε С, то из аксиомы
(Ф)сд. I~ (^)?fc по правилу 14 получаем теорему \/хФ \- (Ф)* . Отсюда по
свойству в) получаем (Ф)^ £ Χω· Если УяФ ^ Χω, то по свойству е)
имеем "УгеФ Ε Χω. Из эквивалентности "УяФ ξ ЗяГФ и в) получаем
ЗяГФ Ε Χω. По свойству з) получаем ("Ф)^ £ Χω для некоторой с& Ε
Ε С Тогда по свойству е) имеет место (Φ)* Φ Χω-
Докажем теперь последнее свойство к). Секвенция \- (χ « i)f
является аксиомой исчисления предикатов. По правилу 15 получаем, что
l· Зх(х &t) — теорема ΗΠΣι. Теперь к) следует из в) и з).
В дальнейшем элементы множества С будем обозначать через c,d
и di,ei г Ε ω. На множестве С определим отношение ~ так:
с ~ d <=> с& d e Χω·
Из свойства в) и предложения 4.1.6, а)-в) следует, что ~ есть
эквивалентность на С. Если с Ε С, то обозначим через с класс
эквивалентности по отношению ~, содержащий с.
Переходим к определению алгебраической системы 21 = (Α, ν*).
Пусть А = {с | с Ε С}. Сигнатура системы 21 равна Σι = (R,FuC^\).
Определим интерпретацию i/a сигнатуры Σι в 21. Пусть с, di,... , dn E
Ε С Тогда
1) ^(с) = с;
2) (di,...,dn) Ε i/a(r) <=> r(di,...,dn) е Χω глег е R, μ(ή =η;
3) если / Ε F, μ(/) =η, то i/*(/)(di,... ,dn) = с Ф=> c«/(db...
• ••dn) E Χω.
Корректность определения предикатов системы 21 по 2) следует из
свойства в) и предложения 4.1.6, д). Проверим, что если / Ε F, то
3) действительно является определением операции на А. Пусть с «
»/(di,...,dn) ΞΧω, c'^/(ei,...,en) Ε Χω и di = еь ... ,dn = еп. Тогда
di w ei Ε Χω,..., dn « en Ε Χω, откуда по свойству в) и предложению
4.1.6, г) получаем f(d\,... ,dn) ~/(еь... ,еп) Εΐω, следовательно, по
свойству в) и предложению 4.1.6,j5)-r),^шеем с « с7 Ε Χω, т.е. cf = ?.
С другой стороны, для любых di,...,dn Ε Л по свойству к) имеем
с ~ f(d\,... ,dn) Ε Χω для некоторого с Ε С, т. е. i/a(/) определена на
любых αϊ,... ,αη Ε Α.
Индукцией по длине замкнутого терма t сигнатуры Σι покажем,
что
t* = c <=> c^teXu. (4.4)
5*

132
Гл. 4. Исчисление предикатов
Если t — константа из С, то (4.4) следует из определения
отношения ~ и из 1) определения ι/21. Для термов t вида /(di,... ,dn), где
di,... , dn Ε С и / Ε F (в частности, когда £ — константа из Σ),
эквивалентность (4.4) следует из определения v*(f). Пусть t = f(t\,...,tn),
f Ε F, μ(/) = η ^ 1 и tf = di,...,£* = dn. По индукционному
предположению di w ίι Ε Χω,...,(Ιη « ίη Ε Χα;, поэтому из предложения
4.1.6, г), и свойства в) получаем
/(ii,...,in)~/(di,...,dn)EXa;. (4.5)
По определению ^а(/) имеем
i^c^ c^/(db...,dn)EXo,. (4.6)
Из (4.5), (4.6), предложения 4.1.6 6), в) и свойства в) получаем (4.4).
Индукцией по длине предложения Φ сигнатуры Σι покажем
% μ Φ «=>> ΦβΧω. (4.7)
Если Φ = t\ « £2» то по (4.4) имеем
21 ^= Φ <=Ф (cwii Ε Χω, с « £2 Ε Χα, для некоторого с Ε С).
Отсюда в силу предложения 4.1.6, б)—г), и свойств в), к) множества Χω
получаем (4.7) для этого случая. Пусть Φ = r(t\,... ,£n), r Ε #, и
if = di,... ,t* = dn. Используя определение ^а(г), (4.4), предложение
4.1.6 и свойство в), получаем (4.7) для такого Ф. Для остальных Φ
эквивалентность (4.7) сразу получается из индукционного
предположения и соответствующих свойств в)-и).
Так как X С Χω, то из (4.7) получаем, что 21 является моделью для
множества X. D
Следствием доказанной теоремы является
Теорема 4.4.3 (теорема Гёделя о полноте). Если С —
тождественно истинная секвенция исчисления предикатов, то С доказуема
в исчислении предикатов.
Доказательство. Пусть С равна Φι,... ,ФП h Ф. Из
тождественной истинности С получаем, что множество {Φι,... ,ФП, ~"Щ не
имеет модели. Из теоремы 4.4.2 следует, что оно противоречиво, т. е.
Φι,.,.,Φη,^Ψ h # — теорема исчисления предикатов. По правилу 9
получаем, что С доказуема. D
Доказательство теоремы 4.4.2 дает нам следующий факт: конечное
непротиворечивое множество X формул сигнатуры Σ имеет конечную

§ 4.4. Теорема о существовании модели
133
или счетную модель 21. К сожалению, теорема компактности, которую
мы применили для произвольного множества X, ничего не говорит
нам о мощности модели для X. Однако сила метода доказательства
теоремы 4.4.2 позволяет обойтись без теоремы компактности и заодно
получить информацию о мощности полученной модели. Сначала введем
одно понятие.
Определение. Множество предложений X сигнатуры Σ называется
полным в Σ, если X непротиворечиво и для любого предложения Φ
сигнатуры Σ либо Фе1, либо ""Ф е X.
Предложение 4.4.4. Любое непротиворечивое множество X
предложений сигнатуры Σ содержится в некотором полном в Σ
множестве предложений Υ.
Доказательство. Рассмотрим семейство Ρ всех
непротиворечивых множеств предложений сигнатуры Σ, содержащих X. Отношение
включения С частично упорядочивает множество Р. Очевидно, что
объединение любой цепи из (Р, С) принадлежит Р. По принципу
максимума (Р, С) имеет максимальный элемент Υ. Из предложения
4.4.1,д) получаем, что Υ — полное в Σ множество. □
Теорема 4.4.5. Если бесконечное множество X формул
сигнатуры Σ непротиворечиво, то X имеет модель 21 мощности, не
превосходящей мощность X.
Доказательство. Пусть FV(X) — все переменные, входящие
хотя бы в одну формулу из X свободно. Рассмотрим такое
множество С = {сх | χ G FV(X)} символов, что сх Φ су для χ φ у и
С Г) (RU F) = 0. Пусть Σ(Χ) — сигнатура, все символы которой
входят хотя бы в одну формулу из X. Пусть Σο получается из
Σ(Χ) добавлением элементов множества С в качестве символов
новых констант. В силу следствия 2.5.7, |Σο| ^ \Х\. Заменим во всех
формулах из X все свободные вхождения переменных χ G FV(X)
на константы сх Ε С соответственно. Ясно, что полученное
множество X' предложений сигнатуры Σο имеет модель тогда и только
тогда, когда X имеет модель. Множество X' непротиворечиво 0. В
самом деле, предположим, что дерево D — доказательство секвенции
(*i)S;zX„.-.(*fc)S;:-1s,n h^· ™e *i.-.**ex и сХ1,...,сХп -
все константы из С, входящие в D. Заменив константы сХ1,...,сХп
на переменные г/ь...,г/п, н^ входящие в Dy получим доказательство
D' секвенции (Φι)^};;;;;^",··· »(Φ&)^"Γ,'£η \~ #· Применяя предложение
1) По причинам, которые выяснятся в конце данного параграфа, мы даем
здесь доказательство, не опирающееся на теорему 4.4.2.

134
Гл. 4. Исчисление предикатов
4.1.4, и), получим доказуемость Φι,...,Φ& l· #, что невозможно в силу
непротиворечивости X.
Переходим к построению множеств предложений Хп, η Ε ω, и
сигнатур Ση, nGw. При этом будут выполняться следующие условия:
1) Хп схп+ипеш9 X' сх0;
2) Хп — полное в Ση множество предложений;
3) сигнатура Ση+ι получается из Ση добавлением новых символов
констант;
4) |Ση|^|Χη| = |Χ|, пей.
В качестве Хо берем полное в Σο множество предложений, содержащее
X'. Если Хп уже построено, то Ση+ι получается из Ση добавлением
множества {cj | Φ е Хп} новых символов констант. Рассмотрим
множество предложений
Х'п = Хп и {(Ф)*п | Φ = 3*Ф, Φ е Хп}
сигнатуры Ση+ι. Множество Х'п непротиворечиво. В самом деле,
предположим, ЧТО ДЛЯ {ΦΊ Ф*;. * 1 Фт} £ Χη,^Ι = ΒζγΦγ, ... ,Фт =
= ЗгтФш, секвенция
Ф'1,...,Ф'„(Ф1)^1,...,(Фт)с2^Ь5
доказуема и т — минимальное такое число. Заменяя в
доказательстве D этой секвенции константу с% на переменную у, не входящую
в D, получим доказательство D' секвенции
*i,...,*U*l]?.(*2)% ,...,(*m)£ l-fr
Из предложения 4.4.1 в) получаем, что секвенция
доказуема, а это противоречит минимальности га. В качестве Χη+ι
берем теперь полное в Ση+ι множество предложений, содержащее Х'п.
Пусть Χω = [J Хп и С есть множество всех констант из всех Ση,
η£ω
п е ω. Так как каждое Хп непротиворечиво, то и Χω непротиворечиво:
Очевидно также, что Χω — полное в Σω множество, где Σω = \J Ση
η£ω
получается из Σ добавлением элементов С в качестве символов
констант. Следовательно, Χω, имеет свойства а) и б) из доказательства
теоремы 4.4.2, где вместо сигнатуры Σι рассматривается сигнатура Έω.
Из свойств а) и б) следуют свойства в)-ж). Свойство з) следует из
построения множеств Χ', η е ω. Наконец, свойства и), к) следуют

§4.5. Исчисление предикатов гильбертовского типа 135
из свойства з) так же, как в теореме 4.4.2. Далее нужно в точности
повторить конец доказательства теоремы 4.4.2, начиная с определения
отношения ~ на множестве С.
Осталось только заметить, что мощность модели 21 не превосходит
мощности множества С, которое в свою очередь является
объединением счетного числа множеств, имеющих мощность, не превосходящую
мощность X, и, следовательно, имеет мощность, не превосходящую
мощность ω χ Χ. По следствию 2.5.6, а) имеем \ω χ Χ\ = \Х\. □
Теорема 4.4.5 вместе с теоремой 4.1.5 дает также новое
доказательство теоремы компактности. (См. подстрочное примечание на с. 133.)
Упражнения
1. Привести пример формулы Φ исчисления предикатов, для которой
множества {Ф} и {^Ф} непротиворечивы.
2. Вывести теорему компактности из теорем 4.1.5 и 4.4.5.
§ 4.5. Исчисление предикатов гильбертовского типа
Зафиксируем произвольную сигнатуру Σ. Все зависящие от
сигнатуры понятия этого параграфа будут относиться к сигнатуре Σ.
В этом параграфе мы рассмотрим исчисление Hnf, которое
называется исчислением предикатов гильбертовского типа, и покажем его
равносильность (теорема 4.5.6) исчислению ИП подобно тому, как в
§ 1.8 была показана равносильность ИВ и ИВь
Формулами WY\X будут формулы сигнатуры Σ за исключением того,
что в алфавите ИП! нет символа логической константы $ и,
соответственно, в определении формулы отсутствует п.О). Секвенций в ИП!
нет.
Аксиомы HTif получаются из следующих 14 схем заменой
переменных Φ,Φ,Χ конкретными формулами сигнатуры Σ; t, q — термами
сигнатуры Σ:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Ф-»
(Ф-
(ФЛ
(ФЛ
Ф-+
ф->
ф->
(ф-
(ф-
—φ
УжФ
(Ф - Ф),
* Ф) -> ((Ф
Ф)^Ф,
Ф)-+Ф,
(Ф -> (Ф Л
(ΦνΦ),
(Φ V Φ),
♦ Χ)-((Φ
♦ Φ) -> ((Φ
->Φ,
- (Φ)?.
->(Φ-^
Φ))-
-Χ)-,
--Φ)-
► χ)Η
► ((Φ V
--Φ),
► (φ-
φ)_
-Χ)).
♦Χ)).

136
Гл. 4. Исчисление предикатов
12. (Ф)* -> ЗяФ,
13. ί«ί,
14. *«<ζ-((Φ)?-(Φ)5).
Правила вывода Hnf:
Φ, Φ -► Φ Φ -► Φ
" Φ ' " Ф->УжФ'
где в правилах 2 и 3 переменная ж не входит свободно в Ф.
Доказательством в ИГГ формулы Φ называется такая
последовательность Фо,...,Фп формул Hnf, что Фп = Φ и для каждого г ^ η
формула Фг удовлетворяет одному из следующих условий:
1) Фг — аксиома Hnf,
2) Фг· получается из некоторых Ф^·, j < г, по одному из правил 1-3.
Если существует доказательство в Hnf формулы Ф, то Φ
называется доказуемой в VLUf или теоремой Hnf (обозначаем >Ф).
Выводом в Hnf формулы Φ из множества формул G называется
такая последовательность Фо, ...,ФП формул HFlf, что Φη = Φ и для
каждого г ^ η формула Фг· удовлетворяет одному из следующих
условий:
1) Φi доказуема в HFlf,
2) Фг· принадлежит G,
3) Фг· получается из некоторых Ф^·, j < г, по одному из правил 1—3,
причем при применении правил 2 и 3 переменная χ не должна
входить ни в одну формулу из G свободно.
Если существует вывод в HFlf формулы Φ из множества G, то Φ
называется выводимой в HFlf из G. При этом G называется
множеством гипотез. Очевидно, что доказуемость формулы эквивалентна
ее выводимости из пустого множества гипотез. Поэтому выводимость
Φ из G можно обозначать через G > Ф. В этом параграфе, если не
оговорено противное, под доказательством и выводом понимаются
доказательство и вывод в Hnf.
Правило вывода
Фь-,Ф*
φ
называется допустимым в Hnf, если его добавление к исчислению
Hnf не изменяет множества доказуемых формул.
Предложение 4.5.1. Следующие правила допустимы в Hnf:
' УхФ' ' ЧхФ' ;УхФ —Φ' ; Ф —ЗхФ'
Доказательство, а). Пусть Φ — некоторое доказуемое
предложение, тогда в силу аксиомы 1, доказуемости Φ и правила 1 имеем
Ф^Ф
ЗжФ->Ф'

§4.5. Исчисление предикатов гильбертовского типа 137
Оф _► φ По правилу 2 получаем >Ф —> \/хФ. Отсюда доказуемость
УжФ следует по правилу 1.
в). Формулу \/хФ —► Φ получаем из аксиомы \/хФ —> (Ф)£ и теоремы
(Ф)£ —> Φ с помощью аксиом 1, 2 и правила 1.
Доказательство утверждений б) и г) мы оставляем читателю
(упражнение 1). D
Формулы Φ и Φ называются эквивалентными в HFlf, если в HFlf
доказуемы формулы Ф-^Ф и Ф-^Ф (обозначаем это через Ф=Ф).
В силу правила 1 из ΦξξξΦ вытекает, что доказуемость Φ в HFlf
равносильна доказуемости Φ в HFIj .
Предложение 4.5.2. Любая тавтология Ф, не содержащая
символа логической константы, доказуема в HFlf.
Доказательство. Пусть Φ — основа Ф. В силу теоремы 1.8.1
формула Φ доказуема в ИВь Ясно, что, заменив пропозициональные
переменные в доказательстве в ΗΒι формулы Φ на соответствующие
формулы HFlf, получим доказательство Φ в HFlf. D
Следствие 4.5.3. Если Φ и Φ — пропозиционально эквивалентные
формулы HFlf, то доказуемость Φ в HFlf равносильна
доказуемости Φ в VLTlf. D
Теорема 4.5.4 (о дедукции для HFlf). Если G U {Φ, Φ} —
множество формул HFlf, то из G U {Ф} > Φ следует G > Φ —► Φ.
Доказательство проведем индукцией по длине η минимального
вывода Φι,...,Φη формулы Φ из Си{Ф}. Случай, когда п= 1 (т.е. Φ
доказуема в HFIj или принадлежит G U {Ф}), а также случай, когда
Фп получается по правилу 1, ничем не отличаются от соответствующих
случаев для ΗΒι и уже рассмотрены в доказательстве теоремы 1.8.3.
В силу минимальности вывода осталось рассмотреть случаи, когда Φ
получается из Φη-ι по правилам 2 или 3. По предположению индукции
мы уже имеем G> Φ —► Φη-ι·
Пусть Φη_ι = (Θι —► Θ2) и Φ = (θι —► УжОг). При этом в силу
определения вывода χ не входит свободно в Ф, элементы G и θ\. Так
как Φ —► (Χι —► Хг) и (Φ Λ Χι) —► Хг пропозиционально эквивалентны
для любых формул ХьХг, то в силу следствия 4.5.3
последовательность
Φ -> Ф„_ь (Φ Л θι) -> θ2, (Φ Л θι) -+ νχθ2, Φ -> (θι -> νχθ2)
можно дополнить до вывода Φ —► Φ из G.
Пусть теперь Ф получается по правилу 3. Тогда Φη-ι = (θι —► θ2)
и Φ = (3χθ\ —► θ2), где χ не входит свободно в Φ, θ2 и элементы G.

138
Гл. 4. Исчисление предикатов
В силу пропозициональных эквивалентностей Φ —► Φη_ι ξξεΘι —> (Φ —►
—> θ2) и 3xQ\ —> (Φ —> θ2) = Φ —► (3χθι —> ©г) следующую
последовательность:
Φ->Ψ„_ι,θι ->(Φ->θ2),3χθι -> (Φ-+θ2),Φ-+(3:ζθι ->θ2)
можно дополнить до вывода Φ —► Φ из G. D
Следствие 4.5.5. Пусть Φι,...,Φη,Φ — формулы HFlf. 7Ъгда
{Φι,...,Φη} > Φ равносильно > Φι —► (Ф2 —► ...(Фп —► Ф)···)» что
β свою очередь равносильно О (Φι Λ (... (Φη-ι Λ Φη)...)) —> Φ.
Доказательство. Для первой эквивалентности п раз
применяется теорема 4.5.4 и правило 1. Для второй эквивалентности — те же
рассуждения, что и в следствии 1.8.4. D
Теорема 4.5.6. Пусть Φ — формула, Г — конечная
последовательность формул исчисления HFlf. Для того чтобы формула Φ
была выводима в HFlf из множества всех членов Г, необходимо
и достаточно, чтобы секвенция Г Υ- Φ была доказуема в ИПЕ.
В частности, для формул HFlf их доказуемость в HFlf равносильна
их доказуемости в ИПЕ.
Доказательство. В силу правил 7 и 8 ИПЕ секвенция Φι,...
..., Φη h Φ доказуема в ИПЕ тогда и только тогда, когда доказуема
h Ψι —► (Ф2 —► .--(Фп —► Ф)···)· Тогда из следствия 4.5.5 получаем,
что для доказательства необходимости можно ограничиться случаем
Г = 0. Легко проверить, что аксиомы HFlf тождественно истинны,
а правила вывода HFIj сохраняют тождественную истинность. Поэтому
необходимость следует из теоремы Гёделя о полноте.
Достаточность. Пусть дерево D — доказательство в ИПЕ
секвенции Г h Ф. Если Г h Φ — аксиома ИПЕ, то в силу аксиом 13 и 14
исчисления Hnf мы имеем Г о Ф. (Здесь и далее мы допускаем
некоторую вольность в обозначениях: следовало бы писать {Φι,...,Φη} > Ф,
если Г = Φι,..., Φη.) Пусть Фо — какое-нибудь предложение сигнатуры
Σ, не содержащее логической константы #. Пусть D\ получается из
D заменой логической константы # на формулу Фо Λ ^Φο· Ясно, что
начальные секвенции в D останутся аксиомами ИПЕ, а переходы по
правилам, отличным от 9 и 10, останутся переходами по тем же
правилам. Переходы по правилам 9 и 10 станут переходами по правилам
Г,-ФЬФ0Л-Фо ГЬФ; ГЬ-Ф
Г h Φ ' " Г h Фо Л -Ф0 "
Поэтому осталось показать, что если в правилах вывода 1-8 и 11-16
исчисления ИПЕ и правилах 9' и 10' заменить знак h на >, то из
истинности утверждений над чертой будет следовать утверждение под

§ 4.6. Чистое исчисление предикатов
139
чертой. Для правил 1-8 и 11, 12 исчисления ИПЕ и правил 9' и 1(У
проверка — та же самая, что и в теореме 1.8.1. Для правил 13 и 15
при Г = 0 это верно в силу предложения 4.5.1, а), б). Для остальных
случаев это следует из следствия 4.5.5, правил 2, 3 исчисления HFlf и
предложения 4.5.1, в), г). □
Из этой теоремы и теоремы 4.1.7 получаем
Следствие 4.5.7. Если Σι С Σ, то исчисление HFlf является
консервативным расширением исчисления ИП^1. □
Из теоремы 4.5.6 следует также, что для формул Φ и Φ исчисления
HFlf1 эквивалентности Ф^ФиФеФ равносильны.
Следствие 4.5.8. Пусть X U {Ф} — множество формул
исчисления HFlf1, α Υ — множество всех переменных, входящих свободно
хотя бы в одну формулу из X U {Ф}. Для того чтобы имело место
X о Ф, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее
условие: для любой алгебраической системы 21 сигнатуры Σ и
интерпретации 7· У —► А, если имеет место 21 [= Фру] при любом
Φ е X, то 21 μ Φ[7].
Доказательство. Так как вывод содержит лишь конечное
множество формул, то Χ > Φ равносильно тому, что Χι О Φ для
некоторого конечного Χι С X. Необходимость тогда следует из теорем 4.5.6
и 4.1.5. Если из 21 [= Φ[7], Φ G X, следует 21 \= Φ[7] для любых систем
21 сигнатуры Σ и jiY —> А, то множество XU {""Φ} не имеет
модели. Тогда по теореме 4.4.2 для некоторых Φι,...,Φη е X секвенция
Φι,..., Фп h Φ доказуема и из теоремы 4.5.6 получаем достаточность. □
Упражнения
1. Доказать утверждения б) и г) предложения 4.5.1.
2. Доказать, что G > Φ тогда и только тогда, когда существует такая
последовательность Фо,...,Фп формул HFIj , что Φη = Φ и для
каждого г ^ η формула Фг удовлетворяет одному из следующих
условий:
1) Фг доказуема в HFlf,
2) Фг· принадлежит G,
3) Фг· получается из некоторых Ф^·, j < г, по правилу 1.
§4.6. Чистое исчисление предикатов
В этом параграфе будет определено исчисление ИПЧ, которое
называется чистым исчислением предикатов, и будет доказана некоторая
«универсальность» этого исчисления (теорема 4.6.2).

140
Гл. 4. Исчисление предикатов
Рассмотрим сигнатуру Σ* = (i2*,F*,/x*) со следующими
свойствами:
1) F* = 0, R* = {гкш | к,теи;};
2) /х*(г^) = к для любого шЕуи^ш.
Формулами ИПЧ будут формулы сигнатуры Σ*, не содержащие
символа равенства. Секвенции ИПЧ — это секвенции ИПЕ, все
формулы в которых являются формулами ИПЧ.
Аксиомами ИПЧ будут только секвенции вида Φ l· Φ; правила
вывода те же, что у ИПЕ. Доказательство в ИПЧ определяется так
же, как в ИПЕ — конечно, под формулами, секвенциями и
аксиомами теперь понимаются формулы, секвенции и аксиомы ИПЧ. Легко
проверить, что все результаты в §4.1-4.3, относящиеся к ИП , за
исключением предложения 4.1.6, предложения 4.3.2 и теоремы 4.1.7,
справедливы также для ИПЧ, так как в их доказательствах не
используются аксиомы 2), 3). Сейчас мы покажем, что результаты §4.4 также
распространяются на ИПЧ. На самом деле имеет место
Теорема 4.6.1. Исчисление ИП является консервативным
расширением исчисления ИПЧ.
Доказательство. Множество X предложений ИПЧ
называется совместным в ИПЧ, если для любых Φι,...,Φη еХ секвенция
Φι,..., Φη h # не доказуема в ИПЧ. Покажем, что любое совместное
в ИПЧ множество формул ИПЧ имеет модель. Доказательство этого
утверждения мало чем отличается от доказательства теоремы 4.4.2.
Построение множества Χω — то же самое. (При этом под
формулами и доказательствами, конечно, понимаются формулы и
доказательства в ИПЧ). Доказательства свойств а)-и) для Χω те же самые.
Свойство к) в данном случае не требуется. Отношение ~ на С не
определяется и носителем системы 21 является само множество С.
Доказательство эквивалентности
21НФ(<2Ь...,<2П) «=► Φ(άΐ9...,άη)£Χω
из свойств а)-и) проводится еще проще, чем в теореме 4.4.2, так как
отпадает необходимость переходить к представителям классов
эквивалентности по отношению ~ и нет атомарных формул вида t\ « t<i.
У*
Если теперь S = Φι,..., Фп h Φ — теорема ИП , являющаяся
секвенцией ИПЧ, то по теореме 4.1.5 секвенция S тождественно
истинна. Тогда по указанному выше {Φι,..., ФП,^Ф} — не совместное
в ИПЧ множество, следовательно, секвенция Φι,... ,ФП, ^Ф h #
доказуема в ИПЧ. По правилу 9 получаем доказуемость S в ИПЧ. □
Ясно, что из результатов §4.4 и теоремы 4.6.1 следует
справедливость всех теорем, полученных из теорем §4.4 заменой ИПЕ на ИПЧ.

§ 4.6. Чистое исчисление предикатов
141
Конец этого параграфа мы посвятим одному факту, который
показывает, что вопросы о доказуемости в различных ИП «сводятся» к
вопросам о доказуемости в ИПЧ. Переходим к точным формулировкам.
Зафиксируем предикатный символ го € R*, для которого μ(Τ*ο) = 2.
Определение. Пусть Σ = (R, F, μ) — конечная или счетная
сигнатура. Инъективное отображение a: RU F —► R* называется
интерпретацией Σ в Σ*, если выполняются следующие условия:
а) r0(£a(RUFy,
б) если s € R, то μ*(as) = /x(s);
в) если / € F, то μ* (af) = μ(/) + 1.
Для интерпретации а сигнатуры Σ в Σ* определим отображение а*
множества формул сигнатуры Σ, находящихся в приведенной
нормальной форме, в множество формул ИПЧ по индукции. Если Φ — атомная
формула вида χ « у, то а*(Ф) = го(х,у)\ если Φ — атомная формула
вида s(x\,... уХп)у то а*Ф = as(x\,..., χη)ί ес«ли Φ — атомная формула
вида у& f(x\,...,xn) или f(x\,...,xn) « у, то α* Φ = а/(жь ··· ,хп,у)\
если Φ = "Φ, Φ = Q:z# или Φ = ΨιτΨ2, где Q € {V, 3}, г € {Л, V, -►},
то а*Ф равна ^а*Ф, Q:m*\I/ или α*Ψιτα*Ψ2 соответственно.
Если а — интерпретация Σ в Σ*, Φ € F(E) находится в
приведенной н.ф. и Σ(Φ) = ({s0, ...,5fc},{/o, ...,Λη},μ')> το чеРез ^оФ
обозначим конъюнкцию следующих предложений сигнатуры Σ*, где
пз = ^(sj),h= /i;(/i),ж,?/,ζ,Ж1,...,жп,г/ι,...,?/п — попарно
различные переменные 0:
1) V^i ...\/xn\/yx ...Vynj((ro(x\,y\)A...
• '•Aroixnj.ynj) AoiSj(x\,...,xnj)) -> а^(2/ь...,г/п,·)), J ^ fo
2) Va?o... Va^ Vj/o ·· · Vj/t. ((го(ж<ь 2/o) Л ...
...Лг0(х^,2/^)Ла/»(жо,-.-,жг.)) ->a/i(2/o,...,2/i.)), г ^ m;
3) Va?i ...Ужг432/а/»(жь...,жг4,2/), г ^ га;
4) Va?i ...УхиУуУг((а^(х\,... ,xiify) Л
Λα/ϊ(ΐι ^,2)) -► го(2/,г)), г ^ m;
5) Vxro(x,x);
6) Vx\/y(ro(x,y) -> r0(2/,x));
7) Mx\/yMz((rQ(xyy) Aro(y,z)) -> го(ж,г))·
Ясно, что из условия 2) на сигнатуру Σ* следует, что для любой
конечной или счетной сигнатуры Σ существует интерпретация Σ в Σ*.
1) Предложение аоФ зависит только от сигнатуры Σ(Φ), а его истинность на
алгебраической системе 21 равносильна тому, что ^а(го) является
эквивалентностью, предикаты i/a(asj) и ι/21 (a/г) не «различают» ^а(го)-эквивалентные
элементы, а отношения ι/α(α/<) определяют на классах ^(неэквивалентных
элементов Zt-местные операции.

142
Гл. 4. Исчисление предикатов
Теорема 4.6.2. Пусть Φ — формула исчисления предикатов,
Ф' = Ф, Ф' находится в приведенной н.ф. и а — интерпретация
сигнатуры Σ(Φ') β Σ*. Тогда Φ доказуема в исчислении предикатов
тогда и только тогда, когда а^Ф' —► а*Ф' доказуема в ИПЧ.
Доказательство. В силу теорем 4.1.5, 4.4.3 и 4.6.10
достаточно проверить, что тождественная истинность Ф' равносильна
тождественной истинности а$Ф' —► а*Ф'. Для любой системы 21 сигнатуры
Σ(Φ') = ({so, ...,5fc},{/o, ...,Λη},μ) определим систему о#1 сигнатуры
αΣ = ({го,а5о,...,ск5А:,ск/о,-..,ск/т},0,ск^> <Ξ Σ* следующим образом:
а) аЛ = А\
б) (а, 6) ei/a2t(r0) <=^ a = b-
в) ι/αα(α^·) = ι/α(^), j<fc;
г) ι/*α(α/0 = ι/α(/0, i < m, μ(Λ) > 0;
. Д) i/aSWi) = {^(/i)}, i < m, μ(Λ) - 0.
Индукцией по длине формулы Φ сигнатуры Σ(Φ'), находящейся в
приведенной н.ф., легко проверить, что для любой интерпретации 7 в А
свободных переменных Φ имеет место
»[=Φ[7] <=^ α21[=α*Φ[7].
В частности, для любой η: FV(&) —► А имеем
% μ -ф'[7] => аа μ ",α*Φ/[7]. (4.8)
Очевидно, что в а21 истинно аоФ', поэтому из (4.8) получаем, что
из тождественной истинности аоФ' —► а*Ф' следует тождественная
истинность Ф'.
Пусть аоФ7 —► а*Ф' не тождественно истинна, тогда для некоторой
системы 21о сигнатуры αΣ и интерпретации 70 в Aq свободных
переменных Ф' имеем 51о [= а^Ф' и Яо |= -Ία*Φ/[7ο]· Из истинности в 21о
предложений 5)-7) и из определения а^Ф' получаем, что отношение
1/а°(го) определяет на Aq эквивалентность. Класс эквивалентности по
отношению z^°(ro), содержащий а Ε Ло, будем обозначать через а.
Определим систему ЯЗо сигнатуры Σ(Φ') следующим образом:
а) Во = [а\ае А0};
б) (аи...ап) ev*0{sj) 4=> (ab...,an) eu^(asj)9 j *ζ k;
в) (ab...,an+i) Ε ι/*0 (Λ) <=^ (ab... ,αη+ι) Ε i/^a/i), г < m,
Μ/0 = η > 0;
γ) α = ι/®ο(/.) ^α€ i/*°(a/i), * < ™, ΜΛ) = 0.
Из истинности на 21о конъюнктивных членов 1) и 2) предложения аоФ'
следует корректность этих определений. Из истинности предложений

§ 4.6. Чистое исчисление предикатов
143
3) и 4) следует, что v^°(fi), г ϊξ га, — операции на Во-
Индукцией по длине формулы Ф(жь... ,хп) сигнатуры Σ(Φ'), находящейся
в приведенной н.ф., легко проверить, что для любых αι,...,αη G Aq
справедливо
<ВоНФ(аь...,йп) ^=> Яо|=«*Ф(аь —.«η)·
Отсюда получаем, что *Во И ^Ф'Рто] где 7о(#) = 7о(#), # £ ^У(Ф'), т. е.
Ф' — не тождественно истинная формула. □
Как будет показано в §7.5, существуют эффективно заданные
множества формул, для которых нет эффективной процедуры (алгоритма),
позволяющей для любой формулы данного множества за конечное
число шагов устанавливать, является ли она тождественно истинной
формулой или нет. Однако теорема Гёделя о полноте дает нам
возможность по любой эффективно заданной сигнатуре Σ построить
эффективный процесс (машину) ΜΣ, который перечисляет все тождественно
истинные формулы сигнатуры Σ, т. е. ΜΣ в процессе работы выдает
такие слова Фо, ...,ФП, ···» что {Фо,..., Фп> ···} есть множество всех
тождественно истинных формул сигнатуры Σ. Этот процесс состоит
в выписывании конечных последовательностей секвенций ИПЕ и
выдает слово Φ тогда, когда выписанная последовательность есть линейное
доказательство секвенции h Φ в ИП . Так как для любого эффективно
заданного множества формул X переход от формулы Φ € X к формуле
ΦΈΦ в приведенной н.ф., а затем к формуле а^Ф' —► а*Ф' можно
сделать эффективным, то теорема 4.6.2 показывает, что для того, чтобы
уметь перечислять все тождественно истинные формулы из любого
эффективно заданного множества формул, достаточно построить машину
М, перечисляющую теоремы ИПЧ.
Упражнение
1. Пусть J — исчисление, полученное добавлением к ИПЧ символа
равенства и следующих аксиом:
а) \- χ « х\
б) χ « у,(Р)х Ь (Р)у> где Ρ — атомная формула сигнатуры Σ*.
Показать, что в J доказуемы все теоремы ИПЕ .

Глава 5
ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
§5.1. Элементарная эквивалентность
В §3.2 было показано, что на изоморфных системах истинны одни и
те же предложения. Обратное неверно для бесконечных систем. В этом
параграфе мы покажем (теорема 5.1.1), что истинность на 51 и <В одних
и тех же предложений равносильна существованию «достаточно
большого» запаса конечных частичных изоморфизмов 51 и <В. В частности,
если на конечных системах 51 и Ъ истинны одни и те же предложения,
то 51 изоморфна <В.
Определение. Две алгебраические системы 51 и 93 сигнатуры Σ
называются элементарно эквивалентными (обозначаем 51 = <В), если
для любого предложения Φ сигнатуры Σ имеет место
5ΐμΦ <^ «μΦ.
Множество предложений {Ф | 51 |= Ф} сигнатуры Σ называется
элементарной теорией системы 51 или просто теорией 51 и обозначается
через Th(5l).
Ясно, что отношение 51 = <В равносильно равенству Th(5l) = Th(<B).
Определение. Пусть 51 и <В — алгебраические системы
сигнатуры Σ = (i2,F,/x). Инъективное отображение /: X —► В, где X С Л,
называется частичным изоморфизмом 51 в 05, если для любых
а\9...,ап Ε X выполняются следующие условия:
1) если s Ε R U F — не константа, то
(аь...,ап) Ε i/a(s) <(=> (/αι,...,/αη) €i/®(s);
2) если s E F — константа, то
i/a(s) = αϊ <=Φ i/®(s) = /ai.
(Напомним, что если η = О, то (αι,...,αη) = ( ) = Λ = 0.) Если
X — конечное множество, то / называется конечным частичным

§5.1. Элементарная эквивалентность
145
изоморфизмом. Множество конечных частичных изоморфизмов 21 в 05
обозначаем через P(2l, 05).
Теорема 5.1.1. Пусть 21 w 05 — системы сигнатуры Σ. Для
того чтобы системы 21 w 05 были элементарно эквивалентны,
необходимо и достаточно, чтобы для любого η Ε ω и любой
конечной сигнатуры Σι С Σ существовали непустые множества
Fi(Ei,n),... ,Ρη(Σι,η) конечных частичных изоморфизмов 21 f Σι
в 03 ί Σι со следующим свойством:
(*) ес/ш / Ε jFi(Ei,n), 1 ^ г < η, то для любых а е Ау be
Ε В существуют g\,g<i Ε Fi+i(Ei,n), для которых а Е domgi,
&Erang#2, /С 0i и f Cg2.
Доказательство. Достаточность. Индукцией по m докажем,
что если длина формулы Ф(х\,...,Хк), находящейся в приведенной
н.ф., не больше га, множества ^(Σ(Φ),η) С Р(21 ί Σ(Φ),03 Г Σ(φ))>
1 ^ г ^ η, удовлетворяют условию (*) и г + га ^ п, то для любого
/ Ε Ρι(Σ(Φ),η) и любых αϊ,... ,α& Ε dom/ имеет место
α[=Φ(αι,...,αη) «=Ф »|=Φ(/αι,...,/αΛ).
Если Φ — атомная формула, то это утверждение следует из
определения частичного изоморфизма. Если Φ = ^Ф или Φ = Ф1ТФ2,
t Ε {Λ, V,—>}, то утверждение следует из индукционного
предположения. Так как УяФ = ^ЗяГФ для любой формулы Ф, то
достаточно рассмотреть лишь случай, когда Φ не содержит квантора
всеобщности. Пусть Ф(жь ...,Xfc) = Зг/Ф(г/,х\, ...,Xk) и 21 (= Φ(αι,... , α&).
Тогда 21 [= Φ(αο,αι,... ,α&) для некоторого αο Ε А Возьмем такое
^ Ε Ρΐ+ι(Σ(Φ),η), что / С g и αο Ε dom#. Так как длина Φ меньше
длины Ф, то по индукционному предположению 03 \= Φ(/αι,... ,/а&),
следовательно, 05 [= Ф(/аь ... ,/а&)· Пусть 05 [= Φ(/αι,..., /α/c). Тогда
05 [= Ф(6о,/αϊ,...,/ал) для &о Ε Р. Возьмем # Ε Ρη+ι(Σ(Φ),η), для
которого / С # и 6о Ε rangg. Тогда по индукционному предположению
имеем 21 f= Φ(#-16ο,αι,... , α&), следовательно, 21 [= Φ(αι,... ,α&).
Необходимость. Пусть Σι С Σ — конечная сигнатура и Х(п,т)
для n, m Ε ω — максимальное множество попарно не эквивалентных
формул Φ сигнатуры Σι, находящихся в приведенной н.ф., содержащих
< η кванторов и ГУ(Ф) С {г>ь ...,г>т}. Так как имеется лишь конечное
число атомных формул с переменными из множества {v\,... ,г^}, то
индукцией по η легко показать, что для любых пит множество
Х(п,т) конечно. Очевидно, что функция \Х(п,т)\ неубывающая по
каждой из переменных пит. Пусть αϊ,... ,α& Ε А попарно различны.

146
Гл. 5. Теория моделей
Отображение /: {a\,...,dk} —> В назовем (п,т)-изоморфизмом, если
к τζπΐΗ для любой формулы Ф(х\,...,Хк) G Х(п,га) имеет место
α[=Φ(αι,...,α*) «=Ф 05 μ Ф(/аь...,/<)·
Ясно, что любой частичный изоморфизм / G P(2l f Σι,05 \ Σι), для
которого |dom/| < га, является (0, га)-изоморфизмом. Для г = п,
п—1, ..., 2, 1 будем определять неубывающие функции ^: ω —> ω так,
чтобы множества Ι^(Σι,η) = {/ | / является (^(ш),ш)-изоморфизмом
для некоторого т е ω} удовлетворяли условию (*).
В качестве дп берем тождественный нуль. Если 1 < г < п, га G ω,
то полагаем
flfi-i(m) = flfi(m+ 1) · |X(^(m+ l),m+ 1)| + 1.
Если #; — неубывающая, то очевидно, что gi+\ также
неубывающая. Из 21 = 05 следует, что / = 0 является (п, 0)-изоморфизмом для
любого пей. Следовательно, классы Ρι(Σι,η),... , Ρη(Σι,η) непустые.
Пусть / G ^+ι(Σι,η) является (#г+1(га),га)-изоморфизмом, \ < г ^ п,
dom/ = {αϊ,... ,α/J, /г < га, и α G А Обозначим через Φ(ν\,... , г^+ι)
конъюнкцию всех Ф(г>ь... ,ν&+ι) G X{gi(k + 1),/г + 1), для которых
51 [= Φ(αι,... ,α^,α). Число кванторов у Φ не превосходит gi(k + 1) х
χ \X(gi(k + 1),& + 1)|, поэтому существует формула Х(г>ь... ,Vk) G
Е%цЩД), эквивалентная формуле 3vk+\$(v\,..., Vfc+i)· Так как
£i-i(*0 ^^i-i(^i), 21 (=x(ab---»afc) и /~ (0i-i(m)»га)-изоморфизм, то
05 [= Χ(/αι,... ,/α/e). Тогда 05 [= Φ(/αι,... ,fa>k,b) для некоторого &G
G Б. Из построения Φ вытекает, что для любой Φ G Х(дг(к + 1), А; + 1)
либо Φ —► Ф, либо Φ —» ^Ф является тождественно истинной
формулой, следовательно, д = f U {(α, 6)}, будет <^(Α; + 1)-изоморфизмом, т. е.
принадлежит Ρ^(Σι,η). Заменив в предыдущем рассуждении 51 на 05 и
/ на /-1, получим, что для любого V G В существует af G Ак такое,
что fU{(a,,bf)} принадлежит/j(Σι,η). D
Следствие 5.1.2. Если 21 и 05 — алгебраические системы
конечной сигнатуры Σ, то для того, чтобы 21 и 05 бьим
элементарно эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы для
любого η G ω существовали непустые множества Fi(n) С Ρ (21, 05),...
... ,Ρη(η) С Ρ(21, 05) со следующим свойством:
(*) ес/ш / G Рг(га), 1 ^ г < η, α G А и b e В, то
существуют g\,g2 G Fi+\(n), для которых f ^ g\, f С #2, α G domgi
w 6G rang #2-
Доказательство. В качестве множеств F\(n),... ,Fn(n) берем
множества Ρι(Σ,η),... ,Ρη(Σ,η) из теоремы 5.1.1. D
Следствие 5.1.3. Если 21, 05 — алгебраические системы
сигнатуры Σ и 21 конечна, то% = *& тогда и только тогда, когда 21 ~ 05.

§5.1. Элементарная эквивалентность
147
Доказательство. В предложении 3.2.7 доказано, что для
любых 51 и 03 из 51 ~ 05 следует 51 ξ 05. Пусть 51 ξ 05 и |Л| = гао Ε ω.
Так как в 05 истинна формула ФШо из предложения 3.2.9, то \В\ = то.
Для каждого η Ε ω имеется лишь конечное число попарно различных
η-местных предикатов и функций на конечном множестве, поэтому
имеется такая конечная или счетная Σ' С Σ, что если s Ε R U F, то
г/а(5) = ^(s7) для некоторого sf e В! U F'. Поэтому достаточно
показать, что 51 \ Σ' ~ 05 Г Σ'. Пусть Σ' = |J Σ*, где Σ» конечна и Σ* С Σί+ι.
Рассмотрим множества частичных изоморфизмов ^(Σ^,η), где n, i Ε ω
и 1 ^ j ^ п, из теоремы 5.1.1. Из условия (*) теоремы 5.1.1 следует, что
для любых п,г Ε ω, любого А: < η и любых αι,.,.,α^ Ε Л существует
отображение / Ε 1^+ι(Σι,η), для которого αϊ, ...,аь Ε dom/.
Следовательно, для любого η > mo существует /η Ε Fm0+\(En,τι), являющийся
изоморфизмом 51 t Ση на 05ι \ Ση, где 05ι С 05. Так как \В\ \ = \А\ = \В\,
то 05ι = 05. Существует лишь конечное число отображений /: Л —► £?,
поэтому существует такое число по Ε ω, что /По: 51 f Ση 2+ 05 f Ση для
всех η Ε ω, следовательно, /По: 51^4 05. D
Понятие элементарной эквивалентности с некоторой точки зрения
может быть даже более важным, чем понятие изоморфизма. Дело
в том, что изоморфизм определяется через существование некоторой
бесконечной функции, в то время как элементарная эквивалентность
определяется через конечные функции. Рассмотрим алгебраические
системы 51о и 05о пустой сигнатуры, у которых Aq состоит из всех
счетных ординалов, а Во состоит из всех подмножеств натуральных
чисел. Из результатов П. Коэна о независимости в ZFC следует, что
51о ~ 05о нельзя ни доказать, ни опровергнуть в ZFC. В силу же
«финитарности» понятия элементарной эквивалентности для «хорошо
заданных» систем 51 и 05 отношение 51 = 05 можно доказать или
опровергнуть в ZFC. В частности, легко показать, что 51о = 05о- Конечно,
не надо забывать, что понятие изоморфизма играет исключительную
роль, например, в алгебре, так как является «пределом» для различных
классификаций алгебраических систем.
Если элементарная эквивалентность является ослаблением понятия
изоморфизма, то следующее понятие является усилением понятия
подсистемы.
Определение. Подсистема 05 С 51 системы 51 сигнатуры Σ
называется элементарной подсистемой (обозначаем 05 -< 51), если для любой
формулы Ф(х\, ...,хп) сигнатуры Σ и любых Ь\,...,ЬпеВ имеет место
05ΗΦ(6ι,...,6η) <=> 5ΐμΦ(6ι,...,6η). (5.1)

148
Гл. 5. Теория моделей
Предложение 5.1.4. Пусть 51 — алгебраическая система
сигнатуры Σ и 05 С 51. Для того чтобы имело место 05 -< 51, необходимо
и достаточно, чтобы для любой формулы Ф(х$,... ,χη) сигнатуры
Σ и любых b\,...,bn Ε В имело место 51 \= ЗхоФ(хо,Ь\,... ,Ьп) ==>
=> (21 [= Ф(6о, Ь\,...,Ьп) для некоторого bo e В).
Доказательство. Индукцией по длине формулы Ф(х\,... ,хп)
сигнатуры Σ покажем, что для любых 6i,...,6n eB истинно (5.1).
Если Φ — атомарная, то (5.1) следует из определения подсистемы.
Если Φ = ^Ф или Φ = Ф1ТФ2 для г Ε {Л, V, —»}, то (5.1) следует из
индукционного предположения. Так как \/жФ = ""'ЗаГ'Ф, то достаточно
рассмотреть лишь случай Ф(х\,...,хп) = ЗхоФ(хо,...,хп), но в этом
случае (5.1) следует из условия предложения и индукционного
предположения. D
Предложение 5.1.5. Пусть 51 — алгебраическая система
сигнатуры Σ и 05 С 51. Если для любой конечной сигнатуры Σι С Σ, любых
Ь\у... ,bn e В и любого а е А существует автоморфизм f системы
51 ί Σι, для которого fb\ = &ь..., fbn = bn u fa e В, то 05 -<( 51.
Доказательство. Воспользуемся предложением 5.1.4. Пусть
51 \= ЗхоФ(хо,Ь\, ...,6П). Тогда 51 \= Ф(а,Ь\, ...,6П) для некоторого а е
Ε А. Пусть / — автоморфизм системы 51 ί Σ(Φ), оставляющий b\, ..., bn
на месте, и fa £ В. Из предложения 3.2.7 получаем 51 [= Ф^а,Ь\,...
...,Μ· Π
Ясно, что из 05 -< 51 следует 05 ξ 51. Обратное в общем
случае неверно. Например, рассмотрим системы (Q^\^) и (Q(2\<),
где Q^\Q^2^ — множества рациональных чисел, не меньших 1
и не меньших 2 соответственно, а ^ есть обычное отношение
«меньше или равно» на числах. По предложению 3.1.7 системы
(<2(1),<> и (Q(2),<) изоморфны, следовательно, элементарно
эквивалентны. Однако в подсистеме (Q^2\ <) системы (Q^\<) формула
Φ(ν\) — V^o(^o ^ ^ι —► ^о ~ ^i) истинна на элементе 2, а в системе
(Q^\^) эта формула ложна на том же элементе 2. Таким образом,
(Q^2\ <) -< (Q^\ <) не имеет места.
Пример 5.1.6. Пусть 51 — счетный плотный линейный порядок,
а 05 — плотный в 51 порядок (т. е. 05 С 51 и для любых α < b из Л
существует се В, для которого α < с < 6), тогда (05 содержит концевые
элементы 51) <^=> (В -< 51).
Для доказательства 4= замечаем, что так как 51 ξ 05, то 51 и
05 имеют одинаковые концы. Теперь пусть, например, bo — первый
элемент 05. Тогда 05 \= \/г>о(г>о < bo —► vo « 6o). В силу 05 ^ 51 имеем
51 ^= \/г>о(г>о < &о —> vo ~ bo) и, значит, 6о — первый элемент 51. Для
доказательства ==> нужно воспользоваться предложением 5.1.5.
Требуемый изоморфизм / строится так же, как в предложении 3.1.7.

§5.1. Элементарная эквивалентность
149
Пример 5.1.7. Пусть 51 — свободная группа со свободными
образующими {di \ i Ε 1} и I' С I — бесконечное множество. Тогда
группа <В С 51, порожденная в 51 множеством {а; | г Ε /'}, является
элементарной подгруппой 51.
Для доказательства воспользуемся предложением 5.1.5. Пусть
Ь\,... ,Ьп £ В и а е А. Тогда существуют конечные множества X С
С {(ц | i G /'} и У С {а; | г Ε /} \ X, для которых Ь\,..., 6n Ε -А(-Х")
и а Е Л(ХиУ). Рассмотрим разнозначное отображение / множества
{αϊ | г Ε 7} на себя, оставляющее элементы X на месте и отображающее
У в {αϊ | г Ε 7'}. Тогда / однозначно продолжается до автоморфизма
группы 51, который удовлетворяет условию из предложения 5.1.5.
Хотя во многих случаях признак из предложения 5.1.5 легко
применяется, он не является необходимым (см. упражнение 4).
Аналог предложения 3.1.2 для отношения -< не имеет места (см.
упражнение 4), в то время как для предложения 3.1.3 соответствующее
утверждение справедливо.
Множество {51; | г Ε 7} алгебраических систем назовем
элементарно направленным, если для любых г, j Ε 7 существует такое k Ε 7, что
51^ 5tfc и Щ -< 5tfc.
Предложение 5.1.8. Если {51; | г Ε 7} — элементарно
направленное множество алгебраических систем сигнатуры Σ, то 51j -< 51 =
= U *t, з е 7.
iei
Доказательство. Эквивалентность (5.1) для Ъ = 5Ц·, докажем
индукцией по длине Ф. Как и в доказательстве предложения 5.1.4,
достаточно рассмотреть случай Φ = 3χΨ. Пусть 51 \= 3χΨ(χ, αϊ,..., αη),
где αι,...,αη Ε Л^·. Тогда 51 [= Φ (α, αϊ,... ,ап) для некоторого а Е Л;.
Возьмем к е I, для которого 51; -< 51^ и 5lj -< 2lfc. По индукционному
предположению 51 f= Ψ (α, αϊ, ...,αη), следовательно, 51^ [= 3 я Ψ (я, αϊ,...
...,αη). Так как 5Ц· -<; 51ь то 5tj [= ЗжФ(ж, αϊ,... ,αη). Обратно, пусть
имеет место 5tj [= Зх^{ху αϊ,... ,αη). Тогда 5Ц· [= Φ(α,αι,... ,αη) для
некоторого а е Aj и по индукционному предположению 51 [= Ψ (α, αϊ,...
..., ап), следовательно, имеет место 51 [= ЗжФ(ж, αϊ,..., αη). D
Хотя аналог предложения 3.1.2 для -< не имеет места, более слабый
вариант соответствующего утверждения является очень важным.
Теорема 5.1.9. Пусть 51 — алгебраическая система сигнатуры
Σ и X С А. Тогда существует такая элементарная подсистема
Ъ ^51, что X С В и\В\^ тах(|Х|, |Σ|,ω).
Доказательство. Полагаем Хо = X. Пусть Хп уже определено.
Для любой формулы Φ = ЗхФ(х,х\,... ,Xk) сигнатуры Σ и любой ин-

150
Гл. 5. Теория моделей
терпретации j: {x\,...,Xk} —> А выбираем такой элемент α(Ψ,7) Ε А
что если 21 [= ЗжФ(ж,7^1, •••»7a;fc)» T0 21 ^= Ф(а(Ф,7),7:г1» ··· »7^)·
Полагаем Хп+1 = Xn U {а(Ф, 7) | Φ = ЗяФ Ε F(E),7: FV(*) -+ Xn}.
Ясно, что подсистема 05 С 21 с носителем |J Xn удовлетво?
ряет условию предложения 5.1.4, следовательно, 05 ^ 21. Если
А = тах(|Х|,|Е|,о;), то |F(E)| < А и |Х0| < А. Если \Хп\ < А,
то мощность множества Yn интерпретаций 7 переменных в Хп
с конечной областью определения не превосходит |J X™ . Так как
\Х™\ < max(|Xn|,u;), то \Yn\ < Α ·ω = А, поэтому \Хп+\\ < |F(E)| x
χ \Υη\ < A2 = Α. Следовательно, |β| < А · ω = Α. D
Определение. Пусть 21 — алгебраическая система сигнатуры Σ и
X С А. Возьмем множество Сх = {са \ а е X}, не пересекающееся
с RU F и са ^ съ для афЬ. Определим сигнатуру Σχ как полученную
из Σ добавлением элементов множества Сх в качестве новых констант.
Обозначим через 21χ обогащение системы 21 до сигнатуры Σχ, в
котором константа са, а е X, интерпретируется элементом а. Множество
D(2l, X) атомарных предложений сигнатуры Σχ или их отрицаний,
истинных в системе 21χ, называется диаграммой множества X в 21.
Если в определении D(2l, X) заменить «атомарные предложения или
их отрицания» на «предложения», то получим определение полной
диаграммы D*(2l, X). Диаграмма (полная диаграмма) А в 21
называется диаграммой {полной диаграммой) 21 и обозначается через Z)(2l)
(соответственно Z)*(2l)).
Предложение 5.1.10. а). Если 21 — алгебраическая система
сигнатуры Σ и 03 — модель диаграммы D{%) {полной диаграммы,
D*(2l)) сигнатуры Σα, mo 21 ~ 051 f Σ для некоторой 051 С 05
{некоторой 051 -<: 05).
б). Если 21 С 05 — алгебраические системы сигнатуры Σ, то
21 -« 05 Ф=> 21а ξ 05а.
Доказательство, а). Очевидно, что отображение,
сопоставляющее элементу а Ε 21 элемент ^(са), будет требуемым изоморфизмом,
б) вытекает непосредственно из определений. D
Теорема 5.1.9 позволяет «спускаться» по мощностям, сохраняя
элементарные свойства. Следующая теорема позволяет «подниматься».
Теорема 5.1.11. Пусть 21 — бесконечная система сигнатуры Σ,
А — кардинал, не меньший тах{|Л|, |Σ|}. Тогда существует такая
система 05, что 21 -< 05 и \В\ = А.

§5.1. Элементарная эквивалентность
151
Доказательство. Возьмем множество С символов констант
мощности X, не пересекающееся с множеством RU F. Рассмотрим
множество
У = £>*(21)иГс! ^с2 |cbc2eC,ci φ с2}.
Так как система 51 бесконечна, то для любого конечного
подмножества X С Υ систему 51 можно обогатить до модели X. По
теореме компактности существует модель 05\ множества Υ сигнатуры
Σ>Αυο· Очевидно, что \В\\ ^ А. По теореме 5.1.9 существует 05г -< 05ь
|£?2| = А. По предложению 5.1.10, а) существует 05з -< 05г и изоморфизм
f{: 51^4 05з ί Σ. Теперь нужно лишь переименовать в системе 05г ί Σ
элементы Ъ G В% на /f1^, чтобы получить требуемую 05. Чтобы
избежать коллизии при таком переобозначении, поступаем следующим
образом. Возьмем множество Z, для которого Ζ Π А = 0 и \Ζ\ = \B2\ Дз|·
Пусть / — разнозначное отображение множества В — A\J Z на
множество £?2 и /ι С /. Определим систему 05 = (Б, иъ) сигнатуры Σ
следующим образом:
а) если s G RU F — не константа, то
<Ьь...,Ьп)е !/*(*) «=Ф (fbu...,fbn)e v**(s);
б) если s e F — константа, то
!/*(*) = /-VB'00).
Ясно, что / — изоморфизм 05 на 052 t Σ и 51 С 05. Пусть Ф(жо, ^ь · · ·
...,ж„) GF(E); bi,...,bn G Л и
05 (= Зж0Ф(жо,Ьь--.,Ьп)·
Тогда 052 Η ЗжоФ(жо,/Ьь...,/Ьп)· Так как fb\,..., fbn e В$ и
05з -< 05г, то существует такой 6о G Дз, что 05г Η ®(bo,fb\,... ,fbn).
Отображение /-1 является изоморфизмом 05г t Σ на 05, поэтому
05 [= Ф(/-16о,6ь... ,6П). Так как /-16о G А, то по предложению 5.1.4
имеем 51 ^ 05. Из \В2\ = А и 052 ^ 05 следует \В\ = A. D
Упражнения
1. Пусть 51 и 05 — системы сигнатуры Σ. Покажите, что 51 ξ 05 если
и только если 51 f Σι ξ 05 f Σι для любой конечной сигнатуры
Σι СЕ.
2. Пусть 51 и 05 — системы конечной сигнатуры Σ. Определим по
индукции множества Fn, n G ω. Положим Fo ^ P(5l, 05), где
Ρ(21,05) — множество всех конечных частичных изоморфизмов 51

152
Гл. 5. Теория моделей
в 05. Если множество Fn (С Р(51, 05)) определено, то Fn+i — это
множество всех частичных изоморфизмов / из Fn таких, что для
любых а е А, Ъ е В существуют g\,g2 £ Fn с условиями / С д\,
/ С р2, ^ £ dom^i и 6 G rang^2· По определению, Fn 2 Рп+ь
η Ε α;. Доказать, что 51 ξ 05, если для любого η Ε ω
множество Fn непусто. (Указание. Проверить, что если множества
Fi(E, п), 0 < г < п, удовлетворяют условию (*) из теоремы 5.1.1,
то Fn_i(E, η) С Fif 0 < г < п.)
3. Покажите, что для систем 51 С 05 сигнатуры Σ имеет место 51 -<
-< 05, если выполняется одно из следующих условий:
а). Сигнатура Σ содержит лишь бесконечное множество констант.
Значения констант в 05 образуют бесконечное множество,
б). Сигнатура Σ содержит лишь символы одноместных
предикатов rk, к Ε ω. Рассмотрим множество 2ω = {у \ ν. ω —> {0, 1}}.
Пусть 05 — произвольная система сигнатуры Σ. Для любого ν Ε
Ε 2ω определяем множество 2$(z/) = {b | для всех η Ε ω 05 \=rn(b),
если и (ή) = 1, и 05 \= ~Vn(6), если ι/(ή) = 0}. Ясно, что для
различных щ,щ€ 2ω множества Ъ(у\) и 93(ι^) не пересекаются.
Пусть для всех ν Ε 2ω выполняется 05(ζ/) С А, если 05(ι/) —
конечное множество, и А П 95(ι/) — бесконечное множество, если
05(ζ/) бесконечно.
в). Сигнатура Σ содержит единственный символ ~ двухместного
отношения, который интерпретируется в 05 как эквивалентность
с бесконечным числом бесконечных классов эквивалентности.
Множество А содержит бесконечное число классов
эквивалентности системы 05. (Указание. Воспользоваться предложением
5.1.10 6) и теоремой 5.1.1.)
4. С помощью примера из упражнения 3, в) показать, что
а) признак элементарности подсистем из предложения 5.1.5 не
является необходимым (указание: пусть \А\ = ω и все классы
эквивалентности, содержащиеся в В\А, несчетны);
б) для некоторой системы 05 и бесконечного множества X С В
не существует минимальной по отношению включения С
элементарной подсистемы 51 ^ 05, содержащей X.
§ 5.2. Аксиоматизируемые классы
Определение. Класс К алгебраических систем называется
аксиоматизируемым, если существует сигнатура Σ и такое множество
предложений Ζ сигнатуры Σ, что для любой системы 51 имеет место
51 Ε К <=> (сигнатура 51 равна Σ и 51 \= Φ для всех Φ Ε Ζ). (5.2)

§ 5.2. Аксиоматизируемые классы
153
Если для класса К выполняется (5.2), то Σ называется сигнатурой
К, а множество Ζ называется множеством аксиом для К
(обозначаем К = Κ·ς(Ζ)). Если все системы класса К имеют сигнатуру Σ,
то множество предложений сигнатуры Σ, истинных на всех системах
из К, называется элементарной теорией К или просто теорией К и
обозначается через Th(K).
Отметим очевидное свойство теорий: если К\ С К2 — классы
алгебраических систем сигнатуры Σ, то Th(K2) Q ΊΊι(.ΚΊ).
Предложение 5.2.1. Пусть К — класс алгебраических систем
сигнатуры Σ.
а). Класс К аксиоматизируем тогда и только тогда, когда К =
= Къ(ТЦК)).
б). Существует минимальный по отношению к включению С
аксиоматизируемый класс К\ сигнатуры Σ, содержащий К.
Доказательство, а). Пусть К — K%(Z). Так как Ζ С Th(K),
то Kz(Th(K)) С К. Обратное включение К С K^(Th(K)) очевидно.
б). В качестве К\ нужно взять K^(Th(K)). В самом деле, если
К2 — аксиоматизируемый класс сигнатуры Σ и К С К2, то Th(K2) <Ξ
С Th(if). Следовательно, КЕ(ТЦК)) С KE(Th{K2)) = К2. Π
Будем говорить, что класс К алгебраических систем замкнут
относительно элементарной эквивалентности (изоморфизмов,
подсистем, ультрапроизведений и др.), если вместе с алгебраическими
системами 2Ц, г Ε /, он содержит все элементарно эквивалентные им
системы (все изоморфные им системы, все их подсистемы,
ультрапроизведение D-ргосШг и др.). Приведем одну полезную характеризацию
аксиоматизируемых классов.
Теорема 5.2.2. Класс К алгебраических систем сигнатуры Σ
аксиоматизируем тогда и только тогда, когда он замкнут
относительно элементарной эквивалентности и ультрапроизведений.
Доказательство. Пусть К — аксиоматизируемый класс.
Очевидно, что К замкнут относительно элементарной эквивалентности.
Замкнутость К относительно ультрапроизведений следует из теоремы
3.3.5. Пусть К замкнут относительно элементарной эквивалентности
и ультрапроизведений. Достаточно показать, что K^(Th(K)) С К.
Пусть 21 Ε K^(Th(K)). Для каждого Φ Ε Th(2l) рассмотрим множества
иФ = {Ф Ε ТЬ(Я) | >Ф —► Ф}. Ясно, что семейство X = {иФ | Φ Ε
Ε Th(2l)} будет центрированным. По предложению 2.3.2 существует
такой ультрафильтр D на множестве Th(2l), что X С D. Для любого
Φ Ε Th(2l) существует система 93ф Ε К, на которой истинно Ф, так как
в противном случае ^Ф Ε Th(K), что противоречит 21 Ε K^(Th(K)).

154
Гл. 5. Теория моделей
Покажем, что 51 ξ Г)-ршс1<Вф, и этим теорема будет доказана. Если
51 \= Фо, то <В# \= Фо для всех Φ е ?/φ0. Так как ?/φ0 G Д то по теореме
3.3.5 получаем D-ртоаЪф \= Фо- Если 21 [= Фо не имеет места, то
51 [= ^Фо и по только что доказанному Ό-ρτοά^φ \= ^Фо.
Следовательно, Ό-ρτοάΐβφ \= Фо не имеет места. D
Предложение 5.2.3. Пересечение любого множества
аксиоматизируемых классов сигнатуры Σ и объединение конечного числа
аксиоматизируемых классов сигнатуры Σ являются
аксиоматизируемыми классами.
Доказательство. Если Κι = K^(Zi), г е /, то очевидно, что
Π Ki = ΚΈ ( (J ZiJ. Пусть ^ = ΚΈ(Ζ{) иК2 = ΚΈ{Ζ2). Рассмотрим
iei \iei J
множество Ζ = {ΦνΦ|Φ6Ζι,Φ6 Ζ2}. Покажем, что Κ\ U Κ2 =
= ΚΈ(Ζ). Включение Κ\ U Κ2 С 1ΓΣ(Ζ) очевидно. Пусть 51 £ #Ί U ϋΓ2
и сигнатура 51 равна Σ. Тогда существуют такие Фо £ Ζ\ и Фо £ ^2,
что 51 (= ^Ф0 Л "Ф0. Так как Ф0 V Ф0 G Z, то 51 φ ΚΈ(Ζ). D
Определение. Если К — класс алгебраических систем к К =
= Κ·ς(Ζ) для некоторого конечного множества аксиом Ζ, то класс К
называется конечно аксиоматизируемым.
Заметим, что если К конечно аксиоматизируем, то, взяв
конъюнкцию конечного множества Ζ аксиом для К, получим множество аксиом
{Ф} для К, состоящее из одного предложения Ф.
Если К — класс алгебраических систем сигнатуры Σ, то через К
обозначим дополнение К в классе К^(0) всех систем сигнатуры Σ.
Предложение 5.2.4. Пусть К — класс алгебраических систем
сигнатуры Σ. Класс К является конечно аксиоматизируемым тогда и
только тогда, когда К и К являются аксиоматизируемыми.
Доказательство. Если класс К конечно аксиоматизируем, то
К = К^({Ф}) для некоторого предложения Φ сигнатуры Σ. Тогда
К = ^Σ({"Φ}). Пусть К и К аксиоматизируемы. Так как К Π К = 0,
К = Кя(ТЪ.(К)) и К = Κ·ς(ΤΙι(Κ)), то по теореме компактности
существуют такие конечные множества X С Th(K) иУС Th(K), что X U Υ
не имеет модели. Так как Th(K) и Th(K) замкнуты относительно
взятия конъюнкций, то можно считать, что X = {Ф} и Υ = {Φ}. Так
как Φ Λ Φ — тождественно ложная формула, то на всех моделях 51
множества {Ф} истинно предложение ""'Ф, т. е. 51 φ К и, следовательно,
51 G К. Значит, К = ΚΈ({Φ}). D
Определение. Формула Φ называется ^/-формулой (3-формулой,
V3-формулой), если Φ = Vzi ...ν^Φ (Φ = 3ζι ...Зж^Ф, Φ =

§ 5.2. Аксиоматизируемые классы
155
= Vx\ ...VzfcEh/i... 3?/ПФ), где Ф — бескванторная формула. Класс
К алгебраических систем называется ^/-аксиоматизируемым
(3-аксиоматизируемым, УЗ-аксиоматизируемым), если К = Κς(Ζ),
где Ζ — множество V-предложений (3-предложений, \/3-предложений)
сигнатуры Σ.
Предложение 5.2.5. а). Пусть Ф(х\,...,Хк) — У-формула
(3-формула) сигнатуры Σ, 51 с 03 — алгебраические системы
сигнатуры Σ, αϊ,... ,α& Ε А 7Ъгда мз истинности Ф(а\,... , α^) β 03
(β 51) следует истинность Ф(аь... ,α^) β 51 (β 03).
б). Пусть {%i \ г е 1} — направленное семейство алгебраических
систем сигнатуры Σ w УЗ-предложение Φ сигнатуры Σ истинно во
всех 2Ц, г Ε J. 7Ъгда Φ истинно в 51 = (J 51;.
Доказательство, а). Так как значение £а[7] терма £ при
интерпретации 7 в Л совпадает со значением №[у]> то а) выполняется
для атомарных формул Ф. Для бескванторных формул утверждение а)
получается индукцией по длине Ф. Теперь остается лишь
воспользоваться определением истинности формул с кванторами V и 3.
б). Пусть предложение Φ = Ух\ ...УхкЗу\ ...3yn4f(x\,... ,Xk>y\, ···
...,Уп), где Φ — бескванторная формула, истинно на всех 51^, г Ε /.
Возьмем произвольные a\,...,ak Ε А. Тогда a\,...,ak Ε Α для
некоторого г Ε / и, следовательно, 51; |= Зг/ι ...Зг/пФ(аь ...,аь,г/ь...,г/п).
Так как 51; С 51, то в силу а) имеем 51 \= Зу\... ЗупФ(а\,...,α^, г/ь ...
...,Уп). □
Лемма 5.2.6. Пусть Г — множество предложений сигнатуры Σ
w Φο(ζι,... ,£&) — формула сигнатуры Σ. £а/ш для любых моделей
51 С 03 множества Г, имеющих сигнатуру Σ, w любых а\,... ,α^ Ε Л
^з истинности Фо(аь · · · >α&) β 03 (β 51) следует истинность Φο(αι, ·· ·
... ,α/e) β 51 (β 03), mo существует У-формула {3-формула) Хо(жь...
..., я/-) сигнатуры Σ, для которой Г > (Фо —*· Хо) А (Хо —> Фо)·
Доказательство. Вместо и\,...,Uk пишем й. Пусть d — набор
новых констант, Φι = (^o)f, сигнатура Σ7 получается из Σ
добавлением символов констант из 5 и
Ζ = {Φ Ι Φ — V-предложение сигнатуры Σ7 и Г > Φι —> Φ}.
Рассмотрим множество ΓϋΖυ{^Φι}. Если оно несовместно, то
существуют Φο,...,Φη Ε Ζ такие, что Г>( Д Ф; —► Φι). Тогда
Г> ί Дф<-,фЛл|ф1-> ДфЛ

156
Гл. 5. Теория моделей
Пусть Do — дерево доказательства секвенции
Г0Ь I ДФ, -Φ^ΛίΦι- /\ф\
где Го — подходящая конечная последовательность элементов
множества Г. Так как эта секвенция не содержит свободных переменных, то
можно считать, что x\,...,Xk не встречаются в Д>. Сделаем
подстановку (£>о) ^ 1"."".". * ж ^ · Это снова дерево доказательства секвенции
Го Ь ( Д (ΦΟί - Фо ) Л ( Фо - Л (ф')1) ·
Остается заметить, что формула Д (Фг)| эквивалентна V-формуле.
Предположим, что ΓϋΖυ^Φι} совместно и 51 — модель этого
множества предложений. Установим, что Г U D(2l) > ""Φι.
Действительно, если *В — модель множества Г U D(2t), то существует
изоморфное вложение φ модели 21 в Ъ \ Σ'. Если бы в Ъ было
истинно Φι, то по условию леммы Φι было бы истинно и в подсистеме
<p(2l) Q ^3> а следовательно, и в 51, что невозможно. Итак, для всех
моделей *В для Г U D{%) имеем Ъ > ""Φι. По теореме о полноте
имеем Г U £)(2t) >'ΊΦι. Существуют конечная последовательность Го
элементов множества Г и предложения Хо, ...,Xn Ε D{%) такие, что
секвенция Го г- Д X; —> ""Φι доказуема. Заменяя константы вида са на
переменные, не входящие в формулы из Го и в Фо, и навешивая на эти
переменные кванторы существования, получим доказуемую секвенцию
Тогда доказуема секвенция
ΓοΚΦ,^νρ-ί Д(Х,)|«
ч г<п
Следовательно, Vy ^ Д (Х*)|° е Ζ, 211= Vy ^ Д (Х;)|° , что про-
у г^п / у г^п /
тиворечит тому, что Хо,...,Xn £ D{%).
Второй вариант леммы получается из первого заменой формулы Фо
на "Фо. □

§ 5.2. Аксиоматизируемые классы
157
Теорема 5.2.7. Пусть К — аксиоматизируемый класс
алгебраических систем сигнатуры Σ.
а). К 3-аксиоматизируем 4=> К замкнут относительно надси-
стем.
б). К У-аксиоматизируем 4=> К замкнут относительно
подсистем.
Доказательство. Утверждения => следуют из предложения
5.2.5.
а). Покажем сначала, что для любого предложения Φ G Th(K)
существует такое предложение Φ φ G Th(K), что >Фф —» Φ и для
любой пары 51 С 03 алгебраических систем сигнатуры Σ из 21 |= Фф
следует *В |= Ф. Предположим, что это не так, т. е. существует
такое Фо G Th(K), что для любого Φ G Th(K) существуют системы
21ψ С <В# сигнатуры Σ, для которых из >Ф —> Фо следуют 21ψ \= Φ
и <В# \= ^Фо- Пусть D — ультрафильтр на множестве Th(K),
содержащий центрированное семейство X = {u<& | Φ G Th(K)}, где
иф = {Ф G ТЬ(^) | >Ф —> Ф}. Рассмотрим системы 21о = D-ρτοά^ίφ и
ОЗо = .D-prod*B#. Так как 21ф С <Βψ для всех Φ G Th(K), то
существует 2li С <Во, 211 ~ 2to. Из теоремы 3.3.5, включения I С D и из
того, что 210 ~ 21ь получаем 2li G #Σ(Ήι(Κ)) = If и <В0 И "фо. Это
противоречит замкнутости К относительно надсистем.
Для любого предложения Φ G Th(K) по лемме 5.2.6 (полагаем Г =
= {Фф V ^Ф} и Фо = Ф) существует такое 3-предложение Хф, что
>(ФФ V -Ф) -> ((Ф -+ ХФ) Λ (Хф -+ Ф)).
Отсюда получаем, что Хф —> Φ — тождественно истинное предложение
и в силу {Ф, Фф} С Th(K) также Хф G Th(K). Следовательно,
множество 3-предложений {Хф | Φ G ТЬ(^)} будет системой аксиом для К.
Для того чтобы получить доказательство б), нужно в
доказательстве а) заменить 21 С <В и 21ф С <Вф на 03 С 21 и *Вф С 21ф
соответственно и применить другую часть леммы 5.2.6. D
Определение. Предложение вида Ух\ ...VzfcQ, где Q — атомарная
формула, называется тождеством. Предложение вида
Van ... Vxfc((Qi Λ ... Λ Qn) -> Q0), (5.3)
где Qo,Q\,·· ,Qn — атомарные формулы, называется
квазитождеством. Аксиоматизируемый класс К называется многообразием
{квазимногообразием), если существует система аксиом Ζ для К,
состоящая из тождеств (квазитождеств).

158
Гл. 5. Теория моделей
Так как тождество \/x\y...\/xkQ эквивалентно квазитождеству
\/х\ ...\fxk+\(xx+\ « Хк+\ -+ Q)y то многообразие является
квазимногообразием.
Систему Εγ, = ({0},νΕΣ) назовем единичной системой
сигнатуры Σ, если
vE* (s) = {0}^s) для всех seR. (5.4)
Условие (5.4) определяет систему Εγ однозначно, так как на
одноэлементном множестве для любого η е ω существует только одна
η-местная функция.
Предложение 5.2.8. а). Любое квазимногообразие К сигнатуры
Σ замкнуто относительно фильтрованных произведений и
содержит единичную систему Εγ.
б). Любое многообразие замкнуто относительно гомоморфных
образов.
Доказательство, а) Так как в Εγ истинно Qo(0, ...,0), для
любой атомарной формулы Qq(x\, ... ,Xk) сигнатуры Σ, то в Εγ, истинно
любое квазитождество (5.3). Для того чтобы показать замкнутость К
относительно фильтрованных произведений, достаточно показать, что
любое квазитождество (5.3) условно фильтруется по любому
фильтру D на множестве I. В силу леммы 3.3.3 достаточно показать, что
формула ((Q\ Л... AQn) —> Qo)(x\,... ,Xk) условно фильтруется по D.
Пусть /ι,..., fk e /-prod Ai и
Χ = {г Ι α» И ((Qi Л ... Л Qn) - Q0)(M..., /*t)} e D·
Предположим, что в /Э-ргосШ; истинно (Q\ Л ... Л Qn Л ~nQo)(Df\,...
...yDfk). Из лемм 3.3.4 и 3.3.3 получаем
У = {г | Я< HQi Л ... Л Qn)(/ii,..., /*г)} G £>
и Ζ = {г | 2ti |= Qo(f\i, ···, ΛΟΙ ^ ^· Очевидно, что Χ Π У содержится
в Ζ. Так как ШУЕ Д то Ζ G D - противоречие.
б). Пусть / — гомоморфизм 21 на ЯЗ. По предложению 3.2.1 б) для
любого терма t и интерпретации 7·' jFV(£) —> А имеет место
Д*ЯЫ)=**[7/].
Из этого равенства и определения гомоморфизма получаем, что
для любой атомарной формулы Q сигнатуры Σ. Поэтому в силу того,
что / отображает А на В, из истинности любого тождества Φ в 51
следует его истинность в 03. D

§ 5.2. Аксиоматизируемые классы
159
Теорема 5.2.9. Для ^/-аксиоматизируемого класса К сигнатуры
Σ следующие условия эквивалентны:
\) К — квазимногообразие,
2) К замкнут относительно конечных декартовых произведений
и содержит единичную систему Е^.
Доказательство. 1)=>2) доказано в предложении 5.2.8,а).
Рассмотрим множество
W = {Ф | Φ — квазитождество сигнатуры Σ и Φ е Th(K)}.
Пусть 51 — модель W. Покажем, что каждое конечное
подмножество X С D(5l) имеет такую модель 53χ, что 53 χ \ Σ Ε К. Пусть
X = Υ U Z, где Ζ состоит из атомных предложений, a Y — из
отрицаний атомных. Если Υ = 0, то в качестве 53 χ можно взять Εγ,Α. Пусть
Υ = {"Qi,..., ^Qn}> Φ — конъюнкция элементов Ζ, если Ζ φ 0, и Ф
равно са ~ са для некоторого а е А, если Ζ = 0. Пусть са,,... ,cafc —
все константы из CU, входящие в Qi,... ,Qn,$, и Qj,... ,ζ)^,Φ'
получаются из Qi,...,Qn,$ соответственно заменой cai,...,cafc на
хь ... ,:££. Так как квазитождества Vzi ...Уя/ДФ —> Qj), q ^ г ^ η,
ложны в 51, то они не принадлежат W. Следовательно, существуют
такие системы 53ι,...,53η е К, что 53; \= (Ф Л "<2г)[7г]> 1 ^ г ^ п, для
некоторых 7г· {x\,...,Xk} —*· #г- Рассмотрим декартово произведение
53ι χ ... χ 53n Ei^H интерпретацию 7 переменных χι,...,^ в В, для
которой проекция 2(7) па г-ю координату равна 7г· Из леммы 3.3.4
получаем, что 53ι χ ... χ 53η (= (ΦΛ"ζ)ι Λ... A"Qn)[7]. Следовательно,
систему Ъ\ χ ... χ 53п можно обогатить до системы 53 χ сигнатуры
Σ,α, являющейся моделью X. Из доказательства теоремы 3.3.6
получаем, что существует ультрапроизведение 53 = Z)-prod53x, являющееся
моделью D{%). В силу предложения 5.1.10, а) существует такая
подсистема 53ι С 53 Г Σ, что 51 ~ 53ь Так как 53 Г Σ = £>-prod (53х Г Σ) и
53 χ ϊ Σ е if, то из теорем 5.2.2, 5.2.7 и из того, что 51 ~ 53ь вытекает,
что 51 G if. Таким образом, получили К = K^iW). D
Теорема 5.2.10. Для квазимногообразия К сигнатуры Σ
следующие условия эквивалентны:
1) К — многообразие',
2) if замкнут относительно гомоморфных образов.
Доказательство. 1)=>2) показано в предложении 5.2.86).
Пусть выполняется 2) и 51 — модель множества
Ζ = {Φ Ι Φ — тождество сигнатуры Σ и Φ е Th(if)}.

160
Гл. 5. Теория моделей
Рассмотрим множество
D~{%) = {"Φ G D(2l) I Φ — атомарная формула}.
Для любой формулы ^Ф из £>~(21) тождество \/у\ ...\/?/ηΦι сигнатуры
Σ, где Φ = {^\)yca'"Zca » ложно 21, поэтому оно не принадлежит Z.
Тогда существует 05# £ К и интерпретация 7ф · {у\, ··· ,Уп} —> ##, для
которых 05# |= ""Φι^φ]· Следовательно, 05ψ можно обогатить до
системы 05'ф сигнатуры Σα, являющейся моделью {"""Ф}. Рассмотрим
декартово произведение 05 = £>~(2l)-prod2J#. В силу предложения 5.2.8 а)
имеем 05 f Σ G К. По лемме 3.3.4 имеет место 05 \= """"Ф для любого
""""Ф G £)~(2t). Пусть 051 — подсистема 05, порожденная в 05 множеством
{^(са) | а G А}. По теореме 5.2.7 6) имеем 051 \ Σ е К. Определим
отображение h: В\ —> А следующим образом: если t(x\,... ,хт) — терм
сигнатуры Σ и *®(^®(св1),..., ^®(свт)) = ft, το h(ft) = ία(αι,... ,am).
Корректность определения /ι следует из импликаций:
«iMil^fcX^iCa,) «Λθ)=>
=* Г*1« *2)£;::Х ίί и~(а) =>я (= (и «*2)(а,,...,ат),
где ίι(χι,... ,жт) и £2(^1,... ,жт) — любые термы сигнатуры Σ. Цепь
импликаций, полученная из предыдущей заменой t\ « £2 на любую
атомную формулу Q(x\,...,Xm) сигнатуры Σ, также имеет место,
следовательно, h является гомоморфизмом 051 f Σ на 21. Из 2) получаем,
что 21 G К. Таким образом, показано, что К = K%(Z). □
Упражнения
1. Пусть К — аксиоматизируемый класс, содержащий системы как
угодно больших конечных мощностей. Показать, что класс К^,
состоящий из бесконечных систем класса К, является
аксиоматизируемым, но не является конечно аксиоматизируемым.
2. Показать, что в теореме 5.2.2 условие замкнутости
относительно элементарной эквивалентности можно заменить на
замкнутость относительно изоморфизмов и элементарных подсистем.
(Указание. В доказательстве теоремы 5.2.2 вместо Th(2l)
рассмотреть D*(2l).)
3. Показать, что любое квазитождество Φ эквивалентно
квазитождеству Φ в приведенной н. ф.
4. Утверждение, аналогичное упражнению 3, для тождеств не имеет
места. Найти многообразие, которое не имеет системы аксиом,
состоящей из предложений вида Ух\ ...\/xnQ, где Q — атомная
формула. (Указание. Рассмотреть многообразие с системой
аксиом {УжР(/(ж))}.)

§ 5.3. Скулемовские функции
161
§ 5.3. Скулемовские функции
Определение. Множество Τ предложений сигнатуры Σ, замкнутое
относительно выводимости (т. е. если Τ > Φ и Φ — предложение
сигнатуры Σ, то Φ е Т), называется элементарной теорией или просто
теорией сигнатуры Σ. Непротиворечивая теория Τ сигнатуры Σ
называется полной, если Φ е Τ или "'Φ е Τ для любого предложения
Φ сигнатуры Σ. Непротиворечивая теория Τ сигнатуры Σ называется
модельно полной, если 21 С Ъ ==> 21 -< Ъ для любых моделей 21,
Ъ теории Т, имеющих сигнатуру Σ. Формулы Φ и Φ сигнатуры Σ
называются эквивалентными относительно теории Τ сигнатуры Σ
(обозначаем ΦξΦ), если Τ > (Φ —> Φ) Λ (Φ —> Φ). Теория Т
сигнатуры Σ называется V'-аксиоматизируемой или универсально
аксиоматизируемой (^-аксиоматизируемой, ^^-аксиоматизируемой), если
существует такое множество Ζ С. Τ V-предложений (3-предложений,
\/3-предложений), что Ζ о Φ для любого Φ G Т. Такое множество Ζ
называется системой аксиом для теории Т.
Из следствия 4.5.8 вытекает, что теория Τ сигнатуры Σ
V-аксиоматизируема (3-аксиоматизируема, \/3-аксиоматизируема) точно
тогда, когда класс К = Κγ,(Τ) V-аксиоматизируем (3-аксиоматизируем,
\/3-аксиоматизируем), причем если Ζ — система аксиом для Κγ,(Τ), то
Ζ является системой аксиом для Т, и наоборот.
Теория Τ сигнатуры Σ называется теорией с элиминацией
кванторов, если любая формула Φ сигнатуры Σ эквивалентна относительно Τ
некоторой бескванторной формуле Ф. Очевидно, что непротиворечивая
теория с элиминацией кванторов модельно полна. С другой стороны,
модельно полная теория Τ является «почти» теорией с элиминацией
кванторов. А именно, имеет место следующая
Теорема 5.3.1. Для того чтобы непротиворечивая теория Τ
сигнатуры Σ была модельно полной, необходимо и достаточно, чтобы
любая формула Φ сигнатуры Σ была эквивалентна относительно
Τ некоторой Μ-формуле Χι и некоторой 3-формуле Хг.
Доказательство. Достаточность следует из предложения
5.2.5, а). Необходимость получаем из леммы 5.2.6, взяв в качестве Г
теорию Т. D
Конечно, в теореме 5.3.1 требование эквивалентности Φ некоторой
3-формуле Хг можно опустить, так как это следует из эквивалентности
~"Ф некоторой V-формуле.
Работать с формулами, содержащими кванторы, гораздо трудней,
чем с бескванторными. Поэтому теоремы теории моделей вида: дан-
6 Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин

162
Гл. 5. Теория моделей
ная теория Τ является теорией с элиминацией кванторов (является
модельно полной) — очень важны. Сейчас мы изложим некоторую
конструкцию, впервые предложенную Т. Скулемом, позволяющую любую
теорию расширять до V-аксиоматизируемой модельно полной теории.
Определение. Если Σ — сигнатура, то сигнатура Σ5 получается
из Σ добавлением новых η-местных функциональных символов /ф для
каждой формулы Φ = ЗжФ сигнатуры Σ, начинающейся с квантора
существования и имеющей η свободных переменных. Через S обозначим
множество предложений
\/Х\ ...УХП(Ф(Х1,...,ХП) -> Ф(/ф(Ж1,...,Жп),Я1,...,Жп))
для всех формул Ф(х\,... ,хп) = ЗхЧ?(х, х\,... ,хп) сигнатуры Σ со
свободными переменными х\,...,хп, выписанными в порядке
расположения их первых свободных вхождений в формулу Ф. Если Τ — теория
сигнатуры Σ, то через Ts обозначим теорию
{Ф | Φ — предложение сигнатуры Σ5 и Τ U S > Φ}.
Сигнатура Σ5 (теория Ts) называется скулемизацией сигнатуры Σ
(теории Т). Модель 515 теории (ТЬ(51))5, имеющая сигнатуру Σ5,
называется скулемизацией системы 51 сигнатуры Σ, если 515 \ Σ = 51.
В отличие от Σ5 и Ts скулемизация 515 не определяется по 51
однозначно, две скулемизации 51 могут быть даже не элементарно
эквивалентными (см. упражнение 1), более того из упражнения 1
вытекает, что Ts почти всегда не полна.
Предложение 5.3.2. а). Пусть Τ — теория сигнатуры Σ, 03 —
модель теории Ts и 51 С 03. Тогда 51 \ Σ -< 03 \ Σ.
б). Любая алгебраическая система 51 имеет некоторую скулеми-
зацию 515.
Доказательство, а) следует непосредственно из предложения
5.1.4. Докажем б). Если Φ = ЗФ(ж,х\,...,хп), то для а\,... ,ап е А
берем в качестве значения ^а(/ф)(аь..., αη) элемент ао G А, для
которого 51 \= Ψ(αο,αι,... , αη), если такой ао G Л существует, и
произвольный элемент а е А, если такой ао не существует. D
Из предложения 5.3.2 сразу получается теорема 5.1.9. В качестве
03 в этой теореме нужно взять Ъ\ \ Σ, где 03ι — подсистема 515,
порожденная множеством X.
Скулемизация позволяет «убирать» кванторы у формул старой
сигнатуры Σ. Однако в формулах новой сигнатуры Σ5 они «остаются».
Чтобы избежать этого неудобства, «замкнем» процесс скулемизации.

§5.4. Механизм совместности
163
Определение. Пусть Σ — сигнатура и Τ — теория сигнатуры
Σ. Определим сигнатуры Ση5 и теории Τη5, η е ω, по индукции:
Σ05 = Σ> Т05 = Т) Σ(η+1)5 = (£jn5)5f Γ(η+1)5 = (Т^)^. Сигнатура
Σ05 = (J Ση5 (теория Тс5 = |J TnS) называется полной скулемиза-
цией сигнатуры Σ {теории Т). Алгебраическая система 21е5
сигнатуры Y*cS называется полной скулемизацией системы 21 сигнатуры Σ,
если 51е5 \ Σ = 21 и 21е5 - модель (Th(2l))c5.
Предложение 5.3.3. а). Любая алгебраическая система 21 имеет
некоторую полную скулемизацию 21с5.
б). Пусть Τ — непротиворечивая теория сигнатуры Σ. Тогда
теория TcS является универсально аксиоматизируемым моделъно
полным расширением Τ и для любой модели 21 теории Τ существует
модель 2li теории TcS такая что 211 f Σ = 21.
Доказательство, а). В силу предложения 5.3.2,6) существуют
такие системы 21η5, η е ω, что 2105 = 21 и 2ΐ(η+1)5 является
скулемизацией 2tn5. Пусть 21е5 = (Α,ν®° ) — система сигнатуры Ес5, где ν^°
совпадает с ν^ на символах из Ση5. Ясно, что 21е5 будет полной
скулемизацией 21.
б). Пусть 21 — модель TcS сигнатуры Ес5 и 03 С 21. Из
предложения 5.3.2, а) получаем, что Ъ \ Ση5 -< 21 \ Ση5 для любого η е ω.
Так как Σ°5 = |Jnea;En5, то получаем <В -< 21. Следовательно, Тс5
модельно полна и в силу теоремы 5.2.7 класс K^cs(TcS) является
V-аксиоматизируемым, т.е. K^cs(TcS) = K^cs(Z), где Ζ — множество
V-предложений сигнатуры Ес5. Тогда Ζ — система аксиом для TcS.
Второе утверждение в б) следует из a). D
Упражнение
1. Показать, что для того чтобы, все скулемизации системы 21 были
элементарно эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы 21
было одноэлементно. (Указание. Рассмотреть различные
значения ι/21 (/ф) для Φ = Зг>о(г>о ~ vq Α υ\ &υ\).)
§ 5.4. Механизм совместности
Механизм совместности имеет, в основном, методическое значение.
Он позволяет выделить общую часть в многих теоремах,
доказательство которых связано с построением моделей. В этом параграфе мы
докажем несколько таких теорем. Всюду в дальнейшем предполагается,
что сигнатура Σ имеет конечную или счетную мощность.
6*

164
Гл. 5. Теория моделей
Определение. Для формулы Φ сигнатуры Σ определим формулу Ф-1
следующим образом:
1) если Φ — атомарная формула, то Ф-1 = "'Ф,
2) (-Ф)- = Ф,
3) (Φι -> Ψ2Γ = ΦιΛ~,Ψ2,
4) (Φι ΛΦ2)", = ",Φι ν^Φ2,
5) (Φι νΦ2Γ = ~'Φι Λ"Φ2,
6) (ЗжФ)"1 =Уж",Ф,
7) (УхФ)-1 = Зя^Ф.
Из определения Ф-1 видно, что Φ-1 ξ ""Φ. Обозначим через Σ°
сигнатуру, полученную из сигнатуры Σ = (R, F, μ) добавлением счетного
множества С новых констант. Константу сигнатуры Σ° и терм вида
/(ci,..., сп), где ci,...,cn G С и / G F, будем называть базисным
термом сигнатуры Σ°.
Определение. Множество 5 конечных или счетных множеств
предложений сигнатуры Σ° называется механизмом совместности
сигнатуры Σ, если для каждого s G 5 выполняются следующие условия:
(С1) включение {Φ,^Φ} С 5 не имеет места ни для какого
предложения Ф;
(С2) "Ф G s ==> (s U {Ф"} С s\ для некоторого si G 5);
(СЗ) Φ —> Φ G s ==> (s U {Φ} С s\ или s U {^Ф} С sj для некоторого
si G 5);
(С4) Φ Λ Φ G s ==> (5 U {Ф} С si и s U {Ф} С s2 для некоторых s\,S2 G
G5);
(С5) Φ V Φ G s ==> (s U {Φ} С s\ или s U {Φ} С s\ для некоторого s\ G
G5);
(C6) УжФ G s =>(для любого с G С существует такое s\ G 5, что s U
и{(Ф)*}с51);
(C7) ЕЬФ G s =>· (s U {(Ф)с} <Ξ 5i для некоторого с G С и некоторого
si G 5);
(С8) (ci,c2 G С и ci ~ c2 G s) =>· (s U {c2 « ci} С si для некоторого
51 G 5);
(С9) если с G С и £ — базисный терм сигнатуры Σ°, то выполняются
два условия:
а) s U {d « ί} С si для некоторого d e С и некоторого si G 5,
б) {с « £, (Φ)?} С s => (s U {(Ф)с} ί 51 для некоторого si G S).
Множество S будем называть механизмом совместности, если оно
является механизмом совместности некоторой сигнатуры Σ.

§ 5.4. Механизм совместности
165
Предложение 5.4.1. Пусть Τ — непротиворечивая теория
сигнатуры Σ. Тогда множество S таких конечных множеств s
предложений сигнатуры Ес, что Τ U s совместно, является механизмом
совместности.
Доказательство. Проверим условие (С7). Проверку
остальных условий оставляем читателю в качестве легкого упражнения.
Пусть множество TUsU {(Ф)с} несовместно для константы с G С,
не входящей в элементы s U {Φ}, и D — доказательство секвенции
Φι,...,Φη,(Φ)£ l· # где {Φι,...,Φη} С TUs. Используя обычный
прием: заменяя константу с во всех секвенциях из D на переменную
у, не встречающуюся в элементах D, получаем доказательство D\
секвенции Фь ..., Фп, (Ф)* h #. Применяя правило 16, получаем
доказуемость Фь ...,Фп,Зг/(Ф)* h #. Так как ЗяФ и Зу(Ф)* конгруэнтны,
то множество TUs несовместно, если ЗжФ Gs. Π
Предложение 5.4.2. Пусть S — механизм совместности и s e S.
а). {Ф, Φ —» Φ} С s ==> (s U {Φ} С s\ для некоторого s\ G S).
б). Для любого с е С существует такое s\ G S, что s U {с и с} С
Csi.
в). (c,d,e е С и {с « d, d « е} С s) ==> (s U {с и е} С sj йля яе/со-
торого s\ G 5).
г). 5' = {s' | s' С s G 5} — механизм совместности.
Доказательство, г) очевидно, а) следует из (СЗ) и (С1), в)
следует из (С9),б), если в качестве Φ взять χ и е, а в качестве £ —
константу d. Докажем б). В силу (С9),а) имеем s U {d « с} С sj для
некоторой константы d G С и si G 5. Из (С8) получаем sU{d^c,c«
« d} С si для некоторого si G 5. Теперь применяем в) и получаем
sU{d^c,c«d,c«c} С s\, для некоторого si G 5. D
Алгебраическую систему 21 сигнатуры Σ° назовем канонической,
если 1/т(С) = Л, т.е. любой элемент а е А является значением
некоторой константы с G С.
Теорема 5.4.3. Если S — механизм совместности сигнатуры Σ
и s* G 5, mo s* имеет каноническую модель 21 сигнатуры Σ°.
Доказательство. Рассмотрим класс S" = {sf С 5 | 5 G 5},
который по предложению 5.4.2, г) является механизмом совместности.
Пусть
Φ0,Φι,...,Φη,... (пей)
— нумерация всех предложении сигнатуры Ес и

166
Гл. 5. Теория моделей
— нумерация всех базисных термов сигнатуры Ес. Индукцией по η G ω
будем строить последовательность
50 Я S\ С ... С Sn С ...
элементов S". Полагаем so = 5*. Если η = ЗА:, то по (С9),а) находим
такую константу с G С, что sn U {с « £&} € S", и полагаем sn+i = sn U
U {с и tk}. При η = 3fc + 1 полагаем sn+i = sn U {Ф&}, если sn U {Ф^} G
G S", и sn+i = sn в противном случае. Пусть п = Зк + 2. Если Ф& =
= За; Φ и Фк G sn, то полагаем sn+i = sn U {(Φ)*} £ S7 для некоторой
с G С В противном случае полагаем sn+i = sn. Рассмотрим множество
$ω = U sn· Из построения δω вытекает следующий факт:
(*) одноэлементное множество {βω} является механизмом
совместности.
На множестве С определим отношение ~:
с~ d <=> с& d e Su;.
В силу (С8) и предложения 5.4.2,6), в) отношение ~ является
эквивалентностью на множестве С. На множестве А = {с \ с — класс
эквивалентности по отношению ~, содержащий с G С} определяем
интерпретацию i/a сигнатуры Ес = (R,FC\μ°) следующим образом:
^(Жсь···.^) = с <=> с& Дсь...,сп) G 5ω,
(ci,..., с^) G 1/я(г) <=Ф г(сь...,сп) G 5с,
где / G Fc, г € Д, мс(Л = мс(г) = п. Из (*) и (С9),б) следует,
что эти определения корректны. Пусть, например, с\ и /(сг,сз), С4 «
~ /(с5»св)» с2 ~ Сб и сз ~ с% принадлежат su. Применяя (*) и (С9),б),
получаем с^ « f(c2,ce) G δω. Еще два раза применяя (*) и (С9),б),
получаем с± и /(сг, сз) Ε θω и С4 ~ ci Ε δω.
Так как i/a(c) = с для с G С, то 51 = (Л, ι/21) является канонической
системой. Покажем теперь, что для любого предложения Φ сигнатуры
имеет место
Φ е зш => 51 \= Ф. (5.5)
Отсюда будет вытекать, что 51 — модель s*. Если Φ = с « t для
базисного терма t, с G С, Φ = r(ci,..., сп) для г G Д, ci,..., сп G С,
или Φ есть отрицание таких формул, то (5.5) следует из определения
i/a, (*) и (С1). Если t « с G δω, где ί — базисный терм, с е С, то
из (*) и (С9),а) получаем d & t e βω для некоторого d e С. Тогда
по (*) и (С9),б) имеем d ^ с G 5^. Следовательно, 51 f= ί « с. Пусть
^ί « с Ε θω, где ί - базисный терм, с е С. Если в 51 ложно "'ί « с,

§ 5.4. Механизм совместности
167
то по определению 21 имеем с ^ t Ε su. Из (*) и (С9),б) получаем
~Ό& с е βω. В силу (*) и предложения 5.4.2,6) это противоречит (С1).
Таким образом, мы показали истинность (5.5), если Φ — атомарное
предложение или отрицание атомарного и число п(Ф) символов
сигнатуры Σ, входящих в Ф, не больше 1. Пусть Φ Ε su — атомарное
предложение или отрицание атомарного и п(Ф) > 1. Тогда существует
базисный терм t <£ С, входящий в Ф. По свойствам (*) и (С9),а)
имеем d « t Ε s^ для некоторого d Ε С. Из (*) и (С9), б) следует, что
формула Фь полученная из Φ заменой t на d, принадлежит su. Так как
п(Ф\) < п(Ф), то по индукционному предположению Φ истинно в 21.
Для остальных предложений Φ сигнатуры Ес утверждение (5.5)
получается непосредственно из (*) и (С2)-(С7) индукцией по длине Ф. D
Определение. Множество S конечных или счетных множеств
предложений сигнатуры Σ° называется механизмом совместности
сигнатуры Σ без равенства, если S удовлетворяет условиям (С1)-(С7) и
предложения, входящие в элементы 5, не содержат равенства.
Теорема 5.4.4. Пусть сигнатура Σ не содержит символов
функций и констант, S — механизм совместности сигнатуры Σ без
равенства. Тогда любое s* Ε S имеет каноническую модель сигна-
туры Ес.
Доказательство. Рассмотрим множество X = {с и с | с Ε С}
и класс S' = {s U X \ s Ε S}. Очевидно, что S' является механизмом
совместности сигнатуры Σ. По теореме 5.4.3 множество s*Ul имеет
каноническую модель сигнатуры Σ°. D
Следующая теорема является обобщением теоремы 5.4.3, которое
нам понадобится в дальнейшем.
Теорема 5.4.5. Пусть S — механизм совместности сигнатуры
Σ, Xif г Ε ω, — конечные или счетные множества предложений
сигнатуры Σ° и Τ — непротиворечивая теория сигнатуры Σ. Пусть
для любых s Ε 5, Φ еТ и г Ε ω существуют такие Φ Ε Χι и s\ E S,
что sU {Φ, Φ} С s\. Тогда для любого s* e S существует такое
множество X предложений сигнатуры Σ, что s* U X U Τ имеет
каноническую модель 51 и Χ Π Χι φ 0 для любого г е ω.
Доказательство. Рассмотрим класс S' = {sU Τ \ s E S}. Легко
проверяется, что S' — механизм совместности. Например, пусть ЗжФ Ε
EsUT и s Ε S. Если ЗжФ Ε 5, то в силу (С7) имеем s U {(Φ)£} U
U Τ С si U Τ для некоторого si Ε 5. Если ЗжФ Ε Τ, то по условию
теоремы существует такое s\ Ε 5, что sU {ЗжФ} С sj. Опять по (С7)
имеем s\ U {(Φ)£} Q «2 для некоторых с Ε С и S2 Ε 5. Следовательно,
SUTUPJ}CS2UT. Пусть Φ0,Φι,...,Φη,... (η Ε α;) и t0,... ,ίη, ···

168
Гл. 5. Теория моделей
(п е ω) — нумерации всех предложений сигнатуры Ес и всех базисных
термов сигнатуры Ес.
По S' строим множество su = \J sn следующим образом. Множе-
ство so равно s* U Т, и sn+i для п, равных 4к, 4к + 1 или 4А; + 2,
определяем по 5' так же, как по 5 в теореме 5.4.3 строятся sn+i
для п, равных ЗА:, ЗА: + 1 или ЗА; -h 2 соответственно. Для η = 4к + 3
поступаем следующим образом: если sn = sfnL)T, s'n e S то по условию
теоремы существуют такие Φ е Хк и sn е S, что s^ U {Φ} С s';
полагаем sn+i =s;UT. Построение модели 51 то же самое, что и в теореме
5.4.3. В качестве X берем множество βω. D
Следствие (еще одно доказательство теоремы 4.4.2 о
существовании модели). Если множество Г формул сигнатуры Σ
непротиворечиво, то Г имеет модель.
Доказательство. В силу теоремы компактности достаточно
доказать теорему для конечного множества Г = {Φι,...,Φ&}.
Выполнимость и совместность Г равносильна соответственно
выполнимости и совместности предложения Φ = Зх\ ...Зхп(Ф\ Л ... Л Ф&), где
х\,...,хп — все свободные переменные, входящие в Φι,...,Φ&. Если
{Ф} непротиворечиво, то из предложения 5.4.1 получаем, что
существует механизм совместности S, для которого {Ф} е S. Теперь
применяем теорему 5.4.3 для s* = {Φ}. D
Определение. Множество Ζ формул сигнатуры Σ, свободные
переменные которых содержатся в множестве {ν\,... ,υη}, называется
η-типом сигнатуры Σ. Если Τ — непротиворечивая теория сигнатуры
Σ, то η-тип Ζ сигнатуры Σ называется главным в Т, если существует
такая формула Φ(υ\,...,υη) сигнатуры Σ, что Τ U {3υ\ ...3νηΦ}
совместно и Τ > Φ —> Φ для любой Ф е Ζ. Будем говорить, что η-тип Ζ
сигнатуры Σ реализуется в алгебраической системе 51 сигнатуры Σ,
если существуют такие элементы αι,...,αη € А, что 51 \= Φ(αι,... ,αη)
для любой формулы Ф(г>ь... ,vn) е Z. Если η-тип Ζ сигнатуры Σ не
реализуется в системе 51 сигнатуры Σ, то говорим, что Ζ
опускается в 51.
Следующая теорема называется теоремой об опускании типов.
Теорема 5.4.6. Если Τ — непротиворечивая теория сигнатуры Σ
и Zi, г е ω, — неглавные в Τ щ-типы сигнатуры Σ, то существует
модель Τ сигнатуры Σ, опускающая все типы Zi, г е ω.
Доказательство. Рассмотрим совокупность S таких
конечных множеств s предложений сигнатуры Σ°, что s U Τ
совместно. По предложению 5.4.1 множество S является механизмом
совместности. Пусть fi, ieu, — разнозначные отображения ω на CUi

§ 5.4. Механизм совместности
169
и д — разнозначное отображение ω на оА Определим множества Xk,
к е ω, следующим образом: если д{к) = (i,j) и fi(j) = (с\,... ,cni),
то полагаем Xk = {^(Ф)с1,'.'.'.','сп* Ι Φ £ ^г}· Предположим, что
условие теоремы 5.4.5 не выполнено. Тогда существуют такие so Ε S и
&о € ω, что θουΤϋ{Φ} несовместно для любого Φ Ε Х&0. Пусть
9(ко) = (io,l), /го(0 — (сь---»спг ) и Фо — конъюнкция всех элемен-
υ\,...,νη
тов so. Тогда {Фо} U Τ совместно и Τ > Фо —> (Ф)С1 Сп*° Для всех
Ф(г>ь... ,vni ) Ε Ζΐο. Пусть cni +ь ... yCm — все элементы С, отличные
от ci,...,Cn и содержащиеся в Фо. Пусть Φι — предложение,
конгруэнтное предложению Фо, не содержащее переменных v\y..., vm, и пусть
Фг — формула сигнатуры Σ, для которой (Фг)^,'.'",'^ = ^ь Покажем,
что Τ > Зг>Пг +ι ...Зг'тФ2 —> Φ для всех Φ Ε Ζΐο. В самом деле, пусть
21 ^= Ф2[7] для некоторой модели 51 теории Т, имеющей сигнатуру Σ, и
интерпретации 7· {^ь ··· ,^т} —*· А Рассмотрим такое обогащение 51'
системы 51 до сигнатуры Ес, что ν^ (с\) = Ί(υ\),... ,ν^ (сш) = ^(vm).
Тогда 51' t= Φι и из эквивалентности Φι ξ Ф0 получаем 51' [= Фо.
υι ,...,г;п.
Так как 51' — модель Τ и Τ > Фо —> (Ф)сь...,сПгго, то 21 [= Φ[7]. Таким
образом, 51 [= (Зг;п< +1... Зг>тФ2 —> Ф)Ы Для любой модели 51 теории Т,
любой формулы Φ е Zio и любой интерпретации 7· {^ι,...,νη. } —> Л.
Из следствия 4.5.8 тогда вытекает, что Τ \> 3vni + 1 ...Зг>тФ2 —*· Φ для
любого Φ е Zi0. Так как so UT совместно, то TU {3v\ ... 3i>w$2} также
совместно. Это противоречит тому, что Zio — неглавный Пг0-тип. Таким
образом, условия теоремы 5.4.5 выполнены, значит, существует такое
множество X предложений сигнатуры Ес, что Χ Π Χι φ 0, г е ω,
и существует система 51 сигнатуры Ес, являющаяся моделью TUX,
у которой любой элемент а е А является значением некоторой
константы се С. Так как для любого г Ε ω и любого кортежа (сь ..., cUi) Ε CUi
существует такое к Ε ω, что Xk = {"(Φ^Ζ'οΓ* Ι Φ £ ^г}, то 51 ί Σ
опускает все типы Ζ*, г € ω. D
Теорема об опускании типов является очень важным методом
построения моделей. Она дополняет теорему компактности, которая
применяется, в основном, тогда, когда нужно реализовывать совместные
типы. Применения теоремы 5.4.6 будут даны в § 5.6.
Вхождение символа q в формулу Ф, не содержащую связки —>,
назовем положительным (отрицательным), если число различных
подформул формулы Φ вида "'Ф, содержащих это вхождение,
является четным (нечетным). Обозначим через Σ+(Φ) и Σ~(Φ) множества
символов отношений сигнатуры Σ, имеющих соответственно
положительные и отрицательные вхождения в Ф. Например, если
Φ = ^/v\(^(3v2r(t\9V2) V ~1s(f2)) Λ ~,(~>(г;з,£2) Λι>ι « t\)),
где ίι,ί2 — термы, то Σ+(Φ) = {r,s}, Σ~(Φ) = {г}.

170
Гл. 5. Теория моделей
Следующая теорема называется интерполяционной теоремой
Крейга-Линдона.
Теорема 5.4.7. Пусть Φ, Φ — предложения сигнатуры Σ, не
содержащие связки —», и Φ > Φ. 7Ъгда
а) существует такое предложение X сигнатуры Σ, яе
содержащее связки —►, шо Φ > X, X > Φ, Σ+(Χ) С Σ+(Φ) Π Σ+(Φ) κ
Σ-(Χ)ςΣ-(Φ)ΠΣ-(Φ);
б) если Σ яе содержит символов функций и констант, Φ, Φ не
содержат равенства, а ^Ф и Φ обе недоказуемы, то в а) можно
потребовать, чтобы X яе содержало равенства.
Доказательство. Предложение X, удовлетворяющее условиям
утверждения а), назовем интерполирующим для пары (Φ, Φ).
а). Пусть S — множество конечных множеств s предложений
сигнатуры Σ°, не содержащих символа импликации, которые
удовлетворяют следующему условию: существуют такие s\ φ 0 и S2 φ 0, что
s = s\ U S2 и не существует интерполирующего предложения для пары
(Λδι»"Ί(Λδ2))· (Через Дя мы обозначаем конъюнкцию элементов s.)
Множество s\ при этом будем называть началом, a S2 - концом s.
Отметим, что начало и конец s определяются по s неоднозначно.
Проверим условия (С1)-(С9) механизма совместности. Так как
импликация не входит в элементы s G S, то (СЗ) тривиально выполнено. Если
предложение θ ι сигнатуры Σ° эквивалентно предложению ©2 G s G S
и Στ(θι) = Στ(θ2), τ G {+,-}, то очевидно, что sU{©i} G S. Отсюда
получаем условия (С2) и (С8). Пусть s G S, s\ — начало s, a S2 —
конец s.
(С1). Пусть {Θ,-1©} С s. Если {Θ,-1©} содержится в начале
(конце) s, то предложение \fv\~*v\ « v\ (предложение \/υ\ ν\ « v\) будет
интерполирующим для {/\s\,~y([\s2)), что противоречит условию.
Если θ G si и ^θ G 52 (""θ G si и θ G S2), то интерполирующим для
(Д si,""(Лs2)) будет предложение θ (предложение ""θ).
(С4). Пусть ©ι Λ ©2 G s\, и предположим, что существует
интерполирующее предложение X для ((Д s\) Л ©ь "'(Двг)) или для
((Д si) Л ©2,^(Д52)). Тогда из Д s\ > ©ι и /\s\ > ©2 получаем, что X
будет интерполирующим предложением для (/\s\,^(/\s2)), что
невозможно. Если ©ι Л ©2 G S2 и X — интерполирующее предложение
ДЛЯ (Л 51, ""((Д 52) A ©l)) ИЛИ ДЛЯ (Д Si, "((Д S2) Λ θ2)), ТО В СИЛу
~"(/\s2 Λ ©ι) > ~"(/\s2) и ~"{/\s2 Λ ©2) > "(Д 5г) формула X будет
интерполирующим предложением для (f\s\,^(/\s2)). Полученные
противоречия с условием показывают, что s U {©ι} G S и s U {©2} G 5.
(C5). Пусть ©ι V ©2 G si и Χι, Χ2 — интерполирующие предложения
для ((J\s\) Л©ь",(Д52)), ((Λ5ϋ Л©2,"(Д52)) соответственно. Тогда

§5.4. Механизм совместности
171
Χι V Хг будет интерполирующим предложением для (f\s\y~"([\s2)).
Если ©ι V ©2 G 52 и ХьХг — интерполирующие предложения для
(Л5ь~Ч(Л52) Λθι)), (Л5ь~Ч(Л52) Л©2)) соответственно, то Χι ΑΧ2
будет интерполирующим предложением для (/\s\y^(/\s2))
(С6). Пусть Ϋχθ G S2, с е С и X — интерполирующее
предложение для (Л*1Л(Л*2) Л (©)*). Так как ^((/\s2) Л (©)*) > ^(Д52), то
X является интерполирующим предложением для (Д5ь^(Д 5г)), что
невозможно. В случае VxO G 5ι аналогично получаем, что в качестве
начала s U {(©)£} можно взять 5i U {(©)£}, а в качестве конца — 52.
(С7). Пусть со G С не содержится в элементах s. Если 3χθ G s\
и X — интерполирующее предложение для ((Л50 Л (©)^, ""(Л 52)), то
из аксиомы 12 и правила 3 ИП! получаем, что ЗуХ\ будет
интерполирующим предложением для (Asi»^(As2)), где Χι не содержит
константу со, (Χι)^ = Х к у — переменная, не входящая в элементы
sU {X}. В случае, когда 3χθ G 52 и X — интерполирующее
предложение для (Д si, ""((Лs2) А (©)с0))> предложение УуХ\ будет
интерполирующим для (/\s\,^(/\s2)). В самом деле, /\s\ >\/уХ\ следует из
Д s\ > X, так как со не входит в Д s\. Из Xl> ^((/\s2) Л (θ)^) получаем
V?/Xi |> "(Д 5г) V V?/"(9)*. Если V?/Xi > "(Д52) не имеет места, то
существует модель 21 множества {\/уХ\, /\ 52}. Из предыдущего получаем,
ЧТО В 21 ИСТИННО \/?/~,(в)^. ЭТО ПрОТИВОреЧИТ 21 ^= Д 52 И ЕЬ© G 52.
(С9). Пусть с' G С не входит в элементы 5. Если X является
интерполирующим предложением для ((/\s\) Лс;« f(c\,... ,сп),^(Д 52)),
то X будет интерполирующим предложением для (Д s\, ""(Д 52)). Пусть
{СО « /(сь-.О^в)^^^)} С 5. ЕСЛИ (в)^(с1_Сп) G 5! И X -
интерполирующее предложение для ((/\s\) Л (в)^, ""(Д 5г)), то
интерполирующим для ((/\s\),^(/\s2)) будет предложение X в случае
со ~ /(ci,.r.,cn) G 5ι и предложение ^со ~ /(сь ...,сп) V X в случае
со ~ /(сь... ,cn) G 52- Если (Θ)·?, с^ч G 52 и X — интерполирующее
предложение для (/\s\t^((/\52) Λ (θ)^)), то интерполирующим для
(Л5ь"(Л52)) будет предложение X в случае со ~ /(сь... ,cn) G 52 и
предложение со « /(ci,..., сп) Λ X в случае со ~ /(ci,..., cn) G 5ι.
Итак, мы показали, что S — механизм совместности. Если бы а) не
имело места, то множество {Φ,^Ψ} принадлежало бы S. По теореме
5.4.3 множество {Φ,^Ψ} имело бы модель, что в силу следствия 4.5.8
противоречило бы условию Φ Ι> Φ.
Для того чтобы доказать б), нужно в определении S заменить слова
«предложение» на «предложение без равенства» и потребовать, чтобы
не имело места ни о^(Д^ι), ни >"(Д52). Тогда при проверке (С1)
случаи {Θ,~Ό} Csj и {θ,-1©} С S2 невозможны. Остальная проверка
условий (С1)-(С7) та же, что и в а). Следовательно, S — механизм

172
Гл. 5. Теория моделей
совместности без равенства. Затем применяем теорему 5.4.4 вместо
теоремы 5.4.3. D
Если в Φ или в Φ входит равенство, то в теореме 5.4.7 6)
потребовать, чтобы равенство входило в X только тогда, когда оно входит в
ФиФ, нельзя (см. упражнение 1). В оставшейся части параграфа мы
применим теорему 5.4.7 для характеризации предложений,
сохраняющих свою истинность при переходе к гомоморфным образам.
Определение. Если 21 — алгебраическая система сигнатуры Σ, то
отношение Ε на множестве А назовем конгруэнтностью на 21, если
оно является эквивалентностью на Л и для любых αϊ,... ,αη,6ι,...
...,ЬП G А, г е R, f G F, μ{τ) = μ(/) = η из (аь...,ап) G v*{r)
следует (fci,...,fcn) G v%{r) и из (a\,b\) G Ε,..., (an,bn) G E следует
(^a(/)(ai,..-,an)»^a(/)(i>i,...,bn)) £ Ε. Если Е — конгруэнтность на
системе 21 сигнатуры Σ, то определим новую систему 21/2? сигнатуры
Σ, которую назовем факторсистемой системы 21 по Е. Носитель
системы %jE состоит из классов эквивалентности аЕ = {Ь | (b, a) G Е}.
Интерпретация v®/E определяется так:
(а1Е,...,апЕ)е1У*/Е(г) <=> (01,...,0п)е1/я(г)(геЛ),
v*/E(f)(alE,...,anE) = v*(f)(au...,an)E(feF).
Проверку корректности этого определения, а также доказательство
следующего простого предложения мы оставляем читателю в качестве
упражнения.
Предложение 5.4.8. а). Пусть Φ — предложение сигнатуры Σ,
а Ф' получается из Φ заменой подформул t\ « £2 «α E(t\,t2), где Ε —
символ отношения, не входящий в R. Если 21 — система сигнатуры
Σ' Э Σ, Ε G R! и i/a — конгруэнтность на 21 f Σ, то
21 μ Φ' Ф=> 2l/i/*(£) μ Φ.
б). £с/ш £* — конгруэнтность на системе 21, mo отображение,
сопоставляющее элементу а е А элемент аЕ, будет
гомоморфизмом 21 на %jE. D
Формулу Φ назовем положительной, если она не содержит
импликации и все вхождения в Φ символов отношений и равенства являются
положительными. Будем говорить, что предложение Φ сигнатуры Σ
сохраняется при гомоморфизмах относительно предложения Φ
сигнатуры Σ, если из истинности Φ Λ Φ на системе 21 сигнатуры Σ следует
истинность Φ —> Φ на любом ее гомоморфном образе.

§ 5.4. Механизм совместности
173
Теорема 5.4.9. Пусть ФиФ- предложения сигнатуры Σ и
предложение Φ —> ^Ф недоказуемо. Для того чтобы Φ сохранялось при
гомоморфизмах относительно предложения Ф, необходимо и доста~
точно, чтобы Φ было эквивалентно относительно Φ некоторому
положительному предложению X (т. β. Φ о (Ф —> X) Л (X —> Ф)).
Доказательство. Необходимость. Так как Φ и Φ содержат
конечное число символов, то можно считать сигнатуру Σ = (R, F,/x)
конечной. Предположим сначала, что F = 0. Обозначим через Θ
конъюнкцию предложений
Vvi ...ννη("Υ(υι,...,νη) Vr,(vi,...,vn)), r G Я, μ(τ) = η,
и предложения
VviVv2CE(v\> ^2) V £7>ι, v2)),
где r' (r e R), Ε и Ε' — попарно различные символы, не
принадлежащие Я. Обозначим через Δ предложение сигнатуры, содержащей
лишь символы из RU {Е} и не содержащее импликации, истинность
которого на системе 21 равносильна тому, что и*(Е) — конгруэнтность
на 21 Г Σ. Пусть Фо и Фо получаются соответственно из Φ и Φ заменой
всех подформул вида χ « у на Е(х,у). Пусть Ф^, Φβ и Δ' получаются
соответственно из Фо, Фо и Δ заменой всех предикатных символов на
штрихованные. Если на системе 21 истинно предложение θ Λ Δ Λ Δ',
то v^{r) С ьг*{г') для г е R и г/*(Е) С г/*(Е')9 поэтому
отображение, сопоставляющее элементу аЕ элемент аЕ', будет гомоморфизмом
(21 \ Σ)/ι/*(#) на 2ii/i/2l(£,/), где 2ίι = (Л,1/я») - система сигнатуры
Σ, для которой v%l{r) = v%(r') (r e R). Отсюда, используя следствие
4.5.8, предложение 5.4.8 а) и условие теоремы, получаем, что имеет
место
Ф0 Л Фо Л Δ > "#0 V "θ V "Δ' V Φ'0.
Предположим, что Ο^Φο V ^θ V ""Δ7 V Φ'0. Заменив в доказательстве
символы г' на г для г Ε R и Е' на Еу получаем
>"Φ0ν"θι ν^ΔνΦο,
где ©ι получается из θ заменой г' на г для г е R и Е' на Е. Ясно,
что >θι, следовательно, ^Фо V ^Δ V Фо — тождественно истинное
предложение. Отсюда, используя тот факт, что Δ истинно на системах
21, у которых отношение vm(E) является равенством, получаем, что
Φ —> Φ также тождественно истинно. Поэтому в качестве X можно
взять предложение \/ν\ ν\ « υ\. Пусть теперь ^Φβ V ^θ V "Δ7 V Φό не
доказуемо. Предложение "'(Фо Л Фо Л Δ) также не доказуемо, так как
в противном случае в силу того, что Δ истинно на системах 21, у кото-

174
Гл. 5. Теория моделей
рых v*(E) является равенством, предложение Φ —> ^Ф также было бы
тождественно истинным, что противоречит условию о его
недоказуемости. Тогда по теореме 5.4.7,6) существует интерполирующее
предложение Хо, не содержащее равенства, для которого имеют место условия
Ф0 Л Ф0 Л Δ > Хо, Хо > "Φό ν^θν "Δ' V Ф£, Σ+(Χ0) С RU {Ε}, а
также Σ"(Χο) С Σ-(Ψ0 Λ Φο Λ Δ) Π Σ-^Φίι ν^θν ^Δ' V Φ'0) = 0.
Следовательно, Хо — положительное предложение сигнатуры Σι, которая
кроме символов Σ имеет лишь символ Е. Заменяя в выводе символы
г' на г для г е R и Е' на Е, получаем Х0 > "Фо V "θι V "Δ V Φο-
Так как >θι, то Хо > ^Фо V "Δ V Φο. Таким образом, мы
получили Φο,Δ > (Φο —► Хо) Л (Хо —> Фо). Так как Δ истинно на
системах 21, у которых отношение г/*(Е) является равенством, то
Φ > (Φ —> Χ) Λ (Χ —> Φ) для положительного предложения X,
полученного из Хо заменой подформул вида Е(х, у) на χ « г/.
Пусть теперь Σ = (R, {f\,...,/m},/x). Рассмотрим сигнатуру Σ7 =
= (йи {Fi,...,Fm},0,//), где Fi,...,Fm — попарно различные
символы, не принадлежащие β, //(г) = μ(τ) (г е R) и μ'(^) = μ(/ΐ) + 1,
tG{l,...,m}. Пусть Φο — предложение, выражающее в системах
сигнатуры Σ', что отношения Fi,...,Fm являются функциями 0. Пусть
Φι, Φι — предложения сигнатуры Σ, находящиеся в приведенной н.ф.,
эквивалентные соответственно предложениям Ф,Ф. Пусть Фг,Ф2
получаются соответственно из Φι, Φι заменой атомных подформул вида
2/« Л(ж1,...,жп), Л(ж1,...,жп) « ?/ на Fi(xi,...,a;n,2/). Ясно, что если
Φ сохраняется при гомоморфизмах относительно Ф, то Фг сохраняется
при гомоморфизмах относительно Фо Л Фг. Так как Σ' не содержит
символов функций, то по только что доказанному существует
положительное предложение Χι сигнатуры Σ', для которого имеет место
Фо Л Ф2 > (Фг -> Χι) Λ (Χι -> Ф2).
Используя следствие 4.5.8, получаем, что тогда справедливо
Ф>(Ф —Х)Л(Х-+Ф),
где X — положительное предложение сигнатуры Σ, полученное из Χι
заменой Fi(x\,... ,хп+\) на хп+\ « f(x\,...,xn).
Достаточность условия теоремы получается из следующих двух
фактов, которые проверяются непосредственно индукцией по длине X.
1) То есть Фо является конъюнкцией предложений
Уж ι ...VxniVyVz((Fi(xi,... ,xni,y) Л F(xi,... ,xn.,z)) ->
—► (у « ζ) ΛΥχι ...Vxni32/Fi(xi,...,Xnt,2/), г G {1,... ,m}, η» = μ(/ΐ).

§5.5. Счетная однородность и универсальность 175
1). Если h — гомоморфизм 21 на <В и Х(х\,..., хп) — формула, не
содержащая отрицания и импликации, то
2l(=X(oi On) =>93 μΧ(/ιαι,...,/ιαη).
2). Положительная формула X эквивалентна формуле Хь не
содержащей отрицания и импликации. D
Упражнения
1. Используя теорему 5.4.6, доказать, что для любого
счетного линейного порядка 21 без последнего элемента
существует такое собственное элементарное расширение <В (т. е. 21 -< 93
и А ф В), что 21 является начальным отрезком 05 (т.е. из
(b,a) G ^®(^) и α G Л следует Ъ Ε Л). (Указание. Добавить
в сигнатуру константы {с} U {са \ а Ε Л}, рассмотрев теорию
Τ с множеством аксиом D*(2l) U {""с « са | α G Л} и типы
^ь = {г>1 ^ сь] U {^г>1 и са \ а Е Л} и применить теорему об
опускании типов.)
2. Показать, что если в Φ или в Φ входит равенство, то в теореме
5.4.7 6) нельзя потребовать чтобы равенство входило в X только
тогда, когда оно входит в Φ и Ф. (Указание. Рассмотреть
Примеры С\ И С2 > r(ci) V ">(C2),r(ci) Л^Г(С2) > Ci « С2-)
3. Формулу Φ назовем отрицательной, если у формулы Φι,
полученной из Φ заменой всех ее подформул вида Φι —> Φ 2 на
""Φι V Φ 2 каждое вхождение символа отношения и равенства
является отрицательным. Показать, что доказуемые формулы не
могут быть отрицательными. (Указание. Отрицательная
формула ложна в £Έ·)
4. Из упражнения 3 вывести, что в теореме 5.4.9 условие
недоказуемости Φ —► ^Ф опустить нельзя.
§ 5.5. Счетная однородность и универсальность
Пусть Τ — теория сигнатуры Σ. Обозначим через jFn(E)
множество формул сигнатуры Σ со свободными переменными из множества
{υ\,...9υη}. Если Φ Ε jFn(E), то через ||Ф||г или просто через ||Ф||
обозначаем множество {Ф Ε Fn(E) | Τ > (Φ —► Φ) Λ (Φ —► Φ)}. Обозначим
через Q3n(T) булеву алгебру с носителем Вп(Т) = {||Ф|| | Φ Ε Fn(E)} и
следующими операциями:
а) ||Φ||υ||Ψ|| = ||Φν*||;
б) ||Ф||П||Ф|| = ||ФЛФ||;
в) ||Ф|| = |рФ||.

176
Гл. 5. Теория моделей
Корректность определения операций, а также проверку аксиом
1)-10) булевых алгебр оставляем читателю в качестве упражнения.
Пусть в этом параграфе все рассматриваемые алгебраические
системы и теории, если не оговорено противное, имеют сигнатуру Σ,
а мощность Σ конечна или счетна. Под моделью теории Τ мы будем
понимать модель Τ сигнатуры Σ. Пусть 21 — алгебраическая система
сигнатуры Σ и αι,...,αη Ε Л. Типом набора (αι,...,αη) в 21 назовем
следующий п-тип:
Γ(α,αι,...,α„) = {Φ(υι,...,υη) | 21 μ Ф(аь ... ,αη), Φ Ε ,Ρη(Σ)}.
Если 21, <В — системы сигнатуры Σ, αι,...,αη Ε Л, b\,...,bn Ε В,
то равенство Т(21, а\,..., ап) = Т(93, Ь\,..., Ьп) будем обозначать также
через
(»,αι,...,αη) = (Β,6ι,...,6Λ).
Определение. Счетная алгебраическая система Σ называется
однородной, если для любых αϊ,... ,αη,6ι, ...,6η Ε Л и любого элемента
а е А из
(α,οι,...,α„) = (α,6ι,...,6η) (5.6)
следует
(21,αι,...,αη,α) = (21,6Ь ... ,ЬП,Ь) (5.7)
для некоторого 6 G Л.
Ясно, что если 21 — однородная система и X С А — конечное
множество, то система 21χ также является однородной.
Предложение 5.5.1. Для любой счетной системы 21 существует
счетное элементарное однородное расширение 93 >- 21.
Доказательство. Покажем сначала, что для любой счетной
системы 21 существует такое счетное элементарное расширение 21^) >- 21,
что для любых а\,..., αη, Ъ\,..., bn, a Ε А из (5.6) следует
(21^),аь...,ап,а) ξ (И*1*, Ьь...,Ь„, Ь> (5.8)
для некоторого Ь Ε Л^). Для каждого X = {<м,... ,αη} С Л определяем
множество
Д(-Х-) = {7: X -> Л | (21,аь...,ап) ξ (21,7аь... ,7«η>}.
Обозначим через R объединение всех R(X), где X — конечное
подмножество Л. Ясно, что R имеет счетную мощность. Расширим
сигнатуру Σα до Σι, добавив новые символы одноместных операций /7

§5.5. Счетная однородность и универсальность 177
для каждого η £ R. Рассмотрим следующее множество предложений
сигнатуры Σι:
г = Д*(Я)и{Уж(Ф(ж,Са,,---,Сая)^Ф(/7(ж).С7а1,...,С7ая)) |
7 E Д,аь...,ап Ε dom7, Ф(ж,2/1, ··· ,2/η) £ F(E)}.
Из определения множества Я следует, что каждое конечное множество
Z\ С. Ζ выполняется в некотором обогащении системы 21. Пусть 2li —
счетная модель Ζ и 21^) = 21ι Γ Σ. Так как 21 — модель £)*(21), то по
предложению 5.1.10а) можно считать, что 21 -< 21^^. Если выполняется
(5.6), то из истинности на 2ii предложений из Ζ следует выполнимость
(5.8) для b = f*l(a), где 7(^1) =Ъ\,... ,η(αη) = Ъп.
Определим последовательность систем {21* | г Ε ω} следующим
образом: 21о = 21, 21ΐ+1 = щ\ г е ω. По предложению 5.1.8 получаем
2lfc ^ 05 = IJ 21ь fc Ε ω, в частности, 21 -« 05. Так как !8 = U 2li, то 33 —
ΐζω
счетная система. Если αϊ,..., αη, 6ι,..., 6η, α G S и
(05,аь...,ап) ξ (05,&ι,... ,6η),
το αϊ,..., αη, 6ι,..., 6η, α Ε А* для некоторого г Ε α;. Так как 21; -< 05, то
имеем
(21;,αι,...,αη) = (21*, Ьь··· ,ЬП).
Из определения 2Q ' = 21;+1 получаем
(2ίΐ+ι,αι,...,αη,α) = (21;+ι,&ι,... ,bn,b),
для некоторого Ъ Ε Л^+ь Так как 2l;+i -< 05, то
(05,аь...,ап,а) = (05,&ь... ,&п,6).
Таким образом, 05 ^ 21 — счетная однородная система. D
Предложение 5.5.2. Пусть 21,05 — счетные однородные системы
сигнатуры Σ. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) 21-05,
2) в 21 w 05 реализуются одни и те же η-типы сигнатуры Σ,
η Ε α;.
Доказательство. 1)=>2) очевидно. Пусть выполняется 2).
Занумеруем А и В. А = {at \ г е ω}, В = {bi \ г Ε α;}. Индукцией по η Ε α;
построим конечные отображения /п: Ап —► Б, Лп С Л, со следующими
свойствами:
ап) если η ^ 0, то /η_ι С /п;

178
Гл. 5. Теория моделей
бп) если η = 2к + 1, то а^ е Ап\
вп) если η = 2(к + 1), то 6fc e fn(An)\
гп) если Лп = {ei,...,em}, то
(21,еь...,еш) ξ (05,/neb...,/nem).
Для /о = 0 условия ао) - во) тривиально выполнены. Условие го)
следует из 2), так как Th(2l) является 0-типом. Пусть η = 2к + 1 и
Лп_1 = {ei,...,em}. По индукционному предположению имеем
(2l,ei,...,em) ξ (05,/n_iei,... ,/n_iem). (5.9)
Из условия 2) получаем, что тип Т(21, еь... ,ет,а^) реализуется
в 05, поэтому
(2l,eb...,em,afc) ξ (05,db... ,dm+i) (5.10)
для некоторых di,...,dm+i Ε Б. Из (5.9) и (5.10) получаем
(05,di,...,dm) = (®,/n-ieif...,/n-iem)
поэтому в силу однородности 05 существует такой b e В, что
(93,di,...,dm+i) ξ (95,/n-iei,...,/n_iem,b).
В силу (5.10) тогда имеем
(2l,eb...,em,afc) ξξ (05,/n_iei,... ,/n_iem,6),
следовательно, отображение fn = /n_i U {(аь&)} будет удовлетворять
условиям ап)-гп). Случай η = 2(k + 1) рассматривается аналогично.
Из условий ап)-гп), η еш, получаем, что / = (J /п будет изоморфиз-
мом 21 на 05. D
Определение. Счетная алгебраическая система 21 сигнатуры Σ
называется универсальной, если для любого η Ε ω в ней реализуются
все совместные с Th(2l) η-типы сигнатуры Σ. Счетная алгебраическая
система 21 сигнатуры Σ называется насыщенной, если для любого
конечного X С А в 21χ реализуются все совместные с Th(2lx) 1-типы
сигнатуры Σχ.
Ясно, что совместность η-типа Ζ с Th(2l) равносильна локальной
выполнимости Ζ в 21. Очевидно, что счетное элементарное расширение
универсальной системы является универсальной системой. Ясно также,
что если система 21 насыщена, то система 21χ также насыщена для
любого конечного X С А.

§ 5.5. Счетная однородность и универсальность
179
Предложение 5.5.3. Для счетной алгебраической системы 21
следующие условия эквивалентны:
1) 21 насыщена,
2) 21 универсальна и однородна.
Доказательство. 1)=>2). Пусть система 21 насыщена.
Индукцией по η G ω покажем, что в 21 выполняется любой совместный
с Th(2i) η-тип Zo сигнатуры Σ. Если η = 1, то выполнимость Ζο
в 21 следует из определения насыщенности. Пусть η > 1. Рассмотрим
(п — 1)-тип
Ζ! = {3ν„(ΦιΛ...ΛΦ*) | Φι Φ*- eZ0}.
Так как Z\ локально выполним в 21, то по индукционному
предположению тип Z\ реализуется в 21 элементами αϊ,... ,αη_ι. Будем считать,
что ν\ не входит связано в элементы Ζο. В силу предложения 4.2.66)
достаточно рассмотреть только такие η-типы Ζο. Рассмотрим 1-тип
ζι = {(φ)?:;::!γ„^, Ι φ е ζ0}.
Ясно, что 1-тип Ζ2 локально выполним в 21{α, αη_ι}· В силу
насыщенности 21 существует элемент а е Л, реализующий в 21{αι αη_!} тип ^2·
Тогда η-тип Ζο реализуется в 21 элементами αϊ,... ,αη_ι,α.
Покажем однородность 21. Пусть αϊ,..., αη, b\,..., bn, a G А и
(2ί,αι,...,αη)Ξ(2ί,6ι,...,6η). (5.11)
Рассмотрим 1-тип
Ζ0 = {Φ(ν,) Ι α{β1.-.β„} f= Ф(о).Ф е ίΊ(Σ{αι._.βη})}.
Из (5.11) следует, что 1-тип
ζχ = {(Φι)^τ:Χ I ($i)S:;::X e2ο,Φι(*ι,...,*», «ο ef(e)}
локально выполним в 21^, &η}. Так как 21 насыщена, то Z\ реализуется
в 21{ь, ьп} элементом b Ε А Ясно, что тогда имеет место
(21,αι,...,αη,α) = (%Ь\,...,Ьп,Ь).
2)=И). Пусть 21 универсальна и однородна, аь...,апеЛ и
Ζο — локально выполнимый в 21{αι αη} 1-тип сигнатуры Σ{α, апу.
Без ограничения общности можно считать, что все связанные
переменные в элементах Ζο отличны от г>ь... ,г>п+ь Рассмотрим п-тип
Ζχ = Τ(21,αι,...,αη) и (η + 1)-тип
Ζ2 = Ζ! U {Φ Ι (Φ)^ΐχ-ί/ G Ζο,Φ^, ...,t;n+1) G F(E)} .

180
Гл. 5. Теория моделей
Из локальной выполнимости Zo в 21{α,,...,αη} следует локальная
выполнимость Ζ2 в 21. В силу универсальности 21 имеет место
выполнимость Ζ2 в 21 некоторыми Ьь... ,Ъп+\ £ А. Так как Ζ\ С Ζ2, то
(21,аь...,ап) ξ (21,bi ЬЛ>.
Из однородности 21 получаем
(2ί,αι,...,αη,α) ξ (21,6l ...,6„+ι)
для некоторого aGA Очевидно, что α реализует Zo в 21{αι,...,αη}· ^
Предложение 5.5.4. £с/ш 21 α Φ — счетные насыщенные
элементарно эквивалентные системы, то 21 ~ <В.
Доказательство. Предложение непосредственно следует из
предложений 5.5.2 и 5.5.3, так как в 21 и Φ реализуются все
совместные с Th(2i) = Th(<B) η-типы. D
Таким образом, между полными теориями Т, имеющими счетные
насыщенные модели, и счетными насыщенными моделями Τ
существует взаимно однозначное с точностью до изоморфизма соответствие.
В силу предложения 5.5.1 любая теория Τ имеет счетную однородную
модель. Однако не все теории Τ имеют счетную насыщенную модель
(см. упражнение 2). Следующее предложение характеризует полные
теории Т, имеющие насыщенные модели.
Предложение 5.5.5. Для полной теории Т, имеющей бесконечные
модели, следующие условия эквивалентны:
1) Τ имеет счетную универсальную модель;
2) Τ имеет счетную насыщенную модель;
3) для любого пей булева алгебра *Вп(Т) имеет счетное число
ультрафильтров.
Доказательство. 1)=>2). Пусть 21 — счетная универсальная
модель Т. По предложению 5.5.1 существует счетная однородная
модель *В >- 21. Из предложения 5.5.3 получаем, что <В — насыщенная
модель Т.
2)=>3). Пусть 21 — счетная насыщенная модель Τ, η Ε ω, и U —
ультрафильтр алгебры 95П(Т). Рассмотрим п-тип
Г(£/) = {Ф|||Ф||е^,Фе^п(Е)}.
Ясно, что T(U) — совместный с Τ η-тип. Так как 21 универсальна,
то существует набор a(U) = (αι,...,αη), который реализует тип T(U)
в 21. Если U\,U2 — два различных ультрафильтра 95П(Т), то для

§5.5. Счетная однородность и универсальность 181
некоторой Φ е Fn(E) имеем ||Ф|| е U\ и Ц'ФЦ е U<i. Следовательно,
a{U\) Φ а(%)· Таким образом, существует разнозначное отображение
множества всех ультрафильтров алгебры *8п(Т) в счетное множество
Ап. Это дает условие 3).
3)=М). Пусть {U™ \ г е ω} — множество всех ультрафильтров
Я$п(Т) и сигнатура Σι получается добавлением к Σ новых попарно
различных констант {с™'г | п,г G ω, 1 ^ j ^ п). Тогда счетное множество
предложений сигнатуры Σ:
X = Т U f (ΦΠ:Γνηη.* I nf i G ω; Φ G Γ(Ε^))
совместно. Пусть 21 — счетная модель X. Тогда 51 f Σ будет
универсальной моделью Т. В самом деле, пусть Zq — совместный с Τ η-тип
сигнатуры Σ. Тогда множество Υ = {||Ф|| | Φ G Zq) будет
центрированным множеством алгебры *ВП(Т). По предложению 2.3.2 существует
ультрафильтр Щ D Υ алгебры *Вп(Т). Так как Ζο С Г (С//1), то Ζο будет
реализовываться в 21 f Σ элементами ^а(с",г),..., 1/а(с£'г). D
Понятия однородной, универсальной и насыщенной счетной
системы легко обобщаются на другие мощности. В частности,
алгебраическая система 21 сигнатуры Σ называется я-насыщенной, где χ —
кардинал, если для любого множества X С. А мощности < χ в 21χ
реализуется любой совместный с Th(2lx) 1-тип сигнатуры Σχ. В
заключение этого параграфа мы приведем теорему, доказанную независимо
Ю.Л.Ершовым и Г. Дж. Кейслером.
Фильтр D на множестве I называется счетно полным, если для
любого множества {Χι \ г G ω} С D имеет место Ρ) Χι G D. Обозначим
через ωχ первый несчетный кардинал.
Теорема 5.5.6. Если 21^ г £ /, — алгебраические системы
сигнатуры Σ, a D — ультрафильтр на I, не являющийся счетно полным,
то система D-prod$li является ωχ-насыщенной.
Доказательство. Пусть {Xi \ г е ω} С D и Ρ) Χι φ D. Pac-
смотрим семейство {Wi \ г е ω}, где Wo = I \ Xo, W\ = f] Χι и
Wi - (Хо Π ... Π Χ, _ 2) \ (Χ ο Π ... Π ^ _!)
для г > 2. Ясно, что W< £ D для г Ξ ω, U w% = / и W^ Π И^· = 0
для г т^ j. Пусть 21ь г е I, — алгебраические системы
сигнатуры Σ, X С D-prodA^, |Х| ^ ω, Ζ = {Φϊ(ίί) | г е ω} — совместный
с Th((D-prod2li)x) 1-тип сигнатуры Σχ и Фо — тождественно
истинная формула.

182
Гл. 5. Теория моделей
Пусть 93 = (1)-ргосШг)х и X = {Dfk \ к е ω}. Рассмотрим
обогащения 93* систем % сигнатуры Σχ, для которых c^,fc = fk(i). Ясно,
что 93 = D-prod*Bi и для всех к € ω имеет место
{г е I | В* И 3νι(Φ0 Л ... Л ФЛ)} G D. (5.12)
Возьмем такое / G I-prod Bi, чтобы для любых к, η £ ω, к G W^,
было 93 & (= Фо(/к) Л... Л ФШ(А;)(/А;), где га(/с) — наибольшее число из
множества {0,1,...,п}, для которого 93 ^ (= 3ι>ι(Φο Λ ... Л Фт(^)). Так
как Wi nWj = 0 для г φ j и Фо тождественно истинна, то такое /
можно выбрать.
Покажем, что для любого ко G ω, ко ^ 1, выполняется
{ге/|<В, ИФ,0(/г)}еД (5.13)
и предложение тем самым будет доказано. Рассмотрим множество
σ = {ί€/|»<Η3νι(Φ0Λ...ΛΦ^)}\(ΐνου...υΗ%)-ι).
Из (5.12) и из того, что Wo £ D,..., W^-i ^ А получаем G e D. Так
как га(г) ^ &о для любого г G G, то из построения / вытекает G С {г G
G / | ®г И $fc(/0}» откуда получаем (5.13). D
Упражнения
1. Показать, что в 93П(Т) истинны аксиомы булевых алгебр.
2. Пусть сигнатура Σο состоит из счетного множества {г* | г G ω}
одноместных предикатов и теория То определяется множеством
аксиом
{3v\(s\(v\)A...Asn(v\)) \η£ω,8\ e {η,>ι},...,5„ G {r„, ">„}}.
Показать, что То — полная теория, не имеющая универсальной
счетной модели. (Указание. Полнота То следует из того, что
21 f Σι ~ 93 f Σι для любой конечной Σι С Σο и любых
счетных моделей 21,93 теории Т; отсутствие универсальной модели
Τ следует из того, что все 1-типы {si(v\) \ г е ω, Si G {гг,-^}}
совместны с То.)
§5.6. Категоричность
Теорема 5.1.11 показывает, что Th(2l) для бесконечной системы 21
не определяет 21 (с точностью до изоморфизма). Однако существует
интересный класс систем 21, теория которых определяет 21 с точностью
до изоморфизма среди систем той же мощности. В этом параграфе
мы рассмотрим некоторые свойства теорий таких систем. Сигнатуры
в этом параграфе имеют счетную или конечную мощность.

§ 5.6. Категоричность
183
Определение. Класс К алгебраических систем сигнатуры Σ
называется категоричным в мощности χ или к-категоричным, если все
системы из К мощности χ изоморфны между собой. Теория Τ
сигнатуры Σ называется категоричной в х, если класс Κκ(Τ) является
х-категоричным.
Если класс К не имеет систем мощности х, то по определению он
категоричен в х. Если К — класс алгебраических систем (Т — теория)
сигнатуры Σ, то через /Too (через Х^) обозначаем класс бесконечных
алгебраических систем из К (теорию
Ти{3гл...3г;п( Д "υ* « ν,·) | η е ω}).
Ясно, что ΚςΟΓοο) - (#ς(Τ))οο.
Предложение 5.6.1. £с/ш теория Τ сигнатуры Σ категорична
в некоторой бесконечной мощности χ и Т^ совместна, то Т^
полна.
Доказательство. Пусть 51 и <В — две бесконечные модели Т.
Достаточно показать, что 51 ξ <В. По теореме 5.1.5 существуют счетные
элементарные подсистемы 51] -< 51 и <Βι -< Φ. По теореме 5.1.8
существуют элементарные расширения 51г >- 5li и ®2 >- ®ι мощности х. Так
как 512 изоморфна *Вг, то А% ξ <Β2· Следовательно, 51 = *В. D
Если Τ полна и имеет конечные модели, то по следствию 5.1.3
все модели Τ изоморфны некоторой конечной системе. До конца этого
параграфа пусть Τ обозначает полную теорию сигнатуры Σ, имеющую
бесконечные модели. Заметим, что из полноты теории Τ следует
выполнимость любого главного совместного η-типа в любой модели Т.
Теорема 5.6.2 (Ч.Рылъ-Нардзевский). Для того чтобы
теория Τ была категорична в счетной мощности, необходимо и
достаточно, чтобы для любого пей алгебры *Вп(Т) были конечны.
Доказательство. Необходимость. Пусть <ВП0(Т) —
бесконечная булева алгебра. Так как Τ полна, то |93оОП1 — 2, следовательно,
по > 0. По предложению 2.3.5 существует неглавный ультрафильтр U
на ЯЗпоСП. Ясно, что п0-тип Ζ = {Φ е Fno(T.) | ||Ф|| е U} является
неглавным no-типом в Т. По теореме 5.4.6 существует счетная
модель 51 теории Т, в которой он опускается. Так как Ти Ζ совместно, то
по теореме о существовании модели существует модель *В, в которой
Ζ реализуется. Так как можно считать *В счетной, то Τ не является
счетно категоричной.
Достаточность. Пусть *ВП(Т) конечны для всех η е ω. Тогда
любой η-тип Ζ является главным в Т. В силу предложения 5.5.4

184
Гл. 5. Теория моделей
достаточно показать, что любая счетная модель 51 теории Τ
насыщена, для чего в свою очередь достаточно показать, что
любой 1-тип сигнатуры Σ{αΐι...>αη}, где αι,...,αη G А является главным
в Т\ = Th(2l{aii...tan}). Последнее следует из того, что отображение /г,
переводящее Ф(г>ь... ,ι>η+ι) в Ф(^,са1,...,сап), сохраняет отношение
||Ф|| < ||Ф|| (т.е. Τ ο Φ -> Φ => Γι > ЛФ -> ЛФ) и любой (η + 1)-тип
сигнатуры Σ является главным в Г. D
Следующее предложение доказано П. Линдстремом.
Предложение 5.6.3. Если \/3-аксиоматизируемая
непротиворечивая теория Τ сигнатуры Σ категорична в счетной мощности, то
Τ модельно полна.
Доказательство. Будем говорить, что формула Ф(х\,...,хп)
сигнатуры Σ сохраняется при переходе к подмоделям
(надмоделям) теории Г, если для любых моделей 51 С <В теории Г и любых
а\,...,апеАиз истинности Ф(а\,...,ап) в Φ (в 51) следует истинность
Ф(а\,... ,ап) в 51 (в *В). Рассмотрим множество G формул сигнатуры
Σ, находящихся в пренексной н. ф. и не сохраняющихся при
переходе к подмоделям Г. Ясно, что модельная полнота Г равносильна
тому, что G = 0. Предположим, что Г не модельно полна.
Возьмем Фо(х\,... ,хп) е G, кванторная приставка которой имеет
наименьшую длину го. Очевидно, что го > 0. Пусть Фо = Qy^o(y,x\,...,xn)t
Q £ {V, 3}. Из минимальности го следует, что Фо сохраняется при
переходе к подсистемам, поэтому Q = 3. Так как "Фо эквивалентна
формуле с кванторной приставкой длины го — 1, то из минимальности
го получаем, что Фо сохраняется при переходе к надсистемам.
Возьмем такое φ: ω —> ωη, что для любого a G ωη множество
{k \ <pk = а} бесконечно. Строим последовательность 5lm, га G ω,
счетных моделей теории Г со следующими свойствами:
О Ат С ω и множество ω \ Ат бесконечно;
2) 5lm С 5ls для т < s;
3) если <рт е (Am)n и существует счетная модель Φ 2 2lm теории
Г, для которой <В (= Фо^р^ш),... ,7г™((/?га)), то в качестве 5lm+i
берем модель Г, удовлетворяющую условию 1) при к = т+ 1,
для которой 5lm С 2lm+i и am+i (= Фо(УР(<рт),... ,7г£(<рга)).
Рассмотрим систему 21a, = |J 2tm, которая в силу \/3-аксиомати-
πιζω
зируемости Г является моделью Г (предложение 5.2.5,6)). Так как
Фо £ G, то существуют модели 51 С <В и элементы αϊ,... ,an G А, для
которых <В (= Φο(αι,... ,αη) и 51 |= "Φοίαι, ...,αη). Взяв
соответствующие счетные элементарные подсистемы, можно считать, что 51 и
53 счетны, а в силу категоричности Г в счетной мощности можно

§ 5.6. Категоричность
185
считать, что 21 = 21а,. Так как Αω С ω, то из условия на φ
следует, что φπίο = (а\,...,ап) G (Ато)п для некоторого то £ ω. Так как
21т0 ^ 21ω ζ 95, το из свойства 3) получаем 2lmo+i |= Фо(аь... ,αη),
следовательно, имеем 2lmo+i (= Фо(Ь,αι,...,αη) Для некоторого b e ω.
Это противоречит тому, что 21^, |= ~*ЗуФо(у, а\,..., αη) и Фо сохраняется
при переходе к надсистемам. D
Отметим, что условие \/3-аксиоматизируемости теории Τ в
предыдущем предложении является также необходимым для модельной
полноты Т. А именно, можно доказать обращение предложения 5.2.5,6):
если аксиоматизируемый класс К замкнут относительно объединений
систем, то К \/3-аксиоматизируем. Поэтому любая модельно полная
теория \/3-аксиоматизируема.
Теория плотно упорядоченных множеств без первого и последнего
элементов является категоричной в счетной мощности (предложение
3.1.7) и не категорична ни в какой бесконечной несчетной мощности
(упражнение 1). Теория алгебраически замкнутых полей
характеристики 0 категорична во всех бесконечных несчетных мощностях и
некатегорична в счетной мощности. Легко строятся примеры полных
теорий, категоричных во всех бесконечных мощностях, и теорий,
некатегоричных во всех бесконечных мощностях. Как показал М. Морли,
других случаев «распределения» категоричности для полных теорий
счетной сигнатуры с бесконечными моделями не существует.
Оставшуюся часть параграфа мы посвятим следующей теореме,
доказанной Е. А. Палютиным. В ее доказательстве находят применение
многие результаты данной главы, а также иллюстрируется важный
метод теории моделей — метод минимальных множеств.
Теорема 5.6.4. Если квазимногообразие К категорично в
счетной мощности, то оно категорично во всех неединичных
мощностях.
Класс неодноэлементных систем из К обозначим через К+. Пусть
в дальнейшем К — счетно категоричное квазимногообразие
сигнатуры Σ, для которого К+ не пуст. Элементы классов К, К+ и
Коо будут называться соответственно К-системами, К'^-системами
и Коо-системами. Под формулой мы будем понимать, если не
оговорено противное, формулу сигнатуры Σ. В дальнейшем, если не
оговорено противное, буквами 21, 95 будут обозначаться /ί-системы.
Через w обозначаем упорядоченный набор {w\,... ,wn), при этом
пишем w e А, если w\,... ,wn e А, и Ф(гй) вместо Ф(гиь... ,wn).
Если Ф(у,х) — формула, а е А, то через Φ(21, а) обозначается
множество {Ь е А | 21 |= Ф(Ь, а)}. Если t(y\,... ,ут,х) — терм, а е А

186
Гл. 5. Теория моделей
и Х\ С Д... ,Хт С А, то через t®(X\,... ,Xm,a) обозначается
множество
{Ь0 е А | bo — £a(6i,...f 6m,a) для некоторых 6} G ΛΊ,... ,6m G Хт}.
Если Χι = ... = Хш = X, то вместо t^(X\y..., Xm,a) пишем t^(X,a).
Для сокращения записи мы будем часто опускать кванторы
всеобщности в записи квазитождеств, т. е. обозначать квазитождество
Ух\ ...\/хпФ(х\,... ,хп) через Ф(х\,... ,хп). Для простоты обозначений
мы будем также отождествлять «диагональные» элементы fa е А1,
которые тождественно равны а е А на J, с элементом a e А Поэтому
система 21 будет считаться подсистемой своей декартовой степени 2(/.
Это возможно в силу того, что отображение, сопоставляющее
элементу а е А элемент fa е А1, является изоморфизмом 21 на подсистему
диагональных элементов 217.
В силу предложений 5.6.1 и 5.6.3 теория Th(Koo) является полной
и модельно полной. Из предложений 5.2.5, а) и 5.2.8, а) получаем, что
класс К замкнут относительно подсистем и декартовых произведений.
В частности, из К+ φ 0 следует К^ φ 0.
Лемма 5.6.5. а). Если предложение Φ условно фильтруется
вместе со своим отрицанием ~"Ф и истинно на некоторой К ^-системе
21, то оно истинно на любой К+-системе. Фильтрующееся
предложение и квазитождество условно фильтруются вместе со своими
отрицаниями.
б). Для любой К-системы 21 и любого конечного множества X С
С А система ЩХ) конечна.
Доказательство, а). Если предложение Φ ложно в
/^-системе *В, то из условной фильтруемости Φ ипФ следует, что Φ
истинно в 21^ и ложно в 93^. Это противоречит полноте ТЪ(Коо). Если
Φ — фильтрующаяся формула, то условная фильтруемость "Ф
очевидна. Условная фильтруемость квазитождества показана в
доказательстве предложения 5.2.8, а). Отрицание квазитождества Φ эквивалентно
предложению Зх\ ...Зхп(Ф\ Л'Фг), где ФьФг — фильтрующиеся
формулы. По лемме 3.3.3 формула ~"Ф условно фильтруется.
б). Пусть система 2l(ai,... , αη) бесконечна. Для каждого ае
£ А(а\,... , αη) существует такой терм ta(v\,... ,vn), что t*(αϊ,... , αη) =
= α. Тогда формулы vn+\ « ta(v\, ...,vn), a e A(a\,..., an), будут
попарно неэквивалентными в Th(2l(ai,... , αη)) = Th(ifoo). Так как Th^oo)
ω-категорична, то это противоречит теореме 5.6.2. D
Лемма 5.6.6. Пусть Ф(у,х) — фильтрующаяся формула, 21 е К+,
а = (αϊ, ..., ап) G А и Ф(21, а) содержит не менее двух элементов.

§5.6. Категоричность
187
Тогда
а) существует такой терм t(y,x), что £^(Ф(21, α),α) = А\
б) для любой 95 е К+ и Ъ = (6ι,...,6η) £ -В множество Φ(95,5)
содержит не менее двух элементов или пусто.
Доказательство, а). Докажем сначала, что если Φ(21,а)
бесконечно, то множество X = Φ(21,а) U {а\,...,ап} порождает 21. Пусть
{U(v\,...,Vi) | 0 < г < ω} — нумерация всех термов. Для каждого г е ω,
г > п, рассмотрим формулу
Ф»(«0, VI Vr») =
= Зг;„+13г;„+2...3г;Л \fvo~tjA Д Ф(г>ьг>ь ··· ,vn) J,
^j<i n<k<i '
истинность которой на системе 95 при интерпретации η: {νο,...
• •·,^η} —► В равносильна тому, что 7(^0) есть значение терма
*f (7(vi),...,7(vn),bn+i,...,bi), где j < г и ЬП+Ь...,Ь^· е Ф(95,7Ы, ···
• •·,7(νη))· Ясно, что для любого 6 е ^РО существует г е ω,
г > п, для которого 2t(X) (= Фг(Ь,а). По теореме 5.6.2 существует
такое конечное множество {гь... , г/-}, что для любого г G ω
справедливо ТЦКоо) > Φ* -► (Ф*, V ... V *ifc). Тогда в 21(Х)
истинно \/г>0(Фг,(^о,а) V ... V Φ^ο,α)). Так как 21(Х) -< 21, то
эта формула истинна в 21, откуда получаем, что 21 порождается
множеством X. Предположим, что а) ложно. Тогда существуют
такие bi G А, п ^ г е ω, что if (а, ап+ь ···, «г) 7^ &г для любых
α„+ι,...,α» G Ф(21,а). Тогда множество Υ = Φ(21ω,α) = (Φ(21,α))α;
бесконечно и ^ ^ АУ(У U {αϊ,... , αη})> где #г = Ьг, г £ ω. Это
противоречит предыдущему.
б). Предположим, что существуют такие 95 е K+ и Ъ е В, что
Ф(95,Ь) = {do}. В силу фильтруемости Φ множество Ф(21 χ 95, а х b)
равно Φ(21, a) x {do}, где α χ 6 = ((αι,δι),..., (αη,δη)). Пусть αο £ Α\
d\,d2 £ 5, di Φ d<i, тогда по а) имеем
t((c\,do),...,(cm,do),axb) = (a0,d\),
t{(c\, do),..., (с'т, do),a xb) = {a0,d2)
для некоторого терма t(y\,... ,уш,х) и некоторых ci,... , Cm,^,... , с^ G
£ Φ(21,а). Из определения операций на 21 χ 95 получаем i(do,...
...,do,b) = di из первого равенства и £(do,... , do,5) = d2 из второго
равенства, что противоречит условию d\ φ cfe. D
Рассмотрим максимальное совместное с Th(/f) множество
Χ* = {"1νι «ν2}υ{Φ<(νι,ν2) I г Go;},

188
Гл. 5. Теория моделей
где Фг(г>1,г>2), г е ω, —- атомарные формулы. Пусть сигнатура Σ*
получается из Σ добавлением двух новых констант с\,С2. Рассмотрим
квазимногообразие К* сигнатуры Σ*, множество аксиом которого
состоит из аксиом К, а также квазитождеств v\ « v\ —► Ф(с\,С2) для
атомарных формул Φ(^ι,^) G X* и квазитождеств Ф(с\,С2) —► гч « г>2
для атомарных Ф(г>1,г>2) ^ ^*
Лемма 5.6.7. а). Для любой К+-системы 21 существует такая
К*-система 21*, что 51* Г Σ = 21.
б). Квазимногообразие К* категорично в счетной мощности.
Доказательство, а). В силу максимальности X* достаточно
показать, что X* выполняется в любой /С+-системе 21. Из теоремы 5.6.2
следует существование такого no G ω, что Th(/ioo) > (Фо Λ ... Λ Φηο) —►
—► Фг для всех геи. Так как Коо φ 0, то по лемме 5.6.5 а) выполняется
21 (= (Фо Λ ... Λ Φηο) —► Φι для всех г £ ω. Поэтому достаточно показать,
что в 21 истинно предложение 3v\3v2^{v\,V2), где 4t{v\,V2) равна
"fi « г>2 Λ Фо Λ ... Λ Φηο. Пусть X* выполняется в /f-системе 95. Тогда
\В\ > 1 и 3vi3v2*(vi,V2) истинно в /ίοο-системе 95^. В силу полноты
Th(lfoo) имеем 21^ (= ^(/ь/г) для некоторых /ь/2 G А". Так как
21ω Ν "/ι ~ /2> то /ι^ο 7^ /2^0 для некоторого го G ω. Из фильтруемости
Ф0 Λ ... Λ Φηο получаем, что 21 (= Φ(/ιζ0, /2г0).
б). Как было показано в доказательстве теоремы 5.6.2, каждая
счетная /ίοο-система является насыщенной. Так как любая /ί^-система 21*
является обогащением некоторой /ίοο-системы 21 на две константы, то
21* является насыщенной. Поэтому в силу предложения 5.5.4
достаточно показать, что любые /ί^-системы 21, 95 элементарно эквивалентны.
Пусть v^{c\) = а\,1/*(с2) = a<2,v*(c\) = &ь*^(с2) = &2- Так как
квазитождества Ф(с1,С2) —► v\ « V2 эквивалентны в Th(/f+) предложению
"Ф^'сьсг), то из аксиом К* следует, что отображение,
сопоставляющее элементам а\,а2 соответственно элементы b\,b2, продолжается до
изоморфизма /: 210^950, где 210 = Щаиа2) \ Σ и 950 = 95(6ι,62) Γ Σ.
Тогда / продолжается до изоморфизма /ίοο-систем 21q С 21^ f Σ и 95q С
С 95^ Г Σ. Следовательно, (21ο,αι,α2) = (95q »&ь&2) и в силу модельной
полноты Th(/foo) получаем (αω Г Σ,αι,α2> = (95ω Г Σ,6ι,62>. Снова из
модельной полноты Τη(/ίοο) получаем (21 \ Σ, αι,ο^) Ξ (95 Γ Σ, 61,62),
следовательно, имеет место 21 ξ φ. Π
В дальнейшем будем предполагать, что сигнатура Σ содержит
константы с\,С2 и предложение ~*с\ « С2 истинно в любой /С+-системе.
Такое предположение для доказательства теоремы 5.6.4 можно
сделать в силу леммы 5.6.7. Тогда для любой ^Г+-системы определена
/ί_ι_-система 21(0), носитель которой состоит из значений в 21
константных термов. Из леммы 5.6.5, а) следует, что 21(0) ~ 95(0) для любых

§ 5.6. Категоричность
189
/С+-систем 21 и 95. Множество ICA назовем атомно минимальным
в /f-системе 21, если |Х| > 1 и для любой атомарной формулы Ф(у,х),
любого а е А множество X П Ф(21, а) пусто, одноэлементно или
равно X.
Лемма 5.6.8. Существует такая фильтрующаяся формула
Φ*(νι), что для любой К+ системы 21 множество Ф*(21) атомно
минимально в 21.
Доказательство. Пусть 95 G К+. По лемме 5.6.5,6)
/С+-система 95о = 95(0) конечна. Рассмотрим такую конъюнкцию
Φ*(ν\) атомарных формул, что |Ф*(95о)| > 1 и для любой атомарной
формулы Φ{ν\) множество Ф*(95о) Π Φ(95ο) пусто, одноэлементно или
равно Ф*(95о). Пусть Ф{у,х) — атомарная формула. Так как любой
элемент b e Во является значением в 95о константного терма, то
множество Ф*_(95о) Π Ф(95о,5) пусто, одноэлементно или равно Ф*(95о)
для любого Ъ £ Во. В силу леммы 5.6.7 6) не существует таких
а,Ье Во, что Ф*(95о) С Ф(95о,Ь) и Ф*(950) Π Ф(950,а) одноэлементно.
Таким образом, в 95о истинно одно из следующих квазитождеств:
а) (Φ*(ν\) Λ Φ(ν\,χ) Λ Φ*(^) Λ Ф(г>2,ж)) —► ν\ « V2\
б) (Φ*(ν\) ΛΦ(ν\,χ) ЛФ*(у2)) —> Ф(г^2,ж).
По лемме 5.6.5 а) одно из этих квазитождеств истинно в любой
К+-системе21. Так как Ф*(21) Э Ф*(21(0)) и 21(0) ~ 950, то |Ф*(И)| > 1.
Следовательно, Ф*(21) атомно минимально в 21. D
Пусть 21 е К+. Множество X С Ф*(21) назовем базисом для 21, если
выполняются следующие условия:
1) ЯрО = Я;
2) если а\,...,ап — попарно различные элементы X и
21 (= Φ(αι,...,αη) для некоторой атомарной формулы
Ф(г>ь... ,г>п), то в любой /С+-системе истинно квазитождество
(Φ*(νι)Λ...ΛΦ*(νη))-^Φ(νι,...,νη).
Лемма 5.6.9. а). Если Ф(у,х) — фильтрующаяся формула и
Ф(21,а) = {b} для К+-системы 21 и а е А, то £а(а) = b для
некоторого терма t(x).
б). Каждая К ^-система 21 имеет базис.
Доказательство, а). Пусть 2lo = 21(a). Если а) не выполняется,
что предложение ЗуФ(у,а) в ifoo-системе 21q ложно, а в 21^ 2 Я^
истинно. Это противоречит модельной полноте Th^oo).
б). Пусть X С Ф*(21) — максимальное множество, удовлетворяющее
условию 2). В силу леммы 5.6.6, а) достаточно показать, что ЩХ)
содержит Ф*(21). Предположим, что существует ао G Ф*(21)\А(Х).
Пусть 21 (= Ф(ао,а\, ...,an) для атомарной Ф(г>о,г>1,... ,г>п) и попарно

190
Гл. 5. Теория моделей
различных а\,... ,ап е X. В силу а) и атомной минимальности
Ф*(21) имеем Ф*(21) С Ф(21,аь... ,αη). Так как Ф*(21(0)) ф 0, то
51 (= Φ*(ίο) Λ Φ(ίο,«ι, ...,^η) Для некоторого константного терма ίο·
Так как X удовлетворяет условию 2) и Φ*(ίο) £ Th(if+) (лемма
5.6.5,а)), то множество Ф*(95) Λ Φ(95,6ι,... ,6П) не пусто для любой
/С+-системы Φ и любых 6i,...,6n G Φ*(Φ). Поэтому в силу леммы
5.6.6,6) из |Ф(21,αϊ,... ,ап) Π Ф*(21)| > 1 и атомной минимальности
Ф*(95) получаем истинность Ф(Ьо. &ь ···, Ьп) в любой К+-системе 23 для
любых bo,b\,...,bn ^ Ф*(95). Следовательно, X U {ао} удовлетворяет
условию 2), что противоречит максимальности X. D
Доказательство теоремы 5.6.4. Пусть 21, 03 — две
/^-системы одной мощности κ и Χ, Υ — их базисы. Из определения базиса
следует, что любое разнозначное отображение /: X —> Υ продолжается
единственным образом до изоморфизма 21 на 95(/(Х)). Поэтому в силу
свойства 1) базиса достаточно заметить, что \Х\ = \Υ\. Если χ > ω, то
из леммы 5.6.5,6) получаем |Х| = \Υ\ = χ. Если χ < ω и |Х| ^ |У|,
то 21 изоморфна подсистеме 23ι С 03. Так как \В\\ = |А| = |Б|, то
®1=95. D
Упражнения
1. Показать, что теория То плотных линейных порядков без
первого и последнего элемента не категорична ни в какой
бесконечной несчетной мощности. (Указание. Пусть 21 — модель
То мощности к > ω и 21о — счетная модель То, для которой
Ао Π А = 0, рассмотрим модель 2li с носителем А2 и отношением
(а, Ь) ^ (с, d) <=> (а < %с или (а = с и 6 ^я d)) и модель 212
с носителем A U Ао и отношением
а ^2 £ <ί_ν> ((а е А и be A0) или (а,6еЛиа^6) или
(а,Ье А)И а^*° 6));
тогда 211 и 21г неизоморфны.)
2. Показать, что многообразие булевых алгебр категорично во всех
конечных мощностях и некатегорично во всех бесконечных.
3. Доказать, что многообразие Μ с аксиомами (кванторы
всеобщности опущены)
1) /(0i(z),02(z)) «я,
2) /(ж,у)«/(^(а:),№(у)),
3) g\{f{g\(x),g\(y))) «si(ж),
4) 92{f{g\(x),9\(y)))^9\(y),
5) 9i{9k{x)) ~9k{x), i,ke {1,2},

§ 5.7. RQ-формулы и Σ-формулы
191
категорично во всех мощностях. (Указание. Показать, что
v*{f) для любой 21 £ Μ разнозначно отображает (#^[Α])2 на А
и любое разнозначное отображение h: gf[A] —► gf[B] для 21,03 G
G M продолжается до изоморфизма системы 21 на ?8(h(gf[A])),
переводящего а в fi&{hgf{a),hgf{a)).)
4. Построить пример, показывающий, что в теореме 5.6.4 нельзя
утверждать, что К категорично также в мощности 1.
5. Обобщить предложение 5.6.3 на теории, категоричные в
бесконечной мощности я, и получить тем самым теорему Линдстрема
в полном объеме. (Указание. Применить метод предложения
5.6.3 с заменой ω на я и показать, что если формула Φ не
сохраняется при переходе к подмоделям теории Т, то Φ не сохраняется
при переходе к подмоделям мощности я.)
§5.7. RQ-формулы и Σ-формулы
Пусть σ— (^2,...) — произвольная сигнатура с выделенным
двуместным предикатным символом ^. Расширим синтаксис языка ΗΠσ,
введя в рассмотрение наряду с обычными ограниченные кванторы.
Формулы, возможно содержащие ограниченные кванторы, будут
называться RQ-формулами. Дадим точное определение RQ-формул.
Определение. RQ-формулы:
— любая атомарная формула языка ΗΠσ есть RQ-формула;
— если Φ и Φ — RQ-формулы ΗΠσ, то ^Ф, (Ф V Φ), (Φ Λ Φ),
(Φ —► Φ) суть RQ-формулы;
—- если χ — переменная, t —- терм, где χ £ FV(t), α Φ —-
RQ-формула, то Зх ^ ЬФ, \/х ^ ίΦ, ЗяФ, УжФ суть RQ-формулы.
Можно определить множество свободных переменных
RQ-формулы Ф, расширив определение множества свободных переменных
^У(Ф) для обычной формулы Φ добавлением соотношения 0
FV(3x < ίΦ)(= FV{\/x < ίΦ)) ^ {FV^) \ {x}) U FV(t)).
Для дальнейшего важны два подкласса RQ-формул: Δο-формулы и
Σ-формулы. Приведем их определения.
Определение. Δο-формулы:
— любая атомарная формула языка ИПЕ есть А^-формула;
— если Φ и Φ — Ао-формулы, то "Ф, (Ф V Φ), (Φ Λ Φ), (Φ —► Φ)
суть Ао-формулы;
1) Знак ±=? читается «положим по определению».

192
Гл. 5. Теория моделей
— если χ — переменная, t — терм, где χ ^ FV(t), а Φ —
Ао-формула, то Зх ^ £Ф, Vx ^ ίΦ суть Ао-формулы.
Определение. Σ-формулы:
— любая Ао-формула есть Т,-формула\
— если Φ и Φ — Σ,-формулы, то (Ф V Ф) и (Φ Λ Φ) суть
Т>-формулы\
—- если χ —- переменная, t —- терм, где χ £ FV{t), α Φ —
Σ-формула, то Зх ^ ίΦ, Vx ^ ίΦ, ЗхФ суть ^-формулы.
Для того чтобы определить понятие истинности RQ-формулы на
алгебраической системе 51, следует рассматривать формулу Зх ^ ίΦ
как сокращение формулы Зх(х ^ £ Λ Φ), а формулу Vx ^ £Ф — как
сокращение формулы Vx(x ^ £ —► Φ) в случае, когда χ £ FV(t). Именно,
к индукционному определению понятия истинности, данному в §3.2,
добавим два дополнительных случая.
Рассмотрим алгебраическую систему 51 сигнатуры σ и
интерпретацию переменных η: Χ —> А.
10. Если Φ = Зх ϊξ £Ф0 — RQ-формула, ЕУ(Ф) С X, то отношение
51 (= Ф[7] имеет место тогда и только тогда, когда существует
интерпретация 7о· X U {#} —► ^4 такая, что
Ίύ\Χ\{χ} = Ί\Χ\{χ}9
Ы(х)Л*Ы)е^ [т.е.тй(а:)<я*я[7]].
11. Если Φ = \/х ^ ίΦο — RQ-формула, ^ν(Φ) С X, то отношение
51 (= Φ[7] имеет место тогда и только тогда, когда 51 (= Фо[7о] для любой
интерпретации η: X U {χ} —► А такой, что
70 Г X \ {*} = 7 Г X \ М, <7o(z),ia[7]} G ^Я ·
Пусть 51 и 03, 51 С 03, — алгебраические системы сигнатуры σ.
Определение. Система 03 называется концевым расширением
системы 51 (обозначается 51 ^end 23), если для любых а е A, b e В из
соотношения (b, a) G ^^ (6 ^^ а) следует принадлежность 6 G А (тем
самым b ^а а).
Предложение 5.7.1. Пусть 51 ^end 03, Φ — RQ-формула и
7: ^У(Ф) —► А —- интерпретация. Тогда
51 (= Φ[7] -Ф=> 03 (= Φ[7] для любой Ао-формулы Ф,
51 (= Φ[7] => 03 (= Φ[7] для любой 3-формулы Ф.

§ 5.7. RQ-формулы и Σ,-формулы
193
Доказательство. Утверждение устанавливается индукцией по
построению формулы Φ с использованием сформулированных и
доказанных ниже утверждений (1)-(6).
(1) Если формула Φ атомарна и имеет вид R(to,..., ίη), t^ (to, ···
...,ίη), то
анд(г)[7] <=* (<?Η Шел8.
Так как if [7] - tf [7], г^п,и^ = ^П An+1, имеем
(ft] Шел* <=» (<?Н ^Hleii18 «=► »ИЛ(*)[7].
Аналогично рассматривается случай, когда формула Φ имеет вид
to ~ t\.
(2) Если Ф0, Φι - RQ-формулы и η\ FV{<&0) U ^ν(Φι) -► A -
интерпретация такая, что 51 (= Ф*[7] ^=^ 35 (= Ф*[7]> ^ = 0> 1» то
Я^-ФоМ «=» 95|=^o[7],
51 (= (Ф0 νΦι)[7] <=► 35 (= (Фо νΦ})[7],
α|=(Φ0ΛΦι)[7] 4=» 35 μ (Φ0ΛΦι)[7],
51 |= (Φο - Φ,)[7] «=> 35 И (Φο - Φι)[7].
Утверждение следует из определения истинности формул.
(3) Если Ф0, Φι - RQ-формулы и η\ FV{<&0) \J FV{&\) -► А -
интерпретация, такая, что 51 |= Ф*[7] => ® |= Ф^[^], г = 0,1, то
51 μ (Ф0 V Ф,)[7] =* 35 И (Фо V ФОМ,
51 Η (Φο Л ФОМ => 35 И (Фо Л ФОМ-
Утверждение следует из определения истинности формул.
(4) Пусть 51 |= Φ[7] <=> 35 (= Φ[7] для RQ-формулы Φ α любой
интерпретации η: X —> А такой, что FV{$) С X. Тогда для любой
интерпретации η: FV(3x ^ ίΦ) —► А
51 (= Зх ^ ίΦ[7] ^=^ 35 (= Зя < ίΦ[7],
51 (= Vx ^ ίΦΜ <£=> 35 (= Vz < ίΦ[7].
Установим лишь первую эквивалентность, поскольку вторая
выводится аналогично. Пусть 51 (= Зх ^ £Ф[7]· Тогда согласно случаю 10
существует интерпретация 70 ^ X U {#} —► А такая, что FF(3x ^ ίΦ) С
С X, 70 Г Χ \ Μ - 7 Г * \ {*}, 7*0*0 <* ia[7]. И N *[7o].
Ввиду сделанных предположений 95 (= Φ[70] и 35 |= Зх < ίΦ[7]· Пусть
7 Ю. Л. Ершов. Е. А. Палютин

194
Гл. 5. Теория моделей
05 (= Зх < £Ф[7]· Тогда существует интерпретация 70· -X" U {х} —> Б
такая, что 7о Г -У \ {χ} = η \ X \ {х}, 7о(*) ^* ^Ы и 05 |= Ф[7о].
Так как 7 — интерпретация в А, имеет место равенство ίφ[7] = ^Ы·
Кроме того, соотношение 7о(#) ^ ^Ы = £аЫ (напомним, что 05 —
концевое расширение 51) влечет 7о(#) £ А (и 7о(#) ^а £аЫ)· Но
тогда 7о — интерпретация в А такая, что 70 \ X \ {#} = 7 \ Χ \ {χ}>
7о(я) ^^ *аЫ и 51 |= Ф[7о], поскольку 05 (= Ф[7о] => 51 (= Ф[7о]·
Следовательно, 511= Зх ϊζ ίΦ[7]·
(5) Пусть 51 (= Φ[7] => 95 (= Φ[7] для RQ-формулы Φ α любой
интерпретации η: Χ —► А такой, что FV{<&) С X. Тогда (?ля любой
интерпретации η: FV(3x ^ £Ф) —► А
51 (= Зх ^ ίΦ[7] => 95 (= Зх ^ξ ίΦ[7],
51 (= Vx ^ ίΦ[7] => 95 (= Vx < ίΦ[7].
Установим лишь вторую импликацию, так как первая
доказывается аналогично. Пусть 51 (= Vx ^ £Ф[7]· Покажем, что
93 |= Vx ^ ίΦ[7]· Ввиду случая 11 достаточно установить, что
для любой интерпретации 70· FV(\/x ^ ίΦ) U {х} —► В такой, что
7о Г FV{Vx < ίΦ) \W=7f FV{\Jx < ίΦ) \ {χ} и 7о(ж) <* *®Ы.
верна формула 03 (= Φ[70]. Пусть 7о — такая интерпретация.
Поскольку 7 — интерпретация в А, имеем №[у] = £а[7] £ ^-
Из 7о(х) ^ш t*[y] = ^[7] следует (с учетом 51 <end 55), что 7о(#) £ -4
и 7о(ж) ^а £а[7]· Но тогда 7о является интерпретацией в А такой, что
7о \ FV{\/x < ίΦ) \ {χ} = 7 Г FV(Vx < ίΦ) \ {χ}, 7о(*) <а ^Μ· В силу
истинности 51 (= Vx ^ £Ф[7] получаем 51 (= Ф[7о]> откуда 05 (= Φ [70]·
(6) Пусть 51 (= Φ[7] => 95 |= Φ[7] для RQ-формулы Φ и любой
интерпретации η: X —> А такой, что ЕУ(Ф) С X. Тогда для любой
интерпретации η\ РУ{Ф) \ {х} —► А справедлива импликация
51 (= ЗхФ[7] => 95 (= ЗхФ[7].
Действительно, пусть интерпретация 7· ^ν(Φ) \ {%} —► ^4 такова,
что 51 (= ЗхФ[7]. Предположим, что 7о· ^РУ(Ф) U {х} —► А —
интерпретация такая, что 7о \ РУ{Ф) \ {х} = η и 51 (= Φ[70]. Но тогда 95 (= Φ[70]
и 05 (= ЗхФ[7].
Таким образом, предложение 5.7.1 доказано. D
Пусть 51 — алгебраическая система и Φ, Φ — RQ-формулы
соответствующей сигнатуры.
Определение. Формула Φ называется
— следствием формулы Φ на 51 (обозначается Ф=>жФ), если
для любой интерпретации η: ^У(Ф) U ^К(Ф) —► А из 51 (= Φ[7]
следует 51 (= Φ [7];

§ 5.7. RQ-формулы и Σ-формулы
195
— семантическим следствием формулы Φ (обозначается Φ =>s Φ),
если Φ =>2ΐ Φ для любой алгебраической системы 21.
Определение. Формулы Φ и Φ называются
— ^-эквивалентными (обозначается Φξ^Φ), если Φ =^>2i^ и
φ =>% φ;
— семантически эквивалентными (обозначается ΦΞ5Φ), если
Φ =$1 Φ для всех 21.
Укажем ряд легко проверяемых семантических эквивалентностей
и импликаций:
— Ф=5Ф,
Φ —► Φ Ξ5",Φ\/Φ)
"ЗяФ Ξ^ν^ΓΦ,
"УяФ ξ^ΞΙζ'Φ,
^(ΦνΦ) ξξ^ΦΛ^Φ,
"(Φ Λ Φ) =5"Ф V"*,
"За? ^ ίΦΞ^νχ ^ГФ,
"Л/ж ^ίΦ=53ζ ^ΓΦ,
3x3?/ ^ ίΦ ξ5 Зу ^ ί3χΦ,
VzV?/ <*Ф=5У2/^*\/жФ,
3χ ^ £Φ ξ5 3?/(?/ ^ t Λ (Ф)у), если ?/ не встречается в £ и Φ,
Vx ίξ ίΦ =sVy{y ^ ί —► (Φ)^)» если ?/ не встречается в £ и Ф,
Φ =>s ЗхФ,
\/χφ =>s Φ,
3χ ^ ίΦ =>s ЗхФ,
4χΦ=ϊ8νχ<ζίΦ.
В качестве следствий приведем две леммы.
Лемма 5.7.2. Для любой RQ-формулы Φ можно эффективно
указать RQ-формулу Φ такую, что Φξ5Φ, и формула Φ не
содержит —►, а отрицания встречаются в ней лишь перед атомарными
формулами.
Замечание 5.7.3. Если RQ-формула Φ в лемме 5.7.2 есть
Δο-формула (Σ-формула), то Φ можно выбрать Δο-формулой
(Σ-формулой).
7*

196
Гл. 5. Теория моделей
Лемма 5.7.4. Для любой RQ-формулы Φ можно эффективно
указать формулу Φ языка ИГГ такую, что Φξ5Φ.
Для Σ-формулы Φ и переменной и, не встречающейся в Ф,
определим Δο-формулу ф(и) как формулу, полученную из Φ заменой каждого
вхождения в Φ неограниченного квантора существования вида Зх
вхождением ограниченного квантора существования Зх ^ и.
Предложение 5.7.5. Для любой Σ,-формулы Φ справедлива
импликация ЗиФ^ =>s Φ.
Доказательство. Установим индукцией по построению Φ
импликацию ф(и) =>s Φ. Для Δο-формулы Φ имеем ф(и) = ФиФ =>s Φ.
Кроме того,
Ф{ои) =>s Φοί ^ (Фо V Ф0(и)(= Ф{0и) V Ф[и)) =>s Фо V ФЬ
Ф<"> =^8ф{}==^ (ф0 л ФХ)М{= Ф^] Λ Ф<и)) =*s Фо Λ Φ,,
(м) Г (Зх < *Ф0)(и)(= Зх < ίφ(Μ)) =*s Зх < ίΦ0,
Φ λ /*· 9 Φπ ^ \
[ (\/χ < ίΦ0)(η)(= Vx < ίΦ^Μ)) =^s Vx < *Ф<ь
ф(и) =^s ф0 =» (ЗжФ)<м>(= Зх < г/Ф<и)) =^s 3*ф£и) =»s ЗхФо-
Так как ф(и) =>s Φ и и не свободна в Ф, то ЗиФ^ =>s Φ· Ο
Предложение 5.7.6 (монотонность Ф^). Если в 21 отношение
^а транзитивно, Φ — Σ-формула, ^У(Ф) CI, ufiXwy: XU {и} —►
—► А — интерпретация такая, что 21 (= Ф^[7], то 211= Ф(и)[7о] для
любой интерпретации 70 · -X" U {и} —► А такой, что *уо \ X = Ί \ X и
η(ν) ^а 70Μ.
Доказательство. Утверждение устанавливается индукцией по
построению Φ и следует из сформулированных и доказанных ниже
утверждений (1)-(4).
(1) Если Φ — ^-формула, то Φ удовлетворяет свойству
монотонности.
Действительно, тогда Φ не содержит неограниченных кванторов
существования, ф(и) = Φ и и не входит свободно в Ф. Следовательно,
α (= Ф(*)[7] =* α |= ф[7] =* и N ф[7о] =» α |= ф(и)Ы-
(2) £Ъш Фо г/ Φι — Σ-формулы, удовлетворяющие свойству
монотонности, то формулы (Фо V Φι) и (Фо Λ Φι) также удовлетворяют
этому свойству.
Пусть ^Κ(Φ0ν Φι) С X, и $ X, 7: X U {и} -► А, Я |= (Φον Ф\){и)Ы
7ο·* -X" U {г/} —► А и 70 Г X = 7 Ϊ -X» l(u) ^а 70(^). Из равенства

§ 5.7. RQ-формулы и Σ-формулы
197
(Фо V Φι)Μ = Φβ V Φ ι ' следует, что 51 (= Φ· [7] Для некоторого
г = 0, 1. Но тогда 51 (= Ф^и)[7о] и 51 (= (Ф0 V Φι)(η)[7ο]· Для формулы
(Фо Λ Φι) рассуждения аналогичны.
(3) Если Фо — Σ-формула, удовлетворяющая свойству
монотонности, то формулы Зх ^ £Фо и \/х ^ £Фо также удовлетворяют
свойству монотонности.
Пусть ^У(Фо) U FV(t) С X, и (£ X, 7: X U {и} -► Д
а |= (Уж ^ ίΦ0)(η)[7] и 7о· -X" U {и} —► А —
интерпретация такая, что 70 Ϊ X — 7 ί X и l{u) ^а 7о(^)· Так как
(Vx ^ £Ф0)(и) = Ух ^ £ф£и) и, следовательно, 51 (= Vx ^ ^Ф^Ы,
имеем 51 (= Фо Μ Для любой интерпретации 7': X и {ж, и} —► А
такой, что У \ (Х\ {х}) U{u} = j \ (X\ {x}) U {и}, Ί'{χ) <а ia[7].
Пусть 7о: ^ U {я, ^} —* А ~~ интерпретация такая, что
%\(Х\ {х}) U {и} = 70 Г (X \ {*}) U {и} и У(х) ^ «я[7] (так как
и ^ i<V(0 и 7о Г X = 7 ί -Χ")· Пусть интерпретация 7;:^U{x,w}->A
такова, что У \ X U {я} = У Г -X" U {я}, У(и) = l(u) ^а 7о(^) = 7о(и)·
Тогда 51 (= Ф^ [У] и 51 (= Фр [У] ввиду монотонности формулы Фо.
Следовательно, 51 (= Ух < £Фд [7о]· Для формулы Зх ^ £Фо
рассуждения аналогичны.
(4) Если Фо — Σ,-формула, удовлетворяющая свойству
монотонности, то формула ЗяФо также удовлетворяет свойству
монотонности.
Пусть ^У(Фо) С Χ, χ е X, и £ X, 7: X U {и} -> Д
51 (= (ЗхФо)^и^[7] и 7о: X U {и} —► А — интерпретация такая, что
7о f χ = 7 \ χ и 7(м) ^а 70(м). Имеем (ЗяФ0)(и) = Зх ^ иФ{0и). Так как
511= Зя ^ г/Фд [7], существует интерпретация У: X U {и} —► А такая,
что У Г (X \ {х}) U Μ = 7 Г (X \ {*}) U {и}, У(х) ^а У(и) = 7(и),
51 (= Фо М- Пусть 7q: X U {и} —► А — интерпретация,
определенная так, что У Г X = У Г X и у(и) = 7о(^)· Тогда
У (и) = η (и) ^а 7о (^) = 7о(и)· В силу монотонности формулы Фо
получаем 51 (= Ф^ [7ol· Кроме того, У (ж) = У (ж) ^а 1г{и) <а %(и), и
%(х) ^а 7о(и) ВВИДУ транзитивности отношения ^а. Следовательно,
51 μ Зх ^ иФ^и)[7о] и 51 μ (Зх < иФ0)^[70].
Таким образом, предложение 5.7.6 доказано. D
Следствие 5.7.7. Если в системе 51 отношение ^а транзитивно,
Φ есть Σ,-формула, переменные и φ ν не входят в Φ и 7: ^У(Ф) U
U {^} -> А, то 51 (= Vu ^ ν{Φ^ -> φ(ν))[7].

198
Гл. 5. Теория моделей
Следствие 5.7.8. Если в системе 51 отношение ^а транзитив-
но, Φ есть Σ-формула и переменные и φ ν не входят в Ф, то
Доказательство. Пусть η: FV{<&) U {ν} —► A —
интерпретация такая, что 51 (= Зи ^ уф^[у]. Тогда существует
интерпретация У: РУ(Ф) U {и,ν) —► А такая, что 7' Ϊ ^^(Ф) U {ν} = 7,
УМ <а УМ = Ί{ν) и 51 μ Ф(и)[7;]. Пусть 7": ίν(Φ) U {ν} -► А -
интерпретация такая, что η" \ ¥У{Ф) = η \ РУ{Ф) и 7"(г0 = l'{u)· Так
как 51 (= Ф(и)[71, имеем 51 (= Ф^"]· С другой стороны, 7" \ РУ(Ф) =
= 7 Ϊ РУ(Ф) и 7"(г0 — l'iu) ^ l'iv) = l{v)' Следовательно, по
монотонности 51 (= Φυ[7]. Π
Определение. Алгебраическая система 51 называется
ограниченной, если выполнены следующие условия:
— отношение ^а является транзитивным и направленным на А, т. е.
51 (= \fxMy\fz{x ^y/\y^z^x^z)f\ \/x\/y3z(x ?ζ ζ Лу ?ζ ζ),
— для любой Δο-формулы Φ имеет место принцип
^-ограниченности: \/х ^ гЗуФ =>2i 3Wz ^ t3y ^ г>Ф.
Замечание 5.7.9. Принцип Δο-ограниченности (для
Δο-формулы Ф) эквивалентен соотношению Мх ^ £ЗуФ =<&3vVx ^ £3у ^ νΦ.
Действительно, для любой RQ-формулы Φ справедливы импликации
Зу ^ νΦ =>s 3?/Ф,
\/х ^ t3y ^ г>Ф =>s Vx ^ ЬЗуФ,
3vVx ^ И?/ ^ г;Φ =>s Vz ^ ЬЗуФ.
Для ограниченных систем верны два важных утверждения
(принцип Σ-рефлексии и принцип Σ-ограниченности).
Принцип Σ-рефлексии. Если система 51 ограничена и Φ —
Σ-формула, то справедлива эквивалентность Φ =^ЗиФ^и\
Доказательство. Имеем 3ιιΦ^=>$Φ согласно предложению
5.7.5. Поэтому достаточно доказать импликацию Φ =>ъЗиФ(иК Она
следует из нижеприведенных утверждений (1)-(5) индукцией по
построению формулы Ф.
(1) Если Φ — Ао-формула, то Φ =>s Зиф(и\
Действительно, в этом случае ф(и) = Ф.
(2) Если для Σ-формул Фо и Ф\ верны импликации Ф* =>а Зиф\,
г = О,1, то
(Ф0 ν Φι) =>qi Зи(Ф0 V Ф\){и\
(Ф0 л Φι) =>я Зи(Ф0 Λ Φι)(η).

§ 5.7. RQ-формулы и Σ-формулы
199
Рассмотрим формулу (Фо Л Φι) (случай (Фо V Φι)
проще). Пусть 7: ^^(Фо Α Φι) —► А — интерпретация такая, что
51 (= (Фо Л Φι)[7]. Тогда 51 |= ФоЫ, 21 |= ®\Ы· По предположению
51 (= ЗиФд Ы» 21 (= ЗиФ| ^7]. Поэтому существуют
интерпретации 7*: ^^(Фо Л Φι) U {и} -► Д 7г Г ^^(Фо Л Φι) = 7, г = 0, 1,
такие, что 51 (= Ф^ [то], 21 (= Φ ι [71]· Так как отношение ^а
направленное, существует элемент а £ А такой, что 7о(^) ^а α и
71 (м) ^а а. Пусть 7*: ^^(Фо Л Φι) U {u} —► А — интерпретация
такая, что 7* ί ^^(Фо Λ Φι) = 7 и 7*0-0 — α· Ввиду
монотонности имеем 51 (= ф£и)[7*], 21 (= Ф^}[7*] и 51 μ (Ф{0и) Л Ф$и))[7*],
(ф£и) Л ф\и)) = (Ф0 Л Φι)(η). Следовательно, 51 (= Зг*(Ф0 Л Ф\)М[Ц, и
импликация (Фо Л Φι) =>а Зи(Фо Л Φι)^ установлена.
(3) Если Фо — Σ,-формула и Фо =>a3i^Q » m° Зя ^ *Фо ==>а
Зи(Зх^^Ф0)(и).
В силу основных свойств отношений =>а» =21, =>s , =s имеем
Зх ^ ίΦο =>2i Зя ^ ί3ιιΦ^\
Зх ζ ί3ηΦ^] =s ЗиЗх ^ ίΦ^] = Зи(3х ζ ίΦ0γη).
Следовательно, Зх ^ £Фо =>а Зи(3ж ^ ίΦο)^.
(4) £с/ш Фо — Σ-формула и Фо =>аЗиФо , mo Vx ^ £Фо =>а
=^2i3u(Vx^^0)(u).
Соотношения
\fx <ζ ίφ0 =*а ух <ζ ί3πΦ^\ \/χ ^ ί3ηΦ(0η) =а ЗгиУя ^ £3u ^ тФ^и\
справедливы ввиду ограниченности системы 51 и того факта, что Ф^ —
Δο-формула. Из следствия 5.7.8 следует импликация Зи ^ тФ% =>
=>а Фо · Получаем \/х ^ £Фо =>а Зи(\/х ^ ίΦο)^ в силу соотношения
3ηΝχ ^ t3u ^ ъиФ(0и) =>а ЗгиУя ^ £Ф^} =s
Ξ^ ЗгЛ/я ^ £ф£и) = Зи(\/х ζ ίΦ0)(η).
(5) Если Фо ==>аЗг/Фо , mo ЗхФо =^^Зи(ЗхФо)(<иК
Справедливы следующие импликации:
ЗяФо =>а ЗхЗиФц ,
ЗхЗиФ(0и) =Фа ЗиЗх ^ г*ф£и).

200
Гл. 5. Теория моделей
Действительно, пусть η: ^У(Фо) —► А — интерпретация
такая, что 21 (= ЗхЗиФц[у]. Тогда существует
интерпретация У: ^У(Фо) U {х,и} —► А такая, что η1 \ ¥У{Фъ) = 7»
51 (= Фд [У]. Рассмотрим элемент aGi такой, что η'{χ) ^а α,
У (и) ^а а, и интерпретацию η" \ ¥У(Фъ) U {я, и} —► А такую, что
7" \ ^У(Фо) U {х} = У Г FV{<&o) U {я}, i'{u) = α. Тогда в силу
монотонности из 21 |= Фд Μ следует 21 (= Фо Т/"]· Заметим, что
η"{χ) = у (ж) ^^ а = У (и). Тогда 21 (= ЗиЗя ^ мФ^Ы· Поэтому
ЗяФо =»а ЗиЗж ^ иФ^и) = Зи(ЗхФ0)(и\
Таким образом, принцип Σ-рефлексии установлен. D
Приведем одно из следствий принципа Σ-рефлексии для случая
конечной сигнатуры σ, не содержащей функциональных символов.
Следствие 5.7.10. Пусть 21 — ограниченная система
сигнатуры σ, не содержащей функциональных символов, Φ —
Σ-формула сигнатуры σ и η: РУ{Ф) —► А — интерпретация такая,
что 21 (= Φ[7]. Тогда существует элемент а Ε А такой, что
α τ=± {а' | а' ^а а} содержит все значения констант сигнатуры σ,
1{FV{9)) С о a 21 Г a(^end 21) μ Φ[7].
Доказательство. Так как Φ ξ^ ЗиФ^, существует
интерпретация У: FV(&) U {и} -► Л такая, что 7' Г ίν(Φ) = 7 и 21 (= ф(и>[У].
Используя направленность отношения ^а, находим элемент а е А такой,
что {с21 | с Ε σ} U 7/(^νΛ(Φ) U {и}) С α. Система 21 является концевым^
расширением 21 \ а, а ф(и) — Δο-формулой. Согласно предложению
5.7.1 получаем 21 (= ф(и)[У] <=> 21 \ а (= Ф<и)[У], 21 \ а (= Ф^[У],
21 ϊ α (= ЗиФ(и)[7], 21 \ а (= Φ[7], так как ЗиФ^ =>s Φ в силу
предложения 5.7.5. D
Принцип Σ-ограниченности. Если система 21 ограничена и Φ —
Σ-формула, то \/х ^ ЬЗуФ =<& 3vMx ^ t3y ^ νΦ.
Доказательство. Как отмечено выше, всегда верна
импликация 3v\/x ^ t3y ^ νΦ =>s Vx ^ ЬЗуФ. Поэтому требуется установить
импликацию Мх ^ ЬЗуФ =>2i 3vMx ^ t3y ^ г>Ф. По принципу рефлексии
ЗуФ =>ЯЗЦ32/Ф)^). Далее, Vz ^ ί3ί/Φ =^2iVx ^ Яи7(3г/Ф)(и7>. По
принципу Δο-ограниченности
Ух ^ гЗш(ЗуФ)М =»а 3vVz ^ *3ю < у{3УФ)^\
Кроме того,
3w ^ у(ЗуФ)м =>я (32/Φ)υ) [следствие 5.7.8],

§ 5.7. RQ-формулы и Σ-формулы
201
3vVx ^ t3w ζ у(ЗуФ)м =>2i 3v\/x ζ t{3y<b)(v\
{ЗуФ)(у) = Зу ζ νΦ<<ν),
Зу ^ νΦ^ =>s Зу ^ νΦ [предложение 5.7.5],
3ν\/χ ^ г(ЗуФ){у) =>s 3v\/x ^ t3y ζ νΦ.
Итак, Ух ^ £3?/Φ г^Ф^З-гМс ^ t3y ^ г>Ф. Принцип Σ-ограниченности
установлен. D
Следствие 5.7.11. Если система 21 ограничена и Φ — Σ-формула,
то справедливо следующее соотношение:
Ухо ^ t0Vxi ?ζ t\ ...Vxk ^ 1кЗуФ =%
=^3vixo ^ ЦУх\ ^ ii ...Vx/c ^ tk3y ^ г>Ф.
Доказательство. Установим утверждение для к = 1; для
больших /г рассуждения аналогичны. Справедливы следующие
соотношения:
\/х\ ^ ^Зт/Ф =^^3ν\/χ\ ^ ί132/ ^ г>Ф,
V^o ^ ^oV^i ^ ^Зт/Ф =>2i V^o ^ io^Wxi ^ t\3y ^ г>Ф,
V^o ^ io^Wxi ^ ^i32/ ^ νΦ =>2i ЗгиУяо ^ to3v ^ itMci ^ ίι32/ ^ νΦ,
3v ^ w\fx\ ^t\3y ?ζ νΦ =><%\/χχ ^ t\3y ^ гиФ,
V^o ^ ioVzi ^ ίχ32/Φ =»2ΐ Зг^У^о ^ toix\ ^ t\3y ^ ?/;Φ ξ5
ξ5 3W^o ^ t$ix\ ^t\3y ^ νΦ.
Таким образом, следствие 5.7.11 доказано. D
В заключение параграфа укажем без доказательства, как
естественно расширить исчисление ИП^ до исчисления языка RQ-формул так,
чтобы теорема о полноте оставалась справедливой.
Гильбертовское исчисление RQ-формул получается из ИП^
добавлением следующих новых схем аксиом и правил вывода.
Определение. Новые аксиомы:
1 Г) Vx ^ ίΦ Λ to ^ t —> (Ф)?0, где χ не входит в t\
12') (Ф)£о Λ to ^ t —> Зх ^ £Ф, где χ не входит в t.
Новые правила вывода:
(х ^ t Λ Φ) —у Φ
2') — —-, если χ не входит свободно в Φ и не входит в t;
Φ —► \/х ^ ίΦ
(χ ^ t Λ Φ) —> Φ
3') —-—-— —, если χ не входит свободно в Ф и не входит в t.
Зх ^ ίΦ —► Φ

202
Гл. 5. Теория моделей
Упражнение
1. Доказать, что система (Ζ, +,0, ^) не является ограниченной.
(Указание. Рассмотреть формулу \/х ^ ОЗух + у ~ 0.)
§ 5.8. Формульная определимость
Используя формулы (RQ-формулы) сигнатуры σ, можно определять
предикаты на алгебраических системах сигнатуры σ.
Пусть Φ — формула сигнатуры σ и уо,... ,ук-\ — список попарно
различных переменных такой, что РУ(Ф) С {у0,... ,2/fc-i}. Тогда для
любой алгебраической системы 21 соответствующей сигнатуры на А
определяется fc-местный предикат
ф*[у] *=* {(αο,...,α/e-i) | a>i G A,i < λ;; 21 (= Ф[7а]> где интерпретация
Ία'· {2/0 2/fc_i} -► А такая, что 7а(?/г) = aifi< к}.
Замечание 5.8.1. Можно рассматривать конструкцию Фа[у] и без
условия РУ(Ф) С {у0, ...,2/fc_i}. Тогда «предикат» Ф21^] зависит от
параметров ГУ(Ф)\{уо, ...,yk-\} и имеет однозначный смысл, лишь
когда задана интерпретация η: FV{<&) \ {у} —> А и имеет место
соотношение
Ф*{у]Ы^{а=(ао,..-,ак_1)\аеА\Ъ^Ф[1аи1}}.
Определение. Предикаты вида Ф®[у] называются σ-формульными
на 21.
Предложение 5.8.2. Пусть 21 — алгебраическая система
сигнатуры σ, σ' = σ U (P^,..., Psfcs), 2Γ = (21, Qo, ··· ><2s) — обогащение 21
do сигнатуры σ' такое, что Qiy г ^ s, — σ-формульный
предикат на 21. £с/ш Q — σ*-формульный предикат на 21', то Q —
σ-формульный предикат на 21.
Доказательство проведем для случая s = 0; общий случай
получается индукцией по s.
Пусть у? — формула сигнатуры σ такая, что Qo = У>а[у]» и
Φ — формула сигнатуры σ U (Ро) такая, что Q = Ф<ад°>[г].
Предполагая, что все связанные переменные формулы φ не встречаются
в Ф, определим синтаксическую операцию подстановки (Ф)^] сле"
дующим образом: формула (Ф)5^ сигнатуры σ получается из
формулы Φ сигнатуры σ U (Ро) заменой каждой атомарной подформулы
формулы Φ вида Ро(£о> ··· Лк0-\) формулой {φ)\1]Ζ^°-\ · Заметим, что
FV ((Ф)2_,) С FV&).

§ 5.8. Формульная определимость
203
Индукцией по построению формулы Φ устанавливается следующее
утверждение: для любой интерпретации η: FV{<&) —► А имеет место
соотношение
<a,Qo)|=*[7] ^ аИ(Ф)?вя[7] (*=(a.<3o>(*U)·
Единственный нетривиальный случай — когда Φ атомарна и имеет
вид -Ро(*о *Λο-ι):
<afQo)M[7] <=> (^[7],...,^0-iW)^Qo <=»
<=> % Ν vh^l. где тъ*[7]Ы = *?Мл < *о. <=>
^ а и м|[7] <=» 51 и (fl,(t))Jm[7].
Из указанного свойства сразу вытекает, что для любой формулы Φ
сигнатуры σ U (Ро) имеет место соотношение
Φ<**>Η-((Φ)?Μ)βΗ,
из которого следует заключение предложения 5.8.2 (для s = 0). D
Замечание 5.8.3. Как отмечалось выше, конструкцию <ра[у]
можно использовать и без условия FV(ip) С {у}. Это же
справедливо и для подстановки. Предположим, что все переменные
формулы φ не встречаются в Ф. Тогда формула (Ф)£?-,, определенная
выше, обладает следующим свойством: для любой интерпретации
7: FV(<&) U (FV(<p) \ {у}) —► А справедливо соотношение
<α.Λ][7']> Ν φ ^ 21И (Ф)ЙЙЫ. У ^ 7 Г (i^M \ Ш).
Наряду с понятием формульного предиката можно ввести и понятие
формульной функции. Пусть 21 — алгебраическая система сигнатуры σ.
Определение. Функция д: А1 —> А называется σ-формульной на 21,
если ее график Γσ = {(α, 6) | α G Az,fe G A,g(a) = 6} С A/+1 является
σ-формульным предикатом на 21.
Справедливо естественное обобщение предложения 5.8.2.
Предложение 5.8.4. Пусть 21 — алгебраическая система
сигнатуры σ, σ' -σϋ^0,...,/^,^0,..,^), SI7 = (2l,<?0, ... ,<7m, Qo, ···
• ,Qs) — σ'-обогащение 21 такое, что gi.i^m —- σ-формульные
функции, Qj,j ^ s, — σ-формульные предикаты. Тогда любой
σ'-формульный предикат (σ''-формульная функция) на 21' является
σ-формульным предикатом (σ-формульной функцией) на 21.

204 Гл. 5. Теория моделей
Установим сначала следующее общее утверждение.
Лемма 5.8.5. Для любой формулы Φ можно эффективно найти
формулу Φ той же сигнатуры такую, что Φ ~s Φ, FV(<&) = FV($)t
любая атомарная подформула формулы Φ является атомной, а
любой ограниченный квантор формулы Φ имеет вид Зх ^ у или \fx ^ у.
Доказательство. Легко проверяется справедливость
следующих эквивалентностей:
Зх ^ ίΦ =s 3y(y &tA3x^ уФ), у (£ ^У(Ф) U FV(t),
Мх ^ ίΦ =s 3y(y « t Λ Ух ^ уФ), у i FV{$) U FV(t),
P(to,...,tk-\) =s3xo...3xk-\( /\xi~ илР(хо,...9Хк-\)\
i<k
*ii \jFV(tj),j<k,
j<k
taf(to,...ttl-i)=sf(t0,...ftl-l)*t=s
=s ЗхЗхо...3xi-\(x яал/\хг&иЛх& f(xo,...,xi-\)),
i<l
где x,X{ £ (J FV(tj) UFV(t), г < l. Если формула Ф содержит подфор-
3<k
мулы вида Зх ^ £Ф (Ух ^ №), где терм t отличен от переменной, то,
последовательно заменяя их на Зу(у « t Λ Зх ^ уФ) (Зу(у &t Л\/х ?ζ уФ)),
добьемся того, что Φ не будет содержать таких подформул.
Определим ранг p(t) терма t по индукции:
р(х) = 0, p{f{to,...,ti-\)) = maxρ(ί»)+ Ι,
и ранг р(Ф) атомарной формулы Ф:
— когда Φ есть P(to,... ,tk-\), полагаем р(Ф) = 0, если p(to) =
= ... = p(tk-\) — 0, и р(Ф) = тахр(^) + 1, если существует г < к
г<к
такое, что p(ti) > 0;
— когда Φ есть to ж t\, полагаем р(Ф) = 0, если p(to) = p{t\) = 0,
и р(Ф) = ρ(ίο) + ρ(*ι) - 1» если р(£о) > 0 или ρ(ίι) > 0.
Заметим, что для атомарной формулы Φ равенство р(Ф) = 0
выполняется тогда и только тогда, когда Φ атомная.
Наконец, определим ранг р(Ф) для произвольной формулы Φ как
максимум рангов ее атомарных подформул.

§ 5.8. Формульная определимость
205
Если р(Ф) > 0, то каждую атомарную подформулу вида Ρ(ίο» ···
...,ifc_i) формулы Φ такую, что p(P(to...,tk-\)) > 0> заменим
формулой
Зх0...Зхк-\ (/\xi& илР(хо,...,хк-\)),
г<к
а каждую атомарную подформулу вида
t&f(t0,...9ti-i) (или /(*о *i—i) ~t)>
такую, что
р(/(*о *ι-ι)) > 1 (или p(t) =p(f(to,...,U-i)) = 1),
заменим формулой
3χ3χο...3χι-\(χ «*лДж»«^Лж« /(ajo,...,a?i-i)V
В результате получим формулу Ф' такую, что
Φ =s Φ', ίν(Φ) = FV&') и р(Ф') < р(Ф).
Если р(Ф') = 0, то Φ ±=; Ф' удовлетворяет заключению леммы. Если
р(Ф') > 0, то, образуя последовательность
Φ,Φ', (Φ')',...,Φ(η+1) ±=? (Ф(п))', ...,
находим η ^ р(Ф) такое, что р(Ф^) = 0. Тогда Φ ±=? ф(п) удовлетворяет
заключению леммы 5.8.5. D
Доказательство предложения 5.8.4. Достаточно
рассмотреть случай σ' = συ (/ο°)·
Пусть φ — формула сигнатуры σ такая, что Т9о = φ®[у], и Φ —
формула сигнатуры σ' такая, что Q = Φ^'9ο^[ζ]. Согласно лемме 5.8.5
можно считать, что любая атомарная подформула формулы Φ является
атомной.
Определим по формулам Φ и φ формулу Φ сигнатуры σ,
заменив В Φ ВСЯКУЮ аТОМНуЮ ПОДформулу ВИДа Х{ « /θ(Χΐο>···>#^0_ι)
(/oteio,...,^.,) «ж») формулой (^)^7^0-%· Tor^a (так же как
в доказательстве предложения 5.8.2) устанавливается следующий
факт: для любой интерпретации η\ РУ(Ф) —► А справедливы
соотношения
(21, до) И Ф[7] <=^ 2ίΗ *М (Φ Щш,до)П
Следовательно, Фа,50[г] = Фа[г]. Предложение 5.8.4 доказано. D

206
Гл. 5. Теория моделей
Пусть 51 — алгебраическая система.
Определение, fc-местный предикат Q С Ак на А называется
Σ-предикатом (на 51), если существуют Σ-формула Φ и переменные
2/0 2/fc—ι такие, что Q = Ф*[у].
Определение. Σ-предикат Q С Ак называется А-предикатом
(на 51), если предикат Ak\Q является Σ-предикатом.
Определение. Функция д: А1 —► А называется Σ-функцией (на 51),
если ее график Гд является Σ-предикатом.
Заметим, что если д: А1 —► А является Σ-функцией, то ее график
будет даже Δ-предикатом. Действительно, если Φ — Σ-формула и у =
= yo,...,yi — переменные такие, что Тд = Ф^[у], то для Σ-формулы
Φ ±=? 3ζ((Φ)^ Λ ~"yi « ζ) легко проверить равенство Фа[у] = Α/+1 \ Г^.
Справедлив следующий аналог предложения 5.8.4.
Предложение 5.8.6. Пусть 51 — алгебраическая система
сигнатуры σ, σ' = a\J(fb,...,ffc,P*°,...,pk·), И'= (51,<?ο,... ,<7m, Qo,...
•••>Qs) — σ'-обогащение 51 такое, что gi,i ^ га, — Σ-функция на
51, Qj,j ^ s, — Α-предикат на 51. Тогда любой Σ-предикат на 51'
является Σ-предикатом на 51.
Нам понадобится следующий вариант леммы 5.8.
Лемма 5.8.7. Для любой Σ-формулы Φ можно эффективно
найти Σ-формулу Φ той э/се сигнатуры такую, что Φ ξ5Φ u
FV($) = FV($), любая атомарная подформула формулы Φ
является атомной, Φ не содержит импликации, все отрицания в Φ
встречаются только перед атомными формулами, а любой ограниченный
квантор Φ имеет вид Зх < у или Мх < у.
Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать, что
Φ не содержит импликации и отрицания в ней встречаются лишь перед
атомарными подформулами. Так же, как в лемме 5.8.5, можно получить
формулу с теми же свойствами, все ограниченные кванторы которой
имеют вид Зх ^ у или Vx ^ у. Далее определяется преобразование
Φ в Ф' (если ранг р(Ф) > 0), как в лемме 5.8.5, со следующими
уточнениями:
— подформулу P(to, ...,ifc_i), если она положительно входит в Φ и
p(P(to,...,tk-\)) > 0, заменяем формулой
3x0...3Xfc_l ( Д Xi & U Λ Р(хо, ... ,Хк-\)\ ,
4<fc '

§ 5.8. Формульная определимость
207
а подформулу вида ~*Ρ(ίο,... Лк-\) — формулой
Зх0...Зхк-{1 f\xi ъ U Λ^Ρίχο,... ,хк-\)у,
— подформулу t » f(to,...,U-\) (или f(tot...tti-\) « t), если она
положительно входит в Φ и p(f(to,..., ί/-ι)) > 1 (или р(£) = p(f(to,...
...,£/_ι)) = 1), заменяем формулой
ЗхЗх0...3χι-ι (ж«*лДж<«^Л1« /(жо, ...,a?i_i) J,
а подформулу ""ί «/(ίο, ···,£/-1) (или ""'/(ίο. ···,£/-1) ^ 0 с теми же
условиями на ранги — формулой
3χ3χ0···3χ/_ι (ж«*лДж<«*<Л~'ж« /(а?о, ...,£/-i)j.
^ г<1 '
После этих замен получаем Σ-формулу Ф' такую, что Φ ξ^Φ',
Ρν(Φ) = РУ(Ф'), ρ(Φ') < ρ(Φ), удовлетворяющую тем же условиям,
что и формула Ф. После η < р(Ф) шагов находим требуемую формулу
φ — фМш □
Доказательство предложения 5.8.6. Достаточно
рассмотреть два случая: σ' = σ U (P0fc°) и σ' = σ U (/q°).
Случай σ' = συ (Ρο*0)· Пусть ψο,φχ — Σ-формулы (сигнатуры σ) и
переменные у = y0> ···, 2/fc0-i таковы, что Q0 = ρ* [17] и Ак° \Qo = ψχ [у].
Пусть Φ — Σ-формула сигнатуры σ' и ζ = ζο,..., zk-\ — список
различных переменных такой, что FV($) С {ζ} и Q ^ Ф21 [г] С Afc —
Σ-предикат на 21'. Не уменьшая общности, будем предполагать (см.
лемму 5.7.2), что формула Φ не содержит импликации и отрицания
встречаются в ней только перед атомарными формулами. Предположим
также, что все связанные переменные формул φο и φ\ не встречаются
в Ф. Образуем Σ-формулу Ф, заменяя в Φ каждое положительное
вхождение подформулы Φ вида Ро(*о. ···,***>-1) на (ψοΫ^Ζ^-ΐ» а кажД°е
вхождение подформулы вида "Ро^о, ··· Лк0-\) на {φ\)ν^]Ζ^~\ · 0™е~
тим, что FV(V) С РУ(Ф).
Индукцией по построению Φ без труда устанавливается следующее
утверждение: для любой интерпретации η: FV{$) —► Л имеет место
соотношение (21, Qo) И фЫ <=> а N ФЫ (ф =<ад0)ф)·
Нетривиальными являются лишь случаи Φ = Po{to, ··· Лк0-\) и
Φ = "Po{to, .·· ,tko-\)· Оба они рассматриваются одинаково. Поэтому
ограничимся рассмотрением Φ = "Ро^о,··· ,^0-ι)· Пусть η: FV($) —►
—> А — интерпретация. Тогда
(2l,Qo)N$[7] <=► <Ш-.С[7]}£<?0

208
Гл. 5. Теория моделей
*=* (tob) С.Ь])€^-'\^о(-^[Ш <=^
<=*af= ¥>i[7t*[7]] [где Vhife) = <?W. * < *θ] <=>■
^=* 2t|= (v.)fW <=^ 2С(=Ф[7].
Следовательно, Q = Ф^^)Щ = Фа[з] — Σ-предикат на 21.
Случай σ' = συ (/q0). Пусть σ' = σ U (/^°) и 21' = (a,#0).
Предположим, что Σ-формула (сигнатуры σ) φ и переменные у = уо,... ,yiQ
таковы, что Гс,0 = у?а[у].
Пусть Φ — Σ-формула сигнатуры σ' и г = го,... ,Zk-\ — список
различных переменных такой, что РУ(Ф) С {г} и Q ±=? Ф21 [г] —
Σ-предикат на 21''. Предположим, что все связанные переменные
формулы <р не встречаются в формуле Φ и последняя
удовлетворяет заключению леммы 5.8.7. Образуем Σ-формулу Φ сигнатуры σ,
заменяя в Φ каждое положительное вхождение подформулы
вида и « /o(uo,...,Ui0-i) (или /o(wo,...,Wio_i) « гл) формулой (<p)£tti,
а каждое вхождение подформулы вида ~"и « /о(щ, ··· . ^ζ0-1) (или
~* fo{uo, ...,u/0_i) « и) — формулой 3a?((<p)|tiI. Λ ""Ίι « χ). Как и
выше, индукцией устанавливается следующее утверждение: d/гя
любой интерпретации η: FV{<&) —► Л имеет место соотношение
21' = (21, #о) И Ф[7] <=>»(= Φ[7]. Следовательно, Фа'[г] = Фа[г],
и Q = Фа [г] является Σ-предикатом на 21. Предложение 5.8.6
доказано. D
Предложение 5.8.8. Пусть 21 — ограниченная алгебраическая
система сигнатуры σ, σ' = συ (/q°, ... ,/^1, P0fc°,... ,Psfcs), 21' = (SI,^o,...
·■· ,9m,Qo, ··· , Qs) ~ σ'-обогащение 21 такое, что gi, г ^ га, —-
Σ-функция на 21, Qj, j ^ s, — Α-предикат на 21. Тогда 21' —
ограниченная алгебраическая система сигнатуры σ'.
Доказательство. Требуется проверить лишь принцип
Δο-ограниченности для Δο-формулы сигнатуры σ'. Но согласно
предложению 5.8.6 для любой Σ-формулы (не только Δο-формулы)
Φ сигнатуры σ' существует Σ-формула Φ сигнатуры σ такая, что
Φ = а/Ф. Следовательно, Vx ^ ЙуФ = %>Ух ^ t3y4!. По принципу
Σ-ограниченности (см. §5.7) имеем \fx ^ £ЗуФ =^3v\/x ^ t3y < г>Ф.
Но тогда
Vx ^ ЙуФ =а/ \/х ^ Ят/Ф =а/ 3vVaj ^ t3y ^ νΦ =а/ 3vVx ^ £3y ^ г>Ф.
Предложение 5.8.8 доказано.
D

§ 5.9. Позитивные формулы и монотонные операторы 209
§ 5.9. Позитивные формулы и монотонные операторы.
Определение. RQ-формула Φ сигнатуры σ называется позитивной,
если она не содержит ни импликации, ни отрицания, ни ограниченных
кванторов всеобщности.
Основное семантическое свойство позитивных формул указано
в следующем предложении.
Предложение 5.9.1. Пусть 21, *В — алгебраические системы
сигнатуры σ, а: 21 —► *В — эпиморфизм (гомоморфизм «на»), Φ —
позитивная формула, η: FV(<&) —► А —- интерпретация в А. Тогда
21 (= Ф[7] =» <В (= Ф[а7]. (5.14)
Доказательство. Применим индукцию по построению
формулы Ф. Для атомарной формулы Φ соотношение (5.14) справедливо по
определению гомоморфизма.
Если (5.14) справедливо для Фо и Φι, то легко проверить, что (5.14)
также справедливо для Фо V Φι и Фо Λ Φι.
Пусть (5.14) справедливо для Φ и 21 \= УжФ[7]. Предположим, что
интерпретация η' \ FV(<&) —► В такова, что η1 \ РУ{Ф) \ {χ} = αη.
Поскольку а есть отображение А на В, существует элемент а £ А
такой, что а(а) = У(х). Пусть 7*: ^ν(Φ) —► А —- интерпретация
такая, что 7* Г ^РУ(Ф) \ {я} =7 и 7*(ж) — α· Тогда а7* — 7'· Так
как 21 (= УхФ[7], верно 21 (= Φ[7*], и согласно индукционному
предположению *В (= Φ[α7*] (53 (= Φ[7ΐ)· Итак, для любой интерпретации
77: ^У(Ф) —► В такой, что 7' \ FV{$) \ {х} = αη, имеем <В (= Φ [7']·
Поэтому <В (= \/хФ[сгу] и ^хФ удовлетворяет (5.14).
Если Φ обладает свойством (5.14), аналогично проверяется, что ЗхФ
и Эх ^ ίΦ обладают свойством (5.14). D
Формула Φ может не быть позитивной, но возможно, что некоторые
предикатные символы входят в нее позитивно. В этом случае
справедлив некоторый вариант предложения 5.9.1.
Пусть Φ — формула сигнатуры σ такая, что Φ не содержит
импликации и отрицания в ней встречаются только перед атомарными
подформулами. Будем говорить, что предикатный символ Ρ сигнатуры
σ входит позитивно в Φ (обозначаем Ф(Р+)), если Φ не имеет
подформул вида "Ρ(ίο, ··· >tk-\) ни для каких σ-термов to, ...,tk-\.
Пусть Ρ входит позитивно в Φ, σο ^ σ \ (Рк), 21о — алгебраическая
система сигнатуры σο, Q С А$. Тогда (2lo,Q) есть алгебраическая
система сигнатуры σ ((Sto. Q) — обогащение 21о до σ и Рт = Q). При
сделанных предположениях справедливо

210
Гл. 5. Теория моделей
Предложение 5.9.2. Если предикат R С А§ таков, что Q С R,
то для любой интерпретации η\ FV{$) —► Ао имеет место
импликация (Slo.Q) И Ф[7] =» <Яо,Я) И Ф[7].
Доказательство. Как при доказательстве предложения 5.9.1,
применим индукцию по Ф. Отличия состоят лишь в базисе индукции.
Если Φ — атомарная формула или отрицание атомарной формулы и Φ
не содержит Р, то
(Oo.Q) И Ф[7] «=» ^о И *W «=» <Ио. Д) N Ф[7].
Если Φ содержит Ρ, Φ должна иметь вид P(to, ··· Лк-\)- Поэтому
<Яо,д> h Ф[7] => (СЫ-Л^Ы) е Q =>
=» (<о°[7]....,ttih)) eR^(%>,R)\= Ф[7].
Предложение 5.9.2 доказано. D
Предложение 5.9.2 позволяет связывать формулами, имеющими
позитивные вхождения предикатного символа, некоторые интересные
монотонные операторы.
Пусть формула Φ позитивно содержит fc-местный предикатный
символ Р, и пусть χ = хо,... ,Хк-\ — список попарно различных
переменных такой, что Ρν(Φ) С {χ} (такой список может быть пустым).
С формулой Ф(Р+), списком χ и алгебраической системой 21о
сигнатуры σο = σ \ (Ρ) свяжем оператор Гф?_л на множестве V(Aq) всех
fc-местных предикатов на Ао следующим образом: для Q С А§ полагаем
г5°тЮ) - Ф<Яо,д>й = {(oo,...,afc-,> | (Яо,д> И Ф[7о]
(=Φ(α0,...,αΛ;_ι))}.
Из предложения 5.9.2 вытекает монотонность этого оператора:
Qcflc4*=>r^(Q)cr*,(fi).
С оператором Гф?-л свяжем последовательность
Γ0,Γι,...,Γα,... (α — ординал)
fc-местных предикатов на Ао следующим образом:
Г0 ^ 0, Га+1 ^ Г*°и(Га), Г« ^ (J 1>,
/3<α

§ 5.9. Позитивные формулы и монотонные операторы 211
где α — предельный ординал. Заметим, что α < β влечет Га С Γβ.
Действительно, в противном случае предположим, что ао —
наименьший ординал, для которого существует ординал β такой, что αο < β
и Гао £ Г/з, и βο — наименьший ординал, для которого ао ^ βο и
Га0 2 Г/з0. Ясно, что ао т^ Аь т· е. ао < А), и ао не может быть
предельным, так как иначе Га С Γβ0 для всех а < ао (по выбору наименьшего
ао). Следовательно,
Гао = (J Га - Г#>'
а<ао
что невозможно. Таким образом, ао = а + 1 для подходящего а.
Покажем, что ординал βο также не может быть предельным. Действительно,
если βο предельный, то
Гао ^ Ur^ = ГД>'
β<βο
что невозможно. Таким образом, βο = β + 1 для подходящего β и
α ^ /?, но тогда
Га С Г/?, Гао = Γα+ι = Гф^(Га) С ГФИ(Г/з) = Г/з+1 = Г>0.
Пришли к противоречию.
Если Га = Γα+ι для некоторого а, то Γβ = Га для всех β > а.
Заметим, что найдется ординал α такой, что Γβ = Γα. Пусть /? —
ординал такой, что Г7 φ Γ7+ι для всех η < β и
£>7^Г7+1\Г7, 7<А 0±^JjD7.
Так как ΌΊ φ 0 для η < β, по аксиоме выбора существует элемент
/ G D такой, что /:/?—► А) и при 70 < 7ι < β из соотношения
Г70 С Γ70+ι С Г71 с Γ7ι+ι
вытекает разнозначность функции /. Следовательно, \β\ ^ \Ао\. Тогда,
если α — ординал такой, что его мощность больше мощности Ао, то
Га = Γα+ι.
Обозначим через Г* множество Га для наименьшего ординала α
такого, что Γα+ι = Γα.
Множество Г* является наименьшей неподвижной точкой
оператора Гф?-1, т.е. Гф?-л(Г*) = Г* и Г* С Δ, если предикат Δ С А§
таков, что Γ^(Δ) = Δ.
Первое свойство имеет место по определению Г*. Для
доказательства второго свойства индукцией по α устанавливается, что для

212
Гл. 5. Теория моделей
любого предиката Δ С А§ такого, что Γφ?_π(Δ) С Δ, верно соот*
ношение Га С Δ. Действительно, Го = 0 С Δ. Если Га С Δ, то
Γα+ι = Гф^(Га) С Γφ^(Δ) С Δ. Если ординал а предельный и
Г β С Δ для всех β < а, то Га = |J Г^СА.
Таким образом, Г* является предикатом на А$, однозначно
определенным формулой Ф(Р+) (и набором х). Это определение безусловно
сложнее формульного определения предикатов, приведенного в §5.8.
Однако в §7.2 будет рассмотрен важный случай, когда для Σ-формулы
Ф(Р+) предикат Г* окажется Σ-предикатом.
В заключение параграфа укажем некоторые свойства ограниченных
систем по отношению к Σ-формулам Ф(Р+).
Предложение 5.9.3. Пусть Яо — произвольная алгебраическая
система сигнатуры σο, предикатный символ Ρ входит позитивно
в Σ-формулу Φ сигнатуры σ = σο U (Pk) и χ = χο,..., Xk-\ — список
различных переменных такой, что
^У(Ф) С {ж} = {жо,...,**-ι}.
Тогда оператор Гф?-л переводит Έ-предикаты на Яо в Σ,-предикаты.
Доказательство. Пусть Q С Ак — Σ-предикат, φ — Σ-формула
сигнатуры σο такая, что Q = <pa£z], и Ψ ±=; (Φ(Ρ+))£γ-ι. Тогда Φ
является Σ-формулой сигнатуры σο и для любой интерпретации η: {χ} —► Ао
имеет место эквивалентность (2to, Q) (= Φ[7] <=> 2lo (= Φ[7]· Поэтому
Гф^((Э) = Φ<*°·3>[ζ] = Ф*°[х] - Σ-предикат на Яо. D
Предложение 5.9.4. Пусть Яо — ограниченная алгебраическая
система сигнатуры σο, предикатный символ Ρ {£ σο) входит
в ^-формулу Φ сигнатуры σο U (Pk) позитивно, χ = яо, ··· ,Xk-\ —
список различных переменных такой, что FV{<&) С {х}. Тогда
операторы Гф?-л и Г^ф(и)г^. действуют одинаково на Σ,-предикатах
QCA% на Яо.
Доказательство. Пусть Q = у?а°[у] С Лд для некоторой
Σ-формулы сигнатуры σο. Тогда импликация Эиф(и> =>з-Ф приводит
к соотношению Г^ф(и)г_,(ф) С Γφ?-,(φ). Из доказательства
предложения 5.9.3 следуют равенства
Так как Яо ограничена, а Ф — Σ-формула, имеем

§ 5.9. Позитивные формулы и монотонные операторы 213
В силу импликации φ^ =>s<£ справедлива импликация
(Зиф("))^(и)[-]^5(Зиф("))^ = Ф0.
Следовательно,
Φ =»Ио Фо,
r^,(Q) = Фа°[х] с ф*и = r^.)w(Q).
Поэтому Г^]((3)=Г^ф(и)и(д). Π
Принцип Σ-параметризации. Пусть Яо — ограниченная
алгебраическая система сигнатуры σο, предикатный символ Ρ (£ σο)
входит позитивно в Σ-формулу Φ сигнатуры σ = σο U (Pfc).
Предположим, что φ(χ,ν) = (р(х,уо,...,Ук-\) — Σ-формула сигнатуры σο,
Q^ ^ (Эжр)*0^] = {α I Яо Ν Эжр(ж, ά)},
Qa ±=? [a I Яо (= φ{α,α)}, а е А,
и из а ^ а' следует Qa С Qa/. Тогда для любой интерпретации
7: ^У(Ф) —► Ао такой, что (%lo,Q<p) И $W» существует элемент
ао е А такой, что (Яо,<2а0) Ν ΦΜ·
Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать что
φ — Δο-формула. Действительно,
3xip(x,y) = ^03и3х ^ и(рм(х,у).
Если (ро(и,у) ±=? Зх ^ и(р(и\х,у), то
Q^o f=5 3u^°[y] = {a I Яо (= 3u<p0(u,a)} = Q^,
Q°a ί=? {a | Яо (= <ρο(α,ά)} CQa, aG Л0,
и </?o является Δο-формулой.
Пусть Ф ^ (Φ(^+))^(
хШуУ ^огда * ~~ Σ-формула сигнатуры σο,
справедливо FV{4!) С FV{$) и для любой интерпретации η: FV{$>) —►
—► Ао имеет место
<ao,Q„>MM <=» Яо|=Ф[7].
Так как Яо ограничена и Φ — Σ-формула сигнатуры σο,
верно Φ Ξ^ΒίΐφΜ. Заметим, что Ф« = (&η))ζχ^φ{χ,ν)[ν]. Если
интерпретация η: FV{$) —► Ло такова, что (Яо,<2^) ρ Φ[7]» т0
Яо (= Φ[7] и Яо (= ЗгхФ^[7]. Следовательно, существует интерпретация

214
Гл. 5. Теория моделей
7': FV(4f) U {и} -> А0 такая, что У Г FV{V) = 7 и Яо (= Ф(гх)М· Если
«о ^ 7'(u)> то
*о Ν (φ^^ί,^ί^^Μ. (Яо.Q'ao) N Ф(и)[7'].
где
Q'ao^{a\%o\=3x^a0<p{x,a)}= (J QaQQao-
αζαοαο
Так как ф(«) =*s*, имеем (Slo.QJJ И Ф[У], (Яо,^) И *W, а
поскольку Ρ входит в Φ позитивно и <5ά0 Q Qao> заключаем, что
(а,дао)ИФ[7]. а

Глава 6
ТЕОРИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
§6.1. Генценовская система G
Изученные ранее исчисления представляют собой естественные
формализации правил логики. Однако для более глубокого изучения
самого понятия доказательства более удобными являются другие
формы исчислений. В настоящем параграфе мы изучим одно из таких
исчислений G, близкое к исчислению, предложенному Генценом.
Алфавит исчисления G отличается от алфавита исчисления
предикатов гильбертовского типа, изученного в гл. 4, отсутствием знаков
импликации и равенства. Понятие формулы исчисления G отличается
от соответствующего понятия формулы Hllf: 1) отсутствием правил
образования формул вида (Ф —> Ф), t\ « t<i и 2) выполнением условия
несмешанности переменных, которое означает отсутствие
переменных, имеющих как свободные, так и связанные вхождения в
формулу. Секвенции G — это выражения вида ГКО, где Г и θ —
конечные, возможно пустые, последовательности формул исчисления G
такие, что для Г h Θ выполнено условие несмешанности переменных,
определяемое для секвенции так же, как и для формул. Соглашения
о сокращенной записи формул и некоторые обозначения, используемые
ниже, имеют тот же смысл, что и в гл. 4.
Определение. Аксиомами исчисления G являются секвенции вида
Ф,Г h θ, Φ, где Φ — атомарная формула, Г и θ — последовательности
(быть может, пустые) атомарных формул.
Определение. Правилами вывода исчисления G будут следующие:
ΓΚθ,Φ,ΓΚθ,Φ 0 Φ,Φ,ΓΚθ
1.
ΓΚΘ,ΦΛΦ ' ' ΦΛΦ,ΓΚΘ'
г ье, φ, φ φ,γκθ-,ψ,γκθ
' ΓΚΘ,ΦνΦ' ΦΥΦ,ΓΚΘ '

216
Гл. 6. Теория доказательств
г φ,γκθ „ γκθ,φ
5. _ , ^—-, 6.
ΓΚΘ,^Φ' ' -Φ,ΓΚΘ'
Г h θ, (Ф)£ [Φ]J, Г h θ где ?/ не входит
ΓΚΘ,3χΦ' 8' ЗхФ,ГЬ0' свободно в
формулы из Г и Θ,
ГЬ©,[Ф]* где у не входит (Φ)£,ΓΚΘ
9' ΓΚΘ,ΥχΦ' свободно в Ф°Р" ΐα ΥχΦ,ΓΚΘ'
мулы из Г и Θ,
ΓΚΔ,Φ,Ψ,Θ Γ,Φ,Ψ,ΔΚΘ
' ΓΚΔ,Ψ,Φ,Θ' ' Γ,Ψ,Φ,ΔΚΘ'
ΓΚΘ,Φ,Φ Φ,Φ,ΓΚΘ
' ΓΚΘ,Φ ' ' Φ,ΓΚΘ '
Правила 1-10 называются основными, а правила 11-14 —
структурными. Структурные правила И и 12 называются правилами
перестановки или перестановками, а правила 13 и 14 — правилами
утончения или утончениями. Понятие доказательства (линейного и в виде
дерева) определяется так же, как для исчисления предикатов.
Отметим ряд особенностей этого исчисления. Во-первых, это
большая симметричность правых и левых частей секвенции Г h θ
(называемых заключением или сукцедентом (Θ) и посылкой или
антецедентом (Г) соответственно). Во-вторых, каждое основное (в отличие от
структурных) правило под чертой содержит более сложную формулу,
получаемую из формул посылки (эту формулу будем называть главной
формулой правила). Третья особенность — свойство подформульно-
сти — требует введения новых понятий.
На вхождениях I секвенций в доказательство D в виде дерева
определим операцию / следующим образом: если I — заключительное
вхождение в D, то 1(1) = J; если I содержится в переходе Ρ над
чертой, то /(/) есть вхождение секвенции из перехода Ρ под чертой. На
вхождениях J формул в дерево D определим операцию S следующим
образом: если J содержится во вхождении I некоторой секвенции, то
S(J) входит в секвенцию /(/); если J входит в последовательность
Г или θ (или Δ) в секвенции J, то S(J) равно тому же вхождению
формулы в Г или θ (или Δ), но уже в секвенции /(/); для основных
правил, если J не входит в Г и Θ, то S(J) есть главная формула
перехода, для структурных правил, если J не входит в Г, θ или Δ,

§ 6.1. Генценовская система G
217
то в обозначениях правил 11-14 имеем 5(Ф) = Ф,5(Ф) = Ф. Если
для некоторого положительного η имеем ln{I\) = h, то говорим, что
вхождение 1\ в дереве D расположено выше вхождения 1^. (Здесь
через 1п{1) обозначается значение /.../(/), где I повторено η раз.) Если
для некоторого положительного η имеем Sn{J\) = J2, то говорим, что
J\ является предком J2, a J2 является потомком J\.
Если Φ — формула исчисления G, χ — переменная, £ — терм, то
будем говорить, что терм t свободен для переменной χ в формуле Ф,
если Φ не имеет свободных вхождений переменной χ или если ни одна
переменная терма t не имеет связанных вхождений в Ф.
Расширим понятие подформулы, считая обобщенными
подформулами формул ЕкгФ, УжФ и формулы (Ф)?, где терм t свободен для жвФ.
Замечание 6.1.1. Если Φ есть обобщенная подформула формулы Φ
и переменная ν имеет связанное вхождение в Ф, то она имеет связанное
вхождение и в Ф.
Назовем булевой сложностью /3(Ф) формулы Φ число вхождений
символов из множества {~\Λ,ν} в Ф.
Замечание 6.1.2. Если Φ является обобщенной подформулой
формулы Ф, то /3(Ф) < /3(Ф).
Справедливо следующее свойство подформульности.
Лемма 6.1.3. Отношение предок-потомок удовлетворяет
следующим условиям: если вхождение секвенции Со находится выше
вхождения секвенции С\, то для любого вхождения формулы в Со
существует единственный ее потомок в С\; для любого вхождения
формулы в С\ существует по крайней мере один его предок в Со-
Любой предок является обобщенной подформулой потомка.
Справедливость леммы легко устанавливается индукцией. D
Хотя в определении понятий формулы и секвенции G
предполагалось условие несмешанности переменных, этого не предполагается
в определении доказательства (в виде дерева). Тем не менее, можно
даже требовать большего. Будем говорить, что доказательство (в виде
дерева) D обладает свойством чистоты переменных, если для
дерева D выполнено условие несмешанности переменных и для любого
перехода в D по правилам 8 или 9 соответствующая переменная у
встречается только в секвенциях, находящихся выше заключительной
секвенции этого перехода.
Лемма 6.1.4. Для любой доказуемой в G секвенции
существует доказательство этой секвенции со свойством чистоты
переменных.

218
Гл. 6. Теория доказательств
Доказательство. Пусть D — доказательство секвенции С в G.
Скажем, что переменная у исчезает в переходе Ρ дерева D, если у
имеет по крайней мере одно свободное вхождение в секвенцию над
чертой и не имеет свободных вхождении в секвенцию под чертой в этом
переходе. Заметим, что переменная может исчезать лишь в переходах,
соответствующих одному из правил 7-10. Скажем, что переменная у
исчезает правильно, если у исчезает в некотором переходе и
имеет вхождения в D только в секвенции, находящиеся выше нижней
секвенции этого перехода. Заметим, что если переменная у исчезает
правильно, то она имеет только свободные вхождения в дереве D.
Если все исчезающие переменные в D исчезают правильно, то D имеет
свойство чистоты переменных. Если D имеет неправильно исчезающие
переменные, то найдем переход Р, в котором некоторая переменная у
исчезает неправильно; пусть D' — поддерево D, соответствующее
нижней секвенции этого перехода, т.е. дерево, состоящее из этой
секвенции и секвенций и переходов, находящихся выше нее в D.
Выберем переменную ζ, отличную от всех переменных в D, и заменим
в D поддерево D' на дерево [D']yz, которое получается из D' заменой
каждого вхождения формулы Φ на [Ф]|. Легко проверить, что
получившееся дерево D* остается доказательством и это доказательство
таково, что переменная ζ исчезает в D* правильно. Ясно, что за конечное
число таких преобразований (D на D*) мы получим доказательство,
в котором все исчезновения переменных правильные. D
Следующая лемма позволит ввести в исчисление G полезное
допустимое правило (правило утончения).
Лемма 6.1.5. Пусть Г h θ — доказуемая секвенция и Φ —
формула такая, что Ф,Г h θ является секвенцией G, тогда секвенции
Φ,ΓΚΘαΓΚΘ,Φ доказуемы в G.
Доказательство. Пусть хо,...,хп — все свободные переменные
формулы Ф. Пусть D — доказательство секвенции Г h θ со свойством
чистоты переменных. Как видно из доказательства леммы 6.1.4, можно
предполагать, что все исчезающие переменные в D отличны от xq,...
..., хп.
Докажем лемму индукцией по построению формулы Ф. Если Φ
атомарна, а (ДФ) — дерево, полученное заменой каждого вхождения
секвенции Δ l· Λ на вхождения секвенции Δ,Φ l· Λ, то (при
сформулированных выше предположениях относительно D) дерево (D, Ф) есть
доказательство секвенции Г, Φ l· θ. Применяя структурное правило
перестановки 12 несколько раз, получим доказательство секвенции
Ф,Г h θ. Аналогично определяется дерево (Ф,£>) (Δ h Λ заменяется

§ 6.1. Генценовская система G
219
на Δ l· Φ, Л), которое есть доказательство секвенции Г h Φ, θ;
использование правила 11 завершает доказательство секвенции Г h θ, Φ.
Пусть Φ = Фо V Φ]. По индукции из доказуемости Г h θ следует
доказуемость секвенций Фо, Г l· θ; Φι, Γ l· θ; Γ h θ, Φο; Γ h θ, Φο, Φι,
тогда квазивыводы
Φο, Γ h θ; Φι, Γ h θ Γ h θ, Φο, Φι
Φ0νΦι,ΓΚΘ ' ΓΚΘ,Φ0νΦι
показывают доказуемость секвенций Фо V Φι,Γ h θ и Γ l· θ,Φο V Φι.
Аналогично проверяется утверждение для Φ = Фо Л Φι и Φ = "Фо. Для
формул вида ЗхФ, МхФ выбираем переменную у, не имеющую
вхождений в ΞΙχΦ,Γ,θ, и применяем индукционное предположение к формуле
[Ф]у. Тогда, например, из доказуемости Г h θ следует доказуемость
[Ф]^,Г h θ, и квазивывод
[Ф]* ГЬ©
ЗхФ, Г h θ
показывает, что ΞΙζΦ,Γ l· θ тоже доказуема. D
В заключение отметим ряд простых свойств, которыми в
дальнейшем будем пользоваться без явного на них указания.
1. Если ,' — есть переход, соответствующий одному
из правил вывода, то для любой формулы Φ такой, что Г h θ, Φ
и Л l· Φ, Δ являются секвенциями G,
ΓΚΦ,Θ; Ah Φ, Δ Γ,ΦΚΘ; Λ, Φ h Δ
Γ'ΚΦ,Θ' ' Γ',Φ,ΚΘ'
суть переходы, соответствующие тому же правилу вывода.
2. Если — 7 — переход, соответствующий одному из правил
вывода, Φ — формула такая, что Г, Φ l· θ — секвенция G и
переменные χ и у не свободны в Φ в случае, когда этот переход
соответствует правилу 8 или 9, то
ΓΚΦ,Θ Γ,ΦΚΘ
Γ'ΚΦ,Θ'' Γ',ΦΚΘ'
— переходы, соответствующие тому же правилу вывода.
3. Если т-Цу—" ~~ переход, соответствующий одному из
правил вывода, и Φ входит в V (θ'), то переход
Г* h θ (Л* h Δ) /ГМЭ* (Λ h Δ*)
Ρ* h θ' V Γ' h θ'*

220
Гл. 6. Теория доказательств
где Г*, Л* (θ*, Δ*) получены вычеркиванием из Г, Л (θ, Δ) предков
фиксированного вхождения Φ β Г' (θ'), а Г'* (θ'*) получено из V
(Θ') вычеркиванием этого вхождения Ф, является либо переходом,
соответствующим тому же правилу вывода, либо тривиальным
переходом {т. е. секвенции над чертой совпадают с нижней
секвенцией этого перехода).
Упражнения
1. Показать, что для любой формулы Φ исчисления предикатов
ИП существует эквивалентная ей формула Ф, удовлетворяющая
условию несмешанности переменных.
2. Проверить, что любая формула ИПЕ, находящаяся в пренексной
нормальной форме, удовлетворяет условию несмешанности
переменных.
3. Расширим язык исчисления G, допуская формулы и секвенции
и без условия несмешанности переменных. Установить, что
тождественно истинная секвенция Р(х) l· 3yMxP{y) не доказуема
в получившемся исчислении G*.
4. Показать, что если Φ — собственная обобщенная подформула
формулы С^хФ, где Q — квантор, то существует терм t, свободный
для χ в Φ и такой, что Φ — обобщенная подформула
формулы (Ф)*.
§ 6.2. Обратимость правил
Большинство правил вывода исчисления G обладают еще одним
примечательным свойством, которое можно использовать при поиске
вывода в исчислении. Свойство это — обратимость, выражающаяся
(несколько огрубленно) в том, что секвенция, стоящая под чертой
в правиле, доказуема тогда и только тогда, когда доказуемы секвенции
(секвенция), стоящие над чертой.
Сформулируем и докажем это свойство сначала для
пропозициональных правил.
Предложение 6.2.1. 1). Если доказуема секвенция Г h θ, Φ Λ Φ,
то доказуемы и секвенции ΓΚΘ,ΦαΓΚΘ,Φ.
2). Если доказуема секвенция Φ Λ Φ, Г l· θ, то доказуема и
секвенция Φ, Φ,Γ h θ.
3). Если доказуема секвенция Г h θ, Φ V Φ, то доказуема и
секвенция Г h θ, Φ, Φ.
4). Если доказуема секвенция Φ V Φ,Γ l· θ, то доказуемы и
секвенции Ф, Г h θ и Φ, Г h θ.

§ 6.2. Обратимость правил
221
5). Если доказуема секвенция Г h θ, "Φ, то доказуема и
секвенция Ф,ГЬ Θ.
6). Если доказуема секвенция "Φ,Γ l· θ, то доказуема и
секвенция ΓΚΘ,Φ.
Доказательство. Проверка всех утверждений предложения
утомительна и однообразна. Поэтому докажем типичные случаи,
например, утверждения 1) и 6). Проверку будем вести индукцией по
высоте доказательства (см. также доказательство леммы 1.9.5).
Утверждение 1) будем доказывать в чуть более общей форме и
только для формулы Ф: если секвенция Г h θ, Φ Λ Φ, Λ доказуема, то
доказуема и секвенция Г h θ, Φ, Λ, причем существует доказательство
с меньшим числом переходов, чем в доказательстве исходной.
Пусть доказательство D секвенции ΓΚΘ,ΦΛΦ,Λ имеет вид
Do;Di
С '
Если Φ Λ Φ — главная формула последнего перехода, то Do —
доказательство секвенции Г l· θ, Φ, Л (в этом случае Л — пустая
последовательность формул) и Do имеет меньше переходов, чем D.
Если Φ Λ Φ — не главная формула последнего перехода, то
заключительные секвенции Со и С\ доказательств Do и D\ имеют вид
Го l· θο, Φ Л Φ, Ло и Γι l· θι, Φ Λ Φ, Λι соответственно, где выделенные
вхождения Ф Л Φ в Со и Ci — это предки рассматриваемого
вхождения формулы Φ Λ Φ в секвенцию С. По индукционному
предположению существуют доказательства Df0 и D\ секвенций Го h θο,Φ,Λο
и Γι l· θι,Φ,Λι соответственно. Тогда дерево секвенций
ΓΚΘ,Φ,Λ
будет доказательством. (Так как Φ Λ Φ не была главной формулой
перехода
ΓρΚθο,ΦΛΦ,Λο; Tj Κθι,ΦΛΦ,Λϊ
ΓΚΘ,ΦΛΦ,Λ
то переход
Го l· θρ,Φ,Λρ; Γι Κθι,Φ,Λι
ΓΚΘ,Φ,Λ
осуществляется по тому же правилу, что и первый.)
Пусть доказательство секвенции С имеет вид
Do
С
Если последний переход осуществляется не по правилу 13,
примененному к Φ Л Ф, а Со = Го l· θο,Φ Λ Φ,Λο — заключительная

222
Гл. 6. Теория доказательств
секвенция доказательства Do, to по индукционному предположению
существует доказательство Df0 секвенции Го l· θο,Φ,Λο и дерево
ΓΚΘ,Φ,Λ
есть доказательство.
Пусть последний переход в дереве D есть
ΓΚΘ,ΦΛΨ,ΦΛΨ
ΓΚΘ,ΦΛΨ '
По индукционному предположению существует доказательство D'0
секвенции Г h θ, Φ Λ Φ, Φ, причем число переходов доказательства Df0
меньше числа переходов Do. Снова по индукционному предположению
существует доказательство Dq секвенции Г h θ, Φ, Φ. Тогда
ΓΚΘ,Φ
есть нужное доказательство.
Докажем теперь утверждение 6). Пусть D — доказательство
секвенции Go = "Φ,Γ h θ; по лемме 6.1.4 можно считать, что
доказательство D обладает свойством чистоты переменных. Перейдем от
дерева D к дереву D'', сделав следующие преобразования: заменяем
каждое вхождение секвенции С = Л h Φ, Δ на вхождение секвенции
С' = Л' h Φ, Δ', где Л' и Δ' получаются из Л и Δ вычеркиванием
всех предков формулы "Ф заключительного вхождения секвенции Со,
имеющих вид Φ или ~"Ф. (Замечание. Легко с помощью индукции
проверить, что предок формулы ~"Ф вида ~"Ф может быть только в левой
части секвенции, а предок вида Φ — только в правой части.) Проверим,
что D' — квазивывод секвенции Г h Φ, θ. Это, очевидно, достаточно
для доказуемости секвенции Г h θ, Φ. Если С = Λ l· Δ — аксиома,
το Λ' = Λ; если последняя формула из Δ есть предок "Ф вида Ф, то
К' h Φ, Δ; получается из аксиомы Λ l· Δ применением только правила
перестановки; если последняя формула из Δ не есть предок "Ф вида Ф,
то Af h Δ' — аксиома иЛ'Ь Φ,Δ; получается из нее правилом
утончения (лемма 6.1.5) и перестановками.
Посмотрим теперь на переходы дерева D'. Легко проверяется, что
если в переходе дерева D ни один предок формулы ~"Ф вида Φ или
"Ф не является главной формулой, то соответствующий переход в D'
будет осуществляться по тому же правилу вывода. Рассмотрим теперь
случаи, когда предок ~"Ф вида Φ или ~"Ф является главной формулой
перехода. Тогда этот переход может быть только по правилам 1, 3, 5,
6, 7, 9 или по структурным правилам 11-14.

§ 6.2. Обратимость правил
223
Разбор всех случаев вряд ли поучителен. Рассмотрим случаи
применения правил 1, 5, 6, 9, 13.
Пусть переход в D имеет вид
ΔΙ-Λ,Ψ; ΔΗΛ,Χ
ΔΚΛ,ΦΛΧ
иФ = ФлХ есть предок "Ф, тогда переход в D' будет
Δ'ΚΦ,Λ',Ψ; Δ'ΚΦ,Λ',Χ
Δ'ΚΦ,Λ'
и нижняя секвенция может быть получена из верхних правилами
введения конъюнкции (1), перестановки (11) и сокращения (13).
Пусть переход в D имеет вид
Ah Л,-Φ
иФ = "Ф есть предок "Ф, тогда переход в D' будет
Ψ,Δ'ΚΦ,Λ'
Δ'ΚΦ,Λ' '
но так как Φ = "Φ, то нижняя секвенция получается из верхней
применением правил введения отрицания (5), перестановки (11) и
сокращения (13).
Пусть переход в D имеет вид
Ah Л, Φ
-Φ,ΔΚΛ'
а Ф и "Φ — предки формулы "Ф (из заключительной секвенции), тогда
соответствующий переход в Df будет
А'ЬФ.Л'
Δ'ΚΦ,Λ''
т. е. тривиален.
Пусть переход в D имеет вид
A h Л, [Щху
ΔΚΛ,ΥχΦ
и Φ = \/хФ — предок ~"Ф, тогда соответствующий перевод в D' будет
А' ЬФ,Л',[Ф]£
Δ'ΚΦ,Λ'

224
Гл. 6. Теория доказательств
и нижняя секвенция получается из верхней применением правил 9
(это применение законно, так как А' и А' являются частями Δ и Л
и у отлично от всех свободных переменных формулы Φ по свойству
чистоты переменных в D), 11 и 13.
Пусть, наконец, переход в D таков:
ΔΚΛ,Φ,Φ
Ah Л, Φ
и Φ — предок "Φ, тогда в D' соответствующий переход
Δ'ΚΦ,Λ'
Δ'ΚΦ,Λ'
будет тривиальным. D
Обратимся теперь к кванторным правилам.
Предложение 6.2.2. 1). Если в G доказуема секвенция ЗхФ,Г h θ,
то для любого терма t такого, что (Ф)£ ,Г l· θ — секвенция G, эта
секвенция доказуема в G.
2). Если доказуема секвенция Г h θ,Ν/χΦ, то для любого терма t
такого, что ГЬΘ, (Ф)£ — секвенция G, эта секвенция доказуема в G.
Доказательства этих утверждении аналогичны, поэтому
приведем только доказательство утверждения 2).
Пусть 2/о, ··· ,2/fc """ все свободные переменные терма t и пусть D —
доказательство секвенции Г h θ,Ν/χΦ, обладающее свойством чистоты
переменных и такое, что любая переменная, исчезающая в этом
доказательстве, отлична от переменных г/о, — »2/fc- Пусть [Ф]£0,..., [Φ]*β —
все предки вида [Ф]^ вхождения формулы УхФ в заключительную
секвенцию. Построим дерево секвенции D' следующим образом. Каждое
вхождение секвенции С в D заменяем на вхождение секвенции С',
полученной из С заменой всех предков формулы МхФ вида МхФ на (Ф)£
и подстановкой терма t вместо всех вхождении переменных zq,...,zs.
Легко проверяется, что все начальные секвенции дерева D' являются
аксиомами, а все переходы D' либо совершаются по тем же правилам,
что и в соответствующем переходе D, либо являются тривиальными
переходами. Последнее случается, когда в D соответствующий переход
есть
ΔΗΛ, [Φ]*
ΔΙ-Λ,νατΦ
и УггФ — предок формулы УжФ заключительной секвенции. Таким
образом, D' есть квазивывод секвенции Г h θ, (Φ)(. □

§ 6.3. Сравнение исчислений ИПЕ и G
225
Следствие 6.2.3. Пусть переменная у не имеет вхождений ни
в одну из формул секвенции Г h θ,Ν/χΦ; эта секвенция {секвенция
ΞΙχΦ,Γ l· θ) доказуема тогда и только тогда, когда доказуема
секвенция Г h θ, [Φ]* {секвенция [Φ]J, Γ l· θ). D
Для правил 7 и 10 хорошей формулировки свойства обратимости
нет (см. упражнение 1), хотя оно справедливо в некотором
«распределенном по всему доказательству» виде (ср. доказательство теоремы об
устранении сечения в следующем параграфе).
Упражнения
1. Доказать, что не существует термов to,...,tk таких, что
секвенция ЗхР{х) h (Р)£0,..., (P)tk доказуема, хотя секвенция
ЗхР{х) l· ЗхР{х) доказуема.
2. Доказать в G секвенцию 3zP{z) l· 3y\/xP{y).
3. Показать, что в исчислении G* (см. упражнение 3 §6.1)
предложение 6.2.2 несправедливо. (Указание. Воспользоваться
упражнением 2 и упражнением 3 из §6.1.)
§ 6.3. Сравнение исчислений ΗΠΣ и G
В этом параграфе докажем, что секвенция исчисления ИП ,
которая является и секвенцией исчисления G (т.е. не содержит знаков
импликации —► и равенства « и удовлетворяет условию
несмешанности переменных), доказуема в ИПЕ тогда и только тогда, когда она
доказуема в G.
В основе доказательства этого утверждения лежит следующая
важная теорема об исчислении G.
Теорема 6.3.1 (об устранении сечения). Пусть Г h θ, Φ
и Φ, Л l· Δ — доказуемые секвенции исчисления G. Если Г, Л h Δ, θ —
секвенция исчисления G, то она доказуема.
Доказательство. Докажем теорему сначала для атомарной
формулы Φ индукцией по числу существенных переходов в
доказательстве секвенции Г h θ, Φ, понимая под существенными переходами
те переходы, которые осуществляются по правилам, отличным от
правил перестановки 11 и 12. Если ΓΚΘ,Φ имеет доказательство без
существенных переходов, то Г h θ, Φ отличается от аксиом только
перестановкой формул. Рассмотрим два возможных случая.
1. Φ G Г; тогда секвенция Г, Л h Δ может быть получена из
(доказуемой) секвенции Ф,Л h Δ применением производного правила
утончения (лемма 6.1.5) и правил перестановки.
8 Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин

226
Гл. 6. Теория доказательств
2. Существует формула Φ такая, что Φ G Г и Φ G Θ; тогда
секвенция Г h θ доказуема (перестановка аксиомы) и секвенция Г, Л l· Δ; θ
получается из нее утончениями и перестановками.
Предположим, что для секвенций Г h θ, Φ, имеющих
доказательство с менее чем η > О существенными переходами, теорема
справедлива. Пусть D — доказательство секвенции Г h θ, Φ, имеющее η
существенных переходов; будем предполагать, что доказательство D
обладает свойством чистоты переменных.
Рассмотрим самый нижний существенный переход в
доказательстве D. Возможны следующие случаи.
1°. Переход имеет вид
Γ'Κθ',Φ,θ" ' ( ' '
Здесь Г' — перестановка Г; θ', Θ" — перестановка Θ; указанные
вхождения формулы Φ являются предками вхождения Φ в заключительную
секвенцию Г h θ, Φ. Секвенции Го l· θβ, θβ, Φ и Γι l· θ',, θ", Φ имеют
доказательство с числом существенных переходов < η (так как они
получаются перестановкой из секвенций Го l· ©q, Φ, θβ и Γι l· θ\, Φ, θ'/).
Поэтому доказуемы секвенции Го,Λ l· Δ, θό,θ^ и Γι,Λ l· Δ, ΘΊ,Θ".
Дерево секвенций
Γο,ΛΚΔ,θ&,Θ^Γι,ΛΚΔ,θΐ,Θ?
Γ, ЛЬ Δ, Θ', Θ"
Γ,ΛΚΔ,θ
является квазивыводом, так как атомарная формула Φ не является
главной формулой перехода (6.1).
2°. Переход имеет вид
γκθ',φ,φ
ρ ье, φ '
Здесь Г' — перестановка Г, Θ' — перестановка Θ, а указанные
вхождения Φ являются предками вхождения Φ в заключительную секвенцию.
Если D' — поддерево дерева D, определенное вхождением в D
секвенции Г' h θ', Φ, Φ, то пусть D" получается из D' вычеркиванием
в каждой секвенции всех предков правого вхождения формулы Φ
заключительной секвенции V \- θ', Φ, Φ. На вершинах дерева D" будут
секвенции, отличающиеся от аксиом только перестановкой. Переходы
будут либо тривиальны, либо происходить в соответствии с теми же
правилами, что и в D''. Простой перестройкой из D" можно получить
доказательство секвенции Г' h θ', Φ (а следовательно, и
доказательство секвенции Г h θ, Φ) с числом существенных переходов, равным

§ 6.3. Сравнение исчислений ИПЕ и G
227
числу существенных переходов в D'. Так как число существенных
переходов в D' меньше чем в D, то по индукционному предположению
секвенция Г, Л h Δ, θ доказуема.
3°. Переход имеет вид
ΓρΚΘ&,Φ,ΘΕ
ΓΚθ',Φ,θ" "
Здесь Г' — перестановка Г; θ', Θ" — перестановка Θ; указанные
вхождения Φ являются предками Φ из заключительной секвенции дерева D
и Φ не является главной формулой этого перехода.
Секвенция Го l· Θ^,Θ^,Φ получается из Го h θρ,Φ,θβ
перестановкой, поэтому эта секвенция имеет доказательство с числом
существенных переходов п— 1. Тогда по индукционному предположению
секвенция Го, Л h Δ, ©q, θ(( доказуема. Дерево секвенций
Г0> A h Δ, θ^ 9g
Г,ЛЬ Δ,θ',θ"
Γ,ΛΚΔ,Θ
есть квазивывод.
Итак, для секвенций Г h θ, Φ с атомарной формулой Φ теорема
установлена.
Продолжим доказательство теоремы, применяя индукцию по
построению формулы Ф. Предполагая, что для собственных (т. е. не
равных Ф) обобщенных подформул формулы Φ и любых Г, Λ,Θ,Δ
теорема справедлива, установим ее справедливость и для Ф.
Пусть Φ = Φ Λ Χ; Г l· Θ,Φ и Φ,Λ l· Δ — доказуемые секвенции,
а Г, Л h θ, Φ — секвенция исчисления G. По свойству
обратимости (предложение 6.2.1) доказуемы и секвенции Г h Θ,Φ; Г l· θ,Χ;
Φ, Χ, Λ h Δ. Используя индукционное предположение, получаем, что
доказуемы и секвенции Г, X, Л h Δ, θ; X, Г, Л h Δ, θ; Γ, Γ, Λ h Δ, θ, θ
и, наконец, доказуема секвенция Γ,Λ l· Δ, θ.
Случаи Φ = Φ V Χ, Φ = "Φ разбираются аналогично.
Пусть теперь Φ = УхФ; Г l· Θ,Φ и Φ,Λ l· Δ — доказуемые
секвенции, Г, Л h Δ, θ — секвенция исчисления G. Пусть D —
доказательство секвенции Ф,Л h Δ. Будем предполагать, что D обладает
свойством чистоты переменных и что любая переменная у, которая
исчезает в D, отлична от всех переменных формул списка Г, Θ.
Установим индукцией по глубине вхождения в дерево D, что для любого
вхождения Л' h Δ' секвенции в D секвенция Л*, Г h θ, Δ' доказуема,
где Л* получается из Л' вычеркиванием всех предков формулы Φ
заключительной секвенции вида Ф.
8*

228
Гл. 6. Теория доказательств
Ясно, что для самых верхних вхождений (Л' h Δ' — аксиома)
соответствующая секвенция А', Г h θ, Δ' доказуема (получается
применениями правила утончения). Рассмотрим переход в D
Ар h А0; Aj l· Aj
Л'ЬА'
и предположим, что соответствующие верхним вхождениям секвенции
Лд,Г h θ, Ар и Л*,Г h θι,Δι доказуемы, тогда
л*,гье,А/
как нетрудно проверить, будет переходом по тому же правилу вывода
и, следовательно, квазивыводом. Аналогично обстоит дело для однопо-
сылочных переходов, за исключением переходов вида
ОЕ)?,Л0ЬАр
ΥχΨ,Λο h Ар'
где вхождение Φ = УхФ в нижнюю секвенцию есть предок формулы
Φ заключительной секвенции дерева D. Вхождениям в этот переход
соответствуют секвенции (Ф)^,Λ^,Γ h Θ, Ар и Α^,ΓΚΘ,Δρ.
Предположим, что секвенция (Ψ)*,Α^,Γ l· θ,Δρ доказуема. По условию
теоремы Г h ©,УхФ — доказуемая секвенция, тогда по
предложению 6.2.2 будет доказуема и секвенция Г h θ, (Ψ)*. Так как (Ψ)*
является собственной обобщенной подформулой формулы Φ = УхФ,
то, применяя индукционное предположение о справедливости теоремы
для собственных обобщенных подформул формулы Φ к доказуемым
секвенциям (Ф)£, Ад, Г h θ, Δρ и Г l· θ, (\£)f, получаем, что секвенция
Г, Aq, Г l· θ, Δρ, θ доказуема. Используя правила перестановок и
сокращения, из доказуемости последней секвенции получаем доказуемость
секвенции Ад, Г l· θ, Δρ.
Итак, для каждого вхождения секвенции Af l· А' в D
соответствующая секвенция А*,Г h θ, Δ' доказуема. Заключительной секвенции
дерева D будет соответствовать доказуемая секвенция Α,ΓΚΘ,Δ.
Используя правила перестановки, отсюда получаем доказуемость
секвенции Г, Л h Δ, θ.
Случай, когда Φ имеет вид ЗхФ, рассматривается аналогично. D
Замечание 6.3.2. Можно считать, что теорема 6.3.1 устанавливает
допустимость следующего правила — правила сечения
ΓΚΘ,Φ; Φ,ΛΚΔ
Γ,ΑΚΔ,Θ
Приступим к доказательству основного утверждения.

§ 6.3. Сравнение исчислений ИПЕ и G
229
Если θ = Φι,...,Φη — список формул, то через "Θ будем
обозначать список "Φι,... ,'Φη.
Предложение 6.3.3. Если секвенция С = Г h θ доказуема в G,
то секвенция С = Г, ""Θ l· J доказуема в ИПЕ.
Доказательство. Доказывать будем индукцией по высоте
доказательства в исчислении G. Если Ф,Г h θ, Φ — аксиома, то секвенция
Ф, Г, """θ l· Φ доказуема в ИПЕ с использованием аксиомы Φ l· Φ и
правила добавления лишней посылки; наконец,
Φ,Γ,^ΘΚΦ; -ФЬ-Ф
Φ,Γ,-θ,-ΦΚί?
есть квазивывод нужной секвенции в ИП .
Теперь для каждого правила вывода исчисления G нужно
проверить, что если секвенции Со (и С\), стоящие над чертой в правиле,
таковы, что Cq (и С[) доказуемы в ИП , то и секвенция С",
соответствующая секвенции С под чертой, тоже доказуема в ИПЕ. Проверка
всех правил достаточно утомительна, поэтому проверим это только для
правил 2, 3, 5, 7, 8, 10:
2). Пусть секвенция Φ, Φ,Γ, "Θ h # доказуема в ИПЕ, тогда
следующее дерево секвенций есть квазивывод в ИПЕ:
ФЛФЬФЛФ Φ,Ψ,ΐνθΚ#
ФЛФЬФ; ЗМУвЬ-Ф
флфьфлф ФлФ,Ф,гуеь#
фдф Ь Φ; ΦΛΦ,Γ, ^ΘΚ ^Ф
ФлФ,г,-еь# '
3). Пусть секвенция Г, "θ, "Ф, "Ф l· # доказуема в ИПЕ, тогда
следующее дерево секвенций есть квазивывод в ИП :
ФКФ Γ,^ΘΓΦΚΦ
μφν-φ; фкфуФ; Γ,^θ,^ΦΚΦνΦ
Γ, ^θ h Φ V Φ; "(Φ V Φ) h ^(Φ V Φ)
г,-θ,-(φ ν Φ) ι-s *
5). Пусть секвенция Φ, Γ, "θ h # доказуема в ИП , тогда
Г,"9Ь"Ф; —ФЬ—Ф
γ,-θ,—φκ^
есть квазивывод в ИПЕ.

230
Гл. 6. Теория доказательств
7). Пусть секвенция Г, ~ηθ,~η(Φ)^ l· # доказуема в ИПЕ, тогда
γ,-θκ(φ)?
ΐνθ,^χΦΚί?
есть квазивывод в ИПЕ.
8). Пусть секвенция [Ф]*,Г, "Θ h $ доказуема в ИПЕ, переменная у
не имеет свободных вхождений в Г, ""θ, тогда
№г,-еьу
ЗхФЬЗ?/[Ф]£; ГГ9Ь^у[Ф];
ЗхФ,г,^еьу
есть квазивывод в ИПЕ.
10). Пусть секвенция (Ф)£,Г, ""Θ l· J доказуема в ИПЕ, тогда
(Ф)?,г,-еьу
νχΦ,Γ,-θκ;?
есть квазивывод в ИПЕ.
Проверка оставшихся правил вполне аналогична уже
рассмотренным. Индукция по высоте доказательства в G завершает
доказательство предложения. D
Предложение 6.3.4. Если секвенция С исчисления G доказуема
в ИПЕ, то она доказуема и в исчислении G.
Доказательство. Установим сначала доказуемость в G аксиом
Φ l· Φ исчисления ΗΠΣ индукцией по построению формулы Ф. Если
Φ — атомарная формула, то Φ l· Φ — аксиома исчисления G. Пусть для
формул Φ и Φ в G доказуемы секвенции ФЬФ иФЬФ. Рассмотрим
следующие квазивыводы в G:
ФЬФ ФЬФ ФЬФ ФЬФ
Φ,Ψ l· Φ Φ, Φ l· Φ Φ h Φ, Φ Ψ h Φ,Ψ
ΦΛΨ h Φ; ΦΛΨ l· Ψ ФЬФУФ; ФЬФУФ
ФЛФЬФЛФ ' ΦνΦΚΦνΦ
Г^4 тхУ ь [Ф]; №ху н №ху
h -Φ, Φ [ф]у t- ЗхФ УхФ h [Φ]*
-ФЬ^Ф' ЗхФ h ЗхФ ' УхФ h УхФ '

§ 6.3. Сравнение исчислений ИПЕ и G
231
В двух последних квазивыводах переменная у выбрана так, что она
не имеет никаких вхождений в Ф. Эти квазивыводы показывают, что
можно завершить индукционное доказательство того, что все
секвенции вида Φ l· Φ, где Φ — формула исчисления G, доказуемы в G.
Теперь необходимо для каждого правила вывода исчисления ИПЕ
(за исключением правил, касающихся импликации) проверить, что
если секвенции, стоящие над чертой, доказуемы в G, то и секвенция,
стоящая под чертой, также доказуема в G. Правила 1, 11, 13-16
исчисления ИПЕ являются частными случаями правил вывода G. Для
правил 2 и 3
ГЬФЛФ ГЬФЛФ
ГЬФ ' ГЬФ
необходимое утверждение следует из соответствующего свойства
обратимости (предложение 6.2.2). Для правила 4 (5)
ГЬФ / ГЬФ \
гьфуф νΓΚΦνΦ;
квазивывод в G
ГЬФ / ГЬФ \
ГЬФ,Ф ГЬФ,Ф I
ΓΚΦνΦ Г ЬФ,Ф J
\ΓΚΦνΦ/
устанавливает необходимое свойство. Рассмотрим теперь правило 6:
ГЬФУФ;Г,ФЬХ;Г,ФЬХ
ГКХ
Если секвенции, стоящие над чертой, доказуемы в G, то следующее
дерево, использующее допустимое правило сечения (см. замечание
после доказательства теоремы 6.3.1), есть квазивывод в G:
Г,ФЬХ Г,ФЬХ
Ф,ГЬХ; Ф,ГЬХ
ΓΚΦνΦ; ΦνΦ,ΓΚΧ
Γ,ΓΚΧ
ThX '
Правилу 9 соответствует утверждение об обратимости правила
введения отрицания.
Для правила 10, если Г h Φ и Г h "Ф доказуемы в G, то (по
обратимости) доказуема в G секвенция Ф,Г l·, а по теореме 6.3.1 доказуема
секвенция Г, Г К а следовательно, и секвенция Г К Допустимость
правила 12 в G установлена ранее.

232
Гл. 6. Теория доказательств
Индукция по высоте доказательства секвенции С в исчислении
ИПЕ и завершает доказательство. D
Следствием предложений 6.3.3 и 6.3.4 и является основное
утверждение этого параграфа.
Теорема 6.3.5. Секвенция исчисления ИПЕ, являющаяся и
секвенцией исчисления G, доказуема в ИПЕ тогда и только тогда,
когда она доказуема в исчислении G. D
Упражнение
1. Показать, что в исчислении G* (см. упражнение 3 §6.1) теорема
6.3.1 несправедлива. (Указание. Воспользоваться результатами
упражнения 3 §6.2 и упражнением 3 §6.1.)
§ 6.4. Теорема Эрбрана
В этом параграфе мы установим весьма важную теорему Эрбрана,
которая, в частности, является теоретической основой современных
машинных методов поиска доказательства в исчислении предикатов.
Один из таких методов основан на исчислении резольвент, которое
будет рассмотрено в следующем параграфе. Теорема Эрбрана
обосновывает обнаружение этим методом доказуемости любой доказуемой
формулы ИПЕ; последнее свойство называется полнотой метода. Теорема
эта также придает определенный конструктивный смысл произвольным
предложениям исчисления предикатов.
Начнем параграф с изучения некоторых синтаксических связей.
С каждым термом t и переменной χ свяжем некоторое множество
Fx(t) функциональных символов:
а) если χ не входит в t или χ = t, то Fx(t) = 0;
б) если χ входит в ί и ί / χ, το t = h(t\,...,tn) для некоторых
функционального символа h и термов t\,...,tn; полагаем тогда
Fx(t) = {h}\J\JFx(U).
г=\
Лемма 6.4.1. Если χ φ у и χ не входит в t', то для любого
терма t имеет место равенство
Р*№1) = Fx(t).
Доказательство проводится индукцией по построению
терма t. D

§ 6.4. Теорема Эрбрана
233
Предложение 6.4.2. Если Qx^ (Q е {V, 3}) — обобщенная
подформула формулы Ф, то для любого терма to формулы Φ найдется
такой терм t\ формулы Ф, что
Fx{t0) = Fx{t\)
и t\ находится в области действия квантора Qx.
Доказательство. Так как Qx^ является обобщенной
подформулой формулы Ф, то существует такая последовательность формул
Фо = Φ,Φι,...,Φη = Qxty, что для любого г < η выполнено одно из
условий:
(1) Фг = -Фж;
(2) Фг = ФЖТ#г+1 ($г = Фг+1тФг+1) ДЛЯ ПОДХОДЯЩеЙ формулы Фг+1
и т е {ν,Λ};
(3) Фг = Q'yXi, Фг+ι = (X-i)t Для подходящих формулы Xit перемен-
ной у, терма t, свободного для у в Xit и Q' e {V, 3}.
Предположим теперь справедливость предложения для η — 1. Если
в качестве Φ взять формулу Φι последовательности Φο = Φ,Φι,...
..., Φη = Qx^, то по индукционному предположению для любого
терма to формулы Φ в Φι можно указать терм t такой, что Fx(to) = Fx(i)
и t входит в область действия квантора Qx. Если переход от Фо к Φι
удовлетворяет условию (1) или (2), то Φι является подформулой (а не
только обобщенной подформулой) формулы Φ = Фо, поэтому в качестве
искомого t\ нужно взять соответствующий терм t. Если выполнено
условие (3), то рассмотрим три возможных подслучая.
Подслучай (За): у — х. Тогда Φ = Q'xX, Φι = (Х)х для подходящей
формулы X. Так как Φι (и, следовательно, X) имеет (по индукционному
предположению) связанные вхождения переменной х, то по свойству
несмешанности переменных χ не имеет свободных вхождений в X
и Φι = Χ, Φ = Q'xX; Φι есть подформула Ф.
Подслучай (36): у φ χ и χ входит в t. Тогда Φι = (X)f, Φ = Q'yX
для некоторой формулы X. Формула Φι имеет связанные вхождения
переменной х\ если бы X имела свободные вхождения у, то нарушалось
бы условие свободы терма t для переменной у в формуле X. Итак, у не
имеет свободных вхождений в X и Φι = (Х)^ = Χ; Φ = С^з/Фг, Φι есть
подформула Ф.
Подслучай (Зв): у φ χ и χ не входит в t. Пусть X — такая формула,
что Φι = (X)jf, Φ = Q^X. Для любого терма £2 формулы Φι существует
соответствующий терм t\ формулы X такой, что £2 = (^i)t, причем
если £2 входит в область действия какого-либо квантора в Φι, то t\
входит в область действия такого же квантора по той же переменной.
По лемме 6.4.1 имеем Fx{t<i) — Fx{{t\)\) = Fx{t\)\ если t<i выбран

234
Гл. 6. Теория доказательств
в Φι для to в соответствии с заключением предложения, то
соответствующий терм t\ будет удовлетворять заключению предложения для
формулы Ф.
Предложение доказано. D
Будем говорить, что функциональный символ g имеет связанное
вхождение в формулу Ф, если Φ содержит подформулу вида Qxty и Φ
имеет вхождение терма t такого, что g e Fx(t).
Укажем два следствия предложения 6.4.2.
Следствие 6.4.3. Если Φ — обобщенная подформула формулы Φ
и функциональный символ g имеет связанное вхождение в Ф, то g
имеет связанное вхождение и в Ф. D
Следствие 6.4.4. Если D — доказательство секвенции С в
исчислении G и функциональный символ g не имеет связанных вхождений
ни в одну из формул секвенции С, то g не имеет связанных
вхождений ни в одну из формул дерева D.
По свойству подформульности и следствию 6.4.3. D
Зафиксируем терм to, начинающийся с функционального символа
д, и переменную хо. Определим теперь преобразование s (существенно
зависящее от выбора пары (to,xo)) термов так:
а) если t — переменная или константа (отличная от д), то s(t) = t\
б) если t = f{t\,...,tn) ut^to, то s(t) = f(s(ti),...,s(tn)y,
в) если t = to, то s(t) = χο·
Замечание 6.4.5. Если терм t не имеет вхождений терма to, то
s(t) = t.
Следующая лемма показывает взаимоотношения преобразования s
с подстановкой.
Лемма 6.4.6. Если χ φ хо и д £ Fx(t), то для любого терма t'
имеет место равенство
Доказательство. Доказывать это равенство будем индукцией
по построению терма t. Если χ не входит в t, то χ не входит и в s(t),
поэтому s((i)t,) = s(i) = (s(i))*,t,y Пусть χ входит в t, тогда t φ to,
так как если t — to = g(t\,... ,tk), то g e Fx(t). Если t = x, то
*((*)?,) = s(t') = (xys(tf) = (s(x)ys(t,y Если t = h(tl9...,tn), то (*)*, =
= h((ti)f„...,(tn)i) и 8((t)$) = *(b((ti)?,,...^n)g)) = M*(№)>-
...,s((tn)t/)), TaK KaK ^ ^ Fx(t), 9 £ Fx(t) и, следовательно,

§ 6.4. Теорема Эрбрана
235
/ι((£ι)£/,..., (tn)*') Φ *ο· Из индукционного предположения получаем
Λ(β((ίι)?, в((<п)?)) = М(в(*1))^).-.в(«п))^)) = (в(*))?(4о· D
Замечание 6.4.7. В условиях леммы выполняется s(£) =< в
соответствии с замечанием 6.4.5.
Преобразование термов s можно распространить естественным
образом и на формулы, секвенции и деревья секвенций, полагая,
например, для формул
а) δ(Φ) = P(s(t\),... ,s(tn)) для атомарной формулы Φ = P(t\,...
- - - >*п)>
б) в(Ф) = "^(Ф) для Φ = ^Ф;
в) β(Φ) = β(Φο)τβ(Φι) для Φ = ΦοτΦι, τ е {V, Λ};
γ) β(Φ) = Qxs(^) для Ф = Q:r#, Q e {V, 3}.
Следствием предыдущей леммы будет
Предложение 6.4.8. Пусть переменная хо не имеет связанных
вхождений в Φ; χ φ хо —- такая переменная, что g £ Fx(t) для
любого терма t формулы Ф. Тогда для любого терма t', свободного
для χ β Φ, имеет место равенство
5((Ф)?) = (8(Ф)Г.(П
(это соотношение включает в себя и утверждение, что s(tf) свободен
ДЛЯ X В 5(Ф)). D
Очевидно, справедливо следующее
Предложение 6.4.9. Пусть переменная xq не имеет связанных
вхождений в Ф; х\,... ,хп — такие переменные, отличные от xq, что
g £ FXi{t), г = 1,..., η, для любого терма t формулы Ф. Тогда для
любых термов t\y...yt'n, свободных для Х\ , ... , Χγι в Φ соответственно,
имеет место равенство
Установим следующее важное свойство преобразования s,
действующего на доказательствах.
Предложение 6.4.10. Если D — доказательство в исчислении
G, переменная хо не встречается в D и g не имеет связанных
вхождений в заключительную секвенцию D, то дерево sD является
доказательством в G.
Доказательство. Если С = Ф, Г h θ, Φ — аксиома, то sC = $Ф,
sT l· δθ, δΦ — также аксиома.

236
Гл. 6. Теория доказательств
Для каждого перехода, соответствующего пропозициональному
или структурному правилу, легко проверить, что соответствующий
s-переход (т.е. переход в sD) осуществляется по тому же правилу
вывода. Например, пусть в D переход таков:
гье,Ф;гье,Ф
γκθ,φλφ '
тогда в sD соответствующий переход есть
δΓΚδθ,δΦ,δΓΚδθ,δΦ
δΓΚδθ,δ(ΦΛΦ)
Но δ(Φ Λ Φ) = δ(Φ) Λ s(#), следовательно, это переход по тому же
правилу (введение конъюнкции в заключение).
Рассмотрим теперь переходы, соответствующие кванторным
правилам. Пусть переход в D таков:
Г h θ, (Φ)*
Г h θ, ЗхФ '
Тогда в sD соответствующий переход будет
дГЬд9,д((Ф)?)
sY h βθ, в(ЗжФ)'
По следствию 6.4.4 g не имеет связанных вхождений в формулу
ЗхФ\ следовательно, для любого терма f формулы Φ имеем g £ Fx(tf).
Тогда по предложению 6.4.8 $((Ф)£) = (вФ)*,^. Итак, в дереве sD
переходом будет
*ΓΗ*Θ,(*Φ);(0
sT h 5θ, ЗфФ) '
но это переход по правилу введения квантора существования в
заключение.
Рассмотрим теперь переход в D по правилу 8:
[Φβ,ΓΗΘ
ЗxΦ,Tl·θ,
где у не имеет свободных вхождений в Г, Θ. Соответствующим
переходом в sD будет
5[Ф]£,5гь*е
s(3x<&),sTl· sO*
Как и выше, устанавливается, что вЩ* = (вФ)*, ч = («Ф)^ = [$Ф]^
и что переменная у не встречается свободно в sT, sG. Последнее

§ 6.4. Теорема Эрбрана
237
утверждение вытекает из того, что для любой формулы Φ формула вФ
может содержать только одну новую свободную переменную, а именно,
хо, которая в D не встречается, в частности, xq φ у. Тогда в sD переход
имеет вид
[5Φ]£,5ΓΚδθ
Зж(вФ), sT h δθ'
где ?/ не входит свободно в sT, βθ. Следовательно, это переход по
правилу 8.
Аналогично рассматриваются правила 9 и 10. D
Приступим теперь к рассмотрению основного утверждения
настоящего параграфа. Для сокращения записи последовательность термов
t\,...,tn будет обозначаться через t\ Зх означает Зх\...3хп\ ~z —-
последовательность z\,...,zn.
Теорема 6.4.11. Пусть секвенция С = Г h θ, Φ такова, что Φ =
= ЗхУуФ(х, y,~z), и η-местный функциональный символ д не имеет
вхождений в С. Секвенция С доказуема в G тогда и только тогда,
когда в G доказуема секвенция С* = Г h θ уЗхЧ! (χ, g(x) ,~z).
Необходимость. Отмеченной формулой назовем всякую
формулу Фо исчисления G вида
{3xs+x... ЗхгХуЧ>{х, у, ζ))%;:£·, 0 < s < η,
являющуюся обобщенной подформулой формулы Ф. Если Фо —
отмеченная формула, то через Ф$ обозначим формулу
(3xa+i ...3xnV(x,g(x)tz))Z\:£·.
Пусть D — доказательство секвенции С со свойством чистоты
переменных. Пусть дерево секвенций D* получено из D заменой
каждого вхождения каждой отмеченной формулы Фо, являющегося
предком вхождения Φ в заключительную секвенцию С, на формулу
Ф£. Заметим, что заключительной секвенцией дерева D* будет С*.
Покажем, что D* является квазивыводом.
На вершинах дерева D* будут стоять те же аксиомы, что и в D,
так как отмеченные формулы не являются атомарными (содержат
квантор Vj/).
Всем переходам дерева D будут соответствовать переходы дерева
D* по тем же правилам вывода, за исключением переходов вида
\\-А,[(щи,у,г))^:::^]у
льд,(УуФ(г,у,г))Г;;_7^' '

238
Гл. 6. Теория доказательств
где главная формула перехода является отмеченной и предком
формулы Ф.
Этому переходу в D* соответствует переход
А^^[(Ф(х,у,г))^Х]{1
Воспользуемся индукцией по глубине вывода и будем предполагать,
что секвенция, стоящая над чертой в переходе (6.3), является
доказуемой. Так как и не имеет вхождений в Л, Δ и Л', Δ' имеет те же
переменные, что и Л, Δ, то и не имеет вхождений в Л', Δ';
следовательно, доказуема секвенция Л' h Δ',\Л/(Ф(ж,y,z))|. По предложению
6.2.2 тогда доказуема и секвенция
но ((Ф(ж,y,~z))j)Va\ = (Ф(#»0(#)»2))|» следовательно, секвенция,
стоящая под чертой в переходе (6.3), доказуема.
Необходимость установлена.
Достаточность. Специальной формулой назовем всякую
формулу вида (Зжв+1 ...ЗхпФ(х,g(x),^))tl^"fas, О ^ s < п. Обозначим
формулу ЭхЧ*(х,д(х),^) через Ф*.
Замечание 6.4.12. Если Фо — специальная формула, то д имеет
связанное вхождение в Фо.
Замечание 6.4.13. Если Фо — специальная формула, то /3(Фо) =
= /?(*.)·
Замечание 6.4.14. Если Фо — обобщенная подформула формулы
Ф*, которая имеет связанное вхождение д, то формула Фо является
специальной.
Пусть D — доказательство секвенции С* со свойством чистоты
переменных.
Замечание 6.4.15. Если Фо — специальная формула, то Фо не
является главной формулой переходов в дереве D, осуществляемых по
правилам 1-6.
Лемма 6.4.16. Если Го l· θο — секвенция из D и формула Фо из
Го, θο имеет связанное вхождение д, то Фо — специальная формула,
Фо является предком формулы Ф* из заключительной секвенции
дерева D и Ф0 е {θ0} \ {Г0}.
Доказательство. Пусть Фо имеет связанное вхождение д, Ф\ —
потомок Фо в заключительной секвенции. Тогда по следствию 6.4.3

§ 6.4. Теорема Эрбрана
239
формула Φι имеет связанное вхождение д. Но в заключительной
секвенции только формула Ψ* имеет связанное вхождение д.
Следовательно, Фо является предком этой формулы. Тогда по замечанию 6.4.14
формула Фо является специальной.
Предположим теперь, что Фо G {Го}. Так как потомок Фо в
заключительной секвенции лежит в правой части этой секвенции, то в D
найдется переход
Π,Φι hQj
Г2 l· Ф2, θ2
такой, что Φι и Ф2 — потомки Фо. Легко проверить, что тогда этот
переход осуществляется по правилу 5 и Ф2 = "Фь По установленному
выше Φι и Ф2 — специальные формулы. Имеем /3(Ф2) = /3(Φι) + 1, но
это невозможно, поскольку по замечанию 6.4.13 справедливо /3(Φι) =
= /?(Ф*) = /3(Ф2)· В силу полученного противоречия лемма доказана. D
Для формулы Фо обозначим через Σο(Φο) список всех формул вида
(Ф(ж,^(ж),г))| таких, что терм g(t) имеет свободное вхождение в Фо.
Если Го — список формул, то через Σο(Γο) обозначим список,
состоящий из всех формул, входящих в списки Σο(Φο), где Фо — формулы из
Го. Если S = Го l· θο — секвенция, то Σο(5) ^ Σο(Γο, θο).
Замечание 6.4.17. Если Фо — специальная формула, то Σο(Φο) —
пустой список.
Замечание 6.4.18. Если формула Фо имеет вид ΦΐτΦ2, τ е {Λ, V},
то Σ0(Φο) = Σ0(Φι) U Σ0(Φ2); если Ф0 = ^Φι, το Σ0(Φο) = Σ0(Φι).
Замечание 6.4.19. Если Χ G Σο(Φο) и переменная и имеет
свободное вхождение в X, то и имеет свободное вхождение в Фо или в Ψ*.
Пусть S = Го l· θο — секвенция из D. Через Σ(θο) (соответственно
Σ(5)) обозначим список всех специальных формул из ©о (из Γο,θο).
Обозначим через θ^ список всех формул из θο, не входящих в Σ(θο),
и положим S* ^ Го h θ5,Σο(Γο,θο), Φ*. Образуем дерево секвенций
D*, которое получается заменой в дереве D каждого вхождения
секвенции S на секвенцию S*. Докажем индукцией по глубине дерева,
что все секвенции из D* доказуемы.
Если S — аксиома, то S* получается из S утончениями и
перестановками. Если в D переход осуществляется по одному из правил 1-6,
то соответствующий переход в D* может быть получен несколькими
утончениями, перестановками и применением того же правила.
Для примера рассмотрим случай, когда в дереве D переход
осуществляется по правилу 1:

240
Гл. 6. Теория доказательств
где So = Го h θο, Фо, S\ = Г0 h θ0) Φι, S2 = Γ0 h θ0) Φ0 Λ Фь Тогда
S0* = Го l· Θ5, Φο, Σο(Γ0, θο), Σο(Φ0), Φ*,
Sf = ΓοΗθδ,Φι,Σο(Γ0,θο),Σο(Φι),Φ„
52* = Γο l· Θ5, Φο Λ Φι, Σο(Γ0, θο), Σ0(Φο Λ Φ,), Φ..
Заметим, что формулы Φο, Φι и Фо Л Φι не могут быть специальными.
Тогда Σ(5ο) = Σ(5ι) = Σ^). Поскольку правила
Го h Θ5, Φί, Σ0(Γο, θο), Σ0(Φο Λ Φ,), Φ,'
S*' S*
г = 0,1, допустимы, квазивывод °' { осуществляет переход в дереве
D*, соответствующий переходу (6.4) в D.
Рассмотрим случай, когда переход в дереве D осуществляется по
правилу 8:
|, (6.5)
где So = [Φοβ, Го l· θο, Si = ЗиФ0, Г0 h θ0.
Возьмем секвенции βζ = [Φοβ,Γο l· Θ5,Σο([Φ0]ϊ,Γ0, θ0), Φ* и S* =
= Зг*Ф0,Г0 h θ5,Σ0(3^Φ0,Γο,θο),Φ*. Покажем, что Σ0([Φ0]Ϊ) =
= Σο(3^Φο). Включение 2 очевидно. Предположим, что Σο([Φο]") Φ
Φ Σο(3^Φο). Тогда формула ЗиФо содержит связанное вхождение g и
по замечанию 6.4.12 и лемме 6.4.16 не должна входить в левую часть
S*
секвенции S*. Чтобы утверждать, что переход -£■ осуществляется
Si
по правилу 8, нужно проверить, что переменная и не имеет
свободных вхождений в Го, 6q, Σο(Ξ1^Φο,Γο, Θο), Ψ*. Действительно,
переменная и, очевидно, не входит свободно в Σο(ΞΙ^Φο), не входит
свободно в Ψ* по свойству чистоты переменных, не входит свободно
в Γο,θο, а, следовательно, и в Σο(Γο,θο) по замечанию 6.4.19, так
как -£ — переход по правилу 8. Итак, переход -^ в дереве D*
Ь\ Si
осуществляется по правилу 8.
Рассмотрим теперь случай, когда переход (6.5) в дереве D
осуществляется по правилу 9, где So = Го l· θο, [Фо]"» Si = Го l· θο,УиФо.
Формула УиФо не является, очевидно, специальной. Если формула
[Фо]" специальна, то g имеет связанное вхождение в [Фо]"· Но тогда g
имеет связанное вхождение в \/иФо и, следовательно, по лемме 6.4.16
является специальной, что, как уже замечено, невозможно. Покажем,
что Σο([Φο]") = Σο(ν^Φο). Включение Σ0([Φο]") 2 Σο(ν^Φο) очевидно.
Если Σο([Φο]„) φ Σο(ν^Φο), то формула \/иФо имеет связанное вхож-

§ 6.4. Теорема Эрбрана
241
дение д и, следовательно, \/иФо специальна, что невозможно. Далее,
рассуждая как в случае правила 8, устанавливаем, что
соответствующий переход
50* = Гр l· eg, Σο(Γ0, Θο, [Φο]^)(= Σ0(Γο, Θ0,УмФр)), [Φρ]^, Φ*
S* Γ0 h θ$, Σο(Γ0, θ0, ν^Φ0), ν^Φ0, Φ*
в дереве D* осуществляется по правилу 9.
Рассмотрим случай, когда переход (6.5) в дереве D осуществляется
по правилу 7, где So = Го h θο, (Фо)*\ S\ = Го l· θο, ЗиФр.
Предварительно установим следующие два утверждения.
Лемма 6.4.20. Если в G доказуема секвенция
Го h θ0, ЗзМуЩх, у, ζ), Φ(ί, g(t), z),
символ g не имеет связанных вхождений в эту секвенцию и g(t)
не имеет вхождений в Го l· θο, Зх\/уЪ(х, у, г), то в G доказуема
секвенция
Г0Ьво,ЗжУг/Ф(ж,г/,г).
Доказательство. Пусть D — доказательство секвенции
Го l· θο, ЗжУ?/Ф(ж, τ/, г), Φ(?,#(?),ζ); яр — переменная, не
встречающаяся в Ζλ Если 5 — синтаксическое преобразование, определенное
парой (xo,g(t))t то по предложению 6.4.10 дерево sD является
доказательством (секвенции
Го h θ0, ЗхУуЪ(х, у, ζ), Φ(ί, яр,2)
по предложению 6.4.8). Следовательно, секвенция
Г0Ьво,ЗжУ2/Ф(ж,2/,г),(Ф(ж1,...,ж„,жо,^))|
доказуема. Легко проверить, что дерево секвенций
Гр h θρ, ЗхУуЪ(х, у, ζ), [(Ф(зГ, у, г))*//: Дп
Гр h θρ, ЗхУуЪ{х, уу ζ), (УуФ(ж, у, ^)*,Уг£п
Гр h θρ, аёУуФ(зг, у, г), (ЗхпУуФ(^, у, г))^1;:;^.-1
Гр l· θρ, ЗжУуФ(ж, у, г), ЗжУуФ(ж, у, г)
ГрЬ0о,Зя\/г/Ф(я,г/,2)
является квазивыводом. D

242
Гл. 6. Теория доказательств
Следствие 6.4.21. Если в G доказуема секвенция
Tol·θoУ3^y^(xyyyz)^(t\g(tl)yz)y...^(ryg(ts)yz)y
символ д не имеет связанных вхождений в эту секвенцию и д(Т)
не имеет вхождений в Го l· Оо,ЗхУуФ(х, у, г), то в G доказуема
секвенция Го l· θο, ЗхУуФ(х, y,~z).
Для доказательства нужно расположить термы g(t ), ...,#(? ) в
порядке неубывания длины, применить индукционное предположение
по 5 и лемму 6.4.20. D
Вернемся к рассмотрению правила 7. Если формулы (Фо)^ и ЗиФо
не являются специальными, то допустимость соответствующего
перехода в D* устанавливается как выше. В случае, когда
формула (Φο)ί4 является специальной, формула ЗиФо также специальна
и соответствующий переход в дереве D* тривиален, т. е. запись
Го l· θο, (Φο)^,Σο((Φο)^,Γο,θο), Φ* над чертой совпадает с записью
под чертой. Рассмотрим случай, когда ЗиФо — специальная формула,
а формула (Φο)ί4 не является специальной. Тогда (Фо)<* имеет вид
(Ф(ж,^(ж),г))р Если последняя формула входит в Σο(Γο,θο), то
рассматриваемый переход в D* тривиален. Если же (Ф(ж, #(a;),z))| не
входит в Σο(Γο,θο), то этот переход имеет вид
Гр h eg, (Ф(г, g{x), z))l Σ0(Γο, θο), Φ,
Γ0ΚΘ£,Σο(Γ0,θο),Φ* { ' }
и является квазивыводом по лемме 6.4.20.
Для завершения доказательства теоремы осталось рассмотреть
переходы по правилу 10, т.е. переходы (6.5) в дереве D, где So =
= (Фо)£\ Го l· θο, S\ = УиФо, Го l· θο. Тогда по определению
50* = (Ф0)Г, Го h θ$, Σο((Φ0)?, Го, θο), Φ*,
S\ = ν^Φ0, Го h Θ5, Σ0(ν^Φ0, Го, θο), Φ*.
По замечанию 6.4.12 и лемме 6.4.16 формулы (Фо)*4 и УиФо не
являются специальными. Следовательно, Σ(5ο) = Σ(5ι). Заметим,
что Σ0(5ο) 2 Σ0(5ι). Пусть ФЬ...,ФШ, где Ф< - (Щх,д(х),гЩ,
г = 1,...,га, — список всех формул из Σο(5ο) \ Σο(5ι), т.е. Σο(5ο) =
= Σ0(5ι),Φι,...,Φτη. Переход
(Φο)?,ΓρΚθ0*,Σο(5ο),Φ*
ν^Φο,Γ0ΚΘ5,Σο(5ο),Φ*

§ 6.4. Теорема Эрбрана
243
является переходом по правилу 10, а переход
(Φο^ΓρΚΘ^Σο^Ο,Ψ!,...,^,^
ν^Φ0,Γ0Κθ5,Σο(5,),Φ*
является квази вы водом по следствию 6.4.21. Следовательно, переход
S0* = (Φο)^,ΓοΚΘ5,Σο(5ο),^
5f νιχΦο,Γ0ΚΘ5,Σο(5ι),Φ*
является квазивыводом. D
С каждой формулой Ф, находящейся в пренексной нормальной
форме, свяжем некоторую 3-формулу Ф#, которую назовем эрбра-
новой формой формулы Ф, по следующему правилу. Если Φ есть
3-формула, то Ф# = Ф; если Φ имеет вид За;ι ...ЗхпМу^{х,у,Ί) и
д — η-местный функциональный символ, не встречающийся в Ф, то
Ф# = (Зх\ ...ЗхпФ(х,д(х),^))н. Индукцией по числу кванторов
всеобщности устанавливается, что это определение корректно.
Теорема Эрбрана. Пусть Φ — формула в пренексной
нормальной форме, Ф# = Зх\ ...3xn4f{x,Ί) — эрбранова форма формулы
Ф, где Φ — бескванторная формула. Формула Φ доказуема
тогда и только тогда, когда существуют такие
последовательности термов t = t\, ...,tln; ...,t =t\,...,tkn, что доказуема формула
φ(ΐ1,ι)ν...νφ(ήι).
Доказательство. Используя индукцию (по числу кванторов
всеобщности) и предыдущую теорему, получаем, что формула Φ
доказуема тогда и только тогда, когда доказуема формула Ф#. Для
завершения доказательства теоремы установим следующее
Предложение 6.4.22. Формула Φ = Зх\ ...ЗхпЪ(х,^), где Φ —
бескванторная формула, доказуема тогда и только тогда, когда
существует такая последовательность η-наборов термов t , ...,ϊ ,
что доказуема формула Ф(? , г) V ... V Ф(? , г).
Доказательство. По свойству обратимости (правило 3 и
предложение 6.2.1) формула Ф(? ,~ζ) V ... V Ф(? ,~ζ) доказуема тогда и
только тогда, когда доказуема секвенция h Ф(? , Ί),..., Φ(? , Ί).
Пусть эта секвенция доказуема, тогда, многократно применяя
правило введения квантора существования в заключение, получаем
доказуемую секвенцию \- 3χ4ί(χ,Ί),..., 3χ^(χ,~ζ). Из этой секвенции
с помощью правила сокращения получаем секвенцию l· 3x^(x, ~z). Так
устанавливается достаточность.

244
Гл. 6. Теория доказательств
Необходимость. Пусть D — доказательство формулы Φ в
исчислении G со свойством чистоты переменных. Пусть ?,...,? — это все
наборы η-термов t таких, что в D встречается формула Φ(ϊ, Ί). Заметим,
что все такие формулы дерева D являются предками формулы Ф. Пусть
дерево D* получается из D заменой каждого вхождения секвенции
Го l· Δο на секвенцию Го h Ф(? ,ζ),...,Φ(? ,Ί),Α\, где Δι получается
из Δο вычеркиванием всех формул вида (Зх8+\ ...ЗжпФ(ж,~z))*lZts >
О < s < п. Без труда проверяется, что полученное дерево D* будет
квазивыводом (секвенции h Ф(? ,ζ),..., Φ(? ,Ί)). Действительно, на
вершинах стоят секвенции, полученные из аксиом перестановками.
Переходу, соответствующему пропозициональным правилам,
соответствуют переходы по тому же правилу (быть может, с сокращением
и перестановками). Кванторные правила, за исключением правила 7,
в дереве D не используются; переходам по правилу 7 соответствуют
тривиальные переходы в D*. Переходам по структурным правилам
соответствуют переходы, полученные применением структурных правил.
Итак, D* — квазивывод секвенции h Ф(? ,ζ),...,Φ(ϊ ,Ί) и
необходимость установлена. D
Сила теоремы Эрбрана состоит в том, что вопрос о доказуемости
произвольной формулы сводится к вопросу о доказуемости формулы из
некоторой эффективно порождаемой последовательности
бескванторных формул. А для обнаружения доказуемости бескванторной формулы
требуются только пропозициональные (и структурные) правила.
Более точно, пусть Φ — бескванторная формула, а Фо,..., Фп — все
различные атомарные подформулы формулы Ф; тогда
пропозициональной формой формулы Φ назовем формулу ФР исчисления
высказываний, которая получается из Φ подстановкой всюду вместо подформулы
Фг пропозициональной переменной Piy г = 0,... ,п.
Предложение 6.4.23. Бескванторная формула Φ доказуема в
исчислении G тогда и только тогда, когда ее пропозициональная
форма Фр доказуема в исчислении высказываний.
Доказательство. Прямо вытекает из свойства подформуль-
ности. D
Упражнение
1. Доказать замечание 6.4.14. (Указание. Рассмотреть
последовательность формул, начинающуюся с исходной и удовлетворяющей
условиям (1)-(3) из доказательства предложения 6.4.2, и
воспользоваться упражнением 4 из §6.1.)

§ 6.5. Исчисления резольвент
245
§ 6.5. Исчисления резольвент
Исчисления резольвент используются для поиска вывода в
исчислениях высказываний и предикатов. Начнем с пропозиционального
варианта.
Формулами пропозициональных исчислений резольвент будут
пропозициональные переменные или их отрицания.
Если Φ — формула, то Ф* есть "Ф, когда Φ — пропозициональная
переменная, и есть Р, когда Φ = "Р.
Основным синтаксическим понятием будет список формул. Пустой
список будем обозначать символом 0. Исчисления резольвент будут
иметь одни и те же правила вывода и различаться только
аксиомами. Если Го;...;Гп — списки формул, то через Др(Го;... ;ГП) будем
обозначать (пропозициональное) исчисление резольвент, аксиомами
которого являются списки Го;...;Гп.
Правилами вывода исчислений резольвент будут:
Γ,Φ; Θ,Φ* Γ, Φ, Φ, Θ Γ, Φ, Φ
Г,θ ' ' Γ,Φ,Φ,θ' ' Γ,Φ '
Понятие доказательства (в виде дерева) определяется обычным
образом. Если Г — непустой список формул, то через ДГ будем
обозначать конъюнкцию формул из Г. Формула Д Г является формулой
исчисления высказываний, но, вообще говоря, не является формулой
исчисления резольвент.
Лемма 6.5.1. Если D — доказательство списка Г
в Rp(To; ...; Гп) и Гп встречается на вершине D, то для любого
списка Г' в Др(Го; ...; Γη_ι; Г',ГП) доказуем список Г7,Г.
Доказательство проводится индукцией по числу списков
дерева D. Если D = Гп, то Г = Гп и Г7, Г — доказательство
в^р(Г0;...;Гп_,;Г/,Гп).
π n Do;Di „ Г°,Ф; Г1, Φ*
Пусть D = —-— и последний переход есть δ—-{ , тогда
по индукционному предположению существуют доказательства D'0,D\
в Др(Го;...;Гп_ьГ',Гп) списков Г',Г°,Ф (или Г°,Ф, если Гп не
встречается на вершине Do) и Γ',Γ^Φ* (или Г!,Ф*, если Гп не встречается
в D\) соответственно. Так как Гп встречается на вершине Do или
на вершине D\, то по крайней мере одно из деревьев
Р'^Р'х р'ъ,р\ Ρ'ο'Ρ'ι
Γ',ΓΟ,Γ',Γ1' Γ',ΓΟ,Γ1' ΓΟ,Γ',Γ1
есть доказательство в Лр(Го;... ;Γη_ι;Γ',Γη). Из заключительного
списка структурными правилами легко получается список Г', Г.

246
Гл. 6. Теория доказательств
Если последний переход дерева D осуществляется по правилам 2
или 3, то индукционный шаг очевиден. D
Докажем теперь утверждение, связывающее исчисление резольвент
с доказуемостью в исчислении высказываний.
Предложение 6.5.2. Если Го; ...; Гп — непустые списки формул
η
(исчисления резольвент), то формула \j (Л Г*) доказуема в исчис-
г=0
лении высказываний тогда и только тогда, когда в исчислении
Rp(To', ...; Гп) доказуем пустой список формул 0.
Доказательство. Пусть D — такое дерево списков формул,
что на вершинах стоят непустые списки формул θο;...;θ&, каждый
переход есть переход по одному из правил вывода исчисления
резольвент, а θ — заключительный (быть может, пустой) список формул.
Докажем, что тогда в исчислении высказываний доказуема секвенция
к
θ l· V (Л θ*)· Доказывать будем индукцией по числу списков формул
г=0
в дереве D.
Пусть D состоит из единственного (непустого) списка Θ, тогда
секвенция θ l· Д9, очевидно, доказуема в исчислении высказывании.
Пусть дерево D имеет вид —-^—; 0q;...;θ£0 — списки, стоящие
на вершинах дерева Do', θο;...;θ£ — списки, стоящие на вершинах
дерева D\. Пусть заключительный переход есть
Θο,Φ;Θϊ,Φ*
θ
(тогда θ = θο,θι). По индукционному предположению в исчислении
высказываний доказуемы секвенции θο, Φ l· Ф° и θι, Φ* l· Φ1, где Ф° =
= V (ЛΘ?) и Ф1 = V (Л©])· Тогда дерево
г=0 г=0
θο,ΦΚΦ0 θι,Φ-ΚΦ1
l· Φ V Φ*; θρ, Φ h Φ° V Φ1; Θϊ, Φ* h Φ° V Φ1
θο,θι ΚΦ°νΦ*
есть квазивывод нужной секвенции для дерева D. Случаи, когда
последний переход в дереве D соответствует структурным правилам 2
или 3, очевиден. Из доказанного утверждения вытекает, что если
η
в Др(Го;... ;ГП) доказуем пустой список формул, то формула V (ЛП)
доказуема в исчислении высказываний. г=

§ 6.5. Исчисления резольвент
247
Для доказательства обратного утверждения будем использовать
пропозициональный вариант Gp исчисления G. Индукцией по числу
символов конъюнкций в секвенции
ьДв0,...,Лв* (6J)
покажем, что если эта секвенция доказуема в Gpy то в Др(9о;...; θ/-)
доказуем пустой список.
Пусть секвенция (6.7) не содержит знака конъюнкции. Тогда она
имеет вид h Фо,...,Фь где Ф* — пропозициональные переменные или
их отрицания. Такая секвенция доказуема в Gp в том и только в том
случае, когда существуют i,j < к такие, что Ф* = Ф*, тогда
0
есть доказательство в Др(Фо;...; Ф/е).
Пусть для секвенций вида (6.7) с числом знаков Л, меньшим п,
утверждение справедливо. Пусть секвенция (6.7) имеет η знаков Л
и 9/с = θ^,θ^, где θ£ и θ\. — непустые списки формул. По свойству
обратимости, если секвенция (6.7) доказуема, то доказуемы и
секвенции ЬЛ0о,...,Л®ь-ьЛ®° и ЬЛ0о,...,Л®/с-ьЛ®1· По
индукционному предположению в #ρ(θο;... ;θ&_ι;θ2) и #ρ(Θο;...;Θ&_γ,θ[)
доказуем пустой список 0. Пусть Dq и D\ — соответствующие
доказательства. Если θ[ не встречается на вершинах дерева D\, то
D\ — доказательство (списка 0) в i?p(9o;...; Ок-\) и тем более
в Rp(Qo',---\®k-\',®k)· Если же θ[ встречается на вершинах дерева
D\, то по лемме 6.5.1 в Др(9о;... \&к-\\@к = θ^,θ[)
существует доказательство jDq списка θ£. Подставляя в Do на место всех
вершин вида θ£ дерево Df0, получим доказательство пустого списка
в Др(в0;...;в*).
Возвращаемся к доказательству нужного утверждения. По свойству
η
обратимости формула V (Л Г*) доказуема в Gp тогда и только тогда,
г=0
когда доказуема секвенция h ДГо,... ,Λ^η- По только что
доказанному утверждению из доказуемости секвенции h Д Го,... , Л^п следует,
что в Др(Го; ...;ГП) доказуем пустой список формул 0. D
Перейдем теперь к изучению исчислений резольвент для
исчисления предикатов.
Формулами исчисления резольвент будут атомарные формулы
исчисления G или их отрицания. Для формулы Φ обозначение Ф*
определяется, как выше. Правилами вывода будут правила 1, 2, 3 и правило

248
Гл. 6. Теория доказательств
где χ = х\у... ,Xk — список различных переменных, a t = t\,...,tk —
список термов.
Исчисления резольвент различаются аксиомами. Исчисление
резольвент с аксиомами (списками) Го;...; Гп обозначается Д(Го;...; Гп).
Связь исчисления резольвент с доказуемостью в исчислении
предикатов устанавливается следующим утверждением.
Предложение 6.5.3. Предположим, что
— замкнутая формула исчисления предикатов, a Г*, г = О, ...,п, —
непустые списки атомарных формул или их отрицаний. Формула Φ
доказуема в исчислении предикатов тогда и только тогда, когда
в исчислении резольвент R(To; ...; Гп) доказуем пустой список
формул.
Доказательство. Пусть Φ — доказуемая в G формула, тогда
по предложению 6.4.22 существуют такие наборы термов t = ί},...
...,t\n\...\tx — t\, ...,i£j, что доказуема секвенция
(η \Έ /η \Έ
V(M) (ν(ΛΓ<) ·
г=0 / tl \i=0 / tk
Доказуемость этой секвенции равносильна доказуемости формулы
*'- ν (л"-о;·
По предложению 6.4.23 формула Ф' доказуема тогда и только тогда,
когда доказуема пропозициональная формула Ф'р. Используя
предложение 6.5.2, из доказуемости формулы Ф'р в исчислении высказывании
получаем, что в исчислении резольвент R (...; (Г*)*-;... J доказуем
пустой список с использованием только правил 1-3. (Для этого в
доказательстве пустого списка в пропозициональном исчислении резольвент,
связанном с формулой Фр, нужно сделать обратную замену
пропозициональных переменных на соответствующие элементарные формулы.)
Но так как списки (Ti)-j получаются из списков Г* по правилу 4, то
получаем, что в Д(Го;... ;ГП) доказуем пустой список.
Для доказательства обратного утверждения, как в предложении
6.5.2, будем доказывать такое утверждение: если D — доказательство

§ 6.5. Исчисления резольвент
249
списка θ в R(Fq\ ... ;ГП) и χ = х\,... ,хт — список всех переменных
из формул списков Го;...;Гп, то существуют такие наборы термов
Τ = t\,... ,Тт, г = 1,... ,к, что в исчислении G доказуема секвенция
^ν(ν(Λ(«)
Доказательство проводится индукцией по числу списков в
доказательстве D. В случае, когда D есть просто список Г», следующее
дерево будет квазивыводом нужной секвенции:
ГгЬ ν(ΛΓ,)
Пусть доказательство х? имеет вид —, а последний переход есть
О' _
—, где θ = (θ')^. По индукционному предположению для некоторых
наборов термов t ,... ,t в исчислении предикатов доказуема секвенция
c = 0'hv(v(A(r^))·
i=\ \j=0 I
Очевидно, что из доказуемости секвенции С следует и доказуемость
секвенции С — {C)j [нужно взять доказательство D секвенции С
в G и сделать подстановку (D)j, но тогда доказуема секвенция С =
^уДЛВД)), где Г''= («*)*).
Рассмотрение случаев, когда последний переход в доказательстве
D осуществляется по правилу 1, 2 или 3 — как в предложении
6.5.2. Итак, если в Д(Го;... ;ГП) доказуем пустой список 0, то
существуют такие наборы термов t ;...;? , что доказуема секвенция
= ΘΚ
h
V ( V (Л(Г?)-г) )· Тогда доказуема секвенция
i=\\j=0K tJJ
1-ίν(ΛΓί))" iv(M)
4.7=0 /V \i=0 /tfc
Из доказуемости такой секвенции легко выводится, что доказуема
и секвенция
h3x,...3xmi \/(ЛГ0 У D

250
Гл. 6. Теория доказательств
Укажем теперь, как свести вопрос о доказуемости в G произвольной
формулы Φ исчисления G к вопросу о доказуемости пустого списка
в подходящем исчислении резольвент.
Если Φ содержит свободные переменные zq, ...,ζη, то, используя
следствие 6.2.3, легко проверить, что Φ доказуема тогда и только
тогда, когда доказуемо универсальное замыкание Ф° = Vzo ... \/ζηΦ
формулы Φ.
Пусть Ф° — замкнутая формула, тогда для нее эффективно
находится ей эквивалентная формула Ф1, находящаяся в пренексной
нормальной форме. По теореме Эрбрана доказуемость формулы Ф1
(а следовательно, также формул Ф° и Ф) равносильна доказуемости
эрбрановой формы Ф^ формулы Ф1. Матрица формулы Ф^ находится
η
в дизъюнктивной нормальной форме, т.е. имеет вид V (/\Г{), где
г=0
Гг — некоторые списки атомарных формул или их отрицаний. Но
тогда Ф^ есть замкнутая 3-формула и, следовательно, ее доказуемость
по предложению 6.5.3 равносильна выводимости пустого списка 0
в исчислении резольвент #(Го;... ;ГП).
Из только что доказанного, теоремы 5.4.6 и теоремы 6.3.5
получаем сводимость вопроса о доказуемости произвольной формулы Φ
в исчислении предикатов к вопросу о доказуемости пустого списка
в подходящем исчислении резольвент.
Для машинной реализации поиска доказуемости пустого списка
в исчислении резольвент используются различные детерминированные
(иногда и недетерминированные) способы последовательного
преобразования списков так, чтобы все доказуемые списки были получены
при таких преобразованиях. Такие способы носят названия стратегий
поиска. Обсуждение каких либо стратегий выходит за рамки нашего
учебника.
Для того чтобы хоть немного почувствовать возникающие здесь
проблемы, предлагается доказать следующее утверждение.
Предложение 6.5.4. Существует алгоритм, который по двум
формулам Φ и Φ исчисления резольвент узнает, существуют ли
такие наборы термов t = t\,...,tn, что формулы (Ф)| и (Ф)|
совпадают, и если такие наборы существуют, то находит
универсальный такой набор t.
Универсальность означает, что для любого набора t такого, что
(Ф)|, = (Ф)|,, существует такой набор термов t = Щ,...,^,
соответствующий списку й = щ, ...,Uk свободных переменных термов из t,
что ? = (*)£,. D

Глава 7
ВЫЧИСЛИМОСТЬ
§7.1. Понятие алгоритма
В предыдущих главах мы неоднократно говорили об алгоритме 21,
действующем на некотором множестве объектов X, понимая под этим
точное предписание, определяющее по любому объекту α Ε Χ
некоторую вполне определенную последовательность простейших действий,
осуществляя которые, мы либо никогда не закончим этот процесс
(вычисления), либо этот процесс заканчивается и мы получаем объект
21(a), называемый значением 21 на а, либо процесс обрывается без
получения значения. Если процесс, определяемый алгоритмом 21 по
элементу а, не заканчивается или обрывается без получения значения,
то говорят, что 21 не применим к а. Примерами алгоритмов могут
служить правила сложения, умножения и деления, действующие на
множестве пар натуральных чисел. Заметим, что алгоритм деления не
применим к паре натуральных чисел (п, га), если η не делится нацело
на га. Другим примером является описанный в §4.3 алгоритм
нахождения по формуле исчисления предикатов эквивалентной ей формулы,
находящейся в пренексной нормальной форме. Количество простейших
действий, необходимых для получения значения алгоритма, может
быть весьма большим. Однако мы отвлекаемся (абстрагируемся) на
данном уровне изучения от реальных возможностей осуществления
алгоритмов и будем исходить из предположения, что при осуществлении
процесса вычисления, определенного алгоритмом, мы имеем
неограниченный запас времени и материалов. Такое предположение носит
название принципа потенциальной осуществимости.
Как правило, интуитивного понимания бывает достаточно для
установления того, является ли данное предписание алгоритмом или нет.
Однако без точного определения алгоритма невозможно обойтись, если
пытаться доказывать, что для решения определенного класса задач не
существует единой эффективной процедуры (алгоритма). Но возможно
ли найти такое математическое определение понятия алгоритма, чтобы
и охватить все разнообразие уже существующих алгоритмов и
эффективных процедур, накопленных математической и вычислительной

252
Гл. 7. Вычислимость
практикой, и быть уверенным, что любой предложенный в будущем
интуитивно приемлемый алгоритм подпадает под это определение?
Поставленный столь широко вопрос вряд ли имеет положительное
решение. Однако реальное развитие математики привело к
удовлетворительному решению (точнее было бы сказать снятию) этой
проблемы. А именно, было предложено несколько формализации понятия
алгоритма, различающихся возможными областями действия, набором
допустимых простейших действий и возможностями составления
предписаний (программ) для вычисления. Изучение этих формализации
показало, что они обладают свойствами замкнутости относительно
всевозможных комбинаций (суперпозиции, итерации и т.п.),
большими возможностями воспроизводить с достаточной степени похожести
(адекватности) все известные алгоритмические процедуры и приемы.
Наиболее существенным для оправдания определений оказалось
совпадение классов вычислимых функций для всех этих понятий.
Поэтому по крайней мере понятие (алгоритмически) вычислимой функции
(с натуральными аргументами и значениями) оказалось инвариантно
определенным и для теоретических целей этого вполне достаточно.
Существование ряда различных определений (уточнений) понятия
алгоритм имеет и свои преимущества, так как для решения различных
задач бывает удобно использовать различные, наиболее подходящие
для этого случая, определения. Аналогию этому явлению можно найти
в программировании — существующее многообразие языков
программирования во многом объясняется разнообразием задач, стоящих перед
вычислителями и программистами.
В этой главе будут даны определения для трех различных, но
эквивалентных подходов к понятию алгоритмической вычислимости.
За основу первого подхода, отступая от традиций, берется понятие
Σ-определимости. Традиционные уточнения понятия вычислимости —
машины Тьюринга и рекурсивные функции — будут приведены в конце
настоящей главы.
§ 7.2. Σ-предикаты и Σ-функции на Ω
Пусть Ω ±=? (ω, 0,5, +, ·, ^) — алгебраическая система сигнатуры
сг0 = (0, s\+2, ·2, ^2), основным множеством которой является
множество натуральных чисел (конечных ординалов), символы 0,+,·,^
имеют обычный смысл, а функция sn: ω —► ω такая, что sn(n) = η + 1 для
всех η £ ω. Изучение Σ-функций удобно проводить в более широком
классе частичных Σ-функций.
Напомним, что под частичной функцией мы понимаем здесь всякое
отображение /: X —> ω, где X С и;к для некоторого k G ω. Число

§ 7.2. Σ,-предикаты и Σ,-функции на Ω
253
к в этом случае называется местностью частичной функции / и
обозначается через v{f). Если /: X —► ω — частичная функция, то
будем называть / нигде не определенной при X = 0 и всюду
определенной при X = ω1^). О Всюду определенную частичную функцию
в дальнейшем будем называть просто функцией. Частичную функцию
местности к будем называть к-местной частичной функцией. Мы
допускаем случай, когда к = 0. Тогда 0-местная функция /: ω° —► ω
будет состоять из одной пары (0, п) для некоторого η ε ω и часто будет
отождествляться с числом п. Всюду в дальнейшем буквы т,к,п,г и j,
возможно с индексами, будут обозначать натуральные числа.
Пусть /: X —у ω — /с-местная частичная функция. Если (mi,...
...,mfc) Ε Χ, το f(m\,...,mk) — это значение функции / на наборе
(77ii,...,mfc). Если (mi,...,rrifc) £X, то будем говорить, что /(mi,...
...,m/c) не определено или что / не определена на наборе (mi,...
...,mfc).
Ясно, что для задания частичной /с-местной функции / достаточно
для любого набора (mi,...,mfc) сказать, определено ли n = /(mi,...
... ,m/e). Если / и g — частичные функции, то будем писать
/(ть ..., rafc) = g{mi,...,mk),
когда обе части равенства определены и равны, либо обе части
равенства не определены.
Пусть к>0 и X Сик.
Определение. (Частичная) /с-местная функция д: X —► ω
называется (частичной) ^-функцией, если ее график
г<? ^ {(mo,-.-.mfc_i,mfc) | mo,...,mk-\ E Х,д(то,... ,τη^_ι) = m/J
есть Σ-предикат на Ω.
Множество Χ — область определения функции д — будем
обозначать через δ9.
Укажем простейшие факты о (частичных) Σ-функциях.
(1) Следующие функции θ: ω —► ω и I™: ωη —► ω, где п> 0, к < п,
являются Σ,-функциями:
в(г) = 0, г Ε ω,
i£(io,...,in_i) = ΰ, ζι,...ζη_ι ε ω.
О Отметим, что если / — частичная функция, то ее местность определена
по / однозначно в случае, когда / не является нигде не определенной. Нигде
не определенные функции местности кит для любых к,т Ε ω равны.

254
Гл. 7. Вычислимость
Как легко видеть,
Τθ = {χχ ^Of[x0,x\],
Γ/η = (хп &хк)п[х0,...,хп_{,хп].
(2) Пусть D С ωη и δι С ик, где г ^ п. Если Н: D —► ω и ^: £* —► ω,
где г < η, являются частичными Σ-функциями,
J^l г J г = (z0,...,zfc_i) G |°| £,·, (#о(г),... ,gn-\(i)) е D },
mo следующая функция h: δ —> ω является Σ-функцией:
h(i) = H(g0(i),...,gn-i(i)), г G δ.
Действительно, если Г я = Фп[х] и Г^ = <рр[у], г < п, для Σ-формул
Φ и у?ь г < п, то
ΓΛ = 3χ0...3ϊη_,( Д(^)»;л(Ф)«;)
\j<n /
Для дальнейшего изучения Σ-предикатов и Σ-функцией на Ω важной
является возможность «кодирования» пар, троек, ..., всех конечных
последовательностей натуральных чисел натуральными числами с
помощью Σ-функций на Ω. Начнем с «кодирования» пар.
(3) Функция с: ω2 —► ω, определенная по формуле
(х + у)(х + у+ 1)
с(х,у) ±=? ^ + х'
взаимно однозначно отображает ω2 на ω (см. рис. 1).
Формальное доказательство оставляем читателю в качестве
упражнения. Заметим только лишь, что с соответствует «пересчету» (т. е.
нумерации) всех упорядоченных пар натуральных чисел в
соответствии с рис.1. Именно: номером с(х,у) пары (х,у) является сумма
числа пар (и, ν) таких, что и + ν < χ + у\ это число равно величине
(х + у)(х + у + 1)/2 и первой координаты я.
Следствие 7.2.1. Существуют функции Ι: ω —> ω α г: ω -^ ω
такие, что для любых х,у е ω выполняется
1(с(х, у)) = х, г(с(:г, у)) = ?/, с(/(ж), г (ж)) = ж.

§ 7.2. Σ-предикаты и Σ-функции на Ω
255
(3,0) (3,1)
(4,0)
Рис.1
Замечание 7.2.2. Для любых х,у е ω справедливо
с(х,у) ^ х,у,
с(х, у) = χ лишь в случае χ = у = 0,
с(х, у) = у лишь в случаях χ = 0 и (у = 0 или у = 1),
/(я) ^ х,
1(х) = χ лишь в случае χ = 0,
г (ж) < х,
г (ж) = χ лишь в случаях χ = 0 или ж = 1.
(4) Функции с, I и г являются Έ-функциями на Ω.
Действительно, легко проверить, что если
Ф(х, у, ζ) ±=; 3u(u + и « (χ + 2/) (ж 4- s(j/)) Λζ &и + х),
Гс ^ ΦΩ[ζ, </,*], Г, ^ (ЭуФ)п[*,ж], Гг ^ (3*Φ)Ω[ζ,</].

256
Гл. 7. Вычислимость
Расширим сигнатуру σο до сигнатуры σι ί=; σο U (c2,ll,rl) и
алгебраическую систему Ω обогатим до Ωι так, что сп* = с, ΖΩι = I и γΩι = г.
В соответствии с предложением 5.8.6 Σ-предикаты (Σ-функции) на Ωι
будут Σ-предикатами (Σ-функциями) на Ω. Рассмотрим Δο-формулу
B(x,y,z) сигнатуры σ\:
3w ^ l(x)(s(s(c(z,y))r(x))w « Ι (χ)) Α
AVu ^ z(~" и « ζ —► "Зг^ ^ i(a;)(s(s(c(u,2/))r(a;))ii; « Z(a;)))V
Wu ^ г(ж)Угу < l(x)C(s(s(c(u, y))r(x))w « /(ζ)) Λζ^Ο)
и соответствующий ей предикат ΒΩι[χ, у, ζ] на Ωι.
(5) Предикат ΒΩι [χ, у, ζ] является графиком функции β: ω2 —► ω
такой, что для любых k e ω и щ,... ,η^ € ω существует т е ω
такое, что β(πι, г) = п* для всех г ^ к.
Проверим сначала, что Bni[z,y,z] является графиком. Пусть п,те
е ω. Возможны два случая.
Случай 1: существует к £ ω такое, что число s(s(c(k,m))r(n)) =
= (с(к,т) + \)г(п) + 1 делит 1(п), т.е. существует w такой, что
s(s(c(k,m))r(n))w = 1(п).
Выбираем наименьшее ко такое, что s(s(c(ko,m))r(n)) делит 1(п).
Заметим, что в этом случае ко ^ 1(п). Действительно, если 1(п) = 0 или
г(п) = 0, то ко = 0. Если г(п) φ 0, то
ко ^ с(ко,т) < s(c(ko,m)) ^ s(c(ko,m))r(n) < s(s(c(ko, m))r(n)) ^ I(η).
Следовательно,
Ωι (= Зи ^ l(n)3w ^ l(n)(s(s(c(u,m))r(n))w « /(η))
и если (η, га, A;) G £Ωι [χ, у, ζ], то к = ко·
Случай 2: не существует к со свойством, указанным в
случае 1. Очевидно, имеем лишь (п, га, 0) £ £Ωι [ж, у, г]. Таким образом,
ΒΩι [χ, у, ζ] — график двуместной функции, которую обозначим через β.
Докажем вторую часть утверждения (5). Пусть п^,...,^ Gw,
с ±=; max{c(rii, г) + 1 | г ^ А:} и α = с!. Покажем, что при 0 < j < I ^ с
числа ja+ 1 и Za+ 1 взаимно просты. Предположим противное: пусть
простое число ρ делит их разность (la + 1) - (ja + 1) = (I — j)a. Тогда
ρ делит / — j или а. Но так как I — j ^ с, получаем, что ρ делит а = с!.
Так что в любом случае ρ делит а. Но тогда a = pa' для некоторого
a' G о; и ja + 1 = (ja')p + 1 и это число не может делиться на р.
Приходим к противоречию.

§ 7.2. Σ-предикаты и Σ-функции на Ω
257
Полагаем
Ь ±=? П((с(щ, г) + 1)α + 1), m^ c(b, a).
Покажем, что т таково, что /3(га, г) = щ для всех г ^ к.
Пусть I < к. Тогда число s(s(c(rii,i))a) — ((с(щ,г) + 1)а+ 1) делит
& (а = г(т),Ъ = 1(т)). Предположим, что для некоторого и ^ щ число
s(s(c(u,z))a) также делит Ь. Так как и ^ щ, имеем с(и, г) ^ с(щ,г) < с.
Ввиду взаимной простоты чисел вида ja + 1 и Ζα + 1 для j φ Ι < с
получаем, что с(и,г) + 1 должно совпадать с некоторым c(rij,j) + 1 для
j ^ к. Но если с(и,г) + 1 = c(rij,j) + 1, то с(и, г) = c(rij, j), г = j, и и =
= щ. Таким образом, щ является наименьшим из таких ζ (^ b = /(га)),
что s(s(c(z,z)r(m)) делит Z(ra). Поэтому β(τη,ι) = щ.
Функцию /3, обычно применяемую для кодирования конечных
последовательностей натуральных чисел, используем лишь один раз для
введения более удобного кодирования.
(6) Следующая двуместная функция Ζ*: ω2 —► ω является
Σ-функцией на Ω\ (на Ω):
/*(п, 0) = η,
l+(n, k + 1) = /(/*(n, /с)), п, /с ей.
Установим, что I* есть Σ-функция на Ωρ где Ω{ — обогащение Ωι до
сигнатуры σ[ ±=? σ U (/?2) и /3Ω> = /?. Рассмотрим следующую Σ-формулу
A(x,y,z) (сигнатуры σ[):
Зи(Р(и, 0) « ж Λ W < ?/(/?(u, s(v)) « Z(/3(u, ν)) Λ ζ « /3(u, j/))).
Нетрудно проверить, что Ι\ = ΛΩι[ζ,у, ζ].
Замечание 7.2.3. Справедливы следующие утверждения:
— если l*(n,i) > 0, то ί*(η, г 4- 1) < Ζ*(η, г), и /*(п, г) = 0 при г > га;
— l*{l*{m,i),j) = l*(m,i+j),m,ij €ω.
Определим функцию Г: ω2 —> ω по формуле Г(х,у) ±=? г(1*(х,у)).
Поскольку Гг = Зи(А(х, у, и) Α ζ « r(u))ni [χ, у, ζ], справедливо
Следствие 7.2.4. Функция Г является Σ-функцией на Щ (Ωι).
Пусть σ2 ±=; σ{ U (Г2) и Ω2 — обогащение Ω| до сигнатуры σ2 такое,
что ΓΩ2 = Г. Покажем, что функция Г обладает тем же важнейшим
свойством, что и функция /3.
9 К") Л Кпшов. Ε. А. Палютин

258
Гл. 7. Вычислимость
(7) Для любых no,...,rik G ω существует т G ω такое, что
Г (τη, г) = щ для всех г ^ к.
Действительно, легко проверить, что Г (τη, г) = щ для всех г ^ к,
если
га ±=? с{с{...с{с{0,пк),пк-\),...,п\),щ).
4 ν '
fc+l
Для Г справедливо более сильное утверждение.
(8) Функция Г обладает следующими свойствами:
— для любой функции /:ω—>ω такой, что /(г) = 0 для всех
г > kf, и для подходящего kf G ω, существует т е ω такое,
что Г(га,г) = /(г) для всех г G ω;
— если то φ т\, то существует г G ω такое, что Г(гао,г) φ
фТ{гпх,г).
Первое свойство вытекает из того факта, что если га выбрано для
последовательности по ±=? /(0),... ,η/^ ±=? f(kf) так же, как в
доказательстве (7), то Г(га, г) = /(г) для всех г G ω.
Второе свойство легко вытекает из следующего общего свойства,
проверяемого индукцией по к: для любых га, к G ω, к φ 0, имеет место
соотношение
т = с(с(...с(Цт,к),Г(т,к- 1)),... ,Г(га, 1)),Г(га,0)).
к
Замечание 7.2.5. Для любых га G ω и к > га верно равенство
Г (τη, /с) = 0. Следовательно, соответствие га ь-> λΐΓ(τη, г) (= функция
/: ω —у ω такая, что /(г) = Г(га, г) для всех г G ω), где га G ω, является
взаимно однозначным соответствием между натуральными числами и
одноместными функциями / на ω, «стремящимися к нулю на
бесконечности» (т. е. такими, что существует kf со свойством /(г) = 0 для
г > kf).
С функцией Г можно связать также некоторую эффективную
нумерацию семейства всех конечных подмножеств ω: для любого η G ω
полагаем Fn ±=? {к | Г(п, к) = 1}. Тогда Fn — конечное подмножество ω,
к G Fn => к ^ п. Если FC-ω конечно и χρ: ω —► ω —
характеристическая функция F, т. е. Xf(^) = 1 при η е F и xf(^) = 0 при η φ F, то
согласно замечанию 7.2.5 существует m е ω такое, что Г(га,г) = xf(i)
для всех г G ω. Следовательно, F = Fm.
Укажем еще ряд свойств класса частичных Σ-функций, попутно
определяя необходимые понятия.

§ 7.2. Σ-предикаты и Σ-функции на Ω
259
Определение. Пусть Н: D —► ω, DC ωη+χ. Функция h: δ —► ω,
δ С ωη, получена из Η минимизацией (h(x) = μ/μΗ(χ,,μ)), если (го,...
...,zn_i) G δ тогда и только тогда, когда существует г G ω такое, что
для всех j < г выполняется
(г0,...,гп_ь j) G D, #(г0,...,гп-1, j) φ О,
(г0, ...,гп_1,г) G D, Н(г0,... ,гп-ь г) = О,
причем /г(г'о,..., гп-1) = г для этого г.
(9) £Ъш Н: D ^ ω, D С ωη+χ, — частичная Σ-функция, a h: δ —►
—у ω, δ С ωη, получена из Η минимизацией, то h также является
частичной Σ-функцией.
Если Г# = ΦΩ[^ο, ...,Χη-\,Χη,Χη+\] для Σ-формулы Ф, то
Th = (Ф(ж0,...,жп_1,0) AVj/ ^xn(2/«^nV
V Зг(Ф(ж0,... ,zn_i, ζ) Л "· ζ « 0))Ω[χ0,..., жп].
Определение. Пусть /г: Jo —► ω, ίο S ωη и Η: D ^ ω, DC ωη+2.
Функция g: δ —► ω, J С cjn+1, получена из h и Η примитивной
рекурсией, если
— (г'о,...,г'п-1,0) G 5 тогда и только тогда, когда (го,... ,гп-\) G ίο,
причем в этом случае g(io,..., гп_ьО) = h(io,... ,гп-\)',
— для г G о; соотношение (го,... ,гп-1,г + 1) G £ имеет место тогда и
только тогда, когда
(го, ...,гп_1,г) G J
(г^..,гп_ь#(г0,...,гп,г),г + 1) G А
причем в этом случае
#(г'о,...,гп_1,г+ 1) = #(г'о,... ,гп_ь#(г'о,... ,гп_ьг),г + 1).
(10) Если h: δο —> ω, δο С ωη и Η: D —► ω, D С ωη+2, — частичные
Σ-функции, a g: δ —► ω, δ С ωη+1, получена из h и Н примитивной
рекурсией, то g — частичная Σ-функция.
Пусть Ι\ = Фо*[жо,...,жп_ь2/] и Гя = Фр[жо....,жп_1,2/,2|1л] для
подходящих Σ-формул Фо и Φι. Определим Σ-формулу Φ сигнатуры аг:
Ф(жо,...,жп_1,жП1жп+1) ^ ЗгАА/ < χη3ζ(Φ0(χο,... ,χη-ι,Γ(ΐ;,0))Λ
Λ (у « χη V Φι (жо,. ·., жп-1, Γ (υ, ?/), 2/ + 1, Γ(ν, у + 1))) Λ χη+ι « Γ (υ, жп)).
Нетрудно проверить, что Г9 = ΦΩ2[χο,...,χη-ι,χη,χη+\].
9*

260
Гл. 7. Вычислимость
Замечание 7.2.6. Легко убедиться, что если h и Η — Σ-функции,
то д — Σ-функция.
Определение. Пусть Q С шк — /с-местный предикат.
Характеристической функцией xq : ик —► ω предиката Q называется функция
XQ®
1, г€(Э,
о, г^д,
для любого г = (го,..· ,ik-\) £ o;fc.
(11) £с/ш Q — Σ-предикат на Q, то его характеристическая
функция xq является Σ-функцией на Ω.
Пусть С2 = Фо[хо,.--,Хк-\], uk \Q = Ф^[хо,...,Хк-\] для
подходящих Σ-формул Фо и Φι. Если
Φ ^ (Φ0(χο,···,^-ι) Axfc « s(0) νΦι(χ0,··.,^-ι) Axfc « 0),
το TXQ =ΦΩ[χο,·..,^-ι,^]·
Определение. Пусть Q С. ик — /с-местный предикат. Частичной
характеристической функцией предиката Q называется функция
Xq- Q —> ω такая, что Хд(г) = 1 для г G Q.
(11') £с/ш Q Cu;k — Σ-предикат на Ω, то его частичная
характеристическая функция Xq является частичной Σ-функцией.
Если Q = ΦΩ[χο, ...,χ/e-i], το
Далее понадобится функция ch: ω3 —> ω, обладающая следующим
свойством: для любых п,т е ω если nf = ch(n, га,г), то Г(п/, j) =
= Г(п, j) для всех j φ г и Г(п',г) = га. Нетрудно проверить, что эта
функция удовлетворяет следующим соотношениям (и ими
характеризуется): для всех n,m,i e ω,
ch(n, га,0) = c(Z(n),ra),
ch(n, га, г + 1) = c(ch(i(n), га, г), r(n)).
Это определение напоминает определение примитивной рекурсии,
однако таковым не является, так как во втором соотношении встречается
не ch(n,ra, г), a ch(Z(n),ra,z). Тем не менее, рассуждая аналогично,

§ 7.2. Σ-предикаты и Σ-функции на Ω
261
как в случае примитивной рекурсии, можно установить следующее
предложение.
(12) Функция ch: ω3 —► ω является Σ-функцией.
Пусть
Ъ(х0,х\,Х2,хз) ^ BuVj/ < с(хо,х2)[(г(у) «О-»
-> Г{и,у) « c(i(/(y)),xi)) Л рф) « 0 ->
-> 3s(*(s) « r(y) Л Г(и, у) « с(Г(и, c(I(Z(y)), z)), r(i(y)))))] Л
Лхз ~ Г(гг,с(жо,Ж2)).
Тогда ГсЬ = Ф"2[жо,Ж1,Ж2,жз].
Прежде чем сформулировать и доказать главное утверждение
настоящего параграфа, отметим следующий достаточно очевидный факт:
(13) Алгебраическая система Ω является ограниченной (в смысле
определения из §5.7).
Обозначим через σ* расширение сигнатуры σο, полученное
добавлением символов для всех Σ-функций на Ω и константных символов
для всех элементов ω, а через Ω* — соответствующее обогащение Ω.
Из рассуждений, проведенных в §5.8, 5.9 (см. предложение 5.9.4),
вытекает
Следствие 7.2.7. Справедливы следующие утверждения:
(а) Ω* — ограниченная алгебраическая система сигнатуры σ*,
(б) предикат Q С шк {функция /: шк —► ω) является Σ-предикатом
(Σ-функцией) на Ω* тогда и только тогда, когда Q (/) есть
Σ-предикат (Σ-функция) на Ω.
Теорема 7.2.8 (Ганди). Пусть Ф(х, Р+) — Σ-формула сигнатуры
σ* U (Р{), в которую предикатный символ Ρ входит позитивно.
Тогда наименьшая неподвижная точка Г* С ω оператора ΓφΓι
является Σ-подмножеством на Ω*.
Доказательство. Рассмотрим последовательность подмножеств
множества ω:
Го^0, Γη+ι ^г2од(Гп), ηβω.
Имеем Го С Γι С ... С Гп С ... С Г*. Согласно предложению 5.9.3 все
Гп являются Σ-подмножествами множества ω. Поэтому по
предложению 5.9.4
Γη+ι = Г3иф(и)|а;|(Гп), η € ω.

262
Гл. 7. Вычислимость
Определим последовательность конечных подмножеств множества ω
следующим образом:
Δη+1 ±^{fc| Λ<η+1,(Ω*,Δη> \=Зи^п+\Ф{и\к)}, пей.
Легко проверить, что
A0CA! C...CAnCAn+i С...,
Δη с гп, η ей.
Докажем, что предикат Δ ±=? {(п,т) \ га £ Δη,η, га £ ω} является
Σ-предикатом. Для этого рассмотрим Δο-формулу сигнатуры σ*:
Ф(Х0,Х1,Х2) - (3tX < Х0Ф(и)(^1^+))г(х2)х3)^(0))[хз]
(считая, что переменные х\,Х2 не встречаются в Зиф(и)(х, Р+)),
которая получается из Δο-формулы Зи ^ xq&u\x\,P+) заменой каждой
атомарной подформулы вида P(t) формулой T(x2,t) « 5(0).
Индукцией по построению Φ проверяется справедливость
следующего утверждения:
Ω* (=Ф(*,т,п) <=> (Ω*,Ρη) |=Зи^/сФ(и)(га,Р+), к,т,пеш.
Пусть Q ^ ΨΩ*[χο,#ι,#2] <Ξ ω3. Поскольку Q — Δ-предикат, его
характеристическая функция xq есть Δ-функция.
Определим трехместную функцию Я примитивной рекурсией:
Я(п,/с,0) = с(0,хд(п,0,п)),
Н(п, к, I + 1) = ch(ff (п, /с, /), XQ(k, I + 1, η), /с + 1).
Положим
Δη,Μ ^ {га | га < /, (Ω*,Ρη> И Зи < /сФ^(га,Р+)}.
Установим равенство FH(n,k,i) = Δπ,μ- Из определения Я и свойств
функции ch индукцией по / получаем, что
T{H{n,k,l),i)={XQ{kXn)' i<1'
[0, г>1.
Из этих соотношений и свойства формулы Φ вытекает требуемое
равенство FH{nXl) = Δ„,Μ.

§ 7.2. Σ-предикаты и Σ-функции на Ω
263
Пусть функция Я': ω2 —> ω определена так: Н'{п,к) ±=? Н(п,к,к).
Очевидно, что Я' является Σ-функцией. Определим функцию Я*: ω —►
—► ω примитивной рекурсией:
Я*(0) = 0,
Я*(п+1) = Я'(Я*(п),п+1).
Установим, что i*#*(n) = Δη для всех η € ω. Имеем Δο = 0 = Fq =
= Ftf.(o). Пусть Δη = FH*(n). Тогда
Δη+1 ^ {I I I < η + 1, (Ω*, Δη) μ 3u < η + 1Φ^(/)} =
= Дя*(п),п+1,п+1 = ^tf(tf*(n),n+l,n+l) =
= ^д7(#*(п),п+1) = i*tf*(n+l)·
Так как Я* — Σ-функция, из равенства Δ = (Τ(Η*(χ), у) «
« 5(0))Ω*[χ, у] следует, что Δ является Σ-предикатом (Δ-предикатом).
Заметим, что Δη = {га \ (п, га) G Δ}, η £ ω, и Δ* ^ (J Δη является
Σ-множеством, так как
A* = (3x(T(H*(x),y)*s(0))f'ly}.
Воспользуемся теперь принципом Σ-параметризации (см. §5.9) для
доказательства вложения ΓφΓ](Δ*) С Δ*. Поскольку Δ* — Σ-множество,
по предложению 5.9.4,
Γφ[^](Δ*) = Γ3ηφ(η)[χ](Δ*).
Пусть к е Γ^φ(η)[:Ε](Δ*). Тогда (Ω*,Δ*) \=ЗиФ^(к) и существует
интерпретация η: {χ,и} —> ω такая, что η{χ) = к и (Ω*,Δ*) (= Ф^[7].
По принципу Σ-параметризации существует ко G ω такое, что
(Ω*,Δ*0)ΗΦ(")[7].
Пусть к\ ^ коУку^(и). Тогда из Ако С Δ/-, следует
(П*,Ак1)\=фМ[>у]9
(А*,Ак1)Ь=Зи^кхфМ(к).
Поэтому к € Δ*1+1 С Δ*, и свойство rg*x](A*)(= Г£ф(и,м(Д*)) С Δ*
установлено.
Как отмечено в §5.9, если Γφ^Δ*) С Δ*, то для наименьшей
неподвижной точки Г* имеем Г* С Δ*. Но тогда из соотношений
Δ* = (J Δη С (J Гп = Г* следует, что Δ* = Г* и Г* является
Σ-подмножеством ω. D

264
Гл. 7. Вычислимость
Теорема Ганди сформулирована и доказана выше для случая
одноместных предикатов. Однако она справедлива и в общем виде.
Теорема 7.2.9 (общая форма теоремы Ганди). Пусть Ф(Р+) —
Σ-формула сигнатуры σ* U (Рк), в которую предикатный символ
Ρ входит лишь положительно, и пусть χ — хо,... ,Хк-\ — список
попарно различных переменных· такой, что FV{$) С {х}. Тогда
наименьшая неподвижная точка Г* С шк оператора Т%щ является
Σ-предикатом на Ω*.
Доказательство может быть получено сведением к случаю к =
= 1 с помощью следующих без труда проверяемых фактов.
Пусть к > 1. Определим Σ-функции с/-: шк —► ω:
С2(хо,х\) ^ с(хо,х\),
Ск+\ (Жо, · · · , Хк-\, Хк) ^ c(Cfc(x0, · · · , Xk-l),Xk),
и Σ-функции рк,г: ω —► ω, г < Л:
Рк,о{х) *=;1*(х,к),
Рк,г(х) — r(l*(x,k -г- 1)), г > 0.
Тогда для любых х, жо,... ,Хк-\ € ω (А; > 1)
Cjb(pfc/)(a),...,p]fejfe_i(a;)) = ж,
Ρμ(^(χο,···,^-ι)) =Xi-
(14) Яг/стъ Jfe > l, Q С α;*,
c(Q) ^ {cfc(z0 ifc_i) | (z0,...,zfc_i) G Q}.
Тогда Q является Σ-предикатом тогда и только тогда, когда c(Q)
является Σ-подмножеством множества ω.
Пусть χ = хо,... ,#fc-i — список различных переменных такой, что
FV($) С {S} для Ф, и Фс(х) ^ (Ф)^°(Х),:,Р,Х;.-'(Х)· Ясно, что если
Φ — Σ-формула сигнатуры σ*, то Фс также является Σ-формулой
сигнатуры σ*.
(15) Пусть Ф(Р+) и χ = хо, ··· ,#fc-i такие же, как в
теореме Ганди. Тогда для наименьших неподвижных точек Г* и Т\
операторов Т%щ и T^lr-i справедливо соотношение Т[ = с(Г^),
где Ф*((Э+) — Σ-формула сигнатуры σ* U (Q1), определенная так:
Фс(<Э+) — (Фс)д(сьЫ yfc-i))fo> Ifc-i]'

§ 7.3. Σ-определимость истинности Σ-формул на Ω 265
Упражнения
1. Доказать, что функции sg: ω —> ω и Щ: ω —► ω, определенные
соотношениями
sg(0)=0, sg(n) = 1, n>0,
sg(0) = 1, sg(n)=0, n>0,
являются Σ-функциями.
2. Пусть f: ω —> ω и g: ω —> ω — две функции, почти всюду
равные нулю, и пусть щ,п\ Ε ω таковы, что / = λχΓ(ηο,χ),
g = ΑχΓ(ηι,χ). Если / ^ # (т-е- /(т) ^ #(т) Для всех т £ ω), то
по ^ щ.
§ 7.3. Σ-определимость истинности Σ-формул на Ω
Предположим, что множество У всех переменных есть
{х0,х\,...} = {ж» | г Ε ω}.
Тогда с функцией Г можно связать нумерацию всех (полных)
интерпретаций 7· V —> ω, которые почти всюду (за исключением конечного
числа переменных) равны нулю. Именно, пусть η е ω и jn: V —> ω —
интерпретация такая, что 7п(#г) ^ Г(га, г), г Ε ω. Если Φ — Σ-формула
(сигнатуры σο), у = 2/o»---,2/fc-i(€ У) — список различных переменных
такой, что ^У(Ф) С {у}, то /с-местный предикат
φΩ[^] = {α=(αο,...,α^_1)|αΕ^,ΩΗΦ[^]}
является Σ-предикатом по определению. Однако с Φ можно связать
также следующий одноместный (подмножество ω) предикат Тгф, не
зависящий от выбора списка у:
ΊΪΦ ±=; {п | Ω И Ф[7п]}.
Предложение 7.3.1. Для любой Ао-формулы (Σ,-формулы) Φ
сигнатуры σο множество Тгф является Ао-подмножеством
(^-подмножеством) ω на Ω* (и А-подмножеством (Σ-подмножеством) на Ω).
Сначала установим следующую лемму.
Лемма 7.3.2. Для любого терма t сигнатуры σο функция vt: ω —►
—► ω такая, что vt{n) ±=; tn[yn]t η Ε ω, является Σ,-функцией.
Доказательство. Если t есть 0, то vt ±=^ 0; если t есть Х{, то
vt ±=? АгаГ(га,г); если t = s(io), т0 vt ±=; s(vto); если t = to + ίι (ί = ίο · ίι).
το υ4 ±=? vto + vt| (vt *=? vto · vt|). □

266
Гл. 7. Вычислимость
Доказательство предложения 7.3.1. Индукцией по
построению Φ будем строить Δο-формулу (Σ-формулу) Фф(хо) сигнатуры σ*
такую, что Тгф = Фф*[хо]·
Если Φ есть £о ~ U (to ^ t\)> то Φ φ есть vto{xo) ~ vtl(xo)
(vt0{xo) ^ vtl{xo)).
Если для Фо и Φι формулы Фф0 и Фф, уже определены, то полагаем
ф.Фо--фФо,
Φφ0νΦ, ^Φφ0νΦΦι,
Φφ0ΛΦ, ^ Фф0 ΛΦφ„
Фэ*;Ф0 — 3^п(Фф0)сЬ(а:о,Хп,г)'
Φ3*,<ίΦο - 3χη ^ ^(я?о)(Фф0)л(Я:о.*п.О·
Φν^ίΦο ^ Va;n ^ ^(^о)(Ффо)сЬ(жо,хп,г)'
где η £ ω — наименьшее число такое, что η > 0 и хп не встречается
в Фф0. Проверка того, что предложенные формулы удовлетворяют
соответствующим заключениям, довольно проста. Для примера рассмотрим
случай, когда Φ есть 3χι ^ £Φο· Тогда
Φφ = 3χη^υ((χο)(Φφ0)0χ°(χοΧηί)
для подходящего η Ε ω. Пусть к Ε Фф*[хо]· Тогда
tl*\=3xn<vt(k)(**0)2{KXn4).
Следовательно, существует т Ε ω такое, что
Напомним, что имеет место равенство vt(k) = £Ω[7*], а число
к' <=; ch(/c, га, г) такое, что
(Л / 7*0'). JV*.
I m«in[7fc])f j = i.
По индукционному предположению соотношение
П*Н**,)2(*.тЛ=Ф*·^)
означает, что /с7 Ε Тгф0, т. е. Ω (= Φο[7*']·
Таким образом, для интерпретации 7* существует интерпретация
7/с' такая, что 7/с'(Л = 7*Ш Для i Φ i и 7fc'№ = m ^ *Ω[7*]. Ω h фоЬИ·

§ 7.3. Σ-определимость истинности Σ-формул на Ω 267
Поэтому Ω |= 3xi ^ £Фо[7/с] и /с е Тгзж;<£Ф0 = Тгф· Следовательно,
ф£>о]СЪгФ.
Проверим обратное включение. Пусть к е Тгзх^*ф0, т.е.
Ω (= 3xi ^ ^Фо[7/е]. По определению истинности существует
интерпретация У: V —► ω такая, что j;(j) = 7fc0) Для 3 Φ i> m *=* 7'W ^ tQ[lk]
(= г^(/с)) и Ω |= Φο[77]· Так как η' отличается от 7/е лишь для одного
значения аргумента, существует к' £ ω такое, что η' = ην · Более того,
к' = ch(/c,ra, г), по индукционному предположению имеем
^НФфо(^) = (Ффо)сХ^,т,г).
но тогда
O*Hm^^(fc)A(**0):»(femi),
О*НЗ*„^А0(Ффо)^,Жп,).
где к е Фф*[жо]. Таким образом,
где
Если Φ есть Δο-формула (Σ-формула) сигнатуры σο, то легко
проверить, что Фф есть Δο-формула (Σ-формула) сигнатуры
σο U {υ\ | £ — терм сигнатуры σο) U (Г2, ch3) С σ*. Ώ
Ниже будет установлено значительно более сильное утверждение,
означающее «равномерность» построения Фф по Ф. Предварительно
следует определить гёделеву нумерацию всех термов и RQ-формул
сигнатуры σο.
Если Τ(σο) — множество всех термов сигналы σο и RQF^o) —
множество всех RQ-формул сигнатуры σο, то гёделева нумерация G —
это отображение G: Τ(σο) U RQF^o) —► ω, удовлетворяющее
следующим соотношениям:
G(0) = c(0,l).
G{xi) = с(1, г), г £ ω,
G(8(t))=c(2,G{t)),teT(a0),
G(t0 + 11) = c(3, c{G(to), G(tx))), ίο, U £ Τ(σ0),
G(t0 · U) = c(4,c(G(to),G{ti))),to,U € Τ(σ0),
G(io»ii) = c(5fc(G(io),G(ii)))>i0,ii G Τ(σ0),

268
Гл. 7. Вычислимость
G(t0 < U) = c(6,c(G(t0),G(t{))),to,ti G Τ(σ0),
σ(Φ0ΛΦ1) = β(7,6(ί?(Φο),σ(Φ1))),Φο,Φι€ΚΡ^(σο),
σ(Φ0νΦ1) = 6(8,6(σ(Φο),σ(Φ1))),Φο,Φι€κρ^(σο),
С(Ф0 - Φι) = с(9, с(<3(Ф0),ί?(Φι))), Φ0, Φι G RQF(a0),
Gf Φ) = c(10, σ(Φ)), Φ G RQF(ao),
G(3xi ^ ίΦ) = c(llfC3(tfσ(ί),σ(Φ))),ί G cj,te Γ(σο),Φ € RQF(ao),
G(Vxi < ίΦ) = с(12,с3(г,С(г),С(Ф))),г Gw,iG Τ(σ0),Φ G RQF(a0),
С(ЗхгФ) = c(13, с(г, (?(Ф))), г G ω, Φ G RQF(a0),
G(Vx^) = с(14, с(г, σ(Φ))), г G ω, Φ G RQF(a0).
Основным результатом настоящего параграфа является
Теорема 7.3.3 (Σ-определимость истинности Σ-формул).
Следующий двуместный предикат является Έ-предикатом на Ω:
Τγς ^ {(га, А;) | га, k G ω, га — гёделев номер Σ,-формулы Φ
сигнатуры σο (m. β. С?(Ф) = га) г/ Ω |= Ф[7/е]}·
Доказательство. Предварительно установим ряд
вспомогательных утверждений. В доказательстве этих утверждений, а также в до-<
казательстве основной теоремы 7.3.3, используется теорема Ганди в
общей форме (см. теорему 7.2.9).
(1) Следующая функция Τ: ω —► ω:
J 1, существует терм t G Τ (σο) такой, что G(t) = га,
I 0 β противном случае
является ^-функцией.
Предполагая, что Ρ — двуместный предикатный символ,
соответствующий графику Тт функции Т, можно выписать следующую
Σ-формулу Фт(хо,х\,Р*) сигнатуры σ* U (Р2), в которую Ρ входит
позитивно и для которой Γχ является наименьшей неподвижной точкой
оператора Г^^:
Φτ(ζο,ζι) ^ [1(хо) ~ОЛ(х0 ~ 1 Λ χι & 1 V^xo- 1 Λχι « 0)]V
V[/(x0) « 1 ЛЖ1 « 1]V
Ур(жо)«2ЛР(г(ж0),Ж1)]У

§ 7.3. Σ-определимость истинности Σ-формул на Ω 269
V[(i(x0) ~ 3 V l(xo) » 4) Л (P(i(r(*o)), 1)Л
ЛР(г(г(жо)), 1)ЛЖ1 » 1 V(P(/(r(x0)),0)V
VP(r(r(x0)),0))Axi «0)]V
V[5 ^/(χο)Λχι «О].
(2) Следующая функция νοίχ: ω2
• ω:
уа1т(я<, &) = я
ίΩ[7/ο], ес/ш n,k € ω и существует терм t £ Τ(σο)
такой, что G(t) = η,
т.е. Γ(η) = 1,
Ο β противном случае,
является Σ-функцией.
Выпишем соответствующую Σ-формулу Φ(χο,#ι,#2,Ρ+) сигнатуры
σ* U (Р3), в которую Ρ входит позитивно и для которой график Гуа1т С
С ω3 является наименьшей неподвижной точкой оператора ГфГ χ ,:
Ф(жо,Ж1,ж2) ^ [Г(жо) ~0Лх2 ~0]V
V[/(x0) ~0Λχ2~0]ν
V[l{xo) ~ 1 Лж2 «Г(жы(ж0))]У
V[/(x0) « 2ΛΤ(χ0) « 1 ЛЗж3(Р(фо)а;1,жз)Л
ΛΧ2 ~ 5(X3))]V
V[/(x0) «3ΛΤ(χο)« 1Λ
ЛЗхзЗх4(Р(1(г(хо)), х\, хз)А
ЛР(г(г(жо)), х\, ач) Л Х2 ~ ^з + а?4)] V
V[/(x0) «4ЛТ(хо) ~ 1Л
ЛЗхзЗх4(Р('(^(^о), х\ , #з)Л
ЛР(г(г(хо)), #ι, ха) /\Х2 ~ хз · ха)]-
(3) Следующая функция Fq : ω —► ω:
Fo(n) = {
1, ес/ш существует Δ$-формула Φ
сигнатуры σο такая, что С?(Ф) = га,
О противном случае,
является Σ,-функцией.

270
Гл. 7. Вычислимость
Выпишем Σ-формулу Φ(#ο,#ι,Ρ+) сигнатуры σ* U (Ρ2),
«определяющую» Гр0:
Ф(а?о, х\) ^ Шхо) < 4 V 13 < 1(х0)) Λχχ& 0]V
V[(l(x0) ~ 5 V l(xo) « 6) Λ (T(/(r(x0))) « 1Λ
ЛГ(г(г(я?о))) « 1 Лап и 1 V (T(/(r(x0))) ~ 0V
VT(r(r(x0))) « 0) Л χχ « 0)]V
V[(/(x0) ~ 7 V ί(χ0) « 8 V l(x0) « 9)Λ
A(P(i(r(a?o))f 1) Л P(r(r(a?0))f 1) Λ χχ « 1V
V(P(Z(r(x0)), 0) V Р(г(г(ж0)), 0)) Л χι « 0)]V
V[/(x0) « 10AP(r(x0),^i)]V
V[(i(s0) ~ И V i(x0) ~ 12) Λ ((T(r(i(r(x0)))) ~ 0)V
VT(r(/(r(x0)))) « 1 AP(r(r(i0)),xi)].
(4) Следующая функция F%: ω -^ ω:
Ре(п)
1, ес/ш существует Σ-формула Φ сигнатуры σο
такая, что б?(Ф) = п,
0 β противном случае,
является Σ-функцией.
Следующая Σ-формула Ф(хо,х\,Р+) сигнатуры σ* U (Ρ2)
«определяет» Γ^Σ:
Φ(χο,χι) ^ Шхо) ^4V 14 <i(ar0))Axi « 0]V
V[Po(a?o)« 1Лц « 1]V
V[(i(a?0)«7Vi(a:o)«8)A
A(P(/(r(x0)), 1) Л P{r(r(x0))91) Λ χι « 1V
V(P(/(r(x0)),0) V P(r(r(x0)),0)) Λ χ, « 0)]V
V[(i(a?0)« 11 Vi(a?0)« 12)A
A(T(r(/(r(x0)))) « О Л xx « OV
VT(r(i(r(i0)))) ~ lAP(r(r(x0)),xi))]V
V[i(a?o)«13AP(r(r(a?0))fa?i)].

§ 7.3. Σ-определимость истинности Ε-формул на Ω 271
(5) Следующая функция For: ω —► ω:
For (n) = <
1, если существует RQ-формула Φ сигнатуры σο
такая, что η = б?(Ф),
О в противном случае,
является Σ-функцией.
Следующая Σ-формула Ф(хо,х\,Р*) сигнатуры σ* U (Ρ2)
«определяет» Грог-
Ф(х0, Х1) — [(ί(χο) < 4 V 15 < 1(х0)) Λ χι « 0]V
V[F0(a?o)« 1Лц« 1]V
V[(/(x0) ~ 7 V i(a?0) « 8 V l(x0) « 9)Λ
Л(Р(/(г(х0)), 1) Л Р(г(г(ж0)), 1) Л χχ * 1)V
V(P(i(r(a?o)), 0) V Р(г(ф0), 0)) Л a?i « 0)]V
V[/(x0) ~ 10AP(r(x0).^i)]V
V[(i(a?0) « 11 V i(a?0) « 12) Л (T(r(/(r(x0)))) « 0 Л a?i « 0V
VT(r(/(r(i0)))) ~ lAP(r(r(io)),n))]V
V[(/(x0) ~ 13 V/(x0) ~ 14) ЛР(г(г(ж0)),Ж1)].
(6) Следующая функция Ttq: α;2 —► ω:
Tr0(n,fc)
1, если существует Ао-формула Φ
такая, что η = б?(Ф) ί/Ω(= Φ [7л].
0 β противном случае.
является Σ-функцией.
Следующая Σ-формула Ф(жо,#ь#2,-Р+) сигнатуры σ* U (Ρ3)
«определяет» Гтг0:
Ф{хо,х\,Х2)^ [Щхо) ^0Лх2~0] VF0(zo)~ 1Л
А[1(хо) ~ 5 Л (valT(i(r(xo)),^i) «
« уа1т(г"(г(хо)),^1) Лх2 « IV
V"valT(/(r(xo)),^i) ~ valT(r(r(x0)),^i) Лх2 ~ 0)]V
V[i(x0) ~ 6 Л (valT(Z(r(x0)),zi) <

272
Гл. 7. Вычислимость
^ уа\т(г(г(хо)),х\) Ах2 ~ IV
V^(valT(/(r(x0)),xi)<
^ ча\т(г(г(хо)),х\)) Л £2 ~ 0)]V
У[«(жо)«7Л(Р(«(г(жо)),жь1)Л
ЛР(г(г(ж0)), жь 1) Лж2 « 1 V (Р(«(г(ж0)),жьО)У
VP(r(r(x0), ^1,0)) Лх2« 0)]V
V[/(x0) ~ 8 Л (Р(/(г(х0)), хи 1) V Р(г(г(х0)), χι, 1)) Л ж2 « 1V
VP(i(r(x0)), xi, 0) Л Р(г(г(х0), χι, 0)) Л х2 « 0)]V
V[i(xo)»9A((P(i(r(xo)),a?bO)V
УР(г(г(жо)),жь1))Лж2«1У
VP(/(r(x0)), a?i, 1) Л Р(г(г(жо)), *ь 0) Л х2 « 0)]V
V[/(xo) ~ ЮЛ(Р(г(хо),Ж1,0) Лх2 ~ IV
VP(r(x0),zi,l)Ax2~0)]V
V[/(x0) «ИЛ (Зхз < valT(r(Z(x0)),
xi)P(r(r(x0)),ch(xux3,l(l(r(xo)))),\) Лх2 ~ IV
Wx3 < valT(r(/(xo))»^i)P(^(^(^o)),ch(xi,X3,
/(/(r(x0)))),0)Ax2~0)]V
V[/(x0) « 12 Λ (Vx3 < valr(r(i(a?o)),a?i)P(r(r(xo))f
ch(xi,x3,i(i(r(xo)))), 1) ЛХ2 « IV
V3x3 < vaIr(r(/(xo)).^i)P(r(r(xo)).
Ch(x!, Χ3, ί('(Φθ)))), 0) Λ X2 ~ 0)]}.
Приступим непосредственно к доказательству теоремы 7.3.3.
Выпишем Σ-формулу Φς(χο,^ι»Ρ+) сигнатуры σ* U (Ρ2) такую, что
предикат Τγς будет наименьшей неподвижной точкой оператора Гф* г, χ , :
Φς(ζο,χι) ^Ρς(^ο) ~ 1 Л([РоЫ ~ 1 ΛΤτο(χο,^ι) « 1]V
V[i(a?0) ~ 7 Л Р(«(г(жо)),жО Л P(r(r(a?o)),a?i)]V
V[/(x0) « 8 Л (P(i(r(a?o)),a?i) V P(r(r(a?o)),a?i))]V
V[/(x0) ~ Π Λ Зхз < valT(r(/(r(x0)))^i)
P(r(r(a?o))f ch(x!, жз, ί(ί(Φο))))] V

§ 7.3. Σ-определимость истинности Σ-формул на Ω 273
V[/(x0) « 12AVx3 < valT(r(l(r{x0))),xi)
P(r(r(xo)),ch(xi,x3,l(l(r(x0)))))]V
Щхо) « 13лЭя;зР(г(г(я;о)),сЬ(х1,жз,/(/(г(хо)))))]))·
Докажем, что для любого Q С Тг^,
г£[*.,*,]№) = {<",*> I <n*,Q> И <Mn,fc)} С ΊΥς.
Действительно, пусть Q С ΤτΣ и (Ω*,φ) |= ΦΣ(η,/г). Тогда
Ω* [= Fz(n) « 1, т.е. η — гёделев номер некоторой Σ-формулы Ф.
Далее, должен быть истинен один из дизъюнктивных членов
F0(n) « 1 ΛΤτ0(η,Α;) « 1,
/(га) « 7 Λ <i(r(n))f k)eQA (r(r(ra)), к) G Q,
/(η) « 8 Λ ((/(r(n)), fc) G g V (r(r(n)), k) G Q),
/(n) « 11 Λ Зхз < valT(r(r(/(n))),A:)((r(r(n)),ch(A:,X3,/(/(r(n)))))) G Q),
/(ra) « 12AVx3 < valT(r(r(/(n))),A:)((r(r(n)),ch(A:,X3,/(/(r(n))))) G Q),
/(n) « \3 A3x3((r(r(n))ych(kyx3J(l(r(n))))) G Q).
Рассмотрим возможные случаи.
Случай Fo(n) = 1. Тогда Φ есть Δο-формула. Следовательно,
Tro(n, к) = 1 влечет Ω \= Φ [7*] и (га, fc) G ΤτΣ.
Случай /(га) = 7. Тогда Φ имеет вид (Фо Λ Φι) и С(Фо) =
= /(г(га)), Ο(Φι) = r(r(ra)). Следовательно, (l(r(n)),k) е Q С. ΊϊΣ
влечет Ω [= Фо[7/е]» a (r(r(ra)),fc) GQC Τγς влечет Ω [= Φι[7&]. Поэтому
Ωμ(ΦοΛΦ!)[7^] и (ra,A:)GTVE.
Случай /(га) = 8 рассматривается аналогично предыдущему.
Случай /(га) = 11. Тогда Φ имеет вид 3χι < ίΦο, где г = /(/(г(га))),
G(i) = r(/(r(ra))), С(Ф0) = r(r(ra)). Поэтому
valr(r(i(r(n))),fc)=in[7fc].
Если m ^ £Ω[7&] такое, что (г(г(га)), к') е Q С ΊϊΣ для Α/ ±=; ch(fc,ra,i),
то Ω \= Фо[7^] и Ω \= Ф[7*], (га, fe) G ΊΥΣ.
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Из доказанного следует, что Гф^г ж ι(Τγς) С ΤτΣ. Тем самым Г* С
С ΤτΣ, где Г* обозначает наименьшую неподвижную точку оператора
ρΩ*
Φε[εο.ει]·
Установим теперь, что ΤτΣ ζ Γ*. Предположим, что это не так, т.е.
ΤτΣ \ Γ* φ 0. Пусть no G ω — наименьшее число, для которого суще-

274
Гл. 7. Вычислимость
ствует к еш такое, что (по, к) G Τγς \ Г*, и пусть ко — наименьшее из
таких к. Так как (no, fco) G Тг^ имеем F^(no) = 1. Если Fo(no) = 1, то
(п0, к0) G ΤτΣ => Ω \= ФЬкоЬ [где С(Ф) = п0], =>>
=» Тго(по,/со) = 1, [так как Φ — До-формула],=>
=^(по,А:о)еГ1=Г^[жО)Ж1](0)СГ„
что невозможно. Итак, Fo(no) = 0. Тогда /(по) G {7,8,11, 12,13}.
Рассмотрим для примера два случая.
Случай /(по) = 7. Тогда Φ = Фо Λ Фь где Φ — Σ-формула такая,
что п0 = С(Ф) и Сг(Фо) = 1{г{по)) < п0, 6?(Φι) = r(r(no)) < по,
(по, ho) g ΊϊΣ =* Ω μ Ф[7*0] =► Ω μ Φ0[7*0] и Ω μ Φ! [7fco] =»
==Φ (/(r(n0)), fco), (r(r(n0)), fco) G Г* [по выбору n0].
Но тогда существует s G ω такое, что
(Z(r(n0)), fco), (r(r(n0)), fco) G Г, С Г*.
Поэтому (n0, ко) G Γ5+ι = Tg* [яоιίΕι](Γβ) С Г*, что невозможно.
Случай /(по) = 12. Тогда Φ = Mxi < £Фо, где Φ — Σ-формула такая,
что С(Ф) = по. Заметим, что г = i(i(r(no))), G?(£) = r*(/(r(no))), С?(Фо) =
= r(r(no)) < по. Тогда
(п0, ко) G ΎτΈ =► Ω μ Φ[7Λο] =*
=> Vm < ίΩ[7Α;0](Ω μ Фо[7сЬ(^0,т,г)]) =*
=> Vm < ^[7fco]((r(r(n0)),ch(A:o,m,z)) G ΊϊΣ) =>
=* Vm < ^[7fco]((r(r(n0)),ch(A:o,m,z)) G Γ*)
[no выбору no].
Пусть s G α; такое, что
(г(г(п0)),сЬ(А:о,0,г)),(г(г(по)),сЬ(А;о,1,г)),...,
(r(r(no)),ch(fco,in[7fco].<)) Ξ Γβ С Г*.
Но тогда ввиду выбора s, указанных свойств и вида формулы Ф,
{щ,ко) €Ts+l =Г21ЫХ1](Г3) СТ*.
Приходим к противоречию. Случай /(по) = 12 невозможен.

§ 7.3. Σ-определимость истинности Σ-формул на Ω 275
Случаи /(по) = 8,11,13. Так же как выше, устанавливается, что
эти случаи невозможны.
Полученное противоречие доказывает, что Тг^ С Г* и Тг^ = Г*. D
Теорема 7.3.3 имеет многочисленные следствия, некоторые из них
будут указаны в §7.4; здесь же мы ограничимся следующим
утверждением.
Следствие 7.3.4. Существует Σ-подмножество R С ω, не
являющееся /^-подмножеством.
Доказательство. Пусть Φς(#ο»#ι) — Σ-формула такая,
что ΤτΣ = Φ§[χ0,ζι], и пусть Ф(ж0) ^ (фе)с(о,я;о) "~ Σ-формула
и R ±=? ΦΩ*[#ο] — Σ-подмножество ω. Предположим, что R —
Δ-множество, т.е. ω \ R также является Σ-множеством, и
lj\R = Ф^[жо] для подходящей Σ-формулы Фо (сигнатуры σο). Пусть
по ^ С(Фо) — гёделев номер f о и ηι ^ с(0,по). Попробуем выяснить,
принадлежит ли пара (ηο,ηι) множеству Тг^.
Если (η0,ηι) £ ΤτΣ, то Ω |= Фо[7щ]. так как по = <2(Ф0), ηηι(жо) =
= Г(пь0) = г(п\) = щ. Следовательно, no G Фо*[#о] =ui\R, щ £ R =
= ΦΩ>0], Ω* μ ^Φ(ηο), Ω \= -ФЕ(п0,с(0,по)), Ω μ ^ΦΣ(η0,ηι),
(ηο,ηι) ^ Τγς; приходим к противоречию.
Если (η0,ηι) £ ΤτΣ, το Ω |= "Φς^ο,^ι), Ω* |= "Φ(η0), no ^ R,
Ω [= Φο(ηο), Ω |= Φο[7ηι]» (^ο»^ι) £ Ί^ς; опять приходим к
противоречию.
Итак, R является Σ-множеством, но не Δ-множеством. D
В заключение параграфа отметим, что Δο-формулы и Σ-формулы
являются начальными классами иерархии формул, определенной так:
Определение. Σο-формулы — это в точности Δο-формулы.
Пусть класс Ση-формул определен. Определим Δη+ι-формулы и
Ση+ι -формулы.
Ап+\-формулы:
— любая Ση-формула является Δη+ι -формулой;
— если Φ и Φ — Δη+ι-формулы, то ^Ф, (Ф V Φ), (Φ Λ Φ), (Φ —► Φ)
суть Δη+ι -формулы;
— если х — переменная, t — терм, не содержащий переменную х,
и Φ — Δη+ι-формула, то Зх ^ £Ф, \/х ^ ίΦ суть Δη+ι-формулы.
Ση+ι -формулы:
— любая Δη+ι-формула является Ση+ι-формулой;
— если Φ и Φ — Ση+ι-формулы, то (Ф V Φ), (Φ Λ Φ) суть
Ση+ι -формулы;

276
Гл. 7. Вычислимость
— если χ — переменная, t — терм, не содержащий
переменную х, и Φ — Ση+ι-формула, то Зх ^ £Ф, \/х ^ £Ф, ΞΙχΦ суть
Ση+ι-формулы.
Замечание 7.3.5. Из определения видно, что Δι-формулы — это
в точности Δο-формулы и Σι-формулы — это в точности Σ-формулы.
Замечание 7.3.6. Индукцией по построению формулы Φ нетрудно
установить, что для любой RQ-формулы Φ (сигнатуры σο) существуют
η > О и Ση-формула Φ такие, что Φ = ω^·
Определение. Предикат Q С шк называется Ап-предикатом
(Ση-предикатом) на Ω, если существует Дп-формула (Ση-формула) Φ
такая, что Q = ΦΩ[#ο> ...,Xk-\]·
Имеет место следующее обобщение основной теоремы 7.3.3.
Теорема 7.3.7 (Ση-определимость истинности Ση-формул). Для
любого η > О следующий двуместный предикат является
Ση-предикатом на Ω:
Ί^Ση ^ {(m> k) \myk еш, т — гёделев номер Ση-формулы Φ
сигнатуры σο (т. е. G(m) = Φ) и Ω \= Ф[ук]}·
Доказательство аналогично доказательству теоремы о Σ-опре-
делимости истинности Σ-формул и проводится индукцией по п.
Заметим, что если ση+\ — расширение сигнатуры σο символами для всех
Δη+ι-предикатов на Ω, а Ωη+ι — соответствующее обогащение Ω, то
Ωη+ι является ограниченной алгебраической системой сигнатуры ση+ι,
так что можно применять теорему Ганди. D
Как и выше, получаем следствие, которое сформулируем в виде
теоремы.
Теорема 7.3.8 (об иерархии). Для любого η е ω существует
Ση^χ-подмножество RC-ω, не являющееся Ап-множеством.
Важным следствием теоремы об иерархии является
Теорема 7.3.9 (теорема Тарского о неопределимости
истинности в Ω). Следующий двуместный предикат не является
σο-формульным на Ω:
Тг ^=? {(га, к) \т,к G ω,πι — гёделев номер RQ-формулы Φ
сигнатуры σο (т. е. С(Ф) = га), Ω \= Фру*;]}·
Доказательство. Допустим, что утверждение неверно, и пусть
Φ(#ο,#ι) — RQ-формула сигнатуры σο такая, что Тг = ΦΩ[χο,χ\].

§ 7.4. Ε-предикаты и Ε-функции
277
Можно считать, что Φ есть Ση-формула для подходящего η > 0.
Если R С ω — Еп+2-подмножество, не являющееся Δη+ι-множеством,
Ф(жо) — Еп+2-формула, определяющая R (R = ΦΩ[χο]), h ^ С(Ф),
то Ση-формула Ф(йо,с(0,жо)) также определяет Я в Ω. Полученное
противоречие доказывает теорему. D
Упражнения
1. Доказать, что функция Fr^: ω2 —► ω:
1, если η — гёделев номер RQ-формулы Φ,
FrF(n,z)= I их^^У(Ф),
(θ в противном случае,
является Σ-функцией.
2. Доказать, что функция Sen: ω —► α;:
•
1, если η — гёделев номер некоторого
Sen(n) = < RQ-предложения сигнатуры σο,
[ 0 в противном случае,
является Σ-функцией.
3. Доказать, что функция Sub: ω3 —► ω такая, что если η — гёделев
номер некоторой формулы Φ (терма ί), га — гёделев номер
некоторого терма to, то Sub(n, га, г) — гёделев номер формулы (Ф)^
(терма (t)^) и Sub(n, га,г) = 0 в противном случае, является
Σ-функцией.
4. Доказать, что функция F%n: ω —► ω (η > 0):
1, если существует Ση-формула Φ
^Jn(^) — л сигнатуры σο такая, что к = С?(Ф),
[ 0 в противном случае,
является Σ-функцией.
§ 7.4. Универсальные Σ-предикаты, универсальные
частичные Σ-функции
Для любых (к + 1)-местного Σ-предиката Q С ик+1 (к > 0) и η G ω
следующий fc-местный предикат является Σ-предикатом:
Qn ^ {(nb...,nfc) | (nb...,nfc) Ea;fc,(n,ni,...,nfc) € <2}.
Действительно, если <2 = ΦΩ[χο, ··· ,#*] и Φ ^ (Ф)п0> то
дп = Ф^[хь...,^].

278
Гл. 7. Вычислимость
Определение, (к + 1)-местный Σ-предикат Q С wfc+1
называется универсальным для к-местных Έ-предикатов, если семейство
{Qn \п е ω} состоит из всех /.-местных Σ-предикатов.
Для (к + 1)-местного предиката Q С о;*4"1 через Sq обозначим
множество
{(щ,... ,rik) | (пь ... ,rik) G шк и существует η G ω такой, что
(nb...,nfc,n) G Q}.
Предложение 7.4.1. Пусть к > О, Ф^ — Έ-формула такая,
что ΎτΈ = Φ§[*ο,*ι], Φ^(χο,χι,...,^) - (Φς^^ο,^^., Xly
Тогда (fc + \)-местный Σ-предикат UkJrX *=t Ф^*[хо,х\, ··· ,#fc] является
универсальным.
Доказательство. Пусть Q С ик — Σ-предикат и Φ —
формула сигнатуры σο такая, что Q = ΦΩ[#ο,... ,Хк-\] Обозначим
через по ^ С(Ф) гёделев номер формулы Ф. Заметим, что для любых
7lb...,7lfc G ω еСЛИ Ш ^ Cfc+i(0,7lfc,rcjfe_b...,7li), ТО 7ш(^г) = ™г+1 ДЛЯ
г < к и 7т(#г) = 0 для г ^ А;. Имеем
(щ,т) G ΤτΣ «=► Ω^=Φσ(ηο,τη)
4=> Ω* (=ΦΛ(η0,ηι,...,ηΛ;) <=
^=^ Ω μ Ф[7т] <=*
<=» (пи...,пк) ^ΦΩ[χο,..·,^-ι]
<=> (ni,...,7lfc) G Q,
т.е. Q = [/*+'. D
Для (fc + 1)-местной частичной Σ-функции F: D -^ ω (DC ω*4-1,
A; > 0) и любого η следующая fc-местная частичная функция Fn: Dn—±
—► α; является частичной Σ-функцией:
JFn ^ Αι ^ {<ii ifc> I <*i ijfe> eujk,(n,iu...yik) G D},
Fn(i\,...,ik) = F(nyi\y...yik)y (цу...угк) G £>n.
Определение, (fc + 1)-местная частичная Σ-функция F: D -^ ω,
D С a;fc+1, называется универсальной для к-местных частичных
Σ-функций, если семейство {Fn | η £ ω} состоит из всех /.-местных
частичных Σ-функций.
Прежде чем переходить к доказательству существования
универсальных частичных Σ-функций, установим общий факт, имеющий
самостоятельный интерес.

§ 7.4. Ε-предикаты и Έ-функции
279
Предложение 7.4.2 (теорема об униформизации). Пусть к > О
и Q С ωΗ+ι — Σ-предикат на Ω. Тогда существует к-местная
частичная Σ-фунщия ft: δ —► ω, δ С α;'2, такая, что Г^ С Q,
&h = &q = {(го, ··· »*fc-i) I существует г G ω такое,
что (io, ...,ifc_i,i) Ε Α}.
Доказательство. Пусть Ф(#о> ···>£&) — Σ-формула такая, что
Q = ΦΩ[#ο,...,#&]. Так как Ω — ограниченная алгебраическая система,
по принципу Σ-рефлексии имеем Φ = ^(ЗгхФ^). Следовательно,
Формула Ф^ является Δο-формулой, поэтому характеристическая
функция χ Δο-предиката (Φ^)Ω[^ο, ··· ,Xk>u] является Σ-функцией.
Рассмотрим следующие функции:
h0(x0y...txk) *=r x(xo,....^fc_i,/(xfc),r(xfc)),
h\(x0y...yxk-\) ^ μχ^Μ{^{χο,... tXk)) = 0),
h2{xo,...,Xk-i) — l(h\(xo,...,Xk-\)).
Функции ho и sg(fto) получены из χ, Ζ, r, sg подстановкой,
следовательно, являются Σ-функциями. Функция h\ получена из sg(fto)
минимизацией, следовательно, является частичной Σ-функцией. Функция
/&2 получена из / и h\ подстановкой, следовательно, является частичной
Σ-функцией.
Проверим, что частичная Σ-функция hi удовлетворяет заключению
предложения. Пусть (го,... Лк-\) £ <^2 и г* ^ ^г(го, ··· Лк-\)· Тогда
(го, ...,ife-i) £ Shr Пусть j ^ h\(io,... ,ύ-ι)· По определению ft ι
получаем sg(fto(^o,...,u-i,j)) = 0, поэтому ho(io9...,ik-\,j) = 1:
fto(io,...,ifc_i, j) = x(io,...,ifc_i,/(j),r(j)) = 1.
Следовательно, (г'о, ...,u_i,/0'),r(j)) € (Φ(η))Ω[χο,... ,^,ιχ],
ПИЗмфМ(го,...,гЛ-ь«0")).
т.е. (io,...,ifc_i,/(j)> € <2, но
Z(j) = Z(fti(i0,... ,ifc_i)) = ft2(i0,...,ifc_i),
т.е. (io,...,ifc_bft2(io,...,ifc_i)) e Q и Г^2 С Q.

280
Гл. 7. Вычислимость
Пусть (го,... Лк-\) £ ик такова, что существует г G ω такое, что
(г'о, — ,2fc_i,г) € Q. Тогда из Q = (ЗиФ^)п[хоУ... ,Xk] следует, что
Ω \= ЗиФ^ (г'о,..., ik-ь *) и существует j Ε ω такое, что
Поэтому
x(io,...,ifc_i,i,j) = 1,
ho{io,---Jk-uc(iJ)) = χ(ίο,.··,ί*-ι,ί, j) = 1,
sgh0(io,...,ik-i,c(iyj)) = 0.
Итак, функция ft ι определена для (г'о,... ,ύ_ι) и (г*0,... ,ύ_ι) € <^2 =
= <^. Предложение 7.4.2 доказано. D
Отметим еще одну связь между Σ-множествами и Σ-функциями.
Предложение 7.4.3. Пусть R С ω — непустое Σ-множество.
Тогда существует Σ-фунщия /: ω —► ω такая, что R — ρ/ ^
^ {/(п) | η € ω}.
Доказательство. Фиксируем по Ε #. Пусть Я = (ЗиФ^)п[хо]9
где ф(п) — Δο-формула. Определим функцию /: ω —► α; так, что для
любого η € ω,
ί /(η), ПИ(г(в))(1(п)),
/Η - <
[ no, «[=^«n))(I(n)).
Легко проверить, что pf = R и Г/ = ΦΩ[#ο,#ι], где Σ-формула Φ
определена так:
Щхо,х\) ^Ф(г(жо))(^^о))Лх1 «/(χ0)ν"φΜΙο))(/(χο))Λχι и по-
Предложение доказано. D
Предложение 7.4.4. Пусть к > 0; Uk+2 — (к + 2)-местный
предикат, универсальный для (к + 1)-л*£С/гшш: Σ-предикатов; ик+х —
(fc+ \)-местная частичная Σ-фунщия такая, что ΓΜ*+ι С [/fc+2 и
Jnfc+i = {(г'о,... ,г&) | существует г £ ω такое,
что (г'0,...,гьг) € С/*4"2}
(такая функция существует в силу предложения 7.4.2). Тогда
функция ик+х универсальна для к-местных частичных Σ-функций.

§ 7.4. Σ-предикаты и Σ-функции
281
Доказательство. Действительно, пусть h: δ —► ω, δ С ojk, —
fc-местная частичная Σ-функция. Тогда ее график Г^ С о;*4"1 есть
(к + 1)-местный Σ-предикат и в силу универсальности Σ-предиката
jjk+2 СущестВует п G ω такое, что
ГЛ = С7*+2 = {<<ι <jb,«ib+i> I <nf<i ifcfifc+i> G C/fc+2}.
Проверим, что для этого η функция h совпадает с функцией и%*~1.
Так как ΓΜ*+ι С Uk+2, имеем Tuk+i С С/^+2 = 1\, т.е. h — расширение
функции и%*~1. Поэтому достаточно показать, что δ^ С Suk+i. Пусть
<ii Zfc) € <V Тогда
<<ь ..., ifcf Л(<ь ..., гк)) GThC С/*+2,
(n9ii,...,ik,h{ii,...,ik)) G Uk+2,
(n,ii,...,ifc) € iuk+i.
Но тем самым (ίι,...,ί&) G £Μ*+ι, что и требовалось доказать. D
Для (к + 1)-местной Σ-функции F, где fc > 0, и любого η
функция Fn: и>к —► α;, определенная так, что ^η(^ι,... ,ύ) = F(n,ii,...
...,ύ) для всех 2ι, —,Zfc G ω, является, очевидно, Σ-функцией.
Поэтому естественно задаться вопросом о существовании универсальных
Σ-функций. Однако, в отличие от класса частичных Σ-функций,
ситуация здесь другая.
Предложение 7.4.5. Не существует двуместной Σ-функции
F: ω2 —► ω такой, что для любой одноместной Έ-функции h: ω —► ω,
принимающей в качестве значений лишь О или 1, существует η G ω
такое, что Fn = h.
Доказательство. Предположим, что такая функция F
существует. Пусть h: ω —► ω такова, что h(n) τ± sgF(nyn) для всех
η G ω. Ясно, что h — функция, принимающая в качестве значений
лишь 0 и 1. Тогда существует щ G ω такое, что Fno = h. Однако
h(no) = sgF(no,no) = Fno(no) = F(no,no)t что невозможно, поскольку
sgA; φ к для всех к G ω. Полученное противоречие завершает
доказательство предложения. D
Следствие 7.4.6. Существует двуместная частичная Σ-функ-
ция h такая, что не существует двуместной Έ-функции д такой,
что Th QT9 (g — Σ-доопределение К).
Доказательство. Пусть и2 — двуместная частичная
Σ-функция, универсальная для одноместных частичных Σ-функций. Если
д: ω2 —► ω такова, что Гп2 С Г^, то д является универсальной для

282
Гл. 7. Вычислимость
одноместных Σ-функций, т.е. для любой одноместной Σ-функции
ft: ω —► ω существует η G ω такое, что ft = дп. Однако д не может быть
Σ-функцией по предложению 7.4.5. D
Следствие 7.4.7. Существует двуместная частичная Σ-функция
ft, принимающая значения О или 1 и не имеющая Σ-доопределения.
Доказательство. Как и выше, устанавливается, что в качестве
такой функции можно взять функцию sg(n2). D
Следствие 7.4.8. Существует одноместная частичная
Σ-функция fto, принимающая значения лишь 0 и I и не имеющая Σ-доопре-
деления.
Доказательство. Пусть ft такая же, как в следствии 7.4.7,
и ho(x) ^ h(l(x),r(x))t χ £ ω. Если go — Σ-доопределение ho, то
g(x,y) ^ go(c(x,у)) — Σ-доопределение ft, что невозможно. D
Определение. Два непересекающихся Σ-подмножества Ro, П\ С ω
называются ^-неотделимыми, если не существует Δ-множества D С
С ω такого, что i2oCDHDnft=0.
Следствие 7.4.9. Существуют ^-неотделимые множества
По и R\.
Доказательство. Пусть fto такая же, как в следствии 7.4.8, и
#о ^ {га | η е Sho, ft0(η) = 0},
R\ *=? {η Ι η G Sho, fto (η) = 1}.
В этом случае По и П\ — непересекающиеся Σ-множества (если
Tho = ΦΩ[*0,*ι], то Ло = №оТЫ иЙ1 = №ха1о))пЫ). Если D С
С ω такое, что По С D и D Π Π\ — 0, то характеристическая функция
Xd доопределяет fto, т.е. 1\0 С ГХг>. Но если D — Δ-множество, то
Xd — Σ-функция. Поэтому не существует Δ-множества D такого, что
HoCDnDnHi=0. D
Определение. Пусть А, В С ω. Будем говорить, что А т-сводится
к В (обозначается А <т В), если существует Σ-функция /:ω—*ω
такая, что
η G А 4=> /(га) £ В, η£ω,
или, что равносильно, /_1(Б) = А.
Отметим некоторые простейшие свойства т-сводимости.
(1) Для любых АУВ,С С ω верно А <т А\ если А <т В и В ^т С,
то А <т С.

§ 7.5. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте 283
Множество А m-сводится к А тождественной функцией Ίάω.
Если/и g — Σ-функции такие, что А = f~l(B), В = g~l(C), то
A = {gf)-\C).
(2) Если А <т В и В — Σ-множество (Α-множество), то А
является Σ-множеством (А-множеством).
Если / — Σ-функция такая, что А = f~l(B) и В = ΦΩ[#ο] для
Σ-формулы Ф, то А = ((Φ)^ο))Ω>0].
§ 7.5. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте
Пусть А — множество предложений сигнатуры σο = (0, s, +,·,<).
Введем следующие обозначения:
Μοά(Α) — класс всех алгебраических систем 21 сигнатуры σο таких,
что 21 \= Φ для любого Φ е А;
Th(jftT) (теория класса К) — множество всех предложений Φ
сигнатуры σο таких, что 21 [= Φ для любой системы 21 из класса К
алгебраических систем сигнатуры σο.
Определение. Множество А предложений сигнатуры σο называется
теорией, если А — теория некоторого класса К.
Заметим, что А является теорией тогда и только тогда, когда А =
= Th(Mod(A)).
Теория А называется
— непротиворечивой, если Μοά(Α) φ 0;
— полной, если А — теория класса, состоящего из одной системы,
т. е. А = Th({2l}) для подходящей системы 21;
— разрешимой, если G(A) — {С(Ф) | Φ £ А} является Δ-подмно-
жеством ω, и неразрешимой в противном случае;
— наследственно неразрешимой, если любая теория Ао,
содержащаяся в А, неразрешима.
Определение. Множество А предложений сигнатуры σο называется
— системой аксиом для теории В, если В = Th(Mod(A));
— перечислимым, если G(A) есть Σ-подмножество ω.
Формулируемые ниже теоремы являются наиболее
принципиальными утверждениями об алгоритмической природе теорий.
Теорема 7.5.1 (А. Чёрч). Наименьшая теория Τσο сигнатуры σο,
состоящая из всех тождественно истинных предложений
сигнатуры σο, является неразрешимой.
Теорема 7.5.2 (теорема Гёделя о неполноте). Существует
предложение А* сигнатуры σο такое, что Ω \= А*, и если А —
непротиворечивая перечислимая теория сигнатуры σο такая, что А\ £ А,
то А не является полной.

284
Гл. 7. Вычислимость
Начнем с некоторых предварительных рассмотрений, которые
приведут к доказательству этих теорем.
Рассмотрим семейство А\ формул сигнатуры σο:
1) х0 < хо,
2) Хо ^ Х\ Л Х\ < Х2 —► %0 ^ #2,
3) Хо ^ Х\ А Х\ < Хо —► #0 ~ #1 >
4) хо ^ ^1 V χι ^ хо,
5) 0 < х0,
6) хо < з(хо) Л "(хо « s(xo)).
7) х0 < χι Л "(хо « х\) —► s(xo) < χι,
8) х0 + 0 « х0,
9) х0 + s(xi) « s(x0 + χι),
10) χ0·0^0,
11) χ0 · s(xi) « (хо ·χι) + #ο·
Пусть Αι — конъюнкция формул 1-11 и А* ^ VxoVxiVx2Ai —
предложение сигнатуры σο.
Предложение 7.5.3. Пусть 21 — алгебраическая система
сигнатуры σο такая, что 21 \= А*. Тогда существует концевая
подсистема Ω' <end 21, изоморфная Ω.
Доказательство. Из истинности А\ в Я1 следует, что
отношение <а — линейный порядок на А (следствие формул 1-4), 0а —
наименьший элемент в А относительно этого порядка (следствие из 5)
и для любого a £ А, а <а 5а(а), а ф s^(a) (т.е. α <* s*(a)) и
вя(а) <ЯЬ, еслиа<*Ь.
Определим отображение ft: ω —► А по индукции:
ft(0)^0*, h{n+\)^s*{h{n)).
Покажем, что a;' ^ ft (ω) — начальный сегмент А и h — изоморфизм
между (ω, <) и (а/, <ЯГ (ω')2). Докажем индукцией по η £ ω, что если
[п] *=г {0,1,...,п}, то ft([n]) С о;' — начальный сегмент Л и ft \ [п] —
изоморфизм между ([n],^f [η]2) и (ft([n]), <ЯГ (ΜΝ))2)·
Так как ft(0) = О21 — наименьший элемент А, сформулированное
выше утверждение справедливо для η = 0.
Пусть η £ ω таково, что для [п] верно следующее: ft([n]) —
начальный сегмент А и h \ [п] — изоморфизм между ([η],<ϊ [η]2) и
<л(Н).<яГ(М["]))2>.
[η+1] = [п]и{п + 1},
h([n+l]) = h([n})U{s*(h(n))},

§ 7.5. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте 285
ft(n) <* s*{h(n)),
где ft(n) — наибольший элемент в ft([n]). Поэтому s^(h(n)) ^ h([n])
и ft \ [п + 1] разнозначно. Если а £ А и а <а h(k)y то по индукционному
предположению a G h([n]) С ft([n 4- 1]) в случае к ^ n; a G ft([n 4- 1])
в случае к = η + 1 и α = ft(n + 1). Если α <а ft(n + 1) = ^(ft^n)), то
α ίζ21 ft(n). Действительно, либо α <а ft(n), либо ft(n) <aa. Во втором
случае sa(ft(n)) <а α и ft(n + 1) = «^(^(n)) <a a, что невозможно.
Следовательно, α <а ft(n) и a G h([n+ 1]). Итак, ft([n4- 1]) —
начальный сегмент А и Л переводит наибольший элемент η + 1 в [η + 1]
в наибольший элемент s^(h(n)) в ft([n+ 1]). Поэтому ft \ [п + 1] —
изоморфизм соответствующих линейно упорядоченных множеств.
Из приведенных рассуждений следует, что а/ <=? h{u) —
начальный сегмент А и ft — изоморфизм между (ω, <) и (a/, <af (a/)2).
Покажем, что /г(п + га) = ft(n) +21 ft(ra) и /г(п · m) = ft(n) -21 /г(т) для
любых пут£ ω. Предположим противное: пусть по, гао £ ω такие, что
/г(по + то) φ ft (по) +а ft(rao) и по € ω — наименьшее п, для которого
существует га £ ω такие, что ft(no + га) φ ft(no) +a ft(m), а гао —
наименьшее га такое, что ft(no + гао) φ ft(no) + aft(rao). Покажем, что
гао φ 0. Действительно, если гао = 0, то
по 4- гао = по 4- 0 = по,
ft(no) +* ft(rao) = ft(no) +* ft(0) = g(n0) 4-* 0* = ft(n0),
так как 21 \= Vxo(#o 4- 0 « xo)·
Таким образом, гао ф 0, гао = га 4- 1 = s(ra) и, ввиду
минимальности гао,
ft (по 4- га) = ft (по) 4-а ft (га),
ft(no 4- гао) = ft(no 4- s(m)) = ft(s(rao 4- η)) =
= s*(ft(n0 4- га)) = вя(Л(тю) +* ft(m)) =
= ft(no) 4-* s*(M™)) = ft(n0) +* ft(ra0)
(соотношение sa(ft(no) 4-2tft(ra)) = ft(no) 4-2ls2l(ft(ra)) вытекает из
соотношения 21 [= VxoVxi(xo 4- s(x\) « s(#o 4- #i)))· Полученное
противоречие показывает, что ft(n 4- га) = ft(n) 4-а ft(ra) для всех пут G ω.
Доказательство равенства ft(n · га) = ft(n) -яЛ(га) аналогично.
Из вышеприведенных рассуждений видно, что ω' = Η(ω) С Л
замкнуто относительно операций sa, 4-21, -а и подсистема Ω' ^=? 21 ϊ α/
изоморфна Ω (ft: Ω —► Ω'). Кроме того, ω' — начальный сегмент А.
Следовательно, Ω' <end 21· Π

286
Гл. 7. Вычислимость
Следствие 7.5.4. Для любых Σ-предложения Φ сигнатуры σο
и алгебраической системы 21 сигнатуры σο из Ω f= Φ следует
21 μ А\ -* Φ.
Доказательство. Пусть Ω f= Φ. Если 21 f= n4J, то 21 μ A\ —► Φ.
Если 21 f= Л*, то по предложению 7.5.3 существует Ω' <end 21 такая,
что Ω'(~ Ω) f= Φ и 211= Φ, так как 21 — концевое расширение Ω', а Ф —
Σ-предложение (см. предложение 5.7.1). D
В §7.4 было установлено существование непересекающихся
Σ-множеств Ro, R\ С ω, не отделимых Δ-множествами.
Пусть ЗхоФ^0НжО» 3χοΦ^°4χι) "" Σ-формулы такие, что
До = (3*0Φ(*ο))ΩΝ,
Λι=(3χοΦ(α5ο))Ω[χι].
Определим следующие последовательности Σ-формул:
Фо{хо,х\)^Ф{хо){х\),
Ф°оЫ^(*оТо\
Φη+ΐ(χ0,^η+2) ^3χη+ι < s(xn+2)(Zn+l «δ(χη+2)ΛΦη(χ0^η+ΐ))»
Φ^+1(χο)±^(Φη+ι)οη+2(=3^η+ι ^s(0)(xn+i »β(0)ΛΦη(ι0,ίτη+ι))),
Φ^ο)-(Φο)?1,
Φη+ΐ(χ0,^η+2) ^ 3χη+ι ^ δ(χη+2)(^η+1 ~ δ(^η+2) Λ Ψη(χ0, #η+1)),
Φ^ΐ(*θ)-(Φη+ΐ)Γ+2>
Δη ^ Зх0(ФпЫ Λ Vxn+2 < ж<ГФп(жп+2)),
θη ±=? Α\ -* Δη,
где η £ ω.
Предложение 7.5.5. Справедливы следующие утверждения.
(а). £с/ш η е Ro, то предложение θη тождественно истинно
{т.е. θη£Τσο).
(б). £суш η £ R\ и 21 — алгебраическая система такая, что
21 μ Af, то 21 μ ^θη.
Доказательство. Из определений формул Фп, Фп следует, что
для любой алгебраической системы 21 сигнатуры σο к а £ А
справедливы эквивалентности
2ΐμΦη(α) *=» 2ΐμΦ^(η),

§ 7.5. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте 287
2ΐμΦ°(α) ^ 2ΐμφ(α)(η);
здесь n^s(... s(0)...).
η раз
Пусть η G i?o и 21 — произвольная алгебраическая система
сигнатуры σο. Если 21 [= "Ά*, то 21 [= А* —► Δη. Если 21 |= А*, то существует
система Ω' <end 21, изоморфная Ω. Ввиду соотношения Ω f= 3χοΦ^°4η)
для некоторого а £ ω' имеем Ω' μ φ(α)(η), 21 f= φ(α)(η), так как ф(ж°) —
Δο-формула. Если Ъ <а а, то Ъ £ а/ и Ω' μ "'Ф^(п), в противном
случае Ω' [= Зх0Ф(жо)(п) и nGi?i ni?o = 0. Но тогда 21 [= "·φ(6)(η) и
21 μ Зх0(Ф(жо)(п) Λ ton+2 < η;<ΓΦ<*»+2>(η)), 21 μ Δη и 21 μ At ^ Δη.
Пусть η £ R\ и 21 — система такая, что 21 μ А*.
Покажем, что 21 μ "Δη. Действительно, предположим, что 21 μ Δη
и а £ А такой, что 21 μ Ф° (α) Λ Vxn+2 ^ оГФ^ (хп+2)· Пусть
Ω' <end 21 — подсистема, изоморфная Ω. Если а £ а/, то Ω' μ Ф° (α),
Ω' μ φ(α)(η), Ω' μ Зх0Ф(жо)(п)> Ω μ 3χ0Φ(*ο)(η)· Следовательно,
η £ Ro (κ η £ R\). Поэтому η £ Ro Π R\ = 0, что невозможно. Пусть
α £ ω'. Так как η € R\, верно Ω μ Зх0Ф(жо)(п) и Ω' μ 3χ0Φ(*ο)(η)>
существует α' G ω' такой, что Ω' μ φ(α')(η), Ω' μ Φ°(α') и
21 μ Φ^(α'). Однако α;' — начальный сегмент А.
Следовательно, о! ^ а. Поэтому 21 μ ^(Φ<α>(η) Λ Vxn+2 < <Гф(я»+2>(п)),
21 μ "(Φ^α) Λ Vxn+2 < а'Ф^Хп+г))· Полученное противоречие
показывает, что 21 μ ~"Ап и 21 μ ~^θη. Π
В качестве следствия предложения 7.5.5 докажем утверждение, из
которого вытекают две основные теоремы.
Предложение 7.5.6. Если класс К алгебраических систем
{сигнатуры σο) содержит систему 21 такую, что 21 μ А*, то
теория Th(jFQ класса К неразрешима.
Доказательство. Установим сначала, что функция h: ω —► ω
такая, что h(n) = G(6n) для любого η £ ω, является Σ-функцией.
Пусть т0 ±=? С(ф(я°)(х1)) = β(Φ(χ0,χ\)), т^ ±=; σ(Φ§(χ0)) и
функция ho\ ω ^ ω определена примитивной рекурсией:
fto(O) = m0,
Ло(п+1) = с(11,сз(п+1,с(2,с(1,п + 2)),
с(7,с(с(5,с(с(1,п+1)с(2,с(1,п + 2)))),Ло(п))))).
Легко проверить, что /io(n) = С(ФП) для всех η £ ω.
Пусть /iq: α; —► ω определена так, что
ti0(0) = mo,

288
Гл. 7. Вычислимость
Л^(п+1)=с(11,сз(п+1,с(2,с(0,1)),с(7,с(с(5,
c(c(lfn+l)fc(2fc(Ofl)))),fto(n))))).
Тогда h'0(n) = С(Фп) Для всех п ^ α;·
Аналогично определяется Σ-функция ftj: ω —► α; такая, что Λί(η) =
= (3(Фп) Для всех η ^ ω· Пусть
h'{(n) ^Sub(/i'(n),c(l,n + 2),0), n^.
Напомним, что функция Sub определена в упражнении 3 §7.3.
Заметим, что h"{n) = С((Ф°)*°+2), ηίω. Пусть
^(n)=c(12,c(n + 2,c(c(l,0),c(10,/i7(n))))), n^.
Тогда ftj(n) = G(Vxn+2 < хо'ФпС^п+г)). η Ξ ω. Пусть
h'{n) = с(13, с(0, с(7, c(ftj(n), ftj(n))))), n^.
Тогда /г'(η) = С(Зх0(ФпЫ Λ Vzn+2 ^ Ж(ГФ£(яп+2))) = <?(Δη), где
η £ ω. Полагаем h(n) *=; с(9, c(iVo, ^(n))), где TVo ^ ^(AJ5).
Следовательно /г: ω —► α; — искомая Σ-функция.
Вернемся к доказательству предложения 7.5.6. Предположим, что
класс К алгебраических систем сигнатуры σο таков, что существует
21 £ К такая, что 21 |= А\ и Th(uT) разрешима, т. е. G(Th(K)) —
Δ-множество.
Рассмотрим множество D ^ /i_1(G(Th(jFi))). Поскольку h —
Σ-функция и D m-сводится к Δ-множеству G(Th(JFf)), то D —
Δ-множество. Покажем, что Ro С D и D Π R\ = 0. Если η е /fo, то
θη £ ^σο Q Th(JFf). Следовательно,
G(©n) = /г(п) € G(Th(K)), η € h~\G(Th(K)) = D9
т.е. До С £>. Пусть η € R\. Тогда 21 f= ^θη и θη g Th(jFT), G(9n) =
= h(n) i G(Th(K)), η i h~l(G(Th(K))) = D, т.е. Rx П D = 0. Ho
существование такого Δ-множества D противоречит выбору
неотделимых Rq и R\. Ώ
Следующее утверждение является просто переформулировкой
предложения 7.5.6.
Предложение 7.5.7. Если 21 — алгебраическая система такая,
что 21 |= А* у то теория Th(2l) является наследственно
неразрешимой.
Из предложения 7.5.7 непосредственно следует теорема Чёрча. Для
доказательства теоремы Гёделя установим следующее
Предложение 7.5.8. Если А — перечислимая полная теория, то
А разрешима.

§ 7.5. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте 289
Доказательство. Если А — полная теория, то для любого
предложения Φ сигнатуры σο имеет место альтернатива: либо Φ ζ А,
либо "Ф е А. Пусть А — перечислимая полная теория и Ф(#о) —
Σ-формула такая, что G(A) = ΦΩ[χο]· Следующая Σ-формула Ψ(#ο,#ι)
будет определять характеристическую функцию множества G(A):
(Sen(xo) « 0 Λ χ\ « 0) V Sen(xo) ~ 1Λ
Λ(Φ(χ0)Λχι « 1 УФ(с(10,жо)) Λχι «0);
функция Sen определена в упражнении 2 §7.3. D
Из предложений 7.5.6 и 7.5.8 следует теорема Гёделя о неполноте.
Предложение 7.5.9. Если А — перечислимое множество
предложений и В = Th(Mod(-A)), то В — перечислимая теория.
Набросок доказательства. Используя теорему о полноте для
гильбертовского исчисления RQ-формул (см. конец §5.7), можно
описать множество В как семейство тех RQ-предложений Ф, для которых
существует доказательство из А, т.е. последовательность Фо, ...,ФП
RQ-формул такая, что Фп = Φ и для любого г < η выполнено одно из
следующих четырех условий:
— Фг — аксиома, т.е. имеет вид одной из аксиом 1-14 (см. §4.5)
или аксиом 11' или 12' (см. §5.7),
— Фг принадлежит А,
— существуют j,l < г такие, что Ф^ получена из Φj и Фг по правилу
вывода 1 (см. §4.5),
— существует j < г такое, что Ф^ получена из Φj по одному из
правил вывода 2, 3 (см. §4.5), 2' или 3' (см. §5.7).
Доказательство Фо, ...,ФП из А можно кодировать парой (куп)
чисел куП G ω такой, что Г(й,г) = С(Ф;), г < п. Тогда
G(B) ±=? {га | га £ ω, существуют к, η £ ω такие, что
(куп) кодирует доказательство Фо-..,Фп из А
такое, что Фп — RQ-предложение и С(ФП) = га}.
Далее остается только рутинное доказательство того, что
{(куп) | к, η £ ω, (к, η) кодирует некоторое доказательство из А} С ω2
является Σ-предикатом, если А — неречислимое множество
предложений. □
Предложение 7.5.9 позволяет сформулировать теорему Гёделя в
следующей форме.
10 Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин

290
Гл. 7. Вычислимость
Теорема 7.5.10 (вариант теоремы Гёделя о неполноте). Если
непротиворечивая теория В содержит А* и имеет перечислимую
систему аксиом, то она неполна.
В заключение рассмотрим предикатный вариант σβ сигнатуры σο
и предикатные варианты модели Ω и теории, определяемой
предложением А\. Пусть
σ* ^ (0,S2, Ad3, Ml3, <2), Ωπ ±=? (ω, 0,5, А, М, <),
где S, А, М — предикаты, соответствующие графикам функций
s: ω —► ω, + : ω2 —► ω, ·: ω2 —► ω. Заметим, что функции s, + и ·
являются Δο-определимыми в Ωπ. Поэтому Ω и Ωπ имеют одинаковые
Σ-предикаты и Σ-функции.
Для η е ω, [η] = {0,1,...,η} полагаем Ω£ ^ Ωπ ϊ [η].
Рассмотрим следующее семейство А* формул сигнатуры σβ:
1) х0 < хо,
2) Хо ίζ Χΐ Λ Χι ^ Х2 —► х0 ^ #2,
3) Хо ^ Х\ АХ\ < Хо —► #0 ~ #1,
4) хо ^ #1 V χι < хо,
5) 0 < хо,
6*) 5(χο,χι) —> хо < ^1 Л"1(хо ~ χι),
7*) Хо ^ Xl Λ "(хо ~ Х\) —► ЗХ2(5(Х0,Х2) ΛΧ2 ^ Xl),
8*) Ad(xo,0,хо) Л (Ad(xo,xi,X2) Λ"1(χι «0) —► хо < Х2 Л"1(хо ~ хг)),
9*) (Ad(xo,Xl,X2) Л5(хь^з) Л 5(Х2,Х4) —►
—► Ad(xo,X3,^4)) Л (Ad(xo,xi,X2) Л5(хз,х0 —►
—► 3x4(Ad(xo, хз, χα) Λ 5(х4, аъ))).
10*) М1(х0,0,0),
11*) (Μ1(χο,χι,Χ2) Л5(хьхз) Л Ad(x2,xo,#4) —►
—► М1(хо,хз,^4)) Л (Μ1(χο,χι,Χ2) Л (Μ1(χο,χι,Χ2) Λ5(χ3,χι) —►
—у Зх4(М1(хо, хз, χα) Λ Ad(x4, хо, #2))),
12) S(xo,x\) Л 5(хо,хг) —► х\ ~ ^2,
13) Ad(xo,xi,X2) Л Ad(xo,xi,X3) —► ^2 ~ %з,
14) Μ1(χο,χι,Χ2) ЛМ1(хо,хьхз) —► %2 ~ #з.
Пусть /\А*(хо,х\,Х2,хз>Х4) — конъюнкция формул 1-5, 6*-11*,
12-14. Полагаем ~А^ ±=? VX0VX1VX2VX3VX4 Л-^Г· Заметим, что ~А^ —
предложение сигнатуры σ$.
Имеет место следующий аналог предложения 7.5.3.
Предложение 7.5.11. Пусть 21 — алгебраическая система
сигнатуры σ$ такая, что 21 \= Ах. Если 21 конечна и \А\ = η + 1, то
21 ~ Ω£. Если 21 бесконечна, то она имеет концевую подсистему
2lo ^end 21, изоморфную Ωπ.

§ 7.5. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте 291
Доказательство. Как и при доказательстве предложения 7.5.3,
попытаемся построить для каждого η G ω отображение hn: [η] —► А
так, чтобы выполнялись условия:
М0) = 0*, (hn{k)yhn{k+\))eS*t к<п,
^п(М) — начальный сегмент линейно упорядоченного множества
<А<*>,
hn — изоморфизм между Ω£ \ (0,5, <) и (SI f hn([n])) \ (0,5, <).
Для η = 0 такое отображение ho существует. Предположим, что
для некоторого η G ω требуемое отображение hn уже построено. Если
ftn([n]) = Ау то \А\ — η 4- 1, и /ιη+ι не может быть построено.
Пусть ftn([n]) Φ А и а G А \ hn([n]). Так как ftn([n]) — начальный
сегмент А и hn(n) — его наибольший элемент, то hn(n) <я а.
Поскольку формула 7* входит конъюнктивно в Д А\ и Я |= ^, то
Я |= Лп(го) <αΛ ~Ίιη{η) « а -+ 3χ2(5(/ιη(η), х2) Л х2 < а),
2ΐμ3χ25(/ιη(η),χ2).
Пусть a'ei таков, что Я |= S(hn(n)t а'). Заметим, что согласно
формуле 12 такой а' единствен. Полагаем /ιη+ι(η+ 1) ^ α' и hn+\(k) = /in(/c)
для к ^ п. Нетрудно проверить, что /ιη+ι: [η + 1] —► А
удовлетворяет сформулированным выше условиям. Итак, если 21 бесконечна, то
h <=ϊ (J /ιη: ω —► А отображает ω на ω' ^ ^(ω); α/ — начальный
сегмент А и h — изоморфизм между Ωπ \ (0,5, <) и (Я \ ω') \ (0,5, <).
Покажем, что если отображение hn определено, то оно является
изоморфизмом между Ω£ и 21 \ hn([n]). Сначала установим, что hn —
изоморфизм между Ω£ \ (0,5, Ad, <) и (21 \ hn([n])) \ (0,5, Ad, <). Для
этого достаточно доказать утверждения (1), (2).
(1) Если к919к + 1^п,то (hn(k)thn(l)yhn(k+ 1)) G Ad21.
Предположим, что утверждение неверно, и пусть (/со,/о) — пара
с наименьшим номером (т.е. с(/со,/о)) такая, что /со,/оДо + к ^ η
и (hn(ko)t hn(lo), hn(ko + Ιο)) ^ Ad21. Заметим, что fo не может
равняться нулю, так как
<М*о), Лп(0), ftn(*0 + 0)) = (fcn(to),0я, ЛЛ(Ло)> € Ad21,
что следует из формулы 8*. Таким образом, fo > 0 и /о = I + 1 (для
I = 10 — 1). Поскольку с(/со,0 < c(/oJo), имеем (hn(ko),hn(l)yhn(ko 4-
+ Ζ)) € Ad21, /со + /о < п. Поэтому /со 4- ί < η и (ftn(fco + Z), ftn(fco + к)) €
G 521. Кроме того, (hn(l), hn(lo)) G 521. Ввиду первой конъюнкции
формулы 9* справедливо соотношение (hn(ko), hn(lo), hn(ko + lo)) G Ad ,
что противоречит выбору
/со,/οίο*

292
Гл. 7. Вычислимость
(2) Если к> I < п, к + / > п, то не существует га < η такого, что
(hn{k)thn(l)yhn(m))£ Ad*.
Предположим, что утверждение неверно, и пусть (коJo) — пара
с наименьшим номером такая, что к$> Ιο < η, ко 4- Ιο > η и существует
(единственное) га < η такое, что (hn(ko),hn(k),hn(m)) £ Ad21. Ясно,
что /о > 0. Пусть Z0 = Ζ + 1. Тогда (MO.Mfo)) £ Sa. Ввиду второй
конъюнкции формулы 9* имеем
21 |= 3x4(Ad(ftn(fco), МО» χ4) Λ 5(х4, ЛпМ)).
Если а £ А таков, что (a, hn(m)) £ S21, (hn(ko), hn(l), a) £ Ad21, то m >
> 0 и а = hn(m') для га' такого, что т' + 1 = га.
Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: fc0 4-Ζ = п. Согласно (1) имеем (hn(ko),hn(l),hn(ko 4-
+ Ζ)) € Ad21, hn(m') = α = M&o + 0 = Мп)» гп' < т ^ п{— ко + Ζ).
Приходим к противоречию.
Случай 2: &о 4- Ζ > п. В силу (М**>)»М0»Мш')) £ Ad21, га' <
< η, пара (ко J) также удовлетворяет условиям &о, Ζ ^ n, fco 4- Ζ > η и
существует га' < η такой, что
(М**>). МО» Мш')> € Ad21, c(&o, Z) < с(Ло, /о),
что противоречит выбору пары (&o,Zo).
Итак, (2) доказано, /ιη есть изоморфизм Ω£ \ (0,5, Ad, <) и
(21 Ϊ hn([n})) \ (0,5, Ad, <). Установим теперь, что ftn есть изоморфизм
Ω£ и 21 ί ΜΝ)· Для этого достаточно доказать утверждения (3) и (4).
(3) Если kjyk-l^n, то (МО. hn(k)y hn(k · I)) e Ml21.
Предположим, что утверждение неверно. Выберем пару (коJo)
с наименьшим номером такую, что ко, /о, &о · к ^ η и
<МЫМ*о),М**>-г<>)>*Ш1а.
Заметим, что /о 7^ 0> так как по формуле 10*
<Μ*ϋ),Μ0),Λη(*0·0)> = (ftn(*o),Oa,Oa) € Ml21.
Тогда Zo = Ζ 4- 1 и (hn(ko),hn(l)yhn(ko · Ζ)) G Ml21, поскольку c(koJ) <
< c(ko,lo)· Далее, (M0»MW) £ S* и η > k0 · /о = *&(* + 0 =
= feo · Ζ + ко влечет по доказанному выше
(М**> · 0. М**>). К{ко · /о)) € Ad21.
Согласно первой конъюнкции формулы 11* имеем
(М**>). М*о), М**> · к)) € Ml21,
что противоречит выбору пары {ко Jo)·

§ 7.5. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте 293
(4) Если ку1 ίζ η, к · I > η, то не существует т < η такого, что
<ήη(*),ήη(0.ΛηΗ>€Μ1α.
Предположим, что утверждение неверно и koJo < η — пара с
наименьшим номером такая, что ко · /о > τι и существует га < η такое, что
<Л„(*о), Л„(/о),Л„(гп)> € М1Я.
Ясно, что /о 7^ 0. Пусть /о = I + 1· Тогда (hn(l)thn(lo)) G S® и ввиду
второй конъюнкции формулы 11* имеем
211= 3χ4Μ1(/ιη(Α:ο),^η(0»χ4) Л Ad(x4,^n(^o),^n(^))·
Если а£ А такой, что (a, ftn(&o),ftn(ra)) £ Ad21, (hn(ko),hn(l),a) €
£ Ml21, το α <2t/in(m) по формуле 8* и α = ft (га') для га' такого, что
га' < га.
Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: ко · I — п. Согласно (3) имеем (hn(ko),hn(l)yhn(n)) e
G Ml21, hn(m') = а = hn(n)> га' < га < η. Приходим к противоречию.
Случай 2: ко · I > п. Ввиду (ftn(&o), hn(l),hn(m')) G Μ1α, πι' < η,
пара (ко J) также удовлетворяет условию ко Л < п, ко · I > η и
существует т! < η такое, что (hn(ko),hn(l),hn(m')) £ Μ1α. Это
противоречит выбору пары (ко,1о)> так как c(fco>0 < c(A:o,^o)·
Итак, (4) доказано, и ftn есть изоморфизм Ω£ и 21 f ftn(N). Из
доказанного вытекает предложение 7.5.11. D
Пусть, как и выше, Ro и R\ — неотделимые
непересекающиеся Σ-подмножества ω. Обозначим через Ф(#о) и Ф(#о) Σ-формулы
сигнатуры σ^ такие, что Ro = Φ [#о] и R\ = Φ [#ο]· Определим
следующие последовательности Σ-формул:
Φ0(χο)^Φ(^ο), _
Фп+\(хп+\) ^3χη(5(χη+ι,χη)ΛΦ(χη)),
Φ^^Φ„(0) = (Φ„)5η, η Go;,
ФоЫ ^ Φ fro), _
Φη+ι(χη+ι) ^3χη(5(χη+ι,χη)ΛΦη(χη)),
Φ^±^Φη(0) = (Φ„)5η, η^,
θη ±=? ^ -> (Φη -> Φη), η € ω.
Аналогом предложения 7.5.5 является
Предложение 7.5.12. Справедливы следующие утверждения.
(а) Если η е Яо, то предложение θη тождественно истинно
(т.е.ёпеТа;).
(б) £Ъш η £ R\t mo существует N G ω такое, что если 21_—
конечная алгебраическая система сигнатуры σ$ такая, что 211= ^t
и |Л| ^iV, то 21 И"1^.

294
Гл. 7. Вычислимость
Доказательство. Пусть η G Ro и 21 — произвольная
алгебраическая система сигнатуры σβ. Если 21 |= ~*АХ> то 21 |= θη. Если
211= Ах и система 21 бесконечна, то существует подсистема 2lo <end 21,
изоморфная Ωπ. Легко проверить, что nG Ro влечет Ωπ f= Фп. Но тогда
21о |= Фп и 21 |= θη. Если 21 |= ~А*Х и система 21 конечна, то 21 ~ Ω£
для некоторого к G ω. Тогда 211= ""Фуг. Следовательно, 211= θη, так как
21 f= Фп влечет Ω£ f= Φη, Ωπ |= Φη, и тогда η G R\. Однако η G Ro
и η G Ro Π R\ = 0. Пришли к противоречию. Таким образом, если
η G Яо, то θη тождественно истинна.
Пусть η G R\. Тогда Ωπ f= Фп. Согласно следствию 5.7.10 принципа
Σ-рефлексии существует N G ω такое, что Ωπ \ Ν = Ω^ f= Φη.
Тогда если \А\ > Ν, то Ω]^ изоморфна концевой подмодели 21.
Следовательно, 21 \= Фп. Если 211= Ах и система 21 конечна, то 21 ~ Ω£
для некоторого к G ω, А; > TV и 21 [= ~1ФП, так как 21 |= Фп влечет
Ω£ |= Φη, Ωπ |= Фп, nG_Ro, но η G R\y n G RoHR\ = 0; противоречие.
Следовательно, 21 f= ""θη. D
Основным следствием предложения 7.5.12 является
Предложение 7.5.13. Пусть S — бесконечное подмножество ω
u Ks <=; {Ω£ Ι η G S}. Тогда теория Th(Ks) класса Ks является
наследственно неразрешимой.
Доказательство аналогично доказательству предложения 7.5.6.
D
§ 7.6. Машины Тьюринга
Перейдем к описанию класса алгоритмов, который был введен
А.М.Тьюрингом и Э. Постом в 1936 г.
Пусть заданы два конечных множества А и Q, не содержащих букв
L и R. Множество четверок Ρ = {(хг,Уг,щ,У{) \ г ^ га} называется
программой с внешним алфавитом Лис внутренним алфавитом Q,
если Xi G Q, yi G А, щ G Qy Vi G A U {LyR} и для любого г < га.
В дальнейшем элементы программы (x,y,u,v) будем называть
командами и обозначать через ху —► uv.
Определение. Машиной Тьюринга называется шестерка
(A,Q,ao,<7o»<7i»-P)» удовлетворяющая следующим условиям:
1) множества A, Q конечны, не пересекаются и не содержат
букв L, R\
2) а0 G A\ q0t q\ G Q\

§ 7.6. Машины Тьюринга
295
3) Ρ — такая программа с внешним алфавитом А и внутренним
алфавитом Q, что
а) не существует двух различных четверок в Р, у которых
первые и соответственно вторые члены совпадают,
б) <?о не является первым членом ни одной четверки из Р.
Машинным словом с внешним алфавитом А и внутренним
алфавитом Q (или просто машинным словом в (A,Q)) называется такое
слово α в алфавите A U Q, что α является словом в алфавите A U {q}
для некоторого q £ Q и α содержит ровно одно вхождение символа q.
Пусть а — слово в алфавите В и а £ В. Слово ааа будем обозначать
через аа. Если а = Ьа\с, где Ьус£ Ву то через аа будем обозначать
а) слово αϊ, если Ь — с = а\
б) слово αϊ с, если Ъ — а и с φ α;
в) слово Ьа\у если с = α и Ь φ α;
г) слово а, если Ь φ а и с φ а.
Пусть а и β — машинные слова в (A, Q) и элемент q £ Q входит
в а. Будем говорить, что машина Тьюринга Μ = {AyQ,ao,qo,q\,P)
переводит слово а в слово β (обозначаем α —► /3), если выполняются
следующие три условия:
1) если αα° = a\qaa2 и qa —► rb £ Ρ, b £ Α, το β — (airba2)ao'>
2) если aao = a\aqba2 и qb —► rL £ Ρ, το β — (a\raba2)ao\
3) если ααο = a\qaa2 и qa -^ rR £ Ρ, το β = (a\ara2)ao-
Отметим, что машина Μ может переводить слово α только в одно
слово. Это следует из условия 3, а) определения машины Тьюринга.
Если машинное слово α в (A,Q) не переводится машиной Тьюринга
Μ = (A,Q,ao,qo,q\,P) ни в какое слово /3, то будем говорить, что a —
тупиковое слово для М. Заметим, что из условия 3, б) определения
машины Тьюринга следует, что если машинное слово α содержит
символ <?о> то оно является тупиковым для М.
Пусть a — машинное слово в алфавите В. Слово, полученное из a
заменой всех вхождений символа b на пустое слово, будем обозначать
через а/Ь.
Определение. Пусть Μ = (AyQyao,qotq\tP) — машина Тьюринга
и α, β — слова в алфавите А \ {ao}. Будем говорить, что машина
Μ преобразует слово а в слово β (обозначаем Μ (α) — β), если
существует последовательность 7ο»···»7η машинных слов в (АуQ),
удовлетворяющих следующим условиям:
1) 70 = q\OL\
2) β = (7η/<Ζο)/αο;
3) Ъ -*7»+ь г < п.

296
Гл. 7. Вычислимость
Заметим, что если для последовательности 7ο>···>7η выполнены
условия 1)-3), то слово 7п содержит вхождение qo, так как β — слово
в алфавите А \ {ао}.
Ясно, что машина Μ может преобразовывать слово а только в одно
слово. Если машина Μ не преобразовывает слово α ни в какое слово,
то будем говорить, что машина Μ не применима к слову а или что
значение М(а) не определено. В этом случае или существует бесконеч-
м
ная последовательность 7ο»···»7η» ···> Для которой 70 = Q\& и 7г —► 7г+ь
г £ ω, или существует конечная последовательность машинных слов
7о> ··· >7п, удовлетворяющая условиям 1) и 3), а 7п — тупиковое слово,
не содержащее
доопределение. Частичная функция /:1-^шДС ωη, называется
вычислимой по Тьюрингу, если существует машина Тьюринга Μ —
= (AtQ,aoyqoyq\tP)t для которой выполняются условия:
а) 0, 1 е Α, αοτ^Ο, α0 φ 1;
б) машина Μ применима к записи n-ки a <=$> a G X;
в) М{а) = е для а £ X и f(a) = е.
Такую машину Μ будем называть машиной Тьюринга, вычисляющей
функцию /.
Очевидно, что все вычислимые по Тьюрингу частичные функции
вычислимы.
Пример 7.6.1. Построим машину Тьюринга М, вычисляющую
функцию /(п) = 2п. Пусть Μ = (A,Q,a,qo,q\,P), где А = {0,1,α},
Q — {<7о,<7ь Q2> ЯЗуЯа}у а Ρ состоит из следующих четверок:
q\ 1 -+ <?з0, <?з0 -+ qzR, q$ 1 -+ 92О,
q20 -+ <72Ь, 42« -* 9з0, ^за -► #4£,
44О —► ^41, 941 —► 94^, ^4« —► qoa.
Предоставляем читателю самому убедиться, что эта машина
действительно вычисляет функцию /(п) = 2п. Для иллюстрации ее
работы выпишем «процесс вычисления» /(2):
9,111 ^ «,001 Ζ Ода11 - 0ς201 ^ g2001 Д
^ 92а001 £ «,0001 Д 0«,001 Д 00<?301 Д 000® 1 ^
Д 000920 Д 009200 ^ 092000 Д <?20000 % 92а0000 Д
Д «,00000 Д 0«,0000 Д 00«,000 Д 000«,00 Д
" 0000«,0 " 00000«з ^ 0000940 Д 0000«,1 ^
^ 000д401 ^ 000<Z411 ^ 00^011 Д 00?4111 Д

§ 7.7. Рекурсивные функции
297
^0tf40111 Д 0g4llH ^^01111 ^ qA\UU ^ qAa\U\\ ДрПШ.
Имеет место следующая
Теорема 7.6.2. Класс частичных функций, вычислимых по
Тьюрингу, совпадает с классом частичных Σ-функций.
Доказательство того, что вычислимые по Тьюрингу частичные
функции являются частичными Σ-функциями, мы предоставляем
читателю в качестве упражнения. Доказательство другой части теоремы
довольно громоздкое и состоит по существу из выписывания большого
количества программ, поэтому мы его опускаем.
В силу теоремы 7.6.2 имеет место следующий тезис, являющийся
основным принципиальным положением об «универсальности»
вычислимости на машинах Тьюринга: любая вычислимая частичная
функция вычислима по Тьюрингу (тезис Тьюринга).
§7.7. Рекурсивные функции
В настоящем параграфе мы приведем еще один способ уточнения
понятия вычислимой функции, который можно назвать
алгебраическим, так как определяемый класс функций будет порождаться из
некоторых простейших функций с помощью некоторых операций.
Пусть Фп — семейство всех η-местных частичных функций, а Ф =
— U Фп — семейство всех частичных функций.
Определим на семействе Φ всех частичных функций операторы
5, R> My которые сохраняют вычислимость функций.
Пусть пук £ ω, f — (η + 1)-местная частичная функция, #о> ···
..., дп — А:-местные частичные функции. Определим fc-местную
частичную функцию h следующим образом: h(m\,... trrik) не определено,
если хотя бы одна из частичных функций got...ygn не определена
на (rai,...,rafc), и если все до,...,дп определены на (rai,...,rafc), то
ft(mi,...,mjfe) = f(go{m\,...,mk),...,gn(m\,...,mk)). Будем говорить,
что h получена регулярной суперпозицией из /,#о>..., дп и обозначать
это следующим образом: h = 5fc'n(/,#o, ··· ,#п)· Оператор {регулярной
суперпозиции) Sk,n является всюду определенным отображением из
Фп+\ χ Φ%+1 в Фк и сохраняет вычислимость, т.е. если частичные
функции / е Фп+\\ <7о» ··· >9п £ $к вычислимы, то и частичная функция
Sk,n(f,go,---,gn) вычислима. Верхние индексы у оператора S будут
опускаться и вместо 5(/,#о> ··· ,#п) будет, как правило, использоваться
более привычное, но менее точное обозначение f(go, ··· , <м)·
Пусть η G ω> f G Фпу д £ Фп+2- Определим по / и д п+ 1-местную
частичную функцию h так, что для любых mi,... , гап £ ω
ft(mi,...,77in,0) = /(mi,...,mn);

298
Гл. 7. Вычислимость
h(m\,... ,mn, к + 1) не определено, если ft(rai,...,ran,fc) не
определено и ft(mi, ...,mn,к + 1) = #(mi, ...,mn,kyh(m\y ...,mn, А:)), если
ft(rai,...,ran,fc) определено. Очевидно, что /ι однозначно определена
по / и д и вычислима, если вычислимы f и д. Указанное определение
h по f и д задает оператор Rn+X: Φη χ Фп+2 —► Фп+ь который назовем
оператором примитивной рекурсии. Про функцию /ι = Rn+l(fyg)
будем говорить, что она получена примитивной рекурсией из функций
fug. Верхний индекс у оператора Rn+{ будем опускать.
Пусть η £ ω, f G Φη+\· Определим по / такую η-местную
частичную функцию д> что для любых ку гп\,..., тпп G ω, g(m\,..., mn) = к
тогда и только тогда, когда /(mi,... ,mn,0) =0 и А: = 0 или к > 0
и /(mi,... ,mn,0),...,/(mi, ...,mn, A: — 1) определены и не равны
нулю, a /(mi,... ,mn, A;) =0. Ясно, что такая функция # существует
и однозначно определена по /; кроме того, если / — вычислимая
функция, то из определения д видно, как вычислять д. Таким образом,
задан оператор Мп — оператор минимизации — из Фп+\ в Фп\ если
д = Мп(/), то будем говорить, что д получена минимизацией из /.
Базисными функциями называются функции о, s,/^ (1 < m < η),
где о — одноместная функция, которая на любом η принимает
значение 0, s — одноместная функция, принимающая на числе η значение
п+ 1, а 1^ — η-местная функция, принимающая на наборе (fci,...,fcn)
значение кт. Очевидно, что базисные функции вычислимы.
Определение. Частичная функция / называется частично
рекурсивной, если существует такая конечная последовательность
частичных функций go,...,gk, что д^ = / и каждая д^ г < А:, либо
базисная, либо получается из некоторых предыдущих регулярной
суперпозицией, примитивной рекурсией или минимизацией. Эта
последовательность до>---,дк называется определяющей последовательностью
для /. Всюду определенная частично рекурсивная функция называется
рекурсивной.
Можно доказать, что для любой рекурсивной функции существует
определяющая последовательность, состоящая только из всюду
определенных функций.
Из данного определения и приведенных выше замечаний о
сохранении вычислимости операторами StR,M легко следует, что всякая
частично рекурсивная функция является вычислимой.
Обратное утверждение носит название тезиса Чёрча: Любая
вычислимая частичная функция частично рекурсивна.
Исторически именно это утверждение было первым точным
математическим определением понятия алгоритмически вычислимой функции.
Из пунктов (1), (2), (9), (10), установленных в §7.2,
очевидно, что любая частично рекурсиБная функция является частичной

§ 7.7. Рекурсивные функции
299
Σ-функцией. Справедливо также обратное утверждение,
доказательство которого мы опустим из-за его громоздкости: любая частичная
Σ-функция является частично рекурсивной.
Тем самым, имеет место следующая теорема.
Теорема 7.7.1. Класс частично рекурсивных функций совпадает
с классом частичных Σ-функций.
Таким образом, тезис Тьюринга эквивалентен тезису Чёрча.

Глава 8
РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
Теорема о неразрешимости элементарной арифметики (теорема
7.5.1) положила конец попыткам построить универсальный алгоритм
решения всех математических задач. Однако нахождение алгоритмов
для решения различных классов математических задач было и остается
одной из важнейших целей математики. Построенные в
математической логике формальные языки значительно расширили возможности
нахождения классов задач с разрешающим алгоритмом. В частности,
про любую элементарную теорию Τ мы можем спросить, разрешима ли
она, т. е. существует ли алгоритм, устанавливающий по любому
предложению φ, принадлежит ли φ данной теории Т. К сожалению, многие
важные для математики теории оказались неразрешимыми. В §8.6
будет продолжен список неразрешимых теорий, начатый в §7.5, и
будут приведены плодотворные методы доказательства неразрешимости
элементарных теорий. Вместе с тем, в §8.1-8.5 на нескольких важных
примерах будут продемонстрированы некоторые методы доказательства
разрешимости элементарных теорий.
§8.1. Разрешимость теории одноместных предикатов
В этом параграфе мы докажем разрешимость теории класса всех
моделей сигнатуры Σ1 = (Ро,Р\у...), состоящей из счетного числа
одноместных предикатов, и опишем все полные теории этой сигнатуры.
Вначале докажем один факт более общего характера, который будет
использоваться также в других параграфах.
Предложение 8.1.1. Пусть Го — множество предложений
некоторой сигнатуры Σ, замкнутое относительно конъюнкции,
дизъюнкции и отрицания. Пусть То — некоторая теория сигнатуры Σ и
для любой полной теории Τ сигнатуры Σ, являющейся расширением
теории То, и любого ФеТ выполнено условие (То U (Го Π Τ)) > Φ.
Тогда для любого предложения Φ сигнатуры Σ существует
предложение Ф* £ Го, для которого выполнено То > (Ф <-> Ф*) (через
(Ф *-> Ф*) обозначается формула (Ф —► Ф*) Л (Ф* —► Ф)). При этом

§8.1. Теории одноместных предикатов
301
если существует алгоритм перечисления предложений теории То,
то существует алгоритм получения предложений Ф* по
предложениям Ф.
Доказательство. Рассмотрим множество предложений
Υ = {^Ф | Φ е Г0, (Т0 и {Ф}) > Ф}.
Покажем, что множество Ζ = То U Y U {Φ} несовместно. Предположим,
что множество Ζ совместно. По предложению 4.4.4 существует полная
теория Т, содержащая множество предложений Ζ. Так как Φ Ε Τ, то по
условию мы имеем (То U (Го Π Τ)) > Φ. По определению отношения >
и замкнутости множества Го относительно конъюнкции мы получаем
(То U {Фо}) > Φ для некоторого Фо € Τ Π Го. Следовательно, ""Фо £ Υ\
Так как Υ С Т, то ""Фо £ Т. Это невозможно в силу
непротиворечивости Τ и условия Фо £ Т.
Таким образом, мы имеем (То U {""Фь...,'Φη}) > ""Ф для
некоторых Φι,...,Φη е Г0 с условиями (То U {Фг}) > Ф, г е {Ι,.,.,η}. Ясно,
что для формулы Ф* = (Φι V ... V Фп) будет выполняться свойство
То>(Ф~Ф*).
Алгоритм нахождения предложения Ф* состоит в эффективном
перечислении всех предложений теории То пока не появится предложение
вида (Ф <-> Ф*), где Φ* е Го. □
Рассмотрим сигнатуру Σ^ ^ (Лз> ···, Рп) £ Σ1. Для любого кортежа
ε = (εο, ...,εη) длины η+ 1, состоящего из нулей и единиц, через Ρε(χ)
обозначим формулу
Ρ?(χ)ΛΡΪ4χ)Λ...ΛΡ*»(χ),
где, как обычно, Р°(х) = ~'Р(х), Р1(х) = Р(х). Пусть Φ —
произвольная формула, т > 0. Формулу
Зх\...3хт1 ( Д Xi ttXjА Л ( Д Ф(Хг)) I,
\\Ki<j^m / г=1 /
обозначим через ЗтяФ(:г), где 3ι#Φ(:ζ) означает ЕЬФ(я).
Определение. Будем говорить, что формула Фо является булевой
комбинацией формул из класса Г, если она принадлежит наименьшему
классу формул, содержащему Г и замкнутому относительно взятия
конъюнкций, дизъюнкций и отрицаний.
Пусть Го — множество всех предложений, являющихся булевыми
комбинациями предложений вида ЗтхР£(х), где т G ω, ε е {0, 1}(η+1).

302
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
Предложение 8.1.2. Пусть Τ — полная теория сигнатуры Έχη и
X = ТГ\Го. Тогда для любого предложения Φ е Τ выполнено X > Ф.
Доказательство. Пусть теория Т\ является замыканием
множества X относительно выводимости. Нужно показать, что Τ СТ\. Так
как Т\ С Ту то достаточно показать, что теория Т\ полна.
Так как Τ — полная теория, то для любого ε е {0, 1}(η+1) и любых
Т-моделей 21 и 03 не более чем счетной мощности множества Ρε(21)
и Ρε(03) имеют одинаковую мощность. Так как эти множества не
пересекаются и покрывают носители этих моделей, то любое
биективное отображение / : А —► Б, переводящее для каждого ε е {0, 1}(η+1)
множество Ρε(21) в множество Ρε(93) будет изоморфизмом систем 21
и 03. Заметим, что условие |Ρε(21)| = к е ω записывается предложением
(ЗкхР£(х) Λ _,3(Α.+1)^Ρε(χ)), а условие |Ρε(21)| > ω — бесконечным
множеством предложений {3kxP£(x) \ к е о;}. Таким образом, либо все
Τι-модели конечны и изоморфны, либо теория Т\ счетно категорична.
По предложениям 3.2.7 и 5.6.1 теория Т\ полна. D
Предложение 8.1.3. Для любого предложения Φ сигнатуры Т}п
существует предложение Φ £ Го, которое эквивалентно Ф.
Доказательство. Предложение вытекает из предложений 8.1.1
и 8.1.2, где в качестве То берется множество предложений сигнатуры
Σ^, являющихся теоремами исчисления ИП n. D
Для предложения Φ е Го пусть т(Ф) обозначает такое наибольшее
натуральное число га, что предложение Зт#Ре(#) является
подформулой предложения Ф.
Лемма 8.1.4 Для любой система 21 сигнатуры Т}п и любого га е о;
существует система 21 [га] мощности < т · 2П такая, что
для любого предложения Φ е Го с условием т(Ф) < т.
Доказательство. Ясно, что в качестве 21 [т] можно взять
подсистему системы 21, полученную уменьшением множеств Ρε(21), для
которых выполнено |Ρε(21)| > га, до множеств мощности га с
сохранением множеств Ρε(21), для которых выполнено |Ρε(21)| < га. D
Предложение 8.1.5. По любому предложению сигнатуры Σ1
можно эффективно узнать, является ли оно тождественно
истинным.
Доказательство. Пусть Φ — предложение сигнатуры Σ1. Тогда
Φ является предложением сигнатуры Έ\ для некоторого η е ω. Так как

§ 8.2. Алгебраически замкнутые поля
303
существует эффективная процедура выписывания доказуемых
секвенций сигнатуры Σ^, то по предложению 8.1.3 мы можем эффективно
найти предложение Φ е Го, которое эквивалентно Ф. Пусть т = т(Ф).
Так как свойство тождественной истинности сохраняется при переходе
к эквивалентным формулам, то в силу леммы 8.1.4 тождественная
истинность предложения Φ равносильна его (га · 2п)-общезначимости.
Проверка этого свойства осуществляется за конечное число шагов
(предложение 3.2.8). D
Из предыдущего предложения и теоремы о полноте исчисления
ИП вытекает
Теорема 8.1.6. Исчисление предикатов сигнатуры Σ1
разрешимо.
Упражнения
1. Пусть Γι — булева комбинация формул из Го и атомарных
формул. Доказать, что если Ф(#о, ··· >χη) ^ Γι, то по формуле
3#оФ(#о,··· ,#п) можно эффективно построить эквивалентную ей
формулу из Γι. (Указание. Использовать индукцию по длине
формулы.)
2. Используя упражнение 1, доказать предложение 8.1.3, не
используя предложения 8.1.1 и 8.1.2, причем указанное предложение Φ
находится эффективно.
§ 8.2. Элиминация кванторов и разрешимость теории
алгебраически замкнутых полей
Рассмотрим теорию АЗП сигнатуры σ/ = (0,-1,+,·), аксиомами
которой будут аксиомы теории полей вместе со всеми предложениями
вида
\/х0 ... Vxn_i3y (yn + хп-\Уп~Х + ... 4- х\у + х0 ~ 0), η е ω \ {0}.
Модели теории АЗП в алгебре называются алгебраически
замкнутыми полями.
В данном параграфе будет доказана следующая
Теорема 8.2.1. Теория АЗП допускает элиминацию кванторов.
Доказательство. Для элиминации кванторов достаточно
показать, что бескванторной формуле эквивалентна относительно АЗП
всякая формула Φ вида
где /<,/■ — термы сигнатуры σ/, δ{ е {0, 1}.

304
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
Поскольку в теории АЗП имеет место (t « t') = (t — t' « 0), а ~Ч «
« ΟΛ'ί'^ΟΞ'ί-ί'^Ο, можно считать, что формула Φ имеет вид
3* f ДД«ОЛ0*о)
для некоторых термов /ь ... ,fk,g.
Заметим, что любой терм t{u) сигнатуры σ/ «эквивалентен»
некоторому полиному с целыми коэффициентами, т.е. из теории АЗП
выводится формула t{u) « t'(u) для некоторого tf(u) G Ζ[ΰ]. Таким
образом, для доказательства элиминации кванторов в АЗП можно
рассматривать лишь формулы с термами из Ζ[ΰ].
Пусть t(x,y) — ненулевой терм из Z[x,y]. Тогда t(x,y) записывается
в виде
tn{y)xn + tn-\{y)xn-1 + ... + Ыу)>
где tn(y) G Ζ [у] \ {0}. Число η называется степенью полинома t и
обозначается через dxt или просто dt.
Для полинома t(x,y) степени η и числа га, где 0 ^ т ^ п, положим
Degx* = ra^( Д ii(27)«OA^im(27)»Oj;
Tmt^trn(y)xm + ... + t0{y).
Заметим, что Deg^. t — т и t = 0 — формулы со свободными
переменными из у и не содержат переменную х.
Ниже вместо записи Deg^. t = т будем писать Deg t = т.
Следующие замечания справедливы для любого полинома t,
/at \
1. Формула V Deg t = г ) V t = 0 тождественно истинна (посколь-
\»=о /
ку каждый полином t тождественно равен нулю или равны нулю его
коэффициенты U(y)t начиная с некоторого г).
2. Формула t « 0 эквивалентна формуле
t « 0 Λ П\/ Deg t = г J V t = 0 J
(так как вторая формула получается из первой конъюнктивным
добавлением тождественно истинной формулы).

§ 8.2. Алгебраически замкнутые поля
305
3. Формула t « 0 Л Deg t = О тождественно ложна (поскольку не
может равняться нулю полином нулевой степени с ненулевым
коэффициентом to(y)).
4. Формула t « О Л t = О эквивалентна формуле ίΞΟ (так как из
ίΞθ следует t « 0).
5. Формула £ « О Л Deg t = πι эквивалентна формуле Deg t =
= т Л rmt « 0 (поскольку для полинома £ с условием Deg t = m запись
t « О означает, что тт£ « 0).
Будем говорить, что формула Φ находится в нормальной форме,
если Φ имеет вид
В силу приведенных выше замечаний достаточно показать, что
бескванторной формуле эквивалентна всякая формула Ф, находящаяся
в нормальной форме. Мерой сложности такой формулы Φ будем назы-
k
вать пару (/с, £#/»)·
Для сведения меры сложности к минимальному значению к = 1
будем использовать деление с остатком в Z[x,y].
Для многочленов s,t e Z[x,y] остаток от деления s на t,
Res(s,i) G Z[x,y] определяется следующим образом. Пусть ds = η,
dt = πι s = sn(y)xn + ... 4- so (у) и ί = tm(y)xm + ... + £0(I7). Если
η > га, то полагаем D(s,t) ^ £m(2/) · s - sn(y) · xn_m · £; заметим,
что dD(syt) < п. Если η < πι, το Res(s, ί) ^ s; если π > га, то
Res(s,£) ^ Res(J5(s, ί),ί). Заметим, что dRes(syt) < πι и существуют
I ^п — ту h G Z[xyy] такие, что tm(y)1 · s = h-t + Res(s,£).
Лемма 8.2.2. Если dt < 9s, mo формула ί«0Λ Deg ί = <9£ Λ s « 0
эквивалентна формуле t « 0 Λ Deg t = dt A Res(s, £) « 0.
Доказательство очевидно, поскольку при равном нулю
делителе равенство нулю делимого равносильно равенству нулю остатка. □
В силу леммы 8.2.2 общий случай с формулой Ф, находящейся
в нормальной форме, сводится к формуле со значением к = 1, и тем
самым остается рассмотреть следующие три вида формул:
1) Зя/^0;
2) Зх ^ g « 0;
3) 3aj(/«OADeg/ = 0/A^«O), где <9/> 0 и <9# > 0.
Формула Зх/ « 0 эквивалентна бескванторной формуле
а/
/ ξ 0 V V Deg / = г, поскольку в алгебраически замкнутом поле
г=1

306
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
каждый многочлен положительной степени имеет корень, а для
нулевой степени имеются корни лишь у нулевого многочлена.
Формула Зх "" д « 0 эквивалентна формуле "^ξΟ, так как наличие
ненулевого значения д для некоторого аргумента χ равносильно тому,
что полином д не является нулевым.
Наконец, формула Φ ^ Зх (/ « 0 Л Deg / = df Л ^д « 0) при
df > 0 и дд > 0 эквивалентна формуле ЗяГ Res(<7a^, /) « 0, которая в
свою очередь эквивалентна бескванторной формуле ~'(Res(^ai/) = 0).
Действительно, если рассматриваемая формула Φ неверна, то любой
корень многочлена / является корнем многочлена д и с учетом
возможной кратности корней многочлен дд? без остатка делится на /, т. е.
Res(ga-( /) = 0. Обратно, если дд? без остатка делится на /, то любой
корень для / является корнем для g и ни для какого χ одновременно
не выполнятся условия / = 0 и g ^ 0. D
Обратимся к вопросу об истинности бескванторных предложений
сигнатуры σ/ в алгебраически замкнутых полях.
Пусть V — множество всех простых чисел, V* ^ {0} UV —
множество всех возможных характеристик полей.
Для любой характеристики χ £ V* пусть Fx — простое
(минимальное) поле характеристики χ (Fo ^ Q — поле рациональных чисел,
Fp — Z/pZ — поле из ρ элементов для ρ £ V).
Пусть То — множество всех термов сигнатуры σ/, не имеющих
вхождений переменных.
Определим индукцией отображение ах : То —► Fx (= (FX,0X, lx,
+х, -х, ·χ)) для всех χ £ 7V Полагаем
αχ(0)^0χ, αχ(1)^1χ,
ax(to + ίι) ^ ^χ(^ο) + χαχ(£ι)>
αχ(£0 - U) τ± ax(t0) -xax(t\)t
αχ(ίο·*ι) ^<*χ(*ο)·χαχ(*ι).
Заметим, что если pepH£p:Z-^Fp- естественный эпиморфизм
колец, то ар = εραο.
Из определения следует, что otx(t) = tF* — значение терма t в
поле Fx.
Замечание 8.2.3. Для любых терма t £ То и поля F характеристики
χ £ Р* поле F содержит подполе, изоморфное Fx, и tF = tFx = ax(t).
Пусть Φ — атомарное предложение сигнатуры σ/. Не уменьшая
общности, можно считать, что Φ имеет вид t « 0 для подходящего
teT0.

§ 8.2. Алгебраически замкнутые поля
307
Полагаем 0(Ф)(= 0(ί « 0)) ^ {χ \ χ G V*y ax(t) = 0}. Имеет место
равенство 0(Ф) = {χ | χ g Ρ*, &o{t) £ X · ^}· Заметим, что последнее
множество совпадает с множеством всех простых делителей числа
ao(t), если ao(t) Φ 0, и с множеством Р*, если ao(t) = 0.
Из определения множества 0(Ф) видно, что для любого поля F
характеристики χ справедливы эквивалентности
F f= Φ 4=> £F = 0 4=> χ G 0(Ф).
Для любого бескванторного предложения Φ сигнатуры σ/, не
содержащего знака —► импликации, определим по индукции множество
0(Ф) С Р* так:
О если Φ — атомарное предложение, то 0(Ф) уже определено выше;
и) если Φ = Фо Л Фь то 0(Ф) = 0(Фо) П 0(Φι);
iii) если Φ = Ф0 V Фь то 0(Ф) = Θ(Φ0) U 0(Φι);
iv) если Φ = ^Фо, то θ (Φ) = V* \ 0(ФО).
Из определения видно, что по предложению Φ и характеристике
χ G Р* можно эффективно узнать, будет ли χ принадлежать множеству
0(Ф) и будет ли справедливо равенство 0(Ф) = 7V
Замечание 8.2.4. Нетрудно проверить, что для любого
бескванторного предложения Φ сигнатуры σ/ одно из множеств 0(Ф) и 0(~·Φ)
является конечным, 0(Ф) Π 0рФ) = 0, 0(Ф) U 0рФ) = Р*, и если 0(Ф)
бесконечно, то 0 g 0(Ф).
Используя определение множества 0(Ф), индукцией по длине
предложения Φ без труда устанавливается справедливость следующего
предложения.
Предложение 8.2.5. Пусть Φ — бескванторное предложение
сигнатуры a/, F — поле характеристики χ G 7V Тогда имеет место
эквивалентность
F μ φ 4=> χ g 0(Ф).
Важнейшим следствием этого предложения и свойства элиминации
кванторов для теории алгебраически замкнутых полей является
Теорема 8.2.6. 1). Теория АЗП всех алгебраически замкнутых
полей разрешима.
2). Для любой характеристики χ G V* теория АЗПХ
алгебраически замкнутых полей характеристики χ полна и разрешима.
Доказательство. 1). Пусть Φ — предложение сигнатуры σ/.
Эффективно находим бескванторное предложение Фо сигнатуры σ/
такое, что Φ = дзп^о- Далее, эффективно проверяем, справедливо ли

308
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
равенство 0(Фо) = V*. Если 0(Фо) = V*, то Фо (и Ф) принадлежит АЗП,
а если 0(ФО) φ V*, то Ф0, Φ £ АЗП.
2). Пусть Фо — эффективно найденное бескванторное предложение
сигнатуры σ/, соответствующее предложению Φ как выше. Тогда имеет
место Φ е АЗПХ <=» χ е 0(ФО)· Так как 0(ФО) U 0(^ФО) = Р*, то Φ G
£ АЗПХ или ~·Φ е АЗПХ. Отсюда и следует заключение 2). D
В силу теоремы 8.2.6, в частности, элементарная теория АЗПо поля
(С, +, ·, 0, 1) комплексных чисел разрешима.
Упражнение
1. Для каждой характеристики χ доказать разрешимость теории
алгебраически замкнутых полей характеристики χ без
использования элиминации кванторов. (Указание. Воспользоваться
категоричностью данных теорий в несчетных мощностях.)
§ 8.3. Элиминация кванторов и разрешимость теории
вещественно замкнутых полей
Установим сначала следующее утверждение.
Предложение 8.3.1. Элементарная теория ПЛП плотных
линейных порядков без наименьшего и наибольшего элемента (см. пример
3.1.6) разрешима.
Доказательство. По предложению 3.1.7 теория ПЛП
(^-категорична, следовательно, по предложению 5.6.1 она полна. Так как
ПЛП имеет конечное множество аксиом, то по предложению 7.5.9 она
перечислима. Предложение 7.5.8 дает разрешимость ПЛП. D
Теория ПЛП, разрешимость которой установлена в предложении
8.3.1, совпадает с ТЬ((Д, <)), где R — множество действительных
чисел. Имеется, однако, значительно более сильный результат: теория
ТЬ((Д, +,·. <,0, 1)) разрешима. Для доказательства этой теоремы нам
будут нужны некоторые общие факты.
Предложение 8.3.2. Пусть элементарная теория Τ имеет по
крайней мере одну константу в сигнатуре. Тогда следующие
условия эквивалентны:
1) в Τ имеется элиминация кванторов;
2) для любой модели 21 теории Т, любой ω-насыщенной (см.
§5.5) модели 03 теории Т, любых а\>... fan,b e А и любого
изоморфного вложения φ подсистемы 21(ем,... ,αη) (см. §3.1)
в 03 найдется продолжение φ до изоморфного вложения φ'
подсистемы 21(аь ... ,αη, Ь) в 03.

§ 8.3. Вещественно замкнутые поля
309
Доказательство. 1) => 2). Пусть выполнено 1) и выбраны
21, 03, а\,..., αη, b и φ, как в 2). Рассмотрим множество
V = {Φ(χ,φα\,... ,φαη) | 21 f= Ф(Ь,αϊ,... , αη),Φ бескванторная}.
Для доказательства 2) достаточно показать, что V реализуется в 03.
В силу о;-насыщенности 03 и замкнутости V относительно конъюнкции
достаточно показать, что
03 ^=3χΦ(χ9φα\9...,φαη) (8.1)
для любой Ф(хуφα\,...,φαη) G V. Пусть Ф*(х\,...,хп) —
бескванторная формула, эквивалентная в Τ формуле ЗхФ(х,х\,...,хп). Так
как 21 |= ЗжФ(ж,аь...,ап), то 21 |= Ф*(аь... ,ап). Из того, что φ —
изоморфное вложение и Ф* бескванторная, вытекает 03 |= Φ*(φα\>...
...,φαη). Из эквивалентности в Τ формул Ф* и ЗхФ получаем (8.1).
2) => 1). Пусть выполнено 2). Индукцией по числу кванторов
в Φ будем находить бескванторную формулу Ф*, эквивалентную в Τ
формуле Ф. В силу эквивалентности УхФ = "'ЗаГ'Ф для любой формулы
Ф, достаточно рассмотреть случай, когда
Ф(х\,...,хп) = ЗхЩх,х\,...,хп),
где Φ — бескванторная формула. Если TU {Ф} несовместно, то в
качестве Ф* можно взять ""с « с, где с — некоторая константа. Пусть теперь
Τ U {Ф} совместно. Рассмотрим множество
U = {θ(χ\,..., хп) | Τ > Φ —► θ, θ бескванторная}.
Покажем, что Τ U U t> Φ. Предположим, что это не так, т. е.
существуют модель 03 теории Τ и элементы bi,...,bn e В такие, что
03 |= в(Ьь...,Ьп) для всех θ(χ\,..., хп) е U и 03 |= "1Ф(Ьь... ,bn).
Пусть
У = {Х(х\,..., хп) | 03 |= Х(Ь\,..., bn), X бескванторная}.
Если бы множество ТиУ U {Ф} было несовместным, то в силу
замкнутости У относительно конъюнкции выполнялось бы Τ ο Φ —► ""Хо для
некоторого Хо G У. Тогда ""Хо G ί/ив силу ί/СУ это противоречило
бы выполнимости У. Итак, Τ U У U {Ф} совместно, и пусть 21 — модель
теории Τ, αϊ,..., αη, b e Л,
2ΐμΧ(αι,...,αη), Х(жь ... ,xn) e У, (8.2)
и 21 f= Ф(Ь,αι,...,αη). Взяв, если нужно, ультрастепень 03 по
неглавному ультрафильтру на ω, можно считать, что 03 о;-насыщена (тео-

310
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
рема 5.5.6). Из (8.2) вытекает, что отображение φο: {αι,...,αη} —► Ву
для которого φοαι = biy продолжается до изоморфного вложения φ
подсистемы 21(аь... , αη) в 03. (Если η = 0, то в качестве φ берем
изоморфизм подсистем значений термов без переменных.) По 2) φ
продолжается до изоморфного вложения φ' подсистемы 21(аь... , αη,&)
в 03. Так как Φ бескванторная, то 03 f= Ф(<р'Ь, Ьь..., Ьп), следовательно,
03 |= 3#Ф(#, 6ι,..., Ьп). Это противоречит условию 03 |= ~'Φ(6ι,..., Ъп).
Так как множество U замкнуто относительно конъюнкции, то из
Τ U U > Φ следует Τ U {Φ*} > Φ для некоторой Φ* G U. Ясно, что Ф*
эквивалентна в Τ формуле Φ. D
Следующая система аксиом определяет теорию ВЗП (вещественно
замкнутых полей):
1) аксиомы полей,
2) ~*х < ху
3) (х < у Л у < ζ) —► χ < ζ,
4) x<y\Jxtty\jy<x,
5) (0 < χ Λ 0 < у) -► 0 < χ · у,
6) #<y—># + ;2:<t/ + ;2:,
7) 0 < # —► Зух « у2,
8) Зу(1/2п+1 + Σ *#*) ~ 0, η € ω.
г^2п
Заметим, что если (F, +,·,<, 0,1) — вещественно замкнутое поле,
то поле (F, +,-,0,1) имеет нулевую характеристику, a (F,<) —
плотный строгий порядок (т. е. (F, <) \= \/х\/у (х < у —► 3ζ(χ < ζ ί\ζ < у))).
В самом деле, из аксиом 6) и 3) мы получаем χ < 0 —у пх < 0 и
0 < χ —► 0 < пж, η € α; \ {0}, что вместе с 2) и 4) дает "х « 0 —►
—► ""'гаж «0, nGw\ {0}. Из аксиом 1)-6) легко выводится также
χ < у —► (ж < —-— < у У что доказывает плотность (F, <).
Предложение 8.3.3. β теории ВЗП имеется элиминация
кванторов.
Доказательство. Применим критерий предложения 8.3.2.
Пусть 21, 03 — вещественно замкнутые поля, 03 о;-насыщено,
а\,...,ап,Ь £ А и φο — изоморфное вложение 21(αι,...,αη) в 03.
Система 21(ем,... ,αη) не является полем, однако аксиомы 1)-6)
позволяют единственным образом продолжить φο до изоморфного
вложения φ минимального подполя 21о С 21, содержащего 21(аь ... ,αη),
в 03.
Случай 1: & алгебраичен над 21о в 21, т. е. 21 f= /(b) « 0, где /(ж) —
многочлен с коэффициентами из 21о. Существование требуемого в 2)
предложения 8.3.2 вложения φ' вытекает из следующей леммы курса

§ 8.4. Разрешимые теории абелевых групп
311
алгебры: если К — упорядоченное поле и Κ\,Κ<ι — его вещественные
замыкания, индуцирующие заданное упорядочение на К, то
существует изоморфизм К\ на Я"2, тождественный на К.
Случай2: Ь не алгебраичен над 21о в 21. Пусть
А\ = {а £ А0 | Яо И а < &}> ^2 = W € Ао I 21о И Ь < «}·
Обозначим через р(х) множество всех формул вида φα < х> a £ А\,
χ < φα, a £ Α<ι и ~* Σ φ{θ{)χι ~ 0 для всех многочленов Σ qx\
г<п г<п
С{ £ Ао, не равных тождественно нулю в 21о. Из плотности
порядка в 21о вытекает, что для любых а\ £ А\ и α<ι £ Α<ι множество
{α|21ο|=αι < α ί\α < аг} бесконечно. Так как корней любого
многочлена в любом поле конечное число, то р(х) локально выполнимо в 03.
Ввиду о;-насыщенности 03 тип р(х) реализуется в 03 некоторым
элементом Ъ'. Так как Ъ не алгебраичен над 21о, то отображение φΌ {{Ь,Ь')}
однозначно продолжается до изоморфного вложения ЩАо U {Ь}) в 03. D
Следствие 8.3.4. Теория ВЗП разрешима и совпадает с теорией
ТЬ((Д, +,·,<, 0,1)) упорядоченного поля действительных чисел.
Доказательство. Атомарные предложения теории ВЗП
эквивалентны η « m и η < m, где через η мы обозначаем терм 1 + ... + 1,
являющийся суммой η единиц, если η £ ω \ {0}, и 0 совпадает с
константой 0. Из аксиом ВЗП легко вытекают свойства
пфт => ВЗП > ""n « m,
η < т => ВЗП > η < т,
т ^ η => ВЗП > ~Ίι < т.
Отсюда мы получаем, что для любой замкнутой бескванторной
формулы Φ сигнатуры (+, ·, <, 0,1) мы имеем ВЗП > Φ или ВЗП > "Ф.
В силу предложения 8.3.3 теория ВЗП полна. Так как (Д, +,·,<, 0,1)
является моделью теории ВЗП, то из полноты ВЗП получаем
совпадение ВЗП и ТЬ((Д, +,·,<, 0,1)). Так как ВЗП имеет перечислимое
множество аксиом, то по предложениям 7.5.8, 7.5.9 теория ВЗП
разрешима. □
§ 8.4. Разрешимые теории абелевых групп
В отличие от полей действительных и комплексных чисел, теории
поля рациональных чисел и кольца целых чисел являются
неразрешимыми. Наша следующая цель — показать разрешимость теорий
Th((Z,+,0)) и Th((<2,+,0)) сложения целых и рациональных чисел.

312
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
Для этого сначала докажем некоторые утверждения, касающиеся
произвольных абелевых групп.
Пусть Я — абелева группа, Н\ — подгруппа Я. Множество вида
Н\ + α = {h + α I h G H\}t где a G Я, называется, как известно,
классом смежности подгруппы Н\ в группе Я. Если χ — мощность
множества классов смежности Н\ в Я, то мощность min{x,o;} называется
индексом Н\ в Я и обозначается через [Я: Н\]. Если индекс [Я: ffi]
бесконечен, то пишем [Я: ffi] = оо. Если Яг — еще одна подгруппа
в Я, то индекс Н\ Π Яг в Я1 также будем называть индексом Я2 в Н\
и обозначать [ffi: Я2].
Лемма 8.4.1. Пусть Я — абелева группа, Н\у Я2 — подгруппы Я.
7огда
а) [(Я1+Я2):Я2] = [Я1:Я2];
б) [Ηι:Η2]·[Η:Ηι]^[Η:Η2]\
в) если a G Я, то ^исло классов смежности по Я2, имеющих
непустое пересечение с Н\ + а, равно Н\\ Я2.
Доказательство легко получается из определения индексов. D
Лемма 8.4.2. Пусть Яо,... ,ЯП — подгруппы некоторой абелевой
группы Α, α0,...,αη € А, Я0 + а0 С (J (Я, + а<) а [Я0: Нп] > п\.
\<г<п
ТогдаН0 + а0С [j (Щ + аг).
Доказательство. Покажем сначала, что если для подгрупп
Ко,..., Km группы А и ао,..., аш G А мы имеем [Ко: .К*] = 00 для всех
г е {1, · · ·, ш}, то включение
^о + аоС (J (Хг + аг) (8.3)
не выполняется. Будем доказывать этот факт индукцией по числу I
различных подгрупп среди КоГ\К\,...,КоП Кш. Если Ко П К\ = ... =
= Ко Π ifm = K*t то (8.3) не выполняется, так как ΑΌ + ^о содержит
бесконечное число классов смежности по К*. Пусть I > I и К[ = К{ Π
ПК0.
Случай 1: 1 < [(ϋΓοΠΑΊ): Kio] < 00 для некоторого го G {2,...,ш}.
Из леммы 8.4.1,а), б) вытекает [Ко: (К[ + К^)] = оо. Заменяя в
последовательности K\t...yKm все подгруппы, совпадающие с К\ или
Kio, на К[ + ϋΓ£ , мы уменьшим Ζ и воспользуемся индукционным
предположением.
Случай 2: отрицание случая 1. Пусть
s = {i\ie{l,...,m},K0nKi = K0nKx}.

§ 8.4. Разрешимые теории абелевых групп
313
Так как [Ко: К\] = оо, то найдется такое a £ Ко + ао, что Ко П Κ\ +
+ а ^ i^o Π Хг + а? для всех г £ s. Если выполнено (8.3), то
ΚοΠΚι+aC (J (ХоП^г + аг),
t€{l,...,m}\s
что противоречит индукционному предположению.
Теперь покажем, что в условиях леммы найдется го £ {Ι,.,.,η},
для которого [Но: Hio] < п. Предположим, что это не так. Пусть
Hiiy...yHik — все подгруппы из последовательности Н\у...уНПу
имеющие конечный индекс в До. Пусть Н* = Hi{ Π ... r\Hik. По
лемме 8.4.1,6) [Но: Н*] = т < оо. По предположению и лемме 8.4.1,в)
множество (Но + αο) Π (His + ais)y где 1 < s < А:, содержит менее
т/п классов смежности по подгруппе Н*. Следовательно, найдется
а £ (#о + а0)\ U№ +аг)> ГДе r = {i\y...yik}. Тогда
Н0ПН*+аС (J {Hi+di). (8.4)
гЕ{1,...,п}\г
Так как [(До Г\Н*): Щ] = оо для любого г £ {1,..., η} \ г, то (8.4)
противоречит факту, установленному в начале доказательства.
Докажем теперь утверждение леммы индукцией по п. Для η = 1
утверждение тривиально, так как условие леммы не
выполняется. Пусть утверждение верно для п— 1. Так как [До: Нп] > п\ и
[Д0: Дг0] < га, то по лемме 8.4.1,6) [(Η0ΠΗίο): Нп] > (п - 1)!. По
индукционному предположению для любого а £ (Но + αο) \ (Hio + aio)
имеем
(ДоПД*0) + аС у № + «*)>
ге{1,...,п}\{го,п}
откуда получаем утверждение леммы. D
Для формулировки следующей леммы напомним, что для
множества X через \Х\ обозначается его мощность, и если 1 = 0, то
множество An f] Ai будем считать совпадающим с А.
iei
Лемма 8.4.3. Пусть Ао,...,Ап — конечные множества. Тогда
А0С у л< <=» Σ ("1)Η · |л0Пр| Л,| = 0. (8.5)
1^г^п гС{1,...,п} гЕг
Доказательство. Пусть Ао = {а} и го = {г \ а £ А{}. Тогда
(i4o П f| i4i) ^ 0 4=^ J Ао П р| Ц = 1 4=^ г С r0. (8.6)
гЕг г£г

314
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
Правая часть (8.5) в случае одноэлементного Ао тогда и только тогда
равна нулю, когда имеется одинаковое число четных и нечетных \г\
с условием ( Ао Π р| АЛ Φ 0. В силу (8.6) это равносильно го Φ 0,
^ гег '
т.е. Ао С (J А{. Итак, (8.5) для одноэлементных Ао доказано.
Заметим, что функция
F(X0,Xi Хп)= Σ (-1)|гЧхоПр|Х,|
rC{l,...,n} iEr
аддитивна по Хо> т. е. если Ао = Ах0 U А% и Aq Π Aq = 0, то F(Ao, А\у...
...,ЛП) = F(Aq,Ль...,Ап) + F(Aq,Ль...,Ап). Из справедливости
(8.5) для одноэлементного Ао и аддитивности F получаем
η
^(Л0,Ль...,Лп) = ^(л0\и^,Ль...,Лп). (8.7)
2=1
/ П \ П
Так как F( Ло \ U Лг·, Ль ..., Лп) = |Ло \ U Л*|, то (8.5) выполне-
V г=1 ' г=1
но для любого конечного Ло. □
Формула вида Зх\ ...3χηθ> где θ — конъюнкция атомарных
формул, называется позитивно примитивной формулой. Сигнатурой
абелевых групп мы называем сигнатуру Σ+ = (+, -,0), где +, —
являются двухместной и одноместной операциями, 0 — константой.
Предложение 8.4.4. Пусть Ф(х\у...ухп) — позитивно
примитивная формула сигнатуры Σ+ и А — абелева группа. Тогда:
а) Ф(х\,...,хп) определяет подгруппу в декартовой степени Ап
группы Л, т. е. множество
{(αι,...,αη) | Л |= Ф(а\у ... ,ап),аь ... ,ап G А}
непусто и замкнуто относительно операций + и — в системе
Ап\
б) для любого I ^ 1 и любых аг,...,ап £ А формула Ф(х\,...
... ,жг_ьаг,...,ап) либо «в выполняется в Л, либо определяет
в А1~1 смежный класс по подгруппе, определяемой в А1~1
позитивно примитивной формулой Ф(х\,...,хг—ι, Ο,... ,0).
Доказательство сразу следует из выполнимости в Л свойств
*(0,...,0) = 0и
t(a\ + Ь\,...9ап + Ъп) =£(αι,...,αη)+£(&ι,..., Μ

§ 8.4. Разрешимые теории абелевых групп
315
для любого терма t(x\9... 9хп) сигнатуры Σ+ и любых αϊ,... , αη, b\9...
..., bn G A. D
Если Φι (χ), Фг(ж) — позитивно примитивные формулы
сигнатуры Σ+, А — абелева группа, то через [Φι: Φ2,^4] будем обозначать
индекс [Н\: #2], где Hi — подгруппа Фг(А) определяемая в А формулой
Будем говорить, что абелева группа А имеет разрешимую
проблему элементарных индексов, если существует алгоритм, который по
любым позитивно примитивным формулам Ф(х), Ф(х) сигнатуры Σ+ и
любому η е ω определяет, выполняется ли условие [Φ: Φ, Α] ^ п.
Будем называть формулу Φ булевой комбинацией формул
множества X, если Φ получается из формул множества X с помощью связок
A,V,-> и ~\
Лемма 8.4.5. Пусть А — абелева группа. Любая формула
Φ(#ι,... ухп) сигнатуры Σ+ эквивалентна в ΎΥι{Α) булевой
комбинации Φ*(#ι,...,χη) позитивно примитивных формул. При этом если
в А разрешима проблема элементарных индексов, то существует
алгоритм, дающий по Φ формулу Ф*.
Доказательство проводится индукцией по числу кванторов
в Ф. В силу эквивалентностей §4.2 достаточно рассмотреть случай
Φ = Vx(6i V ... V θη), где 6г, г G {1, ...,п}, — позитивно примитивные
формулы или их отрицания. Так как дизъюнкция отрицаний позитивно
примитивных формул эквивалентна отрицанию одной позитивно
примитивной формулы, то, добавив, если нужно, тождественно ложную
формулу "Зх χ « х, можно считать, что Φ = УхрФо V Φι V ... V Фп),
где Фь г < п, — позитивно примитивные формулы. Так как УаГФо
эквивалентна отрицанию позитивно примитивной формулы, то можно
считать η > 0. Итак, достаточно рассмотреть случай, когда Φ есть
Ух(Фо(х9х\9...9хп) -+ (Ф\(х9х\9...9хп) V... νΦη(χ,χι,...,χη))).
Пусть Bi9 г < п, — подгруппы группы А, определенные соответственно
формулами Фг(#,0,... ,0), г < п. В силу леммы 8.4.2 и предложения
8.4.4 можно считать, что [Во: В{] < п!, г G {1, ...,п}. По лемме 8.4.1, в)
и предложению 8.4.4,6) для Ъ\,...,Ъп G А и α С {Ι,.,.,η} позитивно
примитивная формула
Фо(ж,Ьь...,Ьп) Λ Д Ф<(х,Ьь...,Ьп)

316
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
определяет в А либо пустое множество, либо множество, содержащее
п(а)
\В0П П Bi'-B*
L iea
Π ...Π Βη. Рассмотрим множество
классов смежности по подгруппе В* = Во Π
V={s|scP({l,...,n}),£(-l)N.n(a)=o}.
aes
Для любого S С Р({1,...,п}) определим формулу
Ф5(хь...,хп) = ( Д Зх Д Ф<(х,жь...,хп)|л
ί Д ""Зх Д Ф*(х,хь...,хпП.
Ve{l η} 2GaU{0} '
"aeS 2Go;U{0}
Л
По лемме 8.4.3 и лемме 8.4.1 в) формула Ф(х\,... ,хп)
эквивалентна в Th(A) формуле V Ф5(#ь... ,хп). Заменяя в формуле
sev
V Φ5(#ι,... ,хп) формулы Зх Д Фг на эквивалентные им позитивно
sev ieot
примитивные формулы, получим требуемую Ф*.
Ясно, что позитивно примитивные формулы Фо, ...,ФП эффективно
находятся по Ф, и если в А разрешима проблема элементарных
индексов, то по Фо,...,Фп эффективно находится множество V, а значит,
и формула Ф*. D
Для позитивно примитивных формул Ф(х), Ф(х) и натурального
числа η > О через [Φ : Φ] ^ η будем обозначать предложение
Α μ Зал ...За;J Д Ф(ж<)Л Д "Ф(ж*-ж,-П.
Следствие 8.4.6. Для того чтобы элементарная теория ТЬ(Л)
абелевой группы А была разрешимой, необходимо и достаточно,
чтобы в А была разрешима проблема элементарных индексов.
Доказательство. Необходимость вытекает из того, что
условие [Φ: Φ,Α] ^ η равносильно истинности в группе А предложения
[Ф: Ф] ^ п. Так как в любой абелевой группе истинно £(0,0, ...,0) « 0
для любого терма t(x\, ...,хп) сигнатуры Σ+, то любое позитивно
примитивное предложение истинно в любой абелевой группе. Поэтому

§ 8.4. Разрешимые теории абелевых групп
317
существует алгоритм, определяющий для любой булевой комбинации
позитивно примитивных предложений Ф*, истинно или ложно Ф* в А.
Отсюда по лемме 8.4.5 вытекает достаточность. D
Элементарную теорию класса всех абелевых групп в дальнейшем
будем обозначать через АГ.
Лемма 8.4.7. Любая позитивно примитивная формула Φ{υ\,...
... ,υη) сигнатуры Σ+ эквивалентна относительно теории АГ конъ-
п η
юнкции формул вида 3vq Σ гпм « pkvo и Σ тг^г ~ 0, где ш» £ Ζ,
г=\ г=\
к £ ω и ρ — простое число. При этом такая конъюнкция находится
эффективно.
Доказательство. Пусть даны матрицы
/
/ пи ...щк \
Ν =
М =
\ Щ\ --'Щк /
шп ...т\п
\ mt\ ...mtn J
над Ζ. Тогда через (TV, M) будем обозначать позитивно примитивную
формулу 3νη+ι ...3ΐ;η+*.θ, где θ есть конъюнкция равенств системы
ИЦИп+1 + ...+ П\кУп+к
nt\Vn+\ + ...+ ntkVn+к
= Σ ™>\sVs,
Σ rntsvs.
(8.8)
Пусть даны itj € {1,...,£}. Ясно, что если Ν* и Μ' получаются
соответственно изА^иМ перестановкой г-й и j-й строк или умножением
элементов г-й строки на целое число к φ О, то формула (Ν'\М')
эквивалентна формуле (Ν,Μ). Из коммутативности операции + вытекает,
что если Ν' получается из N перестановкой столбцов, то формула
(Ν',Μ) эквивалентна относительно АГ формуле (Ν,Μ). Ясно также,
что если даны itj € {1,... ,£}, гфз, и к € Z, то формула (N',Mf)
эквивалентна в АГ формуле (N, М) где N' и М' получаются из N и Μ
заменой элементов пц и mis (I € {1,..., k}t s G {1, ...,η}) на пц + kriji
и rriiS + krrijS соответственно. Пусть теперь даны i,j € {1,..., к}, г φ j,
и к € Ζ. Рассмотрим систему 5, полученную из (8.8) заменой чисел
n\it...tnti соответственно на числа пц + kn\jy... упц + kntj. Ясно,
что для любой абелевой группы А, если набор (bi,...,bfc,ai,...,an)
является решением в А системы (8.8), то набор
(Ьь... ,bj-\ybj — kbiybj+\y ...,bfc,ai,... ,an)

318
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
будет решением в А системы 5, и если (Ь\,..., &ь а\,..., ап) — решение
в А системы 5, то
(bi,..., bj-\, fy + &&г, bj+i,..., bfc, αϊ,..., αη)
— решение в А системы (8.8). Таким образом, если матрица Ν'
получается из N заменой элементов п\г,...,пц соответственно на числа
ган+ fcraij,...,га*»+ fcntj, то формула (Ν',Μ) эквивалентна
относительно теории АГ формуле (Ν,Μ).
С помощью описанных выше преобразований матриц JV и Μ мы
можем эффективно найти такие матрицы Ν* и М*, что формула (Ν,Μ)
эквивалентна формуле (N*,M*)t а матрица N* имеет вид ( 1, где
А = (D, О), D — диагональная или пустая матрица, а О — нулевая или
пустая матрица. Из вида матрицы N* получаем, что формула (N*yM*)
η
эквивалентна конъюнкции формул вида Зг;о Σ тгуг ~ ^о при к φ О и
η η
2 т^г ~ О· Так как формула ΞΙ^ο Σ mivi ~ vo эквивалентна в АГ фор-
г=\ г=\
муле 0 « 0, то для завершения доказательства леммы достаточно заме-
п
тить, что формула Зг;о 2 га^г ~ А:г;о при к £ {О, 1} эквивалентна отно-
г=1
η ,
сительно АГ конъюнкции формул Зг;о Σ τηιΌ% ~Р/^о> J £ 0> ··· »?"}» ГДе
2=1
pi,...,pr — попарно различные простые числа, kj — положительные
натуральные числа и /с = pf1 ...p£r. Для доказательства последнего
утверждения предположим, что для некоторой абелевой группы А и
элементов а\,..., аг, Ь € А мы имеем
р\{а\ =Р22а2 = ... =Prrar = Ъ.
Обозначим через пг·, г е {1,...,г}, числа pf1 ...p^-V 'Pi+V --Prr- Так
как наибольший общий делитель чисел щ,...,?гг равен 1, то найдутся
такие числа l\y...,lr> что п\1\ + ... + nr/r = 1. Тогда для элемента с =
= 1\а\ + ... + /rar мы имеем кс = b. D
Следствие 8.4.8. Теория Th((Q, +, — ,0)) сложения рациональных
чисел разрешима.
Доказательство. Ясно, что формулы вида Зупх « рку
определяют в Q = (Q, +, -,0) всю группу Q, а формулы вида пх « 0 —
нулевую подгруппу. Применяя лемму 8.4.7 и следствие 8.4.6, получаем
требуемое утверждение. D
Следствие 8.4.9. Теория Th((Z, +, —,0)) сложения целых чисел
разрешима.

§ 8.4. Разрешимые теории абелевых групп
319
Доказательство. Ясно, что формула Зупх « ку эквивалентна
к
относительно То = Th((Z,+, —,0)) формуле Зух « -——у, а конъ-
(п, к)
юнкция Зух & ку АЗух & пу эквивалентна относительно То формуле
Зу χ « [п, к]у, где (п, /с) — наибольший общий делитель, а [п, к] —
наименьшее общее кратное чисел п, к. Ясно, что индекс δ = [Зух «
ж ку: Зух & гш/,Ζ], где Ζ = (Ζ,+,-,0), равен —, если πι φ 0
(m, A:)
и fc ^ 0. Если /с = 0, то δ = 1. Если /г ^ 0 и m = 0, то δ = сю.
Следовательно, в силу леммы 8.4.7, Ζ имеет разрешимую проблему
элементарных индексов. По следствию 8.4.6 получаем разрешимость
теории То. D
Наша следующая цель — показать разрешимость теории АГ класса
всех абелевых групп (сигнатуры Σ+ = (+,—,0)). Важную роль в этом
доказательстве играют инварианты, введенные В. Шмелевой. В
дальнейшем под группой мы будем подразумевать абелеву группу.
Пусть А — группа. Напомним, что через к А обозначается подгруппа
{ка | а € А}, а через А[к] мы обозначаем подгруппу {а € А \ ка = 0}.
Если ρ — простое число и ρ А = 0, то dim А обозначает размерность
группы А, рассматриваемой как векторное пространство над полем из
ρ элементов. В дальнейшем через ρ и q будут обозначаться простые
числа, а через n,kymys — натуральные числа. Следующие числа для
произвольных ρ и η будем называть инвариантами Шмелевой
группы А:
ар,п(А) = inin{dim((pni4)|p]/(pn+U)|p])f ω},
βρ(Α) = min{inf{dim(pM)|p] | n G ω}, ω},
Ъ(А) = mm{mf{dim((A/A\pn})/p(A/A\pn})) \ η G ω}, ω},
е(А)е{0,1} и ε(Α) = 0 <^ (пА = {0} для некоторого пеш, π^0).
Мы будем говорить, что у абелевых групп А\ и Α<ι совпадают
инварианты Шмелевой (обозначаем Sh(Ai) = Sh(A2)), если для любых ρ
и η выполнено αρ,η(Αι) = ар,п(А2), βρ(Α\) = /3Р(А2), Ίρ(Αύ — ΊΡ(Αζ)
и ε(Αι) =ε(Α2).
Обозначим через ар,п,к> Рр,п,к> 1р,п,к и εη предложения сигнатуры
Σ+, истинности которых в группе А равносильны соответственно
условиям:
а) dim((pnA)\p]/(pn+lA)\p}) > к;
б) dim(pnA)\p] > k\
в) dim((A/A\pn])/p(A/A\pn})) > к;
г) пА = {0}.
Следующая теорема дает классификацию полных расширений
теории АГ.

320
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
Теорема 8.4.10. Следующие условия для любых абелевых групп
А\ и Α<ι равносильны:
1) у А\ и А2 совпадают элементарные индексы, т.е. для
любых позитивно примитивных формул Ф(х) и Ф(х) выполнено
[Φ:Φ,Αι] = [*:*, 4*];
2) А\ и Αι элементарно эквивалентны, т.е. Th(Ai) = Th(A2);
3) Sh(Ai) = Sh(A2), т.е. у А\ и А2 совпадают инварианты
Шмелевой.
Доказательство. 1)=>2). Заметим, что если у А\ и Αι
совпадают элементарные индексы, то формула Ф*, построенная в
доказательстве леммы 8.4.5 для А\ совпадает с Ф*, построенной для группы Αι.
Если Φ — предложение сигнатуры Σ+, то Ф* будет булевой
комбинацией позитивно примитивных предложений. Так как любое позитивно
примитивное предложение истинно в любой абелевой группе, то теории
Th(Ai) и Th(A2) совпадают.
2)=>3). Пусть группы А\ и Αι элементарно эквивалентны. Тогда
для них равносильна истинность предложений αρ,η^, /Зр,п,ь lp,n,k и еп.
Отсюда получаем Sh(Ai) = Sh(A2).
3)=>1). Пусть у групп А\ и Αι совпадают инварианты
Шмелевой. Нужно показать, что [Φ: Φ, Αι] = [Φ: Ф,Аг] для произвольных
позитивно примитивных формул Ф(х) и Ф(х). По лемме 8.4.7 можно
считать, что Φ и Φ являются конъюнкциями формул вида тх « 0
и Зупх « рку, где ρ — простое число, га, п, к — натуральные
числа и η φ 0. Пусть η = nV» гДе п' не делится на р. Если I > к,
то формула Зупх « рку эквивалентна в АГ формуле Ох « 0. Пусть
I < к. Возьмем такие целые числа s и ty что sn'p1 + £pfc = ρ'.
Тогда для любой группы А и любых а,Ь е А из равенства па « pfe6
вытекает равенство pla = pk(sb + ta). Отсюда получаем, что формула
Зупх « pfcy эквивалентна в АГ формуле Здо'х « pfcy. Таким образом,
можно считать, что формулы Φ и Φ являются конъюнкциями формул
вида тх «0 и Зур1х « рку для простых чисел р, чисел т,к,1 € ω
с условием I < к. Такие формулы назовем базисными формулами
соответственно первого рода и второго рода. При этом базисную формулу
вида 3yplx « pfc?/ будем называть базисной формулой второго рода
с р-коэффициентами, а формулу Ох « 0 — вырожденной базисной
формулой первого рода.
Так как для любой группы А и ее произвольных подгрупп
Н\,Н2,Щ мы имеем
[^ : (Я2 Π #з)] = [#ι: Я2] · [(Я2 П #0: Я3],
то можно считать, что Φ является базисной формулой. Так как
[(Ф(А) + Ф(А)): Ф(А)] = [Ф(А): Ф(А)] и существует позитивно прими-

§ 8.4. Разрешимые теории абелевых групп
321
тивная формула θ (ж), для которой выполнено условие Θ(Α) = Φ (А) +
+ Φ (А) для любой группы А, то в дальнейшем будем считать, что
Φ (-4) С Φ (А) для любой группы А.
Так как индексы [Φ: Ф,А] и инварианты Шмелевой сохраняются
при переходе от А к А' = А, то можно считать, что \А{\ < ω, г € {1,2}.
Если ε(Αι) = 0, то А\ является прямой суммой циклических групп
порядков вида рп для конечного множества простых ρ и конечного
множества натуральных чисел п. Ясно, что число прямых слагаемых
порядка ρη+1 совпадает с аРуП(А). Следовательно, при ε(Α\) — О
группы А\ и Α<ι изоморфны, в частности, [Φ: Φ,Αι] = [Φ: Φ, Аг]. Поэтому
в дальнейшем можно предполагать, что ε(Α{) = 1, г е {1,2}.
Напомним, что подгруппа Я группы А называется р-базисной
для А, если выполнены следующие условия:
а) Я является прямой суммой циклических р-групп и бесконечных
циклических групп;
б) Я — р-сервантная подгруппа А, т. е. для любого a G Я и к £ ω
имеет место
А\=3уа^рку <=* Н\=3уа^рку;
в) А/Я — р-делимая группа, т.е. р(А/Н) = А/Н.
Известно, что для любой абелевой группы А и любого ρ
существуют р-базисные подгруппы для А. Отметим некоторые простые факты.
1). Пусть ρ и q — различные простые числа, га, η — натуральные
числа, А — группа. Тогда ртА + qnA = А. Если А — р-группа, то А
являются ^-делимой и A[q] = {0}.
2). Для группы А и формулы θ(χ) = 3yplx &рку, где ρ — простое
число, I < к, имеет место равенство Θ(Α) = (А\р1] +р(к~1)А).
Из свойств 1), 2) и условия Φ (А») С Φ {Αι) для любой группы А
получаем следующее свойство.
3). Если Φ является базисной формулой второго рода с
р-коэффициентами, то формула Φ не может содержать невырожденных
базисных формул первого рода, а также базисных формул второго рода
с ^-коэффициентами для q φ ρ.
Из факта 2) получается следующее утверждение.
4). Пусть θ(χ) = 3yplx ырку для простого числа ρ и натуральных
чисел I < к, А — циклическая группа порядка ps, где s > к, или А —
бесконечная циклическая группа. Тогда 6(A) =р(к~1^А.
5). Если Я является р-сервантной подгруппой группы А, то для
любой базисной формулы θ (ж) = Зур1х & рку выполняется равенство
θ (Α) Π Η = 6(Я). Это равенство выполняется также для любой
подгруппы Я группы А и любой базисной формулы θ (ж) первого рода.
11 Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин

322
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
Из свойств б) и в) р-базисных подгрупп получается следующий
факт.
6). Если Η — р-базисная подгруппа группы Д то ар>п(А) =
= ар,п{Н), ηρ(Α) =ъ(н)·
7). Если Η — р-базисная подгруппа группы А и Φ — базисная
формула второго рода с р-коэффициентами, то [Ф: Ф, А] = [Ф: Ф,#].
Для доказательства этого факта заметим, что из 2) и свойства в)
р-базисных подгрупп вытекает условие Φ (А) + Η = А. Из этого
равенства и условия Ф(Л) С Φ (А) получаем (Ф(А) ПН) + Ф(Л) = Ф(Л),
следовательно, [Ф: Ф,А] = [(Ф(Л)ПЯ): (Ф(А)ПЯ)]. Из свойств 3)
и 5) получаем равенство [Ф: Ф, А] = [Ф: Ф,#].
Отметим еще несколько простых фактов.
8). Если А является прямой суммой φ (α») циклических р-групп
и бесконечных циклических групп, то
ap,n(A) = \{ieu\o(ai)=pn+l}\
и условие ΎΡ(Α) = η G ω равносильно тому, что периодическая часть
Τ (А) группы А ограничена и |{г G ω \ ο{αι) = сю}| = п, где о(а) —
порядок элемента а.
9). aPiTl(A) — aPiTl(Ap) и βρ(Α) = βρ(Αρ), где Ар — р-компонента
группы А, т. е. подгруппа элементов а € А порядков о(а) = рк, к € ω.
Для группы А через Τ (А) обозначается ее периодическая часть, т. е.
подгруппа элементов конечного порядка. Пусть Hf, Щ — р-базисные
подгруппы групп А\ и Аъ соответственно. Пусть Tf = T(Hf). Из 6),
8) и 9) вытекает
10). Tf ~ Т2Р, и если Tf ограничена, то Щ ~ Щ.
Легко проверяется также следующие 2 свойства.
11). Для базисных формул θ(χ) и любой группы А выполняется
равенство Θ(Α)ΠΤ(Α) = Θ{Τ(Α)).
12). Для любых групп А и В и любой позитивно примитивной
формулы θ (ж) мы имеем θ (Α Θ В) = (Θ(Α) Θ θ {Β)).
Случай 1: Φ = 3yplox w pk°y для простого числа р и натуральных
чисел 1о < ко.
В силу свойства 7) достаточно доказать равенство:
(*) [Ф:Ф,Я!] = [Ф:Ф,Я2].
Если периодическая часть Т\ р-базисной подгруппы Нр группы А
ограничена, то равенство (*) получается из свойства 10). Пусть теперь
Tf неограничена.
Пусть г — максимальное натуральное число, для которого рг
является коэффициентом в формулах Φ и Ф. Пусть то — максимальное
число вида к — I для таких I < к, что Зур1х « рку входит в Ф, если

§ 8.4. Разрешимые теории абелевых групп
323
такие числа есть, и то = 0, если таких чисел нет. Для бесконечной
циклической группы Ζ по свойству 2) мы имеем Φ(Ζ) = pm°Z и
Φ(Ζ) =p(k°-l^Z. Из включения Φ(Ζ) С Φ (Ζ) мы получаем условие
ко — 1о ^ то- Если /со — ^о > то, то по свойству 4) для любой
циклической подгруппы А порядка > рг выполнено [Φ: Φ,Α] > 1. Из
неограниченности Т\ и свойству 12) получаем [Φ: Φ,Γ^] = сю. Так как
Tf ~ Τξ, то [Φ: Φ, Τξ\ = оо. Подгруппа Т[ является прямым слагаемым
группы Н{, поэтому [Ф: Ф,#г] = оо, г € {1,2}.
Если ко — 1о = то, то из свойства 4) вытекает равенство [Φ: Φ, А] =
= 1 для каждой циклической группы порядка > рг. Пусть Щ =
= Ki® G{, где Gi прямая сумма циклических групп порядка > рг и
pr~lKi = {0}. Тогда по свойству 12) мы имеем [Ф: Ф, Gi] = 1,
следовательно, [Ф: Ф, Щ] = [Ф: Ф, Ki]. Из условия Tf ~ Τξ вытекает К\ ~ Κξ.
Отсюда получаем равенство (*).
Случай 2: Φ = kox « 0. Предположим, что Φ не содержит
невырожденных базисных формул первого рода. Пусть по будет
произведением всех ненулевых коэффициентов в формуле Ф, если такие
есть; в противном случае полагаем щ = I. Так как ε(Αι) = 1, то для
любого г G {1,2} найдутся такие ап G Ai, n G ω, что n\konoan Φ 0. Так
как Φ не содержит невырожденных базисных формул первого рода,
то по выбору по получаем А\ |= Φ(ηοαη). Так как коп\поап φ О, то
ηοαη,2ηοαη,... ,ηηοαη будут принадлежать различным смежным
классам по подгруппе Ф(А$). Следовательно, [Φ: Φ, Аг] = оо, г € {1,2}.
Далее будем предполагать, что Φ содержит некоторую
невырожденную базисную формулу первого рода. Тогда Ф(А{) С Т(А{) и
по свойству 11) получаем равенство Ф(А{) = Ф(Т(А{)). Так как
Ф(Аг) С T(Ai), то выполнено также равенство Φ (А*) = Φ(Γ(Α»)).
Заметим, что Т{Аг) = 0 А?. Пусть π — множество всех простых де-
р
лителей коэффициентов в невырожденных базисных подформулах Φ
первого рода. Если простое число ρ не принадлежит множеству π, то
Ф(АР) = {0}. Из предыдущих замечаний и свойства 12) получаем
[Ф: Ф, А<] = [Ф: Ф,Т(Л0] = Ц[Ф Ф'Л?]·
ρβπ
Таким образом, доказательство сводится к установлению
равенства [Ф: Ф,Л^] = [Ф: Ф,А£] для р-компонент А\ и А%. Ясно, что
в р-группе А формула пх « О определяет то же множество, что и
формула psx « 0, где ps — наибольшая степень р, делящая число п.
В силу этого факта и свойства 1), можно считать, что все
коэффициенты в формулах Φ и Φ являются степенями числа р. Так как
в р-группе А формула (psx « 0 Аргх « 0) определяет то же множество,
и*

324
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
что и формула рих « 0, где и = min{s,r}, то можно считать, что Φ
содержит единственную базисную подформулу ртх « 0 первого рода.
Пусть Ф(х) = ркх « 0. В силу включения Ф(Л) С Ф(Л) для любой
группы А имеем fc < га. Если к = т, то [Φ: Φ,Α] = 1 для любой
р-группы А и доказывать нечего. Пусть к < га и s — максимальное
натуральное число, для которого формула Зур1х « р*у входит в Φ и
s = t — I (если таких формул в Φ нет, то s = 0).
Рассмотрим группу В{ = Ар\р^+тЦ, где г е {1,2}. Так как группа
Βι ограничена, то она будет прямой суммой циклических р-групп.
Пусть порядок циклической группы (а) равен ps+m. По свойству 2)
и выбору числа s мы имеем psa € Φ((a)). Так как к < га, то
psa ^ Ф((а))· Таким образом, [Ф: Ф, (a)J > 1. Если р-базисные
подгруппы Tf р-группы А?, г € {1,2}, неограничены, то среди прямых
слагаемых группы В{ будет бесконечное число циклических групп
порядка p(s+m), следовательно, [Ф: Ф,^] = оо. Так как Φ бескванторная
и Ф, как 3-формула, сохраняется при расширениях, то [Φ: Ф, А?] = оо,
<€{1,2}.
Пусть теперь одна из групп ТР,Т£ ограничена. По свойству 10)
они обе ограничены. Так как группа Tf р-сервантна, то А? = Tf Θ Β{
для некоторой группы В{. В силу р-делимости группы Ap/Tf, группа
В{ делимая, т. е. Βχ = 0 Cj где Cj — квазициклические группы. Из
jeJi
ограниченности групп Tf, г е {1,2}, получаем \J{\ = βρ(Αρ). В силу
равенства βρ(Αρ) = βρ{Λ^)ί группы Ар и А% изоморфны, следовательно,
[Ф: Ф,Л?] = [Ф: *Mf]. □
Пусть Го — множество всех предложений, являющихся булевыми
комбинациями предложений вида aPfTltk, βρ,η,ΐο Ъ,п,к и εη, где ρ —
простое число, п,к — натуральные числа.
Следствие 8.4.11. Любое предложение Φ сигнатуры Σ+
эквивалентно в АГ предложению Ф* из множества Го. При этом такое
предложение находится по Φ эффективно.
Доказательство. Ясно, что если на группах А\,Ач истинны
одни и те же предложения из множества Го, то у них совпадают
инварианты Шмелевой. В силу эквивалентности условий 2) и 3) из
предыдущей теоремы, мы получаем истинность условий предложения
8.1.1, откуда вытекает существование предложения Ф*. Так как теория
АГ имеет конечное множество аксиом, то теория АГ алгоритмически
перечислима, следовательно, по 8.1.1 предложение Ф* находится
эффективно. D
Размерности
dim((pnA)\p]/(pn+lA)\p}), <Ит(рМ)[р]и dim((A/A\pn})/p(A/A\pn}))

§ 8.4. Разрешимые теории абелевых групп
325
будем называть базисными размерностями или, более точно,
базисными (р,п)-размерностями соответственно первого, второго и
третьего рода. Легко проверить следующее свойство базисных
размерностей.
(1) Если А — В Θ С, то базисные размерности группы А равны
сумме этих размерностей групп В и С.
Пусть Сроо — квазициклическая р-группа, Q — аддитивная группа
рациональных чисел, Rp — подгруппа Qy состоящая из несократимых
дробей с взаимно простыми с ρ знаменателями. Группы Q,
циклические р-группы, квазициклические р-группы и группы Rp называются
базисными группами. Отметим некоторые простые свойства базисных
размерностей базисных групп.
(2) Базисные размерности базисных групп принадлежат множеству
{0,1}.
(3) Любая базисная размерность группы Q равна нулю.
(4) Если q — простое число и q Φ ρ, то базисные (ρ, п)-размерности
<?-групп и группы Rq равны нулю.
(5) Базисная (р, п)-размерность первого рода базисной группы А
тогда и только тогда равна 1, когда А является циклической группой
порядка pn+1.
(6) Если В — циклическая подгруппа порядка рт, то
(р, п)-размерности второго и третьего рода тогда и только тогда равны
нулю, когда т ^ п.
(7) Базисная (р, п)-размерность второго рода равна 1 в
квазициклической группе и равна нулю в группе Rp.
(8) Базисная (р, п)-размерность третьего рода равна 1 в группе Rp
и равна нулю в квазициклической р-группе.
Инварианты Шмелевой более удобны, чем элементарные индексы
[Ф: Ф,Л], так как они обладают большей независимостью друг от
друга. Единственная их зависимость выражается в следующем
предложении.
Предложение 8.4.12. Пусть для каждого pun даны кардиналы
&р,п> βρ> Ίν ^ ω и ε € {0,1}· Для того чтобы существовала абелева
группа А, для которой инварианты Шмелевой ар>п(А), βρ(Α), ηρ(Α)
и ε (А) совпадали соответственно с ар>п, /Зр, ηρ и ε, необходимо
и достаточно выполнение следующих условий:
1) если для простого ρ множество {п \ аРуП φ 0} бесконечно, то
2) если ε — 0, то для любого простого ρ выполнены равенства
βρ — jp = 0 и множество {(р,п) \ ар>п φ 0} конечно.
Доказательство. Необходимость вытекает из определения
инвариантов Шмелевой и свойств (1)-(8) базисных размерностей. Если

326
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
же условия 1) и 2) выполняются, то из свойств (1)-(8) базисных
размерностей легко вытекает, что в качестве искомой группы А подходит
группа
А = Θ С?+'п) Θ Ср~р) Θ r{pp) e ^(ε)'
ρ,η
где, как обычно, В^ обозначает прямую сумму к подгрупп,
изоморфных группе В. D
Теорема 8.4.13. Теория АГ разрешима.
Доказательство. В силу следствия 8.4.11 и теоремы о полноте
исчисления ИПЕ , получаем, что достаточно показать, что проблема
установления для любого предложения Ф* из множества Го его выпол-^
нимости на классе всех групп, т.е. истинности на некоторой группе,
является алгоритмически разрешимой. Предложения вида αρ>η>^, pp,n,k
и Ίρ,ηΜ будем называть базисными и обозначать через хр>п,к· Так как
выполнимость дизъюнкции равносильна выполнимости одного из ее
членов, то можно считать, что Ф* является конъюнкцией базисных,
предложений и их отрицаний, а также предложений εη и их отрицаний.
Пусть п* и &* — максимальные числа соответственно среди чисел η
и к, для которых базисные предложения хр>п>к являются подформулами
предложения Ф*.
Случай 1: для некоторого η предложение еп является
конъюнктивным членом предложения Ф*. Если η = О, то еп является истинной
в любой группе и, если Ф* содержит другие конъюнктивные члены,
то еп можно убрать из Ф*. Если Φ* = εο, то Ф* истинна на любой
группе А. При η = 1 предложение Ф* может быть истинно только
на нулевой группе, поэтому проверка выполнимости Ф* на группах
разрешима. Пусть η = р\{ ...psrry где pi,...,pr — попарно различные
простые числа. Ясно, что в этом случае истинность предложения Ф*
в некоторой группе А равносильно истинности Ф* в некоторой группе
А* = АР1 0...0Арг, где A{, i€ {l,...,r}, — прямая сумма
циклических групп порядков р[ для j ^ Si, причем в таком разложении
для каждого j ^ Si существует не более, чем к* прямых слагаемых
порядка р?. Заметим, что групп Л* с такими условиями существует
с точностью до изоморфизма лишь конечное число. Граница этого
числа эффективно вычисляется по Ф*, поэтому проверка выполнимости
в группах предложений Ф*, для которых выполняется условие данного
случая, алгоритмически разрешима.
Случай 2: отрицание случая 1. Из свойств (1) и (3) базисных
размерностей получаем, что для любого базисного предложения xPin,k
и любой группы А истинность Хр^к в А равносильно его истинности

§ 8.4. Разрешимые теории абелевых групп
327
в группе А 0 Q, где Q — аддитивная группа рациональных чисел. Так
как в группе А 0 Q ложны все предложения εη, η φ О, то в условиях
данного случая в силу предыдущего замечания можно считать, что Ф*
является конъюнкцией базисных предложений и их отрицаний.
Предположим, что предложение Ф* истинно в некоторой группе А.
Пусть ар,п = ар>п(А), βρ = βρ(Α), ην = ηρ(Α) и
ρ,η
Ясно, что группы А 0 Q и А\ 0 Q имеют одни и те же инварианты
Шмелевой, следовательно, по теореме 8.4.10 в них истинны одни и те
же базисные предложения. Тогда также в группах А и А\ истинны
одни и те же базисные предложения, поэтому предложение Ф* истинно
в группе А\. Пусть π* — множество простых чисел р, для которых
некоторая базисная формула хРуП,к входит в Ф*. Ясно, что предложение
Ф* истинно в группе
2 "~ νΐ/ ρ"+! *& <^ρθθ φ Πρ ,
ρΕπ* ,η
где α*η = mm{aPin, к*}, β* = min{/3p, к*} и η^ = min{7P, к*}.
Из свойств (1) и (6) базисных размерностей, получаем, что
предложение Ф* истинно в группе А*, имеющей вид
0rK.n) m r(s) m гЮ ffi рь;)
где s = min{ £ о£п,**}.
η>η*
При фиксированных множестве π и числах п*,к* имеется лишь
конечное число типов изоморфизма групп такого вида. Используя
свойства (1), (2) и (4)-(8), легко вычисляются базисные размерности таких
групп, следовательно, проверяется истинность предложения Ф*. Так
как множество π и числа п*, к* эффективно находятся по предложению
Ф*, то проблема выполнимости в классе всех групп предложений из
множества Го, для которых выполняется условие случая 2, разрешима.
Учитывая результат рассмотрения случая 1, получаем, что проблема
выполнимости предложений из множества Го на классе всех групп
разрешима. В силу замечания в начале доказательства, теория АГ
разрешима. □
Заметим, что из предложения 8.4.12 и теоремы 8.4.10 вытекает,
что мощность множества различных пополнений теории АГ равна
континууму, т.е. 2ω. Отсюда, в частности, вытекает, что существуют
абелевы группы А, элементарная теория Th(A) которых неразрешима.

328
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
В заключение отметим, что разрешимы теории сложения
натуральных чисел, поля р-адических чисел, а также теория всех конечных
полей.
§8.5. Теории декартовых произведений
В этом параграфе мы покажем сохранение разрешимости теории
при операции взятия конечного декартова произведения и любой
декартовой степени. На самом деле мы будем рассматривать фильтрованные
произведения, что, учитывая разрешимость любой булевой алгебры,
дает разрешимость теории любой фильтрованной степени системы
с разрешимой теорией.
В дальнейшем мы будем рассматривать булевы алгебры в сигнатуре
(U,П, —,0, 1). Через 21 мы будем обозначать булеву алгебру всех
подмножеств множества J. Если D — фильтр на J, то через 21 /D будем
обозначать гомоморфный образ алгебры 21 по конгруэнции
{</ι,/2>|(/ιη72)υ(7Γη/2)€Ζ?}.
Класс этой конгруэнции, содержащий множество 1\ будем обозначать
через I\/D. Нетрудно проверить, что 21/D будет изоморфна
фильтрованной степени (см. упражнение 3 к §3.3) 2D, где 2 обозначает
двухэлементную булеву алгебру. Когда D равен {/}, мы будем
отождествлять 21 /D с 21.
В дальнейшем под сигнатурой Σ мы будем понимать эффективно
заданную сигнатуру, т. е. такую сигнатуру, что множество гёделевских
номеров формул сигнатуры Σ является рекурсивным.
Предложение 8.5.1. Существует алгоритм, который по любой
формуле Φ(χι,...,χη) сигнатуры Σ строит формулу Ф*(уь... ,УкФ)
сигнатуры булевых алгебр и формулы Ф1(х\у... ,хп),... ,Фкф(х\,...
...,хп) сигнатуры Σ, для которых выполнено следующее условие:
если D — фильтр на множестве /, 21ь г е I — алгебраические
системы сигнатуры Σ и /ι,..., fn € /-prod А{, то
D-prod^M(Afb...,A/n) <=> 2ι/Ό\=Φ*(!χ/Ό,...,Ι^/Ό), (8.9)
^/,- = {«|Я<И^(/1» /„<)},j€{l кф}.
Доказательство. Переходя к эквивалентной формуле, можно
считать, что Φ не содержит квантора V. Построение будем вести
индукцией по длине Ф. Если Φ — атомарная формула, то по лемме 3.3.4
в качестве Ф* можно взять у\ « 1, а в качестве Ф1 — формулу Ф. Если
Φ = "'Φι, то в качестве Ф* берем "'Ф*, а в качестве Ф1,..., Ф^ф — после-

§ 8.5. Теории декартовых произведений
329
довательность формул Ф|,... ,Ф{ 1. Если Φ = Ф1ТФ2, где τ € {Λ, V, —►},
то в качестве Ф* берем Ф\{у\,... ,УкФ{)тЩ(укф{+\,..., УкФ1+кФ2), а в
качестве Ф1,..., Фкф — последовательность Ф},... ,Φ^1, Ф2,..., Ф2*2.
Пусть теперь Φ = Зха(х,х\,... ,хп). Зафиксируем некоторое
взаимно однозначное отображение
*:{1,...,2*«}->Р({1,...,*а}).
Рассмотрим формулы
Ф'{у\,...,У2к«) = а*( [J Уг,..·, (J Уг\
^ 1€б(г) kaeS(i) ^
θ{= Д оР /\ Д ^а\ г G {l,...,2fc-}.
jeS{i) j<E{l,..,fca}
Нетрудно проверить следующие свойства:
1) для любых /,/ι,...,/n € i-prod^i выполнено
D-prod^ha(Af,Afi,...,Afn) <=* 27/^N^№/A...,52fca/D),
где 5,- = {* | SU И θ,·(/ί, Μ ..., /пг)}, 1^ j ^ 24
2) >θ^-θ,-, z,j€{l,...,2fc«}, i^j;
з) >θι ν...νθ2^.
Полагаем &ф = 2ка. Обозначим через Ф*(уь ..., 2/&ф) формулу
3ζι...3ζΛφ ί ί Д ^Πζ^«0Λ(ζιυ...υζΛφ)« 1 J Λ
V V \^г<3<кФ J
Λ I Д ггПуг&ггЛФ'(г{у...угкф) \\,
\ \^г^кФ ) )
и пусть Фг = 3χθ{, г € {Ι,...,/ьф}. Докажем свойство (8.9). Пусть
D-prod%li |= Ф(Д/*ь... ,Dfn). Тогда найдется / € I-prodA^, для
которого выполнено D-prod2li |= a(Df,Df\y... ,Dfn). По свойству 1)
имеем 27/£> μ Ф'(/(/Д ...Д£ф/Г>) для
/j = {г | 2Ц Ν θ^/ί,Μ..../пг)}, 1 < j < *ф.
Тогда
^ £ Jj = {< I «i Ν φ^(Μ...,/η<)}, ι <з < **·
В силу свойств 2) и 3) имеем Ц η Jj = 0, 1 < г < j ^ &ф> и
/{ U ... U /£ = /. Так как отображение D: 21 -> 27/# является гомо-

330
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
морфизмом, то в 21/D истинны VJD П U/D « Ц/D, Ц/D Π Ц/D « 0
для г, j G {1,...,йф}, г ^ j> и I[/DU ...υ/[φ/ί)« 1. Таким образом,
Пусть теперь выполнено (8.10). Тогда найдутся такие ЦС1, 1 < г < &ф,
что /\(/;п/;0 € D для i,j € {1 *?ф}, гфь Ци...иГкф € А
I \ (Ц \Ii) e D и выполнено
27яИФША-.4Ф/£>)· (8.П)
Из условия 3) вытекает I\ U... U 1кФ = I. Поэтому найдутся такие I" С
С/, 1 ^ г ^ кф, что выполнены условия:
4) Ц'/D = I'JD для всех i € {1,..., кФ};
5)I['U...UI'^=I,
6) J" С Ii для всех г G {1,..., А?ф};
7) Ц'ПЦ' = 0 для всех г, j € {1,..., **}, * ^ 3-
В силу условий 5), 6), 7) и 2) найдется такой / € /-prod А», что для
всех j € {1, ...,&ф} выполнено
^ = {г|Я<Ив^(/г,М...,/пг)}.
Поэтому из условий 4), (8.11) и 1) получаем
D-prodOi μ a(D/,D/i,...,£>/„).
Следовательно,
£фгоа^ИФ(АЛ,...,А/п). D
Следствие 8.5.2. Если алгебраические системы 2li,...,2ln
сигнатуры Σ имеют разрешимые теории, то декартово произведение
21ι χ ... χ 2ln также имеет разрешимую теорию.
Доказательство. По предыдущему предложению
проверка условия 21ι χ ... χ 2ln f= Φ сводится к проверке условия
2{U,n} μ Ф*(/Ь...,4ф) для некоторых 1\у...,1кф Я {1,...,п}. Из
разрешимости теорий Th(2li),... ,Th(2ln) получаем, что 1\,...,1кФ
эффективно находятся по Ф. Так как 2^1,->п^ — конечная система, то
существует алгоритм проверки истинности формул Ф*(/ь..., 7^ф) на
этой системе. D
Булева алгебра 21 называется атомной, если для любого а€ А либо
а = 0, либо в 21 найдется атом (см. §2.3) 6, для которого Ь < а.
Лемма 8.5.3. £стш 21 и 53 — бесконечные атомные булевы
алгебры, то 21= ЯЗ.

§ 8.5. Теории декартовых произведений
331
Доказательство. Воспользуемся следствием 5.1.2. Пусть η€ω.
Для г € {Ι,.,.,η} в качестве Fi(n) возьмем все такие / £ Р(21, 53),
которые удовлетворяют следующим условиям:
1) / — изоморфное вложение конечной подалгебры 21/ С 21 в 53;
2) если а £ А/ содержит к < 2п~г атомов в 21, то /(а) содержит
к атомов в 53;
3) если а € Af содержит ^ 2п~г атомов в 21, то /(а) содержит
> 2n_i атомов в 05.
Так как отображение, состоящее из единственной пары нулей
соответствующих алгебр, принадлежит всем множествам Fi(n)y то все эти
множества непустые.
Покажем, что выполнено условие *) следствия 5.1.2. Пусть а € А,
f e Fi(n)y 1 < г < п. Так как Af конечно, то найдутся такие попарно
различные элементы αι,...,α& £ Л/, что αϊ υ...υα& = 1 и для любого
Ъ £ A j и любого г £ {1,..., к} выполняется Ъ Π а^ = 0 ил и а^ < Ъ. Пусть
а] = а* Па, а? = а* Па, г € {1,... ,fc}. В силу свойств 1)-3) для каждого
г £ {1,..., к} найдутся такие Ь], 6? е 5, что выполнены условия:
4)Ь'пг>2 = 0,/(а,) = Ь'иб2;
5) для каждого j £ {1,2}, если а] содержит m < 2П г * атомов в 21,
то fr· содержит т атомов в 53;
6) для каждого j £ {1,2}, если aj содержит > 2п~г~1 атомов в 21,
то Ь? содержит > 2п_г_1 атомов в 53.
Нетрудно понять, что для любого элемента е алгебры 21(αι,..., α&, α)
найдутся такие s(e),r(e) С {l,...,fc}, что
е= U о! U [J «?·
iGs(e) гЕг(е)
Следовательно, α € dom#, и в силу 4), / С д, где
^{(и^ии^и^ии^)!*·^^.....*}}.
L \гЕ« гЕг i£s г£г / | )
Так как пересечение различных элементов вида <х\ (вида 6^) в 21 (в 53)
равно нулю, то из условий 1)-6) вытекает д £ Fi+\(n).
Случай Ь £ В в условии *) рассматривается аналогично, если
вместо / рассмотреть /_1. D
Следствие 8.5.4. Теория любой атомной булевой алгебры 21
разрешима.
Доказательство. Так как для любой конечной алгебраической
системы конечной сигнатуры существует алгоритм проверки
истинности в ней предложений этой сигнатуры, то теория любой конечной

332
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
булевой алгебры разрешима. Так как условие атомности булевой
алгебры записывается одним предложением, а условие бесконечности
записывается бесконечным множеством аксиом
<ап = 3χι ...Зхп( Д "xi^Xjj 2<π€αΛ,
то теория бесконечных атомных булевых алгебр перечислима. В
силу предыдущей леммы теория бесконечных атомных булевых алгебр
полна. Из этих фактов в силу предложения 7.5.8 получаем требуемое
утверждение. D
Следствие 8.5.5. Если 21 — алгебраическая система и Th(2l)
разрешима, то для любого непустого I теория декартовой степени
217 разрешима.
Доказательство. Пусть Φ — предложение сигнатуры 21.
Применяя предложение 8.5.1, найдем Ф*(у\,...,укФ) и Φ^.,.,Φ^*, для
которых
&\=Ф ф=ф 27 Η=Φ*(/ι ЛФ), (8.12)
где Ij = {г £ I | 21 (= Φ*}. Так как Ιά е {0, /}, то
^M^i,··.^) <=> 27НФ*(с*,...,с*ф), (8.13)
где cf € {0, 1}. Если Th(2l) разрешима, то существует алгоритм,
находящий по Φ константы cf, г G {1,...,кф}. Из (8.12), (8.13), атомности
булевой алгебры 27 и предыдущего следствия получаем тогда
разрешимость Th(2l7). D
В заключение отметим, что разрешимы теории всех булевых алгебр
и любой булевой алгебры. Из последнего результата и предложения
8.5.1 вытекает обобщение следствия 8.5.5: если 21 — алгебраическая
система с разрешимой теорией, то любая ее фильтрованная степень 2tD
имеет разрешимую теорию.
§ 8.6. Неразрешимые теории
В настоящем параграфе будет указан один общий метод
доказательства неразрешимости элементарных теорий — метод относительной
элементарной определимости — и будут даны примеры применений
этого метода.
Элементарную теорию Τ назовем наследственно неразрешимой,
если любая ее подтеория То С Τ является неразрешимой.

§8.6. Неразрешимые теории
333
Заметим, что если Τ наследственно неразрешима и То С Τ —
подтеория, то и То наследственно неразрешима. В терминах классов
моделей это свойство может быть сформулировано так: если Ко С К\,
где Ко и К\ — классы моделей одной и той же сигнатуры, и Th(ifo)
наследственно неразрешима, то и Th(ifi) наследственно неразрешима.
Пусть Ко — класс алгебраических систем (чисто предикатной
конечной) сигнатуры σο = (P£°,...,P£k)t K\ — класс алгебраических
систем сигнатуры σ\. Будем говорить, что класс Ко относительно
элементарно определим в классе К\, если существуют такие формулы
Я(ж;у), Щх\у1\у2), ^(ж;у1;...;уп°),...,Ся;(ж;2/1;...;2/Пк) сигнатуры σι
(здесь и далее х= (х\, ...,хп),уг = (у\,... >у%т))> что для любой
алгебраической системы Ш € Ко найдутся алгебраическая система У1 е К\
и элементы αϊ,..., αη G Ν, удовлетворяющие условиям:
(1) множество L = {b \ Ъ £ Nmyyi f= 21(ά, Б)} непусто;
(2) формула Ъ(а\у1'уу2) задает конгруэнтность η на
алгебраической системе £ сигнатуры σο, основное множество которой есть L,
а предикаты определены формулами С^а;!/1;...;]/71*) (т.е. ι/2(Ρι) =
= {(5\...,Γ4) \V GLJ= 1 ni^h^il1;...;^, <<*});
(3) факторсистема £/77 изоморфна 9Л.
Если формулы 21, 23, Со,... ,С& удовлетворяют сформулированным
выше условиям, то будем говорить, что они относительно
элементарно определяют Ш в У1 (класс Ко в классе К\).
Если класс Ко относительно элементарно определим в классе К\,
то обозначать это будем так: Ко <red К\.
Отметим следующие простые свойства введенного понятия:
1. Если К'ь С К0, К{СК[и Ко <red Ku то Щ <RED K[.
2. ЕСЛИ Ко <RED K\ И К\ <RED Къ ТО Х0 ^RED #2-
Основой метода доказательства неразрешимости — метода
относительно элементарной определимости — является следующая
Теорема 8.6.1. Если элементарная теория Th(jRTo) класса Ко
наследственно неразрешима и Ко ^red K\y то и теория Th(ifi)
класса К\ также наследственно неразрешима.
Доказательство. Пусть формулы 21,23, Со,... ,С& относительно
элементарно определяют класс Ко в К\ и Th(uTo) наследственно
неразрешима..
Для любой формулы φ(ν\,..., ys) сигнатуры σο эффективно
построим формулу Tp(x\yl\ ...\ys) сигнатуры σ\ по следующим правилам:
если (p{y\,...,ys) есть у{ ^yjy то φ(χ\γ\... \ψ) = Ъ(х\уг\у3)\

334
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
если <p(j/i,...,2/8) есть Р» (i/j,,..-,i/jn.), то ^(xjy1;... ;ys) =
= Ci(x;yl|;...;yl»i);
если <p(j/i,...,2/8) есть <ро(уь ··· .ye)T<pi(yi, ···> ί/β) (τ^ {Λ,ν,->}),
το φ(χ\ у1 \...; у8) = (φ0(χ; у1;... ;ye)T^i(s; у1;...; у8));
если <р(Уь---.У«) есть ~>(уь... ,ys), то Тр(х\ух\...\у8) =
= "'^(ж;у1;...;ув);
если <p(yi,...,y8) есть 3ye+i^(yi,...,y8,y8+i) (Vye_+i^(yi,...
...,ys,ys+1)),τo^(x;y^...;r)-Зy^^..Jy^Ч^;r+1)Λ^(x;y1;...;
...r;r+1))(Vyr^..Vy^1(^;ys+1)-^;y1;...;ys;ys+1))).
Пусть Э(ж) = 2)(a;i,...,жп) — следующая формула:
3y2t(z;y)AVj/°W
/\Щх-,у*)^Ъ(х-,^))л
Л(«В(х;у°; У1) -><B(x;yV)) Λ («Вфу0;»1^
ЛВфу1;^))-^*·;?0;!?2))
Vy1 ...Vy^Vz1 ...
•••V^ni( ( Д (2t(x;yj)A2t(x;^)AQ5(x;yj;zj))A
где Vy (Зу) означает Vyi...Vym (3yi...3ym). Формула D выражает
требования на «параметры» χ удовлетворять условиям (1) и (2) из
определения относительной элементарной определимости.
Для любого предложения φ сигнатуры σο пусть φ* =
= \/х\ ...Vxn(D(xi,... yxn) —► φ(χ)). Установим следующий факт.
Множество Τ* = {φ\φ — предложение сигнатуры σο, φ* € Th(jRTi)}
является такой теорией сигнатуры σο, что Т* С Th(ifo).
Действительно, обозначим через Щ класс таких алгебраических
систем Ш сигнатуры σο, что для Ш существуют алгебраическая
система *Я е К\ и элементы а\у...ап € Ν, удовлетворяющие условиям
(1)-(3) в определении относительной элементарной определимости.
Тогда по условию теоремы Ко С Κζ. А из определения отображения *
следует, что φ £ Th(ifo) *<=> φ* £ Th(ifi) для любого предложения φ
сигнатуры σο.
Отмеченная эквивалентность вытекает из следующего общего
утверждения, проверяемого индукцией по сложности формулы φ:

§8.6. Неразрешимые теории
335
Пусть *У1 £ К\ и αϊ,..., ап G N таковы, что *У11= 33(a). Пусть
алгебраическая система £ и конгруэнтность η определены, как в (2). Тогда
для любых b ,...,& £ L и формулы (р(у\,...9у8) сигнатуры σο имеет
место эквивалентность
ε/ημφ(ΐι/η9...9Έ'/η) <=> т^<р(а9ъ19...,ъаУ).
Поэтому Т* = Th(#J), и так как К0 С X*, то Т* С Th(AO).
Если бы теория Th(ifi) была разрешима, то эквивалентность
φ £ Τ* <=> φ* £ Th(ifi) и эффективность отображения φ ι-> φ*
дали бы нам эффективную процедуру разрешимости для теории
Т*. Но наследственная неразрешимость теории Th(Ko) и включение
Т* С Th(Ko) влекут неразрешимость Т* и, следовательно,
неразрешимость ТЦК\).
Если теория Т* сигнатуры σ\ содержится в Th(UTi) и if* — класс
всех систем Ш таких, что Ш |= Т*, то ifi С Iff. Согласно замечанию
выше из ifo <red ifi следует ifo <red К*9 тогда в силу доказанного
выше (заменяя К\ на К*) теория Т* = Th(uT*) неразрешима. Итак,
Th(ifi) наследственно неразрешима. D
Доказанная теорема является весьма мощным редукционным
методом доказательства неразрешимости. Последующие примеры
демонстрируют возможности этого метода применительно к различным
классам теорий.
Теорию Тс сигнатуры (П2), определенную аксиомой Ух(~Ч1(х,х)Л
Л\/у(П(х, у) —► П(у,ж))), назовем теорией графов (без петель).
Модели теории Тс назовем графами. Если 0 = (G, Р) \= Тс — граф,
то элементы G называются вершинами графа, а пары {д\,д2) £ Ρ —
ребрами.
Предложение 8.6.2. Для любых натуральных чисел п > 3 и к > О
существует конечный граф 0П>£ = (G, Q), β котором относительно
элементарно определима любая модель Ш мощности п и конечной
предикатной сигнатуры σ такой, что все предикатные символы в σ
не более чем к-местные.
к
Доказательство. Пусть S ^ {0,1,..., η - 1}, К ^ U S1 —
г=\
множество всех непустых кортежей над S длины, не превосходящей к;
к
R τ± (J P(Sl) — множество всех не более чем /с-местных предикатов
г=\
над S положительной местности; G ^ SuKuR — множество вершин
искомого графа <5η>&.

336
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
Если κ = (j\tJ2y-yji) G Sl С К (I ^ г ^ к) — кортеж длины
\κ\ — г, то положим Κ{κ) ^ ji, tfa) ^ (J2»---»jt) (значение ί(κ) не
определено, если г = 1). Пусть
Qo ^ {(i,j) \ъфз, 0 < i,3 <™}>
g1^{(x,/i(x)),(/i(x),x>|x€^}U{(x,t(x)>,(t(x),x>|x€^,|x|>l},
g2^{(p,x>,(x,p) \РеР(&)9хеР,1^г^к}\
Q τ± Qo U Q\ U <2г — множество ребер графа 0П|ь
Из определения видно, что <5nik |= Тс.
Отметим ряд свойств графа <5п,к, легко вытекающих из
определения.
1. Если χ, κ! G К и \κ\ = \κ!\, то {κ, κ9) £ Q.
2. Если PGRyg,g' GGu (Ptg), (Ptg') G Q, mo g,g' G К и \g\ = \g'\.
3. Если go>g\>g2 G G и (gi,gj) G Q для всех О < г < j < 3, то
90.9U92 &R.
Действительно, если, например, до € R, то по свойству 2
справедливо g\yg2 G К и \g\\ = \gz\y а это противоречит свойству 1 в силу
(g\>92) £Q-
4. Если κ G К, g G G\R = S UK и fag) G Q, то либо g = hfa
(g G 5), либо g = tfa), либо κ = t(g) (g G K).
Лемма 8.6.3. Если #о>#ь#2>#з G G и (gi>gj) G Q для всех О < г <
< j < 4, то g0t g\, g2, дз € S.
Доказательство. Предположим, что вершины #о>#ь#2>#з € G
таковы, что (gi,gj) G Q для всех 0 < г < j < 4. В силу свойства 3
справедливо gi # R> г < 4. Предположим, что до £ К. Не уменьшая
общности, можно считать, что \до\ > \д%\ при д{ G К, О < г < 4. По
свойству 4 имеем либо gi = h(go), либо gi = t(go) (случай до = t(gi)
невозможен по предположению \до\ > \gi\), г = 1,2,3, т.е. д\,д2>дъ €
G {h(go),t(go)}. Отсюда ^ = 9j для некоторых 0 < г < j < 4, но это
противоречит предположению (gi,gj) G Q. Лемма доказана. D
Следствие 8.6.4. Формула 21(#о) ^ За^ЕЬгЗхз Ι Λ Щх^я?) )
\0^2<j<4 /
истинна в <5п,к в точности на элементах множества 5. D
Заметим, что формула *&{хо,х\) ^ "'Π(χο,^ι) определяет на S
отношение равенства.
Для 1 ^ I < к рассмотрим формулу
ι
£i{x\9 ... ,ХГ,Уо,У\, ... ,У1-\) τ=± /\ЩХг)/\
г=\

§ 8.6. Неразрешимые теории
337
Α3ζ0...3ζι-ι l/\U(yiyZi)A Д U(zi9Zi+i)A/\n(zi9Xi+i)
\г<1 i<l-X г<1
Лемма 8.6.5. Для любых Ρ G P(Sl), i\>... ,ii € 5, 1 < / < к,
справедлива следующая эквивалентность:
®n,k И^(г1,...,гьР,5/-1,...,51)^х^(гь...,г/)еР.
Доказательство. Предположим, что г\у ...,г/ £ 5, Ρ £ P(Sl)
и <6n,k h= <ti{i\9...9ii;P9Sl-l9...,Sl). Пусть вершины go9...9gi-\ eG
таковы, что
ι-χ ι-χ ι-χ
<8П,* И ЩР,до) лДЩ^,^) Л Д Щдг-х9дг) Л Д П(^-,г,-+1).
г=1 г=1 j=l
Так как (Р9до) € Q, то до £ Р\ так как (flro.ii) € Q, до € К, U G 5, то
U = %о); так как дх е Sl~x и {д\9до) € <?, то ^ = %0); из (д\9г2) €
€ Q следует, что г2 = M#i) = h(t(go)). Далее аналогично доказывается,
что для любого 0 < j < I — 1 справедливо gj+\ = t(gj) и zJ+i = h(gj).
Итак, д0еР9 д\ = t(g0)>... >gi-x =t(gi-2)\ i\ = h(g0)9 г2 = Λ(^ι) ii =
= h(gi-\). Отсюда, как нетрудно видеть, следует, что до = (гьгг,...,^)
и х= (гь...,гг) = д0£Р.
Обратно, если χ = (гь...,г/) € Р, то, полагая #о f± χ, #ι —
= %ο),···,#-ι =t(gi-2), получаем
ι ι-χ
0nf* И Д Я(Ъ') А П(Р, д>) Л Д U(Sl-\gi)A
j=l г=1
Л Д П(#_ь#) Л Д Щ^·, <i+i),
г=1 j=l
т.е. ($n,fc (= (Г/(гь...,гг;Р,5Z_1,...,51). Лемма доказана. D
Пусть σ = (П00,... ,П*/), U < /с, г < s, — некоторая предикатная
сигнатура, 9Я = (5,Ро,... 9Ра) — модель сигнатуры σ (S = {0,1, ...,η-
— 1}). Тогда легко проверить, используя лемму 8.6.5, что формулы
Я(хо), 95(^ο,^ι),
^ С|4(жо ^ΐί-ι;^*.2/ι*-ι,ί/ΐ·-2 yi)·
0 < г < s, относительно элементарно определяют модель Ш1
в графе 0пь если в качестве параметров взять предикаты
Pb,...,Pa,S\L,Sk-leR. □

338
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
Равномерный характер относительной элементарной
определимости, указанный в доказательстве предложения 8.6.2, позволяет
получить в виде следствия
Предложение 8.6.6. Любой класс К конечных моделей
мощности > 4 конечной предикатной сигнатуры относительно
элементарно определим в классе Gfin конечных графов (даже в классе
{®п,к \п^4,к^ 0}). D
В качестве следствия предложения 8.6.6 установим важную для
дальнейших приложений теорему.
Теорема 8.6.7. Класс G&n всех конечных графов имеет
наследственно неразрешимую теорию (даже в языке без равенства).
Доказательство. По предложению 7.5.13 класс К± ч=± {Ω£ | η >
> 4} имеет наследственно неразрешимую теорию. Тогда теорема 8.6.1
и предложение 8.6.9, примененные к классу К\, дают заключение
теоремы. D
Теорема 8.6.7 будет использована далее для доказательства
неразрешимости ряда интересных алгебраических теорий.
Отметим также одно несложное, но принципиальное следствие
теоремы 8.6.7.
Теорема 8.6.8. Если сигнатура σ содержит по крайней мере
один предикатный символ местности > 2 или по крайней мере один
функциональный символ местности > 2, то исчисление предикатов
сигнатуры σ неразрешимо.
Доказательство. Неразрешимость исчисления предикатов
сигнатуры (П2) следует из наследственной неразрешимости теории
конечных графов (теорема 8.6.7).
Пусть Ρ е σ — fc-местный предикатный символ, к > 2. Тогда
класс К2 всех моделей сигнатуры (П2) относительно элементарно
определим в классе Κσ всех моделей сигнатуры σ формулами
Щу) ^у~у,
95(уьУ2) ^2/1 «2/2,
С(уь!Лг) ^Р{уи2/2,2/2,·..,2/2).
Пусть / е σ — fc-местный функциональный символ, к > 2. Тогда
класс Къ относительно элементарно определим в классе Κσ всех
моделей сигнатуры σ формулами
Щх,у) ^-"хяу,

§8.6. Неразрешимые теории
339
95(z,yi,j/2) ^2/1 «2/2,
С(ж,уьУ2) —/(2/1,2/2,2/2,.-.,У2) «ж.
Действительно, пусть ЯЯ = (Μ, Ρ) — модель из класса Х2, и
предположим, что элемент * не принадлежит М. На множестве
М'^Ми {*} определим модель 9Я' сигнатуры σ, полагая
-ал', ч __, 1 *, если (01,02) G П3*,
у αϊ, в противном случае.
^ (αι,α2, ...,α/) ^ * для любого функционального символа д G
G σ \ {/}, Qm ^ 0 для любого предикатного символа Q из σ. Легко
проверить, что формулы Щхуу), Ъ(х,у\уу2) и £(хуу\,у2) определяют
модель ЯЯ в модели Ш' при подстановке вместо χ параметра *. D
Предложение 8.6.9. Класс Eq2 всех конечных моделей теории Т\
двух эквивалентностей, т.е. теории сигнатуры (η$>η\)
определенной аксиомой, утверждающей, что щ и щ являются
отношениями эквивалентности, имеет наследственно неразрешимую теорию
(в языке без равенства).
Докажем это, установив, что класс G&n (из теоремы 8.6.7)
относительно элементарно определим в Eq2.
Пусть Ш = (М9 Ρ) G Gfin; определим по Ш алгебраическую систему
т= (Ν,ηο,ηι) G Eq2 так:
N = Μ U Р\
η$ = {(χ, x)\xGN}U{(xt (χ, у)) \ x G Μ, (χ, y) G P}U
U{((x,y),x) I xG M,(x,y) G P}U
U{((x,y), (x,z)) \xGM, (x,y), (x,z) G P}\
ηψ = {(χ,χ) Ι χ G N}U{((x,y),(y,x)) \ (x,y) G P}.
Полагаем
Щу) = ^о(у.у); 35(2/i,2/2) = гю{у\9у2)\
£{У\, 2/2) = ^Vo(y\, 2/г) Λ 3ζ\3z2(rjo(y\,ζ\)Λ /70(2/2, ζι) Λ η\ (ζ\, ζ2)).
Тогда, как нетрудно проверить, формулы SI, *В, £ относительно
элементарно определяют Ш в *У1 и, следовательно, Gfin в Eq2. Π
Предложение 8.6.10. Класс LEq всех конечных моделей
теории Т2 отношения линейного порядка и эквивалентности
(сигнатуры (<,гу)) имеет наследственно неразрешимую теорию.

340
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
Докажем это, установив, что Ес^ относительно элементарно
определим в LEq.
Пусть Ш1 = (Μ,ηο,ηι) € Eq2; определим по Ш1 алгебраическую
систему *Xt = (iV, ^, η) G LEq так:
Пусть Mi,...,Mfc — все попарно различные классы 771 -эквивалент*
ных элементов из М. Пусть N = Μ U {αο,..., α&}, αι £ Μ> г ^ к\
зададим на TV линейный порядок ^ так, чтобы было выполнено
условие Μι = {а | а е Мусц-\ ?ζ а ^ di}t> i = l,...,fc; отношение
эквивалентности η на N задаем так, что {αο, ...,α&} образует один класс
//-эквивалентных элементов, а ограничение η на Μ совпадает с 770-
Полагаем
95(ж,у1,у2) =у\ ^У2^У2 <yi;
£o(z, 2/1,2/2) =^(уь2/г);
Ci(x,yi,y2) =\/η(η(χ,η) -^ (и^у\ ^и^ у2)).
Тогда легко проверить, что 21, 93, Со, £ι определяют 9Я в 91, когда
в качестве значения параметра χ взято αο· Отсюда Eq2 <red LEq. D
Предложение 8.6.11. Класс L2 всех конечных моделей теории Т2
двух линейных порядков {сигнатура (<o,^i)) имеет наследственно
неразрешимую теорию.
Покажем, что LEq ^red L2. Пусть Ш = (Μ, <, η) € LEq; определим
no SDt алгебраическую систему *Я = (Ν, ^ο» ^ι) £ L2 так:
Пусть Мь ..., Mfc — все попарно различные классы ту-эквивалентных
элементов из М. Пусть N = MU {αο,... ,α^}, α^ ^ Μ, и ^ι — линейный
порядок на N такой, что Μ» = {α | α е Μ,α^_ι ^ι α ^ι а^}, г = 1,...,к.
Линейный порядок ^о на N таков, что любой элемент из {αο,...,α^}
меньше любого элемента из М, а на Μ порядок ^о совпадает с ^.
Пусть Ь — наименьший элемент в Μ относительно порядка ^.
Полагаем
Я(х,у) = х <о2/*>
Щх> У\ > У2) = У\ <о 2/2 Λ у2 <о У\;
£о(ж,У1,У2) = 2/1 ^0 2/2;
£i(z,2/i,2/2) = Vu((^^o^A"1(x <ow)) -+ (г* <i yi «-> и ^ι г/2)).
Если в качестве значения параметра χ взять элемент Ь, то 21, 05,
(ίο, £ι относительно элементарно, определяют 9Я в 91, следовательно,
и LEq ^red ^2· □

§ 8.6. Неразрешимые теории
341
Предложение 8.6.12. Класс Sym всех конечных симметрических
групп имеет наследственно неразрешимую теорию.
Докажем это, установив, что Eq2 относительно элементарно
определим в Sym.
Пусть DR — (Μ,ηο,ηι) £ Eq2, и предположим, что \М\ > 3. Пусть
то,... уШк — все различные элементы из М, а *У1 = Sym(M) — группа
всех перестановок множества М.
Возьмем ао = (mo,mi), αϊ = (то,тг) £ Ν; α<ι и аз выбираем в 91
так, что циклы подстановок аг и аз отвечают классам эквивалентных
элементов 770 и 771 соответственно.
Рассмотрим множество L = {(а,Ь) | существует h £ N такой, что
а = o!q и Ь = а^}. Нетрудно проверить, что L состоит из всех пар
транспозиций, имеющих общий элемент.
Сопоставим паре (а, Ь) £ L элемент φ(α, b) £ Μ, являющийся
общим элементом транспозиции: например, φ((πΐο,πΐ\), (mo,m2)) = mo.
Заметим, что отношение эквивалентности ~ на L, определенное
отображением φ (т.е. (a,b) ~ (c,d) <£==> <p(a,b) — y?(c,d)), может быть
определено и так:
(а,Ь) ~ (с,d) 4=> \/h(ah = а -♦ {cbh)3 = (dbhf = e).
Заметим, что если (а,Ь) £ L, т = (р(а,Ь), h £ Ν, то (p(ahtbh) = h(m)
(где zh = h~lzh).
Определим на Sym(M) отношение частичного порядка < так:
ho < h\ <<=>> Vm £ M(ho(m) = m V ho(m) = h\ (m)).
Единица е группы *Xt является наименьшим элементом;
минимальными элементами множества N \ {е} являются в точности циклические
подстановки.
С каждым элементом h £ N можно связать следующее
отношение эквивалентности щ на М: щ = {(тут) \ т £ М} U
U {(mo,mi) | то,mi £ Μ, существует минимальный элемент ho
в N\ {e} такой, что ho < h и ho(mo) ф mo, ^ο(^ι) ф mi}.
Из выбора элементов аг,аз следует, что ηα2 = щ> ηα3 = Ш-
Запишем теперь следующие формулы в языке теории групп:
Я(жьЖ2,яз,Ж4,2/ь2/2) = ^Z(V\ & z~{x\zAy2 « z~lx2z);
®(ж,2/ь 2/2,2/3,2/4) =Vh(h-{y{htty{ -► (yzh~xy2hf « (2/4^_12/2^)3 ~ е);
Со (ж, 2/1 , 2/2,2/3,2/4) = 3z(z ^ хз Л "г » е Л Vu(u ^ г -► (и « е V и » г))Л
Л(»(ж, 2/1,2/2,2/3,2/4) V С<В(х, 2/1,2/2,2/f> 2/!) л "*(*» 2/3,2/4,2/з> 2/1))))»

342
Гл. 8. Разрешимые и неразрешимые теории
где ζ ίζ χ означает
VyiVy2(2i(x, у\, т) -+ ®(^. у\> уй, yf, у!) ν ®(ξ, yf, yf. уГ. 2/2));
£ι (χ, yi, у2у уз, У4) = 3ζ(ζ < #4 Л "г « е Л Vu(-u ^z->(u«eVu^ ζ))Λ
Л(ЯЗ(х,уьу2,уз,У4) V rQ3(x,yi,y2,yf,y|) Л'В^.уз.уьУз.у!))))·
Если «параметрам» х\,Х2,хъ>^а приписать значения ао,а1,аг,аз
соответственно, то формула 21 определит множество L; 05 задает на L
отношение ~, а <£о и (Γι определят на L/ ~ отношения
эквивалентности φ~ι(ηο) и φ~χ(τ)\) соответственно. Проведенное рассмотрение и
показывает, что формулы 21,05, <£о, £i относительно элементарно
определяют класс Eq2 в Sym. D
Следствие 8.6.13. Класс конечных групп имеет наследственно
неразрешимую теорию.
Следствие 8.6.14. Класс всех групп имеет наследственно
неразрешимую теорию.
Другие примеры разрешимых и неразрешимых теорий приведены
в обзоре: Ершов Ю.Л., Лавров И.Α., Тайманов А.Д., Тайцлин М.А.
Элементарные теории // Успехи математических наук. — 1965. — Т. 20,
№4. С. 37-108. В этом обзоре, в частности, отмечено, что исчисление
предикатов для сигнатуры одной одноместной функции разрешимо,
а если сигнатура σ содержит по крайней мере два одноместных
функциональных символа, то исчисление предикатов сигнатуры σ
неразрешимо.

Предметный указатель
АГ317
Автоморфизм 95
Аксиома 22
— ΗΠΣ 114
— ИПр 135
— ИПЧ 140
— выбора 70, 90
— исчисления 17
— исчисления G 215
— регулярности 81
— экстенсиональности 60
Аксиомы булевых алгебр 68
Алгебра булева 68
атомная 330
всех подмножеств 68
Алгебраическая система 94
— х-насыщенная 181
— каноническая 165
— насыщенная 178
— ограниченная 198
— однородная 176
— универсальная 178
Алгебраические системы
изоморфные 95
— элементарно эквивалентные 144
Алгоритм 11
— не применимый к объекту 251
Алфавит 14
-ИВ 19
— исчисления 17
— исчисления G 215
— исчисления LG 54
Антецедент 216
Арифметика 97
— натуральных чисел 97
Ассоциативность 16
Атом булевой алгебры 78
Базис для системы 189
Буква 13
Буква алфавита 14
— входящая в слово 15
Булева алгебра 68
атомная 330
всех подмножеств 68
— комбинация 301, 315
— сложность формулы 217
Вершина 335
Вхождение буквы в слово 15
— переменной
свободное 102
связанное 102
— подслова 15
— секвенции 1\ в дереве выше
секвенции h 217
— секвенции в дерево 24
— символа в формулу
отрицательное 169
положительное 169
— слова первое 15
последнее 15
Вывод формулы из множества
формул
— в ИПр 136
— в ΗΒι 47
Высказывание 18
Высота дерева 25
— секвенции в дереве 25
Главная формула правила 216
Гомоморфизм 94
Грань верхняя 65
наименьшая 65
— нижняя 65
наибольшая 66
Граф 97, 335
График 16
Группа 97
— р-делимая 321

344
Предметный указатель
Группа абелева 97
— базисная 325
— подстановок 97
Д. н. ф. 35, 126
Декартова η-степень множества 61
Декартово произведение множеств
61
— семейства множеств 107
— систем 108
Дерево 24
— вывода 25
— доказательства секвенции в ΗΠΣ
116
Диагональ 62
Диаграмма алгебраической системы
150
полная 150
— множества в алгебраической
системе 150
полная 150
Дизъюнктивная нормальная форма
35, 126
Дизъюнкция 19
— элементарная 35
Дистрибутивность 16
Длина абстрактного слова 15
— кортежа 61
— последовательности 15
— слова 14
Доказательство 10
— в ИП? 136
— в ИПЧ 140
— в виде дерева 25, 245
в ИПЕ 116
— закодированное парой чисел 289
— из множества предложений 289
— линейное в ИПЕ 115
в ИВ 24
— формулы в ИВ ι 47
Дополнение элемента 66
Заключение 216
— правила 18
Замена вхождения под слова 15
Значение алгоритма на объекте 251
— истинности формулы на наборе
40
— отображения на элементе 16, 64
— терма 100
ИВ 19
ИПЧ 139
Идемпотентность 16
Изоморфизм 73, 95
— частичный 144
конечный 145
Импликация 19
Инварианты Шмелевой 319
— совпадающие 319
Индекс группы в группе 312
— подгруппы 312
Интерпретация ИВ 38
в булевой алгебре 75
главная 39
— переменных 100
— сигнатуры в сигнатуре 141
Истинность формулы на
алгебраической системе при интерпретации
103
Исчисление 17
-G215
-Go 54
— ИВМ 50
— ΜΒ^·ν) 52
— высказываний (ИВ) 19
— высказываний гильбертовского
типа (ИВО 46
— независимое 45
— непротиворечивое 38
по отношению к семантике 44
— неразрешимое 44
— полное по отношению к
семантике 44
— предикатов гильбертовского типа
135
сигнатуры Σ 114
чистое 139
— разрешимое 44
— резольвент 245

Предметный указатель
345
Исчисление резольвент для
исчисления предикатов 247
пропозициональное 245
К. н. ф. 35
Кардинал 83
Квазивывод в ΗΒι формулы из
множества гипотез 48
— секвенции в ИВ в виде дерева 26
линейный 26
Квазимногообразие 157
Квазитождество 157
Квантор всеобщности 101
— существования 101
Класс 109
— алгебраических систем
3-аксиоматизируемый 155
V-аксиоматизируемый 155
УЗ-аксиоматизируемый 155
х-категоричный 183
аксиоматизируемый 152
замкнутый ПО, 153
категоричный в мощности 183
— конечно аксиоматизируемый 154
— относительно элементарно
определимый 333
— смежности подгруппы 312
— эквивалентности 63
Кольцо целых чисел 97
Команда 294
Комбинация булева 301, 315
Коммутативность 16
Композиция отношений 62
Конгруэнтность 172
Константа 93
— логическая 19
— на множестве 64
Континуум 327
Конъюнктивная нормальная форма
35
Конъюнкция 19
— элементарная 35
Кортеж 15, 61
Линейные порядки, имеющие
одинаковые концы 98
Матрица 126
Машина Тьюринга 294
— вычисляющая функцию 296
— не применимая к слову 296
— переводящая слово α в слово β
295
— преобразующая слово α в слово β
295
Мера сложности формулы 305
Местность операции 16
— частичной функции 253
Метаязык 30
Механизм совместности 164
— сигнатуры Σ 164
без равенства 167
Многообразие 157
Множества линейно упорядоченные
изоморфные 73
— равномощные 80
Множество 13
— т-сводящееся 282
— аксиом для класса 153
исчисления 17
— алгебраических систем
направленное 96
элементарно направленное 149
— атомно минимальное 189
— бесконечное 85
— вполне упорядоченное 71
— выражений исчисления 17
— гипотез 47, 136
— доказуемых выражений 18
— замкнутое относительно
операции 64
— кардинально упорядоченное 72
— конечное 14, 84
— линейно упорядоченное 65, 97
— натуральных чисел 60
— предложений перечислимое 283
полное 133
— регулярное 87

346
Предметный указатель
Множество свободных переменных
секвенции 118
формулы 102
— счетное 84
— теорем исчисления 18
— транзитивное 81
— формул выполнимое 112
локально выполнимое 112
непротиворечивое 128
несовместное 128
противоречивое 128
совместное 128
— центрированное 77
в булевой алгебре 77
— частично упорядоченное 65, 97
фундированное 68
Множество-степень 17
Модель множества формул 112
— теории 176
Монотонность ф(") 196
Мощности множеств равные 80
Мощность алгебраической системы
94
— множества 84
Н. в. г. 65
Н. н. г. 66
Набор упорядоченный 60, 61
Надсистема 95
Натуральное число 82
Начало слова 15
Носитель 94
Нумерация гёделева 267
— множества 85
Обеднение системы 96
Область действия вхождения
квантора 102
— значений 63
— определения 63
Обогащение системы 96
Образ гомоморфный 94
— множества при отображении 64
Объединение множеств 16, 17
— систем 96
Ограничение отношения на
множество 63
— отображения на множество 64
— сигнатуры на множество 94
Оператор минимизации 298
— примитивной рекурсии 298
— регулярной суперпозиции 297
Операция п-местная 16, 63
частичная 16
— тождественная на множестве 64
Ординал 81
— конечный 82
— меньший ординала 83
— предельный 82
Основа тавтологии 116
Остаток от деления 305
Отношение 61
— п-местное 61
— антисимметричное 62
— обратное 61
— рефлексивное 62
— симметричное 62
— транзитивное 62
Отображение 16, 63
— арности 93
— биективное 63
— взаимно однозначное 63
— инъективное 63
— местности 93
— множества в множество 63
на множество 63
— разнозначное 63
— сюръективное 63
Отрезок начальный 69
— замкнутый 69
— открытый 69
— собственный 69
Отрицание 19
Пара 16
— упорядоченная 61
Парадокс Рассела 8
— лжеца 12
Переменная 99

Предметный указатель
347
Переменная входящая в формулу
свободно 102
связанно 102
— для формул 22
— исчезающая в переходе 218
правильно 218
— пропозициональная 19
Пересечение множеств 16, 17
Перестановка 216
Переход 24
— существенный 55
Периодическая часть 322
Подгруппа р-базисная 321
— р-сервантная 321
Поддерево 218
Подмножество 14
Подсистема 95
— порожденная множеством 95
— собственная 95
— элементарная 147
Под слово 15
Подстановка 29
Подформула 19, 101
— обобщенная 217
Поле алгебраически замкнутое 303
Порядок линейный 65, 97
— плотный 98
— частичный 65, 97
Последовательность 15
— определяющая 298
— пустая 15
Посылка 216
Посылка правила 18
Потомок 217
Правило п-посылочное 18
— вывода ИПЕ 115
ИПр 136
ИВ 22
исчисления 17
исчисления резольвент 247
независимое 45
основное 24, 216
структурное 24, 216
— перестановки 216
— утончения 216
Предикат 61
— σ-формульный 202
Предложение 104
— п-общезначимое 105
— интерполирующее для пары 170
— сохраняющееся при
гомоморфизмах 172
Предок 217
Представитель абстрактной буквы
13
— слова 14
Пренексная н. ф. 128
Пренексная нормальная форма 126
Приведенная н. ф. 128
Приведенная нормальная форма 127
Применение правила 24
Принцип Δο-ограниченности 198
— Σ-ограниченности 200
— Σ-параметризации 213
— Σ-рефлексии 198
— кардинального упорядочения 73
— максимума 70, 90
— полного упорядочения 71, 90
— потенциальной осуществимости
251
— трансфинитной индукции 68
Приставка кванторная 126
Проблема разрешимости исчисления
44
Программа 294
Проекция 61
— декартова произведения 107
Произведение множеств декартово
61
фильтрованное 107
— отношений 62
— семейства множеств декартово
107
— систем декартово 108, 109
прямое 108, 109
фильтрованное 108
Пропозициональная форма формулы
244
Прямое произведение систем 108

348
Предметный указатель
Равенство 101
Разбиение множества 63
Размерность базисная 325
— группы 319
Разность множеств 16
Разрешимая проблема элементарных
индексов 315
Ранг множества 87
Расширение LG 54
— исчисления консервативное 50
— концевое 192
— языка 18
Ребро 335
Решетка 66
— булева 66
— дистрибутивная 66
Свойство чистоты переменных 217
Связка логическая 19
Секвенция ИПЕ 114
тождественно истинная 119
-ИВ 21
— ИПЧ 140
— доказуемая 122
в ИПЕ 116
в ИВ 24
в исчислении предикатов 122
— истинная в алгебраической
системе при интерпретации 119
— исчисления G 215
LG 54
— ложная в алгебраической системе
119
— получаемая из секвенций по
правилу 24, 115
— тождественно истинная 40
Семантика исчисления 39
Сигнатура 93
— абелевых групп 314
— групповая 97
— класса 153
— колец с единицей 97
— предикатная 94
— пустая 94
— содержащаяся в сигнатуре 94
Сигнатура функциональная 94
Символ 13
— вспомогательный 19
— константы 93
— логический 19
— операции 93
— отношения 93
— предиката 93
— предикатный п-местный 93
позитивно входящий в
формулу 209
— пропозициональной переменной
99
— равенства 101
— следования 19
— функции 93
— функциональный п-местный 93
имеющий связанное вхождение
в формулу 234
Синтаксис исчисления 39
Система 94
— аксиом Цермело-Френкеля 89
для теории 161, 283
— алгебраическая 94
— единичная 158
— порожденная множеством 96
Системы изоморфные 95
Скулемизация сигнатуры 162
полная 163
— системы 162
полная 163
— теории 162
полная 163
Следствие формулы на
алгебраической системе 194
— семантическое 195
Слова равные 14
Слово 15
— абстрактное 14
— в алфавите 14
— конкретное 14
— машинное 295
тупиковое 295
— пустое 14
Сложность булева 217

Предметный указатель
349
Совершенная д. н. ф. 36
— к. н. ф. 36
Соединение абстрактных слов 15
Список формул 245
Степень полинома 304
— фильтрованная 108
Стратегия поиска 250
Сукцедент 216
Схема аксиом ИВ 22
независимая 45
— секвенций ИВ 22
— секвенций, доказуемая в ИВ 26
— формул ИВ 22
Тавтология 116
Тезис Тьюринга 297
— Черча 298
Теорема ИПЕ 116
— ИП? 136
— Гёделя о неполноте 283, 290
о полноте 132
— Ганди 261
общая форма 264
-ИВ 24
— Кантора 80
— Кантора — Бернштейна 80
— Рыль-Нардзевского 183
— Тарского о неопределимости
истинности в Ω 276
— Чёерча 283
— Эрбрана 243
— интерполяционная Крейга-Лин-
дона 170
— компактности 112
— о Σ-определимости истинности
Σ-формул 268
— о Еп-определимости истинности
Ση-формул 276
— о дедукции 137
— о существовании модели 129
— об иерархии 276
— об опускании типов 168
— об униформизации 279
— об устранении сечения 225
Теорема полноты исчисления
предикатов 119
Теория 144, 161, 283
— 3-аксиоматизируемая 161
— V-аксиоматизируемая 161
— УЗ-аксиоматизируемая 161
— АЗП 303
— ВЗП 310
— вещественно замкнутых полей
310
— графов 335
— доказательств 11
— категоричная в мощности 183
— класса 153, 283
— моделей 11
— модельно полная 161
— наследственно неразрешимая 283,
332
— непротиворечивая 283
— неразрешимая 283
— полная 161, 283
— разрешимая 283
— с элиминацией кванторов 161
— сигнатуры Σ 161
— универсально аксиоматизируемая
161
— элементарная 144, 161
класса 153
Терм 99, 100
— базисный 164
— замкнутый 99
— константный 99
— свободный для переменной 217
Тип вполне упорядоченного
множества 83
— набора 176
Тождество 157
Тройка 16
Ультрафильтр 77
Условие несмешанности переменных
215
Утончение 216
Факторсистема 172

350
Предметный указатель
Фильтр Фреше 76
— булевой алгебры 76
— главный 78
— на множестве 76
— счетно полный 79, 181
Формула 100, 101
-ΗΠΣ 114
— ИПр 135
-ИВ 19
— ИПЧ 140
— атомарная 19, 101
— атомная 101
— базисная второго рода 320
первого рода 320
— бескванторная 101
— выводимая из множества гипотез
в ИПр 136
в ΗΒι 47
— выполнимая в системе 104
— главная 216
— доказуемая в ИПЕ 116
в ИПр 136
в ΗΒι 47
в ИВ 24
— замкнутая 104
— истинная в алгебраической
системе 103
на наборе 40
— исчисления G 215
— исчисления резольвент 247
— ложная в алгебраической системе
103
на наборе 40
— находящаяся в нормальной форме
305
— общезначимая 104
— отмеченная 237
— отрицательная 175
— позитивно примитивная 314
— положительная 172
— получаемая заменой связанной
переменной 125
— пропозиционального исчисления
резольвент 245
— специальная 238
Формула тождественно истинная 40,
104
— тождественно ложная 40
— фильтрующаяся 110
условно 110
— элементарная 19
Формулы 21-эквивалентные 195
— конгруэнтные 125
— относительно элементарно
определяющие класс в классе 333
систему в системе 333
— пропозиционально эквивалентные
123
— семантически эквивалентные 195
— эквивалентные 30, 122
в ИПр 137
относительно теории 161
Функция 63
— σ-формульная 203
— базисная 298
— истинностная 40
— полученная минимизацией 259,
298
примитивной рекурсией 259,
298
регулярной суперпозицией 297
— рекурсивная 298
— характеристическая 260
частичная 260
— частичная 252
/г-местная 253
всюду определенная 253
вычислимая по Тьюрингу 296
не определенная на наборе 253
нигде не определенная 253
— частично рекурсивная 298
Характеризация вполне
упорядоченных множеств 72
— дедуктивная 43
— семантическая 43
Цепь 70
— отмеченная 70

Предметный указатель
351
Ч. у. м. 65
Частный случай
— правила 24
— схемы 22
Часть периодическая 322
Число натуральное 60, 82
Член дизъюнктивный 33
— конъюнктивный 33
— последовательности 15
Эквивалентность 62
Элемент 13
— класса 109
— наибольший 65
— наименьший 65
— последовательности 15
— принадлежащий классу 109
Эрбранова форма 243
Язык исчисления 18

Указатель обозначений
Degx t 304
(ВС) 62
(BCD) 62
(Φ)?';.Χ" 114
(Φ)* 21
(φ)ρθ'~>ρη OQ
Ws(P0),..,S(Pn) Δ*
(Φ Λ Φ) 19
(ΦνΦ) 19
(Φ->Φ) 19
(η, га) -изоморфизм 146
(ρ, п)-размерность базисная второго
рода 325
первого рода 325
третьего рода 325
WilzZ 119
+ 97
- 97
0* 66
I21 66
2 328
21 328
2J/£> 328
< 83
А(1) 17
А[к] 319
А ^ш Б 282
Αη 61
Αι 284
Αι χ ... χ Αη 61
Af 283, 284
Af 290
B(x,y,z) 256
β С 62
β-1 61
βΩι[:τ,2/,ζ] 256
£>(Φ) 33
£>(7) ПО
D(Sl) 150
D(a,X) 150
D-prodXi 107
D-prodSU 108
ZT(2l) 150
D*(%X) множества X
E(I) 17
ЯябЗ
ΕΈ 158
£/χ 63
F93
F(E) 100
FV(C) 118
^У(Ф) 102, 191
FV(t) 99
FM 52
F0 29
Fx 306
Fn(E) 175
*sn 277
G267
С]>Ф 136
Go 54
H> Φ 47
#ι+α 312
/-prodXi 107
I-prodSU 108
/£298
/o < /i 50
Ji/D 328
J2(»o,...,*n-i)253
if-система 185
Κ (Φ) 33, ПО
К+ 185
K-f-система 185
Ко ^RED ^1 333
Ks 294
ΚΣ(Ζ) 153
ΚΣ(0) 154
Кос 160, 183
Коо-система 185
L(I) 18
L(Ji) С L(/2) 18
в 21 150

Указатель обозначений
353
Μ (μ) = β 295
Mn(f) 298
Ο(αο) 69
О(аоЛ) 69
0[ao,St] 69
O[a0] 69
P(P) 68
P(X) 17
P(Sl,®) 145
Л 93
R(I) 17
Д(Го;...;Гп) 248
P(/,<?)298
Pn+1 (/,<?) 298
Pi; 63
Рр(Го;...;Гп) 245
S(Pb...,Pfc)40
S(X) 97
S'(Sl) 99
S[Pb...,Pfc]40
Sfc'n(/,<7o,...,<7n)297
Τ (A) 322
T(/) 18
Γ(Σ) 99
T(2l,ai,...,an) 176
Ts 162
TcS 163
Too 183
Uk+X 278
V 29, 99
X = Y 14
X = {ai,... ,an} 14
1ПГ 16
XUY 16
Х\У 16
1СУ14
A? 16
Xi,...,Xn->y 38
Χι χ ... χ Xn 16
[Я: tfi] 312
[Η: Η{\ = oo 312
[Ни Щ 312
[Φ: Φ] ^n316
№xv 114
[Φι: Φ2,Λ] 315
Χ 19
Λ Γ 245
Λ Φ* 34
Δ-предикат 206
Δο-формула 191
Ап-предикат 276
Δη+ι -формула 275
~D 107
Γ 21
Г(х,у) 2Б7
ΓΚΦ21
ΓΙ-Θ 215
Гд 253
Λ 14, 15
Mod(A) 283
Ω 252
Ω* 261
Ωπ 290
Ωι 256
ΩΊ 257
Ω2 257
Φ 19
Φ(Ρ+) 209
Φ(Ρ!,...,Ρ0 40
Φ (21, α) 185
Φ(ίι,...,ίη) 114
Φ(χι,...,χη) 103
Φ[Ρι,...,Α]40
Ф[6и...,6к]=6 40
Φ ξ Φ 30, 122
Φ = δΦ 195
Φξ^Φ 195
Φ^ 164
Φ = Φ 137
Φ = Φ 123
Φ~Φ 125
φΑφ 161
Φ=»5Φ 194
Φ^^Φ 195
Φ°41
Φ1 41
Φ* 245
Φδ 26
12 Ю. Л. Ершов, Ε. Α. Палютин

354
Указатель обозначений
Φ* [у] 202
Ф(и) 196
ФЬ...,ФП1-Ф 21
Φι Λ.,.ΛΦη 34
Φι V... νΦη 34
Фя 243
Φρ 244
Φη,...,ΦηΙ-Φ 114
Φ 19
ΦΦ 266
RQ-формула 191
— позитивная 209
Sh(j4i) = Sh(A2) 319
Σ 93
Σ-подмножества Δ-нетривиальные
282
Σ-предикат 206
— универсальный для fc-местных
Σ-предикатов 278
Σ-формула 192
Σ-функция 206
— частичная 253
универсальная для /с-местных
частичных Σ-функций 278
Σ(Φ) 101
Σ \ Χ 94
Σ С Σι 94
Σ+ 314
Σ+(Φ) 169
Σ" (Φ) 169
Σ° 164
Σ* 162
EcS 163
Σο-формула 275
Ση-предикат 276
Ση+ι -формула 275
Th(K) 153, 283
Th(St) 144
Тг276
Тгф 265
ΤτΣ 268
TrEn 276
a(Sl) 83
α+1 82
αβ 15
а Д β 295
ol/Ь 295
αα 295
αα 295
otp,n,k 319
аР(П(Л) 319
« 101
/3 256
0(Ф) 217
/3<α 83
/?< α 83
β>(Α) 319
(3p,n,k ο\ό
ΠΧ17
Π Xi 17
11**96
i€I
\J Xi 17
U Ση 94
V Фг 34
г=1
Π 66
ch260
Xq260
XQ260
Λ 19, 39
№,.·
(αϊ,..
(Si, οι
(αϊ,..,
U 66
^ 191
£q 278
J5 253
dim Л 319
V 19, 39
dom/ 63
0 14, 15, 245
3x 101
3 101
3-формула 154
3x237
ЗтхФ(х) 301
,Χη) 15
► «η) 61
..,Οη>Ξ(»,6ΐ,
On) 61
,Ьп) 176

Указатель обозначений
355
Уж 101
V 101
V-формула 154
УЗ-формула 154
Ίρ(Λ) 319
7p,n,fc 319
ΊάΑ 62
^=^ 7
^ Υ 38
-> 19, 38, 39
inf(Ai.Sl) 66
ΗΠΣ 114
ΗΠΣ 135
ХхГ(щ,х) 265
^ 68, 191
2194
21 Г Σι 96
21 = 05 144
21 ^end 05 192
2t(=C[7] 119
SI |= Φ 104
21(=Ф(аь...,ап) 104
21 (= Φ[7] 103
21-05 95
Ъ/Е 172
21 С 05 95
21s 162
2tcS 163
21χ 150
SU, x... x2lin 109
05 94
05(X) 95
05(αι,...,αη) 96
05 -« 21 147
05D 108
05J 108
05n(T) 175
£ 19, 100
PrF 277
Sub 277
Sen 277
max{a;i,... ,an} 83
μ ЮЗ
μυΗ(χ,υ))259
μ 94
" 19, 39
^Φ 19
^Θ57
v(f) 253
ν* 94
ω 14, 60
ωχ 181
if 154
α 66
ί 237
«J 185
we A 185
ζ 237
sg 265
~Xl 17
J 41
^ 304
dxt 304
ττ?Χ 61
Π % 109
г€/
rang / 63
>Ф 136
sg 265
σ* 261
σ0 252
σ? 290
σι 256
σ2 257
α 7
sup(Ai,Sl) 65
г(Ф) 302
ИВ(-° 50
ΗΒ(-"·ν) 52
HB^'vr) 59
ΗΒι 46
ИВ2 50
=> 7
θ(ί) 253
а» 96
/,96
rn96
ε(Λ) 319
ε(Χ) 81
εη 319
12*

--- :-
'■■■SI!