Текст
@
БИБЛИОТЕЧКА .КВАНТ.
ВЫПУСК 64
А. Н. колмоrоРов
МАТЕМАТИКА--
НАУКА
И ПРО ФЕС СИЯ
МОСНВА «НА 'УНА»
rЛАВНАfl РЕДАНЦИЯ
ФИ3ИНО МА ТЕМАТИЧЕСНОй ЛИТЕРАТУРЫ
1988
БЕН 22.1
1-\60
УДК 51 (023)
р Е Д А Н Ц И О Н Н А Я R О Л Л Е r и Я:
Академик ю. А. ОСИПЬЯU (председатель), академик А. п. Кол-
иоrоров (заместитель председателя), кандидат физ. мат. наук
А. и. Буздин (ученый секретарь), член корреспондент АН СССР
А. А. Абрикосов, академик А. с. Боровик- POl\olaUOB, академик
Б. К. Вайнштейн, заслуженный учитель РСФСР Б. В. Воздви-
женский, академик В. л. rинзбурr, академик ю. В. rуляев, aKa
демик А. п. Ершов, профессор С. п. Капица, академик А. Б. Миr-
дал, академик С. п. Новиков, академик АПН СССР В. r. Разу-
мовский, академик Р. 3. Сarдеев, профессор я. А. СМОРОДIIUСКИЙ,
академик с. л. Соболев, член корреспондент АН СССР д. К. Фад-
цеев
Колмоrоров А. Н.
К60 Математика наука и профессияjСост. r. А. rальпе..
рин. М.: Наука. rл. ред. Физ. мат. лит., 1988.........
288 с. (Б--чка «!\вант». Вып. 64.)
ISBN 5--02--013879 7
Сборник избранных статей о школьной математике и ее
приложениях. Включен большой и разнообразный материал
о профессии математика, о фундаментальных понятиях школь
вой математики, о теории ероятностей, алrоритме Евклида,
о решении 10 й проблемы rильберта, о связи математики
друrими науками и техникой и Т.д.; приведен ряд интересных
задач. Имеется также специальный раздел для учителей,
в котором содержатся лекции по научным основам mкольноrо
курса математики.
Для школьников, учителей, студентов.
{702010000 033 ББК 22.1
К 053 (02)-88 179-88
@ Издательство «На)'на*.
rлавная редаицин
физино-математичесной
литературы, 1988
АНДРЕЙ НIIRОЛАЕВИЧ RолмоrоРов
(t903 1987)
Эту книrу автору не суждено увидеть........ 20 октября
{987 rода закончился жизненный путь великоrо ученоrо,
одноrо из крупнейших математиков ХХ века академин'в
Андрея Николаевича Колмоrорова.
А. Н. Колмоrорову принадлежат фундаментальные <xf-
крытия во :мноrих областях математики и естествознания,
роль ero в развитии математики уникальна. Но помимо
соб.твенно математическоrо творчества, потре60вавmеrо
от Hero колоссальноrо духовноrо напряжения.! в жизни
Андрея Николаевича orpoMHoe место заняло служение
Просвещению, воспитанию подрастающих поколений.
В возрасте 19 лет он становится учителем математики
и несколько лет работает в школе. Начиная о 30--х rодов ........
читает мноrочисленные лекции школьникам и студентам,
активно участвует в становлении, аВатем..... проведении
школьных математических олимпиад, сначала МОСКО13ских,.
а затем Всероссийских и Всесоюзных. В 60"е rоды он соз
дает физико математическую mколу интернат при Mry t
которую сразу стали называть «колмоrоровской». С име--
нем А. Н. Колмоrорова связана rлубокая реформа coдep
тания школьной математики; он автор мноrочислен
ных статей для учеников и учителей, автор и редактор
школьных учебников. С 1970 rода и до последних дней
жизни А. Н. Колмоrоров пестует орrанизованный по ero
и академика И. К. Кикоина инициативе физико математи
ческий журнал «Квант», а затем серию «Библиотечка
«Квант». А наряду с этим почти шестидесятилетний
труд профессора, заведующеrо Rафедрами и лаборатория--
:ми MOCKoBcKoro университета, лекции, семинары, науч..
ные доклады" создание мноrих научных школ; около семи..
десяти аспирантов, ставших впоследствии кандидатами и
докторами наук, членами Академии Наук СССР, академий
наук союзных республик...
Вся жизнь Андрея Николаевича Колмоrорова бе
примерный подвиr во имя Науки. Светлая память о Be
lIИКОМ Ученом, Учителе, Человеке навсеrда останеТСJl
IВ сердцах тех, кому выпало счастье соприкоснуться
с этой необыкновенной Личностью,
А. Н. kолмоrоров в физико математи е кой
школе интернате .N218 при Mry
ПРЕ. ИС,ТIОВI'IЕ СОСТАВИТЕ 1JЛ
Предлаrаемая широкому Kpyry читателей
Rниrа представляет собой сборник избранных опублико
ванных статей выдающеrося математика современности
академика АНД:Jея Н колаевича Rолмоrорова, обращен
ных прежде Bcero к школьникам и учителя:м математики,
Эти статьи, написанные в доступной форме, посвящены
вопросам'ШКОЛЬНОЙ :мате:матики и ее приложений.
В давно:м сборнике они сrруппированы в следующие
четыре раздела: 1. Размышления математика. 11. Фун
да:ментальные понятия школьной математики. 111. Попу..
лярные лекции для школьников. IV. Лекции для учи
телей.
В разделе 1 приводятся воспоминания А. Н. Колмо
ropoBa о себе и о выдающихся математиках, с которыми
он был долrое время тесно связан; ero размышления о
l\lатем:атике и профессии математика, о связи математики
с практикой; приведено несколько предисловий к книrам
дЛЯ ШКОЛЬНИКО-Б. Раздел рассчитан «на всех» школь
ников, студентов, преподавателей, любителей математики
в llIИРОКОМ смысле слова.
В раздел 11 вошли статьи, посвященные основным по
нятиям И методам школьной математики функциям,
rрафикам, преобразованиям, приБЛИiненным вычислениям,
измерениям уrлов, векторам, лоrике построения формул
и т. д. Этот раздел книrи обращен в основном к школьни
кам старших классов.
Раздел III рассчитан на школьников, любящих и
увлекающихся математикой, для которых математика
может в дальнейшем стать их основной профессией. Сюда
вошли широко известные статьи А. Н. Колмоrорова о
теории вероятностей, лоrарифмических сетках, алrоритме
Евклида, решении 10 й проблемы rильберта и друrие.
В это}! же разделе приведено несколько интересных за
дач, предложенных Андреем Николаевичем в разное время
школьникам (одна из задач до сих пор не решена!).
;}
Раздел IV обращен Ii учителям математики. В Hero
включены лекции А. Н. Колмоrорова для учителей по
научным основам mкольноrо курса :м:атеl\fатики; статьи
о журнале «Квант», о диалектико материалистичеСНО I
мировоззрении в школьном курсе математики и физики,
о связи м:атематики С друrими науками и техникой и дру"
rие.
Из мноrочисленных статей А. Н. Колмоrорова, посвя
щенных школьной математике, в настоящую книrу по
пала лишь небольшая их часть. Сюда вошли наиболее
интересные статьи, рассчитанные прежде Bcero на
школьников и опубликованные в журналах «Квант»"
«Математика в школе», «Техника молодежи», в централь
ных rазетах, в Большой Советской Энциклопедии (БСЭ)
и друrих изданиях. Читателю, прочитавшему всю книrу,
будут видны взаимные переплетения различных тем"
столь характерные для Bcero творчества А. Н. Rолмоrо
рова. Однако мноrочисленные l\tlетодические статьи
А. Н. Rолмоrорова, опубликованные им в «Мате Iатике в
школе» и представляющие специфический ицтерес толь
КО дЛЯ учителей, в книrу не вошли.
Каждый из четырех разделов сборника делится на
пункты. В большинстве случаев пункт состоит из отдель
ной опубликованной статьи А. Н. Rолмоrорова, иноrда
(пп. 3 и 7 раздела 1 и пп. 3 и 7 раздела 111) в один l!YHKT
объединены несколько небольших однородных публика..
ций. 3а исключением специально оrоворенных случаев,
название каждоrо пункта сборника совпадает с названием
соответствующей статьи А. Н. Колмоrорова.
В конце книrи приводится библиоrрафический ком..
иентарий и список трудов А. Н. Rолмоrорова, посвящен
иых школьной математике и ее приложениям (в список
литературы включены все опубликованные научно попу
лярные работы Андрея Николаевича,_ в том: числе работы
по школьной тематике).
r, А. fадъперuп
РАЗДЕЛ I
р А3l\'IЫШ.JIЕНИЛ МАТЕМАТИКА
t. КАК Я СТАЛ 1\IАТЕl\IАТИКОl\'1
Радость математическоrо «открытия» я по
знал рано, подметив в возрасте пяти mести лет законо
lrlepHOCTb
1 == 12
1 + 3 == 22
1 + 3 + 5 == 32
1 + 3 + 5 + 7 === 42 И так далее.
В нашем доме под Ярославлем мои тетушки устроили
маленькую школу, в которой занимались с десятком дe
тей разноrо возраста по новейшим рецептам педаrоrики
Toro времени. В школе издавался журнал «Весенние лас
точки». В нем мое открытие было опубликовано. Там Jl\e
я публиковал придуманные мною арифметические задачи.
Се IИ лет меня определили в частную rимнаЗИIО
Е. А. Репман в Москве. Учиться в этой rимназии, opra
низованной кружком радикально настроенной интеЛJIИ
rенции, было интересно. rимназия с совместны:м обуче
ниеlVI мальчиков и девочек (по проrрамме мужских rим
назий) все время находилась под уrрозой закрытия.
Отличные успехи на экзаменах «с представителе:м от
oKpyra» воспринимались всеми нами как дело долrа и
чести. Орrанизация занятий была своеобразна. Одно
вре IЯ я Mor заниматься математикой на класс старше,
чем друrими предметами.
Впрочем, на время интерес к друrим наукам взял
верх. Первое большое впечатление силы и значительности
научноrо исследования на меня произвела книrа К. А. Ти
мирязева «Жизнь растений». Потом вместе с одним из
своих друзей (Н. А. Селиверстовым) я увлекся ис
торией и социолоrией. Увлечение это было настолько
серьезно, что первым научным докладом, который я cдe
лал в семнадцатилетнем возрасте в Московском универ
ситете, был доклад в семинаре профессора С. В. Бахру
шина о новrородском землевладении. В докладе этом,
7
J проче l, НСПО ЬЗ0вались (при анализе писцовых I Hl:r
Х V Х V 1 венов) неноторые прие IЫ lатематичеСl\оii TCO
рии.
В 1918 1920 rодах fl,ИЗНЬ в l\/!oCRBe БЫtJlа He.1erKOU.
В школах серьезно заНИ Iались TO.-;JЬRO са:\lые наСТОllЧ!l
вые. В это вре:м:я :мне B IeCTe со старШИl\1И ПрПIllЛОСЬ уехать
па J{ОСТРОЙКУ (нелезной дороrи I\азань ЕRатерппuурr
Андрей Николаевич hолмоrОрОD
(теперь Свердловск). Одновре Iенно с работой я продол-
жал заниматься самостоятельно, rотовясь сдать экстер
HO I за среднюю школу. По возвращении в l\tIOCKBY Я ие-
,...
пытал некоторое разочарование: удостоверение 00 окон..
чании школы IHe выдали, даже не потрудившись про
зкзаменова ть.
Техника тоrда воспринималась как что то более серь..
езное и неоБХОДИl\;Iое, чем чистая наука. Одноврем:енно о
матеl\lатичеСКИl\;I отделение 1 университета (куда прини..
мали всех желающих без экзамена) я поступил на метал-
8
лурrический факультет Менделеевскоrо ипститута (rде
требовался вступительный экза!\lен по матеl\lатине). Но
скоро интерес к :матеl\Iатике перевес:ил СО:\lнения в актуаль
ности профессии Iатематика. R тому же, сдав в первые
же lесяцы экза:мены за первый курс, я, как студент BTO
poro курса, получил право на '16 килоrра:ммов хлеба
и '1 килоrрамм :м:асла в месяц, что, по представления:м
Toro вре:мени, обозначало уже полное материальное бла
rополучие. Одежда у м:еня была, а туфли на деревянной
подошве я изrотовил себе сам.
Впрочеl\l, в 1922 1925 rодах потребность в допол
нительном к весьма маловесомой в то время стипендии
заработке привела Iеня в среднюю школу. Работу в По
тылихинской опытно показательной школе Нарко:мпроса
РСФСР я вспоминаю теперь с большим удовольствием.
Я преподавал матеlVlатику и физику (тоrда не боялись
поручать преподавание двух предметов сразу девятнад
цатилеТНИl\f учителям) и ПРИНИl\lал самое активное участие
в жизни школы (был секретарем школьноrо совета и BOC
.
питателем в интернате).
В уни верситет я приходил только на специальные
курсы и семинары. На втором курсе выполнил первые
самостоятельные научные работы. Теорией триrонометри"
ческих рядов у профессора В. В. Степанова я начал
заниматься вместе со своим близким друrом необычай
но ярким и талаНТЛИВЫ?\f матемаТИКОl\1 r. А. Селиверсто
вым (оба брата Селиверстовы поrибли во время Великой
Отечественной войны). Моими пеРВЫl\IИ руководителями
в университете --были, кроме В. В. Степанова, В. К. Вла..
сов, п. С. Александров, п. С. Урысон. Несколько позд..
нее я стал учеником Н. Н. Лузина.
Как это бывает обычно, мои первые работы были по..
священы решению отдельных уже поставленных трудных
задач. Более широкую деятельность по создаНИIО HOBoro
направления исследования я начал с А. я. Хинчиным
В моей основной математической специальности теории
вероятностей.
В более поздние rоды большое значение во всей l\Iоей
дальнеЙПIей работе им:ело сотрудничество со способными
ученикаlVIИ, перени:мавшими потом руководящую роль в
том или ином направлении исследований. Это и. 1\1. rель
фанд в функциональном анализе, С. 1\1. Никольский
в теории приближений функций м:ноrочленами, А. М. Обу
хов в исследовании турбулентноrо движения и в послед
вие rоды В. И. Арнольд в разработке методов теории
9
дифференциальных уравнений, связанных с «м:аЛЫI\IИ 3I1a
м:ена тел ям:и».
Вея IОЯ деятельность с 1920 rода неразрывно связана
с l\'10СКОВСКИ:М университетом.
3аНИ Iаясь с некоторым успехом, а иноrда и с пользой,
ДOBO,,"ТIЬHO fПИрОКИ:М KpyroM практических приложений
математики, я остаюсь в основном чистым математиком.
Восхищаясь мате lатиками, которые превратились в круп
ных представителей нашей техники, вполне оценивая
значение для будущеrо человечества вычислительных
1tlашин и кибернетики, я все же думаю, что чистая MaTe
м:атика в ее традиционном аспекте еще не потеряла cBoero
почетноrо места среди друrих наук. rибельдым для нее
10rло оказаться только чрезмерно резкое расслоение
математиков на два течения: одни культивируют абстракт..
вые новейшие разделы математики, не ориентируясь
отчетливо в их связях с породившим их реальным миром,
друrие заняты «приложениями», не восходя до исчерпы
вающеrо анализа их теоретических основ. Поэтому мне
ХОlется подчеркнуть закенность и достоинство позиции
Itlатематика, понимающеrо место и роль своей науки в
развитии естественных наук, техники да и всей челове
ческой культуры, но спокойно продолжающеrо разви
вать «чистую математику» в соответствии с внутренней
поrикой ее развития.
Молодой человек, чувствующий себя предназначенным
идти по этому пути, может не бояться оказаться в нашей
стране м:енее нужным, делающим какую то излишнюю,
менее актуальную работу, чем arpoHoM" инженер, физик
или кибернетик.
2. IIАУЧНЫ11 РУКОВОДIIТЕЛЬ
Первые мои воспоминания о Павле Самуи
ловиче Урысоне относятся R ЗИ lе 1920 21 rода, коrда
я только начинал свои занятия в университете. Болеслав
Корнелиевич Млодзеевский и Николай Николаевич Лузин
объявили параллельные курсы «Теории аналитических
функций». Хотя курсы были элементарные, предназна
ченные для студентов BToporo или третьеrо rода обучения,
на лекциях Л узина собиралась почти вся «Л узитания» ......:
rpynna учеников Николая Николаевича, в основном,_
rоворя современным языком, аспирантскоrо возраста.
Некоторые из лузитанцев в качестве cBoero рода соrля
датаев появлялись и на лекциях Болеслава Корнелие...
10
вича. Ученики Николая tIиколаевича были ревнители
лоrической строrости и отмечали каждую ОПJIОШНОСТЬ
Болеслава Корнелиевича в этом отношении. Впрочеl\I,.
Болеслав Корнелиевич вполне сознательно давал их
критике боrатую пищу. KaK TO на своих лекциях по
дифференциальной rеометрии он высказывал нам такое
нравоучение: «Некоторые вам rоворят, что не существует
бесконечно малых, а вот смотрите я рисую на доске
бесконечно м:алый треуrольник!». В теории аналитиче
ских функций Болеслав Корнелиевич без лишней, по ero
мнению, в эле Iентарном курсе лоrической скрупулезности
быстро двиrался от элементарных определений и теорем
к более rлубоким конкретным аналитическим фактам.
Курс же Николая Николаевича надолrо задержался
на доказательстве при самых общих предположениях
(что тоrда еще было необычным в элементарных КУ.рсах)
так называемой «теоремы Коши», лежащей в основе всей
теории аналитических функций. По своему обычаю Нико..
лай Николаевич создавал доказательство на лекциях,
обращаясь к помощи СJ.[ушателей. Ему пришло в rолову
построить доказательство теоремы Коши на некотором
ВСПОl\lоrательном чисто rеометрическом утверждении, KO
торое и было предло/нено нам доказать. Мне удалось
.... ,
показать, что в деиствительности это утверждение оши
бочно. Николай Николаевич сразу понял идею примера'J
опроверrающеrо это предположение. Было решено, что
я доложу опроверrающий при мер на студенческом MaTe
матическом кружке.
Павел Самуилович взялся предварительно проверить
мои построения и доказательства, которые сначала были
изложены не вполне cTporo. rоворилось просто, что некую
кривую, «очевидно», можно слеrка сдвинуть так, что без
большоrо увеличения длины она обойдет такие то точки,,
и т. п. Павел Самуилович очень деликатно, но настой
чиво достиr Toro, что я Cal\I подсчитал все отноеящиеся
сюда «эпсилон и дельта».
Хотя мое достижение было довольно деТСКИ I, оно
сделало меня известным Kpyry лузитанцев, от KOToporo
я стоял, впрочем, несколько в стороне, колеблясь между
культивировавшимися в их среде интересами, возникшим
ранее увлечением проективной rеометрией (которую ста..
pO 10ДHO, но подлинно талантливо читал Алексей Кон..
стантинович Власов) и смутным желанием заНИl\Iаться
математикой, Иlиеющей широкие выходы в физику и ее..
теетвознание. В следующем, 1921 22 учебном rоду я
11
посещал лекции Н. Н. Луаина и п. С. Алеl\сандрова уже
в качестве «своето», получив, каiнется, даrне И2 16 В HY
:мерации лузитанцев. l\10И попытки заниматься по следа:м
лекций П. С. Александрова «дескриптивной теорией IHO
жеств» первое вре IЯ приводили лишь к скро:мным резуль
TaTa l. Не ПО fНЮ даже, рассказывал ли я их КОl\lу либо
подробно. Тем не l\leHee что то заставило Павла Самуи
ловича обратить на l\Iеня свое внимание. Однажды после
одной из лекций Лузина Павел Самуилович подоше.;r:r ко
мне на университетской лестнице и стал объяснять, что
«в ближайшее вреl\IЯ Николай Николаевич не собирается
брать себе новых учеников», и поэтом:у не захочу ли я
приходить К Hel\IY (IIавлу Самуиловичу) и заНИl\lаться у He
то. Я охотно соrласился.
l\1Horo раз приходил я к Павлу Саl\IУИЛОВИЧУ в ето
KO IHaTY . в Старопименовском переулке, тде, KpOl\tIe KpO
вати и :малены\rоo рабочеrо столика, ПОl\lещались лишь
кресло и один стул.
Беседы касались саl\IЫХ разных областей :матеl\IаТИI\И:
интересы и знания Павла Самуиловича были широки.
В наибольшей l\Iepe Павел Самуилович пытался l\fеня BOB
лечь в свои занятия проблемой Пуанкаре о заl\II\НУТЫХ
rеодезичеСI\ИХ линиях на поверхности. Проблеl\lа при
nлекательна Tel\l, что фОР:МУЛИрОВl\а вполне элементарна.
Если пе придираться к формальной отточенности опре
делений, ее l\/Ioa,Ho объяснить «человеку с улицы», взяв
скользкий, окатанный МОрСI\ИМИ волнами камень и pe
зиновое колечко. rипотеза ПуаНl\аре состоит в ТОМ, что
по кrайней l\Iepe тремя различны:ми способаl\fИ растянутое
резиновое колечко можно надеть на наш Rаl\Iень так,
что оно, стремясь сократить свою длину, не будет coc
RальзыIатьь (т. е. таl\, что ero длину нельзя Уl\Iеньшить
при малеНЬКОl\I сдвиrе в стороны на неБОЛЬШОl\l участке).
При этом рассматриваются только расположения рези
HOBoro колечка без самопересечений (т. е., напри:мер, не
имеющие вида восьмерки). На поверхности шара таких
раСПОJIожений колечка бесконечно l\IHOrO (по любому
«БОЛЫIIОМУ круту»), на трехосном эллипсоиде ровно
I'ри (по трем rлавным сечениям). rипотеза заключается
в TO:\I, что случай эллипсоида l\fИНИl\fальный, что три
заМI\НУТЫХ rеодезических без самопересечений найдутся
на любой заМI\НУТОЙ выпуклой поверхности (или, еще более
общим образом, на любой поверхности, «rомеоморфной»
поверхности сферы). CalHoMY Пуанкаре удалось ,Щоказать
существование одной заl\IКНУТОЙ rеодезической. Павел
12
Самуилович доказал существование второй II упорно искал
ДОJ азательство существования третьей.
Весь прпмыкающий сюда Kpyr вопросов мне очень
нравился, он соответствовал моим представлениям о той
ltlате Iатике, которой наиболее следует заниматься. Но
доказать существование третьей замкнутой rеодезической
ПрЯМЫJ\IИ наИВНЫ IИ рассмотрениями без привлечения HO
вых l\1етодов, ВИДИl\IО, было не так леrко. (В 1923 rоду
Павел СаNIУИЛОВИЧ получил книrу Блашке, rде сообща
лось, что задача решена rерrлоцем, и излаrалась вкратце
идея построения rерrлоца. Потому ли, что он считал
задачу решенной или ввиду занятости теорией размер
ности и общей теории тополоrических пространств, сам
Павел Самуилович более этой задачей не занимался и
ничеrо на эту тему не опубликовал. В 1927 rоду реlпение
задачи, примеНИJ\lое и для невыпуклых поверхностей, было
дано Биркrофом. He IHoro позднее в работах Л. А. ЛIОС
тер ника и Л. r. llIнирельмана было показано, что решение
задачи о трех rеодезических может быть получено в Ka
честве частноrо следствия построенной ими общей rлубо
кой теории, имеющей MHoro друrих применений.)
Зато мои занятия более абстрактной теорией множеств,
возбун-\денные слушанием лекций п. С. Александрова,
привели меня к замыслу весьма общей «теории операций
над множествами». Свои соображения по этому поводу,
а затем и результаты я рассказывал Павлу Самуиловичу.
Убедившись, что это направление исследований занимает
меня более Bcero, Павел Самуилович отправил меня к
П. С. Александрову, счита'я, что тот мо}кет с большим
успехом руководить моей работой по дескриптивной Teo
рии множеств.
В ЭТО I ,не rоду я начал заниматься в се lинаре по три
rоно:метрическим рядам, rде верховным: руководителем
был Н. Н. Лузин, а я занимался в rруппе, руководимой
ВячеслаВО 1 Васильевичем Степановым. Результаты, по
лученные мною в теории триrоно:метрических рядов, об
ратили на себя внимание Николая 11иколаевича, и с
некоторой ТОРII-\ественностью Николай IIиколаевич пред
ложил мне приходить в определенный день и час недели,
предназначенный для rруппыl учеников Moero поколе
ния, к He IY. По представления:м, rОСПОДствовавшим в
«Лузитании», моим званием делалось теперь звание
ученика Николая Николаевича, что не мешало, конечно,
научному контакту со старшими товарищами по «Лузи
т авии» .
13
Внутренняя лоrика моих собственных занятий привела
меня к тополоrии лишь MHoro позднее, после увлечений
математической лоrикой и теорией вероятностей. Сейчас
мне несколько rpycTHo думать, что в столь короткий пе
риод концентрированной научной активности Павла Ca
муиловича я соприкоснулся с ero неповторимой творче
ской индивидуальностью лишь по периферии ero интересов.
Московская математика Toro времени была боrата
яркими и талантливыми индивидуальностями. Но Павел
Самуилович и на этом фоне выделялся универсальностью
интересов в соединении с целеустремленностью в выооре
предмета собственных занятий, отчетливостью постанов
ки задач (в частности, передо мной, коrда он считал себя
ответственным за направление моей работы), ясной оцен"
кой своих и чужих достижений в соединении с доброже
пательством в применении к достижениям самым малень
НИМ,
3. ДВА ИНТЕРВЬЮ
Беседа
с Андреем Николаевичем I\олмоrоровым
Мы находимся в старом деревянном доме в деревне
ROMapoBHa под Москвой, rде Андрей Николаевич обычно проводит
Rонец недели. Светлая, скромно обставленная комната. В одном из
уrлов старый, но начественный проиrрыватель и специальные
полки для пластинок. Стены заставлены стеллажами с книrами. В ce
редине комнаты большой стол с множеством книr, оттисков статей,
рукописей, художественных альбомов. Андрей Николаевич сидит
у окна за небольшим письменным столом. Рядом с пишущей машин
ной и аккуратно сложенными исписанными листами бумаrи стоит
маrнитофон, на который записывается наша беседа. CTeHorpaMMY
этой беседы мы и предлаrаем вашему вниманию.
...... А nдрей Н и1'itолаевич, часто приходится слышать о
возрастающей специализации nay и. В то же вре],tя из
вестпо, что Вы заnи],tались та ижи дале и],tи друа от
друаа областЯ],tи жатежати и" a теория вероятnостей
u алаебраичес ая тополоаия, ],tате],tатичес ая лоаи а и
теория диnа],tичес их систеж. В че],t, по Ваше],tу, будущее
иay и в уnиверсальnости или специализации?
Математика велика. Один человек не в состоянии
изучить все ее разветвления. В этом смысле специализа--
ция неизбежна. Но в то же время математика........ единая
наука. Все новые и новые связи возникают между ее раз..
делами, ипоrпа самым непредвиденным образом. ОДНИ
f4
разделы служат ИНСТРУ lента IИ для друrих раздеЛОВjt
Поэтому замыкание математиков в слишком узких пре
делах, должно быть, rибельно для нашей науки. Положение
облеrчается тем, что работа в области Iатеl\Iатики в прин
ципе коллективна. Должно быть некоторое количество
математиков, которые понимают взаи мные связи м:ежду
са мыми различными областями мате:матики. С друrой
стороны, можно работать с большим успехом и в какой
нибудь совсем узкой ветви математики. Но в этом случае
надо еще, хотя бы в общих чертах, понимать связи между
своей специаJIЬНОЙ областью исследования с областя:ми
смеiННЫМИ, 1Iонимать, что по существу научная работа
в математике коллективная работа.
Что Bь жожете сказать о COOlnflOluenuu и связях
прикладпой и чистой жатежатипи?
Прежде Bcero, HYiHHO заметить, что само различие
между прикладной и чистой математикой чрезвычайно
условно. Вопросы, которые, казалось бы, принадлеiкат
к чистой математике и не имеют применений, очень часто
совершенно неожиданно оказываются важны ми для раз
ных приложений. С друrой стороны, зани:маясь ПрИКJlад
ной математикой ученый почти неизбежно наталкивается
на смежные вопросы, решающиеся теми же метода:ми,
привлекающие ero своей лоrической красотой, но, соб
ственно rоворя, непосредственных приложений YrI\e не
получаlощие. Вероятно, в практической работе MaTe:M:a
тика нужно проявлять должную широту. Несомненно,;
что математики должны, это их долr, заниматься всеми
теми вопросами, которые настоятельно навязываются
вопросами праI\ТИКИ. Если смежные вопросы, пусть сразу
применений не имеющие, являются привлекательными
хотя бы в силу красоты и естественности возникающих
задач, ими, конечно, тоже нужно. заНИIv.iаться.
........ Норберт Випер пишет в своей автобиоерафuческой
nиee, что перестал заnu.маться фуппциоnаЛЬnЬL.м апали...
зо.м, поеда почувствовал, что «Кол.моеоров паступает .мне
па пятпи». А пап Вы оти0ситесь п попкурепции в .мате--
.матипе?
3аявление Винера мне не совсем понятно. В функ--
циональном анализе я сделал HeMHoro. Самая интересная
моя работа по функциональному анализу называется
«Спираль Винера и некоторые друrие интересные кривые
в l"ильбертовом пространстве».
Что касается конкуренции, то конкуренция Iожет
быть дружеской, тоrда она мало отличается от сотрудни--
15
t!eCTra. Тесное седру;.! et:Tbu, коrда два матоматика OДIlO
временно и параллельно ДУ lают над одной и той rHe проб
лемой, порой бывает очень ПРОДУНТIIВНЫМ. Но при ЭТО 1
ипоrда бывает и так, что участие одноrо из сотрудникон
лрактически оказывается ИЗЛИШНИl\I, и тоrда e IY разумпо
БJЗ обиды отойти в сторону.
Всееда ли матемаlnи а была Вашим основны,м yв
лечение,м? Коеда Вы о о1-tчательно выбрали математику
K профессию?
Нет, как это часто бывает, пути Moero развития
были более извилистыми. С paHHero детства было извест
НО, что я умею хорошо считать и что lеня интересуют
MaTeMa'j ические задачи аРИфl\'lетическоrо характера; cpaB
нительно рано познакомился и с началами -алrебры. Но
B e это относится к очень раннему возрасту. Несколько
позднее, в средних нлассах школы, победили уже совсе:\l
друrие увлечения в частности, историей. Возврат к
математике произошел в самых последних классах cpeд
ней школы. Коrда я кончил среднюю школу, то долrо
Rолебался в выборе дальнейшеrо пути. В первые CTyдeH
ческие rоды, кроме математики, я занимался серьезным
образом в семинаре по древнерусской истории профес
сора С. В. Бахрушина. Не бросал I\IЫСЛЬ о техничесной
карьере, почему то меня увлекала l\'Iеталлурrия, и, парал
lIелыIo с университетом, я поступил на l\lеталлурrи
ческое отделение Химико технолоrическоrо института
им. д. И. Менделеева и некоторое время там проучился.
Окончательный выбор математики как профессии, соб
ствснпо rоворя, произошел, коrда я начал получать пер
вые самостоятельные научные результаты, то есть лет с
восемнадцати девятнадцати.
Коеда обычно проявляются способности MaтeMa
тике? Всееда ли, Jli,a у Вас, в раннем возрасте?
Я довольно MHoro преподавал в средней школе.
у меня сложилось такое впечатление, что интерес к Ma
тематике в средних классах, в возрасте двенадцати
тринадцати лет, часто оказывается временным и совсем
проходит к старшим классам. Особенно часто это бывает
у девочек. С теми школьниками, которые увлечены MaTe
м:атикой в возрасте 13 14 15 лет, по моему, стоит
работать. При умелом культивировании их способности
постепенно развиваются и, как правило, уже не теряются.
Бывает, конечно, и очень MHoro исключений. Разумеется,
серьезный интерес R математике может проявиться и
IIОЗrI\е.
16
li a ue l,alпC.i'.laтU1'iи Cт:zpUleZO nополеuия опааали па
Вас паибольшее влияnие?
В студенческие тоды я был учеником: Николая
Николаевича Лузина. Кроме Hero, большое влияние OKa
зали на меня Вячеслав Васильевич Степанов, Александр
А НДР Й IIПRолаевич l{олмоrоров и Павел Серrеевич Александров
в }{омаровке
ЯковлеВIIЧ ХИНЧИП, Павел Серrеевич Александров и дpy
rие мате lатики их поколения.
Что BaJrt хотелtJсь бы спааать о своих учепипах и
коео из пих Вы хотели бы упо.мяпуть?
Мне повезло на талантливых учеников. Мноrие
из них, начав работу вместе со мной в какой нибудь об
ласти, потом переходили на новую тематику и уже co
вершеНIIО пезависи:мо от меня получали замечательные
результаты. Выделить из них наиболее заслуживающих
упоминания было бы трудно.
Ска/ну только в виде шутки, что в настоящее время один
из моих учеников управляет земной атмосферой, а дpy
той океанами *).
Апдрей Николаевич, каков Ваш режи,м дпя?
Естественно, в течение моей достаточно длинной
жизни реЖИl\1 дня в разные ее периоды был различным.
*) Речь идет об академике А. М. Обухове.., директоре Институ
та физики атмосферы АН СССР, и о члене корреспонденте
АН СССР А. С. Мовиве, специалисте в области океанолоrии.
При.меч. ред.
17
Опишу, пфжалуй, только тот реЖИl\f дня, который l\IЫ С
Павлом Серrеевичем Александровым устаНОВИJJИ для себя
на те 3 4 дня в неделю, которые l\.Ibl проводили за ro..
родом, под Москвой, в деревне l-\омаРОБка.
День начинался в 7 часов утра. Первый час был по..
священ rимиастике, пробежке. В 8 часов мы завтракали
и принимались за работу за столом с пишущей машин"
кой или без нее. В час или два часа дня был полдник,
состоящий из молока или кефира с хлеБОl\I. После полд..
ника мы еще HeMHoro работали, но обычно отправлялись
на большую проrулку пешком или .зимой на лыжах,;
до 4 часов дня. Потом на полчаса мы укладывались спать.
В 5 часов был обед. После обеда мы иноrда еще занимались
работой, обычно второстепенной: переписывание или
тому подобное. Вечер посвящался чтению, музыке, при--
ему rостей. Перед сном мы любили еще сделать неболь..
тую проrулку. Укладывались спать около 10 часов.
Но, конечно, коrда работаешь и начинает получаться
решение какой..либо важной проблемы, все отступает на
заДНИЙ план, никакоrо распорядка дня уже не бывает.
Вы, -па-п u ;мноеие ;мате;мати-пи, .любите серьезную
муаы-пу. Расс-пажите,- nоче;му.
Ваше замечание о мноrих математиках, увлекаю..
щихся серьезной музыкой, мне кажется правильным.
Если прийти в концертный зал,- особенно в Малый
вал Московской консерватории, то вы там увидите непро..
порционально MHoro математиков. По--видимому, между
математическим творчеством и настоящим интересом к
музыке имеются какие"то rлубокие связи. Но выяснить
и объяснить эти связи мне представляется довольно труд...
ным. Замечу, впрочем, что мой друr Павел Серrеевич
Александров рассказывал" что у Hero каждое направление
математической мысли, тема для творческих размышле...
ний, свя3ыIалисьь с тем или иным конкретным музыкаль-
ным произведением.
Среди любимых композиторов назову в первую оче..
редь Моцарта, Шумана, ну и,; конечно, величайших
музыкантов Баха,. Бетховена.
Линевисть u литературоведь обраlnилu вни;мание
па Ваши nублu-пацuu по стиховедению. Что BbL ;можете
спазать об этом ........ ;менее обь чном ....... сочетании: ;мате;ма"
ти-па u поэзия? .
Мне хотелось бы разделить этот вопрос на два))
так как мое увлечение поэзией имеет такой же непроиз-
вольный, стихийный xapaKTep.t как и у людей" не занимаЮ 4
18
щихсн теоретическим исследованием стиха. Jlюбимые мои
поэты это Тютчев, Пушкин, Блок. Что же касается
моих научных работ по метрике' и ритмике PYCCKOI'O ,стиха,
то они действительно обратили на себя внимание специа
листов литературоведов, но все"таки это довольно спе
циальная область исследования, интересоваться которой
совершенно не обязательно всякому.
........ 3аnимаетесь ли BbL спортом? KaJltu.м?
Состязательным: спортом я никоrда не занимался.
Если не ошибаюсь, я только три раза в жизни участвовал
в rOHKe на 10 км на лыжах.
Но я всеrда очень любил большие проrулки пешком
и на лыжах, совершал длинные путешествия на байдарке
или на лодке. Очень люблю плавание, походы в ropax.
Во всех этих занятиях я ценю не только их пользу для
здоровья, но ту радость оБIЦения с природой, которую
они приносят.
Всеrда любил купание в морском прибое. В солнечные
мартовские дни люблю делать большие лыжные пробеrи
в одних шортах. Во время таких мартовских лыжных
пробеrов люблю выкупаться посреди сияющих на солнце
суrробов в только что вскрывшейся ото льда речке. Впро
чем, я не советую обязательно подражать мне во всем
этом ........ можно просто записаться в какую нибудь привле
кающую Вас спортивную секцию.
А порей Н иJltолаевич, что бьt Вы хотели пожелать
нашим читателям?
........ .я сам являюсь ученым, И, конечно, в первую оч
редь я желаю нашим читателям внести тот или иной 'вклад
в науку, большой или хотя бы маленький. Замечу, впро
чем, что в случае, если все наши читатели принялись бы
писать самостоятельные научные работы, то научные
журналы не выдержали бы TaKoro натиска. Поэтому я
выскажу и более скромное пожелание ........ чтобы школьное
увлечение математикой приrодилось вам и в дальнейшей
жизни. В «Кванте» мы как раз стараемся вам показать,
как разноо бразны приложения математической науки.
у Чf:'НИR об учителе
Интервью с академиком А. Н. Колм.оrоровым 8 ИIО
Я 1983 r. в связи со столетием со дня рождения аRадеМИRа
Н. Н. Луз ина.
....... Что В ы впали о Н. Н. Л узиnе до тоео, ,.ar;, впервьи:
увидели еео?
19
l{оrда осенью 1920 r. я поступил на первый курс
мате:матическоrо отделения фИЗИКО l\lатематическоrо фа
культета MOCKoBCKoro университета, имя Н. Н. Лузина
и как ученоrо, и как лектора было очень популярно среди
студентов. Я сразу же стал слушать ero лекции по теории
функций комплексноrо переl\lенноrо; параллельно
Б. К. Млодзеевский читал курс ТФRП в более тради
ционно:м: жанре. Мы, студенты, живо оБСУj-} дали раЗL1И
чия .в стиле изложения этих двух курсов. Помню, что
одновременно Н. Н. Лузин читал курс линейной алrебры,
но я ero не слушал.
....... Был ли курс ТФКП обязателыlм?? Д олж1-tы ли
Вы были е20 СЛУluать?
Студенты тоrда почти ничеrо не были должны в
современном пони мании слова «должны». Посещение было
вольное. Нужно было лишь сдавать экзамены. Список
экзаменов, которые требовалось сдать, чтобы перейти на
второй курс, был очень небольшим. Я сдал все эти экза
мены в начале первоrо курса, чтобы получить CTyдeH
ческий паек (пуд печеноrо хлеба и килоrрамм масла в
месяц; этот паек прибавлялся к обычной карточке) и
потом уже до начала пятоrо курса почти ничеrо не сдавал
(но за студенческое время написал пятнадцать научных
работ и с чрезвычайным увлечением преподавал в школе,
так что на экзамены оставалось мало времени). Вообще,
с современной точки зрения был довольно большой хаос.
Что же касается лекций по ТФRП, то они предназнача
лись для BToporo курса.
Коеда и какиМ, образом' состоялось Ваше личное
Зllакомство с Н. Н. Лузиllь М,1
Знакомство состоялось, коrда я был студентом
BToporo курса. На этом курсе я начал заниматься в се..
минаре В. В. Степанова. Работая в этом семинареt;
я решил задачу, которой интересовался Н. Н. Лузин. Воз--
можно, что и сама эта задача была И 1 поставлена. Во вся..
ком случае, именно со ссылкой на Н. Н. Лузина форму
лировка задачи обсуждал ась на семинаре В. В. Степа
вова. Речь шла о построении ряда Фурье со сколь уrодно
медленно стремящимися к нулю коэффициентами. Мне
удалось решить эту задачу (это была моя первая само...
стоятельная работа). Rоrда об этом рассказали Н. Н. Лу..
зину, он обратился КО IHe (помню, это было на универ
ситетской лестнице) и предложил реrулярно приходить
к нему на занятия.
В чем состояли эти занятия с Н. Н. Л уаиныМ,?
20
...-оа Каждый ученик приходил к Николаю Нико'лаевичу
Лузиву в ero арбатскую квартиру раз в педелю вечером
в постоянно выделенный для Hero день недели. Мой день
был общий с Петром Серrеевичем Новиковым, Людмилой
Всеволодовной Келдыш, Иrорем Николаевичем Хлодов
СI\ИМ. Занятие сос.тояло в беседе Н. Н. Лузина с нами
четырьмя на научные темы. Интенсивная работа с уче
никами была одним из тех новшеств, которые культиви
ровал Н иколай Николаевич.
Какое влияние оказали на Вас эти занятия?
Все мои первые работы были посвящены темам,
развивавшимся Николаем Николаевичем: триrоно:метри
ческим рядам, теории интеrрирования, дескриптивной
теории множеств и функций. Возможность общаться с
Н. Н. Лузины:м, рассказывать ему еще не полностью
завершенные результаты была очень важна. Надо, правда,
признаться, что дескриптивной теорией множеств и функ
ций Я занимался вопреки желанию Николая Николаевича.
Николай Николаевич всех своих учеников делил на тех,
кто должен заниматься м:етрикой (т. е. триrонометриче..
скими рядами, теорией интеrрирования) и дескрипцией.
Мне назначена была метрика.
....... К аково было влияние Н. Н. Л узина на Ваши пo
следующие работы?
В 1925 r. я окончил Московский университет как
студент и поступил в университетскую аспирантуру.
Моим руководителем в аспирантуре был по прежнему
Н. Н. Лузип. (Напомню, что пребывание в аспирантуре
не завершал ось тоrда диссертацией, как сейчас: ведь
ученые степени были введены лишь в 1934 r.) Еще в 1924 r.
я начал интересоваться теорией вероятностей. Моя пер..
вая работа в этой области относится к тому же 1924 r.
Она была выполнена совместно с А. я. Хинчиным (также
учеНИ:КО I Н. Н. Лузина). Все мои занятия по теории
вероятностей совместно с А. я. Хинчиным, весь вообще
первый период занятий этой теорией отмечен тем, что мы
применяли методы, разработанные в метрической теории
функций. Такие темы, K условия для применимости
закона больших чисел, условие сходимdсти ряда неза..
висимых случайных величин, велись, по существу, мето---
дами, выкованными в общей теории триrонометрических
рядов, т. е. методами, разрабатывающимися Н. Н. Лу..
эиным И ero учениками.
Как Вы оцениваете родь Н! Н. Л узина в развитии
.математических знаний?
2!
Н. Н. Лузин вошел в математику как автор перво..
классных работ в метрической и дескриптивной теории
функций, дескриптивной теории м:ножеств. Для Москвы,
для московской математической школы важное значение
имел новый подход к работе с молодежью. Существенным
в этом подходе было вполне индивидуальное личное ру..
ководство, а также умение придавать избранной TeMa
тике особенную значимость. Н. Н. Лузин настойчиво внед..
рял следующий метод работы (он и сам работал таким
образом, и приучал к этому своих учеников): берясь
за какую либо проблему, надлежи.т смотреть на нее с
различных точек зрения. Надо пытаться доказывать rи..
потезу и одновременно опроверrат ее. ,Если доказатель
ство не выходит, надо переходить к опровержению rипо..
тезы, к построению противоречащеrо примера. Если не
получается построение, надо снова вернуться к доказа
тельству. И пока не получится результат, нельзя поки
дать данную область. В теории функций действительноrо
переменноrо такая установка двойноrо видения (поиск
доказательства поиск опровержения), такой подход к
делу естественно привел к культивированию чрезвычайно
высокой техники построения примеров (или, как теперь
принято rоворить, контрпримеров). В этом направлении
школа Н. Н. Лузина двадцатых rодов была им постав..
лена на уровень, превосходящий все друrие научные
центры мира. Число тонких примеров, построенных в
школе Н. Н. Лузина, очень велико. Из Toro, что сейчас
приходит мне на память, назову нуль"ряд д. Е. Меньшова
и построенное М. А. Лаврентьевым обыкновенное диффе..
ренциальное уравнение первоrо порядка с непрерывной
правой частью, для KOToporo единственность нарушается
в каждой точке.
4. О ПРОФЕССИИ МАТЕМАТИКА
4.1. 3а Iноrочисленное
и талантливое пополнение кадров
советских математиков
Значение математических методов в таких
науках, как механика, физика или астрономия, хорошо
известно. Также всем известно и то, что }Iатематика
необходима в практической работе инженеров и техников.
Э ементарные знания по rеометрии или умение пользо..
ваться буквенными формулами необходимы почти каж--
22
дому :мастеру или квалифицированному рабочему. Но
:менее ясным для мноrих является вопрос о том, что значит
и:меть специальность математика и заниматься самой
r.rатематикой в качестве основной профессии.
Очень мноrие представляют себе дело так, что в учеб
никах и математических справочниках собрано уже впол
не достаточно формул и правил для решения всевозмож'"
ных, встречающихся на практике математических задач.
Даже очень образованные люди часто спрашивают с не...
доумением: разве в математике можно сделать что--либо
новое?
Поэтому и математика иноrда представляют себе как
скучноrо человека, выучивmеrо большое число формул
и теорем, и считают, что ero задача состоит в том, чтобы
ваученные rOToBble знания передать друrим.
Во всем этом верно ТОЛЬRО TO, что математические
сведения, сообщаемые в средней ШRоле и на первых сту'"
пенях изучения математики в высшей школе, добыты
человечеством давно. Но даже и эти простейшие MaTEr
матические сведения MorYT применяться умело и с поль
зой только в том случае". если они усвоены творчески,
так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти
R ним самостоятельно. От преподавателя математики и
в высшей и средней школе требуется не только твердое
внание преподаваемой им науки. Хорошо преподавать
матемаТИRУ может только человек., который сам ею YB
лечен и воспринимает ее RaR живую, развlIвающуюся
науку. Вероятно, мноrие учащиеся средней школы знают,
насколько увлекательной, а блаrодаря этому леrкой и
доступной становится математика у таких преподават
лей.
Еще в большей степени само тоятельность и спосо
вость по новому подойти К математической формулировке
задачи необходимы тому, кто применяет математику в
решении технических проблем. Это относится к работе
каждоrо инженера. Но TaR как требующиеся при этом
математические знания и способности имеются не у всех,
o большинство наших научно исследовательских инсти"
тутов и даже некоторые Rрупные заводы стали усиленно
привлекать специалистов математиков дл работы вместе
с инженерами над техническими проблемами.
Математики, способные руководить большими вычис
пительными работами., особенно дефицитны. В настоящее
время имеется MHoro задач,. в которых для получении
числовоrо результата требуются вычисления! превосхо
21
ДЯtцие возможности одноrо человека. Расчет упруrих
напряжений в плотинах, фильтрации воды под плотина
ми, сопротивлений, испытываемых са1vIО.ТIетами при по
лете, или траектории снарядов вот типичные ПрИ Iеры
таких задач.
Уже давно при научных институтах, проектных opra
низациях и заводах, нуждающихся в решении подобных
задач, стали возникать вычислительные бюро *) со м'ноrими
десятками вычислителей, оборудованные аРИфМО lетра I'И
и вычислительными автомата:м:и, требующими для выпол
нения арифметических действий над мноrозначными чис..
лами лишь набора их при по:м:ощи клавиш и нажатия
соответствующей кнопки (+, , Х, :). Однако современ..
ные наука и техника сталкиваются с такими задачами,
которые при этом уровне орrанизации вычислительных
работ требуют Iноrих месяцев, а иноrда и лет работы
десятков вычислителей. Такое положение вызвало бурное
развитие современной « Iаmинной м:атематики», о которой
рассказывается ниже.
Конструирование и обслуживание современных вы..
числительных машин превратились в большие инженер..
ные специальности, для которых специалисты rотовятся
на соответствующих отделениях технических вузов. Для
работы же вычислителя в вычислительном бюро cTaporo
типа или для введения задачи в современную электрон..
ную вычислительную машину достаточно среднеrо общеrо
образования и полуrодичноrо производственноrо обуче..
ния. Для Toro чтобы довести решение математических
задач до передачи для получения численных результатов
вычислительному бюро или вычислительной машине, необ..
ходимо большое количество людей с rлубокими матема..
тическими знаниями.
Теория «вычислительных методов» математики разви"
лась сейчас в большую науку и потребность в специалистах,
владеIОЩИХ этими методами, с развитием «машинной
математики» возрастает. Перед нами возникают своеоб..
разные задачи «проrраммирования», т. е. приведения про..
l\eCCa вычислений к виду, допускающему полную авто..
Iатизацию решения на машинах задач определенноrо
типа.
()Нlибочным является представление о математике как
о науке sаконченной, раз павсеrда построенной в своих
*) Речь идет о конце 50 x начале 60 x rодов. Пр.uме".
ео с rn .
2'1
теоретических основах. В действительности математика
обоrащается совершенно новы:ми теория:ми и перестраи
вается в ответ на новые запросы механики (нелинейные
колебания, механика св-ерхзвуковых скоростей), физики
(математические l\Iетоды квантовой физики) и друrих
с:межных наук. Kp01\Ie Toro, и в недрах самой математики
после накопления большоrо числа разрозненных специаль
ных задач, решенных частными прие Iаl\IИ, создаются HO
вые общие теории, освещающие эти задачи с иных точек
зрения и позволяющие решать их однообразными MeTO
дами. НаПРИ Iер, MeTOДЫ возникающеrо на наших rлазах
«функциональноrо анализа» относятся к математическому
анализу (который был создан еще в XVII XVIII вв. и
преподается во всех высших технических заведениях)
примерно так, как относится алrебра к арифметике. Так
называеl\lые «операторные методы» функционаЛЬНОfО aHa
лиза уже нашли широкое применение в современной фи
зике и теХНИRе.
Советскому Союзу требуется сейчас бо.льшое коли
чество самостоятельных исследователей по теоретическим
вопросам fvIатеl\lатики. При сравнении изданных обзоров
успехов советской матеl\lатики за 1917 1947 rr. обнару
живается, что в первом пятнадцатилетии было около ДBYX
сот математиков, внесших в математическую науку что
либо существенно новое, во втором же пятнадцатилетии
уже 600 800.
Количество математиков с университетской подrотов
кой, требующихся для работы над задачами, выдвиrае
мыми естествознанием и техникQ.ii, значительно болыпе"
особенно если учесть, что, KpOl\le теоретической разработ
ки вопроса, здесь, как правило, необходимо проведение
больших расчетных работ. Постоянно возрастает е}неrод
ная потребность научных и научно теХIIичеСI{ИХ институ
тов и вычислительных центров в молодых сотрудниках
математиках, выпущенных университетами.
Если учесть еще потребность нашей страны в препо
давателях математики в педаrоrических и учительских
институтах, то станет понятным, почему COBeTCKOl\fY ro
сударству требуется так MHoro математиков самой BJJICO--
кой квалификации, подrотовляемых на механико матема
тических и физико математических факультетах упивер
ситетов.
3а последние rоды в нашей стране проведепы ва}НII ые
мероприятия, направленные на повышение квалификации
преподавателей математики высших учебных заоодений,
2.)
на привлечение в университеты большоrо числа молодежи,
имеющей склонность к математике.
Интересно в связи с этим вспомнить, что в первые
rоды после Великой Октябрьской социалистической pe
волюции молодежь стремилась почти исключительно в
высшие технические заведения. Мноrим молодым людям
представлялось тоrда, что только таким путем они примут
непосредственное участие в социалистическом строитель..
стве. В первые революционные rоды такие настроения
имели некоторое разумное основание. Но потом, коrда
u u u u
развитие науки стало насущнеишеи .с хозяиственнои точ",
ки зрения потребностью нашей страны, необходимы были
усилия, чтобы преодолеть недоверие части молодежи к
перспективам, ожидающим ее при поступлении в универ..
ситеты. Эти настроения теперь изжиты. Но в применении
к математике, которая издали, даже среди друrих наук,
представляется слишком сухой и отвлеченной, с ними
приходится бороться еще и сейчас.
С 1952 r. прием на математические специальности
университетов СССР значительно увеличен по сравнению
с предыдущими rодами. Очень важно, чтобы при этом
расширенном приеме на математические специальности
попала не только хорошо подrотовленная, но и любящая
1Iатематику молодежь. Для этоrо необходимо, чтобы
:всюду на местах была создана возможность этим любите-
лям математики определить свои склонности и оценить
свои силы и возможности.
Чтобы сделать выбор вполне сознательно, полезно
. принять участие в работе математическоrо кружка и в
местной :математической олимпиаде. Быть может, еще
более полезно почитать соответствующую литературу и
попробовать свои силы в решении более трудных задач,
4.2. Несколько замечаний о характере
работы математика..исследователя
Как и всякая наука, математика требует
прежде Bcero твердоrо знания Toro, что по исследуемому
JJОПрОСУ уже сделано. Но не следует думать, что в мате.-
матике труднее, чем в друrих науках, добраться до воз...
можности делать что..либо новое. Опыт rоворит скорее
о друrом: способные математики, как правило, начинают
самостоятельные научные исследования очень рано. Если
матеl\lатические открытия, сделанные в 1 или 17..летне:м:
возрасте,- являются все же исключениями" собираемыми
26
с особенной тщательностью в популярных книжках по
истории математики, то начало серьезной научной работы
в 19 20 лет на средних курсах университетов достаточно
типично для биоrрафий мноrих наших ученых. (Академик
с. л. Соболев в 1933 r. в возрасте 25 лет был уже избрав
в члены корреспонденты АН СССР. В 1953 r. членом...
корреспондентом АН СССР избран 25 летний математик
комсомолец с. Н. Мерrелян.)
Конечно, широта постановки задач приходит обычно
несколько позднее, но при решении отчетливо поставлен...
иых трудных конкретных. задач совсем молодые люди
часто с успехом соревнуются со сложившимися извест'"
выми учеными. Ежеrодно около десятка научных работ,;
выполненных студентами математических специальностей
MOCKoBcKoro университета, публикуется в таком издании,;
как Доклады Академии наук СССР.
в основе большинства математических открытий ле...
жит какая либо простая идея: наrлядное rеометрическое'
построение, новое элементарное неравенство и Т. п. Нужно
только примевить надлежащим образом эту простую идею
к решению задачи, которая с первоrо взrляда кажется
недоступной. MHoro примеров этоrо можно найти и в попу
лярной литературе. Поэтому вовсе не существует непро..
ходимой стены между самыми новыми и трудными. ориrи..
нальными математическими исследованиями и решением
задач, доступных способному и достаточно упорному
начинающему математику. Интересно с этой точки зрения
прочесть некоторые rлавы из «Математической автобио--
rрафии» знаменитоrо COBeTCKoro а_ебраиста Н. r. Чебота...
рева (опубликована в журнале «"Успехи математических
наук» (1948, т. 111, выи. 3.», rде автор излаrает историю
своих научных поисков, начиная с первых опытов rимна...
аиста до крупнейших открытий в алrебре.
Друrое замечание относится к работе математиков
над вопросами естествознания (механики, физики и тех--
ники). Сейчас, коrда сотрудничество между математиками
и представителяии смежных специальностей развивается
особенно широко, можно определенно сказать" что наибо--
лее успешным оно оказывается при условии,- если мат&-
матик не оrраничивается ролью исполнителя сделанноrо
ему «заказа», а старается проникнуть в существо естест--
веннонаучных и технических проблем. По существу здесь
речь идет о том, что специалисты по математической и
теоретической физике, теоретической механике или тео..
ретической rеофизике MorYT подrотавливаться двумя
27
путями: начинать свое образование с изучения физики,
м:еханики или rеофизики, или же сначала изучать MaTe
l\fатику на математических отделениях университетов и
потом основательно входить в ту или иную область при
:менения мате:матики.
Существует даже такая точка зрения, что второй путь
дает лучшие результаты, т. е. что изучить на солидной
математической основе аэромеханику, rазовую дина:мику,
сейсмодоrию или динамическую метеоролоrию леrче, чем
специалисту в какой либо из этих областей восполнить
недостаток математической подrО1:0ВКИ. Такое мнение
MOiHHO считать слишком крайним, и следует заl\lетить,
например, что хорошее владение экспериментальной Tex
никой встречается у математиков, перешедших на работу
в какой либо смежной области, лишь как редкое исклю"
чение. Но нельзя не признать, что из математиков по
образованию произошел ряд крупнейших наших специа
листов в Сl\lежных науках.
Трудно отделить математику от механики и сейсмоло
rии в работах академиков М. А. Лаврентьева и С. Л. Со--
болева. В первую очередь как механики известны aKa
демики М. В. Келдыш, л. И. Седов и член корреспондент
АН СССР л. Н. Сретенский; как rеофизики члены...
корре понденты АН СССР А. Н. Тихонов и А. М. Обухов;
как специалист по теоретической физике академик
Н. Н. Боrолюбов. Между тем все они окончили универ
ситеты в качестве математиков.
Можно было бы указать мното связанных с именами
математиков конкретных дости}кений в естествознании и
технике, которые оказались весьма существеннuми с
непосредственно практической стороны.
4.3. О математических способностях
Необходимость специальных способностей
ДЛЯ изучения и понимания математики часто преувели..
чивают. Впечатление исключительной трудности матема...
'Тики иноrда создается ее плохим, чрезмерно формальным
изложением на уроке. Обычные средние человеческие
способности вполне достаточны, чтобы при хорошем ру'"
ководстве или по хорошим квиrам не только усвоить
математику, преподающуюся в средней школе, но иразоб...
раться, например, в началах дифференциальноrо и ин...
теrральноrо исчислений а Тем не менее, коrда дело идет
28
о выборе lатем:атики в качестве ое)I()ВlIОЙ пециальвостн,
вполне естественно желание проверить математичесние
способности, или, как rоворят иноrда, математическую
«одаренность». Ведь несомненно, что разные люди воспри
нимают математические рассуждения, решают fа'fеl\fати
чески е задачи или на более высокой ступени ПРII
ходят к HOBЫ ! Iатематическим открытиям с различной
скоростью, леrкостью и успехом. И, конечно, следует
стремиться R TOl\fY, чтобы из миллионов нашей молодежи
специалистами математиками стаНОВИJIИСЬ именно те, кто
в этой области будет работать наиболее успешно.
Поэтому содействие вьiдвижению математически oдa
ренной молодежи является одной из ваЛ:\ных задач школь
ных математических кружков, математических олимпиад
и друrих l\fероприятий по пропаrанде математических зна..
ний и распространению интереса к самостоятельным за
нятиям мате lатикой. Не следует спешить с чрезмерно
ранним созданием для отдельных молодых людей репу
тации l\lатематических «талантов». Но вовремя цодтолкнуть
советом или премированием на олимпиаде способных
математиков в сторону выбора математики в качестве
своей дальнейшей работы необходимо.
В чем же заключаются эти способности? Следует преж
де Bcero подчеркнуть, что успех в математике меньше Bcero
основан на механическом запоминании большоrо числа
фактов, отдельных формул и т. п. Хорошая память в
математике, как и во всяком друrом деле, является по...
лезной, но никакой особенной, выдающейся памятью
большинство крупных ученых математиков не обладало.
В частности, фокусники, запоминающие длинные ряды
мноrозначных чисел и складывающие или переМНОiнающие
их в уме, совсем не MorYT служить примером ЛIодей с
хорошими математическими способностями в серьезном
смысле слова.
Умение производить алrебраические вычисления,
в смысле умелоrо преобразования сложных буквенных BЫ
ражений, нахождения удачных путей для решения ypaB
нений, не подходящих под стандартные правила, и т. п.,
уже ближе соприкасается с теми способностями, которые
часто требуются от математика в серьезной научной работе.
Принято даже думать, что исключительно большое раз
вити е таких вычислительных, или, иноrда rоворят, «алrо
ритмических» способностей, является характерным для
одноrо из нескольких основных типов математической
одаренности.
29
в школьной алrебре с ТРУДНОСТЯМИ, требующими для
cBoero преодоления 1aKoro рода способностей, школьники
прежде Bcero сталкиваются при разложении алrебраиче
ских выражений на множители. Среди задач на эту тему
приведем две: разложитъ на множите.ли выражения х 5 +
+ х + 1 и а 1О + а 5 + 1; эти задачи дают представление
о том, что иноrда разложение очень простых выражений
на множители требует больmоrо ОСТРОУМИЯ.
Далее основной областью применения этоrо рода
способностей становится реmение уравнений. Однако
везде, rде это возможно, математики стремятся сделать
изучаемые ими проблемы rеометрически наrлядными.
В средней школе достаточно ясно видно, насколько по..
лезны rрафики для изучения свойств функций. Поэтому
читатель не удивится утверждению, что rеометрическое
воображение, или, как товорят, «rеометрическая интуи"
ция»), иrрает большую роль при работе почти во всех
разделах математики, даже самых отвлеченных.
В школе обычно с большим трудо}! дается наrлядное
представление пространственных фиrур. Надо, напримеРt
быть очень уж хорошим математиком (по сравнению с
обычным mкольным уровнем), чтобы, закрыв rлаза, без
чертеj-ка ясно представить себе, ка1i.ОЙ вид имеет nepece
'I.ение поверхности куба с n.лОС'/'i.остъю, проходящей череа
чентр куба и nерnендuху.ltЯРНОЙ одной из е20 диа20на.лей.
В задаче: В хуб вложено два nрави.лъных тетраэдра
ma'/'i., что четЪ"tре вершины пуба с.лужат вершинами одноео
из них, а оста.льные 'четыре вершины l;уба вершина.м,u
друе020. Какую долю '/'i.уба составляет об'Ъем общей части
втих тетраэдров? ВСЯ трудность заключается в том, чтобы
ваrлядно понять, что З8 фиrура получается при пер8-'
сечении тетраэдров.
При решении следующих задач:
01'&,ОЛО сферы оnисан nространственный четь"tрехуео.ль...
ItU'/'i.. Д О'/'i.азатъ, что тОЧ'/'i.и '/'i.асания .лежат в одной nлос"
"ости,
Д o'/'i.aaamb, что сумма расстояний от nроизво.лъной
внутренней тОЧ'/'i.и nравилъноео тетраэдра до еео ераней
естъ величина постоянная,
Д О'/'i.азатъ, что прямые; соединяющие середину высоты
llравиЛЪН020 тетраэдра с вершинами основания, взаимн'О
nерnендu'/'i.УЛЯРНЫ
тоже очень существенна rеометрическая интуиция.,- хотя
здесь уже больше остается и на долю твердоrо анании то
30
теорем, ноторые придется прим:енить при доказательстве,
и на долю умения лоrически раССУiI\дать.
Искусство последовательноrо, правильно расчленен
Horo лоrическоrо рассуждения является также сущест
венной стороной математических способностей.
В школе для развития этоrо искусства служит систе
матический курс rеометрии с ее определениями, Teope
мами и доказательствами. Но часто наибольшую TPYД
ность для школьников В отношении понимания точноrо
смысла сложной лоrической конструкции представляет
принцип математической индукции, изучаемый в конце
курса алrебры. М оrие не в состоянии ясно увидеть реаль..
ное содержание этоrо принципа за наrромождение I слов
«если» и «то».
Понимание и умение правильно применять принцип
математической индукции является хорошим критерием
лоrической зрелости, которая совершенно необходима
математику.
Умение последовательно, лоrически рассуtидать в He
знакомой обстановке приобретается с трудом. На MaT
матических школьных олимпиадах самые неожиданные
трудности возникают именно при решении задач, в KO
торых не предполаrается никаких предварительных 8Ha
пий из школьноrо курса, но требуется правильно уловить
смысл вопроса и рассуждать последовательно. Уже такой
шуточный вопрос затрудняет мноrих десятиклассников:
в хвойноJrt лесу 800 000 емй и ни на одной из nux не более
500 000 U8Л; до-пазать, что по paйпeй ,мере у двух елей
число иел точно одиnаково (сравните с задачей: в 500
ящиках лежат яблоки 1 причеж в ящике пожещается не
более 240 яблок; доказать, что по -npauneu жере 3 ящика
содержат по одunаковоJrtу числу яблок). В следующих
задачах:
Какое 1tаибольшее число острых уелов может ижеть
выпу-пль й .мuоеоуеольnuп, u.меющий п сторон? и
Д 01Шзать, что выпуклый 13..уеольnик нельзя раз резать
па парамелоеражжы, а также в задаче
Сколько раз в сутки стрелпи часов перпе1tдU УЛЯРllЫ
дРУ8 друеу? -
тоже rлавная трудность не в сложности, а в необычно-
сти тех способов рассуждения" которые требуется приме...
пить.
Различные стороны математических способностей BCTpe
чаются в разных комбинациях. Уже исключительное раз--
31
lJl1тие ОДНОЙ ИЗ tiИХ ИiiUI'да позволяет lllJИХОДИТЬ к пеОil\И-
данным и замечательным открытиям, хотя чрезмернан.
односторонность, конечно, опасна. Са:м:о собой разумеется,
что никакие способности не помоrут без увлечения своим
делом, без систематической повседневной работы.
Математические способности проявляются обычно дo
вольно рано и требуют непрерывноrо упражнения. Пол
ный отрыв от математики в течение нескольких лет после
средней школы часто оказывается трудно поправимым.
Работа чертежника, лаборанта, обращение с маmино
строительными деталями, сборка рад-иоаппаратуры и т. п."
по видимому, содержат в себе MHoro элементов, pOДCTBeH
ных с работой l\lатематика, например, в смысле развития
П,ространственноrо воображения и функциональноrо l\IЫШ"
ления. Соприкосновение на работе с современной техни
кой может пробудить более сознательный интерес к при..
ложениям математики. Но мы очень советуем молодым
людям, намеревающимся поступить на математичеСКОtj
отделение университета, проработав после школы несколь
ко лет на производстве, заранее заниматься математикой
и не только путем подrотовки к .вступительным экзаменам
(для чеrо при всех университетах существуют сiIециальныu
подrотовительные курсы), но и путем участия в матема..
тических кружках и олимпиадах и самостоятельноru
чтения. Иначе никакие льrоты для «производственников»
при поступлении в вузы не помоrут им во время работы
в университете не отстать от своих товарищей, пришедших
со свежими знаниями и .увлечениями прямо из школы"
4.4. Математические кружки, олимпиады
самостоятельное чтение.
Подrотовка к вступительным экзамен ан
в университеты
IIреподавание в школе во время обязатель
БЫХ классных занятий рассчитано в основном на ТВ6-рдое
усвоение матеl\Iатики всеми учащимися. Попробовать свои
силы в решении более трудных задач, ближе познакомить...
ся с тем, как наука справляется с решением более сложных
атематических проблем, и с тем, как математика при
I-Iеняется в естествознании и в технике, можно в матема...
'j'ическом кружке. Такие кружки ведут преподаватели
}--l8тематики во мноrих школах. Силами университетов
и педаrоrических институтов во мноrих rородах орrани"
32
вованы межшкольные математические кружки и система
тическое чтение лекций для школьников по отдельным
вопросам математики или ее истории.
Естественно, что все эти начинания, как и математи
чески е олимпиады, широко открыты и для работающей
молодежи, интересующейся математикой.
Математические олимпиады, на которых предлаrаются
трудные задачи и «победителям» выдаются премии и по
хвальные отзывы, удаются там, rAe хорошо поставлена
работа в кружках. Qлимпиады должны проводиться для
завершения работы, ведуЩейся в течение roAa, а не как
изолированное праздничное мероприятие.
Задачи, предлаrаемые в кружках и на олимпиадах,
иноrда носят искусственный и даже шуточный характер.
В этом нет беды, если задачи подобраны так, что для их
решения требуется серьезная работа мысли, 'похожая
на ту, которая требуется от взрослоrо, самостоятельно
работающеrо математика.
В докладах, читаемых в кружках их участниками,
..
и в лекциях, читаемых учителями и рреподавателями BЫC
шей школы, широко освещаются основные пути развития
математической науки, значение математики для eCTeCT
вознания и техники. Конечно, очень хорошо, если удается
в задачах, предлаrаемых в кружках, дать принципиально
важный или убедитеJJЬНЫЙ своей полезностью материал,
но было бы напрасно требовать, чтобы таким условиям
была подчинена вся та большая «тренировочная» рабо
та молодоrо математика, которая достиrается решением
задач.
Независимо от участия в кружках можно заняться
самостоятельным решением более трудных задач. Имеется
MHoro интересных сборников задач для любителей мат&-
:матики. Некоторые из них написаны так, что читатель,
решая последовательно связанные Apyr с ApyroM задачи,
l\-Iожет живо представить себе пути развития довольно
сложных математических теорий. Имеется также MHoro
вполне доступных книжек по отдельным вопросам MaTe
МаТИКИ. Некоторые из книжек, минуя, по возможности,
технические трудности, вводят читателя в Kpyr вопросов,
служащих и в настоящее время предметом еще не закон
ченноrо научноrо исследования.
Занятия в кружках, слушание лекций и чтение допол
"
пительнои литературы не должны, конечно, отвлекать
учащихся школ или подrотовительных курсов от более
лементарной обязательной учебной работы. Следует по
2 А. Н. nолмоrоров
33
IIНИТЬ,l, что для TOrO! чтобы быть припятым В унивеРСИТ ТJ
прежде Bcero требуется твердое знание mкольноrо курса
и Уl\Iение на основе этих знаний четко и уверенно решать
более обычные, так сказать, стандартные задачи.
Если сравнить задачи, предлаrавшиеся на экзаменах
при поступлении на механико математический факультет
Московското rосударственноrо университета, с предла--
rавшим:ися на олимпиадах, то можно заме'fИТЬ их сущест--
венное отличие. Для решения экзаменационных задач
re требуется какой либо особой изобретательности. В
60льшинстве случаев задачи решаются последовательным
применением изучаемых в школе правил и приемов8'
Если же решение их и требует некоторой самостоятель..
вости мысли, то дело оrраничивается необходимостью
еистематически исследовать поставленный вопрос в самом
естественном направлении. Например.,-- приступая к реше..
пию следующей задачи:
П оместить внутри правuльноао шестuуеольнultа со
стороной 1 пвадрат воз,м,ожно больших размеров. Найти
сторону этоео к,вадрата
следует ясно представить себе" как должен быть располо..
жен в шестиуrольнике искомый квадрат для тото, чтобы
ero нельзя было увеличить" не выходя за пределы шести
уrольника. Ясно, что для этоrо он должен упираться в
периметр шестиуrольника по меньшей мере двумя Bep
шинами. Такие квадраты (у которых по меньшей мере
две вершины лежат на периметре mестиуrольника)
надо подверrать более детальному исследованию. 1\ сожа
лению, некоторые экзаменующиеся не моrли преодолеть
уже этоrо первоrо этапа и даже предлаrали в качестве
решения задачи чертежи;: в которых квадрат свободно
висел внутри шестиуrольника" не прикасаясь к ето пери..
метр у .
Иноrда экзаменующимся с целью проверить на решении
одной задачи их знание целоrо ряда формул, правил и
теорем школьноrо курса экзаменаторы предлаrают зада
чи со сложными формулировками условий, придавая
им весьма искусственный и запутанный вид. Независи:Мо
от вопроса о правильности такой тенденции не следует
чрезмерно бояться задач TaKoro рода. По своей идее они
обычно бывают даже значительно элементарнее задач
с более короткими и красивыми формулировнами. Все
дело при решении таких комбинированных задач со слож..
по и запутанно формулируемы:м:и условиями сводится
84
обыч:но К тому, чтобы правильно прочесть условия зада
чи и не запутаться в длинном ряде выкладок и рассуждений,
каждое звено которых вполне элементарно,_ хотя и
требует применения ряда формул и теорем из школьно
ro курса.
Очень важно правильно распределить свои силы меж
АУ твердым усвоением школьноrо курса; серьезным про
думыванием наиболее существенных и трудных с идейной
стороны узловых вопросов этоrо курса,: тренировкой в
решении задач KOHKypc oro типа и (при наличии для
этоrо свободноrо времени) развитием своих более caMOCTO
ятельных интересов путем дополнительноrо чтения, учас
тия в кружках и олимпиадах.
Мне хочется в заключение заметить, что по наблюде
пиям мноrих преподавателей MOCKoBcKoro университета
сборники KOHKypCHIi(X задач и материалы школьных
кружков и олимпиад поселили в некоторой части нашей
молодежи чрезмерный страх перед поступлением в уни
верситет (и, в частности, в Московский). Для каждоrо
поступающеrо естественно желание достиrнуть Toro, что
бы уверенно. решать любую задачу KOHKypcHoro типа,
по не следует думать, что в университеты принимают толь
ко решивших все предложенные на экзаменах задачи.
Иноrда оценки 5, 4, 3 соответствоваJIИ четырем" трем и
двум решенным задачам. Решавшие менее двух задач,
как правило, получали «двойку» и к дальнейшим экзаме
нам не допускались.
На устных экзаменах задача экзаменатора в советском
вузе, вопреки распространенному воззрению школьников,
состоит не в том, чтобы поскорее «срезать» незадачливоrо
поступающеrо, а в том, чтобы тщательно взвесить, учитывая
все обстоятельства экзаменационной обстановки, перспек
тивы ero дальнеЙ1Пей работы по избранной им специаль..
ности. Нормы приема на первый курс наших вузов столь
в ?лики, что даже в Московском университете приемныe
и экзаменационные комиссии более Bcero озабочены теМ 1
-птобы не потерять ни одноrо поступающеrо, достаточно
-.подrотовленноrо и способноrо серьезно работать на данном
факультете. М е ,"I\ Д у тем часто случается, что более бояз..
ливые молодые люди, подrотовленные не хуже друrИХ t
предпочитают подавать заявления не туда, куда им хо..
чется попасть, а тупа, rде, по их сведениям! конкурс
поменьше.
2* 85
4.5. Элементарная в высшая математика
Поворотным пувктом В мате-
матике была декартова nере.менная
величина. Блаrодаря этому в ма..
тематику вошли движение и диа-
ле"ти,.а и блаrодаря этому же ста-
ло немедленно ,."еобходимы.м диф-
фере""циальное и интеzра.л,ьное ис-
числе,."ие.
Лишь дифференциальное ис-
числение .дает естествознанию воз..
можность изображать математиче..
ски не только состояния, во И
nроцессы: движение.
Ф. Э н r е л ь с. Диалектика при..
роды
Отмечаемый в этих словах Энrельса поворот в
матемаТИRе произошел в XVII в. одновременно с созданием
основ математичеСRоrо естествознания. Значение этоrо
IМBopOTa наСТОЛЬRО велико, что до настоящеrо времени
образовавшиеся в результате этоrо поворота разделы
матемаТИRИ объединяют под названием «высшей матема..
ТИRИ», В отличие от сложивmейся ранее «элементарной
матемаТИRИ».
Некоторые основные понятия высшей матемаТИRИ
вошли в настоящее время *) в проrраммы средней ШRОЛЫ,
rде основательно изучаются ФУНRциональные зависимости
между переменными величинами и сообщаются неноторые
сведения из теории пределов. Однано дифференциальное
и интеrральное исчисления, на ноторые опирается боль..
шинство наиболее серьезных и важных применений мате...
матики к естествознанию и теХНИRе, остаются за раМRами
проrраммы средней ШRОЛЫ.
Редно выбирают начала дифференциальноrо и интеr..
ралъноrо исчислений и в Rачестве предмета занятий в
mRОЛЬНЫХ математичеСRИХ RРУЖRах, таи иаи в них
обычно стре1t-IЯТСЯ предлаrать таRОЙ материал, RОТОрЫЙ
после сравнительно КОРОТRИХ вводных объяснений ПО8
воляет сразу взяться за самостоятельное решение задач;
изучение же начал дифференциальноrо и интеrральноrо
исчислений требует довольно длительной систематической
работы. С друrой стороны, сила и общность метода диф..
*) Речь идет о конце 50 x вачале 60 x COДOB. При.меч.
сост.
36
ференциальноrо и интеrральноrо исчислений таковы,
что" не ознакомившись с ними, нельзя как следует понять
все значение математики для естествознания и техники и
даже полностью оценить всю красоту и увлекательность
самой :м:атематической науки. НаПРИl\'Iер, в рамках ЭЛ(r
ментарной математики нахождение и доказательство фор--
мул для объемов сколько либо сложных фиrур или
площадей поверхностей представляется чрезвычайно труд--
ным. Уже объем пирамиды, как известно, доставляе'f
школьникам MHoro мучений. Вывод формул объема КОНУ--
са V == 1/ зл R2Н, объема шара V == 4/ зл RЗ или поверх--
ности шара S == 4лR2 не менее сложен. Особенно непри--
ятно то, что вывод каждой из этих формул требует CBO(r
образных приемов и не дает представления о том, как
справиться с задачами на нахождение площадей или
объемов, не разобранных в учебнике rеометрии. НО СТОИ'f
познакомиться с началами I.Iнтеrральноrо исчисления,
как обнаруживается, что, например, объемы всех тел
вращения находятся при помощи интеrрирования одно--
образным, простым и вполне естественным способом.
При владении интеrральным исчислением в принципе но
представляют затруднений и любые друrие задачи на
определение площадей или объемов:' все они делаЮТСJl
именно задачами, доступными решению определенным
методом, в то время как в пределах элементарной матема--
тики каждая из приведенных выше формул являлась
теоремой со своим собственным приемом доказательства.
Элементарные приемы решения задач на «максимум.
u _
или «минимум» являются сложнои и весьма хитроумно.
наукой. Все это наrромождение своеобразных и тонки
приемов оказывается в большинстве случаев совершенно
излишним, если пользоваться дифференциальным исчис..
лением. В этоrо рода применениях высшей математики
разобраться erцe проrце, так как здесь требуется только
ознакомиться с понятием производной, излаrаемым в
САМОМ начале дифференциальноrо исчисления, научиться
вprчислять производные простеЙШих функций и ознако--
И,ться справилами применения производных и нахожде--
Ю максимумов И минимумов.
Понятие производной /' (х) == := от. функции у =>
== f(x) по своему наrлядному с-эдержанию очень просто;
если считать независимое переменное х врежеneж, то
производная f' окажется просто споростью uа.меneпuя
вавиСUJ.ОJО пережпuоео у. Этим и объясняется основная
37
роль понятия производной при изучении процессов изм
пения величин во времени.
Если обратиться к механике,' то уже такая простая
задача, как вывод найденноrо rалилеем закона падения
тел, находит вполне удовлетворительное решение только
при использовании средств высшей математики. Вывод
хорошо известной формулы s == 1/ 2g t 2 для пути, прой-
AeHHoro телом за время t при свободном падении в пустоте
(g ускорение силы тяжести), который дается в элемен..
тарных учебниках физики, страдает lJекоторой сложностью
и искусственностью. Но достаточно усвоить, что
C1'i,OpOCmb есть проиаводnая от пройдеnnоао пути по време-
ds
ни: V === a:t' а ycr;,openue....... проиаводnая по времеnи от
dv u
спорости: g == dt' и ознакомиться с простеишими правила..
ми интеrрирования, как все сведется к очень простому вы-
числению:
t
и== gdt==gt J
о
, t
S == v dt == gt dt == + gt'A.
о о
в большом числе более сложных задач механики и
физики основные законы течения изучаемых явлений
тоже Mory" быть очень просто выражены при помощи
уравнений, связывающих изучаемые величины с их
производными по времени. Ypabhe-НИЯ f связывающие
искомые функции с их производными,: называются диффе..
реnциалъnь .ми.
При помощи дифференциальных уравнений сравни..
тельно просто записываются законы движения небесных
тел под действием всемирноrо тяrотения" закономерности
работы самых различных радиотехнических схем, зако-
номерности распределения напряжений в различных ме-
ханических конструкциях и т. д. Разработка методов
решения таких уравнений и является одной из основных
задач, которые естествознание и техника ставят laTeM:a-
тике.
Основательно изучить дифференциальное и интеrралр"
вое исчисления до высшей школы довольно трудно. Еще
труднее сколько нибудь эаметно продвинуться в теории
решения дифференциальных уравнений. Однако тем, Koro
математика мол ет увлечь и заинтересовать Иl\lенно с
этой стороны, можно все же попробовать ознакомиться
с простейшими понятиями дифференциальноrо и интеrраль-
38
иоrо исчислений параллельно с окончанием средней
школы *). Во всяком случае, таков был путь к математике
мноrих наших ученых, причем для некоторых из них
именно знакомство с высшей математикой и было решающим
aprYMeHTOM для Toro, чтобы окончательно остановиться
на математике в качестве своей специальности. Можно
с этой целью обратиться к замечательной книrе Р. KypaH
та и r. Роббинса «Что такое математика. Элементарный
очерк идей и методов» (М.; Л: rостехиздат, 1947) или
сразу читать какой либ.о из сравнительно доступных
учебников для вузов.
Тому, кто не решится на такой труд, приведенные
здесь краткие замечания помоrут понять, насколько
шире и интереснее, чем можно заранее себе представить,;
перспективы, которые откроются ему при дальнейшем
изучении математики.
4.6. Современная машинная математика*:I')
и кибернетика
Современная математическая теория дает
средства, в принципе достаточные для решения самых
разнообразнmх задач. Уже на первом курсе универ
ситета студенты знакомятся с методами нахождении
с любой заданной точностью корней алrебраических
уравнений какой уrодно высокой степени. При изучении
теории дифференциальных уравнен»й обнаруживается,;
что существуют общие методы нахождения их решений,
хотя и приближенных, но тоже обладающих любой
наперед заданной точностью.
Однако при практическом решении таких задач с
целью получить определенный числовой результат обна
руживается, что обладать принципиальной схемой реше..
ния еще не достаточно. Например, при расчете траектории
артиллерийскоrо снаряда эта траектория разбивается
на MHoro десятков коротких отрезков, которые рассчи..
тываются последовательно. Для расчета каждоrо следую..
щеrо участка приходится проделать несколько десятков
арифметических действий. Расчет одной траектории даже
'у вычислителя.,_ пользующеrося вспомоrательными таб..
*) Еще раз напомним, что текст написан А. Н. Колмоrоро--
выи в 1959 ['. В нынешней школьной nporpaMMe имеются
эле fенты ВЫСlпей математики. При.меч. сост.
**) Имеется в виду маТIIинная математика 50 x I'ОДОВ. П рu.меч.
сост.
39
..ицами и арифмометром;, занимает миоrо часов и даже
весколько дней.
Кораблестроительные расчеты или расчеты,; СВRзаННЫ8
е постройкой плотин больших электростанций,; занимаю"
месяцы и даже rоды работы специальных вычислитеЛJr
вых бюро. Такое положение, естественно, привело к Heo
ходимости усовершенствововать машинную вычислитель..
вую технику. Прежде Bcero, наряду с обычными арифмомет"
рами получили широкое распространение «малые вычис-
лительные машины», выполняющие автоматически четыре
арифметических действия над мноrозначными числами
Перемножение двух восьмизначных чисел занимает на
- такой машине 40 секунд.
При использовании этих машин вычислитель принуж"
дев еще записывать . результаты каждоrо действия, потом
вновь вводить ИХ в машину. 3а последние 20 лет широ..
ко развернулась работа по созданию «больших» вычисли..
тельных машин», которые без вмешательства человека
ВJ>IПОЛНЯЮТ длинные ряды арифметических действий.
Проrрамма работы такой машины з дается пробитием
дырочек на бумажной ленте. Машина сама выполняет
в указанном порядке арифметические действия, фиксирует
промежуточные результаты, использует их в дальнейших
вычислениях и, наконец, выдает окончательный резуль..
тат пробитым на ленте или карточках или даже отпеча..
. танпым.
Сначала в подобных сложных вычислительных маши..
вах использовались механические элементы типа колеси..
ков обычноrо арифмометра и электромаrнитные реле'J
вамыкающие и размыкающие ток, приводящий в движение
элементы машины. Полный переворот в вычислительной
технике ПРОИ80шел около десяти лет назад *), коrда было
показано, что возможно обойтись совсем без механичес..
Koro перемещения элементов машины, заменив их электрон..
выми лампами (диодами, триодами и т. д.) И их комби..
нациями (триrrерами и т. п.). Блаrодаря этому стало
возможным ПрОИ8ВОДИТЬ в одну секунду,. например, по
несколько тысяч умножений мноrозначных чисел. Еще
несколько позднее электронные лампы стали заменяться
полупроводниковыми элементами, имеющими значи
тельно меньшие размеры, для «запоминания» БОЛЬШОI'О
числа промежуточных данных (до нескольких сотен
тысяч) были введены маrнитные барабаны' и т. д. Стало
*) Речь идст о конце 40 x rOAOB. П p.uMe'L. сост.
40
возможным делать вычисления, требующие t например.
20 миллионов операций для предскаЗ8НИЯ по данным
:метеоролоrических станций поrоды на следующий день,
вычислять траекторию снаряда за время, меньшее времени
ero полета и Т. д.
Большие вычислительные машины иноrда специально
строятся для какой либо одной цели (например, дли
предсказания поrоды), но чаще имеют универсальный
характер, Т. е. предназначаются для решения самых
разнообразных задач. В этомJ случае они размещаются
в «вычислительных центрах», обслуживающих различные
научные и технические учреждения, не имеющие собствен
ных больших вычислительных машин. Часто вычисли
тельные машины подключаются к приборам,. управляю
щим автоматически тем или иным процессом. Если управ
ление быстро протекающим процессом требует сложных
вычислений" основанных на данных; получаемых в ходе
этоrо процесса, то без скоростных вычислительных ма...
шин подобная задача была бы вообще неосуществима..
Сфера применения таких управляющих машин быстро
растет.
Управляющие машины во MHoroM походят на управляю--
щие механизмы, возникшие естественным образом в ходе
эволюции живых существ (нервная система, механизм
сохранения и передачи по наследству признаков каждоrо
вида животных и растений). Общие закономерности
устройства управляющих систем изучаются недавно воз..
никшими науками: теорией информации и кибернеТИКОЙ1:
которые в значительной своей части являются математи
ческими и предъявляют к чистой математике MHoro новых
запросов.
5. rЕОМЕТРИЛ НА СФЕРЕ И rЕолоrия
Вероятно, мноrие читатели слышали о теории
Berenepa, соrласно которой материки способны передви--
rаться по земной поверхности, сохраняя свою форму t
,ОДНИ)1 из aprYMeHToB в пользу теории BereHepa с момента
ее создания (1912 rод) . было СХQДСТВО очерrаний восточных
;и западных береrов Атлантическоrо океана. Особенно
бросается в rлаза то, что Южную Америку можно так
придвинуть к береrам Африки, что восточная оконечность
Южной Америки (мыс Сан"Роки) войдет в rвинейский
залив и контуры береrов на большом протяжении почти
совместятся.
41
Еще сам BereHep заметил, что при таких сопоставле
Пиях более лоrично иметь дело не с береrовой линиеЙ t
8 с так называемым материновым снловом. Дело в том,
что матеРИRИ окружены занимающей довольно большую
площадь «материковой отмелью» с rлубинами до 200 мет..
ров. По существу, это затопленная морем часть материна.
Если читатели посмотрят в Большой Советской ЭнЦинл<r
педии нарту АтлантичеСRоrо онеана" то они убедятся,-
что площадь с rлубинами 0 200 метров вблизи материнов
довольно велина, площадь же с rлубин.ами 200 1000 мет"
ров значительно меньше. В этой полосе с rлубинами в
200 1000 метров, относящейся н материковому снлону,
м следует провести линию, RОТОРУЮ естественно считать
,rраницей матеРИRа». Мы увидим далее, что при таном
подходе соответствие между восточными и западными
rраницами Атлантичесноrо океана делается еще более
поражающим.
Однако производить сравнение очертаний материнов
по нарте не вполне правильно. Хорошо известно, что
поверхность сферы нельзя изобразить на ПЛОСRОСТИ без
:иснажений. В 1958 rоду Кери (5. w. Carey) у транил
8ТО затруднение, изrотовив подвижные прозрачные на..
Rладни на rлобус, вырезанные по очертаниям: материков,-
:и ПОRазал, что при надлежащем перемещении они очень
хорошо прилеrают друr к друrу.
По существу, точность сопоставления, которой можно
достиrнуть таким наивным способом, Rажется вполне
достаточной. Тем не менее некоторые крупные авторитеты
отнеслись к сопоставлениям Кери с недоверием. Поэтому
несколько анrлийских исследователей Буллард, Эве..
ре1'Т и Смит........ решили провести точные вычисления.
Вычисления относились к контурам материнов, прове..
денным по линиям rлубин в 100, 500 и 1000 метров. Расчет..
ным путем находились такие смещения материков, при
воторых несоответствие сдвинутых контуров оназыва..
лось наименьшим. В работе В u ] 1 а r d Е., Е v е..
r е t t 1. Е." S m i t h А. G. ТЬе fit of the continent аrоппd
Atlantic 11 Philosophical Transactions of the Roya] Society
of London. 1965......... Series А. V.258. Р. 41 45 точно
объяснена методика вычислений по «методу наименьших
I\вадра то В» .
Наилучшие результаты получаются, если считать
rравицей материка линию rлубин в 500 метров. Южная
Атлантика Почти полностью «занрывается» при надви"
rании Южной Америки на Африку. Чтобы получить
42
столь же хороший результат для Северной АтлаНТИКИ J
приходится подверrать различным: смещениям по отно-
шению к Африке Европу (отдельно Испан'ию)" rренлан--
дию и Северную Америку.
О результате читатели MorYT судить сами, рассматривая
рисунок на третьей странице обложки. Красным закра--
шены «перекрытия», СИНИ I оставшиеся промежутки.
На поверхности материков нанесена обычная сетка Iери
дианов и широтных KpyroB, соответствующая их реаль..
НОМУ положению до сдвиrов.
Чисто rеометрический подход авторов к rеолоrИИ$
конечно, является слишком упрощенныи. При движении
материки, несомненно, деформируются. Известно, напри--
мер, сколь большая площадь равнин «сминается» при
rорообразовании. Тем не менее удача описапноrо чисто
rеометричесноrо эксперимента представляется достаточно
поучительной.
6. АВТОМАТЫ И ЖJI3НЬ
Мой доклад «Автоматы и жизнь», подrотовленный
для семинара научных работников и аспирантов механико матема..
тическоrо факультета'Московскоrо rосударственноrо университета,
вызвал интерес у самых широких KpyroB слушателей. Популярное
изложение доклада подrотовлено моей сотрудницей по лаборатории
вероятностных и статистических методов Mry Н. r. Рычковой. Из..
ложение это во всех существенных чертах правильно, хотя иноrда
словесное оформление мысли, а следовательно, и некоторые ее от..
тенки принадлежат Н. r. Рычковой. .
Подчеркну основные идеи доклада, имеющие наиболее широ..
кий интерес.
1. Определение жизни как «особой формы существования белко..
вых тел» (Энrельс) было проrрессивно и правильно, пока мы имели
дело только с конкретными формами жизни, развившимися на 3ем"
ле. В век космонаВТИRИ возникает реальная возможность встречи
с «формами движения материи» (см. статью «Жизиь» в Большой со--
ветской Энциклопедии), обладающими основными практически'
важными для нас свойствами живых и даже мыслящих существ,
устроенных иначе. Поэтому приобретает вполне реальное значение
задача более общеrо определения понятия жизни.
11. Современная электронная техника открывает весьма широ..
кие возможности моделироваllИJl жизни и МЫШJIения. Дискретный
(арифметический) характер современных вычислительных машин
и автоматов не создает в этом отношении существенных оrраниче..
ний. Системы из очень большоrо числа элементов, Rаждый из :кото..
рых действует чисто «арифметически», MorYT приобретать :качествен..
но новые свойства.
111. Если свойство той или иной материальной системы «быть
живой» или обладать способностью «мыслить» будет определено чис
то функциональным образом (например, любая материальная си..
стема, с которой можно разумно обсуждать проблемы современной
43
вауки или литературы, будет признаваться мыслящей), то придетсп
пр знать в принципе вполне осуществимым искусственное создание
живых и мыслящих' существ.
IV. При этом, однако, следует помнить, что реальные успеха
кибернетики и автоматики на этом пути значительно более скромны,
чем иноrда изображается в популярных книrах и статьях. Напри
мер, при описании «самообучающихся» автоматов или автоматов,
способных «сочинять» музыку или писать стихи, иноrда исходят из
крайне упрощенноrо представления о действительном характере
высшей нервной деятельности человека и, в частности, творческой
деятельности.
V. Реальное продвижение в направлении понимания механизма
высшей нервной деятельности, включая и высшие проявления чело..
веческоrо творчества, естественно, не может ничеrо убавить в цeH
вости и красоте творческих достижений человека. Я думаю, что эrо
и хотела сказать редакция журнала «Техника..... молодежи», cдe
пав лозунr «Материализм это прекрасноl» о,р;НИМ из подзаrолов
ков в изложении Moero доклада.
26 авауста 1961 8.
* * *
л принадлежу к тем крайне отчаянным кибернетикам,
которые не видят никаких принципиальных оrраничений
в кибернетическом подходе :к проблеме жизни и полаrают
что можно анализировать жизнь во всей ее пол HOTe lli
в том числе и человеческое сознание со всей ero слож
востью, методами кибернети:ки.
Очень часто задают такие вопросы:
...... MorYT ли машины воспроизводить себе подобных
и можеr ли в процессе самовоспроизведения происходить
проrрессивная ЭВОЛЮЦИЯ t приводящая к созданию ма..
mИН t существенно более совершенных", чем исходные?
..... MorYT ли Iашины испытывать эмоции: радоваться",
rРУСТИТЬ t быть недовольными чем нибудьJ. чеrо нибудь
хотеть?
MorYT ли,,; наконец, машины сами ставить перед
собой задачи", не поставленные перед ними их конструкто-
рами?
Иноrда пытаются отделаться от этих вопросов или
обосновать отрицательные ответы на них,,, предлаrая.1
напримеР"J определить понятие «машина» как неЧТО,t
каждый раз искусственно создаваемое человеком. При
таком определении часть вопросов, скажем первый,
автоматически отпадает. Но вряд ли можно считать разум
вым упорное нежелание разобраться в вопросах, действи..
тельно интересных и сложных" прикрываясь насильствен"
по оrраниченным пониманием терминов.
Вопрос о том, можно ли на пути :кибернетическоrо
подхода 1\ анализу жизненных явлений создать подлинную,
41
настоящую жизнь, которая будет самостоятельно про--
должаться и развиваться, остается насущной пробле--
мой современности. Уже сейчас он актуален, rоден для
серьезноrо обсуждения, ибо изучение аналоrий между
искусственными автоматами и настоящей живой систе
мgй уже сейчас служит принципом исследования са:мих
явлений жизни, с одной стороны, и способом, помоrа--
ющим изыскивать пути создания новых автоматов
с друrой.
Есть и друrой способ сразу ответить на все эти вопросы.
Он заключается в ссылке на математическую теорию
алrоритмов. Математикам хорошо извеС1НО, что в преде
лах каждой формальной системы, достаточно боrатой
математически, можно сфОРl\tlулировать вопросы, которые
кажутся содержательными, осмысленными и должны
предполаrать наличие определенноrо ответа, хотя в
пределах данной системы TaKoro ответа найти нельзя.
Вот поэтому то и провозrлашается, что развитие самой
формальной системы есть задача машины, а обдумывание
правильноrо ответа на вопрос это у/не дело человека,
преимущественное свойство человечеСКОI'О мышления.
Такая арrументация, однако, использует идеализи
рованное толкование понятие «мышление», с помощью
KOToporo можно леrко доказать, что не только машина,
но и сам человек мыслить не MorYT. Здесь предполаrается,
что человек l\'Iожет давать правильные ответы на любые
вопросы, в том числе и на поставленные неформально,
а мозr человека способен производить неоrраниченно
сложные формальные выкладки. Между тем нет никаких
оснований представлять себе человека столь идеализи
рованным образом как бесконечной сложности opra
иизм, в котором умещается бесконечное количество истин.
Чтобы достичь TaKoro положения, за1'vlетим в шутку,
пришлось бы расселить человечество по звездным мирам,
чтобы, пользуясь бесконечностью мира, орrанизовать
формальные лоrические выкладки в бесконечном прост--
ранстве и даже передавать их по наследству. Тоrда можно
было бы считать, что любой математический алrОРИ1:М
человечество может развить до бесконечности.
Но вряд ли эта арrументация имеет отношение R
реальному вопросу. И уж во ВСЯКОl\rI случае это не воз
ражение против постановки вопроса о том, возможно ли
создание искусственных живых существ, способных к
размножению и проrрессивной эволюции, в высших
формах обладающих эмоцией, волей и мышлением.
45
Этот же вопрос поставлен изящно,,_ но формально
математиком Тъюринrом в ето книrе «Может ли машина
мыслить?». Можно ли построить маШИНУ1 которую нельзя
было бы отличить от человека? Такая постановка' как
будто ничуть не хуже нашей и к тому же проще и короче.
На самом же деле она не вполне отражает суть дела.
Ведь" по существу, интересен не вопрос о том., МОЖНО
lIИ создать автоматы, воспроизводящие известные нам
свойства человека; хочется знать" можно ли создать новую
жизнь,: столь же высокоорrанизованную., хотя" может
быть" очень своеобразную и совсем непохожую на нашу.
В современной научной фантастике сейчас появляются
произведения" затраrивающие эти темы. Интересен и
остроумен рассказ «Друт» в сборнике Станислава Лема
.Вторжение с Альдебарана» о машине., пожелавшей управ
пять человечеством. Однако фантазия романистов не
отличается особой изобретательностью. и. А. ЕфреМОВ,?i
вапример выдвиrает концепцию" что «все совершенное по..
хоже друт на друта». Стало быть" у высокоорrанизованноrо
существа должны быть" по ето мнеНИЮ I два rлаза и HOC t
хотя, может быть", и несколько измененной формы. В век
космонавтики не праздно предположение" что нам, воз..
можно, придется столкнуться с друrими живыми сущест"
вами.! весьма высокоорrанизованными и в то же время
совершенно на нас непохожими. Сможем ли мы установить,_
каков внутренний мир этих существ, способны ли они
к мышлению" присущи ли им эстетические переживания,
идеалы красоты или чужды и т. п. Почему бы, например,
высокоорrанизованному существу не иметь вид тонкой
пленки ....... плесени, распластанной на камнях?
6.1. Что такое жизнь?
Возможно ли искусе твенвое разумное
существо?
Поставленный нами вопрос тесно связан
с друrими: а что такое жизнь.t что такое мышление, что
такое эмоциональная жизнь\,' эстетические переживания?
В чем, CKa eM" состоит отличие последних от простых эле..
ментарных удовольствий..... от пироrа f например, или еще
чеrо нибудь в этом роде? Если rоворить в более серьез--
ном тоне" то можно сказать следующее: точное опреде..
ление таких понятий, как водя, ,мышд,ение, э.моции" еще
не удаJIОСЬ сформулировать. Но на естественнонаучном
уровне строrости такое определение возможно. Если мы
46
не признаем Э1 У возможность, мы окажемся безоруж.
пыми против aprYMeHToB солипсизма.
Хотелось бы научиться на основании фаRТОВ поведе
пия, например, делать выводы о внутреннем состоянии
живоrо ВЫСОRоорrанизованноrо существа.
Как изучать высшую нервную деятельность,; исполь..
зуя кибернетический подход? Здесь открываются следунr
щие пути: во первых, можно детально изучать само ПОВEr
дение животных или человека; BO BTOpЫX, изучать устрой--
ство их мозrа; можно, наконец, иноrда довольствоваться
и так называемым симпатическим пониманием. Если.
скажем, просто внимательно наблюдать кошку или соба-
RY, то, И не зная науки о поведении и условных рефлек--
сах, можно преRрасно понять, что они думают и чеrо
хотят. Несколько труднее достиrнуть TaKoro понимания
с птицами или,,; например" с рыбами, но вряд ли и это
невозможно. Это вопрос не новый, частично он уже решен'3
частично леrко решаем, частично........ трудно. Опыт ин--
дуктивноrо развития науки rоворит нам, что все ВОПрОСЫ t
долrо не находившие решения, постепенно разрешаются"
и вряд ли нужно думать, что именно здесь существуют
заранее установленные пределы, дальше ROTOpblX про
двинуться нельзя.
Если считать, что анализ любой высокоорrанизован--
ной системы естественно входит в состав кибернетики,}
придется отказаться от ,распространенноrо вения, что
основы кибернетики включают в себя лишь изучение
систем, имеющих заранее назначенные цели. Часто
кибернетику определяют как HaYRY, занимающуюся изу
чением управляющих систем. Считается, что все такие
системы обладают общими свойствами и свойство
номер один у них наличие цели. Это верно лишь до
тех пор, ПОRа все, что мы выделяем в качестве орrанизо
ванных систем, управляющих собственной деятельностью"
похоже на нас самих. ОднаRО если мы хотим методами
кибернетики изучать происхождение таких систем, их
естественную эволюцию, то TaRoe определение становится
узким. Вряд ли кибернетика поручит какой..либо друrой
науке выяснять, каким образом обычная причинная
связь в сложных системах путем eCTecTBeHHoro развития
приводит R ВОЗ 10ЖНОСТИ рассматривать всю систему как
действующую целесообразно.
Обычцо понятие «действовать целесообразно)} вклю
чает УМfl.вие охранять себя от разрушающих внешних
воздейстий ИЛР,,- скажем} способность содействовать своему
47
размножению. Спрашивается: кристаллы действуют целе
сообразно или нет? Если «зародыш» кристалла поместить
в некристаллическую среду, будет ли он развиваться?
Ведь никаких отдельных opraHOB у кристалла различить
невозм:ожно, стало быть, это есть некая промежуточпая
форма. И существование таковых неизбежно.
По видимому, частные задачи, подобные этой, будут
решать науки, непосредственно с ними связанные. Опытом
частных наук никак нельзя пренебреrать. Но исключить
из содержания кибернетики общие представления о при..
чинных связях в целесообразно действующих системах!
ставящих себе цели, так же нельзя, как нельзя, например,
уже при имитации жизни автоматами не считаться, ска-
жем, с тем, что и сами эти цели меняются в процессе
эволюции, а вместе с этим изменяется и представление
о них.
Коrда rоворят, что орrанизация мехаНИЗl\Iа наслед
ственности., позволяющеrо живым орrанизмам переда..
вать свое целесообразное устройство потомкаl\l, имеет
целью воссоздать данный вид, придать ему определенные
свойства, а также возможности изменчивости, проrрессив
ной эволюции, то кто же ставит эту цель? Или если
рассматривать систему в целом, то кто же, как не она
сама, ставит перед собой цель развития пу,!еl\l отсеивания
неrодных экземпляров и размножения совершенных?
Подводя итоrи, можно сказать, что изучение в общей
форме возникновения систем, в которых применимо
понятие целесообразности, есть одна из rлавных задач
кибернетики. При этом изучение в общей форме eCTeCT
венно предполаrает знание, отвлеченное от деталей физи
ческоrо осуществления, от энерrетики, химии, возмож
востей техники и т. п. Нас здесь интересует только,
как возникает возможность сохранять и накапливать
информацию.
Такая широкая постановка задачи содержит в себе
MHoro трудностей, по отказаться от нее на современном
Втапе развития науки уже невозможно.
Если признавать важность задачи определения в объек
тивных обобщенных терминах существенных свойств BHY
тренней жизни (высшей нервной деятельности) какой то
везнако:мой нам и непохожей на нас высокоорrанизов aH
ной системы, то нельзя ли тот же путь предложить и в
применении к нашей системе человеческому обществу?
Хотелось бы па общем языке, одном и том же дл я всех
высокоорrанизованных систем, y1tteTb опиеывать и все
48
явления жизни человеческоrо общества. Представим себе
воображаемоrо постороннеrо наблюдателя нашей жизни,
который совершенно не обладает ни симпатиями к нам,
ни умением понять, что мы думаем и переживаем.
Он просто наблюдает большое скопление орrанизованных
существ и желает понять, как оно устроено. Совершенно
так же, как, скажем, мы наблюдаем муравейник. Череа
некоторое время он, пожалуй, без особоrо труда сможет
понять, какую роль иrрает информация, содержащаяся,
например, в железнодорожных справочниках (человек
теряет такой справочник и не может попасть на нужный
поезд). Правда, наблюдателю ПРИШЛОGЬ бы столкнуться
с большими трудностями. Как, например, понять ему
следующую картину: множество людей приходит вечером
в большое помещение, несколько человек поднимаются
на возвышение и начинают делать беспорядочные движе
ния, а остальные сидят при этом спокойно; по окончании
люди расходятся без всякоrо обсуждения. Один из
молодых математиков, может быть в шутку, приводит
и друrой пример необъяснимоrо поведения: люди заХОДЯ1
в помещение, там получают бутылки с некоей жидкостью,
после чеrо начинают бессмысленно жестикулировать,
[1остороннему наблюдатеjlЮ будет трудно установить,
что же это такое просто разлад в машине, какая то
пауза в ее непрерывной осмысленной работе, или же
49
можно описать,; что происходит в этих двух случаях)
и установить разницу между ними.
Оставив шутливый тон, сформулируем серьезно вов..
викающую здесь проблему: нужно научиться в терминах
поведения осуществлять объективное описание caMoro ме..
ханизма, это поведение обусловливающеrо, уметь разли..
u
чать отдельные виды деятельности высокоорrанизованнои
системы. Впервые в нашей стране И. п. Павлов установил
возможность объективноrо изучения поведения животных
и человека, а также реrулирующих эrо поведение Iозrо"
вых процессов без всяких субъективных rипотез, выра...
ж нных в психолоrических терминах. fлубокое изучение
предложенной проблемы есть не что иное, как павлов..
ская проrрамма анализа высшей нервной деятельности в
ее дальнейшем развитии.
С05дание высокоорrанизованных живых существ пре..
восходит возможности техники наших дней. Но всякие
оrраничительные тенденции. всяное неверие или даже
утверждение невозможности на рациональных путях дос..
тичь объективноrо описания человеческоrо сознания во
всей ero полноте сейчас явились бы тормозом в развитии
науки. Разрешение этой проблемы необходимо, ибо уже
истолкование разных видов деятельности может служить
- толчком для. развития машинной техники и автоматики.
С друrой стороны, возможности объективноrо анализа
нервной системы сейчас столь велики, что не хочется за..
ранее останавливаться перед задачами любой трудности.
Если технические трудности будут преодолены, то воп"
рос О практической целесообразности ОСУ1Цествления со..
ответствующей проrраммы работ останется по меньшей
мере спорным.
Однако в рамках материалистическоrо мировоззрения
не существует никаких состоятельных принципиальных
aprYMeHToB против положительноrо ответа на паш воп"
рос. Более Toro" этот положительный ответ является сей...
час современной формой убеждений о естественном воз..
ВИRновении жизни и материальной основе сознания.
6.2. Дискретна или непрерывна мысль?
В кибернетике и теории автоматов сейчас
наиболее разработана теория работы дискретных устройств,
Т. е. таких устройств, которые состоят из большоrо
числа отдельных элементов и работают отдельными так..
таl\lИ. Каждый эле:мент fO/l\eT находиться внебольшом: чис-
50
пе состояний, и изменение состояния отдельноrо элемен..
та зависит от предыдущих состояний сравнительно неболь
moro числа элементов. Так устроены электронные маmи
вы, таи, предположительно, устроен и человеческий мозr.
Считается, что мозr имеет таких отдельных элементов
нервных плеток 1010" а может быть" и еще больше. Несколь..
но проще, но еще более rрандиозно в смысле объема уст..
роен аппарат наследственности.
Иноrда делают вывод, что кибернетика должна зани
маться лишь дискретными устройствами. Против TaKoro
подхода есть д a возражения. Во..первых, реальные слож..
ные системы как мноrие машины, так и все живые су'"
щества действительно имеют определенные устройст
ва, основанные на принципе непрерывноrо действия. Что
касается машин, то таким примером может служить, ска..
жем, руль аВТОltlобиля и т. п. Если мы обратимся R чело--
веческой деятельности созна1'ельной, но не подчипен
ной законам формальнqii лоrики, т. е. деятельности инту
итивной ИЛИ ПОЛУИНТУ!IJТИВНОЙ, например к двиrательным
реакциям, то мы обнаружим, что большое совершенство
и отточенность механизма непрерывноrо движения пое
троены на движениях непрерывно rеометрическоrо харак"
тера. Если еловек совершает тройной прыжок или пры
'жок С шестом или, например, rотовится к дистанции сла
лома, ero движение должно быть заранее намечено как
.
непрерывное (для математиков: путь слаломиста оказы
вается даже аналитической кривой). Можно полаrать, од"
вако" что это ве есть радикальное возражение против дие..
кретных механизмов. Скорее Bcero интуиция непрерыв"
ной линии в, мозrе осуществляется на базе ДИСI<ретноrо
механизма.
Второе возражение против дискретноrо подхода зак..
лючается в следующем: заведомо человеческий мозr и да..
же, к сожалению" часто вычислительные машины, отнюдь
не всеrда действуют детерминированно ...... полностью за..
кономерным образом. Резулртат их действия внекоторый
момент (в данной -ячейке) нередко зависит от случая. Ж
лая обойти эти возражения, можно сказать" что и в aBT
маты можно «ввести случайность». Врцд ли имитирование
случайности (т. е. замена случая какими--то закономернос--
тями, не имеющими отношения к делу) может принести
СRолько"нибудь серьезный вред при моделировании жиз..
ни. Правда, вмешательство случайности часто рассматри"
вается несколько примитивно: заrотавливается достаточ"
но длинная лен та случайных чисел! которая затем исполь..
51
зуется для имитации случая в различных задачах. Но при
частом употреблении эта заrотовленная «случайность» в
конце концов перестает быть случайностью. Исходя из
этих соображений, к вопросу имитации случая на авто-
натах следует под одить с большой осторожностью. Од-
нако принципиально это вещь во всяком случае возмож-
ная.
Только что изложенная арrументация приводит нас
к следующему основному выводу.
Несомненно, что переработка информации и процес-
сы управления в живых орrанизмах пост.роены на слож-
ном переплетении дискретных (цифровых) и непрерывных
механизмов, с одной стороны, детерминированноrо и Be
роятностноrо принципов действия ...... с друrой.
Однако дискретные механизмы являются ведущими
в процессах переработки информации и управления в жи-
вых орrанизмах. Не существует состоятельных арrумеи-
тов в пользу принципиальной оrраниченности возможнос-
тей дискретных механизмов по !сравнению с непрерыв"
иыми.
6.3. Что такое «очень мвоrо»?
Часто, сомневаясь в возможности модели-
ровать человеческое сознание на автоматах, rоворят, что
количество функций высшей нервной деятельности чело
века необъятно велико и никакая машина не может стать
моделью сознательной человеческой деятельности в пол
ном ее объеме. Одних только нервных клеток в коре rолов"
Boro мозrа 1010. Каково же должно быть число элементов
в машине, имитирующей всю сложную высшую нервную
деятельность человека?
Эта деятельность, однако, связана не с разрозненными
нервными клетками, а с довольно большими аrреrатами их.
Невозможно представить себе, чтобы, скажем, какая"ни"
будь математическая теорема «сидела» в одной единствен
ной,; специально для нее заrотовленной нервной клетке
или даже в каком....то определенном числе их. По"видимо"
му, дело обстоит совершенно иначе. Наше сознание опе
рирует небольшими количествами информации. Количест..
во единиц информации, которое человек воспринимает
и перерабатывает в секунду, совсем невелико. ВОТ один
несколько парадоксальный пример: слаломист, преодо..
левая дистанцию, в течение десяти секунд воспринимает
и перерабатывает значительно большую информацию, чем
.52
ври друrих, казалось бы, более интеллектуальных видах
деятельности, во всяком случае больше, чем математик
пропускает через свою rолову за сорок секунд напряжен
ной работы мысли. Вообще, вся сознательная жизнь че--
новека устроена как"то очень своеобразно и сложно, но
коrда закономерности ее будут изучены, для моделиро-
вания ее потребуется rораздо меньше элементарных ячеек,
чем для моделирования Bcero мозrа, как это ни удиви..
'lельно.
Какие же объемы информации MorYT создавать уже Ka
чественное своеобразие сложных явлений, подобных жиз...
ии, сознанию и т. п.?
Можно разделить все числа на малые, средние, большие
и сверхбольшие. Эта классификация HecTpora, в рамках
ее нельзя будет сказать, что такое"то число, например
среднее, а следующее за ним........ уже большое. Здесь чис..
па делятся на катеrории с точностью до порядка величин.
Но большая строrость нам здесь и не нужна. Каковы же
эти катеrории? Начнем с определений, понятных лишь
математикам.
1. Ч исдо А нааове,м ,мaДЬ M, есди праптичес-пи возможно
перебрать все схемы иа А элементов с двумя входами и вы..
ходами иди вь пиcaть ддя них все фунпции адеебры доеипи
с А ареументами.
11. Чисдо Б нааывается средним, есди мы окааываемся
не в состоянии перебрать праптичеспи все cxeMЬ иа Б эде--
,ментов, а може,м перебрать .лишь сажи эти элемен,..-
ты иди (что чуть чуть сдожнее) выработать систему обо--
аначений ддя дюбой системы иа Б элементов.
111. И, напонец, чисдо В ....... бодьшое, если MЬ не в состоя..
нии праптичеспи перебрать тапое чисдо элежентов, а мо--
жем лишь установить систему обоаначений ддя этих эде..
,ментов.
IV. Чисда будут сверхбодьшими, есди праптичеспи и
этоео нельая сдедать; они нам, пап мы увиди,м дадьше, и не
понадобятся.
\ Поясним теперь эти определения На доступных при
мерах.
J' Пусть R одной электрической лам;почке подсоединено
три выключателя" наждый из которых может находиться
в левом (Л) или правом (П) полож,ении. Тоrда, очевидно,
J30ЗМОЖНЫХ совместных положений трех выключателей
будет 23 == 8. Перечислим их для наrлядности:
1)ЛЛЛ з)лпп 5)ПЛЛ 7)ПЛП
2) ЛПЛ 4)" ЛЛП 6) ппл 8) ппп.
53
Проводку К нашим выключателям можно сделать та-
ким: образом, что в каждом: из выписанных положений лам:..
п! чка может каи rореть, так и не rореть. Если произвести
подсчет, то окажется, что различных положений выклю-
чателей, сопровожденных такими отметками, будет 223, т. е.
28 == 256. Справедливость этоrо последнеrо утверждения
читатель без труда может проверить самостоятеЛЬНО j
дополняя выписанные положения выключателей ЗН ками
«rорит», «не rорит».
Тот факт, что такое упражнение ПОД силу читателю и
ве займет у Hero слишком MHoro времени, и убеждает нас
в том, что число 3 (число выключателей) относится к ма..
JIbl?\l. Если бы выключателей было не 3, а, скажем, 5, то
пришлось бы выписать 225 == 4 294 967 296 различных сов..
местных положений выключателей, сопровожденных OT
метками «rорит», «не rорит». Вряд ли можно за какое"ни"
будь разумное время практически проделать все это не
сбившись. Поэтому число 5 уже нельзя считать малым:.
Чтобы стал понятен термин «среднее число», приведем
друrой пример. Представьте себе, что вас ввели в помеще..
вие, rде находится 1000 человек, и предложили с каждыlW
из них поздороваться за руку. Правда, ваша рука после
таких упражнений будет чувствовать себя неважно, но
практически (по времени) проделать такое упражнение
вполне возможно. Бы вполне сумеете, не сбившись, по..
дойти К каждому из тысячи и протянуть ему руку. А ес..
ли бы последовало предложение всей тысяче ПрИСУТСТВУIО
54
щих обменяться друr с друrом рукопожатиями, да еще
каждой компании из трех человек внутри CBoero кружка
дополнительно обменяться рукопожатиями и т. д., то это
оказалось бы немыслимым. Число 1000 и есть среднее. Мож--
но сказать, что мы «перебрали» тысячу элементов, OTM
тив при этом каждоrо (рукопожатием).
Совсем простым примером большоrо числа является
число видимых звезд на небосклоне. Каждый знает, что
невозможно пересчитать звезды пальцем, а тем не менее
существует каталоr звезд оrо неба (т. е. выработана сис
тема обозначений), пользуясь которым мы в любой момент
можем получить справку о нужной нам звезде.
Естественно, что вычислительная машина может, во--
первых, дольше работать не сбиваясь, а BO BTOpЫX, она
составляет различные схемы во MHoro раз быстрее, чем
человек. Поэтому в каждой катеrории соответствующие
числа для машины будут больше, чем для человека.
Числа I Чело век Машина
Малые 3 10
Средние 1000 1010
Большие 10100 101010
Что поучительноrо в этой таблице? Из нее видно, что
хотя соответственные числа для машины rораздо больше,.
чем для человека, но остаются близкоrо порядка с ними.
Между же числами разных катеrорий существует непро--
ХОДИl\fая rрань: числа, средние для человека, не становят-
ся малыми для машины, так же как числа, большие для
человека, не становятся средними для машины. 103 нес...
равненно больше, чем 10, а 10100 безнадежно ольше, чек
1010. Заметим, что объем памяти живоrо существа и даже
машины характеризуется средними числами, а мноrие
проблемы, решающиеся путем так называемоrо простоr9
перебора ,........ большими.
Здесь мы сразу выходим за пределы возможностей срав"
нения путем простоrо перебора. Проблемы, которые не
MorYT быть решены без большоrо перебора, останутся 8а
пределами возможностей машины на сколь уrодно Bыо"
кой СТУI1ени развития техники и культуры.
R этому выводу мы пришли, не обращаясь R понятию
бесконечности. Оно нам не понадобилось и вряд ли пона-
добится при решении реальных проблем, возникающих
на пути кибернетическоrо анализа жизни! ,
15
Зато важныltl становится друrой вопроо: существуют
Jlи проблемы, которые ставятся и решаются без пеобхо...
димости большоrо перебора? Такие проблемы должны
прежде Bcero интересовать кибернетиков" ибо они реаль..
во разрешимы.
Принципиальная возможность создания полноценных
живых существ, построенных полностью на дискретных
(цифровых) механизмах переработки информации и уп...
равления, не противоречит принципам материалистичес..
кой диалектики. Противоположное м ение может воз ик"
путь лишь потому, что некоторые привыкли видеть диа..
Jlектику лишь там, rде появляется бесконечность. При
анализе явлений жизни существенна, однако, не диалек",
тика бесконечноrо, а диалектика большоrо числа.
6.4. Осторожно, увлекаемся!
В настоящее время для кибернетики, ПОiRа...
луй, больше, чем для всякой друrой науки, важно, что о
вей пишут. Н не принадлежу к большим энтузиастам всей
той литературы по кибернетике, которая сейчас так ши..
роко издается, и вижу в ней большое количество, с одной
стороны, преувеличений, а с друrой упрощенчества.
Нельзя, конечно, сказать, что в этой литературе ут"
Jlерждается то, что на самом деле недостижимо, но в ней
':IacTO встречаются востороженные статьи, сами заrлавия
которых уже кричат об успехах в моделировании различ...
Bыx сложных видов человеческой деятельности, которые
в действительности моделируются пока совсем плохо. На..
пример, в американской кибернетической литературе и у
нас, порой даже в совсем серьезных научных журналах,
можно встретить работы о так называемом машинном со..
чинении музыки (это не относится к работам Р. х. Зари--
иова). Под этим обычно подразумевается следующее: в
память машины «закладывается» нот ая запись большоrо
числа (скажем" 70) ковбойских песен или, например, цер..
ковных rимнов; затем машина по первым четырем нотам
одной из этих песен отыскивает все те песни, rде эти че
тыре ноты встречаЮТСf:l в том же порядке и, случаЙНЫ 1
образом выбрав одну из них, берет из нее следующую, пя
тую ноту. Теперь перед машиной вновь четыре поты (2,
3, 4 и 5), и она снова таким же способом осуществляет по
иски и выбор. Так м:ашина как бы на ощупь «создает»
екую новую мелодию. При этом: утверждается, что если
в памяти машины были ковбо.йские песни" то и в ее TBO
56
. ре:пии слышится нечто «ковбойское», а если это были цep
ковные rимны,, то нечто «божественное». Спрашивает...
си" а что произойдет, если машина будет про-изводить
поиск не по четыреМ t а по семи идущим подряд нотам?
Поскольку в действительности двух произведепий, содер.-
жащих семь одинаковых нот подряд, почти не встреТИJIIЬ,
то, очевидно, «запев» семь нот из какой нибудь песни,
машина вынуждена будет пропеть ее до конца. Если ,не,
наоборот, машине для собственноrо творчества достаточ
но знать только две ноты (а произведений с двумя одина
ковыми нотами сколько уrодно), то здесь ей представился
бы такой широкий выбор, что вместо мелодии из машины
послышалась бы какофония звуков.
Вся эта несложная схема преподносится в литературе
как «машинное сочинение музыки», причем всерьез заяв
ляется, что с увеличением числа нот, нужных «для затрав
ки», машина начинает создавать музыку более серьезноrо,
классическоrо характера, а с уменьшением этоrо числа
переходит на современную, джазовую.
На сеrодня мы еще очень далеки от осуществления
анализа и описания высших форм человеческой деятедь
ности, мы даже еще ,не научились в объективных терминах
давать определения мноrих встречающихся здесь KaTcro
рий и поня'IИЙ, а не только моделировать такие сложнь е
виды этой деятельности, К каКИl\1 относится создание l\IY
зыки. Если мы не YMee I понять, чеl\1 отличаются iI\ивые
существа, нуждающиеся в l\lузыке, от существ, в ней не
нуждающихся, то, приступая сразу к l\fашинному сочине
нию музыки, l\lbl окаiне:мся в состоянии оделировать
лишь чисто внешние факторы.
«Машинное сочинение l\IУЗЫКИ» это только пример
упрощенноrо подхода к проблемаl\1 кибернетики. Друrой
распространенный недостаток заключается в том, что
сторонники кибернетики настолько увлеклись возможно
СТЯl\IИ кибернетическоrо подхода к решению любых ca
мых сложных задач, что позволяют себе пренебреrать
lОПЫТОМ, наRопленным друrи:ми науками за долrие века
их существования. Часто забывают о том, что анализ выс",
1ших - форм человеческой деятельности был начат давно
и продвинулся довольно далеко. И хотя он и ведется в дру'"
rих, не кибернетических тер:минах, но по существу объек
тивен, и ero необходимо изучать и использовать. А то,
что сумели сделать кибернетики «rолыми руками» и BOK
pyr чеrо поднимают такую шумиху, зачастую не выходит
З8 рамки исследования самых примитивных явлений.,
57
Однажды на вечере в московском Доме литераторов один
из участников вел с трибуны разrовор о том, что наше Bp
мя должно было создать и уже создало новую медицину.
Эта новая медицина есть достояние и предмет изучения
не медиков, а специалистов по теории автоматическоrо
реrулирования! Самое rлавное в медицине, по мнению вы..
сТупаВшеrо,........ это циклические процессы, происходящие
в человеческом орrанизме. А такие процессы как раз и
описываются дифференциальными уравнениями, из уча..
емыми в теории автоматическоrо реrУ!lирования. Так что
изучать медицину в медицинских институтах теперь вро"
де как устарело ее надо передать в ведение втузов и ма..
тематических факультетов. Может быть, и верно, что спе...
циалисты по теории автоматическоrо реrулирования мо"
rYT сказать свое слово в разрешении отдельных проблеМ.,J
стоящих перед медициной. Но если они захотят принять
участие в этой работе, то прежде Bcero им потребуется
Rолоссальная доквалификация, ибо опыт, накопленный
u u u U
медицинои, этои стареишеи из наук, orpoMeH, и для Toro
чтобы сделать в ней что то серьезное" надо сначала овла...
деть им.
6.5. Почему только крайности?
Вообще анализ высшей нервной деятельно..
сти в кибернетике сосредоточен пока на ДВУХ крайних
полюсах. С одной стороны, кибернетики активно занимают..
ся изучением условий рефлексов, т. е. простейшеrо типа
высшей нервной деятельности. B eM, вероятно, известно,_
что такое у.словный рефлекс. Если Два каких нибудь раз..
дражителя MHoroKpaTHo осуществляются одновременно
Apyr с друrом (например, одновременно с подачей пищи
включается звонок), то через некоторое время уже один
из этих раздражителей (звонок) вызывает ответную
реакцию орrанизма (слюноотделение) на друrой раздра..
житель (подачу пищи). Это сцепление является времен..
ныи и, если erc не подкреплять, постепенно исчезает. 3на..
чительная часть кибернетических проблем, которые из
u . u
вестны сеичас под названием математическои теории
обучении, охватывает такие очень простые схемы, которые
не исчерпывают и малой доли всей сложной высшей нерв..
вой деятельности человека и в анализе самой условно--
рефлекторной деятельности представляют собой лишь
начальную ее ступень.
Друrой полюс это теория формаЛЬП<rлоrических
реmений. Эта сторона высшей нервной деятельности че..
J8
Jlовека хорошо поддается изучению математическими Me
тодами, и с созданием вычслительнойй техники и вычисли
тельной математики исследования TaKoro рода быстро дви
нулись вперед. И здесь кибернетики во миоrом преуспели.
А все orpoMHoe пространство между этими двумя по..
JIюсами ........ самыми примитивными и самыми сложными
психическими актами (даже такие простые формы синт
тической деятельности, как" скажем, механизм точно рас--
считанноrо rеометрическоrо движения, о котором rOBO'"
рилось выше, пона плохо поддаются кибернетическо:м:у
анализу) изучается крайне мало,; чтобы не сказать
вовсе не изучается.
6.6. Кибернетика и язык
Особое положение сейчас занимает матема..
тическая линrвистика. Эта. наука только eIЦe создается
и раэвивается по мере накопления кибернетических про--
блем, связанных с языком. Она имеет дело с анализом
высших форм человеческой деятельности скорее интуи-
тивноrо, нежели формально--лоrическоrо характера, ибо
эта деятельность плохо поддается точному описанию.
Каждый знает, что такое rpaMoTHo построеннаtI фраза)
правильное соrласование слов и т. п. по никто пока не
может адекватно передать это внание машине. Точный,-
лоrически и rрамматически безукоризненный машинный
перевод сейчас возможен был бы,- пожалуй, только с ла..
тинскоrо и на латинский язык, rрамматические правила
KOToporo достаточно полны и однозначны. fрамматиче--
ские же правила НОВЫХ, ЖИВЫХ языков, по"видимому,;
еще недостаточны для осуществления с их помощью ма..
mинноrо перевода. Необходимым здесь аналивом занима-
ются уже давно, и в настоящее время машинный перевод
стал предметом широко и серьезно поставленной деятель-
ности. Можно, пожалуй, сказать, что именно на нем со...
средоточено сейчао основное внимание математических
-Jlинrвистов. Однако теоретически'х работах по матема-
тической линrвистике мало учитывается одно обстоятель-
TBO, а именно тот факт, что язык возник значительно
раньше формально--лоrическоrо Iыmления. Быть может
для теоретической науки одно из самых интересных ис..
следований (в котором MorYT естественно сочетаться идеи
кибернетики, новый математический аппарат и современ-
ная лоrика) есть исследование процесса образования слов
как второй сиrнальной системы! Первоначально.t при пол"
59
н 01\1 еще отсутствии понятий, слова выступают в роли
сиrналов, вызывающих определенную реализацию. Воз..
никновение лоrики обычно относят к сравнительно недав",
нему времени: по видимому, только в Древней rреции
было ясно понято И сформулировано, что слова не просто
являются обозначениями неких непосредственных пред'"
ставлений и образов, но что от слова можно отделить
понятие. До настоящеrо, формально лоrическоrо, мышле..
вия мысли возникали не формализованные в ПОНЯТИИtj
8 как комбинирование слов, которые !3едут за собой дру"
rие слова, как попытки непосредственно зафиксировать
проходящий перед нашим сознанием поток образов и т. д.
Проследить этот механизм выкристаJIлизовывания слов
нак сиrналов, несущих в себе комплекс образов, и созда..
пия на этой базе ранней лоrики ...... крайне блаrодарная
область исследования, для математика в частности, что,
впрочем, неоднократно отмечалось в кибернетической
литературе.
Интересным может показаться и следующий вопрос:
как формулируется лоrическая мысль у человека? По..
пробуем проследить этапы этоrо процесса на примере ра..
боты математика над какой нибудь проблемой. Сначала
по видимому" возникает желание исследовать тот или
иной вопрос, затем KaKoe TO приблизительное, неведомо
откуда возникшее представление о том, что мы надеемся
получить в результате наших поисков и какими путями
нам" может быть, удастся этоrо достичь, и уже на следую..
щем этапе мы пускаем в ход свой внутренний «арифмо..
метр» формально..лоrическоrо рассуждения. TaKoB?J
по видимому" путь формирования лоrической мысли t
такова схема процесса творчества. Может, вероятно, пред..
ставиться интересным не только исследовать первую, ин..
туитивную стадию этоrо процесса, но и задаться целью
создать машину" способную помочь человеку в процессе
творчества на стадии оформления мысли (математику,
вапримеР.i на стадии оформления вычислений), поручить,-
скажем, такой машине понимать и фиксировать в полном.:
виде какие",то неясные'J вспомоrательные наброски черте..
жей и формул" которые всякий математик рисует на БУ4 J
Mare в процессе творческих ПОИСКОВ t или, например, ВОС"
создавать по наброскам изображения фиrур в мнотомер"
ных пространствах и т. п. Иными словами, интересно
подумать о создании машин, которые, не подменяя чело
века, уже сейчас помоrали бы ему в сложных процессах
творчества. Пока еще трудно даже представить себе t
60
каким образом и на каких путях такую машину можно
было бы осуществить. НО Х8ТЯ пока еще эта задача и да..
лека от cBoero разрешения, разrовор обо всех таких БОП"
росах уже возник в кибернетической литературе, что,
по видимому, можно только приветствовать.
Как можно уже увидеть из нескольких приведенных
з.десь примеров, различных проблем, связанных с понима
нием объективноrо устройства самых тонких разделов
высшей нервной деятельности человека, очень MHoro.
И все они заслуживают должноrо внимания кибернети
ков.
6.7. Материализм зто прекрасно!
В заключение следует остановиться на воп
росах, касающихся, если можно так сказать, этической
стороны идей кибернетики. Встречающиеся часто отри
цание и неприятие этих идей проистекают из нежелания
признать\ что человек является действительно сложной
u u u u
материальнои системои" но системои конечнои сложности
и весьма оrраниченноrо совершенства и поэтому доступной
имитации. Это обстоятельство мноrим кажется унизитель
ным и страшным. Даже воспринимая эту идею, люди не
хотят мириться с ней: такая картина всеобъемлющеrо
проникновения в тайны человека, вплоть до ВОЗМОiI\НОСТИ,
так сказать, «закодировать» ero и «передать по телеrра
фу» В друrое место, кажется им отталкивающей и пуrаю
щей. Встречаются опасения и друrоrо рода: а допускает
ли вообще наше внутреннее устройство исчерпывающее
объективное описание? Предлаrалось, например, поста
вить перед кибернетикой задачу научиться отличать по
объективным признакам существа, нуждающиеся в сю
u U
жетнои музыке, от существ, в неи не нуждающихся.
А вдруr поанализируем, поанализируем........ и окажется,
что и в самом деле нет никакоrо разумноrо основания BЫ
делять такую музыку как блаrородную по сравнению
с друrими созвучиями.
Мне ,представляется важным понимание Toro, что ни
чеrо унизительноrо и CTpamHoro нет в этом стремлении
постичь себя до конца. Такие настроения MorYT возникать
u
лишь из полузнания: реальное понимание всеи rрандиоз
ности наших ВОЗМОil\ностей, ощущение ПРИСJТСТВИЯ Be
ковой человеческой культуры, которая придет нам на
помощь, должно производить orpoMHoe впечатление,
должно вызывать восхищение! Все наше устройство
61
в самих себе понятно, но понятно и то" что это устройство
содержит в себе колоссальные., ничем не оrраниченные
возможности.
На самом деле нужно стремиться этот rлупый и бес..
u
смысленныи страх перед имитирующими нас автомата..
ми заменить orpoMHblM удовлетворением тем фактом,. что
такие сложные и прекрасные вещи MorYT быть созданы
человеком, который еще совсем недавно находил простую
арифметику чем то непонятным и возвышенным.
7. II3БРАННЫЕ ПРЕДИСЛОВИЯ
7.1. Предисловие к кииrе r. IИтейиrаУЗ8
« атематичеСRИЙ калеЙДОСRОП»
Доказательства математических теорем сле..
дуют строrим законам лоrики. Подобно этому школь..
ник, решив задачу, обязан отчетливо изложить решение
и обосновать законность каждоrо шаrа решения. Но
в случае сколько нибудь сложной задачи сначала надо
придумать решение и лишь потом ero обосновать. По..
добно этому интересные новые теоремы математики сна..
чала придумываIОТ «по доrадке», или., как rоворят более
учено, по интуиции.
Математическая интуиция часто руководствуется пред..
ставлениями о врасоте. Решение хорошо поставленной,
естественной задачи обычно оказывается Rрасивым. Ko
нечно, не каждая красиво выrлядящая rипотеза оправды
вается. Но искать подлинное решение проблемы часто
бывает разумным среди предположеНИЙ t выделяющихся
своей красотой.
Известныйпольскийматематикrуrо Штейнrауз в своей
книrе «МатематичеСRИЙ калейдоскоп» стремится увлечь
читателя математикой и:менно с этой стороны: красотой
Аlатематических фактов и возможностью их усмотреть
интуитивно еще до лоrическоrо обоснования. Доказа..
тельства тоже бывают красивы своей неожидаННQ
простотой. о ни_, конечно., тоже имеются в книrе
Штейнrауза, но :мноrие факты сообщаются и без
доказательств, чтобы увлечь читателя своей Kpa
сотой, в то время как само доказательство может ока..
заться инедоступным читателя:м из..за недостатва у них
знаний.
«Математический калейдоскоп» можно читать разны"
:ми способами Нет иичеrо зазорпоrо в TO:М чтобы пере..
62
JIистывать ero", останавливаясь подробнее на каРТИНRах"
поражающих своей красотой,;; либо обращая внимание
па ПРОСТОТУ формулировок ответов в тех случаях! коrД8,
казалось бы, заданные вопросы простых ответов не опе..
щают. Но" конечно, читатель получит больше пользы
и больше удовольствия, если разберется в докаватель..
ствах там, rде они приведены, и попытается их найти
там, rде они не даны автором:.
[. . .] л надеюсь" что новое издание квиrи Штейнrау..
за завоюет ей MHoro друзей среди читателей «Библиотеч..
ки «Квант» t .
7.2. Предисловие к I(ниrе
Н. Б. Васильева, А. А. EropOBa
«Сборник подrотовительных задач
к Всероссийской олимпиаде
юных математиков»
Наша страна нуждается в большо:м числе
хорошо подrотовленных и талантливых математиков.
Очень важно, чтобы профессию математика выбирали те
представители нашей молодежи, которые MorYT работать
в этой области наиболее продуктивно. Одним из путей
"
привлечения одареннои молодежи к математике ЯВЛЯIОТ"
ся математические олимпиады. Участие в школьных м:ате..
матических кружках и олимпиадах может помочь каждо..
му оценить свои собственные способности, серьезность
и прочность своих увлечений математикой.
В сборнике, подrотовленном Н. Васильевым и А. Ero..
ровым, собраны задачи, не требующие для cBoero реше..
ния каких..либо особых знаний, выходящих за пределы
проrраммы средней школы, но требующие известной само..
стоятельности мысли и сообразительности.
[. . .] Желая читателям сборника всяческих успехов
в решении задач и побед на rородских, областных и Все..
российских олимпиадах, я хочу в то же время заметить,
что пути к серьезной работе в области математической
fнауки разнообразны. Одним леrче дается решение замыс..
ловатых задач, друrие вначале не выделяются на этом
'поприще, но, двиrаясь медленно, овладевают rлубоко
и серьезно теорией и несколько повднее научаются ра..
ботать самостоятельно. В конечном счете при выборе ма:..
тематики как предмета основных интересов и работы на
долrое будущее каждый должен руководствоваться
своей с.обственной самооценкой, а не числом премий и по..
хвальпых отзывов на олимпиадах,
6з
7 .3. Предисловие к книrе
r. А. rальперина, А. К. Толпыrо
«(Московские математические
ОЛИАJпиадьп) * )
Нашей стране необходим:о иметь M:Horo ма--
темаТИRов исследователей, способных делать открытия
в самой l\Iате:матике и применять ее нестандартным обра
30М, требующим большой изобретательности. Обычно
серьезных успехов достиrают те научные работники, ко--
торые начали тренироваться в TaKoro рода деятельности
еще в школьные rоды. В возрасте 17 19 лет мноrие из
них Уil-\е начинают делать настоящие открытия. Отклады
вая вовлечение молодых людей в напряженную научную
работу, мы безвозвратно теряем мноrих из тех, кто Mor бы
сделаться творчески активным ученым.
Обращаясь к самим школьникам, всерьез собравшим--
ся стать настоящими математиками, скажу следующее..
Как и в спорте, тренировка юноrо математика требует за--
траты большоrо количества времени. Будет очень хорошо,)
если вы возьметесь самостоятельно просматривать пред
лаrаемый сборник задач, выберете из их числа какую--
нибудь задачу, которая покажется вам наиболее интерес..
ной по формулировке, и приметесь, не заrлядывая в pe
шения, размышлять над ней, не боясь потратить на нее
мноrие, мноrие часы. Напомню по этому поводу высказы
вание одноrо из самых замечательных советских MaTeMa
тиков Бориса Николаевича Делоне, по мнению KOTO
poro большое научное открытие отличается от хорошей
олимпиадной задачи только тем, что для решения олим
пиадной задачи требуется 5 часов, а получение крупноrо
научноrо результата требует затраты 5000 часов. Борис
Николаевич любил преувеличенные формулировки, не
ПОНИ \1айте ero «5000 часов» слишком буквально. Но ти
пичным для математика, который атакует трудную проб
лему, является способность напряженноrо размышления
над ней целыми днями. Если задача упорно не выходит,
то разумно взяться за друrую. Но хорошо также после He
ROToporo перерыва вернуться к первоначальной. Зрелым
математикам иноrда бывает полезно на некоторое время
отложить занятие какой либо неподдающейся проблемой.
Jlередко после HeKoToporo перерыnа решение неожиданно
вf)Iп лывает из ПОJ;сознания.
*) А. Н. RОЛl\r10rОрОR является peAaI{TOpOM ЭТОЙ Rпиrи. При-
.меч. сост.
64
Своим успехам на олимпиаде естественно радоваться
n даже rордиться ими. Неудачи же на олимпиаде не долж
ны чрезмерно оrорчать и приводить к разочарованию
в своих способностях к А-Iатематике. Для успеха на олим..
пиаде необходимы некоторые специальные типы oдapeH
ности, которые вовсе не обязательны для успешной ис
следовательской работы. Уже ca Io наличие назначенноrо
очень оrраниченноrо срока для решения задач мноrих дe
лает совершенно беспо:мощным:и. Но существуют и такие
мате lатические проблемы, которые MorYT быть решены
лишь в резудьтате очень длительноrо и спокойноrо раз
мышления и формирования новых понятий. MHoro TaKoro
рода пробле 1 было решено за Iечательным советским TO
полоrО 1 П. С. Александровым. Не случайно Павел Cep
rееви:ч Александров неоднократно rоворил, что если бы
во peMeHa ero юности были математические олимпиады,
то, возможно, он вообще не сделался бы математиком: ero
rлавные достижения в математике явились не плодом Быт
ро работающей изобретательности, а итоrом длитель
Horo и уrлубленноrо созерцания.
Я надеюс.ь, что наш сборник окажется неоценимым по
собием для всех руководителей школьных KPYH KOB И
местных олимпиад. Для них я хочу высказать два aaMe
чания.
Вначале Московские l\fатематические ОЛИ fпиады были
рассчитаны на учащихся 9 10 классов. Начиная же о
1940 rода к участию в олимпиадах приrлаluались также ce
миклассники и восьмиклассники. Такой выбор началь..
Horo возраста представляется мне обоснованным. Это ........
тот возраст, коrда склонности и способности к математи
ке YiKe начинают проявляться достаТОЧJlО явственно. MOjK
но, конечно, устраивать олимпиады и для l\lладшеклассни
ков, но при этом следует иметь в виду, что из числа маль..
чиков и девочек, выделившихся в 5.......6 классах в состязании
по решению задач, большинство в старших классах эти
свои особые способности, а часто и сам интерес к l\rIaTe Ia
тике потеряют.
При орrанизации олимпиад для Toro или иноrо контин
reHTa участников чрезвычайно существенно, чтобы ypo
вень трудности задач был наДtllежаЩИ 1 обра30 1 заранее
правильно оценен. Следует планировать ero так, чтобы
наиболее сильные участники l\Iоrли решить большую часть
sадач, а с друrой стороны, чтобы не было чрезмерноrо пре
обладания участников, не решивших ни одной задачи.
Некоторые сведения о фактически обнаруживmейся TPYД
3 А. Н. Нолмоrоров 65
ности встретившихся задач можно найти в отчетах об
олимпиадах, печатающихся в журналах «Матеl\lатика
в школе» и «Квант». К сожалению, в Московских MaTeJ\1Ia"
тических олимпиадах уровень трудности не всеrда выби..
рался правильно. Но содержание задач было обычно на
очень высоком уровне.
В предисловии составителей подробно рассказывается
об orpoMHoM опыте Московских математических оли:мпиад,
о том, как процесс создания олимпиадных задач шел в He
разрывной связи с работой математических кружков при
Московском университете. Коллектив р ководителей уни
верситетских математических кружков проделал orpoM"
ную, уникальную работу, итоrи которой сейчас перед ва..
ми. [ . . . )
7.4. I1редисловие R статье
В. r. Болтянскоrо, Н. х. Розова
«JIенинская теория познания
и математические понятия»
Уже в средних KJlaCCaX школы становится
ясным своеобразие математики по сравнению, например
с физикой. Все физические законы справедливы с неко"
торой степенью. точности и часто при проrрессе измери
тельной техники заменяются новым:и, по отношению к ко--
торым первоначальные становятся лишь первым прибли..
жением.
Бессмысленно спрашивать себя, рациональна или ир--
рациональна длина стержня. Для узко понитой практики
иррациональные числа не нужны. В математике же тео..
рема о том, что диаrонаJIЬ квадрата несоизмерима со СТО--
роной, считается очень важной. Открытие зтоrо факта
в,Древней rреции считается одним из поворотных пуиктов
Bcero развития математики.
Публикуемая статья В. r. Болтянскоrо и Н. х. Ро..
аова содержит попытку популярно изложить своеобразие
математики с точки зрения философии диалектичеСRоrо ма-
териализма. Быть может, некоторые из вас осилят посвя"
щенные этим вопросам разделы моей статьи «Математи..
ка» в 26 M томе BToporo издания БСЭ.
В. и. Ленин дал подробный анализ основных фило-
софских вопросов физики. Специально философскими воп-
росами математики Ленин не занимался. Но ero общие BЫ
сказывания'по вопросам теории познания служат PYKO
водством и для математиков.
р А3ДЕЛ 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОНЛТИЛ
ткольной МАТЕМАТИКИ
t. ЧТО ТАКОЕ функция?
в этой статье объясняется современное об"
щее понимание слова «функция». Статья не для леrкоrо
чтения: она требует от читателя ВНИ lания к каждому
слову, хотя и не предполаrает каких либо специальных
знаний, выходящих за рамки средней школы. Имеется
также в виду, что читатели умеют обращаться со слова fИ
«множество» и «элемент MHoiKeCTBa».
1.1. Введение
На вопрос «Что такое функция?» школьники
часто отвечаIОТ: «Функцию MOiKHO задать таблицей, rpa..
фиком или формулой». Ясно, что это н е о п р е Д е л е..
н и е. Но школьники, которые УКJIОНЯЮТСЯ от форму
лировки явноrо определения и сразу переходят к описанию
Toro, как задают функции, и не совсем не правы. Ма--
тематика не MOiHeT начинаться с определений. Формули
ру'я определение HeKoTopoI'O понятия, l\fbl неизбе,кно в ca
мом этом определении употребляем какие либо друrив
понятия. fIoKa мы не понимаем смысла наких либо поня"
тий, мы не сдвинемся с места и не сможем сформулировать'
ни одноrо определения. Поэтому изложение любой 1\1aTe
матической теории начинается с Toro, что какие либо о c
н о в н ы е п о н я т и я принимаются без определения.
Пользуясь ими, уже ВОЗl\-IОЖНО бывает формулировать оп..
ределение дальнейших про и з в о Д н ы х n о н я.
т и Й.
Каким же способом люди оБЪЯСНЯIОТ друr друrу свое
ПОНИl\'Iание Сl\fысла основных понятий? Для этоrо не су--
ществует друrоrо способа, как разъяснение н а n р и--
м е р а х и при помощи подробноrо описания xapaKTep
ных свойств определяемых вещей. Эти описания MorYT
быть в деталях не вполне ясными и сначала не исчерпыва
З. 67
ющими. Но постепенно из них смысл понятия вырисовы
»ается с дос-таточной ясностью. Так мы подойдем к поня"
тию фун ции, считая ero одним из основных математи"
ческих понятий, не подлежащих форм:альному определе
Пию.
Правда, далее будет сказано, что функция есть не что
иное" как отображение одноrо множества на друrое (об-
. Аасти определения функции на множество ее значений).
Но здесь слово отображение явится просто синонимом сло..
ва ФУU'li,ция. Это ........ два названия для одноrо и Toro же
понятия. Пояснение одноrо C.1JOBa друrи равнозначащим
не может заменить определения выражаемоrо им поня-
Тия.
При м е р 1. Будем считать, что буквы х и у обозна-
чают д е й с т в и т е л ь п ы е ч и с л а. Знак V будем
считать 8наком извлечения арифметическоrо квадратноrо
корня. Равенство
Y==Y1 x2
обозначает! что выполнены условия
х 2 < 1,. у > О, х 2 + у2 == {.
(1)
(2)
Точки, координаты которых удовлетворяют этим ус..
.пОВИЯМ'J образуют полуокружность, изображенную па
рис. 1.
Рис. 1 делает наrлядными следующие факты, которые
вы можете доказать и чисто алrебраическим путем:
1) формула (1) позволяет для любоrо Xt удовлетворяю-
щеrо условиям
1 < х < 1,
(3)
вычислить соответствующее ему у, которое удовлетворяет
иеравенствам
О < У < 1; (4)
2) каiНДОМУ y, удовлетворяющему неравенствам (4»)
соответствует хотя бы одно такое х, которому по форму-
ле (1) соответствует это заданное у.
Можно сказать,: что формула (1) задает отображение
множества чисел х,_ удовлетворяющих перавенетвам (3)tj
на множество чисел, подчиненных неравенствам (4). Ма-
тематики часто (особенно в последнее время) для обозна-
ия отображений употребляют_ стрелку. Занимающее
вас отображение IОЖНО запи сать пр и помощи стрелки-так:
х )!1 х 2 . (5)
68
Например:
1 у1 ( 1)2 ===0,
... / 1 ( ) 2 .........
5 V 5 5'
(6)
О (1 02 == 1.
3 ... / ( 3 ) 2 4
5 V 1 5" ==5,1
Заметьте: отображен'ие nОЛн'остью определено, если
а) задан'О мН,ожество Е, поторое отображается; 6) для
па:Jlсдоео элемента х этоео множества Е задан' элемент У.':
на 1Ьоторьtй элемент х отобра ается.
l\1ножество всех значений у обознаЧИl\-1 буквой М.
В примере 1 Е множество чисел, удовлетворяющих
условию (3), а М мно--
' CTBO чисел, удовлетво
ряющих УС..тJовию (4) *).
!I
1' О '1 х
\ I
\ I
\ I
, /
" /
... "
........ ....; 3l
1
Рис. i Рис. 2
При 1\1 е р 2. Правила
1) х УХ2:
X { х, если :х > 0,_
2) X, если х<о
определяют о Д н о и т о ж е отобраiнепие
х I х I (7)
действительных чисел х на их модули (абсолютные вели
чины) (рис. 2).
*) Множество можно обозначить любоЙ буквой. 3деСI) взяты
буквы Е (от французскоrо слова ensemble множество) и М
(от немецкоrо die Menge. множество; случайно и русское
слово «множество» начинается с этой же буквы). Но это не
обязательно: уже в следующем примере мы обозначим множество
действительных чисел, как это принято, буквой IR (от фран
цузскоrо reel действительный, реальный).
69
Отображение (7) отобра;нает IHOjHeCTBO всех действи
тельных чисел
{R == ( oo" (0)
на множество -
IR+ == (О,> 00)
веотрицательных действительных чисел
Вместо слова отображение А-IОЖНО rо орить Фунпция
и записать отображение (5) так:
f (х) == у 1 ..... х 2 "
а отображение (7) TaK
(8)
f (х) == 1 х (.
(9)
Частные значения функции (8), перечисленные в фор..
мулах (6).,; будут тоrда записаны в таком виде:
4 ) 3
H 1)=:::0.._ f( ""'5 =::: 5"'
f ( + ) == + f(0) == 1.
Областью определения функции (9) является множество
всех действительных чисел (R. Множеством: ее :значений
8вляется множество IR... веотрицательных действительных
чисел.
При 1\1 е р 3. Петя,- Коля,; Саша и Володя живут в ком.
пате общежития. На февраль они установили такой rpa--
)ИК дежурств:
I s 2 3 4 5 6 rr 8 {) 10 11 12 13 ... 28
Петя Х Х Х . . .
Копя Х Х Х . . .
Саша Х Х Х . . .
Володя Х Х Х . . . х
Сразу бросается в rлаза сходство этой таблицы с при...
вычными вам из mкольноrо курса алrебры rрафиками
функций. Имеет ли эта аналоrия точный лоrический
СМЪ1сл? Установили ли здесь мальчики отображение
одноrо множества на друrое" Т. е. определили ли некото",
рую фуuпцию? И не начертили ли они ерафип этой ФУНК--
ции? (Обратите ВНИl\fание на житейское выражение «ус--
Т8Иовили r раф и к дежурств!»).
10
1.2. Общее понятие функции
Нетрудно видеть, что в примере 3 на каждыЙ
из 28 дней февраля назначен определенный дежурный.
Иначе rоворя, r.-Iножество дней февраля о т о б р а ж е и о
на множество мальчиков, распределивших между собой
дежурства. Можно условитьея, что буква х обозначает
."Iюбой день февраля, а у === f (х) дежурноrо в день х_
Нет никаких оснований отказывать отображению
день х ===.у дежурный на день х
в праве называться фунпцией; можно записать это отобра...
жение так:
у === / (х).
Любое отображение / множества Е На .множество М
.мы будем называть фуппцией с областью определения Е и
.мпожество.м значений М.
Не забудьте, что, rоворя об отображении f множества Е
па {HO;K CTBO М, мы имеем в виду, что у == f (х) определе
но для л ю б о r о х из Е и т о л ь к о для х из этоrо l\-IHO
iKecTBa, а значение у функции / непременно принадлежит
MHoiKecTBY М, и каждое у из этоrо множества Мявля...
ется значением функции f х о т я б ы при о Д н о м
з н а ч е н и и а р r у м е н т а х.
Отоораженце е на 11
Отоораженuе е 8 11
Рис. 3
Если известно только, что значения функции f вепре..
менно принадлежат множеству М, но не утверждается, что
л ю б о й элемент этоrо множества является значением
функции /, то rоворят, что функция отображает свою об
ласть определения Е в мно;нество М или что отображе
ние f есть О'fобраiнецие MIlOH eCTBa Е в JHoll\ecTBo М
(рис. 3).
71
Таким образом, надо CTporo различать СJ.IЫСЛ BыpaH\e
пий
«отображение на .множество М»,
«отображение в .множество М» *).
Например, про отображение
x fxr
можно сказать, что оно является отобрал-\ение:м u< в [R "
но нельзя сказать, что это отображение rR на [R.
С чисто лоrической точки зрения наиболее простым слу"
чаем является случай, коrда область определения функ..
ции конечна. ЯСНО, что функция, область определения KO
торой состоит из n элементов, не может прини:мать более n
различных значений. Таким образо:м, функции, опреде"
ленные на конечных множествах, осуществляют отобра
жения конечных множеств на конечные l\fножества. Такие
отображения tlвляются одним из предметов изучения важ..
пой части матеl\-Iатики........ о.мбиnаторипи (см:. задачи 8,
11, 18" 19).
При м е р 4. Рассмотрим функции, область опреде"
лепия которых есть множество lJt/ == { , В} из двух
букв А и В и значения которых принадлежат тому же
множеству, т. е. отображения множества Д;/ в себя.
Таких функций существует Bcero четыре. Зададим их
rабличным спосоБОl\f:
х
11 (х)
18 (х)
13 (х)
f.. (х)
А
В
А
А
В
В
4
В
В-
А
Функции 11 И /2 являются понстаnта.ми, Т. е. п о..
с т о я н н ы :м и: множество значений каждой из этих
функций состоит из одноrо единственноrо элемента.
Функции fз и /4 отображают множество М на себя.
Функция t з может быть эадана формулой
f 3 (х) == х.
Это ..... тождествеnное отображение: каждый эле Iент MH()
жества Е отображается в ca '10ro себя.
Чтобы закончить выяснение смысла caMoro понятия
«функция», остается обратить ВНИ Iание на то, что выбор
*) Заметьте еще, QTO I\аждое отображение «на» можно назвать
и отображением «В», ПО н е н а о б О рот.
72
букв для обозначения «независимоrо переменноrо» Т. е.
произвольноrо элемента области определения, и «зависи..
Moro переменноrо», т. е. произвольноrо элемента множест"
ва значений, совершенно несуществен. Записи
f "1 r .......
х J' х,
f "1 (........ 1.. (
>Y6" Y J'y,
f (х) == у == v х , / (6) == 1'] == ( , f (у) == х == }! У
определяют о Д н у и т у ж е Ф у н к Ц и ю f, которая
отображает неотрицательное число в ариф:метический
кв.адратный корень из. Hero. Пользуясь любой ин этих
записей, :мы получим
f (1) == 1, f (4) == 2, f (9) == 3 и Т. д.
f .3. Обратимая функция
Функция
у == f (х)
называется обратимой *), если каждое свое значение она
принимает один единственный, раз. Таковы функции / з (х)
и /4 (х) из примера 4. Функции же /1 (х) и /2 (х) из приме..
ра 4 и функции из примеров 1, 2 и 3 н е о б р а т и м ы.
Чтобы доказать, что какая либо функция необратима,
достаточно указать какие"либо два значения aprYMeHTa
хl =1= х 2 , для которых
t (х 1 ) == f (х 2 ).
В примере 3 достаточно заметить, что Петя дежурит
как 1 ro, так и 5..ro февраля. Поэтому функция примера 3
необратима.
При м е р 5. Фуннция
.Х у == ух
о б р а т и м а. Она определена на MHoiKecTBe IR+ не отри..
цательных чисел. Множеством ее значений является MHO
жество
[R == ( oo, О]
всех неположительных чисел. Задав любое у из мно,нества
IR , можно найти соответствующее х по ФОР}Iуле х === у2.
*) Происхождение названия ВЫЯСНIIТСЯ дальше: функция
обратима, если для вее существует обратная ей функция.
73
Функция g
у х == у2 при У -< О
есть функция, о б р а т н а я к функции f. Ова отображает
множество (R на множество lR+. :Как уже rОБОрИЛОСЬ, вы..
бор букв для обозначения везависи
Moro и зависимоrо nepeMeHHoro не..
существен.
Функции t и g можно записать в
виде
f (х) == v х при х > О,;
g (х) == х 2 при Х < о.
Рис. 4 На рис. 4 изображены rрафики вза...
имно обратных функций t и g.
При м е р 6. Функция f, заданная таблицей
х I АБвr Д
у == f(x) I 3 1 2 5 4
определена на множестве первых пяти букв PYCCKoro ал..
фавита, а множество ее значений есть множество первых
пяти натуральных чисел. Обратная функция g задается
t'аблицей
{J;
I 1
у == g (х) I Б В А Д
На рис. 5 даны rрафики этих функций.
х
2
3
4
5
r
.у 1/
5 Д
4- r
3 в
2 6
1 {JJ А tD
А 5 8 r Д 1 2 4 о
I/=f'(x) .!J =,g(x)
Рис. 5
Дадим т о q н ы е о п р е Д е л е н и я. Пусть 1.......
отображение множества Е на ножество М. Если для лю..
ooro элемента у из множества М существует 0- Д и н..;
,.
е Д и н с т в е н н ы й элемент
х == g (у'
IHOrl\eCTBa Е, дЛЯ KOToporo
/ (х) == У"
то отображение "1 является обратимым, а
g
y x
называется отображением, обрат1tь .м к отображению f *).
Таким образом, обратимость отображения"/ означает"
что у Hero есть обратное отображение g. Отображение, об--
ратное к /, принято обозначать знаком f l. НаПРИ}fер" если
f (х) == х З "
то
r 1 (х) == -v- х"
Так как слово «функция» есть просто синоним слова
«отображение», то тем самым мы определили и смысл ВЫ--
ражения «обратная функция». Попробуйте сами ПОВТОРИ1 ь
сказанное выше, употребляя вместо слова «отображени ))
слово «функция». .
Ясно, что областью определения обратной функции
/ 1 является множество значений функции /, а множество
значений f l есть область определения функции f.
Функцией, обратной к обратной функции f l, является
исходная функция f:
(f l ) l == f.
Таким образом, функции / и .f l всеrда взаимно обратны.
При м е р 7. Существуют функции, которые сами
себе обратны. Таковы функции
а) f (х) == х, б) f(x) == + ' в) f( х) == --; х 1 .
Проверътеt rрафики этих функций даны на рисунке 6.
Заметьте, что все эти rрафики с и м м е т р и ч н ы ОТПО--
сительно биссектрисы первоrо и третьеrо квадрантов, Т. е.
ПрЯ IОЙ у == х.
Изобразим на рис. 7 схематически соотношения Iежду
разными видами отображения множества А на МIIожест
во В и мно)нества. А в множество В.
*) ТаКl1е отображения называются еще вsаu..и1tо одн'озн.аЧUЬ: 1&и
010)раtкениями Е на М.
75
Напомним еще раз, что самым оБЩИl\<1 понятиеl\f явлн
етсн понятие отображения А в В. Если при таком отобра
iнении образ А совпадает с В, rоворят об отображении А
на В.
у
O
о"
J1, K
I /'
I /
1/
./'--
/1
.х
J;
Рис. 6
Обрати:мые отображения называют еще взаимно од..
nозначнь ми отображениями. Этот термин вам часто встре"
тится в книrах. Но не принято rоворить о «взаимно одно"
8начных функциях». Так как мы считаем слова «функция»
ОтООРClженце А 8 11
Отоорtlженце А на lЗ
Оора111l1М618
отООРf1жеНI1Я А на в
OO/lt1тaMbIe .
отооражеНIJЯ А 6 8
Рис. 7
и «отображение» синонимами, то вместо слов «взаимно од-
нозначная функция» мы предпочли применять слова «o
ратимая функция» или! что то же самое,,_ «обратимое отоб-
ражение».
В последнее время в нашей литературе получила eIЦe
распространение французская терминолоrия:
1) отображения А на В называют «сюръективнымиt
или «сюръекциями»;
2) обратимые отображения А в В называют «инъектив-
выми» или «инъеКЦИЯJ\IИ»;
10
З) обратимые отображенип А на В называют «биектив--
ВЫМИ» или «биекциями».
Обратите внимание на то, что при внимательном OTHO
шении к употреблению предлоrов «В» и «на» такое обилие
терминов излишне.
3 а д а ч и.
Н улuпо.м, отмечены совсем леrкие вопросы, отвечая на которые
вы можете проверить, поняли ли вы написанное в статье. Более
трудные задачи отмечены авеадочпой. Не обязательно их решать все.
1.1. Введение.
10. Найдите области определ ния и множества значений сле
дующих функций:
1
а) у == f (х) == ----Т, б) у == 1 (х) == tf х 2 ..... 1.
х
2. Целой частью числа х называется 'наибольшее целое число,
не превосходящее х. Целая часть х обозначается [х]. Например,
[О] == О, {7,5] == [7] == 7, [.......0,3] == 1, [.....л;] == .......4.
Разность х [х] называется дробной частью числа х и обозначае(l\
ел {х}. Постройте rрафИRИ следующих функций и найдите их об
пасти определения и множества значений:
1
а) 11 (х) == [х], б) 12 (х) == {х}, в) Iз (х) == {х}...... т '
r) /4 (х) == I {х} + 1, Д*) / Б (х) == [ + ] ,
е*) /8 (х) == [ ] , ж*) /7 (х) == { }, з*) /8 (х) == { } .
3*. Для любоrо натуральноrо числа n определим s (п) как cyм:
МУ делителей числа п (не считая caMoro п). Например,
s (1) == О, s (2) == 1, s (6) == 6, s (12) == 16, s (28) === 28.
Доказать, что s (п) не принимает значений 2 и 5.
1.2. Функция.
40. Два человека (А и В) MorYT поселиться в двух комнатах че.-
тырьмя разными способами, показавными на рис. 8.
Сколькими способами мож
но поселить: а) двух человек в
трех комнатах, б) трех человек
в двух комнатах, в) трех чело
eK в двух комнатах так, чт
бы ни одна из комнат не OCTa
лась незанятой?
50. Множество М состоит
из трех элементов, а множество р . 8
N из двух элементов. Сколь ис.
Ко существует: а) отображений
М в N, б) отображений М на N, в) отображений N в М, r) О'l'обра
жений N на М?
6. Сколько существует семизначных телефонных номеров? Ka
кое число из них образовано только цифрами О, 1, 2 и 3?
Ап
А
/}
А8
IJ
А
77
7. Докажите, что существует более миллиона функций, прини
мающих только два значения О и 1 и определенных на МНОiкестве
первых двадцати натуральных чисел.
8. Множество М состоит из т элементов, а Itlножество N из n
элементов. Сколько существует функций, определенных на множе
стве М со значенияltlИ, принадлежащими множеству N?
3 а м е ч а н и е. Задачи 8, 11, 18, 19 принадлежат к числу ос..
НОВНЫ:Х задач комбинаторики. Мы приводим их здесь, чтобы пока-
зать, что комбинаторика в значительной своей части и аанимается
подсчетом числа отображений тoro В.1Iи иноrо типа конечных мно-
жеств в конечные множества.
9. Сколькими способами можно рассадить: а) двух rостей на
двух стульях, б) трех на трех стульях, в) шестерых ....... на шести
стульях? ,
10. Множество Е состоит ИЗ шести .элементов. Покааать, что
существует ровно 720 функций, для которых Е является как 06--
пастью определения, так и множеством значений.
11. Отображение конечноrо множества на себя называется !"од-
стаnО8'Ntой. Число различных подстановок множества зависит толь..
КО от числа ero элементов n и обозначается nl. Покажите, что
11 == 1, 21 == 2» 31 == 6, 41 == 24, 51 == 120, 6! == 720.
t)1кажите общий способ вычисления n!.
{.3. Обратимая функция.
120. Какие из следующих функций обратимы и «акие ае обра-
..ямы:
11 (х) == х 3 , 1" (х) == х 4 , 1з (х) == .х 17 , 14 (х) == х 18 1
13. В классе за каждой партой сидит ие более двух qеловек.
Поставим 8 соответствие каждому ученику ero соседа по парте,
а если он сИДИТ один, то ero caмoro. Каково будет обратное отобра-
жение?
14. Пусть каждому слову pycCKoro языкa поставлено в соот-
ветствие слово, записанное теми же буквами, но в обратном порядке
(словом назовем любую конечную последовательность букв). Яв'"
J1яется ли эта ФунJtциJt обратимой? Если да, то какова обратная
функция? '
15. Отображение конечноrо множества на себя всеrда обрати-
110. Дайте пример необратимоrо отображения множества натураль-
ных чисел на себя. . - .
16. Девять туристов должны разместиться в трех лодках.
СI{опькими способами они MorYT это сделать, если требуется, чтобы:
а) в каждой лодке было по три человека, б) в каждой лодке было нв
более четырех и не менее двух человек, в) в каждой лодке плыл хо...
'lJl бы один тури т?
17*. сли у хозяев достаточно стульев, то ае принято сажать
на один стул более одноrо rостя: множество rостей отображается
в множество стульев обратимым образом. Если в комнате' Bcero
шесть стульев, то сколькими спо собами можно рассадить на них:
а) одноrо, б) двух, в) трех, r) четырех, д) пять, е) шесть rостей?
18*. О б р а т и м ы е отображения одноrо конечноro множе.-
ства М в A:pyroe конечное множество N называются в комбинатори-
ке раажещенияжи (rостей «размещают» 'по стульям). Число отобра
Ж'}НИЙ множества М в множество N зависит только от числа элемен-
Т()В т мнотества М и числа n элементвв множества N и обо н-иqзет.
78
си А т Покажите , что
n.
А == 1, A == A == 2, A == 3,' А: == А: == 6, A o == 90 t
.
и установите общее правилt) вычисления A . Покажите, что всеrда
A n 1 == А n
n n.
19*. Задача 16 в) может быть сформулирована абстрактно:
сколько существует отображений множества из девяти элементов
на множество из трех элементов? Обозначим Dr;: число отображений
множества из n элементов па множество из т элементов. Проверьте,
что
D: == 6, D1 == 1.2, D: == 36, D == п!.
Попробуйте дать общее правило вычисления D (это несколько бо
лее трудная задача, чем задачи 8, 11 и 18).
20*. Сколько существует функций, определенных на множе...
стве из 28 элементов, которые принимают каждое из четырех значе.-
ний П, Н, С и В по семь раз?
Это задача о числе способов справедливо распределить в февра...
ле дежурства между Петей, Колей, Сашей и Володей (пример 3
на с. 70).
2. ЧТО ТАКОЕ rРАФIIК функции?
Здесь продолжается изложение новой, болев
общей точки зрения на хорошо известные из школы поня"
тия функция И ее rрафик. Начало этоrо изло}кения бы
ло дано в статье «Что такое функция?». Для понимания
настоящей статьи необходимо владеть понятиями" KOTO
рые определены в первой статье.
2. f. Напоминание и неБОJlьшие дополнения
По статье «Что такое функция.?» вы иозна...
комились с современным общим пониманием слова функ--
ция: функция это совершенно -произвольное отображе..
ние HeKOToporo множества Е на друrое множество М..
Множество Е называется оБJtaстью определенuя фУН1'i,циu'l}
а множество М жн,ожество.м, ее 8Н,аченuй. Чтобы задать
функцию с областью определении Е, надо указать для
каждоrо элемента х этоrо MHoiKeCTRa вполне определен'"
вый объект *)
у == / (х).
*) Из первой статьи вы знаете, что значсния функции MorYT
быть ,не т.ол.ько числами, но и днями недели, маД Ч:Иl(ами ИДИ
девочками, вообще Лlобыми предметами, ИЛИ, как принято
rоворить, «объектами».
79
l\аким бы спосоБО 1 МЫ зто ни сделали, l\lbI получим Функ
цию С областью определения Е. Если множество Е состоит
из учеников вашеrо класса, то МOiKHO, наПРИl\lер, для любо
ro ученика х принять за у == f (х) вторую букву ero имени
(предполаrая, что в классе нет учеников, имя которых co
стоит из одной еДIIнственной буквы, хотя я и знал дe
вочку Олю, которую звали просто «О»).
При таком задании функции само собой определится
множество ее значений L11; это множество всех тех объек
тов у, для которых существует хоть один элемент х M:HO
жества Е, дЛЯ KOToporo
f (х) == у.
Поэтому, описывая cl\'1ы.JI термина «функция», можно и не
rоворить в описании явно о множестве значений. Пра
вильно будет, например, просто сказать, что «функция
есть закон, по которому каждому элементу х пекотороrо
множества Е поставлен в соответствие вполне определен
вый объект у == f (х»). Мы подчеркивали, впрочем, что все
эти описания лучше не считать о п р е Д е л е н и я м и.
Если бы мы захотели в самом деле определить понятие
функции через понятие «закона», то с нас потребовали бы
точное определение смысла термина «закон» и т. д. Поня
1'ие функции будем считать одним из основных понятий
математики, смысл KOToporo 10ЛЬКО поясняется, а не дает"
ся формальным определением.
В школе вы привыкли иметь дело только с ч и с л o
в ы м и функциями, оБJIасть опредеЛQНИЯ которых состоит
из чисел и значения которых являются числами. Смысл
выражения «числовая функция числовоrо aprYMeHTa» не
вполне определен. Ведь само понятие числа в школе по
степенно обобщается. Мы остаНОВИl\IСЯ на системе всех
Д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л, с которой школьники
8IIаКО IЯТСЯ в девятом классе. Действительные функции
действительноrо aprYMeHTa и изучаются по преИМУIЦеству
в старших классах средней школы. Их rрафики вы умеете
вычерчивать на «числовой плоскости».
В школьных учебниках пишут, что «числовая плос-
кость» это такая плоскость, на которой некоторым оп..
ределеННЫl\1 обраdОМ введены координаты. Если верить
учебникам: буквально, то числовых плоскостей очень мно"
ro. Проводя на классной доске оси координат, учитель
превращает в «числовую плоскость» ПJIОСКОСТЬ этой доски;
ученики на страницах своих тетрадок изrотовляют все
новые и новые «числовые плоскости)}! иноrда по нескольку
на одной странице!
80
в п. 2.3 этой статьи вы узнаете, с какой числовой плос
костью в действительности имеют дело математики. Но
сначала мне хочется сделать одно дополнительное заме
чание к изложению статьи «Что такое функция?»
В школьном курсе алrебры чаще Bcero имеют дело
с функциями, заданными «аналитически» при пом:ощи фор
мулы. Областью определения такой функции, если не CKa
зано пичеrо друrоrо, считается множество всех тех зна
чений aprYMeHTa, для которых все предписанные формулой
операции над числами выполнимы. Будем, напри:мер, как
это принято в школе, С,читать знак V знаком «арифмети
ческоrо» квадратноrо корня. Ясно, что формула
у == f (х) == (Ух)2 (1)
позвопяет вычислить по заданно:му х соответствующее ему
значение у лишь при неотрицательном х (иначе KBaдpaT
ный корень «не извлекается»).
При неотрицательном х
у == / (х) :=: Х. (2)
Формула (2) проще, чем формула (1), и хотелось бы ее
считать фор:м:улой, опредеЛЯЮПJ;ей нашу фУНКЦИЮ. Но об..
ласть определения функции, заданной формулой (2), со..
стоит не из одних неотрицательпых чисел х, а из в с е х
чисел х. Если мы хотим дать новое определение т о й с a
м о й функции, которая определена формулой (1), надо Ha
писать
у == f (х) === { :-е определена
Подобным ,не обраЗО 1 функцию
при х>о,
при х<о.
ХЗ 1
g (х) === х 1
(3)
м:ожно
записать так:
{ х2 + Х + 1 при х =1= 1,
g (х) == не определена при х == 1.
На школьных и вузовских экзаменах требуют полной
rочности в подобных вопросах.
2.2. rрафик ф rНRЦИИ
РаССМОТрИ 1 следующий rрафик дeiI ypCTB:
I пн ВТ ер чт ПТ сб ве
(4)
Петя
I\оля
Саша
ВОЛОДЯ
х х
х х
х х
х
81
Мы уже знае:\-l, что это rрафик функции: имя дежурноrо
можно считать функцией ДНЯ недели. Так как дней недели
сем:ь, а мальчиков четверо, то мы нарисовали
7 х 4 == 28
клеточек, но отметили креСТИКОl\I только семь из этих кле--
точек. Если бы l'rIальчики решили расположить свои име..
на по алфавиту, то получилась бы следующая табличка:
пн вт ер чт пт еб ве
ВО.J10ДЯ Х
Ноля Х Х
Петя Х Х
Саша Х Х
Выrлядит она по друrО:\IУ, но изображает то же самое рас..
пределение дежурств ........ ту же самую фУНRЦИЮ.
В обеих табличках 28 клеточеR соответствуют 28 воз...
IОЖПЫ I па pal\1
(деnь педели, .м,альчи ).
Из этих 28 пар выделены семь пар
(пн, Петя)" (вт, Коля), (ср, Саша), (чт, Володя);
(пт, Пет ), (сб, Коля), (вс, Саша),
Т. е. все пары, в которых день недели соединен с дежурным
па этот день:
(день педели, дежурный на этот деНЬ).f
или абстрактно: пары вида
(х, f (х».
Только выбор этих пар и существен для задания функции.
После этоrо примера вам, быть l'flожет, не покажется
неожидаНПЫ:\I такое о п р е Д е л е н и е: ерафuк,ож фуltJli,"
ции f nазывается ЖnО:Jfсество всех тa иx пар *)
(х, у),
что: 1) пepBbLU элемеnт пapь х приnадлежит области oп
ределеnия фУnYi,ции, 2) второй элежеnт пapь у == f (х).
в наше l примере rрафик ФУНRЦИИ f:
r, == {(пн, Петя)" (вт, Коля), (ср, Саша), (чт, Володя)"
(пт, Петя), (сб, Коля), (вс, Саша)}.
*) Всюду в этой статье имеются в виду «упорядоченные пары».
Пара (1, 2) отличается от пары (2, 1). Первый и второй элементы
пары Moryт и совпадать: (1, 1) или (2, 2) ....... тоже пары.
82
Для функций, заданных таблицей
х I 11 ,., " 14-
А А В А 8
8 А 8 В А
n соответствии с данным определением получим rpa фики
r 1 == {(А, А), (В, А)},
r з == {(А, А), (В, В)},
r 2 == {(А, В), (В, В)},
r 4 == {(А, В), (В, А)}.
Ясно, что для функций с конечной областью определе
ния число элементов rрафика (т. е. число входящих в rpa
фик пар) равно числу элементов области определения
функции. Для функций с бесконечной областью определе
ния все пары
(х, f (х»
выписать нельзя. Приходится описывать эти пары при
помощи ИХ свойств.
Например, д.ЛЯ ФУНКI ИИ
У == f (х) :::::: У 1 ;};2
rрафик состоит из всевозмо жных пар qисе.Jl инда
(х, у1 x2),
Т. е. из всех пар (х, у), для которых выполнены два уело...
вия:
.'];2 + у2 == 1 и у ;> о.
Это определение rрафика функции tt-l0ЖНО записать 8 виде
r f == {( х, у) I х 2 + у2 == 1, у > О}.
Самое общее определение rрафика функции f можно
sаписать в виде такой ФОР IУЛЫ *):
r, == {(х, у) I у == f (х)},
Определив rрафик функции как множество пар, каж..
дая из которых состоит из значения aprYMeHTa и значения
функции, соответствующеrо ЭТОМУ значению aprYMeHTa, мы
освободили понятие rрафика от Bcero случайноrо. В этом
абстраКТНОl\1 ПОНИl\lапии у каждой функции имеется один--
единственный r рафик.
*) Мы воспользуемся стандартным обозначением, принятым
в теории множеств. 3аПIlСЬ {х' А (х)} обозначает MHO}I\eCTBO
всех объектов х, удовлетворяющих условию А (х). Например,
{xlx2 == 1} мдожество всех х, для которых х 2 ::::; 1, т. е. множество
из двух чисел:{+1, 1}.
&1
2.3. ЧИСJlоваи ПЛОСКОСТЬ.
Обратимся к наиболее оБЫЧНЫ l в школе дей
ствительным функциям действительноrо nepeMeHHoro.
В школе мы привыкли к тому, что rрафИRОМ такой Функ
ции f называется множество тех точек Р (х, у) числовой
плоскости, координаты которых х и у удовлеторяют pa
венству
у == f (х).
Эта формулировка и общее определение rрцфика, дан..
ное выше в п. 2.2, похожи, но слеrка от.личаются. В п. 2.2
rоворится о множестве пар (х, у), а в оБЫЧНОА-1 школьном
определении ........ о множестве т о ч е к Р с координатами
х и у. Но нет ли возможности привести эти две формули-
ровки к полному соrласию?
Оказывается,- это очень просто. Это простое решение
и получило всеобщее распространение в современной Ha
учной литературе. По определению считают, что чиС/tО-
вая n/tоспость есть -Мн'ожество всех пар действительных
чисе/t. Числовую плоскость обозначают 0<2. Ее определе-
ние можно символически записать в виде
rR 2 == {(х,; у) I х Е rRf, у Е rR}.
Немпоrо подумав, вы сами убедитесь в том, что при та..
ком определении числовой плоскости обычное школьное
определение rрафика действительной функции действ и-
тельноrо переменноrо становится частным случаем обще
ro определения, данноrо в п. 2.2.
Обозначение Р (х, у) для точки с координатами х и у
делается теперь излишним. Точпа.ми чиС/tовой nлоспости
в 'Н,ово.м nо'Н,uжа'Н,ии яв/tяются просто сажи пары чисе/t (х, у).
Можно rоворить просто о «точке (О, О»> (начало KOOp
дипат), о точках (1, 2)7. (.......2, ........1) и т. д. .
Не лишве заметить, что и термину «числовая прямая»
надо теперь придать новый смысл: чиС/tовая nряJftая это
просто са.мо 'Н,ожество действительных чисе/t rR. ECTeCT
вепно, что точками числовой прямой при этом надо счи..
тать просто сами действительные числа. Обычно в школь...
ных учебниках этоrо не rоворят прямо, но часто употреб
ляют в применении к числам rеометрический язык: мно"
жество чисел
[а" Ы == {х I а < х < Ь}
называют «отр езком», rОВОРЯТ 1 что «точка» 2 принадле
жит «отрезку» [1", 3] и т. п.
84
Любое множество точек 'числовой плоскости будем па.
вывать расположенной на числовой ПЛОСКОС1'и еео.метри-
чес-,;,ои фuеурой. Такова" напри){ер, окружность с центром
(О, О) И радиусом единица: это множество точек! т, О. пар
чисел (X.l, У)l для которых
х 2 + у1. == 1.
Естественно, что точки и rеОl\lетрические фиrуры число..
вой плоскости можно наrлядно изображать на чертеЩе.
Для этоrо на реальной плоскости (листе бумаrи или мас.-
сной доске) выбирают о и координат и точку числовоii
плоскости (х, у) изображают реальной точкой с коорди--
натами х и у. Конечно, такое изображение может быть
только приближенным. Начерченные на бумаrе или кла<r
сной доске rрафики являются лишь приближенными
изображениями «настоящих» rрафиков функций, которые
в нашем новом понимании суть просто множества ЧИСJIО
вой плоскости. К этим «настоящим» rрафикам и относит--
ся У т в е р ж Д е н и е, что фун'-';'ЦUЯ полностью опреде--
Jlяется свои.м ерафu-,;,ом'.
Пусть задано множество пар
М == {(х, у)}.
Таким множеством, например, ЯDЛ яется любая «фиrураt
на числовой плоскости. Что надо дополнительно потр
бовать, что бы это MHOil\eCTBO
пар было 2рафu-,;,о.м HeKOTO !I
рой функции?
Ответ не сложен: для это
ro необходимо и достаточно,
чтобы в множестве М нельзя
было найти две пары (х, Yl)
и (х, У2) С общим первы:м эле..
ментом х и различными вто"
рыми элементами: Уl =1= У2-
(Проведите I доказательство
сами.) На рис. 9 толстая кривая есть rрафик функции,
а тонкая rрафиком не является.
Множество пар (х, у), в котором не существует двух
пар вида (х" Уl)' (х,- У2)' Yl =1= У2, можно назвать фУn1'j,чи
Н,аЛЬnЬL,м, ерафu-,;,о.м. Заметьте, что мы сейчас определили
«функциональный rрафик», не польвуясь понятием «функ..
ДИИ». Нельвя ли с этой стороны дать формальное опред
пение и caMoro понятия функции, которое мы считали oc
новным" т. е. не подлежащим формальному определению?
?
о
JJ
Рис. 9
85
Я не хочу давать ОТВСТ на этот вопрос эдесь. Он не COBCe!\f
прост. Мы еще будем И!vIеть повод вернуться как к COBpe
меННЫl\I предстаnлеНИЯ1\1 о понятии функции, Tart и к ero
истории.
2.4. rеометрические преобразования
Чтобы освоиться с широтой общеrо понима
пия термина «функция», рассмотрим еще некоторые прос
тейшие rеометрические преобразования.
Чтобы повернуть плоскую фиrуру BOKpyr точки О
(рис. 10), можно перенести контуры .фиrуры на наложен...
вую на плоскость чертеrна кальку, закрепить кальку бу..
лавкой в точке О и, повернув кальку, перенести контуры
копии фиrуры с кальки на
плоскость чертеiка (например,
при помощи копировальной
бум:аrи). При повороте все
..........
.........
"
"
"
,
"
"
"
\
\
\
\
\
\
\
\
I
,
f
.........
"
, "
...... "
" "
"\. " \.
" '\. '\
, \ ,
\ \ \
\ , \
\ \ \
\ \ \
\ \ \
\
t;Jz \
\
. \
.' \ 1200
, ,.ц2ij;' р
I
I
I
(J,
Рис. 1 О
Рис. 1 t
точки фиrуры поворачиваются BOKpyr точки О в ОДНОМ и
том rl\e направлении на один и тот же уrол.
Обозначим
Q == R (Р)
(1)
положение точки Р после поворота на уrол а против ча..
совой стрелки. Если точка О и уrол а. заданы, то каждой
точке Р по формуле (1) соответствует вполне определен--
ная точка Q. Ясно, что в смысле нашеrо общеrо опреде
ления Rg есть функция. Ее областыо определения пвля"
ется множество всех точек плоскости.
Уrлы поворота указывают со знаком. На рис. 11 точ
ка Q2 получается из точки Р поворотом на 1200, а точка
Ql ........ поворотом на .....1200 (или поворотом на 2400). Если
точка Q получена из точки Р поворотом на а, rрадусов, то
86
точку Р МОЖIIО получить, повернув Q на a rрадусов:
сели
Q == R (P),
ТО
Р == Ro a (Q).
MIll ВИДИ It что поворот Rg всееда является обрати.мой
фун цuей.
В применении к поворотам чаще rоворят об «отобра--
жениях». Отображение, обратное повороту R "J есть
поворот R o a . СИ lволически можно написать:
R o a (Rg (Р» == Р, (R ) l == R o a .
Поворот отобраiнет множество точек плоскости на са...
Moro себя. Если считать, что плоскость есть не что иное,
как множество своих точек (так и поступают в современ...
HOl\f изложении rеометрии), то MOrHHO сказать, что поворот
есть обрати.мое отображение плос ости на себя.
Обратимые отображения плоскости на себя и называ..
IОТСЯ еео.метричеспи.ми nреобрааования.ми плос ости. С reo--
метричеСКИ fИ преобразова..
пиями вы еще неоднократ"
но встретитесь, пока же при Т(РЗ)
ведем еще только один при
мер rео:метрическоrо преоб
разования плоскости. l1a .Р7
ра/lле.ltЬНЬ .м nе реносо.м Haabt
вается отображение плоспос Pz
ти на с€бя
р Q == т (Р),
Рис. 12
при поторо.м. все точки Р .пере.мещаются на одно и то же
расстояние и в одном l.l то.м :нее на.правлепии (рис. 12).
2.5. Векторы
Хотя возможно, что вы Yil\e устаJlИ от зпа
комства с новыми понятиями и необычным толкованием
понятий вам уже известных, сделаем еще одно усилие.
Постараемся понять, что такое r раф и к параЛJIеJlЬНО
ro переноса Р Q == т (Р). По обще IУ определению
это множество всех таких пар точек
(А, В),
В == Т (А).
дл я которых
87
Выберем одну такую пару точек (А о , Во). Чем характери..
вуются остальные? Тем, что отрезки АВ равны по длине
и одинаково направлены с отрезком АоВо (рис. 13). rpa..
фик параллельноrо переноса
есть по определению 1rlножест"
во всех таких пар точек (А, В).
Обычно считают, что любая
82. пара точек (А, В) определяет
«связанный вектор» А В, свя"
занные же векторы АВ и А ' В'
определяют один и тот же «сво..
бодный вектор», если отрезки
АВ и А' В' равны по длине и
имеют общее направление.
Проще сказать, что «связанный вектор» это просто са..
ма пара точек (А, В), а «свободный вектор» АВ это мно",
жество всех связанных векторов (А', В'),. равных (А, В)
по длине и направлению. А при общем определении rpa..
фика это множество есть не что иное, как rрафик парал..
лельноrо переноса Т, который определяется тем, что
Ай
Рис. 13
Т(А) == В.
Если
Т (А 1 ) 81' Т (А 2 ) == 82, Т (Аз) В з ,. , _
то пишут
А 1 В 1 == А 2 В 2 == АзВ з == . . . == а"
т == т AJi7 === Т А 2 Б; === Т Аз В: == · · · == т а.
Лоrика обрааовзнин общих понятий привела нас к не..
сколько необычному утвеР/l\дению: свободный вe тop а есть
Не что иное, к.ап 2рафи соответствующеео nараллеЛЪНО20 nе...
реноса Т а на вe тop а. Будет хорошо, если вы полностью
разберетесь в том, что этот вывод является неизбежным
следствием принятых нами определений rрафика" свобод
Horo вектора (как множества равных по длине и направ-
лению связанных векторов) и связанноrо вектора (как
пары точек). Замечу, впрочем, что такие определения свя'"
занноrо вектора и свободноrо вектора не вполне общепри...
няты, хотя И представляютсн автору этой статьи самы:ми
удобными.
88
З а Д а ч и.
2.1. Напоминание й небольшие дополнения.
{. Какова область определения функций
х у1=Х
а) /1 (х) == х t х I ' б) /2 (х) == }f 1 + х 2 '
x4 1
в) /з (х) == х2 1 ?
2. Какое условие надо добавить к формуле
f (х) == х 2 + t,
чтобы она определила функцию f 3 из задачи {?
3. Какое допоянительное условие надо добавить к формуле
f (х) == 1,
чтобы получи ось определение функции
f 4 (х) == (у;)2 + СУ 1 х)2?
3 а м е ч а н и е. В задачах 1 3 под знаком V понимается
«арифметический» квадратный корень, т. е. неотрицательное число.
2.2. rрафик функции.
4. Сколько существует функций с областью опредеJlения 1, 2, 3,
rрафики которых являются подмножествами
множества пар
(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3)
(рис. 14)1
Сколько из этих функций имеют обраТНУIО?
5. Покажите, ЧТQ rрафик обратной функции
Jl определяется формулой
rf 1 == {(х, у) I (у, х) Е rj}.
3
2
1
1
l
о
Рис. -14
Естественно, предполаrается, что функция f имеет обратную.)
2.3. Числовая плоскость.
6. Опишите устройство rрафика функции Дирихле:
D { 1, если х рационально,
(х) ==
О, если х иррационально.
7 *). Число х из отрезка [о; 1] разлаrается в бесконвчпую
троичную дробь
х == 0'ХIХ2ХЗ . . .
(х п == о, 1, 2).
Значение функции у === с (х) определяется двоичной дроБЫ6.
у == 0,.чlУ2УЗ · . · (Уп == о, 1)
*) Это трудная задача (см. 15 в книжке: Ф о м 11 В с. В.
Системы счисления. М.: Наука, 1968).
89
следующим образом:
если Хп == О, ТО Уп, == о;
если Х11. == 1 или Хп == 2, то:
Уn == 1 при условии, что среди цифр Xl, Х2, . . ., Xn 1 не было
единиц,
У11, == О при условии, что среди цифр Хl, Х 2 , . . . t xп l уже BCTpe
чалась одна единица.
Попробуйте начертить rрафик этой функции. Докажите, что
он содержит бесконечное число rоризонтальных отрезков. Если вы
знакомы с понятием непрерывности функции, попробуйте доказать,
что наша функция непрерывна.
3 а м е ч а н и е. В этой задаче мы не избеrаем 'f}JОИЧПЫХ дpo
бей, в которых все знаки, начиная с HeKo:roporo, двойки, и ДВОИЧ
вых дробей, в которых все знаки, начиная с HeKOToporo, единицы.
1iапример, мы пишем в троичной системе
0,2222 .. . .== 1; 0,12222 . . . == 0,200000 . . ..
и в двоичной системе считаем, что
0,1111111 . . . == 1; 0,01 О 11111 . . . == О, о 11 00000
2.4. .rеометрические преобразования.
8. Опишите в rеом.етрических: терминах преобразовзвия ЧIlСЛО
вой плоскости, которые аналитически задаются формулами;
а) (х, у) ---+ (....у, х), б) (х, у) (х, Y),
в) (х, у) ...... (у, x), r) (х, у) ...... ( X, у),
д) (х, у) ...... (х + 1, у), е) (х, у) ...... (х + а, у + а).
9. Докажите для поворотов BOKpyr общеrо центра О формулу
R (R (Р) == R +i3 (Р). (1)
10. Докажите, что при JIюбых центрах 01 и 02 преобразование
F (Р) == R a (R (Р)
01 02
будет параллельпым переносом. На какое расстояние и в каком flа
правлении? .
2.5. Векторы.
11. Докажите формулу
т 4 (Т ь (Р) == т а4-Ь (Р)..
(2)
12. Покажите, что преобрааование
F (Р) == т а (R (Р))
является поворотом на уrол а. BOKpyr KaKoro центра?
3 а 1\1 е ч а н и е. Формулы (1) и (2) короче пишут
R R == Rg+f3, т 4 Т Ь == т 4+Ь.
Взятие функции от функции 80 .мноrих ОТНОЦIениях похоже на
умножение. Но это уже особая тема, разработка которой не YMe
ается в этой статье. Мы 80спользуемся такой короткой записью
функции от функции (КОМП'озиции отображений) в задачах 13 п' 14.
90
13. Докажите, что Bcerдa
т оТ ь == т ь Т .
в
R == R
при поворотах BORpyr общеrо центра. Покажите па примере, что,
вообще roворя, .
Ra. R6 =1= R6 В(%
01 О! О! 01
при поворотах BOKpyr различных центров 01, 02.
14. Выясните полностью' вопрос о том, Rоrда все--таки
R R z == R zR I.
3. функции ДВУХ И мноrих ПЕРЕМЕННЫХ.
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ
11 их rРАФИКИ
3.1. ФУНКЦИИ двух перемепвых
Два различных по форме выра}нения 3х ......... 6
и 3 (х ........ 2) тождественно равны. ОНИ ЯВ.1IЯЮТСЯ записью
одной и той же функции f:
х f (х) == 3х ....... 6 == 3 (х 2).
Аиалоrично ПОЛОfI ение с выражениями
(х + у) (х ----- у), (1)
х 2 у2. (2)
Они тождественно равны. Это значит, что пранила
z == (х + у) (х у), z == х 2 _____ у2
вычисления по паре чисел (х, у) TpeTbero числа z равно...
сильны: применяя их к какой либо паре чисел, мы BcerAa
получи){ одинаковый результат.
Вспомнив наше общее определение функции, мы па..
дим, что выражения (1) и (2) :можно считать записями фушо-
ции f
c , у) (х + у) (х у) == х 2 у2
от пары чисел. Наша функция z == f (х, у) == х 2 ....... у2 оп..
ределена для любой пары чисел (х, у), Т. е. ее областью оп-
ределения является числовая плоскость 1R2.
. 3 а Д а ч а. Д с-паж uте, что множество значений этой
фупltцuи есть вся числовая пря,м,ая.
91
Общее понятие функции стадо общепризнанным в l\Ia..
тематике лишь сравнительно недавно. Еще в начале на...
mero века не каждый математик понял бы выражение
«функция от пары чисел). Вместо этоrо rоворили «функ..
ция от двух переменных). Но с усвоенной нами общей точ"
ии зрения фун ция от двух числовь х nережеппь х х и у есть
пе что ипое, "a фуп"ция,
область оnределепия oтopoй
является nод.мпожество.м жпо..
жества уnорядочеппых чис..
ловых пар (х, у), т. е. число"
вой плоскости.
Почему здесь rоворится о
подмпожестве множества (R 2?
Потому, что не всеrда функ..
ция двух числовых перемен..
ных определена для всех пар
чисел (х, у) . Например, вы..
раil\ение V ху (1 х 2 у2)
имеет Сl\tIЫСЛ только тоrда,
коrда подкоренное выражение нео трицательно. О бласть
определения функции f (х, у) == v ху (1 х 2 у2) ука..
зана на рис. 15. Естественно, что во втором и четвертом
квадрантах она простирается до бесконечности, что не
удается изобразить на рисунке.
Рис. 15
3.2. Функции любоrо ЧllС ТIа переменных
С функциями нескольких переменных вы
nстречаетесь очень часто' и в матеl\tlаТИRе, и в ее примене
виях. Например, формула т == Лi.2h позволяет вычислить
массу цилиндра по ero радиусу r, высоте h и плотности
материала f-t. М асса цилипдра оказывается фупкцией трех
neре.меппых r" h и f-t. Формула
r == V х 2 + у2 + Z2
выражает расстояние ТОЧRИ в пространстве от начала KO
ординат как функцию трех координат точки х, у и z.
Расс [отрим выражение
f (х, У, z) == х 2 + у2 z. (3)
Ero числовое значение зависит от Toro, какие числа и в
каком порядке мы поставим Bl\t[eCTO переменных х, у, z:
f (1" 21 3) == 2; f (2, 3, 1) == 12; f (3, 1, 2) == 8.
92
Равенство (3) можно рассматривать J(aK запись функции
от упорядоченной тройки чисел (х" у, z).
Таким образом, функция от трех числовых nеременных
есть не что иное, как функция от упорядоченной тройки
чисел. Область определения такой функции является под..
множеством множества [R3 всех упорядоченных троек чи..
сел. В нашем случае у функции (3) область определения
совпадает со Bce 1 м:ножеством [R3.
Как же назвать множество [1<3 всех упорядоченных
троек чисел? Вы знаете, что каждой такой тройке (х, у, z)
можно поставить в соответствие точку в пространстве с
координата IИ Х, у, z. Точка эта однозначно определяет..
ся своими координатами. По заданной точке можно найти
ее координаты. Значит, соответствие между упорядочен..
НЫ1\-fИ тройками чисел и точк ми (при выбранной системе
координат) взаимно однозначно. Поэтому естественно,
подобно TOl\1Y, как мы назвали MHOi-кество [R3 упорядочен..
ных числовых пар числовой плоскостью, называть мно"
жество 1R3 числовыж nространством.
Но как быть с функциями четырех переменных? Pa
зумно сразу, не пуrаясь этих слов, называть n мерпыж чис
ловыж пространством IR n , n == 1, 2, 3, . . ., множество
всех упорядоченных последовательностей из n чисел
(X 1 , Х2, . . ., х n ),
или, как иноrда rоворят, всех упорядоченных n oп чисел.
Функцией n числовых переменных будем называть
функцию
f (Х 1 , · · ., х п ),"
область определения которой есть подмножество n MepH
ro числовоrо пространства [Rn.
Ясно, что двумерное числовое пространство..... это чис--
ловая плоскость, а трехмерное числовое пространство .........
это то, что мы HeMHoro выше назвали просто «числовым
пространством» .
Числовая фУН1'i,ция у === f (х 1 , . . ., х п ) от числовых пере..
женнь х это отображение He1'i,OmOpoeo nодЖНО:JIсества п..
жерноао nростраnства [R'1 в числовую прямую IR.
3.3. Зависимость
между ДВУl\-IЯ переменными; их l рафllКiI
Уравнение
у == х 2 (4)
определяет у как функцию от х. rрафик этой функции есть
множество всех точек числовой плоскости (х, у), для кото..
93
рых выполняется равенство (4). А как быть в случае урав--
пения
х 2 + у2 == 1? (5)
Множество точек, для которых выполняется равенство
(5), есть окружность (рис. 16). Здесь каждому зна чению
х (1 х I < 1) соответствуют два значения у: у == + v 1 x 2 w
!J
1
1
1 JJ
1
Рис. 16
Рис. 17
Уравнение (5) не определяет у в качестве функции х. Не
определяет это уравнение и функциональной зависимости
х от у: если I у I -< 1, то таному у соответствуют два зна..
чения х; х == + v 1 у2. Но окружность рисунка 16 ИВ--
ляется арафи-,;,ом зависимости (5).
Зависимость между двумя переменными MOil\eT быть
установлена и при ПОl\fОЩИ неравенства, например пера-
венства
х + у > 1. (6)
fрафИR этой зависимости
является открытой по-Луплос
костью, лежащей вправо и
вверх от прямой у == x + 1
(рис. 17). Разберем более
сложный пример зависимости
1
{х + у} < 2
rде скобки {} обозначают
дробную часть стоящеrо в
них числа.
rрафик этой зависимости изображен на рис. 18; он сос-
тоит из бесконечноrо числа полос. Полоса с номером k
(k целое число) оrраничена слева и снизу прямой х +
+ у == k, а справа и сверху прямой х + у == k + 1/2'
Рис. 18
94
rрафик уравнения или неравенства с двумя неизвест"
ными называют иначе .мпожеством решепий этоrо ypaB
н ения или неравенства.
Заметьте, что такое отождествление понятий rрафи
ка и множества решений получилось в результате нашеrо
понимания термина «числовая плоскость». Ведь у нас Te
перь «точка rрафика» есть просто пара чисел (х, у) (как
всеrда упорядоченная), удовлетворяющая уравнениюl
3.4. Системы уравнений инеравенств
При решении системы уравнений и нера..
венств ищут их общие решения: множество решений систе..
мы есть пересечепие MHoiKecTB решений, входящих в сис"
Tel\-IY уравнений и He
равенств.
Рис. 19
х
.1
Рис. 20
При м е р 1. Множество решений системы двух YP<iB"
нений
х 2 у2 == О, х 2 + у2 == (У 2 )2
состоит из четырех точек (рис. 19):
(1, 1), (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1).
При м е р 2. Множество решений систе IЫ трех вера...
венств
х > О, У:> О, х + у < 1
есть треуrольник (рис. 20).
Пусть даны уравнения а (х, у) == О, Ь (х, у) == о. Обоз
начим через А и В множества их решений. Как составить
одно уравнение с множеством решений А n в пepe
чепuем множеств А и В, Т. е. одно уравнение, равпосиль
9!)
ное системе наших двух уравнений? OTBe очень прост *):
а 2 (х, у) + Ь 2 (ck, у) == о.
При м е р 3. rрафик 8аВИСИ IОСТИ {х}! + {у}2 == О
состоит из точек (х, Y)t для которых обе координаты
целые числа (ри . 21, tt
е е .
9,
е . .
. . ()
е е . е
е $ а е
. е е .
. , . е
е е е е
. е . .
. . е е
е е е .
о е е .
е . . .
. . . .
е . . е
. . . .
. е . .
Рис. 21
х
У,
, , f I I
I I I I
++r
f I
I
I
1 се
Рис. 22
Кроме операции пересечения множестр вы 8накомы о
операцией объедине.,."ия .множеств: А U Ь, t Как Пf' урав-
нениям
а (х, у) == О, Ь (х" у) == о
с l\Iножествами решений А и В составить одно уравнение
с множеством решений А U В? Ответ тоже прост:
а (х} у). ь (х) у) == о.
При м е р 4. rрафик sависимости {х}. {у} == о изоб-
ражен на рис. 22.
3.5. rрафическое представление ФУНКЦИЙ
двух перемеввых
u
И sависимостеи между тремя перемевными
По общему определению rрафик функции
z == f (х,; 11) (7)
состоит ив тех пар «х.( У)., I)J дЛЯ которых выполнено ра-
венство (7). Эти пары." в которых первый элемент пары сам
IIвляеТС8 парой " находятся в естественном соответствии
) 8песь, как оБычн,' ПОП 43 (.1:. l/) повимаетсSl (а (х, уна. .
86
с тройкам:и (х,. у, z). Поэто.му rрафик числовой функции
двух числовых переменных l\-IОЖНО считать ПОД:\Iножест
БОМ TpeXMepHoro пространства (R3.
Можно было бы подробнее развить эту тему: представ--
пение функций двух переменных при помощи rрафИКОВ t
являющихся поверхностя:ми в трехм:ерном пространстве.
Но практическое «сооружение» таких rрафиков являет
я делом довольно rромоздким.
Существует друrой способ rрафическоrо представле--
пия функций двух перем:енных при помощи лин,ий ypoв
н'я. Линия уровня Функц и (7) это rрафик на плоскос..
ти (х, у) уравнения
f (х, у) == С,
rде С постоянное число. У функции MHoro линий ypOB
ня: каждому числу С соответствует своя линия уровня с
При м е р 5. На рис. 23
изображены липии уровня
функции f (х) == х 2 + у2. Линия
уровня С == О состоит из одной
точки, линии уровня при С < О
являются пустыми множества
ми.
Уравнение (7) является част..
ПЫ},I случаем уравнения с тре..
ия переменными. Любое урав..
пение с тремя переменными,
перенес я все члены в левую
часть, можно ваписать в виде
F (х, у, z) == о. (8) У
Заменяя переменное Z констан..
той С" олучим уравнение с
двумя переменными:
F (3:1 У,; С) == /а (х,'. у) == О,:
Рис. 23
rрафик KOToporo лежит в плоскости (х, у). Совокупность
втих rрафиков (-!lИПИЙ уровня для перем:енноrо z) дает rpa..
Фаческое представление 8ависимости (8). Такой способ
rрафичеСRоrо представления заВИСИ 10стей м:ежду тремя
переменными называется «сетчатой НО Iоrраммой».
8 а д а ч и.
1. Найдите обл асти о предел енпя ф ункции:
а) 't (х, у) == v 1 х 2 + V 1 у2;
б) f (х, у) == 1( (х2 у2) (у х 2 ). .
Изобразите эти области определения на числовой плоскостп.
4 А. В. KOJIMOrOpOB
97
2. IIайдите множ ества знач ений Ф УНRЦИЙ:
а) f (х, у, z) == 1f1 х 2 + у! у2 + 1f1 Z2;
[х] {х}
б) g (х, у) == у ; в) f (х, у) == {у} ·
3. Постройте rрафИRП уравнений инеравенств:
а) {х} == {у}; б) [х] == [yJ; в) {х}2 + {у}2 == 1;
r) {х}2 + {у}2 1; д) I х I + I у I == 1; е) I х I f у t == 1:
ж) х + I у 1 == 1; з) х I у I == 1.
4. Постройте rрафики каждоrо из уравнений и HepaBeHcrB сле-
дующих систем; решпте системы алrебраически II сравните алrеб-
раическое решение с rрафическпм:
{ (х 3)2 + (у 3)2 == о, ,.. { Х2 + у2 -< 2,
а) о) .
х 2 + у2 == 5; (х 2)2 + (у 2)2 , 2;
в) { х2 у2 == о, r) { х2 + у2 -< 2,
ху 2х Зу + 6 == о; х < у х 2 .
5. При каких а зависимости
х 2 + у2 == 1, 2у...... х а
а) определяют у как функцию х?
б) х как ФУНRЦИЮ у?
/1.
D
!J
Рис. 24
6. Придумайте мвоrочлен Р (х, у) четвертой степени, RОТОрЫЙ
положителен в областях TaRoro вида, как заmтрихованвыe на ри..
сунках 24, а, б, 8. (Yrtasanиe. Начните с тoro, чтобы подобрать ypaB
пения прямых и окружностей, расположенных требуемым образом..)
4. rруппы ПРЕОБР А30ВАНИИ
По новым mКОЛЬНЪnI проrраммам *) школь...
пики в пятом классе знакомятся с понятием «отображение
множества на множество». В шестом классе они знакомят...
ся с понят.ием «обратимое отображение» (в друrой терми'"
98
*) Речь идет о 70 x roAax....... П pи.мe1J. сост.
волоrии, привы:чной мпоrим читателям «КваП1'а)}', «вза
импо однозначное отобраiI\епие»). .
!\аiндое обратимое отобра l{епие имеет обратное ото б...
раil епие. IIапример, попорот .Rboo BOKpyr точки О на 700
против чаСивой стрел"u (рис. 25) и:меет своим обратным
о
о
Рис. 25
отображением ПОБОрОТ BOKpyr той же точки О на 700, но
уже по часовой стрел1're. В новом учебнике rеом:етрии
этот поворот обозначается R 0 700 (поворот BOKpyr точки О
на .минус 700).-
В седьмом и восьмом нлассах школьники знакомятся
с понятием «композиция отображений». Рассмотрим для
примера два перемещения плоскости, т. е. два отображе...
ния плоскости на себя, с охр a
н я ю Щ и х раССТQЯНИЯ. В на... !I
честве nepBoro перемещения
возьмем осевую симметрию Sx
с осыо Х, в качестве BToporo
осевую симметрию Sy с осью у,
перпевдикулярной оси х (рис. J1
26). Что nО./I,учится, если про...
иавестu эти два отображения Su
noследоватеАьпо: спачQ,.lUJ, Sx, а
noтoJН, S у? $R
Точка р при осевой симмет... Рис. 26
рии Sx перейдет в симметрич
кую ей относительно оси х точку Рl' а при симметрии
Sy точка Р 1 перейдет в точку Р28 Сказанное можно запи..
сать в виде равенства
Р2 == 811 (Sx (Р».
с друrой стороны, точку Р 2 можно получить непосредст--
веиво из точки Р при помощи центральной симметрии Zo
с центром О ........ точкой пересечения прямых х и у:
р 2 == Zo (Р)..
4* 99
Докажите самостоятельно, что для л ю б о й точки
р плоскости
Sy (Sx (Р» == Zo (Р)
(предполаrается" как было сказано, что ПРЯ?fые х и у пер-
пендикулярпы и пересекаются в точке О).
rоворят, что отображеНatе Zo есть «nо.мnоаuцuя» отоб..
ражеиий Sx и Sy; записывают этот факт в виде равенства
Zo == SyoSx.
Здесь кружочек о есть 8паn операции над отображенuя
жu. Подобно тому, как операция СЛОiкения (знан «+») или
умножения (знак «х »), ПРИ lененные к паре чисел (а, Ь),
дают новые числа:
с == а + ь, d == а Х Ь,
операция композиции, примененная к двум отображени-
ям" порождает новое отображение.
Нас будут занимать обраТIfМые отображения HeHOTO
poro множества М на себя. Такие отображения называют
«преобразованиями множества М». В качестве примеров.
приведем перемещение плоскости, rомотетию, преобразо
вание подобия.
Пусть множество М есть плоскость. Рассмотрим JН,Hcr
жество G всех nере.мещений этой n.ltоспости, т.е. множест.-
во всех отображений F ПЛОСRОСТИ М на себя, сохраняю..
щих расстояния: для любых двух точек Р и Q плоскости м
I F (Р) F (Q) I == I PQ (.
Все перемещения обратимы, и потому по указанной выше
термииолоrии они являются nреобрааованuяжи nлос остu.
Наше множество G обладает двумя интересными свой..
ствами: (1) nомnоаuция двух nреобрааованuй иа G nринад--
лежит G, Т. е. композиция двух перемещений есть переме..
щение;
(2) вместе с nреобрааование.м F множеству G всееда nри..
иадлежит и обратное nреобрааованuе" т. е. преобразова..
иие'i обратное R перемещению, таRже есть перемещеиие.
О п р е Д е л е п и е. Совокупность преобразований
множества А обладающая свойствами (1) и (2), пазыва..
ется еруnnой nреобрааований .множества А.
В силу сназаниоro множество всех перемещений плос..
кости может СЛУil\ИТЬ ПрИ1wlерОl\1 rруппы преобразований
плоскости. Друrим примеро.м может служить м:но,нество
всех преобразований подобия.
100
Существуют, однако, и rораздо более простые приме
ры. Рассмотрим, например, Jftножество С 1 всех перемеще..
н'ии, oтopыe равносторопнuй треуаольпuп АВС (рис. 27)
отображают 1ш саМО20 себя.
Леrко указать шесть таких пе
ремещений: Е О
1) тождественное отображе
нве -Е, отображающее любую
точку Р плоскости на себя;
1 "О ()
2) поворот R o BOKpyr цeHT
ра треуrольника О на 1200 про
тип часовой стрелки;
3) поворот R o l20P BORpyr цeHT :4
ра О на 1200 110 часовой стрел
ке; Рис. 27
4), 5), 6) осевые симметрии "')(ОА), S(OB)' S(OC)'
3 а д а ч а 1. Докажите, что множество G 1 состоит Т о л ь I( о
из перечислеввых шести перемещеНIIЙ.
а Д а ч а 2. П pOB pЬTe, что каждое из перемещений Е, S (ОА),
1200 1200
В(ОВ)' S(QC) обратно самому себе, а перемещения Ro и R v об..
ратны друr друrу.
3 а д а ч а 3. Проверьте и дополните таблицу 1 «](омпозиций.
для множества G 1 .
о
Е
8(ОА)
8(ОА)
Е
8 (ОВ)
8(ос)
Таблица 1
R120° R I20°
О О
Е Е оЕ == Е
8 (ОА) 8 (О А) оЕ ==
. == 8(ОА)
. 8(08) 8 (ОС)
R 120o
О
1/120°
О
ll 1200
О
s (ОВ)
8(ob)OB(OA-) ==
R 12 0
О
s (ОС)
R120
О
R 120
О
Решив задачи 2 и 3, вы. установите,_ что MHOiHeCTBo G!
обладает свойствами (1) и (2) из определения rруппы ире..
образований, то есть . что G 1 rрупиа преобразований
плоскости. Можно доказать более общий факт: .множество
G ф всех nеремещений n.лОС1'i.ости, 1'i.oтopbte отображают па...
f;УЮ /I,ибо заданную фиеуру Ф н,а себя" есть эруnnа преоб
!уааовапий пЛОСl ости. Доказательство не сложно. (проnе"
1.0)
дите ero 1). rруппа G ф называется еруппой cuJttMeтpull
фU2УРЬ Ф.
Из таблицы композиций множества С! l\;lbl ВИДИl\-f,- что
композиция перемещений не всеrда пере:местительна:
- 1200 1200
S(OA) о S(OB) == R o =1= Ro === S(OB) о S(OA).
МОiИНО,- однако,- доказать, что операция OMпoaицuи
nреобрааоваnuй М1tожества Gi всееда обладает свойство.м,
accoциaтuвnocти:
IF 3 о (F 2 о F 1) == (F 3 о F 2) о F i
(попробуйте сделать это). .
Любое переl\-Iещение, отобраrl\ающее треуrольник АВС
па себя,- отображарт !vIножество U == {А; В, С} вершин тре..
уrольника на себя в соответствии с таблицей 2.
Таблица 2
Е (Х) В(ОА) (х) В(ОВ) (Х) В(ОС) (х) R 1200 (х) R 01200 (х)
О
А А А С В С В
В В С В А А С
С С В А С В А
р, 81 82 8з rl r2
в нижней строке даны обозначения отобраrI\ений мпо-
жества U на себя, заданных нашей таблицей. Например,
функция 82 (ВСПОl\lните: отобрал<ение и фУНI\ЦИЯ сино
пимы!) полность'ю задается равенства IИ 82 (А) == с ,82 (В) ===
== В, 82 (С) == А. Область ее определения есть l\IПОiкество
и, множество значений то H e множество u. Конечно,
ее нельзя путать с отображение I 8(он), ноторое отобра
тает плоскость N1 на себя!
Преобразования е, 81' 82' S.j, r 1 , r 2 обраЗУIОТ еруппу С 2
nреобрааовапий М1tожеСlпва u.
3 а д а q а 4. Запишите таблицу RО lпозпцпii длл rруппы С 2 0
'Укажите для ка}ндоrо ее эле lента обратныЙ ЭJIе:нент о
rруппа пере lещеllИЙ С 1 и определенная сейчас l"'руппа
G 2 внекотором Сl\lысле слова «устроены совершенно оди
иаково». Они «изоморФны». Что это значит на cTporo I язы
не Iатематики, вы можете узнать из статьи л. Садовскоrо
и М. Аршинова, опубликованной в i-КУРJ.lале «Квант» .N2 10
за 1976 rод.
3 а д а ч а 5. ИсследуЙте аналоrичны '1 обраЗ0М:
а) rруппу симметрии отрезка А В ,
б) rpynny симметрии }{вадрота АВ CD.
102
5. ВВЕДЕНIIЕ К «КУРСУ 1\'1..\. TEl\I. TIIKII
ДиlЛ ФII3IIКО l\IАТЕ:\'1АТИЧЕСКIIХ ШКОЛ»)
5.1. Множества и пере:менные
Понятие I Н О Ж е с т в а одно ИЗ основ...
пых в мате.матике.
При м е р 1. МИОi-l\ество решений уравнения
x3 x==0
состоит из трех чисе.п 1, О и 1. Это l\-Jно,нество 1\0неЧНОJj
ero можно задать, перечислив все ero элементы. ()бозна--
чением конечноrо мно,нества MorYT СЛУiI ИТЬ Фиrурные
скобки, внутри которых записаны один за друrим ero эле
менты. В нашем случае это
{ 1, О, 1}.
3аписп
{О, 1, 1}, {1, О, 1}
обозначают т о ж е с а м о е l\lножество. MHOFl eCTBO пол..
ностью определяется запасо:м входящих в Hero элеl\lентов.
При м е р 2. Множество решений уравнения
Ixl x==O
состоит из всех неотрицательных чисел. Это множество
бесконечно, и ero нельзя задать, выписав все ero ЭJIемен"
ТЫ. МОFl\НО ero обознаqить так:
{х : х > О}.
Вообще t
{х : А (х)}
будет обозначать множество всех объектов х, которые обла--
дают СВОЙСТВОl\-I А (х).
При м е р 3. Расстояние l\lежду двумя точками А
и В будем обозначать I АВ 1. с Ф е р а S (О" r) с центром
О и раДИУСОl\1 r есть множество
{Х: IOX! == r}
всех точек Х, находящихся от точки О на расстоянии r.
В нашем курсе rеометрии мы примеl\I о п р е Д е л е н и е:
аеометрuчесJti,ая фuаура это .множество точеJti,.
При м е р 4. Множество
{Х: IAXI + IXBI == IABl}
есть отрезок АВ (объясните}. почеl\IУ!)!
103
,П р и '1 е р 5. Множество решений уравнения
(х ........ 1)2 + у2 == 1 (1)
состоит из всех пар чисел (х, у), для квт,орых выполняет-
СН равенство (1) (рис. 28). Ero можно обозначить
{(х, у) : (х...... 1)2 + у2 == 1).
El\IY принадлежат, например, пары (0,0), (1, 1), (1, .......1)'
(2, О).
Заметьте, что, rоворя о «парах», мы будем всеrда иметь
в виду у пор я Д о ч е н н ы е пары, и не путайте их с мпо"
жествами иа двух элементов. В паре
!J первый элемент может совпадать со
1 вторым, как в паре (О, О), пары же
(2, О) и (О, 2) рааличны (вторая не
является реmением уравнения (1».
.Б примерах 1 4 мы уже поль...
зовались буквами ДЛЯ обозначения
произвольноrо. элемента HeKOToporo
множества. В первом примере буква
. х обозначала любой корень уравне..
ния х3 ....... х == О, во втором приме..
ре та же буква обознача а Лl9бой корень уравнения
I х I ....... х == О, или, что то же самое,...... любое неотрицатель..
пое число, в третьем примере прописная буква Х обоз
начает любую точку окружности S (О, r), в четвертом
отрезка А В .
Буква, обозначающая произвольный эле1\-lент некото"
poro множества, называется «переАlенной» (<перемен"
ная» ---- существительное женскоrо рода, rOB. рят ПрОСТQ
«переменная х», «переменная У» И т.д.).
В примере 5 переменные х и у по смыслу за ачи связа-
ны зависимостью (1). Значению х == О соответс вует един"
ственное значение у == О, а значению х == 1 со,)тветству-
ют два значения: у == 1 и у == 1. Но при введении пере..
менных можно указывать А-Iпожество их «возможных значе
пий» С избытком. Б примерах 1, 2 и 5 можно считать, что
х и у обозначают произвольные числа и лишь потом ста..
8ИТЬ вопрос о тех значениях этих пере:менных, при, кото..
'Рых выполняются заданные уравнения. В алrебре мы обыч..
во будем иметь дело с такими ч и с л О в ы м и пере lеп
выми.
3J
Рис. 28
3 а м е ч а п и е. В математичеСI\ОЙ лоrИl\е вводятся «лоrиче
сине перемепные», обозначающие совсем произвольные объекты
мысли. Но в отдельных конкретных ебластях матемаТИI\И имеют дe
104
ПО только с переменными, множество возможных значений KOTOpЫ
заранее оrраничено: с nepeMeHF.ЬnIlI числами, персмевными точка..
МИ, переменными векторами п т .П.
Удобно обозначать MHO HeCTBa прописпыми латине..
КИМИ бунвами, а их лементы строчными латинскими
буквами. К сожалению, это соrлашение не всеrда удается
а AUB
о' АПд
d А\В
Рис. 29
выдержать, но во всяком. случае ero следует держать..
сЯ' в общих раССУiкдения'х о множествах ( в элементах «тео--
рин MHOiHeCTB»). в веде"'f знаI{ при в а Д л е ж в О с т и Е:
a t:= A
обозначает, что эл&мепrp а припадл&Жll:Т множеств у А. По
аналоrии со знаком неравенства =t= образуем еIце знак
«неп р ивадл еЖIIОСТИ»:
а$. А.
В курсе алrебры вы познакомитесь с пеКОТОРЫ"'IИ оп
рациями Ha ' множествами:
а) А U В == {х : х Е А' или х Е В} ........ О б ъ е Д и н
в и е множеств (рис. 29, а),
б) А n В == {х : х Е А и х Е В} ........ пер е с е ч е-
в и е множеств (рис. 29, 6)"
в) А " В == {х : х Е А и х f/=. В} ...... раз н о с т ь
множеств. (рис. 29,- в).
5.2. Отображения
В курсе алrебры вос милетней: школы вы
знаJ(О ИЛИСЬ с поняти.еl\1 Ф у в к Ц и и_
П р м е р 1. Каждая из формул
х
у== x 1 t
1
У == 1 + х...;.. l'
(1)
(2)
.105
позволяет по любому числу х, х =1= 1-, ВЫЧИСЛИТЬ соответ"
. ствующее значение переменной у. Каждая из наших фор..
мул определяет функцию, определенную на множестве
lICex чисел Х, отличных от х == 1.
Формулы (1) и (2) различны, но при любом ааданном
z =1= 1 lbI получим по формуле (1) и по формуле (2) одно
и то же значение у. Эти формулы определяют о Д н у и
w:zy же функцию
у == f (х).
Функ,ция ........ это сам аакон соответствия., позволяющий
каждому аначению х из HeKOToporo множества найти соот"
ветСТВУlощее этом:у х значение у (независимо от Toro, ка..
:иим спосоБОl\f представлен этот закон). Чтобы подчеркнуть
этот смысл понятия «функция»" в современной математике
DОЛЬЗУЮТСЯ такими записями:
х
X 1 '
х........
1
x 1+ x 1 .
(1')
(2')
Выбор БУRВЫ, обозначающей арrуиент функции" тоже
не существен. Запись
у
y 1
у.........
определяет ту же сам:ую функцию 1., что и запись (1').
При м е" р 2. Пусть М...... точка плоскости, а N...... ее
ортоrональная проекция на некоторую прямую l (рис. 30).
Здесь по любой точке М ПЛОСRОСТИ
находится вполне определенная новая
точка N. Можно сказать, что мы TO
же имеем: дело с фУН,1'i,цией, только
aprYl\feHTOM (незаВИСШfОЙ перемевной)
I для этой функции является nере.ме1l--
пая точк,а nлоск,остu, а' значение
функции является точк,ой прямой"
на которую производится проектиро'"
вание.
В rеометрии чаще, впрочем, в таки случаях rоворят
об о т о б р а ж е n u я х. В нашем курсе математики сло
ва «функция» и «отображение» синоним:ы, они обозна..
qают одно и то же понятие. Как и понятие l\Iножества по
.'
lIятие О т о б р а ж е н и я (функции) принадлежит к чис...
ну основных понятий математики! и м:ы e даем: ему фор...
( 1 ")
уН
,
I
I
I 900
Ф
Н
Рис. 30
106
мальноrо определения. Сказанное выше и далее служит
ЛИШЬ пояснение { смысла этоrо понятия, а не опредеп
пиеl\{.
Отобра}нение всеrда определено на каКОl\I либо Аfноже--
стве, называемом ero «областью определения». Отображ
вне f ставит каждому элеl\fепту х своей области определе-
ния D / вполне определепный объект
у == f (х).
МПОfI ество всех объектов у, соотвеТСТВУIОЩИХ всеПОЗ1tIОjJ(--
НЫl\! х Е Df, называеТСf{ мпожество.лt 31-tачен,u.й отобра
женил (функции) и обозначается Е/.
С понятиеl\1 отображения леrче Bcero освоиться, разо
равшись в отображениях конечных множеств.
При м е р 3'. Трое друзей имеlОТ две палатки. Они
MorYT" расселиться в этих палатках восеl\IЬЮ способами.
Друзей обозначим буквами А (Андрей), В (Боря), В (В&.
лодя), а палатки номерами 1 и 2. Восемь способов расС&-
ления даны в таблице:
2345678
А
Б
Б
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1 2
2 1
2 1
2 2
1 2
2 1
2
2
2
При первом способе все трое посеЛЯIОТСЯ в первой па..
латке, при втором Андрей и Боря в первой палатке"
а Володя во второй и т. д.
При решении задачи Hal\l пришлось отобразить мно--
жество друзей в l\lножество палаток.
Запомните т е р "1 И Н О Л О r и 10: отображение l\m
жества М на множество N. это отображение с. областью
определения М и множеством значений N. Понятие ото..
бражения множества М в множество N шире: это ото--
бражение с областью определения И и множеством зна..
чений, являющимся п о Д м н о ж е с т в о м l\fножества N.
Отображение (функци ) t множества М в множество N
называется обратuжы,м, (rоворят еще 8ваи,м,но одноапач--
ны.м), если р 8 З Л и ч н ы м элементам области определе--
ния М оно ставит в соответствие раз л и ч н ы е эле.-
менты из N {Т. е. для любоrо у из области значений t су..
ществует ровно один х Е М такой, что f (х) == у).
Множество А есть п о Д м н о ж е с т в о множест"
ва В, если каждый элемент А входит и в В; обозначение:
А С В. В примере 3 мы имеем в о с е м ь отображений
{О7
мнотества {А, Б, В} в l\Iножество {1, 2}, но ТОЛЬКО
m е с т ь ИЗ них являются отображеНИЯl\IИ {А, Б, В} на
{t, 2}. БНИl\fательно следите ва употреблениеl\f предлоrов
'В. и «на».
3 а м е ч а п и е. Подсчеты, связанные с определением числа
подмножеств конечноrо множества и числа Toro или IIHOrO типа
отображеНПll конечноrо множества в друrое Rонечное множество,
составляют начальное содержание к о м б и н а т о р и к и, с KO
торой вы познакомитесь более подробно в курсе алrебры, а потом
в небольшо r курсе теории вероятностей, который в нашей школе *)
читается 80 втором полуrодии девятоrо класса.
5.3. Начальные сведения
u
о деllСТDlIтельных числах
По восы\илетнейй школе вы aHaKO Ibl с р а...
Ц и о п а л ь н ы м и числами. Каждое рациональное чис--
по можно записать в виде дроби
т
n'
rде внаменатель n....... н а т у р а л ь н о е число, 8 ЧИС-
литель т целое чис'ло. Две дроби !!!... и L являются
n q
ваписью о Д н о r о и т о r о H e рациональноrо числа в том
случае" коrда
тq == рп.
Для рациональных чисел
r == !!!... 1 S === J!.....
n . q
( знаl\Iепатели
натуральные)
им:еет
место перавенство
r<s
в том и только в TOl\f случае f Rоrда
тq < рп.
Сложение, вычитание, умножение и деление рациональ--
ных чисел всеrда (ИрОl\lе неВОЗl\lожноrо деления на нуль)
приводит вновь К рационаЛЬНЫl\f числаl\I и в ПрИНЦlIпе мо"
*) в фП31lJ\О 1ате fатпческоЙ lllколе пптерпатз J 2 18 при
frY. ПРll..иеч. сост.
108
тет выполняться по правилам:
+ L === тqInp
п q nq
т р.......... тр .
п.T ТUJ'
т р 1 :;
п: q ==о тq при р<о.
пp
Таким образом, ваш анания в области арифметики
рациональных чисел покоятся на достаточно прочном для
ближайшеrо времени основании. 110 в задачах вам неодно--
кратно приходилось пользоваться и не рациональными
ЧJслами. Таковы, например, числа -У2 и 1t отношение
Д ;Jины окружности К диаметру.
С более обширным запасом чисел MHOil\eCTBOM IR всех
д е й с т в и т е л ь н ы х чисел вы обстоятельно позна
комитесь в дальнейшем. Пока придется оrраничиться
приблизительными наrлядными пояснениями. Такое по..
ложение на практине не так опасно, так как с любой задав
ной точностью (с точностью до 10 п, rде n любое нату'"
ральное число) каждое действительное число l\lожет быть
приближено к рационально:му. Например, отношение
диаrонали квадрата к стороне с точки зрения строrой
rеометрии равно иррациоnальnо.м..у числу -У 2, но на прак
тике всеrда достаточно Toro или иноrо приближенвоrо ра..
циональноrо значения, в одних задачах
-У 2 1,41,
при р>О,;
и в друrих более точноrо
У 2 1,4142136
и т. п.
Достаточно наrлядное представление о действительных
числах можно получить, опираясь на знакомое вам изо..
бражение чисел точками прямой. Выбрав на прямой на..
о Е
'. . r 11. ' 1. 1. 1. ::-
...4 3 2 5 1 5 О (},5 1 5 245" 3 5 4
Рис. 31
чальную точку О, соответствующую числу н у л ь, и точ"
ку Е, соответствующую числу е Д и н и Ц а, вы уже умеете
находить ТОЧКИ li соответствующие любым друrим рацио..
109
пальным числам: (рис. 3f). Отложив в положительном на...
правлении от точки О отрезок, равный диаrонали единич
Boro квадрата (рис. 32), получим: точку, изображающую
иррациональное число 11 2.
Вообще, действительные числа это как раз тот запас
чисел", который позволяет на прямой ОЕ сопоставить каж...
дой точке Х одно определенное
число х, причеЪf и обратно, для
каrкдоrо действительноrо числа
находится точно одна соответст"
вующая 8М:У точка. Отображе...
ине
,
,
\.
"
\
,
,
,
о
е
Рис. 32
{l
X X
множества всех точек прямой
на множество IR действитель..
иых чисел оказывается о б р а т и м ы Af. Оно определяеrю
обратное отображепие
X X
множества действительных чисел П< па множество точен
прямой.
Неравенства между действительным:и числами имеют
тот же rеО lетрический С&IЫСЛ, как и для рациональных
чисел: х < у, если точка У на прямой ОЕ лежит «вправо»
(т. е. в направлении от О к Е) ОТ точки х.
Мы обойдемся пока без точноrо определения смысла
арифметиqеских действий над иррациональными числами.
Заметим только, что арифметические операции сложения,)
вычитания" умножения и деления для действительных чи..
сеJl сохраняют все основные свойства, известные вам для
случая рациональных чисел. Остается без изменений оп
ределение абсолютной величины (l\10ДУЛЯ) числа и оохра...
вяетел неравенство
I х + у J < I х I + I yl.
5.4. Приближенные вычисления
Практические вычисления ведутся в деся
тичной (в совреl\lенной l\lапmнвой технике в двоичной)
системе счисления с точностью до едипиц какоrо...либо
разряда. Например, если вычисления ведутся с точ
востью до 10 3 (до TpeTbero звака после запятой)! 'fO при..
110
пимают:
1/3 == 0,333, V 2 == t ,414,
и Т. д. Мы ВИДИl\l, -что здесь исчезает различие между ир....
рациональным и рациональным числами ((' 2 и 1/3 оба
вам:евяются десятичными их приближениями).
Рис. 33
Рис. 34
Наибольшее целое ЧИСJlО, не превосходящее числа х,
nазbt8ается цеJЮй частью Х/ и обозначается (х):
[2) === [2,1] == 2, [О] == [0,5] == О, I--....6,2-) == .......7.
Разность х .......... Iх] наЗЪ1вается дроб1tOй ЧtJCтью И обозва..
чается {х}:
{2} == О, {2,1} == { 7,9} == 0,1.
На рис. 33 и 34 изображены rрафики ФУНКЦИЙ у == (жJ
в 11 == {х}.
Число
Х п == 1О--- n [10 n .х]
есть. десятичное приближение к х по недостатку с ТОЧ"
востью до 10 n.. Всеrда
Xп-<X<X ==Xn + 10 n.
Число х заключено между' Хn, и х:.." причеl4
X ...... Х п == 1 (rn ,
и, значит,:
, Х ....... Х п I -< 10 n, I х :t.n J < tCJfl..
Если из двух приближений Х п и X выбрать лучшее ...... X ,.,
ТО оно удовлетворяет иерввенству
I х ..:... X I < 0,5.10""""_
Именно ero в.ыбирают при составлении таблиц.
1ff
Например,- в пятизначных таблицах квадратных кор-
и u
неи вы наидете значение
у 5 2,23607.
Это анаЧИТ l QTO
2,236065 < у5 < 2,236075.
Поэтому в четырехзначных таблицах стоит
У 5 2,2361.
По этой же причине четырехзначное .приближение к qис..
пу 1t дается в виде 3,1416, хотя с шестью анака IИ
n 3,1415927.
5.5. Приближенные вычисления.
Абсолютная и относительная ошибка
R сожалению, десятичными приближениJtми
ж n и X предыдущеrо пункта не удается пользоваться при
вычислениях. Если
0,3456 <: х < 0,,3457, 0,6543 < 11 < 0,6544,-
ТО относительно суммы х + у l\fbl aHae I только, что
0,9999 < х + у <'1,0001.
При приближенных вычислениях приходится считаТЬС1!
с тем, что ошибки Moryr «накапливаться». Поэтому не-
обходимо познаКОl\IИТЬСЯ с приемаl\fИ оценки точности ре..
вультата вычислений.
Если вместо точноrо значения сх мы выбереl\I прибли-
iI\eHHOe значение а, ТО разность
a == сх а
называется ошuб'/ti,ой приБЛИil<енноrо значения а. Часто
бывает интереснее знать 01n1l0сuтелыlюю ошuбпу
a
(О а == ......... t
а
Абсолютная величина
I a I
называется абсолютной ошuб ой.
Пусть а и Ь .......... приближенные
Естественно принять
а + ь ,! а....... b.t аЬ,
значения для а и .
а
h
112
за приближенные значения qисеJI
ct + , а ,
а
ар, 13.
Простые выкладки показывают, что
(а + Ь) == a + b, (1)
(а . Ь) == a b, (2)
(аЬ) == Ь. a + а. b + a. Ь,; (3)
L1 ( ) :::::: b. a a. b (4)
ь . b(b+ b).
Так кан ошибки а и b обычно малы по сраппепию
с самими а и Ь, то прuбдuжеll,н,о фОрl\fУЛЫ (3) И (4) заJ\1еня
ЮТ формулами
(аЬ) Ь. a + а. b'j
A ( ) I b. a a. b
L1 ь Ь2..
ФОрl\IУЛЫ (3') И (4') ПрИНИ lают более простой вид пра
переходе к относительным оmиБК81\1:
(3')
(4')
U>at' ;:::;. (Оа + (ОЬ,;
( 3")
( 4")
Юа/Ь (Оа (ОЬ.
Переходя 1\ абсолютным величинам, получаеI\1
I (а + Ь) I < Il1a I + I d Ь 1,
\ ООаЬ I < , ООа I + I ООь 1,
I (Оа/Ь I < I (Оа I + I (йЬ 1.
Иl\'1енно эти самые простые фОрl\fУЛЫ наиболее nаiНIIЫ для
ПОНИl\lания Toro, как надо планировать вычисления.
Например, если мы хоти:ttvI вычислить СУ:М:МУ восы\ии
слаrае:мых с ошибкой не более 0,0001 то каждое слаrае..
мое нам надо знать с точностыо, лишь He:MHoro меньшей
чем 0,00001. Если слаrаемые даны с се:мью знаками после
запятой, то АIОЖНО спокойно сохранить пять знаКОВ8)
Если же саl\IИ дан-ные лишь приближенны и l\lorYT иметь
ошибки до 0,00001, то, добавляя еще ошибки окруrления
до пятоrо знака, которые в каждом слаrаемом не более
0,000005, мы рискуем в cYMl\le получить ошибку вплоть до
8 (0,,00001 + 0,000005) == 0.,00012.
Чтобы вполне уверенно получить оmибну ие больше
0,0001, окруrление каждоrо слаrаемоrо Bali;o производить
лишь ДО ш е с т о r о знака
113
При ум:ножении и делении" как мы видели,- складыва...
IОТСЯ н е с а :м и о ш и б к и, а о т н о с и т е л ь п ы е
о ш и б к и. Поэтому для общей ориентировки в точности
таких вычислений и их планировании подсчитывают не
число знаков «после запятой», а «число значащих цифр»..
НаПРИj\lер, числа
0,00345678; 1,003474; 5 671 238 912,
окруrленные до «четырех значащих цифр», Иl\Iеют вид
0,003456 == 3,456 .10 3; 1,003; 5671 QOO 000 == 5,671.109.
Подробности лучше усваиваIОТСЯ на практике, и здесь
мы их излаrать не буде I, тем более, что оценки по приве
денным: выше формула!\1 дают для ВОЗl\fОiННЫХ предельных
размеров ошибок обычно значения значительно ббльшие,
чем peaJ.lbHo возникающие при приближенных вычисле
ниях ошибок. Опричинах TaKoro положения вещей вы
узнаете из курса теории вероятностей. 3амеТИl\1 лишь, что
при окруrлении в лучшую сторону «до п значащих цифр»
относительная ошибка не превосходит 5.1<Т n .
5.6. Приближенные ВЫЧllсления.
Метод rраниц
При желании вести приближенные вычис",
ления с вполне надежной оценкой их точности часто целе--
сообразно следовать .методу ерапиц, Т. е. на каждом mare
вычислять оценну результата сверху и снизу.
При сложении и вычитании пользуются тем,,- что из
а < а < а' Ь < < Ь'
вытекает
а + Ь -< r.J., + <: а' + Ь', а Ь' < (Х ...... р < а' ...... Ь.
При умножении и делении основываются на TOM что
при П о л о ж и т е л ь н ы х а и Ь из
а -< а < а', Ь < < ь'
вытекает
аЬ < r4) -< а'Ь' "
а а а'
V < т -< т (Ь, Ь' > О).
Окруrление в и ж н е й rраницы производитсл ТОЛЬ--
ко В н и 8, а в е р х н А Й rраниuы ТОЛЬКО В:В е р x.
114
5.7. Извлечение квадратных корней
АРИфl\lетический квадратныц корень у а из
положительноrо числа а есть положительное число. Оно
возрастает с возрастанием а. Поэтом:у, если в четырех...
8начной табли е стоит
V З,10 1,7608; у З,11 1,7635,
то не только l\IОЖВО быть уверенным (по сказанному Hhlloe)
что
V З,10 > 1,76075, а 'V з,1.1 < 1,76355,.
по и в ТО&l, что, например *),
1,76075 < у:1,102< 1,76355
П1кольный способ извлечения квадратных корней без
таблиц утомителен. Сейчас будет рассказано о друrом:
очень древнем (чуть ли не из Древнеrо Еrипта) способе
последовательноrо уточнения уже найденноrо приближен--
Horo значения квадратноrо корня, который нам интересен
тем, что доставляет на каЛiДОМ шаrе Оl енки снизу и сверху.,
ВОЗЬ?tfем какое либо приближение к у а по uаБЬtт,.у
Уо > уа:
Ясно, что
а
Х ............
о УО
будет приБЛИi-I\ениеl\1 по педостат-пу, то есть
ХО < у а.
Введе?tl
ХО + Уо
Yl=== ?
....
а
X 1 === ............. .
Уl
Так как **)
1 ( а ) Va ( УО + уа ) ""-.. Va . 2 ...r
Уl ==="2 УО + Уо === 2 V а Уо:?" 2 " а,.
*) Об «интерполяции» табличных данных, дающей (>олее
точный результат, мы сейчас rоворить не будем, так как стро-
roe e обоснование сейчас было бы затруднительно.
f
$*) Для любоro > О, + т 2 (докажите!).
115
ТО Уl вновь будет приближениеl\f по избытку, а Хl ....... по не..
достатку. Поступая так и далее, получаем последовательно
приближения п о н е Д о с т а т к у
Хо, Хl' Х 2 , . . 'е' Ж N t . . .
и приближения п о и з б ы т к у
Уо, Уl' У2' ':1 ., Уn' ..
по 'рекуррентным формулам
· Х П + УП а
УП+l === 2 ,- Х n + 1 ==- ·
У n + 1
Допажите самостоятельно, что *)
Хо -< Хl < Х 2 < ,. . .< Х п < . . ')
Уо > Уl > У2 > · '8 > Уп ,> · · ·
(1)
(2)
ПО8днее мы допаjнем, что обе эти числовые последователь..
r ......
пости «сходятся» :к у а. Сейчас вы должны просто убедить"
ся, что разность
у n ........ Х п
О Ч е в ь б ы с т р о становится крайне малой, особенно
если уже начальное приближение было выбрано дост аточ
во хорошим. Например, взяв для вычисления УЗ,102
начальное приближение
ХО == 1, 70,
получим **)
Уо < 1,825;
Хl:> 1,760; Уl < 1,763;
Х 2 > 1,76 12492; У2 < 1,.76125001
'1'. е, 117612492 < уЗ,102 < 1,,-7612500.
5.8. Число п
Число 1t равно длиnе опружnостu едиnичuоео
диа:метра. Архимед доказал, что
10 1
371<n<3 7 .
*) Если Уо == ХС) == V а, то Уn == хn == уа; если же Уо> 11';;:-
то последовательность (1) CTporo возрастающая, а последо..
вательность (2) cTporo убывающая.
**) При ВЫ!Iолнении вычислений сл дует всюду производить
окруrления в соответствии с правnлами п. 5.6.
116
Пона неl\f, нан можно прийти н этому результату и BЫ
числить n с еще большей точностью.
ОбознаЧИ f через а п длину сторовы вписавноrо в OK
ружность едивичноrо диам:етра правильноrо n"уrольиика
и через Ь п длину стороны описаввоrо BOHpyr той же ОК-
ружности правильвоrо n..уrОЛЬВИRа; Рп == n.а п и q" -
== n. Ь п ..... соответствующие периметры. Ив rеометрии ив-
вестно (рис. 35):
Рп < n < Qnt
1
06 == 2'
Ь 4 == 1,;
Р п == i === V 1 а;,
qn Ь п
а 2n == v 2 2 V 1 а;.
Из (1) и (3) вытекает, что
4
Рп < n < 4., а п < ......... .
n
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Рис. 35
Поэтому фор:м:ула (4) повволяет заранее оценить" RаКИl\1
надо ваять n, чтобы оценка (1) доставляла нам n с требуе.-
мой точностью. Для Toro чтобы получить веравенства Ap
ХИ fеда, достаточно аккуратно вычислить периметры впи"
caHHoro и описанноrо 96..уrОJIЬНИКОВ. Заметьте.r что при
этом приходится находить квадратные корни с точностью,
превыmающей точность четырехзначных таблиц, а все
онруrления производить в соответствии с указаниями
п. 5.6. ECTecTBeHHo 1 что р" достаточно оценивать по педо--
cтaт y 1 а qn ......... по uвбытпи.
5.9. ЧИ J10ваJl прямаJl
и ЧИСJIовая ПJIОСКОСТЬ ,
в п. 5.3 было расскавано, как устанавливает-
ся взаuJttnО од1l0зnачnое соответствие между действитель--
ными числаl\.fИ и точками прямой. Оно позволяет приме-
нять R чисда I rеометрический язык. Например, l\fножес
ВО чисел х, удовлетворяюIЦИХ двойному BepaBeHCTBV
а -< х < Ь,
пазываетсЯ' отрез1\.О.м, числовой ПрЯl\IОЙ. Проще ncero уза..
RОПИТЬ полностыо такой rеОl\fе,трический язык, объяnив
1t7
сами числа точками, а множество всех этих «точек» .........
пря.мой. Для отличия от прямых в смысле чистой reo.met--
рии rоворят, что множество (R всех действительных чисел
есть числовая .пря.мая. Рассmоян,uе.м между точками число
ВОЙ ПРЯlrfОЙ Х И у (т. е. числаl\fИ х и у) называется число
р (х, у) I х ....... у 1.
При TaKO ! ПОНИl\Iании дела существует тольпо одпа
числовая прямая. Различные lI\e прямые, на которых BЫ
браны точки О и Е и введены координаты
ОХ
х == ОЕ ·
должны получить друrое паавание. Будем: их называть
"oop8unamUbtMU nря.мЬt.мu.
Аналоrичным образом множество 1R2 всех пар дейст"
вительных чисел (х, у) будеl\f называть числовой nлос
"остью. Тоrда эаконно, например, мно;кестно пар чисел
(х, у), удовлетворяющих уравнению
х 2 + у2 == 1,
называть окружностью с центром в точке О == (О, О) и
радиусом r 1 на числовой плоскости.
Различные же плоскости, на которых различным обра..
30М выбраны оси координат и маСПIтаб измерения, будеl\f
называть l'i,оор8uнатпы.ми плоскостямu.
К такому rеометрическому языку вы привыкнете
в курсе алrебры. Заметьте, что при HalIIeM подходе к делу
введение координат на обычной rеометрической плоскости
состоит в том, что точки этой плосности определенным
образом отображаются в точки числовой плоскости:
М (хм, ум).
Обратное отображение можно записать n виде
(х,. у) м (х, у).
5.10. Общее понимание термива
«rрафИR функции»
ЯСНО,. пак теперь мы ДОЛЖНЫ попимать вы..
ражение «rрафик» в применении к числовой ФУНКЦИИ чис..
ловоrо переменноrо: это просто .множество
r f == {(Х 1 у): У == f (х)}
(1)
tt8
всех пар чисел тa иx, что фУНJIi,ция I определена в точк-е :1:
и принимает в этой точr;,е значенuе у.
Естественно, что rрафик числовой функции числовоrо
aprYMeHTa есть ПОД fножество числовой плоскости [R2"
«фиrура» на этой плоскости.
Но определение rрафика (1) имеет совершенно оБIЦИЙ
характер, оно применено к фУНКЦИЯ f, заданным на произ
вольном множестве и со значеНИЯ"1И произвольной при
роды.
Для любых двух l\fHOiI\eCTB М и N }нножество всех пар
(х, у), rде х принадлежит'М, а у принадлежит N, Ha3ЫBaeT
ся проuзведеnие.м l\lножеств М и N и обозначается
М х N.
Произведение множества М на себя обозначается М2, что
и объясняет обозначение [R2 для числовой плоскости.
Если для функции f область определения является под
множеством множества jl"f, а l\lножество значений явля
ется ПОДМНОiкеством множества N, то rрафик r, есть под
множество произведения М Х N. Самый обычный rрафик
деi-НУрств отражает эту идею.
5.11. Функции нескольких персменных
и пространство n
Выражение
z == V х 2 + у2
(1)
принимает вполне определенное значение z для каждой
пары чисел (х, у). С абстрактной точки зрения можно CKa
8ать, что форм ла (1) определяет фупк,цuю от пapь чисел
(х, у). Но более принято rоворить в подобных случаях о
Фунr;,цuях двух пере.меппых.
Fрафuк,о.м функции двух переl\lенных t (х, у) называют
l\fножество троек (х, у, z), для которых выполняется pa
венство
z == t (х, у).
Множество числовых троек называется трех.мерпы.м
числовым nрострапство.м. В Hel\1 rрафик функции (1) яв"
ляется конусом (рис. 36) . rрафик фу нкции
z == V 1 х 2 у2
есть верхняя половина сферы (рис, 37).
119
Ясно" что с точки зрения НУil\Д алrебры и анализа.
столь же просто и естественно пазват r.lножество всех
числовых «эпок»
(Хl f Х 2 " - i ., Х n )
n .мepпь .м, чuсловы.м, пpocтpaпcmeoJt. Функции n переl\fен-
пых имеют rрафики в (п + 1)"MepHor.f пространстве. Со
Bpe feHeM все это покажется вам не слитКОl\1 СЛОЖНЫl\I.
Z
Рис. O
z '
и
Рис. 3'7
rеометрия n MepHoro пространства позволяет ПО,,1ЬЗО-
ваться rеометрическим языком при изучении систеА-f урав-
нений и неравенств с n неизвестны [и. С удоБСТВОltl TaKoro
способа мышления вы встретитесь в курсе алrебры. Быть
может,' несколько неожидаННЫl\! baA-1 покажется то обстоя
тельство,' что особенно часто rеометрический язык MHoro-
мерных пространств сейчас употребляется специалистаl\IИ
по математичеСКИl\! методам экономических расчетов.
5.12. ПРИИЦИП матемаТИЧ СRо:i ИНДУКЦИИ
РаССМОТРИ}f п р е Д л о ж е н и е Р (п):
«число п 2 ...... п + 41 ....... простое».
Подставив вместо переменной n в ЭТОА-f предложении п 3."
получим высказывание *)
«32 ..... 3 + 41 простое число».
Число З ..... 3 + 41 == 47 в саМО}1 деле простое. Значит,
высказывание Р (3) верно. Про верка поназывает, что
*) СМ. о предложениях и 8ысказываftuях п. 7 раздела 11 «О языке
математических знаков».
120
высказывания
р (1), Р (2), Р (З), Р (4), Р (5), .
вее ПОДРЯД верны вплотьдо Р (40) включительно. Возникае'l
Fипотеза, что Р (п) верно для л ю б о r о натуральноrо п.
Эту rипотезу можно СИ fволически записать так:
(Vп Е lN) Р (п).
(1)
Здесь IN обозначение для fHOiI\eCTBa натуральных чи...
сел, а знак V читается «ДЛ,я всех».
rипотеза, однаке, певерна. Число
412 ........ 41 + 41 == 1681
делится на 41, и, сл едова тел ьво, Р (41) .ложно, а слеДОlrd--
тельво, ложно и общее высказывание (1).
В виде BToporo при мера расс:мотрим предложение Е (п):
«число n 3 + 5п делится без ocтaт a па число шесть».
Верно ли высказывапие
(Vп Е lN) Е (п)?
l\loiHHO начать проверку 'Ракой rипотезы:
13 + 5.1 === 6,
23 + 5. 2 == 18 == з. 6,
33 + 5. 3 == 42 == 7. 6,
43 + 5. 4 == 84 == 14. 6 . . .
Пока rипотеза оправдывается. Но ясно, что довести до
J\опца таную проверку нельзя: l\lножество ВОЗl\fОЖНЫХ
значений п б е с R о Н е ч н 01
Важный способ доказательства общих высказываний
о свойствах натуральных чисел доставляет метод мате-
жатичеСI:ОЙ индукции. Оп основав на такой аксиоме:
А к с и о м а п о л пой и п Д у к Ц и и *). Есд,и
предложение Р (п), содержащее напlУРальную nеремен'''
ную п, верно при п == 1 и если для любоео натураЛЬ1tоео 11
из истинности Р (п) вь тeпa.eт истинность Р (п + 1)1 то
р (п) верно при любом натуральном n.
*) Здесь не место. rОБОрИТЬ о том, что такое вообще «индунцияt
u как относится математическая «полная индукция» к друrим
видам индукции. Но вам настоятельно рекомендуется поинте-
ресоваться этим,
{21
Сим:волически аКСИОl\tlУ полной индукции l\fОЖНО запи
сатъ так:
р (1) }
"п (Р (п) Р(п + 1» "п Р (п).
Мы опустили в записи знаки Eft\J. 'Так поступают часто"
есди все вре:мя. имеют дело с переменными, и:меющим:и од"
ву и ту же область возможных значений.
3al\IeTbTe, что высказывания
"п Р (п) и Vk Р (k)
имеют один и тот же смысл. rоворят, что вaHтop общн'О--
сти V производит «свертывание» по стоящей следом за ним:
переменной. В результате получается предложение, смысл
KOToporo не зависит от тоrо,!кап обозначена эта перемен--
пая. Поэтому законна и такая запись аксиомы полной ин..
дукции:
р (1) }
\;fk(P(k) P(k + 1» VnP(n).
Некоторые авторы школьных учебников находят такую
запись более удобной.
На первый взrляд кажется, что эту апсиом:у полной ин..
дукции леrко доказать. В саМОА! деле, если верно Р (1)"
то должно быть верно Р (1 + 1) == Р (2); если верно Р (2),
то верно и Р (2 + 1) == Р (3), и так далее для любоrо на..
туральноrо n. Несмотря на психолоrиqескую убедитель
ность, это рассуждени неверно (хотя ero, к сожалению"
можно найти в некоторых учебниках). Дело в том, что
в том месте, rде rОБОрИТСЯ «и тa далее для любоео п»,
допускается ошибка, приводящая к порочному Kpyry:
чтобы доказать, что действительно «та" далее» можно
дойти ДО любоrо n" следует примевить... акси ому полной
индукции, которую l\IЫ И iнелаем: доказаты Приведевное
выше рассуждение можно ИСПОJIьзовать для Toro, чтобы
из условий a1tcuoAtbl uпду1tции вывести истинность, CKa
жем, р (17) или Р (28) (для этоrо нужно сделать цепочку
на 17 (соответственно 28) лоrических maroB; однако, не
приняв на веру cal\IY аксиому индукции, нельзя из усло
вий истинности Р (1) и следования Р (п + 1) из Р (п)
сделать заключение о справедливости Р (п) при всех n.
Доказательство по методу математической индукции co
стоит из «начала иuдУ1';ции"Ь J, «ипдуnтивНОдО шаеа» и «за..
nJ1,юче пия» :
{22
1) начало ипдy цuu ---- доказательство Р (1);
2) uпayr;,тU8пblU шае....... доказательство, что П3 Р (п)
вытекает Р (п + 1);
3) ааr;,люче1-luе ....... всеrда верно Р (п).
Докаже I по этой CXel\fe, что п 3 + 5п делuтся па шеспlЬ.
ва1':ово бы пи было натуральпое n.
1) Начало индунции:
13 + 5.1 == 6 делится на 6.
2) Индуктивный mar состоит в том, чтобы И
п 3 + 5п == 6р,:
rne р целое число, вывести, что
(п + 1)3 + 5 (п + 1) == 6q
rде q....... цедое число. Доказательство очень просто:
(п + 1):i + 5 (п + 1) == п З + 3п 2 + 3п + 1 + 5п + 5==
== (п 3 + 5п) + 3п (п + 1) + 6 == 6 (Р + п (п 2+ 1) + 1 ) -== 6q.
Так как п (п + 1) четно, q....... целое.
3) Заключение при люБО1vI натуральном n ЧИСJIО
п 3 + 5п делится на шесть.
5.13. Числовые последовательности
с конечны:ми числовыми последовательно-
стями МЫ" по сущеСТВУt уже имели дело в п. 5.11, rOBOp.
об «энках» чисел
(Xi,' %1;) · . .1 %n).
n расположениых друr 8а друrом чисел называют таиже
чucловой последовательностью длины п. В частности,
упорядоченные пары чисел можно считать ПОСJlедователь
постями длины два.
Представляется естественным от таких nонечНЬ'lZ чис--
ловых последовательностей перейти R беспонеч,нlUI по--
следовательностям. Таковы последовательности выиисаВ-
ных В порядке возрастания натуральных ЧJlC8J1
{1! 2J 3, 4. 5. 6. 7, . . .}J
простых чисел
{2! 3" 5" 7 11 13" 17, . . .}.
r t23
Выписывая в порядке возрастания показателя n числа
( 1)n, получаем бесконечную последовательность" со..
стоящую только из чисел +1 и 1:
{+1, 1, +1, ........1, . . .}.
Однако такой наивный подход к делу в случае беско-
нечных последовательностей не вполне удовлетворителен..
Ведь фактически выписать члены бесконечной последо--
вательности нельзя.
Ясно, что задать бесконечную числовую последова"
тельность....... это значит указать правило, по которому
по натуральному числу n (номеру) находится «энный
ЧАеН последовательности» а п :
1 аl, 2 а 2 , . . ., п ..... а п , . . .
Мы внаем, QTO правило, соrласно которому каждому эле..
менту х множества М ставится в соответствие определен..
вЫЙ объект f (х), определяет заданную на множестве М
функцию f (х). ПоrомУ можно припять такое определение:
О п р е Д е л е н 'и е 1. БеСJti,онечпой числовой последо-
вательностью пааывается чucловая ФУНJti,ция f (n), оnре-
деАеппая па .множестве всех 1tатуралы ых чисел
IN == {1, 2, 3, j . .}.
в ближайшее время мы будем заниматься по преиму-
ществу бесконечными последовательностями. Поэтому при"
паrательное «бесJti,онечная» IЫ буде 1 опускать. rOBOp
просто «последовательность», будем иметь в виду бес ко...
вечную последовательность. Если же зайдет речь о ко..
печиы.х последова ельностях, буде:м непреrvIенно это 01'0"
варивать.
Обозначение f (п) для энноrо члена последователь...
ности, однако, не принято. Вместо этоr9 пишут 'n. ,ИА-Iея
дело с несколькими последовательностями, для каждой
из них выбирают особую букву. Например, энные члены
трех' последовательностей можно обозначить соответст"
венно Х n , Уn' zn. CaA-IИ последовательности'
( Х l' Х 2 , Х 3 , · · ., х n ' · · .)"
(Yl' У2' У 3, · · ., у n' · · .),
(Zl' Z2' zз, · · ., Zn'. · .)
коротко обозначают (Х п ), (Уп), (zn).
Последовательност}), у RОТОрОЙ R e члены совпадаIОТ,
пазывается nостояпnой nоследаваlпеДЬ1tОСlпl:н() 11.,1Il П1JОСТО
а.
124
nостоянн'ОЙ. Последовательность мо,нет быть задана aHa
литически при помощи формулы, указывающей, как по
номеру п вычислить член последовательности Х п С этим-
номером. Наприм:ер,
п 1 ( 1)n 5
Х п === п + l' Х п ::::=. п Х п == ·
Лоrическое определение последовательности мо)нет D
не быть вwражено формулой. Чтобы последовательность
была определена, важно только, что для кан(доrо натураль
Horo п было указано хараптерuстuчеспое свойство числа
Х n , позволяющее отличить ero от любоrо друrоrо.
Например:
Рn есть п e по порядку простое число:
Рl == 2, Р2 == 3, Рз == 5, Р4 == 7, ...
Найти РI000 или Рl 000 oo нелеrко, но теоретически вот
MOiHHO. Это ПрИ lер лоzuчеспоzо определения последова
тельности, которое трудно заменить явной формулой.
Часто применяют ин'дуптU8пый способ опредеJlевия
последовате ьности, который называют иначе penyppeHr.n
Н,ы.м .
Пусть, например,
Хl == 1, и при любом n > 1 Х п ::: п.Xn i'
Ясно, что эти условия определяют значения Х п для лю--
боrо натуральноrо n, т. е. задают бесконечную последо--
вательность:
Xt == 1, Х 2 == 2, Х з == 6, Х 4 == 24, Xs == 120,: . ,. ..
Понятно" чтр это хорошо известная нам последователь
ность
Х п == п!
Рассмотрим - еще один пример'
а 1 == 1, а 2 == 1, an+i == ал + an i1 п > 3.
Выпишем первые члены этой последовательности:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .. Эта последовательность име
ет ряд интересных свойств,: ее члены называются чuс...
лажи Фu60наччu.
3 а Д а ч а. Докажите методом математической ИНДУRЦИИ сле
дующие TOiI\AeCTBa, связывающие между собой числа ФIlбоначчи:
а) а1 + а2 + ... + а п == а п +2 ...... 1;
б) а1 + аз + ... + a2n ! == .а2п;
В) а2 + а4 + ... + а2n == п+l ....... 1;
r) ai + а;+. . .1 а; == ana n + 1e
125
о п р е Д е л е Н и е 2. П осд,едоваmeлыtстьb (Х п ) IШ
аывается убывающей,,; если для ее ч.л,епов выnолnяется не..
равеncтво
Хn+! < Х п
для всех п" uньuпи С./I,ова.м,и." еслu
Х 1 > Х 2 > Х З > · . ф > Х п >
. . ..
Есди же ддя всех n Хп, -< Xn i, т. е. есди Х} Х 2 > Ii . <iI
. > Х п > · . ." то nосдедователь,!,ость называется не--
возрастающей.
ЯСНО" что понятие невозрастающей последователь
вости шире, чем пrчятие убывающей.
О п р е Д е л е н и е 3. П осдедоватедьН,ость (Х п ) н'азы,
вается воарастающеЙ'J если д,л,я ее ч,деН,ов 8ыподН,яется
неравеН,Ство
Х п < Хn....!
для всех n, т. е. есди
Х 1 < Х 2 < ХВ < # · · < Х п < . .
Если же ДJIЯ всех 11. Х п -< X n +lf ТО последовательность
(Х п ) называется н'еубывающей.
Убывающие, неубывающие, возрастающие, невозрас"
тающие последовательности объединяются под общим на...
званием Jtl,QHOтOnnыe последовательности.
3 а м е ч а н и е. Из определения возрастающей последова
тельности следует, что для установления возрастания достаточно
установить неравенство
Хn+l
Х > 1, n == 1, 2, . ... (х. > О).
n J
Аналоrичное замечание можно сделать в для убывающей
последовательности.
Рассмотрим последовательность
I 1 ) n
Х п === \ 1 + n j п === 1, 2, . . .
Найдем приближенно первые члены этой последователь..
вости: Х 1 == 2, Х 2 == 2,25; Ха == 64/27 2,37. Возникает
rипотеза, что последовательность возрастает.
Докаже}I это:
Х n +l == (1 + n 1 )nн ;
i26
:t n+ 1
Х п
( 1 ) n+ 1
1+ п + 1
( 1 + + )n ( n 1, )n
::::: ( (п + 2) n ) n+1 . + 1 === ( 1 1 ) n+l.
(п + 1)2 п (п + 1)2
I п L 2 ) П+ 1
\ n 1
п+l
п
( 1 \n+1
Применив R 1 (п + '1)2 ) неравенство Бернулли
(если h > 1 и h =1= О, то (1 + h)n > 1 + nh при любом
натуральном: п; докажите это саJ\IИ), получим
Хn+l > ( 1 1 ) п + 1 == 1
Х п п + 1 n
а следовательно, Xn+i> Х п для всех n, что и требовалось
установить.
3 а д а ч а. Докажите, что последовательность с общим членом
х n == ( 1 + )n+1 убывает.
О п р е Д е л е н и е 4. П ослед вательnость (х n ) 1-Ш
8ЬUJается оараnuчеn1tОЙ сверху, если существует такое
число М, что при любом патуральном n вьtполияется
nеравенство
Х п < М.
о п р е Д е л е н и е 5. П оследовательnость (Х п ) пa
8Ы8ается оараиuчеnnой сиuзу, есди существует тaJli,oe чис -
ло т, что для всех ее членов вь nолnяется неравепство
Х п > т.
О п р е Д е л е п и е 6. П оследователъnость нааь вается
оараnичеnиой, если оnа оараnuчеnа сверху и сnuзу,- т. е.
если существуют maJli,ue два числа М и т, что для всех
членов последовательности вь полnеиь nеравеnства
т < х n < JtlI.,
Леrко доказать,' что для оrраниченпости последова..
тельности необходимо и достаточно сущеСТВ8вание TaKoro
числа М, что для любоr()а члена последовательности вы..
полнено перавенство "Х п I < м (проведите доказатель..
ство самостоятельно).
Докажем, например,- что последовательность :Е п ==
== (1 + т oapaпu'teпa сверху. Уqитываfl ll '!То поел&-
i27
( 1 ) n+l
довательность V.,. == 1 + п
убывает! ПОЛУЧИИ J что
( 1 ) " ( 1 ) ,,+1
.C:::: 1+ п < l+ п ==
с::::: 1/п < 1/n 1 < 1/ft--2' < . . . < 1/. < 111 == (i + + )1 с::::: 4,
. это значит! что Ж" < 4 для всех n == 1,.2, .. . . Заметим.
что О < Ж"t; следоватеЛЬНО. t О < Х п < 4, а вначит.. по-
следоватеJIЬНОСТЬ Х п == (1 + )n оrраничена.
5.14. Проrрессии
О п р е Д е л е н и е 1. П оследоватеАьпость,
оnредеАяе.м,ая nepBblJН, уено.м, а! и pe y Р рентным COoтHlr
Ш8ние.и
a,,+i == а. + а,
еде а..... непоторое чиСАО! Н4вывается арифМ,етичеС1:0(J,
npoapeccиea s а d нааывается ра8ностью nроарессии.
В 'етом случае индуктивное определение удается за-
менить простой формулой 4" == а! + d (п ....... 1) (прове-
дите доказательство сами).
По нашему определению,,; арифметическая проrреССИJl
есть б 8 С К О Н е ч н а я числовая последовательность. Ко-
вечная: последовательность ее первых п членов
(ait а." а8' . . .1 а n )
называется "оШ!Чной арифжеmичес.,.ой nроарессией. Для
такой конечной проrрессии леrко находится сумма S ее
членов. Леrко ДоказаТЬ. i что в конечной арифметической
проrрессии суж:ш/, рasноотсmоящих от Н4чад,а и 1СОliца
ЧМШJВ постоянна (докажите!). Запишем интересующую
вас сумму S двумя способами:
S == а! + 4, + . · .. + 4.1
в == а" + а"--1 + .' . . + 41.
Cnожив почленно 8ТИ paBeHcTBa j получим
28 == п (а! + а,,) =:= n (2а! + (п ..... 1)d).
Для бесконечной арифметической проrрессии полу-
ченный результат формулируется так: сужжа первых n
ч.л,ен,ов' ари(рМ,еmичеспой' пр оересси и- может быть 8ыр'ажеН,Q
128
тап:
аl + а
S т.. N .
n== t') ,
"
(1)
(2)
2аl + (п 1) d
Sn== 2 n.
Заметим еще одно свойство членов арифметической
проrрессии. Если a11. т' а п , а п + т члены арифметической
,п-роrрессии, то верно следующее равенство:
an т + а n + т
а n === 2' (докажите!).
О п р е Д е л е п и е 2. П ОО.ll,вдоватfJ.II,ьн,остЬfj оnред,..
.л,яе.мая nервь1,.М, ч.n,ен,о,м, а! и репуррен,тн,ы.м, соотн,ошlkU(JAI
4" :::z a11. iq'J n > 1,,:
еде q ....... н,епотОРО8 ЧUОJl,О, называется 8ео.иетрUЧ(Jо о4 про..
ерессией, а q Вн,Q,.М,e1Штеле,м, еео,м,етричвспоо, nроарвосии.
Явная формула общеrо ев члена имеет вц
а п ::s a1qn-'l (докажитеl).
Для вывода формулы оуммы
8 п == ai. + а 2 + . . + а"
первых n членов rеомвтрической проrреОQИИ рассмотрим
выражение 8 nq:
8nq == a 1 q + aiql + a 1 rf + · . · + fJirr.
Найдем 8п Snq} получим: Sn...... S"q .. ai ...... a 1 Q"" O
куда
Формула (3) не
n
1......q
S п == а 1 1 ·
.......q
действует при q 1,
r
Sn == па!,
(3)
но в атом случае
(4)
5.'.1.5. Понятие о пределе
последовательности
Рассмотрим фиrуру,; составленную из бес-
конечнои последовательности кваДР8:ТОВ (рис. 38). Пер..
вый квадрат имеет площадь 1, второй...... 1/4,. третий ........
1/16 и т. д. Та,К. как вся фиrура помеща тся в треуrоль..
нике п.лощади 2, то представляется естественным думать)
5 А. Н. Нолмоrоров
{29
что площадь нашей фиrуры меньше двух *). Естественно
попробовать ее найти, подсчитав «бесконечную сумму»
111 t
1 + т + 16 + 256 + 1024 +...
Но имеет ли такой подход к делу достаточно опреде..
JIениый .смысл? Ответ па этот ВGПрос по существу поло..
жител:ьный. Но для Toro что--
бы вычислить вашу CYMMY
надо понять,, что разумно пони
ма:тъ ПОД 1I8.Зва.иием «суммы бес..
конечкоrо числа слаrаемых».
ином IItPlЩет.ся ввести сФот"
I1e.Тсrnвующее (i) п р е Д е л
н и е. Но сначала надо раз о..
бl'S"ТЬ'СЯ неформальным образом
:в тем, Ч О мы 0000mвe1ШО 1:0-
:9 а'ИМ пвлучить. Последо'вафeJt
- ,(1
IЮCть !иа:пwх 'слаr.аем:ы:х
9
2 ... ... ... .. ..... ... ... ... ...........
,
Рис. 38
а 1 == 1.1
1
а 2 == т · · !
( 1 ) n 1
a rn == т ;; .. .. ..
образует rеометричеС'Кую п,оrрессию. Для суммы пер.
БЫХ n .слa:rаемых м;w уже имеем DOTOB.ym формулу {3J
из п. 5.14, У пас а! == 1 и q == 1/4. П&ЯТ0МУ
t4 ( 4. )
S ==..........' 1 ................ .
n 3 4 n
ЯСНО. t что
8! < 82 < . , i < 8 п < 8 n +i < . . .
Но леrко заметить,,; что при любом n
4
Sn < т.
*) На практике площади 'выражают в KBa aTBЫX савтиметра .
иетраХ f километрах. Сказать, что lIЛощадь "комнаты равна 15,
не указав единицы измерения, бессмысленно. Но на числовой
плоскости естествеВВ0Й едивицей .иsмeрепия площадей
является площадь кваАРата 0 Dej)ШВВUlИ'(О,G<), (1,6), (1,f),
(0,1). Площади, ПОJ1учающиеся при !1',акой единице изиереввя,
выражают просто ОТВJIеченнЬ1МИ ч ислам и. Такова, например,
ваша .ПJIоща ь тpeyrОJI'Ьвика с ве рtaШI ПfИ (0,0), (0,2), (2,2),
равная двум.
130
fIозтому, наприиеРi все суммы 8n е ,,> 11 заключены
в пределах
.!.. ( 1 .......
з .
1 ) 4
411 <Вn<Т.
т. е., ВО всяком СJIуч:ае. t в npeдeJlax
4 4
Т ....... 0.,,000001 < S n < т ·
Все они отличаются от
4
8==,т'
не более чем на 0,000001.
Более roro., каково бы ни было ПОJIожитеJIЬПО& число 81
можно найти такой номер N.1 что при n > N
I 8 п ...... S I < 8.
Например! для 8 == 10 20 достаточно взять N == 50.
rоворят,. что «при n, стре:мящежя п беспонеЧн'ости
S n стрежится п S == 4/З ,: или что чиС/rО S есть nредеА
nocд,eдoвaтeд, ън ости
(8 ii 8.,; , . #}- S-Вt i А )
п редед, су.м.м
81 == aiJJ
82 == а! + a2
8з == аl + а 2 + аз;)
. . . . i t .
JЮЗраС'Рающеro "!исла членов, пос'ледовательиости (ап.) ка..
ЗDIвae'RСJl су-:м.мои 8С.ех ч.n,еюов этой nоследоватеЛЬн'ости.
:В. С'ОопетеТВ]lИ с 8ТИМ 6врецел-еиием
1 1 1 1 4
1 + т + 16 + 6 + 256 +...:с: т ·
Это' . ееть ПJ10щадъ- вашей фиrуры *).
*) Серьезно площадями мы займемся только в десятом Rлассе.
Там будет дано точное определение площади, из KOToporo можно
будет вывести еформулироваивое сейчас утверждение. Попу--
Ченный результат, что площадь нашей фиrуры равна 4/3,
ОПУСRает еще такое наrJLЯдвое оБъяснение. По чертежу видно,
,то наше фиrура превращается в треуrольник ПJlощади 2,
если каждый из составляющих ее квадратов 110ПОЛНИТI- Tp
)ТеJlЬJ!ИИ(Ж 8ДВое мевъшеi, площзJ1,11. ПОЭfrO_у 8.,.. 1/,,8 == 2.
8,. 8Вa.1UIТ, S == 4/3.
S. 131
!)ассмотрим еще последовательность с общим членом
(..... 1 )n+l
Х п === ·
n
Изобразим члены этой последовательности точками при..
мой (рис. 39t а). Наrлядно ясно, что точки Х п «стремятся
. . . . .
.....1 1 О 1 1
2 "'4 '5 3
а
(Сп
. В
1 J , 5' . 7
J
. /J
Рис. 39
. :-
1
п
" точ"е х == О». rоворят, что предел последовательности
Х п есть число О,; и пишут
1 8 (...... 1 )n+l О
1т === .
n
n..оо
Так как Х п есть функция числа n" определенная только
на множестве натуральных чисел,,; то ее rрафик состоиl.'
из отдельных точек (рис., 39, б).
На этом rрафике тоже видно, что точки rрафика по..
степенно приближаются 'к rоризонтальной прямой у == о.
о п р е Д е л е п и е. Число а nааьtвается nредеЛОNJ
nосмдовательnости (Х n ),' если для любово nоложитель-
Н080 числа 8 nайдется та"ое nатуральnое число N что
при n > N выnолnяется nеравеnство
I Х п I < 8.
Если а есть предел последовательности (Хn),; то пиmу'l
lim Х п == a
n
Ра смотрим rрафик последовательности
х п ==(1 + +)П.
МЫ доказаЛИ.1; что эта последовательность является вове
растающей и 08раnичеnnой. Кажется ясным, что точки X
132
па оси ординат «сходятся» к какому"то пределу х < 4
(рис. 40). Это ожидание верно и вытекает из TaKoro общеrо
положения:
При 3 Н а к с х о Д и м о с т и В е й е р m т р а с с а.
Если последовательность оераnичеnа и N,OnOтOHн,o,JJ то
оnа u.м,eeт предел.
ttJ n
4
= = ...., ..... ;; = = = ::.::A. .....
.... .... ..... .... -- .... .. -- -D - У
... .... ..... .... o(j> J I I
......-9 I I I I
i I I I J
I I I I I
J I . I I
I , I I
1 2. 3 4 (j (j 7 п
Рис. 40
Доказательство этоrо утверждения мы сможем дат..,
пить обстоятельно познакомившись G теорией деЙСТВII--
тельных чисел. При «аксиоматическом» подходе а ПОИII--
тию действительноrо числа этот признак сходи;мости
иноrда принимают в качестве одной иа аксиом. Предел
е == lim ( 1 + ...!... ) n
n oo n
иrрает важнуJO роль в самых различных задачах.
Можно доказать (попробуйте!), что для любой ПОСJl
довательности (Х n ), имеющей предел 11ш X nt
n oo
Vn (Х п < а) =Ф lim Х п -< а.
n oo
В' частности.,. отсюда получается, что при любом 11
(1 + +У' <е«1 + +)nн,
Покажите,. что
2,7 < е < 2,8.
Заметим, впрочем, что для приближенноrо вычисления
числа е этот путь не слишком удобен. Позднее мы узнаем,
как без больших усилий получить очень точные оценки
сла е, напри ер оценку
2t718281828 < е < 2,,718281829.
{33
5.16. Сумма бесконечной
u
rеоиетричесвои проrрессви
В ОООТJJетствии с рассиаваниым ракее еум:мой
S == tIi + aiq + a1q" + . . . + a qТl, + . . .
reоиетрической проrрессии (a1qn) иааываежся предел
S==limS n ==lim ( а 1 11-=,Qn ) .
n....оо..оо q
Относительно этоrо .предела важво 'В][ать следующее,
{) еслu I q I < 1 то он существует 1-' равен
S == j 1 ; (1)
.q
2) еС.ltи I q I ;> 1 t) то он не существует
В.ы можете доказать оба эти утверждения. 3aMeTЬTe
что почти всеrда для получения конкретных результатов
из определения предела приходится пользоваться таким
фаК'l'ОJI:
Jt,Я Jtю6вео '/t,оложитедьново е существует тапое на..
тУРаАЬН,йе fl,J., -что
;f <
----- 8.
n
Справедливость этor.о пооле,цвеrо утверждения, по су"
ществу,. тоже требует обоснования,; что и делается в тео-
рии действитеJ1ЬИЫХ чисел.
Заметьте еще,; что основную формулу суммы rеометри-
ческой проrрессlШ '(1) можно вывести совсем ПРОСТО;,
если не затруднять себя вопросом о точном определении
смысла caMoro поиятия «сумма бесконечноrо числа сла..
raeMblX». В самом деле: '
3 == lL1 + q + {J 1q 2 + аз.tl + j f I -== a:i + q ( } +
+ alq + a1q2 + . ,а . ) :;..... al + qS.
Решая уравнение
S == а! + qS;]
получаем
S аl
, == 1...... q ·
в XVIII веке ЭЙЛЩ) получал жахии образок равенства
типа
1
1 ........ 2 + 4 ...... 8 + 16 32 + · · · == 1...... 2 ===........ 1,
{34
Следовать этому обравцу мы ие будем, по не слишком
бойтесь ИНОfда и двиrаrюься, доверяясь наrлядиым сооб...
ражениям" без cTpororo лоrическоrо обоснования.
6. rЕОМЕТРИЯ и :КИНЕМАТИКА
ИА ПЛОСКОСТИ
6. t. ПЛОСIC8eТЬ
вак Мe'qtВчесвое пространство
Систематический курс rеометрии «ев клидо"
вой» плоскости МОШКО сТроить по...равно:м:у. Сейчас мы
познакомимся с одним таким способом, который позво..
ляет очеиь быстро получить ответ- ка вопрос .Что тапое
евп/(,идова nдoc-пocть?» , если владеть иек-оторЬDПl начат--
Rами лоrики и теории де:icrmите ЦJ\'RЫ Х чисел. Сначала
мы будем рассуждать, опираясь па уже имеющиеся у
Ba-G rеоиетрические. авания, но потом! покааав естествен..
ность предлаrаеиоrо определения понятия «ев"",идова
плос-пость», покажем, как на е!,о основе в припципе можпо
было бы построить заново всю ту планиметрию" которую
вы ранее изучали.
rеометрическИ8 фиrуры мы будем ечитатъ .мно:нсест...
вами точе-п. Наприи р, окружность с цеитIJOИ О и радиу"
сом r есть множестso всех точеп n.л,оспостu, расстояние
иоторых от т'Очnи О. рав1Ю Т. В планиметрии иаучаю!!'
свойства фиrур, расположе-пны'х на какой...либо одной
плоскости; rоворя далее о точках, мы будем иметь в виду
точки ЭТОЙ плоскости. Будем считать выбранной единицу
иа.мерепия длины е. Тоrда расстояние r мел,ду любыми
двумя точками плоскости Р и Q выражается в виде
r == ре.,;
rде р есть неотрицательпое действительное число. M
будем далее называть расстоянием между точнами Р и
Q просто само зто числ() р .,; обозначая ero
р (Р". Q).
Расстояния между точками плоскости обладают сл
дующими свойствами
1) р (Р" Q) > О". причем р (P,i Q) == о в том и TOJIЬKO
«,ом случае, коrда Р == Q;
2) р (Pt'; Q) == р (Q. р);,
3) р (P Q) + р (Q1 Н) > Р (P R).
435
л 1О60е мпожество М в.месте с оnреде.леппой па k/ 2 ==
== м х М фуn цuей р (Р, Q), обладающей свойствами
1 З, нааывается .м,етричес иж nрострапством'.
. Поскольку эти свойства имеются у расстояний между
точками плоскости, возникает желание искать оконча
тельное определение евклидовой плоскости как специаль
Horo вида метрическое пространство.
Вы знаете, что на плоскости можно ввести прямоуrоль
ную систему координат, что позволяет записать расстоя--
ние между точками Р и Q в виде
.
р (Р, Q) == V (Хр XQ)2 + (ур YQ)2,
rде Хр и Ур координаты точки Р, а XQ и YQ ....... коорди-
наты' точки Q. НО
. р == V (Хl ...... x 2 )j + (Уl ........ У2)2
есть расстояние между точками (Хl' Уl) и (Х 2 , У2) 'число--
вой плоскости. Значит: при отображепии
Р ..... (Хр, ур)
взятой пажи «еео.метричес ой» n.л,ос ости на числовую
1L/I,oc ocть расстояние р (Р, Q) равно расстояпию ltteжду
обрааа.мu точеп Р u Q на чис.ловой n.л,ос ости. '\
Теперь мы достаточно подrотовлены, чтобы понять
предлаrаемое далее определение «евклидовой плоскости».
О п р е Д е л е н и е 1. Метрuчес ое пространство
(1R2'J r), еде
r «Хl' Уl)' (Х 2 , У2» == v (Х 1 ...... х 2 )2 + (Уl У2)2,;
Н,О,аьtвается числовой eB1h/l,uaoBou n.л,оспостъю.
Заметьте, что каждое метрическое пространство со..
стоит из:
а) множество ero «точек» М;
б) заданноrо на М2 «расстояния» р.
rоворя об «отображении» одноrо метрическоrо про..
странства на друrое, мы будем иметь в виду отображ ние
одноrо на друrое их множеств точек (их «носителей»).
О п р е Д е л е н и е 2. М етричеспое прострапство па..
аывается ee1h/l,uaoBou n.л,ос остъю, если еео .можпо отоб ра--
вить на числовую евплuдову n.л,ос остъ с сохрапение.м рас--
етоянuй жежду точ аJН,и.
Чтобы построить на этой основе rеометрию еВКJIИДО
вой плоскости, надо определить все обычные rеометри--
lIеские понятия через понятия точ а и расстояние .между
tЗ6
точпа.мu. Выше был приведен Ilример T8Koro определения
окружности. Убедитесь в правильности TaKoro определе.-
ния отрезка:
[А, В] == {Х: р (А, Х) + р (Х, В) == р (А, В)}.
Определите сами понятия пруэ} ЛУЧf. nряжая" 8ваи.мпо
neрnеnдuпУ/tЯрnые nря.мые.
6.2. Примеры метрических пространств
Понятие метрическоrо пространства имеет в
математике MHoro различных применений. Метрическими
пространства IИ являются числовые евклидовы прост--
ранства
«Rn 'J r) J
rде
r «(х 1 . х 2 !' · · · f х n ). (Уl' У2' · · .. Уn» === V " 1 (х" У,,)2..
Сейчас мы приведем лишь несколько сравнительно про..
С1'ЫХ примеров.
При м е р 1. В простраНСr.Fве из восьми вершин куба
будем считать расстоянием между двумя вершинами .ми--
nи.мальnое число звеньев ломаной, соединяющей эти вер"
шины и состоящей из ребер куба. Ясно, 'что такое рас--
стояние может принимать только ч е т ы р е значения:
О, а, 2а, 3а, rде а........ длина ребра куба.
Попробу йте применить к этому ПрИАlеру данное выше
определение отрезка.
При м е р 2. Можно. получить новые метрические
пространства,- определяя необычным образом расстояние
На числовой плоскости (R2. Например" можно положить
r ((Xi, Yl)t (Х 2 " У2» == 1 xi ....... Х 2 I + I У! + У2 1.
Выясните, как в этом случае будут выrлядеть «о К..
ружности» И «круrи».
При м е р 3. Пусть (М, р) ........ метрическое простран
СТВО, а Mi..... подмножество множества М.. Расстояние
pi (Р, Q) будем считать определенным только в случае,
коrда точки Р и Q принадлежат М 1 . В этом же случае
положим
pi (Р! Q) == Р 'Р, Q).
.Получит,сИ ме рическое пространство (Mi, Pi). rОВОРЯ;Т t
что это' подпространство пространства (М, р ).
137
1. Это обычные числовые функции числовоzо ареу.мепта.
В терl\fинах отобраiIiений это отображения из (R в IR.
2. Такие отображения из [R в плоскость являются
предметом изучения в пине.матипе двuжений точпи по
n.лоспостu.
При м е р. Движение под действием силы тяжести
материальной точки, брошенной в начальнЫЙ момент
времени со скоростью v в rоризонтальном направлении,_
описывается уравнениями
х (t) == vt.,
gt?'
у (t) == h ........ ,.... :
(1)
rде g......... ускорение силы тяжести. Система координат
выбрана так" что ось х направлена еориаонталъно по
направлению началь ой скорости, ось у........ вертuпалъно
вверх" а координаты начальноrо поло..
жения точки есть (0,,- h) (рис. 41). При
.. j2h
t==T=== V Т
у (t) == о. Будем считать, что в этот
момент времени материальная точка
.:c=vt (IJ «упала на землю» и движение по,
закону (1) заканчивается. ФормуJIЫ
Рис. 41 (1) определяют отображение
t .... М (t) == (х (t)" У (t»
отрезка [о, Т] числовой прямой на кривую, нарисованную
на рис. 41.
Вообще, то" что в механиве называют «движением
материальной точки по плоскости», с точки зрения ма..
тематика есть не что иное, как отображение
t .... м (t)
из IR в плоскость. Естественно, что движению в трехмер.-
ном пространстве соответствует отображение из IR в
трехмерное пространство.
3. Примером отображений третьеrо типа может слу..
жить отображение
м но. р (Ot М)"
которое каждой точке Лf ставит в соответствие ее расстоя
вие от некоторой фиксированной точии (например, на
числовой плоскости от начала координат О == (01 о».
{40
4. Приве ем два примера отображений четвертоrо
типа.
При м е р. ОртоеОJШ.ltьnое nрое,.тироваnие 1ш nря..
жую l:
м -+ Р , (М)
(рис. 42, а). Область определения этоrо отображения есть
вся плоскость, а множество значений..... прямая l!)
.,/1
I ,М
,
I I
J I
I J
I I
t' r
'1 (Н) 1 l
f
I
J
I
а о- ,111
Рис. 42
При м е р. Осевая сuж.метрuя:
М -+ S, (М),;
которая каждой точке плоскости М ставит в соотвеТСТВИQ
такую точку М 1 == Sl (М), что ММ! l и пересечение
ММ! с l является серединой отрезка [М,. М 1 ] (рис. 42, 6).
Здесь область определения и множество значений совпада--
ют это вся n.л,оспость. Отображение P l neобратuмо, ото бра..
жение же S, обратимо. Заметьте на будущее: в rеометрИII
плоскости принято О б р а т и м о е отображение всей плоо-
кости на себя называть r е о м е т р и ч е с к и м п р е-
о б раз о в а н и е м.
Заметьте еще" что осевая сu.мжетрuя есть uзожетри-.
чеспое отображепuе, более коротко и з о м е т р и 8.
Изометриями плоскости (т. е. изометрическими отобра-
жениями всей ПJJОСКОСТИ на себя) мы будем далее спе-
циально заниматься (см. п.6.11).
Изометрическое отображение плоскос и на себя явля"
ется частным случаем изометрическоrо отобраiкения Од.-
ной фиrуры на друrую. Общее понятие изометрическоro
отображения фиrуры Ф на фиrуру Фl тесно связано с
наrлядным представлением о перемещениях твердых тел.
В механике представляют себе тело Ф состоящим из «:ь-ta-
териальных точек» М. ДО перемещения каждая точка
1 1-
тела Ф занимает положение Мо, а после перемещения
попадает в точку пространства М 1 . Обозначим Ф О MHO
жество всех нача.яькых положений материальных точек,
составляющих наше тело, Ф 1 множество их оneчН,ых
положений, Твердое тело neреиещается так, что расстоя
ния между составляющими ero материальными точками
сохраиmoТСJI. При тахом перемещеиии отображение
Мо М 1
фиrуры Ф О на фиrуру Фl изометрично.
Таким образом;: изучение перемещений твердых тел
сводится к изучению изометрических отображений одной
фиrуры па друrую.
Математики по этой причине иноrда просто называют
U80жетричес-,;,ие Оlfображения neрежещения.ми.
5. Отображения пятоrо типа естественно возникают
при изучении движений. Заметьте, что мы различаем
neре;м,ещения и движения. Например, лю-
бую плоскую фиrуру Ф О при помощи
перемещения можно наложить на цент..
рально симметричную ей относительно
точки О фиrуру Фl (рис. 43). Это переме..
щение можно осуществить, вращая фиrу..
ру Ф О на 1800 против часовой .стрелки
либо же вращая ее на 1800 по часовой
стрелке. Пром:ежуточные положения фи..
rуры при этих двух движениях фиrуры
будут различны. Мы имеем дело с двумя
ра8/tич,нь жи движениями, но в их результате получается
одно и то же nеремещение.
Чтобы описать математически движение твердоrо тела.
иоторое в начальный момент времени t == О занимало
положение Ф О7 надо для. каждой точки Мо Е Ф О и для
всех интересующих пае моментов времени t указать поло"
жение
.
о
Рис. 43
м == f (t f Мо)
(2)
в :момент времени t материальной точки, Rоторая в мокеи"
времени t == О ааиим:аJI8 положение М о.
МЫ ВИД1Dl,,' что движение твердоrо тела описывается
при ПОМОЩИ функций вида (2).1 т. е! отображеиий отие.
сенных выше к пятому типу.
'42.
6.6. Замечание о парSJlJlеJlЬНООТИ
и вапраВJIеВИJlХ
Нам удобно несколько измеmr.ть традициоп--
иое определение параллельности прямых. Будем считать,;
что две прямые naрaJtлельпы," есд,и: а) оии coenaaa1fJт либо б)
опи д,ежат водпой пд,ОСЕости,; по не имеют общих точеп.,
Так понимае:мое отношение параллельности обла ает
тремя свойствами:
а) рефлепсивпостиt а а,
б) сим.метричности:' ооли а [fJ'J то Ь 11 а,
в) транаитивности: если а 11 ь и Ь 11 C. tJ то а IJ 11.
Отношение же параллельности в традиционном смысле
«антирефлексивно» (прямая не может быть параллельна
самой себе). Вкесто свойства траН3ИТИВIlOOiИ для пар.л...
лелънос'IИ в траДИЦИОНRОМ смысле М()ЖIIО сф&рмулиро-:вать
ТОЛЬRО такое утверждение: если а 11 Ь,; Ь /1: с и nрЯAtые
а и с раад,ичпьt,: то а 11 с. Необходимость этой оrоворки
«если nря.мьtе а и с раВ.II,uч1tbl» часто ц.осr.rавляла бы вам
MHoro неудобств. Этим и объясняется переход н новому
пониманию вараллельпое.ти.
Два .ttуча пaptJ.l<e4hHbl" ес.4и ОИtJ. деЗIO:Jт C'€J cт8efCNO
на двух naJNL.ltJl,U.bНЪ1,.Z l&РЯ.хlitX.
Два парaшlеJ1blIЫХ .пуча иоrут быть одиН,ахО8О nаправ...
лены или nрйтlUJOn().lWжна Нllnрав;п,ены. Понятие одина...
повой направленности двух лучей 1\1Ожет бlJIТD cTporo опре-
делено:
а) два луча, принадлежащие одной ПРЯМОЙ f о Д и н а...
к о в о uanравлеИЫ7j есни одии из ивх еОC'lавляет' часть дру"
roro (рис. 44" а);
б) два параллельи.ых л.уча f не лежащих :па ОДНОЙ
прямой, о Д и н а к о в о вапра:влеиы, если они лежат по одну
сторону от прямой 001); соеДИНЯlOщей ИХ. начraJIЪпые- точки
О и 01' т. е. лежат в од.вой из двух ПОЛУИJIоскостеЙ t па
которые прямая 001 разбивает плоскость (рис. 44,,; б).
На рис. 44, в лучи про т и в о п о л о ж н о направленыI.
НесКОJl:ЬКО сложнее д о к а з а т Ь У' 'iTO отноmение «одива"
ковой направленности» двух лу,-ей обладает свойствами
рефлепсивности" си.м.м,етричности и транвитивности.
Принимая это без доказательства" приходим к выводу,;
что все лежащие на плоскости лучи разбвваIОТ Я на
к л а с с ы так., что любые два луча о Д в о r о к л а с с а
одинапово направлены,: а два луча раз н ы х R Л а с с о в не
одинапово направлены. Это позволяет дать точное опре..
143
деление самому понятию направление: направление это
просто один из сейчас описанных классов лучей.
Аналоrичным обра30 f все прямые плоскости разби..
ваются на пучки парадлеiJЬnЫХ. Лучи, лежащие на пря..
о
о,
о.
о
о,
6
а
Q
Рис. 44
мых пучка параллельnьtх, MorYT иметь только Д в а паправ"
ления. Эти два направления называются про т и в о п 0--
ложными друr друrу.
6.7. Параллельпые перепосы
Пар а л л е л ь н ы й пер е н о с ---- это
тa oe nреобраЗQваnие плосr;.ости, при oтopo.м, все точ и
nереnосятся в одnо.м, и том же nаправлеnии па од по и то
же ,расстояnие. С наrлядной точки зрения ясно, что
параллельный переное Т полностью определяется зада"
вием одной па.ры точек (A, В):
Т (А) == В.
Такой параллельный перепос обозначают значком Т АВ-
Формальное определение отображения Т АВ различно в
случае совпадающих и не совпадающих точек А и В.
1. Т АА есть т о ж Д е с т в е н н о е отображение плос..
кости на себя: Е (Х) == х.
2. Если А =1= В " то для получения
у == Т АВ (Х)
проводят луч с началом Х" одинаково направленный о
пучом АВ, и на этом луче находят точку У,: дЛЯ которой
р (Х, У) ==р (А! В).
Леrко видеть, что наше отображение обратимо. Для.
переноса Т АВ имеется обратный переное Т BA
ТВА (Т АВ (М)) == M
144
в п. 4 раздела 11 вы позпакомились с умножением ото..
бражений. Оно но всеrда коммутативно. Но справедлива
т е о р е м а 1. У .м,н,ожепuе параллельн,ьtх мрен,осов "o.tt
.мутативн,о. Всееда Т 2 Т 1 == Т 1 Т 2 .
Д О К а 8 а т е л . с т в о. Надо доказать! чт() при
JIюБО11 Х И8
вытекает
Т 1 (Х) =- У. , Т. (у) == Zj
Т. (Х) :::а и
1 (И) == Z
(1)
(2)
(3)
(рис. 45). Если точки Х, У,. Z не лежат на одной прямой,
то из (1) и (2) вытекает, что точки Х.,; У;»; Z! и обраауюr'
вершины параллелоrрамма (объяс..
пите, nO"ieMY)J а иа этоrо вытека..
ет (3) .
Разберите отдельно случай, Ror.. У
да Х f У, Z лежат па одной прямой..
Этим доказательство завершается.
т е о р е м а 2. П роиаведен,ие двух
nараллельн,ых перен,осов есть парал..
леАьн,ьtй пе рен,ос.
Элементарное rеометрическое доказательство ТfJебо
вало бы рассмотрения ряда частных случаев. Основной
{(общий случай» изображен на рис. 46. Надо доказа'tЬ J
z
и
х
Рис. 45
(J z
/' "
"
" "
l'
8 ,
,."
,
, ,.
;
, ,
А Х
Рис. 46
что отре ки А С и XZ одинаково направлены и равны по
Itлине.
Проведем чисто алrебраическое доказательство на
Основе теоремы 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
Т 1 (А) == В, Т 2 (В) ::::: с.
сли существует параллельный перенос Т 3 == Т2Тl' то
Тз(А)'==С. (4)
145
Мы определяем переное ТЗ именно этим равенством (4).
Надо доказать,; что при любом Х из
Т 1 (Х) == У,- Т 2 (У) == Z
вытекае"
Тз (Х) == z. (5)
Введем еще переное Т == Т АХ. Тоrда по -теореме 1
т (В) == ТТ 1 (А) == Т 1 Т (А) == Т 1 (Х) == У"
Т (С) == ТТ 2 (В) == Т 2 Т (В) == Т 2 (У) == Z_
Поэтому
Тз (Х) == ТзТ (А) == ТТа (А) == Т (С) == z.
Равенство (5) доказано, что и требовалось.
Ранее мы видели, что для каждоrо параллельноrо
переноса существует обратный. Значит,- nарa.ttJtелън,ь7,е nе..
рен,осы обраауют еруnnу nреобрааован,uй n.ltоспости.
т е о р е м а 3. П apQ,.I(,Д)JAъпый перепос является nере-
,мещен,иеМ t т. е. сохрапяет расстоян,ия между точпамu.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
т (А) == А! j Т (В) == В'.
Введем перенос Т* == Т АВ. ПО теореме 1
Т* (А') == Т* Т (А) == ТТ* (А) == Т (В) == в' 1>
По определению параллельноrо переноса Т*
Т* (А) == В,; Т* (А') == В'
откуда вытекает
р (А' J: В') == Р (A f В)! ч. Т. д.
3 а д а ч и.
t. Докажите, что при параллельном переносе каждая прямая
переходит в параллельную ей прямую, а каж ый луч в луч Toro же
направления.
2. Покажите, что перемещение, переводящее каждый луч 8
луч Toro же направления, есть параллельный перенос.
3. Укажите пример перемещеиия, которое каждую прямую пе-
реводит в параллельную ей прямую, во не является параллельныи
переносом.
6.8. Векторы
Один и тот же параллельный переное Т
можно вадать при помощи мноrих различных пар точек
т == Т АВ == Т А 1 В 1 == Т AtBI == '1" Возможно,) что вы уже
привыкли на уроках фивики rОВОрИТЬJ)" что о:rрезки АВ.21
146
А 1 В 1" А 2 В 2 1 ' .. «изображают)} один и тот же векто р
.) )
а == АВ == AiBi == А 2 В 2 :sz:: .
Иноrда rоворят так: вектор ........ это просто направленный
отрезок, т. е. отреЗОК f у KOToporo отмечена «начальная»
и «конечная» точки,,- но условливаются дополнительно,
что векторы.,: определяющие один и тот же параллельный
перенос, «равны».
Современная математика не признает TaKoro рода не
имеющих ясноrо смысла, оборотов мысли. В нашем курсе
8нак равенства ставится только между двумя обозначе..
пиями ОДноrо и Toro же объекта. Например!,
0,,25 == 1/4 == 25 % t;
q'aK как 0,25, 1/4 и 25% ....... это разные записи одноrо и
Toro же числа. Требования математиков MOiKHO было бы
удовлеТВОРИТЬ t считаЯ t что вектор.
.........
а == АВ
есть множество всех таких отрезков ХУ что
Тху == Т АВ.
(1)
tЛеrко доказать,' что множество отрезков ХУ it; для которых
!Выполняется (1)., совпадает с множеством отрезков, KO
q'opble получаются из отрезка АВ параллельным переносом.
В самом деле:} (1) равносильно
т АХ == Т ВУ (2)
(докажите!).
П олучатъся параллеЛЬНЬt.м, переносо.м, есть рефлексив
вое" симметричное и транзитивное отношение между
направленными отрезками. Поэтому все направленные
отрезки разбиваются на классы получающихся друr из
дpyra параJIлельным переносом. Каждый такой Jli,Jf,actJ
и можно было бы назвать ве-,;,торо.м,. Придется толы{о
добавить нулевой вептор,,' который в собственном смысле
слова отрезками не изображается.
Лоrически проще.,; однако.,. вместо направленных ОТ--
резков АВ рассматривать просто пары точек (А,; В).
Так мы и поступим.
О п р е д е л е н и е. Вепторо.м, назьtвается .множество
всех пар точеп, пomopbte получаются uз -папой--лuбо одной
пары точеп всевоаможны.мu naрадлельныжu переноса.м,и.
141
Qтношение
(Х, У) Е<: а
ваписывают в виде
а == ХУ.
(Векторы обозначают B печати строчными ж и р н ы..
и и буквами, в рукописном тексте ставится черта сверху.)
Из предыдущеrо ясно, что lrf,Н,ожество всех пар (Х, У),
для поторых
Т (Х) == У,
есть вептор. Оно,- впрочем, уже имеет. и друrое название:
это ерафип r T отображенuя Т. Он однозначно опредепяе'l
отображение Т. Если
а == r TtJ
то пишут
Т == Та.
Соответствие
Т t-+ а == r T , а t-+ Т == Т а
вaau.м,HO одн,оан,ачн,о.
Теперь мы уже имеем право считать записи
)
Т АВ == Т А1В. И АВ == А 1 В.,
Р а в н о с и л ь н ы м и.
6.9. Сложение векторов
и умножение BeK OpoB на число
Сложение векторов определяется Формуло й
........
АВ + ВС == АС. (1)
Это определение к орр е к т н о, тан нан в действитэ .
ности определяемая им СУИkа
а+Ь==с
l3 11 О.
A
деляются тем", что
........
Ь == ВС (рис. 47».
Обычно дают прямое rеометрическое доказательство
aтoro факта. Нам проще ввести параллельные переносы
Т. и Т ъ . Равенство (1) равносильно равенству
т === Т "Т а == ТАп.
Рис. 47
п е з а в и с и т от выбора на..
чальной точки А (В и С опре-
а == АВ,!
148
Это произведение не зависи от выбора точки А. Значит!
от выбора этой точки ие зависит и вектор
с == АС.
Попутно мы установили основную формулу
т о,Т 6 == Т 0,+6.
Коеда nараллеЛЪНble переносы nерем,ножаются, cooтBeт
ствующие вe тopы с адываются. Теперь И3 коммутатив-
иости и ассоциативности' умно..
жения параллельных переносов
сразу вытекают соответствую..
щие свойства сложения векторов
(рис. 48):
а + Ь == Ь + а, (1)
а + (Ь + с) == (а + Ь) + с.
(11)
lJ
..-
"".
с
Рие. 48
Отметим еще свойство нулевоео вектора
о == {(А. ,. B)I А == В}.
Из (1) вытекает
а + о == а.
(111)
Абсолютная величин(I, (иначе....... м,одуль" или длина)
вектора определяется формулой
I АВ I == р (А" B)t
(2)
корректность которой доказывается без труда.
Н а п р а в л е н и е вектора а =1= О есть общее паправ"
--4
пение лучей АВ), АВ == а. Нулевой вектор О не ижеет
направления.
у м н о ж н и е вектора на число определяется так:
f) О.а == о; (IV)
2) k.O == о; (У)
3) если k> О, а =1= 0.'1 то ka есть вe тop длины k I а It;
одинаково направленный с вектором а;
4) если k < О, а =1= О" то ka есть вe тop длины I k 1.1 а 1.
направленный противоположно вектору а.
149"
ЛеrКО 1J хоти и довольно хлопотно,. ДОКRВЫВRЮТСJl свой..
ства сложении векторов и их умножения на число
k "(ш) == (kl) a
(k + 1) а == ka + Ш"
(VI)
(VII)
Здесь все входящие в рассмотрение векторы можно
ивображать пара:м:и точек (ИЛИ отрезками)" лежащими
на одной прямой. Поэтому свой..
ства VI и VII, по существу, вам
хорошо зиаRОМьt еще ив сред..
них RЛ'аССОВ ШRОJlБ[.
Ииаче обстоит дело со BTO
рыи дистрибутивпым законом
(первый дистрибутивнЫЙ завов
С ,
записан в виде (VII»:
а+о
IJ
А
Рис. 49
.
k (а + Ь) == ka + kb. (VIII)'
Но (VIII) есть непосредственное следствие известных'
вам из школы свойств пропорциональных отрезков
...........
(рис.49):еслиа==АВ и Ь == BCJ, а ka == АВ' иkЬ == B'C'j
--+
то а + Ь == АС а ka + kb == АС' == k (а + Ь),; ч. т.l.I.
6.10. ПаРUJleАвые переносы
и векторы в координатах
,
обычоo rоворят. с что задание системы коор-
динат требует указания начальной точки 0,,- двух исхо..
дящих из нее взаимно перпеНДИХУJIЯРНЫХ учей Ох и
Оу и единицы измерения длин. Отложив на лучах Ох
и Оу единичные отрезки OEz- и OE'II t , получим два вектора..
которые принято обозначать
......
i == OE ,'" j == ОЕу.
Леrко понять, что систежа поордин'ат nOАлостью
определяется У1Шзаnие.м, т(}ff,nи О и se1tmOpOB t и j. Бек..
ropbl i и j взаимно перП f\JI:ЛИ КУJUlрНЫ *) и имеют одивако"
вую длину. 3наЧИТ. 1i можно считать { что nроиавоJ1,Ь1ШЯ,
.........
*) Не равные ИУJIlO векторы а == ОА," == 08 uерпеИДИНУJIЯР"
ВЫ, если перпендикуляриы отревк. ОА . ОБ. Это Опредв..eJD18
К орр е к т в о (СМЫcJI ero ве зависит от выбора точки О). Нул
IIOЙ вектор О считают перпеидикулярнБIМ любому ApyrOMY. Почему
8ТО разумно, вы увидите далее.
.50
nря.моуеОАън,ая де1Ю,ртова систе;м,а хоординат вадается
упавание.м начальной точпи О u двух вваи.мно nерnен,диху--
лярных вепторов i u j одинаповой длины.
Мы уже знаем.t что существуют взаимно однозначные
отображения
-----+
а == ОА ...... А
множества всех векторов а на множество всех точек А и
А 1-+ (ХА, УА)
множества всех точек А на МIIож ство всех пар чисел
(х, у). Возникающее отсюда отображение а 1-+ (Х 1 у)
тоже взаимно однозначно. Поэто..
му числа ХА u УА .можно считать 11
и поординатами вe-sт,opa а.
3 а Д а ч а. Докажите t что
Ау
j
о i
.....
а, == ОА == ОА х + ОА у == xt + у'
рис. 50) .
А;с Ji
Из отмеченной выше взаим Рис. 50
ной однозначности соответствия
а 1-+ (х, У) вытекает, что ве-птор а жожет бь ть представ..
леи в виде
а == x.i + y.j (1)
единственным обрааом'. Координаты х и у вектора а будем
обозначать соответственно через ах и ау.
Мы исходили из определенной системы координат,
заданной точкой О и векторами i и j. Но из сказанноrо
ясно., что коэффициенты аж и ау представления
а == а:к; · i + ау.. j
и е 8 а в и с я т от выбора точки О.
Д епартова nряAtоуеольН,ая систе.ма оорди1Шт для вe"
торов определяется выборOJИ, iJtJyx вааи,м,ио nерnеидипулярнЫ%
вепторов одииаповой длинь i и j.
Докажите, что при nаралле.льно.м переносе Та'/, точntJ
с 1'tоординатажu (х,- у) переходит в точпу с поордииата,м,lI
х' == х + a. t у' == у.
Аналоrично, при nарa.tt.ltельно.м переносе Т Ь} точ-па с
хоордината.ми (х., у) переходит в точку с координатами
ж' === х" 11' == У + ь.
f51
При любом векторе а == axi + ау} параллельный
перепос
т Q, т а l,Т а j
ж у
переводит точку с координатами (х, у) в точку с координа..
таив
х' == х + ах, у' == у + ау. (2)
Мы научились записывать параллельный перенос в коор"
дипатах. Конечно", формулы (2) можно получить и из
чисто наrлядны.х соображений. Заметьте, однако, что
их аи уратное «элементарное» доказательство потребо..
вало бы рассмотрения ряда частных случаев.
Векторы
а х == axi"
..
ау == ау)
наЗЬ1ваются составд,ЯЮЩU.мu вептора а в данной сuстеже
".оординат. Запишем координаты входивших в наши
рассмотрения векторов:
Вектор I t
Коордива ты (1 , О)
j
(О, 1)
ах
(ах, О)
ау а
(О, ау) (аж, ау)
6.11. Общий вид изоме1'рИЙ плоскости
Кроме параллельных переносов в восьми-
летней школе вы" по существу t имели дело еще с двумя
видами перемещений: nоворота,м,и и осевь",м,и сu.м,,м,етрuя.м,u..
Сначала рассмотрим повороты против часовой стредnи
на уrлы
OQ < < 360 Q .
При таком повороте вокрую центра О любая точка М
переходит в точку М'" лежащую на луче ОМ! (} уrлом
L.MOM' == (Х на расстоянии от центра
р (ОМ') == р (ОМ)
(рис. 51). Отображение плоскости на себя М но. М' будем
называть nоворото.м, с центро.м, О на увод а и обозна-
чать R .
Докажите с той отчетливостью! с какой суиеете J
что поворот
R (М) == М'
есть neре.мещение.
t52
Можно представить себе, что поворот осуществляется
. при помощи протекающеrо во времени процесса вращения.
Если при вращении уrол поворота, непрерывно увеличи
ваясь, достиrает 3600, то получивmийся в результате
вращения поворот будет просто пово
ротом на 00. То же самое будет при
вращении на n.360 0 при любом нату..
ральном n. Вращение по часовой стре.lt
пе будем измерять в числе rрадусов,
взятом со аna-по.м .минус. При вращении
на 900 получим поворот, который
можно получить и вращением на
+2700. Тот же результат получится и
при вращении на 6300 и, вообще, на
(т. 360 + 270)0
при любом ц е л о м т.
Поэтому, по определению, разумно считать поворот на
а О , rде а........ любое действительное ЧИСЛО$ поворотом на
(360 · { а/360 } )Q
м
Рис. 51
(фиrурные скобки..... знак дробной части).
Леrко убедиться в том, что при таком соrлаmении
становится универсально применимой формула для произ
ведения поворотов с общим центром:
R a. R (3 R a.+{3
о o о ·
В частности,: из (1) получаем
Roa. R == R == Е.
Таким образом:
(1)
(R ) l == Roa..
симметрии 8 l уже rоворилось в п. 6.5.
Об осевой
Для нее
8 == Е,. 81:1 == 8 l.
Нам сейчас понадобится еще один вид перемещений
если вектор а параллелен прямой р, то перемещение
F == TaSp
называется c-полЬ8Ящей cu:м,.м,eтpиeй (рис. 52). Считая ну..
левой вектор параллельиым любой прямой *), будем
*) АваJIоrичво, нулевой вектор считают параллельвым любому
друrому. Заметьте, что паралл.ельность векторов транзитивна
lIИШЬ ДЛЯ векторов а =1= о.
153
считать обыкиовеин!ю осевую симметрию '1астиым елу
чаем скользящей. Имеет место-
т е о р е м а m а л и. Любое пере.хещенuе является
д'uбо napaддe.ll,ьн,ым, переJ-/'ОСОЖ.f; либо nОВброто.., либо
c-пОЛЪ8Ящей cu;м,;м,eтpиeи.
Доказательство буде'! оиираТЬСJl на «nрuнцu1t noдsuж..
nости nлос-пости».t :кoTopым. вы, по существу, часто поль..
,Н
1
I
r
I
(
J Р
t
J
J
, а ;. ' Fw)
Рис. 52
Ад'= /}()
AX=X/J
ОХ J. А8
СУ=ВУ
OYl.BO
Рис. 53
зовались в восьмилетней mкooe.. В учебнике А. п. Кисе..
лева он формулировался в виде аксиомы:
Пусть па nЛОС'поcmи даны два луча ОА и 01Ai. Cyzцecт-
вует ровно два nережещенияJ'J -поторые переводят луч ОА
в луч OiAi.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы m а л я. Если
F == Е то F есть и параJIлел1шый перенос на нулевой
v
вектор." и поворот на нулевоИ
yrол. Остается рассмотреть
A6 8Q случай, коrда F не есть Е.
у р Тоrда сущеС1'вует такая точ-
ка А,; что
I
J
I
I
... .. .... ..... .... .... .... ... с
в == F (А) A
А
пусть
Рис. 54
с == F (В).
Луч АВ при перемещеmш F переходит в луч ве. ECJlI
мы найдем два различных перемещеиия" обладающих
тем же СВОЙСТВОМ. t то одно иа них и будет перемещеиием F.
Зам-етьте,t Ч'JО р (А" В) == р- (Bt. С). ДЛЯ случая, Korдa
A,t 81; С Н& лежат на одной ИрJDЮii, на рис. 53 построек.
центр ПОБорота O,t переводящий А в В" а В в с. На рис. 54
построена СКОJIЬзящая симиеТРИJl.., обладающая тем же
свойством.
fМ
Если А t.; В " С лежат на ОДНОЙ прямой,- ТО возможв:ы
два случая% изображенный на рис. 55, а, и случай С == А
(рис. 55" б). В случае рис. 55, а нужные пам перемещеиия
tуть паралл льный переи-ос Т АВ И <Ж8льзящая симметрия
I&
о х
t . ... А=С 11
Рис. 55
А В
' 11 1 l
т ABS АВ. В случае рис. 55,,; б поворот на 180 У 1IORPYl'
оередины отрезка и осева'я .симметрия со серединным
перпендикуляром отрезка в качестве оси. Теорема доказана.
6.12. Кинематика точки.
Радианиое из вие уrлов
С Т()II.КИ цр епия .математикаfj кинематика
точки изучает функции Р, действительноrо apryмeHTa
t с точечными' значениями. Лишь для наrлядности apry..
мент t интерпретируется как «время». Разберем два
примера.
при м е р 1! Рмnожерnое nРЯМ,ОЛU1f,ейnое двuжеnUSl
Р, == Tte (РО).
Вектор v есть спорость двuжен,ltя.
В координатах
х == ХО + V#il.,; JI == У о + vиt.
При м е р 2t РавНОJtШрnое двuженuе по опружnости%
Р" == B '" (Р о).
Здесь V yrOJl.,J на которЫЙ поворачивается отрезок
ОР за "единицу В.реме:в:и.
ЕСJIИ у == 60.,; то за промежуток времени длины t TO'l-
ка Р, дро.хОДИТ .по окружности радиуса
р (О." Р'о) == r jJ
йуть ДЛИНЫ
1t
== 180 · ert.
( )
{55
Леrко понять, что можно избавиться от МНОII ителя
л:l180, если измерять уrлы в надлежащих единицах.
Выберем за единицу измерения уrлов уrол
( 1:0 )0 57017'45" . . .
Этот уrол называется у r л о в ы м р а Д и а н о м и обоз-
начается рад. Обратно,
1t
1 о с:::: 180 (рад) 0,01745329 (рад).
Ясно, что
80 == 00 (рад),
'1t
rде 00 == 180 8.
Формула (1) при радианном измерении приобретает
простой вид
l == oort.
(2)
Радианное измерение уrлов далее будет считаться
основным. Поворот на ю радианов будет обозначаться
просто
R .
Теперь поворот определяется точкой О и числом 00. Так
как
860 Q == 2я (рад) J
то
R <О+2Я R <O
О == о.
Формула paBHoMepHoro вращательноrо движения при-
обретает теперь вид
Р, == R tpo.
Здесь 0)....... уrловая скорость, выраженная в радианах.
3 а м е ч а н и е. До введения радианноrо измерения
уrлов, rОБОрЯ об «уrле (Х», МЫ считали а обозначением
«величины уrла» как скалярной величины, которая при
измерении в различных единицах выражается различ..
выми числами. Например, запись а == 900 равносильна
записи а == п/2 (рад). После введения HOBoro соrлаmения
о преимущественной роли радианноrо измерения мы
выражаем меру уrла одним определенным числом. Уrол
п/2 есть уrол в 900, уrол а == 2 есть уrол приблизительно
в 1150 и Т. д. Чтобы быть последовательным, в этой сис..
теме обозначений можно сохранить записи вида а == 900 I
пишь решившись считать 1 О просто з а п и сью ч и с JI а
п/180 0,01745.
158
РаССl\IОТРИМ более сложный при:мер ДВИrкения ТОЧRИ.
При М е р 3. Цu1'Wtоuда. Пусть точка Pt в начальный
момент вреl\lени t == О находится в начале координат и
движется с единичной скоростью в положительном нап
равлении оси абсцисс. BOKpyr точки Pt вращается с
единичной уrловой скоростью против часовой стрелки
6 I 1l Лl ]у У КВ YIl y1ll ж:х xl x1l
Рис. 56
отрезок PtQt, который при t == О направлен вертикально
вверх.
Как это принято в механике, будем описывать движ&-"
вие точки при помощи ее paдиyc вeптopa
...............
'rt == OQt.
Ясно.t что
..........
'r t !::::::. О Р t + Р tQ t-
Вектор OPt изменяется во времени по закону
ОР , == t.t.
Вектор PtQt в начальный момент времени t == О равен
j, с течением же времени вращается равномерно с еДИНИ1f
вой скоростью:
............ t.
PtQt==R (.1).
Уравнение движения точки Pt имеет вид
"'t == t. t + R t (j).
Траектория движения Ц и к л о и Д а. Способ ее по--
строения указан на рис. 56.
При реmении задачи мы воспользовались операцией
Ra, п о в о р о т а вектора на уrол сх. Это операция оп
деляется равенством
а, а
R (ОА) == OR o (А).
tSf
6.13. Синуе и косинус
Рассм.о-трим равномерное движение точки
Pt с единичной скоростью по единичной окружности
z2 + у2 == 1
против часовой стрелки, считая, Ч:ТО в начальный момент
времени t == О тоЧR находится в положении РО :=: (1, О).
Координаты Xt и У, ТОЧКИ Р, дЛЯ этоrо специальноrо
вида движения имеют оообые названия:
., ==- СОЗ t 1 Yt:=: sin t.
Не ДOЖllдаJЮЬ система-тическоrо изучения триrопо..
метрии,, уетаиовите,; что рассмотреJШаll в конце предыду"
щеrо пункта циклоида описывается уравнениями
х == t ....... siD t" у' == cos t.
Это пар а м е т р и ч е с к о е уравнение кривой: коrда
параметр t пробеrает множество действительных чисел
IR", точка (x.t у) пробеrает циклоиду.
6. t4. :КООрдниатваJt аавиеь
проиsвольвых поворотов
Можно дать определения синуса и косИl!tуеа
при помощи поворотов 'едииичноrо вектора i. Пусть
et == R t (i).
Тоrда координаты х (t) и У (t) вектора е (t) и являются
синусом и косинусом t: Х, == cos t" У, == sin t.
ПР9ИЗВОЛЬНЫЙ вектор а можно получить П.Qворотом
в3 вектора j .', умиожеиноrо на а == I а 1:
а == а (cos ct.i + sin а. j).
Вено" что координаты TaKoro вектора имеют вид
Х == а cos С'Х,; У == а sin С'Х.
При помощи синуса и косинуса мы можем записать
алитически в ко рдинатах произвольные повороты.
Dpи ЭТОМ мы будем опираться на то обстоятельство",
O всеrда .
п (" + Ь)== ва(а) + R a (Ь) в а <ka) == k.Ra(a).
Начнем с поворотов векторов t и j По опреllеJIенИIO
синуса и косинуса
Ra(i)==eosa.i +sin .j. (1)
158
3аl\Iетив, что
R п / 2 (i) == j i R п / 2 (j) :::=: ........ "jJ
получим
R a (j) == R a R'Л./!J ( 1 == If' I(COS а. i + sin а. jj :Z3I
== ........ sin а · i + cos ct. J. )
Для произвольвоrо вектора
(1, == 3;9, + 1/1
в силу (t) и (.2) имееи
R a (а) == х (cos a.i + sin а. з1 + у ( sin fX.f + cos а..31 ===
=== (х cos а ....... у sin а) i + (x.sin а + JJ со! а) j
Т. е. для коордшrаrr вектора а' == Ra.a
х' == z cos а, у sin aj) у' == ,Х sIn а + у 008 (3)
ЯСВ:О7j что ,ЭТИ Ф0рИ'УJПd иоЖtИО paoo:мa'1'pJFВaть как
формулы для нахождения координат точки
{х' }) у') == B (х,7. y .
Мы записали поворот вокрут начала Rоордипат аналити"
чески.
Можно примевитъ ,формулы ( ДJIJlltахож ния коор"
динат вектора
е а +(3 == R a (е(3).
Лсно,; что эти координаты являются не чем иным 1I кан
инусом и иосииусом а + p Имеем поэт.ом:у
cos (а + ) == cos а cos t\ ...... sin а sin PJJ
sin (а + Р) == sin ct сos р + сов а эiв , .
(4)
Эти форжулы сложения для синуса и косинуса имею..
основное значение для всей теории триrонометрических
функций,: которой мы будем заниматься в одной из ел&-
ующих rлав.
6.15. Движение подвижноii плоскости
по веподвижной. Ориентация
rеометрически «плоские задачи Rипематики
«твердоrо тела» СВОДятся к рассмотрению семейства фиrур
Фtt зависящих от парамет:ра t TaK. s что
Фt == Ft (Фо)
rде Р, зависящие от t пер е м: е Щ -е в и 11.
159
Обычно движение преДПО,;'IаrаIОТ н е п р еры в н ы 1\1:
считают, что точка
Pt == Ft (РО)
«непрерывно» зависит от вреl\lени t. Точный С IЫСЛ слова
«непрерывно» мы постепенно выясним. Пока будем Иl\I
пользоваться, рассчитывая на достаточную отчетливость
ero интуитивноrо понимания.
Математики предпочитают иметь дело с пере:мещениями"
как отображениями всей плоскости на себя. Так мы и
будем понимать выражение «nеремещеnие Ft, nenpepb вno
аависящее от параметра t».
По формулам
Е F R o F F R ta.
== о' == 1 при t == О
МЫ видим, что поворот Rg может БЬtтъ nолучеn при помо-
щи «неnрерывnоео движеnия nлоспости по себе». В сиду
формул
Е == F 0'- Та == F 1 при Ft == Tta
то же самое верuо для nараллеЛЬnЬtх переnосов.
Однако для симметрий и спользящих симметрий это
не тап. Для скользящей СИ Iметрии S не существует
семейства пере lещений Ft, зависящих непрерывно от
параметра t TaK 1 что
Fo==E, F 1 ==S.
Это различие дает повод считать повороты и параллель-
вые переНОСbl «nеремещениями nервоео рода», а сколь-
зящие симметрии (в частности, обыкновенные осевые) ........
neремещеuиями второео рода.
О п р е Д е л е н и е. Перемещение F является пере..
.Jtещеnием nервоео рода, если существует однопараметри-
чеспое uепрерыlноеe семейство перемещений Ft тапое, что
Fo ::::: Е, Р( == F.
Остальные перемещения называются nеремещениЯJпlJ
второео рода.
Из принципа подвижности плоскости (см. с. 154)
вытекает, что пара перпендикулярных лучей (ОХ, ОУ)
переводится в пару (ОlХl' 01 У l) точно о д н и м пере..
мещением. Если это' пере fещение первоrо рода, то счи-
тают, что пары (ОХ, ОУ) и (ОlХl' 01Уl)' как и соответ",
ствующие им системы координат, пли пары единичных
векторов (l, j) и (i 1 , jl) о д и н а к о в о о р и е н т и ..
{60
р о в а н ы; если же для их совмещения требуется пере...
мещение второао рода они про т и в о п о л о ж н о
о р и е н т и р о в а н ы.
Все пары перпеnдuпулярnь"tх лучей, тапи;м, обраво;м,.
равбиваются па два пласса имеют одну из двух «ориен",
таций».
Леrко понять, что произведение перемещений OaпOZlJ
и тоао же рода есть перемещение первое О рода, а произ--
ведение перемещений разnоао рода..... перемещение вто--
роао рода. Впрочем, со всем сказанным в этом пункте
мы более обстоятельно. познакомимся лишь позднее.
3 а Д а ч и н а пер е м е Щ е н и я.
1. Найти необходимые и достаточные условия переместитель-
вости двух осевых симметрий (котда SpSq == SqSp?).
2. Найти необходимые и достаточные условия переместитель..
ности параллельноrо переноса и симметрии (котда TaSp == SpTa?).
3. Доказать, что любое перемещение есть произведевие либо
двух, либо трех осевых симметрий.
4. Записать в координатах осевые симметрии
S р (х, у) == (х', у' )
ДЛЯ осей х == О, х == у, х == у + 1.
5. Показать, что
11 1 == TO 1 R T 001.
6. Описать все параллельные переносы Т, для которых при ус-
повии р U q
T J.SpT == Sq.
7. Описать все повороты R, дЛЯ которых при непараллельных
р и q
R lSpR == Sq.
в задачах 8 13 требуется описать все перемещения, которые
фиrуру Ф отображают на фиrуру Ф 1 , т. е. для параллельных пере..
носов указать вектор переноса, для осевых симметрий ось, для
скользящих симметрий ось и вектор перевоса, для поворотов ......
центр и уrол поворота.
8. Ф и Ф 1 раввосторонние треуrольники (рис. 57, а).
9. Ф и Фi квадраты (рис. 57, б).
10. Ф и Фj правильные восьмиуrольники (рис. 57, 8).
11. Ф и Фl равные, касающиеся друr друrа ОКРУЖIIости
,'jpпс. 57, а).
: 12. Ф и Фf параллельные прямые.
13. Ф и Фj пересекающиеся прямые.
14. Показать, что центры поворотов, отображающих о р а..
в и ч е н н у ю фиrуру на о r р а н и ч е в н у ю фиrуру, лежат на
одной прямой, а оси обычной скользящей симметрии проходят че.-
рез одну точку.
3 а м е ч а н и е. Из решения задачи 13 видно, что условие or..
раниченности в задаче 14 существеllНО.
6 А. Н. Нолмоrоров
161
а
о-
Рис. 57
8
15. Показать, что перемещевие R R при СХ! + == о CTЪ
параллельвый перепое Т А' а при <xi + as =1= о --- поворот R . Оп-
ределить а в первом CJlучае, О и а во втором.
6.16. Кинематика ТО'IRИ,
скорость И ускорение
6!16!1. Векторные функции чис-
JI О В О r о а р r у м: е н т а. Движение материальной
точки по плоскости изображается функцией Р, действи-
тельноrо aprYMeHTa t с точечными значениями. Выбрав
какую..либо точку OJ получим векторную функцию чис-
JlOBOrO apryмeHTa
". (е) == ОР,.
Выбрав систему координат с началом в точке O обозна-
чим х, и у, координаты точки Р,. Они же будут и коорди-
натами вектора r (t).
Мы ВИДИИ j что движение точки по ПJIоокооти можно
описать также при nо.кощu вехторн,ой фушщuи r (t) (часто
втот вектор называют «радиУС--(Jе1Unоро.х& точки Р,) ц при
nОм'ощи двух чис.ltО8ЫХ фуппций чиСJl,овоао арау,м,ен,та х,
и У,.
Мноrие кривые удобно предстаВJIJIТЬ себе как траек-
тории движущейся точки. Такое задание кривых наз -
вается naра.м,етричес uм, (входящая в уравнения пе.ре
менная t ........ параметр). Нап'ример,; 'Окружность х 2 + у! ::::2
== 1 можно задать параметрическиии уравнениями
х, == cos t, у, == sin t J
х 2 у.
а эллипс а 2 + 1;2 == 1 уравнениями
хс == а сов t, Уе == Ь sin e
{62
Если первоначально заданным предметом изучеНИ8
является вектррная фУнкция r (t),; то кривая,- описыва
емая точной Pt с радиус вектором r (t)" называется e
доарафом векторной функции r (t).
П о о п р е Д е л е н и ю вектор функция r (t) имеет свои.
пределом вектор ro с координатами (Хо, Уо) в том и тольке
в том случае, коrда r ж (t) имеет своим пределом Х о , .
Ту (t) Уо. Таким образом,- запись r (t) ro равносиль
иа тому, что :r ж (t) Хо, а ry (t) Уо.
З а Д а ч а. Докажите, что если r (t) ....... ro, то I r (t) I ...... , "0 t.
6.16.2. Про и з в о Д н а я в е к т о р .. ф у н к Ц и и.
Рассмотрим произвольную вектор функцию r (t) и дацим
t приращение t. Мы
доrоворимся, что BeKTO
ры, являющиеся значе
пиями вектор функции,
выходят из начала ко..
ординат. В результате
прираще ия t конец
вектора r (t + Llt) зай
мет некоторое положе
вие К (t + t) на ro
доrрафе. Мы. поним:аем, Рис. 58
что rr (t) получил при
ращение r; изобразим ero на рисунке . (рис. 58).
Определение производной вектор функции полностью
совпадает с определением производной действительной
функции действительноrо aprYMeHTa:
dr (t) == r' (t) == lim ,. (t + t) r (t) == lim 11,. ,
dt t O Лt t o dt ·
3'аметим, исходя из определения предела вектор функ"
.!ции, что н-аличие у r (t) производной влечет за собой
существование производной у r x (t) и ry (t), и наоборот.
Мы знакомы с rеометрическим и механическим смыс..
'".1I01\l; производной' действительной функции . деЙСТВiIтель..
'!JJ d aprYMeHTa, осознаем теперь это и для вектор функ"
'ЦИН.
Заметим, что вектор : при малых 6.е всеrДа нап
равлен вдоль отрезка К (t) К (t + t) в сторону ОТ-
вечающую возрастанию t (покажите это,; рассматривая
/).t разных знаков; рис! 58)"
6* {.ОЗ
Предположим,t что вектор 'Р' (t) не равен нулю; ЗТО
Ar
зпачит, что и по величине., и по направлению Heor-
d'1'
рапиченно приближается к вектору . Таким обра- .
80M,'l в тОЧ1re К (t) еодоераф имеет асатеЛЬНУЮ,t наnрав-
и д d'1'
д,ение поторои за ается ве-птором .
Точка" в которой === О, называется особой точпой.
'1'
В этом случае мы не можем YTBep дaTЬ" что --кt прибли..
жается по направлению к какому либо вектору,;,; т. е.
у rодоrрафа может и не быть касательной. .
3 а м е ч а н и е. Под касательной к кривой в точке f
мы понимаем предельное положение се-пущuх" проходя..
их через точку Р и друrие точки р' этой кривой,. при.
условии,; что эти точки р' приближаются по кривой к Р
еправа или слева. .
Если через S (t) обозначить путь,: пройденный точкой
К (t).t то линейная скорость движения точки К (t)
V (t) 1 . S (е + L\t) ...... S (t)
1т I At I ·
А t....o
Далее мы используем важное свойство длины rладко:И
Jtуrи АА о:.
1 . длина дуrи ААо 1
1т 4А === ·
А...А. длина ХОРДЫ... о
Длина дуrи есть S (t + t) ........ S (t), а длина хорды
I r (t + М) r (t) 1. Мы внаем, что r (t + A r (t) --40
---+ ""' (t) и I r (t + ' 1" r (t) I I ""' (t) It поэтому
V (t) ......... 1 . S (t + At) S (t)
.......... 1 m I л I ............
А'...о ut
== 1. S (t + At) S (t) . I (t + At) '1' (t) t I ' ( ) I
A 11' (t + At) ,. (t) I r At I r t ·
Таким образом, вептор r' (t) направлен по пасательnоiJ,..
к еодоераФУ.1J а ееа величина есть лuнейная спорость точ-пu.
Обозначая 1: е Д и в и ч н ы й вемор, направленный
u
по касательвои в сторону движеНИЯ t получаем
r' (t) == V (t) T.t
t64
rде V (t) == '1.' (t) вe тop c opocти (или просто c opocть)
точки.
Если точка О выбрана за начало координат,- то KOO
динаты точки Р (t) являются координатами вектора
r (t) == OP t .
В случае вектора r (t) длины 1, вращающеrося paBH
мерно с единичной уrловой скоростью и в предположении.
что при t == О этот вектор
направлен вдоль положитель..
Horo направления оси а б...
сцисс, имеем
r x (t) == cos t, r у (t) == sin t.
Так как вектор V (t) == r' (t)
получается из вектора 'r (t)
поворотом на уrол п/2
(рис. 59), получаем
tD
о
Рис. 59
r (t)==cos(t + )ж r (t)==sin(t + ).
А это и значит, что
(cos t)' == ........sin t,. (sin t)' == cos е.
В результате повторноrо дифференцирования полу..
чаем аналоrичным рассуждением
(cos t)" == ........cos t" (sin t)" == ........sin tt)
3 а Д а ч а. Покажите, что
(cos kt)" == k2 соз kt, (sin kt)" == k2 sin kt.
Заметьте, что обе функции соз kt и sin kt удовлетворяют одному
и тому же «дифференциальному уравнению»
f" (t) == k2. f (t).
Все сказанное к' формулам дифференцирования дей..
ствительных функций действительноrо арrумепта добав"
диет еще две формулы
(sin t)' == cos t, (сов t)' == sin е.
С к о р о с т ь r' (t) движения точки К (t) является
вектор функцией. Ее производная называется у с к о ..
р е н и е м точки.
(65
d.,. (t)
В заключение отметим что если V (t) == dt == О.
.'.1'0 соответствующая точка Р, rодоrрафа о с о б а и.
Если при этом хотя бы одна из производных
" ( ) а2.,. (t) ", ( ) dЗ,. (t)
r t == dt 2 . r t == tlt:A ...
отлична от нуля" то кривая все же имеет в точке Р, паса-
а",. (t)
тельную; однако если dt" =1= O.t то точка Р, обяза-
тельно будет точкой з а о с т р е н и я rодоrрафа
rодоrраф будет иметь форму «клюва» (наподобие двух
касающихся четвертьокружностей).
7. О ЯЗЫКЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАКОВ
7 .1. Термы и формулы
На практике для выражения своих мыслей
ма1'ематики пользуются как словами оБычиrоo языка..
так и ваписями,' составленными из специальных лоrи-
ческих и математических знаков. Существуют rлубокие
причины Toro'1 что мысль,: выраженная полностью на
искусственно созданном математиками символическом
8зыке без обращения к обычвой живой реЧИJ) часто ока-
8ывается трудно воспринимаемой. Но принципиальво
важно ПОНЯТЬ. f что Аюбое АЮте.хатичесхое рассуждение
,JUJжет быть фОрМ4./l,U8оваНО t Т. е. полностью записано
анаками,) способ употребления которых реrламентировав
авио оформулироваиными правилами.
В атом пункте мы занимае ся «r р а м м а т и к о Й»
азыка JIоrичооких и математических знаков. Знаки и
комбинации знаКОВf: имеющие. самоnтоятельиый смысл.
бывают четырех сортов:
1. 8anиcи Я8АЯющuecя обозначение:м, IIO"ОВtrАuбо оn-
редемнново пред.мета. Так" записи
10011 9991
2J 3 ........ 1.,; 4 : 2. 1001 + 999
RDЛЯЮТСЯ раз н ы м и о б о з н а ч е н и я и и 'одно"
ro и Toro же числа Д в а; буква IN и запись
{п: п Е Z, n > О}
RВЛЯЮТСЯ обозначениями oAHoro и Toro же множества
всех натуральных чисел_
166
2. Записи, поторые содержат ЗН,О,1СU neре.менных и
nревращаются в обоан,ачения oпpeдeдeн,пыz nред.метов при
аа.мене всех входящих в них neре.менных ааnися.ми neРВО80
рода, т. е. и.меnaжи определенных пред.метов. Таковы
сами знаки,. объявленные нами знаками перемеиных
х, у, z
и Т. п.; знаки переменных,; возможными значениями
которых являются числа
x 17
х+у, х+17 f. x 1.
онаки переменных," возможными значениями которых
являются точки плоскости
rAB] (отрезок)}
(АВ) (прямая),- АВ (вектор);
знаки переменных, возможными значениями которых
являются прямые: S 1 (симметрия с осью l).
3. ВьtС1i,ааьtвания ааnиси, относительно пomOpbtX
ижеет оnределенньtй с.мь1,СЛ вопрос, истиннь." они U/tU ложны.
Пример и .с т и 11 Н О r о высказывания:
10012 9992 2
1001 + 999 ·
Пример л о ж н о l' О высказывания
2 + 2 == 5.
4. Записи" поторые содержат анапи neре.мен'н'ы'х и
nревращаются в выспааывания при аа.мене всех входящих
в них nережепных u.мeпa.ми оnределепнЬtх предметов.
Например"
х + у == 3
(АВ) n (CD) == Е
(прямые (АВ) и (Сп) пересекаются в точке /1).
Записи первых двух сортов называются т е р м а м В.?;
а tpeTьero и четвертоrо сорта ........ фор м у л а м и. Тер-
мы, не содержащие перемениых, являются именами пред-
метов, а формулы,i не содержащие перем:енных", в ы с к а-
8 ы в а н и я м и
167
7.2. Правила построения термов
и формул
CTpOrO rоворя, не су.ествует одноrо уии
версальвоrо языка математических внаков. Равные а в..
торы польвуются несколько равными языками. Сущест-
вуют сложивmиеся традиции различноrо употребления
одних и тех же внаков в равных отделах математики.
Но математик в каждом данном рассуждении должен
точно внать законы Toro языка, на котором он в данное
NJ п 2 1 д
........... ".... ....... ,............. ..........
e l
'n....2 ,
-
.. - - ... ....
..... ... .... .. ........ ...
{п: nеNl, lп--2)<2}
.... -
{1l:пEa lп....2J<2} { 3}
_ M _
Рис. 60
время rоворит. Ilрежде Bcero t зто чисто форAf,Q,Д,Ьн,ъre
"'paвUJl,Q, обрааования тержов и фОРЖУJl,.
Равберем в виде примера выскавывание
{n : n Е IN I I n ....... 2 1< 2} == {1,t 2, 3}. (1)
Строение этоrо выскавывания можно ивобравить родо-
CJl,oв1l,bl.М, дерево,м, (рис. 60).
В первом поколении мы имеем простые термы
IN" n" 1. 2,) 3.
Ив них N" 1.t 2 и 3 ЯВJlЯЮТСЯ именами п р е Д м е т о в.
а п ....... пер е м е н н о й. Во втором поколении из тер..
мов n и N. соединенных внаком принадлежности Е)
получается формула
n Е IN
содержащая переменную n. Из термов n и 2, соединен"
ных знаком вычитания «.......», получается терм n...... 2,
содержащий переменную n. Из термов 1, .2 и 3, разделен"
ных запятыми и заключенных в фиrурные скобки, полу..
чается терм {11 21 3}. В третьем и четвеРТО?tJ поколевиях
1'08
из терма n ---- 2 последовательно получаются терм
I n 2 I и формула I n 2 I < 2. Они тоже содержат
переменную n.
Но В пятом поколении происходит нечто замечатеЛIr
noe. Терм n и формулы n Е rN, I п 2 I < 2, содержа...
щие переменную n,- перемещаются в надлежащие места
схемы
{терм: формула, формула},
и в результате получается терм, являющийся обозначе-
нием вполне оnределенноео :множества. Этот терм
{n : п Е rN" I n ........ 2 1< 2}
н е с о Д е р ж и т пер е м е н н ы х" так как схема
ero образования «с в я з ы в а е т» все переменные терма.
стоящеrо перед двоеточием *).
В шестом поколении из двух термов", соединенных
знаком равенства, получается высказывание (1).
3аметьте t что при образовании термов и формул..
кроме знаков исходных простых термов, нам понадоби--
лись вспомоrательные знаки ...... запятые, фиrурные CKO
ки, двоеточие, вертикальные прямые черточки, знаки
принадлежности, неравенства,; равенства. Перечислим
все схемы построения термов и формул.t которыми мы
пользовались:
1) терм Е терм формула"
2) терм....... терм терм,
3) {терм, терм, терм} терм.?)
4) I терм i --+ терм,
5) терм < терм --+ формула,
6) {терм : формула, фор ула} 1'epMt)
7) терм == терм --+ форм-ула.
По поведу всех этих схем при полном описании на-
mero языка математических знаков должна быть ука"
зана судьба входящих в исходные термы и формулы ПEr
ременных (какие из них связываются и канве остаются
:-входящими во вновь образованные термы и формулы)..
В наших семи схемах переменные связываются только
в схеме 6. Правило свяаы,аnияя было уже высказано:
свяаьюаются все nере:менпые " входящие в тер:м перед
*) Иноrда rоворят, что наш терм «не содержит свободвы
переменных». Но законна терминолоrия, по: которой связанные
переменные совсем «не входят» В полученный после «связыва-
НИЯ» терм. Ее мы и будем держаться.
169
f1
Рис. 61
двоеточие"". Примеры:: в терм
{ (x у) : х < а,_ у < Ь}
(IJ
ВХОДЯТ переменные а и Ь" но
не входят переменные х и у.
Если придать а и Ь опреде..
ленные значения" то полу..
чится обозначение квадранта
числовой плоскости, изобра
женноrо па рис. 61.
7.3. Бессмысленные термы.
Типы перемеввых
Из терма х : у можно образовать терм 1 : O
положив х == 1,,: у == о. Можно ли назвать запись
d. : О термом? Ведь делить на нуль нельзя. ОказываеТСЯt)
что разумно несколько изменить определение терма и
все таки считать 1 : О термом. В качестве термов, не со..
ержащих переменных,; мы допустим ... и бессмысленные
.ыражения, образованные по правилаи принятоrо нами
lIатематическоrо языка. А как поступить с формулой
1 : О == 2?
Мы будем считать ее л о ж н ы м В ы с R азы в а н и е М.
Вообще,: фОрJКула., не содержащ.ая nepeJКeииыx" для ""оторой
хотя бы один из тepJКOB, участвовавших 8 ее образовании"
бессмыслеu,,- считается ложной. .'
Можно вполне корректно построить математический
язык,- В котором имеется только один вид перемен ых,.
вместо которых .разреmается подставлять любые термы.
Естественно, однако, что при ЭТОМ получится очень МНО"
ro бессмысленных формул. Например, если знак < по..
вимается только В смысле неравенства между действи..
тельными числами,; то терм (Z ---- множество целых чисед)
{х: х < Z}
ие имеет смысла.,; а формула
1723 < 'l
пожна.
Можно уменьmить возможности получения бессмыс..
венных термов и часто упростить заПИСИ t введя несколько
т и п о в переменных,,; условившисъ.t напри:меР.t что
i7f)
. в данном рассуждении буквы
i" j t k, l,t т, n t р, q, r " 8
обозначают переменные,; допускающие в качестве 8 a"
чений только н а т у р а л ь н ы е числа J буквы же
а, Ь, с, d, е,- f, g,' о, t, х" У" Z" и, V '- W
резервировать для переменных моrущих принимать
л ю б ы е Д е й с т в и т е л ь н ы е з н а ч е н и Я,, и т.п
Соответственно делятся и термы, и в правилах образt
вания термов и формул .оrоваривается, KaKoro типа термы
:можно вставлять на те или иные места схем.
7.4. Лоrичеекие операции
нвд высказываниями и формулами
1. I (о т р и Ц а н и е высказываВИII
_) ....... « ЛОЖНО».
2. Л (к о н ъ ю н к Ц и я высказываний Щ и
Q3) ....... «оба выспааываnия и истинны».
3. V $ (д и з ъ ю н R Ц И Я высказываний _
и ) «хотя бы одн,о (.может быть, и оба) ив 8ыcпaaЬ1r
вании и QJ истинно».
4. _ ++ (8 R В И В а л е н т Jl О С Т ь) ---- «оба высм"
8ывания и QJ истинны,; u.л,u оба ЛОЖНЫ .
Если формулы и содержат переменвые.,; то СМЫСJl
формул
lm t Л t VQJi #fБ
определяется TeMt) что,: заменив в них все перемеНВЫ8
какими--либо определевиыии значениими" получают вы-
сказывания смысл которых указав выше..
НаПРlDrlеР.$
(ж == у) #> (ж + у == 2)
превращается в истинную фориулу
а) при подстаиовке х == у == 1 ')
б) при любой подстаиовке ж == a у == Ь" rде' а =Р Ъ
и а + Ь =F= 2.
Если # QJ превращаеТСJl в истинное высказываИИJ
при любой nодстановпе ймоото всех входящих в и
переменных любых определенных значений" то ФОРМУJlQ
т и Q3 называются р а в н о с и л ь н ы м и.
Введем теперь операцию *)
1------ "
*) Такое толкование знана r не общепринято, но, кажется,
:удобно,
t7i
при помощи которой из каждой формулы получаетс.J[
высказывание. Знак r читается: «превращается в истин-
Ное выспазыsанue при любой подстановne в.место всех вхо-
дящих в nepeJt(!HHblX определенных значений». Ясно,.
что равносильность формул и Q) записывается в виде
( # Q3).
5. И м п л и к а Ц и ю двух высказываний и Q3
=фQ3
будем считать JI о ж Н о й в том случае,- коrда т и с -
т и и н о, а Q) л о ж н о; во всех же остальных случаях
будем считать, что Q3 и с т и и и о. Как и для
u
первых четырех лоrических операции отсюда выводится
и смысл импликации 9t i8 для Формул.l содержащих
переменные.
ВЫСКМJывание
,..... ( =Ф Q)
читается: «форжула i8 явдяется cд,eacmtlиeAf, фор.м,улы t.
Обратите внимание на. те места п_ 5 раздела 11, rде
8наки #- и =ф употреблялись в смысле,' которЫЙ треБОВ JI
бы, с установленной. сейчас точки зрения,! постановки
впереди записей знака I
7.5. Кваиторы V В 3
Знак ,..... связывает все переменные в сле-
дующей за ним формуле. Следующие две операции свя-
8ывают лишь некоторые переменные. Запись
V х читается «для всех Х»,
3х читается «существует тапое х, что»
Например f
3п (п Е N Л а > пЬ)
есть формула с двумя переменными, а
Va Vb (а> О Л Ь Е IR)=Ф3п(пЕ IN Л па> Ь) (1)
........ высказывание, называемое «аксиомой Архимеда».
Вместо (1) можно писать
Va > О, Ь Е IR 3п Е fN (па > Ь). (2)
Но соблюдайте корректность в употреблении кванторов
V и 3. Общеприняты, cTporo rоворя, лишь схемы
Vx '(у... формула формула,;
3х 3у .., формула 1-+ формулаjJ
172
rдe х, у, ... ---- одна или несколько переменных. ПривеДfl
пример (2) мы, впрочем, допустили выходящие за пре-
делы этих схем вольности.
7 .6. О скобках
Еще в младших классах вы познакомились
с правилами употребления скобок для указания порядка
выполнения арифметических действий. Это частный слу"
чай применения скобок для указания порядка построения
термов и формул. lJапример, формулы
(А ==Ф В) ==Ф С и А ==Ф (В =ф С)
имеют раз н ы й смысл. Существуют правила, поз..
воляющие избеrать излишне большоrо числа скобок.
Например, по аналоrии с правилом, по которому YMH
жение делается ранее сложения, можно усло.виться.,
что при отсутствии скобок n01-t'ЪЮ1-t1i,ция форму//' вьtпО//,1-tЯ"
eтcJ!. до дUЗ'ЪЮ1-t1i,ЦUU, И писа ть
(А !\ В) V (С !\ D)
просто в виде
А !\ В V С !\ D.
Но, не владея четкими правилами" всеrда лучше
поставить избыточные скоБКИ J чем сделать свои записи
двусмысленными.
р АЭДЕЛ 111
,.
.
ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ
ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
{. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЛТНОСТЕ8
И КОМБИНАТОРИКУ
1.1. ПереСТ800ВКИ
Две буквы А и Б можно расположить о).хПУ
ва друrой двумя способами:
АБ j БА.
Три буквы Af; Б и В можно расположить в виде после
довательности уже шестью способами:
АБВ АВБ.
БАВ,: БВА.
БАБ.,; ББА.
ДЛЯ: четырех букв получим 24 разных способа их
расположения в виде последовательности:
АБвr i АБrв БАвr 1 БАrв
АВБr) АвrБ БВАr i .БвrА
АrБВ АrВБ 1 БrАВ{ БrВА
BABrt BArB i rАБВ j rАВБ
ВБАr f ВБrА i rBAB f rБВА
вrАБ вrБА i rВАБ rВБА.
Спольпи.ми сnособамu .можно расположить в после-
довательность десять бупв? Пере брать все способы рас..
положения здесь было бы трудно. Для ответа на вопрос
;желательно общее правило, формула, которая позволяла
.бы сразу вычислить число способов расположения в виде
последовательности n букв. Число этих способов обоз..
'lIачают n! (n с восклицательным знаком) и называют
(n факториал». Мы уже видели что
21 == 21 31 == 6} 4! === 24 f
'114
Каждый способ расположения данноrо числа букв в после..
довательность называется пер е с т а н о в к о й. Оче-
видно, что вместо букв можно взять цифры или любые
друrие предметы. Число перестановок четырех пред..
метов равно 4! == 24. Вообще п! есть число перестаНОВОIt
п предметов. Заметим еще,; что полаrают
11 === 1
(один предмет не с чем «переставлять»,; из одноrо пред"
мета можно сФормиров ть только одну «последователь..
ность»", В которой этот предмет стоит На первом месте).
Итак,.
9
11 == 1 !
21 === 1.2 == 2,
3! == 1.2. 3 == 6,)
4! == 1.2.3.4 == 24.
Напрашивается r и п о т е з а: чuсJl,О пepecman080Jl;, n
предметов равпо проuaведепию первых п патуральпы3J
чисел:
п! == 1.2. 3. '!!. · n J
(1)
rипотеза эта верна.
Для доказательства заметим;: что в случае n преДМ8--
тов на первое место можно поставить любой из n предме-
тов. В каждом из этих n случаев остающиеся n ..... 1 пред"
метов можно расположить (n....... 1)1 способами. Поэтому
получим Bcero (п 1)1 n способов расположения n пред.
Mel'D'Jf
п! == (n ....... 1) I · n. (2)
При помощи формулы (2) получаем последовательно
21 == 1!.2 == 1.2
31 == 2! 3 ,== t. 2. 3
41 == 31. 4 == 1. 2 · · 4 ';
5 J == 41. 5 == 1. 2 · 3 · 4 · 5 == 120 и Т. д.
Знакомые с принципом математичесной индукци
''Моrут заметить, что вывод формулы (1) из формулы (2)
использует этот принцип, и провести cTporo формальное
рассуждение.
Теперь уже нетруДНО вычислить число перестаиовоlt
десяти букв:
1 О! == 1. 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 .1 О == 3 628 800
75
1.2. Вероятность
Семь букв разрезной азбуки А,. А,; Б, Б, КtЗ
У, Ш положены в мешок, откуда их вынимают наудачу
и располаrают одна за друrой в порядке., в котором они
появляются. В результате получается слово БАБУШКА.
В какой мере такой факт надо считать удивительным,;
быть может, заставляющим предполаrать, что мы при..
сутствуем при нарочно подстроенном фокусе? 3ануме..
руем наши семь карточек с буквами:
1 2 3 4 5 6 .7
ААББКУШ
Их можно расположить по порядку
71 == 5040
способами. Из этих 5040 случаев слово БАБУШКА по-
пучится в ч е т ы р е х:
3 1 4 6 7 5 2 4 1 3 6 7 5 2
Б А Б У m К А Б А Б У Ш К А
3 2 4 6 7 5 1 4 2 3 6 7 5 t
Б А Б У Ш К А Б А Б У Ш К А'
rоворят, что из общеrо числа случаев 5040 четыре
случая блаzоnриятствуют появлению занимающеrо нас
события (за лючающеrося в том, что из вынутых букв
сложилось слово БАБУШКА). Отношение числа блаZ(1-
nриятствующих случаев п общему числу случаев в подоб-
ных задачах нааывают вероятностью соgытия. В нашем
случае вероятность появления слова БАБУШКА есть
4 1
Р === 5040 1260 ·
Вероятность очень мала, и наше событие действи"
'l'ельно очень «маловероятно». Позднее мы узнаем, что
подсчитанная нами вероятность имеет такой практический
см:ысл: если MHoro раз производить описанный опыт
с буквами, то примерно один раз на 1260 испытаний про-
изойдет наше событие (само собою сложится слово БА..
БУШКА).
Аналоrичный, расчет для четырех букв А, А, М, М,
приводит к результату, что из них случайно будет скла..
дываться слово МАМА а вероятностью
4 1
41==""""68
.476
С такой же вероятностью 1/6 будет получаться еще каж
дое из пяти «слов»:
ААММ, АМАМ, АММА,> ММАА.
Если производить этот опыт С четырьмя буквами,
то каждый из описанных шести возможных результатов
будет появляться примерно в 1/6 доле случаев.
1.3. Равиовозможиые случаи
Иrральная. кость это кубик, на rранлх
KOToporo обозначено число очков от 1 до 6. Выбросив
две кости, можно получить сумму очков на верхних rpa..
иях двух костей от 2 до 12. Можно БыIоo бы думать, что
в задаче имеется 11 возможных случаев и вероятность
появления каждоrо из них равна 1/11. Н о э т о и е
т а к. Опыт показывает, что, например; сумма 7 появля"
ется MHoro чаще, чем сумма 12. Это и понятно,! так как
{2 можно. получить только в виде
6 + 6 == 12.t
а 1 мноrими способами:
1 + 6 == 2 + 5 == 3 + 4 == 4 + 3 == 5 + 2 == 6 + f == 7.
При этом мы записываем первым слаrаемым число очков
на первой кости, а вторым...... на второй. Поэтому записи
1 + 6 и 6 + 1 указывают на две различные возможности
получения суммы 7.
В основу подсчета вероятностей здесь приходится
положить рассмотрение тридцати' шести случаев, каждый
из которых характеризуется определенным числом очков,
выпавших на первой кости, и определенным числом
очков, выпавших на второй кости:
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 ,6
2,1 2,Z 2,3 2,4 2,5 2,6
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
Представляется естественным считать эти тридцать шесть
случаев равиовоа.М,ожnымu. Опыт показывает, что в еву-
чае достаточно правильных кубических костей, СДQлан--
ных из однородноrо материала, и надлежащих приемов
бросания (например! после встряхивания в стаканчике)
177
8ТИ 36 случаев появляются при большом числе повторений
примерно одинаково часто.
Для суммы очков на двух костях получаем такие
результаты (проверьте) :
Сумма 2 3 Б 6 7 8 9 10 11 12
Число бла..
rоприятст"
вующих
случаев
Вероят"
вость
1
2 3
4 5
6
5
4
3
2
1
t
36
1 1
18 12
1 5
'9 36
1
"6
5
36
1
1}
t
12
1
тв
1
36
у т о ч н е н и е: вероятн,остью н,ааывается oтн,ozиe-
ние чucла блаеоnриятствующих сД,учаев " общежу чuс.ltУ
равн,овов;М,ожн,ых.
Какие случаи можно считать равновозможными?
На этот вопрос математика не дает ответа. В случае бро-
сания костей физически существенные условия падения
кости любой из шести rраней кверху представляются
вам одинаковыми. Кроме Toro,; представляется естествен..
вы м считаТЬ J что различные комбинации верхних rраней
двух костей тоже одинаково правдоподобны. Опыт под-
тверждает эти предположения..
Но разделение всех возможных исходов испытании
на исключающие друю друrа раввовозможные случаи
достаточно еликатно.' Часто же вместо изложенноrо
сейчас «классическоrо» определения вероятности при-
ходится прибеrать к друroму «статистическому». Но на
u u
первых порах знакомства с теориеи вероятвостеи разумно
отнестись с доверием к «классическому» определению.
С точки зрения чистой математики тут нет никакой «и е-
строrости». М а т е м а т и ч е с к а JI теории вероят-
... u
ностен занимается только вычислением вероятностеи
различных событий (вапримеР.1 выпадения На двух костих
суммы очков 7) при определенных Д о пущ е в и я х .......
в занимающих нас задачах допущениях о том! какие
случаи надо считать равновозможными.
1.4. БРОУВОDСRое движение
и задача о блуждавии по плоскости
Вычислять вероятности приходится OTH 'nЪ
не только при решении шуточных задач об иrре в карты..
В частности, на теории вероятностей основаны кинети-
ческая теория rазов" теория диффузии растворенных
{78
в жидкости веществ и вввешенных частиц. Ова объяс...
виет, почему хаотическое" беспорядочное движение от...
дельных молекул приводит к четким, простым ваково---
мервостпм движения их больших совокупностей.
Перваи ВОВl\IОЖНОСТЬ экспериментальноrо исследо в а...
вия TaKoro рода соотношений между беспорядочным
движением отдельных частиц и закономерным движением
Рио. 62.
Рис. 63
их больших совокупностей появилась,; коrда в 1827 r...
ботаник Р. Броун открыл явление.t которое по ero имени
вазвано броуновспим движением. Броун наблюдал ПОД
микроскопом взвешенную в воде цветочную ПЫЛЬЦУ_,
R своему удивлению, он обнаруrКИЛ, что взвешенные'
в' воде частицы пыльцы находятся в непрерывном беспо-
рядочном движении, которое не. удается прекратить при
самом тщательном старании устранить какие либо внет..
ние воздействия, способные это движение поддержать
(например, вызвать движение самой воды под влиянием
ер вномерности температуры и т. п.). Вскоре было об-
аружепо, что это общее свойство любых достаточно
мелких частиц, взвешенных в жидкости. Ero интепсiIв"
вост,Ь зависит только от температуры и вязкости жид..
кости и от размеров частиц (движение тем интенсивнее!)
чем температура выше,_ вязкость меньше" а частицы мель-
че). Каждая частица движется по своей собственной
траектории, не похожей на траектории соседних частиц
так что близкие вначале частицы очень быстро становятся
удаленными (хотя MorYT иноrда случайно вновь встре-
титься).
На рис. 62 точка IИ отмечены последовательные по
.пошении частицы (rуммиrута в воде по RлассичеСRИМ
179
опытам ж. Перрена) с промежутками в 30 с. Эти ПООJl8-
Аовательные положения соединены прямолииейными
отрезками. В действительности траектория частицы еще
запутаннее. На рис. 63 схематически показано" что траек-
тории частиц, которые в начальный момент были очень
близки друr к друrу, совершенно различны.
Броуновское движение большоrо числа частиц можно
наблюдать, выпустив в тонкий слой воды на ПЛОСRОМ
стеклышке каплю чернил. При наблюдении простым rла..
30М' траектории отдельных частиц увидеть нельзя. Чер..
пильное пятно будет постепенно расплываться, сохраняя
окруrлую форму. Ero краска будет более интенсивной
в центре, к краям же будет ослабевать. Схематически
расположение большоrо чис..
ла частиц, подверженных
броуновскому движению, че..
рез некоторый промежуток
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
. .
.
..
.
.
J
.... """
. .
.
.
.
. .
.
.
d.=kfl
.
.
Рис. 64
Рис. 65
времени после Toro.,; как они все вышли из ближайшей
окрестности начальной ТОЧКИ J отмеченной кре.СТИКОМ j
изображено на рис. 64.
Обозначим через t промежуток времени, проmедший
от выхода наших частиц из начальной точки, и через
d диаметр окружности с центром в начальной точке.,
внутри которой находится половина частиц (см. рис. 61).
Наблюдение показывает,; что этот диаметр растет пpи
блuаuтеД,ь1tО пponopЦUOHQ,Д,ЬHO пвадратно,м,у порnю иа
nро.межутпа вре.м,еnи t, т. е. изменяется примерно по
вакову
d == kyt.
(1)
Эта вакономерность может быть обоснована теоретически
средствами теории вероятностей. Сам ее вывод остается
ва пределами mкольноrо курса, но в причинах Toro, что
диаметр d растет не npoпopциOН,QJl,ъпO времени (на" было
бы, если бы частиц ' разбеrалисъ из начальной т'ОЧИ"
180
с постояипой скоростью" не меняя направления)" а нecpaв '
neн,но .медленнее, мы вскоре сможем разобраться.
Основные черты бро овскоrо движения частицы.
можно наблюдать уже на упрощенной модели блуждания .
частицы по ПЛОСКОСТИ f разделенной на квадратики. К та..
ким упрощенным моделям при изучении более сложиыx
явлений прибеrают и в серьезных научных исследова..
ниях.
Будем считаТЬ f что наша частица перемещается от...
дельными mаrами и 8а одии mar переходит из квадратика.
а
о"
о
а
2$8
z1
1024.
е
Рис. 66
в котором она находится в начале шаrа, в один И8 четырех
соседних квадратиков. Ее путь за восемь шаrов может..
например.t иметь такой вид} как указано на рис. 65.
{в!
Из начаJlьноrо положения (рис. 66, а) частица может
попасть в один из четырех смежвыx квадратиков, в каж..
ДЫЙ одним...единствевным способом (рис. 66, б). 3а два
mara частица может попасть в начальное положение че..
тыръ.м,я способами (выходя в сторону в одном из четырех
возможных направлений и возвращаясь обратно), еще в
четыре клетки частица может попасть двумя способами
в каждую и в четыре........ одним способом в каждую
(рис. 66 8). Bcero частица может двиrаться: в течение пер..
Bыx двух maroB шестнадцатью разJJИЧНЫМИ способами.
На рис. 66,_ а указан результат аналоrичноrо подсчета
для трех maroB. Здесь число различных путей равно уже
4.9 + 8.3 + 4 == 64.
На рис. 66,: д и 66, е указано число способов попадания
в различные клетки после четырех и пяти maroB. Леrко
понвть, что число различных путей с ростом числа maroB t
растет как 4 t :
ЧИСJIО marOB
о
1
2
16
з
64
256 1024
4
5
Число путей
1
4
Если считаТЬ 1J что частица всеrда помещается в центр@
ванимаемоrо ею квадратика, то за t шаrов она может уда..
виться от начальноrо положения не более чем на расстоя..
иие th,; rAe h длина cTopoHы квадратиков. Но для зтоrо
она должна двиrаться прямолинейно. При t == 5 зто будет
только в четырех случаях из 1024. В болыпинстве же слу..
чаев частица окажется в конце пути значительно ближе
к своему начальному положению. Например, при t == 5
в 400 случаях (почти 40 %) расстояние конечиоrо полож&-
вив от начальиоrо будет равно единице J а еще в 400 слу-
чаях ато расстояние равно
уз == t.t 73 , . .
Лишь в остающихсв HeMHoro более чем 20 % случаев час--
u
тица уидет дальше.
Допустим теперь,; что при любом t все возможные пути
нашей частицы равн,О808М,ОЖн,ы. TorAa числа, простав..
ленные на рис. 66,; после их деления на 4 r дадут вероят-
ности попадания в соответствующие клетки после t ша-
rOB. Обозначив через r расстояние от начальиоrо положе-
ния,; получим при t == 2 такую табличку:
i82
тl f о 2 4
r О }(2 2
Число лучаев 4 8 4
1 1 1
Вероятность 4 2 4
При t == 5 табличка приобретает следующий вид:
т' 1 5 9 13 17 25
r 1 rog 3 1f 13 tf17 5
Число случаев 400 100 80 40 4
Вероятность 400 400 100 80 40 4
1024 1024 1024 1024 1024 1024
Интересно подсчитать среднее значение Jli,вадрата рас..
стояния (черта в статистике знак осреднения):
......... 8.2 + 4.4 ........
при t == 2 т 2 === 16 == 2, при t == 5 r 2 == 5
Можно доказать, что при любом t в нашей задаче r 2 == е.
Корень квадратный из среднеrо значения квадрата
называется в статистике средним пвадратичеспим. Оно в
нашей задаче равно V t.
На этом пока мы закончим исследование нашей задачи..
3 метим только, что рис. 66, е уже обнаруживает боль..
тое сходство с рис. 64. Как уже rоворилось, при больmом:
числе испытаний частота появления какоrо--либо исхода
примерно пропорциональна вероятности (здесь надо было
бы сказать: при большом числе независuмых испыта..
ии-й; с точным смыслом выражения «не зависимые испыта..
НИЯ» вы познакомитесь позднее). Оказывается, что наша
модель случайноrо блуждания отдельной частицы хорошо
С,90тветствует наблюдениям, если предположить.1 что час..
тицы блуждают независимо друr от друrа t
1.5. Блуждание по црямой.
Треуrольвик Паскаля
Рассмотрим еще более простую задачу блуж..
д ния по прямой. За один шаr частица продвинется на
расстояние h вверх либо на то же расстояние вниз. rори..
зонтальную ось теперь удобно использовать для Toro ll
чтобы по ней откладывать число marOB. На рис. 67 изоб..
ра}кен возможный rрафик движения частицы.
Леrко понять, что в этой задаче число возможных спо-
собов перемещения частицы за один mar будет равно 2.
{83
На рис. 68 подсчитано число способов,! которыми можно
попасть через t шаrов в то или иное положение (На ту
или иную высоту).
Блуждание TaKoro рода осуществляется в специальном
ориборе, который называют дос1':ОЙ rалътоnа. На рис. 69
изображена схема возможноrо ус--
тройства этоrо прибора. Металли..
чески е шарики один за друrим
цопадают в самый верхний канал.
Наткнувшись на первое острие,
они должны выбрать путь направо
JIибо налево. Затем происходит
второй таRОЙ выбор и т. д. При
5Ь
ёh
h
о
IJ
3h
6h
Рис. 67
J
Рис. 68
1'Щательной подrонке деталей выбор пути оказывается
вполне случайным: любой из 2 t способов (в нашем случае
t == 5) равновоз;м,ожен. Пропустив через прибор' большое
число шариков, обнаруживают что доля шариков, попав-
ШИХ в каждое из делений внизу,; примерно соответствует
рассчитанным вероятностям.
Оставим теперь приборы" иллюстрирующие физиче..
U u u u
скии механизм случаИНОСТИ,t и ааимемся математикои.
Выпишем числа из рис. 68 в виде таблицы:
, т 1 2 3 Ь 6 7 8 Сумма
! о 1 1
t 1 1 2
2 1 2 1 4
n 3 1 3 3 1 8
4 1 4 6 4 1 16
5 1 5 10 10 5 t 32
6 1 6 15 20 15 6 1 64
7 1 7 21 35 35 21 7 t 128
8 1 8 28 56 70 56 2& 8 l' 256
f84
Закон образования таблицы ясен: в fi,аждой Ir,детхе
стоит сумма числа, стоящеео непосредственно сверху.,
u числа, стоящеео сверху слева. Например:
56 == 21 + 35.
Отдельно приходится оrоворить, что в нулевом столбце
и по диаrонали стоят единицы. Можно поступить иначе
и считать, что таблица продолжается не..
оrраниченно влево и вправо, но заполн
на там нулями. Ее начало будет тоrда
иметь вид
I .': 2 1 О 1 2 3 4....
! о . . . о о 1 О О О О · · ·
1 . . . о о 1 1 О О О .. ·
n 2 . . . о о 1 2 1 О О · · ·
Теперь основное правило заполнения 1 5 10 10 5' 1
таблицы будет действовать без всяких 3232.32.3232.'\12
исключений, начиная с первой строки
Обозначив через C число, стоящее в Рис. 69
таблице на пересечении т..ro столбца и n..й
строки, можно записать правило заполнения таблицы в
виде формулы
С т С т--l С m
n === n 1 + n--l.
Особо надо задать числа нулевой строки
т { 1 при т===О,
СО === О при остальных значениях т.
Наша таблица (без заполнения клеток, rде все равно стоят
пули) называется треуеольпu-поJН, Пасr;,аля.
Вернемся к задаче о блуждании по прямой" но изменим
ее постановку. Пусть .частица двиrается по rоризонталь..
ной прямой и каждую секунду либо делает один шаr впра..
во (на какое..либо фиксированное расстояние h)" либо ос..
тается на месте. За n секунд частица сдвинется не более
чем на n marOB. Но возникает вопрос о TOM\ какое число
maroB за n секунд будет н а и б о л е е в е р о я т н ы м..
если считать все возможные варианты движения равно..
возможными. Ведь ясно, что крайние случаи (О maroB
и n шаrов) при большом числе шаrов появятся лишь в виде
крайне редких исключений.
(1)
185
. Учитывая все сказанное выше,' вы без труда докажете"
что вероятность сделать т шаrов за первые n секунд в на-
"
шеи задаче равна
с т
Р n (т) === .
2
(2)
На рис. 70 даны rрафики функций Р п (т) от т при n ==
-= 1,,- 2, 4, 8" 16,,: 32. Масштаб по rоризонтальной оси вы-
бран постепенно уменьшающимся.t так что максимальный
1&25
О
О
44-
3
'0;2
, (1.1
..,
а 1
1J2
0;1
n=1
It ==2
1 о 1 .2
11.=4 . п=8
z 4012. 4.5678
п=1О п= 2. .
у , 'At f.1
,8 10 12. 14 16 О 4- 8 12 16 20
u=Pn (т) = ()п l11 h п
,
В'z
Рис. 70
возможный пробеr частицы все время ивображается от-
ревком одной и ой ?Не длины. Масштаб по вертикальной
оси", rде откладываются вероятности.,- сохраняется неиз-
меннЫм.
Мы видим, что наиболее вероятным все время является
среднее значение пробеrа
1
== т n.
Большие же о,.,клонения ОТ этоrо среднеrо с возрастанием
n делаются все более редкими. Можно доказать, что сред..
иее 1UJQ,f)ратичеспое отмонение от cpf!aпeeo nробеаа 8 этой
вадаче равно
1 ... r.......
""2" t' n.
186
Например, ва 10 000 секунд средний пробеr будет 5000 ша..
rOB, а среднее квадратическое отклонение от этоrо средн&-
ro будет лишь 50 шаrов. Здесь мы соприкасаемся с одним
ив фундаментальных предложений теории вероятностей ----
8 а к о н о м б о л ь ш и х ч и с е Л J о котором речь 6у..
р;ет в конце изучаемой сейчас темы.
1.6. Бином Ньютона
Числа С':. называют БUН,о,м,uадъны.ми поэgr
фициента.ми. При этом имеют в виду их употребление в
алrебре, ие связанное с теорией вероятностей ивадачами
о блужданиях. Вам известны формулы
(а + Ь)О == 1)
(а + Ь)l == а + bfJ
(а + Ь)2 == а' + 2аЬ + Ь 2 . ,
(а + Ь)З == а,3 + 3а 2 Ь + 3аь а + Ь 8 .
Сразу обращает па себs внимание то обстоятеЛЬСТВО,t что
числовые коэффициенты взяты из соответствующих строк
треуrольника Паскаля.
Вычислим еще:
(а + Ь)4 == (а + Ь)З. (а + Ь).
Для этоrо надо умножить
аЗ + 3а 2 Ь + 3аЬ 2 + 63
па а и па Ь и результаты сложить:
а 4 + За 8 Ь + 3a 2 b l + аЬ 3 -
+ . аЗЬ + 3a l bI + 3аЬЗ + b t
а 4 + 4а 8 Ь + 6а"Ь" + 4аЬ 3 + Ь'.
Мы видим, что коаффициеllТЫ суммы ПOJIучаются точно
по тому закону t по какоку фоРИИРОВ8J1CS треуrОJIЬНИК
Паскаля.
Возникает rипотева t что всеrда
(а + Ь)П == а П + C an 1b + . . . + C':an тьт + . . . + Ь". (t)
rипотеза верна. Знакомые с принципом математической
индукции Moryт провести cTporoe доказатеJlЬ-СТВО форму.
JlЫ бинома Ньютона (1)} опираясь на равенство (1) па
п. 1,5.
t&l
1.7. Биномиальные коэффициенты
и число сочетаний
ч исло.м, сочетании ив n по т навывается чис-
ЛО способов выделения ив .м,ножества" состоящеео ив n пред-
""етов, подмножества.,. состоящеео ив т предметов. На-
пример, из множества" состоящеrо из четырех букв
А, Б." В" r f
можно выделить шесть различных множеств,' состоящих
каждое из двух букв
{А, Б}, {А,; В},. {А , r}1. {Б, В},; {Б, r},; {В" r}.
Оказывается, что число сочетаний из n по т равно соот-
ветствующему элементу треуrольника Паскаля с::.
Этот факт леrко ПОНЯТЬ f если обратиться к последней
аадаче о блуждании из п. 1.5. Например, чтобы определить
число различных способов", которыми в этой задаче части-
ца может сделать два mara направо за 4 секунды, надо п
ребрать все способы выделения из четырех секундных
промежутков двух промежутков. Таких способов шесть
1 23'
1
2
3
4
5
6
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Знакомые с методом математической индукции MorYT
провести общее доказательство,. опираясь на равенство
(1) из п. 1.5.
1.8. Формула, выражающая
биномиальные коэффициенты
через факториалы, и ее примевение
к вычислению вероятностей
Эта замечательная формула имеет вид
т п!
СП === т! (п т)! · (1)
Ее тоже можно доказать при помощи метода математиче
ской индукции. Дадим друrое 1 более непосредственное дo
казательство.
188
Если из п предметов отобраны т, то можно т! спооо-
бами занумеровать отобранные предметы номерами
1, 2, 3 . . ., т.
Оставшиеся n ...... т предметов можно занумеровать номе-
рами
т + 1" т + 2, . . ., п
(п ...... т)! спосоеами. Таким обраЗОМ. t получим
т! (п т)!
нумераций номерами
1,. 2; . . ., п
Bcero множества из п предметов. Но сам отбор т элемеп
тов из п можно произнести ст;: способами. Таким образом.
Bcero мы получим
cr,:. т! (п ---- т)1
нумераций полноrо множества из п элементов. Каж'дую
нумерацию этоrо множества мы получили р о в н о о Д и в
р а, з. Bcero же их п!. Поэтому
cr,:mJ (п ....... т)! == п! J
отнуда
п!
C == t
т! (п In)1
что И требовалось доказать.
Чтобы формула (1) была верна и при п == U и при т :::;
== О, надо положить
О! == 1.
Формула (1) позволяет вычислять С': в случае боль..
тих п и т при помощи таблицы лоrарифмов фаRториалов.
Вычислим, например, в задаче из нонца п. 1.5 вероят-
ность сделать за 100 секунд ровно 50 marOB. Эта вероят",
IIОСТЬ равна
c go 100!
Р 100 (50) == 2100 == 2100 (501 )2 ·
Лоrарифмические вычисления не сложны:
19 (100!) == 157, 9700, 19 2 == 0,3010300
Ig 2100 === 30,1030, 19 (50!) == 64,4831,
Jg (50!)2 === 128,9662,
Jg P 100 (50) == 2,9008, P 100 (50) == 010796 0,08.
189
1.9. ЗВКJlючительные sамечаниа
Подбор дополнительных примеров на непо-
средственное вычисление вероятностей при помощи бла-
rоприятствуlUЩИХ случаев" я надеюсь, не представит за-
уруднений. Хочется лишь обратить внимание на обще-
образовательный интерес задач, относящихся к большому
'lИслу испытаний. Наука справляется с такими задачами
при помощи предельных теорем, рекомендуя для практи-
ии асимптотические формулы (нормальное приближение
в биномиальному . распределению и Т. д.). Но В школе об
этих предельных закономерностях приходится только
рассказывать в обзорном порядке. Тем более важно со..
прикоснуться с их проявлением на таких задачах, как
фактическое вычисление биномиальноrо распределения
при большом числе испытаний. .
При ознакомлении с теорией вероятностей постепен-
вое расширение проблематики с возможно более ранним
подчеркиванием тех сторон дела; которыми определяется
вначение теории вероятностей в естествознании, технике
и общественных науках, представляется особенно сущест
венным. Из области биолоrии леrко поддаются введению
в школьную практику задачи на прим:енение законов Мен--
деля. Из применений к общественным HaYRaM на первое
место следует поставить знакомство с основами выбороч-
иоrо метода при экономичеСRИХ и социолоrических ис-
следованиях.
2. полулоrАРИФМИЧЕСКАЛ
и лоrАРИФМИЧЕСКАЛ СЕТКИ
2.1. В статье «Экспонента»" оnуБЛИRованнои
D двенадцатом номере «Кванта» за 1972 rод, было покааа..
Во, что мноrие величины меняются во времени так, что
СКорость их изменения пропорциональиа уже достиrиуто"
му ими значению. Общий вид такой п о к а з а т е iI ь-
н o й зависимости у от t записывается формулой
у == yoa t , (1)
rде Уо ....... значение величины у при t == о. Положив
k == 19 а, z == 19 у, ь == 19 У о,.
из (1) получаем z == kt + Ь.
Мы видим, что зависимость z от t л и н е й н а. Ее
I'рафИR есть п р я м а я л и н и Я Начертив обычным
tпособом этот rрафик.t мы можем на оси z (или на парал..
190
лельной ей прямой) поставить отметки соответствующих
значений у == 1OZ. Тоrда по нашему прямолинейному rpa..
фику можно будет при любом заданном t непосредственно
считывать значения у. На рис. 71 такой способ rрафиче..
cKoro изображения применеи к функциям у =:: 100 t И
10000
5ООО
2000
1000
500
200
100
50
20
10
5
2
1
0,5
0,2
1
0,05
0,02
0,01
0,005
0,002
0,001
8,0005
40002
0,0001
z 11
3 A/=-100't
I
I
f
2 I
I
l'
, ./ ,
I =e
"". 1
2 -.а1 1 2 t-
I
I 1
I
I
I 2.
I
I
I "'0
I
I
f
4
Рис. 71
у == е' (е == 2,718 . . 11). Их rрафики в АекартовоА системе
координат изображены на рис. 72.
В маrазинах продается полулоrарифмическая бумаrа.
На этой бумаrе вертикальные линии проведеиы с проме..
жутка:ми в 1 мм, как на обычной ЛJlИметровоi бумаrеJj
rОРИ80нтальиые же линии проведены так ! что их раоотоя:"
вие от нижней кромки равно 100 Ig YJ rAe у принимае'!
зиачеиия
1; 1 ,05;
2; 2,1;
1.t f о;
2,2;
t ,,15; , . .
2,3; ...
в: т. д. (разберитесь по рис. 73" как устроена эта lПRала!).
В нижней части рис. 73 показано" как построить на по..
лулоrарифмической бумаrе rрафики функций вида (1)
по двум точкам (t == O у == уо)) (t :::; 1;1 у :;; уоа).
,t9t
lIa полулоrарифмической бумаrе приращению t == 1
соответствует 10 см. Такой же масштаб мы выбрали на
рис. 73 по оси у. Поэтому уrловой коэффициент наших
rрафиков равен k == 19 а.
Это не что иное, как о т..
носительная ско"
рость изменения
у при иsменении t:
1 . &у у'
............ 11Ш == ............
у At o &t У
== Ig а === k
( здесь у' производная
функции у == f (t) == yoa t )"
Если масштаб по оси у вы..
бран иначе, то нужен пе..
ресчет, с которым вы леr..
ко справитесь самостоя..
тельно.
rрафики на полулоrа..
рифмической бумаrе вы..
черчивают, коrда требует..
--4 ..... .....z....1 О 1 2 t" ' ся выяснить, можно ли за..
данную таблицей зависи..
мость у == f (t) хотя бы
приближенно считать под..
чивяющейся закону показательноrо роста (или убы..
вания). Рассмотрим в виде примера объем промышленной
продукции в СССР, выраженной в процентах к продукции
1 940 rода:
1937 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970
77 100 92 173 320 524 791 1190
!J I
9 y==100-t
8
7
б-
а
4 J
/
з'
у=е t-
j
2 V
,)
Рис. 72
Полулоrарифмический rрафик дан на рис. 74 (rрафик
в натуральном масштабе по вертикали вы можете для
сравнения вычертить сами). По rрафику видно, что, за
исключением BoeHHoro пятилетия 1940 1945 rодов, рост
промышленной продукции приблизительно следует ПOJl.a..
sательному закону. Найдите самостоятельно, скоЛВltИtf
процентам прироста в тод соответствует средний наКЛQН
rрафика. На rрафике видно, что темпы роста в 1945........
- i955 rодах нескол;ько выше, чем в 1960........1970 rодах. Ин-
тересно, что, выключив из рассмотрения точки, соответ..
ствующие 1945 и 1950 rодам, мы получим почти ПРЯМУIО
линию: за 1945........1955 rоды наша промышлеввостъ вавер"
192
100 10 z
9
8
7
б
5
10 10'
В
8
7
б
5
( 1 100
О
4-
.
r;;
1
tч
7 А. Н. Rолмоrоров
3
24
.
'()
4-
3
2
12
!J
11
+J..8..I
10
в
8
\\
!"
"'"
11
4-
з1.
2 1/I,=20'255!.1
11;
4 6 2 1 {I
. t
y .
ж+++
++tt+tt
7
\\
C.:J\
Q
б-t++t+tr
б
w
-..;; O: .(>.....z<
0,25
5
Рис. 73
y 2
. I
'
11
:::ij
I
11
-н.н.. #ж .
I
l
1
-1..
z 3 4
rt=tttt -ttttЖt
1,0
J. .
193
стала упущенное за время войны. Определите средний ro
дичный прирост продукции за 1937 1970 rоды (в про...
центах за rод).
2.2. Понятно, что зависимость вида
у == А ]g t + в
тоже изображается прямолинейным rрафИRОl\I, если по
оси абсцисс откладывать s == 19 t, а по оси ординат у.
1200
1ООО
OO
fjUQ
:uш: тпli --н+
ШIШ
ПромышлеННIlЯ
лроtJl/КЦllЯ
О СССР
0% J( 19408.
11_ м_
40О
2.00
100
37 O O 50 55 50 б5 7и
Рис. 74
В виде примера рассмотрим изобраiI{енную на рис. 75 за...
висимость скорости u от расстояния у от стенки при тур..
булентном течении жидкости вдоль плоской стенки. Здесь
б и и1; надлежащим образом выбранные масштабы длин
и скоростей. Измерения производились при у/б, меняю..
щемся в пределах от 10 до 56 000. Поэтому для изображе...
ния результатов измерепий понадобились три rрафика
с различными масштабами по оси абсцисс. После перехода
к лоrарифмическому масштабу для у/б все эти данные
уместились на одном rрафике (рис. 76). При этом rрафИR
«выпрямился». Прямая на рис. 76 задается уравнением
: == 5,5 + 5,751g (+). (2)
194
и./{Jr'
02
28
24-
20
.А . .
.А
.
,. -Q' у
...8с ".....
..I: -<> n n 1'\.
.
"' Q- 1"
I 0
; I . v-
r: iЛ . .T I I е
""" D
..c . э-'" liJ
Q
, I I I I
!F
. I
I I I
,
I
,
,
,
4- 8 12 15 20 24 28 32 Jб 40 44 48 52 58x10
!/,,/(}" х10 2
><10
15
12
.8
4-
Рис. 75
l1/ит:
2
15
.............. .....
,r
"
I/?
,. r'V"
.
I .......
,l$l !9"
rr
А.
r;Y
A
)tt:::: Ir'
"'. р'"
о
.
(
28
24
2()
12
8
O
1,4
8 2,2 2,б 6)0 3,4
, I
100 1000
Рис. 76
8 4)2
I
10
I
10000
5 5,0
Lg y/
,! 100000
,l!/
МЫ ВИДИМ, что эта закономерность очень точно. соблюда..
ется, начиная с у/б == 100. При меньших у/б заметны СИ'"
стемат.ические отклонения, а при у/б < 15 эти отклоне
ния делаются столь значите ьными, что здесь соотнош
ние (2) надо признать совсем неrодным.
7 * 195
2.3. Зависимости вида
у == ct a
тоже ((выпрямляются» при переходе R пере fепны r
s == 19 t, z == Ig у.
В самом деле, из (1) вытенает
z == r1-S + Ь, (4)
rде Ь == Ig с. Для изображения зависимостей вида (3) пря
иолинейными rрафиками пользуются л о r а риф 1\1 и
Ч е с к о й с е т к о й. Лоrарифмическая бумаrа TOi-не
(3)
11 I 1! 1 I
- I
.
I 9 Xv
.
10 1 iII!I , I
f}
8
7 .. .c
о \
. -t
.
а
4-
3"
.
-
2 I , I
z
'" ,()
"
11"'..111.. i
1""11
1, . L I 11 I IlIIIoJ.
4 б fI 7' 8 9 101
"J
100 ;
10
о
Рис. 77
продается в маrазинах. На рис. 77 даны при:меры rрафи-
ков на лоrарифмической бумаrе. Леrко ПОНЯТЬ t что уrло-
вой коэффициент rрафиков здесь равен а.
rрафики на лоrарифмической сетке вычерчивают,: если
есть основания думать", что накая..либо эмпирическая
196
зависимость приблин енно следу т закону вида (3). На
рис. 78 на лоrарифмич:еской сетке нанесены эмпирические
данные о распределении энерrии пульсации в турбу
лентном потоке. Здесь Е (k) спектральная плотность
Е/со
706
105
104
10 J
1(}2
101
х
'\зх
1
10 1
711 2
I
I
1
t
I
1
I
I
I
1
(
1
(
j
I
r
J
,
T - - -
I f
, I
lo 4
111 2.
1f1'" t
10" 3
Рис. 78
Е= t /(.. 5/;5
"-:8
'80
Х8
.
Оа
."
1 х/""
}
энерrии пульсаций, соответствующая частоте k; Ео и
ko условные единицы для Е и k. Мы видим, что при
10 4ko -< k -< 10 lko
наша зависимость хорошо выражается формулой вида
Е == сk Б/3,
которая из. теоретических соображений была преДЛОiнена
А. М. Обуховым.
Здесь масштабы для 19 k и 19 Е разные. Поэтому уrло
БОЙ коэффициент rрафика" соответствующеrо ваданному
а, не равен а. На рисунке показано, как rрафически CTpO
ится прямая с наклоном, соответствующим а :CI: 5/3.
3 а Д а ч а. Изобразите на полулоrарифмической бумаrе дап
вые табл.ицы о росте продукции промышленности СССР по двум
rруппам: rруппа А производство средств производства, rруп
па Б ...... производство предметов потребления (о процентах к 1913
roAY).
197
в какие еоды рост продукции по еруппе А обоеНQД рост пpoдYK
ции по еруппе Б и в какие еоды они шД,и наравне? Сравните особен
ности военных Д,ет первой и второй .мировых войн.
3 а м е ч а н и е. Во всей промышленной продукции rруппа А
в 1913 rоду составляла 35,1%, а в 1970 rоду 74,8%.
rод rруппа А rрупnа Б 11 rод rруппа А rруппа Б
1913 100 100 1945 1504 273
1917 81 67 1950 2746 566
1928 155 120 1955 5223 996
1932 424 187 1960 14 156 . 1498
1937 1013 373 1965 8936 2032
1940 1340 460 1970 21 359 3281
3. ВЕЛИЧИНА 1I ЕЕ ИЗМЕРЕНИЕ
в е л и ч и н а ....... одно ИЗ основных MaTeMa
тических понятий, смысл KOToporo с развитием математи..
ки подверrался ряду обобщений.
3.1. Еще в «Началах» ,Евклида (3 в. до н. э.) были от...
четливо сформулированы свойства величин, называемых
теперь,; для отличия от дальнейших обобщений, п о л о..
ж и т е л ь н ы м и с к а л я р н ы м и в е л и ч и н а..
м и. Это первоначальное понятие величины является He
посредственным обобщением более конкретных понятий:
длины, площади" объема, массы и Т. п. Каждый KOHKpeT
вый род величин связан с определеНПЫl\1 способом срав--
пепия физических тел или друrих объектов. Например
в rеометрии отрезки сравниваются при помощи наложе..
вия, и это сравнение пj>иводит к понятию длины: два от..
резка имеют одну и ту же длину, если при наложении они
совпадают; если же один отрезок накладывается па часть
Apyroro, не покрывая ero цеJIИКОМ, то длина первоrо MeHЬ
ше длины BToporo. Общеизвестны более сло}нные приемы,;
необходимые для сравнения плоских фиrур по площади
UJIИ пространственных тел по объему.
В соответствии со сказанным, в пределах системы всех
однородных величин (т. е. в предеJIах всех длин или всех
площадей всех объемов) устанавливается отношение не..
равенства: две величины а и Ь одноrо и Toro же рода или
совпадают (а == Ь), или первая меньше второй (а < Ь),)
IIЛИ вторая меньше первой (Ь < а). Общеизвестно также
в случае длин,, площадей, объемов и т. д., каки образом
устанавливается для каждоrо рода велиЧин смысл опера..
ции сложения. В пределах каждой из рассматриваемых
евстем однородных величии отношение а < ь и операция
" + ь == с обладают слеДУIОЩИМИ свойствами:
198
1) каковы бы ни были а и Ь, имеет место одно u толь1'ЬО
сано из трех соотношений: или а == Ь, или а < Ь, или
Ь < а;
2) если а < ь и Ь < с, то а < с (транзитивность oт
НОluений «меньше», «больше»):
3) для люБЬLХ двух величин а и Ь существует однознач..
но определенная величина с == а + Ь;
4) а + Ь == Ь + а (1'Ьоммутативность сложения);
5) а + (Ь +с) == (а + Ь) + с (ассоциаlnивность сло
женuя):
6) а + Ь > а (монотонность сложения);
7) если а > Ь, то сущqствует одна и толь1'ЬО одна ве..
дичина с, для 1'Ьоторой Ь + с == а (возможность вЬtчита..
пия) ;
8) r.а1'ЬовЬt бы ни БЬtли величина а и 1lатуральное число n,
существует та1'Ьая величина Ь, что пЬ == а (возможность
деления);
9) 1'Ьа1'Ьовы бы ни были величины а и Ь, существует та..
1'Ьое натуральное число n, что а < nЬ.
Это свойство называется аксиомой Евдокса или а K
с И о м о й А р х и м е Д а. IIa нем вместе с более эле
ментарными свойствами 1 8 основана теория измерения
величин, развитая древнеrреческими математикаl\IИ.
Если взять какую либо длину l за единичную, то си
,
CTel\fa s всех длин, находящихся в рациональном отноше
нии к l, удовлетворяет требованиям 1 9. Существование
несоиз.м.ериМЬLХ отрезков (01крытие которых приписыва
ется П и Ф а r о р у, 6 в. до н. э.) показывает, что сист
ма s' еще не охватывает систеl\fЫ s всех вообще длин.
Чтобы получить вполне законченную теорию величин,-
1\ требованиям 1 9 надо присоединить еще ту или иную
дополнительную а к с и о м у н е п р еры в н о с т и t
например
10) если последовательности величин а 1 < а 2 < . . .
· · · < а п < · · · < Ь п < · · · < Ь 2 < Ь 1 обладают те.м.
свойством, что Ь п а п < с для любой величиНЬt с при
достаточно большом номере n, то существует eдиHcтвeп
ная величина Х, 1'Ьоторая больше всех а п и .меньше всех Ь n .
Свойства 1 10 и определяют полностью современное
понитие систеl\fЫ положительных скалярных величин.
Ее,ли в таl\ОЙ систе lе выбрать какую либо величину l за
единицу ИЗ Iерения, то все остальные величины системы
однозначно представляются в виде а == al, rде а поло
;кительное действительное число.
199
3.2. Измерение скалярных величии. В математической
теории измерения отвлекаются от оrраниченной точнос
ти физических измерений. Задача иамерения величины а
при пом:ощи единицы меры l состоит в нахо,кдении число
Boro множителя а в равенстве
а == al; (1)
при этом а и l считаются положительными скалярными
величинами одноrо и Toro же рода, а множитель а по..
ложительное действительное число, которое может быть
как рациональным, так и иррацион льным. Для рацио..
нальноrо а == т/п (т и п натуральные числа) равенст--
во (1) имеет весьма простой смысл: оно оаначает, что су--
ществует тапая величина t (п я доля от l), поторая, бу..
дучи ваята слаеае,м,ь .м, п раз" дает l, будучи же взята сла..
еае,м,ы.м, т раз, дает а: l == nt, а == mt. В этом случае ве..
личины а и l нааываются соиз,м,ери,м,ы,м,и.
Для несоизмеримых величин l и а множитель а и р..
р а Ц и о н а л е н (например, равен числу зt, 'если а есть
длина окружности, а l ее диаметр). В этом случае сама
определение смысла равенства (1) несколько сложнее.
Можно определить ero так: равенство (1) обозначаеТ l что
для любоrо рациональноrо числа r
{ из а> r вытекает а > rl"
а из а < r вытекает а < rl. (2)
Достаточно потребовать, чтобы условие (2) выполня"
лось для всех десятичных приближений к а по недостатку
и по иабытку. Следует отметить, что исторически само
понятие иррациональноrо числа возникло иа задачи из..
мерения; так что первоначальная задача в случае несоиз..
)Iеримых величин заключалась собственно не в том, что..
бы определить смысл равенства (1), исходя из rотовой тео..
рии действительных чисел, а в том, чтобы установить
смысл символа сх; отображающеrо результат сравнения
величины а с единицей меры l. Например по определе"
нию немецкоrо математика Р. Дедекинда иррациональное
число есть «сечение» в систеl\tlе рациональных чисел. Та..
кое сечение и появляется естественно при сравнении двух
несоизмеримых величин а и l. По отношению к этим вели..
чинам все рациональные числа разделяются на два клас..
са: класс R 1 рациональных чисел т, для которых а > rl'J
и класс R 2 рациональных чисел т, для которых а < rl.
Большое значение имеет при б л и ж е н н о е и а..
м е р е н и е величин при помощи рациональных чисел.,
200
Ошибка приб.ли/ненноrо равенства а rl равна ==
== (r а) l. Естественно искать такие r == т/п, дЛЯ KO
торых ошибка меньше, чем при любом числе r' == т' /п'
со знаменателеl\1 п' -< п. TaKoro рода приближения дос..
тавляются подходящими дробями ri, ' 2 , r з . . . к числу а,
которые находятся при помощи теории непрерывных дро..
бей. Например, для длины окружности а,: измеряемой
1
диаметром l, приближения - TaKoBbll а 3l. t а 3 Т l.,
а:::::; 3 1 56 1 и т.д.; для длины- rодаа! измеряемой сутками l"
. 1 8
приближения таковы: а 365l, а 365 Т l" а 365 33 l.
3.3. РаССl\fотрение направленных отрезков на прямой,;
скоростей, моrущих иметь два противоположных направ"
ления, и тому подобных величин естественно приводит
к тому обобщению понятия скалярной величины, которое
является основным в механике и физике. Система скаляр..
ных величин в этом понимании внлючает в се9Я, кроме
положительных величин, нуль и отрицательные величи..
ны. Выбирая в такой системе какую..либо положительную
величину 1 за единицу измерения, выражают все осталь..
вые величины системы в виде а == al, rде а ......... действи"
тельное число, положите.ltьное, отрицате.ltьное или рае..
nое нулю. Конечно, систему скалярных величин в этом по..
нимании можно охарактеризовать и аксиоматичеСКИ f не
опираясь на понятие числа. Для этоrо пришлось бы не--
СRОЛЬКО изменить требования 1 10, которыми выше оха..
рактеризовано понятие положительной скалярной ве.-
личины.
3.4. В более общем смысле слова величинами называ..
ютс вепторы, тензоры и ДРУI'ие «нескалярные величи...
вы». Такие величины можно складывать" но отношение
неравенства (а < Ь) дЛЯ них теряет смысл.
3.5. В некоторых более отвлеченных математических
исследованиях иrрают известную роль «nеархи:медовы»)
величины, которые имеют с обычными скалярными вели...
чинами то общее, что для них сохраняются обычные свой..
ства неравенств, но аксиома 9 не выполняется (для ска..
лярных величин в С Iысле п. 3.3 она сохраняется с or<r
в'оркой, что Ь > О).
3.6. Так как система действительных положительных
чисел удовле'l'воряет перечисленныM выше аксиомам 1 10$
201
u ,
а систе lа всех деиетвительных чисел ооладает всеми СВОИ
ствами скалярных веJIИЧИН, то вполне законно сам:и дейст
вительные числа называть величина IИ. Это особенно при
пято при расеl\10трении пер е м е н н ы х величин.
Если какая либо КОНRретная величина, например длина l
HarpeBaeMoro fеталличеСI\оrо стержня, изменяется во
времени, то меняется и И3:\fерЯlощее ее число х == l/lo
(при постоянной единице измерения lo)' Само это :меняю
щееся во времени число х принимает в Rакие либо после
довательные м:оменты времени t 1 , t 2 , . . . «числовые зна
чения» Х 1 , Х 2 , · · .
в традиционной математической терминолоrии rOBo
рить о «переменных числах» не принято. Однако лоrичнее
такая точка зрения: ч и с л а, как и длины, объемы и т. п.,
Я В Л Я Ю т с я ч а с т н ы м и с л у ч а я м и в е л и
ч и Н, и, как и всякие величины, MorYT быть и переменны
МИ, и поетояпными. Столь же заКОННО и раСС fотрение пе
ременных векторов, тензоров и т. п.
По поводу принципиальноrо значения перехода К pac
смотрению переменных величин для Bcero развития MaTe
матики см. статью «Математика» в Большой Советской
Энциклопедии.
4. Алrоритм ЕВКЛИДА
А л r о р и т м Е в к л и Д а это способ
нахождения паибольшеао общеао делителя. Он был пред
ложен сначала в rеометрической форме для нахождения
наибольшей общей ;меры двух отрезков, или, вообще, двух
rеометрических величин. В этой же форме он имеется в
«flачалах» Евклида. Тот же, по существу, алrоритм при
)tеняется для нахождения наибольmеrо общеrо делителя
двух цеЛЬLХ чисел или ваибольшеrо общеrо делителя двух
JlftоаочлепО8. Только в современной алrебре эти разновид
вости алrоритма Евклида были отчетливо восприняты НаН
частные случаи одной общей теории.
4.1. Пусть даны два отрезка а и Ь. Они называются
с о и з м е р и м ы м и, если существует такой отрезок с,
который укладывается каRое либо целое число п раз в от..
резке а и Rакое либо целое число т раз в отрезке Ь. Лю..
бой такой отрезок с называется о б щей м е рой от..
рt'зков а и Ь. Если у отрезков а и Ь общей меры нет, то они
называются н е с о и з м е р и м ы м и. Среди общих мер
дпух отрезков а и Ь всеrда существует паибольшая общая
202
1\-1upa СО; любая ДРУl'UЯ ОJlцая. l\Iepa тех же отрезков у:клады
ваэтся в наибольшей lepe некот.орое целое число раз. Ha
ПрИ lер, наибольшей общей мерой отрезков 1000 м: 11 375 м
является отрезок длины 125 М, укладывающийся в первом
8 раз, а во втором 3 раза. Отрезки в 5 l-1 И 1 м: тоже бу..
дут общими м раlVIИ указанных отрезков, но уже не наи
большими.
АлrОрИТI\I Евклида позволяет найти ДJIЯ любых двух
СОИ3 Iери:мых оrрезков им:енно их наибольшую общую меру.
, I а
' Ь
Ь 2
f " b=b,+b z
I Ь, =2Ь ,
r""' b, а=2Ь+Ь,
Рис. 79
Состоит он в следующем. ЕСJIИ отрезки а и Ь равны,
то любой из пих может быть принят за отрезок Со. Если
отрезки не равны, то пусть а обозначает БОЛЫlIИЙ отре"
З0К, а Ь меныпий. В таком случае откладываIОТ вдоль
по отрезку а, начиная, скаiием, от леВОl"О ero конца
(рис. 79), отрезок Ь столько раз, скольн.о он уложится.
Если при этом не получается никакоrо остатка, то отре..
30К Ь И является наибольшей общей lерой (сам в себе он
уклаДJ)Iвается один раз). Если остается некоторый оста..
точный отрезок Ь 1 (который, очевидно, должен быть KOp
че Ь), то он откладывается вдоль отрезка Ь столько раз
сколько он уложится. Если при ЭТОl\{ не получается oc
татка, то Ь 1 и есть наибольшая общая мера Со. В случае"
коrда вновь получается остаточный отреЗ0К Ь 2 , оп откла
дывается вдоль отрезка Ь 1 и т. д. Если отрезки а и Ь СО"
измеримы, то процесс этот неизменпо кончится на KaKOM
либо шаrе с номеро:м k тем, что отрезок Ь К УЛОiI ИТСЯ целое
число раз в отрезке bk l (на рис. 79 это случается при
k == 2). 01'реЗОI{ b k и есть в ЭТОl\1 случае общая паиболь
шая мера отрезков а и Ь.
Алrоритм Евклида употребляется не только для Ha
хождения общей меры двух отрезков, но и для Д о I{ a
3 а т е л ь с т в а с у Щ е с т в о в а н и я среди общих
203
м:ер наибольшей, а также для доказательства Toro, что
любая друrая их общая мера содеРil ИТСЯ некоторое целое
число раз в наибольшей. Это теоретическое назначение
алrоритма Евклида в rеометрии является основным, так
как в конкретной ИЗl\fерительной практике указанный
способ нахождения наибольшей общей меры отрезков Mor
бы найти лишь очень оrраниченное применение.
4.2. Пусть а и Ь........ два положительных целых числа,
причем а > Ь. Деление с остатком числа а на число Ь
всеrда приводит к результату а == nЬ.+ Ь 1 , rде (неполное)
частное n является положительным целым числом,
а остаток Ь 1 либо О, либо положительное целое число,
меньшее Ь: О -< Ь 1 < Ь. Будем производить последо--
вательное деление:
а == nЬ + Ь 1"
Ь == n 1 b 1 + Ь2
b 1 == n 2 Ь 2 + Ь Зf
(1)
i _ . . . . 9 .
(rде все время ni..... положительные целые числа и О <
< b i < bi l) до тех пор, пока не получится остаток,;
равный нулю. Этот равный нулю остаток b k + 1 можно не
писать,! так что ряд равенств (1) закончится так:
bk 2 == nk lb" 1 + Ьк,;
bk l === nkbk.
В курсах арифметики доказывается,' что последний
положительный остаток Ь" в этом процессе и является
наибольшим общим делителем чисел а и Ь. При этом ал
rоритм Евклида служит не только для нахождения об
щеrо наибольшеrо делителя,. но и для доказательства
caMoro ero существования.
4.3. Пусть теперь А (х) и В (х) ..... два .м,nО80члеu"Q,.
Если степень мноrочлена А (х) не меньше степени MHoro
члена В (х),. то рассматриваемое во всех элементарных
учебни:ках алrебры действие «деления с остатком» заклю..
чается в том, что находится мноrочлен «частное» N (х) и
мв rочлен «остаток» В 1 (х), обладающие тем свойством,
что
А (х) ==== N (х) В (х) + В 1 (х),
204
.приче:м: степень остатка В 1 (х) меньше степени В (х). Пр 040.
цесс последовательноrо деления
А (х) == N (х) В (х) + В 1 (х),.
В (х) == N 1 (х) В 1 (х) + В 2 (х),
..,. ... .... ,., ...,
Bk 2 (х) == N " 1 (х) Bk l (х) + В" (х),;
Bk l (х) == N k (х) В" (х)
В случае мноrочленов в с е r Д а кончается получением
остатка Bk+l (х) (не выписанпоrо у нас), paBHoro нулю.
Последний отличnый от пуля остаток В" (х) и есть паи..
больший общий делитель жnоаочлеnов А (х) и В (х).
Алrоритм Евклида для о т р е э к о в (см. п. 4.1)
может оказаться и бесконечным. Это будет в том (и толь-
ко в том) случае, если взя"
тые отрезки а и Ь ltесоuз,м,е pи А
.мы. Таков, наПрИl\fер, случай
диаrонали и стороны квадрата.
На рис. 80 изображен квадрат
ABCD с диаrональю А С == а и
стороной DC == Ь. Мы строим
отрезок AD' == AD == Ь, а на
отрезке D'C == Ь 1 квадрат
А' В' CD' . На диаrонали MeHЬ
шеrо квадрата откладываем
А' D" == А' D' == Ь 1 . Леrко дока..
эать, что уrлы, отмеченные на
рис. 80 двумя дужками, равны
1/4 прямоrо уrла. Поэтому
DA' == A'D' == Ь 1 . Первыешаrи алrорит:ма Евклида в рас..
сматриваемом случае будут таковы:
а == АС == AD' + D'C == Ь + Ь 1 "
Ь == DC == DA' + A'D" + D"C == 2Ь 1 + Ь 2 .
в силу подобия фиrур ABCDD' и A'B'CD'D",: при
откладывании отрезка D"C == Ь 2 вдоль отрезка D'C == Ь 1
повторится точно та же картина, какая наблюдалась при
откладывании отрезка D'C == Ь 1 вдоль отрезка D{: == Ь.
ПОЭТОl\IУ дальнейшие mаrи алrоритма Евклида будут
таковы:
Ь 1 == 2Ь 2 + Ь з ,;
Ь 2 == 2Ь з + Ь 4 ,
Ь з == 2Ь 4 + Ь 5 "
8
Q
Рис. 80
. j . . . . ! . . .
203
и так далее до бесконечности. Именно на ЭТОl\I пути rpe
ческие матеl\-Iатики впервые открыли с у Щ е с т в о в а
н и е н е с о и з м: е р и 1\1 Ы Х О т рез к о в.
Так как отношение диаrонали квадрата к стороне
равно у 2 , то приведенное rеометрическое доказательство
песоизмеримости диаrонали и стороны квадрата Bl\rleCTe
с тем является и доказательством иррациональности числа
-У 2 . В силу сказанноrо выше У2 разлаrается в беско
печную непрерывную дробь следующеrо вида:
1
у2 === 1 +
2+
1
2+
2+
2: + . . .
1
5. О РЕШЕНИИ ДЕСЯТОЙ ПРОБЛЕМЫ
rИЛЬБЕРТ А *)
В «!\ванте» М 3 за 1970 rод сообщалось о выдающем..
ся успехе ленинrрадскоrо математика ю. В. Матиясевича, которо"
му удалось сделать завершающий шаr в решении одной из знаме-
нитых «проблем rильберта», поставленных еще в 1900 rоду. Работа
Ю. В. Матиясевича опубликована в Докладах Академии наук
СССР **). И что бывает редко вдумчивый школьник может само--
стоятельно разобраться в основном содержании этой. работы, имею-
щей важное значение для современной математической науки. Дело
в том, что ориrинальная часть работы Ю. В. Матиясевича посвяще..-
на доказательству теоремы, формулировка которой вполне элемен"
тарна и приведена в публикуемой нами статье. Методы доказатель-
ства тоже элементарны. Труднее, правда, объяснить на понятном
школьнику языке, почему эта теорема о числах Фибоначчи имеет
столь значительный интерес для серьезной математической науки.
По своей формулировке и методам доказательства она скорее напо--
минает хитроумную олимпиадную задачу.
5.1. Теорема о числах (Dибоначчи
Во всем дальнейшем мы будем иметь дело
только с Ц е л ы м и числами. Рассмотрим TaKQe свойство
пары чисел (а, Ь):
«Ь делится па а'Ь.
*) Статья написана в соавторстве с Ф. Л. Варпаховским.
* *) Вот название и точный «адрес» статьи: М а т и я с е в и ч ю. В.
Дllофантовость перечислимых множеств /1 ДАН СССР, 1970.......
Т. 191. М 2.
2\10
Это свойство пары чисел можно выразить и так:
«существует число х такое, что ах ...... Ь == О».
Мы выразили наше свойство пары чисел (а,_ Ь) через cy
ществование решения уравнения
ax b==O
(наПО IНИ 1 еще раз, что 1\fbl Иl\lеем дело только с целыми
числами и, значит, только с Ц е л ы м и реш е н и я
м и). Уравнение это имеет вид
р (а., Ь, х) == О,,
rде Р .......... l\lноrочлен от трех переменных а, Ь, Х..
Введем теперь общее о п р е Д е л е н и е: свойство
к,оneчной последовательности чисел (а 1 , а 2 , . · ., llm) Ha
аЫ8ается диофантовьtМ, если существует такой .мпоеочлен,
от т + п пере.лtеннь х
Р (a 1 , а 2 , · · ., а т , X 1 , х 2 , · . ., Х n) ,
что последовательность (a 1 , а 2 , . . ., а т ) обладает пa
шu.м, свайством в тоеМ и только в том случае, коеда сущест
вуют числа Xl, Х 2 , . . . ,Х п , для Koтopь x
р (a 1 , а 2 , · . ., а.,.n, X 1 , Х 2 , . . ., Х n ) == о.
Основное достижение l'Ilатиясевича как раз и состоит
в доказательстве диофаНТО80СТИ neKOToporo специальноI'О
свойства пар чисел (а, Ь).
Мноrие из вас знаКОl\fЫ с ЧИСЛ.(ll\IИ Фибоначчи
1l'0 == О, '1'1 == 1,
'1'2 == Фо + '1'1 == 1,;
'1'3 == '1'1 + '1'2 == 2'1
'Ф4 == 'Р2 + '1'3 == 3"
'1'5 == '1'3 + '1'4 == 5,<
........ ..jJ
бесконечная последовательность которых определяется
рекуррентной формулой
'Рn+l == 'Фп 1 + 'Фn.
Свойство пары чисел (а, Ь), которым зани:мается Матиясе-
БИЧ, таково:
«Ь есть число Фибоначчи с по.меро.м 2а»" т. е. Ь :::::: 1l'2a-
ЛСИО t ЧТО этим свойством обладают пары
(О, О), (1, 1), (2, З), (3, 8)
281
и т. д. У'тверждение, что свойство МатиясеВТi!ча дuофан'
тово, . означает, что существует мноеочлеn
Q (а, Ь, Х 1 , Х 2 , . . ., Х п )
тапой, что Ь будет числом ФиБО1Шччи с пOMepO t 2а тоеда и
то.льпо moeaa t поеда существуют та1\,ие числа Х 1 , . . ., Х п ,
что
Q (а" Ь, Хl, Х 2 , . . ., Х п ) == О.
Мноrочлен Q с целыми коэффициентами 1\1:0iHRO было
бы в принциие явно выписать. Матиясевич этоrо не делает
и даже не указывает, каково число п дополнительных
переменных.
Что Rасается доказательства сформулированной Teo
ремы,,- ТО" как уже было сказано, оно вполне элеl\1Iентарно.
Матиясевич ссылается на одну ле:мму, доказанную
в книжке Н. Н. Воробьева «Числа Фибоначчи», предпаз
наченной для школьников, и один результат, доказанный
в более ученой книrе А. и. Мальцева, но тоже элемен
тарный. В самой работе Матиясевича девятнадцать ле П f
приведены без доказательства, но доказательство каiНДОЙ
из них в отдельности не труднее обычных задач для mколь
ников. Трудность состояла в TOl\1I, чтобы найти ту Иl\Iенно
к о м б и н а Ц и ю элементарных предложений, которая
ведет к конечной цели.
5.2. Поче му все ЭТО так важно?
Если бы мноrочлен Q Матиясевича был
в са1\10М деле очень нужен мате:матикаl'rl для проведения
каких либо расчетов, то вероятно, Матиясевич не поле
пился бы ero явно выписать. Но в действительности сам:о
обращение к числам Фибоначчи являлось для Матиясе
Бича лишь вспо:моrательным средство:м для установления
весьма общих и важных закономерностей.
В случае свойства Матиясевича существует очень
простой реrулярный способ (алrОРИТl'rI) для последователь
поrо выписывания всех обладающих этим свойством пар
(О" О), (1, 1), (2,3), (3,,_ 8), (4, 21),- (5,,55), I j ,
Так как l\,lножество этих пар бесконеЧНО J то процесс их
вьmисывания никоrда не кончится, Но I\lbl располаrаем
правилом, по KOTOpOl\IY наши пары можно выписывать
одну за друrой с уверенностью в TO fl что:
208
1) буд ут выписаны т о л ь R О пары, обладающие
с поЛ:ством l\1атиясевича;
2) :J ю б а я пара, обладающая свойством l\fатиясе--
вича, рано или поздно б у д е т выписана.
в ведеl\f еще одно о п р е Д е л е н и е: свойство (на
более ученом: ЯЗЫRе «npeaU1'i,aт») Rонечной последователь
ности чисел (а 1 , а 2 , . . ., а т ) называется nеречисли.жыж,_
если существует правило, позволяющее при помощи ме--
ханичеСRоrо применения этоrо правила получать одну за
друrой последовательности, с непременностью обладаro
щие заданным свойством, и притом так, что любая после
довательность, . обладающая этим свойством.t рано или
поздно будет получена.
С совреl\lенной точки зрения самым значительным след..
ствиеl\1 теореl\IЫ Матиясевича о числах Фибоначчи явля
ется
т е о р е м: а 1. Любое nеречисли.мое свойство к.онеЧ1-l0и
nоследоватеЛЬ1-l0сти чисел является диофаnтовы.м.
До 1961 rода эта теорема казалась бы крайне неожи...
данной. Но некоторый более слабый результат Д е в и..
с а, П у т н а м а и Р о б и н с о H, доказанный
в 1962 rоду, сделал такую rипотезу уже не столь невероят
ной. На ее доказательство матемаТИRаl\lИ были затрачены
немалые усилия. Матиясевич и воспользовался некоторы--
IИ, кан rоворят, «редукциями» проблемы к более специаль..
ным задачам. Но идея свести все к свойствам чисел Фибо
наччи была и в обстановке, сложивmейся R 1970 rоду,
неожиданной.
ТаКИl\1 обраЗОl\f, крупный успех Матиясевича требовал
соединения понимания больших проблем современной
]\fатематики и эрудиции в своей области с искусством: па
ходить неожиданные вполне элементарные пути решения
специальных задач.
5.3. В каком смысле lVIатиясевич решил
десятую проблему rильберта
в десятой проблеме rильберта *) речь идет
об уравнениях вида
р (х 1 , Х 2 " , i ., Х п ) == о "
rде Р м:ноrочлен с целыми коэффициентаl\lИ_ С т е..
n е н ь ю TaKoro уравнения называют степень мноrочлена
*) Более подробно о проблемах rильберта можно прочптать в
I\пиrе д. rильберта «Математические проблемы)} (Наука, 1969).
2'09
Р. Коrда вопрос ставится о нахождении их решений
в целых числах, эти уравнения называются «диофанто"
выми». Например" уравнение
х 2 + у2 == 1
имеет четыре решения в целых числах
х == + 1, у == ::i:1jJ
а уравнение
х 2 +у2==3
в целых числах решений не имеет.
Теперь предоставим слово самому fильберту,
«Пусть дано nроиаволыwе диQФаН,тово уравueние с npfr
иавольн'ым' ЧUCМJЖ неиавестных...; требуется упааать об..
щий .метод, следуя ltоторо.му .м,ожnо БЫJtо бы в понечное
число шае08 уаnaть, иJпeeт данное уравнение решение
в целых ЧUC.IШX. . . u.л,u пет».
rильберт, по"видимому" был убежден, что искомый
общий метод существует, и дело заключалось лишь в том,
чтобы найти ero. Немало усилий было затрачено, чтобы
отыскать этот метод, но СКОЛlт-нибудъ обнадеживающих
результатов не получалосъ.
Задача о целых решениях произвольноrо уравнения
nerKo сводится к задаче о натуральных (целых неотрица
тельных) решениях. Дал е, совсем нетрудно показать,
что достаточно оrраничиться диофантовыми уравнениями
степени н е в ы m е q е т в е р т о й. Для диофантовых
уравнений степени не выше второй искомый общий метод
был найден, но уже уравнения третьей степени не подда--
вались никаким усилиям.
В связ» с неудачами в этом направлении возникло по..
дозрение, что этот общий метод, об отыскании KOToporo
rоворится в формулировке rильберта, попросту не сущест..
вует! Сходная ситуация сложиласъ и в ряде друrих задач
аналоrичноrо характера. Однако одно дело найти требуе
мый общий l\fетод тут достаточно было только предъя--
вить этот метод и непосредственно убедиться в том, что он
удовлетворяет условиям, выдвинутым rильбертом. А вот
чтобы доказать несуществование HeKoero общеrо метода
для реmения серии задач, требовалось дать точное опре
деление тому" что такое этот общий метод, как и какими
средствами оН может быть реализован.
В начале тридцатых rодов соответствующие определе-
ния были выработаны в трудах американскоrо ученоrо
Чёрча и авrлийскоrо учевоrо Тъюривrа. Эти определ&-
210
ния положили начало теории алrоритмов. Оrлядываясь
. на пройденный путь, м:атематики должны быть блаl"одар
ны десятой проблеме rильберта уже за то, что она послу
жила одним из стимулов для создания этой теории.
В рамках теории алrоритмов было получеnо и точное
определение понятия «перечислимое свойство», которым
l\lbl воспользовались в предыдуще:м пункте.
Оказалось, что из диофантовости любоrо перечислимо
ro свойства конечной числовой последовательности BЫTe
кает
т е о р е м а 2. Невоз ожен общий .метод (алеоритм),
позволяющий для лю60ео заданноео диофантова уравнения
установить, и.меет опо решения в целых числах или пет.
Матиясевич' из своей теоремы о диофантовости спе
циальноrо свойства пары чисел (а, Ь)
Ь == 'i'2a
вывел доказательство теорем:ы 1, из которой, как уже было
известно, вытекает теорема 2, т. е. отрицательное решение
десятой проблемы rильберта.
Для о.кончательноrо понимания Bcero сказанноrо вам
не хватает только отчетливоrо знания Toro, что такое
«алrоритм» (общий метод решения бесконечноrо ряда за
дач) и что такое «перечислимое свойство» (перечислимый
предикат). Но это уже значительно более трудная тема
5.4. Определения и факты
теории алrоритмов
1. Среди функций, определенных на множе.-
стве IN натуральных чисел и принимающих натуральные
значения, следующим образом выделяется класс при.ми..
тивuо репу рсивnых функций.
Рассматриваются функции S (п) == п + 1 и q (п) ==
== п....... р, rде р2 -< п < (р + 1)2. Из произвольных функций
t (п) и g (п) разрешается образовывать функции h 1 (п) ==
== f (п) + g (п) (операция с л о ж е н и я), h 2 (п) ==
== f (g (п)) (операция п о Д с т а н о в к и), а из одной
ФУIIRЦИИ f (п) функцию, определяеМУIО равеНtiтвами
h3 (О) == О, h3 (п + 1) == f (h з (п)) (операция и т е р и р о ..
в а н и я). Класс примитивно рекурсивных функций со--
стоит из функций S, q и всех тех функций, которые MorYT
быть получены из них конечным числом сложений, под
становок и итерирований.
211
При м е р. Покажем, что функции ер (п) === 2п и
'Ф (п) == 2п + 1 примитивно реRурсивные. ПРИl\Iен:им CHa
чала операцию итерирования к функции S (п) === п + 16
Тоrда h (О) == О, h (п + 1) == S (/ (п)) == h (п) + 1.
Следовательно,- h (п) == п и ер (п) получается применением
операции сложения к двум функциям, каждая из которых
равна h (п): ер (п) == h (п) + h (п) == п + п == 2п. Нако"
вец, функция 'ф (п) получается операцией подстановки,=
ПРИl\Iененной к функциям S (п) == п + 1 и ер (п) == 2п:
'1' (п) == S (<р (п)) == S (2п) ==. 2п + 1.
2. Множество М натуральных чисел называется пе..
речислижь ж, если оно совпадает со множеством значений
некоторой примитивно рекурсивной функции.
Так, например, множество четных чисел перечислu.мо,
так как является множеством значений ПРИl\fИТИВНО ре.-
курсивной функции ср (п) == 2п. Множество нечетных
чисел, совпадающее со множеством значений примитивно
рекурсивной функции '1' (п) == 2п + 1, такжеперечислимо.
3. Множество М называется раз р е m и м Ы м, если
оно перечислимо вместе со своим дополнением IN" М
(rде rN ....... множество всех натуральных чисел).
В частности, разрешимо множество четных чисел, по--
скольку оно перечислимо вместе со своим дополнением
(множеством нечетныIx чисел).
4. Существуют перечислuмые, по пераарешuмые .мН,()
жества.
Можно привести конкретный пример TaKoro множества, однаКО
соответствующая констру:кция технически слишком сложна, для
Toro чтобы ее можно было выполнить в рамках настоящей заметки.
Пусть теперь дано некоторое множество l натураль..
ных чисел. Можно задаться ВОПрОСОМ I существует ли об-
щий метод,- который по каждому натуральному п опреде..
лоот за конечное число maroB, принадлежит это п множе..
ству JII/ или нет. Основное положение теории алrоритмов
(тезис Чёрча) утверждает,. что та-пой метод (алеоритм)
существует тоеда и талъпо тоеда" -поеда множество раа-
решuжо.
Для отрицательноrо решения десятой проблемы rиль..
берта достаточно было доказать диофантовостъ nаждО20
перечисли.м,оео жnожества" Т. е. по каждому переЧИСЛИl\IО"
му l\fножеству М уметь строить такое диофантово урав..
нение Р (у, X 1JJ . . ',?, Xk) == о;; которое имело бы патураль
212
Ibfe решения X 1 , . . ., Х" дЛЯ всех у, принадлежащих М.,_
и только для таких у.
В са?\10?\I деле, если бы это можно было сделать, то
взяв в качестве М н е раз р е m и м о е множество
(такие есть среди перечислимых, СМ. п. 4), мы получили
бы, что уже для соответствующеrо равнения Р (у, X 1 , . . .
. . ., ХК) == о нет общеrо метода (алrоритма), который по
каждому натуральному у давал бы ответ на вопрос о cy
ществовании у этоrо уравнения натуральных решений.
Ведь если бы этот метод имелся, то можно было бы за
конечное число шаrов узнать, имеет ли уравнение
р (О, Xl'...' Xk) == о решение (т. е. принадлежит ли
число О множеству М), им:еет ли уравнение Р (1, X 1 , . . .
. . ., Xk) == о решение (Т. е. принадлежит ли число 1 MHO
ж,зству М) И Т. д. Получилось бы, что существует о б щ и й
метод, который по каждому натуральному у определяет за
к о н е ч н О е число maroB, принадлежит это у множест
ву М или нет. Тоrда в силу тезиса Чёрча М было бы раз
решимо вопреки выбору этоrо множества.
5.5. Что было сделано
и что сделал атиясевич
В пятидесятые rоды rруппа американских
математиков (Р. Робинсон, х. Путнам, М. Дэвис,
Дж. Робинсон) получила ряд значительных и обнадежи
вающих результатов в поисках доказательства диофанто
вости переЧИСЛИl.1ЫХ множеств. (rипотезу о диофантово--
сти перечислимыx множеств выдвинул Мартин Дэвис.)
АмерикаНСRИМ учены\11 ценою значительных усилий
удалось свести задачу к доказательству диофантовости
отношения у == z'U. Джулия Робинсон пошла даже He
сколько дальше, показав, что достаточно построить коп
кретное уравнение R (и, и, X 1 ' . . ., Xk) == О, не допу
скающее решения с v > и и, но для каждоrо n имеIощее
решение с v > и n. Именно TaKoro рода уравнение и yдa
лось построить ю. В. Матиясевичу, преДЛОiJ1\ившему
вполне элементарную, но чрезвычайно OCTPOYM'HYIO и
ориrинальную конструкцию. При этом пришлось решать
задачу, необычную для традицион ой теории чисел. Ведь
в теории чисел по заданному уравнению, как правило,
исследуются свойства ero решений, здесь же, наоборот,
задавшись определенными свойствами решений, Hyп HO
было искать требуемое уравнение.
213
Обратившись 1\ рас мотрению ПQследоватеДЫIОСТIl
Фибона чи, Матиясевич заftlетил, что если за и взять
nоловипу пожера четnоzо члена последовательности, а за
v саж члеn, то неравенство v > и и будет всеrда н е
в е р н о, а для любоrо п можно найти такой четный
член последовательности, что неравенство v > и n будет
в е р н о. Это обстоятельство иллюстрируется таблицей,
приведенной ниже. (В ней выделены те клетки, в которых
числа и" оказываются меньше соответствующих чисел v.)
После Toro как указанное свойство было проверено"
Матиясевич «подправил» последовательность Фибоначчи,
выбросив из нее нечетные члены. Именно" он paccMOTpellll
Номер члена
последова О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
теoJ'1ЬНQCТИ
Член после О 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
дова тель
ности v
Половина О 1 2 3 4 5 6
номера чет
Horo члена
последопа
тельности и
и и 1 1 4 27 64 3125 47 250
и О 1 1 I 1 1 1 1
.
и 1 О 1 3 4 5 6
и 2 О 1 4 9 , 16 25 36
и О 1 8 27 64 125 216 L
последовательность,_ задавае)IУЮ соотношениями: (f)o == O'j
«>1 == 1, (f)n+l == 3(f)n (f)n l. Получиласъ, в точности по..
следовательность из ч е т п ы х ч л е. н о в первоначаль--
вой последовательности: (f)o :::;:: О, (f)1 == 1, (f)2 == 3, <rз ==
== 8, (f)4 == 21,- (f)5 == 55, (f)6 == 144, (f)7 == 377 и т. д. Приняв
теперь за и номер члена последовательности, а за v
член последовательности с номером и, т. е. (f)и, мы полу..
чаем:, что снова выполняется требуемое свойство для и
и v. Теперь оставалось построить уравнение Р (и, v, Х 1 , . . .,
. . .,: х,,) == О,; которое имело бы натуральное решение
т о r Д а и т о л ь к о т о r Д а, коrда V == (f)u,.........
дальше можно было бы сослаться на результат Д}кулии
Робинсон! Для этоrо достаточно было бы построить систе..
иу диофантовых уравнений Р 1 == О, . . ., р n == О в пере--
иенных и, v, Х 1 , . . ., X"t Иl\lеющую реm,ение тоrда и
214
только Torna, Rоrда v == <ри,........ ведь такая еиетеl\fа Иl\iIеет
в точности те же решения, что и е Д и н с т в е н н о е
уравнение pi + . . . + p == О. Вот в каком виде поду
чил Матияеевич требуемую систему уравнений:
1) и + (а 1) === и,
2) v + ь == l,
3) t 2 lk k 2 == 1,
4) g2 gh h 2 === 1,
5) l2C === g,
6) ld === r 2,
7) (2h + g) е == r 3, .
8) х 2 ........ rxy + у2 == 1,
9) lp == х и,
10) (2h + g) q == х и.
Для доказательства Toro, что существование натураль
Horo решения этой системы равносильно соотношению
v == <Ри, Матиясевич использовал следующее характери..
стическое свойство последовательности {<Рк}:
пара условий х < у и х 2 3ху + у2 == 1 равносильна
существованuю тa1i,oeo k, что х == <Рк и У == <Pk+l.
Интересующемуся читателю рекомендуем попробо
вать свои силы на доказательстве этой равносильности.
Укажем в заключение, что найденное решение десятой
проблемы имеет ряд интересных следствий, из которых,
l\lожет быть, наиболее эффектным является следующее:
.можно Y1i,aaamb 1i,OH1\.pemnblU .мnоеочлен пятой стеnени,'
:множество n о л о ж и т е л ь Н bt Х значении 1i,omopoeo
совпадает со множество,м, всех npocmbtx чисел!
Математическая наука записала в свой актив cepьe
ное и поучительное достижение.
3 а Д а ч и.
1. Покажите, что для любоrо k числа СРК и q:>k+l взаимно просты.
2. Докажите соотношение: q:>k+l == q:>k+lq:>l q:>kq:>l l'
3. Покажите, что диофантово уравнение Р (у, Хl, . . ., Xk) == о
имеет решение в целых положительных числах тоrда и только тоrда,
Rоrда такое решение имеет уравнение
Z == (1 Р (z, Хl, . . ., XJr)2) у.
G. К ОБОСНОВАНИIО ТЕОРI'IИ
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Обычно при построении теории веществе IIЫХ
чисел предполаrают уже построенной теОРИIО рациопаль...
ных исел. Возможно поступать иначе и вводить вещест
венные числа н е n о с р е Д с т в е н н о в с л е Д з а
2'L5
ц е л ы м и. Предлаrаеl\fЫЙ далее способ TaKoro обоснова
вия теории вещественных чисел является не чем иным,
как современным фОрl\lализоваННЫl\1 изложениеl\f евклидо
вой теории отношений. Ради достижения наибольшей про
стоты и близости к классическому евклидову постро
иию строится система положительных вещественных чисел.
Присоединение к ней нуля и отрицательных вещественных
чисел можно произвести хорошо известным обычным
способом.
Мы предполаrаем известнщми только неотрuцатель--
nыe целые числа О, 1, 2, 3, 4, 5,. 6t 7,. . ..;, и обозначаем их
калыми латинскими буквами. Эти числа, за исключением
НУЛЯ, называются н а т у р а л ь н ы м и. Если т не--
отрицательное число,; а n натуральное число,: то знак
[7]
обозначает неполное частное от деления т на n, т. е. наи..
большее целое число k,. для KOToporo
kn < т.
О п р е Д е л е п и е 1. П оложumельным вещественным
числом uaзы,аетсяя однозначuaя Фунпцuя т == ер (п), оп..
ределенная для всех натура.яьных п, с неотрицательныжu
целы.м,u зпаченuямu т, поторая обладает следующuжи
саоиства.м,u:
1) для всех naтуральных k
<р (п) === [ ф n) ] ;
2) для любое о натура.яьноео n существует тапое на-
туральное k, что
ер (kn) > k. ер (п).
Положительные вещественные числа будем обозначать
малыми rреческими буквами, а множество положительных
вещественных чисел буквой Ф. Отношение порядка и опе--
рации сложения и умножения вводятся в множестве Ф
такими определениями:
О п р е Д е л е н и е 2. ер < Ф обозначает, что сущест
вует тапое натуральное n, для' потОРО80 <р (п) < ф (п).
О п. р е Д е л е н и е 3. ер + ф == х обозначает" что для
всех nатуральных п
Х (п) == тах [ Ф (kn) t '" kn) ] ,
:.де тах берется по всем патуральныж k.
216
о пр е Д е л е н и е 4. (j).'Ф == х. обозначает" что дм ece..k
нату раЛЬНЬ"tх п
х (п):::=: шах [ fP (kn).'i' k'n) ]
n.k.k '
еде тах берется по всем пара.м, 1Ютуральных k и k'.
Задача, предлаrаемая вниманию читателей, заключает"
ся в Д о к а з а т е л ь с т в е Toro, что множество Ф
с определенными выше отШJшения.ми порядпа и операциями
сложения и умножения действительно обладает все.ми
свойствами оБЬ"tЧНЫХ положительных вещественных чисел
(т. е. изоморфно системе положительных вещественных
чисел, построенных любым друrим общепринятым спосо--
БО1\I) .
3 а м е ч а н и е 1. При люБО)1 натуральном r функ..
ция (j)r (п) == nr 1 удовлетворяет условиям определе.-
ния 1, т. е. является в нашей концепции ПОЛОil ительным
вещественным числом *).'
Это «число» (j)r естественно идентифицировать с на..
туральным числом r. При таком соrлашении система Ф
делается расширением системы натуральных чисел.
3 а м е ч а н и е 2. Присоединив к Ф число нуль и
УСЛОВИВIПись, что
О + О == О,
0.0 == О,
и для всех <р из Ф
О < <р,
q> + О == О + (j) == (j) <р.0 == О. (j) == О"
получим систему ф' неотрицаlnельных вещественных
чисел. MHOi-иество ф' после соrлашения, сделанноrо в за..
мечании 1, содерil\ИТ в себе в качестве подмножества мно--
жество всех неотрицательных целых чисел.
Естественно теперь для любоrо (j) из Ф по определению
положить [(j)] (целую часть (j)) равным наибольшему из
целых чисел, для которых
т < <р.
3 а 1\1 е ч а н и е 3. Если определить деление в Ф'
как действие, обратное умножению, то можно покаваТЬ t
что для любоrо неотрицательноrо целоrо т и натураль-
*) Читатель леrко обнаружит, что функция Р т (п) == nr не
удовлетворяет условию 2 определения 1 и поэтому в МНОiиесrво
. Ф не входит.
217
Horo n (рассматриваемых как элементы множества Ф')
результат двойной операции деления и взятия целой час и
[ : ]
совпадает с неполным частным, определенным: непосред
ственно.
3 а м е ч а н и е 4. Наконец, можно доказать, что
ДЛЯ любоrо <р из Ф
ер (п) == ерп 1 в случае q> целоrо;
q> (п) == [q>n] 1 в случае ер дробноrо (нецелоrо).
Таким образом, q> (п) 01Ш8Ы8ается в :nонце попцов пе чем
иным, мп наибодьшu.м, цедыМ, ЧUCДОМ, т, ддя потОРО20
'; < <р.
в формальном изложении HOBoro способа п о с т р о е ..
н и я системы действительных чисел это предложение He
избежно должно явиться лишь заключительным звеном
длинной цепи определении и выводов из них.
Но ОНО, конечно, является исходным пунктом для по..
нимания 3 а м ы с л а этоrо построения.
7. ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
7. f. Задача
о периодических последовательностях
По любому натуральному числу n можно
построить друrое натуральное число т по следующему
правилу: запишем число п русскими словами и подсчи
таем количество затраченных на эту запись б у к в
зто и будет число т. Например, числу п == 1987 (тысяча
девятьсот восемьдесят семь) отвечает число т == 30.
Делая такие сопоставления п --+ т для маленьких п,
леrко найти те из пих, которые «переходят» сами в себя
(то есть т == п): это п 1 == 3 (т р и) и п 2 == 11 (о д и Н..
в а Д Ц а т ь). Однако есть еще одна тройка замечатель--
вых чисел, которые указанным преобразованием переводят...
ся друr в друrа п о Ц и к л у. Эта тройка Состоит иа
чисел 4, 5 и 6:
"(цеmыре) < 5(ппть)
/
li(шеqть)
218
А что происходит с друrими числа.МИ? Чтобы выяснить
это, надо провести мноrократные и т е р а Ц и и указан..
Boro преобразовавия над выбраННЫl\1 числом и выписать
получающуюся цепочку чисел. Например:
1987 ЗО{тР118цать) 8(lJосемь) 6 5
'41
Первый же взятый науrад ПрИ lер привел нас к циклу
6 --+ 5 --+ 4 --+ 6. Конечно, IIм:еется таКfI\е MHoro чисел"
сводящихся и к «неподвижным)} точка I п 1 == 3 и п 2 == 11
нашеrо преобразования. Н о все ли числа сводяп1,СЯ в xo
печпом счете 1'i, этим неподвижnым точпам или п циклу
4 --+ 6 --+ 5 --+ 4?
Полное решение этой задачи состоит в последователь
HOl\1 решении двух более простых задач:
1. Н айти все неподвижные точки и циплы, указапnоео
преобразования (две неподвижные точки и одиn цикл nами
уж е nайдены).
2. Д опазать, что любое число n с noм,ощью поneЧ1l0ео
числа итераций сводится к одnой из nenодвижnых точеп
или одному uз циу;,лов.
Второе ytbePi-l\дение Bal\I l\Iожет показаться СОМIIитель
ным тоrда попытайтесь опроверrпуть ero!
Если вы знаете какие нибудь друrие языки, порешайте
аналоrичвую задачу и для них. Оказывается,- что' для
любоео язьtка из иыne существующих (даже, бьtть о/1tожеln,
вам neизвестных) можно чисто .математическими рассужде...
пиями решить вторую из указапnых задач. Замечу при
этом, что все числа, входящие в неПОДВИiнные точки и
циклы на этих языках, н е п р е в о с х о Д я т 100.
Почему?-
По поводу этой задачи l\fОiRПО ставить и друrие вопр
сы. Например:
3. Каповы классы эквивалентnых в смысле расс.м,атриваi!
.моео преобразования чисел? (Два числа эквиваJIентнь , если
они сводятся к одной и той же неподвижпой точке или од..
НОМУ И тому ,не циклу.)
4. Оцепить число шаzов (итераций), за которое даппое
число «превращается» в neподвuжн'.УЮ точку или попадает
в ЦU1WJ.
2t9
Эти вопросы уже существенно сложнее, и на их реше--
пии я не настаиваю.
А теперь берите карандаши и бумаr}' и принимайтесь
88 решение!
7.2. Решето Эратосфена
Эта красивая форма решета Эратосфена
(рис. 81) заимствована из книrи М. rарднера «Maтe.мaти
чеспие досуеи» (Мир., 1972). Все не перечеркнутые числа
простые, кроме числа 121.
Ф @ Объя-сните, почему!
3 а.д а ч а 1. Чтобы
получить CпиCOI'i, простых
чисел, меньших 1000, надо
{<отсеять» числа, l'i,omopble
делятся на 2, 3, 5, 7, 11 ...
н а l'i,aI'i,OM просто.м числе
можно при этом ocтaHO
виться?
К al'i, изменится отвеln
для случая составления
таблицы, простых чисел,
.меньших 10 ООО?
Восклицательным зна
ком 01мечены в таблице
@l (рис. 81) пар простых
чисел «близнецов». В нашей
@ таблице их десять.
Известно, что простых
@I чисел бесконечно MHoro.
@ Но никто не знает, конеч..
но или бесконеч:tlо множе..
ство пар близнецов.
3 а д а ч а 2. ПервьU!две
пары, близнецов (3, 5) и (5, 7)
имеют общий эле:мент (5).
«Расстояние» между второй
и третьей парой блиаne--
цов (11, 13) равно
11 ...... 7 == 4.
Рис. 81
ею
Расстоянuе:между третьей
и четвертой (17,. 19)
17 ..... 13 == 4.,:
Jttежду четвертой и пятой (29" 31)
29 19 == 10.
Допажите, что далее расстояние между соседними nарами
близнецов nипоеда nе будет меnьше четырех.
7 .3. Паркеты
из правильных мноrоуrольников
7 .3.1. Ч т о т а к о е пар к е т. Самый
простой, но и самый скучный паркет получается, если
плоскость разбить на равные квадраты так, как показано
а
{j
Рис. 82
о
на рис. 82, а. Здесь два квадрата имеют либо общую CTO
рону, либо общую вершину, либо со'все:м не имеют общих
точек.
П арпето.м, буде.м, nазывать тапое nопры,иеe nлоспости
nравиль1tы,ии мnоеоуеольnипа.ми, при потором два .мnоео--
уеольnипа и.меют либо общую сторону, либо общую вep
шипу, либо совсем nе имеют общих точеп.
Вероятно, вам случалось видеть паркет, составленный
из правильных восьмиуrольников и квадратов (рис. 83,. а).
а
Рис. 83
tJ
221
Красивый паркет можно составить и правильных шести
уrольников, квадратов и равносторонних треуrольников
(рис. 83 б).
Паркет производит приятное впечатление, если он дo
статочно симметричен. Фиеура называется симметричной,
еСАи ее можно наложить на сажу себя «не тривиальным»
способом (т. е. ne та-пим, -поеда все точ-пи останутся на
своем месте).
Например, па рис. 83, б, повернув всю сетку вершин
u сторон, образующих паркет из шестиуrольников, KBaд
})атов и треуrольников, на 600 BOKpyr. центра одноrо из
шестиуrольников, мы получим ту же самую сетку вершин
и сторон. Центр каждоrо шестиуrольника этоrо паркета
является «центром симметрии mecToro порядка» *).
3 а Д а ч а 1. Найдите все цеnтры симметрии 4 eo 3 eo и
2 eo поряди у nap'l'i,ema, uаображеnnоео па рис. 83, а.
7.3.2. Ч т о т а к о е п р а в и л ь н ы й пар к е т.
С точки зрения симметрии наше определение паркета
не слишком удачно. Оно допускает паркеты, не обладаlО
щие никакой симметрией. Взяв обычный паркет из mести
уrольников (рис. 82, в), можно «испортить» ero, подраз
делив некоторые из mести
уrол ьников на шесть Tpe
уrольников. Леrко понять,
что получится вновь
«паркет» в смысле нашеrо
опреде.Jlения. Но можно
доказать (попробуйте!), что,
подразделив, например, три
шестиуrольника, как пока...
зано на рисунке 84, и оста...
вив псе остальные не под
Рис. 84 разделенными, мы получим
паркет, совсем лишен
вый симметрии. Чтобы устранить некрасивые, недостаточ
во симметричные паркеты, мы введем такое определение:
П ар-пет nаЗЬLвается правиЛЬНЬLМ, если еео .можно nало
жить на са.моео себя та-п, что любая заданная еео вершuна
наложится 1ш любую друеую заданную еео вершину.
*) Точка О называется цеnтром симметрии n ro порядка
векоторой фиrуры, если при повороте этой фиrуры oKpyr О на.
360 0 /п она наложится на саму себя.
222
3 а Д а ч а 2. Докажите, что паркеты, ftредставлеnиые ltfl pи
сумках 82, б, в и 83, nравu.льnы и постройте са.м,остоятеЛЬ1iО в08
.можно больше nравuльnых nарке.тов.
7.3.3. О с н о в н а я 3 а Д а ч а. Оказывается, что
все разнообразие правильных паркетов можно описать.
Если длина h стороны мноrоуrольников паркета задана t
то существует тольпо 1i,оnечnое число рааличnь х (nе nа .ltа
дьюающихся друе па друеа) правильnь х парпетов. Сколько
именно, я не хочу ваАI rоворить.
Перечислить их все и тем самым
ответить на вопрос об, X числе
это и есть о с н о в н а я з а Д а ч а,
которую вам предстоит решить.
7.3.4. Н е к о т о р ы е у к а з a
н и я. Решение задачи естественно
начать с исследования устройства
вершин паркета. Правильный п..
уrольник имеет n внешних уrлов
(рис. 85), сумма которых равна четы Рис. 85
рем прямым уrлам (убедитесь в этом
сами). Поэтому каждый уrол правильноrо п уrольника
равен
. 4d ( 2 )
ал == 2d ........ n == 2 1 n d.
в вершине пар кета должны сходиться мпоrоуrольники
с суммой уrлов, равной 4d. Так,
2 4 3
а. з == зd, а 4 == d, а 6 == зd, а в == 2 d
и для Ilаркетов., изображенных на рис. 82 и 83.1 имеем:
4а.} == 4d t
6а з == 4d'J
За 6 == 4d,J
а 4 + 2а в == 4d,;
аз + 2а 4 + а 6 == 4d.
В общем же случае, обозначая через т п число прилcr
тающих к вершине п уrольников, мы ДОЛiННЫ получить
miai == 4d, (1)
rде в сумму мы включаеАf слаrае}!ые с теl\.IИ номерами i.
ДЛЯ которых т; > О,, а; == 2 (1 ) d.
223
Первая наша задача состоит в том, чтоб})! найти все pe
шения уравнения (1) с целыми mi > о. Уравнение (1),;
сокраrцая на 2d, удобно записать в виде
1:тi(1 +)==2.
(2)
Для каждоrо решения уравнения (2) н.адо исследовать
соответс вующие расположения м оrоуrольников, при..
мыкающих к вершине. Например" решеНИIО тз == 1" т 4
== 2, тв == 1 J
( 1 {-) + 2 ( 1 ) + (1 +) === 2"
соответствуют вершины, в которых сходится один треуrоль--
ник, два квадрата и один шестиуrольиик. Их леrко pac
положить двумя существенно различными способами
а
Ii
Рис. 86
(рис. 86, а и б). Но леrко показать (докаiI\ите!), что pac
положеНИIО б не соответствует никакой правильный
паркет.
Указаний дано достаточно. Беритесь за работу!
7.4. Раскраска плоских решеток
(а) Ца рисунке, приведенном на четвертой
странице обложки, плоскость покрыта квадратами пяти
цветов. Центры квадратов oriHoro и Toro же цвета распо
ложены в вершинах квадратной сетки. При пar:oM числе
цветов возможно аuалоеичное заполнение плоскости?
(б) На друrом рисунке четвертой страницы обложки
плоскость покрыта шестиуrольниками с е м и цветов так,)
что центры шестиуrольников одноrо и Toro же цвета обра..
зуют вершины решетки из одинаковых правильных тре..
уrольников. При nаnом числе цветов воаеМож1tО аналоеuч...
пое построение?
224
При м: е ч а н и е. В первой задаче число цветов MO
жат равняться единице (все квадраты одното цвета) и
двум (как на шахматной доске). Во второй задаче] вы без
труда найдете решения с одним цветом и с тремя цветами.
Желательно дать п о л н о е решение задач, т. е. описать
в с е раскраски, удовлетворяющие указанным условиям.
Придумайте, например, существует ли во второй задаче
решение с т р и н а Д Ц а т ь ю цветами?
7.5. 3адач.а о переRлючателях
На рис. 87 изображена схема, ПОЗВОЛЯIощая
раСПОЛОiНИТЬ у двери и над кроватью два переключатеЛЯJ)
каждым из которых можно !'асить или зажиrать лампочку
.., /, 2
I ц. и
llереключt1 толь лерSkЛЮlfатеЛl1
"
,
Лампочк!1.
Рис. 87
в комнате независимо от положения второто переключа...
теля. Придумайте схему, позволяющую еасить или аажu..
еать свет uз п жест пo.мHaть .
7.6. Задача о вложенных треуrОЛЬНИRах
и вложенных тетраэдрах
(а) На плоскости раСПОЛОj-кено бесконечное
множество треуrольников, вложенных последовательно
друr в друта. Доказать, что множество, являющееся пере
сечениеlVl всех этих треуrольников, либо треуrольник" либо
одна точка.
(б) Доказать, что пересечением вложенных друт в дру..
ra тетраэдров может быть либо тетраэдр-,- либо треуrоль...
ник, либо отрезок, либо точка.
7.7. Проверка цилиндрических деталей
На некоторых заводах производят проверку
цилиндрических деталей следующим образом: деталь YH
ладывают в лоток и вращают TaK,I; чтобы она касалась
8 А. В. I\олмоrоров
225
обеих сторон лотка, зате:м серху подводится «щуп>} (стер..
жень, который fожет совершать продольные переl\fеще--
пия) до соприкосновения с деталью. Если во время враще
ния щуп сдвиrается, то деталь считается нецилиндриче"
екой и бракуется.
Возникает следующая математическая задача. 3афик"
сируе 1 на плоскости точку А и рассмотрим все фиrуры, ко..
торые, поворачиваясь, касаются двух данных пересе--
кающихсн прям:ых, причем rраница этих фиrур проходит
через точку А (рис. 88). (Нетрудно
понять, что при отсутствии точки
А любая ОI'раниченная фиrура
MOiKeT, поворачиваясь, касаться
двух пересекающихся прямых.)
Существуют лu фU2УРЬ , отЛUЧllь е
от у;,РУ2а и обладающuе maJli,u.:+t свой..
ство.м?
Если существуют отличные от
Kpyra фиrуры, удовлетворяющие
УСЛОВИЯ).I задачи, то ЦИJJИНДрЫ, имеющие в сечении такую
фиrуру, будут великолепно про ХОДИТЬ через отдел техни
ческоrо контроля.
Решите ту iKe задачу ДJIЯ выпуклых фиrур. ). O сих пор
ответ на этот вопрос не получен.
Рис. 88
226
р А3ДЕЛ IV
.JJЕКЦИИ ДЛЯ УЧИТЕJJЕЙ
1. coBpEME.HHыE взr.JIЯДЫ
НА ПРИРОДУ МАТЕl\'IАТIIКИ
Разrоворы о «модернизации» ШКОJIьноrо кур-
са матеl\fатики сейчас в большой моде. Появляется MHoro
Rниr, излаrающих начала «современной математики».
Некоторые из них предназначены непосредственно для
школьников, друrие обращаются к учителям. За «co
временную» при этом обычно выдается концепция, коrорая
RpaTKo может быть охарактеризована следующими двумя
тезисами:
А. В основе всей Maтe.м.aти u дежит чистая теория
м '-/,ожеств.
. Б. Специадьпые раздеДЬ"L Maтe.мaти и занимаются
cтpy тypaMи, nрuнадлежащuмu тем иди иным спе..
циальны.м, родам струк-тур. КаждЬLй род струк-тур оп
ределяется СОQтветствующей системой a cиOM, вЬLражен"
ной на язы е теории мпожеств. MaтeMamU1'ia иптересует--
ся "tuль о теми свойствами cтpy тyp, к-оторые выте1'iаюm
из прuнятой cиcmeMbL a cиOM, т. е. изучает cтpy тypы
толь о с точпостью до изоморфизма.
Современность этой концепции относительна. Она
полностью сложилась на рубеже XIX и ХХ веков. Не...
сколько десятилетий назад широкие круrи математиков
знакомились с ней по «Основаниям I'еометрии» rильберта,.
первое издание которых вышло в 1899 r.
rильбертовская система аксиом, характеризующая
род структур, называемых «трехмерными евклидовыми
пространствами», довольно сложна. Поэтому сейчас спра--
ведливо считают, что первые представления о математи...
ческих структурах, их изоморфизме и о характеризации
родов структур системами аксиом разумно получать на
друrом м:атериале. При этом особенно удобным на первых
порах считают роды структур, среди представителей ко-
торых имеются конечные струнтуры.
Е* 227
Будем,; например, называть плоспостью структуру
\-,11:, L).,; состоящую из множества л, эле1\lенты KOToporo
будем называть «точками», и м:ножества L ПОДМНОrкеств
множества зt. Элементы множества I.; буде1\1 называть «пря..
мыми». Сформулируем а к с и () м ы:
1. Каждой прямой принадлежат по прайней мере две
rnfJчки.
2. Две (различные) точки определяют единственную
прямую" которой они обе nринад.лежат.
3. СуществУЮln три точки, дitя Koтopь x пет прямой!
содержащей их все.
На рис. 89 изображена простейmая структура, обла..
дающая свойствами 1 3. Две прямые будем называть па..
ра.лле.льны.:ми, если их пересечение пусто. СфОР lулируем
еще одну аксиому:
4. Если точпа А не принадлежит прямой а, то она
принадлежит по прайней мере одной прямой, nара.ллелъ-
пой а.
Из курса оснований rеометрии вы, вероятно, знаетеt)
что аксиома 4 не соблюдается на плоскости Римана, но
Рис. 89
Рис. 90
Рис. 91
верна как на евклидовой плоскости, так и на плоскости
Лобачевскоrо. Но пример, изображенный на рис. 89, обо..
сновывает ее н е з а в и с и 1\1 О С Т Ь от трех первых ак"
сиом значительно проще, чем при помощи обращения к
плоскости Римана.
На плоскости" обладающей свойствами 1 4, -имеется
не менее че" ЬLрех точек и ие меиее шести nрямь х. При
желании вы можете без большоrо труда сами доказать
эту теорему. Простейший пример плоскости, обладающий
всеми четырьмя сфОР lулированными свойствами, изобра
жен на рис. 90.
Леrко проверить, что на плоскости рис. 90 через наrКДУЮ
точку, лежащую вне ПрЯ 10Й, проходит ровно одна пря
мая, параллельная этой прямой. Простейшая плоскость))
228
обладаlощая свойствами 1 4, на которой это н е в е р н о,
изображена на рис. 91. Существование структуры рис. 91
доказывает llезависижость nятоео nостула!1Lа Евплида
(о единственности параллельной) от апсиож 1 4. Вы ви
дите, что первые достаточно поучительные упражнения
на построение структур, удовлетворяющих или не YДOB
летворяющих тому ИJIИ иному набору аксиом, IorYT быть
очень эле:ментарным:и. Мне кажется, что они должны бы..
ли бы сопровождать самые начала школьноrо системати
ческоrо курса rеометрии (например, в VI Rлассе).
Отметим здесь еще два очень просто определяемых рода
структур, KOTopJ>Ie нам: понадобятся в БЛИrкайших лекци
ях, не обсуждая пока вопроса о том, на каком этапе школь
Horo обучения следует формулировать их общие опреде
ления.
Упорядоченное множеств *)
== (М, )
есть структура, состоящая из l\'lножества М и отношения
а Ь, установленноrо между некоторыми парами эле
ментов множесrrва М и УДОВJIетворяющеrо аксимомам:
1. Д ля двух элементов а и Ь ижеет :место одно и то.ltьпо
одно из трех отношении а Ь, а == Ь, Ь ---1 а.
2. Если а Ь и Ь -----i с, то а с.
В первой аксиоме знак равенства обозначает, что бук
вы а и Ь ЯВЛЯIОТСЯ обозначениями одноrо и Toro же эле
мента. В таком понимании, KOToporo l\!Ы будем: держаться
и далее, отношение равенства есть общее лоеичеспое oт
ношение, знакомство с КОТОрЫl\:I предшествует построению
специальных теорий отдельных родов структур. Вторая
акси:о:ма выр'ажает свойство т р а н 3 И Т И В Н О С Т И or
ношения.
Труппа есть структура
== (G, n, *),
состоящая из множества G, выделенноrо в нем элемента
*) 1\1ы деРЖIIМСЯ более старой традиции. Теперь часто, следуя
Н. Бурбаки, придают ПОНЯТИIО упорядоченноrо множества более
широкий смысл, а упорядоченные множества в нашем смысле
называют совершенно упорядоченны.!ytU. Традиционная терминоло
rия, по которой упорядоченные множества в смысле Н. Бурбаки
называются частuчно У1l0рядочеnныМ,u, по :моему мнению, удобнее
дЛЯ ПIКОЛЫ, так как учащиеся раньше и чаще будут встречаться
с упорядоченными (в нашем смысле) множествами, чем с только
частично упорядоченными.
22;)
n и определенной на G бинарной операции а * Ь 1 обла..
дающих свойствами:
1) а * (Ь * с) == (а * Ь) * с;
2) а * п == а;
3) для любоrо а Е G существует тапой элемент а' Е G..
,
что а * а == n.
Более подробно родам:и структур, предстаВЛЯЮЩИ fИ
интерес для mкольноrо преподавания, мы займемся в даль..
нейших лекциях. А сейчас для создания правильной пер
спективы я должен сразу вас несколько разочаровать в от..
ношении окончательной ценности сформулированных вы..
юе тезисов А и Б. Если воспринимать их в 110М наивном'
ем:ысле" в котором они преподносятся школьникаlVl даже
в самых «модернизированных» вариантах школъноrо кур"
са, они вовсе не являются послеДНИl\f словом науки.
Дело в том, что уже начиная с арифметики натураль..
иых чисел математика имеет дело с бесконечными м:ноже..
ствами, а наши представления о бесконеJIНЫХ множествах
не 1DIеют непосредственпой адекватной опоры в опыте, они
GOздаются путем отвлечения от реальной оrраииченности
наших возможностей наблюдения и эксперимента. Поэто..
.У совсем неудивительно, что теория множеств, разви
ваемая на основе кажущейся «очевидности» нашеrо права
переносить на бесконечные MHOi-кества те или иные спосо--
бы рассуждений, оправдавшие себя на практике в приме...
пении к конечным множествам, вскоре наткнулисъ на про..
тwwоречия; смяrченио называемые обычно «парадоксами
теоР.ИИ иножеств».
Были придуманы оrраничения, которые позволяют
этих уже замеченных противоречий избежать. Но такой
путь введения оrраничений по мере появления противоре..
чий не представляется вполне удовлетворительным. .Чест
нее было признать, что самый с.мьu:л мноrих утверждений
первоначальной «наивной» теории м:ножеств недостаточно
ясен.
Можно было бы думать, что rенеральной JIинией раз--
вития теоретико множественной математики окажется по
rружение в теоретико познавательные изыскания за счет
Toro" какая же часть первоначальноrо зам:ысла reopra
Кантора достаточно «разумна» и надеil\на. По ЭТОl\-IУ пути
И пошли Борель, Брауэр, а в настоящее время идут пред
ставители так иааываемоrо «конструктивноrо направле
пия в математике».
Но друrой путь в двадцатых rодах пашеrо века предло--
жил fильберт! Он заметил 1 что все nрауип uчес ие nрll'лtене--
230
пия теоретик,о ж1-tожествеn1tой математик,и nenocpeд
ствеnно основываются лишь па предложения.х, от1tосящих
сл J'i, J'i,оuеч1-tыж множестваж. Для Toro чтобы эти практи
ческие применения были вполне надежны, нет никакой
необходим:ости приписывать всем предложениям теретико
l\Iножественной мате Iатики какой бы то ни было реаль
вый С IЫСЛ. Необходимо только, чтобы :использованный
фраrмент теореТИКО 1ножественной мате fатики был фор
tаЛЬ1tО 1tепротиворечив.
По концепции rильберта классическая теория MHO
a eCTB и основанные на пей теории специальных видов Ma
те:\lатических структур в ИХ полном объеме MorYT pac
С Iатриваться только как словеснь е Jti,О1tстрУJti,ции, лишен
ные какоrо либо реальноrо содержания. Так как оБIэIЧНЫЙ
наш язык недоста10ЧНО определен, то такую лишенную ре..
альноrо содержания математику предпочитают считать
в принципе изложенной на искусственном символическом
языке математической лоrики. OroBopKa «В принципе»
здесь существенна для понимания действительноrо поло
i-нения вещей на наlП день. На практике математики, при
нявшие эту точку зрения, продолжают пользоваться и
обычным языком, но таким образом, что они всеrда coxpa
НЯI{)Т уверенность в ВОЗМОil<НОСТИ записать все сказан--
ное на точно описанном, построенном по cTporo опред&-
ленным правилам языке лоrических и матеl\lатических
СИ;\fВОЛОВ.
Наиболее популярно ,в настоящее время выполненное
по ЭТО fУ плану изложение всех основных разделов MaTe
матики, публикуем:ое под псевдонимом Николая Бурбаки
(тома «Элементов l\lатематики» Н. Бурбаки выходят один
за ДРУl"ИМ и в русском переводе). Не все детали работы,
выполненной труппой французских математиков, CKpЫ
вающихся под этим псеВДОНИМО \tI, удачны. Но, по види
мому, мноrие современные математики считают наиболее
надежной опорой cBoero права пользоваться всем apceHa
лом средств теореТИКО Iножественной математики, И lеп
но продемонстрированную в «Эле:ментах l\lатематики»
Н. Бурбаки возможность ее полностью формализованноrо
изложения, непротиворечивость KOToporo не вызыIаетT у них
больших сомнений.
Таким образом, сейчас мы имеем, по существу, не одну
l\lатематику, а Д в е: содержательно воспринимаемую и
ФОР.Iпализова1tНУЮ. BTopa реализуется в виде сuМволи
чесJti,uх исчuслеuuй, формулам которых не приписывается
никакоrо Сl\Iысла. Что касается содержательных утверж--
231
дений об этих исчислениях, то они относятся к особой
науке, которой rильберт дал название .мeтa.мaтe.мaтu и.
Следует сразу подчеркнуть, что формализованная Аlате..
матика без метаматеl\lатики не представляет никакоrо
интереса. Лишь метаматематика lIозволяет установить,;
каКИl\J формулам Фврм:аЛИЗ0ванной математики можно при-
дать содержательное толкование, допускающее примене..
ния к изучению реальноrо мира и в реальной человече-
ской практике.
Таким образом, нам предстоит разобраться во внаим"
вых отношениях между четырьями областями человече-
ской деятельности:
1) изучение реальноrо мира и практическое воздейст-
вие на Hero,
2) содержательная математика,-
3) формализованная математика,;
4) метаматематика.
Математические структуры создаются и изучаются
с целью применения полученных результатов для изуче..
пия реальных явлений и управления ими. Для этоrо в рам..
ках математики создаются модели реальных систем. Лишь
понечные .модели отражают адекватно соотношения меj-КДУ
конечными системами реальных объектов. Но на практи"
ке мы пользуемся с большой свободой и бесконе1IПЫМИ
моделями, хотя они и являются всеrда, по существу, не...
законными идеализациями реальной действительности.
Так мы поступаем, например, заменяя реальную жид..
кость или rаз с их сложным микроскопическим строением
математической моделью непрерывной среды.
В ближайшей лекции мы проследим: более подробно
процесс возникновения математических структур из на..
блюдения и опыта на материале простейших стуктур: ко-
нечных упорядоченных :м:ножеств и натуральноrо ряда це..
лых положительных чисел. Во втором из этих примеров
мы .будем иметь дело уже с беспонечnой структурой. Можно
быJIО бы усматривать корни мате:матической идеи беско..
нечности в реальной бесконечности окружающеrо нас
мира. Но эта ссылка не очень убедительна.
Чтобы понять это замечание, представим себе разум..
ное существо, живущее в мире, обладающе I лишь поnеч..
пои сложностью, спос.обном находиться лишь в оnечnо;м,
числе физически различных СОС10ЯНИЙ и эволюционирую..
щем в «дискретном времени», т. е. переходящем по опре..
деленному физическому закону
S (t) S (t + 1)
232
из состояния S (t) в момент. времени t в состояние
S (t + 1) в «ближайший следующий момент времени».
Идея TaRoro разумноrо существа представляется COBpe
менной RибернеТИRе лоrичеСRИ непротиворечивой. MOi-l\НО
достаточно правдоподобно объяснить, RaR TaRoe существо,.
песпособное по своей CTpYRType исчерпать всю СЛОiННОСТЬ
.ОRружающеrо ero мира и стаЛRивающееся в ero пределах
со все более сложными систе lами, состоящими из очень
больmоrо числа эле1\-lентов, создаст в процессе своей впол
не праRтичеСRИ и разумно направленной деятельности КОП
цепцию бес""оneчноео натуральноrо ряда. На праRТИRе оно
будет примеиять общие тeOpe}lbl, относящиеся R беСRонеч
пому множеству натуральных чисел, лишь к числам, ему
п р а к т и ч е с R и доступным, И поэтому НИRоrда не
СТОЛRнется с фаRТОМ полной бессодеРiнательности таRИХ
общих теорем о. СЛИШRОМ больших числах в ОRружающем
ero Rонечном мире.
По существу, все связи между матемаТИRОЙ и ее pe
альными применениями полностью умещаются в области
конечноrо. В уже упомянутом случае описания реальных
ЖИДRостей и rазов при помощи моделей в cTporoM матема..
тическом смысле непрерывных сред, эволюция «оторых уп
равляется дифференциальными уравнениями в частных
. производных, при фаRтичеСRОМ решении этих уравнений
мы вновь возвращаемся в область Rонечноrо, например,
применяя метод Rонечных разностей и ведя вычисления
с задаННЫl\1 число:м десятичных знаков. По существу,
употребляемая нами Rонечная разностная схема вполне
достаточна для получения всех реально интерпретируе..
мых nыводов, хотя МИRроскопичеСRая структура реальной
ЖИДRОСТИ или rаза TaR же непохожа на эту разностную
схему, RaR и на непрерывную модель. В этом, «ак и во
мноrих дру'rих случаях, мы предпочитаем непрерывную
модель лишь потому, что она проще (большая простота об--
ращения с дифференциалаl\IИ и производными по сравне"
нию с Rонечными приращениями и их отношения:ми об..
щеизвестна).
Рассмотренный пример иллюстрирует безусловно пра..
вильный тезис rильберта, что с точки зрения практиче..
ских применений уже созданной математики достаточна со..
держательная истинность нефинитных выводов. Содерл а"
'lельная же истинность финитных выводов, полученных
при помощи рассуждений, выходящих из области финит--
Horo, по rильберту, требует лишь непротиворечивости
формализованной математики. Секрет TaKoro положения
23Э
Fещей очень ПРОСТ. Фииитпая часть матеl\lатики. взятая
.aMa по себе, содержательно истинна и, взятая cal\la по
се\)е, nо.lt1Ш: каждое финитное утверждение может быть
}'( тановлено или опроверrнуто финитными методами. Вся
практичеспая цепnoсть .м,ате.мати-пи бес-попечnоео сводится
,. воз.можпости при ее помощи получить фunuтпые выводы
проще и быстрее.
Например, формула Стирлинrа в виде точных Bepa
вепств
1
у 2пn .п n .e n < п! < у 2пn пnе n+
позволяет получить хорошие оценки сверху и снизу для
натуральных чисел п! или
п!
n т! (п ...... т)!
при больших т и n, которые было бы очень затруднитель--
во найти ПрЯ IЫМ подсчетом, хотя ясно, что такой подсчет
в принципе возможен и CTPOI'O «финитен». Таким образом,;
все сводится к непротиворечивости формализованной ма..
тематики. Но здесь и обнаруживается, что HeKoTopol'O вы..
хода за пределы финитноrо нам все же не удалось избежать.
Во всех интересных случаях утверждение о непротиворе..
чивости формальноrо математическоrо uсчислепия являет--
ся утверждением, относящимся к беспоnечuо.му множест-
ву ВЫВОДИ IЫХ в исчислении формул (в этом множестве
не должны появляться одновременно формулы «А» и
«не А»). Правда, множество-всех формул, которые можно
написать на «языке» любоrо данноrо исчисления, лишь
счетно. Множества мощности большей, чем счетные, в ма..
тематике не нужны. Но установление содержательно
истинных предложений, относящихся к бесконечным счет--
ным множествам, характерно. дл я метаматема тики.
В силу сейчас сказанноrо законно rоворить о содерi-ка"
тельной «математике метаматематики», хотя этот термин
и не является установившимся. Эта математика MeTaMa
тематики. оказывается более широкой, чем «финитная Ma
тематика» в cTporoM смысле. В некоторо:м приБЛИiнении
можно сказать, что она по своему содержанию близка к упо
минавmейся ранее «конструктивной матем:атике», но обе
, .., u
значительно уже традициовнои «канторовскои» теорети
RО l\1ножественноft математики.
Однако теоретнко множественная содержательно BOC
принимаемая математика n ее полном объеме имеет еЩG
231
эвристичеспое назначение. Формализованная теоретик
l.fножественная математика никоrда не была БI.I создана.
если бы ее замысел не был доступен нашей интуиции.
Вводя, наПрИ lер, аКСIIОМ:У о существовании общей точки
у последовательности стяrивающихся, вложенных друr
в дpy a отрезков, мы ясно «ВИДИАП) эту точку, ХОТЯ это пи
дение и является несо:мненным выходом за пределы непо
средственно данноrо в опыте. По этому поводу СJlедует
вспомнить слова rильберта о «канторовском: парадизе>}, иа
KOToporo м:ы не должны .позволить себя изrнать. BCIO свою
работу по формализации мате:матики и установлению He
противоречивости формализованной математики rиль
берт считал подчиненной этой цели сохранению для
математиков БЛaJI,енноrо существования в этом: «канто--
ровском: парадизе».
Подведем итоrи.
1" Содержательно интерпретируе?tlая теореТИКО МIIО
жественная математика в ее полном объеме является лоrи
чески иезаКОННЫl\f обобщением непосредствеННОI'О челов
ческоrо опыта, которое в начаде нашеrо в.ека БЫJIО спасе-
но от прямых противоречий путем введения пекоторых
оrраничений. Te I не менее она является драrоценныи
источником математических моделей, находящих самое
широкое применение при изучении реальноrо мира и в
человеqеской практике.
2. Законность этих при:менений полностью rаранти"
руется при соблюдении двух условий: финитная часть Ma
тематики должна быть содержательно истинной и полной"
а нефинитная часть, лишенная содержательной интерпре
тации и формализованная, непротиворечивой.
3. Матем:атическое рассмотрение строения фОр lализо
ванной математики не привело к формальному доказатеЛIr
ству непротиворечивости формализованной матеl\lатики
ЭJIементарным:и средствами (при опредеJIенном оrраниче
нии этих средств такое доказательство и заведомо HeB03
можно в силу знаменитой теоремы rёделя)" но редуциро
вало вопрос о непротиворечивости к очень ПрОСТЫl\lI YT
верждениям" которые MorYT быть СфОрАlулированы на
языке небольшой части теореТИRо множественной MaTe
матики (математики метаматематики) и практически не
вызывают у математиков больших сомнений, хотя эта
«математика метаматематики» и не является в cTporOM
смысле «финитной».
Мой обзор вопросов форма"ТIизации математики и MeTa
мате:матики БЫ"lI неизбежно очень беl\ЦЫМ! НО он IIредстав
235
пяется мне необходимым для установления правильпой
перспективы в некоторых непосредственно школьных ме-
тодических вопросах.
Пока сформулирую только некоторые,- относящиеся
н средней школе общие выводы.
Нарисованная картина современных представлений
о строении математической науки несомненным обра ом
слиmКО 1 сложна для Toro, чтобы излаrать ее в школьном
курсе математики. Даже школьникам старших классов,
проявляющим особый интерес к маl'ематике, рассказать
о ней можно лишь HeMHoroe. Чрезмерная же вульrариза
ция здесь может привести к полной путанице.
Вместе с тем ясно, что цельная и наrлядно убедитель
вая картина строения всей нашей науки не может быть
дана без описания теоретико множественной концепции
n ее содержательном (а не формализованном) варианте
и в полпо:м объеме, невзирая на то, что в своей иефинитной
части она нуждается в более тщатеЛЬНОl\l обосновании.
Поэтому представляется неСОМIlенным, что основной по
зицией школьноrо курса математики должна быть позиция
(/ltaueHOU теории ;множеств».
Вопросы, относящиеся к теории алrоритмов и фор
мальных символических исчислений, MorYT найти l\teCTo
n школьном преподавании, но не в аспекте их значения
для формализации содержательной математики, а в ac
пекте чисто практическом.
В особенности это ОТНОСИ1'СЯ К формализации лоеипи.
Мы уже видели, что формализация Iатематики не избав--
ляет нас от неоБХОДИ IОСТИ рассуждать содержательно
с целью получения иcтиHb в CaMOl\1 обычном общечелове..
ческом смысле этоrо слова. В таких рассуждениях мы при..
меняе f обычную содержательную лоеи-пу. Ответствен..
ность преподавателей математики здесь особенно велика
так как отдельпоrо преДl\lета «лоrика» в школе нет и 3Ha
комство с началами лоrики практически в значительной
Iepe происходит на уроках :математики. При этом нет ни
каких оснований бояться широкоrо введения в школе сим
волических обозначений и формул математической ло
rики, записывая, например, правило силлоrизма в виде
АСВ } .
В С G ==Ф А С G или cxe IY доказательства «от проти:вно
ro» в виде (l Ь ==Ф l а) # (а =Ф Ь). Здесь дело идет о сим
волической записи законов обыqной' общечеловеческой
лоrики.
236
Преждевреl\lенные раЗfОВОрЫ о существовании различ
ных «лоrик», которые по аналоrии с раЗЛИЧНЫ}IИ «reoMe,....
риями» (евк.JIИДОВОЙ, ЛобачеВСКОl'О и Римана и т. п.) мо--
rYT исходить из различных систем аксиом, приведут к пол...
ной путапице понятий. Накоторые же Бстречающиеся
в американских IIIКОЛЬНЫХ учебниках замечания о «про
извольности выбора лоrики» следует признать и ненауч
ными. СодеРiI-\ательные рассуждения о различных «лоrи
ках» в смысле лоrикоподобных исчислений неизбежно
опираются на единую лоrику в собственном смысле слова.
2. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
2.1. Будущие учителя в педаrоrических ин..
ститутах обычно знакомятся с двумя способами построе
ния арифметики 'натуральных чисел. Не предрешая пока
вопроса об их сравнительном значении для школьноrо
преподавания, я на первое место поставлю аксиоматиче
ский подход, который обычно связывают с именем Пеа--
но *). При этом подходе натуральным рядом называют
структуру
9t == (rN, 1, F),
состоящую из:
1) множества IN, элементы KOToporo называются на..
тураЛЫlЬLми числами,
2) выделенноrо в этом множестве элемента 1, пазыва
l.IOrO единицей,
3) определенноrо па lN отношения
[? (х, у),
читаемоrо «У непосредствеН/160 с.ледует 8а Х», которая
подчинена сл-едующим требованиям: (аксиома1\I):
1. Единица не следует ни за пa иM друеиж натураль
HbLMU числом.
11. Для люБО20 натуралъ1tО20 числа СУlцеСlnвует одно
и толь о одно непосредственно следующее за HUol"tt натураль
ное число.
111. Любое llатуральное число непосредственно следуеln
не более че.м за одпи.м натуралъ1tЫМ числож.
IV. (А к с и о м а и н Д у к Ц и и). Под -кпожество М
.множества IN, поторое содеLvжит элемент 1 и вместе с
элежептож х всееда содержит и элемент у, следующий
непосредственно за х, совпадает со всем M1tO ecmeoJи IN w
*) В действительности HeMHoro ранее аксиоматическая харак"
ерИСТlIRа натуральноrо ряда была дана в 1888 r. ДедеКIIНДОМ.
237
Аксиомы I IV н е з а в и симы друr от друrа. На рис. 92
изображены наrлядно (отношение непосредственноrо сле..
дования символизируется стрелкой) примеры структур,.
NЛЯ которых выполняются по три из четырех аксио:м.,
Но все структуры, удовлетворяющие всем высказан..
ПЫ f выше требованиям:, устроены «совершенно одинако"
во» они изоморфны друr
друrу. Я надеюсь, что мои
слушатели имеют о понятии
изоморфизма достаточно яс
ные представления, позво..
ляющие понимать дальней...
шее изложение. Мы, впрочеМ f
вервемся к уточнению этоrо
понятия в одной из следую..
щих лекций. В интересующем
нас сейчас случае дело идет
просто о 110М, ЧТО для всех
структур
9t == (IN, 1, F),
т* == (fN*, 1*, Р*),
1011 :} I Л, 1lI, N
) 1 bll' \;: I I,л,и
D \,.2.з1 I, N,N
1'+- 2 +- 3 .. "/ '+-2 +- 3.......
11 а. ........ lJ I, 1l, Лl
'CJ 'с;
Рис. 92
о)ладающих перечисленными свойствами, множество lN
отображается на множество fN* взаимно однозначно и
с сохранением отношения непосредственноrо следования.
Род структур, определяемый аксиомами Пеано, MOHOMOp
феи. Можно из структур этоrо рода выбрать какую либо
одну (все равно какую!) за основную и при ПОl\IОЩИ ее
элементов «нумеровать» элементы любой друrой.
При последовательном проведении аксиоматическоrо
подхода так и rоворят: ПрИрОД8 элементов, из которых
составлен натуральный ряд, не существенна; математики
просто условливаются называть nатура.льnым,и числами
элементы :множества fN какой либо определенной раз
навсеrда выбрав-ной структуры iП, удовлетворяющей аК40
сиомам Пеано. Введенные таким образом натуральные
числа MorYT получить MHoro разных применений. Одним
из применений является их употребление для обозначения
числа элементов в TO}I или ином КонеЧНОl\f l\tlножестве"
Т. е. для обозначения ;м()щnостей конечных l\1ножеств.
Для дальнейmеrо нам существенно проделать этот
путь: ничеrо не rоворя об эквивалентности произвольных
f. ножеств и их l\-IОЩНОСТЯХ, но предположив известным:п
ПрОСl'ейшие свойства натуральноrо ряда
1,1 21 31 41 · · .1
238
получить определение конечноrо !\fножества и постав t rь
в соответствие Rаждому конечному непустому множеству
М натуральное число п (М) число ero элементов.
1. ОтрезJ1,О.м натуральноrо ряда буде 1 называть любое
собственное ПО Iножество множества fN, которое Вl\lесте
с х =1= 1 непременно содержит и число, неllосредственно
предшествующее х.
2. 10ЖНО доказать, что непустой отрезок натуральноrо
ряда полностью определяется своим «последним элемев--
том», т. е. принадлежащим ему ЧИСДО}.I п, для котороro
непосредственно следующее число уже не входит в OT
резок. Отрезок с последним элементом п будем обозначать
[1; пJ.
3. Множество будем считать попечnьtм'J если оно l\fOil\e'I
быть взаимно однозначно отображено на отрезок натураль--
Horo ряда. . .
4. Можно доказать, что конечное множество MOII e'I
быть взаимно однозначно отображено только на oдин'
едиncтвеnnьtи отрезон натуральноrо ряда.
5. Если множество М отображается взаимно одно--
8вачво на отрезок [1; п] то, по определению
п (М) == n.
Ясно, что таким образом каil(ДОМУ непустому конеч..
вому множеству М мы поставили в соответствие ВПОJIне
определенное натуральное число п (М) ........ число элемен..
ТОВ множества М.
2.2. Друrое пострuение арифметики натуральных чи..
сел связывается с именем Кантора. Здесь понятие ЧИСJIа
элементов конечноrо множества воспринимается просто
как частный случай общеrо понятия м'ощnости любоro
множества. Мощности называют, следуя Кантору" также
к,ардunaльnь1tжи чuслажu. Напомню вкратце способ их
введения.
1. В основе лежит понятие в 8 а и м н о о Д н о 8 Н а ч
н о r о отображения одноrо множества на друrое. Если
tvIHO}KeCTBO М может быть взаимно однозначно отображено
на MHOjKeCTBO М'} то М эквивалентно М'
М м'
2. Отношение эквивалентности обладает свойствами
рефлеl'itсивnостU t сижме!прU'tnостu и п ра}tаитU8ШJсти
а) М 1И'})
239
б) если М М', то м' М,,=
в) если M 1 М 2 И М 2 м з ,' то Mi Л/ З .
Из этоrо делается вывод, что любому множеству М можно
приписать характеристику Card (M)t обладающую тем
свойством" что
Card (М) == Card (M')1J
если М и М' эпвuвалеnтnы, и
Card (М) =F Card {М')7}
если М и М' не эпвивалеnтпы. Card (М) и есть .мощ"
меть М.
3 а м е ч а н и е. При желании за:менить такое описа 4
тельное, косвенное определение Card (М) прямым rOBo"
рят, что Card М есть просто класс всех М' f эквивалент..
ных ]1.1. Я не настаиваю на этом замечании, так как ero
полное ПОНИl\lание требовало бы разъяснения различия
&Iежду. множеством и классом. Как известно, «множество
всех множеств» противоречиво. При формализации ма..
тематики употребляются и друrие способы явиоrо опреде..
ления понятия мощности *).
3. Мощность пустоrо множества 0 называют карди..
вальным числом пуль:
О == Card (g).
Мощности непустых конечных !\fножеств в этой концеп ..
ции натуральноrо числа п о о п р е Д е л е н и ю и явля"
ются натураЛЬUЬL.ми числами.
Ка1\ видим, при таком построении теории натуральных
чисел мы нуждае:мся в том или ИНОl\f определении понятия
«конечное множество». В этом отличие BToporo пути от
llepBoro, названноrо выше аксиоматическим, при следо"
ванин которому, имея уже rотовый натуральный ряд чи..
сел, IbI называем: конечными множества, экви;валентные
отрезкам натуральноrо ряда (по данному выше определе..
нию 1\ ИХ числу относится и «пустой» отрезок, который
есть не что иное, как пустое MHOH eCTBO 0).
Я не буду здесь останавливаться на разных возмож
ных формальных определениях понятия конечноrо мно"
жества, не опирающихся на уже rOToBoe представление
о натуральном ряде, так нак не знаю среди них TaKorol,
*) в «Теории множеств» Н. Бурбаки (rл. 111, 9 3. 1)
Card (М) == 'tz (Ес (kl, Z)),
240
которое J.\tIоrло бы служить опорой построения начальноrо
mкольноrо курса арифметики. В наIпе время считается
возможным требовать от школьников ПОНИl\Iания разли
чия l\lежду конечными и бесконечными м:ножествами очень
рано. (О нем rоворится в учебниках дЛЯ IV класса, пре
тендующих на то, чтобы в ближайшем будущем сделаться
у нас Iассовым:и.) При ЭТОl\-I rоворится либо, что конеч..
ные множества это те, все элементы которых можно
«выписать», «указать» один за друrим, либо, что ЭТО MHO
жества, элементы которых l\IОЖНО «сосчитать». В первом
случае мы им:еем дело с весьма приблизительным описа..
нием, а во втором ССЫJlаемся на пересчет, Т. е. на сопо..
ставление элементов l\lножества с последовательными
натуральными числаl\lИ, т. е. предполаrаем уже сформи
рованным понятие о натуральном ряде.
С точки зрения выбора идейной основы для начальноrо
- курса подход к числам как к МОЩНОСТЯl\l множеств оБJlа..
дает одним неОСПОРИМЫl\1 достоинством. Естественное
при ЭТО:\f подходе определение сложения и УМIIОi.кения
достаточно адекватно отображает основной Kpyr практи
ческих ПРИl\1енений этих действий над натуральными
числами и числом нуль. Об
этом я еще буду rоворить
далее.
В заКЛlочение заl\-Iечу, что
представляющие ин ерес для
школьноrо курса 1\Iатеl\Iатики
бесконечные MHoiHecTBa имеют
одну из двух мощностей:
N о мощность MHoiHecTBa
натуральных чисел, или Н........
l\tIОЩНОСТЬ м:ножества дейст
вительных чисел *). Ifa рис.
93 наПО!1инается важная' oco
бепность бесконечных MHO
жеств: они эквивалентны He
которым своим правильным
частям.
{ 1 , 2 , 5 , 4:, '$О , п , ...}
ф t ,80
{ z , 1{ , 5, 8 , с.. , 2п,...}
8 f
l\
А-=А"
Рис. 93
2.3. К Кантору восходит и третья возможность: вос"
принимать нату ральные числа как частный случай по.
*) МОЩНОСТЬ множества всех числовых функций больше Н,
во, по существу, это множество в школьной математике не исполь...
зуется. Множества же непрерывных или I(усочно непрерывных
функций имеют уже ТОЛЬКО мощность .
241
рядковых типов. Для полноты картины нам 110J1езно
познакомиться и с ней.
Два упорядоченных м:ножеС1'ва *)
rol 1 == (М 1' ) И rol 2 == (1112' .-.-1)
1 2
называются подобными, если l\'lножестве М 1 l\10ЖНО вааим"
но однозначно отобразить на lноj-l\еС'fНО М 2 с сохранениеl\J:
порядка, T е. так, что отноmение
Хl Уl
1
равносильно отношению
Х 2 ----1 У 2
2
для образов Х 2 и У2 элементов Хl и Yl. Отношение подобия
рефлексивпо, симметрично и транзитивно. Поэтому для
упорядоченных множеств
можно ввести характери..
стику Ord ( ), обладаю"
щую Te ! свойством, что
A 8......;C
t t \
1<2<0'
t t t
3">2>1
3
Ord (gлl) == Ord (ro?2)
1 < 2 < < 4< ...
t t t t
1 > i > > : . > ... (J
t f f Ф
О """"'10""""'1 0"";0 ...
в том и только в том слу..
чае, коrда 1 подобно 2.
Or(i (ro?) и есть порядпо--
вь й тип упорядоченноrо
1 1 1 f О
> 2. > '3 > '4 >... > > 1
t t Ф Ф Ф Ф 6) +2
О --1 О..., о """i о -4. . .---10--10
. . ..., о ----i о ....; О .....,. о ы *
1 ..., 2 с3 ....J1 ... ы
2 --13 4 5 ... bJ +1
......, 5 ----I4 Z --; 1 J..., 5..., 9'. 6)* +ы
Рис. 94 Рис. 95
множества М. На рис. 94 изображены упорядоченные мно"
жества порядковых типов 3, <о, <о + 2, (0*. Смысл MHoro..
точий на схем атических изобра/кениях упорядоченных
*) На одном и 'rOl\l же множестве М можно мноrими способаМll
ввести отношение порядка ..." поэтому называть упорядоченное мно"
жество (M, ) просто «упорядоченным множеством М» можно
trоль:КО в порядке «вольности речи».
242
множеств типов (О, ffi + 2 и ю*, падеЮСf>, достаточпо
понятен.
Вводя в одном и том же MHOH eCTBe отноmение порядка
разными способами, можно получить различные упоря
доченные множества, ноторые не обязаны быть подобными.
На рис. 95 пока38НО, как при различных упорядочениях
мно}кества IN всех натуральных чисел возникают упорядо
чепные множества типом ю, (() + 1 и (()* + (().
Но TaKoro рода СЛОiкения невозможны в случае нонеч
Roro множества М. Упорядоченное множество (M, )
называется l'i-опечпы.м, ,если конечен ero носитель. Для
конечных упорядоченных множеств их порядковый тип
Ord (М, -----1) полностью определяется мощносты{) Card (М)
:их носителей. Поэтом у последовательность опечltЬ Х пo
рядl'i-овых типов
0,1,2,3, ...
н а ходится в естественном взаимно однозначном COOTBeT
ствии с конечными МОЩНОСТЯl\IИ в смысле п. 2.2
О, 1, 2, 3,
2.4. Таким образом, перед нами имеI{)ТСЯ на выбор
по крайней мере три ВО3МО}I,Ности: считать «натураль
выми числами по преимущес1'ВУ»:
1) мощности
1, 2, 3, 4,
2) порядковые типы
. . .';
....... ..... .....
1, 2, 3, 4,
. . .,'
3) произвольно ВJ)Iбранную последовательность
1, 2, 3, 4, . . 11
элементов структуры, подчиненной аксиомам Пеано.
Начну с исторической справки. Кантор, создавший
теорию мощностей и IIОрЯДКОВЫХ типов, как уже было
указано, называет м:ощности кардUllальпЬLМU числами.
ордunалыlL.мии числами Кантор называет не любые поряд..
ковые типы, а только порядковые типы вполне уnорядо..
чеппых .мпожеств, Т. е. таких упорядоченных множеств,'
у которых каждое подмножество и м е е т пер вый
э л е м е н т. Так как Кантор не признает пустоrо MHO
жества, то er трансфинитный ряд кардинальныIx чисел
начинается с 1:
11 2, 31 · · -1 Мо' Нl' · · ..
243
На неизвеСТНО I месте в этом ряду находится «мощность
КОНТИНУУ lа» кардинальное чиело N.
Трансфипитный ряд ординальных чисел начинается
с ордипальноrо числа 1:
I, 2, 3, . . ., (О, (о + 1, (о + 2, . . ., (о. 2,
(о · 2 + 1, . . ., (02, . . ., Q, . . .
в этом ряду очень MHoro порядковых типов упорядочен
ных множеств, носители которых имеют одну и ту ilte мощ--
ность Н. Таковы порядковые типы'
(о + 1, (о + 2, . . .,_ ю.2, 00.2 + 1, . i ., (02, . . ., (00), ...
и, вообще, все предшее rВУIощие «первому ординальному
числу третьеrо класса» Q.
Конечные кардинальные и конечные ординальные чис..
ла, по Кантору, оказываются ТJже объекта:ми различной
природы, но он rоворит неСКJЛЬКО неопределенно, что
они «совпадают по своим свойствам». После рассмотрения
свойств конечных кардинальных чисел Кантор объявляет,-
что тем самы:м указан саl\-IЫЙ естественный путь построе..
ния обычной традиционной арифметики натуральных чи..
сел. Кантор Mor бы сказать то rKe Cal\IOe и по поводу Rонеч..
цых ординальных чисел. Предпочтение, отданное в этом
отношении кардинальным числам, может быть объяснено
просто тем, что они расс:мотрены первыми.
. Дедекинд, по"видимому, был первым, кто при сравне--
пии очерченных выше трех подходов к построению тео..
рии натуральных чисел сознательно отдал предпочтение
аксиоматическому пути" который мы раСС Iотрели первым,
а при перечислении в начале этоrо пункта поставили
третьим. В письме Веберу (24/1 1888 r.) он довольно под
робно rоворит об этом:. Употребление натуральных чисел
для обозначения мощностей конечных множеств он счи..
тает лишь одпиж uз их nри.:мепепий. С этой дедекиндовской
точки зрения естественно считать друеим nримепеиием
тех же натуральных чисел обозначение конечных поряд"
ковых типов. Третьим nрименепием, хотя и тесно свя"
занным со вторым:, является употребление натуральных
чисел для пу.мерации эле:ментов конеч.ных упорядоченных
множеств и упорядоченных Iножеств типа ю, как чаще
rоворят t..... для нумерации эле:м:ентов последовате.льпосrпей.
2.5. Следует, однако" ВСПО IНИТЬ то, что было сказано
в первой лекции: аксиом:атическое раССl\lотрение СТРУНТУР
244
какоrо либо рода бессодержательно, если не установлена
совместность аксиом, т. е. существование х о т я б ы
о Д н о й с т р у к т у р ы данноrо рода.
Теория множеств обладает и более простыми cpeДCT
вами для построения модели, в которой выполнены
аксиомы Пеано, чем употребление для этой цели конеч
ных мощностей или конечных порядковых типов. Доволь
но популярен такой способ:
1 == {g}, 2 == {{g}}, 3 == {{{g}}}f ...
Единицей объявляется множество, единственным элемен
том KOToporo СЛУ}J\ИТ пустое множество. Отношение He
посредственноrо следования сначала определяется для
Jlюбоrо множества: эа множеством М непосредственно
следует множество
М' == {М},-,
единственным элементом KOToporo служит множество М.
Н а т у р а л ь н ы й р я Д определяется Ji,an наименьшее
множество множеств, содержаzцeе 1 == {Q)} и вместе с
М содержащее М' == {М}.
Однако для лоrическоrо оправдания любоrо TaKoro
построения нужны, конечно, некоторые допущения.
. у Н..Бурбани одни:м из таких допущений является аксиома
существования хотя бы одноrо бесконечпоrо множества..
Мы условились в первой лекции не входить слишком: rлу
боко в вопросы лоrических оснований мате:матики. Но,
возвращаясь к сказанному в первой лекции, заметим, что
неоrраниченно продолжающиеся последовательности cy
щественно входят в основные рассмотрения математики.
Поэтому мы сейчас находимся как раз в той области, rде
ник,акая фОР Iализация не может нас избавить от содержа
тельной интерпретации попятий. Мы должны сделать co
держательные допущения, позволяющие rоворить о He
оrраниченно продолжающихся последовательностях, т. е..,
по существу, о моделях натуральноао ряда.
Идея последовательности элементов, обладающей свой
ствам:и, выраi-I\енн.ыми аксиомами Пеано, столь проста,
что представляется законным допущением о существова
НIIИ такой последовательности и сделать непосредственно
исходным допущением, рассматривая ero как известное
обобщение данных опыта и наших наrлядных представле
ний. Я дуьrаю, что ничеrо не изм:енилось со времен KpOHe
кера и Пуанкаре, которые считали, что известные ВОЗМОjl\
ности замены этоrо допущения какими либо друrими П8
245
содера\ат в себе существенноrо проrресса. Например,]
для Toro чтобы убедиться в законности допущения о су"
ществовании бесконечноrо 1\IHOiheCTBa, по видимому, про..
ще Bcero опереться на представление о ВОЗАIОЖНОСТИ по--
строения бесконечной последовательности при ПО},10ЩИ
перехода от каiRдоrо ее элемента к непосредственно еле..
дующему.
Подведе I итоr наших общих рассмотрений. MaTeMa
тика l, по сущестну, нужен о Д и н натуральный ряд
чисел, который может обслуживать все их нужды. Свойства
этоrо натуральноrо ряда, существенные для l\lате lатиков,
полностью описываются аксиомами Пеано. С научной
точки зрения представляется законным считать существо..
вание модели, в которой эти аксиомы выполнены, исход--
ным допущением, являющи:мся непосредствеННЫ I об06--
щением данных опыта и наших наrлядных представлений
(мысленноrо эксперимента). Модель, в которой натураль--
вые числа ЯВЛЯЮ1'ся мощностями конечных множеств,;
по способу ее построения не является саl\-IОЙ простой"
. и дедать ее исходной лоrичееки не 'обязательно.
2.6. ЯСНО, Ч10 начальное обучение арИф lетике нату"
ральных чисел должно быть наrЛЯДНЫl\l, и: не обязатель--
но следовать ни аксиоматическому, ни каКОМУ JIибо дру..
I'ОМУ разработанному математиками последнеrо столетия
способу лоrическоrо построения теории натуральных чи
сел. Но это не значит, чтq начальный курс аРИф?vlетики
не должен иметь ясноrо лоrичеекоrо строения, KOTOpЫ 1
сознательно руководствуются авторы учебника и учи
теля.
Форм:ирование' представлений о натуральных числах
в сознании де'Jей начинается аадолrо до школы, а в школь
вом возрасте реrулируется не только ШКОЛЬНЫ I обуче...
вием" но и непосредственным участием детей в практи
ческой жизни. Поэтому крайне желательно" чтобы Jle
жащая в основе школьноrо курса лоrическая схема была
по воз:можности близка к реальным путям формирования
первых представлений о натуральных числах. Если бы
народная традиция здесь оказалась в противоречии с наи
более совершенными научными концепциями, то еще
следовало бы основательно подумать, чему отдать пред
почтение. Возможность TaKoro конфликта между требо
ваниями науки и традицией наметилась в последнее Bpe
АIЯ потому, что некоторые методисты слишком уверовали
в лоrическую обязательность очерченноrо вышеl, в п. 2.2 "
246
пути" в котором четкое оформление понятия эквивалеIIТ
ности множеств предшествует счету. Мы YiKe видели, что
наука вовсе не требует признания за концепцией, иден
тифицирующей натуральные числа с конечными мощностя
IИ, какоrо либо исключительноrо и преимуществепноrо
положения.
По данным же истории культуры и наблюдениям за
развитие м детей ШКОЛЫlоrо возраста l\IOiHHO установить,
что прямое формирование понятий о мощностях, не опи
рающееся на процесс порледовательноrо пересчета, OCTa
навливается на самых первых шаrах. Чтобы продвинуrься
дальше, люди обраJцаются к той или иной заранее заrо
товленной последовательности знаков.
Наличие во мноrих языках «двойственноrо числа» по
казывает, что формирование представления о сходстве
всех множеств l\IОЩНОСТИ 2 м:оrло быть самостоятельным
этапом человеческой l\IЫСЛИ, на котором раЗJlичались
лишь «один», «два» и «MHoro». О том iRe rоворит особое
положение в русском языке слова «пара», которое лоrи
чески должно БJdЛО бы быть первым члеНОl\I последователь--
ноети {пара, тройка, четверка, . . .,}, но не похоже по
способу образования на слеДУЮIЦие члены этой последо--
nательности (МЫ rоворим упорно «пара лошадей», а не
«двойка лошадей», хотя последнее и соответствовало бы
дальнейшим: «тройке лошадей» и «шестерке лошадей»).
Особенности соrласования русских чис&лительных rоворят
о том, что такое индивидуальное отношение существовало
и к мощностям 3 и 4:
два стула,
три стула,
четыре стула,)
пять стульев,
шесть стульев,.. i
Только С пяти стульев устанавливается единообразие"
продолжающееся неоrраниченно:
десять стульев,.
сто стульев,
тысяча стульев, . . ,
Специалист по теории множеств Иван IIванович Ж е-
r а Jl к И Н утверждал даже в своих лекциях 1920 1921 rr.;1
что у детей иноrда представление о четырех предметах
форм:ируется р а н е е, чем представление о т р е х пред'"
leTax_, по той причине,! что дети часто встречаются с
247
четырьмя лапами у кошки, четырьмя ножкаl\IИ у стола *)
и Т. П., но не имеют BOKpyr себя стандартных троек пред"
кетов.
Но это мнение и. и. Жеrалкина, кажется, не было
подтверждено точными наблюдениями. Во всяком случае
и здесь rипотеза формирования понятий о начальных
иощностях без обращения к счету по порядку относится
лишь к начальным мощностям -<4 .
Наблюдения психолоrов над восприимчивостью чело..
века к ритму rоворит о том, что без пересчета и без раз..
биения на подrруппы люди леrко различают rруппу по..
следовательных четырех ударов от rруппы из пяти,
а различение rруппы из пяти ударов от rруппы из шести
уже лежит на пределе их возможностей. Лишь при привыч"
кв отбивать такт, например тройкаМИ t леrко отличается
000 000 00) )}) ))0
ОТ
000 000 000 000 00
и т. п. Не случайно шестистопный классич-есиий ямб в
отличие от пятистопноrо решительно нуждается в цезуре.
Там, rде отказывает способность интуитивно схваты"
вать «равночисленпость» множеств, nOMoraeT, как уже
rоворилось, счет.
- Так как мы не учим теперь детей продолжаrь счет
с пальцев рук на пальцы Hor, то вполне естественно, что
и рОДИ1'ели и дети с удовольствием заrотовляют зара..
нее последовательность слов
один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь,
девять, десять, одиннадцать, двенадцать, тринадцать, (1)
четырнадцаТЬ t пятнадцать, ...
Сопоставление ЭJlементов произвольноrо множества С эле
ментами начальноrо отрезка этой последовательности яв
JIяется более простой, а к MO IeHTY поступления в школу
уже и более привычной для ребенка операцией, чем He
посредственное сопоставление элементов -двух множеств.
Особенно же существенно, что каждый ребенок в ca
мом деле на MHoroKpaTHoM опыте убеждается в основном
положении" что. пересчет элементов одноао и тоао же
.множества," nроводиМЬLй в различном порядпе, всеада
аапанчивается на одном и тоМ, же члене стандартной
последовательности слов (1).
*) в 1920 r. столы еще имели, как правило, четыре ножки.
2
При овладении общим: понятием «числа элементов
множества» ЛIОДИ поступают по Дедекинду, а не по Кап--
тору. НезаВИСИ}fое же от счета неlIосредствепное овла...
дение понятием мощности на достаточно обширном ма..
териале и !tlысленных экспериментах является, П(J ВИДИ"
мом у , лишь созданной торетиками функцией (кроме, как
уже rоворилось, быть может, самых первых мощностей
1, 2, 3, 4).
Независимое от счета овладение общим понятием МОЩ--
ности, хотя бы и тольк,о В применении к конечным МНО--
жествам, требовало бы обращения к обширному запасу
наблюдений, подтверл дающему транзитивность эквива
лентности и неВОЗl\IОЖНОСТЬ эквивалентности множества
своей части. Можно достаточно уверенно утверждать,
что в действительности понимание обоих этих фактов
достиrается лишь через обращение к -счету при ПОМОЩtl
стандартной последовательности слов ли, пальцев ли,
беiJразлично.
2.7. Теперь м:ы, по существу, уже достаточно подrо--
товлены к TOl\rIY, чтобы наметить лоrическую схему, мо--
rущую служить для преподавателя путеводной нитью
при начальном обучении арифметике в младших классах,
быть постепенно доведенной до сознания учащихся в
средних классах, а в старших подвести и к настоящему
научному обсуждению природы натуральноrо числа. Но
перед ЭТИl\1 полезно еще одно замечание относительно
терминолоrии. В rрамматике различают Jt;оличествеuuые
и поряд овые числительnые. Но это различение не имеет
прямоrо отношения к различию между кардинальными
и ординальными числами Кантора.
Порядковые числительные, подобно прилаrательным,
не являются и,Лtеnами каких либо новых предметов. Ма..
тематик l\lожет употреблять слова
первый, второй, третий" i i 11
чтобы, например, наименовать первый, второй, третий
член какой либо последовательности
а 1 , а 2 , а 3' . . 4
Но эти словоупотребления не дают ему повода для вве..
дения особых «порядковых чисел»,
Количественные числительные
один, два, три, четыре, пять, · !! .'_ СТО I · ! .зJ
тысяча, . . ., миллион t · .
имеют два основных значения:
249
а) в соединении с наименованием рода пред метов они
обозначают :множество соответствующей численности:
два мальчика,
пять яблок,
тысяча ниц и т. п;
б) они являются имеnами чисел.
Так как существует только одно число «пять>} и одпо
единственное IИСЛО «тысяча», то при употреблении во
ВТОрО.\1 смысле количественные числительные по самому
их смыслу не допускают множественноrо числа. У боль
шинства из них вообще нет множественноrо числа, хотя
при употреблении числительных в смысле а) с точки
зрения лоrики ero наличие было бы естеетвенно, как это
имеет место для тысячи, миллиона и миллиарда. Для
друrих количественных числительных множественное чис
ло образуется не от них непосредственно, а от слов
пара,.. тpoй a, . . ., десятоJli" . . ., сотня, . ..
Мы rоворим:
три napь лошадей,-
JН,noeo десятк-ов яб/l,О t
две тысячи яиц,
.мноео Jtf,UJl,JtU01tOB птиц
и Т. д.
Одной из важных задач при начальном обучении
арифметике является доведение до полной сности упот
ребления числительных в качестве собственных имен
чисел. 11звестно, что выражение «пять взять четыре раза»
еще долrо кажется детя м более понятным, чем «пять
умножить на четыре». Из за архаичности l'раМI\.lатики
задача эта довольно деликатна. Школьник должен пони
мать, что существует только одно число «тысяча)}, по
имеется и число «три 'тысячи)}, а три тысячи яиц реально
MorYT состоять из т р е х тысяч «первой тысячи» В
ОДНОl\I ящике, «друrой тысячи» ВО втором ящике и
«третьей тысячи» В TpeTbel\f ящике.
Эти неизбежные теР lинолоrические трудности быди
бы еще осложнены при попытке вводить в эдем:ентарпый
курс арифметики различение «количественных» и «по
рядковых» чисел. К счастью, оно совершенно не нужно
в школе и совсем не обязательно при наУЧНО \1 построении
ариф {етики натуральных чисел.
2.8. ДОJпкольная стадия овладения арифм:еТИRОЙ Ha
туральных чисел неизбежно сипкретична. Се IИtllетний
250
ребенок, приходящий в школу, конечно, уже "tпоrо раа
пересчитывал предм:еты, пользуясь начаJ1ЬНЫ 1 учаСТКО 1
последовательности слов
один, два, три, четыре" пять, . . .,
привык rоворить о числе тех или иных предметов; видя
три яблока и две rруши, понимает, ЧТО' яблок БО.JIЬПlе у
чем I РУШ, и т. п. В peaJIbHOl\1 общении с ОКРУrкаIОЩИМИ
эти навыки образуются без строrой системы и часто ос..
вованы лишь на частичном понимании. Л не специалист
по дошкольному воспитанию, но ДУ lаю, что здесь с П
которой бессистемностью и не надо бороться.
Но в школе начинается формирование определенпой
системы знаний о HaTypaJIbHblX числах. Эта система, как
уже rоворилось, будет лишь постепенно осознаваться
все более полно,- оставаясь" по существу" достаточно
твердой.
10. Пор я Д о к. Часто приходится располаrать пред--
меты в определенном порядке: букв}'! n алфавите t людей
в очереди, цифры
1,2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9.
РаСПОЛОII-\енные по порядку буквы или цифры MOiKHO
употреблять для обозначения раСПОЛОrкенных по порядку
предметов друrой природы: в школьном коридоре один
за друrим расположены
кдасс А, класс Б, класс В.7.. кдас.с r 1]
на улице ДOMa с номерами
1t 2t 3, 4, 5, 6, 7.
Букв или цифр может не хватить для обозначения рас..
положенных по порядку предметов. 110сле буквы Л можно
пустить в употребление пар ы букв
АА" АБ t AB " . . .
после цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6," 7, 8, 9 .......... номер 10t 11,; 12" 13. . .
Пользуясь номера:ми, составлеНПЫl\IИ из цифр,; rOBOp я'l'
о нумерации, или пересчитывании" преД lетов.
20. Н а т у р а л ь н ы е ч и с л а. Нельзя ли распо.
рядиться так, чтобы номеров хватило во всех случаях,
как бы мпоrо пред:метов ни пришлось пересчитывать?
Для этоrо надо, чтобы ряд номеров ПРОДОЛi-нался «Heorpa..
ппченн:о». Этоrо люди и достиrЛИJ; создав naтурмьн,ый
251
ряд чисел. Не важно,: из чеrо он составлен. Слова разных
языков
один", два,: три, четыре, ; . l>
one t , two" three t four. t . :8
или записи при помощи цифр
1 .,' 2, 3, 4,; .
можно считать лишь разными названиями последователь"
ных натуральных чисел.
30. Ч и с л е н н о с т ь м н о ж е с т в а. Элементы
множества можно нумеровать числами (пересчитыватъ)
1
2.
Рис. 96
о
в разном порядке. Пересчет заканчивается всеrда на од"
иом и том же числе (рис. 96). Получаем число элементов
множества (ero численность)
п (М).
3 а м е ч а н и е. fIозднее учащиеся познакомятся с IПО"
жествами, пересчет которых никоrда не закончится.
40. С л о ж е н и е ч и'с е л естественно с eaMoro на..
чала связывать с операцией соединения непересекаЮJЦИХ"
ея lfIножеств
если
п == п 1 + п 2 ,
п 1 == п (М 1 ), п 2 == п (М 2 ), Af 1 n М 2 == О,
п === п (М 1 U М 2)'
считая последовательное присчитывапие (рис. 97) лишь
способом ero выполнения. Только при таком подходе
Rоммутативвость и ассоциативность достаточно очеви.дны.
252
5 Q . У м н о ж е н и е без нарушения принятой лоrи..
ческой концепции :моrло бы проявиться тремя способаl\IИ:'
а) п L kт как численность соединения т непересе..
кающихся :м:ножеств численности k каждое,
б) как результат сложения т слаrаемых, равных k1;
в) как число пар (х, у), rде х берется из множества
численности k, а у из множества численности т.
.... 4+0=7
б' 7 О О О О О
1 2 3 4 5'
... О О О О О 3x5=5x:J
1 2 'о О О О О О
Рис. 97 Рис. 98
Последний из этих способов имеет то достоинство ,
что делает наrлядно убедительным коммутативность умно..
жения" но попытки положить ero в основу первоrо зна..
комства с умножениеl\1 мне кажутся методически неубе..
дительными. Наrлядная убедительность КОМ}lутативности
умножения леrче достиrается не обращением к общей
идее множества пар, а непосредственно на rеометрической
модели со счетом по строкам и столбцам (рис. 98).
Что касается первых двух способов, то само различие
между ними в младших классах, вероятно, останется
незаl\lеченным, хотя лоrически оно и HeCOl\tIHeHHo: первый
подход требует установления независимости результата
от выбора множеств, а второе определение уже по фОр1\lе
доставляет непосредственно операцию над саМ:Иl\IИ числа:ми.
Следование этой схеме в первых классах не предпола ..
raeT обязательноrо введения слова «l\Iножество». Тем
более не обязательны обозначения. Но уi-ие в п. 30 естест..
венно расширение систе:мы чисел введением нуля.
При постепенном уrлублении представлений об OCHO
вах арифметики в средних и старших классах без всякой
ломки общей схем:ы происходит следующее:
10. Вводится явное определение nоряд1'i,а и уnорядQ"
чеииоео миожества. Находится число разных способов
п! ввести порядок на RонеЧНОl\I МНОiиестве из п эле Iентов.
20. Объясняется, что Ca1\IO множество натуральных
чисел есть частный ПрИl\lер упорядоченноrо множества.
Ero устройство характеризуется полностью теl\IИ или
иным и свойствами} равносильными аксиома1\1 Пеано.
253
Подробно излаrается история формирования идеи беско
вечности натуральноrо ряда.
В IX классе при прохождении темы «Принцип MaTe
l\fатической индукции» В основу кладется аксиома IV
из nepBoro пункта этой статьи. Желательно здесь и более
широко рассказать об аКСИОl\Iатической характеристике
устройства натуральноrо ряда «с точностью до изомор
фИ3l\Iа», произнося или не произнося само слово «ИЗОl\'IОр
фИ3М».
3О. Устанавливается, что конечные l\Iножества тоrда
и только тоrда взаИl\IНО однозначно отображаются друr на
друrа, коrда они Иl\Iеют одно и то же число элеl"lентов n.
Устанавливается , что число отобрая-\ений равно n!
В факультативном порядке в старших классах дается
понятие об эквивалентности и мощностях бесконечных
множэств. Мощности конечных MHOi-Rеств остаются просто
числаl\IИ n (М). Мощности бесконечных множеств можн::>
Ba в \ть трапсфинитны.мu числами, подчеркнув своеобра
вие этоrо направления обобщения понятия числа *).
Термин «кардинальные числа» и здесь остается излит..
пим **), хотя на этом этапе на факультативных заня
тиях с любителями математики знакомство с различ
ными, не соrласованными между собой вари нтами
терминолоrии Уi-ие не страшно, а может быть, и полезно.
40 и 50. При прохождении темы «Принцип математи
ческой индукции» естественным:и примерами ин,дyптив
ных определений MorYT явиться индуктивные определения:
а) сложения
а + 1 == 'а',
а + Ь' == (а + Ь)' 1)
б) умножения
а · 1 == а,'
а · Ь' == а. Ь + а.
В связи с этим естественно р а с с к а з а ть о B03MOi-I\НОСТII
последовательвоrо развития теории натуральных чисел
непосредственно из аКСИОl.\'I Пеано. Впрочем, фактическое
про ведение этоrо замысла rРОМОЗДRО, и м:не оно кажется
не особенно блаrодаРНЫ f даже для занятий со школьни
ками любителями мате}lатики.
*) Как известно, не существует разумной системы чисел,
в которую вместе входили бы действительные числа N о ИЛII N.
**) Для I\aHTOpa наименование мощностей «кардинаЛЬНЫ:\П-l
числами» служило для фиксации ВНИ IRПИЯ на их отличии от <:1'0
, <(ординальных чисел».
254
Если в факультативном порядке IIIRОЛЬНИКОВ знаR
:м:ят с мощностя:м:и, то естественно применить :к пим те
же определения сложения.
При занятиях комБИItаТОРИRОЙ естественно указать
на лоrичность и изящество определения произведения
"кап числа пар.
Если в факультативном порядке школьники знако..
мятся С мощностями бесконечных Iножеств, то естест..
венно для них определить сложение и Уl\Iножение (здесь
уже сразу как !\iОЩНОСТЬ множества пар).
60. Понятие порядковоrо типа упорядоченпоrо MHa
жества блаrодарная тема для факультативных и круж"
ковых занятий. Очень живо проходит знакомство со
сложение 1 и умножениеl\-I порядковых типов" на которых
сразу обнаруживается нарушение КОl\f1\iутаТИВlIОСТИ этих
действий (рис. 99). Тема эта пеСКОJIЬКО изысканна,_ 110
...о о О О О 1 о о о
(r) *' (r)
о о о о o.Hf...o Q О
Q *
о О'Н }
(1)*+ 6) # Ы+(д*
О О
о о 000 .. Io О }
ы z 6.>+2#2+6J;:;({)
ОО(ООООО.,.
2 lA)
00\001001001..12'6)=(,) 1
OOooo...!Ooooo.jblOZ>,,(.) J
р ие. 99
поучительна для настоящих любителей АIатем:атики"
в частности,) и тем,; что по--новом:у освещает различные
возможности построения аРИф iетики обычных натураль--
ных чисел.
Собственно ординальных чисел Кантора, Т. е. специ..
альноrо изучения порядковых типов вполне упорядоченных
множеств я здесь касаться не буду, так каl\ это увело
бы нас уже слишком далеко от основной теl\IЫ этой лекции
з. ОБОБЩЕНIIЕ ПОНJIТИЛ ЧIIСЛА.
НЕОТРИЦАТЕЛЫIЫЕ РАЦIIОНАЛЬНЫЕ
ЧИСЛА
Исходным будеl\1 считать запас пеотрица--
тельных целых чисел
O,t 11, 21, 31, 8!!!!
255
Множество всех этих чисел будем обозначать 7L o . На
Аlножестве 7Lo будеl\1 считать заданным:и операции сло...
жения и Уl\lножения и отношение неравенства х < У81
В таком положении находятся современные школьники
коrда они впервые встречаются в школьном курсе с чис...
лами дробными или отрицатеЛЬНЫl\IИ.
Равноправное положение нуля в системе неотрицательных цe
лых чисел леrко воспринимается школьниками, которые привыкли
не бояться ответа «нуль» на ВО!1РОС «сколько» (имеется книr на язы...
ке суахили в школьной библиотеке и Т. п.) и пресловутоrо «пустоrо»
множества. Числа из lo достаточны для о"бозначения численностей
конечных множеств, т. е. всех тех множеств, которые MorYT быть
фактически «пересчптаны». Жаль, что для чис.ел изl о нет KopoTKoro
Быразительноrо названия. Приходится товорить «натуральные ЧIIС-
ла и нуль».
Далее мы будем иметь дело с последоватеЛЬНЫl\{И
этапами обобщения понятия числа, которые можно pac
положить в виде приведенной па рис. 100 схемы.
(2)
(1) НеотРllцатеЛЫ-lые
целые числа
Целые '111с//tl (5) Неотрицатв//ьные
раЦl.10наЛЫiые Чtlсла
\ 1,
РаццонаЛЫlые (о) НеотРl1цательные
III.1СЛ/Х оеt1стОllтельные
1./1Iсла
АлееtJрqцчеСI((J е (7) ДеtJстОцтельные
ЧlJола Чt./сла
,
(8) /(омллеlrСllые ЧlJсла I
(3')
(4)
Рис. i 00
я включил в схему поле алrеб аичеСRИХ чисел, KOT
рое остается за пределами круrозора шк<?льников даже
и большинства наших специализированных а-Iатемати"
256
ческих школ. Но для полноrо понимания Ъ'IОТИВОВ, при
ведших l\Iатематиков к завершающему этапу построе
пию поля всех комплексных чисел, нам придется хоть
Hel\IHOrO поrоворить и о поле алrебраических чисел.
Мои слушатели встречались с ними в курсе алrебры
педаrоrических институтов. Как будет подчеркнуто дале ,
с ТОЧКи арения чистой алеебры естественный ряд обоб
щений идет по пути
(1) --+- (2) (3) (4)J
а на алrебраических числах' заканчивается,
В школе обобщение идет по пути
(1) (3) (3) (7) (8)
...... запас неотрицательных целых чисел сначада попол
пяется положительными дробными числами (по новым
проrра Мl\fам в III IV классах), лишь после этоrо Р(lЦИО
вальным:и отрицательными (по новым проrраммам в V клас
се) и l\IHOrO позднее иррациональными деЙа1вительпыми
и l\fНИl\IЫl\fИ числами.
Довольно большая rруппа методистов при разработке
новых проrрамм настаивала на TOM_, что путь
(1) --+ (2) --+ (3)
«лоrичнее» и что в соответствии с этим и в начальных
классах отрицательные целые числа должны появиться
ранее дробных. Я не ставлю перед собой задачи решать
'Чисто методические вопросы, но прошу читателей обра _
тить внимание на то,,- что естественность обращения к
отрицательным целым числам и лишь потом к дробным
имеет l\feCTO только в чисто алеебраичес1'tОЙ 1'tOHlfeпlfuи
обобщений понятия чиС/tа, которая вообще обрывается
па пути
(1) --+ (2) (3) (4).
Выход за пределы алrебраических чисел и создание
системы действительных чисел имеет совсем друrую
мотивировку, связанную с употреблением чисел при
uзмерении С1'tалярных величин.
В свое время в старших классах школьники были
11 состоянии вполне сознательно отнестись к идее pac
ширения первоначальноrо запаса чисел, исходящей из
вадачи сделать неоrраниченно выполнимой операцию
!Вычитания и выполнимой, за неизбежным исключением
деления на нуль, операцию деления. Задача построения'
9- А. В. I\олмоrоров
251
..аних расширений, сохраняющих основные свойства сложе'"
вин и Уl\IВQmения, по моему опыту, вполне доступна
интеРВСУW II\иtl СИ математикой учащимся старших классов.
Но иадо иово представлять себе, что серьезную образо..
ватеJlЬНУЮ ценность знакомство с этим крутом идей
приобретает ТОJlЬКО в том случае, если учащиеся поймут
точную постановку задачи разыскания МИНИl\lальноrо
расширения, обладающеrо заданными свойства11И, и смысл
v
теоремы о оущественнои единственности такото расширет--
пия (единственности с точностью до изоморфизма!).
В младших классах вопросы «Можно ли из меньшеrо
вычесть большее?», «Можно ли, например" из 3 вычесть
5?» ВЫ80ВУТ оживление в классе и при умелом руководстве
учителя послужат началом овладения вычислеВИЯl\IИ с
отрицательными числами. Но без связи с конкретными
примеиениими все это будет ВОСПРИНltМаться как забавная
иrра. Вопрос же «Можно ли разделить 3 пополам?» пока..
жеТСII более естественным. Нормальные се:м:илетвие дети
решат ero без помощи учителя." поняв,; конечно, кон..
кретиым образом: чтобы разделить пополам три яблока,!)
u
надо одно И8 вих разрезать на две равные чаСТИ t каждыи
получит по полтора яблока.
Поэтому мне представляется разумным сохранение
в том poeKTe новых проrрамм" который будет проводить-
си В жизнь в ближайшие тоды,\ традиционноrо порядка
(1) -+ (5) -+ (3) -+ (7).
Намечаетоя лишь некоторое ускорение движения по
атому пути, Последний mar традиционной схемы
(7) -+ (8)
новые рротраммы оставляют на ДОЛIО факультативных
ванятий. Об этом сокращении обяэательвоrо курса
математики в средней школе идут большие споры,; к КО-
TOpЬDIII В своих лекциях еще вернусь в падлежащеl\tf месте.
Поаожительные дробиые
Первый таю обобщения понятия числа
11 И С Л а.
(1) -+ (5)
состоит в пополнении запаса
Zo ::;; {O 131 2J, 3
. . .}
J
158
неО'I'рицательных целых чисеJI дробными положитель..
ны:ми числами. В результате получается м ожество Qo
всех неотрицательных рациональных 1'{исел *).'
Первое важное для методиttи работы со ШRольникамu
III V классов замечание ОТНОСИТСЯ R самому резуль-
тату этоrо mara. Любое число
Xe!Qo
может быть записано в виде дроби
Х === ': т Е! ZOf n E!!:IN-
НО дробей с неотрицательным целым чиолителем и на..
туральным знаменателем" приrодпых ДЛЯ записи 04иоrо
и Toro же числа" MHoro. Дроби
+== ::z1f--
являются просто разными записями одноrо..вдииствеи..
иоrо числа «две трети». В IV класое школьники вотре..
trятся еще с записью чисел в виде десятичных дробей»
1
0,25:::t:: 0,250 == 4" .
Представляется правильным считать и процентные
ваписи просто записью чисел:
25% ===0,25== ; 350% ==3,5==3 .
Твердое усвоение различия между ПОНЯ'nIями «дробь))
n «дробное число» при современном построении школь...
oro курса математики следует считать совершенно обя--
вательным. Увидев на доске записи
О 6 2 3
0,40; 100 ; 0",4; Т; о; 5; 5; 0,,33j)
[ ольники должны без затруднений отвечать на BOIIPOCblt
) Сколько раа,д,uчnьtх чисел здесь напис но? (Пять).
) Сколько среди этих чисел дробnьtХ? (Три). 3) Сколько
цед' tХ? (Два).
Следует особо подчеркнуть,,; что без ясноrо понимаНИJl
различия между числом и способом ero записи неЛЬВJI
()c1Iыеиноo пр ииенять к числам язык теории множеств.
. ) В пояснение JIОrики выбранных обоз,ачений укажу, что Да..
ee множество всех целых чисел обозвачается Z, а множество
Всех рациональных чисел обозначается (Q.
9* 259
Например, множество обыкновенных дробей со зпа lе"
нателем 2 и множество оБЫRновенных дробей со знаме
нателем 3 не имеют общих элементов. Но множество А
чисел а Е Qo, записываемых в виде дробей со зва
менателем 2,- и множество В чисел Ь Е Qo, записываемых
в виде дробей со знаменателем 3, имеют своим пересе..
чением множество lo целых неотрицательных чисел *)..
Вероятно" при первом: знакомстве с простейши:ми
дробями вводить термин «дробное число» еще не следует.
Но мне кажется, что 6 пробноrо учебника дЛЯ IV клас..
са (под ред. Aw и. Маркушевича". М.: Просвещениеt)
1969),; названный «Что такое дробь», только выиrрал
бы в ясности и доступности, если бы после примеров
8 24
8==1,: 8==3
было сказано: таким образом, иноrда дробь может служить
. 7 23
ваписью целоrо числа; но дроби 8 или 8 не являются
записями целых чисел" это записи дробnь'tх чисел. Далее
появились бы формулировки: числа, меньшие единицы)
ваписываются правильными дробями, числа, большие
единицы или равные единице,; записываются непраВИЛЬ 4
ными дробями. Речь идет не о каком..либо лишнем теоре.-
тизировании,; а о соадаnии с caMoro начала привычки
пользоваться адекватным языком.
Затруднения возникают лишь с употреблением уко-
ренившеrося термина «смешанное число». Термин это,»
специфически школьный. Ero нет в «Энциклопедии эле-
ментарной математики» и в известных мне курсах «осно-
ваний арифметики» для педаrоrических институтов.
Не пользуются ими и в житейской практике. В школе
запись
71,3
называют просто «десятичной дробью»,: не считая нужным
в самом названии оттенить наличие в ней целой части.
Наиболее лоrичным было бы,: рассказав о выделении
из числа ero целой части.t объяснить просто", что в суммах
типа
2 +- ..!.
· 3
*} Судя по задаче 1161, авторы пробвоrо учебника ДЛЯ V клаС4
са под ред. А. и. Маркymевича (М.: Просвещение, 1969) отнеслисъ
без должноrо внимания R тому, что обращение R теоретИRО МИО.
жествевн м понятиям без l!остаточной ПОИfОТОВКИ иноrnа привоДИ'll
к вреднои путанице.
260
(целое число плюс дробь) принято для краткости опускать
знак «+» и писать просто
2
23.
При желании иметь специальный T pMЦH для TaKoro
способа записи чисел можно было бы rоворить просто
о «С lешанной записи» чисел {целая часть + дробная часть).
Представляется приемлемым и TepMVH «смешанная
дробь», хотя с ним и связана некоторая филолоrическая
тонкость *). Но, к сожадению" ставшее употребительным
выражение «смешанное число» представляется мне смето"
Дической точки зрения определенно вреднщм. Обращаю
еще раз внимание на то, что даже в школьных учебниках
оно появляется при прохождении соответствующеrо раз..
дела, а потом бесследно исчезает. Реальной потребности
в не:м: после Toro, как процедура записи чисел с выделе
нием целой части y BoeHa, не оказывае ся.
l\fои слушатели, конечно, знают, что каЖh(ое неотри
цательное рациональное число едuнственны,м, обраао.м,
записывается в виде несократимой дроби. Этот факт
заслуживает внимания и пятиклассников. Я думаю,!
что уже в V классе вызовет интерес возможность после.-
довательно выписывать все числа х Е (Qo в порядке воз..
растания суммы числителя и знаменателя их несокра"
тимой записи:
1
о
т
2 3 4
1 1 2
т "2" Т
5 6
1 3
3 Т
7 8 {} ...
123
Т 3 т...
СвязаННJ>Iе с этой возможностью парадоксы (неотрица-
тельных рациональных чисел «столько же»" как и нату-
*) Дробь в арифметике неотрицательных рациональных чисел
т
есть выражеnuе вида N' т Е Zo, n е IN. Правuдьпая дробь
и н'еnравuдьnая дробь это частные виды дробей. Но смешан--
т
вая дробь есть выражение вида k n ' k Е IN, т Е IN, n е IN,
т < n, т. е. смешанная дробь н е е с т ь дробь. Лоrически КОМ--
бинация сдов «смешанная дробь» есть неразложимый н о вый
flермин. В математике, вообще rоворя, не боятся TaKoro неестест-
neHHoro с точки зрения языка образования терминов. Например,
«упорядоченное множество» не есть частный случай множества,
8 c pYКTypa, состоящая из множества и задапноrо на Ilем OTHO
mения порядка. Но злоупотреблять таким обращением с языком
в МJIадших классах нежелательно.
2\11
ральВьtх чисел) MorYT остаться темой кружковых занятий
с желающими, но продолжение начатой нами таблицы
до довольно далеких пределов является хорошим класс..
вым упражнением на сопращение дробей и понятие
весократимой дроби. Хорошо, если учащиеся сами най
дут и дрyrие способы расположения всех элементов мно':
жества Qo в последовательности (без повторений) *).
Сам )JОПрОС «что такое рациональное число?» в IV V
класса:f лучше обойти. Но тем более необходимо стремить..
си к тому чтобы состав множества Qo, а в V плассе и мно"
жества Q всех рациональных чисел представлялся уча..
ЩИМСJI возможно более наrлядно.
В следующей далее части этой лекции я :напомню,- пока
безотносительно к возможностям школьпоrо преподава...
вия, знапомое вам из курса педаrоrичеСRИХ институтов
построение теории рациональных чисел кан «Rлассов пар
целых чисел». Сделаю это применительно н множеству
o неотрицательных рациональных чисел.
1. Рассматриваются пары (т, п), rде т Е lo, n Е (N,
Две такие пары (т t п) и (т'", n') считаются Э1'Юusалеnтnы-
.ми" если
тn' == т' n
2. Доказывается! что отношение энвивалентности
(т! п) (т' 11 n')
рефлеКСИВНО,t; симметрично и транзитивно. По общей тео-
реме о рефлепси вных) симметричных и транзитивных от-
*) Можно начать с задач на Rонечные множества. Существует
О
ТОЛЬRО одва правильная р;робь со знаменателем 1: 1 . Песо-
1
кратимая праВИJlьная дробь со знаменателем 2 тоже одна: т .
Множество неСОRратимы:х: прав ильных дробей со знаменателем 3
состоит из ,«BY элементов. Ero можно записать, выписывая входя-
щие в aero J1роби в порядке возрастания или убывания:
{+ ' +} == { ,+}.
Можно J1атъ веСRОЛЬRО правил последовательноrо выписывания
алем:евтов Шlожества всех несоRратимыx правильных р;робеЙ%
{ О 1 1 2 1 3 1 2 3 4 1 }
1'2'З'Т'4'Т'5' 5' Т, 5' 6'... ==
{ О 1 2 1 3 1 4 3 2 1 5 }
== 1.TtT.TtT'4'5'T'5 t 5 t 6'...
и Т. п.
262
ноmениях отсюда делаеТСR ВJ(ВОД! ЧТО множество всех на..
ших пар разбивается на I(лассы эквивалентности.
8, Класс эквивалентности! J( которому принадлежит
пара (m.t п), обозначается -i-. в силу этоrо определения
из эквивалентности
(т 1 п) ,...", (т'.{ n')
вытекает
т т'
Z=
n n'
и обратно *). Таким образом,,- дроби сразу вводятся нак
1 2
обозначения классов пар Дроби т и т являются
разпы:м:и обозначениями одноrо и Toro же класса пар"
Обратите внимание на этот пункт. Эдесь я отступил
от некоторых учебников. Этим я избеrаю лишних обозна-
ений **) и сокращаю цепь дальнеЙШих определений.
4. Множество всех созданных нами классов эквива..
пентности и объявляется множеством иеотрицательиых
рациональных чисел Qo. Каждый из них бесконечным чис"
лом способов может быть обозначен дробью.
5. Операции сложения и умножения в множестве (Qo
определяются формулами
5а ) + ...!:........... 17}В + rn
n В........ ns t
5б)
т r тr
.......... Х .......... ::::::z:z:
n s ns.
Так как по форме определения аависят ОТ способа обо..
8иачения складываемых и перемножаеиыx чисел.,_ доказы..
вается порреnтность определений! а именио х устанавли--
вается, что ив
(т,,: п) ,...", (т' 1 п') и (т f s) ,...", (r' I в')
вытекает
(тs + rп t ns) ,...", (т' s' + r,п, J п' s')
и
(тr, ns) ,...", (m'r' ,'= п' s').
*) Знак «==» между выражениями у нас всеrда уназывает па
u:omдecтвo обозвачеивых выражеииямй объектов.
**) Например, в «Основаниях арифметики» и. Т. Демидова
а
(М.: Учпедrиз, 1963) т считаетоя просто обозначением пары (а, Ь),
а IUIМС пар, вRвивалевтвых паре (а, Ь), Qбозначается К ( : ).
263
6. Числа (Т. е. у пас классы пар), которые MorYT быть
ваписаны в виде дробей со знаменателе:м 1, т. е. кла ы,
содержащие элементы вида (т, 1), называются целымu.
Из определений 5а) и 5б) сразу получае:м
..!!!:.... + .!........... т + r т r т r
1 1 1 · Т х Т ==----т-----.
Сложение и умножение целых элементов Qo вполне ана:-
лоrично сложению соответствующих элементов т и r ис..
ходноrо множества lo. Целые элеме ты Qo можно «иден..
тифицировать» с соответствующими эле:м:ентами 10. К точ
НОМУ лоrическому смыслу этой «идентификации» я еще
вернусь в конце лекции.
При описанном подходе к делу приходится настаивать
на том, что правила 5а) и 5б) ЯВЛЯIОТСЯ оnределепuя.мu.
Не имеет смысла ставить вопрос об их оопазательстве.
Это верно, но не менее справедливо и то, что настояние на
вевозможности доказать эти определения, сопровождаемое
лишь ссылкой на доказанную практикой их «целесообраз..
ность», не дает окончательноrо удовлетворения. Мне, как,
вероятно, и друrим математикам, приходится получать
иноrо писем от школьных учителей, выражающих по это..
иу поводу недоумения или предлаrающих свои доказа..
тельства правил 5а) и 5б). Должен сказать,: что в меру
своих сил я отвечаю на такие запросы вовсе не обличения..
ми недостаточной rрамотности авторов писем, а скорее
солидаризируясь с ними в том отношении, что возлаrаю
rлавную вину на формализм преподанных им в вузе или
в книжках представлений.
Мне представляеТСЯ t что вся изложенная концепция
оправдана только в том случае f если оНа преподносится
вместе с доказательством Toro,' что она вовсе не построен
па произволе неведомо почему выбранных определений
и даже не на чудесном последующем подтверждении прак-
тикой ее целесообразности,- а возникает кан решение стро.
ro поставленной задачи,_ которая никаноrо друrоrо реше.
пия не имеет.
В применении к построению системы Qo неотрицатель-
.ных рациональных чисел задача может быть поставлена
так. Для чисел х Е lo определены сложение и умно же.
иие! обладающие свойствами
ху == ух" х (yz) === (ху) Z., }
Х (у + z) == ху + xz
(*)
264
(перечисляю только нужные для дальнейших ВЫВОДОt\).
Деление (определенное как действие, обратное умволre
пию) однозначно, но не всеrда выполнимо даже при дели--
теле, отличном от нуля.
Предположим, что существует расширение (Р, +"'i х)
структуры ('lo, +, х), в котором операции сложения
и умножения сохраняют свойства (*), а деление всеrда
выполнимо, если только делитель отличен от нуля.
В расширенном множестве Р для любых а и Ь О
должен существовать элемент х" для KOToporo
Ьх == a
Обозначим ero
а
ь.
в такой обстановке леrко доказывается т е о р е м а.. для
дюбь х а, Ь =1= О, с и d =1= О ив Р
а с ad + Ьс с; ас
Ь + "(1 -== bd ,т х d == {;'d ,
Доказывается и друrая т е о р е м afJ
а е
:::::::::z .........
Ь d
в тож и толъ1i,О в тож случае, если ad ::: Ьа 11
Рассмотрим множество РО тех элементов Х}; которые
представимы в виде
т
х === ......... ,
п,
rде т Е lo и пе fN. ЯСНО t что уже структура (Po' +r х)
у овлетворяет выдвинутым треб9ваниям. Это .мипи.маль-
Ное расширение структуры (lo,; +1 х)" В котором эти Tp
бования выполнены. Все такие минимальные расшире.
ния изоморфны друr друrу.
Определепия Ба) и 56) тем не менее были нужны. Ведъ
BCe,t что мы рассказали о расширениях структуры (lo,; +)
х ),: было построено на rипотезе t что расширения с jкела...
тельными нам свойствами существуют_ Чтобы это сущест-
вование доказаТЬ"i надо построить хоть одно такое расти..
рение,,_ желательно сразу минимальное. При этом построе-
пии Ба) и 5б) оказываются уже определениями.
Аналоrично положение и в друrих случаях растире.
пия числовой системы (при введении отрицательных" ирФ
рациональных,! комплексных чисел), Понимание пе 'f.ольКQ
263
практической целесообразности но и лоrичеСRОЙ обосно
ванности 8ыбора определений при формальном постро
пии соответствующих теорий представляется мне COBep
тенно необходим:ым элементом: воспитания будущих учи..
телей.
Так нан С1.'уденты педаrоrичеСRИХ инстит ов уже ана..
комы с дробями на школьном уровне, то наиболее жела..
тельным ПОрЯДRОМ при преподавании в педаrоrИЧООRОМ
институте мне представляется такой, при котором все ua
чиuается с ПОСТ8ИОВRИ вадачи о расширении и доказатеЛIr
Ства иво:морфиз:ма всех минимальных расширений 7L o .
Изложение,,: следующее намеченным выше этапам 1 5,
рассматривается в этом случае как доказательство сущест"
вования расширений l ,: свойства ноторых уже известны.
Тан нан дело идет о расширениях структуры (lз, +,- х),;
O уже на этапе 3 можно выделить множество Do классов
пар (тl/f n),,, в KOTO X т не делится нацело на п., и на эта..
пе 4 определить Qo кан соединение множеств lo и Do.
Дробь при этом считается обозначением целоrо числа
n
т
k с:::: .......... , если таное еущес.твует" а обовначевием Rласса
n ..
J;Iap.f эквивалентных паре (m. f п), только в случае, если та..
Roro целоrо нет. Этап 6 оказывается здесь излишним.
На этом варианте изложения я не хочу настаивать, но
упоминаю о нем". так как он дает наиболее полную rapaH
...
ию понимаНИJl замысла построения расширения заданнои
структуры, обладающеrо заданными свойствами. Лоrиче..
СRИ корректна и более формальная процедура: множество
,
Rлассов обозначается o, а o получается ВЫRидыванием
,
из o части Rлассов и заменой их надлежащими элемен-
тами из lo. Тан поступают в аналоrичных задачах расши-
рения в большинстве научных курсов алrебры *).
Вся концепция с формулировкой rипотезы о существо-
вании расширения с заданным:и свойствами, исследова.
пием следствий из этой rипотезы и построением" доказы-
вающи:м обоснованность rипотезы,: по моему опыту ,; НI
только усваивается" но и вызывает непринужденный ин-
терес в IX X классах специализированной математиче-
ской школы. В соответствии 6 историческим ходом разви-
тия математики такой rипотетический подход должен ка-
*) Вполне отчетJIИВО проведева идея расширения и доказатель-
ства однозначности с точностью др изоморфизма иивимanь
расширений и в цитировавшихсн «ОсвованияXi арифмеТИКID
и. Т. Демидова.
260
ваться наиболее естествеННЫl\1 и действительно иптриrу:кr
щим при введении комплексных чисел. Здесь ero можно
определенно рекомендовать для массовой школы (по H<r
вым проrраммам в курсе «Дополнительных rлав матема..
тики» в IX классе).
Но в применении R первоначальному изучению дроб--
ных чисел в 1 11 V классах концепция расширения пер--
воначальноrо запаса целых неотрицательных чисел с со..
хранением свойств операций сложения и умножения не
только не может быть в явном виде излаrаема учащимся,
-
но и не может служить руководящеи нитью для учителя
или составителя учебников.
В начале лекции уже rОВОРИЛОСЬ t что переход
( 1) --+ (5)
от lo к Qo более обоснован при следовании реальному
ИС1'орическому пути возникновения дробных чисел из
потребностей измерения величин. Об измерении вел ичин
rоворится довольно MHoro в предназначенных дЛЯ III V
классов учебниках. При этом до введения отрицательных
чисел имеются в виду величины, выражаемые при задан..
ной единице измерения неотрицательными числами. Та--
ковы знакомые школьникам длины отрезков,; площади
и объемы" веса, впоследствии в курсе физики м:ассы
и т. д. Но само понятие «величина» остается в школьных
учебниках почти не разъясненным. Не предрешая вопроса
о том,- в какой мере это положение может быть изм:енено
в учебниках и непосредственной работе со школьника fИ;)
естественно прийти к выводу, что учителя должны были бы
иметь ясный ответ на вопрос (<что такое величина?) имен..
по в этом элементарном, неявно подразумеваемом в Ha
чальном школьном преподавании смысле.
Ответ, естественно, будет дан в терминах матеl\'Iатич
ской теории структур.
4. что ДАЕТ И MOr БЫ ДАТЬ «КВА 11 Т»
УЧИТЕЛЮ МАТЕМАТИКИ?
Научно популярному ежемесячному Физико"
математическому журналу для юношества «КванТ»
15 лет. Можно сказать, что наш журнал как раз ДОСТИD
возраста... своих читателей. Действительно,. кан покаsы...
вают наши анкеты, большинство читателей «Кванта» .........
старшеклассники. Среди наших подписчиков (их около
200 000) также мноrо учителеЙ 1 студентов (как правило,
287
это бывшие читатели школьники, не захотевшие 01.,
казаться от. «!\BaIJTa» после поступления в вуз), инжене--
ров. Журнал в общую продажу не поступает и распростра...
няется только по подписке, но число ero читателей на...
MHoro превосходит число подписчиков. Дело не только
в том, что мноrие школьные библиотеки выписывают
«:Квант» ....... ведь почти все наши читатели школьники не
читают журнал в одиночку, а работают с ним вместе с не...
сколькими товарищами.
В настоящее время менее 10% школьных учителей ма..
тематики выписывают «Квант». Это, конечно,' очень мало:
учитель, реrулярно использующий «Квант» в своей рабо..
те, конечно" пожелает иметь. собственный экземпляр жур...
нала. Возможно" что учителей отпуrивает уровень неко'"
торых статей и особенно задачника «Кванта». Этот страх
мне представляется малоубедительным, так как значи--
ельная часть материалов «Кванта» вполне доступна уче...
никам: средних способностей и., во всяком случае, учите...
лям. Если же некоторую часть cBoero объема журнал вы...
деляет для менее доступноrо материала, обслуживающеrо
интересы уже сложившихся любителей математики (сре...
ди учителей и учеников), то в этом я не вижу ничеrо дур..
Boro" так как выделение из числа учащихся тех, кому це..
лесообразно выбрать после школы деятельность, требую...
щую незаурядноrо владения математикой, весьма важная
задача. В интересах нашей страны создание TaKoro по
пожения, при котором несколько лучших математиков
каждоrо класса выбирает себе профессию, в которой ак"
тивное владение математическими методами исследова"
пия является существенно необходимым.
Несомненно" стране нужно меньшее количество «чис...
тых» математиков., т. е. исследователей., будущая деятель-
ность которых будет состоять в решении еще не решенных
задач математической науки. У меня иноrда спрашивают
как я отношусь к научной работе школьников. В приме..
пении к математике мой ответ таков.
Обычный возраст для начала самостоятельной работы
в математике у молодых одаренных математиков....... 19.....
22 rода. Поэтому попытка создать в общеобразовательной
школе атмосферу увлечения перспективами самостоя
тельной работы в математике мне представляется наду...
манной и никчемной. (Замечу в скобках, что иначе об..
стоит дело в науках" имеющих дело с большим фактиче...
ским материалом. Здесь научные работы школьников мо"
rYT приобретать коллективный характер. Например", это
868
l\10iReT быть участие в rеолоrической экспедиции или 3f1"
хеодоrических раСI:опнах, изучение особенностей течеНИiI
отдельных рек и т. д.)
Эти скептические замечания отнюдь не означают, что
создание на уроках м:атематики, а тем более на математи
чеСКО 1 кружке,- творческой атмосферы невозможно или
маловажно. Поэтому в «Кванте» мы особенно ценим статьи"
которые непосредственно переходят в серию задач, CHa
чала леrких, затем более трудных, а в заключение и прос
то еще не решенных.
Вообще, научить решать интересные (а потом и TPYД
ные) задачи, пожалуй, наша rлавная цель. Для ее дости
жения м:ы публикуем задачи на все лады и вкусы. В раз
деле «Квант для младших шиольников» имеются развле
кательные, нетривиальные задачи,; доступные пяти , шес...
ти и семиклассникам. Их формулировки и решения не
похожи на обычные школьные задачи. Кстати,; эти задачи
с удовольствием решают и взрослые читатели,; в чаСТIIО
сти, это я знаю точно, некоторые профессора и акаде"
мики. Недавно мы стали публиковать задачи для 8 10 клас..
сов под заrоловком «Избранные школьные задачи». Это
«школьная математическая классика». В каждом номере
дается по 5 задач для каждоrо из указанных классов; ре..
IПения приводятся в том же номере.
Для более продвинутых читателей предназначен «За..
дачник Кванта» и ero традиционн;ы:й конкурс: школьники
присылают решения в журнал,- MЬJ цроверяем их (и воз
вращаем читателям после проверки),; реrулярно публикуем
списки правильно решивших и ежеrодно подводим итоrи
конкурса. 10 15 лучших (по физике и математике) Ha
rраждаются и получают право участвовать в республи..
канском туре соответствующих олимпиад. Наконец, в рац\l'
деле «Мате lатический кружок» публикуются статьи" ос.
I
нованные на тематических циклах задач, позволяющих
школьникам пробовать свои силы в своеобразных :М:ИRрd"
исс.цедованиях.
Непосредственно учителю MorYT помочь мноrие из этих
материалов их можно использовать как в клаССНОЙ;j
так и во внеклассной работе. «Избранные школьные за...
дачи» можно использовать в классе. На основе статей из
раздела «Математический KPYiHOK» можно вести занятия
школьноrо кружка или факультатива. УчитеЛIО полезно
знать варианты вступительных экзаменов в вузы за прош..
лые rоды (мы печатаем их вместе с ответами" указаниями
II решениями)"
269
Наконец, с этоrо (1985) rода у нас появилась нова8
рубрика «Калейдоскоп :Кванта». В ней вы найдете порrr.-
рет" цитату и сведения о выдающемся ученом; доступную
всем небольшую статью по математике,;: занимательные
rоловоломки. Этот материал располаrается на централь..
пом развороте журнала; ero можно раскрепить и повесить
в школьном математическом кабинете.
5. О воспит АНИИ НА УРОКАХ
МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ
ДИАЛЕКТИКО-МАТЕРИАЛИСТИЧЕскоrо
МИРОВОЗЗРЕНИЯ*)
Я назвал свой доклад «О воспитании на уро-
J,(ax математики и физики диалектико--материалистиче--
CKoro мировоззрения». При TOM я хочу сделать ударение
на более трудной стороне дела: на внакомстве учащихся
с элементами диалектическоrо мышления. К обсужд
вию этой темы обычно относятся с некоторым недоверием,;;
aK как часто pa8roBOp о диалектике остается очень по
верхностиым.
Например.,; ссылаются на TO,t что", по словам Энrельса J
с появлением в математике переменных величин в мате-
матику вошли движение и диалектика. Отсюда делают
вывод! что раннее введение переменных в современных
учебниках является достижением в смысле внедрения диа-
лектики в школьную математику. При этом забывают о
том'" что переменная в этих учебниках трактуется просто
как буква,{ вместо которой можно поставить наименова..
пие любоrо элемента HeKOToporo множества. Диалектика
8десь кроется rлубже...... за этим формальным определ
нием. Она вполне доступна пониманию учащихся,- но тре-
бует ра8верпутоrо историческоrо подхода к делу. R фор-
мальному попятию «переменная» учащиеся должны быть
приведены через разбор конкретных примеров, процеССОD
ивменения величин. А это сделано в действующем учеб-
вике лишь в небольшой степени.
Цаиболее блаrодарной темой для работы с учащимися
ИВJIяеТСfl разбор диалектическоrо характера вваимоот-
ношений между конкретными процессами и их математи-
ческими моделями. Обратимся в виде примера к диффе-
ренциальному уравнению покавательноrо роста или убы-
вания '! (t) == k. f(t), в краткой ваписи у' == ky.
*) ДОRлап, прочитанный на IV пленуме УМСа шеRабрь 1977 r).
270
в Rачестве nepBoro примера в учебнике приводител
радиоактивный распад вещества: f (t) обозначает КОJIиче...
ство распадающеrося вещества,- сохранившеrося R момен"
ту времени t. Здесь Rоэффициент k отрицателен. В виде
BToporo примера положительным k рассмотрен рост на...
. селения страны на 2 % в rод. Вот этот второй пример и вы...
зывает у мц:оrих недоумение или даже резкий протест 8\
Как же f rоворят ревнители математической строrОСТИjJ диф..
ференцировать функцию, принимающую только целые
sначенияl Возмущение сменяется замешательством после
напоминаНИЯ. t что в случае радиоактивноrо распада речь
идет также о целом числе aToMoB J сохранившихся 1\ ио..
менту времени te;
Между тем это хороший повод для Toro,,; чтобы подчерк"
нуть: .мате.матичеспая модель явления пап правило, это
явление схе.матиаирует. Поэтому она дает правильные
предсказания лишь в некоторых пределах (в нашем случае
лишь при большой численности населения и для не слиш-
ком малых промежутков времени). За этими пределами
математическая модель теряет реальнЫЙ смысл и при ее
бездумном прим нении приводит к ошибочным или бес-
смысленным результатам.
Общеизвестны ставшие классическими примеры. Нью-
тоновская механика при обычных земных скоростях объ-
ективно правильно отражает реальные явления но пр
СКОРОСТЯХt; сравнимых со скоростью света" перестает бы.т
применимой ........ приводит К противоречию с опытом За
пределами rодности ньютоновской механики действует
уже друrая....... механика теории относительности ЭЙН-
штейна. Но крайне важно этот диалектичеСRИЙ процесс
перехода от одних моделей,] объективно правильных в не..
которых пределах, к новым проиллюстрировать и на более
простых примерах. Разберу подробно один пример из ме..
ханики, который я приводил ШRОЛЬНИRам в летней школе
В курсе физики дЛЯ VIII Rласса правильно rоворится,
что во мноrих задачах достаточно маленькое материальное
тело можно считать «материальной точкой» пренебре..
юать ero размерами. Таким является подброшенный вверх
gt 2
МЯЧ;) двиrающийся по закону z == vot ,..... . Ero скорость
меняется по закону v == р о ......... gt,j а ускорение постояцно
а == .......g. Координата z и снорость v меняются непрерывно.
В учебнике rоворится.,; что так и должно быть в общем слу-
чае движения материальной точки. Действующие на тело
силы всеrда конечны. Поэтому конечно и ускорение! от-
27
куда уже вытекает вепреРЫВНОС1"Ъ зависимости от BpeM e
ни скорости и координаты z. Но на практике мяч, ударив
шисъ об пол сразу меняет направление движения и под
прыrивает вверх. Так как мяч ие совершенно упруrИЙ t
при втором прьокке ero начальная скорость бу ет
V 1 :::; kv o !
rAe коэффициент k меньше единицы. Приняв", что коэффи
циент k постоянен при последовательных прыжках,,_ мож
но рассчитать весь Аальнейmий ход процесса. Школьникам
было предложено проделать расчеты и нарисовать rрафики
вависимости Z;t v и а от времени при различных коэффи
циентах k. С этим заданием они справились самостоятель..
во" хотя результаты их очень удивили и вызвали MHoro
споров.
Оказалось,!; что последовательные моменты ударов об
пол t n при растущем n сходятся к конечному пределу Т:
8а промеЖУТОR времени [0tJ: Т] происходит бесконечная по--
следовательность подскоков все уменьmающейся высоты.
Конечно,,- эта модель идеализирована; для подскоков
на высоту Toro же порядка,t; что и диаметр мяча" она не
применима. Но модель вполне реалистична. Быстрое уча..
щение моментов удара об пол и полная остановка мяча
Через время Т наблюдается доотаточно явственно даже
просто «на слух», На рис. {О1 представлены схематиче..
ские rрафики зависимости z
и v от времени t. '
В момент удара t n СКО"
рость меняется скачком от OT
рицательноrо вначения ( Vn l)
К значению V n == kVn l. 'Уско"
рение все время равно ......g,
8а исключением моментов уда..
ра t n - В эти моменты мяч по--
пучает rиовепные импульсы
конечной величины,
Обращение к иrновенв:ым
импульсам" сразу меняющим
скорость" имеет длительную традицию. Все старые уче
вики физики содержат трактованные таким образом вада..
чи о столкновении шаров и ударах бильярдных шаров
о стенки. При желании rоворить об ускорениях в МОlиен..
ты удара.z, ПрИХОДИТСЯ уже обращаться к «деJlьта фупк-
циям».
: .
r t
v
I'ис. f 01
272
После обсуждения мы со школьниками сделали вывод,
что, вообще rоворя, правильнЬ1Й тезис о Rонечности сил
и вытекающей из нее непрерывной зависимости CKOpO
сти от времени пришел в противоречие с рассмотрение:м
пашеrо мяча как материальной точки. Но практически
правильиым оказался не переход к рассмотрению мяча
как конечноrо деформируемоrо тела! а введение в модель
мrновенных импульсов.
С точки зрения математики задача интересна тем.,_ что
дает прим:ер употребления реальной задаче раз рыв н ы х
функций: для скорости v (t) точки разрыва t n сrущаются
к точке Т,,; rде функция v (t) непрерывна. Функция z (t)
в точке Т оказывается даже Д и Ф Ф е р е н Ц и р у е м о й
с производной z' (t),; равной нулю.
Последние замечания интересны уже только для мате.-
матика. Эдесь мы исследуем построенную модель за пре.-
делами ее применимости. Это,,; однаКОJj типично для под
хода чистоrо математика.
Для беседы о различии подходов м:атематика и физика
можно обратиться к числу 11: ---- отношению длины окруж
ности К ее диаметру. В младших классах мы.!, по сущест--
ву, следуем подходу к делу физика. Измеряя диаметр
блюдца и ero периметр-, после деления получаем прибли..
зительно 11: 3,14. Совреl\lенная наука и техника требу
ют знания этоrо отношения с MHoro большей точностью.
Но на уроках математики учащиеся знакомятся с при
емами вычисления 1t с любой точностью. Им рассказывают,
что математики при помощи вычислительных машин наш
ли 2000 десятичных знаков числа 11:. Здесь уместно спр
сить учащихся, папой реа.яъ1-tьш cJН,ЫCД, они связывают с эти
.ми достижения.ми жате.матuпО8. Являются ли они Ha
дежным предсказанием результата каких...rrо будущих
реальных измерений? Это элементарный подход к пробле.-
матике, которая возникает перед учащ мися при 09СУЖ
дении смысла неевклидовых rеометрий в математике
и вопроса о rеометрии вселенной в целом.
Суть различия между подходами к делу математика
и физика популярно можно объяснить так. И тот и дру--
rой, отправляясь от HeKoToporo запаса наблюдений, 003
дают схематические модели реальных явлений. MaTeMa
тик., взявшись за изучение такой модеЛИ. f изучает посл
довательно все следствия из положенных в основу модели
допущений,,- хотя бы они далеко выходили за рамки ис
ходных наблюдательных данных. Физик проверяет соот"
ветствие модели новым наблюдениям и при обнаружении
273
расхождений переключается на создание более rибкой М()4
дели, содержащей первоначальную лишь в качестве пер-.
Boro приближения. Раскрыть все пути плодотворноrо со--
трудничоотва мате:м:атиков и физиков и является увлека..
тельной задачей межпредмет х связей. Rоrда то мне слу"
чалось преподавать в одном и том же классе математику
и физику. Но я при этом любил подчеркнуто делать разли..
чие", rоворя" что сейчас я буду рассуждать как математик!
а в друrой раз выступать как убежденный физик.
Общеизвестно" что воспитание Н!iучпоrо материалисти-
ческоrо мировоззрения невозможно без ознакомления
учащихся с историей науки и понимания учащимися ос-
новных этапов развития науни. Именно из этих сообра-
жений в новую проrрамиу по математике введено поия-
тие о простейmих дифференциальных уравнениях. Изу-
чаются детально лишь три уравнения: равномерно
YCKopeHHoro движения у' == a f rармонических кол&-
баний у" == k2y И показательноrо роста или убывания
у' == ky.
Напомню, что для Ньютона существовали две основ- \
ные задачи анализа: (1) нахождение по функциям их про--
иaвoд ь x" (2) нахождение по соотношения.м, жежду Фун1i,"
ция.ми и их проиаводн-ым,и са.мих Эnl,их фУНJt,ций. Вторая
задача и есть задача и н т е IO р И Р О В а н и я дифферен-
циальных уравнений. Задачу нахождения первообразных
Ньютон рассматривал как простой частнЫЙ случай.
С понятием дифференциальноrо уравнения неразрывно
связана вся идеолоrия математическоrо естествознания О'Р
Ньютона до Лапласа. Общий принцип детерминизм:а Лап..
лас излаrал исходя из Toro" что основные законы природы
выражаются в форме дифференциальных уравнений, а их
интеrрирование позволяет по настоящему предсказывать
будущее. Очень хотелось бы,. чтобы в школе не оставался
обойденным классический пример планетных движений.
Интеrрирование соответствующих дифференциальных
уравнений, как известно представляет собой rрандиоз-
ную задачу" решаемую ЛИIПЪ численными l\lетодами. Но
ясное представление о задаче дать иетрудно. Без достаточ-
но конкретното понимания этоrо этапа развития матема-
тическоrо естествознания невозможно и понимание даль-
нейших этаПОВ J появления статистической фиаики.t кван-
товой физики.
В силу сказанноrо очень ваЖНО,t чтобы тема «Диффе-
ренциальные уравнения» звучала достаточно сильно как
в школьном курсе матеиатвки так и в ШRОJIЬВОЙ физике
274
иезависимо от TorOit; что элементарные задачи MorYT быть
разобраны более gоиомным кустарным способом.
Со времени Платона существование чистой математики
с ее абсолютно достоверными выводами,: выходящими за
"
пределы эмпирическои провеРКИ J RОТОрl}Я всеrда лишь
приближеuна, использовалось нак apryмeHT в пользу идеа
лизма. Мы обязаны показать вполне ковнретное,,: MaTe
риальное проиохождение математических предложений.
В частности,' не следовать за старыми уч:ебниками, Bыдa
вавшими аксиомы rеометрии за «истины,. не требующие
оказательства в силу c:poe очевидности».
При переработке учебников rеометрии мы решили
в VI и VII классах rоворить об аксиомах лишь в ИСТОрИ
ческом плане. Лишь в VIII классе обсуждается задача
выделения небольшоrо числа предложений,,; достаточных
для вывода всех остальных, Т. е. о выборе системы aK
Сиом. Каи известно,,; вне таRОЙ постановки вопроса под
черкивание различия между «аксиомами» и «теоремами.
l1Iишено ясноrо смысла.
Очень важным нам представляется полное удовлетв
рение запросов учащихся" про являющих повышенный ии..
«,ерес R матемаТИRе. Факультативные занятия и специа-
лизированные классы должны стать доступными всем.
кто имеет серьезное намерение в вих заниматься..-
Наряду с отдельно издаваемыми пособиями для фа..
культативных занятий мне представляется вполне оправ..
данным издание дЛЯ IX.......X классов расширенных учеб-.
ников, охватывающих весь материал основных учебни--
вов в орrаническом соединении с дополнительным м а..
wериалом.
Дополнительное замечание в ПР(r
tI и я х. По поводу Moero доклада я хочу ответить
и. К. Кикоину. Слово «модель получило такое широ--
Кое распространение в популярной литературе l что нам
не следует обереrать учащихся от ero разумноrо употреб
пения. Надо лишь подчеркивать" что,, создавая схемати"
зированные модели действительности,: мы получаем впол..
ие реальное знание о самой действительности. Лишь за
пределами своей применимости модель теряет реальное
8начение и должна быть заменена новой.t более совершен
вой.
ВИБлиоrРАФИЧЕСRИй ROMMEHTAPlfII
РАЗДЕЛ I. РАЗМЫШЛЕНИЯ rtlАТЕrtfАТИI\А
1. Как я стал Maтe.,HaтиKO.«. Опубликовано ПОД
этим названием в журнале «OroHeK» (1963, М 48, с. 12 13) и
в брошюре «Наука в твоей профессии» (М.: Знание, 1978, с. 5 7)
под названием «Как я стал математиком. Что такое матемаТlIка).
2. Н аучnый руководитель. Статья А. Н. Нолмоrорова опуб
ликована в книrе Л. Нейман «Радость открытия» (М.: Детская
литература, 1972, с. 160 164). I{ниrа л. Нейман посвящена жизни
и творчеству выдающеrося cOBeTcKoro математика тополоrа
П. С. Урысона (1898 1924). В первой части Лина Нейман (сестра
п. с. Урысона) рассказывает о детских, юношеских и зрелых rодах
математика. Во второй части книrи приводятся воспоминания близко
знавших П. с. Урысона математиков.
3. Два иnтервЬю......... Статья «Беседа с А. Н. Rолмоrоровым»
опубликована в журнале «Квант» (1983, еМ 4, с. 12 13) (беседу
вел А. Б. Сосинский). Интервью «Ученик об учителе» опублино ано
в журнале «Успехи математичеСRИХ наук» (УМН) (1985, т. 40,
вып. 3(243), с. 7 8) (интервью взял В. А. Успенский); эта статья
в УМН перепечатана из rазеты ReMepoBcKoro университета «Путь
в науку» (1983, 7 сентября, см 29 (796)).
4. О профессuu мате.л-tатuка. Текст брОJlIlОрЫ «О профессии
математика» дается по третьему изданию (М.: Изд во Mry, 1959).
В этой брошюре, кроме приводимоrо в настоящей книrе текста,
и:меIОТСЯ еще четыре справочных приложения (о механико матема.
тическом факультете Mry 50 x rодов; задачи письменноrо вступи-
тельноrо экзамена на MeX. MaT. ф т Mry в 1958 r.; задачи математИlIе.
ских олимпиад 50 x rодов; список литературы по математике).
которые по понятным причинам здесь опущены. Чrо касается пункт4
«Современная машинная математика и кибернетика», в KOTOPOit
речь идет об ЭВМ 50 x rодов, отметим, что, несмотря на то, что
Ilноrие факты, изложенные в статье, устарели, этот материал чрез-
вычайно интересен с точки зрения истории развития вычислитель-
поп математики и теХНIII{И. В 1973 r. сокращенный вариант статьи
был опубликован в журнале «Квант» (М 4, с. 12 18)
5. Fеометрия па сфере U аеолоаия. Опубликовано в журнале
«Наука и жизнь» (1966, см 2, с. 32).
6. Автоматы U жuзnъ. Статья А. Н. Rолмоrорова с таким
названием была впервые опубликована в двух номерах журнала
«Техника.......молодежи» за 1961 rод (сМ 10, с. 16 19 и см 11, с. 30.......
33). Позднее она была дословно перепечатана под тем же названием
в сборнике статей «Кибернетика ожидаемая и кибернетика неОiКИ--
данная» (М.: Наука, 1968, с. 12 31). А. Н. Колмоrоров прочел
доклад «Автоматы и жизнь» 5 апреля 1961 r, на методолоrическом
семинаре MeX. MaT, ф та Mry (см. [194]).
276
7. и збраuuые предисловия...... В этот ПУНКТ попали предисловия
А. Н. Колмоrорова, обращенные к школьникам и имеющие обще
значимый характер; некоторые фразы в этих предисловиях посят
технический характер и поэтому заменены мноrоточием в KBaдpaT
пых скобках [...]. 'Укажем rоды изданий книr и статьи, к которым
написаны эти предисловия:
Ш т е й н r а у з r. Математический калейдоскоп....... М.: Hay
ка, 1981.
В а с и л ь е в Н. Б., Е r о р о в А. А. Сборник подrотовитель
ных задач R Всероссийской олимпиаде юных Математиков....... М.:
Учпедrиз, 1963.
rальперин r.A., Толпыrо А.К. Московские Ma
темаТIIческпе олимпиады...... М.: Просвещение, 1986.
Б о л т я н с к ий В. r., Роз о в Н. х. ЛенинскаятеОРИЯПQ
знания и математические понятия // Квант, 1970, см 7, с. 2.....9.
РАЗДЕЛ 11. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
ШКОЛЬНОЙ МАТЕl\fАТИКИ J
1, 2. Что тa oe: фуu ция? Что тапое ерафип функ..
ции? ..... Статьи опубликованы в двух номерах журнала «Квант»
эа 1970 r. (еМ 1, с. 27 36; .м 2, с. 3.....13). Несколько позже (и в
несколько измененном виде) опи 'были объединены А. Н. Колмо
ropoBblM под названием «Что такое функция и ее rрафик», став
rл. 1 кнпrи «Летняя школа на Рубском озере» (М.: Просвещение,
1972). .
3. Фуuпции двух и мпоеих перемеипых. Зависимости между
перемеииыми и их ерафипи...... Такое название получила rл. 2 YKa
занноЙ выше книrи «Летняя школа на Рубском озере». Отметим,
что rл. 3 этой книrи «Решение уравнений с помощью HOMorpaMMt
составлена по материалам прочитанных в летней школе лекций
А. Н. Колмоrорова (в книrе приведена фотоrрафия Андрея Нико...
паевича, читающеrо одну из ЭТIIХ лекций). Эта rnaBa написана
С. В. Смирновым, и в настоящем сборнике она не приводится.
4. Рруппы преобразоваuий...... Статья, опубликованная в жур
нале «Квант» в 1976 r. (сМ 10, с. .2.....5)' предваряет статью Л. Ca
AOBcKoro и М. Аршинова «rруппы» в том же номере (с. 6.....12).
5, 6, 7...... Тексты этих ПУНI{ТОВ настоящеrо сборника взяты на
книrи «Курс математики для физико математических школ» (Вы...
пуск 1, М.: Изд во Mry, 1971). Пункт 5 сборника носит «Курсе...)
название «Введение». Пункт 6 составлен из двух текстов «Курса...»......
нз 1 раздела «rеометрия» и 2 раздела «Введение в анализ».
Пувкт 7 приводится В «Курсе...» в качестве «Приложения».
РАЗДЕЛ 111. популярныЕ ЛЕКЦИИ
для mкольпи:ков
f. Введеиие в теорию вероятuостей и помбиuато
рипу...... Опубликовано в журнале «Математика в школе» (1968,
еМ 2, с. 63 72). Эта статья приведена в настоящей книrе с HeKO
roрыми сокращениями: отсутствуют несколько BBOДH X и заклю
чительных абзацев, носящих методический характер и ртносящихся
К идущей вслед за этой статьей А. Н. Колмоrорова статье Б. В. rHe..
денко и и. r. Журбенко «Теория вероятностей и комбинаторика.
(с. 72.....84).
27'
__ 2. По.д,улоеарифм,ическая и лоеарuф.мическая ceтпи. Опубли-
ковано в журнале «Квант» (1973, см 3, с. 2 7).
3. В t!.личиnа и ее ua.мереnие...... Текст составлен из двух статеЙ
в Большой Советской Энциклопедии (БСЭ): «Величина» (БСЗ,
{971, т. 4, с. 456 457) и «Измерение)) (БСЭ, 1972, Т. 10, с. 220 221).
4. Алеорит.м Eвпдидa. Опубликовано в БСЭ (т. 2, 1950,
с. 65 67).
5. О решенuи 10 й проблемы ruдьберта. ОпуБЛIШовано В
урвале «KBaHTt (1970, см 7, с. 39.....44) совместно с Ф. л. Варпа..
1tовсКИМ.
6. К обоснованию теории вещественных чuсед. Статья опуб-
ликована во 2 M томе альманаха «Математическое просвещение»
(1957, с. 169 173). НесМОТрЯ на краткое изложение (а может быть,
блаrодаря ему), она ДЛЯ CBoero прочтения требует хорошей мате-
матической культуры и рассчитана на сильноrо школьника (и даже
студента) .
7. Иабранные аадачu. «Задача о перuодичеспuх посдедоватедь-
ностях» публикуется впервые в настоящей кните. Задача была со..
общена в частной беседе А. Н. Колмоrоровым составителю настоя-
щей книrи. Задача вполне доступна ученикам 7 9 классов.
«Решето Эратосфена» ....... заметка, опубликованная в «Нванте»
(1974, еМ 1, с. 77) в разделе «Квант для младших школьников».
Поставленные в заметке задачи доступны семиклаССНIIКУ.
«Парпеты иа правидьных мноаоуаодьнипов» задача за lетка,
опубликованная в «Кванте» (1970, М 3, с. 24 27); рассчитана в
OCHOBHO на старшеклассников. Позже в несколько ином виде
заметка опубликована в «Энциклопедическом словаре юноrо :мате.
иатика» (М.: Педатоrика, 1985, с. 200 201).
«Распраспа пдоспих решето-п» TaJ(oe название состаВIIтель
настоящей книrи дал задаче А. Н. Кол:м:оrорова, имеющей номер
М3 в «Кванте», (1970, 9 1, с. 52 53). Решение этой трудной задачи
опубликовано в двух номерах журнала «Квант}) за 1970 r. (М 7,
с. 54.......55' и М 8, с. 42 46).
«Задача о nерепдючатедях» приведена в статье В. r. Болтян..
ското и и. М. Яrлома «Школьный математический кружок при
Mry и Московские математические олимпиады», опубликованной
в книrе «Сборник задач Московских математических ОЛIIмпиад»
(составитель А. А. Леман) (М.: Просвещение, 1965, с. 12). Эту за...
дачу Андрей Николаевич предложил школьникам на своеЙ лек..
ции «Арифметика вычетов и алrебры Буля». Название задаче дал
составитель настоящей книrи.
«Задача о 8доженных треуаодьнипах и вдоженных тетраэдрах})
ставилась А. Н. I\олмоrоровым в 50 x тодах перед студентами ме..
ханико математическоrо факультета Mry и была решена В. А. Бо..
ровиковым (О пересечении последовательности симплексов, УМН,
1952, т. 7, выи. 6, С. 179.......180). По условию и найденному решению
задача вполне доступна десятикласснику. В. А. Боровиков решил
эту задачу для n MepHOTO пространства.
ПрО8ерКа цuдunдричеспuх детадей». Эту задачу, без требова-
ния выпуклости фиrуры, Андрей Николаевич предложил в 1956 ю.
на школьном математическом кружке. Формулировка условия была
записана А. п. Савиным и опубликована в журнале «Квант» (197f,
.м 3, с. 20). В настоящей книrе она приведена с некоторыми сти-
листическими изменениями. Через 10 лет задача в такой постановке
(без требования выпуклости) была решена А. Бабичевым и опубли--
кована им в статье «Об одной задаче Колмоrорова» (Квант, 1981.
278
еМ 5, с. 14.......16). Именно, А. Бабичевым был придуман пример
не,ыnу-плой фиrуры, обладающей нужным свойством. Андрей Ни..
Rопаевич, узнав ответ на свой вопрос, поставил тот же вопрос для
выпуклых фиrур; J4ы привели ero в конце задачи. Поставленная
проблема во сих пор не решена.
РАЗДЕЛ IV. ЛЕКЦИИ для УЧИТЕЛЕЙ
1, 2, 3....... Эти пункты В настоящей книrе COCTaB
пяют три nекции А. Н. Колмоrорова, опуБЛИRованвые им в трех
номерах «Математики в школе» (1969, М 3, с. 12 17; 1969, см 5,
с. 8 17 и 1970, см 2, с. 27 32) и объединенные им под общим за..
rоловком «Научные основы IIШольноrо курса математики». Первая
лекция в журнале «МатемаТИRа в школе» снабжена следующей
аннотацией.
Десять мпций под эти.м навванием «<Научные основы школь..
Boro курса математики». Примеч. СОСТ.) бьии прочитаны .мною
в Центральном лептории общества «Знание) в 1968..69 учебном еоду.
Естественно, что эти лепции не .моеут Ba.4teHumb бод,ее подробноео
изложения, приеодноео, наnри.мер, в пачестве руповодства дд,я ne
даеоаuчес-пих институтов. Я решаюсь на публипацию этих лекций
(1 «Мате.мати-пе в школе» лишь nото.му, что потребность в более
еовре.менно.м, освещении научных основ nерестройпи шпОЛЬНО80 -пурса
.математипи очень настоятельна.
В от nроерам.ма дальнейших лепцийr Н атУРаАьные числа. Cпa
Jtярные величины и действительные числа. В епторные пространства.
Вращения и триеоно.метричес1tие фунпции. Общее понятие О фунп
чии 8 шполе. Я 8ып .мате.матичеспих 8напов и начала .мaтeMaти
чеспой .лоеи-пи в шпОде. П онятие струптуры в современной .мате.ма..
типе и об80р основных струптур шполъной .мате.матипи. Л оеиче
ское строение шпольноео пурса ееометрии.
При м е ч а в и е с о с т а в и т е л я. Несмотря на то, что
остальных лекций, кроме первых трех, А. Н. Rолмоrоровым в
.Математике в школе» опубликовано не бъто, мы считаем, что
материалы настоящей книrи некоторым образом восполняют этот
пробел.
4. Что дает и .мое бы дать «Квант» учителю .мате.мати-пи?.......
Статья опубликована 22 января 1985 r. в «Учительской rазете»
(М 10 (8479)).
5. О воспитании на уропах .мате.матипи и фuвипи диа./l,епти-по
материалистическоао .мировО88рения........ Текст доклада, прочитанно..
i'O А. Н. Rолмоroровым на IV пленуме ;УМСа (Ученоrо методич
CKOro совета Министерства просвещения СССР) в декабре 1977 r"
был опубликован в «Математике в школе» (1978, еМ 3, с. 6.......9).
Позже в сокращенном виде текст был опубликован в журнале
«Квант» (1980, см 4, с. 15.......18) ПОД названием «диалектико мате
риалистичесное мировоззрение в школьных курсах математики и
физики» .
СПИСОК НАУЧНО IIОПУ ллрныx
ТРУДОВ А. Н. колмоrОРОВА
(в том числе работ по школьной тематике)
Статьи в журнале ( KBaHT»
1. Что такое функция? ...... 1970...... .м 1: С. 27 36.
2. Задача МЗ...... 1970....... .м 1....... с. 52 53.
3. Что такое rрафИR фунКции?...... 1970....... см 2...... с. 3.......13.
4. ПарRеты из правильных МноrоуrольникоВ...... 1970....... М 3.
с.24......27.
5. О решении 10 й проблемы rильберта........ 1970........ .м 7...... С. 39...
44....... Совм. с Ф. л. ВарпаХОВСRИМ.
6. Предисловие к статье: Б о л т я н с к и й В. r., Роз о в Н.Х.
Ленинская теория познания и математические понятия.......
1970....... .м 7. с. 2.
7. ПолулоrарифмичеСRая и лоrарифмическая сетка....... 1973.
см 4...... с. 2.
8. О профессии Математика...... 1973...... .N2 4...... с. 12.....18.
9. Решето Эра тосфена. ....... 1974. ---- .м 1....... С. 77.
iO. rРУПIrЫ преобразований...... 1976...... .м 10........ с. 2......5.
11. Фи3ико математическая школа при Московском rосударст-
венном университете им. М. В. ломоносова...... 1977...... М 1.
с. 56.....57. Совм. С В. В. Вавиловым.
t2. Фмm при Mry ..... 15 лет...... 1979...... .м 1...... С. 55 57. Совм.
с В. В. Вавиловым и и. Т. Тропиным.
{3. ДиалеRтико материалистическое мировоззрение t;J ШКОЛ НЫJl
курсах математики и физики...... 1980...... .м 4...... с. 15 18,
Статьи в журнале < Математика в школе»
t4. Свойства неравенств и понятие о приближенных вычислени-
ях. 1941.---- .м 2...... С. 1 12. Совм. с П. с. Алексан.ц:ровыЙ}
t5. Иррациональные числа...... 1941....... .м 3....... с. 1.....15. СОВЫ. G
п. С. Александровым.
t6. Объем знаний по математике для восьмилетней школы (I\q,
миссия по математическому образованию математичес:к.о
отделения АН CCCPy 1965, .м 2....... С. 21.....24.
17. rеометричеСRие преобразования в школьном курсе rео:мет-
рии....... 1985.---- .м 2...... С. 24 29.
18. О содержании школьноrо курса математики....... 1965'...... .м 4.....
С. 53 62. Совм. с и. М. Яrломом.
19. ФУНRЦИИ, rраФИКИ t непрерывные функции...... 1965. ;м 6......
С. 12 21.
20. О школьном определении тождества......... 1966....... еМ 2....... с, 83
35.
2f. Об учебвиkах на 1966/67 уч. rод. 1966...... .м 3....... С. 26 30.
22. Введение к статье С. Ее Суворовой! 1966t М 4! С. 29--
30,
Z80
23. Об учебниках на 1966/67 уч. TOД. 1966. 2 6. С. 31 37.
24. Об учебниках на 1966/67 уч. TOД. 1967....::..... М 1. с. 43 48.
25. Новые проrраммы и некоторые основные вопросы усовершен
ствованиякурсаматематикивсреднейmколе. 1967. еМ 2.
с. 4 13.
26. f\ изменениям в тексте учебника алrебры для VI VIII клас-
сов А. Н. Барсукова. 1967. М 6. с. 22 24.
27. Обобщение понятия степени и показательная функция.
1968. еМ 1. С. 24 32.
28. R изучению показательной функции и лоrарифмов в восьми-
летней школе. 1968.......... еМ 2. С. 23 25.
29. R новым проrраммам по математике. 1968. еМ 2. с. 21.....
22.
30. Введение в теорию веро'ятностей и комбинаторику. 1968..........
еМ 2. С. 63 72.
31. Письмо в редакцию. 1969. еМ 2. С. 93.
32. Научные основы школьноrо курса математики. Первая лек
ция. Современные взrляды на природу математики. 1969.
еМ 3. с. 12 17.
33. Научные основы школьноrо курса математики. Вторая лек-
ция. Натуральные числа.......... 1969. еМ 5. С. 8 17.
34. Научные основы школьноrо курса матемаТИI\И. Третья лек
ция. Обобщение понятия числа. Неотрицательные рациональ..
ные числа. 1970. еМ 2. с. 27 32.
85. О пробном учебнике rеометриидляVI класса. 1970. еМ 4.
С. 21. Совм. с А. Ф. Семеновичем.
36. Учебные материалы по rеометрии для V класса. 1970.
еМ 5. с. 30 45. Совм. с А. Ф. Семеновичем и Р. с. Чер
KacoBым.
37. Современная математика и математика в современной школе.
1971. еМ 6. с. 2 3. '"'
38. О системе основных понятий и обозначений школьпоrо I{урса
математики. 1971..... М 2.......... С. 17 22.
39. rеометрические построения. 1971. еМ 6. С. 13 21. Совм.
с А. Ф. Семеновичем иР. с. Черкасовым.
40. Реферат доклада «Элементы лоrики в современной школьной
математике». 1971. еМ 3. с. 91.
41. Из новото пособия по rеометрии для УI класса. 1972. еМ 1.
с. 22.
42. Б. В. rнеденко. 1972. м 1. с. 85. Совм. с Р. с. Чер---
касовым.
43. По поводу письма Н. Я. Виленкина. 1972. .м 6. С. 34.
44. К методике изучения темы «Параллельный перенос» в курсе
rеометрии VI класса. 1973. М 1.......... с. 24 29. Совм. с
А. Ф. Семеновичем иР. С. Черкасовым.
45. О структуре HOBoro учебника по rеометрии для VII Класса.
1973. М 2. с. 17. Совм. с А. Ф. Семеновичем и Р. С. Че
касовым.
46. Методические замечания к пробному учебнику алrебры и
началам анализа для IX класса. 1973. с. 64 65. сови.
с Б. Е. Вейцем и с. С. Демидовым.
47. и. r. Петровский. 1973. еМ 4...... С. 81.Совм. сП. С.Алек"
сандровым и О. А. Олейник.
48. mкола интериат при университете. Для чеrо она? 1974......
еМ 2.......... С!' 58 60!
28
49! Метод маr:rематической ин укции......... 1975......... .N2 1......... с. 8. Совм.
С с. и. Шварцбурдом.
t)0. qлементы комбинаТориRи........ 1975.---- .м 2....... с. 16........25.
51. Действительные числа. БеСRонечные последовательности и их
пределы......... 1975......... .м 2....... с. 25. Совм. с о. с. Ивашевым-
Мусатовым.
52. Триrонометрические ФУВRЦИИ, их rрафики и производные в
fчебном пособии для Х класса....... 1976......... .м 1........ с. 10 25.
СОВМ. с с. и. Шварцбурдом.
63. XXXVIII Московская математическая олимпиада (февраль ----
март 1975 r.)......... 1976. .м 4........ с. 68 72. Совм. с r. А. rаль-
периным.
54. Интеrрал в учебном пособии для Х класса......... 1976.--- .м 6......
С. 15........17. .
55. Что такое функция. 1978......... .м 2........ с. 27.
56. О воспитании на уроках математики и физики диалектико-
атериалистичеСRоrо Мировоззрения......... 1978. .м 3......... с. 6 9.
57. с. Л. соболев........ 1978. .м 6...... с. 67. Совм. с о. А. Олей
вик.
58. lIoBble проrраШlЫ французской средней школы.--- 1978........
М 6.--- с. 74. Совм. с А. М. Абрамовым.
59. Об учебном пособии «rеометрия 6........8». 1979......... .м 3....... С. 38.
COBM.Q А. Ф. Семеновичем, Р. С. Черкасовым.
60. А. И, МарКушевич......... 1979. .N2 5. С. 77.
61. OQ учебном пособии «Алrебра и начала анализа 9 10».
1980......... .м 4......... с. 18.
62. К вопро у о проведении первых уроков по теме. «BeKTOpы».
1981........ ;м 8.--- с. 8. Совм. С А. М. Абрамовым.
63. О понятии вектора в курсе средней школы....... 1981....... .м 3..........
С. 7 8.
64. Рецензия на книrу л. С. Понтряrина «Анализ бесконечно
малых»....... 1981......... .N2 5. --- С. 7.
65. Б. В. rне енко.--- 1982......... М1. ....... С. 72.
66. л. В. Канторович. 1982.........М 2....... с. 77. СОВМ. о
В. А. 3алrаллером:.
67. О понятии предела в общеобразовательной школе.......... 1982.881!1
.м 5......... о. 56.
68. Ньютон и современное математическое мышление. 1982.-.111
.м 6......... С. 58 64.
()9. п. С. Александров....... 1983........ .м 1.--- С. 47.
'10. Об учебном пособии «rеометрия 6.....10» А. В. Поrорелова."'"!!iI
1983....... .м 2......... с, 45.
7t. Замечания о понятии множества в школьном курсе математи..
ки ....... 1984 ......... .м 1......... С. 52 .
72. С. л. Соболев и современная математика."""" 1984.--- .N2 1. С.73.
Совм. с о. А. Олейник.
7З! О скалярных веЛИЧИllах. 1986...... .м 8....... С. 32......33'
Статьи в Большой Советской ЭИЦlIКJIопедии (БСЗ)
БСЗ, 1..е и 8 i! а н и е
74. уравнение....... 19З6. Т. 56...... с. 163......165.
75. Континуум......... 1937.--- Т. 34....... с. 139........140'
76. Марков Андрей Ан реевич! 1938! Т! 38! С! 152 153. !
J
rвз
77. Математика.--- 1938......... Т. 38......... С. 359 402.
78. Математическая индукция. 1938. Т. 38. с. 405 406i
79. Mepa. 1938. Т. 38. с. 831 взе.
80. MHoroMepHoe простраНсТво......... 1938. Т. 39......... с. 577 578.
81. Ориентация......... 1939. Т. 43......... с. 342 344.
82. ПоВерхность........ 1940......... Т. 45......... С. 746 748.
83. Развитие математики в сссР........ 1947, том «CCCP.. с. 1318...
1323.
84. Средние ВеличиНы......... 1947........ Т. 52......... с. 508 509,
БСЭ, 2 e издание
85. Абсолютная величина..:..... 1949......... Т. 1......... с. 32.
86. Адамар Жак. 1949......... Т. 1......... с. 388.
87. Аддитивные величины. 1949........ Т. 1........ с. 394.
88. Аксиома. 1949......... Т. 1. с. 613 616.
89. Аксонометрия. 1949. Т. 1......... с. 617.
90. Алrебра в средней mколе. 1950........ Т. 2. с. 61 62.
91. Алrебраическое выражение. 1950......... Т. 2...... с. 64.
92. Алrоритм. 1950. Т. 2........ с. 65.
93. Алrоритм Евклида. 1950......... Т. 2......... с. 65......67.
94. Александров- Александр ДанилоВич........ 1950......... Т. 2........ О, 83.
95. Алексан ров Павел серrеевич......... 1950. Т. 2........ c 84
96. АсиМптота......... 1950......... Т. 3....... с. 238 239.
97. Асимптотические выражения........ 1950......... Т. 3........ с. 239.
98. Ахиезер Наум Ильич. 1950........ Т. 3......... с. 565.
99. Ванах стефан......... 1950........ Т. 4......... с. 245.
100. Бари Нина К.арловна......... 1950........ Т. 4. С. 245.
101. Бернштейн Серrей Натанович......... 1950. Т. 5......... с. 52.
102. Бесконечдо большие........ 1950......... Т. 5......... с. 66 67.
103. Бесконечно малые. 08I8JII 1950...... Т. 5. с. 67 71. Сови. о
В. Ф. KaraHoM. .
104. Бесконечно удаленные элементы. 1950........ Т. 5. ....... с. 71 72.
Совм. с Б. Н. Делоне.
105. Бесконечность (в математике)......... 1950......... Т. 5......... с. 73........74.
106. Биrармонические функции....... 1950......... Т. 5. С. 159.
{О7. Билинейная форма......... 1950........ Т. 5. с. 167.
108. Больших чисел закон......... 1950........ Т. 5......... с. 538 540,
109. Брауэр Лёйтзен Эrберт ян........ 1951........ Т. 6......... с. 62. Совм. о
с. А. Яновской.
110. Вариационный ряд. 1951........ Т. 6........ с. 641.
111. Вейль repMaH........ 1951........ Т. 7........ с. 106. Совм. с С. А. Ниов"
ской.
f 12. Величина. 1951........ Т. 7........ с. 340 341.
113. Вероятное отклонение......... 1951........ Т. 7........ с. 507.
{14. Вероятность. 1951........ Т. 7........ с. 508.......510.
115. Выборочный MeTO ."""" 1951......... Т. 9........ с. 417........418. Совы, о
Т. и. Козловым.
116. raycca распределение......... 1952......... Т. 10........ С. 275.
117. rеодезическая кривизна......... 1952....... Т. 10. С. 481.
118. rильберт Давид........ 1952........ Т. 11........ с. 370.......371.
119. rистоrра:мма........ 1952........ Т. 11........ с. 447.
120. rнедеИRО Борис Владимирович........ 1952. Т, 11! С, 545.
{21. rомеоморфизи........ 1952. Т. 12........ с. 21,
t22. rомотопия! 1952!.е Т! 12. с! 35.
281
123. Движение (в rеометрии). 1952. Т. 13. с. 447.
124, ДвучлеН...... 1952. Т. 13. с. 518.
125: Действительные числа. 1952. Т. 13........ с. 570.
126. Деление. 1952....... Т. 't3.---- с. 628.
12". Дискретность. 1952...... Т. 14. с. 425.
12 . Дисперсия. 1952. Т. 14. с. 438.
f2 . дистрибутивность...... 1952. Т. 14. с. 479.
130. Дистрибутивный оператор. 1952. Т. 14. с. 479.
13t. Дифференциал........ 195'2........ Т. 14........ с. 498 499.
132. Дифференциальные уравнения. 1952. Т. 14........ с. 520 526.
Совм. с Б. п. Демидовичем и В. В.. Нем:ыцким.
{33. Доверительная вероятность.---- 1952........ Т. 14. с. 616.
tз4. Доверительные" rраницы. 1952. Т. 14. с. 617.
135. Знаки математические. 1952...... Т. 17...... с. 115 119. Совм.
с и. r. Башмаковой и А. п. Юшкевичем.
{36. Значащие цифры........ 1952........ Т. 17. С. 135.
137. Изоморфизм. 1952. Т. 17........ С. 478 479.COBM. сВ. и. ВН-
тюцковым.
{38. Изотропные прямые....... 1952. Т. 17........ С. 509.
{зQ, Именованное число....... 1952...... Т. 17........ С. 557.
{40. Имшенецкий Василий rриrорьевич....... 1952. Т. 17........ С. 607.
141. Индукция математическая...... 1953. Т. 18. С. 146.
{42 Интеrрал....... 1953. Т. 18. С. 250 253. Совм. с В. и. rли-
венко.
{43. Интеrрал вероятности. 1953. Т. 18. с. 253.
{44. интерполяция....... 1953....... Т. 18. с. 304 305.
{45. ИНТУ иционизм....... 1953........ Т. 18. с. 319.
146. Исключение неизвестных...... {953. Т. 18. с. 483.
{4 7, Испытание....... 1953....... Т. 18...... с. 604.
148. Исчерпывания метод........ 1953........ Т. 19...... с. 50.....510
{49. Квадрант...... 1953........ Т. 20....... С. 434.
{50. Компакт....... 1953........ Т. 22...... с. 282.
{51. Константа...... 1953........ Т. 22....... с. 416.
152. Континуум....... 1953....... Т. 22....... с. 454.......455.
{53. Координаты........ 1953....... Т. 22....... с. 524 525.
{54. Корреляция........ 1953...... Т. 23....... с. 55 58 .
{55. линия........ 1954........ Т. 25....... с. 167 170.
{56. Малых чисел закон...... 1954........ Т. 26. с. 168.
{57. Марков Андрей Андреевич....... 1954...... Т. 26....... с. 294.
{58. МатеМатиКа....... 1954...... Т. 26....... с. 464 483.
{59. Математическая статистика....... 1954........ Т. 26....... с. 485......490.
t60. Математическая физика....... {954....... Т. 26....... с. 490.
{61. Мизес рихард...... 1954....... Т. 27...... с. 414.
t 62. MHoroMepHoe пространство....... 1954........ Т. 27....... С. 660.
163. Множеств теория...... 1954....... Т. 28...... С. 14......17. СОВИ. О
п. с. Александровым.
{64. Ориентация. 1955....... Т. 31...... с. 188.......189.
t65. Основания rеометрии...... 1955...... Т. 31...... с. 296.
{66. Поверхность. 1955........ Т. 33...... с. 346.....347. Совы. о
л. А. Скорняковым.
167. Порядковые числа. 1955...... Т. 34...... с. 238.
{68. Слуцкий Евrений Евrеньевич. 1956....... Т. 39....... С. 378..
169. Смирнов Николай Васильевич...... 1956........ Т. 39...... С. 408.
{70. Достаточная статистика....... 1958...... Т. 51. С. 106,
{11. иНформация........ 1958. Т. 51........ с. 129 130.
{72. Кибернетика...... .1958........ Т. 51........ С. 149......151.
284
БСЗ, З е издание
173. Величина. 1971. Т. 4...... с. 456 457.
174. Винер Норберт....... 1971. Т. 5. с. 72.
175. rильберт Давид. 1971. Т. 6. с. 519.
176. Измерение. 1972. Т. 10. с. 220 221.
177. Интеrрал. .......1972. Т. 10........ с. 300 302.
178. Исчерпывания метод. 1972. Т. 10. С. 586.
179. Приемочвый статистический контроль. 1975. Т. 20.........
С. 572.......573. Совм. с ю. К. Беляевым.
Статьи в Математической Энциклопедии
180. Бесконечность........ 1977....... Т. 1........ с. 455 458.
181. Величина....... 1977. Т" 1....... с. 651 653.
182. Вероятность. 1977....... Т. 1........ с. 667 669.
183. Математика. 1982. Т. 3...... с. 560.......564.
184. Математическая статистика....... 1982. Т. 3......... с. 576 581.
Совм. с ю. В. Проховым.
Друrве научно-популярные статьи
185. Современная математика. Фронт науки и техники, 1934,
М 5/6....... С. 25 28, а также в ки.: Сборник статей по фило--
софии МатемаТики........ М.: ОНТИ, 1936........ с. 7 13.
186. Теория и практика в математике. Фронт науки и техники........
1936. .м 5. с. 39 42.
187. Ред. и предисл. к книrе: Л е б е r А. Об измерении величии /
Пер. с франц. М.: Учпедrиа, 1938 208 с.
188. Николай Иванович Лобачевский. 1793 1843 r.; Л.: rocTex
издат, 1943. 100 с. Совм. С п. с. Александровым.
189. Великий русский ученый новатор: К 150 летию со дня рож..
дения Н. и. Лобачевскоrо. Известия, 1943, 2 сентября.
190. К обоснованию теории вещественных чисел........ "YMH. 1946........
Т. 1. вып. 1........ с. 217.......219; а также: МатематичеСI\ое просве--
щение........ 1957......... Т. 2........ с. 169 173.
{91. Ньютон и современное математическое мышление // МОСКОIJ.
ский университет памяти Исаака Ньютона, 1643 1943........
М.: Изд во Mr"Y, 1946. с. 27 43.
{9 . О профессии математик .""'" 3 e изд. М.: Изд во Mry, 1959/60.
60 с.; 1 e иад........ М.: Сов. ваука, 1952. 22 с.; 2 e изд.
М.: Изд во Mr"Y, 1958. 60 с.
193. Предисловие к ки.: Э m б и У. Р. Введение в киберНеТиI<у........
М.: ИЛ, 1959........ с. 5.....8.
194. Автоматы и жизнь: Тез. докл., прочитанноrо на методолоrи..
ческом семинаре MeX. MaT. ф та Mry 5 апреля 1961 r. Маш.
пер. и прикл. линrвист........ 1961. вып. 6. с. 3 8.
195. Автоматы и жизнь........ Техника........ олодежи. 1961. М 10........
с. 16 19; .м 11. с. 30 33; а также в сб.: l\ибернетика
ожидаемая и кибернетика неожиданная. М.: НаУI\а, 1968.
196. Как я стал математиком........ OroHeK........ 1963........ .м 48. с. 12
13.
197. Предисловие к кн.: Н. Б. В а с и л ь е в, А. А. Е r О РОВ.
Сборни:к подrотовительных задач :к ВсерОССИЙСI\ОЙ олимпиаде
юных математиков! М!: "Учпедrиз, 1963,
285
198. l еОl\1етрия па сфере и rеолоrия. Наука и жизнь. 1U()fj.
М 2.......... С. 32.1
199. К основам русской классической метрини // Содружестно П() ук
И тайны творчества. М.: Искусство, 1968. С. 397 432.
Совм. с А. В. 11pQXOPOBblM.
200, Новое в Ш1\ОЛЪН ОЙ математике. Наука и жизнь. 1969.
еМ 3. с. 62 66.
201! Курс мат атики для физико математических школ. 1\1.:
Изд во Mry, 1971, 223 с. Совм. С В. А. ryceBblM, А. Б. Co
синским, А. А. Шершевским.
202. Летняя школа на Рубском озере........ М.: Просвещение, 1971,
160 с.
203, научный руководитель // Н е Й м а н Л.' Радость открытия........
М.: Дет. ит., 1972.
,204. Учителя не заМенить........ Комс. правда, 1972, 19 января.
2'05. Заботясь о достойном пополнении. Вестн. высш. шк.......
1974. .м 6........ с. 26 33. Совм. с И. Т. Тропиным И К. В. Чер...
нышевым.
206. HOBlle Ilpo:vpaMMbl% СпециаJ!изированные школы // Математи..
't{.eCRoe обра80В IJие <?еrОJjЦЯ. M : Просвещение, 1974. С. 5 12.
207, Как я ст л :м:аrематикоA,J. Что такое математика // Наука в
Т1Jоей профессии, М.: знание..... 1978. М 11. с. 5 9.
208. rеометрия /JaЛЯ 6......8 классов: Учебное пособие....... 3 e изд.........
М.: Просвещение, 1981. Совм. сА. Ф. Семеновичем иР. С. Чер-
касовым; 1..е из,ц....... М., 1979.
209. Физико математическая ШRола прv MrY....... М.: изд во Mry,
1981 (Матема'fи а, кибернетика, .м 5). Совм. с В. В. Вави'"
повым и И. Т. тропиным.
210. Алrебра и начала анализа: Учебное пособие для 9 и 10 классо.,
средней школы........ 4 e изJ;X........ М.: Просвещение, 1983. Совм,
с А. М. Абрамовым, Б. Е. Вейцем, О. с. Ивашевым Мусато-
вым и с. И. ШварцБУРllОМ; 1 e Й8JI. М.: Просвещение, 1980.
211. Введение в теорию вероятноСТей......... М.ж Наука, 1982, 159 С-'
(БиблиотеЧRа «Квант». Вып. 23). Совм. С и. r. Журбенко и
А. В. Прохоровым).
IИ2. Что дает и MOr. бы дать «Квант» учителю математики? ...... Учи...
тельская rазета, 1985, 22 января, .м 10 (8479).
213. Паркеты из правильных мноrоуrОЛЬ ИRОВ."""" Энциклопедиче-.
ский словарь юноrо матеМатика....... М.: ПеJjаrоrика, 1985.......
с. 200...... 201.
214. Ред. и предисл. к Rниrеl r а J1. ь пер и н r. А., т о л п ч-
l' О А. К. Московские математиi'tеСкие олимпиады....... М.% Про-
свещение, 1986.
215. Предисловие к ин.: m т е й н :r а у 3 r. МатематичеСRИЙ ка-
лей1J;ОскОП....... М.: Наука, 1981 (Библиотечка «Квант». Вып. 8).
216, Воспоминания о П. С. АлеRсандрове! YMH! 1986.... Т. 41,
выи. 6(252}! С. 187 203!
СОДЕРЖАНI1Е
Предисловие составителя . . . .
.. ...........
Раз Д е л 1. РАЗМЫШЛЕНИЯ MATE lATI1I A . .
1. Как я стал математиком .. ....
2. Научный руководитель . . . .
3. Два интервью . . .. ......
4. О профессии математика .. "..
5. rеометрия на сфере и rеолоrия . .
6. Автоматы и жизнь . . .. ......
7. Избранные предисловия . . . .
Раз 1J. е л 11. ФУНДАJ\;IЕНТАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
ШКОЛЬНОй l\1АТЕМАТИКИ . . .. ....
1. Что такое функция? . .. ............
. Что такое rрафик функции?.. . . . . . . .
3. Функции двух и мноrих переменных. Зависимости
между переменными и их rрафики о. .......
4. rруппы преобразованиii . .. ...........
5. Введение к «Курсу математики для физико :м:атема
тических школ» . .. .........
6. rеометрия и кинематика на плоскости . . . . . .
7. О языке математических энаI{ОВ .. ........
Раз Д е л 111. ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ДЛЯ ШI\ОЛЬ-
НИКОВ . . .. ..................
1. Введение в теорию вероятностей и иомбинаторику
2. Полулоrарифмическая и лоrарифм:ическая сетки . . .
3. Величина и ее измерение . . . . . .
4. Алrоритм Евклида . .. .......
5. О решении десятой проблемы rильберта
6. К обоснованию теории вещественных чисел . . . .
7. Избранные задачи . . о. ........
Раз Д е л IV. ЛЕКЦИИ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ. .. .
t. Современные взrляды на природу мате fатики .
. Натуральные числа . .. .............
8. Обобщение понятия числа. Неотрицательные рацио
нальные числа . . .. ..............
4. Что дает и Mor бы дать «Квант» учитеЛIО математики?
5. О воспитании на уроках математики и физики диа
лектико материалистическоrо миропоззрения . . ,; . . .
:QиБЛИОl'рафический коммента рий . .. .........
Список научно популярных трудов А. 1-1. Колмоrорова (в том
числе работ по ШRОЛЪВОЙ тематике) .., . . . , , . .
5
7
7
10
14
22
41
43
62
67
67
79
91
98
103
135
166
174
174
190
198
202
206
215
218
227
227
237
255
267
270
276
280
Анд рей Н иподаеви ч К одм,о80 ров
МАТЕМАТИКА НАУКА И ПРОФЕССИЯ
Серил «Библиотечиа «:Квант», выпуси 64
IIa первой странице обложии...... рисунои r. А. rальnерина
На второй страниц обложии картина д. и. ropaeeBa «Три ROJIMUl'UPUUat1
l'eAaKTop A r. Мордвинцев
Художественный редактор Т. Н. Rольчен",о
Технический редактор Л. В. Лихачева
норреитор Н. Д. Храnпо
ИВ М 3266"
Сдано в набор 14.09.87. Подписано и печати 02.12.87.
Т...24256. Формат 84х108/32.
БJf4аrа инижно...журнальная. rарllитура обblRновенная. Печать выеокаи.
11м. печ. л. 15,12. Усл. ир.-отт. 15,96. уч....изд. п. 15,33.
1'J(paJiI1.31 000 (l..й завод 1.....50 000) экз. Заиаз 876. Цена 65 коп.
Ордена Трудовоrо HpacHoro Зиа ени издательство «HaYKa
rвавная редакция физико математичесной питературы
117071, Москва В...71, Ленинский проспект, 15
а...я типоrрафия издательства «Науиа»
12t099, MocRBa l r...99, mубинсиий пеР.l 6..