САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
И. В. Абаренков, С. Н. Загуляев
Простейшие модели в
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Рекомендовано Ученым советом
Санкт-Петербургского государственного университета
в качестве учебного пособия
для студентов физических специальностей университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
С.-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2004
УДК 530.145
ББК 22.314
А13
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. Е. Д. Трифонов
(Рос. гос. пед. ун-т им. А. И. Герцена)
д-р физ.-мат. наук, проф. А. В. Тулуб
(С.-Петерб. гос. ун-т)
Печатается по постановлению
Ученого совета Физического учебно-научного центра
С.-Петербургского государственного университета
Абаренков И. В., Загуляев С. Н.
А13 Простейшие модели в квантовой механике: Учеб, по-
собие. —СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. —128 с.
ISBN 5-288-03469-9
Пособие посвящено простейшим, наиболее известным,
одномерным моделям квантовой механики. В нем подроб-
но разбираются общие закономерности одномерного движе-
ния квантовых частиц, а также формулируются математи-
ческие понятия, знание которых необходимо для решения
квантово-механических уравнений движения. Использова-
ние общих теоретических методов иллюстрируется на при-
мерах движения частиц в одномерных модельных потенци-
алах. Проводится детальный анализ физических следствий,
вытекающих из решения задач с модельными потенциала-
ми, в том числе, проводится сравнение с движением клас-
сических частиц.
Пособие предназначено для студентов физических спе-
циальностей университетов, приступающих к изучению
квантовой механики.
Ил.32.
ББК 22.314
© И. В. Абаренков,
ISBN 5-288-03469-9	С. Н. Загуляев, 2004
Оглавление
Предисловие	5
Глава	1. Одномерное движение	7
1.1.	Линейные дифференциальные уравнения.......... 8
1.2.	Волновая функция......................... .	.	19
1.3.	Симметрия................................... 23
1.4.	Энергетический спектр......................  25
1.5.	Сравнение движения квантовой и классической частиц 29
Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма	33
2.1.	Отрицательные энергии.................... .	34
2.2.	Положительные энергии....................... 41
2.3.	Одномерная <5-образная потенциальная яма.... 52
Глава	3. Прямоугольный потенциальный барьер	61
3.1.	Модель...................................... 61
3.2.	Энергия ниже высоты барьера ................ 62
3.3.	Энергия выше высоты барьера................. 68
3.4.	Сравнение движения квантовой и классической частиц 70
Глава 4. Частица в периодическом потенциале	71
4.1.	Трансляционная симметрия.................... 71
4.2.	Нормировка блоховских функций............... 78
4.3.	Спектр оператора Гамильтона ................ 80
4.4.	Периодические прямоугольные барьеры . .	82
4.5.	Модель Кронига—Пенни (гребенка Дирака) ..... 84
4.6.	Сравнение движения квантовой и классической частиц 89
Глава 5. Гармонический осциллятор	91
5.1.	Постановка задачи. Оператор Гамильтона...... 91
5.2.	Операторы рождения и уничтожения............ 92
5.3.	Спектр оператора Гамильтона...........  .	. .	93
5.4.	Собственные функции оператора Гамильтона...	96
5.5.	Сравнение классического и квантового осцилляторов 100
4
Оглавление
Глава 6. Однородное поле	105
6.1.	Постановка задачи. Оператор Гамильтона.......... 105
6.2.	Решение в импульсном представлении.............. 106
6.3.	Сравнение движения квантовой и классической частиц 108
Глава 7. Осциллятор в однородном поле	111
7.1.	Постановка задачи в координатном представлении .	111
7.2.	Решение с операторами рождения и уничтожения . . 113
7.3.	Свойства осциллятора в однородном поле.......... 116
Список иллюстраций	119
Предметный указатель	121
Литература	125
Предисловие
В основу данного пособия положен один из разделов двухсе-
местрового курса лекций по квантовой механике, читаемых про-
фессором Абаренковым И. В. на физическом факультете Санкт-
Петербургского государственного университета с 1964 г. Целью по-
собия является подробное изложение тех вопросов курса квантовой
механики, которые, как показала практика, целесообразно вынести
на самостоятельное изучение, оставив в курсе лекций лишь краткое
введение и резюме. Кроме того, это пособие может быть полезным
при проведении семинарских занятий. Порядок изложения и расста-
новка акцентов отражает практику изучения данного материала на
семинарских занятиях по квантовой механике на физическом фа-
культете СПбГУ.
Пособие состоит из семи глав. В первой главе рассмотрены об-
щие закономерности одномерного движения и кратко сформулиро-
ваны основные математические понятия и результаты, которые не-
обходимы для дальнейшего изучения материала. В ходе изложения
авторы старались как можно четче разделять математические и фи-
зические требования предъявляемые к решению уравнения Шредин-
гера. Особое внимание обращено на ограничения, которые налага-
ются на волновую функцию исходя из физических соображений. В
остальных главах проведено детальное исследование движения час-
тицы в основных одномерных модельных потенциалах. При этом
авторы стремились не просто привести решение конкретной зада-
чи, а проиллюстрировать на ее примере разные методы и подходы
квантовой теории. В частности, в ходе решения применялась техни-
ка операторов рождения и уничтожения, координатное и импульс-
ное представления. В тех задачах, которые обладают симметрией,
эта симметрия обязательно использовалась. Для всех рассмотрен-
ных модельных потенциалов проведено сравнение движения класси-
ческой и квантовой частиц. Так как авторы уверены, что графичес-
кое представление информации облегчает и ускоряет ее усвоение, в
пособии приведено большое количество рисунков.
Очевидно, что разнообразие всевозможных модельных задач не
исчерпывается рассмотренными в данном пособии одномерными по-
6
Предисловие
тенциалами. Пособие не претендует на сколько-нибудь полное осве-
щение этого круга вопросов. Однако подробный анализ, который
сопровождает решение каждой задачи, призван помочь студентам
вникнуть в физический смысл полученных результатов, «оживить»
громоздкие математические конструкции квантовой механики, сде-
лав их ясными и прозрачными.
Авторы выражают искреннюю благодарность рецензентам посо-
бия — профессорам А. В. Тулубу и Е. Д. Трифонову за внимательное
прочтение рукописи и ряд ценных замечаний, а также профессору
И. В. Комарову и доценту В. Ф. Братцеву за плодотворную дис-
куссию по некоторым математическим вопросам, обсуждаемым в
данном пособии.
Глава 1.
Одномерное движение
Простейшие модели — это модели физических систем, идеализи-
рованные настолько, что они допускают точное решение и анализ.
Однако они сохраняют существенные черты реальных физических
задач. Рассмотрение простейших моделей позволяет описать и на-
глядно представить себе поведение квантовых частиц в разных си-
туациях. Основываясь на этих моделях, можно проводить качествен-
ный анализ реальных задач, а также разрабатывать эффективные
приближенные методы. Основным упрощением является использо-
вание одной переменной, так что уравнение Шредингера для стацио-
нарных состояний из уравнения в частных производных становит-
ся обыкновенным дифференциальным уравнением, решить которое
значительно легче.
Рассмотрим некоторые общие свойства движения частицы в од-
номерном случае. Обозначим через х пространственную перемен-
ную, которая изменяется в пределах — оо < х < оо. Будем исследо-
вать стационарное состояние частицы, волновая функция V'(^) ко-
торого удовлетворяет уравнению Шредингера для стационарных со-
стояний:
H(x)il>(x) — Eip(x).	(1.1)
Оператор Гамильтона Н частицы всегда может быть представлен
в виде
~ h2 cP ~
Я = --——? + V(x),
2то dx2
где V(х) описывает поле, в котором находится частица. В реальных
задачах чаще всего приходится иметь дело с локальными полями,
т. е. с такими полями, результат действия которых в данной точке
определяется значением поля в этой же точке. Оператор V(ar), опи-
сывающий такое поле, является оператором умножения на функ-
цию V(a:). Однако встречаются и такие ситуации, когда резуль-
тат действия поля в данной точке определяется значениями поля не
8
Глава 1. Одномерное движение
только в этой точке, но и в некоторой ее окрестности (может быть, и
бесконечной). Такие поля называются нелокальными и описывают-
ся интегральными операторами. Мы будем рассматривать только
задачи, которые соответствуют локальным полям V(a). Более то-
го, будем предполагать, что V(х) является вещественной функцией,
что соответствует реальным физическим ситуациям в отсутствие
магнитного поля.
В следующем разделе мы напомним некоторые сведения из
теории дифференциальных уравнений, которая подробно изучалась
в курсе высшей математики, необходимые для решения модельных
задач.
1.1.	Линейные дифференциальные уравнения
Выберем на оси х конечный или бесконечный интервал
< х < Х2- На этом интервале рассмотрим однородное линейное
дифференциальное уравнение второго порядка с непрерывными на
[Т1,аг2] и вещественными коэффициентами Pi, Р2-
•ф"(х) + Р1(х)'ф'(х') + Р2(хУф(х) = 0.	(1.2)
Одномерное уравнение Шредингера (1.1) для стационарных со-
стояний соответствует такому уравнению (1.2), в котором коэффи-
циент при первой производной тождественно равен нулю: Pi(x) = 0,
а коэффициент при нулевой производной имеет вид
Р2(х) = Р2(х,Е) = ^[Е- V(x)].
Коэффициент Р2 зависит от х через потенциальную энергию V(х) и
содержит вещественный параметр Е (полную энергию). Каждому
фиксированному значению параметра Е соответствует свое диф-
ференциальное уравнение. Непрерывность коэффициента Р2 озна-
чает, что потенциал V (аг) не имеет особых точек внутри интерва-
ла [х1,хг], сингулярности потенциала, если они существуют, могут
быть только на концах интервала.
Далее мы кратко опишем те свойства и особенности решения
дифференциального уравнения (1.2), которые нам понадобятся при
решении одномерного уравнения Шредингера (1.1).
1.1. Линейные дифференциальные уравнения
9
Свойства линейного дифференциального уравнения вто-
рого порядка и его решений
1.	У уравнения (1.2) существует бесконечное множество реше-
ний. В силу однородности уравнения (1.2) одним из решений
является тривиальное решение: ф(х) = 0. В дальнейшем мы
будем рассматривать только нетривиальные решения.
2.	В силу линейности уравнения (1.2) любая линейная комбина-
ция его решений так же является решением.
3.	Напомним, что функции (х),... , <рп(з:) называются линейно
независимыми, если равенство
Cppi(x) + С2<р2(х) Ч-+ Сп<рп(х) = 0
имеет место тогда и только тогда, когда все коэффициенты в
нем равны нулю:
G = с2 == сп = 0.
4.	Из множества решений однородного линейного дифференци-
ального уравнения второго порядка всегда можно выбрать
два линейно независимых решения, а три любых его решения
<р1(зг), ¥>2(х), обязательно оказываются линейно зависи-
мыми:
Ciy>i(a:) + С2<р2(х) + С2<р2{х) = 0, 671 #0, С2 0, б7з 0.
5.	Из п. 4 следует, что если <р\(х) и <р2(х) есть два линейно неза-
висимых решения уравнения (1.2), то функция
= Aipr{x) + В<р2(х)	(1.3)
при любых значениях коэффициентов А и В является решени-
ем уравнения (1.2), и, наоборот, любое решение уравнения (1.2)
может быть представлено в виде (1.3). Решение уравнения
(1.2), записанное в виде (1.3) с произвольными коэффициен-
тами А и В, принято называть общим решением. Любое кон-
кретное решение, соответствующее определенным значениям
коэффициентов А и В, принято называть частным решением.
10
Глава I. Одномерное движение
6.	Совокупность двух линейно независимых решений <Pi(x) и
<Р2(х>) уравнения (1.2) называется фундаментальной сис-
темой. Очевидно, что фундаментальную систему можно
выбрать бесконечным числом способов, и переход от одной
фундаментальной системы (y>i(ar), ^{х)) к другой (ф\(х),
ф2(х)) осуществляется с помощью линейного преобразования
Sil S12
S21 S22
y>i(ar)
Фг(х)
^i(ar)
Фг(х)
с несингулярной матрицей S.
7-	Определитель Вронского, составленный из функций фундамен-
тальной системы и их производных первого порядка
y>i(ar)
W(x) = det
Ф2 {x)
99'2(2:)
является в общем случае функцией х. Определитель Вронского
фундаментальной системы не обращается в нуль ни в одной
точке внутри интервала
W(x)^0	\/х е (xi, хг).
8.	Теорема Грина. Если в уравнении (1.2) коэффициент при пер-
вой производной равен нулю во всех точках интервала [xi,X2],
то значение определителя Вронского не зависит от точки в ко-
торой оно вычислено (т.е. равно константе, отличной от нуля):
W(x) = const ф 0 Var.
В уравнении (1.2) Fi(ar) = 0, и условие теоремы Грина выпол-
нено.
9.	Из вещественности коэффициентов уравнения (1.2) следует,
что в качестве фундаментальной системы решений можно
всегда выбрать систему вещественных частных решений.
10.	Теорема Штурма. Рассмотрим вещественные решения ф{х)
уравнения (1.2). Если x-t и хг+1 представляют собой два после-
довательных нуля какого-нибудь решения фу (х) этого уравне-
ния, то у любого другого решения ^г(^), линейно независимого
с ф1(х), существует в точности один нуль между хг и хг+1.
1.1. Линейные дифференциальные уравнения
11
11.	Теорема сравнения. Рассмотрим два однородных уравнения
ф" + <21(ж)^1 = 0, ф% + <22(ж)^2 = О
и их вещественные решения. Если Q2 (х) > Qi (х) на интервале
(а, Ь), то между двумя нулями любого решения первого урав-
нения в этом интервале найдется, по крайней мере, один нуль
каждого решения второго уравнения.
Дифференциальное уравнение (1.2) имеет бесконечное множест-
во решений. Однако чаще всего из физической задачи следует не
только дифференциальное уравнение, но также и некоторые до-
полнительные требования, которым должно удовлетворять решение
уравнения. Наиболее естественно формулировать эти дополнитель-
ные требования в виде условий, накладываемых на коэффициенты А
и В общего решения (1.3) уравнения (1.2). Поскольку в (1.3) имеется
два произвольных коэффициента, то, чтобы получить определенное
решение, необходимо наложить два дополнительных условия.
Обычно различают два способа задания дополнительных усло-
вий в зависимости от того, в одной или разных точках интервала
[«1,3:2] они поставлены:
а)	оба условия налагаются на общее решение дифференциально-
го уравнения в одной точке Xi; такие условия называются началь-
ными условиями, а отыскание частного решения удовлетворяющего
начальным условиям называется задачей Коши ;
б)	можно условия наложить в двух точках Xi,х2; такие условия
называются граничными условиями, а задача решения дифферен-
циального уравнения с граничными условиями называется краевой
задачей.
Задача Коши
Наложим на решение уравнения (1.2) в точке Xi начальные усло-
вия вида
ФЫ = Сы ф'(х^ = С2.	(1-4)
12.	Если коэффициенты уравнения удовлетворяют весьма слабым
условиям (так называемым условиям Липшица), то задача Ко-
ши всегда имеет решение, причем единственное (теорема
12
Глава 1. Одномерное движение
Коши). Если решение ф(х) изобразить в виде кривой на плос-
кости (х,ф), то высказанное утверждение означает, что через
выбранную точку (a;i, Ci) плоскости проходит одна и только
одна кривая с заданным наклоном к оси х (тангенс угла на-
клона равен С2).
13.	Из теоремы Коши следует, что среди всего многообразия
фундаментальных систем существует такая, функции (х) и
</?2(т) которой удовлетворяют условиям
<Pi(xi) = 1, ¥>2(21) = О,
<Л(я1) = 0, <^2(^1) = !•
(1-5)
Такая фундаментальная система называется нормальной фун-
даментальной системой. Она является наиболее удобной для
использования. Очевидно, что определитель Вронского нор-
мальной фундаментальной системы в точке х± равен единице:
W(ti) = det
<Pi (ж1)
¥>2(^1)
1.
Краевая задача
Наложим на решение уравнения (1.2) граничные условия, т.е. в
двух точках xi и ж2 наложим условия вида
aiipfxi) + /31^'(^1) = G, 012^X2) + /М'(жг) = С2,	(1.6)
где хотя бы одна из констант , /?i € С и хотя бы одна из констант
а2, /?2 € С отлична от нуля. Если константы G = С2 = 0, то
граничные условия называются однородными, в противном случае
— неоднородными. Граничные условия с /?1 = /32 = О называются
условиями первого рода (условиями Дирихле), граничные условия с
«1 = а2 = 0 называются условиями второго рода (условиями Ней-
мана). Общие условия вида (1.6) еще называют условиями третьего
рода.
В некоторых случаях граничные условия ставятся так, что в од-
но и то же условие входят обе граничные точки:
anV'(zi) + a^'ixr) + а1зф(х2) + ац^'^г) = G, /,
а21^(я1) + а22ф'(х1) + а23^(а:2) + а24^'(ж2) = G- ’
1.1. Линейные дифференциальные уравнения
13
В этом случае задача Коши может рассматриваться как частный
случай краевой задачи.
Может показаться, что замена двух начальных условий Ко-
ши (1.4) двумя граничными условиями (1.6) или (1.7) не вносит
никакой дополнительной неопределенности в задачу, так как у нас
по-прежнему имеются два «свободных» параметра (параметры
Л и В в общем решении (1.3)), с помощью которых необходимо
удовлетворить двум дополнительным условиям. Однако теорема
существования и единственности решения, доказанная для задачи
Коши (теорема Коши), не имеет места в случае краевой задачи. Для
некоторых граничных условий решения нет вообще, а существуют
и такие граничные условия, которым соответствует бесконечное
множество решений.
Для того чтобы исследовать краевую задачу, возьмем общее ре-
шение (1.3) и подставим его в граничные условия (1.6) или (1.7). В
результате для определения коэффициентов Аи В получим систему
двух алгебраических линейных неоднородных уравнений
7пЛ + 7i2B = Ci,	(1.8а)
721Д + 722В = С2,	(1.86)
где величины 7^- имеют вид
(условие (1-6)) ,
ai<pj(xi) + Pup'^Xi),
7ij = anp^Xi) + ai2<p,j(x1) +
L + aaPj(x2} + ai4<pj(x2), (условие (1.7)) ,
(1-9)
и образуют матрицу Г = ||7у||, определитель которой обозначим Д:
Д = det{Г}.
Вопрос о том, сколько решений имеет краевая задача и сущест-
вует ли решение краевой задачи вообще, равносилен более простому
вопросу о том, сколько решений имеет алгебраическая задача (1-8).
Здесь имеется несколько вариантов в зависимости от того, являет-
ся матрица Г сингулярной или нет и являются граничные условия
однородными или нет.
14.	Если матрица Г не сингулярна, т. е., если определитель Д не
равен нулю, то в соответствии с теоремой Крамера систе-
ма (1.8) имеет только одно решение (Д, В) для любых значе-
ний констант Ci и С2. Однако в случае однородных граничных
14
Глава 1. Одномерное движение
условий это единственное решение представляет собой триви-
альное решение А = О, В = 0. Таким образом, в рассматри-
ваемом случае нетривиальное решение уравнения (1.2) с гра-
ничными условиями (1.6) или (1.7) существует только для не-
однородных граничных условий, и это решение единственное.
15.	Пусть матрица Г сингулярна (Д = 0), и более того пусть
матрица Г нулевая. Такое может быть в том случае, когда
обе функции фундаментальной системы удовлетворяют одно-
родным граничным условиям. Примером является уравнение
с постоянным потенциалом V(x) = V)) и периодическими гра-
ничными условиями ip(x2) =	(частный
случай граничных условий (1.7)). Если матрица Г нулевая,
а граничные условия неоднородны, то система (1-8) решений
не имеет, а следовательно, и уравнение (1.2) с неоднородны-
ми граничными условиями решения не имеет. Если граничные
условия однородны, то каждое из уравнений системы (1.8) яв-
ляется тождеством 0 = 0, и коэффициенты А и В полностью
произвольны. Следовательно, уравнение (1.2) с однородными
граничными условиями имеет два линейно независимых реше-
ния, в качестве которых можно взять функции фундаменталь-
ной системы.
16.	Пусть матрица Г сингулярна (Д = 0), но не нулевая. В част-
ности, матрица Г будет ненулевой в случае граничных усло-
вий (1.6). Если граничные условия однородны (Ci = 0, Сг = 0),
то система (1.8) также является однородной и обладает беско-
нечным множеством решений. Однако все эти решения имеют
специальный вид. Вследствие равенства нулю определителя
Д = 711722 - 712721 = 0
имеют место равенства
722 (711 А + 712 В) = 712 (721 А + 722 В),
721 (711 А + 712 В) = 711 (721 А + 722 В).
Эти равенства означают, что
7пЛ + 712В = g (72М + 722В)
(1-Ю)
1.1. Линейные дифференциальные уравнения
15
при любых А и В. Здесь g есть константа, играющая роль ко-
эффициента пропорциональности. Если все четыре матричных
элемента уц, отличны от нуля, то написанные выше равенства
дают один и тот же коэффициент пропорциональности д. Если
же отлична от нуля только одна пара матричных элементов
(711, 721 или 722, 712), то коэффициент пропорциональности
д определяется одним из написанных выше равенств, а вто-
рое является тождеством 0 = 0. Легко проверить, что других
вариантов нет. В результате указанной пропорциональности
каждое из уравнений (1.8а) и (1.86) есть следствие другого, и
если величины А и В найти, решая одно из этих уравнений,
например, уравнение (1.8а)
7ыЛ -I- 712В = 0,
то второе уравнение, в данном случае уравнение (1.86), бу-
дет выполнено автоматически. Поскольку две неизвестные ве-
личины А и В должны удовлетворять одному линейному од-
нородному уравнению, то они определяются не однозначно, а
с точностью до произвольного множителя. Следовательно, в
рассматриваемом случае уравнение (1.2) с граничными усло-
виями (1.6) или (1.7) имеет бесконечно много решений. Все
эти решения пропорциональны друг другу, т. е. они образуют
одномерное функциональное пространство.
17.	Если матрица Г сингулярна (Д = 0), но не нулевая и гранич-
ные условия являются неоднородными, то система (1.8) также
является неоднородной и у нее либо нет решений, либо сущест-
вует бесконечное множество решений. В рассматриваемом слу-
чае соотношение пропорциональности (1.10) по-прежнему име-
ет место. Следовательно, если не выполнено равенство
Ci = дС%,
то система (1.8) оказывается несовместной и не имеет решений.
Если же это равенство выполняется, то, как и в предыдущем
случае, каждое из уравнений (1.8а) и (1.86) является следстви-
ем другого и для нахождения А и В необходимо рассматривать
только одно из уравнений, например, (1.8а):
711Л 4- 712В = Ci-
16
Глава 1. Одномерное движение
Таким образом, и здесь две неизвестные величины А и В под-
чинены одному линейному уравнению. Следовательно, в рас-
сматриваемом случае уравнение (1.2) с граничными условия-
ми (1.6) или (1.7) имеет бесконечное множество решений. Все
эти решения образуют одномерное функциональное простран-
ство.
Задача на собственные значения
До сих пор мы рассматривали решения дифференциального
уравнения (1.2), поскольку именно такой вид имеет уравнение
Шредингера для стационарных состояний в одномерном случае.
При этом мы считали коэффициенты /\(т) и Г?(х), входящие в
уравнение (1.2), заданными функциями. Однако уравнение Шредин-
гера это не просто дифференциальное уравнение, а уравнение для
волновой функции. На волновую функцию из физических соображе-
ний накладываются некоторые дополнительные условия, которые
в одномерном случае можно сформулировать в виде однородных
граничных условий (1.6) или (1.7) (см. следующий раздел).
Как мы видели, уравнение (1.2) с однородными граничными
условиями имеет нетривиальное решение только если определитель
Д обращается в нуль. В то же время в уравнение Шредингера вхо-
дит энергия Е, которая заранее не определена. Изменяя Е, можно
подобрать такие значения Ек, при которых определитель Д обраща-
ется в нуль, и, следовательно, соответствующие этим Ек решения
•фк удовлетворяют необходимым дополнительным условиям. Такие
Ек и Фк называются собственными значениями (собственными чис-
лами) и собственными функциями уравнения Шредингера. Если од-
ному и тому же Ек соответствует несколько линейно независимых
решений, то говорят, что собственное число Ек является вырож-
денным, а число соответствующих линейно независимых решений
называется кратностью вырождения.
Аналогичная задача в теории обыкновенных дифференциальных
уравнений называется задачей Штурма—Лиувилля, которая в при-
менении к нашему случаю состоит в исследовании решений уравне-
ния
ф"(х) -I- ^^-(Е - У(хУ)ф(х) = 0	(1.11а)
1.1. Линейные дифференциальные уравнения
17
с однородными граничными условиями
+ М'(х!) = 0, а2ф(х2) + 02ф'(х2) = 0,	(1.116)
ИЛИ
anV’Cci) + 012^4^1) + а13^(ж2) + а14ф'(х2) = 0,	,	.
а21^(я1) + а22ф'(х1) + 023^(22) + а24ф'(х2) =0,	‘ в'
где интервал	может быть конечным или бесконечным. Как
правило, в задаче Штурма—Лиувилля рассматриваются веществен-
ные решения.
Возьмем конечный интервал [ж1,ж2]- Результаты для бесконеч-
ного интервала могут быть получены путем соответствующего пре-
дельного перехода.
18.	В соответствии со сказанным в п. 14-16 уравнение (1.11а) име-
ет нетривиальное решение, удовлетворяющее однородным гра-
ничным условиям (1.116) или (1.11в), только если определи-
тель Д матрицы Г (1.9) равен нулю. Зафиксировав некоторое
значение Е, можно найти фундаментальную систему tp4, tp2,
вычислить матричные элементы 7У (1.9) и определитель Д.
Повторяя эти вычисления при разных значениях Е, мы полу-
чаем функцию Д(Е). Тогда собственные числа будут решени-
ями уравнения
Д(Е) = 0.
Для каждого собственного числа Е^ собственные функции об-
разуют одномерное или двумерное функциональное простран-
ство. Поэтому собственные числа задачи (1-11) либо невырож-
дены, либо двукратно вырождены. В случае граничных усло-
вий (1.116) все собственные числа являются невырожденными.
Однако при использовании граничных условий (1.11в) уравне-
ние Штурма—Лиувилля может иметь дважды вырожденные
собственные числа. Примером является уравнение с постоян-
ным потенциалом У(ж) = Vo и периодическими граничными
условиями ф(х2) = ip(xi), ip'(x2) = ip'fx!).
19.	Расстояние между любыми соседними собственными числами
уравнения Штурма—Лиувилля конечно (не бесконечно мало),
18
Глава 1. Одномерное движение
т. е. спектр является чисто дискретным (напомним, что здесь
рассматривается интервал конечной длины).
20.	Спектр ограничен снизу (для интервала конечной длины), но
не ограничен сверху.
21.	Собственная функция, соответствующая наименьшему собст-
венному числу, не имеет нулей внутри интервала («х, ж?)- Нули
могут быть только на границах интервала (если того требуют
граничные условия).
22.	Вследствие однородности уравнения и граничных условий в
качестве собственных функций можно выбрать функции, нор-
мированные на единицу:
Х2
У = 1-
23.	Собственные функции и fy, принадлежащие разным собст-
венным числам Ег Е3, ортогональны
ipi(x)ipj(x)dx = 0.
24.	Будем увеличивать длину интервала [Х1,хг], которую обозна-
чим d, и предположим, что при этом потенциальная энергия
остается ограниченной сверху:
У(ж) < Vb, Va: е [ж1,жг],
причем верхняя граница Vo потенциала не зависит ни от х±,
ни от Х2  Тогда при увеличении d расстояние Ek+i — Е^ меж-
ду соседними высоковозбужденными уровнями Ek » Vo бу-
дет убывать обратно пропорционально d. Это означает, что
если мы ставим граничные условия на интервале бесконечной
длины, то у частицы спектр энергий может быть сплошным
частично или полностью.
В следующем разделе мы рассмотрим условия, накладываемые
на волновую функцию исходя из физических особенностей рассмат-
риваемой задачи.
1.2. Волновая функция
19
1.2.	Волновая функция
В квантовой механике на волновую функцию ф(х) из физических
соображений накладываются дополнительные условия. Во-первых,
поскольку квадрат модуля волновой функции в точке х имеет смысл
плотности вероятности найти частицу в этой точке, то волновая
функция должна быть нормируемой (интегрируемой с квадратом
модуля). В случае бесконечного интервала — оо < х < оо для сходи-
мости нормировочного интеграла волновая функция должна стре-
миться к нулю, причем достаточно быстро, при стремлении |т| к
бесконечности. Следовательно, граничными условиями для волно-
вой функции в случае бесконечного интервала является равенство
нулю волновой функции на бесконечности. Отметим, что в этом слу-
чае не только сама волновая функция, но и ее производная обраща-
ется на бесконечности в нуль.
Во-вторых, для частицы должны иметь смысл импульс и кинети-
ческая энергия. Это значит, что волновая функция должна удовле-
творять таким граничным условиям, при учете которых, возможно
построение самосопряженных операторов импульса и кинетической
энергии. Проблема состоит в том, что операторы импульса и ки-
нетической энергии являются неограниченными операторами (как
импульс, так и кинетическая энергия могут принимать сколь угод-
но большие значения), а неограниченный оператор задан не во всем
гильбертовом пространстве (но область его определения плотна в
гильбертовом пространстве). Построение самосопряженного опера-
тора (точнее, построение самосопряженного расширения неограни-
ченного оператора) представляет собой довольно сложную матема-
тическую задачу, решение которой для операторов импульса и ки-
нетической энергии в одномерном случае приводит к следующим
результатам. Возможны только два типа граничных условий: один
для бесконечного —оо < х < оо, а другой для конечного: Xi < х < х%
интервалов, для полубесконечного же интервала 0 < х < оо по-
строить самосопряженный оператор импульса не удается. В случае
бесконечного интервала на функцию следует наложить нулевые гра-
ничные условия
•ф(— оо) = 0,	^>(оо) = 0,	(1-12)
т. е. в этом случае граничные условия не отличаются от ограниче-
ний вытекающих из условия нормировки волновой функции. В слу-
20
Глава 1. Одномерное движение
чае конечного интервала на функцию необходимо наложить гранич-
ное условие
^(ж2) = е1О,^(ж1),
(1-13)
а на первую производную — условие
^'(ж2) = eia
(1.14)
где a — произвольная вещественная константа, одна и та же в (1.13)
и (1.14).
Поясним, как получаются эти условия. Оператор А является
самосопряженным, если оператор, сопряженный с А, совпадает с
А. Поэтому самосопряженный оператор должен быть, в частности,
симметричным. Напишем условия симметричности для операторов
импульса
’ d]
—гп—
ах
«/'г (ж) dx =
и кинетической энергии
h2 d2
Б—TFT V2{x)dx =
2m0 dx2
h2 d2 '
2mo dx2
tf>i(x)dx
Здесь Vi и V'z суть две произвольные функции из области опре-
деления операторов, а знак «*» означает комплексное сопряжение.
Выполняя интегрирование по частям, получаем, что для симмет-
ричности внеинтегральные члены должны обращаться в нуль, т. е.
должны быть выполнены равенства
Ф1(х)ф2(х)	= 0,
dx dx
ь
«Ыж) = 0.
1.2. Волновая функция
21
Очевидно, что при нулевых граничных условиях = 0,	= О
внеинтегральные члены обращаются в нуль для любого интервала:
конечного xi < х < х%, полубесконечного 0 < х < оо или бесконеч-
ного —оо < х < оо. Следовательно, при нулевых граничных услови-
ях рассматриваемые операторы являются симметричными. Однако
кроме симметричности для самосопряженности необходимо, чтобы
совпадали области определения исходного оператора и оператора со-
пряженного с исходным.
Оказывается, что при нулевых граничных условиях самосопря-
женными будут: оператор кинетической энергии для всех трех ин-
тервалов и оператор импульса для бесконечного интервала. Опе-
ратор же импульса для конечного и полубесконечного интервалов
не является самосопряженным, и надо производить расширение, ис-
пользуя более общие граничные условия. Известно, что построить
самосопряженное расширение для оператора импульса в случае по-
лубесконечного интервала не удается. Для конечного же интерва-
ла оператор импульса получается самосопряженным при гранич-
ном условии (1-13) (нулевые граничные условия являются частным
случаем условий (1.13)). Для того чтобы при этом оператор кинети-
ческой энергии остался самосопряженным, на производную следует
наложить условие (1.14).
Замечание. Одномерное уравнение вида (1.2) для радиальной
функции Р(г) на полубесконечном интервале 0 < г < оо возникает
в том случае, когда задача о движении частицы в трехмерном про-
странстве решается методом разделения переменных. В этом случае
можно использовать нулевые граничные условия для полубесконеч-
ного интервала 0 < г < оо, поскольку рассматриваемая задача явля-
ется чисто математической и нам достаточно, чтобы оператор вто-
рой производной был самосопряженным независимо от того, каким
будет оператор, содержащий первую производную.
В дополнение к рассмотренным условиям нормируемости волно-
вой функции и существования операторов импульса и кинетической
энергии встречаются и другие условия, которые должны быть на-
ложены на волновую функцию.
Рассмотрим стационарное состояние, волновая функция которо-
го должна удовлетворять уравнению Шредингера. Для этого она
должна быть подчинена еще двум условиям. Первое из них состо-
ит в том, что в той области, где потенциал непрерывен или имеет
разрывы первого рода (скачки), волновая функция должна быть не-
22
Глава 1. Одномерное движение
прерывной. В противном случае волновая функция не может быть
решением уравнения Шредингера.
Действительно, пусть имеется волновая функция чр с разрывом,
принадлежащая гильбертову пространству. Произведение V(х) — Е
и чр есть функция, принадлежащая гильбертову пространству. В то
же самое время первая производная от чр, и тем более вторая про-
изводная от чр, гильбертову пространству не принадлежат. Именно,
в случае разрыва первого рода волновая функция имеет скачок, а
производная от скачка представляет собой «5-функцию. В случае же
разрыва второго рода производная от интегрируемой особенности
есть особенность не интегрируемая. Таким образом, результат дей-
ствия оператора кинетической энергии на и умножение V(x)—E на
чр приводят к качественно разным функциям. Следовательно, сум-
ма этих функций не может быть равна нулю, т. е. чр не может быть
решением уравнения Шредингера.
Используя аналогичные аргументы, можно показать, что на вол-
новую функцию стационарного состояния необходимо наложить и
второе условие. Это условие состоит в том, что в области, где по-
тенциал непрерывен или имеет разрывы первого рода, производная
от волновой функции тоже должна быть непрерывной. Производная
от волновой функции может иметь разрывы только в тех точках,
где потенциал сингулярен.
В одномерном случае уравнение Шредингера может иметь не
только квадратично интегрируемые решения, описывающие состо-
яния дискретного спектра, но и решения, ограниченные на всей оси
х. Такие решения гильбертову пространству не принадлежат, т. е.,
строго говоря, они не являются волновыми функциями частицы. Од-
нако оказывается, что ограниченные на всей оси х решения соответ-
ствуют сплошному спектру оператора Гамильтона и могут рассмат-
риваться как волновые функции, описывающие инфинитное движе-
ние частицы, т. е. такое движение, при котором частица приходит
из бесконечности и уходит на бесконечность. В этом случае квад-
рат модуля волновой функции дает не абсолютное значение плот-
ности вероятности найти частицу в определенной точке, а относи-
тельное значение плотности вероятности, которое позволяет срав-
нивать друг с другом вероятности нахождения частицы в разных
точках. Можно сказать, что такая волновая функция описывает не
одну частицу, а поток частиц, и квадрат модуля волновой функции
дает плотность частиц в данной точке потока. Очень часто такие
1.3. Симметрия
23
волновые функции также называют собственными функциями опе-
ратора Гамильтона. Это можно оправдать тем, что дифференциаль-
ное выражение, соответствующее оператору Гамильтона, позволяет
определить оператор в пространстве функций, более широком, чем
гильбертово пространство. Однако строго до конца это не сдела-
но, и в настоящее время термин «собственная функция сплошного
спектра» можно использовать лишь условно.
Кроме перечисленных в разд. 1.2 общих свойств, волновая функ-
ция может также обладать и симметрийными свойствами, к изуче-
нию которых мы и переходим.
1.3. Симметрия
Если рассматриваемая физическая система обладает симметри-
ей, эту симметрию целесообразно использовать, так как ее учет не
только позволяет классифицировать состояния, но и во многих слу-
чаях упрощает решение. Симметрия одномерных систем, если она
присутствует, является самой бедной. В них существует лишь одна
точечная операция симметрии — инверсия, т.е. замена х на — х. Од-
нако даже эту симметрию полезно учитывать. Предположим, что
выбранный для решения интервал симметричен
= —х2,
и потенциальная энергия является четной функцией
V(—ж) = Г(ж).
В этом случае оператор Гамильтона инвариантен по отношению к
операции инверсии
Щ-х) = Н(х).	(1.15)
Посмотрим, какими свойствами будет в этом случае обладать
волновая функция ^(гс) стационарного состояния, являющаяся ре-
шением уравнения Шредингера
Н(х)ч1>(х) = Ечр(х).	(1.16)
Произведем в уравнении (1.16) замену переменной х —х:
H(—x)ip(—x) = Eip(—x).
24
Глава 1. Одномерное движение
Используя (1.15), получаем
х) = Et[>(—x).
Таким образом, ^(—х) также есть собственная функция операто-
ра Н с тем же самым собственным числом Е. Здесь имеются две
возможности: а) уровень Е не вырожден; б) уровень Е двукратно
вырожден.
Рассмотрим обе возможности:
а) уровень Е не вырожден. В этом случае функция ^(—х) может
лишь множителем отличаться от функции ^(х):
х) = Ct/i(x).
Изменяя в этом равенстве знак у х, получаем
^(гс) - гс).
Следовательно,
•ф(х;) = СР^х),
или
С2 = 1, С = ±1.
Это означает, что собственная функция оператора Н есть либо
четная функция гс:
V’(-z) = -ф(х),
либо нечетная функция х:
•ф(-х) = — •ф(х);
б) уровень двукратно вырожден. Если найденное решение таково,
что и ^(—ж) линейно зависимы, то мы приходим с слу-
чаю а). Если же 'ф(х) и ^(—х) линейно независимы, то любая
их линейная комбинация, в частности, их сумма или разность,
является нетривиальным решением уравнения (1.15), т. е. соб-
ственной функцией оператора Н. При этом
^(гс) + чр(—х) — четная функция х,
•ф(х) — ^(—х) — нечетная функция х.
1.4. Энергетический спектр
25
Таким образом, при наличии инверсии собственные функции опе-
ратора Гамильтона либо автоматически имеют определенную чет-
ность, либо могут быть преобразованы в функции, имеющие опре-
деленную четность. Во всяком случае, собственные функции всегда
можно искать в виде функций, имеющих определенную четность. В
частности, можно решать уравнение лишь на половине интервала,
например, [0, х2], а решение на оставшейся части интервала [—а?2,0]
находить с помощью симметрии, строя либо четное решение, если
^(0)	0, либо нечетное, если ^(0) = 0.
1.4. Энергетический спектр
Рассмотрим стационарные состояния частицы, которая может
двигаться в бесконечном интервале — оо < х < оо:
fi2 d?
~о ' >	= Еф(х).	(1.17)
Лтпо axz
Предположим, что потенциал У(гс) не сингулярен, но может иметь
конечное число разрывов первого рода. Раз потенциал не сингуля-
рен, он может обращаться в бесконечность только при х —> ±оо.
Обозначим наименьшее из Р(—оо) и У(оо) через V-, а наибольшее
через V+.
Пусть V- — — оо. В этом случае у задачи нет дискретного спект-
ра. Спектр чисто сплошной и занимает всю ось энергий от — оо до
+оо. Чтобы показать это, воспользуемся теоремой сравнения (п. 11
разд. 1.1). Сравним решение ф(х) уравнения (1.17), которое запишем
в виде
Ф" + ОШ = 0,	Q2(x) = ^(Е - V(x)),
nr
с решением ф(х) уравнения
ф" + <21 (х)ф = 0,	01(ж) = 1.
Предположим для определенности, что потенциал стремится к — оо
только справа, т. е. при х —> оо. Тогда для любого Е < 0 можно
найти такое ж+, что
И2
V(x) < Е — -—,	если х > ж+.
2/Tlo
26
Глава 1. Одномерное движение
Таким образом, при х > справедливо следующее неравенство:
> 01(ж), и из теоремы сравнения (п. 11 разд. 1.1) следует, что
между двумя нулями функции ф(х), расположенными при х > гс+,
будет находиться, по крайней мере, один нуль функции ф(х), причем
независимо от выбора частных решений ф(х) и ф(х) при рассмат-
риваемом значении Е.
Возьмем конкретное частное решение ф{х} = sin ж. Число ну-
лей этого решения, расположенных правее х+, бесконечно велико.
Следовательно, любое решение ф(х) также имеет бесконечное число
нулей. Однако волновая функция, соответствующая первому (наи-
низшему) дискретному уровню энергии, не должна иметь нулей при
конечных х (п. 21 разд. 1.1), она обращается в нуль только при
х -» ±оо. Следовательно, в рассматриваемом случае не существует
ни одного дискретного уровня энергии. В то же самое время если
нулевые граничные условия поставлены при любых, сколь угодно
больших по абсолютной величине, но конечных значениях х± и хг,
то существует бесконечно много дискретных уровней энергии (п. 20
разд. 1.1). Расстояние между соседними уровнями уменьшается при
увеличении длины интервала [arj, жг], и при a?i -» —оо, х? —> +оо
дискретный спектр перейдет в сплошной спектр, заполняющий всю
вещественную ось энергий.
Далее мы будем рассматривать тот случай, когда величина V-
конечна. В этом случае потенциал V (х) ограничен снизу:
V(t) > Vmm,
Отметим, что V- и Vminj вообще говоря, не совпадают. Вследствие
ограниченности потенциала энергетический спектр частицы также
ограничен снизу величиной Vmm. Действительно, энергия частицы
в состоянии, описываемом волновой функцией ф(х), есть сумма
Е — Ек + Ev
кинетической
ОО
Ек — I ф*(х)
—ОО
J fi2 d2 1
1.4. Энергетический спектр
27
и потенциальной
оо
Ev = J i[)* (х) V(x)ip(x) dx
—оо
энергии. Здесь предполагается, что волновая функция нормирована
на единицу:
оо
—оо
Рассматривая кинетическую энергию, беря интеграл по частям и
учитывая, что внеинтегральный член обращается в нуль, получаем
ОО
E. = _*L [
к 2m0 J
— ОО
dip(x)
dx
2
dx > 0.
Поскольку оператор потенциальной энергии есть оператор умноже-
ния, для потенциальной энергии можно написать
mm j
так как волновая функция нормирована на единицу. Таким образом,
Е — Ek + Ev > Vmin
Покажем теперь, что при Е > V- существует только сплошной
спектр. Предположим для простоты, что V- соответствует правой
границе, т. е. V(х) —> V_ при х —> оо. Тогда при больших х в урав-
нении (1.17) можно заменить У(т) на его предельное значение V- и
получить
•ф"(х) -I- х2^(т) = 0, х = 1 / -—^-(Е — V_) > 0.
V ТУ
Здесь под корнем стоит положительная величина и берется ариф-
метическое значение корня. Общее решение этого уравнения имеет
вид
•ф(х:) = .4sin(>ra:) + Bcos(mx)
28
Глава 1. Одномерное движение
с произвольными коэффициентами А и В. Никаким выбором коэф-
фициентов А и В нельзя получить квадратично интегрируемое ре-
шение, следовательно, при Е > V- точек дискретного спектра нет.
В то же время при любом Е > V- решение остается ограниченным
при х —> оо. Это указывает на то, что каждое Е > V_ является точ-
кой сплошного спектра. Более аккуратно это можно показать, поста-
вив нулевые граничные условия на конечном интервале и устремив
границы интервала к оо и — оо.
Дискретный спектр может существовать только при Е < У_.
Для таких значений Е уравнение (1-17) при х —> оо может быть
записано в виде
•ф"(х) — а2^(а;) = 0, a = \	— Е) >0.
V пг
Здесь под корнем опять стоит положительная величина и берется
арифметическое значение корня. Общее решение этого уравнения
имеет вид
чр(х) = Aieax + Bie~ax, х оо.
Отсюда видно, что существует решение экспоненциально убываю-
щее справа, т. е. при х —> оо. Оно получается, если положить Аг = 0.
Аналогично при х —> — оо уравнение (1.17) может быть записано
в виде
ф"(х) - ^{х) = 0,	/3 = J^(V+ - Е) > 0.
V п
Поскольку V+ > V_, под корнем стоит также положительная вели-
чина. Общее решение этого уравнения имеет вид
•ф(х) = A2et3x + В2е~13х, х -> —оо.
Решение, экспоненциально убывающее слева (при х -> —оо), полу-
чается, если положить В2 = 0.
Если можно найти такое значение Е, при котором решение,
экспоненциально убывающее слева непрерывно и гладко (с непре-
рывной производной) перейдет в решение, экспоненциально убы-
вающее справа, то при данном Е существует квадратично интег-
рируемое решение уравнения (1.17), следовательно, это значение
1.5. Сравнение движения квантовой и классической частиц 29
Е соответствует точке дискретного спектра энергии. Существуют
ли дискретные уровни энергии для рассматриваемого потенциала
V (х) и если существуют, то каково их число, определяется конкрет-
ным поведением потенциала V (а;) на всей оси х. В частности, если
Vmin = V-, т. е. если Г(т) > У_, то дискретных уровней в таком
потенциале нет. Действительно, для любой квадратично интегри-
руемой функции значение энергии не может быть меньше V_, так
как значение кинетической энергии положительно, а значение по-
тенциальной энергии в этом потенциале не меньше V-. Для сущест-
вования дискретного уровня энергии необходимо, чтобы наименьшее
значение потенциала Vmin было строго меньше его предельных зна-
чений У(—оо) и У(оо). Если это условие выполнено, то независимо
от вида потенциала в нем существует хотя бы одно связанное состо-
яние (существуют квадратично интегрируемая волновая функция и
соответствующий ей дискретный уровень энергии). В этом состоит
особенность одномерной задачи. В трехмерном случае для того, что-
бы в потенциальной яме появилось связанное состояние, яма должна
быть достаточно большой. Число дискретных уровней энергии опре-
деляется тем, как потенциал V (х) стремится к своему предельному
значению V-. Если он стремится к V- сверху или если он стремится
к V- снизу, но разность V (ж) — V- убывает быстрее чем 1 /х2, то чис-
ло уровней дискретного спектра конечно. Если V (ж) стремится к V-
снизу и разность V (х) — убывает не быстрее чем 1/ж2, то число
уровней дискретного спектра бесконечно велико. Так, например, об-
стоит дело в случае потенциала, который на больших расстояниях
ведет себя как потенциал притяжения и убывает по кулоновскому
закону.
1.5. Сравнение движения квантовой
и классической частиц
Движение классической частицы мы описываем с помощью тра-
екторий, а квантовой частицы — с помощью волновой функции.
Вследствие соотношения неопределенноси Гейзенберга у квантовой
частицы нет траектории. Тем не менее мы можем и квантовую, и
классическую частицы описывать в одних и тех же терминах, по-
скольку для классической частицы можно ввести понятие плотнос-
ти вероятности найти частицу в данной точке, т. е. понятие, кото-
30
Глава 1. Одномерное движение
рое является естественным для квантовой частицы. Таким образом,
мы можем сравнивать, как зависит от координаты х плотность ве-
роятности обнаружения классической частицы ркл(а;) и квантовой
частицы ркв(т).
Исследуем движение класси-
ческой частицы с полной энер-
гией Е, в потенциальной яме,
изображенной на рис. 1. Частица
будет совершать колебания меж-
ду двумя точками Xi и гсг- Эти
колебания будут периодически-
ми, хотя в общем случае они
не будут гармоническими. Рас-
смотрим частицу, находящуюся
в некоторой точке х внутри ямы,
справа от точки минимума по-
тенциальной энергии, как пока-
зано на рис. 1.
Полная энергия частицы есть сумма кинетической и потенциаль-
ной энергии:
Е = Ek + Ev =	+ Р(т).
Отсюда мы находим абсолютную величину скорости частицы
/~2
u(x) = t —(E — V(x)).
V то
Пусть скорость положительна и частица движется слева напра-
во. По мере приближения к точке х% потенциальная энергия воз-
растает, а кинетическая энергия и скорость частицы уменьшаются
покуда частица не достигнет точки Х2, где ее скорость обратится
в нуль. Однако в этой точке на частицу действует сила, направ-
ленная налево (cZV/drc|a;2 > 0), и частица отразится от точки ж? и
начнет ускоренно двигаться влево, пока не достигнет минимума по-
тенциальной энергии, где ее скорость максимальна, затем она нач-
нет замедляться, дойдет до точки a;j, отразится от нее и начнет
двигаться вправо. Таким образом, частица будет совершать перио-
дические колебания между точками Xi и Х2 с периодом Т. Точки х±
и Х2 называются точками поворота.
1.5. Сравнение движения квантовой и классической частиц
31
Для того чтобы вычислить плотность вероятности нахождения
частицы в точке х отрезка [tj , х?], возьмем небольшой интервал dx
около точки х и определим время dt, за которое частица проходит
этот интервал. Беря отношение длины интервала к скорости части-
цы, получаем
Пусть частица совершает движение в течение большого промежутка
времени ti, такого, что t± = nT+/\t, где Ai << Т. За это время час-
тица будет находиться в интервале dx в течение времени <2 = 2ndt
(множитель 2 появился из-за того, что за период Т частица дважды
проходит этот отрезок, один раз слева направо, а другой — справа
налево). Поэтому вероятность dw того, что частица будет находить-
ся внутри отрезка dx, определяется следующим выражением:
2ndt 2dx
dw — lim ——----— — ———.
n-юс пТ + Ai Tu(x)
Следовательно, искомая плотность вероятности найти частицу в
точке х есть
dw
PW = -у
ах
(1-18)
График плотности вероятности для потенциальной ямы, которая
изображена на рис. 1, и для значения энергии Е, которое там ука-
зано, приведен на рис. 2.
32
Глава 1. Одномерное движение
Рис. 2. Классическая плотность ве-
роятности.
Плотность вероятности найти
частицу в точках поворота ока-
зывается максимальной, так как
в этих точках скорость частицы
обращается в нуль. Плотность
вероятности найти частицу
минимальна в точке, где потен-
циальная энергия принимает
свое минимальное значение, так
как в этой точке скорость части-
цы максимальна. Классическая
частица не может находиться в
областях с координатами х < х±
их > Х2, так как при этом
скорость классической частицы
оказывается комплексной. Как следствие, и плотность вероятнос-
ти обнаружить классическую частицу в этих областях станет
комплексной, что не имеет физического смысла. Поэтому в выраже-
нии (1.18), которое является определением классической плотности
вероятности, за границами интервала [жх, жг] плотность вероятнос-
ти положена равной нулю.
Глава 2.
Прямоугольная потенциальная яма
Рассмотрим стационарные состояния частицы с массой то, дви-
жущейся в поле с потенциальной энергией вида (см. рис. 3)
I : п ; III
Рис. 3. Прямоугольная потенциаль-
ная яма.
Здесь а — полуширина, a Vq — глубина потенциальной ямы. Урав-
нение Шредингера для стационарных состояний запишем в виде
/2 +	~	= °'
ах. пг \	/
В данной задаче потенциал ограничен снизу величиной —Vo, а
следовательно, и спектр энергий ограничен снизу:
Е > -Уо.
Потенциал на бесконечности обращается в нуль. Следовательно,
дискретный спектр может быть только при отрицательных энер-
гиях. При положительных энергиях спектр только сплошной.
Далее, потенциал является четной функцией х, а следовательно,
можно считать, что собственные функции уравнения Шредингера
являются либо четными, либо нечетными.
Разобьем ось х на три области:
I: х < —а, II: — а < х < а, III: х > а,
34
Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма
для которых а и —а являются граничными точками, и представим
волновую функцию в виде
' фх(х), х € I,
ф(х) =	ф2(х), х £ П,
. ^з(т), т е III.
Тогда уравнение Шредингера для стационарного состояния можно
записать в виде
dx2 +	2m0 p	V'i(t) = 0,	x € I,
dx2 +	2m0 / h2 I	E + Ко) Ф2 (*) = 0,	теп,
	2mn „		
dx2		ф3(х) = 0,	x e III
Поскольку волновая функция должна быть непрерывной вместе с
первой производной, функции Vl; и Фз оказываются связанными
так называемыми условиями сшивания
V’i(-a) = ^2(-а),	^г(а) = Фз(а),
Ф'1(~а) = ф'2(—а),	ф'2[а) = ф'3(а).
(2-1)
2.1. Отрицательные энергии
Рассмотрим область отрицательных энергий — Ко < Е < 0, возь-
мем некоторое произвольное значение энергии Е и введем обозначе-
ния
а = \1-^Е >0, х = \1^(У0+Е) > 0.	(2.2)
V n	V а
В формулах (2.2) берется арифметическое значение квадратного
корня. Напишем общее решение в каждой из трех областей:
фх (х) = Ах еах + Вх е ох,
ф2 (х) = А2 sin хх + В2 cos хх,
ф3(х)=А3еох + В3е~ох.
2.1. Отрицательные энергии
35
В этих выражениях имеется шесть коэффициентов: Ai, Аг, Аз, В^,
В2 и Вз- Для нх определения необходимо использовать условия
сшивания в точках а и —а (четыре условия) и граничные усло-
вия (1-12) на ±оо (два условия), т. е. шесть условий. Однако, требу-
ется еще удовлетворить условию нормировки, которое оказывается
седьмым. Следовательно, при произвольной энергии Е всем необхо-
димым условиям удовлетворить не удается. Однако можно считать
энергию Е седьмой неизвестной величиной. Тогда число уравнений
будет совпадать с числом неизвестных, и эта система уравнений
уже может иметь решение, хотя и не всегда. Поскольку волновая
функция должна быть нормируемой, т. е. интегрируемой с квадра-
том модуля, коэффициенты В\ и Аз, стоящие при возрастающих
экспонентах, должны быть положены равными нулю. Далее, как го-
ворилось ранее, мы можем выбрать в качестве собственных функций
такие решения, которые обладают определенной четностью.
Четные решения
Для того чтобы решение было четным, положим
Ai = В3, Аг = 0.
Условия сшивания можно рассматривать только в точке х = а, в
силу симметрии условия сшивания в точке х = —а будут выполнены
автоматически:
B2COS жа= Взв~аа,
-хВ2 sin ха = — аВз е~аа.
Мы получили систему двух линейных однородных уравнений от-
носительно двух неизвестных: В2 и В3. Эта система имеет нетри-
виальное решение только если определитель системы равен нулю.
Вычисляя определитель и приравнивая его к нулю, получим транс-
цендентное уравнение
xtg ха = а.
То же самое уравнение можно получить, если разделить почленно
второе уравнение из системы на первое. Из данного трансцендентно-
го уравнения мы должны найти энергию Е. Преобразуем уравнение
к более удобному виду. Для этого введем две величины:
£ = ха,
т] = аа.
(2-3)
36
Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма
Поскольку х и а положительны, £ и т] также положительны. С
их помощью трансцендентное уравнение можно записать в виде
=	(2.4)
Помимо этого уравнения величины £ и т] связаны еще одним услови-
ем, которое можно получить, вычислив сумму £2 +т]2. В результате
приходим к уравнению
е + Т]2 = Q,	(2.5)
где параметр ямы Q определен формулой
Q = a2(^+a2) = ^^V0.	(2.6)
nr
Теперь мы можем рассматривать £ и г] как независимые пе-
ременные, связанные двумя уравнениями: (2.4) и (2.5). Решить
эти уравнения удобнее всего графическим методом, как показа-
но на рис. 4. Построим два графика функции т] = ту(£), которые
соответствуют уравнениям (2.4) и (2.5). Достаточно рассмот-
реть только первый квадрант, так как £ и ту положительны.
Кривая т] = т](£), зада-
ваемая уравнением (2.4),
т]	представляет собой беско-
1	1	1	нечный набор ветвей, при-
,	,	,	,	чем £-я ветвь (£ — 1,... , оо)
Illi начинается со значения
!	1	/1	1	т] = 0 в точке £ = (£ — 1)тг
/'\	1 J	и монотонно возрастает
>,ii |____।____________। ( е до бесконечности в точ-
0	я Зтг/2	ко £ = (£ — 1)тг + тг/2.
£1	7Г/2
_	,	.	Кривая, соответствующая
Рис. 4. 1 рафическое решение уравне- г	.	.
ниЯ (2.4).	уравнению (2.5), представ-
ляет собой окружность,
радиус которой равен
Точки пересечения кривых дают значения £ и ту, при которых выпол-
нены оба уравнения ((2.4) и (2.5)), т. е. дают искомые решения. Зная
значение £(, соответствующее £-й точке пересечения, мы с помощью
формул (2.2) и (2.3) находим энергию £-го состояния
Ее = —Vo + ------2$.
2тпоог
2.1. Отрицательные энергии
37
Рассматривая график, можно сделать следующие выводы:
1.	Для четных решений при любых значениях а и Vq имеется хотя
бы одна точка пересечения кривых. Поэтому в яме с любой
шириной и глубиной существует, по крайней мере, один чет-
ный дискретный уровень.
2.	При любых конечных значениях а и Vq число дискретных четных
уровней в яме конечно.
Описанный способ был удобен для исследования трансцендент-
ного уравнения. Для того чтобы найти численное значение энергии
£-го уровня, удобно преобразовать систему уравнений (2.4) и (2.5).
Беря уравнение (2.5) и подставляя в него Т] из уравнения (2.4), по-
лучаем
e2(i + tg2e) = q.
Учитывая, что мы ищем £-й уровень, произведем замену переменной
£ = z + (£ - 1)тг
так, что новая переменная z будет изменяться в интервале
О < z < тг/2. Используя тригонометрическое тождество, извле-
кая квадратный корень и учитывая, что cosz в рассматриваемом
интервале положителен, приходим к уравнению
z + (£ — 1)тг = \/Qcosz,
которое легко решается, например, методом деления промежутка по-
полам.
Нечетные решения
Для того чтобы решение было нечетным, необходимо положить
Д1 = - В3, В2 = 0.
Тогда опять-таки можно рассматривать условия сшивания только
в точке х = а:
А2 sin на— В3е~аа,
иА2 cos на — —аВ3е~аа.
38
Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма
Теперь вместо (2.4) получаем другое уравнение:
Т] = -^ ctg£.
(2.7)
Переменные £ и rj по-прежнему связаны условием (2.5). Решение
Рис. 5. Графическое решение уравне-
ния (2.7).
системы уравнений (2.7) и
(2.5) графическим методом
проводится аналогично
случаю четных решений.
Соответствующие кри-
вые г) = ту(£) изображены
на рис. 5. Из рисунка
видно, что точка пере-
сечения кривых есть не
всегда. Она существует,
если радиус окружности
больше тг/2 (окружность а),
т. е., если параметр Q (2.6) удовлетворяет неравенству Q > тг2/4.
Если же это неравенство не выполнено (окружность Ь), то кривые не
пересекаются. Таким образом, мы приходим к следующим выводам:
3.	В яме находится хотя бы один нечетный дискретный уровень,
если параметр ямы Q достаточно велик.
4.	При любых конечных значениях а и Vo число дискретных нечет-
ных уровней в яме конечно (или нуль).
В случае потенциальной ямы конечной ширины 2а > 0 и конеч-
ной глубины Ц) > 0 легко найти общее число дискретных уровней:
четных и нечетных. Для этого достаточно подсчитать число пере-
сечений окружностей радиусом yfQ с вертикальными прямыми ли-
ниями, абсциссы которых кратны тг/2:
W =
2VQ'
7Г
(2-8)
где [ж] означает целую часть числа х.
Сравнение поведения квантовой и классической частиц
в потенциальной яме. Энергия частицы отрицательна
Первое отличие состоит в возможных значениях энергии.
Классическая частица может иметь любую энергию в интерва-
2.1. Отрицательные энергии
39
ле — Vo < Е < 0. Квантовая частица может находиться только на
одном из конечного числа N (2.8) дискретных уровней энергии.
Рис. 6. Классическая плотность ве-
роятности.
Рис. 7. Квантовая плотность веро-
ятности. Первое четное состояние.
Второе отличие касается плотности вероятности найти частицу
в данной точке. Для классической частицы, согласно формуле (1.3),
плотность вероятности найти частицу в любой точке вне ямы рав-
на нулю. Плотность же вероятности найти частицу в любой точке
внутри ямы постоянна, как это изображено на рис. 6. Для кванто-
вой частицы плотность вероятности найти частицу в какой-нибудь
точке внутри ямы непостоянна, как это видно из рис. 7 и рис. 8,
на которых изображен квадрат модуля волновой функции частицы,
находящейся на первом четном (рис. 7) и первом нечетном (рис. 8)
уровнях.
Ркв (я1)
-а 0 а
Рис. 8. Квантовая плотность веро-
ятности. Первое нечетное состоя-
ние.
Рис. 9. Квантовая плотность веро-
ятности. Яма малой ширины.
Кроме того, как видно из рис. 7 и рис. 8, у квантовой частицы
вероятность оказаться вне ямы отлична от нуля. Это особенно за-
метно, если яма такова, что первый четный уровень лежит вблизи
нуля. Такая ситуация может иметь место, если яма имеет конечную
40
Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма
глубину, но очень малую ширину. Распределение плотности вероят-
ности нахождения частицы в такой яме показано на рис. 9. Видно,
что в этом случае вероятность найти частицу вне ямы гораздо боль-
ше, чем вероятность обнаружить ее внутри ямы. Классическая час-
тица даже с малой отрицательной энергией будет всегда находиться
внутри ямы независимо от ширины ямы.
Яма с бесконечными стенками
В тех случаях когда глубина ямы велика, удобно перенести нача-
ло отсчета энергии на дно ямы, как это показано на рис. 10. Тогда,
выражение для энергии £-го
уровня преобразуется к виду
г,	,2
/./ = ------fc,
2m0
У(т)
Рис. 10. Прямоугольная потенциаль-
ная яма. Начало отсчета энергии
сдвинуто на дно ямы.
где (у — координата точ-
ки пересечения в первом
квадранте окружности ради-
усом y/Q с ветвью кривой
£tg£ (четные решения) или
—£ctg£ (нечетные решения).
Теперь можно рассмотреть
яму с бесконечными стенками,
устремив РЬ к бесконечности. При этом радиус окружности будет
также стремиться к бесконечности. Для четных решений, как видно
из рис. 4, координаты точек пересечения в пределе имеют вид
& = ^ + (£-1)тг,	£ = 1,2,...
Аналогично для нечетных решений (рис. 5) в пределе получим
& = £тг, £ = 1,2,...
Обе эти формулы можно объединить, написав
~ 2
J 2£ + 1 (для четных решений)
[ 2£	(для нечетных решений).
2.2. Положительные энергии
41
Отсюда для энергии следует выражение:
Еп
т2 п2
2тоа2 \2/
п = 1,2,.
(2.9)
Особенностью спектра является то, что по мере увеличения энер-
гии расстояние между уровнями увеличивается:
®п+1 Еп
п2
2тоа2
/7Г \ 2
(2) (2п +1}
и стремится к бесконечности при неограниченном увеличении п.
Сравнивая положение уровней энергии в прямоугольной потен-
циальной яме бесконечной глубины и положение соответствующих
уровней энергии в яме конечной глубины (и той же ширины), ви-
дим, что в конечной яме уровни располагаются систематически ни-
же, чем уровни той же четности в яме с бесконечными стенками.
2.2. Положительные энергии
Решение уравнения. Коэффициенты прохождения и от-
ражения
Рассмотрим теперь состояния с положительной энергией Е > 0.
Введем обозначения
к = \1^Е >0, х = J^(V0 + E) > 0,	(2.10)
V л	у h
где, как и раньше, берется арифметическое значение квадратного
корня. Напишем общее решение для каждой из трех областей:
фх (я:) — Ах elkx + Вх е~гкх }
^2 (я) = А2 е,1€Х + В2 е~г1<х,
ф3(х) = А3 егкх + В3е~гкх.
(2.11)
Как и следовало ожидать (см. разд. 1.4), ни при каком выбо-
ре констант А и В не удается получить квадратично интегриру-
емой функции, т. е. уровней дискретного спектра при положитель-
ных энергиях не существует. Возможен только сплошной спектр,
42
Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма
причем любое значение Е есть точка спектра. Построим решение.
У нас имеется шесть постоянных А и В и только четыре условия
сшивания (2.1). Таким образом, в постановке этой задачи присут-
ствует неоднозначность. Для того чтобы понять, с чем она связана,
рассмотрим плотность тока вероятности
h (/* d i i d iA
3 = -----г Ф -у-ф ~
\ dx dx J
для волновой функции вида
v>(x) = Aelkx + Ве~гкх.
Вычисляя, находим
-^ф(х) = ikAetkx - ikBe~ikx,
dx
= ik [Ml2 - IB|2 + AB*e2ikx - А*Ве~2гкх
dx
С ледовательно,
i = £ (| А|2 - |Bf).
По определению плотность потока равна скорости, умноженной на
плотность частиц в потоке. Учитывая, что кк/то есть скорость час-
тицы, величину | А|2 можно трактовать как число частиц в единице
объема, двигающихся в сторону положительного направления оси
х, т.е. слева направо, а |В|2 можно трактовать как число частиц
в единице объема, перемещающихся в отрицательном направлении
оси х, т. е. справа налево. Теперь вернемся к нашим трем областям.
Пусть источник частиц находится слева от ямы, а справа от ямы
источника нет. Тогда |ylj |2 определяется мощностью источника, т. е.
задано, а Вз — 0 (если источник находится справа, то Вз задано, а
Ai =0).
Четыре оставшихся коэффициента можно выразить с помощью
условий сшивания (2.1) через Дь Приведем результат для модулей
коэффициентов Аз и (коэффициенты А2 и В2 нас сейчас не ин-
тересуют):
|Лз|! = гЬ|Л1|г’ |в‘|2 =
2.2. Положительные энергии
43
где
(х2 — к2)2 . 2
” = (2^)»
Таким образом, имеется падающий поток частиц с плотностью
jt — (ГгА:/то)|Л1|2, отраженный — с плотностью jr — (fi/s/mo)|Bi|2 и
прошедший с плотностью jt = (hk/mo)\Аз|2. Введем коэффициент
отражения R, определив его как отношение плотностей потока от-
раженных и падающих частиц
R = ± =
Зг
и коэффициент прохождения
Т _ 21
Зг
Очевидно, что выполняется соотношение
R + Т = 1,
которое представляет собой условие сохранения числа частиц.
Мы рассмотрели случай, когда источник частиц находится слева
от ямы. Можно рассмотреть и тот случай, когда источник частиц
находится справа. Вычисляя коэффициенты прохождения и отра-
жения, получаем те же значения, что и для источника, располо-
женного слева от ямы. Оказывается, что значения коэффициентов
прохождения и отражения не зависят от положения источника
не только для рассмотренного симметричного прямоугольного по-
тенциала, но и для вещественного потенциала любой формы. Это
утверждение остается справедливым и для трехмерного потенци-
ала, если только он остается постоянным на бесконечности. Дан-
ное утверждение является следствием принципа микроскопической
обратимости, или принципа детального равновесия, в квантовой
механике.
Приведем доказательство для случая произвольного одномерного
потенциала, такого, что V(x —> +оо) = Vi и V(x —> —оо) = V2,
причем И Рг- Обозначим Ф+(х) решение уравнения Шредингера
44
Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма
для случая, когда источник находится слева, a tp-(x) — решение,
когда источник находится справа от потенциала:
П2 с?
--—-г^±(х) + У(х)чр±(х) = Eip±(x),
причем оба решения соответствуют одной и той же энергии. Асимп-
тотики этих решений на ±оо суть
рМж) =
Ai etkx + Bi е ,кх
А3 егкх,
х —> —оо,
ip-(x) = <
Bi e~lkx,
Аз егкх 4- Вз е~гкх,
х —> +оо,
х —> 4-оо.
Здесь к = у/2тпо{Е — Vi)/h и к — у/2то(Е — Уз)/Н, а Ai,Bi,A3
и Bi, A3, Вз суть амплитуды падающих, отраженных и прошед-
ших волн на ±оо. Решения V’+(a:) и $-(х) линейно независи-
мы. Это следует из необращения в нуль определителя Вронского
РУ(ж) = (^-^+ — ’Ф+'Ф'-) при х = ±оо (см. п. 7 разд. 1.1). Беря
в качестве ^±(±оо) и ^±(±00) их асимптотики, получаем два
значения определителя Вронского:
РИ(4-оо) = 2zfcA3B3, РИ(—00) = 2ikAiBi.
Однако в силу теоремы Грина (см. п. 8 разд. 1.1) определитель Врон-
ского не зависит от точки х: РИ(4-оо) = РИ(—оо). Отсюда
кАзВз = kAiBi-
Выражаем из этого равенства амплитуду Аз и подставляем ее в
определение коэффициента прохождения (2.13). В результате полу-
чаем
Т+
£ = fc|A3|2 = к 1 fc2 А1В1 2 = к |В!|2 = £ =
fclAil2	Вз fc|B3|2 Л
т. е. равенство коэффициентов прохождения. Для коэффициентов от-
ражения (2.12) выполняется аналогичное равенство, что непосред-
ственно следует из условия постоянства числа частиц: R 4- Т = 1.
2.2. Положительные энергии
45
Проанализируем теперь, как ведут себя коэффициенты прохож-
дения и отражения для прямоугольной потенциальной ямы. Рас-
смотрим параметр р. Из определения (2.10) следует, что
2то
~&V°'
Поэтому
V^2 sin2 2 ха
4Е(Е + Vo)
При Е —> 0 величина Е + Vo стремится к константе Vo, а величи-
на 2ха стремится к 2^/Q". Предположим, что аргумент синуса не
кратен тг (случай аргумента кратного тг будет рассмотрен ниже).
Тогда в выражении для р числитель остается конечной величиной,
а знаменатель стремится к нулю. Таким образом,
ЕО,
р —> оо,
1,
Т->0,
т. е., при уменьшении энергии все большее число частиц отража-
ется. При возрастании энергии Е числитель в выражении для р
остается ограниченным, а знаменатель неограниченно возрастает.
Таким образом,
р —> 0,
Е —> оо,
Н->0,
1,
т. е., при увеличении энергии все меньшее число частиц отража-
ется. Однако при изменении энергии р меняется немонотонно из-за
множителя sin2 2ха. В частности, если Е таково, что
2ха - - птг,
(2-14)
то р — 0 и все частицы проходят область II, т.е. яма при этой
энергии полностью прозрачна. Уровни энергии, при которых имеет
место равенство (2.14), определяются уравнением
Еп — —Vo +
fi2 /ЯЛ2 п2
2тоа2 \2/
Они в точности совпадают с уровнями энергии в яме с бесконечны-
ми стенками (2.9) с учетом сдвига начала отсчета энергии на дно
46
Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма
ямы (в точку —Vo)- Такие уровни принято называть резонансными.
Удобно записать формулу для Еп в виде
En = Vo
Мы рассматриваем только область положительных энергий. По-
этому значения квантового числа п резонанса не могут быть любы-
ми. Они должны удовлетворять условию
п >
(2.15)
которое обеспечивает положительность Еп. Случай, когда усло-
вие (2.15) не выполняется, мы рассматривать не будем.
Сравнение движения квантовой и классической частиц
при положительной энергии. Волновые функции резонанс-
ных состояний
Сравним движение квантовой и классической частиц. При поло-
жительной энергии все классические частицы проходят через яму.
Коэффициент отражения равен нулю. Потенциальная яма лишь ме-
няет время прохождения, так как скорость движения частицы в яме
больше, чем скорость движения частицы вне ямы (кинетическая
энергия частицы в яме больше, чем вне ямы). Поэтому классичес-
кая частица, проходя через яму, приходит в конечную точку раньше,
чем она пришла бы, если бы ямы не было. Квантовая частица мо-
жет не только пройти через яму, но и отразиться от нее. Это разли-
чие велико при малых энергиях (велик коэффициент отражения, и,
следовательно, велико отличие от единицы коэффициента прохож-
дения). При больших энергиях поведение квантовой частицы мало
отличается от поведения классической частицы.
Мы видели, что при некоторых энергиях яма оказывается пол-
ностью прозрачной для квантовой частицы (коэффициент отраже-
ния обращается в нуль). Соответствующие уровни энергии были на-
званы резонансными. Для того чтобы понять причину такого назва-
ния, рассмотрим ту же задачу с другим выбором общего решения.
Вместо (2.11) представим общее решение в каждой из трех областей
2.2. Положительные энергии
47
(I, II, III) в виде
^1(а;)=Л1 cos (Аж + т?1),
^2(т) = А2 cos(xt + т/2),
•фз(х) = А3 cos(kx + 773).
При таком выборе решений, в задаче также имеется шесть свобод-
ных параметров: Л1, Л2, А3,	т/2 и 773.
Рассмотрим сначала четное решение. В этом случае
772 =0, Л1 = Л3,	7?! = -773,
и условия сшивания в точке а принимают вид
A2cos(xa) = А3 cos(ka + 773),
—хА2 sin(xa) = — кА3 sm(ka + 773).
Разделив почленно второе уравнение на к, возведя правую и
левую части каждого уравнения в квадрат и сложив почленно
получившиеся уравнения, найдем
|А2|2 fcos2(xa) + ^sin2(xa)') = |А3|2.
\	к	)
Отсюда, раскрывая выражение для коэффициента перед синусом:
х2 = Уо + Е К,
к2 Е + Е’
приходим к выражению
1-^21	—	v
1 + sin2 (ха)
Е
Если амплитуду волны вне ямы выбрать равной единице при
всех энергиях (|А31 = 1), то амплитуда внутри ямы будет зависеть
от Е следующим образом:
|А2|2 = -----------------.	(2.16)
1 + sin2 (ха)
48
Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма
Рис. 11. Квадрат амплитуды волновой функции внутри потенциальной
ямы.
График зависимости квадрата амплитуды (2.17) четной функции
•ф+ внутри ямы от энергии приведен на рис. 11. На этом же рисунке
приведен аналогичный график |Лг(Г')|2 для нечетного решения
которое мы рассмотрим ниже. Квадрат амплитуды не превосходит
единицы, осциллирует и достигает максимума при
sin ха = О,
т. е. при
ха = £тг = 2£^,	(2.17)
что соответствует энергии резонанса. Именно благодаря такому по-
ведению амплитуды внутри ямы рассматриваемые состояния полу-
чили название резонансов: колебания снаружи ямы возбуждают ко-
лебания внутри ямы, амплитуда которых при изменении энергии до-
стигает максимума, когда энергия совпадает с энергией резонансно-
го уровня. Это похоже на классический резонанс, состоящий в том,
что амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, ког-
да частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой.
Однако это только аналогия, хотя и полезная. В случае резонанса
волновая функция на границах ямы принимает свои экстремаль-
ные значения (^(а) = ^(—а) = ±А2), а значение производной от
2.2. Положительные энергии
49
волновой функции обращается в нуль. Условие (2.17) соответствует
энергиям Еп нечетных состояний (п = 2£) в яме с бесконечными
стенками. То, что четный резонанс соответствует нечетному состо-
янию в яме с бесконечными стенками, объясняется просто. В случае
резонанса в сплошном спектре в нуль на границе ямы обращается
производная от волновой функции, а в случае дискретного уровня
— сама волновая функция, отсюда и разница в фазе на тг/2.
Рассмотрим теперь нечетное решение. В этом случае
7Г	.	.
7)2 = -, Aj, - — Аз, 7?1 = -7)3,
и условия сшивания в точке а принимают вид
Д2 sin(xa) = A3cos(ka + т/3),
хД2 cos(xa) = — кАз sin(/sa + т/з).
Аналогично предыдущему получаем
I 4 II 2 —	1Лз'2
1 + cos2 (ха)
Е
Максимум амплитуды внутри ямы достигается при
ха = J + £тг = J(2£ + l),	(2.18)
что соответствует энергиям четных состояний £2£+i в яме с
бесконечными стенками. При нечетном резонансе волновая функ-
ция на границах ямы достигает своих экстремальных значений
(^(а) = —^(—а) = ±А2), а значение производной от волновой
функции обращается в нуль, как и в случае четного резонанса.
Схематически (без соблюдения масштаба), взаимное расположе-
ние уровней энергии в конечной и бесконечной ямах и резонансов в
конечной яме приведено на рис. 12.
50
Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма
Рис. 12. Уровни энергии и их четность в прямоугольной потенциальной
яме конечной и бесконечной глубины. Стрелками отмечены положение
и четность резонансов.
Формулы (2.17) и (2.18), которые являются частными случаями фор-
мулы (2.14), можно записать в виде
где п — четное для четных резонансов и нечетное для нечетных.
Эта формула позволяет сформулировать простое правило сущест-
вования резонанса. Внутри потенциальной ямы волновая функция
имеет вид волны с длиной А = 2тг/х. В левой части (2.19) стоит
отношение ширины потенциальной ямы 2а и половины длины вол-
ны. Таким образом, резонанс наблюдается при таких энергиях Е
частицы, при которых на ширине 2а прямоугольной потенциальной
ямы (или прямоугольного барьера, как будет показано в разд. 3.3)
укладывается целое число длин полуволн.
Исследуем поведение волновых функций при резонансе более под-
робно на примере потенциальной ямы с параметром Q — 4тг2/5. Нач-
нем с четных резонансов и рассмотрим первый из них, т.е. возьмем
в формуле (2.19) первое (не считая нуля) четное число п=2. Для вы-
бранного параметра ямы Q этот резонанс имеет место при энергии
Е — Ei = Vo/4 (см. рис. 11). При этой энергии существуют два ре-
2.2. Положительные энергии
51
тения: четное (толстая линия) и нечетное (тонкая линия), которые
изображены на рис. 13.
Рис. 13. Первый четный резонанс.
Пунктирные линии показывают границы ямы (х = ±а). На рис. 13
видно, что для обоих решений на ширине ямы укладывается две
(п = 2) полуволны. Однако только для одного решения (четного) ам-
плитуда волны внутри ямы оказывается максимальной и совпадает
с амплитудой решения вне ямы. При этом амплитуда второго ре-
шения (нечетного) внутри ямы почти в два раза меньше, чем вне
ямы. Это как раз показывает, почему данный резонанс называется
четным.
Рис. 14. Второй нечетный резонанс.
На рис. 14 показаны четная (толстая линия) и нечетная (тонкая ли-
ния) волновые функции для ямы с параметром Q = 4тг2/5 (та же
яма, что и на рис. 11 и рис. 13) при энергии Е = Ег = 291о/16,
равной энергии второго (£ = 1) нечетного (n = 2£ + 1 = 3) резонан-
са в этой яме. Энергия второго нечетного резонанса соответствует
52
Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма
п = 3, и она больше, чем энергия первого четного резонанса, кото-
рая соответствует п = 2. Первый (£ = 0) нечетный (п = 21 + 1 = 1)
резонанс в рассматриваемой яме попадает в область отрицательных
энергий, при n = 1 не выполняется условие (2.15).
Из рис. 14 видно, что амплитуда нечетного решения внутри ямы
такая же, как и вне ямы. Амплитуда четного решения в яме меньше,
чем вне ямы. Однако внутри ямы амплитуды различаются меньше,
чем таковые на рис. 13. Это связано с тем, что энергия нечетного
резонанса при п = 3 больше, чем энергия четного резонанса при
п = 2.
На рис. 15 показаны четная и нечетная волновые функции при
энергии Е = Е' = 61Vo/64, которая не совпадает ни с одним резо-
нансным уровнем (см. рис. 11) и при которой амплитуды четного и
нечетного решений внутри ямы совпадают (ха = тг/4).
Рис. 15. Волновые функции для энергии Е', находящейся между пер-
вым четным и вторым нечетным резонансами.
С ростом энергии амплитуда решения в яме приближается к
амплитуде решения вне ямы при любом промежуточном значении
энергии, расположенном между резонансными уровнями. Таким об-
разом, резонанс отчетливо проявляется при малых энергиях и он
почти не заметен при больших энергиях.
2.3. Одномерная 5-образная потенциальная яма
Полезным модельным потенциалом является прямоугольная по-
тенциальная яма с малой шириной 2а и большой глубиной Vq, при-
чем такой, что площадь ямы П = 2aVo, которую принято называть
мощностью ямы, является конечной величиной. Предельным случа-
ем такой ямы при a —> 0 и 1о —> оо при условии П = const, является
2.3. Одномерная ё-образная потенциальная яма
53
^-образный потенциал
V(x) = -Пё(х),
(2.20)
который оказывается очень удобным при рассмотрении разнообраз-
ных модельных задач. Потенциал вида (2.20) принято называть по-
тенциалом нулевого радиуса. Такие потенциалы благодаря своим
специфическим свойствам широко применяются в большом числе
явно решаемых задач физики и математики.
<5-образная потенциальная яма как предельный случай
прямоугольной ямы
Рассмотрим сначала случай узкой глубокой потенциальной ямы
с конечной площадью. Запишем выражение для параметра Q следу-
ющим образом:
_ 2m0 2ТЛ то о
Отсюда видно, что Q есть малая величина порядка а и при доста-
точно малых а величина Q меньше тг2/4. В такой яме (см. рис. 4 и
рис. 5) существует только одно связанное состояние, и это состояние
является четным.
Найдем приближенно энергию и волновую функцию этого со-
стояния. Для определения энергии нам необходимо решить систему
уравнений (2.4), (2.5)
= С tg£,
г]2 + £2 = Q.
Здесь Q — малая величина порядка а. Из второго уравнения следует,
что т] и £ — также малые величины. Однако если £ есть малая
величина, то £ tg£ Rs £2. Поэтому из первого уравнения следует, что
т) рз £2. Подставляя во второе уравнение т] вместо £2 и пренебрегая
т/ по сравнению с т], получаем
т] к Q.
Поскольку т] = аа,
а
? « 2 =
a a h2
54
Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма
„ П2 *
А = — ---a
2Шд
то02
2Й2
Отсюда видно, что положение уровня энергии определяется мощ-
ностью ямы П = 2aV0, а не значениями ширины 2а и глубины Vo
ямы в отдельности.
Квадратично интегрируемая волновая функция (см. разд. 2.1)
рассматриваемого состояния имеет вид
В3еах,
х < —а,
Вг cosxx,
а,
В3е~ах,
а.
Аргумент косинуса хх = ^х/а в интервале от —а < х < а есть
малая величина порядка у/a, т.е. cosхх и 1 в этом интервале. Для
коэффициентов В3 и В3 условия сшивания и нормировки дают
В2 ~	~ л/а-
При любых конечных значениях а и Уо волновая функция ч/>(х)
непрерывна и имеет непрерывную производную. Полученные
Рис. 16. Волновая функция частицы
в «5-образной яме.
выражения для энергии и вол-
новой функции связанного со-
стояния не содержат значений а
и Го в явном виде и потому поз-
воляют легко сделать предель-
ный переход (а —> 0, Го —>• оо,
П = const) к <5-образной яме.
При этом, полученное ранее,
приближенное выражение для
энергии связанного состояния в
пределе становится точным:
F - Ш° О2
Е - •
(2-21)
Волновая функция (см. рис.
определяется выражением:
16), соответствующая этой энергии,
•ф(х) = 
х < О,
х > О,
т0
(2.22)
=
2.3. Одномерная 6-образная потенциальная яма
55
Подчеркнем, что найденное связанное состояние в <5-образной по-
тенциальной яме единственное, и его волновая функция является
четной. Других состояний в Уобразной потенциальной яме нет, не-
смотря на то, что глубина ямы бесконечна.
Полученная волновая функция (2.22) остается непрерывной на
всей оси х (см. рис. 16), но ее производная терпит разрыв первого
рода в точке х — 0:
•ф'(+0) = осф(0),	^'(—0) = —а^(0).
Покажем, как эта волновая функция и соответствующая энергия
могут быть получены из уравнения Шредингера с <5-образным по-
тенциалом.
Уравнение Шредингера с <5-образной потенциальной
ямой. Координатное представление
Рассмотрим уравнение Шредингера с <5-образной потенциальной
ямой:
h2 d2
--—- П6(х}ф(х) = Е^(х)	(2.23)
zmo ax£
и будем искать решение этого уравнения, непрерывное на всей оси х
и удовлетворяющее нулевым граничным условиям на бесконечности.
Непосредственно применить математический аппарат, изложенный
в разд. 1.1 нельзя, так как потенциал имеет сингулярность внутри
промежутка. Однако мы можем искать решение уравнения (2.23) на
правой (х > 0) и левой (х < 0) полуосях отдельно, а затем соединить
их непрерывно в точке х = 0. Уравнение (2.23) на правой полуоси
имеет вид уравнения для свободной частицы
h2 cP
= Е^’ х > °’
2tTIq ax*
и при любом Е < 0 решение, удовлетворяющее нулевому гранично-
му условию на +оо, имеет вид
ф+(х) - е~ах,	х > 0, a =
V Лг
56
Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма
Аналогично решение на левой полуоси, удовлетворяющее нулевому
граничному условию на — оо, имеет вид
V'-(z) = eax,
х < О,
Объединяя эти решения,
получаем непрерывную на всей оси
— оо < х < +оо функцию

•ф(х) = <
х > О,
х < О,
производная которой имеет разрыв ip'(+O) — ^'(—0) = —2а в точке
х = 0. Такую функцию можно построить при любом Е < 0, т. е. при
любом вещественном а.
Покажем, что при определенном значении а полученная функция
будет удовлетворять уравнению (2.23). Функция tp по построению
удовлетворяет уравнению (2.23) на правой и левой полуосях. Поэ-
тому нам следует рассмотреть малую е-окрестность точки х = 0.
Интегрируя уравнение (2.23) по е-окрестности нуля:
Й2 Г dip'ix)
2mo J I dx
E
—E
dx — Q
получаем
h2
—(^'(e) - ^'(“<0) - fi^(0) =	- №)).
Zttiq
Переходя к пределу s —> 0 и учитывая наличие разрыва у производ-
ной волновой функции ^(х) в нуле, приходим к выражению
К2
-—2а — П = 0.
2т0
Отсюда
т0	fi2 2 тоо2
Л2	2то 2гг
2.3. Одномерная 6-образная потенциальная яма
57
что точно совпадает с (2.21) и (2.22). Таким образом, мы показа-
ли, что волновая функция (2.22) есть собственная функция уравне-
ния Шредингера (2.23) с <5-образным потенциалом, соответствующая
единственному собственному числу (2.21).
Уравнение Шредингера с й-образной потенциальной
ямой. Импульсное представление
Весьма поучительно решить задачу о движении квантовой час-
тицы в 6-образной потенциальной яме в импульсном представлении.
Для этого запишем уравнение Шредингера в операторном виде:
(-£---1- v') V = Bi}).
\ 2шо /
Переход к импульсному представлению означает, что все операто-
ры и волновая функция должны быть записаны в переменной р.
Переход от представления х к представлению р осуществляется с
помощью унитарного оператора, который можно записать в виде
интегрального оператора с ядром е' ipx/h/\/27ГЙ. Иными словами,
переход от волновой функции в ^-представлении к волновой функ-
ции в р-представлении есть преобразование Фурье. Напомним, что
такой вид имеет переход от координатного к импульсному пред-
ставлению, в общем же случае переход от одного представления у
к другому представлению z осуществляется с помощью унитарного
оператора, но для разных пар переменных у и z соответствующие
унитарные операторы будут разными.
Хотя мы рассматриваем переход к импульсному представлению,
все формулы оказываются проще, если вместо импульса р исполь-
зовать волновое число к = p/h (волновой вектор k = p/fi в случае
трехмерного пространства). Согласно вышесказанному, переход от
функции tp(x} в ^-представлении к функции <р(к} в /г-представлении
есть преобразование Фурье
Помимо волновой функции необходимо преобразовать и операто-
ры в уравнении Шредингера. Оператор кинетической энергии есть
дифференциальный оператор. Однако он может быть представлен в
58
Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма
виде р2/(2mo) = h2k2/(2mo), так как любой оператор в своем собст-
венном представлении есть оператор умножения на независимую пе-
ременную, в частности, оператор импульса в импульсном представ-
лении есть оператор умножения на переменную р = Нк. Оператор
потенциальной энергии является оператором умножения и входит
в уравнение в произведении с волновой функцией, а трансформанта
Фурье F(k) от произведения функций F(x) = V(xtyfx) есть свертка:
ОО
F(k) =	[ W(k-k')<p(k')dk',
V 2тг J
—оо
где Р7(/с) представляет собой фурье-образ потенциала У(з;):
оо
W(k) =	[ e~lkxV(x)dx.
V 2тг J
—оо
В нашем случае потенциал V(х) имеет вид «5-функции, и потому
есть константа. Таким образом, приходим к следующему виду урав-
нения Шредингера в импульсном пространстве:
ОО
Ъ2к2	О Г
- -±- / y^dk’ = Е^Е).
Zmo	Z7T J
—оо
Для функции tp(k) это уравнение является интегральным и может
быть записано в виде
ОО
(к2 + a2)tp(k) =	У <p(k')dk'.
—оо
Здесь мы использовали формулу Е = —Й2а2/(2т0). Данное интег-
ральное уравнение решается элементарно. Правая его часть не за-
висит от к. Следовательно,
5Р(*) = ь2 f 2’
Л/ + a2
2.3. Одномерная 6-образная потенциальная яма
59
где С — произвольная константа. Однако не при всяком а напи-
санная функция будет решением интегрального уравнения. Дейст-
вительно, подставляя эту функцию в уравнение и сокращая на кон-
станту С, получаем уравнение
2т0 О, Г 1
И2 2тг J к2 + а2™
—ОО
для определения величины а. Стоящий в этой формуле интеграл
равен тг/а, и поэтому для а, как и следовало ожидать, получаем
уже известное выражение
Коэффициент С в волновой функции найдем из условия нормировки
ОО
f <p2(k)dk — 1.
—ОО
Отсюда нормированная на единицу волновая функция имеет вид
=
1
к2 + а2
Легко проверить, что полученная функция действительно есть
фурье-преобразование функции (2.22).
В рассмотренном случае уравнение Шредингера в координатном
и импульсном представлениях решается одинаково легко. Однако
для более сложных потенциалов может оказаться проще решать
уравнение в импульсном представлении. Кроме того, если точное ре-
шение уравнения Шредингера невозможно, то именно интегральная
форма уравнения позволяет разрабатывать приближенные методы
решения.
Подводя итог рассмотрению <5-образной потенциальной ямы,
нельзя не отметить, что и в трехмерном случае потенциал нулевого
радиуса обладает единственным связанным состоянием, положение
которого целиком определяется мощностью ямы. Подобные потен-
циалы являются простейшим частным случаем так называемых
60
Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма
однопараметрических модельных псевдопотенциалов. Последние
получили широкое распространение в теории рассеяния, теории
молекул и твердого тела, благодаря той легкости, с которой они
позволяют конструировать дискретный спектр модельной задачи.
Глава 3.
Прямоугольный потенциальный барьер
3.1.	Модель
Рассмотрим теперь стационарные состояния частицы с массой
то, движущейся в поле потенциального барьера вида (см. рис. 17)
И*),
III
о,
V(a;) = Vo, |ж| < а,
Рис. 17. Прямоугольный потенциаль-
ный барьер.
Здесь а — полуширина, а РЬ — высота потенциального барьера.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид
dx2
(е - V(a;)) 4[)(x) = 0.
В данной задаче потенциал ограничен снизу нулем, а следовательно,
и спектр энергии ограничен снизу и расположен на положительной
полуоси энергии, причем дискретного спектра в этом случае нет,
спектр сплошной. Как и в задаче о потенциальной яме, разобьем
ось х на три области:
I:	х < —а, II: — а < х < а, III: х > а
и представим волновую функцию в виде
'	‘ipi(x),	х G	I,
•ф(х) —	^2(ж),	X G	II,
.	^з(ж),	х G	III.
62
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
Тогда уравнение Шредингера для стационарного состояния можно
записать в виде
dx2	2т0 ~WE\	фх{х) = 0,		х G I,
dx2 +	2т0 (	е - и)	•ф2 (ж) = о,	х G II,
dx2	2m0 ’ 1^Е	^з(т) =	о,	х G III.
Поскольку волновая функция должна быть непрерывной вместе с
первой производной, функции Vi, и 1рз оказываются связанными
друг с другом условиями сшивания
V'i(-a) = ^г(-а),
ф'А-a) =
ф2(а) = ^з(а),
^2 (а) = ^(а).
(3-1)
3.2.	Энергия ниже высоты барьера
Рассмотрим значения энергии в интервале 0 < Е < Vq. Введем
обозначения
2то
J^(V0-E) > О,
V п
(3-2)
а
где, как и раньше, берется арифметическое значение квадратного
корня. Эту задачу можно решать так, как это было сделано для
прямоугольной потенциальной ямы, заменив Vo —> —Vo. При этом
можно использовать прежнее значение параметра Q
2тоа2
П2
Vo-
Однако полезно рассмотреть эту задачу по-другому (получив, ко-
нечно, те же самые результаты). Будем искать решение не в виде
бегущих волн (падающей, прошедшей и отраженной), а в виде чет-
ного и нечетного ч/)_ решения (аналогично тому, как это было
сделано в разд. 2.2). При этом мы выберем общий множитель так,
3.2. Энергия ниже высоты барьера
63
чтобы амплитуды решений в областях I и III были равны единице.
Запишем такие решения с помощью тригонометрических и гипер-
болических функций:
		' cos(kx — г?+),	х G I,
^+(т) =	<	A ch ах,	хе П,
		. cosfkx + 7]+),	х G III,
		' — cos(kx — т]-),	х G I,
ф-(х) =	<	Bsh ах,	хе п,
		. cos(kx +1]-),	X е III.
(3.3)
Условия сшивания (3.1) теперь можно рассматривать только в од-
ной точке, например а, во второй точке (—а) условия сшивания бу-
дут выполнены автоматически благодаря симметрии. Для четных
решений (3.3) мы получаем систему уравнений
A chaa = cosfka + т]+),
aA shaa = — ksin(ka + г?+).
Деля обе части второго уравнения на к, возводя почленно каждое
уравнение в квадрат и складывая, приходим к уравнению
где, согласно формулам (3.2), коэффициент при гиперболическом си-
нусе связан с энергией Е:
± = Vb _
к2 Е
С учетом этого равенства, выражение для амплитуды А запишется
в виде
1/1 + sh2 aa
V Е
где по-прежнему берется арифметическое значение корня, А > 0.
(Это уравнение можно получить из уравнения (2.13), если в послед-
нем совершить замену Ц) —> — Vq- Тогда х —> га, и sin xa —> ishaa.)
64
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
Деля почленно второе уравнение системы на первое, находим урав-
нение для фазы
,	. a sh aa
tg(to+,+) -
откуда фазу т]+ можно выразить элементарно.
Аналогично для нечетного решения (3.3) можно написать свою
систему уравнений:
В sh aa = cos(ka + ?/_),
aB chaa = — ksin(ka + т]_).
Отсюда
В =
1
/И , 2
\ —cn aa — 1
V Е
a ch аа
Таким способом можно найти четное и нечетное решения для любой
энергии, не превышающей высоту потенциального барьера.
Рис. 18. Четное и нечетное решения для малой энергии (Е = 0.2 Vo).
В качестве примера на рис. 18 показаны графики четного (тол-
стая линия) и нечетного (тонкая линия) решений для барьера с па-
раметром Q = 0.5 и для энергии частицы Е = 0.2 Vq. Вертикальные
пунктирные линии соответствуют границам барьера.
3.2. Энергия ниже высоты барьера
65
Найденные четное и нечетное решения являются линейно неза-
висимыми, т. е. они образуют фундаментальную систему, и общее
решение ip(x) уравнения Шредингера для данной энергии Е мож-
но представить в виде линейной комбинации четного и нечетного
решений:
= C+tl>+(x) + C-ip-fx).
Для анализа туннельного эффекта, надбарьерного отражения
и резонансов удобно использовать коэффициенты прохождения
Т (2.13) и отражения R (2.12). Однако последние были введены
в разд. 2.2 с использованием базиса бегущих волн (падающей,
прошедшей и отраженной). Покажем как R и Т можно получить
с помощью четного ^+(ж) и нечетного ip-(x} решений. Для этого
выразим косинусы через экспоненты, представим функцию $(x} в
областях I и III в виде
	Ргегкх	+ Gi e~ikx,	х G I,
$(x) = <	F3 eikx к	+ G3e~ikx,	х G III,
где
Fi = | (С+ е-г”+ - С_ е'*-) ,
Gx=-| (С'+е’”+ - С-е4”-),
F3 = |(С+ег”+ + С_е4”-),
G3 = — | (С+e-i7?+ + С_е-4”-).
Если положить Fi = 1 и G3 = 0, т. е., если
С+ е~”>+ - С_ e~iT>- = 2,
С+ е-гт>+ + С_ e~iTI- = О,
мы получим волновую функцию, описывающую процесс рассеяния
частиц, налетающих на барьер слева. При этом |Е3|2 задает коэф-
фициент прохождения, a |Gi |2 — коэффициент отражения. Система
66
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
уравнений относительно коэффициентов G+ и G_ легко решается и
дает
С+ = el1J+, С- = —е”’-.
Таким образом, получаем
Gi =	(e2i”+ + e2i”-), F3 = | (e2i”+ - е2г”-).
Представляя фазы т]+ и в виде
2»?+ = (»7+ + »7-) + (»?+ - »?-),
2*7- = (»7+ +»7-) -
преобразуем выражения для коэффициентов Gi и F3 к виду
Gi = — егО++ч-) cos(tj+ — 7]_), F3 = ге1^++г1~^ sin(?j+ — т?_).
Вычислим сначала sin(?j+ — i]-). Обозначая
<р+ = ka + i]+,	<р_ = ка + ?]-
и используя условия сшивания, находим
sin(7?+— т?_) = sin(</X|_ — <р_) = sin 92+cos <р_ — cos <р_|_ sin <р_ =
=	sh2 aa + ch2 aa) = ^-AB.
к	к
Используя выражения для А и В, получаем коэффициент прохожде-
ния
Т = |Г3|2
1
1 + р’
где
Р =
Уо2
4E(V0 - Е)
sh2(2aa).
Преобразуя аналогично сое(т;+ — 7]-), получаем коэффициент отра-
жения
R = IGJ2
Р
1 + р
3.2. Энергия ниже высоты барьера
67
Эти выражения для Т и R можно получить из формул для ко-
эффициентов прохождения и отражения частицы, налетающей на
прямоугольную потенциальную яму, если в последних заменить Vo
на —Vo-
Проанализируем зависимость от энергии коэффициентов отра-
жения и прохождения, которая определяется величиной р. Мы ви-
дим, что для тех энергий, которые больше нуля, но не превосходят
высоты потенциального барьера, р не обращается в нуль и при уве-
личении энергии монотонно убывает. При Е стремящемся к нулю р
стремится к бесконечности из-за множителя Е, стоящего в знамена-
теле. Следовательно, при уменьшении энергии коэффициент отра-
жения возрастает и стремится к единице, а коэффициент прохожде-
ния убывает и стремится к нулю. При возрастании энергии р моно-
тонно убывает. При стремлении Е к Vo возникает неопределенность,
раскрывая которую находим, что р стремится к конечному пределу,
равному Q. Таким образом, при увеличении энергии коэффициент
отражения монотонно убывает, а коэффициент прохождения моно-
тонно возрастает. Кроме коэффициентов отражения и прохождения
полезно рассмотреть и саму волновую функцию. На рис. 19 для барь-
ера с Q = 0.5 и для энергии Е = 0.2 Vo (тот же вариант, что и на
рис. 18) показана вещественная часть волновой функции (тон-
кая сплошная линия), мнимая часть волновой функции (точечная
линия) и модуль функции (жирная сплошная линия).
Рис. 19. Вещественная, мнимая части волновой функции и ее модуль
для малой энергии (Е = 0.2 И>).
Из этого рисунка видно что при малых энергиях частица находит-
ся, главным образом, слева от барьера. Именно там велик модуль
волновой функции, где последняя представляет собой интерферен-
68
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
цию падающей и отраженной волн. При увеличении энергии мо-
дуль волновой функции слева от барьера уменьшается, а справа от
барьера возрастает, что соответствует увеличению коэффициента
прохождения. Это хорошо видно на рис. 20, где рассмотрен тот же
самый барьер, что и на рис. 19, но энергия частицы равна 0.9 Vb-
Рис. 20. Вещественная, мнимая части волновой функции и ее модуль
для энергии вблизи вершины барьера (Е = 0.9 Vb)-
Внутри потенциального барьера (физически запрещенная область)
модуль волновой функции экспоненциально затухает (см. рис. 19 и
рис. 20), однако в нуль не обращается даже для самых маленьких
энергий. Таким образом, для квантовой частицы существует не ну-
левая вероятность прохождения сквозь барьер.
3.3.	Энергия выше высоты барьера
Теперь рассмотрим тот случай, когда энергия Е больше, чем
высота барьера Vo. Здесь мы можем непосредственно использовать
формулы, найденные для потенциальной ямы в случае положитель-
ных энергий, конечно, с заменой Vb на — Vq. А именно, вводя обозна-
чения
X^J^(E-Va) >0,
V л	V nr
запишем волновую функцию в виде
3.3. Энергия выше высоты барьера
69
V'i(t) = A eikx	+ Bi e~ikx,
чМ.х) = А2	+ B2 е~™х
t[>3(x) = A3 eikx	+ B3 e~ikx
и найдем коэффициенты отражения R и прохождения Т
Р	1
R =	Т = 1,
1 +р	1 +р
где
(х2 - к2)2 . 2 _
" =	(2х^ 8,П 2Х“
Таким образом, мы знаем коэффициенты отражения и прохожде-
ния при всех положительных энергиях. Их графики для барьера с
Q = 1.757Г изображены на рис. 21.
Рис. 21. Зависимость коэффициентов прохождения Т и отражения R
от энергии частиц, налетающих на потенциальный барьер.
Вертикальная пунктирная линия показывает положение вершины
потенциального барьера. При энергии ниже высоты барьера коэф-
фициенты R и Т ведут себя монотонно. Однако при энергии выше
70
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
высоты барьера наблюдаются осцилляции, и при некоторых зна-
чениях энергии коэффициент отражения оказывается равен нулю,
т. е. барьер полностью прозрачен для частиц с такой энергией. Эти
значения энергии представляют собой резонансные уровни, анало-
гичные тем, которые наблюдались в прямоугольной потенциальной
яме.
3.4.	Сравнение движения квантовой
и классической частиц
1.	При энергии ниже высоты барьера классические частицы не
могут пройти сквозь него и отражаются, т. е. коэффициент от-
ражения равен единице, а коэффициент прохождения равен ну-
лю. Как мы видим, квантовые частицы могут пройти сквозь
барьер несмотря на то, что их энергия меньше, чем его высота
(см. рис. 19 и рис. 20). Это так называемый туннельный эф-
фект. Вероятность туннелирования мала при низких энергиях
и возрастает с увеличением энергии.
2.	Когда энергия частицы возрастает и проходит через вершину
барьера, движение классической частицы резко меняется. При
энергии, сколь угодно мало отличающейся от высоты барье-
ра и меньшей, чем высота барьера, частицы полностью от-
ражаются. При энергии, сколь угодно мало отличающейся от
высоты барьера и большей, чем высота барьера, все частицы
проходят над барьером. Поведение же квантовых частиц почти
не меняется, когда энергия проходит через вершину барьера.
3.	При энергии выше высоты барьера классические частицы пол-
ностью проходят над барьером. Единственное, на что влияет
барьер, — это скорость частицы: над барьером скорость мень-
ше, чем вне барьера. Квантовые частицы в общем случае лишь
частично проходят над барьером, часть их может отразиться.
Это так называемое надбарьерное отражение. Лишь при неко-
торых, резонансных, энергиях квантовые частицы полностью
проходят барьер.
Глава 4.
Частица в периодическом потенциале.
Периодически расположенные
потенциальные барьеры. Модель
Кронига—Пенни (гребенка Дирака)
4.1. Трансляционная симметрия
Рассмотрим стационарные состояния частицы в периодичес-
ком поле. Волновая функция частицы удовлетворяет уравнению
Шредингера для стационарных состояний
H(x)ip(x) = E$(x),	(4.1)
где оператор Гамильтона имеет вид
а V (а;) есть периодическая функция
У(т + а) = V(t)	(4.2)
с периодом а. Для исследования свойств волновой функции удоб-
но ввести оператор трансляции Та, который действует на любую
функцию /(а;) следующим образом:
faf(x) = f(x + a).	(4.3)
Поскольку потенциал есть периодическая функция,
Та V(t) = V(x).
Функцию, обладающую этим свойством, принято называть транс-
ляционно инвариантной.
72
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
Рассмотрим свойства оператора трансляции Та. Оператор транс-
ляции (4.3) определен во всем гильбертовом пространстве, так как
если ф(х) есть функция, интегрируемая с квадратом модуля, то и
•ф(х + а) также интегрируема с квадратом модуля. Далее, оператор
трансляции является ограниченным, так как
Очевидно, что оператор Та х, обратный оператору Та, есть Т_а, так
как ТаТ~а = I. Найдем оператор Т+, эрмитовски сопряженный с
оператором трансляции. Для этого рассмотрим матричный элемент
(V'i где V'i и ^2 — две произвольные функции из гильбертова
пространства, и преобразуем его:
Л	ОО	Л	00
(V'llT’al^) = f i/>I(x)Ta4p2(x)dx = f ift(x)t/>2(x + a)dx =
—oo	—oo
OO	[ OO	\	Л
= f ^i(x - a)t/)2(x)dx = j f	- a)dx 1 =
—oo	\—oo	/
Согласно определению оператора, эрмитовски сопряженного с дан-
ным, получаем
т+ = т_а = т-1.
Таким образом, оператор Та есть унитарный оператор.
Вследствие трансляционной инвариантности потенциала, опера-
тор Гамильтона коммутирует с оператором трансляции
ТаН = НТа.
Действительно, операция взятия производной не зависит от выбора
начала отсчета:
/(а/)
х'=х+а
а потенциал коммутирует с оператором трансляции
^иГ(т)/(а;) — V(x + a)f(x + а) = Г(т)То /(т).
4.1. Трансляционная симметрия
73
Замечание. В дальнейшем мы будем рассматривать не только
функции, принадлежащие гильбертову пространству, но и такие ре-
шения уравнения Шредингера, которые не интегрируемы с квадра-
том модуля, т. е. гильбертову пространству не принадлежат. Тем не
менее по-прежнему будут использоваться операторные обозначения.
Это делается потому, что не интегрируемые с квадратом модуля,
но ограниченные на всей оси х функции соответствуют сплошному
спектру оператора и могут рассматриваться как волновые функции,
описывающие инфинитное движение частицы, т. е. такое движение,
при котором частица приходит из бесконечности и уходит на беско-
нечность (см. предпоследний абзац разд. 1.2 «Волновая функция»).
Из коммутации оператора Гамильтона и оператора трансляции
следует, что у уравнения Шредингера (4.1) с периодическим потен-
циалом (4.2) и заданной энергией Е существует либо одно решение
'ф(х), либо два линейно независимых решения 'фг(х) и V’zfa): каждое
из которых удовлетворяет уравнению вида
Таф(х) = Хф(х).	(4.4)
Если при заданном потенциале и энергии существует только од-
но решение, удовлетворяющее уравнению (4.4), то второе решение
'ф(х), линейно независимое с 'ф(х), всегда можно выбрать так, что
оно будет удовлетворять уравнению
Таф(х) = Хф(х) + ф(х).
Высказанное утверждение известно как теорема Флоке (здесь
она приведена для дифференциального уравнения второго поряд-
ка). Докажем это утверждение. Фиксируем в уравнении (4.1) значе-
ние энергии Е и возьмем какую-нибудь фундаментальную систему
ipi (х),	(х) решений уравнения Шредингера
HVj(x) = EVj(x), у = 1,2.	(4.5)
Подействуем на правую и левую части уравнения (4.5) оператором
трансляции
TaH<pj(x) = ETaip-^x), j = 1,2.
Пользуясь тем, что Та и Н коммутируют друг с другом, получаем
HTaip^x) = ETa<pj(x), j = 1,2.
74
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
Следовательно, функции Ta<pj(x) также являются решениями урав-
нения (4.5), а значит, они могут быть записаны в виде линейной
комбинации функций фундаментальной системы
Ta<Pl—Sii<Pl + S12<P2,
Taip2~S2l<Pl + 822^2-
Конкретные значения коэффициентов Sij определяются потенциа-
лом и величиной энергии Е. Воспользуемся теперь тем, что любая
матрица может быть приведена к жордановой нормальной форме с
помощью преобразования подобия с неособенной матрицей. Напом-
ним, что у матрицы, имеющей вид (нижней) жордановой нормаль-
ной формы элементы, расположенные над главной диагональю, рав-
ны нулю. Также равны нулю элементы, расположенные под первой
поддиагональю. Элемент первой поддиагонали равен нулю, если со-
седние с ним диагональные элементы различаются. Если эти диаго-
нальные элементы совпадают, то поддиагональный элемент может
быть равен либо нулю, либо единице. Таким образом, существует
неособенная (двухрядная) матрица V, которая приводит двухряд-
ную матрицу S к жордановой форме
VSV-1 = fA1 .°
А2
Здесь Ai и А2 — корни секулярного уравнения
(Sii - А)(522 - А) - S12S21 = 0.
Если Ai А2, то g = 0. Если Ai = А2, то либо g = 0, либо g = 1. Беря
в качестве ф](х) линейные комбинации функций фундаментальной
системы
V'j(z) = Кя</?1(з;) + Vj2<P2(x), j = 1,2,
видим, что могут реализоваться два случая. В первом из них
^1(а: + а) = Ar ^i(s),
^2(2 + а) = А2 V’zCc),
(4.6a)
причем Ai и А2 могут оказаться совпадающими. Во втором случае
4.1. Трансляционная симметрия
75
ф1(х + а) = Х^1(х),
(4.66)
ф2 (х + а) = А ф2 (я) + Ф1(х).
В качестве примера, показывающего, что вариант (4.66) может
реализоваться, рассмотрим случай пустой решетки и нулевой энер-
гии. Потенциал V (т) = 0 можно рассматривать как периодический
с периодом а, поскольку в этом случае при любых х имеет место
равенство У(х + а) = П(т). Полагая Е = 0, приводим уравнение
Шредингера с нулевым потенциалом к виду
h2 d2 .
-х---= 0.
2mo dx2-
Линейно независимыми решениями этого уравнения являются функ-
ции
^1(т) = 1,	= -х,
а
которые преобразуются при трансляции, согласно формуле (4.66), с
Л = 1.
Далее, оказывается, что величины Ai, Аг в случае (4.6а) и вели-
чина А в случае (4.66) должны удовлетворять некоторым условиям.
Действительно, определитель Вронского W, вычисленный с линей-
но независимыми решениями уравнения Шредингера (4.1), отличен
от нуля и не зависит от х. В то же время, вычисляя определитель
Вронского с функциями ф1(х) и гр2(х), получаем
1У(т + а) = А1А2РК(а;)
в случае (4.6а) и
W(x + а) = A2 W (т)
в случае (4.66). Следовательно,
AiA2 = 1
в случае (4.6а) и
А2 = 1
76
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
в случае (4.66).
Таким образом, мы показали, что в качестве функций фундамен-
тальной системы уравнения Шредингера с периодическим потенциа-
лом всегда можно взять функции, удовлетворяющие теореме Флоке,
т.е. преобразующиеся при трансляции, согласно (4.6а) или (4.66).
Однако не все функции, удовлетворяющие теореме Флоке, могут
быть взяты в качестве волновых функций физической системы.
Действительно, рассмотрим те функции ф(х), которые удов-
летворяют уравнению (4.4), т.е. функции ^1(ж) и ’/'г(ж) из (4.6а)
и функцию из (4.66). Представим параметр А, являющийся
комплексным числом, в виде
А = егка
где к — некоторое комплексное число вида к = u + iv. Тогда урав-
нение (4.4) примет вид
ф(х + а) = jua~vaMx).
Повторяя операцию трансляции п раз и вычисляя модуль функции
$(x), приходим к равенству:
|^(т + па)| = е nl'“|V'(a;)|.
Отсюда видно, что если и 0, т. е. если к — не чисто вещественное
число, то функция 'ф(х) неограниченно возрастает на одном из кон-
цов оси х. Действительно, при положительных v модуль волновой
функции экспоненциально возрастает при х —> —оо, при отрица-
тельных v модуль волновой функции экспоненциально возрастает
при х —> оо. Если к — чисто вещественное число, то модуль волно-
вой функции является периодической функцией х. Таким образом,
ни при каких к функция ф(х) не является квадратично интегриру-
емой. Уравнение (4.4) имеет вид уравнения на собственные числа
и собственные функции оператора трансляции. Следовательно, дис-
кретного спектра у оператора трансляции нет.
Рассмотрим теперь функцию 'фг(х) из (4.66). Покажем, что ни
при каких А эта функция не является ограниченной на всей оси х.
Действительно, повторяя операцию трансляции п раз, получаем
ф2(х + па) = Хп-ф2(х) + nXn 1^'1(ж).
4.1. Трансляционная симметрия
77
Отсюда видно, что если к не чисто вещественное число, т.е. если
|А|	1, то неограниченность функции ч/^х) определяется множи-
телем А", а если к чисто вещественное число, т.е. если |А| = 1, то
неограниченность функции чр2(х') определяется множителем п.
Таким образом, уравнение Шредингера с периодическим потен-
циалом ни при каких значениях энергии Е не имеет квадратично
интегрируемых решений, то есть оператор Гамильтона частицы в
периодическом поле не имеет дискретного спектра. Однако урав-
нение Шредингера имеет ограниченные на всей оси решения ф(х),
которые описывают состояния, соответствующие сплошному спект-
ру оператора Гамильтона. Такие решения удовлетворяют уравне-
нию (4.4) с параметром А = expfika) с чисто вещественным к. В
этом случае модуль функции чр(х) является периодической функци-
ей х с периодом а. Параметр к принято называть волновым числом.
Рассмотрим два значения волнового числа к, а именно, ki и
/с2 = + 2тг/а. Эти два значения приводят к одному и тому же
закону преобразования волновой функции при трансляции, посколь-
ку
^ikza _ ^i2ir ^ik^a   ^ikia
В этом смысле волновые числа fci и &2 эквивалентны. В качестве
неэквивалентных к можно взять числа, заполняющие отрезок ве-
щественной оси длиной 2тг/а. Мы возьмем отрезок, симметричный
относительно начала координат, т. е. подчиним к условию
(4-7)
а	а
Оказывается удобным включить в интервал обе точки: —тг/а и тг/а,
хотя они эквивалентны. Это не приводит к осложнениям, но об их
эквивалентности необходимо помнить.
Таким образом, в качестве волновых функций сплошного спект-
ра будем брать функции, удовлетворяющие условию (4.4) с вещест-
венным к из интервала (4.7). Будем приписывать значение волно-
вого числа к как самой функции ф(к, х), так и соответствующей
ей энергии Е(к). Тогда условие, которому удовлетворяют волновые
функции частицы в периодическом поле, можно записать в виде
чр(к,х + а) = егкачр(к,х).
(4-8)
78
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
Соотношение (4.8) известно как теорема Блоха. Можно пред-
ложить альтернативную формулировку теоремы Блоха: волновую
функцию -ф(к,х) можно представить в виде произведения
ф(к,х) = егкхи(к,х),
где и(/с,х) есть периодическая функция
u(k,x + a) = и(к,х).
Функции, которые удовлетворяют теореме Блоха, принято называть
блоховскими функциями.
Итак, мы получили первый результат: волновые функции, опи-
сывающие стационарные состояния частицы в периодическом по-
тенциале, являются блоховскими функциями. Спектр энергии та-
кой частицы не содержит дискретных уровней.
Далее, рассмотрим некоторое значение к± из интервала (4.7),
причем выберем к± так, чтобы к± 0 и ]/ci | па. Возьмем, кро-
ме того, второе значение к% = —к±. Произведение соответствующих
параметров Ai и Аг равно единице. Таким образом, здесь реализует-
ся случай (4.6а). Это значит, что состояния ски —к соответствуют
одному и тому же значению энергии. Следовательно, Е(к) есть чет-
ная функция к:
Е(—к) = Е(к).
Значения к — 0 и к = п/а соответствуют параметрам А = 1 и
А = —1, т. е. эти состояния реализуют случай (4.66). Следователь-
но, энергиям £(0) и Е(п/а) соответствует по одному состоянию.
Напомним, что состояние с к = —тг/а эквивалентно состоянию с
к = тг/а, т. е. из этих двух состояний используется лишь одно.
4.2.	Нормировка блоховских функций
Елоховские функции не интегрируемы с квадратом модуля, т.е.
для них интеграл
СЮ
/ ‘ф*(кг,х')'ф(к2,х)д,х
4.2. Нормировка блоховских функций
79
расходится, и если мы все-таки хотим использовать скалярное про-
изведение блоховских функций, то его необходимо доопределить.
Оставим для скалярного произведения прежнее обозначение в ви-
де интеграла, но под интегралом по бесконечному интервалу будем
понимать следующий предел:
оо	Na
/ip*(k1,x)ip(k2,x)dx = lim / il>*(ki,x)$(k2,x)dx.	(4.9)
N-юо J
-oo	-Na
При обычном определении несобственного интеграла верхний и ниж-
ний пределы стремятся к оо и к —оо независимо. Используемое здесь
доопределение состоит в том, что пределы стремятся к бесконечнос-
ти симметрично и интегралы берутся по целому числу периодов.
Мы рассматриваем блоховские функции, и потому
Na
‘4>*(ki,x)tl>(k2,x)dx
-Na
a
edk2~ki)na J"
О
Стоящий в правой части интеграл по периоду не зависит от индекса
суммирования п, и его можно вынести из под знака суммы (и из
под знака предела). В результате получаем сумму геометрической
прогрессии
JV-1
с _	\ ' „ian
on — / , е
n——N
g—ztxN _ ^.cxN
1 - eia
a = (fa — ki)a
co знаменателем ега. Таким образом, мы приходим к следующему
пределу:
2гтга sinaW
S = lim 5jv = --------т hm -------
N-юо	ега — 1 N—юо ка
и получаем известную <5-образную последовательность. Таким обра-
зом,
S =
== 2тг<5(а) =	-ki)
80
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
Здесь была раскрыта неопределенность при a —> 0 во множителе,
стоящем перед ^-функцией. В результате для скалярного произве-
дения блоховских функций получаем
сю	a
У tft*(ki,x)ip(k2,x)dx = <5(&2 — &i) — У t/>*(k1,x)i/>(k2,x)dx.
—сю	О
Следовательно, если каждую блоховскую функцию домножить на
свой постоянный множитель так, чтобы для всех функций имело
место равенство
a
—- У |^(fc,a;)|2 dx = 1,	(4-10)
о
то скалярное произведение блоховских функций будет иметь вид
ОО
У tp*(ki,x')'tl>(k2,x)dx = ё(к2 — Ац),	(4.11)
— ОО
где под интегралом понимается (4.9). Таким образом, блоховские
функции будут нормированы на <5-функцию (4.11). Условие (4.10)
содержит интеграл по конечному промежутку и может быть удов-
летворено без труда.
4.3.	Спектр оператора Гамильтона
Получим теперь спектр энергии частицы в периодическом по-
ле. Возьмем некоторое произвольное значение энергии Е и найдем
решение уравнения
Н(х\ф(к,х) = Еф(к,х),
удовлетворяющее теореме Блоха
ф(к,х + а) = егкаф(к,х).
Решать эту задачу будем следующим образом. Рассмотрим уравне-
ние
-2^5? + Е = 0
(4.12)
4.3. Спектр оператора Гамильтона
81
на периоде [0, а] и наложим граничные условия
•ф(к, a) = e’fc“^>(A:, 0),
(4-13)
il>'(k,a) = егко"ф'(к, 0).
Выберем нормальную фундаментальную систему (1.5) линейно не-
зависимых решений и 992 уравнения (4.12):
¥>1(0) = 1,	<М°) = о,
^'1(0) = о,	^(0) = 1.
Вронскиан этих решений (он в данном случае постоянен в силу те-
оремы Грина см. п. 8 разд. 1.1) равен
<pi(x)p'2(x) - <р{(х)ч>2(х) = 921(0)922(0) - ^1(0)^2(0) = 1.
Представим общее решение уравнения (4.12) в виде
ф{х) = Л^1(т) + Bip2(x)
и определим коэффициенты А и В так, чтобы выполнялись гранич-
ные условия (4.13)
Л921(а) + Bip2(a) = егкаА,
Atpita) + В<р2(а) = егкаВ.
Мы получили систему двух линейных однородных уравнений отно-
сительно двух переменных А и В. Для того чтобы существовало
нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен
нулю:
(921(a) - егка) (<р'2(а) - егка) -	= 0.
Раскрывая скобки и учитывая, что определитель Вронского равен
единице:
</>i(a)</>2(a) - ^'i(a)^2(a) = 1,
получаем
1 - elka (^i(a) +	(a)) + ei2fc“ = 0.
82
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
Обозначим
S(E) = |(^i(a) + ^ (°))
(S(E) зависит от энергии Е, так как 991(a) и <р'2(а) суть решения
уравнения (4.12) при данном Е), и запишем уравнение в виде
S(E) = cos ka.
(4-14)
Это уравнение позволяет при данном к найти соответствующее зна-
чение Е. т.е. определить закон дисперсии Е(к).
Для дальнейшего исследования движения частицы в периодичес-
ком поле необходимо рассмотреть потенциал конкретного вида.
4.4. Периодически повторяющиеся
прямоугольные потенциальные барьеры
Возьмем простейший потенциал, для которого несложно вычис-
лить функцию S(E). Построим его из периодически повторяющихся
(до бесконечности) пря-
моугольных барьеров
высотой Vo и шириной
Ь, как это показано на
рис. 22. Расстояние
___	__	r-т—।	___ между барьерами равно
d, таким образом пе-
риод потенциала равен
^0	а = b + d. Данный од-
номерный потенциал,
—-I  "  ----L X 3-	---—>- х помимо трансляцион-
—°	0 d b	ной, обладает еще и
Рис. 22. Периодический потенциал из прямо- инверсионной симмет-
угольных барьеров.	рией. Однако этот тип
симметрии нас сейчас
не интересует. Поэтому, поместим начало координат в точку не со-
держащую центра инверсии. Найдем для такого потенциала функ-
ции tpi и tp2- Обозначим
_ /2т0
Х = у-»Е>0’
4.4. Периодические прямоугольные барьеры
83
и введем коэффициенты
a = J*^(V0-E) > О,
V /г
Р = ^^(E-Vo) > О,
если Е < Vq,
если Е > Vo-
(4-15)
Рассмотрим сначала случай Е <Vq. Ъ качестве возьмем функ-
цию
<МЖ) = 1
COS XT,
О < х < d,
Ai sha(a: — d) + Bi cha(T — d), d< x < a.
В области d < x < a можно брать любую комбинацию гиперболи-
ческих синусов и косинусов. Взятая здесь комбинация упрощает вид
условий сшивания. Функция <pi (т) должна быть непрерывна вместе
с первой производной. Условия сшивания в точке х — d имеют вид
cosxd = Bi,
—xsinxd = aXj.
Следовательно,
(х) =-------sin ad sh a(x — d) + cos xd ch a(x — d)
в области d < x < a и
tpi (a) =---------sin xd sh ab + cos xd ch ab.
Второе линейно независимое решение tp2 (я) выберем в виде
1 .
— sin хт,
х
At sha(a: — d) + B2 cha(a; — d),
0 < x < d,
d < x < a.
Условия сшивания в точке х = d дают уравнения
— sinxd= В2,
х
cosxd= а Аг-
Ч>2 (я) = <
84
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
Таким образом,
</э2(ге) = — cosxdsha(a: — d) + — sin nd ch a(x — d)
a	n
в области d < x < a и
q
<p'2 (a) = cos xd ch at d-sin xd shat.
Вычисляя полусумму 9?i(a) и <p'2(a), получаем выражение для функ-
ции S(E):
S(E) = —— sin xd sb rrh + cos xd ch at, E < Vq. (4.16)
2^/ад - e)
Здесь, согласно определениям (4.15), мы воспользовались тем, что
1 /а х\
2 \х а/
Уо-2Д
2УЕ(УО - Е) ‘
Рассмотрим теперь случай Е > Vo (энергия частицы больше вы-
соты барьера). В этом случае выражение для S(E) можно получить
из (4.16), заменив a —> г/3. В результате приходим к выражению
__2£
S(E) — —	= sinxdsm/3t + cos xd cos (3b, E > Vq.
2yjE(E — Vq)
В общем случае решать уравнение (4.14) с такой функцией S(E)
можно только численно. Однако можно проанализировать характер
спектра, если в рассматриваемой модели выполнить предельный пе-
реход, в результате которого потенциал будет представлять собой
периодический набор <5-функций. Такой потенциал мы рассмотрим
в следующем разделе.
4.5.	Модель Кронига—Пенни
(гребенка Дирака)
Для того чтобы проанализировать характер спектра частицы в
периодическом поле, рассмотрим предельный случай потенциала из
4.5. Модель Кронита—Пенни (гребенка Дирака)
85
периодически повторяющихся прямоугольных барьеров. А именно,
устремим ширину барьера к нулю, одновременно устремляя его вы-
соту к бесконечности так, чтобы площадь под барьером оставалась
постоянной:
b —> 0, Vo —> оо, bVo = const.
Мы можем рассматривать последовательность таких барьеров
как <5-образную последовательность и описывать получающийся в
пределе потенциал как периодический набор «5-функций Дирака. Эту
модель принято называть моделью Кронига—Пенни (по фамилиям
авторов, впервые ее исследовавших), или «гребенкой Дирака».
В данном предельном переходе Vo неограниченно возрастает, и
потому в качестве S(E) можно взять (4.16). При малых b и больших
Vo справедлива оценка
ab = 1/^(Vo - Е)& и	= CVb,
V п	V п
где С есть некоторая константа. Поэтому, делая предельный пере-
ход, можно положить
sh ab ab, ch ab w 1,
Vo — 2E	2m0 Vo — 2E	2mo Vo , P
—. - = sh ab = -rz  -----------shoo » —r-- ab — —,
2^/S(Vo — E)	fl2 2a jc	n2 2aл jca
где
lmoa
У h2 V°b
есть константа. Таким образом, получаем
sin ха
S(E) = Р----- + cos ха.
ха
Исследуем зависимость S(E). Введем новую переменную
z = ла
Е
86
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
и функцию
,, . „sinz
f(z) = Р-------1- cosz.
Тогда уравнение (4.14) запишется в виде
/(z) = cos ka.
Исследуем функцию f(z). В точках z - 0 и z - птг имеем
/(0) - Р + 1 > 0, /(птг) = (-1)п.
Далее,
... ч „cosz sinz
f'(z) = Р-----------------------Р-,------sinz.
z	z2
Поэтому
/'(0) = 0,	/'(птг) =
Таким образом, в точках птг (п > 0) функция f(z) принимает
значения ±1, знак производной совпадает со знаком функции, а аб-
солютная величина производной убывает с ростом п. Это значит,
что функция /(z) расположена в основном в полосе [—1,4-1] парал-
лельной оси z, причем участки функции, выходящие из этой полосы,
уменьшаются с ростом z. График функции /(z) при значении пара-
метра Р = 5 приведен на рис. 23. Теперь мы можем исследовать
решение уравнения /(z) = cos ka графически. Возьмем некоторое
значение к, вычислим cos ka и проведем на этой высоте линию, па-
раллельную оси z, как показано на рис. 23. Абсциссы zn точек пе-
ресечения этой прямой с кривой /(z) соответствуют тем значениям
энергии En = (h2z2)/(2moa2), при которых уравнение /(z) = cos ka
выполнено.
4.5. Модель Кронига—Пенни (гребенка Дирака)
87
Рис. 23. Графическое решение уравнения (4.14).
Из рис. 23 следует, что для каждого значения к имеется беско-
нечное множество значений энергии, т. е. функция Е(к) оказывается
многозначной. Более того, поскольку cos ka непрерывно изменяется
в интервале [-1,4-1], абсциссы точек пересечения zn целиком за-
полняют отрезки оси z, показанные на рис. 23 жирными линиями.
Поэтому спектр энергии частицы в поле периодически расположен-
ных й-функций имеет так называемый зонный характер. Вся ось
энергии разбивается на непересекающиеся отрезки, как показано в
правой части рис. 24. Каждая точка отрезка, называемого разрешен-
ной зоной, есть точка спектра. Ни одна точка отрезка, называемого
запрещенной зоной, не является точкой спектра. Разрешенные и за-
прещенные зоны чередуются, причем с ростом энергии ширина раз-
решенных зон возрастает, а ширина запрещенных зон убывает. Это
связано с тем, что |//(П7Г)1 убывает, так что участки функции f(z),
выходящие за полосу [—1,4-1], уменьшаются с увеличением п. Бо-
лее детально спектр энергии частицы характеризуется многознач-
ной функцией Еп(к), показанной в левой части рис. 24. Величину к
можно трактовать как волновой вектор, а функцию Еп(к) как закон
дисперсии в n-ой зоне.
Энергетический спектр частицы в любом локальном, одномер-
ном, периодическом потенциале качественно похож на получен-
ный спектр энергии в потенциале из периодически расположенных
88
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
(5-функций. Он имеет зонную структуру, т.е. состоит из чередую-
щихся разрешенных и запрещенных зон.
a	a
Рис. 24. Спектр энергии частицы в одномерном периодическом потен-
циале.
Конечно, вид функций En(k) будет разным и ширины зон бу-
дут разными. Однако ни в каком локальном одномерном периоди-
ческом потенциале разрешенные зоны не могут пересекаться. Раз-
решенные зоны, как правило, разделены запрещенными зонами, и
запрещенные зоны существуют при сколь угодно больших энерги-
4.6. Сравнение движения квантовой и классической частиц
89
ях. Это верно и в тех случаях, когда потенциал ограничен сверху.
С ростом энергии ширина запрещенных зон уменьшается. В исклю-
чительных случаях ширина некоторых запрещенных зон может ока-
заться равной нулю, и тогда разрешенные зоны будут касаться друг
друга. Надо отметить, что правило непересечения зон справедливо
только для одномерного случая. В трехмерном случае, например,
при рассмотрении движения электронов в реальном кристалле, раз-
решенные зоны могут пересекаться и, как правило, пересекаются
при высоких (и не очень высоких) энергиях. Пересечение зон имеет
место и в двумерном случае, например, при рассмотрении движения
электронов вдоль поверхности кристаллов.
4.6.	Сравнение движения квантовой
и классической частиц
Рассмотрим движение частиц в периодическом локальном по-
тенциале произвольного вида. Поместим начало отсчета энергии в
минимум потенциала. Пусть наименьшее значение потенциала есть
Pnin, а ИпаХ — наибольшее значение. Классическая частица может
иметь любую энергию больше VJnin- Если эта энергия меньше Рпах,
то частица движется в пределах одного периода, именно того, в ко-
тором она находилась в начальный момент времени. Если энергия
больше Vmaxj то движение частицы инфинитно, с течением времени
она уйдет на бесконечность. При этом движении скорость частицы
изменяется периодически, от максимума, когда она проходит над
минимумом потенциала, до минимума, когда она проходит над мак-
симумом потенциала.
В отличие от классической квантовая частица может иметь энер-
гию лишь из разрешенной энергетической зоны. При этом даже вы-
ше Ртах (если Ипах конечно) существуют запрещенные для кванто-
вой частицы энергетические зоны. В то же время при любом разре-
шенном значении энергии движение квантовой частицы инфинитно,
т. е. квантовая частица может уйти на бесконечность даже если ее
Энергия меньше Илах-
90
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
Глава 5.
Гармонический осциллятор
5.1. Постановка задачи. Оператор Гамильтона
Рассмотрим стационарные состояния квантовой частицы с мас-
сой то, движущейся в упругом поле с потенциальной энергией вида
Рис. 25. Потенциальная энергия гармо-
нического осциллятора.
Г(ж) = ^кх2,
где к — коэффициент жест-
кости. На рис. 25 показаны
полная энергия Е частицы и
классические точки поворота
±ао, где ад — классическая
амплитуда колебаний.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишем в
виде
п2 d2
2mo dx2
, 1	2 ‘
+ — ШоШ X
Ф(т) = E'&fx).
Здесь введена круговая частота вместо коэффициента жесткости
к = mow2-
Сначала выполним масштабное преобразование, чтобы изба-
виться от размерных множителей h2,w и то в первом и во втором
слагаемых в квадратных скобках. Положим
х = а£,
где а — параметр, подлежащий определению. Запишем оператор
Гамильтона в новых переменных
я(С) =
h2 d2 1	2 2.9
О----2 ЛС2 +	а
2mo a2 а£2	2
92
Глава 5. Гармонический осциллятор
Подберем а так, чтобы коэффициенты при d2/d£2 и £2 были одина-
ковыми:
Отсюда a = y/h/imo w). При этом
Таким образом, оператор Гамильтона принимает вид
#(£) - 2	(	+
(5-1)
Задачу на собственные значения Д(С)^(С) = -E'V'(C) с операто-
ром (5.1) можно решать как обычное дифференциальное уравнение.
Однако мы поступим по-другому, для того чтобы ввести понятия,
играющие очень важную роль в современной квантовой теории, а
именно, операторы рождения и уничтожения.
5.2. Операторы рождения и уничтожения.
Оператор числа частиц
Введем оператор
a =
(5-2)
Это неэрмитовский оператор. Действительно, в силу антиэрмито-
вости оператора d/d£ оператор а+, эрмитово сопряженный с опера-
тором а, не совпадает с последним:
Вычислим коммутатор операторов аи ат:
5.3. Спектр оператора Гамильтона
93
1	A	d\ f	d\	17,	d?	\
a^a = 7 R - -77) K + 37) = o ? "да -1 •
2	\	d^J \	dtj	2 \	d^	J
Таким образом, коммутатор равен
[а,а+] = ad+ — d+a = 1.	(5.4)
Кроме того, из выражения для d+a получаем
Я(0 = Пш (а+а + 0 ,	(5.5)
т. е. оператор Гамильтона Н является линейной функцией от дру-
гого оператора:
N = d+d.	(5-6)
Поэтому, найдя собственные числа и собственные функции более
простого оператора N, мы автоматически получим собственные
функции, а после линейного преобразования и собственные числа
оператора Н.
5.3.	Спектр оператора Гамильтона
Рассмотрим задачу на собственные значения и собственные
функции оператора N (5.6):
М) = А^)-	(5.7)
Для этого исследуем в деталях свойства оператора N. Сформулиру-
ем ряд утверждений.
1.	Собственные числа А оператора N не отрицательны.
Действительно, считая, что <р нормированы на единицу, полу-
чаем:
А = (v?|2V|v?) = (у>|а+а|у>) = (f\f) > О,
где f = dip. В данной формуле знак равенства может иметь
место, только если f = 0. Таким образом, спектр оператора
N, а следовательно, и оператора Н ограничен снизу. Это не-
посредственно следует из того, что оператор потенциальной
энергии V(ж) ограничен снизу нулем.
94
Глава 5. Гармонический осциллятор
2.	Пусть р — собственная функция оператора с собственным
числом А. Покажем, что f = aip либо нуль, либо собственная
функция оператора N с собственным числом А — 1.
Действительно, используя коммутационные соотноше-
ния (5.4), получаем
N f = а+а а <р = (аа+ — 1)а<р = аа+ар — a ip =
= aNip — а <р = aXtp — а<р = (А — 1) f.
Таким образом, если А — 1 > 0, то f — собственная функ-
ция оператора N, а А — 1 — его собственное число, если же
А — 1 < 0, то / = 0 в соответствии с утверждением 1.
3.	Обозначим наименьшее собственное число оператора N через
Ао, а соответствующую собственную функцию через <р0. Пока-
жем, что Ао = 0.
Действительно, так как Ао — наименьшее собственное число,
то в силу утверждения 2 Ао — 1 < 0 и
а(Ро = /о = 0.
Собственное число Ао одновременно является и средним зна-
чением оператора N в состоянии ip0. Поэтому,
Ао = (у>о|а+а]<А)) = (а^о|а^о) = </о|/о) = 0.
4.	Все собственные числа оператора N — целые числа.
Действительно пусть А — некоторое собственное число опера-
тора N, лежащее в интервале [т,т + 1), а <рх — соответству-
ющая собственная функция. Действуя последовательно т раз
оператором а на <рх, получаем последовательность собствен-
ных чисел: А — 1, А — 2, ..., А — т, где т € N. Последнее в
этой последовательности собственное значение А — т лежит
в интервале [0,1), а соответствующая собственная функция
есть <рх-т- Следующее действие оператора а на tpx-m даст
нам (А — т — 1) < 0, чего не может быть согласно утверж-
дению 1. Отсюда следует, что atpx-m = 0. Но вместе с тем,
(А — т) есть среднее значение оператора N в состоянии tpx-m'
(A-m) = (v’x-mla+alv’x-m) = (а^А-т|а^л-т) = 0.
5.3. Спектр оператора Гамильтона
95
Следовательно, при каком-то значении тп мы неминуемо попа-
даем точку нуль, и это есть наименьшее собственное число, и
оно целое. А так как m Е N, то и А тоже должно быть целым.
Таким образом, мы делаем вывод, что
А = n, п = 0,1,2,...
5.	Пусть — собственная функция оператора N с собственным
числом А. Покажем, что функция f = a+<p — также является
собственной функцией оператора N с собственным числом
А + 1.
Действительно, используя коммутационные соотношения (5.4)
получаем
N f = а+аа+у> = а+ (а+а + 1) tp =
= a4- N<p + а+у> = (А + 1) а+<р — (А + 1) /.
Отметим, что спектр не ограничен сверху, что следует из
неограниченности операторов кинетической и потенциальной
энергии V (х) на бесконечности.
Операторы а+, а и N широко используются в различных прило-
жениях квантовой механики и получили названия операторов рож-
дения, уничтожения и числа частиц соответственно. Термин час-
тица означает не реальную физическую частицу, а просто квант
энергии Нш.
Часто говорят, что оператор уничтожения а переводит систему
из состояния с п «частицами» в состояние с п — 1 «частицей», а
оператор рождения а+ — из состояния с п «частицами» в состояние
с п + 1 «частицей». В то же время квантовомеханическое среднее
оператора N дает число частиц (квантов) в рассматриваемом со-
стоянии.
Таким образом, задача (5.5) сводится к следующей задаче:
Яфп(Л) =	(5.8)
Следовательно,
Нфп(£) = Епфп(£),
(5-9)
96
Глава 5. Гармонический осциллятор
где
Еп — hm Г п + J .
(5.10)
Это следует из формулы (5.5). задающей линейное преобразование
оператора N (5.6) к оператору Н.
Таким образом, мы нашли спектр гармонического осциллято-
ра (5.10). Это эквидистантный спектр. Расстояние между уров-
нями постоянно и равно
^п+1	— Ed.
Отметим, что мы нашли спектр, не используя конкретный вид опе-
раторов а+, и а, а учитывая лишь их соотношения коммутации.
Поэтому если какую-нибудь квантовомеханическую задачу можно
свести к задаче вида
а+а<р = Xtp,
где аа+ — а+а = 1, а конкретное содержание операторов любое, то
собственные числа А будут целыми. Например, движение свободного
электрона в однородном магнитном поле описывается уравнением
подобного вида, решение которого соответствует уровням Ландау.
5.4.	Собственные функции
оператора Гамильтона
Продолжим решение задач (5.8), (5.9). Нам осталось определить
конкретный вид собственных функций ^п(£) и их свойства. Будем
считать, что все они нормированы на единицу и ортогональны:
{Фп\Фп') — дп,п'
Тогда рассмотрим действие оператора уничтожения а на V'n(C)- По-
лучим
ОЯрп — (-'п'Фп—1-
Отсюда
{ciipn\a,ipn) — (С'тг! {фп—1 IV^i—1),
5.4. Собственные функции оператора Гамильтона
97
(фп\а+а]фп) - ШЖп) = |С„|2,
п = |СП|2.
Выберем фазы у V’n(C) так, чтобы Сп было положительным, т. е.
Сц —
— у/^'Фп—1*
(5-11)
Исследуем действие оператора рождения а+ на V'n(C)- Для этого
перепишем уравнение (5.11) в виде
(Mpn+l — у/71	"1” фл'
Подействуем на обе части этого равенства оператором а
а+афп+1 = Ntpn+1 = (п + 1)чрп+1 = у/n+l а+фп
В результате получим
а+чрп - у/п + Т фп+1.
(5-12)
Итак, мы определили правила действия операторов рождения и
уничтожения на общие собственные функции операторов Гамильто-
на и числа частиц. При этом мы опять-таки не использовали явный
вид операторов рождения и уничтожения. Однако, для нахождения
V'n(C) лам придется задействовать определения (5.2), (5.3) этих опе-
раторов.
Подействуем оператором уничтожения а на волновую функцию
^о(С)> принадлежащую наинизшему собственному значению п = 0.
Согласно утверждению 3, приходим к уравнению
а^о(С) = 0.
Подставив сюда выражение (5.2), получим следующее дифференци-
альное уравнение
(е +	^(0 = о.
\ /
(5.13)
98
Глава 5. Гармонический осциллятор
Это обыкновенное дифференциальное уравнение, решением которо-
го является
^о(С) = ~^=е
V71"
(5-14)
что можно легко проверить непосредственной подстановкой (5.14) в
(5.13). Множитель 1/^/тг поставлен для нормировки. Все остальные
собственные функции оператора Гамильтона можно найти с помо-
щью оператора рождения а+.
Действительно,
V'nU) = -^=а+^-1(С) = / -,1 - — а+а+^п-2(С) = 
Vn	х/п(п - 1)
= 1 (a+)’Vo(O.
у/п\
(5.15)
Чтобы сделать это выражение более удобным, рассмотрим оператор
_lf2^+ +lf2 _lf2 1
e 2« a+e+2« = e 2« ——
x/2
1 е -if2 1
= —т=£ - e 2* —
\/2
d
2
d\ +if2
C - "77 I e+z€
_ е+И2-ЁЛ =
1 d
xfidf
Запишем выражение (5.15) в виде
1
—= а  a
ые) =
x/nl
... • а+^о^)
и подставим в него единичные операторы вида
I = е+^2е
перед первым оператором dr, между каждыми двумя операторами
а+ и после последнего оператора а4-. Тогда каждый оператор а4"
окажется стоящим между ехр(—|£2) и ехр(+|£2), и каждая такая
конструкция может быть заменена на (—l/y/2)(tf/tf^). В результате
получим
=
5.4. Собственные функции оператора Гамильтона
99
или
= /"J)"	(5.16)
у/у/тгп!2п de,
Таким образом, собственные функции оператора Гамильтона для
гармонического осциллятора можно записать в следующем виде:
М) =	<517)
у/п\2п
где функция ^о(С) определена формулой (5.14), а функции
Я„(0 = (-1)»е+«2^е-«2	(5.18)
называются полиномами Эрмита. Они образуют полную ортонорми-
рованную систему. Нетрудно проверить, что система собственных
функций (5.16) или (5.17) оператора Гамильтона также ортонорми-
рована и полна.
Полученные функции фп(£) есть функции переменной и они
нормированы на единицу при интегрировании по £. Волновые функ-
ции Фп(ж) гармонического осциллятора, зависящие от переменной х
и нормированные на единицу при интегрировании по х, имеют вид
Фп(я) = ~7=^n (-) 	(5-19)
у/а	\а/
Получим некоторые полезные формулы. Прежде всего определим
действие операторов £ и d/d^ на построенные собственные функ-
ции оператора Гамильтона (5.17). Подставим в (5.11) и в (5.12)
формулы-определения (5.2), (5.3) операторов рождения и уничто-
жения
1
^2
\/2
1
d \	г.
С + 37 ) ^п= у/пфп-1,
>
С - 37 ) ^n = Vn + 1фп+1-
«С/
Из этих уравнений получим важные для приложений результаты:
=	+ у~2 ^n+i>	(5.20)
^n =	“ vv^n+1-	(5-21)
tic	у	У
100
Глава 5. Гармонический осциллятор
5.5.	Сравнение классического и квантового
гармонических осцилляторов
1.	Полная энергия классического осциллятора может принимать
любые положительные значения, начиная с Е = 0. При Е = 0
частица покоится в начале координат. У квантового осцил-
лятора полная энергия может принимать значения из беско-
нечного, дискретного, эквидистантного набора. Наинизший
уровень энергии Eq —	> 0 соответствует энергии нуле-
вых колебаний.
2.	Известно, что средние значения координаты и импульса для
классического осциллятора равны нулю: ггкп = 0, ркл = 0.
Вычислим средние значения координаты и импульса для кван-
тового осциллятора:
= (п|а:|п) = а(^п|£|^п),
Ркв -- \ Я
t d
—ih—
dx
—ih
a
п
где |n) и \фп) отличаются тем, что первая функция зависит
от х, а вторая от £. Однако обе они принадлежат полным ор-
тонормированным наборам (n|m) = дпт и {фп[фт) = дпт, где
интегрирование ведется по своим переменным.
Используя (5.20) и (5.21), получаем
___ /п ,, , ,	. п +1 ., . ,	.	_
Жкв = “у 2 vMWn-i/ +	WWn+i) = о,
(«п+1)) = 0.
Таким образом, средние значения координаты и импульса
квантового гармонического осциллятора равны нулю, как и
для классического.
5.5. Сравнение классического и квантового осцилляторов
101
3.	Напомним, что для классического осциллятора полная энергия
связана со среднеквадратичным отклонением из положения
равновесия простым соотношением Екл = тоси2х^л. Прове-
рим, остается ли в силе это соотношение для квантового ос-
циллятора. Используя снова (5.20) и (5.21), получаем
(n|a;2|n) = o2(V'n|£2|V'n) = а2(£^п|^п) =
Сравним этот результат с выражением для энергии (5.10).
Тогда получим
Еп = m0w2(zi|a;2|n).
Таким образом, связь энергии со среднеквадратичным откло-
нением от положения равновесия одинакова для квантового
и классического осцилляторов.
4.	Известно, что для классического осциллятора имеет место следу-
ющая теорема вириала: Е^ = V(x). Проверим, выполняется
ли теорема вириала для квантового осциллятора:
(n| V(x)|zi) = |m0w2(n|a:2|n) = ^m0w2 ——
L	Z mgW
1 ( 1
= -mow I n + -
p2
2mo
n ) + (n|V(a:)|n)
Отсюда сразу же следует
Таким образом, теорема вириала выполняется как для клас-
сического, так и для квантового осциллятора.
102
Глава 5. Гармонический осциллятор
5.	Проверим, выполняется ли соотношение неопределенности
Гейзенберга для гармонического осциллятора. Учитывая,
что средние значения координаты и импульса равны нулю
(^кв = 0 и = 0), получаем для среднеквадратичных
отклонений координаты и импульса:
Дх2 = (х — х)2 = х2 = ---- (п + -
тпош \	2
Др2 = (р — р)2 = р2 — 2mo I п
р2
2т0
2тпо^Йш
Таким образом,
Да:2 Др2 = Т? (п +
т.е.
где
Др = у Др2.
Таким образом, в основном состоянии (п = 0) в соотношении
неопределенности реализуется равенство ДхДр = h/2. Для
п больших нуля и п —> оо соотношение неопределенности
выполняется с запасом- ДхДр h/2.
Следовательно, основное состояние и лежащие близко к нему
возбужденные состояния сильно отличаются от классических.
Напротив, высоковозбужденные состояния мало отличаются
от классических. Это подтверждается рис. 26 - 28, на которых
представлена плотность вероятности обнаружить классичес-
кую и квантовую частицы в интервале между классическими
точками поворота для разных энергий.
5.5. Сравнение классического и квантового осцилляторов
103
Рис. 26. Основное состояние. Рис. 27. Первое возбужденное состоя-
ние.
Рис. 28. Высоковозбужденное состояние.
При любой энергии плотность вероятности обнаружить класси-
ческую частицу максимальна в точках поворота (±а), где скорость
частицы равна нулю и минимальна в точке х = 0, где скорость
максимальна. При |а;| > а, ркл(т) = 0. В отличие от ркл кванто-
вая плотность вероятности ркв(х) 0 при |а;| > а, и экспоненци-
ально убывает при |т| —> сю. Для квантовой частицы, находящей-
ся в основном состоянии, плотность вероятности ркв максимальна
в центре «осцилляторной ямы» (см. рис. 26). Для возбужденных
состояний квантовой частицы ркв осциллирует, и ее максимумы по-
степенно смещаются к точкам поворота при возрастании энергии
104
Глава 5. Гармонический осциллятор
(но не выходят из полосы ±а). Для сильно возбужденного состояния
(см. рис. 28) амплитуда осцилляций ркв становится все меньше. Не-
трудно заметить, что внутри интервала (—а, +а) (за исключением
окрестности границы) среднее значение ркв стремится к ркл.
Глава 6.
Однородное поле
6.1.	Постановка задачи. Оператор Гамильтона
Рассмотрим стационарные состояния частицы с массой то,
движущейся в однородном поле с потенциальной энергией вида
Рис. 29. Потенциальная и полная энергии сис-
темы в однородном поле.
V (х) = Fx,
где F — напряжен-
ность поля (см. рис. 29).
Мы не привязываем-
ся к конкретному ви-
ду однородного поля,
оно может иметь лю-
бую физическую приро-
ду. Пусть Е — полная
энергия квантовой час-
тицы, a xq — класси-
ческая точка поворота.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишем в ви-
де
П2 d2
2mo dx2
+ Fx il>(x) — Etf^x).
Сначала проведем замену переменных. Положим
х = xz,
где х — параметр, подбираемый так, чтобы коэффициенты при
dP /dz2 и z были одинаковыми:
h2
2mox2
= Fx.
106
Глава 6. Однородное поле
Отсюда х3 = h2/(2moF), при этом
„	fh2F2\*
F>c = —----
\ 2mo )
Введя £ = E/(Fit), запишем уравнение Шредингера в виде
~^+Z~£] = °'
(6-1)
Данное линейное дифференциальное уравнение второго порядка
решить прямым интегрированием достаточно сложно. Однако мож-
но понизить порядок уравнения, воспользовавшись тем, что слага-
емое, соответствующее нулевой производной, входит в уравнение в
первой степени (линейно).
6.2.	Решение в импульсном представлении
В координатном представлении оператором координаты явля-
ется z, а оператором импульса, канонически сопряженным с опе-
ратором координаты, является р = — i d/dz. Совершим переход к
импульсному представлению. Тогда оператором координаты будет
z — +i d/dp, а оператором импульса будет оператор умножения р.
Уравнение Шредингера (6.1) в импульсном представлении при-
нимает вид
о d
р + г-------е
dp
<р(р) = о,
ИЛИ
^(р) = i (р2 - е) <р(р)-
(6-2)
Уравнение (6.2) является уравнением первого порядка по р и может
быть легко проинтегрировано. Его решением является функция
<р£(р) = -^е^Р3~£р),
v 2тг
(6-3)
6.2. Решение в импульсном представлении
107
где множитель 1/л/2тг введен для нормировки. Действительно, ана-
логично (4.11) получаем:
+оо
У P*'(p)<Pe(p)dp =
— ОО
—ос
Чтобы найти t[>(z), необходимо вернуться к координатному пред-
ставлению. Выполним обратное преобразование Фурье с функци-
ей (6.3)
^£(z) =
Ф =
-р3 + (z - ejpjdp.
о
Последний интеграл с точностью до константы представляет собой
функцию Эйри
Ф(0 =
(6-4)
Таким образом,
t/±(z) = -^=Ф(z - г).
V7r
(6-5)
Вернемся обратно к переменной х и энергии Е с помощью замены
х	Е	Fx — Е
х	Ftc Fk
Кроме того, нормируем функцию “Фе(х) на <5-функцию по энергии:
1	/ Fx — Е
фЕ(х) = C^£(z) =	—-------
v/тГ \ ГХ
108
Глава 6. Однородное поле
У ^,(x)i/>E(x)dx = \С\2х У tl)*,(z)il)e(z)dz
—оо	— оо
= |С|2х<5(е' - е) = \C\2F^6(EI - Е).
Отсюда
С = (Fx2) ’
Таким образом, нормированная волновая функция частицы, дви-
жущейся в однородном поле, есть
(2т0\
Фе(х) = J
(6.6)
Индекс Е, показывает, какому собственному значению оператора
Гамильтона принадлежит данная собственная функция. Он может
принимать любые значения, т.е. спектр чисто сплошной и не огра-
ничен ни сверху, ни снизу.
6.3.	Сравнение движения квантовой
и классической частиц
Прежде всего изучим поведение волновой функции (6.6) кванто-
вой частицы на бесконечности. Для этого рассмотрим асимптотики
функции Эйри (6.4)
$(t) =
1	( 2 з\
—г exp — ~t2 ,
2ti	\ 3 J
t —> +оо,
t —> —сю.
(6-7)
Таким образом, волновая функция частицы в однородном поле ^в(х)
при х > xq (классически недоступная область) экспоненциально за-
тухает, а при х < xq (классически разрешенная область) она осцил-
лирует со все возрастающей частотой и убывающей амплитудой.
Поведение функции ‘Фе(х) показано на рис. 30.
6.3. Сравнение движения квантовой и классической частиц 109
Рис. 30. Функция Эйри.
1.	Полная энергия как классической, так и квантовой частицы в
однородном поле может принимать любые значения от —оо до
+оо.
2.	Известно, что значение скорости классической частицы в точке
х < xq (хо — классическая точка поворота) задается выраже-
нием
^кл(^) — \/ (Е Fx)
V mc
и возрастает при уменьшении х. Поведение квантовой части-
цы полностью аналогично поведению классической частицы.
Она также ускоряется внешним однородным полем. Ее ско-
рость увеличивается, что следует из возрастания частоты ос-
цилляций волновой функции при х —> — оо (рис. 30).
3.	Уменьшение амплитуды волновой функции ^в(т) при х —> — оо
(рис. 30) связано с возрастанием кинетической энергии части-
цы (см. (1-3)). Как следствие уменьшается относительная^.)
плотность вероятности обнаружить частицу в точке х (абсо-
лютная величина плотности вероятности имеет смысл только
для финитного движения). Относительные плотности вероят-
ности обнаружить классическую и квантовую частицы в точке
110
Глава 6. Однородное поле
показаны на рис. 31. Из этого рисунка видно, что как класси-
ческая, так и квантовая плотности вероятности уменьшаются
при х -> —оо.
Рис. 31. Относительные плотности вероятности обнаружить
классическую и квантовую частицы в данной точке х.
4.	В классически недоступной области (х > хо) плотность вероят-
ности ркл(т) = 0, в то время, как квантовая плотность вероят-
ности рКв(т) затухает по экспоненциальному закону с показа-
телем пропорциональным —а;3/2 (6.7).
Глава 7.
Осциллятор в однородном поле
7.1.	Постановка задачи.
Решение в координатном представлении
Рассмотрим стационарные состояния частицы с массой то,
движущейся в поле упругой силы и однородном, например элек-
трическом, поле. Потенциальная энергия частицы имеет вид
Рис. 32. Потенциальная энергия гармонического
осциллятора в однородном поле.
Р(х) =	+ Fx,
где к — коэффици-
ент жесткости, a F
— напряженность по-
ля. На рис. 32 тонки-
ми линиями показаны
потенциальная энер-
гия однородного по-
ля и потенциальная
энергия гармоничес-
кого осциллятора, а
жирная сплошная ли-
ния соответствует их
сумме.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Ф(т) гар-
монического осциллятора в однородном поле запишем в виде
П2 cP 1	2 2	7-.
-—— + -moiA + Fx
2m0 dx2 2
Ф(х) = ЕФ(х),
(7-1)
где, как и в разд. 5.1, вместо коэффициента жесткости к введена
круговая частота ш = у/к/т® . Выделим полный квадрат из второго
112
Глава 7. Осциллятор в однородном поле
и третьего слагаемых в квадратных скобках:
П2 d? 1	,2	1	? х, ,	.
-——у + -тош (х -х0) - -тош х0 Ф(т) = ЕФ(х).
zmg dx 2	2
Здесь то = —F/(moaP), есть координата положения равновесия час-
тицы в поле V(t). Произведем замену переменной
z = х — Хо, Ф(^) — Ф(я),
1	1	F2
Е' = Е + -тош2Хд = Е - -Fx0 = Е + ------------
2	2	2ТПдШг
Тогда уравнение Шредингера приводится к виду
tP cP
2m0 dz2
А 9 9
+ -ТПоШ Z2
Ф(г) = Е'Ф(г).
Полученное уравнение есть стандартное уравнение для гармоничес-
кого осциллятора (без внешнего поля). Его собственные числа и соб-
ственные функции были найдены в гл. 5. Используя формулу (5.10)
для Е'п, получаем следующее выражение для энергии Еп стационар-
ного состояния осциллятора в однородном поле:
En = fiw (п +
F2
2mgtv2
(7-2)
Таким образом, спектр гармонического осциллятора во внешнем од-
нородном поле остается ‘чисто дискретным и эквидистантным. На-
личие однородного поля приводит лишь к сдвигу спектра как целого
на величину — F2/ (2тоцР). Отсюда видно, что сдвиг энергии осцил-
лятора во внешнем поле квадратичен по напряженности поля.
Используя формулу (5.19) для Фп(г), мы получаем следующее
выражение для волновой функции Фп(т) гармонического осцилля-
тора в однородном поле (а = y/h/(mgu>)):
Ф„(х) = Фп(г) = -JL- -фп (	=	1 ф0 Нп (-} , (7.3)
i/a \а/	\7п!2’га	'О/ 'Oi/
где tpo(z/a) определена формулой (5.14), a Hn(zlod) есть поли-
ном Эрмита (5.18). Функции Фп(аг) нормированы на единицу при
интегрировании по х.
7.2. Решение с операторами рождения и уничтожения
113
7.2.	Решение с помощью операторов рождения
и уничтожения
Как видно из предыдущего раздела, задача об одномерном гармо-
ническом осцилляторе в однородном поле легко решается в коорди-
натном представлении. Однако при этом используется в явном виде
оператор Гамильтона в координатном представлении. В то же вре-
мя похожие, но гораздо более сложные задачи возникают в разных
разделах физики, например, при рассмотрении взаимодействия элек-
трона с электромагнитным полем, при учете электрон-фононного
взаимодействия, при описании эффекта гигантского комбинацион-
ного рассеяния и других. Эти задачи обычно решаются с помощью
операторов рождения и уничтожения. Достоинство такого подхода
состоит в том, что в нем достаточно использовать только комму-
тационные соотношения между операторами. Покажем, как задачу
об одномерном гармоническом осцилляторе в однородном поле (7.1)
можно решить с помощью операторов рождения и уничтожения.
Для упрощения последующих вычислений целесообразно вместо
напряженности поля F ввести пропорциональный полю параметр Ь:
ЩЬ) =
Перейдем к безразмерной переменной £ = х/a, где а = у/Н/(шош),
и запишем оператор Гамильтона гармонического осциллятора в од-
нородном поле в виде
-377 + £2 ) +
“ч /
где оператор Н зависит от b как от параметра. Воспользуемся ре-
зультатами разд. 5.2 и введем операторы рождения а+ (5.3) и уни-
чтожения а, (5.2). Преобразуем с их помощью оператор Гамильтона
Н(Ь) = Н(0) + hub(a + а+),
где Н (0) есть оператор Гамильтона гармонического осциллятора без
поля в представлении операторов рождения и уничтожения:
Д(0) = tw (а+а +
114
Глава 7. Осциллятор в однородном поле
(см. формулу (5.5)). Покажем, что существует такой унитарный опе-
ратор который связывает оператор H(fi) осциллятора в поле с
оператором Н(0) осциллятора без поля простым соотношением
Н(Ь) = П(Ь)Я(0)П+(Ь) + Ло>с(Ь),
(7-4)
где с(6) есть некоторая числовая функция Ь. Для этого подставим
в (7.4) операторы Н(Ь) и Н(0) в явном виде, сократим справа и
слева энергию нулевых колебаний (fiu>/2), поделим это равенство на
Ьы и перепишем полученное равенство в виде
U (b)a^aU+(b) = cTa + b(a + а"1") — с(6).
(7-5)
Возьмем в качестве унитарного оператора U(Ь) оператор
П(Ь) = еьЯ,
где А есть оператор вида
А — b(a — а4-),
который является антиэрмитовским (Л = —Л+). Преобразуем
левую часть (7.5) с помощью операторного тождества Бейкера—
Хаусдорфа:
В рассматриваемом случае В = a+a. Поэтому
Do = a+a.
Вычисляя следующий член разложения Di, находим
Di = Л, Яо = b [а — а+,а4-а] = b(a + а4-),
так как
[а, а+а] = аа+а — а4"aa = [а, а4"] a = a
7.2. Решение с операторами рождения и уничтожения
115
и
Далее,
Z?2 = ~ pl, = ±b2 [а — а+,а + а+] = Ь2.
Поскольку Л2 есть константа, то и все последующие Dn, п > 3,
обращаются в нуль. Таким образом,
еАа+ае~А = а+а + Ь(а + а4-) + Ь2,
а это и есть уравнение (7.5), в котором с(6) = — Ь2.
Первое слагаемое в правой части (7.4) представляет собой пре-
образование подобия с унитарным оператором, а второе слагаемое
есть сдвиг начала отсчета энергии. Как известно, преобразование
подобия не изменяет спектра оператора. Поэтому спектр оператора
Гамильтона осциллятора в поле есть спектр оператора Гамильтона
осциллятора без поля, сдвинутый на величину
,	1	9 9	1	F2
-tiwb2 = --tw2x% = -Fx0 = ---------
2	2	2m0w2
т.е. вниз. Таким образом, для энергии гармонического осциллято-
ра в однородном поле получаем формулу (7.2). В то же время, сдвиг
спектра как целого не меняет собственных функций оператора. Соб-
ственные функции Ф„(х) исходного оператора и собственные функ-
ции Фп(т) подобно преобразованного оператора связаны между со-
бой унитарным преобразованием
Фп(х) = и(Ь)Фп(х).	(7.6)
Рассмотрим это преобразование более подробно. Поскольку
то унитарный оператор определяется выражением
U(b) = exp (b(a — а4-)) = exp	) = ехр (~х0-^-
\	(IX /	\ их
116
Глава 7. Осциллятор в однородном поле
Покажем, что это есть оператор сдвига на — То- Действительно, раз-
ложим полученный оператор в ряд
и подействуем этим оператором на произвольную функцию /(т) (не-
прерывную вместе со всеми производными). Получим
n It.	LL-Jb
п=0
а это есть разложение функции f(x—xq) в ряд Тейлора относительно
точки х. Следовательно,
П(6)/(а;) = /(х-хо).
Таким образом, оператор U(b) аналогичен введенному в разд. 4.1
оператору трансляции, с тем отличием, что Та есть оператор сдвига
на период а, а оператор U(6) есть оператор сдвига на — То- Поскольку
U(b) есть оператор сдвига, формула (7.6) может быть записана в
виде
Ф„(а;) = Фп(а; - х0),
т.е. для волновой функции гармонического осциллятора в однород-
ном поле получаем формулу (7.3).
7.3.	Некоторые свойства гармонического
осциллятора в однородном поле
1.	В разд. 5.5 было показано, что средние значения операторов
координаты и импульса в стационарном состоянии частицы в
упругом поле (без однородного поля) равны нулю. Проверим,
остается ли справедливым этот результат при наличии внеш-
него однородного поля. Используя (7.3), получаем
Якв = ($n(z)|z|$n(z)) = (^п(£)|а£ + а:о|^п(О) = х0,
7.3. Свойства осциллятора в однородном поле
117
Ркв
$п(х)
t d
—гп—
dx
Фп(я)
—г/г
= 0.

Таким образом, наличие внешнего однородного поля не из-
меняет среднего значения импульса осциллятора, но приво-
дит к смещению среднего значения его координаты в точку
х0 = -F/(mou>).
2.	До сих пор мы нигде не оговаривали природу однородного по-
ля. В данном пункте под однородным полем будем понимать
именно электрическое поле: F = q£, где q — заряд частицы, а
£ — напряженность электрического поля. Наличие у заряжен-
ного гармонического осциллятора в однородном электрическом
поле ненулевого среднего значения координаты соответствует
появлению дипольного момента
а2 £
D = qx^ =	(7.7)
который равнялся нулю при отсутствии поля. Знание диполь-
ного момента (7.7) позволяет нам рассмотреть линейный от-
клик системы на воздействие внешнего электрического поля,
характеризуемый электрической восприимчивостью
_ D _ д2
%	£. m0w2 ’
(7-8)
которая, как следует из формулы (7.8), всегда положитель-
на вне зависимости от знака заряда q. Важно отметить, что с
ростом частоты осциллятора и> (или энергии Еп) его воспри-
имчивость к внешнему полю квадратично стремиться к нулю.
Этот факт легко объясняется тем, что большие энергии (или
частоты) соответствуют большому коэффициенту жесткости
к квазиупругой силы, поэтому полю все труднее деформиро-
вать осциллятор.
3.	Вычислим средние значения кинетической и потенциальной
энергии. Для среднего значения кинетической энергии имеем
Ек =
Р2
2т0
/г2
2т0
(ж)
d2
dx2
$71 (*^)^ —
118
Глава 7. Осциллятор в однородном поле
-fi2 /т , . d2
= X--- ( Фп(*)
2mo \ az2
-fi2 / /лх
ъ----2уФп(£}
2m0of \
d2
dC2
fi2 / d
— О 2 \
zrrioa1 \dt,
fi2
2mo«2
Здесь мы воспользовались формулой (5.21). Найдем среднее по-
тенциальной энергии гармонического осциллятора в однород-
ном поле. Получаем
У(х) = ^тош2х2 + Fx.
Среднее значение х^ уже было вычислено. Найдем т2в:
Якв = (Фп(я)|я2|Фп(я)) = (Ф,г(2)|(2+Хо)2|Фп(^)) =
= (ф„(2)|22|ф„(2)) +2гГо(ФпСг)ИФп(2)) + Тд(Фп(г)|Фп(г)) =
= а20М£)|£2Щ£)) + ®о(^п(^)|^„Ю) = а2 (п + 0 + х2.
Здесь мы использовали результат п.З разд. 5.5. Следовательно,
V(x) = |mow2a2 (n + | j + jmow2^ + Fx0 =
+ 2'F‘c°'
Таким образом, среднее значение кинетической энергии осцил-
лятора в поле остается таким же, как и в случае отсутствия
поля, а среднее значение потенциальной энергии получает до-
бавку Fxq/2, которая и определяет изменение полной энергии
гармонического осциллятора при наложении однородного по-
ля.
Список иллюстраций
Рис.1 Потенциальная яма............................   30
Рис.2 Классическая плотность вероятности..........  .	32
Рис.З Прямоугольная потенциальная яма. .............. 33
Рис.4 Графическое решение уравнения (2.4)............ 36
Рис.5 Графическое решение уравнения (2.7)............ 38
Рис.6 Классическая плотность вероятности............. 39
Рис.7 Квантовая плотность вероятности. Первое четное со-
стояние.......................................... 39
Рис.8 Квантовая плотность вероятности. Первое нечетное
состояние........................................ 39
Рис.9 Квантовая плотность вероятности. Яма малой ширины. 39
Рис.10 Прямоугольная потенциальная яма. Начало отсчета
энергии сдвинуто на дно ямы...................... 40
Рис.11 Квадрат амплитуды волновой функции внутри по-
тенциальной ямы.................................. 48
Рис. 12 Уровни энергии и их четность в прямоугольной по-
тенциальной яме конечной и бесконечной глубины. . .	50
Рис.13 Первый четный резонанс........................ 51
Рис.14 Второй нечетный резонанс...................... 51
Рис. 15 Волновые функции для энергии Е', лежащей между
первым четным и вторым нечетным резонансами. . .	52
Рис. 16 Волновая функция частицы в ^-образной яме. ...	54
Рис.17 Прямоугольный потенциальный барьер............ 61
Рис. 18 Четное и нечетное решения для малой энергии
(£ = 0.2 Го)..................................... 64
Рис. 19 Вещественная, мнимая части волновой функции и
ее модуль для малой энергии (£ = 0.2 Го)......... 67
Рис.20 Вещественная, мнимая части волновой функции
и ее модуль для энергии вблизи вершины барьера
(Е = 0.9 ГЬ)..................................... 68
120
Список иллюстраций
Рис.21 Зависимость коэффициентов прохождения Т и отра-
жения R от энергии частиц, налетающих на потенци-
альный барьер................................... 69
Рис.22 Периодический потенциал из прямоугольных барь-
еров. .......................................... 82
Рис.23 Графическое решение уравнения (4.14). ...... .	87
Рис.24 Спектр энергии частицы в одномерном периодичес-
ком потенциале.................................. 88
Рис.25 Потенциальная энергия гармонического осциллятора. 91
Рис.26 Основное состояние осциллятора.............. 103
Рис.27 Первое возбужденное состояние осциллятора. . . . 103
Рис.28 Высоковозбужденное состояние осциллятора.... 103
Рис.29 Потенциальная и полная энергии системы в одно-
родном поле...................................  105
Рис.30 Функция Эйри................................ 109
Рис.31 Относительные плотности вероятности обнаружить
классическую и квантовую частицы в данной точке х. 110
Рис.32 Потенциальная энергия гармонического осциллято-
ра в однородном поле........................... 111
Предметный указатель
А
Амплитуда 47,49,52,91,108
— вынужденных колебаний
48
— единичная 47,63
В
Волновая функция 42,67
—	блоховская 78
—	вещественная часть 67
— мнимая часть 67
— модуль 67,76,77
— непрерывность 22
— нормировка 18,19,27,78,
80
— скачок производной 55,56
— сплошного спектра 22
— условия гладкого сшива-
ния 29, 34,35,37,42,
47,49,62,63,83
— фаза 20,64,97
Г
Граничные условия 11,12,35,
42,81
—	Дирихле 12
—	Неймана 12
— второго рода 12
— неоднородные 12,14
— однородные 12,14
— первого рода 12
— периодические 14,17,81
— третьего рода 12
Гребенка Дирака 85
Д
Дипольный момент 117
Дифференциальное уравнение
8,92, 98,106
— решение 9,98,106
----вещественное 10
---- единственность 12
----линейно независимые
9,81
----непрерывное 34
----общее 34.41,47,65, 81
----ограниченное 22,73
----тривиальное 9
----частное 12
3
Задача
— Коши 11,12
— краевая 11,12
— на собственные значения
16, 92,93
Зона 87
— запрещенная 87,89
— разрешенная 87,89
И
Интерференция 68
К
Квант 95
Кинетическая энергия 27,30,
46
Коммутатор 72,93
Коэффициент 43
— жесткости 91,111,117
— отражения 43,45,46,65-69
122
Предметный указатель
— прохождения 43,45,46, 65-
69
Л
Линейный отклик 117
М
Модель Кронига—Пенни 85
Мощность 42,52
— источника 42
— потенциальной ямы 52,54
Н
Надбарьерное отражение 70
Напряженность поля 105,111,
113,117
Начальные условия 11
Нулевые колебания 100
О
Оператор
— Гамильтона 7,71,93
----гармонического осцил-
лятора 92,99
----собственные функции
96-99
----спектр 80,96,108
— антиэрмитовский 92,114
— единичный 98
— импульса 19,99,106
---- среднее значение 100,
102,116
— интегральный 8
— кинетической энергии 19
----среднее значение 117
— координаты 99,106
---- среднее значение 100,
102,116
— неограниченный 19
—	область определения 21
—	обратный 72
— ограниченный 93
— потенциальной энергии
27,93
-----среднее значение 118
— рождения 92,96,98,113
— самосопряженное расшире-
ние 19
— симметричный 21
— трансляции 71,72
-----явный вид 116
— умножения 7,27,106
— унитарный 72,114
— уничтожения 92,96,113
— числа частиц 93
-----собственные функции
94,95,97
-----собственные числа 93
Определитель
— Вронского 10,12,44,81
— линейной системы 13,14,
16,17
Осциллятор гармонический
91,93, 96,99,100,102
— квантовый 100-102
— классический 100-102
П
Плотность вероятности
23,30,31, 39,102
— квантовая 30,39,102,110
— классическая 30,32,39,102,
110
Плотность потока частиц 42
Плотность тока вероятности
42
Полиномы Эрмита 99
Потенциал 7
Предметный указатель
123
— <5-образный 53,84,85, 88
---связанное состояние
53,54
— нулевого радиуса 53
— ограниченный сверху 89
— ограниченный снизу 33,61
— периодический 71,82,84,
85,87
— четный 33
Потенциальная яма
— прямоугольная 33,53
---бесконечно глубокая 40
Потенциальное поле 7,33,61,
91,105,111
— локальное 7,87,89
— нелокальное 8
Потенциальный барьер
— прямоугольный 61,82
Преобразование
— Фурье 57,59
—	интегральное 57
---ядро 57
—	линейное 96
—	масштабное 91
—	подобия 115
—	сдвига 115
Принцип
— детального равновесия 43
— микроскопической обрати-
мости 43
Р
Резонанс 46,48,51,52,70
С
Сила 31,48,111,117
Система линейных уравнений
13,14
— однородная 14,35,81
Скорость 30,42,46,70,89, 109
Собственные функции 16,93-
96
— нечетные 25,33,35,37-39,
48-52,62,64
— ортогональные 96,99
— четные 25,33,35,37,39,
47,48,50-52,62,64
Собственные числа 16,92
— вырожденные 24,25
— наименьшее 94,97
— положительно определен-
ные 93
— целые 94
Соотношение неопределен-
ности Гейзенберга
30,102
Состояние в яме малого ради-
уса 40
Спектр 25,80
— дискретный 33,38,41,76,
112
— зонный 87
— непрерывный(сплошной)
23,33, 42,61,73,108
— ограниченный снизу 61,93
— эквидистантный 96,100,
112
Среднеквадратичное отклоне-
ние 101
Т
Теорема
— Блоха 78,80
— Грина 10,44,81
— Коши 12,13
— Крамера 14
— Флоке 73,76
— Штурма 10
124
Предметный указатель
— вириала 101
— сравнения 11
Тождество Бейкера—Хаус-
дорфа 114
Точка поворота 31,91,102,
105,109,111
Трансцендентное уравнение
35,38, 85
— графическое решение
36,38, 86
Туннельный эффект 70
У
Уравнение Шредингера 7,71
— стационарное 33,34,61,62,
91,105,111
-----в импульсном представ-
лении 57,58,106
-----в координатном пред-
ставлении 55,106
-----с сингулярным потенци-
алом 55
Ф
Фундаментальная система
34,41,47, 65
— нормальная 12,81
Функция
— Эйри 107,108
—	от оператора 93
Ч
Частота 48,108,117
—	вынуждающей силы 48
—	круговая 91,111
—	собственная 48
Э
Электрическая восприимчи-
вость 117
Литература
1.	Ахиезер Н. И., Глазман И. М.
Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.
— М.: Наука, 1966. 544 с.
2.	Давыдов А. С.
Квантовая механика.
— М.: Изд-во Физ.-Мат. лит-ры, 1963. 748 с.
3.	Дирак П. А. М.
Принципы квантовой механики.
— М.: Изд-во Физ.-Мат. лит-ры, 1960. 434 с.
4.	Камке Э.
Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
— М.: Изд-во Иностр. Лит-ры, 1951. 828 с.
5.	Мессиа А.
Квантовая механика. В 2-х т.
— М.: Наука, 1978. Т.1. 480 с.; 1979. Т.2. 584 с.
6.	фон Нейман И.
Математические основы квантовой механики.
— М.: Наука, 1964. 368 с.
7.	Петрашенъ М. И., Трифонов Е. Д.
Применение теории групп в квантовой механике.
— М.: Наука, 1967. 308 с.
8.	Сансоне Дж.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. В 2-х т.
— М.: Изд-во Иностр. Лит-ры, 1953. Т.1. 346 с.; 1954. Т.2. 415 с.
9.	Смирнов В. И.
Курс высшей математики. В 5-ти т.
— М.: Наука, 1974. Т.З, ч.1. 324 с.; 1969. Т.З, ч.2. 672 с.
126
Литература
10.	Смирнов В. И.
Курс высшей математики. В 5-ти т.
- М.: ГИЗ ТТЛ, 1953. Т.4. 804 с.; 1947. Т.5. 584 с.
11.	Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.
— М.: Изд-во Физ.-Мат. лит-ры, 1958. 468 с.
12.	Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А.
Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.
— Л.: Изд-во Ленингр. Унив-та, 1980. 200 с.
13.	Флюгге 3.
Задачи по квантовой механике. В 2-х т.
— М.: Мир, 1974. Т.1. 341 с.; Т.2. 315 с.
14.	Фок В. А.
Начала квантовой механики.
— М.: Наука, 1976. 376 с.
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании пособия, его оформлении и о воз-
можных опечатках просим присылать авторам по адресу:
198504 С.-Петербург, Петродворец, Ульяновская ул. д.З,
С.-Петербургский государственный университет,
Физический факультет, кафедра Квантовой механики.
E-mail: snz@szl326.spb.edu
WWW: http://fizik.spb.ru
Учебное издание
Игорь Васильевич Абаренков
Сергей Николаевич Загуляев
Простейшие модели в квантовой механике
Учебное пособие
Художественное оформление И.В.Абаренков, С.Н.Загуляев
Обложка С.Н.Загуляева
Компьютерная верстка С.Н.Загуляева
Печатается без издательского редактир вания