Автор: Вилейтнер Г.В.
Теги: математика математический анализ история математики хрестоматия переводная литература
Год: 1935
Текст
r: ЛЕ Т . .
ХРЕСТОМ'Т
ПО ИСТОРJIИ
МАТЕМАТИКИ
ОНТИ нк.тп СССР
fi)35
МА ТНЕМА TISCHE QUELLENBOCHER
RECHNEN UND ALGEBRA
I
GEOMETRIE UND TRIGONOMETRIE
ANALYTISCHE UND SYNTHETISCHE GEOMETRIE
INFINITESIMALRECHNUNG
VON
pr. HEINRICH WIELEITNER
,
VE LAO ОТТО SALLE, BERLIN, 1927 1928
'/ Q/. ,;/ и?
/ ;/9: v6'. и.
u / · (. / "
r. Б и Л Е И Т Н ЕР /f: ,Of. (1. v/. ?
ro/;' ,/ ff!.?A..
J::fJ /...7 У t/ /
",..",.4 ", ";:' Atч" 4' ;;i6
"iI I' """A "" "A- ' ,,:,?, . g
ХРЕСТОМАТИЯ
П О ИСТОРИ И
МАТЕМАТИКИ
СОСТ АВ ЛЕННАЯ
ПО ПЕРВОИСТОЧНИКАМ
АРИФМЕТИКА И АлrЕБРА
rЕОМЕТРИЯ и тРиrОНОМЕТРИЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ и СИНТЕТИЧЕСКАЯ rЕОМЕТРИЯ
ИСЧИСЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛbJХ
Перевод п. С. ЮШКЕВИЧА и А. П. ЮШКЕВИЧА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ОБЪЕДИНЕННОЕ НЛ.УЧНО ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НКТП
СССР
u
r 'АВНАЯ РЕДАI ИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ
И номоrРАФИИ
1"1 о С к в А 1 935 Л Е Н И li l' Р А Д
т 10-5-4
ТКК N2 35
АННОТ АЦИЯ
в четырех небопьших выпусках .Хрестоматии. собраны
отрывки И3 классиков алrебры, rеометрии, ТрИI'онометрии,
аналитической и проективной rео етрии, исчисления
бесконечно малых, в подлинниках отражающие основные
этапы раэзития этих дисциплин.
Все отрывки снабжены пояснительными примечаниями
историческоrо и математическоrо характера.
Для удобства читателей в новом издаl!"!I eyыpe вы-
пуска объединены в один том.
.Хрестоматия. r. Вилейтнера является пособием для
преподавателей истории математики и обучающихся ей
и представляет большой интерес для любителей MaTeMa
тики вообще.
<J ..... 11 ....
РедаК:.I.ИR А. п. Юшкевича. Оформ.1е:1И с. Л. ДЪLAlaH.
Ko pCKTypa и. п. 3аZРядскова. ВыпускающнА Н. А. ЛllпllН.
Сдано 8 пров ,во. С:Т80 20jXIl 1934 r. ПО..1пи:ано к печати 27,VI 1935 r.
Листов 20. Тираж 15000. Формат 82Х110'/з,. Печ. ЭН. в КIiИiе 716.000.
Заказ ом 206. rтти ом 5. УПОJlНОМОЧ. rлаВ.'lита ом В-227С9
l-s 0б;азuс>ваil тип. Оrнэа РСФСР Tp CTa "ПОJlиrрафкниrа ll . Москва, ВаJlО8ilИ,
О .п чаrапо с матриц в ШКО.ТIе ФЗУ Оrиза ТРеста 1I/ О.lнrрафltаиrJ.
Москва. КОЛПаЧНЫЙ, 1.3 Зах. 2i41.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО BTOPO 1Y РУССКОМУ ИЗДАrIИЮ
История мате\fатики начинает занимать в проrраммах высших учеб..
ных заведений то место, которое по праву принадлежит ей в системе
высшеrо образования. В педаrоrических институтах теперь уделяется
ей курс в 80 часов, достаточный для общеrо ознакомления с основными
чертами развития математики дО XIX века. В среде научных работ..
наков специалистов и в обширных Kpyrax советской интеллиrенции
Т(1l{же растет интерес к истории науки. Свидетельством 9Toro служит
необходимость выпуска вторым изданием известных книr Цейтена и
наСТОЯIцей хрестоматии.
"Хрестоматия по истории математики.. недавно скончавшеrося не..
мецкоrо ученоrо r. Вилейтнера не является, конечно, учебником ее
истории. Заменить систематическое изложение она при всех своих дo
стоинствах не может. Как ни тщательно подобраны отрыьки, как ни
детально освещают их историческое значение пояснения составителя,
все Ke целый ряд важных вопросов остается вне поля зрения читателя.
Но Вилейтнер и не претендовал на то, чтобы кни)кка ero служила
вместо учебника. Ее назначение быть наrлядным пособием при про
хождении курса, по казать на подлинных текстах действительный xapaK
тер доказательств и методов решения математических проблем на от..
дельных этапах истории. С этой задачей составитель справился весьма
удачно, несмотря на отдельные пробелы, совершенно неизбежные в
таком сложном деле. Ero сборник является прекрасным и необходимым
дополнением к суп(ествующим книrам по истории математики. На KOH
кретных образцах он знакомит с идеями, I{OTOpbIe в общих курсах из
лаrаются обыкновенно на нашем языке и в современных обозначениях,
блаrодаря чему нередко искажается перспектива, у летучивается apo
мат времени и вводятся элементы собственных воззрений историка.
Особенно это относится к распространенным у нас работа'М r. Цей
тена, во мноrих случаях rрешащих чрезмерной модернизацией и еще
чаще столь сжато и полунамеками РИСУIОЩИХ концепции старых aBTO
ров, что не специалисту трудно бывает разобрать излож-ение.
Очерченное ни)ке содер:жание книrи показывает, насколько ценноА
является она при изучении истории математики. Этому не препятствует
и тот общий недостаток ее, что Вилейтнер в своих пояснительных за
мечаниях даже не затраrивает вопрос о влиянии, оказанном на разви
тие математических праблем со стороны производственноrо базиса об..
щественной жизни, так же как не касается связи' между различными
системами миропоззрения и математичеСI{ИМИ методами. Этот недостаток
значителен, он СНИЖ3,ет достоинство книrи, но обилие интересноrо и
xapaKTepHoro материала, снабженноrо подробным математическим и
историческим I{омментарием, безусловно обеспечивает книrе почетное
место . учебной литературе.
6
Первая часть хрестоматии отведена элементарным отделам арифме-
тики и аЛI'ебры. В ней подробно предстаВJIена история решения квад-
paTHoro уравнения, уделено место проrрессу символики, введению мнимых
величин, приведены декартова формулировка теоремы о числе корней
а.ТIrебраических уравнений и пример приближенноrо решения уравнений.
из Эйлера. rреческая о математика охарактеризована ОТРЫВI<ами из Эвк
Jlида (rеометрическая проrрессия), Никомаха (пропорции), Диофанта
(неопределенное уравнение второй степени). К сожалению, именно в
первой части пробелы особенно значительны. Отсутствие образцов
I'еометрической арифметики и алrебры не так суще твенны, о них
можно достаточно подробно прочесть у Цейтена. Но остались не ззтро-
IIУТЫМИ такие важные отделы, как математика индусов, развитие счета,
коммерческая арифм тика, питавщая долrое время арифметику и алrебру,
приближенные вычисления корней, иrравшие БОЛЬШУIО роль В при
ложениях математики, история кубических уравнен,ИЙ, образцы взаимо
действия триrонометрии и алrебры. Открытие лоrарифмов также пропу
щено, хотя по крайней мере в примечаниях об этом следовало бы
рассказать. Вместе с тем бросается в rлаза особенное предпочтение,
оказываемое в ряде случаев немецким ученым коссистам, в ущерб
авторам Франции и Италии: из 8 отрывков, отведенных европейской
алrебре до Виеты, 6 принадлежат немецким аЛl'ебраистам.
Вторая часть начинается с rреческих reoMeTpoB, затем отдельные
rеометрические отрывки (цель которых показаrь возрождение древней
математики в новое время) при водятся из трудов ХУ ХУI вв. Незна-
чительное количество примеров из rеометрии естественно объясняется
тем, что элементарная rеометрия претерпела со времен Эвклида лишь
незначительные изменения (работы по обоснованию rеометрии в этой
связи учитывать разумеется не приходится). Центральное место поэ
тому уделено развитию плоской и сферической триrонометрии, начиная
с приемов вычислительной rеометрии древних до общеrо разбора pe
шения косоуrольноrо треуrольника у Виеты и стоящей особняком Teo
ремы Муавра в изложении Эйлера (ВВОДЯlцей уже в высшие разделы
триrонометрии). И в этой части приходится Qтметить кое какие недочеты,
относящиеся более к примечаниям ВИJ!ейтнера, чем к подобранным им
отрывкам. Не указывается на значение, которое иrрала теорема Птоле
мея в древнеrреческой астрономии, не указывается, далее, существенное
отличие между I'еометрией ученых абстрактноrо направления, как Эвклид,
и прикладной rеометрией математиков практиков вроде [ерона. Точно
так же не подчеркнута должным образом связь между ростом rеометри
ческих интересов и исследований ХУ XVI вв. с запросами тоrдашних
ремесла, живописи, фортификации и т. п. Наконец, Эйлер, которому
мы обя аны по существу современным понятием триrонометрических
функции, в этом отношении очень мало охарактеризован.
Третья часть знакомит с аналитической и синтетической rеометрией.
ОТf.:рывающие ее три отрывка из "Конических сечений" Аполлония
рисуют rеометрическую основу, на которой впоследствии была построе
на аналитическая rеометрия. Следующие при меры непосредственно BBO
дят n ХУН В. Применение координатно алrебраическоrо метода Ферма
ПОI<азано на уравнениях прямой и эллипса. Из "fеометрии" Декарта
заимствованы вывод одноrо уравнении I'иперболы и построение HOp
мали к эллипсу алr'сбраическими средства НI. ДальнеЙНlие отрывки опи
СЫВ310Т развитие аналитической rеометрии у последователей Декарта и
первое введение пространственных координат. Два интересных примера
ВЗЯТЫ из ЭЙJlера, столь значительно усовершенствовавшеI'О применение
6
координатноrо метода. Остальные номера отведены истории синтети
ч... ской rеомеТРJ:lИ, именно Дезарrу, ПаскаЛIО, Понсле, Мебиусу и Штеи
неру. Третья часть хрестоматии удачнее двух предшествующих, в OT
деле аналитической rеометрии особенно. Можно упрекнуть автора в
том лишь, что не дано самое начало декартовой "rеометрии", rде из
ложены основоположные взrJ1ЯДЫ Декарта на отношения между алrеб
рой и rеометрией и принципы, которыми он руководствуется в своем
исследовании. Недостаточны Т(iкже примечания к примеру из Дезарrа.
Все внимани.е уделяется понятию инволюции, прочие ero результаты
(например, введение несобственных элементов) обойдены. Мало сказано
в соответствуюпtих номерах и о принципе двойственности.
Четвертая часть (исчисление беСI{онечно малых), наиболее обширная,
начинается с доказательств методом исчерпывания древних, с так назы
ваемой аксиомы Архимеда и ее следствий и эвклидова вывода теоремы
об отношении площадей двух KPYI'OB Последующие отрывки из Архи
меда передают мноrообразные приемы, которыми пользовался этот круп
нейший представитель исчисления бескон чно малых античноrо мира.
Один отрывок дает квадратуру параболы (суммирование убывающей
I'еометрической проrрессии и применение метода исчерпывания), два
друrих кубатуру сфероида (сумма квадратов натуральноrо ряда чи
сел). Четвертый отрывок из "Эфода" показывает примененйе Архи
медом метода "неделимых" , уходящеrо своими корнями в математически
атомистические учения Демокрита. Под .N2 IV автор приводит остроумный
образец критики теории неделимых линий в школе Аристотеяя. Опус
кая не имеющие принципиальноrо значения работы арабов и в приме
чании коснувшись соответствующих идей средневековья, ВИ.'Iейтнер
одним отрывком из Валерио, уже отступающеrо от строrости KOCBeH
ных доказательств древних, OTI{pbJBaeT сразу XVII В. Далее идут по по
рядку отрывки из Кеплера, Кавальери, Торичелли, квадратуры и метод
маl{СИМУМОВ и минимумов Ферм], интеrрации Паскаля и, как известное
завершение подrотовительноrо 1{ ОТКРЫТИI0 диференциальноrо и инrер
ральноrо исчисления периода, отрывок из Барроу, устанавливаlощеrо
взаимно обратную зависимость между интеrрированием и диференци
рованием в их rеометрической форме. Для характеристики работ Лей
бница и ero школы взяты классический отрывок из статьи о "Новом
1t
методе" (правила диферепцирования), лейбницево разложение в ряд 4-
и задача проведения касательной к спирали Архимеда (из Иоrанна Бер
нулли). Ньютон охарактеризован обширным отрывком из "Метода флюк
сий", излаrающим математические основания последнеrо и примером
разложения в ряд арксинуса, синуса и косинуса. Книrа заканчивается
нестроrим выводом производной синуса из Эйлера, с целью продемон
стрировать наступивший в XVHI в. период "величайшей беззаботности
по части лоrическоrо обоснования теории".
В целом четвертая часть хрестоматии составлена чрезвычайно инте
респо и лишнеrо в ней ничеrо нет. Развитие исчисления бесконечно
малых до XVHI в. изображено с большой выпуклостью и число про-
белов не так велико, невозможно было бы взять инезначительную
часть интересных образцов. Из числа наиболее важных пропусков сле
дует отметить все же полное отсутствие характеристики полемики
элейцев, сыrравшей крупнейшую роль в античной математике, примеров
из работ Валлиса и rlойrенса. Более серьезным недостатком является
полное пренебрежение меТОДОЛОПlческой стороной, вопросами обосно
7
nания анализа. Характеристика взrлядов Лейбница 11 Ныотона безусловно,
должна была бы найти место в книrе. То же HeMHoroe, что rоворится.
скажем, о Jlейбнице на стр. 276, частью недостаточно, частью невеРН8
Мноrообразие воззрений Лейбница опущено; исходные постулаты aHa
пиза ero школы не отмечены; эволюции ньютоновой теории флюксий не
уделено ни строчки. Опущение математики XVIII В. сказывается не
менее отрицательно; при этом выпадают столь основные вещи, как раз
витие понятия функции, классификаторская работа Эйлера, развитие уче...
пия о рядах у Маклорена и Даламбера и пр. Это тем более непрости
1ельно, что один отрывок из Эйлера, действительно нестроrий с поrи
ческой стороны, может исказить в rлаэах читателя подлинную историю
этих вопросов в XVIH в.
Необходимо остановиться еще на одном пункте, взяв здесь Вилей.т
пера под sащиту от HeI<oTopbIX критиков. Судя по расстановке первых
отрывков этой части, можно было бы полаrать, что автор переоценивает
роль метода исчерпывания, считая ero первенствующим в античности
приемом исследования. Но перестановка отрывка из "Эфода" в конец
IIомеров по rреческой математике объясняется лишь желанием автора
указать на связь между употребляемыми в нем приемами и идеями
математики начала XVH В.; это явствует из примечания Вилейтнера 1<
этому отрывку. Место же, которое Вилейтнер отводит методу исчерпы
вания, COBepll1eHHO правильное. Он рассматривает ero как завершающий
этап математическоrо исследования и сам rоворит, что "при помощи исчер
пывания нельзя найти ничеrо TaKoro, что не было найдено или о чем
не доrадывались бы ранее на основании какоrо либо друrоrо способа 11.
Он вовсе не представляет rpeKoB сплошными противниками инфини Te
зимальных приемов, они по ero словам "нисколько не боялис ь упо
треблять понятия бесконечноrо и предела., но только в эвристических
целях; "в противном случае они просто не получили бы никаких pe
зультатов" (стр. 200 201).
В заключение надо указать на одну допущенную Билейтнером ошиб
ку, также отмеченную в печати. Разбирая пример из Кавальери, Вилейтнер
обвиняет последнеrо в порочном Kpyre (стр. 243). Но в 17 M предложе
нии 11 книrи "Geometria indivisibilibL1s. Кавальери доказывает, что объе
мы подобных тел относятся как кубы сходственных rраней, блаrодаря
чему шаr, омеченный на стр. 243 номером (IV), является правомерным.
Во втором издании "ХрестоматиИ II все четыре выпуска объединены.
для удобства читателей в один том. В соответствии с этим собраны
в один и именные указатели, которые вместе с тем были подверrнутЫ
некоторой переработке. Друrих изменений в этом издании не имеется.
А. /0 lluевuч
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АРИФМЕТИКА И АлrЕБРА
Всякая хрестоматия имеет ценность только тоrдз, I{оrда ОНа
передает источники так, что читатель получает COBepIJIeHHO отчет-
ливое, lIедвусмысленное представление О них. Это предполаrает,
разумеется, безус.лОВI1УIО точность псрев Jда.
С начаJlа XVII в. для математической, выра>кемой с помощью
формул, части текста стали, в отличие от остальноrо тек-
ста, все чаще пользоваться курсивом (й, Ь, с и т. д.), то же
относится Ii к БУI{вам при фиrурах. В приведенных отрывках
crporo уч ена и эта особенность.
В выборе отрывков IIмеется всеrда известная доля произвола.
Разумеется, я старался брзть из источников ЛИПJЬ ТО, что важно.
lio этоrо важноrо есть не мало, и не всякие источники леrко
доступны. Поэтому (а TaIOKe и по ряду друrих причин) не всеrда
было возмо)кно привести первоисточник, в котором впервые по-
ЯВ '1яется какой нибудь прием. В этих случаях R предварительных за
мечаниях или пояснениях даIОТСЯ соответствуюu(ие указания. При
выборе отрывков обраIцалось внимание на их доступность, ибо уже
одна форма изложения нередко представляет значительные TPYД
ности. Материал распо.тtожен, в основном, в хронолоrическом
порядке.
Старые книrи часто не имеют нумерации страниц (паrинации),
а нередко даже нумерации листов (фолиации). Затем печатные
листы большей частью отмечены прописными буквами А, 8, С
и т. Д., а отдельные листы их помещенными рядом ЦИФI1ами.
Так, например, В 2 означает в rорой лист BToporo печзтнС\rо листа.
Но эта нумерация никоrда не проводится полностыо. 8 таком
случае мы продолжаем ее в уме, а соответствующую отметку
помещаем в скобках, как, например, (8 5). Для обозначения
передней стороны листа я пользуюсь сокращением Vo., а задней
Rii. 1). Скобки в тексте отрывков если не oroBopeHo обрат-
ное принадлежат мне.
f) в научной литёратуре пользуются в этих СJlучаях соответственными
сокращениями r или rO (-recto) и fI или V O ( flerso).
8
Образец позднеrо и С80еобразноrо применения римских
цифр
Из сохранившеrося только в рУКОПИСНОМ ВИД<3 "Traicte d'arismetique
pour pratique par gectoners" Жеrана Адама (Jel1an Adam), Paris, 1475.
Сообщено ЛИННОМ Торнпаиком (Lynn Thorndi:\e) в "The Am.:rican Mathe
matical Month1 y ll. Уоl. XXXIII, 1926, стр. 24.
Лист 5, Ril.: Mediacion est assavoir combien morite lа moictie
dun nombir proposi Exemple Le Roy dOllne lа moitie de нm vi c
vii 1ivres а monsr de hoиrluиm cest хху m huic ce:1S troys 1ivres
dix sols
Пер е в о д. Медиация ОЗН1чает знать, скuлько составляет
половина какоrо нибудь заданноrо числа. Пример: король дает ro
сподину де rурлууму половину 51 607 ливров, что составляет
25 803 ливра 1 О су.
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Деление пополам (ка!:,
и удвоение) в виде особоrо арифметическоrо действия встреча-
.ется в учебниках вплоть до ХУН I в. I\ороль, о котором идет
речь в приведенном отрывке, это Людовик XI; Адам БЫ.l писцом
при ero дворе. Употребление строчных букв для римских цифр
было весьма обычно в то время и еще позже так)ке и в HeMeц
ких книrах (rде их набирали также rотическим шрифтом;
см. надrробные надписи); в настоящее время оно встречается еще
в Анrлии. Мы называем употребление римских цифр поздним
лишь потому, что в названном нами руковоз.стве арифметики
ПОЛЬЗУIОТСЯ лишь ими одними. Очевидно это было обычно
только в случае "линейноrо с чета". Кебель (см. ниже) пользуется
римскими цифрами также для обозначения числителя и знаме-
нателя дробей. Об Адаме мы этоrо не знаем, ибо не весь TeKC'f
ero книrи был опубликован. Римские цифры вышли из употреб
ления только в XVIII в. По свидетельству I"'оттфрида Келлера (I<eller)
(Der gri.ine Heinrich, 1, 6) мы знаем, что одна ToproBKa зе.ТIенью
ПОльзовалась ими еще в XIX в. Своеобразие употребления рим
ских цифр В указанном случае заключается в том, что они
здесь комбинируются с десятичным позиционным начертанием.
11
Мы знаем это ташке из ру"оводства арифметики ЯI<ова Ке..
беля, "Еупп Newe geordent RechenbilchIein uf den 1inien mit Re
chenpfenigen 1)..." (Оппенrеtiм, также Ауrсб)'рr, 1514).
Лист А НН, Vo.: е означает сто, и если ты по левую PYI<Y
от Hero поставишь х, то оно отнимает у Hero десять и означает
девяносто, вот так: хе. Никоrда не ставят больше четырех С,
вот так: се ее и означает четыреста. Ты можешь писать сто
также следующим образом: jC, ijC, iijC, iiijC, v C , vjC, vijC, viijC, IX C ,
С
Х и т. д. )
.
.
1\\ означает тысячу, и [{ратное от нее обыкновенно обозна
чается так: М, ijM, iijM, iiijM, v M , vjM И т. д.
Примеры на листе (А 5), Rii. 2): 1514 MVcXIIIJ, 1600 МОС
(или) MVIc, 1820 MVIIIc ХХ, 1900 МVIIП С .
Д о п о л н е н и е. В руководстве арифметики Адама встреча
IОТСЯ впервые термины "bymillion", "trimillion" (у Шюке ehu
quet в 1484 r. "byllion 11, "tryllion") в нашем смысле слова (в на-
стоящее время "ип billion" равняется 1 миллиарду и Т. д.).
II
Тройн.ое правило
ИЗ книrи "Ain New geordnet Rechen bfechlin mit den zyffern...
Иоrанна Б шенштейна (Bo3heI1steyn), Ауrсбурr, 1514.
ЛИСТ С i, Vo.:
т РОЙ н о Е П РАП и л о (R е g tt 1 а d е Т r у).
Тройным правилом называется regula magistralis, или reguIa
aurea (Т. е. маrистерское правило, или золотое правило),
с помощью KOToporo совершаются все ToproBble расчеты всех
ремесленников и купцов; оно называется в rражданском оби-
ходе de try или de tree, ибо содержит в себе три вели-
чины, при помощи которых можно вычислить все.
. ....
Лист С i, RU.: Заметь еще числа, стоящие сзади и спс-
реди. Нздо стоящее сзади число помножить на среднее и раз
делить на переднее.
t) По-французски они (с:четн'/е марки) н зываются "jetons., по ста
РИНIIОМУ написанию "gectons. .Таким образом "gectoners. это те, которые
пrоизводили счет с помощью счетных марок (по немецки это называлось
считать .на линиях. .auf den LinienO).
1) Арабские цифры имеются также и в ориrинале.
12
Unde Versus (отсюда стих)""\ ,
liinden und fornen gleich патеп rycht,
Das grosser von wegen des clainen zerprich.
Das mittel mit dem hlndren multip1icir
Mlt dem fordren dasselbig dlvidyr.
Was dyr kompt zu stunden
Hast du der frзg antwurt gefun en.
,
ПереВОll
""f'," -..::"""
ПридзR заднему и переднему одинаковое наименование,.
rIревратив большее наименование в M t!_"luee.
Среднее умножь на заднее .
И раздели ЭТО на переднее.
То, что ты получишь,
tI будеr ответом на вопрос.
I
Пример
Я купил 1 с(. шерсти за 7 Н. ЧТО стоят 29 "'аь? Преврати ((
в фунты и воспользуйся праВИЛQМ
lЬ fl Ib
100 7 29
nOMHO}Kb 29 на 7, -затем раздели на 100, ЧТО' ПОЛfЧr.1СЯ
30
и будет _стоимость 29. lb. Результат 2 fl.6. и 100 .
IfОSlснительные эаме.чания. Тройное правило. или O.
потое правило, разъясняется одинаковым обра"зом 80 всех руковод-
ствах арифметики Toro времени. Мы видим, что немецкое название
Regel de tri, которое, кажется, заменено было термином Dreisatz
JJИШЬ в XIX в.,. ПРОИСJОДИТ не от трех "положений" '(Satz), кота-
.. '
рыми пользуются при выводе, но от трех величин, .КОТ,орые нуж-
но взять (setzen), чтобы получить четвертую величину........« это
,. сокращение для слова Centner (центнер), Н....... от слова Floren
(rульден). Но буква J позад f не есть соБСJвенно 1, а та же
завитушка, что и y't, служившая DIIЯ всевозможных сокращениЯ.
Ib означает 1iber (фунт): в ориrинале имеется наверху поперечная
черточка, соединяющая 1 и Ь. Оrсюда полуqи, ,я стре a.J.Q ц_8ся
нноrда еще и D настоящее время знак W.
III
ЕrипетсниА счет с дробями
Из так паЗЫDаеыоrо :лапируса Р.иl.!да (назвзнноrо так по имеви. ero
i .владельца), который был написан OKOJ10 1600 r. до Н. 9. по образцу,
O,1ee древнему лет на 200. Первое издаци рапируса (снаQ1КeIJное Jit'.
... '\" .' Jo _
1
мецким переводом) принадле?Кит А. ЭАэенлору (Eise111ohr), "Eil1 mathema
H ches Handbuch der аltеп .Agvpter", Leipzig, 1877, новейшее (снабжен..
ное анrлийским переводом) Т. Эрику Питу (Peet). ТЬе Rhind Mathema.
Нсаl Papyrus, London, 1923.
Ng 24, Эtiзенлор, стр. 228/29 С примечаниями стр. 60/62.
Пит, стр. 61.
Если прибавить к неКОТОРQЙ величине ее седьмую часть,
то получится 19:
/1 7
/ 1
7
1 8
/2 16
1 4
2
/ 2
4
/ 1
/1 2+2..+i.
4 8
/2 42.. +
2 4
/4 9
2
седьмая часть
Вместе:
162.. +
2 8
1 1
24+88
t 9.
Про в е р к а: 1). Искомая вели ина есть
п о я с н и т е л ь н ы е 3 а м е ч а н и в. Еrипетский текст COCTaB
лен очень лаконично, и вышеприведенный перевод, по существу,
довольно свободен. Вместо термина" величина" стоит еrипетское
слово, звуки KOToporo можно передать по немеЦI{И (как ЭТО сде-
ла.1 Эйзенлор) несколы(о rрубо через "Наи" 2) ("xayl4). Оно стоит
всеrда там, rде мы поместили бы неизвестное. Если придать BЫ
i) Доело в вый перевод r лаеит, прпмерно: . Сделай, как Т{Jебуется".
2) Эйэенлор перепел el"O немецким словом ., Haufen 11 (куча)..
14
.
шеупомянутой задаче алrебраичеСI\уrо форму, то ОН;} примет ВИlC
1
х+ух==19.
Это первая и в то же время одна из простейших задач этоrо
рода в папирусе Ринда. Приведенное выше решение, в котором
вместо еrипетских обозначений для чисел даны наши современные
знаки (в ориrинале нет, разумеется, и знака +), надо понимать
слеДУIОЩИМ образом. Еrиптянин берет ЛlоБУIО величину, над ко-
торой он производит затем вышеуказанные выкладки, в частно-
сти, 7, являющуюся, конечно, самой подходящей в данном случае
1
величиной. Если от 7 взять 17' то получится 8. Но надо найти
..
такое число, которое после авалоrичных выкладок даст 19. 11 вот
еI'ИПТЯНИН ищет, на что надо помножить 8, чтобы получить 19
(т. е. он делит 19 на 8). Ero метод ясен из второй части вы-
кладок. Он умножает 8 на 2, затем берет половину 8, ротом
1 1
4 и "8 и складывает те, получающиеся при этом, числа, сумма
1 1
которых дает 19. Налево это отмечено черточками: 2 + 4 + 8.
Еrиптянин не умел считать иными дробями, кроме др беА с чис-
2
лителем 1 (исключение составляет 3). Полученный результат он
...
умножает на 7. Это дано в третьей части выкладок, rде сперва
результат умножен на 2 и затем на 4, а потом все сложено
вместе. Весь этот метод MO/l{HO рассматривать как простой при-
мер Toro, что впоследствии получило назва ние "Regula falsi"
В основе здесь имеется такая мысль: если, исходя из 7, мы по
лучаем 8, то из чеrо следует исходить, чтобы получить 19? Это
задача на тройное правило, или на пропорцию, с точки зрения
древних rpeKoB. Еrиптянин же пользуется и друrими методами.
Но наш современный способ решения уравнений ему незнаком.
IV
Сумма rеометрической проrрес,СИИ
Из "Начал. (по-rречески "Stoichei ") Эвклида (около 200 r. до н. э.),
КНИ1'" IX, теорема 35. Издание "Euciidi Elem nta" с латинским пеrе80
,дO 1 и. л. rейберrа (Heiberg), Т. П, Лейпциr, 1884.
П р е д в а р и т е л ь н ы е 3 а м е ч а н и я. " На чала 11 Эвклида
представляли и предстаВЛЯIОТ основное сочинение для преподава
ния элементарной математики вплоть до HOBoro и новейшеrо
15
.
времени. ХОТЯ они посвящены, rлавным образом, rеометрии на
плоскости, но они содержат также изложение в r метрической
форме основ а.lrебраическоrо исчисления, а в книrах УН IX
CBoero рода аЛl'ебру целых чисел (учение о пропорциях, степени,
rеометрические проrрессии, несколько теОр2М из теории чисел).
Из приводимоrо ниже примера можно убедиться, что rpeKaM был
е де совершенно ЧУil(Д наш способ счисления. Основой всех дo
казательств ЯВЛЯiОТСЯ заимствованные из rеометрии пропорции.
Блаrодаря продолжающемуся влиянию Эвклида пропорции сохра-
нили до некоторой степени свое значение и у нас, так что ни-
жеследующий ход мыслей, ХОТЯ и кажется чуждым, доступен все
)ке без особенных пояснений нашему пониманию. В отличие от
"Тlатинскоrо перевода, я отказался от всех современных вычисли
тельных символов, придерживаясь исключительно rреческой словес-
ной алrебры. Но вместо rреческих букв я пользовался соответ-
ствующими латинскими.
Стр. 404 и сл. Если произвольно мноrие числа, взятые по
порядку, находятся друr к друrу в постоянном отношении
(Т. е. образуют rеометрическую проrрессию) И если из вто-
А
В
J
Н
с
о
, ..
I
'-,
j1
..
v7
Фиr. 1.
poro и последнеrо чисел вычесть число, равное первому, то
избыток BToporo числа (над первым) относится к первому
числу так, как избыток последнеrо числа (над первым) отно-
сится ко всем предыдущим (Т. е. к сумме всех предыдущих).
Пусть Л, ВС, D, EZ (фиr. 1) будут произвольно мноrие
числа, которые,. взятые по порядку, находятся друr к друrу
в 90СТОЯННОМ отношении, причем А есть наименьшее число;
если из БС, EZ вычесть ВН, ZT, равные каждое числу А, то
я утверждаlО, что не относится к А так, как ЕТ относится
к А, БС, D (т. е. к сумме А, ВС и D).
Действительно, возьмем ZK, равное ВС, и ZL, равное D,
тоrда остаток ТК равен остатку НС, ибо ZK равно Бе и ZT
равно ВН. И так как EZ относит я к D, как D к Бе и ВС
к А, а D равно ZL, 8е равно ZK, А равно ZT, то EZ OTHO
сится К ZL, как LZ к ZK и ZK к ZT. Произведя соответствующее
вычитание, получим, что EL относится к LZ, как LK к ZK и K<1l\
16
КТ к 2Т. Но один из предыдущих относится к ОДIIОМУ 1IЗ
послеДУlОЩИХ (т. е. к соответствующему пос.тlедующему), как
все предыдущие ко Bce 1 ПОСJIедующим. rIоэтому КТ ОТНОСllТСН
к ZT, как ЕУ.." LK, КТ к LZ, ZK, TZ. Но КТ равно Cli, ZT
равно А, а LZ, ZK, TZ, равны О, ВС, А. Таl{ИМ образом Cli
относится к А, как ЕТ к О, НС, А. Таким оБРJЗОМ (действи
тельно) избыток BToporo числа относится к первому числу
так, как избыток последнеrо числа 1{0 Bce 1 предыдущим чис-
лам. Что и требовалось доказать. '
П о я с 11 И Т С Л Ь н ы е з а м е ч а н и я. Пре}l(J,е Bcero я прида;\'
рассуждеllllЯМ Эвклида современный вид, ПОЛО}J{ИВ дЛЯ этоrо:
А == а, ве === Ь, D === с, EZ === d.
Tor да, соrласно Пр ДПО:Iо)кеНИIО, мы Иjlсе I.:
а: Ь === Ь ; с == с: d,
lUIII
d:c== с:Ь === Ь:а.
ОТСIОД3, путсм соотв тствующнх вы'lIслснlIи,, ПО:Iучасы:
(d с): с == (с Ь): Ь == (Ь........а): а,
,
путем СЛО)J(ений всех предыдущих и Bce ( послсду 10ЩНХ:
(d с + с Ь + ь а): (с + ь а) -== (Ь а): а,
{(l а) : (а + ь + с) === (Ь а): а.
Это и есть та TeopeC\13, I{ОТОРУЮ требовалось доказать.
l\\ы може 1 наПIIсать се в с.rlСДУЮЩС 1 виде:
+ Ь + a(d а)
а c .
b a
( 1 )
Это и есть в действительности наша формула ДJlЯ суммы [' o-
метрической проrрессии. У Эвклида пет выражения для общ rо
п ro члена или для суммы "ПРОИЗВО.rIьно Мllоrих" членов 1). По-
этому он дли CBoero Прllмера берет 4 члена и даст сумму пер-
вых трех из них. Если знаменатель проr рессии Ь: а мы назо-
вем q, то b aq, С == aq2...; пусть d будет (п + l)-й член, Ta
что d == aq"'. В таком случае cYM Ia s первых п Ч.1енов будет,
cor.1acHO (1), разняться:
s :=: а ( aqп а) . (2)
aq a
() Эrи п 3.1ЯТИЯ ПUЯВ:JЯlOТСЯ не раньше Вl@РОЙ половины XV"III rз.
2 В . .' Х
ii т н . р, реСТОМ3Тf1Я.
По СОI(ращеIlИИ на а по ":УЧIiМ Д:IЯ S HallIY обычную ФОР IУJlУ:
s === а( ЧN 1) . (3)
(] 1
Упомянем еще, что Y}f{e в папирусе Ринда (СМ. выше, N2 I 1)
встречается некоторая rеометрическая проrрессия. Сумма ее дается
правильно по способу, застаВЛЯlощему п..>еДПО.1зrать знакомство
с вышеприведенной формулой. У rpeKoH, во всяком С.ТIучае, Y}I{e
ранние пифаrорейцы (около 400 r. до н. э.) занимадись изучением
l'еО:\lетри 'IеСI{И х про rpecc ий.
v
Арифметическая пропорция
11з Nicomachi Geraseni Pythagorei "Introductionis Arithmeticae., Li'Jri II
Rec. Ricardus Hoche, Lipsiae, ] 856. Книrа 1, rл. 23, издание только на
rреческом. АНl лийское издание С введениями и пояснительными за..
мсчаниями: Nicon а :hus of G ra;)a, "Introduction to Arithmetic.. Transl. Ь у
1Vl. IJ. D'Ooge. With Studies iп Greck Arithmetic Ьу Р. Е. Robblns and
L. Ch. Karpinskl, New York, 1926.
rре'Iеский 1 екст стр. 124. АНI'ЛИЙСКИЙ текст стр. 270.
1. Итак, мы имее 1 арифметическую ПРОПОРЦИIQ тоrдз,
коrда у трех или нескольких следуюl.ЦИХ друr за друrом (или
воображаемых такими) членов КОJ1ичественhая р зность двух
соседних ЧJIенов всеrда одинакова, но не одинаково ИХ отно-
шение. Например, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13;
действительно, в этом натуральном ряду чи ел, если распо
пожить их по ПОРЯДКУ, не опустив ни одноrо, каждый член
находится между двумя, образуя с ними арифметичеСКУIО
ПРОПОРЦИIО. ДеЙСТВ:iтеJIЬНО, разность между каЖД'JIЫ членом и
двумя соседними члена IИ одинакова, "'Но отношение ме)кду
ними не остается одинаковым.
2. И мы видим, что n T[iKOM ряду имеется как непрерывная,
так и раздельная (getrennte) пропорция.
Действительно, е ли ОДiНI и тот же средний член рассмат-
ривается по отношению к соседним членам и как последующий
и как пред .IДУЩИЙ член, то мы имеем не;lрерывную пропо;>
цию; если )ке, кроме 1'oro, берется еще ДРУl'оlt ч.пе:!, то 'мы
имее 1 раздеJ1ы1юю пропорцию.
3. Если теперь мы возьме 1 в 9TO:\1 ряду Лlобых три, следу
ЮЩИ ( друr за друrом, члена по образцу непре , )ывной про
1I0РЦИИ И р3(С IОТрИ:\1 их И.:111 )ке четыре либо более члена
110 образу р здельноЙ ПРОIIОРЦИИ, 10 у всех них разность
будет 1, но отно!реllllЯ их будут СОЕерПIСllНО рзз.1Ifllные. I:CJllt
18
)I{e мы B03b' E' 1 не следующие друr за a.pyro f, а отстоящие
друr от друrа, но .а одинаковом взаимном расстоянии, члеНhI,
И) О:lять таки, три или более, то общая разность будет равна 2,
если мы будеы перескзкивать через один ч!:ен, И, опять-таки,
в случае трех членов мы буд(;м иметь непрерывную пропорцию,
а в случае большеI'О чи :ла их раздельную. Если же мы
буде\I всеrда перескаl{ИВ3ТЬ чеrез два ЧJ1ена, 10 разность будет
всеrдз равняться 3 как для непрерывной, так и для раз..
дельной п РОПОРЦИИ; если мы станем перескзкивать через три
членз, то pa3HOCTЬ будет 4, если через четыре члена,
то 5 и т. д. cooTBeTcTBeHHЫ ! образом.
4. Таким образом подобн'ая лропорция содержит одинако
вое количеСТЕО в своих разностях, но не одинаковое качество.
Поэтому она называt:тся арифметической. -Ес.'1И же она обладала
бы одинаковым качеСТВО 1, но не количеством (между любыми
двумя членами), то она была б не арифм тической, а reo-
метрической.
5. ПJ:ОПОРЦИИ этой своЙственно то, че: о не имеется ни у
каl<:ОЙ друrой, именно среднее равно либо полусумме, либо
полной сумме крайних чл( нов, В заВИСllМОСТИ от Toro, прерывна
или нет ПРОIIОРЦИЯ; это верно также при перемене (внут-
ренних членов). Потому что либо средний член причисляют
к самому себе, либо )I{e сумма средних членов равна сумме
крайних_
6. Эта ПРJПОРЦИЯ обладает el1 e одной особеIIНОСТЫО.
Разности находятся в том же ОТtlОluении друr к Yl'y, В ка-
ком каждый член к самому себе, т е они равны.
1. Далее, она обладает особенно прекрасным СВОЙСТВО:\I,
ускользнувшим, однако, до сих пор от внимания большинства
ученых, и !енно, что произведение крайних членов меньше
квадрата среднеrо члена, притом меньше на величину произ-
Еедения разностей, безразлично, будет ли этой разностью
1, 2, 3, 4 или любое друrое число.
8. В четвертых, она обладает свойством, замеченным также
всеми прежними учеНЫ IИ, именно, I.jTO отношение между
меньшими членами больше, че 1 отношение между БО.1ЬШИМИ
Чо'lенами. В дальнейшем будет показано, что в противопо-
ложность этому в rаРМОliической пропорции отношение между
БОо'lЬШИl\lИ членами болыне, че:\1 м :жду меНЬ!JНIМИ. На этом
основании l'армоническая пропорция ПРОТИВОПОСI'авляется ариф-
метической. rеометрическая )ке стоит посредине между этими
двумя краЙНОСТЯ IИ, ибо у нее отношения между БолыlиыыI
ч .ена IИ равны ()Тf{ОllI I1ИЯ I ме)l(ДУ меньшими Ч.'1енами. А paи
..
ное, KllK мы виде.пи, стоиr I \I\ДУ БЬльшим И !е:IЬШИМ. Вот
что МОЖНQ сказать об аРИф Iетической проп рции.
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Арифметика Hi1KOMaXa,
составленная около 100 r. н. 9., не является ни руководством для
счета, ни ВВедением в алrебру. В ней содеРiКИТСЯ, скорее, древнее
пифаrорейское учение о целых числах, дробях, пропорциях и
рядах. rоворя о пифаrорействе, мы имеем в виду матема:rичеСКУIО
школу, ВОСХОДЯЩУIО к Архиту Тарентскому (около 400 r. до
Н. э.), KOrOpJro цитирует и Никомах. Сохранилось аналоrИЧI:О ,
составленное почти в то же самое время, произведени , принздле
iкащее некоему Теону Смирнскому, написавшему комментарий
к математической стороне сочинений Платона. Далее, Я lВЛИХ
(около 325 r. н. 9.) написал комментарий к Никомаху. Все
ти !{ниrи отличаlОТСЯ существенным сбразом от "Начал" Эвклида,
содержа только формулировки (очень пространные) теорем, но
не давая НИl{оrда доказательств их. Книrа Никомаха имела
величайшее значение для Средних веков, ибо она была перера-
ботана (т. е. еще более растянута) по-латыни Боэцием (ум. 524).
Боэциевские "De Ins itutione arithmeHca libri duo" были изданы
r Фридлейном (Fr.edlein) (Лейпциr, 1867). Приведенный нами
отрывок содержится в книrе II, rл. XLII и XLIII (стр. 139 144).
Деление на параrрафы до 6 имеется и в ориrина.1е; 7 и 8
прибавлены мной.
Арифметическая пропорция исчезла из COBpeMeHHoro преподава-
ния. Но она продолжает еще существовать в арифметической сред-
ней и в арифметической проrрессии. Поэтому она предстаВ-тIяет
нскоторый интерес еще и в настоящее время. В общем виде мы
бы писали ее теперь так: а Ь === Ь с (непрерывная пропорция)
или а Ь == с d (разде.пьная). Тоrда, конечно, как отмечает
J-Iикомах в параrрафс 5, Ь + с == а + d, или, в случае непрерывной
пропорции, 2Ь == а + с, ь == 1/2 (а + с). Так возникает ариф
метическая средняя. Внутренние члены MorYT обменяться
местами (причем должно бь.ть а> Ь > с> d): а с == Ь d,
краЙНl1е же нет, ибо в этом случае получились бы отрица
тельные разности (которых rреки не знали). В параrрафе 6 co
держится тривиальное равенство а: а === (а Ь) :(с d). Представ
.1яеr интерес параrраф 7, J'ОТОрЫЙ Боэций опреде.1 ННО приписы-
вает Никомаху (хотя последний не приписывает себе сам этоrо
открытия). Д.'1я непрерывной арифметической пропорции
a b===b c
теорем] r.'Iасит:
62 ас (а Ь) (Ь с) == (а Ь)2 == (Ь с)2.
20
.
Если обозначить средний член через а, первый черсз а + d,
а последний через а d, так что члены НJUIСЙ непрерывной
пропорции примут ВIIД:
a+d,a,a d,
то, соrласно вышеприведенной теореме:
а 2 (а + d) (а d) === d 2 ,
Т. е. получается наша известная формула:
(а +d) (a d) ==а 2 d2,
КGТОРОЙ нет у ЭВI{лида.
От арифметической пропорпии (и проrрессии) отличается
rеометрическая, у которой отношения следующих друr за друrом
членэв равны между собой. Мы имеем: а: Ь == Ь: с (непрерывная
пропорция) или а: Ь == с: d (раздельная пропорция). Проrрессия
име2Т вид а, Ь, с, d; Ь является rеометрической средней меJl(ДУ
а и с (Ь 2 === ас; Ь == V ас) и т. д. Все арифметические действия
эдесь на одну ступень BbIUle, чем в случае арифметической
про"орции (проrрессии). rеометрическая пропорция встречается
очень часто в rеометрии.
у Ником аха она равно как и более реДI{О рассматриваю-
щаяся в настоящее время rармоническая пропорция разбирается
в следующей rлаве. "rармоническая средняя" Ь между а и с
определяется пропорцией:
(a b):(b c)==a:c,
откуда получается:
ь === 2ас
а+с'
или
== а+ с ==.!. +.!
ь ас с а '
или, наконец:
== ( + ),
Соrласно этому последнему равенству, обратные значения
непрерывной rармонической пропорции обраЗУIОТ непрерывную
арифметическую ПРОПОРЦИЮ ( является арифметической средней
ДЛЯ и ) . в соответствии с 9ТИМ леrко образовать n rарМQНИ-
а с
21
tICCI<lle ряды'" Из арllфМСТ I'IССI ОН П.)Оi'РСССИIf 1, 2, 3, 4, 5.
МО.КНО получ: ть, наприм р, так назыпае 1ЫЙ rарЧОlIИ1.еской ряд:
111 1
1':2' 3' 4' 5 '.'.
Ero нельзя продплжатк налево, IIбо ПО:IУ'IИlась бы 00. Д IЯ
пояснения 8 мы образуем арифметическую, rеометричес«ую и
rармоническую проrрессни с ДВУ:\IЯ нача.1ЬНЫМИ членами 4, 3.
Соrласно предыдуще:-.:у, это Судут:
аРИф 1етическая проrрессия
rеометрическа« проrрессия
rармоническая np rpec ия
Так как, деПСТRительно:
3
2,23
4; 3; 2,
4; 3; 2,2),
4; 3; 2,4.
4
3 '
то разумеется:
3,->4 3 4
2 ,/' :3 и 2 4 <"3'
I
Теорему эту IIетрудно доказать и в оБU С 1 виде.
Название "rap:\10I-lичеСКJЯ пропорция" не имеет, кажется, ни-
KaH:oro отношения к музыке, а происходит, очевидно, от Toro,
ч ro вышеназванные пифаrорсйцы раС: lатривз..тJИ числа rРJней,
в ршин И ребер куба, как "rеометрическую rармонию" 6, 8, 12
или 3, 4, 6, обрззуют, как л rl{О видно из предыдущеrо rapMO-
ничеСКУIО ПРОПОРЦИIО. Мы дол)кны здесь отказаться от рЗСС:\fО-
трения СВЯЗII э roro воп)оса с вопросом о n rармоническом де-
лен и".
VI
Разложить данное нвадратное число на Два ивадратных числа
Из "АрИфМl тики. Д\iофаНТ;1, I<Н. 11, Зlдача 8, rреч. и лат. издан е
"Diopha iti Аlехапdr"пi Opera omnia.... Ed. Pa tlt1 TanI:ery, .L psiae. 18 3.
HeMeltKOe издание "Die Arithtnctik... des Diopha tt1 van Alex ndria",
i\ber etzt und mit Anmerkt1ngea begleitet von о. V/ еrtl1сllП, Лейпциr, 18).).
Предварительные замечания. О(lеиь трудно передать
более или менее точно диофантовы обозначения на друrом языке,
чем язык ПОДllfнника. И действительно, Вертrейм и Танчри поль-
зовались в своих переnодах современной алrебраИ'iеской симво..
ликой. Но так как нам важно показаТI), как ВЫl'лядела Д р е в н я я
аJlrебра В 111 В. н. Э., то следует попытаться дать пра ИЛЬНУIО
KJpTllliY ДИОфЗНТОВОЙ символики. У Диофанта И7\tеется особый
Зllак для обпЗliачения нr.известноrо (вид этоrо знак] Becb la раз-
22
ЛiJ'lен n разных рУI\ОПIlСЯХ, НО 011, вероятно, обра зован из слова
а:.itllJ1103 ЧИСЛО); для вы?зжения eI'O мы пользуемся БУI\ВОЙ Z.
Да.lее, I<&адрат нснзвестноЙ 011 называет DУПЗll1is и пишет сокрас
П СIIIIО DY; мы для 9Toro бере 1 букву Q. У Диофанта затем
IIмеетсн особый знак длSl минуса то}ке. вероятно, какое"то со..
I\раUJ,еIlИС; на место Hel'o мы JОЖСМ спокойно поставить наш ,, ".
Перед I{а)l{ДЫМ целым числом он ставит 1\1 с надписанным над
ним о, должеНСТВУIощее обозначать слово }Лоnаs единица; мы
для 9Toro берем букву Е. Остается eute сказать, что О означает
общим образом " квадрат" и что Диоф HT снабжает этот знак
(как, впрочем, и друrие сокраUJ.ения) направо и сверху флек
с иями склонения. Имея все это в виду, MOiI{HO rреческий текст
передать приблизительно слеДУIОЩИМ образом (причем rреческие
обозначени'я чисел за Jенены просто нашими знаками):
Стр. 90 {лат., стр. 91;Вер"rейм, стр. 51). РаЗЛОiКИТЬ данный
кпадрат на двз квэдрата. Нужно раЗЛОЖИ1Ь число 16 на дна
I{вадрата.
Положим одно чи .по l"'аВIIЫМ Q 1, тоrда друrое будет
Е 16 Q 1; следоват льно Е 16 Q 1 ДОЛЖНО раВ:iЯТЬСЯ не-
l{vTOPOMY О 'у.
Я образую кваДР:1Т из Hel{OTOpOro про'нз зольноrо числа Z'OB
столько Е, сколько их есть в стороне 1) 16 Е; l\'Ibl ВОЗЬ 1ем
Z 2 Е 4. В таком случае сам О будет Q 4 2) Е 16 Z 16.
Этз равняется Е 16 Q 1. Прибавим к каjКДОМУ выражению
величины, ПОДfJежащие вычитанию, и вычтем из рэвноrо равное.
Следовательно, Q, взятые 5 раз, дают Z 16, и Z равно
16 пятым.
256 144
Таким образом ОДНО (чи ело) есть 2 5 ,JI.pyroe 25 ,а оба,
400
вместе взятые, Д;lIОТ 25 ' или Е 1'6, и каждое (из чрсел) есть
квадрат.
П о я с н и т е п ь н ы е з а ' е ч а н и Я. Арифм тика Диофанта
есть зреJ1ЫЙ продукт продолжительной ЭВО.1ЮЦИИ, этапов которой
мы не знаем. Or простых задач Никома{а (C I. выше, N2 V) до труд-
ных алrебраических и теоретико-числовых проблем Диофанта
дистанция оrромная. Вышеприведенная задача носит неопределен-
) Это означает квздратныА к )рень.
2) Сложение выражается при ПОМОIЦИ npOCToro помещення зна.ков
рядом друr с друrом.
23
IIЫИ характер. Это пыра}l{ается в TO T, что Диофапт берет Z 2
Е 4, rде 2 взято совершенно произвольным образом.
Но пре}l{де Bcero М.Ы переведем текст Диофанта ыа COBpeMeH
вый ЯЗЫК. Пусть одно из I{вздратных чисел, на которые дол/кно
быть разложено 16, будет х 2 , тоrда друrое будет 16 х 2 . По-
следнее тоже ДОJI)КНО быть квадратом. Затем берется квадрат
J1Iобоrо KpaTHoro от х (Диофант берет 2х), YMeHbllIeHHoro на 4.
Квадрат от 2x 4 прираВНИt'аIОТ 16 x2. Это дает, как мы
выражаемся, уравнение:
4х 2 + 16. 16х== 16 x2.
(1)
Здесь, l{aK МЫ MOj"e:\1 выразитьс 51, СОI{рЗЩ3IОТ 16 на обзих
сторонах и придаIОТ к обеим сторонам 16 х и Х З . Тоrда получаеы:
5х 2 == 16х,
от({уда древние (иrнорируя реtuение х === О) получали сейчас же
16
х === 5" ДlIоq)ант выбрал форму BToporo ИСI{омоrо числа 2х 4
та ':им ОJразом, что постоянная 16 отпала в получившемся урав-
нении, которое, таким образом, стало (для Hero) линейным. Так
l(aK в ero распоряжении не имеется общих обозначений, то 011
MO)l{eT решить задачу ТО.,lЬКО на частном при мере (16) и npll
помощи определенноrо KpaTHoro от х (2х). Тем не менее данное
им решение показывает, как следует поступать в каждом отдель
ном случае 1).
Пусть, действительно, данное квадратное число будет а 2 ,
одно из I{вадратных чисел, на которые оно рЗЗJIаrается, х 2 , дру-
roe (тx a)2, в таком случае мы имеем:
(тх......... а)2 === и 2 X ,
ОТl\уда получаем:
(m'l + 1) х 2 === 2атх
и
2ат
х === т 2 + 1 ·
Тз f{ {(3" ОТСIОД1
a(lп2 1)
111X й== т 2 + 1 '
) Диофант дает еlце "друrое Cl решение, ОТ.1ичающееся. oДH KO, ОТ
предыдуще о ТО.1Ы<О le' , Чl0 вместо (1) <;>н rн!шеl: (2х 4)2 t х 2 == 16.
24 ·
1 О МЫ II ICC:\I вссrдз раЗ.l0iI{СIПIС.
а 2 === ( 2 Ql1l ) 2 _ ( а (l1l2 1) ) 2
'l t 1 I 2 + 1 '
f1l т
(2)
rде т представляет Лlобое uелое число. Равенству (2) MO}f(HO
придать более простой вид:
(I1Z2 + 1)2 == (2/п)2 + (т 2 1 )2.
в TaKO 1 виде (хотя, разум ется, HZ в таком начертании)
равенство это было из вестно Y)I{e 80 времена Платона (начало IV в.
до н. э) и им пользовались для нахождения прямоуrольных Tp "
уrОЛЬНИI<ОВ с целочисленными сторонами. Действительно, если мы
положим т == 2, ТО получится 52 === 42 + 32; если положим т === 3,
то получим прямоуrольный треуrольник со сторонами 1 О, 6, 8,
подобный предыдущему треуrольнику; если положим т == 4, то
получим 17, 8, 15; т == 5 дает 26, 1 О, 24 или 13, 5, 12
и т. д.
Оrромный интерес пред\:тавляет то, что н возмоJкно разложить
кубическое число на сумму двух кубов и что это, должно быть,
невозможно и для всех высших сте.п ней. Таким Dбразом невоз-
можно составить уравнение вида
ап==ь п + сп,
если й, Ь, с, п целые числа, причем п> 2. Это утверждал
великий Ферма Св начале XVH в.), н ОН уверял даже, будто "открыл
поистине чудесное доказательство" этоrо. Но так KaI( он сделал
это за ечание на полях cBoero э {земпляра Диофанта, то он при-
бавил к этому, что поля не предстаВЛЯIОТ ему достаточно места
для изложения хода доказательства. Это обстоятельство явилось
.
исходным пунктом для целоrо ряда исследований в этой области.
Самые выдающиеся матемаТИfiI пытались найти общее доказатель-
ство теоремы Ферма, но не моrли пойти дальше частных резуль-
татов (для п=== 3, 4, и, наконец, п < 100). Премия в 100000 ма-
рок за решение этой так называемой великой Teope lbl Ферма,
назначенная в 1906 r. одним астрономом любителем, r. Вольф-
скелем (Wo1fskeh1) из Дармштадта, вызвала целый поток реше..
ннй, принадлежавших по больш'ей части дилетантам. С тех пор
как в результате инфляции премия обесценилась, поток этот
обмелел, но не пересох окончательно.
25
\.'П
РеIuение неопреl1сл нноА задаtlН с двумя неизвсст..ЫМJJ
111 "АрифмеТIIКИ" Диофаllта. ЛС\1 lа к 34 Д ваДJЧС 4.И ({lIllfИ
( 12 DbI (НС).
11зд. Таннри, стр. 276 (277), нзд. 8еРТI'ейма (IV, 37), стр. 171.
Найти два неОПР'3деленных числа, таких, что их ПрОИ3В .lJ.е"
ине B leCTe с их суммой будет равно HeI(OTOpOMY данному
числу. Пусть ПОСЛ2днее будет Е 8.
Положим первое число равным Z t, второе Е 3. Тоrда
произведение их вместе с их суммой равно Z 4 Е 3, и это
должно равняться Е 8:0 И Z') будет равно 5 4-ым. Таким
образом первое из взятых чисел будет paB lo 5 4 ы " а 8ТО-
р"е Е3.
Теперь я рассмотрю, как Z стало . Оно получилось бла.
rодзря делеНИIО 5 на Z 4. Но 5 это КО.1ичество, на кото-
pJe 8 преВЫIIIает 3, Z 4 }I(e второе число, увеличенное на Е 2).
Таким образом, ссли мы возьмем второе число, как ЛIО-
бое Z, и вычт м ero из Е 8, а затем раздеЛИ f остаток на
чиспо, которое на Е бол )ше BToporo числа, то мы получим
первое число.
Пусть, апример, второе чн ло равняется Z 1 Е t; я
вычту ero из Е 8. Остаток Е 9 Z1. Это я разделю на
число, БОЛЬ lIее (BToporo числа) на Е 1, т. е. на Z 1, и тоrда
1
в качестве первоrо ИС.1З получится Z 9 Е 1 3).
И:таким образом, мы имеем неопределенное решение задачи,
при которой произведение BM CTe с суммой дает Е 8. Неопре..
деленным же решение называется потому, что сколько бы Е
мы ни взяли дЛЯ Z, последнее удовлетворяет данным усло-
вням задачи.
П о я с ..И т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Относительно обозначе-
ний мы ОТСЫ.1аем к предыдущей задаче. Диофант дает ЛИIIIЬ одно
решеН 1е непределенной Э:lдачи, :А исключение f тех случаев,
оrда ему необходимо установить вспомоrательное предложение
Д1Я реШ2НН Я какой нибудь ззла...t!l При;ину этоrо HeTpY IO
i) Диофант ПИluет Z fще с членом. Таким образом Z не явля-
-rся у HeI'Q еlце чистым СИМБО.'1uм 4 .
2) Днофант склоняет Т31tже Е, рассматривая ero, тахи ( образо'
ellte K K сло: о.
1
З) B lecTo Z Днофант ПИUlет Z с х-образным пок зателем.
26
понить, ибо Yil{C прн зедсннзя 33.'1.3'13 т )сбуст ОЧ ;lЬ Пt:О-
CTpaHHOl O способа из "IОл,ения, так как Диофант ке }"меет еще
ПРС'I'(ЗВС ДIIТЬ ВЫI{.1аДОI{ а.1rебраическим образом,- ЕСЛIl МЫ НJПИ"
.шем х вместо Z и возь-ме 1 вместе с ДИОф'lliТОМ в качестве
BToporo неизвеLтноrо произвольным обl азом 3, то МЫ получим:
.
3.х + х + 3 == 8;
5
4х =-= 5, х == .
4
Из q OpMbl
8 3
х === ;j t- 1
Диофзнт, раССМЗТрНВ!1Я 3 как произвольное число, делает вы-
пад об оБLцем реUlении. Если вместо 3 МЫ возьмем у, ТО МЫ
IIОЛУЧИМ: ху + х + у === 8.
Отсюда имеем:
х (у + 1) == 8 У
8 y
Х==у+'l'
что, вероятно, Д:!ОфJНТ 11 име т в виду. НО И3 способа выраже-
ния Диофанта возмо)кно так)ке предположить, что. он не думал
О совершенно произвольном втором неизвестном у, а полаrал
ТОlЬКО, что второе неизвестное должно выражаться произвольно
через х (для чеrо он дает ПР:-fмер у === х 1, что ПРИВJДИТ
9 x 9
к == 1). 'ДзльнеАши анз 10rичные задачи ДПОфЗIIТ
.;'С х
реШ:lет совершенно сход!{ым образом.
и
\rII I
rеометрич скиR ВЫПОД решеНИ9 uвадратноrо уравнепия
11з »Алrебры И А,Iпtукаб. 1 ЛЫ". перса АлхвараЗ\1И (Alchw31"a31ni) (око O
8'"15 r. Н. э.) по лаПIIIСКО\fУ перенолу Роберта Кастрийскоrо (Robertt1s
Castrensis, т. е. И::J Честера), сделанноrо в СеrvВИИ в 1145 r. Издан BMec
те с анrлийским переВО.10М "Robert of Chester's Latin Translation of tl1e
Al,:)ebra of Al Khowarizmi" Л. Ч. Карпинскии (Karpins {i), Нью Йорк. 19 5,
П Р е д R а р и т е л ь н ьr е з а м е ч а н и я. rреки знали YiI(e в клас-
СJI'!еское время rеО lеТрИ:.Jе кие решения различных форм квад-
рзтноrо уравнения (см. II :аС1Ь). Но уже, вероятно, в раннюю
пору у них выработа.1ИСЬ также и аналитнчеСJ{ие методы. '\ы
2/
Зllаем наСЧС1 этоrо ЛИIПЬ праВИЛ(1, с ПU IОЩI)Ю которых В позд
lIеtiшее вое,.fЯ vеПlали квадратные ураВНСIIИЯ. По сvщсству они,
разумеется, совпадаJОТ с нашими современными правилами. Эти
правила распространялись без всякоrо доказательства вплоть
до конца XVI в. (см. ниже, NQ XV). В это время на(lина тся Y>he
-чисто алrеб)аическое рассмотрzние проблемы (Бомбе,lЛИ, Bom
belli, 1572). Первый учеl'lЫИ, от KOToporo у нас имеются по
крайней Mep rеометрические доказательства этих правил, это
Алхваразми (т. е. родом из Хваразма, теперешней Хивы). Но
так как БУI{ВbI на ero фиrурах следуют в порядке rреческоrо алфа-
вита, то нетрудно доrадаться о происхождении приводимых иt\1
доказательств. Друrой латинский перевод ero сочинения принаД.Т'fе-
jI<ИТ, вероятно, rерrарду (Gerhard) Kpe IoHcKOMY (тоже ХН в.). Он
б:>IЛ издач r Либри (Libri) в ero "Hi toire des sciences mathemati-
ques еп Italie" (1 т., ПаРИJl\, 1838, стр. 253 297). Арабский текст
B\feCTe с анrЛИЙСI<ИМ переводом издал немецкий исследователь
. Ф. Розен (Rosen) (Лондон, 1831). Из средневековых переводов
персидскоrо ученоrо были сделаны мноrОЧИС.ТIенные извлечения,
и они подверrались различным переработкам, так что Алх
варазми, имя KOToporo переиначили на латин :кий лад в Алrоритмус
или Алrорисмус (при мыкая к rреческому Аrithmоs число) и т. п.,
считался мноrими творцом алrеб;>bJ. Изобретение алrебры припи-
сывали даже какому-то леrендарному rеберу.
Стр. 76, 78, 80. Мы у n,е доста точно rОБОрИЛИ о 6 видах
(уравнений), поскольку они относятся к числам. Теперь необхо-
димо доказать rеометрическим образом истинность Toro, что
мы изложили в числах. Пусть для этоrо наша первая зад ча
rласит сле:I.УIощее:
Квадрат (substantia) и 1 О I{Оj)ней равны 39 драхмам (rди
ницам). ":'..
Для доказательства представим себе квадрат с неизвест-
ными (на первых порах) сторонами. Мы хотим узнать и нари-
совать этот квадрат, который мы бере 1 на место субстанции,
а также ero корень (сторону). Пусть аЬ будет I{вадратом,
каждая сторона l<oToporo представляет один корень (фиr. 2).
Тоrда ясно, что если мы умножим K]KYlo-нибудь из ero
сторон на число чисел (имеется в виду 1 О), то получающееся
при этом количество корней равно корню caMoro числа (radi-
ci ipsius numerl aequalis?). Так как здесь 1 О корней связаны
с субстанцией, то мы берем четвертую часть числа 10 и при-
бавляе:\1 к каждой стороне квадрата прямоуrоль,ную плои адь.
(дословно: площадь с параллельными сторонами), длина которой
28
pJBlla длине первоначаЛЫIОI"О квадрата, а ширина равна ДВУ1\!
с половиною, Т. е. ч твертой части числа 10. Таким образом
к квадрату аЬ присоединяют четыре площади прямоуrольни-
ков. Длина каждоrо прямоуrольника равна длине корня KBaJ'I.
рата аЬ; ширина же каждоrо равна. как сказано, двум с поло
виною. ЭТИ ПЛОЩ1ДИ будут cdef. Из сказанноrо следует, что
это площади с неравными сторона :и, KOTOpblZ тоже paCCMaT
риваются как неизвестные. Но в ч ты;ех веРШИI:ах квадрата
ВОЗНИI{ают четы е площади, величи 'IY которых можно полу
'11l1'Ь, УМНОЖtiВ два с половиною на два с половиною. Они
по <азываIОТ, ч rо нехватает Д1Я большей или цеЛ9Й площаз.и.
fIоэтому величину большей площади мы получим, если мы
возьмем четыре раза произведение двух с половиной на два
с половиной и прибавим (к ДРУI ОЙ площади). Умножение это
дает 25. Н о ясно, ч,то первый С
квадрат, означающий субстан
ЦИЮ, и четыре окружающие
ero пр моуrольные площади
дают вместе 39. Если при
бавить к этому 25, т. е. четыре
меньших квадрзта, находящи-
сся у четырех вершин квзд
ра та. аЬ, ТО получится площаДl-
большеrо квадрата, который мы
назовем ОН. ПОЭТОМУ вся сумма
ЧИС.?Jа вырастает до 64. Но н
корень этой суммы есть чис.ТIО
восемь, и мы знаем, что оно пред
ставляет одну из сторон (большоrо квадрата). ПОЭ10МУ, еСJJИ из
числа BOCel\.lb вычесть дважды четвертую часть числа десять, как
мы се имеем в вершинах большеrо KBaд aTa, то от (большей)
стороны остается три. Действительно, если от восьми ОТНЯТЬ
пять, то остается необходимым образом три. И это есть в то
же время значение стйроны nepBoro квадрата a .
Таким образом это число три представляет корень квад-
рата, т. е. корень данной субст.анции, и, значит, ЧИС.l0 девять
выражает значение самой субстанции. Поэтому мы должны
разделить число десять ПОПО.пам и половину ero 110МНОЖН1Ъ
на самое себя, а затем прибавить все произведение умножеНJf:1
[nluHipIication's productum 1)] К числу 39, чтобы ДОПО.1ННТ()
обвод (circumductio) квадрата ОН. Иео отсутствие четыр х
I
с
а
f d
Ь
е
I
{) Уже эдесь употрсб.lено ЭТО выражениr; ер. Т 1" О Р f k с, 1, стр. 78.
29
.
ве )шин делало неполным обвод 9101 о I{вадрзта. Действи-
те.1ЬНО, очевидно, что четвертая часть ВСЯl{оrо числа, умно-
женная на самое себя, а затем на четыре, даст то же самое
число, как если бы ПО 10ВИНУ 9Toro числа умножили на самое
себя. Поэтому, если половину корней J) УМНО)l{ИТЬ на самое
себя, то результат (здесь SUПlmа!) уыножения вполне равсн
(su:ficienter evacuet, adaequabit vel delebi.) Tll\lY, что полу
чится, если четвертую часть ПОМНО)I{ИТЬ на самое себя и за-
тем у.\lНО}КИТЬ на четыре.
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Некоторые шероховатости
перевода имеются и в латинском тексте, который нельзя считать
вполне установленным, хотя арпинский сличил ме>кду собой все
имеlощиеся рукописи. Н анrлийском переводе КаРПИНСI{ИЙ обра
ща..:тся допольно свободно с подоБНЫ:\IИ местами. Я воспользо
вался также анrЛllЙСКИМ переводом Розена, сделанным с арабскоrо
ориrинала (цит. соч., Clp. 13 15); НО он мало помоrает в дe
ле выяснения отдельных пунктов текста, иео он носит тоже дo
вольно свободный характер. Но смысл не подает повода к Heдopa
зумениям. Излишняя пространность изложения, по сравнению
с точно и сжато выражающимися rреческими авторами КJlЗС
(lIчеСI{ОЙ эпохи, лежит, разумеется, на ответст енности мусуль
MaHCl{o: о автора. Я тщательно старался употреб.1SlТЬ цифры
.;
TO 'IbKO там, rде они им ются и У Роберта. Н арабском ориrll
нале нет вообще никаких цифр (хотя арабы знали, 'конечно,
цифры). Это еще усуrубляло rрсмоздкость ИЗЛО)l{ения. СсчинеНl.е
Алхваразми, как и большинство средневековых книr, не носит
никакоrо заr авия, а начинается предложением, в KJTOpOM сразу
)I{e встреча отся оба термина: алrебра и мукабала 2). Первое озна-
чает вообще "вправлять" (в том числе вправ..1ЯТЬ и сломанные
члены), а в нашем случае И\1еет в виду, что в линейных ypaB
нениях с OДHH I неизвестным вычитаемые веЛИЧИНbI должны быть
"дополнены", так что ос rаются только аддитивные величины.
Cl10BO мукабала означает, что встречающиеся в подобном ypaB
нении на обеих сторонах ero равные величины ДО/jЖНЫ быть
"выравнены", т. е. сокра:.цеН >l. Таким образом оба слова, взятые
B 1eCTe, означают, примерно, то, что мы назвали бы у линейноrо
ура внення "приведеНI;е= 1 к простейш ему виду" t-Io вскоре после
1000 r. слово al-dschabr (Л1тинизированное в аЛl'ебру) ПРИН5I.
у са fИХ арабов общее значение решения (сперва линеЙНОl'О) уран-
{) Этот способ выраЖ IIИЯ встреtlJСТСЯ еще чаСl0 D XVI В. BMeCIO
. ПО::ОЬИIIJ \(ИС:J3 J{()рней ; ер. ниже, N XI.
:!) 1 Iu; р()бllеr о() ЭТОМ см. II rаБUIС 10. f'YCI(t! (C I. C.le: УЮIЦУЮ зада'I}).
НСllИЯ. Вместо слова "substantia а большинство друrих перевод-
ЧIIКОВ ПОЛЬЗ0вались СЛОВО I "census", усвоенным затем италь-
янскими ав:о ами (Леонардо Пи анский, Х 11 в.) и распростра
нившимся впоследствии далее вплоть до немецких коссистов
(см. ниже) Х\'I в. Вместо "drachme" или "dragma" (арабск.
dirl1em) у)ке Леонардо Пизанский пользовался таi\же терМИНО 1
"denarius ее, начальные буквы KOToporo встречаются еще в старом
Эl1ак д.Я пфенниrа, а у анrличан в сокращен!'.и d для пенни.
Доказательство, даваемое персидеким автором, понятно без вся..
ких комментариев. Надо заметить, однаl(О, что из за отсутствия
буквенноrо обозначения ему нельзя придать оБUJ,еrо вида. В дaH
ном случае СНО проводится на примере х 2 + 1 Ох == 39. Поло-
iкение дела оставалось таким до конца XVI в. (ср. НИ)I<е, N2 XVH).
Алхваразми дает еще друrое rеометрическое дсказательство
той же самой задачи, тесно примыкающее к правилу для pe01(
ния ее; здесь только у двух с оседних сторон квадрата прибав-
ляют прямоуrольники с 111ирИ r ;ОЙ пять, которые з тем ДОПОЛНЯIОТ
у одной вершины квадратом 5 на 5, так что получаеТС?1 "боль-
ШИЙ квадрат". Но я умышленно выб a 1} ЕЫlllеприведеННУIО,
неск\ лько неП;Н1[hРIIlУIО, но очень ИЗ НЦНУIО форму ДОI{аJЗ-
TeJIbCT ва \
lX
Арабская задача на раздел наследства
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
ИЗ . Алrебры. Алхваразми (около 825 r. Н. Э.: СМ. предылущуlO
задачу), переведенной прямо С араБСКОI'О Юлием Руска в ero работе
Zttr йltеstеl1 arabi, chen Algebl'a und Rесhепkuпst«, 125 S., "Sitzgsb r.
Heidelberger Ак. d. Wissensch., plli1. hist. Kl.", Jhrg. 1917, 2 Abh. (имеется
в продаже и отдельно)..
у Руска стр. 52/53, у Розена (СМ. предыдуu(ую задачу)
стр. 86 араб. теКСТи, стр. 116 анrлийскоrо перевода. Один
человек умер и ОСТ3ВИ.1 4 сыновей и завещал одному чело-
веку столько, сколы{о составляет доля ка}кдоrо из сыновей, и
четверть Toro, что остается от трети (дополни: состояния за
вычетом той ДОJlИ), 11 один дирrем. Правило для решения
этоrо таково: ты берешь 1/3 СОСТОЯНIIЯ, зате 1 вычнта UIЬ из
Hero одну ДОЛIО, так что OCTaeTCSI ] /з 623 (Д iОЙ ДО:I н. Затем
ты отнимаешь ] /4 Toro, Ч'l о у тебя осталось, Т. е. 1/4 ОТ 1/3
без одной ДОЛИ, JI отнимаешь ТЗIОI{С ДИрI'(М, и TO да у тебя
остается 3/4 от ]/3 со,:тояния, т. е. ]/4 состояния без 3/...
O,' HoA ДО:1I1 н без ОДIIО1'О дирrсма. Э1"О IIPI:U3Bb к (11 IСfОIЦИМСИ
еще) 2/3 COCTO ; ':'viAd ты имеешь 11 частей i'JЗ 12 (час..
теЛ) сuстояния без 3/4 ОДНОЙ доли И без ОДНОl'О днрr. l\1а,
которые равны 4 долям. Допол !и это 3/4 одной доли и
ОДНII:\I дирrеl\tОМ, тоrда 11 частеЙ из 12 состояния будут
равны 4 ДОЛЯМ и 3/4 ОДНОЙ доли И 1 дирrему. Пополни
твое ссстояние, прибавив к долям и ДИрl ем.у 1 часть из 11
частей их, тоrда ты получишь 1 состояние, которое равно
5 ДОЛЯМ и 2 частям от 11 частей одной ДО.1И И 1 дирrему
11 1 части от 11 астей дирrема.
п о я с н и т е Л ь н ы е з а м е. ч а н и я. Для бол ьш ей у доб оп О..
НSlтности мы ввели цифры в текст. В арабском ориrинале, как
указано в предыдущем номере, их нет. Для встречающихся в эа
даче небольших дробей у арабов имеются особые наименования;
более же крупные дроби даются, как видно из текста, с помощыо
обстоятельных описательных оборотов. Вся вторая часть Алrебры
l\лхваразми была неизвестна в Средние века; впервые она была
llереведена Розеном, а затем тщатеJlЬНО разработана PycI{a в ЦII
тированной работе и автором предлаrаемой хрестоматии 1).
Задача является убедительным примером Toro, какой l\IHOl O-
С.l0ВНЫЙ характер ПрИНII:\tаст решение, коrда нет СИМВ0ЛИКИ 11
приходится все выражать С.'IОБами. ПОЛОЖИ I, что состояние paB
ня тся k, доля одноrо сына t, сумма, завещанная постороннему
'Iеловеку, х; обозначим, далее, дирrсм через d, тоrда И;\lесм пр жд
Bcero:
х 0== t + : ( k t) + d.
Если это отнять от Bcero состояния (АлхuараJ JИ ОТНИ lает
'9ТО от 1/1 состояния, но затем снова прибав.тJЯСТ 2/3 состояния),
то получится:
k t ( k t) d 4/,
ибо этот ОС1аТО1\ делится поровну между 4 СЫНQБЬЯi\IИ. Этот даст:
11 3
k t d === 4!
12 4 '
. i) Die Erbtei111ngsaufgabel1 bei luhammed IЬп lusa Alchwarazmi, 8Zeit
schr f. D ath. и. naturw. Unterr:cht", 53 (1922), стр. 57 67. Ср. также мою
статью: "Zur musl:mlsсllеп und agyptischen Gle:chungsauf1dsung" в Ar
chivio di storia della ... ciel1za", 6 (l 25), стр. 46 48.
d2
или, применив опеРЗllИiО, называемую "al-d chabr.:
k=:4 . + d
12 4 t ·
TCllepb АлхnараЗ tИ, вместо Toro чтобы умножить, ПО.l10БНQ
12
нам, все на 11 t прибавляет к каil<ДОМУ члену одиннадцатую часть
ero 1):
3 1 3 1
k == 4 4 t + 11 · 4"4 t + 1 11 d,
2 1
k==5 п t+l п d.
"
Теперь мы имеем некоторое отношен е между k, t и d, при..
чем последнее приходится рассматривать как известное опреде-
ленное число (константу уравнения). Мы в состоянии теперь
путем определенноrо выбора двух из этих величин определить
третью. Алхваразми указывает еще правила, как можно сделать
целочислеl'lНЫМИ d или t. Арабское СЛОRО для выражения "состоя-
ния" (та!) TO самое, что в предыдущей rлаве означало квад-
рат неизвестноrо. И этот двоякий способ употребления......... rрече-
CKOI-O происхождения. Действительно, употребляемое уже rиппо-
кратом Хиосским (около 440 r. дО Н. э.) для обозначения второЯ
степ ни слово dynamfs означает таI<же и в rречеСI<ОМ .состояние- t
то же самое относится к приводившимся выше латинским сло-
вам census и substantia.
х
Косснчес"ие зва""
Из lIенаr.ечзтаппоrо tuчи rения .Coss. Адама Рйзе (Rie e), nервоМ!-
чальная рукопись KOToporo находится в собственности rорода Мариеl(.
берrа в Саксонии (см. .Coss., стр. 109). Это сочиненllе было наПl-'сано
в 1524 r. КОltия, послужившая для изroТ08ления факсимиле на фиr. 3,
дружески предоставлена нам п. rоппердитцелем \Hopperdietzel).
{) Так поступает обыкновенно АлхвараЗ\fП. которому, вnрочеu, знаком
и наш современный спосuб. Об этом rоворится 8 моей вышеприве.1.ен-
ноА статье. Тот же способ встречается а ОДНОМ месте R в папирусе
!JИ:lда (аадача 8; см. выше) М 111;; оН даеТ кJIioч I пониманию IToro,
остзвавwеrОСD ДО СИХ пор неЯСRЫМ, места.
3 11... е 11' 11 е р, Хр.стема.'tиа. U
ПрС 1варllтельные замечавия. СЛОБО "C05S" проис
ХОДИТ от итальянскоrо слова cosa (патин. causa) и означает HC
известное. По немецки это СЛОВО стало затем в XVI в. и ПО3jке
.......
со
обозначать Еообlце аЛI'С()рУ. Знаки Д.1Н ()БО-Jilаt еIIlIЯ раЗ.1ИЧНIJIХ
степеней неизвестноrо, приоБР Вlllllе с конца XV В. прзва rраж
данства в rермании, приведены на фиr. 3 РУI\ОПИСИ Ризе. Но
так как, MOiKeT быть, не все читатели CY leloT разобрать ее, то
я прежде Bcero передам се Tel\CT (Clrl. фиr. 3).
34
1, ф Dragma ader Numerus. ..... Das ist die za1 an it &еl.
best gesetzt gantz bIoss (драхма или ч спо..... ЗТО просто
ЧИСЛО. взятое само по себе).
2, 1t t Radi,x ader Coss. Die wurtzel sde,r das dingk gnant
welchs geschwengert itz1iche zзl ZLJ tragen (радикс или КОСс.......
корень или вещь, которая. оплодотворенная. llолжна нести
всякое число).
4. а, Zensus a<Jer quadratus...... Die macht auff аНе seiten
gleich auss der wurtzel in sich entsprungen [вторая степень.
ипи квадрат, (Zensus....... состояние), равное по всем сторонам,
возникает И3 корня (умноженноrо) на себя].
8, (( Cubus. 1st ein corpiJs, das auff аНе seften in dle
tieff Jeng vnd breit glelch ist (куб...... это тело, которое равно
по всем сторонам. по rлубине, длине и ширине).
16. -d t Zensus de Zensu. 1st ein flech entspringend auss dem
quadrat 'П sich seIbest (вторая степень второй степени ЭТО
площадь, возникаюIi\aя ИЗ квадрата на caMoro себя).
. 32, р, surso1idum. ........Ist efn taube zal die kein gemeinschafft
weder mit dem quadraten посЬ сиЬо hat (sursolfdum ..... это rлухое
число. не имеющее ничеrо общеrо ни с квадратом, ни с ку-
, 160М).
64, att. Zensuicubus....... 1st eine zal die in slch helt die wurtzel
eines quadraten aJss dan solche des сиЫ (квадраТокуб........ 9ТО
ЧИСЛО. содержащее в себе корень квадрата, а также куба).
128, bi р.. bissurso1idum.---- Hat kein аusszihuпg des quadraten
noch CUOJ/sonder die im selbest gesetzt 1st (bissursOlidum.....
не допускает извлечения ни куба. ни квадрата, но полощено
8 себе).
256, '6 А, Zensus Zensul de Zensu. Entspringt 50 das product
ayns quadraten in sich gefurt wird [вторая степень второй сте-
пени второй степени. Возникает как произведение квадрата
на (caMoro) себя].
1 512 (с(, Cubus de cubo...... Entsprlngt aus multiplicieren ..des q
in sich selbs cubirt (кубокуб возникает от умножения се
на себя кубическим образом).
n о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а нИ Я. ИС ОРИА этих ЗНaJ(ОВ
t<раЯне запутана. так что для более подробноrо изложения
я ВЫНУЖАен отооп:зrь читате.ля к Тропф е, 11, СТр. l r Q.1. В чаСТНQ.
сти. отмети)! спедующее.. Dragr;na (араб. дирrеМ:а в наст.оящее время
драхма)' мон тная едИница Знак ее предст влsreт соб'оЯ искажен-
'Joe d (начальную буКВУ!) за8нтуwноА. Часто пиtалея так . ,
I
3?:
3.J
\ K наш старый знак для пфенмиrа . (происходяuiиА от слова
..denаdusи динаРlff.t: СМ. выше, N2 VIII). Вместо radfx часто читалff
[ $. Знак ero r с ззвитушкоЯ. Вопреки Троnфке, " не думаю,
цтобы декарТQвскиА х (которым, ВЛРО'JeJ4. он .по.цьэовапСI
не тоnько дли обозначения неизвестноrо) имел отношение
к этому знаку, ибо, "есомненно, Декарт х писал .вовсе не таким
образом, чтобы он Mor (подобно нашему теперешнему х) напоми-
нать знак 'lt. Обозначение "вещь" встречается уже в арабском.
Census (пат.) значит состояние; то же самое уже у арабов. Вы-
ражение "Macht", которым пользуется Ризе .для обозначения
второй степени, это только друrой перевод rреческоrо dynamis
(араб. шА1). употребпявшеrося' уже с древних времен для обо-
значения х 2 (пат. potentia. наряду с substantla и census, уже в
ХН в.; СМ. выше, N2 IX). Только в XVHI 8. слово "Potenz 8 (степень)
получает общеупотребительное теперь значение. Следующие два
ТерМина.........сuЬus и" Zensus de Zensu He нуждают€я ни в каких
разъяснениях. До сих пор нет еще удовлеfворите.riьноrо объясне-
ния происхождения слова "surso1idum" Ризе связь! .ает ero, оче-
видно, с "surdus" (rлухой). Знак для неrо.......это!! Следующие
термины представляют просто составные слова, которые иными
авторами продолж ются еще далее (bIs двойной, gefurt умно-
женный, от латинскоrо ducere). Все эти знаки и наименования.
преllставпившие значительный проrресс по сравнению с пред-
шествовавшими способами выражения. nишь постепенно усту-
IJали место более удобному обозначению при помощи покаэате...
пеЯ степени. которое началось с Toro, что к знакам стали припи-
сывать соответствующие показатели. Наш современный способ
начертания показатепеА установился лишь начинasI с Декарта
(1637; СМ. ниже, М XXI).
Х'
Решение квадратноrо уравнения
ПОlfобно предыдущему номеру взято из сочинения Адама Ризе ()
"Коссе", вновь OTKpblToro Бруно Берnетом (Berlet) 8 1855 r. и Оflубли
KOBaHHoro им в 1860 f. в Аннаберrе (о СИJ1е ии). С извлечениями из
УI ебников арифметики Ризе леренздано тем же автором 8 ero собствен-
ном соqинении "AdaM Riese, sein LеЬеп. seine Rechenbiicher und seine
Act zu rechnen.. Die Coss, VОП Adam Rlese.. Lpz., 1892. СМ. стр. 37.
Пятое уравнение такое. Если даны три последовательные
степени. причем первая равна последним двум. то следует две
наименьшие. именно первую и среднюю. раЗJlеп.ить на послед-
нюю, наибольшую (ЗАесь нмеюtСI 8 виду только К09Фнuиенты.а
35
Т. е. оба коэфиuиента при меньших степенях AOJUКHЫ быть Р.ВАе.
лены на коэфиuиент при высшем члене). Затем средииА ЗН8'J'r
должен быть разделен пополам. и половинную часть над\,)
возвести в квалрат, потом прибавить к первому знаку, и radix
quadrata И3 этой суММБ1 без ПОJlовинноА части среднеrо знака
Аает ответ на вопрос (на этом правило кончается. затем идет
пример), как, например. 121l. + 3 i равны 135 'Р, раздели
qJ + tt на 3 (эдесь знак + употреблен вместо обычноrо слова
D и"), получится 45 от nepBoro знака н 4 от (peJlHero. Раз.
дели пополаrd 4, ВОдвеllИ в кваllрат и прибавь к 45, полу.
чится 49. Radix quadrata от 9Toro будет 7; отними теперь
половину среднеrо 3H3j<a. Т. е. 2. останется б. Это и будет
radix. Проверка: 12 radices составляют 60 и 3 I{вадрата ОТ 5
radix составляюt 75, сложи вместе, получишь 135, т. е. ЧНCI10,
равное первому знаку.
n о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Если мы tTaHeъa исходить
иэ эаданноrо примера
12х + Зх' == 135,
то, соrласно правипу, следует, прежде BcerO. разделить все на
КQэфиuиент при высшем tlлене, т,. е. на 3. TorAa по,,'учаеы:
r
4 х + х 2 :::;::: 45.
Теперь делят КОЭФИl.\иент 4' ПОПОJlЗМ, ВОЗl\.отrт половину в
I<вадрат, что дает опять 4, к 910МУ прибаОJlЯIОТ 45 н нзвлекают
JIЗ суммы корень, что дает 7 Если вычесть ОТСЮАа 2. то полу-
IIзется решение уравнения 5. .
Леrко заметить, как трудно все ЭТО выразить. общим образом.
при помощи слов, так aK еще не имеется БУКlJеННОfО оБОЗtlа
Ч,еНltЯ. Далее квадратное уравнение имеет эдеСЬ. три фоРМЫ.. иБQ
лрираВliиваются 'ме)кду соб.ою пи,Ш.Ь ПОЛОЖl1теЛ1:,ные ЧJlеН (МЫ
прнвели ТОЛЬКО одии случаА), и, HaKOHeu..., ра.ссматривается. только.
один корень у,равнення, так как 8 данном случае второй был бы.
ОТРНllательным ( 9). РJ:fЗ еще совсем далек ОТ- мысли K ac-
снфнцирова fb уравнения ПО их степени. Таким' )I(e ТОЧIiО образом
можно было бы peUJl:tTb (ка,К. ЭТО и. rоnорит U дап. цеЯw.е... а.втор)
}'paBH HHC
x5 1 х 6 ;;:;: <1 50'\; 4:.
\
аэ еJl а все И х 4 . Доказательства решения совсем не ПрIl8Q.IИТСJt
XJt
ПерВQе появление в ечатных книrах знака раДИЦаЛа
r
Из . Behend und Hubsch Rechnung dur"ch dte kunstrelchen regel11
Algebre I 80 gemeinckl1ch dfe Coss genennt werden... ZU$ammenbracht
durch Christoffen Rudoltf уот Jawer"." ("БblCТрЫЙ Ii красивый способ
счета при помощи искусных правил алrебры. оБЪJкновенно называемых
Косс... Составлено Христофором Рудольфом из Явера fC ). Предисловие
помечено Веной,. 1525. В конце книrи указаны типоrрафия и rод изда-
ни-я: Ar entoratl (Т. е. СтЬассбурr).. Аппо supra sesquimil1esllnum vice-
Imo qUlnto (Т. е. тоже 1525).
..
Лист Е iiJj, Vo.: Надо заметить, что radfx quadrata (кваLlрат-
ныА .,корень) будет в этом algorithmo (способе вычисления)
.. обозначаться ради краткости знаком ,,/: так, ' 4 означает
radicem q,uadratam. из 4.
Лисr (Ev!), Ца.: Всякое ЧИС.'lО, 'снабженное простоЯ ,
двойноЯ v../ или тройной точкой называется в этой книrе
деноминативным числом (Т. е. п.одраLlикальным числом). Наобо",
рот, всякое число. которому не предшествует такая точка t
называется абсолютным. I1РИМИ это во внимание.
Лист (Е vIJ), Vo.: Radix сиЫса означается в 310М algorithmo
через следуJOЩИЙ знак Таким образом vv/8 означает radix
cubica из. 8
Лист F iij, Rii.: Корень или radix от zensdezens (т е. корень
.4.А степени) означcfется здесь следующим знаком v/. ...
Таким образом w 16 ОЭНl ча т radicis radlcem. т. е. rad {..
....(
сет quadra am из ,квадратноrо к.орня ОТ 16.
Пояснительные замечания. Значение слова "Coss a мы
объяснили в N2 х. "Из Явера" означает "из (б ывшеrо) княже-
ства Яуер. (в Силезии), которое принацлежало тоrда боrемскому
'королевству. Слово "Ап.rорифм" в употребляемом здесь значении,
сохра'нивwемся до настоящеrо вре ни, возникло в Средние 8e a
из CTaBwero несколько пеrендарн м ,нмени изв.естноrо уже нам
переа Мхваразм.i:', па1инизироваКН(Irо в Аlg0risщus ИЛИ Algori-
tЬщus (в свивн с rре.ческим rithnos........ число). Из BToporo от-
рывка uиАНО). Ч'f-Q знак корни ВQЭИ 1I{ из точек, которые стави-
пис перед "деноминативными" числа и" ЭТО наблюдается впервые
в немеuки}{ РУКОПIlСSlХ 9КОIIО 1480 f. КвадратныА корень обозна-
'iалп J1ИОЙ точко0, l(уби\{ес'КИЙ корень, как видно из выwеприве-
r , T точ}<амu, а КOIf нь четвертоИ степени H IJQCJ1eAOBa-
:rQllIiHO ТО"аВКО Д 1' точками. Разумеется, т кая непосnе-Аова...
тепьнав система\ K01'0PfIO к тому 1КС He,'l a ЫЛО аспро аltl\Т
па корни Лlобой степени, не моrла удержаться; но простая точ-
ка, снабженная штрихом, сохранилась в качестве знака для ра-
дикала. Утверждение будто знак радикала возник из латинскоrо r,
начальной буквы слова "radix", чистейшая басня, встречающая-
ся еще да>ке и В наше время во мноrих серьезных книrах.
О ZСПSL1S И Zcnsdezel1S см. так}кс Ng Х.
ХIII
Начатки обозначения показателей степени
Из .Ауп llew kunstlich Buech, we'ches gar gewiss vnd behend lernet
пасЬ der gemaincn regel Detre /welschen practic/ regeln falsi vnd etlichen
regeln Cosse manch rlay schone vnd zuwissen notiirfftig rесhПt1пg au:f
kаuffmаl1э-сhаfft. . . . Gemacht аиН der loblichen Ьоеп schul zu Wienn In
O:-terrei h durch Henilcum Grammateum/ oder schreyber von Erffurdt de:
sleben {сеуеп kiinsten Mais er". Предисловие помечено Веной, 1518. OT
псчатано в Нюрнберrе (rод не указзн). .Новая ИСl<усная книrа, учащая
б )!стро и надежно СОfласно обыкновенному тро!1ному правилу, итальян
(кому способу, правилам falst и неКО10рЫМ правилам Косс, разным пре-
красным и необходимым купечеству дЛЯ 3Н2НИЯ способам счета. . .
Состав 'Iel o в достохвально:i вы 'шей школе в Вене в Австрии rенрихом
I paMMaTeycoM или Шрайбером из Эрфурта, маrистром с ми своБОДН".>IХ
искусств" .
,./
п р е Д в а р и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Ни одно из обозначе
ний, употреблявшихея до ХУ в. для степеней неизвестноrо, не
моrло быть распространено на произвольные степени, как это r.'Ы
уже знаем по примеру коссических знаков. И фактически все авторы
оrра1iичивались первыми степенями, редко переступая за показа
тель 1 о. Оч нь серьезное дости}кение в этом направлении было
сиелано французом Н. Шюке (Chuquet). Но сочинение ero от
1484 r. осталось в виде рукописи, ИСПОJlьзованной только в
своей праl{тической части одним позднейшим автором. Во всяком
случае можно ДОIlУСТИТЬ, что rpaMMaTeyc ничеrо не знал об этом,
I{оrда он пришеJl к своей собственной, хотя и не столь практич-
ной идее. К со>калению, ero иде!! не оказала tIикакоrо влияния,
хотя книrа ero приобреw'lа известное распространение (она вышла
еще в четырех дальнейших изданиях, из коих последнее в 1572 r.).
В TO I же rоду вышла "L'Algebra" Р. Бомбелли (Bombelli) (см.
НИ)J{е), давшая решительный толчок раЗВИТИIО идеи опоказателе
степе'iИ и пользовавшаися обозначением, очень напоминавшим
символику ШЮI{е, хотя, в роятно, независимым от нее. rpaMNareyc
саы считал свое обозначение проrрСССО 1 110 сравнению с косси
чеСl{ИМН обозначениями ч 1'0 ЯRств)'ет ИЗ ни ':СС леду l()IJ tllX ero С.'10Н.
Лист (Р vii), Ro.: И имеется !ще MHoro JIруrих НАзван""
(r. е. коссических знаков), о которых я не буду здесь более
rоворить, но выскажу свое мнение со мноrими прекрасными
правилами . Как указано ниже.
Лист G iij, Уо. Итак. HlKoHeu, вот каковы названия, ко-
торые употребляют 8 данном исчислении в качестве numerus:
пишут, следовательно, N I а : pri : 2а : se : За : ter : 4з : quart : 5а :
quint : ба : seL Numerus означает .не что иное, как единицу;
или 1. '
n о я с н и т е л ь н ы е з.а м е"ч а н ия. Таl<ИМ образом Numerus
=есть постоянная. которую коссисты обозначали через (denarius
. )4ЛИ dragma). Двоеточия стоят вместо простых точек. В соот-
ветствии с этим, например, За: tertia означает третью (Т.. е. сте-
пень), сокращенно обозначаемую lJ'акже ter. Затем rpa"Maтeyc
(по.rречески зто значит писец) ПРОН380ДИТ, ПОль3у.сtt 9ТНМ
обозначением, обыкновенные операции, которыми Нёtчинаетси
еще и в настоящее время любой учебник алrебры. В качестве
I1римера мы nphBeAeM сложение лвух алrебраическнх l1робеА
Лист Н Ij, Vo.:
Алrорифы J1РОБI!А, служлщиЯ .ппи ПРАВИЛ КОССА
Additio (сп ОЖЕНИ, Е)
При Bce арифметических действиях, как сложение, умно.
жение. вычитание и деление. спедует поступать, как было по-
казано для обыкновенных дробей; еспи я хочу сложить 3 pri:,
деленное на 4 se :, С 5 ter: J деленным на 6 quart:. Напиши тоrда
3 р r i : 5 te r :
4 б t . Умножь нак р ест. Скажи 3 P ri:, У множенное
se:'" q uar :
· 5 j
на 6 quart:, дает 18 qUlnt:, затем tertz умноженное на 4 se:
дает 20quiлt:; еСЛ}t сложить все ЗТQ, ТО чиti1итель будет 38 quint:.
Затем умножь нижние количества, это .паст 24. 6 tз. и получим
З8 · 5t : 19N
24 . бt : !lЛИ 12pri : ' Ты можешь также, преЖде чем проиэве.
сти сложение (если это возможно) t, сократить каждую дробь,.
и TorJ11 Нало сказать так: я хочу сложить З N:, деленное на
4 pri:. с 5N, Аепенным на 6 pri:. Умножь накреСУ I как выше, Н" а",
38 · pri : 1 9 N :
ПОJlУЧИТСsa 24 2 . 1 или 12 .: . и "РИХОДИW.Ь К тому же реЗ 'J1Ь.
· а. pn ·
7 31'У. "ТО И п жде.
I 3TU скоб,," н.меЮ'IСR в о и.r,tU1 '
Q
п о я с н и т е ль R Ы е 3 а м е ч а н и я. В предпоследне t знаме-
нат.:ле 2а; означает, конечно, то же самое, что и se, именно:
"secиnda", т. е. вторую степень. Следует заметить TaK1fCe, что
приведенные выкладки совершенно независимы от Toro, пред..
стаВЛЯIОТ ли основные числа извес [ные или неизвестные вели..
чины. Выкладки эти сводятся I{ следующему:
За 5а 3 38а 5 19
+
4а 2 6ц,4 2 !а 6 12а'
н 0'1 И
3 5 38а 19
4а + ба == 24а 2 == 12а ·
в настоящее вре tЯ мы бы высказались против первоrо спо..
соба, ибо он приводит не нужным образом к слишком ВЫСОI{ИМ
степеням, да и при втором способе мы бы сразу ВЗЯJIИ в каче..
стве общеrо знаменателя .наименьшее общее KpaTHoe l1 обоих
3 иамена елей, т. е. 12a и обошлись бы затем без сокращения.
Но следу т принять во внимание, что умножение накрест пред..
ставляло собой очень удобное правило, и что еще в настоящее
время немало лиц, предпочитаЮllJ.ИХ меха.iически производить
ero, чем задумываться над каждым отдельным примерам. Автор
приводит elJ;e один пример, в котором он берет уже определен-
ные числа (1 pri: ра ино 2 N, ИЛИ, как мы бы сказали, а === 2).
Книrа rpaMMaTeyca является таIOl<е первым печатным произведе..
ннем, в котором встреЧJЮТСЯ в алrебраических выкладках знаки
ПЛlоса и минуса, появившиеся в конце ХУ В. (в рукописях они
8стреЧЗIОТСЯ несколько раньше). В пuдтаеРjJ<дение ЭТОi"О мы при
кедем ellte один пример на вычитание, .не. ко понятный без вся-
вих комментариев.
Ли (G vij), Уо.:
7pri: 7N:
4pri: 6N":
,p i: 1 N :
Обозначение показателей степеней [рамматеуса переНЯ-1, Ha
СК0-1ЪКО я энаIО, только ИоrаНlI Шейбль (Scheubeliu.s ScheybI)
в а.lIrебранческом введении, предпос.']зином Н\' CBoe y .тJЗТ И »..
СКОМ.У ИlздаН 1I0 первых шести книr ЭВК.lи;tз (r аз ль, 1550).
, .
4\\
XI\-
Первое появление понятия о лоrарифме как Broporo рода обрат-
ном дейсrвии по отношению к возведению в ст пень
Из Michael Sti el, "Arithmeti; а il1tegra. (Т. е. вся арифметика), НЮрН-
берr. 1544.
Предварительные замечания. Учение об отношениях,
изложенное Эвклидоы в 5 й книrе ero "НаЧJЛ", O HЬ древнеrо
происхождения и в основном, несомненно, связано с музыкой.
Теория музыки была, по существу, разработана Архитом Тарент-
СКИМ (430 365 rr. до н. э.), В котором COrJIaCHO новейшим
исследованиям 1) прихсдится виде 1 ь rлаву, так называемых (оши-
бoчHыM образом) "пифаrорейцев" Было найдено, что длина стру-
ны, дающей квинту какоrо-нибудь звука, находится к первона-
чаТIЬНОЙ длине струны в отношении /3: 2, для КБарты же ЭТО
отношение Оl<ззалось равным 4: 3, а для OKTaB'.>I 2: 1. В то время
как октава, если можно так выразиться, получается из сложения
квинты и квартьт, т. е. квинта + I{'BapTa == октава, соответ-
СТВУlощие отношения приходится не склаДt))вать, а умножать, т. с.
3 4 2
............ == . Из этоrо факта возник обычай при выкладках
2 3 1
с отношениями rоворить "складывать" вместо "умножать", "вычи-
уать" вместо .,делить" и Т. д., словом, называть всеrда, если
можно так вырази IЬСЯ, арифм тическое действие одной ступенью
ниже. Этот способ выражения через посредство мусульман pac
пространился и в латинском средневековьи, и мы встр :чае 1 ero
еще у ученых, стоящих на пороrе HOBoro времени.
Чтобы избежать недоразумения, мы в нижеслеДУlощем будеl\'1
прибсrать к кавычкам при пользовании техническими терминами
на старый манер. Таким образом пУ lножать" какое-нибудь отно-
шение на 2, Зl13ЧИТ вознести eI'o в квадрат. Так, например,
3 9
"ДВОЙНО " от 2 будет 4. Отношение не мо)кет быть "помно-
жено" на отношение, как онределенно подчеркивает Штифель
(цит. соч., лист 53 Уо.). "Умножать" отношение на дробь значит
возвести ero в степень, покаэатель которой дается числителе \1
этой дроби, и затем ИЗВ1ечь корень степени, соответствующей
9
знаменателю. Так, наПрИ lер, отношеНIIе 4 "умноженное" на
б 3 27 ( 9 \ У О
.лро ь 2' дает 8 ' Т. е. мы пишем ее 4) 2 . )ке НИК. резы
t) СМ" В o oGellocrlf, Е. Frапk, Plato цnd die sogenalll1ten Pj't11 gO"
reer, НаНе, 1923. "
1'
(O esme) производил в ЛfV Ь. операции с i10добными дробными сте.
ленями. Аналоrичным образом для "деления" отношения на дробь
надо взять дробь, обратную данной, и "УМНОЖИТЬ" на нее (НИТ.
соч., лист 54, Ril.). Но Штифель замечает, что MO)f{HO, кроме TO
ro, ОТНОШ Нl.е "делить" и на отношение. Он rоворит:
Лист 53, Ri.\.: Подобно тому как м ЖJlО определенное l(О.rJИ
чество локтей делить либо на HeKO орое КОЛl1чество локтей,
либо il\e на отвлеченное число (nt1merum abstractum), та)(
можно и отношение "Д2ЛИТЬ" либ.о на ОТllлечснное ЧИС..'10,
либо на отношение.
Если отношениt' "делится" на ОТНОШ2ние, то всеrда в ча..
(ТН01\l получается число, и ни в коем случае не отношенис.
Действительно, если я спрашиваlО, СКОЛЬКО раз встречаетси
"делите.пьное" отношение в делимом отношении, то я получу
необходимым образом простое словесное ч стное (qu adverbialis).
Точно так делят матеРИIО для одежды на материю для одежд .
Я Mory, действительно, спросить, СКОЛЬКО раз измеренный ЛОI(
тем кусок материи содержится во всем I<YCI(C ее (i ipso pa1JnO).
(Здесь следует замечание о "деJl":НИИ" отношения на ЧИСЛJ.)
П Р А В И Л О Д J1 Я Д Е Л Е Н И Я О Т Н О Ш Е Н И Й н А О Т Н О Ш Е 11 11 Н
"Вычитай (1 "д лительное " отношение из делимоrо ОТНОШС
ния, пока либо получится равенство (т. е. перестанет полуtlаться
остаток), либо изменится род отношения (т. е. деJlимое OTflO
UIени станет < 1, между тем как раНЫllе он) было > 1).
Частное состоит тоrда из суммы единиц, которыми отмеЧ310Т(Н
отд льные "вычитании" , ибо для ка}{{доrо производимоrо
"вычитания" надо браlЬ одну единиuу.
Пример, в I{OTOPOM наступает равенство.
Я 729 3
хоч НJП:)IIМСР, " I"'зэделить 11 64 нз 2' т. е. на OTHO
с 3 2.
Пер о
729
,,13Ы'lита'IИ"': "
1458
243
дает
Н..1И
3
64
192
32
2
Второе "вычитание"
243 486
дает
81
1I}
:)
. .. 32 96
(У lllТltфСЛ \ приводнтси полностыо.)
16
2
3
(Лист 54, Уо.) Шестое .,вычитание 8
дает
6
Здесь имеется равенство.
2
3
6
Если получается равенство, то это означает, что "дели-
re.1bHoe" отношение целиком содержится в делимом отношении
и что "делительное" отношение есть определенная (aIiquota)
часть делимоrо отношения.
Но так как было произведено 6 "вычитаниЯ", то "част-
ное" от "деления" равно 6.
Пример, в котором не получается равенства.
Если не получается paB HCTBa, а только изменяется род
отношения, то это показывает, что "делительное" отношение
есть неопределенная (aliquanta) часть делимоrо отношения и
lIе содержится целиком в нем.
2187 27
Я хuчу, например, разделить 128 на s'
8
Первое ., вычитаниеМ
2187
дает
128
Второе " вычитание-
81
дает
16
Трс ,'ь .вычитание"
. 3
дает
2
27
8
27
8
27
1 7 496
81
или
3456
16
648
3
или
432
2
24
4
или
54
9
Ты видli,ШЪ, что род отношения здес.ь изменищя, ибо полу.
4ИJЮСЬ ОТНОШ,ение меНЬ.ше 1. Следовательно t не н.УЖIJ.О было
ПРОllЗВОДИТЬ TpeTbero "ВЫЧИ'Fания".
Так как соrлас но Эl'О:\iУ получены бы.п.и два .1l:Jlчитания.",
3
'ХО . (laCTtlOe" раВIlО 2. Но оставз..1.СЯ "OCTaTO " 2. Но 91'0 ос 1'з-
'fODlfiOe ОТНt)ШСl1l1е ссть .,третьSl чаСть f6 (лист 54, Ri.i.) "дe;ll1
1
ТСJIЫIOl'О' оТI\О шеtJНn' C 1C 11 DIШТС.'lt.. 110 . все ,. 113CT1l0e CI paBlIO 2 .
1
Таки'.! образом
27 1
r aRHO .
t> 3
2187
"отношение- обоих ОТНОПIсниА 128 и
С1 о я с fI И Т е..'1 ь Н ы е 3 а м е '1 а н и я. Сравнение с ЛОКТЯМИ Ma
терни, конечно, несколько хромает; но оно rодится, чтобы укре-
пить в читателе мысль об обеих возможностях. И в XVI B. как
И в Средние века еll{е часто отсутствуют черточки для обозначе
ния дробеt\. Весьма часто встречается, как и у Ulтифеля, пута-
НИllа. Штифель всеrда умножаеr на обратную дробь и ЛИUlЬ по
том производит сокращение. Разумеется, наш метод производиrь
сокращение заранее предпочтите w 1ьНее.... Первый пример Штифеля
мы бы теперь писали следующим образом:
( ) % === 729
2 64 '
откуда
729
х == log 3 64 == 6.
2 _
Атор()" ПрИ\lер имеет T3KOt\ ВИД:
( 21 ) Х=== 2187
8 128 '
И..'IИ
( ) 3,<== ( : у.
откуда
2181 1
х == 10g:27 128 == 3 ·
8
Для любоrо COBpeMeHHoro читателя ясно без всяких KOMMeH
тариев, что на этом фундаменте можно было быстро возвести
учение о hоrарифмах. В действительности лоrарифмы появились
ИШЬ В начале XVH в. в несколько ином виде. Но великий ИСТОРИК
Поль Таннри (Tannery) вполне правильно считает это "маскиров-
кой. 1). Мы вправе даже вместе с Таннри считать весьма вероят-
ным, что основой открытия nоrарифмов было древнее учение
') .Bibl тa b.. (3). з (1902), стр. 163.
46
.
о музыкальных отношениях. На ЭТО достаточно ясно укаЗЫDЗС1
и введенный Нэпиром (Napier) (1617) термин "лоrарифм" (чнсло
отношения).
ХУ
Единообразная трактовка различных форм квадратиоrо
уравнения I
Из "Aritl1metica integra 8 Михаила Штифеля, Нюvнберr, 1544.
П р е д пар и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Со времен Алхваразми
(С)l(ОЛО 825 r. н. .) обlцее (трехчленное) квадратное уравнение
рассматривалось в трех формах, которые в настоящее время мы
бы писали так:
ах 2 +Ьх==с, ах 2 ==Ьх+с, ах 2 +с==Ьх.
Алхваразми перснял эти три формы из rреческих источников.
Каждая из ffих имела свое особое правило ДllЯ р шения. Так
ка к, далее, принимались во внимание только положительные корни,
то ЛИПlЬ третья форма моrла Д1ТЬ два. различных корня. Алхва..
рззми учитывает уже и тот случай, I{оrда третий тип дает только
:.IHfH корень (мы бы сказали теперь: двз равных корня). Мнимые
решения исключаются. Данное индусами в VI в. н. 9. общее pac
смотрение проблемы KBaдfёlTHoro уравнения не ДОШ.'10 до мусуль-
ман, а тем более до западно-европейских ученых. Первое ДOCTH
жение в 9ТОЙ области принадлежит Штифелю. Он начинает с об
IItero правила, применимоrо к алrебраическому рассмотрению
П СХ видов задач.
Лист 227, Rii.: Чтобы найти не!1ззестное число, следует
поставить на ero место 1 и Coss и, найдя для этоrо ypaBHe
иие, произвести с ним все возможны упрощения. После
этоrо надо разделить на коэфициент наивысшеrо коссиче-
CKoro знака (т. е. ВЫ':UIей степени неизвестноrо) всю
остальную часть уравнения, которая приравнивается этому де-
лителю, снабженному ero знаком. В таком случае искомое
неизв стное число получится либо как частное, либо как KO
рень этоrо частноrо. Случай, коrда следует произвести ИЗВТ1е-
чение КОРНЯ, указывается ясно и достаточно делителем с ero
коссическим знаком.
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Итак, Штифель представ-
.1 IeT себе СОСТЗВ.'1енным и упрощенным уравнение для неизвест
Horo. После 9Toro он помещает на левой стороне уравнения член
с Н.1ивысшей ст'епенью неизвестноrо, а на правой все таль-
вые (МЫ бы в ы.разились таким обра30 f; Штифель же не обладает
еще знаком равенства; он rоворит .есть" или .равно"). 3JTe:'1
46
он делит уравнение на коэфиltl1еllТ при высШе 1 члене ero. Теперь
следовало бы еще прабзвить, что OH, как излаrается в даль
нейших пояснительных заме'lаниях, делит все уравнение на C1e
пень неизвеС1ноrо, общую всем членам. Тоrда он получает налево
либо х, либо какую-нибудь степень х. В ПОС'1еднем случае при
ходится еще произвести извлечение корня, степень KOToporo ука-
зывается показателем СТОЯlцеrо налево члена.
lio Э10, конечно, можно применить только к ДВУЧJlенным
уравнениям, напрцмер:
2х == 6, х == 3,
или
5х 2 20, х 2 == 4, х == 2,
или
5х 3 === 25х 2 , . == 5 и т. д.
И деftствительно, Штифель сперва имеет дело с такими при-
мерами. Но вскоре убеждаешься, что он намеревается распростра..
нить правило и на треХЧ.'Iенные уравнения, "показатели которых
образуют арифметическую проrрессию (с разностью 1), так что
они стаНОВliТСЯ 2, 1, О" 1), если сократить на НИЗIIIУЮ степень
неизвестноrо, наприt\lер х 6 == х 5 + 35 156х 4 (это собственный
пример Штифеля), приводится под конец к
х2===х+ 35156.
Мысль Штиф ля действительно заклюt1:1ется в том, что теперь
с Т1едует извлечь квадраТНi1Й корень из "коссическоrо" I3J ра)кення
праnой части. Для Э10rо он дает слеДУlощие правила, относя
LЦиеся к случаям всех знаков уравнения:
х 2 === ах + ь
за ИСКЛlочением. конечно,
а<О, ь<о.
Лист 240, Ril.: Во первых. Начни с числа неизвестноrо
(т. е. с коэфициента при х), раздели ero пополам, поставь
затем на ero место эту половину и оставь ее там, пока ты
не ПОКОНЧИlIlЬ со всем.
BO BTOpыx. Возведи эту половину (коэфициента при х)
в квадрат.
В третьих. СЛО)I{И, либо вычти, в зависимости от знака
(величины без х, т. е. постоянной).
В четвертых. Теперь извлеки квадратный корень из полу
ченноА тобою после сложения суммы, либо полученной после
вычитани я разности.
t) Это точное ВЫр:J1J ение IlIТllфеЛR (лист 240, Vo.).
47
В"nятьrх. Сло)ки, либо RЫЧТИ, R заВНСИ JОСТИ от знаКCl или
условий TBOerO примера.
П о я с н и т е л ь Н ы е з а м е ч а н и я. Правил этих нельзя было
бhl понять без примеров, но последних LlIтифель дает в избhJтке.
MId ПОЯСН:IМ эти правила, пользуясь уравнением общеl О ВИ..1а:
х 2 ===ах+Ь.
lllтифе.1Ь берет полопину а. Если а ОТрlfпзrСJ1ЬНО, то ОН опе-
рирует отрицательным ЧИСЛОМ. Здесь, таI{ИМ образом, впервые
вводится отриuательный коэфициент. Половину а он, с одной
стороны, сохраняет до конца выкладок, а с друrой, возводит
ее в квадрат и прибавляет к этому Ь. Но он этоrо не может
выразить таким ПРОСТhlМ образом, ибо он не привык еще к cпo
жению отрицательных величин 1), хотя он сам занимается этим
вопросом в друrой rлаве (лист 250; Rii.) 2). Из полученной суммы
извлекают квадратный корень. Теперь к этому корню прибавляют
оставшуюся в резерве половину а с ее знаком. МЫ ВIIДИМ, что
это дает в точности употребляемую нами формулу. Алrебраиче
с Koro доказательства CBoero правила Illтифель не дает вовсе.
Но в отдельных примерах даются, как это делал уже Алхва-
разми, rеометрические доказательства по образцу rеометриче-
скоА ИЛ1Iострации (а + Ь)2. ДЛЯ случая отрицательноrо Ь он дает
очень запутанное объяснение, почему здесь можно получить, co
['лзсно ero правилу , два решения. Несмотря на все эти недо-
статки, ,здесь все же впервые положен конец мноrочисленным
(до 24) дlfстинкциям уравнений 1-й и 2..й степени и cooTBer..
СТВУЮI1(ИМ правилам, которым обучали тоrдашние математики.
ХУ'
Первое появление мнимых величин
ИJ "Hieronymi Cardanl.... Artis magnae, slve de Regulls algebr licis Liber
ttntls. J Нюрнберr, 1545.
Предварительные замечания. rлавное содержание
,.Arg mаgпа- (т. е. примерно, то же, что "апrебра") Кардана заклю-
чается в решении уравнений 3..й степени, которое было открыто
около 1520 r. Сципионом даль Ферро (Ferro) и о котором Кардану
сообщил Николай Тарталья (Tartag1fa). Впрочем, Кардано в этой
книrе сделал и MHoroe друrое важное nля алrебры. Между
{) Как, разумеется, и к умножению.
!) Этот шаr вперед с.делан также уже Кар:1аном (Cardano) в ero .Ars
n18 na., Нюрнберr, 1545; СМ. лист 39, Ril Вслед эа Te С. Стевин (Ste
\'in) "ror уже придать правила LUтифе.'1Я совершенно современный внд
(С I. ниже) М XlX).
48
nро чим, ОН tIepBbllt эападно.европеf;\скиА математик, рассматривав-
ший отрицательные корни уравнений. rлава ХХХУII, .из которо"
заимствован нижеследующий отрывок, озаrnзвлена: Ое reguIa falsum
ponendi, т. е. о цравиле рассмотрения. отрицательноrо неизвест-
Horo (неизвестноz называется у Hero ;,positio")_ Правило 1 зани-
мается действительно отрицательными корнями.. Правило Il fJ1ЗСИТ
следующее:
Лист 65, Ri.i.: ВтороА вид ложноrо решения уравнения
Jаключается. в корне из отрицательноrо количества (per radi-
сет т). Я приведу (66, Уо.) I1ример. Если кто-нибудь потребует,
чтобы разделить 1-0 на две части, которые по перемножении
дали бы 30 или 40, то ясно, что этот случай или вопрос
не возможеН.. НО МЫ поступим так: р зделим 1 О пополам,
половина будет 5; умноженная на саМое себя, она даст 25.
Затем вычти из 25 то, что должно получиться по перемножеНИff,
скажем, 40, как я объяснял это тебе в rлзве о деАствиях
в 4.й к'ниrе; тоrда останется т:- 15; если взять этоrо & и
прибавить к 5 и вычесть из 5, то ПОJI уча ются части, которые,
перемноженные .между собой) даllУТ 40. Таким образом части
1 эти будут: 5 р: F} т: 15 и 5 m: n т: 15.
Поясн.итепьные замечания. Во-первых) мы видим, что
'<ардан рассматрив'ает мнимые величины как раЗUО8ИДНОСТЬ отрииа-
тепьных ("ложных"). У Hero иыеется еще правило III, в котором
он намеревается рассмотреть третиИ вид "ложноrо" как решения
'vравнения; но эта последняя :rлава неудачная.
В ПРИВОLtИМОМ выше примере приходится реtllИТЬ уравнение
x(10 x)==40, или х 2 +40== 10х.
'1{з рда н дает решение ero cor ласно извесUlОМУ правилу . По
QBP M HH9MY способу на чертания МЫ имеем:
Х;: б --+: 11 25 ..... 40 == 5 + V 15.
Это и есть оба полученные Карданим знаqения, причем мое-
точия после р и m стоят у Hero вместо простых точек. Вслед
за тем у Hero идет пространное рассуждение, из KOToporo я
упом.яну лишь то, ЧТО он называет новые числа . поистине
СОфИСТИ4ескими величин мн" ]), Для Hero достаТОЧНОi привести
JJИUJЬ cxe:\tY, ИJlЛЮСТРИРУЮЩУI9 текст н показывающую, что
1 1еремножен ие о()оих ЦQлученных чисел дает АеЙС18итепьно 40.
t) Вслед за ЭТИМ он называет М!IИМblе величины) D 01J1ичпе ОТ отри-
'цательных (.,Minus pUftlm U ), "Minus phisLi\.\.1r.n..
4 в и л е й r н е Р. Хрестоматия. 49
у Кардана nО8СЮl1У разбросаны такие схемы. Но они толькО
сопровожпаЮ1 непрерывны текст. иэлаrаюший то же самое по.ароб
ным образом словами, и являются, таким обрззоч, началом
нашеrо '/JBpeMeHHoro начертаниSJ с помощью формул. Схема Ta
та кова:
5 p:Rm"15
5 т: R т = 1 5.
25т:т 15 quod est 40.
, ,608IoA..
прочем, в дальнейшем Ка,рдан совершенно не пользvется
новым видом чисел, которые, наоборот, кажутся ему еще до-
вольно подозрительными. В противоположность этом}' Бомбелли,
основываясь на работах Кардана. добился в своей, уже выше
цитированной, "Алrебре U крупных лостижениtt. и сам Кардан на
исходе жизни написал еще по этому вопросу довольно незначитель.
ную в математическом отношении ., Serm'o ""
..
XVH
Первый алrебраичеСJ(иА вывод правила д.ля решения
KBaApaTHoro уравнения
Из Raf8el Bombelli. .L-Algebra- (Болонья. 1572).
П Р е д в.а р и'т е л ь н bf е 3 а м е ч а н и я. Если в заrоловке этоrо
параrрафа мы rоворим о правиле. то потому. что тоrда еше не
сушествовало "формулы Правило ,приходилось Jiзвлекать только
из числовых примеров и затем выражать ero СJ10вамИt В этом
ВИLlе правило восходит к арабаМ а заимствовавшим ero J в СВОЮ
очереLlЬ, у rpeKoB, хотя в сохранившихся rреческих книrа правило
не встречается в явно" форме.. И Бо белли сперва выражае1'
праВjiЛО общим образом в словах; затем он продолжает;
Стр. 248. J--Io если желают наRти корень (lato, 1\ е"
сторону, именно квадрата, как у rpeK(1s) и св сти расемаrриваемыt:t
случа" (capitolo тот же TepM H у Кардана) к СJ1учаю ypaB HH
межцу неизвестными (tanti; это слово встречаетс только у Бом
беллJl в тако'" смысле) и числом (Т. е. к случаю линеnноrо
уравнения ах === Ь), а подобное сведение можно рассматрн..
вать как дОКi?J33телЬСтВо,......... то следует ПОСТУП t1 ь слеl1УЮЩИМ
образом.
, Пусть 22. р . J 2.!. равно 32.,') ЕСЛh привест.. эrо А 1!,как
Bbl111e с каза но, то получим 1..::. р. () 1.. равно 16. Ee.1 н Te11t"pb
лоtТУЛИТ! U K. I<ЗJ< было у аз но (249). KorAa tJадо БЫJ'О
- ' f"'-: '
60
извлечь корень из квадра rOB и линейных веЛИЧI1Н J} (potenze
е tanti, т, е. из Qыражений вида ах 2 +Ьх), именно, если взять
половину лине ных величин (МЫ бы (каза,/1И коэфициента),
Т. е. 3, и прибавить ero к КОРНЮ ква.nрата" т е. ll,TO полу.
чим l!р. 3. Квадрат этоrо выражения будет 12 р . 6lp. 9. Но
мы хотели только l p. 6!,;поэтому, если прибавить 9 к обеим
частям (мы бы сказали к обеим сторонам уравнения), то получим
l1.р. бlр. 9 равно 25. Извлекая корень из l1.р бl,р. 9, по.
лучаем lJ.,p. 3, которое равно корню из 25, т е 5. Если
теперь отнять от обеих частей 3, то останется 2 равно 12-,.
и значение неизвестноrо (tanto) будет 2.
n о я с н и т е л ь н ы е э а м е ч а.н и я. Если заметить, что у Бом.
белли 1 == Х. -== х 2 И т. д., ТО леrко ПОНЯ ТЬ. ЧТО дело идет у
Hero 6 решении уравнения
2х 2 + 12x==32
(р. == piu == плюс). Решение лается так, как ero бы пришлос ь
nать в любом случае .аля получения обlце#% формулы. Но только
Бомбепли не имеет еще обозначения для общеrо коэфициента,
БомбелJЖ nOCTynaeT точно таким же образом с друrими видами
(Bal1paTHOro уравнения (стр. 257.......58 н стр. 263). Он не боится
паже давать решение u в случае отрицательноrо ДИСl<риминанта
(как сказали бы мы) "софистическим образом", т. е. с ПОМОШЬ'Ю
мнимых величин. О друrих крупных заслуrах Бомбелли, в особен-
ноет!! 8 области мнимых величин, см. работу автора наетояшеrо
сБQрника в "Jahresb ric t. d.. Deutsch. Mathem. Ver. и, XXXVI,
1927. В ПРОТИВОQОЛОЖНО'СТЬ этому, Стевин прямо заявил (" Oeuvres" .
(, стр. 12), ч:rо пустая трата времени заниматься столь недо-
стоверными вещами, Rоrда имеется столько "законных" вопросов,
к р. шению ко.торых можно приложить СВОИ силы. Только Лейб-
ниu, кажется, понял все otpoMHpe Значение д стижений БОМ2 елли .
Упомянем еlце. что в 1579 r. вышло нов.ое издание алrебры
БомбеЛJ1И, отличавшееся только заrлавием от первоиачапьноrо изда.
НИЯ. Иэдание с заrлавием 1572 r. крайне peltKO.
XVlIl
Задача второА степени с двумв неИЗ8естны
ИзJrапсisсi Vietas .Zete icor}lm iibri у.. ('rurопiЗ, 1593). пе еl)ечатаио
в ..Op!ra p1athemaUca ll -ed. Franclscus а Schooten (LugdunJ В;ltavorurtL
\ 646) стр.. 42 и сл.
t) пer o э меТИ1'Ь, ЧТО Бомбелли читал .Ari{hmetica io ewafl ШlифеЛJl.
51
Предварительные замечания. t)ZеtеtJсаС& это, на
языке любящеrо rреческие обороты Виеты, "сборник задач",
в котором излаrается на примерах "Ars analytice" (т. е. искусство
апrебраическоrо анализа задач, короче rоворя, алrебра). Он
является, таким образом, необходимым дополнением к появившемуся
в 1591 r. в том же Туре крайне важному сочинению "Fra ci$c
Vietae Jn Artem analyticem( 1) Isagoge. SeorsJm excussa аЬ Opere
restitutae MathematJcae Analyseos, Seu, Algebra noua. Turoniз,
Apud Iametium Mettayer Typographum Regium. Аппо 1591".
(Франциска Виеты, "Введение в аналитическое искусство. От-
дельное извлечение из сочинения по BOCCTaHOВJ1eHHoMY матема-
тическому анализу, или Новая Алrебра" Тур, в типоrрафии KO
ролевскоrо типоrрафа Ямета Меттайер, 1591). Современную ал-
rебру можно датировать от этой книrи, ибо в ней впервые вво-
дятся буквы для обозначения также известных величин, т. е.
коэфициентов уравнений. БJlаl одаря этому только и стало воз-
можным оперировать формулами, между тем как прежде пра
вило моrло быть пояснено только на примерах и выражено словами
(СМ. N2 XVH). Оба сочинения являются извлечениями из заду-
MaHHoro более обширноrо произведения, никоrда, однако, не
увидевшеrо свет.
Лист 6, Vo. (Ed. Sсhооtеп, стр. 50); 2-я кн., 1-я задача.
Даны площадь прямоуrольника по ero сторонам и отношение
сторон; найти последние.
Употребленное здесь множественное число можно оrрани-
чить числом 2 (т. е. достаточно вычислить только 2 стороны).
Итак, пусть В рlапиm будет площадь прямоуrольника по
обеим ero сторонам, а отношение большей стороны 1( меньшей
пусть будет S к R. Тр;буется найти стороны.
Пусть большая сторона будет А. Тоrда как S относится
R на А
к R, так А относится к S 1); значит, меньшая сторона
R на А
будет . Поэтому площадь (planum), которую можно
S
б б R на А квадрат 2)
о разовать из о еих сторон, равняется S и,
следовательно, равняется данному В рlапum. Помножим теперь
все на S. Тgrда R H , А квадрат будет равно S на В planum.
f) Виета употребляет _1атинское "in. в смысле .на..
2) Латинское quadratum.
Ь2
Если же свес-ти уравнение к пропорции, то В р1аnот ОТ
носится к А квадрат, «ак R относится к S.
С друrой стороны, пусть меньшая сторона будет Е. TorAa
S на Е
как R ОТilОСИТСЯ к S, Tal( относится Е к
, поэтому
R
S на Е
БЬлыпая сторона будет равняться R . в соответствии
с этим площадь прямоуrОЛЬНИI<а по обеим сторонам будет
S на Е квадрат
R " которое, значит, равняется В planum. Помно-
жим теперь все на R. Тоrда S на Е квадрат равно R на в planum.
Следовательно, если свести уравнение к пропорции 1), то
В p'anum относится к Е квадрат, как S относится к R.
Следовательно, если даны площадь по двум сторонам
и в то )ке время отношение сторон, то можно найти стороны.
Действительно, подобно тому как первая сторона от-
носится ко второй (большей или меНЬUIей) 2), так относится
площадь прямоуrольника по сторонам к квадрату из второй
стороны (большей или меньшей). Пусть В planum 20. Rl.
S 5. А lN. Тоrда lQ равняется 100. Или пусть Е lN.
Тоrда 1 Q равняется 4.
П о я с н и т е л ь н ы е з а ftf е ч а н и я. Виета мыслит еще reOMeT-
рическим образом вполне в античном духе. Поэтому у ero обlЦИХ
уравнений все члены должны быть одной и той же степени (одно-
родны). Поэтому он не rоворит просто, что прямоуrольник есть
В, а при помощи дополнительноrо слова "planum(l (площадь)
выражает еще ту мысль, что В BToporo измерения. Только
Декарт (1637; см. ниже) сознательно уничтожил эту однородность.
Из изложенноrо видно также, что форма пропорции ближе Виете,
чем форма уравнения, так как он превращает полученное урав-
нение в пропорцию вместо Toro, чтобы решить ero и найти
неи3вестное А (или Е). И эдесь Декарт проложил путь совре-
менным воззрениям.
Лишь в конце Виета дает численный пример. При этом 1 N
означает, что А (или Е) есть неизвестное N (Numerus),
Q есть, конечно, сокращение слова квадрат.
Несмотря на отсутствие знаков операций и на все еще
античное направление мысли, перед нами здесь один из первых
t) У Виеты .Analogismus 8 (rpeQ. .Analogia 8 ).
') Виета rоворит ДОСЛОВНО: .ut simile latus primum etC. 8 ), Т. е. .ПО-
добно тому как величина, пропорциональнар первой стороне, и Т. д..
iЗ
/
примеров настоящеf;t алrебры с О U1ИМИ' величинамlt. 8 нашем
современном смысле слова.
Соrласtlо нашему те ерешнему обозначению, мы можем
просто написать:
ху== В.
х S
:=::: ...... f
У R
11еремножая н деля оба эти уравнения, получаем:
х2 == В. S , )12 == в. R
R S
Численныn при мер дает:
х== 10, У == 2.
XIX
Единообразная трактовиа различных форм HBaApaTHoro
уравнения 11
Продолжение М XV. Из "L. Aritlnn tJque. Симона Стевина (Лей.
ден, 1585). Нижеследующее перевеЛено из ., Les Oeuvres Math matlques
de Slmon Stevin... par Albe-rt Glrard, Le}{de, 1634, fol. (2 тома. всеrда
СОЦивенных вместе. "о с раздельноЯ паrинацией):
Стр. 6В
3 а Д а ч а LXVIII
Даны три выражения (termes), из которых первое..... @,
второе ........0 @, третье любое алrебраическое число; найти
соответствующиR 4етвертый член.
. ,.
Пояснительные эам чания. Ф ознаqает х 2 , Ф "'Х,
t!"a @ ...... постоянную. I{омбинацня (!) @ означает эдесь. соrласно
нашему начертанию, ах + ь, а задача заключает я в том, чтобы
решить уравнение х 2 == ах + ь. Стевин рассматривает ее, как зада-
чу на троАное правило, спрашивая, как велико х (Т. е. nпюбое
алrебраическое число"), I<ОfЛЗ х 2 равно ах + Ь. Уже Виета вы-
сказывался против этоrЬ способа выражения (Ad ProbJema Quod
'omnlbus Mathematicis. proposuit Adrlanus Romanus.. Parisiis.
1595). ДеАствитепьно, здесь нет вовсе налицо отношении po.
порционапьностн. Стевин продолжает:
...4
N о t а. Двучлен 8Toporo выражения мОжет ИМ 1'Ь три вилi
( f erences), имеНIiО: \
<D @ Из 9Toro иные aB'rOpbJ п lIают три различные
..... <D @ операции, для которых Михаи-л Штифле (StiffJe, sic!)
<D ..... @ придумал слово Amasias, а Кардан (Cardane, 5Iс!)
кн. 10. rл. 5 стих:
Querna, dabis Nuquer, adml. Requan. Minue damL
Мы 1Ке Тlокажем один единственный СП'особ. при помощи
KOToporo, не изменяя ни одноrо слова, МОЖНО одинаково вы-
разиrь операuию 80 всех трех случаях. 110ЭТОМУ мы называем
их "Djfferences. не с точки зрения операции, которая, как
сказано, во всех случаях ОlDt.наковз, а имея в виду различие
в расположении" вели ин 80 втором выражении.
П о я с н и т е п ь н ы е з а м е ч а н и Я'4 Стевин имеет в виду, что
возможны три формы уравнения: х 3 == ах + ь, х 2 == ...... ах + ь и
х 2 == ах ........ Ь. Это три известные уже с l1ревних времен формы
урав ения. Фор.\1а х 2 ==..... ах Ь, конечно, не рассматривается
Стевином, так как (хотя он читал Бомбелпи) он не представляет
себе возможности мнимых koph-еА (а и Ь следует здесь считать
всеrда положительными) ТОТ факт} что он ссы.nается одновременно
на Кардана и Штифеля, не проводя между ними различия, показы.
вает, ЧТО он не вполне понRл значение достижений Штифеля. Спрво
"Amasias u Штифель сочинил из начальных cпoroB составленноrо им
единообраэноrо правила решения квздратноrо уравнения. Но все
же Стевин, как мы уже упоминал.и, пошел фактически несколько
дальше Штифеля, ибо он оперирует уже непосреllственно оrри-.
цательнымн коэФициентами. Стевин продолжает:
ПЕРВАЯ ФОРМА BToporo ВЫРАЖЕНИЯ <D + @.
и з п о ж е н и е э а 4 а н И я. Даны по заданию следуюшие три
вырах<ения: первое пусть будет 1 Ф. второе 40 + 12,
третье 1 0
у с. т а н о в л е н и е И с к о м О r о. Надо отыскать к зтому
четвертый член отношения
Выполнение 1
Половина от 4 (4 <D) I зто 2
Квадрат от 3Toro есть 4
1< этому прибав 1ЯЮТ заданное @ I Т, е. 12
t Дословно' построение.
Скобки 8 ориrиналс.
б5
.iз сумме это Aae<'f 16
l{opeHb квадратный из этоrо 4
Если прибавить к этому данное в первой
' . , строке 2, то получится 6
Я rоворК1, ЧТО 6 есть искомый че твертыЯ член отноiiiёJ.IИЯ".
За этим следует проверка путем подстановки н rеометриче-
ское доказательство на древний манер. Посл.е этоrо даются при-
меры с иррациональными решениями.
Стр. 67
Второй вид BToporo ВыражеНия........ф + @
и 3 Л О Ж е I+И е з а д а н и я. Даны по з:аданню следующие три
выражения: первое пусть БУ4ет 1 @ второе....... 6 CD + 16,
третье 1 Q)
У с т а н о в л е н и е и с к о .. o.r о. . Надо отыскать к этому
четвертый член отношении.
Выполнение
Половина от.........6 ( 6 Ф) J это
Квадрат от этоrо (ибо 3 на ........3. дает 9) J ЭТО
К этому прибавляюr заданное @, т. е.
В сумме ЭТО .дает
Корень кuадратныЯ'из этоrо
Если прибавить к 9TQMY данное в первой
......... З, то получится
Я rоворю, что 2 есть искомыА четвертый член
з
9
16
25
5
строке
2
отношения.
По.ясни.т льные замечания. Мы считаем излишним
излаrать здесь еше третью форму, которую Стевин иллюстрирует
на примере х 2 == 6х ....... 5. Для получения решении он, де стви-
тельно, не изменяет ни ОДНОI.О слова. Все отличие от UIтифеля
ззкпючается в -том, что Стевину не приходится постоянно по
аrорять: если число отрицательное, то спедует вычесть, ибо он
оперирует уже отриuательными Чl1слами точно т ким образом,
l(aK мы. Но и Кар.дан и ШтИфель уже rоворилl.i, что прибавить
минус, это все равно, что вычесть плюс. Книrи обоих 9ТИХ авторов
совершенно независимы Dpyr от друrа. Стевин, по' ero собствен..
НОМУ указанию, читал их обе. Он первый стал пользоваться
на практике ЭТИМ Itравилом, блаrодарв, К,?ТОРОМУ реwе-ние стало
Скобки 8 орвrнЧUе.
66
действительно единообразным для B ex трех случаев. тевин .ztaet
также алrебраический вывод решения. Этоrо совершенно нет ни
у Штифеля, ни у немецких коссистов. Но Стевин заимствовал
это у Бомбелли, равно ((ак данный последним способ обозначения
показателя степени.
хх
Линейные уравнения с тремя неизвестными
Из "Hypo!t1nemata mathematica fI Симона Стевина, кн. У: Ое Miscel-
aneis. Lugaunl Batavorum (Лейден), 1608, fol.
Предварительные замечания. "Hypomnemata Cl (т. е.
воспоминания) представляют собой, как показывают уже титуль-
ные листы всех 5 связанных между соБОIО томов, упра'-I<нения
по математике, проделанные под руководством Стевина Морицем,
принцем Оранским, rрафом Нассауским и т. д. "Воспоминания"
были первоначально написанр( СтеВИI{ОМ по-фламандски, так как
он особенно любил этот язык, но вышли в свет одновременно
в латинском и (не совсем полном) французском переводе (на-
звания их "Wiskonstighe Ghedachtecissen" и "Memoi;"es mathemati
ques"). Латинский перевод сделан В. Снеллиусом (Snellius). Три
тома помечены 1605 r. Стевин с понятным усердием цape
дворца подчеркивает во мноrих местах способности CBoero уче
НИКа. В частности, решение приводимой ниже задачи принадле
жит будто бы Морицу. Если это даже и так, то, I{онечно; он
пользовался при этом мето ами Стевина. Дело идет в этой
задаче, как видно из заrоловка, о 19-й задаче 2-й книrи Дио-
фанта 1}. Задача эта представляет собой, вероятно, позднейшую
вставку, но она непосредственно ПРИМЫI(зет к диофантовым за-
дачам l-й книrи. На задачу эту было обращено внимание
с caMoro начала, ибо сохранившееся решение ее не соrласо
взлось с текстом задачи. У Диофанта формулировка ее rораэдо
более сжата и потому менее понятна.
Стр. 5. Требуется разделить число 80 на 3 части так, чтобы
всеrда получался одинаковый остаток, если, во-первых, из
1 ]
суммы второй части и 5 первой плюс 6 вычесть 6 второй
1
части плюс 7 или, во",вторых, из суммы третьей части и 6
{) В (rреческом и латинском) иsпании Диофа HT<I, вы Iущенном
п. Тапири (Лейпциr, 1893») это 18 я вадача (Т. 1, стр. 110/111).
07
JlTOPOJl
1
плюс 7 вычесть 1 третьей части плюс S
I о
и 7 третьей плюс 8
или, B-Tpetblix,
из суммы перво" част,..
первой части плюс 6.
"-
Первая часть реluения
ВЫСОКИД rосударь предположил, что первое число.
Т. е. искомая. часть 80, ра вна . . .
Но так как доступ к значению второЯ части
oпee запyrан и дело эт-о становится утоми:rельным
и TPYllНЫM, если желать выразить ero с ПОМОЩI>Ю
только знаков, равноценных a aKaM nepBoro числа,
Т. е. 1 CD t Н так как поэтом...у Лj'чше п.Рибеrнуть
к друrому сокращению. то для обозначения второй
части он ВЗЯЛ. . . . . . . . . . . .. I secunda t CD
(Стр. 6). Оrсюда следует, что третье число pa BHO
--- 10 ......... 1 sесuпdа CD + 80
Теперь, если fJ'bl старательно применишь . к
этим 3 числам условия задачи, Т. . ИЗ суммы
1 1
BToporo и 5" nepBoro числа+-б вычтешь 6
UToporo + 7, та 11ОЛУЧИТСЯ epBыA остаток 1
5 1
"6 secunda Ф + 5" G) 1
с дру..оА стороны, из суммы TpeTbero
1
вычтешь 7 TpeTbero +
остаток
б 29 (;\ 1 + 47:.1
7 0....... 42 secunda ' 7
ПО УСЛОВИЮ задачи оба эти ow-татка дол)КНы
быть равны. Упростив 8ТО равенство по правилам
искусства, он получил под конец ·
111
1 secunda <D равно 160 ф.+ 45.
Вторая часть решения
После TorO как значение 1 secunda CD (пред-
сrаВЛЯВIl1 еrо вторую часть искомоrо деления) I было
t В печатном тексте MHoro rрубых опеIJЗТОК, которые aT.ec Все
исправлены. .
I Ск06ки а ориrИВl4о..
1
вычесть
5
. .............
10
,А если,
t
числа и (5 BToporo + 7 ты
+ 8, Т) получится ,торой
.
.
выражено в знаках nepBoro числа, именно через
111
I , 160 G) + 45, он еще раз обра.тился к условиям
, зад ч И, именно:
. Первая искомая часТь числа 80.....зТQ 8r. :' I . 1 CD
111
Вторая - '1 160 0 -1- 45
Теперь, чтоЬы выразить третью часть, надо
'на ЙТИ значение....... 1 secunda 0, которое имеется 8
выражении для rpeTbero числа. Для получения 8Toro
значения пользуемся следующим умозаключением:
111
1 secunda <D равно 16и Ф + 45, чему буде т равно
111
---- 1 secunda си? Получаем 160 Q) ........ 45.
Если заменить этим значением 1 secunda CD и
взять ero с двумя друrими........... 1 0 и + 80, то
49
получится искомая третья часть числа 80 · 160 0 + 35
Теперь, сли применить к 8ТИМ трем числам
условия ззпачи, т. е. если из суммы BToporo числа
1 1
и 5 nepBoro + 6 вычесть '6 BToporo ..иела + 7,
ТО получится первый остаток
121 (!) + 73
320 2
Таким же образом tfЗХодят второй остато к. . . (
121 (!) +
320 2
! (!) + 7
160
Но так как этот третий остаток равен каждому из lIВУХ
121 121 73
друrих, Т. е. 160 CD + 7 равно....... 320 G) + 2' то, произвеJl.R
упрощение уравнения, получим, что первая часть, 1 CD, рае-
9440 111 9786
няеТС8 363 ' а вторая часть'....... 60 (!) + 45, равна 63 ,".
49 ; 9814
наконеи" треть" tlaCTb, ......160. CD + 35, .равна 363 l
1t о к а 3 а т е л ь с т в о. Чи'спа эти, СЛd>кенные Brfla(T , .дают
80 и УДО8/lетворяют уСЛQВI1ЯМ ЗUji'lИ, СQrла но которым полу-
, i..
"':5<"'-".-
и третиn
i9
qаЮЩИАСЯ при всех ВЫl{ладках ос'Та1'ОI( одинаков и равен
9680 ]
.
363
3 а к Jf ю ч е Н и е. Таl<ИМ обра О f число 80 рйзл.ел-енЬ Н:!
три части таких, что и т. д.
П о я с н и т е л ь н ы е э а м е ч а н и я. 3 мети-м прежде всеrо,.-ЧТО
.разбираемая задача имеетсsr как в.лейденском иэдании (от 1625 r.)
стевиновской "Arithmetique" (стр. 267), так и в изданных А. Жи-
раром "Oeuvres Mathematiques" Стевина. (Лейден, 1634, т. 1,
стр. 117), И в обоих случаях в соответствующем месте стевинов-
CKoro перевода Диофанта. ....... Обозначения Ф, @ и Т. Д. для
Х, х 2 Стевин ввел уже в первом издании "Арифметики. (Лейден,
1585), указывая при этом, что он их образовал по примеру
Бомбелли. Обозначение "secunda (sc. quantitas)" для BToporo
неизвестноrо точно так' же не придумано Стевином. Он t>пять-
таки сам указывает на это во втором примечании к изданию,
которым мь' эдесь пользовались. Оно встречается уже у М. Шти-
феля ("Arithmetica integra", Нюрнберr, 1544), введшеrо, кроме
Toro, для выкладок новые буквы, что определенно предпочтитель-
Bee. В первом примечании к нашему изданию Стевин rоворит
дальше,_ что принц Мориц в иных случаях вводил третье неизве..
ствое. И это Стевин сделал уже в 1585 т.. вслед за своими
предшественникам и, причем он даже сократил обозначения: 1 sec.
0, I ter,_ CD и Т. д. в остальных отношениях мы и в на-
стоящее время не можем дать более npocToro реше}!ия раэобранноn
задачи; впрочем, нам не потребовалось ры crол ко времени,
111
чтобы liа основании первой части х, второй 45...... 160 'Х 'н суммы
49
ео найти третью часть 35....... 160 х. Несколько докучную опера-
11ИЮ производства эr х выкладок я олжен, однако, предоставить
итателю.
XXI \
I
./ С
Ос",овная теорема алrебрБТ
Из "La Geometrle 8 Рене Декарта, появившейся в Лсii.АёRё в 1 6з7 .'.
8 виде (последнеrо) приложения к философскому труду .Discours de
lа Methode 8 . Издание-факсимиле с анrлийским переводом вышло
в 1925 r. 8 Чнкаrо под редак иец д. Е. CM T (Smith) и М. л. Латам.
.,
80
I КР2 щен о 3.- '
50
(Latham).. Лаtиискне пtреВО4Ы вышли В 1649, 1659 rr. и позже. Немец-
киll l1ерё80Л в пушен JL ШJ1езинrероМ (Sch1esinger) (2 e }Jейпuиr.
1923). \
Il Р е д е а р и т е л ь н ы е 3 а м е ч а н и Я, Декартова J) rеомеrрия и
(" Geometrie") 1 создала ОСНОВЫ аналитическоll' rеометрии. Но во
мноrих частях она является чисто алrебраическим сочинением
или же связывает алrебру с rеометрией (rрафическо . решение
у'равнений). С точки зрения алrебраическоrо начертания книrа
пред.ставляет, так 'сказать, начало HOBoro времени. Несмотря на
ное-какие оrличия, мы находим в ней. более, чем в JIюб оft пред-
шее rвующей ей книrе, .мартину привычноd нам современной
алrебры На этоы основа.нии МЫ остановились на нижеf1риведен-
ной оеновно" теореме алrебрьr. хотя она уже неза110J1fО до Toro
была высказана аналоrичным образом (и разумеется, тоже без
доказаr ЛDства) Альбер1'ОМ Жираром (Girard) cпL'Invention ,Nou..
velle еп J' Al'gebre" t Леttден, 1629). Неизвестно, бы ли знаком
Декарт с этим трудом. Боо ще, ПРОИСХОЖдение BcetO "Dlscours')
ВОСХОДИТ тоже к эrому времени. Поэтому вполне возможно, что
Декарт выставил это положение независимо 01 Жирара 2. Ниже.
следующий перевод придержива Тf c!poro ФР. I щ:g ЩCJ
и декартова способа начертания. I
Стр. 372. Итак, знай re t что в каждом уравнении может
иметься столько раЗJIИЧНЫХ корнеЯ, т. е. значениt1 неизвестнЫi
величины, СКОЛЬНО последняя имеет измерений. Действительно,
если принять, например, х равным 2 или х 2 .. равн-ым
ничему и далее х х) 3 или х....... 3 :ю О" 10 путем перемно ення
обоих ,уравнений х....... 2 IO О Н Х 3 х> О, получим хх --- 5х +
+ 6 XJ О, ИЛИ Х;С со 5х 6.. это......... уравнение, в котором вели-
t{ина х име т ОДliовременно зна L lение 2 и зна4ени.е з. Если,
палее, Cl.leJlal'b х 4 Х) О и умножить эту сумму (Т. е. леВУJО
'сторону) на хх 5х + 6 х) O ТО получится х 3 --- 9хх +
+ 26х ........ 24 о.. э ro. опять-таки, новое уравн ие 8 котором
Х имеет три измерения И, сл.ел.оваТ /Jьнqt. '!а кж T 1! на. ни я,
именно 2, 3 и 4.
Но иноrда СЛУЧЗ6ТСЯ. что некоторые из этих корнеИ ложны,
....,
или меНhше, чем иичerо. Так, еели принять, что х мож
обозначаJЬ TalQКe ftеlJ.OС ТОК' {Ie oefaut). величины 5; 1'0
-' I
t Даем эrо слово, --Как 8 оритинале.. без значка ударения (a!:cenf).
t В (наПJ1санноu ло..немецки) .Aritbmetica Pllilosopllica" Летера Роте
(R.Qthe.) {Нюрllберr" 1608) тоже м.иМОХОJ.10М формулируется эта Teop Ma. Воз-
О>l(НО. что Декарту ыпa внакома эта J<lH1fa. Он поннмал :ло-немецки
.. 1i С l' сношен.к !l р 1l1еЬ!сик-пJw1tt Mare all1Кal1l! TO 9 рре и.
61
имееМ х + 5 :ю О, И если умножить это нз х З ....... 9х.х +26х........
....... 24:?О О, то ПОЛУЧИ1СЯ: . '
tI">O
... -:
х 4 ....... 4 х 3 ....... 1 9 х х + 1 06 х....... 1 2 О х> О,
Т. е. уравнение, имеющее 4 корня, именно: три истинных.
2, 3 и 4, и один ложный, 5.
И, таким образом, становится очевидным, что сумму I<ако-
rо-либо уравнения, имеющеrо несколько корней, МО>lПfО BcerAa
разделить на двучлен, состоящий из неизвестноtl величины
минус значение onHoro из истинных корней, K<tKOB бы ОН ни
был, или плюс значение одноrо из ложных корней. Блаrоп.аря
этому можно на столько же уменьшить измерения дaHHO[ O
уравнения.
И обратно, если сумму какоrо-нибудь уравнения (373)
нельзя раздеЛИl ь на двучлен, образованный из неизвестноro
+ или какая.нибудь друrая величина, то это означает, что
рассматриваемая друrая величина не еС1Ь значение одноrо
I<акоrо-нибудь из корней уравнеllИЯ. Так, например, 8blllJe.
приведенное уравнение
/
х 4 ..... 4х З 19хх + 1 06x 120 .:ю О
может быть разп.елено на х ...... 2 их....... З, и на х 4, и на х + 5,
но не может быть раздепено на х + и какое-нибудь друrое
количество. Это показывает, что оно может иметь только
четыре корня: 2, З, 4 и 5 1)
. . . .
. . . . . .
.
.
. . . .
(380). Впрочем как истинные, ТЗ 1< и ложные корни не
.всеrда действительны, но иноrда они только воображаемые
(у Декарта. jmаgiпаirеs), Т. е. можно всеrда вообразить себе
(еп imaginer) столько корней, сколькО' я сказал, но иноrда не
существует никакой fЛИЧИНЫ, которая соответствовала бы
корням) которые воображают себе. Так, например, в уравне-
нии
х 3 ....... бхх + 1 Зх 1 О х> О
ожно 1Iообразн,ТЬ себе три корня, но среди них только один
.nеRствительныЯ, именно 2; что же касается ДBY друrих, ТО
их можно увеличивать, уменьшать или умножать так, как н
10ЛЬКО что 'оБЪЯ НИJl) но ПР" всеМ том они ос анутся ТОЛЬКО
ВОQбражаемыми.
. !\\ы бы сказали, J<он..ечно, . 5"
"
bl
п о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а 11 и я. В самом на Ijале дос 1 ой но
за\fечания выражение "мо}кет иметься". Иначе rоворя, уравнение
не должно непременно иметь столько корней, сколько единиц
в покаэателе степени ero. При этом Декарт имеет в виду, прежде
Bcero, действите.lьные корни. Только в заключении он делает до-
полнение в том смысле, что можно вообразить себе "вообража-
емые" корни для Toro, чтобы привести всеrда число корней к степени
уравнения. При этом Декарт сам создал термин "воображаемый",
"Мнимый (imаgfпаirе)........... в силу каких соображ ний, это ясно из
текста. Я употребил в переводе слово "ничеrо" там, rде мы ска-
зали бы нуль, ибо Декарт употребляет также при желании и
слово "nul". Употребление слова "ничеrо" (латин. nfhfl, франц.
rie:') в данной связи восходит, по крайней мере, к Кардану (1545)
и ШrифеЛIО (1544). Неизвестно, знаком ли был Декарт с введен..
ным анrличанином Рекордом (Recorde, 1551) знаком равенства ==.
Во всяком случае ero собственный знак:о, являющийся, очевидно,
продуктом личноrо творчества, был принят только ero ближай.
UНfМИ приемниками. Начертание показателя степени хЗ, равно
как введение caMoro Х, есть, по существу, дело caMoro Декарта
(СМ. выше, М Х). Вместо х 2 писали еще до caMorO последнеrо вре-
мени хх. ВмесТО .сумма уравнения" мы rоворим теперь: "левая сто-
рона уравнения". Изложение, с современной точки зрения, разу-
меется, очень несовеРlllенно. Только raycc дал впервые cTporoe
доказательство (1799) этой теоремы, а в частности, и тоео, что
вообще каждое уравнение имеет один корень.
ХХII
о приближенном решении уравнений
Из . V оJ1stИпdigе Anleltung zur Algebra. Леонарда Эйлера. Текст по
И8данию рекламовской универсальной библиотеки, в котором не отме-
чен 'ни rод издания (1883), ни имя редактора (л. НатаНII Natani),
JIейпциr, .N! 1802.....1805 а, Ь.
П р е д в а р и т е л ь н ы е 3 а м е ч а н и я. Ориrинал этоrо пронэ-
ведения ВЫJlIел впервые на немецком языке в С.-Петербурrе в
1771 r. в двух частях, с раздельной паrинацией. Правда, уже
в 1768 r. вышло русское издание тоже в двух частях, но оно
представляет собой просто перевод немецкоrо ориrиtiала. Зйле-
рова "Алrебра", отличающаяся, обшедоступностью, была вскоре
перевеДiна по-французски, а!н лийски, rОJL1андски и латински.
Да.аее, существует ряд переработок ее. rоворят) будто "Алrебра"
это первое сочинение, которое ЭАлер продиктоnа1 после Toro,
Как ОН окончаТi11ЬНО ослеп, своему служителю, бывшему берлин.
63
СКОМУ портному (за ней послеДОI:ЗЛИ затем таким же образом
МJtоrочисленные .llруrие сочинения). Таким именно путе)f этот'слу
житель посвящен был, как rоворят, в тайны математики. Во всяком
случае так утверждается в "Предисловии" ориrинальноrо издания.
Вторая часть, стр. 326, rJl. 16. Подзаrоловок, как указано
выше.
223. Если корни уравнения не рациональны, то будут ли
они выражатьса с помощыо знака радикала или нет, как это
имеет место у уравнений высших степеней 1) приходится
удовольствоваться приближенным определением значения их, все
более приближаясь к истинному значению их, пока, наконец,
можно будет пренебречь совершаемой при этом ошибкой.
Для этой цели были придуманы рЗЗ.'1ичные методы, ва)кнейшие
из I\OTOpbIX мы здесь попытаемся изложить.
224. Первый метод исходит из преДПОЛО}l{ения, что значе-
lие корня уже извест..о с достаточной точностью, т. е. что,
например, знаlОТ, что значение корня больше 4, но меньше 5.
Допустим в этом случае, что значение корня == 4 + р, rде р
правильная дробь; но если р правильная дробь, т. е. меньше 1,
то квадрат, куб и всякая высшая степень 2) будут еще
значительно меньше, 1109 ому ИМi:I MO)l(HO пренебречь, I1бо
дело идет ведь только о приближенном вычислении. Если эту
дробь р удастся определить приблизительным образом, то
значение корня 4 + р уже более точно, чем предыдущее зна-
чение ero. Исходя отсюда, можно аналоrичным образом найти
еще более точное (327) значение корня и т. д., пока мы .не
приблизимся к истине настолько, насколько мы этоrожелаем.
225. Мы постараемся пояснить этот метод сперва на леr-
ком при мере, определив приближенно значение корня уравне-
ния х 2 == 20 3).
Мы видим, что х здесь больше 4, но меньше 5. Положим
поэтому х == 4 + р. в T KOM случае х 2 == 16 + 8р + р2 == 20.
Но, так как р2 очеllЬ мало, то им можно пр небрсчь, и получится
1
уравнение 16 + 8р == 20, или 8р == 4, откуда р == 2 и х ==
1 1
j == 42 ' '{то уже ближе к истине. Положим, далее. х === 42" + р,
{) В ориrинале: у высших уравнений.
2) В uриr ииале: Potestat. Слово "potestas. встречается уже у Виеты
(1591). Ср. выше N2 XVIII.
3) В Орl1rинале всеrда .хх; то же саМое и в случ ае друrих букв.
б
ЯСНО, что р ДОЛЖНО представлять теперь еще меньшую дробь, чем
раньше; поэтому р2 можно пренебречь с еще БОЛЫIJИМ праВО f,
1
чем прежде. В таком случае будем иметь х 2 === 20"4 + 9р == 20,
1 1 1
ИЛII 9р:=: 4 ' откуда р == 36 и, следовательно, х == 42
1 17
36 '==: 4 36 Если желательно подойти к истине eIJ e ближе,
17
то следует положить х === 4 36 + р, откуда получитс" х 2 ==
1 34 34 1 ·
== 20 1296 + 8 36 Р == 20 ; следовательно, 8 36 Р == 1296
36 1
умножив на 36, получим 322р == 1296 -=== 36 ' откуда р ==
1 1
== ......... 36 · 322 ==:: 11 592 '
1 4473
11 592 === 4 11 592
а,
следовательно,
17
х === 4 36
значение 9ТО настолько б изко
истине, ЧУ':> ошибку MO)f'HO считать почти равной НУЛIО.
226. Чт05ы изложить этот метод в БJлее общем ВИ,1.е,
возьмем уравнение х 2 == а, о котором мы Y)K знаем, что х
больше n, но ме!iьше n + 1. Положим х == n + р, rд; р прз
ВlIльная дробь, так что p'l можно прен бречь, как ДОСТ'tТОЧНО ма-
лой велич ой. ОТСlода получаем х 2 == n 2 + 2np == а, или же
a n2
2пр === а n t и р === 2п ,следовательно:
a n2 n2+а
x==n t == .
2п 2п
Если уже значение n было близко к истине, то новое зна.
п'? + а
чеllие еще ближе к ней. Если мы подставим 9ТО но.
2п
вое значение (328) вместо п, то мы еще более приблизимся
к истине, а если полученное друrое новое значение подставим
еще раз вместо п, то еще более приблизимся к ней и Т, д.,
и так лродолщать можно сколько уrодно.
Допустим, например, что а == 2, иначе rоворя, что мы
желаем извлечь квадратный корень из 2. Если мы уже получили
5 в 11 Я е А т в е р. Хре .Т.II. 6б
112 +- 2
д.тJ" 9Toro достаточно приближенное зн .чение п, то
2п
бу ет еще более близким значением. Поэтому, если
r. n == 1, 3
то X===
2
11. З 17
n== , то Х==12'
2
IП. 17 577
n ::::::: , то х == 408 ·
12
Последнее значение настолько уже близко к истине, что квзд-
832 929 1
рат ero == 166 464 и лишь на 166 464 больше, чем 2.
227. Аналоrичным образом можно получить приближенный
кубический корень или корень еще более высокой степени.
ПреДПОЛОЖИ 1, например, что нам задано кубическое ypaBHe
3/
иие х З === 3 или что Тl=ебуется найти у а J). Допустим, что при
ближенное значение ero п, и положим х == n + р. Если прене..
бречь р2 и высшими степенями р, то х 3 === n 3 + 3n 2 p === а; от..
a n3 2п З +а
сюда 3n 2 p === а п з и р == 3n 2 ,следовательно, х == 3п 2
3/"
Если уже n близко к у' а, то полученное значение еще бли)ке
к нему. Если подставить 9ТО новое значение B:v1eCTO П, то мы
еще более приблизимся к истине и т. Д., И так пr::одолжать
можно сколько уrодно. 3
Пусть, наприм p, х З == 2, т. е. т ;>ебуется найти у 2; если n
2п З + 2
естЬ приближенное значение корня, то х== 3n 2 будет еще
более близко к истине; положим в таком случае (329):
1. n==l;
4
х =='3'
91
х == 72 ·
162130896
х == 128 634 294 ·
-4
11. п==з-
91
111. n == 72 ;
{) В ориrина.1lе знак радикала имеет довольно неуклюжее начертан е;
так что п\)прадикальное выражение не нах.одится под rоризонтальноА
чертой. Если по.цраДilкальное выражение состоит из букв, то они за..
ICлючаются в скuбки. Таким обраЗОМ t собственно, у ЭАлера еще не имеется
n знаке радикала наСТОЯ fR roрИЗ0нтальноА черТЬL
66
228. d; таким же успехом можно применить ЭТОТ метод
для приближеННОI'О определения корней всех уравнений. Для
flримера приведем следующее общее кубическое уравнение:
х З + ах 2 + Ьх + с == о.
Допустим, что n обозначает число, уже ДОВОЛЬНО близко
к одному из корней уравнения. Положим, поэтому, х == n .......... р,
и так как р есть дробь, то пренебрежем р2 и высшими сте-
пеН}iМИ р; в таком случае х 2 === n 2 2пр и х 3 == па 30 p, откуда
получается уравнение:
п з 3п 2 р + an 2 .......... 2апр + Ьп ........ Ьр + с == О,
или же:
п 3 + ап 2 + bn + с === 3п 2 р + 2апр + Ьр === (30 '! + 2ап + Ь) р.
Следовательно:
n 3 + ап 2 + Ьп + с
р === 3п 2 + 2ап + ь ·
Значит для х МЫ получим следующее, БО,ТIее точное, значе-
ние:
х == п ( n 3 + а1 2 4 Ьп + с ) === 2п З + ап 2 с
\ 3п 2 + 2ап + ь 311 2 + 2ап + ь ·
Если подставить 9ТО значение B\feCTO n, то получается
новое значение, еще более близкое к истине.
229. Пусть, наПРИ\1ер, х 3 + 2х2 + 3х 50 == О, rде а == 2,
Ь === 3 и с == 50; в таком случае, если п представляет уже
2n 3 + 202 50
приближенное значение I<ОрНЯ, то х == 302 + 40 + 3 будет
представлять значение, еще более близкое к истине. Но х == 3
есть уже достаточно приближенное значение корня; если в при-
веденную фор улу для х подставить п == 3, то получи
62
х == Если бы вместо n мы взяли это значение, то мы
21
IIОЛУЧИЛИ бы новое значение х, еще более близкое кис-
Tи не.
230. Из уравнений ВЫСllIИХ степеней мы приведем лишь
следующий пример: х Б == 6х + 1 О, или х Б 6х t 0== о. Леrко
видеть, что значение t слишком мало, а значение 2 слишком
велико (330). Если х :=; n представляет собой уже приближен-
ное значение) ТО 1 положив Х == n + Р. получим х 5 == п 5 + 5п.р
5- 61
И, сле:tовзтельно, n t + 50.(Р == 611 + 6р + io, И.1И ьп р 6р ==
6n+l0 n!j
== 60 + 10 п 5 . откуда р === 5n 4 6 и, значит, х ==
405+10 14
== 5 4- 6 ПО,Тfожим теперь п== 1, Тоrда X== == 14.
n 1
Это значение совершенно неподходяще; объясняется это тем,
что приближенное значение n было СЛИШКО 1 мало; если же
. 138 69
положить n :=: 2, то получим х == 74 === 37 ' что уже значительно
ближе к истине. Если бы взять на себя 'труд и принять
69
для n значение 37 ' то получилось бы еще rорзздо более
точное значе:lие корня.
n о я с н и т е л ь н ы е 3 а м е ч а н и я. Изложенный Эйлером с
такой ясностью метод принадлежит Исааку Ньютону, применив
шему ero впервы в 1665 r. Но ОН был обнародован лишь
в 1685 r. Джоном Валлисом (WaI1i3) в ero "Алrебре". Хотя ньюто
нов метод приближенноrо вычисления корн й не является' первым
по времени, но он был в свое время, да и в настоящее время
является наиболее простым из этих методов, поскольку к ним
не предъявляют более серьезных тр бований. Дело в том, что
он страдает двумя недостатками. Во первых, нет уверенности,
что с ним вообще получилось большее прибли)кение к истинному
значению корня (как это показывает и сам Эйлер в конце при
веденноrо отрывка), и, BO BTOpЫX, никоrда не знаешь, насколько
уже продвинулся в деле приБЛИil<ения. Сам метод покоится на
rеометрической основе. Указанные нами недостатки метода бы и
впоследствие устранены. Но для мноrих практических целей метод
этот, в приданном ему Эйлером простом виде, вполне достаточен.
I-IОВblМ у Эйлера являются лишь общие буквенные формулы.
Эйлер приводит е 1 ,це друrоR метод, который менее прост и
rодится nишь дл 1 особенных случаев.
.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ.
rЕОМЕТРИЯ и триrОНОМЕТРИЯ
Уже в предисловии к первой части, посвященной ариф
метике и алrебре, мы высказали общие соображения о цели
и способе. составления предлаrаемых нами хрестоматий по исто-
рии математических наук. Надо, однако, замеТИТh, что reoMeT.
рия и триrонометрия находятся в совсем ином положении, чем
лrебра. rеометрия (мы имеем в виду здесь элементарную плани
меТРИIО и стереомеТРИIО) стала законченной дисциплиной еще
в древности, и "Начала" Эвклида представляют собой учебное
.
руководство, содер>кание KOToporo пришлось вплоть до но-
вейшеrо времени дополнить лишь в деталях и лоrическая
структура KOToporo, несколько уточненная в самое последнее
время, принципиально не может быть улучшена. Поэтому
избранные отрывки по вопросам rеометрии или относятся
сами к древности, или же должны показать, как при воз.
рождении наук снова появилось на свет старое математичеGКое
достояние.
Иное приходится сказать о триrонометрии. Возникла она
из потребностей астрономии и была поэтому первоначально
сферической три.rонометрией. Но прошло немало времени, прежде
чем здесь были установлены настоящие теоремы. На языке фор-
мул триrонометрия была изложена лишь в XVHI в. Поэтому в ней
K K и в Алrебре, можно констатировать процесс известноrо раз
вития. До XVIII в. вряд ли даже ясно сознавали, что триrонометрия
является собственно осебой ветвью rеометрии. Она вела какое-то
независимое существование и не упоминалась в книrах по reoMe
трии. Поэтому ина бы.r.а включена в проrрамму ШКQЛЬНОI'()
преподавания лишь поздно.. в XIX п. Данrе в настоящее времн
б
существует KaKoe TO средостение между ней и элементарной reo-
метрией. В предлаrаемой части уделено вн мание лишь элемен-
тарной триrонометрии. Только ПОСJ1едний пример (теорему Муавра)
можно рассматривать как переход к высш(й триrонометрии,
относящейся уже к анаЛИ:1У,
Перевод ряда отрывков, взятых у древних авторов, проверец
моим коллеrой Буллемером.
1
rиппократова луночка
Из . Der Berlcht des Simp1icius iiber die Qt1adraturen des Antiphon
und des Hippocrates". Griechisch und deutsch von Ferdina. d Rudio.
Urkunden ZLlr Geschichte der Math. im Altertum, 1 Heft. Лейпциr, 1907.
Пр е д в а р и т е JI ь Н Ы е 3 а м е ч а н 11 я. r"иппократ Хиосский
iКИЛ около 440 r. до н. э. И был одним из крупнейших матема.
ТИ1<08, предшественников Эвклида. Изве тно, что уже он напи.
сал "Начала", которые, однаl(О, утеряны. Ero квадратуры KpyroBbIx
луночек представляют наиболее раннюю rреческую работу по Ma
'1 ематике, сохранившуюся, если и не в ориrинале, то в очень
обстоятельном изложении ее.
Это изложение принадлежит Симплицию из Киликии (В южной
части Малой Азии). Симплиций (начало VI в. н. 9.) принадлежал
к числу последних учеников афинской 1l1КОЛЫ платоников, эми
rрировавших после заКр'»lТИЯ императором ЮСТИН аном этой
школы за ее "языческий" дух вПерсию. Приводимое нами
сообщение было составлено в связи с ОДНИМ местом из "Физики"
АРИСfотеля, к которой Симплиций написал обширный, coxpa
НИВIUИЙСЯ до наllJИХ дней, КОМ lентарий. В интересующей нас
части cBoero комментария Симплиций опирается на ТО.1Jкователя
Аристотеля, Александра из Афродизии (в Карии, в юrо.занадной
части 1\\алой Азии), жившеrо в Афинах около 200 r. н. э.
И на непосредственноrо ученика Аристотеля, Эвдема Родосскоrо,
написавшеrо по предложению cBoero учителя" Историю rеометрии"
(не забудем, что это происходило за одно ПОl<оление до Эвклида).
Только б.'Iаrодари сообщению Симплиция сохранились отрывки
нз обоих этих ва)кных сочинений. Нижеследующее заимствовано
Симплицием из коммеНТ,lРИИ А.'lександра к Аристотелю. Перев д
взят у Рудио (Rudio).
Стр. 30/31... Доказательство же таково:
Пусть будет) rО80рИТ он (именно АлексаН'JР), АВС
(фlН-. 4) 1l0л}:к уr J описанный нав. прямой АВ.
11
, ,
и пусть D будет серединой АВ. Проведем в D ПрЯМУIО
DC пеРI1еНДИ1<УЛЯl:НО к АВ, а из С ПрЯ\iУЮ СА, представляю-
шую одну сторону 'l(вадрата, вписанноrо в окружность, полу"
окру>кностыо \(OTt'fX::' \ является АСВ. Опиш м полуокруж"
,{ость АЕС над прямой АС. Так как
квадрат на АВ равен квадрату на АС,
сложенному с квадратом на друrой:
стороне вписанноrо в АСВ квадрата,
т. е. на СВ 1 ) [ибо АВ есть rипотен уза
В прямоуrольноrо Т1=еуrольника; а окруж-
ности. и по уокружности, описанные BO
Kpyr диаметров, относятся между со..
бой, как построенные на них квадраты, как это доказано
в 12 книrе "Начал"] 2), то, следовательно, полуокружность АСВ
вдвое больше полуокружности АЕС. Но полуокружность АСВ
также вдвое больше квадранта ACD. Следовательно, этот
I(вадрант равен полуокружности АЕС. Отнимем у квадранта
и у этой полуокружности cerMeHT, сбразуемый стороной
квадрата и дуrой АС. В таком случае остаlОЩа.яся луночка
АЕС равна треуrольнику ACD, который равен некоторому
квадрату.. .
о
Фиr. 4.
п о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Читатель сумеет сам
придать этому доказательству более краткий современный вид.
Рассмотренная выше теорема имеется в любом учебнике как
интересный дпя упражнения пример. Но для древних она имела
более серьезное значение. На основании ее умозаключали, что
и сам Kpyr доступен квадратуре, т. е. может быть превращен
в ПрЯМО!1инеЙНУIО фиrуру, раз это возмо}кно в случае сравни-
тельно олее сложных фиrур, как rиппократовы луночки. rиппо
крат нашел квадратуру не только вышеуказанной луночки, но,
как сообщает Эвдем, построил элементарным путем и нашел
квадратуры еще двух друrих луночек. Неверно, однако, будто
rиппократ полаrал, что с помощью своих квадратур он нашел
также квадратуру caMoro Kpyra, как это думали Александр
и также Аристотель 3). Но, несомненно, что это ЯВ1ЯЛОСЬ целыо
ero исследований, ОДНИ:\1 из побочных результато KOToporo
и была квадратура луночек Только арабы первые нашли сумму
{) Скобки в ОрИ1'инале.
2) ЭВКЛИJ:, ХН, 2. ,
З) РУДИО решительно придер>КiiВt4 ТСЯ этоr'о B3f ляда. Hu и. л. rейберr
(Heiberg) счи raeT вполне ДОПУСТИМЫМ и ПрО1Ifr;ОПО":ОЖIIое Dоззрение
(Gesch. d. Math. u. NatttfW. im A1terttt:ll, l\1ii Cl1C 1, 1925, s. 7).
-'""..,
,...
луночек, построенных на катетах любоrо прямоуrО.1Ыlоrо тре..
уrольника (Ибн Альхайтам (Ibn Alhaitham) около 1000 r.]. Во всяком
случае у rИППQкрата теорема эта не встречается.
11
rеометрическое доказательство одноrо алrебраическоrо тождества
Иэ "Euclidis Elementa., ed. 1. L. Heiberg, КН. 11, теорема 5, Т. 1. Liрзiае.
1883.
Стр. 128. Если какая-нибудь прямая линия (отрезок) раз-
делена на равные части и на неравные, то составленный из
неравных частей Bcero (отрезка) прямоуrольник BMetTe с
квадратом на отрезке между обеими точками деления, равен
квадрату на половине (данноrо отрезка).
Пусть, действительно, прямая (отрезок) АВ будет разде
лена на равные части в С, на неравные в D (фиr. 5);
в таком случае прямоуrо.пьник на АО, DB вместе с квадратом
на CD, равен квадрату на СВ.
Построим на СВ квадрат
CEZB и проведем прямую ВЕ;
проведем через (точку) D парал-
лельно к каждой из (прямых)
СЕ, BZ ПрЯМУIО DH, а через Н
(точку) О параллельно к каж-
дой из (прямых) АВ, EZ пря-
мую КМ и далее через (точку)
А параллельно к каждой из (пря-
мых) CL, ВМ прямую АК. И так как дополнительный
параллелоrрам СО равен дополнительному параллелоrраму OZ,
то прибавим 1) общий (параллелоrрам) DM; тоrда все СМ равно
всему DZ. Но СМ равно AL, так как АС равно СВ. В таком
случае и AL равно DZ.
Прибавим общее СО. Тоrда все Ай равно rHoMoHY
LCBZHQ 2). Но АО есть (прямоуrольник) на AD, DB, ибо DO
равно DB. В таком случае fHOMOH LCBZHO тоже равен (прямо-
уrольнику) на AD, DB. Прибавим теперь uбщее LH, равное
(квадрату) на CD. Тоrда rHOMOH LCBZHO и LH (вместе)
с
z
Фиr. 5.
{) Мы теперь rоворим: к обеlВi сторонам, ибо мы при __ 1М непро-
извольно думаем о равенстве. (?
2) .rHOMOH", первонача 1ЬНО с*ржень, тенью KOToporo пользевались
для ИЗ iереllИЯ вр . ени, был BB дeH уже пифаrорейц-ами в качестве
O;J.Horo IIЗ ОСНОВНЫХ эле\lеll'fОВ rеометрии. У ЭВК..1И а он обозначается
тремя буквами, соответствующими трем площаДКам, из l\.OTOpblX ои
СОСТОИТ. НО нам казалось, что употребление Tt:Koro об()д :.d4е ия пре:{
(1:3ВДЯЛО бы неу:к бсtво ДЛЯ ПQним:ани '(eI(C .
f .
1':
равны прямоуrодьнику на AD, DB и (квадрату) на CD. Но
fHOMOH LCBZHO И LH (вместе) представляют квадрат tEZB
(построенный) на СВ. ЗнCiЧИТ прямоуrольник на AD, DB
вместе с квадратом на CL>, равен квадрату на СВ.
Таким образом, если какая-нибудь прямая разделена на
равные и неравные части, то образованный из неравных частей
Bcero (отрезка) прwмоуrольник, вместе с квадратом на отрезке
между обеими точками деления, равен квадрату на половине
(данноrо отрезка), что и требовалось доказать.
п о я с н и т е л ь н ы е з а е ч а н и я. Мы сознательно по ряду
соображений остановились в своем выборе на этой теореме.
Во первых, она представляет црекр сный образчик метода ДOKa
зательства Эвклида, который кажется нам несколько растянутым.
Однако следует принять во внимание, что Эвклид, не обладая
алrебраической символикой, лишен возможности сформулировать
что нибудь и поэтому вынужден каждый раз повторять то, что
он получил уже раньше. К 'этому следует добавить, что все эти
доказательства первоначапьно предназначались не для чтения,
а преподавались устно, причем, разумеется, ничто не заПИСЫВ1--
лось. Коrда затем изложили эти доказательства в письменном
виде, то они остались в сообщенной им традицией форме. COBpe
менный чи атель непременно будет мыслить себе )'оддоказательства
в виде равенств или даже выпишет их, чтобы леrче понять ero.
Мы не можем не ВОСХИll{аться rрекзми, которые сумели, несмотря
на отсутствие у них буквенной алrебры, добиться столь значитель-
ных результатов.
То, что мы теперь формулируем с ПОМОl.цью букв, то было
для rpeKOB rеометрической теоремой. Э[о видно и на нашем
примере.
ПОJIО}КИМ AD===пz, DB==п, следовательно,
Ас== т + n I CD== m+n n== т n .
222
в талОМ случае доказываемая Эвклидом теорема rJIасит:
тп + ( т; " ) 2=== ( т t n ) 2
.
Д.'lН "ДОl\аз, lельства" этой формулы мы lIРОИЗВОДИ\1 просто
СОО l'ветстнующне ВЫКJIЗДКИ. ДЛЯ нас это )аЛI'ебраическое TO}{\
ДССТВО" .
(1)
lJ
В следующем номере мы увидим, как Эвклид использует
в своих доказательствах 5ТУ теорему. Но для rpeKoB она име,lа,
сверх Toro, еще боJtее серьезное значение. Это не сказано прямо
у Эвклида; но это MO)fiHO вывести с величайшей степенью вера"
ятности из ряда друrих теорем и построений у caMoro Эвклида
и у друrих rреческих математиков. Действительно, положим
АВ == а, DB == х, тоrда леrко видеть, что теорема приобретает
слеДУIОЩИЙ вид:
.\(a x)+ ( xY===( )2.
(2)
Если теперь нам нужно решить квадратное уравнение
х (а х) == Ь 2 ,
(3)
причем, разумеется, речь идет только о rеометрическом решении
ero, то, соrласно формуле (2), имеем:
или
Ь 2 + ( ; х ) 2== ( ) 2,
( ; х у == ( ; ) 2 Ь 2 ,
(4)
(5)
формулу, которую в настоящее время мы получаем путем алrе..
браическоrо преобразования формулы (2). Но правую сторону
равенства (5) rpeK Mor с помощыо пифаrоровой теоремы opeBpa
ТИ1Ь в квадрат с 2 , так что он получал:
а
"2 х == с;
(о)
а
x== c.
2
(7)
Так как rреки не знали ни отрицательных, ни, тем БОJlее,
мнимых чисел (ведь числа у них должны БЫJ1И выражаться в виде
отрезков), то ясно, что а, Ь 2 , с 2 И С должны быть всеI'да снаб
жены положительными знака tИ. В квадратном уравнении даже
в случае двух положительных корней, всеrда рассматривали TO:lbKO
ОLLИН из НИХ (ер. ч. 1, ХУ).
1
111
Теорема о пересекающихся внутри ОКРУЖНОСТИ хордах
Из . Euclidls Elementa., ed. 1. L. Heiberg, Lib. IIf, 35, va!. J, Lipsiae,
1883, стр. 2i6.
\ 40
Если две прямые "ересекаIОТСЯ внутри окружности, ТО
прямоуrольник, построенный на двух отрезках одной из них,
равен прямоуrольнику, построенному на отрезках друrой.
Пусть внутри ОКРУ}l{НОСТИ Авсп
(фиr. 6) в точке Е пересекаются две пря-
мые АС, BD; я утвер)кдаю в таком случае,
что прямоуrольник, построенный на АЕ, ЕС,
8 равен прямоуrольнику, построенному на
пЕ, ЕВ.
Прежде Bcero, если АС, BD проходит
Фиr. 6. через центр, так что Е является центром
окру)кности ABCD, то так как АЕ, ЕС,
DE, ЕВ равны между собой, ясно, что и прямоуrольник, по..
строенный на АЕ, ЕС, равен прямоуrольнику, построенному на
DE, ЕВ.
Если же АС, DB не проходят через центр окружности
ABCD, то пусть этим центром будет Z (фиr. 7); опустим из
Z перпендикуляры на прямые АС, DB,
именно ZH, ZT, и проведем TaK)I{e
ZB, ZC, ZE.
И так как прямая, проходящая че
рез центр, как HZ, в том случае, I{оrда
она пересекает под прямым уrлом дру"
rую прямую, HQ проходящую через
центр, как АС, делит ее пополам, то АН
равно НС. Но так как прямая АС раз
делена в точке Н на две равных части,
а в точке Е на две 'неравных, то прямо
уrольник на АЕ, ЕС, вместе с квадратом
на ЕН, равен (квадрату) на НС. Прибавим (к обеим сторонам)
(квадрат) на HZ. В таком случае прямоуrольник на АЕ, ЕС
B lecTe с (квадратами) на НЕ, HZ равен (квадратам) на СН, HZ
(взятым вместе). Но (квадратам) на ЕН, HZ (взятым вместе)
равен (квадрат) на ZE, а (квадратам) на СН, HZ (ВЗЯТЫ I
B\lecTe) paB H (К'вадрат) на ZC. В TaKO 1 случае (прямоуrоль
ник), построенный на АЕ, ЕС, вместе с (квадраТО I) на ZF,
равен (l(l здрату) на ZC. Но ZC равно ZB. В таком С:lучае
(прямоуrольник) t a. AE liе BMeCie с (квадратом) на EZ
i"&
равен (квздрату) на L В. l io тем )1\ е сооБРЗ)I<еflИЯМ (ПрSfМО-
уrольник) на DE, ЕВ вместе с (квадратом) на ZE равен
(квадрату) на ZB. Но было доказано, что и (прямоуrольник)
на АЕ, ЕС вместе с (квадратом) на ZE равен (квадрату) на
ZB. В таком случае (прямоуrОЛЬНИJ{) на АЕ, ЕС вместе с (квад-
ратом) lIа ZE ратзсн (прямоуrольнику) на пЕ, ЕВ вместе
с (квадратом) Н1 ZE. Оrнимем общий (KBVJpaT) на ZE. Тоrда
остается, что прямоуrольник на АЕ ЕС QaBeH q:-,ям rоль-
НИКУ, построенному на DE, ЕВ.
Следовательно, если две прямые переlеr{ают п внутри ок..
ружности, то прямоуrольник на отрезках одной из них равен
прямоуrольнику на отрезках друrой, что и требовалось до..
I<ззать.
п о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Эту теорему о пересека-
ЮIЦИХСЯ внутри О "ружности хордах мы доказываем в настоящее
время на основании подобия. Но она не зависит от подобия, а
основывается просто на пифаrоровой теореме. В этом отношении
доказательство Эвклида представляет интерес. Кроме Toro, Эвклид
не Mor пользоваться свойствами подобия, ибо они появляются
У Hero лишь в 6..й книrе, после изложениц в 5..й книrе учения
о пропорциях.
Мы переложим теперь растянутое словесное доказательство
Эвклида на язык наше'f краткой аlrебраической СИМВ01ИКИ
В этом случае оно сводится к следующему:
АЕ. ЕС + НЕ2 == НС 2 (по теореме предыдущеrо помер1).
Отсюда:
АЕ.ЕС+ НВ2 +HZ2 == НС2 + HZ2,
АЕ. ЕС + ZE2 == ZC 2 (по пифаrоровой теореме).
Ана 10rичным обраЭJМ:
DE .ЕВ + ZE2 ZB2(=== Z(2),
следовательно:
АЕ.ЕС==:: DE.EB.
Чтобы придать этому доказательству соверШ tlflд COBp MeH"
tlый вид, мы бы формулировали ero следующим образом. Пусть
АЕ==т, СЕ==п, BZ==r, ZE p; заметим, что при вращении
хорды АС BOKpyr точки Е Р и r остаются не lзменными, а т и
п изменяются.
27
t о r да
HZ2:;. r2 ( т t n )2,
( 2
lп . 11
HZ2 p2 2)'
следовиельно:
тп т п
r" 2 р2 1 2 '
или
тп === r 2 р2,
т. е. произведение тп постоянно при всяком положении АС
(.,
IV
Пересечение двух больших KpyroB
Из "Theodosii Tripolitae Sphaericorum libros tres Ernestus Nizle recog-
novit,...", Berolinl, MDCCCLII (по rреч. и лат.). К: иrа J, предложение 11,
теорема 1).
Стр. 11 (лат. стр.81).
н А 111 А Р Е Б О Л Ь III И Е К Р У r и Д Е Л Я Т Д Р у r Д р у r А
1I0ПОЛАМ
на шаре два больших Kpyra, как АВ, СО,
в точках Е, Z (фиr. 8); я утверждаю, что
круrи АВ, CD делят друr д )уrа
пополам. Возьмем, действительно,
центр их, которым пусть будет
(точка) Н; он тот же, что и
О центр шара; и проведем (прямые)
EJ{, HZ.
Так как точки Е, Н, Z лежат
в плоскости А В и в то же время
прннадлежат (плоскости) DC, то
ТОЧI(И Е, Н, Z лежат в обеих плос
костях KpyroB АВ, CD и, следова
теlЬНО, Е, Н, Z принадлеж.1Т общему пересечению этих плоско
Пусть даны
пересекаlощиеся
Е.
А
8.
{) В отличие ОТ теорем остальные .Пр ДJlожения. на9ваны .проб-
J1емами. t t. е. задачами.
18
стеl1. Iio обlцее пересеченпе двух плоскостеЙ это всеrдз пря..
мая. Следовательно, Е, Н, Z есть прямая. И та.( как точка Н есть
центр Kpyra АВ, то EZ есть диаметр ero, а каждая из обеих (луr)
EAZ, EBZ есть полуокружность. Так как, далее, точка Н есть
нентр Kpyra CD, то EZ есть диаметр ero и, следовательно,
каждая ИJ обеих (ДУI ) ECZ, EDZ есть полуокружность. Сле..
довательно, круrи АВ, CD делят друr друrа пополам.
П о.я с н и т е п ь н ы е з а м е ч а н и я. Мы выбрали 9ТУ простую
теорему из "Сферики" (учение о шаре) для Toro, чтобы пока
зать, как рано возникла потребность в установлении и доказа
тельстве таких теорем, которые не встречаются в "На чалах"
ЭВКJlида. Сферика была связана, как и (первоначально только сфе
рическая) триrонометрия, сперва с астрономией и не относилась,
таким образом, к настоящей rеометрии. П09ТОМУ первые изло
жения rеометрии на сфере ясно свидетельствуют о ее aCT OIlO.
мичсском происхождении. Но у Теодосия из Трипо,писа, )КИН
шеrо во 11 в. ДО н. 9., дело носит уже иной хзрактер. EI'O
сочинение, oд' aKO, опирается на какую то друrую, до эвклидону,
работу, автором которой был, может быть, великий астроном и
математик Эвдокс (IV в. до н. 9.), сочинения KOToporo, к сожа
лению, все поrибли.
Рисунок (схематический) я заимствовал из ЦИТИРОВЗННОI'()
издания. Он соответствует, таким образом, рукописям. Ca H Й
теоремой (или, скорее, обратной ей теоремой) пользуетсSl TaK)I;C
ЭВI(ЛИД в своих "Phainomena" сферике вы[неуказанноr'о бо.'н:е
craporo типа]).
в 1826 r. Ницце (Nizze) издал в Штральзунде немецкий Ilе
ревод сферики Теодосия.
v
Теорема Паппа
И J ,.Pappi Alexandrini Collectionis, quae supersunt е libri;; manu cr ptis
edidit latina interpretatione et commentariis iilstruxit Fridericus Hult::>ch..
Уоlнтеп 1. Berolini apud We:dmannos a , MDCCCLXXVI.
Стр. 176 (Lib. IV, 1). Пусть будет (дан) треуrольняк АВС
(фиr. 9); опишем на (сторонах) АВ, 8е любые параллело-
('рамы АВDЕ, веzни продолжим (прямые) ОЕ, ZНдо (точки) О
и про: едем (прямую) ОВ; тоrда параллелоrрамы ABDE,
8е ZH (взятые вместе) равны параллелоrра у (который можно
образовать) из АС, 08, расположив их r.од уrлuМ, равным
сумме обоих (уrлов) ВАС, DOB.
t) Ed Н. М е n g е) Lpz.t В. о. Teubner. 1916. стр. 8t 9.
ДеЙствительно, ПРОДОЛ)I(ИМ 6в до /( и проведем через А, t
парзллельно к ОК (прямые) AL, СМ и проведем LM. Так
как ALOB паралле:Iоrра r, то AL, ОВ равны и п !раллельны.
COOTMT('TBeHHЬJM обра10М равны так}ке и параллельны МС, 08,
, так что и LA, МС равны и па
I '(J ра..'Iлельны. Следовательно, и LM,
АС равны и параллельны. Значит,
ALMC есть параллелоrрам с уrлом
LAC, равным сумме уrлов ВАС
и DOB. Действительно, уrол DOB
равен уrлу LAB. И так как па-
раллелоrрам DABE равен (парал
лелоrраму) LABO .lI.ействитель
но, у них одно и то же основание
1 АВ и они (лежат) между теми же
самыми параллельными (линиями)
АВ, DO, а LABO равен LAKN
действительно, у них одно и то
же основание LA и они (лежат)
между теми же самыми параллельными (линиями) LA, ОК
следовательно, и ADEB равен LAKN. По тем же основаниям
и BHZC равен NKCM. Следовательно, параллелоrрамы DABE,
BHZC (взятые вместе) равны LACM, т. е. (паралле,10rрзму)
на АС, 08, образующих уrол, равный уrлу LAC, равному
сумме уrлов ВАС, BOL. И это является rораздо более общим,
чем то, что доказано было в "Началах" о прямоуrольных
треуrольниках относительно квадратов.
D
А
н
ф иr. 9.
П о я с н и т е л ь н ы е э а м е ч а 11 и я. "Собрание" жившеrо
в позднюю rречеСКУIО эпоху (конец III В. н. 9.) Паппа представ
ляет обширный труд, б6льшз.я часть KOTOr;nro сохранилась (но,
например, вся первая книrа пропала). Хотя Папп является также
вполне серьезным математиком, но в ero труде содержится меньше
самостоятельных отк)ыийй (к которым относится и вышелриве
денная теорема), чем комментированных извлечениА из авторов,
произведения которых не дошли до нас.
По поводу вышеприведенной теоремы, которая и в настоящее
время доказыаетсяя таким же образо , остается только укаэзть,
что в заключительных словах ее имеет я в виду, разумеется,
пифаrорова теорема. Теорема Паппа остается в силе и в том
случае, если ОДИН из параллелоrрзмов построить внутри. Но
r еки не имели обык овенця анализировать все частные случаи
устзнаВЛИЕаемых ими теорем.
80
VI
Теорема Птопемея
Из .Claudii ptolemaei Opera quae exstant omnia-. Vol. 1: Syntaxls
mathematica. Ed. 1. L. Heiberg, pars 1, Кн. 1, 10, Леипциr, 1898 (ТОЛЬКО
по rречески). . Des Claudlus Рtо!еlпаеus Handbuch der Astronomle 8 ,
1 Band. Aus dem Griechischen Ubersetzt und mit erkH1renden Anmerkun
gen versehen von Kar! Manitius, Леипциr, 1912.
Ed. Heiberg, CTf.. 36; ed. M nitius, стр. 28. Пусть дана
окружность, в которую вписан произвольный четыреХУI-ОЛЬНИК
ABL D (фиr. 10). Проведем АС И BD; требуется доказать, что
прямоуrольник, образуемый АС И BD, равен обоим (взятым
вместе) прямоуrольникам на АВ, DC и AD, ВС. Действительно,
построим уrол АВЕ, равный (уrлу)
DBC. Если мы прибавим общий (уrол)
EBD, то и уrол ABD будет равен
(уrлу) ЕВС. Но и (уrол) BDA равен
(yrпy) ВСЕ, ибо они опираются на
одну и ту же дуrу. Значит уrлы Tpe
уrО.lьника Авп равны уrлам треуrоль
ника BC E.
Следовательно, BD относится к DA,
как ВС к СЕ; значит (прямоуrольник) 10.
на ВС, AD равен (прнмоуrольнику) на
BD, СЕ. Далее, так как yro.l АВЕ равен уrлу DEC, а TaK
же (уrол) ВАЕ равен (уrлу) BDC, то треуrольник АВЕ имеет
уrлы, равные (уrлам) треуrольника BCD; и, следовате.,ьно, BD
относится к DC, как БА к АЕ. Значит (прямоуrольник) на
БА, DC равен (прямоуrольнику) на BD, АЕ. Но было до-
I<азано, что и (прямоуrольник) на ВС, АО равен (прямоуrо.тIЬ-
нику на BD, СЕ. Поэтому и весь (прямоуrОЛЬНИl<) на АС, BD
равен Qбоим (вместе взятым) (прямоуrольникам) (ПрЯМОУI ОЛЬ
нику) на АВ, DC и (прямоуrО.1ЬНИКУ) на AD, ВС, что и тре-
бовалось доказать.
П о я с н и т е л ь н ы е 3 а м е ч а н и я. Так как приведенное з есь
доказательство совпадает с тем, которое дается во всех наших
"..
учеониках, ТО весь интерес отрывка заключается в rречеСf\ОYl
способе изложения ero, который я поэтому пытался (в противо-
ПО.fJОЖНОСТЬ Маницию) сохранить по возможности точно. Чита
тель еаметит, насколько больше требуется умствеННОАО напряже
ния при TaKoM t лишенном помощи символики, способе изложения,
уем при нашей форме изложения (которой вполне правильно
в')спользовался МаНИЦIIЙ, преследовавший совсем иные цели) чем
6 в и .1 е й r !J е р, ХрестомаТlI". Н 1
я в данной хрестоматии). Для Птолемея эта теорема только
вспомоrательн( е предложение, KOTOpbl t он пользуется ДJ1Я вывода,
например, из хорд двух уrлов хорды разности их. Выражаясь
точнее, он определяет, зная хорды уrлов а и , хорды a.:...... ,
1 '
а. + , а таК)l\е хорду 2 а. Полученный им результат COOTBeT
СТВ) ет нашим формуяам (отсутствующим, разумеется, у ero)
1 1
для sin (а ), sin (а + ) и sin 2 2а. : 2 (1 cos а). Ср. сле-
ДУЮll(IIЙ номер.
\'11
Теорема сложения косинусов
Из Claudii ptolemaei "Syntaxis., (СМ. предыдущий номер), книrа 1, 10.
Ed. Heiberg, 1, 1, стр. 41, ed. Manftfus, стр. 31. Пусть
снова ABCD будет окружностью с диаметром АО и центром Z
(фиr. 11). Проведем, начиная с А, две следующих Apyr за дру-
rOM данны:< луrи АВ, ВС и проведем данные тоже OДHOBpe
менно прямые АВ, ЕС. Я утверждаю,
что если мы проведем АС, то и она
будет дана. Действительно, проведем
через В диаметр BZE окружности
и проведем BD, DС.СЕ.DЕ.Ясносамо
А D собой, что блаrодаря ВС дается так-
же СЕ, и с друrой стороны, что с
ПОМОULЬЮ АВ можно определить TaK
)I<e BD и DE. А так как BCDE пред
ставляет четырехуrольник в OKPY)f\
Фиr. 11. ности, а BD, СЕ диаrонали, то,
соrласно вышеприведенной теореме,
построенный на диаrоналях пр оуrольник равен обоим (взя
тым вместе) (прямоуrольникам), построенным на противо"
положных сторонах. Следовательно, так как (прямоуrольник)
на BD, СЕ дан, а также дан (ПРЯl\tоуrольник) на ВС, DE, то
определяется тем caMbI:\1 и (прямоуrольник) на ВЕ, CD. Но
также дан диаметр ВЕ, ПОЭТОМУ дана и остающаяся сторона CD,
а отсюда МОЖНО определить также дополнительную XopJY
в ПОЛУОКРУЖНОСТИ, именно СА. Следовательно, если даны две
дуrи окружности и (стяrивающие) их ПРЯ lые, то, соrласно
этой теореме, дана и прямая, стяrиваЮll\ая обе эти дуrи вме-
сте взятые.
82
п о я с н и т е л ь н ы е :3 а м е ч а н и я. Как уже бы.'IО указано
(СМ. предыдущий номер), Птолемей не в состоянии, разумеется,
дать общие формулы, так как он не обладает необходимой для
9Toro алrебраической СИМВОЛИI\ОЙ. Он может только сказать,
как определяется на основании известных теорем (в данном слу..
чае это только пифаrорова и птолемеева теоремы) по данным
хордам искомая хорда. Итак, пусть даны АВ и ВС; опираясь
на пифаrорову теорему, можно считать вычисленными BD и СЕ;
далее, DE == АВ (чеrо Птолемей, странным образом, не rО80рИТ
IlрЯМО), тоrда мы имеем:
BD. СЕ ==BC.DE + BE.CD,
ВЕ. CD == BD. СЕ BC.DE
,
значит:
BD.CE BC.DE
CD=== ВЕ ·
Это и имеет в виду Птолемей. Искомая же хорда АС опре
деляется затем в свою очередь при помощи пифаrОрО80R тео-
ремы. Назовем теперь, пользуясь современны,\! способом обоз
начения, центральный уrол, опирающийся на хорду АВ, через 2а,
а уrол, опирающийся на хорду ВС, через 2 и положим
AD==BE===2,; в таком случае AB===2rsina, BC==2rsin ;
искомая хорда АС должна равняться 2, sin (а + ). Но CD в этом
случае равно 2rcos(a+ ), точно так же BD===2rcosa;
СЕ== 2,cos . Вышеприведенная формула дает тоrда:
.
2 ( + R ) 2, cos а. 2, cos 2, sin а. 2, c;in
,cos а == 2r '
следовательно,
cos (7 + ) == cos a.cos sin а. sfn .
Читатель сам сумеет вы вести отсюда ф ормулу для sin ( + )
на основании выражения V 1 cos 2 (а. + ). Для Птолемея было
достаточно составить на основании численных значений хорд
свою таблицу хорд (соответствующую нашей таблице синусов).
VIII
Первое вычисление объема усеченной пирамиды
Из Herons von Аlехапdriа, "V ermessttngslehre und Dioptra.. Griechisch
t1пd deutsch von Hermann Scl10ne, Лейпциr, ] 903. '-
П р е Д в а р и т е л ь Н ы е 3 а i\I е ч а н и я. Стереометрия воз
НИl< lа, очевидно, из рассмотрения пr.1ВIIЛЬНhlХ тел;представлявших,
83
кроме математическоrо, и большой философский интерес, KaI(
это видно из учения Платона, ВОСПОЛЬJовав еrося ими в cBoei:i
космолоrии. Их теория вместе с простейшими теоремами о пря
мой и плоскостях, а также о конусе и цилиндре, содержит я
в XI XIlI книrах эвклидовых "Начал". Теоремы, касаlощиеся
шара, были найдены лишь позже Архимедом. С тех пор кар..
тина, представляемая элементарной стереометрией, почти не иэме-
нилась. Объем усеченной (квадратной) пирамиды вычисляли при
случае (находя ero, однако, скорее ОlltуПЬю) уже ранние еrиптяне;
но, как мы сейчас увидим, даже repoH, живший, вероятно,
в 111 в. н. э., не имеет еще соответствующей фор.\1УЛЫ и решает
заLiачу путем разложения пира\1ИДЫ на 01'дельные части. Только
у Леонардо Пизанскоrо (1220 r.) мы встречаем впервые правило,
в точности соотв .;тствующее употребляемой нами теперь фор..
муле. Нижеследующий перевод в точности воспроизводит форму
изложения rреческоrо теКёта. Но я позволил себе исправить чер
теж по сравн' нию с тем, который имеет я в рукописях.
Стр. 104. Требуется измерить усеченную пирамиду, имею
щую треуrольное основа'Ние. Ее верхняя площадь тоже тре..
yrOJlbHa и подобна основанию. Пусть основанием пирамиды
будет треуrольник АВС (фиr. 12), верхней же площадкой
треуrольиик DEZ, подобный АВС. Далее, пусть АВ равняется
1 18 единица , ВС........ 24, А С........ 36,
DE 12; в таком случае EZ (бу
дет равно) 16, а DZ 24. Пусть,
далее, опущенная из треуrольника,
DEZ на основание (высота) рав"
няется 1 О единицам. Возьмем те-
перь АН, равное DE, СО, рав'"
ное EZ, проведем НО, раздеЛИ 1
пополам ВО и вн в точках К, L,
проведем через точку К (прямую)
КМ, параллельную ВС, прове..1.ем
LN и продолжим ее до Х и ПРJве..
дем еще KL. Так как треуrольники
64ВС и DEZ подобны, то ВС отно-
СИТСЯ к EZ, Т. е. к СО, как АВ к DE, т. е. к АН. Следователь
но, АС пара.lлельна rJO. и так как НК, КВ равны, а KNM, вп
пзраллельны, то NH равна NO. Но и BL (равна) LO Следова
'fСЛЬНО, LNX параллельна АВ, 1-10 так}кс и KL параЛ:Н :tьна НО,
Т. е. Ас. с.'1едовзтельно, AKLX и KL(,"M суть параJl.J]елоrра tы
и они равны l . ибо У них одно и то iKC основание и они распо-
А
8
Фиr. 12.
84
JIожены между двумя параллельными. По тем же соображения t
и HKLN равно N/(LO; (в таком случае) остаточный паралле-
.,orpa 1 AHNX равен napa.тt..'1MorpaMY NОС,И. И так как АН,
или же NX, равна DE, а СО, или же MN, равна EZ н они
образуют равные уrлы, то, следовательно, и ..fYM равна DZ.
И так I(aI< KL равна каждой из обеих АХ, МС, то, следова
тельно, и АХ равна мс. Следовательно, СХ есть половина
суммы АС, МХ, т. е. АС, DZ. С Д9руrой стороны, так как КВ
равна КН, то АК, или XL, равна половине суммы ВА, НА,
т. е. АВ, D3. По тем же основаниям LC равна половине
ВС, EZ. Но так как объем усеченной пирамиды складывается
из призмы, основанием которой служит параллелоrрам AHNX,
а вершиной прямая DE, и из призмы, основанием которой
служит параллелоrрам MNOC, а вершиной прямая EZ, и еще
из друrой призмы, основанием которой служит треуrольник
MNX, а в"ершиной (треуrольник) DEZ, и, далее, из пирамиды,
основанием которой служит треуrольник ВНО, а вершиной
точка Е; так как, далее, объем призм, основаниями которых
служат параллелоrрамы AHNX и NOCM и высота которых
та же, что высота пирамиды, равен площади параллелоrрама
NMOC, умно}кенной на высоту, объем же призмы, основанием
которой служит треуrольник MNX, а вершиной (треуrоль-
ник) DEZ, равен MNX, помноженной на высоту, далее, объем,
пирамиды, основанием которой служит треуrольник ВНО,
вершиной же точка Е, равен трети площади треуrольника
ВНО, умно}кенной на высоту, а треть треуrольника ВНО
равна одной с третью LNO вследствие paBeHCTB 1)..., треть
же треуrольника LNO равна одной двенадцатой треуrольника
ВНО, то объем усеченной пирамиды равен площади Tpe
уrольника XLC, сложенной с двенадцатой частыо треуrольника
ВНО и умноженной на высоту. Но высота дана. Надо, следо
вательно, доказать, что и треуrольник XLC дан и также ДBe
надцатая (часть) ВНО. Так как сумма АВ и DE дана и было
доказано, что XL есть половина ее, то, следовательно,
и XL дана. Но по тем же основаниям даны каждая из обеих
[С, СХ, так что и треуrольник XLC дан. С друrой же CTO
раны, так как даны каждая из ВА, АН, то, следовательно,
дана и ВН и по тем же основаниям и 130. Далее, так как
даны каждая из АС, МХ, то дана также их разность, именно
сумма АХ и МС, т. е. но. Следовательно, дан таюке и тре-
уrольник НОВ И, значит, и двенадцатая (часть) ero. Теперь
i) В сохранившемся тексте здесь имеется ПРОПУСК.
85
вычисление производится СJ1еДУЮЩИ 1 образом. СЛОil(И 18 Н 12,
половина суммы их будет 15, затем 24 и 16, половина которых
будет 20, далее 36 и 24, половина которых будет 30. И надо
вычислить треуrОJlЬНИК, стороны KOToporo 15, 20, 30. Он,
1
как мы показали, будет приблизительно равен 1314. ОТНИМИ
теперь 12 от 18, остается 6, и 16 от 24, остается 8, и 24
от 36, остается 12. Измерим треуrОJlЬНИК, стороны KOToporo
6, 8, 12. Он, как мы показали, будет равен приблизительно 21.
1 1
Двенадцатая часть этоrо будет 1 2 ""4 flрнбаRЬ к ним
1
131 4' получится 133. Умножь это на высоту, и тоrда полу
чится объем усеченной пирамиды ABCDEZ.
п о я с н и т е л ь н ы е за 1\1 е ч а н и я. На черте)ке EN ве)ти
I<ально, чеrо не указано в тексте. fl0ЭТОМУ рассматриваемые
призмы "перпендикулярные" приз ы. Не останавливаясь на дoc
таточно ясном, само по себе, разложении пирамиды, заметим только,
что обе приз ы над параллелоrрамами AHNX и MNOC и с
"вершинами с\ DE и EZ равнообъемны И, взятые вместе, равны
параллелепипеду с основанием MNOC и данной высотой. К этому
присоединяется призма с трсхуrольным основанием ХN/И. Таким
образом мы имеем призму с трапецией XNOC в качестве осно-
вания и с данной высотой. 1{ этому присоединяется ПРИЗl\'lа, име
4
ющая основанием 3 треУl'ОЛЬНИI<а NLO и ту }ке самую высоту.
Если отнять отсюда треуrольник NLO и причислить ero к пре
Д')lдущему, то мы ПО IУЧИМ, В общем, призму с основанием XLC
и с данной В :JIСОТОЙ и к этому ещ ПРИ3Мj с основанием
1 1
3 NLO == 12 НВО и с данной высотой. Но CTOPO"lbI треуrО,l1Ыiика
XLC представляют ка}l{дая арифметические среДllие соответствую-
щих сто;::он, ОСНОВ1НИЯ И верхней П.'Iощадки, а стороны Tpe
уrольника НВО paB:ibl каждая разности соотв тствующих сторон
основани и верхней ппощад;{и. О rСЮД1 и ПОlучается все осталь-
ное repoH подьзу тся дважды названной по ero имени, но, на-
верно, не им открытой, ФОРМУ.Jой (см. ниже, N2 ХН). 3aMeTJiM еще,
что у rpeKOB буквы алфавита в извеСТ1JОМ порядке СЛУЖrIЛИ цифрами.
Поэтому в CBoe\1 переводе мы писа.1И цифры там, rде они имеются
1 1
в Ор'ifинаnе. В конце отрывка имеется дробь 1 2" 4 напи
8i
санная на еrнпетскиlt манер (СМ. 1, N2 111). Она 03Ha laeT
1+ ===1
IX
Длина оиружности И площадь ируrа у немециих землемеров
оиоло 14ио r.
Из ТиК называемой "Geometrla Ct11mel1sis". l1эда1l3 с подзаl'ОЛОВКОМ
"Ein agronomiscl1er Tra tat aus der Zeit des Hoc!lmeisters Conrad von
JU.1g 1П i еп (1393 140i) 4 r. Мендтадем (M ndt11al), Лейпциr, 18 6 (там
стр. 6/). TeKcr дан по-латыни и по немецки.
о длин!! окру)кности
Если изв CTeH ди метр, то ,:al\ най и длину О[(JУiКНОСТИ?
1
Уt!ите,1Я rоворят, что Д.1Иllа ОI<РУЖНОСТИ в 3 и 7 раза
больше диаметра, та 1< что еСЛIl диаметр 7, то окружность
paB.la 22. Следовательно, если зн :ют длину диаметра, то
длину окружности Н:1ХОДЯТ следующим обраЗО 1: умножь длину
диаметра на 22 и раздели р зультат на 7, частно представ-
ляет тоrда ДЛИ!IУ окружнос.и. Действительно, оба числа 22 и
7 представляют наименьшие целые числа, даlQщие отношение
1
3 и 7.
Стр. 69...
Найти П.l0щадь круrообразноrо полst.
Умножь половину длины о:\ружности на ПОЛ'lВИНУ Д a
метра, и все rOTOBo.
П о я с н и т е л ь н ы е 3 а м е ч а н и я. Область J{ульм в пре)кне]
западно ' Пруссии, принадле)каllrая тепе.JЬ ПОЛLше, представляет
место посел ния Не7\1ецкоrо ордена, выlеназваllныый rроссмейстер
KOToporo поручил составить для зеМ.lемеров цитируемую нами
работу, носившую, разумеется, чисто ПtJ lКТИ{IССКИЙ характер.
ИМi1 автора ее не сохранилось. Употребляемое в ней отношение
22: 7 было дано Архимедом (111 в. до Н. 9.) Оно было известно
в продолжение всех Средних веков. Даже крупные ученые счи
тали ero ТJrда вполне точным. Тем инт ресне отметить, что
восточна-нсмецкий reoMeTp вполне Отtlетливо сознает ЛНUJЬ при..
ближенный характер ero. Это ясно видно из приведенноrо H3blw
IY
отрывка, но в латинском тексте это BCKo e еще о обо оrовари
вается. Gеоmеtriа Culmensis наиболее ста rинное rеомеТРИЧССI<ОС
сочинение на немецком языке.
х
Первая ФОРМУЛИРОВl{а теоремы косинусов для сфе;JlltJеСl{оrо
треуrопЬНИl{8
Из "Docti<;simi viri et mathematicarum discipli lзrum eximij profes)oris
1 JANNIS DЕ REGIO MONTE de Triangulis оmпimоdis 1ibri quinque"-
I'-IОl.imЬеrgае.. Аппо С ri.;ti M.D.XXXHI.
П р е д в а р и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Реrиомонтан умер в
1476 r. в разrсlр ряда задуманных им р .бот, оставив в неНJпе-
чатанном Биде свои "Пять кни r о различноrо род.а Tpeyro lьниках" ,
которые были закончены уже OKOJIO 1464 r., хотя им неХВ.1тало
еще последней отделки. В 1533 r. рукопись попала в РУК!I
ИОI анна Ш нера (Sсhбпеr), напечатавшеrо ее. Только тоrда она
смоrла начать оказывать orpOMHoe влияние на развитие триrоно-
метрии, хотя ею ПОЛЬЗОВJЛИСЬ еще и ранее.
Стр. 127 (Liber У, 11). Во всяком сферическом треуrоль-
нике, состоящем из дуr больших KpyroB, отношение sinus
versus 1) какоrо-нибудь уrла к разности двух siпus versus, из
которых один (берется) от стороны, стяrиваемой этим уrЛО f,
а друrой от ра ности обеих дуr, заКЛЮЧdIОЩИХ сам этот
уrол, равно отношению квадрата целоrо sinus rectus к прямо
уrольнику, образованному синусами дуr, заключающих рассма-
трива2МЫЙ уrол.
Доказательства этой теоремы, вследствие ПРОСТРЗНIIОСТИ ero,
мы здесь не приведем. Мы приведем еще лишь первое настав-
ление к приложению этой теоремы, не очень, правда, содержа-
тельное. Мноrоточия, им.еющиеся в нижеследующем отрывке,
предстаВЛЯIОТ места, rде Реrиомонтан цитирует caMoro себя. Но
пробел имеются и в ориrинале, ибо Шенер, очевидно, не Ha
столько rлубоко понял суть ..ела, чтобы он леrко Mor заполнить
и;ж сам.
Стр. 129 (Liber V, 111).
Даны три стороны сферическоrо треуrольника, состаВ.1ен-
.1-101'0 из дуr больших KpyroB; измерить все ero УI'ЛJJ.
t) Реrиомонтан пишет BcerJta раздельно это слово и склонлет ero
так же, как и слово sinus rectus.
88
Хотя задачу эту МОЖНО реНIНТЬ посредством..., но Ha 1
захотелось ПРИЛОЖIIТЬ J{ ней ВЫUlеизложенную тео}:ему, ибо
вид истины становится тем приятнее, чем БОllее мноrочиспен
ными И различными путями ПРИХОДИlllЬ к ОДНОЙ и той же
цели. Итак, пусть рассматриваемым треуrольником будет аЬс,
составленный из дуr больших Kpyro8, и пусть требуется найти
ero уrол Ьас или J{акоА нибудь друrой. ПреДПОЛОiКIIМ, что ВСС
три стороны не равны, ибо если бы две I<:аI\их нибудь из них
были равны 7 то следовало бы поступить по пра вилам....
Так как по предыдущему отношение н:вадрата целоrо sinus
rectus J{ (прямоуrольнику), образуемому sinus rectus обеих дуr
аЬ и ас, равно отношению sinus versus искомоrо уrла Ьас к
разности двух siпus versus, одноrо от Ьс, а друrоrо ОТ
разности обеих дуr аЬ и ас, и так как по предположеНИIО
три из этих величин известны, то известна и четвертая,
именно, sinus vеrsuз уrла Ьас; ОТСIода определяется ero дуrз,
дающая величину уrла Ьас, и, таким образом, можно считать
измеренным и сам уrол Ьас. Для нахождения остальных двух
уrлов мы не пишем ничеrо HOBoro, ибо по найденному y)ice
уrлу Ьас вместе с противолеil<ащей ему стороной Ьс и друrими
известными сторонами можно по... вычислить все остальное.
П о я с н и т е л ь Н ы е 3 а м е ч а н и я. Прежде Bcero следует
указать, что УiI{е 8 латинских переводах ХН в. С арабских
источников употреблР.ли выраil{ение sinus rectus (прямой синус)
для нашеrо обыкновенноrо синуса, в противополо/кность sinus
\/ersus (обращенный синус), paBHO 1Y 1 cos (стрела, sagitta), и
точно так же sinus totus (целый синус) для обозначения радиуса.
у арабов эти выраж ния встречаются уже, по крайней мере, около
1000 r. Пользуясь ЭТИ fИ старинными обозначениями, можно
формулировать теорему Реrиомонтана следующим образом:
sin vers CI (sin tot)2
SlП vers а sin vers (Ь с) sin Ь sin с '
или, соrласно современнсму начертанию,
1 cos а 1
J ..........
,
cos (Ь с) OS а sin Ь sin с
ИJ111
sin Ь sin с.......... sln Ь sln с соз а === cos Ь cos с + sin Ь siп с cos а,
и, наконец,
cos а == cos Ь cos с + sin Ь siп с cos а.
89
Толы{о У Висты (Vi te) (1593 .; C I. J\f2 XIX) TeopeM Э1j
(сформулированная 8 словах) и \tee r такой ви!!, что из выража:о.
щей ее у Hero пропорции сейчас jJ(e получается наше последнее
равенство. Виете же, HecoM leHHo, принадле>кить честь открытия
полярной теоремы о косинусах (для уrлов)
cos (1 -== cos cos у + sin sin у cos а.
Теор::ма эта упоминается иноrда уже езаДОЛl О до 1593 r.
но безусловно имеет своич ИСТОЧНИJ{ОМ кру['и, стоявшие близко
к Виете.
XI
Приближенное построение правильноrо пятиуrольннка
Из "Оео netria deutsch.. Без указаНIIЯ rода, места и автора (инку-
набула приблизительно от 1484 r.):
Ли:т (2), Vo. ЕС.'IИ кто хочет нарисовать пятиуrолъник с
циркулем неизменноrо раствора, то раскрой циркуль настоль
ко широко, сколько ты желаешь, и наметь две точки . а. Ь.
Затем оставь одно острие циркуля в точке . а. и проведи
Kpyr; точно так же оставь цир.
куль в точке Ь и проведи Kpyr, I
и там, rде один Kpyr заходит за
др ой, наметь две точки . с . d .
ФIII . 13.
ФИI'. 14.
Затем, наложи линейку на точки . с. и . d. и проведн длин
НУЮ черту ч рез обе точки, так что получится такой черте)к
(фиr. 13).
[(2), п.]. Затем помести острие циркуля. в точку . d и
проведи Kpyr через . а Ь., и там, rде этот Kpyr проходит
чер з черту. с . d., наметь е Затем посмотри, rде этот самый
Kpyr заходит за Kpyr . d Ь. Ь., и HaM Tb там . f ., точно так же
на друrоА стороне наметь g После этоrо наложи линейку
на точку . f. и на . е. и прове.ци черту через 9'И точки ДО
90
Kpyra . d . а. с. g. и наметь там точку . k. fаким же обраЗО f
на друrой с [ороне на \'leTb . h. rIосле этоrо по ести ЦИРКУЛЬ
в точку . k., I1роведи Kpyr И, rде он заходи r за линию . d. е. с. ,
наметь . i. Затем проведи черту от . i. до . k., от . k. до . Ь. ,
от .Ь. до .а., от .а. 110 .h., от .Ь. до.i То['да ты полу.
чишь п авилыыый питиуrОЛЬНllК, образ ц КОТОрО. о здесь при
ложен (фиr. 14) 1). Таким образом получается прав !льный П51
тиуrольник.
П о я С н и т е л ь 11 Ы е э а м е ч а н И я. "Geolnetria deutsch" оча
ровательная КНИ}I{ка, состоящая толы{о из G неПРОНУ,\Iерованных
листов. На пер дней странице первоrо листа и еется заrОЛОВОJ(,
заД:1ЯЯ же страница последнеrо листа COBepILleHHo чистая. В.:е
остальные страницы начина[отся с прописной буквы с иля P Hec
сане и содер)ка r BBe xy текст задачи, а вни 1У соответствующие
чертежи. Bcero имеет я 9 задач, ибо ВЫUJепривсденная заНИ\lает
2 страницы. В послсдних двух задаtJа'( ПРИВОJ.ятся чертежи за
KpbJToro Шlема и щита, которым придана несколы{о мат маrиче
ская форма, остальные же 9ТО простые за ],ачи из практиче
ской }I{113НИ, встречаlощиеся в с rРОИТ ЛЬНО;\1 деле: опустить
перпеаД!lКУЛЯр, най rи середину дуrи Kpyra, пrевратить треуrо.Т]ь
ник в квадрат (rрубое решение), начертить пятиуrольник и
семиуrольник (прибли)кенно), восьмиуrо.тIЬ -{ИК (точно), выпрями ,"ь
о:{ружность (п берется раВНЫ:\1 3'/7)" l{aK и в привед нной выше
задаче, БО всех СЛУ,чаях Д1ЮТСЯ ТОЛЬКО ностроения.
"Geolnetria deu schlC вероятно, самое рЗ:1нее печатное He
мецкое сочинени по I"eOMe rрии. Впервые указал на эту книжку
3. rюнтер (Giinther), открыв uий экземпляр ее в НЮРllберrе и
пер печатавший ее целиком 2).
Нарисованный B')IUIC n пятиуrольник" ("Flinfort") построен при
н изменном P]CT.BOP циркуля. TaKoro рода построения были
излюбленными уже у арабов, и ими охотно занимались вплоть
до новейшеrо времени. Хотя этот пятиуrольник и Р1ВНОСТОРОННИЙ,
но он, конечно, нспраВ:IЛЬНЫЙ; однако, отклонение ero от пос
леднеrо так ничтожно, что практически ero можно считать впол
не правильпым. Действительно, уrлы ero равны соо fBeTCTBe:iHO,
а ==:-9:: Ь==107 0 2'13", h == k==108°22', i==109 0 11'33"
t) В ориrинале наряду с этим чер rежо дается еще отдельно ПЯТИ
уrол ьник abkih.
') .Zur Geschichte der deutschen Mathemat[{ iП1 filnfzehnten Jahrhun-
d 'rt-. Z. f. Math. и. Phys. 20 (1875). Hist. lit, Abth. Стр. 1 14; наш
текст (не вполне безупречный), стр. 5. В Мюнхене и БеР.1ине тоже
И 1еются экземпляры &10А КИИrИ.
1
F"
Задача в точно Т3I{ОЙ il\e форме пеРСluла в " Vl1del'\vcysUllg"
Дюрера (DUrer) (C 1. ниже, .N'2 XIV), но только Дюрер снабди:
ее COOTBeTCT HHЫM текстом. У Дюрера имеется также (известное,
впрочем, еще в древности) построение семиуrольника и rрубое
нревращение треуrольника в квадрат, даваемое ..Geometria deutsch".
Автор "Gcometria deltt ch" считал все свои построения вполне
точными. Дюрер )ке, во всяком случае, знает и rеометрически
точное пострс;ение, если Tal\OBOe имеется. В числение истинном
величины уrлов пятиуrОЛЬНИI\а было произведено впервые Джан-
батистой Венедетти (Benedetti) и опубликова но в 1580 r (см.
ниже, ХУН). Ср. проrрамму (Ансбах, 1896) 3. rюнтера "Die
geometrischen NaherungskonstrLlktionen Albrecht Diirers", rде точно
вычислены все построения.
хн
Вычисление треуrОJlьника по трем сторонам. Формула repOHa
.
Из Behende vnd hubsche Rechenttng auff а1lеn kauffmannscllafft (инку
набула ln Octavo в 237 листов без паrинации; на первом листе заrOJlО
nOK книrи, последний лист совершенно чист). На листе (2), V о. н"ачинается
IIОСВ : щение с именем автора: Iohannes widman von Eger. Посвящение
заканчивается на листе (3), и.: Gegeben tzu leyptzick ZСtlШ П. wen Jare
d r Weniger zcal i) пасЬ Chrlste geburt. Jm neunvndachczlgstcn. Колофон
на листе ( 36) 2), и. rласит: Gedruckt jn der FLlrstllchen Stath Leipczicl<
dt1rch Conradum Kacheloffen, Jm 1489 Jare,
Лист (О2), Уо" [==(211), Vo.]. Если ты хочешь знать cathe
сит З) треуrолы!каa с разными сторона tИ и также атеаm super
ficiaIeln 4) ero, то прибавь quadratum основания (фиr. 15),
т. е. 196, к quadrata меньшей стороны,
т. е. к 169, получится 365 (211, Ru.). 3зтем
вычти квадрат большей стороны, Т. е. 22"5,
из суммы первых двух квадратов, т. е.
из 365, останется 140, раздели это попо
лам, получится 70, и это раздели на 14,
получится 5, это меньший отрезок OCHO
вания, оБРJЗ(tВЗННЫЙ через cathecum. 3a
Te помно>к 5 на себя, получится 25.
Это вычти из квадрата меньшей стороны, Т. е. из 169,
14
(I->Иl . 15.
{) То есть в десятках и единицах (с опущением тысячей и сотен).
) Отметка листа (Оз). Печатные листы нумеруются сперва CTPOq
,ными буквами, а затем. прописными.
З) Ошибка наборщика: вместо . cathetum., ибо в тоrдашних PYKO
писях трудно было отличит.. t от с. Cathetus означает здесь высоту
треуrОJJьника.
') Площадь.
92
остане'!сн 144 и R q uadrata 1) этоrо числа есть cathecus выше-
нарисованноrо треуrольника. Ес.НИ ты хочешt знать Aream
superficialem, так сложи все три стороны, это даст 42, возьми
половину, это будет 21. Затем наЙДrl разность ме>кду 21 и 13,
это будет 8. YMHO)I{b теперь 8 рзз 21, получится 168. Затем
снова найди раз ость между 12 (!) 2) И 14, получится 7, умножь
7 раз 168, это даст 1176, умножь также differentiam между
15 и 21, т. е. 6, на 1176, и получит,:я 7056, и R quadrata
из это[ о, т. е. 84, есть (212 Vo.) area выше нарисоваННОI"U
треуrольнцка, или же посrупи так, rораздо леrче и быстрее.
Умножь полчасти о новани :, т. е. 7, на catllecum, т. е. 12. Или
jf{e снова умножь ПОJlчасти catheci, т. е. 6, на все основанис,
т. е. на 14, и всеrда получается 84, и это есть area super
ficialis данноrо выше треуrольника З).
П о я с н и т е л ь н ы е 3 а м е ч а н и я. Перед нами здесь пример
Toro, как уже авторы первых печатных руководств по арифмс
тике старались сообщить CBOJiM читателям l(ое-какие сведения
по rеометрии (как мы это видели уже и для алrебрьr в 1 части).
Ясно, что это было возможно сделать лишь в самом ПрОСТОМ
виде. Ведь даже Д7lЯ арифметических правил не давалось ника
ких доказательств. В нашей задаче вычисляется высота h == 12
по трем сторонам треуrольника а === 15, b:zz: 13, с == 14. Наэо
вем IJроекцию стороны Ь на основание через р; в таком случае:
а 2 .:=:= Ь 2 + с 2 2ср,
значит:
Ь 2 + с 2 а 2
P
V,
2с
как это ВЫЧИСJlяет и Видман. Так как, cor ласно пифаrоровой тео-
реме, высота h == 12, то ПЛОlцадь треуrольника будет равна, как
устанаВ1ивает Видман в конце задачи:
1
П.'10Iца lЬ == 2" . 14 · 12 == 84.
Но, "роме 10ro, Видман пользуется еще и так наЭbJвае IОЙ
формулой repoHa, которую мы теперь пишем так:
П.ТIощадь === V s (s а) (s /}) (s С),
1) Radix quad1"ata I\вадра'1 ныи корень.
) Опечатка: вместо 21.
З) У Видма1l3 чертеж в точности таков же, l{aK иаu., ТОЛЬКО П.10ХО
) ЫПО.lнеll (ВЫСО [а у иеI'О расположена I\OCO)..
93
rде S означает половину перимеrра трсуrО,lЬНИКЗ, в paCCMarpJfBa..
емом случае 21. Пра вило это (вместе с ДОf(азатеЛЬСТ80М) BCTpe
чается в нескольких местах у (вероятно позднеrреческоrо) земле-
мера rеронз, но, по свидетельству арабов, является ОДНИМ из
мноrочисленных открытий Архи (еда. Даже числовоt\ пример Вид.
мана имеется у repOHa 1).
XIII
Названия сторон прямоуrольноrо треуrольнина.
Пифzrорова теорема
Из "Coss" Хр. Рудольфа, Ctpac6ypr, 15252).
Лист Т, Rii. Имеется башня вышиной в 100 Jlоктей и от
башни ров шириной в 18 локтей, на конце рва ставят леСТНИIlУ
длиной в 30 локтей, ПРИСЛОНЯЮlliУIОСЯ друrим концом к башне.
Спрашивается, как высоко доходит по башне лестница? Об-
р1ТИ внимание на прямоуrольный треуrольник. Лестница это
ypotenusa. Ширина рва basis. Cathetus часть башни от конца
лестницы до земли, неизвестная нам. Положи поэтому cathe
tus 1 и, тоrда квадрат ero будет 13. Возведи в кваДj:ат также
rипотенузу и основание. Квадрат rипотен}зы будет 900, вычти
отсюда 1 , получится: квадрат основания 900 1 d рав-
няется 324 . Iloступи по правилам. Получится: lи 24 . До
таhОЙ высоты доходит лестница по БЗПIне.
В своем новом издании этой книrи (" Die Coss Christoffs Rudolfs.....,
KOliigsperg, 1553) Михаил Штифель (Stifel) придал этой задаче более
общую формулировку, отказавшись также от употребления техническнх
терминов:
Дана треуrольная фиrура с ПРЯМЫ\l уrлом. Длина OCHOB
ния 18 локтей и длина самой длинной линии )O локтей. K
кой длины должна быть средняя линия?
Пояснительные замечан'ия. О слове Coss и встреча-
ющихся обозначениях для неИЗЕестноrо (1.е === radix), ero квздрата
( == zensus) и постоянной ( ==denarius) см. ч. 1, NQ XI. СЛОLО rll
Ilотенуза означает дословно: "натянутая под" (т. е,. сторона, натя-
нутая под ПрЯ IЫМ уrлом), и в этом значении встречается уже у
Эвклида (около 300 r. до Н. э.). Два друrих слова "осно-
вание" и "катет" встречаются в этой связи лишь у позднейших
ма,тематиков (зе lлемеров) и наверное у rеронз. Тр:::уrольник npll
ЭТО I всеrда рисовали так, что "основание" бы.10 rОРИЗ0нтаJIЬНО,
i) См. "Hcrol1s V erlnessungsiehre und Dioptra" СТ{1. 241'25 И 284/285.
2) См. ч. 1, N ХН.
94
что достаточно объясняет происхождение cro наИ lеflования. "Ка.
тет" (дословно: отвес,......... так назывался уже по..rречески) бы 1
В таком случае вертикальным. Ударение помещается ПО-J-речеСI{И
на первом слоrе. Названия эти сохрзнились до HOBoro времени.
Столь понятнаи дли нас теперь мысль.......... дать обеим paBHo"paB
ным по отнош нию К прямому уrлу заключающим ero сторонам
одинаковые же наименования ПОЯ8.rIяется ЛИIJJh в XVII В.
XIV
Теорема о пропорциональных отрезках.
Построение TpeTbero пропорциональноrо отрезка
,
Из . Vnderweysu.:g der messung /mit deln zirckel vппd richtscheytj8. .
durch Albrecht Diirer zusammen getzogen/... im jar М. D. ХХ v [Ni1rnbergJ.
Лист (Dv), RU.: Если ты имеешь две линии, одну длинную
и одну короткую, и хочешь найти к ним пропорционаЛЬНУIО
третью........ самую короткую, так чтобы как короткая линия
относится к длинной, так и новая кратчаЙlLlая оrnосилась
к средней, то пс ступи Т31(,
Нанеси обе линии: длинную
и короткую, по длине ro
ризонтально друr за друrоы.
Начни с длинной и обозначь
их длину fa/b/c/. Затем B03Ь
ми длину более КОРОТКОЙ
линии jbfcf и помести ее
точкой jb/ в точку /а/ и
наrни ее точкой / с/ по отно"
шению к rориэонтальноА ли
нии /ajb/c/ (фиr. 16) [(Dvi), Уо.] и проведи затем от наклонной
. линии И3 точки /с/ к точке /Ь/ на rОРИЗ0нтальной линии
прямую ЛИНИIО. Эта линия образует треуrольник lafb/cJ, а
нарисованную короткую линию /afc/ продолжи, HaCl{o.rJbKO это
потребуется. Затем проведи соответственную параллельную
..1инию к линии /Ь/с1 из точки /с/ rОРИЗ0нтальной линии;
там, rде эта параллельная линия пересечет продслженную
линию /afc/, там поставь /d/, тоrда линия jC/d' буд т про
порционаJIЬНОЙ к двум заданным линиям jajb/c/ и НlимеНЬUlей,
и она относится к средней, как средняя относится к большей,
ибо обе параЛ.тJельные линии /cJd/ и ;'Ь/с! делят эти линии
пропорционзльно. Эту BelllЬ полезно 3НЗТh, и она употре(лs"е:ся
для мноrих вен'.ей.
95
11 о я с 11 И Т е л ь н ы с з а f е ч а н и я. tJ НаСf48леНhе 8 измере-
нии" Дюрера составляет, вместе с вскоре вышеJ.ШИМИ затем со-
чинениями "Об искусстве возведения укреплений" И "О челове-
ческих п опорцияхи, части БО.'Iее крупноrо задуманноrо им труда
об элементах математики в живописи, рисовании и архитектуре.
Содержание этой книrи довольно пестро и носит по существу
практический характер; но в ней содержится довольао значи-
тельный запас математических сведений, свидетельствующий о
нысоком уровне образования у тоrдашних ита.1ЬЯНСКИХ (у KO
торых обучался Дюрер) и. немецких художников. Наряду со
ыноrими друrими вопросами (например rеометрическим построе-
нием разных алфавитов), в "Наставлении" соде;»кится учение
о rоризонтальной и вертикальной проекциях в применении так-
же к кривым линиям в пространстве и начатки центральной
П2рслективы.
Блаrодз;>я мноrочисленным немецким и трем латинским пе-
реводам д[ореровское "Наставление" приобре.l0 широкое рас-
пространение и соответствующее влияние. Оно было даже пе-
реиздано в самое последнее время (MIOHxeH, 1908), правда,
в модернизированном виде, блаrодаря чему испарился аромат
эпохи и пропало MHoroe важное.
Назовем отрезки, по примеру Дюрера, аЬ, Ьс, dc, тоrда
имеем по построению:
cd: Ьс === Ьс: аЬ;
таким образом cd есть, по старому выра}l{ению, третья ПрОIlОр-
циональная к аЬ и Ьс.
Труд Дюрера одна из первых (и, во всяком случае, прекрас-
неЙIIJИХ) книr, набраНIIЫХ создзнным как раз тоrда фрактурным
шрифтом (ЯВ:1ЯЮЩИМСЯ I В настоящее время наиб лее употреби-
тельным rазетным шрифтом). Любовно написанный разбор книrи
имеется у Л. Ольшки [Olschki 1), "Gegchichte der neusprachlichen
v,rissenschaftIichen Literatur", J. Heidelberg, 1918, стр. 414 451]. ·
xv
Практическое измерение ВЫСОТЫ. Применение понятия KOTaHreHca
Из "Von ktins:1icher Abmessung aller grosse /ebene oder nidere;, in dfe
lcnge /ЬоЬе/ breite und tieffe /Als graben/ Cisternen und brtlnnen j Мапп
mog darzu kommeD od r пнl !\1It eim Astrolabio und Quadra lten о er
1nesileiter... Durch den НосhЬеrilmЬtепп Mathematicun1 Joannem Stofflerl1
\'t)nn Jt1sti!lgel1n b schl.ibenn"
j) Имеете я русс.I\IIЙ перевод.
6
(Титульный лист еще длиннее. В Kllllre, снабжеНI10Я преI{расными
rраВlорами на дереве, 16 ненумерованных листов ia foHo. На последнсJi
странице следующее указание места 11 времени печатания: .Gedrt1ckt
z 1 Franc \fttrt ( m Mein I Ве! Chl'istiaa Egenolph I jnt Mertzen Des jars nacl]
der geburt Christi unseres seligmachers М. о. XXXVI".)
Пр е д в а р и т е л ь н hI е 3 а I е ч а н ия. Применяемая в ниже-
следующ м отрывке "Astrolabium" это инструмент ДIlЯ изме-
рения уrла высоты. ФИl'. 1 7 дает схематическое изображение
ero. Астролябию придерживаIОТ сверху за кольцо, так что ОА
принимает rоризонтальное положение. На линиях АВ, ВС, СВ',
В' А' нанесены деления по 12 де.,1еНlIЙ на каждой ("digitus" или
.punctus"), приче 1 число 12 стоит в уrлах В и В' (фиr.18).
tJ
t
::s
о
Фиr. 17.
Umbra recta
Фиr. 18.
Указатель DO подвижен и устанавливается на измеряемый
объект. Он называется "алидадой" (по-лат. medic1inium), имеет
диоптры (две дырочки для визирования). Линию DO Штеффлер
называет ,,1ini fiduciae", а впереводе "lini des vertrawenns" (ли-
ния доверия). Ее наклон (1) к rОРИЗ0НТУ измеряется "umbra versa"
(. verwandter schatten" обращенная тень) AD, т. е. для нас
TaHreHcoM уrла высоты (1), если мы положим ОА равным 1. Если
же луч визирования встречает не АВ, а ВС (т. е. если уrол вы-
соты больше 450), то СЕ (rде Е точка пересечения пуча с ВС)
будет котанrеисом этоrо уrла; СЕ называется в этом случае
"umbra recta" (" uffrechter schatten" прямая тень). Эти понятия
прямоit и обращенной тени происходят от арабов (IX В.), и
нижеследующая задача была уже и ими решена аналоrичным
образом 1). Но книrа Шrеффлера, изданная после ero смерти
t) Ср. работу }"'. 3утера (Suter). .. Eilllge geometrische Aufgaben Ьеl
arabischen Mathematiker". (Bibl. matll, 3 Reihe, 8 Bd., 1907/08, стр. 2З
30, особ. стр. 27 30.) .. .
Вместо астролябии (лат. saphaea) первоначально по,,'!ьзовались жез-
1 в н J1 е А т н е р. Хресто 'аТИJl. 97
(1531), одна из первых книr, излаrавших эти вещи на немец-
ко м языке.
Лист Cij, Vo. Мне задано измерить вещь, ле)кащую
в плоскости, неизвестной высоты, которая пусть будет. Ь. i.,
и мне задано узнать ее высоту, 1-1 я не Mory к этой в щн
подойти из-за рвов с вод)й или подобных препятствий. Тоrда
я подвешиваю Astrolabium, как обычно, и устанавливаIО ее
в первый раз в точке . k., и коrда я рассматриваю высо. у
вещи через дырочки, то я .нахожу, что Iini fiduciae каса,ется
на линейк umbrae versae точки .6., на которое я делю .12.,
и получаю в частном. 2., которое я держу в стороне. Затем
я иду назад по Нпеа recta (прямой линии) и устанаВЛИВВIО
астроляБИIО второй раз в точке .1., и снова смотрю, как
только что указано, на верхушку вещи и нахожу точку .2.
umbrae versae, на которое я делю . 12., и получаю в част-
ном .6 , из KOToporo я вычитаю оставленное в стороне .2.,
и получаю излишек .4., который я сохраняю. Потом я изме-
ряю spacium (расстояние) от перзой остановки .k. до второй
()становки .1. и нахожу, например, . 16. шаl'ОВ, которые я деЛIО
ф
на излишек. 4., и получаю в частном .4. Поэrому я rOBopIO,
что эта вертикальная высота . Ь. i. равна чет ырем шаrам, к KO
торым Я прибавляю CBOIO длину1), которую Я приму за .2.
шаrа, и, наконец, вывожу, что высота .h.i. равна .6. шаrам 2 ).
Пояснительные замечания. Разложив боrато разу-
крашенный rисунок ориrинала на ero простейшие элементы,
прибавив буквы т, а, Ь, а., и, положив, далее, Izт == Х,
ат === у, мы получаем фиr. 19.
лом, ибо сафеа была изобретена лишь около 1050 r. выдающимся араб
ским астрономом Алцаркали (Alzarkali) (по латыни Arzachel). 3утер не
эамечает полноrо совпадения COBpeMeHHoro вычисления со старым ре-
шением, ПОТОМУ что он не ВЫВОДИТ прямо формулы (как мы это делаем
в дальнейшем), а применяет сперва те1рему синусов и потом лишь
производит преобразование. Вместе с 3утером я не сомневаюсь, что
решение иде r собственно еще от rpcKoB. Во всяком с 1} учае, СО време н
арабов оно никоrда ywe не утрачивалось.
' Хр. Клавия (Clavius) ("Geometria practica 8 . Рим, 1604, стр. 60 6 ,)
я нашел решение за.r:а '-1 И с помощью теоремы синусов (наряду с реше-
н-ием при помощи KOTaHreHcoB). Но вряд ли оно встречается впервые
толь ко эдесь.
f) To eCTb ВЫСОТУ тела наблюдателя до уровня rлаза.
i) Точки, чежду I{ОТОРЫМИ помещены использованные в этой задаче
буквы и числа, служили в ру олисях y C} выделения из текста.
\98
1
I Ia расунке 1) ka l1ЛИ соответствен но
даrеля (который в ориrинале нарисован;
ero). По даННЫ l наБЛlодений
tg а === 6/12' tg === 2/12. Но
автор пользуется KOTaHreHca
МИ, образовав ctga===12/ 6 ===2,
ctg == 12/2=== 6. Но мы имеем Ь
у == х ctg а,
16 + у === х ctg .
/Ь представляют наблю-
а, Ь изобрзжают rлаза
й
т
ОТС10да, после вычитания,
ПО.lучаем:
l
16
н Пруд j
Фиr. 19.
и
16 === х (ctg ctg а)
16
х==
ctg ctg а '
что в точности аоответствует старинному правилу. Тот факт,
что высота башни только в три раза больше человеческоrо роста,
нисколько не смущал автора ппрактической" rеометрии.
XVI
ВЫВОД теоремы синусов для прямоуrОJlьноrо сферичесноrо
треуrОJlьника
Из Nicolaus Copernicus, .Ое revolutionibus orbium coelestium" (Нюрн
берr, 1543), Lib. 1, сар. ХIУ, 3. НемецкиЙ' ,перевод К. Л. Менцера
(Ме Izzer) "Nicolaus Coppernicus ,atlS Thorn, Ober die Kreisbewegungen
del' Weltkorper" (Thorп, 1879).
П Р е д в а р и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. В XIII r л. первой кии rи
.
знаменитоrо труда, в котором впервые коперникова система мира
была противопоставлена птолемеэвой, содержится краткое изло-
жение плоской триrонометрии, в следующей же rлаве сфериче
ской. Коперник при этом опирается, разумеется, на труды своих
арабских предшественников, поскольку они были ему известны,
.но во MHoroM он совершенно самостоятелен. Появившаяся в 1533 r.
триrонометрия Реrиомонтана (см. .N'2 Х) тоже не оказала на Hero
{) Пропорции рисунка ориrинала приблизительно те же, что и на
фиr. 19. Надписи в ориrинале составлены все по латыни, И остальные
сочинения Штеффлера написаны ПО ..1атыНИ. Немецкий технический спе
циа 1ьныА язык TO lЫ{O начина. 1 I формироваться в это время.
7* 99
влияния, ибо труд Коперника бил в основном заКОНЧ2Н уже в 1530 r.
Данный Менцером перевод заrлавия книrи довольно волен, ибо
речь у Коперника идет о KpyroBblx движениях не "небесных тел"
(Weltkorper), а "небесных сфер". Весьма вероятно, что вообще
слова "orbiиm coelestium" не принадлежат Копернику, СВ'8им
трудом УНИЧТО)J(ившему именно небесные сферы. Двоякоrо рода
написание имени Коперника одно в латинском ориrинале, дру-
roe в немецком переводе восходит к самому Копернику. Имя
семьи было Копперникк (I<oppernick) или .нечто подобное, и
после Toro как (около 1400 r.) оно превратилось из названия
деревни в фамильное И.\JЯ, пи'салось всеrда рр, т. е. на немец-
кий манер. Латинизированное имя сам Коперник первоначально
писал с р, а впоследствии с рр. Написание имени с одним р
зависело, может быть, от различноrо произношения ero по-
латыни и по-немецки. В силу тех же соображений Ретикус (Rhe-
ticus), издавший "Revolиtiones" (сам Коперник был солен), снова
стал писать ero имя с одним р. Но после Toro как в XIX в.
были найдены старые доку.\1енты, коперниково общество в Торне
(родном rороде астронома) ввело снова рр 1).
а
Стр. 47 (лист 21 Rii. ориrинала). В сферических треуrоль-
никах, имеющих прямой уrол, хорда двойной стороны, про-
тиволежащей Прl1МОМУ уrлу, относится к хорде двойной какой-
нибудь из обеих сторон, заключаю-
щих прямой уrол, как диаметр шара
относится хорде двойноrо уrла,
образуемоrо на большом Kpyre шара
первой стороной и третьей. Действи-
тельно, пусть аЬс 2} будет сфериче-
d ский треуrольник (фиr. 20), уrол с
KOToporo прямой; я утверждаю, что
хорда двойной (стороны) аЬ относится
к хорде двойной (стороны) Ьс, как
диаметр шара к хорде дуrи, образуемой на большом Kpyre
двойным уrлом Ьас. Приняв а за полюс, опишем дуrу бо.пьшоrо
Kpyra de и дополним (дуrи аЬ и ас) до квадрантов abd и асе.
Фиr. 20.
i) Ср. ,В переводе Менцера стр. XII XIV рассуждения М. Куртце
(Curtze) .Ober die Orthograph:e des Narnens CopperniCt1s., а также
,с!атью r Бе дера (Bender), . Heimat und V olkstum der Falnille Kopper
Пlgk (CoppernlCUS)". (Darstel1. und Quel1en z. sch1esischen Gesch. Bd. '27.
Breslau, 1920).
2) В ориrина..1е повсюду капитель (АОС); строчные буквы ПРИllадле..
жат Менцеру.
100
Иа центра шара f проведем общее сечение {а KpyroB abd н
асе, общее сечение Kp}rOB асе и de пусть будет fe, 8 кру-
rOB abd и de........... fd. Кроме Toro, общим сечением KpyroB ас
и Ьс пусть будет fc. Про ведем затем bg перпендикулярно к fa,
bi к fc, dk к fe и соединим (точки g и i) прямой gi. Так как
два Kpyra, проходящих через полюсы друr друrа, пересека-
ются под прямым уrлом, то уrол aed будет прямой; но уrол
асЬ прямой по заданию, следовательно, каждая из плоскостей
edf и bcf перпендикулярна к плоскости aef. Поэтому, если
.восставить в плоскости afe перпендикуляр к общей линии пе-
ресечения fke, то он, соrласно определению взаимно перпенди.
кулярных плоскостей, образует прямой уrол с kd. Поэтому
kd по четвертой теореме одиннадцатой книrи Эвклида пер-
пендикулярно к aef. По тем же основаниям bi перпендику
лярно к той же самой плоскости, и, следовательно, dk и bi
взаимно парзллельны по шестой теореме той же книrи. Но gb
тоже параллельно fd, ибо fgb и gfd представляют прямые
уrлы; следовательно, по десятой теореме одиннадцатой книrи
Эвклида уrол fdk рзвен уrлу gbi. Но так как уrол fkd при-
MO , то по определению перпендикуляра прямым будет так-
же gib. Стороны же подобных 'треуrольников пропорциональ-
ны, И, следовательно, df (относится) к bg, как dk к bi. Но
bi есть половина хорды двойной дуrи Ьс, ибо bi перпенди
кулярна к прямой, проведенной из центра f, и в силу тех же
оснований bg есть половина хорды двойной стороны Ьа, dk
половина хорды двойной дуrи de или двойноrо уrла а, и
df половина диаметра шара. Следовательно, очевидно, что
хорда двойной стороны аЬ относится к хорде двойной CTO
роны Ьс, как диаметр к хорде двойноrо уrла а или двойной
дуrи de; доказате.'IЬСТВО этоrо окажется по.П езным.
П о я с н и т е л ь н ы е з а"м е ч а н и я. Обозначим радиус UJapa
(или ОДНоrо из ero больших KpyroB) 1; тоrда, очевидно, хорда
какой нибудь двойной д)'rи есть по современному обозначению
ДВОЙ iОЙ синус простой дуrи. Обозначим BC.ТIeд за Коперником
уrлы сферическоrо треуrольника через а, Ь, С, а противолежа-
щие им стороны через А, В, с; с в этом случае прямой уrол,
С rипотенуза, и Коперник доказывает теорему:
sin с: sin А == 1 : sin а,
или
sin А === sin С. sin а,
а по современному обозначению sin а === sin с. sin а. Это одна И3
тех шести теорем, которые в настоящее время мы выводим для
101
лрямоуrольных треуrольников из так называемых аналоrl1t% Не-
лера. Теорема эта имеется по существу уже у Птолемея (OKO:IO
150 r. н. э.), хотя, как и ряд друrих теорем, она не формулиро
вана явным образом. Арабы существенным образом дополнили
триrон омеТРИIО ПтолеJ\lея, и ОI{ОЛО 1000 r. у них встречается уже
общая теорема синусов как для плоских, так и для сферических
треуrОЛЬНИI{ОВ. Но полученный Коперником результат мо)кно счи-
тать достаточно самостоятельным. В частности, у Hero встречается
впервые на Западе (после Реrиомонтана, книrа KOToporo, однако,
как упомянуто, осталась ему неизвестной) стереометрическое до-
казательство. Аналоrичный ВЫВ9Д он делает еще раз в N2 XIII той
же rлавы, rде он показывает, как, зная три стороны косоуrольноrо
сферическоrо треуrольника, можно опреЛ.елить УI Лhl ero.
XVH
Триrономет ическое вычисление уrлов мноrоуrольника
Из 10. Baptistae Benedlcti Patrltlj Veneti Phi1osophi. Diversarum Spe-
сиlаНоnит Mathematicarttm, e.t Physicarum Liber... Taurini... MDLXXXV.
Стр. 369.
РАвноуrОЛЕН ли ПОСТРОЕННЫЙ АЛЬБРЕХТОМ
ДЮРЕРОМ пятиуrольник?
......
Конраду Нейбарту (Neubart)
Если ты не думаешь, что построенный Альбрехтом Дюре-
ром на данном отрезке пятиуrольник равноуrолен, то вообразим
себе прилаrаемый здесь рисунок (фиr. 21) подобным тому,
который дает Дюрер. Проведем на нем, пре>!{де Bcero, ЛИНИIО
.0. а., мы получим уrол .3. О. Ь., содер>кащий .60. таких rрадусов,
которых два прямых содержат .360., или .30. таких, которых
два ПрЯМ Х содержат .180.; ибо по условию дуrа .а. Ь. есть
luестая часть всей окружности, а уrол .b. о. d. прямой, ибо и
уrол . Ь. о . q. прямой. Поэтому Уl ОЛ .d. о . а., как дополнительный
к прямому, содер)кит .60. таких rрадусов, каких прямой yro.1
содержит .90., а уrол .0. а. с. содержит .15. таких rрадусов.
Опустим теперь перпендикуляр .а. е. на .0. d.; как синус
уrла .а. о. е. он содержит .86602. таких частей, каких .а. о.
содержит .100000. Но эта (хорда) .0. а., как хорда дуrи
.а . о., равна .51 762. таI<ИХ (частей), каких радиус (полу-
диаметр) .а. d. или .а. с. содержит .100 000.
Действительно, синус половинной дуrи .а. о. (так как .а. о.
содержнт .30. rрздусов) содержит .25 881. частей, следова-
102
тельно, .3. е. будет содер)l(ать .44 827 таких частей, каких
.а. d. содержит.1 00000. Следовательно, уrол .а. d. о. синусом
KOToporo является .а . е., равняется .26. rрад. .38. мин. Но этот
уrол BMeCT с уrлом .a.o.d. составляет .86. rрад. .38. мин Если,
наконец, отнять эту сумму от двух прямых (или) . 180. rрад.,
то в остатке получится .93.
rрад. .22. мин., т. е. yro.1
.o.a.d. Если прибавить к
этому yro.тI .о.а.с. в .15.
rрадусов, то мы получим
уrол .c.a.d., равный .108.
rрадусов .22. мин. и прево-
сходящий истинный уrол
(правильноrо) пятиуrольника
на .22. м ин. Или же, иначе,
наидя уrол .а. d. о. равным
.26. rрад. .38. мин. и вычтя
ero из прямоrо, мы получаем
уrол .d.a.e., равный .63. rрад.
.22. мин. Если к этому при..
бавить уrол .е.а.о., дополни
тельный к прямому уrлу, из
KOToporo ВbJчитаlОТ yro.тI
.а.о.е. равный .60. rрад.,
(уrо.п) .е.з.о., равный, Ta
I(ИМ образом, .30. rрад., и если (370) прибавить еи!.е уrол
.о.а.с. в .15. rрад., то в CY IMe эти три уrла дадут назван-
ный уrол .d. а. с., I?авный .180. {'рад. .22. мин.
ПрО8Jр,'(а уzла .и.
Проведем .d. n.; мы видим, что .d. n. есть синус уrла
.d.o.n., paBHOro .45. rрадусам; действительно, вертикальный с
ним уrол (ang. ei contrapositus) .q. о. р. равняется половине пря
Moro. Таким образом .d. n. будет содержать .70710. таких ча
стей, каких .d . о. содержит .100 000. Но .d . о содержит. 115 270.
таких частей, каких .a.d. содержит .100000., ибо .e.d., как
синус уrла .e.a.d., paBHoro .63. rрад. .22. мин., содержит
.89389. частей, а .о.е., как синус yr.1a .е.а.о., рзвноrо .30 rрад.,
содер}кит .50 000. таких частей, каких .3. о. содержит .100 000.
Но так как .а. о. содержит .51 762. части, если поло)кить .а. d.
равным .100 000. (частей), то .0. е. будет равно .25 881. части.
Если сложить это с . с . d., то для .d. о. получится .115 270.
частеJ;l» ка к мы и СI<азали. Но так I\a к .d . n. содержит. 70 71 о.
103
р
Фиr. 21.
таких частеА, каких .d. о. содержит .106 000., то to же самое
.d. п. будет содержать .81 507. таких частей, каких .d. о. со-
держит .115 270. или каких .d.a. либо .d. и. содержат.1 00000.
110 это .d. n. есть синус уrла .d. и. п., который, таким образом,
равен .54. rрад. .36. мин. Удвоенный уrол этот дасr .109. rрад.
.12. мин. между тем как должно б ло быть .108. rрад. (и)
.0. мин.
Проверка уzла .d.
Возьми yroJJ .3.d .0., равный, как выше указано, ..26. rрад.
.38. мин., прибавь к нему уrол .o.d.n. в .45. rрад. .0. мин.,
а также уrол .и d. п., дополнительныЙ к прямому уrлу, P]B
ный .35. rрад. .24. мин., и ты получишь весь уrол .а. d . и. Be
личиной в .107. rрад. .2. мин. и ты имеешь искомый (уrол), ко..
торый, между тем, должен был бы равняться .108. rрад. .0. мин.
Найдя сумму всех уrлов, увидим, что все было правильно
вычислено. Действительно, если сложить вместе все пять уrлов
.a.c.d.f.u., т. е. .108. rрад. .22. мин. с .101. rрад ,2. мин.
(беря каждый из этих уrлов дважды) и с .109. rрад. 12. мин. 1 ),
то получится .540. rрзд. .0. мин.'........ сумма, равная шести пря
мым уrлам.
П о я с н и т е л ь н ы е 3 а м е ч а н ия. "Книrа о различных ма-
тематических и физических спекуляциях" венецианскоrо патри"
ция и философа Джан6атиста Бенедетти (Bel1edetti) вышла
в 1580 r., но в 1585 r. она была снабжена, несомненно, из
издательских сообра)кений, новым титульным листом, так что
в настоящее время еще часто приходится встречаться со ссыл-
ками на 1585 r. как на rод издания. Очевидно издание с ти-
тульным листом 1585 r. встречается rорзздо чаще.......... Пятиуrоль-
ник из "Geometria deutsch" (см. BblUIe, N2 XI) был ВПОС.'1едствии
всеrда известен под именем дюреровскоrо пятиуrольника. По
следняя rлава "Спекуляций" содержит научные сообщения в фор
ме перenиски. О Нейбарте в настоящее время ничеrо неизве..
стно. Бенедетти первый вычислил уrлы этоrо пятиуrольника.
После Hero Хр. Клавий (Clavius) пришел в своей "Geometria
practica- (Romae, 1604, стр. 404 407) путем несколько иных
выкладок к тому же самому результату 2).
t) В ориrинале описка: . 12. rрад., не исправленная в обширном
списке озечаток.
?) Клавий применяет теорему о синусах к rреуrо.'IЬНИКУ gad и опускает
перпендикуляр из а на nd. Между прочим он выражает результаты своих
выкладок семизначными ЧИС,,1ами, что в настоящее время, KorJta доволь-
ствуются небольшой точностью, произвело бы очень дурное впечатление
104
Из выислениii Венедетт" прежде Bcero видно, что Древне..
вавилонским понятием "rрадуса" он пользуется еще не вполне
твердо. Но в этом отношении он следует общепринятому упот.
реблению. Далее, мы видим, что он не владел еще свободно
теоремой о синусах в случае косоуrольноrо треуrольника, най.
денной арабами около 1 O О r. и стаВUIей известной на Западе
блаrодаря "Триrонометрии" Реrиомонтана (составлена в 1464 r.,
издана в 1533 r.) (см. выше, Ng Х), так что он предпочитал разла..
raTb такие треуrольники на прямоуrольные треуrольники. В даль-
нейшем ходе вычисления можно заметить, насколько удобнее
наше современное понимание синуса l(aK отношения (окончатеЛЬНQ
утсердившееся только в XIX в.), чем старое определение ero как
отрезка. r'и потенузу положил равной 100 000 впервые Реrиомон
тан. С помощью таблицы синусов (лоrарифмы были открыты
лишь в начале XVH в.) можно леrко проделать выкладки Венедетти.
В своем переводе, я, разумеется, не придерживался с пол-
ноЯ строrостью расстановки знаков препинания ориrинала, НО
в остальных отношениях старался точно следовать ему. Печат
нику, набиравшему книrу Бе недетти , очевидно, уже не БЫ.10
известно назначение точек, между которыми помещались числа
и буквы (см. выше, стр. 98, примечание), ибо он часто поме..
щап переднюю точку числа (или буквы) непосредствеН'lО за
предыдущим словом. Я, разумеется, не следовал за ним в этом
отношении.
XVIII
Первая фОРМУЛИРО8иа теоремы о TaHreHcax
Из ТЬотае Fiпkli, "f1enspurge :Isls Geometr;ae Rotundi, Libri XIIIl а,
Basileae, 15Ь3 t).
П Р е д в а р и т е л ь н ы е з а м е ч а н и Я. "rеометрия круrлоrо"
Финка (Finck) содержит ИЗЛ(Jiкение учения о Kpyre и шаре, вклю"
чая сюда также плоскую и сферическую триrонометрию. Ес.1JИ
в каком нибудь треуrольнике даны две стороны и уrол ме)l(ДУ
ними, то в нем известны сумма двух друrих уrлов и (по
Teop Me синусов) отношение их синусов. Задачу нахождения
двух услов по их сумме и отношению их синусов решил уже
Птолемей. Ero комментатор, Теон Александрийский (около 370 r.
н. э.), развил это решение; Реrиомонтан в своей "Триrономет
рии" (составленной около 1464 r., изд. 1533 r.) (см. выше, Ng Х)
тоже подвинул даlIьше эту задачу. Их обоих цитирует Финк,
t) rсд издания укзззн лишь В конце тома (а также в лвух вводных
письмах). Автор подписывается (в первом предисловии) Tho:nas Fiпсk.
105
,tЗJощиt1, однако, новое реLllение ее. Особеннсстью ero реПIС-
ния является то, что он приме(fИЛ эту задачу к случаю ко-
соуrольноrо rреуrолыIка,, для KOToporo Реrиомонтан дал не-
удобное решение путем опускания высоты. Встречаl0щиеся
в нижеследующе мноrоточия стоят на месте приводимых Фин-
ком цитат.
Стр. 28 t. И требуется, коrда даны сумма или разность
двух дуr или уrлов, а также отношение синусов, определить
каждый отдельный (уrол).
Этой задачей занимаются Теон и Реrиомонтан Их. спо-
соб решения ты можеllIЬ там прочесть. Мы же воспользуемся
следующим методом.
Как половина суммы члёнов отношения синусов относится
к разности половины и одноrо члена, так (относится) тан-
reHc половины данной суммы дуr к TaH
reHcy такой дуrи, на KOTOpYIO меньшаи
из ИСКОМhIХ дуr меньше половин'bl сум-
мы или большая больше 1).
Пусть на нижеследующем рисунке
(фиr. 22) данная сумма дуr ie, еа бу-
дет 40 rрад. и пусть будет данное
Фиr. 22. отношение синусов этих дуr,. т. е.
ОТНОluение ао К. io... как 7 к 4. Тре-
буется отыскать отдеЛЬН':>Iе дуrи ае, ei. Проведем радиус иа
к концу хорды и (радиус) uy, делящий пополам хорду и сумму
дуr. Тоrда yroJI rua равен 20 rрад., и ero TaHreHc есть ar. Ве-
личину таиrенса мы находим из канона (таблицы), равной
3,639,702, а по пр дположению равной 5 . Ибо ia есть 11,
следовательно, ra равно 5 . Но как 3,639,702 относится
к 10,000,000, так 5 к 15 с излишком. Действительно,
остается 2) 808,940. Но ro есть TaH'reHc уrла our; и в той
мере, в 1(8КОЙ ur есть радиус, оно а ск()лько БОЛЫl1е 15.
j) в списке опечаток указана rрубая опечатка.
2) В ориrинале rоворится "петре re:nal1ertt a . Но следующее аа этим
число мне непонятно. Должно получиться в Тuчности 15,111, 130. Возмож
Но, что Финк имеет в виду остаток до следующеrо ми lлиона. Но тоrда
должно было быть 883,870, и мы имели бы перед собо:1 просто ошибку
в вычислении.
106
ЭТЮI, rOBOplO If, Jt:;ет я и разность 1 м сжду ас 5 & ао 1,
. 5 1 & . 4 И 1""
или разность IС}I(ДУ lr 2" 10 . 00... как ur в данной
мере относится к радиусу, так (относится) ОТ в данной мере
к TaHreHcy уrла и, т. е. дуrи еу. Отсюда следует данная нами
1
выше фОРМУЛИРОВI(а. Ибо KaI( ar в данной мере 52" относит-
ся к 3,639,702, именно (282) к TaHreHcy уrла rиз, так (отно-
сится) 15 +, т. е. ur в данной мере к 1 о, 000, 000.
и KaI{ 15 : относится к 1 0,000, 000, так (относится) or
1
в данной мере 12 к 992,646, ТЗНiенсу уrла оит. Из равен-
ства отношений (следует), что KaI' половина суммы членов
отношения синусов относится к разности половины и одноrо
члена, так (относится) тзнrенс половины данной СУММЫ к тан-
reHcy дуrи простафайрезиса (Prostapllairesls) 1).
Именно
аТ
ar
or
or
5
2
3,639,702
1
12
992,646
Следовательно, TaHreHc дуrи еу. или подобной дуrи равен
992,646. В каноне TaHreHcoB этому значению соответствует
rрад. 5,40' простафайрезиса. Если это отнять от половины iy,
то остается 14,20', если это прибавить к половине ау, ТО
получится 25,40', и, таким образом, большая из искомых дуr
есть 25,40', меньшая 14,20'.
За этим следует соответствующая задача насчет разности,
потом друrие теоремы о треуrольниках, между ПРОЧИМ, теорема
синусов в совершенно современной формулировке: "стороны про-
порциональны синусам противолежащих уrлов" 2), затем резюме
разобранных случаев с указанием, что теперь нехватает еще случая
задачи, коrда требуется по уrлу и приле)l{ащим к нему боковым
ребрам найти оба уrла при основании. По сравнению с Реrио-
монтаном он, читаем мы, вывел из прежнеrо (т. е. вышеприве-
денноrо) учения краткое, леrкое и НОЕое правило.
i) Так Финк наЗblвает, очеВJJД 10, дуrу еу, ибо она подучается 118
"прибавлеНI Я" и "отнимаНhЯ", как укаЗЫВ,.ет 1 реческое СЛОБО.
2) Стр. 287: Latera sinibtlS оrроs.tолtm алgl110тurп sunt proportjonalia.
107
етр. 292. И как половина суммы ьокоВЫх ребер отмосит-
ся к разности половины суммы и одноrо ребра, так T8HreHC
половины внешнеrо уrла боковых ребер (относится) к тан-
reHcy уrла, на который меньший из внутренних у['лов меньше
половины сказзнноrо дополнения (до двух прямых), или боль-
ший больше.
За этим сле,lУЮТ два числовых примерз, вычисление которых
производится в точности так, как в случае вышеуказанной задачи.
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Хотя Финк еще не умеет
оперировать общим образом буквами, но мы можем без труда
придать ero рассуждению общий характер. Допустим, например,
что ie == , еа == а, а + === 400 == а, sin а: sin == 7: 4 == т: n.
В таком случае теорема rласит:
тt п :( тt п п) ===tg : tg ( ),
[де вместо последнеrо члена можно взять и tg ( а )
Уrол rua на рисунке равен тоrда ; === а t , уrол
а а a
,оа == 2" == а ,...... 2" == 2 ·
ЧтобlJl уб2ДИТЬСЯ, что синусы yr.10B а и относятся ме)кду
собой, как ао к oi 1), достаточно опустить на uе перпендикуляры
из а и i, представляющие эти синусы. Остальное представляет
с. бой выкладки по Regula aurea, как выражается Финк, т. е.
по тройному правилу (см. ч. 1, NQ II). Достойно при этом вни-
мания, что значения даны в десятичных знаках, как это ввел
Реrиомонтан. Но это еще не десятичные дроби, так I<aK e .цe
отсутствует отделение дробной части числа от целой. Это сделал
дишь Виета в своем каноне от 1579 r. (см. след. номер).
Что касается теоремы TaHreHcoB, то, если мы обозначим оба
боковых ребра через а If Ь и уrол между ними чер з 1, она
r.lасит следующее:
а + ь. ( а +- ь ........ ь) == t 1800 "( . a ( 1800 "( (( )
2 ' 2 g 2 .ь 2 t'
t) ФИНЕ, собствен 10. должен был бы ввести при ао и oi ко,фици-
HTЫ пропорциоаальности. Но так как они сократились бы между co
БJ Й, 10 опущение их не меняет дела.
108
этому результату нетрудно придать нашу соврем нную форму-
лировку, что было сде.1ано впервые Виетой, хотя только в
словесной фОр llе (СМ. HIl)IC ).
XIX
Четыре случая триrонометрическоrо решения плоскоrо
косоуrольноrо треуrольника
Из FrancJsci Vietae, "Variorum de rebus mathematicjs responsorum",
Liber УН!... Turonis,... 1593.
Предварительные замечания. Уже в 1579r. Виета
выпустил в Париже обширные триrонометрические таблицы (Canon
mathematicus. .., Lutetiae, 1579), во второй части которых нзла.
rалась основательно развитая система триrономерии. Но наи о
лее законченную форму эти теоремы получили только в вышед-
шей в 1593 r. в Туре восьмой книrе (остальных книr нет) О
различных математических вопросах. Соответствующий отдел
озаrлавлен так: "Пр6zеtро 1), seu ad usum Mathematici Canonis
Methodica", Т. е. "Методическое руководство к пользованию Ma
тематическим каноном". Сперва здесь рассматриваlОТСЯ различные
случаи плоских прямqуrольных треуrольников. Теоремы изложены
еще по-старинному, в виде пропорций, как, например: "Как
основание (относится) к Perpendictllum (т. е. как rоризонтальный
катет относится к вертикальному катету) (см. выше, N'2 XIII), так
Sinus totus (т. е. величина rипотенузы, у Виеты 100000) (ср.
так же выше, N'2 XVII) относится К TaHreHcy oCTporo уrла". При-
водимые Виетой теоремы отчасти новы, отчасти же, коrда они
не новы, формулированы совершенно по новому, как в ни)кесле-
дующем теорема косинусов и теорема TaHreHcoB. Доказательств
теорем Виета не дает.
IIII
Лист 31, Rii.:
Если в КАКОМ-НИБУДЬ плоском ТРЕуrОЛЬНИКЕ
ДАНЫ уrлы 2 ), то в СТОЛБЦАХ КАНОНА МОЖНО
Н А Й Т И И С Т О р О Н Ы Е r о.
Действительно, стороны ПРОRорциональны синусам (yr,':oB),
которым и они стяrиваlОТСЯ 3).
i) Pr6chelron, дословно, примерно, "указатель.. Виета, прекрасно
знавший древние языки, охотно употреблял сочиненные им самим rpe.
ческие и латинские технические термины.
2) Виета, раэумеется, только забыл здесь сказать, что дана TJK)f{e
одна сторона.
S) Эта фОрМУЛИрОВК:t "Latera sunt simi1ia sinib1ts, quibus еа sl1btel1
duntur 8 звучит заметно более старинным образо , ч::м фОр:\fУЛИрОВI<а
Финка (см. N ХVIП).
109
И н а ч е. Стороны треуrОЛЬНИI\а пропорцион льны CYMMcl\1
TaHreHcoB (P.iosinibus) уrлов, дополнительных к половина l
уrлов, которые прилежат к ним
И н а ч е. Основание треуrольника пропорционаJ1ЬНО сумме
TaHreHcoB половинок прилежащих к нему уrлов, а I{аждо бо
ковое ребро подобно разности между TaHreHcoM уrла, допол-
нительноrо к половине уrла при вершине, и TaHreHcoM поло..
вины приле}f(ащеrо к нему у основания уrла.
И н а ч е. Боковые ребра пропорциональны секансам (Trans-
sinuosis) уrлов, дополнительных к уrлам у основания, к }{оторым
они прилежат. Основание я(е пропорционзльно разности или
сумме TaHreHcoB уrлов, дополнительных к этим уrлам: сумме
в том случае, если оба уrла при о новании предполаrа IОТСЯ
острыми, разности, если один из НИХ тупой.
V
Е с л и в к А К О 1\1 - Н И Б У Д Ь П л о с к о м т Р Е У }' О .тI Ь Н и к Е
ДАНЫ СТОРОНЫ, то можно НАИТИ И уrлы (32, Vo.).
Действительно, как двойной прямоуrольник из боковых
ребер относится к разности между суммой квадратов ребер и
квадратом основания, так sinus totu3 относится к синусу уrла,
дополнительноrо к уrлу при вершине.
При этом, если квадрат основания меньше суммы квад-
ратов боковых ребер, то уrол при вершине острый, еС!IИ же
больше, то тупой. Если же он равен ей, то уrол при, B p
шине прямой.
За этим следуют две, не имеющих для нас интереса, проме-
жуточных теоремы.
VI
Если в КАКОМ НИБУДЬ ПЛОСКОМ ТРЕуrОЛЬНИI{Е
ДАНЫ БОКОВЫЕ РЕБРА И уrол ПРИ ВЕРШИНЕ, ТО
можно НАЙТИ уrлы при ОСНОВАНИИ.
Действительно, как сумма боковых ребер (относится) к IIХ
разности, так (относится) TaHreHc полусуммы уrлов при осно-
вании к TaHreHcy их полуразности.
И н а ч е... ДействитеТJЬНО, первое боковое ребро ОТНОСИТС51
ко второму ребру, как секанс уrла, дополнительноrо к уrлу
при вер:пине, относится к некоторому друrО IУ о rрезку; сумма
или разность эrоrо отрезка и TaHreHca уrла, ополнительноrо
110
J{ yrJIY при вершине, равна; TaHreHcy УI'ла, ДОПОJ1нительноrо к
уrлу, стяrиваемому первым ребром. Случай суммы (имеет место),
({оrда уrол при вершине принимается тупым, случай раз
насти, если он острый. В том случае, КОl'да TaHreHc уrла,
дополнительноrо I( уrлу при вершине, меньше указанноrо OT
резка, уrол, стяrиваемый первым боковым ребром, острый;
если же он больше ero, тупой, а если ра вен ему, то
прямой.
VII
(32, Ril.)
Е с л и в к А К О М. Н И Б У Д Ь П Л О С К О I Т Р Е У r о л ь н и 1< Е
ДАНЫ БОКОВЫЕ РЕБРА И уrол ПРИ ОСНОВАНИИ, ТО
МОЖНО НАЙТИ ТАКЖЕ дру'rой Уrол при ОСНОВАНИИ.
Действительно, е ли считать боковое ребро, стяrиваемое
данным уrлом, первым, то I{aK первое ребро относится ко
второму, так относится синус данноrо уrла к синусу друrоrо
искомоrо уrла у основания.
Или, как второе боковое ребро ОТНОСИТСЯ к первому, так
cel<aHc уrла, дополнительноrо к данному уrлу, относится к
секансу уrла, дополнительноrо к искомому уrлу.
Но если данный уrол острый и первое, стяrиваемое ИМ,
ребро меньше BToporo ребра, то значение искомоrо уrла
двоякое именно, если отношение BToporo ребра к первому
меньше отношения sinus totus к синусу даННОf.J уrла. Поэтому
в данном случае можно взять либо острый уrJЛ, который
находят в каноне, либо же уrол, дополнительный к нему
до двух прямых. Из усяовий задачи нельзя вывести, какоЙ
из этих уrлов следует взять.
Дальнейшие номера относятся к сферическому треуrольнику.
Пояснительные замечания. Что касается терминов,
то введенные Виетой для TaHreHca и секанса названия "Prosinus 11 и
"Transsinuosa" не И lели успеха, между тем названия "Tangens 1(
и "Secans", употребленные незздолrо до Toro впервые Т. ФИНКО I
(C Y. N2 XVIII), утвердились. Названия кофункций стали посте
пенно употреблять лишь после Виеты. Слоr СО ВОЗНIIК из роди.
тельноrо падежа "complementi IC . Изложение четырех случаен
образцово и безупречно. Правда, теорема синусов была известна
уже с древних времен (СМ. .N'Q XVI); что касается теоремы коси
нусов, тождественной по существу со старым обобщением пифа.
I ОрОВОЙ теоремы, то даты возникновения ее нельзя в ТОЧНОСТII
укаэаlЬ; но никоrда до Toro она еще не была сформулирована
так изящно. То же car.loe относится к теореме T HreHCOB, вые-
111
казанной Т. Финком за 1 О лет до Toro в rораздо более прост"
ранном виде. Но наряду с этим Виета дает еще ряд друrих
теорем, которые мы рассмотрим несколько ближе. При этом
современному читателю не может не броситься в r_'Iаза то об-
стояте.1JЬСТВО, что вообще основание треуrО.lьника выделяется
еще по сравнению с БОК08ЫМИ ребрами, блаrодаря че tу, как мы
сейчас увидим, получаlОТСЯ несимметрические теоремы. Но
дО XIX В. еще не сознавали ясно и не при меняли систематически
понятия циклической перестановки.
Наряду с теоремой синусов совершенно симметрический ха-
рактер но ит еще вторая теорема (см. IIН, стр. 109).
На языке I\ЗШИХ формул она rласит:
а: (ctg + ctg ) == Ь: ( ctg ; + ctg ; ) == с: ( ctg + ctg ).
с
А
Если умножить каждую скобку на
коэфициент пропорциональности -р, то каж-
дый предыдущий член окажется равным
каждому последующему, как это леrко
видно из фиr. 23 (Виета не дает никаких
рисунков) .
Второй вариант теоремы синусов носит
уже несимметрический характер. На язы-
ке формул он rаласит:
c:(t g ; +tg )==a:(ctg tg )== :(ctg tg ).
Нет сомнений, что и эту теорему Виета доказал rеометри-
чески м способом.
Для доказательства правильности ее мы положим:
а р 2 (S а) (s Ь) (s с)
tg 2 == и т. д., р === .
s a s
ТОI'да lIутем несложных выкладок можно найти, что
t g + t g L c(s c) ct g l t g === a(s c)
2 2 ps J 2 2 ps н т. д.
t 12 ·
ДостаТОЧН8 умножить все послеДУlощие члены Н8
8 (8 а) (s Ь)
s с р2
тобы получить первую симметрическую форму.
Третий, данный Виетой, вариант теоремы синусов rласит:
а == cosec == Ь cosec а == с : (ctg а + ctg ).
Это нетрудно доказать, написав:
а: 1 b. 1
5111 · si n а
sin у
==с: .
sin а si n
Так как Виета еще не может рассматривать
уrлов, то в случае тупоrо уrла, например уrла
брать KOTaHreHc смежноrо с ним oCTporo
уrла И, разумеется, вычитать ero. ПОЭ1'ому
у Hero имеется в конце рассматриваемоrо
номера лишнее для нас различение.
В V дается теорема косинусов, прими-
мающая, соrласно современному обозначе-
нию, вид:
2аЬ : (а 2 + Ь 2 с 2 ) === 1 : cos у.
функций тупых
, он вынужден
Фиr. 24.
Дополнение содержит в себе, если пользо..
ваться на'lIИМ способом выражения, только условие Toro, по-
ложителен ли, отрицателен ли или равен нулю cos у.
Первая часть VI это, попросту, наша теорема TaHreHcoB
(см. N2 XVIII). Вторая часть может быть выражена следующими
равенствами (фиr. 24):
а : Ь == cosec у: х и х ctg У == ctg а.
Отсюда получается:
Ь
== а ctg cl + а ctg у,
510 У
И, на конец,
t а sin у
g cl == [} а cos'j ,
в чем леrко убедиться 110 черТСI , 1160 числиrе,1Ь этой дроби
равен BD, а .знаменатель равен AD. В новейшее врем. эта
формула получила в немецкой литературе название separierter
Tangentensatz, она очень vдобна для выкладок беа пora.
8 в в 4 е I т и е,. Х, C'l "lf811. 113
РИфМОВ. ДОПОlнение Виеты относится к СЛУЧЗIО, коrда у или
а тупые уrлы.
В VH снова просто применяется теорема синусов в форме
обратных косекансов. Но интер2С представляе r П01НЫЙ, без
пропусков, анализ случая а, Ь, а для а < 900 и а < Ь.
В этом случае сущеСТВУIОТ оба УI<:азанных решения, предполаrая
только, как замечает Виета, что не имеет места ни Ь:а 1: sin а.,
ибо в этом случае уrол был бы прямым, ни Ь: а> 1 : siп а
(а < Ь sin а), ибо' тоrда а было бы слишком коротко и треуrоль-
ник был бы невозможен.
хх
Теорема сложения синусов в более новой форме и с более
новым выводом
Из траКТl1та .Trigonometlica" Р. С. Maieri, .Commel1tarii AcadeTiae
Scientlarum Imperialis Peiropcl1tanae", Tomus 11. Ad Аl1пиm CI:> IJCC
}\ ХУII. Petropoli CI:> IJCC XXIX.
Стр. 13 (ориrинаТI написан по. латыни).
4. Если синус большеrо OCTporo уrла равен S, а косинус
равен С, и синус меньшеrо уrла равен s, а косинус равен с,
то я утверждаlО, что синус уrла, соста-
вленноrо из суммы обоих уrлов, равен
Sc +Cs Sc sC
, а синус рззности их:
r
если ПОЛО}I\ИТЬ радиус равным r.
Пусть больший уrол (ср. фиr. 25) ===
=== аср, ero синус == DF === S, а коси
нус == СО === С. Пусть, далее, меньший уrол
== Аса, ero синус == АЕ== s, а косинус ===
== ЕС===- с, тоrда составленный из суммы
обоих уrлов yro.1 === АСFи ero синус === РН.
Продолжим FD дО В, так что получатся
подобные треуrО,,1ЬНИКИ АЕС, BDC; СНК
подобия их имеем:
Фиr. 25.
и ВРН. Из
или
r
J
EC:AE DC:BD,
sC
c:s===C: .
с
Следовательно:
BF===BD+DF=== Sc +sC .
с
114
Далее мы имеем:
АС: EC==BF:FH,
или
Sc +sC Sc + sr:
т: с == :
с r
ОТСlода следует, ЧТО сину-: COCiaBHoro (уrла):
FH== Sc+sC .
r
Это........ во-первых.
Если же на том же самом чертеже больший уrол == АСР,
синус ero FH == S и кос.инус == СН == С, а меньший уrол ==
===АСО, ero синус==АЕ===s, а косинус==ЕС===с, то синус
остаточноrо yrла === DF. Но
ЕС:АЕ=== СН:НК,
или
,с
c:s==C: .
с
Следовательно:
Р/( === FH НК == Sc ....... sC .
с
3ат.:м имеем:
АС: ЕС== РК: ОР,
или
Sc Cs
(:с==
Sc sC
.
с r
Sc sC
Поэтому синус остаточноrо уrла == . эrо.....во-вТорых.
r
П о и с н и т е л ь 11 Н е а а м е ч а н и я. Прежде Bcero заметим, что
при обозначении roioB в "Трудах Петербурrской академии наук"
еще ПОЛЬЗ0вались старыми римскими знаками ДЛЯ 1000 и 500.
Происхождение знака для 1000 неясно, знак ДЛЯ 500 предсТ8В.
nяет половину nepBoro. Только в позднеримскую 9ПОХУ возник.
ли М (как сокращение от mfl1e) и D (буквенное изображение
правой половины 1:) знака CIJ).
Приведенная нами работа петербурrскоrоакадемика Ф. К. Майера
Maier) и друrие труды ero знаменуют проrресс в символике.
равда) для производства в кладок ero способ чало' практичен.
- 115
ибо в нем нехватает обозначеН1fЯ уrла. В наСТОЯUJ,ее время YiI\
не пользуются таким способом вывода, но он все же еще при-'
I'оден. fсли ввести обозначения уrлов и положить r === 1, то он
становится несколько удобнее. Заметим, кроме Toro, что \айер
не пови\!ал еще ясно различия знаков в раз IblX квадрантах.
Решительное улучшеНllе в этот вопрос ввел Эй.1ер (см. слеДУIО-
щий н Ol\'lep).
ХХ'
Теорема Муавра
Из "I:1troductio ln Analysin infini,torum.. uctore Leonh!rdo Eulero.
Tomus Primus. Lausannae., MDCCXL VIII.
Стр. 97.
132. Так как (sin.z)2+ (COS.Z)2 === 1, то, разложив на множи-
тели, полу им:{соs.z+v 1.siп.z) (co;..z v 1.sin.z)==1.
Хотя эти множители мнимые, но они оказываются очень
полезными при сложении и умножении дуr. Действительно,
пусть требуется найти ПРО:lзведение таких множителей:
(cos.z + -v 1 · siп.z) (cos.y + -v ......... 1 · siп.y); получаем:
cos.y. cos.z sin.y · siп.z + (cos.y. siп.z + sin.y. cos .z) у 1.
Но, так как cos.y.cos.z sin.y.siп.z==cos.(y+z)&
cos .у. siп. z + siп .у. cos. z === sin. (у + z), то это ПРО:iзведение:
(соа.у+у t.siп.y) (cos.z+-V 1.siп.z) ==cos.(y +z)+'
+ v 1 · siп . (у + z), & подобным же образом:
(cos.y........ у 1 · siп .у) (cos. z -V 1 · siп. z) == cos. (у + z) ........
v 1 · siп. (у + z) и
(соа.х + у 1 .sill. х) (cos.y + у t.siп.y) (cos.z + j
<+у t.sin.z) ==cos.(x + у + z) + у 1.sill. (х + у + Z
133. Отсюда следует t что f
(cos. z + у I · siп. Z)2 == cos. 2z + у 1 · siп. 2 z &
(cos . z у 1 · sin. z)З == cos. 3z + у ........ 1 · siп. 3z.
t. Поэтому, вообще.
(cos.z..-t- у 1.siп.z)п==cos.пZTY t.siп.пz.
116
п о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. А. дe М у а в р ( Мо i vre ),
французский эмиrрант, про l\и:'авший в Лондоне, никоrда не из-
лаrал этой теоремы в столь отчетливом виде, как Эйлер в ци-
тированном отрывке, хотя в замаскированной форме она BCTp -
чается у Hero, начиная в 1707 r. Мы Еоспроизвели по возможности
ТОЧНО форму набора текста у Э}tлера. П жде Bcero бросается
8 rлаза, что знаки функций все набраны курсивом, что тепе;JЬ
БОЛЫllе не делается 1). Далее, за этими знаками всеrда стоит
точка как знак сокращения. Материал также расположен иначе,
чем в наше BpeM!.J, коrда отдельные равеНСl ва выписываются в
особых строчках, блаrодаря чему значительно облеrчается обо
зримость материаJIа. Но, с друrой стороны, все это представляет
лишь второстепенные отличия по сравнению с современным спо
собом начертания, об наружи' ая вместе с тем оrромный проrресс
по сравнению с эпохой около 1600 r. (см. Н2 ХУН), коrда еще
не были знакомы с символикой формул.
Умозаключение от частных случаев к общей теореме произ
водится в настоящее время более строrим образом (полная
индукция). Обозначение i дnя V 1 впоследствии ввел сам
Эйлер; но общераспространенным оно стало лишь в XIX в.,
в особенности блаrодаря последовательному употреблению ero
rayccoM. Соответственно этому мы пишем теперь теорему Муав-
ра так:
(cos z + i sin z)" === cos nz + i sin пz,
rде п может быть и дробным, а не только целочисленным, Kaft
в дедукции Эйлера. Само собой разумеется, что при i мож {о
взять И знак минус.
Первая часть эйлерова "Введения в анализ бесконеЧl!ЫХ"
была издана на немецком языке еще в новейшее время, именно,
в 1885 r. r. Мазером (Maser) в издательстве ю. Шпринrера
в Берлине [впрочем, уже в 1788 r. все это сочинение целиком
вышло в немецком переводе и. А. Х. Михельсена (Michelsen)].
t) Набор формул и отдельны! букв курсивом начался с появлеНIIЯ
труда Томаса rарриоrз (Harriot) .Artis analyticae prltxls.. Лондон, 1631;
TC пор 06 стцл есе более и более распростраНИl ься.
1\1
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ И СИНТЕТИЧЕСКАЯ
rЕОМЕТРИЯ
KOrJl8 к началу XVH в. БУКQенное ,.иСЧИСJIение оказало ь раз-
работанным настолько, что можн{) было мало-помалу начать
пользоваться символикой формул, то исчисление это БЫJ10 при-
1I0жено и к rео етрии. Блаrодаря приложению ero к элементар-
H M задачам возникла алrебраическая rеометрия, являющаяся
еще и в настоящее время излюбленным предметом в ШКОЛЬНОМ
преподавании. В результате же применении алrебраическоrо исчис-
ления к созданному Архим едом и, в особенности, АПОЛ1l0нием
учению о конических сечениях возникла аналитическая rеометрия.
Поэтому в 111 части хре:томатии и исхожу из античноrо
учения о конических сечениях и лишь затем перехожу к анали-
тическим формулировкам Ферма и Декарта. Но тот, кому пер-
вые параrрафы покажутся слишком трудными или просто утоми..
теЛБНЫМИ, может спокойно начать с N2 IV. Тяжеловесности
изложения, естественно УСИЛИВllIеЙСR от cTporo дословноrо пере-
вода, нельзя было избежать, если желательно было дать читателю
возможность заrлянуть по-настоящему в метод работы древних
I еометров. Ознакомившись с ним, он сможет только радов"зться,
Ч-ТО в наше время все это преподносится в rораздо более леrкоМ
и удобном виде.
Синтетическая rеометрия тесно связана с аналитической, и60
обе они оперируют в значительной мере над одним и тем же
материалом. Ничеrо нет удивите/lЬНОI О, поэтому t что чисто reoMeT'"
рИ'Iеское, свободное от рассмотрения конуса, исследование конИ'"
ческих се'lеииА 8ОЗННКJIО тоже 8 ХУН 8. бдаrод.ари работам Деззрr
ll
"
но оно не укрепилось и совершенно заrлохло, чтобы возродиться
лишь к началу XIX в. Подымался вопрос, не откроются ли и
корни проективной rеометрии в древности. Зародыш ее некоторые
исследователи rOToBbI были видеть в утерянных "Поризмах" Эв-
К.'Iида. Но если бы это и 6ыло справедливо, то форма изложе
'IИЯ изменилась настолько, что можно спокойно r080рИТЬ о
совершенно новой дисциплине.
При составлении этой части я руководился теми же оБIl И-
ми принципами, которые JIеrли в основу первой части. Но по
сравнению с ориrиналами я здесь позаботился о наборе всех
букв курсивом, между тем как даже в книrах XVIII в. кур-
сивом набраны большей частью лишь строчные буквы. Рисунки
трудов древнеrреческих авторов, выполненные 8 изданиях, сделан
ных по рукописям, очень неудовлетворительно, я изrотовил со-
rласно требованиям правильной косоуrольной проекции..
Коллеrа Буллемер (BuIlemer) и в настоящем случае проверил
перевод отрывков из классических авторов.
119
1
Опред пение общеrо KpyroBoro конуса
Из "АроI10ПН Pergael quae graece axstant cum commentariis antiqu's.,
Ed. 1. L. Heiberg, Lipsiae, МDССL:ХСП, Т. 1 (по..rреч. и по.лат.), Немецкиf:i
перевод А. Чвалины (А. Czwalina) .Die Kegelschnitte des Afoll0nios.,
Мюнхен, 1926.
Стр. 6 7 (нем. пер. стр. 2). Если из какой нибудь про
извольной точки проведена пря !ая к окружности Kpyra, не
лежащеrо в одной плоскости с этой точкой, и продолжена по обе
стороны и если, оставляя неподвижной эту точку, водить указан
ной прямой по окружности Kpyra, пока она не ве;>нется в то
самое положение, из KOToporo началось движение, то обра-
зуемую прямой поверхность, состоящую из двух соединенных
между собой вершинами поверхностей, каж ая из которых
простирается в бесконечность, я называю конической по
верхностью, неподвижную точку вершиной (верхушкой),
а прямую, соединяющую неподвижную точку с центром кру-
ra, О..ью (конуса).
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Соrласно одному позд
нейшему свидетельству конические сечения открыты неКИ 1
Менехмом (Menaichmos, около 360 f. до н. э.), современ..
ником Платона и учеником знаменитоrо Эвдокса. Из coxpa
нившеrося об этом сообщения неясно, открыл ли он их
впервые или же нашел, что уже бывшие известными каким-то
иным путем линии: эллипс, параболу, rиперболу можно по
лучить при помощи сечений конусов вращения. Во всяком случае
он прибеrнул к коническим сечениям для решения занимавшей
ТОfда мысль ученых проблемы удвоения куба (или, как мы бы
сказали, для решения уравнения х 3 == 2ti З ). Производя сечение
всеrда перпендикулярно к обраЗУЮlцей конуса, стали называть
три вышеупомянутые линии в указанном порядке сечениями OCTpO
УI'ольноrо, прямоуrолъноrо и ТУПОУI'ольноrо конусов. Первое со.
чинеfiие о "пространственных местах" (Т. е. конических сечениих)
было написано АРllстеем (Aristaios) CTaplllllM. Несколько позже
(около 300 r... до ц. э.) ЭВ,I/1JЦД н.ацисал нему в lЩ.L1..e ДОJ1D..rw. -
\
ния труд о конических сечениях. Однако оба эти произведения
не ДОШЛИ до нас. Хотя Архимед расширил во мноrих "унктах
учение о конических сечениях, но он не состзвил собственноrо
труда о них. Накс нец, выступил Аполлоний (1 7 О r. до н. э.)
с трудом в 8 книrах о конических сече'iИЯХ. Из них сохрани-
лись первые 4 по rречески, следующие 3 по-арабски. Послед
НЯЯ книrа утеряна. Сох анившиеся по-арабски книrи были пере
ведены в 1710 r. на латинский язык rаллеем (Наllеу, по имени
1<0TOpOro нззва на известная комета).
В первых четырех книrах Аполлоний, повидимому, сильно
придерживался Эвклида. Однако он совершенно освободился от
традиционноrо метода пользоваться различными конусами для
различных конических сечений. Как мы выше видели, он дает
определение совершенно общеrо наклонноrо KpyroBoro конуса,
над которым и производит свои сечения. Только в дальнейшем
ходе ero рассуждений оказывается, что полученные, таким обра
зом, кривые можно обнаружить и в случае сечения конуса Bpa
щения и что, следовательно, они тожде\:твенны с линиями, которые
были раньше названы "коническими сечениями". Ничеrо заrа
дочноrо нет в том обстоятельстве, что Аполлоний все еще опе
рирует с KpyroM как "основанием.. В настоящее время мы знаем,
что мы имеем здесь пер д собой общий конус BToporo порядка,
по существу, это знает и Аполлоний, но он этоrо не может
выразить при помощи cBoero rеометрическоrо метода.
Весьма интересно введенное, вероятно, тоже Аполлонием
1I0BIllecTBo мыслить себе образующую прямую продолженной
в обе стороны до бесконечности. Блаrодаря этому он оказывается
в состоянии формулировать ряд теорем для rиперболы так, как
он это делает для конических сечений с одной ветвью. Новые
названия конических сечений также восходят к Аполлонию, и
мы BCKOp ПОЗ'lакомимся с их значением (см. ниже, ч. 111, N2 111).
11
KpyroBble сечения наклонноrо конуса
Из . Аро1l0ПН Pergaei quae graece exstant 8 , ed. 1. L. Н eiberg, Lipsiae
MDCCCXCI, т. 1, КН. I, 5.
Стр. 16/17 (rреч. или лат.; нем. стр. 6). Если произвестисе
чение HaKJ10HHOrO конуса плоскостью, проходящей через
ось и перll НДИКУЛЯРНОЙ к основанию, и про извести сечеНII
el'o второй IIJIОСКОСТЬЮ, перпеi-lдикулsрной к осевому треуrоль
н 1I1(Y, И если эта последняя плоскость отсек3.ет по напраВ,1е
HIHQ к ВСРЩl{не tp-=уrQЛЬНИК, подобный TpeyrOJIbHHKY через
" .. ,
\;\
(8) ось, но расположенный противоположным образом, то
сечением (плоскости с конусом) будет Kpyr, и такое сечение
будет называ 1 ься "противосечением".
Пусть дан наклонный конус, вер:.uина KOToporo точка А,
а основание Kpyr ВС (фи r. 26); пу(ть производят сечение ero
плоскостью через ось перпендикулярно к Kpy.ry ВС, и пусть
это се'lение даст треуrольник АВС.
Пусть 'производят также сечение ero второй плоскостью,
перпеНДИI<УЛЯРНОЙ к треуrольнику АВС и от екающей по
направлеНИIО к точке А треуrольник АКН, подобный Tpe
УIОЛЬНИКУ АВС, но расположенный противоположно (с анти-
А 8 параллельной стороной), т. е. так,
что ) rол АКН равен уrлу АВС. И
пусть сечением (плоскости) с поверх-
ностью (конуса) будет линия НОК.
Я утверждаю, что ЛИНИrl НОК есть
Kpyr.
Действительно, возьмем на линиях
НОК, ВС любые точки О, L и опу
стим из точек О, L перпендикуляры
на (определяеМУIО) треуrолыlкомM
АВС плоскость. Они пересекут общие
линии переСЕчения плоскостей, и
пусть 1ак получатся перпенд 'куляры
ZO, LM. Следовательно, ZO парал
лельно LM. Проведем теперь через
Фи 2 ; (точку) Z (прямую) DZE параллельно
ВС. Но ZO та же параллельно LM.
Значит, плоскость через ZO, DE параллельна основанию
конуса. Поэтому она 1) Kpyr, диаметр KOToporo есть ОЕ.
Следовательно (прямоуrольник) на DZ, ZE равен (квадрату)
на zo. И так как ED паралле1ьна ВС, то уrол ADE равен
уrлу АВС. Но (уrол) АКН предположен raBHbIM уrлу АВС.
Следовательно, и (уrол) АКН равен уrлу ADE. Но и pac
положенны у точки Z (вертикальные) уrлы равны. Поэтому
треуrольник DZH подобен треуrольнику KZE. Следовательн(),
как EZ относится к ZK, так KZ к Z D. Следоват 'льно,
П;Jямоуrольник на (20) fZD (т. е. на EZ и ZD) равен прямо
уrольнику на KZH. Но было показано, что (ПРЯ lоуrольник)
на EZD равен (квадрату) на zo. Следовательно, и (прямо
t) Из 9Toro выражения ЯСНО, что ('ОД It П.10СКОСТЬЮ. АПОЛ.'lОIlIlЙ пона-
Mae'f 1О.1ЬКО ltнтересующ,уЮ еl'О Оl' аllИЧ ll11 'lО QaCIb ЦJlОСКОС1
-
уrольник) на KZ, ZH равен (квадрату) на ZO. Подобным
же образом можно было бы доказать, что и все опущенные
из линии НОК на НК перпендикуляры в квадрате paoPlbl
(прямоуrольнику) на отрезках НК.
Следовательно, сечение, диаметр KOTOpOI'O еС1 ь НК, есть
«pyr. ·
п о я с н н т е л ь н ы е 3 а м е ч а н и я. Если коснуться сперва
формы изложения, то всякому читающему в первый раз подобный
текст прежде Bcero бросается в rлаза, что это сплошной текст
без всяких формул или символов. При б лее внимательном чте-
нии можно заметить, что встречающие си здесь элеме: ты алrебры
Иlложены чисто rеометрическим образом, как, например, отношения
отрезков в подобных треуrОЛЬНИl,ах или произведения внешних
и внутренних членов пропорции, рассматриваемые как прямоуrоль..
ники. Дело в том, что rреки совершенно не обладали алrебраи
ческим способом выражения.
Далее, в rлаза бросается мноrословность текста. Одни и те
же фразы повторяются вскоре друr за ДРуrом. Мы уже встретили
то же самое у Эвклида (см. ч. 11, М П). я там Уkаэал на то, что
эти доказательства первоначально излаrались, беэ сомнения, только
) стным образом. При этом рисунок чертили либо прямо на земле,
либо на покрыrой песком доске. При таком способе изложения
приходилось, разумеется, постоянно возвращаться к тому, что
уже было доказано. Создавша ,ся таким путем форма докаJатель
ства передавалась, очевидно, устным образом. а коrда нача lИ
заПi1сывать доказательства, то их мноrословие при этом сохра-
н илпсь.
Само доказательство очень прост). Мы В настоящее время
иэложИАН бы ero в следующем виде: в КР.. re пОЕ
OZ2 -=== DZ .ZE,
но из подобия треУIОЛЬНИКОВ мы имее l:
DZ ZK
HZ == ZE J
или
DZ. ZE == HZ .ZK.
Следовательно. мы имеем также:
OZ2 === HZ. ZK
nля любой точки О криво;% НОКI, и. значит. эта крива есть "pyr.
4\
Теорема эта имеет очень важное значение. Формулируя ее
в несколько более общем виде, чем это здесь сделал Аполл('ний
(и чем это он Mor сделать в данном месте), мы можем сказать,
что для всякоrо наклонноrо конуса BToporo порядка (см. выше
ч. 111, N2 1) можно выделить два основных положения плоско-
стей, именно: параллельное плоскости BLC и па;>аллельное
плоскости НОК. В этих положениях пересечение кажпой пло
скости с конусом дает Kpyr. Можно к этому прибавить, что
Bo pyr четырехуrольника ВСКН можно описать окружность и
что через обе окрул,ности BLC и НОК можно npOBe ти [нар,
пересекающий конус именно по обеим этим окружностям.
111
Определение 9J1J1ипса как сечения наклонноrо ируrовоrо конуса
И3 .Ароll0ПН Pergaei ql1ae graece ехstапt", ed. 1. L. Heiberg, Lipsiae J
MDCCCXCI, Т. 1, книrа 1, 13.
Стр. 48/49 (rреч. или лат., нем. CT . 15). Если произве ти
сечение конуса плоскостью через ось, а такн(е еще друrой
ПЛJСКОСТЫО, кото; ая пересекает каждую из (обеих) сторон
проходящеrо через ось треуrольника, но которая не парал-
лельна ни основанию конуса, ни (так называемому) противосе-
чению (см. выше, ч. IIf, N211), и если плоскость, в которой распо.
ложено основание конуса, и секущая плоскость пересекаются
по прямой, перпендикулярной либо к основаНИlО проходящеrо
через ось треуrольн:!ка, либо I{ продолжению ero, 10 всякая
прямая, проведенная из сечения конуса (т. е. из какой нибудь
точки кривой сечения) параллельно к об'цей линии пересече .
ния плоскостей до диаметра сечения, взятая в квадрате, будет
рзвна площади, KOTOpYIO можно ПРИЛОЖНТЬ К некоторой пря
мой (параметру), к которой диаметр сечения находится в Ta
ком .отношении, в каком находится квадрат прямой, проведен-
ной из вершины конуса параллельно диаметру сечения до
основания треуrольника, к прямоуrольнику на отрезках, отсе-
каемых 9ТОЙ прямой по отношению к сторонам треуrольника
(на продолженном основании), если площадь имеет шириной
ПРЯМУЮ, отсекаемую ею (прямой, проведенной из '{очки кри-
ВОЙ сечении) на диаметре от вершины сечения, причем Heдo
Сlает фиrуры, которая подобна и раСПОJlожена подобно пря.
моуrОЛЬНIIКУ, образоеа иному из диаметра и пара \1етра.
(ПОЛУ'lившееси).. таким об азом., се'lеIiИ нззывает я 9лл",.п \,
\:
Пусть будет (дан.) конус, веРUIИНОЙ KOToporo ПУСТЬ будет
ТОЧI{а А (фиr. 27), а основанием Kpyr ве, пусть будет произведено
сечение ero плоскостью через ось, и пусть сечением будет тре-
уrольник АВС, и пусть, кроме roro, будет произведено сечение
ero друrой плоскостью, которая nepeceKaer каждую из (обеих)
сторон oceBoro TpeYI ольника. но которая не параллелъна ни осно-
ванию конуса, ни противосечению, и пусть эта плоскость обра-
зует на поверхности конуса сечение по линии DE (51). А ли..
нией пересечения секущей ПJlОСКОСТИ и плоскости основания
конуса пусть будет ZH, перпендикулярная к ВС, диаметром
сечения пусть будет ED, и из (точки) Е проведем ЕО', пер
пендикулярно к Еп, и через (точку) А проведем АК, парал-
лельно ED и сделаем так, чтобы как (квадрат) на АК (UTHO-
сится) К (прямоуrольнику) на ВКС (т. е. на ВК и КС), так DE
(относилось ) К ЕО', А
И возьмем на линии
сечения произволь
ную точку L и про-
ведем через (точку)
L (прямую) LM, па
ра'Iлельно ZH. Тоrда
я утверждаю, что
LM, взятая в KBaд
рате, равна площа-
ди, которая, прило
жена к ЕО' с ши
риной ЕМ, если
здесь не достаеr Фиr. 27.
( или: если отсюда
вычесть) (площади), подобной (прямоуrольнику) на DЕО.
Действительно, проведем по' и через (точку) М прове-
дем MXN параллельно О'Е, а через (точки) О', Хпроведем O'N,
ха, параллельно ЕМ, а через (точку) М проведем PMR, парап-
лельно вс. Так как PR параллельна ВС, а LM также парап-
лельна ZH, то плоскость через LM, PR паралпельна плоскости
через ZH, 8С, т. е. основанию конуса. Значит, если через LM,
PR проведена плоскость, то в сечении получится Kpyr, диаметр
KOToporo PR. И LM есть перпендикуляр к этому (диаметру).
Следовательно, прямоуrольник на PMR p BeH (квадрату) на LM.
И как (квадрат) на АК относится к (прямоуrольнику) на ВКС,
так ED относится к Ей', но отношение (квадрата) на АК
к (прямоуrольнику) на ВКС состоит из (отношения АК) КВ
и (отношения) АК к кс; но, с ОАНОЙ стороны. как АК ОТНО'"
125
сится К КВ, так ЕН к НВ или ЕМ к МР, а t друrой, как
АК ОТ.fОСИТСЯ к КС, так DH к не или DM к MR. Таким
образом отношение DE к (52) ЕО' складывается из отноше-
ния ЕМ к МР и отношения DM к MR. Но отношение, со..
ставленное из отношения ЕМ к МР и отношения DM к MR,
разно отношению (прямоуrольника) на EMD к (прямоуrоль-
ни <у) на РiИR. Таким образом как (прямоуrольник) на EMD
относит я к (прямоуrольнику) на PMR, так DS относится
к ЕЙ' или DM относится к МХ. Но, как DM относится
к МХ, так, если прибавить С'бщую высоту МЕ, относится
(прямоуrольник) на DME к прямоуrольнику на ХМЕ. Сле.ао-
вательно, так же как (прямоуrольник) на DME относится к
(прямоуrольнику) на PMR, так относится (прямоуrольник)
на DME к (прямоуrольнику) на ХМЕ. Следовательно (прямо-
уrольник) на PMR равен прямоуrольнику на ХМЕ. Но было
доказано, что прямоуrольник на PMR равен (квадрату) на LM
и значит (прямоуrольник) на ХМЕ равен (квадрату) на LM.
Следовательно, LM в квадрате равна (площади) МО, которая
приложена к О'Е с шириной ЕМ, если от нее отнять пло-
щадь ON, подобную DEO'. Такое сечение пусть называется
эллипсом, а ЕО' параметром проведенных к DЕ по порядку
(т. е. ординат), сама же (ЕО') пус:ь называется также еще
перпендикулярно стоящей (стороной), а DE поперечно лежа-
щей (т. е. диаметром).
Пояснительные замечания. Заметим прежде Bcero,
что основанием 8С кон) са является Kpyr. Следовательно, речь
идет о наклонном KpyroBoM конусе, как в N2 1. (Не нарисован-
ная) ось соединяет вершину А с центром основания. Однако
осевой треуrольник носит произвольный характер И, значит, вооб-
ще rоворя, не перпендикупярен к ОСНОВJНИЮ. Следовательно,
линия пересечения HZ секущей плоскости с плоскостью ос-
нования перпендикулярна к продолжению 8С, но не к плоскости
АВС. То же самое относится к LM, которая перпендикулярна
к PR, но не к ED. Поэтому ED пр дстаВ,'Iяет собой любой
диаметр эллипса, а LM имеет соответствующее сопряженное на-
пра.ление (параллельно касательной в Е). Уже в 1, 1 АполлониЯ
доказал, что ЕD делит поползч все хорды LL'. Только в том
елучае, коrда треуrольник АВ; перпендикулярен к основанию
(т. е. коrда плоскость ero проходит через опущенную из А на
основание конуса высоту), ED ЯВЛllется одним из двух взаимно
перпендикулярных диаметров (rлавных осей) коничеСI<оrо сече
ния. Впрочем уже в 1. 9 Аполлоний доказал. что сечением в
126
.....
этом случае не ЫО)J(ет бblТЬ Kpyr Здесь же он ДОl\ээывает харак-
ТСрИСТИЧНУIО особенно ть эллиптическ )ro се(lеIlIIЯ (случаи парз
болы и rиперболы разобраны им уже ранее в 1, 11 и 1, 12).
Прежде Bcero проводят отрезок ЕО' (перпендикулярно к ED;
на рисунке в плоскости ero), удовлетворяющий условию:
ЕО': D:;=== ВК кс: АК2.
(1 )
в TaI<OM случае долж о иметь место равенство:
LM2 == ЕО" ЕМ 00' .ЕМ == ЕО.ЕМ.
(2)
Это доказывается следующим образом. В KpyroB01vI сеч нии
РЯ (параллельном основанию):
,.
LM2 == РА1. MR.
ED AK АК Al(
[;0' == НК.КС == Bl( . K ==
ЕМ DM
== ?М MR ==
ЕМ MD
=== РМ · МН ==
пм DM.ME
=== МХ == МХ. МЕ.
(3)
110
(4)
(5)
(5а)
(6)
Значит
РМ.МЯ==ХМ.МЕ==
=== ЕО. ЕМ ==
== LM2.
(7)
(7а)
· (8)
Проверив все 9ТИ выкладки, читатель сможет удостовериться
в правильности всех решите.1ЬНО выводов, но остановится, Be
роятно, в недоумении перед конечным результатом. Во аервых.
что, собственно, означает названная теорема?
По (5а):
ЕО'
РМ. A1R==LM2==EM.MD. .
ED
(9)
нли
LM2 ЕО'
ЕМ. MD == ED === const,
(1 О)
121
так ка., Ей' и ED неизменные величины, между Te f как L
перемещается по кривой (а М по ED). Свойство (1 О) это
дефиниторное свойство эллип а и оказывается обобщением СООТ-
ветствующеrо свойства Kpyra, выраженноrо равенством (3)
(const === 1). В у:(аз.1ННОМ виде это свойство встречается' уже у
Архимеда (даже для косоуrольных диаметров). Введем наши
современные обозначения, положив (фиr. 28):
ED===d, ЕО'==р1), ЕМ === х, LM==y.
,.... Тоrдз И fеем равенство:
1.
y р (11 )
y2== x(d rt"),
d
t или ,
t) р 9- (11 а)
Фиr. 28. y"==px x..,
d
иначе rоворя, уравнение эллипса, oTHeceHHoro к вершине ero.
Действительно, если взять уравнение эллипса (для косоуrольных
осей) в ero оБЫЧНJЙ форме, отнесенное к центру Эlлипса:
Х 2 у2
а'l. + Ь 2 == t, (t 2)
и если, перенеся ось у к вершине, положить:
X===x а,
( 13)
то получится:
2Ь 2 Ь"
у2 == Х х 2 .
а а 2
( 14)
Имеем, тzким образом, наряду с d === 2а:
· 2Ь 2
р==
а
(15 )
Теперь равенство (1 О) можно написать в виде:
LM2 Ь 2
EM.MD а 2 '
(16)
i) Правда, в настоящее время "параметром" называют половину ЕО'.
Но в тексте мы придерживаемся старинноrо обозначения. LЛОВО 11 пара-
метр" в рассматриваемом смысле имеет своим источником сочинение
о конических сечениях (Париж, 1631), написанное друrом Декарта, Кл.
Мидоржем (Mydorge). Сам же Аполлоннй для обозначения соответствую-
щеro понятия пользуется описательным оборотом: . Отрезок, с помощью
KOToporo делают квадрат. t из правой cTopoны формулы (11) "ли (11 а).
128
что знал УЖQ и Архимед (по крайней мере, для случая взаимно
перпендикулярных диаметров). При этом Ь и а представляют,
разумеется, не половины rлавных осей, а половины косоуrольных
диаметров, соответствующих положению LM.
ЕС:1И, таким образом, мы видим, как с помощью БУl(В И
употребления столь привычных для нас переменных х и у для
обозначения отрезков, KJTOpble уже rреки мыслили себе пере-
менными, можно совершенно естественным путем притти к co
временным аналит о..rеометрическим формулам, то все же в rpe
ческом способе изложения остается еще кое что вQlяснить.
Прежде Bcero бросается в rлаза странная фиrура прямоуrоль-
ника DO' с пересекающими ero вдоль и поперек прямыми и ори-
rинаЛЬН'lIЙ способ выражения, что у прямоуrольника EN должен
"недоставать" прямоуrольник ON (существительное от rryаrола
" недоставать " будет по.. rречески "эллипс";
отсrода название кривой). Но rpeKaM этст
способ выражения вовсе не был чужд. "При
ложение площади" (по rречески параБОJIа) I
было вполне знакомо читателям Эвклнда,
и оно, вероятно, восходит к так называе
мым пифаrорейцам. Так как rреки не знали
БУI(венной алrебры, то эти приложения
площадей для них были выражением раз
личных видов квадратных уравнений. Эв 8
клид занимается этим в 11, 5 и 6 для про-
стейших случаев, коrда х 2 не имеет коэфи
циентов (11 часть, N2 11), и в VI, 28 и 29 для
общеrо случая. Мы должны здесь отказаться от намерения BOC
произвести это; заметим только, что, если вместо недостатка
имеется "избыток" (по rречески rипербола), то у чл на с х 2
коэфициент положительный. В случае ПрОСIоrо приложения пло
щади член с х 2 отсутствует (Эвклид, 1, 44).
rlo читателю все еще трудно будет понять, каким путем Апол
JIОНИй приходит К параллельной прямой А/( и затем с помощыо
различных подобных треуrольников к тому, что приводит К ра-
венству (10), выражающему в п'ростейшей форме сущность дела.
Однако современный читатель без труда поймет, что, если отно"
шение на левой стороне равенства l действительно, IJОСТОЯН!lО, то
оно зависит только от уrлов фиrуры, в конечном счете от трех
)r.l, в а, , Е (фиr. 29). Нетрудно )бедиться, что
Фиr. 29.
РМ 51" s
Е 1 == si n '
( 17)
9 в и .1 е й r в е р, Хрестоматии.
129
MR
MD
sin
sin у
(18)
3на чит ,
РМ · МЯ sin е sif1 а
ЕМ .MD sin sin у ,
( 19)
или
LM2 sinssin(a+ е) t
=== == COl1S .
ErV].MD sin sin(2+ ) .
Если ПОЛО)J(ИТЬ ED == d, то
== sin в sin «(1 + е) d..
р siп Siп(а+ )
(20)
(21 )
Так как Аполлоний не может прибеrнуть к ресурсам триrо-
нометрии, то он вынужден оперировать исключительно reoMeTp f-
чеСI<ИМИ методами, что приводит к не,:колько растянутому, MHoro-
словному изложению. В действительности же д ло очень про...
сто. Мы можем только удивляться тому, как (реки, не зная
ни алrебры H(f триrонометрии, и, значит, ПО.'1ьзуясь примитив..
ными, на наш взrляд, методами rеометрии, сумели сделать столь
блестящие открытия. И не только отдельные ОТI{РЫТИЯ, но таl<ЖС
построенные с ИСКЛIОТlительноR тонкостью системы открытий,
какими ЯВJIЯIОТСЯ "Начала" Эвклида и "Конические сечения"
АI10ЛЛОНИЯ.
IV
Ферма вводит координаты. Уравнение прямой
Из "Ad locos planos et o1idos isago6e" п. де Ферма. "Oeuvres de.
Ferlnat", ed. Р. Таппесу et СЬ. Henry. TO,T e 1, Paris, MDCCCXCI, р. 91 1< 3.
Франu. перевод п. Таннри в "Oeuvres",IlI, Paris, 1896, р. 85 6. HeM H.
перевод Вилейтн 'ра "Einftihrung in die еЬепеп und kбrреrliсhеl1 Orter'j
("Ostwalds Klassiker", N2 208', Лейпциr, 1923.
Ориrинал стр. 91... П09ТО IУ мы при .Iеним к 9ТОЙ отраС.1И
науки (именно к учению о местах) особенный и подходящий
специально для нее анализ дпя Toro, чтобы в будущем изу-
чение ее СТJЛО для всех доступным.
Если в каком..нибудь заключительном уравнении имеются
1 две неизвестные величины, то нали цо имеется место, и конеч
ная ТОЧI{а одной величины опис!»)вает прямую или КРИВУIО
] ЛJ.l.нии...
Но уравнениям можно придать наrлядный вид, если ..по
местить обе неизвестных величины в некотором за al-lНО'1 yr ле,
130
.
КОТОрЫЙ, большей частыо, мы будем принимать равным пря-
мому и если задать по .ожение и конечную 10ЧКУ одной из
величин. . .
Пусть NZM будет даннаи по положению прямая (фиr. 30),
N неизменная точка на ней. Пусть NZ равняется неиз-
вестной величине А, и пусть отреЗJК Zl, обраЗУIОЩИЙ с ней
заданный уrол NZI, равняется друrои неизвестной величине Е.
Если затем:
то точка I находится на заданной по положению прямой. Дей
ствителыl,'
как В от носится к D, так А относится к Е_.
Поэтому отношение А к Е дано (неизменно), и так как,
кроме Toro, задан уrол при Z, то известен вид треуrОЛЬНИI{а
NJZ, а, значит, и уrол /NZ. Но 10чка N
дана, и прямая NZ известна по положе
НИIО. Следовательно, дано положение NI,
и Л I'КО произвести синтез.
К этому уравнению МОЖl.О свести все
уравнения, члены которых частью даны,
частью содержат в себе неизвестные А
и Е, независимо от Tor9, умноже.1Ы JIИ
эти последние величины на Кlкие lillбудь заданные веЛИЧИf' ы
или же даны просто.
Пусть Z pl. D на А равно В I--a Е.
Если положить D на R равным Z р1., то как В отно-
сится к D, так R A к Е.
Если мы ПрИl\lем MN pJBHblM R, то точка М будет дана,
и, зн"ачит, MZ равно R А. Поэтому известно отношение
MZ к Zl. Но так Kal{ уrол при Z задан, 10 известен вид
треуrОJ1ьника IZM, и аключаем, что прямая МI дана по по
ложению. Следовательно, точка 1 находится на данной по по-
ложеНИIО прямой. То же самое получается без труда Д:IЯ
всякоrо уравнения, в котором встречаются чл .НЫ с величи..
нами А или Е.
Это простое и первое уравнение места, с ПОМОJl.ЬЮ
KOToporo мо)кно найти все прямолинейные места.
D на А равно В на Е,
N'
(
м
\ Фиr. 20.
[1 о I с Н и т е л ь 1I Ы е з а м е ч а н и я. Н ебол ь ш о е с о ч ин е н и е
Ферма возникло, приб.1нзитеJJЬНО, около 1636 r. в результате
flj:одолжитеЛЬilЫХ ero занятиА rеометричеСКИl\fИ местами. НО оно
O Ta.Т]ocь ненап чатаНIIЫ 1 и было известно лишь в Kpyry париж
1 1
ских математиков до тех пор, пока сын Ферма, Самуил, не из-
дал в 1679 r. в Тулузе n Varia Opera" cBoero отца (там оно поме-
щено на стр. 2 11). Но это, вышедшее столь поздно, издание
не соответствовало в точности ориrиналу. Издание Таннри и
Анри более верно, ибо в их распоряжении находилась более
старая рукопись. Но у Фер:\fа, наверное, еще не было отдельных
строчек для уравнений, которые мы оставили, соrласно тексту
издания. Ферма находится еще в полной зависимости от' Виеты.
КаКУIо нибудь веЛl'iЧИНУ он способен представить с бе по об-
разцу древних только в виде отрезка. Он ставит себе задачу
изобразить rрафически уравнение с двумя неизвестными (quanti
tate3 ignotae; выражение "перемеН:lая" вошло B употребление
лишь позже). Это совершенно ново постольку, поскол ку отно-
сится определенно к уравнениям и к их систематическому изо-
бражению при ПОМОЩИ кривых. Уже rреки решали ряд задач с
помощью пересечения кривых, и после них так поступали мусуль
манские ученые [в особенности Омар Алхайям (Alchajjam), около
110З r.]. Недостава 10 только буквенной алrебры. С современной
точки зрения, кзззлось, было бы нетрудно перевести rеометри-
ческие раССУiкдения на язык а.1rебраической символики. Между
тем, в конце ра :сматриваемоrо сочинения Ферма высказывает со-
жаJIение, что он еlце не был знаком с новым методом, коrда
,
занимался восстаНОВ.'Iением текста "Плоских мест" Аполлония
(т. е. rеометрич ских мест, приводящих к прямым И ОКРУЖНОС'Iям).
Вводя свре rрафическое изображение, Ферма берет одну
ось Д1Я абсцисс (как мы теперь выражаемся), а на ней исходную
точку для отсчета ИХ, ззтем направление ор инат, которые вся-
кий раз наносятся из соотве rствующей точки оси. Таким образом
у Hero собственно еще нет оси ординат, а также отрицательных
ординат (и тем менее............ отрицательных абсцисс). Эти последние
применялись, так сказать, только бессознательным обрззом, по
CI{O.ТIbKY знакомые кривые рисовали це иком, не ломая себе ra-
ловы над тем, можно ли изобразить одним и тем же уравнением
все части. В случае незнакомых кривых впоследствии возникали
часто недоразумения по поводу их вида. Все эти затруднения
насчет з:,аков были окончательно преодолены лишь в ньютоно-
вам монументальном сочинении о кривых TpeTbero порядка (на-
пе чатано в 1 704 r.).
Вместо букв А и Е, которыми пользуется Ферма по образцу
Виеты, мы введем наши х, у; тоrда nepBoe J рассматриваемое
Ферма, уравнение rласит:
Dx==By, или x:y===B:D.
-
13
Он показывает, что уравнение это представляет прямую,
проходящую через начальную точку N. "Синтез" (по лат. Coт
positio), о котором он rоворит, представляет антитезу анализу
и означает обращение задачи, т. е. означает требование отыскать
уравнение, коrда прямая задана по положеНИIО.
Затем Ферма п реходит неме ленно к рассмотрению общеrо
линейноrо уравнения и показывает, что соответствующим MeCTo f
является всеrда прямая. Уравнение это rпасит:
Z ........ Dx == Ву.
При Z приписано pl (апит) === площадь, дабы сохранить од..
нородность уравнения в rеометрическом смысле. Действительно,
Dx и By l1рямоуrольники, следовательно, и Z должно озна
чать величину размерности плоu.{ади (ср. у Виеты в I томе,
.N2 XVIII). Ферма полаrает:
Z === DR,
и получает, как мы бы написали:
D(R x) ==Ву,
или, пользуясь более привычным для Ферма способом выражения:
B:D===(R x):y.
Ему нетрудно rЮказать, что это представляет, опять таки, пря
мую. Но это далеко ещ не равнозначно, вопреки утверждению
Ферма, интерпретации всякоrо линейноrо относительно А и Е
уравнения. Действительно, прошло еще не мало времени, пока
решились писать и анализировать уравнения вида:
х + у + 3 == О,
так как еJце не знали, что делать с отрицательными от.резками.
Конические сечения, в противоположность прямым и окруж"
ностям, назывались "пространственными местами", потому что
первоначально они были получены с помощью сечения, "ронэ"
веденноr на некотором теле.
v
Первая форма уравнения 9ллипса
Из . Isagoge". Ферма (СМ. N!! IV).
Ориrинал стр. 99. Если Bq. Aq. имеет да:rное OTHO
шение к Eq., то точка I находится на эллипсе.
Возь ем /vtN, равное В (фиr. 31), и про ведем ЭЛ1! пс
С вершино М, диаметром (B pHee прямой диаметра) NM
н центром N (9ЛlJИПС), ординаты KOToporo (ЛО"JIат applicatae,
133
приводятся сходные уравнения, име
Юlцие на одной стороне А'l., а на
друrой Eq. с противоположным 3Ha
I{OM (affectioni з nota), причем у этих
М членов различные коэфициенты ] ).
Действительно, если бы коэфициенты
были равны ме}l(ДУ собой и уrол
был бы прямым, то местом была бы,
как уже сказали, окру)кность. Если
же уrол не прямой, то и при раВ1tЫХ
коэфициентах местом является эллипс. Если в уравнении име
ются, кроме Toro, еще чл HЫ с произведениями из А и Е
на данные величины, то МО)КНО произвести ПРИRеденне с по
мощью указаННОJ'О приема.
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Спе)ва несколько слов
о символике Фер lа, ПРИМЬJ«ающей то)ке целиком к символике
Виеты. ИJ алrебраических знаков Ферма и 'еет только пояеив
шиеся в rермании в коаце ХУ в. знаки + и . Прав 1.а, он,
кроме Toro, еще более сокраlцает аббревиатуру "quadr.", BBeдeH
HYIO Вметой (хотя ИНОl'да это делалось уже и друrими учеными) :') .
Но слова для обозначения понятия "равно" выпис ываlОТСЯ И\I
eu e целиком. fje имеется также никакоrо сокра:цения для про
порций. В вышеприведенном Tel(CTe я (в противоположность
напечатанному переэоду) crporo придерживался фОр fЫ начерта
ния Ферма.
На языке нашей .СИ IВОЛИКИ данное Ферма для эллипса урав-
нение rласит:
СОi{ращеllное от "ordil1[1tim [lpp1icatae", прсдстаВЛЯIОlllсrо вря.
мой перевод соt)ТВСТСТВУIОlцеrо выражения Апо.rJЛОНИЯ) пара.!
лельны прямой Z 1, If пусть квадраТhI ординат имеют зада 11
вые отношения 1< ПРЯl\10уrОЛЬНIfJ<У на отрсзках днаl\1етрCl.
Тоrда ТОЧКCl 1 находится на TaKO 1 ЭЛЛIIПСС. ДействитеЛhНО,
квадрат NM квадрат NZ равен пряыоуrОЛЬНIIКУ lIа отрезках
диаметра. .
К этому (уравнеНИIО)
I
Фиr. 31.
82 Х?
2 ==co:1st k,
)'
х 2 + ky2 ===82.
И,ТIИ также:
в случае косоуrольных осей уравнение это, даже при k === 1,
пр дставляе т эллипс, если только k положительно.
t) СЛОБО это сочинено Вието" (159 i).
') Сам Виета писал иноrда Q вместо .ql1adratum" (см. часть ' а N2 XVIII).
134
Нетрудно понять, каJ{ИМ образом Ф рма пришел к этому
уравнению. Как мы уже знаем, он Mor у Архимеда найти (СМ.
В-.lше, М2 111), что У ЭЛJlипса, !<ак rидно из НЗluеrо рисунка (ero
у Ферl\lа вет):
ZAr1.ZM'
Z /2 == CO:lst === k.
Но это дает, как О' сам rоворит:
(B x) (B+X !. k
у2 ,
а, значит, и вышеприведе:lное уравнение. Ферма утв рждает
далее, что он в состоянии привести к указанной нормальной
форме всякое уравнение вида:
2х2 + 3}2 + 5х + 7у == 4 1).
я нарочно не беру общих коэфициентов, так как их нет и
у Ферма (хотя мысль о них уж и носилась в воздухе) (ср.
с Виетой, часть 1, Ng XVIII). В рассматриваемом случае дело
сводится только к параллельному перенесению координат, которое,
как мы видели, Ферма производит в случае прямой. Перед этим
он произвел это перенесение для общеrо уравнения окружности.
Правда, коэфициенты при х 2 и у2 равнялись в этом случае
единице. В рассматриваемом случае Ферма поступил бы, конечно,
так:
4х 2 + 10х + 6у2 + 14у== 8,
( 2х + у + 6у2 + 14у === 8 + ( ) 2
( 5 ) 2 171
6 2х +"2 + 36у2 + 84у===т '
6 ( 2х + у 1- (6у + 7)2 == 2 9 .
t) Разумеется, Ферма никоrда не написал бы этоrо уравнения в та..
I'O HeOДlIop ДHOM виде (не касаясь уже вопроса о нашей современной
форме начер:ания ero), а прибавил бы к членам х и у еще некоторы(;
uтрезки в качестве множителей, а к пос оянному члену величину раз
мерности площади (см. выше .N2 1\'). Это относится и к следующему
за этим преобразованию. Упоrребление неоднородных уравнений с reo
метрическим содержанием является целиком делом Декарта, введшеrо
отрезок-единицу, что до 9Toro случайно встречается лишь у Бомбелли
(Bomb lll 1572) (см. часть 1. М XVII).
135
и, на,{онец, если положить:
+ 5 Х 6 + 7 У 6Х 2 + У 2 === 269 .
2х 2 == , ===; 2
Разумеется, Ферма ДОЛJl(ен был бы выразить это как нибудь
с помощью слов. Но, несомненно, он сумел бы STO сделать, хотя
у Hero не встречается аналоrичноrо примера. Но мне не совсем
ясно, сумел ли бы он правильно представить себе необходимое в
этом случае параллельное перенесение координат (оси у на : '
о и х на ). и в приводимом им примере с окружностью
необходимо такое отрицательное перенесение, но у Ферма не
имеется здесь никаких пояснений. В вопросах этоrо рода, мало
привычных тоrда даже для величайших математиков, к которым
относится Ферма, надо быть очень осторожным и оrраничиваться
лишь тем, что действительно написано у рассматриваемоrо автора.
В случае rиперболы Ферма дает уравнения: ху == const и
(х 2 + B2):y2==:const, в случае параболы: x 2 ==Dy(a также у2 ===
=== Dx), дает их всеrда вместе с требуемыми параллельным
перенесением осей (линейным преобразованием) обобщениями.
Таково, в основном, содержа,lие "Isagoge". Об эффективно-
сти новых методов Ферма можно судить по некоторым приме
рам из "Плоских мест" Аполлония, rде он леrко добивается
результатов величаЙПIеtl степени общности.
" Isagoge" Ферма не получило, повидимому, известности, и
влияние ero было невелико, ибо вскоре появилась "rеометрия"
Декарта. Хотя ознакомление с ней представляло для COBpeMeH
ников более значительные трудности блаrодаря ее новой a.1re
браической форме, но, представляя печатное произведение, оно
немедленно попало в руки мноrочисленных читателей, было
переведено на друrие языки и стало предметом комментариев,
так что с Hero, собственно, начинается новая аналитическая reo
метрия (см. с едующиП HO lep).
VI
Декарт вводит координаты. Установление oAHoro уравнения
rиперболы
Из . La Oeometrle 8 , ПРИ.l0ження к появивш муся без указания имени
автора труду Рене Декарl3 .Discours de lа Mt..thode...., Leyde, 1637,
стр. 295 413. Перепечатано 8 ТОЧНОСТИ В "Oeuvres., ed. СЬ. Adam et
Р. Tannery, Т. Vl, ПаРИ}I(, 1 03, стр, 367 485, Издание на современном
138
французском языке с более современным начертанием формул, Париж,
1886. Латинские переводы появились в 1649, 1659 rr. и позднее. HeMeц
кий перевод Л. Шлеэинrера (Sch1esinger), изд. 2, Лейпциr, 1923.
П р е д в а р и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Ни)кеслеДУlощее не
первое место "rеометрии", rде Декарт вводит координаты. Но
ввиду Toro, что первый приводимый им пример заilимает слишком
MHoro места, он неудобен для перепечатки ero здесь. Заметим
только следующее. В первом примере Декарта, служащем ему,
так сказать, парадиrматическим примером, берется несколько
заданных неизменных прямых, к которым проводятся из некоторой
точки С прямые, каждая под некоторым опр деленным уrлом.
Затем дается некоторое условие, и отыскивается rеометрическое
место точки С. Чтобы освободиться от хаоса этих линий, про
должает 'затем Декарт, он берет в качестве rлавных линий дне
из них именно одну задаННУIО, неизменную, и друrую иско-
мую. Отрезки АВ Н1 неизменной линии, имеlощие все одну и
'lY же начальную точку А, он называет х, а (параллельные друr
друrу) отрезки 8С называет у. Затем он получает уравнение.
содержащее х, у и известные отрезки. Теперь можно одной из
обеих величин х, у, например у, при писывать бесконечное MHO
жество зна ений, в соответствии с че из уравнения получится
бесчисленное множество значений для х. Ни)кеслеДУIощиR при
мер он при водит, чтобы показать, как находят "genre 14 (род)
KaKoro нибудь rеометрическоrо места. При этом он объединяет
первую и вторую степени в первый genre, третью и четвертую
ст пени ....... БО второй genre и Т. д., что хотя и не имеет ника
Koro смысла, но для нас здесь не существенно.
Стр. 319w Например я хочу знать, KaKoro рода (genre)
линия ЕС, которую я представляю себе описанной пер сече
ннем (320) линейки OL и прямолинейной плоской площадки
CNKL (фиr. 32), сторона КNкоторой продолжена н:определенно
далеко (fndefiniment) по направлеНИIО к С и которая движется
прямолинейно по лежащей под ней плоскости и движется так,
что ее диаметр }(L в еrда находится на каком нибудь месте
линии БА, продолженной в обе стороны, причем Л;.Jнейка OL
движется круrообраЗ:10 BOKpyr точки а, ибо она соединена
с ней (площадкой) так, что всеrда проходит через точку L.
Я выбираю какую нибудь прямую, например АН, чтобы
относить к различным точкам ее все (точки) этой кривой
л IНИИ ЕС, и на этой линии АВ я выБИрЗIО какую нибудь точку,
например А, чтобы начинать ат нее этот отсчет (се calcul).
Я rоварю, что и .выбираю" и то и друrое, иб ИХ можно
1 7
взять по произволу. дсt\ствите.1ыI,, хотя надо производить
веСЬ\13 TlJLa rельный выбор, чтобы получить возможно более
краткое и простое ураВllеllИС, но все же беЗРJз.1ИЧНО, I\al<
Сllелать этот выбор, ибо всеrда МО-
}КIIО добиться, чтобы линия была
101'0 же cal\loro рода. Это можно
леrl<О ДОI<азать (321). Теперь я беру
lIа кривой ЛlоБУIО точку, например С,
на I<OTOPYIO установлен служащий
для описания кривой инструмент, и
из этой точки С я провожу линию
,СВ параллельно ОА, и так Kal< СВ
и БА преJ.ставляют две неопреде
ленные и неизвестные величины, то
я называlО ОДНУ у, а друrую х. Но,
:oubI найти отношсние одной из НИХ к друrой, я рассмат-
ривзю также известные веЛ(IЧИНЫ, СЛУЖlщие для описания
этой кривой линии, как ОА, KOTOpYIO я называIО а, KL, "о-
ТО;JУЮ я назы а'о Ь, и NL, параJ1Л ЛЬНУIО О А, которую я
называю с Зате\1 я rоворю, что как NL относится к LK,
или с К Ь, так относится СВ, или у к ВК, котора Я, сл J.o.
Ь Ь
вательно, равна у; а БL равна у Ь и А L Р1ВНЗ
С С
Ь
х + у Ь. I{poMe Toro, подобно тому, как СВ относится
с
Ь
LB, и У К У Ь, так Ай, или а, относится К AL, или
с
Ь
к х + у Ь. Следовательно, если перемножить второй и
с аЬ
третий Ч.1ены пропорции) (322), то ПО.1УЧИТСЯ У ab, что
с
Ь
paB O ху + уу Ьу, получающемуся от пер множения
с
nepBoro и последнеrо (членов). И, таким обрlЗОМ, искомое
уравнение будет:
сх
yyOJcy Ь У+ ay ac,
А
Фнr: 32.
...
1
откуда мы види , что линия ЕС........ первоrо poд , И, действи
Te;lbHo, она не ч [о иное, как rипербола.
п о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Относительно общеrо
характера декартовой .rеомеТ ИII" я ДО.lжен оrраничит ся ссыл-
13S
кой на CBOIO более КРУПНУIО работу: "Gcscl1i(11 e der Matl1enla
tikl' 1. Tei1, 4. HaIfte, Berlin, 1921, CT . 5 И ел. Декарт вводит
I\оординаты COBe)llIeHHO таким же обрззо(>л, как Ферма. У Hero
имеется неизменная ось, а на ней начальная TotJI.;a для абсцисс,
"ак мы выражаемся, и он И3\lсряет ординаты от их оснований
lIа о:и в извеСТНО 1 направл нии до точки на кривой. Специ-
ально Декарту ПРНllад.т.ежит Уflотреб.1ЯВШИЙСЯ им уже и раныпе
способ выражения, соrЛJСНО которому" Т9ЧКИ кривой (с помощью
ОР1. и нат) относят (как бы ПРОИЦИРУIОТ) К точкам не которой пря-
!\10Й (оси абсцисс)". Координаты MorYT и в рассматриваемом
п)имере б:lIТЬ раСПО.тJо)кены косо друr относительно друrа. На
чертеже, однако. они вззимно перпендикулярны. Способ построе
ния rиперболы мы ВI<ратце выразили бы следую:цим образом.
Проr.еди произволйным образом GL, возьми L/( === Ь и п)оведи
Ь
КС под HeKoTop;}IM ПОСТОЯННЫ\-I уrлом х, Д,1Я KOToporo ctg х ===
с
Указываемое построение можно рассматривать K3I< пере:ечеН!IС
пучка прямых с центром Q и пучка параллельных прямых с на-
правлением КС, oTHeceHHoro про ктивно к первому пучку. Ясно,
что при этом должна ПJЛУЧiIТ,-,СЯ rипербола, ибо rлавные точки
обоих пучков должны принаДlежать к получаемой кривой, а,
между тем, однз из этих точек леЖl1Т в бесконечности. При
пыводе уравнения мы по тупили бы так iKe, каl( и Декарт, с той
.ТIИlllЬ разницей, что Mr 1 ввели б::JI х. Оrраничиваясf:., по обык-
новению, указаниями общеrо xaraKTepa, Декарт не интересуется
у)ке больше воп)о:ом о виде всей rиперболы в целом. Этим
занялись впоследствии ero комментаторы. Он хотел ТОlЬКО по
казать, как находят уравнение rеомеlрическоrо места и вместе
с тем ero gel1re. Новизна ВЫ'.неПlJиведенноrо примера, а также
общность первоrо из привод! мых им примеров, показывают, ,<ак
основательно Декарт владел уже своим методом. Но, разумеется,
это не было I<aKo To внезапное озарение свыше. Наоборот,
Декарт у}ке с 1619 r. занима iся вопросом об усоверш нствова
нии вообще аналитических методов. Это видно по ero алrебраи-
ческой символике, до мелочей совпаj,ающей с Н(:Ш2Й теперешней
СИJ\lВОlИI{ОЙ. Насчет знака равенства см. часть 1, NQ XXI. Обо-
значения х, у ввел сам Декарт. В caMO же на lале своей работы
он заЯВ,,1:Iет, что не(fЗВ:СТНЫ он будет обозначать последними
БУКЕами алфавита, а известные первыми буквами ero, и в Ha
чале Оlt пользуется чащ z, чем у и х. Но Вр:JД ли удастся
установить, почему для оБJзнаtIения координат он В'}Iбра.l,
И7\iенно, х, у, а скажем, не Z) у (см. также часть 1.. .N' Х).
139
Большой интерес представляет ero замечание, что genre, а,
значит, н уравн ние кривой, не изменится при друrом выборе
координат. Мы уже вид ли у Ферма, что он ВПО.1не разБИР1. ся
в вопросе о паралле.1lЬНОМ пер несении осей координат. Это,
без сомнения, можно сказать и о Декарте, хотя у Hero нет ни
одноrо соответ твующеrо примера. Но мы имеем основание COM
неваться в том, ЧТ3 Декарт владел таюке и случаем с вращ -
нием осей координат, несмотря на ero замечание, что это леrко
ДОК ЗJТЬ. НО, как бы то ни было, чутье у Декарта БJIЛО пра..
вильное.
д. Е. Смит (Smith) и Марчиа Л. Латам (Latham) выпустили
в свет издзнне..факсимиле о ;иrинала с анrлийским переводом
(ТЬе Geometry 01 Rene Descartes, Chicago, 1925.)
VH
Нормаль к эллипсу
Из декартовой "Geometrie" (СМ. M VI).
СТА:'. 342. Пу ть СЕ кривая линия (фиr. 33), тр буется
провест и чер з точку С прямую линаю, обраJУЮЩУЮ с ней
( C .., 8 прямые yr.1bl. Я предположу, что тре..
I сование уже BЫno.1H HO, и пусть иско-
I
мой линией будет СР. Я продолжу ее
G р Н А до точки Р, rде она пересекает прямую
ф} 3. ОА, которую я приму за ту прямую,
к точкам ко ороЛ относят (точки) линии
СЕ. Следовате.1ЬНО, если я положу МА или СВ :ау, СМ
или БА :х:> х, то я получу HeKOTo oe уравнение, выражающее
отношение меil\ДУ х и у. Затем я полаrаю: РС XJS и РА X)v,
или РМ Х) v у, и в п)ямоуrОЛЬНО 1 треуrольнике РМС я
имею SS, квадрат основания, равным хх + 'Ov 2vy + уу,
,
т. е. р авным квалра там оо еих сторон, иначе rоворя, я .имею:
х X)Vrss v'V+2vy yy, Н.1И также: у :OV+V S""""XX,
и с помощью этоrо уравнения я удаляю из друrоrо уравнения,
выр:жающеrо отнош ни всех точек кривой СЕ к точкам пря-
мой ОА, одну из двух неопределенных вел ичин х или у. Это
t.:O:KHO леrко сделать, подставив повсюду V SS ......... V:J + 2vy уу
B\leCTO х и квадрат этой суммы вместо хх и куб ее вме-
сто х 3 и т. Д., ес.'И я )келаю удалить х; или же (343),
если я же.1аю уда.Т]ИТЬ у, то я подстзв :Я'iI на ero М:СТО
v + I SS ХХ, и каадрат или куб этой суммы на место уу
140
или уЗ И Т. .1.. Таким путем всеrда получается уравнение,
в котором Jiмеется только одна неопределенная величина х
или у.
Пусть, например, СЕ будет эллипсом, а МА......... отреэком
ero диаметра 1), к которому принадлежит С,И как ордината
(appIiquee par ordre; дословный перевод с латинскоrо), и пусть
r будет ero перпендикулярной стороной (параметром, лат. latus
rectum; см. выше, Ng 111) и q ero поперечноD (стороной)
(диаметром, latus transv rsum). Тоrда, соrласно 13 й TeOpeltle
r
1 книrи АПОЛJlОНИЯ, имеем: хх XJry yy, и если удалить
q
r
ОТСlода ХХ, то получается ss vv + 2vy уу ::о ry У У,
q
или же уу +qry 2q'Vy +q'V'V qss равно ничему 2). Ибо
q r
в этом случае лучше рассматривать всю сумму в целом, чем
приравнивать одну часть ее друrой З).
Затем Декарт разбирает, прежде Bcero, еще два друrих при-
мера Toro же рода. После этоrо у Hero следует рассуждение
(стр. 345 34 7), содержание KOToporo мы передадим здесь
вкратце. Получив конечное уравнение, содержащее у, 'V , 5, пред-
ставляют себе, что 'CJ И 5 даны. В таком случае окружность с
радиусом s === РС пересечет кривую, вообще rоворя, в двух
точках (по крайней мере, по близости от С), если только РСне есть
в точности нормаль (в этом случае окружность соприкасается
с кривой). Это в вышеприведенном уравнении выражается в том,
что оно квадратное по отношению к у. В случае же, если РС
есть сама нормаль, квадратное относительно у уравнение должно
иметь два равных корня (в случае высших степеней уравнение
1Iмеет, наряду с двумя равными корнями, еще друrие, отличные
от них, корни). Затем только появляется снова на сцену пример
с Э 1JЛnПСОМ.
{) То-есть абсциссой; но в качестве технчческоrо термина это слово
появляется, собственно, только у Лейбница (1665). УДекар ra В этой
rлаве имеется еще более общий рисунок, не лишенный, однако, неточ
lIостей и для нас ненужный.
:) Я перевожу таким образом ибо и Декарт разли :ает .ricn"
. nul", хотя в кон ечном счете оба эти слова означают одно и то же.
З) Интересное указание на преимущество привеllенноrо, как мы
выражаеися, к нулю уравнеИllJl. До Декарта Э10 делаJI0СЬ лишь случайно
и непреДнамеревно.
141
Стр. 347... Так, например, я утвер}кдаIО, что первое най
денное нами выше уравнение, именно:
+ q r y 2 q V\l + q vv q ss
уу J , должно иметь тот же самый
q r
вид, какой получается, если е приравнять у и у е пом
ножить на само себя, что дает уу 2еу + ее. Вследствие
этоrо можно сравнить Me}l{ собой в отде 'IЬНОСТИ все члеНhi
обоих уравнений и утверждать, что, так как первый (член) у у
тот же са 1ЫЙ в одном (уравнении), что и в друrом, то и BTO
\ qry 2qvy
рой (член), который в одном уравнении есть ,
q r
будет равен второму (члену) BToporo уравнения, именно - 2еу.
rl0ЭТОМУ, если отыскивают величину v, именно линию Р А,
r 1
ТО имеют; 'v XJ е q е + 2"" r, или же, так как мы е при-
r 1
равняли у, v XJ у у + "2 '. и таким же образом можно
q qvv qss
было бы найти s при помощи TpeTbero члена ее XJ ;
q r
но так как величина v достаТОЧНQ определяет точку Р, KO
TOPYIO МЫ только И ищем, то дальше делать нечеrо.
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н ия. Эrо вычисление нормали
(а значит, если желательно, касательной) эллипса тем интереснее,
что в наСТОЯII ее время им больше 'не пол зуются. Но надо принять
80 ВНjJмание, 'ITO мы злесь находимся в эпоху первых попыток
Э10rо рода и что диференциальное исчисление, давшее принципи
альное решение подобных вопросов, было открыто лишь около
1670 r. Перед приведенным нами здесь отрывком Декарт подробно
доказывает важность решения вопроса о направлении кривой
в каждой точке ее. Но в случае высших кривых выкладки по
методу Декарта становятся очень rромоздкими. Так называемый
метод неопределенных коэфициентов, т. е. сравнение коэфици-
ентов двух тождественных уравнений, Декарт открыл в <!вязи С
этим вопросом, применив ero затем и к более сложным случаям.
В вышеприведенном случае мы бы в настоящее время просто
сказали, что, так как уравнение с у должно И.\lетъ два равных
корня, то ero левая сторона (которую Декарт просто называет
"уравнениеы и) представляет чистый квадрат; поэтому у равно
половине коэфициента при у в первой степени со знаком минус,
т. е.
qr 2qv
y==
2,] 2,
1.12
Если решить это уравнение относительно v, то получится
то же самое, что у Декарта.
То обстоятельство, что Декарт берет уравнение Э:JЛllпса
в точности по Аполлонию, 1, 13 (см. выше, N2 111), дает ясное
указание на происхождение аналитической rеометрии. Алrебра
YiKe достаточно созрела к этому времени, чтобы MO)J{HO БЫJlО
перевести на ее язык rречеСКУIО rеометрию. НУilПIЫ были только
rениальные 'люди, которые совершили бы это. Любопытно, ч 1 о
Декарт еще не сделал определенноrо выбора для обозначения
абсцисс через х. Этоrо не сделали и el O ближ(\йшие преем
ники. Если мы произведем все выкладки по нашсму способу,
то мы станем исходить из уравнения эллипса
2 r 1)
х ===ry y .
q
Поэтому уравнение касательной в точкс Х, У кривой будет:
r r
хХ == 2 (у + У) У У,
{}
lIЛИ
хХ === У ( ; ; У) ; У.
Уравнение пер :ендикулярной к ней прямой будет:
х( ; ; Y)=== YX+ll.
Прямая, параллельная этой прямой и проходящая через точку Х, У,
ина'IС rоворя, нормаJlЬ к кривой в С, IBleeT поэтому уравнение:
(х Х) ( ; У) == (У У) Х.
Чтобы получить точку Р, надо ПО.10)КНТЬ в ЭТОМ уравнении
х==о, тоrда у==АР будет:
r r
У==2 ч У+ У,
что в точности совпада т с декартовым равенством:
r r
V===Y qY + 2
Читатель сам сумеет разобраться в друrих частностях способа
В3.10il<ения и вычисления Декарта. УI<Зiкем, например, еще на то,
143
что Декарта не интересует вовсе вопрос о получении "уравнения.
нормали или касательной, он довольствуется rеометрическим
определением их. Только в конце XVIII в. стали систематически
рассмаТРИБЗТЬ уравнения чрямых.
VIII
rипербопа, отнесенная к своим асимптотам
Из .Florlmondl De Веаипе ln GeometrlaIn Renatl Des Cartes Notae
breves fI, впервые вышедших в качестве приложения к латинскому пере-
воду декартовой "rеометрии": ,;Oeometria а Renato Des Cartes Аппо
1637 Galllce edita; пипс autem Ctlm Notis F1orlmondi De Всаипе,. In 1lп
guam Latlnam v, rsa & commE;\ntarils 111t1strata, Op ra atqu studio Frап-
cisci а Schooten,... fI Lugdппl Batavorum (Лейден) CI3 IJC XLIX (1649).
Значительно дополненное издание, Амстердам, 1659.
Стр. 142 (изд. 1659, стр. 126 и сл.). Но, если в уравне-
нии не имеется ни х 2 , ни у2, а ху этот случай не встре-
чается ни в уравнении проблемы Паппа 1), ни может быть
связан с формулой, получаемой из этой (проблемы) (143),
то это может вызвать некоторые трудности, которые мы и
хотим поэтому устранить.
Подобное уравнение содержит, самое большее 4 члена,
именно, один с х без у, друrой с у без х, "-ретий с ху и,
наконец, четвертый, в котором нет ни х, ни у. Все MHoro-
образие случаев сводится к 17 формулам уравнений и по..
строений, помещенным на одной из сл дующих страниц
(им нно 145) 2). С их помощью можно увидеть, каким обра-
зом рассматрива мое (rеометрическое) место постоянно приво
дит К rиперболе, а также, что неопределенные линии З) суть
асимптоrы или параллельны последним.
Пусть, действитель о, дана по положению линия ВН (фиr. 34),
и возьмем на ней точку А. Примем линию АХ за х, прове
дем линию ХУ, которую мы примем за у, причем она может
образовать с АХ любой уrол, и продолжим ее безrранично.
i) Это первый, рассмотренный Декартом большой при мер (см. выше,
N!! VI). В полученном там уравнении коническоrо сечения нет Toro ча-
cTlloro случая, коrда ху рходит без 2 и у2.
i) 17 e уравнение, рассматриваемое .в основном тексте, rласит:
ху + су + Ьх df х> о. Из Hero получаются остальные 16, если взять
Ь, с, d с друrими знаками или принимать. их равными о. Но отсутствуют
все те ф рМ J, в которых сумма положительных членов равна нулю,
1ак как Дебон, разумеется, не помышляет сб отрицательных х, у.
3) Он имеет в виду направления х, у, т. е., как мы бы сказали,
направления осей.
144
"11> .' .
J3TeM проведем парал.ТIеЛЬНQ к ВН линии DK])..., так ЧТО
DK будет внизу ВН... Проведем так}ке линии QD, R АЕ...,
параллельно ХУ или ZO, так что линия QD пересекает ли-
нию ХА, если послеДНЮIО продолжить за А (144). Если все
:;то сде.lано и если описать, соrласно 4 й теореме 11 книrи
АПОЛЛОllИЯ о конических сечениях R Z
rиперболу 2), которая ПРО.{одит через Q
точку V и асимптоты которой су.ть
те линии, к которым относится лю-
бое из построеqий (11 случаев)
(в даННJМ СlIучае DQ, DK), то, со- t1
rласно теореме 12-й ,той же самой
книrи 8), ясно, что все прямоуrоль- О
ники, построенные один {овым обра..
зом по отношению к этим линиям,
равны между собой. ТаКИ 1 образом остается только ДOKa aT} 1
ЧТО асимптоты и прямоуrольник Ka>JЩoro из (11) уравнений
были правильно построены.
Построим, поэтому, rиперболу, соrласно последнему (17 -му)
уравнению (ху + су + Ьх df :о О); пусть она проходит
через ТОЧI{У У, и пусть аСИ\1ПТОТЫ будут DQ и DO; далее,
пусть прямоуrольник на отрезках DO и О У равняется дан-
ному прямоуrольнику (Т. е. прямоуrольнику, равному) d/+ Ьс.
Если, таким обраЗО:-'f, мы сделали, соrласно построению, линии
АХ ::о х, ХУ::ау, АВ :о с, BD или ха):) Ь, 10 ВХ или
DO равно х + с, а а у (равно) у + Ь. Если перемножить их
между собой, то По.1УЧИТСЯ Ьс + Ьх + су + ху для прямо-
уrольника на отрезках DO, а У, paBHoro, с друrой стороны,
таюке df + Ьс. Если теперь отнять у обеи { с ropOH общий
прямоуrольник Ьс, то останется ху + су (146) + Ьх "XJ df,
т. е. заданное уравнение. Ана.ТIоrичным образом можно дать
докаЭ1тельство для прочих уравнений и построений.
у
к
G
1
н
Фиr. 34.
t) У Дебона есть ряд друrих прямых линиf;t для тех разных слу..
ч 'ев из 17, в которых Ь, с, d, f не имеют одноr'J и 10ro же значения на
рисунке. Я ос-тавля..'1 выше лишь те линии и буквы, которые относятся
к рассматриваемому в основно',{ текс re случаю.
S) Там покаэывается, как построение rиперболы по двум асимптотам
и одной точке может быть приведен.) к первоначальному опр делению
rиперболы.
З) Teo 1e da эта rласит у Аполлония самым общим обраЗО\f: ес lи
провести из какоА нибудь точки rнперБОЛ,",1 отрезки к каждой асимптоте
в направлении, постоянном для соответствующей асимmоты) ТО произ-
ведение обоих отревков Пuстоянно.
1О В. 4. I т . I Р. X,ecтoкarBiI. 145
Впр()че 1 l\1!}I 1()rJl(f бы CBC TI все МIIОf,)образие этих
у[ авнеНl'lЙ к меньше:\IУ IIИСЛУ ИХ, если бы м IlреВрJТИЛИ
ОДУУ из неопределеННhlХ величин в ДРУI УIО (поэтому уравне-
ния, допускающие эту замену, мы располо)кили по порядку
друr за друrом) 1). В этсм случае мы моrли бы ВКЛIОЧИТЬ
TaK}f{e построение тех (уравнений), в KOTOp IX не имеются Ha
лицо все четыре члена, в число тех уравнений, у которых
даны все (члены). Но, так как на\{ пришлось бы тоrда вы-
СI<азаться rораздо более подробно и опрос был бы менее
ясным, то мы пр дпочли возпользоваться изложенным ме-
тодом.
п о я с н и т е л ь н ы е 3 а м е ч а н и я. У )1-: е в 1639 r. Д еб о н 2)
послал. ДеК1РТУ свои примечания и дополнения к декартовой
"l еометрии". Декарт одобрил их. В то вре я было еще совер..
lненно необычным ЯВ.YJением, чтобы фило офские ИЛИ математи..
'1 ские труды, вроде декартова "Discours" с ero приложениями,
выходили на каком нибудь национальном языке (который был
6>1 В этом случае непонятен для ученых иной национальности).
I I09TOMY в скором времени Ф. фан-Скаутен (Schooten) И3 Лейдена
приступил к лаТИltСКОМУ переnоду "rеометрии", снабдив ero соб-
ственными ко ментариями.
К 9ТО\1У изданию. были присоединены примечания Дебона
тоже в латинском переводе.
И Дебон, как мы видим, HenocpeJ.cTBeHHo примыкает к Аполло..
нию, И он также не отдает себе еще полноrо отчета в зна.
KJX координат, но, с Д:lуrой стороны, у Hero наблюдается не..
привычная в наше время общность ПрИ выборе уrла координат
(хотя на черт же он нарисован прямоуrольным), что тоже вос-
ходит к АполТJОНИЮ.
Интерес представляет eUJ.e закл:очительный абзац, rде Дебон
rоворит, что он Mor бы, собственно, написать только одно урав-
нение (именно 17 -е) и вывести из ,Hero все остальные форМы'..........
точно так, к'ак по:тупили бы мы в настоящее время. Но для
тоrдашнеrо времени такой подход к вопросу носил еще слишком
общий характер и был, поэтому, слишком труден. Правда, У)l(е
Декарт ПОСТУПИЛ таким образом в случае так называемой проб..
лемы Паппа.
{) Ско5ки В орнrПНэ.1е. Так, иаnрltмер, расположены друr за друrом
ху + су):) Ьх и ху + Ьх ):) су.
j) Имена TaKoro рода пишут теперь, большей частью, как ОДНо слово,
Me y тем как в те времена их обыкновенно писали раздельно.
146
tx
Первые формулы для замены I{оординат
Из "Franci cl а Schooten in Geometriam Re:lati Des Cartes COll1menta-
rii", содержа щих с я в "GeoInetria а Rel1a to Des Cart.:s etc." t ed. SchooteI1,
Лейден, 1619 (СМ. tlY\[2 VIII).
Стр. 191 (изд. 1659, стр. 176 И ел.)... Отсюда ясно,
что хотя очень вап{НО, какие прямые 1) выбирают для неопре
".,
деленных величин, даоы получить краткое и леrкое урзвнение,
но линия всеrда (192) оказывается относящейся к одному и
тому же роду (generis), каким бы образом их (переменные)
ни взять.
Я оставлю без рассмотрения друrие виды или формулы
уравнений, обозначаю:цих оз.ни и те же кривые, хотя их
имеется несколько. По ЭТСМУ по- С
воду я замечу, что все мноrооб-
разие таких уравнений вытекает
1 олька из различноrо отношения
этих кривых к различным прямым
линиям. Чтобы показзть, какая
получается разница, если относить
каКУlо.нибудь кривую линию к раз-
личным прямым, положим, чrо
имеются две заданных по положе
нию прямых ли ии АВ, DF, пересекаlОЩИХСЯ в D (фиr. 35);
пусть С будет точкой на кривой. Возьмем на АВ точку А
и опустим из точки С на АВ перпендикуляр СВ, чтобы
отнести точку С к некоторой точке прямой АВ. Я на-
зову АВ х, а BC у. Далее, так 'как заданы по положению
АВ, DF, и, значит, дана также и их точка пересечения
D, то мы имеем и прямую DA и также А Р, перпенди-
КУЛЯРНУIО к А-В и пересекаЮЩУIО DH в Р. Наконец, опу-
стим из С перпендикуляр са на DH и ПРОДО.1ЖИМ СВ до
пересечения с прямой DF в точке Н. Допустив все это, по-
ложим, для Toro чтобы найти прямые DO, ОС, выражающие
отношение точки С к точке а, DA):) а, АРх> Ь. Отсюда
слеlует, что, так как АВ есть 2):) Х, то DB):) а + х. Так как,
,
,
,
I
,
в
Фиr. 35.
{) Путаницу вносит то обстоятельство, что здесь (как и раньше, на..
чиная с древности) не ПрОБОДИТСЯ различия между .прямой. И "отрезком..
Технический термин .отрезок. вошел во всеобщее употребление лишь
блаrодаря работам я. ШтеАнера (Stelner) с 1833 r.
') Н ориrинале так н стоит: .cum АВ 51t"P х..
10 147
ВRИДУ подобия треуtОЛЬНИI(ОВ DAj ", [)1JfJ, DA относ.ится
I< АР, т. е. а I( Ь, как DB, т. е. а +х, к ВН, то ВНР
аЬ + b 'C
)о Если прибавить к этому С В "р у, то все С Н))
а
):) у + Ь + Ьх . Далее, так как fреуrо.1ЫШК DAF прямоу;оль-
а
ный, то квадра т DF равен квадратам 1) DA и АР; поэтому
(193) DFXJ V а 2 + Ь 2 . Сл едовзтельно, тзr{ как DA относится
к АР, т. е. а к Va2+b2; к.!к DB, т. е. а +х, к DH, то
последнее
х:; а x v а 2 + Ь 2 , или 11 а 2 + Ь 2 + : 11 а 2 + Ь 2 .
Соответсtвенчым образом, так к ак, вви ду подобия тре-
уrольников FAD, нас, DF", т. е. JI а 2 Ь 2 , относится К Е.А,
Ьх
т. е. к Ь, как СН, Т. е. у + Ь + , относится к на, то имеем2):
а
на 'j:) аЬу + аЬ 2 + b2x .
а V а 2 + Ь 2
Если вычесть это из DH):) 11 a + b + V а 2 + Ь 2 ,
DO V\ а' + а 2 х aby И ' IИ 0.2 + ах.......... Ьу
то остает я IV
а 11 а 2 + Ь 2 tI а 2 + Ь 2
Наконец, так как DF относится к D.4, т. е. V а 2 + 62
Ьх
относится к а, как CIf, т. е. у + ь + относится к СА,
а
то имеем:
са):) аЬ+Ьх+ау .
V а 2 + Ь 2
Отсюда видно, что вся ...раЗНИЦ1, ПОЛУ4ающзяся от Toro, что
точки С кривой один раз относят к точкам ПР:rlМОЙ АВ,
{) Так была формулирована уже по-rречески у Эвклида (1, 47)
пифаrорова теорема. Мы выражаемся правильнее, rОБОрЯ "равен CYM e
квалратов. .
2) В тексте эдесь несколько раз встречаются отдельные строки для
формул, ибо в противном случае представились бы трудности для типо
rрафскоrо набора. Читатель. вероятно, cMor З1меТИТЬ t чrо текст Орllrи
нала сплошной. без абзацев. насколько это только возможно.
148
а друrой раз......... к точкам прямой DP, заключае!ся лишь в том,
что если принять за неОljр деленную АВ, то СВ выражается
через у, но са через
аЬ + Ьх + ау а 2 + ах Ьу
и DO через V ·
V а 2 +Ь'1. a2 b2
Так что если у дано в виде, подобающем ему соrлаСАО
свойствам кривой, то СУlцествует одновременно отношен"е,
которое точки С кривой И lеют к точкам как прямой А'В,
так и прямой DP. Это можно было бы показать таким же
образом и для всяких друrих заданных по положеНИIО (прямых)
линий, если бы мы не стремились быть, по.. возможности,
lCрlТКИМИ.
п о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Вышеприведенное пред-
стаВЛ5 ет дальнейшее развитие мысли, высказанной ДекарТО:\1
(СМ. выше, NQ VI), именно что (выра)каясь по современному) от
замены осей координат друrими осями не ИЗj1еняется "genre"
I{РИВОЙ, причем Декарт имел в виду, собственно, не степень
или размерность, а ошибочно объединял в один genre кривые
двух следующих друr за друrом степеней. Дополнения к этому
'Скаутена очень интересны, но все же не полны. Он рассматри-
вает не только применявшееся уя(е Фер \1 а и Декартом параллель-
ное перснесение координат, но вводит совершенно HOBYIO сис-
тему осей, повеРНУТУIО относительно прежней системы на некоторый
уrол, причем только выбор новой начальной точки не вполне
произволен. Но это повлекло бы за собой только незначитель-
ное изменение. Скаутен выраiкзет новые координаты, которые
мы назовем е и 1] (са== 1], оа==Е) через старые координаты
х, у. В настсящее ВрЕМЯ мы получаем для уравнения DF в
прежней систе Iе се::час же 1 + 1 ===- о. Тоrда леrКf) по-
а Ь
лучается:
Ьх+ау+ аЬ
7j == v а 2 + Ь 2 ·
Дадее, Д.'1Я уравнения са в прежней системе ( еКУLl ие t{оорди-
наты Х, У) имеем:
Y y а
X x===b.
НЛI
........ ...'( ! Ь У + (<ZX Ьу) :=. O
149
а отсюда, опять",таки, перпендикуляр DO из точки D ( a, О):
ax by+a2
Е=== .
V а 2 + Ь 2
у Скаутена имеются формулы (1) и (2). fio тан: как у Hero
уравнение КрИВОЙ написано в координатах х, у, то, собственно,
он должен был бы обратить эти формулы, чтобы получить урав"
нение кривой относительно новой системы. Вряд ли он имел
это, действительно, в виду, и я у)ке выше высказал сом-
нение, давал ли себ.; сам ДеI(арт ясно отчет в значении своей
фразы, что фактически "степень" уравнения не изменяется от
TaKoro "линейноrо" преобразования координат.
Обращенные ФОР IУЛЫ Д.fJЯ Х И у rласили бы:
a + Ьт,
Х:::: a
V а 2 + Ь 2 '
ье + а11
у== V а 2 +Ь 2 ·
(2)
(3)
(4)
Формулы эти ясно указываIОТ на наличие враlцения и параллель-
Horo перенесения (последнеrо на а, О). По сравнению С нашим
методом Лlобопытно отметить, что не вводитс.я (ОСТр IЙ) уrол д
при D (хотя к ЭТО:\IУ времени ТрИrонометрия давно уже бы.1а
достаточно развита; ер. 11 часть). Формулы (3) и (4) rласили бы
в этом случае:
х == cos + sin а,
у === ........ е sin + cos д.
( з- х .)
(4*)
Это употребля мая нами теперь фОР"Iа преобразования, кото-
рую с помощью уrла д М)I ВЫВОДИ f, Р:lзумеется, иначе.
х
Первое уравнение поверхности в пространственных координатах
Из Not1vat1x Elelnens des Sections coniques, les Li ttx geometrfqucs,
lа Construction, ои fffection des Equations, par М. de La Hire de l' AC(1de
mie R,oyale des Sciences. А Paris..., MDCLXXIX.
Стр. 209. LI тоертыЙ пример неопределеllноА проблемы.
Пусть дана в НСКОТОРОЙ ПЛОСI<ОСТlI прямая ЛИНlIЯ 08 не-
определенной ДЛIIНhI по нзп авлеliИlО к B и точка О на ЭfО"
!ОО
линии (фиr. 36). Требуется отыскать вне этой плоскости ТОЧI<У
L такую, что если провести L8 перпеНДИkУЛЯРНО к ОВ, то
часть ОБ вместе с некоторой заданной прямой линией (отрез
ком) а равнялась бы OL.
(21 О). Прежде Bcero я обращаю внимание на то, что для
определения точки, лежащей вне некотсрой ПЛОСI{ОСТИ, по
отношению к заданной в этой плоскости прямой линии, не.
обходимы тrи условия: 1) величина перпенд куляра LA из
точки L на плоскость, 2) перпендикуляр АВ И3 точки А на
данную линию 08 и 3) часть ОВ этой пинии между точкой
а и точкой В. Поэтому, я положу 08):) х, АВ XJ у, LA XJ v,
что представляет три неизцеСТiiЫХ, а известной будет а.
(211). Так как уrлы LAB, Ава и, значит, TaEil{e I BO
прямые, то OL равно KOpHIO И3 трех квадратов LA, АВ и 80
вместе; но OL должно равняться ОВ плюс а.
Поэтому, в аналитических выражениях
имеем уравнение: а + x'f) V хх+ yy+vv,
а если, желая уничтожить знак КОрНп,
мы умножим каждую сторону (partie) ура в..
нения на самое себя, то мы получим аа + о
+ 2ах +ХХ 'f) ХХ + yy+vv, что сведеТСSI
к aa+2axX>yy+vv; и так как нет ни.
каких средств найти друrие уравнения для
удаления каких-либо неизвестных, то отсюда С.lедует, что проб..
лема неопределерна.
Леrко заметить, что в первых трех примерах неопределен"
ных проблем недоставало только одноrо УСJ10ВИЯ, чтобы
сделать их определенными, в четвертом же примере их не.
хватает двух.
Q
Фиr. Зб.
.......... ..........................
(213). rеометрическим местом называют каil<ДУЮ
прямую или кривую ЛИНИIО или поверхность и т. Д., все точки
которых имеlОТ ОДНО и то )I{e отношение к точкам одной и
той же прямой линии относителl.НО одной из ее TO'ICK.
.. .(В качестве примера rеО lетриче:I{Оl'О места на П.10С кости
при водится прямая.)
(215). Точно так >ке, чтобы узиа'fЬ отношение точек L/.-
неv.оторой повеРХНОСТII к ТОЧJ(ЗМ неI\ОТОрОЙ прямой линии О/У
(фнr. 37), lIадо провести через ЛИНИIО ON плоскость ONB
н из каждой точки L поверхности провести линии LB пара!
ле_1ЬНО друr I{ друrу до lJЛОСКОСТИ И линии BN также пара:
Jlельно друr друrу дО ON. Но я не наыерен rоварить здс(ь
об SToro рода reOMCTpB'1eCKl1X M CT .
\ !
п о я с н и т е л ь н ы е 3 а м е ч а н ия. Ла-rир (La Hlre) написал
неБОЛЫl1УЮ, леrко доступную КНИil{КУ. Как видно уже из заrJ1а
вия ее, она состоит из трех частей: первая из них содержит эле-
ментарное учение о конических сечениях, между тем как во второй
и третьей употребляются координаты совершенно в духе Декарта.
l'ретья часть содержит то, что мы назвали бы "rрафическим
решением уравнений" с помощью rеометрических мест, разъяс-
ненных во второй части.
Вышеприведенное представляет все, что ла-rир дает относи-
тельно пространственных rеометрических мест; но оно достаточно
интересно, исо здесь впер ые, вообще, дана формула подобноrо
места. Декарт только в конце второй книrи своей "rеометрии"
указал вкратце на возможность аналитическоrо рассмотрения
прсстраНСТ8СННЫХ кривых с помощью двух проекций, а у Ф рма
в одной из ero позднейших алrебраиче-
ских работ имеется намек на то, что он
имел в виду такое же распространение KO
ординат на п}:остранство, что и ла-rир. Ла
rи овское обобщение сделано совершенно
в духе данноrо Ферма и Декартом опре-
деления координат. Остальное так просто,
что вряд ли нуждается в I{аких-нибудь разъ-
яснениях. Ла-rир не исследует, какую
поверхность представляет построенное им rеометрическое место.
Сумел ли бы ОН это сделать? Во всяком случае для НЕС этот воп-
рос не представляет никаких затруднений. Действительно, если по-
ложить у2 + v 2 == Z2, то мы получаем уравнение параболы:
Z2 == 2ах + а 2 ,
вращение которой BOKpyr оси х (Т. е. прямой АВ) дает искомую
поверхность параболоида враLЦения.
Я сомневаl0СЬ, чтобы ла-rир связывал что-нибудь реальное
со словами "и т. д. ", нзходящимися на стр. 213 ero книжки после
слова .поверхность". В:дь в э ом случае ему пришлось бы иметь
в виду rеометрическое место трех измерений, которое, сл дова-
тедьно, ДО_1iI{НО было бы лежать в пространстве четырех из ерений.
L
о
XI
Установление уравнения rиперболы
Из Traite ar alytique des sections coniques et de lеи! u age роис 1а
re 01иНо.1 dез equations dans lез probl mes tant determinez qu'indetertnfnez.
Ot1\'l"age роsthtlп .е de М. Le Marquis de l'Hosp ta1,... А Paris "! !vlDCCVlI.
Q2
п р е д в а р и т е л ь н ы е 3 а м е ч а н и я. Чтобы не СЛИШКОМ
переrрузить нижеследующий текст, я, несмотря на весь истори
ческий интерес ориrинала, liередам введение к при водимому MHOiO
отрывку В современном виде. Изложение Лопиталя (L'Hospital)
'усложнено потому, что он все еще считает необходимым брать
вторую точку М на "противолежащей rиперболе дословна, по
Аполлонию) и рассматривать одно- О
временно и ее, и потому, кроме Toro,
что он различает BCer.l.a случаи,
коrда Р l ежит между фокусами Fи f
или вне них (фиr. 38). Тосда еще не
была осознана общезначимость "фор-
мулы", это важнейшее достижение
"аналитическоrо. метода.
Лопиталь liолаl'аеr на рисунке
(УП:Jощенном по сравнению с ориrи-
налом, но С ссжранением всех обо-
значений ero) FM 1М == Аа === 2t 1 );
иначе rоворя, СА === Са === t, дале ,
СР===Х, РМ ==)', CF== Cf===т. pc-
ме Toro, наносят AD==MF, блаrо
даря че:\iУ aD == Mf, и CD полаrают равным z. Блаrодар..
этому AD==MF===z+t, aD===Mf==z t. Так как далее
Pf==т x, РР==т+х, то в оБОИJt треуrольних.:ах р,\'1! и
РМР им ем:
Фиr. 38.
.
(Z tI2 ==у2 + (т .\:)2.
(z + t)2 === у2 + (т + х)2,
тх
откуда, путем вычитания, получаем: 2zt:::::8 2тх и z == 7 .
Kpo le Toro , на ри сунке наносят еще АВ == АЬ == т, так что
СВ === СЬ === V т 2 t 2 == С. Под .первой осью" Лопиталь пони-
мает то, что мы называем "действительной осью", "вторая ось с(
соответствует наШЕЙ "МIНI I(Й оси".
{) Из рисунка видно, как на основании Э10rо свойства получается
rипербола. BOKpyr F вращается линейка, в I и Оприкреплен ntИУРОК,
прижи аемый в М штифто К линейке. Насколько уменьшается ПРИ
движении длина шнурка ОЛ,1, настолько увеличивается длина линейки
F,И, так что разность РА1 j,и остается при движении линейки посто-
янной (-== Ай 'а
Стр. 52. П о л о ж Е Н И Е 11. Т Е О РЕ М,А
79. Квадрат какой нибудь ординаты РМ по отношению
к первей оси Аа относится к ПРЯ lоуrольни!(у на АР иРа,
ОТРЕ.'зках этой продолженной оси, как ква.1рат ее сопряженной
(оси) ВЬ относится к квадра ту п ервой оси Аа.
Требуется доказать, что рМ2. АРХРа: : ВЬ 2 . Аа 2 .
[lусть даны те же ве:ци, что и в предш ствующем ПОiIОiке-
нии, тоrда, если в по,тlученном из прямоуrольноrо тр уrол никз
М , F уравнения zz + 2tz + tt ::: уу + хх + 2тх + тт ПО.10-
тх
жить вместо z ero значение т' имеем всеrда уравнение
ttyy == ттx;,: mтtt ttxx + t', которое, приведенное к про
попнии, дает рМ2 (уу). APXPa(xx tt): :(53) 8С 2 (тт tt).
(,'А2 (tt) : : ВЬ 2 . Аа 2 . ЧТО и требова,10СЬ доказать.
ДОПОЛНЕНИЕ 1
.
Основоположное дополнение 11
"
81. Если обозначить через 2t пеРВУIО или вторую ось Аа, а
СОПР l}кенную с ней ВЬ через 2с, ее (относящийсSl к оси Аа)
параметр через р, каждую из ее ординат РМ через у и каж-
дую из ее частей СР ме>l'ДУ центром и основаниями ординат
чер з х, то всеrда имеют рМ2 (уу). Ср2 + СА2 (хх + tt)
Ви 2 (4сс). Aa 2 (4tt): :р. Аа (2t). Д йствите.1ЬНО, по определению
4сс
пзраметра Аа (2t). ВЬ (2с): : ВЬ(2с).р == 2t. При этом надо
иметь в виду, что зна к с л едует взять, если ось Аа перзая
и что Tor.J.a вместо Ср2 СА2 можно взять прямоуrоль-
ник АР Х Ра, равный ему (этому выражению). Наоборот,
следует взять знак + ' если ось Аа вrорая. Если перемно-
жить сперва крайние и средние (внутр нние) (4леIlЫ) первой
пропорции уу. хх + tt: : 4сс. 4ft, затем ЧJIены друrой про..
.... tt 2t ххсс
порции уу. хх + :: р. , то получится уу t......... t + се и
p: x 1
уу == + 2 pt. Так как свойство это присуще всем то':кам
противолежащих rнпербuл 11 так aK (54) оно определяет их
положения относительно о ей, то ОТСlода следует, что УРЗВIIе
, cr ,\:,\: I рхх 1
JI не ) 1 у == r се или Y I tI === P t вполне вы р ажает
t t J 2/ 2
их природу 110 отношению к ()(H '"
\ ..
п о я с. н и т е л ь н -ы е 3 а м е ч а н и я. Книrа ЛопиталSl ЭТО
толстый том in quarto с. 285 рисунками на 32 rpaBIopax на меди,
прекрасный труд для тоrдашнеrо времени. Разумеется, аналитичс-
СКИ I методам Лопиталь научился у Декарта, но интересно, что
в алrебраичеСКОУl способе обозначения он еще более Декарта
примыкает к анrличанам. Уже употребление строчных букв
имее4r своим автором r. rарриота (Harriot) ,,(Artis analyticae praxis" ,
ЛОНДОН, 1631). rарриот усвоил такж знак равенства CBoero зем-
ляка Р. Ре!{орда (Recorde, 1557), который Декарт не принял.
ЛОПИТё.ль снова начинает пользоваться им. Далее, Лопиталь пи-
шет пропорцию а: Ь === с: d (так, впервые, лишь у Лейбницз,
1693) в виде а. Ь: : с. d (rде точки ЯВЛЯIОТСЯ просто лишь точками
разделения), соrласно вышедшему во мноrих изданиях так назы
Б3 емому " Clavis mathematicae" (" Математич еский ключ "" 1 изд. ,
ЛОН'1.0Н, 1631) В Оуrреда (Oughtred). Декарт старался за енить
пропорции (rpeKoB) равенствами, что, правда, не всеrда еще уда.
ВJЛОСЬ ему. Лопиталь же снова придает изящным равенствам
форму пропорций, находя это, очевидно, более удобным для сс5я
и для cr оих читателей. .
В остальном изложенная выше зад :ча не представляет ни-
каких трудностей, если только положить в соответствии с нашим
УПОlреблением t===a, с===Ь, m==e(m 2 ==c 2 +t 2 ). Положение 11
утверждает для rиперболы то, с чем мы познакомились уже для
случая эллипса у Архимеда, именно, что (по.1ЬЗУЯСЬ нашим обо-
значением)
у2 Ь2 Р
(х + а) (х а) === а 2 == 2а '
2Ь 2
Этим уже дзно соб-
если принять по старинному р равным
а
ственно уравнение rиперболы.
Но дальнейшие рзссуждения Лопиталя в дополнении 11 пере-
rружены еще тем, что он принимает за ось Х-ОВ одновременно
и так называемую мнимую ось. M бы дали это В виде допол..
нения и сказали бы, что если уравнение имеет ВИД:
с 2 х 2
У 2 === с'
t 2 '
откуда тотчас iKe получается ПрИRычная Ha:\f фОр 1а
х 2 y
1
f 2 '
't ,
\5:\
То, после обмена местамц осей и одновременно t и С, оно бу-
дет rласитъ:
или же
у2
с 2
х 2
ii 1 ,
х2 у2
...., === 1.
t 2 с 2
хн
Фокусы 8ллипса
Из .Introductfo in analysln inffnltorum". Auctore L onhardo Eulero...
Lau аппае..., MDCCXL VIII. Tomus secttndus.
[l р е д в а р и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я.
Эйлерово " Intropuctio. (см. часть 11, Ng XXI)
содержит только две не60ЛЬШИХ rлавы о
конических сечениях вообще, и о их
классификации, которые, однако, как и
все в этом эамечатеJ1ЬНОМ тру де, пред-
ставляют значительный проrресс по cpaB
мению с работами пре;I.шественников Эи
ща. В 9 125 (Т. II, стр. 61 62) Эйлер за
Н'И !аетсSJ решением задачи, как, зная про..
Ф 39 иэвольную пару сопряженных диаметров,
иr. .
найти сопряженные взаимно перпендику
лярные диаметры. К этому прнмыкает нижеследующее.
Стр. 62.
126. Итак, пусть СА & СЕ будут оба сопряженных пер
пенди {уJIЯРНЫХ друr к друrу полудиаметра коническоrо сече-
ния (фиr. 39), которые сбыкновенно называIОТ fлавными диа
метрами, и пусть они пересекаются под прямым уrлом в центре с.
Пусть абсцисса ср== х, срдината (applicata) РМ == у,
тоrда, как мы видели, уу == а xx, и если полудиаметры
ЬЬ
обоз;.ачить АС==а, СЕ===Ь, то a==bb& == , откуда
аа
ЬЬхх
уу == ьь .' Так Ka.I{ это уравнение не изменяется, B03Ь
аа
мут ли х &у положительныии (affirmativae) или отриuатель
ными, ТО из Hero С.1lедует, что кривая имеет четыре подобных
и равных части. рзсположенны по об:нм TO OHa ! диаметров
156
lJ
АС & ЕР. Де С1ВИТ .1ЬНО, I(вадрант АС'Е подобен и равен Baд..
ранту АСР и два равных И I квад.ранта лежат по друrую сторону
.
диам тра ЕР.
127 Если из цеfIтра С, который мы примем за нача 16
(pro initio) абсци:с, прзведем прямую СМ, то она будеr
ЬЬхх
=== У (хх + уу) === у (ЬЬ + ',, ).
аа
Отсюда следует, что если возьмем Ь===а или СЕ==СА, 10
СМ == У ЬЬ === Ь === а. 3на'IИТ, в этом случае все прямые, прове
д HHы из центра С к кривой, paBHы между собой (63). Так
как свойство это принадлежит Kpyry, то отсюда с]едует, что
коническое сечение, у KOToporo два сопряженных rлавных
диаметра равны между собой, есть Kpyr. Таким образом, если
положить СР==х&РМ===у, то уравнение ero в прямоуrоль
ных координатах (inter Coordina:as orthogonales) rласит УУ ==
== аа ХХ, rде СА === а есть радиус Kpyra.
128. Но если не имеет места Ь == й, то прямая СМ ни-
коrда не сможет быть В!31ражена рациональным образом че
рез х. Однако существует друrая точка D на оси, по OTHO
шению к которой все П.Jоведенные до кривой -flрямые DM
MorYT быть в ражены рациона:IЬНО. Чтобы найти эту (точку),
положим CD===f, тоrда, так как DP==f x, DM2 ==ff
2. f x +xx+bb bbxx ===bb+ff 2Ix+ (aa bb) хх . Это
.. аа аа
(аа ЬЬ)(ЬЬ+fЛ
выра,кение становится квадратом, если!!== ,
аа
или O==aa bb ff, откудаf=== + у(аа ЬЬ). Таким об-
разом на оси АС И Iеются две таких точки по обе стороны
центра, на расстоянии CD.:::: у (аа ЬЬ).
(аа ЬЬ) хх
Но тоrда: DM2 == аа 2х У (аа ЬЬ) + , и,
аа
XJI" (aa bb) CD. СР
ОТСlода, DM == а а == AC АС ДЛЯ ср== о
DM==:DE==a==AC1), но если принять абсциссу СР===СО
или х ::::== V (аа .......... ЬЬ), то прямая DM переходит в ординату DQ ",
ЬЬ СЕ2
таким образом, DO === а == АС ' или DQ становится третьей
пропорциональной к АС & СЕ.
{) У Эллера кривая, очевидно, по ошибке rрзвера, представляет QK-
PY HOCTЬ, ТаК что Уl<азанные <Jтношения длин Не соrласуются М ЖДУ со.
боЙ. Я исправил РИСУНОК.
167
h о я с н и т е ль.. ы е з а м е ч а 11 и я. k З31'о.10ВКУ (фОJ.:усы) ОТ-
НОlНТСЯ собственно TO.'IЫ O 128. Но 127 СЛУ)IПIТ eCT CTBeHHЫM
введением к этому, а 126 я прибавил еи(е для Toro, чтобы
показать, насколько подвинулся вперед по сравнеНИIО с своими
преДlllествеННИI<ами Эйлер, хотя он все еще rоворит о JJ началь
ной точке абсцисс": из наличия квадратов х и у он умозаl<ЛЮ-
чает о двойной симметрии, т. е. осмеливается принимать отрица
тельными как х, так и у. До Эйлера это сделал впервые Ныотон
в своих исследованиях о кривых TpeTbero порядка (опубликованы
в 1704 r.). Прежде чем заня,ТЬСЯ 128, я хочу еще указать,
что в 129 введены названия для фокусов "Foci" или
" Umbi1ici" (собственно пуповинные точки:' затем, YiKe известные
нам в БОЛЬШИ:--Iстве названия "Axis transver3us" Д1Я а и ее "Axis
conjugatus" для Ь, и название "полупараметр" (Semiparameter)
для DO, так как сам параметр есть двойная DO (называемая
"Ordinata") и он имеет еще название "tatus rectum".
в 128 Эйлер разыскивает на оси АС такие точки D, что
DM становится рациональным. Это фокусы. Он находит выра-
жение
Ь 2 + J2 2fx + ( 2 2) х 2 I
а
которое должно быть квадраТО f. Эйлер рассматривает ero как
квадрат
х
11 Ь 2 + f 2 а v а 2 - Ь .
Если взять удвоенное ПР1изведение ЭТИХ членов и приравнять
ero 2jx, то получа ется ЭЙJlерово услови , из KOToporo следует,
чrо f == + v а 2 Ь 2 . Мысль О введении фокусов не так неожи
данна, как это может показаться на первый взrляд. ПраВД1,
я не знаю ни одноrо математическоrо труда, который Mor бы
дать размышлениям Эйлера толчек в этом направлении, но, оче..
видно, он знал из астрономии, rде уже Кеплер (еще в 1609 r.)
использовал полярные уравнения эллипса, хотя и не под этим
названием и не в современной ф-орме, что "радиус-вектар" эл-
липса по отношению к фокусу можно выразить раЦliональным
образом через х.
Положим DM == р, а MDC===ro Еозьмем в качестве полярноrо
уrла, тоrда мы имеем, по Эйлеру, прежде Bcero, p==a fx .
а
158
Так l\aK ! х == р cos CU, ТО положиз еще, соrласно нашему
е
обычаю, 1== е и === е (эксцентриситет) леrl<О получит.:
а
ар == а 2 е 2 + ер COS т.
и
Ь 2 Р
Р === а е COS (J) == 1 € cos (1) ,
обычное уравнение эллипса в полярных I\оординатах, rде р на
910Т раз положено на современный манер равным "полупараметру"
Ь 2
DG == .
а
Отметим eи e, ЧТО Эйлер B:vleCTo употреБЛЯ[НlIсrося Декартом
знака радикала, снова пользуется малопрзктичными скобка.\IИ.
В ДРУ1'ИХ отношениях алrебраическая символика Эйлера почти
не отличается от современной.
XIII
Парабола J(aK предельный случай эллипса
Из L. Euler ..Introductio. (СМ. Ng ХН), Т. 11, Лозанна, 1748.
Стр. 72.
147. Если отсчитывать абсциссы от ВСр IlИНЫ А и если
положить АР=== х, рм === у (фиr. 4 О), причем а х теперь
есть то, что раньше было х, то получаl{)Т слеДУЮU-1.ее уравнение:
ЬЬ 2ЬЬ ЬЬ 2ЬЬ
уу == (2ах хх) == х ХХ, rде, очеВIIДНО, есть
аа а аа а
параметр или "latus rectum" (см. ч. IIf, Ng 111) 3ЛЛИ!lса. Положим
половину latus rectum или ординату в фокусе := С, & paC TO
яние фокуса от вершины AF===d, в таком случае:
ЬЬ
==c & a y (аа ЬЬ) ===d ==а y (аа ас).
а
dd
Отсюда получают: 2ad dd == ас & а == 2d с '
с (2d с) хх
следовательно, УУ== 2cx da ·
Это (73) уравнение эллипса между прямоуrольныии коор-
динатами х и У. причем абсциссы отсчитываются на полуоси АВ
159
.от В рIlJИНЫ А. Это у,'ав[{ени заВИСrIТ от данноrо расстояния
фокуса от вершины АР .::= d & от половины latиs rectum; при ,том
СJlеду т иметь в виду, чтu 2d ДОЛ)J(НО всеrда быть больше, чем с,
dd с
ибо АС==а:::: &CD==b==dJI .
2d c 2d c
.
148. Если 2d === с, то уу.::::: 2сх, это уразнение, получсн
ное нами выше для параболы; действительно, вышеприведенное
уравн ние уу == а + X приводится к этой форме, если начало
абсцисс перенести на отрезок (intervallo) === . Пусть, следо-
вательно, MAN будет парабола (фиr. 41), природа которой
выраiкается уравнением уу == 2c.t' между абсциссой АР== х &
8
А
D
(
Фиr. 40.
Фиr. 41.
ординатой РМ ==у. В сооrвеТСТ.;lIИ с этим расстояние фокуса
1
от вершины АР === d .== 2 с, & полупараметр РН == с и по-
всюду рМ2=:: 2РН. АР. Отсюда следует, что если взять абс-
циссу АР бесконечно большой, то одновременно с этим BЫ
растают ДО бесконечности ординаты РМ &: PN. Поэтому кри
вая "растирается по обе стороны оси АР до бесконечн:сти.
Если же взять а5сциссу х отрицательной, то ордината стано..
вится мнимой; поэтому, оси вне А по Н81ра-злению к Т не
соответствует никакая часть кривой.
149. Так как уравн ние эллипса пер ходит в уравнени
параболы, если принять 2d === с, то ЯСНО, что парабола не что
dd
иное, как Э.'IЛИПС, полуось KOToporo а== 2d c бесконечна.
Поэтому все свойства, найденные нами Д.1Я эллипса, можно
перенести на параболу, если АаТЬ оси а стать бесконечной.
1М
1 1
И, лрежде Bcero, так как AP=== 2C, то PP==X 2C, и
ссли зате 1 JIровести из фокуса F прямую F М точке М
1
кривой, иыесм рМ2 == ... X (Х + 4 се + уу === хх + сх +
1 1
+ 4 сс, и, поэтому, РМ === х + (7 4) 2 с == АР + AF, что
является rлаВНЫ:\1 свсйством фокуса параболы.
пояснитеJIыIеe замечания. Я обрынаю здесьрассу-
iкдения Эйлера, ибо я хотел дать только образчик ero метода.
Вопрос сам по себе настолько проет, что не нуждается ни в
1{3КИХ разъяснениях. Но в то время такой подход к делу БЫJl нов.
Ilре>l{де лишь в самых редких случаях параболу рассматривали
как переходную ступень между эллипсом и rиперБО.10Й. И во
ВСЯl{ОМ случае, никеы еще до Toro не было дано аналитическое
изложение этой точки зрения. Упоминаемое в самом конце rлавы
свойство фокуса параболы состоит в том, что каждая точка М
параболы находится на Tal{OM же расстоянии от Р, как и от не..
которой перпендикулярной к оси и расположенной впраЕО от А
1
на расстоянии 2" с (== РА) прямой (директрисы). Это свойство
не упоминается у АПОJ1.тIОНИЯ, но было, наверное, уже- давно изве..
стна в древности, хотя впервые о нем сообщает лишь Папп
(III в. н. э.). В следующем лараrрафе Эйлер показывает еще,
что АТ===АР==х, так что, в конце концов, FM==FT FW.
Отсюда следует и общеизвеСТ(lое свойство отраженноrо в Лl
луча. FM.
XIV
ИНВОЛЮЦИЯ
Из Girard Desa gl1es, Bl'ouillon pl'oiect d'une atteinte аих evenemens
des rencontres d'un сопе a\rec ип рlап, Paris, 1639. Ilерепечатано в Oeuv
res de Desargues, reunies et analysees par !\ . Poudra. Paris, 1864. Тоте 1.
Iie\l. перевод Цахариаса (Zacharias) "Erster Entwurf elnes Versuchs
tlber die Ergebnisse des Zusatnmentreffens eines Kegels Jnit einer ЕЬепс"
(Ost\valds Klass, N 197), Лейлциr, 1922.
Предварительные замечания. Дезарr (Desargиes),
.1pyr Деl\арта, уже при )I{ИЗНИ подверrался жестоким нападкам
за непонятность своих трудов. Трудность понимания зависела
не ТО.1ЬКО ОТ со ерше :ной новизны содержания их для современ-
НИI{ОВ, но от фОр \IЫ ИЗЛО)l{ения. Ма('са новых специаJ'1ЬНЫХ
11 D 11 1 е 11 l' 11 С р, Хре...томаlИЯ. 1 (1
терминов уже заранее сбивала с толку читателя. В результате
все труды Дезарта были совершенно забыты, а большинство
из них вообще пропало. Так, например, от "Brouil1on proiect"
не сохранилось ни одноrо печатноrо экземпляра. Только блаrо-
даря счастливой случайности мы, вообще, знакомы с ero содер-
жанием. В 1845 r. французский математик и историк математики
М. Шаль (Chasles) открыл у одноrо парижскоrо букиниста копию
"Brouillon proiect", сделанную для себя в 1679 r. ла.rиром
(см. выше, ч. I I, N2 Х). На основании первоrо издания 9Toro труда
(в 1864 r.) можно было убедиться, что Дезарr владел уже, хотя
и в несколько архаической форме, всей проективной rеометрией,
вновь созданной тем временем, rлавным образом, трудами В.
Понсле (Poncelet, 1822; см. ниже, ч. 111, N2 XVI).
В нижеследующем "дерево" означает ПРЯМУIО с ее парами
точек, у которых лрямоуrольники на соот етствующих отрезках
предполаrаются равными, так что Ай. АС == AD. АР == АВ. АН.
А G О 8 н F О
I . I " . , 1 .,
А, А 2 Аз Аз А 2 4;'
A 44
Фиr. 42.
Точка А, or которой отсчитываются отрезки, называется иство-
лом " (souche). Сами отсчитываемые от А отреЗАИ называются
"ветвями" (branches), их конечные точки В, С, D... "узлами"
(noeuds). Отрезки между этими точками (за исключением А),
например BD, называются "побеrа\'IИ" (brins). Ствол А назы-
вает я "связанным" (engage) или "свободным 11 (degage) по отно-
шению к какай-нибудь паре точеI(, если в перво случае он
лежит между обеими точками или, во BTOpOM, вне их. Дру-
rие выражения, как, например, "б.пизнецы" (gemeaux) неТРУДIlО
понять из сзмоrо текста.
Нижеследующее изло}кение и по форме совершенно тесно при-
мыкает к Дезарrу.
Стр. 116 (He l., стр. 16/17). Если У дерева АН ствол А
свободен по отношеНИIО к обеим ветвям каждой из пар
АС, Ай; AF, AD; АВ, АН (фиr. 42), то тот же ствол, оче
видно, свободен и по отношеНИIО к обоим узлам каждой из
пар; С, о; D, F; В, Н; и оба узла I{а)кдой llЗ пар: С, (); D, Р;
В, Н, очевидно, ТО)КС отделены (d smclcz) от обоих узлов
.1 юбой ДРУI"ОЙ пар\ы.
I
162
И, наоборот, если у какоrо-нибудь дерева оба узла лю60Й
пары С, О отделены от обоих узлов любой друrой пары
D, Р, то и ствол А свободен по отношению к обоим узлам
и обеим ветвям каждой (117) из пар. Отсюда, очевидно, следует,
что если у какоrо-нибудь дерева НВ дан вид какоrо-нибудь
одноrо из всех этих положений ствола. ветвей и узлов друr
относительно друrа, то этим самым Д H и вид всех друrих
положений прочих И3 этих самых вещей. ....
И, вообще, при каждом из этих обоих видов образования
дерева (имеет место следующее).
Как какая нибудь из ветвей Ай относится к соот-
ветствующей ей АС, так относится прямоуrольник на любой
паре побеrов aD, ОР, которые носит на себе эта про изволь-
ная ветвь Ай, к своему соответствующему прямоуrольнику
CD, С Р.
Действительно, ввиду равенства прямоуrОЛЬНИI(ОВ на обеих
ветвях каждой из трех пар: АВ, АН; АС, Ай; AD, АР четыре
ветви Ай, АР, AD, АС попарно пропорциональны. Отсюда
следу ет , что
как АО относится к АР }
так относится OD к СР
или же AD к АС
и что
как АР относится к АС }
или же Ай к AD так относится OF к CD.
Следовательно, ветвь Ай находится в таком же отношении
к сопринадлежной с ней ветви АС, как соединение (Пр0И3
ведений) (118) отношений побеrа ОП к побеrу СР и побеrа
йР к побеrу CD, Ч;ТО рзвно отношениIb прямоуrольника на
побеI'ах пары OD, аР к прямоуrольнику на побеrах СООТВСТ"
ствующей пары сп, СР.
Отсюда следует, что нрямоуrоль,..ик на побеi'ах ов, йн
близнец прямоуrОJIЬНlIка OD, Рй так относится к своему
соответствующему, ПрЯМОУl"'ОЛЬНИКУ СВ, СН, близнецу прямо
УI'ольника CD, СР, как прямоуrольник aD, ОР близнец пря
моуrольника ов, OH относится к своему соотвеТСТВУlощеыу,
ПРЯМОУI'ОЛЬНИI<У CD, СР близнецу прямоуrольника СВ, СН.
Ибо, по доказанному, прямоуrольник на побеrах пары 08,
ОН, относится к своему соответствующему, прямоуrОЛЫIlII<У
СВ, СН, как ветвь Ай к сопринадлежной с ней АС.
Кроме Toro, было также доказано, что прямоуrольник на
побеrах aD, ар относится к своему соответствующеМУJ прямо
p 163
yrO,J1bHHKY CD, СР, как та же самая ветвь Ай к сопринадлеж-
ной с ней АС.
Gледовательно, прямоуrо.тJЬНИК на побеrах 08, ан близ-
нец прямоуrольника OD, аР от осится К своему соответст-
вующему, прямоуrольнику СВ, СН, как лрямоуrольпик йо, аР
к своему соответствующему, прямоуrольнику CD, CF.
Отсюда следует, что и ПfJямоуrольник на побеrах РС, РО
относится к своему соотв тствующему, прямоуrОЛЬ'НII<У пс,
DO, как прямоуrольник па побеrах РВ, РН I( своему COOT
ветствующему, прямоуrольнику (119) на побеrах DB, DH.
Действительно, это отношение равно отношению ветви АР к
сопринадлежной с ней AD.
Отсюда следует, далее, что ПрЯ tоуrольник на побеrах 11l ,
НО относится к СБоему соответствующему, прямоуrо.rIЬНИI<У
8С, во, как прямоуrольник на побеrах HD, HP к своему
8
о
t
у
н F
L t
с
Фиr. 43.
соответствующему, прямоуrольнику BD, ВР. Д йствительно,
это отношение равно отношению ветви АН к сопринадлежноН
с ней АВ.
И н в о л ю ц и я. И таким образом, если на прямой Af/
даны три пары точек В, Н; С, о; D, F тако:"о свойства, что обе
точки в каждой паре одновременно ..тlибо смешаны (фиr. 43),
либо обособлены по отношению к обеим точкам каждой друrой
пары и если соответствующие друr друrу прямоуrОЛЬНИКII
из отрезков (pieces) между этими точками относятся ДРУI'
I{ n.pyry так, как.их близнецы, если их взять в том же caMO 1
порядке, то такое расположение трех пар точек на прямой мы
наэ ваем "инволюцией" ]).
п о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Мы должны, прежде Bcero,
поступить так, как ПОС1УПИЛ Цахариас в своем немецком пере-
воде Деззрrа, именно, перевести утверждение ПОС.'1еднеrо на ЯЗЫI(
нашей символики. Из равенства прямоуrольников с.1Jедует, lIаПрlI
мер, что
AO:AF==AD:AC,
( 1 )
а ОТСlода
(AD Ай) :(АС AF) === aD: ср=== Ай :АР== AD: АС, (3)
i) Выражение, .ИНliОЛЮЦИЯ*, как и ДРУП'lе термины, тоже боrани-
ческоrо характера. Оно означает ск?учеНliое состояние молодых ЛИСТЬ В.
164
причем здесь применяется известное математикам уже с
Д1евности ело)} ение (или вычитание) соответствующих членов
,
пропорции, и
(AF Ай): (АС AD) == аР: CD === АР: АС===АО: AD. (3)
Теперь, пу,'ем умножений обоих отношений Ай: АР и АР: АС,
Дезарr ЛО.'Iучает:
OD аР
Aa:Ac== . ===aD.aF:CF.CD. (4)
L'F CD
ПрИ1\lеняя к паре точеl{ В, Н те же рассун{'дения, что и к
точкам D, Р, можно получить также
ов. ОН:С8. CH OD. ОР: CD. СР.
(5)
ДрУl не два уравнения, даваемые Дезарrом, I10ЛУЧЗIОТСst пут м
3JMCHbI пар узлов.
На этой основе Дезарr возводит теОрИIО конических сече:iИ:Й,
в частности, BCIO теОРИIО поляр. Полученным Дезарrом результа-
там мы постараемся придать более современный вид. Уравнение (5)
МО)КНО, несколько ВИДОИJменив ero, написать та1':
: === Z : z; [== ; : J ·
ТОЛЬКО в этой форме становится нам понятной теорема Дезарrа.
Действительно, теперь на левой стороне мы имеем "двойное отно"
шение" [введенное Брианшоном (Brianchon) в 1817 r., см. ниже,
ч. IIf, N'Q XVI] четырех точек О, D, В, С, а на правой стороне
двойное отношение четырех точек А, Н, Р, С, или С, Р, Н, а.. Co
вершенно аналоrичным образом можно выразить два последних
уравнения Дезарrз, принимающие, если ПОЛЬЗ0ВЗТЬСЯ COBpeMeH
ными сокращениями, слелующий внд:
(Р, D, О, В) \ (D, Р, (', Н),
е.
р(; РВ DC DH
ий : ви == сР : НР '
Т. е.
(Н, В, О, D,) 1\ (В, Н, С, f),
на HD ве ВР
. .-
{jB Dfj сн' РН.
Но, представленные в таком виде, 9ТИ рзвенства еще недо..
стзточно прозрачны. Введем сперва друrие обозначения и поло.
жим А} вместо О, А; вместо С, А 2 вместо D, А; вместо Р,
Аз BJ..leCTO В, А; вместо Н. Затем, разделим каждую пару точеI\
ИНВОЛЮЦии и станем рассматривать "точечные ряды" Аl' А 2 , Аз,
и А;, А;, А;, "раздельно. Они "однозначно" (.,проективно")
сопряжены друr с друrом, ибо, в силу условия о равенстве
произведений, каЖl0Й точке А п соответствует одна единственная
TO:.tKa A и наоборот. Эти два точечыые ряда "наложены" на одну
и ту же прямую AA "носитель" их. Отличительной чертой
"инволюционноrо соответствия" является то, что, например, точке
,
А 2 , если я ее возьму как точку А4 первоrо ряда, соответствует
точка А 2 , как точка A BToporo ряда, т. е. вообще rоворя
что пары точек соответствуют взаимно друr друrу. На рис. 42,
имеется, разумеется, налево от А соответствующий ряд пар точек,
как и направо от нее. Самой ТОЧJ\е А соответствует бесконечно уда-
ленная точка прямой, понятие о I\ОТОрОЙ TOiKe было введено Дезар..
rOM и последовательно использовано Понсле (см. ниже, ч. III,Ng XVI).
Iia рис. 42 имеlОТСЯ так же две "двойные точки" инволюции. Одна
из них лежит вправо от А между В и Н. Мы назовем ее М, а
друrую влево от A COOTBeTCTBeHHO М' (АМ==АМ'; АМ}==
==АА 1 .АА; ==...).
Известно, что любые четыре точки двух проективных рядов
fочек обадают одинаковым двойным отношением. I10ЭТОМУ
ICIIO, что, например,
(А4' А , А], Аз) ;\ (A , А;, A , А;),
что соответствует:
(Р, D, О, 8) ;\ (D, Р, С, Н).
Мы получаем теперь, например, также так как 1\1 и А1' соот-
leTcTBYIOT каждая самой себе
( /1,1, М', А п ' А ) 1\ (111, М', А , 4 IZ) ,
т. е.
МА п MA МА' MAt1
. п .
А Nl'. А' м' == А , 1'. А iVl"
ппп п
или
( МА ) 2 ( МА' ) 2
АпА;' == A /v 1
166
11, следовательно, так aK оба отношений Не MorYT быть аОСОЛIОТИО
равны между собой, если учитывать, как это делают теперь,
знаки отрезков....... имеем:
МА п
А А1'
п
==..........
МА'
п
А' м' ·
п
Это, как известно, означает, что точки Ап' A расположены
rармонически относительно М и М'. Я должен оrраничиться
этими замечаниями. YKail(y еще лишь на то, что простейший
пример ЭВОЛIОЦИИ точек на некоторой прямой g мо>кно получить,
пересекая g всеми ОКРУ)I(НОСТЯМИ какоrо-нибудь пучка (Э10
леrко доказать методами элементарной rеометрии). Еще сам Де-
зарr доказал весьМ'а общую теорему, что все конические сечения,
проходящие через четыре неизменных точки, образуют на Лlобой
прямой g инволюцию.
ХУ
Первоначальная форма паскапевоА теоремы
Из "Е s s а у р о v r 1 е s с о n i q u s. 'Par В. Р." Parls, 1649.
Предварительные замечания. "Опыт о кониче-
ских сечениях" Блеза Паскаля появился в виде отпечатанной
на одной стороне афиши размерами 47 Х 39 СМ, которая была
прибита, вероятно, ha уrлах домов, как это с достоверностью
известно относительно ряда сочинений Дезарrа. ПаскаЛIО
Ulел тоrда 1 7 -й rод. В "Опыте" было Bcero (без заrоловков)
53 строки текста; цель ero была привлечь внимание к друrому,
полее крупному, труду о конических сечениях, над которым ра-
ботал тоrда Паскаль и над котор')'м он продолжал работать
ellJ.e в 1654 f. Но, к сожалению, он не был закончен, так как
к этому времени Паскаль ПОРВ1Л с МИрОtf И мирскими делами.
Потеряны и отрывки из этой работы, находившиеся еще в ру-
ках Лейбница. От ориrинала." Опыта" сохранилось только два
экземпляра, один из которых находится в raHHoBepe среди бумаr
JIейбница, а друrой в Парижской Национальной библиотеке.
Факсимиле "Опыта" помещены в "Oeuvres de Blaise Pascal риЫ.
par Leon Brunschvlcg et Pierre Boutroux", 1, Париж, 1908, стр. 253
и ел., затем в "Historische Studien, door Hk de Vries", выпуск 1,
rронинrен, 1926, стр. 4 и ел. Текст "Опыта" перепечатан в на-
зван ных .. Oeuvres. и сна.бжен введением и примечаНJlЯМИ.
161
Oeuvres. Стр. 253. Л",мма 1. Если в плоско ти' М, S, Q
ИЗ точки М ВЫХОДЯТ две ПРЯМЫХ МК, MV (фиr. 44), а из
точки S две прямых SK, SV и если К есть ТОЧl{а пересечения
прямых МК, SK и V точка пересечения ПРЯ'IЫХ М V, S ',
и А ТОЧI{а пересечения ПрЯ IЫХ МА, SA, и J1. точка пере
сечения прямых MV, SK и если через две из четырех точеl(
А, К, J1., V, которые не леi {а [' на ОДНОЙ и тоЙ же пр мой
линии С точками М, S, ка}.: (например) через точки К, V,
проходит ОI(РУЖНОСТЬ, пересеJ{аlощая прямые MV, МР, SV, SK
в точках О, Р, Q, N, то я утв рждаIО, что ПР5!J\lые MS, NO, PQ
будут одноrо и Toro же порядка 1).
(254). Лемма 11. Е:ли через одну и ту же прямую (g) прохо
дит несколько плосксстей, псресеl(аСi\lЫХ НСI{ОТОРОЙ друrой
s
t:
ФИI . 14.
П.поскостыо ( ), ТО ПС ЛИ нии пересечеНИ51 (с €) этих IIЛОСI{остеЙ
будут одноrо и Toro }I(C ПОРЯДf(а с ПрЯ\lОЙ (g), через I{OTOPYIO
проходят все названные П:IОСI{QСТlI.
ИСХОДЯ из обеих этих лемм и не:{оторых леп(их следствий
IIЗ них, мы докажем, что при наличии тех )I(e преДПОС:,I-
лок, что и В первой леJ\l\!е, если через ТО'IКИ К, V проходит
проиэ ольное коническсе сеченис, псресеl{аIОl1{ее прямые МК,
М V, SK, SV, в точках Р, О, N, Q, то прямые MS, NO, PQ
будут оди ro и Toro }I(C не Р' ДК'l.
п о я с н и т л ь н bJ е з а J\I е ч а н и я. э. а перво на чальная форма
ппскалевой Te )peMЫ, как леrко 2зме ить, пр жде Bcero фОрМУо'1Ир
вана сов ршенно иначе и притом rорl ДQ БJлее неУКЛlоже, чем мы
это делаем в настоящее время, ибо в ИЗЛО)J(ении Паскаля еще
не"видно, что все CTOpO:Ibl шестиуrольни"а PQVONK иrраlОТ
\.
{) Определение 1 r.аскалева "Опыта- rласит: "Если несколько прямых
ПРОХОДИТ через одну и ту же течку, или же параллеЛЬНhJ между c0601',
10 rОБОрЯ1', что все эти прямые ОДНО['О и T()rO же порядка." ПОllJl
перев.
168
O 1HY ту il(C роль. В наСТОЯlцее время предпочитают О,б03J1зчать
вершины цифра IИ 1, 2, 3,. 4, 5, 6, сос,тв.:тствующими в УКJзанном
ПОрЯДf{е буквам Р, Q, V, О, N. 1(. Затем рассматриваl0Т Трll
точки пересс- ения так назынаемых "ПРJТИВОПОЛО}КНЫХ« сторон 12
и 45 (PQ ON), 23 и 56 (QV и NI(), т. е. S, и беря (Ц' K
лнчески, 1{3K на рисунке) В:ЛЕ'Д за 6 снова 1, 34 и 61
(Va иКР), т. е. Л'l. Тоrда эта Tp(J точки пересечения, именно
S., М и неоБОЗН(lчеНII1Я точка ле)нат на одной П Р Я:\IОЙ.
, \
Однако из заметок Л Лбница, составленных им лично для
себя относительно ВЫIнеУПОjlянутоrо, более крупноrо произведе
НIIЯ Паскаля, ясно, что последний y:r c сам ПРllшел к 9ТОЙ фор
мулировкс СВО Й теорем!> Он обознача.1 (ка" 91'0 тоже охотно
дел-аетсSl и теперь) CTOpJII' Цllфра 1 и 1, 2, 3, 4, 5, 6. В таком
случае 1 и 4, 2 и 5, 3, и 6 пер се;( lIоrся в трех точках HeKQ
тор)Н Пр,I:\IОЙ линии. Иыеlощиеся у Лей5ница рисунки тз'{же YiK
та :oro характера, что шестисторонник не является непре tенно
выпуклым: стороны ero переGtCК:IIОТСЯ меiКЛУ собой, так что слово
"противополо)кные«, приведенное нами поэтому уже выше в кавыч
({ах, нельзя понимать БУI(вально. I{aK известно, шесть вершин
I\!OiKHO перенумеропать в Лlобом порядке. Применение теоремы
при водит всеrда J{ "па:капевоА прямой 11
В ПIскалевой формулировке, далес, за;\lсчателыIo то, что Teo
pe la п рв()начально была сформулирована для окружности. Но
в третьей лемме ПаСI{аль обобlllД2Т ее для Лlобоrо коничеСI<оrо
сечения. И на чеРТ(')J(е у Hcro нарисован, попросту, эллипс. Это
обобu(ение было получено ПО 10ЩЬЮ второй (самоочевидной)"
леммы и "HeJ(oTophJX ,ПСl КИХ следствий". Это не что иное, как
l\ етод ПрО J{ЦIlИ, заимствованный Паскалем у ero учителя Дезар..
ra, ВJIиян е KOTOpOI о' l\J(1)KHO БЫ.l0 бы немедленно узнать по
одному ЛНIIIЬ способу выраil<ения Паскаля, если бы последний
не называл е'"о прямо по имени. Но нало подчеркнуть то об-
стояте.пьств(), что этой TeOpC!\IbJ у Дсзарrа нет и что, как пере-
даlОТ, Дезарr наЗhIВЗЛ ее "c He grande proposition, la Pascale" 1).
Тр тьей Лlобопытной ос()бенностью в ИЗ.l0)кеНIIИ l1аскалSl
яп lяется то, что 011 теорему эту называет" вспомоrательноА Teo
ремоЙ", леммой. Из "Опыта" видно, что имел в виду этими
С.l0вами Паскаль, ибо он заявляет, что с помоu ыо своих трех
лемм он собирается построить I10ЛНУIО теорию конических се-
чений. И действительно, он' приводит в виде примера ряд поло
..,
ti:'
.
{) Са\{ П 1СК3.'1Ь, по свидетельству Лейбница, нзэыва.'I ОТНОСЯlllуюrя
'( теореме фlll'УРУ мне rичес l\IHI п:сс I иуrо.1ЬНИКОМ Hexa ramn1l1m mysti-
CU.!j).
tf
Жениti, вытекающих без труда на erO Теоремы. Ср ди АИх име.
ется и нижеследую цее положение, при формулировке KOToporo,
I\JbI, отсылая читателя к чертежу 1), заменяем словесные обороты
речи Паскаля буквенной символикой:
Р:И AS PL А Т
AtlA . SQ == LA · TQ'
Достаточно это написать в виде
РМ PL АТ AS
МА : [А == T : SQ ,
то имеем также
чтобы убедиться, что мы здесь имеем дело с раА НСТlЗ М двух
дпойн rх отношений
(Р, А, М, L) /\ (А, Q, Т, S).
Если мы станем проицировать левую четверку точек из V,
а npaBYIO из К, то мы получим »проективные четверки лучей"
VP, V М, VL, V А и КА, КТ, KS, KQ, КОТ9рые пересекаются в
том же порядке попарно B точках Р, О, N, Q коническоrо се-
чения 2). Это означает получение коническоrо сечения с помощыо
проективных пучков лучей, на котором построено в современной
»проективной rеометр и" все учение о конических сечениях (СМ.
ниже, ч. I!I, N'Q XVIII). Мы видим, что Паскаль уже знал эту CTO
рону дела, хотя он и не умел выраЗИТIt ее, как мы, во всей ее
общности.
Данное Паскалем доказательстве теоремы не сохранилС)сь.
Но мы можем быть уверены, что оно было очень похоже
на совреме нное, проводимое eTOДOM элементарной rеометрии
f) На ориrинальном рисунке имеется, в связи С друrИ\iИ теоремами,
етпе несколько лишних линий, но нет зато важных линий QD, ON, S и.
Я, с своей стороны, прибавил линии VP и KQ, а также букву , по
недосмотру пропущенную Паскалем.
2) Мы можем доказать вышеПРИ9еденную теорему в несколько бо
лее COBp MeHHOM. вид следующ :1М образом. Назовем Х точку пересече
ния QP, ON и S.И; в таком 'случае и TL проходит через Х, так как
и PQVNOK можно рассматривать как паска.lев шеСТИУI'О..тIЬНIIК. Это без
сомнения, был<;> известно и Паскалю. Таким образом четверки точек
А, Р, L: М, и А, Q, т, S, рассматриваемые И3 Х, расположены перспек-
ти 8110, символически
(А, Р, L. М) 1\ (А, Q, Т, S).
Но так как .'!erKo показать, что
(А, р, L, М,) 1\ (Р, А. ."-1, L),
(Р, А, М, L) /\ (А, Q, Т, S).
170
ДОJ{азательство для pyra, ai\ осиовноrQ кониче коrо сеченИ>f.
При этом МЫ ДОЛЖНЫ иметь ТОЛЬКО в виду, что так называемая
теорема о секущих применялась в форме пропорции, а теорема
l'.1енелая....... в более древней форме cocTaBHoro отношения (Т. е.,
т пр' )
примерно, вместо тпр === т'п'р' в виде .,', == .
т п р
Дальнейшая история теоремы Паскаля и взаимной с ней по
принципу двойственности теоремы Брианшона, на которой мы
здесь совершенно не можем останавливаться, подробнее Bcero
изложена у де-Вриса (Vries), несколько более сжато, но с точными
литературными указаниями, у э. Кеттера (Kotter) "Die Entwi
ckelung der synthetischen Geometrie von Monge bis auf Staudt
(1847)" (Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver. 5. Bd., 2 Heft.) Leipzig,
1901. Стр. 14 и сл. Мы выну}кдены здесь оrраничиться замечанием,
что паскалев "Опыт" не был оценен по достоинству теми He
мноrими современниками, которым он стал известен, и что позд
нейшие ученые вообще ничеrо не узнали о нем (это относит я
даже К ла. rиру, который в своих исследован иях ближе Bcero
примыкает к Дезарrу). Блаrодаря этому совершенно приостанови
лось вплоть до новейшеrо времени развитие современной чисто
rеометрическоА теории конических сечений, которой моrло бы
быть положено начало работами Деззрrа и ПаСI(ЗЛЯ.
XVI
Введение понятия проективных свойств
Из "Traite des proprietes projectlves des ffgures, ouvrage uti1e а сеих
qt1i s'occupent des applications de lа geometrie descriptive et d'operat ons
geometriques sur lе terrai11 8 . Par J. v. Poncelet. Parls. Bacllelier,..., 1822.
1. В нижеслеДУIощем мы будем почти Bcer да придавать
слову проекция ТО же значение, что и слову перспектива; по-
этому проекция будет к о н и ч е с к о й или Ц е н т р а л ь н ой.
...................
в соответствии с этим мы представляем себе, что из не-
которой данной точки, принимаемой за центр проекции, BЫ
ходит пучок прямых линий, направленных КО всем точкам
начерченной в некоторой плоскости фиrуры; если пересечь
этот пучок про и Ц и ру ю щ и х прямых друrой плоскостью,
раСположенной произвольным образом в прострзнстве, ТО на
этой плоскости получится новая фиrура, которая будет п р 0-
екциеА первой (4).
71
4. СОl'лаСIIО о tI. еПрIlНЯТО IУ в rе)метрии определению Апол-
лония, С е ч е н и е м J( о н у с а (section coniqиe) илt'f просто
к О н и ч е с I{ И М С е 1.1 е н и е м (coniqиe) называется линия, по
J{ОТОРОЙ ПРОИЗВОJlь а] плоскuсть пересекает какой нибудь ко-
нус с KpyroBbIM основанием; таким образом коничеСI,ое сече..
ние есть не что иное, как про е к Ц и я окружности и, со-
'лаСIIО преДЫДУIJ е JУ, является также линией в т о р о r о п 0-
р я Д к а, так ка., ОI<РУЖНОСТЬ MO/l(eT пересекаться Лlобой,
рзсположенной в ее I"ЛОСКОСТИ, прямой не более чем в двух
точках (5).
5. Фиrура, части которой имеlОТ ме,I(ДУ собой только rpa
( ичсские зависимости типа тех, о которых rоворилось выше,
т. е. заВИСИ fОСТИ, не УНИЧТОiкаемые проицированием, будет
в нижеС.1едующем называться про..
еКТIIВНОЙ фиrурой.
Са 1\1 И ,,{е эти за l3исимости, И, во..
обlце, все ОТНОlllения ил и с вой ства,
И:'vlеющие место в одно и то /1\ е
вр мя и у Д3НIIОЙ фиrуры и у e
проеl(ЦИИ, будут ана:IоrllЧНЫI\l обра
зом называться про е I{ т И В Н Ы м 11
О Т Н О 111 е н и я ;\1 И ИЛ И С В О Й с T
ва !\'1 и.
6. (Здесь rоворится, что НС-
трудно рзспознать проеКТИВ'fые пли r раф и ч е с 1( Н е свойствз
Пt остоrо положения (disposition).
7 Наоборот, нелеrко реUIИТЬ, сохраНЯIОТСЯ ли при прои
цировании и свойства величин, которые он наЗbIвает м е т р и-
1.1 е с к и м И. ЭТО разбирается в дальнеЙUIС:\1.)
. ............(9)
9. (Надо попытаться установить обlНИМ образоы условия,
коrда метрическое свойство проективно.)... Исходя
из этоrо преДПОЛО/l(ения, мы рассмотрим, в частности, что
происходит в ПЛОСКdСТИ, обрззуемой произвольно продолжен
НЫl\fИ ПРОИЦИРУЮIЦИМИ SA, SB (фиr. 45) 1), ПРОХОДЯIUИМII через
конеЧrIые точки отрезков АВ и А'В', из которых последний
рассматривается как проекция первоrо.
Соrласно весьма известной теореме из эле !ентарной reo-
метрии, ПЛОlцади треуrольников 5'АВ, SA'B', имеIОЩИХ оБЩIli1
уrол при вершине S, относятся между собой, как прямоуrО.1Ь-
о'
ФИl'. 4!).
{) Вследствие ПРОJlзведеllНЫХ МНОЮ пропусков текста, я даю ВЫWe'
ТО.1ЬКО фIП'. 2 ориrИ1LаJlа, к которой я пр ибlll\lI..r 1 11
t f)
i..
НИКИ (произведения) SA. S8, SA · SB' сторон, заК.1JlочаIОЩИ ЭТОТ
уrол и, СJlедовательно, отношение площади Лlобоrо из этих тре..
уrольни ков I( соответствующему ему прямоуrольнику nOCTL-
ннно. Поэтому, если назвать это ОТl!ошение, зависящее ТОЛЬКО
n'!
от больш rо ИЛИ м ньшеrо раствора уrла при S, чер з 2
и €СiIИ обозначить ДЛИНJI ПРОИЦИРУЮЩ:I Х SA, SB просто через
а, Ь, а через р (длину) перпеНДИI<уляра из центра проекции на
направление АВ, то имеем:
1 1
площадь SAB == 2 р. АВ === 2 !п. а. Ь,
отку да С.1СДУСТ:
а.Ь
АВ==ln.
р
... (То же самое относится к друrим отрезкам с, d, р' 11 т'.)
........... .(8)..........
11. Существует очень обширный класс отношений, Д.:1Я
которых из результата подстановки исчезают перпендикуляры
р, р' одновременно с а, Ь,..., причем нет необходимости
как при выше принятом общем предположении........ заменить их
значениями, которые они принимают в соответствующих Tpe
уrОЛЬНИI<ах. Именно 9Toro рода отношения мы имели в преды-
дущем в виду.
........ .......... (1 О).... ........ ....
17. Рассмотренные нами только что величины т, т'... пред-
ставляют, очевидно, не что иное, как с и н у с ы проицирующих
уrлов или постоянные отношения между пеР:lендикулярами из
различных точек одной из сторон каждоrо из этих уrлов на
соответствующую сторону и расстояниями этих самих точеlС
от Qбщей вершины или центра проекции; таким образом мож
но формулировать следующий Qбщий принцип:
n Если провести из любой точки как центра проекции пучок
проицирующих прямых К различным точкам какой..ни6удь фи-
rypbl и...., если части этой фиrуры имеют меll(ДУ собоП
одно или неСКО.1ЬКО метрических проективных отношений, COOT
ветствующих предписанным условиям ( 11), то эти самые OT
ношения будут иметь место и между синусами пр II:J,НРУIОЩ:!Х
уrлов, которые И I соответствуют".
... .(1:2)........ ........
173
21. 8 качестве очень npocToro примерJ TaKoro рода OTHO
шений рассмотрим четыре точки А, В, С, D (фиr. 45), лёжа..цие
на одной прямой и связанные ме)кду собой пропорцией
СА DA
C B DB '
Т. е. такие точки, что отрезок АВ делится точкой С и точ-
кой D на про пор Ц и о н а л ь н ы е о т рез к и (еп segments
proporti onelles).
Ясно, что это отношение принадлежит к специальному
классу отмеченных в 9 20 отношений. Следовательно, оно будет
иметь место для всех проекций фиrуры *, свойство, которое
было известно древним, как это вытекает из теоремы CXL V
кн. VH "Математическоrо сборника" Паппа.
В следующих параrрафах вводится попятие rармоничеСКОI"О
деJ'Iения и rармоническоrо пучка, после чеrо теорема формулируется
в Э 24 (стр. 13) следующим образом: "rармоничеСI{ИЙ пучок
пересекается ка!{ой" ибудь секущей прямой в четырех rармони-
ческих точках". В 25 Понсле обращает внимание еще на то,
что, соrласно N2 17, приведенное 8 21 отношение имеет силу
и для синусов уrлов, соответствующих в пучке отрезкам и что,
наоборот, ......... причем он ссылается на " Essai sur la theorie des
transversales" Карно (Carnot), 9 15, если в пучке имеет место
отношение синусов, то пучок этот будет rармоническим в ука-
занном смысле.
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. ПОllспе CMor еще че рез
43 rода, в полном расцвете сил, выпустить второе издание сво-
ero труда, основной текст первоrо тома KOToporo вполне тождест-
венен с изданием 1822 r. Это последнее издание, само по себе,
представляет почтенный том in quarto в xlvj + 426 стр. с 12 таб-
лицами, к которому в 1865 r. был добавлен такой )I{e толстый
второй ТОМ.
Хотя в 1864 r. были изданы произве .i.ения Деза pl'a, Понсле,
труд I OToporo как раз I1ечатался в это время, не имел ещ' на-
* (ПримеЧ3l1ие ориrинала.) rосподин БРllаншон приходит к этому
результату, как и к некоторым друrим, вполне анолоrичным образом,
указывая, что .ДJIЯ четырех неизменных прямых, выходящих под произ
вольными уrлами из одной и той же точки и пересекаемых в А, В, С, D
ПРОИ3ВОlЫJОЙ секущей прнмой (имеет место равенство)
АС ВС
AD : BD == COllSt. (1
(Memoire 50! lcs ligl1CS du second ordre. Paris, 1817.)
174
KaKoro предстаВ;1еIIИЯ о нем, и во 2..м изд. он тоже ВЫСt<азывзет
только доrадки о содержании JJ Brouillon proiect". Тем не менее
он называет Де арrа Монжем cBoero века (стр. XXVI; стр. xxxvi!j
1 изд.). Монж был новооснователем, можно почти сказать изо-
бретателем, "начертательной rеометрии"; да и друrими своими
rеометрическими исследованиями он оказал CYIl eC1BeHHыe услуrи
делу создан ия "проективной rеометрии 11 .
Иитересно прибавление, которым Понсле сопровождает заrоло-
вок cBoero труда: "Труд, полезный для лии, занимающихся при-
ложениями начертательной rеометрии и rеометрическими измере-
ниями на земной поверхности". Это прибавление совершенно
в духе революционной эпохи, в KOTOpYIO жи.п MOH}I(, эпохи, коrда
старались немедленно практически использовать бесчисленные
тоrдашние rеометрические открытия. И, фактически, как МОНЖ,
так и Понсле владе.тIИ также так называемой "прикладной MaTeMa
тикой" . Но оба эти ученые сделали также .M CCY чисто теорети"
ческих исследований, и как раз излаrаемый нами здесь труд Понсле
менее Bcero можно назвать "практическим". Как сообщает сам
автор в предисловии к первому изданию cBoero труда, он составил
ero, будучи лишен всяких литературных источников, в каких
нибудь 11 / rода (с весны 1813 до осени 1814 r.) в русском плену
(в Саратове), и по возвращении на родину про извел в нем лишь
незначительные изменения. Историческое введение написано,
вероятно, во Франции.
Трудом Понсле были за::О}l{ены OCHOB ' современной "проек-
тивной rеомеl'р.IИ 11 В этом отношении ничеrо не изменяет 10
обстояте.1ЬСТВО, чти некоторые из элементов ее были уже изве-
стны и ранее, как 9ТО указывает и сам Понсле. Уже ла rи р
в своем большом труде "Sectiones conicae" (ПаРИ)I(, 1685) раЗВИ.1,
I1римыкая к ДезаРI'У, теорию конических сечений из проеКЦllЙ
Kpyra, хотя ла rир и не понимал rлубокомыслеННblХ идей ДезаРI'а
во всем их значении.
Трактат ПОНСJ1е придал новые формы и нсвый размах идее
проекции.
Мы Ilривели выше rлавнейшие места, оБЪЯСНЯI0Ulие ПОllятие
"проективных свойств" и ИЛЛIострирующие e"l'o на ча тном ПРН-
мере. Понсле Ile проводит еще различии между действнtелыIo
проективными и непрое,Ь:ТIIВНЫМИ "метрическими" свойствами,
и делит проективные cBo;icTBa на "rрафичеСКlIе прuективные СС
(например, пересечение и соприкасание ме)кду собой линий) и
"меТРИ'reскне IJроектинные войства", Т. е. Т31{ие свойства, кото-
рые Д<Хlil(НЫ ВЫРJжаться через отреЗКII и Yl'JllJI, но сохраняютсSl
llсе же IIPH проекции. Хотя при передаче текста я Mllol'Oe вы..
175
пусти:у, но изложение все eHte остается 1\1 HOrOC.10BHbI I. !\\ы реЗIО..
l\fИРУ';М в!{)атце, что и ,!еет в виду Понсле.
Леrко видеть, (IТО
АВ S 4 . S8. sin (ASB) .
Р
СущеСТ8УI<JТ вь ажеllИЯ, состаВ..lеНllые из таких OTpC.:I{OB, Kar(
АВ, в кото;>ых выпадают SA, S8, р, выра)l{ения, составлеННbIС,
таким образом, только из синусов уrлов. ТаКИ 1 выражением HB
ляется, например, нижеследу:сщее (ПРIIчем, я ПОЛЬЗ)lIОСЬ несколько
более современным начертание'м):
АС AD S.4.SC.sin(ASC) SA.SD.sin(ASD )
SB : пв- === SC, SB. SlЛ ( .,88) : SD. SB. siп (DSB)
sin (ASC) sfn (ASD)
=== sin (CSB): I1 (IJSB)
ТакимобраЗО ll это "двойное отношение 14 (» Doppelverhaltnis 14), ка.,
выражался впоследствии Штейнер (S'ceiner; см. ниже, ч 111, Ng XVIII),
зависит только от синусов уrлов меil(ДУ четырьмя проицирующими
лучами и 01!0, следовательно, одно и то )I{e для всякой прямой AD
lJJ1И А' D'. Об атная этому теорема rласит, что еС/1И даны четыре
т JЧКИ А, В, С, D и ес.т.'i взять за центр проекции I{акую нибудь
друrУIО точку S', то у HOBoro ПУЧI<а судет снова то же самие
"двойное отношение синусов", что и у cTaporo, так что каl\ая
нибудь друrая секущая ПрЯ lая пересекает новый пучок в четы-
рех точках, с тем же самым двойным отношением между точ.
ками... Понсле рассмаТРИВает только тот случай, I{ОI да двойное
отношение nrар:\IОНИЧНО" (ср. ч. 1, NQ VI), Т. е. l{aK это <tOPMY
лировал ВПОСо'1едствии Мебиус (M5bius; С\I. ниже, ч. III, .1\"9 XVII),
коrда оно равно 1.
XVH
Проективность ДВ'JЙноrо отношения четырех точе:.
Jtlз "Der barycentrl< che Саlсиl (,) ein net1C5 Hii1fsmittel Zl1r апаlуtisсhеп
Re11andlilng der Geometrie (,) dargestellt und in3besondere cuf die Bi1dung
"еие! Classen VOll Aufgaben und dle EntwicrCEll1ng mehrCt"er Eigen3chaften
der Kegel'\chnitte angewen et von Augl1st Ferdil1and M6bius (,) Profe sor
der Astronomie z Leipzig 8 . Leipzig, Verlag. von Jol1ann Ambrosius Bartll,
1827.
Стр. 246.
Э 183. Ради краткости образующееС51 ме,кду четырьмя
точками двойное ОТ iошенне будет впредь выражаться таким
обраЗО:\I, IITO буквы для нача.1ЬНОЙ ТОЧКll) КJнеl]НОЙ ТО'Н{Н и
176
для перзоi% и нторой: точек сечения будут помещаться в назван-
HO 1 ПОрЯДI е одна за Д)Уl"ОЙ, отделиться .аПЯТI"1IМИ и З.Jf{ЛIО
чаТDСЯ зате\1 в скобки.
АС АО
Поэтому впредь B le\:l'o CH ' DIi будет Пl1саться
(А, В, С, D)
БА ве
и точ:о так вместо AD : СО ' rде В и D предстаВЛЯIОТ край-
ние точки, А и С точки сеtlения, будет писаться
(8, D, А, С)
и т. д.
Стр. 252.
Д в о й н Ы Е О т' Н О Ш Е Н И Я У С И С Т Е 1\1 Ы n р я м ы х п: и 11 И Й
В плоскости
188. Т е о р е м а. Если три рас-
поло)ке iные в одной плоско ти пря-
мых ВР, МС, NQ (фиr. 46) пересе-
каются в одной и той же точке Е и
если две друrих прямых, точка пе-
ресечения КОТОрЫХ есть А, пере-
секаются ими соответственно в точ
ках В, М, N и Р, С, Q, то tI
(А, В, М, N,) ::= (А, Р, С, Q). 4>иr. 46.
Доказательство. Мы И'1е м что
,
АМ: ВМ == АСМ: ВСЛ1 === АМЕ: ВЛ1Е,
И, значит,===АСЕ:ВСЕ, ибо АСМ+ AfV1E ==АСЕ и т. д.
далее,
АС: РС === АСЕ: РСЕ
,
слеДОВjтельно,
АМ АС РСЕ РЕ
B' 1 : РС == BL E == ВЕ
T310lM же образом,
AN А Q РЕ
BN : PQ === ВЕ '
12 . в.. е I т к ер. Хрестоматиа.
177
следовательно,
АМ AN АС AQ
мв : r;ш== СР : QP t
Т. е.
(А, В, М, N) == (А, Р, С, Q).
(1 )
189. Д о п о л н е н и е. Проведем через Е еще четвеРТУIО
нрвмую RS, пересекающую АВ и АС соответственно в R и S,
10rда аналоrичным образом имеем:
(А, В, М, R) == (А, Р, С, S).
Так как равенство двух двойных отношений, соrласно
184, не изменяется, если в них обоих переместить одина-
ковим образом все четыре буквы, то можно также написать.
".
...
(В, М, N, А) ( P, с, Q, А),
(В, М, А, R) == (Р, С, А, S).
Если перемножить между собой оба равенства, то ( 185, 11)
получаем:
(8, М, N, R) == (Р, с, Q, S),
( )
что приводит К следующей, еще более общей, теореме:
"Если между точками двух расположенных в одной ПЛос-
кости прямых устанавливают TaKoro рода соответствие, ЧТО
ПР5lмые, соеJиняющие K дыe две соответствующие точки,
пер секаIОТСЯ в одной общей точке, то КЗ)l(дое двойное OTHO
шение одной линии равно двойному отношению, образуемому
соответствующими точками друrой линии"; или:
"четырьмя пересекающимися в одной и той же точке и рас-
положенными в одной плоскости прямыми всякая друrая прямая
плоскости пересекается в одном и TO I же двойном отношении".
Стр. 454. Остающееся еще в этом листе место позволяет
мне прибанить еще одно замечание, именно, что все двойные и
MHorOKpaTHble отношения (отношения сечения мноrоуrольников),
образуемые указанным в этой rлаве способом точками, в KOTO
рых известные прямые пересекают любую друrую прямую,
MorYT быть выражены также просто в виде функций уrлов,
образуемых названными первыми прямыми между собой.
Действительно, пусть будут оrраНИЧИВаЯСЬ только двойны
ми 01'ношениями а, Ь, с, d четыре расположенных в ОДной плос
кости и пересекающихся в одной точке прямых, и СХ, , у,
178
уrлы, образуемые этими прямымИ с. какой-нибудь друrоЯ пря.
мой п..10Сl\ОСТИ, в таком случае И lеем двойное отношение:
d) sin (/1 ) . щ ('I y)
(а, Ь. с, sin( O).Sln(Y G)'
П о я с н и т е .'1 ь Н Ы е 3 а м е ч а н и Я. Ч и тз телю может n О ка.
ззться ИЗ.1ИШНИМ что М ,У еще раз остановились на в просе
о ДLОЙ.-IОМ ОТriошенни, которым мы за имались 8 преДыДу t llеИ
rп ,ве. Но как раз призеденн )Je ''Нами отрывки из Мебиуса
дают повод к целому ряду важных замеч н. А. Во-первых, труд
Мебиу а имеет основоположчое 3 ачение с точки' зрения ИСТО;JИи
суд;б двойноrо отношения в rеРМ8НИИ. да и не в одной 10 ько
rермании. Как MbI видели, Ф: анцузские авторы занимались ИМ
только случайным образом. Лишь М. Шаль уделил ему во Фран-
ции должное в iимание (в своем
Aper u hi3..orique е;с., Б юссель,
1837, частично со тавленном
еще в 1830 r.). Мvбиус не
только посвятил e lY целую
rлаву (CT . 243 265), но понял
все основоположное значени
ero, указав, что оно сохраня-
ется (инвариантным) не только
при центрЩIЬНОЙ проекции, но
и при всякой так называемой
коллин ации, т. е. линейном преобразовании координат. Ко-
ординаты Мебиус ввел, как координаты центра тя}кести; отсюда и
заrлавие книrи.
Вывод теоремы Мебиусом мы не найдем особенно сжатым, но
все-таки строrая форма ero удовлетворит нас больше, чем крайне
общие рассуждения Понсле. Впрочем форма изложения у Меби..
уса носит совершенно античный характер: точно такое же дока-
зательство Mor бы дать и Эвклид. В этом отношении Понсле
несколько более современен; он хотя бы под конец указывает,
что ero постоянная представляет собой "синус. Но и у Hero встре-
чается совершенно ненужная высота р. Ясно, что эти ученые
еще не ПРИВЫКwllИ 1:fЛИ, может быть, даже не любили пользоваться
успуrами триrонометрии.
Но раз имелись уrлы, то, в конце концов, нельзя было не
;заметить их важной роли. И вот, на последней странице своеА:
книrи, М биус делает-таки в tIЦIЭИ с ними ценное замечание. То,
12. 17'
s.
d.;
Фиr. 47.
что следует у Hero за ВЫll1еприведенным отрывком, представляет
неинтересные для нас частности. Но доказательства приводимой
им Формrлы он не дает. Я здесь приведу такое, на мой взrляд,
совершенно простое и современное доказательство, пользуясь
только теорсмой синусов. Так как на фиr.. 47
ASB == (J. , -9: BSD === о и т. д.,
ТО
АВ sin(a )
.
SB Sln cl '
BD sin( a)
SH == sil1 d
АС CD
Если написать таким же об р азом отношеllllЯ и то
SL"' L1
1I .\lедrlеНIIО получается теорема Мебиуса.
XVIII
Получение ноничесних сечении из проентивных ПУЧI\ОВ лучей
Из "Systenlatische El1twicke 1 ung der Abhangigkeit geometrischer Gestal
ten von е! апdеr, mН Berticksichtigung der Arbeiten alter und neuer Oeo:тJe
ter ilbel" PoriSnlen, Projection ; Methoden, Geometrie der Lage, Transversalen,
Dual tat und Reciproc.tKt etc. а von.
& J асоЬ S teiner. Erster ТЬеl1; Berlin,...
о. Flncke, 1832. Перепечатана в N282
и,88 оствзльдовской серии класси
ков ТОЧНОI О знания. Лейпциr, 18q6.
Стр. 134...
37 Известные из элемен
ТlрНОЙ rеометрии свойства OK
ружности показывают по'tти He
посредственным образом, ка (
можно получить ее с помощью
проективных образов, и, имен
но, следующим путем.
Если из каких-нибудь двух
точек В, В) некоторой (135)
окр} )кности М (фиr. 48) про
вести ко всем прочим точкам
а, Ъ, с... лучи й, Ь, с...; й 1 '
Ь 1 , 'С р . . ., те последние образуют равные между собой уrлы,
ОIIираЮllJ.ие:я попарно на одну и ту же дуrу.., именно, уrол
(a'J) === (а 1 Ь 1 ), (ас) == (а 1 с 1 ), (Ьс) === (Ь]С])" . . ., следовательно,
образовав'виеся блаrодаря этому пучки лучей В, В] по от-
ношению f< парЗ .1 лучей а и й], Ь и Ь l' С И с, про е К-
т Ii В n о рз вны (э 13 J 11)...""."". " " . " . . " " " " " . " . " " . . . " . . .
Рис. 43.
1 O
. . . Значит, пучки лучей В, В] находятся в к о с о м положе..
нии (9 14) и, при rOM, они, как леrко видеть, одинаково рас...
положены ( 13, II).
Стр. 137
Из обоих предш СТВУIОЩИХ исследований вытекают; таким
образом, нижеслеДУlощие теоремы. (Так как я оставил вообu(е
в стороне вопросы двойственности, то в дальнейшем я привожу
лишь напечатанные на правой стороне, относ щ 1еся к'пучкам
лучей, теоремы).
"JIlобые две точки (В, В 1 ) ОКРУ)I{НОСТИ ЯВЛЯIОТСЯ центрами
двух проект вных ПУЧl\ОВ лучей, соответствующие лучи KOTO
рых I1сресекаIОТСЯ в остальных точках окруж ости, причем
совпадающим лучам d, е 1 , cooTBeTCTBYIOT касательные d 1J е
в этиJ точках (В, В]) 11.
38. Как уже было замечено выше ( 36, в конце), из
только что установленных теорем о Kpyre ( 37) следуют не-
посредственно соотвеТСТВУlощие теоремы о к'онусе второй сте-
пени и ero прочих сечениях. Действительно..., если пучки лучей
в (138) Kpyre проективны, то и соответствующие им пучки
плоскостей в конусе тоже проективны между собой, так что
непосре;1ственно получаlОТСЯ нижеслеДУlощие теоремы:
1. "Лl0бые два луча (две образующих) КОНИЧIСКОЙ поверх
насти второй с lепени являются осями двух проек-;rивных пучков
плоскостей, у которых соо rве:rСТВУЮlцие пары плоскостей пе
ресекаются в прочих лучах, и, в частности, совпапающим
в плоскости этих лучей плоскостям (а, Е1) соотв тствуют те
плоскости (д 1 , e) которые касаются конуоа 'в этих лучах 11 .
И обратно: (.
11. "Любые два косо располо}кеllНЫХ проектr вных пучка
плоскостей (, 2(1' находящихся в одном и том же (пространст-
венном) пучке лучей D, порождают конус второй степени,
проходящий через их оси, т. е. линии пересечения COOTBeT
СТВУI0ЩИХ пар плоскостей иместе с осями пучков плоскостей
дают BCIO систе tУ лучей (образующих) опр делеННОl О конуса
второй степени, и этоrо конуса касаются в названных осях ( '(, 1)
те плоскости ( 1' е), соответствующие плоскости которых сли
ваются н плоскость, определяеМУIО этими самыми осями".
Так K K (139)... два расположенных в конусе проектив"
ных lIучка I1лоскостей !, (1 пересекаются вышеназванной
(упоминае IОЙ в выпущеНiiЫХ на:\tи местах текста, произвольной)
плоскостью Е в двух проективных П.10СКИХ пучках лучей
В, В 1 ( 33), то ОТСlода с.пеДУIОТ, как уломиналось выше, для
всех ({онических сечений следующие заыечательные теоремы:
\ l
IП. "Каждые две тоt.tКИ В, В 1 коническоrо сечения суть
центры двух проективных плоских пучков лучей, соответствую-
щие лучи которых пересеI<аются в прочих точках 6oro, приче .1
совпадающим лучам (d, е 1 ) соответствуют касательные (d 1 , с)
В центрах (81' В).
И обратно:
IV. "Лlобые два косораспо 10)l\eHHbIX в ПЛОСI(ОСТИ проекти-
вных (плоских)}) пучка лучей В, В р ПОРО}l(дают коническое
сечени , проходящее через их цeHT Ы, иначе rоворя, эти це
тры и точки пересечения соответствую их пар лучей суть все
точки определенноrо кони ескоrо сечения, причем, последнеrо
в этих центрах каСЗIОТСЯ те лучи (е, d 1 ), соответствующие
лучи которых (е}, d) совпадают".
,
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Перед нами здесь то
классическое место, в котором, B epBыe, в каче стве опред:,ления
берется постоянство двойноrо отношения пучков лучей, исходящих
из двух точек коничеСКОi О сечения, постоянство, используемое
в дальнейшем для вывода всех свойств их. Правда, Штейнер
как он выражался "из любви к традиции" еще определял кони
ческое сечение как проекцию Kpyra, вместо Toro чтобы опираться,
как Э10 он елал впоследствии на своих лекциях, на паскалеву
теорему (см. выше, ч. IIJ, Ng ХУ), которую он вывел в 24 (стр. 86
И сл. особенно стр. 90 ориrинала). Я обращаю еще раз внимание
на то, что Штейнер последовательно применвет открытый Пои-
сле и Жерrоном (Gergonne) принцип двойствеiiНОСТИ и что тео-
ремы напечатаны у Hero в двух столбцах. Из соображений эко-
номии места я должен был от этоrо отказаться"
Равенство двойноrо отношения пучков лучей в Kpyre BЫTe
кает немед.rtенно из отношения синусов (см. выше, ч. IIf, N2 ХУН).
Замечание о касательных леrко понять и сез выпущенных мной
кратких пояснительных замечаний Штейнера. В связи с утверж
дением, что пучки лучей "равнонаправлены" , ШI'ейнер депает
подстрочное примечание, rде rоворит, что не равнонаправленные
коиrруентные пучки лучей об;>азуют раВНОСТОРОННIОЮ rиперболу.
!1З.'1ьнейшие рассуждения ero не нуждаются ни в каких разъ-
iJC IiCH иях.
.", t) С коб к 11 В ар iL 1 И lLa,,1 ,
'&3
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ИСЧИСЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ
КОl'да я приступил к работе над этой частью, мне сразу
стало ясно, что я не ror бы выполнить стоящую передо мной
задачу, если бы оrранlIчился теми размерами, которые имеют
три предш ствующих части. Эта часть оказалась вдвое БЬль
шt:Й по размерам, чем друrие, и все же я должен сказать, что
то, что я здесь предлаrаю, представляет собою лишь - как бы
афористические, заметки по истории исчисления бесконечно
малых. Если сравнить исчисление бесконечно малых с анаJlИТИ
ческой rеометрией, то леrко заметить, что и та и друrая ухо..
дят своими корltями В древность и что как Декарт и Ферма
в области аналитической rеометрии, так и Ньютон и Лейбниц,
отцы COBpeMeHHoro исчисления бесконечно-малых, были продо.тI
жателями работы rpeKoB. При этом просле.l.ИТЬ историю возник.
новения аналитической rеометрии очень просто и леrКо. На-
оборот, работа творцов исчисления бесконечно-малых была не
только большей по объему и более сложной (недаР9М с этим
вопросом оказался связанным неокончившийся еще и ПО СИIО
пору спор о приоритете), но помимо 9Toro они име.1И MHoro-
численных проложивших им пути предшеСТВ ННИКОd в начале
XVH в. Наконец, исчисление бесконечно-малых (по крайней мере,
интеrральное исчисление) было, по существу, настолько рззвито
уже в древности, что современные, работавшие в XIX в. и
возобновившие античную cTporocTb, исследоватеJ1И, и прежде
Bcero Карл Вейерштрасс, даже в частностях cBoero способа
выражаться при мыкают (вероятно, сами 9Toro отчетливо не со-
знавая) непосредственно к Эвклиду и Архимеду.
Эта часть начинает поэтому с rpeKOB, у каторых наряду
со строrим методом Аоказательства мы встречаем уже и эвристи-
ческиА метод. Затем я перехожу к возродившим дреВНIОЮ MJTe-
tJ..атику ченым, которые, не будучи знакомы с эпристичеСКИ\1
l .)
методом Архимеда и >lселая подвинуть вперед науку, отказалис[)
сами ОТ строrой лоrичности древних до (азательств, но KOTOPЫ(
(ВК:iIочая fIbICJToHa и Лейбница) сознавали всеrдз, что все мож т
быть, хо;я бы и с боль'uим ТРУДО:\1, доказано методом древних.
Раздел этот ЗЗI:аНЧI:взется одним примеРОl\l из ЭJлера, ясно дeMOfI
С'.f})ИРУIОЩИМ укореНИВJlУЮСЯ к тому вре lени беззаботность по
чз ти лоrики. 3TJ, вп)оче l, не моrло Н..коrда принести боль оrо
вреда, поскольку имели дело только с непрерЫВНЫ tИ и ПОВСIОДУ
.
диференцируе lЫt\:и функциями. 3j:O следует И\lетъ в виду при
чтении этой части. Я выну}кден преДJставить чита теЛIО пере
вод на вполне COB e ,Iенн.ый язык ра.:суждений старых авторов,
а также моих, указывающих лишь на общее направление ПОЯСliИ-
тельных замечаний. Сам я сохранил знак dx даже в T X случаях,
...-
:ОI'.ПД теперь писали бы Ах, только иотому, что В противном
случае мне пришлось бы вдаваться еще в БОЛЫllие подробности.
Однако я обращаIО внимание на то, что dx обозначает BcerAa
лишь ОТЛИЧIIУ'О от нуля и ПрОИЗВО:IЫIО малую величину.
Читатель 3З I(ТИТ, что везде, rде это только было возможно
и нужно, я пользовался перВЫ 1И изданиями ориrиналов. Перевод
сделан, ПО возмо {насти, дословным. Коллеrа Буллемер вновь CB
рил .цитаты с древних языков. В этой части все отдельные б'уК
венные обозначения и целые формулы набраны курсивом, да}(е
.
ссл'и это и не БЫЛf) так в ориrинале. rреческие буквы я заменил
СОJтвеТСТВУlощl-tми буквами латинскоrо алфавита. Круrлые скобки
в первых rлавах принадлежат мне; n дальнейших же параrрафах,
"
rде (jBTOp сами уже употребляют круrлые скобки, я заКЛlочал
свои замечания в квадратные скобки.
За по :ощь в моей рабсте ПО составлеНИIО всех четырех час-
тей я считаю своим долrом выразить БЛJr одарность: И. Тропфке
(Tropfke, Берлин), читавшему корректуру, и В. Лорей (W. Lorey),
оказавшему мне помощь при установлении ряда биоrрафических
дат. Специально в связи с этой частыо я обязан блаrодарностыо
Д. Манке (Mahnke, Марбурr на Л.) за добрые советы по поводу
rлав о ЛеЙбнице и и. Е. rОф lаllУ (Hoffma;ln, !\\юнхен) за ero
доБРОСQвеСТНУIО проверку Bcero текста, б.13 rодаря KOT() )')H
,
в КНИI'У БЫЛlI внесены нек оторые ИСП РЗВ.пения"
1
I
f
Аксиома измерения (так называемая аксиома Архимеда)
Из "Archimedis Op\era omnfa...", itеrUIП edidit J I L. Heiberg. V 01. 1.
L:psiae, МОССССХ (rpeQ. и лат.). В чаС1 ности, из сочинения, называеМОI'О
"Ое sphael'a et cylindro", КН. 1.
Стр. 8. Требования ( постулаты). я прин имаю слеДУlощее:...
5. Далеz, \ что из неравных линий и неравных ПЛОIl адей и
неравных тел большее rшевосходит меньшее на такую величину,
которая, будучи прибавляема к самой себе, может стать БО.,1ьше,
чем любая заданная величина из тех, которые срзвнимы меiКДУ
собой (а з:!ачит, и С нею).
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Пре)кде Bcero здесь речь
идет о сравнимых ме>кду собой в личинах, Т. е. о веЛ:iчинах oд
HOI O измерения, например отрезках или поверхностях или объемах.
Пусть а и Ь предстаВЛЯIОТ собой, например, два отрезка, и пусть
будет а > Ь. Если т представляет собой какой либо сколь у['одно
большой 1) отрезок, то соrласно вышеприведенному постулату су"
ществуют такие целые числа а, что
(l (а Ь) > т.
в левой части этОrо HepaB HCTBa вместо а Ь MOl бы стоять
какой уrодно определе ныn отрезок С, так что мы имели бы:
а.с> т.
Форма, J{ОТО УЮ этот постулат имеет у Архимеда, обязана своим
происхождением только способу ero применения. И без Д3./Iьней.
ших объяснений ясно, что без этоrо ПОСТУJ1ата невозможно какое
бы то ни было измерение"
Мы вскоре ближе познакомимся с применением этоrо постулата
в древней rеО:\lетрии. В новейшее время этот СТиРЫЙ постулат
вновь приобрел особенное значение блаrодаря основанной д. rиль
б ртом n аКСИО lатике". Этот ПОСТУ.1ат uJ.e ранее получил наиме..
{) Я оБРЗЩЗIО внимание на то, что ни у АРХИ\1еда, ни у ЭВl{wlИJа нет
указания на 9}@ обстояте:iЬСТВО, хотя оно и COOTBeT TByeT существу дел
lIодробнее 00 ЭТО f J ОВОрНТСЯ В пояснител ных замечаниях К слеД)'lО-
\цей [дa e"
l \)
нование "аI{СИОМЫ Архимеда", которое сохранил rильберт 1). Ак-
СИО.\1а Архимеда оказзлась в высшей степени важной в качестве
одной из "аксиом непрерывности". Более подробно входить
в обсуждение этоrо вопроса здесь нево можно.
Однако название "аксиома Архимеда" с историчеСI{ОЙ точки
зрения неверно. Сам Архимед, приводящий это требование в He
скольких местах в своих сочинениях, rоворит во введении
к "Квадратуре параболы", что и предшествовавшие ему OMeTpы
уже использова.rIИ это "вспомоrательное предложение" (лемму) 2).
Нет сомнения в том, что среди этих reoMeTpoB был Эвдокс, ибо
.4рхимед совершенно определенно приписывает ему некоторые
встреча!ощиеся у Эвклида доказательства, в которых применяется
эта лемма. Возможно даже, что Эвдокс первый сознательно вы.
ставил эту аксиому. Ознакомимся с той позицией, которую занял
по отношению к этой аксиоме Эвклид.
Из "Euc1idis Elementa". Edidit... J. L. Heiberg. Vol. П, Lipsiac,
MDCCCLXXXIV (rреч. и лат.).
J{ниrа V. Определения.
Стр.3...
4. rоворят, что веЛИЧИНii находятся в отношении д.руr
l( друrу, если одна из них может в результате ее повторения
стать больше друrой.
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Как леl КО видеть, это
определение в скрыт.ом виде содержит аксиому Архимеда; дей-
ствительно, в нем предполаrается, как сама по себе очевидная
истина, что одна величина MO)J{eT стать больше друrой в резуль
тате повторения ее. Такие величины MorYT находиться внекотором
отношении друr к друrу. При этом, очевидно, Эвклид подобно
Архимеду, также имеет в виду .однородные величины", но вместе
с тем он высказывает нечто большее. Во первых, ЭВКJIИД стре-
мится при помощи cBoero определения дать возможность Haxo
диться в "отношении" также и таким величинам, которые не
имеют общей меры (несоизмеримы) а). Учение об отношениях
этих величин, состаВЛЯIощее сод:р:нание V книrи, БЫJIО создаН6
3BДOKCOM, между тем как до Toro, т. е. до открытия "иррацио-
нальностей", рассматривались только отношения ме)кду цеЛЫ IН
числами. BO BTOpыx) Эвклид хочет лишить права НJХ()Д iТЬСЯ в OT
J ;
t) . Grundlagen der Geometrie", 1. АиН., Leipzig, 190Q. Есть PYCCK I Й
псревод. Краткое изложение имеется в книжке К. ФЛJдта (Fladt) 11 Euklid".
2) "Opera. 11, стр. 264, строки 1 з 1 .
З) Они, разумеется, содержатсSl также и в данной Архимедом фор
му..'Иlровке посту паТа. .
\
ношении "б СКОIlСЧIIо малые и и "бесконечно.бо.пьшие ( образы,
как, например, впеденные уже древними философами (Демокрит)
последние чаСТИlll (атомы, неделимые) отрезка или же BCIO
бесконеЧНУIО ПРЯМУIО. Что Эвклид применял это определение
в соответствии с тем СМЫС.10М, которым обладает аксиома Архимеда,
lbI видим из одной основоположной теоремы, с которой он на
ЧИllзет Х Кliиrу, траКТУIОЩУIО об иррациональных величинах.
Из "Euclidis ЕlеmеП.а. . Edidit... J. L. elbcl"g. V 01. IlI, Lipsiac,
MDCCCL'XXXVI, IПI. х.
Стр. 4.
Если даны две HepJBl:lble величины, и от БОЛЬUIей отнять
больше половины и от остатка снова отнять больше половины
и если так продол}кать достаточно долrо (буквально: и если так
будет происходить постоянно), то (наконец) останется вели
чина, меньшая данной меньшей величины.
Пусть будут даны две неравные величины, а именно АВ и О,
из которых большей пусть будет АВ (фиr. 49). Я утверждаю,
что, если от АВ отнять больше половины и от остатка (снова)
отнять больше половины и если так будет происходить посто-
янно, то (наконец) останется величина, меньшая величины О
.
В результате повторения а может стать. больше АВ 1).
Повторим ero, и пусть DE будет некоторое кратное О,
большее АВ. Разделим DE на равные а о G
(отрезки) DZ, ZH, НЕ и отнимем от АВ А l I I , 8
больше, чем половину, а именно ВО, 0 1 f '1 ' Е
затем от Ай больше, чем половину,
именно ОК, и будем поступать так до
тех пор, пока АВ не окажется РЗЗJ.еленным н з столько же
частей, что и DE.
Таким образом пусть число отрезков АК, КО, ОВ будет
равно числу отрезков DZ, ZH, НЕ. Так как DE бuльше АВ
и так как от DE отнято меныпе половины, именно ЕН, а
от АВ отнято больше половины, именно 80, то остаток HD
больше остатка ОА. И так как HD больше ОА, и от HD
отнята половина, именно HZ 2), а от 'ОА БОЛЫllе половины,
И lенно ОК, то остзrок DZ больше остатка АК. Но DZ p1B io
а; следовательно, и а больше АК или А/( ысньше а.
Фl1r. 49.
» TO по;южение заключает в себе примеllеllие ,]IiCIIOMbl !рхиме. а.
десь для полной обlЦНОСТИ недостает указания, что указаНIIЫЙ
процесс Прод лжается, вообщ , до тех пор, покамест не до"де\f дО ОТ-
резка, К )торыи, подобно пн, делится ПО!lОJlам. ЭВКoI1ИД ПJ'ОСТО ОJ'рЗIIIS.
ч.uвается случаем ОТ{>:зка!. зздедеНllоrо на три части.
1 1
/
Следовательно, от величи ны АВ остается такая величина
АК, которзя меньше, чем меНЬUJая И3 данных величин, именно
А, что и требова.10СЬ доказзть. ПодоБНbIМ )I{e образом можно
было б:)1 провести доказательство, если бы отнимались только
IIОЛОВli I ы.
п u я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. ОБР1щаясь прежде Bcero
'( содержанию этой теоремы, заметим следующее. Пусть обе рассма-
триваемы величины 9УДУТ а и Ь, и пусть будет а> Ь; если мы
бузем производить деление пополам так, как это намечено в конце
доказательства, то Teope\ta будет rласить, что если только Ь> О,
то, как бы мало не было Ь 1), всеrда CYl.l eCTByeT такое целое
ЧИСJIО п, что
а
2 п < Ь.
(1 а)
Обul.УЮ фОр IУЛИрОВКУ этой теоремы можно передать слеДУIО-
щим образом.
Пусть (21' а 2 , аз,..., Cl'l представляет собой последовательность
1
дробей самих по себе произвольных, но таких что Cl i < 2 при
.
i === 1, 2, 3,..., v. Тоrда существует такое определенное число , что
cl · (2} · а 2 . . . a'l < Ь ( 1 Ь)
Если нераненство (lа) справедливо, то (1Ь) справедливо
а fortiori, и для одних и T X же величин а и Ь будет n.
Как мы видели, теорема Эвклида является простым следствием
аксиомы Архимеда. Но она часто удобнее для применения и
употребляется Эвклидом еще в Х, 2 для установления случая
несоизмеримости величин при помощи операции, посредством
которо:! находят оБЩУIО наибольшую меру. Пример ее reoMeT-
рическоrо применения мы приведем в бли,кайшем номере.
Архимед тоже довольно часто применял теорему в ,таком
виде и, повидимому, он считал ее равнозначащей с "аксиомой
измерения". СМ. в связи с этим »Сочинения Архимеда", изданные
с современными обозначениями и с предисловием сэра Томаса
л. Хизса (Heath). [Нем. перев. Ф. J{Jlима (Кliет), Берлин, 1914,
стр. 38.] СМ. TaKiKe примечание к Х, 1 ЭВI(лида в ;rhe Tl1irteen
Book.of Euclid'g Elements". Translated from the Тсхс of Heiberg,
wi..h Il1trodиction and Соmlnепtаrу, Ьу Sir Thomas L. Heatll. S ..
cond Edition. Vol. III, Catnbri,-1g , 1926 стр. 15/16
..........
А) СМ. Прll lечаllие на Cl'p, 185.
.8
11
отноtl;ение JlлощадеА двух яруrов
11з "Et1Clidis Elementa" Edidit... L. Hetber . Va1. VI, Ltpslae,
1 ОС CLXXX \!, КII. ХН, 2.
Стр. 140. Круrи относятся МС,I(ДУ собой, ка 1< квадраты,
построенные на диамет ах.
Пусть будут даны круrи ABCD и EZHT (фиr. 50), и (пусть)
их диаметрами будут BD и ZT. Я YTBep -кд iЮ, что так же,
1<3K Kpyr ABCD относится к Kpyry EZHT, так и (142) KBaд
ра r, (построенный) на BD, относится к KBaдp :TY на ZT.
Если не верно, что Kpyr ABCD относится I( (Kpyry) EZHT,
как квадрат на BD к квадра ry на ZT, то так :e, KaI< (квад-
рзт) на BD относится к (квадрзту) на ZT, I<pyr ABCD бу-
дет ОТНОС lТЬСЯ или К чему-либо меньшему, чем площздь Kpyra
EZHT, или к чему-либо бо.lьшему. Допустим сперза, что
к чему-либо м ньшему, а именно S. Впишем в Kpyr EZHl
к aдpaT EZHT. Вписанный квадрат больше П010ВИНЫ I(pyra
EZHT, ибо если мы праведем в точках Е, Z, Н, т касательные
к Kpyry (прямые), то половина описанноrо BOKpyr Kpyra квад-
рата равна квадрату EZHT, а Kpyr менее описанноrо квадраТJ.
Отсюда следует, что вписанный квадрат EZHT (ольше по..
ловины Kpyra EZHT. А
Разделим теперь по-
полам дуrи EZ, ZH,
НТ, ТЕ в точках К, В
L, М, N и прове-
дем ЕК, KZ, ZL,
LH, НМ, МТ, TN,
NE. Тоrда каik"Д':JЙ
из треуrО.'JЬНИ:\ОВ
EKZ, ZLH, fJv1T, 7NE так!ке будет болыuе П:JЛОlИНЫ coor-
ветствующеrо e 1Y cerMeHTa Kpyra. Действительно, если мы
проведем чер з точки К, L, М, N касательные к Kpyry и по-
строим параллеЛОI рамы (ПрЯ:\10уrольники) на прямы" (отрез-
ках) EZ, ZH, НТ, ТЕ, то каждый (144) из треуrО.'IЬ IИКОВ
EKZ, ZLH, НМТ, TNE будет равен полозине соответствую
щеrо параллелоrра lа. Но соответствующий ему cerMeHT мень-
ше паралле оrра а. Следозательно, каждый из треуrо ьников
EKZ, ZLH, HklT, T,VE больше ПОЛОВИНJI соответствующеrо
ему cerMeHTa Kpyra. Если мы разделим теперь оставшиеСSI
дуrи и "раведем прямые (хорды) и если мы будем так посту-
пать пост,оянно, то останутся HeK Topыe J<pyroBble cerMe'iTbl.
, 9
о
1
s
с
н
Фиr. 50.
меныIие,, чем тот избыток, на который ((pyr EZHT npeBocKO
Дi1Т площадь s. Действительно, в первой теореме Х книrи было
показано, что если даны две неравных величины и если от
большей отнять больше половины и от остатка (снова) больле
половины и та!< поступать постоянно, то (наI{онец) останется
такая величина, которая меньше, чем меНЬ.lJая из данных Be
личин. Оставим теперь остаток, и пусть cerM HTbl на Е 1(, KZ,
ZL, LH, НМ, МТ, TN, NE будут меньше изБЫТI{а, на кото-
рый Kpyr EZHT преЕОСХОДИТ пло цадь s.
В таком СЛУЧ{J.е оставшиАся мноrоуrольник EKZLHMTN
больше площади S. Впишем теперь также и в Kpyr ABCD подоб.
ный мноrоуrольнику EKZLHMTN мноrоуrольникАХ8()Сi--DR.
Тоrда мноrоуrольник AXBOCPDR относится к MHoroyro.1b-
нику EKZLHMTN, как квадрат на ВО к квадрату на ZT.
Но так же, как квадрат на BD относится к квадрату на
ZT, так и Kpyr ABCD относится к площади s; и следо
вательно, так же, как Kpyr A8CD относится к площади S,
так и мноrоуrольник (146) AXBOCPDR относится к MHoro-
уrольнику EKZLHMTN. Поэтому после перемены (местами
внутренних членов)......... так же, как Kpyr ABCD относится
к (находящемус-я) в нем Мllоrоуrо.1JЬНИКУ, так и площадь S
относится к мноrоуrольнику EKZLHMTN. Но Kpyr A8CD
больше (находящеrося) в нем мноrоуrольника, и, слепова.
тельно, площадь S также больше мноrоуrольника EKZLHM7 N.
Но (она) также и меньше ero, что невозможно. Следовательно,
Kpyr ABCD не может относиться к площади меньшей, чем
Kpyr EZHT, так же, как квадрат на BD относится к квад.
рату на ZT. Подобным же образом мы моrли бы доказа lЬ,
что Kpyr EZHT не может относиться к площади меньшей
чем Kpyr ABCD, так же, как квадрат на zr относится к KBaд
рату на BD.
Я утверждаю теперь, что Kpyr ABCD не может относиться
и к )1лощади большей, чем Kpyr EZHT, так же, l<aK KBaд
рат на BD относится к квадрату на ZT.
Пусть, если это возможно, он именно так относится к боль-
шей (площади) s. Тоrда, обратно, площадь S относится
I( Kpyry ABL'D, н:ак квадрат на ZT к квадрату на BD. Но
так же, как ппОlцадь S относится к Kpyry ABCD, так и кр) r
EZHT относится к неJ<ОТОРОЙ площади, которая меньше Kpyra
ABCD. Таким образом так же, как квадрат на ZT относится
к квадрату на BD, ,'ак и Kpyr EZHT относится к некоторой
площади, меньшей, чем Kpyr ABCD. Но, как было доказано,
зто невозможно. Следовательно. Kpyr A8CD не может 6Т80-
190
ситьсЯ 1\ площади БО.тIьшей, чем Kpyr EZHT, так Же, K8h
квадрат на BD ОТНОСИТСЯ к квадрату на ZT. Но было дока-
зано, что (не может иметь места) и (отношение) к меньшей
(площади). Следовательно, Kpyr ABCD ОТНОСИТСЦ к KpYI'Y
EZHT, как квадрат на BD I( квадрату на ZT.
Следовательно, круrи ОТНОСЯТСЯ, как квадраты на диамет-
рах, что и требовалось доказать.
Далее следует доказательство одной испол зованной выше
вспомоrательной теоремы. Мы ero, как излишнее, опускаем;
кроме Toro, оно, по всей вероятности, представляет собой ПОЗ1-
нейшую вставку.
П о я с н и т е л ь н ы е э а м е ч а н и я. На первых порах это до-
казательство не доставит читателю особенноrо удовольствия. При
помощи нижеследующих рассуждений я надеюсь значительно
увеличить это удовольствие, показав, как следует понимать это
доказательство и какое основоположное значение имел для rpe
ческой математики применяемый в нем метод.
Прежде Bcero заметим, что Эвд м, один из учеников Арис
тотеля, сообщает в своей ",Истории математики", от которой,
правда, до нас дошли только отдельные извлечения, находящиеся
в сохранившемся коыментарии к ",Физике" Аристотеля позднеrо
платоника Симплиция, что приведенная теорема была доказана
еще rиппократом Хиосским (около 440 r. до н. э.). Но мы по-
лаrаем, что это, во всяком случае, не было то доказательство,
которое приведено выше, ибо примененный в последнем метод
Архимед определенно приписывает Эвдоксу (правда, в связи не
с этой специально теоремой, а с некоторыми друrими теоремами
ХН книrи "Начал"). Таким образом весьма вероятно, что TBOp
ЦОМ 9Toro метода является Эвдокс.
ХН книrа "Начал" Эвклида посвящена теоремам, I\OTOpbIe ПО а
д<>бно вышеприведенной и соответствующей ей теореме о шарах,
а таI(же теореме об объеме пирамиды, не MorYT б ть доказаны,
не прибеrая, как мы теперь rоворим, к бесконечно-малым. Мы
теперь просто rоворим, что площадь Kpyra равна тcr 2 . Такое Bыpa
жение для площадей вообще не встречается у Эвклида, ero не
имеется даже ДТIЯ площади прямоуrольника. "Вычисле6ие" пло
щадей или объемов философы предоставляли практикам. Во вся
ком случае мы не знаем rеометрических сочинений, появившихся
до Эвклида и содержавших какие..либо вычисления. Дело меня-
ется в корне только у Архимеда. Правде, еще древние еrиптяне
эна.'1И, что площадь Kpyra можно вычислить, умножив квадрат
раДl'lуса на число, несколько большее трех, rfO лишь Архимед
1 9\
(умер в 212 r. до э.) пуtем остроумных rеометричеСhИХ pat-
суждений установи.1 для числа 1т пределы 31/7 и 31 °/71.
Как поступае 1 мы теперlt, чтобы доказать вышеприведеН!iУIО
теорему? В ШКОЛЬНОМ преподавании стараются, болынею частыо,
13 силу ряда соображений долrо на ней не задерживаться. Обык
новенно окружность рассматривают как мноrоуrольник с беско
нечным количеством сторон и затем применяют к ней все Teo
ремы О правильных подобных мноrоуrольниках: длины двух
окружностей относятся, как их диаметры (или радиусы), пло
'lJ ади же KpyroB, Kal( квадраты диаметров (или радиусов). Спра
ведливость поел днеrо преДЛОiкения для праВИЛЬНhlХ мноrоуrоль
ников доказывается и у Эвклида в теореме ХН, 1, непосред
ственно предшеСТВУlощей интересующей нас теореме (ХН, 2), и
да)f{е используется, I(3K M видели выше, при доказательстве ес.
JJerKo доказать, введя понятие подобноrо расположения (и не
употребляя вписанных мноrоуrольников), что круrи суть подоб
вые фиrуры. Но этим отнюдь не доказывается, что Teope lhI
о взаимоотношениях подобных мноrоуrольников имеют силу также
и для KpyroB. Как раз переход к криволинейным фиrурам и пред
ставляет собою punctum saliens доказательства. МноrоуrОЛЬНИI(
с миллионом сторон вовсе не представляет соБОIО окружность, а
l\tноrоуrольника с бесконечным количеством сторон не существует.
В настоящее время, коrда мы хотим дать cTporoe доказа
тельство, мы вводим понятие предела и рассматриваем Kpyr как
пред л, к которому стремятся вписанные и описанные правиль
lIые l\tноrоуrольники, коrда число их CTCpJH неоrраниченно воз
растает. Подобное ИЗ.10iкение вопроса можно найти, например, у
I I. Thieme, Die Elemente der Geometrie, Leipzig, 1909, стр. 82
И сд. Это дальнейшее развитие идеи, лежавшей в основе
архимедова измерения Kpyra (крит еСI(lIЙ разбор вопроса СМ. у
w. К i 11 i n g u. Н. Н о v е s t а d t, Handbuch des mathemati3chen
Unterrichts, 1 т., Leipzig, 1910, стр. 334 И ел.). Но rt еки К.lасси-
ческой эпохи тщат лыlo Иlбеrали понятий предела и беСКОl-lеч
iuro, ........ вероятно, в результате тех печальных последствий, к ко-
торым они привеlИ ранее (софизмы Зенона). Однако совершенно
CHO, что Эвдкос (или Эвклид) предстаВЛЯЛII себе Kpyr l(aK пре
дел впи<:анных правильных мноrоуrольников. Это непо редственно
вытекает из приведенноrо доказательства. Но так как они не ви
дели никакой возможности построить на основе этой концепции
доказательство, удовлетворявшее их по своей лоrической CTpO
I'ОСТИ, то Эвдокс изобрел примененный здесь метод, который
поздн;:е был назван методом исчерпывания, причиной чему по
служило то обстоят,'}льство, что rриrорий из Сант-Винцента (Gre
192
goJus а St. Vincenlio} УПQтреSи.тt для обозначения ero в BoeM
"Opus geometricum" (А:Iтверпсн, 1647) слово exhaurire (== ис.чер-
пывать). Впрочем, то, что дает в вышеприведенном доказательстве
Эвклид, лучше назвать дока ззтельством путем исчерпывания.
Путем последовательноrо вписывания все новых и новых треуrоль
ников Kpyr "исчерпываеТС,r{". rреки НИКоrда из этоrо не BЫ
Рlботали настоящеrо методз, и Эвкпид и Архимед в каждом
отделЬНО f СЛУtlае, коrда им приходилось ero употреблять, про-
водили доказательство путем исчерпывания полностью.
Те1ерь мы вкратце переД1Д IМ ХОД доказательства на COBp MeH.
HO:\f языке. При этом MJI отметим заодно, что, ка;( ни остро-
y..IHO это доказательство, но ныне оно нас мало удовлетворяет,
во.первых, потому, что, как было указано, в нем не выявляется
суть дела, BO BTOpЫX, потому, что оно косвенное (апаrоrическсе).
Все же нельзя не вос'хищатьс.я rениальностью изобревших зтот
способ доказатеЛЬСТЕа rpeKoB.
Обозначим П.1JОЩади обоих KpyroB через К и L, площади
вписанных в них подобных мноrоуrольников с произвольным
количеством сторон через К' и L', диаметры ч р э k и 1.
Эвклид стремится доказать, что .
К: L == k 2 : 12, (t)
причем ему известно, что
К' : [' :=:: k 2 : l2.
Допустим, что (1) неверно и что
k 2 : L == К: S,
S<L.
(2)
rде
(3)
(4)
Тоrда Эвклид увеличивает число сторон мноrоуrольника L'
в Kf>yre L до тех пор, пока остаток от площади Kpyra не ока-
iI<ется меньше разности L s. Разум ется, эту последнюю MOil{HO
и должно м слить сколь уrодно малой, но этоrо Эвклид ниrде
не высказывает 1).
То обстоятельство, что мы можем достичь этоrо в случае
ВП:lсанных мноrоуrольников, покоится на теореме Х, 1, paCCMOT
{) Ср. при' ечание 1 на стр. 18). Для J10rиqеСК,IЙ праВИ,1ЬНОСТИ докзза-
тельства совсем не яв 1яется необходимым, чтобы разность эту можно
было мыслить себе сколь уrодно малой, и в последующих ДGказате lЬ-
ствах путем исчерпызания, например в соответствующей теореме об от-
ношении объемов шаров, действительно более не встречается последо-
вательности веJJИЧИН, стремящеАся к некоторому пределу. Это. разу-
Мее rси, не способствует тому, чтобы такие докаЗ8те.ТIЬСТВ8 оказались
для нас БОJlее ПРИВJJекатеЛЬНh1МИ,
13 В. ... I т . е Р. Хрестоматаа. 183
рзнноt\ нами в п.Редшествующеfl rлаве и СЛУЖЗlцеА фактически
основой всех доказательств путем исчерпывания.
Мы имеем тоrда:
и, следовательно:
L L' <L S,
L' > S.
(5)
(6)
...
Если вписать в Kpyr К правильныА мноrоуrольнин: СО СТоль
же большим количеством сторон, то будет иметь место равен-
ство (2). Поэтому
Но так как
то должно быть также:
/(': L' == К: S,
K':K====L':S.
К' < К,
L' < s.
(7)
(7а)
(8)
(9)
или
Но это прямо противоречит равенству (6), так что неранен-
етво (4) не может иметь места.
Во второй, более КРirкой, части доказате.7Jьства рассматри-
вается, нельзя ли в рзвеlrстве (3) принять
S>L.
(1 О)
Эвклид для этоrо полаrает
S:K==== L: Т.
Тоrда, так как s> L, то и К> т 1), или же
Т<К,
(11)
( 12)
что соответствует равенству (4). Далее, доказательство МО)I{НО
вести точно тем же путем, что и в первой ero чаСТII, переменив
только ролями оба Kpyra. В результате оказывается, что paBeH
ство (1 О) так же невозможно, как и равенство (4), на основании
чеI'О должно быть:
S === L,
(13)
а отсюда следует доказываемая теорема.
Если бы Эвклид пожелал доказать прямым путем и вторую
часть, то ему пришлось бы воспользоваться описанными MflOI'O
УI'ольниками. Но сведение вопроса к первому случаю было более
коротким. Мы в настоящее вр мя видим недостаток этоrо, лоrи
{) Доказательство этоrо предложения содержится в опущенной нами
лемме. Оно состоит просто в том) что меняются иестами внутренние члены
проп()рции.
194
чески безупречноrо в 1iруrих отношениях, доказательСтва в to:\r,
что без всяких РJссуждений принимается существование значения ,-,..,
которое должно удовлетворять равенству (3). Мы теперь Д о к а..
3 ы В а е м существование предела, к IIOторому стремятся вписан..
ные мноrоуtольники. Но вряд ли мо}кно упрекать ЭВlLлида в том,
что он не испытывал потребности в этом доказательстве 1).
111
Квадратура параболы при помощи бесконечной rеометрической
проrрессии
Из ,.Archlmedis Opera omnia сит COl1mentariis Eutocii-. Нетт
edidit J. L. Heiberg. Vol. Р, Lipsiae, MDCCCCXIII. Из сочинения, назы
BaeMor "Квадратура параболы-. H M. переводы А. Czwalina в "Серии
классиtrов Оствальда -, N2 203 и Р. Кliет. с aHr лийскоrо издания
Th. L Heath (см. выше, стр. 188). Однако оба перевода сделаны очень вольно.
п р е д в а р и т е л ь н о е з а м е ч а н и е. Сам Архимед не дал
никакоrо названия своему сочинению, ибо оно 6ыло написано.
в виде письма к одному друrу. "Квадратура параболы" содержит
24 rлавы. В первых семнадцати сперва приводится и доказы..
вается ряд теорем о параболе и затем вычисляется площадь (Kocoro)
cerMeHTa параболы посредством применения закона рычаrа и
центра тяжести треуrольника, MeToдa, на деле соответствующеrо
современному интеrрированию. К этому Архимед присоединяет
eUJ.e чисто rеометрическую квадратуру т\. ro же cerMeHTa, основы..
вающуюся на бесконечной проrрессии со знаменателем 1/,. Спра..
веДJlИВОСТЬ р зультата проверяется при ПОМОIЦИ обыкновенноrо
доказательства исчерпыванием. В
нижеследующем я передаю coдep
жание rлав от XVIII до ХХII в
современном изложении.
Пусть в косоуrольных коорди"
натах, .в которых осыо у"ов слу
)кит касательная в точке В, а осью
Х-ОВ диаметр BF (фиr. 51), ypaB
нение параболы имеет вид:у2::=::lпх, А
и пусть Н представляет с060:0
8
G
F
Фиr. 51.
{) о доказатеЛJстве путем исчерпывания СМ. статью о. J Н11 g е,
Besonderheiten der grtechlshen Mathematik, в .Jahresber. Dtscll. Math. Ver.".
35 ( J 926). с тр. 150 и сл.
13. 195
,
середину отрезка РС. Тоrда, ес.ТIИ ТО '"1 1\3 С им ет !\оор,nинаты Х, у;
1
то ДJIЯ точки Е с коорди атами е, "2 у имеет место равенство:
( 1:.. ) 2 ____ т е
2 ...t
и t следовательно:
у2
e== ,
4т
и
HE==x e== y }'2 == . уЗ == x== РВ.
т 4т 4 т 4 4
Да.1ее, так как
НК== РВ, То KE FB и НК==2/(Е.
'"
Вследствие 9Toro
6 НСК === 2 6 КСЕ == 6 ВСЕ,
а так как
то
6 FCB === 4 6 НСК,
6 РСВ==4 6 8СЕ ,
и, наконец, в силу Toro, что слева от диа:\iетра FB имеют место
такие же отnошения,
6. АСВ==4 (6 ABD + 6 ВСЕ).
При этом все встретившиеся треуrольники являются наиболь-
шими из числа тех, которые MorYT быть вписаны на хордаХ'-i<ак
на основаниих в cerMeHTbl параболы 1). Но фиrуры ВСЕ и Авп
находятся в совершенно таком же положении, как и фнrура АСЕ,
и с НИМИ можно поступить таким же самым образом. При 9TOftl
возникнут четыре треуrольника, вписанные в четыре оставшиеся
cerMeH та параболы и составляющие вместе 1/4 суммы треуrоль-
ников ABD и ВСЕ. Далее, так как путем дополнения до парал-
л лоrрамов пerKO показать, что каждый вписанный треуrольник
больше половины соответствующеrо cerMeHTa параболы 2), то (со-
rласно Эвклиду, Х, 1, см. выше, .N'2 1) разность между cerMeHToM
параболы АСЕ и возникающим при последовательном вписывании
треуrольник ов вписанным мноrоуrольником может быть сделана
&) Так как касательная в конце дизмеrра, например в Е, всеrда
параллельна сопряженной хорде, например ВС.
1) См. выше, М 11, стр. 189.
196
менее любой данной площади. С друrой сторон;.., сумма образу-
емых 1аким. способом треуrольников, как бы да.1еКо ни был про-
веден процесс их образования, меньше cerMeHTa параболы. Две
последние rлавы я далее передаю дословно.
'-.
Стр.. 31 О (Czwalina, стр. 26; Кliет, стр. 368). ХХПJ. ЕСJIИ
даны величины, которые таковы, чtо каждая из них вчет-
веро больше следующей, то все эти веЛИЧИН :J) взятые вместе,
если к ним присоединить еще А в с
одну треть наименьшей (вели- I [ 11 1 J
ЧИНЫ), будут на одну треть больше, О Е Н О '.
чем наибольшая (велиtiина).
Возьмем последовательно сколь
уrодно MHoro величин А, В, С,
D, Е (фиr. 52), из которых каждая
вчетверо больше последующей 1).
Наибольшей из них пусть будет А,
затем пусть Z представляет собою Фиr. 52.
одну треть В, Н (также одну треть)
величины С, О треть величины D, I треть величины Е. Так
как Z есть третья часть В, а В четверть А, то В и Z оба
вместе составят третыо часть А. По тем же самым соображе-
ниям также Н и С (составят вместе третью часть) В, О и D
третью часть С, J и Е третью часть D, и В, С, D, Е, Z,
Н, О, 1 все вместе составят третью часть от взятых вместе А, В,
е, D. с друrой стороны, (сумма) Z, Н, о сама составляет
третью часть (суммы) В, С, D. Сле .оватеJIЬНО, остающиеся В, С,
D, Е, 1 соста8llЯЮТ нместе третью часть оставшеЯся величины А.
Таким образом очевидно, что А, 8, С, D, Е и 1, т. е, одна треть Е,
взятые вместе, на одну треть больше, чем А.
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Мы предоставим читатеlIЮ
сделать т о ч н ы й перевод рассуждений Архимеда на язык совре-
менных обозн,аЧСНIIЙ. Мы же передадим только ту идею, КОТОР2Я
лежит в основании архимедова доказатеJIьства.
Положим
s=== А + В+ L + D+ Е (А:8
10r",:,a
===D:E== 4: 1).
444 444
3 s== 3"" А+з- 8+ 3" с+ 3" D+з E ,
() При.паrаемый чертеж выражает Э10 из .1el'KO 1101lЯ НЫl соо6ра-
)I.-:ений TO:JbKO схематичс( ки.
197
l:Ia
или
4 4 ( 1 1 1 1 )
S== A + A+ B+ C+ D
3 3 j 3 3 3
и
4 4 ( 1 1 )
S=== A+ S E.
3 3 3 3
Наконец,
1 4
s+ E== A.
3 3
Нынешний наш метод, состоящий в том, что мы просто умно-
жаем первое равенство на 4 и затем вычитаем первоначапьное
равенство, хотя и приводит быстрее к цели, но дальше от хода
мыслей Архимеда.
Теперь прежде Bcero следует заметить, что полученный резуль-
тат уже не являлся новым во времена Архимеда. B 35 й теореме
IX книrи "Начал" Эвклид доказывает следующую теорему, в фор-
мулировке которой я лишь видоизменил в соответствии с выше
изложенным буквы и число элементов.
Если величины Е, D, С, В, А, Х обраЗУIОТ rеометричеСКУIО
ПрJrрессию, и величина Е является наименьшей, то
(D E):E=== (Х Е) :(А +8 С.+ D + Е),
или же
X E
S== .Е.
D E
Это не что иное, как общая формула СУМ 1ирования reoMe-
трической проrрессии. В вышеприведенном случае
Х==.:4А, D==4E,
значит:
s
4А Е 4 1
==3 А зЕ.
Ни Архимед, ни ЭВКJ1И..1. не моrли математически выразить
Toro факта, что их расчеты верны для любоrо числа членов.
Но они это r080рЯТ, и ВО ВСЯКОМ случае доказательство проте
кает так, что можно принять любое конечное число членов.
Все это ca 'lo по себе не представляет еще ничеrо особен
lIoro. Io, 1<3K мы сейчас УВИДН I, Архимед ИСПО.1ьзует получен-
ный им резу льтат, МQ.1 ' lа.'IИВО допуская, что проrрессия прОДОJ1
98
1
жается до бесконечности, так {ITO зЕ IIсчезает и S Оl\азыва тся
4
равным А. 11 режде Bcero переДctДИl\I ДОС/lОВНО содержание
3
соответствуюu ей rлавы.
,Стр. 312. XXIV. ВСЯI\ИЙ оrраниченный прямой линиеЙ
и сечением прямоуrольноrо конуса (т. е. параболой) cerMeHT
на одну треть больше треуrольника, И fеющеrо одинаковую
с ним высоту и общее основание.
Пусть, действительно, ADBEC представляет собою cel -
мент, оrраниченный прямой и сечением прямоуrольноrо конуса
(фиr. 53), и пусть треуrольник АВС имеет с cerMeHToM общее
основание и ту же, что и он, высоту. Площадь К пусть
будет РJВНЗ четырем третям треуrольника АВС. Требуется
показзть, что она равна cerMeHTY ADBEC.
8
н
Фиr. 53.
D T
Фиr. 54.
А
Если она не равна (cerMeHTY), то она либо бо.lьше ero,
либо меньше. Допустим сперва, если это возможно, что
cerMeHT АОВЕС больше, чем площадь К. Я вписываю, как
указывалось, треуrольники ADB и ВЕС, 3 TeM в оставшиеся
cerMeHTbl вписываю ДРУI ие трсуrолыIкии с теми же OCHOBa
ниями и одинаковыми высотами, что и у cerMeHTOB, и все
время продолжаю вписывать в возникающие при этом cer..
менты 1) треуrольники с теми )I<e основаниями и одинаковыми
высотами, что и у cerMeHToB. Тоrда (в конце концов) оста.
ющиеся cerMeHTUI становятся (взятые вместе) меньше разности,
на KOTOPYIO cerMeHT ADBEC превосходит П.10ilН1З,Ь 1(. При этом
вписанный Мllоrоуrольник оказался бы БОЛЬUlе, чем К. Но это
невозможно. Действительно, веДh следующие друr за ДРуrО f
I1fl0щади находятся ДРУI' к друrу в ОТНОllJеНIIИ четырех к одно-
t.) Здесь 8 l'речеСI<ОМ тексте стоит слово o.jG (два), что предстаВ.71яеr
собою очевидную OlHI,:K)'. В .'IaTIfIlCKOM тексте (стр. 313) ЭТО слово
тоже ВЫПУlцеllО .
\
МУ. Прежде Bccro треуrольнИК АВС вчетвеf'О больше треуrопьни"
ков ADB и ВЕС, взятых вместе, затем эти треуrо: ьники сами
вчетверо 6ол: ше, чем (CYM !a) вписанных в следующие cerMeHTbl
(треуrольников), и так далее все время, так что очевидно,
что все эти площади, B IecTe взятые, меньше четы рех третей
наибольшей из них. Но (площадь) К равна четырем третям
наибольшей площади, следовательно, cerMeHT ADBEC не боль-
ше площади К.
Допустим теперь, если это возможно, что он меньше.
Положим тоrда треуrольник АВС равным (площади) Z, чет-
верть Z (равной) Н, и таким же образом (четверть) Н (рае-
1:1 ОЙ) О и будем поступать так до тех пор, пока последняя
(площадь) не окажется меньше разности, на которую площадь
К превосходит cerMeHT, и пусть эта последняя наименьшая
(площадь) .будет 1. Тоrда величины Z, Н, О, 1, взятые, вместе
и сложенные ellte с одной тре1ЬЮ 1, будут на одну треть
больше, чем Z. Но К также на одну треть больше, чем z.
Следова'Iельно, К также равна площадям Z, Н, О, 1, взятым
вместе и еще сложенным с третьей чаС1ЬЮ 1. Дал е, так как
площадь К превосходит (сумму) П.10щадей Z, Н, О, 1, взятых
ВМСС i-e, менее, чем на 1, а CerM(HT более, чем на 1, то очевидно,
что площади Z, Н, О, 1, взятые вместе, больше cerMeHT8. Но это
невозможно. Действительно, было доказано, что е л имеется
любое количество площадей, И3 которых каждая вчетверо
больше С1Jедующей за ней и наибольшая И3 которых р:,в...
на вписанному в cerMCHT треуrольнику, 10 все эти площади,
вместе взятые, меныпе сеrментз. Следовательно, cerMeHT ADBEC
не меньше площади К. Но у>ке было доказано, что он также
не может быть и больше, значит, он равен площади К.
А так как площ 'дь К равна четырем тр:тям треуrОЛЬНИI<а
AB то и cerMeHT ADBEC" TaKjl\e p !BeH четырем треТЯ\1
треj'rольника АВС.
По я с н и т ел ь н ы е за ы е ч а н и я. Это ДОКfЗJте.1ЬСТВО пред...
стаВ.'lяет собой типичный пример Toro, что при ПО tОЩИ исчер'"
пываНl:Я нельзя н йти ничеI'О TaKoro, что не было наАД:2НО
или о чем бы не доrадывались ра. ее нз оснсваliИН KaI:oro-
нибудь .rpyroro способа. Предварительно АРХИ lед просто заранее
ФОР:'IУЛI!РУСТ теорему, которую он )f{елает ДОI{зза [ь: cel"'MCHT
4
пар БО.1Ы равен L. АВС, и затем он доказыва т сос тнет-
.) 4
СТВУIОЩИМ об}j....30М, что П.10:J JДL К, р] В!l3Я -3 6 АВС, не меж 'T
быть бо.'lьше 11.111 Мl;ньше сеl"ые!нз парабо.'1Ы. tIllT..te.1b пр" Ж ...
:'00
пании может ca ' без труда переложить рассуждения Архи !еда
на язык алrебf.аичеСI<ИХ символов. Мы же здесь коснемся лишь
принципиа_'lЬНОЙ стороны дела. Откуда Архимеду известно, что
4
для cerMeHTa площадь окажется равной 3 6 АВС? Не может
быть никакоrо сомнения в том, что он представлял себе после-
довательность вписанных треуrольников или же заменяющих их
в этой rлаве площадей Z, Н, О, 1, И3 которых каждая вчетверо
больше последущей, продолжающейся неоrраниченным образом,
так что в конце концов последний. член rеометрической про-
rрессии может быть положен равным нулю, и сумма ее действи-
4
тельно равна 3 первоrо (наибольшеrо) члена. Таким образом
фактичеСI\И Архимед пользовался бесконечной rеометрической
лроrрессие'й, хотя он на это не намекает ни одним словом. Ведь
он доказал, что разность между cerMeHToM параболы и суммой
вписанных треуrольников может быть сделана менее ЛIобой СI(О.пь
уrодно малой величины (в дополнении к rл.' ХХ он rоворит
только: любой данной площади). Этоrо вполне достаточно с точки
зрения наших современных столь строrих требований. Поэтому
особенно замечательно, что древние rреки предпочитали взвалить
на себя бремя KocBeHHoro д,о (азательства, лишь бы избежать
слов "предеп" или "бесконечное". Однако они, как мы это
увидим еще более отчетливо ниже, НИСКОЛЬКО не боялись
употребления этих понятий в эвристических целях. В противном
случае они" просто не получили бы никаких результатов.
Из начала этой rлавы видно, что Архимед еще не употреб-
лял слова " парабола " (так же как »эллипс" И "rипербола").
в прежнее время l{оничеСКllе сечения опред лялись как сечения
конуса ПЛССI ОСТЫО, перпендику лярной к ero образующей. При
этом, естественно, парабола являлась сечением прямоуrольноrо
,{онуса, эллипс сечением остроуrольноrо конуса и rипербола
тупоуrольноrо. Хотя еще и до Аполлония (около 200 r. до н. э.)
было известно, что, например, эллипс можно получить и из
тупоуrольноrо кону,:з, 110 только АПОЛ.'10НИЙ первый порвал
е традицией и одновременно ввел эти употребительные и до сих
IIОр НЗЗЕания (ер. часть III, N2 1).
IV
Опровеi .жеНJlе учения о линиях-аТОМаХ
И3 "A[i t<Jtelis qu; е fеПl11tur..., de 1illeis fnsecaьiliьus,..., , edidH ОНо
Apelt. Lipsiae, MDCC(:LX) XVIII, стр. 139 157 (rречJ. По<:ат. F. "Aristotelis
ОРС' а. ed. Ас а т emia re ia Borussiae. \" о1. IfI . Aristoteles lаНпе in terpre
20\
ibLtS variis.. BerUn, 1831, стр 474 до 476. "Ое insecabilibus llnels.. Julio
jVlartlano Rota interprete. Нем. пер. о. Апельта в "Beltrage zur Geschichte
der Grleschlschen Phi10S0phle., IJeipzlg, 1891, в качестве прилож. к А ЬЬ. V:
"О!е Widersacher der Mathematlk In Altertum tI (стр. 253 286; В частности,
стр. 271 286). Анrл. пер. в . The Works of Aristot1e 8 , Transl. into Engl.
under the Editorship of J. А. Smfth, W. О. Ross. Part 2; . Ое lineis insecabili-
bus., Ьу Harold Н. Joachim, Oxford, -1908, (IV) + (64) с. il1 O.
П Р е д в а р и т е л ь н о е з а м е ч -а н и е. Сочи не н и е "О н едел и -
мых линиях", наряду с некоторыми друr'ими дошедшее до нас
под именем Аристотеля, по всей вероятности, принадлеж т oд
ному ИЗ ero учеников. Различные факты указывают как на ero
автора на Теофраста, KOToporo сам Аристотель считал крупней-
ШИМ из своих последователей И который известен в качестве
"отца ботаники". В этом сочинении речь идет об опровержении
учения о "линиях-атомах", которое теоретически разрабатывалось
в Академии Платона и r.п:авным представителем KOToporo был
Ксенократ. Соrласно назваННО IУ учению никакой отрезок (и ни-
какое физическое тело), как этоrо требовал уже AHaKcarop
(около 460 r. до Н. э.), . не MorYT быть делимы до бесконеч-
ности, а всякая математическая линия (Tal( же как и всякое фи-
зическое тело.) должна состоять из мельчайших неделимых далее
атомоВ', так называемых "линий .атомов" Эта концепция rapMo
нировала с разработанным rлавным образом Демокритом (около
440 r. до н. э.) "атомизмом". Как указывает автор сочинения
"О неделимых линиях", это учение "резко противоречит всей
математике". Несмотря на это, оно принесло математике пользу.
"Неделимые", как назывзли "линии-атомы" и их обобщения
в средние века, послужили, nOCJlOBaM Архимеда (СМ. ниже, N2 VH),
еще Демокриту для вывода формулы объема пирамиды, а сам
Архимед применил их, как мы увидим далее, при открытии cTporo
доказанных им позднее теорем о площадях и объемах. Схолас
тики, как, например, Альберт Великий, Фома Аквинский, PO}J(ep
Бекон, Дунс Скотт, Фома Брадвардин, усовершенствовали теорию
lIеделимых, и первые ма I'ематики HOBoro времени, как Декарт и
rалилей, вновь стали их применять сразу же так, как будто они
представляли собой давно знакомые вещи. Ученик fалилея Ka
вальери привел их применение для квадратур и кубатур в I-Iзвест
HYIO систему Но и те "бесконечно малые" величины, КОТJРЫ IИ
ПОЛЬЗ0вались друrие маrемаТИJ(И начал] HOBoro времени, как, нз.
пример, ПаскаJJЬ (СМ. Ng xrv), также родственны ltедеJIИ tЫМ. ТаКИ'1
образом можно сказать, что неде.1l1мые IlОДl U10ВИ.111 ОТКРЫТlIе
исчи сления 6еСl\онечно-малых 1)..
{.> Несмотря на 01'PO'IHYIO важность этоrо СОЧlIнеНIIЯ для истории
ИСЧIIС..тIени.я бесконеЧli) алых, о нем COBepll1eHHO не ПОМИllается в боль-
() О ()
., -!
в указанном псевдоа.ристотеJlевском сочинении, направленном
против этоrо учения, сперва приводится пять доводов в ero
пользу. (К сожалению, ориrинальным изложением, принадлежащим
Ксенократу или кому..либо иному, мы не располаrаем.) Первые
три довода носят философский характер, четвертый основывается
lIа парадоксах Зенона и отпадает вместе с опровержением этих
парадоксов, а пятый базируется на одном недоразумении, отно"
сящемся к понятию "соизмеримости" ПР1ТИВ этих пяти доводов
автор направляет це,1ЫЙ фейерверк возражений, поражающих не
только изобилием, но и остроумием' и меткостью. К сожалению,
вследствие плохоrо состояния дошедших до нас рукописей текст
не везде установлен вполне точно. Ниже я даю несколько выдер.
жек из упомянутых возражений.
Стр. 146,16... Таким образом очевидно, что из приве...
денных (в пользу учения) доводов не следует ни необходи-
, , ,..
масть существования линий-атомов (at?1J.<O'J ypOJlJ.L(I) ), ни их
вероятность. Из последующеrо это станет еще более ясным. ])
(1) (147,4). Далее, все лини.и (отрезки) были бы в таком
случае соизмеримыми (aUJlJlct?ot). Ибо 4Все они были бы изме...
римыми при помощи атомов (-линий), как те, которые соиз-
меримы (просто) по длине, так и те, которые соизмеримы
(только) в квадрате. (Действительно) линии атомы все соиз-
меримы по длине, ведь они равны,.......... а значит, они соизме
римы и. В ква.црате. Но в таком случае каждый квадрат был
бы рациональным (Р TO ) 2)...
том труде по истории математики М. Кантора (Cantor). Однако в По
следнее вр мя на пеrо было обращено внимание ряда исследователей.
Известные УЛУЧUIения в работу Апельта (АреН) были внесены Евой Закс
(Eva Sachs), .Dle filnf Platonischen Korper 8 , Ber1in, 1917, стр. 133........146; спе
циальную rлаву линиям атомам посвятил ю. Ш те н цел ь (J. Stenzel), Zah1
und Gestalt Ьеl Platon und Aristoteles, Leipzlg, 1924, стр. 70 83. Для
ознакомления с общей постановкой проблемы см. особенно э. Фра н к а
(Erlch Fran {), Plato Ul1d die sogenannten Pythagoreer, НаНе а. S. 1923, (8
именном указателе) и вышедшую недавно КНИl'У О С К а р а Б е к е р а
(Oskar Becker) "Mathematische Exl"tel1Z", НаНе а. s. 1927 (например стр.
145). Но, насколько мне известно, нн один из немецких авторов не исполь
З0вал тщате :JbHoro аJII'ЛИПСКОI'О издания Иоахи ,а (Ioacllim), которое,
однако, вышло elUe н 1908 r. и в МНОl'очисленных примечаниях содержит как
критику текста, так 11 замечания по существу вопроса. СМ. также
БО.1ее старую KHllf'Y Р. rейнце (Ricllard Heinze) ,.Xenokrates, Darstellung
der Lehre und Sammlung der Fragmente", Leipzlg, 1892, стр. БО Б4.
i) rреческиА текст не разделен на абзацы или каК ЛlIбо иначе.
В Jlздании ИоаХJlма очень хорощо выделены различные пунк rbI.
2) ЗдеСh l'меетrя в пилу ка>кдыП квалраТlIыlf Kopellr,.
f)()!l
..,Ч
(II) (147,12). Далее, раз из трех данных прямых обра-
зуетсSl треуrольник, то треуrольник (можно) составить также
из трех линий атомов. Но в каждом равностороннем (треуrоль-
нике) высота (проведенная из вершины) проходит через сере-
дину (основания), а следовательно, и через середину aTo la
(линии).
(111). Далее, .сли из неделимых (aJ,LSpw'i) (линий) образо-
вать квадрат и провести диаl'ональ и опустить перпендикуляр
(из одноrо из свободных уrлов на диаrональ), то сторона
квадрата в квадрате равна квадратам перпендикуляра и поло
вины диаrонали (взятым вместе), так что ОНа (сторона KBa
драта) вовсе не является самым малым (отрезком)...
(IV) (148,6). Далее, присоединение одной линии (к друrой)
не моrло бы увеличить всей ЛИНИИ. Ибо неделимые (линии),
взятые в совокупности, не образуют ничеrо большеrо.
(У). Да.пее, раз из ДВУХ неделимых (линий) не может быть
образована непрерывная (линия), ибо все непрерывное должно
допускать MHoroKpaTHoe деление, а всякая линия, исключая
линию-атом (как признается) непрерывна (aи'iex ), то не мо-
жет существовать л;иний.атомов... ]).
(VI) (149,13). Далее (в этом случае) не во всякой линии
(имелась бы) точка (attYJl ). А именно (линия)-атом (не моrла
бы) содержать точки, ибо, если бы она содержала только одну
точку, то линия (сама) была бы точкой, а если бы...... несколько
(точек), то она была бы делима. А сели бы в (линии)-атоме
не было ни одной ТОЧКИ, то их вообще не имелось бы ни в
одной линии, ибо все прочие (линии) (составлены) из атомчв-
(JIИНИЙ).. .
(УН) (150, 1). Далее, ['раница линии была бы линией,
а не точкой. Действительно, rраница 9ТО есть последнее, т. е.
атом (линия). Но если бы rраница была точкой, то и (линия)-
атом имела бы своей rраницей точку, и одна линия была бы
больше друrой на одну точку... (150,7). Чем, вообще, ОТJlИ-
чается точка от линии? Линия-атом не обладает, кроме имени,
никакими характерными приэнака IИ, отличающими ее от точки...
(150, 17). Но из этих (доводов) ясно, что линия не может
так)ке (состоять) из точек. Ибо большая часть доводов под-
ходит почти так же (к точка\f, как и к линиям-атомам). (Это
соображ ение рззвивает(я далее),..
') .Аристотель в . Физике-, У, 3, опредtляет непрерывность след) 10.
ЩИ образом: .я rOBopl0, что неЧl0 непрерьн но (буквально: связано),
если rраницы двух (веUlей), КОТОрЫМII они соприкасаются, ЯВЛЯЮТ\: я
одной и той же ", ка}\ rорорит уже сацое название, связаны..
ЗJ4
(VIII) (154,4). Далее, все тоrда рззлаrалось 6ы и разреш ..
лось на точки, и точка (БЫ.1а бы) частью тела, ибо (соrласно
теории) тело состоит из плоскостей, плоскости из (прямых)
линий, а линии из точек...
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Как видно из Moero почти
.n.ословноrо пере' ода, rреческий текст в высшей степени лаконичен.
{lеревод Апельтз близок к нему, между тем как перевод Иоахима
носит более вольныf% xapaKTep. Замечание к (1). Разумеется, rpeKY
не изве:тны никакие иные иррациональности, кроме иррациональ-
ности квадрзтноrо корня, которая уничтоя(ается путем возведения
в квадрат. Выражаясь COBp MeHHЫM языком, в этом случае рацио
НЗ,1ЬНЫМ было бы не только число 3, но и число VЗ, ибо квад-
рат с площадью 3 имел бы стороны, состоящие из линий-атомов,
11, значит, VЗ должен быть соизмеримым с 3, ибо общей мерой
является как р з линия атом. Различие между рациональным и
иррациональным тоrда исчезло бы. (11) и (111) очень изящны и
леrко по 1ЯТfiЫ. (IУ). ДЛЯ линий-атомов аксиома Архимеда не
име.rra б J силы, это отрицание "бесконечно мзлоrо" (см. выше,
стр. 186). (У). Атомизм находится в принципиальном противоречии
с непрерывностью. Это как раз то, что ныне отделяет так Ha
зываемых формалистов (rильберт) от интуиционистов (Броуер).
Современна]{ теория непрерывности в конечном счете атомистична,
ибо она основывается на теории иррациональных чисел (KOTO
рым соответствуют точки на отрезке). Интуиционисты, наоборот,
являются представителями, так сказать, интуитивной непрерыв-
ности; с их точки зрения отрезок не только не состоит из точек,
но и не может б ть разложен на ТОЧI(И. (VI VII). Здесь сле..
дует ряд aprYMeHToB, показывающих, что линии-атомы не отли.
чаlОТСЯ от точек. (VIII). Этот отрывок показывает, что Апельт
был неправ, полаrая, что теория линий атомов не имеет ника-
Koro отношения к атомистике Демокрита. Демокрит как раз при-
менял разложение тела на плоскости (см. ниже, стр. 222). Однако
систематическая разработка теории впервые была проиэведена
UIколоА Платона]).
v
Сумма квадратов чисеЛ
Из .Arcl1Imedl:; Opera omnia cum Commentarlis Eutocll.. Itefum edldft
J. L. Heiber g. V 01. 11, MDCCCCXIII, Lipslae, {п aedibus В. О. Teubnerl.
t) В дошедших до нас СО'lинениях Пла.тона Не в тречаеТСR . неде-
ДИМblX линий.. Но мы располаrаем свидетельством АристотеЛJl (.Метафи-
зика. 1. 9. Ak.-Ausg t 992а) о том, ЧТО сам Платон часто попыЬваЛСJl
.1111 НИ яwи-а1'омаwи.
206
R ч:t\. УllОС!И, И3 ..ачинеИ. . Ое Lil1eis spicallbl1s ". Нем. пер. л. Czwa1ina .Ober
Spiralen. von Archimedes, Lefpzig, 1922. Akad. V erl. Ges.(Ostw. Klass., Н2201).
Стр. 30. х. Пусть дано ПрОIfЗВОЛЬНО MHoro линий (отрез..
I<og), разность между КОТОрЫМJI одинакова, пусть Эtа раЗНОСТh
равна наименьшему (отрезку), и пусть даны еще друrие линии
(отрезки) в том же количестве, что и предыдущие, из KOTO
рых каждая paB!ia наибольшему. Тоrда квадраты, построенные
на равных наибольшему (отрезках), вместе с (еще одним) квад-
ратом на наибольшем и прямоуrольником на (отрезке), paBHo f
всем тем, разность между 'которыми одинакова, и на наимень-
шем (отрезке), втрое больше, чем все квадраты, построенные
на (отрезках), разность между которыми одинакова. (1) 1).
Пусть А, В, С, D, Е, Z, Н, т (фиr. 55) представляют собой
ПРОИЗВОЛLНО MHoro данных по порядку линий (отрезков),
разность между КОТОР:)IМИ одинакова, и пусть Т будет равно
этой разности. Присоединим к В отрезок 1, равный Т, к С
отрезок К, равный Н, к D отрезок L, равный Z, к Е
отрезок М, равный Е, к Z отрезок N, равный D, к Н......... от-
резок Х, равый С, к T OTpe30K О, равный В, тоrда все
получившиеся (отр зки) будут равны друr друrу и (все по
отдельности) наиболыпему отрезу. Нужно доказать, что KBaд
I раты, построенные на всех (отрезках),
а именно на А и на получившихся
(в результате дополнения), вместе с
(взятым еще раз) квадратом на отрез
О ке А и прямоуrольником, построенным
на Т и на (отрезке), равном всем (отрез
кам) А, В, С, D, Е, Z, Н, Т, втрое боль-
llIe, чем все ква lраты на А, В, С,
D, Е, Z, Н, т (11).
Квадрат на В/ (8+/) равен двум
квадратам на 1 и В и двум прямоуrольникам на (отрезках)
в. и 1; (квадрат) на КС равен (32) квадрата,'.1 на К, С и двум
прямоуrольникам на К и с; подобным Ж образом квадраты
на друrих равных А (отрезках) равны квадратам на их частях
и двум прямоуrольникам, построенным на этих частях. Квад-
раты же на А, В, С, D, Е, Z, Н, т B eCTe с квадрзтами на 1, К,
L, М, N, Х, О, к которым присоеденен еще квадрат на А, вдвое
больше, чем (квадраты) на А, В, С, D, Е, Z, Н, Т. (111).
Остается доказать, что взятые в двойном числе прямоуrоль-
L
N
А
(
8 С
О Е
1 Н
Т
х
Фиr. 55.
t) Эти цифры соответствуют обозначенным таким же образом р8З
делам пояснитеЛЬНIJlХ замечаниЯ.
6
НИJ , построенные на частях линиf\ (отрезков), равных I<3n{
дая А, вместе с прямоуrОЛЬНИI{ОМ на Т и на (отрезке), равном
А, В, С, D, Е, Z, Н, Т всем вместе, равны KBtдpaT8M на
А, В, С, О, Е, Z, Н, Т. Так как два прямоуrопьника, построен
вые на В, 1, равны двум (прямоуrОЛЬНИI<ам) на В, Т, два (прямо
уrольника) на К, С равны прямоуrольнику на Т и учетверен-
ном С, ибо К вдвое больше Т, два (прямоуrольника) на D, L
равны прямоуrольнику на т и ушестеренном D, ибо L втрое
больше т; и подобным же образом все друrие удвоенные
прямоуrольники, построенные на частях отрезков, равны прямо-
Уl ОЛЬНИКУ, построенному на Т и (отрезке), представляющем
собой все возрастающее по ряду четных чисел кратное бли-
жайшей линии (отрезка), то все это вместе, если присоеди-
нить еще прямоуrольник, построенный на Т и (отрезке),
равном А, В, С, D, Е, Z, Н, Т, будет равно прямоуrольнику
на т и (отрезке), равном А и (34) утроенному В и упяте-
pe1iHOMY С и (друrим отрезкам), предстзвляющим собой все
возрастающие по ряду нечетных чисел кратные лижайшеti
лини и (отрезка). (IV).
Но квадраты на А, В, С, D, Е, Z, Н, Т таlсже равны
прямоуrольнику, построенному на тех же линиях (отрезках).
Действительно, квадрат на А равен прямоуrольнику на Т и
(отрезке), равном А, вместе с (отрезком), равным прочим, из
которых каждый равен А; действительно, столько раз, сколько
Т измеряет А (столько раз измеряет) и А все ( отрезки),
равные ему вместе с (ca M) А. (V). Следовательно, квадрат
на А равен прямоуrольнику, построенному на Т и на (отрезке),
равном А, вместе" с удвоенными В, С, D Е, Z, Н, Т, ибо
(отрезки), равные А, взятые все вместе, исключая А, вдвое
больше, чем В, С, D, Е, Z, Н, Т. (VI). Подобным же обра..
зом квадрат на В равен прямоуrольнику, построенному на Т
и на (отрезке), равном В, вместе с удвоенными С, О, Е,
Z, Н, Т, и точно так же квадрат на С равен (примоуrоль
нику), построенному на Т и на (отрезке), равном С, вместе
с удвоенными D, Е, Z, Н, Т. Таким же образом квадраты
на прочих .(отрезках) равны прямоуrольникам на Т и на
(отрезках), равных им самим (первым отрезкам) и удвоенным
остальным. Поэтому очевидно, что кв&драты, построенные
на всех (отрезках), равны прямоуrОЛЬНflКУ, построенному на Т
и на (отрезке), равном взятым вместе А и утроенному В и
упятеренному С и прочим, представляющим собой все возрас-
таюu ие по ряду нечетных чисел кратные ближаЯшеrо следую-
щеrо (отрезка). (VII).
201
110ПОЛНЕ иt
На основании скззанноrо очевидно, что все квадраты, По-
crpoeHl1tJe на (ОТр2зках), равных наибольшему (отрезку), взя-
Tыe вместе, меньше, чем (36) утроенные квадраты, построен-
ные на тех (отрезках), разность между которыми одинакова,
ибо они становятся равными утроенным квадратам лишь путем
присоединения к ним еще чеrо то, (и что) они больше, чем
утроенная (сумма этих квздратов), если о/тнять (квадрат),
построенный на наибоol'lЬШ М, ибо присое1.инямое меньше
YTpoeHHoro квадрата наибольшеrо (отрезка). (За, этим следует
eLЦe замечание, что докаэаная теорема остается справедливой,
если вместо квадратов взяты люБJlе подобные фиrуры.) (VIII).
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Содержание теоремы
'1 а 1(080 :
(1) Если даны два ряда отрезков
а, 2а, За, па === (сумма s),
па, па, па, па,
(1)
(2)
то
n (па)2 + (па)2 + as == 3 [а 2 + (2а)2 + (3а)2 +
+ (пп)2].
(II) Так как Архимед не был в состоянии выразить
оБLЦеА форме, то он берет J!.Ba ряда отрезков: ряд
А, В, С, D, Е, Z, Н, Т,
't
предстаВ.1яющиА собой у6ываЮIЦУЮ. арифметическую
с разностью Т, и
А, В + 1, с + к, D + L, Е + А1, Z + N, н + х, т + о, (2*)
это в столь
(1 *)
проrреССИIО
rде
1== Т, К==Н(==2Т), L:=!::Z(==3T)
о == в ( 7Т),
так что все отрезки ряда (2*) равны А (== 87). Тоrда ero теорема
I'ласит:
[A2+{B+/)2+...-+{T +0)2 +А'] +[Т( А+В+С+... + Т)] ===
== 3 (А2 + 82 + С 2 + . . . + 12),
Н.'1и короче:
(Il + 1) А2 + Т(А + в +с+...+ Т) ==3(А2 +82 +С 2 +...+71).
(111) Здесь Архимед r080рИТ, что
(8 + 1)2 == В2 + /2 + 2BI»
208
" устанавливает соответствующие равенства для друrих сумм.
Далее, так как 1 == l' JI т. д., то
А2+В2 + с2 +п2 +Е2 + Z2 Н2 + Т2+ [2+ K2+L2 +
+ М2 + N2 + Х 2 + 02 + А2 == 2 (А2 + 82 + с2 + . . . + т.).
(IV) Далее получается:
28/ + 2СК + .. . + 2ТО == 2ВТ + 4СТ+ + 14Т2.
Если к этому присоединить eLЦe прямоуrольник
T (A 8+C+ +Т),
ТО получится сумма:
Т(А + 3В + 5С + 15Т).
(V) Теперь получаем:
А2 == Т. 8А === Т[А + (8 + 1) + (С + К) + . . . + (Т + О)].
(VI) Так как соrласно вышесказанному 1 == Т, К === Н,
ТО
А2==Т[А+2(В+С+ + Т)].
(VH) Подобным же образом:
B2==T[B+2(C+D+.. + Т)],
C 2 ==T[C+2(D+E+... +Т)],
, о === В,
.
Н2 === Т(Н + 2Т),
12 == Т. Т,
и, следовательно:
A2+8 J +C2+ +Т2==Т(А+3В+ 5С+ +15Т).
Поэтому в силу (IV):
2BI+2CK+... +2ТО+Т(А+В+С+ +Т).......
== А 2 + 82 + С 2 + . . . + Т2,
Но, соr.тIЗСНО (111):
А2 + 82 +. . 72 + /2 + К2 + . . . + 02 + А2 ==
== 2 (А2 + 82 + С 2 + . . . + 12). .
Оrсюда, наконец, получается теорема:
А2 + (8 + 1)2 + ... + (Т+ 0)2 + А2+ Т(А +8 + с+ ..
... + Т) == 3 (А2 + 82 + С 2 + + Т2).
rейберr указывает на то, что в доказательстве Архимеда
И lеIОТСЯ некоторые шероховатости, обязанные СВОИМ происхож
14 в и .1 е й т н е Р. ХресrоиаТИl, 209
дение:\1 позднейшим комментаторским вставкам. Я здесь не буду
вдаваlЬСЯ в обсуждение этоrо вопроса. Записанное в COBpeMeH
ных обозначениях доказательство Архимеда совсем не так уж
трудно для понимания. Но можно представить себе только, что
было бы, если все это потребовалось теперь продумать, не поль-
зуясь эаписыо!
(VIII) Дополнение представляет собою важнейшую часть Bcero
рассуждения! В нем rоворится слеДУlощее: 1' "'...
п.А2<3(А2+В2+С 2 +...+Т2), (3)
что непосредственно явствует из (11), и далее утверждается, что
n.A2>3(B2+C 2 +D2+...+T2). (4)
или же
Последнее неравенство основывается на том, что
А2+ Т(А +8+ с+... + Т) <3А2,
Т(А + 8+ с+ ... + Т) < 2А2,
Это же непосредственно вытекает из (V). Левая часть меньше
даже, чем А2, ;так что, наверное, меньше 2112.
Если МЫ в/ неравенства (3) и (4) подставим обозначения И3 (1).
.то они будут rласить:
п З а 2 < 3 [а 2 + (2а)1 + . . . + (п 1)2а 2 + п 2 а 2 ], (3*)
п 3 а 2 > 3 [а 2 + (.2а)2 + . .. + (п 1)2 а 2 ]. (4*)
Подставив в соотношение (4*) п + 1 на место п, мы ero
преобразуем внеравенство:
(п + 1 )За 2 > 3[а 2 + (2а)2 + . . . + (п 1 )'а 2 + п 2 а 2 ]. (4**)
Неравенства (3*) и (4**) можно объединить в одно:
п 3 (п+ 1)3
"3 а 2 < а 2 + (2а)2 + (3а)2 + . . . + (па)2 < 3 а 2 . (5)
Если в последнем неравенстве заставить а все время умень-
wаться" а 1z одновременно неоrраниченно возрастать, причем так,
чтобы ап было всеrда равно некоторому определенному значе-
нию х, и если умножить ero еще на а (== dx), ТО из Hero (ко-
PQTKO выражаясь) получится интеrрзл:
х
r х З
J х 2 dх==з,
о
(6)
210
По существу именно та.к Архимед и пользуется неравенствами
(3) и (4) (см. следующий ноыер).
(lХ) CaMYIO формулу суммы квадратов чисел Архимед не BЫ
числил, но она сразу же получается из (1), если поло}кить там
1
s -== п (п + 1) а. ТОI'да получится:
2
,
1
+(пa)2]===(п+l)п2a2+ 2 п(Il 1)a2==
1
==2"п(ft+ 1)а 2 (2п+ 1),
а 2 +(2аР+ +(па)2== п(п+l)(2п+lja2.
;.3 [а 2 + (2а)2 +
И.1И }I(e
Разумеется, из этой формулы можно было бы получить инте
rрал (6) lIепосред енно путем перехода к пределу (СМ. ниже,
стр. 220), не применяя употребляемых Архимедом неравенств. Чи-
стая сумма квадратов чисел натуральноrо ряда цолучается из
послсднеrо равенства путем деления на а 2 .
VI
Объем сфероида (эллипсоида вращения)
Из .,Archimedis Ореса omnia.... Itесит edidit 1. L. Heiberg. VoI. 1.
lDCCCCX, Lipsi1e, il1 aedibus В. о. Teubt1eri (rреч. и лат.). В час'!.
1I0СТИ, из сочинения, озаrлавл.енноrо "De conoidibus et sphaeroidibus".
lieM. перевод А. Czwalina ., Ober Paraboloide, Hyperboloide und Ellip
soide" (Ostwalds Klassiker, Н2 21 О), Leipzlg, Akad. Verlagsges., 1923.
Стр. 392. ХХУII. Если пересечь какое либо сфероидальное
тело (ax Jj.a, буквально фиrура) плоскосты,, проходящей
через ero центр перпендикулярно к оси, то половина сферо
ида будет вдвое больше конуса, имеIощеrо то )I<e основание
и ту же ось, что и cerMeHT (сфероида).
Допустим, что сфероидальное тело пересеlН;НО п.поскостыо,
проходящей через ero центр перпендикулярно к оси. Пересе
чем ero, кроые Toro, друrой плоскостью, 11 роходящей через
ocь тела, и пусть получившееся сечение (линия) ABCD будет
(фиr. 56) сечением остроуrольноrо конуса (Т. е. эллипсом),
диаметр )f{e ero и ось сфероида пусть будет BD, а центр о.
При ЭТО I неважно, будет ли ВО большим или }I{е меньшим
из диаметров сечения остроуrольноrо конуса. Пусть линией
пересечения с (первой) пересекающей тело ПJIОСl\ОСТblО будет
14 211
(394) прямая СА. Эта прямая будет проходить через (точку) О
и образует с BD прямой уrол, ибо было предположено, что
плоскость проходит через центр и образует с осью прямой
уrол. Требуется доказать, что составляющий по",овину сфера..
Ifда cerMeHT, основанием KOToporo служит Kpyr, построенный
на АС как на диаметре, а веРUIина лежит в точке В, B.1BO
больше конуса, имеющеrо то же основание и ось, что и этот
CerMeHl'.
Допустим, что нам дан некоторый конус, в KOTOpO 1 Z
(будет) (т. е. который назовем через Z) вдвое больше конуса,
имеющеrо те же основание и ось, что и cerMeHT, (именно) ОВ,.......
тоrдз я утверждаю, что половина сфероида равна конусу z.
Если ПО.10вина сфероида не равна конусу Z, то приме 1
R сперва, что ова, если это B03
можно, больше. Впишем тоrда
в cerMeHT, состаВJIЯЮЩИЙ поло-
вину срероида, , тело (на этот
раз 0l1J 1-1(1 Otepz v, т. е. твердая
фиrура), а BOKpyr cerMeHTa
опишем тело, состоящее из
цилиндров одной и той же вы-
соты, притом так, чтобы опи..
санное тело отличалось от впи
caHHoro меньше, чем на вели
чину, на которую ПОЛОВИl1а сфе-
роида больше конуса Z (1). Так
как описанное тело, которое
больше половины сферои 13,
превосходит вписанное тело
меньше, чем на разность Me
жду сфероидом и конусом Z, то'
очевидно, что и тело, вписан
ное в предстаВЛЯIОЩИЙ собой
половину сфероида cerMeHT, будет больше конуса Z (11). По
строим теперь цилиндр, oCHoBaHlIeM KOToporo будет Kpyr, по-
строенный на АС как на диаметре, а осью 80. Так как этот
цилиндр втрое больше (396) конуса с теми же основанием и
осью, что и cerMeHT, а конус Z вдвое больше названноrо
конуса, то очевидно, что цилиндр наполовину боль ше , чем
конус z. Продол}ким плоскости всех цилиндров, из которых
-состоит вписанное тело, до поверхности цилиндра, flмеющеl'О
те же основание и ось, что и cerMeHT. При этом весь цилиндр
разделится на ЦИJ1ИНДРЫ, число I{ОТОРЫХ равно числу цилиндров
212
ч
1-1 Q
8
Q
с
Q
Q
Фиr. 56.
ОПI1СЗltllоrо тела, а величина равна наибольшему из По-
следних. Далее, возьмем линии (отрезки), у которых (стоят)
буквы Q, число которых равно числу частей прямой ВО,
а Вe;Iичина каждой равна ВО (111), и на каждой из них по
строим по квадрату и от последнеrо квадрата отнимем rHo
1()H, по ширине равный (отрезку) 8/; этот l'HOMOH будет
R таком случае равен прямоуrольнику, построенному на В/
11 /D (IV). От следующеrо квадрата отнимем rHoMoH, по ши..
рине равный удвоенному (отрезку) Bi, 9ТОТ rHoMoH будет
равен прямоуrольнику, построенному на ВХ и XD. Далее,
от всякоrо следующеrо квадрата отнимем по rHoMoHY, ширина
J<OToporo на один отрезок (V) больше, чем ширина непосред-
ственно перед тем отнятоrо (398) rHOMO..3. Каждый rHOMOH
будет равен прямоуrольнику, построенному на (двух) отрезках
BD, из которых один равен ширине rHoMoHa. При этом квад-
рат, остающийся от BToporo квадрата, будет иметь сторону,
равную ОЕ. Далее, первый цилиндр из (цилиндров, ле>каIЦИХ)
в целом цилиндре, имеющий своей осью ОЕ, находится в том
же отношении к первому цилинз.ру, (принадлежащему) вписан
ному телу и имеющему ту же ось, (именно) ОЕ, в каком
квадрат на АО находится к квадрату на КЕ (VI). Из этоrо
следует, что они находятся также в том же отношении, что
и прямоуrольник, построенный на ВО и Ой, к прямоуrоль
нику, построенному на ВЕ и ED (VII). Та'ким образом (первый)
цилиндр находится в том же отношении ко (второму) цилиндру,
что и первый квадрат к отнятому от BToporo квадрата rHO
мону. Подобным же образом каждый из остальных цилиндров
с осью, равной ОЕ, находится в том же отношении к (COOT
вествующему) цилиндру вписанноrо тела, имеющему ту же
ось, в каком соответствующим образом расположенный KBaд
рат находится к rHoMoHY, отнятому от следующеrо за ним
квадрата. Таким образом мы имеем некоторые величины,
(а именно) цилиндры целоrо цилиндра, а также д уrие (вели
чины), (и именно) ква.'I.рЗТЫ на QQ, число KOTOp X paBHJ числу
цилиндров и которые попарно находятся в одном и том же OTHO
шении. Далее, цилиндры поставлены в соответствие с друrими
не.тIичина IИ, (именно) С цилиндрами вписанноrо тела, но по
следний цилиндр не поставлен в соответствие ни с каким
друrим (VIIl), а также и квадраты (поставлены в соответствие)
с друrими величинами, (а именно) с отнимаемыми от KBaдpa
тов rномонами, но последний квадрат не поставлен в СООТ-
вествие НИ с каким друrим. Затем все цилиндры (400) цe
лоrо цилиндра наХО ЯiСЯ в том же отношении ко всем дру-
213
rHM цилиндрам, что и ВСС "вздраты КО ВсеМ ОТНЯТЫ I от них
rномонзм (lХ). Таким обрэзом цилиндр С теми же основанием
и осью, что и cerMeHT, находится в том )I{e отношени к впи
санному телу, что и все I{вадраты КО всем отнятым "'от них
['номонам. Но квадраты (взятые BMeCT ) больше чем в полтора
рзза больше, чем все отнятые от них rHoMoHbI. Действительно,
имеются некоторые линии (отр-езки) QR, QS, QT, QF, раз
ность между КОТОРЫМИ все время одинакова, причем наимень
шиП /из них равен 'этой разности, и имеlОТСЯ еIце друrие
линии (отрезки), у которых' (стоят) две (БУI{ВЫ) QQ, ЧИС,ло
которых равно числу первых, а величины все paBlibl наи
большей. Поэтому квадраты, построенные на всех (отрезках),
из которых каждый равен наибольшему (взятые все вместе),
меньше, чем утроенное кратное всех квадратов, построенных
на отрезках, разность между КОТОРЫМИ все время одинакова,
но больше, чем утроенное кратное всех этих квадратов без
наибольшеrо; это было ДОI<азано в сочинении "О спиралях"
(см. предшествующий номер). 1;0 так как все квадраты меньше,
чем утроенное кратное друrих I{вадратов, отнятых от первых,
то очевид о, что они (взятые вместе) БОЛЫllе, че\1 полуторное
l<paTHoe остаlОЩИХСЯ (фуrур), и таким образом (взятые вместе),
они больше, чем полуторное кратное rHoMoHoB (Х). Следова
тельно, и цилинцр с теми же основанием и ОСЫО, что и
cerMeHT, болыне, чем полуторное кратное вписанноrо тела.
Но это неВОЗJ\10ЖНО. Действительно, он представляет собой
полуторное кратное конуса Z, а ведь вписанное тело, Kal{
было доказано, болыпе, чем I<OHYC z. Поэтому половина сфе
роида не БОЛЬUlе конуса Z (XI).
(402). Но она и не меныпе. Д()пустнм, действительно, что
она, если это возможно, меньше. То['да мы снова впишем
в половину сфероида тело, а BOKpyr сеrментз опишем друrое
тело, состоящее из цилиндров одной и той )ке высоты, ПРИТО f
так, чтобы описанное тело отличаЛОСh от вписанноrо меньше,
чем на величину, на KOTOpYIO конус Z бо.1ЬUJе, чем половина
сфероида, и затем точн') так }ке, как ранее, построим все
OCTa.'IbHoe. Так К8К вписанное тело меньше сеrментз, то оче.
DИДНО, что И описанное тело меньше конуса z. Затем, пер'"
вый цилиндр (из цилиндров, лежащих) в целом цилиндре,
имеlОЩИЙ своей осью ОЕ, снова будет нахоJ,ИТЬСЯ в том же
ОТНОlпении к первому цилиндру (принадлежащему) вписанному
телу, имеющему своей осью ОЕ, в каком первый квадрат
находится к самому себе, а второй цилиндр (из числа на..
ходящихея) в целом цилиндре, имеющий своей осью ЕР, 6у..
214
дет находитьСЯ в To i же отношении ко второму цилиндру,
(принадлеil\ащему) вписанному телу, ИJ\.tеlощему своей осью ЕР,
в каком второй квадрат находится к отнятому от Hero rHOMOHY.
Каждый из остальных цилиндров (находящихея) в целом ци-
линдре, имеlОЩИЙ своей осыо один из (отрезков), равных ОЕ,
будет находитьсЯ в том же ОТНОlпении к цилиндру, зани-
мающему подобное iI{e положение во вписанном теле и имею-
щему ту же ось, в каком расположенный соотвеТСТВУIОЩИМ
ему образом квадрат находится к отнятому от Hero rHoMoHY.
Затем все цилиндры целоrо цилиндра находятся в том же
отношении ко всем цилиндрам вписанноrо тела, в каком все
KB дpaTЫ находятся к (площади), равной первому квадрату,
и отнятым от остальных квадратов rномоиаы (взятым вместе).
Далее, все квадраты (взятые вместе) меньше, чем полуторное
кратное (площади), равной первому I(вадрату и rHoMoH8M,
ОТНЯТЫМ от остальных квадратов, так как они (т. е. все квад-
раты) (взятые вместе) больше, чем утроенное кратное квадра-
тов, построенных на отрезках, разность между которыми
одинакова, без наиболыпеrо квадрата (см. предшествующий
номер). Следовательно, цилиндр с теми же основанием и осью,
что и cerMeHT, меньше, чем полуторное кратное описанноrо
тела. Но это невозможно. Действительно, он предстаВЛЯtТ
собою полуторное кратное I{оиуса, и (ранее) было доказано,
что описанное тело меНЫllе конуса z. Поэтому половина
сфероида не меньше конуса z. ТЗI( как она H меньше, не
бо 1ьше ero, то она" равна ему.
п о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н ия. Пре}кде чем перейти
1< более общему разбору доказательства, следует объяснить не-
I<oTopble отдельные места, помеченные выше римскими цифрами.
(1) Метод вписывания и описывания составленных из малень-
ких цилиндров ступенчатых тел так часто применялся Архимедом
в предшествующих rлавах, что он здесь уже не подверrнется
подробному рассмотрению. Он описан в rлаве XIX, в которой также
доказывается, что вписанное и описанное тела можно сделать
aK уrодно близкими друr к друrу.
(Н) Запишем здесь вывод в алrебраической фОР lе.
Пусть
1
сфер. ===z +!
2
опис. тело === впис. тело + ( < е).
215
Далее,
1 . t
2 сфер. === впис. тело + ( < 11 < е).
Тоrда из ncpnoro и третьеrо равенств следует, 'ITO
впис. тело> Z (на € '1l')'
(111) }{а чертеже масштабы по необходимости уменьшены
(как и для конуса Z). (IV) rHOMOH равен. 802 /02 === (80
IO)(BO+IO)===BI.ID. Для Архимеда это попросту сле-
дует из 11, 5 Эвклида (ер. ч 11, .N'g 11). (V) Здесь, разумеется,
имеются в виду "отрезки. на ОВ. В rреческом тексте здесь
употреблено то же слово, что и для обозначения cerMeHTa, paB
Horo половине сфероида. (VI) См. у Эвклида теоремы ХН, 11 и
ХН, 2 (см. выше ч. IV, Ng 11). (VII) Эта теоррма о свойствах эллипса
имеется у Аполлония, 1, 21 (см. ч. 111, Ng 111).. (VIII) Так как
последний вписанный цилиндр равен нулю. (IX) Под словом
"все" нужно понимать "сумма всех". Здесь Архимед применяет
теорему 1 цитируемоrо сочинения, rласящую на нашем языке сле-
дующее: если даны четыре последовательности величин A , А 2 "..
. . ., А п ; В1' 82' . . . , В п ; А;, А;,. A ; B , B ..., В п и если
AJ : А 2 : Аз: · · · : А п === 81 : В 2 : в з : · · · : В п '
AI:A:== B l : в:'
а также
или, выражаясь более современно:
В, == AAi' B === 1А; (i == 1, 2, 3, , п),
то
(А1+А2+ +A'L):(A; A;+ +A )===
===(81+82+ +Вп):(В;+В;+ +B ).
ДЛЯ нас справедливость этой теоремы ясна сразу, в силу
сокращения коэфициента ). При этом А , представляют собой
здесь (рзвные все друr друrу) цилиндры части целоrо цилин
дра, A; цилиндры части вписанноrо тела, B i (равные все
друr друrу) квадраты, а B: соответствующие rHoMOHbI. При
этом отсутствие" Toro или ино:'о из А; не иrрает роли, так как
тоrда отсутствуют и соотвеТСТВУlощие B .
,
(Х) Если из
т==т
вычесть неравенство
1
р>-з m ,
216
то rtОЛУЧИfСst
2
lп р<зт,
J '.1Н
3
m>2("l p),
(XI) Если мы весь ЦИЛИНДР обозначим BpeM HHO через Zyl,
а вписанное тело через Е, то нам известно, что
3
Zyl==2 Z
ОТСIОДЗ следует, что
E>Z.
3
Z .l <2Е.
НО из прннятоrо Bblllle допущения следовало, что
3
Zyl < 2 Е.
Следовательно, это допущение невозможно.
Переходя к H KOTOpЫM замечаниям общеrо характера, я прежде
Bcero должен защитить себя от упрека в том, что я выбрал
слишком длинный и сложный пример. Дело обстоит как раз
наоборот. Дело в том, что я .желал привести рассмотрение х 2 ,
пр.'дставляющей больший интерес, чем х (арифметическая
проrрессия), ибо х 2 встречается уже в элементарной математике
при выводе объема пирамиды. К счатью, Архимед не был 3Ha
ком с понятием "частноrо случая" и поэтому он отдельно и
очень подробно исследовал случай половины сфероида после
Toro, как он уже вычислил перед тем меньшие (прямые и косые)
cerMeHTbI сфероида. Я rоворю "к счастью" потому, что ВЫВО..l
для меньших cerMeHToB, естественным образом, MHoro сложнее.
Но можно бы.10 бы еще спросить, почему я не выбрал вместо
сфероида шар. Ответить на это просто, потому что Архимед
в исследовании шара (в сочинении "Ое sphaera et cylit1dro") ше.1
ИНЫМ путем. Он начинает там с MHoro более трудноrо вопроса
о площади шаровой поверхности, из которой он выводит мето-
дом, сходным с.современным способом, объем шара. Но ни одному
217
,..
Чит3tелю Jfe доставит затруднения прzдставить се6е, что ОА == ОВ
(чеrо у Архимеда нет в качестве "частноrо' случая (&) 1). Эта же
самая X ПРИ\1еняется и при определении площади спирали.
Рассмотренный нами здесь метод Архимеда представляет собой
значительное расширение и усиление метода исчеРПhIвания (см.
выше, ч. IV, N9 11) и в этой форме, в соединении вписанных и описан
ных лестницеобразных те.'}, принадлежит, по всей вероятности,
ему саМО:\IУ. Разумеется, и здесь следует повсюду п р е д с т а B
л я Т ь себе, что раЗlIоtть "по возможности" мала и что само
те.10 представляет собой "предел '( вписанных в Hero и описанных
Бокруr t!l1ero тел.
Далее, я дол)кен elHe добавить к вышеприведенному замеча
НИIО (1), что при доказательстве возможности сколь уrодно Tec
Horo сбли)кения вписанных тел Архимед берет весь комплекс
вписанных и описанных лестницеобразных цилиндров и складывает
IIX так, как складывают ПОДЗОРНУIО трубку, пока 8 совпадает с Е.
Тоrда вся разность сводится к одному первому цилиндру с диа
l\'leTpOM СА и высотой ОЕ. Но этот цилиндр путем уменьшения ОЕ
1\10)f(eT быть сделан, по выражеНИIО АРХИ\lеда, "меньше любой
заданной телесной величины".
За этим следует rромоздкое ВЫ'lисление, rрОl\10здкое поточу,
что Архимед не 3Ha T никакой алrебраической символики и,
l<poMe Toro, оперирует не равенствами, как мы, а пропорциями.
Мы уже раньше не раз видели, что это представляет собой круп
неt1ший формальный недостаток rреческой математики. Если мы
Ь
положим ОА == а и 08 === Ь и если ОЕ === ==:. h, то МО)КНО
п
сказать, что Архимед строит квадраты Ь 2 и отнимает от них
квадраты [О], h 2 , (2fl)2,. ,(п 1)2 h 2 , В результате чеrо и по
лучает rHoMOHbl [Ь 2 ], Ь 2 h 2 , Ь 2 (2h)2, . . . , Ь 2 (п 1)2 h 2 .
То обстоятельство, что прямоуrольник 8Е. ED пропорцио-
нален квадрату ЕК (и аналоrично для друrих); леrко полу
чается нами из уравнения эллипса. Если последнее дано в виде:
х2 у2
а 2 + Ь 2 ==1.
то
а 2
у2 === Ь'1. (Ь 2 х 2 ),
{) ОДllаl{О нет сомнения в том, ЧТО это б:J!ЛО извеtТНо Архимеду.
Действитеj1Ь'IО, он сообщает в .Методе" (СМ. ниже, N2 VII), что сперва
он нашел объем шара (каК раз так, как указано 8 "Методе") и отсюда
перешел к шаровой поверхности.
218
11 если ПОЛО)I{ИТЬ вреЫСIIIIО ОВ==х, то BE.ED===(b x) (Ь +х)
и ЕК==у. Но
у2
Ь ') ,): с о !1 S t ·
.J Х...
rfiJ э 1'0 I У
Цll.l., составл. часть цел. ЦИЛе Ь 2
.
ЦИЛе составл. часть впис. тела Ь 2 (vh)2
Зат м, соrласно приведенной теореме 1, в числителях и знаме
lIпТС.1S1Х дробей образуются суммы. Тоrда мы получаем:
пЬ 2
весь цилиндр
впис. тело
п l
(п 1) Ь 2 L. (vh)2
1
l'де в З:lам нателях повсюду OTCYT TByeT член, соотвеТСТВУIОЩИЙ
B pXHe'IY последнему члену. 31тем доказывается, что в правой
3
части числитель больше, чем 2".....знаменателя. Для 9Toro в при
веденном выш замечании (х). нужно положить т == (п 1) Ь 2
И п === ( h)! и затем применить равенство (3*) пояснительных
замечаний к предыдущему номеру, заменив п через п 1.
Тоrда мы получим:
3
(п 1) Ь 2 > 2 [( п 1) Ь 2 ....... ('Ih) 2] .
Так как числитель пЬ 2 ещ больш , чем (п 1) Ь 2 , то утве;>-
ждение является доказан н .)IM. Дальн йшее имеется у Архимеда.
Во второй части доказательств:\ в ЗНJменателях имееrся на
один член больше (т. е. CTOJ1Ъ O же, СКОЛЬКО в числителях), и
зна tенатель правой части имест вид:
пЬ 2 ......... ('ih)2.
Но соrласно равенству (4*) пояснительных замечаний к предыду"
IlteMY HO tepy:
пЬ 2 > 3 ('ih)2
и nyreM 3налоrичноrо рассуждения, что и выше, доказывается, что
2
пЬ 2 ('Ih)'! > 3 пЬ 2 ,
219
или
пЬ'> rllb 2 (VIIPJ.
Теперь метод Архимеда СОВ рШСНI10 понятен. Он предстаВ.l1ясr
со()ой настоящее интеrрирование. Действительно, еСJ1И отвлечься
от rреческой формы изложения, то можно CKa aTЬ, что Архимед
суммирует маленькие цилиндры, объемы которых В общем ВИде
равны у2 п h. Подставляя сюда вышеприведенные значення у и
складывая все Ч.'1ены, мы получим, что объем вписанноrо те.1а
равен:
тra 2 h
b2 [(Ь 2 h') + (Ь 2 (2h)2) + (Ь 2 (3/1)2) +
. (Ь 2 (п 1) /z2)] ==
па 2 h
=== b2 [( п 1) Ь 2 h 2 (1 + 4 + 9 + . . . + (п 1)2)] ===
тra'!h 3 [ 2 ( 1) (п 1)п(2п 1) ]
п п
Ь 2 . 6
тra 2 h 3 тra 2 b ( t ) ( 1 )
== 6b п(п 1)(4п+l)== 6 l п 4+ п ,
а описанноrо тела:
a2h .
Ь 2 [Ь 2 + (l2 /Z2) + (Ь 2 (2h) ) +... + (b2 (п 1)?h 2 )]-==
тr J, 2 h
== 7 [пЬ 2 h 2 (1 + 4 + 9 + (п 1 )?)] ===
па'l,"l1 [ 1 ]
== Ь 2 п 3 6"' (п 1) п (2п 1) ==
тra 2 J z 3 тra 2 b ( 1 ) ( 1 )
== . fl(ll 1)(4п 1)=== 1 + 4 .
6b 6 п fl
,
Если в ЭТиХ рав нстзах заставить п ВОЗРJСТJТЬ дО беСI(J.
нечности, то как выражение Д1Я вписанноrо тела, так ивыраже.
вне для описанноrо превратятся в общее значение для половинЫ
2 а 2 bтr
сф роида 3 . Считая ИЗ8еСТНЫ 1 призеденныА в пояснительныХ
20
замечаниях предыдущеrо номера интеrрал, l\1bl можем просто
написать (в совершенно современной форме):
ь ь
по.10ВlIна сфероида == тt .\ у2 dx == тta 2 .\ (1 ) dx ==
Q о
( Ь' ) 2
==па 2 Ь 3Ь 2 == 3' а 2 Ьп.
я думаю, что уже из Toro видно, какими оrромными выrодами
обладает закрепление раз 110,1Y'ICHHbIX результатов в виде формул.
VH
Вычисление Архимедом объема шара
Из "Archimedis Opera o;nnia..... Iterum cdidit 1. L. Heiberg. V 01. 11
MDCCCCXIII, Lipsiae, in aedibus В. о. Teubneri (rреч. и пат.). В частности,
И3 сочинения "Des Archimedes Methodenlehre von den mechanischel1
Lehrsatzea; ап Erathosthenes".
Предварительное замечание. "Учение о методе"
[Эфод, (Ephodos)] Архимеда, из KOToporo мы заимствуем ниже
следующий отрывок, было в 1906 r. извлечено на свет из одноrо
rреческоrо монастыря в Константинополе rейберrом, внимание
KOToporo на рукопись обратил один немецк й филолоr. Ero по-
явление вызвало настоящую сенсацию. Здесь, в письме к дrуrу
специалисту, Архимед позволяет непоср дственно заrлянуть в ма-
стерскую cBoero творчества. Он излаrает здесь механический
метод, при помощи KOToporo им был найден ряд замечательных
результатов, снабженных позднее строrими косвенным,И доказа-
тельствами, какими они встречаются в ero нэучных трудах. Об
этом "Учении о методе- ранее было кое-что известно только
блаrодаря некоторым указаниям repoHa. Коrда книrа была опуб
ликована 1), то оказалось, что в ней применяются в чистом виде
так наза,жваемые п неделимые", на которых Кавальер и в начале
ХУН в. стремился систематически воздвиrнуть исчисление бескu
нечно малых (C I. ниже, N2 Х). Несомненно, что эти неделимые обяза
ны СБОИМ происхождением древнему учению об атомах, достиrшему
f) rреческий ориrинал был впервые опубликован rейоерrом в ФИ.l0-
.аоrическом журнале ,.Hermes., Т. 42, 1907, стр. 245 300, немецкий перевод
комментариями был дан и. r. Цейтеном (Zeuthen) в Bibliotheca таН) ,
з я серия, т. 7, 1906/1907, стр. 321 3БЗ. В .Hermes. приложена также
репродукция одной страницы манускрипта, воспроизведенная в "Jahresber.
DeLlt ch. Math. Ver.", т. lб 1907, тетрадь 718 (текст на стр. 402 404, 462).
221
кульминационноrо пункта у ДС IО[\РИlа (см. выше, IV, Ng IV).
Плутарх сообщает, что уже Демокрит разбивал цилиндр и
I(OHYC сеКУЩИ IИ параллельными п 'IОСКОСТЯМИ И рассматривал
их как "составленные из KPYl'OB". Далее, АРХИ lед передает
также в "Учении о методе", что Демокрит нашеlI таl<ИМ путем
объем конуса"",. хотя доказана Teope'la была впервые только
Эвдоксом. ТаlfИМ образом очевидно, что впервые примеНИ.l MaTe
атические неделимые Демокрит (ind.visibilis == rреч. "a omog"::::::
===неделимый). В СБоем сочинении Архимед идет по пути Демокрита,
представляя себе треуrольник JJ составленным" из отрезков, парал..
.пельных одной стороне, а цилиндр" заполненным" ]<руrами, парал..
лельны и основанию. При этом он не rоворит ни Toro, что
сечений должно быть бесконечно MHoro, ни Toro, что получаlощиеся
таким образом слои должны быть бесконечно тонкими. Берутся
попросту "все" параллели. Но прежде Bcero обратимся к -тексту.
Сперва я привожу неКО,торые из вводных соображений общеrо
1l0рядка, а затем передаю теорему II об объеме шара 1).
Теоремы из механики, которыми пользуется Архимед, 011
предпосылает без доказательства. В ero собственных дошедших
до нас сочинениях приводится только часть из них, но очевидно,
что в те времена они были уже хорошо известны.
Стр. 428, 24. .. Однако, по моему убеждению, этот
метод не менее полезен и для доказательства самих теорем.
Действите,lЬНО, некоторые из теорем, о которых я составил
себе предварительно ясное представление при помощи Mexa
ники, были потом доказаны rеометрически, так как (paCCMOT
рение) при помощи одной только этой теории лишено ДOKa
зательной силы. Но леrче провести доказательство тоrдз,
коrда уже ранее приобрел таким образом некоторое пред
став.пение о вопросе, чем заниматься поисками (доказательства)
без таких предвари ельных сведений (430). Я, однаl<О,
решил обнародовать этот метод в письменном виде,. .., с друrой
же стороны, будучи убежденным, что окажу тем самым матема-
тике поистине немаловажную услуrу. Действительно, я пола-
rаю, что некоторые из ныне живущих или наших потомков
найдут при помощи предлаrаемоrо метода и друrие теоремы',
мной еще H открытые.
.
..... ..... ..
Стр. 438, 11. Далсе, посредством этоrо метода будет
выведено, что каЖДI)IЙ шар вчетверо больше конуса, основание
i) в теорече 1 I'ОВОРИТСЯ о площади параболы, а в т(ореме III ....... об
объеме сфеРОllда.
222
KOToporo равно наибольшему из (KpyroB) на шаре, а высота
равна (отрезку) (проведенному) из центра шара, и что цилиндр,
основание KOToporo равно наибольшему из (KpyroB) на
шаре, а высота равна диаметру lllapa, равен увеличенноыу
в полтора раза шару.
Действите,lЬНО, пусть будет (дан) шар и Бо,,'Jы.lойй Kpyr НЗ
нем ABCD (фиr.57). Пусть АС и BD будут два взаимно пер-
пендикулярных диаметра; да.1ее, пусть будет (проведен) на шаре
Kpyr на диаметре BD перпендикулярно к Kpyry ABCD. По-
строим на этом перпендикулярном Kpyre конус с вершиной
в точке А. (Далее) пересечем конус при продолжении ero
поверхности плоскостью, проходящей через (ТОЧI(У) С (парап-
лельно) ero основанию. При ,
этом получится Kpyr, перпен"
дикулярный I{ АС, пусть ero
диаметр (будет) EZ. 3зтем
построим на этом Kpyre ци-
линдр с осью, равной AC,
пусть боковые (линии) ци
линдра будут EL и ZH. L
Продолжим СА и отложим м
равный ему (отреэок) АТ и
будем рассматривать СТ как
коромысло с центром в точ-
ке А. Проведем параллельно
BD произвольную линию
MN, пересекающую OKPY)l{-
но,:ть ABCD в (точках) Х, О,
Дllаметр АС в (точке) S, пря
мую АЕ в (точке) Р, AZ в Я, и проведем через ПрЯМУIО MN
плоскость, перпеНДИКУЛЯРНУIО к АС. Эта плоскость пересечет
цилиндр по окружности диаметра MN, шар ABCD по
окружности диаметра ХО, а конус AEZ........ по окружности
диаметра Ря.
Так как (прямоуrольник) на СА и AS равен J1РЯМОУI'ОЛЬНИКУ
на MS и SP, ибо АС равно SM и AS равно PS, а (квадрат)
на АХ равен прямоуrольнику на СА и AS и вместе с тем
(обоим квадратам) на XS и SP, то и прямоуrольник, по-
строенный на MS и SP, равен (квадратам) на XS и SP.
и так как MS относится к SP, как СА к AS, а СА равно АТ,
то, как Т А относится к AS, так MS...... к SP, т. е. (квадрат)
на MS к (прямоуrолънику) на MS и SP. Но было доказано,
что (прямоуrО.r1ЬНИК) на MS, 'tp p B H (I{вадратам) на XS, SP.
...... '''. .'.
223
,
ф ИI . 57.
С,,'1едовзте..1ЬНО, квадрат на MS относится к (440) квадратам на
XS и SP, как А Т к AS. Но (квадрат) на MN относится к ква-
дратам на ха и РЯ, как (квадрат) на MS к (квадратам) на XS
и PS, и pyr диаметра MiV в цилиндре относится к обоим KpyraM,
а именно к Kpyry диаметра РЯ в конусе и к Kpyry диаметра
ха в lllape, как (квадрат) на MN к (квадратам) на ха и PR.
Таким образом Kpyr в цилиндре так относится к обоим KpyraM
в конусе и шаре (вместе), как Т А к AS. Далее, так как Kpyr
в цилиндре, остающийся на своем месте, относится к обоим
KpyraM с диаметрами ха и PR, перемещенными и закреплен-
ными в (точк ) Т 1 ак, чтобы Т была центром тяжести каждоrо
из них, как ТА к A "', ТО они по отношению к (точке) А
будут находиться в равновесии. Подобным же образом можно
показаТl-" что если в параллелоrраме LZ ПРОВ:2СТИ друrую
.прямую (параллельную) EZ и через проведенную (прямую)
провести плоскость, перпендикулярную к АС, то образующийся
в цилиндре Kpyr, остающийся на своем месте, будет нахо-
диться по отношению к точке А в равновесии с двумя дру-
rими круrами, образующимися в конусе и шаре, если последние
переместить и так закрепить на коромысле в (точке) Т, чтобы
каждый из них имел центр тяжести В' (точке) Т. Но так как
цилиндр, а также шар и конус заполнены (аОJ.1ПА'l)рю8е t а)
полученными (таким образом) круrами, то остающийся на
своем месте цилиндр будет нахоАИТЬСЯ по отношению к точке А
в равновесии с обоими (телами), шаром и конусом, если их
переместмть и так закрепить на коромысле в Т, чтобы каждый
из них имел центр тяжести в Т. Далее, так как названные
тела (atspsa) находятся В равновесии по отношению к точке А,
если цилиндр остается на месте с центром тяжести в К, а
шар и (444) конус перемещаются, как было сказано, к центру
тяжести Т, то цилиндр относится к шару и конусу (взятым
вместе), как Т А к АК. Но ТА вдвое больше АК: поэтому
и цилиндр вдвое больше шара и конуса вместе. Но он втрое
больше одноrо' конуса, и, следовательно, три конуса равны
двум таким же кон'усам и двум шарам. Если отнять общие
два конуса, то получится, что один конус, ссевым Tpeyro:Jb
ииком KOToporo является треуrольник AEZ, равен двум на-
званным шарам. Но так как EZ вдвое больше BD, то конус
с осевым треуrольником AEZ равен восьми конусам, осевой
треуrольник которых есть ABD. Поэтому восемь названных
конусов равны двум шарам. Следовательно, шар, большой Kpyr
KOToporo есть ABCD, вчетверо БО:lьше конуса, вершина KOTO
poro находится в точке А и основанием KOToporo являетсн
\
2 4
Kpyr, построенный на диаметре BD перпендикулярно
к АС.
Проведем теперь в параллелоrраме LZ через точки В и D
(прямые) рва и YDQ, параллельные АС, и представим себе
цилиндр, основаниями KOToporo служат круrи на диаметрах
РУ и OQ, а осью KOToporo является АС. Так как цилиндр,
осевой параллелоrрам KOToporo есть FQ, вдвое больше цилин-
дра, осевой параллелоrрам KOToporo есть FD, а этот послед-
ний, в свою очередь, втрое больше конуса с осевым треуrоль-
ником ABD, как (это) (известно) из "Начал" то цилиндр
с осевым параллелоrрамом FQ вшестеро больше KOlfyca с
осевым треуrольником ABD. Но уже было доказано, что шар
(446), большой Kpyr KOToporo есть ABCD, вчетверо больше
этоrо конуса. Следовательно, циликдр в полтора раза больше
шара, что и требовалось доказать.
п о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а 1-\ и я. Попросив читателя само-
му разобрать в изложении Архи е:n.а все удобопонятные пункты,
я изложу алrебраически ход мысле Архимеда. Он прост и краток.
Требуется доказать, что если переместить центры тяжести обоих
тел в Т, то момент конуса AEZ, сложенный с моментом шара,
равен моменту цилиндра LEZH с центром тяжести в К, причем
оба момента вычислены по отношению к точке А как точке опоры.
Если положить
AC===2r===AH===MS и AS==x,
о для любоrо сечения MN будет:
PS===x, OS2===AS.SC===x(2r x),
следовательно,
Но так как
PS2 + 082 == 2rx.
М8 2 === 4r 2 ,
то из ЭIоrо тотчас следует, что
ибо
MS2. AS=== (PS2 + 082). НА,
4r 2 . х === 2rx. 2r.
Для Toro чтобы получить желательное равеНСТ80 моментов,
достаточно помножить обе стороны полученноrо выражения на п.
Но самое замечательное, что Архимед образует названные
15 в 8 Jl е й т 11 е Р. Хрестоматии. 225
тела из J{:pyroB, Jlежащих в ПЛОСI{ОСТИ MN, или же, как он
выра>кается в I'_1aB 1, представляет себе, что тела составляются
(aV'i sat 11%:'i; стр. 436,24) из них, коrда MN из положения EZ
переходит n положение LH. Здесь мы имеем фактически чистое
понятие "неделимоrо" в противополо}кность "бе конечно маЛО 1У",
I1рименявшемуся Архимедом в друrих интеrрированиях tCM. пред
1l1ествующий номер). Бесконечно малое в вид полоски площади
или слоя тела имеет определеННУIО ширину или толщину, которые
при возрастании числа полосо:, (или СЛ02В) стремятся к нулю.
flеделимое же, наоборот, не имеет никакой толщины, оно, по
cYlltecTBY своему, обладает одним измерением меньше (в случае по
верхности это линия, в случае тела поверхность) и порождает
ИСХОДН IЙ образ в результате движения. В таком именно виде
"неделимое" перешло в средневековую схоластику, в которой,
правда, оно иrрало чисто теоретичеСКУIО роль в спорах о He
прерЫВlIОСТИ 1). Для матемаТИ.lескоrо использования н делимых
ничтожное математическое образование средних веков было не-
достаточно.
До сих пор у Архимеда Есе обстоит в полном ПОРЯДI(е. 110
за этим слеДУIОТ недостаточно строrие рассу)кдения, cor ласно
которым эти нематериальные неделимые MorYT в своей совокуп-
HOCT и без движения заменить собой физическое тело. Это,
быть может, еще I"ОДИТСЯ до некоторой степени для остаlощеrося
в покое цилиндра. Но в случае двух друrих тел неделимые как
бы вырываIОТСЯ И переносятся все по отдельности в точку Т.
Архимед использовал рычаr для аналоrичных' целей, но уже б з
неделимых, только еще один раз, а именно в сочинении о KBaдpa
туре параболы. Здесь же совокупность сечений шара и конуса
находится в Т, уравновешивая там весь цилиндр.
Дальнейшие выкладки тоже не представляют для нас труда.
Вытекающее из вышеприведенноrо равенства моментов соотношение
2 (шар конус) === цилиндр
дает нам просто уравнение:
1 1
шар + 3 4,2. 2,п === "2 4,2. 2,п,
или
4
шар === уЗ л .
3
{) СМ. R связи С этим статью с. R. W а 11 n е r, Dle Wandlungen des
Indivislbi1ienbegrlffs von Cavalieri bis Wallis. Bibllotheca lnathematica.
3..я серия, 4 т., 1903, стр. 28 47.
226
Так наЗЫВ:lемый "ПРИ:IЦИП !{авальсри", СОI'ласно I OTOpJI\IY
ДВJ тела равны, если они на Лlобой высоте имеют ОДсlнаковые
ПО площади сечения, разумеется, непосре1.ственно вытекает из:
идей Архимеда. Но у Архимеда не имезтся ни одноrо примера,
из KOToporo это было бы непосредственно ясно 1). Мы В HaCTOlI
щее время всеrда устраиваем (в основном cor ласно методу
}{авальери), чтобы условие Кавальери было соблюдено, в частно
сти, мы поступаем так и в случае шара, отнимая от цилиндrа
FOQY удвоенный конус FKYOKQ и доказывзя, что остаlощееся
тело равно шару (см. НИiке, Ng VIII). Принцип Кавальери обла
дает тем преимуществом, что позволяет иэбеiкать ошибок, KOTO
рые очень леrI{О MorYT возникнуть в результате пр небреJl{ения
ТОЛЩИНОЙ неделимых.
Сочинение Архимеда вскоре было утеряно. Но ero идеи
11 отдельные результаты сохранились. В эпоху Ренессанса у худож
ников появляются тела с правильно определенными объемами из
"Учения о методе". А в начале XVH столетия математики Ha
ряду с "бесконечно малыми величинами" воспользовались идеей
че елимых для Toro, чтобы подrотовить новый и более пышный,
нем во времена Архимеда J расцвет математики.
VHI
Вычисление объема шара в XVI столетии
И3 "De centro gravitatis solidorum libl"i tl"es",. LUCt е V lerli МаtllеlПЭ,
ticae, & Civi1is Phi1osop:liae ln Gymnasio R.omano Professoris, RO:l1(]е...
Typis Bartholomaei Вопfаdfпi, MDCI1II. 2 e ИЗД, Bon.ol1iae, Ех Typo
grapllia Haeredum de Duccijs MDCLXJ.
Liber secundus, стр. 17 И ел. 2) (2..е изд., стр. 83 и сл.).
ТЕОРЕМА XII
Пол,)вина шара ВДВ0е больше конуса или же p BHa двуы
третям ЦИ.1индра, имеlощеrо одинаковое с lIИМ основание и ту
же высоту.
Пусть будет дано полушарие (фиr. 58), ось 1\0TOpOro есть BD
и основанием KOToporo служит Kpyr диамеТfа АС. Допустим,
что на этом Kpyre построены цилиндр АЕ и I(OHYC АВС,
, {) Некоторым представлеIlие\f об этом, повидим МУ, обладал repOH
(см. cro "Учение об И3:\1ерении", "Vелпеssuпgstеhrе", ed. Н. Schol1e,
Le:pzig, 1 03, нем. пер., стр. 9 J).
2} В l M издаНIIИ кажд я Кllиrа имеет спою собственную паrинаЦИIО,
со 2 M I1здании одна общая паrинация.
10" 227
общей осью, а потому и одинаковой в сотой которых пусть
будет BD. Я утверждаю, что полушарие АВС вдвое больше
конуса АВС и равно двум третям цилиндра АЕ. Построим
на Kpyre RE как на основании конус EDR с вершиной о.
Разделим ось BD сперва пополам, а затем будем продолжать
делить пополам ее отдельные части и через точки деления
проведем плоскости, параллельные АС, основанию полушария,
плоскости, пересекающие полушарие, конус и цилиндр. Тем
самым цилиндр АЕ окажется разбитым на цилиндры одинако
вой высоты. Представим себе теперь, что на сечениях конуса
(EDR) и полушария, .преАставляющих собой круrи, центры
которых расположены на оси BD, построены ЦЙ:JИНДРЫ, кото-
рые заключены ме}l{ДУ каждой парой сосеДНIIХ параллельаых
плоскостей и оси которых поэтому все равны мзжду собой
и лежат на BD. Таким образом в конус EDR окажется ВПIl-
санным некоторое тело (figиra), а BOKpyr полушария АВС
R 8 Q р Е описанным тело, причем кз}({-
дое из этих тел состоит ИJ
, цилиндров одинаковой высоты.
Пусть оба эти тела будут таковы
(это может быть достиrнуто про-
должающимся де..'1ением пополам
частей BD), что описанное те..
ло преВОСХОД(iТ полушарие на
такую величину, а вписанное
меньше конуса на такую (подоб-
ную) величину, что каждая из этих величин может быть
меныпе Лlобой заданной величины, как бы мала она ни была.
В соответствии с этими поло}кениями очевидно, что в оста..
точное тело, получающееся, если от цилиндра отнять полушарие,
вписано телоsf состоящее из остатков, получающихся из
цилиндров, на' которые был разделен цилиндр АЕ, если от
них отнять цилиндры, описанные --вокруr полушария. Само это
тело меньше остаточноrо тела на разность, которзя меньше
какой бы то ни было заданной величины. Действительно, эта
разность равна той величине, на которую описанное Бокруr
полушария тело превосходит полушарие, до Toro остатка
включительно, который остается от Ca\10rO нижнеrо цилиндра
AS, если от Hero отнять соответствующую часть полушария.
Допустим, что РЕ представляет собой ВЫСllIИЙ из B ex упо-
мянутых цилиндров, состаВЛИIОЩИХ части ЦИЛlIндра АЕ, и что
ось ero будет ВН. Дзлее, пусть . Я:\lая FOKHA1NL будет
I оБЩИ 1 сечением плоское 'l И, ПроХо:tяu сЙ через TO'I1<Y Е/ па
228
раллельно основаНИIО полуI1IЗРИЯ, и плос.кости, проходящеА
черев ось BD. Так как удвоенный прямоуrольннк DHB 1) вместе
с двумя кв дратами DH и ВН равен квадрату BD, а удвоен-
НЫЙ ПРЯ'fоуrОЛЬ IИI( DHB вместе с квадратом ВН равен прямо..
уrольнику на ВО и DH, взятых вместе, и на вн, то прямо
уrольник на BD и DH, взятых B eCTe, (tamquam ипа) и на
ВН вместе с (uла сит) К8здратом DH равен квадрату Вй,
т. е. квадрату FH. Но квадрат КН равен прямоуrольнику,
построенному на BD и DH, взятых вместе, и на ВН. Таким
образом разность, получающаяся, если от квадрата РН отнять
квадрат КН, равна остаlощемуся квадрату DH, т. е. квадрату
ан. и если все это взять четыре раза, то видно, что разность,
получаIощаяся, если отнять квадрат FL от квадрата МК, пред
ставляет собой весь квадрат ON, а значит, и остаток, получаю-
щийся, если от Kpyra FL отнять Kpyr МК, равен Kpyry ON. Но
поэтому же в силу равенства высот цилиндр ОР равен разности
цилиндров РЕ и QK. Подобным же образом можно показать,
что каждый отдельный остаток, получаIОЩИЙСЯ, если от одноrо
из цилиндров, нз которые разбит весь цилиндр АЕ, отнять
один ИЗ цилиндров, описанных BOKpyr полушария, равен
цилиндру, вписанному в конус EDR и расположенному между
теми же (параллельными) плоскостями. Следовательно, состоя-
щее из названных остатков цилиндров целое тело, описанное
BOKpyr остаточноrо тела цилиндра АЕ, получающеrося, если
от Hero отнять полушарие, равно телу, вписанному в конус
EDR. НО каждое из этих тел ОТ.lичается одно от конуса
EDR, а друrое от остатка цилиндра АВ, полуqаlощеrося по
отнятии от Hero ПО1ушария, MeH e, чем на какую-либо за
данную величину. Сл довательно, остаток цилиндра АЕ полу-
Ч3IОЩИЙСЯ по отнятии от Hero полушария, равен конусу EDR.
НО конус ЕDЯ, т. е. конус АВС, представляет собой третью
часть цилиндра АЕ. Поэтому остаток цилиндра, получающийся
по отнятии от Hero полушария, равен третьей части цилиндра
А Е, И, значит, ЦИЛИНllР АЕ втрое больше названноrо остатка.
Поэтому цилиндр АЕ в полтора раза (sesquialter) больше по...
ЛУLuария АВС. И, наоБОРJТ, полушарие равно двум третям
(зuЬsеsquiаltеrum) цилиндра АЕ или же вдвое больше конуса
АВС. Таким образом выставленное утверждение очевидно.
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Перенесясь от Архимеда
н посредственно в XVH СТО.1етие, мы не упустили чичеrо имею-
t) Следует помнить, что зто обозначает ПРЯ tоуrольник, построенный
на DH и НВ.
229
lltcro l<акое либо ма l"ематичеtl(ое значение для наlпей темы. Нрав 'L3,
Архимед был I!еревсден на арабский язык, а в ХН или ХН! в.
н на латынь. Iio а: аб:)1 не сде.1а.1И из этоrо особенно ценноrо
употреБЛ2НИЯ. Для схоластики )ке математика тз[{оrо рода была
слишком недоступнз. Как 1\1:,1 уже упо , инали, в латинс((ом
cpeДHeBeKOBЬ удеР)I{алось только I1Jнятие неделимоrо. Только
в ХУI столетии снова начали понимать и са lосf'оятельно разра-
батыва ь вопросы этоrо рода.
rIepBoe печатное издание Архим-еда (на rреческом"с лати СI(И;\
переводом) вышло в Базеле в 1544 r. НеСКО.1ЬКО поздне за
I I я.тI CII Архимедом мноrОС'iОрОННИЙ и та 'Jантливый итальннец
l{О\Jмандино (Commatldi!lo), издаВllIИf.i отдеЛЬН:}Iе части в лаТИНСКО 1
переводе (Венеция, 1558) и написавший КНИ}{{КУ "Liber de centto
gra\/itatis soIidorum" (Bononiae, 1565), в которой он l.цедр::>IМ обра
аом применнл деМОI{РИТОВСI<и архимедов метод разложения тел
на ТОНI<ие диски с описанными и вписанными призмами 1). Эrа
I(НИ)ККЗ побудила Луку Валерио (Valerio), как он сам УI<азывзет
н предисловии, приступить 1{ саыо:тоятеlЬНЫМ занятиям мзтемати-
I(ОЙ, в KOTOpJIX он, ОД'lако, JI-Iачитсльно преВЗОJJел !{оммандино.
В Л:iце Валерио мы имее'l пер д собой ОДIlоrо из наиболее
одаренных подражателей и последозатепей Ар'(имеда. flравда, он
не придеР)I{ивается архи.медовой СТРОI ОСТИ. Но, д ТJя Toro чтоб:J(
ПрО.'IО}I{ИТЬ пути НОЗ0МУ методу, HYiI{!IO б')IЛJ на первых порах
неСI{ОЛЬКО ПО)l{ертвовать э rой crporoCTbIO и больше отдаться
непосредственной интуиции. В ЭТОМ отношении у Вал рио встре"
ЧDIОТСЯ у)ке пре (расны МЫСЛИ. Пр )кде Bcero он устанавливает
n довольно оБIl1.' 1\I Rиде (а не для каждоrо случая в отдельности)
теорему, соrлаСIIО которой '{ круrлому телу мо)({но приблизиться
С ЛIо50Й стеП2НЫО ТО11НОСТИ ПАJИ ПJМJЩ!I ВП:lсанных и описанных
ступенчатых тел (1, 6 Д.1Я по]еР;{IIо теЧ и 1, 11 Д1Я тел). Затем
ЕО 11 I<Hjfre O -I предпосылает ряд Пl.7IО)l{ений (11, 1 3), СМbIСЛ
которых соrласно cOBpeMe:IHoMY СJlJвоупотреблеllИIО заключается
II TOl\I, что В I{аком нибудь оrно:нении ве,lИЧИНУ, ОТЛИЧ3IОЩУЮСЯ от
друrой неизменной В ДНЧИIIЫ А на веЛ:IЧИНУ, меньшую Лlобой задан
ной величины €, можно заменить в конце концов просто через А.
3 ro предстаП,lяет собой введе"Iие в несколько н ловкой еще,
IJ 1anJ.a, фОр\f понятия "п е.'I.е 18". Поэтому у Валерио OTCYT
CTBYIOT в=чные ко:венные ДJ:{азатеlЬСТВЗ, столь УТ )мительно
д.rrинные у Архимеда.
.) Фр. Мавро.тJИКО (!\1.at1rolico) еще в 1548 r. перевел АрхимеJ:а на
латынь, снаБДIlВ эту работу ценными собствеННЫ\-IИ дополнениями. Но
будучи 8 epBыe нап чатан только в 1685 r., этот труд не C lor оказать
1I11KaKoro ВЛИЯНIIЯ.
230
в В )lшеприведенном ПРИ 1ере Валерно I10I\азЬ!вает таким
способом, что
цилиндр ПОЛУUlзрие === конусу RDE,
дЛЯ чеrо он BOI\pyr шара описывает, а в конус вписывает ступен-
чаlые тела. ЕСiJИ положить AD==r, DH===x, BH===h, то
выкладки ero СВОДЯТСЯ к следующему. Во.первых,
2xh + х 2 + h 2 === r 2 .
Дал ее,
2xh +h2 (r+x) h
(преобразова ние),
следовательно:
(r + х) h + х 2 == r 2 (==:,рН2).
Но так I<aK КН2 === (r + х) h (теорема о высоте в прямо-
I
уrольном треуrольни ке), ТО
РН2 КН2 == аН2 (=== х 2 ), (1)
или же
r 2 тrh КН2 п h :-== х 2 пh.
ЯСllО, что при переменном х это справед.7IИВО для любоrо
ЦИ.1индра. Все остально имеется уВалерио"
Принятое теперь почти во всех наших учебниках доказатель-
ство отличается от выш приведенноrо лишь в том, что мы при-
I1имаем слои столь тонкими, что ce ступени лестницы отпадаIОТ,
короче rоворя, мы рассматриваем эти слои l{aK "неделимые"]).
Этот метод ввел I{авальери около 1635 r. (см. ниже, Ng Х).
Весьма ОСТРОУ IНЫЙ ход доказательства явпяется собственным OT
крытием Валерио, работу KOToporo Кавальери цитирует в СБоем
предисловии, правда, мимоходом.
IX
Яблокообразное тело Кеплера
.
vlз "Nova Stereo:lle 1 ria Doliorum Vinariorum...1( Authore Joanne I{ep
l ro,... Anno М. ос. ХУ. Lincii in fol. "Joannis I(epleri Astronomi Opera
omnia", ed. Ch. Frisch, vol. IV, Francofurti а. М. et Erlangae,...
MDCCCLXIII, s. 551 и сл. Нем. перев. Р. Кл та (R. Kl11g) в собра
нии классиков Оствальда, N 165, Лейциr, 1908 2).
t) Основное равенство (1) немедленно получается И3 рассмотрения
треуrОЛьника J\lfL>.
2) Эту книrу в популярно переработанном виде Кеплер изда.l1 на He
MeltKoM языке в 1616 r. в ЛИllце в собственном издании (. Vom Alltl101"e
231
11 ред в а р и т e.тt ь н О е э а м е ч а н и е. Коrда КеП,1ер, бывшиft
уже давно знаменитым астрономом, в ноябре 1613 r. женился
вторично, в Австрии случился хороший урожай виноrрада, и
Келлер на пути домой в rрац обратил внимание на то, что распро
страненное в Австрии употребление для измерения бочек "мер-
Horo ш ста" (Visierrute) очень неточно по сравнению с извеСТНЫ\1
ему рейнским способом. Это побудило ero исследовать вопрос
математически, и в результате возникла "Новая стереометрия
винных бочек", которой предшествует в качестве введения
рассмотрение некоторых общих форм тел вращения. Одним из
них является тело, названно Кеплером "яблоком" и получаю-
щееся при вращении KpyroBoro cerMeHTa, большеrо, чем полукруr,
BOKpyr своей хорды.
Разумеется, Кеплер читал ДРЕВНИХ rреческих авторов, в част
насти, Аполлония и Архимеда; но ero иск,тIючите.lьная духовная
самостоятельность не допускала никакоrо пр?моrо подражания,
а в силу своей почти необузданной фантазии он был не в со"
СТоянии ни наслаждаться, ни даже по достоинству оценить CTpO
rOCTb Архимеда. Своим собственным исследованиям он предпосы
лает нечто вроде стереометрии Архимеда, но в ero руках она
изменяется коренным образом. Тоrда как Архимед, например, YTO
мительным косвенным путем доказывает, что площадь Kpyra можно
вычислить как площадь треуrольника, основанием KOToporo слу-
ЖИТ длина окружности, а высотой радиус, Кеплер просто rOBo'
рит (l-я часть, теорема П): "окружность имеет столько частей,
ско.ттько в ней точек, а именн : бесконечно MHoro. Будем pac
сматривать l{аждую часть как основание равнобедренноrо Tpe
уrольника, имеющеrо вершину в центре и т. д. If . Таким образом
он не только выбрасывает за борт метод KocBeHHoro доказатель-
ства, но и с пренебрежением отказывается от употребления ве-
личин, меньших любой заданной величины, которыми так изящно
пользуется Валерио. Кеплер в своей "вольности" доходит до
Toro, что, например, при определении поверхности шара (тео-
verlegt") ПОД названием: "Ausszug aus der Uralten Messe-I(unst Archimedis
Und der selben newlich in Latein ausgangener Ergentzung... Gestelt durch
Iohann Keplern..." (" Извлечения из древнеrо искусства измерения Архи
M€дa и Вышедш их недавно на латыни к нему ДОПО..lнени.й.. Составлено
Иоrанно){ Кеплером"). В этом издании встречаются те же тела, что и в
оррrинале, а также при водятся вычисления объема "цилиндрическоrо OT
резка. (" w alger..Spalt1in oder Schnitzlein" , с тр. 41) и "яблоко- или айво
или тыквеннообразноrо тела" (Apffel oder Quitten oder KUrbisrunden
Raums", стр. 44). Но все доказательства отсутствуют. Раздел . Vom
Umbkrais dess Circkels" (.Об окружности Kpyra") находится на стр. 5.
232
реМЫ V Ii Vi), довольствуется "веРОЯТНЬtм" оБСfоятеitьствЬМ,
случайно лишь ЯВЛЯЮЩИМСЯ справедливым. Он даже выставляет
теорему (Teope la ХХУ), уже в тексте снаб}l{енную словом" пови"
ДИМО\1У", а на самом деле HeBepHYIo. Но эти недостаТI{И I<омпен
сировались T 'M обстоятельством, что Кеплер обладал rениальной
rоловой и что ero совеРlпеннз нестроrий метод приводил ero
к поразительным результатам. Блаrодаря этому ero "CTepeo
метрия бочек", к тому же значительно более распространенная,
чем книrа Валерио, оказала мощное влияние на повсюду про-
буждавшиеся УМЫ ученых, стремившихся продолжить дело Архи
меда. В частности, из работы I{еплера почерпал MHoroe Каваль
ери, в предисловии к своему труду подробно рассказывающий
о "Стер ом трии винных бочек" как о единственном сочинении,
которое он признает преДlllественником своей собственной
работы (см. предш. номер, заключение).
Определению (сказать "вычисление ", соб
ственно, нельзя, так как СИllа Кеплера не в
алrебраическом методе) объема яблокообраз
Horo тела у Кеплера (вряд ли знавшеrо,
что это имеется уже у Паппа) предшествует
определение объема так называемоrо "тора"
( "I<reiswulstes tc ), тела, возникающеrо при вра
щении Kpyra BOKpyr не пересекающей ero (и,
самое большее, соприкасающейся с ним) оси.
с
в
Фиr. 59.
Лист Р, WO (" Opera " , IV, стр. 584). Теорема хх. Пояс (Zone)
яблока складывается из шаровоrо пояса и прямоrо отрезка ци-
линдра. Основанием этоrо отрезка является cerMeHT, OTCYTCTBY
ющий в фиrуре, порождающей яблоко, а высота равна окруж
ности, К.Jторую описывает центр большеrо cerMeHTa.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Развернем тело яблока (фиr. 59)
в цилиндрический отрезок (Zyl. Huf) по тем же правилам,
по которым Архимед (скорее, сам Кеплер в вольном подража-
нии Архимеду) в теореме 11 разворачивает площадь Kpyra в
п ямоуrольный треуrольник. Допустим, что FD является полу
диаметром наибольшеrо Kpyra в теле яблока (фиr. 60), и про
ведем через точку D вертикальную прямую DS, длина которой
равна вытянутой в ПрЯМУIО окружности наибольшеrо Kpyra и
которую будем представлять себе расположенной на цилинд-
рической поверхности 1). Линия MN представляет собой, неко
{) Несовершенные rравюры на дереве первоначальноrо издания я за.
менил лучшими чертежами из "Opera..
233
1'орым образом, то общее pe po, в OTopoe упираются все
круrообразныс телесные cerMeHTbl. Так как окружность наи
большеrо Kpyra В:)lтянута в п яму[о DS, то одновременно
B fe :те с Te 1 вытянутся [се эти круrообразные тела, ((оторые
и превраТ51ТСЯ все, за ИСКЛlочением первоrо MDN, в эллипти
ческие (диски) MSN. Значение этоrо преобразованип станет
яснее из дальнейшеrо. Разложим площадь .MDN при помощи
линий, пара.плельных MLV, на сколь уrодно MHoro одинаково
1.IlНрОКИХ", I<райне малых, так сказзть линиеобразных, отрезков;
далее, соеДИII:Il\I точки А и S и проведем из точек де.тIенин
на ДИZlметре AD, возникших в результате Рlзложения ПJlО-
щади, вертика 1И РО и OL до пересечения с прямой AS.
Пусть F будет центром, и пусть перпендикулнр в F пересе- #
S «ает AS в ТОЧI<е о. Через точку О про
ведем ОТ l1араллельно FD. Наконец, пусть
О будет серединой ,отрезка IK. Восставим
в точке О перпендикуляр OL, пересеr(аIО
щий AS в L, и проведем через L пря
l\1YIO LR параллельно OD. Если TCllepb
повернуть фиrуру BOKpyr MN, то Э 1е tент
пло:цади (areola) MN не породит почrи ни
чеrо, так Kal< он передвинется лишь со.
всем HeMHoro. Но параллельный ему отреЗОI(,
ПРОХОДЯIЦИЙ через Р, у}ке опишет о {руж-
ность длины РО, а линия, проходящая
через O, окружность длины OL, и
так }ке все остальные. Таким обраЗО l
части цилиндрическоrо ....тела, оБОЗ: lачен.
lIые через РИ и OL, ок-а)кутся Р3ВНЬОlИ те\1
ци 1индрическим (нольцам), которые СУlце
ствуют в яблоке как "туники tt (tunicac)
. и KOTOpЫ ВОЗНИI<ают, соrласно теоре:\:е
Х\'Н, при вращении линий фиrуры MDN BOKpyr MN. Сле-
довательно, вся фиrура, т. е. ЦИЛИllдричес;<ий отрезок (cylindri
pri3ma) MNDS, состоящий из тсл всех этих туник, если их
вытянуть пря tО, paB H всему телу яблока, СОСТОЯIцему из
(самих) этих "туник l' .
Далее ЦИ.1индрическоете,10, покоящсеся НЗ ОСНО :ании /klNK
и простира!ОIl ееся до [, если пере сечь ЦИJ1ИНДР плоек -= стыо
(planities), в которой лежат линии OL и KI, равно ЦИ.1ИНДРИ
ческой части яб.10ка, от KOToporo отнят. внешний пояс. По
этому отсеченная этой ПЛОСI<ОСТЬ:О (planum) небольшая часть
цилиндра, И lенно /JSDO, P?B:la (rелеСНО 1У) поясу яблока.
234
Но, так l aK Оl" равно FD, т. е. i 3Bf-t6 ПОJIудиаыетру TOr(}
шар], наибольшим KpyroM KOToporo является M/KN, а TS
I1редстаП.1ЯСТ собой длину ЭТОI"О наlIболыпеrо I(pyra (ибо ОТ
относится к TS, как AD I( DS), то цилиндрический отр.:зок,
находящийся над от н простира ощийся до S 11 равен об'ьему
шара радиуса FD, а часть это:'о отрезка, находящаяся над
· О V и простираlОЩ1ЯС51 до L /11) равна ЦИ!Iиндрическому телу
шара FD, получаlощемуся Пр 1 врзщении перпендикулярной
к FO линии /К.
ПОЭТОJIУ остающаяся малая часть LSTV цилиндра равна
поясу Toro шара, поперечным сечением KOToporo является
cerMeHT KD/.
Но ODSL состоит из VTSL и ЦlIлиндрическоrо отрезка
OD VT, основани м KOToporo является cerMeHT /KD, а высота
KOToporo FO равна (длине) окружности, описываемой при вра-
щении Фиrуры BOKpyr MN центром F 60льшеrо cerMellT3
MI/(N.
ПО)ТО fУ и равные им (тел:) находятся в том же отноше
нии, а именно, пояс яб.l0ка складывается из шаров ro пояса,
описыва Moro этим cerMeHTOM, и из названноrо цили дриrIССI{оrо
О rрезка.
Пояснительные замечания. Пре)lс(е Bcero Clc,'lyeT за
етить,- что рассуждения Кеплера содер)кат БОЛЫllе, чем сказано
в заrоловке T opeMЫ. Именно, они Д3IОТ не только телесный пояс
Siблока, но и весь объ.?м яблока. I{еплср, разумеется, это зна:
в дальнейше t рассказывает подробнее; как вычислить объем
Bc...ro яблока. Но BHYTpeHHIoIo "цилиндричеСКУIО" (су1iпdrасеus)
часть яблока, описываеМУIО при вращеНИll смеlllаннолинеЙНhIЫ
четырехуrОЛЬНИI{0 1 MNK/, он, о'(евидно, M'))I{eT вычислить непо
средсrве:JНО, УМНО)I<ИВ П.l0щадь названноrо четырехуrО::ЬНИI{а на
)1..1ИНУ ОКРУil{НОСТИ радиуса AF 2). rIоэтому он ДОЛ)I{ен ПОI<азать
только, как вычисляется та часть яб. ока, которая описывает:я
l(pyroBbIl\f c r.vleHToM /KD, т. е. те.1есн-ый пояс. ОТСI{)да и форма
за лавия. Э 1 от пояс ОI<азывается равным 1l'lapoBo:\IY поясу, сло
il\CHHOMY С cel'MeHToM прямоrо ЦИlиндра, которые оба ыоrут
i) в ОрИПIllа.пе отсутствует часть текс.та, заключенная мной в скоб кв 11.
Она либо выпала при наборе, либо ж;.? текст был KaK TO искажен. Р. Клуr
упустил ЭТО И3 виду В СБоем переводе (стр. 22), но в приведенных им
пояснениях (стр. 113) дело изложено верно. Фриш (Frisch) тоже ничеrо
не r080рИТ об ЭТt)М месте.
2) To e :ть окружности, описанной цeHTpo { тяжести F площади, чеrо
\('П:Iер, однако, НС 1 020рИ r.
235
быть nычислены элементарным образом. То обстоятельство, что
все яблоко блаrодаря преl<расному преобразованию Кеплера пере
ходит в цилиндрический отрезок с основанием, равным всему
вра цаlощемуся cerMeHTY, и высотой, равной длине ОПИСt>Iваемоrо
точкой D Kpyra (радиуса AD), представляет собой по суще
ству лишь побочный rеометрический результат, лишенный KaKoro..
.1ибо практическоrо значения, так как Кеплер не был в состоя-
нии непосредств нно определить объем этоrо цилиндрическоrо
отрезка.
Но Кеплер производит e одно лишь преобразопание, а
д.ва, существенно отличных друr от дрУI'а. Первое из них я дол
}кен рассмотреть несколько подробнее, ибо оно, как об этом
свидетельствует весь перевод Р. Клуrа, очевидно, осталось He
понятым им. \
В теореме 11 Кеплер показывает, что площадь Kpyra равна
треуrольнику OAS, если AS равно длине окружнqсти этоrо
Kpyra. Toro, что я rоворю далее, нет у Кеплера, но такова
во всяком случае ПРJводимая им выше в теореме ХХ мысль.
kIMeHHo, рассечем Kpyr вдоль радиуса ОА (см. схематическую
фиr. 61) и деформируем ero так, чтобы малый треуrольник
Kpyra ОАВ перешел в треуrольник ОАВ', треуrольник OBC
в треуrольник 08'С' и т. Д.,
наконец, треуrольник ORA
в треуrольник OR'S. При
этом Kpyr непосредственно
преобразуется в треуrоль
ник OAS.
Фиr. 61. Именно так представляет
себе дело Кеплер и в случае
яблока. Он рассекает ero вдоль MNKD/, и эта площадь остается
нетронутой. Далее, он производит в яблоке сечения через ребро
Л1N, TJK что возникает бесконечно MHoro клинообразных, orpa-
ниченных ка}I{ДЫЙ двумя дуrами Kpyra и конrруэнтных дисков.
Затем эти диски вытяrиваются в длину, причем тем более, чем
далее они отстоят от MNKD/. При этом MN все время остается
неподвижным, что соответствует центру О Kpyra на фиr. 61,
тоrда как друrой край доходит до прямой DS, в которую рас-
тянута наибольшая окружность яблока. Таким образом диски
принимают эллиптическуют фОр 1У, а последний из них, перво-
начально совпадавший с MNKD/, переходит в MNS. Таким
образом цилиндрический отрезок следует представлять себе раз-
делеННЫ 1 на чрезвычайно малые клинообразные диски эллипти-
ческой формы, все реБРJ .которых совпадают с MN. "'Разумеется,
236
следовало прежде Bcero ДОI<азать, что эти диски о;разуют ци.
линдр; притом для вычисления подобное преобразование ничеrо
не дало бы, ибо при подобном ра2ло)кении БJIЛО бы отнюдь не
лсrч вычислить объем цилиндрическоrо отрезка, чем caMoro
БЛОI(а. (8 случае прямоуrольноr'о треуrольника дело, разумеется,
обстоит иначе!)
Но второе преобразование дает снова тот же цилиндрический
отрезок. Оно значительно удсбопонятне е, и Кеплер также изла
raeT ero значительно яснее. Если lК представляет собой какую
либо хорду Kpyra, параллеЛЬНУIО MN (я не хочу наносить на
чсрте}ке HOB YX линий), то при вращении она опишет цилиндрн
чеСКУIО поверхность. Яблоко состоит сплошь из таких поверхно
стей {tunicae}, которые здесь следует рзссматривать как" недели.
мые". Толщиной этих поверхностей и возникающими блаrодаря
ей, как бы она ни была мала, ступеньками, Кеплер .пренебреrает.
Если рассечь яблоко, как было указано, оставить /К нетронутой
в плоскости MNKD/ и развернуть поверхность по плоскости,
перпендикулярноЙ к MNKD/, то получится прямоуrольник [KOL
С высотой OL, равной длине окружности радиуса АО. Нетрудно
доказать, что все эти прямоуrольники (в качестве "неделимых"),
если их поставить рядом друr с друrом, образуют цилиндриче
ский отрезок, так 'как верхние ребра в силу пропорциональ
ности, су-ществующей между длинами окружностей и их ра-
диусами, должны лежать в одной плоскости.
Это второе преобразование приrодно для вычисления по-
средством современной символики. Пусть будет FD == r, АР === d,
АО == х, 01 === У (причем / снова обозначает произвольную
точку). Уравнение окружности тоrда примет такой вид:
(x d)2 + у2== ,2.
Ка)кдая "туника (& имеет поверхность
2у. 2xтr == 4xyтr.
Сумма всех туник получится, если это выражение проинтеrри..
ровать от х == О до х === r + d, придав "туникам" толщину dx,
б.ТIзrодаря чему они становятся телами.
Тоrда
r+d r+d
объем яб:юка == 4п S ху dx == 4п S х V r 2 (х d)2 dx.
о о
Если здесь положить х d == Е, так что dx === de, то
237
1
объем яблока -== 41Т J ( + d) (r 2 )J
d
r 1 1' 1
== 2тr 5 ( 2ed ) (r2 2)2 +4dlТj (r2 2)l d ===
d d
4 L r 1
3" (1.2 Е2) 2 .....d + 4.1п. "2 cerM. MNKD/ ===
3
4п 4п
== 3 (r2 d2) 2 + 2dп · cerM. === 3" АМ3 + 2dп. сеПI I.
Здесь первое выра)кение можно рассматривать как шар, а
второе как cerMeHT цилиндра, которые, однако, оба не ветре..
чаются в преобразовании Кеплера.
Обозначим еще через Р центр ТЯ)l{ести cerMeHTa MNKD/ и
положим АР===р (чеrо, разумеется, нет у Кеплера), выраже-
ние 2у. х предстаВ,1яет собой момент каждоrо отдельноrо неде-
лнмоrо cerMeHTa (т. е. каждой хорды, параллельной MN) OTHO
сите.ТIЬНО оси MN.
Но по определению центра ТЯiкести
r+d
cerM. · р === 2 J ху 1х;
о
так как соrласно вышеприведенному это раВIlО
1
2п объема яблuка,
то
объем яблока === cerM. . 2рп,
т. е. равен ПЛОlJl,ади cerMeHTa, умноженной на путь, проходимый при
вращении ЦCHTpO 1 тяжесrи, или же равен цилиндру, основан ем
KOToporo служит ce leHT, а высотой описываемая точкой Р
окружность. Это так называемая теорема rульдина, справеДЛll
вая для всякоrо тела врзщения. п. rульдин (Guldil1) опубликовал
ее в БО.1ЬШОЙ р)боте "Ое cel1tro gravitatis" (Viennae, 1635........1641),
содержащей, ме)кду прочим, TalOKC критику "НоnоЙ стереО fетрии"
218
Кеплера, но тщатеЛЬ'iО обходящей ЫОЛЧЗIIИ(l\I '10 почт достовер-
IIое оБСТОЯiеЛЬСI'ВО, что rульдин нашел эту теорему в VII KH :rc
"Synag('ge" Паппа. Что I{сплер не знал ЭТОЙ теоремы, это, на
мой ВЗI'ЛЯД, ясно ИЗ вышеприведенноrо доказательствз, нося-
u ero сопсе 1 'иной характер. Несомненно, что Кеплеру не было
также известно, что Валерио (первый) спределил це:нтр ТЯ)I(€СТИ
KpyroBoro ccrMeHTa.
Мы вынуждены отказаться от раССЛ10трения дальн йших ре-
зулъ:r а OB, частью имеющихся у caMoro Кеплера, '!{ак, например,
вращения cerMeHTa, ме Iьшеrо половины "pyra (что дает "ли-
мон"), и замены Kpyra каким-либо иным коническим сечением.
Н(;трудно видеть, что, об;езая подобные тела, можно IIОЛУЧИТЬ
бочки.
х
Сумма ирадратов недепимых треуrольнина
Из "Geometria indivlsibi1ibus continuorum nova quadam ratione pro
mota". Authore Р. (ratre) Bonaventura Cavalerio Mediolan. (ensi) Ord. (lnis)
Jest1atorum S. Hieronymi, о. М. Mascarellae. Pr. Ас. in Almo Вопоп. \iensi)
Оутп. (asio) Prim, (о) Mathematicarum Professore... Bononi e..., MDCXXXV.
Второе издание: Bononiae, MDCLIII.
П Р е д в а р и т е л ь н о е з а м е ч а н и е. В противоположность
}{ еплеру, который в I{ачестве мирянина протестанта не был знаком
со схоластической философией и случайно наткнулся на nри-
менение недеJlИМЫХ только в результате предпринятой им nопуля
риззции cTpororo метода Архимеда, патер Кавальер и в своем боль-
шом труде, в рукописи представленном сенату Бо:'оньи еще в
1629 r., применУ.ет неделимые у)ке системаТИЧ СI(И и именно
под этим названием (KoToporo Кеплер, очевид:о, не знал), при-
меняет, как 10ВОРИТСЯ В заrОЛОВl\е, с целью "по новому споссб-
ствовать Fазвити ю rеометрии поср дством недеЛИ IЫХ (част й)
непрерывных (величин)". Так как и учитель Кавальери rалилей
также был знаком с учением и применял ero при теоретиче-
ском выводе закона падения 1) И да)l{е, как ЭТО видно из ero
переПИСI И, сам собирался написать об этом книrу, то, естественно,
не может быть и речи о том, что Кавальери был только подра
жатепем Кеплера, хотя, разумеется, и ero работы стимулировали
деятельность Кавальери. Но неделимые и у Капальери не опре
делены отчетливым образо , и, вообще, у Hero, скорее, имеются
обо Bce 1 доrадки, чем доказательства. Иноrда К2вальери при
i) Ср. мою стаlЬЮ "Oas Gesetz vom f1-eien Falle in der Scholastik,
bei Desca tes und Ga1l1ei", "Z. lnath. nat. Unt.", 45 (1914), стр. 209 228,
ИЗ которой видно, что и Де r/ арту не были чужды методы Архимеда.
239
меняет даже метод "ступеньчатых" тел. ПО существу, неделимое
должно иметь одним измерением меньше, чем порождаемый им
при движении (выра ение "fluеrе" течь встречается уКавальери)
непрерывный пространственный образ. Но неделимое уКавальери
часто обладает в неявном виде толщиной, и, по большей части,
неделимые просто складываются, как и у Архимеда в "Учении
о методе". Так как выра}кение "все линии" мы встречали (по
СМЫСЛУ) 'уже у Архимеда (см. выше, ч. IV,.N'g VH), то нас не удивит,
что и Кавальери употребляет ero для суммы неделимых. При
этом наиболее крупное достижение Кавальери заключалось в том,
что он представлпл себе линиеобразные неделамые какой нибудь
площади наделенными, в свою очередь, площадями, например
квадратами, так что он Mor rоворить о сумме }(вадратов неде-
лимых какой нибудь площади. Этот метод Mor быть обобщен
и привел к интеrралам целочисленных степеней.
А В Основная теорема содержится
Fl в следующем отрывке.
Книrа 11. Теорема XXIV. Пред-
лож ние XXIV 1).
Стр. 78 (2 e издание, с р. 159) 2).
Пусть будет дан произвольный
параллелоrрам, и пусть будет в нем
Е F проведена диаrональ. Тоrда все
Ф 62 квадраты параллелоrрама относятся
иr. .
ко всем квадратам одноrо из двух
образованных названной диаrональю треуrольников, как 3: 1
(sunt in ratione tripla), если принять стороны параллелоrрама
аа общую направляющую линию (regula).
Пусть будут даны параллеТIоrрам АО и проведенная в нем
диаrональ СЕ; направляющей линией пусть будет какая-либо
сторона, например ЕО (фиr. 62). Я утверждаю, что все квад-
раты (параллелоrрама) АО представляют собой утроенное
кратное всех квадратов какоrо либо из треуrольников АЕа
или СЕО (1). Разделим стороны АС и со пополам в точках
В и Н и проведем через В прямую, параллельную СА, а
через Н прямую, параллельную СА, т. е. (прямые) ВР и DH,
которые вместе с прямой СЕ делят друr друrа пополам
в точке М. Если провести в фиrуре или параллелоrраме АО
{) Предложение (Propositio) б()лее общее понятие, теорема (theorema)
же более частное; в качестве противоположности ей противостоит за
дача (problelna).
2) В l M IJздании каждая "книrа Cl имеет свою собственную паrина"
ЦИЮ, ЕО 2 M издании одна общая ПJrинация.
240
J1ИННIО ВР, делящуIО поползм все (линии), параJt.lельны Ей,
и Л1-lНИЮ СЕ, деЛЯЩУIО всех их, исключая DH, на неразные части,
то все кпадраты треуrольника АЕС вместе со всеми квадратами
треуrОЛЬНИI{а СЕй равны удвоенному кратному всех квадратов
(парал.lелоrрама) АР, взятых вместе со всеми квадратами двух
треуrольников СВМ и E MP 1); и если DH делится линией
СЕ попола\1 2), то это ничеrо не rоворит против нашеrо утвер-
ждения, ибо KaI( дЛЯ DH, так и для тех (параллелей), кото-
ры делятся на н рз зные чзсти, спр:зв::дливо, что квадраты
отсеченных частей, т. е. кв]драты DM и МН (взятые вме-
сте), в 'LBoe бо lьше КFЗадрата половины, т. е., квадрата DM, и
квздрата (отреЗIса), помещающеrося между (точками) пересече-
ния, который здесь равен НУЛIО, так как обе секущие вр и
СЕ пересеl{аIОТСЯ в точке М (11). Но все квадраты треуrоль..
ника АЕС равны всем квадратам треуrольника сва, так как
(эти) треуrолыIкиJ r построены на ОДИfIаков.ых основаниях Ей
и АС, имеIОТ одинаКОВУIО высоту и лишь лежат противопо-
ложным образом; поэтому все квадраты треуrольника СЕа
равны всем квадратам АР вместе со всеми квадратами Tpe
уrольников CB 11 и МЕР (111). Далее, все KBa.IpaTbl треуrоль
ника ВМС равны всем квадратам треуrольника СМ Н, все же
квадраты треуrольника СЕа находятся ко всем квадратам тре-
уrольника С/ИН в утроенном отношении (обеих линий) ас
и СН, которое (в свою очередь) равно двум, значит, они
находятся в восьмикратном отношении и это в силу Toro, что
треуrольники СЕа и СМ ,Ч подобны. Поэтому все квадраты СЕа
в восемь раз больше всех квадратов СМН и вчеrверо больше
всех квадратов CMfj И.Т}И же 8СМ вместе с МЕР (IV). НО
все квадраты треуrt>льника СЕй равны всем квадратам А F
вместе со всеми I(вадратами треуrольников свм и МЕР, и,
следсйательно, послеДНИ,е (Т. е. квадраты АР и обоих тре-
уrольнико'В) вчетверо б,ольше всех квадратов треуrольников
СВМ и МЕ ,..-... Посредством деления З) О"а'сюда получается,
что все I(вадраты А F втрое больше тех (друr'их). Но все
квадраты Аа так относятся ко всем квадрзтам АР, как
квадрат ОЕ к I{вадрату ЕР, т. е. как 4: 1 (id est quad-
rupla), и ли же 4) как 12:3. Далее, все квад."'аТL: АР втрое
, t) Зде..:ь в тексте (обоих изданий) имеется rIepeCTaH EKJ, на KOTOp\'IO
обращен) ВН'lмание па стр. 50 .!2 1'0 издания (но с указание.\{ СТf>3НИЦbI,
Ьтносящимся к I MY изданию).
2) Здесь в тексте tJбоих изданий) СТ )ит 1: ПОП., что очевидно, бес-
СМысленно.
8) Э ro древнеrречс кое выраж ние Д.1JЯ . поч 1еll Horo вычитания..
') Здесь цифры стоят и в ориrинале.
16 в в JI е ti т " е Р. Хрест ,}lIat8L 241
... . . .
больше всех I{вадратов треуrольников ВМС и MEf"'; значит,
все кв.адраты Ай в двенадцать раз больше всех квздратов Tpe
уrОЛЬНИI{ОВ ВМС и МЕР и относятся ко всем квадратам АР,
как 1) 12:3. В соответствии с этим все квадраты АО отно-
сятся ко всем квадратам АР (вместе) со всеми квадратами тре-
уrольников СВМ и MEF, как 1) 12:4. Но, как было показано,
все квадраты АР вместе со все:'vIИ квадрзтами треуrольников
СВМ и МЕР равны всем квадратам треуrольника СЕй или
АЕС; следовательно, все квадраты АО относятся ко всем
квадратам треуrольника СЕа или АЕС, как 12: 4, т. е, они
втрое больше последних, I что и требовалось доказать (V)'J
I
П О Я С Н И Т е л ь н ы е з а м е ч а н ия. (1) Все недеЛИ lые пц-
раллелоrрама Ай следует представить себе проведенными па-
раллельно ЕО. На каждом неделимом следует представлять себе
построенным квадрат. Для понимания дальнейшеrо мы условимся,
что AEC будет выражать сумму квадратов всех неделимых
треуrольника А ЕС. Тоrда, разумеется, как это уста '1авливается
ниже, AEC== CEa, а также и CBM== EMP и Aa===
== 4 AF, но основной вопрос заключается в том, как относится
Aa к AEC. На это и дает ответ данная теорема, rоворя,
что AO === 3 AEC. Леrко заметить (и Кавальери, разумеется,
это также было известно), что это дает объем квадратной (а зна-
чит, и всякой) пирамиды или же означает квадратуру параболы
у==х 2 . В наше время мы это выражаем так:
а
х 2 dx == аЗ (см. вЫШе, CTp. 21 О).
о
При этом надо взять на чертеже АС === а. Для Toro чтобы это
вычисление дава,'IО также объем пирамиды, следует только взять на
чертеже таКЖе и высоту паралпелоrрама АО равной а. При ЭТО)l
числQ неделимых пара.1'Jлелоrрама также оказалось бы равным а.
То же самое получится, если принять а за величину АС, полаrая
при этом, что единицей измерения будет самое малое неделимое
треуrольника АСЕ, наиболее близкое к Е, и полаrая также, что
все неделимые одинаковой толщины. Действительно, если мы
обозначим самое малое неделимое е, то следующее будет 29 и т. д.,
И пе будет равно а(е), т. е. n===а. Площадь параллелоrрама АС?
t) Здесь цифры стоят и в ориrинапе.
242
Tor.zi:a равна a , а tоотве1ствующеrо параллелепипеда...... аЗ. Этот
ХОД мыслей выдержан cOBep:neHHO в духе Кавальери.
(11) Рассмотрим секущую R V, о которой Кавальери В,первые
rоворит в одном дополнении (коrда он уже доказал соответст-
вующие теоремы о наделенных квадратами неделимых), и положим
,
1 1
ST==A. Тоrда ЯТ;::::'2"а+А, TV===2a A и, следовательно,
( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( а ) 2
RP+TV 2 == 2 а + л + 2a A ==2 2 +2А2. (1)
Если взять все такие суммы, коrда RT убывает t>T АС дО
вершины Е, а TV возрастает от вершины С до ЕО, то А про-
а
бежит оба треуrольника СВМ и EMf, между тем как 2 прой-
дет параллелоrрам АР. Следовательно, мы можем, в духе Ка-
вальери, записать равенство (1) так:
1;АЕС + ICEO == 2 AF + 4IBMC. ( 1 *)
(111) Последнее равенство немедленно переходит в
AEC == AF + 2 BMC, (1 **)
причем мы, в противоположность Кавальери, только отказываемся
от совершенно нзлишнеrо использования EMP.
(IV) Далее следует утверждение, что
IAEC===8};BMC.
( 2)
Здесь у Кавальери нет никаких ссылок, и, таким образом,
доказател' ство этоrо утверждения отсутствует. Но если мы .nей
ствительно построим квадраты на неделимых и таким путем
образуем пирамиды (ВС)2М 1) и (АС)2Е, то леrко заметить, что
они действительно подобны и находятся в отношении 1: 8, если
только при этом теорема о подобных пирамидах уже является
доказанной. Однако ее доказательство опирается, так или иначе,
на определение объема пирамиды, а необходимая для этоrо по-
следнеrо теорема и служит здесь предметом доказательства. Ta
ким образом положение вещей весьма напоминает порочный
Kpyr. Здесь весь вопрос сводится к лоrическому порядку дока-
зательства. Но Кавальери не был в этом силен. Мы же просто
допустим справедливость этоrо утверждения.
{) То-есть пираМИJlУ. построенную на (ВС)I как на основании и с вер-
шиной в точке М.
16. 24З
(У) Да.1ьнеАшее Аля нас понятно само собоЙ, й сипу toro,
что мы умеем проиэводить алrебраические вычисления, чему
Кавальер и научился лишь позже и притом недостаточно. По-
этому он с трудом выводит при помощи пропорций ТО, что
мы запишем ниже.
11з (1*) н (2) следует:
IAEC + IAF +- { IAEC,
3 ' 1
'4 AEC=z 4. Aa,
(3)
(4)
"
И, нако нец,
Aa == 3 AEC.
(5)
Проспедить за вычислениями Кавальери только скучно, 10
отtlЮДЬ не трудно.
Подверrнув исследованию разрешенную Кеплером лишь при-
ближенно проблему кубатуры параболическоrо "веретена" (воз-
никающеrо при вращении дуrи параболы BOKpyr своей хорды),
Кавальери сам пришел к мысли заменить квадраты ero недели-
мых в параnnелоrраме и треуrольнике б иквадратами. После Toro
как это ему удалось, он попытался в дополнение к этому вы-
а
числить, как мы выража мся, x 3 dx (сообщено в 1639). Побуж-
о
а
даемый стимулами внешнеrо порядка, он затем переш л к ., х 6 dx,
О
откуда он умозаключил по аналоrии о всех прочих случаях и
а
В качестве при мера привел еще S х 9 dx. Эти обобщения он
о
опубликовал в своих "Exercitationes geometricae sex" (БОЛОНЬ:J,
1647). Произошло это уже в то время, коrда они не представ.
пяли собой новизны. Действительно, за этот промежуток вре.
мени Ферма (Fermat), которому, быть может, предшествовал
Торичепли, произвел эти квадратуры при помощи не только
более ясноrо, но и более общеrо алrебраическоrо метода и
притом ДТIя любых положительных рациональных степеней (для
целых положительных степеней он это сделал уже в 1636 r.).
Все эти исследователи были осведомлены о работе друr друrа
и часто взаимно обменивались, правда, с разными предосторож-
244
настями, своими достижениями 1). В те времена никто не знал.
о том, что объем параБОJ1ическоrо веретена (а вместе с тем и
суммы кубов и биквадратов чисел) был выведен при помощи
cTpororo архимедава метода еще ибн-АльхаАтамом (Ib Alhai.
tham) около 1000 r. нашей эры 2).
XI
Острое rиперболическое тело ТоричеJJJlИ I
Из .Opera geoxetrica Evangelistae TorrIcelU., Florentiae 1644. В част-
ности из трактата .De solido ЬуресЬоНсо acuto. (11 Ч., стр. 113 135).
Перепечатано в .Оресе di Evangelista Torricelli. ed... da Gino Loria е 01u-
seppe Vassura. Vol. '. Parte 1, Faenza, 1919. Трактат занимает стр. 191 213.
П Р е д в а р и т е л ь н о е з а м е ч а н и е. В первую очередь
этот трактат показывает, как сразу rлубоко была воспринята
идея неделимых Кавальери, во.вторых, в нем приводится, как
замечает (в предисловии к одной предшествующей работе о том
же теле) сам Торичелли, первый случай Toro, что фиrура, про-
стирающаяся в бесконечность, не обладает бесконечным объе-
мом. Речь идет о теле, попучающемся при вращении равносто-
ронней rиперболы BOKpyr ее асимптоты. рри этом соответст-
вующие части площади. rиперболы бесконечны. Из Toro, что
Торичелли rоворит, что он применил первым (sln aliorum ехе-
mplo) криволинейные неделимые, мы должны сделать тот вывод,
что он не видел "Новой стереоме.трии" Кеплера, rде уже встре-
чались подобные "туники" (см. выше, Ч. IV, .N2 IX). Во венком
случае среди 38 (I) научных работ, которые находились в би-
блиотеке Торичелли (СМ. в том же томе It Opere-, стр. IX), книrа
Кеплера не числится, Линии, проведенные на чертеже пункти-
ром, прибавлены мною.
Стр. 115 (» Opere-, 1, 1, стр. 193). Теорема.
Бесконечно ддинное, острое rиперболическое тело, пере-
сеченное плоскостью, перпендикулярной ero оси, вместе с
цилиндром, построенным на ero основании, равно некоторому
прямому цилиндру, диаметр основания KOToporo равен latus
versum или же оси rиперболы, а высота равна радиусу осно-
вания сзмоrо oCTporo тела.
Пусть будет дана rипербола, асимптоты коrорой АВ и
АС 3) об разуют прямой уrол (фиr. 63). Возьмем на rиперболе
t) Здесь мне оказала большую пользу статья А. Босмана (Н. Bos-
mans) .Un chapitre de l'oeuvre de Caval'eri 8 . Mathesis, 36 (1922), стр.
365 456.
2) Ср. r. 3утера (Н. Suter), "Bibl. n1atl1.-, 3.я серия, ХН (1911/191 ),
стр. 289 И ел.
З) В о иrИllале в т ксте'стоят строчные буквы,а на чеРТl же прописные.
)
произвольную точку D и проведем DC параллельно АВ и
DP параплельно АС. Затем станем вращать всю фиrуру во-
Kpyr оси АВ, причем одновременно возникнут острое rипер-
болическое тело EBD и ЦИ.ТIиндр FEDC, построенный на ero
основании. Продолжим, далее, ВА до Н так, чтобы АН
было равно всей оси или же latus versum rиперболы. Затем
на диаметре АН построим Kpyr, перпендикулярный к асимп-
тоте АС. (Наконец), представим себе, что на основании
АН (т. е. на описанном Kpyre) построен прямой цилиндр
Асан, высотой KOToporo будет АС, т. е. радиус основания
oCTporo тела. Я утверждаlQ, что все тело FEBDC хотя и
бесконечно длинно, но все же равно цилиндру AG'aH.
Возьмем на прямой АС произвольную точку / и предста..
вим себе, что через/ BOKpyr оси АВ проведена цилиндрическая
поверхность (superficies cylind-
rica) ONL/, содержащаяся"в
остром теле, и представим себе
в цилиндре Асан Kpyr /М,
параллельный основанию АН.
Тоrда названная цилиндри-
ческая поверхность ONL/ будет
отнсситься к Kpyry /М, как пря-
моуrольник OL, проведенный
через ось к квадрату радиуса
Kpyra /М, т. е. как прямоуrоль-
ник OL к квадрату полуоси rи-
перболы. Следовательно, соrлас-
но лемме (лемма 1) они равны.
И это верно всеrда, rде бы ни была взята точка /. Поэтому
все цилиндрические поверхности, взя:rые вместе (ОtJ1пеs simul),
т. е. самое острое тело EBD вместе с цилиндром FEDC (по-
строенным)' на ero основании, равны всем KpyraM, взятым
вместе, Т. е. цилиндру Асан. Что и требовалось доказать.
I
П о Я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Все это так просто и
ясно изложено, что нуждается для пояснения лишь в неМНОI"ИХ
словах. Несомненный nporpecc заключается также и в том, что
цилиндрические неделимые эдесь просто заменяются равными им
площадями KpyroB, в которые они не MorYT быть nреобраэованы
rеометрическим путем. Торичелли предпослал теореме 5 лемм
(вспомоrательных теорем), которые нам эдесь не нужны. Примем
АС за ось X OB, а АВ за ось Z-OB, тоrда уравнение rипсрболы
будет иметь ви,,: xz == d 2 ; Аалее, AQ == QR == d, А!? (полуось
46
8
'!'
., Q С
fI t1 t:
Фиr. 63.
rиперболы) == d {2. Всякий прямоуrольник ONL/ БУДQТ в таком
случае равен 2d 2 , а описываемая /L или же ON цили ндриче..
ская поверхность будет 2xтrz === 2d 2 п, т. е. будет постоянной,
независимо от положения /. Но АН было взято pJBHblM 2dV 2,
так что каждый Kpyr цилиндра Анас имеет площадь (d V 2) 2п ==
== 2d 2 п. Эти круrи и суть неделимые цилиндра, точно так же,
как цилиндрические поверхности суть неделимые исследуемоrо
тела. Все остальное имеется у Торичелли, который в целом ряде
дальнейших теорем еще подробнее исследует свойства тела
(среди прочих TaKj{(e и то, что объем, расположенный над
П.10СКОСТЫО РС, бесконечен).
Если мы представим себе через точку А проведенной еще
перпендикулярную к ВА С ось у-ов, то тело будет иметь ypaBHe
ние zr== d 2 , rде r == V х 2 + у2, или же, в освобожденном от
радикалов виде: Z2 (-t 2 + у2) ::с:: d". Следовательно, мы имеем пе-
ред собой поверхность 4-ro порядка, к которой, разумеется,
также принадлежит и часть, расположенная под плоскостыо Х, у.
Современный ход вычислений таков. Вычислим объем NEDL,
поло>кив CD== а и /L == Ь, Этот объем равен:
ь ь
S r 2 п dz === d 4 п i == d 4 п :=== ( ) d 4 п.
tJ tJ
d 4 rr
При Ь == 00, т. е. в случае тела EBD, это дает ................ Но
а
d'
при z===a мы имеем, что r 2 == а 2 ; следовательно, цилиндрЕFDС
d 4 тr
равен ,2па == (Таким образом он равен верхнему беско-
а
нечно удлиненному телу, что доказывается также и в одной И3
2d'1t
теорем Торичелли. Оба тела вместе имеют объем . Но та-
а
Анас, радиус ОСНОЕания KOToporo ра-
I
ков же обьем цилиндра
d 2
вен d V 2, а высота
а
Тем самым Торичелли первый получил интеrрал степени
с отрицательным показателем (у X 2), что немедленно должно
было стать ясным алrебраистам, к числу которых сам ОН, впро
чем, не принздпе}l(ал.
247
В одной дальнейшей работе он привел доказатеЛLСТВО TaKJKe
посредством cTaporo меrода Архимеда. Но он не считал ero
лучшим (longiorem quidem, sed поп ideo mihi certlorem: хотя
оно и JVlиннее, но, на мой взrляд, не достовернее).
хн
Квадратура всех rипербол высших порядков
Из трактата. De aequationum 10са1lиm transI1J.utatione et emendatione...,
си! annectitur proportionis geometricae in quadrandl , infinitis parabolis et
hyperbolis usus". "Oeuvres de fermat", риЫ. par les soins de ММ. Paul
Tannery et Charles Henry.. Тоте -рrещiеr. Paris, MDCCCXCf, стр. 255 288.
Франц перевод п. Таннри в "Oeuvres", IIf, Paris, 1896, стр. 216 237.
Предварительное замечание. Трактат, из KOToporo
мы заимствуем нижеследующий отрывок, был приведен Ферма
в теперешний вид только после 1657 r. Но одно сообщение,
посланное КаваЛI,ери, не сод.ержащее, впрочем, ИЗЛО)I(ения метода,
свидетельствует о том, что от-
дельные части этой работы, и
в частности интеrрирование пара-
бол общеrо вида у==х n , rде чи-
сло п мо,кет быть 1'акже (поло-
iI(ительной) дробью, имелись у)ке
D в 1644 r Тем временем Тори-
челли, подстрек[.емый этим сооб-
щением, открыл в 1646 r. способ
обобщения ero и на все отрица-
тельные показатели. В трактате
Фер а дается общая теория всех этих случаев при помощи ero
сqБСТЕенноrо (отличноrо от тоrичеллиевоrо) в высшей степеНII
интересноrо МЕтода, обоrащенноrо мно\"очисленными примене-
пиями к некоторым фор ам уравнений, которые путем преобрз-
зований MorYT быть приведсны к вышеуказанным. Опубликовано
это было, как уже сказано, впервые в "Varia Opera" Ферма
(Tolosae, 1679). Ниже я при-во)ку помещенР.ое в начале ero ра-
боты исследование rипербол.
Стр. 256 (франц. 'стр. 217)... rиперболами мы по опре-
делению называем бесконечно мноrие кривые рС1Зllоrо рсдз,
как, например, DSEF (фиr. 64), свойство которых таково:
если взять за асимптоты кривых пересекаIощнеся под прои 3
вольным уrлом RAC прямые AR и АС, которые, подо5но
самой кривой, можно продолж... ть ПРОИЗЕОЛЬ о до бескснеtl
ности, и если провести параnлельно ОДНОЙ НЗ 2СИМПТОТ про
248
с F
А
G Н
в
в
извольные ПРЯМhI ОЕ, Hl, ON, МР, RS и т. Д., то так iKe
как какая-нибудь степень (potestas) прямой АН относится
к той же степени прямой АО, так какая.нибудь и притом
такая же или же отличная от предыдущей степень прямой ОЕ
относится к той же степени прямой Hl. При этом под сте.
пенями мы понимаем не только квадраты, кубы, биквадраты
(quadrato-quadrat8) и т. Д., показатели которых 2, 3, 4
и т д., но и все простые стороны (latera, корни) показатель
которых равен единице.
Я утверждаю, что при помощи z,eOMempи'teCleOZO отно-
luенuя (proportionis) 1) ,М,ожно найти leвадратуры всех этих
БССlCонеч,ч,о MflOZUX ?uпербол, за иСlслюченuем толы о одной,
аполлонuевой или первой, oдaн'a 08Ы.м и МО всем иА' прuме.
Нll'м'Ь'М способом.
Допустим, что, например, дана rипер(ола, обладающая
тем ойством, что Bcer a
прямая ОЕ так относится к прямой Н/, как квадраr прямоА АН
относится к квадрату .прямой АО,
И что
прямая Н/ так относится к прямой ON, как квадрат ОА отно-
сится к квадрату АН и т. д.
Я утверждаю, что бесконечная площадь, основанием кото-
рой является ОЕ и rраницами которой служат, с одной сто-
роны, кривая ES, а с друrой бесконечная асимптота aOR,
равна некоторой данной прямо)rольной ПЛОlЦади.
Представим сесе члены некоторой простирающейся до
бесконечности rеометрической Пр0rрессии (ptogressionis gec-
m etricae): первым членом пусть будет Ай, вторым АН,
третьим }\O и т. )1.. до бесконечности, и пусть эти члены
будут настолько близки друr к друrу, чтобы можно было
соrласно методу Архимеда приравнять (adaequare), как Bыpa
жзется Диофант 2) или же положить приближенно равными
друr друrу прямолинейный параллелоrрам на ОЕ и он (sub
ОЕ in ан) и смешаннолинейный четырехуrольник ОН/Е.
(Допустим), далее, что первые из прямолинейных интервалов
(разаостей) ме}кду измеНйЮlЦИ IИСЯ в rеометричес ой проrрес-
сии величинами) т. е. ан, НО, ом и т. Д., почти равны
. J) ТаННРIl псрево;rит это С.1JОБО (также и в эаrлавии) через progres-
SiOn ([-ЯД). НО ЭТО слово не со леем соответствует намерениям Ферма. КО-
It);)ЫЙ при желании сам употреб:lяет слово "progressio..
2) В своей "АРисl)'.1етике", V, 11 и V. 14 (ер. часть 1). Диофант
Д.1Н .п иблнжеННОI'О раьенстnа 8 употребляет т рмин 1tClp oo'tllC;.
49
между собою, так что может быть без труда применен по
средством вписываЦllЙ и описываний архимедов способ дока-
зательства путем приведения к неВОЗМО)lПiОМУ (per аП2уu>уi1 v
et, &aUV2tQV). Достаточно это сказать один раз навсеrда, для
Toro, чтобы больше не быть выну>кденными снова напоминать
и повторять тот прием, который достаточно хорошо знаком
каждому reoMeTpy.
Исходя И3 этоrо, а также из Toro, что
как Ай относится к АН, так АН относится к АО и так Ай ОТ-
носится к А.М,
получим, что
как АО относится к Ан, так И интервал ОН к НО и интервал
НО к ОМ и Т. д.
Но параллелоrрам на Ей и ан относится к параллелоrраму на
Н/ и НО,
как параллелоr11ам на Н/ и НО к параллелоrраму на NO и ОМ.
ДеЙСТБительно, так как отношение (ratio) параллелоrрама
на ОЕ и ан к параллелоrраму на Н/ и НО получается из
отношения прямой ОЕ [' прямой Н/ и отношения прямой
он к прямой НО и так как, соrласно вышеуказанному,
Ай ОТНОСИТСЯ к АН, как ан ОТЦОСИТСЯ к НО,
то о ношение параллелоrрама на ЕО и ан к параллелоrраму
на Н/ и НО складывается из отношения ОЕ к Н/ и из от-
ношения АО к АН. Но
ОВ относится к HI, по предположению Ч, как квадрат АН к
квадрату ОА,
или же, на основании непрерывной пропорциональности,
как прямая АО относится к прямой ОА.
Таким образом ОТНJшение парзллелоrраМi\1а на ЕО и ан
к параллеJlоrраму на н/ и НО получается из отношения
АО к АО и Ай к АН. Но ИЗ них обоих получается отно-
шение АО к АН. Следовательно, параллелоrрам на ОЕ и
ан относится к параплелоrраму на Н/ и НО, как ОА l'
НА или же как НА к Ай.
Подобным )I{e образом доказывается, что параллелоrрам
на Н/ и НО относится к параллелоrраму на ON и ОМ, как
АО к НА. )
Но три прямые, выражаIощие собой отношения паралле-
лоrрамов, т. е. прямые АО, НА, ОА, образуют по предпо-
ложению (непрерывную) ПрОПОРЦИIО; следовательно, бе ко
нечно мноrие параллелоrрамы, на ОЕ и ОН, на Н/ и НО,
на ON и ОМ, все образуют непрерывную пропорцию с от-
{) В ориrинале стоит: ех construc H0цe
ношением, (в котором находится) прямая НА к ОА. Поэтому
соrласно основоположной теореме нашеrо метода,
так же как ан, разность членов отношения, относится к мень-
шему члену ОА,
так и первый член ряда параллелоrрамов,
Т. е. параллелоrрам на ЕО и ан,
относится ко всем остальным бесконечно мноrим параллелоrрамам,
. т. е. на основании "приравнивания", по Архимеду, к фиrуре,
образуемой н/, асимптотой HR и простирающейся до беско-
нечности кривой /lVD.
Но если рассматривать прямую ОЕ как общую ширину,
то параллелоrрам на ОЕ и ан относится к параллелоrраму
на ОЕ и ОА, как но к ОА. Следовательно,
так же как параллеЛОl"рам на ОЕ' и ан
относится к упомянутой бесконечной фиrуре с основанием ff
так тот же параллелоrрам на ОН и АН
относится к параллелоrраму на ОЕ и ОА.
СлеДОВ1тельно, параллелоrрам на ОЕ и ОА, т. е, данная
прямолинейная площадь, "приравнен" ранее названной фиrур .
Если к этому прибавить (с обеих сторс>н) параллелоrрам на
ОЕ и он, который в силу крайней малости делений minu
tissimas eJJ.ax aJ.1oи,) исчезает и обращается в ничто, то OKa
зывается вполне истинной леrко подтверждающаяся посредством
архимедова (разумеется, более хлопотливоrо) доказательства
(теорема): параллелоrрам АЕ у rипербол TaKoro рода раБен
фиrуре, оrраниченной основанием ОВ, асимптотой OR и
простирающейся до бесконечности кривой ED.
Далее, Ферма принимает, что ОЕ и н/ относятся, как кубы
НА и ОА, и докаЗЫI;Jает, что тоrда параллелоrрзм АОЕВ равен
удвоенной смешаннолинейной бесконечной фиrуре, при мыкаю-
щей кОЕ.
(260)... Подобным же образом можно провести доказа-
тельство и для всех друrих случаев, и этот метод изменяет
только в случае первой (или аполлониевой и простой) rипер- ..,
болы в силу Toro единственноrо обстоятельства, что для нее
все параллелоrрамы ЕН, /0, NM равны между собой, и
так как члены проrрессии равны между собой, то между ними
нет никакой разности, а в этой разнос и и заключается вся
суть (mysterium) дела.
Далее, у Ферма рассматривается общее правило для парабол
и затем дается слсдующее общее цравило для rиnербол.
?51
(266, франц. 224)... Столь же леrко находится обu\ее
правило и для rипербол. А именно, для любой rиперболы,
параллелоrрам во относится к простирающейся до бесконе.ч
ности фиrуре ROED, как разность ПОI{азателеЯ: степеней
ординаты (app1fcatae) и абсциссы (diametri) к показателю сте-
пени ординаты.
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Так как рассуждении
Ферма пerKO понятны сами по себе, то МЫ только приведем
вы-<ладки в современной форме. Положим:
АО==х о , ОЕ==уо,
АН==х 1 , НI ==Уl ,
АО== х 2 , ON==Y2'
АМ==х з , МР==Уа,
AR==X,t RS==y,.
тоrда по предположению:
X : X == Уа · Уl И т. JI.,
или же
YIX == YoX === const,
или же, как мы примем,
ух? === 1.
Допустим, что Х 1 == ех а , Х 2 === ех} == е'х а , Ха == e a === . . . =
===е3х о И т. Д., причем е> 1 и вместе с тем таково, что раз-
ности
х 1 .......... ха === ох а (е ........ 1),
Х 2 ........... Х 1 === Ха! (е ........ 1),
х 3 ...... Х 2 == oE2 (е.......... 1) и т. Д.,
образующие rеометрическую проrрессию С тем же знаменателем,
что и сами абсциссы, очень близки друr к друrу 1).
Из этоrо HeMeд eHHO следует:
пар. ЕН пар. /0 Уо (Х 1 .......... .t.o) X
=== - - - --.....-
........ · · · ---- ......... · · · 2 ......... __,
пар. /О пар. NM Уl (Х 2 Х 1 ) Хае
т. е. следующие одни за друrими' прямоуrольники образуют
rеометрическую проrрессию с знаменателем е.
Этой теореме Ферма предпослал "основоположную теорему",
а именно теорему о сумме rеометрической проrрессии.. Эта тео-
Ч' Если, например, MR ДОЛЖНО быть, только на 10/0 больше, 'чем
ОН, то ЕЗ:=) ,01, и НУ)I(НО РЗЯТЬ S == 1,0033.
2"
рема, если первыЙ Ч,1 Н обозначить а, Знаменатель q < 1 noJio...
жить равным и: v и всю сумму обозначить S, r ласи1':
(v......... и): и == а. (8 а).
Отсюда получается:
S........a::::a. и == а q ;
'v ......... и 1 q
s== а .
l q
Членами проrрессии здесь ЯВ.1Jяются nараллелоrрамы ЕН, /0
NM... Следова'rельно.
а==пар. ЕН===уо (х) xo) sinA,
1
q == пар. /0: пар. ЕН == ,
s
и, значит,
, ав УоХе (е 1) si пА.
=== 1 === 1 ==ХоУоSlпА===пар.АОЕВ.
e e
Это первый результат Ферма, который мы для А -= 9011
можем записать так:
00
s=== s dx === ·
х 2 Х
О
ХО
Во втором примере Ферма ухЗ == t, и результат будет таков:
00
r 1 1 1
J X dx == 2 ХоУо === 2x ·
хо
Наконец, для rипеrболы
упх т === t (т> п)
общая теорема Ферма утверждает, что
00
\ .... т п п '" п
s=== х п dx === ХоУ о == ХОХО n == XJ т
& т п т п т п
хо
что вполне соrласуется. с нашим общим, получающимся посред-
ством неопределенноrо интеrрирования, результатом:
I( т ) 1 т + 1 00 п
......... + 1 · х п == ХО п .
п Ха \ т ........ п
.}j современном аЛl"' ораическоМ обозначении общее докаэа.
ТСЛЬС1W Ферма для rиперболы
уnхт === 1 (т> п)
протекает следующим образом. Известно, что
а == прямоуr. ЕН==уо (Х 1 "Xo) ===УоХ о (. 1) ==
т
п т
=== x п хо (е 1) == Ха ----п----- (в 1);
т
О ( ) т п ",
прямоуr.l Yl X2 Xl X1 п е ==Е п е===Е n
q, прямоуr. EH yo (Х 1 XO) т
ХО п
п т
S X o (e 1) 1]п 1 ( 11 === п l )
== == X п rде ===
п т О 11п т 1
1 в n
п т ( 1)(r,п 1+ п 2+...+11+1)
......... х n
О (1J 1)(1Jп т 1+1)n т 2+...+11+1).
Множитель, стоящий справа, после сокращения на 1 и
п
при liт е 1 (а значит, и при liт lj == 1), переходит в
п ...... т
Отсюда получается» l\aK и выше:
п
s=== хо
п т
п т
п
Если о тавить пока в стороне своеобразное деление оси
абсцисс, то крупным достижением Ферма является то, что ОН,
пользуясь становящимися асе меньше и меньше ч стями площа
дей, производит настоящее интеrрирование, считая само собою
разумеющимся косвенное доказательство Архимеда (по существу
необходимое) и попросту отождествляя (если только разность
достаточно мала) маленькие прямоуrольники с соответствующими
смешаннолинейными частями площади. Хотя Ферма и не rоворит
ниrде о предельном знач нии, получающемся, Korдa названное
цами выше ё отношение стремится к 1, но в действительности
он должен был обладать представлением о подобном пределе
(как мы 'это уже установили и для caMoro Архимеда); по спо
сабу же выражения он, во всяком случае, ближе к ЭТОЙ кон-
цепции, чем Архимед.
254
Что касается разделения о и абсцисс на отрезки, обрЗЗУl(j.
щие. rеометрическую проrреССИIО, то следует заметить, что сам
Ферма иноrда называл свой метод "лоrарифмическим" 1). Наиболее
ясно это в случае обыкнозенной rиперболы, rде при таком под
разделении части площади между собою равны и rде, следова-
тельно, арИф lетич ской проrрессии площадей соответствует reo-
метрическая проrрессия отрезков на оси абсцисс. Сопоставление
двух подобноrо рода рядов исторически привело к ОТКРЫТИЮ
лоrарифмов, и мы теперь rоворим наоборот: площадь оБЫI(новен-
ной rипероолы измеряется лоrарифмом аб.сциссы. Если уравне-
ние кривой будет ху === 1, то символически это записывается так:
Х. Х.
i x ldx=== dx==lnxl lnxo при хо>О и Х 1 >О.
хо ХО
Эти выражения не MorYT быть распространены на случай х::::::!: 00
И В этом отношении образуют исключение по ср3)3неНИIО со всеми
т
остальными значениями . Это свойство квадратуры обыкновен-
п
ной rиперболы, по существу, было отмечено еще в 1647 r. rриrо-
рием из Сент Винцента в ero "Opиs Geometricum". Правда, рас-
т
сматриваемая площадь бесконечно велика не только П р и === 1 ,
, п
т
но и при < 1, но в этом случае остаются конечными пло.
п
щади, примыкающие к оси у,,:ов, И дело сводится к перемене
местами обеих осей.
Деление отрезка на части, обраЗУЮlцие rеометричеСКУIО П. о..
rрессию, встречается уже у некоторых схоластиков XIV в. 2 ).
Не лишено вероятности, что Ферма ca t был знаком с таl{ИМИ
работами. Но еще более Iвероятно это по отношению к самому
Неперу, изобретателю лоrарифмов, хотя литературных свиде-
тельств об этом в настоящее время и не имеется. Таким обра-
зом вероятно, что своей столь плодотворной ид::ей разделения
основания на отрезки, образующие rеО tетрическую проrрессию,
Ферма непосредственно обязан Неперу и, по крайней мере кос...
венным обр азом, схоластикам.
{) СМ. Н. о. Z е u t h е п, Geschlchte der Mathematik 1т XVI und ХУН
Jahrhundert, Lelpzlg, 1903, стр. 268 (rотовится русскиА перевоД,\. ЛОl'а-
рифмы открыл первым Джон Непер (Neper) в 1614 r.
2) СМ. мою статью .Zur Geschichte der unet}dlichen R.eihen im chrlst..
ВсЬеп MlttelaHer 8 , Bibl. math. 3..я серия (1913/1914») стр. 150......168.
2Q5
хН!
Метод мансимумов и мин мумов У Ферма
Из "Oeuv res de Fermat-, publ. pJr ... Р. Таппесу et..Ch. Henrl. Тоте 1,
Paris l 1891. Франц. пер. п. Таннри в 111 т., Paris, 1899.
Стр. 133 (франц. стр. 121).
МЕТОД '!.ССЛЕДОВАНИЯ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬ-
ших ЗНАЧЕНИЙ
Все учение о наХО}Кl,еIlИИ наибольших и наименьших зна-
чений основывается на том, что принимают две неизвест
ные 1) И применяют следующее единственное пра ило:
Допустим, что А пр дставляет собой какую либо (неизвест
ную) и.сследуемую в личину поверхность, либо тело, или
)ке длину в соответствии с условиями задач-и, и выразим
., максимум или минимум через члены, содержащие А в тех
или иных степенях. Затем возьмем для прежней величины
знаqение А + Е и снова выразим аксимум или минимум че
рез члены, содержащие А и Е в тех или иных степенях.
Зат м обе совокупно:ти, выражающие наибольшее или Ha
именьшее значение, положим, как rоворит Диофант, прибли-
женно равными друr друrу2) и отбросим на обеих сторонах
одинаковые члены. Тоrда в каждом члене справа и слева бу
дет стоять либо E либо какая-нибудь ero степень. Затем
разделим все члены на Е или же на высшую степень ero
так, чтобы (по крайней мере) один ИЗ членов на какой-либо
стороне был совершенно свободен от множителя Е. Затем на
обеих сторонах зачеркнем члены, соДержащие Е или ero CTe
пени, а то, что останется, поло}ким равным друr друrу или
же, если на одной из сторон ничеrо не останется, то ЧТО
сводится к тому же....... приравняем отрицательные члены по-
ложительным. Решение последнеrо уравнения даст значение А;
коrда же последнее известно, то максимум или минимум по
лучится на основании ранее проделанноrо решения.
Приведем следующий пример: отрезо1t (reeta) АС тре.
буется тa1t разделить 8 Е, чтобы прЯМоуzолыtu1t АЕС был
наибольшим (фиr.65).
Обозначим отрезок АС через В, одну часть В назовем А,
так что друr8Я будет В....... А, а прямоуrольник на отрезках
{) Как и Кардан (Cardano), Ферма .неизвестные- называет. positio.
и к этому прибавляет .in notis., т. е. .записанные при помощи букв-.
1) См. выше. С1р. 249.
256
будет В на А Aq, и это ДОЛЖНО иметь наиОольшее зна-
чение 1). Положим теперь с друrой стороны одну часть В
равной А + Е, так что друrая будет В А Е, и прямо-
уrольник на отрезках будет В на А Aq + в на Е два
А на Е Eq, что ДОЛ)I{НО быть прибли)кенно оаВ!lО прямо..
уrольнику В на А Aq. )
Отбросив одинаковые члены, получим, что В на Е прибли..
)кенно равно двум А на Е + Eq, и если все это поделить
на Е, то получится, что В приближенно равно двум А + Е.
Если отбросить Е, то В равно двум А.
Таким образом решением задачи является деление В по-
полам, и не может существовать более общеrо метода.
Затем Ферма применяет свой метод также к определению ка.
сательной к параболе. Он определяет подкасательную, но у Hero
еще не встречается характеристический треуrольник (см. ниже,
N2 }\IV). Парабола служит для Hero здесь только примером.
Стр. 136 (франц. стр. 123) ... И этот метод никоrда не
изменяет, напротив Toro, он может быть распространен на
мноrочнсленные пр красные проблемы. Действительно, с ero
помощью мы определили центры Е
тя}кести фиrур, оrраниченных кри- A . с
выми линиями И прямыми, И центры Фиr. 65.
тяжести тел и MHoroe друrое, о
ч м Я, может быть, расскажу, если у меня будет досуr...
Далее следует относящееся к тому же времени примене..
ние метода, хотя и не в чистом ero виде, к определению центра
тяжести параболоида враu(ения.
П о я с н и т е л ь н ы е з а м ч а н и я. Как это следует из пере-
писки Ферма, свой метод последний открыл еще в 1629 r., и
вышеприведенные отрывки представляют собой самое первое изло-
жение ero, которое он переслал в 1638 r. Робервалю (Roberval)
и Декарту. Максимумы и минимумы, а также и касательные опре-
деляли в отдельных случаях еще древние математики, но это
всеrда осуществлялось посредством rеометрических методов. Ферма
дал первый алrебраический метод, связанный с диференциальным
исчислением. (Об а,ТIrебраическом методе Декарта см. 111 часть.)
Если ввести современные обозначения, то Ферма поступает
следующим образом. Положим х вместо А и h вместо Е.
t) я полаl'аю, что читатель сам справится с нижеслеДУIОЩИМИ алrе
браllческими выкладками, еще вполне сохранившими старомодную фор
МУ алrебры Виета (Viete) (СМ. 1 чпсть, rл. ХVПl), и что ero не смутит
JLВоякоrо рода употребление букв А и Е.
17 n и л е й т н е Р. Хрестоматия. 2j1
ТОI"да веЛI-Jllина у, которая должна принять экстремальное значение,
выразится сперва у === f{x), а затем у === f(x + h). Далее, кладут
f (х + h) -:::::; f(x).
Затем все переносится в одну сторону и делится на h, если
принять для простоты, что налицо имеются линейные относи-
теЛЬЕО h члены. Таким образом мы можем написать:
ЛХ + лх) o.
Далее, не давая этому никакоrо объяснения, Ферма опускает
члены, в которых еще содержится h. Для случая непрерывных
кривых это дает то же, что и приравнение h нулю (или же луч-
Ille постепенное приближение ero к нулю). Но тоrда
Нт ЛХ + h) лх) == О,
h O h
а это не что иное, как условие обращения в HYJlb производнойj(х).
Ферма, однако, не только далек от этоrо способа выражения
и содержащеrося в нем перехода к пределу, но он, несомненно,
и не думал о том, чтобы положить h вообще равным нулю. До
последиеrо времени не было известно принадлежащеrо ему объ..
Slснения cBoero метода (хотя он посылал такие объяснения друзьям).
Но недавно быдо найдено одно письмо Ферма от 1643 r., в ко..
ТОРО.М 011 пытается доказать правильность cBoero метода. Вслед-
ствие значительных размеров этоrо доказательства мы не можем
ero здесь воспроизв сти. Но из Hero видно, что Ферма пред
стаВJlЯJl себе .1z всеl"да конечным. Для Hero tIредставлялось cy
Iцественным то обстоятельство, что В')Iражения f( Х + h) и
.f(x h) должны быть оба OДHOBpeM HHO либо l\IеНЫl1е, либо
больше, чем f(x) 1).
ТаI{ИМ образом для непрерывных и диференцируемых функ-
ций метод Ферма дает как раз ПРОИЗВОДНI>lе, но у caMoro Ферма
представление о них совершенно отсутствует. Однако из каж
доrо ero слова следует, что он вполне сознавал большое зна-
чсние cBoero метода. Сохранились также и друrие мноrочислен-
вые приложения этоrо метода, сделанные Ферма позднее 2).
t) СМ. издаН IЫЙ С. dc Waard дополнительный том (Т. V) .Oeuvres",
Parfs. 1922, стр. 120 125.
2) Впрочем, среди позднейших работ имеется одна; в которой встре-
ч ается переход к пределу. См. об этом мою статыо в J allresber. Dtsch.
Math.-Ver.
258
XIV
Характеристический треуrольник Паскаля. Триrонометричесние
интеrралы
Из LETTRE DE А. DtTTONVILLE А MONSIEVR DE CARCAVY,
FN L VY ENVOY ANT... Vn Traitte des Sinus du quart de Cercle... А
PARIS, MDCL VHI. Нап чатано (с фl1 КСИ.\1иле титу льноrо листа)1 в
.Oeuvres de Blaise Pascal publlees... par Leon ВПlпsсhviсg,. Pierre Bout-
roux et P lix Gazier, Tr. VlII и IX, Paris, 1914.
П Р е Д в а р и т е л ь н о е з а 1\1 е ч а н и е. Имя Амос Деттонвилль
(Alnos Dettoa\il1e) псевдоним, принятый Паскалем в конце
1658 r., представляет собой aHarpaMMY друrоrо ero псеВДОl1има
Луи де Монтальт (Lot1is de MontalJe) 1), под которым он издал
в 1656/16571". свои знаменитые "Lettres provinciales". Каркави был
юри том, поддерживавшим обширные научные связи. В письме,
собственно rоворя, речь идет о решении одной задачи о цик
лоиде, выставленной незадолrо перед тем Паскалем на соискание
премии. Но к письму приложено несколько небольших работ,
относящихся к проблемам ИНфИIlитезимальнuй rеометрии; из одной
такой работы мы приводим несколько отрывков. Хотя Паскаль пер-
воначаJlЬНО познакомился с неделимыми у Кавальери (см. выше, ч. IV,
.N2 Х), но после 1654 r. он усвоил из сочинения иезуита А, Таке
(Tacquet) "Cylindricorum et Annulariиm libri IV..." (Antverpiae,
MDCLI) значительно более строrую их концепцию, которую он
излаrает под обнее в этом же письме (" Oeuvres ((, VIII, стр. 35 t
}I сл.). Заметим еще, что, по крайней мере, косвенным образом
Таке был учеником cBoero товарища по ордену и соотечествен-
ника rриrория из Сент Винцента, в сочинении KOToporo "Opus
geometricum" (Antverpiae, MDCXLVII) также встречаются заслу-
живаlощие внимания интеrрации. В СВJЮ очередь rриrорий был
знаком с сочинениями по статике фламандца Симона Стевина
(см. 1 часть), которые тот опубликовал первоначально на родном
языке в 1595 f. 2) и Ifоторые были переведены в 1608 r. (в "Ну-
pOmlJemata math.") по латыни и в 16.34 r. (в "Oeuvres") по-фран.
цузски, блаrодаря чему при()бре:lИ всеобщую известность. YCTa
новление этих взаимозаВИСИl\Iостей, которые точным образом были
...
i) Эrо имя преrtставляет намек на .высокую ropy" Пюи де Дом
близ Клермона, на которой в 1648 f. Паскаль через посредство CRoero
шурина постави,,1 известныti опыт с барО lетром. См., например, В. Е.
G е r 1 а n d, Geschichte der Physik, Mi.inchen t 1913, стр. 427.
2) De Beghinselen der Weegllconst, De Weegl1daet и Ое Beghinselel1
des \,', aterwichts; все три ВЫШЛИ 110 9тделыlстII в Jiеi1деllе.
17* 259
раскрыты А. Босманом, важно потому, что Стевин первым, по
всей вероятности, заменил в св ей статике метод KocBeHHoro до-
казательства Архимеда, сочинения KOToporo в БОJlьшей или мень-
шей степени изуча "IИ тоrда, разумеется, все математики, прямым
методом пределов 1).
"Oeuvres", IX, стр. 60.
Т р А К Т А Т О С И Н У С Е Ч Е Т В Е Р Т И К Р У r А. Л Е М М А
I
I
1-- Пусть АВС (фиr. 66) представляет собой четверть Kpyra,
I радиус АВ KOToporo будет служить осью, а перп ндикуляр-
I ный К нему радиус АС основанием. Пусть D будет произ-
' 1 вольной точкой на дуrе, и из этой точки пусть будет опущен
I синус D! на радиус АС; (проведем) касательную (lа touchan-
I te) DE, на которой возьмем произвольным образом точки Е.
I Е 8 Из точек Е опустим перпендикуляры ER на
радиус АС.
Тоrда я утверждаю, что прямоуrольник,
построенный на синусе D/ и касательной ЕЕ,
равен прямоуrОЛЬНИI{У, построенному на от-
резке основания (заключающемся между па-
раллелями) 2) и на радиусе АВ.
Действительно, радиус AD относится к
синусу D/, K K ЕЕ К RR или же к ЕК. Это
явствует из прямоуrольных и подобных тре-
уrольников D/A и ЕКЕ, так как уrол ЕЕК или ED равен
уrлу DA/.
ТЕОРЕМА 1
Сумма синусов какой нибудь дуrи четверти Kpyra равна
отрезку основания между крайними синусами, умноженному
на радиус.
Три следующие теоремы дают соответствующие значения для
суммы квадратов, кубов и биквадратов синусов, после чеrо
Паскаль rоворит: "и так далее до бескЪнечности" (а 1 'infiny).
Затем следует "подrотовление доказательства", из KOToporo мы
н пояснение к приводимому ниже чертежу приведем указание,
R
I R
Фиr. 66.
t) См. две статьи А. Босмана о методе беск()нечно малых Стевина
в .Апп. Soc. ScieIlt.". Brux 37 (1912) и в .Mathesis" 37 (192 ), затем He
большую заметку о rриrории из Сент-Винцента в "Апп. Soc. Sclent....
Brux. 44, 1 (1924) и две статьи о Паскале: одну, представляющую по.'l
робный обзор ero деятельности (в 63 стрзницы), "Revue des Qt1est.
scient... (янв. И апр. 1924) и друrую о ПОllЯТИИ неделимых у Паскаля
в .Archivio di Storia d. Sc.", 4 (1923).
') Скобки стоят в ориrинале.
2:0
что начиная от 13 до Р, на четверти окружности в точках f)
отложены равные дуrи и проведены синусы DI, до последнеrо
синуса РО. Точки Е служат точками пересечения касательных,
проведенных в точках D; затем опущены перпендикуляры ER.
Доказательство теоремы 1
Я утверждаIО, что сумма синусов D/ [само собой разу-
меется, ка}кдоrо YMHO}KeHHOro на ОДНУ из равных дуr DD
(фиr. 67)] 1) равна прямой АО, УМНО}l(енной на радиус АВ.
Действительно, если провести во всех точках D касатель-
ные DE, I<аждая из которых пересекает соседнюю с ней в
точке Е, и опустить перпендикуляры ER, то видно, что Ka}l{
дый синус DI, умноженный на касатель IУЮ ЕЕ, равен каж
дому раССТОЯНИIО RR, умноженному на paд yc АВ. Следова
тельно, прямоуrольники, построенные на синусах Dl, каждый
из которы:\. умножен на свою касательную ЕЕ (которые все
равны между собою), взятые все вместе (ensemble), равны
взятым вместе прямоуrолъникам, обr.азован f 8
ным из всех отрезков RR и радиуса АВ, Т. е. I
(так как одна из касательных ЕЕ служит :
I
множителем для каждоrо из синусов и радиус I
I
АВ множителем для каждоrо из отрезков) 2) I
I
сумма си усов DI, умноженных кажд й на :
одну из касательных ЕЕ, равна сумме pac С I R I R I , Jf
стояниА RR или же Ай, умноженному на АВ.
Но каждая касательная ЕЕ равна каждой из Фиr. 67.
равных дуr DD., Слэдовательно, сумма сину-
сов, умноженная на одну из малых равных дуr, равна расстоя-
нию Ай, умноженному на радиус.
Замечание
Коzда я ZО80рЮ, что все ра:стоян.ия RR, BM:Jcme 8ЗJlтые,
равны АЙ, а таltже, '1,11).0 каждая асатеЛЬ'-tач ЕЕ равна
llаждой из малых дуz DD, то не следует этому удив-
ляться, та" ка" достаточно хорошо известно, что хотя
на деле эmоzо равенства и не существует, если множество
синусов конечно, но, тем не менее, это равенство суще
ствует, е"'ли это мн,ожеетво неоzран,иченно (indefinie). Ибо
mozaa сумма. всех равных МJжду собою 1Сtlса.'11ельных ЕЕ
отличается от всей дуzи вр или же от суммы всех paB
Hыx дУl DD толь1(.О на ве 111ЧUНУ, меНЬUlУЮ любои заданной
.t) Скобки стоят в ориrинапе.
.) Скобки стоят в ориrИН8ле.
261
ееЛl1чuаы. То з/се са,Мае и'м,!ет место и для СУММ!;! RR BtJ-
20 (отрез1tа) АО.
Затем следуют ДОI(ззательства Teop M II, 111, IV.
I Стр. 67. Следствие.
Из первой теоремы следует, что сумма синусверзусов дуrи
равна избытку, на который дуr j преВJСХОДИТ расстояние Me
,!{ду краЙНИ\1И синусами, умноженному на радиус.
Я УТ13ер}I(Д310 (фиr. 68), что сумма синусверзусов DX равна
И1бытку, на который дуrа вр превосходит прямую АО, YMHO
женному на АВ.
'"Действительно,
синусверзусы это не что иное, как из
бытки, на котсрые радиус превосходит
прямые синусы. Следовательно, сумма
8 синусверзусов DX равна радиусу АВ,
z s взятому столько }ке раз, Т. е. радиусу,
умноженному на все малые равные дy
V S rи DD, Т. е. умноженному на цеЛУIО
дуrу ВР без суммы прямых синусов D/
или же без прямоуrОlIьника из ВА и
АО. Вследствие этоrо сумма синусвер
зусов DX равна прямоуrольнику из pa
диуса АВ и разности меllСДУ дуrой вр
и прямой АО.
П о я с н и т е л ь н ы с 3 а м е ч а н и я. Паскаль объясняет rce
сам, и изложение ero очень ясно; fl03TOMY то, что он rоворит,
понятно без дальнейших объяснений. Я укажу здесь только на
более rлубокий смысл и значение этих небольших отрывков.
Прежде Bcero, скажем то, что rоворит не в пользу Паскаля.
Паскаль, несмотря на то, что "rеометрия (1 Декарта вышла еще
в 1637 r. на ero родном языке и в 1649 r. по латыни (см. III
часть), не научился еще производить алrебраических выкла
док. Поэтому он, подобно Архимеду, псе выражает словами.
В этом отношении современнее ero да,ке Ферма, который, как
известно, еще в значнтельной степени придерживаJIСЯ метода
древних (см. 111 часть).
Кроме Toro, из "rеометрии" Декарта Паскаль Mor бы НЗ
учиться употр блению индексноrо обозначения 1 Е, 2Е, 3Е, KO
торое также принесло бы пользу ero из 'Iожению.
Если мы рассуждения Паскаля переложим на наш язык, то
прежде Bcero мы получим равенство:
х х
х
k
т r
I J J
Фиr. 68.
D/.EE==AB.RR,
262
или же, ВВОДЯ I\оординаты и обозначения диференциальноrо и ..
числения:
у ds == r dx.
в результате интеrрирования, которое и выражает собой
теорема 1, МЫ получим:
I х
Jy ds === r .\ dx.
о о
(1)
Это, во всяком случае, представляет собой значительное упро
IJLение, ибо интеrрал, стоящий слева, MHoro сложнее, чем пра
вый, который дает просто rx и, значит, r 2 , если интеrрировать
в пределах целой четверти.
Если ввести уrол DAB === '.f(, то мы будем иметь:
у === rcos ер, s == r'.f(, Х == rsin ер
и получим, что
S r cos f9 d (rf9) ==== r J d (, sin f9),
о о
ил и iI<e
, ff
J cos f9 df9 == J d (sin f9) === sin f9.
о о
(2)
Путем введения уrла DA/ можно было бы точно так же
получить:
ff
. sin tp dtp.
.1
О
При тех же обозначениях следствие, траКТУlощее о синус-
верзусах, дает интеrрал:
,
J (, , cos rp) d (rf9) == r (rlf r sin f9),
Q
263
Или же ПрОС1d
\. (1 cos <f) dep == ер sin ер.
. ,
о
(3)
У>ке ДЕа эти результата весьма интересны, но значение тео-
рем Паскаля rораздо rлубже. Я не Mory коснуться всех MHoro
численных применений, сделанных самим Наскалем по отноше-
нию к цилиндрическому отрезку и тепам вращения (и их цент-
рам тяжести), и оrраничусь в основном тем, что можно НJЙТИ
В самой четверти Kpyra, хотя бы этоrо и не было в ЯВНО 1 ви
де у caMoro Паскаля, потому ли, что он это опустил созна-
/
тельно, или же потому, что это представлялось ему лишь мало-
важным частным случаем. Но все последующее выдержано вполне
в духе Паскаля.
Прежде Bcero, стоящее под знаком интеrрала в левой ча..
сти (1) выражение представляет собой момент элемента дуrи
относительно оси АС, и, следовательно, сам интеrрал мо-
мент всей ауrи относительно этой оси. Блаrодаря этому может
быть вычислен центр ТЯ>Iсести любой дуrи окружности. Паскаль
еще не употреблял термина "момент". Но вопрос о центре тя-
жести дуrи окружности был решен уже П. rульдином (Guldin)
в ero, известной ПаскаЛIО, книrе "Ое centro gravitatis" (Viennae,
1634 1641 rr.). Подробнее касаться этоrо я не стану.
Если повернуть четверть окружности вокру! оси АС на 900,
то ЕЕ (или пй) опишет маленькуrо полосу, KOTOPYIO можно
рассматривать как п ямоуrольник, площадь KOToporo в дифер:н-
циальном обозначении (пренебреrая членами высших порядков)
1
равна 2 пу ds. Следовательно, уравнение (1) непосредственно
дает для пов рхности восьмой части шара величину, равную
1
2ттr2, и, значит, для поверхности Bcero шара 4r 2 тт. Этот способ
изложения перешел во мноrие учебники; Архимеду он еще не был
известен, ибо в противном случае он, несомненно, заменил бы
им свои, по меньшей мере, утомительные рассуждения. Паскаль,
безусловно, должен считаться автором этоrо метода, хотя он и
не взял в качестве примера именно шаровую поверхность. Коrда
в 1673 r. Лейбниц, бывший тоrда еще совершенно неопытным
новичком в математике, прочел, по совету }"'юйrенс&, это письмо
ПаскаЛI1, он моментально понял BC значение вспомоrательной
теоремы и немедленно применил ее для вычислении поверхностей
264
тел враиtения общеrо типа. Правда, как он BCKOp убедилсst, Эl'О
не представляло собой чеrо либо совершенно HOBoro. Но зато
позднее Лейбниц построил свое дифер нциальное исчисление на
треуrольнике ЕЕК, Бскоре им названном "характеристическим
треуrОЛЬНИI{ОМ". В одном письме к Чирнrаузену (Tschirnhaus) от
1679 r.. он сам rоворит, что этот первый чертеж fIаскаля "осенил
ero лучом HOBoro света". Впрочем, позднее он применял xapaK
теристический треуrольник в том виде, в каком он дан на фиr. 68 1).
Объем восьмой части шара можно, разумеется, тотчас же
1
вычислить, умножив величину четверти Kpyra "4 пу2 на dx и
рассматривая получающийся цилиндрический слой как элемент
объема шара. Тоrда
, ,
1 . 1 \ ' 1 ( 1 ) 1
тr у2 dx ::= П (,2 ..... х 2 ) dx === п ,з ......... ,З == nr:J
4 4 4 3 6'
. .
6 О
4
и, значит, объем шара равен Пr З . Это Mor сделать еще Ka
вальери (см. выше, ч. IV, N2 Х). Заметим только, что коrда Паскаль
интеrрирует по s, ТО он делит на равные части (ds) дуrу ВР,
а интеrрируя по х, делит на равные части (dx) Ай. Так как
Паскаль всеrда точно указывает, каковы T маленькие отрезки,
на которые он умножает неделимые, то он может систематически
избеrать ошибок, которые леrко возникают при непосредствен
ном употреблении неделимых (см. выше, стр. 242).
Далее, Паскаль в точках D повсюду восстанавливает к плоскости
четверти Kpyra перпендикуляры, каждый из которых равен у.
Если соединить их концы а (фиr. 69, сходная в основном с
черт. Паскаля VIII, стр. 372) с соотвеТСТВУIОЩИМИ им точками 1,
то все прямые 0/ будут лежать в плоскости, проходящей через
(1С и наклоненной под уr.пО\1 в 450 к основной плоскости; при
этом прямые ПА образуют цилиндр. Таким образом получается
так называемый цилиндрический отрезок. Элемент ero поверхно,:ти
в нашем обозначении равен у ds, и, следовательно, поверхность
цилиндрическоrо отрезка представляеr собой непосредственную
интерпретацию уравнения (1), Т. е. для находящейся в первой
i) Об отношении Лейбница к Паскалю см. важную работу Д. Ман-
I<e (iJ. Mahnke) .Neue Einbl с. е {п die Entdeckungsgeschichte der Ьо-
Ье .en Analysis., АЬЬ. Ak. Wiss. Berlin, Jahrg. 1925, Phys. math. Kl. Ng 1,
С1 р. 37).
265
четверти ero части мы получаем просто r'J.. На фиr. 69 обозна
чена такж отсекаемая в ранее построенном шаре чет ерть окруж
ности D/ Р. Подобная же фиrура ПQЛУЧJется, разумеется, при
пересечении любой поверхности вра:цения, и
Паскаль доказывает, что поверхности соответ-
ствующеrо отрезка и тела вращения относятся,
"как радиус к четверти окружности" (VIII,
стр. 376\. Действительно, наш отрезок и
F во(ьмая часть шара находятся в ОТНОUIении
1
r 2 : 2" r 2 п == 2: п.
Но это же ОТНС)Juение справедливо и для об'ьемов отрезка
11 тела вращения (VIII, стр. 376). Для тела вращения элемент
объема равен четверти Kpyra D/F, умноженной на dx, для
отрезка он равен треуrольнику D/O, умноженному на dx. Полу
чаlощиеся при сечении фиrуры подобны при любом положении
сечения. Для соответству.ОIцеrо четверти окружности отрезка мы
получаем: r
V === .f у2 dx == ; ,3.
О
D
G
I
Об'ъем восьмой части шара равен 1/6 rЗп, и, следовательно,
отношение объемов то же, что у поверхностей, т. е. равно 2: п.
Интеrрал синусверзуса послужил для Лейб
ница также стимулом для замечательных обоб
щений, а именно для разложения поверхно
сти, вместо маленьких т)апеций, на малень
кие треуrольчики, имеЮIцие оБЩУIО вершину
на кривой 1 ).
Идея Лейбница TaI{OBa (фиr. 70). Допу
стим, что нам дан в полукруrе ADB cer
мент Al)P. Разделим дуrу АР на равные
части (DD' == ds). Соединим BC точки D и
А, тоrда ПО,lучающийся элементарный Tpe
уrольник ADD' равен произведеНИIО OCHO 8
вания DD' на высоту АО (ОО служит Kaca
тельной в D и, сл довательно, в пределе MЫ Фиr. 70.
слится как продолжение DD'). Но АО равно,
как леrко видеть, АР, и если положить уrол АОО равным ер,
10 AF===r. sinvers ==r costp.
_) Tropf ke, стр. 35.
265
Следовательно,
1
6 ADD' == 2 r sinvers f{) d (rep) ,
значит,
. ер
cerMellT ADP=== ,2 S sinvers tp' d'fl == ,2 (, sln tp),
о
откуда, при f{) == тr, тотчас же получается площадь полукруrа:
1
"2 r 2 п.
.
I{аким путем шел Лейбниц далее и как он в конце концов
вырззил площадь Kpyra через бесконечный ряд об этом рас-
сказывается в NQ XVIII.
В заl(Лlочение заметим, что общая теорема, KOTOPYIO Паска.1Ь
выразил в выпущенных мною теоремах 11, III, IV словами "l't
aiпsi а [' iпfiпy", на языке современной математики rласит:
sIn ер
.Х COS п ер d:p === J COSп l ер d (sin tp) === .\' (V 1 x )1I 1 dx. (4)
о о о
Доказательство, как это видно у)ке из преобразований, осу-
u\ествляется при помощи метода, который мы теперь назвали бы
"способом подстанов и". Совершенно простым примером для
подтверждения справедливости этоrо выражения может служить
п==3 [при п== 1 ПJлучается формула (2)].
xv
ДИ.ференцирование и интеrрировани нан взаимнообратные
действия
Из "Lectiones Geometricae; In quibus (pracsertim) Generalia Curvarum
Linearum Symptomata declaral1tur"!, Auctore lsaaco Barrow... Londfni, ...
MDCLXX.
п р е д в а р и т е л ь н о е 3 а м е ч а н и е. Как нам у)ке хорошо
известно, исчисление бесконечно малых началось........ в противо-
положность ero ИЗЛО)l{ению в новое время 1) С интеrральноrо
исчисления, именно с определенноrо интеrрзла. Так как, начиная
j) Впрочем, в самое последнее время наблюдается кое-rде обратное
течение.
261
с древности и до xVIi В., вся математика беСl{онечнО- Jалых была
связана с rеометрией (или же через посредство rеомеrрии с Mexa
никой), ro понятие неопределенноrо интеrрала встречалось лишь
постольку, поскольку иноrда можно было брать преде7JЫ инте
rрала произвольными. В действительно ти же ПОнятие неопре
деленноrо интеrрала выступило на сцену только тоrда, коrда
rеометрические рассуждения были облачены в алrебраический
вид. 3аслуrа этоrо переоблачения, а вместе с тем и открытия
"исчисления" бесконечно малых принадлежит r. В. Лейбницу
и Исааку Ныотону. Так же как Паскаль является подлинным пред-
шественником Лейбница (см. выше, ч. IV, N2 XIV)) так же и в еще
большей степени Барроу (Barrow) был предшественником Hыo
тона. Но у Барроу все основные теоремы носят еще чисто reo
метрический характер, хотя он ИНОI'да и применяет аналитический
метод Декарта (стоящие в заrоловке "Symptomata" это "уравне-
ния" кривых линий). В rеометрической форме книrа Барроу........
в противоположность собственному отзыву автора, называющеrо
в предисловии свои лекции "Quisquilien" (мелочи), едва ли за
служиваЮЩИ\1И опубликования, содержит полный курс диферен-
циальноrо и интеrраlIьноrо исчислений для простейших функций.
Диференцнальное исчисление основывается всецело на характе.
ристическом треуrольнике (см. выше, стр. 265), с которым Барроу
Mor познакомиться у Паскаля (см. предш. номер). Из книrи
Барроу, вышедшей в 1672 и 1674 rr. под новым заrоловком,
мы заимствуем два важнейших отрывка, в которых cTporo ДOKa
зывается взаимнообратный характер диференциалыlrоo и инте-
l ральноrо исчисл ний. В подобной форме для случая совершенно
произвольной кривой эта теорема встречается здесь впервые.
ля парабол. высших порядков это показал еще Торичелли (уже
в 1646 r.). Но Торичелли опубликовал только случай обыкно
венной параболы в "Opera geometrica" в 1644 r. (см. выше,
N2 XI) 1).
Применяе ые при вычислениях символы Барроу почти все бе
рет из "Arithmeticae in numeris et sp :ciebus institutio, quae... totius
mathematicae, quasi clavis езt" В. Оутреда (W. Oughtred) (Лон-
дон, 1631, позднее часто издавалось под названием "Clavis та
thematicae") 2). Прежде Bcero укажем, что знаком пропорци и
служит вместо нашеrо а: Ь === с : d Tal{Oe выражение: а. Ь: : с. d,
затем знак ' выражает собой "больше чем ", знак '........
1, <. М. статью э. Бортолотти (Е. Bortolotti) в Archlvlo dl S orla della
Scle nza, 6 (1925), стр. 150. Opere dl Е. Torricelli, ed Loria-Vassttra Fаеп с
za. 1919, 1, 2, стр. 309 316.
i) Ключ К математике.
268
"меньше чем", знак Х ВЫРЗ}l{зет собой умножение. Хотя Барроу
хорошо был знаком с "rеометрией" Декарта, но и он не пере-
нял ее индексноrо обозначения (см. выше, стр. 262).
Стр. 78. Лекция х.
XI. Допустим, что zae представляет собой какую-либо
линию с осью VD (фиr. 71) 1). Пусть сперва восстановленные
к последней перпендикуляры (VZ, РО, D ) (in1primis applica
tae perpendiculares), начиная от первоrо VZ, возрастают Ka
ким-нибудь образом. Далее, пусть линия VIF будет такова,
что всякий раз, коrда мы проведем перпендикулярно к V D
какую-либо прямую EDF (пересекающую кривые в точках
Е и F, а VD в точке D), прямоуrольник на DF и каком-
либо заданном (отрезке) R будет равен отсекаемой всякий
раз части площади VDEZ. Кроме Toro, пусть будет
DE. DF: : R . DT. Тоrда, если провести ПРЯl\'IУЮ ТР, то она
будет касательной к кривой V IР.
Действительно, если на линии VIF
взять какую-либо точку 1 (и при
10М сперва слева от точки F по
направлению к начальной точке V)
и провести через нее прямые 10,
параллельную V Z, и KI, параллель V.
ную VD (которые, как видно, MO
rYT пер2секать данные линии), то
получится, что
L
R i
о
р
LF.LK: :(DF.Dl): :DE.R,
или же LFX R==LK Х DE. Но
(в соответствии с условленными Свойствами этих линий) LFXR
равно площади PDEO. Следовательно, LK Х DE=== PпEO '
DP Х ОЕ. Из этоrо вытекает, что LK I ОР или LK I LI.
Теперь возьмем какую-либо точку 1 справа от точки Р,
а все остальное проделаем, как выше. Тоrда путем совершенно
аналоrичных рассуждений можно будет вывести, что LKXDE===
=== PDEQ ' DP Х DE и, следовательно, что LK ' DP или
же чем LI. Из этоrо же тотчас следует, что вся прямая ТКРК
находится внутри (или же BO BHe) кривой VIPI.
Если все останется, как раньше, но ординаты (ordinatae)
VZ, Ра, DE If т. д. будут непрерывно уменьшаться (фиr. 72),
Фиr. 71.
t) На этом и следующем чертежах испраВ.lены мелкие 1I0rрешнс-
СТИ ОрИI инала.
269
то подобными же умозаКЛlочеllИЯМИ мы приде 1 I( тем }КС
самым выводам. Единственное РJзлиtlие будет состоять в том,
что (в противоположность предшествующему) линия 11/ F бу-
дет обращена к оси V D своей Боrнутостью.
СЛЕДСl'ВИЕ. Заметим, что DEXDTpaBHo площади VDEZ.
П о я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. Te CT Барроу настолько
ясен, что вряд ли он нуждается в каких-нибудь пояснениях. Ра-
зумеется, следует предстаВЛЯ1Ь себе, что DP слева и спрзва бе-
рется чрезвычайно малым. Тоrда KLP
(В' пределе совпадающий с /LF) следует
рассматривать как характеристический
треуrольник, и проблема касательной
сводится к определеНИIО отношения Ma
лых при ащений FL:KL при переходе
к пределу. Это, начи ная с 81..й стр.,
Барроу и проделывает алrебраическим
путем на ряде примеров. Касательная
будет определена, если найти ордина-
ту FD подкасательной DT ПОЛО)l{ИМ,
что VD==x, DE===z, DF===y, Я===1, и пусть уравнение кри
вой ZOE будет z ===/{х) , тоrда всеrда будет:
х
пл. VDEZ==JZdX==Y.l===Y.
о
Такова предпосылка. При этом DP (==LI-::::::. LK) ===dx; FL === d.,V.
Из этоrо затем следует, что z dx === dy (т. е. FL Х R ::::: пл. PDEO)..
Кроме Toro, DT. z == у, и, следовательно, подкасательная
dy
DT==y: .
d:c
Таким образом при помощи интеrрирования нижней кривоii
производится диференцирование верхней. Если отбросить [eOMeT
..... х
ричес({ую обо.'ючку, то попросту из уравпения у ===.f z dx будет
о
следовать уравнение z. Это и есть ПрllВЫ'lllая для нас З3-
висимость Me)lC1Y дифс снцированием и интеl'РИi ованиеl\l. tlo
Барроу не удовлетворяется ЭТИ I и несколько далее доказывас r
ту же теорему II обратной последоватеJIЬНОСТII.
270
Стр. 90. Лекция XI.
XIX. Далее, допустим, что АМВ представляет собой ка-
КУIо либо КРИВУIО с осью AD (фиr. 73) и что BD перпен.
дикулярна к последней; KpO 1e Toro, пусть линия KZL будет
такова, что если взять на кривой АВ какую-нибудь точку М
и провести через нее прямую МТ, касающуюся кривой АВ, и
затем провести ПрЯМУIО MFZ параллельно DB (которая пере-
секает линию KL в Z, а прямую пА в Р) и взять некоторую
линию R, то ТР.РМ: :R.fZ. Тоrда площадь ADLK равна
прямоуrольнику на R и DB.
Действительно, допустим, что DH===R, и построим прямо
уrольник BDH/. Затем возьмем на кривой АВ неОl"раниченно
(in1efini:e) малый отрезочек MN и проведем NO параллельно
BD и МЕХ и NOS параплельно AD.
Тоrда
NO.MO:: ТР.РМ: :R.FZ)
или же ЛJО Х FZ==MO Х R, т. е. РО Х FZ===ESX ЕХ.
Но так как все прямоуrольники РО Х FZ отличаются от пло-
щади ADLK сколь уrодно мало (mil)i
те) и все соответствующие прямоуrоль-
ники ES Х ЕХ образуют ПРlIмоуrольник
D/t/B, то утверждение является доста.. 7 н
точно ЯСНЫ\f.
П О я с н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я. )
Здесь мне приходится сказать еще мень-
ше, чем выше. Характеристический Tpe
уrольник выступает еще более отчетливо.
dy у
Для кривой АМВ сказано, что dx == ТР ) а для КРИВОЙ KZL
всеrда
dy
ZF==z==
dx
х
Из этоrо следует) что \ z dx === у. Это в точности то же
'6
самое) что и выше. При ЭТО'I в '.>1 воде видно еще отчеТ.1ивее,
чем в первом случае, что речь идет о выводе) исходящем из
определенноrо интеrрала. rlo ЭТО об тоятельство весьма за-
трудняло тоrда дело. Если пользоваться, как это делаем мы,
определ нием неопределеНliоrо интеrра:lа как реЗУJlьтата оБI\а
щеtiиа дифереf.-ftL1IfрОRания, то -сеnрема стаuовит('s самоочевидной.
271
XVI
Первые напечатанные IIравила диференцирования
Из статьи Лейбница "Nova methodus pro maximis et minlmis, Itemque
tangentlbus, quae пес fractas, пес irratlonales quantitates moratur, et singu
lare pro i11ls calculf genus per Оо о. L." "Acta eruditorum аппо MDCLXXXIV
publlcata. Lips:ae. Аппо MDCLXXXIV. Стр. 467 473. Перепечатано
n . Lelbnizens mathematische Schriften", изд. С. 1. Gerhardt, 1 АЫЬо, Bd. IV
( == Leibnizens Ges. Werke, изд. о. Н. Pertz, 3. Folge; Mathematfk, 4 То),
t--Ialle 1859, стр. 220 226. Нем. пер. rерr'арда Ковалевскоrо (Gerhard Ko
walewskl) в собрании классиков Оствальда, N2 162, Leipzig, 1908,
стр. 3 11.
П Р е Д в а р и т е л ь н о е з а м е ч а н и е. J{оrда Лейбниц весной
1673 r. получил в Париже в подарок от rюйrенса вышедшее
только что сочинение последнеrо о часах с маятником "Horologium
oscillatorium" (Parisiis, 1673 r .), в котором содержались также ва»(-
ные открытия в области инфинитеэимальной rеометрии, он впер
вые заметил, как мало он знает математику, которой до тех
пор занимался лишь случайно и урывками. rюйrенс пореко
мендовал ему ряд подходящих книr, и в частности сочинения
Паскаля (см. выше, ч. IV, Ng XIV). Лейбниц тоrда впервые про
штудировал "rеометрию" Декарта (см. стр. 262) и rлубже по
знакомился с rеометрией неделимых Ка вальери (см. стр. 239
И ел.). Он MHoroMY также научился из сочинений Валлиса
(Wallis) 1). В октябре ноябре 1675 r. он открыл, по крайнеЙ
мере в основных чертах, употребительный ныне метод диферен-
циальноrо и интеrральноrо исчислений (включительно с их обо-
значениями).
Позднее он также познакомился с работами анrличан Дж. rp -
rори (Gregory), И. Барроу, а также с кое какими трудами Ньютона.
В этих работах он встретил некоторые из своих собственных ОТ-
l<рЫТИЙ.
На этом фундаменте он строил далее в той мере, в какой
ему это позволяли ero мноrообразные дипломатические занятия.
В беседах, в особенности с Чирнrаузеном, некоторые из ero
открытий стали проникать наружу, и, для Toro чтобы rарантиро-
вать себя от любителей попользоваться чужим добром, Лейбниц
в 1684 r. решился на первых порах опубликовать в третьем
сборнике недавно основзнноrо журнала ученых n Acta Eruditorum"
статыо о своем дифереllциальном исчислении (" Новый метод на-
хождения Н1ибольших и наименьших значений и опред?ления
I{зсательных, не измеliЯЮЩИЙ в случае дробных или иррациональ-
ных величин, и специальный СIIособ вычисления к нему") о Впрочем,
{) ОсоБСНlIО Н3 "Arahmetica Il1f1nftOft1m. (ОХI )I1Н, 1656).
272
Зта статья та'{ с}!{зта 1) И t С 1Moro нзчала Tai{ изобилует ошиб-
ками (не то ЬKO ТИ:10rрафскими, но и серьезными ошибками,
ДО:lущенными по недосмотру самим Лейбницем), что H вполне
ПОСВЯIJJ. ННЫЙ вряд ли Mor в ней ЧТО I1ибудь понять. Ста :-ья вовсе
не вызвала то["о инт реса, KaKoro она заслужив3.ла, и в течение
долrоrо ВР l\,tени почти не об)ащала на себя внима:IИЯ. Основным
в ней было то, что, как уже у:{азывается в заrоловке, Лейбниц
при по ,tОЩИ cBoero метода Mor сразу диференцировать дроби и
корни и что ero метод можно было приложить даже и к TpaHC
ц,сндентным функциям. Последнее было особенно развито в дo
полнительной статье 2) "Ое geome ria recondi а et а a1i3i iпdivisi
bilium atque infin:torum« 18
(" О более rлубокой reOMeT-
рии и аНJлизе неделим х и
б сконечных веЛИtIИН«), выпу G
щеН:IОЙ Лейбницем в 1686 r. к
в тех же "Acta Eruditorum" 3).
Для (алrебраических) кри
вых, выражающихся цеЛ >IМИ
рациональными функциями N!
f( х, у) == О, умели Haxo
дить высшие и низшие точ
ки, Р1ВНО как и касательные,
еще со вр мени Ферма и Дe
карта (см.. ниже, N2 XIII).
Стр. 467. Допустим,
что нам даны ось АХ и
Р!IД кривых VV, WW, УУ,
ZZ (фиr. 74) и их пер
пендикулярные к оси op
динаты (ordinatae) V Х,
WX, УХ, ZX, KOTOpЫ мы обс>значим соответст енно V, W,
У, z; отсекаемый на оси отреЗОI{ (absci3sa а) ахе) мы назо
вем х. Пусть VB, WC, YD, ZE будут Kaca elЬHыe, пере
d
...
Е
Фиr. 74.
i) Эта сжатость была не без умысла. В наследии Л\"Й\:7rсица сохрани
лись, по меньшей мере, два наброска, которые БЫ.1И бы MHoro понятнее.
Один из них переп ча1ан К И. r рrардтом в ero книrе "Historia et OrIgo
Calculi Differentl"lis а. а. а. Leibnitio conscrlpta 11. Hannover, 1846.
2) Acta erud., стр. 292 300. "Math Schrlften 11, 1 (:=: 5 Т.), стр. 226
233. Не имеется у КовалеВСI{оrо.
З) Здесь он вводит (правда, лишь намеками) интеrральное исчисление
как обращение диференциальноrо исчисления, к че'. у он пришел И3
друrих соображений, чем Барроу; ero .характеристический треутольник.
также был опубликован впеРВJlе в этой статье.
18 в и.. е I t И ер, XpeCTOIIITBI, 21а
...
секающие ОСЬ в точках В, С, D, Е. Обозначим проиэвоJtЬНо
взятую прямую (Ьтрезок) через dx, а друrой отрезок, отно-
сящийся к dx так, K K v (или W, или у, или z) относится
к ха (или ХС, или XD, или ХЕ) 1), мы назавем через dv (или
dw, или dy, или dz) или i[Ce разностью (differentia) v (или W,
или у, или z). При этих условиu правила исчисления (cal
сиН) будут следующими.
Если а пр дставляет собой задаННУIО постоянную величину,
то da равно О и dax равно adx. Если' у равен v (или же
каждая ордината кривой уу равна соответствующей ординате
кривой VV), то dy рав. dv 2). Далее, идут сложение и ВЫ-
чuтание,. если z y + w + х раз. 'О, то dz У +- w + х,
или dv рав. dz dy + dw + dx. Умножение, dxv рав.
х dv + v dx или же, если положить у рав. XV, то dy рав.
х dv + v dx. Можно по произволу пользоваться либо формулой
с xv или же Д1Я краткости с одной буквой, как, например, у.
Заметим, что в этом исчислении с х и dx обращаются так же,
как с у и dy или же с какой либо иной неопределенной
буквой и ее диференциалом (сит sua differentiali)... Далее идет
д:!ленuе, d ; или же (если положить z рав. ) dz рав.
::1:: v dy:+: v dv 3)
уу
Стр. 469. Степени (Potentiae): dx a === axa 1 dx, например
d ......... а dx 1
dx 3 == "3x 2 dx; нап р име р, если w == то
ха ха + 1 ' х 3 '
3dx
dw=== .
х 4
{) Здесь в орrинале стоит WB (или WC, или YD, иди ZE)!! Э l'и ошиб
I<И исправлены уже у rерrардта. Однако rерrардт не вполне правильно
передал индексные обозначения чертежа, восходящие к декартовой
.rеометрии. (1637).
i) Я не имею намерения следовать за удручающим типоrрафским
набором орrинала. но, не повторяя ошибок ero, я вместе с тем во всех
деталях cTporo держусь ero. 3аиечу, например, что хотя Лейбниц в даль-
нейшем часто пользовалсЯ знаком равенства, в данном тексте он еще
охотно пишет на старый манер "aequalis. и .aequ...
З) Двойственность знаков объясняется у Лейбница Тем, что у Hero
не существует на оси X OB положитеJ1ьноrо направления, или же, как
можно еще сказать, тем, что он все подкасательные, будут ли они Ha
правлены вверх или вниз, считает положительными. По тому он в даль"
не ШС.\t вынужден более подробно разобрать вопрос о знаках.
271
а ь .. ( 2 r dy
Корни: d ,/ .ха == dx" xa b отсюда d ,1 У === V ' ибо
ь 2 У
в этом случае а [paB: O] 1 и Ь [равно] 2, а значит,
V ь dY2 f
и d.- a равно 2" ,,/ y но y 10 J е ca'IOC, как это
с "сдует из природы показателей rеометричеСI{ОЙ проrрессии,
1 2/' 1 1 ) d 1 == adx 1 )
что и , а I равен \21 ь ь ·
У У уУ V"' xa byCxa b
Впрочем, достаточно одноrо правила для целочисленных
степе!lей, чтобы определить как дроби, так и корни. Ибо
степень бывает дробью, если ПОI{азатель степени отрицатель-
ный, и она ооращается в корень, если показатель степени
д ро б н ы й . . . 2).
Если научиться, если можно так выразиться, аЛZОРllфМУ
этоrо исчисления, которое я называю дllфереНl,uальным З),
то все прочие диференциальные уравнения, (aequf1tiones dif
ferentiales) orYT быть решены при помощи общеrо способа, и
можно будет находить максимумы и минимумы, так же как
и касательные, не избавляясь от дробей или иррационально
стей или друrих выражений (аВа vincula) 4), как это прихо-
дилось делать, пользуясь известными доныне методами 5).
Доказательство Bcero этоrо будет леrким для 3HaKoMoro
с этими вещами, если он только примет во внимание то He
достаточно еще оцененное обстсятельство, что dx, dy, dv,
{) в ориrинале это выражение совеРIпенно неверно. Несколько мел
l\ИХ ошибок ориrина lа у нас эдесь просто исправл ны. Но в то время
эти ОШllБI<И должны БЫ.'lИ повлечь эа собой непонимание текста.
2) Лейбниц и далее подчеркивает всю важность этой общей концеп
ци 1 степени, которая хотя и не была тоrда вполне новой (также и в сис
теме за:lИСИ), но все же для большинства являлась совершенно чуждой
и непривычной.
З) Таким обраэом "Calculus differentia1is. это Д'-iфе1енциальное
исчисление. Обратное исчисление Лейбниц R полном соот 'етствии с ero
происхождением первоначально называл "calculus summatorius., но, после
Toro как братья Бернулли ввели в 1691 r. слово .integrale. (целое, пред-
ставляемое как бы составленным ив частиц), он после недолrих переrо
воров сам стал пользоваться этим выражением.
4) Vinculum, собственно rоворя, называется черта знака извлечения
корня, которую Декарт ввел для объединения подкоренных количеств.
Здесь Л' йбниц подразумевает выражения, стоящие в скобках. Это и
есть лруrие "Vincula.. Он даже употребляет вместо скобок черту pa
Дика,lа. У Ковалевскоrо на стр. 6,' строка 6 снизу, и на стр. 8, строка
7 снизу, перевод совершенно невозможныii.
1) В силу отсутствия каких либо публикаций Лейбниц не Mor еще
зпать Toro. что Ньютон уже давно достиr тех же результатов.
18* . 27$
dw, dz следует считать соо [ветственно пропорциональными
разностям или )f(e MrHoBeHHbIM приращеilИЯМ или уменьшениям
[Increlnenta и Decrelnen a}/x, у, v, W, z. Поэтому Д1Я каждоrо
данноrо равенства можно напнсать (соотвеТСТdУЮI1 ее) диферен
циальное равенство...
(470)... Очевидно, что наш метод распространяется и при
том самым общим образом также и на трансцендеНlные линии,
кото)ые не сводятся к алrебраическим уравнениям (Саlсиlиm
algebraicиm) или же не имеIОТ никакой определенной степени...,
если только всеrда твердо придерживаться Toro, что найти
иасательную это значит провести ПрЯМУIО, соеДИНЯIОЩУЮ две
точки кривой, расстояние между которыми бесконечно мало,
или же [провести] продолженную сторону бесконеqно уrоль
Horo мноrоуrольникз, который для нас равнозначащ данной
кривой.
п о я с н и т е л ь н ы е з а м с ч а н и я. .l\'\bI видим здесь, что dx,
разность«, или же "диференциал" абсциссы, равно некоторому
данному конечному отрезку; точно так же и dy и друrие дифе
ренциалы суть конеЧН: Iе отрезки. dx представляет собой не
что иное, как "единицу" Паскаля (см. выше, стр. 265), KOTOPYIO
нужно мыслить произвольно малой. Впрочем, Лейбниц, подобно
Архимеду, ничеrо не rоворит об этом (см. выше, стр. 201). Суть
дела заключается в том, что определенные, таким образом, ди
ференциа ы принимаются пропорциональными nMrHoBeHHbIM при
ращениям «, возникающи м при переходе от одной точки кривой
1< "бесконечно близкой соседней". Позднее Лейбниц и ero по
следователи стали обозначать через dx, dy и т. д. самые эти
приращения. Это вызвало уже тоrда, а затем и позднее, ряд не
всеrда справедливых упреков по их адресу. Действительно, то, о
чем думал Лейбниц (а также и, в друrой форме, Ньютон; см. ниже,
ч. IV, N2 ХУII) , есть то же самое, о чем думаем мы, совершая
переход к пределу. Нужно было только найти более точный
способ для выражения этоrо HOBoro по сравнению с концепциями
древних представления и, кроме Toro, нужно было сперва при-
выкнуть к правомерности перехода к пределу. Мы видели, что
уже Ферма сознательно отбросил косвенные доказательства древ-
них, как нечто, что можно было бы всеrда присоединить, и
Лейбниц, каким бы философским спекуляциям он ни предавался
в своем учении о монадах, всеrда помнил, что он является про
должателем идей Архимеда.
Как на один из важных моментов cBoero открытия, Лейбниц
в одном выпущенном эдесь отрывке указывает на введение
"6
величины dy. Предшественники ero при определении касательных
рассматривали всеrда ТОЛJ ко подкасательные (здесь, например,
DX), а не диференциал dy, пред тавляющий собой четвертую
пролорциональную к DX, у, dx. Действительно, DX:.v== dX:dYJ
или же : ==: hx (см. выше, стр. 270). Это был второй важный
результат, полученный Лейбницем из "характеристическоrо тре-
уrольника" (пс-рвый см. выше, стр. 266). В приведенном выше
изло)кении это не выражено явным образом, ибо производные
еще отсутствуют и характеристический треуrолыlкK совершенно
не изображен на черте}l(е.
XVH
Бесконечные ряды для арксинуса, синуса и косинуса
Из трактата Исаака Ньютона "Ое Analysi per aequatlones numero
terminorum infinitas". Впервь:е отпечатано в виде книжки под названием
"Analysis per quantitatum series, Пuх ones, ас differentias: cum enumeratione
linearum tertii ordinis. Londini: Ех Officlna Pearsoniana. Anno, MDCCXI",
стр. 1 21. Издателем этurо сборника работ и писем Ньютона был, как
это следует из подписи под предисловием, В. Джонс (Jones). Существует
второе издание этой книrи, вышедшее в 1723 r. в Амстердаме. Более
доступен этот трактат в .Isaaci Newtonl equi.is aurati, Opuscula mathema-
tica, phi1osophica et philologica. Collegit partimque latine vertlt ас recensuit
Joh. Сазtil1iопе1ts jt1risconsultus.. Tomus primus. Continens Mathematlca...
Lausannae et Gellevae .., MDCCXLIV. стр. 1 28. Анrлийскиfi перевод
сделан Джоноы Стюартом (Stewa1"t), Лондон, 1745 [.
,,-
Предварительное замечание. Этот "Анализ посред-
ством уравнений, число членов которых бесконечно" предста-
вляет собой первое сочинение Ныотона по исчислению беско-
нечно-малых. Оно было написано около 1666 r. Но (подобно
Bce 1 чисто математическим сочинениям Ньютона) издано оно
было значительно позднее ero составления. Правда, это сочинение
было уже в 1669 r. передано на хранение к Коллинсу (Col1ins),
у KOToporo ero можно видеть, а в 1685 r. Валлис включил
основное ero содержание в свою изданную на анrлийском языке
"Алrебру" (по лат. в "Opera", том 11, Оксфорд, 1693 r. в rл. 95).
В этом первом своем труде, содеР}l{ащем все зародыши
позднейших работ, Ньютон выявляет себя, с одной стороны, как
ученика Барроу (см. ч. IV, Q XV), с друrой же стороны, книrа
свидетельствует о том, ЧТО он MHoroMY научился из "Arithmetica
infillitorum" (ОхопН, 1656) Валлиса. Но 011 оставляет обоих этих
ученых далеко по:;ади себя. Если Барроу был еще чистым reo-
метром, случайно ЛИIIJЬ пользова ВlUIiМСЯ декартовыми формами
уравнении" то Валлис (по краЙllей мере, в 1.656 r) был еще
').... 7
"114
l'
ЧИСТЫМ арифметиком, нашедшим большое число пределов (интеrра-
лов) посредством искусных числовых интерполяций. В противо-
положность им обоим Ньютон является, в первою очередь, a:Il'e..
"браистом. Поэтому ero результаты с caMoro )ке начала обладают мак..
симальной общностью. Теорема об обраIцении (см. ч. IV, N XV),
у Барроу, представлявшая собой изолированную теорему, превра..
щается у Ньютона в метод, а интерполяторекая находчивость
Валлиса приводит ero к применению деления и извлечения корней
к таким выражениям, для которых эти действия невозможны без
остатка, в результате чеrо и возникли "уравнения с бесконечным
числом членов", или же, как мы выражаемся, "бесконечные ряды" .
Эти ряды как функции х он приравнивал у (или z), так что
они представляли для Hero кривые. Площади этих кривых он
определял путем почленноrо интеrРИРОВ1НИЯ рядов. Впервые этот
метод был опубликован в "Logarithmotechnia" (Лондон, 1668 r.)
Ник. Меркатором (Mercator), у KOToporo он, однако, встречается
в значительно более несовершенном виде и притом лишь в при..
менении к одному примеру; он применеа также в одном примере
из трактата лорда Броункера (Brouncker), напечатанноrо в "Plli
10sophical Transactions of the Royal Society of London". Однако
и 5ТОТ метод и замечательные приложения ero Ньютоном произ-
вели CTOJ\Ь же незначительное впечатление, как и диференциальное
исчисление Лейбница А( см. выше,
стр. 273). Для Лейбница, который
узнал о нем в 1676 r. из писем
к нему и Mor познакомиться с
работой осенью Toro же rода,
последняя, разумеется, представ..
Е ляла большой интерес, но он тем
временем сам уже пришел к ос..
новным результам (а также к об-
Щему способу разложения в ряды) друrим путем 1).
Стр. 19
L
т
4
Фиr. 75.
ОПРЕДЕЛИТЬ длины кривых
Д пустим (фиr. 75), что ADLE представляет собой окруж-
ность, У которой требуется определить длину дуrи AD.
{) В дальнеЙUIей передаче Я, по обыкновению, придерживаюсь ориrи"
пала, но, разумеется, я не Mory ручаться, что сам Ныотон в 1665 1'. писаЛ
В, точности так (ибо о рукописях Ньютона изсестно мало достоверноrо).
Но вовсе не исключена возможность, что дело KaI{ раз так и 06Сl0ЯЛ О.
Ск занное относи rся также к совершенно общим отрицательным и лроб
ным буквенным показаrелnм, встречаЮЩllМСЯ в ДP TlIX частях трактата
(СМ. выше, стр. 275, примечание 2),
21&
Если провести касательную DHT и построить неоrраничеННQ
(indefinite) малый прямоуrольник НОВК и положить АЕ == 1 ==
=== 2АС, то, так же как ВК или ан, момент (momentum)
основания АВ (х), относи тся к HD, моменту дуrи AD, так
: :8Т:О7: :ВО( Jt' x xx):Dce!2):: l(ВК): V 1 (DН).
2 X XX
1 JI х хх
Поэтому V или же 2 2"" "редстаВ.'1яет собой
2 X XX x \,Х
момент дуrи AD. В приведенном виде 1) это даст:
1 1 3 5 35 63!
2 Х 2+4х2+ 16 х2 + 32 х2+ 256 х2+ 512 х2ит. д.
Поэтому, соrласно второму правилу 2), длина дуrи AD равна:
5 5 7 35 9 63 11
2 + 1 2" 3 2 + 2 + 2 + 2"
х -в- Х + 40 Х 112 Х 1152 Х 2 816X ит.д.,
1 3 5
или же х 2 , умноженному на 1 + х+ 40 х 2 + 112 Х3 +
35 63 '-,
+ i 152 х4 + 28Тв х 5 и т. д.
Таким }ке образом можно найти, приняв СВ равным х, а
1
радиус СА положив равным 1, что дуrа LD равна х + 6 Х З +
+ 3 5 + 5 7
40 х 112 х и Т. д.
Следует при этом заметить, что единица, принятая за мо-
мент, представляет собой оверхность, коrда речь идет о теле,
линию, коrда о поверхности, и точку, коrда о линии (KaI<
в этом примере).
Я не боюсь rоворить о точечной единице (de unHate in pun-
ctis), т. е. о бесконечно (infinite) малой линии, ибо r oMeTpbl,
еще при употреблении метода неделимых, имели в виду лишь
(rеометрические) отношения З).
ИЗ этоrо можно извлечь следствия, относящиеся к поверх-
ностям и объе lам тел, а так}ке к центраы ТЯil(ести.
{) To eCTb если извлечь квадратный корень и ра.:iде.1ИТЬ на 2х хх.
2) To eCTb Ifнтеrрируя ПО'Jленно.
3) Это, очевидно, представляет собой ссылку на Э3IСlи, а, У, опреде
f\ение 4 (см. выше) CT . 186)
7
Стр. 22.
НАХОЖДЕНИЕ ОСQОВАНИЯ по ДАННОЙ длине
кривой
Если (фиr. 76, требуется найти по данной дуrе а.D си-
ну1 АВ, то из вышенаltденноrо уравнения
1 3 5
J x +6 х з + 40 х 5 + 112 х 7 и т. д. (rде
положено АВ==х, aD===z и Аа==1) путем из-
1
влечения корня 1) получится Х == Z 6 zЗ +
+ t 5 1 7 + 1 9
120 z 5040 z 362 880 z и т. д.
в
ФI:r. 76.
Кроме Toro, если требуется найти по той же данной дуrс
косинус A , то нужно ВЗЯТЬ A (== V 1 хх) == 1 Z2
L 1 4 1 6' 1 8 1 10
A 24 Z 720 z ' 40 320 z 3 628 800 z и Те д.
П О я с н и т е л ь н ы е 3 а м е ч а н и я. В этих двух связанных
между собой небольших отрывках заключается столь MHoroe из
исчисления бесконечно малых, что я, дабы не занять слишком
MHoro места, должен оrраничиться очень краткими замечаниями.
Прежде Bcero, я не имею мс:ста для произведения тех выкладок,
которые и Ньютон предоставляет сделать читателю. Мы видим,
что он (так же, между прочим, как и Лейбниц) HeMeдieHHo понял,
что интеrрирование дает не только площади (квадратуры), но
совершенно общим образом и длины кривых (спрямление), для
которых ОН приводит TO: ЬKO что рас отренный пример, и поверх-
ности тел (компланацию), и всякоrо рода центры тяжести. Это
видно И3 последнеrо замечания nepBoro отрывка. В OCHOBHO:\f
Ньютон исходит из Toro )ке п харакrеристическоrо треуrольника",
который мы встретили у Паскаля и который вновь попался Ha\f
у Барроу (см. выше, ч. IV, N2 XIV). Он дополняет чертеж (по суще
ству, без необходимости) подкасательной, встречающейся у Барроу.
Моментом (momentum) Ныотон называет то, что Лейбниц
назвал диференциалом (см. выше, стр. 276), И он определенно и
"без боязни" rоворит, что этот момент представляет собой бес-
конечно малый отрезок или же 7) точку". Таким образом мы
оказываемся снова в центре Тl удной проблемы I).ТIиний атомов"
i) Это здесь озн чаt.:Т .ре! снне ypaoНi IIИЯ. 01'1lОlи!е.1ЫIО Х, при
дан ном z.
O
(см. ч. IV, М2 IV), И Нь(отон стоит здесь на ТОЧI{е зрения I\сеllО-
крата. РаЗУ iеется, 9ТО тотчас же открыло уязвимые пункты для на-
падок со стороны философов. После Toro как Ньютон увидел,
что диференциалы Лейбница подверrлись подобным нападкам, он
стал осторожнее и в трактате ,,0 квадратуре кривых", напеча
танном впервые в 1704 r. в качестве приложения к "Оптике"
он начинает прямо с объяснения, что он rас сматривзет матема-
тические величины не как составленные из крайне малых частей,
а как порождаемые непрерывным движением. ОднаI{О, по существу,
и у Ньютона речь идет, как мы это YiI<e подчеркивали при
разборе Лейбница, не о чем ином, как о п реходе к пределу, дли
KOToporo только не была еще найдена лоrически безупречная
форма. Ньютон, как 9ТО первоначально делал и Лейбниц, при-
ниман момент равным 1 до тех по , пока не заметил недостатка
этоrо способа.
Если записать весь вывод в современных обозначениях, то,
положив еще BD равным у, имеем flQ==dx, QD===dy, HD::==ds,
а уравнение окружности, еСllИ напало КООРТ"f,инат находится в А,
будет у?' == Х х 2 . Тоrда
1
ds:dx== :y,
2
сле:Lоватrльно:
d?C ( 1 .!.. 1 .!..
ds == ,. === dx ]C 2 + х 2 +
2_Yx x2 2 4
).
(1)
х
1 (' dx ( 1 3 )
arc AD===S==>2.1 V х Х2 -==.л2 \1 +6 х+ 40 х2 +... · (2)
о
Если же взять начало координат в С, так что СВ === х и
CD === 1 (все 9ТО см. на фиr. 75), то уравнение окружности
будет у2 == 1 ........ х 2 И
d dx + 2 + 4 + 6 +
s V 1 X 1 2 х 8 х 16 х · · · I
(3)
х
S dx .. 1 3
и дуrа LD== s == arc SlП х==х + х 3 L х 5 + ... ( 4 )
V 1 х 2 6 I 40
о
Это леrко прив::сти в COOTBeTCTBH с обозначениями на фиr. 76.
\ 2&!
За этим следует так называемое "обращение ряда". Ньютон
обр вает рЯД и, например, берет
I 3 + 5
s х т 6 х 40 х ·
(5)
Отсюда он определяет х при п .Jl\IОЩИ нззванноrо по ero
:1мени способа приближенноrо вычисления кораей (см. ч. 1,
JVg ХХfI), который также изло}кен в рассматриваемой работе.
Он приводит таКJI\е при мер обращения ряда, но только один
и притом ОЧ lIЬ кратко. В H lllleM случае следова}IО бы посту-
пить так. Поло}ким в (5):
x==s+p.
'[оrда мы получим:
1
О==р+ 6(S3 + 3s 2 p .. .)+(s5+.. .).
"'''\,
{О}
Если представить себе, что (5) разложено в ряд ДЛЯ очень
малоrо х, то и s, а значит, и р, также будут очень малы. Тоrда
в уравнении (6) следует взять только члены, содержащие низшие
степени s и р, пренебре['ая членами с высшими степенями.
Однако в этом случае узнать, каковы именно эти члены, ОТНIОДЬ
не так просто, как в случае уравнений с постоянными коэфи"
циентами. Ньютон здесь не рассматривает ближе этоrо трудноrо
вопроса, он это делает только в письме от 1676 r. и B поздней..
ших сочинениях. Это как раз тот метод, который привел к так
называем ому "параллелоrраму Ньютона". я не Mory сейчас за
I1ЯТЬСЯ им подробнее 1) и коротко замечу ли шь слеДУЮU1-ее. Так
,\ак р следует положить равным некоторой степени s, то сперва
пробуют р === AS2. Но это дает А === О. Затем берут р === 8S3.
1
Тоrда ДВУМЯ низшими членами уравнения (6) будут Р и (3 s3 (все
1
остальные имеют высшие степени, s), и мы получаем В + 6 == о
1
или В === 6' Т. е.
1
Р === .......... 6 s з ,
1
x===s 6" 53,
,
f) СМ. работу автора .Algebra'sche Kurvel1" , 1 т. (Samml. Gбsсhец
N 435), Berlln Ь94, стр. 104 и tл,
28
Далее, положим
t
p== S3+q,
6
что дает для уравнения (6):
o==q+ ( 55+
6 2
) + 430 (S5 + .. ) ;
(7)
все отброшенные члены имеIОТ высшие степени.
Поэтому нужно взять:
1 3 1
q === 12 S5 40 85 == 120 s5 ·
(8)
в результате получается ряд
1 1
х === s (3 sз + 120 s5J · · ·
(9)
Если желательно пойти еще дальше, то к уравнению (5) нужно
при соединить еще член, содержащий 7, затем подставить ero в
продолженное уравнение (7); в результате мы получим в (9) еIце
один член. Ньютон, блаrодаря остроумным комбинациям, Mor
так}ке получить сразу несколько членов. В каждом отдельном
случае леrко заметить, насколько д леко нужно итти, 'для TOI"O
,чтобы обращение было верно. с точностью до какоrо-либо члена.
Общеrо правила здесь не имеется.
Однако Ньютон сам заметил, что коэфициенты слеДУIОТ не..
I(OTOPOMY определенному закону (что, разумеется, представляет
собой неполную индукцию), и мы, действительно, получаеryt ряды:
х 1 х З 1 3 х 5 1 · 3 . 5 х 7
arc sin х == т + 2". 3 + 2 · 4"". 5 + 2.4.6 · 7 +. .. (1 О)
11
sin х о;::: х 1 . . 3 х 8 + 1. 2 . . 4 . 5 х 5........" · · · (11 )
Далее, Ньютон возводит ряд (11) в квадрат, r ычитает pe
зулыат из 1 и затем извлекает квадратный корень. Мы вместе
с Ньютоном предоставим произвести соответствующие выкладки
читателю. В результате получается ря з.:
1 1
cos Х' =--=- 1 . \ <} . ..t 2 + х 4
1.:l.3.4
( 12)
83
. Мы теперь, правда, знаем, что производить подобные действия
(умножение, 'деление, извлечение корня, почленное интеrрирова
ние) безо всяких околичностей над бесконечными рядами нельзя.
Но для степенных рядов, о которых здесь идет речь, и поскольку Ixl
достаточно мало, все это справедливо. Вряд ли MO){OIO требовать
от Ньютона, вступившеrо в совершенно новую область, чтобы
он Mor сразу точно обозреть все представляющиеся возможности.
Однако Ньютон ни в коем случае не был непреДУСl\'lотрительным..
В каждом отдельном случае он знал, что CYMe T в ЛIобое время
доказать, что вычисление справедливо с точностыо до TaKorC.TO
и TaKoro To члена. В ,конце трактата он даii\е доказывает, что
ряды, полученные им путем решения уравнен :й (или обрзщения
рядов), как мы бы сказали коротко, "сходятся", т. е. что'., KaI{
он выражается сам, "чем далее будут они продолжены, тем ближе
они при достаточно малом х приближаются к истине, так что
разность (р, q, r И т. д.) В конце кенцов становится меньшей
сколь уrодно малой величины (tandem lvа lиt minor quavis data
quar;ti a e)". Это доказательство он основывает на теореме Эвклида
Х, t, т. е. на аксиоме Архимеда (см. выше, ч. IV, N2 J).
Ньютон не пытался, однако, в отдельных сл)чаях на деле уста-
новить области сходимости.
XVIII
"Арифметическая квадратура" Kpyra
Из одноrо недатированноrо и не снабж( HHoro адресом (французскоrо)
письма r. В. Лейбница. Пись :о это, nерОЯТi:О, было отправлено аббату
rаллуа (Gallols) и написано в конце 1673 r. или начаJlе 1674 r. Оно было
предназначено к опуБЛИКОЕанию в "Jol1rnal des S avans", издание I\O
Toporo, ОДН aI{O, прекратилось. Вследствие ЭТО! о ОНО было L первые
опубликовано по РУI,ОПИСИ К. И. rерrарДl0М. С1\О. . Leibnizens Gesatn
melte W erl:e", hgg. von о. Н. Pertz, 3. Folge, М athematik, 5 Т. (==" Leibl1i
zens Math. Schriften, hgg. VlJl1 с. 1. Gerhardt", 2. А bth., Т. 1, lialle, 1853,
с j р. 88 92).
Пр е Д в а р и т е ль h О е з а м е ч а н и е. Под , арифметической
квадратурой" кривой Лейбниц подразумевал опредедение площади
посредством рациональных чисел, что, разумеется, оказалось
возможным даже дЛЯ КРУI а только при посредстве бесконечных
рядов. Лейбниц сам расскаЗЫl<ает, каким образом он пришел
к идее разложения в ряд. Он, вообще, всеrда стремился (в про
тивоположность l\JНСI'ИМ ученым всех времен) ясно изложить [e
:Iезис своих идей. Как видно из дальнейшеrо, основные МЫСЛИ
были 'им установлены уже в 1673 r., но вместе с ростом cro
I\IатемаТИ 1 1еских познаний rабота раЗf>асталась, и приrотовленная
284
н 1675 r. к печати РУКОПуIСЬ (ори! Иilа.l к тороЙ, повидимаму,
пропал) не 'у Jид::ла снета, ибо вскоре она оказалась устаревшей.
СУlцествует, однако, целый ряд более коротких изложений, частью
тоrДl же опубликованных, частыо же впе:JВhlе опубликованных по
UYMal"'aM Лейбница rерrардтом (там же, стр. 88 132). Лейбниц
IIрИ\f НИЛ свой M TOД ко все \1 коническим се(Iениям, а также и
к друrим кривr м, И пов рхностям. Iижесл дующий отрывок
представ lяеТLЯ нам Нlиболее подходящим д lЯ наПIИХ целей.
Стр. 88... Арифметическая квадратура Kpyra и e частей
может быть Сф)р IУЛИрОВJ.на в виде слеl.уюдей TeopeM')I. Если
приняrь радиус Kpyra за е иницу и ВС, TaareHC (1а tangente)
ВО ПОЛОВiIНЫ дуrи BDE (фиr. 77), положиrь paB:-IblМ Ь, то
Ь l3 Ь 5 Ь 7 Ь 9 Ь 11
величина дуrи равна 1 3 -t 5 7 + 9 11 и т. д.
Если же дуrа опре.l.сле:iа, то леrко вычислить площади;
дополнение к этоЙ теорече rJlЗСИТ, чrо еСl1И принять\диаметр
и ero квадрат paB i ){ми 1, то ПЛОЩ1ДЬ Kpyra paB 1a
1 1 111 1
Т 3+5 7+9 П и т. д.
Стр. 89:. Дли эrоrо я воспользова:IСЯ слеДУlощей в по
моrательной теоремой. Если пров сти через вершины тре-
уrольника ВЕР три параллели ВС, ;;.8''''
иВ, HP и ПРОДОЛjКИТЬ одну ИЗ СТО- 8 "/,,, '\ С М
рон Е F до пере(:ечения с одной из
пара lлелей в точке С, то прямо-
уrольник, построенный на ВС, от-
С
резке, расположенном между ТО(IКОЙ
пересечения С и вершиной В, через Н
которую проходит эта параллель, и
на ан, расстоянии ме}кду двумя
друrими параллелями (90) ОЕ и НР,
Т. е. прямоуrольник ран (если ван
перпендикулирно к ВС, а СР рзвно
и параллельно во), будет вдвое
больше тр уrольника ВЕР. Точно
так же, если HQ равно ВМ, то
ПРЯl\lоуrОЛЬН iК QHN равен удвоен- Фиr. 77.
ному треуrольнику В FL. Если эти
осноrзания ЕР, FL и т. д. бесконечно малы, так что они
[вместе с раСПОЛJ)I{енными над ними треуrольниками ЕВР',
FBL] заПОЛНЯIОТ всю плошадь ЕВ ((Е»LFЕдокривойЕFL((Е)}
28j
11 если T,H<>I.:C О Н и Н N и т. д. бесконечно малы, ТаК цтб
прямоуrольники ран и QHN и т. д. заполняют BCfO пло
Il aдь Ра ((О)) ((Р)) QP до кривой f)Q ((Р)), то вся эта [пос
п. Дняя] площадь вдвое больше друrой площади. И так как
f"EC, LFM, ((Е)) ((С)) суть каС11ельные к первой ИрИВОЙ, то
тес.рему в общем виде можно ВЫСI{азать так:... [после уста-
новления общей теоремы следует сперва применение ее к
параболам и rиперболам обlцеrо вида с уравнениями
xZa v П 1) }.-z+v И xZyV П a Z + V (91), а затем примене!Iие
к циклоиде].
Третьим прило)к нием является арифметическая квадrатура
Kpyra. Если кривая Е (Е) ((Е)) представляет соБJЙ дуrу
ОКРУЖНОСТИ, то кривая отрезков [концов отрезков на пара 1-
лелях аР, HQ и Т. д.], т. е. вр (Е) ((Р)) в' том случае, если
во или (,'Р назвать х, а ве или аР назвать z, вырззится
2az 2
по отношению к прямому уrлу RBC уравнением 2 2 П х;
а . z
т. е., как это леrI{О доказать, отношение R8 к в] равно
удвоенному отношению АС к ве 2).
Из этоrо, во-первых, следует, что тот, к ro най X: T П ра...
вило для определения сокращенным способом ,суммы след) ю
Iцеl"О конечноrо ряда (rang) рациональных чисел
2,1 з 2 2,4 8 2,9 18 2,16
1 + 2 ) или 3 1 + 4 или "5' 1 + 9 или 1 О ' 1 + 1 (j
32
или 17 ' и Т. Д., не склаДывая их одно за друrим, тот найд.т
квадратуру Kpyra, ибо этот ряд (progression) представляет
собой ряд ординат СР фиrуры Be/ B, квздратура котороЙ
дает квадратуру Kpyra. Но пока это еще не арифметическая
квадратура. Для Toro чтобы получить ее, нужно будет вас.
пользоваться прекрасным методом НИI(олая Меркаторз, соrласно
- /
i) Лейбниц вскоре замеНIiЛ этот введенный им самим ЗН1К равен-
ства знаком Рекорда ,, ..
2) Это дополнен :е предназначено для приверженцеп старой фОр fЫ
выражения через пропорции, для которых уравнения еще не были при
вычны.
S) Уже давно было принято выражения вроде 2а писать, не обозна..
чая специально действия умножения. Но с двумя арифметическими чис
лами так не поступали, и поэтому Лейбниц ставит здесь запятую', KOTOpYIO
ОН позднее заменил точкой. Таким образом первоначально точка слу-
жила только разделительным знаком, в качестве KaKoBoro она ПiJименя-
пась иноrда и ранее.
286
х z
которому, так У<аК а равно единице и 2" равно 1 + .z2 ' это
Х
)J{e 1) равно 22 Z4 + Z6 Z8 И т. д. до бесконечности.
2 х
А сумма всех 2 равна СУ\1ме всех Z2 24 И т. д. Но пер-
выЙ из всех Z бесконечно мал, а последний имеет некоторую
определеННУIО длину, И\lенно БС, KOTOpYIO мы назовем Ь;
Ь 3
следоват льно, cYMl\.la всех Z2 равна 3 (92), сумма всех Z4
Ь 5
равна 5" и т. д. (соrласно квадратуре парабол), и....... значит,.
х
CYM 1a всех "2' или же половина площади ВСРВ, или же
рззнссть полsвины прямоуrольника ева и круrОБоrо cer-
Ь 3 Ь 5 Ь 7 Ь 9
мента ВЕВ, .равна "3 5" + 7 и т. д. Следовательно
(в результате довольно простоrо рассуждения [suite] из обык-
Ь Ь 3
новенной rеометрии), половина дуrи ВйЕ равна т 3" +
Ь 5 Ь 7
+ "5 7 и Т. д., если только положить радиус рав! ым t,
а Ве TaHreHC (la touchante) половины дуrи обозначить че
рез Ь. Что и J'ребовалось доказать...
П о я с н и т е л ь н ы е 3 а м е ч а н и я. После Toro npOCToro
вывода рядов, с которым мы познакомились у Ньютона (см. ч. IV,
N2 XVH), это столь длинное рассуждение Лейбница, вероятно,
изумит читателя. Ньютон и ero друзья, как, например, Д)К.
rреrори, скоро сумели, конечно, найти флюксию для arc tg,
1
равную, как известно, просто 1 + х2 . При этом полу'rался ряд
d(arctgx) 1 2 + 4 6 +
х х х ...
d:
и путем почленноrо интеrриравания находилось, что
х 3 х 5 х 7
arc tg х === х 3 + 5 7 + · · ·
Так поступаIОТ и ныне, и немноrИ 1 позднее к ЭТО IУ пришел
и Лейбниц, в 1673 r. БЫВ!IJИЙ только новичком. Если в ряде
t) Здесь и в дадьнейшем Лейбниц забыл про множитель . а [ер-
rард этоrо не заметил.. Я внес повсюду соответствующие поправки.
281
t
iJ1Я arc tg положить Х:=:: 1, то ar(. tg х "4 п, И МЫ получи\! зна"
менитыи ряд Лейбница:
тr 1 1 1 1
4===1 3 t 5 7 9
Но именно потому, что Лейбниц не Mor еще пойти более
простой дороrой, особенно поразиrельно, что он дqбился наз
BaHHoro результата, значение KOToporo он хорошо понимал.
Открытие Лейбница вызвзло дол,кное ВОСХИIцение у l'юйrенса и
даже у Ныотона, который к этому времени зашел у)ке значи
тельно дальше в области исчисления бесконеЧНО l\1аЛ'")IХ. Дейст
вительно, да}ке анrлийские м темаТИI{И не ПРИl.lIЛИ к мысли по
по}кить х == 1, хотя ряд для arc.tg и не был уже им незнаком.
Что касается собствеНtlых рассуждений Лейбница, то пре)кде
Bcero у Hero речь и . eT о П!10ИЗВОЛЬНОЙ кри'вой ВЕР. СЕ нужно
представлнть себе как продолж ние ЕР. Если, далее, провести
ВВ'l..ЕСиЕЕ'l..НЕl), ТО 6BB'Coo6EE'F и, следов]-
rельно, BB';BC===EE':EF. Значит, ВВ'.ЕР===26ЕВР:==;
=== ЕС.ЕЕ' == ВС. он=== прямоуrОЛЬ IИКУ ран.
Если, далее, ВЕ ((Е)) R представляет собой полукруr и если
положить L ВАЕ=== 2ro, то дЛЯ АВ== 1:
во == х == 1 cos 200 == 2 sin2 о) == 2. tgfto)
1 + t (1) ,
в с ===. О.О.==: Z == tg 00.
Следовательно, уравнение кривой BPQ (Р) ((Р)) будет:
2Z2
1 i- Z2 ·
х
;.-)то кривая TpeTbero порядка, для которой касательная к
(;I\РУЖНОСТИ В 10чке R слу:.I{ИТ аСИ\lIlТОТОЙ, названной Дж. Лориа I
»Pseudoversiera" 2).
i) я ДОПО.1НИЛ чертеж необходимыми обозна чениями.
2) См. ero "Spezlel1e algebraische und transzendel1te еЬепе KU1"Ven ",
2 e изд., 1 Т., Leipzig, 1910, стр. 82 И сл. У rерrардта кривая начер lеиа
не вполне верно, что я исправил. Следует обратить внима:lие на индек
сирование посредством скоБО а которое Лейб&IИЦ ВСКО", е sаменил спосо
бом Де карта (CII стр. 262).
288
с кнадратуроА этой кривоh квадратура Kpyra связан силу
1
Toro, что eerMeHT Kpyra BDEB === 2" (прямоуrольник ВОРС
П.10JЦЗДЬ ВСРЕ), rде, если' ВС положить равным Ь (== tg 0»:
ь
r Z2 dz ( Ь3 Ь 5 Ь 'i )
площадь ВСРВ == 2 J 1 t z ' == 2 3' 5 +-1 · · · ·
о
Далее, прямоуrо ьник
, tg 2 ro
ВОРС == Ь (1 cos 20» == 2Ь siп 2 (О == 2 tg ro. 1 + tg 2 ro
cerMeHT Kpyra BDEB == сект. ВАЕ 6 ВАЕ ===
== дуr. ВЕ · sin 200 ==
2 2
1 tgoo
2 дуr. ВЕ 1 2 .
+ tg ro
2Ь 3
1 +b"l.
Следовательно,
1 Ь
"I2'Дуr. ВЕ== cer l. кру"а BDEB+ 1 + b
Ь 3 Ь '1
::;::: 1 + Ь 2 + 1 + b2 "2 пл. ВСРВ==
Ь Ь 3 Ь 5 Ь 7
=== 1 3 + 5 7 + · ·
При Ь === 1 дуrа становит я равной восьмой Ч1СТI1 ОКРУjI\НОс.ти,
п
И мы получаем ДJlЯ 4 уже написанный ряд 1).
,Если приведен ный здесь вывод и rрО tОЗД )К, т. е. если Лейб
ниц в то ВР \1Я еLце не наст J.1bKO умело разбирался в деталях,
чтобы всеrда итти пр,) тейшим путем, то зато, как это показал
Манке (цит. еоч., стр. 57 и ел.), он уже тоrда обладал основными
идеями об общем способе раЗl0}l(ения в ряд, которое ныне все
eHJ.e совершенно несправедлив) вы ,:тавляется как открытие Т:. й
лора (Taylor, 1715). Совершенно упускаIОТ из вида, что ряд
ТэRлора был письменно сообщен JIеRбницем Иоr. Бернулли в
1694 r. в форме, незначительно лишь ОТ.'Iичающейся от COBpe
М Нной. Однако изло)кение этоrо здесь завело бы нас слишком
далеко.
t) Для более цолробноrо ознакомления со всем этим см. Mahnke
(ер. Вhlше l стр. 265, примечанне») стр. lO 13.
19 В. JI е А т и е p Xpec'Io.at... 289
Xi}(
t'асатеJlьная к спираJlИ Архимеда
Из .Johannls (1) Bernoullii Lectiones de calcul0 differentia1ium«. Издан
при содействии семейства Бернулли Естественно-научным об:цеством
в Вазеле к трехсотлетию приема Бернулли в базельское rражданство
(13 мая 1622 r.), С8Предисловием Пауля ШафхаЙТ"lина (Schafheitlin). От-
дельный оттиск и "Verh. d. Naturf. Ges. in Ва,е1", т. XXXIV, 1922.
Нем. пер. "Die Differentialrechnung von Johann Be:nulli aus dem Jahre
] 6Э 1/1692..." von Pau1 Schafheltlin. Собрание классиков ОСl1альда Н!! 211,
Лейпциr, 1924.
Предварительное замечание. Уже из ззrлавияэтоrо
сочинения видно, что оно вышло не при жизни автора. Иоrанн
Бернулли вместе со своим старшим братом Яковом был одним из
первых уч ных, которые настолько овладели ИСЧИСJlен ем беСI(О
нечно"малых Лейбница, что моrли самостоятельно продолжать
работу в 9Тl)Й области. Зимой 1691/1692 r. Иоrанн Бернулли на-
IIИСjlJI п:рвый учебник Дffференциальноrо и интеrральноrо исчис-
л ниА, ИЗ KOToporo была напечатана только часть, содержащая
НlIтеrральное исчисление (и то лишь в 1742 r.). Причиной от-
каза от печатания первой части послужило то обстоятель:тво,
что уже в 1696 r. в Париже был в )Iпущен маркиз JM де Лопи
Jалем (L'Hospltal) курс "Диференциальноrо исчисления" под
названием "Analyse des infiniment petits". Этот маркиз прослу-
шал курс диф ренциальноrо исчисления той же зимой у Иоrанна
Бернупли и в вводной части CBoero сочинения лишь передал в
систематическом виде прослушанное им. Однако в своем преди..
словии JIопи rаль не отметил достаточно ясно 9Toro обстоятель-
ства, и все разъяснилось лишь после Toro, как Шафхайтлин
открыл в библиотеке Базельскоrо УНИL .Jситета и опубликовал
рукопись (или же копию ориrинала) Бернулли. Так как Иоrанн
Бернулли выставил свои претензии лишь после смерти маркиза,
то ему не поверили полностью. Очеви но, Иоrанн Бернулли из
ЛН'Iных соображений опасался вызвать вражду маркиза.
Я избрал нижеследующий отрывок в силу Toro, что он поучи.
телен и краток и вместе с те\1 заключает в себе пример употреб
ления полярных координат, между тем как до сих пор мы поль-
зовзлись только прямоуrольными координатами. Это, кроме Toro,
первый случай, коrда полярные координаты встречаются в явном
виде, если не rоворить об Архимеде и Кеплере (см. 111 часть 1).
j) Ср. MOJl) заметку в .U.-Bl. '. Math. ". Nat.-, 34, (1928), стр. 276/277.
Стр. 15 (Нем. И3Д. ctp. 26).
3 А Д А Ч А xt
Найти J{асатеJlЬНУЮ J{ СП}.Р1ЛИ Архимеда
Спиралью Архимеда называется кривая, ОПИСhlвземая точ.
коЙ [равномерно], движущеtiся по направлению от центра
к окружности Kpyra и притом наход щеtiся все ВJ:СМЯ на
одном и том )ке радиусе, который О
при этом в то же самое время, в О
I{OTOpOe точка от центра достиrает
до окружности, paBHOMep:iO пр 1ИЗВО-
дит один полный круrовой оборот.
Нам нужно найти касатеЛЬНУIО к этой
кривой. Положим (фиr. 78), что pa
диус АС===а, окружность DDCD:=:b,
АВ === х, и проведем к линии АВ Е
перпендикуляр АЕ. Тоrда радиус АС
так относится к длине окружности,
как АВ к дуrе СКО1). Следовате1ЬНО, AD.AF::DD./O
b:Jx Ьх dx
[или же] а.х: : . . Далее, BQ.FO: :АВ.АЕ, т. е.
а аа
bxd1C Ьхх
d.x. : :x. ==s.
аа . ад
,
I
I
)
'" '.............. u/ "" ' /
ФI
н
7S.
СлеДОll1тельно, если требуется провести касателыIIоo в С, то
надо ваять s == Ь, что Архимед доказывает путем длинных
рассуждений 2).
П о я с н и т е л ь н ы е 3 а м е ч а н и я. Пре)К;I.е Bcero обратим
В!lимание на вполне уже современный, хотя и несколько непри
вычный, спо::.об записи Бернулли. Во-первых, 2а1Т == Ь. Далее:
а: Ь == АВ (=== х): arc CKD.
lio
ь
зrс CKD == 2х1Т == х,
а
С:lедовзтельно,
DD == d arc CKD === dx.
а
u {) Я вставил букву К, отсутствующую в обоих изданиях Шаф
Х\JИТлина.
2)А r с h i m е d е S) De l'nels splrallbus, XVIII. Ed. J. L. Heiberg, 111,
Leipzlg, 1913. стр. 63.
lЭ. 291
Но, Tal( I{al(')
a:x=::=. .bdx : FG (1160 AD:AF==DD:PO),
а
РО Ьх dx
и
Так как, далее:
BO:fO==AB:AE,
то, если положить еще ПОЛЯрНУIО ПОJ,касатеЛЬНУIО АВ == s:
bxdx
dx: "2 == x:s,
а
следовательно,
Ь х
s х 2 . =--= 2хп. ::=: HYI e С' 1(' /3.
а 2 и
Как раз в после:J,Jlей фОр\lе опреде ']яетси касательная у
ЛРХИМЕ:'да (теорема ХХ, цит. СОЧ., стр. 73). ОТСУТСТВУJощие у
Бернулли линии на ч рт. 78 мной проведены штрихом.
Еще проще ОСУlцествляется построение при ПОМОIl{И ПОJl
нормали АН. Этоrо нет ни у Бернулли, ни у Архимеда. ДeH
ствительно,
во: РО == АН: АВ,
или
Ьх (1х
dx == .) === 11/1: ..-t",
а-
а отсюда следует, что
а 2 а
АН === =--== const.
l} 2п
Это постоянство ПОЛSlрНОЙ lluднорма.1И MO)l{eT СЛУ)I(ИТЬ в ка че
стве определения спирали Архимеда.
Теперь мы запишем вывод во вполне современной фОР\IС.
Если положить обе координаты
АВ == р, L CKD == {} ),
{) Собственно rоIЗОрЯ, далыuе ДОJIЖ1l0 было бы СТОЯТЬ х d \". НО
тоrда в значение РО войдет еще член (dx) 1, которым, соrласно прин-
.ципам ЛеАбница, можно по сравнению с самим dx пренебречь. Разу-
меется, он также отбрасывается и при современном п реходе к пределу.
.. 2) То обстоятельство, что З;Iесь в соответствии с чертежом Бернулли D
F.озрастает в направлении часо оА стреЛIОf, в противоположность при..
нятому, не составляет большоrо неудобства...
19
то, СОI'ласно основному свойству (что радиус вектор р возрастает
ПРОПОРЦlIонально yr JlУ {}), полярное уравнение спирали будет:
р == ,п .
Та J< I1pll Р === а
\) = 2п,
а==l1z.2п,
а
Т1l === 2п '
и наше ураВI1ение ПрИ:\lет вид:
а
р === .б.
2п
Отсюда следует, что
па == dp === d6.
2п
Далее, 1Ы получае:\1 малеНЬКУIО круrовую дуrу
FO == Р di}.
Ее мы ПОJlаr'аем равной хорде FO. Из ЭТОI"О следует, что
ва а
Ри :=: 2рп '
откуда, как и выше, можно вычислить или АЕ, или АН.
Заметим дополнительно, что Архимед также произвел KBaд
ратуру спирали. Именно с этой целыо он применил сумму
, .....
квадратов целых чисел (см. выше, ч. IV, N2 'У). Действительно, если
мы это проделаем по-современному, то в качестве диференциала
площади мы будем вычислять треуrольник АРВ, который, если
пренебречь "бесконеЧНО J\lалыми BToporo порядка", равен тре-
уrольнику АРО, И lенно:
D"AFB===- AF. АВ. d(} == р (р + dp) d(}:::::: р2 и(} === 8 2 {j2 li(},
ПJЭТО:\IУ, например, п.lОlца.J,Ь
2;'!
АРВСА == а 2 \ {}2 d8
.)
оП" .
О
Это 11 есть XXIY теорема Архимеда. ХОТИ KJJ{ В C.l1YLlae
J\<1сате':ьной, так Н при квадратуре Архимсд IJpIlHIl lael' ПО внн-
а 2 п == KpYl'a CKDDC.
мание последующие завитки спирали (что мы получаем при
увеличении {} за пределы 2тт), но он не рассматриваеr вращения
радиуса-вектора в друrую сторону (т. е. для отрица'rСJIЬНЫХ В),
6лаrодаря которому спираль получает вторую ветвь 11 теряет
х::' рактер -настоящеЙ "спирали" 1).
хх
Введение фЛЮi\сиА НЬЮТОНОМ
Из ., ТЬе Method of Fluxions and infinite 5erles; wlth lt5 Application
to the Geometry of Curve Lines,8. Ву the Inventor Sir Isaac Newton....
Translated from the Author's Latin Original not yet made publick. То
whlch is subjoln'd а Perpetual Comment upon 1he whole Work.... Ву J011n
COlSOll,... London,..., MDCCXXXVI.
П р е д в а р и т е л ь н о е з а 1\1 е ч а н и е. Это сочинение Нью-
тона также было закончено уже в 1671 r. Обыкновенно оно
приводится под латинским названием "Methodus fIuxionum et
serierum infinitarum 11 Однако ориrинал Ньютона, повидимому,
утерян. Действительно, первое латинское издание под указан-
ным эаrоловком (в "Opuscula", ed. Casti1liol eus, т. 1, 1744,
стр. 29 19Э, ср. N2 XVH) соrласно примечанию в nреди
словии представляет собой обратный перевод на латынь с выше
укаэанноrо анrлийскоrо издания, являющеrося, вообще, первым
изданием. Существует еще второе анrлийское издание без YKa
зания автора, вышедшее в Лондоне в 1737 r. Кольсон (Colsoi1)
снабдил это, само по себе немалое, сочинение длинным преди-
словием и обlIlИРНЫМИ комментариями (стр. 141 339).
Стр. 19.
ПЕРЕХОД к МЕТОДУ Флюксий
55... Но прежде Bcero следует заметить, что все трудно..
сти, связанные с этими [проблемами; в частности, относится
к КрИВЫ t], МОЖНО СЕести Bcero лишь к двум слеДУЮЩИ'1
пр:. бле lа l, которые я предстаВЛЯIО на (примере) отрезка
(spaJum), проходимоrо при движении [некоторым телом], с
ЛIобым ускорением или за iедлением.
56. 1. Длина проходимоzо отрезка постоянно (т. е.
8 каждый MO.JleHm 8ремени) дана, тР2БУJтся определить
С1Сорость движения в любое время.
57. Н. Скорость движения li.остоянно дана, 111ребуеfllСЯ
oпpeae,1l1тb длину Ilройденноzо в любое 8ре,ня ОlllреJh'П.
{) См., иаПРlIмеv, I{HHI'Y JI1TOpa .. Speziel1e ebene Kttl'vel1", l..eipzi ,
1908, стр. 246 (фиr. 118).
1
58. Если, Hanp1tMep, в уравнении хх == у rвеличина] у
представляет собой длину отрезка, пройденную за некоторое
время, и если представить себе, что это время измеряется и
изображается как проходимое друrим отрезком х, возраста-
ЮЩИМ с равномерной скоростью х (20), то 2.х.х представляет
собой скорость, с которой отрезок у будет проходиться
в указанный момент времени, и наоборот. В силу этоrо я в
дальнейшем рассматриваю величины как бы порождаемыми
[в процессе] HenpepblBHoro приращения, точно так же как тот
отрезок, который проходит при движении тело или же ка-
кая"нибудь вещь.
59. Но, так как мы можем привлекать к рассмотрению
время лишь в той мере, в которой оно выражается (is expJun-
ded === exponitur) и. измеряется при равномерном движении, и так
как, кроме Toro, сравнивать друr с ДРУl"О:\l можно только ве-
личины одноrо рода, а также их скорости при ПРllращении
и убывании, то я в последующем положу в основание не
время как таковое (formally == formalfter), а приму, что одна
из данных величин, которые все будут одноrо рода, возрас-
тает блаrодаря непрерывному течению (Fluxion), и все осталь-
ные будут отнесены к ней, как ко времени. Поэтому по ана-
лоrии за этой [величиной] можно не без основания сохранить
название времени. Таким образом повсюду, rде в дальнейшем
встречается слово время,. . ., под ним нужно подразумевать не
время в ero формальном знач-ении, а только ту друrую вели-
чину, посредством paBHoMepHoro роста или течения которой
выра)кается (is expounded === exponi ur) и измеряется время.
60. Те величины, которые я рассматриваю как постепен..
но и неоrраниченно (indefinite) возрастаЮU.1.ие, я буду в даль..
нейшем называть флюентамu, или те/(ущu,М,u величuнамu, и
обозначать их я буду последними буквами алфавита 'V, Х, У
и z..., а скорости, с которыми возраСТЗIОТ вследствие порож-
дающеrо их движения фЛIоенты (и которые я назову флюк
сиями, или же просто скоростями, или быстротами), я бу-
ду обозначать теми )I{e БУl\ва I1f, 110 I1унктированными так:
v, х, у и z..
(21) 61.
r1 р о Б Л Е М Л 1
н А Й Т н о т 11 О III Е 11 II Е Ф Л Ю к с 11 Й, J:: С .п 11 Д А 11 О О Т 11 О 1и Е.
ИНЕ ТЕКУЩИХ ВЕЛИЧНII
Решенuе.
1. Расположи уравнение, которым выражено заданное отно-
Jl1еllие? по степеllИМ одной из текущих величин например х, и
9
пере IНО)t{Ь ero члеНh1 на (ч.пены) каl\ой-либо арифметической
.Х Э
проrрессии ]), а также одновре lеtlНО на . то действие на-
х
до провести отдельно для каждой 113 TeKyutl1x величин. Затем
положи сумму всех произведений равней НУЛJО и ты полу
ЧIIШЬ искомое уравнение.
2. flример 1. Если соотношение между текущими вели-
чинами х и у буд т х З ах 2 + аху уЗ === О, то расположи
члены сперва по х, а затем по у, 11 перемножь их следую
u им образом:
Умн."'\3 ах 2 аху у3 уЗ + a.Xj' ах 2
+ х 3
..
на 3 2 х О 3 у У О
х х х у у
даст 3xx2 2axx + аху 7\' j 3у у 2 + ayx '
Сумма произведений есть 3 x2 2ax +axy Зуу2 +аух ==0,
. .
и это уравнение дает отношение между фЛIОКСИЯМИ х и у.
Действительно, если взять х произвольным образом, то "
определится из уравнения х 3 ах 2 а.ХУ у3== о. ЕСЛII
это установлено, то мы получаем, что
.
х :у: : 3у 2 ах: 3х 2 2ах + ау.
(24) . . .
д ;/(азательство справедлuвости решенuя
(13) lV\o leHTbl текущих величин (т. е. те неОl раниченно
малые их части, блаrодаря прибавпеНИIО которых в неоrрани
ченно малые чаtтн времени ОНII постоянно возрастают) Haxo
дятся в том )ке отношении, что и СКОРОСfИ ИХ течения или
роста.
14. ЕСЛII I1UЭТОМУ выразить момент одной из НIIХ, например х,
.
через произведение ее скорости х на неоrраниченно малую
с.аИЧИIIУ о (Т. е. через .хо), то моменты друrих v, у, z Bыpa
. . . . .
'ЗS1тся чсреJ vo, )'0, zo, так как vo, ХО, уо и zo относятся
. . .
друr к друrу, как V, ..\"', У И z.
15. Tal как IО lенты, каковы ;0 и j,o, суть безrранично
M.:IJlIJIe п ри "аlJ еtiия теКУ1ЦИХ величин х и У, на которые эти
i) На ТО, что эта арllф IСТllчеСКJЯ проrрессия должна иметь ту же
разноСть, что 11 ряд 1I0каЗ<1тедей СТСII I1СЙ текущеЙ ВС.1I1ЧI1IlЫ, ОЧСВII,1.II0,
110 недосмотру, впервые уI\азыаетсc SI о Э 19, стр. 25,
9t)
величины возрастают в течение отде.1ЬНЫХ неоrраниченно 1a.
лых отрезков времени, то из 5Toro след) ст, что эти величины х
и у, после истечения heOI-раниченно малоrо отрезка времен.н,
превратятся lJ х + ХО и у + уо. Поэтому уравнение, во вся-
кое время выражающее отношение l\lежду теку.щими величн
нами, будет также выражать ОТНСIJJение ме>l.'ДУ х + хо и у + уа,
как и между х и у, так что вместо sтих величин в это ypaB
н ение следует подставить х + ХО и v + уо,
16. Пусть будет дано какое-нибудь уравнение, хотя бы
х З ах 2 + аху уЗ === о. Подставим в Hero х + хо вместо х
и у * уо вм есто у. т or да получ lIТСЯ :
х З + 3", ox2 + 3x оох + Х 3 0 3 )
. . I
ах 2 2ахох ax200+'
+ аху + ахоу + ауох + охуоо I == О.
уЗ 3уоу2 3у 2 00У y o') J
Но по предположению хЗ ах2+аху уЗ==О, и поэто
му эти члены MO}l(HO вычеркнуть. Если оставшиеся члены раз
делить на о, то останется 3хх 2 + 3 20X + х 8 00 2ахх
ах 2 0 + аху + аух + axyo Зуу2 3у2 0 у уЗоо== о. Но,
так как о, для Toro чтобы оно выражало моменты величин,
преДПОЛО}l(ено беСl{оне':но маЛЫМt то те члены, которые на
Hero уМНОiкеиы, будут равны нулю по сравнеНИIО с остаЛЬНЫl\.IИ.
Поэтому я ими пренебреl аю, и остается 3хх 2 2aXX-1
I a", y+ayx З уу 2==О, как и получилось выше в примере 1.
18. Здесь мы можем отметить, ЧТt) члены, свободные от о,
всеrда исчезаlОТ, так }ке как и те члены, которые помножены
на степени о, высшие первой. Остальные же члены, после
деления на о, всеrда I1рИНИ lают тот вид, который они должны
иметь, соrласно выuн прllведснному правилу . Что и требова
лось доказать.
19. [Содержит ТОЛЬКО указания, Ч 1'0 отсюда леrко по.!
чается все прочее СТОЯlцее в правиле .]
п о я с н и т е л ь н е 3 а м е ч а н и я. Несомненно, что Ньютон
после 1671 r. внес ellte изм нения в '"Это сочинение, так же
кзк и R цитироваННУIО в NQ XVH »Квадратуру кривых", быв
lJlУЮ К ЭТО:'fУ Bpe ICHII. в ОСflОВНОМ, уже rотовой. ВО3 tОЖНО,
IITO К ЧllС:IУ ЭТllХ изменсниЙ принаД.1еЖIlТ введение скорости,
не встреЧ310lцеi1ся еще в "АнаЛllзе посредством БССI":онечных
ядов". 1\\1)1 ТСIlСрЬ IIсреТIДДItМ все ВЫIIIСllрнведеllное в обозна-
2q7
,.. . f
"
чении Лейбница (Т. е., в основном, и в нашем). У Ньютона
имеется одна независимая переменная, которая не указана и КО-
· dx
торую мы обозначим через '. EI O Х тоrда буд т равно dt ' т. С.
СКОРОС1И изменения х.
1 задача состоит 8 составлении диференциальноrо уравнения
по заданному. Существо решения этой задачи мы дали ВЫIП .
II задача состоит в интеrрировании диференциальноrо уравне-
ния. Это, разумеется, мноrозначная задача, и Ньютон решил ее
только Д1Я некоторых отдельных случаев. При этом Ньютон
обнаРУiКИtает большое искусство и rлубокое понимание дела.
Правило, данное им для решения задачи'....... если оrрани-
читься спервз случаем арифметической проrрессии показателей
степени, ....... в точности то же самое, которым обладал и Лейбниц
.
и которое при меняем еще и мы. Если вместо х мы напи.ше 1
просто dx, опуская dt, то действительно из уравнения
х З ах 2 + аху уЗ== О
мы тотчас же получаем диференциальное уравнение
.;
3х 2 dx 2ах dx + ау dx + ах dy 3>2 dy .:=: о.
д аваемое теперь доказательство также в основных чертах
совпадает с ньютоновским. Вместо х и у мы в уравнение под-
ставляет х + dx и У + dy, в результате чеrо получается Bыpa
жение, аналоrичное данному Ньютоном в 9 16. Члены, не содер-
жащие dx и dy, отпадают; затем мы делим все на d t И переХОДИl\l
к пределу при dx О. Этот способ выражения еще был чужд
Ныотону, но, отбрасывая члены,. содержащие высшие степени о,
он получает то же самое. Но, так как у Hero нет нашеrо пере-
хода к пределу, то он вынужден все время употреблять сло::о
"бесконечно-малый" или "неоrраниченно малый". в подобных
простых случаях это не может дать повода ни к каким недорз-
зумениям. Но у Ньютона имеIОТСЯ не просто dx и dy, l<aK у
Лейб.!ица, а "MO leHTbl", которые будучи совершенно тождествен-
ными С "диференциалами" Лейбница (СМ. конец N2 XVI), выра..
dx dy
жаются через CKOPOC,"I dt и t ' умноженные на "беСКОllе I IНО
малую величину" о. Так Kal< ЭТИ моменты не что иное, как
ПУТI', llроходимые за малую единицу времени, названную нами dt,
dx ау
то в нашем обозначении они равны 4f · dt == dx и d( ' dt == dy.
O
Таким образом введение скорости не дает НЬЮТОНУ, по
крайней мере в рассматриваемом случае, никаких преимуществ
по сравнению с простой системой Лейбница.
Слово "течение" в рассуждениях подобноrо рода было вве-
дено еще Кавальери (см. выше, ч. IV, N2 Х), который, как мы уже
rоворили, заимствовал ero, быть может, в неперовском учении о
ЛОl"арифмах, rде оно как раз употребляется. Ныотон, во всяком
случае, был знаком с ними обоими. Введение "скорости" в уче..
ние о кривых восходит через Барроу к Робервалю и Торичел-
ли. Само собою разумеется, это только стимулы, исходные
пункты для дальнейшеrо творчества. Творческое" использование
этих стимулов представляет уже собственное открытие Ньютона,
и по вышеприведенному примеру, излаrающему только прин..
ципы, судить О том, насколько он превзошел всех своих пред..
шественников, невозможно.
В 58 Ньютон использует пример у == х 2 для исследовании
пут.J, причем Х представляет собой не само время,.а величину, ему
пропорциональную, т. е., скажем, х == ct, так что х (диференцируи
поt} равно с,а х==о. Тоrдадляскорости мыполучиму:::=2хх,
а для ускорения у=-2 (хх + ; х) == 2х2 === 2с 2 == const.
Таким образом мы имеем перед собой формулу равномерно
YCKopeHHoro движения, KOTOpYIO мы теперь записываем в виде
1
s== 2'at 2 .
На первый ВЗfЛЯД представляется странным непривычное для
нас общее праВИIl'IО Ньютона, соrласно которому диференцируе-
мые уравнения следует умножать не на ряд из показателей, а
на любую арифметическую проrрессию с той же, что и у по-
кззателей, разностью и притом при диференцировзнии по х на
друrую, чем при Дllференцировании 110 у. Ньютон поступает
подобным образом в таких примерах, l"'де 9ТО облеrчает вычис..
ления. Но дело обстоит очень ПРО ТО. Если в наше { примере
слева взять, B leCTO 3, 2, 1, о, ряд 5, 4, 3, 2, а справа, B lecTo
ряда 3, 1, О, ряд 1, 1, 2, то рез: льтат будет таков:
х ( + 2ах' ) у
(5x3 4ax2+3axy 2y ) + y3 axy . ==o.
Х' 2,\;3 У
(1)
ПОДПИUlем ПОД Э rIl\1
( + ') а \:2 ) У
(2хЗ 2ах2+2а.\)' 2уЗ). + 2y3 2axy ;;3 . 'у ,== О. (11)
Уравнение (П) равно тождествеНI10 нулю, так как каждая скобка
ca la равна нулю. Если вычесть (11) из (1), то мы получаем обыч-
ный результат. Если бы lbI В (1), вместо приведенных р,1ДОВ,
взял И 3 + т, 2 + т, 1 + т, 1/! 11 3 + Il, 1 + п, п, то в (11) н 1 i\ I
нужно было бы начальное уравнение У JНОЖИТЬ слева на т, а
справа на п: Из этоrо обlцее правило становится, достаточно
ясным. То обстоятельство, что Ньютон привел правило Kal( раз
в этой общей форме, показывает, насколько rлубоко он проник
в сущность дела. ХОТЯ комментарии KO lЬCOHa и очень l\1HOl 0-
словны, но как раз в этом месте он не rоворит ни слова.
XXI
Производная (инуса
Из "Instltutlones calcull differentialis сит eius -usu in analysi finitorum
ас doctrlna serlert1m.. Auctore l eonhardo Eulero... Impensls Academiae
imperialis scientlarum Petropolltanae, 1755. Место печатания указано в концс
книrи: Berolini ех officina Michaelis. Перепечатано в 1l0l ом большом
издании сочинений Эйлера: Leonhal"di Eoleri Opera omnia sub ausplciis
Societatls scien tiarum naturalium Ьеl vetic ае, edenda curavel.Un t Р. Rttdlo)
А. Krazer'J Р. Stac:,el. Series 1. Opera mathematica. Vol. х. Ed. Gerhard
Kowalewsky. Ltpsiae et Berolini, Typis et {п aedlbus В. о. Teubncri
MCMXIII. Немецкий перево.з: "Leonhard Eulers V ()lst ndige Anleitung zttr
Diff rentia1rechnung. ... von Johann ChrIsiian Michelsen, ... Erster Теi1. Be[
lin und Llbau, ... 1790"., Втории и тр тья чаСТ,i вышли в 179) и 1793 1':
дополнение rрюзонз (Griison) в 1798 r.
Пр е д в а р и т е.п ь н о е 3 а м е tI а н и е. Сочинение, из KOTO
pJro мы заимствуем ни)кеследующую маЛ НЬКУIО rлаву, представ
ляеl' собой перв:"):й систематич'.с ий учебник диференциальноrо
исчисления, и ПрИТО 1 чистоrо диференциаЛhноrо исчисления без
приложений I( rеомеТрllИ. Оно представ ): ieT собой большо том
в 880 (траниц in quarto. В 1768 177U- rl . Эйлер (Euler) BЫ
l1УС'l'ИЛ еще более объе fИСТЫЙ учебник интсrрDльвоrо исчислении
в 3 томах. Вместе с "II trodL1ctio in апаlуsiп i!lfiп:tоrum" Эйлер
же (Lausanna., 1748) (СМ. ЧаСТЬ 11, Ng XXI) эти кннrи дают ПОЛНУIО
fiартину тоrдаНIнсrо ИСЧИС.'lения бесконечно ма 1ЫХ, раСПО.1а авшеrо
)( TO iY вре.\lени Y)I{e orpoMHbl 1 материалом. Но уже псреВОДЧИI(
fw\их льсен (MichelselJ) rоворит (1 часть, стр. I X, примечание), что
nrH1 возведении cBoero npeKpaC1foro здании Дl1фере:iI иальноrо
н,, числения Эйлер пользова:lСИ лес.:а IИ, cOCTaB:ICHHbl:\11I 113 непроч-
НЫХ бревен. Этu 0знача т, чт() 1l0СЛ ЭПОХИ ОТКрЫТlIИ ИСilИС.тIе
НИИ бесконечно-малых, коrД l, 110 крайнеЙ мере, не забыли еще
архииедову cTporoCTb ДОК[lзатсльстнз н в С.1учае неоБХОДIIМОСТII
моrли ее и приме.!I1ТЬ, ПОС/IС этоЙ 9IIОХН б.:lаrодаря llзоБНJНII()
QQ
l1аКОПИ8utliХ 1 ':Я результатов наступила веЛllчаt\!НJ5I беззаботность
по части .rIОl'ичсскоrо обоснования теории. СrJеДУЮll{ИЙ ОТРЫ8СК
l\Iожет СЛУ)I{ИТЬ примеРОl\l этому. С ЧII ТО фаl(тической стороны
ОН СJдеРil{ИТ в себе впервые вывод этой и друrих ПРОИ3ВОДНЫХ
триrОНО!\IСТРllческих и KPYl'OHbIX ФУНКЦИЙ, которые Эй.1ер, BO
обще, впервые систе7\fатичеСI(И ввел в анализ в своем "BBeдe
нии" ("Introjиctio").
Стр. 171 (,,()r(;r ll, scr J, Х, стр. lЗi', пер., 1 часть,
стр. 173'.
201. О таIОТСЯ ещ величины, 1l0лучаIоUtl,IССН IIYTe 1 обра
lпения этих величин [Т. е. ранее paCCMOTp H"'ЫX функций
arcsin и Т. д.], а именно синусы и TaHreHcbI данных дуr. Мы
flокажем, I<aK их HY)KH ) диференцировать (differentiare) Дo
пусти t, что Х IIр дстаВJIяет собой дуrу окружности, а sin х
есть е.; СИ:IУС, диференциал KOToporo мы ищем. Положим
у =-== sin х и за fеНIlМ х через х + d ТОI"'да у перейдет
в. у r dy:
у + dy sin ("' 1 dx) и dy == sin (х + dx) sin х.
Но sin (:с + (ix) = cos х. cos d 1( cos х. sin dx 1), и так J<aK,
как мы ноказали во Введении (т. е. в вышеупомянутом" Intro.
d u с t i о I1 ) , Ч т о
z Z3 Z5
sin z == т 1 .2.3 + 1 .2.3 .4. 5 и т. д.,
Z2 Z4
cos Z == 1 1 .2 + 1 .2.3. 4 и т. д.,
то, отбрасываSl ИС'Iезающие члены, мы получаем, что cos dx == 1
11 sin dx === dx, а отсюда следует, что sin (х + dx) + sin х +
+ dx. cos х. Таким образом, если у == sin х, то dy == dx cos х.
СледоваlпельН,о, дuф:РIнцuал сануса lсаICой.нuбуdь дуzи равен
дuференциал)' дуzu, УАеНОJlCен.ному на "осин}'с. Таким же об-
разом, если р есть каJ<ая либо функция х, то d sin р == dp. cos р.
П о я с н и т с л ь н ы е з а м е Ч а н и я. Общепринятый вывод
производной s;in х имеется но всех учебни, ах, так что я Mory
j) ОРllrина..l 8десь набран уже так, как мы это делаем в настоящее
времн, Т. е. обозначения функций набраны шрифтом антиква, aprYMeHTbl
же курсивом. Но впереводе Михельсена все набрано снова по-ста-
ринному, шрифтом антиква, и за знаком функции встречаются да)f{е
снова точки для сокрап{ения. См. часть 11, Н!! XXI..
801
зДесь считать ero известным читателю. В вышеприведенном aьt.
воде, пре)кде Bcero., заслуживает внимания применение рядов,
которые старые математики, вообще, охотно использовали. Против
этоrо, само по себе, возразить нечеrо, так же каК нас не зат-
руднит выражение "отбросим исчезающие ч.1ены", Т. е. ВЫСlJlИе
степени dx, ибо этому (так же t<aK и у Ньютона, см. 8ыше, ч. IV,
N2 XVII) леrко придать лоrически строrую форму. Для этоrо нужно
только в формуле sin (х + dx) поставить полностью ряды, раз-
делить на dx и затем переЙти к пределу при dx.......-.+- о.
Но В настоящее время мы уже не пользуемся более рядqj\fИ
(как более сложным) при выводе производной (как более про
стой), 8, наоборот, выводим. ряды, опираясь на ,Производные и
подставляя их в общую строку Тэt:iлора (см. ч. IV, конец N2 XVIII).
Но ранее поступали не так. Мы уже у Ньютона и Лейбница ви-
дели, как они выводили в каждом отдельном случае свои ряды.
Если мы обратимся к "Introductio" Эйлера (Т. 1, 134, стр. 99),
то мы увидим, что Эйлер сперва при помощи теоремы Муавра
(см. часть 11) и формулы бинома выводит формулы для cos nz
и sin nz, затем берет п бесконечно большим, а z бесконечно
малым, так, чтобы при этом nz сохраняло конечное значение v,
и затем сразу (основываясь, во всяком СЛУ'-Iае, на rеометрических:
сообраil<ениях) принимает (а это в нашем примере он как раз
хочет доказать при помощи рядов), что sin z === z и cos z == 1
(для бесконечно малоrо z). Подставляя cos z === 1 и sin z ==
Il
II фОРМУЛ'JI для cos nz и sin nz, он получает применеНllые в на-
шем примере ряды cos'V И sin v.
Из 9Toro, в первую очередь, видно, что при выводе (при-
ближенных) уравнений co d:tC === 1 , sin dx == dx Эйлер не имел
права пользоваться выведенными как раз в этих предположениях
рядами. Но, и не rоворя об этом, вывод самих рядов Эйлером
вызывает большие сомнения. Он, собственно rоворя, приrоден
только при очень большом (и целочисленном !) п и соответ.
ветственно малом z, да и то лишь приближенно. Но, пока II
конечно, коэфициенты рядов не принимаlОТ той простой формы,
КОТОРУЮ они имеют в рядах sin'V н cos 'V. Таким образом спра.
ведливость ,тих рядов должна быть еще отдельно доказана.
ИМЕнн)А УКАЗАТЕЛЬ
Адам, Жеl ан (около 1475). Писец
при дворе Людовика ХI фран
цузскоrо. 11, 12
А 'Н\М, Шарль (род. в 1857r.). Ректор
Нансийской академии. Оди н ИЗ
издателей трудов Декарта. 1 ;16.
Александр из Афродизии (консц
П в. н. 9.). Родом из Карии; пр )
живал в Афинах; выдающиiiся
комментатор трудов Аристотеля.
71, 72
Алхайам, O ap (около 1040 до
1124). Знаменитый персидский
П09т сатирик, aCTpOH M и MaTe
матик. ИСС.тIедовал различные
случ'и решения кубическоrо
уравнения, рассматривая пере
сечения конических сечений.
132
Алхваразми (окодо 825 н. 9.). При
дворный математик, астрон '1М
и rеоrраф поощрявшеrо науки
халифа Аль-Мамуна. Ero "Ал-
]'ебра" (слова 9ТО восходит к
нему) основывается на rрече-
ских (и, может быть, также
индусских) источниках. Но так
ка к в ХН в. впервые были пере-
nедены на латинский язык араб
ские сочинения, а rреческие
источники по алrебре большей
частью совсем поrибли, то труд
Алхваразми приобрел orpoMHoe
значение в деле передачи aH
тичной алrебры, через посред
ство средних веков, новому
времени. 27, 28, 30, 31, 32, 38,
46, 48
Алцаркали (латtrниз. Арцахель,
жил около 1029 1087). Родился,
вероятно, в Кордове. Выдаю
щиАся астронои иаблюдатепь и
изобретатель и 'струментов (8
ч стности "Сttфеи"). 98
Альб рт Великий (1193 1280).
Родился в Лауин['ене (Шва-
бня). Настоящая фамилия rраф
А. Ф. Болльштедт (ВЗl1,t!dt).
Был доминиканцем, в 1260
1 :!62 IT. епископом РеrенсБУРl
ским, затем профессором УНИ
верситетов в Пари же и Кельне.
Крупный философ и теОЛОI' cpeд
невековья. 202
АльхаRтам, см. Ибн Альхайтам.
AHaKcarop (около 500 428 ДО
н. 9.). Родом из Клазомен (Малая
Азия). Преподавал в Афинах
фи."ософию. В ero идеалистиче
ском и телеолоrическом мира..
воззрении интересна большая
Р:1ЛЬ качественной атомистики.
202
Л"ри, Шарль (1857 1927). ДиреI{
тор Физиолоrической лаборато-
рии в Париже. Издал отчасти
один, отчасти в сотрудничестве
с друrими исследователями
ряд трудов старых ,авторов JI их
перепис ку. 1 O, 132, 248, 256
Антифон (около 430 до Н.9.). Афин-
ский философ софист. Сохрани..
лось сообщение о ero попытках
решить квадратуру Kpyra. 71
Апельт, Отто (род. в 1845 r. в Иене).
Препо 1аватель древних ЯЗЫКОВ.
Выпустил немецкий перевод
Платона 201, 203, 205
А"'ОJlЛОНИЙ (265 170 до Н. Э.)....
Родился в Перrе (Памфилия),
учился в Александрии, впо лед-
ст 'ии жил в Перrа!,fе. Один из
величайших rреческих матема..
тиков; rлубоко I детально раз-
Ja
. ;r
p,10UTJ.'1 Y!ICJllle о I(UIIIIIICC «пх
сечениях. В XVH n. Cl'U СОЧIIIIС
ния сыrрали выдающуюся роль
u
при создании (\налитическои reo
Iетрии. СохраIlИДИСЬ только el'o
"l(онические сечения" (4 КIIИl И
по rречеСRИ, следующие 3 - IIO
сtрабски, 8 я КIIиrа утеряна). 120,
121,122,124,126,128,129,130,
132, 134, 136, 141, 143. 145, 146,
153, 161, 172, 201, 216, 2 12
АристеА (:10 : ()O дО Н. э.). Написал
трудок () IIIPICCIOIX сечсниях н.
работv о ПРJВИЛ(>НЫХ MlIororpaH-
никах: Эти работы не сохраНII-
лись, 120
А истотель (384 322 ДО 11. 9.). ?' че
. IlИК Платпна. СочинеНJlЯ Аристо
тсля представляют подлинную
ЭIII ИI{ЛОПСДИЮ на\'к той ЭПОХIf.
j\РИСТОТСЛЬ ВhIдаЮIЦИЙСЯ eCTC
с l'воиспытате:lЬ и мыслитель,
в частности автор l'луБОКIIХ
IIсс.,едоваНI1Й по фОр fальной
..10( Ике. Ero идеалистически
телеОЛОI ичес ({ая филос офская
система rосподствовала В TC
чение значительной части cpe
lIевеКОВI>Я; науч ная де я Te.Т'J hllOCTb
начала HOBoro вре\lени luла под
3Hal{OM борьбы с церковным и
университетским аристотеЛЬЯIl
С1'ВОI\I. 71, 72, 191,201,203,204,
205
Архимед (278? 212 до н. э.). )КИIl1
В Сllракузах, I'де 110rип при за
впеП;\НIIИ l opo;J.a рИ :IЯllами. Bc
Jlичайший математик дреВНОСТJI
И, вообlце, О::J,ИН из величаАIIJИХ
математиков всех времен. Oco
бенно замечате.1ЬНhI ero опре
деления площа.lей и объе IОВ
фиrур, проведенные с по 101цыо
инфинитеЗlIмальны ПРllемов.
Автор l луБОКIfХ ИСС.lедований
по статике (теория рычаrа, OTЫ
скание центров тяжести); OCHO
воположни К "'И.lростатики (,.за
кон Архимеда"). Сочинения еп)
большей частыо сохранились.
84,87,94,121,128, 1291135, ]55,
186, 187, 188, 191 , 193, 195,
197, 198, 200, 201, 202. 205, 206,
208. 209, 210, 211. 215, 216. 217,
218, 219, 2 O, 221, 222, 2 5, 226,
227, 229. 230, 232, 233, 239, 240,
248, 249, 251, 254, 260, 262, 264,
276, 284, 290, 291, 292, 293
l\рХИТ ТареНТСI\ИЙ (428 347 до
11. э.). rосударственный деятеJlh
и подководец, вероятно, r"la. а
так называемых пифаrорейцев.
Дал ориrинальн6е rеометричс
cI\oe реllIение классическоii за
:{ачи об удвоении куба с по
мощью О;J.НОЙ пространствеllноf{
кривой. Сочинения ero 11'': co
хр I1Н.'IИСh. 20, 42
Баррnу, Исаак (1630 16i7). Po
ДИ.'IСЯ И умер в ЛОН.10ilе. Выдаю
IЦИЙСЯ Teo:lol' и математик.
В 1669 r. уступил кафедру MaTe
маТIII{И в Кембридже своему
У[lенику Ныотону. Затем бы.'!
придворным ({аппеланом, а В
1675 r. к нцлером КемБРИД}f{
с I{oro университета. Ero рJботы
имеют очень большое значение
для предистории исчисления
бесконеqIlо малых (в частности,
установление взаимно обратной
заВИСIНfОСТИ между интеl рИрО
ваннем н дифеРСlIцированием).
Ему принадлежат также Hel\O
торые открытия в области reo
метрической оптики. 267, 268,
269, 270, 272, 273, 277, 278, 280,
299
Б l\кер, Оскар (Р(),1. в 1889 r.).
Профессор фlllll0СОфИИ по <I)рей
nypl'CI{O 1 университете, после
дователь идеалистичес кой фило
софии rуссерля. 203
Б :{OH, Роджер (1214? 1294, Ol{
сфор.l). ВОИIIСТВУЮIЦllЙ фраНЦII
сканец, ЭllерI'ИЧIIО боровшийся
с нравственной испорченность!о
l еркви. Первый крупный критик
СХО.1аСТИКII, настаНR ВШИЙ на
изучении природы с помощью
эксперимента. 202
Бендер, reo I' (1920). 100
Б недетти, Джамбатиста (лаТIfНИ3.
Benedictus; 15iO 159О). РОДlfЛСЯ
в Венеции. Придворный reo
),feTp 11 физик rерЦОI'а Савой
с Koro. 721 82. 1 04 105
Берлет, Бруно (1860). nедаrОf.
Издал . Косс. Адама Ризе. 36
Бе нулли, Иоrанн (1667 1748).
Родился в Базеле, умер там же,
будучи преемником по кафедре
математики cBoero брата Якова
(см.). Выдающийся ученый в об-
ласти исчисления бесконечно
малых. 289, 290, 291, 292
ерну.!ЛИ, Яков (1654 1705). Po
дился в Базеле, умер там же,
будучи профессором MaTeMa
тики в университете. Продол
жал в области исчисления бес
конечно малых работу Лейб
ница. Один из творцов вариа
ционноrо исчисления и теории
веРJятностей ("закон больших
чисел"). 275
Бешэнштейн, Иоrанн (1472 1532).
Родился в Эсслинrене, препо
давал еврейский язык в раЗЛИl
ных университетах. Среди ero
учеников были Лютер и Меланх-
то н. 12
БомбеЛJlИ, Рафаэль (вторая пол о
вина Х v'1 в.). Был инженером.
Друrих биоrрафических CBeдe
ней о нем не имеется. Около
1560 r. составил сочинение по
алrебре, напечатанное в 1572 r.
и содержащее MHoro ориrи
нальных вещей; в особенности
ценны ero достижения в теории
мнимых величин и пер ая COBpe
менная переработка Диофанта.
28, 39, 50, 51, 55, 57, 60, 135
БОРТОJlОТТИ, Этторе (род. в 1866 r.).
Профессор математики в уни
верситете в Болонье, ero poд
НОМ rороде. Историк MaTeMa
тики. 268
Боеман, Анри (1852 192 ). Po
дился в Мехелне, умер в Брюс
селе, rде он в течение 40 ле1
работал в качестве учителя мате-
матики в иезуитской rимназии
Сен Мишеля. Имеет ряд серьез...
ных исторических работ, ос'.)-
бенно о бельrийских математи",
ках. 245, 260
Брадвардин, Фома (OKOJIO 129
1349). Архиепископ Кеитербе
риАскиА. Философ с иеКОТQphll
,О 11.." е 11 ..., tt X to.'ttl.,
математ чес.ким уклоном, при..
надлежал к течению Дунса
Скотта (СМ.). 202
Брианшон, Шарль Жюльен (1785.......
1864). Артиллерийский капитан
французской службы, выдаlO
щийся математик, работавший
в области проективной reoMe
трии и учения о конических
сечениях (" теорема Бриан
ш о н а " ). 165, 171, 1 74
Броуер, Эrберт (род. в 1881 r.).
Профессор математики в AM
стердамском университете. Из
вестный тополоr. rлава так Ha
зываемоrо "интуиционистскоrо"
течения в вопросах обоснования
математики. 205
БРОУНI{ер. Лорд Виллиам (1620?
1684). Родился в Ирландии, KaHЦ
лер Карла If, один из OCHOBa
телей Королевскоrо общества.
Дал разложение в ряд величины
rиперболической площади. 278
Брунш.. иr, Леон (род. в 1869 r.).
Профессор философии в Cop
боне (Париж). Историк MaTeMa
тики. 259
Бутру, Пьер (1880 1922), сын
философа Эмиля Бутру. Профес
сор математики в университете
в Пуатье, затем в СоН ge de
France в Пари/не. 167, 259
Ваард, Корнелис дe (poд. в 1879 r.).
у читель математики в Флисин
reHe. Историк математики и
физики. 258
ВаJl И ,Лука (1552? 1618). Про-
фессор математики и физики
в rимназии в Риме. Член Лка
демии .del Lincei. 227, 2ЗО, 231,
233, 239
ВаЛJlИС, Джон (1616 1703). Изучал
теолоrию и математику, которые
он преподавал в Оксфорде. Уче-
ник Оутреда (см.). Позднее при-
дворный св щенник Карла п.
Член Королевскоrо общества
с caMoro ero основания в 1663 r.
Один из предшественников
творцов ис числения бесконечно-
малых. Выда:Qщиitса JlllиrJИСТ.
е8. 272, 277. 27&
В 1..1льне), Карл (род. в 1881 r.).
у читель математики в реальном
училище в Роrенбурrе. 226
Вассура, Джузеппе (191 9). fнже
нер. 245, 263
8ейерштрасс, Карл (1815 1897).
Сперва учитель, затем профсс
сор математи"и в Берлинск)м
университете. Один из круп
нейших математиков XIX в.
Автор основоположных работ
по теории функций комплекс
lIoro перемеНllоrо. Он также один
из первы \ дал cTporYlo теорию
иррациональных чисел. В значи
тельной мере ему обязана co
.временная математика за CTpO
I OCTb методов и доказательств
анализа. 183
8ертr йм, rycTaB (1843 1902).
Учитель во Франкфурте на
Май не. Историк математики. 22,
23, 26
8идман, Иоrанн (род. около 1460 r.
в Эrере). Изучал медицину;
читал лекции по алrебре в Лейп..
циrе. 92, 93, 94
Виета, Франсуа (1540 1603). Фран
цузский юрист (судья) сперва
в Ренье, затем в Туре; умер
в Париже. Наряду с этим один
из крупных аЛl'ебраистов начала
HOBoro времени. Он стал обо
значать буквами также коэфи
циенты в уравнениях, что только
и сделало возможным опериро
вание формулами (за это ero
прозвали "отцом а.т.rебры"). С
внешней стороны изложение
ero еще примыкает к древним
авторам. Автор ряда крупных
работ по триrонометрии. 51, 52,
53, 54, 64, 90, 108, 111, 112, 113,
114, 132, J33, 134, 135, 257
ВОJlьфскель, Пауль (1856 1906).
Ученый; проживал в ДapM
штадте. Приобрел известность
основанием премии в 100 000 ма..
рок за решение так называемоi:i
задачи Ферма. 25
Врис, rенрик дe (род. в 1867 r.).
Профессор математики AMCTep
дамскоro университета. 167,
171
ЗQ6
<
rазье, Феликс (1914). Один "9 If3
дателей сочинений Паскаля. 259
rален, Клавдий (131 201) (см.
Рота)
rалилеЙ, rалилео (1564 ' 642). Po
лился в Пизе, был там профес
сором математики, затем про
фессором в Паду е, а позднее
(номинально) снова в Пизе,
хотя и жил во Флоренции. Наи
более крупный физик начала
HOBoro времени (закон падения
тел в пустоте); при помощи
подзорной трубы сделал выдаю
щиеся астрономические OTKpЫ
тия. За энерrичную защиту
коперниканской системы был
осужден инквизицией (1633 r.),
и умер под арестом в своей
вилле в Арчетри близ Флорен
ции. Учитель ряда выдающихся
итальянских ученых (Кавальери,
Торичелли и др). 202, 239
l"\lЛJlей, Эдмунд (1656 1724). Про
фес сор rеометрии Оксфордскоrо
университета, затем астроном
в rринвиче. Особенно известен
блаrодаря открытию первой KO
меты с эллиптической орбитой.
121
rаллуа, Жан (1632 1707), аббат,
профессор rречес Koro языка в
College royal в Париже. Изда
тель (1665 1674) Jourl1al des
Sаvапts. 284.
rарриот, Томас (1560 1621). Po
дился в Оксфорде. rлавное ero
сочинение, имевшее особенно
важное значение для установле-
ния алrебраических обозначе
ний, появилось лишь через 1 О лет
после ero смерти. 117, 157
raycc, Карл Фридрих (1777 1855).
Родился в Брауншвейrе, впо
следствии профессор rеттинrен
cKoro универсисета и директор
тамошней обсерватории. Один
И3 величайших математиков всех
времен, творческий, проклады
вавший новые пути rений во
всех областях в частности и
в приложениях математики.
Основоположник современной
высшей алreбры (в частности
он доказал теорему существо
вания корней алrебраических
ур.IDнений), теории ЧlIсел, дифе
рснциальной rеометрии, теории
вероятностей (" :метод наимень
тих квадратов"), учения о бес
. КО -lечных рядах и т. п. Автор
крупнейших работ по теорети
ческой астрономии, (вычисление
орбит !'ланет по немноrим Ha
БЛlOдениям " теории притя)кения,
rеодезии, учени 10 об электриче
стве и МaI неТИ3\1е. Из неопуб
ликованных при жизни raycca
дневников видно, что он также
владел идеями неэI3КЛИДОВОЙ ['eo
метрии (Лобачевскоrо Больяи)
и теории эллиптических функ
ций. Замечательна 1'лубокая
связь ero теоретических иссле
довании и их ПРИЛОLкенпй в
астрономии, механике и физике.
63. 117
r }lберr, Иоrанн Людвиr (1854
1928). Специалист по классиче
ской филолоrии, профессор Ko
пенrаrенскоrо у ни ерситета.
Переиздал мноrих rреческих
математиков (и врачей). 15, 73,
76, 81, 82, 120, 121, 124, 185,
186, 187, 188, 195, 209, 211, 221,
291
r йнце, Рихард (род. в 1867 r. в
Наумбурrе). Профессор класси
ческой филолоrии в Лейпциr
CI<OM университете. 203
rерrард I\реМОНСIiИЙ (1114 1187).
Один из крупнейших перевод
чиков ХН в., содействовавший
ознакомлению Западной Европы
с сокровищами арабской науч
ной литературы. 28
rерrардт, Карл Иммануил (1816
1899). Жил в Эйслебене. Исто
рик математики, выдающийся
знаток Лейбница. 272, 273, 274.
284, 285
rерланд, Эрнст (1838 1910). Про
фессор физики в rорной aKa
демии в Клаустале. 259
repoH АлеnсандрийсниА. Повиди
мому, землемер и техник. Уче
ные спорят. как о времени ero
жизни. так н о ero научном
2Q.
значении. и. Л. rеиберr и ero
ученики относят repOHa к III В.
пuсле н. э. и считаlОТ ero ли
шенным l<ритическоrо чутья
компилятором. Э. Хоппе (из reT
тинrена) относит ero к началу
1 в. до н. э. И считает с.амостоя
тельным физиком и М(lтеМёiТИ
KJM. Имеются также ученые,
относящие ero ко времени Me
жду обеими вышеназванными
датами. Работы ero интересны
в том отношении, что показы-
вают ряд праI<тических прило..
u
iкении математики в древности.
83, · 84, 86, 93, 94, 211, 227
rильберт, Давид (род. в 1862 f.
в Кениrсберrе). Профессор Ma
тематики в rеТТИllrенском уни
верситете. Один из крупнейших
математиков современности.
rлавные ero работы относятся
к ПРJблемам обоснования MaTe
матики (в частности, он первый
ПJСТРОИЛ безупреЧНУIО систему
аI<СИОМ rеометрии) и математи
ческ й лоrики, теории чисел,
теории интеrральных уравнениi1
и математической физике. 185,
205
rиппснрат Хиосский (около 440
до н. э.). Один из лучших paH
них rреческих математиков, за
нимавшийся проблемой KBaдpa
туры Kpyra и нашедший при
э [ом квадратуру различных лу
ночек Kpyra. 33, 71, 72, 291
rOB , CTaДT, rенрих (1850 1926).
Учитель математики в Мюнстере.
292
rОПl1ердитцель, Пауль (1926). 33
rофман, Иос. Э. (род. в 1900 r.).
Учител ь матемаТИI{И в Мюнхе
не. 184
rош, Ришар (1866). Филолоr клас
сик 18 .
rpaMMaTeyc, rенрикус (по нем.
SChreyber). Родился в 1496 r. в
Эрфурте, учился в Кракове и
Вене и под конец преподавал
там же. Крупный арифметик
(" R. Henme SLer"). 39, 40, 41
rреrори, Джемс (1638 1675). Ро-
дилс.я в Эбердине (?). иескOJIЬК()
8Q1
лет провел в Италии, умер про
фас.сором математики в Эдин
бурrском университете. Автор
ряда инфинитезимальных иссле-
дований, в частности по разло
жениям в ряды. 272, 287
"риrорий из Сент Винцента
(1584 1667). Бельrийский ис
зуит, блаrодаря своей большои
работе о квадратуре Kpyra и
о конических сечениях явля
ется одним из предшествеНIIИ
ков творцов исчисления бес
конечно малых. 192, 255, 259,
60
rрюзон, Иоrани Филипп (1768
1857). Профессор математики в
университете и во французской
rимназии в Берлине. 300
rульдин, Пауль (1577 1643). Po
дился в Ст. rаллене, был иезу
итом; профессор математики
в rрацком университете. Изве
стные в механике " теоремы
rульдина" о поверхностях и
объемах тел вращения BCTpe
чаются, между прочим, у Паппа
(см.). 238, 239, 264
rюАrенс, Христиан (162 1695).
Родился и умер в raare. -Юрист
и наряду с этим выдающийся
математик и физик. С 1666 по
1681 r. ПРJживал в качестве дей
ствительноrо члена Академии
наук в Париже. Основатель вол
новой теории света, изобрета
тель мощных зрительных труб,
с помощью которых сделал ряд
астрономических открытий. rюй
reHc построил первые часы с
маятником. Изучение движения
маятника привело ero к ряду
важнейших динамических (фор
мула сферическоrо маятника,
учение о центробежной силе,
теорема живых сил, TaBToxpOH
ность циклоидальноrо маятника)
и математических (теория эво
лют) открытий. Занимался также
математической теорией иrр.
Для творчества rюйrенса xa
рактерно тесное сплетение ис-
CJlеАОВlниl по прикладпой Lf
IO
теоретичеСI{оli математике.. '264,
272, 278
rюнтер, 3иrмунд (1848 1922).
Историк математики. Был про
фессором rеоrрафии в \юнхен
с кой высшей технической ШКО-
ле. 91, 92
Дебон, Фл 'римонд (1601 1652).
Советник при трибунале 8 Блуа.
Наряду с этим занимался MaTe
матикой и изrотовлением aCTpo
номических инструментов. 144,
145, 146, 149 11
Дезарr, Жерар (1593........1661). Po
дом из Лиона. Архитектор и
вместе с тем крупный reoMerp.
Заложил начала современной Ha
чертательной и проективной reo
метрии. 161, 162, 164, 165, 166,
167, 169, 174, 175
ДеI<а;т, Рене (1596 1650). Выдаrо
щийся философ и ученый. Как
философ Декарт дуалист, co
четавший в св Jей системе ряд
материалистических и идеали-
стичес ких элементов. !\1ехани
стическое мировоззрение Дe
карта сыrрало в свое время эна
чительну ю рол ь В развитиии
наук. Декарт одновременно с
Фермi открыл метод аналити
ческой rеометрии, придав ему,
однако, более современную
форму, чем Ферма, особенно в
части алrебраическоА символи
ки. Алrебра обязана Декарту не
ТО.1ЬКО современной символи
кой, но И рядом теорем о KOp
нях уравнений. Друrим крупным
открытием Декарта, 8последст
вии получившим разнообразное
и широкое применение. явля
ется метод неопределенных коз-
фициентов. Де карт дал также
ряд работ по оптике (вывод за
кона преломления света, теория
радуrи), теории удара, систему
космоrонии, построенную на
теории вихрей; в биолоrии он
высказывал эволюционную идею
о постепенном развитии opra..
низмов. 36, 53. 60. 61. 62. 63.
128, 135, 136, 137. 139, 140,141,
142, 143, 144, 146, t 49, 150. \52,
155, 159, \61, 202", 257, 262, 268,
269, 272, 273, 274, 275, 288
ДеМОI{РИТ (460 371. до н. э.) из
Абдеры. Крупнейший предста
витель (хотя и не родоначаль
ник) материалистическоrо миро
созерцания в древности, разви
павший атомистическую концеп
цию строения мира и объясняв
ший на ее основе явления ДYXOB
ной жизни. Повидимому, один
ИЗ цервых применил инфини
'\'езимальные приемы для вычис
пения объемов тел. Влияние ero
на развитие фИЛОСОфИИ и науки
было весьма значительным, но
тщательно затушевывалось I'ла
венствовавшими позднее антич
НЫМИ идеалистическими aBTO
рами. От сочинений ero ПОЧТИ
ничеrо не осталось. 186, 202,
205. 222
ДеТТОНВИJlЛЬ, Амос (псевдоним
Паскаля). 259
Джонс, 8ИJlлиам (1 675 1749).
Учитель математики. Член Ko
ролевскоrо общества. 259
Диофант (конец 111 столетия). Жил
в Александрии. Кроме Toro о нем
пичеrо неизвестно. В своей
.Арифметике" обнаружил боль
шое и кусство в решении ypaB
вений и систем уравнений, а
также в теории чисел. 22, 23, 24,
25, 26, 27, 57, 59, 249, 256
Д'Оодж, М. Л. (1926). АмеРИl(ан
ский филолоr. 18
Дунс Скотт, Иоrанн (около 1270
1308). Родился, вероятно, в Шот
ландии, был францисканцем,
преподавал философию и Teo
поrию в Оксфорде, Париже и
Кельне, rде он и умер. Против
пик Фомы Аквинскоrо (см.). 202
Дюр р, Альбрехт (1471 1528). Bы
даlощиАся lJюрнберrский жи
вописец и rpaBep на дереве и
меди. Учился в Италии и Ни
Аерландах. Ero "Наставление"
(.Unterweisung") было долrое
время излюбленным PYKOBOДCT
801\1 практической rеометрии
R не только для художников.
92 95. q6 t 102 ! 104
Жерrон, Жозеф Диац (1771 1859).
Сперва артиллерийский офицер,
затем профессор математики R
Ниме и Монпелье. Выдающийся
I'eoMeTp, наряду с Понсле YCTa
новивший "принцип двойствен
ности". 182
}Кирар, Альберт (1595? 1632). Из
ero прозвища "Sami 10is" заклю
чают, что он был родом из CeH
Мишель в Лотаринrии. Жил в
Нидерландах, работал в качестве
инженера. Написал важную для
далънеi1шеrо развития науки
книrу по аЛI'ебре. 54, 60, 61
3аис, Ева (род. в 1882 r.). Знаток
классической филолоrии; про
живает в Берлине. 203
Зенон (около 450 r. до н. 9.). При
надлежал к философской школе
9лейцев (Элея в южной Италии).
Знаменит остроумными софиз
мами, по существу наПравлен
ными против атомизма ДeMO
крита (см.). 192, 203
3утер, rенрих (1848 1922). Учи
тсль математики в Цlорихе. Bы
дающийся знаток арабской Ma
тематики. 97, 245
,
Ибн-АльхаЙТ1М (965? 1039). Po
дом из Басры в Месопотамии; по-
зднее жил в Каире. Выдающийся
астроном и математик. 73, 245
Иоахим, rарольд rенри (род. в
1868 r.) Профессор лоrики в
Оксфордском университете. 202,
203, 205
Кавальери, Бонавентура (1598
1647). Иезуат (не иезуит). Про
фессор Болонскоrо универси
тета. Ученик rалилея. Один
из крупных предшественников
творцов исчисления бесконечно
малых. Автор метода неделимых
и известноrо в rеометрии "прин
ципа КавальеР'-1". 202, 221, 227,
231, 239, 240, 242, 243, 244, 25g,
272, 299
Кардан, Иероним (1501 1576).
Врач, философ и кр упнеАll1ИЙ
а.lrебр ист. Подроб 110 раЗВИ.1J co
3
общенное ему вкратце TapTaJlb-
ей (СМ.) решение кубическоr<?
уравнения в "Ars magna" (Нюрн
epr 1545). 48, 49, 50, 55, 63
Карно, Лазарь (1753 1823). Сперва
инженерный офицер. aыдalO
щийся деятель ВеЛИI!ОЙ фран
цузской революции.. 110сле pe
ставрации Бурбонов был изrнан
из Франции, умер в Маrдебурrе.
Крупный reo leTp. 174.
Карпинский, Луи Чарльз (1915,
1926). Американский историк
математики. 18, 27, 30
I{еб ль, Яков (1470 1514). Родился
в rей ельберrе, учился OДHO
временно с Коперником /в Kpa
кове. 11, 12
Келлер, rоттфрид (1819 1890). Bы
даlOЩИЙСЯ ш ейцарский поэт. 11
Кеплер, Иоrанн (1571 1630). Вюр
тсм6ер>кец, сперва изучал про
тестанекую теолоrИIО, затем учи
тель математики в I"раце и
Ливце, в проме)кутке придвор
ный астроном Рудольфа П; Фер
динандом П назначен придвор
IIЫМ математиком. Открыл за
коны движения планет; имеет
выдаlощиеся достижения в оп
ТИI( . Один из предшествеНIIИ
коп творцов исчисления беско
tlечно ма.лых. 158, 231, 232, 233,
2Э5, 236, 237, 238, 239, 244, 245,
290
Кеттер, Эрнст (1859 1922). Про
фессор математики. 171
КИJlлинr, ВИJ1ьrельм (1847 1923).
БЫ.,1 профессором математики
в А1IОl1СТ!;РС ком университете.
192
Иланий, Христофор (1537 1612).
У trеныli Ht:; УlIт математик, poдo [
из Ба:мбеРI"d (или OKp стностей
ero). Е['о lIe eЦKoe нелаТИНИЗIl
ропаIl ((ое l{ fИ неизвестно. Нет
твердых Д;IННЫХ ни в пользу
"Sclllilssel", llН в пользу "Klau".
98, 1 04
I<лим, (I>РIIДРИХ (род. В 1887 r. в
БlIс\{ар {хютте, Верхняя СНЛС
аня). ореС13В.,lЬСl\ИЙ MaTe laTIIK.
188, 195, 197
f{Л:У r, Р. (1908). 232
3tQ
Ковалевский, rерrард (род. в
1876 r.). Профессор математики
в Высшем техническом училище
d Дрездене. 272, 273, 275, 300.
КО.'1линс, Джан (1625 1683). Po
дился в Оксфорде. Происходя
из так называе:\-IЫХ низов, стал
впоследствии членом и ceKpe
тарем Королевскоrо общества.
Значение ero заКЛlочается в из.
дании сочинений друrих авторов
и. в ero научной переписке. 277
Кольсон, Джон (1680 1760). Про
фессор матемаТИI{И в Кембридж
ском университете. 294
Коммандино, Федериrо (1509
1575). Врач и математик rерцоrа
у рбино (rop. У рбино ero po
дина). Принадлежит к числу
первых ученых, возродивших
rеометрию древних. 230
Кзпернин, Николай (1473 1543).
Родом из Торна. Умер канони
ком в Фрауенбурrе. Основатель
названной по ero имени систе
мы мира. 99, 100, 101, 102
Ксснократ (396 314 до н. э.). rpe
ческий философ из ШI{ОЛЫ Пла
т на. 202, 203, 281
Kypц , Ман:симилиан (1837 1903).
Родился в Баленштедте. Был
преподавателем математики в
Торне. Очень хороший знаток
средневековой математики. 100
Ла-rир, Филипп дe (1640 1718).
Член Парижской Академии и
профессор матемаrики. 150, 152,
162, 171, 175
Латам, Марчиа л. (ум. в 1925).
Американская преподавательни
ца математики. 60, 140
Лейбниц, rоттфрид Вильrельм
фон (1646 1716). Родился в
Jlейпциrе, под конец жил в ralI
н')"вере. Мноrосторанний уче
ный, математик и философ. А B
.тор идеалистической системы
"монаДО.10rии", выдающийся ис
следователь проблем лоrики. OT
крыл Дllференциальное и инте
l'раЛЫlое ИСЧIIС.1ения (СМ. так}ке
Ньютон). Высказал основную
!lдеlО ПРИl1цица сохра11еНllЦ
нерrии. 51, 141, 155, 167, 169,
264, 265, 266, 267, 268, 272, 273,
274, 275, 276, 277, 278, 280, 284,
285, 286, 287, 288, 292, 298, 299,
302
Леонардо "изанениА (ум. в
1250 r.). Был мирянином; ничеl'О
друrоrо о ero жизни неизвестно.
В 1202 r. (сохранившаяся peдaK
ция от 1228 r.) составил "Алrеб
ру" (Liber аЬасО, ЯВJIЯЮЩУЮСЯ
вместе с eI'o друrими сочинени
ями важным соединительным
звеном между Востоком и За
падом. 28
Лопиталь, rильом Франсуа дe
(1661 1704). Жил в Пари же.
Был офицером. Написал курсы
анализа и аналитическои reo
метрии конических сечений.
152, 153, 155, 290 ·
ЛJрей, Вильrельм (род. в 1873 r.).
Математик; доцент страховых
наук в Лейпциrе. 184
Л риа, Джино (род. в 1862 f. в
Мантуе). Профессор математики
в университете в reHye. Исто
рик математики. 245, 268, 288
Мавролик, Франческо (1494
1575). Член духовноrо ордена,
затем аббат, преподавал MaTeMa
тику в Мессине, родном ero ro
роде. Один из первых ученых,
воскресивших математику древ-
них, особенно Архимеда. 230
М зеD, rермап (род. в 1856 иди
1857. в Цlоллихау; ум. в 1902 1'.
в Берлине). Переводчик на He
мецкий язык древних, а также
и более новых сочинений по
математике. 117
Майер, Ф. К. (1697 1729). С 1726 [.
член Петербурrской академии
наук. 114, 115, 116.
Манициус, Карл (1848 1922) (Дpe
зден). Специалист по классиче
ской филолоrии. Издал различ
ных rреческих математиков и
астрономов, снабдив их издании
переводами. 81
Манне, Дитрих (род. в 1884 r.).
Сперва учитель М: темати l{ll, :1 С
t 927 1'. профессuр фИJlОСОфllН
в Марбурrском университете.
Выдающиися знаток Лейбница.
265, 266, 289
Мебиус, ABrycT Фердинапд
(1780 1868). llрофессор aCTpo
номии и директор Леипциrскои
обсерватории. Превосходныи re-
ометр. 176, 179, 180
MeHre rенрих (1838 1926). Po
дом из АахеН(1, директор rимнз
ани в Майнце. Переиздал эвкли
довские "Data" и .Ph inOlnena".
79
Мендталь F. (1886). 8'1
Менелай (около 100. н. э.). rрече
скии математик и астроном.
Жил в Риме. От Hero сохрани
лась превосходная ., Сферика" .
171
Менехм (около 360 до н. э.). По
свидетельству Прокла (У В.
н. э.) будrо бы открыл кониче
ские сечения. 120
Менцер, Карл Людольф (1816
1893). Родом из rалле на Зале,
умер в Ростоке. У итель (MaTe
:матик), выпустил несколько TPY
дов, между прочим также HaTYP
философскоrо Xapal(Tepa. 99,
100
Меркатор, Николаи (1620 1687).
Родился в rольштейне, жил В
Копенrаrене и Лондоне (член
Королевскоrо общества), инже
нер, умер в Пари же. Открыл
разложение лоrарифмов в CTe
пеннои ряд. 278, 286.
Мидорж, Клод (1585 1647). Фран
цузский ученый. Написал труд о
конических се 1 lениях. 128
Михельсен, Иоrанн Андрей Хри
стиан (1749 1797). Учитель Ma
тематики в Берлине. Знамени
тый псдаrоr. 117, 300
Монж, rаспар (1746 1818). Про
фессор матемаrики в ряде во-
енных школ в Париже. Во вре-
мя революции морскои министр;
сопровождал Наполеона В .Еrи-
пет. Выдающийся reoMeTp; co
здатель "начертательной reoMeT
рии" и автор ценных открытий
R диференц"а.1ЫIОЙ rеометрни.
171, 175
8Jl
MOHT8J1bT, Луи Jte.. (псевдоним
Паскаля), 259
"уавр, Абраrам де- (1667 1754).
Будучи протестантом был BЫ
нужден переселиться из Фран
ции в Лондон, rде давал част
ные уроки. Плодовитый MaTeMa
тик. 116, 117,301
Натани, Леопольд (1819 1905).
Профессор математики в Бер
лине. 63
Нейбарт, Конрад (1580). 102,
104
Непер (Neper), Джон (собственно
Napier или сходным образом)
(1550 1617). Шотландский ДBO
рянин помещик. Изобретатель
лоrарифмов, автор известных
формул сферической триrоно-
метрии. 45, 102, 255
Ни;{ом-...х из rep cbI (в Палестине,
около 100 r.) Составил несколько
растянутое, основывающееся на
работах ero предшественников,
"Введение в арифметику". 20,
21, 23
Ницце, Эрнст (1788 1872). Учи
тель, специалисr по классиче
ческой филолоrии, жил В Бер
лине и Штральзунде. Переиз
дал ряд rреческих К.,'1ассиков по
математи ке. 78, 79
НЬЮТОН, Исаак (1642 1727). Po
ДИ.,'1ся В rреитхеме в Лин
кольншайре. Сперва профессор
в Кембриджском университете
(см. Барроу), затем директор KO
ролевскоrо MOHeTHoro двора в
Лондоне. У мер в Лондоне. OT
крыл диференциальное и интеr
ральное исчисление (см. также
Лейбниц), заложил основы раз
1-IОСТНОrо исчисления, дал ис
следование кривых TpeTbero по
рядка. Значительно содейство
вал развитию опти ки (цветор c
сеяние, открытие рефлектора,
, эмиссионная теория света) и
небесной механики (закон тяrо
'rеНИЯ). 68, 132. 268, 272, 275,
276, 277, 278. 280, 281, 282, 283,
284, 287, 288, 294, 297, 298, 299,
300, 302
312
ОJlЬШКИ, Леонардо (род. в 1885 r.
в Вероне). Профессор роман-
ской филолоrии rейдельберr-
cKoro университета. Историк
науки и научной литературы. 96
Ope M Николай (1328 1382). Умер
епископом Лизье. Нашел Ha
rлядное rрафическое изображе
ние для возрастаЮIЦИХ и убы
вающих величин. Дал полное из
ложение операций над дробны
ми степенями. Развивал уже
идеи rелиоцентрическоrо уче
ния. 42
Оствальд, Вильrельм (род. в 1853r.).
Профессор химии Лейпциrско
ro университета. Основатель
издания "Оствальдской серии
классиков точноrо знания". 161
Оутред, Вильям (1574 1660). AH
rлийский пастор. Сделал MHoro
ценноrо в алrебре и триrоно
метрии. Один из первых иници-
аторов буквенноrо исчисления.
155, 268
Папп (конец III В. Н. э.). Составил
большой, не лишенный caMO
стоятельности, сборник, СQдер
жащий MHoro выдержек из за
терянных сочинений древних
математиков. 79, 144, 146, 161,
174, 233, 239
Паскаль, Блез (1623 1662). Po
дился в Клермон Ферране. Фи
лософски релиrиозный мысли
тель; под конец жизни aCKer.
Крупный [еометр и физик
(rидростатика). Предшествен
ник творцов исчисления беско
нечно малых. Вместе с Ферм 1
(СМ.) эа.lОЖИЛ основы теории
вероятностей; изобрел счетную
машину. Знаменит также как
писатель. 167, 168, 169, 171,202,
259, 260, 262, 264, 265, 266, 267,
268, 272, 276, 280
П pц, reopr rенрих (1795 1876).
Историоrраф Брауншвейr
ЛЮНI'бурской фамилии. 272, 284
ПИТ, Т. Эрик (1923). Анrлийский
еrиптолоr. 14
Пифаrор (VI в. до Н. э.). Философ
и математик. ПРИДiJD3Л БОЛЫII()е
8начение числовому подходу к
изучению вселенной, проводя
ero, однако, в идеалистически
мистическом направлении. OT
крыл будто бы некоторые заl(О
ны rарМQНИИ. Сообщения о е['о
собственных тру да.l носят не..
сколько леrендарный характер.
Названная по ero имени Teope
ма известна была для частных
случаев еще еrиптянам, а в об
щем виде доказана, вероятно,
кем нибудь из ero школы. 94
Платон (429 348 до н. э.). Один
из крупнейших философов .древ..
ности. Яркий идеалист. Учитель
Аристотеля. ПО.,1ьзовался боль
шим влиянием в средние века,
особенно в раннее время. Зна
чение ero для математики за
ключалось не столько в CaMQ
стоятельных открытиях, сколь
ко В том, что он включил MaTe
матические знания cBoero Bpe
мени в свою систему и сделал
таким образом математику
необходимым предметом пре
подавания. 20, 25, 43, 84, 120,
203, 205
Плутарх (около 50 120 н. э.) из
Хейронеи. Написал широко из
вестные жизнеописания знаме
нитых rpeKoB и римлян. 222
Понсле, Жак Виктор (1788 18б7).
Французский саперный офицер,
впоследствии профессор Mexa
ники в Париже. Один из OCHO
воположников проективной reo-
метрии. Выс казал наряду с
Жерrонном "принцип двойствен
ности". 162, 166, 171, 174, 175,
176, 179, 182
Птолемей, Клавий (около 100 178
н. 9.). Жил В Александрии, rде co
с тавил большой труд по aCTpOHO
мии, называвшийся у (i рабов JI
в течение всех средних веков
"АльмаrеСТQМ". Детально раз
работанную им rеоцентриче
скую систему мира называют
.птолемеевой", но, разумеется,
не он творец 9ТОЙ системы. За
нимался также оптикой и reo
меТРJlе йо 81, 82 8'3, 102, 105
Пудра, Но ль ЖерминаJlЬ (pC' . I
1794 r.). Ротмистр и профеСС С l1
математики при фраНЦУЗСhОМ
rенеральном штабе. Издатель
трудов Дезарrа. 161
Реrи«,>монтан (1436 1476). Р,)Д.
около Кениrсберrа во Франк(}
нии, откуда имя "Regiomo;, ta
ntlS" (т. е. "кениrсберrСКllt ").
Ero нелатинизированное v.мя
было Иоrани Мюллер. Выд(.ю
щийся астроном и математик
начала HOBOI'O времени. 88, 89,
102, 105, 106, 107, 108.
p ){OPд, Роберт (151 О 1558). Врач
и математик в Лондоне. В 1557 I .
издал" Whetstoneofwltte" ("O..:e
лок остроумия"), rде ввел ЗII к
равенства в виде ==. 63, 155, : 86
Ретикус, reopr Иоахим (15 4
1516). Ero настоящее нелаТИIIИ
зированное имя неизвестно. Ero
ученое имя означает "Ретнец".
Дело в том, что он был pO;°i)M
из Фельдкирха в Форарльберrе.
Имеет заслуrи в области Tpti1'O-
нометрии 100
Ризе, Адам (род. около 1489 { 8
Штаффельштейне во Франко
нии, ум. в 1559 r. в Аннаберrе
в Саксонии). Один из ИЗDест
нейших "арифметиков"; Bi. ,:Te
с тем 11 алrебраист. Одна из (':0
книr по арифметике выдержала
более 40 изданий. 33, 36, 37
Роббинс, Ф. Е. (1926). Американ
ский филолоr. 18
Роберваль, собственно rlepccHlb,
Жиль (1602 1675). Род. в Роб р
вале (деп. Уазы), профессор
математики в College de France
в Париже. Один из преДIIJССТ
венников творцов ИСЧИСЛ i1ИЯ
бесконечно малых. 257, 299
Рдберт Честерский (середина
ХН в.). О ero жизни ничеrЬ lIe
известно. Перевел общую ч,:,:ть
алrебры Алхваразми. 27,30
Розен, Фридрих (род. в raHH()Be
ре). Позже жил в АнrЛИll. В
1831 r. издал "Алrебру. Алх
вараЗ ill по арабски и пС' jlI
.'лийе 1\11. 28, 30, 31, 32
13
Расс, Вильям Давид (род. в 1887 r.)
Профессор' 9ТИКИ в Оксфорд
ском университете. 202
PvTa, Юлий Марциан (около 1500).
Итальянский rуманист. В 1528 r.
выпустил четырехтомное изда
ние [алена (в Венеции). 202
Рудио, Фердинанд (род. в Вис
бадене в 1856 r.). Профессор Ma
тематики в Высшем техниче
с ком училище в Цlорихе. 71, 73,
300
Рудольф, Христофор. Родился в
1500 r. в Яуере в Силезии. Выд ю
щийся арифметик и алrебраист
начала HOBoro времени. 38, 94
Руска, Юлий (род. в 1867 r.). Зани
мает в rейдельберrском уни
верситете кафедру по исто
рии естествознания, в частно
сти, мусульманской культуры.
30, 31, 32
Симплиций, (начало VI в. н. 9.). BMe
сте с шестью друrими профессо
рами высшей афинской школы,
запрещенной в качестве язы
ческой имп. Юстинианом в
529 r., переселился вПерсию.
Написал хорошие комментарии
к Аристотелю, ценные также
блаrодаря историческим указа
ниям. 71, 191
С aYTeH, Франс фан (1581
1646). Профессор математики.
Лейденскоrо университета.rео
метр школы Декарта. 144, 146,
147, 149, 150
СМИТ, Д вид Евrений (род. в
1860 r.). Профессор Нью йорс
Koro университета. Выдающийся
историк математики. 60, 140
Смит, и. А. (1908). 202
Снеллиус, Виллеброрд (1581
1626). Профессор Лейденскоrо
. университета. Хороший MaTeMa
тик, физик (закон преломления)
и rеодезист (точное измерение
земли) 57.
Сrевин, Симон (1548 1620). Был
инженером на службе у Мориц;}
OP:I1ICKOI'O. Хороший математик
и теоретический ыехаlIН к (CTa
тика 11 I'1I,J.РJстатика), Ос обеIll10
311
замечательна ero книr "Ое thl-
ende" (по фламандски это зна-
чит: десятичное исчисление),
которая вышла в Лейдене в
1585 r. и в которой он peKOMeH
довал всем правительс твам
употребление десятичных мер.
48, 51, 54, 55, 56, 57, 60,
259, 260
Стюарт, Дн{он (ум. в 1766 r.). Про
фессор матемаТJ КИ в Эб ердине.
271
Таке, Андрей (1612 1660). Про
фес сор в КОJ'леджах иезуитов
в Лувене и Антверпен.' poд
нам ero rор де. 259
Таннри, Поль (1843 1904). Был
директором кожевенноrо завода;
выдающийся историк MaTeMa
тики и астроно ии, знаток rpe
ческой древности. Один из из
дателей сочинений Декарта.
22, 26, 45, 57, 130, 132, 136, 248,
249, 256
Тарталья, fiиколай (1500 1557).
В 1539 r. сообщил Кардану (см.)
найденное, повидимому, И\i ca
мим решение кубическоrо ypaB
нения. E 'o fлавное сочинение
представляет собой собрание
задач под названием "General
trattato di numeri е misure" , Be
неция 1556 1560. Работ:- л также
по механике и балистике. 48
Тейлор, Брук (1685 1731),. член
Королевскоrо общества. После
дователь Нь'стона. Открыл зна
менитую "формулу Тейлора"
в теории рядов. 289, 302
Теон Александрийский (около
370 н. 9.). Дал комментарий
к "Альмаrесту" Птолемея.
Отец женщины астронома rи
патии, убитой в 415 r. но время
поrрома язычников. 105
Теон Смирне кий (около 130 н. э.).
Составил математическое BBeдe
вне к сочинениям Платона. 20
Теофраст (390 3{)5 до н. 9.). По
С .'Ie смерти АРllстотеля (см.)
rлава ero философской ШI{ОЛЫ
В Афllllах. Знаменитый ботаник.
{) О ()
.. ..
Тиме, repMaH (1852 926). MaTe
матик в Бромберrе. 192
Торич лли, Эванrелиста (1608.......
1647). Родился в Фаенце (пров.
Равенна). Преемник и ученик
rалилея (см.); умер во Флорен
ции. Выдающи ' ся математик tI
физик (барометр). 245, 247,
248, 268, 299
'То.рНД lЙК, Линн (1926). Амери
канский историк науки 11
Тропф:{е, ИОl'3НН (род. в 1866 r.).
Составил обширную "И'СТОРИIО
элементарной математики" (2 e
изд.,7 томов, Берлин 1921 1924),
цитируемую здесь просто под
названием "Тропфке", 29, 35,
11 О, 184.
Феодосий (около 100 до н. э.). Ро-
дом из Триполиса. Автор HecaMO
стоятельной "Сферики". 78, 79
Ферма, Пьер дe (1601 1665).
Французский юрист (судья);
один из величайших мате lати
ков. Ero rлавные заслуrи заклIO
чаются в открытии аналитичес
кой rеО 1етрии, в чем он явля
ется соперником Декарта (см.),
и в работах по теории чисел.
Является одним из преДiI1ествен
ников творцов исчисления бес
конечно малых. В методе из
ложения предпочит л манеру
древних. 25, 130 132, 133, 134,
135, 136, 139, 140, 149, 151,
248, 249, 251, 252, 253, 254,
255, 257, 258, 262, 273
Ферма, Самуил (1630 1690). Ha
печатал труды cBoero отца Пьера
де Ферма. 132 _
ФеJJРО, Сципион даль (1465 1526).
БО.10НСКИЙ математик, которому
удалось найти решение куби
ческоrо уравнения, Однако он
ero не опубликовал, а сообщил
только тесному кружку друзей.
Возможно, что отсюда ero Y3
нал Тарталья (см.). 48
Финк, TO fac (156! 1656). Родился
в Фленсбурrе. БЫ.fJ профеССОрО t
медицины и мате fатикн в Ш lез
вilI, rо.пlUТIIНIIИ If r!аПИIl. 105,
106, 107, I()Н, 109, 111, 1, 12
Фладт, Куно (род. В 1889 r. в Op
ИНI'ене). Штутrардтский MaTeMa
тик. 285
Фома АквинскиИ (1225 1274).
Родился в Неполнтанской об
ласти, происходил из rрафскоrо
рода, доминиканец. Наряду с
Альбертом Великим (см.) и в
качестве ученика ero крупней
ший теолоr и философ схол,,
стики; преподавал в Кельн ,
Париже и итальянских универ
ситетах. 202
Франк, Эрих (род. в 1883 r.). Фило
соф; работает в rейдельберr
ском университете. 43, 203
ФридлеАн)о fоттфрид (1828 1875)
Педаrоr (математик) (род. в Pe
rенсбурrе, УМ. в rофе). Иссле
довал некиторые вопросы по
истории математики, в частно.
сти о цифрах у древних. 20
Фриш, Христиан (1807 1881).
Жил в Штутrарте, rде был ди.
ректором выlшеrоo рельноrо
училища. Математик. Издатель
сочинений Кеплера. 235
Хизс, сэр Томас Литтль (род. В
1861 f. в Барнетби).До 1891 r. Fel
low в Trin ty College в Кембрид
же, затем до 1926 r. занимал
высокие посты в казначействе и
управлении rосударственными
долrами. Составил двухтомную
историю rречеСI<ОЙ матемаТИI{И,
издал трехтомный перевод
Эвклида, затем переводы и пе
реработки из Аристарха, Архи
меда, АПОJlЛОНИЯ и Диофа.нт а.
188, 195, 197
Цахариас, Макс (род. в 1873 r.).
ПедаrОI' (матёматик). Написал
ценную статью о состоянии и
развитии Э..lементарной MaTeMa
тики в "Епс. d. mаthеlП. Wissen
schaften". 161, 164
Цейтен, Иероним reopr (1839
1920). Профессор мате lатики в
КопенrаI'енском унивеРСJlтете.
ВЫДЗIОЩИЙСЯ знаток rреческой
1\fi1тематики и ПОl{оящейся на неи
;)15
"атематики !похи возрождения.
221 J 255
Чвалина, Артур (род. в 1884 r. в
Познани). Математик в rумби
нене. 120, 195, 206, 211
Чирнrауз( ен), Эренфрид Вальтер
rраф фон (1641 1708). MaTeMa
ТИК. Считается изобретателем
фа рфора. 265, 272
Шаль, Мишель (1793 1880). П po
фессор математики, rеодезии и
машиноведения в Париже. Bы
дающийся reoMeTp и историк
матем тики. 162, 179
Шафхайтлин, Пауль (1861 1924).
Учитель математик« и приват
доцент в Высшем техническом
училище в Берлин Шарлоттен
6ypre. 290
ШеЙбль, Иоrанн (1494 1580). Про
фес сор ТюбинrеНСКОI'О универ
ситета. 41
Шене, repMaH (род. в 1870 r. в rалле
На Зале). Профессор классичес
коА филолоrии MIOHcTepcKoro
(в Вестфалии) университета. 83,
94, 227
Шейнер, Иоrанн (1477 1547). Пер
вый немецкий rимназический
преподаватель математики. Me
ланхтон устроил ero в 1526 r.
нюрнберrской rимназии. Был
также астрономом. 88
Шлезинrер, Л!одвиr (род. в 1864 r.)
Профессор recceHcKoro универ
ситета. 60
Шрейб р, см. rpaMM 'Teyc.
Штаудт, Карл reopr Христиан фон
(1798 1867). Родом из POTeH
бурrа. Впоследствии профессор
математики Эрланrенскоrо уни
верситета. Превосходный reo
метр (проект.ивная rеометрия).
171
Штейнер, Яков (1769 1863).Швей
царец; поздно получил обра
зование у Песталоцци в Иффер
тене. Впоследствии профессор
математики Берлинскоrо уни
верситета. Выдающийся reo
метр. Специалист по проектив
ноА rеометрии. 147, 176, 180,
182
316
ШrенеJlЬ, Пауль (1362 1919). Про
фессор математики в rейдель
берrском университете. Написа l
также ряд статей историческоrо
характера. 300
Шrенцель, Юлий (род. в 1883 [.
в Бреславле). Профессор Клас
сической филолоrии и филосо
фии в Кильском университете.
203
Штефлер, Иоrанн (1452 1531).
Родился в Юстинrене в Вюртем
берrе, rде был впоследствии Пас
тором. Преподавал затем MaTe
матику в Тюбинrене. Меланхтон
был одним из ero учеников. В
свое время был известным acT
рономом, обраТИВ!IIИМ на себи
внимание предсказаниями (в
частности дня страшноrо суда).
96, 97, 99
Штифель, Михаил (1487 1567).
Родился в Эслинrене. Первона
чально был авrустиlfским MO
нахом в тамошнем монастыре,
но затем примкну л к новому
релиrиозному учеНИIО и в Ka
честве протестантскоrо пастора
работал во всей рмании. Один
из наиболее выдающихся ал
rебраистов начинающеrося HO
Boro времени, автор ряда трудоп,
из которых два важнейших ис
пользованы здесь. Как и мноrие
друrие представители той (и
солее поздней) эпохи был скло
нен к мистицизму и "предвы
числил" день светопреставле
ния на 19 окт. 1533 r. Это
причинило ему ряд больших He
приятностей. 42, 43, 45, 46, 47,
48, 51, 55, 56, 57, 60, 63, 94
Шюке, Николай (1484). Вероятно,
врач, написал "Triparty еп 11.
science des nombres., представ
лявший значительный проrресс
в смысле алrебраической сим
волики; однако сочинение
9ТО осталось в рукописном виде.
12, 32
Эвдем (около 320 до н. э.). Родом
с острова Родоса. По предложе
НИIО CROtrO учителя АристотеЛfl
нависал ист 'рl1Ю l'еомеrрии, из
которой у друrих авторов, \lа
пример Симплиция (см.), C('Apa
нились выдержки. 71, 72, 191
ЭВДОКС (410 356 до н. 9.). Родом
из Книда в Малой Азии. Bы
дающийся предшественник ЭВК
лида в уче нии о пропорциях и
Архимеда в инфинитезимальной
rеометрии. Также acrpuHoM. Из
сочинений Эвдоксz. до нашеrо
времени не сохранилось Ничеrо.
79, 120, 186, 191, 192, 222
ЭJНЛИД (по rреч. EukleiJe,,). Жил
около 300 до н. э. В Александрии.
Это все, что известно о ero
жизни. Ero "Начала", содержа-
IItHe в себе, rлавным образом,
иланимеТРИIО, кое какие данные
из теории чисел и rеометричес
кую алrебру, а в конце основы
стереометрии (с правильными
мноrоrранниками), являются oд
ной из r амых распространенных
на зеМНI)М шаре книr. Все наши
учебники по rеомеТj)ИИ OCHOBЫ
ваются еще и в настоящее Bpe
мя на "Началах" Эвклида, в KO
торых он систематизировал pa
боты всех своих предшес.твен
ников. Он написал еще друrое
rеометрическое сочинение .Dа-
ta", оптику и труд по сфери-
ческой астрономии. Все осталь
ное утеряно. 15, 16, 17, 20, 21,
41, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77,79,
84, 94, 121, 123, 129, 130, 148,
179, 185, 186, 188, 191, 192, 19
194, 195, 196, 198, 216, 279
ЭВТОКИЙ (около 340 н. э.). Родился
в Ас.каЛ9не, ученик Исидора,
вновь ОТС1'роившеl'О храм Софии
в Константинополе. KOMMeHTa
тор Аполлония и Архимеда. 185,
197
Эl\зеНJlОР, ABrycT (1877). Немецкий
еrиптолоr. 14
Эйлер, Леонард (1707 1783). Po
дился в Базеле; академик, жил
в Петербурrе и Берлине. Bы
дающийся и исключительно пло
дотворный И разносторонний
математик, особенно MHoro
сJtелавший в области исчисления
бесконечно малых (в частности,
П) ero систематизации), вариа
ционному исчислению, анали
тической rеометрии. 63, 68, 116,
117,156,157,158,159,161,300,
301
Эратосфен (276 195 до н. 9.). Po
дился В Кирене (Сев. Африка).
Выдающийся rеоrраф (измере
ние rрадуса) и астроном. Заве-
дывал большой Александрий
ской библиотекой. 221
Юнrе, rycTaB (род. В 1879 r.). Учи-
тель математики В Берлине. 135
Ямвлих (начало IV В.). Неопл то-
ник из Сирии, написал коммен-
тарии к "Арифметике- Никома.ха
(см.). 20
оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму rYCCKOMY изданию
ЧАСТЬ 1
АРИФМЕТИКА И АлrЕБРА
Предисловие автора . 9
1. Образец позднеrо и своеобра3IIоrо применепии раМСI'ИХ цифр 11
11 ТраПное поавило ... 12
III. Еrи пете I{ИЙ счет с др Jбя ми . . . . 13
IV. Сумма rеометрическо:1 проrрессии. 15
V. АРИф\fетическая пропорция. . . . . . . . . . . 18
VI. Разложить данное квапратное числ) на Дt'а квадратных ЧИСЛ] 22
VH. РешеН.1е неопределенной задачи с ДВУМ)I неизве,,:тными 25
VПI. rеометрический вывод решения квадраТl10rо уравнения. 23
IX. Арабская задача на раздел наследства. ., 31
х. Коссические знаки . . 33
XI. Решение каадратноrо уравнения. . . .. 35
ХН. Первое появление в печатных книrах 3I1з;,:а раДlIкала. 38
XIII. Начатки оБJзначения показателей степ?ни . . . . 39
XIV. Первае пс,явление понятия о лоrарифм как BTopJro рода
обратном действии П.) отношению к возведеНlIЮ в CTe ICH 42
XV. Единообраэная трактовка различных форм квздратноrо ypa
н е 11 и Я. 1 .. а . . . . .. . 46
XVI. Первое появление мнимых веЛIIЧИll . . . ..' . 48
ХУН. Первый алrебраический вывод правила для решения квзд-
paTHoro уравнения. . . . . 50
KVHI. Задача второй степени с двумя неизвестными ...... 51
XIX. ЕДИIIJобраэная трактовка различных фJрМ квадратноrо ypaB
нения. II. . ., ....... . . 54
хх. Л i нейные уравнения с тrемя неи звестными . . 57
XXI. Осн:)вная теорема алrебры. . . . . . 60
ХХII. О приближенном решении ура внениП 63
С/пр.
r:::
tJ
ЧАСТЬ 11
rЕОМЕТРИЯ и триrОНОМЕТРИЯ
n р е д и с л о в 11 е а в т о р а . 69
1. rиппократова луночка. . . . . . . . . . . . . . . . .. 71
11. rеометрическое дока31тельство одноrо алrебраическоrо TO
ждества . . . . . . . . . . . . .. . ..... ,. 3
111. Теорема о пересекающихся внутри окружности хордах. 76
IV. Пересечение двух БJЛЬШИХ KpyroB . . .. 78
V. Т,- орема Паппа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 79
818
VI. Теорема llтолемеsi. . . . .. ...
VII. Теорема сложения косинусов . . . . . . . . . '.
VIII. Первое вычисление объема'. усеченной пирамиды . . . . . .
IX. Длина окружности и площадь Kpyra у немецких землемеров
около 1400 r.. . .. .................
. Первая форму.пировка теоремы косинусов для сферическоrо
треуrольника. . . . . . . . . . . .. .....
XI. П иближенн=е построение праВИЛЬНОI'О пятиуrольника . . .
ХН. Вычисление треуrольника по трем сторонам. Формула re-
рана. .. . . ............. ...
XIII. НаЗВ.ания сторон прямоуrольноrо треуrольника. Пифаrорова
Teop Ma . . . . . . . .. . ..... ....
XIV. Теорема о пропорциональных отрезках. fIостроение TpeTb
ero нропорционаЛЬНОl'О отреЗI<а. . . . .. ......
XV. ПрактичеСI<ое измерение высоты. Применение понятия ко-
TaHreHca. . .. .. ....... . .... .
XVI. Вывод теоремы синусов для прямоуrольноrо сфериqескоrо
треуrольника. . . . . . . . . . . . . . . .. .
ХУН. Триrонометрическое вычисление сторон треуrольника
XVHI. Первая форму ЛИРОВК1 Теоремы о TaHreHcax . . . . . . . .
XIX. Четыре случая триrонометрическоrо решения плоскоrо ко-
соуrольноrо треуrольника. . . . . . . . . . . . . . . .
хх. Теорема сложения синусов в более новой форме и с более
новым выводом. . .
XXI. Теорема Муавра .
Ч А С Т Ь 111
АНАЛИТИЧЕСКАЯ И СИНТЕТИЧЕСКАЯ rЕОМЕТРИЯ
Предисловие автора. . . . . . . .
1. Опрепеление общеrо KPYI"OBOrO конуса
П. KpyrOBJIe сечения наклонноrо -конуса . . . . .
III. Определение 9ллипса как сечения на клонноrо
o yca. . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV. Ферма вводит координаты. Уравнение прямой
V. Первая форма уравнения эллипс а . . . . . . . . . . . .
VI. Декарт вводит координаты. Установление одноrо уравнен и .1
rиперболы . . .
VII. Нормаль к эллипсу . . . . . . . . .
VHI. rипербола, отнесенная к своим аСИМПТ.Jтам.
IX. Первые формулы для замены КООр.1.инат . . . . . . .
х. Первое урзвнtНИс поверхности в ПРjстранственных коорди
натах .. .. . . . . . .
XI. Установление уравнения rиперболы .
ХН. Фокусы ЭЛЛИllса. ...........
XHI. Паfjабола как предельньtЙ случай эллипса
XIV. Инволюция . . .' ......... .
ХУ. ПервоначаJtьная форма паскалевой теоремы
XVI. Введение понятия nРJективных cBJAcTB ...
ХУН. Ilр ективн )СТЬ двоАноrо отношеНИ\1 четыр:х точек. . . . .
XVIII. Получение конических сечеRНЙ из проективных пучков
учей 180
319
. . . . .
KpyroBoro
124
130
133
. .
Стр.
81
82
83
87
88
90
92
94
95
96
99
102
105
109
114
116
118
120
121
135
140
144
147
150
152
155
]59
1') )
167
171
176
ЧАСТЬ tv
ИСЧИСЛЕНИf; БЕСКОНЕЧliО-МАЛЫХ
f1 r е д h t Л О В И е а в т n р а . . . . . . . . . . . . . .... .
1. Аксиома измерения (так назырасмая аксиома Архимеда)
JI. Отношение площадей двух КРУ"ОВ. . . . . . . . . . .
111. Квадратура параболы при помощи бесконечной rеометриче
ской проrрессии . . . . . . . . . .
IV. Опровержение учения о линиях-атомах.
V. Сумма квадратов чисел . . . . .
,- с. Объем сфероида (эллипсоида .вращения) .
ViI. Вычисление Архимедом сбъема шара .
VIII. Вычисление объема шара в XVH столеТИIl
i х. Яблокообраэное тело КеПлt ра. . . . . .
х. CYM fa Koar.paTOB педелимых треуrольника
XI. Острое rиперболическое тело Торичелли. .
Х 11. Квадратура всех rипербол ВЫСUIИХ порядков
л! 11. Метод ма ксимумов н МИНИМУМJВ У Ферма ..... .
Х: \/. Характеристический треуrольиик ПаСКi,l51. ТриrОllО :е: риче
ские интеrралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
х v. Диференцирование и интеrрировани(} как взаимно обратные
действия ....................
х VI. Первые напечатанные правила диференцирования. . .
х \'II. БеСl<онечные ряды для арксннуса, синуса и косинуса.
Х УI Н. "Арифметическая квадратура. Kpyra. . .
х х. Касательная к спирали Архимеда .',
}: х. Введение флioксий Ньютоном. .
лХ 1. ПроизводнаJl синуса .
11 :.: е н н '" к а з а '1' е л ь
СПlр.
1Б3
185
189
195
201
2('5
211
221
227
231
239
245
248
253
259
267
272
277
284
2 О
294
300
303
i1
==
i
8
н
:
.
<