/
Автор: Марков С.Н.
Теги: математика современная математика история математики математика древнего мира математика античного мира
ISBN: 5-7430-0496-X
Год: 1995
Текст
С.Н. Марков
КУРС ИСТОРИИ
МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие
Рекомендовано Государственным комитетом
Российской Федерации по высшему образова-
нию в качестве учебного пособия для студен-
тов высших учебных заведений, обучающихся
по направлению “Математика”
Издательство Иркутского университета
1995
УДК 51(09)(075.8)
ББК В1гя73
М25
Представлено к изданию
Иркутским государственным университетом
Издание осуществлено при поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований по проекту N 95-06-187086.
Научный редактор
В. И. Машанов, канд. физ.-мат. наук, доц.
Рецензенты:
И. Г. Башмакова, докт. физ.-мат. наук, проф.,
Н. М. Матвеев, докт. физ.-мат. наук, проф.
Марков С.Н.
М25 Курс истории математики: Учеб, пособие. — Иркутск: Изд
во Иркут, ун-та, 1995. - 248 с. Библ. 39, рис. 99.
В данном учебном пособии изложение истории математики про-
водится по отдельным специальным темам, таким как "Алгебра”
"Геометрия”, “Анализ” В каждой теме рассматриваются конкрет-
ные вопросы, дополняющие основные математические курсы в уни-
верситетах и пединститутах и позволяющие "перекинуть мостик”
между школьной и вузовской математикой. Изложение сопровожда-
ется большим количеством рисунков и примеров. В пособие вклю-
чены вопросы и задания для семинарских занятий и упражнения
для самостоятельной работы.
Предназначено для студентов старших курсов университетов и
пединститутов, для преподавателей математики и для школьников
старших классов физматшкол.
1602000000 - 03
М179(03) - 95 В 9
ISBN 5-7430-0496-Х
ББК В1гя73
©Марков С.Н., 1995 г.
Содержание
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
Глава 1. ЧЕТЫРЕ ПЕРИОДА В ИСТОРИИ МАТЕМА-
ТИКИ
1.1 ПЕРИОД НАКОПЛЕНИЯ НА ЧАЛЬНЫХ МА ТЕМА-
ТИЧЕСКИХ СВЕДЕНИЙ
1.1.1 Математика Древнего Египта 8
1.1.2 Математика Древнего Вавилона 9
1.2 ПЕРИОД МАТЕМАТИКИ ПОСТОЯННЫХ ВЕЛИЧИН 10
1.2.1 Математика Древней Греции, эллинистических
стран и Римской империи 11
1.2.2 Математика средневекового Китая 12
1.2.3 Математика средневековой Индии 13
1.2.4 Математика стран ислама 13
1.2.5 Математика средневековой Европы 14
1.2.6 Математика эпохи Возрождения 15
1.3 ПЕРИОД МА ТЕМА ТИКИ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН 16
1.3.1 Математика XVII века 16
1.3.2 Математика XVIII века 17
1.4 ПЕРИОД СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ 17
1.5 ЧЕТЫРЕ СТУПЕНИ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕ-
МАТИКИ 19
Вопросы и задания 20
Глава 2. ЧИСЛО 21
2.1 ПРОИСХОЖДЕНИЕ ПЕРВЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИ-
СЕЛ 21
2.2 ПРИНЦИПЫ ИЗОБРАЖЕНИЯ ЧИСЕЛ, ИЛИ ПРИН-
ЦИПЫ НУМЕРАЦИИ 23
2.3 ВВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ 24
2.4 “ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ” ПИФАГОРЕЙЦЕВ ... 27
3
2.5 ОТКРЫТИЕ НЕСОИЗМЕРИМОСТИ 29
2.6 ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ ЕВДОКСА 31
2.7 ВВЕДЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 33
2.8 ВВЕДЕНИЕ МНИМЫХ ЧИСЕЛ. 34
2.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА 37
Вопросы и задания. 41
Глава 3. АЛГЕБРА 43
3.1 СОЗДАНИЕ АЛГЕБРЫ КАК СИМВОЛИЧЕСКОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ 43
3.1.1 Зачатки алгебры в математике Древнего Вавилона . 43
3.1.2 Алгебра Диофанта. 43
3.1.3 “Введение в аналитическое искусство” Ф. Виета 44
3.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА ПИФАГОРЕЙЦЕВ 45
3.2.1 Предмет геометрической алгебры 45
3.2.2 Первые неразрешимые задачи 48
3.2.3 Замечания 52
3.3 ПРОБЛЕМА РЕШЕНИЯ В РАДИКАЛАХ АЛГЕБРА-
ИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 55
3.3.1 Решение в радикалах алгебраических уравнений
2-й, 3-й и 4-й степеней 55
3.3.2 Попытки решения в радикалах алгебраических
уравнений степени п > 5. “Размышление об ал-
гебраическом решении уравнений” Ж. Лагранжа.
Теоремы П. Руффини и Н.Х. Абеля 57
3.3.3 Основная теорема теории Галуа. Решение ал-
гебраических уравнений в радикалах с точки зре-
ния теории Галуа. Решение задач геометрической
алгебры с точки зрения теории Галуа. 60
3.4 НЕКОТОРЫЕ ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ НОВОЙ
АЛГЕБРЫ ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XIX ВЕКА 69
Вопросы и задания. 74
Глава 4. ГЕОМЕТРИЯ 76
4.1 ПРОИСХОЖДЕНИЕ ПЕРВЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ФИГУР И ТЕЛ 76
4.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
В ДРЕВНЕМ ЕГИПТЕ И ВАВИЛОНЕ ..................... 77
4
4.3 ПРЕВРАЩЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ В ДЕДУКТИВНУЮ
СИСТЕМУ 78
4.4 “КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ” АПОЛЛОНИЯ 80
4.5 СОЗДАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЙ ГЕОМЕТРИИ 85 *
4.6 СОЗДАНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬ-
НОЙ ГЕОМЕТРИИ 89
4.7 ГЕОМЕТРИЯ НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ 98
4.8 ПРЕДЫСТОРИЯ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 101
4.9 РАЗВИТИЕ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
В ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЕ XIX ВЕКА 109
4.10 ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ТИПОВ
ГЕОМЕТРИЙ ПО Ф. КЛЕЙНУ 118
Вопросы и задания. 126
Глава 5. АНАЛИЗ 128
5.1 МЕТОД “ИСЧЕРПЫВАНИЯ' ЕВДОКСА. ИНТЕ-
ГРАЛЬНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
АРХИМЕДА 128
5.2 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕ-
ТОДЫ В ЕВРОПЕ ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЫ XVII ВЕКА 135
5.2.1 Интегральные методы И. Кеплера 136
5.2.2 Метод “неделимых” 137
5.2.3 Интегральный метод П. Ферма 143
5.2.4 Интегральный метод Б. Паскаля 144
V5.2.5 Метод касательных Г Галилея-Ж. Роберваля 145
5.2.6 Метод нормалей и касательных Р Декарта 147
5.2.7 Метод экстремумов и касательных П. Ферма. 148
5.2.8 О связи между интегральными и дифференциаль-
ными методами 149
5.3 СОЗДАНИЕ ОСНОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В РАБОТАХ
И. НЬЮТОНА И Г.В. ЛЕЙБНИЦА 150
5.3.1 Метод “флюксий” и степенных рядов И. Ньютона 150
5.3.2 “Исчисление дифференциалов” Г.В. Лейбница 153
5.3.3 Метод “первых” и “последних” отношений И. Нью-
тона 154
5.4 ПРОБЛЕМА ОБОСНОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬ-
НОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. “АНАЛИСТ ДЖ. БЕРКЛИ . . 155
5
5.5 КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИФФЕРЕНЦИ-
АЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В
XVIII В. . . 163
5.6 ПЕРЕСТРОЙКА ОСНОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА В XIX ВЕКЕ 167
5.7 ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ДАРБУ 179
5.8 ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПОНЯТИЯ МЕРЫ МНОЖЕСТВА 184
5.9 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 187
5.10 ПРОБЛЕМА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПРИМИТИВНОЙ
ФУНКЦИИ 191
5.11 О ПРЕПОДАВАНИИ ОСНОВ АНАЛИЗА (дополнение) 192
Вопросы и задания. 196
Глава 6. ИСТОРИЯ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ
МАТЕМАТИКИ 198
6.1 МА ТЕМА ТИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ НА РУСИ
В X-XVI ВЕКАХ 198
6.2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ XVII ВЕКА 202
6.3 ОРГАНИЗАЦИЯ ШКОЛ. 204
6.4 “АРИФМЕТИКА” Л.Ф. МАГНИЦКОГО 206
6.5 ОСНОВАНИЕ АКАДЕМИИ НАУК 209
6.6 ОРГАНИЗАЦИЯ УНИВЕРСИТЕТОВ 210
6.7 Н.И. ЛОБАЧЕВСКИЙ (1792-1856). 212
6.8 М.В. ОСТРОГРАДСКИЙ (1801-1861) 215
6.9 П.Л. ЧЕБЫШЕВ (1821-1894) 217
РАЗБОР УПРАЖНЕНИЙ 221
ЛИТЕРАТУРА 245
Моим родителям,
сельским учителям
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие составлено в объеме небольшого (в пределах 40
часов) курса истории математики для университетов и пединститу-
тов.
Изложение истории математики проводится не по историческим
периодам, а по отдельным темам. Каждой теме соответствует от-
дельная глава пособия. Глава 1 является вводной, в ней дается крат-
кая характеристика основных периодов в развитии математики.
Главы 2-5 относительно независимы друг от друга. Глава 6 пред-
назначается для самостоятельного ознакомления.
В конце каждой главы указаны вопросы и задания, которые же-
лательно разобрать на семинарских занятиях.
В пособие включено значительное число упражнений, их краткий
разбор помещен в конце пособия.
Список литературы минимальный; ссылки даются на ближайший
источник более подробного изложения соответствующего вопроса.
Работа выполнядась автором при начальном руководстве проф.
В. В. Васильева, ныне покойного. Ему, а также проф' Н. М. Матве-
еву, проф. И. Г Башмаковой и доцентам В. И. Машанову, Е. П. Бо-
кмельдер и Ю. Г Пензину автор выражает свою глубокую благодар-
ность. Отдельную благодарность автор выражает сотруднику АК
“РУСИА Петролеум” А/С. Яшину за тщательную подготовку ма-
кета пособия, а также иркутской фирме “Градиент” (генеральный
директор С.В. Иванов) за содействие в издании.
Глава 1
ЧЕТЫРЕ ПЕРИОДА
В ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
В истории математики принято различать следующие четыре пери-
ода: период накопления начальных математических сведений, период
математики постоянных величин, период математики переменных
величин и период современной математики.
1.1 ПЕРИОД НАКОПЛЕНИЯ
НАЧАЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
СВЕДЕНИЙ
Этот период заканчивается в Древней Греции VI в. до н.э. Он вклю-
чает в себя происхождение первых натуральных чисел и первых гео-
метрических фигур и тел, математику Древнего Египта и матема-
тику Древнего Вавилона.
1.1.1 Математика Древнего Египта
Большинство математических текстов, сохранившихся в памят-
никах Древнего Египта, написаны на папирусе. Папирус хрупкий,
поэтому сохранились только те тексты, которые положены в пира-
миды. Важнейшими из дошедших до нас математических текстов
являются так называемые папирус Райнда (содержит 84 задачи) и
Московский папирус (содержит 25 задач).
Носителями научных знаний в Древнем Египте были “писцы” —
чиновники, состоявшие на государственной или храмовой службе.
Служилая интеллигенция, гордившаяся своей образованностью, вы-
полняла в древнем обществе различные административно-хозяйст-
венные функции. В папирусах XX-XIX вв. до н.э. зафиксированы
8
должности писца дома документов, войска, царских работ, надзира-
теля писцов, начальника сокровищницы и т.д. “Писец — он руко-
водит всеми, и не обложена налогами работа в письме. На нее нет
налогов. Заметь себе это”, — говорится в одном из многих тек-
стов, восхваляющих привилегированное положение писца в Древнем
Египте. “Это больше, чем любая должность, и нет равного им в
стране этой” Писцы обучались в специальных школах. Имелись и
высшие писцовые школы, которые торжественно назывались “дома
жизни”
Математические знания древнего писца позволяли ему произво-
дить расчеты при строительных работах, сборе налогов, разделе
имущества, обмене и распределении продуктов, измерении площа-
дей полей, объемов плотин, зернохранилищ и т.п. Все внимание со-
средоточено при этом на вычислениях с конкретными количествами;
числа как таковые, равно как и методы решения, не становятся еще
предметом рассмотрения, задачи группируются поэтому не по ме-
тодам решений, а по темам (задачи на припек, задачи на емкость
зернохранилищ, задачи на площадь поля и т.д.). Каждая задача ре-
шается заново, без каких-либо пояснений, в числах. Лишь иногда
дается проверка найденного решения.
Анализ математических текстов позволяет утверждать, что ма-
тематика Древнего Египта представляла собой совокупность зна-
ний, еще не расчленившуюся на арифметику и геометрию и высту-
пающую прежде всего как собрание примеров решения простейших
прикладных задач.
1.1.2 Математика Древнего Вавилона
Источниками для изучения математики Древнего Вавилона явля-
ются математические клинописные тексты, обнаруженные при архе-
ологических раскопках или найденные случайно местными жителями
в развалинах старых сооружений. Среди разрозненного, распылен-
ного по музеям мира множества глиняных табличек самых разных
эпох, от начала III тысячелетия до н.э. до I в.н.э., известно примерно
150 с текстами математических задач и 200 с числовыми таблицами.
Носителями научных знаний в Древнем Вавилоне были, как и в
Древнем Египте, писцы. Они руководили общественными работами,
занимались учетом хозяйства, составлением торговых документов и
деловой перепиской. Писцы были тесно связаны с храмами, в кото-
9
рых и хранились глиняные таблички с клинописными текстами. Как
и в Египте, в Древнем Вавилоне специальность писца была почетной:
“Тот, кто в совершенстве овладеет искусством писать на таблич-
ках, будет сверкать подобно солнцу” Нередко писцами становились
сыновья правителей, ведь писцы относились к правящему классу.
“Дом табличек” — так называлась школа или академия, где обуча-
лись писцы. “Писец должет уметь писать понятно, хорошо знать
математику, уметь межевать земли, примирять спорящих”, — на-
писано в послании одного ученика к другому.
Задачи, решаемые в вавилонских клинописных текстах, так же
как и задачи в древнеегипетских папирусах, являются чисто прак-
тическими вычислительными задачами и так же изложены догма-
тически, без каких-либо пояснений. Отличие состоит в том, что ис-
кусство счета у вавилонян более совершенное, а решаемые матема-
тические задачи значительно разнообразнее и сложнее. В Древнем
Вавилоне впервые возникла позиционная система счисления, разра-
ботана алгебра линейных и квадратных уравнений, открыта тео-
рема Пифагора, решаются простейшие теоретико-числовые задачи.
Здесь же, в отличие от математики Древнего Египта, мы можем на-
блюдать начавшееся разделение математики на арифметику и гео-
метрию, зачатки алгебры и теории чисел, а также появление первых
“теоретических” задач, т.е. задач, не связанных непосредственно с
практикой, а вызванных внутренниими потребностями самой мате-
матики.
1.2 ПЕРИОД МАТЕМАТИКИ
ПОСТОЯННЫХ ВЕЛИЧИН
Математика в древних цивилизациях развивалась очень медленно.
Иногда на протяжении целых веков не было никакого прогресса. Но
вот в Древней Греции VI в. до н.э. положение резко меняется. Всего
за несколько десятилетий математика из набора примеров для ре-
шения простейших прикладных задач превращается в строгую де-
дуктивную науку. Формируются первые математические понятия и
аксиомы, строятся первые математические теории; математики на-
1инают работать с понятиями.
Греки справедливо приписывали радикальные перемены во всех
областях общественной жизни (в том числе и в математике) воз-
.0
никшему у них в то время новому демократическому общественному
строю.
Период развития математики с VI в. до н.э. по XVI в.н.э. принято
считать периодом математики постоянных величин. Он включает в
себя математику Древней Греции, эллинистических стран и Римской
империи, математику средневекового Китая, математику средневе-
ковой Индии, математику стран ислама, математику средневековой
Европы и математику эпохи Возрождения.
1.2.1 Математика Древней Греции, эллинистических
стран и Римской империи
Первые математические теоремы были доказаны учеными ио-
нийской школы натурфилософии (первая половина VI в. до н.э.), осно-
вателем которой считается Фалес — купец, политический деятель,
философ, астроном и математик, живший в Милете — богатой гре-
ческой колонии в Малой Азии. Но коренное преобразование мате-
матики по традиции единодушно приписывают Пифагору (VI в. до
н.э.). Вот, например, что об этом пишет Прокл (V в.н.э.): “Пифагор
преобразовал математику ...рассматривая ее принципы чисто аб-
страктным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интел-
лектуальной точки зрения ”
В школе Пифагора (VI-V вв. до н.э.) была разработана арифме-
тика целых чисел, построена первая теория отношений, сделано
очень важное для дальнейшего развития математики открытие не-
соизмеримости диагонали квадрата с его стороной, разработана те-
ория делимости, основана геометрическая алгебра, в которой задачи
решаются построением с помощью циркуля и линейки.
Развивая математику пифагорейцев, греки построили (в IV-III
вв. до н.э.) теорию конических сечений (Менехм, Аполлоний), со-
здали новую теорию отношений (Евдокс), первый метод пределов
(Евдокс), первые интегральные и дифференциальные методы (Архи-
мед). Достижения греческих математиков были приведены в систему
в “Началах” Евклида (III в. до н.э.).
Со II в. до н.э. наступает спад в развитии греческой математики,
вызванный началом тяжелых разрушительных войн, приведших к
созданию Римской империи (о причинах упадка греческой матема-
тики см. [34, с. 164-166]). Только в начале нашей эры, когда положение
11
установилось, греческая математика вновь стала оживать. Уже в I
в.н.э. в Александрии, центре культурной жизни того времени, рабо-
тают такие математики, как Герои и Менелай, а в середине II в.н.э.
— Клавдий Птолемей. В III в. создает свою алгебру Диофант.
Значительная часть знаменитой Александрийской библиотеки
сгорела еще в 30-х гг. до н.э. при захвате римлянами Александрии.
В 391 г. библиотеку жгли и разрушали христиане-фанатики. Когда
в VIII в. уровень культуры в арабских странах поднялся настолько,
что ученые начали собирать и переводить греческие рукописи, уце-
лело лишь немногое. Это немногое и послужило основой для даль-
нейшего развития математики в странах ислама, а впоследствии и в
Европе.
1.2.2 Математика средневекового Китая
Китайская цивилизация длительное время была почти полностью
изолирована от остального мира. Это наложило свой отпечаток и на
развитие китайской математики.
Наиболее древние из дошедших до нас математических текстов
относятся ко II в. до н.э. Исторические документы свидетельствуют
о том, что в Китае издавна математике уделялось большое внима-
ние. Уже ко второй половине I тысячелетия до н.э. были серьезно
поставлены математичекое образование и экзамены. В VII-X вв.н.э.
в Императорской гимназии математика изучалась семь лет. Для за-
нятия чиновником государственной должности требовалось выдер-
жать экзамены, в том числе и по математике. Были изданы и пе-
реиздавались в течение многих веков “Десять классических тракта-
тов”, содержавшие основы китайской математики.
Важнейшей особенностью китайской науки является ее догма-
тизм; в течение многих веков китайская наука направлялась чи-
новниками, придавшими ей, как и другим сторонам жизни Китая,
бюрократический характер. Если произведения греческих матема-
тиков подвергались при переписке значительной обработке и снаб-
жались различными дополнениями и комментариями, то китайские
“классические трактаты”, написанные еще во II в. до н.э. - IV в.н.э.,
переиздавались затем без всяких изменений.
Исследование математики древнего и средневекового Китая по-
казывает, что до XIV в. она развивалась преимущественно как со-
вокупность вычислительных алгоритмов. Наиболее значительными
12
из этих алгоритмов являются метод “ФАН-ЧЭН” решения системы
линейных уравнений и метод “ТЯНЬ-ЮАНЬ” приближенного реше-
ния алгебраических уравнений. Важнейшим достижением китайской
математики было также введение отрицательных чисел.
1.2.3 Математика средневековой Индии
Первые индийские математические тексты относятся к VII-V вв.
до н.э. Крупнейшие индийские математики V-XII вв.н.э. — Ариаб-
хата (V-VI вв.), Брахмагупта (VII в.), Магавира (IX в.), Шридхара
(IX-X вв.), Бхаскара (XII в.). Уже с первых веков н. э. прослежива-
ется связь математики Индии с математикой Китая. Она особенно
усиливается в период распространения буддизма. В это время индий-
ская математика распространяется и на территории стран ислама.
Важнейшими достижениями индийской математики являются:
создание арифметики на основе десятичной позиционной системы
счисления, разработка тригонометрии, создание развитой алгебра-
ической символики.
1.2.4 Математика стран ислама
В VII в.н.э. сторонники ислама — халифы — подчинили себе Си-
рию, Междуречье, Иран, Египет, Среднюю Азию, северную Африку,
а позднее — Испанию, Сицилию и юг Италии, часть Закавказья, и
часть Индии. Образование исламского халифата совпало с распадом
рабовладельческой формации на его территории и становлением фе-
одального строя. Образовались научные центры: Багдад — столица
халифата, Бухара и Хорезм в Средней Азии, Каир в Египте, Кор-
дова в Испании, Газна на территории Афганистана, Исфахан на тер-
ритории Пакистана, Марага в Азербайджане и некоторые другие.
В IX-X вв. здесь работали такие известные математики, как ал-
Хорезми, ал-Бируни, Абу Камил ал-Мисри, Хасан ибн ал-Хайсам, в
XI в. — Омар Хайям, в XIII в. — Насир ад-Дин ат-ТУси, в XV в. —
ал-Каши и т.д.
Из достижений арабских математиков отметим работы по те-
ории параллельных, алгебре и тригонометрии. Но не менее важно
было то, что арабские математики переписывали, комментировали
и совершенствовали результаты греческой математики, переняли
У индийцев их десятичную позиционную систему счисления. Все
13
это и послужило основой для последующего развития математики
в Европе.
1.2.5 Математика средневековой Европы
В середине I тысячеления н.э. произошел социальный и поли-
тический распад Римской империи, вызванный кризисом рабовла-
дельческого хозяйства, борьбой покоренных римлянами народов, и
нашествиями варваров; на смену рабовладельческому обществу при-
ходит феодальная формация. Время господства феодальных отноше-
ний, продолжавшееся с V-VI вв. до XV-XVI вв., именуется средними
веками.
Основой для развития науки в средние века служило постепенное
развитие ремесла, товарного производства и торговли, подъем —
особенно со второй половины XI в. — городов, улучшение положе-
ния горожан. Для развития математики в средневековой Европе гла-
вную роль сыграли переводы на латинский язык сочинений арабских
математиков. Такие переводы, редкие в X в., приобретают система-
тический характер в XI-XIII вв. Благодаря работе переводчиков и
переписчиков европейцы познакомились с сочинениями Архимеда,
Аполлония, Евклида, Диофанта и других греческих математиков.
Важную роль в развитии математики сыграло также появление
университетов. Древнейший в Европе университет — медицинский
— был основан в Салерно не позднее первой половины XI в. Около
1100 г. был открыт юридический университет в Болонье. В конце
XII в. на базе нескольких монастырских школ вырос Парижский уни-
верситет, где обучались тысячи студентов со всех концов Европы.
Примерно тогда же были созданы Оксфордский и в 1209 г. Кембри-
джский университеты. Затем появляются университеты в Праге
(1348 г.), Кракове (1364 г.), Вене (1365 г.), Гейдельберге (1385 г.),
Лейпциге (1409 г.), Базеле (1459 г.) и т.д.
Организация преподавания в университетах того времени была
примерно такова: университет состоял из четырех факультетов —
искусств, богословия, права и медицины. Преподаватели делились
на младших — бакалавров — и старших — магистров и докторов.
Во главе университетов стояли монахи-богословы. Студент, нередко
подросток, поступал сначала на факультет искусств, где обучался
около шести лет; после испытаний он мог перейти на какой-либо
другой факультет, где обучение продолжалось около восьми лет и
14
завершалось испытанием и диспутом.
В течение нескольких веков математика оставалась в универ-
ситетах вспомогательной дисциплиной, отдельных математических
кафедр и специальных преподавателей математики не было. Подсоб-
ная роль математики в университетах отрицательно сказывалась на
знаниях студентов. И все же, несмотря на подчиненное положение
математики, несмотря на преобладание богословия и схоластики в
преподавании, университеты были важными центрами распростра-
нения и развития математических знаний. Из стен средневековых
университетов вышли такие математики, как Томас Брадвардин в
Англии, Николь Орем во Франции, Иоганн Мюллер-Региомонтан в
Германии, Николай Коперник в Польше и др.
1.2.6 Математика эпохи Возрождения
XV и XVI в. вошли в историю Европы под названием “эпоха
Возрождения”; при этом имелось в виду возрождение того высокого
уровня культуры, который был достигнут в античном мире. На са-
мом же деле эта эпоха характеризуется гораздо более глубокими пре-
образованиями в жизни всего общества: именно в это время в недрах
феодального строя зреет новый общественный строй — буржуазное
общество. В промышленности возникают мануфактуры, требующие
технических усовершенствований и изобретений. Тогда же появля-
ются в Европе компас, часы, порох, дешевая бумага и книгопечата-
ние. Резко возрастает торговля, приведшая к росту мореплавания.
Бумага и книгопечатание способствуют тому, что научные знания
становятся необходимым элементом общественной жизни. Соверша-
ется культурная революция.
Развитию математики способствовали, с одной стороны, чисто
практические соображения, а с другой — религиозные традиции,
утверждавшие, что Вселенная построена богом по математическому
плану.
В XV-XVI вв. математика развивается главным образом в Ита-
лии, Франции, Германии, а с конца XVI в. и в Голландии, пере-
живавшей первую в Европе буржуазную революцию. Математика
впервые выходит за пределы знаний, полученных в наследство от
древних греков и народов Востока. Именно в это время повсеме-
стно вводится пришедшая в Европу от арабов^индийская десятич-
ная позиционная система счисления, вводятся десятичные дроби, от-
15
рицательные, иррациональные и мнимые числа, создается развитая
алгебраическая символика. Тогда же были решены в радикалах ал-
гебраические уравнения 3-й и 4-й степеней, разработаны плоская
и сферическая тригонометрии, значительно усовершенствованы вы-
числительные методы. Математика становится мощным средством
решения быстро расширяющегося круга задач не только торговли,
землемерия и т.п., но и новой техники и нового естествознания. В
математике начинают видеть основной, наряду с экспериментом, ме-
тод изучения природы.
1.3 ПЕРИОД МАТЕМАТИКИ
ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН
К XVII в. создаются как теоретические, так и практические пред-
посылки для математического описания движения. Изучение дви-
жения, изучение переменных величин становится главной задачей
математики. Начинается период математики переменных величин.
Его принято условно разделять на математику XVII в. и математику
XVIII в.
1.3.1 Математика XVII века
В XVII в. воздействие практических потребностей на математику
становится непосредственным. На смену энтузиастам-одиночкам
приходят научные организации и общества. С 1662 г. начало свою
деятельность Лондонское королевское общество, играющее и ныне
роль национальной академии наук. В 1666 г. была организована Па-
рижская академия наук. Переписка ученых и появлявшиеся изредка
и в малом количестве экземпляров книги уже не удовлетворяли
потребности обмена и распространения научной информации. В
XVII в. выходят первые научные периодические издания: с 1665 г. —
в Лондоне “Philosophical transactions”, а с 1682 г. — в Лейпциге
“Acta Eruditorum”
В математике на первый план выдвигается изучение движения.
Его первым математическим описанием явилась аналитическая гео-
метрия Декарта и Ферма.
Т^уды Кеплера, Кавальери, Торичелли, Сен-Венсана, Галилея, Ро-
берваля, Декарта, Ферма, Барроу по развитию античных интеграль-
16
ных и дифференциальных методов привели к созданию в работах
Ньютона и Лейбница основ дифференциального и интегрального ис-
числения.
1.3.2 Математика XVIII века
XVIII в. — господство капиталистического способа производ-
ства. Темпы развития науки в это время быстро нарастают. Про-
мышленная революция, образование мирового рынка и связанные с
этим нужды мореплавания, кораблестроения, военной техники, те-
плотехники, гидроэнергетики и т.п. ставят перед наукой все новые и
новые задачи. Причем помимо задач механики и астрономии встают
задачи исследования электромагнитных и тёпловых явлений. Разви-
тие науки становится делом государственной важности. Для целей
научного исследования в крупнейших городах Европы создаются
академии наук, деятельность которых направляется и финансиру-
ется государством.
В XVIII в. быстро развивается дифференциальное и интеграль-
ное исчисление. Используются степенные, тригонометрические и
асимптотические ряды, изучаются простейшие специальные фун-
кции, складываются элементы теории дифференциальных уравне-
ний, создается вариационное исчисление. В алгебре отмечаются
многочисленные попытки решения в радикалах уравнений 5-й и выс-
ших степеней, развиваются приближенные методы решения алгебра-
ических уравнений, появляются первые формулировки и доказатель-
ства основной теоремы алгебры. Заложены основы элементарной те-
ории чисел. Формулируются первые предельные теоремы теории ве-
роятностей. Формируется дифференциальная геометрия.
1.4 ПЕРИОД СОВРЕМЕННОЙ
МАТЕМАТИКИ
XIX в. — начало периода современной математики, характеризую-
щееся следующими особенностями:
в алгебре появились работы, приведшие к созданию теоретико-
групповых методов, составивших в дальнейшем ядро современной
алгебры;
в геометрии создаются основы неевклидовых геометрий, фор-
мируются проективная и многомерная геометрии, топология, появ-
17
ляются классификации типов геометрий;
математический анализ строится на основе современных
определений вещественного числа и предела. Внутри анализа заро-
ждаются новые дисциплины такие, как теория функций комплексного
переменного и теория функций действительного переменного. Про-
исходит интенсивное разрастание анализа вширь, резко расширя-
ется область его приложений;
теория вероятностей и математическая статистика фор-
мируются как науки;
формируются алгебраическая и аналитическая теории чи-
сел;
все больший интерес проявляется к вопросам обоснования мате-
матики, в связи с этим развиваются теория множеств и мате-
матическая логика.
Большое внимание уделяется в XIX в. преподаванию математики.
Так, поступавшие в Парижскую политехническую школу — ведущее
учебное заведение начала XIX в. — должны были прежде пройти го-
дичный курс в специальном математическом классе — учебном за-
ведении с преобладанием математики (до 16 ч. в неделю). Здесь пре-
подавался элементарный курс аналитической геометрии и механики,
а позднее и элементарный курс анализа бесконечно малых, причем
большое число упражнений давало учащимся возможность твердо
овладеть предметом. После этого следовал очень строгий экзамен,
который чисто статистическим методом отбирал из большого числа
кандидатов 150 человек, допускаемых для обучения в Политехниче-
ской школе.
Обучение в Политехнической школе продолжалось два года и яв-
лялось единственным путем к занятию высших государственных те-
хнических должностей, к которым нужно было готовиться еще два
года в одном из специальных учебных заведений: Институте путей
сообщения, Горном институте, Военно-инженерной школе или в Ар-
тиллерийской школе. Эти школы неодинаковы по своему положению
и значению, и выбор их не был свободным для оканчивающих Поли-
техническую школу, а определялся качеством выпускного свидетель-
ства.
“Все меры строгости, воздействия на честолюбие, окрыляемое
перспективой блестящей жизненной будущности, — пишет о Поли-
технической школе Ф.Клейн, — привлекались здесь для того, чтобы
заставить учащегося до крайности напрягать свои силы. Знания
18
вколачивались в голову до полного овладения предметом. Для этого
кроме профессоров имелись репетиторы, которые объясняли лекции
и производили проверку знаний. И, наконец, экзаменаторы имели
целью установить имеющиеся достижения путем чрезвычайно стро-
гого и подробного выпускного экзамена, которому должен был под-
вергнуться каждый кандидат в отдельности
Организации преподавания соответствовал продуманный учеб-
ный план, предъявлявший огромные требования. В первые десятиле-
тия .. математика стояла в этом плане на первом месте и состояла
из следующих частей:
Чистый анализ
Применение анализа к геомет-
рии
Механика
Начертательная геометрия
Черчение
108 двойных часов (по 1,
17 двойных часов
94 двойных часа
153 двойных часа
175 двойных часов
(таким образом, недельная лекционная нагрузка составляла 20 ч. +
постоянные репетиции. - С.М.)
Так как в это замечательное учреждение были привлечены в ка-
честве преподавателей лучшие математики Франции, то неудиви-
тельно, что Политехническая школа в очень короткий срок достигла
исключительных успехов. Немаловажную роль сыграло здесь и то
рвение, которое вызывало в учащейся молодежи непосредственное
личное общение с преподавателями, занимавшими видное положе-
ние и одушевленными творческим порывом... Влияние школы за ее
стенами сделалось еще более значительным с тех пор, как в законо-
дательном порядке была сделана обязательной публикация лекций.
Большая часть основных учебников по высшей математике в на-
чале XIX в. возникла из курсов, преподававшихся в Политехнической
школе ” [20, с. 80-81]
1.5 ЧЕТЫРЕ СТУПЕНИ В
ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ
Четырем периодам в развитии математики соответствуют четыре
ступени в преподавании математики. Периоду накопления первона-
чальных математических сведений соответствует преподавание ма-
19
тематики в начальных классах средней школы. Математика посто-
янных величин преподается в средних и старших классах средней
школы. Математика переменных величин начинает изучаться еще в
старших классах средней школы и заканчивается на первых курсах
вузов. Современная математика изучается в основном на средних и
старших курсах вузов.
Вопросы и задания
1. Назовите четыре периода в развитии математики.
Какие ступени в преподавании математики соответствуют
этим периодам?
2. Дайте краткую характеристику началу периода современной
математики.
Глава 2
ЧИСЛО
2.1 ПРОИСХОЖДЕНИЕ ПЕРВЫХ
НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Как взрослому человеку трудно видеть мир глазами ребенка, так и
людям, живущим в наше время и с детских лет постоянно имевшим
дело с натуральными числами, бывает трудно увидеть эти числа гла-
зами своих далеких предков. Для этого надо погрузиться в очень
далекие от нас времена, обстоятельно изучить историю происхо-
ждения первых натуральных чисел, проанализировать ее и сделать
выводы. Эта сложная и трудоемкая задача могла быть решена лишь
в наше время. Поэтому неудивительно, что даже самые выдающиеся
умы прошлых веков, обращаясь к вопросу о происхождении первых
натуральных чисел и действий с ними, не могли дать на него пра-
вильного ответа (см., например, [19, т. 1, с. 26-35]). В условиях от-
сутствия фактического материала по этому вопросу единственным,
но недостаточным средством была логика, т.е. опыт человеческого
мышления. Так, крупнейшему логику начала XIX в. — немецкому фи-
лософу Г.Гегелю — удалось на этом пути сделать важные догадки
[7, т. 5, с. 223-231].
Обратимся к истории. Основной вывод, к которому привели ис-
следования по вопросу о происхождении натуральных чисел, состоит
в следующем [15, т. 1, с. 9-13]. Натуральные числа возникли в ре-
зультате очень длительного и сложного исторического процесса, в
котором можно выделить следующие три основных этапа.
1. Установление случайного, нерегулярного взаимно од-
нозначного соответствия между двумя множествами
(например, между множествами обмениваемых предметов).
2. Появление различных эталонов счета (вначале естествен-
21
ных: “луна”- 1, “глаза”- 2, “рука”- 5 и т.п., затем искусствен-
ных — счетные палочки, камешки и т.п.).
3. Переход к единому, наиболее удобному эталону счёта,
который при этом становится основой системы счисле-
ния (“руки”— двоичная система счисления, “пальцы руки” —
пятичная система счисления, “пальцы обеих рук” —десятичная
система счисления, “пальцы рук и ног”—двадцатичная система
счисления, и некоторые другие, менее употребительные эта-
лоны счета и, соответственно, системы счисления).
Счет предметов с помощью эталонов сопровождался образо-
ванием числительных и возникновением числовых обозначений.
“... Сходство числительных у индоевропейских народов показывает,
что названия чисел у предков этих народов появились еще в те да-
лекие времена, когда они говорили на одном языке ”[15, т. 1, с. 10-
11]. “...Старейшей, известной в настоящее время записью числа,
является запись на лучевой кости молодого волка ”[15, т. 1, с. 12].
Позднее появляются записи палочками на глине (клинопись), записи
на папирусе, бересте и т.п.
Таким образом, в соответствии с историей, можно дать следую-
щее определение натурального числа: “Каждое натуральное число,
как “два”, “пять” и т.п., есть свойство, общее для всех совокупно-
стей, предметы которых можно сопоставить по одному, и различ-
ное у таких совокупностей, для которых такое сопоставление невоз-
можно” [25, т. 1, с. 20].
Замечания
1. История происхождения натуральных чисел, как она изложена
выше, имеет явную аналогию с историей происхождения де-
нег, как она изложена в первой главе первого тома “Капитала”
К.Маркса. При этом простой, или случайной форме стои-
мости соответствует установление случайного, нерегулярного
взаимно однозначного соответствия между предметами раз-
ного рода; полной, или развернутой форме стоимости соот-
ветствует выделение различных эталонов счета; наконец, де-
нежной форме стоимости соответствует переход к единому,
наиболее удобному эталону счета. Это не просто аналогия,
“идеологическая установка” или подражание Марксу, а всеоб-
щая форма образования такого рода понятий, известная еще
22
до Маркса и достаточно полно изложенная, например, в работе
[39]. Для произвольных, бесконечных множеств эта форма ре-
ализована Г Кантором в 70-е гг. XIX в. при создании им по-
нятия кардинального числа.
2. Происхождение натуральных чисел неотделимо от происхо-
ждения арифметических операций. Четыре арифметических
операции (сложение, вычитание, умножение, деление) явля-
ются развитыми формами элементарного арифметического
действия — нумерации (прямой и обратной) [7, т. 5,'с. 223-231].
Через практическую нумерацию (счет вперед и назад) вводят
натуральные числа в школе. Аксиоматическое же определение
нумерации (и. следовательно, аксиоматическое определение на-
туральных чисел), предложенное Пеано (1889 г.), вошло в учеб-
ники высшей арифметики и алгебры (см., например, [4, с. 20]).
2.2 ПРИНЦИПЫ ИЗОБРАЖЕНИЯ ЧИСЕЛ,
ИЛИ ПРИНЦИПЫ НУМЕРАЦИИ
Изображение чисел у разных народов и в разные времена осно-
вано на следующих общих принципах. Вводятся основные'знаки или
цифры, с помощью которых можно записать все достаточно боль-
шие числа. При этом запись чисел с помощью цифр основана на со-
четании следующих трех принципов: аддитивного, когда стоящие
рядом основные знаки тп изображают число, равное сумме чисел,
изображаемых отдельными знаками, т.е. т 4- п; субтрактивного,
когда стоящие рядом основные знаки тп изображают число, равное
разности п — т; мультипликативного, когда запись тп изобра-
жает число, равное произведению т п. Кроме того, в более поздних
нумерациях значение основного знака зависит от занимаемого этим
знаком места — происходит переход от непозиционной системы счи-
сления к позиционной системе счисления.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Египетская нумерация — чисто аддитивная, непо-
зиционная десятеричная нумерация с основными знаками для 1, 10,
100, ..., 10 000000. Число 3 124 запишется в этой нумерации в виде
23
iiiinn$> iii Здесь | изображает 1, А — 10, р —
100, а £ — 1 000, и каждый знак повторяется столько раз,
сколько в данном числе единиц соответствующего разряда. Запись
производится справа налево.
Пример 2. Вавилонская нумерация — аддитивно-мультипли-
кативная, позиционная, десятично-шестидесятеричная нумерация с
основными знаками у и < Первый знак служит для изо-
бражения чисел вида 60”, а второй — чисел вида 10 60”, где п
— любое целое (положительное или отрицательное) число. При за-
писи чисел используется аддитивный или мультипликативный прин-
цип. Так, число 12 записывается с помощью аддитивного принципа:
<ТГ = 10 + 1 + 1, а число 10000 записывается с помощью муль-
типликативного принципа: «Y> = 10 10 100.
Пример 3. Римская нумерация — аддитивно-субтрактивная,
непозиционная пятично-десятичная нумерация с основными знаками
“I” — 1,“V”—5, “X”—10,“L”— 50,“С”—100, “М”—1000 и т.д. Запись
чисел 3 = III = 14-14-1, 17 = XVII = Х-|-У4-14-1и т.п. основана на
аддитивном принципе, а запись чисел 4 = IV = V — I, 9 = IX = X — I,
40 = XL = L- X = 50-10h т.п. основана на субтрактивном прин-
ципе.
Пример 4. Арабская нумерация — чисто аддитивная позици-
онная десятичная нумерация с основными знаками 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9.
Упражнение 1. Дайте характеристику приведенной ниже, в п. 6.1,
славянской нумерации.
Упражнение 2. Остатки каких систем счисления обнаруживаем
мы в названиях числительных “один” и “два”’, “пять”, “семь”,
“сорок”, “девяносто”?
2.3 ВВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ
История свидетельствует, что в любой древней цивилизации первым
видом дробей были так называемые аликвотные дроби, означа-
вшие деление одной меры на п равных частей — действие, в простей-
шем случае доступное даже человеку, не знакомому с натуральными
числами. Такими дробями вполне обходились, например, писцы в
Древнем Египте.
24
Деление одного числа на другое производилось там с помощью
последовательных удвоений и раздвоений с привлечением, в случае
необходимости, аликвотных дробей. Например, деление 19 на 8 про-
изводилось только с помощью удвоений и раздвоений:
1 8
2 16
1/2 4
1/4 2
1/8 1
2 + 1/4 + 1/8 16+2 + 1 = 19
Деление 5 на 9 производилось с использованием таблиц разложения
дробей вида 2 : (2n +1) на сумму аликвотных: 5:9 = (4 + 1):9 = 4:
9 + 1/9 = 2 : 9 + 2 : 9+1/9 = (используя таблицы) 1/6 + 1/18+1/6 +
1/18 + 1/9 = (1/6 + 1/6) + (1/18 + 1/18) + 1/9 = 1/3 + 1/9 + 1/9 =
1/3 + 2 9 = (используя таблицы) 1/3 + 1/6 + 1/18 = 1/2 + 1/18,
так что для деления 5 хлебов на 9 человек достаточно разрезать
эти хлеба пополам, затем одну из половинок разрезать на 3 равные
части, а каждую из этих частей еще на 3 равные части.
Подобным образом решались все практические задачи, приво-
дящие к делению одного числа на другое. Так, задача 34 из папи-
руса Райнда гласит: “Куча, ее 1/2, ее 1/4 составляют 10” Требу-
ется определить величину “кучи” В нашей школьной математике
такая задача записывается линейным уравнением х + = 10
и решается делением числа 10 на сумму коэффициентов. Египет-
скому же вычислителю незачем складывать коэффициенты, так как
1 + 1/2 +1/4 уже представляет собой каноническую запись числа
(целая часть плюс сумма аликвотных дробей). Деление числа 10 на
1 + 1/2 +1/4 производилось следующим образом:
1 1 + 1/2+1/4
2 3 + 1/2
4 7
1/7 1/4
2/7=1/4+1/28 1/2
________1/2+1/14_____________________1_______________
5 + 1/2 + 1/7 + 1/14 7+1 + 1/2 + 1/4 + 1 + 1/4 = 10
Подробнее об этом см., например [6, с. 13-37].
С возникновением позиционной нумерации в Древнем Вави-
лоне непосредственно связано введение конечных шестидесятерич-
25
ных дробей. Шестидесятеричная система счисления возникла у ва-
вилонян, как некоторые полагают, из необходимости привести в со-
ответствие друг с другом весовые (в особенности денежные) меры
при развитии торговых отношений между сумеритским и аккадским
народами. К этому моменту у обоих народов использовались деся-
тичные непозиционные системы счисления. Наряду с этим пользо-
вались простейшими дробными частями весовых единиц, разделив
их на 2 или на 3 равные части. Из деления одной трети пополам
получалась шестая часть. В результате сравнения мер оказалось,
что 1/6 часть “мины” (весовой единицы одного народа) с хорошей
точностью равна 10 “шекелям” (весовым единицам другого народа).
Поэтому обмен производился из расчета 1 мина = 60 шекелям. Обе
эти единицы стали употребляться совместно, и денежные суммы вы-
ражались в минах и шекелях так же, как мы выражали их в рублях
и копейках. Постепенно при словесном и письменном выражении де-
нежных сумм наименования стали опускаться (подобно тому, как мы
говорили “два тридцать” и писали 2.30 вместо “2 рубля 30 копеек”).
Возникшая система счета нашла удобное применение в астро-
номии (так как число дней в году немного отличается от 360 =
60 6). При этом вводятся новые единицы вида 60” (п > 2 и, со-
ответственно, 60“”). Правда, привычные для нас теперь единицы
“градус”, “минута”, “секунда” и “терция” были введены позднее —
во II в. — греческим математиком Птолемеем. Следуя древним вави-
лонским астрономам, Птолемей делит окружность эклиптики на 360
градусов (“частей”), каждый градус он делит на 60 “первых шести-
десятых” , которые он еще называет словом Лех та (“мелочь”) и кото-
рому в латинском переводе соответствует слово “minuta” Каждую
“первую шестидесятую” он делит еще на 60 частей, которые он назы-
вает “вторыми шестидесятыми” (“вторая” переводится на латынь
словом “secunda”), а каждую “вторую шестидесятую” снова на 60
частей, которые он называет “третьими шестидесятыми” (“третья”
переводится на латынь словом “tertia”).
В созданной вавилонянами шести десятеричной позиционной си-
стеме счисления действия с дробями ничем не отличались от дей-
ствий с целыми числами. Сложение и вычитание производились по-
разрядно. Умножение также производилось поразрядно, при этом,
ввиду большого порядка системы счисления, широко использовались
различные таблицы умножения. Разделить а на b означало “взять а
раз величину обратную к 6”. Для этого использовались таблицы об-
26
ратных величин. В тех же случаях, когда величина b не имела обрат-
ного значения, т.е. 1/6 не представима в виде конечной суммы убы-
вающих шестидесятеричных дробей (а это будет, когда b имеет хотя
бы один простой делитель р / 2,3,5), в таблицах писали “обратного
нет”, а для практических вычислений обходились ближайшей в та-
блице обратной величиной. До алгоритма поразрядного деления сами
вавилоняне, по-видимому, не дошли, однако у греческих астрономов,
заимствовавших у вавилонян их систему счисления, этот алгоритм
уже использовался.
2.4 “ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ”
ПИФАГОРЕЙЦЕВ
К VI в. до н.э. в Древней Греции сложились благоприятные усло-
вия для возникновения теоретической арифметики. С одной сто-
роны, к этому времени существовала довольно развитая техника вы-
числений, ею хорошо владели греческие купцы, часто бывавшие и в
Египте, и в Вавилоне. С другой стороны, возникновение в Греции
VI в. до н.э. нового, демократического строя, когда умение сводить
явления к их основам, проводить рассуждения и убеждать стано-
вится необходимым для занятия высокого положения в обществе,
привело к быстрому развитию философии, логики и риторики. Чи-
сла начинают теперь рассматривать не с точки зрения приложений,
а как самостоятельные сущности в их отношении друг к другу и к
другим вещам.
Такой взгляд на число развился в школе Пифагора (VI в. до н.э.)
в целую философскую систему, основное положение которой гласит,
что число есть сущность всех вещей, и организация Вселенной в ее
определениях представляет собою гармоническую систему чисел и
их отношений. Число представлялось, таким образом, самой сущно-
стью и субстанцией вещей, а не одной только их формой. Числа 1, 2,
3, 4 составляли так называемую четверицу (их сумма 1+2+3+4 = 10
— единица следующего разряда), “вечно текущей природы имущей
корень неточный” (источником вечной природы четверица названа
потому, что весь космос, по мнению пифагорейцев, устроен согласно
гармонии, гармония же есть система трех консонансов — квинты,
кварты и октавы. Численные пропорции этих трех консонансов на-
ходятся в пределах указанных четырех чисел, а именно, консонанс
27
кварты является в виде отношения 4:3, квинты — 3:2 и октавы —
2:1 или 4:2).
Эта же четверка чисел служит, согласно пифагорейцам, основой
и источником точек, линий, поверхностей и тел. А именно, точка,
поскольку она определяется как не имеющая частей, имеет своей
основой единое, или единицу. Линия имеет своей основой число 2,
так как она получается движением от одного к другому. В основе
же понятия плоскости (и вообще поверхности) лежит число 3, так
как плоскость вполне определяется тремя точками общего положе-
ния. Если же взять 4 точки общего положения, то имеем пирамиду,
тело. Поэтому, согласно пифагорейцам, число 4 лежит в основе вся-
кого тела. Подробнее см. об этом, например, [31, т. 1, с. 78-81; т. 2,
с. 167-168; 7, т. 9, раздел “Пифагор и пифагорейцы”].
Недостатки учения пифагорейцев о числе отмечены еще Аристо-
телем, который указывал, что, исходя из чисел, нельзя объяснить
движения и нельзя понять из чисел другие определения тел, как, на-
пример, тяжесть и легкость.
Но, несмотря на эти недостатки, несмотря на явную мистику
в учении пифагорейцев о числе, рассмотрение ими чисел как по-
нятии оказалось очень важным для дальнейшего развития мате-
матики. Именно благодаря такому подходу пифагорейцы построили
так называмую теорию отношений, которая, с одной стороны, по-
служила теоретическим обоснованием действий с произвольными
дробями, а с другой стороны, привела к созданию элементов теории
чисел и к открытию “несоизмеримости”
Предметом теории отношении пифагорейцев являются нату-
ральные числа и отношения между ними. Говорили, что две пары
чисел (А, В) и (С, D) пропорциональны или имеют одинаковое отно-
шение, если у А и В найдется такой общий делитель F, а у С и D —
общий делитель G, что А = mF, С = mG, В = nF, D = nG. Пифа-
горейцы знали, что отношение пропорциональности транзитивно,
однако вряд ли это было ими доказано.
Все пары целых чисел разбивались на непересекающиеся классы
пар, имеющих одно и то же отношение. Из множества пар, имеющих
одинаковое отношение, выбирали наименьшую пару (соответствую-
щую нашей несократимой дроби). Относительно ее пифагорейцы до-
казывали, что 1) (Aq,Bq) тогда и только тогда является наименьшей
парой, когда числа Ао и Bq взаимно просты; 2) если А В = Ao Bq,
то существует натуральное число к такое, что А = fcAo, В — к Bq.
28
Над отношениями натуральных чисел первоначально произво-
дилась только одна операция — “составление отношений”: отно-
шение А С называется составленным из отношений А Ви
В С, (Л В) ® (В С) = А С. Название объясняется веро-
ятно тем, что при составлении музыкальных интервалов, т.е. при
переходе от интервалов, представляющих собой пары звуков с вы-
сотами А и В, В и С, к интервалу, представляющему пару звуков
с высотами А и С, происходит “составление” соответствующих от-
ношений.
Упражнение 3. Покажите, что классы пропорциональных (имею-
щих одно и то же отношение) пар целых положительных чисел с опе-
рацией “составления отношений” образуют коммутативную группу.
Позднее в качестве модели отношения двух натуральных чисел
брали уже не столько сам музыкальный интервал, сколько отно-
шение двух отрезков — высот звуков. Это позволило определить
все арифметические действия на множестве отношений натураль-
ных чисел. При этом сложение и вычитание выполнялось на основе
приведения дробей к общему знаменателю (используя определение
пропорциональности), а умножение и деление выполнялось на основе
операции “составление отношений” (используя также определение
пропорциональности), например: (5 : 4) (2 3) = (5 : 4) • (4 : 6) = (5
4) ® (4 6) = 5 : 6.
У пифагорейцев мы видим и элементы теории чисел. Они впер-
вые ввели в рассмотрение четные и нечетные, простые и составные
числа. Показали, что простых чисел бесконечно много и произведе-
ние двух натуральных чисел тип делится на простое число р в том
и только в том случае, когда m делится на р или п делится на р и
т.д.
2.5 ОТКРЫТИЕ НЕСОИЗМЕРИМОСТИ
Для ранних пифагорейцев было бесспорным, что всякие два отрезка
соизмеримы между собой, т.е. всегда найдется третий отрезок, ко-
торый измеряет оба эти отрезка (укладывается в каждом из этих
двух отрезков целое число раз). Эта уверенность поддерживалась в
дальнейшем, с одной стороны, всей практикой измерений, а с дру-
гой стороны, учением Демокрита, согласно которому все реальные
отрезки представляют собой прямые цепочки из конечного числа
29
атомов и, следовательно, всегда соизмеримы.
Для нахождения общей меры двух отрезков пифагорейцы разра-
ботали алгоритм “попеременного вычитания”, названный позднее
алгоритмом Евклида. Этот алгоритм состоял в следующем. Из
большего отрезка а последовательно отнимали меньший отрезок b
до тех пор, пока остаток гх не станет меньше Ь. Затем из b по-
следовательно отнимали отрезок Гх до тех пор, пока остаток Гг не
станет меньше Гх. И так далее до тех пор, пока на некотором п-м
шаге остаток гп не станет равным нулю, так что гп_2, = к’ гп_х«
Тогда отрезок гп_х измеряет отрезок гп-2, а, следовательно, изме-
ряет и отрезки гп_з, гп_4, го = 6, r~i = а. Поэтому гп_х будет
укладываться целое число раз в каждом из отрезков а и 6, т.е. будет
общей мерой этих отрезков.
Однако сами же пифагорейцы в рамках созданной ими арифме-
тики обнаружили явление, противоречащее их представлению о на-
личии общей меры у двух произвольных отрезков. А именно, они
обнаружили, что для произвольного отрезка b и диагонали а по-
строенного на этом отрезке квадрата существование общей меры
противоречит созданной ими теории делимости.
По-видимому, пифагорейцы впервые обнаружили это геометри-
чески, заметив, что а = ЬЧ-П, Ь =
2ri 4- 7*2, ri = 2г2 4- гз, Г2 = 2г3 4-
1*4 (см. рис. 1), и так далее, так
что процесс “попеременного вы-
читания” для нахождения общей
меры отрезков а и b в данном слу-
чае “зацикливается” На другое,
по-видимому, более позднее рас-
суждение, приводящее к противо-
речию с учением пифагорейцев о
четных и нечетных числах, указы-
вает Аристотель.
Это рассуждение состоит в сле-
дующем. Пусть отрезок b и диагональ а построенного на этом от-
резке квадрата соизмеримы, т.е. имеют общую меру. Тогда они
имеют и наибольшую общую меру,т.е. такой отрезок е, который
укладывается в а и в 6 целое число раз, а = те, b = пе, причем
числа тип взаимно просты и, следовательно, хотя бы одно из них
нечетно. Но, согласно теореме Пифагора, квадрат на диагонали ра-
30
вен двум квадратам на стороне, так что т1 2 3 = 2п2, откуда следует,
что т четно, т = 2fc, 4fc2 = 2п2, откуда 2k2 = п2 и, следовательно, n
также четно, т.е., как говорит Аристотель, “четное было бы равно
нечетному”
Открытие несоизмеримости, означающее лишь неприменимость
построенной пифагорейцами арифметики к непрерывным величи-
нам, для самих пифагорейцев было гораздо большим. Для них это
было кризисом основ мировоззрения. О влиянии этого открытия
на пифагорейцев и вообще на древних греков можно судить, напри-
мер, по следующим словам одного афинянина из “Диалогов” Платона:
“Друг мой Клиний, я и сам был поражен, что лишь так поздно узнал
то состояние, в котором мы находимся (в связи с открытием несо-
измеримости. — С.М.). Мне показалось, что это свойственно не
человеку, но каким-то свиньям. Я устыдился не только за себя, но и
за всех эллинов”
Сами пифагорейцы так и не смогли преодолеть возникший кри-
зис. Они лишь стали разделять все величины на дискретные (нату-
ральные числа и их отношения) и на непрерывные (длины, площади
и объемы). Для дискретных величин они использовали старую тео-
рию отношений, а для непрерывных построили новую теорию, из-
вестную под названием “геометрическая алгебра” Лишь в IV в. до
н.э. выдающемуся греческому математику Евдоксу удалось постро-
ить такое определение величины, которое одинаково подходило как
для дискретных, так и для непрерывных величин. На основе этого
нового определения величины Евдокс построил теорию отношений,
которая удовлетворяла потребности математики вплоть до середины
XIX в.
2.6 ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ ЕВДОКСА
Новое понятие величины вводится Евдоксом аксиоматически, с по-
мощью следующих шести аксиом:
1. ”Равные одному и тому же равны и между собой" (если а = с
и Ь = с, то а = 6).
2. “И если к равным прибавляются равные, то и целые будут ра-
вны” (если а = 6, то а 4- с = b 4- с).
3. “И если от равных отнимаются равные, то и остатки будут
31
равны” (если а = 6, то а — с = Ь — с при с < а, 6).
4. “И совмещающиеся друг с другом равны между собой” (кон-
груэнтные величины равны между собой).
5. “И целое больше части” (если одна площадь содержит другую,
то она больше ее, и т.п.).
6. “Всякие две величины имеют отношение между,собой, т.е. взя-
тые кратно могут превзойти друг друга” (если даны две вели-
чины а и 6, то должны существовать такие целые числа тип,
что та > Ъ и пЬ > а).
Последняя аксиома носит название аксиомы Евдокса-Архимеда и
исключает из класса величин так называемые актуально бесконечно
малые, примером которых служили “роговидные” углы, т.е. углы,
образованные дугой окружности и касательной к ней в одном из
концов.
Упражнение 4. Определите равенство, сумму, разность и отно-
шение порядка на множестве всех (обычных и “роговидных”) углов.
Проверьте выполнение аксиом 1-6.
Можно сказать, что аксиома Евдокса-Архимеда разбивает все
величины одного и того же рода на классы эквивалентности. Вели-
чины а и b “имеющие отношение между собой”, принадлежат одному
и тому же классу. Если же а и Ь принадлежат разным классам, то
по отношению друг к другу одна из них будет бесконечно малой, а
другая — бесконечно большой.
Для определения того, что две пары величин а, b и с, d имеют
одно и то же отношение, Евдокс пользуется сопоставлением крат-
ных этих величин. “Говорят, что величины находятся в одном и том
же отношении первая ко второй и третья к четвертой, если равно-
кратные первой и третьей одновременно больше или одновременно
равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой
каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в
соответствующем порядке”
Итак, величины а, Ь имеют то же отношение, что и величины с, d,
если для любых натуральных чисел тип либо та > пЬ и тс > nd,
либо та = пЬ и тс = nd, либо та < пЬ и тс < nd.
Упражнение 5. Покажите, что если две пары отрезков имеют
одинаковое отношение в смысле определения пифагорейцев, то они
имеют одинаковое отношение и в смысле определения Евдокса.
32
Отметим, что для непрерывных величин отношения двух площа-
дей и отношения двух объемов обычно сводились к отношению двух
отрезков. Равенство же отношений пар отрезков определялось еще
и по-другому, а именно, для отрезков а : b = с : d равносильно тому,
что прямоугольники, построенные на а и d и на b и с, равновелики,
или тому, что если на одной стороне угла последовательно отложены
отрезки а и с, а на другой стороне угла — отрезки b и d, то прямые,
соединяющие концы отрезков с и d, параллельны.
Упражнение 6. Покажите, что каждое из этих двух определений
равенства отношений отрезков действительно равносильно опреде-
лению равенства по Евдоксу.
Две пары величин, имеющих одно и то же отношение, называ-
ются пропорциональными. Показано, что если отношения а Ь и
с d пропорциональны одному и тому же отношению е /, то они
пропорциональны и между собой. Следовательно, пропорциональ-
ность отношений обладает свойством транзитивности. Из определе-
ний пропорциональности вытекает и ее симметричность. Поэтому
пропорциональность есть отношение эквивалентности.
Далее все отношения Евдокс упорядочивает по величине: отно-
шение а b больше, чем отношение с d, если существуют наг
туральные числа тип такие, что та > nb, но тс < nd. От-
метим, что введенное Евдоксом отношение порядка, помимо всего
прочего, определяет для каждого отношения а b некоторое сече-
ние во множестве упорядоченных пар (т, п) натуральных чисел, а
именно: {(m,n) таких, что mb < na}/{(m,n) таких, что mb > па],
что указывает нам на прямую связь теории отношений Евдокса с
определением вещественного числа по Дедекинду.
Отметим еще, что с алгебраической точки зрения множество
однородных величин, удовлетворяющих аксиомам 1-6, можно рас-
сматривать как упорядоченную полугруппу без аномальных пар (ев-
клидову систему), а поле вещественных чисел — как поле отношений
элементов этой полугруппы (см. замечание 2 к параграфу 2.9).
2.7 ВВЕДЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ
Отрицательные числа впервые появляются в Древнем Китае в связи
с необходимостью выполнить до конца алгоритм метода “ФАН-
33
ЧЭН”, известного теперь как метод Гаусса решения системы линей-
ных уравнений путем приведения матрицы коэффициентов к треу-
гольному виду. Причем вначале отрицательные числа появляются
лишь как промежуточные результаты вычислений по этому методу,
когда в ходе выполнения алгоритма приходится вычитать из мень-
шего числа большее или из “ничего” какое-либо число. Отрицатель-
ные числа выделяли на счетной доске палочками другого цвета или
другой формы, а при письме записывали другими чернилами или от-
мечали косой чертой. Для них имелось и особое название —“ФУ”, в
то время как положительные числа назывались “ЧЖЕН” Для чисел
“ФУ” были определены следующие правила операций:
(Та)т(±6) = Т(а±&),
(±а) т (тб) = ±(а ± Ь),
О Т (+0 = Tb,
От(-Ь) = ±Ь.
Вычитание формулировалось прежде всего, что еще раз ука-
зывает на происхождение отрицательных чисел из этой операции.
Кроме сложения и вычитания употреблялись иногда также умно-
жение и деление с отрицательными числами, хотя правила таких
действий явно не сформулированы.
Постепенно китайские ученые пришли к истолкованию чисел
“ФУ” как долга, недостачи и т.п. Позднее общепринятой становится
геометрическая интерпретация отрицательных чисел как точек на
отрицательной полуоси вещественной прямой.
2.8 ВВЕДЕНИЕ МНИМЫХ ЧИСЕЛ
Непосредственным источником введения мнимых чисел послужил
так называемый “неприводимый” случай кубического уравнения
х3 = ах 4- 6, (а, b > 0), когда его дискриминант D = (|)2 — (|)3 <
0. Положительное решение этого уравнения (Н.Тарталья, 1535 г.)
имеет вид:
з / b / / 6 \ 2 /а\ 3 з lb // 2 /а \ 3
Х= у2 + У\2/ ~\з) +У2-У\2/ ~~ (з)
и будет вещественным числом даже в случае, когда (|)2 — (|)3 < 0.
Например, положительным решением кубического уравнения х3 =
34
15r + 4 будет, согласно Тарталье,
х= ^2 + /Л5Т+ ^2-7-121
С другой стороны, нетрудно заметить, что это уравнение имеет
положительное решение х = 4, так что
y/i + 7-Ш + ^2 - \Znir = 4
Причем, решая в радикалах кубическое уравнение в “неприводимо?,
случае, невозможно избежать отрицательных чисел под знаком кг
дратного корня [4, с. 220-221].
Исследуя этот “неприводимый” случай, итальянский математик
Р. Бомбелли около 1560 г. впервые вводит в рассмотрение мнимые
числа. Поскольку квадратный корень из отрицательного чис;.а не
может быть ни положительным, ни отрицательным числом, то Бом-
белли называет разность (|) — (|)3 по извлечении квадратного
корня “плюсом минуса”, если она прибавляется, и “минусом минуса”,
если она вычитается. Бомбелли указывает правила действий с мни-
мыми числами и приводит примеры вроде (+8\/=4) + (~5\/—1) =
(+зТ=Т), (</з + 7-ю) (7з-7-ю) = 719 и другие, более
сложные. Затем, предположив, что кубические корни из комплексных
чисел сами являются комплексными числами, Бомбелли показывает
сопряженность кубических корней из сопряженных комплексных чи-
сел, объясняя тем самым, почему в “неприводимом” случае кубиче-
ского уравнения решение Тартальи является положительным веще-
ственным числом.
В дальнейшем, несмотря на многочисленные важные применения
комплексных чисел, почти все математики XVII-XVIII вв. рассма-
тривали их лишь как полезные фикции, лишенные самостоятельного
смысла, и, если это оказывалось возможным, охотно отказывались
от их употребления.
В 1685 г. Дж. Валлис предпринял первую попытку геометриче-
ского истолкования комплексных чисел. Даламбер и Эйлер также не-
однократно переходили от чисел а 4- Ьу/^Т к точкам с координатами
Ми обратно, но и они считали мнимые числа лишь удобными зна-
ками. Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и,
что особенно важно, действий с ними было предложено в работах
35
К. Весселя (1799 г.) и Ж.Г. Аргана (1806 г.). Если работа К. Бес-
селя, написанная на датском языке, не получила достаточной изве-
стности вплоть до конца XIX в., то работа Ж.Р. Аргана была за-
мечена через семь лет после опубликования и вызвала оживленную
дискуссию.
Однако решающим для широкого признания комплексных чисел
явилось опубликование в 1828-1832 гг. “Теории биквадратичных вы-
четов” К. Гаусса. Пытаясь обобщить квадратичный закон взаимно-
сти, Гаусс пришел к выводу о возможности и необходимости рас-
ширения понятия целого числа, которое более 2000 лет казалось не-
отъемлемым внутренним свойством области Z целых рациональных
чисел. Гаусс распространил понятие целости с кольца Z на кольцо
чисел вида а 4- bi, где а, Ь 6 Z, a i — корень неприводимого над
полем рациональных чисел уравнения х2 4- 1 = 0. Он показал, что
числа такого вида образуют область, замкнутую относительно сло-
жения, вычитания и умножения и что в этой новой области можно
построить арифметику, аналогичную обычной. Гаусс определил для
этих новых чисел единицы — их будет четыре: 1,-1, 4-i, — i — и
назвал числа, получающиеся друг из друга умножением на единицу,
ассоциированными. Он заметил, что разложение на множители сле-
дует рассматривать с точностью до ассоциированных чисел. Ка-
ждому числу а вида а 4- bi он сопоставил целое число, его норму
No = (а 4- bi) • (а — bi) = а2 4- Ь2. Из определения нормы следует, что
N(a /?) = Na N/?. Число вида а 4- 6», которое нельзя разложить в
произведение двух сомножителей такого же вида, отличных от еди-
ниц, Гаусс называет простым комплексным числом. Из определения
следует, что каждое составное целое рациональное число будет со-
ставным и в области чисел вида а 4* bi. Но простые числа из Z в об-
ласти С целых чисел вида a + bi могут стать составными, например,
2 = (14-г) (1 —:), 5 = (14-2i)-(l-2i) = (24-i)’(2~0- Чтобы найти все
простые числа из С, Гаусс доказывает теорему: каждое целое число
из С будет простым тогда и только тогда, когда его норма является
простым числом в Z. Из этой теоремы следует, что простыми в С
будут числа 1 ± i (делители числа 2), все целые рациональные числа
вида 4п4-3 (простые в Z) и все целые комплексные числа, норма кото-
рых равна простому числу вида 4п 4-1. Затем Гаусс показывает, что
всякое целое комплексное число однозначно (с точностью до единиц)
раскладывается на простые множители. После этого Гаусс дает из-
вестную геометрическую интерпретацию комплексных чисел и дей-
36
ствий с ними. Он рассматривает далее вычеты по комплексному мо-
дулю, вводит понятие наименьшего вычета и системы наименьших
вычетов по данному модулю. Наконец, для нахождения наибольшего
общего делителя двух целых комплексных чисел он вводит алгоритм,
обобщающий алгоритм Евклида. После этого Гаусс для чисел из С
развивает арифметику, аналогичную обычной (доказывает малую
теорему Ферма, вводит индексы и первообразные корни и т.д.). Раз-
витую теорию он применяет для общей формулировки и частичного
доказательства биквадратичного закона взаимности.
Таким образом, Гаусс действительно показал всему математиче-
скому миру, что целые комплексные числа являются не менее закон-
ным объектом арифметики, чем целые рациональные числа и что
с их помощью можно не только получить новые, более простые и
естественные доказательства известных теорем для обычных це-
лых чисел (таких, как квадратичный закон взаимности), но и по-
лучать новые результаты. Все это, наряду с известным удобством
использования комплексных чисел в математическом анализе (см.,
например, [24, т. 2, гл. И]) и привело к широкому использованию
комплексных чисел в математике XIX в.
2.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО
ЧИСЛА
Как уже отмечалось выше, теория отношений Евдокса вполне удо-
влетворяла потребности математики вплоть до середины XIX в. Тем
более, что с IV в. до н.э. она была существенно дополнена. А именно,
в XVI в. все возраставший объем вычислений (особенно астроно-
мических) потребовал усовершенствования самой основы расчетов.
Аппарат шестидесятеричных дробей вытесняется более удобным
аппаратом десятичных дробей, пришедших в Европу из Китая и си-
стематически изложенных в работе С. Стевина “Десятая” (1585 г.).
Благодаря широкому распространению десятичных дробей посте-
пенно устанавливается единая точка зрения на целые, рациональные
и иррациональные числа: все они получают представление в виде де-
сятичной дроби.
Установлению единой точки зрения на понятие числа способство-
вала также геометрическая интерпретация чисел как точек на чи-
словой прямой. При этом арифметические действия изображаются
37
движениями числовой прямой в себя: сложение и вычитание — сдви-
гом вправо и влево, а умножение и деление — растяжением и сжа-
тием (с симметрией относительно нуля при умножении или делении
на отрицательное число).
И в рамках самой теории отношений также устанавливается
единая точка зрения на понятие числа. “Под числом, — говорит
И. Ньютон, — я понимаю не столько множество единиц, сколько
отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине
того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает трех видов:
целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеря-
ется единицей, дробное — кратной долей единицы, иррациональное
число несоизмеримо с единицей’7 [30, с. 100-101].
Однако всего этого оказывается недостаточно к середине XIX ви
когда становится ясной необходимость строго логического построе-
ния математического анализа на основе сложившегося в работах Да-
ламбера, Коши, Вейерштрасса и других математиков понятия пре-
дела.
Действительно, хотя геометрическая интерпретация веществен-
ных чисел как точек на числовой прямой делает наглядным су-
ществование предела у монотонной ограниченной последователь-
ности, или существование точных граней у ограниченного число-
вого множества, или существование у непрерывной на отрезке фун-
кции максимума, минимума и всех промежуточных значений, но
для докаоательства этих утверждений свойств, сформулирован-
ных Евдоксом (см. аксиомы 1-6 п. 2.6) и свойств вещественных
чисел как множества, образующего упорядоченное поле, недоста-
точно. Поэтому оказалось необходимым так построить определение
вещественного числа, чтобы множество вещественных чисел помимо
прежних свойств обладало бы еще дополнительным свойством, ха-
рактерным для числовой прямой и позволяющим дать указанным
выше утверждениям строгое доказательство. Такое построение ве-
щественных чисел было предложено во второй половине XIX в. Р. Де-
декиндом (1858 г.), К. Вейерштрассом (не позднее середины 1860-
х гг.), Ш. Мере (1869 г.), Г. Кантором (1872 г.) и некоторыми дру-
гими математиками.
Р. Дедекинд исходил при построении вещественных чисел из того
свойства числовой прямой — этой модели множества веществен-
ных чисел, — которое и обеспечивает наглядность указанных выше
утверждений. Это свойство Дедекинд усматривает в том, что каждая
38
точка числовой прямой производит разложение прямой на две части
таким образом, что каждая точка одной части расположена влево
от каждой точки другой части и, наоборот, если все точки прямой
распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого
класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует
одна и только одна точка, которая производит это разделение пря-
мой на два класса. И Дедекинд проводит построение вещественных
чисел таким образом, чтобы удовлетворить этому последнему тре-
бованию. Вещественным числом он называет сечение во множестве
рациональных чисел, т.е. такое разбиение его на две непустых части
А и В, что для любых рациональных чисел р € A, q 6 В выполняется
неравенство р < q.
На множестве сечений Дедекинд вводит отношения равенства и
порядка, все арифметические операции, показывает выполнение всех
свойств упорядоченного поля и аксиомы Ев докса-Архимеда. Наконец
он показывает, что построенное таким образом множество веще-
ственных чисел обладает вышеуказанным свойством числовой пря-
мой, а именно: если все элементы этого множества разбиты на два
непустых класса А и В так, что для любых х 6 А, у 6 В выполня-
ется неравенство х < у, то существует один и только один элемент,
производящий это разбиение (этим элементом будет сечение А'/В',
где А' — множество рациональных чисел из A, a Bz — множество
рациональных чисел из В).
К. Вейерштрасс при разработке своего курса “Общая теория
аналитических функций” строит вещественные числа иначе. Трак-
туя положительное рациональное число ~ как совокупность т “эле-
ментов” еп = £, % = {еп, еп, ,еп} (совокупность “элементов”
Вейерштрасс называет агрегатом), он стремится распространить
эту трактовку на произвольные вещественные числа. Так, положи-
тельное вещественное число Вейерштрасс определяет как произволь-
ную (конечную или бесконечную) совокупность элементов, ограни-
ченную относительно сложения (последнее означает, что сумма про-
извольного конечного числа произвольных элементов из Зтой сово-
купности всегда не превосходит некоторого рационального числа).
Ш. Мере и Г. Кантор при построении вещественных чисел опи-
рались на понятие фундаментальной последовательности. А именно,
вещественное число они определяли как класс эквивалентных фунда-
ментальных последовательностей рациональных чисел (две фунда-
ментальные последовательности рп и qn рациональных чисел экви-
39
валентны, если Ve > О 3n0 Vn > n0 |рп — gn| <
Более подробно о различных определениях вещественного числа
в XIX в. см., например, [33, кн. 2, с. 193—195; 14, вып. 18, с. 176—180;
19, т. 1, с. 186—187]. Отметим лишь, что все указанные выше опре-
деления вещественного числа изоморфны между собой и изоморфны
школьному определению вещественного числа как конечной или бес-
конечной десятичной дроби, если под последней понимать последо-
вательность цифр со знаком и запятой. Например, число \/2 можно
определить и как сечение A/В, где
А = {р Е Q таких, что р < 0 или р > 0, р2 < 2} ,
В = {q Е Q таких, что q > 0, q2 > 2} ,
и как агрегат {1/1, 1/10, 1/10, 1/10, 1/10, 1/100, }, и как фунда-
ментальную последовательность рациональных чисел 1, 1.4, 1.41,
и как последовательность цифр со знаком и запятой +, 1, ., 4, 1,....
Замечания
1. Исторически первым определением вещественного числа можно
считать “антифайрезис” у пифагорейцев, т.е. представление
отношения произвольных отрезков в виде последовательности
подходящих дробей. Например, отношение диагонали квадрата
к его стороне представляется последовательностью
1,1+1» 1 +
ЛА
г
2+Г
и т.д. Развернутое же построение вещественных чисел как по-
следовательностей подходящих дробей имеется у О. Хайяма
(XI В.).
2. Элементы другого способа построения вещественных чисел, а
именно построения их как поля отношений упорядоченной по-
лугруппы без аномальных пар, имеются уже у Дешаля (1672 г.).
С формальной точки зрения идея этого построения заключа-
ется в следующем. Пусть G — линейно упорядоченное мно-
жество и для любых элементов а, из G однозначно опреде-
лена их сумма а 4- /? Е G, причем (а 4- /?) 4- 7 = а 4- (/? 4- ?)»
40
т.е. операция сложения ассоциативна, а из а < /? следует, что
а 4- < Р+<ри<р+а< <р + Р для любого 6 G (т.е. вы-
полняется двусторонняя монотонность). Пусть, кроме того, не
существует ни одной пары элементов а, /? из G таких, что для
любого натурального п выполняется па < п/3 < (п + 1)а (из
этой аксиомы — аксиомы об отсутствии аномальных пар —
следует аксиома Ев докса-Архимед а и коммутативность сложе-
ния). Тогда любой упорядоченной паре (а, /3) элементов из G
можно поставить в соответствие “функцию отношения”
как такое отображение множества натуральных чисел в себя,
что выполняется неравенство <р(п) а < п Р < [^>(n) +1] • а
(т.е. дробь “приближает снизу отношение Р к а с точ-
ностью до £”). Две упорядоченные пары (а, /?) и (у, 6) эк-
вивалентны или “пропорциональны”, если их функции отно-
шения <р(п) и ip(n) совпадают. Для классов пропорциональных
пар из G вводится отношение порядка: (а, Р) < (у, 6), если
^>(п) < ^(п)); операция сложения: (а, Р) + (у, 6) принадлежит
тому классу пар, для которого функцией отношения является
^>(п) ф ^>(n) = max (квадратные скобки означают
целую часть стоящего в них выражения); операция умноже-
ния: (а, Р) • (у, 6) принадлежит тому классу пар, для которого
функцией отношения является (р(п) • = max •
Подробнее об этом см. [1].
Вопросы и задания
1. Укажите основные этапы возникновения первых натуральных
чисел. Дайте определения натурального числа и кардинального
числа.
2. Укажите основные этапы возникновения дробей. Дайте опре-
деление рационального числа.
3. Что означает несоизмеримость? Почему открытие несоизме-
римости привело к кризису философии и математики пифаго-
рейцев? Назовите пути выхода из этого кризиса.
4. Назовите непосредственные источники введения отрицатель-
41
вых и мнимых чисел. Укажите модели отрицательных и ком-
плексных чисел.
5. Что такое целое комплексное число?
6. Укажите модель множества вещественных чисел.
7. Дайте определение вещественного числа по Ньютону.
8. Для чего во второй половине XIX в. понадобилось дать новое
определение вещественного числа?
9. Назовите известные вам определения вещественного числа.
Глава 3
АЛГЕБРА
3.1 СОЗДАНИЕ АЛГЕБРЫ
КАК СИМВОЛИЧЕСКОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
3.1.1 Зачатки алгебры в математике
Древнего Вавилона
В клинописных текстах Древнего Вавилона обнаружено большое чи-
сло задач, содержащих уравнений и системы уравнений 1-й и 2-
й степени, записанные без символов, но особой терминологией. В
случае двух неизвестных одно называлось “длиной” (ж), другое —
“шириной” (у), их произведение (ху) — “полем”, “площадью” или
“длиной-шириной” Говорилось также о “сторонах моих квадратов”
(ж2 и у2). При этом в примерах “длина” всегда больше “ширины”
(ж > у). В задачах, приводящихся к кубическому уравнению, встре-
чалась третья неизвестная — “глубина” (г), а произведение трех не-
известных именовалось “объемом” (xyz). Такая терминология сви-
детельствует о происхождении ряда задач из геометрии, хотя сами
задачи носили алгебраический характер. Это проявляется в том,
что с неизвестными величинами, имеющими различные измерения,
обращались как с однородными, составляя выражения, равносиль-
ные нашим ху + х и xyz + xy, а также в том, что “длина”, “ширина”,
“площадь” и т.д. обозначались словами шумерского языка, который
к тому времени уже вышел из употребления.
3.1.2 Алгебра Диофанта
У александрийского математика Диофанта (III в.н.э.) впервые появ-
ляется буквенная символика. Во введении к своему главному произве-
дению — “Арифметике” — Диофант вводит новые обозначения: не-
известную называет “числом” и обозначает символом с, квадрат не-
43
известной — символом Ди (первые две буквы слова “сила, степень”,
которым древние греки называли квадрат), куб неизвестной — сим-
волом Ки (первые две буквы слова “куб”), четвертую степень — ДДи
(“квадрато-квадрат”), пятую — ДКи (“квадрато-куб”), шестую —
ККи (“кубо-куб”).
Образуя дроби с числителем 1 и знаменателем неизвестной ве-
личиной и ее степенями, Диофант получает шесть первых отрица-
тельных степеней. Символом отрицательной степени служит знак %,
поставленный после записи знаменателя, например, обратная вели-
чина квадрата неизвестной обозначается у Диофанта Диу.
Свободный член обозначался у Диофанта символом М° — пер-
выми двумя буквами слова “единица”
Диофант вводит также символ Д , как некоторые полагают, для
обозначения отрицательного числа и знак равенства ь — первая бу-
ква слова “равный”
Уравнение х3 + 8х — (5х2 + 1) = х в записи Диофанта выглядит
так: ДДиёМ°ака.
Одновременно с введением символики Диофант явно формули-
рует основные правила алгебраических операций: правило переноса
вычитаемого члена с одной стороны уравнения в другую и правило
сокращения равных слагаемых в обеих частях уравнения. Эти пра-
вила получают в дальнейшем у математиков стран арабского ха-
лифата названия соответственно “ал-джебр” и “ал-мукабала”, от-
куда и происходит название “алгебра”
Диофант подробно излагает также правила умножения степеней
неизвестной величины. В наших обозначениях они выглядят так:
хт . хп _ xrn+n хт _j_ _ хт-п _J_ _J_ _
’ Х^ ’ Хт Хп ’
где т, п, т + п < 6.
3.1.3 “Введение в аналитическое искусство” Ф. Виета
Работу Диофанта по созданию алгебраической символики продол-
жили европейские математики эпохи Возрождения: Лука Пачоли,
Никола Шюке, немецкие коссисты (подробнее об этом см. напри-
мер, [15, т. 1, с. 60-61, 286-290]). Но решающий шаг — введение
буквенных коэффициентов — был сделан французским матема-
тиком Ф. Виетом в работе “Введение в аналитическое искусство”
(1591 г.). Суть сделанного Виетом состоит в следующем.
44
Необходимы, писал он, наглядные и всегда одинаковые символы,
позволяющие отличать данные величины от неизвестных, например,
так, что “искомые величины будут обозначены буквой А или другой
гласной Е, /, О, U,Y а данные — буквами В, Z?, G или другими
согласными”
Таким образом, у Виета алгебра впервые приобретает характер
чисто символического исчисления, что позволяет построить общую
теорию алгебраических уравнений.
Однако в алгебре Виета имелся еще существенный недостаток:
рассматривались только однородные уравнения, т.е. такие, все члены
которых имели одинаковую размерность. Кроме того, сама запись
уравнений у Виета была неудобной. Так уравнение, которое мы за-
писали бы в виде А2 4- 2ВА = Z или в виде х2 4- 2ах = 6, Виет
записывал следующим образом: A quad + В 2in A aequetur Z piano.
Оба эти недостатка отсутствуют уже у Декарта и Ньютона. Именно
от них и идет ставшая для нас привычной алгебраическая символика.
3.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
ПИФАГОРЕЙЦЕВ
3.2.1 Предмет геометрической алгебры
После открытия несоизмеримости пифагорейцы пошли путем раз-
деления величин на дискретные (натуральные числа и их отноше-
ния) и непрерывные (длины, площади и объемы). Для непрерывных
величин они построили особую теорию, известную под названием
геометрической алгебры.
Объектами геометрической алгебры были отрезки и прямоуголь-
ники, а также параллелепипеды. Сложение отрезков производилось
путем приставления одного отрезка к другому, вычитание — путем
отнимания из большего отрезка части равной меньшему отрезку.
Произведением двух отрезков назывался построенный на них пря-
моугольник, а произведением трех отрезков или произведением пря-
моугольника на отрезок назывался построенный на них параллеле-
пипед. Таким образом, исчисление, определенное в геометрической
алгебре, было ступенчатым: складывались и вычитались лишь вели-
чины одной и той же размерности.
Теоремы геометрической алгебры доказывались построением с
помощью циркуля и линейки. Например:
45
Теорема 1 Если а = ai 4- 02, то ab = aib 4-
Доказательство:
01Ь 02b
ai 02
Теорема 2 (а 4- Ь)2 = а2 4- Ь2 4- 2а6
Доказательство:
ab b2
а2 ab
а Ь
Теорема 3 а2 4- Ь2 = с2
Доказательство:
/а4-6\2 /а —6\2
Теорема 4 ab = I —-— I — I —-— I
46
Доказательство:
Задачи в геометрической алгебре также решались построением
с помощью циркуля и линейки.
Вот наиболее характерные задачи:
1.
Приложить к данному отрезку а прямоугольник данной
пло-
щади S = Ьс:
ах = Ьс.
2. Преобразовать данный прямоугольник в квадрат:
b ab
х2 х2 = ab.
а
3. Приложить к данному отрезку а прямоугольник данной пло-
щади S = pq так, чтобы “недостаток” был квадратом:
За.
S = pq
х(а — х) = pq.
Приложить к данному отрезку а прямоугольник данной пло-
щади S = pq так, чтобы “избыток” был квадратом:
S = pq
х(а + г) = pq.
а
47
Задача 1 решалась следующим построением:
V I
V = 1, 2' = 2, следова-
тельно, 3' = 3, т.е. ах = Ьс.
Задачи 2, 3, За решались путем преобразования произведений
аЬ, х(а — х) и х(а 4- х) в разность квадратов, для чего применялась
теорема 4. Так, для второй задачи, по теореме 4, имеем:
и х строится как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза
которого равна а другой катет равен
Упражнение 7. Методами геометрической алгебры решите за-
дачу о “золотом сечении”: разделить данный отрезок на две части
так, чтобы отношение всего отрезка к большей части было равно
отношению большей части к меньшей.
3.2.2 Первые неразрешимые задачи
Мы видели, что в геометрической алгебре задачи, эквивалентные
квадратным уравнениям, решались с помощью циркуля и линейки.
Нетрудно показать, что и, наоборот, все задачи на построение с
помощью циркуля и линейки алгебраически эквивалентны решению
такой конечной цепочки линейных и квадратных уравнений, что ко-
эффициенты каждого следующего уравнения цепочки рационально
выражаются через корни и коэффициенты предыдущих уравнений.
Действительно, все построения с помощью циркуля и линейки со-
стоят из следующих элементов: проведение прямой через две дан-
ные точки, нахождение точки пересечения двух прямых, прямой и
окружности или двух окружностей, так что всегда есть алгебраиче-
ское уравнение не выше второй степени. Можно сказать и так: ме-
тодами геометрической алгебры, т.е. с помощью циркуля и линейки
можно построить те и только те отрезки, длины которых выража-
48
ются через длины данных отрезков с помощью сложения, вычитания,
умножения, деления и извлечения квадратного корня.
Однако уже в V в. до н.э. появились три задачи, которые не уда-
валось (да и не могло удасться) решить методами геометрической
алгебры. Это задачи удвоения куба, трисекции угла и квадра-
туры круга.
Задача удвоения куба — построения куба вдвое больше данного
— выражается уравнением х3 = 2а3, задача трисекции угла — де-
ления данного угла на три равные части — выражается уравнением
Зж — 4ж3 = а, где а — синус данного угла, а х - синус искомого угла.
Задача о квадратуре круга состоит в построении квадрата, ра-
вновеликого данному кругу. Эта задача сводится к построению от-
резка, в у/тг раз большего, чем радиус круга г (х2 = ят2, откуда
х = ^/5Fr).
Задача удвоения куба неразрешима в геометрической алгебре по-
тому, что ее уравнение нельзя свести к цепочке линейных и квадрат-
ных уравнений. По той же причине неразрешима в геометрической
алгебре и задача трисекции угла (кроме некоторых исключитель-
ных случаев). Задача о квадратуре круга неразрешима по причине
трансцендентности числа у/к, оно не является корнем никакого мно-
гочлена с целыми или рациональными коэффициентами.
Убедившись в тщетности своих попыток решить указанные за-
дачи с помощью циркуля и линейки, древние греки нашли тем не
менее способы построения нужных отрезков с помощью введения
в математику новых, не конструируемых с помощью только цир-
куля и линейки кривых. Так, Гиппократ Хиосский (V в. до н.э.)
и Менехм (IV в. до н.э.) показали, что решение задачи удвое-
ния куба равносильно нахождению таких двух величин х и у, что
а х — х у = у 2а. Из этой пропорции получаются три кривые:
парабола ау = ж2,
гипербола ху = 2а2,
парабола у2 = 2аж,
точка пересечения которых и дает решение задачи.
Мы видим, таким образом, что попытки решить зздзчу удвоения
куба стимулировали развитие новой ветви математйки — теории
конических сечении. Эта новая теория подробно развита Апол-
лонием (III в. до н.э.) в его знаменитых “Конических сечениях”
49
Для решения задач квадратуры круга и трисекции угла греки
привлекли в математику новую механическую кривую, названную
позднее “квадратрисой”. Квадратрису греки определяли как кривую,
которую описывает точка пересечения верхней и боковой стороны
квадрата, когда верхняя сторона равномерно опускается до нижней,
а левая сторона равномерно вращается до нижней, причем так, что
обе достигают нижней стороны одновременно (рис. 2). Решение
задачи о делении угла на три равные части показано на рис. 3.
Термин “квадратриса” объясняется тем, что с помощью этой
кривой решалась и задача о квадратуре круга. А именно, Динострат
(IV в. до н.э.) доказал, что отрезок Ь, который отсекает квадратриса
на нижней стороне квадрата (см. рис. 2), равен 2а, где а — сторона
квадрата. Так что отрезок у = я может быть построен как решение
уравнения b • у = 2а • 1, а отрезок х = у/ж — как решение уравнения
х2 = у • 1.
Отметим, что b = lim г(а?) = lim ~ • -X?, так что доказатель-
+0 V / ¥>—+0 » «Пу,’
ство Динострата можно рассматривать как исторически первый вы-
вод замечательного предела lim^ = 1. Оно опиралось явно на
неравенство sin < tg при 0 < и неявно на то, что при
изменении угла от j до 0 длина г(у>) радиус-вектора квадратрисы
непрерывно убывает от а до Ь, а длина х(<р) проекции радиус-вектора
на нижнюю сторону квадрата непрерывно возрастает от 0 до 6.
50
С А
Рис. 4
о
При доказательстве использовался .метод от противного. Предпо-
ложив, что Ь < Зя, Динострат строит
точку В пересечения квадратрисы с
окружностью с центром в точке О ра-
диуса ОА = ~ (рис. 4) и опускает из
этой точки перпендикуляр ВС на ОА.
Тогда, с одной стороны, ВС = ОВ
sin <р = Зя • sin <р. С другой стороны, по
определению квадратрисы имеем: =
^2, откуда ВС = Зя • <р. Так что sin <р
<р (?!). Аналогично, предположив, чз
Ь > Зя, Динострат строит точку С, т
кую, что ОС = Зя и восстанавлива- г
перпендикуляр ВС. Тогда, с одной стороны, ВС = QCtg <р = — tg
но, с другой стороны, из определения квадратрисы снова имеем:
ВС = Зя • р. Так что tg^> = р (?!).
Можно заключить, что задачи удвоения куба и трисекции угла,
привлекавшие внимание греческих математиков в течение примерно
шести веков, стимулировали появление теории конических сечений,
привели к выводу первого замечательного предела и привлекли в
математику различные механические кривые.
Упражнение 8. Покажите, что задача удвоения куба может быть
решена следующим способом (Герои, I в.н.э.).
Строим прямо-
угольник ABCD со сторонами
ВС = AD = а и АВ = CD =
2а и точку О — центр этого
прямоугольника (рис. 5). Дви-
гая одновременно точку В вниз
по продолжению стороны СВ,
а точку D — влево по продол-
жению стороны CD так, чтобы
расстояния от этих точек до
центра прямоугольника остава-
лись равными друг другу, доби-
ваемся того, чтобы прямая B'D'
проходила через точку А. Тогда DD' будет искомым отрезком х.
51
Упражнение 9. Покажите, что задача трисекции угла может быть
решена следующим способом (Архимед, III в. до н.э.). Строим
окружность с центром
/Г_______________________в точке О (рис. 6) и
/ \ угол АОВ, трисекцию
г \ которого надо произве-
\ сти. РаДиУс АО продол-
------1 "*q 1 А жим за точку О и да-
\--------------------------/ лее за пределы окруж-
\ / ности до тех пор, пока
\ / отрезок О'С, отсекае-
мый окружностью от
отрезка О'В, не станет
Рис- 6 равным радиусу окруж-
ности. Тогда угол АО'В будет втрое меньше угла АОВ.
3.2.3 Замечания
1. Как видно из пунктов 3.1.1, 3.1.2 и 3.2.1, геометрический,
наглядный язык алгебры предшествовал ее буквенному, символиче-
скому языку.
2. С решением задачи 2 геометрической алгебры пифагорейцев
связано происхождение термина “среднее геометрическое”: сторона
х квадрата, равновеликого данному прямоугольнику со сторонами
а и 6, есть такой отрезок, который является средним пропорцио-
нальным между а и b (т.е. а х = х Ь) и который строится гео-
метрически с помощью циркуля и линейки. С этой же задачей свя-
зано происхождение термина “квадратура”: всякий прямоугольник,
а следовательно, и всякий треугольник и вообще всякий многоуголь-
ник (поскольку многоугольник разбивается на треугольники) может
быть с помощью циркуля и линейки преобразован в равновеликий
ему квадрат, т.е. может быть “квадрирован”
3. Как многие полагают, задачи 3 и За геометрической алгебры
пифагорейцев имеют древневавилонское происхождение и есть лишь
другая запись известных задач на определение сторон прямоуголь-
ного треугольника по данной разности или сумме катетов и по дан-
ной удвоенной площади.
4. По мнению О. Нейгебауера, задача трисекции угла возникла,
возможно, “из теории солнечных часов”, а именно из задачи по-
52
строения шестой (двенадцатой) части дуги, которую Солнце опи-
сывает над горизонтом, дуги, необходимой для получения одного
“сезонного” часа (обычный час, т.е. дугу в 30°, издавна строили с
помощью циркуля и линейки).
5. В конце VI книги “Начал” Евклида задачи 3 и За обобщаются.
А именно, там речь идет о приложении площадей в виде паралле-
лограммов и так, чтобы недостаток или избыток был бы парал-
лелограммом с данным отношением сторон.
6. Задачи, решаемые геометрическим построением, к III в. до н.э.
разделялись на три класса: плоские, т.е. решаемые построением с
помощью циркуля и линейки, телесные, т.е. решаемые с помощью
конических сечений, и линейные, для решения которых применя-
лись линии, определяемые с помощью движения (квадратрисы, спи-
рали, вставки и т.п.).
7. Как показал еще Архимед, задачи, приводящие к кубическим
уравнениям, относятся к классу телесных задач, т.е. их всегда можно
решить с помощью конических сечений. Архимед же указал необхо-
димые и достаточные условия существования положительных корней
и число корней (см., например, [14, вып. И, с. 287-291].
8. С точки зрения практических нужд геометрическое постро-
ение искомого объекта не имело большого удобства, а иногда было
просто непригодно. Главное значение геометрического построения
[34, с. 71-72] заключалось в доказательстве существования ис-
комого объекта. Необходимость в таком доказательстве была вы-
звана открытием несоизмеримости. “Когда было найдено, что не
существует ни числа, ни числового отношения, которые, умножен-
ные сами на себя, дают 2, и когда вместо поисков такого числа стали
искать отрезок, который был бы стороной квадрата, построенного
на данном отрезке, то прежде всего оказалось необходимым дока-
зать существование подобного отрезка. Это именно и делают, пред-
ставив его в виде диагонали квадрата, построенного на данном от-
резке” [там же, с. 71].
9. Решение алгебраических задач геометрическим построением
способствовало развитию аналитического метода, который при-
менялся пифагорейцами еще при нахождении геометрических мест
точек. Этот метод, включающий в себя и исследование условий раз-
решимости и числа возможных решений, состоял из ряда звеньев.
Разберем кратко этот метод на примере решения задачи о построе-
нии прямоугольного треугольника по гипотенузе и площади. Первым
53
звеном метода является протазис, или общая постановка задачи:
построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и площади.
Далее следует эктезис, введение данных: даны отрезок АВ и пло-
щадь S (рис. 7). Третье звено — апагога, преобразование. Здесь
к-
О D В
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
предполагается, что задача решена с помощью треугольника1 АВС
с прямым углом С (рис. 8). Тогда точка С лежит на окружности"
с диаметром АВ, а прямоугольник OFGB, построенный на отрезке
ОВ, равном половине отрезка АВ, и на отрезке BG, равном вы-
соте CD треугольника АВС, равновелик данному прямоугольнику
MNKL. Четвертое звено — резолюция, разрешение. Здесь иссле-
дуются, насколько имеют все необходимое для решения поставленной
задачи; в рассматриваемом случае это имеет место лишь тогда, ко-
гда S < (^)2 (так как BG = CD < (4^) = ОВ). Указание условий
разрешимости — диоризмов — включается теперь в дополнение к
протазису. Другим результатом разрешения является указание чи-
сла возможных решений; в рассматриваемом случае их два, второе
получается из решения на рис. 8 симметрией относительно OF.
Указанные четыре звена составляют анализ решения задачи.
Найденные решения излагаются и проверяются затем в синтезе,
который включает в себя еще три звена: построение, доказа-
тельство и заключение. В рассматриваемом случае построение
состоит из следующих действий: деление отрезка АВ пополам, по-
строение полуокружности с радиусом ОВ = 4р, приложение к от-
резку О В данной площади S (задача 1), нахождение точек С и С'
как точек пересечения полуокружности с прямой GH (рис. 9); тре-
угольники АВС и АВС' — искомые. Доказательство состоит в
проверке того, что треугольники АВС и АВС' действительно равно-
велики прямоугольнику MNKL. Наконец, в заключении говорится,
что “следовательно, задача построения прямоугольного треуголь-
ника по данным гипотенузе и площади решена, что и требовалось
сделать”
54
3.3 ПРОБЛЕМА РЕШЕНИЯ В
РАДИКАЛАХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
3.3.1 Решение в радикалах алгебраических уравнений
2-й, 3-й и 4-й степеней
Уравнения 2-й степени умели решать еще в Древнем Вавилоне. Так,
в одном из клинописных текстов сказано: “Я вычел из площади сто-
рону моего квадрата, это 14,30 (х2 — х = 14 • 60 + 30 = 870)” Далее
идет вычисление стороны квадрата (х): “Tbi берешь 1, коэффициент.
Тк делишь 1 пополам, этоу0;30 (30 • = |). Ъл умножаешь 0;30 на
0;30, это 0;15 (|). Ik складываешь это с 14,30, и это есть 14,30,15
(870|), что является квадратом для 29;30 (29|). Tbi складываешь
0;30 с 29;30, получается 30, сторона квадрата (х)”
Как видно из этого примера, вычисление положительного корня
уравнения х — рх = q производилось по следующему правилу:
х
2
+ Я
+
Р
2
Возможно, что при выводе этого
правила использовали геоме-
трическую интерпретацию решения квадратного уравнения, кото-
рую мы встречаем позднее у некоторых арабских математиков. Так,
5х 52
X2 5х
х 5
Рис. 10
ал-Хорезми (VIII—IX в.) при ре-
шении уравнения х2 + 10х = 39
использует следующее построение.
Фигуру, составленную из квадрата
неизвестной величины (х2) и двух
равных прямоугольников, дающих в
сумме площадь 10х, он дополняет до
квадрата (рис. 10). Цлощадь этого
большого квадрата будет равна х2 +
10х + 52 = 39 + 52 = 64, поэтому его
сторона х + 5 будет равна \/б4 = 8,
откуда находится х = 3.
Решение уравнения 3-й степени
х3 + ах = b (а, Ь > 0)
55
было впервые дано итальянским математиком дель Ферро (около
1500 г.) и состояло в следующем: находились числа и и и, удовле-
творяющие условиям u — v = 6, uv = (|) , и и — v являются корнями
квадратного уравнения
и решение имело вид
Решения двух других типов алгебраического уравнения 3-й сте-
пени х3 = ах 4- b и х3 4- b = ах (везде а, Ь > 0 и ищутся только
вещественные положительные решения) были даны другим итальян-
ским математиком Н. Тартальей (1535 г.). Формулы для решения
всех трех типов кубического уравнения и вывод этих формул были
опубликованы Дж. Кардано в 1545 г. в работе “Великое искусство,
или об алгебраических правилах”
В этой же работе было опубликовано найденное Л. Феррари
(около 1540 г.) решение в радикалах алгебраического уравнения 4-й
степени. Линейной заменой это уравнение приводилось к виду, не
содержащему коэффициента при х3:
х4 4- пх2 = Ьх 4- с
Затем левая часть дополнялась до полного квадрата:
(х2 4“ “ 4“ t)2 = 2/х2 4- Ьх 4" (t? 4- at 4- с 4——,
2 \ 4 /
причем t выбиралось так, чтобы выражение справа стало полным
квадратом. Для этого необходимо и достаточно, чтобы был равен
нулю его дискриминант:
D = Ь2 - 2t(4c + а2 + 4at + 4t2).
Последнее уравнение имело уже 3-ю степень и решалось по способу
дель Ферро.
56
3.3.2 Попытки решения в радикалах
алгебраических уравнении степени п > 5.
“Размышление об алгебраическом решении уравнении”
Ж. Лагранжа. Теоремы П. Руффини и Н.Х. Абеля
Исследуя в дальнейшем алгебраические уравнения 5-й и высших сте-
пеней, многие математики пытались найти их решение также в виде
алгебраической формулы от коэффициентов уравнения, т.е. пыта-
лись и эти уравнения решить в радикалах.
Так, Е.В. Чирнгауз (1683 г.) пытался решать алгебраические ура-
внения
хп + aiz’1"1 4-... + ап = О
с помощью подбора резольвенты, т.е. некоторого вспомогатель-
ного уравнения меньшей степени (подобно тому, как квадратное ура-
внение х2 4- рх 4- q = 0 решается с помощью резольвенты у = х 4-1).
Выбирая резольвенту в виде
У — хп~* 4- bixn~2 4-... 4-
он пытался так подобрать коэффициенты bi, b2, ..., 6п-1, чтобы вы-
ражение для уп не содержало степеней х. Тогда уп = const и решение
исходного уравнения n-й степени сводится к решению вспомогатель-
ного уравнения степени (п — 1). Сам Чирнгауз сумел осуществить
этот метод лишь для п = 3. Позднее Л. Эйлер проделал все выкладки
для п = 4. Но для п = 5 это оказалось невозможным: попытки под-
бора коэффициентов b2, b3i b4 приводили к уравнениям, степень
которых была выше 5.
Эйлер исходил от приемов дель Ферро и Тар тал ьи, которые ис-
кали корни алгебраических уравнений в виде различных ирраци-
ональностей. Например, в случае уравнения х3 = ах + b реше-
ние, согласно Тарталье, имеет вид: х = у/й 4- где и и v —
корни некоторого квадратного уравнения. Поэтому для уравнения
х4 = ах2 4- Ьх 4- с Эйлер искал решение в виде у[и 4- tfv 4- y/w. Ему
удалось построить уравнение 3-й степени, корнями которого будут
u, v и w. Однако распространить этот прием на уравнения вида
п
хп = аххп“2 4- а2хп~3 4- . 4- ап-1 при п > 5,. используя х = J2
*=1
п — 1
или х = uq 4- 52 Q , Эйлеру не удалось.
к=Л
57
Число различных попыток решить в радикалах алгебраические
уравнения степени п > 5 было очень велико, и все они оказались
безуспешными. Но вот в 1771-1773 гг. был опубликован большой
трактат Ж. Лагранжа “Размышление об алгебраическом решении
уравнений”, в котором автору удалось глубоко проникнуть в су-
щность проблемы.
Лагранж начинает свое исследование с анализа известных попы-
ток решения алгебраических уравнений в радикалах. Он замечает
при этом, что не только коэффициенты резольвенты, но и ее корни
и все промежуточные радикалы в радикальном выражении для кор-
ней исходного уравнения рационально выражаются через корни ис-
ходного уравнения и, может быть, еще через некоторые первообра-
зные корни из единицы. Действительно, для уравнения 2-й степени
резольвента, имеет вид
У = х + | = ±-/D = ±\J^-q ,
и, применяя теорему Виета, имеем:
„ - -и,Л®1 +хг)2 „ „ _ . (®1 “ х1)
У - ±у----4------Х1Х2 — ±----2---
Для уравнения 3-й степени
х3 + ах + b = О
резольвента имеет вид
!/!+4s-(|)3 = 0,
а решение — вид
(значения кубических корней выбираются с учетом того, что их про-
изведение равно — (f)3), и можно показать, что
1(Ь\2 Л. (а\3 - 4- (Х1 “ Х2)(Х1 ” Хз)(*2 - Хз)
V\2/ “ 6>АЗ
58
Итак, видно, что у = ..., где р — некоторая ра-
циональная функция от корней исходного уравненцд. Но тогда, заме-
чает Лагранж, при произвольной перестановке корней я, xPl
(xPi xPj при i / j) величина > хр*> £1^2) также
будет являться корнем резольвенты. Но корней резольвенты всего
г < п — 1, в то время как различных возможных перестановок кор-
ней имеется п! (при условии отсутствия кратных корней). Поэтому
отыскание резольвенты сводится, по существу, к отыска-
нию таких рациональных функции от корней исходного ура-
внения, которые при всех возможных перестановках корней
принимают всего г < п — 1 различных значений.
Рассматривая далее вопрос о нахождении таких функций у?,
Лагранж переходит от перестановок корней z, xPi к более удоб-
ным подстановкам их номеров: i £ pi. Множество Sn всех подста-
новок из п элементов он разбивает на части:
Sn = Hi + Н2 + + Нг
Hj = {р G Sn; переходит в щ при подстановке р]
(здесь y?i, • • •, — корни резольвенты), производя тем самым
фактически разбиение симметрической группы Sn подстановок из п
элементов на классы смежности по подгруппе Hi. Лагранж дока-
зывает при этом, что число элементов одинаково во всех смежных
классах Н<, т.е. фактически доказывает теорему о том, что поря-
док подгруппы Hi делит порядок группы Sn. Эта теорема названа
впоследствии теоремой Лагранжа. Функции не меняющие своих
значений при одних и тех же подстановках из Sn (множество таких
подстановок образует некоторую подгруппу Hi группы Sn) Лагранж
называет подобными. Относительно подобных функций он пока-
зывает, что они рационально выражаются друг через друга и че-
рез коэффициенты исходного уравнения, т.е., как мы бы сказали,
принадлежат одному и тому же алгебраическому полю. Например,
п = 2, х2 4- рх 4- q = О, S2 = {(1), (12)}, Hi = 1 = {(1)}; функции
р = Xi — Х2 и V’ = ^2 ПРИ £> = Р2 — 4g / 0 и р 0 “принадлежат”
59
одной и той же подгруппе Нх группы S, т.е. не меняются только при
тождественной подстановке. Эти функции рационально выражаются
друг через друга и через коэффициенты р и q исходного уравнения:
_ EP+f . а из этого факта следует, что во-
прос о нахождении функций у и, следовательно, вопрос о
решении алгебраических уравнений в радикалах сводится к
иоучению подгрупп симметрической группы Sn. Таков гла-
вный вывод, к которому пришел Лагранж.
Изучение подгрупп группы Sn было продолжено О. Коши, П. Руф-
фини и Н.Х. Абелем. Так, Коши удалось показать, что при п > 5
группа Sn не имеет подгрупп индекса 2 < i < р, где р — наибольшее
простое число, не превосходящее п (эта теорема получила в дальней-
шем название теоремы Бертрана-Серре). П. Руффини был первым,
кто представил доказательство того, что буквенное алгебраиче-
ское уравнение 5-й степени вообще неразрешимо в ради-
калах (см. это доказательство, например, в [37, с. 42-43]). Однако
предложенное Руффини доказательство было неполным: оно опира-
лось на недоказанное предположение о том, что корни резольвенты
всегда выражаются рационально через корни исходного уравнения.
Доказательство этого предположения и независимое от Руффини
полное доказательство неразрешимости в радикалах буквенных ал-
гебраических уравнений 5-й степени было дано Н.Х. Абелем в 1824 г.
3.3.3 Основная теорема теории Галуа.
Решение алгебраических уравнений в радикалах
с точки зрения теории Галуа.
Решение задач геометрической алгебры
с точки зрения теории Галуа
Доказательства Руффини и Абеля имеют дело с буквенными уравне-
ниями, т.е. с уравнениями, коэффициенты которых являются неза-
висимыми переменными величинами. Они убеждают нас в том, что
при п > 5 не существует универсального радикального выражения,
которое годилось бы как решение для всех уравнений данной сте-
пени. Но эти доказательства еще ничего не говорят о разрешимо-
сти в радикалах отдельных типов уравнений и просто конкретных
численных уравнений, т.е. уравнений с конкретными численными
коэффициентами.
Перенести результаты теории Лагранжа на численные уравнения
60
удалось французскому математику Э. Галуа. Рассматривая числен-
ные уравнения, Галуа вводит понятие их группы как множества
всех таких подстановок из Sn, которые не нарушают совокупности
всевозможных рациональных соотношений между корнями, т.е. со-
вокупности соотношений вида Pj(zi,Z2,... ,zn) = 0, где Р, — по-
линомы относительно Xi, zj,..., хп с коэффициентами, рационально
выражающимися через коэффициенты а^аз,.. .,ап исходного ура-
внения. Эта группа, получившая в дальнейшем название группы
Галуа, определяет для каждого конкретного алгебраического ура-
внения алгебраическую структуру его корней.
Замечание Работе Э. Галуа о разрешимости в радикалах ура-
внений с числовыми коэффициентами предшествовали исследования
Гаусса и Абеля. Так, Гаусс (1797 г.) “провел исчерпывающий ана-
лиз уравнений деления круга (чем восполнил пробел в изысканиях
Лагранжа), применив, по существу, разложение группы подстановок
рассматриваемого уравнения в прямую сумму циклических подгрупп
и построив подполя, соответствующие каждой подгруппе. Это была
первая модель для будущей теории Галуа, и она была построена
для уравнений специального вида с числовыми коэффициентами. В
1826 г. Абель с помощью метода Гаусса нашел еще более обширный
класс уравнений, разрешимых в радикалах”[14, вып. XVII, с. 322].
В современной математической литературе группа Галуа дан-
ного алгебраического уравнения f{x) = хп 4- aizn-1 4- 4- ап = О
определяется обычно следующим образом. Пусть К — основное поле
(область рациональности), т.е. минимальное поле, в котором лежат
коэффициенты уравнения ai,a2,...,ап. Пусть Е — поле разложе-
ния, т.е. поле, полученное из К путем его нормального расширения,
а именно путем последовательного нормального присоединения к К
корней уравнения zi,Z2,.. .,zn. Нормальность расширения озна-
чает, что вместе с одним корнем неприводимого над расширяемым
полем уравнения присоединяются и все остальные его корни. Е есть
таким образом минимальное нормальное расширение поля К, содер7
жащее все корни данного алгебраического уравнения. При этом мы
всегда будем предполагать отсутствие у уравнения кратных корней,
так как существование кратных корней и их нахождение устанавли-
вается с помощью алгоритма Евклида: если zj — кратный корень
уравнения /(z) = 0, то (z — zj — общий делитель многочлена /(z)
и его производной /'(z)- П>Уппа Галуа G уравнения /(z) = 0 опреде-
ляется как совокупность всех автоморфизмов Е относительно К, т.е.
61
таких биекций Е в себя, сохраняющих операции поля, которые пере-
водят К в себя. Каждый такой автоморфизм переводит совокупность
корней «1, z2,..., хп в себя, т.е. переставляет корни. Наоборот, если
такая перестановка известна, то известен и автоморфизм, потому
что если Xi —► xPt) то всякая рациональная функция 9?(xi, ж2,..., хт)
с коэффициентами из поля К переходит в рациональную же функцию
<p(xpi, zp2,..., zPm), т.е. при такой перестановке корней значение
остается в области рациональности К. Поэтому группу Галуа можно
рассматривать как некоторую группу перестановок корней или, что
удобнее, как группу подстановок номеров корней.
Пример 1. Для уравнения
X3 - 1 = О
поле К совпадает с полем Q рациональных чисел, корни имеют вид
Xi = Х2 = хз = 1, поле Е = К (х/~3), т.е.
получается путем присоединения к полю К корня у = неприво-
димого над К уравнения у2 4- 3 = 0.
Рациональные соотношения между корнями имеют вид:
*1 + *2+ 1 = 0, Xi • z2 - 1 = 0, xj = я2, z2 = zi, z3—1 = 0.
Группа Галуа G как совокупность подстановок, не нарушающих со-
вокупности рациональных соотношений между корнями, состоит из
тождественной подстановки и подстановки, меняющей местами Zi и
z2, т.е. G = {(1), (12)}.
Группа G называется разрешимой, если в ее композиционном
ряду
G = G0 D Gi D D Gm = I = {(1)}
все подгруппы G, (i = 1,2,..., т) имеют простые индексы. Здесь G,
— максимальный нормальный делитель G,-i, т.е. такая подгруппа
группы Gj-i, разложения по которой на левые и правые смежные
классы совпадают, и такая, что в G<-i нет нормальных подгрупп,
содержащих G, и отличных от G,. Отметим, что разрешимость
группы не зависит от выбора ее композиционного ряда.
Основная теорема теории Галуа гласит: данное численное ал-
гебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и
только тогда, когда разрешима его группа Галуа.
62
Пример 2. Уравнение
я6 - 4s3 + 1 = О
разрешимо в радикалах, его корнями будут zi = v^2 4- х/З, я2 =
• • zi, хз = е2 • xi, Х4 = — х/5, х$ = е • Х4, х^ = е2 • Х4, где е =
4- — первообразный корень 3-й степени из 1, е2 = — | —
— другой первообразный корень 3-й степени из 1. Рациональные
соотношения между корнями имеют вид
3333332 2
ж1=ж2 = х3, Х4 = я5 = хб, Z1=Z2X3, Z2 = Z3X1,
2 2 2 2
Х3 = Z1Z2, Х4 = Z5Z6, Z5 = XqX4, Z6 = Z4Z5,
4- Х2 + хз = Х4 4- хз 4- Яб = о, ziz2z3 4- ^4X5X5 = 4,
X1Z4 = Z2Z6 = X3Z5 = 1,Z1Z5 = Z2Z4 = Z3Ze, Я1Яб = X2X3 = Z3Z4.
Поэтому группа Галуа имеет вид G = {(1), (12)(46), (13)(45), (23)(56)
(14)(25)(36), (14)(26)(35), (15)(24)(36), (15)(26)(34), (16)(25)(34),
(16)(24)(35), (123)(654), (321)(456)}, порядок ее равен 12. Группа G
имеет подгруппу Gi порядка 6, Gi = {(1), (12)(46), (13)(45), (23)(56),
(123)(654), (321)(456)}. Gx как подгруппа индекса 12 6 = 2 авто-
матически будет нормальным и максимальным делителем группы G.
В свою очередь, Gi имеет три изоморфных друг другу подгруппы
порядка 2: {(1), (12)(46)}, {(1), (13)(45)}, {(1), (23)(56)} и одну подг-
руппу порядка 3: G2 = {(1), (123)(654), (321)(456)}, при этом только
подгруппа G2 является нормальной (проверьте это!). Композицион-
ный ряд имеет вид
G D Gi D G2 D I,
подгруппы Gi, G2 и I имеют простые индексы, соответственно 12
6 = 2, 6 3 = 2 и 3 1 = 3. Следовательно, G — разрешимая группа.
Пример 3. Уравнение 2-й степени
х2 4- рх 4- q = 0.
Для простоты будем предполагать относительно этого уравнения и
уравнений из последующих трех примеров, что кроме отсутствия
кратных корней эти уравнения еще и неприводимы над основным
полем — полем коэффициентов. Приводимость или неприводимость
уравнения над данным полем может быть установлена за конечное
число шагов. Если уравнение неприводимо над основным полем, то
63
его группа Галуа обязательно транзитивна, т.е. для любых номеров
i, j содержит хотя бы одну подстановку, переводящую z, в Xj. В
данном случае симметрическая группа S2 всех подстановок из двух
элементов имеет порядок 2! = 2, S2 = {(1), (12)}. Ее единствен-
ной транзитивной подгруппой является она сама. Поэтому G = S2.
Композиционный ряд имеет вид
G = S2 D I.
Этому ряду соответствует ряд
КС г,
нормальных алгебраических расширений основного поля К до поля
разложения Е, в котором и лежат все корни исходного уравнения.
Чтобы расширить поле К до поля Е, достаточно присоединить к
К такую функцию у от корней zx, z2 исходного уравнения, которая
“принадлежит” группе I, т.е. не изменяется при тех и только тех под-
становках, которые принадлежат этой группе. Выбирая в качестве
у разность корней zi — Z2, будем иметь
У2 = (*1 - х2)2 = Р2 - 4? = D,
откуда, с учетом теоремы Виета, получаем систему линейных ура-
внений для нахождения корней zi и х2:
( *i + z2 = -р
[ xi - х2 = ±>/D
Пример 4. Уравнение 3-й степени
х3 4- ах 4- Ь = О
Симметрическая группа S3 состоит из 3! = 6 элементов, S3 =
{(1), (12), (13), (23), (123), (321)}. Она имеет четыре нетривиаль-
ных подгруппы. Одну подгруппу порядка 3: U3 = {(1), (123), (321)}
и три изоморфные между собой подгруппы порядка 2: {(1), (12)},
{(1), (13)}, {(1), (23)}. При этом транзитивной является только
подгруппа U3, поэтому G = S3 или G = U3. В общем случае компо-
зиционный ряд имеет вид
G = S3 Э U3 Э I.
64
Этому ряду соответствует ряд расширений основного поля:
К С Ki С Е.
Чтобы расширить поле К до поля Ki, достаточно присоединить к
полю К такую функцию у от корней zi, z2, хз исходного уравнения,
которая “принадлежит” подгруппе U3 группы S3. Подгруппа U3 со-
стоит из четных подстановок, ей “принадлежит” функция
у = IB*’ ~ *•>)= С*1 ~ - «з).
i<i
Эта функция является корнем некоторого алгебраического уравне-
ния степени S U3 = 6 : 3 = 2 с коэффициентами из основного поля.
Имеем
у2 = (zi - z2)2(zx - z3)2(z2 - Z3)2 = -4а3 - 27b2 = D
Таким образом, мы расширили основное поле К до поля Ki = K(j/) =
K(\/D). Расширим теперь поле Ki до поля Е. Для этого мы должны
подобрать такую функцию у^ от корней zx, z2, z3 исходного уравне-
ния, которая принадлежит единичной подгруппе. В качестве такой
функции удобно взять функцию Лагранжа:
J/1 = *1 + ехъ 4- e2z3, г3 = 1, е / 1.
Эта функция является корнем некоторого алгебраического уравне-
ния степени U3 :1 = 3 1 = 3 с коэффициентами из поля Кх(е).
Имеем
У1 = (*i + £Х1 + е2*з)3 = - V9 + z1/-3v<D = А.
7с3 = ±(е-б2).
Таким образом, мы расширили основное поле Ki до поля разложе-
ния Е = Кх(е, 2/1) = К(е, л/Z), Чтобы получить линейную
систему для нахождения корней zx, z2, Z3, введем еще одну функцию
Лагранжа: у{ = zx 4- £2х2 4- ехз.
Имеем
У13 = (*1 + ^*2 + £хз)3 = -у - = D{.
65
И, с учетом теоремы Виета, получаем следующую систему уравне-
ний для определения xi, х2, хз:
{Х1+х2 + х3 = О
xi + ех2 + е2х3 =
*1 + е2*2 + е*з =
(При этом корни кубические следует брать, исходя из условия, что
W = -Зр).
Пример 5. Уравнение 4-й степени
х4 4- ах2 4- Ьх 4- с = О,
Симметрическая группа S4 состоит из 4! = 24 элементов. Компози-
ционный ряд имеет вид
G = S4 D U4 D В4 D G2 D I.
Здесь U4 — подгруппа четных подстановок, В4 — так называемая
четвертная группа Клейна,
В4 = {(1), (12)(34), (13)(24),(14)(23)},
a G2 — некоторая подгруппа 2-го порядка, например, {(1), (12)(34)}.
Среди индексов этих подгрупп: S4 U4 = 24 12 = 2, U4 В4 = 12
4 = 3, В4 G2 = 4 2 = 2, G2 1 = 2 1 = 2 нет составных чисел.
Поэтому по основной теореме теории Галуа уравнение 4-й степени
всегда разрешимо в радикалах.
Композиционному ряду подгрупп соответствует ряд нормальных
алгебраических расширений основного поля:
К С Ki С К2 С К3 С Е.
При этом Ki = Кх/1), где
у/D = — Xj) = 2/, “принадлежит” U4,
i<j
k2 = k1«/dT),
где
\/~Di = (zi 4- ж2)(«з 4- ж4) = 2/i “принадлежит” В4,
66
к3 = k2X/5L
где
y/D? = (a?i + г2у = У2 “принадлежит” G2,
Е = Кз(\/Рз), где у/Лз = Xi = уз “принадлежит” I,
так что окончательно имеем Е = К(л/О, V~D^ л/Дз)-
Пример 6. Уравнения степени п > 5 общего вида
_п I _ _П““1 । _ _п~2 । I _ _ л
х -taix + (12Х + ... + ап — U.
Композиционный ряд имеет вид
G = SnDUnDl,
так как группа четных подстановок Un не имеет при п > 5 нетриви-
альных нормальных подгрупп. А так как порядок этой группы п!/2
при п > 5 является составным числом, то уравнение степени п > 5
общего вида неразрешимо в радикалах.
Пример 7. Уравнение
X5 - 4х - 2 = О
неразрешимо в радикалах, так как его группа Галуа G совпадает
с неразрешимой группой S5. Действительно, по признаку Эй-
зенштейна [4, с. 117], это уравнение неприводимо над основным по-
лем К = Q, так как все его коэффициенты, кроме первого, делятся
на простое число 2, и все, кроме первого и последнего, делятся еще
и на 22 Поэтому G — транзитивна. Далее, нетрудно установить,
например, построив график левой части уравнения, что это уравне-
ние имеет три вещественных корня , z2, хз и два комплексных со-
пряженных корня Х4 и Г5. Транспозиция (45) будет тогда одной из
подстановок группы Галуа G, так как переход к сопряженным вели-
чинам переводит всякое рациональное соотношение между корнями
в себя:
P(xi,r2, ...,хт) = 0 => P(fi,f2,..,*m) = Р = б = 0.
Но тогда G содержит и транспозиции (41), (42), (43). Это следует из
того, что G транзитивна, а степень уравнения проста, что гаранти-
рует [4, с. 192-193] примитивность G, т.е. невозможность разбить
67
множество номеров {1, 2, 3, 4, 5} на такие части, которые целиком
переходят друг в друга при всех подстановках группы G. А так как
любая подстановка из S5 разложима в произведение транспозиций,
а любая транспозиция (ij) равна произведению (4:)(4j)(41) и, сле-
довательно, принадлежит G, то группа G совпадает с S5.
Замечание Транзитивная группа уравнения простой степени,
содержащая одну транспозицию, всегда совпадает со всей симметри-
ческой группой. Это может быть использовано при построении чи-
сленных уравнений с неразрешимой группой Галуа. А именно, если:
1) степень уравнения проста и > 5,
2) коэффициенты уравнения вещественны,
3) уравнение неприводимо над основным полем,
4) уравнение имеет ровно два комплексных корня,
то группа Галуа этого уравнения совпадает со всей симметрической
группой и, следовательно, неразрешима [29, с. 105-109].
Теория Галуа позволяет ответить и на вопрос о разрешимости
уравнений методами геометрической алгебры. А именно: решение
— отрезок может быть построен с помощью циркуля и и
линейки тогда и только тогда, когда уравнение имеет хотя
бы одно вещественное решение, а группа Галуа этого ура-
внения имеет порядок вида 2к
Пример 8. Задача об удвоении куба выражается уравнением
х3 - 2 = 0,
если ребро куба а принять за единицу длины. По признаку Эй-
зенштейна это уравнение неприводимо над основным полем, по-
этому его группа Галуа транзитивна. Но группа S3 не имеет тран-
зитивных подгрупп порядка 2к (см. п. 3.3.3, пр. 4). Поэтому задача
удвоения куба неразрешима с помощью циркуля и линейки.
Пример 9. Задача о трисекции угла выражается уравнением
4т3 — За: 4- а = 0,
где а — синус данного угла, а х — синус искомого угла. Так как S3
не имеет транзитивных подгрупп порядка 2к, то решение задачи о
трисекции угла с помощью циркуля и линейки возможно провести
только в тех случаях, когда уравнение приводимо над основным по-
лем К = Q(a).
68
Упражнение 10. Объясните, почему с помощью циркуля и ли-
нейки можно провести трисекцию угла 90°, но нельзя провести
трисекцию угла 30° Можно ли с помощью циркуля и линейки по-
строить правильный девятиугольник?
Упражнение 11. Рассмотрите уравнение деления круга
т5 - 1
----— = х4 4- х3 4- х2 4- х 4-1 = 0,
х — 1
постройте его группу Галуа, покажите, что это уравнение разре-
шимо с помощью циркуля и линейки, найдите радикальные выраже-
ния для его корней и проведите построение правильного пятиуголь-
ника.
3.4 НЕКОТОРЫЕ ПУТИ
ФОРМИРОВАНИЯ НОВОЙ АЛГЕБРЫ
ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XIX ВЕКА
1. Становление теории групп. Проблема решения алгебра-
ических уравнений в радикалах была не единственным источником
становления теоретико-групповых методов исследования. Два дру-
гих источника мы обнаруживаем в теории чисел и в геометрии. Так,
еще в “Арифметических исследованиях” К. Гаусса (1801 г.) мы встре-
чаемся со смежными классами мультипликативной группы поля из
р элементов относительно различных ее подгрупп. Еще более зна-
чительным для становления теории групп было построение Гауссом
в этой же работе групп классов бинарных квадратичных форм за-
данного дискриминанта. Это наиболее абстрактные примеры групп,
построенные к тому времени. А общее определение группы мы впер-
вые встречаем у А. Кэли (1854 г.).
D 1872 г. Ф. Клейн предложил теоретико-групповую классифика-
цию типов геометрий, согласно которой всякую геометрию можно
рассматривать как учение об инвариантах некоторой группы пре-
образований (см. ниже, п. 4.10).
В 1873 г. С. Ли ввел в рассмотрение так называемые непреры-
вные группы преобразований (группы Ли) как группы преобразо-
ваний вида ,
X —► /(х, 01,02, • • • ,о&),
69
где а2> • • • — параметры, а функции f и 7”1 непрерывны
по совокупности всех своих аргументов. Это, позволило, в частно-
сти, решить проблему интегрирования в квадратурах обыкновен-
ных дифференциальных уравнений. А именно, оказалось, что, по-
добно тому, как с каждым алгебраическим уравнением можно свя-
зать некоторую группу подстановок (группу Галуа данного алгебра-
ического уравнения), так с каждым дифференциальным уравнением
F(x, 2/, у') = 0 можно связать некоторую группу непрерывных пре-
образований (группу Ли данного дифференциального уравнения).
Эта группа есть группа автоморфизмов относительно данного ура-
внения.
Пример 10. Пусть F(r, у, у') = 0 — однородное уравнение, т.е.
уравнение, инвариантное относительно преобразований вида
Г х —► ах,
[ у —► ау,
где а — const. Тогда все такие преобразования и составят группу
Ли L однородного уравнения. Существует преобразование, перево-
дящее группу L в группу
L°={{ у z: *+д
сдвигов по оси у. Таким преобразованием будет
Г х _► £
/ J f
I У 1пу
(проверьте это!). Тогда преобразование / переводит однородное ура-
внение F(x, у, у1) = 0 в некоторое уравнение вида Fq(x, у') = 0, т.е.
в уравнение, заведомо интегрируемое в квадратурах.
Упражнение 12. Найдите группу Ли линейного дифференциаль-
ного уравнения первого порядка.
В начале 80-х гг. XIX в. появились и первые приложения теории
групп: Федоров и Шёнфлис решили методами теории групп задачу
классификации всех кристаллических пространственных решеток.
2. Становление теории полей, колец и других алгебраиче-
ских структур. Абстрактные определения поля, модуля, кольца и
70
идеала мы впервые встречаем в 1871 г. у Р. Дедекинда. Так, полем Де-
декинд называет “всякую систему бесконечно многих действитель-
ных или комплексных алгебраических чисел, которая сама в себе
столь замкнута и полна, что сложение, вычитание, умножение и де-
ление любых двух из этих чисел приводит к числу той же системы
”[26, с. 80]. Модуль определяется как “бесконечное множество ал-
гебраических чисел, удовлетворяющих тому условию, что сумма и
разность любых чисел этого множества также принадлежит ему” [26,
с. 81]; см. также [33, кн. 1, с. 114-121]. Развитие теории алгебраиче-
ских структур происходило в тесном взаимодействии с другими ма-
тематическими дисциплинами и привело к формированию алгебраи-
ческой теории чисел, алгебраической геометрии, алгебраической то-
пологии, теории алгебраических функций (см., например, [20, с. 326-
353]).
3. Становление теории инвариантов. Классическая теория
инвариантов появилась еще в середине XIX в. в Англии. Своим воз-
никновением обязана теории чисел (гауссова классификация бинар-
ных квадратичных форм), проективной геометрии и теории опре-
делителей. Основные проблемы классической теории инвариантов
были решены в 1884-1892 гг. Д. Гильбертом (подробнее см., напри-
мер, [24, т. 1, с. 76-82; 20, с. 176-189]).
4. Формирование линейной алгебры. Линейная алгебра
выросла из теории систем линейных уравнений и связанной с ней
теории определителей и матриц. Основные теоремы линейной ал-
гебры сформировались еще в период с 1852 по 1870 г. Так, приведе-
ние квадратичной формы к каноническому виду и закон Сильвестра
инерции квадратичных форм известны с 1852 г., в 1858 г. появля-
ется теорема Гамильтона-Кэли о том, что всякая матрица аннули-
рует свой характеристический многочлен, с 1867 г. известна теорема
Кронекера-Капелли, а к 1870 г. решен вопрос о приведении матрицы
к нормальной жордановой форме (подробнее см., например, [24, т. 1,
с. 66-70]).
5. Введение кватернионов и гиперкомплексных чисел.
Кватернионы были введены в математику У.Р. Гамильтоном в
1843 г. Известно, что вещественные числа можно интерпретиро-
вать движениями вещественной прямой в себя, а комплексные числа
— движениями комплексной плоскости в себя. Исходя из этого, Га-
мильтон строит такую числовую систему, которую можно было бы
интерпретировать движениями трехмерного пространства в себя. В
71
общем случае рассматриваемые движения имеют вид поворота во-
круг некоторой оси, возможно с растяжением. Такие движения тре-
буют для своего описания четыре параметра: два из них определяют
направление оси вращения (cos a, cos /?, cos 7, причем cos2 а+cos2 /?+
cos2 7=1), один параметр служит для определения угла вращения и»,
с помощью четвертого параметра определяется растяжение г. Га-
мильтон составляет четырехчленное комплексное число
и)
• cos 0)j 4- (г sin — • cos 7)fc,
&
которое называет кватернионом. Пытаясь далее определить арифме-
тические операции с кватернионами, Гамильтон отказывается от за-
кона коммутативности умножения и полагает,что
ij = —ji = fc, jk = —fcj = :, ki = —it = j,
:2 = j2 = k2 = — 1
(подробнее о введении кватернионов см., например, [33, кн. 1, с. 108—
110; 20, с. 206-214]).
В 1844 г. в работах Г. Грассмана появляются более общие си-
стемы чисел, так называемые гиперкомплексные числа (ассоци-
ативные алгебры), которые имеют вид
п
xiei + х2е2 + ... + хпеп = 52 хкек,
к=1
где ek — единичные элементы. Сумма и произведение двух таких
чисел определяются следующим образом:
п п п
+ 52!/*е* = 12^** + Ук)ек,
к=1 к=1 к=1
(п \ ( п \ п
52хкек) (12укек) -12 хе<ед ь
Ь=1 / V=1 / »,j = l
причем е,е; = — е:ех и е2 = 0. При этом получается всевоз-
можных различных произведений из основных единиц по два. Эти
произведекия образуют “единицы второй ступени” Точно так же
строятся единицы 3-й, 4-й,.. ,п-ступени. Их будет, соответственно,
72
С„, С„, ..., С£ = 1. Характерными особенностями правил счета
с обычными числами Глассман считает для сложения то, что оно
коммутативно и ассоциативно:
а + b = Ь + а, (а + Ь) + с = а + (Ь + с),
для умножения — то, что оно коммутативно, ассоциативно и дис-
трибутивно по отношению к сложению:
ab = 6а, (ab)c = а(6с),
а(Ь + с) = аЬ + ас.
И интересы Грассмана направляются на то, как эти правила счета
могут быть распространены на гиперкомплексные числа. При этом
Глассман строит различные системы гиперкомплексных чисел, у ко-
торых свойство коммутативности умножения не имеет места (под-
робнее о введении гиперкомплексных чисел см., например, [19, т. 1,
с. 88-111]).
Отметим еще, что, как показал в 1878 г. Г. Фробениус, един-
ственными гиперкомплексными системами над полем действитель-
ных чисел, для которых выполняются все свойства поля, кроме, мо-
жет быть, коммутативности умножения, являются множества дей-
ствительных (n = 1), комплексных (п = 2) чисел, а также система
кватернионов (п = 4) Гамильтона.
Коренные изменения, произошедшие в алгебре, изменили и сам
предмет этой науки. Возникнув в глубокой древности, алгебра до
второй половины XIX в. понималась как наука об алгебраических
уравнениях и их системах. И даже во второй половине XIX в. в не-
которых учебниках по алгебре еще сохраняется это старое опреде-
ление. Так, в популярном учебнике Ж.А. Серре “Курс высшей ал-
гебры” (1885 г.) мы читаем: “Алгебра, по существу говоря, — анализ
уравнений; все различные части теории, ее составляющие, в боль-
шей или меньшей степени связаны с этим основным вопросом. С
этой точки зрения алгебра может быть разделена на три части:
1. Общая теория уравнений, т.е. совокупность свойств, общих
всем уравнениям.
2. Решение численных уравнений, т.е. определение точных или
приближенных значений корней уравнения, коэффициенты ко
торого даны в числах.
73
3. Алгебраическое решение уравнений, т.е. определение выраже-
ния, составленного из коэффициентов данного уравнения, ко-
торое, будучи в него поставленным вместо неизвестного, то-
ждественно ему удовлетворяет.. .”[33, кн. 1, с. 122].
Новый подход к предмету алгебры мы видим уже в работах ан-
глийских математиков второй четверти XIX в. (У.Р. Гамильтона,
Дж. Буля, А. Кэли и др.). Основным объектом алгебры становятся
множества с аксиоматически заданными на них алгебраическими
операциями. Последовательная работа по аксиоматизации алгебры,
начатая в конце XIX в. Р. Дедекиндом и Д. Гйльбертом, завершилась
в 20-е гг. нашего столетия работами Э. Нетер, Э. Артина и их после-
дователей. Одним из результатов этого было новое понимание ал-
гебры, зафиксированное, например, в статье “Алгебра” О.Ю. Шми-
дта и А.Г. Куроша: “Алгебра.. .может быть определена как наука о
системах объектов той или иной природы, в которых установлены
операции, по своим свойствам более или менее сходные со сложением
и умножением чисел. Такие операции называются алгебраическими.
Алгебра классифицирует системы с заданными на них алгебраиче-
скими операциями по их свойствам и изучает различные задачи,
естественно возникающие в этих системах, включая и задачу реше-
ния и исследования уравнений, которая в новых системах объектов
получает новый смысл (решением уравнения может быть вектор,
матрица, оператор и т.д.). Этот новый взгляд на алгебру, вполне
оформившийся лишь в XX в., способствовал дальнейшему расшире-
нию алгебраических методов, в том числе и за пределами матема-
тики, в частности в физике. Вместе с тем он укрепил связи алгебры
с другими отделами математики и весьма усилил влияние алгебры
на их дальнейшее развитие” Подробнее об эволюции взглядов на
предмет алгебры см., например, [33, кн. 1, с. 122-123].
Вопросы и задания
1. В чем значение работы Ф. Виета “Введение в аналитическое
искусство”?
2. Что означает (геометрически и алгебраически) решить задачу
в геометрической алгебре пифагорейцев?
3. Назовите первые неразрешимые задачи. В чем состоит их не-
разрешимость? В какой мере эти задачи стимулировали раз-
74
витие математики?
4. Укажите главный вывод, к которому пришел Лагранж в своих
“Размышлениях об алгебраическом решении уравнений”
5. Что такое группа Галуа данного алгебраического уравнения?
Сформулируйте основную теорему теории Галуа. Почему об-
щее (буквенное) алгебраическое уравнение 5-й степени не ре-
шается в радикалах?
6. Объясните с точки зрения теории Галуа, почему задачи удво-
ения куба и трисекции угла не решаются построением с по-
мощью циркуля и линейки.
7. Назовите некоторые пути формирования новой алгебры во
второй половине XIX в.
8. В чем состоит изменение методов и предмета алгебры во вто-
рой половине XIX в.?
Глава 4
ГЕОМЕТРИЯ
4.1 ПРОИСХОЖДЕНИЕ ПЕРВЫХ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР И ТЕЛ
С простейшими геометрическими фигурами человек столкнулся в
своей трудовой деятельности при изготовлении орудий труда и со-
судов, при обработке полей и постройке зданий. Уже в глубокой дре-
вности изготовлялись скребки и ножи в форме дисков, треугольни-
ков, ромбов и сегментов, круглые сосуды. Поля обычно имели форму
прямоугольника, а здания — форму конуса, цилиндра или паралле-
лепипеда.
Большинство общепринятых сейчас названий геометрических
фигур имеют греческое происхождение и обозначают различные
предметы той или иной формы, с которыми люди сталкивались в
своей практической деятельности. Слово “центр” происходит от гре-
ческого, обозначавшего палку с заостренным концом, которой по-
гоняли быков (первоначально это слово было названием ножки цир-
куля, ставящейся в центр описываемой им окружности). “Ромб” про-
исходит от слова, обозначавшего волчок, “трапеция” — от слова,
обозначавшего столик. “Призма” происходит от слова опиленная,
“сфера” — от слова, обозначавшего мяч, “конус” — от слова, обо-
значавшего сосновую шишку, “цилиндр” — от слова, обозначавшего
валик, каток. “Пирамида” происходит от древнеегипетского назва-
ния египетских пирамид — “пурама” “Линия” происходит от латин-
ского слова, обозначавшего лён, льняную нить. “Точка” происходит
от слова “ткнуть”, равнозначное слово “пункт” происходит от ла-
тинского глагола “pungo” (укалываю) и т.д.
Таким образом, происхождение первых геометрических фигур
и тел аналогично происхождению первых натуральных чисел (см.
п. 2.1). Постепенно были выделены эталоны: мяч — для шарообра-
зных предметов, шишка - для остроконечных и т.д. Названия этих
76
эталонов становятся затем названиями абстрактных геометриче-
ских фигур и тел, а сами эталоны фигур и тел получили свое изо-
бражение в живописи и архитектуре.
4.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ В
ДРЕВНЕМ ЕГИПТЕ И ВАВИЛОНЕ
В математических текстах Древнего Египта встречаются простей-
шие геометрические задачи, связанные с вычислением площадей
и объемов. При этом площади прямоугольников, треугольников и
трапеций вычислялись “правильно”, в то время, как площадь про-
извольного четырехугольника вычислялась как произведение полу-
сумм противолежащих сторон, а площадь круга вычислялась по пра-
/8 \2
вилу S = I -d \ , где d — диаметр круга. Объемы куба, параллеле-
пипеда, призмы вычислялись “правильно” Особенно отметим зна-
ние египтянами точной формулы для объема усеченной пирамиды с
квадратными основаниями: V = — (а2 4- ab + 62), где а и Ь — сто-
роны квадратов, h — высота усеченной пирамиды.
Наличие в геометрии Древнего Египта “неправильных” формул
свидетельствует о том, что формулы для вычисления площадей и
объемов получены как результат практики измерений. При этом вы-
числения по “неправильным” формулам отличались практическим
удобством и удовлетворительной для того времени точностью.
Важнейшим достижением геометрии Древнего Вавилона явля-
ется открытие теоремы Пифагора — метрического свойства пря-
моугольного треугольника. Как пришли вавилоняне к этому откры-
тию, остается неизвестным. Возможно, сначала они заметили, что
некоторые треугольники с целочисленными сторонами а, 6, с, удо-
влетворяющими равенству а2 4- Ь2 = с2, являются прямоугольными,
а затем распространили это свойство на все прямоугольные тре-
угольники. Во всяком случае, еще в третьем тысячелетии до на-
шей эры вавилоняне уже имели таблицы пифагоровых чисел, при-
чем в этих таблицах встречаются, помимо простых троек вроде
(60, 45, 75) = (4 15, 3 15, 5 15) и довольно сложные, например
(72, 65, 97) или (3456, 3367, 4825) и т.д. Составление этих сложных
троек подбором маловероятно. Поэтому предполагают, что вавило-
няне составляли тройки пифагоровых чисел по определенному пра-
77
вилу. Теорема Пифагора находила в Древнем Вавилоне разнообраз-
ное применение. С ее помощью вычисляли диагональ квадрата (при-
ближенно), радиус описанной около равнобедренного треугольника
окружности, гипотенузу прямоугольного треугольника по данным
периметру и площади, площадь правильного многоугольника и т.д.
4.3 ПРЕВРАЩЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ В
ДЕДУКТИВНУЮ СИСТЕМУ
Превращение геометрии в дедуктивную систему произошло в Древ-
ней Греции. Первые геометрические теоремы были доказаны уче-
ными ионийской школы натурфилософии (первая половина VI в. до
н.э.). А именно: они доказали, что 1) диаметр делит круг пополам,
2) углы при основании равнобедренного треугольника равны, 3) по-
лучающиеся при пересечении двух прямых противолежащие углы
равны, 4) треугольники, имерщие одну равную сторону и два ра-
вных угла, равны.
Упражнение 13. Последняя теорема использовалась Фалесом для
обоснования способа определения расстояния от берега до корабля.
Попытайтесь восстановить этот способ и проведите его обоснова-
ние.
Постепенное накопление и совершенствование определений, по-
стулатов и теорем в работах греческих математиков VI-III в. до н.э.
вылилось в конце концов в стройную дедуктивную систему “Начал”
Евклида (III в. до н.э.). Они состоят из 13 книг. Каждая книга начи-
нается с определений. Кроме того, первой книге предшествует пять
постулатов и пять аксиом.
Определения можно разбить на две группы: “рабочие”, которые
используются при построении теории (например, определение пря-
мого угла), и “описательные”, которые при дедуктивном построении
теории не используются (например, “точка есть то, что не имеет
частей”, или “линия же — длина без ширины”
Постулаты “Начал”:
1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по пря-
мой.
3. Из всякого центра всяким раствором циркуля можут быть опи-
сан круг.
78
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние
односторонние углы, меньшие двух прямых, то продолженные
неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, с
которой углы в сумме меньше двух прямых.
Пятый постулат удивлял ученых сложностью своей формулиро-
вки. Он походил более на теорему, чем на постулат. Уже в древно-
сти его пытались заменить другим, более наглядным. Так, у Прокла
(V в.н.э.) встречается формулировка пятого постулата, которая во-
шла теперь во все школьные курсы: через точку, лежащую вне пря-
мой, можно провести только одну прямую, не пересекающую данной.
Формулировку аксиом “Начал” см. ниже, п. 5.1.
Выбор постулатов и аксиом в “Началах” Евклида очень удачен;
почти все они вошли в современную аксиоматику. Однако постула-
тов и аксиом “Начал” недостаточно для дедуктивного построения
геометрии. Евклид не сформулировал многое из того, чем он поль-
зуется в дальнейшем. Так, в “Началах” нет стереометрических по-
стулатов. За исключением четвертой аксиомы, нет там и аксиом
движения.
Само содержание “Начал” не исчерпывается элементарной гео-
метрией— это основы (“начала”) всей античной математики. Здесь
подводится итог более чем 300-летнему ее развитию и вместе с тем
создается прочная база для дальнейших исследований.
Собственно геометрии посвящены пять из тринадцати книг
“Начал”: в книге I излагается планиметрия прямолинейных фигур;
III — рассматривает свойства круга, его касательных и хорд; IV —
строятся правильные многоугольники; XI — стереометрия; XIII —
построение правильных многогранников.
Влияние “Начал” на дальнейшее развитие математики огромно.
Уже Архимед, Аполлоний и другие античные математики опирались
на них в своих исследованиях по математике и механике. В конце
VIII- начале IX вв. появились первые переводы “Начал” на араб-
ский язык, а в первой четверти XII в. — на латинский язык. И в
странах ислама, и в Европе средних веков “Начала” служили на-
стольной книгой каждого серьезного математика, их многократно
переписывали, переиздавали печатно, комментировали, а также пе-
рерабатывали для преподавания.
79
4.4 “КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ”
АПОЛЛОНИЯ
Уже отмечалось (см. п. 3.2.2), что кривые второго порядка — как мы
их теперь называем — были впервые рассмотрены в связи с зада-
чей удвоения куба. Менехм (IV в. до н.э.) представил их как плоские
сечения прямоугольного, тупоугольного и остроугольного конусов
вращения плоскостью, перпендикулярной к образующей конуса. Ме-
нехм же вывел основные планиметрические свойства сечений, кото-
рые древние называли симптомами, а мы — ^равнениями кривой
в данной системе координат. Вот как это делалось, например, для
сечения прямоугольного конуса вращения:
2/2 = АК КВ = Р'РКВ =
= 20Р • КР = 2рх.
Это и есть уравнение или симптом кривой. Его записывали в
терминах геометрической алгебры: квадрат на полухорде КМ (у) в
каждой точке оси равен прямоугольнику, построенному на отрезке
РК оси до вершины (z) и на постоянном отрезке 20Р (2р).
Аполлоний, в отличие от Менехма и других математиков, берется
за исследование произвольного сечения произвольного, не обяза-
тельно прямого, конуса с круговым основанием, причем он с самого
начала рассматривает обе половины конуса, что позволяет рассма-
тривать одновременно обе ветви гиперболы (см. рис. 25 п. 4.8). При
этом симптомы конических сечений устанавливаются вначале по от-
ношению к некоторому фиксированному диаметру и сопряженным с
ним хордам, образующим, вообще говоря, острый угол с этим диа-
метром. Затем, в ходе изложения, показывается, что они обладают
тем же свойством и по отношению к любому другому диаметру и
80
сопряженным с ним хордам. Наконец, строятся главные диаметры,
т.е. такие, которые ортогональны к сопряженным хордам, и пока-
зывается, что отнесенные к этим диаметрам кривые можно рассма-
тривать как сечения прямого конуса, т.е. конуса вращения. Таким
образом, Аполлоний классифицирует конические сечения по виду
определяющего их алгебраического уравнения, доказывая при
этом инвариантность уравнений эллипса, параболы и гиперболы от-
носительно аффинных преобразований.
Симптом параболы (рис. 12)
записывается у Аполлония сле-
дующим образом: квадрат на
полухорде (у2) равен площади
прямоугольника на отрезке ди-
—-----аметра (ж) и на постоянном от-
резке (2р). С точки зрения гео-
метрической алгебры это соот-
ветствует задаче на приложе-
ние данной площади (у2) к дан-
и означает “приложение”
ному отрезку (2р); irapPoXri
Симптом эллипса (рис. 13)
Рис. 13
записывается у Аполлония сле-
дующим образом: квадрат на
полухорде (у2) равен площади
прямоугольника S, т.е. -х(2а —
а
х). С точки зрения геометри-
ческой алгебры это соответст-
вует задаче о приложении дан-
ной площади (у2) к данному от-
резку (2р) так, чтобы недо-
статок был прямоугольником
с данным отношением сторон
р a; еХХеирк; и означает “недостаток”
Симптом гиперболы (рис. 14) записывается у Аполлония сле-
дующим образом: квадрат на полухорде (у2) равен прямоугольнику
S, т.е. -х(2а + х). С точки зрения геометрической алгебры это со-
а
ответствует задаче о приложении данной площади (у2) к данному
отрезку (2р) так, чтобы избыток был прямоугольником с данным
отношением сторон р : a; virep/ЗоХг} и означает “избыток”.
81
Далее Аполлоний развивает саму теорию конических сечений: по-
лучает уравнение гиперболы относительно асимптот и устанавли-
вает основные свойства фокусов эллипса и гиперболы. Здесь же впер-
вые появляются полюсы и поляры относительно конических сече-
ний — если из точки можно провести две касательные к кониче-
скому сечению, то прямая, соединяющая точки касания, называется
полярой данной точки, а точка — полюсом этой прямой; если пере-
двигать полюс по прямой, пересекающей сечение, то поляра будет
вращаться вокруг полюса этой прямой, если же передвигать полюс
по прямой не пересекающей сечение, то поляра будет вращаться во-
круг некоторой точки и т.д. (см. рис. 24 п. 4.7).
Аполлоний рассмотривает также вопрос о числе точек пересече-
ния двух конических сечений, вводит нормали к коническим сече-
ниям и исследует их свойства.
Далее Аполлоний формулирует и доказывает следующие тео-
ремы:
а) сумма квадратов на сопряженных диаметрах эллипса равна
сумме квадратов на главных осях;
б) разность квадратов на двух сопряженных диаметрах гипербо-
лы равна разности квадратов на главных осях;
в) параллелограмм, построенный на двух сопряженных диаме-
трах эллипса или гиперболы, имеет постоянную площадь.
В этих теоремах Аполлоний фактически находит инварианты от-
носительно линейных преобразований системы координат.
Остановимся подробнее на теоремах Аполлония о касательных к
коническим сечениям. В “Началах” Евклида дается следующее опре-
деление касательной к окружности: “прямая касается круга, если она
82
встречает круг, но при продолжении не пересекает его” (2-е опре-
деление III книги). Поэтому касательную к коническому сечению в
точке (хо, j/o) Аполлоний определяет как ту из прямых, проходящих
через эту точку, для всех других точек (я, у) которой выполняется
неравенство: у2 (2рх ± -х2) > (2рх ± -Хд). В случае пара-
а а
болы (т.е. когда - равно нулю, j/2 = 2рхо) Аполлоний устанавливает
(см. рис. 15), что расстояние
СА от точки С пересечения
касательной с диаметром АР
параболы до вершины А пар
болы равно отрезку AD диак
тра, отсекаемого сопряженн
к диаметру хордой MoD, пр >-
ходящей через точку касания
Мо. Доказательство состс ит в
следующем. Пусть С А = aD =
xq. Тогда для любой точки М с
“координатами” (х, у) имеем:
у (х + х0) = 2/о 2х0 и (х + х0)2 > 4хх0. Поэтому у2 2рх = [j/2
4хх0] ® [4хх0 2рх] > [j/2 (х + х0)2] ® [2х0 р] = [t/2 4х§] ® [4х§
2рх0] = 2/о 2рхо- А это и означает, что МоС — касательная к пара-
боле в точке Мо(хо, 2/о)- В случае с эллипсом (рис. 16) и с гиперболой
(рис. 17) Аполлоний показывает, что СА СВ = DA DB, т.е. что
Рис. 16
касательная MqC и сопряженная с диаметром АВ хорда MoD, про-
веденная из точки касания Мо, делят диаметр АВ в одном и том же
83
отношении внутренним и внешним образом (докажите эту теорему
для окружности!)
Аполлоний показывает также, что касательные к гиперболе от-
секают на асимптотах, считая от центра, отрезки, образующие
прямоугольник с постоянной площадью, а касательные к эллипсу
или гиперболе отсекают на параллельных между собой фиксирован-
ных касательных, считая от точек касания, отрезки, образующие
прямоугольник с постоянной площадью (нарисуйте и докажите
соответствующую теорему для окружности!). Касательные же к
параболе, как показал Аполлоний, обладают тем свойством, что их
точки пересечения с двумя фиксированными касательными проходят
одновременно пропорциональные отрезки.
Из различных встречающихся у Аполлония определений коничес-
ких сечений как геометрических мест точек, обладающих заданным
свойством, мы отметим следующее: коническое сечение есть геоме-
трическое место точек пересечения прямых AM и ВМ, проведенных
из фиксированных точек А и В, лежащих на этом коническом сече-
нии, и таких, что отрезки АР и BQ, отсекаемые ими на прямых,
проведенных соответственно через точку А параллельно касатель-
ной в точке В и через точку В параллельно касательной в точке А,
имеют постоянное произведение (нарисуйте и разберите это свой-
ство для окружности!).
Хотя вплоть до начала V в.н.э. труды Аполлония изучались и ком-
ментировались многими людьми, но все же они долго не находили
никакого применения. Только в XVII в. наступило возрождение идей
Аполлония: Ферма и Декарт перевели его методы на язык новой ал-
гебры, основав аналитическую геометрию, а Ньютон применил эти
методы для описания и исследования кривых 3-го порядка. Но еще
раньше теория конических сечений получила широкое применение в
механике земных и небесных тел — Кеплер установил, что планеты
нашей солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фо-
кусов которых находится Солнце; Галилей показал, что брошенный
камень (или снаряд) летит по параболе. Наконец, в 80-х гг. XVII в.
Ньютон создал свои “Математические начала натуральной филосо-
фии” непосредственно опираясь на труды Аполлония. А некоторые
идеи Аполлония получили свое развитие лишь в XIX в. при создании
основ проективной геометрии и теории инвариантов.
84
4.5 СОЗДАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЙ
ГЕОМЕТРИИ
“Поворотным пунктом в математике была декартова переменная ве-
личина. Благодаря этому в математику вошло движение и диалек-
тика” — говорил Ф. Энгельс. Действительно, лишь в XVI-XVII вв.
в связи с созданием первых станков и машин, с начавшимся в это
время быстрым развитием промышленности и мореплавания, изу-
чение движения в его простейшей механической форме становится
насущной потребностью естествознания, а геометрическая алгебра
пифагорейцев, теория геометрических мест точек, идеи Аполлония
и создание развитой алгебраической символики (см. п. 3.1) послу-
жили при этом теоретическими предпосылками для первого мате-
матического описания движения в форме аналитической геометрии,
созданной Р. Декартом и П. Ферма.
Когда отвечают на вопрос, в чем же состоит движение, то
обычно говорят — движение состоит в том, что тело находится сна-
чала в одном месте, а затем оно находится в другом месте. При этом
упускается из виду, что если тело находится в одном месте, или оно
находится в другом месте (или оно находится в каком-то определен-
ном промежуточном положении), то оно покоится, ибо находиться
где-либо, занимать определенное положение, и означает покоиться.
Поэтому самое большее, что содержится в вышеприведенном опреде-
лении движения — это начало движения и его конец, или только ре-
зультат движения, а не само движение. С другой стороны, сказать
про движущееся тело, что оно вовсе не занимаем никакого опреде-
ленного положения, мы тоже не можем. Поэтому мы должны сказать
так: движение состоит в том, что тело одновременно и находится и
не находится в данном месте. Выражая это более “наглядно”, но ме-
нее точно, можно сказать, что тело в данный момент времени входит
в данное место, или выходит из данного места, или проходит его.
Математической формой описания движения является прежде
всего понятие переменной величины. Величина” сама по себе есть
что имеет определенное количественное значение. Напротив,
“переменная” сама по себэ есть то, что не имеет определенного ко-
личественного значения, Так что взятые сами по себе, они исклю-
чают друг друга, каждая из них есть полная противоположность
другой. Но в понятии “переменная величина” эти противоположно-
сти “сняты и сохранены”, они выступают здесь лишь как проти-
85
воположные моменты единого понятия, так что “величина” берется
теперь как “переменная”, а “переменная” берется вместе с тем как
принимающая определенные значения, т.е. как “величина”
Р.Декарт опубликовал созданную им аналитическую геометрию в
одном из приложений к своему основному произведению “Рассужде-
ние о методе” (1637 г.). В основу всей геометрии Декарта положены
две идеи: введение переменной величины и использование прямоли-
нейных (декартовых) координат. Переменная величина вводится у
Декарта в двоякой форме: в виде текущей координаты точки, дви-
жущейся по кривой, и в виде переменного элемента множества чи-
сел, соответствующих точкам данного координатного отрезка. Ко-
ординатные оси у Декарта еще не равноправны: одна ось главная, а
другая — вспомогательная, расположенная под некоторым (не обя-
зательно прямым) углом к главной оси.
Рис. 19. Деление отрезков
Рис. 18. Умножение отрезков
Рис. 21. Извлечение корня
Рис. 20. Возведение в квадрат
х а
— — —,
а 1
Всякое число у Декарта изображается отрезком. Он устра-
няет главный недостаток геометрической алгебры пифагорейцев —
ступенчатость исчисления, введя по-новому операции умножения и
деления отрезков, возведения в квадрат и извлечения квадратного
корня (см. рис. 18, 19, 20, 21).
86
Приложение, в котором изложена аналитическая геометрия Де-
карта, состоит из трех книг. Первая — “О задачах, которые можно
построить, пользуясь только кругами и прямыми линиями7’ начина-
ется с кратких разъяснений общих принципов. Затем следуют пра-
вила составления уравнения геометрических кривых: “Чтобы ре-
шить какую-либо задачу, нужно сначала считать ее как бы решен-
ной, и обозначить буквами все как данные, так и искомые линии.
Затем, не делая никакого различия между данными и искомыми ли-
ниями, заметить зависимость между ними так, чтобы получить два
выражения для одной и той же величины; это и приводит к уравне-'
нию, служащему для решения задачи, ибо можно приравнять одно
выражение другому”. Доказывается, что все геометрические задачи,
решаемые с помощью циркуля и линейки, сводятся к решению це-
почки уравнений не выше второй степени. Общие правила своей ге-
ометрии Декарт излагает на примерах.
Вторая книга называется “О природе кривых линий” Она посвя-
щена более подробному рассмотрению алгебраических кривых раз-
личных порядков, классификации и выявлению их свойств. Все кри-
вые Декарт делит на два класса в зависимости от того, возможно
ли провести их исследование средствами, которыми он располагал.
А именно: Декарт считал возможным допускать в математику лишь
те кривые, которые описываются непрерывным движением циркуля
или линейки, или же несколькими такими последовательными дви-
жениями, из которых последующие вполне определяются им пред-
шествующими. Остальные кривые получили у Декарта название ме-
ханических и исключены из класса допустимых кривых. Таким об-
разом, все допустимые кривые могут быть построены с помощью
некоторого шарнирного механизма. Относительно их бе?з строгого
доказательства высказано утверждение, что они выразимы алгебра-
ическими уравнениями.
Далее Декарт замечает, что степень алгебраического уравнения
кривой инвариантна относительно выбора системы координат. Но
за основу классификации кривых Декарт берет не степень уравнения
кривой, а число звеньев соответствующего шарнирного механизма.
В силу этого принципа кривые оказываются разделенными по родам,
причем к n-му роду относятся алгебраические кривые порядка 2n — 1
и 2п.
В третьей книге “О построении телесных или превосходящих те-
лесные задач” поставлена задача— построение общей теории реше-
87
ния уравнений и использование для этой цели наряду с алгебраиче-
скими средствами теории геометрических мест пифагорейцев. Ал-
гебраическая символика Декарта удобнее, чем у Виета, и уже лишь
незначительно отличается от современной. Всякое уравнение при-
водится к виду Рп(я) = 0, где Рп(х) — многочлен с целыми коэффи-
циентами, расположенные по убывающим степеням неизвестного х.
Декарт высказал здесь предположение, что алгебраическое уравне-
ние может иметь столько корней, какова его степень. Он доказал,
что число положительных корней уравнения равно числу знакопе-
ремен в ряду коэффициентов, а число отрицательных корней равно
числу повторений знака в ряду коэффициентов (все в предположении
вещественности всех корней).
Отметим, что идеи аналитической геометрии были независимо
от Декарта изложены другим французским математиком — П. Фер-
ма. Ферма сделал это в небольшом сочинении “Введение в теорию
плоских и пространственных мест”, написанном в 1636 г. но опу-
бликованном лишь в 1679 г.
Прошло около 70 лет со времени написания работ Декарта и
Ферма, пока удалось получить существенно новые результаты в
этом направлении. Новый шаг в развитии аналитической геометрии
связан прежде всего с выходом в свет в 1704 г. сочинения И. Ньютона
“Перечисление кривых третьего порядка” В этой работе введены
равноправные и ортогональные оси координат, в основу классифи-
кации кривых положена степень их алгебраического уравнения, для
приведения уравнений кривых к каноническому виду используются
линейные преобразования координат. Ньютон перенес на алгебраи-
ческие кривые 3-го и высших порядков понятие диаметра, вершины,
центра, оси, асимптоты, ввел понятие двойной точки алгебраической
кривой. При этом кривые Ньютон рассматривает, по-существу, на
проективной плоскости [Зз. 223]
В 1731 г вышла работа семнадцатилетнего А. Клеро “Исследо-
вания о кривых двоякой кривизны” (так Клеро называе простран-
ственные кривые). Каждую точку пространственной кривой Клеро
проектирует на две взаимно перпендикулярные плоскости, так что
пространственная кривая задавалась системой двух уравнений. Ра-
боты Ньютона, Клеро и некоторых других математиков создали воз-
можность для систематического построения аналитической геоме-
трии в форме, близкой к современной (Л. Эйлер, 1748 г.).
88
4.6 СОЗДАНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Дифференциальная геометрия возникла в XVIII в. как приложение
анализа бесконечно малых к аналитической геометрии. К началу
XVIII в. были уже исследованы многие свойства плоских кривых.
Следующий шаг в развитии дифференциальной геометрии свя-
зан с введением методов изучения пространственных кривых и по-
верхностей. Это было сделано в вышеупомянутой работе Клеро
“Исследования о кривых двоякой кривизны” (1731 г.). В этой ра-
боте ряд вопросов решен с помощью дифференциального и инте-
грального исчисления. Так, Клеро ввел касательные и нормали к
пространственным кривым, а также подкасательные и поднормали,
ввел касательную плоскость к поверхности, содержащей данную кри-
вую. Нормаль, по Клеро, является нормалью к касательной плоско-
сти. Рассмотрены также геометрические места точек пересечения
касательных и нормалей с координатными плоскостями.
Перенесение методов двумерной* дифференциальной геометрии
на трехмерный случай, осуществленное Клеро, в течении примерно
50 лет не было превзойдено никем. Однако под воздействием потреб-
ностей геодезии и картографии, а также механики появился ряд ра-
бот, в которых решались дифференциально-геометрические задачи.
Среди появившихся работ доминировали работы Эйлера, который
вывел уравнение геодезической линии на поверхности, заданной ура-
внением
Pdx = Qdy + Rdt,
в виде
Q d2x + Р d2y _ dx d2x + dy d2y
Qdx + Pdy dt2 -I- dx2 + dy2 ’
и [ 'смотрел ряд частных случаев, относящихся к геодезическим на
повгрк ости вращения. В 1736 г. Эйлер доказал, что точка, движу-
щаяся ио поверхности при отсутствии действующих сил, перемеща-
ется по геодезической.
В 1767 г. вышла статья Эйлера “Исследования о кривизне по-
верхностей” в которой изложены основы общей теории поверхно-
стей. Здесь выведена, в частности, известная теорема Эйлера о ра-
диусе кривизны кривой, получающейся при пересечении поверхно-
сти Z = Z(x, у) плоскостью Z = ах + 0у + 7, выведена формула
89
для радиуса кривизны нормального сечения поверхности, введены
главное нормальное сечение, перпендикулярное плоскости ху, и нор-
мальное сечение, перпендикулярное главному, и т.д.
В 70-х гг. XVIII в. одной из главных проблем сделалось разверты-
вание поверхностей. Понятие развертывающейся поверхности ввел
Эйлер. В статье 1771 г. о телах, поверхности которых можно нало-
жить на плоскость, он исходит из соответствия между координатами
(ж, j/, z) — точки развертывающейся поверхности, и (t, и) — точки
плоскости, с которой совпадает указанная точка поверхности после
развертывания. На плоскости берется элементарный прямоугольный
треугольник с вершинами
(t, u), (t 4- <Й, и), (t, и 4- du).
Ему соответствует элементарный треугольник на поверхности с вер-
шинами
(ж, у, z), (ж 4- /<Й, у 4- mdt, z 4- пЛ),
(ж 4- Adu, у 4- z + vdu),
(I, т, n, А, /4, и — соответствующие частные производные: I
дх . дх ч „
-г-, А = — и т.д.). Конгруэнтность соответствующих отрезков
ot ди
привела Эйлера к следующим условиям развертывания:
dx2 4- dy2 4- dz2 = dt2 4- du2, I2 + m2 + n2 = 1,
A2 4- Я2 +1/2 = 1) /А 4- rnp 4- nv = 0.
Решение Эйлера содержало общую идею изгибания поверхностей
и повлекло за собой ряд значительных результатов. В частности Эй-
лер доказал, что касательные произвольной пространственной кри-
вой образуют развертывающуюся поверхность.
Попытки построения общей теории поверхностей и простран-
ственных кривых методами, заимствованными из аналитической ге-
ометрии, продолжались и в 80-х гг. XVIII в., но без особого успеха.
Несмотря на то, что Монжу, Лагранжу, Ламберту, Менье удалось
получить в дифференциальной геометрии новые конкретные резуль-
таты, количество людей, занимавшихся дифференциальной геоме-
трией, быстро уменьшалось. Это было вызвано, главным образом,
резким усложнением аппарата аналитической геометрии при рас-
смотрении новых конкретных задач.
90
Но тем временем уже намечались пути дальнейшего развития
дифференциальной геометрии. Это: а) большее привлечение геоме-
трических соображений, временно отодвинутых на второй план уси-
лиями по созданию аналитического аппарата; б) расширение после-
днего за счет привлечения теории дифференциальных уравнений в
частных производных; в) перевод геометрических фактов на язык
дифференциальных уравнений и, наоборот, геометрическая интер-
претация этих уравнений. Наибольшее продвижение в этом напра-
влении было достигнуто в работах Г Монжа и его учеников. В те-
чение 70-х гг. XVIII в. Монж опубликовал два сочинения: “Мемуар о
развертках, радиусах кривизны и различных видах перегибов кри-
вых двоякой кривизны” и “О свойствах многих видов кривых повер-
хностей” В них дано широкое и полное исследование свойств про-
странственных кривых и поверхностей, введено развертывание по-
верхностей, исследованы эволюты, огибающие и т.д.
Отметим, что классификация кривых и поверхностей по виду их
алгебраических уравнений и связанный с этим громоздкий аппарат
не удовлетворяли Монжа. Новая классификация поверхностей была
дана Монжем в лекциях для Политехнической школы, которые вы-
шли отдельной книгой в 1801 г. В ней Монж исходит из потреб-
ностей практического приложения и соответствующих нужд техни-
ческого образования. Свойства и структура поверхностей прояв-
ляются яснее, если, кроме уравнения, задан способ их построения
путем перемещения в пространстве заданной линии. При этом в ка-
честве объекта изучения выступают не алгебраические уравнения,
а дифференциальные уравнения в частных производных.
Оказалось, что дифференциальным уравнениям в частных про-
изводных первого порядка соответствует большое семейство повер-
хностей. В него входят цилиндрические и конические поверхности,
поверхности вращения и каналов. Кроме того, к этому классу отно-
сятся поверхности склонов насыпей, а также винтовые поверхности.
Рассматривая поверхности с различных точек зрения, Монж по-
лучает одновременно и дифференциальное уравнение поверхности
и конечное уравнение, как его интеграл. Например, рассматривая
цилиндрические поверхности как такие, касательная плоскость кото-
рых параллельна прямой / х = az, у = bz, он получает их уравнение
dz .dz .
адх + ду ~
91
В то же время из условия, что образующая цилиндрической повер-
хности параллельна прямой /, Монж получает конечное уравнение
этой поверхности
y-bz = p(z-az),
где — произвольная гладкая функция. Последнее уравнение дает
решение дифференциального уравнения цилиндрической поверхно-
сти.
Упражнение 14. Следуя Монжу, вывести для конической повер-
хности ее дифференциальное уравнение и ее конечное уравнение.
Монж вводит также геометрическую интерпретацию характери-
стик, как линий пересечения двух бесконечно близких поверхностей,
и выводит их дифференциальное уравнение.
Дифференциальные уравнения второго порядка определяют, как
показал Монж, семейства развертывающихся поверхностей, а также
цилиндроиды — линейчатые поверхности, которые описываются
прямой, перемещающейся по двум пространственным кривым па-
раллельно заданной плоскости, и классы поверхностей, кривизны
которых удовлетворяют некоторым условиям (резные, трубчатые,
минимальнее).
Общие линейчатые поверхности определяются уравнениями тре-
тьего порядка, равно как и более сложные поверхности, вроде по-
верхности, огибающей сферу переменного радиуса, центр которой
движется по заданной кривой.
Перевод фактов теории поверхностей на язык дифференциаль-
ных уравнений в частных производных сопровождается у Монжа
разработкой геометрической теории этих уравнений. В частности,
он дал геометрическую трактовку общей теории дифференциальных
уравнений с частными производными первого порядка. Полный ин-
теграл таких уравнений /(я, у, z, a, 6) = 0 геометрически интер-
претируется двупараметрическим семейством поверхностей. Если
заменить b = где — символ произвольной функци; то ура-
внению
f(x, 2/, z, а, = о
соответствует однопараметрическое семейство повер?<носг! ей (Монж
назвал их огибаемыми). Уравнение огибающей их поверхности полу-
чается путем исключения параметра а из уравнений
/ = о.
92
Отсюда при фиксированном значении а получаются уравнения ха-
рактеристик (образующих огибающие поверхности, являющихся ге-
ометрическими образами общего интеграла). Все характеристики
огибаются кривой, которую Монж назвал ребром возврата.
Подобные соображения, высказанные относительно уравнения
/(*, У, г, Р,д) = 0
и его полного дифференциала
X dx 4- Y dу 4- Z dz 4- Р dp 4- Q dq = О
привели Монжа к системе уравнений
dx _ dy _ dz _ dp _ dq
P Q Pp 4- Qq X 4* pZ Y 4* qZ
Геометрические методы внесли также ясность в трактовку ура-
внения, названного впоследствии уравнением Пфаффа
Р dx 4- Q dy 4- R dz = 0.
Если условие интегрируемости выполняется, то его решение геоме-
трически представляется семейством поверхностей
f(x, у, z) = C
на которых любые кривые ортогональны к кривым
dx _ dy _ dz
Если же это условие не выполнено, то, как показал Монж, при зада-
нии дополнительной зависимости у>(х, у, z) = 0 уравнение Пфаффа
определяет на поверхности <р(х, у, z) = 0 однопараметрическое се-
мейство кривых, ортогональных к тем же кривым.
Теория характеристик Монжа, сведение задачи решения диффе-
ренциальных уравнений с частными производными к системе обы-
кновенных дифференциальных уравнений, геометрическая интер-
претация решений, тесная взаимосвязь геометрических и механи-
ческих методов — вся совокупность достижений Монжа привела
дифференциальную геометрию к новому этапу. Он характеризуется
введением в геометрию аппарата дифференциальных уравнений в
93
частных производных и резким расширением ее теоретических и
практических возможностей.
Определяющее влияние на весь ход развития дифференциальной
геометрии оказало появление в 1828 г. “Общих исследований о кри-
вых поверхностях” К. Гаусса. В основу своей работы Гаусс поло-
жил параметрическое представление поверхности и соответствую-
щее ему выражение линейного элемента. Из трех способов задания
поверхности:
1) неявным уравнением
/(х, у, z) = О,
2) параметрическим представлением
г = х(р, q), у = у(р, q) z = z(p, q),
3) заданием z как функции от х и у
г = /(«, у),
где третий способ является частным случаем как первого, так и
второго, Гаусс пользуется преимущественно вторым, как “наиболее
соответствующим природе поверхности”
Гаусс строит две квадратичные формы
ds2 = Еdp2 4- 2Fdpdq + Gdq2
и
Ddp2 + 2D'dp dq + D"dq2
Первая из этих форм — теперь говорят “первая основная квадра-
тичная дифференциальная форма поверхности” — выражает ква-
драт линейного элемента ds2 поверхности, т.е. квадрат расстояния
ds между бесконечно близкими точками поверхности с координатами
(р, д) и (р + dp, g + dg). Эта форма играет основную роль в исследо-
ваниях Гаусса.
Вторая форма отличается от второй основной квадратичной
дифференциальной формы современной теории поверхностей только
множителем EG — F2
Еще в 1816 г. Гаусс опирался на выражение линейного элемента
при решении вопроса о конформном отображении двух поверхно-
стей, т.е. отображении, сохраняющем подобие в бесконечно малом.
94
Требование конформности сводится к пропорциональности линей-
ных элементов этих поверхностей, т.е.
Ef ~ F' ~ С
Эта проблема была им решена, и в 1825 г. опубликована.
Полезным нововведением Гаусса явилось и использование в геоме-
трии сферического отображения, обычно применявшегося в астро-
номии. Каждой нормали^ к поверхности ставится в соответствие та-
кая точка на единичной сфере, радиус-вектор которой параллелен
этой нормали. Таким образом всякая область поверхности отобра-
жается с помощью нормалей в некоторую область на сфере. Опи-
раясь на это отображение, Гаусс вводит понятие меры кривизны
К (гауссова кривизна поверхности в данной точке) как отношение
площадей соответствующих бесконечно малых областей на сфере и
на поверхности. Иными словами, К является пределом отношения
площадей соответствующих областей сферы и поверхности, когда
область поверхности стягивается в точку.
Гаусс вычисляет меру кривизны сначала для простейшего слу-
чая, когда поверхность задана уравнением z = z(z, у), затем для
случая параметрического задания поверхности и, наконец, после ис-
кусных вычислений Гауссу удается выразить меру кривизны только
через коэффициенты первой формы и их производные. Этот резуль-
тат, как указывает Гаусс, “приводит к славной теореме: если кри-
вая поверхность будет развернута на любую другую поверхность,
то при этом мера кривизны в каждой ее точке остается неизмен-
ной” Свойства, сохраняющиеся при всевозможных непрерывных из-
гибаниях “нерастяжимой” поверхности, образуют, по выражению
Гаусса, “внутреннюю геометрию поверхности” Как показал Гаусс,
к внутренней геометрии поверхности относятся линейный элемент,
коэффициенты первой квадратичной формы, гауссова кривизна по-
верхности, свойство линии быть геодезической и т.п.
В работах Гаусса имеется также теорема о сумме углов геодези-
ческого треугольника. Эта теорема, заключающаяся в
а + /? + 7- 7г = У К da,
где а, /?, 7 — углы геодезического треугольника, а интеграл справа
равен площади сферического отображения треугольника, имеет пря-
95
мую связь с размышлениями и расчетами Гаусса, относящимися к
неевклидовой геометрии.
Вскоре после появления работы Гаусса начинается постепенно
расширяющаяся разработка внутренней геометрии поверхностей.
Так, Ф.Г. Миндинг в “Замечании о развертывании кривых линий,
принадлежащих поверхностям” (1830 г.) вносит ценное дополнение
1
к понятиям внутренней геометрии. Он показал, что величина -,
1
равная произведению кривизны — кривой на косинус угла ^>, об-
Л
разованного соприкасающейся с кривой плоскостью с касательной
плоскостью к поверхности
1 _ cos^>
р ~ R
(по современной терминологии это проекция вектора кривизны на
касательную плоскость), позже (1848 г.) названная Бонне геодези-
ческой кривизной, принадлежит внутренней геометрии поверхно-
сти. Доказательство состояло в отыскании выражения для геодези-
ческой кривизны через Е, F,G и их проз водные первого порядка.
К геодезической кривизне Миндинг пришел при решении ме-
тодами вариационного исчисления изопериметрической задачи —
найти на поверхности кратчайшую кривую, охватывающую данную
площадь. В том же 1830 г. Миндинг пришел к выводу, что если реше-
ние существует, то на экстремали
COStf
—-------величина постоянная, и
л
высказал предположение, что такая кривая должна быть геодезиче-
ской окружностью. Для случая поверхностей постоянной кривизны
он доказал это предложение еще в 1830 г., но окончательно этот во-
прос был решен только в 1921 г. А. Бауле, показавшем, что лишь на
поверхностях постоянной кривизны все геодезические окружности
имеют постоянную геодезическую кривизну.
Впоследствии (1837 г.) Миндинг предложил интересную геоме-
трическую интерпретацию геодезической кривизны. Он показал,
что ее можно определить как кривизну той плоской кривой, которая
получится из данной, если наложить на плоскость развертывающу-
юся поверхность, являющуюся огибающей семейства плоскостей, ка-
сающихся поверхности в точках заданной кривой. Эта ценная идея
Миндинга о способе развертывания линии, лежащей на поверхно-
сти, на плоскость была впоследствии применена Леви-Чивитой для
96
введения фундаментального понятия — параллельного перенесения
вектора вдоль кривой, лежащей на поверхности (1917 г.).
Из работ Миндинга отметим еще статью “Об изгибании кривых
поверхностей” (1838 г.), в которой ему удалось показать, что для
двух поверхностей совпадение гауссовых кривизн в случае их по-
стоянства является и достаточным условием наложимости, причем
наложение может осуществляться бесконечным числом способов, за-
висящим от трех параметров.
Из работ французской дифференциально-геометрической школы
отметим два результата. Р. Бонне (1865 г.) удалось обобщить тео-
рему Гаусса о сумме углов геодезического треугольника. Он показал,
что для простого гладкого контура С, ограничивающего область Е
регулярной поверхности, выполняется соотношение
/ Kda+ / — = 2%,
J J Ра
Е С
т.е. сумма “полной кривизны” области Е и интеграла геодезической
кривизны — по ограничивающему область Е контуру С равна 2%.
Ря
Ж. Френе (1847 г.) и Ж. Серре (1851 г.) вывели формулы, свя-
зывающие направляющие косинусы касательной, главной нормали и
бинормали к пространственной кривой с их производными по длине
дуги кривой. В настоящее время, заменяя направляющие косинусы
прямых единичными векторами /, п и 6, направленными соответ-
ственно по касательной, главной нормали и бинормали кривой, фор-
мулы Френе-Серре записывают в виде
dt , dn - - db
— = kn, — = —hi 4- aeo, — = —aen,
ds ds ds
где к и ж — кривизна и кручение кривой, абсолютные значения ко-
dt db
торых равны модулям векторов — и —, т.е. пределам отношения,
ds ds
соответственно, “угла смежности” Да между касательными в двух
близких точках и угла Д/7 между соприкасающимися плоскостями в
этих точках к длине дуги Да между этими точками при стягивании
этой дуги в точку. В пространстве кривизна всегда считается по-
ложительной, а кручение считается положительным, когда соприка-
сающаяся с кривой винтовая линия правая, и отрицательным, когда
эта винтовая линия левая.
97
Из достижений отечественных геометров XIX в. отметим вывод
теоремы об определении поверхности двумя квадратичными фор-
мами с точностью до движения. Эта теорема впервые была опубли-
кована Бонне (1867 г.), но еще ранее она была доказана К.М. Пе-
терсоном в его диссертации “Об изгибании поверхностей” (1853 г.).
Петерсон дополнил уравнение Гаусса, связывающее коэффициенты
первой и второй форм поверхности еще двумя независимыми ура-
внениями, которые познее получили название уравнений Майнарди-
Кодацци по имени итальянских геометров, получивших их незави-
симо в 1857 г. и 1868 г. соответственно.
Опираясь на упомянутые три уравнения, Петерсон доказал в
диссертации теорему: если коэффициенты двух дифференциальных
квадратичных форм (первая должна быть знакоположительной) свя-
заны такими соотношениями, то существует поверхность, для ко-
торой эти формы являются первой и второй дифференциальными
формами, причем они определяют поверхность с точностью до по-
ложения в пространстве.
Более подробно о развитии дифференциальной геометрии в
XIX в. см., например, [24, т. 2, с. 14-32].
4.7 ГЕОМЕТРИЯ НА ПРОЕКТИВНОЙ
ПЛОСКОСТИ
Проективную плоскость ₽2 можно определить аналитически следу-
ющим образом. Пусть Ез — трехмерное евклидово пространство с
элементами х = (xi, Х2, х3), где х,- 6 R. Назовем точкой проекти-
вной плоскости ₽2 всякий класс {Ах, А / 0} параллельных векторов
из Ез или, что то же самое, всякий класс пропорциональных упо-
рядоченных троек чисел (Axi, Ахг, Ахз), где А / 0, a xi, хг, хз —
фиксированные числа, из которых по крайней мере одно отлично от
нуля. Назовем прямой да = (дах, даг, да3), где д / 0, совокупность
всех точек (Axi, Ахг, Ахз), удовлетворяющих уравнению
+ <*2*2 4- аз^з = 0,
где ai, а2, а3 — фиксированные числа, из которых по крайней
мере одно отлично от нуля. При этом будем говорить, что точка
(Axi, Ахг, Ах3) и прямая (дах, даг, даз) инцидентны друг другу.
Моделью проективной плоскости ₽2 может служить связка пря-
мых и плоскостей евклидова пространства Ез, проходящих через на-
98
чало координат. Другую модель проективной плоскости ₽2 можно
получить из евклидовой плоскости Ег присоединением к ней несоб-
ственных элементов. А именно, если взять в Ез произвольную пло-
скость, не проходящую через начало координат (т.е. через центр
связки), всякой точке этой плоскости сопоставить ту прямую из
связки, которая проходит через эту точку, а всякой прямой этой
плоскости сопоставить ту плоскость из связки, которая проходит
через эту прямую, то несобственным точкам плоскости соответ-
ствуют те прямые из связки, которые параллельны этой плоскости,
а несобственной прямой плоскости соответствует та плоскостт
из связки, которая параллельна взятой плоскости. При этом несо*
ственные точки следует считать инцидентными несобственной пр
мой.
Пр оективным ото бр*
жением проективной плоско-
сти ₽2 на проективную пло-
скость ₽2 называется всякое
взаимно однозначное отобра-
жение ₽2 на Pj, при котором
всякая прямолинейно располо-
женная тройка точек плоско-
сти ₽2 переходит в прямоли-
нейно расположенную тройку
точек плоскости Р'2. Аналити-
чески всякое проективное ото-
Рис.22 Центральная перспектива бражение плоскости ₽2 на пло-
скость ₽2 может быть задано
невырожденной матрицей А размерности 3 х 3, а именно: х* = Ах,
где х£ ₽2,ах' £ Р'2. Можно показать, что всякое проективное ото-
бражение есть либо аффинное отображение, либо движение плюс
центральная перспектива (см. рис. 22). Проективная геометрия
изучает все те определения и свойства фигур (точечных множеств)
на проективной плоскости, которые сохраняются при любых проек-
тивных преобразованиях. Такими инвариантами будут, например,
точка, прямая, инцидентность. Основным проективным инвариан-
том является двойное, или ангармоническое отношение прямо-
лиЬейной четверки точек А, В, С, D (см. рис. 23).
Если (А В CD) = —1, то говорят, что пары точек А, В и С, D
гармонически разделяют друг друга.
99
(ABCD) = (ABC) (ABD) =
_AC AD
вб bd
Рис. 73. Двойное отношение
Наряду с проективными отображениями рассматриваются
Рис. 24. Полярное преобразование
еще коррелятивные прео-
бразования проективной
плоскости, т.е. такие ее вза-
имно однозначные отобра-
жения в себя, которые каж-
дую точку проективной пло-
скости переводят в некото-
рую прямую, а каждую пря-
мую на проективной пло-
скости переводят в некото-
рую точку, не нарушая при
этом инцидентности. Приме-
ром коррелятивного преоб-
разования проективной пло-
скости в себя может служить поляритет или полярное преоб-
разование относительно фиксированной окружности (см. рис. 24),
при котором каждой точке проективной плоскости ставится в со-
ответствие ее поляра относительно окружности, а каждой прямой
проективной плоскости ставится в соответствие ее полюс относи-
тельно этой же окружности. При этом, если точка Р лежит вне
окружности, то ее полярой будет хорда, соединяющая концы каса-
тельных, проведенных к окружности .из точки Р. Если точка Р ле-
жит на окружности, то ее полярой будет касательная к окружности
в точке Р Если точка Р лежит внутри окружности, то ее полярой
будет прямая, представляющая собой совокупность всех таких точек
плоскости вне данной окружности, поляры которых,проходят через
точку Р (в частности, полярой центра круга будет несобственная
прямая). Полярное преобразование является инволютивным или
взаимно обратным коррелятивным преобразованием, так как ка-
ждому полюсу ставит в соответствие его поляру и, наоборот, ка-
ждой поляре ставит в соответствие ее полюс.
С существованием коррелятивных преобразований связан прин-
100
цип двойственности на проективной плоскости: если переимено-
вать все точки проективной плоскости в прямые, а все прямые —
в точки, сохранив при этом все инцидентности, то получится снова
проективная плоскость. Конкретно это означает следующее:
Пусть верна некоторая теорема, утверждающая, что фигура, об-
разованная из точек и прямых проективной плоскости по определен-
ному правилу, формулируемому в терминах инцидентностей, обла-
дает некоторым свойством, также формулируемым в терминах ин-
цидентностей. Тогда верна и взаимная теорема, получающаяся, если
как в правиле образования фигуры, так и в формулировке утвержда-
емого свойства поменять ролями точки и прямые, сохранив при этом
всюду инцидентности. Например, для теоремы о том, что через вся-
кие две точки проективной плоскости можно провести ровно одну
прямую, двойственной или взаимной будет теорема о том, что вся-
кие две прямые проективной плоскости пересекаются ровно в одной
точке.
Отметим еще, что суперпозиция или произведение двух корреля-
тивных преобразований есть некоторое проективное преобразова-
ние, так что всякое коррелятивное преобразование можно предста-
вить в виде произведения фиксированного полярного преобразова-
ния на некоторое проективное преобразование.
Отметим также, что совершенный, законченный вид проекти-
вная геометрия получает, если вещественную проективную пло-
скость расширить до комплексной проективной плоскости. Подроб-
нее о геометрии на проективной плоскости см., например, [11,
гл. IX].
4.8 ПРЕДЫСТОРИЯ ПРОЕКТИВНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
Проективная геометрия, сформировавшаяся как самостоятель-
ная дисциплина лишь в XIX в. имеет длинную предысторию. К
XIX в. в рамках евклидовой геометрии формируются многие опреде-
ления и теоремы, носящие проективный характер. Так эллипс, пара-
бола и гипербола определяются у Аполлония (III в. до н.э.), по су-
ществу с помощью центральной перспективы. Он определяет их как
101
сечения кругового конуса пло-
скостью, проходящей под не-
Рис. 25
которым углом к образую-
щей конуса (см. рис. 25).
Кроме того, у Аполлония
впервые введены полюсы и
поляры относительно кони-
ческих сечений. Проектив-
ный характер носят, по су-
ществу и теоремы Аполло-
ния о касательных к кониче-
ским сечениям (см. рис. 15,
16, 17); их можно перепи-
сать в виде (АВ CD) = —1
и выразить следующими сло-
вами: касательная к кониче-
скому сечению и хорда, про-
веденная из точки касания,
гармонически разделяют со-
пряженный с хордой диа-
метр.
Александрийским матема-
тиком Менелаем около 100 г.
н.э. была установлена теоре-
ма, изображенная на рис. 26.
Эта теорема носит проек-
тивный характер. Действи-
тельно, проведя через точку
S прямую Q'Q параллельно В'О так, что точка Q лежит и на прямой
ОВ, а точка Q' — несобственная, т.е. лежит на прямой ОВ', можно
переписать теорему Менелая в виде
ОА' _ ОА B'S ОА OQ
В'А' “ BA BS ” BA BQ
т.е. в виде равенства двойных отношений (О В' A' Q') и (О В A Q)
двух перспективных (с центром перспективы S) прямолинейных че-
тверок точек.
Упражнение 15. Проведите доказательство теоремы Менелая.
102
Рис. 26. Теорема Менелая
У другого александрийского математика Паппа (III в.н.э.) при
точках В, С, D, а прямой V — в
исследовании свойств четырехсто-
ронника впервые вводится двой-
ное или ангармоническое отноше-
ние прямолинейной четверки то-
чек. Доказана следующая теорема,
равносильная теореме об инвари-
антности двойного отношения при
проектировании: если три пря-
мые /2, 1^ выходящие из одной
точки О, пересекаются прямой I в
точках В', С', D' и А — точка пе-
ресечения прямых I и Г (рис. 27), то прямоугольник на АВ, DC
относится к прямоугольнику на AD, СВ как прямоугольник на АВ',
D'C' к прямоугольнику на AD', С'В', или, что то же самое,
ВА ВС _ В'А В'С'
DA DC ” О'A D'C' ’
т.е. (BDAC) = (B'D'AC/).
Упражнение 16. Проведите доказательство этого утверждения.
Используя инвариантность двойного отношения, решите следующую
задачу: медиана ВМ треугольника АВС делится точкой Q в отноше-
нии BQ : MQ = т : п; в каком отношении прямая AQ делит ВС?
103
(PQMN) = (ACSN) =
= (BDSM) = —1
Рис. 28
Папп показал также, что две
диагонали полного четырехсто-
ронника гармонически разделяют
третью диагональ (см. рис. 28,
здесь ABCD или BPDQ иди
APCQ — четырехсторонник, АС,
BD и PQ — его диагонали).
Упражнение 17. Проведите
доказательство теоремы Паппа о
полном четырехстороннике. Рас-
смотрите частные случаи этой
теоремы, когда одна или обе пары
противоположных сторон четы-
рехугольника параллельны.
Упражнение 18. Исходя из теоремы Паппа о полном четырех-
стороннике (рис. 28) и теоремы Менелая (рис. 26), запишите необ-
ходимое и достаточное условие того, чтобы прямые, проведенные иц
вершин треугольника к противолежащим сторонам, пересекались в
одной точке (теорема Чевы).
Рис. 29. Теорема Паппа
Было доказано также следующее утверждение (теорема Паппа):
если на двух пересекающихся прямых / и V лежат две тройки точек
соответственно А, В, С и А', В', С', причем ни одна из этих точек
не совпадает с точкой О пересечения прямых / и Z', то точка Р пере-
сечения прямых АВ' и А'В, точка Q пересечения прямых ВС' и В1 С,
и точка R пересечения прямых АС' и А'С лежат на одной прямой
(рис. 29) или: если вершины шестисторонника АВ'СА'ВС' попере-
менно лежат на двух прямых I и то три другие точки пересечения
104
его сторон лежат на одной прямой.
Упражнение 19. Проведите доказательство теоремы Паппа. Сфо-
рмулируйте теорему, двойственную теореме Паппа.
Элементы проективных понятий встречаются в книгах по пер-
спективе художников и архитекторов эпохи Возрождения. Неко-
торые проективные рассуждения
имеются у Кеплера, Ньютона и
Лейбница. Так, Кеплер (1604 г.)
рассматривая параболу (эту “ту-
пейшую” из эллипсов) как преде-
льный случай эллипса, когдагодин
из его фокусов уходит на бес-
конечность (см. рис. 30), впер-
вые вводит несобственную (бес-
конечно удаленную) точку на пло-
скости как такую идеальную точ-
ку, в которой, согласно фокаль-
ному оптическому свойству кони-
ческих сечений, сходится пучок
лучей, выпущенных из неподвиж-
ного фокуса и отраженных от
Рис. 30. “Слепая” точка “стенки” параболы. При этом бе-
сконечно удаленный фокус параболы Кеплер называет “слепой” точ-
кой.
В 1639 г. были опубликованы “Черновые наброски” Ж. Дезарга,
в которых содержатся элементы проективной геометрии. В частно-
сти, там имеется следующее утверждение (теорема Дезарга): если
АВС и А'В'С' — два трехвершинника, то прямые АА', ВВ' и СС' пе-
ресекаются в одной точке S (центре перспективы) тогда и только
тогда, когда точки пересечения Р, Q и R сторон соответственно АВ
и А'В', ВС и В'С', АС и А'С' лежат на одной прямой s (оси пер-
спективы). Другими словами: два трехвершинника имеют центр
перспективы тогда и только тогда, когда они имеют ось перспек-
тивы (рис. 31).
Упражнение 20. Проведите доказательство теоремы Дезарга.
Покажите, что теорема Дезарга — одна из теорем двойственности
проективной геометрии. Как выглядит теорема Дезарга в случае,
когда трехвершинники лежат в одной плоскости и имеют попарно
105
Рис. 31. Теорема Дезарга
параллельные стороны?
Отметим, что теорема Дезарга в плоском случае рассматрива-
лась автором, по существу, как теорема об инволютивном (т.е. вза-
имно обратном) преобразовании проективной плоскости. Понятие
об инволюции на прямой также введено Дезаргом. При этом Дезарг
устанавливает различные теоремы об инволюции ряда точек на пря-
мой и об инволюции пучка прямых; при доказательстве этих теорем
он постоянно пользуется теоремой Менелая [35, с. 179-183].
Работа Дезарга была продолжена Б. Паскалем, который в 1640 г.
опубликовал свой “Опыт о конических сечениях” В этой работе до-
казано, в частности, следующее утверждение (теорема Паскаля): для
того, чтобы 6 точек А, В, С, А', В', С' лежали на одном коническом
сечении, необходимо и достаточно, чтобы точка Р пересечения пря-
мых АВ' и А'В, точка Q пересечения прямых ВС* и В'С и точка R
пересечения прямых АС' и А'С лежали на одной прямой (рнс. 32),
или: если вершины шестисторонника АВ'С А'ВС' лежат на одном
коническом сечении, то три другие точки пересечения его сторон
лежат на одной прямой.
Упражнение 21. Проведите доказательство теоремы Паскаля.
Какова связь между теоремами Паскаля и Паппа? В круг вписан ше-
стиугольник, у которого две из трех пар противоположных сторон
составлены параллельными прямыми; пользуясь теоремой Паскаля,
106
Рис. 32. Теорема Паскаля
покажите, что стороны, составляющие третью пару, также парал-
лельны друг другу.
Работы Дезарга и Паскаля были напечатаны всего в 50 экзем-
плярах, поэтому они привлекли внимание лишь очень немногих уче-
ных XVII в. и не получили в то время какого-либо развития. Возро-
ждение интереса к изучению проективных свойств фигур относится
к концу XVIII—началу XIX в. Новые успехи в этой области свя-
заны, прежде всего, с деятельностью Г. Монжа, который (1795 г.)
разработал начертательную геометрию и преподавал ее многие
годы сначала в инженерной школе в Мезьере, а затем в парижских
Нормальной и Политехнической школах — ведущих учебных заведе-
ниях того времени. “Начертательная геометрия, — писал Монж, —
преследует две цели: во-первых, дать методы для изображения на
листе чертежа, имеющего только два измерения, а именно длину и
ширину, любых тел природы, имеющих три измерения —длину, ши-
рину и высоту, при условии, однако, что эти тела могут быть точно
заданы. Во-вторых, дать способ на основании точного изображения
определять формы тел и выводить все закономерности, вытекающие
из их формы и их взаимного расположения” [33, кн. 1, с. 255].
Начертательная геометрия Монжа возродила интерес к синте-
тическим методам и привлекла внимание к методу проектирования.
Как Карно, так и Брианшон, Понселе, Жергонн и Шаль, внесшие
важный вклад в развитие проективной геометрии, слушали в свое
107
время лекции Монжа.
Л. Карно, выдающийся деятель Французской буржуазной рево-
люции, опубликовал три геометрические работы: “О корреляции
фигур в геометрии” (1801 г.), “Геометрия положения” (1803 г.) и
“Очерки о трансверсалях”(1806 г.), в которых введены некоторые,
существенные для становления проективной геометрии идеи и поня-
тия. Так, используя представление о непрерывном преобразовании
фигур (“корреляции” по его терминологии), он высказал так назы-
ваемый “принцип корреляции” (принцип непрерывности), согласно
которому определенные свойства преобразованной фигуры можно
находить и изучать по свойствам исходной фигуры (даже если корре-
ляция приводит к мнимым величинам). Карно впервые ввел двойное
или ангармоническое отношение прямолинейной четверки точек с
учетом знака, уточнив тем самым трактовку Паппа, а затем доказал
инвариантность этого отношения для четверок точек, полученных
при сечении четырех прямых пучка различными секущими. Карно
всегда подчеркивал преимущества синтетического метода над ана-
литическим, так как первый позволяет сразу охватить всевозмож-
ные частные случаи.
Ш. Брианшон (1806 г.) в работе “О кривых поверхностях второго
порядка” доказал следующее утверждение (теорема Брианшона): для
того, чтобы шесть прямых а, У, с, а', 6, d, никакие три из которых
не принадлежат одному пучку, были касательными к одной и той
же линии второго порядка, необходимо и достаточно, чтобы прямая
р, соединяющая точки пересечения прямых а и 6' и прямых а! и 6,
прямая д, соединяющая точки пересечения прямых b и d и прямых
6' и с, и прямая г, соединяющая точки пересечения прямых а и d и
прямых а1 и с, пересекались в одной точке (рис. 33). При доказатель-
стве Брианшон опирался на полярное преобразование относительно
конического сечения.
Упражнение 22. Проведите доказательство теоремы Брианшона
путем сведения ее к теореме Паскаля.
Доказательства теорем Дезарга, Паскаля и Брианшона с по-
мощью принципа корреляции см., например, в [11, с. 261-264, 288-
293].
О происхождении проективных представлений и понятий в XVII-
XVIII вв. см. также [15, т. 2, с. 117-128, т. 3, с. 173, 196]
108
Рис. 33. Теорема Брианшона
4.9 РАЗВИТИЕ ПРОЕКТИВНОЙ
ГЕОМЕТРИИ В ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЕ
XIX ВЕКА
Выделение проективной геометрии в самостоятельную дисциплину
происходит в первой половине XIX в.
В 1822 г. был опубликован “Трактат о проективных свойствах фи-
гур” В. Понселе. Понселе называет две фигуры проективными между
собой, если каждую из них можно перевести в другую цепью проек-
тирований. А “все отношения или свойства, имеющие место в одно
и то же время и у данной фигуры, и у ее проекции”, Понселе на-
зывает “проективными” Такие свойства и отношения и составляют
предмет исследования у Понселе.
Широко используется у Понселе принцип корреляции Карно. С
помощью этого принципа решаются задачи, относящиеся к кони-
ческим сечениям, вводятся несобственные (бесконечно удаленные)
точки плоскости, мнимые (в частности мнимые бесконечно удален-
ные) точки плоскости и т.п.
Особое внимание уделено у Понселе полярному преобразованию.
Опираясь на него, Понселе впервые сформулировал общий принцип
двойственности на проективной плоскости, хотя строгое доказатель-
ство этого принципа было дано впервые Ж. Жергонном в 1826 г.
Трактат Понселе произвел сильное впечатление на современни-
ка
ков, причем название трактата и послужило основанием для самого
термина “проективная геометрия” В “Трактате” определен пред-
мет проективной геометрии, установлены ее основные понятия и
теоремы, полученные применением синтетического метода. Однако
в определении двойного отношения — основного инварианта проек-
тивной геометрии — еще содержалось метрическое понятие длины
отрезка.
С конца 20-х гг. XIX в. проблемы проективной геометрии на про-
тяжении почти половины столетия становятся центральными для
ряда немецких геометров — Мёбиуса, Плюккера, Штейнера, Шта-
удта и др. Во Франции в области проективной геометрии работали
Понселе, Жергонн, Шаль, в Англии — Кэли, Сальмон и др.
Синтетический метод был так тесно связан в работах, Понселе,
Штейнера и Шаля с самим предметом проективной геометрии, что
ее нередко называли синтетической геометрией. Однако уже вскоре,
начиная с работ Мёбиуса и Плюккера, в проективной геометрии на-
чалось применение и аналитических методов. Эти методы стали по-
лучать все большее распространение, хотя у геометров нередко воз-
никали сомнения в правомерности введения однородных координат,
поскольку при этом использовались не проективные понятия.
Однородные проективные координаты, позволяющие характери-
зовать и бесконечно удаленные точки плоскости, были впервые вве-
дены в 1827 г. А.Ф. Мёбиусом способом, основанном на понятиях ге-
ометрической статики. Если поместить в вершинах фиксированного
треугольника массы mi, m2, m3, то центр тяжести (“барицентр”)
М этих масс можно характеризовать упорядоченной тройкой чисел
(mi, m2, m3). И наоборот, всякая точка М внутри этого треуголь-
ника определяет с точностью до постоянного множителя упорядо-
ченную тройку масс (mi, m2, m3), центром тяжести которых она
является. Если же точка М лежит на одной из сторон треугольника,
то одно из т, равно нулю. Если же точка М лежит вне треугольника,
то одну из этих трех масс необходимо предположить отрицательной.
Упражнение 23. Укажите барицентрические координаты несоб-
ственных точек вещественной проективной плоскости, лежащих на
продолжении сторон барицентрического треугольника. Запишите в
барицентрических координатах уравнение несобственной прямой.
Введенные “барицентрические” однородные координаты на про-
ективной плоскости позволили Мёбиусу сформулировать целый ряд
110
аффинных и проективных свойств фигур. При этом то, что мы
называем геометрическим преобразованием, т.е. взаимно одно-
значное соответствие между двумя фигурами, Мёбиус именовал
“сродством” Аффинное преобразование Мёбиус именовал “аффин-
ным сродством” или “аффиннитетом”, а проективное преобразо-
вание, при котором точки, лежащие на одной прямой, переходят в
точки, также лежащие на одной прямой, — “коллинеарным срод-
ством” или “коллинеацией”
Мёбиус показал, не привлекая метрических понятий, что колли-
неации на плоскости определяются произвольным заданием двух со-
ответственных четверок точек, из которых никакие три точки не
коллинеарны. Конгруэнтные системы точек, следуя античной тради-
ции, Мёбиус называл равными и подобными, причем рассматривал
не только такие конгруэнтные системы, которые можно совместить
непрерывным преобразованием, но и те, которые получаются друг
из друга при помощи зеркального отражения. С этой классифика-
цией Мёбиус непосредственно связал идею разыскания выражений
и геометрических образов, остающихся неизменными при каждом
из этих соответствий. При этом Мёбиус последовательно исполь-
зовал введенный им принцип знаков, причем “направление обхода”
принималось им во внимание не только при измерении длин отрез-
ков, но и при измерении площадей и объемов. Мёбиус впервые дает
подробную теорию двойного отношения четырех точек, лежащих на
одной прямой, что стало возможным лишь после введения знаков
у отрезков. Также впервые Мёбиусом введены в рассмотрение уни-
курсальные кривые (координаты которых задаются рациональными
функциями параметра). Название этих кривых объясняется тем, что
на проективной плоскости такие кривые можно провести одним рос-
черком пера. В частности, Мёбиус нашел рациональные параметри-
ческие представления конических сечений. На этом пути он впервые
рассмотрел пространственные кривые третьего порядка и изучил
их свойства.
Другой немецкий математик Ю. Плюккер в своих “Аналитико-
геометрических исследованиях” в отличие от Мёбиуса ввел совер-
шенно общие однородные проективные координаты на плоскости,
причем путь введения был иным. С аналитической точки зрения
это просто упорядоченная тройка чисел, заданная с точностью до
общего множителя. С геометрической точки зрения, как показал
Плюккер, эти три числа пропорциональны расстояниям до сторон
111
произвольно выбранного треугольника, измеренным каждое своей
единицей длины. Эти координаты получили название треугольных
или трилинейных [И, с. 322-323]. *
Аналитический метод облегчил оперирование с бесконечно уда-
ленными и мнимыми элементами и естественно привел к введению
Плюккером линейных координат, координат прямой линии. Если ура-
внение прямой имеет вид aiXi + 03^2 + азхз = 0, то тройка чисел
(ai, аз, аз) и будет «линейными (или тангенциальными) координа-
тами этой прямой. Рассматривая это уравнение как условие того,
что переменная точка (xi, Х2, Х3) лежит на фиксированной прямой
(ai, аг, аз), или как условие того, что переменная прямая (ai, аг, аз)
проходит через фиксированную точку (xi, х2, х3), Плюккер сразу
получил из симметрии выражения aixi + 02X2 -I- 03X3 = 0 обоснова-
ние принципа двойственности Понселе-Жергонна.
В своих геометрических исследованиях Плюккер с большим ис-
кусством применяет метод сокращенных обозначений и стремится к
характерному для своего учителя — Монжа — слиянию построения
с аналитической формулой. Вот что писал о методе Плюккера его
ученик Ф. Клейн: “В плюккеровской геометрии комбинация уравне-
ний превращается в геометрический факт, и наоборот — геометри-
ческие факты управляют аналитическими операциями. Вычислений,
когда это возможно, здесь стараются избежать, но зато развивается
и находит широкое применение доведенная до виртуозности острота
внутреннего восприятия и геометрического истолкования встреча-
ющихся по ходу дела аналитических уравнений.
В качестве примера, демонстрирующего плюккеровский способ
мышления, я приведу принадлежащее ему доказательство теоремы
Паскаля.
Речь идет о двух тройках прямых р, д, г и р', д', г', таких, что
из девяти точек их пересечения шесть лежат на некотором кониче-
ском сечении '(см. рис. 32). Утверждается, что остальные три лежат
на одной прямой. Мы рассматриваем р, д, г, р', д', г' как линейные
выражения, приравнивание которых нулю дает соответственно ура-
внения шести рассматриваемых нами прямых. Тогда комбинация
pqr — РР'ч'г' = О
представляет собой уравнение пучка кривых третьего порядка, ка-
ждая из которых проходит через все девять точек пересечения рас-
сматриваемых троек прямых. По условию шесть точек из девяти
112
лежат на коническом сечении. Кроме того, выбрав надлежащим об-
разом константу //, которая в принципе не подчинена никаким огра*
ничениям, мы можем добиться того, чтобы наша кривая имела с
рассматриваемым коническим сечением еще одну, седьмую, общую
точку. Но кривая Сз третьего порядка и кривая Сг второго порядка
имеют, вообще говоря, только шесть точек пересечения. Если ура-
внение шестой степени, определяющее эти точки, имеет более ше-
сти корней, то оно равно нулю тождественно. Следовательно, в этом
случае кривая Сз должна распасться на данное коническое сечение
и прямую, которая с необходимостью должна содержать три другие
точки пересечения. Таким образом, эти три точки действительно
лежат на одной прямой, что и требовалось доказать ...” [20, с. 139-
140].
Синтетические методы в проективной геометрии после Понселе
развивались, главным образом, в работах Штейнера и Шаля.
Согласно Я. Штейнеру, система проективной геометрии должна
быть развита с помощью последовательного перехода от более про-
стых начальных линейных геометрических форм к формам более
сложным, а затем путем использования проективных зависимостей
— и к образам более высоких порядков. Эти идеи Штейнер изло-
жил в своей основной работе “Систематическое развитие зависимо-
сти геометрических образов друг от друга” (1832 г.). Образы пер-
вой ступени на плоскости — это прямолинейный точечный ряд, его
двойственный образ — пучок прямых, сама плоскость. Образы пер-
вой ступени называются проективными между собой, если двойные
отношения соответствующих элементов равны. При этом двойное
отношение вводится на основе метрических понятий. С помощью
двух проективных между собой образов первой ступени строится
обряр высшего порядка — линия второго порядка. А именно, из-
вестная теорема Штейнера гласит: геометрическое место точек
пересечения двух проективных, но не перспективных пучков есть
невырожденная кривая второго порядка. Отметим, что эта теорема
была доказана еще Аполлонием (см. п. 4.4). На рис. 34 изображено
основанное на теореме Штейнера построение эллипса: стороны АВ
и ВС прямоугольника ABCD разделены на одинаковое число равных
частей; тогда пучки А и D проективны, но не перспективны (дока-
жите это!), поэтому точки пересечения соответствующих прямых
этих пучков лежат на одном и том же эллипсе.
Упражнение 24. Пользуясь теоремой Штейнера, укажите способ
ИЗ
построения параболы и гиперболы.
Существенным недостатком работ Штейнера являлось отсут-
ствие применения принципа знаков и отказ от употребления мнимых
величин; Он никогда не мог мириться с последними и употреблял та-
кие выражения, как “призрак” или же “царство теней геометрии”
В своей преподавательской деятельности Штейнер руководство-
вался принципом: “... Каждое новое знание должно быть самим уча-
щимся проработано, открыто, создано; учитель должен давать са-
мостоятельно думающему ученику только руководство в желатель-
ном направлении” Исходя из этого принципа, который он развивал
с большим искусством и успехом, Штейнер не употреблял на своих
лекциях никаких чертежей; живое соучастие слушателей в работе
должно было вызвать в их представлении настолько отчетливую кар-
тину, что можно было обойтись без всякого чувственного восприя-
тия.
Независимо от Штейнера, к своей системе проективной геоме-
трии пришел М. Шаль. При этом, подобно Мёбиусу, Шаль, рас-
сматривая величины направленных отрезков, пользуется принципом
знаков. Конические сечения Шаль, подобно Штейнеру, изучает, рас-
сматривая их образованными с помощью двух проективных пучков
прямых, но, в отличие от Штейнера, нередко говорит о геометриче-
ских соотношениях в мнимой области и рассматривает веществен-
ные части в фигурах как случайно выделившиеся из мнимых. Шаль
114
ввел в проективную геометрию общее понятие коррелятивного пре-
образования. Особенно важную роль в распространении интереса к
проективной геометрии сыграл учебник высшей геометрии Шаля, а
также его “Исторический обзор происхождения и развития геоме-
трических методов” (1837 г.), значительно больше половины кото-
рого занято его оригинальными заметками.
В середине XIX в. происходили ожесточенные споры между сто-
ронниками синтетического и аналитического методов в проективной
геометрии. Дело в том, что, как уже отмечалось выше, проективная
геометрия у “синтетических” геометров Понселе, Штейнера и Шал
содержала в себе непоследовательность; ведь основной целью ее п
строения было устранение метрической геометрии (т.е. всего тоге
проективной геометрии, что опиралось на понятие расстояния) и:
даже, как это вскоре и удалось, построение метрической геометр! л
как особой части проективной; между тем важнейшее понятие про-
ективной геометрии — двойное отношение, а вместе с ним и постро-
ение проективной координатной системы, покоилось на определении
расстояния.
Коренное изменение во всем этом произвел X. Штаудт. Чтобы
уничтожить даже воспоминание о прежней Непоследовательности,
он отказался от термина “двойное отношение” и наименовал соот-
ветствующую конфигурацию четырех точек словом “вурф” Чисто
проективно-геометрическое определение численного значения коор-
динат (“вурфов”) точки Р на проективной плоскости можно, согла-
сно Штаудту, получить путем построения “мебиусовой сети” (см.
рис. 35; здесь оо — несобственная прямая, точка М выбирается про-
извольно, а прямые проводятся в том порядке, в котором идут их
номера). Таким образом Штаудт строит все двоично-рациональные
точки, а затем и все остальные рациональные точки. Например,
точка 2/3 может быть построена так, как это проделано на рис. 36.
Штаудт доказывает, что указанное построение не зависит от вы-
бора точки М. После этого встает еще вопрос об иррациональных
числах и об их истолковании в геометрии. Этот вопрос был решен
позднее (1871-1872 гг.) с помощью введения аксиомы непрерывно-
сти: всякому значению числового ряда, дополненного до непреры-
вности с помощью дедекиндовых сечений (см. п. 2.9), соответствует
точка на прямой, и наоборот. Построение чисто проективным спо-
собом координат (“вурфов”) рг и р2 точки Р указано на рис. 37. При
этом численные значения координат pi и р2 равны соответственно
115
Рис. 35 Построение “мебиусовой сети”
116
Рис. 37 Проективное построение координат
(pi, 1; 0, ci) и (р2, 1; 0, (докажите это!). Введенные Штаудтом
координаты называются неоднородными проективными коорди-
натами. Если («1, Х2, хз) — однородные координаты точки Р, то
Pi = —, р2 = — (докажите это!).
хз х3
Упражнение 25, Даны две параллельные прямые. Пользуясь
одной линейкой, разделить расположенный на одной из этих прямых
отрезок пополам.
Отметим также данное Штаудтом истолкование мнимого в про-
ективной геометрии. Согласно Штаудту, мнимую точку можно рас-
сматривать как инволюцию второго рода на прямой с заданной ори-
ентацией; мнимая прямая есть инволюция второго рода в пучке пря-
мых с указанной в нем ориентацией. Задача провести прямую через
действительную точку Р и мнимую точку М превращается в задачу
по точке Р и по инволюции М построить пучок прямых вместе с
инволюцией и с ориентацией так, чтобы он давал мнимую прямую
РМ. Для чисто проективного построения точки и + iv достаточно,
согласно Штаудту, построить точки и — v2, и, и + 1, оо и взять их
в качестве двух разделяющих друг друга пар точек некоторой ин-
волюции и считать, что они пробегаются в направлении 0, 1, оо
(подробнее см., например, [20, с. 156-160; 19, т. 2, с. 191-197]).
117
4.10 ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
ТИПОВ ГЕОМЕТРИЙ ПО Ф. КЛЕЙНУ
Чисто проективное построение Штаудтом неоднородных координат
устанавливало независимость проективной геометрии от метриче-
ской.
С другой стороны, английский математик А. Кэли в “Шестом
мемуаре о формах” (1859 г.) вводит в рассмотрение так называе-
мую проективную метрику. А именно, фиксируя на проективной
плоскости какую-либо кривую К второго порядка aijxixj = О,
», >=1,2,3
Кэли ставит в соответствие каждым двум точкам Р и Q с коорди-
натами (хь я2, х3) и (j/1} з/2, j/з) угловое расстояние
Dist(P, Q) = arccos
V/z^ aijXiXj QijУ1У]
Кэли показывает, что введенное таким образом расстояние не из-
меняется при всевозможных коллинеациях, переводящих кривую К в
себя. Кэли замечает далее, что общие формулы сильно упрощаются,
если в качестве “абсолюта” К взять мнимую кривую х^+х^ + х^ = 0.
Тогда формула для углового расстояния примет вид
Dist(P, Q) = arccos
*1У1 + Х2У2 + ХзУЗ
y/xl + Х%
+ *3 у/yl + У2+У3
Он указывает далее, что если (®i, х2, хз) — обычные прямоу-
гольные координаты в пространстве, удовлетворяющие уравнению
xi + х2 + хз = 1, то точка (xi, х2, хз) будет точкой сферической
поверхности, и (поскольку определенное Кэли расстояние является
сферическим расстоянием) имеем систему сферической геометрии.
“Абсолютом” в такой системе является “сферическая коника”, пред-
ставляющая собой пересечение сферы с “концентрическим кону-
сом” Под “сферической коникой” КЬли понимал тот мнимый круг,
по которому бесконечно удаленная (несобственная) плоскость, до-
полняющая евклидово пространство Е3 до проективного простран-
ства Р3, пересекается со всеми сферами евклидового пространства
и с мнимой кривой xl + + Хз = 0, которую Кэли называет
“концентрическим конусом” (если (хх, х2, х3, х^) — однородные ко-
ординаты точки в Р3, то уравнение “сферической коники” в этих
118
координатах имеет вид rj 4- = 0, ац = 0). Тем самым ме-
трика Кэли осуществляется на проективной плоскости и на сфере ев-
клидового пространства с отождествленными диаметрально проти-
воположными точками. В настоящее время проективная плоскость
с определенной таким образом метрикой называется эллиптиче-
ской плоскостью; эту плоскость называют также неевклидовой
плоскостью Римана, так как на ней осуществляется неевклидова
геометрия Римана.
Кэли замечает далее, что в обычной евклидовой геометрии на
плоскости “абсолют вырождается в пару точек, а именно в пару то-
чек пересечения бесконечно удаленной прямой с исчезающим кругом,
или, что то же самое, абсолют является двумя круговыми точками в
бесконечности”, т.е. точками (1, :, 0) и (1, —0). Говоря о вырожде-
нии кривой К в пару точек, Кэли имеет в виду кривую К как пучок
второго порядка, который вырождается в данном случае в пару мни-
мых пучков. Кэли не рассматривает случаев, когда К — веществен-
ная коника, или когда К распадается на пару действительных пучков.
Однако ему было ясно большое значение определенных им проекти-
вных метрик, и в конце своего мемуара он писал: “Метрическая ге-
ометрия является, таким образом, частью проективной геометрии,
и проективная геометрия представляет всю геометрию”
Следует отметить, что проективная форма для выражения вели-
чины угла на евклидовой плооскости была предложена еще раньше
Э. Лагерром (1853 г.):, согласно формуле Лагерра угол <р между
двумя прямыми, проходящими через точку с неоднородными коор-
динатами хо и уо выражается через двойное отношение W этих пря-
мых и двух изотропных (минимальных) прямых у — уо = =Ь*(я — Хо)
соотношением In W
Случай, когда “абсолют”
быд исследован Ф. Клейном
довой геометрии” (1871 г.),
часть проективной плоскости, которая лежит внутри коники К, изо-
метрична плоскости Лобачевского. Во второй части этой статьи
(1872 г.) Клейн вводит проективную метрику несколько другим, чем
Кэли, способом. А именно, расстоянием между точками Р и Q он
называет величину с In W, где IV — двойное отношение точек Р и Q
и точек М и N пересечения прямой PQ с той кривой второго порядка
К, которая взята в качестве “абсолюта”, а углом между прямыми р
Кэли является вещественной коникой,
в статье “О так называемой неевкли-
Клейн показал, что в этом случае та
119
и q он называет величину cf In W7, где W' — двойное отношение пря-
мых р и q и двух касательных к “абсолюту”, проведенных из точки
их пересечения. Клейн показывает, что в случае, когда обе постоян-
ные с и d равны получается метрика на эллиптической плоскости,
1 , i
а в случае, когда с ;= -, а с = получается метрика на плоскости
Лобачевского.
Тем самым Клейн показал, что не только евклидова, но и обе
известные к тому времени неевклидовы геометрии (Римана и Лоба-
чевского) являются частями общей проективной геометрии. Рассма-
тривая этот факт с точки зрения теории групп, элементы которой
сложились в работах Кэли и еще ранее в работах других математи-
ков (см. п. 3.3, 3.4), Клейн приходит к выводу, что всякая геометрия
представляет собой, по существу, учение об инвариантах той или
иной группы преобразований. Эта точка зрения была впервые из-
ложена Клейном в его так называемой “Эрлангенской программе”
— лекции, прочитанной им при вступлении в должность профессора
эрлангенского университета (1872 г.).
Клейн начинает свою “Эрлангенскую программу” с определения
группы преобразований: “Наиболее существенное понятие, необхо-
димое для дальнейшего изложения, есть понятие о группе простран-
ственных изменений. Произвольное число преобразований прост-
ранства дает, складываясь, снова преобразование пространства.
Если данный ряд преобразований обладает тем свойством, что ка-
ждое изменение, получаемое от последовательного применения не-
скольких преобразований, принадлежащих этому ряду, само входит
в его состав, то мы называем этот ряд группой преобразований”
[24, т. 2, с. 108].
В качестве примеров групп преобразований приводятся “со-
вокупность всех движений” пространства (Клейн замечает, что
^каждое движение рассматривается как операция, выполненная над
всем пространством” и “совокупность коллинеаций” Клейн указы-
вает, что вращения около точки образуют подгруппу группы движе-
ний, а корреляции (“двойственные преобразования”) сами не обра-
зуют группу, но образуют ее вместе с коллинеациями.
Далее Клейн переходит от евклидова пространства к произволь-
ному “многообразию”: “По аналогии с пространственными пре-
образованиями мы говорим о преобразованиях многообразия: они
120
также образуют группы ... Как обобщение геометрии, получек.*—,
таким образом, следующая многообъемлющая задана:
Дано многообразие и в нем группа преобразовании;
нужно исследовать те свойства образов, принадлежащих
многообразию, которые не изменяются от преобразовании
группы.
Применительно к современной терминологии можно выра-
зиться еще так:
Дано многообразие и в нем группа преобразовании. Тре-
буется развить теорию инвариантов этой группы” [24, т. 2,
с. 108-109].
Подробнее об указанных работах Кэли и Клейна см., например,
[20, с. 168-176; 19, с. 201-244; 24, т. 2, с. 71-74, 105-109].
В качестве примера рассмотрим важнейшие группы преобра-
зований на плоскости. Пусть Р2 — проективная плоскость. Тогда
все преобразования вида х9 = Ах, где х и х9 — точки плоско-
сти Рг с однородными координатами соответственно (хх, х2, х3) и
(х\, х92, Хз), а А — невырожденная матрица размерности 3x3, соста-
вляют некоторую группу. Эта группа носит название группы проек-
тивных преобразований плоскости Р2, или проективной группы.
Обозначим ее Ге (здесь и далее индекс указывает число независимых
параметров группы, т.е. ее размерность). Заметим, что все проек-
тивные преобразования, автомофные относительно некоторого мно-
жества К С Рг, т.е. переводящие множество К в себя, образуют
некоторую подгруппу группы Ге. Будем называть ее группой ав-
томорфизмов относительно К.
Взяв в качестве множества К несобственную бесконечно удален-
ную прямую хз = 0, мы получим группу аффинных преобра-
зований Гб. Действительно, матрица А любого преобразования,
переводящего х3 = 0 в х93 = 0 (при любых хх и х2) будет иметь
вид: А = {а,-;, где a3i = а32 = 0}. Тогда все конечные (собствен-
ные) точки плоскости Р2, т.е. точки, составляющие аффинную пло-
скость, будут переходить также в точки аффинной плоскости, а все
преобразования с матрицей А указанного вида в неоднородных ко-
Х1 х2 / х'х . х'2
ординатах х = —, у = —, х = -у, у = -у перепишутся в виде
Хз Х3 Х3 Х3
{х' = aix + 61J/ + С1
!/' = а2х 4- Ь2у + с2 ,
121
«»1 . «»2 ai3 V -
где ai = —, bi = —, Ci =------, т.е. действительно будут являться
азз азз азз
аффинными преобразованиями.
Взяв в качестве К две циклические (или круговые) точки
(1, г, 0) и (1, —г, 0), т.е. точки пересечения всякой окружности (zi —
ах3)2 + (*2 — Ъхз)2 = г2х% с несобственной прямой хз = 0 (про-
верьте это!), мы получим группу Г4 евклидовой геометрии. Дей-
ствительно, нетрудно показать (см., например, [12, с. 454]), что ма-
трица А любого преобразования, переводящего пару циклических
точек в себя, будет иметь вид: А = {а|;-, где a3i = 032 = 0, а
a2i = Т«12, «22 = Ь1ц }. Тогда все собственные точки будут перехо-
дить в собственные, а все преобразования с матрицей А указанного
Xi Х2 , х\ . х\
вида в неоднородных координатах х = —, у = —, z' = —7, у = -7
z3 хз х'з х'3
перепишутся в виде
х’ — «33 + «12 —У «33 + «13 «33
«12 «и «23
У т—х «33 ± —У «33 + «33
«13
— = и,
«зз
или, если ввести обозначения
«и
---= г cos 9?,
«зз
«12
---= г sin 9?,
«зз
«23
— = V,
«33
в виде
х1 = r(zcos9? 4- ysin9?) + и
у1 = r(T*sin9? ± ycQsip) -I- v
Из этих формул видно, что всякое преобразование из группы Г4
представимо в виде суперпозиции поворота на угол 9? вокруг на-
чала координат, преобразования подобия (а именно, растяжения в
г раз относительно начала координат) и параллельного переноса на
вектор (u, v), так что группа Г4 действительно является группой
преобразований евклидовой геометрии на плоскости.
Взяв в качестве К овальную линию х2 4- х% — х3 = 0, мы по-
лучим группу Г 2 геометрии Лобачевского на плоскости. Все
те преобразования этой группы, которые автоморфны еще и отно-
сительно несобственной прямой, являются, очевидно, поворотами с
центром в точке (0, 0, 1), возможно с симметрией относительно оси
122
х — —, и, следовательно, запишутся в виде
*з
{х' = zcosy> + у sin 9? , х
у1 = 4= zsin^ ± у cosy? ' '
Если же некоторое преобразование группы Гг переводит несоб-
Рис. 38. Преобразование (б)
ственную прямую в собственную, то существует собственная пря-
мая /1, которая при этом преобразовании переходит в несобствен-
ную прямую /о©: ®з = 0. С помощью некоторого движения (а) эту
х2
прямую /1 можно расположить “параллельно” оси у = —, так что
*з
<1 будет определяться уравнением Azi 4- хз = 0, где А 0. Поэтому
азх = А, а32 = 0, а33 = 1. А так как образ /1 не пересекается (на ве-
щественной проективной плоскости) с овальной линией, то и сама
прямая /1 также не пересекается с этим абсолютом (см. рис. 38); по-
этому | А| < 1. Далее, полюс Pi (—А, 0, 1) прямой перейдет в полюс
Роо(0, 0, 1) несобственной прямой Zoo- Поэтому прямая /2: «2 = 0
перейдет в прямую /£, проходящую через центр круга, так что 1'2:
021*1 4-a22z2 = 0. А тогда из второго уравнения системы APi = Рто
находим, что a2i = 0, так что z2 = a22z2 и прямая /2 переходит
в себя. Но тогда прямая /3: xi 4- Az3 = 0 переходит в прямую 1'3:
*i = 0, так как Pi переходит в Р»,, а полюс прямой /3 остается на
123
прямой /2, так что /3 “ортогональна” /2. Поэтому х\ = Xi 4- Az3.
Наконец, из условия х{2 4- х?2 — z32 = 0 при z? 4- z| - z3 = 0 находим:
а22 = ±\/1 “ А2 (при этом, с учетом (а) можно считать, что а22 > 0).
Итак
{х\ = ______ 4- Az3
z'2 = у/1 — A2z2 (б)
х'3 = Ari 4- х3
г» *1 Х2 / х\ . х*2
В неоднородных координатах х = —, у = —, z = —7, у = —г
х3 хз х'3 х‘3
уравнения (б) принимают вид
х 4" А
14-Az
х/1 - А2 у
1 4- Az
(Л
и, с точностью до обозначений, совпадают с преобразованиями Ло-
ренца специальной теории относительности. А именно, если ввести
- VV I Vx 1 \ V
обозначения x = —, у = —, x' = —, у = —, A = -, то преобразо-
c c c c c
вания (6Z) перепишутся в виде преобразований Лоренца
/ +'v
/—^ <б")
где (vr, vy) — компоненты скорости точки в неподвижной системе
координат (z, у), a (v', v'y) — компоненты скорости этой же точки
в системе (zx, у'), движущейся относительно системы (z, у) влево со
скоростью v (см. рис. 39), с — скорость света.
Взяв в качестве К нулевую линию zf-bzl-bzj = 0, мы получим
группу Г2 эллиптической геометрии на плоскости. Все те пре-
образования этой группы, которые автоморфны еще и относительно
несобственной прямой, являются, очевидно, преобразованиями вида
(а). Если же некоторое преобразование группы Г2 переводит несоб-
ственную прямую в собственную, то, с учетом (а), можно считать.
124
У
х
Рис. 39
что х3 = Ааг14-агз. Далее, полюс Pi (А, 0, 1) прямой /1 Aari4-*3 перей-
дет в полюс Р©©(0, 0, 1) несобственной прямой /©о х3 = 0. Поэтому
прямая /2 *2 = 0 перейдет в прямую 12, проходящую через точку
(0, 0, 1), так что 12 021*1 + «22*2 = 0. А тогда из второго уравне-
ния системы АР1 = Роо находим, что <121 = 0, так что х2 = 022*2,
и прямая /2 переходит в себя. Но тогда прямая /3 — xi 4- Аагз = 0
переходит в прямую 13 х\ = 0, так как Pi переходит в Р©©, а полюс
прямой /3 остается на прямой /г- Поэтому х[ = — х^ 4- Хх^. Наконец,
из условия *124-аг224~жз2 = 0 при аг?4-*1 + ^3 = 0 находим, с учетом
(а), ЧТО 022 = у/1 + А2. Итак,
{х\ = -xi ____________ + Агз
х'2 = VI + А2г2 (в)
х'3 = Art + х3
п *1 *2 , х'1 , х'2
В неоднородных координатах х = —, у = —, х = у' = —*
Х3 Х3 х3 х3
уравнения (в) принимают вид
. —х + А
Х ~ 1 + Хх
,_____ (В')
, V1 + А2 у
у = ТТаТ-
Основным инвариантом группы Ге всех проективных преобра-
зований на вещественной проективной плоскости является двойное
отношение (А В CD) = (ABC) (ABD) прямолинейной четверки
точек А, В, С, D.
125
Основным инвариантом группы всех аффинных преобразо-
ваний на вещественной плоскости является простое отношение
(АВС) = АС ВС прямолинейной тройки точек А, В, С.
Основным инвариантом группы Г4 евклидовой геометрии на пло-
скости является модуль угла между прямыми.
Основным инвариантом группы Г2 гиперболической геометрии
на плоскости является расстояние pr(P, Q) = \ln(PQM N)\ между
точками Р и Q (здесь М и N — точки пересечения прямой PQ с
овальной линией).
Основным инвариантом группы Г'2 эллиптической геометрии на
плоскости является расстояние
xiyi 4- Х2У2 + хзУз
y/xl + xj + Хз\/У1 + 1/2 + Уз
между точками P(zi, Z2, *з) и Q(j/i, t/2, уз)-
Упражнение 26. Покажите, что расстояния рь и рц действи-
тельно являются инвариантами соответствующих групп преобра-
зований и, кроме того, обладают свойствами:
1) />(Р, Q) > 0; р(Р, Q) = 0 & Р = Q,
2) P(Q, Р) = />(Р, Q),
3) р(Р, R) 4- p(R, Q) > р(Р, Q) для любого R,
4) р(Р, R)4- p(R, Q) = р(Р, Q) для любой точки R на отрезке PQ.
Упражнение 27. Укажите основные подгруппы евклидовой (“шко-
льной”) геометрии на плоскости.
Упражнение 28. Какие из известных вам типов геометрий, кроме
названных в этом параграфе, подпадают под теоретико-групповую
классификацию? Укажите преобразования и основные инварианты
этих геометрий.
Вопросы и задания
1. О чем говорят нам названия первых геометрических фигур и
тел?
2. Сформулируйте постулаты “Начал” Евклида.
3. Какие идеи из “Конических сечений” Аполлония оказались
фундаментальными для дальнейшего развития геометрии?
126
4. Назовите практические и теоретические предпосылки воз-
никновения аналитической геометрии.
5. Что такое аналитическая геометрия по форме и по содержа-
нию?
6. Назовите основные этапы в становлении классической диффе-
ренциальной геометрии.
7. Что такое внутренняя геометрия поверхности?
8. Что такое проективная плоскость? Укажите ее модели.
9. Что изучает проективная геометрия?
ГО. Что такое двойное или ангармоническое отношение прямоли-
нейной четверки точек?
11. Что такое принцип двойственности в проективной геометрии?
12. Какие свойства фигур Понселе называет “проективными”?
13. Что такое синтетические и аналитические методы проекти-
вной геометрии?
14. Каким образом вводятся однородные проективные координаты
и Мёбиуса и у Плюккера?
15. Что такое “вурфы” Штаудта? Укажите способ их чисто про-
ективного построения.
16. Что такое проективная метрика Кэли?
17. Что положено Клейном в основу классификации типов геоме-
трий? Назовите важнейшие подгруппы группы проективных
преобразований на плоскости.
Глава 5
АНАЛИЗ
5.1 МЕТОД “ИСЧЕРПЫВАНИЯ”
ЕВДОКСА. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
АРХИМЕДА
Теоретическими предпосылками для создания во второй поло-
вине XVII в. основ дифференциального и интегрального исчисления
послужили аналитическая геометрия Декарта и Ферма и, в особен-
ности, интегральные и дифференциальные методы в Древней Греции
и в Европе первой половины XVII в. Эти интегральные и дифферен-
циальные методы суть методы решения отдельных редких задач на
вычисление площадей и объемов и на нахождение касательных и экс-
тремумов. Эти методы содержат в себе почти все идейное богатство
будущего интегрального и дифференциального исчисления.
Интегральные методы в Древней Греции были основаны на ме-
тоде “исчерпывания” Евдокса. Этот метод, создание которого отно-
сится к IV в. до н.э., представляет собой исторически первый метод
пределов. В основе его лежит следующая лемма.
Лемма Евдокса. Если даны две величины а и £, 0 < £ < а, то
вычитая из величины а больше ее половины, из полученного остатка
больше половины этого остатка и т.д., получим через конечное число
шагов п остаток гп < е.
Эта лемма формулируется и доказывается в предложении X, I
“Начал” Евклида. Доказательство ее таково. На основании аксиомы
Евдокса-Архимеда величину г можно повторить столько раз, что
пе > а. Повторим теперь п раз процесс выбрасывания из вели-
чины а и последовательных остатков п, гг,... частей, превышаю-
щих их половины:
а
гх = а - ai < - ,
128
a
4 ’
n
ri - a2 < — <
л»
rn =
2n *
a
Но тогда n • rn < 2n • rn < a. Итак, nrn < a < ne, т.е. rn < €.
Лемма Евдокса служила сначала для строгого доказатель-
ства известных из практики истин. Опираясь на эту лемму,
Евдокс доказал, что площади кругов относятся как квадраты
диаметров, объем пирамиды
равен трети произведения
Ухд площади основания на вы-
/ соту и некоторые другие по-
добные утверждения. Докаг
\\ зательство первого утвер-
\ \ ждения проводится следую-
\ W щим образом. Вначале заме-
/ WW чается, что последователь-
У2ж v| \ ность правильных, вписан-
^^-2П---------------------ных в круг 2п-угольников
(рис. 40) “исчерпывает” круг,
Рис- 40 т.е. что разность (S — Sn+i)
площади круга и площади правильного вписанного 2п+1-угольника
меньше половины разности (S — Sn) площади круга и площади
правильного вписанного 2п-угольника (проверьте это, исходя из
рис. 40!). Затем предполагается противное, т.е. что для некото-
рых двух кругов с площадями S' и S" и с диаметрами d' и d" со-
ответственно имеет место неравенство S' S" / (d')2 (d")2« То-
гда (d')2 (d")2 — S' S (проведите строгое доказательство су-
ществования четвертой пропорциональной S к трем данным!), где
S либо меньше S", либо больше S" Но если S < S", то, согла-
сно лемме Евдокса, при достаточно большом п было бы S" — S„ <
S" - S, > S, и тогда (d')2 (d")2 = S'n = S' S, чего
не может быть, так как S'n < S', а S„ > S Случай S > S" сво-
дится к предыдущему заменой отношений на обратные (проверьте,
если a Ь = с d, до и b a = d с!). Доказательство вто-
рого утверждения проводится следующим образом. Замечается, что
129
всякая пирамида с треу-
гольным основанием может
быть разбита тремя плоско-
стями, проходящими через
середины ребер на две пи-
рамиды с вдвое меньшими
размерами и на две призмы,
каждая из которых соста-
вляет восьмую часть призмы
с теми же основанием и вы-
сотой, что и исходная пи-
рамида (рис. 41). Поэтому
всякая пирамида исчерпы-
вается последовательностью
тел, составленных из призм;
при этом объем n-го тела
объемов призмы с теми же. основанием и высотой, что и исходная
пирамида. Исходя из этого, рассуждением от противного с примене-
нием леммы Евдокса показывается, что объем исходной пирамиды
равен трети объема соответствующей призмы (покажите это само-
стоятельно!).
Архимед, опираясь на лемму Евдокса, дал строгое доказатель-
ство того, что площадь круга равна половине произведения ра-
диуса круга на длину окружности. Это доказательство, следуя Евдо-
ксу, Архимед проводит методом от противного. Если бы, напри-
мер, площадь круга S была больше, чем половина произведения ра-
диуса на длину окружности - г/, то, построив правильные вписан-
ные и описанные 2п-угольники (рис. 42) и показав, что разность
между площадью Sn+i описанного 2п-угольника и площадью §л+1
вписанного 2п-угольника меньше, чем половина разности между Sn
и Sn (это верно, так как Sn+i-Sn+i = 2п(5дАв,с1 + $ac,D,c) <
2” 5$AB,Dtc < 2n-1 • 5давс = z(5n-Sn).) и применяя лемму Евдо-
130
кса, Архимед делает вывод, что эта разность Sn+i~Sn+1 может бы\ь
сделана меньше разности е = S — - rl, что противоречит нерг вен-
_ 1
ству Sn+i—Sn+1 > S — —rl = €, которое следует из того, что и S и
- rl всегда заключены между Sn+i и Sn+i
Замечание Из теоремы Евдокса о подобии кругов и теоремы
Архимеда о площади круга следует, что отношение длины окружно-
сти к диаметру одинаково для всякого круга.
Позднее Архимеду удалось применить лемму Евдокса для нахо-
ждения новых длин дуг, площадей и объемов. Ему удалось найти
а = sin р
b = <р
с = tgy>
площадь сегмента параболы, площадь поверхности сферического сег-
мента, объем части параболоида вращения и т.п. При этом Архимед
формулирует и использует следующие леммы:
131
1. Из всех линий, имеющих одни и те же концы, прямая будет
наименьшей.
2. Две другие линии, расположенные на плоскости и имеющие те
же самые концы, будут всегда неравными, если они обе выпу-
клы в одну сторону, и одна из них или целиком объемлется
другой линией и соединяющей их концы прямой, или же часть
ее объемлется другой, часть же является общей обеим линиям;
при этом меньшей будет объемлемая линия. Отметим, что от-
сюда следует, в частности, неравенство sin 99 < 99 < tg^> при
О < 99 < - (рис. 43).
3. Подобным же образом из поверхностей, имеющих общую гра-
ницу, расположенную на плоскости, наименьшей будет пло-
скость.
4. Две другие поверхности, имеющие общую границу, располо-
женную на плоскости, будут всегда неравными, если обе они
выпуклы в одну сторону и одна из них или целиком объем-
лется другой поверхностью и плоскостью, содержащей их об-
щую границу, или же часть ее объемлется другой, часть же
является общей обеим поверхностям; при этом меньшей будет
объемлемая поверхность.
5. Большая из двух неравных линий, поверхностей или тел пре-
восходит меньшую на такую величину, которая будучи склады-
ваема сама с собой, может превзойти любую заданную вели-
чину из тех, которые могут находиться друг с другом в опре-
деленном отношении.
В качестве примера рассмотрим способ вычисления Архиме-
дом площади S первого витка спирали г = — <р. Архимед делит
2тг
центральный угол, равный 2тг, на 2п равных частей и рассматри-
вает описанную Sn и вписанную Sn фигуры, составленные соответ-
ственно из описанных и вписанных круговых секторов (рис. 44). То-
гда
/ia\2 1г п(п + l)(2n + 1) 2 а2тг
" \ п / п п2 • 6п а7Г>3
1=1 х '
v _ (n — l)n(2n — 1) < аЧ
Далее Архимед показывает, что разность Sn — S.n посредством по-
132
Рис. 45
n, то он де-
следовательного деления секторов пополам может быть сделана как
угодно малой, а так как < S < S,
а2тг
лает предположение, что 5 = —5—, и затем строго доказывает это
методом от противного.
Как можно заметить из рассмотрения работ Архимеда, его ин-
тегральные методы, хотя и применяются им самим только к неболь-
шому кругу задач, имеют тем не менее совершенно общий харак-
тер и содержат в себе идею верхних и нижних интегральных сумм,
идею критерия Дар бу существования интеграла и идею доказатель-
ства единственности общей точки у последовательности вложенных
друг в друга промежутков.
В сочинении “О спиралях” Архимед разработал и метод опреде-
ления касательной к кривой. Этот метод обладает той же степенью
общности, что и его интегральные методы, и может служить для
отыскания касательной к любой дифференцируемой кривой.
На рис. 45 I — спираль, ОР — радиус-вектор спирали, Д^ —
малое приращение полярного угла, ОТ перпендикулярно OP, РТ
— касательная к спирали, PR — дуга окружности радиуса ОР с
центром в точке О. Все рассуждения Архимед проводит, поль-
зуясь, по-существу, полярными координатами. “Малый” треуголь-
ник FRP “подобен” треугольнику ОРТ.
ОР
ОТ'
т, Дг
Или ——
гДу>
ОР
ОТ
n FR QR
ОТ“'И ЙР “ RP
tga, где г — радиус-вектор. Отсюда
133
г • Дер о Д<р о Дер
ОТ « ОР —т = г2-— = г2 —— = — = rip. Чтобы провести
Дг Дг аДу> а
строгое доказательство, Архимед исследует в специальных леммах
Дг 1
отношение------— и доказывает, что при достаточно малом Ду> раз-
г • Д<£>
Дг „ _
--------------tg а может быть сделана сколь угодно малой. При-
г • Ду>
чем эти рассуждения носят совершенно общий характер.
ность
В заключение мы остановимся на своеобразном приеме, разра-
ботанном Архимедом для наведения на правильный результат
при вычислении площадей и объемов по методу “исчерпывания”
Этот прием основан на механическом “правиле рычага” и на том
предположении, что все фигуры состоят из параллельных отрезков,
а все тела — из параллельных кусков плоскостей.
Рис. 46
Рассмотрим в качестве примера вычисление Архимедом площади
сегмента параболы. На рис. 46 АВС — сегмент параболы, BD —
диаметр параболы, ЕА — касательная к параболе в точке А, ЕС па-
раллельна BD, F — точка пересечения АВ и ЕС, FG = AF Предпо-
ложив, что сегмент АВС состоит из отрезков KL, параллельных диа-
метру параболы BD, и воспользовавшись тем, что KL FC = ML NF
(докажите это свойство параболы самостоятельно!), Архимед полу-
чает, что треугольник АЕС, составленный из “весов” ML с ры-
чагами NF, уравновешивается суммой “весов” KL с общим рыча-
гом GF (т.е. если середины “весов” поместить в G). А так как
суммы “весов” KL относятся к сумме “весов” ML как площадь S
сегмента АВС относится к площади треугольника АЕС, а центр
134
тяжести треугольника АЕС имеет рычаг втрое меньший, чем FG,
то S FG = 5даес z FG, откуда S = т^даес- Но СЕ = 2FC
и и
(по известному свойству касательной к параболе), FC = 2BD (т.к.
диаметр BD делит АС пополам, a FC параллельна BD). Поэтому
Saaec = 4 5давс, откуда Архимед получает, что площадь S сег-
4
мента АВС равна -Saabc-
Еще раз подчеркнем, что такого рода рассуждения Архимед не
считал доказательствами. Они служили у него лишь наведениями на
строгое доказательство, которое он затем старался провести мето-
дом "исчерпывания”
Упражнение 29. Методом интегральных сумм Архимеда найдите
объем полушара.
Упражнение 30. Механическим методом Архимеда найдите
центр тяжести и объем сегмента параболоида вращения.
Упражнение 31. Методом интегральных сумм Архимеда устано-
вите квадрируемость подграфика гиперболы и докажите основное
свойство логарифмической функции.
5.2 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В
ЕВРОПЕ ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЫ
XVII ВЕКА
Интегральные и дифференциальные методы Архимеда были пере-
няты арабскими математиками средних веков. Однако им не удалось
существенно развить их. Можно, правда, отметить проделанную Са-
битом ибн Коррой новую квадратуру сегмента параболы у2 = 2рх
путем разбиения отрезка интегрирования [0, а] на неравные части
(см. В.П. Демидович "Сборник задач по математическому анализу”,
задача 2190). Отметим также, что Хасану ибн ал-Хайсаму уда-
лось методом "исчерпывания” провести вычисление, равносильное
нахождению интеграла f^x4dx. Затем в течение многих веков диф-
ференциальные и интегральные методы были оставлены в стороне.
Лишь с начала XVII в. они снова привлекают внимание математиков.
Причем, если Архимеду было важно каждый раз провести строгое
135
доказательство, то у математиков XVII в. внимание обращено, гла-
вным образом, на вычисление. “Строгость — забота философов, а
не геометров”, — говорит Б. Кавальер и. “Не логика, а приличеству-
ющая случаю ясность достаточна для правильных умозаключений”,
— вторит ему Б. Паскаль. “Было бы легко дать доказательство в
духе Архимеда (т.е. строгое доказательство от противного по ме-
тоду “исчерпывания”), — пишет П. Ферма, — достаточно преду-
предить об этом раз и навсегда, чтобы избежать постоянных повто-
рений” Так что европейские математики первой половины XVII в.
заимствовали из методов Архимеда, главным образом вычислитель-
ную сторону; при этом им удалось существенно развить ее.
5.2.1 Интегральные методы И. Кеплера
В работе “Новая стереометрия винных бочек... (1615 г.) Кеплер
принимает метод “исчерпывания”, которым пользовался Архимед,
но отбрасывает заключительный этап приведения к противоречию.
Рассмотрим характерные примеры. Так, при нахождении объема
“лимона” (имеется в виду объем V тела, полученного вращением
сегмента круга вокруг хорды сегмента в случае, когда высота Л
сегмента меньше радиуса г круга (рис. 47)), разбивая хорду сег-
мента на 2 п равных частей и строя вписанную и описанную ступен-
Рис. 47 _
чатые фигуры, Кеплер находит объемы Уп и Vn тел, полученных
при вращении соответственно вписанной и описанной фигур вокруг
хорды сегмента. Затем из полученных неравенств V_n < V < Vn и
V„ < 2тг a I г2 —— j — 2зг(г — Л)г2у> < Vn Кеплер заключает (минуя
136
строгое доказательство от противного методом “исчерпывания”),
( 2 \
г2 —— J — 2ir(r — h)r2(p. Другой вывод этой формулы
у Кеплера см. [35, с. 243—244].
В этой же работе для сравнения площадей фигур или объемов
тел Кеплер использует и другой метод, основанный на разбиении
этих фигур и тел на очень большое число очень маленьких частей.
Так, согласно Кеплеру, площадь круга равна половине произведения
радиуса на длину окружности потому, что круг можно считать со-
ставленным из очень большого числа очень маленьких секторов Abe
(рис. 48), а каждый из этих секторов можно заменить равнобедрен-
Рис. 48
ным треугольником с основанием, равным длине дуги сектора; ка-
ждый такой равнобедренный треугольник, в свою очередь, равно-
велик соответствующему неравнобедренному треугольнику АЬс (с
теми же основанием и высотой), которые в сумме составляют боль-
шой прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ и ВС, ра-
вными соответственно радиусу круга и длине окружности.
Упражнение 32. Пользуясь методами Кеплера, найдите объем
тора.
5.2.2 Метод “неделимых”
Метод “неделимых” восходит к механическому приему, применявше-
муся еще Архимедом. В XVII в. этот прием получил дальнейшее раз-
витие в работах Г Сен-Венсана, Г. Галилея, Б. Кавальери, Э. Тори-
челли, Ж. Роберваля и некоторых других математиков, которые и
преобразовали его в метод “неделимых”.
137
В основе метода “неделимых” лежат два предположения:
1. Фигуры и тела состоят из “неделимых”; фигуры состоят из
“неделимых” параллельных отрезков или из других одномер-
ных подобных друг другу частей, а тела состоят из параллель-
ных “неделимых” кусков плоскостей или из других двумерных
подобных друг другу частей.
2. Площади двух фигур (объемы двух тел) относятся друг к другу
как все “неделимые” одной фигуры (тела) ко всем “неделимым”
другой фигуры (тела). В частности, если соответствующие
“неделимые” находятся друг к другу в одном и том же отно-
шении, то в этом же отношении находятся и площади фигур
(объемы тел).
Рассмотрим характерные примеры.
Пример 1. Площадь эллипса
Площадь эллипса с полуосями а и b относится к площади круга
радиуса а как b к а потому, что таково отношение их соответству-
ющих “неделимых” (рис. 49).
Пример 2. Закон равномерно ускоренного движения (Г.Га-
лилей, 1638 г.)
“Время, в течение которого тело, вышедшее из состояния покоя
и движущееся равномерно ускоренно, проходит некоторое рассто-
яние, равно времени, в течение которого это же расстояние было
бы пройдено тем же телом при равномерном движении, скорость
которого равняется половине величины наибольшей конечной скоро-
сти, достигаемой при первом равномерно ускоренном движении” [33,
кн. 2, с. 46-47]. Вывод этого заключения сопровождается у Галилея
следующим рисунком (рис. 50). Здесь АВ — интервал времени, в те-
138
чение которого проходится расстояние CD, AG = BF — скорость ра-
вномерного движения, BE = 2 BF — конечная скорость равномерно
ускоренного движения, линии GF и АЕ — графики этих движений.
Пройденные за время АВ пути относятся друг к другу как суммы
всех “неделимых” (здесь — скоростей), а эти суммы относятся друг
к другу как площадь АВЕ к площади ABFG. Но эти площади равны.
Поэтому за равное время АВ оба движения опишут один и тот же
путь CD, и наоборот, оба движения опишут один и тот же путь CD
за равное время АВ.
Пример 3. Площадь круга
В качестве “неделимых” частей круга выбираются концентри-
ческие окружности, которые при развертывании составят “все
вместе” прямоугольный треугольник с катетами, равными радиусу
круга и длине его окружности (рис. 51). Так как “неделимые” окруж-
ности круга равны соответствующим “неделимым” отрезкам треу-
гольника, то и площадь круга равна площади треугольника.
Пример 4. Объем пирамиды с квадратным основанием
(Б. Кавальери, 1635 г.)
Пусть а — сторона основания пирамиды, Л — высота пирамиды.
В качестве “неделимых” возьмем куски плоскостей, параллельных
основанию пирамиды. “Неделимые” пирамиды представляют таким
образом квадраты, стороны которых х изменяются от а до 0, когда
высота плоскости этого квадрата над основанием пирамиды меня-
ется от 0 до Л. Сравним теперь объем Ц пирамиды с объемом
139
2
(2 = li
Рис. 51
Vj призмы с теми же основанием и высотой. Соответствующие
“неделимые” призмы будут все квадратами со стороной а. Имеем:
ц = 22 *2 = 22 (а ~1 52 t*2+(а -*)2] =
0<«<« 0<«<« □<«<•
откуда Vi = |v2 = | а2Л.
Замечание Вычисление объема пирамиды по методу “недели-
мых” может быть проведено и другим способом. Достаточно заме-
тить, что всякий куб разбивается на три одинаковых пирамиды П с
квадратными основаниями, а “неделимые” всякой другой пирамиды
(или даже конуса) с той же, что и у П высотой находятся в одном
и том же отношении к соответствующим “неделимым” пирамиды
П, если выбирать эти “неделимые” параллельными основаниям. О
других результатах Б. Кавальери см., например, [35, с. 252-253].
Пример 5. Объем “цилиндрического копыта” (Г. Сан-
Венсан, 1629 г.).
140
“Цилиндрическое копыто” —
это кусок цилиндра, получен-
ный путем плоского среза,
проходящего через диаметр
АВ одного основания цилин-
дра и через крайнюю точку С
другого основания (рис. 52).
Это копыто состоит из
“неделимых” прямоугольных
треугольников MNK, пло-
скость которых перпендику-
лярна к диаметру АВ. Если
обозначить за h высоту ци-
линдра, за 2 г — его диа-
метр АВ, а за х отрезок ОМ
Рис- 52 от центра О основания ци-
линдра до точки М, то площадь S(x) треугольника MNK равна
^МК KN = |-МК2 = Дам МВ = Д(г2 - z2). Но ?г(г2 - z2)
2 2 г 2г 2г' 7 v '
равно площади круга, который получается, если шар радиуса г пе-
ресечь плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии г.
“Неделимые” “копыта” и шара находятся друг к другу в одном и том
h _ ,, „ h _
же отношении — тг. Поэтому объем копыта в -— раз больше
2г 2гтг
, , 2r2fe
объема шара радиуса г, т.е. объем копыта равен , что, впро-
чем, установлено еще Архимедом.
Пример 6. Квадратура циклоиды (Ж. Роберваль, 1634 г.).
Рис. 53
Циклоида определяется Робервалем механически, как траектория
141
точки на ободе катящегося по ровной поверхности колеса. На рис. 53
изображены арка L циклоиды, колесо К в момент, когда точка на
ободе занимает наивысшее положение, прямоугольник Р, стороны
которого равны высоте колеса и длине его окружности. Разложив
движение точки на ободе колеса на движение проекции этой точки
на вертикальный диаметр колеса (это движение совершается по си-
нусоиде S) и на движение самой точки относительно ее проекции,
Роберваль из равенства соответствующих “неделимых” 1\ и I?, 1{ и
делает вывод, что площадь под аркой циклоиды превосходит площадь
под синусоидой S на площадь колеса. Но площадь под синусоидой S
равна половине площади прямоугольника или двум площадям колеса.
Поэтому площадь под аркой циклоиды втрое больше площади колеса.
Пример 7. Объем бесконечно длинного гиперболического
тела (Э. Торичелли, 1644 г.)
Речь идет о вычислении объема тела вращения гиперболы ху =
с > 0, 0 < х < то вокруг оси у [см. 33, кн. 2, с. 52-54]. Выбирая
в качестве “неделимых” боковые поверхности цилиндра, основания
которых — концентрические окружности (см. рис. 54), Торичелли
замечает, что площадь S(x) такой поверхности равна 2тгт • у — 2тгс,
т.е. не зависит от х. Но тогда все “неделимые” вместе составят
объем, равный объему параллелепипеда с площадью основания 2тгс
и высотой то (так как т изменяется от 0 до то).
Упражнение 33. Вычислить по методу “неделимых”
а) объем полушара через объем цилиндра и объем конуса (см.
рис. 55),
б) объем тора,
142
в) площадь сегмента параболы,
г) площадь первого витка спирали Архимеда.
У2 4- х2 = г2
Рис. 55
Упражнение 34. Исходя из определения In х как площади подгра-
фика гиперболы ху = 1 на отрезке от 1 до г, доказать методом
“неделимых” основное свойство натурального логарифма.
Упражнение 35. Методом “неделимых” докажите теорему Архи-
меда—Паппа—Гульдина: объем тела, полученного вращением пло-
щади S вокруг некоторой оси, лежащей по одну сторону от S, равен
произведению площади S на длину окружности, описываемой цен-
тром тяжести S.
5.2.3 Интегральный метод П. Ферма
Ферма удалось перейти от квадратур кривых у = хп, где п — це-
лое положительное число, к квадратурам кривых у = х*, где q — по-
ложительное или отрицательное рациональное число (д / — 1). Рас-
смотрим метод Ферма на примере квадратуры кривой у = г”2, х >
х0 > 0. Ферма выбирает точки х1? х2, • • •, разбиения отрезка инте-
грирования [го, 4-оо) следующими друг за другом в геометрической
прогрессии:
Xi = Аго, х2 = Ari = А2го,..., хп = Axn_i = Апго,...,
где А — “чуть больше 1”, и строит затем описанную ступенчатую
фигуру (рис. 56). Площадь этой ступенчатой фигуры
S(A) = j/(x0) • (xi - го) 4- j/(xi) • (х2 - xi) 4-... =
143
= ^2 (Azo - *o) + Д2^2 (A2Z0 - Azo) + ... =
(A- 1)
*0
Л i i
V + A + A2 +
1 A
1 — 2.
A
При A —► 1 разбиение промежутка [го, 4-oo) становится все мельче,
а площадь ступенчатой фигуры все ближе к площади S подграфика
функции j/ = —. Поэтому Ферма заключает, что S = S(A) при
х*
А = 1, т.е. что S = — = хо • !/о- Строгого обоснования предельного
Хо
перехода Ферма не дает.
Упражнение 36. Исходя из определения In х как площади подгра-
фика гиперболы у = — на отрезке от 1 до х и используя метод
х
Ферма, докажите, что lim п(г» — 1) = 1пх.
5.2.4 Интегральный метод Б. Паскаля
Для интегрирования синуса и косинуса, для нахождения площади по-
верхности шара и некоторых других тел вращения Паскаль применял
144
метод "характеристического
треугольника”, идея которого
восходит к дифференциаль-
ным методам Архимеда (см.
п. 5.1). Рассмотрим в ка-
честве примера вычисление
"суммы синусов” (т.е. инте-
грала от sin^cfy? по проме-
жутку от до Возьмем
ДУГУ Pi < Р < ^2 единич-
ной окружности, разделим ее
на 2п равных частей и опи-
шем около дуги правильную
ломаную так, как это пока-
зано на рис. 57. Пусть KL
— отрезок этой ломаной, ОР
— радиус, перпендикулярный к KL, КМ и LM параллельны соответ-
ственно осям у и PQ параллельна оси у. Если теперь считать
"характеристический треугольник” KLM очень маленьким, то
22 PQ KL = ]T sin <р • KL « 52 sin • Д^.
С другой стороны, из подобия треугольников OPQ и KLM следует,
что PQ * KL = OP * ML, и, следовательно,
^2PQ KL = 52OP ML = 52ML = АВ = cos^ - cos<p2.
Поэтому 52 s*n Ф ’ = сое — 008 ^2-
Упражнение 37. Пользуясь методом "характеристического треу-
гольника” Паскаля, вычислите площадь поверхности шарового слоя.
5.2.5 Метод касательных Г. Пшилея—Ж. Роберваля
Исходным является здесь предположение, что направления скорости
и касательной в каждой точке траектории совпадают. Галилей поль-
зовался этим предположением при построении касательной к пара-
боле. Рассматривая параболу р как траекторию движения тела, пада-
ющего из точки О вниз под действием силы тяжести с постоянной
горизонтальной скоростью (рис. 58), Галилей, разложив вектор
145
скорости тела v в точке (г, у) траек-
тории на горизонтальную vx и вер-
тикальную vy составляющие и поль-
зуясь указанным предположением,
Zy Vy
приходит к пропорции: — = —
х vx
(1у — подкасательная), откуда
/ _ х • vy _ _ у2
V; “ - ~9 '
Vx
или 1у = 2у, Систематическое изло-
жение этого метода дал Роберваль. Общая схема метода имеет вид:
А) в декартовых координатах (рис. 59)
Б) в полярных координатах (рис. 60)
/х Vx ly Vy
у Vy" X Vx
откуда:
I* = У —
Vy
I -Х-Ч1
Упражнение 38. Методом Галилея-Роберваля определите подка-
сательную спирали Архимеда.
146
5.2.6 Метод нормалей и касательных Р. Декарта
имеет вид: (ж — с)2 4- у2 = (а — с)2 + Ь2
уравнений
Общая схема метода
такова. Для того, чтобы
провести нормаль или ка-
сательную к алгебраиче-
ской кривой у = Р(х)
в точке (а, 6), достаточно
построить окружность с
центром с на оси ж, каса-
ющуюся данной кривой
этой точке (рис. 61). У>
внение этой окружное
Исключив у из систек J
Г у = р(х),
( (х - с)2 + у2 = (а - с)2 + Ь2 ,
получим уравнение Q(x) = 0, а так как кривые касаются в точке
(а, 6), то Q(x) = (х — а)2 R(x) и величина с находится из этого
условия с помощью метода неопределенных коэффициентов. А, зная
с, из подобия треугольников легко найти и d — точку пересечения
касательной с осью х. Так, в случае параболы у = х2, имеем:
Q(x) = х4 + х2 — 2сх — а2 — b2 + 2ас = (х — а)2(рх2 + qx + г),
и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим си-
стему уравнений
х4 1=р,
х3 0 = —2ар + q ,
х2 1 = г — 2aq + а2р,
х1 —2с = — 2ar + a2q ,
х° —а2 — Ь2 + 2ас = a2r , b = а2 ,
откуда р = 1, q = 2а, г = 1 + За2, с = а + 2а3 Далее, из пропорции
а — d b . Ь2 а
—-— =-------находим: а = а------=
Ь с — а с — а 2
Упражнение 39. Методом Декарта определите нормаль и каса-
тельную к гиперболе ху = 1 в точке (а, - ).
\ а J
147
5.2.7 Метод экстремумов и касательных П. Ферма
Как отмечено в [2, с. 32], уже Диофант располагал способом опреде-
ления углового коэффициента касательной к алгебраической кривой.
Этот, чисто алгебраический, не требующий предельного перехода
способ получил свое развитие в мётоде экстремумов и касательных
Ферма, а в настоящее время широко используется в алгебраической
геометрии.
Точки экстремума рациональной функции у = R(x) Ферма нахо-
дит из условия
R(x + h) — R(x) =()
h л=о
Например, точка экстремума х = 0 функции у = х2 находится из
условия
Далее, понимая касательную как предельное положение секущей,
Ферма определяет подкасательную KL (рис. 62) из условия:
MN
= ML • —-
h=o QN л=о
Л
KL = PL
= 0.
л=о
R(x + h)-R(x)
Позднее Ферма распространил свой метод на случай неявной ал-
гебраической функции.
Упражнение 40.
тельную к кривой у
Пользуясь методом Ферма, определите подкаса-
1 — X
= -=—- в точке (2, 1).
х* — 5
Упражнение 41. Укажите алгебраический (над полем без топо-
логии) способ определения производной алгебраической функции.
148
5.2.8 О связи между интегральными и
дифференциальными методами
Выше мы указали некоторые, наиболее важные для дальнейшего
развития математики интегральные и дифференциальные методы
первой половины XVII в. Существующая между ними связь как
связь между задачами на квадратуры и задачами на касательные
была обнаружена в механической и в геометрической форме в ра-
ботах Э. Торичелли, П. Менголи, Дж. Грегори и И. Барроу. В ка-
честве примера приведем теорему Барроу, устанавливающую связь
между квадратурами подграфиков одних кривых с построением каса-
Рис. 63. Теорема Барроу
тельных к другим кривым.
Даны две кривые у(х) и
г(х), связанные условием
у(х) • г = 5(г), где S(x) —
площадь подграфика кри-
вой z(x) (рис. 63). То-
гда подкасательная t ка-
сательной I к кривой у(х)
в точке М(г, у) определя-
ет г
ется из условия: - =
У i
Доказательство проводит-
ся в предположении, что
z(x) возрастает. Показы-
вается, что прямая /, опре-
ет г
деляемая условием - =
У *
будет касательной к кривой у(х) в точке М(я, у). Для этого прово-
дятся прямые АС и А'С' параллельно оси х. Условие касания прямой
с кривой у(х) в точке М равносильно тогда тому, что точки В
и В' пересечения кривой j/(x) с прямыми АС и А'С' лежат соот-
ветственно между А и С и между А' и С' Последнее выводится с
учетом связи между кривыми у(х) и z(x) и с учетом возрастания
z(x) следующим образом: , откуда z ВС = МС г Нс
МС г = S < z АС, поэтому z ВС < z АС и ВС < АС. Точно так
МС7 II 2
же ~ откуда z В'С' = МС' • г. Но МС' • г = S' > z А'С'
поэтому z B'CZ > z А'С' и В'С' > А'С'.
149
Заметим, что если положить г = 1, то теореме Барроу соответ-
ствует следующее утверждение:
X
если у(х) = У z(x) dx, то у'(х) =? z(x).
о
5.3 СОЗДАНИЕ ОСНОВ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В
РАБОТАХ И. НЬЮТОНА И
Г.В. ЛЕЙБНИЦА
Развитие дифференциальных и интегральных методов в пер-
вой половине XVII в. и установление связи между этими мето-
дами создало теоретические предпосылки для построения основ об-
щего дифференциального и интегрального исчисления с тем, чтобы
можно было решать по единому способу всё более часто выдвига-
вшиеся практикой различные задачи на нахождение квадратур, ку-
батур, касательных и экстремумов. Это было сделано И. Ньютоном
и Г.В. Лейбницем, каждым по-своему, во второй половине XVII в.
Все вычисления приобретают у Ньютона и Лейбница вид неслож-
ного алгоритма. При этом связь между дифференцированием и ин-
тегрированием приобретает простой и привычный теперь для нас
вид.
5.3.1 Метод “флюксий” и степенных рядов
И. Ньютона
Ньютон создал основы своего дифференциального и интеграль-
ного исчисления в конце 60 - начале 70-х гг. XVII в. Он исходил
при этом из механических представлений. Величину, меняющуюся
во времени, Ньютон называет “флюентой” и обозначает ее че-
рез х, у, z, Скорость изменения “флюенты” Ньютон называет
“флюксией” и обозначает ее через i, j/, £,
В теории “флюксий” решаются две главные задачи:
1) Дано соотношение между “флюентами”, определить соотноше-
ние между “флюксиями”.
150
Пример Соотношение между “флюентами” имеет вид у = х2,
найти соотношение между “флюксиями” х и у. Согласно Ньютону,
прибавив к у и х их “моменты” хо и уо соответственно (здесь о
— “момент” времени), и перейдя от равенства у = г2, к равенству
2/4-уо = (r4-io)2, выполнив формально возведение в квадрат и вычтя
2
из полученного равенства исходное равенство у = х, получим: уо =
2ххо 4- х2о2. Разделив, о бе части равенства на о, и положив затем о
равным нулю, получим окончательно, что у = 2хх.
2) Дано соотношение между “флюксиями”, требуется определить
соотношение между “флюентами”
С современной точки зрения — это задача интегрирования
дифференциальных уравнений, она гораздо сложнее первой задачи.
Ньютон обнаружил, что уже уравнение Р(г, у)х 4- Q(x, у)у = 0 не
всегда может быть проинтегрировано в явном виде. При интегри-
ровании таких уравнений Ньютон пользовался разложением в сте-
у р
пенной ряд: уравнение Рх 4- Qy = 0 записывалось в виде — = —— ,
' х Q
Р
затем полагалось х = 1, так что у = — —, и у находился почлен-
ным интегрированием степенного ряда, полученного разложением
Р
функции — —.
Для разложения функций в степенные ряды Ньютон использовал
все результаты своих предшественников и накопил большой арсенал
приемов, среди которых наиболее часто применялись:
а) индуктивное обобщение теоремы о степени бинома на случай
дробного и отрицательного показателя степени;
б) непосредственное деление (“столбиком”) числителя дробно-
рациональной функции на знаменатель;
в) метод неопределенных коэффициентов в различных модифика-
циях. Например, дано уравнение у = 1 — Зг 4- т/ 4- я2 4- ху, ищем
у в виде у = х 4- Подставляя в правую часть, получим
у = 1 — 2х4-..., откуда у = х — х2 4-. • Снова подставим у в ура-
гз
внение, получим у = 1 — 2г4-я24-..., откуда у = х — х2~± -4-...
и т.д.;
г) замена переменных или замена системы координат;
д) обращение рядов;
151
е) суперпозиция рядов.
. 1
Так, функция ----раскладывается в ряд путем непосредственного
14-х
деления “столбиком” числителя на знаменатель. Функция 1п(14-х) =
f dx
I ---- раскладывается тогда в ряд почленным интегрированием
J 1 4- х
(Н. Меркатор, 1668 г.). Путем обращения ряда для 1п(1 + х) Ньютон
получил разложение в ряд для показательной функции. Ряд для
1
arcsin х он получил почленным интегрированием ряда для — =
VI — х2
(1 4- /)”* > гДе t = ~х2- Ряд № sin у он получил путем обращения
ряда для arcsin х, а ряд для cosy — путем суперпозиции ряда для
z = sin у и ряда для х/1 — г2.
В заключение на примере степенной функции рассмотрим, как
устанавливается у Ньютона связь между его интегрированием
и дифференцированием. Дано:
функция у = хп. Требуется по-
казать, что площадь z подгра-
фика этой функции на отрезке
[О, г] равна--и, наоборот,
если z =------ — площадь под-
п + 1
графика функции у на отрезке
[О, г], то у = хп Для до-
казательства возьмем, согласно
Ньютону, х 4- о вместо х. Тогда
вместо z будем иметь z + ov, где
v — некоторое значение фун-
кции у на отрезке от х до х 4- о
(рис. 64). Заменяя ov на оу и
д.П + 1
подставив х + о вместо z, a z + oy вместо z в соотношение z = -
п 4" 1
Ньютон получал
>n + i
n4-1
откуда после вычитания уравнения z = —деления всех слага-
емых на о и пол аг ан ия о = 0 и следовало, что у = хп, Поэтому,
152
xn+i
говорит Ньютон, и наоборот, если у = zn, то z =--.
n + 1
Упражнение 42. С помощью метода флюксии Ньютона по дан-
ному соотношению между флюентами у3 — ху + х2 = 0 найти соот-
ношение между флюксиями.
5.3.2 “Исчисление дифференциалов" Г.В. Лейбница
Лейбниц пришел к созданию своего дифференциального и интеграль-
ного исчисления к 1675 г. В его “исчислении дифференциалов” осно-
вными были понятия дифференциала функции как ее актуально бе-
сконечно большого числа бесконечно малых дифференциалов. Это
сразу устанавливало взаимно обратную связь между дифференци-
рованием и интегрированием.
Лейбниц придавал большое значение созданию удобной симво-
лики; введенные им еще в 1675 г., знаки дифференциала d и инте-
грала f оказались очень удачными.
Рис. 65
Первоначально Лейбниц называл актуально бесконечно малое прира-
щение величины ее разностью (differenz), откуда и происходит знак
дифференциала, и определял дифференциал функции геометрически
через подкасательную к ее графику (рис. 65). Однако вычислялся
дифференциал функции путем отбрасывания бесконечно малых выс-
ших порядков.
Пример Подкасательная к параболе у = х2 (рис. 66) ищется, согла-
сно Лейбницу, следующим образом. Треугольник АВС, образован-
153
ный касательной ВС, подкасательной АС и отрезком АВ, параллель-
ным оси х, подобен “характеристическому треугольнику” Паскаля
АС
(см. выше) с катетами dx и dy. Поэтому dy = —• dx. Но у = z2, и,
A. D
следовательно, у 4- dy = (z 4- dx)2 = z2 4- 2xdx 4- (dx)2, откуда после
вычитания равенства у = z2 и отбрасывания (dx)2 получаем, что
АС
dy = 2z dx. Таким образом, = 2z и АС = 2z .• АВ = 2z • х = 2у.
Удобство символики спо-
собствовало быстрой раз-
работке алгоритмов диф-
ференциального и интег-
рального исчисления в ра-
ботах самого Лейбница и
его ближайших учеников
— братьев Якоба и Иоган-
на Бернулли.
Упражнение 43. С по-
мощью “исчисления диф-
ференциалов” Лейбница
вывести формулу для диф-
ференциала произведения.
5.3.3 Метод “первых” и “последних” отношений
И. Ньютона
Ньютон, пытаясь придать своему дифференциальному исчислению
логическую форму более строгую, чем в методе “флюксий” и сте-
пенных рядов, развил в ряде работ 80-90-х гг. XVII в. так назы-
ваемый метод “первых” и “последних” отношений. Согласно этому
методу, основным являлось теперь понятие производной, которая
определялась как “последнее” отношение исчезающего приращения
функции (Ду) к исчезающему приращению аргумента (Az) или как
“первое” отношение возникающего приращения функции к возника-
ющему приращению аргумента.
Метод “первых” и “последних” отношений изложен Ньютоном
в ряде лемм из “Математических начал натуральной философии”
(1686 г.). Так, лемма I гласит: “Количества, а также отношения
количеств, которые в продолжение любого конечного времени по-
154
стоянно стремятся к равенству, и ранее конца этого времени при-
близятся друг к другу ближе, нежели на любую заданную разность,
будут напоследок равны”. Доказательство: “Если ты отрицаешь это,
то пусть они напоследок будут равны и их последняя разность будет
Р, и, следовательно, они могут подойти к равенству ближе, чем до
этой заданной разности Р, в противность предположению” Далее,
в леммах II-V и следствиях из них устанавливается, что последнее
отношение площади вписанной в подграфик функции ступенчатой
фигуры к площади описанной ступенчатой фигуры, есть отношение
равенства, другие аналогичные утверждения относятся к площадям
ступенчатых фигур и площадей под графиков. Затем в леммах VI-VII
и их следствиях установлены подобные утверждения относительно
исчезающих отрезков дуги, ее хорды и ее касательной и т.д. (под-
робнее см., например, [33, кн. 2, с. 103]).
5.4 ПРОБЛЕМА ОБОСНОВАНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ. “АНАЛИСТ”
ДЖ. БЕРКЛИ
Созданное в работах Ньютона и Лейбница дифференциальное ис-
числение по своей логической форме резко отличалось от всего, со-
зданного в математике ранее. Если прежде все содержание матема-
тики укладывалось в рамки формальной логики и притом так, что
математические теории служили образцом, эталоном логических по-
строений, то теперь уже сами создатели дифференциального исчи-
сления чувствовали его несовершенство. Несмотря на то, что создан-
ное ими исчисление получило бурное развитие й выдержало самую
серьезную проверку в приложениях, оно еще никак не согласовыва-
лось с общепринятыми законами логики, со всей предыдущей прак-
тикой математического мышления. Причем, если в конце XVII -
начале XVIII в. проблема обоснования дифференциального исчисле-
ния, т.е. вопрос об его имманентной (внутренне присущей) логи-
ческой форме, сдерживалась авторитетом его создателей, то после
смерти Ньютона (1727 г.) этот интерес все более возрастает.
Особенно привлекла внимание математиков XVIII в. к проблеме
обоснования дифференциального исчисления вышедшая в 1734 г. ра-
бота крупнейшего английского субъективного идеалиста Дж. Беркли
155
“Аналист или рассуждение, адресованное неверующему математику,
где исследуется, является ли предмет, принципы и заключения совре-
менного анализа более отчетливо познаваемыми и с очевидностью
выводимыми, чем религиозные таинства и догматы веры” Остано-
вимся подробнее на основных положениях этой работы.
Обращаясь к вопросу о введенных Ньютоном “флюксиях” и
“моментах”, Беркли рассуждает следующим образом: “Однако, по-
добно тому, как наши чувства напрягаются и становятся в затру-
днительное положение при восприятии крайне малых объектов, во-
ображение напрягается еще в большей степени и попадает в
еще более затруднительное положение, пытаясь выработать четкое
представление о мельчайших частицах времени или о мельчайших
приращениях, образованных за эти мельчайшие промежутки вре-
мени; и в гораздо большей степени ему приходится трудно, когда
оно пытается постичь “моменты” или приращения “флюент”, нахо-
дящиеся в момент возникновения, в самом начале их образования
или начале существования, прежде чем те становятся конечными
частицами. Вероятно, еще более трудно представить себе абстра-
гированные скорости подобных зарождающихся несовершенных ве-
личин ... Однако, если я не ошибаюсь, скорости скоростей, вторые,
третьи, четвертые, пятые и т.д. скорости вообще находятся за пре-
делами всего человеческого понимания. Чем больше ум анализирует
и развивает эти неуловимые идеи, тем более он теряет и заходит
в тупик; предметы, вначале мелькающие, крошечные вскоре вообще
исчезают из поля зрения. В каком бы смысле не употреблять слова,
вторая или третья флюксия безусловно представляется тайной, по-
крытой мраком. Начальная скорость начальной скорости, зарождаю-
щееся приращение зарождающегося приращения — рассмотрите
это в каком угодно свете и, если я не ошибаюсь, вы обнаружите, что
составить об этом ясное понятие невозможно [3, с. 399-400]
Аналогичным образом рассуждает Беркли и относительно вве-
денных Лейбницем “дифференциалов”: “Некоторые полагают что
зарубежные математики применяют иной метод, может быль, ме-
нее точный и строгий, но зато более понятный. Вместо флюент и их
флюксий они рассматривают переменные конечные величины, кото-
рые увеличиваются или уменьшаются путем постоянного прибавле-
ния или вычитания бесконечно малых величин Вместо скоростей,
с помощью которых образуются приращения, они рассматривают
сами приращения или уменьшения, которые они называют диффе-
156
ренциалами и которые считаются бесконечно малыми. Дифференци-
алом линии является бесконечно малая линия, дифференциалом пло-
скости — бесконечно малая плоскость. Они полагают, что конечные
величины состоят из бесконечно малых частей и что кривые пред-
ставляют собой многоугольники с бесконечно малыми сторонами, а
углы, которые они составляют по отношению друг к другу, опреде-
ляют кривизну линий. Признаюсь, мои способности не позволяют
мне представить себе величину бесконечно малую, т.е. бесконечно
меньшую, чем любая реальная или воображаемая величина. Но я по-
дозреваю, что для абсолютно всякого человека было бы бесконечно
трудно представить себе часть такой бесконечно малой величины,
которая будет все же бесконечно меньше ее ” [3, с. 399-400].
Проводя подобные рассуждения, Беркли преследовал при этом
прежде всего не научные, а определенные политические цели анг-
лийского духовенства, крупным представителем которого он яв-
лялся. Тем не менее, хотел он того или нет, приведенные выше
рассуждения убедительно доказывают лишь то, что “моменты” и
“дифференциалы” первых, а тем более высших порядков суть по-
нятия, причем понятия очень далекие не только от обычных пред-
ставлений, но даже и от обыЧных понятий (например, таких, ко-
торые использовались в математике ранее), понятия, единственной
формой представления которых оказались символы i, io, £, ..., dx,
dy, d2x, d2y, и их исчисление. Отметим еще, что являясь идеа-
листом, Беркли вообще оставляет в стороне вопрос о тех реальных
процессах, опосредствованным выражением которых являются эти
символы и их исчисление.
Рассуждая о логике дифференциального исчисления, Беркли опи-
рается на следующую лемму: “Если для доказательства какого-либо
предложения выдвигается определенное положение, благодаря кото-
рому доказываются некоторые другие положения, и если такое вы-
двинутое положение впоследствии само будет опровергнуто или от-
вергнуто противоположным предположением, то в этом случае все
другие положения, доказанные при его помощи и вытекающие из
него, должны быть также опровергнуты и отвергнуты, с тем, чтобы
в дальнейшем они не выдвигались и в доказательстве не применя-
лись” . Это настолько очевидно, утверждает Беркли, — что не нужда-
ется в доказательстве. Приведенная “очевидная” лемма используется
Беркли для опровержения способа, который использует Ньютон для
вывода “флюксии” степени. Напомним (подробнее см. выше), что,
157
например, “флюксия” степени у = х2 выводится Ньютоном следую-
щим образом:
у 4- оу = х2 4- 2хх • о 4- х2 • о2, оу = 2хх о + х2 о2
откуда после деления на о и полагания затем приращения о равным
нулю, получается у = 2хх. “Но нам представляется, что такой ход
рассуждений не будет справедливым или убедительным. Ибо когда
говорят: пусть приращения исчезают, т.е. пусть приращения равны
нулю или пусть не будет никаких приращений, то тем самым преж-
нее допущение, что приращения представляют собой некоторую ве-
личину, или что приращения имеют место, отвергается, однако след-
ствие этого допущения, т.е. выражение (у = 2xi), полученное бла-
годаря ему, сохраняется. А это, в соответствии с вышеуказанной
леммой, представляет собой ложный ход рассуждений” [3, с. 405-
406].
Таким образом, из рассмотрения метода Ньютона Беркли делает
вывод, что этот метод основан на неправильной логике, так как не
соответствует лемме, абсолютная справедливость которой не вызы-
вает у Беркли сомнений. Возражая Беркли, мы могли бы сказать,
что метод Ньютона (как и любой другой метод конструктивного
дифференциального исчисления) действительно не согласуется с за-
конами обычной, т.е. формальной логики. “Вся трудность в пони-
мании дифференциальной операции (как и в понимании отрицания
отрицания вообще), — говорит К. Маркс, — заключается именно в
том, чтобы увидеть, чем она отличается от такой простой проце-
дуры (как, например, полагание о сначала не равным нулю, а затем
равным нулю. С. М.) и как ведет поэтому к действительным
результатам” [23, с. 29]. В частности, он не согласуется с зако-
ном тождества формальной логики, на котором основана приводимая
Беркли лемма. Как выражение процесса движения метод “флюксий”
Ньютона (как и любой другой метод конструктивного дифференци-
ального исчисления) подчиняется законам не формальной, а диалек-
тической логики.
Возражения Беркли по поводу метода “первых” и “последних”
отношений Ньютона сводятся к следующему: не существует после-
днего отношения исчезающих количеств, так как отношение до ис-
чезновения не есть последнее, а после исчезновения количеств нет
уже их отношения. Подобные возражения высказывались еще при
Ньютоне. Сам Ньютон, отвечая своим противникам, говорил сле-
158
дующее: “Но при таком и столь же натянутом рассуждении ока-
жется, что у тела, достигающего какого-либо места, где движение
прекращается, нет последней скорости, ибо та скорость, которую
тело имело ранее, нежели оно достигло места, не есть последняя, а
когда тело достигло места, то нет никакой скорости. Ответ простой:
под последней скоростью я разумею ту, с которой тело движется не
перед тем, как достигнуть последнего места, и движение прекраща-
ется, и не после того, а когда достигает, т.е. именно ту скорость,
которой тело достигает последнего места и с которой движение
[рекращается. Подобно этому* под последним отношением исчеза-
эщйх количеств должно пониматься отношение количеств не перед
гем, как они исчезают, и не после того, но то отношение, с которым
они исчезают. Точно так же и первое отношение зарождающихся
количеств есть отношение, с которым они зарождаются
Можно также возразить, что если существуют последние отно-
шения исчезающих количеств, то существуют и последние величины
их самих, и, следовательно, всякое количество должно состоять из
неделимых, вопреки доказанному Евклидом относительно несо-
измеримых величин. Однако это возражение основано на неверном
допущении. Последние отношения, с которыми исчезают количества,
не суть на деле отношения последних количеств, а те пределу, к кото-
рым постоянно приближаются отношения безгранично убывающих
количеств и к которым они могут подойти ближе, нежели на любую
наперед заданную разность, но которых не могут ни превзойти, ни
достигнуть ранее, чем количества уменьшатся бесконечно ” [33,
кн. 2, с. 104-105]. Z
К сказанному Ньютоном мы можем добавить простую физиче-
скую интерпретацию последнего отношения исчезающих величин.
Такие физические характеристики, как масса или собственное со-
противление электролитов и газов определяются и опытным путем
и теоретически именно как последнее отношение соответствующих
исчезающих величин. Например, масса определяется как отношение
силы, приложенной к телу, к вызванному этой силой ускорению. Но
так как действующая на тело сила, как бы мала она ни была, при-
водит это тело в движение и, следовательно, изменяет его массу,
то масса есть не просто отношение силы к ускорению, а именно
“последнее” отношение силы к ускорению, или отношение, с кото-
рым сила и ускорение исчезают (на практике это означает, что сила
и ускорение достаточно малы). Точно так же такая “внутренняя” ха-
159
рактеристика газов и электролитов, как собственное сопротивление
есть “последнее” отношение исчезающего приложенного сопротивле-
ния к исчезающему проходящему току.
Можно добавить сюда также рассмотрение понятия о произво-
дной в рамках категории “отношение”, проведенное немецким фило-
софом Г. Гегелем [7, т. 5, с. 277-310].
Рис. 67
ly dy . dy
= X
Рассмотрим, наконец, во-
зражения Беркли по поводу
“исчисления диффер енциа-
лов” Лейбница. Беркли гово-
рит, что результаты здесь
получаются правильными
потому, что каждый раз есть
две ошибки, в точности ко-
мпенсирующие друг друга.
Например, при выводе дли-
ны подкасательной 1у функ-
ции у = х2 по методу Лей-
бница (рис. 67) из подобия
треугольников заключают:
2xdx л 9
= 2х2 = 2у.
ах
Но здесь, согласно Беркли, допущено две ошибки:
1) взято dx вместо dx 4- 2,
2) взято dy = 2х dx вместо dy = 2xdx 4- (dx)2.
Так что на самом деле следовало бы написать:
_ 2х dx 4- (dx)2
у Х dx + z
а правильный результат 1у = 2у получается лишь потому, что пер-
вая ошибка в точности компенсирует вторую.
Упражнение 44. Проведите вывод длины подкасательной 1у ги-
перболы ху = 1 по методу Лейбница. Укажите две ошибки, в точно-
сти компенсирующие друг друга.
Идея Беркли о компенсации ошибок как основе дифференци-
ального исчисления была развита Л. Карно в работе [17]. На-
ряду с обычными, “означенными” величинами Карно вводит вспо-
могательные, “неозначенные” величины, которые, в соответствии
160
Рис. 68
с условиями задачи, “нечувствительными степенями” приближа-
ются к означенным, т.е. отличаются от последних бесконечно мало.
Далее вводится понятие “несовершенного уравнения”, которое оп-
ределяется как приближенное уравнение, точное в пределе или та-
кое, что отношение обе-
их частей его имеет преде-
лом единицу, или как ура-
внение, погрешность кото-
рого бесконечно мала. Ме-
тод Карно сводится к то-
му, чтобы, начиная с точ-
ного, “совершенного” ура-
внения переходить от не-
го по определенным пра-
вилам к неточным, “несо-
вершенным” уравнениям с
тем, чтобы через цепочку
“несовершенных” уравне-
ний прийти, наконец, сно-
ва к точному, “совершен-
ному” уравнению, которое
и будет точным решением задачи. Например, согласно методу
Карно, подкасательная 1Х к окружности у = 2ах — х2 (рис. 68)
находится следующим образом. Сначала из подобия треугольников
dx
имеем точное уравнение — = -------. Отбрасывая г, переходим к
У dy + z
« ,, k dx
несовершенному уравнению: — = —. Но
У dy
(у + dy)2 = 2а(х + dx) - (х + dx)2 ,
2t/ dy^- (dy)2 —2adx — 2x dx — (dx)2
откуда
dx _ 2t/ + dy
dy 2a — 2x + dx
Переходим теперь от этого “совершенного” уравнения к “несовер-
шенному” путем отбрасывания dy и dx в правой части, имеем:
dx у . у2
— =-------, так что 1Х =------
ау а — х а — х
161
Упражнение 45. Пользуясь методом Карно, показать, что “по-
верхность шарового пояса равна поверхности соответствующей ча-
сти описанного около шара цилиндра” [17, с. 105]
Замечание Метод Карно можно рассматривать как попытку
придать “исчислению дифференциалов” Лейбница характер фор-
мального алгоритма. Другие такие попытки стали предприниматься
после того, как Д. Веронезе (1881 г.), Т. Леви-Чивита (1892-1893 гг.)
и Д. Гйльберт (1898 г.) в своих геометрических исследованиях ввели
так называемый гиперконтинуум как такое расширение до R*
обычного континуума R вещественных чисел, что
оо
X* е R* <=> X* = X + ^2 хп£п ,
п=1
где х, хп £ R, а €п — актуально бесконечно малые возрастаю-
щих порядков. Число х стали в дальнейшем называть стандартной
оо
частью числа аг*, хп^п — нестандартной частью числа аг*, а
П = 1
основанное на расширении R до R* дифференциальное и интеграль-
ное исчисление — нестандартным анализом. Классический не-
стандартный анализ был создан в 60-х гг. нашего века в работах
А. Робинсона и его последователей [32; 10, с. 5-21; 18; 13; 19, т. 1,
с. 421-422]. Однако “весьма долго нестандартный анализ рассма-
тривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую те-
хнику, предназначенную для обоснования метода актуальных бес-
конечно больших и бесконечно малых чисел. Считалось также, что
эта техника имеет ограниченную сферу применимости и в любом
случае принципиально не может привести к серьезному пересмо-
тру общематематических представлений. В конце 70-х гг. после опу-
бликования теории внутренних множеств Э. Нельсона (и несколько
позже теорий внешних множеств К. Хрбачека и Т. Каваи) взгляды
на место и роль нестандартного анализа коренным образом обога-
тились и видоизменились. В свете новых открытий нестандартные
элементы стало возможно рассматривать не как “мнимые, глухие,
идеальные сущности”, добавляемые к обычным множествам из со-
ображений формального удобства, а как неотъемлемые части любых
привычных математических объектов. Возникла установка, состоя-
щая в том, что каждое множество образовано стандартными и не-
стандарными элементами. В свою очередь, стандартные множества
образуют своеобразную реперную сетку, плотно расположенную в
162
совокупности всех предметов изучения математики. При этом об-
наружилось, что фигурирующие в нестандартном математическом
анализе объекты — монады фильтров, стандартные части чисел и
векторов, тени операторов и т.п. — составляют канторовские мно-
жества, не попадающие ни на одну из канонизированных картин,
рисуемых известными формальными теориями множеств Таким
образом, традиционные взгляды на нестандартный анализ стали ну-
ждаться, по меньшей мере, в ревизии, потребовали переосмысления
инфинитезимальных концепций” [22, с. 7].
Можно сказать, что развитие дифференциального и интеграль-
ного исчисления как исчисления бесконечно малых от механическо
метода Архимеда и метода “неделимых” к методу “флюксий” и сг.
пенных рядов Ньютона, “исчисление дифференциалов” Лейбнице
методу Карно и от последних к нестандартному анализу вполне п< {-
тверждают известные слова Н.Н. Лузина: “Математический анализ
вовсе не есть совершенно законченная наука, как иногда склснны
себе его представлять, с раз навсегда найденными принципами, из
которых только остается извлекать дальнейшие следствия Мате-
матический анализ ничем не отличается от всякой другой науки и
имеет свой ход идей, движущийся не только поступательно, но и кру-
гообразно, с возвращением к группе прежних идей, правда всегда в
новом освещении” [22, с. 8-9].
5.5 КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В
XVIII В.
Созданные Ньютоном и Лейбницем основы дифференциального и
интегрального исчисления получили в XVIII в. широкое развитие.
Была открыта формула Тейлора, широко использовались степенные
ряды. Характерно, что в течение длительного времени дифферен-
циальное исчисление сохраняло тесную связь с исчислением конеч-
ных разностей. Эта связь была обусловлена большим значением ко-
нечных разностей для интерполирования, приближенного дифферен-
цирования и интегрирования функций, а также для приближенного
решения дифференциальных уравнений. В качестве примера такой
связи рассмотрим вывод Б. Тейлором формулы для разложения фун-
163
кции в степенной ряд. В 1711 г. Ньютон вывел интерполяционную
формулу
/(а + п Да:) = /(а) + п + ^у-у^Д2/(а)+
п(п — 1)(п — 2) 3/ ч ап^/ \
+ ". ----”А3/(а) + + Ап/(а),
1 Z * о
где
Д/(а) = /(а + Дя)-/(а),
Д2/(а) = Д/(а + Дя) — Д/(а),
Дп/(а) = Дп“1/(а + Дя) Дп“7(а)
— последовательные конечные разности функции /(я) в точке а. Год
спустя, Б. Тейлор распространил эту формулу на случай бесконечно
большого числа слагаемых, полагая Дя —► 0, но п-Дя = h — конечно.
Тогда
f(tA. Д/(«) Л4.д2/(«) л(л-Дх)
Ла + Л)-/(а)+-д7--Л + -^-------JI—+
_ Д3/(а) Л(Л - Дг)(Л - 2 • Дх)
+ Да:3 123 +
При Дг -+ 0 Тейлор и получил, что
l.\ X ' Ч L d2f, X Л2 rf3// X Л3
/(а + Л) = /(а) + -(а) Л+^(а) 4- ^(а) 4-
Параллельно с развитием дифференциального исчисления фун-
кций одного переменного происходит и развитие дифференциаль-
ного исчисления функций нескольких переменных. Так, теорема о
равенстве смешанных производных была известна еще в начале века.
Затем Эйлер дал ей строгое доказательство и распространил эту те-
орему на производные высших порядков. Эйлер же показал, что для
того, чтобы выражение Pdx + Qdy было полным дифференциалом,
A A 9Q - 9Р
необходимо, чтобы выполнялось — = —, и распространил этот
ох оу
результат на случай трех переменных.. Эйлер же разработал и во-
прос об экстремуме функций двух переменных, а Лагранж в конце
XVIII в. дополнил исследование Эйлера своим методом нахождения
164
условного экстремума. Были установлены все основные виды инте-
гралов, берущихся в элементарных функциях, введены первые спе-
циальные функции (В- и Г-функции Эйлера, lix, первые эллиптиче-
ские функции). Были созданы элементы теории обыкновенных диф-
ференциальных уравнений: проинтегрированы в элементарных фун-
кциях уравнения с разделяющимися переменными, линейные уравне-
ния первого порядка, однородные уравнения, линейные уравнения и
системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, ура-
внение Клеро, уравнение Бернулли и т.п., созданы элементы теории
линейных дифференциальных уравнений второго порядка, введены
понятия общего, частного и особого решений. Проинтегрированы
уравнение колебания струны и"2 = а2и"2, параметрическое уравне-
dz dz dz
ние — = /(х, г/), уравнение Пфаффа Р-т—F Q— = Я и некоторые
ох ох оу
другие простейшие дифференциальные уравнения с частными про-
изводными. Содержание дифференциального и интегрального исчи-
сления XVIII в. отражено в монографиях Эйлера “Введение в анализ
бесконечно малых” (в 2-х т., 1748 г.), “Дифференциальное исчисле-
ние” (в 3-х т., 1755 г.) и “Интегральное исчисление” (в 3-х т., 1767-
1770 гг.).
Дифференциальное исчисление в XVIII в. развивалось, главным
образом, в форме лейбницева “исчисления дифференциалов”, отли-
чавшегося удобством алгоритма. Однако основным понятием были
dy
не сами лейбницевы дифференциалы dx и dy, а их отношение —,
dx
которое понималось не как отношение двух актуально бесконечно
малых величин, но, согласно Ньютону, как последнее отношение ис-
чезающих величин.
Пытаясь дать этому последнему отношению конструктивное
определение, Ж. Даламбер развил так называемое рациональное
дифференциальное исчисление. Согласно Даламберу (1744 г.), про-
ch/
изводную — как последне^ отношение исчезающих величин, следует
определять по правилу:
dy _ у(х -|- Дх) - у(х)
dx
Az
(см. п. 5.2.7). Здесь Дх — приращение аргумента — вначале берется
как произвольное конечное число, а затем оно полагается равным
165
нулю. Например, для функции у = ж2 имеем:
dy _ (х + Дж)2 — х2
dx Ах
= (2х 4- Дж) = 2ж
Дг=О Дг=О
Видно, однако, что предложенный Даламбером способ определения
производной годится, вообще говоря, лишь для того случая, когда
функция у(х) является рациональной относительно ж. Попытки рас-
пространить конструктивное определение Даламбера на случай про-
извольной функции у(х) путем разложения разности у(ж + Дж)~у(х)
в ряд по степеням Дж были предприняты Дж. Ланденом (1758 г.,
1769 г.), Ж. Кондорсе (1778-1781 гг.), Л. Арбогастом (1789 г.),
Ж. Лагранжем (1799 г.). Так, основная идея Лагранжа состояла
в том, что при разложении у(х + Дж) в ряд Тейлора
у(х) + У(х) • Дх + у"(х) +
функции 2/'(ж), у”(х), ... последовательно получаются одна из другой
по одному и тому же правилу: каждая из них есть коэффициент при
первой степени в разложении по степеням Дж предыдущей функции.
Поэтому все эти функции могут быть “произведены” из начальной
(“первообразной”) функции у(х) с помощью операции разложения в
степенной ряд, операции, которую Лагранж считал чисто алгебра-
ической. Нахождение производных сводится, таким образом, к на-
хождению первых коэффициентов ряда. Так, ряд для показательной
функции у = ах и, следовательно, ее производные находятся, согла-
сно Лагранжу, следующим образом:
у(х + Дх) = аг+Аг = ах аАг
аА’ = [1 + (а-1)]Ах = 1 + Дх-(а-1)+^Ц^—^(а-1)2 + =
= 1 +Л Дг+ где А = (в - 1) - (° + (° -
Z о
и, следовательно, у'(х) = А ах Повторением этой операции нахо-
дятся ^"(ж) = ААах = А2 ах, у'"(х) = А А2ах = А3ах и т.д. Подроб-
нее см., например, [15, т. 3, с. 282-291; 30, с. 213-216; 5, с. 156-157;
33, кн. 2, с. 160-170]. “Алгебраическое” дифференциальное исчисле-
ние Лагранжа не получило, однако, своего развития в XIX в., так как
166
в нем заранее предполагалось существование разложения функции
в степенной ряд.
В интегральном исчислении XVIII в. основным было понятие не-
определенного интеграла или первообразной (примитивной) фун-
кции, а именно: F(x) = J f(x)dx dF(x) = f(x)dx. При этом
определенный интеграл понимался как разность значений первооб-
разной функции:
ъ
а
= F(b) — F(d).
а
Ь
5.6 ПЕРЕСТРОЙКА ОСНОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В
XIX ВЕКЕ
К XIX в. в математическом анализе накопились проблемы, при-
ведшие к необходимости заново построить его основные определе-
ния. Лейбницево “исчисление дифференциалов” и ньютонов “метод
флюксий и степенных рядов” исчерпали себя. Их уже не хватало для
решения задач, приводящих к интегралам, неберущимся в элемен-
тарных и простейших трансцендентных функциях; для таких инте-
гралов уже Эйлер часто применял приближенные методы вычисле-
ний, основанные на разбиении отрезка интегрирования на доста-
точно мелкие части и на построении соответствующих интеграль-
ных сумм.
Формула Ньютона-Лейбница выражала естественное для XVII-
XVIII вв. представление, что интеграл f* f(x) dx, равный f* dF(x), и
понимаемый как бесконечно большая сумма бесконечно малых при-
ращений функции F(x), есть полное приращение F(6) - F(a) этой
функции. Но уже в 1768 г. Даламбер обнаруживает, что применение
этой основной в интегральном исчислении формулы приводит ино-
гда к странным и неверным результатам. Так, в случае интеграла
1а
оказывается, что сумма заведомо положительных слагае-
мых будет отрицательной, если а < О, b > 0.
А определение производной как “последнего отношения” исчеза-
ющих величин вообще не работало: оно было больше истолкованием,
чем основанием для дедуктивных заключений.
167
Лишь виртуозное обращение с расходящимися рядами позволяло
Эйлеру получать правильные результаты в некоторых задачах, для
решения которых привлекались бесконечные степенные ряды. Так
путем замены переменной х = — = у + у2 + у3 + Эйлер пре-
образовывал ряд ciz 4- С2Х2 + С3Х3 4- к виду у 4- с2у2 4- с3у3 4-
X
где у = ----. Можно показать, что преобразованный ряд имеет
14-х
более широкую область сходимости, чем исходный. Эйлер же пред-
ложил под суммой ряда понимать значение функции, из разложения
которой данный раз возникает. Так, ряд 1 4- х 4- х2 4-
возникает
из разложения функции
1
-----, поэтому, согласно Эйлеру,
1 — х
1+ 2 + 4 + 8+ =
Наконец, использовавшееся в математическом анализе и его при-
ложениях свойство непрерывности, как свойство функции прини-
мать все свои промежуточные значения, уже не казалось таким оче-
видным для быстро расширявшегося объема используемых функций;
оно нуждалось поэтому в таком определении непрерывности, кото-
рое позволило бы ее проверить.
Глубокая перестройка основ математического анализа началась
в первые десятилетия XIX в. в работах Б. Больцано, О/ Коши и
некоторых других математиков (К. Гаусс, Н.Х. Абель) и получила
относительное завершение в работах К. Вейерштрасса в 60-70-е гг.
XIX в.
“При самом обыкновенном способе доказательства, — писал уже
в 1817 г. Больцано о доказательстве теоремы о свойстве функции
принимать все свои промежуточные значения, — опираются на ис-
тину, позаимствованную из геометрии: именно, что всякая непре-
рывная линия простой кривизны, чьи ординаты сначала положи-
тельны, а потом отрицательны (или наоборот), неизбежно должна
пересекать ось абсцисс в какой-либо точке, лежащей между этими
ординатами. Против верности, а также против очевидности этой
геометрической теоремы возражать нечего. Но столь же очевидно
также, что нетерпимым нарушение хорошего метода является, ко-
гда истины чистой (или общей) математики (т.е. арифметики, ал-
168
гебры или анализа) желают вывести из соображений, которые при-
надлежат только прикладной (или специальной) ее части, а именно
геометрии Ведь в самом деле, если учесть, что доказательства
в науке вовсе не должны быть лишь удостоверениями, а наоборот,
обоснованиями, т.е. изложениями того объективного основания, ко-
торое имеет доказываемая истина, то станет ясцым само собой, что
подлинно научным доказательством или объективным основанием
истины, которая верна для всех величин, безразлично, находятся ли
они в пространстве или нет, никак не может быть истина, которая
верна только для величин, находящихся в пространстве Ибо хотя
геометрическая истина, на которую здесь ссылаются , в выс-
шей степени очевидна, а значит, не нуждается в удостоверении, она
тем не менее нуждается в обосновании И вот если кто-либо по-
думает об объективном основании того, почему линия при только
что отмеченных обстоятельствах пересекает свою ось абсцисс, то
он, наверное, вскоре заметит, что это основание состоит ни в чем
ином, как только в той общей истине, что каждая непрерывная фун-
кция х, которая становится положительной для одного значения х,
но отрицательной для другого значения х, должна стать нулем для
какого-нибудь значения х, лежащего между ними. А это как раз та
истина, которая должна быть здесь доказана
Не менее неприемлемо доказательство, которое некоторые стро-
ят на понятии непрерывности функции, примешивая сюда поня-
тия движения и времени. “Если, — говорят они, — две функции
/(х) и ^(х) изменяются, согласно закону непрерывности, и если для
х = о, /(а) < ^>(а), но для х = /?, /(/?) > ^>(а), то должно существо-
вать какое-нибудь значение и, лежащее между а и /?, для которого
f(u) = <p(u). Если представим, что переменная величина х при-
нимает в обеих этих функциях постепенно все значения, лежащие
между а и /3, причем в то же мгновение она принимает и тут и там
то же значение, то в начале этого непрерывного изменения значе-
ния х имеет место /(х) < ^>(х), между тем как в конце /(х) > ^>(х).
Но так как обе функции благодаря своей непрерывности, должны
пройти сначала через все средние значения, прежде чем прийти к
высшему значению, то должен существовать какой-то средний мо-
мент, когда обе были друг другу равны” Это делают еще наглядным
с помощью примера движения двух тел, из которых одно было сна-
чала позади другого, а под конец опередило его и, следовательно,
обязательно должно было когда-то пройти мимо него.
169
Никто, по-видимому, не станет отрицать, что понятие времени,
а тем более движения столь же чужеродно в общей математике, как
и понятие пространства. Тем не менее, если бы эти два понятия
были здесь привлечены только ради объяснения, то мы ничего не
имели бы против этого. Ибо и мы вовсе не преданы столь преувели-
ченному пуризму, который, чтобы сохранить науку чистой от всего
чужеродного, требует, чтобы в ее изложении не вводили даже вы-
ражения, позаимствованного из чужой области и употребляемого
хотя бы лишь в несобственном значении и для того, чтобы вещь
объяснить короче и яснее, чем это возможно сделать описанием, со-
ставленным из одних специальных терминов, или же только, чтобы
избежать неблагозвучности постоянного повторения тех же слов,
или чтобы одним только названием, которое дают вещи, напомнить
о примере, который может послужить для того, чтобы подтвердить
утверждение. Отсюда можно сразу усмотреть, что мы также ни-
как не считаем примеры и приложения чем-либо таким, что нано-
сит ущерб совершенству научного изложения. Лишь одного требуем
мы, однако, строго: чтобы никогда не выдвигали примеры вместо
доказательства и чтобы никогда не основывали существо самого за-
ключения на выражениях, употребленных только в несобственном
смысле, и на побочных представлениях, которые они вызывают, так
что заключение отпадает, как только меняют эти выражения” [33,
кн. 2, с. 172-174].
В качестве основы для доказательства свойства непрерывной
функции принимать все свои промежуточные значения Больцано
предлагает следующее определение непрерывности: .. под выра-
жением, что функция f(x) изменяется по закону непрерывности для
всех значений г, которые лежат внутри или вне известных границ,
понимают лишь то, что если х — какое-нибудь из этих значений,
то разность f(x + w) - f(x) может быть сделана меньше, чем любая
заданная величина, если можно принять w столь малым, сколько мы
хотим ” [33, кн. 2, с. 174].
Само же доказательство приводится у Больцано следующим об-
разом. “Доказываемая истина, что между двумя значениями а и
/?, которые дают результат противоположного знака, всегда ле-
жит по меньшей мере один действительный корень, основывается,
очевидно, на другой, более общей истине, что, если две непреры-
вные функции z, f(x) и y?(z) обладают таким свойством, что для
х = а, /(а) < у?(а), а для х = /?, /(/?) > <£>(/?), то всегда дол-
170
жно иметься значение z, лежащее между а и /?, для которого будет
/(z) = р(х). Однако, если /(а) < ^(а), то вследствие закона непре-
рывности также еще будет /(а + i) < ^(а +i), если только взять i
достаточно малым. Свойство малости принадлежит, следовательно,
функции г, которую представляет выражение /(а 4- г), при всех зна-
чениях г, которые меньше, чем некоторое определенное значение.
Тем не менее это свойство не принадлежит ей для всех значений г
без ограничения, а именно не для i, которое было бы = (3 — а, так
как /(/?) уже > ^(/?). Теперь имеет место теорема, что как только
известное свойство М принадлежит всем значения^ переменной ве-
личины г, которые меньше заданной величины, но не принадлежит
всем вообще ее значениям, то имеется всегда некоторое наибольшее
значение и, о котором можно утверждать, что все г, которые меньше
и, обладают свойством М. Для этого самого значения и не может
быть /(ct+u) < ^(a+u), потому что иначе, согласно закону непреры-
вности, было бы также /(a-hu-Fw) < ^(a + u + w), если бы мы взяли
только w достаточно малым. И следовательно, не было бы верно, что
и является наибольшим из тех значений, о которых верно утвержде-
ние, что все значения t, стоящие ниже его, делают /(а4- i) <
а и 4- w было бы еще большим значением, для которого верно то же
самое. Но еще меньше может быть /(а 4-и) > ^>(а4-и), так как иначе
должно было бы быть также /(а4-п —w) > y?(a4-u —w), если взять w
достаточно малым, а следовательно, не было бы верно, что для всех
значений г, которые < и, имеет место /(а 4- i) < 4- i). Таким
образом, должно быть /(а 4- и) = у?(а-|-и), т.е. между а и (3 имеется
значение z, а именно а 4- и, для которого функции /(z) и y?(z) стано-
вятся равными друг другу. Дело идет только еще о доказательстве
упомянутой теоремы. Ее мы теперь докажем тем, что покажем, что
те значения i, о которых можно утверждать, что все меньшие из
них обладают свойством М, и те значения, о которых этого больше
утверждать нельзя, могут быть настолько сближены, насколько бы
мы ни пожелали. Для всякого, кто имеет правильное понятие вели-
чины, отсюда следует, что представление о i, как о наибольшем из
тех, о котором можно сказать, что все стоящие ниже его обладают
свойством М, есть представление реальной, т.е. действительной ве-
личины” f33, кн. 2, с. 175-176]
Приведенное доказательство не полно. Оно нуждалось, как отме-
тил сам Больцано, “в правильном понятии величины” т.е. в таком
определении вещественного числа, которое гарантировало бы суще-
171
ствование числа и — точной верхней грани множества всех значении
t, обладающих свойством М. Набросок такой теории вещественного
числа имеется в рукописях Больцано. К сожалению, работы Боль-
цано стали известны лишь с 70-х гг. XIX в., когда уже получили ши-
рокую известность у математиков новые основы анализа, созданные
в работах Коши и Вейер штрасса.
Наибольшее значение в распространении новых идей обоснова-
ния математического анализ в первой половине XIX в. имели труды
О. Коши и прежде всего его лекции в парижской Политехнической
школе, оформленные в его учебных руководствах “Курс анализа в
Политехнической королевской школе. I-я часть. Алгебраический ана-
лиз” (1821 г.) и “Краткое изложение лекций по исчислению беско-
нечно малых в Политехнической королевской школе” (1823 г.).
Коши положил в основу математического анализа понятие пре-
дела переменной величины. Мы уже отмечали, что исторически пер-
вым методом пределов был античный метод “исчерпывания” Так,
в лемме Евдокса (см. п. 5.1), говоря современным языком, фор-
мулируется и строго доказывается, что если хп — последователь-
ность неотрицательных величин такова, что хп+1 <
хп
2 ’
то пре-
дел хп при п —► оо существует и равен нулю. А нахождение пло-
щадей и объемов, построение касательных у Архимеда (см. п. 5.1)
представляют собой строгие предельные переходы, включающие, по-
существу, и доказательство существования и единственности иско-
мых величин. Так, в основе метода интегральных сумм Архимеда
лежит, по-существу, следующее утверждение: если два числа S и
с все время находятся между двумя последовательностями Sn и
Sn (т.е. для любого натурального п выполняется Sn < S < Sn и
Sn < с — Sn), одна из которых (Sn) возрастает, а другая (S^) убы-
вает, причем так, что разность между ними “исчерпывается” (т.е.
Sn+1 < “(Sn “ —*)) или Даже просто неограниченно убы-
вает (стремится к нулю при п —► оо), то S = с и их общее значение
является пределом как Sn, так и Sn при п —► оо. Ньютонов же ме-
тод пределов — метод “первых” и “последних” отношений [33. кн. 2.
с. 101-105], отличаясь от античного метода пределов большей фор-
мализованностью и краткостью доказательств, имел существенный
недостаток: в нем заранее предполагалось существование искомых
“последних” отношений. Так, в лемме I — основной лемме этого ме-
тода — в случае отношения двух переменных величин y(t) и х(/),
172
выражаясь современным языком, утверждалось и доказывалось, что
У
если 1) отношение —(f) определено, > 1 и монотонно убывает при
х
t 6 [to — д, to], и 2) для любого € > 0 существует? 6 [to — A, to) такое,
у _ у
что -(t) — 1 < € (и, следовательно -(t) — 1 < е для всех t < t < t0),
х х
то необходимо должно быть -(to) = 1. При этом существование
х
— (to) предполагается заранее из механических или геометрических
х
соображений. Выше мы отмечали неудачные попытки Даламбера и
Лагранжа придать ньютоновскому “последнему” отношению исчеза-
ющих величин конструктивное определение.
У Коши же мы наблюдаем отказ от попыток придать предель-
ному переходу — основной операции математического анализа —
конструктивное определение в пользу нахождения условий, необхо-
димых или достаточных для того, чтобы данное постоянное число
было пределом данной переменной величины. При таком подходе ес-
тественным становится вопрос о существовании и единственности
предела. Необходимые и достаточные условия существования пре-
дела (критерий Коши) установлены самим Коши в 1821 г., но еще
ранее (в 1817 г.) Б. Больцано. В лекциях Коши доказаны также необ-
ходимый признак сходимости ряда и несколько достаточных призна-
ков сходимости рядов: признак сходимости по мажоранте, признак
Даламбера, интегральный признак.
Замечание Интегральный признак был известен еще К. Ма-
клорену (1742 г.), а первая формулировка признака Даламбера от-
носится к 1768 г. Новые достаточные признаки,’вошедшие затем в
учебные курсы, нашли И. Раабе (1832 г.), Н.И. Лобачевский (1834 г.),
Э. Куммер (1835 г.), О. Боннэ (1842 г.), Ж. Бертран (1842 г.),
В.П. Ермаков (1870 г.) и др. Определенный итог всем этим призна-
кам подвел Н.В. Бугаев (1863 и 1888 гг.), создавший теорию сопря-
женных рядов [38, с. 485-486].
Понятия бесконечно малой величины, непрерывности, суммы
ряда, производной, дифференциала и интеграла строятся у Коши на
основе понятия предела. Бесконечно малая величина определяется
как переменная потенциально бесконечно малая величина,
т.е. как переменная величина, имеющая своим пределом нуль. Схо-
димость ряда означает по Коши существование конечного предела
его частичных сумм. Если же частичные суммы не стремятся ни к
какому пределу, то такой ряд Коши называет расходящимся или не
173
имеющим суммы. Функция f(x) называется ’‘непрерывной функцией
переменной х между двумя пределами, если между этими преде-
лами бесконечно малое приращение переменной порождает всегда
бесконечно малое приращение самой функции” [33, кн. 2, с. 180].
“Если функция /(х) остается непрерывной между двумя данными
пределами переменной и если, придав этой переменной какое-либо
значение между двумя этими пределами, сообщить ей бесконечно
малое приращение, то сама функция также получит бесконечно ма-
лое приращение. Следовательно, если положить тогда Дх = t, то два
члена отношения разностей
Ду _ Дх + 0 - Дх)
Дх i
будут бесконечно малыми количествами. Но, в то время как оба эти
члена будут неограниченно и одновременно приближаться к пределу
нуль, само отношение может сходится к некоторому другому пре-
делу, положительному или отрицательному. Этот предел, если он
существует, имеет для каждого частного значения х определенное
значение, но он изменяется вместе с х Форма новой функции,
Дх + i) - f(x)
служащей пределом отношения -------::-----, будет зависеть от
г
формы предложенной функции у = /(х). Чтобы отметить эту за-
висимость, новую функцию называют производной функцией и ее
обозначают с помощью штриха символом у1 или /'(х) Пусть по-
прежнему у = /(х) есть функция независимой переменной х, i —
бесконечно малая величина, a h — конечная величина. Если поло-
жить i = а А, то а тоже будет бесконечно малой и мы будем иметь
тождественно
Дх + i) - /(х) _ Дх + ah) - Дх)
i ah
откуда получим, что
Дх + ah) - Дх) _ Дх + i) - Дх)
a i
Предел, к которому сходится правая часть уравнения (1), когда пере-
менная а йеограниченно приближается к нулю, а величина А оста-
ется неизменной, называется дифференциалом функции у = /(х).
Этот дифференциал обозначают с помощью характеристики d сле-
дующим образом:
dy или df(x).
174
Легко получить его значение, если известно значение производной
функции у' или ff(x). Действительно, взяв пределы обеих частей
уравнения (1), мы найдем вообще, что
df(x) = h /'(х) (2)
В частном случае, когда f(x) = х, уравнение (2) приводится к
dx = h . (3)
Значит, дифференциал независимой переменной х есть не что иное,
как постоянная Л. Таким образом, уравнение (2) перейдет в
df(x) = f\x)dt
или, что то же, в
dy = у' dx.
(4)
(5)
Из последних уравнений следует, что производная у' = f'(x) фун-
dy
кции у = f(x) в точности равна —, т.е. отношению дифференциала
ах
функции к дифференциалу переменной, или, если угодно, коэффи-
циенту, на который нужно умножить второй дифференциал, чтобы
получить первый. Поэтому производную функцию называют ино-
гда дифференциальным коэффициентом?" [33, кн. 2, с. 183] “В
интегральном исчислении, — говорит Коши, — я нашел нужным
дать общее доказательство существования интегралов или перво-
образных функций, прежде чем знакомить с их различными свой-
ствами. Чтобы достигнуть этого, сперва потребовалось установить
понятие интегралов между данными пределами или определенных
интегралов. Так как последние могут иногда оказаться бесконечными
или неопределенными, то было существенно исследовать, в каких слу-
чаях они сохраняют единственное и конечное значение.” [33, кн. 2,
с. 182] Коши определяет интеграл следующим образом. Предполагая,
что /(х) — непрерывная функция на сегменте [а, 6], он рассматри-
вает интегральную сумму
S(<r) = /(*o) (*l - *o) + /(*lH*2-*l)+ - +/(*n-l) (*n-*n-l),
где а = {х,}q — разбиение сегмента [а, Ь]. Суммы S имеют предел
при d(<y) —> 0 (d(a) = max|xi — xt_i|), называемый определенным
175
интегралом f*f(x)dx. Доказательство Коши существования этого
предела следующее. В силу неравенства
(хп - х0) • r min ч /(х) < S(a) < (xn - х0) max /(х)
Ио,хЛ] Ио,гЛ]
и свойства непрерывной функции принимать всякое промежуточное
значение, можно записать
5(a) = /(х0 + в(хп - х0)) • (хп - х0), 0 < в < 1
Последнее равенство справедливо для всякого сегмента [xq, хп], на
котором /(х) непрерывна. Образуем новое разбиение <ri, содержа-
щее а, и сумму S(ai). Тогда
S(<7!) = (Xi - Хо) • /(хо 4- 01 (X! - Х0)) + . . . +
+(*П - *п-1) • 4- 0п(хп - Хп-1)) =
= (*1 - *о) [/(хо) 4- £о] 4- 4- (хп - хп-1) [/(хп_!) 4- en-i] =
= S(a) 4- (xi - хо) • е0 4- 4- (xn - xn_i) • en-i
Число s:-i не превышает колебания функции /(х) на промежутке
[х:-_ 1, х,], следовательно становится сколь угодно малым, если ди-
аметр разбиения достаточно мал (Коши неоднократно использует
в рассуждениях свойство равномерной непрерывности непрерывной
на сегменте функции). Таким образом, S(<ri) отличается от S(a)
сколь угодно мало, если диаметр разбиения достаточно мал. Теперь,
если ^(аг) и 5(аз) — произвольные суммы указанного выше вида,
то каждая из них отличается мало от третьей суммы S(<?2 4- а3),
полученной с помощью разбиения (т2 4- <тз сегмента [а, 6], поэтому
S(<T2) и S(<t3) отличаются мало: этим доказательство существования
предела сумм заканчивается. Коши подчеркивает, что приведенные
выше рассуждения пригодны при условии, что /(х) непрерывна и
ограничена на ограниченном сегменте [а, 6]; кстати, в этом случае
имеет место формула
G ь
{ ИТю / dx = Л*) dx
ei-:-0 fl а
176
При невыполнении какого-либо из этих условий предел сумм мо-
жет не существовать; однако может случиться, что эти условия вы-
полняются в [6, 6], а < £1 < & < ft, и указанный предел суще-
ствует. В этом случае Коши предлагает определить интеграл с по-
мощью указанного предела. Аналогично определяется и несобствен-
ный интеграл от непрерывной функции по неограниченному проме-
жутку. Далее, неопределенным интегралом f f(x) dx Коши так же,
как и в XVIII в., называет решение уравнения
dy = f(x)dx,
т.е. такую функцию у, дифференциал которой в каждой точке за-
писывается по этой формуле. Таким образом, неопределенный ин-
теграл есть совокупность вида F(x) 4- w(z), где F(x) — некоторое
частное решение указанного уравнения, a w(z) удовлетворяет ура-
внению w'(z) = 0, т.е. w — const. В качестве F(x) Коши берет
г*
определенный интеграл с переменным верхним пределом / f(x)dx,
J а
отсюда получается формула Ньютона-Лейбница:
ь
j f(x)dx = F(b)-F(a).
а
Коши указывает на геометрическое значение определенного инте-
грала / f(x)dx как площади, ограниченной кривой у = f(x) > О,
J а
осью абсцисс и ординатами х = а и х = ft; из рассуждений Коши
следует, что понятие площади он считает известным заранее [28,
с. 13-16].
Современное же изложение начал математического анализа с
точными формулировками и доказательствами на языке “е — ft”
восходит к лекциям Вейерштрасса, обработки которых были изданы
его слушателями в 60-70-х гг. XIX в. Приведем некоторые формули-
ровки из лекций Вейерштрасса. “В противоположность неизменяю-
щейся величине или постоянной, которая может принимать только
одно значение, переменной величиной называется такая, которая мо-
жет принимать не только несколько отдельных, но бесконечно много
значений. Может случиться, что переменная величина может при-
нимать любое возможное положительное или отрицательное зна-
чение, тогда она называется неограниченно переменной величиной.
Переменная величина может быть ограниченно переменной и иметь
177
нижнюю или верхнюю границу, или же одновременно обе. Значе-
ния, которые может принимать переменная величина, могут прина-
длежать одной или нескольким непрерывным последовательностям,
если переменная величина может принимать все возможные значе-
ния между двумя возможными границами. Дифференциальное исчи-
сление занимается только такими непрерывно изменяющимися вели-
чинами. Две переменные величины могут находиться в такой связи,
что каждому определенному значению одной принадлежит опреде-
ленное значение другой, тогда последняя называется функцией пер-
вой Если /(х) есть функция х и х — определенное значение,
то при переходе х в х + h функция переменится и будет /(х + Л);
разность /(х -|- Л) — /(х) называют изменением, которое получает
функция в силу того, что аргумент переходит от х в х + Л. Если
возможно определить для h такую границу 6, что для всех значений
Л, по абсолютному значению еще меньших, чем 6, /(х 4- h) — /(х)
становятся меньше, чем какая-либо сколь-угодно малая величина г,
то говорят, что бесконечно малым изменениям аргумента соответ-
ствуют бесконечно малые изменения функции. Ибо говорят, что не-
которая величина может стать бесконечно малой, если ее абсолют-
ное значение может стать меньше какой-либо произвольно взятой
малой величины. Если некоторая функция такова, что бесконечно ма-
лым изменениям аргумента соответствуют бесконечно малые изме-
нения функции, то говорят, что она непрерывно изменяется вместе
со своим аргументом Полное изменение /(х + h) — /(х), кото-
рое испытывает функция /(х) в силу того, что х переходит в х 4- Л,
можно, вообще говоря, разложить на две части, из которых одна
пропорциональна изменению аргумента Л, т.е. состоит из Л и мно-
жителя, не зависящего от h и постоянного относительно h, так что
будет бесконечно малой, когда будет бесконечно малым Л, или же
будет бесконечно малой одновременно с Л, другая же будет не только
сама по себе бесконечно малой, когда будет бесконечно малым Л, но
будет еще бесконечно малой, если ее разделить на h Первая часть
всего изменения функции, пропорциональная изменению аргумента,
называется дифференциальным изменением или дифферренциалом
и обозначается предшествующим функции характеристическим d,
между тем как Д означает все изменение. Аналогично, поскольку
простейшей функцией х является сама х, вместо h пишут также dx,
и это совершенно независимая от х величина, которая может стать
бесконечно малой. Чем меньше берется dx или Л, тем менее будет
178
отличаться дифференциальное изменение от всего изменения; путем
уменьшения dx различие можно сделать меньшим любой сколь уго-
дно малой величины; поэтому дифференциал определяли как измене-
ние, которое претерпевает функция, когда ее аргумент изменяется
на бесконечно малую величину” [33, кн. 2, с. 188-190].
5.7 ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ДАРБУ
Изучение понятия интегрируемости у Римана и у других авторов
было вызвано прежде всего потребностями теории тригонометр
ческих рядов. Как показал Ж. Фурье (1822 г.), коэффициенты т[
оо
а0 1 \
тонометрического ряда — + cosnx 4- bnsinnx) выражают я
2 П = 1
через его сумму f(x) по формулам:
1Г
ап = — / f(x)cosnxdx,
ir J
— 7Г
7Г
Ьп — — I f(x)sinnxdx
тг J
— х
(отметим, что еще ранее, в 1777 г. и в 1757 г., эти формулы были
найдены соответственно Л. Эйлером и А. Клеро). Первое строгое
доказательство возможности разложения функции в тригонометри-
ческий ряд было дано Л. Дирихле (1829 г.) для класса ограниченных
кусочно непрерывных и кусочно монотонных функций. Понятно, что
для того, чтобы можно было определить ряд Фурье функции /(а:),
необходимо чтобы сама функция /(ж) была интегрируемой. В связи
с этим Б. Риман, продолжая исследования своего учителя Дирихле,
пришел к необходимости анализа понятия интегрируемости.
“Предшествующие работы, посвященные рассматриваемому во-
просу, — писал Риман в 1853 г., — имели целью обосновать разло-
жение функций в ряд Фурье для случаев, встречающихся в природе,
поэтому доказательство могло быть начинаемо для совершенно про-
извольных функций и в дальнейшем на поведение функции могли
быть налагаемы те или иные требуемые самим доказательством ис-
кусственные ограничения (как непрерывность у Коши или кусоч-
ная монотонность и непрерывность у Дирихле—С. М.) при условии,
179
что эти ограничения не стояли в противоречии с поставленной за-
дачей. Мы же имеем целью установить лишь те условия, которые
действительно необходимо наложить на поведение функции для того,
чтобы она могла быть представлена тригонометрическим рядом; по-
этому нам нужно найти сначала необходимые условия представимо-
сти и потом выбрать из них те, которые являются и достаточными.
Итак, предшествующие авторы доказывали, что если функция обла-
дает такими-то и такими-то свойствами, то она представима рядом
Фурье. Мы же ставим перед собой обратный вопрос: если функция
представима тригонометрическим рядом, то что можно сказать о ее
поведении, об изменении ее значений при непрерывном изменении
аргумента?” [27, с. 185-186]. Пусть — колебание функции f(x) на
сегменте [«j-i, Риман утверждает, что для того, чтобы функция
/(ж) была интегрируема на отрезке [а, 6], необходимо и достаточно,
п
чтобы сумма 52 wi^i стремилась к нулю вместе с диаметром раз-
i=i
биения d(a). Риман показывает, что необходимое и достаточное
условие интегрируемости может быть записано также в следующем
виде: для любого а > 0 сумма длин тех сегментов Д,, на которых ко-
лебание функции Wi > oty стремится к нулю вместе с диаметром раз-
биения. Действительно, пусто f(x) — интегрируема и Д — точная
п
верхняя грань сумм 52 wi^i для всех разбиений, диаметр которых
s=i
не превосходит </; пусть S = 52 — общая длина тех сегментов
Д|, где Wi > а. Тогда
" д
aS = a/J Д< < /2 w» А» < А , S < — ;
t=i
а так как Д —> 0 при </(а) —> 0, то из последнего неравенства следует,
что при заданном а сумма S длин сегментов, в которых колебание
функции не меньше а, стремится к нулю. Это условие также и до-
статочно. В самом деле, пусть М — точная верхняя грань функции
|/(ж)| на [а, 6]; тогда колебание функции /(ж) в любом сегменте не
больше 2М. Имеют место неравенства
У2 WgAi < 2МS, — ш,Д,- < а(6 — а)
поэтому
w,- Д, < 2MS + а(6 - а).
180
е/2
Пусть € > 0 задано. Если сначала взять а < —-----, затем столь
Ь — а
е/2 Д
мелкое разбиение а, чтобы было S < то сУмма /2 wi^i будет
меньше е; тем самым достаточность высказанного выше условия
доказана.
В качестве примера разрывной интегрируемой функции Риман
приводит функцию со всюду плотным множеством точек разрыва
П = 1
где (пх) означает разность между пх и ближайшим целым числом;
если же пх = к 4- |, где- к — целое, то (пх) полагается равным
лч \ « 2fc +1
нулю. Функция f(x) имеет разрыв в каждой точке вида —--------,
2п
- V -7 х 2fc + 1 тг2 _ v
колебание функции f(x) в точке —---- равно Действительно,
/ \ (пх) к
числители (пх) слагаемых —имеют разрыв в точках вида х* =
п2
2к 4-1 .
—-----, предел слева равен 1/2, справа —1/2, так что скачок функции
2п
(пх) равен 1. Но точка х„ является точкой разрыва только для тех
функций (та?), для которых тп = (2г 4-1) • n, i = 0, 1,2,.... Поэтому
/(^ + 0) - /(«*) 2n2 S (2i + 1)2
f(xkn - 0) = f(xk) + — . £ (2i+1)2
и скачок w(f, х„) функции f(x) в точке х* равен
1 00 1 2
1/(®п + 0) - - °)l = ^2 £ (2,- + 1)2 = 8^2
:=0 х '
(при выводе этих формул используется равномерная сходимость
оо Z X
(nx) ti \
ряда > —она же гарантирует и непрерывность f(x) во всех
n = l
точках х / как в таких точках, в которых одновременно не-
прерывны все члены ряда). Существует конечное число значений п
181
таких, что —г > а. Поэтому в каждом конечном промежутке су-
8п2
ществует конечное число точек х£, в которых скачок функции-/(х)
будет > а. Следовательно, при достаточно малом диаметре разбие-
ния число S может быть сделано как угодно малым, так что /(х) —
интегрируема.
Риман замечает, что всякая кусочно монотонная функция также
обладает подобным свойством, т.е. существует только конечное чи-
сло точек, в которых скачки функции превышают заданную вели-
чину. Следовательно, все кусочно монотонные функции интегриру-
емы.
Другое определение интеграла, опирающееся непосредственно не
на понятие предела, а на понятие точных граней ограниченнрго мно-
жества, было подготовлено работами Дар бу, Асколи и некоторых
других математиков в 70-х гг. XIX в. и завершено Пеано в работе,
относящейся к 1883 г. А именно, Г. Дарбу, Г. Асколи, Г Смит и
П. дю Буа-Реймон в одном и том же 1875 г., используя понятия
_________ п п
верхней S = ^i(xi ~ х«-1) и нижней S = ^2 mi(xi — х«-1) ин~
*«=1 »=1
тегральных сумм (А/,- и т,- — соответственно, точная верхняя и
точная нижняя грани функции /(х) на сегменте [xj_i, xj) незави-
симо друг от друга показали, что для интегрируемости функции по
Риману необходимо и достаточно, чтобы были равны друг другу
предел I верхних интегральных сумм S и предел £ нижних инте-
гральных сумм S при стремлении диаметра разбиения к нулю. Най-
денное необходимое и достаточное условие интегрируемости было
взято Асколи в качестве нового определения интеграла, а Д. Пеано
устранил из этого определения понятие предела, определив I и I
не как пределы соответствующих интегральных сумм, а как соот-
ветственно точную нижнюю грань сумм S и точную верхнюю грань
сумм Таким образом, согласно Пеано, ограниченная функция /(х)
называется интегрируемой на [а, 6], если точная нижняя грань вер-
хних интегральных сумм Дарбу равна точной верхней грани нижних
интегральных сумм Дарбу.
Далее, в найденных Риманом необходимых и достаточных усло-
виях интегрируемости участвовали колебания функции на отрезках
[xi-i, Xi], что лишь косвенно указывало на характер разрывности
функции. Поэтому продолжались попытки дать другие, более пря-
мые условия интегрируемости. Так, Г. Ганкель (1870 г.), дю Буа-
182
Реймон (1882 г.) и некоторые другие математики предложили но-
вую формулировку необходимых и достаточных условий интегри-
руемости, основанную на понятии колебания функции в самих точ-
ках разрыва и на характеристике самих точек разрыва. А именно,
дю Буа-Реймон показал, что если функция такова, что множество
ЕЛ таких точек разрыва, в которых колебание функции w(f,x) > а,
при всяком а может быть заключено в конечную систему интерва-
лов общей сколь угодно малой длины, то выполняются необходимые
и достаточные условия интегрируемости Римана, и наоборот. До-
кажем это. Необходимость: всякий сегмент, содержащий точку из
Еа, таков, что колебание функции в нем не меньше а. Поэтому ЕЛ
содержится в тех сегментах разбиения, в которых колебание > а.
Если функция интегрируема, то, согласно критерию Римана, общая
длина этих сегментов стремится к нулю, что и нужно доказать. До-
статочность: заметим сначала, что если во всех точках некоторого
сегмента Д колебание функции меньше, чем а, то можно указать
такое € > 0, что w(f,6) < а, где 6 — произвольный сегмент, заклю-
чающийся в Д, длины, меньшей чем е. Заключим Еа в конечную си-
стему интервалов Д1,..., Дп общей длины S. Обозначим сегменты,
дополнительные к Дх,..., Дп через Д'х,. , Д^. Они состоят из то-
чек, где колебание функции < а. Пусть d — длина наименьшего
из интервалов Д, и число г — наименьшее из чисел выбранных
для сегментов Д', как указано выше. Рассмотрим произвольное раз-
биение сегмента [а, 6] диаметра меньшего, чем min(d,s). Тогда те
сегменты разбиения а, в которых колебание функции > а, необхо-
димо должны иметь общие точки с интервалами Д,. Но общая их
длина не превышает 3S, что, в силу возможности выбрать число S
произвольно малым, и завершает доказательство.
Напомним, что в курсах анализа обычно приводится критерий
интегрируемости в форме Лебега: для того, чтобы ограниченная на
[а, 6] функция /(ж) была интегрируема по Риману, необходимо и до-
статочно, чтобы множество Е точек разрыва функцйи /(ж) на [а, 6]
имело меру нуль, т.е. его можно было бы заключить в конечную или
счетную систему интервалов общей сколь угодно малой длины. Этот
критерий интегрируемости нетрудно получить из критерия инте-
грируемости в форме дю Буа-Реймона. Достаточно заметить, что
оо
Е = (J Ei и что Ел компактно для любого а > 0.
n=l п
183
5.8 ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПОНЯТИЯ МЕРЫ
МНОЖЕСТВА
В основе найденных Ганкелем и другими математиками новых
условий интегрируемости по Риману лежало понятие линейного мно-
жества, которое может быть заключено в конечную систему ин-
тервалов сколь угодно малой длины. Такие множества дю Буа-
Реймон называл дискретными, а теперь мы обычно называем их
множествами протяженности (или линейной меры) нуль. Появление
множеств протяженности нуль привело вскоре к определению про-
тяженности произвольного линейного множества и вообще меры
произвольного множества. Первое определение меры произволь-
ного множества принадлежит Г. Кантору (1883 г.) и О. Штольцу
(1884 г.). Несколько позже эквивалентное определение было пред-
ложено А. Гарнаком (1885 г.). Эти определения были существенно
дополнены Пеано (1887 г.) и К. Жорданом (1892 г.); по имени после-
дних эту меру принято называть мерой Пеано-Жордана. Приведем
все эти определения.
Определение меры по Кантору. Пусть Е — произвольное ограни-
ченное множество в пространстве Rn. Для любой точки ж из замы-
кания Е множества Е рассмотрим замкнутый шар S(p, ж) радиуса р
с центром в точке х. Пусть далее П(р) есть U S(p, х). Множество
г€Е
П(р) можно разбить на конечное число частей, “объем” которых
представляет собой функцию F(p), монотонно убывающую с убыва-
нием р. Число fc(E) = lim F(p) при р —► 0 называется мерой Кантора
множества Е.
Определение меры по Штольцу. Пусть Е — множество, содер-
жащееся в [а, 6]. Пусть {ап} — последовательность разбиений
с диаметром, стремящимся к нулю, причем (тп С ^п-ц- Пусть
Д,(ап) — сегменты разбиения, содержащие точки из Е. Число
s(E) = 1нп52тД,(ап) при п —* оо называется мерой Штольца мно-
i
жества Е. Свое мероопределение Штольц распространил также на
случай плоских множеств
Определение меры по Гарнаку. Пусть Е — множество, содержа-
щееся в [а, 6]. Удалим из [а, 6] все интервалы длины > —не
содержащие точек из Е. Из остатка гг удалим все интервалы длины
184
b — a
“F
не содержащие точек из Е. И так далее. Предел последо-
вательности общих длин остатков гп при п —► оо называется мерой
Гарнака Л(Е) множества Е.
Определение меры по Пеано-Жордану. Пусть для определенно-
сти Е — плоское множество. Рассмотрим на плоскости квадрат-
ную сетку, образованную прямыми, параллельными осям координат.
Пусть S — сумма площадей замкнутых квадратов сетки, располо-
женных целиком внутри множества Е, a S' — сумма площадей тех
замкнутых квадратов, которые содержат хотя бы одну граничную
точку множества Е. Сумма S 4- S' cqctqwt из площадей квадратов,
содержащих точки замыкания Е U Е' множества Е. При неограни-
ченном измельчении стороны сетки числа S и S + S' стремятся к
определенным пределам, которые называются соответственно вну-
тренней ДОе(Е) и внешней p£i(E) мерой Пеано-Жордана множества
Б. В случае совпадения этих пределов множество Е называется из-
меримым по Пеано-Жордану, а общее значение рд(Е) внешней и
внутренней мер — мерой Пеано-Жордана множества Е. Приведен-
ное определение меры принадлежит Жордану. Пеано же определил
внешнюю и внутреннюю меры множества соответственно как точ-
ную нижнюю грань площадей конечных систем многоугольников, це-
ликом содержащих множество Е, и как точную верхнюю грань пло-
щадей конечных систем многоугольников, целиком содержащихся во
множестве Е.
Упражнение 46. Пусть Е — множество рациональных чисел из
[О, 1]. Покажите, что k(F,) = s(E) = Л(Е) — рде(Е>) = 1- Измеримо
ли Е по Пеано-Жордану?
Основываясь на введенном понятии меры, Жордан дал более об-
щее построение интеграла Римана, рассматривая функции, задан-
ные на произвольном измеримом по Пеано-Жордану множестве
и строя интегральные суммы для произвольных разбиений этого
множества на измеримые по Пеано-Жордану части. А Пеано по-
строил геометрическое определение интеграла Римана, и именно
им была доказана следующая теорема: для того, чтобы ограничен-
ная неотрицательная на [а, 6] функция /(х) была интегрируемой по
Риману, необходимо и достаточно, чтобы ординатное множество
Е(/, [а, 6]) = {((я, у) таких, что х Е [а; 6], 0 < у < /(х)} было изме-
185
римо по Пеано-Жордану; при этом
Jf(x)dx = pg(E(f,[a, Ь])).
В общем случае ограниченной функции произвольного знака
I/(х) dx = pg(E(f+, [а, 6])) - рдЩГ, [а, 6])),
где
/(х) = /+(*)-/-(*)•
Общие принципы построения меры множества были высказаны
Э. Борелем в книге “Лекции по теории функций” (1898 г.):
1) Мера всегда неотрицательна.
2) Мера суммы счетного числа неперекрывающихся множеств
равна сумме их мер.
3) Мера разности двух множеств (множества и его подмно-
жества) равна разности их мер.
4) Всякое множество, мера которого не равна нулю, несчетно.
Если в качестве меры интервала взять его длину, то, согла-
сно 2, мера открытого множества определится как сумма длин его
составных интервалов. На основании 3 определится мера замкну-
того множества (как разности между интервалом и открытым мно-
жеством). Строгое построение класса множеств, получаемых после-
довательно операциями сложения и вычитания, исходя из открытых
множеств (такие множества называют теперь борелевскими, или В-
множествами, или В-измеримыми множествами) было дано А. Лебе-
гом в 1905 г.
Упражнение 47. Покажите, что мера Пеано-Жордана не удо-
влетворяет принципу 2 мероопределения Бореля, т.е. не является
счетно-аддитивной. Чему равна мера Бореля множества Е рацио-
нальных чисел из [0, 1]?
18*
5.9 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Первое сообщение Лебега об открытии им нового процесса инте-
грирования появилось в печати весной 1901 г. Подробное изложение
теории интеграла Лебега имеется в его диссертации (1902 г.). Эта
теория вместе с анализом предшествующего развития понятия ин-
теграла, составляет содержание его “Лекций по интегрированию и
отысканию примитивных функций” (1904 г., имеется русский пере-
вод).
Лебег начинает свое исследование с анализа предшествующего
развития понятия интеграла. При этом он выделяет шесть свойств
интеграла, вполне описывающих, по его мнению, общее понятие ин-
теграла. И далее Лебег ставит себе целью “связать с каждой огра-
ниченной функцией /(ж), определенной в конечном интервале (а, 6),
положительном, отрицательном или равным нулю, некоторое конеч-
ъ
ное число f f(x) dx, которое мы назовем интегралом от /(г) на (а, Ъ)
и которое Удовлетворяет следующим условиям:
b b—h
1) Каковы бы ни были а, b и А, имеем ff(x) dx = f f(x + h)dx.
a a-h
b c a
2) Каковы бы ни были а, b и с, имеем f + f + f = 0.
a b с
з) Jlf(x) + dx = ff(x)dx + f<p(x)dx
a a a
b
4) Если f > 0 и b > а, то также ff(x) dx > 0.
a
b
5) fl dx = 1.
a
6) Если fn(x) стремится, возрастая к f(x), то интеграл от
стремится к интегралу от /(х)”
Предполагая существование такого числа, Лебег последовательно
выводит из условий 1-6, что
ь
1. fOdx = 0.
а
b b
2. J-f(x)dx = -ff(x)dx
а а
187
ь ь
3. При f(x) < <р(х) и а < Ь будет f f(x) dx < f<p(x) dx.
a a
lf(x)dx <}\f(x)\dx.
a a
b b
5. fk f(x)dx = k ff(x)dx Vfc 6 R.
a a
6. S = A*» < f /(*) ^x < гДе A*i — xi “ *i-b
i=l a »+l
mi и Mi — соответственно точная нижняя и точная верхняя
грани значений функции f(x) на сегменте fo-i, х<] (Отметим,
что свойства 1-6 доказываются без использования условия 6,
так что для функций, интегрируемых по Риману, искомое число
совпадает с интегралом Римана).
7. Пусть на отрезке [а, 6] / < f(x) < £ и / = /о < /1 < <
/п = L. Пусть далее Е, = {ж таких, что Zt-—i < f(x) < /,},
a ^i(x) — характеристическая функция множества Е,, т.е.
( 1 т <= F- п
= {о; х^ Е- т°гда = Sji-iV’.w < /w <
п b
XL Wi(*) = Ф(я), откуда следует, что f ift(x) dx =
i=l а
п b b п b b
= E li-i f№) dx < //(z) dx < L /, Jf(x) dx = /Ф(г) dx.
i=l a a i=l a a
b
А отсюда следует, что ff(x) dx будет с необходимостью определен,
а
если будут определены интегралы от функций Действительно,
в этом случае будут определены и интегралы от функций и
Ф(х), а так как функции 'ф(х) и Ф(х) стремятся к /(х) равномерно
при тах(/| — /,-1) —► 0, то интеграл от /(х) с необходимостью яв-
ляется общим пределом интегралов от функций ip(x) и Ф(х). Таким
образом, Лебег приходит к следующему выводу: нужно уметь опре-
делить интеграл от функции, принимающей всего два значения 0 и
1; тогда интеграл от любой ограниченной функции, если он суще-
ствует, необходимо должет быть пределом интегралов от ступенча-
тых функций ip(x) и Ф(х). Общая проблема интегрирования
сводится тем самым к проблеме интегрирования характе-
ристических функций.
188
Далее, характеристическая функция Фе (я) множества Е вполне
ь
определяется этим множеством. Следовательно, число /Фе(^) dx за-
а
висит только от самого множества Е С [а, 6]. В случае, когда
Е = [а, 6], это число, как следует из условий 1-5, равно длине b - а
сегмента [а, 6]. Поэтому естественно в общем случае назвать это чи-
сло мерой множества Е. Проблема интегрирования сводится
таким образом к проблеме определения меры множества.
“Мы ставим себе целью, — говорит далее Лебег, — связать с ка-
ждым ограниченным множеством Е, состоящим из точек оси Ох,
некоторое число, положительное или равное нулю, тЕ, которое мы
называем мерой Е и которое удовлетворяет следующим условиям:
1) Два равных множества имеют одну и ту же меру.
2) Множество, являющееся суммой конечного или счетного числа
множеств попарно без общих точек, имеет своей мерой сумму
мер слагаемых.
3) Мера множества всех точек интервала (0, 1) равна 1”
Из 1) и 2) следует, что мера конечного множества равна нулю.
Далее, мера интервала (а, Ь) равна тогда Ь — а, а мера произволь-
ного открытого множества равна сумме мер состаляющих его ин-
тервалов. Мера произвольного замкнутого множества из [а, 6] ра-
вна разности между Ь — а и мерой дополнения этого множества.
Далее, хотя условия 1)-3) не позволяют непосредственно опреде-
лить меру произвольного множества Е, однако они позволяют всегда
установить границы, в которых заключено число тЕ. Лебег рассу-
ждает следующим образом. Пусть G — открытое множество, со-
держащее Е. Тогда, вследствие неотрицательности и аддитивно-
сти меры имеем mE < mG, и, следовательно, mE < infmG, где
inf берется по всем открытым множествам, содержащим Е. Чи-
сло inf mG есть искомая верхняя оценка для тЕ. Лебег обозначает
infmG = meE и называет теЕ внешней мерой множества Е. Оце-
ним тЕ снизу. Имеем: тЕ 4- тСЕ = b — а, тЕ = (6 — а) — тСЕ и,
значит, тЕ > (6 — а) — теСЕ (СЕ — дополнение множества Е- до
(а, 6)). Число т,Е = (6 — а) — твСЕ — искомую нижнюю оценку для
тЕ — Лебег называет внутренней мерой множества Е. Числа meE
и т,Е определены таким образом для любого множества Е незави-
симо от того, существует или не существует число тЕ. При этом,
если тЕ существует, то т,Е < тЕ < теЕ. Теперь предположим,
189
что для некоторого множества Е оказалось, что m,E = теЕ. Тогда
общее значение внешней и внутренней меры должно равняться мере
тЕ, если только она существует. Это последнее замечание приводит
Лебега к конструктивному определению меры: если m,E = теЕ, то
множество Е называется измеримым, а его мерой называется общее
значение чисел т,Е и теЕ.
Итог дальнейших рассуждений Лебега можно кратко выразить
следующим образом: совокупность измеримых по Лебегу множеств
образует кольцо, на котором мера Лебега является решением про-
блемы меры, т.е. удовлетворяет условиям 1-6. В частности, ока-
зываются измеримыми по Лебегу все борелевские множества, а их
борелевская мера совпадается с лебеговой мерой.
Класс борелевских множеств все же значительно уже класса мно-
жеств, измеримых по Лебегу. Лебег показывает это сравнением
мощностей: имеется лишь континуум борелевских множеств, в то
время как только лишь подмножества произвольного совершенного
множества лебеговой меры нуль уже образуют гиперконтинуум из-
меримых по Лебегу множеств. Отметим еще, что в своей диссерта-
ции Лебег показывает, что для всякого множества Е имеются два
борелевских множества, меры которых равны соответственно вну-
тренней и внешней мере множества Е.
Вернемся теперь вместе с Лебегом к проблеме интегрирова-
ния. Она сводится, как мы видели выше, к проблеме интегриро-
вания характеристических функций. Последняя решена Лебегом не
для всех характеристических функций, а только для характеристи-
ческих функций измеримых по Лебегу множеств. Это приводит
к ограничению на функции f(x) в неравенствах 7, а именно, для
функций f(x) должны быть измеримы по Лебегу множества вида
Е^а = {х таких, что а < /(х) < /?}. Такие функции /(х) Лебег
называет измеримыми и для таких функций он аналитически опре-
ъ
деляет интеграл ff(x)dx как общий предел сумм
а
п
= £?«-! Е['.-1 Л)
1 = 1
и
п
s = D*e«.-1>
1 = 1
190
и, кроме того, дает геометрическое определение интеграла, анало-
гичное указанному выше геометрическому определению Пеано ин-
теграла Римана.
5.10 ПРОБЛЕМА ВОССТАНОВЛЕНИЯ
ПРИМИТИВНОЙ ФУНКЦИИ
В случае непрерывности функции ff(x) интеграл Коши от нее с
переменным верхним пределом восстанавливает примитивную (пер-
вообразную) функцию f(x) с точностью до константы
т
Jf'(x)dx = f(x)-f(a).
а
Однако, как отметил Дарбу (1875 г.), в случае разрывных, но инте-
грируемых по Риману функций ff(x) неопределенный интеграл Ри-
мана от нее восстанавливает примитивную функцию /(х), вообще
говоря, только в точках непрерывности f'(x). А Вольтерра (1881 г.)
построил пример непрерывной функции /(х), ограниченная произ-
водная которой /'(х) вовсе не интегрируема по Риману.
Положение стало исправляться с введением интеграла Лебега.
А именно, уже в вышеупомянутых лекциях Лебег показал, что его
интеграл восстанавливает примитивную от ограниченной произ-
водной: неопределенный интеграл Лебега от суммируемой
ограниченной производной есть примитивная функция. В
конце же своих лекций Лебег ставит вопрос и об интегрируемо-
сти неограниченных функций; для таких функций вышеуказанные
аналитическое и геометрическое определение интеграла Лебега не
годятся. Поэтому Лебегу приходится говорить, например, об инте-
грируемости таких функций лишь на множестве точек, где эти фун-
кции конечны. По этой же причине в сноске на последней странице
своих лекций Лебег рассматривает свойство функции, названное Ви-
тали абсолютной непрерывностью, и предлагает следующее наибо-
лее общее определение своего интеграла, охватывающее случай не
всюду конечных функций /(х): функция /(х) называется сумми-
руемой, если существует абсолютно непрерывная функция
F(x), имеющая почти всюду производную, равную /(х). То-
аг
гда по определению f f(x) dx — F(x) — F(a).
191
Анализ этого определения Лебегом не проводится. Он, однако,
утверждает, что оно применимо и к конечным суммируемым фун-
кциям, то есть что для того, чтобы функция F(x) была неопреде-
ленным интегралом Лебега, необходимо и достаточно, чтобы она
была абсолютно непрерывной. Первые доказательства этой теоремы
были даны Г. Витали (1905 г.), Б. Леви (1906 г.) и самим Лебегом
(1907 г.).
Подробнее о происхождении и развитии понятий меры и инте-
грала см. [27, 28].
5.11 О ПРЕПОДАВАНИИ ОСНОВ
АНАЛИЗА (дополнение)
Познакомившись с развитием основ анализа, мы можем теперь
выделить в нем два направления. Одно направление идет от метода
интегральных сумм Архимеда и его дифференциальных методов че-
рез метод “первых” и “последних” отношений Ньютона к анализу
Коши-Вейерштрасса и далее через весь анализ XIX-XX вв. Это на-
правление можно назвать неконструктивным аналивом, так как
в его основе лежит неконструктивное определение предела перемен-
ной величины. Другое направление восходит к механическому при-
ему Архимеда (некоторые полагают, что еще к Демокриту) и идет
через метод “неделимых”, интегральные методы Кеплера, Паскаля и
Ферма, “метод флюксий и степенных рядов” Ньютона, “исчисление
дифференциалов” Лейбница, “метод компенсации ошибок” Карно и
“исчисление нулей” Эйлера [15, т. 3, с. 265-272] к современному не-
стандартному анализу. Это направление можно назвать аналивом
бесконечно малых.
Современное состояние обоих направлений таково, что они
“равносильны” друг другу: все результаты в нестандартном ана-
лизе могут быть доказаны и методами неконструктивного анализа,
и, наоборот, всякое положение в анализе Коши-Вейерштрасса имеет
нестандартный аналог. Поэтому преподавателям, а также школьни-
кам физматшкол полезно было бы знакомиться с обоими направле-
ниями в анализе. В связи с этим рассмотрим примерный вариант
ознакомления школьников 9-11 классов физматшкол с основами ана-
лиза. В 9-10 классах можно дать геометрическое определение лога-
с
рифма как площади подграфика гиперболы у = — (с > 0) на участке
х
192
от 1 до х (при этом площадь берется со знаком “плюс”, если х > i,
и со знаком “минус”, если х < 1, или наоборот). Такое определе-
ние логарифма хорошо уже тем, что делает наглядным такие его
свойства, как область определения, обращение в нуль при х = 1,
монотонность и выпуклость вверх. Такое геометрическое определе-
ние окажется полезным и в дальнейшем, так как через него легко
прослеживается связь между круговыми и гиперболическими фун-
кциями, между первым и вторым замечательными пределами и их
доказательствами. Основное свойство логарифмической функции до-
казывается сначала методом интегральных сумм Архимеда с исполь-
зованием рассуждений от противного. Затем следует показать, как
это свойство может быть доказано с помощью метода “неделимых”
Метод интегральных сумм Архимеда можно затем применять для
нахождения и
доказательства формул для площади круга, площади витка архи-
медовой спирали, объема цилиндра, объема пирамиды, объема ко-
нуса. Параллельно следует проводить вычисление этих площадей и
объемов с помощью метода “неделимых”
Далее, дифференциальное исчисление в 9-10 классах может быть
дано в следующей форме. Сначала дается понятие средней скорости
f(xn) — f(X] )
функции f(x) на отрезке [zi, z2] Kd[xi> хг] = ——--------—", ее
н Z2 — Xi
физическая и геометрическая интерпретации. Затем говорится, что
функция u(z) называется производной функции /(г) на интервале
(а, 6), если существует с > 0 такое, что для любого отрезка [zi, z2]
из интервала (а, Ь) и для любой точки z из отрезка [zi, z2] выпол-
няется неравенство
|Цф[Х1, Г2] - и(г)| < с|г2 - «11
и дается физическая и геометрическая интерпретация этого опреде-
ления. Доказываются теорема о том, что если такая производная су-
ществует, то она единственна, теоремы о производных суммы, про-
изведения и частного, теорема Ферма, теоремы Ролля и Лагранжа.
Находятся производные основных элементарных функций — посто-
янной, степенной, синуса, косинуса, логарифма (при нахождении про-
изводных трех последних функций удобно использовать и геометри-
ческое определение). Приведенное определение производной в отли-
чие от определения производной через предел не требует проведения
тяжелых £-6 рассуждений и одновременно приучает школьников к
193
математической строгости доказательств.
В последнем, 11-м классе физматшколы параллельно с изуче-
нием анализа на основе понятия предела можно было бы предложить
школьникам следующую формализацию классического анализа бес-
конечно малых. Множество R обычных (“стандартных”) веществен-
ных чисел расширяется до множества R* “нестандартных” веще-
ственных чисел следующим образом: х 6 R —► х 4- те 6 R*, где г —
произвольное “стандартное” вещественное число, а е — “актуально
бесконечно малая величина”, (т.е. О < е < — при любом натуральном
п
п) и, кроме того, такое, что е2 = 0. Все функции распространяются
с R на R* “по монотонности”, т.е. если f(x) < д(х) при а < х < 6,
то и /(т*) < д(х*) при а < г* < Ь. Функцию /(г) будем называть
непрерывной в точке х, если
[/(х + те) - /(г)] г = 0,
или, что то же самое,
f(x 4- re) = f(x) 4- а • г,
где а 6 R, а = а(г, г). Если, кроме того, величина а линейна отно-
сительно г, а = ff(x) г, то будем говорить, что функция f(x) диф-
ференцируема в точке г, а функция f(x) естк производная функции
/(т). Такое определение производной исторически соответствует
“методу флюксий и степенных рядов” Ньютона и “исчислению диф-
ференциалов” Лейбница и позволяет дать простые, чисто алгебра-
ические доказательства единственности производной, производной
суммы, произведения, частного, теоремы Ферма о локальном экс-
тремуме.
Упражнение 48. Проведите все эти доказательства.
Производная степенной фун-
кции находится непосредст-
венно, а производные синуса,
косинуса и логарифма нахо-
дятся с использованием ра-
венств 1п(1 4- re) = ге и
>* sin re = ге (аналогов замеча-
х * х
тельных пределов). Эти ра-
венства выводятся с помо-
194
шью геометрических соображений. Так, первое равенство получа-
ется из следующего геометрически очевидного неравенства для пло-
х
щадей: ----< 1п(1+я) < х при х > 0 (рис. 69), если это неравенство
1 4- х
распространить с R+ на R^_. При г > 0 будем иметь:
-г—— < ln( 1 4- re) < ге
1 4- ге “
Но
re _ rs(l — re) _ ге — г2е2 _
1 4- re 1 - Г2£2 1 — Г2£2 ” Г£
Отсюда и следует, что ln( 1 4- re) = ге для всякого г > 0. Справед
вость этого равенства для г < 0 следует из того, что 1п(1 — ге
In \ т——| = — ln( 1 4- ге) = -ге.
\ 1 4- re J
Равенство sinrs — re получается из геометрически очевидного
неравенства 0 < sin я < х < tgx при 0 < х < — (см. рис. 43 п 5.1),
л тг л л тг
если это неравенство распространить с0<х< — на0<х<—.
4 4
Упражнение 49. Проведите полное доказательство равенства
sin re = re.
В качестве примера рассмотрим установление непрерывности и
нахождение производной у синуса. Имеем:
sin (я 4- re) = sin х cos re 4- cos х • sin re =
= sin x 1 — sin2 re 4- cos x • sin re =
= sin x \/l — (re)2 4- cos x re = sin x 4- cos x re,
поэтому функция sin я непрерывна, дифференцируема и ее произво-
дная равна cos я.
Упражнение 50, Установите непрерывность и дифференцируе-
мость и найдите производные у функций хп, cos ar, In х, ех
Далее можно предложить школьникам определение интеграла. Для
этого потребуется ввести актуально бесконечно большое число 2V,
обратное к ei т.е. такое, что N = -, £ = —- е N = N е = 1. N > п
е е N
для любого натурального п. Положим теперь по определению:
ь °г N 1
Lfc=i
195
N
где Xk = a 4- (b — a) kc (так что Xq = a, a = 6), eCTb зна-
fc=i
n
чение суммы £2 ПРИ замене натурального п на бесконечно большое
fc=i
N, символ °[. .] означает “стандартную” часть стоящего в скобках
числа. Например,
_ °Г 3AT(W + 1)(2W + 1)1 °[22№ + 3# + Г _
L 6 J Г 6 J “
°Г1 1 1 21 1
[з + 2е+ 6е ] ~ 3
Упражнение 51. Пользуясь указанным определением интеграла,
1
найти f ех dx
о
От предлагаемой формализации классического анализа беско-
нечно малых можно далее перейти к изучению нестандартного ана-
лиза [31, 10, 22, 18, 13].
Вопросы и задания
1. Что утверждается и доказывается в лемме Евдокса с точки
зрения современной теории пределов?
2. Что лежит в основе метода интегральных сумм Архимеда?
3. Что лежит в основе метода “неделимых”? Всегда ли этот метод
приводит к правильным результатам?
4. Что такое “характеристический треугольник” у Паскаля й у
Лейбница?
5. Какие две главные задачи решаются в методе “флюксий” и сте-
пенных рядов Ньютона?
6. В чем отличие вейерштрассовского определения дифференци-
ала от его определения по Лейбницу?
7 В чем состоит проблема обоснования дифференциального и ин-
тегрального исчисления?
196
8. В чем состоит метод “компенсации ошибок” Карно?
9. Что такое “нестандартный анализ”?
10. Что такое производная по Даламберу?
11. Что такое производная по Лагранжу?
12. Назовите проблемы, приведшие к необходимости заново по-
строить основные определения анализа. На какой основе стро-
ится анализ у Коши и Вейерштрасса?
13. Чем’ непосредственно было вызвано введение интегралов Ри-
мана и Дарбу?
14. Приведите критерии интегрируемости Римана и дю Буа-
Реймона.
15. Дайте определение меры множества по Кантору, Штольцу,
Гарнаку и Пеано-Жордану. Укажите принципы мероопределе-
ния Бореля.
16. Укажите дескриптивное определение интеграла у Лебега. К
чему свел Лебег проблему интегрирования?
17 В чем состоит проблема восстановления примитивной фун-
кции? Как она решалась в диссертации Лебега?
18. Какие два направления можно выделить в развитии основ ана-
лиза?
Глава 6
ИСТОРИЯ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ
МАТЕМАТИКИ
6.1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ НА
РУСИ В X-XVI ВЕКАХ
Имеющиеся исторические документы позволяют дать следую-
щую общую характеристику первых этапов развития математики
на Руси.
Уже в начале X в. на Руси существовала письменность. Тесные
связи с Византией способствовали ускоренному приобретению зна-
ний. Математическое образование находилось в то время на уровне
европейского. Было налажено обучение придворных.
Использовалась славянская система нумерации, ведущая свое
происхождение от греческой буквенной нумерации. Числа от 1 до
9, а также десятки и сотни изображались с помощью последова-
тельных букв алфавита, причем над буквой ставился особый знак
(“титло”), подобный знаку “ в греческой буквенной нумера-
ции. Тысячи также обозначались буквами, но со знаком # ко-
торому в греческой нумераций соответствует знак z Десятки
тысяч (“тьмы”) обозначались буквами в кружочке, сотни тысяч
(“легионы” или “неведии”) обозначались буквами в кружке из точек,
а миллионы (“леодры”) обозначались буквами в кружке из черточек.
Отдельные отступления от общего правила связаны, в основном, с
различием между греческим и славянским алфавитом. Вот некото-
рые обозначения чисел в славянской системе нумерации.
198
1 X rw (“аз”) 100 Р (“рцы”)
2 в ( веди ) 200 с (“слово”)
3 г (“глаголь”) 300 т (“твердо”)
4 (“добро”)
5 е ( есть ) 1000
6 S (“зело”) 2000 0^
7 X (“земля”)
г*»
8 н (“иже”) 10000
9 Зг (“фита”) 20000
10 Т (“и”)
20 (“како”) 100000
30 X (“люди”) 200000
90 У (“червь”)
При записи чисел с несколькими значащими цифрами, цифры пи-
сали слева направо в порядке убывания десятичных4 разрядов. Напри-
мер? 321= 7^ Ь. ,Ю24=ДКЛ
Помимо вычислений чисто практического характера, связанных
с измерением и межеванием земель, торговыми расчетами, стро-
ительством зданий и укреплений, с содержанием княжеских дру-
жин, со сбором налогов и т.п. на Руси рано появляются первые
теоретические задачи, составленные “числолюбцами” преимуще-
ственно церковнослужителями. Древнейшей из сохранившихся мате-
матических рукописей являются записи новгородского дьякона Ки-
рика (1134 г.). Вот некоторые примеры задач, собранные из разных
рукописей:
а) вычисление, сколько месяцев, недель, дней и часов прошло от
“сотворения мира” (т.е. от 5508 г. до н.э.);
б) задачи на вычисление прогрессий при расчете приплода скота;
в) вычисление размеров Земли, Солнца и Луны по данным изме-
рений Эратосфена (греческого ученого I в. до н.э.);
199
г) теоретико-числовая задача о вычислении дат религиозного
праздника пасхи.
При вычислении использовали мешочек с вишневыми или сливо-
выми косточками, дощечку для писания по воску (“церу”) и “писало”
— металлическую или костяную палочку, имевшую с одной сто-
роны заострение, а с другой — лопаточку. Исходные числа и ре-
зультаты счета наносились на “церу” Счет велся с помощью ко-
сточек и назывался “счет костьми” или “пенязи” и заключался в
следующем. На столе чертили несколько продольных и поперечных
линий. Число продольных линий зависело от числа разрядов у на-
ибольшего из данных чисел, а число поперечных полос зависело от
характера действия. Так, при сложении проводили только одну по-
перечную прямую, а при умножении — столько, сколько нужно было
записать частных произведений. На рис. 70 показано, как проводи-
лось умножение 66 на 96. При помощи счета костьми выполняли не
5000 1плл О О
1UUU 500 1 ПА о и
1UU 50 1 л о о О иии
1U 5 1 о Л о Л О иии О
1 66 96 6x6 6x90 60x6 60x90 и 6336
Рис. 70. Счет костьми, 66 х 99 = 6336
только все арифметические действия, но и вычисления с примене-
нием “тройного правила” т.е. вычисление четвертого члена про-
порции по трем данным членам. Отметим еще, что кроме счета
костьми позднее употреблялся еще так называемый дощаной счет
костяшками, нанизанными на шнур — прообраз вычисления на сче-
тах.
Остановимся еще на древнерусской метрологии. Три основные
древнерусские меры длины носят название частей тела или движе-
ния рук: “пядь”, “локоть” и “сажень”. Большая пядь есть расстояние
200
от большого пальца руки до мизинца (примерно 23 см). Локоть ра-
внялся двум пядям. Сажень равнялась трем локтям или шести пядям.
Использовались и некоторые другие виды пядей и, соответственно,
локтей и саженей. Более крупной мерой длины служила “верста”, ко-
торая первоначально равнялась 500 саженям, примерно 690 метрам.
Мерами емкостей служили “кадь” (древняя кадь вмещала около 14
пудов ржи), “лукно” (вмещало около 60 фунтов зерна), “ведро” (9-10
литров) и некоторые другие. Мерами земельных участков служили
“соха”, “четверть”, “десятина” и некоторые другие. В сохе счита-
лось 800 четвертей доброй земли, четверть составляла половину де-
сятины, а десятина составляла, согласно, например, писцовому на-
казу 1554 г., в длину и в ширину по 50 сажен. Мерами веса служили
“гривны”, “золотники”, “пуды” и некоторые другие. Гривны и зо-
лотники служили также основными мерами денег. Большая гривна
составляла 96 золотников и весила около фунта, т.е. вполне соответ-
ствовала “фунту стерлингов” Малая гривна составляла 48 золотни-
ков, т.е. половину большой гривны. Современный русский денежный
счет, построенный на основе деления рубля на 100 копеек, восходит
к XV в. и сложился на основе московской денежной системы, согла-
сно которой 1 “рубль” =200 “деньгам”, 1 “полтина”=100 “деньгам”,
1 “гривна” =20 “деньгам”, 1 “алтын” =6 “деньгам” (из указанных де-
нежных единиц до XVIII в. только “деньга” была серебряной чекан-
ной монетой, а “рубль” “полтина” и “гривна” были лишь счетными
единицами).
Общий со всеми государствами Европы ход развития науки и
культуры был насильственно прерван в первой половине XIII в. из-
за нашествия монголо-татар (1240 г.) и крестоносцев (1242 г.). Эти
нашествия, а также феодальная раздробленность и непрекращаю-
щаяся междоусобица в Русском государстве привели к длительному
застою во всех областях общественной жизни. В области науки этот
застой усугублялся до XVI-XVII вв. деятельностью православного
русского духовенства, которое-в борьбе с католицизмом Запада под-
вергало запрету не только западную религиозную литературу, но
и светскую, в том числе научную литературу. В одном древнерус-
ском поучении так прямо и говорится: “Богомерзостен перед богом
всякий, кто любит геометрию; асе душевные грехи учиться астроно-
мии и эллинским книгам; по своему разуму верующий легко впадает
в различные заблуждения; люби простоту больше мудрости, не изы-
скуй того, что выше тебя, а какое дано тебе от Бога учение, то и
держи’’.
201
6.2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ
XVII ВЕКА
Имеются основания считать, что первые математические руко-
писи геометрического характера, связанные с измерением и меже-
ванием земель, имелись на Руси не позднее XV-XVI вв. Однако до
нас дошли только математические рукописи XVII в., да и то только
немногие. Прежде всего, это “Устав ратных, пушечных и других дел,
касающихся до воинской науки”, создание которого относится к 1607
и 1621 гг. В “Уставе” излагаются некоторые геометрические сведе-
ния, относящиеся, в основном, к вычислению расстояний или разме-
ров. Рассмотрим в качестве примера следующую задачу из “Устава”
этого употреблялась “палочка Якоби” — жезл MN с делениями, на
который надет малый жезлик АВ длины, равной длине одного деле-
ния большого жезла. “Устав” предлагает наблюдателю, глаз кото-
рого находится в точке М, установить малый жезлик АВ так, чтобы
лучи, исходящие из точки М и проходящие через точки А и В, про-
ходили бы также через точки Р и Q. Затем малый жезлик переме-
щается по большому на одно деление, а наблюдатель перемещается
из точки V в такую точку М', что лучи, исходящие из точки М' и
проходящие через концы А' и В' малого жезлика, снова проходили
бы через точки Р и Q. Тогда, как утверждается в “Уставе”, ММ'
будет равно PQ. Действительно, из подобия треугольников МАВ и
MPQ и треугольников М'А'В' и M'PQ следует, что
ММ' _ М'О - МО _ М'О МО _ М'С' МС _ М'С' - МС _ АВ
PQ PQ ” PQ PQ ” А'В' АВ ~ АВ ~ АВ
202
т.е. ММ' действительно равно PQ.
Предполагают, что все рукописи XVII в. имели один общий ис-
точник, из которого авторы заимствовали содержание своих руко-
писей вплоть до переписывания целых предложений. Общее содержа-
ние рукописей примерно таково. Сначала даются правила действий
с целыми числами и дробями, излагается тройное правило (пропор-
ция), затем дается большое число статей (параграфов), отвечающих
потребностям торгового люда. Для примера приведем выдержки из
оглавления одной рукописи:
“Первая статья от числа. Нумерация или считание словесом
и начертание числом цифирным
Другая статья. Адитсие или считание. Статья именуется сю-
стряксие, по-русски — вынимание или вычитание
Статья о весах и мерах оемли немецкие, брабанские, городов
Ганновера и Норенсборхе
Статья француоские оемли и о денежном счете ливонском,
виницейском и Флоренском
Статья тройная в целых и долях всяких
Статья торговая ” Здесь дается большое количество задач
на вычисление цены товара, прибыли от продажи и т.п. Так, условие
одной из задач гласит: “Гость купил 8664 овчины, а сторговал 100
овчин по 1 и - рубля; да и продал те овчины, ино ему сходилося со
100 овчин по 8 овчин прибыли. Ино, сколько тот гость за овчины
денег платил и что у овчин принял денег, сочти ми.” (уплачено за
все овчины “129 рублёв 32 алтына”, а прибыль составила “10 рублёв
9
13 алтын да 1 и — деньги”
“Статья о нечести во всяких овощах и товарах ” Здесь
решались задачи на вычисление цены смесей, расчеты со сплавами
золота, серебра и меди.
“Статья меновая в торгу ” Здесь решались задачи на про-
порции, возникающие при обмене товаров. Например: “Четыре го-
стя сложилися торговати. Первый положил 266 рублёв, другой по-
ложил 388 рублёв, третий положил 490 рублёв, четвертый положил
590 рублёв. И приняли к себе торговца прикащика, кого им отпу-
стити с теми деньгами на иной город торговати. А посулили ему
за его службу, что не приторгует, ино изо прикупа ему взяти четь.
А прикащик так у них и приторговался, да тут же из своих денег в
торг приложил 344 рубля. И приторговал прикащик на все деньги 489
203
Рублёв. Ино почему которому гостю по их складу прикупу досталося
и что прикащик за службу взял, сочтй ми.”
В заключение рукописи приводились задачи занимательные, на
смекалку. Например, задача о плотниках. “Четыре плотника наня-
лись двора ставити. И говорит первый плотник так: только б де мне
одному тот двор ставити, я яз-бы де его поставил един годом. А дру-
гой молвил: только бы де мне одному тот двор ставити, и яз-бы де
его поставил в два года. А третий молвил: только бы де мне одному
тот двор ставити, и яз-бы де его поставил в три годы. А четвертый
так рёк: только бы де мне одному тот двор ставити, и яз-бы де его
поставил в четыре года. Ино, сколь долго они ставили, сочти ми.”
12 1
(— года или 175 и - дней).
25 5
Приведенные в рукописях решения задач свидетельстуют о раз-
витом искусстве счета. При этом часто использовались таблицы сло-
жения и умножения, которые прилагались к рукописям.
Математическая терминология рукописей XVII в. еще значи-
тельно отличалась от современной. Так, слагаемые назывались пе-
речнями, их сумма — исподним большим перечнем, умень-
шаемое — заемным перечнем, вычитаемое — платежным пе-
речнем; сомножители и их произведение особых наименований не
имели; делимое называлось большим перечнем, делитель — де-
ловым перечнем, частное — жеребейным перечнем, а остаток
— остаточной долей.
6.3 ОРГАНИЗАЦИЯ ШКОЛ
В период монголо-татарского нашествия школы, получившие на-
чало еще в Киевской Руси X в. почти прекратили свое существова-
ние. Знания передавались устно редкими грамотеями.
В XVII в. русское православное духовенство в целях усиления
борьбы с западной католической церковью вынуждено было гото-
вить духовных пастырей, хорошо разбирающихся в вопросах бого-
словия, логики, риторики и диалектики. Это привело к открытию в
1687 г Славяно-греко-латинской академии в Москве. Из стен этой
академии вышли Л.Ф. Магницкий, автор известного учебника п
математике, а также выдающийся русский ученый и просветитель
М.В. Ломоносов.
204
Реформы, начатые Петром I, потребовали и организации ши-
рокого светского обучения. Посылка Петром I значительного коли-
чества молодых людей за границу и организованное им за границей
печатание книг для России не дало ожидаемого эффекта. Поэтому
еще в 1698 г. Петр I пригласил в Москву профессора Аббердинского
университета англичанина Фарварсона для преподавания матема-
тики и морских наук. Вскоре после его приезда, в 1701 г., в Москве
была основана и начала работу “математических и навигацких, то
есть мореходно-хитростных наук школа” Фарварсон развил энер-
гичную деятельность: он участвовал в разработке программ нави-
гацкой школы, ввел в них арифметику, алгебру, геометрию, тригоно-
метрию плоскую и сферическую, сам преподавал их, а также писал
учебники.
В 1715 г. на базе навигацкой школы была создана и переведена
в Петербург Морская академия. Одновременно Петр I распорядился
разослать в губернии по два ученика этой школы, выучивших гео-
метрию и географию, “для науки молодых ребяток из всяких чинов
людей” Образовавшиеся таким образом в губерниях школы полу-
чили название “цифирных”, так как в них обучали прежде всего
арифметике и геометрии. Инструкция, дававшаяся учителю цифир-
ной школы, гласила: “ .учить тебе дьячих, подьяческих, поповых и
прочего церковного чину, архиерейского дому и монастырских слуг
детей их, по высылке от воеводы, от 10 лет до 15, а посадских и про-
чих чинов детей же, которые сами похотят, кроме дворянских детей,
а дворянских детей отнюдь не принимать, арифметике, а именно,
нумерации, аддиции, субстракции, мультипликации, дивизии, трой-
ных правил и тройных детрательных, как без долей, так и с долями и
десятичного счету и деления, радиксу квадрата и радиксу куба; а ко-
торый ученик вышеозначенную науку обучит, тех учить геометрии,
а именно: прежде истолкованию геометрии и циркульных приемов,
потом тригонометрии плоской, планиметрии и штирометрии”
Население, однако, неохотно отпускало своих детей в цифирные
школы. Посадские люди первые стали бить челом о разрешении их
детям не посещать цифирных школ, так как “детей надо к ремеслу
приучать, за прилавком сидеть” Просьба посадских людей была
удовлетворена. Далее, Синод потребовал, чтобы дети духовенства
были переведены в епархиальные школы, также организованные при
Петре I. Требование Синода также было удовлетворено. В резуль-
тате в четырнадцати цифирных школах учеников не осталось, и пре-
подаватели из провинции вернулись в навигацкую школу. В оста-
вшихся цифирных школах 15% учеников сбежали, несмотря на то,
205
что за неявку в школу нередко сажали в тюрьму, на цепь; а еще 10%
учеников были признаны “безграмотными, неспособными и идио-
тами”
Обучение в цифирной школе было построено следующим образом.
Идеальным порядком в классе считался такой, когда каждый ученик
зубрил свою часть предмета вслух. Учитель, уверенный, что все за-
няты своим делом, мог спокойно отдаться собственным занятиям.
Согласованного хора при этом быть не могло, так как учащиеся
одного класса проходили разные части одного предмета или даже во-
обще различные предметы. Так, например, в арифметическом классе
рязанской цифирной школы в 1727 г. И учеников учились счислению,
5 — сложению, 1 — вычитанию, 3 — умножению, 5 — делению, 3
— тройному правилу, 1 — десятичным дробям, 1 — циркульным
приемам, 1 — плоской тригонометрии и тангенсам.
Цифирные школы просуществовали до 1744 г. К этому времени
из 42 школ, бывших в 1722 г., осталось только 8. Т^и самые боль-
шие из них были слиты с так называемыми гарнизонными школами,
учрежденными в 1732 г. Гарнизонные школы создавались при полках
и содержались на полковые средства. Преподавателями были офи-
церы и унтер-офицеры. Помимо грамоты, они преподавали солдат-
скую экзерцицию, арифметику, артиллерию и инженерство. Гарни-
зонные школы, также как и цифирные школы, сыграли значительную
рель в распространении элементарных математических знаний. Из
этих школ, а также из духовных семинарий вышла основная масса
учителей математики.
6.4 “АРИФМЕТИКА” Л.Ф. МАГНИЦКОГО
Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739) был одним из са-
мых выдающихся людей России петровского времени как по сво-
ему общему образованию, так и по своим математическим позна-
ниям. Первоначальное образование Магницкий получил в Моско-
вской славяно-греко-латинской академии. Там он изучил латинский
и греческий языки, а затем уже самостоятельно голландский, не-
мецкий и итальянский. Самостоятельно же он изучил и математику,
притом в объеме, значительно большем, чем сообщалось в русских
рукописях XVII b. Магницкий был хорошо знаком с современной ему
европейской учебной литературой, а также с произведениями грече-
ских и латинских авторов.
206
В 1703 г. Магницкий напечатал в Москве свой учебник —
“Арифметику”, которая почти сразу же стала основным учебни-
ком по математике в России на многие годы. Научные, педагоги-
ческие и литературные достоинства книги Магницкого привели к
тому, что даже спустя многие десятки лет после ее написания, после
того, как появились книги, более соответствующие состоянию на-
уки, “Арифметика” Магницкого продолжала пользоваться успехом
как у составителей учебников, так и у обучающихся математике.
Название книги — “Арифметика” — значительно уже ее содер-
жания, так как, помимо арифметических сведений, в ней давались
также значительные алгебраические, геометрические, тригономе-
трические, а также метеорологические, астрономические и навига-
ционные сведения. “Вратами учености” называл эту книгу Ломоно-
сов.
Перейдем теперь к содержанию “Арифметики” После общих рас-
суждений о пользе арифметики, после краткого описания содержа-
ния книги, ее герба, после описания деяний Петра I и тому подобных
замечаний (причем все это изложено в стихах), Магницкий описы-
вает арабскую (индийскую) десятичную позиционную систему счи-
сления. При этом значащие цифры называются “знаменованиями”, а
нуль — “цифрою” Числа первого десятка называются “перстами”,
числа вида “знаменования” с нулями (например, числа 20, 700, )
— “суставами”, а все остальные числа — “сочинениями” Далее це-
лая страница занята числами вида 10п и их наименованиями. Та-
блица таких чисел доведена до 1024, после чего следует стихотворе-
ние, указывающее на неограниченность числового ряда: “Число есть
бесконечно, умом нам недотечно. И никто не знает конца, кроме всех
бога творца ”
Далее в учебнике излагается арифметика целых чисел и дро-
бей (“чисел ломаных”), учение о прогрессиях, учение о корнях ква-
дратных и кубических, тройное правило. Причем между этими соб-
ственно математическими частями первой книги учебника Магни-
цкий помещает еще большую главу, посвященную описанию древних
весов и монет, сравнению их с существующими, а также денег, весов
и мер “Московского государства и окрестных некиих”
Вторая книга учебника Магницкого подразделяется на следую-
щие части: “Арифметика алгебраика”, “О геометрических, через
арифметику действуемых”, “Обще о земном измерении и яже к море-
плаванию принадлежа” и “О толковании пробемат навигацких раз-
личных через вышеположенные таблицы локсодромические”.
207
В учебнике строго проводится единая форма изложения: каждое
правило начиналось с простого примера, затем ‘давалась его общая
формулировка и, наконец, оно закреплялось большим количеством
задач преимущественно практического содержания. К каждому дей-
ствию присоединялось правило проверки — “повёрение”
Для учебника Магницкого характерна также ярко выраженная
прикладная тенденция. Магницкий ясно сознавал, что в России того
времени математика была нужна в первую очередь как орудие прак-
тической деятельности. Это обстоятельство оказало существенное
влияние на характер изложения. Все основные понятия излагаются
так, что они связываются у читателя с привычными житейскими
образами. Так, на вопрос, “что есть число ломаное”, Магницкий от-
вечает: “Число ломаное ничто же иное есть, токмо часть вещи, чи-
слом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется
1^1 1 2
сице - рубля или -, или пятая часть -, или две пятых части - и
2 4 5 5
всякие вещи яковые либо часть, объявлена числом, то есть ломаное
число”
Прикладная тенденция продолжается и в примерах, почти все
они облечены Магницким в практическую и занимательную форму:
“Некогда в Константинеграде 20 человек мылись в бане. В них же
были христиане, турки же и евреи, а заставлено имать за баню с
турка по пол-деньги, а с христианина по деньге, с еврея же по три
деньги. Но всех бывших в бане есть 20 человек. Дали банщику от всех
20 денег. И ведательно есть знать, колико было христиан, турок и
евреев”
“Купил 112 баранов старых и молодых, дал 49 рублёв 20 алтын,
за старого барана платил по 15 алтын и по 2 деньги, а за молодого
по 10 алтын, и ведательно есть, колико старых и молодых баранов
купил он”
“Некий генерал хочет с 5000 человек баталию учинить и чтобы
та была в лице вдвое нежели в стороне и ведательно есть колико оная
баталия имети будет в лице и в стороне человек” И так далее.
Отметим еще, что стремясь удовлетворить запросы купечества,
Магницкий вставляет в свой учебник специальный большой раздел
с главами “Тройная торговая в товарных овощах и с вывескою”
“Статья меновая в торгу”, “Торговая складная со времены” и тому
подобное.
208
6.5 ОСНОВАНИЕ АКАДЕМИИ НАУК’
Реформы, проводимые Петром I, все более требовали уже не
просто грамотных людей, но людей, знакомых с современным со-
стоянием науки и техники и способных проводить самостоятель-
ные научные исследования. Поэтому Петр I, по совету немецкого
философа и математика Вольфа, издал в 1724 г. указ об организа-
ции российской Академии наук, а при ней университета и гимназии.
“Академики должны нам приобрести в Европе доверие и честь, до-
казав на деле, что и у нас работают для науки и что пора перестать
считать нас за варваров, пренебрегаюдщих наукой”, — писал Петр I.
В проекте положения об Академии, одобренном Сенатом, Академия
определялась как “собрание ученых и искусных людей, которые не
только сии науки в своем роде, в том градусе, в котором оные ныне
обретаются, изучают, но и через новые инвенты оные совершить и
умножить тщатся” Университет же определялся как “собрание уче-
ных людей, которые наукам высоким . до какого состояния оные
ныне дошли, младых людей обучают”
В отличие от иностранных академий российская Академия наук
не имела характер чисто научно-исследовательского учреждения, а
служила прежде всего центром распространения научных знаний.
Она выгодно отличалась от многих иностранных академий тем, что
была на твердом государственном бюджете, располагала физиче-
ским кабинетом, анатомическим театром, типографией и гравер-
ной палатой, механическими и оптическими мастерскими, библио-
текой. Отличалась российская Академия наук от иностранных ака-
демий и составом наук, которые в нее входили. Она делилась на три
класса: математический, физический и гуманитарный. Математи-
ческий класс состоял из четырех кафедр: математики, астрономии,
географии и навигации и двух кафедр механики. Физический класс
также состоял из четырех кафедр: теоретической и эксперименталь-
ной физики, анатомии, химии и ботаники. В гуманитарный класс
входили три кафедры: красноречия и древностей, древней и новой
истории, права, политики и этики. Не похож был на западноевро-
пейские и академический университет. В состав его входили юриди-
ческий, медицинский и философский факультеты, в то время как в
западноевропейских университетах сохранилось еще в значительной
степени схоластическое и богословское направление, а протестант-
ские немецкие университеты и вовсе имели богословский факультет.
209
Российская Академия наук и ее университет оказались центром но-
вой светской науки, свободной от религиозного влияния.
На должности профессоров кафедр российской Академии наук
были приглашены, по совету Вольфа, главным образом молодые, по-
дающие надежды заграничные ученые. При этом особенно удачным
оказался подбор профессоров по классу математических наук. При-
ехали: Яков Герман, Николай и Даниил Бернулли, затем Христиан
Гольдбах, и, наконец, в 1727 г. приехал Леонард Эйлер.
Тотчас же после приезда в Россию первых профессоров и ака-
демиков начал издаваться журнал “Комментарии Санкт-Петербург-
ской Академии” — первый российский научный журнал. Благодаря
прежде всего работам Эйлера (их насчитывается в этом журнале
473), “Комментарии” быстро становятся одним из ведущих науч-
ных журналов того времени. С деятельностью Эйлера вообще тесно
связано все, что касается математики в российской Академии наук в
первые полвека ее существования (о жизни и деятельнсти Л. Эйлера
подробнее см., например, [16, т. 1, гл. VII-IX; 9, с. 72-83]).
Однако со смертью Эйлера (1783 г.) российская Академия наук
в области математики надолго потеряла свое научное значение.
Восемь учеников Л. Эйлера — Головин, Иноходцев, Крафт, Лессель,
Котельников, Румовский, Фусс и А. Эйлер — все ставшие впослед-
ствии академиками, были учеными далеко не первой величины. Осно-
вная их деятельность относится к области преподавания: написан-
ные ими учебники долгое время пользовались успехом.
6.6 ОРГАНИЗАЦИЯ УНИВЕРСИТЕТОВ
Оживление научной жизни в России тесно связано с организа-
цией университетов. Выше уже отмечалось о создании универси-
тета в Петербурге при Академии наук (1725 г.). В этом первом в
России университете обучалось поначалу всего восемь студентов, да
и то выписанных специально для этого из Западной Европы. Даже
несмотря на то, что при Академии наук была специально создана
гимназия для подготовки будущих студентов, несмотря на учрежде-
ние специальных стипендий для лучших выпускников Славяно-греко-
латинской академии (в их число попал Ломоносов), поддерживать
жизнедеятельность университета не удавалось, и в 1783 г. он был
закрыт.
210
Второй российский университет — Московский — был основан
Ломоносовым в 1755 г. В нем первоначально было лишь три факуль-
тета: юридический, медицинский и философский. При университете
были созданы две гимназии: одна для дворян, другая для разночин-
цев. Однако, несмотря на это, Московский университет, так же как
и Петербургский, постоянно страдал от недостатка студентов. Бы-
вали случаи, когда на всех курсах того или иного факультета оста-
вался всего один студент. Поэтому для увеличения контингента слу-
шателей в 1758 г. была открыта и придана университету гимназия
в Казани. Преподавание математики в первые годы существование
Московского универститета было поставлено очень слабо. До 176С
не было даже кафедры математики. Почти полстолетия объем к
тематических знаний, сообщаемых в университете, ограничивав л
арифметикой, началами алгебры и геометрией с элементами три) >
нометрии.
Организации новых университетов в России в начале Х^Х в.
способствовали реформы Сперанского, проводимые в области обра-
зования. Эти реформы были направлены к тому, чтобы поощрить
и даже принудить чиновников и дворян к получению образования.
Лица, оканчивающие университеты, автоматически получали те-
перь обер-офицерский чин. В 1803 г. было постановлено, что через
пять лет никто не может поступить на государственную службу,
требующую специальных знаний, без диплома казенного или ча-
стного училища. В 1809 г. вышел указ об экзаменах на чин. Спе-
ранский отметил в этом указе, что дворянство мало заботится о
школьном обучении своих детей, так как “имеется удобность до-
стигать чинов не заслугами и отличными познаниями, но одним
пребыванием и счетом лет службы” Потребность в образовании
возросла. Реформы потребовали новых источников подготовки пре-
подавателей. Выход был найден в создании новых университетов.
К Московскому университету добавились университеты, открытые
в Казани и Харькове в 1804 г., в Петербурге — в 1819 г. в Ки-
еве — в 1834 г. Одновременно был выработан новый университет-
ский устав, согласно которому университеты подразделялись уже
не на три, а на четыре факультета: к трем ранее указанным до-
бавился физико-математический факультет. Теперь в течение трех
лет университетского курса студентам читали так называемую чи-
стую математику, включавшую арифметику, алгебру, геометрию и
тригонометрию (повторительный курс), аналитическую геометрию
211
и высшую алгебру, дифференциальное и интегральное исчисление, а
со временем и другие собственно математические предметы, и при-
кладную математику, включавшую механику, оптику, астрономию
и тому подобное. Первые два года обучения отводились для чистой
математики, третий год для прикладной математики. В неделю чи-
талось от 3 до б часов лекций. Содержание курсов постепенно обо-
гащалось. Появились, прежде всего в Казанском университете, пер-
вые спецкурсы. В качестве учебных пособий широко использовались
руководства Эйлера и его ближайших учеников и последователей, а
также пособия зарубежных авторов (более подробно об этом см.,
например, [16, т. 2; 9, §§ 7-15]).
6.7 Н.И. ЛОБАЧЕВСКИЙ (1792-1856)
Николай Иванович Лобачевский родился в 1792 г. в Нижнем Но-
вгороде в семье мелкого чиновника. С 1802 г. по 1806 г. учился в ка-
занской гимназии. В январе 1807 г. был допущен к слушанию лекций
в Казанском университете. Большую роль в формировании Лоба-
чевского как математика сыграли в гимназии учитель математики
Карташевский, а в университете профессора Бартельс и Литтров.
Бартельс привлек молодого Лобачевского к изучению классических
трудов Эйлера, Лагранжа, Монжа, Лапласа, Гаусса, а Литтров —
к проведению астрономических наблюдений. Окончив в 1811 г. уни-
верситет, Лобачевский продолжал свое математическое образова-
ние под руководством Бартельса, ас 1814 г. началась и его препо-
давательская деятельность в Казанском университете. За более чем
тридцать лет работы в университете Лобачевский читал все осно-
вные курсы по математике, а иногда также механику, астрономию
и физику, заведовал кафедрой физики, астрономической лаборато-
рией, долгое время был деканом отделения физических и математи-
ческих наук, ректором университета.
Мировую известность принесла Лобачевскому созданная им не-
евклидова геометрия. Интерес к элементам геометрии и к знамени-
тому пятому постулату Евклида о параллельных появился у Лобаче-
вского в связи с чтением им курса лекций по элементарной геометрии
сначала чиновникам, готовившимся к экзаменам на производство в
чин, а затем студентам университета. Исследования пр теории па-
раллельных Лобачевский начал, как и другие математики, с попыток
доказательства пятого постулата. Одно время ему казалось, что он
212
нашел доказательство, и в 1817 г. Лобачевский даже приводил его в
своих лекциях. Вскоре он, однако, обнаружил, что найденное им до-
казательство йе проходит, так как опирается на недоказанное пред-
положение [16, т. 2, с. 155-156]. Не позднее 1822 г. Лобачевский скло-
няется к мнению о невозможности доказательства потулата о
параллельных. “Напрасные старания со времен Евклида, в про-
должение двух тысяч лет, — писал позднее Лобачевский о попытках
доказательства постулата о параллельных, — заставили меня по-
дозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины,
которую хотели доказать ” [16, т. 2, с. 156]. Отказавшись от яв-
ных попыток доказательства пятого постулата, Лобачевский пошел
другим путем. А именно, заменив этот постулат противоположным
ему утверждением (что через точку, не лежащую на данной пря-
мой, можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие
данной прямой), он стал на этой основе строить новую, неевкли-
дову, геометрию. Первые полученные на этом пути результаты
были высказаны Лобачевским в докладе на тему “Сжатое изложе-
ние начал геометрии со строгим доказательством теоремы о парал-
лельных линиях”, а в 1829 г. в университетском журнале “Казанский
вестник” вышла первая печатная работа Лобачевского по разрабаг
тывавшейся им новой геометрии. Статья эта называлась “О нача-
лах геометрии” и состояла из двух частей. Изложение начал новой
геометрии Лобачевский начинает словами: “Мы видели, что сумма
углов прямолинейного треугольника не может быть больше тг. Оста-
ется предположить эту сумму = тг или < тг. То и другое может быть
принято без всякого противоречия впоследствии, от чего и проис-
ходит две Геометрии: одна — употребительная до ныне по своей
простоте, соглашается со всеми измерениями на самом деле; другая
— воображаемая, более общая и потому затруднительная в своих
вычислениях, допускает возможность зависимости линий от углов,
если в одном прямолинейном треугольнике посчитать сумму углов
тг, то она будет такой уже и во всех. Напротив, допуская ее в одном
менее тг легко доказать, что она уменьшается с возрастанием боков
треугольника. Всякий раз, следовательно, две линии на плоскости
встречаться не могут, когда они с третьего составляют углы, кото-
рых сумма тг. Они могут не пересекаться и в том случае, когда эта
сумма меньше тг, если к тому предположить сумму углов в треуголь-
нике < тг Итак, все линии на плоскости в отношении к одной могут
быть разделены на сходящиеся и не сходящиеся. Последние будут
213
называться параллельными, если они представляют границу, или,
иначе сказать, переход от одних к другим между всеми, выходящими
из одной точки.
Воображаем из точкиГопущенный перпендикуляр а на данную ли-
нию и к этой параллельную из этой же точки; обозначим F(a) угол
между а и параллельной. Легко доказать, что всякой линии а угол
г (а) = —, если сумма углов в треугольнике = тг; но в другом предпо-
ложении угол F(a) меняется с а, уменьшаясь до нуля с увеличением
7Г
а и оставаясь постоянно < — ” [16, т. 2, с. 156-157]. Угол F(a) Лоба-
чевский назвал “углом параллельности” и показал, что зависимость
этого угла от величины перпендикуляра а имеет вид
F(a) = 2 arctg exp ( ) q — const
\ V
Устанавливая далее дедуктивным путем все новые и новые положе-
ния своей геометрии, Лобачевский нигде не обнаруживает противо-
речия.
В начале второй части статьи Лобачевский устанавливает триго-
нометрические соотношения для всякого прямолинейного треуголь-
ника и отмечает, что с точностью до членов высшего порядка мало-
сти относительно сторон треугольника эти соотношения совпадают
с соответствующими соотношениями в геометрии Евклида, так что
естественно возникает вопрос о том, какая же из геометрий на са-
мом деле имеет место в природе. Пытаясь ответить на этот во-
прос, Лобачевский провел астрономические наблюдения, стараясь
возможно точнее определить сумму углов прямоугольного астро-
номического треугольника, один из катетов которого — диаметр
Земли, а другой направлен ортогонально диаметру в одном из его
концов. Взяв в качестве третьей вершины неподвижную звезду Си-
риус с известным параллаксом, он обнаруживает, что сумма углов
такого астрономического треугольника отличается от 180° менее,
чем на 0,000372 секунды, что намного меньше погрешности изме-
рений. Так что “наблюдения астрономические убеждают в том, что
все линии, которые подлежат нашему измерению, даже расстояния
между небесными телами, столь малы с линиею, принятой в теории
за единицу, что употребительные до сих пор уравнения прямолиней-
ной Тригонометрии без чувствительной погрешности должны быть
справедливы” —заключает Лобачевский [16,т. 2, с. 159]. “Очень ве-
роятно, — добавляет он, — что Евклидовы положения одни только
214
истинные, хотя и останутся навсегда недоказанными. Как бы то ни
было, новая Геометрия, основание которой уже здесь положено, если
не существует в природе, тем не менее может существовать в нашем
воображении и, оставаясь без употребления для измерений на самом
деле, открывает новое обширное поле для взаимных применений Ге-
ометрии и Аналитики” [там же, с. 159]. Так, рассматривая геоме-
трические образы новой геометрии, Лобачевский указывает новые
способы нахождения некоторых ранее известных интегралов. Это
служит для него подтверждением правильности (непротиворечиво-
сти) созданной им геометрии. Он находит также некоторые новые
определенные интегралы.
К сожалению, работы Лобачевского были не поняты его совре-
менниками. Так, М.В. Остроградский в отзыве на рассмотренную
выше статью Лобачевского писал: “Все, что я понял в геометрии г-
на Лобачевского, ниже посредственного. Все, что я не понял, было,
по-видимому, плохо изложено по той же самой причине ”[16, т. 2,
с. 161]. Несмотря на это, Лобачевский продолжал до конца своей
жизни отстаивать и развивать свою геометрию. Наиболее полным
изложением системы Лобачевского являются его “Новые начала гео-
метрии с полной теорией параллельных” (1835-1838 гг.). При этом в
конце указанной работы он делает еще следующее важное замечание:
“В природе мы познаем только движение, без которого чувственные
впечатления невозможны. Итак, все прочие понятия, например гео-
метрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты
в свойствах движения; а потому пространство само собой, отдельно
для нас не существует. После чего в нашем уме не может быть ника-
кого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в при-
роде следуют одной, другие своей особой Геометрии” Эта догадка
Лобачевского о возможности различных геометрических свойств в
различных участках пространства в зависимости от “сил”, является
далеким предвосхищением идей общей теории относительности Эй-
нштейна.
6.8 М.В. ОСТРОГРАДСКИЙ (1801-1861)
Михаил Васильевич Остроградский родился в 1801 г. в семье
помещика Полтавской губернии. С 1810 по 1813 г. обучался в
215
полтавской гимназии. В 1816 г. Остроградский был определен воль-
нослушателем в Харьковский университет. Здесь он был заме-
чен преподавателем университета Павловским и, благодаря под-
держке и наставничеству последнего, сумел уже в 1818 г. успе-
шно сдать экзамены университетского курса. Пробыв затем год
в деревне у отца, Остроградский вернулся в университет с целью
“усовершенствования себя по части наук, относящихся к прикладной
математике” В 1820 г он успешно сдал выпускные экзамены и был
представлен ректором университета Осиповским к ученой степени
кандидата наук. Однако ни ученой степени, ни даже аттестата об
окончании университета Остроградскому получить не удалось из-за
развернувшейся в это время травли Осиповского и из-за обвине-
ния самого Остроградского в вольнодумстве и в непосещении лек-
ций по богословию. Остроградскому было предложено сдавать за-
ново все экзамены, на что он ответил отказом и в 1822 г. уехал
в Париж для совершенствования своего математического образова-
ния. Здесь в течение шести лет он слушал лекции Коши, Пуассона,
Фурье и других ведущих французских математиков. Слушание лек-
ций в Сорбонне, Коллеж де Франс и в Политехнической школе, не-
посредственное общение Остроградского с крупными французскими
математиками, интенсивная самостоятельная работа привели к по-
явлению первых научных статей Остроградского, которые сразу же
привлекли внимание своей актуальностью и высоким математиче-
ским уровнем.
В 1828 г. Остроградский вернулся на родину и в первые же ме-
сяцы представил Академии наук три работы, получившие блестящий
отзыв Коллинса. В 1830 г. Остроградский избирается постоянным
членом Академии наук.
Деятельность Остроградского в Академии наук была разносто-
ронней. Он сделал более 85 научных сообщений, частью неопубли-
кованных; читал публичные лекции; писал подробные отзывы на по-
ступающие в Академию наук работы, участвовал в различных ко-
миссиях, занимался по поручению правительства изысканиями по
внешней баллистике, и т.д. Вместе с тем Остроградский много вре-
мени уделял преподаванию. Он читал лекции в Морском корпусе, вел
занятия по математике и механике в Институте инженеров путей
сообщения, Главном инженерном и Главном артиллерийском учили-
щах, Главном педагогическом институте, с 1847 г. и до своей смерти
216
работал в должности главного наблюдателя по преподаванию ма-
тематических наук во всех военных учебных заведениях. Ему при-
надлежат несколько руководств по элементарной и высшей матема-
тике. Широкую известность получил его курс по небесной механике
(1831 г.), а также учебные пособия по аналитической механике и
высшей алгебре (1836 и 1837 гг.).
Своей научной и педагогической деятельностью Остроградский
в значительной мере способствовал подъему математического обра-
зования в стране. После публикации цикла работ по математической
физике (конец 20 - начало 30-х гг.) в 30 - 40-х гг. появились работы
Остроградского по математическому анализу, а за ними — иссле-
дования в области аналитической механики. Во всех направлениях
Остроградский достиг результатов первостепенной важности. Так,
уже в одной из своих ранних работ, представленной Парижской ака-
демии наук в 1826 г. и опубликованной ею в 1832 г., Остроградский
вывел систему уравнений теории волн малой амплитуды на повер-
хности тяжелой несжимаемой жидкости и проинтегрировал ее для
случая прямого кругового цилиндрического сосуда при соответству-
ющих краевых и нулевом начальном условиях. В “Мемуаре об ис-
числении вариации кратных интегралов” (1834 г.) не только решена
проблема, поставленная Парижской академией наук в 1840 г. (т.е.
шесть лет спустя!), но и выведена важнейшая формула кратного ин-
тегрирования, позволяющая вычисление n-кратного интеграла сво-
дить к вычислению (п — 1)-кратного интеграла. В механике Остро-
градский независимо от Гамильтона установил одно из важнейших
ее положений — так называемый принцип наименьшего действия.
Подробнее о работах Остроградского см., например, [16, т. 2, с. 54-
57]. Большим успехом пользовались лекции Остроградского, кото-
рые он читал на высоком европейском уровне, но вместе с тем про-
сто и ясно. Именно благодаря Остроградскому во всех учебных заве-
дениях, где он преподавал, значительно улучшилась математическая
подготовка слушателей. Вынуждены были подтягиваться к уровню
лекций Остроградского и преподаватели математики и механики в
университетах.
6.9 П.Л. ЧЕБЫШЕВ (1821-1894)
Пафнутий Львович Чебышев (Чебышов) родился в 1821 г. в
Калужской губернии в небогатой старинной дворянской семье. По-
лучив хорошее домашнее образование, молодой Чебышев в 1837 г.
217
становится студентом математического отделения философского фа-
культета Московского университета. Окончив в 1841 г. университет
“отличнейшим кандидатом” Чебышев в 1845 г. защитил магистер-
скую диссертацию “Опыт элементарного преподавания теории ве-
роятностей” В 1847 г. он защитил в Петербургском университете
диссертацию “Об интегрировании с помощью логарифмов” на право
преподавания и был утвержден адъюнктом этого университета. В
1849 г. Чебышев защитил диссертацию “Теория сравнений” и был
удостоен степени доктора математики и астрономии. Через два года
он экстраординарный, а с 1860 г. — ординарный профессор Петер-
бургского университета. С 1859 г. Чебышев постоянный член Ака-
демии наук.
В Петербургском университете Чебышев читал высшую алгебру,
теорию чисел, аналитическую геометрию и сферическую тригоно-
метрию, теорию эллиптических функций, интегрирование диффе-
ренциальных уравнений, практическую механику, интегральное ис-
числение, теорию вероятностей и изредка некоторые другие мате-
матические курсы. А.М. Ляпунов так вспоминал о своем учителе:
“Курсы его не были обширными, и при изложении их он заботился
не столько о количестве сообщаемого материала, сколько о выясне-
нии принципиальных сторон трактуемых вопросов. Отличаясь жи-
вым и увлекательным изложением, лекции его сопровождались мно-
жеством интересных замечаний относительно значения и важности
тех или других вопросов или научных методов. Замечания эти вы-
сказывались иногда мимоходом по поводу какого-либо конкретного
случая, но всегда глубоко западали в умах его слушателей. Вслед-
ствие этого лекции его имели высокое развивающее значение, и слу-
шатели его после каждой лекции выносили нечто существенно но-
вое в смысле большей широты взгляда и новизны точек зрения” [38,
с. 341]. В своих лекциях Чебышев нередко давал обширные истори-
ческие справки о разработке того или иного вопроса. Педагогиче-
скую деятельность Чебышева отличала также и яркая способность
к постановке задач. “В математике .найти и верно поставить
вопрос несравненно труднее, чем его решить; — говорил впослед-
ствии Е.И. Золотарев, — как скоро вопрос поставлен и поставлен
верно, решение его так или иначе отыщется. Пафнутий Львович
отличается изумительной способностью и уменьем ставить новые
вопросы в математике” [38, с. 341]. Непосредственными учени-
ками Чебышева были А.Н. Коркин, Ю.В. Сохоцкий, Е.И. Золотарев,
218
А.А. Марков, A.M. Ляпунов, И.Л. Пташицкий, И.И. Иванов, К.А. По-
ссе, Д А. Граве, Г.Ф. Вороной, А.В. Васильев и др. Научная деятель-
ность этих ученых протекала под глубоким воздействием Чебышева,
многие прямо продолжали разработку его тематики, и все они рас-
пространяли идеи своего учителя в университетах и других высших
школах Петербурга, Казани, Киева, Харькова, Варшавы.
Преподавательскую деятельность Чебышев сочетал с организа-
торской работой, имевшей большое значение для развития отече-
ственной науки и техники, образования и просвещения. С 1855 г. он
член Артиллерийского отделения военно-учетного комитета (и в это
время проводит исследования по устойчивости цилиндро-конических
снарядов). С 1856 г. — член ученого комитета Министерства наро-
дного просвещения. Своей деятельностью в комитете Чебышев ока-
зал значительное влияние на постановку и уровень преподавания
математики в начальных и средних учебных заведениях. В 1859 г.
его назначают “правителем дел комиссии по математическим артил-
лерийским вопросам и опытам, относящимся до теории стрельбы”, в
1867 г. — членом технического комитета Главного артиллерийского
управления. Видную роль сыграл Чебышев и в становлении и даль-
нейшей деятельности Московского математического общества.
Научные интересы Чебышева характеризуются большой широ-
той и прикладной направленностью при очень высоком теоретиче-
ском уровне. Во всех областях своей научной деятельности (тео-
рия чисел, интегрирование функций, теория вероятностей, теория
наилучшего приближения функций, теория интерполирования, те-
ория механизмов) Чебышев достигал фундаментальных или значи-
тельных результатов. Так, в мему аре “Об определении числа про-
стых чисел, не превосходящих данной величины” (1851 г.) Чебы-
шев установил, что число ^(аг) простых чисел, меньших аг, Коле-
лл dx
блется около функции Li(x) I -------. Широко известны необ-
«/2 «Г
ходимые и достаточные условия интегрируемости в элементарных
функциях дифференциального бинома хт(а 4- Ьхп)р, полученные Че-
бышевым (1853 г.) как применение его же фундаментальных теорем
об интегрируемости алгебраических функций. Современные трак-
товки и доказательства основных законов теории вероятностей —
закона больших чисел и центральной предельной теоремы — также
восходят к работам Чебышева (1867 и 1887 гг. соответственно). В
теории наилучшего приближения функций Чебышеву принадлежат
как постановка основных задач, так и разработка общих методов
219
их решения. Широко известны введенные им (1853 г.) многочлены
Тп(х) = 21“ncos(n arccos я), обладающие свойством наименьшего
(из всех многочленов данной степени п) уклонения от нуля (т.е. свой-
ством минимума модуля) на отрезке [—1, 1]. Подробнее о работах
Чебышева см., например, [16, т. 2, с. 188-238].
Значительная часть работ Чебышева вызвана непосредствен-
ными нуждами практики. Таковы его работы “Об одном механизме”,
“О зубчатых колесах”, “О центробежном уравнителе”, “О построе-
нии географических карт”, “О кройке платьев” и др. Чебышеву при-
надлежит свыше 40 конструкций различных механизмов и около 80
их модификаций. “Сближение теории с практикой дает самые благо-
приятные результаты, — писал Чебышев, — и не одна только прак-
тика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием
ее: она открывает им новые предметы для исследования, или новые
стороны в предметах давно известных. Несмотря на ту высокую сте-
пень развития, до которой доведены науки математические трудами
великих геометров трех последних столетий, практика явно обна-
руживает неполноту их во многих отношениях; она предлагает во-
просы существенно новые для науки и, таким образом, вызывает на
изыскание совершенно новых метод, и в этом случае наука находит
себе верного руководителя в практике” [9, с. 117]. Среди всех задач,
которые ставит перед людьми их практическая деятельность, осо-
бенную важность имеет, по мнению Чебышева, следующая задача:
“Как располагать средствами своими для достижения по возмож-
ности большей выгоды” Именно поэтому “большая часть вопросов
практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин,
совершенно новым для науки, и только решением этих задач мы мо-
жем удовлетворить требованиям практики, которая везде ищет са-
мого лучшего, самого выгодного” [там же, с. 117]. Приведенные ци-
таты являлись для самого Чебышева руководящими принципами его
деятельности и всей жизни. Под влиянием этих идей Чебышева в
петербургской математической школе сложился общий подход к ма-
тематике. А.М. Ляпунов характеризовал его следующими словами:
“П.Л. Чебышев и его последователи остаются постоянно на реаль-
ной почве, руководствуясь взглядом, что только те изыскания имеют
цену, которые вызываются приложениями (научными или практиче-
скими), и только те теории действительно полезны, которые выте-
кают из рассмотрения частных случаев.” [16, т 2. . 187]
220
РАЗБОР УПРАЖНЕНИИ
1. Это буквенная десятичная чисто аддитивная нумерация, в ко-
торой численные значения основных знаков — букв славянского ал-
фавита — определяются вспомогательными значками.
2. Числительные “один” и “два”, в отличие от числительных
“три” “четыре”, “десять” изменяются по родам, что указы-
вает на остатки двоичной системы счисления, как наиболее дре-
вней. Числительное “пять” (пясть, кисть) указывает на ручной счет
“пятерками” Пословицы и поговорки, связанные с числом “семь”:
“семеро одного не ждут”, “семь раз отмерь, один раз отрежь” “у
семи нянек дитя без глазу” и т.п. указывают на то, что в свое время
“семь” означало “много”, и счет велся в пределах от одного до шести.
Числительное “сорок” и выражение “сорок сорбков” указывает на
счет “сороками” Числительное “девяносто” происходит от числи-
тельных “девять десят” и “десять до ста”, первое из которых обра-
зовано по мультипликативному принципу, а второе — по субтрак-
тивному.
3. Составление отношений можно определить для любой пары
отношений, а именно: (А В) ® (С D) = (Ах Е) ® (Е BJ = (Ai
В^, где Е — наименьшее общее кратное В и С, Е = тВ = пС,
Ai = mA, Dy = nD.
Далее, результат составления отношений не зависит от выбора
пар, т.е. если (А7 В') = (А" В") и (С7 D') = (С77 В77), то
(А7 В7) ® (С7 В7) = (А77 В77) ® (С77 В"). Действительно,
из определения равенства отношений следует, что А7 = тАу, А" =
тпА2, В1 = nAi, В" = пА2, С7 = fcCi, С" = кС2, D' = 1СЪ D" = IC2.
Поэтому (A7 B')®(C7 B7) = (mAi nAi)®(A:Ci /Ci), (A77 B77)®
(С77 В77) = (mA2 пА2)®(кС2 IC2). Пусть E — общее кратное Ai,
^2, Ci, C2, т.е. E = piAi = p2A2 = = q2C2. Тогда (mA, nA,)®
ICi) = (тр{А{ пр{А{)®(кд{С{ lqiCi) = (mE nE)®(kE IE),
т.е. результат составления отношений действительно не зависит от
выбора пар.
221
Для каждой пары (А В) пара (В А) будет обратной, если
пару (А А) взять за единицу группы. Ассоциативность операции
составления отношений очевидна: ((А В)0(В С))®(С D) = (А
С) 0 (С В) = А В, и (А В) О ((В С)0(С В)) = (А В) О (В
В) = А В. Проверим коммутативность. Пусть Е — общее кратное
А, В и С, Е = mA = пВ = кС. Тогда (В С) ® (А В) = (кВ
кС) ® (mA тВ) — (кВ Е) ® (Е тВ) = (кВ тВ) — (кпВ
тпВ) = (ктА ткС) = А С = (А В) О (В С).
Таким образом, действительно множество классов пропорцио-
нальных пар с операцией составления отношений образуют комму-
тативную группу. Эта группа очевидно изоморфна мультипликати-
вной группе положительных рациональных чисел.
4. Если а Ь = с d в смысле определения пифагорейцев, то
найдутся отрезки fug такие, что а = kf, с = кд, Ь — If, d = lg.
Отсюда следует, что та = mkf, тс = ткд, nb — nlf, nd — nig.
Поэтому та < nb <=> тк < nl <=> тс < nd, та = nb <=> тк =
nl <=> тс = nd, та > nb <==> тк > nl <=> тс > nd, т.е. a b — с d
и в смысле определения Евдокса.
5. Роговидный угол а вполне определяется радиусом га той
окружности, дуга которой образует криволинейную сторону этого
угла. Равенство, сумму и разность двух роговидных углов можно
определить как, соответственно, равенство, сумму и разность кри-
визн их дуг, т.е. следующим образом: если а <-► га и /3 <-+ гр, то
а = /3 <=> га = гр ,
га гр
Аналогично, будем говорить, что а < /3, если — < —. Геометриче-
га гр
ски последнее означает, что а < /3, если при совмещении вершин и
прямолинейных сторон этих роговидных углов и при откладывании
их криволинейных сторон (дуг) в одну и ту же сторону начало дуги
угла а окажется между началом дуги угла /3 и общей прямолинейной
стороны этих углов. В соответствии с этим геометрическим опре-
делением будем считать, что а < /3 для всякого роговидного угла а
и для всякого обычного угла /3. При этом будут выполнены аксиомы
1-5, но не выполнена аксиома 6, так как та < /3 для любого целого
гл, для любого роговидного угла а тт 7ля любого обычного угла /3.
222
6. Покажем сначала, что из равенства отношений через па-
раллельность следует их равенство через равновеликость прямоу-
гольников. Отложим отрезки а, 6, с, d на сторонах прямого угла
так, как это сделано на
рис. 72. По условию пря-
мые /1 и /г параллельны.
Проведя параллельно сто-
ронам угла прямые, обо-
значенные пунктиром, из
равенства треугольников
1' и 1" замечаем, что а' =
а, так что 3 есть прямоу-
гольник на а и с/, а 3' —
прямоугольник на Ь и с.
Равновеликость этих пря-
Дёйствительно, прямоуголь-
Рис. 72
моугольников следует из аксиомы 3.
ники 3 и 3' получаются из одинаковых больших треугольников, со-
ставляющих вместе большой прямоугольник со сторонами а 4- с и
b 4- d, путем вычитания одинаковых треугольников 1 и 1', 2 и 2'
Покажем теперь, что из равенства через равновеликость прямо-
угольников следует равенство по Евдоксу. Предположим противное.
Пусть прямоугольники на а и d и на Ь и с равновелики, но а Ь с d
по Евдоксу. Тогда найдутся натуральные числа тип такие, что
та > пЬ, но тс < nd (или наоборот, та < пЬ, но тс > nd). Тогда
прямоугольник на та и nd содержит прямоугольник на пЬ и тс, и
следовательно (аксиома 5) будет больше его. Но это противоречит
тому, что эти прямоугольники составлены из т п равновеликих пря-
моугольников на а и d и на Ь и с соответственно, и, следовательно,
(аксиома 2) также равновелики.
Покажем наконец, что из равенства по Евдоксу следует равенство
отношений через параллельность. Предположим противное. Пусть
а b = с d по Евдоксу, но прямые li и I2 не параллельны (рис. 73).
Проведем прямую /' параллельно /р Тогда, по выше доказанному,
а b будет равно с d' в смысле определения Евдокса, причем d'
d. Но если d' < d, то по аксиоме 6 найдется натуральное число п
такое, что п Д — n(d — df) > с. По этой же аксиоме, найдется
натуральное число т такое, что тс < nd, но (т 4- 1)с > nd. Тогда
тс = (гп 4- 1)с — с > nd — пД = nd — n(d — df) = nd' и, следовательно,
та > пЬ, что несовместимо с тс < nd. В случае df > d точно так же
223
существуют тип такие, что п (d' — d) > с и тс < nd <(т + 1)с.
Но тогда (т + 1)с = тс + с < nd + n(d' — d) = nd1 и, следовательно,
(m + 1)а < nb, что несовместимо с (m + 1)с > nd.
7. Уравнение задачи может быть записано в виде
х
Рис. 74
а х — х (а — ж),
где а — длина данного отрезка,
ах — длина его большей части.
Переписав это уравнение в виде
а(а — ж) = ж2, т.е. в виде ра-
венства площадей прямоуголь-
ника со сторонами (а-х)иа, и
квадрата со стороной ж, и доба-
вив к этим одинаковым площа-
дям по прямоугольнику со сто-
ронами х и а (см. рис. 74), будем
иметь: х(аж) = а2, так что
искомая задача свелась к задаче
типа За. По теореме 3 произве-
дение ж(а + х) раскладывается в
/ л. \ 2
разность квадратов + - у
Поэтому искомый отре-
зок ж может быть построен как
/ ах а
разность отрезков 4- -J и %»
первый из которых есть гипо-
а
тенуза прямоугольного треугольника с катетами а и -.
Л
8. Обозначим В'В = у. Для доказательства того, что х3 = 2а ,
а х у
достаточно проверить, что — = — = Из подобия треугольников
х у 2а
AD В'В а у
ADD и В В А заключаем, что —— = или - = Далее, по
ии -0/\. х ла
/ а \ 2
теореме Пифагора, (OB')2 = -j + a2, a (OD')2 = (х + а)2 +
(а\ 2
-J Приравнивая эти выражения, будем иметь: у2 + ау = х2 + 2ах.
9 9 у
Это уравнение выполняется, если у = 2ах иау = х, т.е. если — =
2а
>24
—. Других же решений нет, так как если бы, например, было у2 >
У' >
2ах, то было бы ay < т , и, следовательно, было бы одновременно
= (?!).
2а у 2а х у
9. Так как треугольники 0zC0 и СОВ — равнобедренные, то
ZAOB = ZOO'B + ZOBO' = ZOO'B + ZOCB = ZOO'B + ZCO'O +
ZCOO' = 3ZAO'B.
10. Если За = 90°, то а = sin За = 1, и уравнение трисекции
прямого угла запишется в виде
4г3 — Зг + 1 = 0.
Это уравнение приводимо над основным полем К = Q, а именно:
4z3 - Зх + 1 = (2х - 1)(2х2 + х - 1),
поэтому трисекция угла в 90° может быть проведена с помощью
циркуля и линейки (проведите само построение!).
Если же За = 30°, то а = sin За = -, и уравнение трисекции угла
в 30° запишется в виде
4х3-Зг + | = 0.
Это уравнение неприводимо над К = Q, так как если бы оно было
приводимо, т.е. раскладывалось на множители с рациональными ко-
эффициентами, то мы имели бы
(8т3 — 6т 4-1) = (ат 4- /?)(ат2 4- Ьх 4- с),
где а, /?, а, Ь, с — целые рациональные числа. Тогда /? = ±1,
= ±1, 2, 3, 8, и, следовательно, уравнение имело бы рациональ-
ный корень вида т = ±1, |, |, | Но непосредственной проверкой
легко убедиться, что ни одно из этих значений не является корнем
уравнения. Поэтому уравнение действительно неприводимо на Q и,
следовательно, трисекция угла в 30° с помощью циркуля и линейки
невозможна. Построение правильного девятиугольника с помощью
циркуля и линейки равносильно трисекции угла 120°, что, в свою
очередь, равносильно трисекции угла 30°, и поэтому также невоз-
можно.
225
11. Рациональные соотношения между корнями имеют вид:
Ху = Z2, Ху = Хз, X* = Х4,
xj = X4, l2 = *l. х2 = х3,
х3 = х1, Х% = Х4, Х$ = Х2,
Х% = Х3, Х% = Х2, Х^ = Х!,
Х1Х4 = X2X3 = 1.
Группа Галуа
G = {(1243)1, : = 1,2, 3,4} =
= {(1243), (13)(24), (1342), (1)}
Ее порядок 22, поэтому задача построения правильного пятиуголь-
ника, вписанного в единичную окружность, задача, выражаемая ура-
внением
х5 - 1 = 0 ,
разрешима с помощью циркуля и линейки.
Радикальные выражения для корней имеют вид:
(третий знак определяется противоположно первому, а второй —
независимо от первого), и построение правильного пятиугольника
может быть проведено из условия
(см. разбор упражнения 7).
12. Линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го по-
рядка
1/ + р(х)у = 0,
инвариантно относительно преобразований вида
х,.
«У,
они и составляют его группу Ли. Преобразование
1пу
226
переводит эту группу в группу сдвигов Lo, а само уравнение — в
уравнение г/ + р(х) = 0, не содержащее у.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го по-
рядка
У* + Р(*)У = ч{х),
инвариантно относительно преобразований вида
х —► х,
у _ ay+(l-a)e-fp№ fq(x).e№*dx,
составляющих его группу Ли. Преобразованием
х —► х
у у.е№*
она переводится в группу сдвигов, а само уравнение — в уравнение
yf = q(x)efp^dx, не содержащее у.
13. Пусть А — местоположение корабля, I — линия берега
(рис. 75). Пройдем вдоль берега
одинаковые расстояния ВО и О В'
Затем под углом В', равным углу
В, пройдем вглубь берега до той
точки А', направление из которой
на корабль А и на точку О совпа-
дают. Тогда по 4-й теореме треу-
гольники ОВА и OB'А' будут ра-
вны и, следовательно, В А = В'А'
14. Уравнение касательной
плоскости к поверхности z =
z(z, у) в точке (то, уо, zq) имеет
вид
(z - z0) = 4(*о, Уо) (X - ХО) + z' (z0) Уо) (у - Уо)
Из условия, что вершина конуса (а, 6, с) принадлежит всякой каса-
тельной плоскости, получаем
(z - с) = z's • (х - а) + z' (у - 6)
— дифференциальное уравнение конической поверхности.
227
Далее, заменой u = x — а,у = у — b, w = z — с перенесем начало
координат в вершину конуса. Пусть v = <р(и) — линия пересече-
ния конической поверхности с плоскостью w = 1. Тогда, если точка
/ ч « fu v х
(u, v, w) лежит на конической поверхности, то точка ( —, —, 1)
\w w /
также лежит на конической поверхности. Поэтому получаем
v f и\ у — b f х — а'
— = р I — 1 , ИЛИ --- = (р ----
w \ w/ z — с \z — с
— конечное уравнение конической поверхности.
15. Проведем ВС параллельно АА' (рис. 26). Тогда
BA B'S ОА' _ СА' В'А' ОА' _
ОА BS В'А' ” ОА' СА' В'А' ”
16. Проведем через точку А прямую KL параллельно С'О. Тогда
В'С' В'А
В'А
<B'D'AC'> = ™ D-с7 = вч?
D'A _ AL АК _
Р'С' ” С'О С'О “
BA DA
-AL AL АК ______ ______ ___
~ АК ~ СО СО “ ВС DC ~ DA DC
ВА ВС
— — = (ВРАС)
Для решения задачи проведем
медиану AN (рис. 76). Обо-
значим через О точку пере-
сечения медиан ВМ и AN,
а через Р — точку пересе-
чения прямой AQ со сторо-
ной ВС. Тогда, в силу ра-
венства двойных отношений
(BCPN) и (BMQO), будем
ВР ВР
иметь: —-
СР СР
BQ ВО m2
MQ МО п I т
задачи, не используя инвари-
BN
CN
Рис. 76
Приведите элементарное решение
антность двойного отношения.
17. Проведем через точку D прямую KL параллельно PQ. Тогда
(РОМЮ = ^ PN=KD KL КР ТО PQ QP
(r4MiV) QM QN TD DL KL DL pN pN
228
Если AD параллельно ВС, но АВ не параллельно CD, то ABCD —
трапеция, точка Q лежит на несобственной прямой, PQ параллельно
ВС и теорема принимает вид: PM = PN.
Если и AD параллельно ВС, и АВ параллельно CD, то ABCD
— параллелограмм, точки Р и Q лежат на несобственной прямой
(которая и является в этом случае третьей диагональю), а теорема
принимает вид известной школьной теоремы о том, что диагонали
параллелограмма делятся в точке пересечения пополам.
18. Пусть в треугольнике PBQ (рис. 28) прямые PC, ВМ, QA
пересекаются в одной точке D. Тогда по теореме Менелая имеем:
BA QC PN 1 __ _
РА ВС QN = "°, П° теоРеме Паппа о полном четырехсто-
PN PM „ BA QC РМ ,
ровннке, = -да,. Поэтому — — — = -1. Это условие
будет, очевидно, и достзточным. Проверьте, что указанное условие
Чевы выполняется для медиан, биссектрис и высот. Проведите эле-
ментарное доказательство теоремы Чевы, не опираясь на теоремы
Паппа и Менелая.
19. Достаточно дока-
зать, что Q совпадает с
Qi — точкой пересечения
PR с СВ' Обозначим че-
рез G точку пересечения
АВ' и А'С, а через Н —
точку пересечения АС' и
В'С. Используя инвариан-
тность двойного отношения
при проектировании после-
довательно из точек R, А',
С', будем иметь: (CHB'Qi) =
(GAB'P) = (СЛОВ) = (CHB'Q),
откуда и следует, что Qi
Q
Теорема, двойственная к
теореме Паппа, формулиру-
ется следующим образом: если две тройки прямых а, 6, с и а', 6',
с' проходят, соответственно, через точки L и L', причем ни одна
из них не совпадает с прямой LL', то прямая р, соединяющая точки
пересечения прямых а, 6' и а', 6, прямая д, соединяющая точки пе-
229
ресечения прямых 6, с' и 6', с, и прямая г, соединяющая то?ки пере-
сечения прямых а, с1 и а1, с, пересекаются в одной точке (рис. 77).
20. Рассмотрим сначала случай, когда трехвершинники лежат
в разных плоскостях. Тогда, если существует S — центр перспек-
тивы, то существует точка Р пересечения плоскостей АВС, А'В'С'
и SAB, точка Q пересечения плоскостей А'В'С' и SBC и точка R
пересечения плоскостей А'В'С' и SAC. Эти три точки лежат тогда
на прямой s — пересечении плоскостей АВС и А'В'С' Обратно,
если существуют точка Р пересечения прямых АВ и А'В', точка Q
пересечения прямых АС и А'С' и точка R пересечения прямых ВС
и В'С', и если эти точки лежат на одной прямой s, то существует
точка S пересечения плоскостей РА A', QCC' и RBB' Но так как
эти плоскости пересекаются по прямым АА', ВВ' и СС', то точка S
принадлежит этим трем прямым.
В случае, когда трехвершинники лежат в одной плоскости, дока-
зательство теоремы Дезарга может быть получено из трехмерного
случая “по непрерывности” Если существует центр перспективы S,
то точка R необходимо лежит на прямой PQ, так как она лежит на
этой прямой при сколь угодно малом “приподнимании” прямой SAA'
над плоскостью SBCB'C' (точки S, В, С, В', С' оставляем при этом
неподвижными). Точно так же, если существует ось перспективы,
то прямые АА', ВВ', СС' необходимо пересекакггся в одной точке
S, так как они пересекаются в одной точке при сколь угодно малом
повороте плоскости A'PQ относительно прямой PQ (плоскость APQ
остается при этом неподвижной).
Далее, для того, чтобы убедиться, что теорема Дезарга является
теоремой двойственности, запишем подробно и в терминах инциден-
тности утверждения, об эквивалентности которых идет речь в этой
теореме. Первое утверждение: точка S инцидентна трем прямым р,
д, г, каждая из которых инцидентна паре точке, соответственно, А
и А', В и В', С и С' Второе утверждение: прямая s инцидентна
трем точкам Р, Q,~R, каждая из которых инцидентна паре прямых,
соответственно, а и а', b и 6', с и d Так как эти утверждения по-
лучаются друг из друга, если поменять местами соответствующие
друг другу точки и прямые (прямую р с точкой Р, точку А с прямой
а и т.п.), и при этом сохраняются инцидентности, то это — двой-
ственные друг другу утверждения, и теорема Дезарга есть теорема
двойственности.
В случае, когда трехвершинники лежат в одной плоскости, а роль
230
перспективы играет подобие (гомотетия), теорема Дезарга прини-
мает вид: треугольники подобны (гомотетичны) тогда и только то-
гда, когда их стороны попарно параллельны.
21. Доказательство теоремы Паскаля см. п. 4.9. Другое доказа-
тельство этой теоремы, аналогичное приведенному в п. 15 доказа-
тельству теоремы Паппа, см., например, в [11, с. 367-368].
Теорема Паппа является вырожденным случем теоремы Паскаля,
когда коническое сечение вырождается в пару прямых.
Если две из трех пар противоположных сторон вписанного в
окружность шестиугольника образованы параллельными прямыми,
т.е. прямыми, точка пересечения которых лежит на несобственной
прямой, то, по теореме Паскаля, на этой же несобственной прямой
будет лежать и точка пересечения остальных двух сторон, т.е. они
также будут параллельны друг другу.
Рис. 79
231
22. Так как проектирование сохраняет инцидентности и касания,
а всякая овальная линия второго порядка может быть получена про-
ектированием окружности, то достаточно доказать теорему Бри-
аншона для окружности. Применяя полярное преобразование, пере-
водим касательные к окружности (стороны описанного шестиуголь-
ника) a, У, с, az, Ь, d (рис. 33) в их точки касания, соответственно,
A, Bz, С, Az, В, Cz, точки пересечения сторон а и У, b и с7, с и az,
az и 6, У и с, cz и а в стороны вписанного шестиугольника, соот-
ветственно, ABZ, BZC, CAZ, AZB, BCZ, CZA, прямые p, g, г, инциден-
тные парам противоположных вершин описанного шестиугольника
и инцидентные вместе точке L, перейдут в точки Р, Q, R, инциден-
тные парам противоположных сторон вписанного шестиугольника
и инцидентные вместе прямой I — поляре точки L. Таким образом,
теорема Брианшона оказывается двойственной теореме Паскаля, и
доказательство теоремы Брианшона следует из доказательства те-
оремы Паскаля.
23. Несобственные точки, лежащие на продолжении сторон
барицентрического треугольника, имеют координаты (0, тг, —тг),
(mi, 0, —mi), (mi, —mi, 0). Уравнение проходящей через эти точки
несобственной прямой имеет вид: a?i + Х2 + хз = 0.
24. Построение параболы на основании теоремы Штейнера изо-
бражено на рис. 78, а построение гиперболы — на рис. 79.
Рис. 80
25. Пусть /1 и /2 — параллельные прямые, АВ — отрезок
на li (рис. 80). Нахождение
середины М отрезка АВ мо-
жет быть проведено последо-
вательным проведением пря-
мых ОА, ОВ, СВ, DA, OQ.
Оно соответствует построе-
нию точки | мёбиусовой се-
ти.
26. Инвариантность рас-
стояния рь следует из инва-
риантности двойного отно-
шения (PQMN). Свойство 1
выполняется, так как (PQMN) > 0 и |ln(PQMN)| > 0, а из того, что
|ln(PQMN)| = 0 следует, что (PQMN) = 1, т.е. Р = Q, и наоборот.
Свойство 2 выполняется, так как (QPMN) = zpnoKn Выполне-
( х Ц£1У111 }
232
ние свойства 3 удобно проверить, переведя предварительно точку
R с помощью преобразований (а) и (б) в центр круга. Выполнение
свойства 4 следует из того, что
(РКМК).(ВДМК) = (^ (5“ 5£) =
= §? = (pQMN>-
Инвариантность рк относительно преобразований (а) и (б) и вы-
полнение свойств 1-4 следует из того, что группа Гг эллиптической
геометрии с расстоянием рк изометрична группе движений на еди-
ничной сфере (с отождествленными диаметрально противополож-
ными точками) с угловым расстоянием.
27. Группа Г4 распадается на группу Г41 движений I рода (со-
храняющих ориентацию) и на класс Г42 движений II рода:
Г4 = Г41 -I- Г42 = Г41 -I- s Г41 ,
где з — симметрия относительно фиксированной оси. Другой под-
группой группы Г4 будет группа Гз всех перемещений (т.е. движе-
ний, сохраняющих расстояния между точками). Г3 состоит из па-
раллельных переносов, поворотов и симметрий относительно осей и
распадается на группу Г31 перемещений I рода (сохраняющих ори-
ентацию) и на класс Г32 перемещений II рода:
Гз = Г31 -I- Г32 = Г31 -I- s Г31,
где з — симметрия относительно фиксированной оси. Группа Г31
содержит подгруппу Г3и всех параллельных переносов и подгруппу
Г312 всех поворотов относительно фиксированного центра.
28. Отметим, прежде всего, группу всех проективных преобра-
зований (т.е. всех коллинеаций и корреляций), основной инвариант и
размерность которой те же, что и у Ге- Однако “точка” и “прямая”
будучи инвариантами Ге, уже не будут инвариантами при корреля-
циях. Под теоретико-групповую классификацию попадают и такие
типы геометрий, как топология, конформная геометрия, геометрия
биективных точечных преобразований, внутренняя геометрия по-
верхности, “исчислительная” геометрия. Так как топологию можно
233
рассматривать как группу гомеоморфизмов (т.е. взаимно однознач-
ных и взаимно непрерывных преобразований) с такими инвариан-
тами, как открытость, замкнутость, компактность, связность, раз-
мерность. Конформную геометрию можно рассматривать как гео-
метрию конформных преобразований на плоскости с основными ин-
вариантами — углом между кривыми и одинаковостью растяжений
по всем направлениям.
29. Впишем в полушар радиуса г и опишем около него тела,
г
состоящие из цилиндров с одинаковыми высотами — (см. рис. 81).
п
Тогда объем вписанного тела будет равен
г___зГ1 (п + 1)(2п + 2)
п 6п2
а объем Vn описанного тела будет равен
Рис. 81
(n—l)(2n —1)'
6п2
Так как при любом сколь уго-
дно большом п будет
Vn < V < Vn И
V„ < |яг3 < Уп ,
О
а разность между Vn и V^
2 г
равна тгг — и, следова-
п
тельно, может быть сделана
меньше произвольного положительного числа £, то необходимо дол-
2 з 2 з
жно выполняться V = -яг Действительно, если бы было V > -яг
О О
2 з 2 з 2 з
или V < -nr , то взяв е = V — -лт Или £ = z’rr — V и учитывая,
и _ О и
2 з — —
что и V и -тгг лежат между Уп и Уп, мы имели бы: Vn — Уп > £
О
при любом п (?!).
30. На рис. 82 АОВ — парабола у2 = 2рх, т.е. кривая, опре-
деляемая симптомом: квадрат на полухорде PQ = у равен прямо-
угольнику на отрезке диаметра ОР = х и на постоянном отрезке
234
MN = 2p. OCD — треугольник, в котором CD = OR' = OR,
OPZ = OP, CRZ = RZD, KPZ = PZL. Линии AB, QS, KL CD
ортогональны линии RRZ. Тогда параболоид, получаемый враще-
нием параболы АОВ вокруг ее диаметра OR, уравновешивается
призмой с основанием OCD и с высотой тг MN (боковые грани
призмы предполагаются ортогональными к основанию). Это сле-
дует из того, что сечение параболоида в точке Р плоскостью, пер-
пендикулярной к OR, равно сечению призмы в точке Pz плоскостью,
перпендикулярной к ORZ, а рычаг ОР равен рычагу OPZ, так что
тг (PQ)2 • OP = ttMN • (ОР)2 = тг-MN • (OPZ)2 = тг • MN KL • OPZ
Поэтому центр тяжести параболоида лежит от вершины О на
том же расстоянии, что и центр тяжести призмы, т.е. на расстоя-
2/2
нии -OR = -OR. Из равенства соответствующих сечений пара-
о о
болоида и призмы следует и равенство их объемов. Поэтому объем
параболоида равен |-ORZ • CD-tt-MN или |tt(AR)2-OR, т.е. половине
произведения основания параболоида на высоту.
31. Логарифмическую функцию In а: можно определить как пло-
щадь подграфика гиперболы ху = 1 на отрезке от 1 до а? .(при
этом площадь считается положительной, если х > 1, и отрицатель-
ной, если 0 < х < 1). Основное свойство натурального логарифма
Inab = In а -|- In b докажем в предположении, что 1 < а < Ь. Перепи-
сав это свойство в виде 1па6 — 1п6 = Ina, заметим, что речь идет о
квадрируемости подграфика и равенстве площадей S и S' гипербЬлы
ху = 1 на отрезках, соответственно, [1, а] и [b, аЬ] (рис. 83). Раз-
бив эти отрезки на одинаковое число п равных частей и построив
235
вписанные и описанные ступенчатые фигуры с площадями, соответ-
ственно, Sn и Sn, S!n и Sn, будем иметь
< S < Sn ,
s!n<s,<s,n,
но Sn = «Sn, a Sn = Sn,
так как равны площади coot-
, ветствующих прямоугольни-
----1 I 1 >> ков, составляющих эти впи-
а b аЪх
v санные и описанные ступен-
Рис. 83 чатые фигуры. Действитель-
но, прямоугольники, состав-
ляющие правую вписанную (описанную) фигуры, имеют основание
в b раз больше, а высоту — в b раз меньше, чем соответствующие
им прямоугольники,, составляющие левую вписанную (описанную)
фигуру. Поэтому площади вписанных (описанных) фигур равны как
суммы площадей равных прямоугольников. Далее, так как S!n = Sni
s'n = Sn> S!n < S' < «Sn, Sn < S < Sn, то разность между S' и
S меньше, чем разность между Sn и S!_n или между Sn и S_n. Но
разность
а — 1
п
1
п’
и, следовательно, может быть сделана меньше любого наперед за-
данного положительного числа. Поэтому пографики гиперболы на
отрезках [1, а] и [Ь, аЬ] квадрируемы, и S' = S.
32. Пусть R — радиус кольца тора, аг — радиус круга, получа-
ющегося при разрезании тора плоскостью, проходящей перпендику-
чярно к его поверхности (рис. 84), г < R. Разрежем тор на очень
большое число очень маленьких частей Д плоскостями, перпендику-
лярными к поверхности тора. Каждый такой кусочек Д очень мало
2 w
отличается от цилиндра с площадью основания тгг и с высотой, ра-
вной полусумме дуг s и S. Поэтому объем тора, равный сумме объ-
емов отдельных маленьких кусочков Д, будет равен сумме объемов
9
цилиндров с основаниями тгг^ и с высотами
s + S
—-—, т.е. объем тора
Ал
будет равен объему цилиндра с радиусом основания г и с высотой
2тгЯ. Этот же результат можно получить по другому методу Ке-
236
плера, если круг радиуса г, получающийся при разрезании тора пло-
скостью, перпендикулярной к поверхности тора, заключить между
^вумя ступенчатыми фигурами и посчитать объемы тел, получае-
мых при вращении этих ступенчатых фигур.
33. а) Выбирая “неделимые” параллельными основаниям полу-
шара, конуса и цилиндра и учитывая, что сумма площадей тп/2 + тга:2
“неделимых”, соответственно, полушара и конуса равна площади тгг2
“неделимой” цилиндра, имеем:
52 *у2+52 *х2 = 52,гг2 ’
ИЛИ Рполушара 4" ^конуса — ^цилиндра*
б) Рассмотрим тор, изображенный' на рис. 84, и цилиндр
с радиусом основания г и с высотой 2тгЯ. Будем брать
Рис. 84
“неделимые” тора параллель-
ными плоскости рисунка 71,
а “неделимые” цилиндра —
параллельными какой-нибудь
плоскости, проходящей че-
рез ось цилиндра. Тогда из
равенства соответствующих
“неделимых” тора и цилин-
дра следует равенство их
объемов.
в) Пусть АОВ — сег-
мент параболы (см. рис. 85),
ОС = а — его высота,
АВ = 2АС =2Ь — основание
сегмента. Выбирая “недели-
мые” 1У параллельными диа-
2
аУ
метру параболы, будем иметь: 1У = а — х — а—— Поэтому площадь
с2
сегмента параболы
5 = 2 52^ = 2 52 G-^-)=2E-2^52^ =
Muth ' '
а Ь3 4
= 2а6 —2ту Т = та6
(и 3 о
237
г) Для вычисления площади S первого витка спирали Архимеда
а
г = 0 < 9? < 2тг (см. рис. 86) возьмем в качестве “неделимых”
2тг
дуги концентрических окружностей с центром в точке О радиуса
0<г<а
Другое решение:
2тг 2 Л °2 2тг
— > г2 = 2тг—----------
а 2 а
0<г<а
а3 _ тга2
¥“ Т
= объему шара с диаметром а,
откуда
„ 4 /а\3 2 тга2
S ~ а-”
34. Требуется доказать, что In ab = Ina + lnb, или, что то
же самое, In ab — lnb = Ina. Не умаляя общности, можно считать,
что 1 < a < Ь. Доказательство сводится к установлению равен-
ства площадей подграфиков гиперболы ху = 1 на отрезках [1, а] и
[b, ab] (рис. 87). Проведем линию MN — график гиперболы Ьху = 1,
238
1 < х < а. Сравним площади под гиперболами ху = 1 и Ьху = 1,
1 < х < а. Выбирая “неделимые” 1Х и 1'х параллельно оси у, имеем:
поэтому площадь под гиперболой Ьху = 1 будет в Ъ раз меньше пло-
щади под гиперболой ху = 1, Ъ < х < аЬ. Выбирая “неделимые” 1у и
1у параллельными оси t/, будем иметь:
1'у 1У = (Ьх - Ь) (х-1) = Ь 1
Поэтому площадь под гиперболой ху = 1, Ь < х < аЬ, будет в Ъ раз
у больше площади под гиперболой
MN, и, следовательно, будет равна
площади под гиперболой ху = 1,
1 < х < а, что и требовалось до-
казать.
35. Согласно методу “недели-
мых”, объем тела вращения пло-
щади S вокруг оси у равен сумме
боковых площадей цилиндров с ра-
диусом основания х и высотой /(х)
(рис. 88), т.е. сумме 2irx l(x). Эту
сумму можно представить в
2т У2 (z - *°) + 2,Г1о У? 1(х)
а<г<Ь a<z<b
где xq — абсцисса центра тяжести площади S. Согласно определе-
нию центра тяжести, первая сумма равна нулю. Вторая же сумма
есть произведение площади S = 52 Кх) на ДЛИНУ окружности,
а<г<Ь
описываемой центром тяжести.
239
36. Выбирая, согласно методу Ферма, точки разбиения отрезка
[1, z] в геометрической прогрессии: 1 = z° < z« < xi < < z« =
z, находим, что площадь Sn описанной около подграфика гиперболы
ху = 1 ступенчатой фигуры будет равна
Х^ (х « — z"^) = (z * — 1) = n (z » — 1)
*=1 fc=l
Поэтому In z = Sn i = Sn = lim n (z » — 1).
IX=r»=l ln=OO n—ЮО \ /
37. Площадь поверхности шарового слоя, образованного враще-
нием дуги tpi < <р < <р2 окружности (см. рис. 57) вокруг оси ординат,
будет равна
^2tt OQ KL = 2тг КМ = 2тг £cos<р • А<р =
Vi<V<V2
= 2%(sin <p\ — sin ^2)
а
38. Имеем: г = — <р, откуда
2тг
А а А ГТ
Аг = — Поэтому
2тг
h = Дг = =1
р-Др Лр.Ду, <Р
2тг
_ I sin 1
Так что —*— ------= — , откуда
г — I cos <р <р
г _ а <р
<р sin <р + cos <р 2% <р sin р + cos р
39. Согласно методу Декарта, исключив у из системы уравнений
ху = 1,
, о / чэ 1 будем иметь:
| (х-с)2 + у2 = (с-а)2 + ^,
Q(z) = а2х4 — 2а2сх3 — (а4 — 2а3с + l)z2 + а2 = О
Но Q(z) = (z - a)2(pz2 + qx + г), поэтому
Р
q — 2ар
а2р — 2aq + г
a2q — 2аг
а2
—2а2с
—а4 + 2а3с — 1
О
240
откуда г = 1, q = - и
а
2ар — q _ 2а3 — 2/а _ 1
2а2 „ ~ 2а2 , ~ ° а3 ’
62 1/а2
а--------= а--------—= 2а.
с —a —L/aa
40. Имеем: PL = 1/(2)
h
!/(2 4-Л)-1/(2)
Л _ Л(—14-4Л + А2) _ -1 + 4Л + Л2
1 —(2 + h) ~ -5Л-Л2 “ -5-Л
(2 + h)2-5
Поэтому подкасательная KL = PL = -.
IЛ=0 о
41. Пусть Р(х, у) = 0 — уравнение, задающее алгебраическук
функцию j/(z). Ее производную 2/'(х)можно определить алгебраиче-
ским уравнением
[Р(х + Л, у) - P(z, j/)] + у'(х) [Р(х, y + k) - Р(х, 2/)] =0.
lh=0 lfc=0
Подробнее об алгебраическом определении производной см., напри-
мер, [4, с. 105, 259-262].
42. Согласно методу “флюксий” Ньютона, имеем:
у3 - ху + х2 = 0 ,
(у + jp)3 - (х + хо)(у + уо) + (т + io)2 = 0 >
Зу2у ° +3з/г/2 о2 —х о у — хуо —ху о2 +2хх о +г2о2 = 0 ,
Зу2у + Зуу2 ° — ху — ху — ху о +2хх + х2 о = 0,
Зу2у — ху — ху + 2хх = О
43. Согласно “исчислению дифференциалов” Лейбница, имеем:
d(xy) = (х + dx)(y 4- dy) — ху = х dy + у dx + dx dy = х dy + у dx
241
44. Согласно исчислению дифференциалов Лейбница, имеем
dy = -£dx (см. рис. 89), или 1У = А так как ху =
1, то d(xy) = xdy + у dx = О,
Рис. 89
откуда = —у. Поэтому
1У = — у (знак “минус” полу-
чается в силу того, что dy <
0). Правильный (известный
еще Аполлонию) результат
получается потому, что одна
ошибка (когда вместо dy +
z = l~£dx берется dy =
l-fdx) в точности компенси-
рует вторую ошибку (когда
вместо d(xy) = (х + dx)(y +
dy) — ху — xdy + ydx + dxdy
берется d(xy) = xdy + уdx).
45. Согласно методу Карно, вначале из подобия треугольников
/ аах dl г _
(см. рис. 90) имеем точное уравнение — = —. От этого уравнения
dy х
через цепочку “несовершенных” уравнений = —, xds = rdy,
dy х
^yiirxds = ^2irrdy, приходим к точному, “совершенному” ура-
внению: площадь поверхности шарового пояса У\ < у < у? равна
2irr(y2 — У1)
46. Так как П(р) = [—р, 14- р], то fc(E) = lim [(1 4- р) — (—р)] = 1.
р—»-0
Так как в любом сегменте А, любого разбиения содержатся pa-
ri
циональные точки, то s(E) = lim ^2 m(^«) Иш m([0, 1]) — 1-
П —*OO j = J n—*oo
Так как в любом, сколь угодно малом интервале есть рациональ-
ные точки, то взяв [а, 6] = [0, 1], будем иметь, что п = г2 = г3 =
= [0, 1]. Поэтому Л(Е) = lim m(rn) = lim 1 = 1.
Так как [0, 1] наименьший отрезок, содержащий Б, тор</е(Е) = 1.
А так как ни один отрезок не состоит только из рациональных точек,
то pgi(E) = 0. В силу р^-(Е) / рде(Е) множество Е не является
измеримым по Пеано-Жордану.
242
Рис. 90
47. Множество Е раци-
ональных чисел из [0,1] —
счетно, а мера Пеано-Жор-
дана всякого одноточечного
множества равна нулю. По-
этому, если бы мера Пеано-
Жордана была счетно адди-
тивна, то рд(Е) существо-
вала бы и была бы ра-
вна нулю, что противоречит
установленному при разборе
упражнения 46.
Так как Е — счетно, то,
согласно принципу 4 мероопределения Бореля, мера Бореля мно-
жества Е равна нулю.
48. Производная единственна, так как из
f(x 4- re) = f(x) + krre и f(x 4- re) = f(x) + к2ге
следует, что (Ari — к2) • re = 0, (Ari — к2) 6 R, что возможно лишь при
ki — к2 = 0.
Далее, если функции f(x) и д(х) непрерывны и дифференцируемы
в точке ат, то
f(x + re) + д(х + ге) = (/(х) + f'(x) re) + (д(х) + д'(х) • ге) =
= [/(х) + <?(х)1+[/'(х)+/(х)].ге,
= [/(*) ’ »(*)] + [/'(^) 9(х) + /(*) ‘ »'(*)] • ге,
1 1 f(x) - f'(x) • re
/2(х) _ . г2£2
--------—-—— • re
/(*) ш ’
g(f(x + re)) = g(f(x) + f'(x) re) = g(f(x)) + д'(f(x)) f'(x) re,
откуда следует, что функции f(x) + д(х), f(x) • д(х), g(f(x))
f\x)
непрерывны, дифференцируемы и их производными будут, соответ-
ственно,
f'(x) + g'(x), f'(x) g(x) + f(x) д'(х), д' (/(х)) f'(x).
J Xх)
243
Доказательство теоремы Ферма: пусть xq — точка локального
экстремума (например, локального максимума) функции /(х), т.е.
/(х0 ± о) < /(хо) при любом достаточно малбм а. Тогда, в силу
возможности переноса нестрогих неравенств, имеем /(хо ± ге) <
/(х0), или /(хо) ± /'(хо) ге < /(хо) для любого вещественного г.
Поэтому /'(х0) необходимо должно равняться нулю.
49. Распространив неравенство 0<sinx<x<tgxc0<x< £
на 0 < х* < ^, при х = ге, г > О будем иметь 0 < sin re < re < tg re
_ i sin re sin re sin re
Ho tg re = -- = . . = < —===== = sin re, так что
cos r€ \/l -sin2 re “ (ГЮ2
sin re < re < sin re. Поэтому sin re = re при r > 0. Справедли-
вость этого равенства для отрицательного г следует из того, что
sin(-re) = — sin re = —re.
50. Имеем:
(x + re)n
cos(x + re)
ln(x + re)
er+r£
_n , _ _n-l , n(n l)_n-2 (_~\2 ,
x -r n x re н —-—x \r£) ।
+(re)n = xn + nxn“x • re,
cos x cos re — sin x • sin re = cos x — sin x re ,
i Л r \ - i A r \ - 1
Inx Ц—e) = Inx + In (1 4—e) = Inx H— re ,
\ x / \ x / x
ex er£ = ex (1 + re) = ex + ex re ,
поэтому функции xn, cosx, Inx, ex непрерывны, дифференцируемы
и их прозводными будут, соответственно, пхп~1, — sinх, —, ех
х
51. Имеем:
Литература
1. Алимов Н.Г. Теория действительного числа с точки зрения ис-
торического процесса ее возникновения. - Канд. дисс. МГУ,
1950.
2. Башмакова И.Г Диофант и диофантовы уравнения. - М.: На-
ука, 1972. - 68 с.
3. Беркли Дж. Сочинения. - М.: Мысль, 1978. - 556 с.
4. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. - 2-е изд. - М.: Наука, 1979.
624 с.
5. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX
столетия. - М.: Физматгиз, 1960. - 467 с.
6. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. - М.-
Л.: ОГИЗ, 1941.- 252 с.
7. Гегель Г Сочинения. - М.-Л.: Гос. соц.-экон. изд., 1929-1958.
8. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: Просвещение,
1981-1983.
9. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. - М.-
Л.; ОГИЗ, 1946. - 247 с.
10. Девис М. Прикладной нестандартный анализ. - М.: Мир, 1980.
- 236 с.
И. Делоне Б.И., Райков Я.К. Аналитическая геометрия. - М.-Л.:
ГИТТЛ, 1949. Т. II.-516 с.
12. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. - М.: Наука, 1978. - 576 с.
13. Звонкий А.К., Шубин М.А. Нестандартный анализ и сингуляр-
ные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений
// Успехи математических наук. - 1984. - Т. 38, вып. 2. - С. 77-
126.
14. Историко-математические исследования. - М.: ГТТИ - Наука.
15. История математики с древнейших времен до начала XIX сто-
245
летия. - М.: Наука, 1970-1972. - Т. 1-3.
16. История отечественной математики. Киев: Наукова думка,
1966-1970. - Т. 1-4.
17. Карно Л. Размышления о метафизике исчисления бесконечно
малых. - М.-Л.: ГТТИ, 1936. - 325 с.
18. Картье П. Сингулярные розмущения обыкновенных дифферен-
циальных уравнений // Успехи математических наук. - 1984.
Т. 38, вып. 2. - С. 57-76.
19. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.
4-е изд. - М.: Наука, 1987. - Т. 1, 2.
20. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. - М.:
Наука, 1989. - Т. I. - 456 с.
21. Курант Р., Роббинс Г, Что такое математика? Элементарный
очерк идей и методов. - М.-Л.: ОГИЗ, 1947.
22. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Нестандартные методы ана-
лиза. - Новосибирск: Наука, 1990. - 343 с.
23. Маркс К. Математические рукописи. - М.: Наука, 1968. - 639 с.
24. Математика XIX века. - М.: Наука, - Т. 1, 2, 3.
25. Математика, ее содержание, методы и значение. - М.: изд-во
АН СССР, 1956. - Т. 1-3.
26. Медведев Ф.А. Развитие теории множеств в XIX веке. М.:
Наука, 1965. - 232 с.
27. Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. - М.: Наука, 1974.
- 423 с.
•28. Лесин И.Н. Развитие понятия интеграла. - М.: Наука, 1966.
207 с.
29. Постников М.М. Теория Галуа. - М.: Физматгиз, 1963. - 218 с.
30. Рыбников К.А. История математики. - 2-е изд. М.: изд-во
МГУ, 1974. - 456 с.
31. Секст Эмпирик. Сочинения в двух томах. - М.: Мысль, 1975.
Т. 1-2.
32. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? - М.: Наука,
1987. - 128 с.
33. Хрестоматия по истории математики. М.: Просвещение,
246
1976-1977 - Кн. 1, 2.
34. Цейтен Г История математики в древности и в средние века.
- М.-Л.: ГТТИ, 1932.- 230 с.
35. Цейтен Г История математики в XVI и XVII веках. - М.-Л.:
ГТТИ, 1933. - 429 с.
36. Чеботарев Н.Г Основы теории Галуа. - М.-Л.: ГТТИ, 1934.
221 с.
37. Чеботарев Н.Г Теория Галуа. - М.-Л.: ОНТИ, 1936. - Кн. 1.
154 с.
38. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года.
М.: Наука, 1968. - 592 с.
39. Яновская С.А. О так называемых “определениях через абстрак-
цию” // Методологические проблемы науки. - М.: Мысль, 1972.
- С. 34-75.
Сергей Николаевич Марков
КУРС ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие
Редакторы З.П. Межецких, Л.В. Югова
Художественный редактор Н.В. Алсуфьев
Технические редакторы С.А. Бессольцева, И.Н. Корецкая
Компьютерный набор, верстка и графика А.С. Яшин
ИБ N 1057. Лицензия JIP N 040250 от 30 января 1992 г.
Подписано в печать 25.04.95. Формат 60 х 841/1б. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Гарнитура Компьютер модерн. 1йраж 3 000 экз.
Усл. печ. л. 14,4. Уч.-изд. л. 14,2. Усл. кр.-отт. 14,7. Заказ 164 9-
Издательство Иркутского университета,
г. Иркутск, центр, бульвар Гагарина, 36.
Отпечатано в Иркутском Доме печати,
664009, г. Иркутск, ул. Советская, 109.